/
Теги: учебные пособия и учебники по математике
ISBN: 5-354-00300-8
Текст
ВЫСШАЯ
МАТЕМАТИКА
МЛ. Краснов
А. И. Киселев
Г. И. Макаренко
Е.В.Шикин
В.И.Заляпин
Рекомендовано
Министерством обрадования
Российской Федерации
в качество учебника для студентов
высших технических учебных доведений
Иэдание второе, исправленное
УРСС
Москва • 2004
ББК 22.1я73
Краснов Михаил Леонтьевич, ' f
Киселев Александр Иванович,
Макаренко Григорий Иванович,
Шикни Евгений Викторович,
Заляпин Владимир Ильич
Вся высшая математика: Учебник. Т. 2. Иди. 2-е, испр. — Едиториал УРСС, 2004. — 192 с.
ISBN 5-354-00300-8
Предлагаемый учебник впервые вышел в свет в виде двухтомника сначала на английском и
испанском языках в 1990 году, а затем на французском. Он пользуется большим спросом за рубежом.
В 1999 году книга стала лауреатом конкурса по созданию новых учебников Министерства
образования России.
Этот учебник адресован студентам высших учебных заведений (в первую очередь будущим
инженерам и экономистам) и охватывает практически все разделы математики, но при этом представляет
собой не набор разрозненных глав, а единое целое.
Во второй том включен материал по некоторым разделам математического анализа (неопределен-
ный и определенный интегралы, функции нескольких переменных) и дифференциальной геометрии.
Издательство «Едиториал УРСС». 117312, г. Москва, пр-т 60-летия Октября, 9.
Лицензия ИД № 05175 от 25.06.2001 г. Подписано к печати 22.10.2003 г.
Формат 70x100/16. Тираж 4000 экз. Печ. л. 12. Зак. № 628..
Отпечатано в типографии ИПО «Профиздат». 109044, г. Москва, Крутицкий вал, 18.
ISBN 5-354—00270—2 (Полное произведение)
ISBN 5-354-00300-8 (Том 2)
© Едиториал УРСС, 2004
Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может быть воспроизведена или передана
в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то электронные или
механические, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель, если на то нет письменного
разрешения Издательства.
1
Издательство УРСС
научная и учебная литература
Тел./факс: 7(095)135-44-23
Тел./факс: 7(095)135-42-0
E-mail: URSS@URSS.ru ‘
Каталог изданий в Internet: http://URSS.ru
Гпава XII
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§1. Понятие первообразной
Основной задачей дифференциального исчисления являлось нахождение по заданной
функции f(x) ее производной f'(x). В интегральном исчислении основной задачей
является обратная задача, которая заключается в нахождении функции /(х) по ее
известной производной f(x). Перейдем к рассмотрению этой задачи.
Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции /(х) на интервале
(а, 6), конечном или бесконечном, если функция F(x) дифференцируема в каждой
точке этого интервала и ее производная F'(x) = /(х) или, что то же самое, dF(x) =
/(х) dx для всех х € (а, 6).
Пример 1. Функция Fix) = arcsinz является первообразной для функции f(x) = -?1 , на интервале
VI—®2
(—i, 1), так как
Пример 2. Функция
Fix) = 0 < а 1,
In а
является первообразной для функции f(x) = а* на интервале (-оо, +оо). В самом далЬ,'
F'(x) - (= g-*n- = a* Vz € (-00, +00).
\lna) Ina
Если F(x) является первообразной для функции /(х) на интервале (а, &), то
и функция Ф(х) = F(x) + С, где С — произвольная постоянная, будет первообразной
для /(х) на интервале (а, Ь). В самом деле,
Ф'(х) = [Г(х) + С]' = Г'(х) = /(х)
для всех х € (а, Ъ). Таким образом, если функция /(х) имеетна (а, Ь) первообразную,
то она имеет на этом интервале бесконечное множество первообразных. Между двумя
различными первообразными для одной и той же функции существует тесная связь,
которая устанавливается следующей теоремой.
Теорема 1. Если F(x) и Ф(х) — две любые первообразные для функции /(х) на интервале
(а,Ь), то их разность равна некоторой постоянной
Ф(х) - F(x) = С, С = const, х € (а, Ь).
<4 Пусть F(x) и Ф(®) — первообразные для функции /(®) на (о, Ь), т. е.
F,(x)^f(x) и ф'(®) ss /(®) V® € («, Ь);
Рассмотрим функцию у>(®) = Ф(«) - F(x). Для нее получаем
/(«)ГТ *'.(*) “ ?(*) = /.(®) - = 0
для всех х € (а, Ь). Возьмем в интервале (а, Ъ) любые две точки ®о и х и применим
теорему Лагранжа(о конечных приращениях) к функции <р(х) на отрезке [®о, Тогда
получим
^(®) - ^(®0) = (х - ®о)/($), где ®0 < $ < х.
Так как у,'(®) = 0 на (а,Ь),то и р'(€) = 0 и, значит, 9?(®) = у{®0) V® € (а, Ь), т.е.
функций <р{х) на (о, Ь) постоянна. ТЬким образом, Ф(®) - F(x) = С, где С = const,
для всех® € (а,Ъ). ►
Следствие. Если F(x) является одной из первообразных для функции /(®) на интерва-
ле (о, Ь), то любая другая первообразная Ф(®) для функции /(®) имеет вид
Ф(®)=Г(®) + С,
где С — некоторая постоянная. ‘
§2. Неопределенный интеграл
Опрчдонве. Совокупность всех первообразных для функции /(®), определенных
на интервале (а, Ь), называется неопределенным интегралом от функции /(®) на этом
интервале и обозначается символом J /(®)d®. Здесь знак / называется знаком ин-
теграла, выражение /(®) dx — подынтегральным выражением, сама функция /(®) —
подынтегральной функцией, а ® называется переменной интегрирования.
Если F(x) является какой-либо первообразной для функции /(®) на интервале
(а, Ь), то в силу следствия будем иметь
где С -т* произвольная постоянная. При этом любое равенство,# обеих частях которо-
го стоят неопределенные интегралы, является равенством между множествами. Такое
равенство означает, что этимножества содержат одни и те же элементы — первообраз-
ные. ’ ,г I
Иногда будем понимать символ / /(®) dx как любой элемент из этой совокупно-
сти, т. е. как какую-то из первообразных.
В дальнейшем будет доказана теорема о существовании неопределенного интегра-
ла, а сейчас приведем ее формулировку.
Тмрайа 2. Функция f(x)> непрерывная на интервале (а, Ь), имеет на этом интервале
первообразную, а следовательно, и неопределенный интеграл.
Операцию нахождения первообразной или неопределённого интеграла от функ-
ции f(x) называют интегрированием функции }{х). Интегрирование представляет
собой операцию, обратную дифференцированию.
§3 . Свойства неопределенного интеграла
Будем считать, что все рассматриваемые функции определены и Непрерывны на одном
и том же интервале (а, Ъ), следовательно, на этом интервале существуют неопределен-
ные интегралы от этих функций.
1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению
4 В самом деле, так как Х(х) = /(х) V® € (а, Ь), то
d /(®) d®) = d[F(x) + С] = df*(x) = ^(х) d® = /(x) dx, ►
2. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции
^/(x)d®^ = /(х),
что следует из свойства 1.
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функ-
ции плюс произвольная постоянная
J dF(x) = F(®) + C.
4 В самом деле, если F'(x) = /(х) Vx € (а, Ь), то
J dF(x) = J F^x) dx — f f(x) dx = F(x) + С. ►
4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла или
вносить под знак интеграла
4 В силу свойства 2 имеем
(/ A/(x)d®) = А/(х), ^А У /(x)dx^ =A^jf/(x)d®^ =А/(х).^
ТВким образом, /А/(х) dx выражаетто же самое множество функций, что и Ajf(x)dx*
т. е. множество первообразных для функции А/(х).
5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебра-
ической сумме неопределенных интегралов от этих функций
В силу свойства 2
= /(z)±y?(z).
С другой стороны,
= /(х) ±ф(х).
Таким образом,
и
являются первообразными для одних и тех же функций f(x) ± <р(х). Следовательно,
они отличаются друг от друга на некоторую постоянную С. ►
Следствие.
dx
fk(x)dx,
где Ah — const (к = 1, 2,..., n).
Так как выражение вида
п
52 = Л1Л (х) + A2f2(x) + ...+ Anfn(x),
к=\
где все А* — некоторые постоянные, называется линейной комбинацией функций Л(х),
к = 1,2,..., п, то последнее равенство означает, что
неопределенный интеграл от линейной комбинации конечного числа функций равен линей-
ной комбинации неопределенных интегралов от этих функций.
Свойства 4 и 5 определяют так называемое линейное свойство неопределенного
интеграла.
§4 . Табличные интегралы
Каждая формула для производных конкретных функций, т. е. формула вида F'(®) =
f(x), может быть обращена, т.е. записана в виде //(*) dx = F(x) + С, С = const.
Таким путем получается следующая таблица основных интегралов, которые являются
обращением основных формул дифференциального исчисления:
/д.а+1
xadx =-----4-C, a^-lj g>0.
а 4-1
2. /* —= 1п|а|4-С, а #0.
J ®
Г , а*
3. / a dx = ---h С, 0 < а £ 1.
J In а
В частности, при а =е получим
J ех dx — e* 4-С.
4. / sinxdx = -cosx + C.
5. I cos a da — sinx4-C.
8. [ ~r~ ==-ctga4-C, x^nv (n = 0,±l,±2,.
J sin2 x
7. / - =tga4-C, x^^ + nv (n-0>±l,±2,.,.).
J cosza 2
8. f -7=,j*= - = arcsina4-C, -l<g<l.
J vl-x2
9. [ = In |g 4- \/ x2'± a214- С (для знака*-» должно быть |g|>ja|).
J vx2±a2
/dx
---г = arctgz4-C.
14-g2
11.
dx _ 1
a2 - x2 2a
a4-a
a-g
4-C, [gj^a.
12. y*shgdg = chg4-C.
13. y'chgdg = shg4-C.
/dx , „
— 5— = -thx4-C.
chzg
/dx
— 7— = -cthg4-C, x&O.
slrg
Формулы 8 и 10 являются частными случаями более общих формул
/dx х
- у====== = arcsin - 4- С, |g| < |a|.
Va2 ~ х2 a
/dx 1 x _
- 7 7 = - arctg- 4-C.
a2 4- x2 a a
Справедливость всех приведенных выше формул устанавливается с помощью диф-
ференцирования, которое показывает, что производная правой части этих равенств
равна подынтегральной функции.
Следует отметить, что если операция дифференцирования элементарных функций
всегда приводит к элементарным функциям, то операция интегрирования элементар-
ных функций может привести к неэлементарным функциям, т. е. к таким функциям,
которые не выражаются через конечное число арифметических операций и суперпо-
зиций элементарных функций. Например, доказано, что
следующие интегралы не выражаются через элементарные функции:
/_Л / ГТ \
е dx (интеграл Пуассона),
/ sinx2dx, / cos22dx (интеграл Френеля),
(интегральный логарифм), 0 < ® # 1,
(интегральный синус), ® # О,
(интегральный косинус), х # 0.
Эти интегралы хотя и существуют в силу непрерывности подынтегральных функ-
ций в их областях определения, но они не являются элементарными функциями.
Некоторые из этих интегралов играют большую роль как в самом математическом
анализе, так и в его разнообразных приложениях.
В некоторых случаях с помощью тождественных преобразований подынтеграль-
ной функции данный интеграл можно свести к интегралу, к которому применимы
основные правила интегрирования и возможно использование таблицы основных ин-
тегралов.
Пример 1. Найти неопределенный интеграл
4 Имеем
= [ х3 dx - 2 [ dx + [ х~3 dx=^~ -2х + + С = - 2х - ~ + С. ►
J , J J 4 -2 4 2«2
Пример 2. Найти интеграл
J аг + х
4 ИмввМ
/(14-д)2 u Г 1 + 2» + ga J /(l + «a) + 2« . r(\ 2 % .
J + x Xj x(l + r2) * * J " J (g + i + ev *B
/dx f dx
T*2J rT^ = lnl«l-<-2««gg.+ C. ►
Пртмр 3. Найта интеграл
/•2'Зж + Э-2’ .
J—j!—"г
4 Имеем
*+’/(!) ,|”2^+’ыг+с”
§5. Интегрирование заменой переменной
Одним из основных приемов интегрирования функций является замена переменной.
Пусть требуется найти интеграл / f{x) dx от непрерывной функции /(г). В по-
дынтегральном выражении положим х = где функция <p(t) имеет непрерывную
производную ip(l) и обратную функцию t = ч//(х). Тогда справедливо равенство
(1)
в правой части которого после интегрирования вместо t надо подставитьего выражение
через х, т. е. функцию ф(х).
◄ Для доказательства равенства (1) находим производные Интегралов* стоящих в его
левой и правой частях. Производная по х от левого интеграла равна
f(p)dx\ — f(x).
/ я
Производную по х от правого интеграла находим по правилу дифференцирования
сложной функции с промежуточным аргументом t. Учитывая, что производная обрат-
ной функции равна
е* = ? = ^’ гае *,'W’40’
V \ч
получим
(/f [НО] /(«)<«),=(/ f [р(0М0<«)( -4=f [ИОМОрф ’/НО] =/(»)•
Так как производные указанных выше интегралов равны, то эти интегралы опре-
деляют одно и то же множество функций, а именно — множество первообразных
функций /(х). ►
Равенство (1) выражает собой часто применяемый на практике метод интегри-
рования, называемый интегрированием заменой переменной или подстановкой. Функ-
цию <p(t) на практике выбирают так, чтобы интеграл в правой части равенства (1) был
более простым, чем первоначальный.
Пример 1. Найти интеграл
dx
у/х2 + От
(в > 0).
4 Положим х = a sh t. Тогда dx = a ch t dt и мы будем иметь
г dx г a ch t dt rachtdt f . -
I чя.жда? «« I —.wa..= / ------------ — / dt = t -f- C.
J y/x2 + a2 J ^e2(sh2t+l) J ach* J
Выразим переменную t через старую переменную х. Для этого разрешим равенство х = a sh t отно-
сительно t. Так как по определению sh t — —j—, то
ae2t — 2xel - a = 0,
откуда
, ®± V®3 + e2
e ---------------.
a
Учитывая, что e* > 0, берем корень со знаком «+», так что
, х + v®2 + в2
в ---------а-----’
откуда находим ______
t = In (х + \/х2 + а2 ) - h а.
Окончательно получаем
J = 1п(х + у/х2 + a2) +С (с = С - 1л а). ►
Пример 2. Найти интеграл
4 Сделаем замену переменной, положив г = i2 - 1, откуда dx = 2t dt, t = >/x + 1. Тогда
f dx r It dt f dt
J (x+'iWx + i J (t2 + l)t =2J #2+ 1 =2arCtgt + C'
Возвращаясь к переменной x по формуле t = v'r + f, получим
[------= 2 arctgч/Г+Т + С. ►
J (x + 2)VxTi zarci»v:c + l +
Замечание. Если в интеграле f f(x)dx подынтегральное выражение f(x) dx можно представить в виде
f(x)dx =^[^(z)]^’(x)d®,
f(x)dx =j[^(z)]d[^»(x)],
причем функиия g(t) легко интегрируется, т. е. интеграл
lg(t)dt = F(t) + C
находится легко, то делая в данном интеграле замену t = ^(®), будем иметь
j f(x)dx = F\i>(x)\ +С.
Пример 3. Найти интеграл
2* - 2"1
--------dx.
2’ + 2"*
4 Положим t = 2я + 2"я, t > 0. Тогда dt = (2х In 2 — 2“xln2)dx, откуда
Поэтому
Пример 4. Найти интеграл
(2’ - 2"х) dx =
f 2’-2“x
/ ------dx =
J 2* + 2~x
•—-lnt + C =
In 2
dt
ln2‘
ln(2® + 2"®)
In 2
+ C.
е2я dx
+ Г
4 Сделаем замену переменной, положив Ve* + 1 = t. Тогда = 2 dt, е* = t2 - !. Поэтому
е2х dx
Vex + l
=s J (е* + l)3/2 - 2\/ея + 1 + С = ^(ех - 2)Vex + 1 + С. ►
§ 6. Интегрирование по частям
Пусть функции и = и(х) и v = v(x) имеют непрерывные производные и'(х) и v'(x).
Тогда, по правилу дифференцирования произведения, будем иметь
[«(®М®)У = u(x)v'(x) + v(x)u(x).
Это равенство показывает, что произведение данных функций u(x)v(x) является пер-
вообразной для суммы u(x)v\x) + v(x)u'(x) и, следовательно,
u(x)v'(x) + v(s)t/($)] dx = u(x)v(x) •+• С.
Отсюда, используя линейное свойство интеграла, находим
У*u(x)v'(x) dx = 14(3)0(1) - у v(x)u(x) dx + С.
Так как по определению дифференциала
v'(x)dx = dv, u(x)dx = du,
то полученное равенство можно записать короче
и dv = uv - J v du + С,
или
(1)
считая, что постоянная С включена в один из неопределенных интегралов.
Нахождение неопределенного интеграла с помощью этой формулы называется
интегрированием по частям. Формула (1) сводит нахождение интеграла J и dv к нахо-
ждению интеграла / v du, который в некоторых случаях можно легко найти. При ее
применении к нахождению интеграла приходится разбивать подынтегральное выра-
жение на два множителя и и dv = v1 dx, из которых первый дифференцируется,
12
Глав» XII. Нипрвдамииый питеграл
а второй интегрируется при переходе к интегралу в правой части. Выбирать и следует
так, чтобы интегрирование дифференциала dv не представляло трудностей и чтобы
замена и на du и dv на v в совокупности приводили к упрощению подынтегрального
выражения.
Пример 1. Найти интеграл У (2 - Зх) сое х dx.
4 Здесь udv««(2- Зх)соеxdx.
Положим V я* 2 ~ Зх, dv е сое х dx.
Тогда dtts~3dx, v = I cotxdx =»inx.
Применяя формулу (1), будем иметь
1(2 - 3x}cotx dx = (2 - Зх) sin х+ 3 i sin г dx = (2 - Зх) tin х - Зсоях + С.
Замечание. Если взять
ti = cosx, dv = (2-3x)dx
пли ж»
в & (2~3х)соех, dv = dx
и применить формулу (1), то а обоях случаях в ее правой части получим более сложные интегралы, чем
первоначальный.
Замечем». При нахождении функции v по ее дифференциалу dv можно братълюбое значение посто-
янной интегрирования С, так как она в конечный результат не входит (для проверки этого достаточно
в формулу (1) подставить г + С вместо е). Поэтому для удобства будем брать С - 0.
Пример 2. Найти интеграл *
I Inxdx.
< Так как в данном интеграле в dv = in х dx, то здесь имеется единственный выбор, а именно и = 1п х,
dv = dz, Тогда du = у, v = J ds = «. Ло формуле (1) получаем
/lnzdx = xlnz- j dx = x\nx-х + С =х(1пх -!) + €.►
Пример 3. Найти интеграл _______
У ^eJ-x2 dx (|xj < |e|).
4 Применим метод интегрирования по частям, положив
tt
dv = dx.
Отсюда находим
Применяя формулу (1), получим
, xdx
dtt =----7=*t=a=<
vaJ - X1
v = х.
х2 dx — х
х2
+ 2С.
Добавим и вычтем а2 в числителе подынтегральной функции интеграла а правой части и, произведя
деление на Ve2 -х2, будем иметь
х2 dx и х‘
а2-(а'-х2),
~ — inye— dx + 2С = X'
Va2 - х2
" 10... 1 « Д»
- х2 + a aredn -
а
f dx
' у/a1 -х2
х2 dx + 2С.
Для нахождения данного интеграла мы получили алгебраическое уравнение о одним неизвестным, ко-
торым является этот интеграл, >
У ^аг-х^х — х\[а2-х2 + e2 arcsln- - j — хгЪх + 2С.
Из этого уравнения находим
У У а2 - as2 dx = ^х\/аа - х2 + у arcsin - + С. ►
Задача. Показать, что справедливы следующие формулы:
а) У ^х2 4-е2 dx = |хУха +в2 + у 1п(х + у/х2 + а2} + С;
б) У \/х2-a2 dx = |х^/х2 - а2 - у in|x + Ух2 -а2| + С, где |х| > |а|.
Замечание. К нахождению интеграла f v du в правой части формулы (1) можно применить снова
интегрирование по частям.
Пример 4. Найти интеграл
У х22х dx.
4 Положим и — х2, dv = 2х dx, тогда
du-2xdx, v = ~-т и /x22*dx — х2-—— - гД; [ х2* dx.
In 2 J In 2 In 2 J
К интегралу в правой части снова применяем интегрирование по частям, полагая и = х, = 2’ dx,
откуда
2х
du ^dxt v = ——
in 2
и, следовательно,
/ 2-.Z . j 2х 2 / 2х 1 г ,. \ г 2х 2/2* 2х \
J in 2 in 2 \ ft 2 In 2 J / In 2 in 2 \ in 2 In2 2 /
( j 2 '2 \ 2* ' '
= (* ~ta2,+ i?2)fo2+C-*'
Пример 5, Найти интеграл
У e9z cos рх (а О, Р 0).
< Интегрируя по частям, положим, например,
u = eat, dv ~ccs Pxdx (или u = cos/Jxv dv = eaxdx)..
Тогда
du = oe" dx, ® = У cospx dx = .
Поэтому
/ e®* cospx dx = -^еаг sin/Эх - / eax,sin/Эх dx.
J p p J
Для нахождения полученного в правой части интеграла снова применим интегрирование по частям:
u = eax, dv = sin pxdx\ dusae^dx, v = ~
. P j.
У ee*sinj5x dx = -^eeacos/?x + Je°*cosPxdx.
Подставляя правую часть этого равенства в результат первого интегрирования, будем иметь
У еох cos Рх dx = ^eax sin /Эх + ^е11® сов Дх - ~ J ем сое /Эх dx.
Таким образом, посредством двукратного интегрирования по частям мы получим для нахождения
данного интеграла алгебраическое уравнение первой степени с одним неизвестным, из которого нахо-
дим
е
COSpxdx = -^у(а COS0X +р sin fix'),
откуда
eQ.r cos Рх dx = -=—-д (a cos рх + р яп рх} + С.
а* 4- pi
Аналогично находим интеграл
J еа* sin рх dx —
еа*
5—-л (a sin Рх - р cos,px) 4- С. ►
С помощью интегрирования по частям можно находить, например, следующие
интегралы:
1. Pn(x)lnx dx,
п
где Рп(х) — 22 Q®* — многочлен я-ой степени.
к=0
◄ Положим
и = In X, dv — Рп(х) dx.
Тогда
dx f
du — —, v - Pn(x) dx = Qn+i(x),
> x J
где Qn+i(®) — многочлен (n 4- 1)-ой степени. Поэтому
f PM In X dx = In x - f dx = QMx) In X - Яй+1(«) + C,
J J x
где Яп+1(ж) — многочлен (я 4- 1)-ой степени. ►
Пример 6. Найти интеграл
У (4х3 + 2х) in х dx.
◄ Полагаем
и = In х, dv = (4х3 + 2х) dx;
тогда
du = —, v = У(4х3 + 2х) dx = х4 4- х2.
Формула (1) дает:
4 2
У(4х3 + 2х) In х dx = (х4 4- х2) In х - У (х3 4- х) dx = (х4 4- х2) In х — --4- С. ►
Рп(х) arctg ах dx, I Рп(х) arcctg ах dx,
где а — действительное число.
Эти интегралы с родятся к интегралам от рациональных функций. Если, например,
в первом интеграле взять
то
и = arctg ах, dv = Рп(х) dx,
a dx
du = . - , v = Qn+l(x),
1 + а^х*
и мы получаем
Рп(х) arctg ах dx — Qn+j (х) arctg ах - а
Qn+\(x)
1 + а2х2
dx.
Аналогично поступаем и со вторым интегралом.
Пример 7. Найти интеграл
\ /(Зх2 + 1) arctg х dx.
Ч Пусть
тогда
Поэтому
u = arctg х, dv = (Зх2 + 1) dx,
. da? з
du =--------r, v = x + x.
1 4- X2
arctg xdx = (x3 + x) arctg x
x3 + x
T + X2
dx — (x3 + x)arctgx — / xdx ~
/3ч X „
= (x + x) arctg x - — + C. ►
где a — действительное число.
Для нахождения этих интегралов берем
и = arcsin ах (и = arccos ах), dv = Pn(®) dx‘.
тогда
adx
dU = ~z.
V1 - а2х2
и формула (1) дает
adx
y/l ~ а2х2
v = Qn+i(x)
Рп(х) arcsin ах dx = Qn+\(x) arcsin ах — а
Qn+\(x)
-ттт.-т dX.
— О!2®2
Полученный в правой части интеграл можно находить различными способами, ко-
торые мы приведем в примерах (подробнее этот интеграл будет рассмотрен ниже
(см. §8)).
Пример 8. Найти интеграл
х2 arcsin xdx.
< Берам
« = arc»in х, dv ® х2 dx,
откуда
Применяя формулу (1), будем иметь
2 X3
х ancdn х dx = -г arcsln х
3
В полученном в правой части равенстве интеграле сделаем подстановку t = VI -х2, х1 = 1 - t2,
х dx = -tdt. Тогда
/ x*dx г я2 , .ч,, Lj . „ 1/2 ЛЛ
/ —тииам ~ I ~т»1—ли»хdx — ~ / — -t di — / (t —l)dt = rt —t4-C = _—(x + 2)vl-x2 + C.
J vT-? j V1-x2 j t J 3 3'
Окончательно получаем
x2 mtinxdx = ~ arcdnx + |(xa + 2)^1 - x2 + C, ►
Используя многократное интегрирование по частям можно найти следующие инте-
гралы:
4.
где Л — действительное число.
Для нахождения этого интеграла в формуле (1) интегрирования по частям полагаем
и = Ря(®), dv = е** dx,
откуда
du — Pn(x)dx, v = |eA* (А#0).
Поэтому ______________________________________________________‘
f P„(x)eA><ix=|p„(x)ex,-| /
J А А у
где 7п(а;) — многочлен (п - 1)-ой степени. К интегралу в правой части снова приме-
няем формулу (1) и т. д. В результате п-кратного интегрирования по частям придем
к табличному интегралу J еА* dx = je** + С.
Пример В. Найти интеграл
J {х2 + 2x)t* dx.
И Полагая
и = х2 + 2х, dv = е* dx,
находим
du = 2{х + 1) dx, v е*.
Тогда
J(х2 + 2х)е* dx = (х2 + 2х)е* - 2 j(? + 1)е“ dx.
Интеграл в правой части снова берем по частям, принимая u = х + 1, dv = е* dx, откуда du = dx,
v = е . Следовательно,
Да + 1)ех dx = (ж + 1)е* - ( exdx = {г + 1)е* - е* + С = хе® + С.
Окончательно получаем
У (х2 + 2х)е* dx = (х3 + 2х)е* - 2хе* + С = х2е“ + С. ►
Замечание, Интегралы этого жида можно находить с помощью метода неопределенных коэффициентов,
который состоит в следующем: ищем интеграл в виде произведений многочлена n-ой степени
<?»(«) = 6о +&!*+ . • +
с неопределенными коэффициентами до, д],..., Ьд на функцию е**, т, с.
^P^x}t^dx^{x}t^.
Для нахождения неизвестных коэффициентов Ьь дифференцируем обе части этого равенства:
Pn(»)eA’ = + Q*(x)bS*.
Затем, сокращая на еЛ‘# 0, будем иметь
Pn(x) = Q,n(x) + AQn(x).
В этом равенстве слева и справа стоят многочлены п -ой степени, приравнивая коэффициенты которых
при одинаковых степенях х, получим систему из п 4-1 линейных уравнений, содержащих искомые
коэффициенты . Эта линейная система имеет единственное решение, так как се определитель.
отличен от нуля.
ПршмрЮ. Найти интеграл
Их2 4-2х)е* dx.
<4 Положим
У(х3 4- 2x)e*dx — (ft® 4- Ь}Х 4- djx2)e*,
где 1>о, bi, д2 — неизвестные коэффициенты. Дифференцируя это равенство, найдем
(х2 4- 2х)е* = (д|Х 4- 2djx)e* 4- (bo 4- dj x 4- djx2^e*.
Обе части последнего равенства сокращаем на е* # 0:
2х 4- X2 = до 4- Ь]Х 4- 4* bj 4- 2д2х.
В правой части равенства собираем все члены с одинаковыми степенями х:
2х 4- х2 = (до 4- dj) 4- (дj 4- 2dj)x 4- djx2.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:
х° 0 = Ьо 4-Ь]
х1 2 = dt 4- 2dj >.
х2 1 — Ъг
Решая эту систему, находим: до = 0, Ъ[ ~ 0, bi = 1. Исходный интеграл будет равен
[(х2 4- 2х)е“ dx = Х2ег 4- С. ►
5.
где (3 — действительная постоянная, /3^0.
Для первого из этих интегралов в формуле интегрирования по частям полагаем
и = Рп(х), dv = sin (Зх dx (для второго dv = cos fix dx),
откуда *
... wz V . cos,fix. / Sin/3$\
du — Pn\^) V =-------------- (ДЛЯ второго V = .
Следовательно,
Рп(х) sin Рх dx — -Рп(х)
cos рх
~Р
1
+ /3
Рп(з) cos/to (to.
Применяя п раз интегрирование по частям, придем к одному из интегралов
sin Рх dx =
COS рх
~~р~ или
/л , sin рх
Пример 11. Найти интеграл
1) COS X dx.
4 Интегрируем два раза по частям, при этом будем пользоваться более короткой записью. Получаем
/(?-l)coeIdI = | 1=(»г-1)йЛ»-2/»йПг<1»=
J' | du = 2xdx, v=sinx I J
= 1 ^=~—с<жхХ j=(x2-l)sinx+2xcosx~2sinx+C = (x2-3)sini+2xcosx4-C. ►
Кроме указанных выше интегралов существуют идругие интегралы, которые находятся
посредством метода интегрирования по частям.
Пример 12. Найти интеграл г xdx J sin2 х ’
4 Полагая dx а =х, dv - —, stnz X
получим г dx du = dx, V = I s— - Ctgx. J sin^ X
Поэтому f x dx [ J ^ = ~ЖСШ* + J ^XdX' J &ul J
В интеграле правой части равенства, применяя подстановку t = sin х, dt = cos a: dx, найдем
г , г cos х dx г dt . , , Л , . . . „
/ ctg х dx = / —г------ = / — = In |t| + С = in | sinx| + C.
J J Sin X J t
Окончательно имеем f X dx / —s— = —x ctg x + In {sin x[ •+• C. ► / sm2x
§7. Интегрирование рациональных функций
В этом параграфе будет рассмотрен метод интегрирования рациональных функций.
7.1. Краткие сведения о рациональных функциях
Простейшей рациональной функцией является многочлен n-ой степени, т. е. функция
вида
Qn($) = а$хп + Л1ЯП 1 + ... + а>п-\я + ап>
где а0, аь... ,ап — действительные постоянные, причем ао Ф 0. Многочлен фп(я),
у которого коэффициент а0 = 1, называется приведенным.
Действительное число Ъ называется корнем многочлена фп(я), если Qn(b) = 0.
Известно, что каждый многочлен Qn(x) с действительными коэффициентами
единственным образом разлагается на действительные множители вида
х — Ъ и х2 + рх + Q,
где р, q —действительные коэффициенты, причем квадратичные множители неимеют
действительных корней и, следовательно, неразложимы на действительные линейные
множители. Объединяя одинаковые множители (если таковые имеются) и полагая,
для простоты, многочлен Qn(x) приведенным, можнозаписатьегоразложение на мно-
жители в виде
Qn(a?) = (х - а)а(х - bf ... (ж - /)Л • (х2 + р}х + g})Pl ... (х2 +р,х +
где а, A, /z— натуральные числа.
Так как степень многочлена фп(ж) равна п, то сумма всех показателей а, /3,..., А,
сложенная с удвоенной суммой всех показателей /*1,..., , равна п:
о + /3 + ... + А + 2(/Х] 4-... 4- = п.
Корень а многочлена называется простым или однократным, если а = 1, и крат-
ным, если а > 1; число а называется кратностью корня а. То же самое относится
и к другим корням многочлена.
Рациональной функцией f(x) или рациональной дробью называется отношение двух
многочленов
f(x) =
причем предполагается, что многочлены Рт(х) и Qn(x) не имеют общих множителей.
Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена, стоящего
в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе, т. е. т < п. Если
же т п, то рациональная дробь называется неправильной и в этом случае, разделив
числитель на знаменатель по правилу деления многочленов, ее можно представить
в виде
Qn(®)
где Rm-n(x), Р(х) — некоторые многочлены, а является правильной рациональ-
ной дробью.
Пример 1. Рациональная дробь является неправильной дробью. Разделив Р$(х) = х5 + 1 на
~ х2 + 1 «уголком», будем иметь
+ 1 х2 + 1
х5 + Х3 X3 - X
-х3 + 1
—X3 - X
X +1
Следовательно,
Здесь R-j(x) = х3 - х, Р{х) = х + 1, причем Д— есть правильная дробь. ►
Определение. Простейшими (или элементарными) дробями называются рациональные
дроби следующих четырех типов:
, А А М х + № Mx + N
I. -----, II. 7---------г, III. -=----------, IV. 7-5--------:—ГГ,
х-а (х - a)* х*+рх + д (x*+px + g)*
где Л, М, N, а,р,д — действительные числа, к — натуральное число, большее или
равное 2, а квадратный трехчлен х2 + рх + g не имеет действительных корней, так что
его дискриминант - g < 0 или g - > 0.
В алгебре доказывается следующая теорема.
Теорема 3. Правильная рациональная дробь (т < п) с действительными коэффици-
ентами, знаменатель которой Qn(x) имеет вид
Qn(x) = (х - а)а(х -Ъ)р ... (х1 + ptX + д,У*',
разлагается единственным способам на сумму простейших дробей по правилу
РQi(«r) А2 Ад
Qn(x) х-а (х-а)2 ’ (х - а)а
. -В1 В2 Вя
+ - 4- т---ттт 4-... 4- -.-Jr}. 4-... 4- (1)
х-Ь (x-Ь)2 (х - Ъ)Р
4- + М2х + N2 Мр,х 4- Npt
(х2 + р,х 4- gty (х2 4- ptx 4- g,y + ’' ‘ + (x2 4- p,x 4- д,У>'
В этом разложении Ai, А2,..., Aa, Bi, B2,..., Bp,>.. , M\, Nit M2, N2,... , Mpt,
Npt — некоторые действительные постоянные, часть которых может быть равна нулю.
Для нахождения этих постоянных правую масть равенства (1) приводят к общему знаме-
нателю, а затем приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х в числителях
левой и правой частей. Это дает систему линейных уравнений, из которой находятся
искомые постоянные. Этот метод нахождения неизвестных постоянных называется
метрдом неопределенных коэффициентов.
Иногда бывает удобнее применить другой способ нахождения неизвестных по-
стоянных, который состоит в том, что после приравнивания числителей получается
тождество относительно xt в котором аргументу х придают некоторые значения, на-
пример, значения корней, в результате чего получаются уравнения для нахождения
постоянных. Особенно он удобен, если знаменатель Qn(x) имеет только действитель-
ные простые корни.
Пример 2. Разложи ь на простейшие дроби рациональную дробь
Зх2 - ба + 2
х3 — За2 + 2х
-И Данная дробь правильная. Разлагаем знаменатель на множи ели;
(а3 - За2 + 2х) = х(х2 - Зх + 2) — х(х - 1)(а - 2).
Так как корни знаменателя действительные и различные, то на основании формулы (1) разложение
дроби на простейшие будет иметь вид
За2 -бх+2 _ А В С
а3 - За2 + 2х ~ х + х - 1 а - 2'
Приведя правую часть втого равенства к общему знаменателю и приравнивая числители в его левой
и правой частях, получим тождество
За2 - 6а + 2 * А(® - 1)(® - 2) + Вх(х - 2) + С®(® - 1), (•)
или , .
З®2 - бя + 2 = (А + В + 0я2 + (-ЗА-2В-С)а + 2А,
Неизвестные коэффициенты А, В, С найдем двумя способами.
Первый способ. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, т. в. при я2, я’, х° (сво-
бодный член), в левой и правой частях тождества, получим линейную систему уравнений для нахождения
неизвестных коэффициентов А, В, С:
я2 А+В+С&3
х1 -ЗА ~ 2В - С =-6 >.
«° 2А»2
Эго система имеет единственное решение
А = 1, В = 1, С=1.
Второй способ. Так как корни знаменателя равны Я| * 0, ®з =* 1, яэ = 2, то полагая в тожде-
стве (*):
® = 0, получим 2 = 2А, Откуда A = 1;
х = 1, получим -1 = -В, откуда В = 1;
х = 2, получим 2 = 2С, откуда С « 1,
и искомое разложение имеет вид
Зя2-6я4-2 _ 1 1 1
? -Зя^+ ^я ”’® + ®-1 + ®-2*
Прммр 3. Разложить на простейшие дроби рациональную дробь
я3 + 3® + 1
я^ 4- Зя* + Зя^~+*
•е Разлагаем многочлен, стоящий в знаменателе, на множители:
я5 4- Зя4 + З®3 + я2 = ®2(я3 + Зя2 + 3® + 1) = (я +1)3®2.
Знаменатель имеет два различных двйстеито ьных корня: Xi = 0 кратности 2 и ®j = -1 краткости 3.
Поэтому разложение данной дроби на простейшие имеет аид
я3 + 3® + 1 A j Л] Bi Bj Вз
х3 + Зя* + Зя3 4- я3 = х + Л? + « + 1 + (я 4-1)3 + (я 4-1)$
Приводя правую часть к общему знаменателю, найдем
я3 + Зя +1 = А, я(я + I)3 4- Aj(x + I)3 4- Bi®J(® + l)1 + В]Х2(х 4- 1) 4- Вэя2,
или
я3+Зя+1 = (А| + В|)я4 + (3Ai +A: + 2Bi 4-Ва)я3 + (ЗАj 4-ЗА2 +Bi 4-В24-Вз)я2 +(Ai4-3Ai)x 4-A2.
Первый способ. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях я в левой и правой частях
последнего тожд ества, получим линейную систему уравнений
®4
я3
я2
я1
я0
Ai +В| * О
ЗА| + Aj + 2В] 4- Bj ~ 1
ЗА[ + 3Aj 4- В| 4-В2 4- Bj = О
Aj 4- 3Aj = 3
А2 41
Эта система имеет единственное решение
Л) =0, Aj = 1, Bi ~ 0, Bi = 0, Вз = —3,
и искомым разложением будет
я3 + Зя +1 1 3
X3 4- Зт4 4- Зя3 4-я3 в Я$ (я 4-1)3'
Второй способ. В полученном тождестве полегая я = 0, получаем I = Aj, или Aj = 1; пола-
гая я = -1, получим -3 в Вз, или Вз = -3. При подстановке найденных значений коэффициентов А|
и Вз е тождество оно примет вид
я3 4- Зя 4-1 = Aj®(® 4- I)3 4- (я 4- 1)Э 4- В| я2(я 4-1)2 4- Bix2(x 4-1) - З®2,
л
или
х3 4- Зх 4- 1 - (х + I)3 4- З®2 = Л]Х(х + I)3 + Л)Х2(х 4- I)2 + -Bjx2(x + 1),
т. е,
О = А|Х(х 4- I)3 + В\х2(х + I)2 + В2х2(х 4-1).
Сокращая на х(х + 1), будем иметь
А । (х + I)2 +В)Х(х + 1) + В2х = 0.
Полагая х = 0, а затем х = -1, найдем, что А] = 0, В2 = 0 и, значит, By = 0. Таким образом, опять
получаем
Ai = 0, А2 = 1, 51=0, Б2 = 0, В2 = -3. ►
Пример 4. Разложить на простейшие дроби рациональную дробь
х3 + х2 +1
(х2+1)2
«В Знаменатель дроби не имеет действительных корней, так как функция х2 +1 не обращается % нуль
ни при каких действительных значениях х. Поэтому разложение на простейшие дроби должно иметь
вид
х3 + х2 + 1 _ М\х + N\ М2х 4- N2
(«* + I)2 х2 4-1 f + (x2 4-1)2 '
Отсюда получаем
x3 4- x2 4- 1 = (Mix 4- Nj)(x2 4-1) 4- M2x 4- N2,
или
x3 4-x2 4- 1 = Mix3 4- Nix2 4- (Aft 4- M2)x 4- (>Vf 4- N2).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях последнего равенства,
будем иметь
Mi = 1, JVi=l, Mi+M2 = 0, ^4-^ = 1,
откуда находим
М, = 1, Nj = lf М2 = -1, ЛГ2 = О,
и, следовательно,
X3 4- х2 4-1 _ X 4- 1 . X
(®2 4- I)2 X2 4- 1 (х2 4- I)2 ’
Следует отметить, что в некоторых случаях разложения на простейшие дроби мож-
но получить быстрее и проще, действуя каким-либо другим путем, не пользуясь мето-
дом неопределенных коэффициентов.
Например, для получения разложения дроби в примере 3, можно прибавить и вычесть в числителе Зх2
и произвести деление, так как указано ниже:
х3 4- Зх 4-1 _ (х3 4- ЗХ2 4- Зх 4- I) — Зх2 _ (х 4-1)3 - Зх2 _ _ 3
х$ 4-Зх4 + Зх3 4-х2 х2(х 4-1)3 х2(х 4-1)3 ~ х2 (х 4-1)3
7.2. Интегрирование простейших дробей t
Как было сказано выше, любую неправильную рациональную дробь можно предста-
вить в виде суммы некоторого многочлена и правильной рациональной дроби (§ 7),
причем это представление единственно. Интегрирование многочлена не представляет
трудностей, поэтому рассмотрим вопрос об интегрировании правильной рациональ-
ной дроби.
Так как любая правильная рациональная дробь представима в виде суммы простей-
ших дробей, то ее интегрирование сводится к интегрированию простейших дробей.
Рассмотрим теперь вопрос дб их интегрировании.
Ilf. Для нахождения интеграла от простейшей дроби третьего типа выделим у квадрат-
ного трехчлена полный квадрат двучлена: ♦
2 2 Р
х +px + q= х + 2® • - 4-
.2
Так как второе слагаемое q - £ > 0, то положим его равным а2, где а = ,
а затем сделаем подстановку х +% = t,dx = dt,x2 + px + q = t2 + а2. Тогда, учитывая
линейные свойства интеграла, найдем:
Mx + N
х2 + px + q
~~ "л2~ "X —
М Г 2tdt
2 J t2 + a
dt
___i____—
f2 + a2
2 J t2 4- a2 + V ” 2 J J t2 + a2
- ~ ln(t2 + a2) + (n - \ - arctg - + C =
2 \ 2 / a a
M , . 2 . 2N - Mp 2x + p
= V ln(® + p® + q) + -7==^ arctg -===
2 V49 p y/tq-p2
Пример 5. Найти интеграл
2"x a
I2+4l + 6aX'
4 Подынтегральная функция является простейшей дробью третьего типа, так как квадратный трехчлен
х2 + 4г + б не имеет действительных корней (его дискриминант отрицателен: £ - q = — 2 < 0),
а в числителе стоит многочлен первой степени. Поэтому поступаем следующим образом:
I) выделяем полный квадрат в энаменатале
х2 т 4х + 6 = (х2 + 4х + 4) + 2 ® (х + 2)2 + 2;
2) делаем подстановку
х + 2 = t, dx^dt, х2 + 4х +• 6 = t2 + 2
(здесь а2 = 2):
3} находим интеграл
arctB ~ + 2) + С = 2V2 arctg ~ + 4х + 6) -Г С. ►
IV. Для нахождения интеграла от простейшей дроби четвертого типа положим, как
и выше,
р
х + - = dx = dt} а =
Тогда получим (fc > 2)
[ Mx + N , _ f Mt+„
J (x2 +px + q)k X J (t2 4- a2)*
M / Mp\ / dt
~ 2(1-A?)(t2 + a2)*-J + V ~ 2 ) J (t2 + a2)*’
Интеграл в правой части обозначим через J* и преобразуем его следующим образом:
Л. /• * 1 r^+^-t1 ..
J (<’ + «’)» ~ аЧ (t2 + а2)* “ “
1 Г dt If t? dt 1 1 f d(f + a2)
" a2 J (J2 + а2)*'1 “ a2 J (J2 + а2)‘ ~ а2"7*’1 " 2aJ J * (t2 + a2)‘'
Интеграл в правой части интегрируем по частям, полагая
откуда
j f d(<2 +о2) 1
da = Л, v = J + = ——————
и, следовательно,
1 1 Г t 1 Г dt 1
Jk - ^Jk-1 - 2aj + - l-Jgj (fl + fl2)*-lJ =
_ 1 if t 1
a2 k~' " 2а2 [(1 - *)(t2 + а2)*”1 + к - 1 *‘lJ ’
или
_____________________________t________ ' 2k-3 r
Jk 2a2(fc - l)(t2 + в2)*-4 + 2fl2(fe - 1) J*~'b
Мы получили такназываемуюрекуррентяд'ю формулу, которая позволяет найти инте-
грал Jit для любого k = 2, 3,... . Действительно, интеграл J] является табличным:
т f & 1 1
J'= " arctg ~ + с'
J tr + а2 а а
Полагая в рекуррентной формуле к = 2, найдем
f dt _ t Ji _ t 1 t
J1~ J (<2 + a2)2 “ 2a2(t2 + a2) + 2a2 “ 2a2(t2 + a2) + 2a2 аГС*8 a + C‘
Зная Ji и полагая к = 3, легко найдем Jj и так далее.
В окончательном результате, подставляя всюду вместо t и а их выражения через х
и коэффициенты р и q, получим для первоначального интеграла выражение егочерез х
и заданные числа М, N, р, q.
Пример 8. Найти интеграл
/ z+l .
/ (х2 - 4х 4- 5)i ас*
4 Подынтегральная функция ость простейшая дробь четвертого типа, так как дискриминант квадратного
трехчлена г2-4х+5 отрицателен, т. е. -q = -1 < 0, а значит, знаменатель действительных корней
не имеет, и числитель есть многочлен 1-ой степени.
1) Выделяем в знаменателе полный квадрат
я2 - 4х + 5 = (х2 - 4х + 4) + 1 = (z - 2)2 + 1.
2) Делаем подстановку:
z-2 = t, dx = dt; x = t+2 (а2 = 1).
Интеграл примет вид: *•
Г ® + 1 . f t + 3 1 г 2tdt r dt 1 f dt
J (?^4zT5)} dX = J (?+ ip dt:=2J (i^+lp +3J (¥+1)2 = 2(^+1) +3 J (¥+1)*‘
Полагая в рекуррентной формуле к = 2, в2 = 1, будем иметь
f dt t 1 f dt t 1
J (t2h l)f “ 2(tl + l) + 2 J F+T ~ 2(t} + 1 j + 2 arCt8t + C’
и, следовательно, искомый интеграл равен
f 1 + 1 j 1 3< 3 4 3t-1 3 . 4 _
J = + 2FM + 2,rc,“ + C“2(?Ti) +j“«’‘ + C-
Возвращаясь к переменной x, получим окончательно
f ® +1 j 3® - 7 3 . _
J iii Z-4. # “X ‘ 2(?--4Гн-~5) + 2 ~ * 1 2) 3 4 C'
7.3. Общий случай
Из результатов пп. 1 и 2 этого параграфа непосредственно следует важная теорема.
Теорема 4. Неопределенный интеграл от любой рациональной функции всегда существует
(на интервалах, в которых знаменатель дроби Qn(x) # 0) я выражается через конечное
число элементарных функций, а именно, он является алгебраической суммой, членами
которой могут быть лишь многочлены, рациональные дроби, натуральные логарифмы
и арктангенсы.
Итак, для нахождения неопределенного интеграла от дробно-рациональной функ-
ции следует поступать следующим образом:
1) если рациональная дробь неправильная, то делением числителя на знаменатель
выделяется целая часть, т. е. данная функция представляется в виде суммы многочлена
и правильной рациональной дроби;
2) затем знаменатель полученной правильной дроби разлагается на произведение
линейных и квадратичных множителей;
3) эта правильная дробь разлагается на сумму простейших дробей;
4) используя линейность интеграла и формулы п. 2, находятся интегралы от ка-
ждого слагаемого в отдельности.
Пример 7. Найти интеграл
/(z-l)(xi~4)dX'
ч1 Так как знаменатель (z - 1)(х2 - 4) = х3 - х2 — 4х + 4 есть многочлен третьей степени, то подын-
тегральная функция является неправильной дробью. Выделяем в ней целую часть:
_г3 [г3 -х2 -4х + 4
х3 — х2 —4х + 4] Г
х2 + 4х —4
Следовательно, будем иметь
х3 _ х2 + 4г-4
(z - 1 )(х2 - 4) 1 + (х - 1)(®2 - 4) ’
где Rq(x) = 1, Р(х) = х2 + 4х-4. Знаменатель правильной дроби
х2 + 4х - 4
(х - 1)(г2 —4)
имеет три различных действительных корня:
а = 1, Ъ = 2, с = -2,
и поэтому ее разложение на простейшие дроби имеет вид
г2 + 4х —4 А В С
(х- 1)(х*-4) - z-l + х-2 + х+2‘
Отсюда находим
х2 + 4х - 4 « А(хг - 4) + В(х - 1)(я + 2) t С(х - 1)(х - 2).
Придавая аргументу х значения, равные корням знаменателя, найдем из этого тождества, что:
еслия=1, то 1 =-ЗА, A =
если z = 2, то 8= 4В, В = 2;
если г =-2, то -8= 12С, С=-~.
Следовательно,
х2 + 4х - 4 _ 1 1 1 2 1
(® - 1)(х2 -4) 3 х - 1 + х - 2 3 х + 2"
Искомый интеграл будет равен
[ x'dx - f(i _ 1 1 * _ 2 1 \ d
J (х - 1)(х2 -4) J \ 3 г - 1 + х - 2 3 х + 2/ Х
1 2
== х - - In |z - 1| + 2 In |z - 2| - - In [z -+- 2[ + C. ►
Примере. Найти интеграл
<4 Подынтегральная функция является правильной дробью, знаменатель которой имеет два различных
действительных корня: х ~ 0 кратности 1 и х = 1 кратности 3. Поэтому разложение подынтегральной
функции на простейшие дроби имеет вид
х2 +1 _ А1 Aj Аз В
х4 - х3 х + Ъ + х3 + х - 1 ‘
Приводя правую часть этого равенства к общему знаменателю и сокращая обе части равенства на этот
знаменатель, получим
х2 + 1 = Л]Х2(х - 1) + Aj(x- 1)х + Аз(х - 1) +Вх3,
или
х2 + 1 = (А) 4- В)х3 + (—Ai + Aj)z2 + (—Aj + Аз)х — Aj.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях этого тождества:
Aj + B = 0, -Ai + Ai^l, — A2 + Aj=0, — Aj = 1.
Отсюда находим Л] = -2, Л2 = -1, Аз = — 1, В — 2. Подставляя найденные значения коэффициентов
в разложение, будем иметь
а2 4-1 2 I 1 2
х4 - г3 ~ х х2 х3 + х - Г
Интегрируя, находим:
/ х2 + 1 J г/ 2 1 1 2 \ , 1 1
/ ----г dx = /---------г-----1 +------- dx = -2 in х + - + т-у 4- 2 in х - 1 + С. ►
J х* - х3 J \ х х2 х3 х -1) х 2х2
Пример 9. Найти интеграл
г х2-х
J (х2 + 1)2
<4 Знаменатель дроби не имеет действительных корней. Поэтому разложение на простейшие дроби
подынтегральной функции имеет вид
х3 — х _M\x + Ni M2x + N2
(х2 + I)2 х24-1 + (х2 + I)2
Отсюда
х2 — х = (Mix + Ni)(x2 4- 1) 4- М2х +
или
х2 - х = Afii3 + N\x2 4- (Mi + М2)х 4- (N\ 4- Nj).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях этого тождества, бу-
дем иметь
Mi = 1, Ni = 0, Af) 4- М2 = -1, N\ + N2 = О,
откуда находим
Mi = 1, Ni = О, М2 = -2, = О,
и, следовательно,
/х2 — х г х 2х I , 1
—5-----у dx = / -3------- - —3--у . dx - - 1п(х 4-1)4- -5--г 4- С. ►
(X2 4-1)2 J [х2 4- 1 (х2+ I)2] 2 ' X2 4- 1
Замечание. В приведенном примере подынтегральную функцию можно представить в виде суммы
простейших дробей более простым способом, а именно, в числителе дроби выделяем бином, стоящий
в знаменателе, а затем производим почленное деление:
х3 - х (х3 4- х) - 2х _ х(а2 4-1) - 2х _ х 2х
(х24'1)2’~ (х24-1)2 (х2 4- I)2 х2 4-1 (ж2 4-О2
§8. Интегрирование иррациональных функций
Функция вида
R(ui,u2, ...,tifc) =
Рт(иьи2,.. .>ик)
где Рт и Qn являются многочленами степеней тип соответственно от перемен-
ных иг,..., ик, называется рациональной функцией от tti, u2,..., uk. Например,
многочлен второй степени от двух переменных tti и и2 имеет вид
Pj(Ui, U2) = Лоо + Лю«1 + Aq}U2 -I- Л20^1 + A\\U\U2 -ь Aq2U2,
где Лоо. Лю, Ло], Л20. Ли, Л02 — некоторые действительные постоянные, причем
Х» + 4 +4^5*0.
Пример 1, функция
. .. . x2+2»J + xy
’ Я«»У) ~ х + х3^ + 1
является рациональной функцией от переменных «и у, так как она представляет собой отношение
многочлена третьей степени у) = х2+2у3+ху и многочлена пятой степени = х+х3у2+1,
а функций /(х, у) = таковой не является.
В том случае, когда переменные ui, из, ..», иь в свою очередь, являются функ-
циями переменной х:
uj = A(x), «2»Л(®)> •••> «к = Л(®)>
то функция R [/] (х), Л(х),..., Л(х)] называется рациональной функцией от функций
Л(Х)> . . . , /*(х).
Пример 2. Функция
/w-_^±j£±EL
1 х + 1+ 3ух2 + х + 1
есть рациональная функция от х и радикала \/xi + х + 1:
/(х) ж Я(х, 7«а + '« + 1).
Пример 3. Функция вида
,, . Inx + eV* 4,1
2 +sin ж5
но является рациональной функцией от ж и радикала Ух^ +1, но она является рациональной функцией
от функций In х, е^®1+1 и sin ж2:
/(ж) = я(1пх, ev^i+l, sinx2).
Как показывают примеры, интегралы от иррациональных функций не всегда вы-
ражаются через элементарные функции. Например, часто встречающиеся в приложе-
ниях интегралы
/dx Г х2 dx
^/(1 - х5)(1 - k^x2) J ^/(1 - х2)(1 - к2х^У ’
не выражаются через элементарные функции; эти интегралы называются эллиптичес-
кими интегралами первого и второго родов соответственно.
Рассмотрим те случаи, когда интегрирование иррациональных функций можно
свести с помощью некоторых подстановок к интегрированию рациональных функций.
1. Пусть требуется найти интеграл
m / ЛХ 4- Ь
х, 4/------
У cx + d
dx,
где R(x, у) — рациональная функция своих аргументов х и у; т > 2 — натуральное
число; а, Ь, с, d — действительные постоянные, удовлетворяющие условию ad- be О
(при ad - Ъс = 0 коэффициенты а и b пропорциональны коэффициентам с и d, и по-
этомуотношение не зависитотх; значит, в этом случае подынтегральная функция
будет являться рациональной функцией переменной х, интегрирование которой было
рассмотрено ранее).
◄ Сделаем в данном интеграле замену переменной, положив
t «
m/a®4-6 m ах 4- 6
4 / ИЛИ V •
V cx + d ca? + a
Отсюда выражаем переменную х через новую переменную t. Имеем
(са? + d)tm = ах 4-6, ах- cxtm = d‘tm -b‘t
х = — рациональная функция от t. Далее находим
dx =
d • mtm~}(a - ctm) 4- cmtm-'(d • tm - 6)
(a-ctmy
или, после упрощения,
(ad - bc)mtm~1
dx = ' ——.г-
(a-сГ1)2
Поэтому
2?,
т ах + ь 1
\ —7 dx ~
у cx + d /
dtm-b
а - ctm
\ mtm~l(ad — be} Г
'V -(-a-^J<“ = J R«)dt'
где Я] (0 — рациональная функция от t, так какрациональнаяфункция от рациональ-
ной функции, а также произведение рациональных функций, представляют собой
рациональные функции.
Интегрировать рациональные функции мы умеем. Пусть
Я] (0 dt = F(t) 4- С, F\t) = (0.
Тогда искомый интеграл будет равен
«с,
m / ax 4- 6 j , / "f"
у cx + d I I V cx + d
Пример 4, Нейти интеграл
2х-3 dx
2х + 3 (Зх + З)1'
« Подынтегральная функция есть рациональная функция от х и у = у 5^3. т.е. Я(х) = .
Поэтому полагаем t - Тогда
ь-з^<’ + зд x = |l±i
I2t3 . 6
О-F)5' 2x + 3=i-
Таким образом, получим
f 4/27^3 dx /Д1-*4)2 Ы3 „
J V 2x + 3 (2x4- 3)4 36 (i-i4)1 d
1?
15
5
Примере. Найти интеграл
•4 Общий знаменатель дробных показателей степеней х равен 12, поэтому подынтегральную функцию
можно представить в виде
I ____________________1___________
#х(^х + '/х) “( '^х)3[( ’#£)< + ( *^)«] ’
откуда видно, что она является рациональной функцией от х и tyx, т. е. Я(х, *^х). Учитывая это,
положим t = 'v^x, х = t12, dx = 12i11 dt. Следовательно,
/ dx _ / 12tndt _ r t*dt r (t4-l) + l
J tW + t*) J l+t2 J 1 + t2
= 12 у (t2 - 1 + ) dt - 12 fу ~ t + arctg< j + C= 4\fz - 12 tyx 4-12arctg tyx + C. ►
2. Рассмотрим интегралы вида
R (ж, \/а®2 4- bat 4- с ) dx,
где подынтегральная функция такова, что заменив в ней радикал у/ах2 + Ъх + с че-
рез у, получим функцию R(x, у) — рациональную относительно обоих аргументов х
и у. Этотинтеграл сводится к интегралу от рациональной функции другой переменной
подстановками Эйлера.
8.1. Первая подстановка Эйлера
Пусть коэффициент а > 0. Положим
t = у/ах2 + Ъх + с + \/а х.
Тогда
или
(t - \fa х)2 = ах2 + Ъх+ с,
t2 - 2%/а xt = Ъх 4- с.
Отсюда находим х как рациональную функцию от t:
_ “ с
Х~ 2x/it + b’
и, значит,
dx =
2t(2y/a t +b) -(t2 - c)2%/a _ Vat2 + Ы + eV®
(2Vat 4- b)2 “ (2^t + b)2 dt'
ax2 + bx + c = t - yfa, x — t —
r- t2 - C
a 2y/at + b
Va t2 + bt + c\/a
2Vat+b
Таким образом, указанная подстановка выражает х, dx и \/ах2 + Ьх + с рационально
через t. Поэтому будем иметь
j R{x, у/ах2 + Ьх + с) dx — J Ri (t) dt,
где_______________________________________________________________
_ I t2 - c Va t2 + Ы + cVa\ Va t2 -h bt + Cy/a
R]{t) ~ R ^2^1+^ 2v^t + b J 2 (2Vat4-b)2
является рациональной функцией от t.
Замечание. Первую подстановку Эйлера можно брать и в виде
t = Jax2 + bx + с - у/ах.
Примере. Найти интеграл
dx
у/х2 +а2
4 Так как а = 1 > 0. то применяя подстановку Эйлера t = у/х2 + а2 + х, найдем
?-<*2 <2+а2
1=-2Г-> * =
t2-a
1 2t
? + <?
2t
Поэтому будем иметь
Задача. Применяя первую подстановку Эйлера, показать, что
= Ini® + ^/®2 -o2j + С, |z| > |а|.
у/х1 — а1 ' ’
8.2. Вторая подстановка Эйлера
Пусть трехчлен ах2 + Ьх + с имеет различные действительные корни х} и а?2 (коэф-
фициент а может иметь любой знак). В этом случае полагаем
у/ах2 + Ъх + с — (х - Ж] )t (или у/ах2 +Ъх+с = (х - x/jt).
Так как
ах2 + Ьх + с = (х - X])2t2,
то получаем
а(х - Я])(х - хг) — (х — X\)2t2, или а(х - xi) — (х - X\)t\
откуда находим
X\t2 - ах 2 , 2а(®2 - ®i)* .
®= f - а ’ Х= («2-а)2 ’
\ - a j г - а
Так как х, dx и у/ах2 + Ъс + с выражаются рационально через t, то исходный интеграл
сводится к интегралу от рациональной функции, т.е.
где
о d fХ^2 ~ аХ2 а<ж1 “ ®г)Л 2a(®2 “
Л,(0 - R ( "Р-"а..’ fi-a ) (t’-аИ
— рациональная функция от t.
/*—М*1- '*
J (x-2)vl~xa
Пример 7. Найти интеграл
<< функция 1 - хг имеет различные действительные корни Xj = -1, xj = 1. Поэтому применяем
вторую подстановку Эйлера /
\/1 -ха = (1 + x)t (или - ха = (Г* x)t).
Отсюда находим
» ’ *2
1 — х2 = (14- х)¥, 1 - j = (1 + x)t2, * в Т~7?
* х — 2 =
Подставляя найденные выражения длй х - 2,
— и ;• ','4Жл'
’’-•йГ
^ьТх^и Их 9 Данной йгпйфел',
получим
(t24-l)(t24-l)4t<it г Л _ 2 г dt
(ЗА+ OStjt’ + ljl “ 2J 3t2 4-1 ® 3 J fi + |
= -^= arctg y/lt + C = — arctg у3 • *
8.3. Третья подстановке Эйлера
&
Пусть коэффициент с > 0. Делаем замену переменной, положив
л/ох2 + с — xt + у/с {или \/ах2 4-Ьх + с = х<
Заметим, что для приведения интеграла
У Я(х, у/ах2 4-Ьх + с) dx
к интегралу от рациональной функции достаточно первой и второй подстановок Эй-
лера. В самом деле, если дискриминант ft2 - 4ас > 0, то корни квадратного трехчлена
аят + Ьх + с действительны, и в этом случае применима вторая подстановка Эйлера.
Если же Ь1 - 4ас < 0, то знак трехчлена ах1 + Ьх + с совпадает со знаком коэффи-
циента а, и так как трехчлен должен быть положительным, то а > 0. В этом случае
применима первая подстановка Эйлера.
Для нахождения интегралов указанного выше вида не всегда целесообразно применять
подстановки Эйлера, так как для них можно юйти и другие способы интегрирования,
приводящие к цели быстрее. Рассмотрим некоторые из таких интегралов.
1. Для нахождения интегралов вида
выделяют полный квадрат из квадратного трехчлена:
2 « / 2 л &
ах + Ьх + с = а I х + 2хт- + ~ 1 = а
\ 2а а/
Ъ \1 4ас - Ь1
2а) + 4а2
2 о 6 Ь2
х^4-2хт- + -г-?
2а 4а2.
Ъ \1 4ас - Ь1
- — ) + —------
2а/ 4а
с д2 _
а 4а2
/ к \ 2
= а
= а
= а
где
4ac - b2
p=~zr
После этого делают подстановку
и получают
. 4
‘ = *+2?
dx = dt
где коэффициенты а и Р имеют разные знаки или они оба положительны. При а > О
и Р > 0, а также при а > 0 и Р < 0 интеграл сведется к логарифму, если же а < О
и Р > 0 — к арксинусу.
Примарв. Найти интеграл
f dx
J У®2 -4х + 5
4 Так как x2 - 4x + 5 = (x - 2)2 +1, то, полагая x - 2 = t, dx = dt, получаем
dx f dx
'xi-4»+S J + l
dt
Примерз. Найти
r dx /
J V6x - x2
•< Имеем 6x - x2 = -[(x2 - 6x + 9) -9] = 9 - (x - З)2. Полегая x - 3 = t, dx = dt, будем иметь
f dx c dt . t . x — 3 _
/ -..-y = / -ii—n-а = arcsin - 4- C = arcsin — + C. ►
J чбх-х* J v9-t* 3 3
2. Интеграл вида
f Mx + N
/ dx, a 7*0,
J у ax2 + bx + c
приводится кинтегралу из п. 1 следующим образом. Учитывая, что производная (аж2н~
Ъх + с)' = 2аж + Ъ, выделяем ее в числителе:
Mx + N
if j;[(2<U! + 4) - 4] + ^ ,
-----— ''VJ, (IX =
= — ~ 2a . f (2ax + 6) dx f у/ax2 + ta + c + dx 'ax2 + bx + c
- Й "* 2a „ f djax2 +-bx-+c) f y/ax2 + bx + c + (»-“)/ ; dx __ /ax2 + bx + c
- a ' /ox2 + bx + c + 1 АЛА Г 2a / J у/ax2 dx + bx + c
2 Зак. 628
Пример 10. Найти интеграл
х + 1
—- ах,
V6x - х2
4 Выделяем в числителе производную подкоренного выражения. Так как (6z - z2)r = 6 - 2х, то будем
иметь, учитывая результат примера 9,
f х + 1 А 1 г —2х - 2 1 [ (6 - 2х) - 8
/ dX - - - / ., dX = - - / - dx
J Vf>x- x2 2 J y/6x — t2 2 J V6x - z5
3. Интегралы вида
dx
Vf>x - x2
d(6x — x2) t . z - 3
—, - , = 4 arcsin ——
3
^6z - z2 + C. ►
где Pn(x) — многочлен n-ой степени, можно находить методом неопределенных ко-
эффициентов, который состоит в следующем. Допустим, что имеет место равенство
где Qn-\(x) —многочлен (п - 1)-оЙ степени с неопределенными коэффициентами:
Qn-i(x) = Aq + Ахх + ... + Ап-1ХП~\
Для нахождения неизвестных коэффициентов Ло, Л],..., Лп-1 продифференцируем
обе части (1):
Ых) ,
уах2 +Ъх + с
Qln-1 (х) у/ах2 + Ъх + с +
+ Qn-i
ах +
а/ах2 + Ъх +с
+ Ап
1
\/ ах2 + Ъх+ с
-(2)
Затем правую часть равенства (2) приводим к общему знаменателю, равному знамена-
телю левой части, т. е. у/ах2 +Ьх + с, сокращая на который обе части (2), получим
тождество
Рп(х) = <?'»-! (х)(а®! + Ьх + с) + Q„-i(x) I ах + - j + А„,
(3)
в обеих частях которого стоят многочлены степени п. Приравнивая коэффициенты
при одинаковых степенях х в левой и правой частях (3), получим п + 1 уравнений,
из которых находим искомые коэффициенты Ak(k = 0,1, 2,..., п). Подставляя их
значения в правую часть (1) и найдя интеграл
dx
у/ах2 + Ъх + с
получим ответ для данного интеграла.
Пример 11. Найти интеграл
◄ Положим
/ ~7 i ? т = + ^1®>V*2 +2* +2 + а2 [ > 2 dX----------------'
J Vx2 + 2x + 2 J v a2 + 2ж + 2
Дифференцируя обе части равенства, будем иметь
;. Х = = Ai Jx2 + 2x + 2 + (Ло + 4jж) - + ^2
\/ж2 + 2ж + 2 х/ж2 + 2ж + 2 х/ж? + 2® + 2
Приведя правую часть к общему знаменателю и сокращая на него обе части, получим тождество
ж2 = Л (ж2 + 2ж + 2) + (Ло + Л1®)(ж + 1) + Л2,
или
ж2 = 2Л]Ж2 + (2Л1 + Л1 + Ло)ж + (Ло + 2Л] + Л2).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ж, придем к системе уравнений
(4)
ж2 2Л, = 1
ж1 Ло + ЗЛ1 — О
ж0 Ло + 2Л| + Л2 = О
из которой находим Ло — -1, Л1 — , Л2 = . Затем находим интеграл, стоящий в правой части
равенства (4):
[ dX— .= = [ + 9 = in (ж + 1 + \/ж2 + 2ж + 2 ) + С.
J ^2 + 2ж + 2 J У(г+1)2 + 1 k '
Следовательно, искомый интеграл будет равен
/ .Ж = —г— \/ж2 + 2ж + 2 + - 1п(ж + 1 + у®2 + 2ж + 2 ) + С. ►
7 уж2 4-2® 4-2 2. 2 4 '
§9. Интегрирование
некоторых тригонометрических выражений
I Рассмотрим интеграл вида
jR(sin ж, cos х) dx,
(О
в котором подынтегральная функция является рациональной функцией как от sin х,
так и от cos х одновременно. Например, функция
1 - 2sinx
Х 2 4- cos2 х
является рациональной функцией одновременно и от sin х и от cos х; функция
14- sin2 х
д(х) = .____________
x/cos х 4- cos х
является рациональной относительно sin х, но не является рациональной относитель-
но cos х (функции такого типа мы рассматривать не будем).
Интеграл (1) с помощью зймены переменной tg | = t, где -тг < х < тг, сводится
к интегралу от рациональной функции. В самом деле,
2 sin у cos | 2 tg | _ 2t
sin X - cos2 x 4- sin2 a i + tg21 1-H2>
- со§2 I ~ s*n2 f 1 ~tg21 _ 1 ~
C0S Х cos2 | + sin2 f 1 + tg2 7 1 +t2 ’
2dt
x = 2 arctg t, dx = -—Гт,
1 +t2
поэтому
f n/ . . , r / 2t l-t2\ 2dt f n z. ,
J fl(sm x, cos x) dx — J -RI J + ^2» J + J j । £2 — J "Ri
где Я1 (t) — рациональная функция от t.
Пример 1. Нейти интеграл
J sin®’
4 Применяя подстановку tg | ж t, найдем
Указанная подстановка иногда приводит на практике к громоздким выкладкам,
поэтому укажем несколько частных случаев, в которых интеграл f A(sin х, cos®) dx
может быть найден с помощью более простых подстановок.
А» Пусть интеграл имеет вид
J B(sin ж) cos х dx. |
Тогда подстановка sin х = t, cos х dx = dt приводит интеграл к виду
J R(t)dt.
Пример 2.
. г cosxdx I t = sinx I f dt 1 t 1 fl . \
= | <« = coiIdI = +
Б. Интеграл имеет вид
J B(cos x) sin x dx.
Полагая cos x — t, sin x dx = -dt, приводим интеграл к виду
- У R(t) dt.
Пример 3.
«/ <-“« .. 1.-Г « =-/*e^=.)n(:+i)+c=-ta(:+««)+c^
J 2+cosx | sinxdx = -dt | J 2 + t J 2+t v ' '
В. Если подынтегральная функция A(sins, cos г) содержит sin x и cos x только в чет-
ных степенях, то удобно применить подстановку tgx = t. Тогда
dt
х = arctg dx = pjTjj *
Функция sin2 х и cos2 х в этом случае выражаются рационально через tg х, а следова-
тельно, и через t. В самом деле,
. 2 _ sin2 х _ tg2 х _ t2
Sin X cos2 x + sin2 x 1 + tg2 x 1 +12 ’
2 COS2 X 1 1
COS X = ---5-------—5— = i----5— = I--n *
cos2 x 4- sin2 x 1 + tg2 x 1 4- r
В результате этой подстановки интеграл приведется к виду
где (0 — рациональная функция от I.
Пример 4. Нейти интеграл
г dx
J sin2 х+ 4 cos2 х + 2
4 Положим tgx = t, dx = . Тогда
Поэтому
f_________________dx_________
J sin2 x 4- 4 cos2 x + 2
sin2 X =
1
1 4* t2
Г. Рассмотрим интеграл вида
sin° x cosP x dxt
где a, /3 — действительные числа, и укажем два случая, когда этот интеграл выражается
через элементарные функции.
а) Одно из чисел а или /3 является положительным нечетным числом. Пусть,
например, /3 = 2k 4-1, где к > 0 — целое, а второй показатель степени, т. е. а, может
быть любым действительным числом. Тогда, используя тождество cos2 х 4- sin2 х = 1,
интеграл можно представить в виде
sin° х cosP xdx = I sin° x cos2fc+1 x dx =
sin° ®(cos2 x)k cos x dx = / sin° ®(1 - sin2 x)k cos x dx.
Положив
sin x = t, cos x dx = dt,
будем иметь
sin° x cos2k+1 x dx = I t°(l-t2)*dt
Возводя 1 -11 в степень к по формуле бинома Ньютонам умножая все члены получен-
ного многочлена на ta, получим к + 1 степенных функций, интегрирование которых
очевидно.
Пример 5. Найти интеграл
/ sin2 х cos5 х dx.
4 Имеем
fsin2xcos5xdx=fsin2xcosAxcosxdx = jsin2®(l-sin2x)2cosxdx = | ccsxdx = dt | =
ss Jt2(l-t2)2dt— У(t2-2t4 + fi)dt = ^/3 - ^/5 + |/7 + C= jsin3z- ^sin5z+ |Sin7z + C. ►
Пример 6. Найти интеграл
dx.
4 Имеем
г sin3 x r sin2 x
/ —r— dx — —5— sin x
J COS2 X J cos2 x
l-cos2x . I COSX—t I
----,---sin x dx — I . _ M =
cos* x--I sin x dx — |
Пример 7. Найти интеграл
Имеем
dt
<ft=t+-+C=CO8X+------1- C. ►
t cosx
cos x .
,, - - dx.
V'sinz
cos2 X
—,-t cos x
y/smx
1 - sin2 x I sin x = t I
—„— cos x dx = M =
^/sin x I cos x dx — dt I
б) Числа а и /3 являются положительными четными числами, т. е. а = 2m,
/3 = 2п, где тип — натуральные числа. В этом случае иногда удобно преобразовывать
подынтегральную функцию, используя известные формулы тригонометрии
, 1 - cos 2х , l + cos2x
Sin х =----------, cos х =------------. (1)
2 2 ' '
В результате применения этих формул при т / п интеграл приведется к виду
У sin2m х cos2” xdx = J (sin2 ®)m(cos2 ж)” dx =
/* /1 - cos2x\m / 1 + cos 2ж\” 1 f
= J ------j------) ----2---j dx= (l-c°s2a:) (l + cos2z) dx.
Возводя биномы 1 — cos 2z и 1 + cos 2x соответственно в степени m и n и раскрывая
скобки, получим сумму, члены которой содержат нечетные и четные степени cos 2х.
Члены с нечетными степенями cos 2х интегрируются как указано в п. а). К членам
с четными степенями cos 2х снова применяем формулы (1), в результате чего полу-
чим степени cos 4х. Продолжая так дальше, дойдем до интегралов вида J co&kxdx
(где к > 0 — четное число), которые легко находятся.
В случае, когда m = n, используется также формула
sin х cos x = - sin 2x.
2
применение которой дает
sin2” x cos2” x dx
2п
dx —
1 f 2»
— / sin 2х dx =
4n J
-cos4x\” 1 f
--------I dx = — / (1 - cos 4x) dx.
2 / 8n J
Последний интеграл находится так, как указано выше.
Пример 8.
. 2 4
sin xcos
1 —cos2x /l+cos2x\2
2 \
cos2 2z-cos'
l + cos4® , 1
1 + cos2x-----------(1 - sin 2x) cos2® I dx =
1 2 \ J 1/1 1 . , 1 . 3, \ „
-cos4x+sin 2xcos2x dx^- I -x — sin4x + -sin 2® +C. ►
2 / 8 \2 8 6 /
Пример 9.
M I sin2xcos2xdx
sin2
J —cos4x
2
x - - sin4x^ + C. ►
. 4 /
2. Интегралы вида
sin ax cos 0x dxy / cos ax cos 0xdxy / sin ax sin 0x dx
легко находятся с помощью тригонометрических формул (а / 0):
sin ax cos 0х = | [sin(a 4- 0)х 4- sinfa - /?)х],
! ★
cos ax cos 0х = - [cos(ot 4- 0)х 4- cos(ot - /3)х],
sin ax sin 0x = - [cos(a - 0)x — cos(a 4- 0)x],
Найдем, например, первый интеграл. Имеем
sin as cos 0х dx =
1 Г cos(a + /3)® cos(a - 0)х‘
ct — 0
•4-С.
Остальные два интеграла находятся аналогично.
Пример 10.
cos xdx —
- I - sin4x+l sin 2x | +C = - sin4x+~ sin 2x+C. ►
2 \ 4 2 I 8 4
2
2
a + 0
Упражнения
Используя таблицу простейших интегралов, найдите следующие интегралы:
1. j х2 \fx dx. 2. f dx J 3. /y/x^dx.
4. dx. 5. J 2’8’ dx. 8. r>-
7. 8. f cos 2т / 2 • 2 dX- J COS1 X sin2 X 9. f sin 2т / • 3 dx- J sin T COSJ T
10. /* sin 7x + sin 3x dx. 11. / (tg x - ctg t)2 dx. 12. f dx
J sin 5т cos 2x J cos2 т sin2 т ’
13. f dx 14. Г sh 2т л / ~r~dx’ J chx 15. У th2 т dx.
J sh2 x ch2 x
18. J cth2 x dx. 17. f dx 18. f dx
J 4т2+ 9* J 4т2 - 9 ’
19. f dx 20. f dx
J y/4x^+ 9 J s/9 — 4т2
Применяя метод подстановки, найдите следующие интегралы:
21. J xe j dx. 22. /*2 J x sin — dx. 23. / ч/i—7dx' J vl-T2
24. Г dx 25. f dx 26. f dx
J x In x' J ^(1 + ^t)' - yfx
27. /* dx 28. r e2* / dx. J e* - 1 29. У т2(т - I)’8 dx.
J v'e’+l
30. f dx 31. / xVx+idx. 32. f x / dx. J ^tTT
J Xy/x - Г
33. f J vT^dI- 34. Г xdx J 1 +T4' 35. / vttdx-
38. fi^dx. J sin 2т 37. f ctgI / i • dx' J In sin X 38. J COS3 T
39. 7 arctg x • elrc,g2 • J V ”1 + t2 dx. 40. Г In X 1
J т(4 + 1п2т)
Применяя метод интегрирования по частям, найдите следующие интегралы:
41. j xe~* dx. 42. [ x2* dx. 43. f Tsin 2xdx.
44. У (1 + x)e* dx. 45. /(! + Tin2)2’ dx. 48. 1(2т - т2)е~’ dx.
47. j arctg x dx. 48. 1 x arcctg x dx. 49. f arcsin т dx.
50. / —dx. J cos2 X 51. ^Ttg 2 т dm. 52. f cos(lng)dT.
53. / sin(ln z) dx.
Найдите интегралы от простейших дробей:
2 dx
5 + 2®'
dx
(1-2»)5'
X + 1
х2 - х + 2
dx
2-Зя'
dx
х2 + 2х + 3 *
х dx
х2 + lx + 13
«•/
dx
(3®+5)3‘
® + 2 J
x2 + 2® + 5 X'
Найдите интегралы от рациональных функций, применяя метод неопределенных коэффи-
циентов:
62. j f 2x +3 F » Л 4 Л СеД?» x2 + 3® - 10 63. , /* x dx 64. j Г 3®2 - 2® - 4 f (® - 1)(®2 - 4)
' (® + l)(2®+l)
“•J г x3 - x + 2 , —2—J—dx- X2 - 1 66, , f x4 + 1 f -i d®. ' x} -x f X + 2 A f 7 ' (® + 3)2
W.J f x* + 2® l / rr dx. ' (® + I)4 69. , [ dx 70. J t ®3 ~3® (®+ !)(«-I)2 *'
' X3 + ®4 ’
71-J f dx 71J f dx [ xdx
®(®2 + 1)* ' »4-Г ' я3 - Г
Найдите интегралы от иррациональных функций:
dx.
78. j f dx
Vx2 — 4®
81. > f dx
V®2 —4® + 5
84. j /* ® + l 1 i i г- dX. л/1 +6® — X2
87 J r 1 + 2®- Зх3 ' ix-
9°. 1 Г dx. V 1 + ®2
/dx
*—
V5-4i-х2
t х— 3
” J vr+6x"~^ix'
88. <te.
J Vx2 + 2
Найдите интегралы от тригонометрических функций:
91. F 2 + cos ® Bij 1 5 + 4sin®'
94. / dx 95. f sin 2® / ; TT~ <^x- ' 1 + sin2 X
f 5 + sin x + 3 cos x *
97. r 1 + cos x — sin x , / fa, ' 1 - cos x + sin x 98. [ „J _ J_ / cos x dx.
100. sin2 x cos3 x dx. Wt 1 cos4 x sin3 x dx.
103. 1 sin2® cos2 xdx. 104. I sin4 я dx.
93. J
dx
3 sin х — 4 cos x
cos x dx
5 + sin2 x - 6sin®*
sin5 x dx.
sin3 x ,
—— dx.
cos* x
sin4 x cos2 x dx.
f dx
/^7-
109. /—
J COS4 x - sin4 X
112. У cos lx cos 3a: dx.
115. / sinz sin 2x sin 3x dx.
cos x
ту- dx.
sm4 x
sin 5x CQSxdx.
sin 15a: sin lOz dx.
dx
sin2, x cos4 x
sin x cos 5z dx.
X X
cos — cos - dx.
2 3
Ответы
1. 0,3x10/3 + C. 2. 4#ж + C. 3. £z15/8 4- C. 4. у 4- 2z 4- In |z| + C. 5. S + C.6. (|)* 4- C.
7. - y— 4- C. 8. - ctg x - Iga: 4- C. 9. 2 tg x 4- C. 10. 2x 4- C. 11. tg x - ctgz - 4x 4- C.
12. tg x — ctg x 4- C. 13. — th x — cth x+C. 14. 2 ch z 4- C. 15. z — th x'+ C. 16. z — ch z 4- C.
17jtg-‘ jx + C. 18. ^ln |§^|4-C. 19. In v/2z4-V/4zr4^+C. 20. |sin’J jz4-C. 21.e^2 + C;
22. - cos 4- C. 23. -'/T^z14- C. 24. In | In z| 4- C. 25. 4 ln( 1 4- ^z) 4- C. 26. -8^1 - ^Z4- C.
27. —2 In(e*x/2 4- у/1 +e-«)+C. 28. In - 1| 4- ex 4- C. 29. 4- 4- 4- C.
30.2tg~' v/z^T. 31. |(z 4- ])7/3 - |(z + J)4'3 4- C. 32. ^(z + l)2'3(2z - 3) 4- C. 33. -TTP3?4-
5^/(1 - z)3 + C. 34. | tg-1 z2 4- C. 35. j sin-1 z3 4- C. 36. | In2 tgz 4- C. 37. In | In sin z| 4- C.
38. Je’*2* 4- C. 39. je’^2* 4- C. 40. In i/4 4-ln*z 4- C. 41. -(z 4- l)e“* 4- C. 42. + C.
43. { sin 2z - | cos 2z + C. 44. zex + C. 45. x2* + C. 46. x2e~x + C. 47. z arctg z - In а/Тч- X2 4-
C. 48. ^(z2 4- 1)arctgz — yi + C. 49. z sin-1 z 4- VI — z2 4- C. 50. ztgz 4* In|cosz| 4- C.
51. - у 4- x tgz + In | cos z| 4- C. 52. f (eosin z 4- sin In z) 4- C. 53. j(sin In z - cos In z) 4- C.
54. In |5 + 2z| + C. 55. - J In |2 - 3z| 4- C. 56. + C. 57. 4- C. 58. arctg 4- C.
59. In a/z1 4- 2x 4- 5 4- j tg 4- C. 60. In Vx2 - z + 2 4- arctg 4- C. 61. In v/x1+7z4- 13 -
75 arctg 4- C. 62. In |z2 4 3z - 10| 4- C. 63. In + C. 64. In |(z - l)(z2 - 4)| 4- C.
65. £ +ln[==l + C. 66. 4 + In |^| + C. 67. 4з + 1п|х + 3| + С. 68. j^-^+C.
69. 1 - J, +ln jJjI + C. 70. + In |x+ 1| + C. 71. In + C. 72. J In - i arctgx + C.
5 (ta vfeb + '/5arc,g 25r)+c- ” №+C- ж 2'/r + *+l"l £ЙЙ|+С-ж 7fc+c-
77. +С. 78.1п |х-2+«/х1 - 4х|+С. 79. arcsin ^+С. 80. In Jx-2+Л:1 - 4х - 5|+С.
81. ln(z - 2 4- Vz2 - 4z 4- 5) 4- С. 82. arcsin , 83. у/х2 - 6z - 1 4- 4 In |z - 3 4- v4r2 - 6z - 1| 4-
C. 84. 2V1 4- 6z — z2 4- 4arcsin 7^3 4- C. 85. -V1 +6z - z2 4- C. 86. z\/z2 4- 2z 4- 2 4- C.
87. x2y/l — z2 + arcsin z + C. 88. xVx2 + 2 — ln(z + Vx2 4- 2) + C. 89. — -fo2*3---i/l - z2 + C.
90- I*5 *) vT+z^- ^In(z + УРТТ) + С. 91. In (34-tg2 f) +C. 92. |tg“’ +C.
93'H^| + C. 94. arctg +C. 95. ln(l 4-sin2 z) 4-C. 96. | In + C.
97. -z4-2 In 98.sin z-у sin3 x+C. 99. cos5 Z4-5 cos3 x-cosx+C. 100. | sin3 x-
| sin5 x+C. 101.1 cos7 z-| cos5 x+C. 102. гут---^4-С. 103. +C. 104. ?z-{ sin 2x+
5 7 5 3 COS X COS X 0 32 8 4
^Sin4z+C. 105. i-2!££-*^+C. 106. - ctg z -1 ctg3 x + C. 107. —;Ctg3z + C. 1O8.tgz +
I tg3 z-2 ctg2z4-C. 1O9.-|ln|tg(z- 2)| + C. 110.-^-^+C. 111.-£^ + ^u-c.
112. *^+^4.(7. 113. -^ + ^+C. 114. j sin |z+3 sin f+C. 115.
Глава XIII
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Задачи, приводящие к понятию
определенного интеграла
1.1. Геометрия: площадь плоской фигуры
Рассмотрим плоскуюфигуру аАВЪ, ограниченную кривой АВ, являющейся графиком
положительной непрерывной функции у = f(x) , отрезком [а, Ь], а < Ъ, оси Ох
и прямыми х = а, х = Ь, которую будем называть криволинейной трапецией (рис. 1).
Установим понятие площади криволинейной трапеции аАВЪ и укажем способ
вычисления этой площади. Разобьем отрезок |а, Ь] на п частей точками
а = xq < X] < Х2 < -.. < Яп-1 < хп = Ъ.
На каждом частичном отрезке о:*] возьмем по одной произвольной точке £к
Xk) и Построим прямоугольнике основанием [о:*—!,х*] и высотой,
равной f(£k), к = 1, 2,..., п. Площадь AQt этого прямоугольника будет равна
где длина основания прямоугольника равна &хк = хк - хк_л. В результате такого
построения получим «ступенчатую» фигуру, состоящую из п прямоугольников, пло-
щадь Qn которой будет равна сумме площадей этих прямоугольников; :
п
<?„ = /«,)Дх1+/«2)Дх2 + ... +/(4,)Дг„ = ^/(0Дг,. '
А-=)
Будем теперь делить отрезок [а, Ь] на все более и более мелкие части так, чтобы
число частичных отрезков увеличивалось, а их длины уменьшались. Тогда «ступен-
чатая» фигура будет все меньше и меньше отклоняться от криволинейной трапеции
аАВЪ. Пусть
Л = шах Ах*
является длиной наибольшего из частичных отрезков [х*_hх*], к = 1,2,...,п.
При А —► 0 число частичных отрезков будет неограничено увеличиваться, а длины
Ах* всех этих отрезков будут стремиться к нулю, так как 0 Ах» А для всех
к = 1, 2,..., п. Если существует конечный предел Q площади «ступенчатой» фигуры
при
А = шах Ах* —♦ О,
то он принимается за площадь криволинейной трапеции аАВЪ, т. е.
Q = lim Qn = Jim /(&)△«*•
0 t=i
Этот предел, если он существует, не должен зависеть от способа разбиения отрезка
[о, Ь] на частичные отрезки [x*-i, х*] и от выбора точек & на них.
Таким образом, задача о площади криволинейной трапеции аАВЬ привела нас
к вычислению предела вида
п
Um п 53/(&)△**• О)
mexAxjk—O *—•
fc=1
1.2. Физика: путь материальной точки
Рассмотрим следующую физическую задачу: найти путь S, пройденный материальной
точкой за промежуток времени от t = to до t = Т, если известна скорость v движения
этой точки какфункция времен и t, т. е. v = f(t). Для ее решения разобьем промежуток
времени [to, Т] на п малых временных интервалов, ограниченных моментами времени
to < ti < t2 < ... < tn = T.
Допустим, что скорость f(t) мало меняется на каждом промежутке [i*_i, i*] и поэтому
ее можно приближенно считать постоянной на нем и равной значению v в некоторый
момент времени € [i* -ь £*]. Тогда путь а*, пройденный точкой за время Ai* = tk -
tfc-b будет приближенно равен а* = /(r*)At* и, следовательно, путь Sn, пройденный
точкой за время от to до Г, приближенно равен
Sn = a, + s2 4- ... + an = /(rj)Aii 4- /(r2)Ai2 +... 4- /(rn)Ain = 52 /(n)Ai*«
k=l
Обозначим через А наибольший из частичных промежутков времени Ai*:
А = max Ai*.
При А —♦ О чйсло частичных промежутков времени будет неограниченно увеличивать-
ся, а сами промежутки будут неограниченно уменьшаться. При переходе к пределу
при X —> 0 в сумме Sn получим точное значение пути S, пройденного точкой за про-
межуток времени от t$ до Т:
п
s = linjS/<n)A*. U)
Мы пришли к вычислению предела, имеющего тот же вид, что и предел (1), только
роль переменной х играет время t.
ТЬким образом, рассмотренные выше две задачи привадят нас к вычислению
однотипных пределов (1) и (2) специального вида. Эти пределы, в случае их су-
ществования, называются определенными интегралами от функции f(x) (или /(0)
ь т
и обозначаются символом f f(x) dx (или J f(t) dt).
в <0
Перейдем теперь к изучению этих пределов, отвлекаясь от их геометрического
и физического смыслов.
§ 2. Понятие определенного интеграла
Пусть функция /(а?) определена на отрезке [а, Ь], где а < Ъ. Разобьем этот отрезок
на п частей произвольным и точками
G = JCq < Х\ < Э?2 < . . . < Xji—j < Хц = Ь,
и пусть (Д®к > 0) — длины полученных частичных отрезков
[а?*-!, хк]. В каждом частичном отрезке а?*] возьмем произвольную точку
вычислим значения f(fe) функции /(а?) в этих точках и составим сумму
п
S„ = /«ОД®! + /«2)Д®2 +... + /«„)Д®„ = 2
Эта сумма называется интегральной суммой функции /(а?) на отрезке [а, Ь]. Величина
интегральной суммы Sn зависит как от способа разбиения отрезка [а, Ь] на частичные
отрезки [а;*-!, а?*], так и от выбораточек & на них.
Обозначим через А длину наибольшего из отрезков (хц, хк], т. е.
А = шах Да?*.
J^n
п
Определение. Число J называется пределом интегральных сумм £ функ-
к-1
ции f(x) на отрезке [а, Ь], если для любого числа е > 0 найдется число 6 > 0 та-
кое, что для любого разбиения отрезка [а, Ь] на части с длинами △&£ < 6 для всех
к = 1, 2,..., п (т. е. А < 6), неравенство
п
52 -j<e
*=i
будет выполняться при любом выборе точек &.
Для обозначения предела интегральных сумм употребляется запись '
п
J = Пт /Ufc)Aa?fc.
к=!
Здесь число 6 зависит от выбора числа € и поэтому иногда пишут 6 = 6(e) .
Определение. Если при любых разбиениях Отрезка [а, Ь], а < Ъ на частичные отрез-
п
ки [iEfc-i, и при любом выборе точек & в них, интегральные суммы 53 f(t№xk
t=i
при А —> О имеютодин и тот же конечный предел J, то этот предел называют опреде-
ленным интегралом в смысле Римана ол функции f(x) по отрезку [а, Ь] и его обозначают
ъ
символом f f(x) dx.
а
Итак, по определению
J = / /(«) dx = lim ^2 №)△**•
{ *=i
Числа а и Ь называются соответственно нижним и верхним пределами интеграла,х на-
зывается переменной интегрирования, f(x) — подынтегральной функцией, f(x) dx —
подынтегральным выражением.
Заметим, что из самой конструкции определенного интеграла вытекает, что его
величина не меняется, если функцию f(x) видоизменить в любой точке с отрезка [а, Ь].
Иначе говоря, если вместо функции f(x) взять функцию
f(x) для х € [а, д], х с,
С для х = с,
где число С £ f(c), то
g(x) dx =
Это справедливо и в случае изменения значений функции f(x) в конечном числе точек
отрезка [а, 6].
Так как определенный интеграл определен нами при условии, что а < Ь, то допол-
ним его определение, заметив, что:
1) если Ъ = а, то а У f(x) dx = 0;
2) если Ь < а, то а a b J f(x) dx-- У f(x) dx. b а
Пример. Вычислить / dx.
◄ По определению определенного интеграла получаем
JdI=&Ё д*‘=-»*->)=
4 #=1 ।
= - Хо) + (Х2 - х\) + . . . + (in-l - + (хп ~ Хп-1)] =
. = - ®о) = - в) = Ь - в. ►
§ 3. Условия интегрируемости функций
Определение. Функция f(x), определенная на отрезке [а, Ь] называется интегрируемой
по Риману на этом отрезке, если для нее существует определенный интеграл
ь
f(x) dx.
а
Теорема 1. Если функция f(x) интегрируема по Риману на отрезке [а, д], то она ограни-
чена на этом отрезке.
◄ Пусть функция /(а?) не ограничена на отрезке [а, д]. Разобьем отрезок [а, д] на ча-
стичные отрезки [it-1, k ~ 1,2,... ,п. Так как f(x) неограничена на [а, &], то
найдется частичный отрезок, на котором она не ограничена. Пусть, например, таким
отрезком будет отрезок [хо, хг]. Выберем точки & и составим интегральную сумму
п п . .
s„ = 52 = /(«Оди+52 №)д«-
*=J fc=2
Зафиксируем точки • • • > б» и будем менять только точку € |®о, Тогда
п
сумма $3 f(£k)&Xk будет иметь определенное значение, а первое слагаемое
fc=2
будет изменяться, и надлежащим выбором точки £i его можно сделать как угодно
большим по абсолютной величине и, значит, |Sn| может быть сделана как угодно
большой. Это означает, что интегральная сумма Sn при max &xk —> 0 не имеет
конечного предела, т. е. f(x) не интегрируема по Риману на [а, &]. Отсюда следует,
что если функция f(x) интегрируема на [а, Ь], то она ограничена на [а, Ь]. ►
Замечание. Ограниченность функции f(x) на отрезке [а, Ь] не является достаточным условием для ее
интегрируемости, т.е. функция f(x) может быть ограниченной на (в, Ь] и в тоже время неинтегриру-
емой на (а, д]. В качестве примера, доказывающего это утверждение, приведем функцию Дирихле:
1, если храционально,
О, если х иррационально,
которую рассмотрим, например, на отрезке {0, 1}. Эта функция ограничена: |/(®)| 1 V® € |0,1],
но она не интегрируема на нем.
f(x) == Д(®) =
48____________________________________________________________Глава XHI. Опрадаямтмй июаграл
Ч В самом деле, составив ДЛЯ нее интегральную сумму Sn • S f(Ak)&Zk будем иметь:
*«;
п
Зп = 52 1 = 1 Для раоиональныхточек (*,
*ж!
п
Зп ± 22 °’ △$* = 0 для иррациональных точек (*•
Итак, при любом как угодно малом А = max Дг* интегральная сумма $п может принимать как
l^k^n
значение, равное 1, так и значение, равное нулю. Следовательно, SB при А ->0 предела не имеет, т.е.
функция Дирихлене интегрируема на отрезке [О, I]. ►
Приведем без доказательства теорему, дающую достаточное условие интегрируе-
мости.функции.
Теорема 2. Функция f(x), непрерывная на отрезке [а, Ь], интегрируема на этом отрезке.
Пример 1, функция /(z) = е"*2 непрерывна на отрезке [0, а], где а — любое число, и поэтому она
интегрируема на этом отрезке, т. е. для нее существует определенный интеграл
У е“*2 dx.
о
Приведем формулировки еще двух теорем, дающих достаточные признаки инте-
грируемости функции.
Теорема 3. функция f(x)> определенная и монотонная на отрезке [а, Ь], интегрируема
на этом отрезке.
Здесь следует отметить, что если функция f(x) монотонна на отрезке [а, Ь], то
ее значения заключены между числами /(а) и f(b). Поэтому определенная на [а, Ь]
монотонная функция f(x) ограничена на этом отрезке.
Теорема 4. функция f(x)> ограниченнаяна отрезке [а, 6] и имеющая на нем конечное число
точек разрыва, интегрируема на этом отрезке.
Пример 2. Функция
*' ( •, ясли г = 0,
интегрируема на отрезке [0,1], потому что она ограничена, |/(z)| 1 Vz € [0,1], и имеет на этом
отрезке одну точку разрыва z= 0 (точка разрыва второго рода).
§4. Свойства определенного интеграла
Установим некоторые свойства определенного интеграла. При этом будем считать,
что все рассматриваемые функции непрерывны, а следовательно, интегрируемы на от-
резке [а, Ь].
1. Определенный интеграл зависит только от величины нижнего и верхнего пределов
интегрирования, т. е. от чисел а и Ъ, и от вида подынтегральной функции f(x),
но он не зависит от переменной интегрирования. Поэтому величина определенного
интеграла не изменится, если букву х, обозначающую переменную интегрирования,
заменить любой другой буквой:
2. Постоянный множитель можно выносить за знак (вносить под знак) определенного
интеграла:
«4 По определению имеем
п п
Hm = А Нт 22 /(&)△«* =
А-»0 “ А-»0 ““
Ь
J f(x)dx. ►
а
3. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраиче-
ской сумме интетралов от этих функций:
' n п
22 ± У?
fc=l
f2(x) dx. ►
Следствие. Имеет место соотношение
ь ь ь
j[Aifi(x) + A2f2(x)]dx — Ai J fi(x)dx+А2 J /г(®) dx,
a a a
где A\ и Аг — произвольные постоянные, которое выражает свойство линейности опре-
деленного интеграла.
4. Для любых чисел а, 6»и с имеет место равенство
при условии существования обоих интегралов в правой части. Это равенство выражает
свойство аддитивности определенного интеграла.
◄ Рассмотрим два случая.
1) Пусть а < с < Ь. По определению имеем
Г
/ /(®) dx = lim V Ц£к)&вк.
Так как интеграл не зависит от способа разбиения отрезка [а, Ь) на части, то точку с
можно включить в число точек деления этого отрезка. Пусть, например, разбиение
имеет вид (рис. 2) Л
О < Xq «Ej < JEj < • . • «Ещ = С «С < • • . < «Ед — 6.
Тогда интегральную сумму X} /(&)Д:е*, соответствующую отрезку [а, Ь], можно раз-
fc=i
бить на две суммы: одну, соответствующую отрезку [а, с], и другую, соответствующую
отрезку [с, Ь], т. е.
пт п
У? f(£k)&xk = У; + 52 f(£k)&Xk.
fc=l , Л=1 fc=m+l
Переходя в этом равенстве к переделу при А = max &хк —► 0, получим
Г
/ f(x)dx= 1ппУ'№)Д:еа =
/ А—»0
a
m
= Й152 №)+
Ъ
fc=m+l а
2) Пусть а < b < с. В силу доказанного имеем
f(x) dx +
откуда находим, что
f(x) dx =
J f(x) dx -
a
fix) dx =
c
j f(x) dx +
a
f(x) dx. ►
Для случая, когда f(x) > 0 и а < с < Ь, свойство аддитивности определенного ин-
теграла означает, 4то площадь криволинейной трапеции аАВЬ равна сумме площадей
криволинейных трапеций асСА и сЬВС (рис. 2).
5. Еслифункции f(x) и д(х) на отрезке а < х < Ь удовлетворяютусловию f (аг)< д(х),
то
т. е. неравенство можно интегрировать.
◄ Так как f(x) < д(х) в каждой точке х € [а, Ь], то при любом разбиении отрезка
[а, &] на части [х^ь х*] и при любом выборе точек € [®*_ i, xfc] будет справедливо
неравенство
п п
22 №)△** < 22
k=i *=i
Переходя в этом неравенстве к пределу при А = max Дх* —► 0, получим при а b
Рис. 3
Замечание. В случае, когда f(x) > 0 и д(в) > 0 на отрезке [a, ft], это свойство геометрически означает,
что плошадь криволинейной трапеции oftBi Л । не больше плошади криволинейной трапеции abBiAi
(рис. 3). Из этого свойства, вчастности, следует, что если /(х) 0 (/(х) 0) на отрезке (a, ft], то
6. Если а < 6, то имеет место неравенство
ft ft
J f(x) dx С J l/(z)l<&.
а а
4 Интегрируя в переделах от а до Ъ очевидное двойное неравенство
получим
М С 1№)1,
т. е.
f(x) dx
7. Если числа т и М являются соответственно наименьшим и наибольшим значени-
ями функции f(x) на отрезке а С ® С Ь, то
◄ Так как т С /(х) М для всех х € [а, Ь], то в силу свойства 5 получаем
ь
J mdx
а
Ъ
J М dx.
а
Но так как
ТО
Замечание. Для функции /(z) > 0 на (а, 6), это свойство геометрически означает, что площадь Q кри-
волинейной трапеции аЬВА заключена между площадями Q\ и Qi прямоугольников abB । A i и aftBjAj
(рис. 4);
<?1 Q <?2-
Пример 1. Оценить интеграл
< Так как
т =; mln ,<-.1 = -711 1 т>|гу- I .=0,25,
710 + 6 sin z 710 + 6slnzlx«*
M ° о<*!?» ?в +тап ° wrrassL-j - ° °’50'
то согласно свойству 7 будем иметь
2r .
/dx
-7И 2т» 0,50,
710 + 6 sin z
о
t. e.
т 2f dx
2 J 710 + 6sinz *'
о t
Пример 2. Выяснить (не вычисляя), какой из интегралов больше:
1 1
У е-®2 dx или У е”® dx.
о о
< Не отрезке 0 z 1 имеем zJ z, откуда -х -х\ и тек как число в > 1, то «Г® < е“®2
и по свойству 5 получаем
I I
У е“*2 dx у е“® dx. >
о о
§ 5. Теорема о среднем
Теорема 5. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, 6]. Тогда на этом отрезке
найдется по крайней мере одна точка £ такая, что имеет место равенство:
ъ
J /(ас) dx = (6 - а)/((), а 6.
а
◄ Так как f(x) непрерывна на отрезке [a, 6J, то она на этом отрезке имеет наименьшее
значение т и наибольшее значение М, и по свойству 7 получим
ъ
?п(6 - а) j f(x) dx M(b - а).
а
Учитывая, что b - а > 0, находим
ъ
т ------- / f(x) dx М.
b — a J
а
Положим
ъ
г . / f(x) dx — ру где т р М.
о — с у
а
В силу непрерывности функция /(ж) принимает все промежуточные значения, за-
ключенные между т и М. Поэтому найдется значение х = £, а £ ^6 такое, что
/(О=Д,т.е.
ъ ь
г~— [ f(x) dx = /(О или f f(x) dx — (6 - а)/((), а $ О- ►
о — a J J
а а
Замечание. При а < Ь будем иметь
f — а
<=> 0<f-a<b~a о 1.
b - а
Положив
f — а
z—= 0,
о —а
находим отсюда £ — а + (й — а) • 6. Доказанное выше равенство можно записать теперь в виде
ь
У f(x) dx = (b- а)/[а F (й - а)0], 0. < в < 1.
а
ТЪометрический смысл теоремы о среднем состоит в следующем. Пусть функция
f(x) ^0 на отрезке [а, 6], а < 6. Тогда
ь
f(x)dx = Qh (b - a)f(£) = Q2,
96. Произв дим интегра а с переменным верхним пределом______________________55
где Q] — площадь криволинейной трапеции abBA, Q2 — площадь прямоугольни-
ка abNM, основанием которого является отрезок [а, 6], а высотой ордината точки
С(£, /(£)). Теорема о среднем утверждает, что на кривой АВ (рис.5) найдется по
крайней мере одна точка С(С /(£)) такая, что Q\ = Q2.
Определение. Число
ь
М[/(»)] = Т~ [ /(*) <1х
о — a J
а
называется средним значением функции f(x) на отрезке [а, 6].
Если функция f(x) непрерывна на [а, 6], то найдется точка $ € [а, 6] такая, что
Аф(х)] =/(£).
Пример. Найти среднее значение функции f(x) =sini на отрезке [0,я[.
4 По определению получаем:
, , 1 Г 1 , .2
М[sin х\ =----- / sin х dx = - (— cos я + cos0) =
7Г U j Я If
о
Здесь мы воспользовались формулой Ньютона—Лейбница, которая будет доказана ниже в § 7. ►
§ 6. Производная интеграла
с переменным верхним пределом
Пусть функция /($) непрерывна на отрезке [а, 6]. Возьмем на этом отрезке произ-
вольную точку х и рассмотрим определенный интеграл
X
I /(0 dt.
Этот интеграл существует для любого х € [а, &] в силу непрерывности /(®) на [а, Ь]
и является функцией своего верхнего предела х. Обозначим ее через F(x), т. е. поло-
жим
Теорема 6. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, &], ТЪгда функция
X
F(®) = J f(t) dt
а
имеет производную в любой точке х € [а, Ь], причем
Другими словами, производная от определенного интеграла по его верхнему пре-
делу равна значению подынтегральной функции в верхнем пределе.
4 Дадим аргументу х приращение Д® 0 такое, что х + Д® € [а, Ь]. Тогда функция
F(x) получит приращение ДК, равное в силу аддитивности определенного интеграла
2+Дх X
&F = F(x + Д®) т F(x) = / f(t) dt- f f(t) dt =
\ a a
a х+йх
= J /(0 dt + J f(t) dt =
x a
f(t) dt =
ае+Дае a
J f(t) dt + J
a x
Применяя теорему о среднем значении, получим
ДК = (® + Д® - ®)/(® 4- 9 • Д®) = Д® • f(x 4- 0Д®)>
откуда
— = /(®+« дх), о«е $ 1.
△®
Переходя в этом равенстве к пределу при Д® —► 0 и учитывая непрерывность функ-
ции /(®) в любой точке ® € [а, &], получим
ДК
ЛИтп Л? = ЛПтП № + 0 * Лж) =
△г-»0 йлХ Дг-»0
т. е.
^(* * * * * * * * * х) = f(x) или ( [
= /(®) V® € [а, &]. ►
Замечание. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь] то для любого х 6 [а, Ь] будем иметь
§7. Формула Ньютона—Лейбница 57
Пример.
Теорема 7. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, 6] то она на этом отрезке имеет
первообразную, а значит и неопределенный интеграл.
Пусть f(x) непрерывна на [а, Ь]. Тогда для любого х из этого отрезка существует
X
определенный интеграл / f(t) dt, т. е. существует функция
в
X
F(x) = j f(t) dt
а
такая, что
^(х)=/(х) Ух € [а, Ь].
Этоозначает по определению, чтоГ(х) является первообразной для /(х) на [а, Ь]. От-
сюда следует, что неопределенный интеграл от функции /(г), непрерывной на [а, &],
можно представить в виде
х '
j f(x) dx = J f(t) dt + C,
a
где С — произвольная постоянная. ►
§7. Формула Ньютона—Лейбница
Теорема 8. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь], а функция F(x) является ее
первообразной на этом отрезке, тогда
ь
У f(x)dx = F(b)-F(a,).
а
Эта формула называется формулой Ньютона—Лейбница.
4 Возьмем функцию ,
X
Ф(х) = J f(t) dt, х € [a, Ь].
a
Эта функция является первообразной для функции /(х) на отрезке [а, Ь], а любые две
первообразные для одной и той же функции отличаются друг от друга постоянным
слагаемым, т. е. существует постоянная С такая, что
х
Ф(х) = Г(х) + С или У f(t) dt = F(x) + С
a
для всех х € [а, 6]. При ® = а имеем
а
о
и так как J* /(<) dt = 0, то F(a) 4- С = 0, откуда
а
с = -F(a).
Следовательно,
Положив х = Ь, получим
ъ
а
или, обозначая переменную t интегрирования через я,
ъ
[ f(x)dx = F(b)-F(a).*
Замечание. Если обозначить F(b) — F(a) = F(x) 1 , то формулу Ньютона—Лейбница можно записать
в виде “
j f(x) dx = F(z)|*, где F'(®) = №)•
Доказанная формула является основной в интегральном исчислении. Она сводит вычисление опреде-
ленного интеграла от функции f(x) к нахождению ее первообразной F(x).
Примеры.
1. Найти
4
2
4 Известно, что
Поэтому
X* X*
х dx = — + С, т.е. Г(«) = — + С.
2. Найти
sin х dx.
4 Имеем
о
sin х dx = - cos ж|0 = - cos г - (- cos 0) = 2. ►
§8 . Замена переменной в определенном интеграле$9
§8 . Замена переменной в определенном интеграле
Теорема 9. Пусть дан интеграл
ъ
J f(x) dx,
а
где функция f(x) непрерывна на отрезке [а, Ь]. Положим х = <p(t), и пусть функция <p(t)
удовлетворяет условиям '.
1) при изменении t от а до /3 функция <p(t) непрерывно меняется от а до b так, что
<р(а) = а, <р(/3) = b а все остальные значения <p(t) содержатся в области, где функция
f(x) определена и непрерывна;
2) производная <p‘(t) непрерывна на отрезке [а, /3].
Тогда будет справедлива формула
ь ?
J f(x) dx = j f[<p(t)]<p(t) dt.
a a
◄ По формуле Ньютона—Лейбница
ъ
J f(x)dx = F(b) - F(a),
a
где F(x) — какая-нибудь первообразная для функции f(x) на отрезке fa, bj, т. е.
Ff(x) = f(x) Vx € (a, Ь]. Возьмем сложную функцию от t, а именно Ф(£) = F[p(t)],
определенную на отрезке [а, /3]. По правилу дифференцирования сложной функции
ее производная равна
Ф'(0 = F MOfc (0 = /М01Р (О-
Таким образом, функция Ф(0 есть первообразная для функции /[НОЬ’ЧО, непре-
рывной на [a, j0], и по формуле Ньютона—Лейбница получим
Р ъ
f /[*>(0)*>'(0 <Н = Ф(0)- Ф(а) = F[р(0)) - FMa)] = F(6) - F(o) = J f(x) dx. ►
а а
Замечание. Функцию <p(t) выбирают так, чтобы новый интеграл
Д
/
a
был более простым, чем первоначальный интеграл
ъ
f f{x) dx.
a
При вычислении определенного интеграла по доказанной формуле к старой пере-
менной интегрирования не возвращаются.
Пример 1. Вычислить интеграл
a
У i/a2 - х2 dx (a > 0).
о
< Положим, например, х = a sin t. Тогда
dx = a cos t dt, ye* 2 — x2 =asin L
Полагая а равенстве x = a sin t сменяла x = 0, в затем x = а, полуним два уравнения a sin t = 0,
a sin t = а, из которых нвходим нижний предел интегрирования t = 0 и верхний предел t = |. Поэтому
будем иметь
Ь */2 «72 ч ,
f П------Т . 2 ( 2>л 2 Г l + coe2t о /.(*/2 1 , _j*/2\
j ya2-xJdx — a J costdt = a J ----------------dt = — +-sin2tj0 j = —. ►
« 0 0
Пример 2. Вычислить интеграл
dx.
< Положим x = e*. Твк как t = 0 при х = 1, t = 1 при х = е, t = In х, то
12<й =
Замечание. В некоторых случаях в интеграле удобнее применять замену переменной не в виде х = <p(t),
а а виде t = ф(х).
ПримерЗ. Вычислить интеграл
1п2
У Ve^-ldx.
о
< Положим t = Ve* - 1. Тогда х = ln(t2 + 1), dx = . При х = 0 полунвем t = 0, а при х = In 2
лолучвем 1 = 1. Следовательно,
= 2(1-arctg 1) = 2- ►
Пример 4. Вычислить интеграл
J(2х3 - 1)у/х4 - 2г + 1 dx.
о
«4 Положим t = г4 - 2г +1. В данном слунве выражать х через t, т. о. находить функцию г = р(1)
но нужно! Дифференцируя это равенство, получим dt = (4х3 - 2) dx , откуда (2г3 — 1) da? = ydt.
Поэтому будем иметь
1 ---------- . о .
J(2г3- 1)у«4“*2х + 1 dxt= - J y/tdt= ►
о 1
Приведем теорему, которая в некоторых случаях упрощает вычисление определен-
ного интеграла.
Теорема 10. Пусть функция f(x) интегрируема на симметричном относительно точки О
отрезке [-а, а], а > 0. ТЪгда
а ( а
2 J f{x) dx, если f(x) — четная функция;
о
0, если f(x) — нечетная функция.
j 9. Интегрирование no честям 61
<4 Согласно свойству аддитивности определенного интеграла имеем
а 0 а
J f(x)dx = J f(x)dx + J f(x)dx,
-а -а О
Сделаем в первом интеграле замену переменной: х = -t, dx = —dt\ t = —x. Тогда
О 0 a a
У /(®) dx = - j f(-t) dt = J f(-t) dt = J f(-x) dx
-a a 0 0
и, следовательно,
a a
J f(x)dx = J [/(-®) + №)] dx.
-a 0
Полагая в этом равенстве f(-x) = f(x) (четная функция), а затем f(-x) = -f(x)
(нечетная функция), получим требуемые равенства. ►
Примерб. Интеграл
и
У «in3 dz = О,
-Ж
так как подынтегральная функция на отрезке [-ж, ж] является нечетной.
4 В самом деле,
sin3(-z)eco,<'““) = - sin3 ze00*’ V® 6 [-ж, ж). ►
§9 . Интегрирование по частям
Теорема 11. Пусть функции и = и(х) и v = v(x) имеют на отрезке [а, &) непрерывные
производные и'(х) и v'(x) ТЬгда имеет место равенство
ь ъ
/, Р f j
udv = v- v|0 - I v du.
-4 В силу условия теоремы произведение uv = u(x)v(x) данныхфункцийимеетна[а, ft]
производную, равную
(uv)1 = uv'
т. e. uv является первообразной на [a, &] для функции uv' + vu'. Применяя формулу
Ньютона—Лейбница, получим
ъ
J(uv1 + vu) dx =
По правилу интегрирования суммы эго равенство можно представить в виде
uv1 dx +
vu dx =
откуда находим
ъ ь
J uv dx = uv|* - j vu' dx.
a a
Так как по определению дифференциала функции vdx = dv, u'dx = du то оконча-
тельно будем иметь
ъ ъ
/udv=uv\b— I vdu.b
а /
а а
Пример 1. Вычислить интеграл
х
У (a- - z)sinx dx.
о
<4 В данном интеграле имеем udv = (п—х) sin dx. Возьмем и = ir-x, dv = sinx dx, тогда du = -dx,
v = - cos а:. Применяя формулу интегрирования по частям, получим
т т
j\ir - х) sin х dx = — (к - х) cos x|Q - J cos x dx = (x — jt) cos - sin = я. ►
о о
Пример 2. Вычислить интеграл
<4 Имеем
dx.
u = In x,
. dx
dH=~,
Inx ie 1 If
X li xh
--+1=1 — 2e-1. ►
e
1
e
§10 . Площадь плоских фигур
в прямоугольных координатах
1. Пусть функция f(x) непрерывна и неотрицательна на отрезке [а, &], а < Ъ. Тогда
площадь Q криволинейной трапеции аЪВА будет рацна (рис. 6)
Пример 1. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной параболой у = х2, прямой х = а (а > 0)
и осью Ох (рис.7).
4 Имеем
Q = J x2dx =
о
3 о~
Рис. 9
Рис. 8
2. Пусть функция /(«) < 0 на отрезке [а, д], а < Ь. Тогда кривая у — f(x) располо-
жена под осью Ох и интеграл
ъ
У f(x)dx<G.
° I :
Площадь Q криволинейной трапеции аЬВА (рис. 8) будет равна
Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = х2 — 2х и осью Ох (рис. 9).
<4 Данная фигура расположена под осью Ох на отрезке {0,2] на котором у 0. Поэтому искомая
площадь Q будет равна
2 2- 1 зр
Q — - J (х2 3 - 2х) dx = j (lx -a?) dx = х2 - — I
0 0 О to
4
3
3. Пусть функция ](х) меняет свой знак при переходе х через точку с € (а, Ь), т. е.
часть криволинейной трапеции аЬВА расположена над осью Ох, а другая часть под
осью Ох (рис. 10). Тогда площадь Q всей заштрихованной фигуры будет равна сумме
двух площадей
с b
Q = Q\ + Qi = J /(®) dx + J f(x) dx
а с
ИЛИ
f (х) dx -
f(x) dx.
Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у = 1 ~ г2, прямой х = 2 и ося»
ми Ох и Оу (см. рис. 11).
4 Имеем
4. Пусть функции f(x) и д(х) непрерывны и f(x) > д(х) > 0 на отрезке [а, &], а < Ь,
причем кривые у = f(x) и у = д(х) пересекаются в точках А и В. Тогда площадь Q
фигуры, ограниченной этими линиями (рис. 12), будет равна разности площадей Q\
и Qi криволинейных трапеций аАСВЬ и aADBb соответственно. Таким образом,
или
Для нахождения пределов интегрирования а и b надо из системы уравнений у — /(®),
у = д(х), исключить у и решить уравнение /(®) = д(х), действительные корни
которого дадут искомые пределы.
<М. Пй&щддь жюсюа фигур в прямоугольных хоординэш__________________________________________________65
(
Пример 4, Найти площадь фигуры, ограниченной параболами у = 4х - х2 и у = х2 - 4х + б (рис. 13).
<4 Находим абциссы точек А и В пересечения данных парабол, Для этого решаем уравнение 4х-х2 =
х2-4x4-6 или х2-4x4-3 =0. Его корни i| = I, х2 = 3 являются пределами интегрирования: а = 1,
6 = 3. Искомая площадь Q равна
/* г з 2 3 з 8
Q = j [4х -х2 - (х2 -4х 4-6)] dx = у(8х -2х2 -6) dx =4х2|( - $хэ| 1 -бх^ = $. ►
) I
Рис. 12
Рис. 13
5. Пусть кривая АВ задана в пара-
метрической форме уравнениями
® = ^(0, У = ^(0>
где функции iptt), $(t) непрерыв-
ны, причем tp(t) имеет непрерыв-
ную производную (p'(t) на отрезке
[а,/3] и р(а) = a, p(j0) = Ъ. Пло-
щадь Q криволинейной трапеции
аЪВА (рис. 14) описывается фор-
мулой
Рис. 14
Ъ
I ydx.
О
t пр
t = a
о
Сделаем замену переменной в этом интеграле, положив х = у = Тогда
площадь Q криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной параметриче-
скими уравнениями, будет равна
Р
а
Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом
x = acost, у = 6 sint, 0 t < 2тг (а, Ь>0).
3 Зак. 628
4 В силу симметрии эллипса относительно координатных осей достаточно вычислить площадь той части
фигуры, которая расположена в первой четверти, а затем ее учетверить, т. е. искомая площадь Q равна
а
Q =4 j ydx.
о
В этом интеграле делаем замену переменной:
i = a cost, j/ = bsint, dx — -a sin dt.
Для нахождения новых пределов интегрирования положим х = 0, тогда получим уравнение a cost = О,
из которого находим ti = а = у, а затем, полагая х = а, получим а = в cost, т. е. cost = 1, откуда
tj = /3 = 0. Таким образом, когда х изменяется от 0 до а, то t изменяется от у до 0. Поэтому
° ° */21 2t 212
Q=4 Jbsint(-asintdt)si-4ab jsin2tdt = 4ad j * , * <ft = 2a6~ ^sin2t|^2) =irdb. ►
I *7 2 0
6. В некоторых случаях для вычисления площадей плоских фигур удобнее пользовать-
ся формулами, в которых интегрирование ведется по переменной у. В этом случае
переменная х считается функцией от у: х = д(у), где функция д(у) однозначна
и непрерывна на отрезке с у d оси Оу. Пределы с и d интегрирования по пе-
ременной у, являющиеся точками пересечения данной кривой с осью Оу,находятся
из уравнения д(у) = 0, получаемого из уравнения х = д(у) , если в нем положить х — 0.
Тогда площадь Q, ограниченная кривой х = д(у) и осью ординат (рис. 15), будет равна
d
Q = f s(y) dv-
c
Пример 6. Вычислить площадь, ограниченную кривой х — 2-у-у2 (парабола) и осью ординат (рис. 16).
i
4 Пределы интегрирования находим как ординаты точек пересечения параболы с осью ординат: при
1 = 0 получаем уравнение 2-у-у2 = 0, из которого находим jri == с— -2, yi = d = 1. Следовательно,
Рис. 15
Рйс. 16
искомая площадь будет равна
Q = [(2 - у - у2) dy = 2у
= 4,5. ►
Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у2 = 2х +1 (парабола) и х—у—1 = 0 (прямая).
Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями у = arcsin х, у = arccosi и осью абцисс.
Указание. Записать уравнения линий в виде х = д(у).
§11 . Площадь плоской фигуры в полярных координатах
Пусть кривая задана в полярной системе координат уравнением р — /(у>), где функ-
ция /(<£>) непрерывна и неотрицательна на отрезке а <р р. Плоская фигура,
ограниченная этой кривой и двумя лучами, образующими с полярной осью углы а и /3
называется криволинейным сектором (рис. 17).
Для определения площади криволинейного сектора ОДВО разрбьем его на п про-
извольных частей лучами р = а — = pi,..., — ¥>п-ь ip = Р — ipn. Обозначим
углы между этими лучами через • • ♦ > △у’п- Возьмем произвольный луч <рь»
заключенный между <ры И <Pk и обозначим через pk длину радиуса-вектора, соответ-
ствующего этому лучу. Возьмем круговой сектор с радиусом, равным pk и централь-
ным углом △у>д;(рис. 18). Его площадь △Qfc будет равна или, так как
Pk = /(£*)> &Qk = |/2(^)Д^ь
Проделав подобное построение во всех п частях сектора ОАВО, получим фигуру,
состоящую из п круговых секторов, площадь Qn которой будет равна
71 1 71
Qn — △Qjt = 2 У2
Обозначим наибольшее Др* через А:
А = max △’/’ft-
l<fc<n
Будем делить угол АОВ на все более и более мелкие части так, чтобы А -+ 0, То-
гда полученная фигура будет все меньше и меньше отклоняться от сектора ОАВО,
и поэтому естественно считать площадью Q криволинейного сектора ОАВО предел
площади Qn построенной фигуры, когда Л = max —♦ 0, при условии что этот
предел существует и не зависит от способа разбиения отрезка [а, /7] на частичные
отрезки и от выбора точек на них. Ткким образом, по определению имеем
Q = lim Qn = lim
Сумма У? |/2(^а)Ду»* является интегральной суммой для функции |/2(у>), которая
непрерывна на отрезке [а, /3] в силу непрерывности функции /(^). Следовательно,
эта сумма при А -»0 имеет предел, равный определенному интегралу
Р
У dip.
Итак, площадь криволинейного сектора ОАВО
равна
Р
Р
/ P2dy>.
а
а
Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой
/>=а(1+cos^), а>0
(рис. 19).
4 Искомая площадь равна
Л2 2?
3 2
-7ГО .►
1
cos ю + - cos
2
,2
о
,2 *
1 + cos 2v
СО8^>+ --------
о
о
о
§12 . Вычисление объемов тел
Рассмотрим тело, ограниченное некоторой замкнутой поверхностью. Пусть известна
площадь Q любого сечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох (рис. 20).
Эта площадь зависит от положения секущей плоскости, т. е. она будет функцией от х:
Q = <?(«)•
Будем считать, что функция Q(x) непрерывна на отрезке [а, Ь]. Для определения объ-
ема данного тела проводим плоскости х = а = х<>, х = х}, х = а?з,... , х = Ъ = хп,
которые разобьюттело на п слоев. Вкаждомотрезке ®*1> * = L 2.п, возь-
мем по одной произвольной точке & и заменим каждый слой тела цилиндром с обра-
зующими, параллельными оси Ох> направляющей которого является контур сечения
тела плоскостью х = (рис. 20). Объем △v*. такого цилиндра равен произведению
площади Q(£k)t где € [«*_], ®*], его основания на его высоту
△v* = №)△&*,
Рис. 20
а объемом Vn всех п цилиндров будет сумма
п
п
fc=l
*=1
Если эта сумма имеет предел при Л = max Д®* —* 0, то его естественно принять
за объем V данного тела:
п
V = lim 52 <?(€»)△«*•
п
В нашем случае сумма S Ф($к)Д®* является ин-
fc»l
тегральной суммой для функции Q(x), непрерывной
на отрезке [а, Ь], и поэтому указанный предел суще-
ствует и равен определенному интегралу
6
V = J Q(x) dx.
а
Рис. 21
Пример 1. Вычислить объем тела, ограниченного эллипсоидом
Я2 у2 I2
Т + ГГ + 3 !•
4 В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной к оси Ох и соответствующей абсциссе х,
получается эллипс (рис. 21)
г,* с2 в2
или
полуоси которого равны
/ х*
b\ I----г- и с
V а2
Поэтому площадь Q(x) сечения будет равна
Q(x) = irbc 11 -
\ в
Применяя формулу (1), получим
? / ®2\ ? / ®2 \ 4
V = / irbc 1-----=• \ dx = 2яЬс I 1----= d® - -irabc.
J \ a21 J X a2 J 3
-a ' ' о ' '
В частности, при b = с = о, эллипсоид обращается в сферу х2 + у2 + ж2 — а2, а объем шара х2 +
у2 + z2а2 будет равен V = |яа3. ►
Рассмотрим тело, образованное вращением
вокруг оси Ох криволинейной трапеции аЬВА
(рис. 22), ограниченной кривой у = f(x), пря-
мыми х = а, х = b (а < Ь) и осью Ох.
Это тело называют телом вращения. Сечени-
ем тела вращения плоскостью, перпендикуляр-
ной к оси Ох и соответствующей абсциссе х,
является круг площади Q(x) = iry2 = irf2(x) и,
следовательно, объем тела вращения
ъ
V = 1г J f2(x) dx
а
или
y2dx.
Пример 2. Найти объем тела вращения, полученного вращением дуги О А
параболы у2 = 2рх вокруг оси Ох (рис. 23).
4 Уравнение дуги О А параболы будет у = V^px, р> 0. Искомый объем
равен
У y2dx = я У 2pxdx = яра2. ►
о о
Рис. 23
§13. Вычисление длины кривой
Рассмотрим кривую ^АВ, имеющую концы в точках А и В, и возьмем на ней произ-
вольные точки М।, М2,... , Мп_ ।, следующие вдоль кривой одна за другой (рис. 24).
Соединим эти точки хордами AMj, М}М2,..., Мп-\В, длины которых обозначим со-
ответственно через △«], ^82,..., Дзп. Тогда длина Sn ломаной AM}Mz • • • Мп-\В,
вписанной в кривую АВ, будет равна
п
Sn = + Дз2 + • • • + ДЗп = yz &8к.
k=\
Определение. Длиной S кривой ^АВ называется
предел, к которому стремится длина Sn вписан-
ной ломаной, когда длина ее наибольшего звена
стремится к нулю:
S = lim Sn =
max Ajj—»0
п
lim
max Дяь-сО
*=1
если этот предел существует и не зависит от вы-
бора точек ЛГ], Afj,..., Afn-i на кривой ^АВ.
В этом случае кривая ^АВ называется сл/шмяе-
мой.
13.1. Длина кривой в прямоугольных координатах
Пусть кривая '-’АВ задана уравнением у = f(x), где функция f(x) имеет непре-
рывную производную f'(x) на отрезке [а, Ь]. Разобьем отрезок [а, д] произвольными
точками
Д = Xq < Я?] < 3?2 < . . . < Хк— । < Xk < . . . < Хп — Ъ
на п элементарных отрезков [аз*— j, ж&], k = 1, 2,..., п и построим вписанную лома-
ную, вершинами которой являются точки кривой у = f(x):
А = М0(х0,/(хо)), Afi(®b/(®i)), ...» Mn(xn,f(xn))=B.
Обозначим дл ины звеньев ломаной через Дв], Двп,..., Дзп и положим
, &хк =хк- хк-ь Лук = /(хк) -
Тогда длина Л-го звена ломаной равна (рис. 25)
= 1/(Дхк)2 4- (Ду*)2 = 1/1 + (Д®*«
* у \/
Применяя теорему Лагранжа, по-
лучим
Ду* = =
= (®* - =
= /«од®*,
где £к — некоторая точка отрезка
[я*-!,я*]. Поэтому
Д»» = \/1 + [/'(&)]!Д*ь
и длина вписанной ломаной будет
равна
Так как по условию f'(x) непрерывна на [а, Ь], то и функция у1 + [/'(я)]2 будет
непрерывна на этом отрезке, и, следовательно, интегральная сумма (I) имеет предел S
при max Дак 0, который является определенным интегралом:
b
S = lim
max *0
или, короче,
Пример 1. Вычислить длину S цепной линии
ех + е~х
У =------------ ch х
от точки А(0,1) до точки В(а, ch а) (рис. 26).
-ЧИз уравнения цепной линии находим
у1 = sh х.
Учитывая тождество ch2 x — sh2
х =
1=1, получим
У ch2® = ch х (ch х > 0).
Поэтому
J ch х dx = sh ®|0 = sh a. ►
o
13.2. Длина кривой, заданной в параметрической форме
Пусть кривая ^АВ задана в параметрической форме уравнениями
(3)
где функции <p(t) и имеют непрерывные производные и ^’(t) на отрезке
to t Т, причем р'($) 0 на этом отрезке. В этом случае уравнения (3) определяют
функцию у = /(я?), имеющую непрерывную производную y'j. = на [i0, Т]. Тогда
х/1 + у$ dx = ^/[р'(0] 2 + [^'(0р dt
и, согласно формуле (2),
т
S = У \Z[*>'<0]2+ [^<о]2 «**,
<0
или
т
J \/®е2 + Й2 dt-
<0
(4)
Пример 2. Вычислить длину окружности радиуса R (рис. 27).
4 Окружность в параметрической форме задается уравне-
ниями
г = flcost, у = Rsin t, 0 t < 2тг.
Согласно формуле (4) получим
2т _______________________ 2т
S = у У(-Я slnt)2 + (flcost)2 dt ~ R I dt = 2вЯ. ►
о о
Пример & Нейти длину эллипсе.
х = a cost, у = b sin t, 0 t < 2ir (О <6^ а).
<4 Так как = - a sin t, = 6 cost, то, применяя фор*
мулу (4) и учитывая симметричность эллипсе относительно
координатных осей, найдем
5 = 4
J Уа2 sin2 t + b2 cos21 dt — 4 j yja2( 1 - cos2t) + b2 cos2t dt =
о • о
т/2 ____________________ */2 _____________________
У У а2 - (а2 - Ь2) cos2t dt = 4а J У i - £2 cos21 dt,
о 0
v/as—b2
где e = ——---------эксцентриситет эллипсй, 0 е < 1. Мы получил так называемый эллиптичес-
кий интеграл, который не вычисляется с помощью непосредственного применения формулы Ньютона—
Лейбница, поскольку первообразная не является элементарной функцией. ►
Замечание. Если положить t = у - г, то получим
т/2 __________ т/2 _________________ т/2
j У1 - £2 cos2 tdt = У - £2 sin2 rdr ~ У УI — с2 sin21 dt;
ООО
именно в этой последней записи интересующий нас интеграл обычно и рассматривают.
Пример 4. Найти длину одной «врки» циклоиды
х = a{t - sin t), у = а(1 - cos t), 0 t < 2irf а > 0 (рис. 28).
Рис. 28
cos t)2 + sin2 t dt ~ a
dt =
cos t dt = a
4 Применяя формулу (4), найдем
S = a
о о
2т 2т
= 2а У |sin -1 dt = 2а j sin - dt =
о о
13.3. Длина кривой в полярных координатах
Пусть кривая '-'АВ задана уравнением в полярных координатах р = /(у?), а у?
где функция /(р) имеет непрерывную производную /'(у>) на отрезке Дня на-
хождения длины кривой составим ее параметрические уравнения. С этой целью вос-
пользуемся формулами перехода от полярных координат к декартовым: х = р cos tp,
у = psinp. Подставляя сюда вместо р функцию f(<p), получим уравнения х =
/(у?) cos tp, у = /(у?) sin у?, которые являются параметрическими уравнениями кривой.
Здесь параметром является полярный угол tp. Дифференцируя последние уравнения,
найдем
= /М cos ip - f(tp) sin y>, yv = f\ip) sin tp 4- /(y>) cos yx
Возводя в квадрат обе части каждого равенства и складывая, будем иметь
х?+у? = [/М]2+[№)]2-
Согласно формуле (4), получим
s = f y/[f(v)]2+ [/W]’* (5)
а
или, что то же,
(6)
Пример 5. Вычислить длину кардиоиды р = а(1 ~ cosy?), а > 0.
4 Из уравнения кардиоиды находим ff — a sin у?, 0 <р < 2я\ Применяя формулу (6), получаем, что
2т 2т 2т 2т
5 = У а2 (I - costp)2+a2 sin2 tp dtp = a J ^2(1-cosy?)dy? = 2a Jsin2 dtp = 2a jsindtp=8a. ►
о ooo
§14. Дифференциал длины дуги кривой
Пусть дана кривая у = /(ж), где функция f(x) имеет на отрезке [а, Ь] непрерывную
производную f(x). Рассмотрим дугу ^АМ этой кривой от точки A (a, /(а)) до пе-
ременной точки М(х, /(я)) (рис. 29). Тогда длина S дуги ^АМ этой кривой будет
функцией от х и выразится формулой
X ____________ X
S = [ <i/l + [f(x)]1dx =
a а
f Vi + [/'(0]2<tt-
Так как подынтегральная функция 1 + [/'(t)]2 непрерывна на отрезке [а, &], то
будем иметь
=£ (7 =йм
или _________
dS I /dy\2
~т~ — \ 1 + (~т~) •
dx у \ dx)
Отсюда для дифференциала длины дуги ^АМ получаем формулу
dS — J1 + f — ] dx или dS = yj(dx)2 + (dy)2.
Геометрический смысл диф-
ференциала длины дуги кривой
заключается в том, что он равен
длине отрезка MN касатель-
ной МТ, ограниченного точкой
касания М(х, у) и точкой
N(x + dx, у + dy) (рис. 29). При
достаточно малом dx = Дж дли-
на Д5 дуги ^ММ1 кривой
у = f(x), отвечающей прира-
щению Да: = dx может считать-
ся приближенно равной длине
отрезка MN касательной МТ,
проведенной в точке М к этой
кривой, т. е.
Рис. 29
Д5 « dS.
Для случая задания кривой параметрическими уравнениями
х = У = VKO, i Т,
где функции p(t) и y>(t) имеют непрерывные производные на отрезке [to, Г], получим
dS = VbW + hHO]2 <Й,
ИЛИ
dS = \fo'2 + у[2 dt.
Из этой формулы, в частности, следует, что если за параметр t взять длину S перемен-
ной дуги, т.е. положить
x = <p(S), у = V>(S),
то
I
dx \ 2 / dy \2 _
dSj + \dSj
Если кривая задана уравнением в полярных координатах: р = f(<p), а < р С Р,
где функция f(<p) имеет непрерывную производную f'(p) на отрезке [а, /9), то
dS == х/р2 Ч- /И2 dy.
§15. Физические приложения определенного интеграла
15.1. Работа переменной силы
Определим работу, которую произведет сила F при перемещении ею материальной
точки М по прямой Ох из точки а в точку Ъ (а < Ь). Из физики известно, что если
сила F постоянна, то работа Л равна произведению величины F силы F на длину пути
в = Ь - а, т. е. А = F • а, при условии, что сила направлена по прямой Ох.
Пусть величина силы F, действующей на материальную точку М по прямой Ох,
является непрерывной функцией от х;
F = F(x)
на отрезке [а, &] прямой Ох. Разобьем отрезок (а, Ь] точками хо = а < ац < «j < ... <
хп = b на п частей с длинами Лац, Да?:,..., Дхп. На каждом частичном отрезке
зд] возьмем произвольнуюточку & и будем считать, что величина силы F наэтом
отрезке постоянна и равна F = F(&). Тогда при достаточно малом Дх* работа ДА*
будет приближенно равна
ДА*« Ffajbxt,
а сумма
п п
даст приближенное значение работы А силы F на отрезке (а, Ь]. Но так как Ап
является интегральной суммой для функции F(x) на отрезке [а, Ь], то за работу А
силы F на отрезке [а, &] естественно принять предел этой суммы при max Дзд —> О,
который существует в силу непрерывности F(x) на (а, Ь]. Таким образом, искомая
работа А будет равна
п *
А = lim - [ F(x) dx. (1)
о
Пример 1. Найти работу А, которая совершается при перемещении заряда qi из точки отстоящей
от заряда qt на расстоянии п, в точку Mj, отстоящую от заряда qi на расстоянии г?, считая, что
заряд 91 помещен в точке Мо, принятой за начало отсчета.
ч Пусть электрические заряды 9i и qj имеют одинаковые знаки, например, </) > 0, qj > 0. Поэто-
му заряд ft будет отталкивать заряд q^, По закону Кулона величина F силы F электростатического
взаимодействия двух точечных электрических зарядов, находящихся а вакууме, равна
тг
где г — расстояние между зарядами, k — коэффициент пропорциональности. Применяя формулу (1),
найдем
А = / drexkqiqi /= *9i9j (~~)| = k9i4i (jT “ Г") ‘ *
JT* Jr* \ т/lri \F) Fj/
П T| 1
15.2. Масса и центр тяжести неоднородного стержня
Пустьдан неоднородный стержень, расположенный на отрезке [а, 6] оси От, линейная
плотность р = р(т) которого известна. Разобьем отрезок [а, Ь] точками
а = xq < а?] < х2 < ... < Zn-i < хп = Ъ
на частичные отрезки [х*_ь х*], на каждом из которых возьмем по одной произволь-
ной точке &, и составим сумму
п
5?й(й)Ах».
fcsel
Так как каждое слагаемое этой суммы является приближенным значением массы части
стержня на отрезке [x*_i, х* ], тоуказанную сумму естественно принять за приближен-
ное значение массы всего стержня. Поэтому массу m всего стержня определим как
п
предел сумм £ p(£k№xk при стремлении к нулю max Дх* —> 0,т.е. как интеграл
*=I lOCn
ъ
J р(х) dx.
а
Таким образом, масса m стержня равна
ь
а
Для определения центра тяжести неоднородного стержня используем формулу
для координаты центра системы материальных точек Afi, Mi,..., Afn, имеющих мас-
сы Ш|, т2,..., 7Пп и расположенных в точках х\, X],..., хп оси Ох. Координата хс
центра тяжести этой системы находится по формуле
п
52 HlfcXjk
?П|Х| + m2xi + ... +mnxn
хс =---------------------------- —г-----. (3)
mi+m2 + ... +тп А т
> . тк
к=1
Разобьем отрезок [а, 6] точками а = х0 < xt.. < хп = Ь на частичные отрез-
ки fxfc_i, Xk] и вычислим массу тк части стержня, расположенной на этом отрезке.
По формуле (2) имеем m* = J р(х) dx. Применив формулу среднего значения
*fe-i
к этому интегралу, получим, что
тк - p(£k)(xk - xk-i) = р({к)Дхк, где х*_» < & < хк.
Допуская, что масса тк сосредоточена в точке £к Отрезка (х*-!, xj, неоднородный
стержень можно рассматривать как систему материальных точек с массами тк, рас-
положенных в точках & отрезка [а, Ь]. Так как
П Fl i
*='
dx =
ъ
J р(х) dx = т,
а
то по формуле (3) найдем приближенное выражен и е для координаты хе центра тяжести
неоднородного стержня:
52
ь=1
(4)
Выражение, стоящее в числителе правой части (4), является интегральной сум-
мой для функции хр(х) на отрезке [а, д]. Поэтому координату хс центра тяжести
неоднородного стержня определим по формуле
ь
J хр(х) dx
Пример 2. Найти координату хе центра тяжести неоднородного стержня, линейная плотность которого
р = х, а длина I — 1.
< Находим массу данного стержня
Искомая координата центра тяжести равна
= 2 J = j. ►
§ 16. Приближенное вычисление
определенных интегралов
При решении физических задач приходится иметь дело с определенными интегралами
от непрерывных функций, первообразные которых не выражаются через элементар-
ные функции. Это приводит к необходимости получения приближенных формул
для вычисления Определенных интегралов. Приведем две из них, а именно, формулу
трапеций и формулу парабол.
16.1. Формула трапеций
Пусть требуется вычислить интеграл ~
J f(x) dx,
где функция f(x) непрерывна на отрезке (а, Ь]. Для упрощения рассуждений будем
считать, что f(x) 0.
Разобьем отрезок [а, 6] на п равных частей точками
а = а?0 < < Х2 < ... < хп-\ < хп =Ъ
и с помощью прямых х = хь (к = 0,1,..., п) построим п прямолинейных трапеций
(рис. 30). Сумма площадей этих трапеций приближенно равна площади криволиней-
ной трапеции аАВЬ, т. е.
f }{х) to «(J, _ Io) + (I2 _ ri)+... +
J ' i &
a
+ (Xn _ Ini) = b-^ [/(e) + J(b} + 2 g j( ,
fcxsl
где /(ajfc_i) и /(я*) — соответственно основания трапеций, a xk - — их
высоты. Таким образом, получена приближенная формула
/ №) dx « b—^ [/(а) + f(b) + 2 £ /(«,)],
которая называется формулой трапеций. Эта формула тем точнее, чем больше п.
Замечание. Если функция f(x) имеет на [а, S] непрерывную производную второго порядка f"(x), то
абсолютная величина погрешности не превосходит числа
М 12п’
гдеМ== max |/"(х)|.
Пример 1. Пользуясь формулой трапеций, вычислить приближенно интеграл
/^прип=10.
< Разобьем отрезок |0,1] на 10 равных частей точками ж0 = 0; ач = 0,1; ... ; х$ — 0,9; = 1
и вычислим приближенно значения функции f(x) = в этих точках:
/(0) - 1,0000;
/(0,1) = 0,9091; /(0,2) - 0,8333; /(0,3) = 0,7692;
/(0,4) = 0,7143; /(0,5) = 0,6667; /(0,6) = 0,6250;
/(0,7) = 0,5882; /(0,8) = 0,5556; /(0,9) = 0,5263;
/(1) = 0,5000.
Применяя формулу трапеций, получим
Г dx 1 /1.0000 + 0 5000
/ —ГТ « Л ......... — + 0,9091 + 0,8333 + 0,7692+0,7143 + 0,6667 + 0,6250 +
J х + 1 101 2
О' .
+ 0,5882 + 0,5556+0,5263] = 0,69377 и 0,6938.
Оценим погрешность полученного результата. Так как
та z'w = -(JTi7’
На отрезке [0,1] имеем |/"(г)| 2, а значит М = max = 2. Поэтому погрешность получен-
о<«<1
ного результата на превосходит величины
„(Ь-о)2 2 1
м SST = ТТи? = 600 < °’001’-
Точное значение данного интеграла легко находим по формуле Ньютона—Лойбница:
[ -^7 = 1п(х + 1)1’ = In 2 « 0,69315.
J X + 1 ’О
о
Абсолютная ошибка результата, полученного по формула трапеций, меньше 0,0007, что находится в со*
ответствии с приведенной выше оценкой погрешности. ►
16.2. Формула парабол
Вычислим сначала площадь Q криволинейной трапеции, ограниченной дугой M$Mi
параболы у = А®2 + В®+С, проходящей через точки М0(0, Ito). Mj 0, у}^, Mi(hy Уг)
(рис. 31). Площадь Q будет равна
л т о
/, э . х |л X |л
(Ах2 + Bx + C)dx = Ау|о+Ву|о + Сх|о =
о (1)
h3 h2 h->
= A-+B — + Ch=- (2Ah2 + 3Bh + 6C).
3 2 6
Выразим площадь Q через ординаты то-
чек Afo, М\, М^. Подставляя коорди-
наты этих точек в уравнение параболы,
получим
У
М2
уо — Ct У] — А —- + В - + С,
4 2
3/2 = АД2 + Bh + С.
Отсюда находим, чТо
2АД2 + 3Bh + 6С = Уо + 4у} +у2
и поэтому
м,
у = Ах2 + Вх + С
0
h
л h , v .
Q = £ (jto + 4j/i + %).
Рассмотрим теперь определенный интеграл
ъ
h
2
Рис. 31
где f(x) ~ произвольная функция, непрерывная и неотрицательная на отрезке [а, 6].
Разобьем отрезок [а, Ь] на 2п (четное число) равных отрезков точками
а = < ®1 < ®2 < ♦ • ♦ < ®2n-2 < ®2п-1 < ®2п = 'Ъ
и представим интеграле виде суммы
Ъ ®2 S4 2п
У f(x)dx = У f(x)dx + У /(®)d® + ... + у* f(x)dx. (2)
а «О *2 2п—2
Проведем через точки х* прямые, параллельные оси Оу и обозначим через А, М\,
Mi».. ., Af2n-2> M2n-i, В точки пересечения этихпрямых с кривой у = f(x), а их ор-
динаты обозначим чрез у0, Уь 1/2> •»У2п-2, !/2п-1» J/2n* Через каждые три точки Л^2*-2»
Л/гк-ь М2к (к = 1,2,... ,п) проведем параболу с вертикальной осью симметрии,
В результате получим п криволинейных трапеций, ограниченных сверху параболами
(рис. 32). Так как площадь частичной криволинейной трапеции, отвечающей отрезку
[®2*-2,» ®2а] приближенно равна площади соответствующей «параболической» трапе-
ции, то, учитывая, что длина h отрезка [хга*—а» ®2*] равна по формуле (1) имеем
*2* Ъ
J f(x) dx » (У2*~2 + 4У2*-1 + У2к),
где Ук = /(^к), к = 1, 2,..., п. Подставляя в правую часть равенства (2) вместо
интегралов их приближенные значения, получаем приближенную формулу
ъ
/ /(®) dx « ~2~~—[уо + У2п + 2(lft + J/4 + .. • + 1/2п-2) + 4(16 + Уз + .. . + P2n>l)l.
у ъп
а
Эта формула называется формулой парабол или формулой Симпсона.
Замечание. Если функция f(x) имеет на отрезке [а, Ь] непрерывную производную четвертого поряд-
ка /lv(x), то абсолютная величина погрешности формулы Симпсона не больше чем
М
гдеМ= max |/,v(s)|.
2880я* ’
Погрешность формулы Симпсона с ростом п уменьшается быстрее, чем погреш-
ность формулы трапеций. Поэтому формула Симпсона позволяет получить большую
точность, чем формула трапеций.
Пример 2. Вычислить приближенно интеграл
о
по формуле Симпсона при 2п = 4.
4 Разобьем отрезок (0,1] на четыре равных части точками
Е0 = 0; Х| = 0,25; = 0,50; х$ = 0,75; х4 = I
и вычислим приближенно значения функции у ~ в э/их точках:
j/о = 1,0000; j/i = 0,8000; j/j = 0,6662; j/з = 0,5714; 1/4 = 0,5000.
По формуле Симпсона находим
о *
= ~ [1,0000 4- 0,5000 4- 2 • 0,6662 4- 4(0,8000 4- 0,5714)’ « 0,69325.
Оценим погрешность полученного результата. Подынтегральная функция /(х) = имеет производ-
ную четвертого порядка /|V (х) = , для которой получаем
М= max |/lv(x)|= max — 24 . =24.
, ' 'I 0Са<1 (14-х)5
24
Погрешность результата не превосходит величины < 0,0005. Сравнивая приближенное значение
интеграла с точным, приходим к выводу, что абсолютная ошибка результата, полученного по формуле
Симпсона, меньше 0,0001, что соответствует полученной выше оценке погрешности. ►
Эти примеры показывают, что формула Симпсона дает более точные приближен-
ные значения определенных интегралов, чем формула трапеций.
Упражнения
Вычислить определенные интегралы, пользуясь формулой Ньютона—Лейбница.
1 4 2 1. у x3-\/xdx. 2, У ^у/х — dx. 0 1 »/* , 2 1 ? 1 + COS2 X f 2 , 4. / — dx. 5. / tg x dx. J 1 + cos 2x J 0 0 » 3 _ f r, x- j » f xdx 7. / V4 + cos 2z dx. 8. / — J J >/x + 1 0 0 ». ‘j 1 J zvlnx J V1 - X2 3. j 2х- 3~x dx. 0 3 6. У |z| dx. J Л5 + ЗХ* 0 12 f H* -b ^9 • J V9 + a
13./
о
х dx
V\ + х*
x dx
V 4 — x4
15. у 3е0’’ * sin 2x dx.
о
*/2
Г cos х - sin X
/ --------------dx.
J cos x + sin X
0
*/|2
17. У In sin 2x • ctg 2x dx.
sh2 x dx.
cos(lnz)
----—— dx.
x
Применяя формулу интегрирования по частям, вычислите следующие интегралы:
2ir 1 1
22. J х sin x dx. 23. J ln( 1 + x) dx. 24. J x sh x dx.
0 0 0
1/У2 1
26. J arcsin x dx. 26. j x3e~i dx.
0 0
Вычисление площадей
27. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой у = хг+2х—3 и прямой;/ = z+3.
28. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой у = 2х - х2 и прямой у = —х.
29. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой у = х2 — 1, прямой х = 2 и осями
координат.
30. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболами у = х2 — 3z—4hj/ = 4+3z-z2.
31. Вычислите площадьфигуры, ограниченной прямыми у = х— 1, у = 1 и кривой у = In х.
32. Вычислите площадь фигуры, ограниченной кривыми у = е~х, у = е* и прямой х = 1.
33. Вычислите площадь фигуры, ограниченной кривой у = х2, прямой у = 8 и осью Оу.
34. Вычислите площадь фигуры, ограниченной астроидой х = a cos31, у = a sin31 (а > 0).
35. Вычислите площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды х = a(t — sin /),
у = а(1 — cos/), а > 0, и осьюабцисс.
36. Найдите площадь фигуры, ограниченной кардиоидой х = а(2 cos / — cos 2/),
у = а(2 sin / - sin 2/), а > 0.
37. Найдите площадь фигуры, ограниченной кривой р = a sin 9? (а > 0).
38. Найдите площадь фигуры, ограниченной кривой р = a sin 2<р (а > 0).
39. Найдите площадь фигуры, ограниченной кривой р = 2 + sin <р.
Вычисление объемов тел
40. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох одной полуволны сину-
соиды у = sin х (0 х л).
41. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох кривой у = sin2 х
(0 х тг).
42. Найдите объем эллипсоида, образованного вращением эллипса + р- = 1 вокруг
оси Ох.
43. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох площадки, ограниченной
осью Ох и параболой у = ах — х2 (а > 0)
44. Найдите объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной
параболой у = х2, осью Оу и прямой у = 1.
45. Найдите объем сегмента, отсекаемого плоскостью х = а от эллиптического параболоида
«1 + £ - х
2₽ + 2q Х-
46. Найдите объем тела, ограниченного однополостным гиперболоидом ~ 1
и плоскостями z = 0 и z — h.
Вычисление длин дуг
47. Вычислите длину дуги параболы у = у- от точки (0,0) до точки (1, •
48. Вычис лите дли ну дуги по лукубической параболы у = у/х^ от начала координат до точки
4(1,1).
49. Найдите длину дуги кривой у = 1пхот® = >/3до® = \/8.
50. Найдите длинудуги кривой у = In sin х от х = | до х = |.
51. Найдите длину кривой х = a cos31, у = a sin31 (а > 0) (астроида).
52. Найдите длинудуги кривой х= у -1, у = t2 + 2 от t = 0 до t = 3.
53. Найдите длинудуги кривой х = е‘ cost, у = е‘ sint от t = 0 до t = In ir.
54. Найдите длину дуги логарифмической спирали р = ае'₽(а > 0), находящейся внутри
круга р а.
55. Найдите длину кривой р = a sin <р (а > 0).
55. Найдите длину первого витка спирали Архимеда р = а<р (а > 0).
Ответы
1. |. 2. |+1п4. 3. |1п|. 4. 4*. 5. tg 1 - I. 6. 6,5. 7.0, 8. |. 9. 10. 2. 11. I. 12. | In2 3.
13. 11п(4+У17). 14. п- 15. пи - 16- °- 18. sin 1. 19. sh21. 20. in J. 21.1n3-|, 22. -2ir.
23. in 4-1.24. e"1.25. 2*^. 26.2 -л/ё. 27. . 28.4,5. 29. 2. 30. . 31. e- 2,5. 32.2 ch I-2.
33. 12. 34. |тгй2. 35. 3ira2. 36. 6ira2. 37. 38. if. 39. |тг. 40. fI*2- <2. |irab2.
43. if. 44. f. 45. ira2y/pq. 46. ffabft (1 + £). 47. ] [Л+1п(1 + y/2)]. 48. . 49. 1 + J in |.
50. I ln3.51.6a. 52.12. 53. (ff - 1)л/5. 54. ay/2. 55. ira. 56. ira\/l + 4тг^ + | In(2ff + \/1 •+ 4jtj j.
Гпава XIV
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§1 . Интегралы
с бесконечными пределами интегрирования
1.1. Определения. Примеры
Понятие определенного интеграла связано с функцией, рассматриваемой на некото-
ром конечном отрезке [а, &], так что область интегрирования в определенном инте-
грале всегда ограничена- Однако часто приходится иметь дело с функциями в не-
ограниченных областях: в бесконечных полуинтервалах вида [а, +оо) или (-оо, Ь],
или же в интервале (*~оо, 4-оо). С подобной ситуацией мы встречаемся, например,
при вычислении потенциала гравитационной или электростатической силы.
Чтобы распространить понятие определенного интеграла на случай неограни-
ченных областей интегрирования, нужны новые определения, устанавливающие, что
следует понимать под символами
+оо b +оо
У f(x) dx, J f(x) dx и У f(x) dx.
a -oo -oo
Пусть функция f(x) определена для всех х > а и интегрируема (например,
непрерывна) на каждом конечном отрезке а х Ь, где a — фиксировано, a b a —
произвольно. Определим, что мы будем понимать под символом
+00
У f(x)dx (1)
а
(несобственный интеграл 1-города). Рассмотрим функцию аргумента Ь > а
ь
J(b) = I Лх) dx. (2)
Определение. Если при Ь +оо функция J(b) имеет конечный предел L, то мы
называем несобственный интеграл (1) сходящимся и полагаем по определению
+00 У f(x) dx = а Ь = lim / f(x) dx = L. b~‘+oo J а
Если при b —> +оо функция J(d) не имеет (конечного) предела, то мы называем
интеграл (1) расходящимся и не приписываем ему никакого числового значения.
Пример 1. Рассмотрим несобственный интеграл
4 По определению
+00 . Ь
/ 1/ dX г
/ 1----------------------------Т = 1|т
J 1 4- X2 Ь-»+ас J 14-Х2 Ь-»+ос
О О
так что интеграл
dx
14-х2
сходится и равен у. к
Пример 2. Рассмотрим несобственный интеграл
+00
COS X dx.
О
◄ Так как интеграл
У cos х dx = sin Ъ
о
не имеет предела при b -* 4-оо, то данный несобственный интеграл расходится. ►
Пример 3. Пусть точечные электрические заряды 91 и 92 имеют одинаковые знаки, например, gi > О
и дз > 0, так что заряд 91 будет отталкивать заряд 92. По закону Кулона сила F электростатического
взеимодейстаия в вакууме двух точечных электрических зарядов равна
г2 ’
где т — расстояние между зарядами, £ — постоянная.
Пусть заряд 9j помещен в точке Л/q, которая принимается за начало отсчета. Требуется найти
работу А по перемещению заряде 92 из точки М, отстоящей отточки Мо на расстоянии ri, в беско-
нечность. Искомая работа А выражается несобственным интегралом
+09 , +00 .
. = j*.
. П п
По определению
Таким образом, А = Если 92 — единичный заряд, то Л = Эта величина называется
потенциалом поля, создаваемого зарядом 91. ’
Пример 4. Рассмотрим интеграл
+00
/ (а = const). (3)
1
Установим, при каких значениях а интеграл (3) сходится и при каких расходится. По определению
имеем
+00 , » .
г dx [ dx ч
J Ха ~ Ь-'+оо J Xе ‘
I I
Пусть о^1. Тогда
ь ,
г dx
I
Ь'~а_______1
1 - а 1 - а
Поэтому, если а > 1, то
х
lim
. /ь 1 А 1
hm ---------------- =--------
—*+оо \ 1 — о 1-о/ о-1
так что при а > 1 интеграл (3) сходится; если же о < 1, то при Ь -♦ +оо интеграл
не имеет конечного предела, так что при а < 1 интеграл (3) расходится.
Пусть о = 1. Тогда
7^=1лб,
откуда видно, что при а = 1 интеграл
- ------- 4-00.
!а Ъ—+оо
Следовательно,
интеграл у —
сходится, если о>1,
расходится, если а 1,
Полученные результаты имеют простой геометрический смысл. Рассмотрим область D, ограни-
ченную слева прямой х = 1, снизу — осью Ох, а сверху — кривой у = (рис. 1). Вправо эта область
простирается безгранично. Условимся под площадью всей бесконечной области D понимать предел
площади конечной ее части до прямой х = Ь (рис. 2) при b -* 4-оо. Тогда полученные выше резуль-
таты будут означать, что если область D сверху ограничена кривой у = , где а > 1, то она имеет
конечную площадь, если же верхняя граница области D есть гипербола у = - или кривая у = , где
а < 1, то говорить о площади области D не имеет смысла.
Замечание. Нетрудно видеть, что для любого а 6 > 0 интеграл
+00 ,
Рис. 1
Рис. 2
Пользуясь определением несобственного интеграла
можно доказать справедливость следующих утверждений.
1. Если интеграл
+00
У f(x)dx
а
сходится и А — любое действительное число, то интеграл
+оо
У А/(®) dx
а
также сходится, причем
+00 +00
У Xf(x)dx = X У f(x)dx.
а а
2. Если интегралы
сходятся, то интеграл
также сходится, причем
4 Действительно, для любого b > а
Каждое слагаемое в правой части (5) имеет предел при Ъ —* +оо. Значит, существует
предел левой части (5) при Ъ —* +оо, т. е. интеграл
(/(®) + P(s)) dx
сходится. Переходя в равенстве (5) к пределу при Ъ +оо, получаем равенство (4). ►
Задача. Пусть интеграл +00 У (/(*) +dx а
сходится. Что можно сказать о сходимости интегралов
+00 +00 У f(x)dx и £ p(x)dx?
Можно показать, что если функции и(х) и v(x) непрерывно дифференцируемы
на полупрямой х а, то
(6)
(формула интегрирования по частям). При этом предполагается, что из трех входя-
щих в равенство (6) выражений (два интеграла и двойная подстановка) имеют смысл
по крайней мере два; существование третьего отсюда уже вытекает.
Пример. Рассмотрим интеграл
+00
Л» = хпе х dx
о
(п — натуральное число или нуль).
Ч Интегрируя по частям, находим
+00 +оо
= У хЛе~* dx = -(xne~x)°° + п J xn~* le~x dx = nJn_j (п = 1,2,...).
о о
Замечая, что
/ +00
j0= У е~* dx= 1,
а
получаем
Л = п!. ►
1.2. Несобственные интегралы 1-го рода от неотрицательных функций.
Теоремы сравнения
Во многих задачах вычислять несобственный интеграл не требуется, а нужно лишь
установить, сходится ли этот интеграл или расходится. Вопрос о сходимости или*
расходимости несобственного интеграла часто решается с помощью теорем сравнения.
Теорема 1 (сравнения). Пусть на отрезке [а, Ь] при любом b > а функции f(x) и <р(х)
интегрируемы и
Тогда
1) если интеграл
а
сходится, то сходится и интеграл
+<х
J f(x) dx;
а
2) если интеграл
+ 00
j f(x) dx
а
расходится, то расходится и интеграл
+00
J <р(х) dx.
◄ 1) Пусть интеграл
, +оо
J <р(х) dx
а
сходится. Докажем, что сходится и интеграл
+00
У f(x) dx,
а
Ь
т. е. J(b) = J f(x) dx имеет конечный предел при b -+ +оо.
а
Прежде всего из неотрицательности функции f(x) Ух а следует, что J(6) есть
неубывающая функция от Ь. Действительно, если Ь] > Ъ, то
b| ь Ь\ ь
J(bi) = J f(x) dx = J f(x)dx + J f(x)dx^ J f(x)dx = J(b).
a a b a
Далее, т. к. f(x) <p(x) Vx а, то при любом b > а имеем
ь b
У f (x) dx У <p(x) dx.
a a
b +oo
Интеграл f <p(x) dx не превосходит несобственного интетрала f <р(х) dx который
а а
по условию сходится. Следовательно, при любом b > а имеем
ь +оо
•^(Ь) = У f(x) dx У <р(х) dx = L.
а а
ъ
.Итак, интеграл J(b) = f f(x)dx представляет собой функцию от Ь, неубывающую
а
и ограниченную сверху (при b —> +оо). Поэтому J(b) имеет конечный предел при
+00
Ь -+ +оо, а это, согласно определению, означает, что интеграл f f(x) dx сходится,
а
Первое утверждение теоремы доказано.
2) Докажем второе ее утверждение. Пусть интеграл
+оо
J f(x) dx
а
расходится. Применяя метод рассуждения от противного, допустим, что интеграл
+00
J <р(х) dx
а
сходится. Тогда, согласно уже доказанной первой части теоремы, будет сходящимся
+00
интеграл f f(x) dx, что противоречит условию. Следовательно, наше допущение
а
4-00
неверно, т. е. интеграл f <р(х) dx расходится. ►
а
Пример. Рассмотрим несобственный интеграл
7° „
J l+^+sin’x
в
4 Исследовать его на сходимость при помощи определения не представляется возможным. Восполь-
зуемся тем, что для всех х 0 функция
е-’
/(«) « 1--5---ГТ-
1 + X2 * + Sin4 X
удовлетворяет условию
. 1
0< 1+^+Sin4»
Так как интеграл
+х ,
г dx
J. 1+ж2
о
сходится, то в силу теоремы 1 сходится и рассматриваемый интеграл. ►
Теорема 2 (сравнения). Пусть функции f(x) и <р(х) непрерывны и неотрицательны для всех
х а и пусть tp(x) отлична от нуля для всех достаточно больших х. Тогда, если
существует конечный предел
bm -y—r = « F О,
r-’+оо
то интегралы
+00 +00
J f(x) dx и J <р(х) dx
а а
сходятся или расходятся одновременно.
4 Пусть
Um 44 = *>°.
г—+оо
Эго означает, согласно определению предела, что для всякого числа е > 0, например,
е — >0, существует такое число 2V, что для всех х > # выполняется неравенство
/(*)
к
2’
или, что то же,
k
2
/(*) < 3
^(®) 2
Отсюда, в силу того, что <р(х) > 0, получаем двойное неравенство
к 3
2 < < 2 k<P^ N‘
Пользуясь теоремой 1, из неравенства f(x) < | к<р(х) заключаем: если интеграл
+00 +00
/ <р(х) dx сходится, то сходится и интеграл / f(x) dx', из неравенства |^(х) < /(®)
N
N
усматриваем: еслиинтеграл fp(x)dx расходится, то расходится и интеграл j f(x)dx.
N
N
Аналогично устанавливаем, что если интеграл f f(x) dx сходится (расходится),
N
+оо
то интеграл / <р(х) dx будет также сходящимся (расходящимся).
N
+00 +00
Полученные выводы остаются в силе и для интегралов / f(x) dx и f <р(х) dx.
а а
+оо
Это следует из того, что интеграл / д(х) dx будет сходящимся или нет одновременно
а
+оо
с интегралом / д(х) dx, где р > а — сколь угодно большое фиксированное число,
р
поскольку разность этих интегралов является собственным интегралом. ►
Пример. Исследовать на сходимость интеграл
7 2»2+i
/ dz.
J г3 + Зх + 4
«I На полупрямой z 1 подынтегральная функция /(z) = > 0. Запишем ее так:
* + ; + ?
Отсюда видно, что для больших z функция /(z) ведет себя как |. Выберем в качестве функции срав-
нения ^(z) = |. Будем иметь
.. /(«) (2z2+l)-z
lim —7-7 = lim —5—т-2—7 - 2 # 0.
*-+00 tp{x) *-+00 х3 + 3z + 4
Интеграл
+00 .
/т
)
расходится. В силу теоремы 2 расходится и донный интеграл. ►
+00
Используя теорему 1, а также результаты, касающиеся интеграла / fzr, приходим
1
+00
к следующим признакам сходимости и расходимости интеграла / /(ж) dx от неотри-
а
нательной функции f(x).
Теореме 3. Если существует такое число а > 1, что для всех достаточно больших х
° < №) *
Ж
где М > 0 и не зависит от х, то интеграл
+00
J f(x) dx
а
сходится.
Если для всех достаточно больших х
М
/(ж) — (М > О, М независитот ж),
х
то интеграл
+00
J f(x) dx
а
расходится.
< Пусть условие
(“>0
«С
-изо
выполнено для всех ж > Л > тах{а,0}. Так как интеграл f £*dx для а > 1
А
сходится, то, взяв в качестве <р(х) функцию по теореме 1 получим, что сходит-
+00
ся и интеграл J* /(ж) dx. Отсюда, в свою очередь, вытекает сходимость интеграла
А
+оо
J f(x) йж, так как
а
b А b
J /(ж) dx = J /(ж) dx + J f(x) dx
а а А
Ъ Ъ
и при Ь -+ +оо интегралы J /(ж) dx и f f(x) dx имеют конечные пределы только
а А
одновременно.
М
Пусть теперь для всех х > А > тах{а, 0} выполнено условие/(«) > ®)-
+оо +00
Так какинтеграл J %- dx расходится, топотеореме 1 расходится и интеграл J f(x) dx,
А А
+оо
а вместе с ним и интеграл J f(x)dx. к
а
Пример. Исследовать на сходимость интеграл
+ос
[ х-2
J х3 + х2 + 2х+ 5
3
◄ Для х 3 имеем
х - 2 х 1
0 < "Т-----------------------------5--;---7 < “Г =
х3 + х2 + 2х + 5 а:3 х2
Интеграл
+ 00 ,
/dx
х2
3
сходится (а = 2 > 1). Следовательно, сходится и данный интеграл. ►
1.3. Абсолютно сходящиеся интегралы 1-го рода
Пусть функция / (г) определена для х а и интегрируема на любом отрезке [а, Ь],
где b > а.
Определение. Интеграл
+00
J f(x) dx
а
Ч-оо
называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл J | f (х) | dx.
а
4-00 +00
Если интеграл J f(x) dx сходится, a J расходится, то
а а
+оо
J f(x) dx
а
называют (условно) сходящимся интегралом.
Теорема 4. Если интеграл
+00
сходится, то сходится и интеграл
+00
J f(x) dx.
а
+00
◄ Пусть интеграл / 1/(®)1 dx сходится,
а
Ъ
lim / |/(ж)| dx = L < +оо.
Ь-*+оо J
а
Так как для всякого х из области определения функции / (х)
Ч№)1 /(*) 1№)1,
то
о |/(х)1 + /(х) 2|/(х)|. (1)
+00
Вместе с интегралом J* |/(ж)| dx, который сходится по условию, сходится и интеграл
а
+00 +00
J* 2|/(ж)| dx — 2 f dx. Поэтому, согласно 1-й теореме сравнения, из (1) еле-
а а
+оо
дует, что сходится также и интеграл J (/(ж) + |/(ж)|) dx. Последнее означает, что
а
Ь
интеграл J(f(x) + |/(я)|) dx при Ъ —► +оо имеет конечный предел,
а
Имеем, очевидно,
№) = (/(ж) + |/(ж)|) -|/(®)| VOa,
откуда для всякого Ь > а
ъ ъ ь
У /(ж) dx — (/(ж) + |/(z)|) dx- J |/(ж)| dx. (2)
а а а
Каждое слагаемое&правой части (2) имеет конечный предел при Ь —► +оо. Следова-
тельно, интеграл J* f(x) dx при Ъ —► +оо также имеет конечный предел, т. е. интеграл
+00 д 4
J f(x) dx сходится. ►
а
+°°
Теорема 1 и результаты, касающиеся интегралов J , позволяют сформулировать
1 +оо
следующий признак абсолютной сходимости интеграла / f(x)dx.
Теорема 5. Если существует такое число а > 1, что для всех достаточно больших х
функция f (х) удовлетворяет условию
1/(«)1 (3)
где М > 0 w не зависит от х, то интеграл
+00
/ f(x) dx
сходится абсолютно.
я
4 В самом деле, пусть условие (3) выполнено для всех х > А > тах{а, 0}. ТЬк как
+00 +00
интеграл f dx для а > 1 сходится, то по теореме 1 сходится интеграл f [f(x) | dx.
А А
+00 +00
А тогда сходится и интеграл / l/(z)l dx, и, значит, интеграл / f(x) dx сходится
а а
абсолютно. ►
Пример. Рассмотрим интеграл
4 Имеем, очевидно, | | С ? Vx > 1. Интеграл
сходится, следовательно, данный интеграл сходится абсолютно. ►
Итак, если интеграл
+00
а
сходится абсолютно, то он сходится. Обратное неверно: интеграл
может быть сходящимся, но не быть абсолютно сходящимся.
Пример. Рассмотрим интеграл
(4)
4 Для исследования вго сходимости применим формально интегрирование по частям:
+ 00, +00 , +оо +00 +ос
fslnx . fl .. . OOSX t OOSX f C0SX
у dx = - /-d(COSX)^-— - / —dx=cosl- / -y-dx. (5)
Л J £ X л J J Л
11 1 1 1
+00
Интеграл J dx сходится абсолютно и, значит, сходится. Таким образом, оба выражения в правой
1 г
части (5) конечны. Поэтому, во-первых, проделанное интегрирование по частям законно, а во-вторых,
левая часть конечна, т. в. интеграл /° — dx сходится.
Покажем теперь, что интеграл (4) не сходится абсолютно, т. е. что интеграл
+00. , ,
(О
I
расходится Действительно, иэ неравенства
, , j l-cos2x
| sin х| > sin х —-j-
при любом Ъ > 1 имеем
/ ) sin х) 1 г dx 1 г cos 2х . ...
<7)
1 I 1
+оо
Интеграл / — расходится;
' Пт [ — = +оо.
4- .+00 J X
I
Интеграл J dx сходится. Чтобы а этом убедиться, достаточно проинтегрировать его по частям
-I *
(см. (5)), Переходя в неравенстве (7) к пределу при Ъ -* +оо, получим, что правая, а следовательно,
и левая часть этого неравенства стремятся к бесконечности и поэтому интеграл (В) расходится. Таким
образом, интеграл (4) не сходится абсолютно. I»
Приведем один достаточной критерий сходимости интегралов, называемый при-
знаком Абеля—Дирихле.
Теорема б, Пусть
1) функция f(x) непрерывна и имеет ограниченную первообразную F(x) при х а;
2) функция д(х) непрерывно дифференцируема при г а;
3) функция д(х) монотонно убывает при х а;
4) lim д(х) = 0.
*—♦+00
Тоеда интеграл
+00
J f(x)g(x) dx
а
сходится.
Пример. Применим признак Абеля—Дирихле к исследованию сходимости интеграла
+ос .
/stnx Л
— dx, а > 0. (8)
)
4 Функция /(х) = sin х имеет всюду ограниченную первообразную Г(х) - - cosx, а непрерывно
дифференцируемая при х > 1 функция g{x) = jr (а > 0) монотонно убывает и стремится к нулю,
когда х —> +оо. Все условия теоремы Абеля—Дирихле выполнены, так что интеграл (8) сходится, а»
Задача. Доказать сходимость интеграла Френеля
'' +00
I sin х2 dx.
о
(Указание: сделать замену переменной х2 = L)
1.4. Глазное значение интеграла 1 -го рода
Несобственный интеграл
ъ
J f(x) dx
-00
определяется следующим образом:
4 Зак. 628
98 Г лай XIV. Несобственные интегралу
ь
Интеграл f f(x) </жназываётсясходяи<<4мся,еслиуказанныйпределсуществует,ирас-
ходящимся в противном случае.
Если оба предела интегрирования бесконечны, то по определению полагают
+оо b
I f(x) dx = lim I
J b—+oo J
__ в“^—00 -
•oo . a
или
+oo
J f(x) dx =
-co
N2
lim I f(x) dx
Xj ->+oo J
X2-.+<s_jV1
(NUN2 —* +oo незавйсимо друг от друга). Может оказаться, что определенный та-
ким образом несобственный интеграл не существует, но существует главное значение
интеграла по Коши, определяемое по формуле
т. е. когда Ni = N2 = N (v. р. — начальные буквы слов valeur principal — главное
значение). Тогда говорят, что несобственный интеграл
+00
J f(x) dx
-00
сходится в смысле главного значения по Коши.
Пример. Рассмотрим интеграл
+00 ,
г xdx
J1 +х2'
<4 Имеем
xdx 1
J Т+72 “ 21п
ATj
1 + ^2’
откуда видно, что при произвольном стремлении N\
+оо •
т. е, интеграл J т расходится. В то же время
-гг> 1+*
N2 к +оо интеграл / предела не имеет,
-Xi
и
+orxdx
V-P- Jr^ = N'
-00
-н
xdx _ 1 1+Лг2
l+x2 " 2 ° 1+№ “°’
т.е. рассматриваемый интеграл сходится в смысле главного значения по Коши. ►
§ 2. Интегралы от неограниченных функций
2.1. Определения. Примеры
Необходимым условием существования опреде-
ленного интеграла
ъ
J f(x) dx
а
является ограниченность функции f(x) на отрез-
ке [а, Ь]. Так что, если, например, функция f(x)
интегрируема на отрезке [a, &i ], где &i < b, и не-
ограничен в окрестности точки х = Ь, то интеграл
от f(x) на [а, 6] в обычном смысле (в смысле Ри-
мана) не может существовать. Однако при помощи
новых определений понятие интеграла можно рас-
пространить и на такие случаи, когда подынтегральная функция оказывается неогра-
ниченной на отрезке интегрирования.
Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [а, b - е] при любом как угодно
малом € > 0, но не ограничена в интервале (Ь - е, Ъ) (см. рис. 3). Определим, что мы
будем понимать под символом
ъ
J f(x)dx (1)
(несобственный интеграл 2-го рода). Для этого рассмотрим функцию от € (е > 0):
Определение. Если при € 0 + 0 функция J(e) имеет конечный предел L, то мы
ъ
говорим, что несобственный интеграл f f(x) dx сходится, и полагаем по определению
а
onpi
lim
€-0+0
(2)
Если при в -+ 0+0 функция J(e) не имеет предела, то говорят, что несобственный
интеграл (1) расходится и не приписывают ему никакого числового значения.
Пример. Рассмотрим интеграл
Здесь функция f(x) — -....... непрерывна и, значит, интегрируема на любом отрезке |0,1 - е],
VI-*2
£ > 0, но при х ~+ 1 - 0 функция /(т) -♦ +оо. Имеем
11m / -т=£~== = 11m farcsin(l - е)1 = arcsin 1 =
f-o+o J Vl -z2 «-o+o\ ' v 2
о
так что рассматриваемый несобственный интеграл сходится. ►
Аналогично, если функция f(x) неограниченатолько в интервале (а, а+с), е > 0,
несобственный интеграл
/ ъ
f(x) dx
определяется так:
(3)
Несобственный интеграл
ъ
f(x) dx
называется сходящимся, если указанный предел существует, и расходящимся
тивном случае.
Пример. Исследовать нв сходимость интеграл
। .
/ dx
J z“‘
о
— в про-
(4)
◄ По определению
г dx
I .
f dx
Так как при а # 1
I dx _ Х1-а
' ха ~ 1 - а
1___?~а
1 — а 1 — а
0
то
Г dx 1
I ~z = i---» если а < 1;
' ха 1-а
1 dt
если же а > 1, то интеграл / р не имеет конечного предела при е -> 0 + 0.
При а = 1 имеем
। .
г dx
I — = - In с —► +оо. ►
X *-«0+0
Следовательно,
интеграл
сходится, если
расходится, если а > 1.
Если функция f(x) на отрезке (а, Ь] не ограничена только в окрестности точки с,
где а < с < Ь, то полагаем
Ъ с Ь z с—ci Ь 1
f(x)dx — J f(x)dx + j f(x)dx— < у* f(x)dx+ J f(x)dx\.
a a c <2~»0+0 v a c+C2
Рассмотрение других вариантов распределения особенностей функции f(x) пре*
доставляем читателю.
2.2. Несобственные интегралы 2-го рода от неотрицательных функций.
Теоремы сравнения
Теорема 7 (сравнения). Пусть функции f(x) и <р(х) интегрируемы на отрезке [а, 6-е]
при любом сколь угодно малом е > 0, неограничены в интервале (Ь — е,Ъ) и связаны
условием
О f(x) <р(х) на ‘ Ь).
Тогда
ь в
1) если интеграл J <р(х) dx сходится, то сходится интеграл j f(x)dx\
а а
b b
2) если интеграл j f(x) dx расходится, то расходится интеграл J <р(х) dx.
а а
4 Пусть интеграл
ь
J <p(x) dx
а
сходится, т. е. существует
Ъ-е
lim / (р(х) dx = L.
с-ю+о J
а
Докажем, что интеграл
ь
/(®) dx
a
b—c
также сходится, т. е. что функция J(e) = f f(x) dx имеет конечный предел при
а
е -* 0 + 0. В самом деле, так как f(x) > 0 на [а, Ь), то для любого е > 0 (е < b - а)
Ь-£
функция J(e)= f f(x) dx неотрицательна и не убывает при убывании е. Кроме того,
a
из условия f(x) (р(х) Vx € [a, b) при любом £ > 0 имеем
&-г Ь-е
J /(®) dx J (р(х) dx.
a a
Ь— £ Ь
Интеграл f <р(х) dx не превосходит интеграла f <р(х) dx, который по условию схо-
а а
дится. Следовательно, для любого € > 0
ъ
Таким образом, J(e) есть неубывающая при е —» 0 + 0, ограниченная сверху
функция. Поэтому существует конечный предел J(e) при е -+ 0 + 0, что означает,
ь
согласно определению, сходимость несобственного интеграла f f(x)dx.
а
Справедливость второго утверждения теоремы легко доказывается методом рассу-
ждения от противного. ►
Теорема 8 (сравнения). Пусть положительные на [а, Ъ) функции f(x) и <р(х) неограничены
только в окрестности точки х = Ъ, и пусть существует предел
Пт ^ = *>0. z-*b-0
Тогда интегралы b b f(x) dx и / <р(х) dx а а
сходятся или расходятся одновременно.
Пример. Исследовать на сходимость интеграл
/arctg х
ха
о
dx, а^О.
4 Интеграл (*) является объединением несобственных интегралов 1-го и 2-го рода. Действительно,
во-первых, это интеграл с бесконечным верхним пределом, в во-вторых, подынтегральная функция
7(х) = SffV не определена в точке х = 0 и становится неограниченной при х —» 0 для достаточ-
но большого а > 0.
Для исследования сходимости интеграла (♦) разобьем промежуток интегрирования на два так,
чтобы первый промежуток учитывал особенность функции f(x) в точке х = 0, а второй — поведение
функции f(x) при х -+ +оо. Выберем, например, полуинтервалы (0,1] и [1, +оо). Тогда будем иметь
г arctg х
J 2+
о
[ arctg х
J ха
о
+аэ
f arctg х .
/ —"х‘
J ха
Рассмотрим интеграл
г arctg х ,
/ -----dx.
J ха
о
Для исследования его сходимости воспользуемся теоремой 8. Известно, что arctg х ~ х (х -» 0).
Положив <р(х) = -зтт, будем иметь
Нт = Пт * 8rCt8* = 1
lint —т-г 3 пт — —-----s i.
*-»О+о tp[x) «-+0+0 хЛ
, Интеграл J <р{х) dx сходится при а - I < 1, т. е. при а < 2. В силу теоремы 8 интеграл J dx
о
также сходится при а <2.
Рассмотрим теперь интеграл
о •
arctg х
—х—
Воспользуемся теоремой 2, положив у>(х) = . Имеем
. /(х) хЛ arctg х ir
hm —т-г — lim -----------= —.
«->+00 <р\Х) Х—+00 ха 2
+ео . .
Интеграл J сходится при а > 1, а поэтому при а > 1 сходится и рассматриваемый интеграл.
Значит, оба интеграла в правой части равенства (♦♦) будут сходиться лишь когда 1 < а < 2. Это
и есть условие сходимости интеграла (*). ►
2.3. Абсолютно сходящиеся интегралы 2-го рода
Ь
Определение. Интеграл / f(x)dx называется абсолютно сходящимися, если сходится
Г *
интеграл / |/(®)| dx.
Ь
Теорема 9. Если сходится интеграл I
ь
а
Пользуясь теоремой 7, нетрудно доказать следующий признак абсолютной сходи-
мости интеграла.
Теорема 10. Пусть функция f(x) неограничена только в интервале (Ь - е, Ь), где £ > О
сколь угодно мало. Если существует такое положительное число а < 1, что для всех х,
достаточно близких к Ъ, х <Ъ,
где М > 0 и не зависит от х, то интеграл
ь
сходится абсолютно.
Задача, Показать, что если для всех х, достаточно близких к b, х < Ъ
М
м>о,
О — X
то интеграл
абсолютно сходиться не может.
Замечание. Интегралы Второго рода приводятся к интегралам первого рода с помощью подстановок
Ъ - х = | или х — а = |. Поэтому элементарную теорию несобственных интегралов 2-го рода можно
вывести из теории интегралов 1-го рода.
2.4. Главное значение интеграла 2-го рода
Пусть функция f(x) интегрируема на отрезках [а,с - е] и [с + е, Ь], где а < с < Ь,
при любом € > 0 и неограничен в окрестности точки с. Тогда,
ъ
У f(x) dx =
а
Ъ
У /(ж) dx ~
с
lim
Cj-tO+O
«J—O+O
f(x) dx >,
причем для сходимости интеграла предел должен существовать при независимом
стремлении Е| и £2 к нулю.
Говорят, что несобственный интеграл сходится в смысле главного значения по Коши,
если существует предел
(в > 0 одно в обоих интегралах). Величину
ь
v. р.
называют главным значением интеграла по Коши. Очевидно, что интеграл может быть
сходящимся в смысле главного значения, но не быть сходящимся.
Пример. Пусть f(x) = ~, где с € (а,Ь). Тогда
-±- + /
X - с J
c+cj
= (in |х - с|
'Ъ-С £1
= 1п-------Мп—,
le+tj с - а £2
(О
Предел правой части (1) при проиэаольном стремлении и ег к нулю не существует. Положим
= Cj = с. Тогда при г -» 0 + 0 продел правой части существует и есть главное значение рассматри-
ваемого интеграла*.
V.
&~с
= 1п--,
с-а
Задача. Пусть функция /(х) определена в окрестности (~R,R) точки х = 0, кроме, быть может, самой
этой точки, и неогрвничена при х -» 0. Известно, что всякую функцию /(х) в окрестности точки х = О
можно однозначно представить в виде суммы четной и нечетной функций
М _ + МЛН-*! . /|(1) +
Поквэать, что
я
v.p. у f(x)dx
-я
л
существует, если существует интеграл J Д(х) dx, где Д(х) — четная составляющая функции /(х).
Упражнения
Пользуясь определением, исследуйте на сходимость интегралы:
7° ®2 + 1 .
Исследуйте на сходимость интегралы:
xdx
х3 + х+Г
+00
r dx
J xlnax’
2
у I arctg I
J ‘S'S’Tr
dx.
dx
Ж1
a— действительное число.
+00 ? *2
12. Вычислите несобственный интеграл / х2п+'е~*^ dx (п — целое число, п >
о
13. Покажите, что
+оо +оо
V. р. У sin X dx = о, V. р. У as 0.
«ОС *00
Пользуясь определением, исследуйте на сходимость интегралы:
14.
17.
J/«
Ц-d».
X3
Исследуйте на сходимость интегралы:
dx
у/1 - х*’
®3 dx
dx
- Г
dx
еа — cosx*
Исследуйте на сходимость интегралы:
dx (а, 0 — действительные числа).
dx.
Ответы
1. Сходится; равен 2. Расходится. 3. Сходится; равен |. 4. Расходится. 5. Сходится.
6. Расходится. 7. Сходится. 8. Расходится. 9. Расходится. 10. Сходится при а > 1. 11. Сходится
при а > 0. 12. 14. Сходится; равен 2. 15. Сходится; равен 16. Сходится; равен 5.
17. Сходится; равен 18. Расходится. 19. Расходится. 20. Сходится. 21. Расходится.
22. Сходится. 23. Расходится. 24. Сходится, если а > -1, 0-а > 1. 25. Сходится неабсолютно;
использовать теорему Абеля—Дирихле.
I
Гпава XV_________________________
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Функции однойпеременной не охватывают все зависимостей, существующих в приро-
де. Так, например, объем v прямоугольного параллелепипеда, ребра которого имеют
длины х, у, z соответственно, выражается формулой
v = xyz,
где х, у, z могут принимать любые положительные значения. В этом примере имеем
четыре переменных величины, причем значение v вполне определяется заданием трех
остальных переменных х, у, z. Для изучения таких и подобных им зависимостей
вводится понятие функции нескольких переменных.
§1. Некоторые определения и обозначения
Пусть IE?* — n-мерноеевклидово пространство. Раеетиояниемеждудвумя любыми точ-
ками М'(х\, Xi,..., х'п) и М"(х,', х",..., из К” обозначается символом р(М', Мн)
й определяется формулой
п
р(М',М") =
При п — 1 получаем
— расстояние между точками и М'\х‘[) прямой (R1 = R); при п = 2 имеем
р(М', М") = у/щ - х\у + («• - xtf
— расстояние между точками М'(«J, и х2) плоскости (R2).
Определение. Пусть точка М0(х°, х°, ..., € Кп и пусть € > 0 — действительное чис-
ло. Совокупность всех точек М € таких, что Мо) < е, называется п-мерным
(открытым) шаром с центром в точке Mq и радиусом е, или шаровой €-окрестностью
точки Mq € Ж”.
В случае п = 2 имеем
(х - ®0)2 + (у - уо)2 <
§ 1. Некоторые определения и обозначения 107
Это внутренность круга с центром в точке Мо(®о, У о) радиуса е (круг без ограничива-
ющей его окружности; рис. 1). Для п = 3 имеем (х - х0)2 + (у - уо)2 + (z - zq)2 < е2.
Это шар радиуса € с центром в точке Mo(xOt уо, го) (шар без ограничивающей его
сферы; рис. 2).
Рис. 1 Рис. 2
Наряду с шаровыми окрестностями рассматривают прямоугольные окрестности
точки Мо(Х|, • • • >®п)- Это совокупность всех точек'М (ж |, Х2,... ,хп) € К* та-
ких, что
~ < Х^ "Ь > 0 (» = 1, 2, . . . , 7l).
В случае п = 1 имеем обычную е -окрестность jeo-£<s<so + £ точки xq
на числовой прямой. При п — 2 это прямоугольник со сторонами длины 2е( и 2^2
(без границы, рис. 3). Для п = 3 это (Открытый) параллелепипед с центром в точке
М)(®о» Уо, з0), ребра которого имеют длины 2q, 2^2, 2е3 (рис. 4).
Определение. Пусть множество Е С №. Точка М € Е называется внутренней точкой
множества Et если су ествует е > 0 такое, что точка М содержится в множестве Е
вместе со своей £-окрестностью.
Если все точки множества Е внутренние для Е, то множество Е называется от-
крытым множеством.
Так, в случае п = 2 любой круг без ограничивающей его окружности является
примером открытого множества.
Определение. Точка Р € называется граничной точкой множества Е С если
в любой окрестности точки Р существуют точки, как принадлежащие множеству Е,
так и не принадлежащие ему. Совокупность всех граничных точек множества Е
называется его границей и обозначается дЕ.
Если к множеству Е присоединить его границу, то получим замкнутое множе-
ство 2?:
Е = ЕидЕ.
Примером замкнутого множества может служить круг вместе с ограничивающей
его окружностью.
Определение. Множество Е С Rn называется связным, если любые две его точки мож-
но соединить непрерывной кривой (в частности, ломаной), всеми своими точками
содержащейся в множестве Е (рис. 5).
а) связное множество
б) несвязное множество
Рис. 5
Определение. Открытое связное множество называется областью*
Область называется ограниченной, если существует шар (круг), содержащий эту
область.
Всякую область, содержащую данную точку МЬ, будем называть окрестностью
тбчки Мо (просто окрестностью, в отличие от ^-окрестности).
§ 2. Понятие функции нескольких переменных
Если каждой точке М(х\, ®2,..., хп) множества Е точек n-мерного евклидова про-
странства Кп по некоторому закону поставлено в соответствие определенное действи-
тельное число «, то говорят, что на множестве Е определена функция точки М или
функция п переменных ац, ®2,..., хп, и пишут
и = f(M), или и = /(®ь .......®n), М Е Е.
Множество Е называется областью определения функции /.
При изучении функций несколькихпеременныхмы, как правило, будем ограничи-
ваться рассмотрением функций двух переменных z = f(x, у), так как обычно бывает
ядно, как перенести выводы, сделанные для функции двух переменных, на функции
большего числа переменных.
* Если функция задана одним аналитичес-
ки^ выражением, причем область определе-
ния функции заранее не указана, то в каче-
стве области определения принимают совокуп-
ность всех тех точек Х2,. .., а?п),для ко-
торых данное аналитическое выражение име-
ет конечное действительное значение {есте-
ственная область определения). Так, для функ-
ции
z = х + у
область определения — вся плоскость хОу,
для функции _______________
z — у/i -х2-у2
область определения — замкнутый круг
х2 + у2 1.
Пусть функция z = f{x, у) определена
в некоторой области Е на плоскости хОу. То-
гда каждой точке {ху у) € Е будет отвечать
точка трехмерного пространства.
Множество всех таких точек {х, у, f{x, у)), где
точка (х, у) € Е, называется графиком функции
z = }{х, у). Например, график функции
z = х2 + у2
— параболоид вращения (рис. 6).
Для изучения характера изменения функ-
ции z — f{x, у) пользуются линиями уров-
ня. Линией уровня называется множество точек
на плоскости хОу> в которых функция / при-
нимаетданное постоянное значение z = с. Эту
линию можно также получить, пересекая гра-
фик функции z = f{x, у) плоскостью z = с,
параллельной плоскости хОу, и проектируя
линию пересечения ортогонально на плоскость
хОу. Система линйй уровня f(x,y) = Сщ
(тп = 1,2,..., к), где Cm+i - с™ = h = const,
позволяет судить о ходе изменения функции.
Там, где линии уровня расположены густо,
функция изменяется быстро, а где линии уров-
ня расположены редко, функция изменяется
медленно. Для функции
Рис. 7
Z = X
+ у2
линии уровня — концентрические окружности с центром в начале координат (рис. 7;
здесь шаг А — 1).
Этот прием изучения функции может быть распространен и на функций и =
/(ж, у, z) трех независимых переменных. Вместо линий уровня тогда возникают
поверхности уровня — множество точек М(х, у, z) пространства, в которых функ-
ция f(M) принимаетданное постоянное значение. Например, для функции
2 2 2
и - х* + у 4- z*
поверхности уровня — концентрические сферы с центром в начале координат.
§3. Предел функции нескольких переменных
Пусть функция f(M) определена в некоторой окрестности Q точки Mo(xq, уо), кроме,
быть может, самой точки Mq.
Определение 1. Число А называется пределом функции f(M) в точке М0(х0, у0), если
для любого числа е > 0 существует число 6 > 0 такое, что для всех точек М(ж, у) € О,
отличных от точки Afo(®o, У о) и удовлетворяющих условию 0 < р(М, Mq) < 6, верно
неравенство
Обозначения:
А — lim f(M) или А — lim f(x, у).
К-УО
Предполагается, что точка М может стремиться к точке Мо по любому закону,
п о любому направлению, и все соответствующие предельные значения существуют
и равны числу А.
Примеры.
1. Рассмотрим функцию
f(x,y) = х2 + у2.
Она определена на всей плоскости хОу, причем
/(0,0) = 0. Покажем, что предел этой функции е точке
0(0,0) равен нулю. Возьмем любое с > 0. Тогда усло-
вие |/(х,у) - 0[ < с Запишется так; |х2 + у2 - 0| < е,
или
|х2 + у2|<е.
Замечая, что У»2 + у2 = р(М, О), где М(х,у) —
точка с координатами (х, у), последнему неравенству
можно придать вид р2(М,О) < с, или
р(МГО) < \/е.
Если взять 6 = >/£, то для любой точки ЛГ(х,у). для
которой p(Af,0)<6=v7, будем иметь |х2+у2-О|<е,
или
Рис. 8
!/(®. У) ~ 0| < с
(рис. 8). Согласно определению это означает, что число А = 0 есть предел данной функции в точке
0(0,0).
2. Рассмотрим функцию
/(*,!/) =
2ху
х2 + у2‘
Этим заданием она определена всюду, исключая точку 0(0,0). Рассмотрим поведение функции на раз*
i личных лучах у = kx, х # 0. Имеем
j 2x2k
\ f(*,kx)= (l + k2)xi> X*Q>
.откуда
| l + jfc2’
так что при разных k мы получаем различные предельные значения. Следовательно, данная функция
в точке 0(0,0) предела не имеет.
3. Пусть
^та формула задает функцию во всех точках плоскости хОу, кроме начала координат 0(0,0). Иссле-
дуем поведение функции на различных лучах у = kx, х 0. Имеем
kx2
f(x,kx) = х4+к2х2,
так что
т. е. предел функции f(x,y) по любому направлению существует и равен нулю. Если же у = х2, то
f(x,x2)~^t я?£0,
и, значит, предел вдоль параболы у = х2 существует, но равен Таким образом, данная функция
в точке 0(0,0) предела не имеет.
Теорема 1. Если функции f(M) и <р(М) имеют предел в точке Mq, то в точке Мо суще-
ствуют пределысуммы f(M)+tp(M), разности f(M)-<p(M), произведения f(M)'<p(M)
и частного (последнее при дополнительном условии, что lim <р(М) £ 0), причем
Т\М г М
lim (/(M)±ip(M)) = lim lim
M—Mo ' M-*Mo Af-*Af0
lim (f(M) = lim f(M) • lim <p(M),
/Zljr4 lim f(M)
„ f(M) m-~Mq / , n\
hm z-. = -г----------7ТТГ I lim y>(Af)/O).
jw-Afo <^(M) lim 9?(Л4) . /
Замечание;* Удобным бывает следующее определение предела функции в точке (эквивалентное опре-
делению 1).
Определение 2. Пусть функция f(M) определена в некоторой «проколотой» окрестно-
сти Q точки Мо (т. е. окрестности, из которой удаленаточкаМо). Число А называется
пределом функции f(M)e точке Мо, если для любой последовательности точек {Afn},
сходящейся к точке Mq (Мп € Q, Мп £ Мо), соответствующая последовательность
значений функции {f(Mn)} сходится к числу А.
Замечание. Рассмотренное выше понятие предела предполагает одновременное стремление всех аргу-
ментов к их предельным значениям:
(х,у) -»(хо,уо).
Для функций многих переменных приходится иметь дело и с пределами другого рода, получаемыми
в результате ряда последовательных предельных переходов в том или ином порядке. Такие пределы
называются повторными. Они составляют специфику функций многих переменных.
Рассмотрим, например, функцию
X* —
определенную этой формулой всюду, кроме точки 0(0,0). При постоянном у £ 0 и х -»0 имеем
lim f(x,y) = ~l;
я-*0
при постоянном х £ 0 и у -* 0 получаем
Стало быть, для этой функции
lim lim /(г, у) £ lim lim /(х, у) ,
и результат зависит от порядка предельных переходов.
§4 . Непрерывность функции нескольких переменных
Пусть функция }(М) определена в некоторой окрестности Q точки Мо(®о, Jto)-
Определение. Функция f(M) называется непрерывной в точке Мо(яо> У о), если
lim f(M) = /(Mo),
м —’Aiq
или, что то же,
lim f(x, у) = f(xQ, ifc).
*-•*0
Предполагается, что точка М(х,у) может стремиться к точке Afo(®o>!/o) Произ-
вольным образом, но qce время оставаясь в области определения функции }(М).
На языке непрерывность функции в точке Мо выражается так:
функция f(M) непрерывна в точке Мо, если для всякого £ > 0 существует ё > 0 такое,
что для всех точек М € П, таких, что р(М, Мо) < ё, выполняется неравенство
|/(М) ~/(М0)| < е.
Определению непрерывности функции в точке Мо(хо, уо) можно придать еще сле-
дующую форму. Если обозначить через Аг и Д.у приращения независимых перемен-
ных х и у при переходе отточки Мо(хо, у0) к точке М (х, у), а через
Д* = f(x0 + Дж, уо + Ду) - f(x0) у0)
обозначить соответствующее полное приращение функции z — f(x, у), то равенство
lim f(x, у) = f(x0) уо)
я-го
будет равносильно равенству
lim Дг = 0,
Дх-»0
выражающему условие непрерывности функции г = /(ж, у) в точке Мо(хО) у0). Ве-
личины Д®, Ду могут стремиться здесь к нулю произвольным образом, независимо
друг от друга.
Понятие непрерывности функции, введенное выше, называется непрерывностью
по дрвокупности переменных х, у. Из этого опреде ения следует, что ер и функция
/(хм) непрерывна в точке Mq(z0, уо), то она непрерывна в этой точке по каждой
из переменных х и у. Напротив, из непрерывности функции /(®, у) в точке Мо
по каждой из переменных г, у не вытекает непрерывность функции f в этой точке.
Рассмотрим, например, функцию
k О, х = у = 0.
По заданию функции f(x,y) имеем /(®, 0) = 0 V®, так что
lim /(®, 0) = 0 = /(0,0).
«-»о
Поэтому функция /(х,0) непрерывна по х при х = 0. Ана огично функция /(0, у)
непрерывна по у при у — 0, так как /(0, у) = 0 для всякого у, и потому
iim/(0,y) = 0=/(0,0).
у-*0
Однако данная функция /(ж, у) в точке 0(0,0) разрывна. В самом деле, пусть у = х.
Тогда
2х* 1 2
lim f(x, у) = lim —;--? = 1 /(0,0).
z=v~,o v «-*osc2 + ®2 ' '
Это не удивительно. Говоря о непрерывности по х и по у в отдельности, мы учитываем
лишь приближения к точке 0(0,0) по оси Ох или по оси Оу, оставляя в стороне
бесконечное множество других способов приближения.
Теорема 2. Сумма, разность и произведение функций f(M) и ф(М), непрерывных в точ-
ке Мо, есть функция непрерывная в точке Мо. Частное непрерывных в точке Мо
функций f(M) и <р(М) непрерывно в точке Мо, если <р(Мц) £ О,
Если функция f(M) непрерывна в каждой точке области D, то она называется
непрерывной в области D. Точки, в которых функция /(М) не является непрерывной,
называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва функции f(x, у) могут
быть изолированными и могут заполнять целые линии. Так, функция
/(х,у) = ?+7
имеет единственную точку разрыва 0(0,0); точки разрыва функции
заполняют прямые у = х и у = -х.
Теорема 3. Если функция f(M) непрерывна в ограниченной замкнутой области D, то
1) f(M) ограничена в D\
2) f(M) принимает в D наибольшее и наименьшее значения.
§5 . Частные производные
Пусть функция z = /(ж, у) определена в некоторой
области D на плоскости хОу. Возьмем внутреннюю
точку (х, у) из области D и дадим х приращение Дж
такое, чтобы точка (х + Дж, у) G D (рис. 9). Величину
= f(x + Дж, у) - /(ж, у)
назовем частным приращением функции z по х. Со-
ставим отношение . Для данной точки (ж, у) это
отношение является функцией от Дж.
Определение. Если при Дж —» 0 отношение имеет
конечный предел, то этот предел называется частной
производной функции z = /(ж, у) по независимой пере- Рис.9
менной х в точке (ж, у) и обозначается символом 3? (ИЛИ /Дж, $), или z'x(x, у)).
Таким образом, по определению
9z ДхХ
— = lim -------
дх. Дг->о Дж.
или, чтотожесамое,
Л(»,9) = lim /(^Ах у) -/(г,у)
Дх-*0 ДА Ж
Аналогично________________________________________________
dz = lim &vZ = lim +
ду Ду-Л Ду Ду-»о Ду
Если и = 7(Ж1, ж2,..., жп) — функция п независимых переменных, то
Эи /(®|, ®2, .. . , Sfc-|, Xk+&Xk, xk+h,.., хп) -/(®i, х2,..., xt_b я*,..., хп)
— = lim ............... —... ..............................................
дхк Дг»-0 Axfc
Заметив, что Дгг вычисляется при неизменном значении переменной у, а Д vz —
при неизменном значении переменной ж, определения частных производных можно
сформулировать так:
частной производной по ж функции z = /(ж, у) называется обычная производная
этой функции по ж, вычисленная в предположении, что у — постоянная;
частной производной по у функции z = /(ж, у) называется ее производная по у,
вычисленная в предположении, что ж постоянная.
Отсюда следует, что правила вычисления частных производных совпадают с пра-
вилами, доказанными для функции одной переменной.
Пример. Найти частные производные функции z = еху.
« Имеем g = ye*9. g = хе*9. ►
Замечание. Из существования у функции z = f(x, у) в данной точке частных производных по всем
аргументам не вытекает непрерывности функции в этой точке. ТЬк, функция
не является непрерывной в точке 0(0,0). Однако в этой точке указанная функция имеет частные
Производные по х и по у. Эго следует из того, что f(x, 0) = 0 и ДО, у) = 0 и поэтому
0/I a df
— | =0 и —
9х 1(о,о) (о,о)
= 0.
Геометрический смысл частных производных функции двух переменных
Пусть в трехмерном пространстве поверхность S задана уравнением
* = /(*,!/)>
где /(ж, у) — функция, непрерывная в некоторой области D и имеющая там част-
ные производные по х и по у. Выясним геометрический смысл этих производных
в точке Mq(xq, уо) € D, которой на поверхности z = f(x, у) соответствует точка
№о,Уо))-
При нахождении частной производной в точке Mq мы полагаем, что z является
только функцией аргумента х, тогда как аргумент у сохраняет постоянное значение
!/ = !/о,т.е.
z = f(x,y0) = fi(x).
Функция /i(z) геометрически изображается кривой L, по которой поверхность S пе-
ресекается плоскостью у = Уо. Вейлу геометрического смысла производной функции
одной переменной
/!(®о) = tga,
где а — угол, образованный касательной к линии L в точке No с осью Ох (рис. 10).
Но
. / dz \ I
/1(®о) = ( Т- )
\dxj 1(гО»Уо)
Рис. 10
так что
Таким образом, частная производная (|f) [Мо равна тангенсуугла а между осью Ох
и касательной в точке No к кривой, полученной в сечении поверхности z — f(x> у)
плоскостью у = у0.
Аналогично получаем, что
§6. Дифференцируемость
функции нескольких переменных
Пусть функция z = /(х, у) определена в некоторой области 2? на плоскости хОу.
Возьмем точку (х, у) € В и выбранным значениям хну дадим любые приращения
△хи Ду, но такие, чтобы точка (х 4- Дх, у + Ду) € D.
Определение. Функция z = f(x, у) называется дифференцируемой « точке (х, у) € D,
если полное приращение
Д* = /(х 4- Дх, у 4- Ду) - /(х, у)
этой функции, отвечающее приращениям Дх, Ду аргументов, можно представить
в виде
Д z = АДх 4- В Ду + а(Дх, Ду) Дх 4- £(Дх, Ду)Ду, (1)
где А и В не зависят от Дх и Ду (но вообще зависят от х и у), а а(Дх, Ду) и /3(Дх, Ду)
стремятся к нулю при стремлении к нулю Дх и Ду.
Если функция z = /(х, у) дифференцируема в точке (х, у), то часть АДх 4- В Ду
приращения функции, линейная относительно Дх и Ду, называется полным диффе-
ренциалом этой функции в точке (х, у) и обозначается символом dz:
dz = АДх 4- 0 Ду. (2)
Таким образом,
Дг = dz 4- а ’ Дх + 0 • Ду.
Пример. Пусть z = х2 + у2. Во всякой точке (х, у) и для любых Дх и Ду имеем
Дг = (х + Дх)2 + (у + Др)2 - х2 - у2 = 2хДх + 2уДу + Дх • Дх + Ду • Ду.
Здесь А — 2х, В = 2у, а(Дх, Ду) = Дх, /?(Дх, Ду) = Ду, так что а и стремятся к нулю при стрем-
лении к нулю Дх и Ду. Согласно определению, данная функция дифференцируема в любой точке
плоскости хОу. При этом
I ’ dz = 2хДх + 2уДу. к
Заметим, что в наших рассуждениях не был формально исключен тот случай, когда
приращения Дх, Ду порознь или даже оба сразу равны нулю.
Формулу (1) можно записать более компактно, если ввести выражение
Р = У(Дх)2 + (Ду)2
(расстояние между точками (х, у) и (х + Дж, у+Ду)). Пользуясь им, можем написат^
(Дж Ду \
а----—)р (р^О).
Р Р J
Обозначив выражение, стоящее в скобках, через е, будем иметь
а • Д®4-/? • Ду = Ер,
где е зависит от Дж, Ду и стремится к нулю, если Дж 0 и Ду -* 0, или, короче,
если р -♦ 0.
Формулу (1), выражающую условие дифференцируемости функции z = f(x,y)
в точке (ж, у), можно теперь записать в виде
Де = ЛДж + В Ду + Ер,
(3)
где е = е(р) -* 0 при р 0. Так, в приведенном выше примере Де = 2хДх + 2уДу 4-
(Дж)2 4- (Ду)2, или Де = 2жДх 4- 2уДу 4- р2, так что тут е(р) = р.
6.1. Необходимые условия дифференцируемости функции
Теорема 4. Если функция z ж /(ж, у) дифференцируема в некоторой точке, то она в этой
точке непрерывна.
<1 Если в точке (ж, у) функция z » /(ж, у) дифференцируема, то полное приращение
функции я в этой точке, отвечающее приращениям Дж и Ду аргументов, можно
представить в виде
Де = ЛДж 4- ВДу 4- о(Д®, Ду) Дж 4- /3(Д ®, Ду)Ду (1)
(величины Л, В для данной точки постоянны; а, 0 —» 0), откуда следует, что
Дз-*0
△>-0
lim Де = 0.
Да-*0
Д»-0
Последнее означает, что в точке (ж, у) функция z == f(x, у) непрерывна. ►
Теорема 8. Если функция z = f(x,y) дифференцируема в данной точке, то она имеет
Ав At
в этой точке частные производные ^и^.
«< Пусть функция z = /(z, у/дифференцируема д точке (z, у). .Тогда прирашени^ Az
этой функции, отвечающее приращениям Az, Ay аргументов, можно представить
в виде (1). Взяв в равенстве (1) Az # 0, Ду = 0, получим
Axz = ЛДг + a(Az, 0)Az, ।
откуда
= А + a(Az, 0).
Az
Так как в правой части последнего равенства величина.А не зависит от.Az,
a a(Az, 0) —► 0 при Az —► 0, то
A-z
Л = lim ——. '
△®-o Az
Это означает, что в точке (z, у) существует частная производная функции z =f /(z, у)
по z,причем
dz
— = Л.
л.-,.- --
Подобными же рассуждениями убеждаемся в том/Что B'w&e (z, у)существует
частная производная функции z — f(x, у) по у, причем & = В. ►
‘ • 'Ч - •••• - -
Из теоремы следует, что
л OZ • 02 л ЯА
Az = — Az + —Ay + a Az + рАу.
ох оу
Подчеркнем, что теорема 5 утверждает существование частных производных толь-
ко в точке (z, у), но ничего не говорит о непрерывности их в этой точке, а также об их
поведении в окрестности точки (z, у).
6.2. Достаточные условия дифференцируемости функций нескольких переменных
Как известно, необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции
у = f(x) одной переменной в точке zo являетсясуществование конечной производной
f'(x) в точке zo. В случае, когда функция зависит от нескольких переменных, дело
обстоит значительно сложнее: необходимых и достаточных условий дифференцируе-
мости нет уже для функ ии z — f(x, у) двух независимых переменных х, у; есть лишь
отдельно необходимые условия (см. выше) и отдельно — достаточные. Эти доста-
точные условия дифференцируемости функций нескольких переменных выражаются
следующей теоремой.
Теорема 6. Если функция z = /(z, у) имеет частные производные fx и f'v в некоторой
окрестности точки (zo, Уо) и если эти производные непрерывны в самой точке (zo, Уо),
то функция z = /(z, у) дифференцируема в точке (zo, Уо)-
Пример. Рассмотрим функцию
Она определена всюду. Исходя из определения частных производных, имеем
Л (0,0)= lim
д*-»о
/1(0,0) = lim
’ Ду—»0
/(Дж,0) -/(0,0) = Цт #ДГо-о = о
Дх Д*-»о Д® ’
/(0, Ду)-/(0,0)
' Ду '
<^Зу-0 л
= hrti -т----= 0.
Ду—»0 Ду
Для иосладомхт» дифференцируемости длиной функции в точке 0(0,0) найдем ле лрирвщение в этой
точкг
△/(0,0) = yf&x-by <= е(Дх, &у)р-
Так как р = ^/(Дх)2 + (Ду)2, то
?/Д*«Лу
<(Дх,Ду)== .-. (1)
^/(Дх)2 + (Ду)2
Для дифференцируемости функции f(x, у) = #ху а точке 0(0,0) необходимо, чтобы функция
е(Дх, Ду) была бесконечно малой при Дх -» 0 и Ду -♦ 0. Положим Ду = Дх > 0. Тогда из форму-
лы (1) будем иметь
,д д . (М2'5
Поэтому функция /(х, у) = tySfi не дифференцируема а точке 0(0,0), хотя и имеет а этой точке
производные Л и 4 Полученный результат объясняется тем, что производные /'г и f'y разрывны
в токе 0(0,0). ►
§7. Полный дифференциал. Частные дифференциалы
Если функция z = /(х, у) дифференцируема, то ее полный дифференциал dz равен
dz = АДх + ВДу. (1)
Замечая, что А = Jj, В = , запишем формулу (1) в следующем виде
, dz ж dz л
dz = — Дх + — Ду. (2)
dx ду * v '
Распространим понятие дифференциала функции на независимые переменные, по-
ложив дифференциалы независимых переменных равными их приращениям:
dx = Дх, dy = Ду.
После этого формула полного дифференциала функции примет вид
, dz л dz .
dz = -г- dx + — dy. (3)
дх dy
Прямвр. Пусть I = 1п(х + у2). Тогда
J 1 J . 2» . dx + 2ydy
dz =---= dx + ——у dy — — 1 f" . ►
X + у2 X + у3 Х + у2
Аналогично, если u = /(xj, х?,..., хп) есть дифференцируемая функция п неза-
висимых переменных, то
. ди
du = > . — dxk (fat = Дх*).
*=») 0Хк
Выражение
= Л(х, у) dx
называется частным дифференциалом функции z = f(x, у) по переменной х; выражение
= Л(®, У) dy
(5)
называется частным дифференциалом функции z — f(x, у) попеременной у.
Из формул (3), (4) и (5) следует, что полный дифференциал функции является
суммой ее частных дифференциалов:
dz = dxz + dyZ.
Отметим, что полное приращение Az функции z = /(х, у}, вообще говоря, не равно
сумме частных приращений.
Если в точке (х, у) функция z = /(х, у) дифференцируема и дифференциал dz # 0
в этой точке, то ее полное приращение
dz dz
Д z = — Ax 4- ~~ Ду 4- о(Дх, Ду)Дх 4- /3(Дх, Ду)Ду
dx dy
отличается от своей линейной части
dz Л dz А
dz = — Ах + — Ду
dx dy
только на сумму последних слагаемых аАх 4- /?Ду, которые при Ах —> 0 и Ду —* 0
являются бесконечно малы ми более высокого порядка, чем слагаемые линейной части.
Поэтому при dz £ 0 линейную часть приращения дифференцируемой функции на-
зывают главной частью приращения функции и пользуются приближенной формулой
Az w dzi
которая будет тем более точной, чем меньшими по абсолютной величине будут при-
ращения аргументов.
§8. Производные сложной функции
1. Пусть функция
Z = f(x, у)
определена в некоторой области D на плоскости хОу, причем каждая из перемен-
ных х, у в свою очередь является функцией аргумента t:
x = ^(t), y = ^(t), t0<t<tP (1)
Будем предполагать, что при изменении t в интервале (to, ti) соответствующие точки
(х, у) не выходят за пределы области D. Если подставить значения х = <p(t), у =
в функцию z = / (х, у), то получим сложную функцию
одной переменной t.
Теорема 7. Если в точке t существуют производные
= и л =
at dt
и пр и соответствующих значениях х ~ у = ^(t) функция f(xt у) дифференцируема,
то Сложная функция z — f [^(t), ^(t)] в тОнк^ t имеет производную %, причем
dz dz dx dz dy
di dx dt + dy di ‘
◄ Дадим t приращение At. Тогда x и у получат некоторые приращения Ах и А]/.
В результате этого при (Ах)2 + (Ду)2 # 0 функция z также получит некоторое при-
ращение Az, которое в силу дифференцируемости функции z = f(x, у) в точке (х, у)
может быть представлено в виде
dz dz
ba = — Дх+ — Ду + аДж + Ml/,
ох оу
где о(Дх, Ду) и /3(Дх, Ду) стремятся к нулю при стремлении к нулю Ах и Ду.
Доопределим а и 3 при Дх = Ду = 0, положив а(0,0) = 0, /3(0,0) = 0. Тогда
а(Ах, Ду) и /3(Дх, Ду) будут непрерывны при Дх = Ду = 0.
Рассмотрим отношение . Имеем
Az dz bx dz Ду Дх Ду . ч
At dx At dy At At M At '
В каждом слагаемом'в Правой части (2) оба сомножителя имеют пределы при At —* 0:
действительно, частные производные и Ц для данной точки (х,у) являются по-
стоянными, по условию существуют пределы
шп£ * „-(0 И = = m
д<->о At dt д*-о At dt '
из существования производных и в точке t следует непрерывность в этой точке
функций х = ip(t) и у = V>(t); поэтому при At —> 0 стремятся к нулю и Дх и Ду, что
в свою очередь влечет за собой стремление к нулю а( Дх, Ду) и /3(Дх, Ду).
1Ьким образом, правая часть равенства (2) при At 0 имеет предел, равный
dz dx dz dy
dx dt + dy dt'
Значит, существует при At —> 0 и предел левой части (2), т. е. существует
де-,0 At’
равный . Переходя в равенстве (2)' к пределу при At 0, получаем требуемую
формулу ____________/____________
dz _ dz dx dz dy .
H = dx~dd^dyH ^ ‘ '
Пример. Пусть
z = x2 + y\ z ss sint, у — i3.
Тогда в силу (3)
~ = 2z cos t + 2y • 3t2 = 2 sin t cos 14-615 = sin2t + 6t5.
В частном случае, когда
* = /(*,У), a y = V»(x), (4)
и, следовательно, z является сложной функцией от х,
получаем
dz _ dz dz dy . .
dx dx + dy dx'
В формуле (5) есть частная производная функции z = /(«, у) по х, при вычислении
которой в выражении /(х, у) аргумент у принимается за постоянную. А есть полная
производная функции z по независимой переменной х, при вычислении которой у
в выражении /(х, у) уже не принимается за постоянную, а считается в свою очередь
функцией от х: у = V>(x), и поэтому зависимость z от х учитывается полностью.
Пример. Найти и j-, если z = arctg J и у = х2.
dz д у. у
дх дху х' х* + у*
dz dz dz dy у x 1
dx dx + dy dx x* + p2 + ®2 + p2 1 + x* ’
2. Рассмотрим теперь дифференцирование сложной функции нескольких перемен-
ных. Пусть *
где в свою очередь
® = ¥>(€»»/)> У = №»/).
так что
^ = »(€»’/) = /(¥’(€»’?)» V’U, »/))•
Предположим, чтоб точке (£,»/) существуют непрерывные частные производные Ц,
а в соответствующей точке (х,у), где х = у = Функ-
ция f(xt у) дифференцируема. Покажем, что при этих условиях сложная функция
z = z(£, ij) в точке ({, if) имеет производные з? и и найдем выражения для этих
производных. Заметим, что этот случай от уже изученного существенно не отличает-
ся. Действительно, при дифференцировании z по £ вторая независимая переменная ij
принимается за постоянную, вследствие чего х и у при этой операции становятся
функциями одной переменной х- = с), у = V>(C с) и вопрос о производной Ц
решается совершенно так же, как вопрос о производной у при выводе формулы (3).
Используя формулу (3) и формально заменяя в ней производные и на про-
изводные и соответственно, получим
dz _dz dx dz dy
Аналогично находим
dz __ dz dx dz dy
drj ~ dx dr} + dy dy'
$9и Дифференциал еложно&фрмцм. Инвариантность формы дифференциала 123
Пример. Найти частные производные || и функции z = х2 у- ху2, если х = (ij, У —
dz dz dx d% dy ( 2\ ( i л \ 1
" Г( = К Щ + » 4 = ~1> + <* - Г
= ’+(«V ;=3{! Г) '•
\ п ч) \ ч/ л \ Ч/
dr) dx &rj dy dr) ' ’ ' \
\ *. ; Ч чЧ / \ Ч/ \ 4 / \ Tf ’ > r
Если сложная функция и задана формулами
• » ® == ^>3/ = У(С ?), * - V),
так что »»>!•. •-
« = «(6?).
то при выполнении соответствующих условий имеем
ди _ ди дх ди ду ди dz ди ~ ди дх ди ду ди dz
di~дxд^ ^,dy дl + dzд^, drj dxdrj +dydrj +d^&rj'
В частном случае, когда
’ ' w = №,y,-z),
где
2 = Z(X, у),
имеем _________. . _______.________________
du _ э/ df dz df д2
dx dx + .dz дх’ ду ду + dz ду'
Здесь 55 т- полная .частная производная функции и по независимой переменной х,
учитывающая полную зависимость и от х, в томчисл? и через z = z(xy у), а Ц — част-
ная производная функци и г) по х, при вычислении которой аргументы у
и z принимаются за постоянные. То же относится к. Ц.
§ 9. Дифференциал сложной функции. z
Инвариантность формы дифференциала
Если z = /(х, у) — дифференцируемая функция независимых переменных х и у, то
ее полней дифференциал dz равен
dz dz . .
dz = — dx+ — dy, (1)
dx dy
где dx = Дх, dy = Ду.
Пусть теперь
где
Предположим, что в точке (£, tj) функции у>(£, 7}) и 7}) имеют непрерывные част-
ные производные по £ и по q, а в соответствующей точке (ж, у) существуют и непре-
рывны частные производные и вследствие чего функция х = /(ж, у) диффе-
ренцируема в этой точке. При этих условиях функция
* = /[?(€» Л V’U,»?)]
имеет в точке (£, т)) производные
dz dz dx dz dy dz _ dz dx dz dy
d£~8xd£ + dyd£’ lhj~dxdq + dyd4
Как видно из формул (2), Ц и непрерывны в точке Поэтому функция
z = f [^(6 if), q)] в Точке (£, tj) дифференцируема, примем согласно формуле
полного дифференциала для функции от независимых переменных £ и ту, имеем
dz dz
(3)
07}
Заменив в правой части равенства (3) || и Ц их выражениями из формул (2), получим
(dz dx dz dy\ (dz dx dz dy\
\dx d^ + dy d^) + \dx drj + dy dy)
или
dz =
dz / dx dx \ dz (dy
dx Vd£^ + drj+ &jj \d£
dy \
0*7 /
0)
ТЪк как по условию функции х = <р((, tj) и у = т}) в точке (£, 7}) имеют непрерыв-
ные частные производные, то они в этой точке дифференцируемы и
dx dx dy dy
ОС d7} dz 07}
Из соотношений (4) и (5) получаем, что
, dz я dz л
dz = — dx +--- dy.
dx dy ”
(5)
(6)
Сравнение формул (1) и (6) показывает, что полный дифференциал функции
z = /(ж, у) выражается формулой одного и того же вида как в случае, когда аргу-
менты х и у функции f(x, у) являются независимыми переменными, так и в случае,
когда эти аргументы являются в свою очередь функциями от некоторых переменных.
Таким образом, полный дифференциал функции нескольких; переменных обладает
свойством инвариантности формы.
Замечание. Из инвариантности формы полного дифференциала следует: если к и у являются диффе-
ренцируемыми функциями какого угодно конечного числа переменных
то остаются в силе формулы
d(z ± у) = dx ± dy, d(xy) =xdy + ydx, d » F.*8.^***,
легко получаемые для случая, когда х и у — независимые переменные.
§10. Неявные функции
Пусть имеем уравнение
У) = °, (О
где у) есть функция двух переменных, заданная в некоторой области G на плос-
кости хОу. Если для каждого значения х из некоторого интервала (хд ~ Ло> «о + М су-
ществует ровно одно значение у, которое совместно с х удовлетворяет уравнению (1),
то этим определяется функция у = у(х), для которой равенство
5Г(х,у(х)) =0
выполняется тождественно по х в указанном интервале. В этом случае говорят, что
уравнение (1) определяет величину у как неявную функцию х.
Иными словами, функция у = у(х), заданная уравнением ^(х, у) = 0, не раз-
решенным относительно у, называется неявной функцией; она становится явной, если
зависимость]/ от х задается непосредственно.
Примеры.
1. Уравнение
у-х = 0
определяет на всей оси Ъх величину у как однознач-
ную функцию х;
2. Уравнением
y-x-£siny = 0, 0 < е < 1, (2)
величина у определяется как однозначная функция х.
Проиллюстрируем это утверждение. Уравнение
у - х - £ siny = 0
удовлетворяется парой значений z = 0, у= 0. Будем
считать х параметром и рассмотрим функции х = у
и х — ®+«siny. Вопросе том, существует ли для вы-
бранного хо соответствующее единственное значение уо такое, что лара (®о»Уо) удовлетворяет урав-
нению (2), сводится к тому, пересекаются ли кривые х = у и х « ®о + е sin у в единственной точке.
Построим их графики на плоскости хОу (рис. 11). Кривая х = х + в sin у, где х рассматривается
как параметр, получается параллельным переносом вдоль оси Ох кривой х « е sin у. Геометрически
очевидно, что при всяком х кривые х « у и х « х+е siny имеют единственную точку пересечения, ор-
дината у которой является функцией от х, определяемой уравнением (2) неявно. Через элементарные
функции эта зависимость не выражается.
3. Уравнение
х2 + у2 +1 * 0
ни при каких действительных х не определяет у как действительную функцию аргумента х.
В таком же смысле можно говорить о неявных функциях нескольких переменных.
Следующая теорема дает достаточные условия однозначной разрешимости урав-
нения
Я®,у) = о (1)
относительно у в некоторой окрестности заданной точки (хо> Уо)-
Теореме 8 (существование неясной функции).
Пусть выполнены следующие условия.,
1) функция &(х, у) определена и непрерывна в некотором прямоугольнике D = {х0 ~
6| < х < х0 + »Уо - й < V < Уо + $1 > 0, > 0, с центром в точке (хо, Уо);
2) в точке (®о, Уо) функция &~(х, у) обращается в н^ль,
^(®о,Уо) = О;
3) в прямоугольнике D существуют и непрерывны частные производные и ;
4)
двг(х, у)
ду
Тогда для любого достаточно малого по-
ложительного числа е найдется окрест-
ность xq - 6q < х < ®о + 6q, 6q > О,
точки Xq такая, что в этой окрестно-
сти существует единственная^ непрерыв-
ная функция y = f(x) (рис. 12), которая
принимает значение Уо при x=Xq (/(®о)=
Уо), удовлетворяет условию |у — уо| < £
и обращает уравнение (1) в тождество:
ЗГ(г, /(«))=0.
Эта функция у = f(x) непрерывно диффе-
ренцируема в окрестности точки Xq, при-
чем
<4 Выведем формулу (3) для производной
неявной функции, считая существование
этой производной доказанным.
Пусть у = f(x) — неявная диффе-
ренцируемая функция, определяемая
уравнением (1). Тогда в интервале (xq -
tfo. 4- <?о) имеет место тождество
ЗГ(1,/(г))=0,
вследствие него в этом интервале
dx
Согласно правилу дифференцирования
сложной функции имеем
#0.
(«О,И))
d^r(xiy(x)) _ д&
dx дх
дЗГ dy
ду dx
*) Единственная в том смысле, чтолюбаяточка (х, у), лежащая на кривой &~(х,у) = 0 и принадлежащая
окрестности П = {хо — ® < «о +<5о, l/o~f<!/<Po + f} точки (х», Уо), имеет координаты, связанные
уравнением у ~ Дх).
Отсюда при у = J(x) получаем, что
и, значит,
dy
ду dx
dy
dx
дх
д&
Пример. Найти || от функции у = у(х), определяемой уравнением
'х2 + у2 = Л2. ' Г ° ” * ' '' \
4 В данном случае
^(х,у) = х2 + у2 - Л2,
д& . ’
Л — а — ^У’
ОХ ду
Отсюда в силу формулы (3)
A dv х '
~ = ~~ (у^О). ►
ах у
Замечание. Теорема-8 даетусловия для существования единственной неявной функции, график которой
проходит через заданную точку (хо, Уо)» достаточные, но не Необходимые. В самой Деле, рассмотрим
уравнение
(у - х)2 = 0.
Здесь
‘ &(х, У) = (у - х)2
имеет непрерывные частные производные но
= 2(у - х)
равна нулю в точке 0(0,0). Тем не менее, данное уравнение имеет единственное решение
У = ®,
равное нулю при х = 0. <
Задача. Пусть дано уравнение
У2=х2 (!')
и пусть • ,
у = у(х), —оо < х <+оо, ' ’ (2*)
— однозначная функция, удовлетворяющая уравнению (1').
1) Сколько однозначных функций (2*) удовлетворяет уравнению (Г)?
2) Сколько однозначных непрерывных функций удовлетворяет уравнению (!')?
3) Сколько однозначных дифференцируемых функций удозлетворяет уравнению (1*)? . .
4) Сколько однозначных непрерывных функций у = у(х), 1 — <5 < ж <1 + <5, уддвлётйоряет
уравнению (1'), еслй у(1) = 1 и 6 > 0 достаточно мало? *
Теорема существования, аналогичная теореме 8, имеет место и в случае неявной
функции z — z(x, у) двух переменных, определяемой уравнением
У> z) = Q. (4)
Теорема 9. Пусть выполнены следующие условия'.
1) функция определена и непрерывна в области D :
f Фо “ 0| < х < $0 + 0J >
Уо - < У <Уо + 02. (0).> 0, 02 > 0, 0з > 0);
k Zq - 03 < Z < Zq + 03.
2) '^(®о,Уо,Д))-О;
3) в области D существуют и непрерывны частные производные
аг1 аг1 <3‘>'
у» , .
4)
^'(*о, Уо, «о) # о.
Тогда для любого достаточно малого е > 0 найдется окрестность П точки (®о,у<)),
в которой существует единственная непрерывная функция z =; принимающая
значение zq при х ~ xQ, у — у0, удовлетворяющая условию \z — Zq\ < е и обращающая
уравнение (4) в тождество:
y))sO.
При этом функция z = /(х, у) в области Q имеет непрерывные частные производные f'x
"ft-
◄ Найдем выражения для этих производных. Пусть уравнение
^(®, У,*) - 0
определяет z как однозначную и дифференцируемую функцию z = f(xt у) независи-
мых переменных « и у. Если в это уравнение вместо 2 подставить функцию f(x, у),
то получим тождество
& fa У, Л®, У)) s 0 (ж, у) € П.
Следовательно, полные частные производные по х и по у функции ЗГ(х, у, z), где
z — f(x> у), также должны быть равны нулю. Дифференцируя, найдем
дх + dz дх ’ ду + dz ду ’
откуда
£f=_x (^oY
5а? dy \dz )
Эти формулы дают выражения для частных производных неявной функции двух неза-
висимых переменных. ►
Пример. Найти частные производные от функции z(z, у), заданной уравнением
^х,у,х) = х2 + у2 + z2 - Я2 = 0.
4 Имеем ОФ" в&г ~ = 2х, = 2у, = 2а, дх ду дх
откуда дх X дх V / , лк я—;- г,"
§11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
11,1. Предварительные сведения
Пусть имеем поверхность S, заданную уравнением
&\х, у, z) ~ 0. (1)
Определима Точка М(х, у, х) поверхности (1) называется обыкновенной точкой этой
поверхности, если в точке М все три производные
д& д& д&г
дх * ду * дх
существуют и непрерывны, причем хотя бы одна из них отлична от нуля.
Если в точке М(х, yt х) поверхности (1) все три производные
дР д& д&
дх ’ ду ’ дх
равны нулю или хотя бы одна из этих производных не существует, то точка М назы-
вается особой точкой поверхности.
Рассмотрим пространственную кривую L, заданную параметрическими уравнение
ями
® ~ €(0>
у = п(0, а < t < /3. (2)
Пусть функции £(t), $(t) имеют непрерывные производные {'(t), (r(t)
в интервале а < t < 0. Исключим из рассмотрения особые точки кривой, в которых
4eW + >?'2(O+C'2(«) = o.
Пусть А4Ь(хо, #о, zo) — обыкновенная точка кривой L, определяемая значением to
параметра t, to € (а, /?). Тогда
т = х^о)1 + 1/(М) + *'(Мк
— вектор касательной к кривой L в точке Мо(хо, Jfo, zo) *
11.2. Касательная плоскость поверхности
Пусть поверхность S задана уравнением
^(®> У, я) = 0.
(1)
5 Зак. 628
Возьмем на поверхности S обыкновенную точку Р и проведем через нее некоторую
кривую L, лежащую на поверхности и задаваемую параметрическими уравнениями
(х = £(0,
< У = 1/(0, a<t<p. (2)
I z = <(0,
Предположим, что функции £(£), 7/(0, £(£) имеют непрерывные производные, нигде
на (а, не обращающиеся одновременно в нуль. По определению, касательная
кривой L в точке Р называется касательной к поверхности S в этой точке.
Если выражения (2) подставить в уравнение (1), то, поскольку кривая £ лежит
на поверхности S, уравнение (1) обратится в тождество относительно t:
З’-ШчС*), ((*)) = 0,
Дифференцируя это тождество по t, по правил у дифференцирования сложной функ-
ции получим
д&~ dx dSF dy 1_ dx dt dy dt d& dz + ~dz~dt=Q'
Выражение в левой части (3) является скалярным произведением двух векторов:
d& dsr d^r
n = —— i + —— k
dx dy J dz
и ____________________
dx dy dz t
r= ai+dtJ+dk-
В точке P вектор г направлен по касательной к кривой L в этой точке (рис. 14). Что
касается вектора п, то он зависит только от координат этой точки и вида функции
^(х, У, z) и не зависит от вида кривой, проходящей через точку Р.
Так как Р — обыкновенная точка поверхности S, то длина вектора п отлична
от нуля,
, , //0^Л2 /азп2 (дЯХ1
1П1 — \ ( "7— ) + I ~— ) + ( “д— ) ‘
у \ дх / \ ду / у dz /
То, что скалярное произведение
(и, т) = 0
означает, что вектор т, касательный к кривой L в точке Р, перпендикулярен вектору
и в этой точке (рис. 14). Эти рассуждения сохраняют свою силу для любой кривой,
проходящей через точку Р и лежащей на поверхности S. Следовательно, любая
касательная прямая к поверхности S в точке Р перпендикулярна вектору п, и, значит,
все эти прямые лежат в одной плоскости, тоже перпендикулярной вектору п.
Определение. Плоскость, в которой расположены все касательные прямые к поверхно-
сти S, проходящие через данную обыкновенную точку Р € 5, называется касательной
плоскостью поверхности в точке Р (рис. 15).
есть нормальный вектор касательной плоскости к поверхности &(ж, у, z) = 0 в точ-
ке Р, Отсюда сразу получаем уравнение касательной плоскости к поверхности
у, z) = 0 в обыкновенной точке Ро(®о, zo) этой поверхности:
(6)
Если поверхность S задана уравнением
z = /(®, У),
то, записав это уравнение в виде
& = /(ж, у) - Z - О,
получим
д& df д^ df д&
= —.
дх dx' ду ду' dz
и уравнение касательной плоскости в точке Ро($о, 1/о» -го), zo = /(®о> Уо)»будет выгл -
деть так
(df\ z Zo - ) fdf\ (® - ®o) + T- ) (*o,vo) (y-yo)-
(7)
11.3. Геометрический смысл полного дифференциала
Если в формуле (7) положить ж - х0 = Д®, у -уо = Ду, то она примет вид
△ж +
(*0>Ы
ду)
&у.
(8)
Права часть (8) представляет собой полный дифференциал функции z = f(x,y)
в точке М0(х0, уо) на плоскости хОу, так что
z — zq = dz.
Таким образом, полный дифференциал функции z — f(xty) двух независимых пере-
менных х и у в точке Mq , отвечающийприращениям Дх и Ду переменных® и у, равен
приращению z-zq аппликаты z точки касательной плоскости поверхности S в точке
Л(®о, Уо» /(®о, Уо)) при переходе от точки М0(®0, Уо) к точке M(xq + Д®, у$ + Ду).
11.4. Нормаль к поверхности
Определение. Прямая, проходящая через точку Ро(®о» Уо» «о) поверхности
У» х) = О
перпендикулярно касательной плоскости к поверхности в точке называется нор-
малью к поверхности в точке Pq .
Вектор
_ (дР двг I
П ” [ дх ’ $У ’ dz J 1д)
является направляющим вектором нормали, а ее уравнения имеют вид
X - - t-.A Xq У “Уо z- Zq
(№\ (—}
\ дх ) («о,уо,*о) \&У ) (*о№Ло) \ dz / («о.уо,*о)
Если поверхность S задана уравнением z = f(xty), то уравнения нормали в точке
РЪ(®о» Уо> /(®о, Уо)) выглядят так:
X — Xq у- Уо __ г-zo
(df\ -1 '
\^х/ (»o,ito) \dyj (хо.Го)
Пример. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
Z = *2 + у2
в точке 0(0,0,0).
<4 Здесь
= ®2 + у2,
так что
£-2., £=2,.
дх ду
В точке (0,0) эти производные равны нулю:
Л(0,0) = 4(0,0) = 0,
и уравнение касательной плоскости в точке 0(0,0,0) принимает следующий вид:
х-0 = 0(а?-0) + 0(у-0),
т.е, х =0 (плоскость хОу). Уравнения нормали:
ж-0 _ у-0 _ z -О
О = 0 1 ’
или
г = 0,
у =0,
— ось Oz. ►
§12. Производные высших порядков
Пусть функция z = /(®, у) имеет частные производные и в каждой точке х
области D. Тогда эти производные
|^=Л(®>у) и |^ = /J(®,y)
ох оу
будут функциями от х и у в области D, которые в свою очередь в точках области D (во
всех или в некоторых) могут иметь частные производные. Эти частные производные
от и (если они существуют) называются вторыми частными производными или
частными производными второго порядка функции z = fix, у). Для функции z —
f(x,y) двух независимых переменных х, у получаем четыре частные производные
второго порядка, которые обозначаются так:
д f 0* *^ d2z д (dz\ d2z
дх > ” дх2' ИЛИ ду = ИЛИ дудх
д ( dz\ d2z д ( dz\ d2z
$х ~ дхду' ИЛИ ду = ИЛИ ду2' fvir
7
Производные fxv и называются смешанными: одна из них получается дифференци-
рованием функции сначала по х, затем по у; другая, наоборот, дифференцированием
сначала по у, затем по х.
Аналогично определяются частные производные 3-го и т. д. порядков.
Пример. Найти частные производные 1-го и 2-го порядков от функции
х = аРу2 - ху3.
дх ,22 3 е 2 , 2
вг1 э v=21 -6*», £-4- » &хоу
Обратим внимание на то, что смешанные производные z'^ и z^x оказались тожде-
ственно равными. Это не случайно. Имеет место следующая теорема.
Теорема 10 (о равенстве смешанных производных). Пусть для функции
* ~ /(«, У)
в некоторой окрестности точки Мо(®о> уо) существуют производные fa, fv, fxv и f?x
и пусть, кроме того, производные и f*x в точке Мо(®о> Уо) непрерывны. Тогда в точ-
ке Mq эти производные равны,
/»у(®о» Уо) — Д * (®о > Уо)
Требование непрерывности производных fxy и fyx вточкеМо(яо, Уо) существенно.
Так, для функции
< 0, х = у = О,
смешанные производные fxy и fyx разрывны в точке 0(0,0), и для этой функции
имеем /"у(0, 0) = -1, /^(0, 0) = 1.
Верен и более общий факт:
если для функции и = /(jq, ж2,..., хп) какие-либо смешанные производные порядка
т 2 отличаются между собой только порядком дифференцирования и непрерывны
в некоторой точке, то они в этой точке имеют одно и то же значение.
§ 13. Дифференциалы высших порядков
Пусть в области D задана функция z — f(xt у) независимых переменных х и у. Если
эта функция дифференцируема в области Р, то ее полный дифференциал в точке
(®, у) Е D, соответствующий приращениям dx и dy независимых переменных х, у,
выражается формулой
(здесь dx = Дх, dy — Лу — произвольные приращения независимых переменных,
т. е. произвольные числа, не зависящие от х и у). Поэтому мы можем изменять х и у,
оставляя dx и dy постоянными. При фиксированных dx и dy полный дифференци-
ал dz есть функция от х и у, которая в свою очередь может оказаться дифференциру-
емой.
Определение. Полный дифференциал от dz в точке (г, у), соответствующий прираще-
ниям независимых переменных, равным прежним dx и dy, называется дифференциа-
лом второго порядка функции z = /(®, у) и обозначается символом d* 2z:
d2z°=d(dz). (1)
Пусть функция z = /(«, у) € С2(Р),т.е. имеет в области D непрерывные частные
производные до второго порядка включительно. Тогда полный дифференциал dz
этой функции будет дифференцируемым, т. е. будет существовать d2z. Пользуясь
известными правилами дифференцирования и помня, что dz и dy — постоянные,
получим
2 / (7Z OZ
d z — d(dz) = d I — dx 4- — dy
\dx dy
(dz \ f dz \ (dz\ fdz\
— dx I 4- d { — dy I = d { — I dx 4- d I —- ) dy.
dx J \dy V \dxj \dyj *
По формуле полного дифференциала, примененной к и , имеем \
, (dz\ д f.dz\ д (dz\ d2z d2z
\dx / dx\dx J dy \dxJ dx2 dydx
/ dz\ d (dz\ d (dz\ , d2z , d2z ,
\dy) dx \dy/ dy \dyj dxdy dy2
Поэтому из формулы (2) следует
э &2Z , \2 ^2Z . ч2
d2z = ^(dx) + —&<!,+ —&<* + —(dp).
Так как
d2z __ d2z
dydx dxdy
в силу непрерывности этих смешанных производных, то для d2z получаем формулу
,2 d2z 2 &2z d2z 2
d z = — dx 4- 2т—— dx dy 4- т-7 dy2.
dx2 dxdy dy2
(3)
Здесьdx2 = (dx)2, dy2 = (dy)2.
С помощью формального символа y^dx+^dy формулу (3) записываютусловным
равенством
2 ( 0 ° \
d z = \ — dx + — dy ] z.
\dx dy
(4)
Здесь символы и рассматриваются как «множители» и формула квадрата суммы
с последующим условным умножением на z приводит к нужному результату. Именно,
запишем
, (d d \2 d2 у d2 d2 j
d = I — dx 4- — dy] = —г dx 4- 2—— dx dy 4- 7—7 dy .
\dx dy ) dx2 dxdy dy2
«Умножим» обе части полученного выражения почленно на z, поместив множитель z
в «числители» Я2 дробей, стоящих в правой части. Получим
.2 &2Z , 2 ~ d2Z , , d2z 2
d z = dx 4- 2------dx dy 4- т-4 dy ,
dx2 dxdy dy2 * ’
что совпадает с формулой (3).
Подобным же образом вводятся понятия дифференциалов 3-го, 4-го и т. д. поряд-
ков. Вообще, полный дифференциал n-го порядка d”z есть полный дифференциал
от полного дифференциала (п - 1) -го порядка:
dnz = d(dn'lz).
Если функция z = f(x, у) € Cn(P), то у нее существует дифференциал n-го порядка.
Этот дифференциал выражается формулой следующего вида
_ / d d \n
d z = I — dx 4- 7- dy ) z.
\dx dy J
Для функции и = f{x\, , гт) от т независимых переменных ®|, , хт
при выполнении соответствующих условий получаем
_ / д д д \п
du ~ dXl + dx2 + • • ’ + Л------------------dxm ) V-
\i/X] v®2 OXffi J
Замечание. Если х и у не являются независимыми переменными, а суть функции от ( и ij, то, как
и в случае функции одной переменной, уже второй дифференциал не обладает свойством инвариант-
ности формы.
4 В самом деле, пусть
* = f(x,y), гдех = ^и,ч),р = ^и,ч).
ТЪгда первый дифференциал может быть записан в прежнем виде
- . дх , дх .
dz = — dx + — dy,
дх ду *’
но теперь dx и dy сами есть функции и могут не быть постоянными. Поэтому
> /дх\ (дх\ дх . дх , . ( д д \2 дх , дх 1
d * = d(az) dx+d(fld dj/+s;d^ + ^d^=fl7dx+^dv * + x+a7tdy'
\дх / \"V/ “У \отс ®y / 0® "V
так что инвариантность формы вообше не имеет места, к
§14. Формула Тейлора
для функции нескольких переменных
Пусть функция z = /(®, у) имеет непрерывные част-
ные производные до n-го порядка включительно во
всех точках (х, у) некоторой . 6-окрестности точки
(®о, Уо) и пусть точка (®о 4- A®, Ifo 4- Ду) принадлежит
этой окрестности (рис. 16). Положим
х = ®о 4- «Д®, у = Уо + <Ду, ' (1)
где t € [0,1] — новая независимая переменная. Тогда
* = /(®»У) = /(®о + *Д®, Уо 4- «Ду) =
так что величина z оказывается сложной функцией от t,
определенной на отрезке [0,1] и имеющей там произ-
водные до порядка п включительно. Поэтому z = <p(t)
можно представить формулой Тейлора по степеням t:
Рис. 16
Полагая t = 1, получим
м,п - + 4. 4. 4У’,’,,<°) 4. n<e<l /Я
*>(1)-W>) + — + — + ••• + '(п-~1)Г + 0<e<1- ™
Выразим величины в правой части формулы (2) при помощи исходной функции /(х, у)
и ее производных. Заметим, что аргументы х и у функции f(x, у) являются функция-
ми от t, но имеют постоянные дифференциалы dx = Дх * dt, dy = Ду-di (Дх, Ду —
фиксированные числа). Поэтому для вычисления последовательныхдифференциалов
функции z — f(x, у) применима формула
( д J д J у л. .
( д д V I д д \р v
= ( — (Ах dt) + ~— (Ау dt) ] f(x,y) = (—Дх4- —Ду) /(x,y)(dt/,
\ ох оу / \ ох оу /
откуда __________________________________________
= ^>(е) = (JL Дх + A Ду') /(х, у). (3)
at*' \ ох оу /
При t = 0 в силу соотношений (1) имеем х = х0» У — Уо»и формула (3) принимает вид
^(0)= Г^Дх4-~Ду) /(х,у)L-«o (р = 0,1,... ,п - 1).
\ох cfy / Iv^yo
При t = д получаем
Заметим еше, что
Р(О = /(®о4-Дх, у о + &у)'
Подставляя выражения (4), (5) и (6) в равенство (2), получим, что
(4)
(5)
(6)
/ д д \ /(х0 4- Д®, 1/0 4- Ду) = /(хо, Уо) 4- -X- Дх 4- — Ду 1 \ ох оу / f (®> у) 1*в*о 4-
1 ( д А д А \ Ч + 2! (to Дх+ aiAy) /(х'у) 1 ( 8 А А V1 з=г0 4- ... 4- /(x,y)L««o + 1»=И)
1 (п-1)! \&с 1 ду &У)
1 / д д \п |з=»®о+!Да:, 0 < 0 < |у«И)+Му : 1.
(7)
Это — формула Тейлора для функции z — f(x, у) двух переменных, а
1 / д д \п
Лп= ni ( ^A®+^7A!Z)
П1 \ ОХ оу / «яиео+вДх
К-У0+«Ду
— остаточный член этой формулы в форме Лагранжа.
Приведем сокращенную форму записи формулы ТЪйлора. Перенося первое сла-
гаемое правой части формулы (7) в левую часть и обозначая разность /(хо 4- Дх,
Уо 4- Ду) - /(х0,1/0) через △/|<ЖОэГо>»получаем, что
д/|(«.«> - *|<^»>+5 4-... 4- — «Г-1/ (*е>мо) (п “ 1)! + 75^
138-----------------------------------------------------Глава XV. функции нескольких переменных
*
Формулой (8) пользуются для приближенного вычисления приращения Д/ функции
2 = №, У) в точке Мо(жо, t/0).
При достаточно малых.по модулю значениях Дж и Ду и при df. £ 0 за приращение
функции Д/ приближенно можно принять дифференциал df. Это означает, что
в правой части формулы Тейлора (8) берется только одно первое слагаемое. Если
приближенное равенство Д/ « df не дает требуемой точности, то для повышения
точности можно воспользоваться дальнейшими членами формулы Тейлора (8).
Пример. Разложить функцию
/См) = e®siny
по формуле Маклорена с остаточным членом 3-го порядке.
•4 Формула Тейлора (7) с остаточным членом Яз имеет вид
/(хо + Дх, Ifo + △!/) = 7(х0, уо) + Л (х0,Уо)Дх + ^(го,уо)Ду+
+ ~ [/«(«о, Уо)Дх2 + 2/*у(хо,Уо)ДхДу + /«(хо,уо)ДУ2] +
+ i [ Л««(х, У)Дх3 + 3/£ г(х, у) Дг2Ду + у) ДгДу2 + f9VV(x, у)Ду3] |1=Хо+<)дж.
Формула Маклорена получается из нее, если положить го = Уо = 0. Дх = х> Ду = у:
f(*> У) = /(о, 0) + Л (0,0)г + 4(0,0)у + 1 [/£ (0,0)г2 + 2/"s(0,О)гу 4- /*((),0)у2] + j
. 1 (♦)
+ 3/£у(0г,0у)г2у + 3f'”vv(9x>9y)xy2 + О?Му)у3], О < 9 < t.
В данном случае
у (г, у) = е® sin у, /(0,0) = 0;
Л(*,У) = e’siny, 4<®,у) = е® cosy, Л(0,0) = 0; /»(М) = V.
/£(х,у)= e®siny, Zty(®>y) = «’cosy, /й(аг>У) = —e*siny, Л>»0) = 0; А(0,0) = 1; 4(0>0) = °;
Л"х(<М)= e*slny, Л«(*Му) = e^sin^y; /zi|f(®»y)= e’cosy, /sijf(^x,yy) = e^costfy; = ~e* sin y, f^(9x, 9y) = -e6* sin 9y\ fyyy(xty) = ~e cosy, fyyy{9X)9y) = ~e cosffyt Таким образом, формула Маклорене (*) принимает вид
е* any = у + ху + rfe6® sinfly х5 4- Зе9х 0 1 cos 9у х2у - Зе8® &т9у • гу2 - е8® cos 9у • у3]. ►
Замечание 1. Нетрудно заметить, что формулу Маклорена можно записать так:
/(х, у) = /(0,0) + Pi(x, у) + Pi(x,y) + ... + Д-i (г, у) + Яп,
где А(х, у) — однородный многочлен Л-ой степени относительно г, у.
§15. Экстремум функции нескольких переменных
15.1. Понятие экстремума функции нескольких переменных.
Необходимые и достаточные условия экстремума
Пусть функция z = f(x, у) определена в некоторой области D и пусть Мо(®о, Уо) —
внутренняя точка этой области.
Определение. Если существует такое число 6 > 0, что для всех Дх и Ду, удовлетворя-
ющих условиям |Дзс| < 6 и |Ду| < б, верно неравенство
△/(®о, Уо) = /(®о + Д®, Уо 4- Ду) - f(xOi уо) < 0, (1)
то точка Mq(xq, уо) называется точкой локальногомаксимума функции /(х, у); если же
для всех Дж, Ду, удовлетворяющих условиям |Дх| < 6 и | Ду| < б,
Уо) = №о + Уо + ДУ) " /(®о, Уо) > 0, (2)
то точка Л/о(®о , Уо) называется точкой локального минимума.
Иными словами, точка Mq(xq, уо) есть точка максимума или минимума функции
/(®>у)> если существует <5-окрестность точки Л/о(хо,уо) такая, что во всех точках
М(х, у) этой окрестности приращение функции
△/ == /(®,У) - /(®о,Уо)
сохраняет знак.
Примеры.
1. Для функции
Z = я2 + у2
точка 0(0, 0) — точка минимума (рис. 17).
2. Для функции
' 2 2
Z = 1 -X ~у* 1
точка 0(0,0) является точкой максимума (рис. 18).
3. Для функции
?+»г’£0’
U, х = у = 0.
точка 0(0,0) является точкой локального максимума.
4 В самом деле, существует окрестность точки 0(0,0), например,
круг радиуса | (см. рис. 19), во всякой точке которого, отличной
отточки 0(0,0), значение функции f(x,у) меньше 1 = /(0,0). ►
Мы будем рассматривать только точки строгого максимума и минимума функций,
когда строгое неравенство Д/ < 0 или строгое неравенство Д/ > 0 выполняется
для всех точек М(х, у) из некоторой проколотой 6-окрестности точки Мо-
Значение функции в точке максимума называется максимумом, а значение функ-
ции в точке минимума — минимумом этой функции. Точки максимума и точки мини-
мума функции называются точками экстремума функции, а сами максимумы и мини-
мумы функции — ее экстремумами.
Теорема 11 (необходимое условие экстремума). Если функция
x = f(xty)
имеет экстремум в точке Мо(®о, Уо)> то 9 э/иой точке каждая частная производная
и либо обращается в нуль, либо не существует.
щ Пусть в точке Мо(®о» уо) функция z — f(x, у) имеет
экстремум. Дадим переменной у значение yQ. Тогда
функция z = /(®, у) будет функцией одной перемен-
ной X'.
* = f(x,yQ).
Так как при х = ®0 она имеет экстремум (макси-
мум или минимум, рис. 20), то ее производная по х
при х = ®о> т.е. (эг)|(Х0|И)» либо равна нулю, ли-
бо не существует. Аналогично убеждаемся в том, что
( jj) > или равна нулю, или не существует. ►
/
Точки, в которых = 0 и = 0 либо не суще-
ствуют, называются критическими точками функции
z = У)' Точки, в которых $* * = $£= 0, называ-
ются также стационарными точками функции.
Теорема 11 выражает лишь необходимые условия
экстремума, не являющиеся достаточными.
Пример. Функция
Z SB - у2
имеет производные
dz . dz „
— = 2х, — = -2»,
dz ду
которые обращаются в нуль при х = у = 0. Но эта функция а точке 0(0,0) не имеет экстремума.
Ч Действительно, функция
/(z,y) = z2-y2
равна нулю в точке 0(0,0) и принимает в точках М(х, у), как угод*
но близких к точке 0(0,0), как положительные, так и отрицательные
значения. Для нее
△/(0,0) =/(z, у) — jf(O,O) = z2 - у2,
так что
△/ > 0 в точках (z,0)
△/ < 0 в точках (0, у)
при сколь угодно малых |z| > 0 и |у| > 0. ►
Точку 0(0,0) указанного типа называют точкой мини-
макса (рис. 21).
Достаточные условия экстремума функции двух переменных выражаются следую-
щей теоремой.
Теорема 12 (достаточные условия экстремума функции двух переменных). Пустьточка Mo(xq, уо)
является стационарной точкой функции f(x, у),
Л(*о,3/о) = О и 4(*о,1Л)) = О,
и в некоторой окрестности точки Мо(®о» 3fo)> включая саму точку Mq, функция f(xt у)
имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. ТЬгда:
1) в точке Мо(хо, yQ) функция f(x, у) имеет максимум, если в этой точке определи-
тель
D(xq> уо) =
/хх(®0) Уо)
/ху(®0> Уо)
fxy(xOi У о)
Уо)
— fxx[x0i Уо) ' /уу(®0> Уо) fxy{xOt Уо) > О
и
fxx(xo, Уо) < 0 (fyy(xo> Уо) < о);
2) в точке Mo(xot yQ) функция f(x, у) имеет минимум, если
D(xo,yo) > О
и
fxx(xOt Уо) > 0 (fyy(xO> Уо) > 0)>
3) в точке Mo(xq, уо) функция f(xt у) не имеет экстремума, если
D(xq, уо) < 0.
Если же
D(xQ, уо) = О,
то в точке Mq(xq, уо) экстремум функции f(x, у) может быть, а может и не быть.
В этом случае требуется дальнейшее исследование.
◄ Ограничимся доказательством утверждений 1) и 2) теоремы. Напишем формулу
Тейлора второго порядка для функции f(xy у):
/(®о + Д®, з/о + △!/) = /(®о, Уо) + Л(®о, Уо)^х + Л(®о, Уо)&У +
+ Т [/«($, У)Д® + 2/х^(®, у)ДхДу + fyy(x, у)^У ] [х=Х()+0Дг ,
где 0 < 0 < 1. По условию fx(xo, од) = 0, fy(xo, у0) = 0, так что
Д/ = /(®о + Д®, од + △!/) - /(®о, ОД) =
= ~ [/ага? («С, у)&Х + 2fxy(xt у)&Х&у + fyy(x, у)&У ] Ь=2о+#Дх >
2 1»=»О+0А»
откуда видно, что знак приращения △/ определяется знаком трехчлена в правой
части (1), т. е. знаком второго^ифференциала d2f. Обозначим для краткости
Л = /хх(х,у), B = fxv(x,y), С = /!у(х,у).
Тогда равенство (1) можно записать так:
Д/ = 5- (АД®2 + 2ВД® Ду + СДу2) IХ~Хо+6^Х • (2)
2 1»=Уо+0Д»
Пусть в точке 2Ио(®о, Уо) имеем
АС - В2 > 0, (3)
т. е.
fxxi^Ot Уо) ' fyy(Xo, ОД) — fxy (®о> ОД) > 0.
Так как по условию частные производные второго порядка от функции f(x,y) не-
прерывны, то неравенство (3) будет иметь место и в некоторой окрестности точки
М)(®о, од)-
Если выполнено условие (3), то А = /хх(х, у) £ 0 в точке Мо, и в силу непрерыв-
ности производная /хх(х,у) будет сохранять знакв некоторой окрестности точки MQ.
В области,где А / 0, имеем
АД®2 + 2ВД® Ду + СДу2 = j [(АД® + ВДу)2 + (АС - В2)Ду2].
Отсюда видно, что если АС - В2 > 0 в некоторой окрестности точки Мо(®о, Уо),
то знак трехчлена АД®2 + 2ВД®Ду + С&у2 совпадает со знаком А вточке (®о, Уо)
(а также и со знаком С, поскольку при АС - В1 > 0 А и С не могут иметь разные
знаки).
Так как знак суммы АД®2 + 2ВД®Ду + С ку1 вточке (®о + 0Д®, од + 0Ду) опре-
деляет знак разности
△/ = /(«о + Д®, од + Ду) - /(®о, од),
то мы приходим к следующему выводу: если для функции /(®,у) в стационарной
точке (®о, Уо) выполнено условие АС - В2 > 0 и А < 0 (С < 0), то для достаточно
малых |Д®| и |Ду| будет выполняться неравенство
△/ = /(®о + Д®, уо + Ду) - /(®о, од) < 0.
Тем самым, в точке (®о, Уо) функция /(®, у) имеет максимум.
Если же в стационарной точке (®0, уо) выполнено условие АС -В2 > 0 и А > 0
(С > 0), то для всех достаточно малых |Д®| и |Ду| верно неравенство
Д/ = /(®о + Д®, уо + Ду) - /(sco, Уо) > 0, -
и, значит, в точке (®о, уо) функция /(®, у) имеет минимум. ►
Примеры.
1, Исследовать на экстремум функцию
z = ж2 + 2у2 - 2х + 4у - 6.
4 Пользуясь необходимыми условиями экстремума, разыскиваем стационарные точки функции. Для
dz &z * _ »
этого находим частные производные и приравниваем их нулю. Получаем систему уравнений
dz
— = 2ж-2 = 0,
ох
dz
^-=4„+4=0,
откуда х = 1, у = -1, так что МоО, -1) — стационарная точка. Воспользуемся теперь теоремой 12.
Имеем
-
Мо dx2
так что
-2 в| ~ д2—
’ 1ЛТЬ дх dy
м0
। _ d2z
~ °’ Чмо “ ду2
Мй
= 4,
Мо
(АС -В2)! = 8 > 0.
1Л10
Значит, в точке Ма экстремум есть. Поскольку А = 2 > 0, то это — минимум,
। Мо
Если преобразовать функцию z к виду
z = (х - I)2 + 2(у + I)2 - 9, (*)
то нетрудно заметить, что правая часть («) будет минимальной, когда х ~ 1, у ~ — I. Это — абсолют-
ный минимум данной функции. ►
2. Исследовать на экстремум функцию
z =ху.
4 Находим стационарные точки функции, для чего составляем систему уравнений
dz
aJ = ’ = °’
dz
— = х = 0.
ду
Отсюда х - у = 0, так что точка Mq(0, 0) — стационарная. Так как
I -
!м0 “ дх2
I d2z
- 0, Д =---------------
lAfo дх ду
Мо
CU ду2
Мд
= 0,
Мо
<ЛС-в2)|м. = -1<(|
и в силу теоремы 12 в точке Л/о(0,0) экстремума нет. ►
3. Исследовать на экстремум функцию
z = ж + у.
4 Находим стационарные точки функции. Из системы уравнений
dz л з Л — = 4ж= 0
dx dz л з
= 4 у = 0
dy
получаем, что х = у = 0, так что стационарной является точка Мо(0, 0). Далее имеем
I =
'Мо дх2
A Dl
= 0, В =--------------
1мо дх dy
Мо *
I д2г
-°’ Чмо = ^
мь *
= 0,
Мо
так что
(ЛС-в’)| =0,
и теорема 12 не дает ответа на вопрос о наличии или отсутствии экстремума. Поступим поэтому так.
Для функции
х « г4 + у4
ео всех точках М(х, у), отличных отточки A/q(0,0),
△7(0.0) = /(«.») - 7(0, о) = ? +/ > о,
так что, по определению, в точке ATq(0,0) функция г имеет абсолютный минимум.
Аналогичными рассуждениями устанавливаем, что функция
i = -®4 - у4
имеет а точке 0(0,0) максимум, а функция
Z = х4 - у4
а точке 0(0,0) экстремума не имеет, к
Пусть функция п независимых переменных
tt = /(®1, ®2, . . . , Zn)
дифференцируема в точке Mq(x°X) zj,..., z£). Точка Мо называется стационарной
точкой функции «, если
Теорема 13 (достаточные условия экстремума). Пусть функция и = f(x\, х2, •. •, хп) опре-
делена и имеет непрерывные частные производные второго порядка в некоторой окрест-
ности точки Мо(®|, , ®п), которая является стационарной точкой функции
Х2,. •., хп). ТЬгда, если квадратичная форма (второй дифференциал функции f
в точке Мо)
<tf(dxu dx2),.>, da?n) = 53 “ * **" ** (4>
OXidXj Мо
является положительноопределенной (отрицательноопределенной), тоточкойминимума
(соответственно, точкой максимума) функции f является точка Mq(x\, Zj, ..., х*).
Если же квадратичная форма (4) является знакопеременной, то в точке Mq экстремума
нет. .
Для того чтобы установить, будет ли квадратичная форма (4) положительно или от-
рицательно определенной, можно воспользоваться, например, критерием Сильвестра
положительной (отрицательной) определенности квадратичной формы.
15.2. Условный экстремум
До сих пор м ы занимались отысканием локальных экстремумов функции во всей обла-
сти ее определения, когда аргументы функции не связаны никакими дополнительными
условиями. Такие экстремумы называются безусловными. Однако часто встречаются
задачи на отыскание так называемых условных экстремумов.
Пусть функция z — f(x, у) определена в области D. Допустим, что в этой области
задана кривая L, и нужно найти экстремумы функции /(z, у) только среди тех ее
значений, которые соответствуют точкам кривой L. Такие экстремумы называют
условными экстремумами функции z = f(x, у) на кривой L.
Определение. ТЪворят, что в точке Mo(xQi уо), лежащей на кривой L, функция /(z, у)
имеет условный максимум (минимум), если неравенство
№, У) < /(«о, Уо)
(соответственно
/(®,У)>/(®о,Уо))
выполняется во всехточкахМ (z, у) кривой L, принадлежащих некоторой окрестности
точки Afo(zo, уо) и отличных от точки Мо (рис. 22).
Если кривая L задана уравнением <р(х, у) = 0, то задача о нахождении условного
экстремума функции z — f(x, у) на кривой L может быть сформулирована так: найти
экстремумы функции z = f(x, у) в области D при условии, что <р(х, у) » 0.
Таким образом, при нахождении условных экстремумов функции z = /(z, у) ар-
гументы х и у уже нельзя рассматривать как независимые переменные: они связаны
между собой соотношением р(х, у) = 0, которое называют уравнением связи.
Чтобы пояснить различие между безусловным и условным экстремумом, рассмотрим такой пример,
безусловный максимум функции
х - 1 - х2 - у2
(рис. 23) равен единице и достигается в точке (0,0). Ему соответствует точка М — вершина парабо*
лоида. Присоединим уравнение связи у = |. Тогда условный максимум будет, очевидно, равен |. Он
достигается в точке ^0, и ему отвечает вершине Afj параболы, являющейся линией пересечения
параболоиде с плоскостью у = |. В случае безусловного максимума мы имеем максимальную аппли-
кату среди всех аппликат поверхности t = 1 - х2 - у2; в случае условного — только среди аппликат
точек параболоида, отвечающих точкам прямой у = | на плоскости хОу.
Один из методов отыскания условного экстремума функции
г = /(®,10 0)
при наличии связи
р(®,!0 = 0 (2)
состоит в следующем.
Рис. 23
Рис. 22
г = хх + у
Рис. 24
Пусть уравнение связи у) = 0 определяет у как однозначную дифференциру-
емую функцию аргумента х:
у = V>(«).
Подставляя в функцию z ~ /(ж, у) вместо у функцию 'ф(х), получаем функциюодного
аргумента
z =/(«, =F(x), (3)
в которой условие связи уже учтено. Экстремум (безусловный) функции F(x) является
искомым условным экстремумом.
Пример. Найти экстремум функции
z = x2+y2 (!')
при условии
® + У - 1 = 0. (2')
Из уравнения связи (2Z) находим у = 1 - х. Подставляя это
значение у в (Г), получим функцию одного аргумента х:
z =х2 + (1 -х)2.
Исследуем ее на экстремум:
? =2х -2(1 -х),
откуда х = | — критическая точка; zn = 4 > 0, так что х = ~
(у = ) доставляет условный минимум функции z (рис. 24). ►
Укажем другой способ решения задачи об условном
экстремуме, называемый методом множителей Лагран-
жа.
Пусть М0(ж0, уь) есть точка условного экстремума фу
* = /(®, У)
при наличии связи
<р(х, у} = 0.
Допустим, что уравнение связи определяет единственную непрерывно дифференци-
руемую функцию
У = ^(х)
в некоторой окрестности точки жо. Считая, что
У = V’(z)»
получаем, что производная по а; от функции / (ж, $(х)) в точке жо должна быть равна
нулю или, что равносильно этому, должен быть равен нулю дифференциал от /(ж, у)
в точке Мо'.
wL=(/i^+z;d»)U=o- <4>
Из уравнения связи имеем
= dx + ipv dy) |Мо = 0. (5)
У множая последнее равенство на неопределенный пока числовой множитель А и скла-
дывая почленно с равенством (4), будем иметь
(Л + А^) |Мо dx + (/J + X<p'v) |Мо dy = 0.
Предположим, что значение множителя А выбрано следующим образом:
(Л + ^Ру)1м0 = 0 №
(считаем, что / 0). Тогда в силу произвольности dx получим
+ = <7>
Равенства (6) и (7) выражают необходимые условия безусловного экстремума в точке
ЛГо(жо» Уо) функции
F(s, у) = /(ж, у) + Х<р(х, у),
которая называется функцией Лагранжа.
Тйким образом, точка условного экстремума функции /(ж, у), если = 0,
есть обязательно стационарная точка функции Лагранжа
F(®,y) = №>У) + М*,У)>
где А — некоторый числовой коэффициент. Отсюда получаем правило дАя отыскания
условных экстремумов'.
чтобы найти точки, которые могут быть точками условного экстремума функции
z = у) при наличии связи <р(х, у) = 0:
1) составляем функцию Лагранжа
F(x, у) = f(x, у) 4- Х<р(х, у)',
2) приравнивая нулю производные и этой функции и присоединяя к полученным
уравнениям уравнение связи, получаем систему из трех уравнений
QF
у) + У) = о,
Ох
< ^ = Л(Х>У) + ^Х’У) = °’ (8)
оу
dF , ' Л
— = <р(х, у) = 0,
из которой находим значения А и координаты х, у возможных точек экстремума.
Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании
изучения знака второго дифференциала функции Лагранжа
, d2F > d2F d2F 2
dF(x,y)=^dX +2--dxdy+—dy
для рассматриваемой системы значений ®o, yQ, А, полученной из (8) при условии, что
Ох Оу
((Ле)2 + (4У)2?4 0).
Если d2F < 0, то в точке (х0, од) функция /(®, у) имеет условный максимум; если
d2F > 0 — то условный минимум. В частности, если в стационарной точке (®о> уо).
определитель D для функции F(x, у) положителен,
D(xo, Уо) =
^х(®о,Уо)
FУо)
Fzv(xq^ уо) *
^(*о,Уо)
то в точке (о?о, Уо) имеется условный максимум функции f(x, у), если
4 = F^xq, уо) <0 (С = Уо) < 0),
и условный минимум функции f(x, у), если
4 = уо) > 0 (С’ = Уо) > 0).
Пример. Вновь обратимся к условиям предыдущего примера; найти экстремум функции х = ®2 + у2
при условии, что х + у = 1.
4 Будем решать задачу методом множителей Лагранжа. Функция Лагранжа в данном случае имеет вид
F(x, у, А) = z2 + у1 + A(z + у - 1).
Для отыскания стационарных точек составляем систему
Fx = 2х + А = 0,
F' = 2y + A = 0,
F'x = х +у - 1 = 0.
Из первых двух уравнений системы получаем, что х = у. Затем из третьего уравнения системы (уравне-
ния связи) находим, что х = у — | — координаты точки возможного экстремума. При этом указывается,
что А = -1. Таким образом, функция Лагранжа
F(x,y; -1) = z2 +у2 - х - у +1.
Для нее Fxz = 2, FyV - 2, Fxv - 0, так что
D
4> 0
и F*x ~ 2 > 0, т.е. точка Мо(р |) есть точка условного минимума функции z = х2 + у2 при условии
х + у = 1. ►
Отсутствие безусловного экстремума для функции Лагранжа F(z, у) ещенеознача-
ет отсутствия условного экстремума для функции f(xty) при наличии связи р(х, у) = 0.
Пример. Найти экстремум функции г = ху при условии у - г — 0.
Составляем функцию Лагранжа
F(x, у; А) = ху + А(у - z)
и выписываем систему для определения А и координат возможных точек экстремума:
2=1=у-А = 0,
’ F^ = х + А = 0,
Л = у - х = 0.
Из первых двух уравнений получаем х + у = 0 и приходим к системе
( х + у = 0,
(y-z = 0,
откуда х = у = А = 0. Таким образом, соответствующая функция Лагранжа имеет вид
F(x,y;0) = ху.
В точке (0,0) функция F(z, у, 0) не имеет безусловного экстремума, однако условный экстремум функ-
ции z = ху, когда у = х, имеется Действительно, в этом случае z = z2. Отсюда видно, что в точке
(0,0) есть условный минимум. ►
Метод множителей Лагранжа переносится на случай функций любого числа аргу-
ментов.
Пусть ищется экстремум функции
при наличии уравнений связи
( <pl(xbX2,...,Xn) = 0,
J V>2(xhx2,.. . ,хя) = о,
L iPm(®b ®2> • • • > ®п) ~
где т < п. Составляем функцию Лагранжа
F(X j, Х2, . . . , Хп) = f(xb Х2,..., хп) + А1Р1(:С], х2,..., хп) +
+ А2у2(Х], а?2>..., Sn) + . •. + Awym(ж 1, а?2,..., хп),
где Aj, Аз,..., Ат — неопределенные постоянные множители. Приравнивая нулю
все частные производные первого порядка от функции F и присоединяя к получен-
ным уравнениям уравнения связи (9), получим систему п + т уравнений, из которых
определяем Аь А3,..., Ат и координаты хь х2, •. •, хп возможных точек условного
экстремума. Вопрос о том, являются ли найденные по методу Лагранжа точки дей-
ствительно точками условного экстремума зачастую может быть решен на основании
соображений физического или геометрического характера.
15.3. Наибольшее и наименьшее значения непрерывных функций
Пусть требуется найти наибольшее (наименьшее) значение функции z = f(xt у), не-
прерывной в некоторой замкнутой ограниченной области D, По теореме 3 в этой
области найдетсяточка (хо, Уо) > в которой функция принимает наибольшее (наимень-
шее) значение. Если точка (хо, уо) лежит внутри области В, то в ней функция / имеет
максимум (минимум), так что в этом случае интересующая нас точка содержится среди
критических точек функции /(х, у). Однако своего наибольшего (наименьшего) зна-
чения функция у(х, у) может достигать и на границе области. Поэтому, чтобы найти
наибольшее (наименьшее) значение, принимаемое функцией z = /(х, у) в ограни-
ченной замкнутой области В, нужно найти все максимумы (минимумы) функции,
достигаемые внутри этой области, а также наибольшее (наименьшее) значение функ-
ции на границе этой области. Наибольшее (наименьшее) из всех этих чисел и будет
искомым наибольшим (наименьшим) значением функции z = /(х, у) в области Л.
Покажем, как это делается в случае дифференцируемой функции.
Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
Z = а? + у2
в области Л{-1
4 Находим критические точки функции х = х2 + у2 внутри области D. Для этого составляем систему
уравнений
Отсюда получаем х = у = 0, так что точка 0(0,0) — критическая точка функции х, Так как
Л=2 Л-2 94 -9
то в этой точке АС - В2 = 4 > О и А = 2 > 0, и, значит, в точке 0(0,0) функция : = 4-у2 имеет
минимум, рваный нулю.
Найдем теперь наибольшее и наименьшее значе-
ния функции на границе Г области D. На части гра-
ницы Г] = {z = 1, -1 у 1} имеем
г = 1+» - aj = 2»'
так что у = 0 — критическая точка, и так как —» =
tfjr
2 > 0, то в этой точке функция z = 1 4-у2 имеет мини-
мум, равный единице. На концах отрезка Гь в точках
(1, -1) и (1,1), имеем
z(l,-l) = z(l, 1)=2.
Пользуясь соображениями симметрии, те же резуль-
таты получаем для других частей границы Г} =
{у = 1,-1 О О- Г3 = {х = -1, -10^0
и = {у = -1, -1 х 1}. Окончательно получа-
ем: наименьшее значение; функции z = х2+у2 в обла-
сти 7) равно нулю и достигается оно во внутренней
точке 0(0,0) области, а- наибольшее значение этой
функции, равное двум, достигается в четырех точках
границы Af](l,—1), ЛГ2(1,1), М3(-1,1), ЛГ4(-1, —1>
(рис.25). ►
Рис. 25
Упражнения
Найдите область определения функций:
х
2
2. z = \/1 - х2 + ^/1 - у2.
3. z - ysin(x2+y2).
л 1 1
4, z = г + —.
*-У у
7. z=ctgff(x + y). %
z==ln(x2 + y).
6.
z = ху+ у/ х2 + у2 - R2 +
a) z = v/sinx«siny; б) z = v^si nх -1 + osiny -1.
R2
х2+у2’
Постройте линии уровня функций:
9. a) z = х + у; б) z = х2 + у2.
11. a) z = 1п(х2 + у); б) z = arcsinху.
10. a)z=4; 6)z = ^=.
х2 Jx
Найдите поверхности уровня функций трех независимых переменных:
12. и = х + у + z. 13, и = х2 + у2 - z2.
Вычислите пределы функций:
14.
a) lim
2-^ху+4
„ ®2У
б) Нт -5---г.
х-0 Х2+у2
»-о
16. а) Нт + ; б) lim ---*У .
18. Покажите, что функция z = —* при х —>
поведение функции на прямых у = кх.
15. 6)lim^.
»-0 ху х-0 х
»-0 9
2 2 ' у
17. a) lim —-б) lim—---------
х—о <e24-w2 ar+t/2
»-о ' 9 f-o 9
О, у —* 0 предела не имеет. Рассмотрите
Укажите множества точек разрыва следующих функций:
19. a) z =
2
х2+у2’
б) z=lnJx24-y2. 20. a)z=-----г--7;
V 1-я2-у2
6)z =
(г-1/)2'
1
21. a) z=cos—;
ху
sin2 jrx+sin2 тгу'
Найдите частные производные функций и их полные дифференциалы:
23. z — x3+y2-2xy. 24. z = arctg25. г=е-». 26. г = 1п(х + 1пу).
27. u = xy + yz + xz. 28. u = ^/a:2 + y24-22. 29. 2 = ch(x2y+shy). 30. u = xv*.
Найдите производные сложных функций:
31. a) z = х2 + ху + у2, где х = t2, у = t. Найдите . б) z — где х = е*, у = 1 - е21.
Найдите .
32. a) z — xf?, где у = arctg х. Найдите и ~. б) z = 1п(х2 - у2), где у = е*. Найдите
и .
33. a) z - arctg где х - u sin v, у - ucosv. Найдите и у-. б) z — х2 + у2, где
х = u + v, у = u-v. Найдите и .
34. Используя формулу производной сложной функции двух переменных, найдите fj и ||
функций: a) z — f(u), где и = arcsin ху + |, б) z = /(и), где и = sin | 4- е‘в.
35. Используя формулу производной сложной функции двух переменных, найдите || и
функций, a) z = /(u, v), где и — г2 In у, v = arcsin |. б) z = /(и, и), где и = e*2+ao*v,
v = arctg |.
Найдите функций, заданных неявно:
36. х2 + у2 + 1п(я?2 + у2) - а2. 37. In tg - - - = b.
X X
38. х2у + arcsin — + - = 0. 39. у* = xv.
У У
40. Найдите угловой коэффициент касательной кривой х2 + у2 = Юу в точке пересечения
ее с прямой х = 3.
41. Найдите точки, в которых касательная кривой х2 + у2 + 2х — 2у — 2 = 0 параллельна
оси Ох.
В следующих задачах найдите и
42. zcosy + уcosz + z cosz = 1.
Напишите уравнения касательной плоскости и нормали поверхности:
44. z = х2 + 2у2 в точке (1,1,3).
45. 7 + ? = 1 в точке (ж0, уо, -го).
46. z — sin х cos у в точке , 5 > |) •
47. z — х2 + У2 + 2ху вточке (1,1,4).
48. х2 +y2 + xyz 3 = 0 вточке (1,1,1).
49. Составьте уравнения касательных плоскостей поверхности х2 + 2у2 + Зг2 — 21, парал-
лельных плоскости x + 4y + 6z — 0.
Найдите три-четыре первых члена разложения по формуле Тейлора:
50« Л®,У) = егcos у в окрестности точки (0, 0).
51. /(г, у) = е* 1п(1 + у) в окрестности точки (0,0).
52. f(x, у) = xv в окрестности точки (1, 1).
53. f(x, у) = arctg в окрестноститочки (0,0).
54. /(г, у) = е*+’ в окрестноститочки (I, *-1).
Пользуясь определением экстремума функции, исследуйте на экстремум следующие функ-
ции:
55. z = 1 - (х - 2)4 - (у - З)4 в точке (2,3).
56. z = (® - 2)4 + (у - З)4 в точке (2,3).
57. z = х4 - у4 в точке (0,0).
58. z = sin4 х - {у - I)4 в точке (0,1).
Используя достаточные условия экстремума функции двух переменных, исследуйте на экс-
тремум функции:
59. z = 2у - х2 - у2. 60. z = х2 - 2х + у2. 61. z = 2ху - 4х - 2у.
62. z = х3 + 8у3 - бху + 1. 63. z = е а (® + у2).
64. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции z = х2 - у2 в замкнутом круге
х2 + у2 1.
65. Найдите наибольшееи наименьшее значения функции z = х2у(4-х-у) в треугольнике,
ограниченном прямыми х = 0, у = 0, х + у = б.
66. Определите размеры прямоугольного открытого бассейна, имеющего наименьшую по-
верхность, при условии, что его объем равен V.
67. Найдите размеры прямоугольного параллелепипеда, имеющего приданной полной по-
верхности S максимальный объем.
Ответы
1j0^x^2, J-2^x^0, .
I' I У>0 I У<0 ’ КвадРат» образованный отрезками прямых х = ±1 и у=±1,
включая его стороны. 3. Семейство концентрических колец 2irk х2 + у2 (2k + 1)я, k =
sin х—1=0, ,
sin у-1=0 4X0 Равносильно бесконечной серии
0,1,2,... .4. Вся плоскость за исключением точек прямых у = х и у = 0. 5. Часть плоскости,
расположенная вуше параболы у = -х2. 6. Точки окружности х2 + у2 = Я2. 7. Вся плоскость
за исключением прямых х + у = л, л = 0±1, ±2,... . 8. а) Подкоренное выражение неотрица-
{sin х 0, (sin х С 0 - м
sin у > 0 или \ sin у < 0 что Равносильно бесконечной серии нера-
J 2Ля-^х<(2Л + 1)я-, i = 0,±l,±2,..? ’ J (2*- 1)^х^2Ы, fc=0,±l,±2,...
венств ^mir<y<(2m + l)ir, т=0,±1,±2,... и Ц2т-1)я^у^2тя, т=0,±1,±2,...
соответственно. Область определения — заштрихованные квадраты (рис. 26);
Xh — ~ + 2feff, Л = 0, ±1, ±2,,.. ,
Ут = у+2пмг, т = 0,±1,±2,... .
Функция определена в точках = (xk, ут).
9. а) Прямые, параллельные прямой х + у = 0; б) концентрические окружности с центром
вначале координат. 10. а) параболы у = Сх2; б) параболы у = Су/х. 11. а) параболы у = С-х2
(С > 0); б) гиперболы ху = С, где |С| 1. 12. Плоскости х + у + z = с. 13. При и > 0 — одно-
полостные гиперболоиды вращения вокруг оси Oz; при и < 0 — двуполостные гиперболоиды
вращения вокруг оси Oz, оба семейства поверхностей разделяет конус х2+ у2-z2 =0. 14. а)
б) 0. 15. а) 1; б) 2. 16. а) е*; б) 0. 17. а) Предела не существует; б) 0. 18. Положим у = Лх,
тогда z = , s # 0. При k = -1 имеем lim z = 0, при k = | limx = 3, а при k = 3
lim z = -2, так что заданная функция в точке (0,0) предела не имеет. 19. а) Точка (0,0); б) точка
(0,0). 20. а) Линия разрыва — окружность х2 + у2 = 1; б) линия разрыва — прямая у = х.
21. а) Линии разрыва — координатные оси Ох и Оу; б) 0 (пустое множество). 22. Все точки
(т, л),где тип — целыечисла. 23. = 3®2-2у; — = 2у-2х\ dz = (Зх2-2у) dx+2(y-x) dy.
м Й = pip: Ц = 25- Й = г, = ** = +
Рис. 26
du = (у + г)<te + (* + »)dy + (* + У)fr. ?8. g = ; % = ; g = ,;
du ~ **Xffi*3* * 5* = sh(®2y + shy)2®y; § = sh(«2y + shy)(®2 + ch y); dz = sh(®2y +
shy)[2«yd® + («2 +chy) dyj. 30. du = ®M“l[yx dx+xz In® dy + xy In® dx]. 31.a) 4t34-3t2+2t;
6) -2cht 32. a) g = e’; g = e> (1 + &), 6) g = ft; £ = 33. .) g - 0;
g = i;6)g = 4«; g = 4«. «•»)£ = /’(«) [7^+*]; Й-Л«)[т*7-а];
в) g = r(»)[«»*-J + e«-Bhjy]; g = /'(«)[-cos£.^ + e”«^]. 35. a) g =
g2zy+ g^; g - g»: - £7^:6) Й = ga^’2. - g Дг, g = -g.-1—» •
лг (2®У\6,2-®*+,)к2 «-i
sin fl + 2Z . 36. 1/ = -i SI, v1 = I. 38. u' = -A----- 30. t/ = g?*
ЯП у -t- 9v у v ’ »’ У 9 У (i-xyjy/yJ-xJ+zy У J
40. В точке М,(3,1), у' ~ 3/4; вточке M2(3;9), j/ = -3/4. 41. Afi(-1,3); M2(-l,-l).
Л9 9* — *»tn»-cof». Bt _ cilnу-со»г м Bx _ <?t. Bx _ c*y AA 0» _i_ * — 1-
421 8} ~ смг-уain't- 431 35 “ 441 2Я + 4y - X - 3,
«zl = «zl=s^. 45. 2» + = 1; v 48. ®-p-2z + l = 0;
2=2/1 = 1=211 = £Z^2( 47. 4® + 4y - X - 4 = 0; 2=i = 2=1 = 2=i. 48. 3® + Зу + X - 7 = 0;
2fl = 2=1= 49.®+4y+6x+21 = 0; ®+4y+6x-21 =0.50. l+«+|(®2-y2)+g(®3-*3«p2).
51.y+ji(2®y-y2)+j((3a:2y-3®y2+2y3). 52.1+(®-1)+(®-1)(у-1)+|(®-1)2(у-1). 53.УШ1нив:
воспользоваться формулой arctg = arctg « - arctg у; получим ® - у -1 («3 - у3) +1 (®3 - у5).
54. 1 + ((а;- 1> + (у + 1)] + + j + Ш + l£±fll + . 55, zmix = l.
56, xmtn = 0. 57. Нет экстремума. 58. Нет экстремума. 59. «пих = 1 вточке (0,1). 60. xmin = -1
в точке (1,0). 61. Нет экстремума. 62. хт<п = 0 в точке (1, |). 63. xmin = в точке (-2,0).
64. Наибольшее значение z = 1 в точках (1,0) и (-1,0); наименьшее значение х = -1 в точках
(0( 1) и (0, -!) 65. Наибольшее значение z = 4 в точке (2,1), наименьшее значение г — -64
в точке (4,2). 66. ® = &2V, у = &2V, z = |^2К. 67. Куб со стороной а = .
Гпава XVI
ЭЛЕМЕНТЫ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
§1 . Плоские кривые. Способы задания.
Естественная параметризация
Наглядный геометрический объект — плоская кривая — при точных определениях
приводит к нескольким различным, хотя и близким понятиям. Плоскую кривую
можно понимать и как некоторое множество точек на плоскости и как множество
точек плоскости вместе с очередностью их прохождения — ориентацией. Приведем
два наиболее распространенных подхода к определению того, что представляет собой
плоская кривая.
Пусть на плоскости введена прямоугольная декартова система координат Оху.
Определение 1 (неявный способ задания). Плоской кривой называется множество 7 точек М
плоскости, координаты х и у которых при подстановке в уравнение
F(x,y) = 0 (1)
обращают его в тождество.
Пример 1. Уравнение
г2 + у2 - а2 — 0, где д > о,
задает окружность радиуса а с центром в точке 0(0,0) (рис. 1).
Другим распространенным способом задания
плоской кривой является параметрический способ за-
дания.
Определение 2. Параметризованной плоской кривой на-
зывается множество 7 точек М плоскости, координа-
ты х и у которых определяются соотношениями
® = У = (2)
где <p(t) и — непрерывные на отрезке [а, 6] функции. рис. 1
Пример 2.
х = а cos t, у « а sin t, 0 t 2т, (3)
— параметрические уравнения окружности радиуса а с центром в точке 0(0,0). При изменении пара-
метра t от 0 др 2г соответствующая точка обегает окружность против часовой стрелки.
Данное определение допускает естественную фи-
зическую интерпретацию. Если воспринимать пара-
метр t как время, то параметрически заданную кри-
вую можно рассматривать как след Движущейся точки
М(х, у), координаты которой изменяются со време-
нем по правилу (2). При этом вовсе не исключается
случай, когда при своем движении переменная точ-
ка М в некоторый момент Г может вновь оказаться
там, где ранее (в момент t*, t* < Г) она уже находи-
лась:
¥>(**) =
(рис. 2). Геометрически этоодна и та же точка. Однако
вследствие того, что в рассматриваемом процессе мы Рис. 2
попадаем в нее дважды в разные моменты времени, это две разные точки кривой,
задаваемой параметрическими уравнениями (2).
Замечание. Строго говоря .определения 1 и 2 вводят в рассмотрение разные объекты. Поэтому для того,
чтобы не впасть в заблуждение, нужно ясно представлять, в каком именно смысле рассматривается
задаваемая кривая.
Пусть кривая 7 задана параметрическими уравнениями (2) (рис. 3). Точка
A(tp{a)t V’(a)) называется начальной точкой этой кривой, а точка В(у>(Ь),^(Ь)) —
конечной точкой кривой 7. Кривая 7 называется замкнутой, если ее начальная и ко-
нечная точки совпадают (рис. 4).
Одноитожемножествоточекна плоскости можно задавать при помощи различных
параметрических уравнений.
ЛримерЗ. Уравнения
х = a cos(2jtt3), у = а б1п(2ят}), 0 < т < 1, (4)
задают окружность радиуса а. обходимую в положительном направлении. Легко видеть, что, положив
в формулах (3) i — 2хт3, мы приходим к соотношениям (4). ►
Определение. Функция
t — h(r), а 0,
(5)
подчиненная условиям:
а) h(r) непрерывна на отрезке [аг, /3];
• »
б) h(r) строго возрастает на отрезке [а, /3];
в) область значения функции h(r) —отрезок [а, Ь],
называется непрерывной заменой параметра кривой 7
(рис. 5).
Заменяя в формулах (2) параметр t на функцию h(r) ,
получаем уравнения ?
я = р(Л(т)), у = ^(Л(т)),
— другую параметризацию кривой 7.
Любую кривую можно параметризовать многими
различными способами.
Определение 3. Плоская кривая 7 называется п-гладкой относительно параметризации
® = ^(0» V = а t Ь,
если функции (p(t), ^(t) принадлежит классу (^[а, Ь], n Е N. Если порядок п гладко-
сти функций <p(t)t несуществен, то говорят просто о гладкой кривой.
Пример 4. Кривая 7, заданная уравнениями
x=P|t|,
является 3-гладкой (рис. 6а).
Пример 5. Кривая 7, заданная уравнениями
«=Л -!<«<!»
является 2-гладкой. Однако множество точек на плоскости, описываемое этими уравнениями, имеет
в точке О (при t - 0) особенность — излом (рис.66). Это означает, что гладкость функций и ф(0,
задающих кривую не обеспечивает плавного ее изменения. Отметим, что производные
= Ф'(О = ЗДО
этих функций при t = 0 одновременно обращаются в нуль.
1Ьчка Мо гладкой кривой 7, отвечающая значению tQ параметра, Мо = МЬ(<о)>
в которой
♦»'(«») = О, «'(«») = 0,
называется особой точкойэтой. кривой (относительно заданной параметризации). Точ-
ка Afo(io) гладкой кривой 7, в которой
[№]’+ [^о)]1 >о,
называется обыкновенной, или регулярной, точкой этой
кривой.
Пример 6. Вс» точки окружности (3) являются регулярными.
Пример 7. У кривой, задаваемой уравнениями
х = a cos31, у = а sin31, 0 t 2ir,
(астроида) четыре особых точки (при t = 0, ?, я*, у) (рис.7).
Определение 4. Гладкая плоская кривая 7 называется
регулярной относительно заданной параметризации,
если все ее точки являются регулярными, т. е.
И«)]2 + Ио]2 > 0
на отрезке [а, &].
Рис. 7
Последнее неравенство означает, что скорость
\/ [>'(*)]2 + [¥>Ч0]2
кривой 7 относительно заданной параметризации не обращается в нуль ни в од-
ной точке кривой. При изменении параметра t текущая точка M(t) перемешается
порегулярней кривой 7, нигде не оста- t г
навливаясь и не поворачивая вспять, * • ►
поскольку скорость регулярной кри-
вой ни при каких значениях параметра
не обращается в нуль.
Пусть 7 — регулярная кривая, заданная
параметрически. Обозначим через Мо точ-
ку кривой 7, отвечающую значению to пара-
метра, а через М — точку кривой 7, отве-
чающую значению t параметра из некоторой
окрестности точки io (рис. 8, 9).
Прямая М0Т называется касательной ре-
гулярной кривой 7 вточке Мо, если при М —►
Мо (или, что то же, t —»• t0) наименьший
△0 из углов между этой прямой и перемен-
ной прямой MqM стремится к нулю (рис. 9).
Регулярная кривая имеет касательную в ка-
ждой своей точке. Вектор скорости кривой
в точке Мо ^Go)) коллинеарен ее ка-
сательной в этой точке.
Прямая, проходящая через точку Мо перпендикулярно касательной кривой 7
в этой точке, называется нормалью кривой в точке Мо.
Замена параметра
t = Л(т), а С г < Д
называетсярегулярной, если h'(r) > 0 во всех точках отрезка [а, 0]. '
В случае неявного задания (1) кривая 7 будет регулярной, если в каждой ее точке
М(х, у) выполняется неравенство
|X(s, У)]2 3 + &(*>У)]2 > 0>
Точка Afo(zQ, Уо) неявно заданной кривой 7 называется особой, если в этой точке
^(®о, Уо) = 0, Fx(xq, уо) - 0, ^(х0) Уо) = 0.
Пример 8. Кривая, заданная уравнением
(х2 + у2)2 - 2д2 (ж2 - у2) = 0
(лемниската Бернулли), имеет одну особую точку 0(0,0) —
узел (рис. 10).
Различают несколько типов особых точек.
Пусть Mq(xq, уо) — особая точка кривой 7,
Уо) = 0, Fx(x0, уо) - О, Fv(х0, Уо) = 0.
Введем следующие обозначения
А — Fxx(xq, уо), В — FXy(xo, уо), С — F^(xq, уо)
и
△ = АС - В1.
1. △ > 0 => Мо — изолированная точка.
Пример 9.
F(x,y) = (ж2 + у2)(х - 1) е= О
(рис. 11).
4 В точкЬ МЬ(0,0) имеем:
F(0,0) = 0, Fa(0,0) = 0, Fy(0,0) = 0; А = -2, В = О, С =-2; Д=4>0.>
2, △ < 0 => Мо — двойная точка (узел).
Пример 10.
Г(ж,у) = ж2 - у2 = О
(рис. 12).
4 В точке Мо(0,0) имеем:
F(0,0)=0, Fx(0,0) = 0, Fv(0,0) = 0; А = 2, В = О, С =-2; Д =-4 < 0. ►
3, Случай △ = О требует более детального исследования, так какхарактер особен-
ности кривой при этом условии может быть разным.
Пример 11.
F(x, у)~х2 -у3 = а
(рис. 13).
« Г(0,0) = Гх(0,0) = Fy(0,0) = 0;
А = 2, В = 0, С - 0; △ = 0.
Точка Mq(0, 0) — точка возврата первого рода, ►
Пример 12.
F(x, у) = 2х2 + у5 - Зж\/у* = 0
(рис. 14).
^F(0,0)=fI(0,0) = Fj(0,0)=0; А = 2, В-О, С = 0; Д = 0.
Точка Mq(0,0) — точка возврата второго рода. ►
Гладкая (тем более регулярная) кривая спрямляема.
Длина кривой 7, заданной уравнениями (2),
вычисляется по формуле
ь
s=f Vkw]2+Ho]2 л.
Значение функции
равно длине переменной дуги кривой 7, заключен-
ной между точками А(а) и M(t) (рис. 15). Функ-
ция s(t) на отрезке [а, 6] строго возрастает,
>'(0 = Уио]2+ Ио]2 > 0.
и является гладкой на отрезке [а, 6]. Кроме того, область значений функции s(t) со-
впадаете отрезком [0, S]. Тем самым, длину дуги можно взять зановый, естественный
(натуральный) параметр кривой. Параметризация кривой, где в качестве параметра
взята длина дуги з, называется естественной параметризацией.
Если
х = aj(s), у = у(з), 0 з S
— естественная параметризация кривой 7, то
а/[®'(5)]2+км]2 = 1-
Поэтому естественно параметризованную кривую часто называют кривой с единичной
скоростью.
Пример 13. Параметризация
a 3-
®=acos-, у = a sin-, 0<5<2тга,
а а
окружности радиуса а является естественной:
[ж'(з)]2 + [y'(s)]2 = sin2 £ + cos2 i ж 1.
§2. Кривизна плоской кривой. Радиус кривизны.
Эволюта и эвольвента плоской кривой
Пусть 7 — регулярная кривая и Mq — точка этой кривой.
Определение. Кривизной к кривой 7 вточке Mq
называется предел отношения
/ М
при М —> Мо, где ~ наименьший угол
между касательными к кривой 7 в точках Mq
и М, а Де — длина дуги ^MQM (рис. 16).
Кривизна кривой характеризует скорость
ее отклонения от касательной. Кривизна пря-
мой равна нулю в каждой ее точке. Кривизна
окружности постоянна и равна -, где а — ра-
диус окружности.
Рис. 16
2-регулярная кривая имеет в каждой своей точке определенную кривизну, Если
х = ®(е), у-у(в)
— естественная параметризация кривой 7, то ее кривизна к(в) может быть найдена
по формуле _____________________________
| = !**(«)/(«) ~ 1
В случае произвольной параметризации
х = х(0, у = у(0
имеем
It(t) l*W'(Q-*W(0
([aW + lsWF)5'2
При явном способе задания у = у(х) —
кМ = !>"(»)!
(i + lv’Wl2)3'2
Пример 1. Кривизна параболы у = хг в ее вершине 0(0,0) равна 2.
Кривизна плоской кривой по определению неотрицательна. Однако во многих
случаях кривизне плоской кривой полезно отнести знак. Обычно выбор знака связы-
вают с напра ’ “ние м вращения касательной к кривой при перемещении вдоль кривой
при возрастании параметра:
«+»: кривизна кривой положительна, если касательная вращается против часовой
стрелки (в положительном направлении);
«-»: кривизна кривой отрицательна, если касательная вращается по часовой
спилке (в отрицательном направлении) (рис. 17).
В этом смысде-крмвизна явно заданной кривой
вычисляется пофсрыдое
*(*)-------
(1 + [»'(«)Р)’/2
Прммр 2. Кривизна синусоиды у = sin х
, . sins
положительна (равна 1) в тонко 1, -1) и отрицательна
(равна -1) в точке в(у, 1) (рис. 18). В точка О кривизна
синусоиды равна нулю.
Если кривизна кривой в точке МЬ(*о) отлична
от нуля, то определенрадиус кривизны кривой в этой точке
Окружность радиуса Л(<о), про- а
ходящая через точку Мо($о), име- л
ющая в згой точке с кривой 7 об- ряс. 18
щую касательную и лежащая поту
же сторону от згой касательной, что и кривая 7, называется соприкасающейся окруж-
ностьюкривойу вточке Мо, или окружностью кривизны (рис. 19). Ясно, что кривизны
кривой и ее окружности кривизны в их общей точке совпадают. Центр соприкасаю-
щейсяокружности называется центрам кривизны кривой вточке Mq . Его координаты а
и Ъ вычисляются по формулам
а = x(tQ) -
ь = у(*о) +
Ь(М’
fc(*o>’
Пример Эг Для параболы у = х2 а ее вершине 0(0,0) имеем Я « в =0, 8» j, Поэтому окружность
кривизны параболы о точке О может быть задана уравиммм
(рис. 20).
Эволютой регулярной плоской кривой называется множество ее центров кривизны
(рис. 21). Уравнения эволюты кривой 7, заданной параметрически,
x = x(t), у = р(О.
имеют следующий вид:
х » ®(0 - у' (О
[a/(t)]2+ [у*(0]2
^(Ok«(«)-®W(0’
k(o]2+[^(o]2
y = y(t) + x(t)
б Зак. 628
Пример 4. Найти эволюту параболы
x = i, j/ = t2.
или, что то же,
(рис. 22). >
Пример 5. Эволюта окружности
ж2 + р2 = а2
состоит из одной точки — Ое центра 0(0,0).
Если кривизна к(з) регулярной кривой 7 отлична
от нуля и производная fc'(a) сохраняет знак вдоль кри-
вой 7, то эволюта этой кривой состоит только из регулярных точек.
Если кривизна к(з) регулярной кривой 7 равна нулю в некоторой точке кривой,
fc(s0) = 0, а ее производная сохраняет знак вдоль кривой 7, то эволюта этой кри-
вой распадается на две регулярные кривые, являющиеся эволютами частей кривой 7
при s < sq и при s > sq. Каждая из этих ветвей уходит в бесконечность при з —► з0.
Пример 6. Кривизна параболы у — хг
?______________________________________________
(1+4а:2)3/2
в ее вершине 0(0,0) отлична от нуля, а производная кривизны
k' _ 24х
(1+4®2)5/2
не сохраняет знака вдоль параболы. Поэтому эволюта параболы и имеет особенность — точку возврата
первого рода (см. рис. 22).
Пример 7. Кривизна кубической параболы у = х3
_ 6х
(1 + 9х4)3/2
при х = Q обращается в нуль, а ее производная
, 6 - 270т4
"(1+9т4)5/2
в окрестности точки 0(0,0) сохраняет знак. Поэтому эволюта кубической параболы распадается на две
регулярнее ветви (рис. 23).
Эвольвентой кривой 7 называется кривая, для которой данная кривая 7 является
эволютой. Эвольвента кривой 7 совпадает с множеством концов отрезков касательных
к кривой 7, отложенных от точек касания, длины которых убывают на величину,
равную приращению дуги кривой 7.
Наглядный способ образования эвольвенты
Отложим на кривой 7 от произвольной точки Mq этой кривой дугудлины с. Обозначим
второй конец дуги черед М ; Представим теперь, что на дугу "-'MqM наложена гибкая
нерастяжимая нить, один из концов которой закреплен в точке Mq. При сматывании
натянутой нити с кривой 7 (как с шаблона) второй ее конец М опишет эвольвенту
кривой 7 (рис. 24).
Пусть
! Х = х(в^ у = ...л
— естественная параметризация кривой 7: Тотйа уравнения Эвольвенты-этой кривой
имеют следующий йид .. j >
X = х(в) + (с - 8)х* 1(8),
У = !/(*) +(с - а)у(Д
где с — произвольная постоянная. Тем самым, у любой регулярной кривой существует
бесконечное число эвольвент.
Пример 8. Эвольвенты окружности
х2 + у2 =s о2
описываются уравнениями вида
® = «(cos t + (t - с) sin t),
у я a(s|n t - (t - c) cos t),
где с — параметр семействе эвольвент (рис. 25).
§3- Пространственные кривые. Способы задания
Определение. Параметрически заданной про-
странственной кривой называется множест-
во 7 точек М, координаты х, у и z которых
определяются соотношениями
®=€(0» V=9(0> * = С(0, а^£Д 0)
где £(<), q(t),{(0 — функции, непрерывные
на отрезке fa, Ь], или в векторной форме
г = г(0» а С * < Ь,
где г(0 = (^(0,?(0» С(0) (рис. 26).
Рис. 26
Наглядно параметрически заданную кривую можно представлять как след движу-
щейся точки М с координатами {(<), <(0.
Пример 1.
® я «cost; y = asint, х»М,
< уравнения даук витховеимтоеой лциии (рис. 27).
ТЪчки А и В кривой 7, отвечающие значениям t = а
и t = Ъ параметра соответственно, называются начальной
и конечной точками кривой 7. Кривая 7 называется за-
мкнутой, если эти точки совпадают.
Понятия гладкой и регулярной пространственной кри-
вой вводятся в полном соответствии с плоским случаем:
кривая 7, заданная параметрическим векторным уравне-
нием" ' “ '
tN=r(0,
называется п-регулярной, если
1) векторная функция r(t) имеет на отрезке [а, 6] не-
прерывные производные порядка п и
2) скорость кривой
|г’(0| ° а + И)]3 + [С(<)Г
поЙЪжительйаВкйжЙ^йМчке. у !
Другим распространенным способом задания пространственной кривой является
неявный способ задания кривой как множества точек М, координаты ®, у и z которых
являются решением системы уравнений
Г Г(®, у, z) = 0,
t<?(®,yTx) = O,
(2)
rang
где функции F(®, у, z) и G(x, у, z) подчиняются определенным условиям.
Укажем важный частный случай, наиболее часто встречающийся на практике:
Г(®, у, z) и G(®, yt z) являются гладкими функциями своих аргументов и в некоторой
точке Мо(®о, Уо, *о) выполнены условия:
-F(®o» Уо, «о) = 0, б?(®0, Уо, «о) = О,
F,(®o, УО, «о) Fy(®o, Уо, *о) Л(®о, Уо, ; Ау
£»(®о, Уо, «о) <?Л®о,Уо,*о) <?1(«о,Уо,«ь) J ’ '
Неявно заданная пространственная кривая, в каждой точке которой выполняется
условие (3), будет регулярной.
Пример 2. Кримя. мдамемм уравнениями
«2+у2 + х’=1, х + у + * = 0|
будет регулярной (рис. 28). Эта кривая представляет собой
большую окружность — оечамйо сферы плоскостью, проводя-
щей через ео центр.
Пусть 7 — регулярная кривая, заданная пара-
метрически. Обозначим через Мо точку кривой 7,
отвечающую значению Iq параметра, а через М —
точку кривой, отвечающую значению t из некоторой
окрестности <о-
Прямая MqT называется касательной к кривой 7
в точке Mb, если при М -* Мо наименьший из углов ,
△в между этой прямой и переменной прямой МоМ Ряс. 28 I
стремится к нулю. Регулярная кривая имеет касательную в каждой своей точке. Вектор
скорости кривой в точке Мо коллинеарен ее касательной в этой точке. Уравнения
касательной к кривой 7 в точке Мо(®«, Уо, zq) имеют рледу-
ж - ®о _ у - уо _ Z-Zq
^(to) ~ “ z^toY
Любая прямая, проходящая через точку МЬ перпенди-
кулярно касательной к кривой 7 в точке Мо, называется
нормалью кривой 7 вточке Мо.
Плоскость, Проходящая через точку Мо кривой 7 пер-
пендикулярно ее касательной MqT в этой точке, называется
нормальной плоскостью кривой в точке Мо (рис. 29).
Уравнение нормальной плоскости кривой, заданной па-*
раметрически, имеет следующий вид:
® (<о)(я? - ®р) + у'(*о)(У ~ Уо) + z'(to)(z - zq) ^ 0.
Ясно, что все нормали кривой в точке МЬ лежат в ее нормал'ьнойпдсюкости в этой
точке.
Пример 3. Касательная и нормальная плоскость винтовой линии в точке (при t =
описываются уравнениями
соответственно.
Регулярная пространственная кривая спрямляема. Длина кривой, заданной век-
торным уравнением
г = г(£), а < £
вычисляется по формуле
ь
а
В случае координатного задания кривой
ж = У = у(0, * = 40» а < £ < 6,
имеем _____________
ь
S = f v/[»'(0]2+[»'W]2 + M‘)]2<«-
Значение функции
t i
»w=/ ir'(ol<«e=/VM«)]2+Mf)]24*’(0]2<«e
параметра взята длина дуги а, называется естественной
параметризацией. Кривая с естественной параметризацией
г = г(а), 0 в < S
имеет единичную скорость
|r'(s)| = 1
(относительно этой параметризации).
Для того, чтобы параметризация кривой
г = г(£), а ^ £ ^ Ь,
|4* Кривизна и «ручвш»прострянспмжнвй «рммй. Формулы Фроне<67
была естественной, необходимо и достаточно выполнение условия
|г'(0| = 1
или, что то же самое, ___________________________________
[^]гНу'(о]г+[*'(оГ = 1.|
Пример 4. Для винтовой линии имеем
t ____________________________________________ __________
s(t) = J \Ja2 sin2 ( + a2 cos2 f + ft2 d( = \/a2 + 62t.
о
Поэтому естественная параметризация винтовой линии может быть записана так •
з з Ъ
X =acos -угг?!, У =Лsin . мгнгяи, 3 = ..о и S,
va2 + b2 va2 + b2 va2 + b2
§4. Кривизна и кручение пространственной кривой.
Формулы Френе
Пусть 7 — регулярная кривая, Мо —точка кривой 7, П — плоскость, проходйщаячерез
касательную MqT кривой 7 в точке Mq . Пусть М — точка кривой 7, близкая к точ-
ке Мо, и Р — ортогональная проекция точки М на плоскость П (рис. 31). Обозначим
стремится к нулю при М —»Мо. Рис. з 1
Геометрическое пояснение. Среди всех плоскостей, проходящих через касательную к кривой в точке Мо,
соприкасающаяся плоскость наиболеетесно примыкаетккривой в некоторой (малой) окрестности этой
точки.
Пусть кривая 7 задана векторным уравнением
г = г(0
и точка Мо кривой 7 отвечает значению to параме-
тра. Если векторы r'(t0) и r'l(h) неколлинеарны,
то в точке Мо существует и притом ровно одна со-
прикасающаяся плоскость (рис. 32). Вектор г"($о) Рис. 32
второй производной вектора г(0 кривой лежит в соприкасающейся плоскости. По-
этому соприкасающуюся плоскость кривой называют также плоскостью ускорений.
Если кривая 7 задана в координатной форме
x = x(t), y = * = *(0,
то уравнение соприкасающейся плоскости записывается в виде
х - ®(<о)
Нормаль кривой 7 в точке М$, лежащая в соприкасающейся плоскости По кривой
в этой точке, называется главной нормалью кривой в точке Mq, а нормаль кривой 7,
перпендикулярная соприкасающейся плоскости По, называется бинормалью кривой 7
вточке Мо.
Плоскость, проходящая через касательную и бинормаль кривой 7 в точке Мо,
называется спрямляющей плоскостью кривой 7 в точке Mq.
Пример 1. Найти главную нормаль и бинормаль, соприкасающуюся и спрямляющую плоскости винтовой
линии
iwacoei, y = aeini, x = bt
и-?)«••*-?>•
◄ Начнем с уравнения соприкасающейся плоскости. Имеем
Так как бинормаль перпендикулярна соприкасающейся плоскости, то ее канонические уравнения запи-
сываются следующим образом:
ж-ву У~®т ж —Ь?
-у- у- j
Вычислим теперь направляющий вектор главной нормали. Имеем
Заменяя найденный вектор на коллинеарный
1 + 1
получаем канонические уравнения главной нормали:
я — __ у — _ ж — бу
1 ~ 1 “ 0 *
Наконец,
f ( V2\
< ' !• (в-a — I + 1* ly-e — I =0
— уравнение спрямляющей плоскости, перпендикулярной главной нормали. ►
(Первой) кривизной кривой 7 в точке Мо назы- у д/
вается предел отношения
△б
при М -+ Мо, где △<? — наименьший угол между ха- “Г
сательными к кривой 7 в ее точках Мо и М, а
длина дуги ^MqM (рис. 33). Кривизна кривой изме-
ряет скорость ее отклонения от касательной. Кривизна
прямой равна нулю в каждой ее точке. <
Если
г =ь г(а) Нис. зз
— естественная параметризация кривой 7, то ее кривизна Jfej вычисляется по формуле
!*,(,)=|г»|.
Вектор г*(в) называется векторам кривизны кривой. Он ортогонален единичному
вектору касательной г'(а), а его длина равна кривизне кривой.
В случае произвольной параметризации ।
г = г(0
кривизна 2-регулярной кривой находится по формуле
*1(0 = • г'(0 X г"(0
И0|’
Пример 2. Виктор кришэны винтовой линии
.. е а й
г(к) ж а см **-мммчг 1 + а кЬ» -7—«w}+ -»ihiiiipm к
уа3 + г у а1 + в3 у а2 + л*
Ловтому крививнв винтовой линии постоянна:
*' “ P7F’
Пусть Мо — точка кривой 7, отвечающая значению До
естественного параметра, и
to = г’(а0)
— единичный вектор касательной кривой 7 в этой точке.
Если точка МЬ не является точкой распрямления кривой у,
М*о) 0 0» то формулой
определен единичный вектор главной нормали кривой
в этой точке Векторное произведение
bo = to х По Рис. 34
является единичным вектором бинормали кривой 7 (рис. 34).
В случае произвольной параметризации векторы t, п и Ь вычисляются по формулам
= r'(Q (r'(Q X г^р) х r'(Q r'(t) X r"(Q
НОГ Ir'CQx |*(Q| |r,<0|’ ИО хг"(ОГ
Три луча, исходящие из точки Мо и имеющие направления, задаваемые вектора-
ми to, по и Ьо, образуют сопровождающий триэдр кривой‘7 в точке Мо (рис. 34).
Обозначим через наименьший угол между соприкасающимися плоскостямиПо
и П кривой 7 в точке Мо и близкой е й точке М соответственно (этот угол совпадает
с наименьшим углом ме.жду бинормалями кривой в точках Мо и М), а через Да —
длину дуги ^МоМ кривой 7 (рис. 35). Кручением &2 кривой 7 в точке Mq называется
предел отношения
Дз
при М —> Mq , снабженный знаком в соответствии со следующим правилом выбора
знаков'.
если векторы Ь' и п сонаправлены (они всегда коллинеарны), то выбирается знак
«-» (вращение соприкасающейся плоскости происходит от вектора п к вектору Ь);
если векторы Ь' и п противоположно направлены, то выбирается знак «+» (вра-
щение соприкасающейся плоскости происходит от вектора b к вектору п) (рис. 36).
Кручение кривой определено в любой точке 3-регулярной кривой, не являющейся
точкой распрямления, и измеряет скорость отклонения кривой от соприкасающейся
плоскости. Кручение плоской кривой равно нулю в каждой точке.
Если
г = г(в)
— естественная параметризация кривой, то ее кручение вычисляется по формуле
В случае произвольной параметризации
г = r(f)
имеем
(t) = (r>(t),r"(O,r”(t))
(r-(t) х r"(«))3 '
Пример 4. Кручение винтовой линии постоянно:
Вектор Дарбу
w = fc2t + fc]b
является вектором мгновенной угловой скорости сопровождающего трехгранника
при движении точки по кривой с единичной скоростью.
Пример 5. Вектор Дарбу винтовой линии
•параллелен оси винтовой линии (рис. 37).
Единичные векторы касательной 1(e), главной нормали n(s) и бинормали b(s)
кривой 7 и ее кривизна fcj (а) и кручение ki(s) в каждой точке связаны соотношениями
Рис. 37
Рис. 38
а
dn
-r = -fclt + k2b,
называемыми уравнениями Френе,
Выберем в пространстве прямоугольную декартову
координатную систему Охух так, чтобы начало коор-
динат — точка О — совпадало с точкой Afo кривой 7,
отвечающей значению «о = 0 естественного параметра,
. г(>о) “ г(0) щ О,
а ортами координатных осей Ох, Оу и Ож были еди-
ничные векторы t(«o)» п(«0), Ь(«о):
f = t(a0), J = n(a0)> k = b(a0)<
Раскладывая векторную функцию r(a) в окрестности
точки «о = 0 по степеням в и сохраняя лишь главные
члены, получимуравнения кривой^, близкой кривой 7:
?(•) = Я + as2j + ba’k,
где
Записывая последние соотношения в координатной
форме
х = а, у = да2, z = Ьа3
и предполагая а > 0 и b > 0, убеждаемся в том,
что проекции кривой общий вид которой показан
на. рис. 38, на ксюрдинатные плоскости имеют следую-
щий вид (рис 39):
на соприкасающуюся плоскость (рис. 39а);
на спрямляющую плоскость (рис. 39 б);
на нормальную плоскость (рис. 39в).
Ряс. 39
§5. Понятие гладкой поверхности. Способы задания
Пусть D — отраниченная плоская область, BD — ее граница и D = D U QD —
замыкание области D> Введем на плоскости координатную систему (u, v) и зададим
на множестве О три непрерывные функции
$ = {(«, v), y = ?(u,v), *=C(u,v), (t*,v)6l>. (1)
Пусть я' прямоугольные декартовы координаты'Точек в трехмерном ев-
клидовом пространстве R3. Предположим, что функции (1) обладают следующим
свойством:
Свойство А. Если («', у') и (у", «") ~ различные точки множества#* тоточки М'(х\ у* J)
и MM(xrt, р", z") пространства R3, координаты которых вычисляются по формулам
«<(«", Л уп = Л z”=г),
также различны.
Определение. Множество S точек М, координаты ®, у и z которых определяются соот-
ношениями (1) и функции £(и* о), д(н* у) и ((«* у) обладают свойством А, называется
простой поверхностью (рис. 40).
Множество точек М(а?, у, z) с координатами
® = €(«>«), У = « = <(«,«), (и, 06 «В,
— образ границы GD области D — называется границей простой поверхности S.
Обозначение: 9S.
Соотношения (1) называются параметрическими уравнениями простой поверхно-
сти. *•
Пример 1. График непрерывной функции . ‘ 2 .
является примером простой поверхности (рис. 41). Ее параметрические уравнения имеют вид
х = и, у = t, z = /(и,»).
' • -С £
Пусть i, j и к — орты координатных осей. Тогда задание поверхности S при по-
мощи функций (1) равносильно заданию одной векторной функции
г = г(«, у) = {(в, v)i + >?(и* v)J + С(а, v)k; : (2)
В этом случае говорят, что поверхность S задана векторным уравнением.
Простая поверхность S называется гладкой в точке Мо , Отвечающей значениям
и ~ «о и у = t>o параметров, если, функции ^(м, v), 1/(», v),, £(м* 0 имеют д точке
(i*o,vq) непрерывные производные. . : г
Точка Mq гладкой поверхности S называется обыкновенной, или регулярной, если
ТЯГИ? €u(UO>^o) vo) Cu(ty), Vol A _ П
08•!< £v(«0, Vp) , *?о(ц0, Vp) £,(«0, v0) / • ' •'
В противном случае точка Мо называется особой.
Поверхность называется регулярной, если условие (3) выполняется в каждой ее
точке. Часто условие (3) удобнее записывать в равносильной форме
Гц («о, Vo) х rv(uo, Vo) £ 0. (4)
Пример 2. Г рафик гладкой функции является регулярной поверхностью, так как всегда
Пример 3. У конической.поверхности, задаваемой уравнениями
r==ucost>, y .= usinv, z = и, ,
все точки, кроме точки 0(0,0,0) (при и = 0, р = 0), регулярны (рис. 42). В точке О имеем
гаП8(о 0 o)~L
Другим распространенным способом задания поверхности является неявный способ
задания поверхности какмножества S точек М, координаты х, у и 'z которых обращают
в тождество уравнение
F(g, y,z) = 0.
Если F(ai, у, z) — гладкая функция своих аргументов, причем
F2 + F* + F2 > 0,
то поверхность S будет регулярной.
Пример 4. Сфера . .
является регулярной поверхностью:
в каждой точке.
Пусть S — простая поверхность, MQ и М — различные ее точки. Плоскость П,
проходящая через точку Mq, называется касательной к поверхности S в точке Mq,
если при стремлении переменной точки М к точке Mq (по произвольному закону)
угол между прямой MqM и плоскостью П стремится к нулю (рис. 43).
Пусть
г = r(tt, v)
— векторное уравнение регулярной
поверхности S и Mq — точка поверх-
ности S, отвечающая значениям «о
и Vq параметров и и v. Вычислим
векторы ги(оо, «о) и rv(oQ, vo), отло-
жим их от точки Mq и проведем че-
рез точку Mq плоскость П, содержа-
щую эти векторы. Построенная плос-
кость П будет касательной плоско-
стью поверхности в точке Mq (рис. 44).
В каждой точке регулярной по-
верхности существует и притом ровно
одна касательная плоскость.
Прямая, проходящая через точку
Mq регулярной поверхности S и пер-
пендикулярная касательной плоско-
сти поверхности в этой точке, называ-
ется нормалью к поверхности S в точ-
ке Mq',
N = rw х г» =
— вектор нормали.
i
хи
Ху
Рис. 44
Пример 5. Написать уравнения касательной плоскости и нормали поверхности, заданной уравнением
* = /(«»У), в точке Mo(®Oi Уо, /(*о, Уо)) •
◄ Вычислим вектор нормали в точке Mq, Имеем
No =
i J
I 0
О 1
j к
Уи %и
У» zv
Jfa)l - 4<xo, Уо)) + k-
Тогда
g~gp _ У~У<\ _ x-iQ
-Л(хо» Уо) “ -/y(®o, Уо) " 1
— уравнения нормали, в
(г0 = У(хо.Уо))
-Л(хо» Уо)(х - Xq) - /s(z0, Уо)(у -уо) + г- *о=О
— уравнение Касательной плоскости поверхности в точке (zq, уо, /(а?о, уо)) • ►
§6. Первая квадратичная фррма. Площадь поверхности
Пусть S — регулярная поверхность, заданная векторным уравнением
г = r(u, v), (u, v) € D,
17в
Гмм XVL SMMMW ДйфффМЦИМЫМЙ
Первой квадратичной формой поверхности S называется выражение
I = dr2.
Запишем последнее соотнЬшение подробнее. Так как
dr = ru du + rv dv,
TO ________________________;__________
dr2 » rj du2 + 2(ru, rv) du dv + r2 dv2. (1)
Выражение (1) вкаждой точке поверхности S прецставляетсобойквадратичнуюформу
от дифференциалов du и dv. Эта квадратичная форма является знакоположительной,
так как ее дискриминант
rjrj - (rU) гв)2 = (г« х г„)2 > О
и г2 > 0;
Для коэффициентов первой квадратичной формы используют следующие обозна-
чения: ______________________________
Дат2, F = (ra,rg), G = rj,
так что выражение (1) для формы I можно переписать в виде
(2)
где _____________
EG-F2>0.
Прюмр 1, Пермя квадратичная форм* поверхно-
сти, заданной уравнениям х = /(г,у), имеет вид
I = (1 + de2 + 2ЛЛ da dy + (1 + dy2.
I = Е du2 + 2F du dv + G dv2,
Площадь поаервости
Разобьем область D изменения перемен-
ныхии v на части прямыми и = и», v= v*,
параллельными координатным осям и и v
(рис. 45). Кривыми r(u<, v) и r(u, v*) будет
разбита на части и поверхность S (рис. 46).
Произвольному четырехугольнику Di* па-
раметрической плоскости соответствует на
поверхности S криволинейный четырех-
угольник Su, мало отличающийся от парал-
лелограмма Рн со сторонами, определяемы-
ми векторами ru(ui, v*)Aui и rv(uj, Vjk)Avj. Этот параллелограмм лежит в касательной
плоскости поверхности S в точке v*). Примем его площадь
= |r«(u,‘, v*)Aui х re(u,-, v*)Av*| = |ra(u<, v*) x га(и<, vfc)|Au/Av*
за приближенное значение площади криволинейного четырехугольника S,*, а за при-
ближенное значение площади поверхности 8 сумму
площадей всех таких параллелограммов.
Рис. 46 - - < Г. 1 I. •
Площадью а поверхности S назовем предел этих сумм при стре лении к нулю
величин Ди, и △v*.
Для регулярной поверхности этот предел всегда существует и равен
a = yy* |ru x rj dudv. D (3)
Так как ...
1г.XГ.11-ЛЮ-f1,. . ; .
то формулу для вычисления площади поверхности можно записать в виде
Пример 2. Вычислить площадь сферы радиуса R. >
4 Параметрические уравнения сферы имеют вид
х .= A cos u cos v, If = Asin и cos », x = Asinv,
D = {(a, v) 10 < и 2ir, О •
Путем простых вычислений находим 1
E-rl = F = (re, rt)=0, G = r2-A2, ^£0-F2 = Й^ойв,
_______ ' > ’ т/2 ' ...
<r = JJ EG - F2 du dv — J du J cos v dv = 4ffA2. ►
p 0 -,r/2
Если поверхность S представляет собой график гладкой функции z — /(ж, у),
заданной в области D, то ее площадь можно вычислить по формуле
§7. Вторая квадратичная форма. Кривизна поверхности
Пусть S —‘ 2-регулярная поверхность, заданная векторным уравнением
г = г(«, v), (it, v) € D.
В каждой точке такой поверхности помимо единичного вектора нормали
- Г“ х Гр - Гц Х Гр zn
П “ |г« х г,| “ VEG-F2 ( '
определен и второй дифференциал векторной функции r(u, v):
d2r — Гад* du2 + 2ruv du dv + Гц» dv2.
Второй квадратичной формой поверхности S называется скалярное произведение-
векторов d2r и п:
(2)
Ясно, что в каждой точке поверхности S форма (2) является квадратичной формой
относительно дифференциалов du и dv.
Для коэффициентов второй квадратичной формы принять! обозначения
(3)
Это позволяет записать ее в следующем виде
II = £du2 + 2Mdudv-hWdv2. * (4)
Приведем несколько формул для вычисления коэффициентов L, М и N.
Заменяя в формулах (3) вектор п его выражением (1), получаем
7 - — UU; ) м _ (гuv> Ги, Гр) ДГ г»)
~ ~ ~VEG -F*' ~ VEG - F2'
Если поверхность является графиком гладкой функции
* = №, у),
то
II — (d2r, n) = (гаи, n) du2 + 2(rUp, n) du dv + (г„„, n) dv2.
L = Оши n), М = (rUp, n), N = (Грр, п).
Вторая квадратичная форма является эффективным средством исследования гео-
метрических свойств регулярной поверхности. Посредством этой формы можно вве-
сти важные геометрические характеристики, измеряющие степень и вид отклонения
поверхности от касательной плоскости. Остановимся на двух понятиях — гауссовой
. кривизны поверхности и нормальной кривизны поверхности в заданном направлении.
Гауссовой кривизной поверхности называется отношение дискриминантов первой
и второй квадратичных форм
LN - М2
~~ EG-F2'
Если поверхность задана уравнением
z = /(®, у),
то гауссова кривизна этой поверхности вычисляется по формуле
к — ?хх^ю ~
~ (i + /» + /y)2’
Гауссову кривизну удобно использовать для классификации точек регулярной по-
верхности: знак гауссовой кривизны поверхности в данной ее точке указывает на ха-
рактер поведения поверхности в этой точке.
Точка Мо поверхности S, отвечающая значениям ио и v0 параметров, Afo(uo» v0),
в которой
КХ^о, v0) > О, называется эллиптической;
•КХ^о, Vo) < 0, называется гиперболической;
К(«о> vo) — 0, но отличён от нуля хотя бы один из коэффициентов второй квадра-
тичной формы, называется параболической.
Пусть По — касательная плоскость поверхности S в точке Mq. Все точки поверх-
ности S в окрестности эллиптической точки лежат по одну сторону от плоскости По.
Точки поверхности S в окрестности гиперболической точки лежат по обе стороны
от плоскости По. Все точки поверхности S в окрестности параболической точки
кроме (возможно) одной кривой лежат по одну сторону от плоскости По.
Пример 1. Все точки эллиптического параболоида являются эллиптическими (рис. 47), все точки гипер-
болического параболоида являются гиперболическими (рис. 48), вое точки цилиндрической поверхности
являются параболическими (рис.49).
Рис. 49
Возьмем на регулярной поверхности S, заданной векторным уравнением-
r = r(u,v),
произвольную точку Mq(uq, t>o) и проведем через нее касательную плоскость По. Про-
изводные ru(u0> vo) и rv(tto, Vo) векторной функции r(u, v), вычисленные в точке
(«о, «о)» лежат в плоскости По (рис. 50). Построим на плоскости По линейную комби-
нацию этих векторов
£rtt(i*o, vo) 4- т/г«(ио, Vo)
(рис. 51) и проведем через определяемую ей прямую I и нормаль поверхности в этой
точке плоскость П. Эта плоскость рассечет поверхность S по кривой —• нормальному
сечению поверхности в направлении I, определяемом парой чисел £ и rj (рис. 52).
Рис. 50 Рис. 51
Б=1, F = 0, <7=1,
Z=l, ЛГ = О, W = 2.
Тем самым,
Ясно, что в данной точке величина kn изменяется вместе с изменением прямой I.
Направления, в которых нормальная кривизна принимает наибольшее и наименьшее
значения, называются главными. В общем случае главные направления на поверх-
ности в каждой точке ортогональны. Соответствующие им нормальные кривизны
называются главными кривизнами поверхности в рассматриваемой точке.
Пример 3. В приведенном выше примере главными направлениями эллиптического параболоида а точ-
ке 0(0,0,0) будут направления координатных осей г и р: ((; 0) и (0;^) (рис. 53). Главные кривизны
равны соответственно
М60) = 1, Лп(0|1?) = 2.
Рис. 53
Упражнения
1 . Найдите кривизну: а) цепной линии у = ch х; б) эллипса ж = a cos 1, у = b sin L
2. Найдите соприкасающуюся окружность эллипса в его вершине Л(а, 0) (при t = 0).
3. Найдите уравнения эволюты эллипса.
4. Найдите уравнения касательной и нормальной плоскости кривой с уравнением r(t) =
(t, t2,t3) вточке Л(1,1,1).
5. Найдите единичные векторы сопровождающего трехгранника в точке 0(0,0,0) кривой,
заданной уравнением r(t) - (t, Л /3).
6. Найдите кривизну и кручение кривой с уравнениями: х = у = е“\ z = \/2i.
7. Найдите уравнения касательной плоскости и нормали геликоида: ® = u cos v, у =
и sine, z = av.
8. Найдите первую квадратичную форму: а) параболоида вращения х = u cosv, у = us'mvt
z = и2; б) геликоида х = u cos v, у = и sin v, z = av.
9. Найдите площадь криволинейного четырехугольника на геликоиде, ограниченного ли-
ниями и = 0, и в a, v = 0, v = 1.
10. Найдите вторую квадратичную форму: а) параболоида вращения х = и cos v, у = и sin v,
z = u2;б)геликоида x — ucosv, у — usinv, z = av.
11. Найдите гауссову кривизну геликоида.
Ответы
' 1,.)* = 4,;6) * = 2. (« - + 3.х = cos’!,у = sin’I.
4, = Jtl я , а. + 2у + 3z - 6 = 0. 5. t = (1,0,0), п = (0,1,0), Ь = (0,0,1). б. fcj = -fc2 =
7. xasinv-yacosv + zu-auv = 0, 8. а) I = (1 + 4u2)du2+
u2 dv2; б) I = du2 + (u2 + a2) dv2. 9. у (y/2 + ln(l + Vty. 10. а) II = ^-2 (du2 + u2 dv2);
Предметный указатель
А
Абеля—Дирихле признак сходимости несобст-
венных интегралов 1-го рода 97
аддитивность определенного интеграла 50
астроида 157
Б
Бернулли лемниската 158
бинормаль пространственной кривой 168
В
вектор Д арбу 171
— кривизны 169
выражение подынтегральное 4,46
Г
главная часть прирашеяия функции нескольких
переменных 120
главное значение несобственного интеграла
1-го рода по Коши 98
---------2-го рода по Коши 104
Гранина множества 108
график функции 109
д
Дарбу вектор 171
дифференциал 2-го порядка 134
— функции нескольких переменных полный
116
---------частный 120
дифференцируемость функции нескольких пе-
ременных в точке 116
длина кривой 71
дробь рациональная 19
— — неправильная 19
----правильная 19
----простейшая 20
----элементарная 20
3
замена параметра кривой непрерывная 136
------регулярная 157
— переменной в неопределенном интеграле 9
знак интеграла 4
значение функции на отрезке среднее 55
И
инвариантность формы дифференциала функ-
ции нескольких переменных 124,136
интеграл неопределенный, линейное свойство
5-6
----от функции на интервале 4
— несобственный 1-го рода 85
---------расходящийся 86,98
---------сходящийся 85,98
-----------абсолютно 94
-----------в смысле главного значения по Ко-
ши98
---------условно 94
— — 2-го рода 99
---------расходящийся 99,100
---------сходящийся 99,100
-----------в смысле главного значения по Ко-
ши 104
— определенный в смысле Римана 46
----, свойства 48-53
— эллиптический 1-города 28
----2-го рода 28
интегрирование заменой переменной 9
— по частям 11
— подстановкой 9
— функции 5
К
касательная к поверхности в точке 130
— регулярной кривой 157,165
корень многочлена 18
----,кратность 19
----кратный 19
----однократный 19
----простой 19
краткость корня многочлена 19
криваязамкнутая 155,164
— плоская 154
----гладкая 156
----n-гладкая относительно параметризации
156
----параметризованная 154
----регулярная 157,158
— пространственная, заданная неявно 165
----заданная параметрически 164
----регулярная 164
— с единичной скоростью 159
— спрямляемая 71
кривизна кривой первая 168
— плоской кривой 160
— поверхности гауссова 179
----главная 181
----нормальная 180
кручение пространственной кривой 170
Л
Лагранжа метод множителей 146-147
— функция 147
лемниската Бернулли 158
линия уровня 109
м
Маклорена формуладля функции двух перемен-
ных 138
Максимум функции двух переменных локаль-
ный 139
--------условный 145
метод множителей Лагранжа 146-147
минимум функции двух переменныхлокальный
139
--------условный 145
многочлен приведенный 18
множество замкнутое 108
— открытое 107
н
направление поверхности главное 181
непрерывность функции нескольких перемен-
ных в области 113
--------в точке (по совокупности перемен-
ных) 112,113
нормаль к поверхности 175
---в точке 132
— плоской кривой 157
— пространственной кривой 165
--------главная 168
Ньютона—Лейбница формула 57-58
О
область 108
— ограниченная 108
— определения функции 108
---естественная 109
окрестность «проколотая* 111
— точки 108
---прямоугольная 107
---шаровая 106
окружность кривизны 161
— соприкасающаяся 161
остаточный член формулы Тейлора в форме Ла-
гранжа для функции двух переменных 137
п
параметр кривой естественный 159
---натуральный 159
параметризация кривой естественная 159, 166
первообразная функции на интервале 3
переменная интегрирования 4,46
плоскость касательная к поверхности 175
---в точке 130
— нормальная пространственной кривой 165
— соприкасающаяся 167
— спрямляющая 168
— ускорений 167
площадь поверхности 177
поверхность, заданная неявно 174
— простая 173
---гладкая в точке 173
— регулярная 174
— уровня 110 у
подстановка Эйлера вторая 31
----первая 30-31.........
----третья 32
правило отыскания условных экстремумов 147
предел интегральных сумм 45
— интегрирования верхний 46
------ нижний 46
— функции нескольких переменных в точке
110,111
----повторный 112
признак Абеля—Дирихле сходимости несобст-
венных интегралов 1-го рода 97
— абсолютной сходимости несобственного ин-
теграла 1 -го рода 95-96
—---------2-города 103
— расходимости несобственного интеграла
1-го рода 93-94
— сходимости несобственного интеграла
1-го рода 93-95 /
приращение функции нескольких переменных,
главная часть 120
----частное 114
производная функции частная 2-го порядка 133
----------смешанная 133
------по независимой переменной 114
Р
радиус кривизны кривой 161
расстояние между точками 106,117
С
свойства определенного интеграла 48-53
сектор криволинейный 67
сечение поверхности нормальное 180
Симпсона формула 81
скорость кривой 157.166
сумма интегральна# 45
т
Тейлора формула для функции двух переменных
137
тело вращения 70
теорема о равенстве смешанных производных
133
— о среднем 54-55
— существования неявной функции 125-128
теоремы сравнения для несобственных интегра-
лов 1-го рода 89-92
----------2-города 101-102
точка возврата 1-го рода 159
----2-го рода 159
— кривой двойная 158
----изолированная 158
----конечная 155,164
----начальная 155,164
----обыкновенная 157
----особая 157,158
----регулярная 157
— локального максимума функции двух пере-
менных 139
----минимума функций двух переменных 139
----экстремума функции двух переменных 139
— минимакса 141
— множества внугренняя 107
----граничная 108
— поверхности гиперболическая 179
---обыкновенная 129,174
---особая 129,174
---параболическая 179
---регулярная 174
---эллиптическая 179
— разрыва функции нескольких переменных
113
— распрямления кривой 169
— строгого максимума функции двух перемен-
ных 139
---минимума функции двух переменных 139
— функции критическая 140
---стационарная 140,144
трапеция криволинейная 43
триэдр сопровождающий 169
У
узел 158
уравнение связи 14S
уравнения простой поверхности параметричес-
кие 173
— Френс 172
условие безусловного экстремума необходимое
147
— дифференцируемости функций нескольких
переменных в точке достаточное 118
------------необходимое 117-118
— интегрируемости функции достаточное 48
— экстремума функции двух переменных доста-
точное 141-142,144
------------необходимое 140
Ф
форма квадратичная поверхности вторая 178
---первая 176
формула интегрирования по частям для несоб-
ственных интегралов 1-го рода 89
— Маклоренадля функции двух переменных
138
— Ньютона—Лейбница 57-58
— парабол 81
— Симпсона 81
— Тейлора для функции двух переменных
137
— трапеций 79
Фрейе уравнения 172
функция п переменных 108
— интегрируемая по Риману 47
— Лагранжа 147
— нескольких переменных дифференцируемая
вточке 116
— неявная 125
— подынтегральная 4,46
— рациональная 18,19,27
---от набора функций 28
ц
центр кривизны 161
ш
шар п-мерный открытый 106
э
эвольвента плоской кривой 163
эволюта плоской кривой 161
Эйлера подстановка вторая 31
---первая 30-31
---третья 32
экстремум функции двух переменных безуслов-
ный 144
----------локальный (относительный) 139
----------, достаточное условие 141-142,
144
— --------, необходимое условие 140
----------условный 144
Оглавление
Глава XII
Неопределенный интеграл.................................................. 3
§1 . Понятие первообразной.............................................. 3
§2 . Неопределенный интеграл........................................... 4
§3 . Свойства неопределенного интеграла................................. 5
§ 4. Табличные интегралы............................................... 6
§ 5. Интегрирование заменой переменной.................................. 9
§6 . Интегрирование по частям.......................................... 11
§7 . Интегрирование рациональных функций............................... 18
7.1. Краткие сведения о рациональных функциях...................... 18
7.2. Интегрирование простейших дробей.............................. 22
7.3. Общий случай.......................................... . . . . . 25
§8 . Интегрирование иррациональных функций............................. 27
8.1. Первая подстановка Эйлера..................................... 30
8.2. Вторая подстановка Эйлера .................................... 31
8.3. Третья подстановка Эйлера..................................... 32
§ 9. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений............. 35
Глава XIII
Определенный интеграл................................................... 43
§ 1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.............. 43
1.1. Геометрия: площадь плоской фигуры............................. 43
1.2. Физика: путь материальной точки............................... 44
§2. Понятие определенного интеграла................................. 45
§ 3. Условия интегрируемости функций................................... 47
§ 4. Свойства определенного интеграла.................................. 48
§ 5. Теорема о среднем................................................. 54
§6. Производная интеграла с переменным верхним пределом............... 55
§ 7. Формула Ныртона—Лейбница.......................................... 57
§8. Замена переменной в определенном интеграле........................ 59
§9. Интегрирование по частям......................................... 61
§10 . Площадь плоских фигур в прямоугольных координатах................. 62
§11 . Площадь плоской фигуры в полярных координатах...................... 67
§12 . Вычисление объемов тел............................................. 68
§13 . Вычисление длины кривой ........................................... 70
13.1. Длина кривой в прямоугольных координатах...................... 71
13.2. Длина кривой, заданной в параметрической форме................ 72
13.3. Длина кривой в полярных координатах .......................... 74
§14 . Дифференциал длины дуги кривой................................... 74
’ §15. Физические приложения определенного интеграла...................... 76
15.1. Работа переменной силы........................................ 76
15.2. Масса и центр тяжести неоднородного стержня .................. 77
§16. Приближенное вычисление определенных интегралов...................... 78
16.1. Формула трапеций . . ........................................ 78
16.2. Формула парабол............................................... 80
Глава XIV
Несобственные интегралы............................................... 85
§ 1. Интегралы с бесконечными пределами интегрирования................... 85
1.1. Определения. Примеры ......................................... 85
1.2. Несобственные интегралы 1-гр рода от неотрицательных функций.
Теоремы сравнения.................................................. 89
1.3. Абсолютно сходящиеся интегралы 1-го рода....................... 94
1.4. Главное значение интеграла 1-го рода........................... 97
§ 2. Интегралы от неограниченных функций ............................... 99
2.1. Определения. Примеры............................... .......... 99
2.2. Несобственные интегралы 2-го рода от неотрицательных функций.
Теоремы сравнения.................................................. 101
2.3. Абсолютно сходящиеся интегралы 2-го рода....................... ЮЗ
2.4. Главное значение интеграла 2-го рода.......................... 104
Глава XV
Функции нескольких переменных.............................................106
§1 . Некоторые определения и обозначения................................ 106
§2 . Понятие функции нескольких переменных............................. 108
§3 . Предел функции нескольких переменных.............................. 110
§4 . Непрерывность функции нескольких переменных...................... 112
§5 . Частные производные.............................................. 114
§6 . Дифференцируемость функции нескольких переменных.................. 116
6.1. Необходимые условия дифференцируемости функции................ 117
6.2. Достаточные условия дифференцируемости функции нескольких
переменных ........................................................ 118
§7 . Полный дифференциал. Частные дифференциалы........................ 119
§ 8. Производные сложной функции....................................... 120
§9 . Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы
дифференциала......................................................... 123
§10 . Неявные функции................................................... 125
§ 11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.. ..................128
11.1. Предварительные сведения..................................... 128
11.2. Касательная плоскость поверхности............................ 129
11.3. Геометрический смысл полного дифференциала................... 131
11.4. Нормаль к поверхности........................................ 132
§12 . Производные высших порядков....................................... 133
§13 . Дифференциалы высших порядков.................................... 134
§14 . Формула Тейлора для функции нескольких переменных............ . 136
§15 . Экстремум функции нескольких переменных............................ 139 ,
15.1. Понятие экстремума функции нескольких переменных.
Необходимые и достаточные условия экстремума . .................... 139
15.2. Условный экстремум........................................... 144
15.3. Наибольшее и наименьшее значения непрерывных функций ........ 149
Глава XVI
Элементы дифференциальной геометрии..................................... 154
§1. Плоские кривые. Способы задания. Естественная параметризация........154
§ 2. Кривизна плоской кривой. Радиус кривизны. Эволюта и Эвольвента
плоской кривой........................................................... 160
§ 3. Пространственные кривые. Способы задания............................164
§ 4. Кривизна и кручение пространственной кривой. Формулы Френе ...... 167
§ 5. Понятие гладкой поверхности. Способы задания........................172
§ 6. Первая квадратичная форма. Площадь поверхности .....................175
§ 7. Вторая квадратичная форма. Кривизна поверхности................... . 178
Предметный указатель......................................................182