В. Н. САЧКОВ
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ
МЕТОДЫ
В КОМБИНАТОРНОМ
АНАЛИЗЕ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1978

22.174
С 22
УДК 519.1
Вероятностные методы в комбинаторном анализе. В. Н. Сач-
ков. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва
«Наука», М., 1978.
Книга посвящена применению вероятностных методов к ре-
шению задач комбинаторной математики, прежде всего, в плане
получения результатов асимптотического характера. На множест-
вах объектов определенных классов задаются вероятностные рас-
пределения и исследуются точные и предельные распределения
случайных величин — характеристик случайно извлекаемых объек-
тов. Для отыскания предельных распределений используются ме-
тоды производящих и характеристических функций и модифика-
ции классических предельных теорем теории вероятностей.
20204—147 (g) Главная редакция
54-78 физико-математической' литературы
053 (02)-78 издательства «Наука». 1978

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Введение 7
Глава I. Некоторые сведения из теории вероятностей . . 10
§ 1. Вероятностные распределения и случайные вели-
чины И
§ 2. Характеристические функции и производящие
функции моментов 29
§ 3. Вероятностные распределения в комбинаторном
анализе 41
§ 4. Асимлтотичеекие формулы и предельные распре-
деления 49
Глава II. Комбинаторные свойства случайных неотрица-
тельных матриц 63
Введение 63
§ 1. Неотрицательные целочисленные матрицы .... 66
§ 2. Перманенты случайных 0,1-матриц 71
§ 3. Трансверсали случайных множеств 74
§ 4. Перманенты случайных 0,1-матриц с заданным
числом единиц 79
§ 5. Среднее значение перманента случайной дважды
стохастической матрицы 92
Глава III. Вероятностные задачи в общей комбинаторной
схеме 101
Введение 401
§ 1. Вероятностные распределения для коммутативно-
го несимметричного /г-базиса 107
§ 2. Серии в случайных последовательностях 113
§ 3. Вероятностные распределения для некоммутатив-
ного несимметричного п-базиса 120
§ 4. Задача о паросочетаниях 133
Глава IV. Случайные разбиения множеств 139
§ 1. Распределение числа подмножеств в случайном
разбиении 139
§ 2, Подмножества заданной величины 144
§ 3. Ограниченные размеры подмножеств ... . . - 149

4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 4. Многомерная предельная теорема 151
§ 5. Наибольшее и наименьшее подмножества разбие-
ния 156
§ 6. Разбиения с помеченными подмножествами . . . 161
§ 7. Предельные распределения для разбиений с поме-
ченными подмножествами 168
Глава V. Случайные подстановки 178
Введение 178
§ 1. Циклы в случайных подстановках 184
§ 2. Вариационный ряд подстановки . . 191
§ 3. Подстановки с конгруэнтными циклами 194
§ 4. Экстремальные точки пространства симметричных
стохастических матриц * 198
Глава VI. Случайные графы и отображения 207
Введение 207
§ 1. Случайные деревья и леса 212
§ 2. Случайные графы 223
§ 3. Случайные отображения 237
§ 4. Случайные отображения ограниченной высоты . . 245
§ 5. Случайные отображения с ограничениями на кон-
туры и высоту 265
Литература 281

ПРЕДИСЛОВИЕ
За последние два десятилетия появилось большое
число статей, в которых для решения комбинаторных
задач, в особенности при получении асимптотических
результатов, успешно используются вероятностные
методы. Данная книга обращена к читателю, интере-
сующемуся этим кругом вопросов как в теоретическом
плане, так и с точки зрения возможных приложений.
Она может быть также использована в качестве учеб-
ного пособия для студентов и аспирантов математиче-
ских факультетов вузов, в частности как материал для
спецкурсов и спецсеминаров. Для специалистов по
теории вероятностей приводимые в книге асимптоти-
ческие результаты возможно пополнят список иллю-
страций применения общих предельных теорем.
Для чтения книги необходимы знания в объеме
обычного курса теории вероятностей и некоторые све-
дения из теории функций комплексного переменного,
включаемые в традиционные курсы математического
анализа. Некоторые факты из теории вероятностей,
необходимые для усвоения материала книги, для
удобства читателя в сжатом виде приводятся в первой
главе. Используемые в книге необходимые факты из
комбинаторного анализа приводятся во введениях
к каждой из последующих глав. Читателям, интере-

6
ПРЕДИСЛОВИЕ
сующимся полным изложением соответствующих во-
просов комбинаторного характера, мы рекомендуем
обратиться к книге автора «Комбинаторные методы
дискретной математики» или к любому другому руко-
водству, содержащему изложение данной пробле-
матики.
Главы книги в определенной степени независимы,
что облегчает использование ее читателями, интере-
сующимися отдельными вопросами. Приведенный в
конце список литературы, на которую по тексту дела-
ются ссылки, может помочь изучению тех вопросов,
которые оказались за рамками настоящей книги.
J5. Н. Сачков

ВВЕДЕНИЕ
Хорошо известна связь между вероятностными
и комбинаторными задачами, сыгравшая значитель-
ную роль при становлении теории вероятностей как
науки и находящая в настоящее время особенно на-
глядное выражение в начальной стадии ее изучения.
Если при создании теории вероятностей комбинатор-
ные методы играли значительную роль при формиро-
вании ее математического аппарата, то на современ-
ном этапе хорошо развитые методы этой науки нахо-
дят все более широкое применение при решении
комбинаторных задач. Особенно наглядно это поло-
жение демонстрируется при отыскании асимптотиче-
ских результатов в комбийаторном анализе. В этом
случае вероятностные формулировки комбинаторных
задач дают возможность не только привлекать эффек-
тивно действующую систему понятий теории вероятно-
стей, но и, при отыскании асимптотических формул,
использовать мощный аппарат предельных теорем.
Уместно отметить важную роль асимптотических ре-
зультатов в комбинаторном анализе, которые не толь-
ко упрощают вычисления в процессе приложений, но
и делают более прозрачной общую картину исследуе-
мых явлений.
Для удобства ссылок в первой главе книги приво-
дится ряд фактов из теории вероятностей. Хотя эти
факты и изложены систематически, они ни в коей мере
не могут заменить учебника по теории вероятностей
и рассчитаны на читателя, получившего начальную

8
ВВЕДЕНИЕ
подготовку в этой области. Кроме того, предпочтение
отдано тем понятиям и сведениям, которые находят
применение в последующих главах. При подборе све-
дений особое внимание уделяется, естественно, диск-
ретной теории вероятностей, которая имеет наиболее
тесную связь с комбинаторным анализом, хотя не об-
ходятся и непрерывные распределения, используемые
при получении асимптотических результатов.
Основными объектами исследования в последую-
щих главах являются неотрицательные матрицы, раз-
биения конечных множеств, отображения таких мно-
жеств и, в частности, подстановки, графы, а также
классы эквивалентности, задаваемые на последова-
тельностях заданной длины из элементов упорядочен-
ного множества. Последние объекты включают в себя
так называемые заполнения предметов в ячейки с раз-
нообразными ограничениями, определяющими разли-
чимость или неразличимость предметов и ячеек.
Всякий раз на множестве изучаемых объектов задает-
ся вероятностное распределение, как правило, равно-
мерное. Основные задачи, возникающие при их изуче-
нии, связаны с отысканием точных и предельных рас-
пределений их характеристик, являющихся некоторы-
ми случайными величинами. По существу, речь идет
об определенном пути решения комбинаторных задач,
причем отыскание точного распределения, как прави-
ло, осуществляется методами комбинаторного анали-
за. Вероятностные методы оказывают существенную
помощь именно на этапе отыскания асимптотических
распределений.
Первые результаты по данному направлению в оте-
чественной математике принадлежат, по-видимому,
В. Л. Гончарову, который в 1944 г. опубликовал
статью «Из области комбинаторики», где, используя
метод производящих функций, получил ряд предель-
ных теорем, касающихся серий случайных последова-
тельностей и циклов случайных подстановок.
К настоящему времени имеется большое количест-
во работ по изучению вероятностных схем, связанных
с неотрицательными матрицами, разбиениями мно-
жеств, заполнениями предметов в ячейки, графами,

ВВЕДЕНИЕ
9
отображениями конечных множеств, подстановками
и т. п. В имеющихся обзорах [12, 18, 31] достаточно
полно отражен существенный вклад отечественной
математической школы в изучение этого круга вопро-
сов. В то же время монографий по этой проблематике
в нашей литературе пока еще недостаточно. Можно
надеяться, что данная книга хотя бы частично воспол-
нит этот пробел.
Отметим, что некоторые из изложенных в книге
результатов не приводятся в максимальной общности.
Цель такого подхода — облегчить читателю выяснить
сущность применяемых методов и оставить возмож-
ность самостоятельной оценки допустимости тех или
иных обобщений. В трудных случаях можно обратить-
ся к литературе, приведенной в конце книги.

ГЛАВА I
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Первые два параграфа данной главы представляют
собой сводку некоторых сведений из теории вероятно-
стей, которые можно найти во многих учебниках
и учебных пособиях. Эти сведения носят вспомога-
тельный характер и предназначены более для напо-
минания известных фактов, нежели их первоначально-
го изучения. В соответствии с этим большая часть
утверждений приводится без доказательства. Из круп-
ных результатов исключение из этого правила, по су-
ществу, относится только к теореме Куртисса, кото-
рая будет часто использоваться в дальнейшем изло-
жении [41].
Третий параграф содержит типичные примеры при-
менения предельных теорем для нахождения асимпто-
тических распределений в комбинаторных задачах.
В терминах свойств двойной производящей функции
приводятся также некоторые довольно общие условия
асимптотической нормальности для вероятностных
распределений, встречающихся в исследованиях по
комбинаторному анализу.
В четвертом параграфе дается исчерпывающее опи-
сание предельных распределений случайной величины,
определяемой через двойную производящую функцию
вида ех&г\ где g(t) —некоторый многочлен. Применяе-
мый метод в последующих главах распространяется
на случай двойной производящей функции вида е&***\
где g(x, t)—не обязательно многочлен от перемен-
ной Т.

§ 1] РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ Ц
§ 1. Вероятностные распределения
и случайные величины
1. Вероятностное пространство. Рассмотрим мно-
жество Ω, которое будем называть пространством эле-
ментарных событий. Элементы множества Ω, называе-
мые элементарными событиями, можно интерпретиро-
вать как взаимно исключающие исходы некоторого
эксперимента, допускающего неограниченные повто-
рения при фиксированном комплексе условий.
Любое подмножество A^Ω называется событием.
Если для событий А я В справедливо включение А^В,
то говорят, что А является частным случаем В. Сум-
мой А\]В событий А я В называется событие, состоя-
щее из элементарных событий, принадлежащих либо
Л, либо В. Произведение событий А[\В по определению
состоит из элементарных событий, принадлежащих и
А и В одновременно. Разность А\В есть множество
элементарных событий, принадлежащих Л, но не при-
надлежащих В. Событие Α = Ω\^ называется отри-
цанием события Л. Все множество Ω называется
достоверным событием, а пустое множество 0 = Ω —
невозможным событием. События А и В называются
несовместимыми или несовместными, если А[\В = 0.
События В\, i?2, — , Bni... образуют полную группу
событий, если
51U^2U...U5/IU...=2, Bl(]BJ=0, ιφ).
В приведенных определениях мы пока считали, что
Ω —дискретное множество.Пространство элементарных
событий Ω называется дискретным, если оно конечно
или счетно, т. е. его элементы можно представить в
виде последовательности Ω={ωι, шг, ... > ωη,...}. На
дискретном пространстве Ω зададим неотрицательную
функцию Ρ (ω), соей, такую, что
2Я(ш)=1,
а>62

12 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [Гл. I
где суммирование проводится по всему пространству
Ω. Вероятность Ρ (А) события А определяется равен-
ством
я(Л)=2РН,
причем суммирование ведется по всем элементарным
исходам, принадлежащим Л. Ясно, что Ρ(Ω) = 1,
Р(0) =0, и для любого события А имеем 0^Р(Л)^1,
Р(А) = 1—Ρ (А). В дальнейшем будем использовать
следующие обозначения:
im,=^iUAiU...ua.. ηл^дпЛзП.-.пл^
Для произвольных событий Аи Л2, ..., Ап имеет место
неравенство Буля
я (и л^Зяи,).
Если события Аи Л2, ..., Ап попарно несовместны, то
достигается равенство
я (и ^)=1я(лд
Для любых событий Аи Л2, ..., Ап имеет место фор-
мула
я (и л) = 2(-1)*_Х (1.1)
где
5А= 2 Р(ЛлЛ/а...Л,й),
\<ii<...<ik<n я
суммирование ведется по всевозможным сочетаниям
объема k из чисел 1, 2,..., η и
k
AixAlt...Ai = Π Л/
Пусть Ω — дискретное пространство элементарных
событий.- Всякая числовая функция ξ = |(ω) от элемен-
тарных событий ©ЕЙ называется случайной величи-
ной. Случайную величину будем называть дискретнойу

§ ϋ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 13
если она определена на дискретном пространстве эле-
ментарных событий. Вероятностное распределение
случайной величины представляет собой числовую
функцию Pt{x)> определяемую равенством
Рь{х)=Р{н>: ξ(ω)=*},
а событие {ω: ξ(ω)=*} для краткости будем записы-
вать {!=#}· В дальнейшем изложении дискретные про-
странства элементарных событий и дискретные слу-
чайные величины будут использоваться особенно
часто. Однако последующее изучение предельных ве-
роятностных распределений приводит к необходимости
рассматривать произвольное пространство элементар-
ных событий.
Система подмножеств ST произвольного простран-
ства элементарных событий Ω называется а-алгеброй,
если выполнены следующие условия:
2) из условия Λε^ следует, чго Ле?;
3) если {Ап}—последовательность множеств из
ίΓ, то
U ^ef, n ^sf
(ясно, что достаточно выполнения одного включения;
другое получается в качестве следствия).
Если на множестве Ω задана некоторая σ-алгебра
его подмножеств #~, то пару <Ω, #~> называют из-
меримым пространством. Элементы σ-алгебры #",
и. только они, называются событиями, соответствую-
щими измеримому пространству < Ω, (Г>.
Вероятность есть числовая функция Р, заданная на
σ-алгебре & измеримого пространства <Ω, #"> и
удовлетворяющая следующим свойствам:
1) Р(А)^0 для любого А^$Г\
2) для всякой последовательности {Ап} попарно
несовместных событий справедливо равенство
3) />(Q)=1.

14 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [Гл. I
Тройка { Ω, 5F, Ρ > называется вероятностным про-
странством. Для вероятностного пространства в об-
щем случае верны все указнные выше свойства ве-
роятности, сформулированные для дискретного прост-
ранства элементарных событий. Пусть <Ω, iT, P> —
вероятностное пространство, и события Л, Β^ίΓ. Для
Р(В)>0 условная вероятность события А при усло-
вии, что произошло событие В, определяется формулой
к ' ' Ρ (В)
Для Вх Вп Вда=0, ьфу, P(Bi)>0;
Acz{}Bi, имеет место формула полной вероятности
Ρ(Α) = ΣΡ(Β,)·Ρ(ΑΙΒι).
События Ль Л2, ..., Лп взаимно независимы, если для
любого набора индексов \^i\< ... <к^п> &=2, 3, ...
..., я, справедливо равенство
Дадим теперь определение случайной величины для
произвольного вероятностного пространства. Случай-
ной величиной ξ на вероятностном пространстве
<Ω, Τ, Р> называется функция ξ=ξ(ω), шей, ото-
бражающая Ω в множество действительных чисел R,
такая, что для любого x^R множество {ω: ξ(ω)<Λ;}
принадлежит σ-алгебре #~. Функция F%(x) =P(l<x)
называется функцией распределения случайной вели-
чины ξ. Функция Fi{x) определена на всей действи-
тельной прямой, монотонно не убывает и непрерывна
слева. Кроме того,
Ит /76(х)=0, UmFt(x)=l.
Если случайная величина ξ дискретна и с положитель-
ными вероятностями принимает значения λγι<*2<... »
то
р(5=**)=Л(^~Л(-*а). Α=1, 2,...

β \\ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 15
Случайная величина ξ называется непрерывной, если
для ее функции распределения Fi(x) существует функ-
ция р%{х) ^0 такая, что
X во
— oo —oo
Функция Pi(x) называется плотностью распределе-
ния ξ.
Говорят, что случайная величина имеет нормаль-
ное распределение с параметрами (т, σ), если ее функ-
ция распределения Фт>а(л:) имеет вид
X
Фт}0{х)= L— f ^-(«-«)»/(2«в)^й, (1.2)
где σ>0.
Пусть ξι, ξ2, ...» ξη — случайные величины, задан-
ные на вероятностном пространстве < Ω, &~, Ρ > . Век-
тор (ξι, Ы ·.· > In) называется n-мерной случайной
величиной, а функция ^ξι.,.ζ (·*ι»··ο -^J = ^>(£i<l
<лг1э ...,£„<.*;„) — ее функцией распределения. Случай-
ная величина (ξι, ξ2, ... > ξη) называется непрерывной,
если
^1...*я(*1.··.. */*) =
= ί '·' ί /ь-*я(У1····» Уп)аУ1---*У!Р
функция f (ί/ι, ..., уп) ^0 со свойством
J ··· J /(У1.···. yn)dyi.-.dya=\
— ОО 00
называется плотностью распределения (ξι, ξ2, ..., ξη).
Распределение непрерывной случайной величины
(Еь ?2, ··· > ξη) называется невырожденным п-мерным
нормальным распределением, если оно имеет плот-
ность
ί{Χλ,...,Χη)=ΐΛΔ±.6~4^ *„> 1>3)

16 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [Гл. Г
η
где Q(«*!,..., *Л)= 2 aijxixj — положительно опре-
деленная квадратичная форма, |Л|—детерминант
матрицы ||α*,·||.
Случайные величины ξι, ... > In называются незави-
симыми, если
Случайные величины бесконечной последовательности
(Ik) независимы, если для них последнее равенство
выполнено при любом /г. Если случайная величина
(|ь «.» In) непрерывна и ξι, ..., ξη независимы, то для
плотностей имеет место равенство
Для дискретных независимых случайных величин
1и ..., |п справедлива формула
2. Моменты случайных величин. Прежде всего на-
помним определение интеграла Стилтьеса для функ-
ции распределения F(x) и некоторой функции f(x),
непрерывной на отрезке [а, 6] действительной прямой.
Разобьем отрезок [a, b] на конечное число частичных
отрезков [хь jtt+i] так, чтобы a=A;o<:*;i<#2< ... <Хп~Ь,
и образуем сумму
где ^ — произвольное число из отрезка [*^, х& Если
при maxfo-i, *Л->0 сумма S стремится к конечному
пределу, не зависящему ни от способа дробления от-
резка [а, 6], ни от выбора точек х%> то этот предел на-
зывается интегралом Стилтьеса функции f (x) по функ-
ции F(x) и обозначается
ь
^f{x)dF{x),
а

§ ι] РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 17
В дальнейшем мы будем считать, что интеграл
Стилтьеса функции f(x) по функции F(x) существует
тогда и только тогда, когда существует соответствую-
щий интеграл функции \f(x) |. По определению будем
считать, что
сю Ь
\ f{x)dF(x)= lim f / (χ) dF (χ).
J Д->-—со J
Пусть случайная величина ξ задана на некотором
вероятностном пространстве ( Ω, ST> Ρ > . Математи-
ческим ожиданием или средним значением случайной
величины I называется число
00
М%= Г xdF(x),
^сю
где F(x) —функция распределения ξ. Для дискретной
случайной величины ξ математическое ожидание пред-
ставимо суммой
оо
ΛΤξ= Σ xkP (5=*ft),
а для непрерывной случайной величины ξ с плотностью
f(x) выражается обычным интегралом Римана
00
Μξ= f xf(x)dx.
— оо
Хорошо известны следующие свойства математическо-
го ожидания:
1) М(С1)=СМ1, где С — постоянная;
2) Λί(ξι+|2) =Μ|ι+Μξ2, если существуют Μξ]
иМ|2;
3) если ξι и ξ2 — независимые случайные величи-
ны, то
Дисперсия случайной величины ξ определяется ра-
венством

18 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [Гл. I
Дисперсия обладает следующими свойствами:
l)D(Cl)=C2D%, где С —постоянная;
2) если ξι и ξ2 — независимые случайные величи-
ны, то
0fo + fe) = Ai + Cfa;
3) пусть случайная величина ξ^Ο и ε — произволь-
ное положительное число. Тогда справедливо неравен-
ство
P\l>*)<^. (1.4)
ε
Из этого неравенства для произвольной случайной ве-
личины ξ следует неравенство Чебышева
/4Ι5-^Ι>·)<Α'Α (1.5)
Если для случайной величины ξ величина Mk = Mlh
существует, то она называется ее моментом k-vo поряд-
ка. Аналогично Λί|ξ|Α и μ& = Λί(ξ—MQh называются
соответственно абсолютным и центральным моментом
порядка k. Имеют место соотношения
Λί*=Σο(})μ,Λί?-', k = 0, l,...,
где μο=Λί0=1. Факториальные и биномиальные мо-
менты определяются соответственно равенствами
\M]k=M{\\y k=0, 1,...,
где
ft)*=5ft-i)...ft-*+i).(i)=(s)»/*!· ^>o, (ϊΐο=ι.
Очевидно, что
[M\k=Bk-k\, Л = 0, 1,...

§ и
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
19
Справедливы следующие соотношения:
к
[ΜΙ=Σ*(&, j)mp *=о, ι,...,
Λί* = 2!σ(Α, j)[M]j, A = 0f 1
где s(k> j) и a(k9 j) —числа Стирлинга первого и вто-
рого рода соответственно, определяемые равенствами
к
(*)л=2$(*» Л**, А=0, 1,...,
3. Целочисленные случайные величины. В дальней-
шем особое значение будут иметь дискретные случай-
ные величины, принимающие целые значения. Такие
случайные величины называются целочисленными.
Ниже мы остановимся на том случае, когда целочис-
ленные случайные величины неотрицательны.
Пусть | — целочисленная неотрицательная случай-
ная величина и
Яь= Σ P{l=J)r А=0,1^
Тогда имеет место равенство
00
ΛΤξ=Σ;<7*. (1.6)
л-о
Производящая функция целочисленной случайной ве-
личины ξ определяется равенством
где Pk = P(l = k). Ясно, что при |*|^1 Р(х) является
аналитической функцией и в силу равенства
Pk=~PW(0), A = 0. 1,...,

20 HEKOtOPblE СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [Гл. I
где P(k) (0)—значение k-и производной Р(х) при
л; = 0, однозначно определяет распределение ξ. Роль
формулы обращения может также играть интеграль-
ная формула Коши
с
где С — замкнутый контур в комплексной плоскости,
охватывающий начало координат и проходящий внут-
ри круга, в котором Ρ (ζ) является аналитической.
Пусть ξι, £г> ..., In — независимые случайные вели-
чины, а Р\(х), /М*)> — у Рп(х) —соответствующие им
производящие функции. Для производящей функции
Р(х) случайной величины ξ=ξι+ξ2+ ··. +L· имеем
Р(х)=Рх(х).Р2(х)...Рп(х).
Производящие функции моментов некоторой случай-
ной величины ξ:
Μ(χ)=ΣΜ>
ft-0
Β(χ)=ΣΒ*χ*
следующим образом выражаются через ее производя-
щую функцию:
М(х)=Р(е*)9 (1.7)
М(х)=В(х)=Р(х+1). (1.8^
Биномиальные моменты ξ выражаются следующим
образом через значения производной Р(х) в точке
*=1:

Μ
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
21
Рассмотрим некоторые примеры целочисленных
случайных величин.
1. Биномиальное распределение. Бино-
миальное распределение с параметрами (я, р) имеет
случайная величина ξ(η>=|ι-+ξ2+... + ξη, где |ь |2,... > In
независимы и Р(^=1)=р, />(& = 0)=^, p + q=l. Оче-
видно, что
Я(5(я) = А)=(и)^я-*. * = 0, 1,..., /г.
Производящие функции распределения и биномиаль-
ных моментов имеют вид
Pn{x)=(PX+tf* (!·9)
*.(*)=(/*+1)я. ;(1.10)
Отсюда следует формула для биномиальных моментов
Вл=("\р*> А = 0, 1,..., п.
2. Распределение Паскаля. Рассматрива-
ется схема независимых испытаний Бернулли, при
каждом из которых с вероятностью ρ реализуется ус-
пех и с вероятностью q— неуспех, p+q=l. Случайная
величина |, равная числу неуспехов до появления
г-го успеха, имеет распределение
P&=k)=lf + rk~l)fi'4k* * = 0, 1 (1.11)
называемое распределением Паскаля. Производящие
функции распределения и биномиальных моментов для
этой случайной величины выглядят следующим об-
разом:
"w-lTi?j· (U2)
Β^Ητ^ί- (Μ3)
Биномиальные моменты вычисляются по формуле
*-ГПЙГ *-*····· (,Л4)

22 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [Гл. I
3. Распределение Пуассона. Случайная
величина ξ имеет распределение Пуассона с парамет-
ром λ>0, если
/>(ξ=Α) = Α*-\ й=0, 1,...
k\
Из производящих функций распределения и биноми-
альных моментов
Р(х)=еЧх-и9 (1.15)
В{х)=еХх (1.16)
следует формула для биномиальных моментов
В*=~> * = 0, 1,... (1.17)
k\
4. Гипергеометрическое распределе-
ние. Пусть в совокупности из η элементов имеется т
элементов одного и η—т другого типа. Обозначим че-
рез ξ число элементов первого типа, содержащихся
в случайной выборке из г элементов. Эта случайная
величина имеет распределение
(т\ in — т\
P{\ = k)= x*M/\ k} , А=0, 1,.
называемое гипергеометрическим. Биномиальные мо-
менты этого распределения имеют вид
(т\ (n — k'
Bk= ^Аг-*; , Α = ο, 1,... (1.18)
4. Формулы обращения. Если целочисленная слу-
чайная величина ξ принимает значения, не превосходя-
щие некоторого числа я, то из формулы (1.8) имеем
Ь-0 г-0 ft-r v<

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 23
Отсюда получаем выражение вероятностного распре-
деления величины ξ через ее биномиальные моменты
Ρ(ξ==/·) = 2(-1)*-'(*)£*, г=0, 1,..., п. (1.19)
Эту формулу можно рассматривать как обращение
формулы
Β*=Σ (ί)Ρ(ξ===Λ k^0> 1·····я·
дающей выражение для биномиальных моментов.
Пусть Ω — конечное пространство элементарных
событий и Рг — вероятность того, что при случайном
испытании произойдут ровно г из числа событий Ль
Л2> ··· > Лп. Тогда имеют место формулы, обычно назы-
ваемые формулами метода включения — исключения:
^=2(-1)*-г(*К '=0.1,...
(1.20)
50=1, St= 2 P{Ah...AJk).
\<h<-.<}n<n
Действительно, пусть ξ* — случайная величина, равная
единице, если событие А{ наступило, и равная нулю в
противном случае, и пусть ξ = ξι + ξ2+ ... + Еп> тогда
Pr=P(£ = r). Заметим, что
(IhAiX)···©· (Ι·21>
где суммирование ведется по всем решениям уравне-
ния &1 + &2+ — +kn — k в целых неотрицательных чис-
лах. Взяв математическое ожидание от обеих частей
равенства (1.21), находим выражение для k-το бино-
миального момента ξ:
Bk= Σ Я(?л=1,..., ξ,4=1). (1.22)
\<ji<...<jk<n

24 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [Гл. I
Теперь формулы (1.20) следуют из равенств (1.19)
и (1.22).
Задача о встречах. Пусть перестановка (аи
Я2> ··, а>п) элементов 1, 2, ..., η выбирается случайно
с вероятностью \/п\ Найдем распределение числа
«встреч» |, т. е. числа номеров /, для которых в слу-
чайной перестановке flj=/, 1^/^/г. Рассмотрим собы-
тия Ль A2i ..., Ап, где событие Aj означает, что для
случайной перестановки ci}=j. Очевидно, что
P{AhAh.. .AJk)=l£^, 1 </ι<· · .</*<п.
Из формул (1.20) находим, что
^=Я($=г)=^2(-1)*^> г=0, 1,..., л.
ft-0
Из формул (1.20) следуют неравенства Бонферрони
где v^l и может принимать всевозможные натураль-
ные значения с условием r+2v^n. Смысл неравенств
Бонферрони можно несколько уточнить. Если в (1.20)
сохранить лишь члены, содержащие Sr, Sr+b ..., Sr+*,
а члены с §r+t+i, ..., 5n отбросить, то возникающая при
этом ошибка по абсолютной величине не превосходит
первого из отброшенных членов и совпадает с ним по
знаку.
Формулы обращения, аналогичные (1.19), можно
установить и в общем случае. Соответствующий ре-
зультат сформулируем в виде теоремы, принадлежа-
щей Такачу [81].
Теорема 1.1. Если биномиальные моменты Вk
случайной величины | конечны и р = Hm sup/?£/*< оо,

§ Π
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 25
то
k=r ч ' j=r
[г==0, 1, , (1.23)
где d— некоторое неотрицательное число, большее
р2—1. Если р<1, то можно выбирать d=0, что приво-
дит к формулам
P{%=r) = ^{-lf-T{k\Bk> r=0, 1,... (1.24)
Фактически теорема 1.1 дает условия, когда веро-
ятностное распределение однозначно определяется
своими биномиальными моментами, и устанавливает
выражение распределения через эти моменты.
Рассмотрим некоторые примеры применения теоре-
мы 1.1.
1. Для случайной величины |, имеющей распреде-
ление Пуассона с параметром λ, биномиальный мо-
мент /z-го порядка равен
поэтому
р = ИтВ#*=0.
Следовательно, это распределение однозначно опреде-
ляется своими биномиальными моментами и, согласно
формуле (1.24),
Р(1=г)=% {-if-'(k)2L=2Le-x, г=0, ι,...
k=r '
2. Для распределения Паскаля, согласно равенству
(1.14), имеем
p==\imBl/k=qlp.
Таким образом, при р>0 можно применять формулу

26 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [Гл. |
(1.23). С учетом выражения (1.14) из нее следует
равенство (1.11). Впрочем, при q<p этот же результат
можно получить, применяя формулу (1.24).
3. Рассмотрим случайную величину |, биномиаль-
ные моменты которой имеют вид
где λ>0. В этом случае
P=lim£^=0,
поэтому, применяя формулу (1.24), находим:
Р(1 = г) = ^_У(-\)> λ' , г=0, 1,...
Функция Бесселя Jk для натуральных значений k мо-
жет быть определена рядом
/ft(2l/-£)=z*/2y(-l)> £i_.
ftV ' /й У1 (* + Λΐ
Используя это выражение, окончательно получаем
Я(?=г)=^-/г(2уТ), г=0, 1,...
5. Формулы Фреше. Пусть Ω — произвольное прост-
ранство элементарных событий, Аи Л2, ..., /4П, — вооб-
ще говоря, совместные и зависимые события и Рг —
вероятность того, что при случайном испытании про-
изойдут ровно г из указанных событий. Для вычисле-
ния вероятности Рг справедливы формулы, получен-
ные Фреше и совпадающие в случае конечного Ω
с формулами (1.20) метода включения — исключе-
ния:
Я, = 2 (-!)*"'(*)5». /=°. Ι.···.», (1-25)
50=1, Sk= 2 P(Ah...Ah),
l<ji<...<jk<n
Λ=1, 2,..., п.

t1 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 27
Пусть (Λ,..·. уЯЬ-перестановка чисел 1, 2,..., л
и %h-^r = Ah"'A)rA^i'"A^n Рассматриваемые но-
вые (п) событий несовместны и, кроме того,
Pr=ΣP(Ч..Jr)> (Ь26)
где /г== {</!,..., Уг>: 1<Λ<·..<Λ<λ} — совокуп-
ность сочетаний объема г из элементов 1, 2,..., /г.
С другой стороны,
= 2 2/>(«/,...>,).
г «ft /r
где второе суммирование ведется по всем сочетаниям
<у'ь ··> /г » содержащим сочетание < /ь ..., ί&>. Так
как каждое сочетание </ь ..., ik) содержится ровно
в ( ) сочетаниях вида <ju ..., /г>, то
Из равенств (1.26) и (1.27) получаем
5* = 2 (3я- /·=1.·2,..., *. (1.28)
Умножая обе части равенства (1.28) на (■—1)*~г( ) и
суммируя по k = ry r+1, ..., я, убеждаемся в справед-
ливости формул (1.25). (Заметим, что приведенная
в начале главы формула (1.1) является следствием
формул Фреше (1.25).)
Пусть ξι, Ъ> ··· > In — независимые случайные вели-
чины, каждая из которых равномерно распределена
на интервале (0, 1). Для функции распределения их

28 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [Гл. I.
суммы имеет место выражение
ι [х] / \
(1.29)
называемое обычно формулой Лапласа. Покажем
это.
Будем считать, что точка (хи..., хп) л-мерного
симплекса Ω={(χν...9 х^\Х\-\- . - .-\·χη<χ, -*/>(),
/=1,..., п\ обладает свойством Ль если -*/>!>
1</<#. Объем части 2, обладающей одновременно
свойствами A?,,..., Afk, вычисляется по формуле
ки;,..Л,)={ <*-*>""" *<*· (1.30,
Очевидно, что Pjfcx + ... + ξ„ < х)=V (20), где
V (20) — объем симплекса й0= [(Х\> · · ·, хп): х\ + · · -1
...-\-хп<х, 0<л:/<1, /=1,..., п). С другой сто-
роны,
[χ]
V(2o)=2I(-ljX
ft-0
где 50=l/(Q) и
Sk= Σ V(Ah...A}k), £=1,2,...
1<Л<...</й</г
Отсюда с учетом формулы (1.30) следует выражение
для функции распределения (1.29).
6. Теорема непрерывности для производящих функ-
ций. Пусть ξι, Ъ> — > ξη... — последовательность цело-
численных случайных величин с заданными распреде-
лениями Р(%п = к), &=0, 1, ..., п=1, 2, ..., и Pi(#),
Р2(*), ..., Рп(х), ... — соответствующая последователь-
ность производящих функций. Распределение вероят-
ностей Рь, & = 0, 1, ... называется предельным для рас-
пределения Ρ(ξη = &) при я-^оо, если
Hm/>(k=ft)=/V A=0, 1,..,

§ 2] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ И ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ 29
Имеет место следующая теорема, называемая
обычно теоремой непрерывности для производящих
функций.
Теорема 1.2. Для выполнения равенств
\\mP{%n=k)=Pk, k=0, l,...,
необходимо и достаточно, чтобы при любом χ из полу-
интервала [О, 1)
ШРп{х)=Р{х\
Л->оо
где Ρ (χ) — производящая функция распределения
Pft, &=0, 1,...
Рассмотрим пример применения данной теоремы.
Будем считать, что р = 1—λ/r, Я=сопз1, и г->-оо. Тогда,
согласно формуле (1.12) для производящей функции
распределения Паскаля, имеем
#·-*«> \ 1 — \х/г )
Это означает, что распределение Пуассона с парамет-
ром λ является предельным для распределения Паска-
ля, когда р=1—λ/r и г-^оо. Аналогично, если р=%/пу
λ = const, n-^oo, то для производящей функции бино-
миального распределения, согласно формуле (1.9),
имеем
lim/1+xU-i)y=exU-0
§ 2. Характеристические функции
и производящие функции моментов
1. Свойства характеристических функций. Характе-
ристическая функция действительной переменной t
для случайной величины |, имеющей функцию распре-
деления F(x), определяется равенством

30 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [Гл. I
где для действительных ξ и η полагаем Λί(ξ+ίη) =
=Ml+iMr\, а интеграл представляет собой интеграл
Стилтьеса.
Например, если непрерывная случайная величина
ξ равномерно распределена на отрезке [0, 1], то ее ха-
рактеристическая функция имеет вид
о
Характеристическая функция случайной величины η,
имеющей распределение Пуассона с параметром λ,
имеет вид
^(t)=2e!tkJwe~x=eMett~°·
Простейшие свойства характеристических функций:
1) Характеристическая функция φ(ί) равномерно
непрерывна на всей прямой и удовлетворяет соотно-
шениям
φ(0)=1, |φ(/)!<1. -Οθ</<οο.
2) Если случайные величины ξ и η связаны соотно-
шением η = αξ+6, где а и Ъ — постоянные, то
3) Если существует &-й момент Λί|ξ|Λ<οο, &^1, то
существует k-я производная φι(ί) и
φ<*> (0) = ί*Λΐξ\
В окрестности точки t=0 справедливо разложение
4) Функция распределения F(x) однозначно опре-
деляется соответствующей характеристической функ-
цией φ (0» а именно: для каждой точки непрерывности

£ 2] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ Й ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ 31
функции F(x) справедлива формула
F(x) = 4~ lim lfm i Τ- Τ (0 Λ.
—Л
называемая обычно формулой обращения. Если суще-
ствует плотность распределения f(x) и <р(/) интегри-
руема, то
Пх)=-к ] е-"**®**·
5) Случайная величина ξ называется решетчатой
оо
с шагом /г, если 2 Ρ(ξ=α + *Α)=1· Если ξ ре-
ft- 00
шетчата, то
оо
φ (/)= е1*а Σ P{%=a-\-kh)elikh.
ft»—оо
Известно, что ξ имеет решетчатое распределение с ша-
гом Л>0 тогда и только тогда, когда |φι(2π/Α) | = 1.
Для целочисленной случайной величины ξ с про-
изводящей функцией g\{x) имеет место равенство
Полагая z=eif9 можно в этом случае записать:
νς ; 2m J δ*ν ; *α+ι
Ι*Ι-ι
6) Если ξ = ξ! + ξ2+ ... +ξη, где |ι, |2, ..., ξη взаим-
но независимые случайные величины, то
7) Пусть | — случайная величина, имеющая нор-
мальное распределение с параметрами (т, σ),
τ· е. обладающая плотностью г— е ·
9 у 2л

32 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [Гл. I
Характеристическая функция ξ имеет вид
Для &-го центрального момента ξ справедлива фор-
мула
1**=
σ* } ^ _ четное>
2*'2 (*/2)!
О, £ — нечетное.
2. Теорема непрерывности и предельные теоремы.
Пусть F(x)=P{l<x) и Fn(x)~P(ln<x). Говорят, что
функция Fn(x) слабо сходится к F(x) при п-+ооу если
lim/^x) =F(x) в каждой точке непрерывности
П->оо
F{x). Слабая сходимость Fn{x) к F(x) обозначается
следующим образом:
Большую роль в теории предельных распределений
играет следующая теорема Леви — Крамера, обычно
называемая теоремой непрерывности [3, 16].
Теорема 2.1. Пусть {ξη} — последовательность
случайных величин, a {<pn(t)} и {Fn(x)}—соответст-
вующие последовательности характеристических функ-
ций и функций распределения.
а) Если существует случайная величина ξ с функ-
цией распределения F(x) такой, что Fn{x)=$>F(x), то
\im(pn(t) =φ(/) равномерно в каждом конечном интер-
П-+оо
вале, где <р(/) есть характеристическая функ-
ция |.
б) Если существует непрерывная при ί = 0 функция
cp(t) такая, что lim φη(ΐ)=φ(ΐ) для любого t, то су-
ществует такая случайная величина ξ с функцией рас-
пределения F(x), что Fn(x) =4>F(x) равномерно
в любом конечном или бесконечном интервале непре-
рывности F(x). Характеристическая функция ξ рав-
на φ(t) и lim<pn(/) =φ(0 равномерно в каждом
конечном интервале.

§ 2] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ И ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ 33
Отметим, что в б) условие непрерывности φ(ί) при
^ = 0 можно заменить условием равномерности предель-
ного перехода lim фп(0=ф(0 В любом конечном
интервале, содержащем начало координат.
В качестве следствия из этой теоремы можно полу-
чить центральную предельную теорему для суммы
одинаково распределенных независимых случайных
величин (3, 16].
Теорема 2.2. Пусть {ξη} — последовательность
независимых, одинаково распределенных случайных
величин такая, что
Если 0<<з2<;оо, то
X
\ΙχηΡ(Ζη<χ)=Φ(χ), Ф(*)=—= f e-»*J2du,
равномерно относительно х, —оо<я<оо.
В этом случае говорят, что последовательность {ζη}
асимптотически нормальна с параметрами (О, 1).
Не ограничивая общности, можно считать, что
т = 0. В этом случае, согласно теореме Леви — Кра-
мера, достаточно показать, что
lim<pc (t)=e-t2l2.
Полагая φ(/)=φ (t), имеем φΡ (t)=<?n (——]. Из
4 п [cVn )
свойства 3) характеристической функции для любого
t из окрестности точки /=0 имеем
φ(0=1—ψ + 0(ί>).
Следовательно, при любом фиксированном t
<?< (t)=\
2 [,γτι \n
Отсюда следует теорема.
2 В. Н. Сачков

34 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕН [Гл. I
Одним из наиболее важных следствий теоремы
Леви — Крамера является центральная предельная
теорема для сумм независимых случайных величин.
Эту теорему мы сформулируем для схемы серий.
Пусть {1н,п}> &=1, 2, ..., η — последовательность
взаимно независимых случайных величин, имеющих
средние {ак,п} и дисперсии {6*,л}> причем
Эта последовательность удовлетворяет условию Лин-
деберга, если для любого ε>0
limJr2 f (x-ak,nfdFk,n(x)=0, (2.1)
где Fk,n (x) — функция распределения случайной ве-
личины lk,n> k = 1, 2, ..., п.
Теорема 2.3. Если последовательность {%k,n},
β~1, 2, ..., η; /г=1, 2, ..., взаимно независимых слу-
чайных величин удовлетворяет условию Линдеберга
(2.1), то при п-+оо соответствующая последователь-
ность {ζη}, η = 1, 2, ..., где
1 л
• Вп *Γι
асимптотически нормальна с параметрами (О, 1).
Одним из вариантов центральной предельной тео-
ремы, несколько более слабым, но легче проверяемым,
является теорема А. М. Ляпунова.
Теорема 2.4. Пусть для последовательности
взаимно независимых случайных величин {ξ&,η}> & =
= 1, 2, ..., η\ η = 1, 2, ..., при δ>0 существуют моменты
Ck,n=M(\kkn-akJ+b) и С2л+5=2 CktH. Тогда, если
при п-^оо Cn/Sn-vO, то соответствующая последова-
тельность {ζη}, η=1, 2, ..., асимптотически нормальна
с параметрами (О, 1).

с 2] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ И ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ 35
Получим одно полезное следствие из этой теоремы.
Рассмотрим отвечающую схеме серий последователь-
ность независимых случайных величин {|fe,n}, & =
= 1,2, ..-, л; л=1, 2 такую, что Р{Ь,п= 1) =Рл,
Р(й,п = 0)=<1к, где pft+fk=l и pk=ph{n)y qk=qk(n).
Назовем эту последовательность последовательностью
Пуассона.
Следствие. Последовательность случайных ве-
личин {ζη}, я=1, 2, ..., где
лгри я-^оо асимптотически нормальна с параметрами
(О, 1), если Вп-+оо.
Действительно, Μ(|ξ*,Λ — Ри?ЖРьЯ& поэтому, по-
лагая в теореме Ляпунова 8=1, находим, что Сл<
^Вп\ Следовательно, Сп/Вп —>0 при Вп-+оо.
Приведенные выше теоремы 2.2, 2.3, 2.4 представ-
ляют собой примеры интегральных теорем, так
как предельный закон определяется функцией распре-
деления. Значительный интерес представляют также
так называемые локальные предельные теоремы.
Пусть {In} — последовательность взаимно незави-
симых одинаково распределенных решетчатых случай-
ных величин вида li^a+kh, k=0, ±1, ±2, ..., имею-
щих конечные средние и дисперсии,
ζη=ξι+ξ2+ ···+?„. \=Μίη, в\=а.п,
Pn(k)=P(tn=na + kh), znk=*l±kh-A" .
В этом случае справедлива следующая локальная тео-
рема Гнеденко.
Теорема 2.5. Для того чтобы равномерно отно-
сительно k, —оо<£<оо, при п-+оо имело место соот-
ношение
h У 2л
2*

36 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [Гл. I
необходимо и достаточно, чтобы шаг распределения h
был максимальным.
(Шаг h максимален, если ни при каких Ъ (—оо<
<Ь<оо) и h\>h нельзя представить все возможные
значения ξ* в виде b+khu & = 0, ±1, ±2, ...)
Если {In}—последовательность независимых оди-
наково распределенных случайных величин с нулевым
математическим ожиданием и дисперсией σ2>0,
Рп {х) — плотность распределения для СЛ=—~j£}h
то имеет место следующая теорема.
Теорема 2.6. Для того чтобы равномерно по χ
при я->оо
У 2л
необходимо и достаточно существование такого,N, что
плотность Pn(x) ограничена.
Возможны различные обобщения теорем 2.5, 2.6,
но на них мы не останавливаемся. Заметим только,
что при выполнении условий для локальных предель-
ных теорем верны также соответствующие интеграль-
ные варианты центральной предельной теоремы. Об-
ратное, вообще говоря, неверно.
3. Теорема Куртисса. Пусть ξ — случайная величина
и F(x)—ее функция распределения. Функция
{tg)= j exidF{x)t (2.2)
— оо
где t действительно, интеграл сходится для некоторого
t, —δ^ί^δ, δ>0, называется производящей функци-
ей моментов случайной величины ξ. Для случая цело-
численных случайных величин это определение совпа-
дает с данным выше определением производящей
функции моментов. Если производящая функция мо-
ментов существует в некоторой окрестности точки
f=0, то она единственным образом определяет соот-
ветствующее распределение. Характеристическая
функция φ(ί) и производящая функция моментов g(t)

$ 2] ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ И ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ 37
одного и того же распределения связаны равенством
Производящая функция моментов нормального рас-
пределения с параметрами (т, σ) имеет вид
В дальнейшем изложении часто будет использо-
ваться предельная теорема, доказанная Куртиссом
[41].
Теорема 2.7. Пусть Fn{x) и gn(t)—соответст-
венно функция распределения и производящая функ-
ция моментов случайной величины ξη. Если gn{t) су-
ществует для \t\<t\ и для всех п>п^ и если сущест-
вует функция g(t), определенная и ограниченная для
|*|^*2<*ь ^2>0, такая, что \imgn(t)=g(t) при
\t\ <t% то существует случайная величина \ с функ-
цией распределения F(x) такая, что lim Fn{x) = F(x)
в точках непрерывности и равномерно в каждом ко-
нечном или бесконечном интервале непрерывности
F(x). Производящая функция моментов ξ существует
при \t\^t2 и равна g(t) в этом интервале.
Для доказательства теоремы рассмотрим преобра-
зование Лапласа
оо
— ОО
Заметим, что если z=t+ia, то при п^п0 и для любого
г из полосы —t\<Re z<t\ имеем: |φη(ζ) | ^<ρη(0 =
=gn{t). Дифференцируя (2.2) по f, находим
gn{t)=]xWdFn{x\ \t\]<tu
— оо
откуда следует, что gn (t)>0 при \t\<t\. Это означа-
ет, что gn(t) принимает максимальное значение на от-
резке |?|^2 либо в одной, либо в обеих концевых
точках этого отрезка. Так как gn{h) и gn{—U) при

38 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [Гл. I
п-^оо имеют конечные пределы, то при n^n0 последо-
вательность {gn(t)} равномерно ограничена на отрез-
ке |i|s^/2· Таким образом, последовательность
{|фп(г) |} для п^по равномерно ограничена в полосе
—t2^.Rez^t2 и, более того, имеет предел в каждой
точке бесконечного множества, обладающего предель-
ной точкой в полосе (т. е. в каждой точке интервала
—h^z^fa). Согласно известной теореме Витали су-
ществует аналитическая функция φ* (-г) такая, что
lim фп(г)=ф*(г) равномерно в каждой ограничен-
П-+*о
ной замкнутой подобласти полосы —t2<Rez<t2. Так
κ^κ'ψη(ία) есть характеристическая функция ξη> то
существование функции распределения F(x) такой,
что Fn(x) ^F(x) следует из теоремы непрерывности.
При этом 4*{t)=g{t),—t2<t<t2.
Остается показать, что φ* {t) есть производящая
функция моментов |. Из теоремы непрерывности сле-
дует, что φ* (ία) есть характеристическая функция |.
Если будет показано, что φ (ζ) существует по крайней
мере в полосе —12< Rez<t2t то из равенства <р(г) =
=<р*(г) на мнимой оси следует его выполнение во
всей полосе и, в частности, на интервале действитель-
ной оси, лежащем внутри полосы. Для этого достаточ-
но показать, что φ(ί) существует для —t2^:t^Lt2. До-
пустим, что φ (t) не существует в точке t = tz внутри
интервала. Тогда, если Μ — верхняя грань £п('з)>
n^tio, то существует такое действительное число Л, что
-А
С другой стороны,
А
А
[ext*dF{x)>M.
J e*'*dF{x)=
А ГА Α η
= J e*'*dFn(x) + \ f ext>dF{x)- J ext>dFn(x)

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ И ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ 39
Так как lirn Fn(x) = F(x) во всех точках непрерывно-
сти F(x)t то на всюду плотном множестве точек выра-
жение в квадратных скобках стремится к нулю при
я->оо. Кроме того,
Таким образом, получаем противоречие. Отсюда сле-
дует существование φ(ί) для —fe^f^ta а значит, и
φ (ζ) для —ί2< Rez<f2. Следовательно, #(ί)=φ*(ί) =
= φ(ί) при —h<t<t2. В силу абсолютной и равномер-
ной сходимости интегралов, задающих gn(t) и φ(ί),
эти функции непрерывны на отрезке — i2^^2. Так
как lim gn{t)'=g(t) равномерно для —^2^^^^2, то
g(t) непрерывна на этом отрезке. Это означает, что
<p(f)=g(0 для —*2^*^2. Теорема доказана.
Если, например, случайная величина ηη имеет би-
номиальное распределение с параметрами (я, р), то
производящая функция моментов ξη= (ηη—пр)Х
X (npq)-4*> p + q= 1 имеет вид
Так как Hm/Jt(<)=5/V», то ξΛ в пределе при /г~»оо
имеет нормальное распределение с параметрами (0,1)·
Если теперь р=р(п) и /г/г—>λ при /г—>оо, то произ-
водящая функция моментов \ ч>п{*)=(ре'-\-4)п имеет
предел е^*-1*, т. е. предельным для \ является рас-
пределение Пуассона с параметром λ.
4. Сходимость по моментам. В последующих главах
книги довольно часто будет использоваться теорема,
касающаяся сходимости распределений при наличии
сходимости моментов.
Теорема 2.8. Пусть {Fn{x)}—последователь-
ность функций распределения, все моменты которых
«to
Мгя= f x*dFn(x), k=l, 2,...,

40 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [Гл. I
конечны, и пусть при каждом k^\ имеет место схо-
димость
lim Мы=Мкф ±оо.
Тогда существует подпоследовательность {Fnj{x)}9
слабо сходящаяся к функции распределения F(x),
имеющей Mkf k=\> 2, ..., своими моментами. Если мо-
менты однозначно определяют F(x)f то последователь-
ность {Fn(x)} слабо сходится к F{x).
Известно, что моменты однозначно определяют
распределение, если
где μ2, — центральные моменты распределения. При-
менение этого признака позволяет заключить, что, на-
пример, нормальное распределение однозначно опре-
деляется своими моментами. Таким же свойством об-
ладает и распределение Пуассона.
Следствие 1. Пусть £п,ь ..., ЕПуП— последова-
тельность серий случайных событий, и пусть при каж-
дом £=1, 2, ...
η-*°°1<ίι<...<]ζ<η. ™
где под знаком суммы стоит вероятность совмещения
событий, стоящих в скобках, и суммирование прово-
дится по всем сочетаниям объема k из чисел 1, 2, ..., я.
Тогда вероятность Рп (г) наступления ровно г событий
в п-й серии имеет предел
ИтРя(г)=-^-е-\ г=0, 1,...
Следствие 2. Пусть 8п,ь — t βη,η — случайные
η
величины, принимающие значения 0 α Ι, εΛ=2 ^nj

* 3] РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ 41
и βΗη — k-й биномиальный момент εη> £ = 1, 2, ... Если
UmBbn= λ*
для всех kt то
HmP(e#=r)=™*-\ r=0, 1,.
§ 3. Вероятностные распределения
в комбинаторном анализе
Рассмотрим несколько комбинаторных задач, в ко-
торых отыскание асимптотических распределений свя-
зано с применением предельных теорем, приведенных
в предыдущем параграфе.
1. Инверсии в случайной перестановке. В переста-
новке (аь о>2, ..., ап) чисел 1, 2, ..., η пара элементов
й{ и uj образует инверсию, если αι>α^ ί</. Если
В (п, г) — число перестановок из η элементов с г ин-
версиями, то
В(п9 г)= Σ В (п.-U r-s).
5<Л—1
Используя это рекуррентное соотношение, можно най-
ти выражение для производящей функции:
С)
Ья(х)=%В(п, r)xr=f\U=^).
г-о *~Л 1~х }
Если теперь \п — число инверсий в случайно и равно-
вероятно выбранной перестановке из η элементов, то
производящая функция этой случайной величины име-
ет вид
'■'"-nfeif^)·

42 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [Гл. I
Рассмотрим выражение для производящей функции
моментов |п:
Μ (χ; n)=Pntf)=e « Ц -
Из вида производящей функции чисел Бернулли Bh
можно установить справедливость разложения:
( &h~f\ « дг2*
In =У4—f , |х|<2я.
Используя это разложение, находим
. о» 2ft Я
Отсюда, в частности, следуют формулы для среднего
и дисперсии %п:
^?«— ^ ' ξ"~ 72 *
Кроме того, имеет место равенство
lnM(l-;nyJ^.-L^+Rn(t), (3.1)
где
Так как для всех k^2
7Г%^оЩ,

5 з] РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ 43
го /?п(0"*"0 равномерно для всех ограниченных I. За-
метим, что
/г</г—1) t_
M{U п)=е 4 ' °м(±-; п)
есть производящая функция моментов случайной ве-
личины r\n=Un — n(n~ Моч, Из равенства (3.1)
следует, что для всех ограниченных t
UmM(i; *)=*'"/..
Я->оо
В правой части равенства стоит производящая функ-
ция моментов нормального распределения с парамет-
рами (0,1). Теперь, применяя теорему 2.7, убеждаемся
в справедливости следующей теоремы.
Теорема 3.1. Если %п — число инверсий в случай-
ной равновероятной перестановке η элементов, то при
п-+оо случайная величина
п.=&.-л*и(ад~,/'
распределена асимптотически нормально, с параметра-
ми (0, 1).
2. Возрастания в случайной перестановке. Элемен-
ты о,- и flj+ι в перестановке (аь а2, ..., ап) чисел
1, 2, ..., η образуют возрастание, если а$<а}+\. Пола-
гаем, что элементу αϊ предшествует возрастание. Чис-
ло перестановок из η элементов с k возрастаниями
обозначим через Ank- Эти числа, называемые обычно
числами Эйлера, удовлетворяют рекуррентному соот-
ношению
Ank={n— k-\-\)An-x^ + kAn-Lk. Л
Используя это соотношение и начальные условия
Лп1=Лпп=1, можно получить явное выражение для
чисел Эйлера:
An*=2(~l)j(n + l)(k-~j)n, Λ=1, 2,..., п. (3.2)

44 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [Гл I
Пусть теперь ηη— число возрастаний в случайно и
равновероятно выбранной перестановке из η элемен-
тов. Распределение случайной величины ηη очевидным
образом находится из формулы (3.2):
пХ /То \ * I
А=1, 2,..., п. (3.3)
Из формулы (1.29) следует, что если случайные вели-
чины |ь ξ2, — ι In независимы и имеют равномерные
распределения на интервале (0,1), то функция распре-
деления их суммы имеет вид
[χ]
-^-^О-л··(3·4»
где [а:] —целая часть от х. Из формул (3.3) и (3.4)
следует, что
[P{\=k)=Fn(k)-Fn{k-l)9 й=1, 2,..., /г,
т. е. для всех значений χ = 1, 2, ..., η случайная величи-
на г\п имеет функцию распределения Fn(x).
η
Для отыскания предельного распределения 2 ξ/
применим теорему 2.2. Заметим, что Λίξ^=1/2, Ζ>ξ£ =
= 1/12, ί=1, 2, ..., η, и, следовательно, Βη = Υnj\2.
Таким образом, случайная величина
(ί-*)/ι/ΐ
при п~+оо распределена асимптотически нормально
с параметрами (0,1).
η
Из совпадения функций распределения х\п и 2 ξι
в точках 1, 2, ..., η следует известная теорема.

. οι РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ 45
Теорема 3.2. При я->оо случайная величина
("«-т)//1
имеет в пределе нормальное распределение с парамет-
рами (0,1).
Доказательство этой теоремы указанным выше
способом предложено Танни в процессе, отыскания ве-
роятностной интерпретации чисел Эйлера. Им же
установлен вариант локальной предельной теоремы,
а именно: если xn=xVnjl2-{-n/2, то
Иш ,/Z^ii«L = _J_e-,V,. (3.5)
n^V 12 л! у^
3. Предельная теорема. Пусть {an(k)}—последо-
вательность неотрицательных чисел и
сю
/(*, «0= Σ an{k)znwk (3.6)
n,k=0
— соответствующая ей двойная производящая функ-
ция. Рассмотрим случайную величину ξη, имеющую
вероятностное распределение ;
Pn{k)= *«{к) , А=0, 1,..., (3.7)
Σ мл
где предполагаем, что сумма, стоящая в знаменателе,
определена. Докажем следующую теорему, принадле-
жащую А. Бендеру [36].
Теорема 3.3. Пусть для функции f(zy w) суще-
ствуют непрерывная и не обращающаяся в нуль в
окрестности точки s=0 функция A(s)f функция r(s)
с ограниченной в окрестности нуля третьей производ-
ной, неотрицательное число m и числа ε>0, δ>0 такие,
что функция
(l £_)7(*. *s) di£L~ (3.8)
\ r(s)j J l ; l-Wr(s) K '

46 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [Гл. 1
аналитична и ограничена для |s|<e, \z\ <|r(0) | +6.
Пусть далее
,гЧ0)_ а2=^_11В.Фо. (3.9)
г(0) Г г(0) ^ V '.
При п-+оо случайная величина ξ„=(ξΛ — щ)1 (°Vn)
распределена асимптотически нормально с параметра-
ми (0, 1), г. е.
г*:
1ίηιΡ(ξ;<χ)=—L_ [e-t%l*dt. (ЗЛО)
Положим
оо
/(г, i»)=2^(s)««;.
Обозначая сое^яф(^) коэффициент при гп в разло-
жении ψ (г) по степеням ζ и используя интегральную
формулу Коши, при контуре интегрирования |г| =
= |г(0)[ + 26/3, имеем
Ι-ΜΟ-75>Г/(*·'>-
-Т37^г]|<С(|г<0,|+28,зг*·
где С — абсолютная постоянная. Используя эту оцен-
ку, находим
«*4/(*··,-ο4?ν·]Ι<
<с2 ("+ί~')( "'(0) ' +2>/ЗГ*+*|г(5)|-».
Выберем такое s, что
)r(s)-r(0)]<S/3.

§3]
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
47
Тогда
^ |r(s)|n Ι η } &\ ~*~\r(s)\)
—я+fe
Так как сумма ограничена при малых s, то отсюда
следует, что при п-+оо
причем оценка равномерна для 5 из некоторой окре-
стности нуля.
Пусть ξη —случайная величина, имеющая вероят-
ностное распределение (3.7) и ηη = (ξη—μη)οί~ , μη =
= ημ, ап2 — по2. Заметим, что характеристическая функ-
ция случайной величины ηη имеет вид
Из равенства (3.11) в силу, непрерывности A(s) в
окрестности точки s=0 следует, что
/Β(0-β-"*"··ί-^ν|"(1 + β(1)). (3.12)
где о(1)-И) равномерно для всех ограниченных L Ис-
г is)
пользуя разложение функции p(s)=ln -±-*- в ряд
Тейлора в окрестности точки 5=0, имеем
P(JL)=£lfiL.«__fllia_/£liSLyi^.+e(i). (3.13)
\«J г (О) σ„ Lr(0) U(0) Л 2«*Х * ' * '
Из равенств (3.12) и (3.13) следует, что для всех огра-
ниченных t
Urn/, (*)=*-"'··
Отсюда на основании теоремы Леви — Крамера сле-
дует справедливость теоремы 3.3.

48 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [Гл. I
Достоинством данной теоремы является определен-
ная общность условий для отыскания предельных рас-
пределений в комбинаторных задачах. Недостаток
теоремы состоит в сложности проверки выполнения
условий ее применения. Поэтому в последующих гла-
вах для отыскания предельных распределений в рас-
сматриваемых комбинаторных задачах будут исполь-
зоваться и другие общие приемы. Тем не менее есть
случаи, когда асимптотические распределения получа-
ются непосредственным применением указанной тео-
ремы. Остановимся на одном из них.
4. Числа Моргана. Определяя, как обычно, конеч-
ную разность функции f(x) как Δ/(λ;) =f{x+l)~/(#),
нетрудно установить, что
k
Δν^-^ί-ΐ/Ώ/^+Λ-Λ. (ЗЛ4)
/-о w'
Если Δ*Οη=Δ^η|χ=0, то из равенства (3.14) следует:
Числа Aft0n, &=0, 1, ..., л, называются числами Мор-
гана. Двойная производящая функция для этих чисел
имеет вид
/(ζ, гв/)=2 J А*Ол«Аг«= -
η , η i-Wfez— 1)
Функция f(z, es) имеет простой полюс при z—r(s) =
= In (1 + е~$). Поэтому
если \s\ и \z—r(s)\ ограничены. Отсюда следует вы-
полнение условий теоремы 3.3, причем

Ml
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ - 49
Рассмотрим случайную величину ξη, имеющую вероят-
ностное распределение
Pn(k)= /V . А=0, 1,..., /г,
и положим μΛ=#μ, <4=#σ2. Тогда, согласно теоре-
ме 3.3, случайная величина (ξΛ — μ^)^1 при п—*оо
асимптотически нормальна с параметрами (0,1).
§ 4. Асимптотические формулы
и предельные распределения
1. Асимптотические формулы. Рассмотрим один об-
щий метод получения асимптотических формул и пре-
дельных распределений в комбинаторном анализе.
Этот метод представляет собой некоторую модифика-
цию метода перевала, применяемого при отыскании
асимптотической формулы при я-^оо для функций
Qn{x)> задаваемых производящей функцией
exp{g(x, 0}=2Q.(*)-£.
где#(л;, t) —некоторая функция действительных пере-
менных χ и ί. В данном параграфе мы ограничимся
случаем, когда g(x, t)=xg(t), где g(t)=gm(t) —мно-
гочлен степени т. Из последующих глав будет видно,
что основные черты данного метода сохраняются и для
ряда других функций g(x, t).
Пусть g(t) =gm{t) —многочлен с действительными
неотрицательными коэффициентами:
g(t)=gmV)=>% <*/> атф0, (4.1)
*=0
exp{^(0}==2Q~W"S"· (4'2)
л-0

50 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [Гл. I
Будем предполагать, что при записи многочлена
в виде
*(0=αο+α/ + α/+ ... +a/+aja, (4.3)
где коэффициенты аг> ан, ..., as, ат положительны, чис-
ла г, ft,..., 5, m взаимно просты, т. е.
(г, Л,..., 5, т)=1. (4.4)
Это условие не ограничивает общности рассмотрения,
так как при (г, ή, ..., s, m) = <7>1 заменой у = № мож-
но прийти к производящей функции вида (4.2) с тре-
буемым свойством.
Одним из основных результатов данного параграфа
является теорема, дающая асимптотическую формулу
при я->оо для коэффициентов Qnm(x) производящей
функции вида (4.2).
Теорема 4.1. При фиксированном т и л-^оо
справедлива асимптотическая формула
Qnm(x)=nleX9[Xg(® (1 + 0(1)), (4.5)
Rn Ylnx-tfg (К)
где χ есть оператор x=R , aR—единственное
при /г->оо действительное положительное решение
i/оавнения
7.g(R)=nlx, (4.6)
и о(1)->0 равномерно для всех χ^Ψ, ψ=[\— δ, 1+δ],
0<δ<1.
Рассматривая exp[xg{z)] как функцию комплекс-
ной переменной ζ и применяя интегральную формулу
Коши, можно записать:
Q*W=-^^exp[^(z)]-;gr . (4.7)
Так· как exp[xg(z)] есть целая функция при xef,
то в качестве контура интегрирования С можно вы-
брать окружность произвольного радиуса R. Исполь-
зуя уравнение этой окружности:

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ 51
§ 41
„з формулы (4.7) находим, что
Qnm{x) = Anm{x)Jnm{X)> (4.8)
где
Aim(x)=1^rexp[xg(R)], (4.9)
'«*(*)= jexp/="(/?, B)d9, (4.10)
—π
F{R, 0)=*[ff(/?*'e)-£(/?)]-/*e. (4.11)
Предполагаем, что R=Rnm(x) неограниченно воз-
растает при /г-^оо, x^W. Конкретный характер роста
R установим ниже при асимптотической оценке инте-
грала /=/nm(#)· Для оценки этого интеграла выберем
е = /?(1-4/и)/8 (4.12)
и разобьем / на три интеграла:
/=/,+/„+/,= 1(4 ί + |· (4.13)
—π —ε ε
Оказывается, что интеграл /2 дает основной вклад
при /?-»-оо, а интегралы J\ и /3 малы по сравнению с
/2. Для оценки Ιχ и /3 докажем две леммы.
Лемма 1. Если (г, А,..., т)=\ а для 0<θ<π
cosr6=l, cosA9 = l,..., cosme=l, (4.14)
то 0 = 0.
Действительно, из равенств (4.14) следует, что
τθ = 2απ, Αθ = 26π, ..., т9 = 2ся, где α, ft, ..., с —целые,
а из условия (г, А, ..., т) = 1 вытекает, что не все чис-
ла 2а/г, 26/й, ..., 2е/т целые. Не ограничивая общно-
сти, считаем, что число 2а/г не целое и 2a/r=p/q
(ρ, ί/ —целые (ρ, #) = 1, <7>1). Тогда rQ = rpn/q, Λθ =
— hpnlq, ..., mQ = rtpn/q. Отсюда следует, что г, А,..., т
Делятся на q>\, что противоречит условиям леммы.

52 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [Гл. \
Многочлену g(t) поставим в соответствие тригоно-
метрический полином
S(R, θ) = 2 akRncoskd, (4.15)
который будем называть доминантой g {t).
Заметим, что
Лемма 2. Пусть е = /?(1""4ш)/8 и ε<θ<π. Тогда
при достаточно больших R
S(R, β)<5(/?, ε). (4.16)
Действительно, из леммы 1 в силу условия ak^0}
k= 1, 2, ..., m, следует, что S(/?, θ) принимает наиболь-
шее значение при 0=0. Далее из формулы (4.15) сле-
дует, что
т
S(R, 0)-S(R, e)=2aft/?*(l-cos£s).
ft—1
Из этого равенства получаем оценку
S(R, 0)-S(R, e)=
:im^'[l-LO(/?,''-"')+o(i-)
. (4.17)
С другой стороны, из условия (4.4) и леммы 1 следует,
что для фиксированного θ, ε^θ^π;, существует целое
μ^/τζ такое, что ΰΟδμθ^Ι, αμΦ0. Поэтому
т
S(R, 0)-S(/?, 0)^2^(l-cos^)>AT1/?lx, (4.18)
где Κι — положительная постоянная. Сравнивая оцен-
ки (4.17) и (4.18), убеждаемся в справедливости
леммы.
Оценим сначала интеграл /2.
Лемма 3. Пусть п-+оо и R — единственное дей-
ствительное положительное решение уравнения (4.6).

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ 53
§4]
Тогда имеет место асимптотическая оценка
j°-/U¥(i+°(i)>· (4·ΐ9)
где о(1)-*0 равномерно для всех x^W.
Разложим функцию F(R> θ) в ряд Маклорена. Для
—ε^θ^ε имеем
/г(Я, 9)=ΙΗ&Μ-η) + χΣ0,{Ι*){ηγΐβ, (4.20)
где
Cy(/?)=x^(/?)=S ^α***, У = 1, 2,... (4.21)
Из условия (4.6) следует, что C\{R)—n/x и, следова-
тельно, при каждом x^W и п-+оо R является единст-
венным положительным решением уравнения
m
2te»**Hr (4·22)
и может быть найдено итерацией, начиная со значения
(п \i/m
. Равенство (4.20) можно записать
xmamj
в следующем виде:
F(R, θ)= -xC2{R)£ + <b{R9 θ), (4.23)
где
Φ (Я, 0)=х Σ Cj(R)(M)!lJ\ (4.24)
;~з
Используя равенства (4.12), (4.21) и (4.24), нетрудно
убедиться, что
Φ (/?, в) = о(1), (4.25)
где о(1)-Н) равномерно для всех хеУ.
В интеграле /2 сделаем замену переменной, по-
ложив

54 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [Гл. 1
С учетом равенств (4.24) и (4.25) получаем
Λ=ΐ/—2— ί*-*ν*φ(ΐ+*(ΐ)), (4.26)
где Ях/?78<γ <Я2/?/в, Ни И2 — положительные по-
стоянные и о(1)—> 0 равномерно для xeeW.
Используя известную формулу
f е-**ау=УтГ,
«—во
из равенства (4.26) находим
А=/^шХ1+"т}· (4-27)
где о(1)-И) равномерно для x^W.
Оценим теперь интегралы J\ и /3.
Лемма 4. #рг/ п-^оо справедлива асимптотиче-
ская оценка
|/, | =о{\\ /=1, 3,
где о(1) г/жевт экспоненциальный характер и о(1)-й)
равномерно для всех x^W.
Из равенств (4.10), (4.11) и (4.13) вытекает, что
| Jt | < |ехр{л:[5(/?, θ)-5(/?, 0)]}</θ, /=1/3.
Далее, применяя оценку (4.17) и лемму 2, получаем,
что
\А\ =0{e~ciRl% /=1, 3,
где Ci — положительная постоянная, не зависящая от
х. Этим завершается доказательство леммы.
Справедливость теоремы 4.1 теперь следует из ра-
венства (4.8), (4.9) и лемм 3 и 4.
Следствие [87]. Пусть g(t)—многочлен вида
(4.2), и пусть выполнены условия (4.3) и (4.4), причем
expte(0]=2Q«-»-£· (4·28)
. ;£о п|

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ 55
§4]
Тогда при п-*°о имеет место асимптотическая формула
Qnm= n{e;»[g(r)](i+om (4.29)
rnV2ny?g(r)
где r — единственное при п-+оо действительное поло-
жительное решение уравнения .
7&{г)=Сг(г) = п. (4.30
Следствие получается из теоремы 4.1 при х=1.
1.'Пусть т==1 и g(t)=t. В этом случае Qni = l,
я = 0, 1, ..., уравнение (4.22) принимает вид: г=л,
а Cj{r)=r = ny />1. Поэтому из равенства (4.29) полу-
чаем формулу
п\=\ 2πΛ"+,/.β-»(1 + ο(1)), (4.31)
представляющую собой известную формулу Стирлинга.
2. Пусть d — натуральное число, Sn — симметриче-
ская группа степени η и е — единичная подстановка,
e^Sn- Решение seSn уравнения
sd=e (4.32)
является подстановкой, длины циклов которой явля-
ются делителями числа d. Если And — число решений
уравнения (4.32), то известно [65], что
оо
2 Az/7"!=exp Σ tklk.
В частности, если d=p> где ρ — простое число, то
оо
Σ AnJn/n\=exp (/+tpjp). (4.33)
я=0
В данном случае g(t)=t+ti>lp, x2g(r)=r+prv и урав-
нение (4.30) имеет вид
гр-\-г=п. (4.34)
Из формулы (4.29) имеем
A nle,Hr + rP!P)
гп [2л (г+ prp)] ''»

56 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [Гл. I
Используя уравнение (4.34), получаем
^д«,ехр(-^-_^)(1 + о(1)).
{г+ргР)х,'={пр)ч'{\ + <Ц\)).
Применяя эти формулы и разлагая п\ по формуле
Стирлинга, из равенства (4.35) получаем
..,=-^(tf-""e*p(,+^),.+,,a,>.
V'p
При /7=2 имеем r-f--^——УН— lU-\-o{\\ поэтому
4л
А„о —
Г2
\Л/2
ЛП2
VI
Щ-) exp(|/«-V4) (1 + о(1)). (4.36)
Для /?>2 получаем г-\ =п^р-\- о(1), поэтому
2я/?
Λ* =4= (—)Λί1""1/Ρ)ехрМ'Нl + o(l)). (4.37)
В заключение отметим, что условие ад^0£«1,
2, ..., т, для коэффициентов многочлена.g(t) нельзя
ослабить. Причина состоит в том, что доминанта
S(R, θ) для g(t) при ak^0 имеет наибольший макси-
мум при 9 = 0. Если же отбросить условие а&^0, k= 1,
2, ..., т, то наибольший максимум может достигаться
при некотором другом Θ, зависящем от /?, причем это
θ может быть не единственным.
2. Предельные распределения. Рассмотрим после-
довательность целочисленных случайных величин {ξη}
таких, что ξη, /ι=1, 2, ..., имеет производящую функ-
цию моментов и при л->оо производящая функция |„
имеет асимптотическое представление
Л(л)=Л^(1 + о(1)), (4.38)
где йп(х) обладает первыми тремя непрерывными про-
изводными в некоторой окрестности №=[1— δ, 1+6],

§41
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ 57
δ>0> iVn}—числовая последовательность и о(1)->-0
равномерно для всех x&W. Заметим, что hn(1)-*0 при
^оо. Обозначая штрихами дифференцирование по
х, сформулируем следующую теорему.
Теорема 4.2. Если производящая функция fn (χ)
случайной величины |п при л->оо удовлетворяет ра-
венству (4.38) и
h"iX) О (4.39)
равномерно для всех x^W, то случайная величина
ГГ&,-»«-*; О)
Ь.=
V *; (!)+*;(!)
β пределе имеет нормальное распределение с парамет-
рами (0,1).
В окрестности № точки #=1 разложим hn{x) по
формуле Тейлора:
^)=M1)+^(1)(.*-1) +
+ ^(1)^^ + ^(1 + 6(^1))·!^ (4.40)
0<в<1.
Полагая σ2=/ιή (1) + &л (1), сделаем замену перемен-
ной г на ί с помощью равенства x=et!<s. Окрестность
W отобразится в некоторую окрестность №'=[—δ', δ'],
δ'>0 точки ί=0. В этой окрестцости имеем
Ля(^/-) = А;(1)//а + [л;(1)+ЛЛ1)1<а/2а«+о(1).
Для производящей функции моментов случайной ве-
личины in
<?a(t)=e-^+hn<1))t/yn(e'") (4.41)
имеем
φ^)-ехр {-//„( 1) */σ + Λ„ (е</«)} (1 + о (1)).

58 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [Гл. 1
Отсюда следует, что для любого t^W
цт?яу) = е'Ч2. ^ (4.42)
Теперь справедливость теоремы следует из теоремы
Куртисса.
Если, например, случайная величина ξη равна чис-
лу успехов при η независимых испытаниях с вероят-
ностью успеха ρ и неуспеха q, p + q=l, то ее произво-
дящая функция есть fn(x) = (px+q)n. В данном случае
ε>η = 0, hn(x)=nln(px + q), hn (1) =/г/7, hn {l)+h'n (1)=··
in 9/2 Л^
= npq, hn{x)= — · и условие (4.39) выпол-
(px + ?)3
нено. Отсюда следует хорошо известный факт, что
случайная величина (ξ„ —пр)1Уnpq асимптотически
нормальна с параметрами (0,1).
Рассмотрим случайную величину ξη, имеющую в
качестве производящей функцию
/«.W = Q«W/Q«(1). я=0,1,..., (4.43)
причем Qnm(x) определяется из равенства (4.1), а мно-
гочлен g(t) степени т удовлетворяет условиям (4.3)
и (4.4). Обозначим через а3 следующий по старшинст-
ву после ат отличный от нуля коэффициент многочле-
на g(t). Положим
ί/(/?) = Σ***\ s>l, (4.44)
fc=0
Uj(R)=X*U{R), / = 1,2,...; X=RJL,(4A5)
где R — единственное при п-+оо положительное дей-
ствительное решение уравнения (4.6).
Введем следующие обозначения:
Mn=U(r)—^-U1(r) +
o2n=U(r)-^-U1(r) + -1-U2(r), (4.47)

§4]
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
59
где Cj(r), / = 1, 2, ..., определяются из формулы (4.21),
а г — единственный при п-^оо действительный положи-
тельный корень уравнения (4.30).
Докажем теперь теорему, схема доказательства ко-
торой будет часто использоваться при получении пре-
дельных теорем в последующем изложении.
Теорема 4.3. Если ξΛ — случайная, величина
с производящей функцией fmn(x) вида (4.43), соответ-
ствующей многочлену g(t), у которого следующий по
старшинству после ат отличный от нуля коэффициент
есть as, и s^l, то при п-^оо случайная величина £д =
= (In—n/m—Мп)/ап распределена асимптотически
нормально с параметрами (0,1).
Из теоремы 4.1 следует, что
fnm(*)=exp \xg{R)-g{r) + nIn -~ +
где о(1)-Я) равномерно для всех хеИ7, Используя
равенства (4.44) и (4.45), находим, что
fnmix)=&yh*x4l + o(i)), (4.49)
где о(1)->0 равномерно для всех x^W,
Учитывая равенство (4.49), для доказательства
теоремы применим теорему 4.2 при vn=n/m. Из ра-
венства (4.50) следует, что при п-^оо
^ΐ^,-Ι/ΐ-Μ^), (4.51)
2 I С|(г) )

60 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ [Гл. 1
И
^(1) + А;(1)-аГ^/(г)-^(1+С|(г;С'(г)у/1(г)+
[ С2(г) у с22(г) )
Отсюда находим следующие оценки:
л;(1) = Ж„+о(1), (4.53)
hn(l)+h„(l)=3l(l-\-o(l)), (4.54)
причем
M„="V (l_-*Лв|Г*(1 + 0(1)), (4.55)
£Й v m;
4=У (l—ί-)f<v*(l + o(l)). (4.56)
от
Выписывая выражение для hn {x)> можно убедить-
ся в равномерной ограниченности величины hn (x)lrs
для всех x^W. Отсюда с учетом формул (4.53) —
(4.56) следует, что условие (4.39) теоремы 4.2 выпол-
нено. Этим теорема 4.3 доказана.
При небольших значениях т можно, используя
формулу (4.48), находить асимптотическое представ-
ление fnm{x) с явной зависимостью только от х. На-
пример, при m = 3, g(t) =f3 + i+l, имеем
СДЯ^З/Р+Я, С2(/?)=9/?» + /?.
Уравнение (4.6) принимает вид
3/?+/?=*/.*.
Отсюда итерацией находим
+*(v)"'+.0(i)]-(^)

§ 4]
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
61
Используя это представление, можно получить, что
при п-ж>
xg{R)-g{r) = \{±>jh{*l*-\)+{.x-\) + o{\)t
С,(г)/0*С2(/?))=1 + о(1),
где о(1)-»-0 равномерно для всех x^W и г —действи-
тельный положительный корень уравнения
Зг»+г=л.
Из формулы (4.48) следует, что
/e3W=^/3exp[(f),/*(^/'-l)+(^~l)](l + o(l)),
(4.58)
где о(1)-Я) равномерно для всех x^W.
Теперь нормальность соответствующей случайной
величины In доказывается путем применения теоре-
мы 4.2.
Отметим, что в данном случае
. ^=|(f)"44-»(D.
'4τΠτ)'"(1+'(1»·
В общем случае прием доказательства с выписы-
ванием явного асимптотического выражения fnm(x)
вида (4.58) при произвольном т с явной зависимостью
только от χ затруднителен, так как требует отыскания
асимптотического разложения для R вида (4.57) с
большим числом членов.
В заключение рассмотрим случай, когда 5=0.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 4.4. Если
g(t)=amtm + a0, яш>0, а0>0,

62 НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (Гл. 1
то случайная величина Inm^lnm—п/т имеет распреде
ление Пуассжа с параметром λ=α0. При ао=0 рас-
пределение Inm является вырожденным.
Действительно, в рассматриваемом случае
nl {amx)n1mea°\ m\n
QnmixY-
(n/m)\
О в противном случае
Отсюда следует, что производящая функция lnm имеет
вид
Производящая функция lim=lnm—n/m есть еа°(х~1\
т. е. представляет собой производящую функцию рас-
пределения Пуассона с параметром λ = αο· Если ао = 0,
то Р{1пт = п1ш) = 1 прит|я.

ГЛАВА If
КОМБИНАТОРНЫЕ СВОЙСТВА
СЛУЧАЙНЫХ НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ МАТРИЦ
Введение
В последние годы в литературе заметное место ста-
ло уделяться изучению разнообразных комбинаторных
свойств неотрицательных матриц. Обычно рассматри-
ваются характеристики некоторых классов матриц,
что, естественно, создает предпосылки для рассмотре-
ния соответствующих вероятностных задач. Основную
ценность при этом представляют разнообразные асимп-
тотические результаты, касающиеся изучаемых харак-
теристик, при условии, что размеры матриц неограни-
ченно увеличиваются. Основные результаты из этой об-
ласти приведены в данной главе.
Дадим краткую сводку понятий и фактов, кото-
рые будут использоваться на протяжении этой главы.
Совокупность подмножеств множества X будем обоз-
начать 2х. Система элементов (хи Хъ ..., хп) называ-
ется трансверсалью семейства подмножеств X\t
Х2у ..., Хп^2х, если Xi^Xi и х%фх^ ιφ\, l^i, j^n.
Для существования трансверсали семейства Хь ..., Хп
необходимо и достаточно выполнение неравенств
I^U*/,U...U*/J>£ (ОЛ)
для 1<£<я, l</!</2<---<^<^ где \У\
означает число элементов в множестве У. Условия (0.1)
обычно называют условиями Ф. Холла.
Матрица Л = ||а^||, ί=1, 2, ..., η, /=1, 2, ..., m, на-
зывается матрицей инцидентности подмножеств Χλ9
Х2> ..., Хп множества Х= {хи Х2> ... > Хт}> если
ί 1, Х;(=Хц
а"-(0, Xj&Xt.

64 КОМБИНАТОРНЫЕ СВОЙСТВА СЛУЧАЙНЫХ МАТРИЦ [Гл. II
Число трансверсалей семейства Х\у Хг, - > Хп равно
перманенту матрицы Л, определяемому равенством
(при п^т)
per А = 2 a>\hati* · · · a*V
]i,.--Jn
где суммирование ведется по всевозможным размеще-
ниям объема η из чисел 1, ..., т. Если А состоит из не-
отрицательных элементов, то необходимым и достаточ-
ным условием равенства регЛ = 0 является наличие
в А нулевой подматрицы размера rXs такой, что
r+s = m+l. Это утверждение известно в комбинатор-
ном анализе под названием теоремы Кёнига — Фробе-
ниуса. Для дважды стохастической матрицы Л = Ца^[|
η п.
if /=1, 2, ..., п, a{j>0, 2я/у = 2я/;=1, справед-
ливы неравенства
0<регЛ<1,
где верхняя граница достигается для случая, когда
матрица подстановочная, т. е. 0,1 -матрица, содержа-
щая в каждой строке и в каждом столбце одну и толь-
ко одну единицу.. Такие единицы называются неколли-
неарными.
Пусть Ωη — множество дважды стохастических мат-
риц порядка п. Известна следующая гипотеза ван дер
Вардена:
регЛ>я!//гл, Ае2я,
причем равенство достигается тогда и только тогда,
когда Л = ||1/п||. Справедливость этой гипотезы уста-
новлена только для некоторых начальных значений.п.
Гипотезу удалось подтвердить также при некоторых
дополнительных условиях, налагаемых на матрицу
Л [6]. . . '
Теорема 0.1. Пусть А — симметричная положи-
тельно полуопредленная матрица и Α^Ωη- Тогда
per Л>/г!/я",
причем равенство достигается тогда и только тогда,
когда Л = И 1/лг|1.

ВВЕДЕНИЕ
65
Для произвольной матрицы Α^Ωη справедливо бо-
лее слабое, чем гипотеза ван дер Вардена, утвержде-
ние [6].
Теорема 0.2. Для матрицы Α^Ωη существует
подстановка s степени ή такая, что
i-i П
На симметрической группе Sn подстановок степени
η определим метрику р, полагая
P(s, s')= I {i:s(i)jbs'(i); s, s'eeS„ !</</*} I .
Нетрудно проверить, что р удовлетворяет всем требо-
ваниям, предъявляемым к функции, задающей метри-
ку. Если p(is, s')=k, O^A^/z, то говорят, что подста-
новки s к s' противоречивы на k элементах. При
p(Sj s')=n s и s' называются противоречивыми.
Каждой подстановке s степени η можно поставить
во взаимно однозначное соответствие подстановоч-
ную матрицу Π порядка /г. Подстановочные матрицы
Π и ΙΓ, соответствующие противоречивым подстанов-
кам s и s'f не имеют единиц одновременно в одних
и тех же положениях.
Пусть su S2, ..., sh — подстановки степени /г, а Пь
Щ, ..., Π* — соответствующие им подстановочные мат-
рицы. Подстановка s противоречива с совокупностью
подстановок su $2> ..., Sft, если она противоречива с
каждой из них. Обозначим через Nn (s\, ...> Sk) число
подстановок степени /г, противоречивых с Su s2, ..., Sk.
Положим ΠΓ=||π$||, 1<ΧΛ и рассмотрим 0,1-
матрицу AHIflijII, ί, /=1, ..., я, для которой
ί 0, если η\γ = 1 хотя бы при одном г,^1 <><;&,
/;* I 1 в противном случае.
Справедлива следующая формула:
ЛГЯ(*.··-. 5й)=регЛ,
которая лежит в основе использования перманентов
как инструмента в решении перечислительных задач,
касающихся противоречивых подстановок [17, 29].
ЗВ. Н. Сачков

66 КОМБИНАТОРНЫЕ СВОЙСТВА СЛУЧАЙНЫХ МАТРИЦ [Гл. II
§ 1. Неотрицательные целочисленные матрицы
Рассмотрим класс матриц размера пХт с целыми
неотрицательными элементами, сумма которых равна
ДО. Число таких матриц совпадает с числом размещений
ДО одинаковых предметов в пт ячейках и, следователь-
/ пт-\- 1 \ тт
но, равно I · На рассматриваемом клас-
се матриц зададим равномерное вероятностное рас-
пределение и обозначим через ξ (ДО; я, т) случайную
величину, равную числу нулевых линий (строк и столб-
цов) в случайно выбранной матрице.
Занумеруем некоторым образом линии (строки или
столбцы) матрицы и рассмотрим совокупность собы-
тий Еи E2i ..., Еп+т, где Ej — событие, состоящее в том,
что /-я линия случайно выбранной матрицы — нулевая.
Используя известное выражение для β-го биномиаль-
ного момента ξ (ДО; я, т):
Bk(N; и, т)= 2 Я(ВДь...^),
Kji<...<jk<n+m
где Ρ (Е^Е}^ . .£jft)~ вероятность одновременного на-
ступления событий Е]19 Е]ш9..., Е]9 нетрудно убе-
диться в справедливости следующей формулы:
Bk{N; n, m) —
/л/и + ДО—1\-1 *Ь (п\( т \ i(n-i)(m-k+i)+N-\\
~1 N ) Z(i)\k-i)( N У
(1.1)
k—0, 1,..., п-\-,т.
Теперь, применяя формулы метода включения — ис-
ключения, получаем выражение для точного распреде-
ления ξ (ДО; п, т)
п+т .
Ρ(%{Ν; η, m)=r)=^(-\f-rr\Bk(N; n, m).
Теорема 1.1. Пусть п=апг, 0<α^1, и при m~+oo
Ν
существует предел lnm—>γ. Тогда случайная
m

§ ι] НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ МАТРИЦЫ 67
величина 1(Ν; л, πι) в пределе имеет распределение
Пуассона с параметром λ, г. е.
WmP{%{N\ /г, m)=r)=~*-\ r=0, 1,...,
от-**» /*!
где λ=2£~τ #/;# а=1 и l=e~t при 0<а<1.
Действительно, используя оценку
/(л - i)(m -k + /) + Ν— Л(пт + ΛΓ - ^"^
=exp{-^(i+i^)+o(l)},
из формулы (1.1) можно получить следующее асимп-
тотическое представление &-го биномиального момен-
та l(N; ny т):
Bk (N; ~п, т) = — (е1п>-*'т+е1п *-"/*)*{ 1 + о (1)).
Отсюда следует, что
Bk(N; n, m)=-L^-T+^lj*(l + «(l)).!(1.2)
При любом k предел последнего выражения равен
(1/£!)(2е-*)* при а = 1 и (1/Λ!)*-* при 0<а<1.
Отсюда следует справедливость теоремы.
Рассмотрим теперь двумерную случайную величи-
НУ (Ль Лг), где ηι — число нулевых строк, а η2 —число
нулевых столбцов в случайно выбранной матрице из
рассматриваемого класса. Имеем
Ρ(η1 = μ, η2=ν) =
ХЯ(5(ЛГ; /г-μ, m-v)=0). (1.3)
3*

68 КОМБИНАТОРНЫЕ СВОЙСТВА СЛУЧАЙНЫХ МАТРИЦ [Гл. II
Следствие. Если выполнены условия теоремы
1.1, то при а=1 случайная величина (ηι, Лг) имеет
в пределе двумерное распределение Пуассона с неза-
висимыми компонентами и с параметрами (e~v, e~v),
а именно'.
ΗπιΡ^-μ, η2 = ν)= бг-2'-т, μ, ν = 0, Ι,Λ .
/я-οο μ! V!
Яри 0<а<1 распределение первой компоненты асимп-
тотически вырожденно, а вторая компонента в преде-
ле распределена по закону Пуассона с параметром e~v.
Доказательство следствия вытекает непосредствен-
но из асимптотического анализа формулы (1.3) с ис-
пользованием теоремы 1.1.
Ниже мы рассмотрим несколько задач, которые
в общем виде можно охарактеризовать следующим
образом. В классе матриц размера пХт с неотрица-
тельными элементами выделен подкласс матриц,
удовлетворяющих некоторому комплексу свойств Λ,
причем каждое из этих свойств сохраняется при вы*
черкивании в матрице нулевой линии. Обозначим че-
рез Л (я, /п; Λ) число матриц в данном подклассе,
а через Аг(п, т\ Λ) —число матриц с г нулевыми ли-
ниями. С помощью формул метода включения — ис-
ключения получаем
Λ, (я, т; А)= j (-lf~'r)Sk(n, ж; А), (1.4)
где
k
Sk(n, m; A)=2(^)( * ΛΛίΛ-Λ/η-Α+ί; A). (1.5)
Теперь, если на рассматриваемом подклассе мат-
риц задано равномерное вероятностное распределение
и inm(A) —число нулевых линий в случайно выбран-
ной матрице, то Р(|пт(Л) =/·) =Лг(л, т; Л)/Л(л,
т\ Л) и Bk(n, m\ Л) =5ft(/i, m; Л)/А(п, т\ Л) являют-
ся биномиальными моментами £Пт(Л). В частности,
рассмотрим класс матриц размера лХт, элементы ко-

§ 1] НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ МАТРИЦЫ 69
торых могут независимо принимать значения 0, 1, ...,
5—1. Если ξ<δ>(η, τη) —число нулевых линий в случай-
но и равновероятно выбранной матрице из рассматри-
ваемого класса, то из формул (1.4) и (1.5) следует,
что
п+т
P(^>(/t,m)=r)=2(-l)*-'(JЫ>\п, т\ (1.6)
где
А=0, 1,..., (1.7)
являются биномиальными моментами %{s) (л, m).
Теорема 1.2. Пусть s>l, λ>0, m = Xsn. Тогда
при п-+оо случайная величина £(s) (/г, т) имеет в
пределе распределение Пуассона с параметром λ.
В самом деле, в формуле (!.7) при выполнении ус-
ловий теоремы 1.2 единственным не стремящимся
к нулю слагаемым будет слагаемое при i=0, которое
в пределе имеет вид Λ*/Λ1.
В классе матриц размера nXm, элементы которых
принимают значения 0, 1, ..., s— 1, рассмотрим под-
класс матриц без нулевых строк. Общее число таких
матриц равно (sm—1)п. Число таких матриц с г нуле-
выми столбцами равно
cf£L (г)-2 (- if-r (*) (;) (*-* -1)".
Отсюда при г=0 следует формула для числа матриц
без нулевых линий
c%=2(-vk(mk)(sm-k-vn-
Из последней формулы в силу равноправности пит
следует, что
Г1
(S)
=2>t-lf(l)(*^-1)"' №

70 КОМБИНАТОРНЫЕ СВОЙСТВА СЛУЧАЙНЫХ МАТРИЦ [Гл. II
Пусть η(ί) (я, т) — число нулевых столбцов в слу-
чайной равновероятной матрице рассматриваемого
вида; тогда
Ρ(ψ)(η, т)=г)=2(-1)*"Г(3^(^ т' *)> (Щ
где
являются биномиальными моментами η<β>(/ι, m). Фор-
мулу (1.9) можно привести к следующему виду:
я,№)=НП|(-1)ГГ)(6^)*
(1.11)
Из формулы (1.11) следует, что при п^.т и т-+оо
имеет место асимптотическая формула
Р{ФЦп9 /η)=Γ)=Ρ(ήΙ*)(Λ> m)=r)(l + o(l)), (1.12)
где η<5) (λ, т) — случайная величина, имеющая би-
номиальное распределение, т — число испытаний, а
l/sn— вероятность успеха при каждом испытании. Из
известных асимптотических свойств биномиального
распределения и формулы (1.12) вытекает следующая
теорема.
Теорема 1.3. Пусть п^т и п->оо. Тогда:
а) если m/sn->oo, to случайная величина
(η«(/ι, m)—M)<r\ где М^т/s», <fl=^fl--L\
имеет в пределе нормальное распределение с парамет-
рами (0,1);
б) если m/sn->X>0, то т)(*>(я, ш) в пределе имеет
распределение Пуассона с параметром λ;
в) если m/sn-*0, то распределение η<*>(η, т) асимп-
тотически вырождено.
В заключение рассмотрим класс 0,1-матриц раз*
мера пхт с числом единиц» равным N. Если 1пт{Ю —

§ 2] ПЕРМАНЕНТЫ СЛУЧАЙНЫХ 0,1-МАТРИЦ ?1
число нулевых линий в случайно и равновероятно вы-
бранной матрице из данного класса, то
п+т
^tUW^'-hJt-lf-'f^, m; N),
где
Bk(n, m; N)= .
=(;T|(:)(.-jr"i,:ri+,))· <1лз'
Теорема 1.4. Пусть /г=ат, 0<а^1, и при т-+оо
N
существует предел lnm—*γ. Тогда случайная
m
величина |Пт(Л0 в пределе имеет распределение Пуас-
сона с параметром λ, где при а=1 X = 2e~v, а при
0<а<1 λ=έ?-ν.
Доказательство теоремы проводится путем асимп-
тотической оценки биномиальных моментов lnm(N),
и аналогично доказательству теоремы 1.1.
§ 2. Перманенты случайных 0,1 -матриц
Будем рассматривать множество %пт 0,1-матриц
Λ=IIД/уII· . /=1,2,..., я, у = 1, 2,..., /и, л</и.
Обозначим через Slim множество матриц A^Strtm,
имеющих либо нулевую строку, либо не менее
/и—/г+1 нулевых столбцов, %°Пт — множество матриц
А^%пт без нулевых строк, St^ —множество матриц
ЛеВлт без нулевых строк и столбцов,%nm{jx, у2,···
..., /δ) — множество матриц Л е $лт без нулевых
строк, с нулевыми столбцами, имеющими номера
Ju У*·-·, У*. l<h<J2---<J*<m> 1<£<т— д.
Положим
^пт:== I ^лт I » ^/Л1и== I ^л« I >
СциЛУь У*··-, У*)= I «я«(У1. У*···. У*)1 ,
ЛГ„Ш= | {Л:регЛ=0, Ле^Ц, Р^=2яш~Слт,
где per Л — перманент матрицы Л.

72 КОМБИНАТОРНЫЕ СВОЙСТВА СЛУЧАЙНЫХ МАТРИЦ [Гл. 11
Из очевидных соображений следуют равенства:
т—п .
^+2(Г)с«"»-й==2"т· (2Л)
fc=0
На множестве Sinm зададим равномерное вероятно-
стное распределение и рассмотрим случайные собы-
тия:
#!«= И £«««}, £Я1И={регА = 0> Ае31лш}.
Легко видеть, что
P{EnJH\m)=\. (2.2)
С другой стороны, нетрудно показать, что
Р(Н\т1Епт)=—±—, (2.3)
ι -г w пт
где fl^=lO*l« и
т—п
^»=2(")tf*~* (2·4)
rffi-2""-J (")£..--* (2-5)
Теорема 2.1. £сли т^п, то
HmP(^i„,/£lJ=l. (2-6)
Обозначая, как обычно, через Я событие, противо-
положное событию Н} имеем
Р[Нпт1Епт)= 1 . (2.7)
^ \спт)
Введем в рассмотрение событие Brs, состоящее
в том, что случайная матрица ЛеЗ(пт содержит нуле-
вую подматрицу размера rXs. По теореме Кёнига —
Фробениуса осуществление события Н\т[\Епт оз-
начает, что в матрице Ле# тп найдется нулевая под-

§ 2] ПЕРМАНЕНТЫ СЛУЧАЙНЫХ 0,1-МАТРИЦ 73
матрица размера rXs такая, что r + s — m+X, 2^rsg:
^.п—1. Таким образом, имеет место включение со-
бытий
г-2 г,т—г+1.
Применяя очевидную оценку
получаем
^(^«n^)<2(*)(r*1)-?i=W· (2·8)
Отсюда следует, что
Ρ (Нпт Π Еш) < 22(т-1) +
+^w+(m2;,)/24,-n μ
Если Lnm — событие, состоящее в том, что матрица
А^%пт не имеет нулевых строк, то
Р(Я1ат)<Р(1пт) = (1—^)П. (2.10)
Используя для вычисления P(Lnm) метод включения —
исключения и применяя неравенства Бонферрони,
можно получить оценку
^„J<l-~ + (n2)/22m. (2.11)
Используя неравенства (2.10) и (2.11), находим
P(£-nm)>P(tfL)>^r-(")/22'*. (2.12)
Теперь справедливость теоремы следует из оценок
(2.9) и (2.12) и равенства (2.7).

74 КОМБИНАТОРНЫЕ СВОЙСТВА СЛУЧАЙНЫХ МАТРИЦ [Гл. II
§ 3. Трансверсали случайных множеств
1. Точные формулы и оценки. На совокупности не-
пустых подмножеств, входящих в 2х, \Х\ =ту зададим
равномерное вероятностное распределение и будем
предполагать, что подмножества выбираются из 2х
независимо.
Возникает вопрос, с какой вероятностью множества
Хи Хй> — > Хп> полученные по указанной схеме, обла-
дают трансверсалью. Оказывается, что при n^Zm для
больших т с вероятностью, близкой к единице, неза-
висимо и равновероятно выбранные множества Хи
Х2, ...; Хп имеют трансверсаль.
Этот факт дает уверенность в том, что в большин-
стве случаев отыскание трансверсали системы мно-
жеств при больших т будет успешным. Проверка это-
го обстоятельства до нахождения трансверсали при
значительных пит представляется довольно громозд-
кой, так как условия Ф. Холла содержат 2П—1 нера-
венств, содержащих числа элементов в объединениях
подмножеств множества X.
Используя основные обозначения предыдущего па-
раграфа, рассмотрим событие Я^, состоящее в том,
что случайная равновероятная матрица А^%°пт имеет
ровно / нулевых столбцов. Полагая
**nmz==1 U Η nmi
получаем следующую формулу для вероятности того,
что per Л = 0 для случайной матрицы А^.%°пт:
Pn,n(^rA^O)=P(Hnm)+Yp(H^ П (регЛ=0)).
/-о
(3.1)
В обозначениях предыдущего параграфа можно за-
писать, что
P(//ffi)=(*)-%==t-, ;=Q, 1 т —1, (3,2)
\ J /(2т-1)"

$ 3) ТРАНСВЁРСАЛЙ СЛУЧАЙНЫХ МНОЖЕСТВ 75
V J I (2m _ 1)л
У = 0, 1,..., 1И-1. (3.3)
Используя формулы (3.2) и (3.3), из равенства
(3.1) получаем формулу для вероятности того, что
перманент случайной матрицы Де31л°т положителен:
ЛиЛрег А>0)=—!—- У Г ΚΟν^-Λ^).
(3.4)
При т — п, вводя обозначения
/>„ (per А > 0)=/>„,„ (per A > 0),
из формулы (3.4) получаем
Я„(регЛ>0)= C'-"» . (3.5)
(2"-l)rt
С помощью теоремы Кёнига — Фробениуса можно
получить оценку
*« < Σ ( г )(т -7+1 ) 2"'n-'(m-"H). (3.6)
Используя формулу (1.8) при 5=2 и оценку (3.6),
из равенства (3.4) выводим
Л„ЛрегЛ>0)> ,
>^ь-),|;с)[|(-»'(ту)(^'-'-1)"-
-2тпу(п)( т ) ϊ 1 (3.7)
£2\r)\m-r+lJ 2«m-r+i) J
2. Предельные теоремы. Ниже будет установлено,
что при п^.т для больших т случайно выбранные

76 КОМБИНАТОРНЫЕ СВОЙСТВА СЛУЧАЙНЫХ МАТРИЦ [Гл. II
непустые множества Х\, Х2, ..., Хп^2х, \Х\ —ή, почти
всегда обладают трансверсалью. Если при п^.т име-
ется дополнительное условие, состоящее в том, что
я->оо, то справедлив даже более содержательный ре-
зультат.
Теорема 3.L Если n^Zm и п-*~оо, то с вероятно-
стью, стремящейся к единице, для любого фиксирован-
ного набора различных элементов Xj^ Xj2, .. .yXjnEEX
существует такая подстановка п-й степени s, что
система элементов (s^J, s(xju),..., s(xjn)) явля-
ется трансверсалью для случайно и равновероятно вы-
бранных непустых множеств Х\, X2i ..., Хп^2х-
Пусть Аг — подматрица матрицы Л, являющаяся
матрицей инцидентности множеств Х{, Х2, ..., Хп и
множества X'={xjlt х/2,..., Х]п). Для доказатель-
ства теоремы достаточно показать, что
ИтРл(регД'>0)=1. (3.8)
При т = я из неравенства (3.6) имеем
-ώ_<ν («V » ) 1 . (3.9)
Отсюда получаем
N„l2n'^n^n-l)l22in-l)+ [J^AI 23(""2). (3.10)
Неравенство (3.10) дает возможность для всех я^1
получить оценку
ΛΓ„/2η'<1/2"-5. (3.11)
Принимая во внимание неравенство
(1—ζ)">1 —ι*ζ, 0<г<1,
для натуральных я, из неравенств Бонферрони
(2л -1)" _ а (2п~1 - 1У < Сп < (2я -1 )п
получаем
1-λ/2"~1<^2β,<1. (3.12)

I 3) ТРАНСВЕРСАЛИ СЛУЧАЙНЫХ МН0ЖЁСТЁ 77
Теперь с учетом оценок (3.11) и (3.12), вытекает, что
Рл(регЛ,>0)>1 2- * (3.13)
2й"-1 2п~5
Отсюда следует равенство (3.8) и, следовательно,
справедливость теоремы 3.1.
Следствие 1. Если я-^оо, то с вероятностью,
стремящейся к единице, случайный набор непустых
множеств Хи Хъ ..., ХП^2Х, |Х|=п обладает транс-
версалью.
Следствие 2. При п^.пг и т->оо с вероят-
ностью, стремящейся к единице, случайный набор не-
пустых множеств Хи Хя, ..., Хп^2х> \Х\ = т обладает
трансверсалью.
Следствие 2 вытекает из следствия 1, так как из
наличия трансверсали у набора множеств Хи ..., ХП)
Хп+и ..., Хт следует существование трансверсали
у набора Хи ..., Хп.
3. Асимптотические условия несуществования
трансверсали. Пусть событие Unm состоит в том, что
для любого фиксированного набора различных элемен-
тов х/,,..,, Xj существует подстановка s степени пу
определяющая трансверсаль (s (xjJ, ..., s {xj)) для слу-
чайных непустых множеств Хи..., Хп е 2х, | X \ =
= т!>#. Определим два случайных события yiil) м
У1(п ); Событие 91 ^ состоит в том, что точно один из
элементов xjl9..., Xj не принадлежит ни одному из
множеств -λΓχ,..., Χη. Событие 91 ^2) состоит в том,
что ровно одно из множеств не содержит ни одного
из элементов ^λ>···> χ]η- Справедлива теорема,
описывающая асимптотическую структуру при п—*со
события $Rnm, противоположного событию ЗКл/га. _ *
Теорема 3.2. При я<т, п—>оо событие тпт
асимптотически эквивалентно событию Э1л1) U 91 «2)»
т. е.
НтЯ(^1} U *i2) |»««.)= !·
П-юо

78 КОМБИНАТОРНЫЕ СВОЙСТВА СЛУЧАЙНЫХ МАТРИЦ [Гл. II
Обозначим через %{пт (соотв. 3ί^) множество мат-
риц ЛеЗ(ш, имеющих ровно одну нулевую строку
(столбец^ и положим 8С»=91{ш U 3iS. Наступление
события Wlnm означает, что для матрицы инцидентности
А' множеств Хи...9 Хп и элементов множества Х'=
= {*/,,..., X] } выполнено условие регЛ'=0. Осу-
ществление события 31 п1) U 91л2> эквивалентно тому,
что А' еЗСя- Поэтому для доказательства теоремы
достаточно показать, что
ИтЯ(А'е*«|регЛ'=0)==1. (3.14)
Нетрудно получить следующее выражение для ин-
тересующей нас вероятности:
P(A'EE%*nn\perA'=Q)=
= £(£^а_ . (ЗЛ5)
, Ρ (А* ***'„) +Р(А'&**,!)№ Л'= 0))
Введем обозначения
Ч.пт — I <lnm I > Qn^^Qnn* Qn===Qnn·
В этих обозначениях из формулы (3.15) находим,
Я(Л'еС^регЛ'=0)=-^—. (3.16)
Имеется п(2т— 1)п-1 0,1-матриц размера лХ/n, имею-
щих одну нулевую строку, и т(2п—I)™-1 таких матриц
с одним нулевым столбцом. Так как тп Сп-\,т-\ мат-
риц имеют одну нулевую строку и один нулевой стол-
бец, то
QL=n(2m~iy-i + m(2n-\)"-*-mnCn-lfm-u(3A7)
Так как Cn-i< {2n~x—1)*-1, Сп=Сп,п, то из равенст-
ва (3.17) имеем
Ит — = 1. (3.18)
что

§ 4] ПЕРМАНЕНТЫ С ЗАДАННЫМ ЧИСЛОМ ЕДИНИЦ 79
Из равенства (1.8) при т = п, 5 = 2 имеем формулу
Ся = 2(-1У(п.){2Г'-1Г.
Используя соотношение Cn + Qn = 2n\ можно полу-
чить равенство
Нт Ой =1. (3.19)
п-+«> п2п*~п+1
Наконец, из неравенства (3.11) следует, что
Нт ^ -0. (3.20)
Теперь, с учетом равенств (3.18) —(3.20), из формулы
(3.16) следует справедливость равенства (3.14). Тео-
рема доказана.
§ 4. Перманенты случайных 0,1-матриц
с заданным числом единиц
1. Условия асимптотического совпадения перма-
нента с его средним. Обозначим через 9((я, N) множе-
ство квадратных 0,1-матриц порядка пу имеющих N
единиц (n^N^n2). Зададим на 3t(n, Ν) равномерное
вероятностное распределение, приписав каждой мат-
рице А^.%(tty N) вероятность (п J . Рассмотрим
случайную величину per Л, где А — случайно выбран-
ная матрица из 3(я, N). Найдем среднее и дисперсию
этой случайной величины.
Упорядочим некоторым способом все подстановки
симметрической группы Sn, полагая, что Sn = {s\f
$2, ..♦, sn\}. Рассмотрим случайные величины ξι, |2, ...
..., ξη!, где ξί= 1, если в матрице Α<=Ά(η, Ν) имеется η не-
коллинеарных единиц, образующих подстановочную
матрицу Пг·, соответствующую подстановке S*, и £г=0
в противном случае. Тогда очевидно, что

80 КОМБИНАТОРНЫЕ СВОЙСТВА СЛУЧАЙНЫХ МАТРИЦ [Гл. II
Ясно, что для случайной матрицы А<=Ш(п, N)
регЛ=£1 + £2+...+£«!.
Отсюда получаем формулу для среднего значения пер-
манента:
Λί (регЛ)=*1 (N)J{n\. (4.2)
Аналогичным способом можно вычислить диспер-
сию перманента случайной матрицы Ле$(я, N).
Имеем
14 Kl 3 } /Л2\ (Л2)2„_г '
где г определяется из соотношения
P(sz> *ι)=\\ν\*ι{ν)ψS}iy\ v=l, 2,.../>}|=л — г.
Для фиксированной подстановки si число Лп,г подста-
новок Sj таких, что p(si, Sj)=n—г, выражается фор-
мулой
ft-0
Следовательно, второй момент перманента случайной
матрицы равен
μ(ρζτατ=ςμ^=ΣΣ Σ т&=
i,j i~lr=Q):p(srSj)~n-r
Окончательное выражение для дисперсии перма-
нента случайной матрицы Ле51(я, N) имеет вид
£>(реМ)=(л!)2
h <л2)2»
-г 1 у(-П* (*>' 1
- " Й *! ml J
(4.4)

§ 4] ПЕРМАНЕНТЫ С ЗАДАННЫМ ЧИСЛОМ ЕДИНИЦ 81
Изучим теперь асимптотическое поведение при
п-+оо среднего и дисперсии перманента случайной
0,1-матрицы Ле31(/г, N), когда число единиц в этой
матрице превосходит я2/3+е, где ε>0. Простыми асимп-
тотическими оценками можно доказать следующую
лемму.
Лемма 1. Если т->оо и 9 = о(т2/3), то
Π(-λ-*4-^Κ·+<>£))·
Лемма 2. Если Ν>η2^+ε, ε>0, то при п-^оо име-
ет место следующая асимптотическая формула для
среднего значения перманента случайной матрицы
Aez9l{n,N):
(4.5)
Применяя лемму 1 при θ = η, m—N и m = n2, полу-
чаем
(„,,=;Λχρ(-»-<|^}(1+0(-£)), (4.6,
(«>)„=Λχρ( —JL)(l+o(-L)). (4.7)
Разделив левые и правые части последних равенств
одно на другое и используя формулу (4.2), убеждаемся
в справедливости леммы 2.
Лемма 3. Если Ν>η3/2+ε, ε>0, то при п-+оо для
второго момента перманента случайной матрицы
Лей (я, Ν) имеет место асимптотическое представ-
ление
Л1(регД?=да(^),"ехр(-(-|-_1)}х
*{1+0Ш+0Ш)- <«>

82 КОМБИНАТОРНЫЕ СВОЙСТВА СЛУЧАЙНЫХ МАТРИЦ [Гл. II
X
Из формул (4.6) и (4.7) следует, что для г=0,
1, ..., η имеет место равенство
(АГЬ-г _
(Л2 fei-r
(4.9)
Введем обозначения
^'Ife'^I1^· (4·10)
Для Si имеем асимптотическое представление:
Х{1+0Ш+0Ш\ <4Л2)
Рассматривая распределение Пуассона с парамет-
ром λ== — ePin/N-i/n)9 находим, что
N
Jir^^/^i + o^. (4.13)
Используя эту формулу, получаем окончательную
оценку для Si:
(4.14)
Величину S2 можно оценить с дующим образом:

§ 4] ПЕРМАНЕНТЫ С ЗАДАННЫМ ЧИСЛОМ ЕДИНИЦ 83
Используя оценки (4.14) и (4.15) и формулу (4.3),
убеждаемся в справедливости леммы 3.
Докажем теперь следующую теорему, принадлежа-
щую О'Нейлу [67].
Теорема 4.1. Пусть N — N(n) — целочисленная
функция, определенная для я=1, 2, ... и удовлетворяю-
щая условию Ν>η9/*+Β, где ε>0. Тогда при я->оо с ве-
роятностью, стремящейся к единице, для случайных
0,1 -матриц Лей (η, Ν) имеет место оценка
регЛ=ЛГ(регЛ)(1 + 0(1)). (4.16)
.Применим неравенство Чебышева для оценки слу-
чайной величины per Л. Для любого б>0 имеем
Ρ (| per Л - Μ (per A)\ < δ УЩреГА)) > 1 - 1/δ2.
Выбирая б=/г8, заметим, что, согласно леммам 2 и 3,
справедливо асимптотическое равенство
*|/'/)(регЛ)=Ж(регЛ)[0(1//11/4+е)4-0(1/^)].
В результате получаем
Р{регЛ=Ж(регЛ)(1 + 0(1/л1/.)+0(1//г£))}>1-1//г2£.
(4.17)
Этим теорема 4.1 доказана.
Содержащийся в теореме 4.1 результат имеет сле-
дующую модификацию, принадлежащую О'Нейлу [66].
Пусть Mn(R, S) —класс 0,1-матриц размера nXnt
имеющих /?=(гь ..., гп) и S=(su ... > sn) в качестве
векторов строчных и столбцовых сумм, а Мп (k, k) —
класс 0,1-матриц порядка л, у которых все строчные
и столбцовые суммы равны k.
Класс матриц Mn(R, S) называется разреженным
с функцией /(л), если гг</(п), Si<f(n)9 £=1, 2,..., п.
С другой стороны, класс матриц Мп (R, S) называется
сгущенным с функцией /(/г), если п>п—/(/г), S{>
>п—/(n),t=l,2,... ,/г.
Пусть А^Мп (R, S), где Mn{R, S) —класс сгущен-
ных 0,1-матриц с функцией f(n) = (\ηη)ι~ε, ε>0,

£4 КОМБИНАТОРНЫЕ СВОЙСТВА СЛУЧАЙНЫХ МАТРИЦ [Гл. Π
η
:я2~~2 Ti — число нУлей в матрице Л. Тогда при
/-1
п-+оо
per Л = л! *-*/«(l + 0(*~1+*)).
где δ>0 произвольно мало при достаточно большом я.
Далее, если Мп (R, S) — класс разреженных мат-
риц размера пХп с функцией f{n) = (\nn)1^"e) ε>0,
то число матриц в таком классе при п-+оо равно
Λί*(/?, 5)1= (ΣΓ/)Ι expi—LSo(o-Dy5(5 1)Ιχ
χ(1 + 0(Λ~1+δ))»
где все суммы и произведения берутся по i от 1 до η
и где δ произвольно мало при достаточно большом п.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 4. Г. Пусть А — случайная равновероят-
ная матрица из класса Мп (k, k). Тогда, если я->оо, то:
а) при 2^k< (In ή) 1'4-ε для среднего значения пер-
манента А имеем
б) при 3<k<(lnn))u~e второй момент per А имеет
вид
Ж(ре,Л)»^^(<*-;_>;~'Г χ
*(^+^ + 0(£))<^+0"'-"■+,».
где δ>0 произвольно мало при достаточно большом п.
Из теоремы 4. Г О'Нейлом получена следующая
теорема.
Теорема 4.1", Пусть k=g(n)—монотонно воз-
растающая функция от п, не ограниченная сверху
и такая, что g(n)< (1пя)1/4-е. Тогда для А^Мп (k, k)
вероятность того, что отношение регЛ/Λί (per Л) сколь

§ 41 ПЕРМАНЕНТЫ С ЗАДАННЫМ ЧИСЛОМ ЕДИНИЦ 85
угодно близко к единице, стремится к единице при
/г->оо.
2. Вероятность отличия от нуля перманента случай-
ной 0,1-матрицы с заданным числом единиц. Будем
предполагать, что при п->оо
# = #!=#! (Λ) = Λ In Л + Сл + 0 (Λ),
где С — произвольная действительная постоянная.
Тогда для математического ожидания и дисперсии
перманента случайной равновероятной матрицы
А^.%(пу N\) при п->оо нетрудно установить справед-
ливость следующих асимптотических формул:
(4.18)
Д(регЛ)-=ехр{2л1п1п/г + 0(л)}. (4.19)
Из этих формул следует, что изучение перманента
случайной матрицы А^%(п, Νχ) методами предыдуще-
го пункта не представляется возможным. Поэтому
поставим другую цель, связанную с оценкой вероят-
ности Ρ (я, JVi) того, что перманент случайной матри-
цы A eSt (η, Ν ι) будет положительным. Информация
о предельном поведении этой вероятности при я->оо
содержится в следующей теореме, принадлежащей
Эрдешу и Реньи [43].
Теорема 4.2. Если N\ = nlnn+Cn+o(n), С=
= const, то
UmP{n, ^)=ег-**-с. (4.20)
Если Ν2=ηΙηη+ω(η)η+ο(η)ί то
limP(n, N2)=l при <о(л) —оо, (4.21)
UmP(n, N2)=0 при ω (л)-» — со. (4.22)
Сначала докажем равенство (4.20). Согласно тео-
реме Кёнига — Фробениуса, условие регЛ==0 означа-
ет, что существуют k строк и п—k—1 столбцов, пол-

86 КОМБИНАТОРНЫЕ СВОЙСТЁА СЛУЧАЙНЫХ МАТРИЦ (Гл. II
ностью покрывающих единицы А. Обозначим через
Qk(n, N\) вероятность того, что для случайной матри-
цы ДеЗ (η, Ν\) можно найти такие k строк и п—k—1
столбцов или k столбцов и n—k—l строк и k*— наи-
меньшее число, обладающее этим свойством. Ясно, что
0^k^.[(n—1)/2] и, кроме того,
rftzLi
l^P(niN1)= Σ Qk{n> Nг).
Для доказательства равенства (4.20) достаточно
убедиться, что
limQofa, Nl)=l-e-2<~<:, (4.23)
lim 2 Qk(n, N0=0. (4.24)
Заметим, что 1—Qo(ny Νχ) есть вероятность того, что
случайная матрица А не содержит нулевых линий.
Применяя при а=1 и у=С теорему 1.4, замечаем, что
эта вероятность совпадает с вероятностью нулевого
значения случайной величины, имеющей распределение
Пуассона с параметром %=2е-°. Отсюда следует
справедливость формулы (4.23).
Перейдем теперь к доказательству равенства
(4.24). Не ограничивая общности, матрицу Л, для ко-
торой per A = 0, можно представить в ящичном виде,
как на диаграмме.
. «_ k ft—ft_
AJ \^λ
ft+iL^|oJ
Единицы А расположены в k столбцах и n—k—l
строках, и k — наименьшее число с таким свойством.
Если эти столбцы и строки имеют первые k и η—k—1
номеров соответственно, то подматрица О в правом
нижнем углу А состоит только из нулей. В каждом
столбце подматрицы W в левом нижнем углу имеются
по крайней мере две единицы. Допустим, что в Ψ

§ 4] ПЕРМАНЕНТЫ С ЗАДАННЫМ ЧИСЛОМ ЕДИНИЦ 87
имеется колонка с одной единицей. Тогда выбрасыва-
ем эту колонку из покрытия, вводя строку, покрываю-
щую данную единицу. Получаем покрытие k—1 столб-
цами и η—k строками единиц матрицы Л, что проти-
воречит предположению минимальности k. Найдем
оценку сверху для Qk(ny Ni) Kft<[(/i—1)/2]. Ясно,
что k столбцов и п—k—1 строк, покрывающих едини-
цы Л, можно выбрать | )| | способами:
v \k)\n-k-\)
пары единиц в столбцах подматрицы W выбираются
'Λ-ΜΛ*
1 способами; остальные Ni—2k единиц могут
располагаться на п(п—k—\)+k(k+\)—2k местах.
С учетом взаимной заменяемости строк и столбцов
имеем
Qu(n9 ΛΜ<
/η (η — k — \) + k{k- 1)\
<»х;.:.П'г Vm -(4-25)
Отсюда при 1^£<[(η—1)/2] и достаточно больших η
с помощью формулы Стирлинга получаем
Q, (я, Ν,) < С\п^ ι(Д-)Яехр { - ** - In *}<(^)*,
(4.26)
где С\ и С2 — абсолютные положительные постоянные.
Применяя оценку (4.26), находим, что
[5=1]
Σ Q»(*.*i)< rCJln2n . (4.27)
ktml Уп-С^Ып
Этим закончено доказательство равенства (4.24).
Проводя аналогичные вычисления, можно получить
Р(п9 М^е^-***(1 + о(1)). (4.28)

88 КОМБИНАТОРНЫЕ СВОЙСТВА СЛУЧАЙНЫХ МАТРИЦ [Гл. И
Отсюда следуют равенства (4.21) и (4.22). Теорема
4.2 доказана полностью.
3. Вероятность отличия от нуля перманента случай-
ной 0,1-матрицы с независимыми элементами. Пусть
А (р) = l|a2-j||, i, /=1, 2, ..., η — случайная 0,1-матрица,
у которой элементы а^ — независимые случайные ве-
личины, такие, что
Р{аи=\) = р, P(au=0) = q, p + q=\.
Теорема 4.3. Если Рп (р) — вероятность того,
что перманент случайной 0,1-матрицы А(р) положите-
лен, то при
In η + С , / l \ „ ,
р = - 1- о I—, C=const,
имеем
UmPn{p)=e-2<-c.
Доказательство этой теоремы аналогично доказа-
тельству теоремы 4.2. Действительно,
ι-/>„(/>)= Σ Q*Ap\
где Qk,n(p) есть вероятность того, что в случайной
матрице А (р) имеются k строк и η—k—1 столбцов или
k столбцов и η—k—1 строк, которые покрывают все
единицы, и k — наименьшее число с таким свойством.
Применяя формулы метода включения — исключения,
получаем
1—Qo.«(p)=S ( —ΐ)1^,
где
5о=1, 5ι = 2(ΛΓ)(/^Γ)(1-/,)","Γ(Ι"Γ)· '=1.2,...,2л.
Для каждого / имеет место равенство
limS, = ^—-.

§ 4] ПЕРМАНЕНТЫ С ЗАДАННЫМ ЧИСЛОМ ЕДИНИЦ 89
Отсюда следует, что
Hm(l-Qo^(p))=^-2^C.
Кроме того, для &=1, 2, ..., [{п—1)/2] имеем оценки
получаемые тем же методом, что и при доказательстве
теоремы 4.2. Отсюда следует, что
Q*Ap)<(^-)\ *=1,2,...,р^!],
где постоянная θ зависит только от С. Таким образом,
иш Σ Qk,n(P)=o.
Этим теорема 4.3 доказана.
4. Противоречивые подстановки в случайных 0,1-
матрицах. Обозначим через ν (Л) наибольшее число
попарно противоречивых подстановок, соответствую-
щих наборам из η неколлинеарных единиц квадратной
0,1-матрицы Л порядка я. Ясно, что per Л ^ν (Л), а
случай v(A)^l эквивалентен неравенству регЛ>0.
Будем предполагать, что случайная 0,1-матрица
порядка η с N единицами может быть выбрана с ве-
роятностью (х)~~1- Введем обозначение
ρ (п. NSr)=P(v(A)^r)9 г=1, 2,...
Ясно, что при г = 1 эта вероятность совпадает с вероят-
ностью положительности перманента Л, т. е.
Р(п9 N> 1)=Я(л, Л0=Р(регЛ>0).
Имеют место следующие теоремы, принадлежащие
Эрдешу и Реньи (43].
Теорема 4.4. Если для фиксированного натураль-
ного г^1, С=const,
N*r=n In #+(r — 1) η In In #+С#+о (n)t

% КОМБИНАТОРНЫЕ СВОЙСТВА СЛУЧАЙНЫХ МАТРИЦ (Гл. Ii
ТО
llmP(n, Nn r)=e-2'-c/<r-!)!.
Очевидно, что при г== 1 из теоремы 4.4 следует тео-
рема 4.2.
Теорема 4.5. Если для фиксированного нату-
рального г^1,
Nr=n ln#-f(r— 1)#1п1п# + ло>(я)-|-0(#),
где ω(η)->οο при п-^оо произвольно медленно, то
\imP(ny Nn r)=l.
Для случайных матриц, в которых элементы явля-
ются независимыми случайными величинами, прини-
мающими значения 1 и 0 с вероятностью соответствен-
но ρ и q, p+q—lt имеет место следующая теорема.
Теорема 4.6. Для любого фиксированного нату-
рального г при
1η η -f- (г — 1) In In η + ω (η) . τ/ 1 \
Ρ= η —+°Ы
где ω(/ί)->οο произвольно медленно, выполняется сле-
дующее равенство:
HmP(v(i4)>r)=l.
Ограничимся доказательством теоремы 4.5. Будем
предполагать, что г^2, так как при г=1 теорема уже
доказан^. Предположим, что v(A)^r—1; Тогда цз
каждой строки и каждого столбца такой матрицы А
с Nr единицами можно удалить не более чем г—1 со-
ответствующим образом выбранных единиц, так что
для полученной матрицы А' имеем per Л'=0. Обозна-
чим через Qi(n, r) вероятность того, что полученная
матрица Л' содержит нулевые строки или столбцы,
а через СЫя, г)—вероятность того, что регЛ'=0
и нулевых линий нет. Если строка (столбец) А' состо-
ит из нулей, то соответствующая строка (столбец) А
содержала не более г—1 единиц. Обратно, если Л со-
держит такую строку (столбец), то v(A)^r—1. Та-

§ 4] ПЕРМАНЕНТЫ С ЗАДАННЫМ ЧИСЛОМ ЕДИНИЦ 91
ким образом, Qi(/2, r) равно вероятности того, что в А
имеется по крайней мере одна строка (столбец), кото-
рые содержат не более г—1 единиц. Таким образом,
имеем
(п? — η \
Q
Оценивая правую часть последнего неравенства свер-
ху, получаем
Q1(/i, r)<2rn(^J~lerM*(l+o{l)).
Используя выражение для Nr, окончательно получаем,
что Qi(n, r)=0{e-<*W).
Перейдем теперь к рассмотрению случая равенства
нулю перманента при отсутствии нулевых линий. Пусть
k — наименьшее число такое, что в А' можно найти
либо k столбцов и η—k—1 строк, либо k строк и
η—k—1 столбцов, которые покрывают все единицы А',
причем l^fe^ J^ZL . Для определенности будем
считать, что единицы А* покрыты k столбцами и
η—k—1 строками. Из симметрии следует, что вероят-
ность покрытия k строками и η—k—1 столбцами будет
такой же. Как и в доказательстве теоремы 4.2, должна
существовать подматрица W матрицы А' с k+l стро-
ками и k столбцами такая, что столбцы W содержат
по крайней мере две единицы. Пусть W — соответст-
вующая подматрица Л. Обозначим через 6ft вероят-
ность того, что А содержит подматрицу W размера
(k+1) Х&, такую, что столбцы W содержат по крайней
мере две единицы, а подматрица О, располо-
женная в тех же строках, что и W, и не имеющая с
W общих столбцов, содержит не более г—1 единицы
в каждой строке. Тогда
«ι(«, <·)<8 2 «..

92 КОМБИНАТОРНЫЕ СВОЙСТВА СЛУЧАЙНЫХ МАТРИЦ [Гл. II
Для 6k имеет место следующая оценка:
«(х;.нт 2 χ
Uk + 1)(л—k \ln(n — k—\) + k(k-l)\
у\ У A Nr-2k-j )
га
Так же, как и в доказательстве теоремы 4.2, можно
показать, что
Q2(n, г)=о{1).
Теперь справедливость теоремы следует из очевидного
равенства
1-Я(я, Nn r)=Ql(ni r) + Q2(n, r).
§ 5. Среднее значение перманента случайной
дважды стохастической матрицы
1. Точная формула. Рассмотрим класс дважды сто-
хастических матриц вида
Α=±-(ΐι1+π2+...+πί),
S
где Πι, Пг, ·>., Πδ — подстановочные матрицы порядка
/г. Будем предполагать, что на упорядоченных (n\)s
наборах таких матриц задано равномерное вероятно-
стное распределение. Покажем, что в этих условиях
для среднего значения перманента случайной матрицы
А имеет место следующая формула [83]:
sn(n\)s-2rl+ri+^1+rs-n ril...r,l
(5.1)
где суммирование проводится по всем решениям урав-
нения Γι + /"2+ ... + г« = я в целых неотрицательных

§ 5] СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ПЕРМАНЕНТА МАТРИЦЫ 93
числах. Из определения среднего значения имеем
М(регЛ)=-1- ^ рег(4-(Пх+...+П,)),
где суммирование по всевозможным (nl)s наборам
подстановочных матриц Пь ..., П8. Для каждой под-
становочной матрицы Щ, &=1, 2, ..., s, воспользуемся
выражением (6« = 1; 6^ = 0, ίφ})
n*=l4i'wl» '· /=ι..··. ">
где φ&— подстановка, соответствующая Щ. Теперь
получаем
2 per(-i-(n1 + n2+...+n5))=
пи...,пл
5
=— У У
• ' · (δ?ΐ(Λ),//ζ + δ?ί(/2),4+ · · · +8*J(«).iII)»
где внешнее суммирование по всевозможным наборам
5 подстановок степени я, а внутреннее — по всевозмож-
ным перестановкам степени я. При фиксированной
перестановке (/ь /2, ...» /п) будем вычислять произве-
дение скобок. После перемножения скобок рассмотрим
общий член, представляющий собой произведение η
сомножителей. Допустим, что в этом произведении
первые слагаемые скобок брались г\ раз, вторые сла-
гаемые— г2 раз, ..., s-e слагаемые — rs раз, г\ + г2 +
+ ... +rs = /i, п^О, i=l, 2, ..., s. Для того чтобы соот-
ветствующее произведение было положительным, не-
обходимо и достаточно совпадение rk образов под-
становки φ& с некоторыми г& образами подстановки γ
такой, что y(i) =ju ί=1, 2, ..., η, Λ=1, 2, ..., s, причем
эти образы различны для различных подстановок.
Число наборов подстановок φι, фг, ..., φδ при фиксиро-
ванной подстановке γ и фиксированных гх образах в
Фь г2 образах в φ2, ..., rs образах в φ5 равно
[n-r%)l(n-r2)l...(n-r,)L

94 КОМБИНАТОРНЫЕ СВОЙСТВА СЛУЧАЙНЫХ МАТРИЦ [Гл. II
Так как образы в различных подстановках по условию
различны, то число способов выбора образов для под-
становок φι, φ2, ..., q>s при фиксированной подстанов-
ке у равно
л!
Vi/K г2 ) \ ' rs ) ri\r2\...rs\
Ввиду независимости полученных выражений от под-
становки у окончательно получаем
2 per (^^ + ^+...+11,)) =
π,,.,.,π, \ s J
5 fi + ...+Γ^-Λ
ri!...r5!
Формула (5.1) получается отсюда очевидным образом.
Из формулы (5.1) легко получается оценка
Af(perA)>tt!/tt".
2. Асимптотика при больших s. Покажем, что при
фиксированном η и s->oo имеет место равенство [83]
HmAf(perA)=-^-. U5·2)
Заметим, что
χι (л_п)1.,
2d гх\.<
r,+r,+...+rs-n
,.(n-rs)! _
..г JL
-*+·№**}
Используя интегральную формулу Коши, получаем
"^-ΊΗ^-^ί^ή'-?*· <5·3)
где L — произвольный замкнутый контур, охватываю-

§ 5] СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ПЕРМАНЕНТА МАТРИЦЫ 95
щий начало координат в комплексной плоскости.
В контурном интеграле сделаем замену переменной,
положив Ky = z*s. При этом контур L перейдет в неко-
торый контур ΖΛ Получаем
Покажем, что
равномерно для всех w^L'. Имеем
\ s J п s
где Rs(w) и Rs{w) равномерно ограничены на конту-
ре ΙΛ Отсюда следует справедливость равенства (5.5).
Переходя к пределу при s-+oo в обеих частях равен-
ства (5.4), получаем
ИтЛ*(регЛ)=-^(£в·/'·-^. (5.6)
S-*-oo 2,711 у W
Подынтегральная функция полученного интеграла со-
держит внутри U единственную изолированную осо-
бую точку 100 = 0. Поэтому, используя элементы теории
вычетов, имеем
$ eW/n ~^тг==2™ res —1-т e^^-ψ- , (5.7)
где res f{z) означает вычет f{z). Теперь формула (5.2)
следует из равенств (5.6) и (5.7).
3. Асимптотика при больших п. Изучим асимпто-
тическое поведение Ai(per А) при постоянном 5 и
/г—кх>.

96 КОМБИНАТОРНЫЕ СВОЙСТВА СЛУЧАЙНЫХ МАТРИЦ [Гл. II
Имеем
- Σ Tib *-'·■■ ■<-'■■
ft + ...+Г^-Я
Обе части этого равенства умножим на β~~^Χί*'"+Χί!)
и проинтегрируем по всем переменным х\, #2, ..., *s от
О до оо:
ϊ-ΐκ··*·(ζ+-+τ)Γχ
х e-(xi+...+xs) dXidx^.. .dxs=
(в —Π)Ι...(η —гя)1
Используя формулу (5.1), получаем
Ж(регА)=
sn(n\)
^...^Х1...ц±+±+..._+Шх
-(*! + ...+*J
χ е~№+"-+х*'*/*!...<**,.
Стандартными методами можно убедиться, что подын-
тегральная функция имеет единственный максимум
в точке
х°г= ... =x°s=n И j
Положим а=1—1/5 и сделаем замену переменных,
полагая
Xi = n(Ui + a)y i = 1,2,..., s.

§ 5] СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ПЕРМАНЕНТА МАТРИЦЫ 97
Применяя формулу Стирлинга для оценки я!, имеем
„(5 + П/2
ЧрегЛ)=^(П2д)(^)1/2 J... |{(Λ! + α)...(«5 + α)χ
\иг+а и5+а/ J
...<te,(l + o(l)).
Максимум подынтегральной функции достигается в
точке #1=.. .=«J=0. Положим
/К«25.-..^ = У1п(«| + а) + 1п(У-4-.)-У "/·
/Τι ν-ιβ' + ν £1
Тогда можно записать
М(ретА)=
4 —α —α
Обозначим
φ (ttl9 U2i..., Us)=f(ui9 Й2,...,И,) —/(О, О,..., 0)
и заметим, что
/(О, 0,... ,0)=ln(s(l~^p).
Используя эти равенства, получаем
Μ (per Л)=
(гя^-^Ч 8 У·· Г aax...aus.
—α —α
Сделаем замену переменных ух — Упщ,..., #,=1Лш^.
Формула для среднего значения перманента принимает
4 В. Н. Сачков

98 КОМБИНАТОРНЫЕ СВОЙСТВА СЛУЧАЙНЫХ МАТРИЦ [Гл. II
ВИД
А[(регЛ)=_К
(2я:
X
-аУТ -α/Я"
Используем разложение в ряд Маклорена
, ^з _,_ _±_ „з
«ι + · · · + Щ
ντ у
где
д д , Л
Подынтегральная функция убывает экспоненциально,
поэтому
«(регД)-/^(1-|)*-"х
л1/0 -л1/9 _± s s
х f ... j ^ 2|2w%...4(i+o(i)),
-я 1/9 _я1/9
где погрешность убывает экспоненциально при я->оо.
Внося снова погрешность экспоненциального характе-
ра, можно записать
Ж(регЛ) = |/^:(1|-1рИУ(1 + о(1)))
где
J= J ... jtf /-1Ы dyxdy2...dys.

§ 5] СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ПЕРМАНЕНТА МАТРИЦЫ 99
Квадратичная форма
ι s s
/«ι /«ι
является положительно определенной и, следовательно,
ортогональным преобразованием приводится к сумме
квадратов. Получаем
S
/ = f ... f £ ^β1 dvxdv2.. .rfvJf
где λι, Лг λί — характеристические корни матрицы
C=i|Cij||, t, /=1, 2,..., s. Теперь получаем
V λ!λ2...λ5 J/
Таким образом, если |С| —определитель матрицы С,
то
" *" (2яУ
Следовательно,
Л1(регЛ)-|/'^(1-^)1,(*-,)(1 + о(1)).
Остается вычислить определитель |С|. Непосредствен-
но легко получить, что
с =Л !' /=Л
" |l/(s-l)2, /^у.
Вычитая первый столбец определителя |С| из осталь-
ных, а затем прибавляя к первой строке все остальные,
получаем определитель треугольной матрицы. Вычис-
ляя произведение элементов на главной диагонали,
имеем
А*

100 КОМБИНАТОРНЫЕ СВОЙСТВА СЛУЧАЙНЫХ МАТРИЦ [Гл. II
Теперь окончательно получаем при s>2 формулу [83]
Μ (per A) =
=УЩ1 „lye-""-* (!_1)-<->'2(1+о(1)).
(5.8)
В случае 5 = 2 из формулы (5.1) имеем
VF ; 2й JU ή (η - г)! 2я
Случай s=l тривиален.

ГЛАВА III
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ЗАДАЧИ
В ОБЩЕЙ КОМБИНАТОРНОЙ СХЕМЕ
Введение
Рассматриваемые в данной главе вероятностные
задачи формулируются в терминах общей комбинатор-
ной схемы. Подробное изложение этой схемы дано
в главе V книги [29]. Ниже будут приведены некоторые
перечислительные результаты, касающиеся общей ком-
бинаторной схемы и используемые в данной главе.
Пусть σ — конфигурация, представляющая собой
отображение множества ^={1, 2,..., т) в множество
А={аи а2,..., ап). Конфигурация σ имеет первичную
спецификацию [а^аЪ2.. -я*"], αι + α2+ ... + αΛ=/η,
если среди образов σ элемент aj встречается ау раз,
7=1, 2,..., п. Если среди чисел аь а2,..., ап имеет-
ся % нулей, βχ единиц и т. д., то выражение
[[0βο1βι2β\ . .mp*]]. 1βι + 2β2+ ... +tn$m=m, называет-
ся вторичной спецификацией σ.
Рассмотрим группы подстановок G и Я, действую-
щие на множествах X и А и имеющие степени m и η
соответственно. На множестве конфигураций σ^Αχ
определено отношение GH-эквивалентности, при кото-
ром σ~σ', если существуют geG, Ае# такие, что
goa*ft = a/. Операция g° a отвечает перестановке об-
разов конфигурации а в соответствии с подстановкой
gy а операция о*ft означает подстановку h элементов
Л. Оказывается, что описание целого ряда комбина-
торных конфигураций сводится к построению фактор-
множества по отношению бЯ-эквивалентности при
соответствующем выборе групп подстановок G и Я.
Особый интерес представляют четыре случая, возни-
кающие при выборе в качестве G и Я либо единичных,
либо симметрических групп соответствующих степе-

502 ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ЗАДАЧИ В ОБЩЕЙ СХЕМЕ [Гл. III
ней. В этих четырех случаях, называемых частными
случаями общей комбинаторной схемы, удается дать
методику построения производящих функций для пе-
речисления элементов фактор-множеств по значениям
первичных или вторичных спецификаций, задаваемых
в виде произвольных последовательностей. В зависи-
мости от выбора групп G и Η в частных случаях общей
комбинаторной схемы элементы фактор-множеств на-
зываются m-выборками в коммутативном (некомму-
тативном) симметричном (несимметричном) я-базисе.
Ниже будут приведены производящие функции для
перечисления m-выборок в указанных частных случа-
ях, а' также необходимые формулы для последующего
решения вероятностных задач, связанных с общей
комбинаторной схемой.
1. Коммутативный несимметричный я-базис. Дан-
ный случай общей комбинаторной схемы соответствует
выбору в качестве G симметрической группы Sm, а в
качестве Η — единичной группы. Если Л-,·, 1^/^л —
подпоследовательность последовательности No=
= {0, 1, 2, ...} и Л={Ль Л2, ..., Ап} — упорядоченный
набор последовательностей, Спт(А)—число т-выбо-
рок в коммутативном несимметричном я-базисе с пер-
вичными спецификациями [lai2aa.. .η**1] такими, что
(XjeAj, /=1,2, ..., я, то
|uA)/n=n Σ'"'· (0л)
Из формулы (0.1) можно получить
2 с2>(в)<-=/ь(1-1т-у,р, (0.2)
m=ks '
где Опт (s) — число m-выборок в коммутативном не-
симметричном л-базисе, в которых k фиксированных
элементов, и только они, встречаются ровно s раз.
Отсюда, в частности, следует формула
<я<"»-(.-7-.)· ад

ВВЕДЕНИЕ ЮЗ
Пусть теперь Q{nm (s) — число m-выборок в рассматри-
ваемом #-базисе, в которых s фиксированных элемен-
тов а,·,,..., а,· встречаются в m-выборке соответствен-
но A/,,..., ki раз, причем £/,+ ... -f&/ =&, a
Q«m(s) —иисло таких же m-выборок, но с добавочным
условием, что каждый из остальных элементов встре-
чается по крайней мере один раз. Тогда из равенства
(0.1) находим, что
2 Q™{s)tm = t\\-tT{n~s). (0.4)
Отсюда сдедует формула
QffiW-f"4-·'-'-*""1)· (°·5)
\ т — к J
Аналогичным образом можно получить равенство
m{s)=[m-_k~_\) ■ (°·β)
Рассмотрим множество последовательностей, содер-
жащих т0 нулей и т\ единиц, mo+mi = m. Обозначим
через Nm\k) число последовательностей, содержа-
щих k серий .из нулей, и через Mm{2k) —число после-
довательностей с 2k сериями обоих сортов, если эле-
менты последовательности располагаются на окруж-
ности. Справедливы формулы
л^*^"^^';-'), (0.7)
"-^-тСг.'НГ,1)· <а8)
2. Некоммутативный несимметричный л-базис. Этот
случай общей комбинаторной схемы определяется ус-
ловием, что группы G и Η единичные, что означает на-
личие пт классов эквивалентности, называемых т-вы-
борками в некоммутативном несимметричном я-бази-
се. Предполагая, что Л имеет тот же смысл, что и
в п. 1, обозначим через Dmn(A) число m-выборок с

104 ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ В ОБЩЕЙ СХЕМЕ [Гл. III
первичными спецификациями \d\a\*.. .αα* ]
что ctjeAj, /=1,2, ..., п\ тогда
2^«(А)-^г=п 2-^г-
Используя эту производящую функцию, получим
Σ^"ϊ-(τΠ<-ϊΓ· (0·10'
где D^ (5) — число т-выборок в некоммутативном не-
симметричном я-базисе, в которых каждый из фикси-
рованных k элементов η-базиса, и только они, встрети-
лись ровно 5 раз. Из равенства (0.10) следует, что
D^(0) = ^~k0m J^{-lY(n-k)(n-k-j)m· (0.11)
j-o \ J J
где Δη0™ — п-я конечная разность хт в точке #=0,
называемая обычно числом Моргана. Далее, если
Q(/z, m, k) —число m-выборок в этом же я-базисе,
в которых фиксированный элемент я-базиса встретил-
ся ровно k раз, то из равенства (0.9) следует, что
J Q(*. m% k)^=^e^v. (0.12)
3. Некоммутативный симметричный /г-базис. Если
G является единичной группой, а Я совпадает с сим-
метрической группой степени я, элементы соответст-
вующего фактормножества в общей комбинаторной
схеме называются m-выборками в некоммутативном
симметричном я-базисе. Каждой такой m-выборке со-
ответствует разбиение множества из т элементов на
не более чем η блоков.
Пусть Гтп(Л)—число разбиений множества из
т элементов на η блоков таких, чтоД=(Ль А2,...)»
такими,
(0.9)

ВВЕДЕНИЕ
105
A/cJV0={0, 1,...}, fyeAy,/=l, 2,..., где β,—
число блоков в разбиении, содержащих / элементов.
Положим
т
^(Λ)=2 Ттп(А\ Γ0(Λ)=7Όο(Λ)=1 (0.13)
я=0
и обозначим через Гт(Л; /, k) число разбиений рас-
сматриваемого вида, содержащих k блоков размера /.
Имеют место следующие выражения для производя-
щих функций:
S2»--(*)-ir*-n2(f)^r. (°·15>
Wl\ ' tm
В частности, если Λ,=ΛΌ={0, 1,...}, y'=l, 2,...,
то Tm=Tm{N0),Tmn=Tmn(N0), Tm(l,k)=Tm(N0,l,k),
У 7-,-L-=^-i, (0.17)
m-0
2 2 ^-ir·**-**· l)» (°·18)
т«0я-0
- [m/l] tm ι
2 2 ^ *)"^r-«*=exp(jf-l)ir + e'-1}.(0.19)
Числа Тт обычно называются числами Белла; имеем
т .
Тт+г = 2 QTm-» Ά=1, (0.20)

106 ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ЗАДАЧИ В ОБЩЕЙ СХЕМЕ [Гл. III
а Ттп = о(т, л), где с(т, п) —числа Стерлинга вто-
рого рода.
Пусть Ттп —число разбиений множества из т
элементов на η блоков, размеры которых являются
элементами последовательности Л c:Af={l, 2,...}, Тт
и Тт (kj) —соответственно общее число таких раз-
биений и число разбиений рассматриваемого вида с k
блоками размера /еЛ. Полагая Л (/)= V _^_' из фор-
мул (0Л4) — (0Л6) имеем
V Ti-£-=eA«>t (0.21)
+*Лп ml
оо т
Σ 2 Τ"» -^*"=«*Λ(°. (0-22)
т~0л-0
У У7^(*, l)-l-r**=e{x l) «+Д(0. (0.23)
Для чисел Белла справедлива формула Добинского
γ«Η-Σιγ· Ρ4)
а при т-+оо — также асимптотическая формула [63]
ι m (г +4- О HI
^=—=г* ' (1 + о(1)), (0.25)
Уг + 1
где г — единственное при т-+оо решение уравнения
гег=т, имеющее асимптотическое разложение
ОО 00
r=lnm —lnlnm-f2 2 Cw(lnlnm)I+»(lnm)-*-/-1,
ft-Oi-0
(0.26)
где Сьг не зависят от т.

§ 1] РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ КОММУТАТИВНОГО БАЗИСА Ю7
§ 1. Вероятностные распределения
для коммутативного несимметричного л-базиса
На множестве m-выборок в коммутативном несим-
метричном η-базисе зададим равномерное вероятност-
ное распределение, приписав каждой m-выборке ве-
(п +т—\\-1 гг
роятность [ .па полученном вероятно-
стном пространстве будем рассматривать случайные
величины и интересоваться их точными и предельны-
ми распределениями, когда пит неограниченно воз-
растают.
1. Распределение числа элементов /t-базиса, появив-
шихся данное число раз. Обозначим через ξη™0?) слу-
чайную величину, равную количеству элементов
я-базиса, появившихся ровно 5 раз в случайной т-вы-
борке. Если рассматривать схему случайных равнове-
роятных заполнений η различных ячеек т одинаковы-
ми предметами, то ^nm(s) представляет собой число
ячеек, содержащих s предметов. Очевидно, что
/>(U(*)=A) = 7^ 77> :*=0, Ι,.··, я, (1.1)
ГГ)
где CJ*J(s) —число га-выборок, в которых k фиксиро-
ванных элементов я-базиса, и только они, встречаются
ровно s раз. Из формул (1.1) и (0.2) следует выраже-
ние для точного распределения %nm{s)
(п\
U/ V ,_-,d(n-k\(n + m-(s + \){k + j)-l\
(n + m — 1\
m )
(1.2)
A = 0, 1,..., n.

108 ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ЗАДАЧИ В ОБЩЕЙ СХЕМЕ [Гл. III
В частности, для случайной величины £Пт(0), рав-
ной числу отсутствующих элементов я-базиса в слу-
чайной /л-выборке, с учетом формулы (0.3) имеем
п\ [ т—\
P(Znm(0)=k)= Kk Kn~k-y , A=0f 1 я. (1.3)
l л-1 )
Данное распределение совпадает с распределением
числа пустых ячеек при случайном заполнении т оди-
наковыми предметами η различных ячеек.
Ввиду сложности вычислений по формулам (1.2)
при больших пит естественно поставить вопрос об
отыскании предельного распределения gnm(s). Эта
задача решается следующей теоремой.
Теорема 1.1. Если s = const и п, т-+оо так, что
п2/т-*~Х=const то lnm(s) имеет в пределе распределе-
ние Пуассона с параметром λ, τ. е.
ton P(lmn(s)=k)=^re~\ k = 0, 1,...
n,m-*oo κι
Рассмотрим производящую функцию распределения
bnm\S) ·
/*,(■*; s)=2 P(Snm=k)xk
и производящую функцию биномиальных моментов
η
garni*, «)=2 ΒΛ** «)■**·
fc=»0
Умножая обе части равенства (0.2) на Г J xk и сум-
мируя по k от 0 до Пу получаем
ς гг')/»<* *"—(гЬ+<*-ΐ)")"- (,·4)
В силу равенства
gnm(x> S) = fnm{x+h S)

§ 1] РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ КОММУТАТИВНОГО БАЗИСА Ю9
Л2
имеем
2,ГГК(**>'-(гЬ+-)'·
Вычисляя коэффициент при tmxk в обеих частях по-
следнего равенства, получаем выражение для /г-го би-
номиального момента lnm(s):
Вк{п, т)= <">»("-ПИ*)»* . (1.5)
Отсюда следует, что для всех & = 0, 1, ...
lim Bk(n, /η)=λ*/Α!.
Этим теорема доказана.
Следствие. Если я, т->оо τα/c, что
m
= const, то |nm(0) имеет β пределе распределение
Пуассона с параметром λ.
Исследуем теперь асимптотическое поведение рас-
пределения |nm(0) При ДРУГИХ УСЛОВИЯХ.
Теорема 1.2. При п, т —оо, —- >/?,
m -f /г
— >?; р+^=1, P,q>0 для k=(n + m)p2-{-
тп -Ь η
+ 0((/г+т)2/») имеет место формула
= —~ expi (*-(^W +0(1)\
^Т/2я(п + /;г) 1 2(л+/п)/72?2 ^ '/
Рассмотрим случайную величину
„ __enm(Q)-(n + ^)^2
pqV п + т
Для доказательства теоремы достаточно установить,
что если w = o((n+m)lf*), то
p(^=^)=^5-^/2rf^(l + o(l)), flto= l
]/~2π pqVn+r>

ПО ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ЗАДАЧИ В ОБЩЕЙ СХЕМЕ [Гл. III
Используя точное распределение (1.3) и формулу
Стирлинга для п\, при я->оо имеем
Ли(0)=*)=
A2m(i + o(-^-
(1.6)
Полагая
и проводя в формуле (1.6) необходимые упрощения,
получаем
^(TU=w)=/>(U(0)=*)=
- L^expi-^+o/-^).
pq}f2ziN \ 2 WW})
Этим доказательство теоремы завершается.
2. Распределение числа фиксированных элементов
л-базиса. Пусть %nm{s) —случайная величина, равная
суммарному числу появлений в случайной /п-выборке
фиксированных 5 элементов коммутативного несим-
метричного л-базиса. Случайную величину Knm(s)
можно рассматривать также как суммарное число
предметов, содержащихся в s фиксированных ячейках
при случайном равновероятном заполнении η различ-
ных ячеек т одинаковыми предметами. Используя фор-
мулу (0.5), нетрудно получить точное распределение
(k + s — \\(п -f /и — s — k— 1\
/»(«-(*)»*)-^ * /L *Γν*—-·
/ η н- tn — 1 \
\ m )
k=0y 1,..., m.
Перейдем теперь к отысканию предельного распреде-
ления Knm(s).

§ I] РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ КОММУТАТИВНОГО БАЗИСА \\\
Теорема 1.3. Пусть я, /п->оо. Тогда:
а) если s—const> — >ρ, —^ >q> p-\-q=\>
η 4- m η 4- m
то случайная величина кПт($) имеет в пределе рас-
пределение Паскаля с параметрами (s, ρ), т. е.
lim P(*„(s)=*) = [' + *~ V**. *-0f 1,...;
б) если s—*оо, -22L —»λ=τconst, mo ««„(β) β преде-
η
ле имеет распределение Пуассона с параметром λ, τ. е.
lim Ρ(*ι»(5)=Α)=~-έΓ-\ Λ = 0, 1,...
Рассмотрим для xnm(s) производящие функции
распределения и биномиальных моментов
/™(*)=ΣρΚ*(*)=*)Λ
*-0
Умножим обе части равенства (0.4) на ( J я*
и просуммируем по k. Имеем
2(n+r~1)/em(x)/'"=(1~x0"i(1~r<'I"i)·
Отсюда следует, что
irrV-w-O-^rP1-"-*·
Вычисляя коэффициент при tmxk в обеих частях
этого равенства, получаем следующее выражение для
биномиальных моментов xnm(s):
^(я; «)«(* +'"V-^—, *~0. 1 т.

112 ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ЗАДАЧИ В ОБЩЕЙ СХЕМЕ [Гл. III
При выполнении условия а) теоремы имеем
lim Вл(п; m)=(k + s-l)(±)\ k=0, l,...
п,т^<* \ k 1\ Ρ )
При наличии условия б) получаем
lim Bk(n; m)=—, й = 0, 1,...
Этим теорема доказана. __
Обозначим теперь через %nm(s) суммарное число
появлений в случайной m-выборке фиксированных s
элементов я-базиса при условии, что каждый из эле-
ментов я-базиса появляется по крайней мере один раз.
С учетом формулы (0.6) точное распределение κη™($)
имеет вид
(k — 1 \(т — k — 1 \
С-·1,)
Теорема 1.4. Пусть η, m-+oo. Тогда:
а) если s=const, >р> >q, p-\-q=\y
m m
p>0, q>0y то случайная величина Knm{s)—5 в пределе
имеет распределение Паскаля с параметрами (sf ρ),
г. е.
lim P(*nm{s)-s=k)=(k + 8-1)p>f9 * = 0, 1,...;
б) если s—>oo, s\m — n>__»χ— const, mo ^nm{s) — s
η
в пределе распределена по закону Пуассона с пара-
метром λ, г. е.
Ит/>(^(5)-5===А)=-^-е->, ft = 0, 1,...
Тем же приемом, что и при доказательстве теоре-
мы 1.3, можно получить выражение для биномиальных

§ 2] СЕРИИ В СЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ 113
моментов %nm(s)—s:
Теперь справедливость теоремы следует из предель-
ных выражений биномиальных моментов при условиях
а) и б) соответственно.
§ 2. Серии в случайных последовательностях
1. Серии при заданном числе нулей и единиц. Пусть
каждая из последовательностей длины т из нулей
и единиц, содержащая т0 нулей и Ш\ единиц,
то+т\=т, выбирается случайно с вероятностью
( ) . Обозначим через ξ0 число серий из нулей
в случайной последовательности. Из формулы (0.7)
следует, что
P(tQ=k)= ^k~)\ k ' , * = 0, 1 mQ.
(2.1)
Для биномиальных моментов ξ0 имеет место фор-
мула
\ k ) («Ой
Используя биномиальные моменты, можно полу-
чить формулы для среднего и дисперсии:
т
£» — Kmoh (mi + 1)2
/w (//1)2
/п-^оо, то для среднего и дисперсии ξ0 можно получить
Если -Ζ2--ΚΧ, -^ — β, α + ρ=1, α, β>0, при

114 ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ЗАДАЧИ В ОБЩЕЙ СХЕМЕ [Гл. III
асимптотические представления
Μξ0=φη(1 + ο(1)),
(2.3)
Db={aWm{l + o{l)).
При этих же условиях изучим предельное распре-
деление ξο.
Теорема 2.1. При т—»оо, — ~*α, -^-—>β,
т т
α+β=1; α, β>0, для k = a$m+o(mt!·) справедлива
формула
αβΚ2π/Λ Ι λ \а$Ут J J
Для доказательства теоремы достаточно показать,
что при t2;=o(m1/·) для случайной величины ηο=
= (ξο—αβ/η) (a$Vm)-1 имеет место формула
Р(Ло=гй,)== _L· е-**Ы<т (1 +о (1)), я?я>= *-= .
Ϋ2η a$Vm
Из формулы (2.1), применяя формулу Стирлинга для
п\ при я->оо, получаем
/>№>=*)=-7= X
/2π
(m0—l)OTo"v4wi-M)mi4" 3/a/n0m°+1/a'»i,Wl+Vs (l+O f—))
(2.4)
Полагая β — αβ/η + ^αβί^/η, после необходимых упро-
щений в формуле (2.4) получаем
арК2лда I 2 \VWJ
Отсюда следует справедливость теоремы.
2. Серии в схеме Бернулли. Пусть последователь-
ность из нулей и единиц является реализацией т ис-

§ 2] СЕРИИ В СЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ 115
пытаний в схеме Бернулли с вероятностью успеха ρ
и неуспеха q, p + q—1. Под успехом будем понимать
появление нуля, а под неуспехом — появление едини-
цы. Обозначим через ξο(ρ) число серий из нулей в по-
следовательности из т испытаний. Используя формулу
полной вероятности, имеем
рЫр)=*)= Σ Р{т)РЫр)=ь1щ)>
т0— О
где Р(гщ)—вероятность реализации т0 успехов при
т испытаниях. Очевидно, что
Р(щ) = (т)ртодт*, т0+т1=т. .
\щ)
Кроме того, ясно, что
РЫр)=Ь1щ)=Р\&=к).
Теперь, применяя формулу (2.1), окончательно по-
лучаем
m0~0V }
Это точное распределение позволяет получить выраже-
ние для биномиальных моментов ξο(ρ)
/fe=0, 1,...,Я1. (2.5)
Отсюда следуют формулы для среднего и дисперсии
Mt0(p)=mpq+p*,
(2.6)
D^{p) = mpq{\ -3pq)+(p*+2p*q-6p*q-p*).
Теорема 2.2. Если р—р(т), q = q(m) и mpq-^%—
= const при m-»-oo, το случайная величина %о(р) в пае-

116 ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ЗАДАЧИ В ОБЩЕЙ СХЕМЕ [Гл. 1И
деле имеет распределение Пуассона с параметром λ:
limP(io(p)=k)=^re-\ ft=Of 1,...
Действительно, при выполнении условий теоремы
из формулы (2.5) следует, что
llmВк(ш\ p)=\kjkU Л=0, 1
чем завершается доказательство теоремы.
Выясним теперь характер предельного распределе-
ния ξο(ρ) при постоянном ρ и т-*оо.
Теорема 2.3. При постоянном ρ и пг-^оо случай-
ная величина
У mpq(l — 3pq)
имеет в пределе нормальное распределение с парамет-
рами (0,1), т. е.
ι х
lim Ρ (η<> (/>)<«*)=—=: f ет*%Ни.
Рассмотрим производящую функцию биномиальных
моментов |о(р)·
Из формулы (2.5) имеем
*.ю-2 (*"ί+!1)/^-v-2 (m-'*)i*+v-v.
Отсюда для производящей функции вероятностного
распределения |0(р) получаем
*-0 V
£
-JS^T^*1^'-1)*· (2J)

§ 2] СЕРИИ В СЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ Ц7
Рассмотрим двойную производящую функцию
Р(х; t)=±Pm{t)xm, Я0(0=1-
Используя формулу (2.7), можно получить следующее
выражение для Р(х\ t):
P(x;t)= 1 + ^(^-1) .
v y 1 —л: — pq(t— 1)*2
Разлагая Ρ (χ; t) на простые дроби, получаем
где ^ь #2— корни уравнения pq{\—t)x2—#+1=0.
Отсюда следует формула для Pm{t)\
е=)Л--4/^(1-о .
Используя эту формулу и выражение для характе-
ристической функции г\о{р)
?m(t)=e-wPm(e»f*\
где M=mpqy e2=tnpq(l—3pq), можно получить асимп-
тотическое представление
1ηφ /л— itM ι itmP4 тРЯΠ -ЪРЯ) & \ о(т),
т σ a <t2j 2 \ σ3 /
которое позволяет установить, что для любого фикси-
рованного t
Этим теорема доказана.
3. Серии на окружности. На множестве последова-
тельностей из т нулей и единиц, содержащих то ну-
лей и Ш\ единиц, mo+mi = m, расположенных в равно-
отстоящих точках окружности, зададим равномерное
вероятностное распределение, приписывая каждой

118 · ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ЗАДАЧИ В ОБЩЕЙ СХЕМЕ [Гл. III
последовательности вероятность ( ) . Пусть |с —
\т0)
число серий в случайно выбранной последовательности
рассматриваемого вида. Тогда, согласно формуле
(0.8), имеем
(щ — 1 \1т\ — ι \
Pftc = 2ft) = ^L*zliA*llWf A=o, !,... (2.8)
k (m \
\щ)
Для биномиальных моментов gc/2 отсюда можно
получить формулу
В%= У»*"1*» , *=0, l,... (2.9)
Из этой формулы следуют выражения для среднего
и дисперсии ξΓ/2:
Λί(Ρ/2):
ΐϊΙ§ΐϊΙ\
т- 1
Теорема 2.4. Л/ю m — со' 2&-»α, ^--^β,α +
/72 /72
+ β=1; α, β>0, для всех k — afim+o(m*!*) справедли-
ва формула
р(Г-2*)«_^ехР |--i.f 1^-у+о;(1)).
Доказательство этой теоремы почти полностью
совпадает с доказательством теоремы 2.1.
4. Серии на окружности в реализациях схемы Бер-
нулли. Будем предполагать, что последовательность,
являющаяся реализацией т испытаний в схеме Бер-
нулли с вероятностью успеха р, расположена в равно-
отстоящих точках окружности. Тогда из формулы
(2.8) следует выражение для точного распределения
случайной величины |с(р), равной числу серий в

§ 2] СЕРИИ В СЛУЧАЙНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯХ 119
случайной последовательности длины т:
ft = 0, 1,... (2.10)
Используя эту формулу, можно получить биномиаль-
ные моменты для Iе (р)/2:
Всъ(т; P) = Y(m~^l)pk<lk> *=0, 1,... (2.11)
Среднее и дисперсия 1е (р)/2 имеют вид
Λί(ξ'(/>)/2)=ιη/^,
0(?(p)/2)=mpq[(l-3pq).
Теорема 2.5. £а/ш ярм m->oo mpq^K=const, то
случайная величина 1е (р) /2 β пределе имеет распреде-
ление Пуассона с параметром λ.
Справедливость теоремы сразу следует из выраже-
ния (2.11) для &-го биномиального момента ξ°(ρ)/2.
Теорема 2.6. Если ρ постоянно и пг->оо, то слу-
чайная величина (lc(p)/2—mpq) (mpq(l—3pq))-i/2
в пределе имеет нормальное распределение с парамет-
рами (0,1):
m-+°° \ Ympq{\-Zpq) ) Ϋ2π -"«,
Положим
Pc(χ; ί)=ΣΡ%(*)*". Po(i)= 1.
С использованием формулы (2.11) получаем
рс{х, t)sst 1+M«-D*» .

120 ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ЗАДАЧИ В ОБЩЕЙ СХЕМЕ [Гл. III
Отсюда
Pcm(t)= 1
Ж1-0(*1-*2>
, т=1,2,...,
где Х\у Х2 — корни уравнения pq(\—t)x2—#+1=0. По-
сле упрощений получаем
+ 1 1-^1-4^(1-0 j _ (2Л2)
Обозначим M — mpq, a2=mpq{l—3pq). Тогда ха-
рактеристическая функция |с (р) /2 имеет вид
Й(/)=г'«^
(.-).
С помощью формулы (2.12) можно показать, что при
любом фиксированном t
lim<?cm(t)=e-^.
Это и доказывает теорему 2.6.
§ 3. Вероятностные распределения
для некоммутативного несимметричного п-базиса
На множестве m-выборок в некоммутативном не-
симметричном я-базисе зададим равномерное вероят-
ностное распределение, приписывая каждой т-выбор-
ке вероятность n~m. На полученном пространстве эле-
ментарных событий будем рассматривать случайные
величины и исследовать точные и предельные распре-
деления при п, т->оо. Следует отметить, что данное
пространство элементарных событий лежит в основе
целого класса задач, объединенных под общим назва-
нием классической задачи о размещении. Это следует
из того, что каждой m-выборке в некоммутативном не-
симметричном η-базисе можно поставить во взаимно
однозначное соответствие распределение т различных

§ 3] РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ НЕКОММУТАТИВНОГО БАЗИСА 121
предметов в η различных ячейках. Изучению случай-
ных величин, связанных с классической задачей о раз-
мещении, посвящено большое количество работ, об-
стоятельный обзор которых приведен в статье [12].
Наиболее важные асимптотические результаты из
этой области с подробными доказательствами изло-
жены в книге [13]. С учетом этих обстоятельств в дан-
ном параграфе будут приведены только некоторые ти-
пичные утверждения асимптотического характера, от-
носящиеся к данному кругу вопросов. Более детальное
знакомство с этой проблематикой можно осуществить
с использованием упомянутых источников, где име-
ются достаточно полные списки литературы.
1. Распределение числа элементов /г-базиса, появив-
шихся 5 раз в случайной т -выборке. Обозначим через
lnm(s) число элементов некоммутативного несиммет-
ричного /г-базиса, которые встретились ровно s раз
в случайной m-выборке. Очевидно, что
P(tnm(s)=k)=^-^ , А=0, 1,..., я,
где D^(s) — число m-выборок, в которых k фиксиро-
ванных элементов, и только они, встретились ровно 5
раз. Применение формулы (0.10) дает
*тП ν ι ι w^ ·
(3.1)
£ = 0, 1,..., п.
Формула (3.1) представляет собой также распределе-
ние числа ячеек, содержащих 5 предметов при случай-
ном равновероятном заполнении η различных ячеек
т различными предметами. В частности, с учетом фор-
мулы (0.11), имеем распределение
P(U(0)=*)=(£)-^^, *=0, 1,..., п, (3.2)

122 ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ЗАДАЧИ В ОБЩЕЙ СХЕМЕ [Гл. III
совпадающее с распределением числа пустых ячеек
при равновероятном размещении т различных пред-
метов в η различных ячейках.
Теорема 3.1. Пусть п, т-^оо так, что при s, γ =
= const m=n(slnm—(s—1) lnn+y) +0(1). Тогдаслу-
чайная величина lnm{s) имеет в пределе распределение
Пуассона с параметром λ=—£-*, т. е.
Ит P(^(s)=k)'~ * к е~Ш еЬ , k=0, 1,...
Рассмотрим производящие функции вероятностно-
го распределения и биномиальных моментов ξη™($):
л
Л«0
Умножая обе части равенства (0.10) на \)χ* и
суммируя по k от нуля до пУ получаем, после очевид-
ных преобразований,
Отсюда получаем
2 *"/-(*)-д—(«*+(·«- D-f )"· (3-3)
Вычисляя коэффициент при xhtmfm\ в обеих частях по-
следнего равенства, получаем выражение для &-го
биномиального момента lnm(s)·
В^\п, т)= (»>»(")«»(»-*Г , *=о, 1,... (3.4)
ft! (sl)V"

§ 3] РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ НЕКОММУТАТИВНОГО БАЗИСА 123
Отсюда следует, что
Urn Bi'V, ™)^7г(^)> k=°> Ь···,
чем завершается доказательство теоремы.
Следствие. При я, /n->oo, Y = const, m =
= п(\пп+у) +0(1) случайная величина ζηπι(0) имеет
распределение Пуассона с параметром λ==β~ν.
Из формулы (3.4) для биномиальных моментов
можно получить выражения для среднего и дисперсии
<onm\S) '
nt f^. (яЫ«Ь(я-2Л"* ι (m)s(n-\)m-s
'■'$nm{1>)— - I ——
(s!)2nm s! η™-1
(т)Л«-1)'
λι—s
S\ Π
яг-1
При s=0 из формулы (3.4) следуют выражения
для биномиальных моментов ξη™(0):
Bk(n, m)=^)(l-Ap k==0, i,...f
среднего и дисперсии:
Anm(o)=/t(«-i)(i-i)w+«(i;-^)m-^(i-n1)
1 \2«
/И
Если я, m->-oo так, что — = α-^const, то среднее
и дисперсия |Пт(0) имеют асимптотические представ-
ления
Л*и(О)=яе-а(1 + 0(1)),
(3.5)

124 ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ЗАДАЧИ В ОБЩЕЙ СХЕМЕ [Гл. III
Исследуем при этих условиях асимптотическое рас-
пределение ξητη(Ο).
Теорем а 3.2 [71]. Если п, m->oo,— = a->»corist>0,
ti
то случайная величина
Znm(Q)-ne-a
Άη
1Лг(е-й--(а+1)<Г2*)
имеет в пределе нормальное распределение с парамет-
рами (О,1), т. е.
X
Urn P(rw<*)=-L f e-^du.
n,m-*o° у 2д J
Пусть (fnm(x)—характеристическая функция слу-
чайной величины ξη?η(0). Пользуясь формулой (3.3)
и интегральной формулой Коши, получаем
где С — произвольный замкнутый контур в комплекс-
ной плоскости переменной ζ, охватывающий начало
координат. Положим
Ьх = ег*, в2=Уе-°-{1 + а)е-2а, 9=9ф2
и возьмем в качестве контура интегрирования С ок-
ружность радиуса а. Тогда
π
9nm (-JL=i\= "' f (в'"<8»у»"> -1 + (**u)ner*** du.
Производя в интеграле замену переменной v—u'\fan
и применяя формулу Стерлинга для оценки ш\,

§ 3] РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ НЕКОММУТАТИВНОГО БАЗИСА 125
находим представление для характеристической функ-
ции г\пт:
U2Vnj
π Van
= —!— Г Ele-tbVn+rt^dv (\ + θ(—\\,
— πΥΤϊη
где
Интеграл /, входящий в выражение для фпт(л:), пред-
ставим следующим образом:
7 __ 7_ __
—Van Van %Yan
У=Уг+У2+У3= J_+ J + J
-πΥαη 7 7
— κ дя V β/ζ
Для — ■/£#<>< ι/α/г справедлива асимптотическая
оценка
n\nEn — iv Yan — ixb Υ η—
при любом ограниченном л:. Отсюда следует, что
Далее можно показать, что
Нш | Λ | = lim | У3 I =0.
Л,/Я->-оо /2,/П->-оо
Таким образом, для любого ограниченного χ имеет
место равенство
/г,/я-)-ов
чем и завершается доказательство теоремы.

126 ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ЗАДАЧИ В ОБЩЕЙ СХЕМЕ [Гл. III
Точно таким же методом может быть доказана сле-
дующая теорема.
Теорема 3.3. Пусть пч т—>оо,—=а—>const>
η
>0t 5=const,
Случайная величина
У82:(5)/г
β пределе имеет нормальное распределение с парамет-
рами (О,1).
Рассматривая схему случайного независимого за-
полнения m различными предметами η различных
ячеек, из теоремы 3.3 получаем эквивалентное ей ут-
верждение.
Следствие. Если m различных предметов слу-
чайно, равновероятно и независимо заполняют η раз-
личных ячеек и lnm{s)—число ячеек, содержащих s
предметов, то при выполнении условий теоремы 3.3
случайная величина r\nm{s) асимптотически нормальна
с параметрами (О,1).
Так как |Пт(0) представляет собой число пустых
ячеек, то аналогичное утверждение об асимптотиче-
ской нормальности имеет место и в этом случае.
Теорема 3.1 также допускает перефразировку, в ре-
зультате чего следует утверждение о предельном пуас-
соновском распределении числа ячеек с s предметами.
2. Последовательное построение m-выборок. Рас-
смотрим процесс последовательного построения т-вы-
борок, когда /п=1, 2,... и элементы некоммутативного
несимметричного я-базиса выбираются случайно и
независимо. Этот процесс соответствует последователь-
ному случайному заполнению η различных ячеек раз-
личными предметами.
Обозначим через νκ случайную величину, равную
числу шагов до появления впервые k-vo элемента «-ба-
зиса, если {k—1)- элемент уже появился. Ясно, что

§ 3] РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ НЕКОММУТАТИВНОГО БАЗИСА 127
Vft равно наименьшему числу различных предметов
для заполнения k различных ячеек. Распределения
случайных величин v& и gnm(0) связаны очевидным
соотношением
Я^<т)=Я(и(0)<л-*).
Отсюда следует, что
Найдем выражение для производящей функции *ν*.
Для этого рассмотрим случайные величины δι=νι,
би—Vk — Vft-ь Л=2, 3, ... Очевидно, что случайные ве-
личины бь 02, ..., 6k независимы и
Отсюда следуют выражения для производящих функ-
ций 6ή и vft:
1_(-^)·
&(^)=-—jzf-, (з.б)
1 — χ
η
* (ι-— )'
/»(*)-П) "/,. (3-7)
Дифференцированием при #=1 получаем выраже-
ния для среднего и дисперсии б&:
Шк=ё'кп(\)-
n — k+l
оь-&м+мъ-&.№={?!:^\у>

128 ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ЗАДАЧИ В ОБЩЕЙ СХЕМЕ [Гл. III
Отсюда следуют формулы для среднего и диспер-
сии Vfel
Mvk = y п- ,
(3.8)
1 /й(я""^ + '1)2.
Для асимптотической оценки Mvh и Dvh использу-
ем следующие формулы, справедливые при я->оо:
|1Т=1""+с+°(т)'
|7-Й-+«"+°(т-).
где в первой формуле С=0,5772...— постоянная Эй-
лера, а в последней формуле d>\—действительное
число и ζ (ζ) —дзета-функция Римана. Полагая, что
пу k-><x> и, кроме того, £ = 0(я), Ynjk—>0, из фор-
мул (3.8) получаем
Mvft=/tln-^-+0(l),
П — ft
η — к η — к
В частности, среднее число испытаний до появления
впервые всех элементов я-базиса равно
М\п=п{1пп + С)+0(1\
где С —постоянная Эйлера.
При тех же условиях можно получить следующую
оценку для третьего абсолютного центрального мо-
мента 6j:
(3.9)
Μ
юл
а п
1 n-J+l
,ля всех / = 1, 2,.
'=оа
..,*.

§ 3] РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ НЕКОММУТАТИВНОГО БАЗИСА 129
Введем следующие обозначения:
Мх = п1п-2—9 а*=-^ /г In—n— .
η — k η — k η — k
Теорема 3.4 {71, 13]. При ky п-+оо
а) если k=-o(n) п' —·>0 т0 случайная вели-
к h k
чина (vk—М\) σ"1 в пределе имеет нормальное распре-
деление с параметрами (О,1);
б) если — >λ, 0<λ<οο, то случайная вели-
ки
чина Vh—k в пределе имеет распределение Пуассона
с параметром λ.
Для доказательства п. а) применим один из вари-
антов центральной предельной теоремы — теорему
Ляпунова, используя тот факт, что ν^ = δι + δ2+ ... + δ&,
где бь 02, ..., 6k — независимые случайные величины.
Имеем
B2-^--»*r-eln-r!Lr+0(l)>C1f,
П — к П — к П
где Ci>0 — абсолютная постоянная. Далее из форму-
лы (3.9) получаем
/Й I л - у + ι | \п)
Следовательно, при k, n-+oo,Y~n/k-+0 имеем
t=°((^)>·
Таким образом, условия теоремы Ляпунова выполне-
ны и, следовательно, п. а) доказан.
Из формулы (3.7) следует, что производящая функ-
ция случайной величины v&—k имеет вид
/*(*)=Π ■ п
i-i (l-^
5 В. Н. Сачков

130 ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ЗАДАЧИ В ОБЩЕЙ СХЕМЕ [Гл. IIJ
При выполнении условий п. б) имеем
Отсюда следует, что для любого 0^ж<1
Теорема 3.4 доказана полностью.
3. Распределение числа появлений фиксированного
элемента л-базиса. Обозначим через %пт число появ-
лений фиксированного элемента некоммутативного
несимметричного я-базиса в случайной т-выборке.
Очевидно, что
где Q(nf m, k) —число m-выборок, в которых фикси-
рованный элемент встретился k раз. Из формулы (0.12)
можно получить
"^-МТЖ'-тР *-ο·,-...«.
Данное распределение является биномиальным рас-
пределением с т испытаниями и вероятностью успе-
ха 1/я.
Биномиальные моменты имеют вид
т
Bk{n, m) = -^p, *=0, 1,..., т.
Среднее и дисперсия даются формулами
М% =-2L о* = «С-Ц
П П*
Из известных свойств биномиального распределения
следует описание предельных распределений кпт.
Теорема 3.5. Если п, т-^оо, то:
а) при — —>λ=const vnm имеет в качестве пре-
п
дельного распределение Пуассона с параметром λ;

§ 3] РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДЛЯ НЕКОММУТАТИВНОГО БАЗИСА 131
б) при — —* со случайная величина (*пт — ΛΙ)о*1,
η
М = —, σ2= — (1 ) распределена асимптоти-
п η \ η )
чески нормально с параметрами (0,1)·
4. Отмеченные элементы л-базиса. Зафиксируем не-
которые d элементов некоммутативного несимметрич-
ного я-базиса и назовем их отмеченными, l^.d^.n.
Обозначим через \(^ число отмеченных элементов,
отсутствующих в случайной m-выборке. Если Р(/, d) —
вероятность появления / отмеченных элементов в слу-
чайной m-выборке, a P{k\ /, d)—вероятность отсут-
ствия k элементов d-базиса в случайной /-выборке, то,
согласно формуле полной вероятности,
/>(ά2 = Α)=Σ P(J> d)P{k\ у, d). (ЗЛО)
Очевидны следующие формулы:
""•"-Ш'О-тП- (3·η)
Р{
Ad-W
Подставляя в формулу (ЗЛО) значения вероятно-
стей из равенств (ЗЛ1) и (ЗЛ2), получаем
(3.13)
Отсюда следует формула для биномиальных момен-
те d)
тов ξ^ i
^»(*,m)=W.2f*-*)A--'(«-
Проводя замену переменной и замечая, что
ay
m

132 ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ЗАДАЧИ В ОБЩЕЙ СХЕМЕ [Гл. III
окончательно получаем
Bid\n, /nWiVl-A\m, Л=0,1 rf. (3.14)
Отсюда, в частности, следует, что формула для сред-
него имеет вид
AfiiiW(i--jL)"
Теорема 3.6. Пусть т, п-^оо. Тогда:
а) если — —*[#=const, ^ rf=const, mo ξ(^ имеет
П А
в качестве предельного биномиальное распределение
с вероятностью успеха р = е~а при d испытаниях-,
б) если d-+oo и — = 1п—, X = const>[0, mo $т
П -ί λ
β качестве предельного имеет распределение Пуассона
с параметром λ;
в) вела d —>оо, >a = const, >Y=const, /no
η η
случайная величина
№-пуе-«
ΥηΊ [е-а _ (l -j- ay)e-2a]
имеет в качестве предельного нормальное распределе-
ние с параметрами (0,1).
Производящая функция распределения случайной
величины SjW с учетом вида биномиальных моментов
(3.14), имеет следующее выражение:
^<*>-|(ί)(,-τ)"<*-Ι>'·
Для 0^х<1 при выполнении условий а) справедливо
равенство
lim/^)-(l+i^l)-
В правой части этого равенства стоит производящая
функция биномиального распределения с вероятно-

§4]
ЗАДАЧА О ПАРОСОЧЕТАНИЯХ
133
стью успеха р = е-а при с?.испытаниях. Теперь справед-
ливость условия а) следует из теоремы непрерывности
для производящих функций.
Из формулы (3.14) следует, что при выполнении
условий п. б)
,(<*)
λ*
lim В\Г}(п, m)=—, £=0,1,...
Этим доказано условие б).
Доказательство условия в) аналогично доказа-
тельству теоремы 3.2.
§ 4. Задача о паросочетаниях
Разбиение множества Х= {1, 2, ..., т}, содержащее
блоки с не более чем двумя элементами, назовем паро-
сочетанием. Для наглядного рассмотрения паросочета-
ний представим себе одну весьма условную модель
телефонной сети, имеющей m абонентов, занумерован-
ных числами 1, 2, ..., т. Каждому состоянию сети
можно поставить в соответствие некоторое паросочета-
ние. Для этого предположим, что если i-й и /-й або-
ненты соединены между собой, то элементы i и / при-
йадлежат блоку разбиения, содержащему два элемен-
та; при отсутствии разговора k-το абонента с другими
элемент k в разбиении принадлежит блоку из одного
элемента. Если Qm — число паросочетаний из m эле-
ментов, то из формулы (0.21) при Л={1, 2} получаем
00
m«0
Отсюда находим, что
[m/2]
m
= £' + '2/2.
(4.1)
m\
*ίο k\(m — 2k)\2R
Qo=L
Обозначим через Qmk число паросочетаний с k бло-
ками из двух элементов. Из формулы (0.23) при

134 ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ЗАДАЧИ В ОБЩЕЙ СХЕМЕ [Гл. III
Л = {1, 2} имеем
где
Η/2]
ft-0
Отсюда следует, что
Q**=: ~ г, *=0. I,···, [m/2].
Л! (/и - 2*)! 2й
Если все паросочетания случайны и равновероятны
и ξ — число блоков с двумя элементами в случайном
паросочетании, то
P(t=k)=Qmk!Qm, £-0, 1,..., [m/2].
Среднее число блоков с двумя элементами равно
m = (")Qm-2lQm, « = 2,3,... (4.3)
Изучим асимптотическое распределение ξ при т-^оо.
Предварительно докажем одну лемму.
Лемма 1. Для всех х^ W, где W — некоторая ок-
рестность точки х=1> при т->оо
Qm(*)= ";!_== (! + *(!))> (4.4)
«my2ji(2w--/?)
где /?=/?(#) —единственное положительное прит-^оо
решение уравнения
xt?-\-R = m (4.5)
и о(1)->0 равномерно для всех x^W.
Используя равенство (4.2) и интегральную форму-
лу Коши, имеем
2ш g zm+l
где С — произвольный замкнутый контур в комплекс-
ной плоскости, охватывающий начало координат. Вы-

§ 4]
ЗАДАЧА О ПАРОСОЧЕТАНИЯХ
135
бирая в качестве контура С окружность радиуса
R = R(x) и подставляя в интеграл z = Reie, —π^θ^π,
получаем
Qm(x)=mle !m У, (4.6)
где полагаем
π
—π
/(θ, /?, x)=^i(^~l) + /?(^-l)-/m9.
Возьмем ε = /?_3/4 и разобьем интеграл / следую-
щим образом:
/=A + y2+y8 = f + J + J. (4.7)
—π —ε
Для —π^θ^—ε и ε^θ^π имеет место оценка
Re/(6, /?, x)=-C\fR + 0
ι
,Vr
где Re г — действительная часть ζ и С — положитель-
ная постоянная. Отсюда получаем, что
\JX\ = 0 (е~с> V*) | У31 = О {e-c>v«)> (4.8)
где Си С% — положительные постоянные.
Рассмотрим производные по θ функции /(Θ, /?, х)
в точке θ = 0:
/'(О, /?, x)=i[xW + R-m],
/(*)(0f Д, *) = /*[*2*-*/?*+/?J, Л=2, 3,...
В качестве R=R(x) выберем максимальное решение
уравнения (4.5) и разложим Д9, /?, х) в окрестности
—ε^θ^ε в ряд Маклорена:
/(β, /?,*)= _[2*/? + *]JL + A,
Д=Уг*[2*-№+Я]-ГГ·

136 ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ЗАДАЧИ В ОБЩЕЙ СХЕМЕ [Гл. III
Нетрудно получить следующую оценку:
Используя эту оценку, находим, что равномерно для
всех x^W
ε
У2= J β-ΐ2*Λ»+Λ]β»/2</θ (ι -μо (1)).
—ε
Положим φ2 = (2xR2 + R)Q2\ тогда
Λ= г 1 f Д>р(1+да),
где б^С3#1/4, Сз — положительная постоянная. Таким
образом, равномерно для всех x^W справедлива
асимптотическая формула
*-V*£r*v+'V»· <4-9)
Учитывая экспоненциальный характер оценок (4.8),
из формул (4.6), (4.7) и (4.9) получаем
2я#ш V 2xR* + R V τ V "
Отсюда, проводя необходимые упрощения с использо-
ванием уравнения (4.5), убеждаемся в справедливости
леммы.
Следствие 1. Для числа паросочетаний из m
элементов Qm при т->оо имеет место асимптотическая
формула
Qm=^-=re-"4^Vm-^{\-\-o\\)). (4.10)
VT
Действительно, применяя формулу Стирлинга для
ml при т-*оо, из леммы получаем
Qm=QJi)=(f)V(«-)/2|/"1-^-(i+o(D), (4,11)
где г — максимальное решение уравнения r2 + r=m.

§ 4]
ЗАДАЧА О ПЛРОСОЧЕТАНИЯХ
137
Из уравнения (4.5) можно получить следующее
асимптотическое представление для R:
R=]/^.[\ L_ + J_ + 0U-Y\f (4.12)
где остаточный член стремится к нулю равномерно
для x^W. Отсюда при х=\ получаем
r = Vm(l L_ + ^L + of-L-)V (4ЛЗ)
Wm
in8'. J)'
Используя эту формулу, находим, что
гт=тт;2-е-^2(\-\-о{1)).
Подставляя оценки для г и гт в формулу (4.11),
получаем формулу (4.10).
Следствие 2. Для среднего числа блоков с дву-
мя элементами в случайном равновероятном паросоче-
тании при /п->оо справедлива асимптотическая фор-
мула
Λίξ=-^ (1 + 0(1)). .(4.14)
Формула (4.14) получается непосредственно из
формул (4.3) и (4.10).
Теорема 4.1. При т-+оо случайная величина
в пределе имеет нормальное распределение с парамет-
рами (0,1).
Из леммы 1 и следствия 1 для производящей функ-
ции случайной величины ξ в окрестности W точки х=\
при т-+оо имеем следующее асимптотическое пред-
ставление:
/.M-s^-(T)v~wfeT(1+e(1»·
где о(1)->0 равномерно для xeW7.

138 ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ЗАДАЧИ В ОБЩЕЙ СХЕМЕ [Гл. III
Используя при т-*оо оценки (4.12) и (4.13), полу-
чаем
„UnJL^JLinx + y^-l-l lUo/-U,
* 2 2 [VT J Wm)
2 2 [VT ) *\* > \ν^
Поэтому равномерно для всех x^W
/т(х)=х^еуш^~1УТ^''% + о(1)).
Если φ™ (О —производящая функция обычных момен-
тов случайной величина |, то (pm(f) =fm(et)) и для лю-
бого t^W, где W — некоторая окрестность точки
/ = 0, имеем
*
Возьмем σ2 = ]//η/4. Тогда для любого фиксированного
t получаем
lime 2 σ Tm(—) = ^2 -
Известно, что е*2/2 есть производящая функция
обычных моментов нормального распределения с пара-
метрами (0,1). Следовательно, производящая функ-
ция обычных моментов случайной величины η имеет
своим пределом производящую функцию соответст-
вующих моментов нормального распределения. Поэто-
му справедливость теоремы 4.1 следует непосредствен-
но из теоремы Куртисса.
В заключение отметим, что схема доказательства
теоремы 4.1 полностью совпадает со схемой доказа-
тельства теоремы 4.3 главы I, хотя зависимость двой-
ной производящей функции от χ несколько иного вида.

ГЛАВА IV
СЛУЧАЙНЫЕ РАЗБИЕНИЯ МНОЖЕСТВ
Случайные разбиения множеств — одно из новых
направлений в комбинаторных исследованиях. Содер-
жащиеся в главе результаты подводят читателя к со-
временному состоянию в данной области и создают
предпосылки к дальнейшим исследованиям.
Отметим, что приведенные в тексте главы прило-
жения случайных разбиений к решению задачи о чис-
ле машин для технического обслуживания велосипед-
ных гонок не имеют целью полностью учесть имеющие
место в действительности спортивные и инженерные
аспекты данной проблемы, а носят скорее иллюстра-
тивный характер. Необходимые сведения комбинатор-
ного характера о разбиениях, используемые на про-
тяжении данной главы, имеются в п. 3 Введения к
главе III.
§ 1. Распределение числа подмножеств
в случайном разбиении
На совокупности разбиений множества X из т
элементов зададим равномерное вероятностное рас-
пределение, приписав каждому разбиению вероятность
1/Гт, где Тт — число Белла. Если %т — число подмно-
жеств (блоков) в случайном разбиении, то из равенст-
ва (0.18) главы III имеем
P{lm=k)=i&r&* k=0, l,..., m,
* т
где a(m, k) —числа Стирлинга второго рода.
Рассмотрим производящую функцию
т
Fm(x)=2 3(m,j)x>. (1.1)
}-0

140
СЛУЧАЙНЫЕ РАЗБИЕНИЯ МНОЖЕСТВ [Гл. IV
Ясно, что Fm(l)=Tm9 и для производящей функции
случайной величины ξ™ имеет место выражение
Рт(х) = -^-, т=0, 1,... (1.2)
Из формулы (0.18) главы III имеем
\fmW-L=^'-4 (i.3)
Имеет место следующая формула для биномиаль-
ных моментов 1т:
где Р(т\х) есть &-я производная Рт{х)· Если Fm* (х)
есть &~я производная Fm{x)y то из равенства (1.3)
имеем
Отсюда следует, что
1 т ι \
Jr^)(l)=2(^)"0(y)^m_/.
Из этого равенства окончательно получаем
ι т ι \
/«•ft
При k—\ отсюда, с учетом соотношения (0.20) главы
III, следует выражение для среднего случайной вели-
чины |т:
Μξ„=^-1. (1.4)
1 т
Используя формулу (0.25) главы III, дающую асимп-
тотику для чисел Белла, получаем при т-+оо

§ 1] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА ПОДМНОЖЕСТВ 141
где гег=т. Принимая во внимание формулу (0.26)
главы III, окончательно получаем
^И$т = —^-(1 + о(1)).
in tn
Используя формулу для биномиальных моментов,
можно было бы получить и выражение для дисперсии
%т. Однако можно использовать другой путь. Прини-
мая во внимание соотношения
a(m, y) = e(m-l, /-1) + ;а(т-1, /), (1.5)
1 т f^i т
находим, что
Отсюда с использованием формулы (1.4) находим вы-
ражение для дисперсии
am=^-(^)2-l. (1.6)
Использование при т->оо асимптотики для чисел
Белла вида (0.25) главы III дает
D\m=^-(\ + o(\)),
где гег=т. Отсюда следует, что
Найдем теперь асимптотическое распределение
случайной величины £т при т->оо.
Теорема 1.1. При т->оо случайная величина

142 СЛУЧАЙНЫЕ РАЗБИЕНИЯ МНОЖЕСТВ [Гл. IV
в пределе имеет нормальное распределение с парамет-
рами (0,1), т. е.
HmP(Tim<Jc)=—^ \ е-^Чи.
Для доказательства этой теоремы применим метод,
состоящий в построении эквивалентной схемы сумми-
рования независимых случайных величин [53]. Пред-
варительно докажем лемму о корнях многочлена
Fm{x).
Лемма 1. При т^\ все т корней многочлена
Fm(x) различны, действительны и неположительны.
Лемму докажем индукцией по т. Очевидно, что
77o(x) = l, F\(x)=x, F2(x) =λ:(λ:+1), поэтому началь-
ные условия для применения индукции выполнены.
Будем предполагать, что лемма верна для всех много-
членов Fn(x) степени, не превосходящей m—1. Диф-
ференцируя Fm(x) и применяя соотношение (1.5), по-
лучаем
Fm (x)=x [Fm_t w + JL-F^ (*)]. (1.8)
По предположению индукции, Fm-\ {χ) имеет m—1
различных действительных неположительных корней*
В конечной части действительной прямой функция
Hm{x) =Fm(x)ex имеет те же нули, что и Fm(x). Из со-
отношения (1.8) имеем
Fm (χ) е*=х [>„,_! (х) е- + {±- Fm_x (*)) e*].
Это означает, что
Нт{х)=х-^-Нт_1{х). (1.9)
Заметим, что
lim //„,_, (*)=lim e^Fm_l(x)=0,
поэтому функция Нт-\(х) на неположительной части
прямой имеет т нулей. Согласно теореме Ролля функ-

§ 1] РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА ПОДМНОЖЕСТВ 143
ция — Нт-\(х) внутри каждого из промежутков
между нулями #m_i (χ) обращается в нуль и, следова-
тельно, имеет т нулей (один в бесконечности). Теперь
из равенства (1.9) следует, что функция Нт{х) имеет
т+\ неположительных нулей, один из которых в бес-
конечности. Значит, многочлен Fm(x) имеет т различ-
ных действительных неположительных нулей. Лемма
доказана.
Пусть — αϊ, —<Х2, ..., —Om-i — ненулевые корни
многочлена Fm(x). Тогда
Fm{x)=x(x + al){x+a2)...{x+am^l\
и из формулы (1.2) получаем
V l + oi 1+α,/ \l+om_i l+am-i/
(1.10)
Рассмотрим независимые случайные величины |ть
ξηι2, ..., £m,m-i> принимающие значения 0 и 1, причем
Р(?т/=1Н1/(1 + «Д ί=1, 2 /я-1.
Если Pmi(x)—производящая функция Imi, το
p«(x)=rh-+7?7· ,β1·2'···' m"L
Из равенства (1.10) следует, что случайная величина
1т представима в виде суммы независимых случайных
величин:
£т==£т1-Ит2+ · · · + U,«-1 + 1·
Очевидны следующие формулы для среднего и
дисперсии:
Ml - — ! Dl >-- α/
1 + α, ' "-"" (1 + α,-)2
Рассмотрим случайные величины
ц^=^-щ"±, /=ι, 2,..., т-1.
Кое»

144 СЛУЧАЙНЫЕ РАЗБИЕНИЯ МНОЖЕСТВ [Гл. IV
Очевидно, что
rL=r\mi + 4aa+ · · · +ν*-ι,
причем
Заметим, что последовательность взаимно незави-
симых случайных величин |mb £т2, ..., |m,m-i представ-
ляет собой последовательность Пуассона для
pk=- , &=1, 2, ..., т—1. Согласно следствию из
! + <**
теоремы Ляпунова § 2 главы I, соответствующая ей
последовательность случайных величин {η™}, /и=1,
2, ..., при т->оо асимптотически нормальна с пара-
метрами (0, 1), если
/я—1 т—\
Из равенства (1.7) следует, что это условие выполне-
но. Следовательно, теорема 1.1 доказана.
§ 2. Подмножества заданной величины
Обозначим через кт{1) число подмножеств вели-
чины I в случайном разбиении множества из т эле-
ментов. Если Tm(l, k) —число разбиений, содержащих
k подмножеств размера / и
[mjl]
Пт{х\ /) = Σ Тя(1, k)x\ (2.1)
ft=0
то, согласно формуле (0.19) главы III,
tm <. .. tl
2 »*(*> 0^f=exp (х-1)^-+^-1 . (2.2)
m-0 ' '
Отсюда следует выражение для производящей функ-
ции Km(l):
Pm{x' 1)-Έ^Π)~1 *ι(ίΐ^« (Λ-1)· (2·3)
fe-0

§ 2] ПОДМНОЖЕСТВА ЗАДАННОЙ ВЕЛИЧИНЫ 145
Эта формула дает возможность выразить биномиаль-
ные моменты %т{1):
kK J k\ {i\)kTm L Μ
В частности, формулы для среднего значения и диспер-
сии имеют вид
(2.5)
т{ } (/!)2ГЖ ^ /! Гт I /irj'
При m->oo и /г, /=const из формулы (0.25) главы III
получаем
* m— Ы
-«=-^=expf(m-A/)fr+-i--l
Уг+i L v
/я (г + 1)
С использованием этой асимптотики из формул (2.4)
и (2.5) при т->оо и /=const имеем для k = 0, 1,...
Вк(т; /)=Jr(0(l + o(l)), (2.6)
М*т{1)=-~ (1 + 0(1)),
(2.7)
^№ = -^(1 + 0(1)).
Теорема 2.1. Пусть т-^оо, Z = const w r — реше-
ние уравнения rer=m. Тогда случайная величина

146
СЛУЧАЙНЫЕ РАЗБИЕНИЯ МНОЖЕСТВ [Гл. IV
распределена асимптотически нормально с параметра-
ми (0,1), г. е.
X
Предварительно докажем лемму.
Лемма 1. При т-+оо имеет место асимптотиче-
ская формула
АЛ·*; /)-
Г /R (*_ 1)^-1 (^-1)ДН
/
V ^ ;| m(/~ l)!/"1"" /я(/ — 1)1
Х(1+ *(!)). 12.8)
где R = R(x) —максимальное положительное решение
уравнения
Re*=m ^ll}13L (2.9)
w o(l)->0 равномерно для всех x^W, где W —некото-
рая окрестность точки x=L
Используя интегральную формулу Коши, из равен-
ства (2.2) получаем
С
где С —произвольный замкнутый контур в плоскости
комплексного переменного zy охватывающий начало
координат. Взяв в качестве контура окружность ра-
диуса R=R(x) с центром в начале координат, имеем
^«--^«Р^-Н^}/. (2.10)
где
π
—π

§ 2J ПОДМНОЖЕСТВА ЗАДАННОЙ ВЕЛИЧИНЫ 147
Выберем ε —е(_2/5)/? и разобьем интеграл / следую-
щим образом:
J=A+J2+J3= J+ j+].
—π —ε ε
Находим производные функции /(φ, Ry χ) в точке φ = 0:
/(*>(<), /?, Λ) = /*^ + (-^^/*), A=2f 3,...,
где efc—R (δ*""1) — k-я итерация дифференциального
dR
оператора R , действие которого состоит в диф-
dR
ференцировании и умножении на R, Θ0 — тождествен-
ный оператор.
Разложим /(φ, R, χ) в ряд Маклорена в окрестно-
сти —ε^φ^ε, выбирая в качестве R = R(x) макси-
мальное положительное при т-^оо решение уравне-
ния (2.9):
£=.3
k
Проводя необходимые асимптотические оценки, по-
лучаем
α - 1)!
i-i>#±]jL+0(1),

148
СЛУЧАЙНЫЕ РАЗБИЕНИЯ МНОЖЕСТВ [Гл. IV
где о(1)->0 равномерно для всех x^W. Далее, исполь-
зуя стандартный прием, получаем
i-
/2=, / —, г-(1+о(1)).
Можно показать, что
Λ = ο(1), У,=0(1),
где о(1)-*Ю равномерно с экспоненциальной скоро-
стью. Поэтому из формулы (2.10) получаем формулу
(2.8)..
Из леммы 1 следует представление для производя-
щей функции кт{1)\
(*_1)Я'-1 (х—\)Кг
РТП I П7 I " — " I — '
ехрН^~~г
х
V r+\\ «(/-!)!/
(x-\)lRl
(r+\)m(l-\)\
Х(1 + о(1)), (2.11)
где r=R(l) и о(1)-И) равномерно для x^W.
Из уравнения (2.9) имеем
[ «(r+l)(i-l)UT lUI)
Это равенство дает возможность существенно упро-
стить асимптотическое представление Рт(х; I) вида
(2.11) и получить формулу
Рт(х; /)=e(*-V/i! (1 + о(1)), (2Л2)
где о{\)-+-0 равномерно для x^W.
Из формулы (2.12) следует, что для любого огра-
ниченного X
Рт(ех1УШ. /)=ехр[*У>^+^](1 + о(1)).

§ 3] ОГРАНИЧЕННЫЕ РАЗМЕРЫ ПОДМНОЖЕСТВ 149
Отсюда следует, что при т->оо производящая функ-
ция моментов случайной величины *'т{1) стремится
к производящей функции моментов ех2/2 стандартно-
го нормального распределения. На основании теоремы
Куртисса это означает справедливость теоремы 2.1.
§ 3. Ограниченные размеры подмножеств
Пусть размеры подмножеств, обычно называемых
блоками, в разбиении множества из т элементов при-
надлежат конечному множеству Л, причем
A = [juJ2,.-.,jd}> 1</ι</2<...<Λί<°ο,
d>\, (3.1)
Uи Λ.···. Λ/)=1»
т. е. размеры блоков являются взаимно простыми чис-
лами. Обозначим через Т^п число таких разбиений
с η блоками, а через Т^ —общее число разбиений
рассматриваемого вида. Из формулы (0.22) главы III
имеем
2 QJx; Л)-^-=ехр{л:А(0Ь
m-0
где
m
Qm(x; Α)=Σ TL*n'
я=0
Очевидно, что
Ti=Qm{\; A).
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.5)
Применяя следствие из теоремы 4.1 главы I, получаем
следующую асимптотическую формулу при т->оо:
,а ml еА{г)
п= "": -(i+o:(i))t (з.б)
rm У2лА2(г)

150
СЛУЧАЙНЫЕ РАЗБИЕНИЯ МНОЖЕСТВ [Гл. IV
где г — единственный при т-+оо действительный по-
ложительный корень уравнения
2гЧ'(А-1)! = т (3.7)
и, кроме того,
Введем следующие обозначения:
Aj(t) = XJA(t), y=l, 2,..., χ=ί-£ ,
U{t)= Σ Н)ъ\
Uj(t)=X1u(t), y = l,2,...
Положим
m K } A2(r) Λ J^jd[ U } A2(r) П Ί т-их{гУ
<4 = #(r)-- — «i(r)H И2(г),
/* jd
где г — действительный положительный корень урав-
нения (3.7).
Теорема 3.1. Пусть lm(A) —число блоков в слу-
чайном равновероятном разбиении, в котором разме-
ры блоков удовлетворяют условиям (3.1). Тогда при
т->оо случайная величина
t' (А) = ^т (Л) ~~m,id ~~ Мт
имеет в пределе нормальное распределение с парамет-
рами (0,1).
Из формул (3.2) — (3.5) следует, что производящая
функция im(A) имеет вид
fm{x)=Qm(*l A)IQm(l; Л).

§ 4] МНОГОМЕРНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 151
Из выполнимости условий (3.1) следует возможность
применения теоремы 4.3 главы I, перефразировкой
которой в данном случае и является теорема 3.1.
Среднее и дисперсия случайной величины %т(А)
имеют следующие асимптотические представления:
M%m{A)=^-^{\-klJd)r^jk\ (1 + 0(1)),
ЯиЛ)=2(1-ад2г*/Л! (1 + 0(1)).
Отсюда следует, что при d=const и т-+оо основной
вклад в среднее значение дают блоки максимального
размера /<*.
§ 4. Многомерная предельная теорема
В § 2 данной главы была доказана асимптотиче-
ская нормальность при т->оо случайной величины
*т (О — h
где Кт(1)—число подмножеств размера I в случай-
ном разбиении множества из т элементов и Ki=rl/l\,
rer=m. С целью упрощения обозначений будем пола-
гать Ki=Km(l) и рассмотрим β-мерную случайную ве-
личину
x(*) = (x/lf */„..., %tk\ 1<ίι</2<. ··<**<"!.
Основная цель данного параграфа состоит в дока-
зательстве предельной локальной нормальности с еди-
ничными дисперсиями и независимыми компонентами
случайной величины
((χ/,-λ/,νν^,..., (%-4)'ΚλΓ6). (4.1)
Докажем предварительно несколько лемм.

152 СЛУЧАЙНЫЕ РАЗБИЕНИЯ МНОЖЕСТВ [Гл. IV
Лемма 1. Для всех l=O'i<0*2<... <k^m, v =
= M/i+ ... +hjh, m=l, 2,... имеют место формулы
P{*lt = Jl'---> *ik = Jk) =
= ^1 J^-zL, (4.2)
0·ιΐ)Λ...(^Λ!...;ν Tm
где Tm—числа Белла, а числа Dm определяются про-
изводящей функцией
2л£-р|'-«-2&-
т\ *** if!
(4.3)
Действительно, число способов выбора ν элементов
из общего числа га и конструирования из них разбие-
ний с вторичной спецификацией [[/{*, /га,..., /j(*l]
равно (m)v [(Ιχ\γι.. .(ίΑ!/*/ι1 · · Ά4""1· Для получения
искомой вероятности достаточно умножить получен-
ную величину на Dm-V — число разбиений множества
из т—ν элементов, где подмножества размеров tb
i2y ..., ik не встречаются, и разделить результат на Тт.
Отсюда следует формула (4.2). Для получения произ-
водящей функции чисел Dm достаточно в формуле
(0.21) главы III взять A = N\{iu i% ..., ik}> где Ν—
= {1, 2, ...}. Это приводит к формуле (4.3).
Лемма 2. Пусть φ(t) — многочлен фиксирован-
ной степени от t и
2 D£^=exp{*'-l--<p(0}.
Тогда при гп-^оо имеет место асимптотическая фор-
мула
#„»'"Р('*-1-т(у (1 + о(1)), (4.4)
где /? — максимальный действительный при т->оо
корень уравнения
eR-ff(R) = mlR, (4.5)
(штрих означает производную).

§ 4] МНОГОМЕРНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА 153
Доказательство формулы (4.4) проводится уже не-
однократно применявшимся приемом. Используя ин-
тегральную формулу Коши, находим
т\ i! Λ _ f Λ~ л /μ dz
D^=~r§^P{eZ-^-'?^)}
zm+l
Беря в качестве контура С окружность радиуса R, где
R — решение уравнения (4.5), получаем
где
—π
/ (/?, θ)={е*<п - е«) - (φ (Re") - φ (/?)) - Ш.
Выбирая е=^с-|/а)/? и разбивая интеграл / на три
интеграла / = /ι + /2 + /3 с пределами интегрирования
[—π, —ε], [—ε, ε], [ε, π] соответственно, можно пока-
зать, что
У2== ^2π -(1+ο(1)),
У R{R+\)eR
\Jl\=^o{(R(R^\)eR)-,,t), /=1,3.
Собирая полученные оценки, убеждаемся в справедли-
вости леммы.
Лемма 3. При т-^оо для v = 0(rq/(r)), rer=m,
имеет место асимптотическое представление
//m_v = ^L^rm(l + o(l)). (4.6)
Из формулы (4.4) следует, что
#* (m-v)l exp{g*'-l-y(/?v)}
/£-,= — (1 + 0(1)),
Rf—(2nRyl(R,+ l)e^)'t

154
СЛУЧАЙНЫЕ РАЗБИЕНИЯ МНОЖЕСТВ [Гл. IV
где Rv — максимальный действительный при т->оо
корень уравнения
eP*-9'{RJ = lL^L. (4.7)
Таким образом, имеет место следующая формула:
тт (m)v/?rv U^v + D^ )
Χβχρ{^-^-φ(^ν)} (1 + ο(1)). (4.8)
Из уравнения (4.7), с учетом равенства гег = т, имеем
/?.вГ + "*'{ή i_JL + 0^^2
(г + 1) (/и — ν) r-j-l ш ' W m
Следовательно,
Для 1/^v имеем равенство
1 _ l f' (Ο ι ν ι nirfr'W1
— Or
Я» r (r+l)(m —ν) r (r+1) ro V V m
Из последней оценки следует, что
^ -^=+Γ^^-^ + 0(^(cp'W) · (4.9)
Используя формулы (4.8) и (4.9), а также асимптоти-
ческое представление
убеждаемся в справедливости леммы 3.
Теперь сформулируем и докажем локальную пре-
дельную теорему.

§ 4]
МНОГОМЕРНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА
155
Теорема 4.1. При т-^оо равномерно для всех
^г|=^С<оо, i=l, 2, ..., k, имеет место равенство
( */ — λ,· х/*.~~"*^·
η ί ii м ft ft ., ι
——Ηί,···, τ=ζ—Μ-
Ι Vh, V\
= /2πΓ*/2 exp\^^yA(\+o(\)\ (4.10)
где Xi~rl/l\< г — единственный корень уравнения гег—
■=т и С — положительная постоянная.
Введем переменные μδ, 0ίξ;μ85ί:(7<οο, с помощью
равенства
J* = \ + PsV\> 5г=1> 2,·...· *.
Положим Η=(ίχΐγι... (*V)4/i!· · ·Λ!· Так как г—► оо
при гп-^ооу то, применяя формулу Стирлинга, имеем
ft ft
1пЯ=А1п1/"2я+1пг2^/, —2λ/*^"
ft 'ft ft
s~l s**l s~l
где оценка равномерна для |μί|<ί£ /=1, 2, ..., k. Да-
лее будем полагать, что
ft ^
/-ι ||!
Тогда
V==V(r) + 2 *>ДЯ~ ср(г) = 2Л',·
Используя эти факты, получаем
//Н2я)»/ух^Тд^г' exp j -<р (r)+ 4*2 Л (! + °ί1))·
(4.11)

156
СЛУЧАЙНЫЕ РАЗБИЕНИЯ МНОЖЕСТВ [Гл. IV
Согласно лемме 1
Ь^~Р -b^.-J~<£%=
УЧ ΐ/λ
Η Г
т
k
Теперь, используя оценки (4.6) и (4.11), убеждаемся
в справедливости теоремы.
С помощью стандартного приема из локальной тео-
ремы может быть получена интегральная.
Теорема 4.2. При т->оо для любой квадрируемой
k-мерной области Lh имеет место равенство
— IV VK V\ J 1
"■55^"]··Г *" W"-*"'
§ 5. Наибольшее и наименьшее подмножества
разбиения
Обозначим через Nim) и 7W£m) числа разбиений
множества из т элементов с условием, что размеры
подмножеств соответственно превосходят и не прево-
сходят k. Тогда из формул (0.14) и (0.21) главы III
имеем
УМт)-^-=ехр(*<-1-<рй(0), Мт) = 7\»,
т=»0
(5.1)
°° jfn
где φ0(<) = 0,
,(0=24^ k=h 2>···' (5·2)
и Гт — числа Белла.

§ 5] НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ПОДМНОЖЕСТВА 157
Обозначим через vm и \х,т размеры наименьшего и
наибольшего подмножеств соответственно в случайном
равновероятном разбиении множества из т элементов.
Очевидно, что
P(vm>k)=Nim)lTmi P(pm<k) = M(km)/Tm.
Изучим сначала асимптотическое поведение рас-
пределения vm. Характер этого поведения следует из
некоторого более общего утверждения.
Теорема 5.1. Если кт{1)—число подмножеств
размера I в случайном разбиении, то при ограничен-
ном I
ИтЯ(хт(/)>0)=1.
Для неотрицательной случайной величины κ спра-
ведливо неравенство чебышевского типа
>(/ = 0)</λ/(#/)2,
где Λίκ и £)κ — среднее и дисперсия κ. Применяя это
неравенство, получаем
/>(хш(/)>о)>1- ,^*ffL -
(M%m (/))2
Согласно формулам (2.7) для больших m имеем
Я(хя(/)>0)>1-^, re'=m.
Отсюда следует справедливость теоремы.
Смысл теоремы 5.1 состоит, грубо говоря, в том,
что при т-*оо любое разбиение с вероятностью, близ-
кой к единице, имеет подмножества размера /, где /
ограничено и, в частности, имеет единичные подмно-
жества. Следовательно,
HmP(vm=l)=l,
т. е. предельное распределение vm является вырож-
денным.
Перейдем к изучению при т-+оо асимптотического
распределения \im — размера максимального подмно-

158 СЛУЧАЙНЫЕ РАЗБИЕНИЯ МНОЖЕСТВ [Гл. IV
жества в случайном разбиении множества из т эле-
ментов. Введем обозначение
где Л=Я(т, k) при фиксированных т и k — макси-
мальный вещественный корень уравнения
fyk$)=mm (5.3)
Лемма 1. При гп-^оо для k=0(r)t rer=m, имеет
место асимптотическое представление
Р^а<к)=екр[^1к + ^/а + 0(^Щ. (5.4)
Отметим сразу, что эта асимптотическая оценка
имеет содержательный смысл только при достаточно
больших значениях k. Используя TOf же прием, кото-
рым была получена формула (4.4), с учетом формул
(5.1) и (5.2) для k = 0{r), находим
^(|*„<*}=exp{m(i^+ln^ + ^.J(l + o(l)).
(5.5)
Из уравнения (5.3) можно получить выражение
V+ 1)«τ \\ т } )
Отсюда следует, что
„(4.-J-+in4W-S»+o(.*22).
Подставляя эту оценку в формулу (5.5), убеждаемся
в справедливости леммы.
Положим /?=#(m, k0), где kQ=[er — \n]/r27tr —
— In (β — 1)] и квадратные скобки означают целую
часть от числа. Пусть a = \nV2ner-\-ln(e— 1), Δ(/?, χ)
во
и γ(/?, л:) —значения Aft=^ Rjlj\ и Rk/k\ при &=

§ 51 НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ПОДМНОЖЕСТВА 159
= [eR — α] + Μ, причем k=eR — α — ε + Μ, где ε =
= {eR — α} —дробная часть числа eR — a.
Лемма 2. Яр« т-+оо имеют место асимптотиче-
ские представления
Δ(/?, *)=**+·-Μ (1 + 0(1)), (5.6)
γ (Я, x)=(^-l)^W(l + o(l)), (5.7)
где o(l)->0 равномерно для всех \х\ ^lnl^ г.
Представим выражение
Δ(#> *)= 2 #//ϊ
/=*/?—α—e+pr]
в виде Δ (/?, л:) =Si +52, где
*/?—α—е+[д:]-|-За
)=eR-*-i+[x]
Равномерно для всех |#|^ln]/r
ι 3α
51=-7="2β"(,"β"β+Μ)(1 + ^Π^
У2ш?/? y-o
= 0
Нетрудно убедиться, что
Si=—^== (1 + 0(1)).
|/2л;е#(е-1)
Так как ea/Y2neR(e—1) = 1+о(1), то из полученных
оценок для Si и S2 следует формула (5.6).
С помощью формулы Стирлинга легко получить
представление
γ(/?,^) = ^—=^(1 + 0(1)).
К2яб/?
Отсюда следует равенство (5.7).

160 СЛУЧАЙНЫЕ РАЗБИЕНИЯ МНОЖЕСТВ [Гл. IV
Будем рассматривать распределение случайной
величины
?m=l^m — [^ —!η Τ/"2πβτ — In (β — 1)].
Теорема 5.2. При т-^оо равномерно для всех
ограниченных χ
Я(?я<л)-^ч*,+в-0,
где 6={er—\nY2пег—\п(е—1)}—дробная часть со-
ответствующего числа.
Из леммы 1 при k=[eR—In]/ 2neR—\r\(e— 1)]+M
следует, что
^(ΐ*«<*)=βχρ{-ΔΛ + /?»/Α!}(1 + ο(1))ι
где о(1)-Н) равномерно для всех |x|s^ln]/r.
Далее, применяя лемму 2, имеем
Ρ(μ„<[^-1η/2π^-1η(β-1)1 + μ])=
=^r-M+-(1 + 0(1))f (5.8)
где о(1)^-0 равномерно для ограниченных х. Из дока-
зательства леммы 1 следует также равномерная
оценка
Принимая во внимание, что левая часть (5.8) пред-
ставляет собой ступенчатую функцию со скачками в
целочисленных точках, имеем
/>(μ„<.ν)=β--Μ+,(1 + 0(1)).
Отсюда и следует справедливость теоремы.
Теорема 5.2 означает, что при больших m распре-
деление μ™ сосредоточено в некоторой окрестности
точки [ег—\пУ 2лег—1п(е—1)] и имеет в этой окрест-
ности характер, близкий к дважды экспоненциальному.
Функция о==6(т) при т-^оо не имеет предела,
0^δ<1. Поведение δ зависит от вида подпоследова-
тельности, которую может пробегать m при безгра-

РАЗБИЕНИЯ С ПОМЕЧЕННЫМИ ПОДМНОЖЕСТВАМИ 161
ничном увеличении. Точка сосредоточения распределе-
ния \хт при т~>оо близка к среднему значению этой
случайной величины. Действительно, при т-+оо для
среднего значения μ™ имеет место асимптотика
ΛίμΛ = ^-1ηΐ/"Γ+0(1;. (5.9)
Схема доказательства этой формулы выглядит сле-
дующим образом. Имеем
Λίμ„ = 2 [1-^0*π.</)]·
7 = 1
Нетрудно показать, что при т-+оо
м*т= Σ [1-я(^от<у)]+о(1).
- 0<j<[eR~\n(e-l))
Далее,
Σ Pfrm<J) + 0(l\
[eR-$]<j<[eR-]n(e-l)}
где β = 1η1^2πβ/? + 1η(β—1). Наконец, применение тео-
ремы 5.2 дает
Σ P^m<J)=inVW+0(i).
[eR~-$}<j<leR-\n(e-l)}
Собирая полученные оценки и переходя к пределу при
т^-оо, получаем (5.9).
§ 6. Разбиения с помеченными подмножествами
1. Задача о велосипедных гонках. Пусть имеется т
участников велосипедной гонки по шоссе, которые
в процессе соревнования разбиваются на группы. Бу-
дем предполагать, что такое разделение на группы
случайно (гонки не командные) и ему соответствует
некоторое случайное разбиение множества из т эле-
ментов. Допустим, что техническое обслуживание го-
нок осуществляется единым органом, который
определяет количество автомашин с бригадами
6 В. Н. Сачков

162 СЛУЧАЙНЫЕ РАЗБИЕНИЯ МНОЖЕСТВ [Гл. IV
для ремонта велосипедов. Наилучшее техническое
обеспечение гонок будет в том случае, когда в среднем
около каждой из групп гонщиков будет следовать ав-
томашина. При случайном и равновероятном разбие-
нии гонщиков на группы среднее число автомашин,
согласно формуле (1.4), равно
* т
При больших т эта величина равна m/lnm. Это до-
вольно большое число, и вряд ли целесообразно иметь
такое значительное количество машин. Более того,
в этом и нет необходимости, так как неисправности
велосипедов возникают только с определенной вероят-
ностью, которая для каждой группы, при одинаковой
надежности велосипедов, естественно, растет с увели-
чением численности этой группы. В связи с этим при-
ходим к постановке задачи о случайных разбиениях
с помеченными подмножествами.
2. Случайные ЛА-разбиения с помеченными под-
множествами. Пусть заданы последовательности А
и Л такие, что
ΑΞΝ={\, 2,...}, A = {Ab А2,...},
AiSiV0=={0, 1....U=lf 2,...
Разбиение множества X из т элементов будем на-
зывать АА-разбиением, если размеры подмножеств
в разбиении берутся из последовательности Л, а число
β-, подмножеств размера / является элементом после-
довательности Aj, /=1, 2, ... По определению считаем,
что если / (£ Л, то Aj={0}. Число ЛЛ-разбиений вто-
ричной спецификации [[1^2^*.. .т^»]], 1βι + 2β2 + · · ·
+ тРт~т равно
[т![(1!)Р»...(т!)р« ?!!...
Tm{h> в,·-. ft»; ЛЛ)=| ...PJ]-1, РуеАу,
(θ в противном случае.

§ 6] РАЗБИЕНИЯ С ПОМЕЧЕННЫМИ ПОДМНОЖЕСТВАМИ 163
При этом условии можно ввести в рассмотрение инди-
катор ЛЛ-разбиений:
С (Хц х2, - -., хт\ Лу Л)=
= 2 ^(Pi,·-., L· ЛА)лМ'...^. (6.1)
J
Из формулы (6.1) можно получить выражение для
производящей функции от бесконечного числа пере-
менных, называемой нумератором ЛЛ-разбиений:
F(t; xv *2,.... Л, А)==
= 2 С(*ь х2ч...% хт\ Л, А)—г =
/72=0
Если Гт(Л, Λ)—число ЛЛ-разбиений множества
из т элементов, Гтп(Л, Λ) —число таких разбиений
с η подмножествами, то
Σ,^-ο^—π Σ (#)"£· (β·4)
«-0 и-0 ;бЛ β;·6Α;· ч J J r/
При фиксированных Л и Λ на множестве ЛЛ-раз-
биений зададим равномерное вероятностное распреде-
ление. Пусть в результате случайного испытания про-
изошла реализация некоторого ЛЛ-разбиения. Опреде-
лим теперь случайный процесс нанесения пометок на
подмножества этого разбиения. Каждое подмножест-
во ЛЛ-разбиения, имеющее размер k, k=l9 2, ..., неза-
висимо от остальных подмножеств получает пометку
с вероятностью ph, а с вероятностью ^=1—рь, остает-
ся непомеченным.
6*

164 СЛУЧАЙНЫЕ РАЗБИЕНИЯ МНОЖЕСТВ [Гл. IV
Рассмотрим случайную величину 1т{А, Λ) =~-
= (£(1)> |(2)> ... > ξ(?η)), гДе l{h) — число помеченных под-
множеств размера k, или k-под множеств, в случайном
ЛЛ-разбиении конечного множества X из m элементов
после нанесения пометок. Если /с=(&ь k2, ..., km), то
PltmiA, Δ) = Α} =
-^Ц^7"-"' ^ *>π(1;Κ<«!<-*<.
Для .производящей функции
f{xu x2,..., xm\ А, Л)=
m m
= Σ ··· Σ ^(^и. д)=а} *?**§·...**«
/к
имеет место следующее выражение через индикатор
ЛЛ-разбиений:
РтЛтп
J т\л> Ά)
Используя выражение для производящей функции
индикатора ЛЛ-разбиений (6.2), получаем
Ζ Тт(А Л)/(*ь Ь,·.., *т\ Л, А)—=
-π Σ ((*«.+*>-f)'Vr· (β·5)
Пусть £(m)—число помеченных подмножеств в
случайном ЛЛ-разбиении, ч\ш — суммарное число эле-
ментов X, содержащихся в помеченных подмножест-
вах, a fm(x\ Л, Л) и <рт(л:; Л, Λ) —производящие функ-
ции случайных величин £(т) и цт соответственно. За-
метим, что
ηΛ = 1ξ<*>+2ξ<2>+...+/ηξ<'Β>.

§ 6] РАЗБИЕНИЯ С ПОМЕЧЕННЫМИ ПОДМНОЖЕСТВАМИ 165
Отсюда следует, что
/я(х; Л, Л)=/(*. *,..., х; Л, Λ), (6.6)
9т(х; Л, А) = /(*. х\..., хт; Л, Λ). (6.7)
Кроме того, если l^ii<t2<-.<tft^w и если
(£(/l), ξ(/·\· · ·, ξ*'**)— соответствующая случайная ве-
личина/го ее производящая функция есть
= /(1,..., 1, лг/м 1,..., 1, */л, 1,...; Л, Λ),
где на местах с номерами, отличными от iu 12, ... > *ь
стоят единицы. В частности, производящая функция
ψ) есть
/»(х; А, Л)=/(1,..., л,..., 1; А, Л), (6.8)
где л: стоит на l-м месте.
Рассмотрим некоторые частные случаи задания
И1. Пусть Л=ЛГ={1, 2, ...}, Л^ЛГ0={0, 1, 2, ...}, / =
= 1, 2, ... Для соответствующей производящей функции
f(x\> *ь .» > Хт) имеем
^ Tmf(X\9 *2,···, -К/и) —j~ =
/71-0
=ехр *-1 + 2а(**-1)^ , (6.9)
*=1
1де Тт, т = 0у 1, ... — числа Белла.
Замечание. Полезно отметить, что
2 (ЛЛ+?*)-:;
U-i
Это позволяет полагать, что, вообще говоря, /?& =
=pk(m)y &=1, 2, ..., т, т. е. процессу нанесения поме-
ток соответствуют серии случайных испытаний.
Если fm(x)—производящая функция l(m), a
gm(x)—производящая функция биномиальных мо-

166 СЛУЧАЙНЫЕ РАЗБИЕНИЯ МНОЖЕСТВ [Гл. IV
ментов этой случайной величины, то в силу равенства
gni(*)=/m(* + l) имеем
Σ Tmgm(x)^xp i'-l + xjfti · (6Л0)
Отсюда следует формула для биномиальных моментов
*<")-*ϊ·;Ρξ(7)Γ~, Σ ,ct'*-'v
(6.11)
Пользуясь формулой обращения, можно получить
выражение для точного распределения £(т):
PU(m) = r) = 2(-l)»-'(*)^(m), r=0, 1,..., т.
В частности, если /?j = oj, 0<δ^1, то для биномиаль-
ных моментов из формулы (6.11) получаем выражение
ι т ι \
(m, «J^^r-SUr'· k)Tm-lbl> *=0' 1'···' т'
(6.12)
где σ(/, /г) —числа Стирлинга второго рода. Отсюда
получаем среднее значение |(т):
М\{т)=^-^ут-,Ы (6.13)
Если использовать формулу Добинского для чисел
Белла
' ^-τΣίΓ. (6Л4)
Bk
*=о*!
то окончательно получаем
М1(т)=—У {к + ЬГ -1. (6.15)
[•г. ^ *ι

§ б] РАЗБИЕНИЯ С ПОМЕЧЕННЫМИ ПОДМНОЖЕСТВАМИ 167
В случае, когда Pj = 6j, для биномиальных момен-
тов случайной величины г\т справедлива формула
k=0, 1,..., m.
Отсюда, используя формулу обращения, находим точ-
ное распределение r\m:
Я(Л,„=У)=2 (-1)*-/ р*К δ), j = 0, l,..., m.
(6.17)
Возьмем теперь pj = Xj/m, j= 1, 2, ..., m. Биномиальные
моменты l{m) в этом случае будут вычисляться по
формуле
(6.18}
2. Положим теперь Aj=A/O={0, 1, ...}, j^A^N=
= {1, 2, ...}. Для производящей функции /w(a:i, #2, ...,
xm\ A) y соответствующей этому случаю, имеем
^^ίΣίΓ+Σ^^-^-ττΙ· (бл9)
В частности, для производящей функции fm{Xiiy
л:/,,..., */ ; Л) случайной величины (ξ(/ι\ ξ(/β),.. .ξ(/Λ>)
имеем
00
пА
m-0

168 СЛУЧАЙНЫЕ РАЗБИЕНИЯ МНОЖЕСТВ [Гл. IV
Если /т\х, Л) —производящая функция случайной
величины ξ(/), то из предыдущего равенства получаем
%Т*/<Л\х·, Л)-^-=ехр{л(^-1)^-+24}· (6·20)
т-0 т [ JCA J )
Из формулы (0.21) главы III следует, что
β
Отсюда получаем выражение для биномиальных мо-
ментов
йк(«)=^% (6.21)
где Τ%τ~ общее число соответствующих разбиений
множества из т элементов. Точное распределение ξ(/)
имеет вид
P(r}=r)=^(-ii
r = 0, 1,..., [m//].
§ 7. Предельные распределения для разбиений
с помеченными подмножествами
1. Основная лемма. При отыскании предельных рас-
пределений случайных величин, рассмотренных в пре-
дыдущем параграфе, важную роль играет следующая
лемма.
Лемма 1. Пусть
При т-+оо справедлива асимптотическая формула
Sn(a, f}) =
= -prexp{m(r+-i—l)+r(a-{J)-l}(l + o(l)), (7.1)

<7]
ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
169
где о(1)-*0 равномерно для всех aefi, &^W2, W\,
Wo — ограниченные интервалы на действительной оси,
включающие нуль, и г — единственный корень урав-
нения rer—m. Кроме того,
Иш *-г(—β) 5^fl> Ρ>=ι. (7.2)
(О, 0)
Доказательство проводится по тому же плану, что
и получение асимптотики для чисел Белла в гл. V [29].
Возьмем положительную постоянную А и представим
Sm(α> β) в виде суммы трех слагаемых:
01—1 02 °° / ' I \Ш— 8
где 0i, B2=[er ± AYm] (квадратные скобки означают
целую часть от числа). Можно показать, что
S2 = ! expWr+-—l) + r(a—p))x
eV2nr \ \ г ) |
A Vm
χ 2 er*'4*-Z- (1 + о(1)).
/--ЛУН V «
Кроме того,
ЗД=О (е~Сг°), ЗД=О {ег**\ С > О,
и все оценки равномерны для <хе№ь $^W2. Применяя
интегральное приближение для суммы, входящей в
выражение для S2, получаем окончательный резуль-
тат.
При α=β = 0 из леммы 1 следует приведенная в [29]
асимптотика для чисел Белла:
Tm=SJ0, 0)=-^ехр{т(г+-1— |l)-l}(l + o(l)).
Существование указанного в лемме предела легко
следует из существования пределов разделенных на
Sm (0, 0) сумм, на которые разбивается 5m(a, β).

170 СЛУЧАЙНЫЕ РАЗБИЕНИЯ МНОЖЕСТВ [Гл. IV
2. Дискретные предельные распределения.
Теорема 7.1. Пусть limp Л —) =1, /=1,2,...,
где гег=т, X=const. Тогда в пределе случайная вели-
чина l(tn) имеет распределение Пуассона с парамет-
ром е%—1.
Из формулы (6.11) следует, что при выполнении
условий теоремы биномиальные моменты l(m) могут
быть представлены в виде
где для чисел Стирлинга второго рода σ(/, k)y как
обычно, предполагается, что σ(/, &)=0 ПРИ Kk. Ис-
пользуя формулу Добинского для чисел Белла (6.14)
и формулу
находим
ъ /АЧ 1 со Ь-Ь— (6-ν)
''"■"-jjr-gt-D'OJg1 '., ' !■ + .[№
Приме .яя~лемму 1 при а=— (k — v) и β=0, для
любого фиксированного k получаем
\Ы Вк{т)=±{*-\Г, А = 0, 1,...
Так как в правой части равенства стоят биномиальные
моменты распределения Пуассона с параметром гк—1,
то этим завершается доказательство теоремы.
Из асимптотического представления биномиальных
моментов следует асимптотика для среднего значе-
ния 1(пг)
Λίξ(/η):=£λ— 1.

§7]
ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
171
Следствие. Если Pj — ЬК /=1,2,..., о = Я/г,
<ег = т, то случайная величина 1(т) в пределе имеет
распределение Пуассона с параметром е%—1.
Для задачи о велосипедных гонках это означает,
пто если надежность каждого велосипеда о=Я/г,
r~lnm, то среднее число автомашин с ремонтными
m
бригадами для больших га имеет порядок ех4-1,
In m
ι. е. очень велико.
Теорема 7.2. Пусть pj = b\ /=1, 2, ..., δ = δ(/η)
и r6-wt = const при т-+оо..Тогда случайная величина
ц,п в пределе имеет распределение, однозначно опреде-
ляемое своими моментами, а именно:
\шР{цт=к)=^-Т^-(еХ~1\ * = 0, 1,..., (7.3)
где Tk — числа Белла.
Из формулы (6.16) для биномиальных моментов
т]т при выполнении условий теоремы имеем
Отсюда, применяя лемму 1 при α=/6, β=&, получаем
s*K ν.—^(ψ)Σα^ Ле1гЧ1+о{1)).
Из этого равенства для любого фиксированного &,
& = 0, 1, ..., следует, что
UmSftm, b)=£y*:{k9*j)e*9 * = 0, 1,...
Производящая функция биномиальных моментов
предельного распределения имеет вид
£(*)=ехр(**</+1> —*λ).
Так как данное распределение однозначно опреде-
ляется своими моментами, то для производящей

172 СЛУЧАЙНЫЕ РАЗБИЕНИЯ МНОЖЕСТВ [Гл. IV
функции .из последней формулы следует выражение
f(t)=exp{ext-ex).
Вычисляя коэффициент при th в разложении этой
функции в ряд Маклорена, убеждаемся в справедли-
вости теоремы.
Из выражения для биномиальных моментов следу-
ет, что среднее и дисперсия предельного распределения
равны 1ех и λ (λ-j- 1) ех соответственно.
Теорема 7.3. Пусть /;,=λ— /=1, 2,..., w,
т
λ = const. Тогда при т-^оо случайная величина £(/гс)
имеет в пределе распределение Пуассона с парамет-
ром λ.
Из формулы для биномиальных моментов (6.18)
и формулы (6.14) имеем
Bk{m)= W* J.у (« + *Г-Ч Λ=0, ι,...
*v ; k\ m*Tm e £0_ s\\
Применим лемму 1 при α=β=&. Β результате для лю-
бого фиксированного k получаем
Hm£4(m)=-£-, k=0, 1,...
Этим заканчивается доказательство теоремы.
Теорема 7.4. Если Нга/7/(—) =1, у=1, 2,...,
/И->оо \ Г /
где гег=пг, λ=ΰοη8ΐ;, то я/ш m->oo, /=const случайная
величина ψ> в пределе имеет распределение Пуассона
с параметром λι/1\.
Используя формулу (6.21) для биномиальных мо-
ментов |Ю и применяя лемму 1 при α=0, β = &/ с уче-
том соотношения rer=m, при любом фиксированном k
получаем
Этим теорема 7.4 доказана.
3. Сходимость к нормальному распределению.
Пусть Pj = oJ', /= 1, 2, ..., где б — некоторое число, удов-

§ 71 ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 173
летворяющее условию 0<б<1. В этом случае для про-
изводящей функции fm(x) случайной величины 1(т)
имеем
2 Tmfm(x)-L-=exp{e'-\ + (x-\)(e*<-\)}. (7.4)
Лемма 2. При т-^оо для производящей функции
fm(x) справедливо асимптотическое представление
fm(x)=eh*n<x){l + o(l))9 (7.5)
где
ftm(x)=m(hir — h\R) + eR-er + {x—l){e*R—l),
R = R(x) —единственное действительное решение
уравнения
Re*+{x-\)bRebR=m,
г = /?(!), rer=m, и о(1)—*0 равномерно для всех
XEEW=[\-~x0i l + *0], 0<л-0<1.
Из равенства (7.4) методом доказательства леммы
1 § 2 можно получить асимптотическое представление
mlexp {е* — 1 + (х - 1) (eSR - 1)}
TmRm Ϋ2λ [R(R+\) e*+(x-l) bR (bR+l) ebRp*
(1 + 0(1)),
где о(1)-»-0 равномерно для x^W. Далее, используя
асимптотику чисел Белла и учитывая, что
г(г + 1)/ =1 + 0(1),
R(R+ 1) eR + {χ - \)bR(bR + l)e*R
где o(l)->0 равномерно для x^W, получаем
/m(x)=(^)%xp {<?*-<?'+(*-Ш*8*-1)1 (l + o(l).
Отсюда и следует справедливость леммы 2.
Теорема 7.5. При m—>oou Pj=h?, /'=1, 2,...;
О<Сδ<d 1, случайная величина {%{т)—еЬг)е-Ьг12, гег~т
в пределе имеет нормальное распределение с парамет-
рами (О,1).

174
СЛУЧАЙНЫЕ РАЗБИЕНИЯ МНОЖЕСТВ (Гл. IV
С учетом равенства (7.5) для доказательства дан-
ной теоремы можно применить теорему 4.2 главы I.
Нетрудно показать, что
a;(1)=**-i, a;.(1)=~J2L*(«-i>'
и равномерно для всех x^W=[l—*0, 1+д:о], 0<лг0<1,
£(*) = О (*<»">*).
Отсюда следует, что равномерно для всех xgW
^(D + ^d))'
► О.
На основании теоремы 4.2 главы I можно утверждать,
что случайная величина
6 («)-*«(!)
*'(«) =
Vb
0)+л«0)
асимптотически нормальна с параметрами (0, 1). Это
утверждение совпадает с содержанием теоремы 7.5.
Можно показать, что для среднего и дисперсии
1(т) справедливы формулы
Af5(m)=e8'+0(1),
т. е. параметры нормировки в теореме 7.5, асимптоти-
чески совпадают со средним и дисперсией 1{т).
Перейдем теперь к изучению асимптотического рас-
пределения суммарного числа х\т элементов, попавших
в помеченные подмножества, когда пометка &-множе-
ства производится с вероятностью 6fe, 0<δ<1. В этих
условиях для производящей функции ут(х) случайной
величины цт из формул (6.5) и (6.7) имеем
У7-тТт(*)-Ц-=ехр{е'-1 + е«'*-в»'}. (7-6)
т=0

§71
ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
175
Лемма 3. При т->оо для производящей функции
ут(х) имеет место асимптотическое представление
<fm(x)=/"w(l + 0(l)), (7.7)
где
ym(^)=m(lnr —1η^)+^ + ^+^Λ-β* (7.8)
f[=R(x) —единственное действительное решение
уравнения
Re« + xbRexb% — bRe™ = m, (7.9)
г=Я(1), rer=mf и o(l)->0 равномерно для всех
jcgW=[1-x0) 1+jco], 0<jco<1.
Из формулы (7.6), используя интегральную форму-
лу Коши, получаем асимптотическое представление
?«(■*)=
= _ »'»*Р{^-1 + ^-«*} _ (i + 0(l))t
где о(1)->0 равномерно для x^W. Далее доказатель-
ство проводится так же, как и в лемме 2.
Теорема 7.6. При т->оо и Pj = 6j, /=1, 2, ...,
0<ό<1, случайная величина
Ч*=(η„ - δΓ^δ0/(δΓ^^2), rer=my
имеет в пределе нормальное распределение с парамет-
рами (О, 1).
Используя вид (7.8) для функции Jm{x) и уравне-
ние (7.9) для Д имеем
г + 1
Кроме того, можно получить оценку Jmm(x) = 0(R3eb^)
равномерную для x^W. Теперь доказательство тео-
ремы 7.6 завершается применением леммы 3 и теоре-
мы 4.2 главы I.
В заключение рассмотрим асимптотическое поведе-
ние при т->оо распределения случайной величины ψ\
равной числу помеченных подмножеств размера /
в случайном разбиении при условии, что pLrl-*oo.

176 СЛУЧАЙНЫЕ РАЗБИЕНИЯ МНОЖЕСТВ [Гл. IV
Теорема 7.7. При т-+оо и prrl-+oo, Z=const,
rer=m, случайная величина
l{l)-Pirlll\
Vpirl!l\
имеет в пределе нормальное распределение с парамет-
рами (О, 1).
Для производящей функции fm} (х) случайной ве-
личины 1(1) из формул (6.5) и (6.8) имеем
2^/^4^)^=exp{ef--l + A(x^l)^-}.
Из этого равенства методом, использованным при до-
казательстве леммы 2, можно получить представление
ΛΙ)(λ)=Α(')(1 + ο(1))ϊ
где
6 7? (x—l)Rl
И1 (l - 1)! '
R=R(x)y г=Л(1) и о(1)-Ю равномерно в некоторой
окрестности W точки #=1. Далее, легко проверить,
что
•Ml)- л , -Ml)- ^ г +Д (/_1}! J
/ БЗ(/-1) \
и, кроме того, Jm (χ) —Οι — равномерно для
\ е2* I
x^W. Теперь доказательство теоремы 7.7 легко завер-
шается путем применения теоремы 4.2 главы I.
4. Среднее число машин обслуживания в велоси-
педных гонках. Вернемся к задаче о велосипедных
юнках. Будем считать, что подмножество случайного
разбиения, соответствующее некоторой группе гонщи-
ков, помечается, если в этой группе нет неисправных
велосипедов. Отсюда следует, что число машин обслу-
живания равно 1(т)=1т—1(т), где |т — число под-

§ 7] ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 177
множеств в случайном разоиении множества из т
элементов, а 1(т)—число помеченных подмножеств.
Если δ — вероятность исправности одного велосипе-
да, то в предположении независимости вероятность
отсутствия в группе из k гонщиков неисправных вело-
сипедов равна hh. Следовательно, нас интересует слу-
чай, когда пометки производятся с вероятностью
/?fe = 6fe. Используя формулу (6.15) и формулу (1.4),
получаем, что среднее число машин обслуживания
равно
Возьмем δ=1—v/m, rer=m, где v = o(m/r). Это озна-
чает, что вероятность исправности каждого велосипеда
стремится к единице быстрее, чем обратная величина
среднего числа элементов в подмножестве случайного
разбиения. Тогда рассуждениями, аналогичными тем,
с помощью которых получено равенство (7.2), можно
показать, что
ЖС(т) = [^-^(1^/*)](1 + о(1)).
Отсюда получаем окончательную асимптотическую
формулу для среднего числа машин обслуживания
AiC(m)=O(l-fo(l))f
справедливую при v = o(m/r).
Нетрудно убедиться, что рассмотренный случай
соответствует порядку вероятности неисправности од-
ного велосипеда вида o(l/lnm).

ГЛАВА V
СЛУЧАЙНЫЕ ПОДСТАНОВКИ
Введение
1. Λ-подстановки. Будем рассматривать множество
подстановок степени я, образующих симметрическую
группу Sn. Подстановка s^Sn принадлежит цикловому
классу. . {Γ*2β,.../ιβ«}, ιαι + 2α2+... +ηαη = η, если
она имеет otj циклов длины /, /=1, 2, ..., п. Подста-
новка s из данного циклового класса называется
Л-подстановкой, если ctj^Aj, где Aj — заданная после-
довательность из N0={0, 1, 2, ...} и Л= (Αι, Лг, ...)·
Пусть Сп (Л) — число Л-подстаговок степени /г,
СяА(Л) — число Л-подстановок, имеющих k циклов,
Clnj (Л) — число Л-подстановок с kj циклами длины
lu *yeAJy, у = 1, 2,..., г, причем Г=(/ь..., /Д
А=(Л1э..., &Г), 1 < г < /г. Положим для удобства
C0(A) = Coo(A)=Cqq(A)=1, где 0 —нулевой вектор.
Число подстановок, содержащихся в цикловом классе
{1αι2α*.. .#*"}, lctj-f 2<х2+ ... +/тя=/2, определяется из
формулы
С(аь а2,..., ая) = л! Π ~~· (0.1)
Цикловой индикатор Л-подстановок определяется ра-
венством
Ся(*!,..., хЛ; А)= ^ С(а1>...,ая)*Г...л:яая>
1-а1+...+па/|-я
где суммирование ведется по всем разбиениям п, в ко-
торых слагаемое / встречается щ раз и α,-eAj, /=1,

ВВЕДЕНИЕ
179
2,..., я. Используя цикловой индикатор, можно выпи-
сать следующие формулы:
СЯ(А) = С„(1,..., 1; Л), (0.3)
ся{х\ л)=2с«*(Л)хй:=с»(х'···' х; А)' (а4)
ft=0
= СЯ(1,..., .*,..., *„..., 1; Л), (0.5)
где Хи —> *г стоят на местах с номерами /ь ..., /г, а на
остальных местах — единицы.
Производящая функция циклового индикатора Л-
подстановок имеет вид
2С"<* *47-π2(·τ)'ίΡΜ
я-0 J-l«;6AyN У ' ;
Полагая C„k=C^{N0\ ClnI = ClnJ(NQ\ из формулы
(0,6) можно получить, что
Сл(*)=2 0^=^+1)...(л+я-1). (0.7)
ft-o;
kj^-...^krlr<n l\%\ 1/kA
0<kt,...fkf<n
(0.8)
Из равенства (0.7) следует формула ·
Cn,= I s(n,k) | , (0.9)

180
СЛУЧАЙНЫЕ ПОДСТАНОВКИ
[Гл. V
где s(n, k)—числа Стерлинга первого рода, опреде-
ляемые следующим образом:
η
х{х — 1).. .(х — п-\-1) = 2 s(n> k)xk-
Формула (0.8) позволяет получить следующее вы-
ражение:
(0.10)
где индексы суммирования /ь ..., /V удовлетворяют
условию
Если Cni — число подстановок степени η с k
циклами длины I, то из формулы (0.10) при г=1 сле-
дует, что
СЙ>Я-ДЕГ 2 "177Г· .А-о, 1....,[«/']·(0.И)
2. Л-подстановки. Подстановка 5 степени η называ-
ется Α-подстановкой, если длины ее циклов являются
элементами заданной последовательности Л, где А —
последовательность из Af= {1, 2, ...}.
Обозначим через С η число Л-подстановок~степени
/г, через С^ — число Л-подстановок с k циклами и через
Cj£ —число Л-подстановок с kj циклами длины 1р
/уел, /=1, 2,..., г, Г=(/ь..., /Д *=(*!..... *г).
Соответствующие производящие функции имеют вид
yci-^- = ee<'), (0.12)

ВВЕДЕНИЕ
181
ΣΣ0*^**^*"* (0ЛЗ)
n-Ok=-0
■Та tn
л-О Г I 7 = 1 У J
где
(0.14)
αν)=Σ~· (0Л5)
Обозначим через Епь число подстановок seSn,
у которых имеется k циклов, длины которых являются
элементами заданной последовательности А. Произво-
дящая функция чисел Еп* имеет следующее выра-
жение:
2 Σ E**%*=Yz-telx~1)aln' (0Л6)
где a(t) определена равенством (0.15).
3. Подстановки с конгруэнтными циклами. Подста-
новку s степени η будем называть подстановкой с
конгруэнтными циклами, если существуют такие числа
α и β, Ι^Ξβ^Ξα, что длины циклов 5 сравнимы с β по
модулю а. Множество таких подстановок обозначим
через Sn(a, β). Очевидно, что если seSn(a, β), то \s
является Л-подстановкой, где ^={β, α + β, 2α + β, ...},
причем роль a(t) играет функция
β(';α·»=|·ϊ£τ· (0Л7)
С помощью корней степени α из единицы можно за-
писать
a(t; α, β)= L^r^/Mntl-/^/»), (0.18)
a *=1

182
СЛУЧАЙНЫЕ ПОДСТАНОВКИ
[Гл. V
где имеется в виду главное значение логарифма. Из
формулы (0.18), в частности, следует, что
a(t\ α, α)=—— ln(l—Г), (0.19)
1 /14- ί*Ι2 \
α(/; α, ο/2)= — 1η 1+* . (0.20)
α \ χ — ^«/2 J
Пусть Cnfc(a, β)—число подстановок s^Sn(a, β),
имеющих k циклов, и
С„(х; a, [i) = i] C„t(a, β)χ». (0.21)
Из формул (0.13), (0.19) и (0.20) следует, что
Сп{х· а, а)=я! ((* + «>/«-^ а | я§ (0.22)
\ л/а /
(0.23)
причем Сп(я; а, а)=0, если а не делит я, и Сп(х\ а,
а/2)=0, если а/2 не делит /г. Поскольку Сп(а, β) —
число подстановок в Sn( α, β) —имеет выражение
Сп\(<*> Р)=СЯ(1; α, β), (0.24)
то из формул (0.22) и (0.23) следуют формулы для
Сп(а, а) и Сп(а, а/2).
Пусть Епь,{а, β)—число подстановок степени я,
у которых имеется ровно k циклов, длины которых
сравнимы с β но модулю а, и
*=0
Согласно формуле (0.16)
2 ^(^ a. p)^ = -L-eU»iW:..P). (0..26)
/г=0

ВВЕДЕНИЕ
183
Отсюда, используя формулу (0.19), получаем
*.(*;«, «)=«!((""^;;[Л/а])· (0-27)
Обозначим через D(ny μ, ν) число подстановок сте-
пени я, у которых имеется ровно μ циклов нечетной
и ровно ν циклов четной длины. Положим
d„(x, y)= 22D(W' μ· ν)χΎ· (0·28)
Нетрудно убедиться, что
У Оя(х, у) ^=(1+0(^,/2(1-0^+ί/)/2.
Отсюда следует равенство
/>„(*. ί,)-«ι I ((xB"Ji/2)((x+,r)/J+*"1). (°·29)
из которого, полагая л: = 1 и */=1, можно получить
производящие функции для чисел подстановок с за-
данным количеством циклов четной и соответственно
нечетной длины.
4. Четные и нечетные подстановки. Декрементом
подстановки s^Sn будем называть число η—k, где
k — число циклов s. Подстановка s называется четной
(нечетной), если ее декремент — число четное (нечет-
ное). Умножение любой подстановки на транспозицию
изменяет число ее циклов на единицу, т. е. меняет чет-
ность подстановки. Отсюда следует, что число четных
подстановок степени η совпадает с числом нечетных
и равно п\/2.
Обозначим через С*п(хи..., хя) и С°п(хи..., хп)
цикловые индикаторы соответственно четных и нечет-
ных подстановок степени я. Непосредственно из фор-
мулы (0.2) следует, что
2Сп[Хь. . ., Хп) = Сп(Хц . . ., Χη)ΊΓ
-\-Ca(Xi9 — лг2, х$, —^4*···) (0.30)

184
СЛУЧАЙНЫЕ ПОДСТАНОВКИ
[Гл. V
И
2Сп {Х\, ·.., хп) =
= υΛ(Χι,..., xrt) — Cn[Xi, —Хг» -^з» —«^4»···)· (O.ol)'
Полагая Х\= ... —xn=xt отсюда получаем производя-
щие функции для СепП и C°ft —чисел четных и соот-
ветственно нечетных подстановок с k циклами.
§ 1. Циклы в случайных подстановках
1. Число циклов. На множестве всех подстановок
степени я, представляющем собой симметрическую
группу Sn, зададим равномерное вероятностное рас-
пределение и рассмотрим случайную величину |л> рав-
ную числу циклов в случайно выбранной подстановке
Из формулы (0.9) следует выражение для точного
распределения ξη через числа Стирлинга первого
рода:
Р(Ь=к)= |5(^}| , * = 0, 1,..., п.
Если Рп(х) —производящая функция ξη, то из равен-
ства (0.7) находим, что
аК \ η ) Г(*)Г(л + 1) V '
где Г (а:) есть гамма-функция. Дифференцированием
Рп(х)ь точке #=1 нетрудно получить среднее и дис-
персию |п:
Используя при п-+оо формулы
j?—= 1пл + С+о(1), С=0,5772...,

§ 1] ЦИКЛЫ В СЛУЧАЙНЫХ ПОДСТАНОВКАХ 185
находим асимптотические представления
Mln=lnn + C+o(l),
Дл=1п/г + С-л2/6 + о(1). (1.2)
Приводимые ниже две теоремы впервые были до-
казаны В. Л. Гончаровым методом характеристиче-
ских функций [8]. Доказательства теорем проведем
с использованием производящих функций и теоремы
Куртисса.
Теорема 1.1. При п-^оо случайная величина
l'n=z(£n—\nn)(lnn)~'1/2 распределена асимптотически
нормально с параметрами (О, 1), г. е.
и
Нт Я & <й)=-4= \erMdy.
Из формулы (1.1) следует, что при п-^оо
Ρη(χ)=~ΓΓ (l + o(D), (1.3)
1 (X)
где о(1)->0 равномерно для всех х, 1—6<χ<1+δ,
0<δ<1. Отсюда находим асимптотическое представ-
ление для производящей функции моментов |п:
Μη(*)=-γ^(1 + ο(1)\ (1.4)
где при п-+оо о(1)_>о равномерно для —δ/<ί<δ/,
δ'>0.
Положим а2 = \пп и рассмотрим производящую
функцию моментов случайной величины ξ^:
Mn{t)=e~»™>'°Mn{th). (1.5)
Из равенств (1.4) и (1.5) следует, что для любого
фиксированного t, —δ'<ί<δ', δ'>0,
11тЛ?я(/) = ^1/2.

186
СЛУЧАЙНЫЕ ПОДСТАНОВКИ
[Гл. V
В правой части последнего равенства стоит произво-
дящая функция моментов нормального распределения
с параметрами (0, 1). На основании теоремы Куртисса
это означает, что теорема 1.1 справедлива.
Теорема 1.2. Если κηι — число циклов длины I
в случайной равновероятной подстановке степени п,
то при п-*оо случайная величина κηι имеет в пределе
распределение Пуассона с параметром λ=1//, г. е.
limP(xJi/ = ft)=-f-^/'f А=0, 1,...
л— l*k\
Из .формулы (0.8) при г=1 следует выражение для
производящей функции κηι
{tt/t] /ν П*
ft-0 * "Χ
Используя равенство
\\mPn(x\ /)=<?<*-υ//
для O^x^l, заключаем, что производящая функция
Kni при пг+оо имеет в качестве предела производящую
фуйкцию распределения Пуассона с параметром
λ=1//. Этим теорема 1.2 доказана.
Теорему 1.2 легко вывести также из точного рас-
пределения Knh
Р(ъ=ь)=-т- 2 (-=гЧ *=о, i,...f [mi],
lkk\ fa 1>β
получаемого разложением функции Рп{х\ I) по степе-
ням я, а также из выражений для биномиальных мо-
ментов:
в\
{[)_llll*k\, k = 0, 1,..., [η/Ι]
*"-( 0, k>[nll].
Пусть li<l2<...<lr и (κηίι, κ„/2, ..., κη;Γ) — г-мер-
ная случайная величина, определяющая числа цик-
лов длин /ь U, ..., 1Г в случайной равновероятной

§ 1] ЦИКЛЫ В СЛУЧАЙНЫХ ПОДСТАНОВКАХ 187
подстановке степени п. Для производящей функции
из формулы (0.8) получаем выражение
,_ у (*ι - I)*1 (*,-!)*'.
^л(*1» *2»···· *rJ— j£j Λ · · · I
Из вида этой производящей функции или непосред-
ственно из формулы (0.10) можно получить следую-
щую теорему [13].
Теорема 1.3. Для любых фиксированных /ь
h, ···, U
Я(*Я|, = Аь·.-, *я/г=*г)=П—7— ^"1/1^ + о(1)>
Отсюда вытекает, что при /ι-*οο κηίι, ..., ип/г
ведут себя как независимые случайные величины,
имеющие распределения Пуассона с параметрами
1//ь ..., 1//г соответственно.
В этой связи отметим, что для числа циклов \п
в случайной равновероятной подстановке справедливо
ξ„ = */ζ1 +*/ζ2 + · . · +%М9 П= 1, 2,. . .,
где слагаемые зависимы. В книге [33] указано пред-
ставление In в виде суммы независимых случайных
величин. Для получения такого представления опреде-
лим случайный процесс, состоящий из η шагов. Шаг
с номером Α, Ι^&ίξΓη, состоит в случайном равнове-
роятном выборе s(k) образа элемента k при подста-
новке 5 из совокупности элементов, отличных от
s(l), ..., s(k—1). В результате каждая подстановка
степени η может быть получена с вероятностью Ifnl.
Шагу процесса с номером k поставим в соответствие
случайную величину щ, которая равна 1, если в каче-

188
СЛУЧАЙНЫЕ ПОДСТАНОВКИ
[Гл. V
стве s(k) выбран элемент, замыкающий цикл s, и 0 в
противном случае. Очевидно, что
Ρ(η =1) = ! р(Л о)=—n~k .
Кроме того, ξη = ηι + η2+ ... +ηη, причем ηι, ..., ηη
удовлетворяют условию Линдеберга. Эти факты позво-
ляют получить теорему 1.1 как следствие центральной
предельной теоремы.
2. Циклы четной и нечетной длины. Обозначим че-
рез , ^ и ^случайные величины, равные соответ-
ственно числу нечетных и числу четных циклов в слу-
чайной равновероятной подстановке. Полагая в равен-
стве (0.29) соответственно у=\ и х=1 и деля на л!,
получаем выражения для производящих функций ξ^1)
лц(*н|РГ-Г)(с*+Т*-1).
^>(ί,)=2(^".Τ)(α'+1)/*+*"1)·
Непосредственно можно получить, что при я->оо
Ρ(ηι) (χ)=((χ + 1)/2 + п -ι) (ι +^ /Α!) (χ)),
pL2)
где R(n)(x)=0(l), JR{n)(y) = 0(\) и оценки равномер-
ны для 1— δ<χ, у < 1 + 8,0<8<1.Применяя формулу
Стирлинга при η —»оо, имеем
/#>(*)=-!! (1+(лг—1)0(1)), / = 1,2,
^ 7 Г((дг +1)/2)ν ' ν ^ ν /λ
где 0(1) ограничено равномерно для всех х, 1—6<л:<
<1+δ, 0<6<1.

§ π
ЦИКЛЫ В СЛУЧАЙНЫХ ПОДСТАНОВКАХ
189
Далее, проводя точно такие же рассуждения, как
и при доказательстве теоремы 1.1, можно получить
следующую теорему.
Теорема 1.4. При п—>оо случайная величина
\{ηι)={%{η)-λΙ2\ηΐΐ){ιΙ2\χνηγη\ i = lf 2, имеет в пре-
деле нормальное распределение с параметрами (О, 1).
3. Циклы, длины которых кратны данному числу.
Пусть ξ^α) — число циклов, длины которых кратны а,
в случайной равновероятной подстановке степени я.
Из формулы (0.27) находим производящую функцию
/>(«) (Х)_ /С* — 1)/« + [п/сс]\
П 1 Μ [л/α] /'
Применяя формулу Стирлинга при п-+оо, имеем
PU)W== [n/,](^ (1 + 0(1)))
. г (- + ι
где о(1)-Я) равномерно для всех х, 1—6<х<1+6,
0<δ<1.
Используя это асимптотическое представление, не-
трудно доказать следующую теорему.
Теорема 1.5. При п-+оо:
а) если — In — —» λ<οο, mo случайная величина
а ' се J
lna) в пределе распределена по закону Пуассона с па-
раметром λ;
б) если — In — ->-оо, то случайная величина
i
Н^-т'-Ш^ЙГ
имеет в пределе нормальное распределение с парамет-
рами (0, 1).
При выполнении условия а) имеем
\\mP{n){et)=e^et^

190 СЛУЧАЙНЫЕ ПОДСТАНОВКИ [Гл. V
для любого ί, — δ'<ί<δ', δ'>0. Отсюда следует, что
предельным для ^а) при п-^оо является распределе-
ние Пуассона с параметром λ.
Пункт б) доказывается точно так же, как и теоре-
ма 1.1.
4. Четные и нечетные подстановки. Будем считать,
что на множестве четных (нечетных) подстановок за-
дано равномерное вероятностное распределение и
ξ* (ξ°)_ число циклов в случайно выбранной четной
(нечетной) подстановке. Согласно формулам (0.30)
и (0.3J) производящие функции %еп и ξη имеют соот-
ветственно вид
Λ,2 (*) = ('
χ -Ь η — 1 \ (χ
η j \п
Отсюда следуют выражения для точных распределений
через числа Стерлинга первого рода:
ρ а* _ м— \s(n, k)\ + s (η, k)
ρ ftp — м— I <(*>'*) 1 - s (n* fe)
При я-^оо имеем следующее асимптотическое
представление для РПг(*)> ί=1, 2:
ЛЛ*)=^+0-*Ш*), /=ι. 2,
где Rn(x)=0{l) равномерно для всех х, 1—б^х^
<1 + 6,0<δ<1.
Из этого представления уже стандартным приемом
можно получить следующую теорему.
Теорема 1.6. При п—>оо случайная величина
(ξ„ — In /г) (In /г)~1/2 асимптотически нормальна с па-
раметрами (0, 1). Аналогичное утверждение верно
и для случайной величины К-

§2]
ВАРИАЦИОННЫЙ РЯД ПОДСТАНОВКИ
191
Если Άιΐ (хд|) —число циклов длины / в случай-
ной равновероятной четной (нечетной) подстановке,
то *ni [%ni) при я->оо имеет в пределе распределе-
ние Пуассона с параметром λ=1//. Этот факт можно
установить, например, путем отыскания и асимптоти-
ческого анализа биномиальных моментов κ«/ (*ϋί)·
§ 2. Вариационный ряд подстановки
Рассмотрим некоторую подстановку s степени п.
Последовательность чисел, определяющую длины цик-
лов подстановки s, расположим в неубывающем по-
рядке. Полученную последовательность чисел будем
называть вариационным рядом подстановки s. Первый
член вариационного ряда определяет минимальную,
а последний — максимальную из длин циклов подста-
новки. Зададим на множестве всех подстановок степе-
ни η равномерное вероятностное распределение. Обоз-
начим через ν«Λ) случайную величину, представ-
ляющую собой m-цчлен вариационного ряда случайно
выбранной подстановки; через ν(η) и v(rt) обозна-
чим соответственно первый и последний члены. Оче-
видно, что для случайной подстановки 5
где щп — число циклов длины / в подстановке s. Из
этого равенства и теоремы 1.3 вытекает, что при п-+оо
[13]
ρ(νί?}<*)=2-τβ"λ*+0(1)·
где λΛ=ν — . Отсюда, в частности, следует, что
/ °
условимся считать
0 \

192
СЛУЧАЙНЫЕ ПОДСТАНОВКИ
[Гл. V
Будем интересоваться теперь функцией распреде-
ления случайной величины \*tn) = v<n)ln:
F(n, т) = Р{|*(л><т//г}, т=1, 2,..., п.
Нетрудно заметить, что
2 F(n, «)<"=7ζγ«ρ{-2 ν|· (2Л)
Положим λ = |— Ι < — <—Д>1, и введем
обозначения
50(тэд)=1, 5А(т, л)= У , А>1,
Σ ч<л
полагая Sb(/n, η) =09 если Α^λ+l. Тогда из равенст-
ва. (2.1) следует, что
Полагая <д:'<х7/< —, находим
λ+1 λ
/4*'<μ(,ι> <*"}*=
= 2ί^15*([^],Λ)-5Α([ι«'], λ)}.
Α-0
Если т, л-э-оо, так что х'^т/п^дс", л:', x" = const,
to [8]
limP(^'<i»(")<^} =
где
Χ\ Xh
У0(т, «)=1, Уд(т, «)= f.. . f-rf3-... *£*-, Α>ι.

§ 2] ВАРИАЦИОННЫЙ РЯД ПОДСТАНОВКИ х 193
Действительно, Sh(tn, n) является интегральной сум-
мой для интеграла /&(т, я), который обладает свой-
ством однородности, т. е. для любого k>0 Jh{ktn> kri) =
=Jh(m, η). Следовательно, /h(m, n)=Jh(x, 1), где я —
= m/n. Из равенства (2.2) следует, что
Ф(л)=ИшР(т^-<р(«)<л] =
rh<JC<r· λ='·2····
Отсюда можно получить выражение для плотности
предельного распределения. Действительно, нетрудно
показать, что
■j-J„(x, i)=-4-V.(·*, ι-χ).
αχ χ
Используя это равенство, имеем
φ(χ)=Φ'(*)^2±=^£./Λ(*, 1-*),
χϊϊ<*<Τ· Ь1' 2
т. е. плотность имеет отдельное аналитическое выра-
жение для отрезков вида 1/2<х^1, 1/3<я<1/2, ...
Приведем без доказательства предельное значение
математического ожидания μ<η> [51]:
ИтЛ1|*<я>=0,6243...
П-+оо
В заключение отметим, что имеются выражения
для предельных распределений средних и правых чле-
нов вариационного ряда случайной подстановки. Эти
результаты содержатся, например, в последней главе
книги (13].
7 В. Н. Сачков

194
СЛУЧАЙНЫЕ ПОДСТАНОВКИ
[Гл. V
§ 3. Подстановки с конгруэнтными циклами
Рассмотрим множество подстановок с конгруэнт-
ными циклами Sn(at β), т. е. подстановок степени п,
у которых длины циклов сравнимы с β по модулю а.
На этом множестве зададим равномерное вероятност-
ное распределение и рассмотрим случайную величину
ξη(α, β), равную числу циклов в случайной подстанов-
ке s^Sn(a, β). Из формул (0.21) и (0.24) следует вы-
ражение для производящей функции случайной вели-
чины ξη(α, β):
. Ял(х; а, р) = Ся(*; а, р)/Ся(а, β). (3.1)
Мы ограничимся рассмотрением двух случаев, когда
β = α и β—α/2 (а —четное). Используя формулы (0.22)
и (0.23), установим следующую лемму, дающую асимп-
тотические представления для Сп{х\ а, а) и Сп(х, а,
а/2) при /г-^оо.
Лемм*а. Для функций Сп(х\ а, а) и Сп(х\ а, а/2)
при а^2, Аг-^оо имеют место асимптотические фор-
мулы
с"<* «· 'Ь,М^1Н.Д ·I·. (3.2)
„ι с)2х/а—1
Ся(х;а,а/2) = — пг(1 + о(1)), а/2 | /г, (3.3)
где о(1)-Я) равномерно для всех ху 1—б^д:^1 + б,
0<6<1.
Используя формулу Стирлинга для Г-функции при
β-^οο, можно получить следующие асимптотические
оценки:
У\_(-1)^(У-1) 1
N(-1^0-1) . 1 (1+0(Щ (3.5)
j Г (2-й) *1+г'
где о(1)->0 равномерно для всех у, 1—б^г/^1+б,
0<δ<1.

§ 3] ПОДСТАНОВКИ С КОНГРУЭНТНЫМИ ЦИКЛАМИ 195
Формула (3.2) сразу следует из формулы (3.4), по-
этому остается доказать только формулу (3.3).
Выберем число ν, 0<ν<1/2, и, используя равенст-
во (0.23), осуществим разбиение соатветствующей
суммы:
±Сп(х; а, а/2)=51 + 52+53=
п\
(rt/a)v 2/z/a~(/z/«)v-l 2'*/а
= Σ + Σ + Σ · (3-6)
/=-0 .Mrt/af+l i«2rt/a-(/z/a)v
Применяя формулу (3.4), находим, что
5з= г(х/,)(Д/,)^ 2(Т)(1+0(1))·
ft-0
Отсюда следует, что
о2лг/а—1
5з= ~ Г^А1 + °^ (3J)
Τ(χ/α)(η/α)ι-χ'*
причем в обоих последних равенствах ο(1)-*Ό равно-
мерно по χ в указанной в лемме области.
Используя формулу (3.5), получаем
s (-!)*/**/« (*yq-Г) ("У /-,М
Г(2-*/а)(2л/а)1+*/« £j| \ У /
Из этого равенства вытекает оценка
^«^(--fer) . (3.8)
равномерная по а: в указанной области. Сумму S2
разобьем, в свою очередь, на две суммы:
(rt/a)-l 2/ι/α-(/ζ/α)ν~1
52=5^>+^2>= 2 +■· Σ · (3·9)
J-(«/a)vl+l ^-л/«
7*

196 СЛУЧАЙНЫЕ ПОДСТАНОВКИ [Гл. V
С помощью формул* (3.4) и (3.5) получаем
I сО) ι ^ лг/а 1 JC/α — 1 1 (1-Ьо(1)) ^ι" 1
1 °2 f *Γ<*/α)Γ<2-*/«> (η/α)1^ Jje), ^ '
Ι 5(2) . < x/a 1 -у/сх — 1 1 (1 + ο(1)) ^ 1
2 ^ Г(*/а)Г(2-лг/а) (η/α)χ-χ!* 2d /*+■*/«'
i-(«/«)v
Из этих неравенств следуют асимптотические оценки
равномерные относительно л: в заданной области. Те-
перь справедливость формулы- (3.3) следует из ра-
венств (3.6) и (3.9) и оценок (3.7), (3.8), (3.10) и
(3.11). Полагая в формулах (3.2) и (3.3) х=1 и при-
нимая во внимание равенство (0.23), получаем след-
ствие.
Следствие 1. При п-*оо справедливы асимпто-
тические формулы
Ся(а, а)= »!___ (i + o(l))f а | д,
С /а, —W п!22/а * (1 + о(1)), а/2 | /г.
Из леммы, следствия 1 и формулы (3.1) получаем
другое следствие.
Следствие 2. Яри л-*оо для производящих
функций случайных величин ξη(«» α) и En (α, α/2) гше-
ют жесго асимптотические представления
(3.12)
(/)V ' (3.13)

§ 3] ПОДСТАНОВКИ С КОНГРУЭНТНЫМИ ЦИКЛАМИ 197
где о( 1)-Ю равномерно для всех х> 1— δ^Λ^Ι+δ,
0<6<1.
С помощью следствия 2 докажем следующую тео-
рему.
Теорема 3.1. Пусть а—а(п)—функция, прини-
мающая значения натуральных четных чисел и такая,
что а/2 [п.
а) Если — In ——> λ < со при η —> со, то слшай-
α α
ная величина |η(α, α/2) в пределе распределена по
закону Пуассона с параметром λ.
1 ti
б) Если —In >оо при /г-*со, то случайная
α α
величина
ύ(α, α/2)=(ξ.(α, α/2)--L In JLYLL Ы JL\"''■
\ α α/\α α/
распределена асимптотически нормально с параметра-
ми (О, 1).
Точно такие же утверждения справедливы для слу-
чайной величины |п (а, а) с условием, что а— а (я)
принимают натуральные значения и а\п.
Для доказательства теоремы рассмотрим Λίη(ί;
α, α/2) — производящую функцию моментов случай-
ной величины ξη(α, α/2). Из формулы (3.13) следует,
что при /ί->οο
где о(1)-*-0 равномерно для всех t, —δ'<ί<δ', δ'>0.
Отсюда при выполнении условия а) следует, что для
любого фиксированного t, —δ'^ί^δ', 6'>0,
UmMn(t; α, α/2)=<?λ<*'-υ#
В правой части этого равенства стоит производящая
функция моментов распределения Пуассона с парамет-
ром λ, поэтому справедливость условия а) вытекает
из теоремы Куртисса.

198
СЛУЧАЙНЫЕ ПОДСТАНОВКИ
[Гл. V
Из формулы (3.13) нетрудно получить асимптоти-
ческое представление для производящей функции мо-
ментов Ъп(а, а/2):
«·* «■ ·■*!-«- T$km'*~"" <1'+·(ΙΛ
где σ2=—In— и о(1)->0 равномерно для всех /,
—ό'^ίίζδ', δ/>0. Из этого представления следует, что
для любого фиксированного ί, —δ'^#^δ7, δ'>0,
ΗπιΛί^*; α, α/2)=*''/2.
Так как е'2/2 есть производящая функция моментов
нормального распределения с параметрами (0, 1), то
условие б) вытекает из упомянутой выше теоремы
Куртисса.
Доказательство соответствующих утверждений от-
носительно случайной величины ξη(α> α) проводится
точно таким же способом с использованием формулы
(3.12).
§ 4. Экстремальные точки пространства
симметричных стохастических матриц
Матрица Л = |а^||, /, /=«1, ..., я, называется стоха-
п
стической, если а^^О и 2 αυ=1> 1=1, ··· > я. Стоха-
η
стическая матрица А с условием 2 fl<j=l» /=Ь 2, ...
- - . -. ^-1
..., η называется дважды стохастической. Множество
Ωη дважды стохастических матриц порядка η являет-
ся выпуклым (п—1)2-мерным пространством, так как
аЛ+ (1—a)BeQn, а^О, для любых Л, Β^Ωη. Соглас-
но известной теореме Биркгофа, для любой матрицы
Α^Ωη существует представление [29]
^=0!^+ ... +<*А> «1+ · · · + «*= 1» (4.1)
где Пь ..., us — подстановочные матрицы и cti^O, ..»,

§ 4] ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ТОЧКИ ПРОСТРАНСТВА МАТРИЦ 199
Подстановочные матрицы образуют множество
экстремальных точек пространства Ωη, так как ника-
кая подстановочная матрица А не может иметь пред-
ставление вида (4.1) через другие подстановочные
матрицы.
Рассмотрим Δη — пространство симметричных сто-
хастических'матриц i4 = ||aij||, i, /=1, ..., η таких, что
ctij — aji' Ясно, что Δη является подпространством Ω„.
Обозначим через θη множество экстремальных точек
пространства Δη и дадим описание матриц, составляю-
щих θη.
По каждой подстановке 5 степени η построим мат-
рицу C(s) следующим образом. Пусть s = S\S2... s& есть
разложение 5 в произведение независимых циклов.
Циклу единичной длины (/) в матрице C(s) в положе-
нии (/, /) соответствует единица; двоичному циклу
(/, /) соответствуют единицы в позициях (i, /) и (/, i);
циклу четной длины (/ь /2, /з, А, ... > Ы-ъ hi) соответст-
вуют единицы либо в позициях (/ь /г), {]ъ /0» (h> А),
(/4, /з), .- > (и-Ь /2ί), (/Я, Ы-\)у ЛИ6° В ПОЗИЦИЯХ
(/2, /з), (/з> /г). ... > 0*2ь /ι), (/ь /я); наконец, циклу не-
четной длины'(/ь \ь h> /4, ···> /2/, /Wi) соответствуют
элементы вида 1/2 в позициях (/ь /2), (/2, /з), ·. > (Ь,
/Wi) (/гж> /1) и (/2, /ι), (/з, /г)* .··> (/Wi, /2/), (/1, /2/+1).
Во всех остальных позициях C{s) стоят элементы,
равные нулю. Можно показать, что
вв=(С(5):5Е5я),
где Sn — симметрическая группа степени η [56]. Каж-
дой матрице С(5)е6п можно поставить во взаимно
однозначное соответствие множество из 2a*+a5+·'*
подстановок, принадлежащих определенному циклово-
му классу {la*2a*3a35a\ ..}, содержащему среди чет-
ных циклов только двоичные. Действительно, часть
матрицы C(s)y отвечающая циклу Si четной длины
/>2, устроена так же, как если бы он был последова-
тельно разбит на //2 двоичных циклов. Из двух воз-
можных вариантов расстановки единиц одну можно
закрегтить за $г-, другую — за s~. Если цикл s\

200
СЛУЧАЙНЫЕ ПОДСТАНОЁКИ
[Гл. V
нечетной длины, то и $г- и εγ1 отвечает одна и та же со-
вокупность элементов вида 1/2 в C(s).
Из приведенных соображений следует формула для
числа элементов в Θη:
ηι *
(4.2)
Используя цикловой индикатор Сп(х\у ..., хп)>
можно записать:
|'вя| = п\,\Оя=Сп{19 1, 1/2, 0, 1/2, 0,...).
Следовательно,
2D/=expU|-+l/2„2 t№+l]
Отсюда следует при |ί| <1
2 ' ' 7Н\2k + 1
л-0 Ι £-1 J
1 4- t \l/4
Введем в рассмотрение производящие функции
00
<?«+<2>/2=2 и/, (4.3)
(τζτΓ^Σ ^)/β· ,<|<1· (4·4)
и положим
2 D<'y-(^VV+<'>/2. (4.5)
Тогда очевидно, что
M,) = 2»e-M'), я=0,1,...; (4.6)
fc=0

§ 4] ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ТОЧКИ ПРОСТРАНСТВА МАТРИЦ 201
кроме того, справедлива формула
[ηβ] {
"*=2 2i.-;jl(n_2/>! '
а также
^=1(Л0)ГГ)· '-)
Из этих выражений при г~4 получаем
Ι θ„ ι =
ί—1
я L 2 .J
Я 1 2>J ί
1/4 W1/4+Z—1\ η!
(4.8)
Формула (4.8) хотя и проще формулы (4.2), но тем не
менее при больших η достаточно громоздка. Поэтому
естественно поставить вопрос об отыскании асимптоти-
ческой формулы для |θη| при п->-оо. Имеет место сле-
дующая теорема.
Теорема 4.1. Для числа экстремальных точек
|βη| пространства Δη при п-*оо справедлива асимпто-
тическая формула
Ιθ„1 = 2V4g/l1 (l + o(l)), (4.9)
Г.(1/4)л /*
Докажем предварительно несколько лемм.
Лемма 1. Для величин ии, задаваемых произво-
дящей функцией (4.3), при k-^сю имеет место асимпто-
тическая формула
—! exp{^I--L}(l + o(l)).(4.1
С учетом вида (4.3) производящей функции вели-
чин uh применяем следствие из теоремы 4.1 главы I.

202 СЛУЧАЙНЫЕ ПОДСТАНОВКИ [Гл. V
Получаем при &->оо
«*= А- г ' (1 + о(1)), (4Л1)
2Улг*|/г2+г/4
где г — единственный при &-^оо действительный поло-
жительный корень уравнения
/*+г/2 = А. (4.12)
Из уравнения (4.12) следует, что при /г->оо
• r=Vk - 1/4 + L_ +0 (4·), (4.13)
r*^£*/2e-^/4 (l+o(l)), (4.14)
-i-(r2 + r) = A/2 + l/A/4-1/16 + 0(1).
Подставляя эти выражения в формулу (4.11), убеж-
даемся в справедливости леммы 1.
Лемма 2. Если функции wn(x) заданы произво-
дящей функцией
2 wn(x)tn=exp{(x—l/2)t + x2t42}, (4.15)
л-О
α величины ν^Ρ определяются производящей функцией
(4.4), то равномерно для всех ху O^x^l, np« я->оо
имеет место оценка
ί "^>w=°(>=r)· <4Л6»
Из выг>ажений для производящих функций (4.3) и
(4.15) следует, что
k

§ 4] ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ТОЧКИ ПРОСТРАНСТВА МАТРИЦ 2Q3
Отсюда при [lnn]+l^k^n равномерно для всех х,
O^x^l, имеем
Ι*/2] , η
Используя лемму 1, отсюда получаем при п-+оо
| дай (χ) | = О ( ! ) (4.17)
1 βν ' ' \ л(1/4) 1п1пл—3 у ;
равномерно для всех х, 0^л;<1 для [\nn]+l^k^n.
Применяя оценки (3.4) и (3.5), из формулы (4.7)
получаем
v{nr)=0(lnn). (4.18)
Теперь формула (4.16) получается путем очевидного
использования оценок (4.17) и (4.18).
Лемма 3. Для всех г^2, k = o(n) при я->оо для
величин v^^ задаваемых формулой (4.7), справедли-
ва асимптотическая формула
ν[%= £__ (1 + о(1)). (4.19)
Т(\1г)п}-11т
Эта лемма является следствием леммы § 3, а ра-
венство (4.19) получается из формулы (3.3) при α = 2,
х=2/г.
Лемма 4. При r^2, k = o{n) при п-+оо равномер-
но при всех х, 0^x^:1 для величин v\[]_k и Wkix),
определенных равенствами (4.7) и (4.15), справедли-
ва асимптотическая формула
1|пл1 91/г
Vv(nrlkwk(x)= f 1/r е^*-УЦ1 + о(\)).(4.20»
*Т0 r(l/r)nw/'
Действительно, из леммы 3 следует, что
[1пл] 1/Г [\пп]
V τ&>Λ®Λ(-*) = —-гг- Λ ®*W(l + o(l)). (4.21)

204
СЛУЧАЙНЫЕ ПОДСТАНОВКИ
[Гл. V
Кроме того,
k=[\nn)+l X n j
причем все оценки равномерны для О^х^Ь Теперь
формула (4.20) следует из асимптотических оценок
(4.21) и (4.22) с использованием равенства (4.15)
при ί=1.
Лемма 5. При г^2 и п-*оо равномерно для всех
χ, 0*ζ.χ^\Ψ для функций D^r){x), определяемых ра-
венством
!^><'=(^Г«р{(--г)«+^г)··
имеет место асимптотическое представление
D(nr)(x)= *!^e"P+*-W(l + o(l)).
Прежде всего, из вида производящих функций
(4.4) и (4.15) следует, что
D(nr)(x)==% v<n%wk(x).
С помощью этого равенства справедливость леммы 5
получается из лемм 2 и 4.
Теперь теорема 4.1 получается из леммы 5 при
*=1,г=4.
Зададим на множестве Θη равномерное вероятно-
стное распределение и рассмотрим случайную величи-
ну κη(5)» равную числу положительных элементов
в случайно выбранной матрице C(s)e0n, соответст-
вующей некоторой подстановке s степени п. Величина
κη(£)> называемая сложностью матрицы C(s), выра-
жается через rin(s)—число элементов в единичных
и двоичных циклах подстановки s:
*Я(*) = 2Л-Т|Я(5).
Перейдем к отысканию точного и асимптотического
распределений случайной величины ηη = ηη(5).

§ 4] ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ТОЧКИ ПРОСТРАНСТВА МАТРИЦ 205
Теорема 4.2. При я-^оо случайная величина η„
имеет в пределе распределение, совпадающее с рас-
пределением суммы независимых случайных величин
η(ΐ)4-2η<2), где η<!> и η<2> распределены по закону Пуас-
сона с параметрами 1 и 1/2. Иными словами,
UmP(\=k)=e-wy — i .
Й 2^yl (^ — 2y)l
Производящая функция ηη имеет вид
где
М4,(х)=-1-С,(х, л:2, 1/2, 0, 1/2, 0,...).
/II
Таким образом, из леммы 5 имеем для O^x^l
Теперь справедливость теоремы следует из того, что
производящие функции η*1* и 2η<2) имеют вид: ех~1 и
£>(*2-1)/2.
Отметим, что если цп — число элементов в единич-
ных и двоичных циклах случайной равновероятной
подстановки, то предельные распределения ηη и цп
совпадают.
Положим Pk~limP(4n=k). Из теоремы 4.2
следует, что
Ол ρ η JL Ρ — 12 Ρ 6Q Ρ л—3/2
Отсюда следует, что число экстремальных то-
чек θη максимальной сложности при п~+оо равно
в^·"/·|оп| (1+о(1))э а число точек сложности, не мень-
шей 2п—5, имеет порядок 0,9 · | Θη |.
Пусть Еп-п\ есть число подстановок степени /г,
у которых имеются только двоичные циклы и циклы

206
СЛУЧАЙНЫЕ ПОДСТАНОВКИ
[Гл. V
нечетной длины. Величину уп==Еп10п можно рассмат-
ривать как некоторую усредненную характеристику
кратности отображения множества подстановок с дво-
ичными и нечетными циклами в множество матриц Θη·
Так как
Ея = ±-Сп{\, 1, 1,0, 1,0,...),
то
2й«НН)">,!·
Отсюда, используя равенство (4.4), получаем
[ηβ\ „(2)
;=0 z J1
Применяя лемму 3, получаем
[ln/z] аЛ2) н /—-—
β 2*j\ . nV2)V η V τ Κ })
Кроме того,
V n~2i =0 lnn )
Jmi ο'ί! \ „1д1пл-1 Г
M\nn\ + l Z J1 X П }
Из двух последних оценок следует асимптотическая
формула
£«=—^—l/"— (i+^ ί1))·
п Г(1/2)У η К ~ У })
Отсюда, используя асимптотику (4.9), окончательно
получаем
п Г (1/2) \ е* v l v n

ГЛАВА VI
СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ
Введение
Данная глава посвящена рассмотрению случайных
графов. Имеются разные способы определения такого
рода объектов. Один из них связан с заданием на оп:
ределенных классах графов: деревьях, лесах, графах
однозначных отображений и т. п. — некоторых, обычно
равномерных вероятностных распределений. Другой
способ задания случайных графов определяется неко-
торым вероятностным процессом случайного соедине-
ния изолированных в начале процесса вершин. Третий,
связанный со вторым способ задается некоторым слу-
чайным процессом удаления ребер в полном графе.
Имеются и другие методы получения случайных гра-
фов, встречающиеся значительно реже, чем упомя-
нутые.
Прежде чем перейти к изложению результатов из
этой области, приведем некоторые факты перечисли-
тельного характера из теории графов, которые будут
использоваться в последующем изложении. В даль-
нейшем основное внимание будет уделено графам с
занумерованными вершинами, поэтому приводимый
перечень фактов касается в основном этой области.
1. Деревья. В некотором смысле простейшими из
графов с занумерованными вершинами являются де-
ревья. Дерево — это связный граф, не содержащий
циклов. Если в дереве одна вершина, называемая кор-
нем, выделена, то оно называется корневым. Дерево,
не являющееся корневым, иногда называют свобод-
ным. Если гп — число корневых, ajn— число свобод-
ных деревьев с η вершинами, то для я=2, 3, ... [29]
гп=п"~\ ~гп=п"-2. (0.1)
Граф, состоящий из нескольких деревьев, называ-
ется лесом,

208 СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ [Гл. VI
Если rnk — число лесов с n + k—1 вершинами, со-
стоящих из k деревьев, причем фиксированные k вер-
шин принадлежат различным свободным деревьям, то
справедлива формула (39]
~rnk=Hn + k-ir-\ (0.2
причем fn = fn,i.
Из формулы (0.2) следует выражение для C(nyk) —
числа свободных деревьев, у которых данная вершина
инцидентна k ребрам:
С(п, *) = (",I21)(«-l)n-*-1, (0-3)
которое следует из очевидного равенства
С(п, k) = (n-l\?n-k,k
^-^КМ^+л-^'м»*
Известна формула для числа лесов из k свободных де-
ревьев:
k
k\ 1
Λ=1, 2,..., /г,
а также установлено, что [72]
lim-i— = , £=1,2,... (0.4)
Число лесов из k корневых деревьев определяется
формулой
Г<*>_
[IZl)*""*· *=1. 2,..., я. (0.5)
Прюфером [69] был указан метод, который каждому
свободному дереву с η вершинами ставит во взаимно
однозначное соответствие некоторое однозначное отоб-
ражение φ: Х-^У, где |Х|=л, \Y\-n—2, \Х\— число
элементов в X. Это соответствие устанавливается в ре-
зультате последовательного удаления ребер, инцидент-
ных концевым вершинам с наименьшим значением

ВВЕДЕНИЕ
209
метки. При этом φ(£) есть номер метки вершины, с ко-
торой удаляемое на k-ы шаге ребро соединяет конце-
вую вершину с наименьшим номером. Процесс про-
должается до тех пор, пока не останется одно ребро
и, следовательно, k принимает значения 1, 2, ..., η—2.
Если χ(ί) —число ребер, инцидентных вершине, отме-
ченной элементом ί, то χ(ι) называют валентностью
этой вершины, а μ(0=χ(0— 1—ее кратностью. Из
соответствия Прюфера следует, что кратности вершин
дерева определяются первичной спецификацией соот-
ветствующего отображения φ. При этом отсутствую-
щие среди образов элементы определяют метки кон-
цевых вершин дерева. Указанное соответствие сводит
задачу перечисления деревьев с заданными кратностя-
ми вершин к задаче перечисления отображений с за-
данной первичной спецификацией или, иными словами,
к задаче о размещениях различных предметов в раз-
личные ячейки с заданной спецификацией заполнения
ячеек. Из этих соображений, в частности, следует, что
число свободных деревьев с k концевыми вершинами
равно
'(*. *)=тг°(п-2, n-k\ А=2,..., л-1, (0.6)
где а {п, k) —числа Стирлинга второго рода, опреде-
ляемые обычно равенством
*«=2σ(Λ, к\х)к. (0.7)
Известно, что в дереве существует единственный путь,
соединяющий две фиксированные вершины. Число ре-
бер в этом пути будем называть его длиной. Высотой
корневого дерева называется максимальная из длин
путей от корня до любой другой вершины.
Пусть D[h)—число корневых деревьев высоты, не
превосходящей Λ. В статье {74] показано, что произво-
дящая функция

210 СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ |Гл. VI
удовлетворяет соотношению
«А+1(0=/ев*(/), А = 0, 1,..., (0.9)
причем aQ{i)=t. Из равенства (0.9) следует, что
11тал(0=Ул»-1-^-,
причем ряд в правой части этого равенства сходится
при |ί|^1/β и является решением y=y(t) функцио-
нального уравнения
t = ye~y. (0.10)
Пусть на множестве свободных деревьев с η вер-
шинами задано равномерное распределение и θη —
высота случайно выбранного дерева относительно фик-
сированной вершины. Тогда [73]
UmP{Qn<xV2h)= ν е~*%х%{\ -2ν2χ2).
Л->~ V-—во
Моменты предельного распределения имеют вид
Λί, = 2Γ(5/2+ΐχβ —l)C(s)f
оо
где ζ (s)= 2 1/'л*. Дисперсия имеет вид
/71 = 1
/J = jt(ji-3)/3.
2. Графы однозначных отображений. Пусть @п —
симметрическая полугруппа однозначных отображе-
ний множества X из η элементов в себя. Граф отобра-
жения а является ориентированным графом Г(Х, σ),
вершины которого х9 х'^Х соединены дугой (х, х),
если х'=а(х). Каждый граф Г(Х, σ), σ^@η, состоит
из связных компонент, причем компонента состоит из
одного контура и деревьев, корнями которых являют-
ся вершины контура, называемые циклическими эле-
ментами. Все дуги деревьев ориентированы в направ-

ВВЕДЕНИЕ
211
лении к корням. Обозначим через <§п(А) совокупность
отображений σ^@η, для которых размеры контуров
соответствующих графов являются элементами задан-
ной последовательности Л^М={1, 2, ...}. Такие отоб-
ражения называются Α-отображениями. Если Un{k\
Л), Unj(A)—числа отображений соответственно с k
циклическими элементами и / компонентами, то
Um(k; i4) = (^1i)n-*C(A; Л), А=0, 1,..., (0.11)
^(А) = ^(п~\)п^Суку у; Л) у = 0, 1,...,
.(0.12)
где £/0(0; Л) = (/0о(Л) = 1 и С(Л; Л) и С(£, /; Л) —чис-
ла Л-подстановок и Л-подстановок с / циклами степе-
ни k. В частности, полагая Un(k)=Un(k'y N), Unj=
= Un-j(N)f имеем
«/я(А) = Аля-*(л-1)*-ь Λ=1, 2,..., (0.13)
υ*=Σ[\Ζ\)ηη~*\*& y;l' '=sl·2-··'(0Л4)
где s(kt j) —числа Стирлинга первого рода. Обозна-
чим через Tnh)(k, у; Л) число Л-отображений с k
циклическими элементами и / компонентами таких,
что деревья в соответствующих графах имеют высоту,
не превосходящую h. Тогда [29]
ехрМ[лаА(0]}=2227Ч»*)(*' * Λ)-τ***'.
(0.15)
где
аМ=2 —
/ел J

212 СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ [Гл. VI
и ah(t) —производящая функция, заданная соотноше-
нием (0.8). Производящие функции для T{nh\k; А) и
Ί15* (А) —чисел соответствующих Л-отображений
с k циклическими элементами и с / компонентами —
получаются из равенства (0.15) при z=\ и х=\ соот-
ветственно.
§ 1. Случайные деревья и леса
На множествах лесов, состоящих из корневых
и свободных деревьев соответственно, зададим
равномерные вероятностные распределения и бу-
дем рассматривать характеристики полученных слу-
чайных объектов. Данный параграф посвящен изуче-
нию точных и предельных распределений таких харак-
теристик.
1. Число деревьев в случайном лесе. Предельное
распределение числа деревьев в случайном лесе опи-
сывается следующей теоремой.
Теорема 1.1. Если ξη(ξη)—число корневых
(свободных) деревьев в случайном лесе с η занумеро-
ванными вершинами, то при п-+оо случайная величи-
на ηη=ξη—1 (η=ϊη—1) имеет в пределе при п-*оо
распределение Пуассона с параметром λ=1 (λ=1/2).
Из формулы (0.5) следует, что число лесов из кор-
невых деревьев равно (п+1)п~г, и поэтому точное рас-
пределение |п имеет вид
Ρ& = *)=*(ΐ~1λ) η"~\ г » *=1. 2.···. *· (1Л)
\*-1 / (п-Ы)"™1
Из этого равенства следует выражение для произво-
дящей функции ηη:
Отсюда вытекает, что для любого фиксированного χ
\imyn(x)=e3C~1.
П ->-оо

§1]
СЛУЧАЙНЫЕ ДЕРЕВЬЯ И ЛЕСА
213
Этим вариант теоремы для корневых деревьев до-
казан.
Из формулы (0.4) следует, что число лесов из сво-
бодных деревьев асимптотически равно е1/2пп~2.
Поэтому
\mP{\^k)=^-e-4^ к=0, 1,... (1.2)
Этим теорема доказана полностью.
2. Кратность вершин дерева. Напомним, что крат-
ность вершины некоторого дерева на единицу меньше
числа инцидентных ей ребер. Если μη— кратность не-
которой вершины случайного свободного дерева, то
из формулы (0.3) имеем
(1.3)
Производящая функция μη имеет вид
'<* "Ч^-тГО+^Г (,'4)
Отсюда вытекает следующая теорема.
Теорема 1.2. Кратность μη фиксированной вер-
шины случайного свободного дерева при п-+-оо в пре-
деле распределена по закону Пуассона с параметром
λ=1.
Обозначим через νη число вершин кратности s
в случайном дереве. В силу указанного во введении
соответствия Прюфера распределение v^ совпадает
с распределением числа элементов некоммутативного
несимметричного /г-базиса, встретившихся ровно s
раз в случайной (п—2) -выборке. Это означает, что пре-
дельные распределения для ^ при п-^оо факти-
чески уже были рассмотрены в главе III. В соот-
ветствии с теоремой 3.3 этой главы случайная вели-
чина (VJ>>- h (s) η) (θ2 (s) /i)~Vi, где θι (s) = е-1/*!,

214
СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ [Гл. VI
θ2($)= 1 (l-f(l — sf)\ , при я-э-оо асимпто-
тически нормальна параметрами (0, 1).
Здесь мы рассмотрим только предельное распреде-
ление νΛ=νΛ0) числа концевых вершин, применив
для его отыскания метод, отличный от методов главы
III [72].
Теорема 1.3. При п-+оо число vn концевых вер-
шин свободного дерева с η вершинами имеет в пределе
нормальное распределение, а именно:
цшр( **-"/£_ ^jcW-J— \ e-»v*du
П-+'оо
\ "Кл(е-2)/е ) Ϋ2η J„
Из формулы (0.6) следует, что
P^n=k) = -~4ro(,t-2, л-ft), ft=2, 3,... (1.5)
Из равенства (0.7) имеем
я-1
2P(v,-i)^ = (fr. (1.6)
Полагая в этом равенстве #=я—1 и х=п—2, находим
соотношения, из которых следуют формулы для сред-
него и дисперсии vn:
«..-«(.-ιγ+Ί'-ΙΓ-Ί'-τΓ
При я-*оо из этих формул получаем
Λίν,—2-(1 + о(1)), (1.7)
е
Dvn=e-=^ri(\ + o(\)). (1.8)

§ 1] СЛУЧАЙНЫЕ ДЕРЕВЬЯ И ЛЕСА 215
Полагая теперь в равенстве (1.6) х = п — //]/#, на-
ходим, что
2^«=*) П (l-i£j^) = fl- Т^У^2· (1-9)
Для k = o{Yn) при п—>со имеем
р(*п=Ь) = --£-£ —(l+o(l)). (1.10)
Это равенство может быть получено путем использо-
вания формулы (1.5) и асимптотики для чисел Стир-
линга второго рода (15]
■ С»)- .f" (i+«(fe=g)). (lid
если /г, А—>оо, n — k = o(Yn). Используя ограничен-
ность величины
при я, &->оо и оценку (1.10), для любого фиксирован-
ного ί получаем
Спя!
2 *(V=*) П (1—// V/г/У)
fc = 2
<;e-.«+ct(in«)"f (i.i2)
где Ci>0. Далее с помощью неравенства Чебышева
для k>[\nn] можно установить, что
2 Р\Уп = Ь) Π (i-itVnlJ)
I k-n/e I >/iP
ft>[!ii/tj
О
„ЭД-1
(1.13)

216 СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ [Гл. VI
где 1/2<β<3/4. Наконец, для всех k таких, что
\k—n/e\ <Ф, имеем
»π"πΓ1(ι-^) = -'^ϋ4-
+ /te(ft_5.)_l_+<2l=il+0(l). (1.14)
^ е ' Vn 2
Из оценок (1.12) — (1.14) следует, что
lim \(1 -it/γ"п)п-2е>^-
я-1
6=2
Так как
lim/l 11Лп-2еиУп^е('1\
= 0. (1.15)
Vn
то из равенства (1.15) следует равенство
lim* ' К <-2 2 />(νΛ-^)/Λ(^2)-^ν2,
которым и завершается доказательство теоремы.
3. Расстояния между вершинами дерева. Обозначим
через уп число вершин случайного свободного дерева
в пути, соединяющем две фиксированные вершины,
а через dn — расстояние между этими вершинами.
Ясно, что ап=Уп—1. Точное распределение случайной
величины у1г имеет вид [59]
р(у«-*)=тЬг"^· k=2,3·"··η·(1Л6)
Действительно, вершины пути, соединяющие фикси-
рованные вершины, можно выбрать и упорядочить
[~~9 )(k— 2)! способами. Число деревьев с η вер-
шинами, содержащих путь из k фиксированных вер-

Μ
СЛУЧАЙНЫЕ ДЕРЕВЬЯ И ЛЕСА
217
шин, равно knn~k-K Перемножая эти величины и деля
произведение на /гп~2, получаем формулу (1.16).
Теорема 1.4. При-п-^оо для u=o(n1/e), и>0
^=«W-2=e-«v*(l + o(l)). (1.17)
Для любого ограниченного χ
HmP|-^<;cWl-i?-*V2. (1.18)
»-- V Vη ι
Действительно, применяя формулу Стирлинга, на-
ходим, что
= ^*-λΥλ^-±±) (1 + о(\)).
Vn { Vn)
Для всех α=ο(η,/β) верна оценка
(_я+«уТ- 1/2) In (1 —ulVH)= uVn-u?l2-\-о (1).
Из двух последних оценок следует равенство (1.17).
Заметим, что асимптотическая плотность ynlVn
равна ие-~и*'2, поэтому, интегрируя от 0 до χ эту
плотность, получаем формулу (1.18). Производящую
функцию уп можно привести к следующему виду:
'•w«H-(trj)g£(fr
Дифференцированием fn(x) при х=1 могут быть полу-
чены выражения для среднего и дисперсии γη:
Dyn=2n-3Ln-Ll
где
-ft-1
fc=0

218
СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ
[Гл. VI
Используя асимптотическую формулу
e"ni4-:=T+o(l)' (L20)
получаем '
ΛΓγ«=ΐ/·τ"(1+0(1))' (1·21)
DYe=(2,—|-)я(1 + о(1)). (1.22)
Ясно, что все асимптотические результаты, касающие-
ся γη, в силу равенства dn=yn—1 автоматически рас-
пространяются на dn.
4. Масса вершины дерева. Вершине дерева, отме-
ченной индексом i, l^i</*, поставим в соответствие
поддерево, определяемое такими вершинами / исход-
ного дерева, что пути, соединяющие вершины, отмечен-
ные η и /, проходят через вершину, отмеченную и Чис-
ло вершин в этом поддереве будем называть массой
вершины с номером и Найдем распределение массы
μη фиксированной вершины в случайном свободном
дереве с η вершинами.
Имеется (п ~~ ) kk~2 способов выбора меток и по-
строения поддерева, определяющего массу фиксиро-
ванной вершины. При наличии этого поддерева все
дерево можно достроить (и—k)n-k-x способами. Таким
образом,
Hl-*)J^{n~kr'l~1, *-1.2.···.»-1.(1.23)
Теорема 1.5. При я->оо для k=o(n)
Р{*п=Ь)=~-е-* (1 + 0(1)). (1.24)
Доказательство теоремы следует из равенств (1.23)
путем применения формулы Стерлинга. Используя

§1]
СЛУЧАЙНЫЕ ДЕРЕВЬЯ И ЛЕСА
219
тождества, полученные Риорданом {75]:
я-2
7=0
я-2
/=2
(n)j
~я-1 2ί л> '
^2(п72)(/+1)/+1(й-у-1Г;'"2 =
- jfeO
._ η у λλ ^w
я-1 £2Ы л' '
а также равенство
у (Л <">' ^ η у <">'
можно получить выражения для первых двух моментов
μ„ {61]:
Применяя очевидное тождество
V^ = 4il--2 ■ (1.27)
h n} n hJl
и формулу (1.20), окончательно получаем при п->оо
^«=|/"^-О + 0(1))> (1.28)
' Λ^=*ΐ/"ητ(1Ч-о(1)). (1.29)

220 СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ [Гл. VI
5. Разрезы и случайные блуждания. Пусть вершины
свободного дерева помечены элементами множества,
Ху \Х\ =я. Числом разреза вершины, помеченной х^Х,
называется количество неупорядоченных пар вершин,
помеченных и и vf и, υφχ таких, что путь, соединяю-
щий и и ν, проходит через х. Математическое ожида-
ние для δη — числа разреза некоторой вершины слу-
чайного дерева, имеет вид [Щ
Отсюда следует, что при п-*-оо
^я=|/"^(1 + о(1)). (1.30)
Для корневого дерева с фиксированным номером
корня можно определить случайное блуждание по вер-
шинам. Если dx — число ребер, инцидентных вершине
х, то вероятность перехода на следующем шаге в смеж-
ную вершину у равна
ρ _\dl\ χ-у,
[ 0 в противном случае,
где х~у означает, что вершины χ η у соединены реб-
ром. Среднее значение числа шагов λη до возвращения
в первый раз в корневую вершину для случайного де-
рева дается формулой
Отсюда очевидным образом вытекает, что при я-*-оо
MXa=*L(e-\)(\ + o(\)). (1.31)
е
6. Незанумерованные деревья. Рассмотрим теперь
класс деревьев, вершины которых не занумерованы.
Если tn — число свободных, а Тп — число корневых

§ i]
СЛУЧАЙНЫЕ ДЕРЕВЬЯ И ЛЕСА
221
деревьев данного вида с η вершинами и
ί(χ) = Σ*ηχ\ (1.32)
я-1
Τ(χ) = Σ Τηχ\ (1.33)
то хорошо известны соотношения {11]
Т(х)=хехр^ Г(*')/;}, (1.34)
ί(χ) = Π*)-~^U)+yW· (1.35)
Из равенства (1.34) следует рекуррентное соотноше-
ние
где 7*ι = 1. В свою очередь из равенства (1.35) вытека-
ет, что
1п —ι η
,т χ [(я—1)/2] 1
(rf)+ |_ v«J.
Известны асимптотические формулы при п-*-оо [68]
/Ζ ρ
^-^F (i+o(i)), (1.37)
где ρ — радиус сходимости ряда Τ (χ) и ρ=0,3383...
Имеются довольно сложные формулы [76] для распре-
делений кратностей вершин случайных незанумерован-
ных деревьев, которые мы здесь не приводим.
Отметим только, что вероятность того, что вершина
свободного дерева является концевой, при я-*оо при-
близительно равна 0,4381...

222 СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ [Гл. VI
7. Рекурсивные деревья. При п=1 рекурсивное де-
рево состоит из единственной вершины. Рекурсивное
дерево с η вершинами, отмеченными элементами
1, 2, ..., /г, получается из рекурсивного дерева с η—1
вершинами 1, 2, ..., η—1 путем присоединения к нему
вершины п.
Число рекурсивных деревьев с η вершинами равно
(п—1)!. Очевидно, что дерево является рекурсивным
тогда и только тогда, когда путь из вершины 1 в вер-
шину k содержит вершины, образующие возрастающую
подпоследовательность последовательности {1, ..., £},
£ = 1,2, ..., п.
Если dij — расстояние между вершинами i и / в слу-
чайном равновероятном рекурсивном дереве и Ρ(ί, /;
d)=P(dij = d), то для 1^ι<]'*ζη и l^Ld^n— 1 име-
ем (61]
Я(/, у; rf)=-l_{P(lf /; rf_l) +
+ Я(2, /; rf-i)+...+P(y-lf /; rf-1)}. (1.38)
Действительно, если #j_i — рекурсивное поддерево,
определяемое /—1 вершинами, и вершина / в tfj_i со-
единена с вершиной х, то расстояние от г до / равно
расстоянию i от χ в #j_i плюс единица. Вершину χ
можно выбрать /—1 равновероятными способами. От-
сюда и следует соотношение (1.38). Из этого соотно-
шения находится математическое ожидание d^
fc ι
где Λι = 0, Λ*=2—, £>2. Среднее расстояние Вп
между парой различных вершин определяется из фор-
мулы
Вп=2 -£±i- /гл-2=21пл+0(1).
п п—\- :

§2]
СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ
223
§ 2. Случайные графы
Целью данного параграфа является изучение веро-
ятностной структуры случайных графов, когда количе-
ство вершин неограниченно возрастает. Эта структура
определяется рядом характеристик таких, как число
компонент связности, размеры этих компонент, крат-
ность вершин и т. п. Указанные характеристики явля-
ются случайными величинами, предельные распределе-
ния которых и описывают асимптотическое строение
случайных графов.
Пусть вершины графа Г помечены элементами
множества X. Напомним, что подграф Г" графа Г
с вершинами из Х'^Х образует компоненту связности
Г, если: а) для любых х, х'^Х' в графе Г существует
путь, соединяющий χ и х'\ б) если χ"ς£ Χ', то подграф
Г" графа Г с вершинами {х"}\}Х' не обладает свой-
ством а). Граф Г называется связным, если он имеет
одну компоненту связности.
1. Асимптотическое строение случайных графов.
Пусть граф Гит, имеющий η занумерованных вершин,
получается в результате выбора m ребер из общей со-
вокупности, содержащей 12 I элементов.
На множестве графов рассматриваемого вида с η
вершинами и m ребрами зададим равномерное вероят-
ностное распределение путем приписывания каждому
графу Гпш вероятности j \2 ) I . Положим
Nc=[±n\nn + Cn], . (2.1)
где С — фиксированное действительное число и [х] —
целая часть от х.
Граф Yn,Nc с η вершинами и Nc ребрами обладает
свойством St, если он имеет одну компоненту с η—k
вершинами и k изолированных вершин. Обозначим

224 СЛУЧАЙНЫ!· ГРАФЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ [Гл. VI
через Ρ {% пу Nc) вероятность того, что случайный
граф Tn,NC обладает свойством Я, и положим
Я(1, л, ЛГС).= 1-Р(«, ^, ЛГС).
Справедлива следующая основополагающая лемма,
доказанная Эрдешем и Реньи [45].
Лемма. Для больших η почти все графы ?п,кс
обладают свойством % т. е.
film Я (Я, л, Wc) = 0. (2.2)
Выберем число М, удовлетворяющее условию
η
Далее все графы Гл>Лгс разобьем на два класса: к
первому классу Ем отнесем графы, у которых наиболь-
шая компонента содержит не менее η—Μ вершин, все
другие графы отнесем к классу Ем- Если Тп^с^Ем
и IYjvc имеет г компонент размеров 1\, 1% ..., 1Г,
то 1\ + 12+ ... +1т—п и, кроме того, Sio)·^^'
Следовательно, если L=max /ь то £ — 1 > 2 — и,
ί П
таким образом, L^>—-. Граф гя,лгс е Яж,
имеющий максимальную компоненту с η—5 вершина-
ми, не содержит s(n—s) ребер, соединяющих эти вер-
шины с другими 5 вершинами. Поэтому вероятность
того, что случайный граф ¥n,Nc принадлежит к клас-
су Ε My оценивается следующим образом:
П\\~1 шг-ч /П\ I 1П
p(EM,n,Nc)< (2J 2 HUH"-*·
(2.3;

§ 2] СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ 225
Для достаточно больших η имеют место следую-
щие оценки:
(йГо(^-)<
1 ^ η
s\ ^ In л
Inn
(2.4)
Из этих оценок и неравенства (2.3) получаем равен-
ство
limP(£minnf л, ЛГс) = 0.
Я->-оо
Далее имеем оценку
Р(Ъ(]Е\п\пп, П9 iVc)<
In In я , ч //я\\—I V2/
Действительно, если граф ГЯ|лгс имеет наибольшую
компоненту, содержащую η—5 вершин, и г — число
ребер, соединяющих некоторые s вершин вне этой ком-
поненты, то г^ 1, и эти г ребер можно выбрать [ \2)
способами, а остальные Nc—г ребер, которые соеди-
няют вершины наибольшей компоненты, могут быть
выбраны I ( 2 ) \ способами. Нетрудно проверить,
swtrtra- «·
kNc-г)
ЧТО ДЛЯ 5^:2
® ffs\\ (ln-s W ы о(0 //л\ λ
Д Vr J\Nc-r
n — sy
2 /
ЛГС
Теперь, используя оценки (2.4), из неравенства (2.5)
имеем
P{*{\Eiainn, «, NcXA-УШ ,
П
8 В. Н. Сачков

226 СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ {Гл. VI
где А — абсолютная постоянная. Отсюда следует, что
ИГЛ Я (*fl Ещ in я, Я, ЛГс) = 0.
Я-*оо
Справедливость леммы следует теперь из очевид-
ного равенства
Р$)=Р$[\Ем)+Рфм)Р& \ЕМ).
Из леммы может быть получен целый ряд теорем
Эрдеша и Реньи.
Теорема 2.1. Для вероятности связности Ро(п,
Nc) графа Гп nc имеет место равенство
limP0(ny Nc)=e-<-2C. (2.6)
Пусть ЗЭ— событие, состоящее в том, что граф
Гп,яс не содержит изолированных вершин. Применяя
метод включения — исключения, можно получить вы-
ражение для вероятности того, что для случайного
графа Τπ,ν произошло событие Э:
€П<-"Ю(<Т>)
Я(Э, /г, Nc)--
\NC/ *-o · \"J \ Nc
Используя неравенства Бонферрони и учитывая, что
для любого фиксированного k
получаем
ИтЯ(8, п, Nc)==e-'-2C.
Теперь справедливость теоремы 2.1 устанавливает-
ся из очевидных неравенств
0<>(в, п, ЛГс)-Я0(я, ЛГС)<Я(Я, п, Nc).

§ 2]
СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ
227
Теорема 2.2. Пусть Ph(n, Nc)—вероятность то-
го, что наибольшая компонента случайного графа
Τη,Ν с содержит η—k вершин. Тогда
llmPk(n, Nc)= (*~*C)* β~"~** (2·8)
т. е. число вершин вне наибольшей компоненты TntNC
имеет в пределе распределение Пуассона с парамет-
ром %=ег2с.
В соответствии с леммой достаточно рассмотреть
графы, обладающие свойством 5(. Поэтому
РЛп, ЛГС)=(ЛД(П 2*)дГ2Л lpan-k,Nc)+o(l).
Принимая во внимание, что для любого фиксирован-
ного k χ
Nc--^-(n-k)ln(n-k)
lim - =C,
/1->ββ ΤΙ — k
а также равенства (2.6) и (2.7), убеждаемся в спра-
ведливости теоремы 2.2.
Теорема 2.3. Если \ (я, Nc) — число компонент
в случайном графе rn,jvc> то случайная величина
ξ (/г, Nc)—1 при п-*~оо распределена по закону Пуас-
сона с параметром Х=е~2с, т. е.
limP{t(n, АГС)=А>+1}=(\*С)* *~«"2С. ' (2.9)
Так как, согласно лемме, снова можно ограничить-
ся только рассмотрением графов, обладающих свой-
ством Si, то теорема 2.3 сразу следует из теоремы 2.2.
Будем исходить теперь из графа, содержащего η
изолированных вершин, и определим случайный про-
цесс, при котором на каждом шаге случайно выбран-
ная пара вершин соединяется ребром. Любое ребро
(пара вершин), если оно не было выбрано ранее,
имеет одну и ту же вероятность выбора на данном
8·

228 СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ 1Гл. VI
шаге. Выбор осуществляется до тех пор, пока получен-
ный граф не окажется связным. Число шагов в данном
процессе является случайной величиной, которую мы
обозначим через vn.
Теорема 2.4. Для \1\=0(п) при п-+оо
/>(v*=[y/tln«]+/]=-^ » (1 + о(1)); (2.10)
кроме того,
\п — -—пЫп \
. limP = <х )=е-'-". (2.11)
Ясно, что если vn=\ — η In η \-{-l=N-\-l> то пе-
ред выбором последнего ребра мы имеем несвязный
граф Γη,Ν, который может быть сделан связным до-
бавлением одного ребра. В силу леммы можно пред-
полагать, что Τη,Ν состоит из одной компоненты с η—1
вершиной и одной изолированной вершины. Так как
последнее ребро может быть выбрано п— 1 способами
из оставшихся ίп } — N ребер, то
Я(г„=ЛГ+1)=-^=^-(А(л,'ЛО+0(!)).
Отсюда, применяя теорему 2.2, получаем равенство
(2.10). Из равенства (2.10) следует, что
1 е »
1<пх
Применяя интегральное приближение для последней
суммы, получаем для нее следующее асимптотическое
представление:
2{ е-»~*-Чч^е-'-2х.

§2]
СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ
229
Теорема 2.4 доказана.
Из теоремы 2.1 вытекает один полезный факт,
установленный Денешем и Тереком.
Обозначим через Ρ η вероятность того, что случай-
но и равновероятно выбранные г транспозиций порож-
дают Sn — симметрическую группу степени /г.
Теорема 2.5. Если г— —/г In/г-[-С/г], где С —
произвольная постоянная, то
Цтр(п')=е-е-Х9
Действительно, случайному набору транспозиций
/^г> —{ ^ t2,..., хг) соответствует случайный граф
Пойар (k(rn) с п вершинами, в котором имеется реб-
ро, соединяющее вершины i и /, тогда и только тогда,
когда tf=(i, j)^R{n\ Известно, что /£> тогда
и только тогда порождает 5П, когда граф Г(/?{/*})
связный. Этим теорема 2.5 доказана.
В качестве следствия из теоремы 2.1 можно уста-
новить равенство
Г
ИшЯ0(я. Л0=
оо.
N — — η In n
2
η
Ν — — η 1η η
ь Г
Обозначим через ν (я, Ν) валентность фиксирован-
ной вершины случайного графа Тп,я, т. е. число ребер,
инцидентных данной вершине. В статье [47] получена
следующая теорема.
Теорема 2.6. ЕслиМ'(/&) = —п\пп-\ л1п1пя +
+ а#+ <?(#), где α — действительное, а г — неотрица-
тельное целое, то при п-*оо валентность вершины слу-
чайного графа Гпмп) — распределена в пределе по за-
кону Пуассона с параметром λ=£_2α/Η.

230 СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ [Гл. VI
В цитированной выше статье рассмотрено также
распределение минимальной валентности~ν(η, Ν) слу-
чайного графа, характеризующей в некотором смысле
его «силу связности».
Теорема 2.7. EcauN (n)=-i- n In η + — п lnln n+
+ сс/г + о(л), то
limP(ν(л, N{n))=r)=\— exp(-e-2e/r!).
/1->ео
Теоремы 2.6 и 2.7 доказываются тем же методом,
что и теоремы 2.1—2.5. Приведем еще один результат
упомянутой работы [47]. Говорят, что граф Г обладает
фактором первой степени, если можно выбрать такое
подмножество S множества ребер Г, что каждая вер-
шина Г является концевой вершиной одного и только
одного ребра, принадлежащего S. Ясно, что для су-
ществования фактора первой степени в графе Г необ-
ходимо, чтобы число вершин Г было четным.
Теорема 2.8. Пусть п=2ту N(n)=— /гIn/г +
—|— ш(/г) /г, Нто>(#)=оо_# Pn,N —вероятность того, что
случайный граф Γη,Ν содержит фактор первой степени.
Тогда
Нт"Ря,лг(л)=1.
Доказательство этой теоремы использует те же
идеи, что и доказательства предшествующих теорем.
При этом дополнительно используется известная тео-
рема Татта {86].
Теорема 2.9. Граф Г имеет фактор первой степе-
ни тогда и только тогда, когда удаление любых г вер-
шин Г (г=0, 1, ...) вместе с инцидентными им ребрами
приводит к графу Г*, в котором число связных компо-
нент, содержащих нечетное число вершин, меньше
г+1.
2. Эволюция случайных графов. В работе Эрдеша
и Реньи [46] достаточно подробно изучен характер из-
менения структуры случайного графа Тп,щп) при л-^оо

§2j
СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ
231
в зависимости от характера изменения функции N(n).
Это изменение авторы назвали эволюцией случайного
графа. Для точного описания такой эволюции удобно
ввести понятие граничной функции.
Пусть Л— некоторое свойство и Ρη,Ν(Α)—веро-
ятность того, что случайный граф ΓηΝ, выбранный
[ίη w
с вероятностью \2\ 1 обладает этим свойством.
Функция А(п) называется граничной функцией свой-
ства Л, если монотонно А (п)-^оо при п-+оо и
Функция А (п) называется регулярной граничной функ-
цией свойства А, если существует функция F(x), на-
зываемая граничной функцией распределения свойст-
ва Л, такая, что для любой точки непрерывности х,
0<х<оо, функции F(x) имеем lim Рп,щп){А) = F(x)
при N(n)/A(n)^x.
Величину 2N/n назовем степенью графа Гп,дг· Граф
Τη,Ν называется сбалансированным, если он не
содержит подграфов, имеющих степень, большую
2Ν/η.
Теорема 2.10. Пусть £>2, А— 1</<(*)
и Bkti означает непустой класс сбалансированных гра-
фов с k вершинами и I ребрами. Граничная функция
свойства, состоящего в том, что случайный граф Гп,^
содержит по крайней мере один подграф, изоморфный
некоторому элементу Вк,и ^ть А (п) = n2~kll.
Из теоремы следует, что если подграф Гп,дг есть
дерево с k вершинами, то А(п) = n<fe-2Mft-1>, k^?3. Если
подграф содержит ровно один цикл, то при k^3 име-
ем Л(я)=/г. Для подграфа Γη,ιν> являющегося полным
графом на k вершинах, при k^3 получаем Л(я) =
= /i2(ft-2)/(/i-l)#
Структура компонент rn,iv(n) при п-+оо описывается
следующими теоремами. Остановимся сначала на де-
ревьях как подграфах Гп,дг(п).

232 Случайные графы и отображения [Гл. vi
Теорема 2.11. При я-мэо, Ν(η)/η&-2)№~ι)-+ρ>0,
случайная величина xki равная числу изолированных
деревьев с k вершинами в случайном графе rnjjv(n),
имеет в пределе распределение Пуассона с параметром
X=(2p)k-lkk-2/k\.
Теорема 2.12. Пусть д-^оо, N(n)/n^-2^k-l)^oot
N(n) 1 « k—l « ,
—— шл lnln η —> — сю
η 2k 2k
и tft — ч«сло изолированных k-вершинных деревьев
в случайном графе Тп.щпу Тогда случайная величина
(хк - МпМп)) Mn)!f\nh где Μη,κ=η —- f^LJ^e-^-,
асимптотически нормальна с параметрами (0,1).
Теорема 2.13. Пусть п-+оо, —оо<г/<оо и
7V(п)=— п\пп-]—=— пЫп п-{- уп-\~ о (п).
Тогда число изолированных деревьев с k вершинами
в случайном графе ГП}щп) имеет распределение Пуас-
сона с параметром X=e-2ky/(k-k\).
Будем теперь предполагать, что N(n)/n = C+o(l),
где С>0. Обозначим через уи и γ* числа циклов и изо-
лированных циклов порядка k, а через 6k— число ком-
понент, содержащихk^3 вершин и k ребер в случай-
ном графе Тпжпу
Теорема 2.14. Случайные величины γ&, γ* и δ·η
при п-+оо в пределе имеют распределения Пуассона
с параметрами соответственно
χ=(20*/Λ, \><={2Ce-2c)l!2k,
«-(ι+* +γ + · · · + тгг^)(2С^2С)"/2^
Рассмотрим теперь вопрос о числе вершин, принад-
лежащих деревьям являющимся подграфами
Теорема 2.15. Если Ν = ο(η), то с вероятностью,
стремящейся к единице, при п-+оо граф Γη,ιγ(η) являет-
ся объединением непересекающихся деревьев.

§ 2]
СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ
233
Теорема 2.16. Если N(n)/n-+C>0 при п^оо и
M{Vn,N(n)) —математическое ожидание числа вершин,
принадлежащих в случайном графе Гп,щп) изолирован-
ным деревьям, то
( 1, С<1/2,
\imM{VnMn))ln=\ x{C)l{2C)i c>1/2>
где
(С)=24г-(2С^2С^
k\
Пусть при п-+оо N(n)/n-*C и ωη-^°° произвольно
медленно. Тогда для Уп,щп) — числа вершин, принад-
лежащих изолированным деревьям в случайном графе
Гпл(п), можно сформулировать следующую теорему.
Теорема 2.17. При п-+оо:
а) если С<1/2, то
lim P{VnMn) > я —а>я)= 1;
б) если С> 1/2, χ — единственное решение уравне-
ния xe-x=2N(n)e-2N<n^'n n, такое, что 0<л:<1, то
л->оо \\ lis (П) I /
Если Vn,iv(0—число вершин, принадлежащих де-
ревьям с не менее чем г вершинами, a xn,N(r) —число
вершин в изолированных деревьях такого вида, то при
Ν(η)/η~+\Ι2 для любого 6>0 имеем при я->оо
Уп,Щп)(г)
УЛГ(Я) (г>
00
izL
k=*r
k\
σ-k
<i
<1
l,
1.
Остановимся теперь на изучении Hn>N — числа вер-
шин в случайном графе Гпл> принадлежащих циклам.

234 СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ (Гл. VI
При N(n)/n=C+o(l) для математического ожидания
Hn,N имеют место формулы
ιΐτηΛί (//„,*(„,)= \ in -γ-L·- -c-σ, с< ±-,
1(ЯяД(л))=11пй(1+о(1)), С=^-.
Если /С — свойство, состоящее в том, что случайный
граф Tn,N(n) содержит по крайней мере один цикл, то
при Ы{п)/п = С+о{1), С^ 1/2, имеем
Иш Рпмп) (*) = 1 -^C+CVT^2C .
Для математического ожидания H^N—числа вершин
случайного графа Тп,щп)> принадлежащих некоторому
циклу при N(n)ln — C+o{l)t 0<С<1/2, справедливо
равенство
Л-*оо 1 — ZO
При этих же условиях математическое ожидание
®n,jv(n) — числа вершин случайного графа Гп>^(п), ко-
торые принадлежат компоненте, содержащей единст-
венный цикл, — дается при я->-оо формулами
lim Μ (©^(л))=i- У (2Gr-*)* У 4- · C# Τ ·
2 ift /Й '! 2
^(©^w)=-IiJfL ^/з(1 + о(1)), C-i-.
Теорема 2.18. При N(n)ln = C+o{\), 0<С<1/2
все компоненты случайного графа Тп,щп) с вероятно-
стью, стремящейся к единице, при п-*оо являются либо
деревьями, либо содержат точно один цикл.
Перейдем теперь к исследованию 1п>щп) — числа
компонент в случайном графе Гп,щП)> когда N{n)/n=*

§2l
СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ
23S
= С+о(1) при я->оо. Математическое ожидание %п,щп)
имеет вид
n-N(n) + 0(l\ 0<С<1/2,
М(Ьщ*>)=\ η-Ν{η)Λ-01\ηη\ С-1/2,
""™ '(2С), С>1/2,
"(*(Q-^f
где
*(С)=2
*=1
**-'
*!
(2Се~2С)к. С помощью неравен-
ства Чебышева отсюда получаем.
2С
χ (С)
■*?)
<«
0<С<1/2,
— 1, С > 1/2,
где ε>0, а ωη->Όο при п-*~оо произвольно медленно.
В работе [46] изучено также распределение числа
вершин случайного графа Tn,iv, содержащихся в мак-
симальном дереве, число изолированных деревьев
с растущим при /г-мх> числом вершин. Исследован
рост максимальной компоненты Гп,щп) и рассмотрен
ряд других вопросов, на которых мы здесь не останав-
ливаемся. Укажем только в заключение, что при
N(n)/n—C+o(l) при п-+оо Оп,щП) — степень вершины
случайного графа Гп,дг(П)— имеет распределение Пуас-
сона с параметром Я=2С. Если же N(n)/(nlnn)-*ooy
то
(|-§Η<·)
1.
где Оп=тахОп,щп)(к)9 Dn=*3ilnDntma)(k)f Оп,щП){к)
—степень £-й вершины.
3. Вероятностные графы. Рассмотрим полный граф
с η вершинами и / ) ребрами, в котором каждая
пара вершин соединена ребром. Рассмотрим вероятно-
стный процесс, состоящий из [ ) шагов. На k-м

236 СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ [Гл. Vl
шаге ребро с номером 1<£<J ) либо остается
с вероятностью р, либо удаляется с вероятностью
q=\—р. Полученный в результате граф Гп(р) будем
называть вероятностным. Обозначим через Рп веро-
ятность связности такого графа. Нетрудно убедиться
в наличии следующего рекуррентного соотношения:
Из этого рекуррентного соотношения следует асимпто-
тическая оценка
Ρ,= 1-ης*-* + 0({ης*η
Отсюда следует, что для 0<<7<1
SimP„=l.
Используя метод включения — исключения, нетруд-
но получить оценки для Рп следующего вида:
nqn~l (l
Изучение вероятностных графов, когда q=q(n)-+l
при /г-*-оо, приводит к результатам, близким к рас-
смотренным в предыдущем пункте.
Рассмотрим теперь другого типа вероятностный
граф Gn(p) с η вершинами, у которого каждая пара
вершин соединяется ребром с вероятностью ρ незави-
симо от других пар. С вероятностью qf p+q=l, соеди-
нения пары вершин не происходит. Обозначим _через
Gn(p) дополнительный к Gn(p) граф. В графе Gn(p)
пара вершин соединена ребром тогда и только тогда,
когда такого соединения нет в Gn(p).
Пусть vn(pf k) —число полных подграфов с k вер-
шинами в вероятностном графе Gn(p) и Μυη(ρ, k) —
среднее значение случайной величины vn{py k). Оче-
видно, что ..._.-
Mvn(P,k)=(nk)p(l).

§ 3] СЛУЧАЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 237
Заменяя в этой формуле ρ на q, получаем выражение
для среднего значения числа полных подграфов с k
вершинами в вероятностном графе Gn(p):
Mvn(q, k)=fyq®.
Если выбрать
^ \L Ч(1//7) J' L ln(i/^) Jr
где [г] — целая часть ζ, то при я-*-оо
Mvn{py k) = o{\\ Mvn(gt k) = o{l).
Отсюда следует теорема, принадлежащая Реньи [90].
Теорема 2.19. Для каждого фиксированного р,
0</?<1, и для каждого п>По(р) существует граф Gn,
имеющий η вершин и такой, что Gn не содержит пол-
ного подграфа с более чем 2 In /г/ln (1/р) вершинами
и дополнительный граф ϋη не содержит полного под-
графа с более чем 2In n/In (l/q) вершинами (р + <7=1).
В качестве следствия из этой теоремы при p = q= 1/2
вытекает теорема Эрдеша {90].
Теорема 2.20. Для каждого достаточно большого
η существует такой граф Gn с η вершинами, что ни Gny
ни его дополнительный граф Gn не содержат полного
подграфа с более чем 2 In n/ln 2 вершинами.
Теоремы 2.19 и 2.20 являются примерами теорем
существования в комбинаторном анализе, которые до-
казываются путем применения теоретико-вероятност-
ного подхода без использования конструктивных ме-
тодов. Другие примеры применения вероятностных
методов при доказательстве комбинаторных теорем
существования можно найти в книге [9].
§ 3. Случайные отображения
1. Распределение числа циклических вершин. На
множестве всех отображений в себя множества Х> со-
держащего η элементов, зададим равномерное вероят-
ностное распределение и рассмотрим случайную вели-

238 СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ {Гл. VI
чину ζη, равную числу циклических вершин графа
Г(Х, σ) в случайно выбранном отображении σ^@η. Из
формулы (0.13) следует, что
^я=*)=-$т-. .*=<>. ι.···, »· ι3·*)
Имеет место следующая теорема, полученная Хар-
рисом.
Теорема 3.1. При я->оо для и=о(я1/в) гшеет
место равенство
Р(-^=и) = ие-^-^:(1 + о(\)). (3.2)
Доказательство совпадает с доказательством тео-
ремы 1.4 § 1 настоящей главы. Рассмотрим теперь про-
изводящую функцию ζη
/.w-i-^r^· (з-з)
*-ι η
После несложных преобразований имеем
/я(дг)=1 + (л:-1)(«-1)!2тг(тГ*~1· (3'4)
Находя две первые производные в точке х=\> можно
получить следующие выражения для среднего и дис-
персии ζη:
ι Λ—1 ft
(3.5)
, й—1 ь / . Λ—1 ъ \2
Используя формулу Стирлинга и равенство (1.20), по-
лучаем
*K»=j/-f-(i+0(i)) (3·6)

§ 3] СЛУЧАЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 239
«»=(2;-f)«(l + o(l)). (3.7)
2. Распределение числа компонент. Обозначим че-
рез кп случайную величину, равную числу компонент
связности графа Г(Х, а) случайного отображения
σ€=@η. Из формулы (0.14) имеем выражение для точ-
ного распределения
'(V^-iCl,1)^-. /-1.2 *
(3.8)
Умножая обе части равенства (3.8) на ζ* и суммируя
по /, получаем выражение для производящей функции
ftW-gf^"1)^· (3·9)
Лемма. При п-^оо имеет место следующее асам-
птотическое представление gn (z):
\ 2 / /o„\7.(*-D >
gn(*)= \(z) ' (2п),лш-1)(1 + о(1))9 (ЗЛО)
где о(1)->0 равномерно для всех ζ, 1— δ<2<1 + δ,
0<δ<1.
Представим gn {z) в следующем виде:
«7.-· πν·+· η
gn(z)=Hl + N2+H3= 2 + 2 + 2 · (ЗЛ1)
где —^—<e<J- .
2(5 + 2) ^ ^ 6
Для #ι имеем следующую оценку:
. ъ<^1 ,у-°(в^/^))> (3·12)

240 СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ [Гл. VI
равномерную для всех ζ в указанной области. Анало-
гичным образом получается равномерная по ζ оценка
для Я3:
Из<1Ш Σ *^"τ(5)(l+^(l))=o(лl+^τJ,).
лГ(*)
(3.13)
Сумма #2, дающая основной вклад, представляет-
ся в следующем виде:
яе+'/·
Я2=—L- V £V-*V(2«)( l + o(l)).
ft-/zVa-
Отсюда находим
1/Λε
Проводя в интеграле замену переменной у=х2/2 и ис-
пользуя интегральное представление Г-функции
получаем
Н2=Т «« + 1)/2) (2д)<'-1)/2 (1 + о (1)), (3.14)
где при л-^оо о(1)-И) равномерно в указанной об-
ласти.
Теперь справедливость леммы вытекает из равен-
ства (3.11) и оценок (3.12) —(3.14).
Изучим асимптотическое поведение при /г-*-оо слу-
чайной величины κη [30].
Теорема 3.2. При п—>оо случайная величина
%п = Iу.п In n J J — In л) a имеет в пределе нор-
мальное распределение с параметрами (О, 1).

§3]
СЛУЧАЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
241
Из леммы следует, что для производящей функции
моментов %п имеет место асимптотическое представле-
ние при п-+оо
On(t)=e 2 q *„(*"')= K \{eth ' е*Ч*{\ + о{\)\
где а2——In η и — δ'<*<8\ δ'>0. Отсюда сле-
дует, что для любого фиксированного t, — δ^ΐ^δ',
δ'>0,
Л-юо
и теорема 3.2 вытекает из теоремы Куртисса.
Путем дифференцирования при ζ—\ производящей
функции gn(z) можно получить формулы для среднего
и дисперсии κη:
£>χ„=2
^»=2iif· <3·15)
■2 ^-2 ^ · (3-16)
" :<#<« iJn) ' ft. 3nl \ft JnJ
Используя при /ί->οο оценки
2^Г = 1 i*-/>U<(l + o(l))=
= -1-1пя(1 + о(1)),
2
2 -^=0π).
-Ϋη+l
находим, что
2
м*^-^1™^^1))· (3·17)

242 СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ [Гл. VI
Аналогичным образом можно показать, что
Ъ*.=-^1пл(1 + о(1)). (3.18)
3. Распределение числа образов и прообразов эле-
мента. Пусть σ—случайно и равновероятно выбранное
отображение множества X из η элементов и χ — фик-
сированный элемент из X. Множество
«,(*)«{*. *(*), °2(*),··., **-Ч*))
будем называть множеством образов элемента χ отно-
сительно σ.
Число различных элементов в S0(x) будем обозна-
чать So(x). Если существуют i/el и целое неотрица-
тельное k такие, что ah{y)=x, то у будем называть
прообразом χ относительно σ, а число таких элементов
у&Х обозначим через ρσ(χ). Если 10{х) —длина кон-
тура в компоненте графа Г(ХУ а), содержащей х, то,
полагая sn=sa(x), /п = /Д*)» имеем
р (sn=мй=У)=
Отсюда суммированием находим, что
Я^-ЛХ-^Й-, *-0, 1 я, (3.20)
Я(/я-/)=2^> У-1, 2.....Λ. (3.21)
*-i
Сравнивая формулы (3.1) и (3.20) и принимая во
внимание содержание теоремы 3.1, убеждаемся в спра-
ведливости следующей теоремы.
Теорема 3.3. Число образов элемента относи-
тельно случайного отображения аевп при п-^оо име-
ет предельное распределение, совпадающее с предель-
ным распределением числа циклических элементов,
а именно, для и=о(п1!9).
Ρ f^eWar-^-Lil + oil)),
\Vn I V η

§3]
СЛУЧАЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
243
Эта теорема может быть доказана и другим спосо-
бом. Действительно, с помощью формулы Стирлинга
из равенства (3.19) можно получить соотношение
\Vn V7 }
означающее, что асимптотическая плотность случай-
ной величины (sJYriy ln Ιγη) есть
/(*, у)=ег"Рщ 0<у<х<оо.
Отсюда интегрированием получаются асимптотические
плотности для sn /Уη и IjVn [54]
fx{x)=xer*P *>0;
где
Ф(У)=—=. \ e~*4*dx.
ТА* J
Утл J
Обозначим через рп случайную величину, равную
числу прообразов фиксированного элемента х^Х от-
носительно выбранного наугад преобразования σ<=@η.
Покажем, что
"'«■-Ю-Я'-тГ· *-«-;.-«.
(3.22)
Действительно, fe—1 прообразов элемента х> отличных
от ху можно выбрать ( ~~ J способами, и имеется
kk~2 вариантов объединения их в корневое дерево
с корнем х\ число способов отображения остальных
η—k элементов в себя равно (п—k)n-h\ элемент χ мо-
жет быть отображен в любой из η элементов. Таким
образом,
pfr-q-fc;;) ^V^V (3.23,

244 СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ Й ОТОБРАЖЕНИЯ [Гл. VI
После очевидных преобразований получаем выраже-
ния (3.22) для точного распределения рп [70].
Теорема 3.4. При п-*-оо число прообразов фик-
сированного элемента относительно случайного равно-
вероятного преобразования ое@п имеет предельное
распределение
1ЩР(Рп-Ч=4^-, *=1, 2,..·
Доказательство теоремы получается непосредствен-
ным применением формулы Стирлинга к оценке точно-
го распределения (3.23).
4. Распределение высоты и порядка элементов.
Пусть ©п — симметрическая полугруппа отображений
в себя множества X, содержащего η элементов. В гра-
фе Т(Х, а) рассмотрим некоторую вершину х<=Х. Вы-
сотой элемента χ относительно отображения ае@п бу-
дем называть /г(а, х) —длину пути от χ до ближай-
шей циклической точки. Высоту циклической точки
полагаем равной нулю. Величину h(a) =max/i(a, х)
xs=X
назовем высотой отображения ое@п. Справедлива
следующая теорема [32].
Теорема 3.5. Пусть h (σ) — высота отображения
σ, случайно и равновероятно выбранного из симметри-
ческой полугруппы @п. Тогда
цтр /_^<И= V (-l)**-*1*'.
Число различных элементов в последовательности
(σ, σ2, ...), αΕ0η, называется порядком элемента а
в полугруппе @п и обозначается Q{o). Порядок σ мо-
жет быть также определен как наименьшее натураль-
ное число Q(a) такое, что σ^=σ^σ>+1 для некоторого
Чу 0<q^Q{<*)· Если С0^Х есть множество цикличе-
ских элементов отображения ае@п, то ограничение σ
на Со называется остовом σ и обозначается σ*. Тогда
Q(a)=Q(o*)+max(0, Α(α)-1).
Имеет место следующая теорема Харриса [91].

§ 4j СЛУЧАЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ОГРАНИЧЕННОЙ ВЫСОТЫ £45
Теорема 3.6. При случайном равновероятном вы-
боре отображения ое@п случайная величина
(ι.β(.)-|μ.)/(^ΐΛ)
при п->оо распределена асимптотически нормально
с параметрами (О, 1).
В основе доказательства этой теоремы лежит сле-
дующий важный результат Эрдеша и Турана [89].
Теорема 3,7. Пусть Q(s)—порядок элемента s,
случайно и равновероятно выбранного из Sn — сим-
метрической группы подстановок степени /г. Тогда
случайная величина
(toQ(e)-Lln»«)/^№)
при п-^оо распределена асимптотически нормально
с параметрами (О, 1).
Далее, если G(n) =max Q(s), seSn, то
HmJn£(nI==1
n-***Vn\nn
Кроме того, если W(ri)—число различных значе-
ний, которые может принимать величина Q(s) при
seSn, то при /г->-оо
r(.)-«p|^:/^<l + .<4l[
причем за исключением значений, количество которых
имеет порядок o(W(n))t все они имеют вид
expj^J"2 }ГШп(1 + о(1))\.
§ 4. Случайные отображения ограниченной высоты
1. Число отображений ограниченной высоты. Обоз-
начим через @п совокупность отображений в себя σ
множества X из η элементов с условием, что высота

246 СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ [Гл. VI
отображения не превосходит Λ, т. е. высоты деревьев
графов Т(Х, σ), qeS,,, не превосходят h. Совокупность
элементов xgI, для которых i — наименьшее число
такое, что существует целое р>0 с условием о{(х) =
= о1+р{х), будем называть i-м слоем отображения σ.
Ясно, что i-и слой состоит из элементов высоты i от-
носительно отображения о; в частности, нулевой слой
состоит из циклических элементов. Отображению
ае@η поставим в соответствие (Λ+1)-мерный вектор
/(=(&, Ь,..., kh), k+ki + ...+kh=nt где ki — число эле-
ментов х^Х в ί-м слое отображения а и /г = &о. Вектор
К будем называть слойкой диаграммой отображения
σ€=«2ί.
Лемма 1. Число отображений ае@пСО слойной
диаграммой К— (&, &ь ..., kh) равно
*+*!+...+АА-л, (4.1)
при условии, что если &* = 0, το^ί+ι= ... =Α&=0 и0°=1.
Действительно, число распределений элементов по
слоям равно nl(k\ki\...kh\)~~l, число отображений ki
элементов ί-го слоя в k^\ элементов (i—1)-го слоя
равно kkt_ y число отображений в себя циклических
элементов равно k\
Обозначим через Tj*> общее число отображений
σε®*, а через T{nh\k) и^Т^У —числа таких отобра-
жений с k циклическими элементами и / компонента-
ми соответственно. Тогда
T(nh)(k)= 2 Π*. *ι.· ··.**). (4·2)
Tif = y±C(k, j)Tf\k), (4.3)
ft=.0

§ 4] СЛУЧАЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ОГРАНИЧЕННОЙ ВЫСОТЫ 247
где С (&, /) —число подстановок степени k с / цикла-
ми. Для удобства полагаем
Τψ\0)=τ№=Τ[Η)==\.
Для изучения асимптотического поведения величин
T(kf ku ..., kh)y k + k\+ ... +kh = n при л->оо удобно
рассмотреть функцию от h независимых переменных
х, хи ... , xh-\ при условии, что х+Х\+ ... +xh=n, и о:
h параметров /ь /2, ..., /&:
Γ(л:1-l·l)Γ(д:2-Ы)...Γ(л:A_1+l)Γ(^+l),
где L= (/ь /2, ..., /л); гамма-функция и все рассматри-
ваемые переменные неотрицательны.
Лемма 2. Функция fn(х> хи ..., хн-\\ L) при я->оо
имеет единственный максимум в точке{х?> ·%..., х°п\
определяемый условиями
*0=г0л, л?=Г!Я,...э xl=rhn, γ0+γ1+...+/Ά==1.
Г/= , у = 1, 2,.,., /ζ
1 + Р1+Р1Р2+ .·· + ΡιΡ2·.·Ρλ
(4.6)
где р1( р2,..., рл определяются из соотношений
Ρ/=Ζή_,(ρ),7=1, 2,...,■ А-1,
(4.7)
Ыр)=Р. -t*(p)=pexp(4-i(p)), Ь1,2 А,
а р = рн — единственное действительное решение урав-
нения
£*(Р)=1. (4.8)
Доказательство может быть проведено по следую-
щему плану. Из условия наличия экстремума функции

248 СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ [Гл. VI
fn(x, Χι Xh-ϊ, Ц в точке {х°, ·*?,·.·, Λ-ι) получа-
ем систему уравнений:
(*?+/,)/*>-In 4_i + Y(4+l)=0,
(4+ h)lx\ + In (jco/xLO - Υ (*? + 1)+Υ (4 + 1)=0,
(4-ι + 1к-х)1х1-2 + Ь (4-3/4-ι) - Υ (4-2+ 1) +
+γ(4+ΐ)=ο,
(4+/J/4-1+ in (xUixl-i)- γ (4-ι+ ΐ)+γ(4+1)=
= 0,
где γ (#) = Γ" (χ) /Γ (я) — логарифмическая производ-
ная Г-функции. Интересуясь только положительными
решениями этой системы при я-мх> и вводя обозна-
чения
Pi=x°ilx9, ра=д:§/л:?э..., ρ^ι = λ:£-ι/.*λ-2,
о, о
Ρλ=«*αΑ*α-ι.
имеем
Р^р1 = 1, Ρα*ρ' = Ρι,···, Р^р*-1а=РА:-2, P^Pa = Pa-i.
(4.9)
Полагая р = рь и разрешая систему (4.9), убеждаемся
в справедливости леммы.
Функция рн при возрастании /ι монотонно убывает,
оставаясь ограниченной снизу. Отсюда следует суще-
ствование предела для рн при h-ь-оо, причем из урав-
нения (4.8) следует, что
Вычисления показывают, что при h = 500 рь только
в шестом знаке отличается от величины е~1.

§ 4] СЛУЧАЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ОГРАНИЧЕННОЙ ВЫСОТЫ 249
Лемма 3. Пусть а= (ао, аь ..., ah-i),ao + ai+ . ..
...-faA=0, а;=о(/г1/6), / = 0, 1,..., А, и пусть
Тогда при п-^оо, /ь /2, .., 4=const шиеег место асимп-
тотическое представление
φ„(α, 1)=/г-А/2<рл(0, Z)exp{—±-Q(a0, аь..., аА)} X
Х(1 + о(1)), (4.10)
где
(2rt) p Упг2..../-А
Q(a0, αϊ,..., αΑ) =
Γ1 2 „ V» ^+1+ -^ 2 Ι * oV ! //Ι 11\
= "τα°"^2ί—~α'+ 22]τα>α/+1· (· ^
Для оценки φη(α, L) при /ι-»-οο применим формулу
Стирлинга для Г-функции
(2π)Λ'2 * * ,/-/,·«+«;/„ +ι/2
Отсюда имеем
φ„(α, Ι) =
хехр 2(0я + а^л) + 0(-1·) .
^exp {(1-r0)/i-a0l/«+0(ij)x
Χ
(2π*)*/2 K/-ir2...rft
п(^гд,п
^ (i + «,/(/«,)Г+^й+1/2

2§0 Случайные графы и отображения [f л. VI
Возводя i-e равенство системы (4.9) в степень г^\
и перемножая полученные равенства, получаем
ΡΪΡΪ... р£* = рАехр {гх + г2+ ... +гА}.
Используя это соотношение, а также равенства
rj_i/rj= 1/pi» /=1,2,..., ft, находим, что
"Λ " > ρ"
Разложением в ряд логарифма при aj = o(rtV·
/=0, 1, ..., К получаем
А
ατ-ια/
-Ш°и+0(М
где a=maxay. Аналогично
ay \ Г чг jynl- 1/2
Π ι
3-1 \ Г J
Vn
Заметим далее, что

§ 4] СЛУЧАЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ОГРАНИЧЕННОЙ ВЫСОТЫ 251
Собирая полученные оценки, имеем следующее
асимптотическое представление для φη(α, L):
f л Λ1 „2 1 ft h
l· /-Iм /-lr/-l /-1 M *
Отсюда и следует лемма 3.
Лемма 4. Квадратичная форма Q(ao, αϊ, ..., α/0,
αο+αι+...+α/ι=0, положительно полуопределена и
имеет ранг h. Линейным преобразованием
β*»-5?-"*—Г-а*+ь А=0, 1,..., А-1. (4.12)
-2 · г*
Q (ao, аь ..., ал) приводится к сумме квадратов:
Q(a0, оь..., ай)=У— Р*· (4·13)
ft-0:
Ofe+1
Если рассматдивать Q(ao, аь ..., ал) как квадра-
тичную форму Q(ao, аь ..., ал-ι) от переменных а0,
аь ..., ал-ь то эта форма положительно определенная.
Обозначив через Dk k-й главный минор матрицы
Q(ao, аь ..., аь), имеем
Д>=1, Dl=rllrl
D*= Г*~\+Г* B^—j-B^, *=2, 3,..., Α.
rZt-l rft-2
Отсюда получаем
^-t^tV· *β1'2 Α· (4Л4)

252 СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ [Гл. VI
Для определителя матрицы Dh+i имеем
Dw^J-Db-.-i-DM^O.
Применяя метод Якоби приведения квадратичной
формы к сумме квадратов, получаем
Q К аь... ,аА) = У -^_ & D0= 1,
Λ-0
'fc+1
и следовательно, равенство (4.13). Отсюда вытекает,
что квадратичная форма Q(cto, аь ..., ал—ι) неотрица-
тельна и несингулярна. Следовательно, она положи-
тельно определена.
Лемма 5. Если J к — якобиан преобразования ко-
ординат ао, аь ...» аь-ι в координаты β0, βι, ..., β/ι-ь то
Η(^)Γ1Ηγι···γ*-1' Λ=2'3>··· <4Л5>
В самом деле, если R — матрица линейного преоб-
разования такого, что α=Λ~1β, α=(αο, αϊ, ... > ал-ι),
β=(βο, βι, ..., β/ι-ι), το /Λ=|#]-ι. Из системы (4.12)
следует вид матрицы R:
/?=
0
1
ГЬ-1
'θ
Г2
Л
Г
•
rh—2
1
__ 1
Гк-2
ГЦ
г2
0
1
ΓΛ-Ϊ
(4.16)

§ 4] СЛУЧАЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ОГРАНИЧЕННОЙ ВЫСОТЫ 253
Разложением определителя \R\ по последней
строке или индукцией можно показать, что
|Я| = -7-^ А>1. (4-17)
/'ογι···γλ-ι
и |/?|-1/гоприА-1.
Лемма 6. Пусть L= (Iu к, ...» h) и
k+ttl+...+kh-nkll *2ΐ···*Λ«
(4.18)
tf/ш фиксированном L и η->·οο
.л
7f >(£)=/*! ^г5'+Ул..гАМ1 + *(1)). (4.19)
ρ"
Выберем произвольное 0<е<7б и представим
Tnh)(L) в следующем виде:
7tA) [L) = n\ {Sx + S2)9
02 = ^Trf J nV*"> «1»···» ^A—li <£)·
|лу-.^|>Я2/8—
При суммировании в 5ι предполагается, что |&j—Xj | ^
<я 2/з-8 для всех /=0, 1, ..., К— 1, &о=#> * § =х°, а в S2
суммирование производится по таким k, k\t ..., kh, что
неравенство |&;·—xj \>n2/s~? выполнено хотя бы прц
одном /,/ = 0, 1, .,., h— 1.

254 СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ [Гл. V!
Из леммы 3 следует, что
Ih=~^X
I (*/-*j)/^«"l <"
v«-«exp<
**-*S>
-JQ[^,·..,-^
i-0,lT...,A—1
ViT
уй
Д-1 „2
2 *To r*+»
I x
Заметим, что Iк представляет собой интегральную
сумму, так что при п-*оо
/Λ^ ( ... ( exp—r-Q(a0, ab..., αΛ)1 Χ
.//.-* -A-. 1 2 J
Делая в А-кратном интеграле замену переменных
согласно лемме 4, получаем
Соя*/·-· CA-l«Ve~8
/л= j ... J exp
-Соя'/в-е —Сд^я'/в—«
XJJMh. -·<ίΡ*-ι(1 + 0(1))·
где Со, Ci Cft_i — некоторые положительные по-
стоянные. Воспользуемся тем, что при п-»-оо для
t=0, 1,...» А—1
С/я'/в-» , 2 ι
f exp—f-^ U>,=—V^Wl + o(D),
-c//.-E /+l
причем погрешность носит экспоненциальный харак-
тер. Далее, используя лемму 5, получаем
/д=(2я)А/2г0 Уг1Г2...гн (1 + о(1)).

$ 4] СЛУЧАЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ОГРАНИЧЕННОЙ ВЫСОТЫ 2б5
Заметим, что <pn(0, L) =fn(x°, χϊ, ..., *λ-ι; £)> и поэто-
му, согласно лемме 3,
Si^rl^rl-.-.r^il + oil)).
Для достаточно больших η имеют место следующие
оценки при α = (α0,..., ak,..., ah_l),ctj=o(nl!6-% jjrk
φ„(α, I)<
<«-Α/2φ«(0, Z)«p{—1$(αο,..., /t-1'6-5,.·.
.... α*-ι)}(1+0(1)).
5<2*+>φΛ(0, LjY^expJi-YjwV»-*)^ χ
oo oo , ft—1 2 \
X J... Jexp _-L^_^$Uo...<%-i,
— oo —oo X ^«0 '
где γι, γ2 — положительные абсолютные постоянные,
0<ε<1/6 — произвольно малое число. Следовательно,
существуют такие положительные абсолютные посто-
янные С\ и Сг, что для больших η
S2 < (С^+'УР") ехр {- С2п ν·-2ε}.
Этим завершается доказательство леммы 6.
Следствие 1. При n==const и п-^оо для числа
отображений высоты, не превосходящей Λ, имеет место
асимптотическая формула
ηΛ> = ^-(1 + ρ1 + ρ1ρ2+...+ρ1ρ2...ρ,)--ΐ(1 + 0(1)),
(4.20)
г&е Рь р2, ..., ρ/ι определены в лемме 2 равенствами
(4.7) и выражаются через решение ρ уравнения (4.8).
При Lt=L0== (0, 0, ..., 0) из леммы 6 следует, что
ПА)=-^Го(1 + о(1)), (4.21)

256 СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ »Гл. VI
а, согласно лемме 2,
/ο = (1 + Ρι + ΡιΡ2+ · · · + Р1Р2. · .РаГ1· (4.22)
Следствие 2. Число отображений высоты, не
превосходящей 1, равно
Т^ = ^{п\к-К (4.23)
При л-*-оо справедлива асимптотическая формула
T{nl)= _ nl ^ (1 + о(1)), (4.24)
РЛ(И-Р)
где р = 0, 567.., — единственное действительное реше-
ние уравнения
V=l. (4.25)
Справедливость следствия легко устанавливается
применением предшествующих результатов при Л=1.
2. Предельное распределение слойной диаграммы
случайного отображения. Зададим на ®п равномерное
вероятностное распределение и рассмотрим /ι-мерную
случайную величину ξ= (go, ξι, ··, £λ-ι), где ^- — чис-
ло элементов ι-го слоя случайного отображения σ^©^.
Точное распределение ξ, являющейся слойной диаграм-
мой случайного отображения из @л> имеет вид:
P{to=ky ξι = ^ι S*m = *a-i} = —J^-7*(*. k^...kh\
'η
Для моментов ξ имеет место следующее выражение:
L = {1\, /2,. · ·, /а)>
а следовательно, согласно лемме 6, асимптотическое
представление
M(&U'...&,) = №...г^п* (1 + 0(1)), (4.26)
/=λ+/2+...+/λ.

§ 4] СЛУЧАЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ОГРАНИЧЕННОЙ ВЫСОТЫ 257
В частности, среднее число точек в i-м слое равно
Λίξ,==/ν*(1 + ο(1)), / = 0, 1,..., А, (4.27)
причем коэффициенты Го, ги ..., гн зависят только от h.
Если Kj = Mlj/Mlj~u /=1, 2, ..., ft,— «коэффициент
относительного разрежения» /-го слоя по отношению
к (/—1)-му, то в силу равенства г$=р,-/>-1 имеем
Так как 1>Κ\>Κϊ> ... >/Сл>0, то происходит отно-
сительное «обеднение» соседних слоев по мере увели-
чения их номеров. Более детальную информацию о
распределении числа точек в слоях случайного отобра-
жения ае@пдает следующая теорема.
Теорема 4.1. Если (ξ0, ξι, ..., Ιλ-ι) — слойная диа-
грамма случайного отображения σ^@£ то случайный
вектор
(Но~ W)jVn% fe -Γλη)!Υη,..., (ξΛ_! -/·*_!*)/ 1/λ)
β пределе имеет собственное нормальное распределение
с матрицей вторых моментов A=Q~\ где Q — матрица
определенной в лемме 4 квадратичной формы Q(ao,
аь ..., а/г-i), коэффициенты которой выражаются через
корень уравнения (4.8).
Из лемм 3 и 6 следует, что
P{(to-x°)!Vn = a0,
(Ει —#i)/V/^=a1,. .., №а-1—4-ι)/νΛΛ = αΛ_1} =
nl fn(xo+a0Vn, xi + arfn,..., 4-ι +
+ ан_гУп; Ζ0)==
-bS^Le4,(-rei"*a · Ч(1+,'(1),·
Так как Q(ao> αϊ, ..., α^_ι) не сингулярна, то существу-
ет обратная ей квадратичная форма Q-1 (ао, аь ..., ο>η~ι),
9 В. Н. Сачков
Т(Н)
IX

258 СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ [Гл. VI
матрицу которой обозначим через Λ=||λ^·||, ί, / = 0,
1, ..., /ι—1. Так как
ι h~i
Q(a0, ab..., αΛ^) = —— ^Λ/Λα*,
где |Λ|—определитель Λ, а Λ^— алгебраическое
дополнение элемента λ^, то окончательно получаем
(Si — *?)/1/л = ab .. ., (ξΛ-ι —4-1),У'л = ад_1} =
1 _exp _-i— V Л/ЛаЛ χ
, ιΛί; 21 λ ι -*-<
(2nnf2V rlrx...rh I /,*-o
X (l + o(l)). (4.28)
Если θ — диагональная матрица квадратичной
формы от переменных β0, βι, ..., β^-ι, полученной из
Q(ao, αϊ, — > afc_i) приведением к сумме квадратов спо-
собом, указанным в лемме 4, то Л-1 = /?'£/?, где R —
матрица вида (4.16) и штрих означает транспонирова-
ние. Теперь из формулы (4.17) следует, что
| А | =Гог1в..гд.
Из равенства (4.28) вытекает, что рассматривае-
мая в теореме многомерная нормированная случайная
величина в пределе имеет плотность
Ψ К αι,···, α/*-ι) =
1 ί 1 ^
?ρ{"2Τ^"ι20Α,Λα*} (4'29)
V{2nf | Λ
и характеристическую функцию
Φ Co. *,,.·., Vi)=exp --i- 2 >/*M* . (4.30)
Теорема доказана.

§ 4] СЛУЧАЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ОГРАНИЧЕННОЙ ВЫСОТЫ 259
3. Распределение числа компонент. Обозначим че-
рез ηηΛ число компонент в случайном отображении
oe®J и рассмотрим производящую функцию
a(z) = %P(r\nh=j)z'.
Лемма 7. При п-+оо для производящей функции
α (ζ) имеет место асимптотическое представление
a{z)=ir°n)'~l (1 + Q(1)),
где о(1)-Н) равномерно в некоторой окрестности W
точки z=l, W = [l— δ, 1+δ], 0<δ<1.
Из леммы 1 и формулы (4.3) следует, что если
Α(ζ) = %Τ$ζ\
/-ι
то
Α(ζ) =
-»ινζ(*+ΐ)...(*+*-υ 2 "йк^Г
или
где
~~Τ(χ 4- 1)Γ(^4- ^...Γ^Λ + ΟΓί^)·
* + ·*ι + · · · +*Λ=#.
Нетрудно показать, что при любом г, 0<г<оо, функ-
ция ,Fn(#, х\, ..., Xfc-r, г) при п-+оо имеет ту же точку
максимума (я0, #1°, ..., Χα-ι), что и функция fn{x> Xu ···
-. ,χ^-ι) в лемме 2. Далее, прип-^оо,а = (ао, <хь ... ,α/ι_ι),
9*

260 СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ |Гл. VI
α0 + αι+ ... +0^ = 0, щ = о(пх1* ), / = 0, 1, ..., К L0^
= (0, 0, ..., 0), имеем
— <Ρ/ζΙα, Ь0) — ι
Г(лгО + а0У/г +1)Г(г)
где <рп(а, L) определена в лемме 3. Применяя форму-
лу Стирлинга к оценке Г-функций, получаем при п-+оо
Fn (*°+а0У"л~ . · ·, Xh~i + a.h-iVn ; z) =
= ~f^fn(^ + ^oVni..^ xU + a^yJii L0)x
Τ (ζ)
Χ(1 + ο(1)),
где о(1) —>-0 равномерно для всех ге№. Из последне-
го равенства следует, что
А(г)= _
1 {Ζ) а
Х(1 + о(1)),
где сумма представляет собой асимптотику для T<^jn\
при я->оо. Следовательно,
aW=ji(£l=iM)ll(i+0(i))
V } А(\) T(z) К [ К JJ
с равномерным стремлением к нулю о(1) для всех
Теорема 4.2. При п-+оо случайная величина
- __ η,ίΛ— 1П(Г0Л)
Vin (r0/i)
распределена асимптотически нормально с парамет-
рами (0, 1).

§ 4] СЛУЧАЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ОГРАНИЧЕННОЙ ВЫСОТЫ 261
Из леммы 7 при я->оо следует асимптотическое
представление для производящей функции моментов
T(ez)
где о(1)-Я) равномерно для всех zgF, W=[—δ7, δ],
δ'>0. Согласно теореме Куртисса достаточно показать,
что при θ = У In (r0n) при всех ограниченных ζ
Справедливость этого равенства легко доказывается.
Рассмотрим теперь случайную величину ипь(0>
равную числу контуров длины г в графе Г(Х, σ) слу-
чайного отображения ае®*, Точное распределение
Knh{r) сразу выписывается с помощью формулы пол-
ной вероятности:
j = \y 2,..., [я/г], (4.31)
где С (&, /; г) —число подстановок степени k с / цик-
лами длины г.
Из точного распределения %пк{г) получаем выраже-
ние для производящей функции факториальных мо-
ментов
где g^ (2) — производящая функция факториальных
моментов циклов длины г в случайной подстановке
степени k и, следовательно,
[к/г] 1 zj

262 СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ ';Гл. VI
Таким образом,
gAz)^[fl-T7T°h)WT»h)-
Пусть ε>0 — произвольно малое число иА= —X
Х(г0/г — /г2/3-£).При \z\<r представим gn{z) в виде
суммы S1+S2, где в 5ι внешнее суммирование от 0
до Δ, а в 52 — от Δ + 1 до [η/r]. Для суммы S\ имеем:
rj^ron—η2/2_ε, поэтому из доказательства леммы 6
следует, что при я->оо
2 7,i*)(ft)/7i;*)= 1 + о(1).
Кроме того,
52=:0(л/(Д+1)1) = о(1).
Таким образом, при |г|<г
т. е. производящая функция факториальных моментов
Knh(r) в пределе совпадает с производящей функцией
факториальных моментов закона Пуассона. Таким об-
разом, доказана следующая теорема.
Теорема 4.3. При п-+оо случайная величина
Knh(r) 6 качестве предельного имеет распределение
Пуассона с параметром λ= 1/г.
4. Распределение высоты и числа образов фиксиро-
ванного элемента. Совокупность различных элементов
множества {х> o(x)f <a2(x), ..., σ*"1^)} представляет
собой совокупность образов элемента xgI при отоб-
ражения σ^©^. Пусть θ — число образов элемента χ
при случайном отображении σ^1®*» υ — длина контура
Г{ХУ σ), соответствующего совокупности образов я,
и w = Q—υ — высота χ относительно сг.

§ 4] СЛУЧАЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ ОГРАНИЧЕННОЙ ВЫСОТЫ 263
Лемма 8. Совместное распределение случайных
величин υ и w имеет вид
P(v=l, w = j) =
-75,1 2 ^^*"*;·····*·-■·
(4.32)
Точные распределения ниш имеют вид
P(v = l)=y±7Y\k)IT{nh\ /=1,2,..., я, (4.33)
м k
P{w^j)=±T{nh){Lnl)lT{nh\ / = 0, 1 A —lf (4.34)
г№Т{пП){Ц)^Т{пк)> Lj= (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0), где 1 стоит
на /-м месте, а Т(пН) (L) определено формулой
(4.18). В самом деле, число способов выбора и упоря-
дочения /+/ образов элемента χ равно (п—l)j+i-b
а число отображений оев* с фиксированными обра-
зами χ и слойной диаграммой (k> k\, ..., kh) равно
<ΛΧ — 1>! —С*У — 1>Ι ^У-ы! —*Λ»
rkj- Irkj { rkh
Перемножая эти величины и суммируя, полу-
чаем выражение, которое после деления на T[h) дает
совместное распределение ниш. Отсюда после упро-
щения, получаем формулу (4.32). Распределения υ и w
получаются из совместного распределения суммиро-
ванием.
Теорема 4.4. При я->оо высота w фиксированно-
го элемента относительно случайного отображения
oeg^ имеет предельное распределение
Hmp(w = j) = r у = 0, 1,..., /г, (4.35)

264 СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ [Гл. VI
где Го, гь ..., гн определены формулами (4.6); длина
контура υ в графе Г(Х, <т), соответствующем совокуп-
ности образов ху распределена асимптотически равно-
мерно на отрезке [1, Гоп], а именно:
= —(1 + о(1)), 1</<г0/г-л2/3-\
<—(1+о(1)), /уг-я2/3-2 + 1</<
<г0л+л2/*-,
о(-). г0/г+/г2/з-+!</</*.
P(v = l)
(4.36)
Распределение (4.35) получается путем примене-
ния асимптотических формул (4.19) и (4.21).
Заметим, что
п*>(^')=2т7Ч"*)(*).
k=.l
где £/=(—1, 0, ..., 0). Теперь оценка (4.36) следует
из доказательства леммы 6.
Теорема 4.5. При п-+оо предельное распределе-
ние числа образов θ фиксированного элемента отно-
сительно случайного отображения σ^Θη имеет вид
= -Уо(1 + о(1)), 1<ν<Α,
Γ°Λ/Το
Ρ(β=ν)\
= -2-(i+o(i))f
<-L(l + o(l)),
г0п
Нт)·
r0/i-«2/3-e+i<:v<
<г0/г + /г2/3-8 + /г,
(4.37)

§ 5] ОГРАНИЧЕНИЯ НА КОНТУРЫ И ВЫСОТУ 265
При 0^/^Л и п-+оо из формулы (4.32) имеем
Я(г>=/, w = y)=-^-(l + o(l)).
Отсюда следует первое равенство в (4.37). Из форму-
лы (4.32) вытекают и другие результаты теоремы.
§ 5. Случайные отображения с ограничениями
на контуры и высоту
1. Асимптотические формулы для отображений.
Рассмотрим <Зп (А)—совокупность отображений мно-
жества X из η элементов в себя с условием, что вы-
сота отображений не превосходит h9 а размеры кон-
туров в графах Г(Х, а) выбираются из последователь-
ности Л={1, 2, ..., s}, s^l. Если T{n\kf j\ s) —
число отображений eESil(^) ck циклическими
элементами и / компонентами и
Q(ns) (*, у, А) = £ 2 Г£Л)(Й, у; s)x*yl9 (5.1)
то, согласно формуле (0.15),
«J
ехр^Д^О]}-^*^' у, Л)-~-, (5.2)
я=0
и ал(ί)—-производящая функция корневых деревьев
высоты, не превосходящей К причем
ah{t)=tetet--U\ (5.3)
где символ е повторяется h раз.

266 СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ [Гл. VI
Теорема 5.1. Пусть Irii2 = ln2, lnft2 = ln(ln/!_i z),
k = 2, 3, ...,
Π»(*. s, x, y) = Ubj{j- μΛΐ), (5.4)
i?=J?(n, Xy у) —единственное действительное решение
уравнения
Af [xah(R)]ah\R)R = nl(xy). (5.5)
Тогда при я->оо и s = const имеет место асимптотиче-
ское представление
OVlx. „, h)= ηΙ**Ρ{*ΑΙχαηΜ])_(1 + 0(1)1 (56)
Rn V2nsnUn (A, s, x, ц)
причем o(l)->0 равномерно для всех (χ, y)^W,
U7 = [l—λ:0<λ:< 1 + Χο. 1—Уо<0< 1+ifo].
1>*ο, ί/ο>0.
Используя интеграл Коши, находим, что
<#>(*, У, h) = -^j)exp\yA[xah(z)]}-^T,
С г
где С — замкнутый контур в комплексной плоскости,
охватывающий начало координат. Беря в качестве С
окружность радиуса /? = #(я, х9 у)у имеем
Q{n\x> У, h)=^-^p{yA[xah(R)]}^Ji
2nRn
J- fexp[/(9, /?, χ, y)\dby (5.7)
—г.
/(θ, R, χ, y) = y{A[xah{Re")]-A[xah{R)]}-inB.
Для доказательства теоремы достаточно показать,
что при выборе в качестве R решения уравнения (5.5)

§ 5] ОГРАНИЧЕНИЯ НА КОНТУРЫ И ВЫСОТУ 267
где о(1)->-0 равномерно для (х, y)^W. Возьмем ε =
= я-2/5 и разобьем интеграл / следующим образом:
Теперь формула (5.8) будет доказана, если показать,
что
У2 = 1/ — (1+0(1)), (5.9)
Jl = 0(e-^l,\ У8=0(*-т»л1/б), (5.10)
где о(1)-й) равномерно для (χ, ί/)Ε^, γι>0 и γ3>0
и не зависят от χ и у при (х, #)eflK
Для проверки равенств (5.9) и (5.10) докажем
ряд вспомогательных утверждений. Положим
£<, = /?, Lk^ReLb~\ А=1, 2,..., /г,
заметив при этом, что Lh{R) =cih(R). Уравнение (5.5)
при я-^оо имеет единственное действительное решение
R—R(n, χ, у), которое является монотонно убывающей
функцией от χ и г/, причем R-+oo при я->оо и 0<#,
ί/<οο.
Записывая уравнение (5.5) в виде
\LiLl+1..^j?{xLtf-*=-!L.,
ил /Γι ***
отсюда получаем
Z0L1...iLA_1Z.i=^-(l + o(l)),
где о(1)->0 равномерно для (х, г/)е№. Из этой фор-
мулы следуют асимптотические представления:
V*=ln*(y j/y)-ln/?+o[(l), A=2, 3,..., А,

268 СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ [Гл. VI
—l2in^-ln/?+o(l)f
^=■7 (/^(^(^ 5> *> y))-l/sli+o(D],
(5.11)
где во всех случаях о(1)-И) равномерно для (a:, y)^W.
Используя эти формулы, можно получить асимпто-
тические оценки и для производных /iv) = Lu
dR" *9
k = 0, 1, ... Имеем
4'>-(£ι£2·.·£»-ι>'ί,(1 + ο(1)), * = 1, 2,...
В основе доказательства этих формул лежит соотно-
шение
ii') = /?(^»-i)(l,)+v(^*-i)(l,-1),
получаемое с помощью формулы Лейбница при диф-
ференцировании равенства Z/fe=Re ft""1,a также асимп-
тотическое представление
(^*-i)<'>=(^2.. . /.^oVs-'iil + o (1)),
получающееся применением формулы Бруно для диф-
ференцирования сложных функций и математической
индукций:
α=1
= (^2...JLft_1)Vi*-41+o(l))1

§ 5J ОГРАНИЧЕНИЯ НА КОНТУРЫ И ВЫСОТУ 269
где σ(ν, α) —числа Стирлинга второго рода и во всех
формулах о(1)->-0 равномерно для (χ, ι/)εΨ.
На основе приведенных результатов нетрудно по-
лучить формулы
au(R)=Rah(R) = L0Ll... Lh(l + o(l)\ (5.12)
a2h{R) = Ra\h{R) =
гЛ
*w
.(^...WVi^H^i)), (5ЛЗ)
ah(R)
где штрихи служат для обозначения производных и
о( 1)-М) равномерно для (л:, y)ef. Действительно,
если Mk=RL(kl\ ft=0, 1, ..., А, то Affc = L,JAlk_i + ll * =
= 1, 2, ..., А, т. е.
Λί*=2^+ι··^*, * = 0, 1,..., Λ.
Отсюда следует формула (5.12). Формула (5.13) сле-
дует из равенства
Полученные результаты позволяют доказать следую-
щую лемму.
Лемма 1. Равномерно для всех θ, —ε^θ^ε, при
/(β, R, χ, ί/)=/"(0, R, χ, iO-f-+o(i),
/"(0, R, χ, y)=-snUn(h, s, χ, yXl + 0(l)),
причем ο(1) —»-0 равномерно для всех (χ, y)&W. Су-
ществует такая абсолютная положительная постоян-
ная у, что для e^fl^jt при п-+оо
Re/(в, /?, *, 0)<-Y«ve.

270 СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ 1Гл. VI
Разложим /(Θ, R, х, у) в окрестности —ε^θ^ε
в ряд Маклорена:
/(в, /?, χ, у)=Г(0, /?, χ, у) -^- + я(θ, /?, χ, у),
Снова используя формулу Бруно для отыскания v-й
производной функций»/», получаем
/(ν)(0, R, х9 ΰ)=ί^χ^^(ί0ίι...1^ι>α(\ + ο(\)) =
где о(1)-М) равномерно для (я, j/)Gf. Отсюда нахо-
дим для — ε^θ^ε:
1"(». Я, х, У)\<
< -^№(А, s, х, У)]2ехр{-^ПЛ//, s, х, у)}.
Из этого неравенства следует первое утверждение
леммы. Из равенства ReLQ(ReiQ)=R cos Q и оценок
Re Lk (Re1*) < /?ехр [Re Lk^ (Rel%
Re 4 (/fc") < R> exp {; [Re L^x (Re")]},
полагая αι(ί, y)=tefv, ah(t, yu ..., t/fc) =
= *exp{t/ia*_i(f, ί/2, ... ,Ук)}> находим
ReL{(Re^)<al(Ry 1,..., 1, cos θ),
Таким образом, для ε^θ^π получаем
ReLjk(Re^)-Ll(R)^al(R, 1,..., l.cose)-
-al{R% 1,..., 1, 1).
Применяя математическую индукцию, отсюда имеем
Re^(/?^^4(/?)<^/I0^...^-i^Y+o(l),
Λ=1, 2,..., А, у = 1, 2,..., s.

§ 5] ОГРАНИЧЕНИЯ НА КОНТУРЫ'И ВЫСОТУ 271
Из этого неравенства для всех [xf y)^W следует
оценка:
где γ — абсолютная положительная постоянная. От-
сюда вытекает справедливость второй части леммы.
На основании леммы 1 заметим, что
Л=| ехр{/"(0,Я, х, iO-f-Jrffl (1 + 0(1)),
где о(1) —vO равномерно для (х, y)^W. Отсюда имеем
Л= г Х = f ег9ЩЧ(1 + о(1)),
ь=у^птлу*{ь9 5> Хч yXi+o(i));
где ο(1)-*0 равномерно для (х, y)&W. Из этих ра-
венств следует справедливость формулы (5.9). Спра-
ведливость оценок (5.10) вытекает из второй части
леммы 1. Теперь теорема 5.1 доказана полностью.
Следствие 1. Для числа отображений в ©^(Л),
Л = {1, 2, ..., 5} при 5 = const, n-+oo, имеет место асимп-
тотическая формула
Т(£\А) = [^ ^\А\ан{г)\-пЛ$\\\^ п. Χ
χ(1 + ο(1)), (5.14)
где г — единственное при п-*оо действительное реше-
ние уравнения А'[аъ.{г)]а'н{г)г~п.
Асимптотическая формула с явной зависимостью
только от η имеет вид
л д с
5 Π ln/КЛ
+ 0(1),
о
где полагаем f] \n. у 'п =\и

272 СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ [Гл. VI
Формула (5.14) следует из формулы (5.6) при
х = у=1.
Следствие 2. Если Τff*—число лесов из корне-
вых деревьев с η занумерованными вершинами высо-
ты, не превосходящей h, или, что то же самое, число
элементов о симметрической полугруппы @п, удовлет-
воряющих условию σΛ+1=<τΛ, то при п-^оо справедли-
ва асимптотическая формула
/ h \—1/2
nA> = (^-)V^-" |ПМ) (l + o(D). (5.15)
где г — единственное действительное решение уравне-
ния TCh (г) =П.
Формула (5.15) получается из формулы (5.14) при
5=1.
Наконец, сформулируем результат Харриса и Шён-
филда, касающийся асимптотики 1п — числа идемпо-
тентов симметрической полугруппы, т. е. элементов
σΕδη с условием σ2 = σ, или, что то же самое, числа
лесов из деревьев единичной или нулевой высоты с за-
нумерованными вершинами.
Следствие 3. Если г — единственный действи-
тельный корень уравнения r(r+l)er=n, то при я->оо
/„^—J—exp
У In л
η {Ίη η — in г — 1 -Ι
|(i+o(i)).
(5.16)
Следствие 3 получается из следствия 2 при А=1.
2. Асимптотические формулы для деревьев ограни-
ченной высоты. Используя производящую функцию
(5.3), число корневых деревьев высоты, не превосхо-
дящей Λ, можно представить в следующем виде:
где С — замкнутый контур в комплексной плоскости,
охватывающий начало координат. Выбирая в качестве

§ 5] ОГРАНИЧЕНИЯ НА КОНТУРЫ И ВЫСОТУ 273
контура С окружность радиуса г, получаем
<2пгп ±ъ
/(θ, i^L^Cre'^-L^Cn-iHn-l).
Полагая ahk(x)=lx ] Lh_x (χ) и выбирая в ка-
честве г единственное при п-^оо вещественное реше-
ние уравнения
λλι(γ)==λ-1, (5.17)
так же как и в теореме 1, можно показать, что
V ah2(r)
Это означает, что
• DW= ηΙ^Ϊ1=τ (1 + 0(1))· (5.18)
7ηΚ2παω(0
Уравнение (5.17) может быть записано в виде
2U/(r)£>+, W· · · Vi (Я) = я- 1. (5..19)
Отсюда можно получить формулы
£*_,_, (?)=ln,/i(l-f0(l)), /=1, 2 А-1. (5.20)
В частности, отметим, что
?=10(^) = 1пй_1я(1 + о(1)). (5.21)
Кроме того, из равенств (5.19) и (5.20) следует фор-
мула
Ln-i(?) = Jir— (1 + ^(1)). (5-22)
ΓΙ Irij/i
о
где условимся считать Π 1п;тг= 1.
/-1

274 Случайные графы и отображения (Гл. vi
Использование этих асимптотических оценок позво-
ляет получить следующие формулы:
ah(r) = ln^lnexp\ni Π 1П//г) (1 + о(1))[, (5.23)
ah2(?)=n Π 1п,/г(1 + о(1)). (5.24)
Применяя формулу Стирлинга и используя форму-
лу (5.24), из равенства (5.18) убеждаемся в справед-
ливости следующей теоремы.
Теорема 5.2. При /г->оо, h = const для числа кор-
невых деревьев с η занумерованными вершинами и
высотой, не превосходящей hy имеет место асимптоти-
ческая формула
DW^(±Y fbjg n + o(m (5.25)
1/ Π Injn
У /-ι
edeah{t) ~tee'' (h раз) и г — единственный при
п->оо вещественный корень уравнения (5.17).
Отсюда следует асимптотика с зависимостью толь-
ко от п:
-LInD{ah) = lnn-lnhn-l+(hnhijnYl + o{l). (5.26)
Рассмотрим частные случаи полученных формул.
Полагая А=1, получаем, что г=*п—1, ai(f) =
= (η—1)еп~-1 и, следовательно,
D(nl) = n(l + o(l)).
Этот факт очевиден непосредственно, так как число
корневых деревьев высоты 1 с η вершинами равно п.
Рассмотрим теперь случай Л = 2. Если /п — число
лесов с η вершинами высоты, не превосходящей еди-
ницу, то D{n) = nIn-\. Из асимптотической формулы

§ 5] ОГРАНИЧЕНИЯ НА КОНТУРЫ И ВЫСОТУ
275
(5.16) можно получить
/„-! = —L^i—)" ^ (1 + о(Щ
nVlnn ^er ι
г(г-\-\)ет=п—\.
Отсюда следует асимптотика
^2)^—^(4г)Лг^Г(1 + o(l))f (5.27)
' У In n Ker J
?(?+ \)e7=:ti- 1, (5.28)
которая является частным случаем асимптотики (5.25),
так как уравнение (5.28) получается из уравнения
(5.17) приЛ = 2.
3. Л-леса и Л-подстановки. Если числа вершин в
свободных деревьях леса являются элементами после-
довательности Л, то такой лес называется А-лесом.
Обозначим через ί/(αι, сй, ... > αη; Л) число представ-
лений в виде минимального числа η—k транспозиций
Л-подстановки, принадлежащей цикловому классу
[1 αι2 аа.../2а«] и имеющей k циклов. Имеет место фор-
мула
ί/(α„ α2>..., αη; A) = (n-k)\ fl {-^~\'> (5·29)
jeA,j<n j£A,j<n
Из формулы (5.29) получаем выражение для
Uk(n\ A) —числа произведений по п—k транспозиций,
дающих Л-подстановку:
Цк(п; Л)=л!(л-А)! £ Π ^("^Г" {5Щ
sj*j-n]eA
Say-*
J£A

276 СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ [Гл. VI
С другой стороны, если ?ik) {А) — число Л-лесов с η
вершинами и k деревьями, то
~Л*ЧА) = п!% Π-τί-^Γ· (5-31)
Say—ft
Из формул (5.30) и (5.31) следует соотношение
ик{щ A)=7(nk)(A)(n-k)\ (5.32)
Рассмотрим теперь производящую функцию для Л-
лесов:.
υ(t, χ; Л)=227*}W~гх*> 7°0)<А)=!-
/2=0ft=»0
Из формулы (5.31) следует, что
D(t9 x\ А)=е*Е&А\
Eft Л) = 2У^2
^
(5.33)
*Д "
Теорема 5.3. Пусть Л={/ь /2, ..., /m}, /i</2< ...
... </m, m> 1 и (/ι, /2,..., /m) = 1. При л->оо, /ь /2,..., /w,
m = const, для числа Α-лесов имеет место асимптоти-
ческая формула
W(A)=-p=z(— )V(^)(l+o(l)), (5.34)
где τ — максимальный положительный при п~*оо ко-
рень уравнения
2yift_1^f=«. (5.35)
ft=-l 3k
Для доказательства теоремы 5.3 используем след-
ствие из теоремы 4.1 главы I. Имеем
Λ1

$ 5] ОГРАНИЧЕНИЯ НА КОНТУРЫ И ВЫСОТУ 277
Уравнение для определения г имеет вид
rE'{t\ A) = nt
т. е. совпадает с уравнением (5.35), причем
Γ-μώΐΛ1"- (ι+ο(ΐ)).
V т
Наконец, учитывая, что
' (r^-JE(r; Л) = л/я(1 + о(1)),
получаем формулу (5.34).
4. Распределение числа циклических элементов и
компонент. Пусть Л={1, 2, ..., s} и на множестве
©л (Л) задано равномерное вероятностное распределе-
ние. Через ln(s, h) и nn(s, h) обозначим соответствен-
но число циклических элементов и число компонент
в случайном отображении аебл(Л). Производящие
функции случайных величин £n(s, h) и κη($, h)y со-
гласно результатам п. 1, имеют вид
Рп{х; 5, А) = —— ,
WLir.A)
<?£*>(1.1,А)
Из теоремы 5.1 следует, что при л->оо
Ря(*; s, А)=^(х)(1 + о(1)),
£„(*; 5, Α)=β·«(»>(1+о(1)),
где о(1)-М) равномерно для #e№i=[l— χΰ, 1+*о],
(5.36)

278 СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ 1Гл. VI
0<х0<1. и i/«=U72=[1—г/о, 1+ί/ο], 0<г/0<1, причем
gn(x) = A[xak(Ri)]-A[ak(r)] +
+ п\п^-+ J-ln Пл(А'5' *' 1} ,
/?ι 2 П„(Л, s, л:, 1)
(5.37)
+ —In
П„(*. ■?, 1, 1)
2 "ПЛ(Л, s, 1, :ι/)'
где r=R{n, 1, 1), Ri=R{n, χ, 1), R2 = R{n, 1, г/) и
^'[*«„(*i)]*i(fli)/?i = «/*.
(5.38)
^'К№)]««(А?2)/?2 = «/^.
Введем вспомогательные обозначения:
Αίι = ΛΊα*(Γ)]αΑ(Γ), Ж2=Л[аА(г)],
g2 _ Л» [аА (г)] Л^ [а, (г)] аА (г) + {Л' [ah (г)]}2 χ
Л " [аА (г)] a*A (г) + Л' [ак (г)] я2Л (г)
Х[яЛ(г)а2А(г) —а?А(г)Ь
а| = Л[ад(г)] М' faH] «uW §
Л" [аА (г)] а*А (r) + A' [ah (r)] а2п (г)
где штрихи означают производные и а\н и a2h опреде-
ляются равенством (5.12) и (5.13).
Сформулируем теоремы, описывающие предельное
поведение распределений |n(s, h) и xn(s, Λ).
Теорема 5.4. При s, A = const, я->оо случайная
величина ζη = (in (5, Λ)—Λί^σΓ1 *шегг б пределе нор-
мальное распределение с параметрами (О, 1).
Теорема 5.5. При s, h = const, я-^оо случайная
величина %п = (xn(s, Λ)—Λ^σίΓ1 имеет в пределе нор-
мальное распределение с параметрами (0, 1).
Доказательства обеих теорем аналогичны и поэто-
му их можно провести параллельно.

§ 5] ОГРАНИЧЕНИЯ НА КСНТУРЫ И ВЫСОТУ 279
Лемма 2. При s, h = const, п-+оо
/., = £,(/?!) Lj = Lj(R2) y = lt 2 А —1,
справедливы асимптотические представления
Μμ)= (;1)f>~1)! (ΐ+0(ΐ)),
x*L\L2· · -Lji—x
/&»>= (~_1}>-1)! (l+o(l)),
5;ί/)αΖ,ιΛ2...^/2-ι
гд<? o(l)-M) равномерно при x^Wu y^W2 соответст-
венно.
Доказательство леммы 2 проводится взятием μ-χ
производных от обеих частей равенств (5.38).
Лемма 3. Яра 5, /г = const, я-мх> и
dxk dyk
справедливы соотношения ./j
^(^(-l)**·-*-**! Ζί(/?!)(1+ο(1)) =
= 0(λΠ71(Α, 5, 1, 1)),
^'^H*-11^ 1, 1)),
ад
гд£ все оценки равномерны для x^Wu y^W2 соответ-
ственно.
Доказательство леммы 3 нетрудно провести с ис-
пользованием леммы 2. Из леммы 3 и равенств (5.11) —
(5.13) и (5.37) получаем
A*i = g«(l)= П( " . п (1 + о(1)),
ПП(П, 5, 1, I)
M2 = vn{\)= _ „ * , n (1 + Q(1)),
5ПЛ(Л, s, 1, 1)

280 СЛУЧАЙНЫЕ ГРАФЫ И ОТОБРАЖЕНИЯ [Гл. VI
°1=£«(1)+г»(1)= —77Z— (ΐ+ο(ΐ)λ
1пУ л ПЯ(А, s, 1, 1)
5 Ιηη· ΠΛ (Λ, s, 1, 1)
Кроме того, равномерно для всех x^Wu y^W2 имеем
соответственно
gn{x)l°i — 09 vn{y)fr\ — О,
И л П"(Л' s* *' 1} =;tm Unihi 5* *' 1} = 1.
λ^οο П„(/*, 5, χ, 1) rt+oo ПЛ(А, 5, 1, \y\)
Теперь с учетом равенств (5.36) можно применить тео-
рему 4.2 главы I. Этим завершается доказательство
теорем 5.4 и 5.5.
Следствие 1. Если |ь — число корневых деревь-
ев с занумерованными вершинами в случайном равно-
вероятном лесе высоты, не превосходящей ft, то случай-
ная величина
(Е* -*а (r))(ah[{r) - a\h (r)/a2h (r))'
-1/2
при я->оо распределена асимптотически нормально
с параметрами (0, 1).
Следствие 2. Если ξι — число неподвижных эле-
ментов случайного равновероятного идемпотента сим-
метрической полугруппы ©п, то при п-*~оо случайная
величина
в пределе распределена по нормальному закону с па-
раметрами (0, 1).

ЛИТЕРАТУРА
1. Бернштейн С. Н. Теория вероятностей — М.: Гостех-
издат, 1946.
2. Болотников Ю. В., Тараканов В. Е., Сач-
ков В. Н. Асимптотическая нормальность некоторых вели-
чин, связанных с цикловой структурой случайных подстано-
вок.— Матем. сборник. Новая серия, 1976, 99, № 1.
3. Боровков А. А. Теория вероятностей. — М.: Наука, 1973.
4. Б ер ж К. Теория графов и ее применения.—М,: ИЛ, 1962.
5. Д е Б р е й н Н. Г. Асимптотические методы в анализе. —
М.: ИЛ, 1961.
6. Маркус M., M и н к X. Обзор по теории матриц и матрич-
ных неравенств. — М.: Наука, 1972.
7. Г н е д е н к о Б. В. Курс теории вероятностей. — М.: Наука,
1969.
8. Г о н ч а р о в В. Л. Из области комбинаторики. — Известия
АН СССР. Сер. матем., 1944, 8, № 1, с. 3—48.
9. Э р д ё ш П., Спенсер Дж. Вероятностные методы в ком-
бинаторике.— М.: Мир, 1976.
10. И в ч е н к о Г. И. О силе связности случайного графа. —
Теор. вер. и ее примен., 1973, 18, № 2, с. 417—425.
11. Харари Ф., Палмер Э. Перечисление графов. — М.:
Мир, 1977.
12. Кол чин В. Ф., Чистяков В. П. Комбинаторные зада-
чи теории вероятностей. — Итоги науки и техники. Сер. теор.
вер., Матем. стат., Теор. киберн., М., ВИНИТИ, 1974, 11.
13. Колчин В. Ф., Севастьянов Б. А., Чистя-
ков В. П. Случайные размещения. — М.: Наука, 1976. ^
14. К р а м е р Г. Математические методы статистики. — М.: Мир,
1975.
15. Медведев Ю. И., Ивченко Г. И. Асимптотические
представления конечных разностей от степенной функции в
произвольной точке. — Теор. вер. и ее примен., 1965, 10, № 1,
с. 151—156.
16. Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятно-
стей.—М.: Наука, 1973!
17. Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ.—М.:
ИЛ., 1963.
18. Сачков В. Н. Перечислительные задачи комбинаторного
анализа. — В кн.: Вопросы кибернетики. Труды семинара по
комбинаторной математике АН СССР, М., Сов. радио, 1973,
с. 146—164.

282
ЛИТЕРАТУРА
19. Сачков В. Н. Случайные разбиения. — В кн.: Вопросы
кибернетики. Вып. 16. Труды II Всесоюзного семинара по ком-
бинаторной математике, ч. I, M., Сов. радио, 1975.
20. С а ч к о в В. Н. Асимптотическая нормальность распределе-
ния числа циклических элементов идемпотентов симметриче-
ской полугруппы. — Труды МИЭМ, 1971, вып. 14, с. 180—190.
21. Сачков В. Н. Распределение числа неподвижных точек
элементов симметрической полугруппы с условием öh+l =oh
и число деревьев высоты, не превосходящей h. — Теор. вер.
и ее примен., 1971, 16, № 4, с. 676—687.
22. С а ч к о в В. Н. Отображения конечного множества с огра-
ничениями на контуры и высоту. — Теор. вер. и ее примен.,
1973, 17, № 4, с. 679—694.
23. С а ч к о в В. Н. Случайные отображения ограниченной высо-
ты.—Теор. вер. и ее примен*., 1973, 18, № 1, с. 122—132.
24. Сачков В. Н. Распределение числа различных элементов
симметричного базиса в случайной тЛ-выборке. — Теор. вер.
и се примен., 1971, 16, № 3, с. 504—513.
25. С а ч к о в В. Н. Случайные разбиения множеств с помечен-
ными подмножествами. — Матем. сборник, 1973, 92(134),
№3(11), с. 491—502.
26. Сачков В. Н. Случайные разбиения множеств. — Теор. вер.
и ее примен., 1974, 19, № 1, с. 187—194.
27. С а ч к о в В. Н. Об экстремальных точках пространства сим-
метричных стохастических матриц, — Матем. сборник, 1975,
96(138), №3, с. 447—457.
28. Сачков В. Н. Система различных представителей случай-
ных множеств. — Матем. сборник, 1975, 97(139), № 3,
с. 395—402.
29. Сачков В. Н. Комбинаторные методы дискретной матема-
тики.— М.: Наука, 1977.
30. С т е п а н о в В. Е. Предельные распределения некоторых
характеристик случайных отображений. —Теор. вер. и ее
примен., 1969, 14, № 4, с. 639—653.
31. Степанов В. Е. Случайные графы. — В кн.: Вопросы ки-
бернетики. Труды семинара по комбинаторной математике
АН СССР. М., Сов. радио, 1973, 164—185.
32. П р о с к у р и н Г. В. О распределении числа вершин в слоях
случайного отображения. — Теор. вер. и ее примен., 1973, 18,
№ 4, с. 346—352.
33. Феллер В. Введение в теорию вероятностей. — М.: Мир,
1967, Т. 1; Т. 2.
34. A u s t i n T. L., F a g e n R. E., Penney W. F., R i о r-
d a n J. The number of components in random linear graphs. —
Ann. of Math. Statist., 1959, 30, № 3, p. 747—754.
35. В a r t о n D. E., David F. N. Combinatorial chance. — L.:
Griffin, 1962.
36. В e n d e r E. A., Central and local limit theorems applied to
asymptotic enumeration. — J. Comb, theory, 1973, 15, № "1.
p: 91—111.

ЛИТЕРАТУРА
283
37. Bekessy A. On classical occupancy problems I, II. — Magy.
tud. akad. Mat. kutato int. kozl., 1963, 8, № 1—2; 1964, 9,
№ 1-2.
38. С a r 1 i t z L., R о s e ll e D. P., S с о v i ll e R. A. Permuta-
tions and sequences with repetition by number of increases.—
J. Comb. Theory, 1966, 1, № 3, p. 350—374.
39. С а у 1 e y A. Collected Mathematical Papers. — Cambridge,
1889—1897.
40. Clarke. On Cayley formula for counting trees. — J. of Lond.
Math. Soc, 1958, 33, № 132, p. 411—475.
41. Curt is s I. H. A note on the theory of moment generating
functions. — Ann. Math. Statist., 1942, 13, № 3, p. 430—433.
42. E r d ö s P., R e n y i A. Un random matrices. — Magy. tud.
akad. Mat. kutato int. kozl., 1963 (1964), 8, № 3, p. 455—461.
43. Er dös P., R en y i A. On random matrices, II. —Studia Sei.
Math. Hung., 1968, 3, № 4, p. 459—464.
44. E r d ö s P., R e n y i A. On a classical problem of probability
theory. — Magy. tud. akad. Mat. kutato int. közl., 1961, 6,
№ 1—2, p. 215—220.
45. E r d ö s P., R e n y i A. On random graphs I. — Publicationes
Mathematical (Debrecen), 1959, 6, p. 290—297.
46. E r d ö s P., R e n y i A. On evolution of random graphs, —
Magy. tud. akad. Mat. kutato int. közl., 1960, 5, № 1—2,
p .17—61.
47. E r d ö s P., R e n y i A. On the strength of connectedness of
a random graph.— Acta Math. 1961, 12, p. 261—267.
48. E v e r e 11 C. I., Stein P. R. The asymptotic number of
(0,1)—matrices with zero permanent. — Discr. Math. 1973,
6, № 1, p. 29—34.
49. F о 1 к e r t I. The distribution of the number of components
in random mapping function. — Mich. State Univ., 1955.
50. Gilbert E. Random graphs. —Ann Math. Stat. 1942, 13,
№ 3, p. 430—433.
51. Golomb S. W. Random permutations. — Bull. Amer. Math.
Soc, 1964, 70, № 6, p. 747.
52. H a r a r y F., M о w s h о w i t z A. Labeled trees with unlabe-
led endpoints. — J. Comb. Theory, 1970, 8, № 1, p. 99—103.
53. H a r p e r L. Stirling behavior is asymptotically normal. —
Ann. Math. Stat. 1961, 38, № 2.
54. H a r r i s В. Probability distributions related to random map-
pings.—Ann. Math. Stat., 1960, 31, № 4, p. 1045—1062.
55. H a r r i s В., S с h о e n f e 1 d L. The number of idempotent
elements in symmetric semigroups. — J. Comb. Theory, 1967, 3,
№ 2, p. 122—135.
56. К a t z M. On the extreme points of a certain convex poly-
tope.—J. Comb. Theory, 1970, 8, № 4, p. 417—423.
57. К a t z M. Probability of indecomposability of a random map-
ping function.—Ann. Math. Stat., 1955, 26, № 3, p. 512—517.
58. К r u s к a 1 J. B. The expected number of components under
random mapping function.—Amer. Math. Monthly, 1954, 61,
№ 6, p. 392—397.

204
ЛИТЕРАТУРА
59. M е i r A., Moon J. W. The distance between points in
random trees. —J. Comb. Theory, 1970, 8, № 1, p. 99—103.
60. M e i r A., Moon J. W. Cutting down random trees. —
J. Australian Math. Soc, 1970, 11, № 3, p. 313—324.
61. Moon J. W. A problem on random trees. — J. Comb. Theory,
1971, 10, № 2, p. 201—205.
62. Moon J. W. Counting labeled trees. Canad. Math. Congr. —
Montreal, 1970.
63. M о s e r L., W y m a n M. An asymptotic for the Bell num-
bers. — Trans. Roy. Soc. Canada, 1955, 49, Sec. 3, p. 49—54.
64. M о о n J. W. Connected graphs with unlabeled end-points. —
J. Comb. Theory, 1969, 6, № 1, p. 65—66.
65. M о s e r L., W u m a n M. On the solutions of xd = 1 in sym-
metric groups. — Canad. J. Math., 1955, 7, № 2, p. 159—168.
66. O' N e i 1 P. Asymptotic and random matrices with row-sum
and çolumn-sum restrictions. — Bull. Amer. Math. Soc, 1969,
75, № 6, p. 1276—1282.
67. O'Neil P. Asymptotic in random 0,1-matrices. — Proc. Amer.
Math. Soc, 1970, 25, № 2, p. 290—295.
68. Otter R. The number of trees. —Ann. Math., 1948, 49,
№ 3, p. 583—599.
69. P r u f e r H. Neuer Beweis eines Satzes über Permutationen. —
Archiv der Mathem. und Physik, 1918, 27, p. 742—744.
70. R a b i n H., S i t g r e a v e s R. Probability distributions rela-
ted to random transformations of a finite set. Stanf. Univ.,
1954, Tech. report, 19A.
71. Renyi A. Three new proofs and a generalization of theorem
of Irving. Weiss. — Magy. tud. akad. Mat. kutato int. közl.,
1962, 7, № 1—2, p. 203—214.
72. Renyi A. Some remakrs on the theory of trees. — Magy. tud.
akad, Mat. kutato int. közl., 1959, 4, № 7, p. 73—83.
73. Renyi A., S z e к e r e s G. On the height of trees. — J. Austr.
Math. Soc, 1967, 7, № 4, p. 497—507.
74. R i о r d a n J. The enumeration of trees by height and dia-
meter.— IBM Journ. Research and Develop., 1960, 4, № 5,
p. 473—478.
75. Riordan J. Combinatorial Identities. — N. Y., 1968.
76. Robinson R. W., Schwenk A. I., The distribution of
degrees in a large random tree. — Discr. Math., 1975, 12,
№ 4, p. 359—372.
77. R i о r d a n J. Enumeration of linear graphs for mappings of
finite sets. —Ann. Math. Stat., 1962, 33, № 1, p. 178—185.
78. R i о r d a n J., Stein P. Arrangements on chessboards. —
J. Comb. Theory, 1972, 12, № 1, p. 72—80.
79. S h e p p L. A., Lloyd S. P. Ordered cycle lengths in ran-
dom permutations. — Trans. Amer. Math. Soc, 1966, 121, № 2,
p. 340—357.
80. T a к а с s L. On the method of inclusion and exclusion. —
J. Amer. Stat. Assoc, 1967, 62, № 317.
81. Takacs L. A moment problem.— J. Austr. Math. Soc, 1965,
5, № 4, p. 487—490.

ЛИТЕРАТУРА
285
82. T u tt e W. T. The factorization of linear graphs. — J. Lond.
Math. Soc, 1947, 22, part 2, № 86, p. 107—111.
83. W i 1 f H. On permanent of a doubly stochastic matrix. —
Canad. J. Math., 1966, 18, № 4.
84. W r i g h t E. M. The probability of connectedness of a large
unlabelled graphs.— Bull. Amer. Math. Soc, 1973, 79, № 4,
p. 767—769.
85. E r d ö s P., R e n y i A. On existence of a factor of degree one
of a connected random graph. — Acta Math. Acad. Sei. Hung.,
1966, 17, № 3—4, p. 359—368.
86. T u t t e W. T. The factorization of linear graphs. — J. Lond.
Math. Soc, 1947, 22, part 2, № 86, p. 107—111.
87. Moser L., Wyman M. Asymptotic expansions.— Canad.
J. Math., 1956, 8, № 2, p. 225—233.
87. Moser L., Wyman M. Asymptotic expansions, II. —Ca-
nad. J. Math., 1957, 9, № 2, p. 194—209.
89. E r d ö s P., Turân P, On some problems of a statistical
group theory, I.— Zeitschr. fur Wahrsch. und verw. Geb.. 1965,
4, H. 2, p. 175—186.
90. E r d ö s P., Turân P. On some problems of a statistical
group theory, II, III, IV.—Acta Mathem. Acad. Sei. Hung.,
1967, 18, № 1—2, p. 151—163; 1967, 18, 3—4, p. 309—320;
1968, 19, № 3—4, p. 413—435.
91. Harris B. The asymptotic distribution of the order of
elements in symmetric semigroups. — J. Comb. Theory, 1973.
15, Ser. A., p. 66—74.
92. D é n e s J. On transformations, transformation-semigroups
and groups in theory of graphs. Proc of the colloq. held at
Tihany, Hungary, Sept., 1966. —N. Y.: Acad. Press, 1968.
p. 65—75.
93. D é n e s J. On some properties of commutator subsemig-
roups. —Publ. math. Debrecen, 1968, 15, p. 283—285.
94. D é n e s J. Connections between transformation semigroups
and graphs in theory of graphs. Intern, symposium. Rome,
1966. —N. Y.: Gordon and Breach, 1967, p. 93—101.
95. D é n e s J. On graph representation of semigroups. Proc of the
Calgary intern, conf. of comb, stuct. and their appl.— N. Y.,
Gordon and Breach, 1970, p. 55—57.
96. D é n e s J. Some combinatorial properties of transformations
and their connection with the theory of graphs.— J. Comb.
Theory, 1969, 9, p. 108—116.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
σ-алгебра 13
Валентность вершины 209
Вариационный ряд подстановки 191
Вероятностное распределение 13
Вероятность 13
— события 12
— условная 14
Возрастания в перестановке 43
Высота дерева 209
— отображения 244
— элемента 244
Граф 207
— вероятностный 235
— Пойа 229
— сбалансированный 231
Декремент подстановки 183
Дерево 207
— корневое 207
— незанумерованное 220
— рекурсивное 222
— свободное 207
Деревья ограниченной высоты 209,
272
Дисперсия 17
Длина пути 209
Задача о велосипедных гонках 161
встречах 24
паросочетаниях 133
Измеримое пространство 13
Инверсия в подстановке 43
Интеграл Стилтьеса 16
Коммутативный несимметричный
«-базис 101, 107
Компонента связности 210, 223, 239
Кратность вершины 209
Лес 207
Л-леса 275
Линии матрицы 66
Локальные теоремы 35, 36
Масст вершины дерева 218
Математическое ожидание 17
Матрица дважды стохастическая 198
-~ инцидентности 63
— стохастическая 198
Метод включения — исключения 23
— Прюфера 208
Метрика для подстановок 65
Множество выпуклое 198
— образов 242
Моменты 16
— абсолютные 18
— биномиальные 18
— факторна л ьные 18
— центральные 18
Наибольшие и наименьшие подмно-
жества разбиения 156
Некоммутативный несимметричный
«-базис 102, 120
— симметричный /г-базис 103
Неравенства Бонферрони 24
— Буля 12
— Чебышева 18
Образ элемента 242
Общая комбинаторная схема 100
Однозначные отображения 210
Л-отображение 211
Отображение случайное 237
Отображения ограниченной высоты
245
— с ограничениями на контуры и
высоту 265
Отрицание события 11
Перманент 64
Перманенты случайных матриц 71
Л-подстановки 180
Л-подстановки 178
Подстановки противоречивые 65
— с конгруэнтными циклами 181, 194
— четные и нечетные 183
Порядок элемента в симметрической
группе 245
полугруппе 244
Последовательность Пуассона 35
Проблема ван дер Вардена 64
Произведение событий 11
Производящая функция 19

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
287
Производящая функция моментов
36
Прообраз элемента 242
Пространство вероятностное 14
— измеримое 13
— элементарных событий 11
дискретное 11, 12
Разбиения с помеченными подмно-
жествами 161
Разность событий 11
Разрез вершины 220
Распределение биномиальное 21
— гипергеометрическое 22
— нормальное 15
— Паскаля 21
— Пуассона 22
— решетчатое 31
— числа подмножеств 141
данной величины 144, 151
Серии 113
— на окружности 117
Сложность матрицы 204
Слойная диаграмма отображения
246
Случайная величина 12, 14
дискретная 12
непрерывная 15
/г-мерная 15
— —- целочисленная 19
Случайные разбиения множеств 139
Событие 11
— достоверное 11
— невозможное 11
— элементарное II
Событий полная группа 11
События несовместные 11
Спецификация вторичная 100
— первичная 100
Среднее значение 17
— перманента 92
Степень графа 231
Строение графов асимптотическое
223
Сумма событий 11
Схема Бернулли 21
Сходимость по моментам 39, 40
— слабая 32
Теорема Биркгофа 198
— Кёнига — Фробениуса 64
— Куртисса 37
— непрерывности 32
для производящих функций 28
Точка пространства экстремальная
199
Трансверсали случайных множеств
74
Трансверсаль 63
Условие Линдеберга 34
Условия Ф. Холла 63
Фактор первой степени 230
Формула Добинекого 105
— Коши 20
— полной вероятности 14
— Стирлинга 55
Формулы обращения 22
Формулы Фреше 26
Функция распределения 14
Характеристическая функция нор-
мального распределения 32
Центральная предельная теорема
33, 34
Циклический элемент 210
Цикловой индикатор 178
Циклы подстановок 191
Числа Белла 105
— Моргана 48
— Стирлинга 19
Число разреза вершины 220
Эволюция случайных графов 230
ОЯ-эквивалентность 100

Владимир Николаевич Сачков
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МЕТОДЫ
В КОМБИНАТОРНОМ АНАЛИЗЕ
М., 1978 г., 288 стр. с илл.
Редактор Б. С. Стечкин
Техн. редактор Е. В. Морозова
Корректоры О. А. Сигал, Н. В. Крипу нова
ИБ № 11061
Сдано в набор 17.03.78. Подписано к печати 04.09.78.
Т-16149. Бумага 84Х1087з2, тип. № 1. Литературная гарнитура.
Высокая печать. Условн. печ. л. 15,12. Уч.-изд. л. 13,79.
Тираж 9500 экз. Заказ № 386. Цена книги 90 коп.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Московская типография № 8 Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Хохловский пер., 7.
Отпечатано во 2-ой типографии изд-ва «Наука».
Москва, Г-99, Шубинский пер., 10. Зак. 892,

В последние два десятилетия
для решения комбинаторных за-
дач в дискретной математике
эффективно используются вероят-
ностные методы. На этой основе
сложилось определенное направ-
ление исследований, содержащее
целый ряд интересных и закон-
ченных результатов.
Основной целью данной моно-
графии является изложение неко-
торых общих принципов примене-
ния вероятностных методов в ис-
следованиях по комбинаторному
анализу и их иллюстрация при ре-
шении конкретных комбинаторных
задач преимущественно перечис-
лительного характера. Наибольшее
внимание уделяется получению
асимптотических результатов, так
как применение указанных мето-
дов в этом случае является наи-
более плодотворным.
Наряду с общими предельными
теоремами теории вероятностей,
в книге используются специфиче-
ские приемы получения асимпто-
тических распределений, основан-
ные, как правило, на применении
метода моментов, характеристи-
ческих функций и производящих
функций моментов.
Книга имеет определенную
связь с опубликованной моногра-
фией автора «Комбинаторные ме-
тоды дискретной математики»,
которая в известной степени мо-
жет служить введением в рас-
сматриваемый круг вопросов.
В то же время наличие в книге
необходимого справочного мате-
риала дает возможность не обу-
славливать ее чтение предвари-
тельным знакомством с литерату-
рой по данной проблематике.