Эдмунд Ландау
ОСНОВЫ АНАЛИЗА
Действия над целыми,
рациональными, иррациональными,
комплексными числами
ДОПОЛНЕНИЕ К УЧЕБНИКАМ
ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ И ИНТЕГРАЛЬНОМУ
ИСЧИСЛЕНИЮ
Перевод с немецкого
Д. А. РАЙКОВА
1947
Государственное издательство
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУР
Москва

Задачи книги ясно изложены автором; она может
быть интересна преподавателям и изучающим высшую
математику, желающим глубже познакомиться с ее
логическими основами. Несколько позднее Э. Ландау,
вынужденный, как еврей, эмигрировать из Германии,
издал в Голландии учебник дифференциального и ин-
интегрального исчисления, отвечающий его повышенным
требованиям к математической строгости изложения.
Учебник этот будет издан Госиноиздатом. Настоящая
книга^ должна рассматриваться как необходимая вводная
часть этого учебника.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧАЩЕГОСЯ 7
ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ ЗНАТОКА 9
Глава 1
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. АКСИОМЫ • 17
§ 2. СЛОЖЕНИЕ 19
§ 3. ПОРЯДОК 26
§ 4. УМНОЖЕНИЕ 33
Глава 2
ДРОБИ
i 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ. . . 39
i 2. ПОРЯДОК 40
i 3. СЛОЖЕНИЕ 46
S 4. УМНОЖЕНИЕ 52
i 5. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА Ь7
Глава 3
СЕЧЕНИЯ
i 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 68
i 2. ПОРЯДОК 70
i 3. СЛОЖЕНИЕ 73
i 4. УМНОЖЕНИЕ 81
5 5. РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕЧЕНИЯ И ЦЕЛЫЕ СЕ-
СЕЧЕНИЯ 90

Оглавление
Стр.
Глава 4
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
i 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 101
i 2. ПОРЯДОК 102
i 3. СЛОЖЕНИЕ 188
i 4. УМНОЖЕНИЕ 119
i 5. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ДЕДЕКИНДА .... 125
Глава 5
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
S 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ 129
§ 2. СЛОЖЕНИЕ 130
§ 3. УМНОЖЕНИЕ 133
§ 4. ВЫЧИТАНИЕ 138
§ 5. ДЕЛЕНИЕ 140
§ 6. СОПРЯЖЕННЫЕ ЧИСЛА 145
§ 7. АБСОЛЮТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ 147
§ 8. СУММЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ 152
S 9. СТЕПЕНИ 172
§ 10. ВКЛЮЧЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ . . 178

Предисловие для учащегося
1. Прошу не читать помещенного дальше предисло-
предисловия для знатока!
2. Я предполагаю лишь владение логическим мышле-
мышлением и языком; ничего — из школьной или, тем более,
высшей математики.
Чтобы предупредить возражения: одно число, ни одного
числа, два случая, все вещи из заданной совокупности
и т. п., все это — ясные языковые словообразования.
Теорема 1, теорема 2, ..., теорема 301 (и аналогично
для аксиом, определений, глав, параграфов) или 1), 2)
и т. п. при разбиениях на случаи — просто знаки, отли-
отличающие друг от друга теоремы, аксиомы, ..., случаи
и более удобные при ссылках, чем если бы я, скажем,
говорил светлосиняя теорема, темносиняя теорема и т. п.
Введение так называемых положительных целых чисел
только до „301" вообще не представило бы никакого
труда; первая — преодолеваемая в главе 1 — трудность
лежит в совокупности положительных целых чисел
1,...
с таинственным многоточием за запятой (называемых
в главе 1 натуральными числами), в определении дей-
действий, которые можно над ними производить, и в дока-
доказательствах относящихся сюда теорем.
Я последовательно излагаю все необходимое в главе 1 —
для натуральных чисел, в главе 2 — для положительных
дробей и положительных рациональных чисел, в главе 3—¦

8 Предисловие
для положительных (рациональных и иррациональных)
чисел, в главе 4 — для вещественных чисел (положи-
(положительных, отрицательных и нуля), в главе 5 — для ком-
комплексных чисел; таким образом я говорю лишь о таких
числах, с которыми ты встречался еще в школе.
В этом смысле:
3. Прошу — забудь все, чему ты учился в школе;
потому что ты этому не научился.
Прошу, однако, всюду вызывать в своем предста-
представлении соответствующие разделы школьного курса; по-
потому что тебе все же не следует его забывать.
4. Никакой таблицы умножения, даже теоремы
2.2 = 4,
я не даю; однако, я рекомендую тебе, в качестве
упражнения к главе 1, § 4, определить
и доказать указанную теорему.
Эдмунд Ландау
Берлин, 28 декабря 1929 г.

Предисловие для знатока
Эта книжечка является уступкой коллегам (к сожа-
сожалению, составляющим большинство), не разделяющим»
мою точку зрения на следующие вопросы.
В то время как в школе, разумеется, приходится
отказаться от строгого построения элементарной мате-
математики без всяких пробелов, математическое препода-
преподавание в высшей школе должно знакомить слушателя
не только с материалом и результатами, но и с мето-
методами доказательств. Даже тот, кто изучает математику
главным образом ради ее приложений к физике или
другим наукам и кто поэтому часто вынужден само-
самостоятельно разбираться в новом математическом мате-
материале, может лишь тогда уверенно сойти с протоптан-
протоптанной тропы, когда он научился ходить, т. е. различать
неверное от верного, предположения от доказательств
(или, как некоторые изящно говорят, — нестрогие
доказательства от строгих).
Поэтому я — в согласии с некоторыми моими учите-
учителями и коллегами, с некоторыми авторами, из трудоет
которых я черпал, и с большинством моих учеников —
считал правильным, чтобы студент уже в первом семестре
узнавал, на каких основных фактах как на аксиомах можно
без пробелов построить анализ и как это построение
можно начать. При выборе аксиом, как известно, можно
поступать различным образом. Поэтому я считаю отнюдь

10 Предисловие
не неправильным, но лишь почти диаметрально противо-
противоположным моей личной точке зрения, когда для веще-
вещественных чисел в качестве аксиом постулируют много-
многочисленные обычные законы действий и основную теорему
Дедекинда (теорему 205 этой книжки). Разумеется,
я не доказываю непротиворечивости пяти аксиом Пеано
(по той причине, что этого сделать нельзя); однако,
каждая из них явно независима от предыдущих. С дру-
другой стороны, при указанном расширенном числе аксиом
учащемуся сразу навязывается вопрос, нельзя ли какие-
нибудь из них доказать (а хитрец добавил бы: или
опровергнуть) с помощью предшествующих; и так как
доказуемость всех этих вещей известна уже многие
десятилетия, то почему же не дать учащемуся уже
в самом начале ознакомиться с этими (всюду совер-
совершенно простыми) доказательствами.
Я уже не буду подробно останавливаться на том, что
часто в основу не кладется даже основная теорема
Дедекинда (или равносильный ее суррогат при обосно-
обосновании вещественных чисел с помощью фундаментальных
последовательностей), так что такие вещи, как теорема
о среднем значении из дифференциального исчисления,
основывающаяся на ней теорема, что функция, произ-
производная которой на некотором интервале равна нулю,
постоянна в этом интервале, или, например, теорема,
что постоянно убывающая ограниченная последователь-
последовательность чисел стремится к некоторому пределу, — остаются
без всякого доказательства или же, что еще хуже,
снабжаются мнимыми доказательствами, ничего на самом
деле не доказывающими. Число представителей этой
крайней разновидности другой точки зрения кажется
мне не только монотонно убывающим, но и предел,

Предисловие 11
к которому по упомянутой выше теореме стремится это
число, повидимому, равен нулю.
Однако, с обоснования натуральных чисел начинают
лишь в редких случаях. Признаюсь, что и я издавна
придерживался построения теории вещественных чисел
по Дедекинду, но раньше свойства целых и рациональ-
рациональных чисел предполагал известными. Во всяком случае,
три последних раза я предпочел начинать с целых чисел.
Из них, правда, один раз, — и делаю это также в на-
наступающем летнем семестре, — в качестве уступки слу-
слушателям, желающим только дифференцировать, а выясне-
выяснением понятия числа заняться не в первом семестре (если же
возможно,—то и вообще никогда), я разбил мои лекции
на две параллельно читаемые части, одну из которых
назвал „основами анализа". В этой части, отправляясь
от пеановских аксиом для натуральных чисел, я дохожу
до теории вещественных и комплексных чисел; правда,
8 первом семестре комплексные числа слушателям еще
не нужны; однако, введение их после всего предше-
предшествующего столь просто, что никого не затруднит.
Но во всей математической литературе нет никакого
учебника, который имел бы своей целью обосновать
в указанном выше смысле только действия над числами.
И даже в объемистых руководствах, где этому посвя-
посвящены вводные главы, слишком многое оставляется
(сознательно или бессознательно) на долю читателя.
Эта книжка дает возможность каждому коллеге,
придерживающемуся другого педагогического направле-
направления и, значит, не входящему в изложение основ,
по крайней мере сослаться (если он сочтет ее пригод-
пригодной для этой цели) на источник, где все недостающее
и только недостающее изложено в связном виде и без

12 Предисловие
пробелов. Чтение ее не представит труда для того,
кто — как это предполагается — знаком с излагае-
излагаемыми результатами по школьному курсу и пре-
преодолел уже первые абстрактные четыре или пять
страниц.
Я выпускаю эту книжку в свет с некоторым коле-
колебанием, так как тем самым выступаю в такой области, где
(за исключением одного устного сообщения д-ра Каль-
Кальмара (Kalmar)) ничего нового сообщить не имею; но ведь
никто другой этого моего, частью скучного, труда
не проделал.
Однако окончательный толчок этому „бегству в глас-
гласность" дал следующий случай.
Представители другого направления всегда думают,
что в процессе дальнейшей учебы учащийся сможет
познакомиться с интересующим нас здесь предметом
по запискам лекций или литературе. И ни один из этих
моих уважаемых друзей и врагов не усомнился бы
в том, что, например, в моих лекциях найдется все необ-
необходимое. Я также верил в это. И вот приключилось
со мной следующее ужасное происшествие. Мой тогдаш-
тогдашний ассистент и любезный коллега приват-доцент
д-р Грандйо (Grandjot) (ныне профессор универси-
университета в Сант-Яго) читал по моим запискам основы анализа
и отдал мне мою рукопись с замечанием, что он счел
необходимым присоединить к аксиомам Пеано в даль-
дальнейшем еще другие, поскольку на обычном пути, кото-
которому я следовал, обнаружился некоторый пробел.
Прежде чем входить в подробности, укажу, предвосхи-
предвосхищая дальнейшее, что:
1. Возражение, которое сделал Грандйо, было обос-
обоснованным.

Предисловие 13
2. Аксиомы, которые нельзя перечислить в самом
начале (поскольку они опираются на последующие
понятия), весьма нежелательны.
3. Все аксиомы Грандйо (как можно было бы узнать,
уже изучая Дедекинда) доказуемы, так что достаточно
(см. все дальнейшее изложение) одних аксиом Пеано.
Возражение захватывает три пункта:
I. Определение х-\~у для натуральных чисел.
II. Определение х • у для натуральных чисел.
т ш
III. Определение ^хп и Цхп, когда в какой-нибудь
п = 1 » = 1
числовой области уже имеются х -\-у и х • у.
Так как для всех трех случаев дело обстоит ана-
аналогично, то я буду говорить здесь только об х i-у
для натуральных чисел х, у. Когда я, скажем, в лекции
по теории чисел доказываю какую-нибудь теорему
о натуральных числах, устанавливая ее справедливость
сначала для 1, а затем выводя из ее справедливости
для х справедливость для лг —j— 1, то обычно какой-
нибудь слушатель выдвигает возражение, что я ведь
совсем не доказал предварительно утверждение для д:.
Это возражение не обосновано, но извинительно;
студент никогда не слыхал об аксиоме индукции. Воз-
Возражение Грандйо звучало похоже, с тем, однако, раз-
различием, что оно было обосновано, так что я и его
должен был извинить. Основываясь на своих пяти
аксиомах, Пеано определяет х-\- у при фиксированных
х и у следующим образом:
как он, так и его последователи думали, что этим
дано общее определение х-\-у, поскольку множество

14 Предисловие
тех у, для которых х -\-у определено, содержит 1
и вместе с у также у'.
Но ведь х-\-у, стоящее во втором равенстве в скоб-
скобках, не было еще определено.
Дело обстояло бы благополучно, если бы мы (чего
на пеановском пути нет, поскольку порядок вводится
лишь после сложения) имели понятие „числа -^.у"
и говорили о множестве тех у, для которых суще-
существует /(г), определенное для г ^.у и обладающее
свойствами
/(*')=(/(*))' при г<у.
Таково обоснование, предложенное Дедекиндом. При.
дружеской помощи моего коллеги фон Неймана (von Neu-
Neumann) из Принстона я, введя предварительно порядок,
(что представило бы для читателя неудобство), разра-
разработал для этой книжки такой путь. Однако, в послед-
последний момент я узнал от д-ра Кальмара из Сегеда зна-
значительно более простое доказательство; теперь дела
выглядит столь просто и доказательство столь сходно-
с остальными доказательствами из первой главы, что-
даже знаток не заметил бы этого пункта, если бы я
так подробно не запротоколировал своего признания
в вине и искуплении. С х ¦ у дело обстоит совершенно
я» т
так же; определение 2*п и Ц-^п» правда, возможно
П=1 П=1
только на дедекиндовском пути; однако, начиная с § 3
главы 1, мы уже имеем множество чисел z*Cy.
Чтобы по возможности облегчить труд читателю,,
я некоторые (не очень объемистые) множества слов по-
повторял в нескольких или всех главах. Разумеется^

Предисловие
для знатока было бы достаточно, например, при дока-
доказательстве теорем 16 и 17 раз навсегда сказать: эта
рассуждение справедливо для каждого класса чисел,
в котором символы < и = определены и обладают
определенными изложенными ранее свойствами. Такого-
рода повторные рассуждения относятся к теоремам,
которые должны встретиться во всех соответствующих
главах, во внимание к дальнейшему применению этих
« т
теорем. Но 2а» и II ап достаточно было ввести лишь
П=1 »=1
в последней главе, чтобы они тем самым были опреде-
определены и для всех предыдущих типов чисел. Поэтому
я отложил их до комплексных чисел и так же поступил
с теоремами о вычитании и делении; само собой разу-
разумеется, что первые справедливы, например, для нату-
натуральных чисел, только если каждое уменьшаемое больше
вычитаемого, а последние, например, для натураль-
натуральных чисел — только если все деления выполняются
нацело.
В этой книге я отказался от побочных замечаний и
написал ее в жестком телеграммном стиле („аксиома",
„определение", „теорема", „доказатель-
„доказательство", лишь иногда „предварительное заме-
замечание"; слова, не относящиеся к этим пяти рубрикам,
весьма редки). При столь легком материале это казалось
мне вполне уместным.
Я надеюсь, что долгие десятилетия подготовки по-
позволили мне составить эту книжку так, что средний
студент сможет прочесть ее в два дня. А тогда он
может даже (так как с формальными правилами он ведь,
знаком еще со школы) забыть все содержание, кроме
аксиомы индукции и основной теоремы Дедекинда.

16 Предисловие
Если же тому или иному коллеге другого направле-
направления весь этот материал покажется даже настолько про-
простым, что он включит его в свои лекции для начинаю-
начинающих (придерживаясь предлагаемого мною или какого-
либо иного пути изложения), то этим я достигну
всего, на что только мог осмелиться.
ЭДМУНД ЛАНДАУ
Берлин, 28 сентября 1929 г.

Глава t
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. АКСИОМЫ
Мы считаем заданным:
некоторое множество, т. е. совокупность вещей,
называемых натуральными числами, с перечисляемыми
ниже свойствами, называемыми аксиомами.
Предпошлем формулировке аксиом несколько заме-
замечаний, относящихся к употребляемым нами символам
= и ф.
Строчные латинские буквы обозначают в этой книге
всюду, где не оговорено противное, натуральные числа.
Если задано х и задано у, то
либо х и у— одно и то же число; это можно запи-
записать также в виде
х=у
(= читается: равно);
либо х и у — не одно и то же число; это можно
записать также в виде
хфу
(ф читается: не равно).
Отсюда чисто логически вытекает:
1) лг = лг
для каждого X.
2) Из
х=у
следует
у = х.
3) Из
х=у, у = г
следует
Таким образом, запись вида
2 Scuit. 749. Э. Ландау.

18 Глава 1
под которой непосредстве1но подразумевается лишь,
что
a = b, b = c, c = d,
означает, кроме того, что, например,
а~с, a = d, b = d.
(Соответствующие замечания относятся и к аналогич-
аналогичным записям в последующих главах.)
Мы принимаем теперь, что множество натуральных
чисел обладает следующими свойствами:
Аксиома 1. 1 есть натуральное число.
Т. е. наше множество не пусто; оно содержит вещь,
именуемую 1 (читается: единица).
Аксиома 2. Для каждого х имеется точно одно
нгтуральное число, называемое его последующим и
обозначаемое х'.
При записи последующих для чисел х, заданных не
в виде одной буквы, мы будем, во избежание путаницы,
заключать последние в скобки. Аналогично мы будем
поступать во' всей книге и при записи выражений
х-\-у, ху, х—у, — х, ху и т. п.
Из
х — у
следует также
Аксиома 3. Всегда
х'ф\.
Т. е. 1 не служит последующим ни для какого числа.
Аксиома 4. Из
х'=/
следует
х=у.

Натуральные числа 19
Т. е. каждое число либо вовсе не служит последую-
последующим ни для какого числа, лиэо является последующим
только для одного числа.
Аксиома 5 (аксиома индукции). Пусть Ш—мно-
Ш—множество натуральных чисел, обладающее следующими
свойствами:
1I принадлежит множеству Ш.
2) Если х принадлежит 5DJ, то и х' принадлежит
2R.
Тогда Ш содержит все натуральные числа.
§ 2. СЛОЖЕНИЕ
Теорема I. Из
хфу
следует
х'фу'
Доказательство. В противном случае мы имели
бы
и, следовательно, по аксиоме 4,
х=у.
Теорема 2. х'фх.
Доказательство. Пусть Щ. — множество тех х,
для которых это утверждение справедливо.
I) По аксиоме 1 и аксиоме 3,
1'ФЪ
следовательно, 1 принадлежит множеству Ш.
II) Если д: принадлежит Ш, то
х'фх,
следовательно, по теореме 1, • -
(х')'фх',
значит, х' также принадлежит Ш.
2*

20 Глава 1 __ ^
В силу аксиомы 5, Ш содержит тогда все натураль-
натуральные числа, т. е. для каждого х имеем
Теорема 3. Если
хф1,
то существует (и притом, по аксиоме 4, только одно)
и такое, что
* = а'.
Доказательство. Пусть Ш. — множество, состоя-
состоящее из 1 и тех д:, для которых существует и, обла-
обладающее указанным свойством. По аксиоме 3, каждое
такое
хф\.
I) 1 принадлежит множеству Ш.
II) Если х принадлежит Ш, то, понимая под и число
х, имеем
*' = «',
так что и х' принадлежит Ж.
В силу аксиомы 5, 9R содержит тогда все натураль-
натуральные числа; таким образом, для каждого
существует и такое, что
Теорема 4, одновременно Определение 1. Каждой
паре натуральных чисел х, у можно, и притом лишь
единственным образом, отнести натуральное число,
обозначаемое х-{-у (-}- читается: плюс), так, чтобы:
1) лг-f- 1 =дг' для каждого х,
2) х-\-у'= (х-\-у)г для каждого х и каждого у.
х-\-у называется суммой чисел х и у или числом,
получающимся путем прибавления у к х.

Натуральные числа 21
Доказательство. А) Покажем сначала, что если
при фиксированном х можно определить х-\-у для
всех v так, чтобы
+1'
и
х-\-уг = (х-\-у)' для каждого у,
то этими условиями х-\~у определяется однозначно.
Пусть ау и by определены для всех у и таковы, что
а^ = х , ?>! = х ,
ay = (ay)', by/ = (&„)' для каждого у.
Пусть Ж — множество тех у, для которых
ау=Ьу.
I) в1 =*> = *,;
следовательно, 1 принадлежит множеству 9){.
II) Если у принадлежит ЗК, то
следовательно, по аксиоме 2,
КУ = (*„)'•
значит
и, таким образом, у' также принадлежит ffl.
Поэтому Tt есть множество всех натуральных чисел,
т. е.
ayr=by
для каждого у.
В) Покажем теперь, что для каждого X действительно
возможно определить х -\-у для всех у так, чтобы
¦я-Ну'=* (•*-$-.)>)' для каждого у.
Пусть WI—множество тех х, для которых такая
возможность .(притом, в силу А, только одна) имеется,

22 Глава 1
I) При
дг==1
требуемыми свойствами обладает
Действительно,
=,(/)'__(*+;,)'.
Следовательно, 1 принадлежит множеству 2J?.
II) Пусть х принадлежит 2R, так что х-\~у опреде
лено для всех у. Тогда
дает требуемую сумму для х'. Действительно,
х' + / = (х + /)' = ((д: +JV)')' - С*'
Следовательно, и х' принадлежит 2R.
Поэтому Stft содержит все х.
Теорема 5 (закон ассоциативности сложения).
Доказательство. Пусть х и у фиксированы, и
Ш—множество тех г, для которых верно утверждение
теоремы.
)'= *+/ = * +0+1).
следовательно, 1 принадлежит множеству ffi..
II) Пусть г принадлежит Ш. Тогда
следовательно,
= * + (У + *)'= х + О +
так что и г' принадлежит 28.

Натуральные числа 23
Тем самым утверждение теоремы справедливо для
всех z.
Теорема 6 (закон коммутативности сложения).
Доказательство. Пусть у фиксировано и Ш —
множество тех х, для которых верно утверждение тео-
теоремы.
I) Имеем
;, + !=/,
с другой стороны, по построению, проведенному при
доказательстве теоремы 4,
Следовательно,
так что 1 принадлежит множеству Ш.
II) Если х принадлежит 2JJ, то
и, следовательно,
Но по построению, проведенному при доказательстве
теоремы 4,
Следовательно,
так что и х' принадлежит Ш.
Тем самым утверждение теоремы справедливо для
всех х.
Теорема 7.
уфх-\-у.
Доказательство. Пусть х фиксировано и SD? —
множество тех у, для которых верно утверждение тео-
теоремы.

24 Глава 1
I)
1фх',
1фх + 1;
следовательно, 1 принадлежит множеству Ш.
II) Если у принадлежит Ш, то
уфх + у,
следовательно,
у'фх+у',
так что и у' принадлежит Ш.
Тем самым утверждение теоремы справедливо для
всех у.
Теорема 8. Из
уфг
следует
х-\-уфх-\-г.
Доказательство. Пусть у, г — фиксированные
числа такие, что
уфг,
и 2R—множество тех х, для которых
х-\~уфх + г.
I) уфг',
следовательно, 1 принадлежит множеству Ш.
II) Если х принадлежит WI, то
следовательно,
х'+уфх' + г,
так что и х' принадлежит Ш.

Натуральные числа 25
Тем самым утверждение теоремы справедливо при
всех х, у, z.
Теорема 9. Для любых заданных х и у имеет
место один и только один из следующих трех слу-
случаев:
1) х=*у.
2) Существует (и, значит, по теореме 8, — только
одно) и такое, что
х=*у-\-и.
3) Существует (и, значит, по теореме 8, — только
одно) v такое, что
y = x + v.
Доказательство. А) По теореме 7, случаи 1),
2), равно как и случаи 1), 3), несовместимы. Из тео-
теоремы 7 следует также несовместимость случаев 2), 3);
действительно, в противном случае мы имели бы
х = у -\- и = (х -f- v) -f- и = х + (v + «) = (о + «) + х.
Таким образом, может иметь место, самое большее,
лишь один из случаев 1), 2), 3).
В) Пусть х фиксировано и Ш — множество тех у,
для которых имеет место один (и, значит, в силу А, —
только один) из случаев 1), 2), 3).
I) При .у=1 имеем, в силу теоремы 3, либо
х = 1 =у (случай 1)),
либо
х = и' = 1 -\- и —у -|- к (случай 2)).
Поэтому 1 принадлежит множеству Ш.
II) Пусть у принадлежит 2JJ. Тогда
либо (случай 1) для у)
х—У,
и, следовательно,
у' =у -f 1 = х -j- 1 (случай 3) для у');

26 Глава 1
либо (случай 2) для у)
х=у-\-и
и, следовательно, если
то
х=у-\- 1 —у' (случай 1) для у');
а если
иф\,
то, по теореме 3,
и = w' = 1 -j-tc,
и
(случай 2) Для У);
либо (случай 3) для у)
V — X -\-V
и, следовательно,
У = (.* -j- г>)' = х -f- г»' (случай-3) для У).
Таким образом, во всех случаях у' также принадле-
принадлежит аи.
Поэтому всегда имеет место один из случаев 1), 2), 3).
§ 3. ПОРЯДОК
Определение 2. Если
то
х>у
(> читается: больше).
Определение 3. Если
то
х<у
(<С читается: меньше).

Натуральные числа 27
Теорема 10. Для любых чисел х и у имеет место
один и только один из следующих трех случаев:
х=у, х>у, х<у.
Доказательство: теорема 9, определение 2 и
определение 3.
Теорема 11. Из
х>у
следует
У<х.
Доказательство. И то, и другое означает суще -
ствование такого и, что
Теорема 12. Из
х<у
следует
v > х.
Доказательство. И то, и другое означает суще-
существование такого v, что
У = х-\-ю.
Определение 4.
х>у
означает
х~>у или х —у
(^> читается: больше или равно).
Определение 5.
означает
х <Су или х = у
читается: меньше или равно).
Теорема 13. Из

28 Глав aj_
следует
Доказательство: теорема 11.
Теорема 14. Из
следует
У>х.
Доказательство: теорема 12.
Теорема 15 (транзитивность порядка). Из
х<у, У<г
следует
х<г.
Предварительное замечание. Из
х > У, У > г,
следует также (так как
г<х)
x>z;
однако, подобные предложения, тривиально получаю-
получающиеся чтением в обратном порядке, я в дальнейшем
специально формулировать не буду.
Доказательство. Существуют такие v, w, что
y = x-\-v, z=y-\-w,
следовательно,
z=*(x-\-v)-\-w = x-\-(y-\- w),
x<z.
Теорема 16. Из
x^.y, y<z или х<у,
.следует
x<z.

Натуральные числа 29
Доказательство. В случае знака равенства
в предположении — ясно; в противном случае — уже
установлено теоремой 15.
Теорема 17. Из
следует
Доказательство. В случае двух знаков равен-
равенства в предположении — ясно; в противном случае —
уже установлено теоремой 16.
Теоремами 15—-17 оправдывается законность записи
вида
непосредственно эта запись означает лишь, что
a<b, ?<с, c<d,
но, в силу указанных теорем, она включает также,
например, неравенства
а<_с, a<_d, b<_d.
(Соответствующие замечания относятся и к аналогич-
аналогичным записям в последующих главах.)
Теорема 18.
х-\-у>х.
Доказательство: х-\~ у = х-\~ у.
Теорема 19. Из
х>у, соотв. х—у, соотв. х <Су
следует
х-\-г> у-\- г, соотв. х-\- z =y -\-z,
соотв. х -\- z <_у -(- z.
Доказательство. 1)Из
х>у

30 Глава 1
следует
х=у-\-и,
2) Из
разумеется, следует
х -[- г — у -\- г.
3) Из
х<у
следует
У>х
и, значит, в силу 1),
у-\- г>х-\-г,
x-\-z<.y-\-z.
Теорема 20. Из
х-[-г^>у-\-г, соотв. x-j-z =
соотв. х -\-z<^y-\-г
следует
i>, соотв. х = у, соотв.
Доказательство. Следует из теоремы 19, по-
поскольку три случая оба раза взаимно исключают друг
друга и в совокупности исчерпывают все возможности.
Теорема 21. Из
х>у, г > а
следует
х-\-г>у-\-и.
Доказательство. По теореме 19,

Натуральные числа31
следовательно,
Теорема 22. Из
х>У-> г> и или х>у, z^u
следует
х + г >у-\-и.
Доказательство. Со знаками равенства в пред-
предположении—уже установлено теоремой -19, в против-
противном случае — теоремой 21.
Теорема 23. Из
х>У, г^а
следует
х+ *>У + и-
Доказательство. С двумя знаками равенства
в предположении — ясно; в противном случае — уже
установлено теоремой 22.
Теорема 24.
х> 1.
Доказательство. Либо
х== 1
либо
х = и' = и-\-1 > 1.
Теорема 25. Из
У > х
следует
Доказательство.

32 Глава 1
следовательно,
Теорема 26. Из
следует
Доказательство. В противном случае мы
имели бы
У>х,
откуда, по теореме 25, следовало бы
Теорема 27. В каждом непустом множестве нату-
натуральных чисел имеется наименьшее число (т. е. мень-
меньшее любого другого возможного числа того же мно-
множества).
Доказательство. Пусть 31 — заданное множе-
множество и Ш — множество тех х, которые ^ каждого
числа из 3i.
1 принадлежит множеству Ш по теореме 24. С дру-
другой стороны, не каждое х принадлежит этому мно-
множеству; действительно, для каждого у из 9t число
у -J- 1 не принадлежит 2JJ, поскольку
Следовательно, в Ш существует такое т, что т -f- 1
не принадлежит Ш; действительно, в противном слу-
случае, в силу аксиомы 5, каждое натуральное число
принадлежало бы множеству 2JJ.
Я утверждаю, что это т ^ каждого п из 9t и при-
принадлежит 9t. Первое следует из самого определения
множества Ш. Второе доказывается от противного так:
если бы т не принадлежало 9t, то для каждого и из
?{ мы имели бы

Натуральные числа 33
и, следовательно, по теореме 25,
т -\-1 < п;
таким образом, т -\-1 также принадлежало бы мно-
множеству Ш, в противоречие со сказанным выше.
§ 4. УМНОЖЕНИЕ
Теорема 28, одновременно Определение 6. Ка-
Каждой паре натуральных чисел х, у можно, а притом
лишь единственным образом, отнести натуральное
число, обозначаемое х-у (-читается: раз; впрочем,
точку большей частью не пишут), так, чтобы
1) х-1 =х для каждого х,
2) х • у' — х • у.-\-х для каждого х и каждого у.
х • у называется произведением х на у или числом,
полукающимся от умножения х на у.
Доказательство (mutatis mutandis, дословно
совпадающее с доказательством теоремы 4). А) Пока-
Покажем сначала, что если при фиксированном х можно
определить ху для всех у так, чтобы
х • 1 = х
и
ху' = ху -{- х для каждого у,
то этими условиягии ху определяется однозначно.
Пусть ау и by определены для всех у и таковы,
чго
dyi = ау -\- х, by/ = bv -\- x для каждого у.
Пусть Ш—множество тех у, для которых
ау = V
I) ax = * = ?,;
следовательно, 1 принадлежит множеству Ш.
3 Зап. 749. Э. Ландау.

34 Глава 1
II) Если у принадлежит Ш, то
ау = Ьу,
следовательно,
= а-у + х = ьу + х =
и, значит, у' также принадлежит Ш.
Поэтому Ш есть множество всех натуральных чисел;
т. е.
пУ^ЬУ
для каждого у.
В) Покажем теперь, что для каждого х действи-
действительно возможно определить ху для всех у так, чтобы
X • 1 *=Х
и
ху' = Ху -J- х для каждого у.
Пусть Ш1 — множество тех х, для которых такая
возможность (и притом, в силу А,—только одна)
имеется.
I) При
х=1
требуемыми свойствами обладает
ху=у.
Действительно,
X ¦ 1 = 1 = X,
ху' =/ =_у -f 1 = ху + х.
Следовательно, 1 принадлежит множеству Ш.
II) Пусть х принадлежит Ш так, что для всякого у
определено некоторое ху. Тогда
дает требуемое произведение для х'. Действительно,
х'-1=х.1-\-1=х-\-1=х'

Натуральные числа 35
ху = ху' +У = {ху + *) +/ = ху + (х + У) =
Следовательно, и jc' принадлежит Ш.
Поэтому Ш содержит все х.
Теорема 29 (закон коммутативности умножения).
ху=ух.
Доказательство. Пусть, при фиксированному,
Ш — множество тех х, для которых верно утвержде-
утверждение теоремы.
I) Имеем
у-1=у;
с другой стороны, по построению, проведенному при
доказательстве теоремы 2#,
1 -у —у.
Следовательно,
1-у=у-1,
так что 1 принадлежит множеству Ш1.
II) Если х принадлежит 9R, то
ху=ух,
и, следовательно,
ху-\-у=ух-±у=ух'.
Но по построению, проведенному при доказательстве
теоремы 28,
у
Следовательно,
х'у—ух\
так что и х' принадлежит Ш.
Тем самым утверждение теоремы справедливо для
всех х.
3*

36 Глава 1
Теорема 30 (закон дистрибутивности).
х (у -f г) = ху -f xz.
Предварительное замечание. Формулу
[у -|_ г) X = ух -f zx,
вытекающую из теорем 30 и 29, и ей подобные в даль-
дальнейшем мы не считаем нужным формулировать в виде
специальных теорем или даже особо отмечать.
Доказательство. Пусть, при фиксированных
X ну, Ж — множество тех z, для которых верно
утверждение теоремы.
следовательно, 1 принадлежит множеству Ш.
И) Если z принадлежит 24, то
следовательно,
х О + ?) = х((у + z)') = х(у + z) + х =
так что и г' принадлежит Ш.
Поэтому утверждение теоремы справедливо для всех
х, у и z.
Теорема 31 (закон ассоциативности умножения).
(ху)г=х(уг).
Доказательство. Пусть, при фиксированных х
чу, 2JJ — множество тех z, для которых верно утвер-
утверждение теоремы.
следовательно, 1 принадлежит множеству Ш.
II) Пусть z принадлежит 24. Тогда

Натуральные числа 37
следовательно, применяя теорему 30, имеем:
(ху)г' = (ху)г-\-ху = х (уг) -f ху = х {уг -f у) =.
= х(уг),
так что и г принадлежит Ш.
Тем самым Ш содержит все натуральные числа.
Теорема 32. Из
х>у, соотв. х=у, соотв. х<.у
следует
xz>yz, соотв. хг=уг, соотв. хг<уг.
Доказательство. 1) Из
х>у
следует
x=yJru,
xz = (y-\- u)z = yz -j- иг> уг.
2) Из
х = у,
разумеется, следует
xz = уг.
3) Из
х<у
следует
У>х,
и, значит, в силу 1),
yz>xz,
xz<yz.
Теорема 33. Из
хг > yz, соотв. xz=yz, соотв.
следует
jc>_y, соотв. х=у, соотв.
Доказательство. Следует из теоремы 32, так
как три случая оба раза взаимно исключают друг друга
и в совокупности исчерпывают все возможности.

38 Глава I
Теорема 34. Из
х>у, z>u
следует
xz > уи.
Доказательство. По теореме 32,
хг>уг
и
уг = гу> иу=уи,
следовательно,
Теорема 35. Из
, z~>u ила
у
следует
хг~>уи.
Доказательство. Со знаками равенства в пред-
предположении— уже установлено теоремой 32, в против-
противном случае — теоремой 34.
Теорема 36. Из
х~^>у, г!>«
следует.
xz > уи.
Доказательство. С двумя знаками равенства
в предположении — ясно; в противном случае — уже
установлено теоремой 35.

Глава 2
ДРОБИ
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
Определение 7. Под дробью — (читается: х, на х2)
х2
понимают пару натуральных чисел хх, х8 (в этом
их порядке).
Определение 8.
Ч Уг
(~ читается: эквивалентно), если
Теорема 37.
Доказательство. XjX2 = XjX2.
Теорема 38. Из
следует
Доказательство. л:1_у2 = -у1х2, следовательно,
Теорема 39. Из
X
X
следует

40 Глава 2
Доказательство. х1у^=у1х9, У\2% — z{yz, сле-
следовательно,
Так как всегда
(ху) (ги) =х(у (ги)) = x((yz)u) = х{и (уг))
= {xu){zy),
то
следовательно, по предыдущему,
В силу теорем 37—39, дроби распадаются на классы,
так, что
тогда и только тогда, когда — и — принадлежат од-
Х2 Уч
ному и тому же классу.
Теорема 40. fi~??.
Доказательство. xt (х2х) — хх (хх2) •¦= (^i^) -^a-
§ 2. ПОРЯДОК
Определение 9. ^>тг
(>читается: больше),

Дроби 41_
Определение 10. ^!<_
•*¦« Уч
(<читается: меньше), если
Теорема 41. Для любых дробей — , — имеет место
¦Ч Уч.
один и только один из следующих трех случаев:
?i У± fi^JJi ^i^-Л
Доказательство. Для чисел ^15 Л1 ^1> 3;2 имеет
место один и только один из случаев
Теорема 42. Из
следует
Уъ J
Доказательство. Из
¦ледует
Теорема 43. Из
x~t ft
следует
Доказательство. Из
следует

42 Глава 2
Теорема 44. Из
Х% УЧ -^2 *^2 У% ^д
следует
г1  '
Предварительное замечание. Таким образом,
если одна дробь из некоторого класса больше какой-
нибудь дроби из другого класса, то это же имеет место
и для любой пары дробей, представляющих эти классы.
До казательство.
следовательно,
(\} 11 Л ( у V- \ (it || \ ( V у \
значит, по теореме 32,
и, значит, по теореме 33,
Теорема 45. Из
xi Уч xi
следует
к2 *
Предваритель ное замечание.Таким образом,
если одна дробь из некоторого класса меньше какой-
нибудь дроби из другого класса, то это же имеет место
и для любой пары дробей, представляющих эти классы.
Доказательство. По теореме 43,
У% *ъ'
так как
УА^1^ ?t -?i
Уч. к2' х% V

Дроби 43
то, следовательно, по теореме 44,
«I ?i
и, значит, по теореме 42,
га ^ «2 '
Определение 11.
означает
X-i . Vt *1 У\
~~ ^^ ^~~ Ц-JiUt /^fc^ — #
А*2 3^2 "^2 У2
(>читается: больше или эквивалентно.)
Определение 12. -<-
•*"9' ^2
означает
(¦^читается: меньше или эквивалентно.)
Теорема 46. Из
следует
Доказательство. Со знаком > в предположении
это ясно из теоремы 44; в противном случае имеем
^2 -^2 У% 
Теорема 47. Из
X} ^ у<_ Х\ Z\ у\ и^
х%г^Уъ- Х2 22' У г иг

44 Глава 2
следует
Доказательство. Со знаком < в предположении
это ясно из теоремы 45; в противном случае имеем
гг х% уг и2 '
Теорема 48. Из
следует
Доказательство: теоремы 38 и 42.
Теорема 49. Из
следует
Доказательство: теоремы 38 и 43.
Теорема 50 (транзитивность порядка). Из
xi Уг Уг
следует
Доказательство. xty2<y{x2, y
следовательно,

Дроби 45
Теорема 51. Из
Ч~Уг Уъ Ч *г .Уз Уг ~*а
следует
Доказательство. При знаке эквивалентности
в предположении — уже установлено теоремой 45, в про-
противном случае — теоремой 50.
Теорема 52. Из
следует
Доказательство. При двух знаках эквивалент-
эквивалентности в предположении — уже установлено теоремой 39,
в противном случае—теоремой 51.
Теорема 53. Для каждой дроби — существует дробь
ЛГ2
Доказательство:
Ol + *l) X2 — XiXa + XtX2> XtX2,
iv ?i
X
x% x%
Теорема 54. Для каждой дроби — существует дробь
г, ^хЛ
z1<x1
Дока за тел ьство. xLx2< xlx2-\-x1x2—x1 (x2-j-xa),
хч-
Теорема 55. Если
1к
Уз'

4вГлава 2
то существует дробь — такая, что
Z2
Хг ^ 22 Уч. '
Доказательство. х^у% < уухг, следовательно,
+ -Vl
¦«2 -«2 +^2
§ 3. СЛОЖЕНИЕ
Определение 13. Под —-^-Щ- (-J- читается: плюс)
понимают дробь Х1-^2 Х2 .
**У
Она называется суммой дробей •— и -^- ил« дробью,
получающейся путем прибавления — к —- .
Теорема
56.
Из
XI
У\
"л'
^2
" »2
слезет
Д^-> ^2 J*2 ^2
Предварительное замечание. Таким обра-
образом, класс суммы зависит лишь от классов, которым
принадлежат „слагаемые".
Доказательство xly2-=ylx3, z1u.1=^u1z2, сле-
следовательно,

Дроби 47
и, значит,
Теорема 57. ^
Доказательство. По определению 13и теореме40
ямеем
—| -
х ' х
х ' х дгл1 jta: x
Теорема 58 (закон коммутативности сложения).
?i i У±^У± I ?i
Доказательство.
^1 i Уу _,-уи'2+.У1ЛГ2 .У^г + ^.Уг^, J'i
^2 ' J'Z
Теорема 59 (закон ассоциативности сложения).
«а
Доказательство.
?i_ 1 УЛ i ?i
х2 ' Уг)~* z2
х.гу2
-«г О'г^г)
¦«* ' ^2^2 ^2 "" \У% ""

Глава 2
Теорема 60. ?l _i_ il > ?к .
ХЧ З'з Х2
Доказательство.
= л, О'2х2) = хх
Теорема 61. Из
следует
Xi | Z\ У\ i^ Z\
XZ г2 Уч гЪ
Доказательство. Из
следует
Так как
(ху) z = x (yz) = х (zy) = I
то, таким образом,
следовательно,
(дГ^з -f г-^а) у2 > (^^2 -[- г^ л-а
Теорема 62. Из
?L>ZL)G00OTe. ?L~lL,соотв. ^-<^-
•«2 ^2 -«а ^2 *2 У2

Дроби 49
следует
х2 ' Ч ^ у2 ' Ч *2 ' ^2 Уч ' V
соотв. —4 < — 4 .
хъ ~ Ч ^ j2 ~ z2
Доказательство. Первая часть совпадает с тео-
теоремой 61, вторая содержится в теореме 56, а третья
следует из первой, так как
У2 > х2 '
— > —-J-~^-
Ч Х1 ' «2
Теорема 63. Из
- JLylL+Ъ-, соотв. ^- + ^~^-
~ ^2 Уъ ' ^2 -^2 ~ Ч У г
У\ I Ч
Уъ * Ч
следует
Доказательство. Следует из теоремы 62, поскольку
три случая оба раза взаимно исключают друг друга и
в совокупности исчерпывают все возможности.
Теорема 64. Из
I± v> У±_ Il^Hl
xi Уг ' Ч «2
следует
*2 * Ч У2* Щ'
Доказательство. По теореме 61,
x-i "" ^2 >2 ' *2
Зав. 749. Э. Ландау.

50 Глава 2
и
У\ I Z[ z\ i 3^i ^ Wj i y^ yi j Mj
З'г ^2 Z2 У2 иъ Уч Уч к2
следовательно,
Х\ I ^T-j У] I Ц^
"? Г ~Т~^>~7, Г ~7Г •
хй Z2 Уъ 
Теорема 65. Из
Х^ "^ у^ Z\ ^ И\
Хп Zo 3*2 ^2
Доказательство. При знаке эквивалентности
в предположении следует из теорем 56 и 61, в про-
противном случае — уже установлено теоремой 64.
Теорема 66. Из
?i > Л *' > 
Доказательство. При двух знаках эквивалент-
эквивалентности в предположении—уже установлено теоремой 56,
в противном случае — теоремой 65.
Теорема 67. Если
то
Уч. «2 хг
обладает решением — . Если —- и —— решения, то
V1 ffi»i

_ Дроби 51
Предварительное замечание. При
указанное соотношение, в силу теоремы 60, не имеет
решений.
Доказательство. Второе утверждение следует
непосредственно из теоремы 63; действительно, если
Уг "г" v2 y2 "f Щ '
то, по указанной теореме,
Е* ^ El
Существование решения — (первое утверждение)
устанавливается следующим образом. Имеем
Определим и из уравнения
и положим
Тогда дробь —!- будет требуемым решением, так как
и2
Определение 14. Дробь —, построенную при дока-
доказательстве теоремы 67, обозначают — — (— чи-
Хч. Уч.
тается; минус) а называют разностью — минус -^
хч Уч
4*

52 Глава 2
или дробью, получающейся путем вычитания дроби ---
из дроби —.
Из _i^ii-_}__i
*2 Уч V%
следует, таким образом,
vi x\ Ух
§ 4. УМНОЖЕНИЕ
5. /7о^ -il-.il (-ч
чем, точку большей частью не пишут) понимают дробь
Определение 15. /7о^ -il-.il (-читается: раз; впро-
«2 ^2
Она называется произведением дроби — на ^L или
дробью, получающейся путем умножения — на —.
Теорема 68. Из
Хх У\ Z\ tt\
Хп у% г2 щ
следует
Х\ 2\ Ух U\
Предварительное замечание. Таким обра-
образом, класс произведения зависит лишь от классов,
которым принадлежат „сомножители".
Доказательство,
следовательно,
= (yxut

Дроби 53
Теорема 69 (закон коммутативности умножения).
х\ У\ ^ У1 х,
Хг Уг Уч. хъ '
Доказател ьство.
Xi У\ _
*2 У г
Теорема 70 (закон ассоциативности умножении).
( ¦*! УЛ ^t , xi (Ух гЛ
\xz Уъ) гг х2 \у2 z2j'
Доказател ьство.
Теорема 71 (закон дистрибутивности).
4)f
xa V У2 ' H) x2 уг * x2
Доказател ьство.
У% "
+ ) X\
*2г2 «2 Л ~Г -*2 г2
Теорема 72.
*->?-, соош, ^
*s - Уч,' Ч

54 Глава 2
следует
_?l ?l > У±. ?L) соотв. — — .—¦ -
Хп 2% Уч Z% ЛГ2 2о
Х\ Z\ ^ Vi Z\
соотв. < :L±- —-.
Доказательство. 1) Из
следует
а 2 г% j22 j/2 .г3
2) Из
в силу теоремы 68, следует
3) Из
следует
7Г~
и, значит, в силу 1),
У\ 2t ^ Хх
Уч. гг х2
Теорема 73. Из
z\ ^ Vi z\ X\ z\ у\ Zi
— > — —, соотв. — — — — — ,
^ Уг *г Х2 Ъ У1 Ъ
дг2 22 ^ у2 гг

Дроби 55
следует
^, соотв. ^~У±, соотв.
Уг х2 у2
Доказательство. Следует из теоремы 72, по-
поскольку три случая оба раза взаимно исключают друг
друга и в совокупности исчерпывают все возможности.
Теорема 74. Из
следует
?l\. У± Zi > "t
¦*а Л ' «а «2
Доказательство. В силу теоремы 72,
-«а «а Та ^
и
Уч, Ч z2 уг и2 у2 ~ y2 u2 '
следовательно,
111! у ll
«2
111! у ll ?l
* ^ У « '
Теорема 75. Из
ч
xi z\ -^ У\ и1
-^2 2-2 У2 И2
Доказательство. При знаках эквивалентности
в предположении — следует из теорем 68 и 72, в про-
противном случае — уже установлено теоремой 74.
Теорема 76. Из

56 Глава 2
следует
*t ?i > У\ "i
х2 г2 ~ уъ щ'
Доказательство. При двух знаках эквивалент-
эквивалентности в предположении — уже установлено теоремой
68, в противном случае — теоремой 75.
Теорема 77. Соотношение эквивалентности
У! Uj ^ ХХ
У2 «2 Х2 '
где — и ——заданные дроби, обладает решением —.
Хъ Уъ F У «2
Если — и -^ — решения, то
Доказательство. Второе утверждение непосред-
непосредственно следует из теоремы 73; действительно, если
У\. ^1 Ух ^1
У 2 ~Т>2 ~ У~1 ~Щ '
то, по указанной теореме,
Существование решения — (первое утверждение)
устанавливается следующим образом: дробь —-, где
И^ —- Х]Уп, Uq —
является решением, так как

Дроби 57
§ 5. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА
Определение 16. Под рациональным числом пони-
понимают совокупность всех дробей, эквивалентных неко-
некоторой фихсированной дроби (т. е. класс в смысле § 1).
Прописными латинскими буквами' мы будем всюду,
где не оговорено противное, обозначать рациональные
числа.
Определение 17. X—Y
(= читается: равно), если оба множества содержат
одни и те же дроби. В противном случае
ХфУ
(ф читается: не равно).
Следующие три теоремы тривиальны:
Теорема 78. Х — Х.
Теорема 79. Из
Х=У
следует
Y=X.
Теорема 80. Из
X=Y, Y=Z
следует
Определение 18. Х> Y
(> читается: больше), если для некоторой (а, значит
по теореме 44,— для каждой) дроби —, соотв. — из
множества X, соотв. Y имеет место
Л. >Л
хч ^ у2 '

58 Глава 2
Определение 19. Х< Y
(< читается: меньше), если для некоторой (а, значит,
по теореме 45, — для каждой) дроби —.соотв.— из
множества X, соотв. Y имеет место
Теорема 81. Для любых двух рациональных чисел
X, Y имеет место один и только один из следующих
трех случаев:
X=Y, X>Y, X<Y.
Доказательство: теорема 41.
Теорема 82. Из
Х> Y
следует
Y<X.
Доказательство: теорема 42.
Теорема 83. Из
Х< Y
следует
Y>X.
Доказательство: теорема 43.
Определение 20. <Y> Y
означает
X>Y или X=Y.
Q> читается: больше или равно.)
Определение 21. <Y< Y
означает
X<Y или Х= Y.
(^ читается: меньше или равно.)

Дроби 59
Теорема 84. Из
> Y
следует
Доказательство: теорема 48.
Теорема 85. Из
X^CY
следует
K>,Y.
Доказательство: теорема 49.
Теорема 86 (транзитивность порядка). Из
X<Y, Y<Z
следует
X<Z.
Доказательство: теорема 50.
Теорема 87. Из
X^.Y, Y<Z или X<Y, K<2
следует
X<Z.
Доказательство: теорема 51.
Теорема 88. Из
следует
Доказательство: теорема 52.
Теорема 89. Для каждого X существует
Z>X.
Доказательство: теорема 53.

60 ___ Глава 2
Теорема 90. Для каждого X существует
Z<X.
Доказательство: теорема 54.
Теорема 91. Если
X<Y,
то существует Z такое, что
X<Z<Y.
Доказательство: теорема 55.
Определение 22. Под X-\-Y (+ читается: плюс)
понимают класс, содержащий некоторую (а, значит,
по теореме 56, — и всякую) сумму дроби из X и
дроби из Y.
Это рациональное число называют суммой чисел
X и Y или рациональным числом, получающимся пу-
путем прибавления Y к X.
Теорема 92 (закон коммутативности сложения).
Доказательство: теорема 58.
Теорема 93 (закон ассоциативности сложения).
Доказательство: теорема 59.
Теорема 94. X-\-Y>X.
Доказательство: теорема 60.
Теорема 95. Из
Х> Y
следует
X-\-Z> Y+Z.
Доказательство: теорема 61.

Дроби _61
Теорема 96. Из
Х> Y, соотв. Х= Y, соотв. X<Y
:ледует
X+Z> Y + Z, соотв. X+Z=Y-\-Z,
соотв. X-\-Z<Y + Z.
Доказательство: теорема 62.
Теорема 97. Из
X-\-Z>Y-\-Z, соотв. X-\-Z=Y-\-Z,
соотв. X-\-Z< Y-\-Z
'ледует
Х> Y, соотв. Х= Y, соотв. Х< Y.
Доказательство: теорема 63.
Теорема 98. Из
X>Y, Z>U
:ледует
X-\-Z> Y+U.
Доказательство: теорема 64.
Теорема 99. Из
Х> Y, Z>U или Х> Y, Z> U
•ледует
X+Z> Y + U.
Доказательство: теорема 65.
Теорема 100. Из
Х> Y, Z>U
ледует
Доказательство: теорема 66.
Теорема 101. Если
X>Y,

62 Глава 2
то уравнение
обладает точно одним решением U.
Предварительное замечание. При
в силу теоремы 94, решения не существует.
Доказательство: теорема 67.
Определение 23. Указанное U обозначается X— Y
(— читается: минус) и называется разностью X минус
Y или рациональным числом, получающимся путем
вычитания рационального числа Y из рационального
числа X.
Определение 24. Под Х- Y (-читается: раз; впро-
впрочем, точку большей частью не пишут) понимают
класс, содержащий некоторое (а, значит, в силу
теоремы 68, — и каждое) произведение дроби из X на
дробь из Y.
Это рациональное число называется произведением
X на Y ила рациональным числом, получающимся
путем умножения X на Y.
Теорема 102 (закон коммутативности умножения).
XY=YX.
Доказательство: теорема 69.
Теорема 103 (закон ассоциативности умножения).
(XY) Z = X( YZ).
Доказательство: теорема 70.
Теорема 104 (закон дистрибутивности).
Доказательство: теорема 71.

Дроби 63
Теорема 105. Из
Х> Y, соотв. Х= Y, соотв. X<Y
следует
XZ> YZ, соотв. XZ= YZ, соотв. XZ < YZ.
Доказательство: теорема 72.
Теорема 106. Из
XZ > YZ, соотв. XZ = YZ, соотв. XZ < YZ
следует
Х> Y, соотв. X—Y, соотв. X<Y.
Доказательство: теорема 73.
Теорема 107. Из
X>Y,Z>U
следует
XZ > YU.
Доказательство: теорема 74.
Теорема 108. Из
Х> Y, Z > U или Х> Y, Z> U
следует
XZ>YU.
Доказательство: теорема 75.
Теорема 109. Из
X>Y, Z>U
следует
XZ^YU.
Доказательство: теорема 76.
Теорема ПО. Уравнение

64_ Глава 2
где X и Y — заданные рациональные числа, обладает
точно одним решением U.
Доказательство: теорема 77.
Теорема 111. Из
х ^ у ху х . у
у > у, соотв. у— у> соотв. у < 4-
следует
, соотв. х—у, соотв. х<Су
и обратно.
Доказательство.
х • 1 >_у • 1, соотв. х • 1 =_у • 1, соотв. х • 1 <_у • 1
означает то же самое, что
лг>_у, соотв. х—у, соотв. х<_у.
Определение 25. Рациональное число называется
целым, если среди объединяемых им дробей содержится
X
дробь вида у.
По теореме 111 это х однозначно определено, и,
обратно, каждому х соответствует точно одно целое
число.
Теорема 112.
Ла_У_ х+У
1 ~*~ 1 1 '
х у ху
1 1 ~~Г-
Предварительное замечание. Таким обра-
образом, сумма и произведение двух целых чисел суть
целые числа.
Доказательство. 1) По теореме 57,
_* , У х + у

Дроби 65
2) По определению 15,
jc _у_ ху ху_
1 1 ~ы Г'
Теорема 113. Целые числа удовлетворяют пяти
аксиомам для натуральных чисел, если за 1 принять
класс дроби -г, а последующим классом для класса
х х'
дроби -г- считать класс дроби —
Доказательство. Пусть 3 — множество всех
целых чисел.
1) Класс дроби у принадлежит множеству 3-
2) Для каждого целого числа нами определено
последующее.
3) Всякое последующее отлично от класса дроби —,
поскольку всегда
х =j-\.
х' v'
4) Если классы дробей -j- и -у совпадают, то
Л '
Т'
х'
X
X
т
У
—г
*— v
у
~ 1
х у
так что и классы дробей — и -г- совпадают.
5) Пусть множество Ш целых чисел обладает сле-
следующими свойствами:
I) Класс дроби у принадлежит множеству Ш.
II) Если класс дроби -у принадлежит Ш, то и класс
х' —
дроби -—принадлежит %Ж.
5 Зак. 749. Э. Ландау.

66 Jjiaia 2
Обозначим через Tt множество тех х, для которых
класс дроби -^-принадлежитмножеству Ш. Тогда 1 при-
принадлежит Ж и вместе с каждым х, принадлежащим Ш1,
также х' принадлежит Ш. Следовательно, каждое
натуральное число принадлежит множеству ffl и, значит,
каждое целое число — множеству Ш.
Так как (в силу теорем 111 и 112) между по-
понятиями =, >, <, суммы и произведения для целых
чисел и аналогичными старыми понятиями для натураль-
натуральных чисел существует полное соответствие, то целые
числа обладают всеми свойствами, доказанными нами
в гл. 1 для натуральных чисел.
Поэтому отбросим натуральные числа, заменим их
соответствующими целыми числами и будем впредь
(поскольку и дроби становятся излишними) говорить
лишь о рациональных числах. (Натуральные числа
останутся в виде пар над и под чертой в понятии
дроби, а дроби — как индивидуальные члены множества,
называемого рациональным числом.)
Определение 26. (Освободившийся теперь символ)
х будет обозначать целое число, задаваемое классом
дроби -у.
Таким образом, на нашем новом языке, например,
Х-1*=Х,
так как
Xt 1 Л\ ¦ 1 Л"!
Теорема 114. Если Z—рациональное число, соот-
соответствующее дроби — , то
yZ = х.
Доказательство. ^-* _-i^ ^ *
I у \ -у \-у 1

Дроби 6?
Определение 27. Рациональное число U из теоремы
ПО называется частным X по Y или рациональным
числом, получающимся путем деления X на У. Оно
будет обозначаться через -у (читается: X на Y).
Если X и Y—целые числа, X— х, Y=y, то по-
понимаемое в смысле определений 26 и 27 рациональное
число —означает, в силу теоремы 114, класс, кото-
которому принадлежит понимаемая в старом смысле дробь
— . Смешения обоих символов — не следует опасаться,
так как в будущем дроби отдельно не будут ветре-
х
чаться; впредь •— будет всегда обозначать рациональ-
рациональное число. Обратно, каждое рациональное число
в силу теоремы 114 и определения 27, можно
представить в виде —- .
Теорема 115. Для каждых двух заданных X и Y
существует z такое, что
zX> У.
Y
Доказательство. -^ есть рациональное число;
по теореме 89, существуют (на нашем новом языке)
целые числа z, v такие, что
2 > Y
В силу теоремы 11],
г>> 1.
Следовательно, по теореме 105,
5*

Глава 3
СЕЧЕНИЯ
§ I. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Определение 28. Множество рациональных чисел
называется сечением, если:
1) оно содержит рациональное число, но не ка-
каждое рациональное число;
2) каждое содержащееся в нем рациональное число
меньше каждого не содержащегося;
3) в этом множестве нет наибольшего рациональ-
рационального числа (т. е. числа, большего каждого возмож-
возможного другого, отличного от него, числа этого множе-
множества).
Само множество называют также нижним классом,
множество не. содержащихся в нем рациональных чи-
чисел— верхним классом, и соответственно говорят о
нижних и верхних числах относительно данного сече-
сечения.
Строчные греческие буквы всюду, где не оговорено
противное, будут обозначать сечения.
Определение 29. \ = i\
(= читается: равно), если каждое нижнее число от-
относительно I есть нижнее число относительно ч\ и
каждое нижнее число относительно ч\ есть нижнее
число относительно Е.
Другими словами: когда оба множества совпадают.
В противном случае
(Ф читается: не равно).
Из этого определения тривиальным образом выте-
вытекают следующие три теоремы:

Сечения 69
Теорема 116.
Теорема 117.
Теорема 118. Яз
= С.
Теорема 119. Если X — верхнее число относитель-
относительно \ и
то Хх —также верхнее число относительно •?.
Доказательство. Следует из условия 2) опре-
определения 28.
Теорема 120. Если X—нижнее число отнеси*
тельно \ и
то Х1 — также нижнее число относительно I.
Доказательство. Следует из условия 2) опре-
определения 28.
Разумеется, и обратно, требование теоремы 120 то-
тождественно условию 2) определения 28. Таким образом,
для того, чтобы доказать, что некоторое множество
рациональных чисел есть сечение, достаточно показать,
что:
1) оно не пусто и, вместе с тем, существует рацио-
рациональное число, не лежащее в нем;
2) вместе с каждым его числом в нем содержится и
всякое меньшее число;
3) для каждого из его чисел в ней содержится и
некоторое большее число,

70 Глава 3
§ 2. ПОРЯДОК
Определение 30. Пусть % и t\ — сечения; тогда
( > читается: больше), если существует нижнее число
относительно ?, являющееся верхним числом отно-
относительно Y].
Определение 31. Пусть <• и -ц — сечения; тогда
( < читается: меньше), если существует верхнее число
относительно ?, являющееся нижним числом относи-
относительно ч\.
Теорема 121. Из
следует
¦п<1
Доказательство. Существует верхнее число
относительно ч\, являющееся нижним числом относи-
относительно \.
Теорема 122. Из
следует
¦Ч>5.
Доказательство. Существует нижнее число
относительно t\, являющееся верхним числом относи-
относительно \.
Теорема 123. Для любых двух сечений ?, -ц имеет
место один и только один из следующих трех случаев:
Доказательство. 1) Соотношения
несовместимы в силу определений 29 и 30. Соотно-
Соотношения
? = "Л, i<r\
несовместимы в силу определений 29 и 31-

Сечения 71
Из
следовало бы существование нижнего числа X относи-
относительно \, являющегося верхним числом относительно -ц,
и верхнего числа Y относительно ?, являющегося ниж-
нижним числом относительно т|. В силу условия 2) опре-
определения 28, мы должны были бы иметь тогда одно-
одновременно
Х< Y, X> Y.
Следовательно, может иметь место, самое большее,
один из указанных трех случаев.
2) Если
то нижние классы рассматриваемых сечений не совпа-
совпадают. Таким образом, либо некоторое нижнее число
относительно \ является верхним числом относительно
Y], и тогда
либо некоторое нижнее число относительно t\ является
верхним числом относительно \, и тогда
Определение 32. ?>'Ч
означает
\ > т) ила % =
(^- читается: больше или равно.)
Определение 33. ?<-г)
означает
\ < т) ала \ —
(<g^ читается: меньше или j-авно.)
Теорема 124. Из
1

72 Глава 3
следует
Доказательство: теорема 121.
Теорема 125. Из
К-ч
следует
Доказательство: тзорема 122.
Теорема 126 (транзитивность порядка). Из
К"»!, КС
следует
КС
Доказательство. Существует верхнее число X
относительно ?, являющееся нижним числом относи-
относительно т|, и верхнее число Y относительно rh являю-
являющееся нижним числом Относительно С. Вследствие
свойства 2) сечения -ц, имеем
Х<Г,
так что Y есть верхнее число относительно ?. Поэтому
Теорема 127. Из
t < •*!,  < С «ли f < y), т) < С
следуе/и
КС.
Доказательство. При знаке равенства в пред-
предположении— очевидно; в противном случае — уже
установлено теоремой 126.
Теорема 128. Из
следует
\ < С

Сечения 73
Доказательство. При двух знаках равенства
в предположении — очевидно; в противном случг.е —
уже установлено теоремой 127.
§ 3. СЛОЖЕНИЕ
Теорема 129. I) Пусть I и yj— сечения. Множе-
Множество рациональных чисел, представимых в виде
X-\- Y, где X—нижнее число относительно \, a Y—
нижнее число относительо ч\, есть сечение.
И) Никакое число этого множества не может
быть представлено в виде суммы верхнего числа
относительно % и верхнего числа относительно yj.
Доказательство. 1) Пусть X—какое-либо ниж-
нижнее число относительно I и Y—какое-нибудь нижнее
число относительно yj, тогда X-\-Y принадлежит рас-
рассматриваемому множеству.
Если же Xt — какое-нибудь верхнее число относи-
относительно ?, Yi— какое-нибудь верхнее число относи-
относительно yj, то для всех нижних чисел X, соответственно
Y относительно \, соответственно yj имеем
X<XU Y<YU
и, следовательно,
X+Y<Xl+Y1,
X.-'rY^X+Y.
Таким образом, Xt -\- Yx не принадлежит рассматривае-
рассматриваемому множеству. Тем самым попутно уже доказано и II).
2) Нам нужно показать, что каждое число, меньшее
некоторого числа из рассматриваемого множества,
также принадлежит этому множеству. Пусть, таким
образом, X—нижнее число относительно ?, Y—ниж-
Y—нижнее число относительно yj и
Z<Z+ Г.
Тогда

74 Глава 3
следовательно, по теореме 106,
-Z- <\-
значит, по теореме 105,
х<х
«^ У ¦ 1 — У-
это означает, в силу второго свойства сечения в при-
менении к \, соответственно ч\, что X v . v, соот-
ветственно Y ^ есть нижнее число относительно ;,
л-\- г
соответственно t\.
Но суммой этих двух рациональных чисел служит
заданное Z:
3) Пусть задано какое-нибудь число из рассматри-
рассматриваемою множества. Оно имеет вид X-{- Y, где X—
нижнее число относительно ?, a Y—-нижнее число
относительно ч\. В силу третьего свойства сечения,
существует нижнее число
ХХ>Х
относительно S; тогда
Xl+Y>X+Y,
так что рассматриваемое множество содержит некото-
некоторое число
Определение 34. Сечение, построенное в теореме
129, обозначают lJrt\ (-f- читается: плюс). Оно на-
называется суммой сечений \ и ч\ или сечением, полу?
чающимся путем прибавления ч\ к \.

Сечения 75
Теорема 130 (закон коммутативности сложения).
Доказательство. Каждое X \-Y есть также
Y -\- X и обратно.
Теорема 131 (з1кон ассоциативности сложения).
Доказательство. Каждое (X -\- Y) -[¦ Z есть также
X -f (Y -\- Z) и обратно.
Теорема 132. Каково бы ни было заданное А, для
каждого сечения найдутся нижнее число X и верх-
верхнее число U такие, что
Доказательство. Пусть Х1 — любое нижнее
число. Рассмотрим все рациональные числа
где п — целые. Не все эти рациональные числа — ниж-
нижние. Действительно, для любого верхнего числа Y
имеем
Y>XV
В силу теоремы 115, существует такое п, что
пА > Y—Xlt
Следовательно, Х1 ~\- пА уже верхнее число.
По теореме 27, в множестве тех п, для которых
Х1 -\- пА является верхним числом, существует наимень-
наименьшее целое число; обозначим его и.
Если
и = 1,
то положим

76 Глава 3 __^_
если
и>1,
то положим
Л"=^1+(и — l)A, U=X1-\-uA=XJfA.
В том и другом случае X есть нижнее число, U—верх-
U—верхнее число и
Теорема 133. $ + i}>$.
Доказательство. Пусть Y—какое-нибудь ниж-
нижнее число относительно ч\. Выберем, по теореме 132,
нижнее число X относительно % и верхнее число U
относительно \ такие, чтобы
U—X=Y;
тогда
U = X-\- Y
будет верхним числом относительно \ и нижним числом
относительно % -f-1]. Поэтому
Теорема 134. Из
следует
Доказательство. В силу предположения, суще-
существует верхнее число Y относительно ч\, являющееся
нижним числом относительно ?. Выберем какое-нибудь
число X относительно \ такое, чтобы
X>Y;
оно снова будет верхним числом относительно i\. Вы-
Выберем, далее, по теореме 132, верхнее число Z и ниж-
нижнее число U относительно С такие, чтобы
Z— U=X— Y,

Сечения 77
Тогда
будет нижним числом относительно ? -)- ? и (по тео-
теореме 129, II) верхним числом относительно т\ -f- С
Поэтому
S + C>yi + C.
Теорема 135. Из
I > т„ соотв. ? = т,, соотв. \ < т]
Доказательство. Первая часть совпадает с тео-
теоремой 134, вторая очевидна, третья следует из первой,
так как
Теорема 136.
I + С >
Из
соотв.
ее
1
юте
+ <--
<
¦Ч-г
?>•(], соотв. S = ¦*!, соотв. I < -rj.
Доказательство. Следует из теоремы 135, по-
поскольку три случая оба раза взаимно исключают друг
друга и в совокупности исчерпывают все возможности.
Теорема 137. Из

78 /'лава 3
Доказательство. По теореме 134,
и
следовательно,
Теорема 138. Яз
$ > 7], С> U
Доказательство. При знаках равенства в пред-
предположении— уже установлено теоремой 134, в против-
противном случае—: теоремой 137.
Теорема
следует
139.
Из
\
-'¦- г, 5> '(,
1-1-0.
Доказательство. При знаках равенства в пред-
предположении— очевидно; в противном случае — уже уста-
установлено теоремой 138.
Теорема 140. Если
то уравнение
7)-f-0 = S
имеет точно одно решение и.
Предварительное замечание. При
в силу теоремы 133, решения не существует.
Доказательство. I) Рассматриваемое уравнение
имеет не более одного решения; действительно, если
°1 ?" °2>

Сечения 79
то, по теореме 135,
II) Я покажу сначала, что множество всех рациональ-
рациональных чисел вида X—Y (так что X*>Y), где X —
нижнее число относительно %, a Y—верхнее число
относительно т\, образует сечение.
1) Как мы знаем из начала доказательства теоремы
134, по крайней мере одно такое X— Y существует.
Никакое верхнее число Xt относительно ? не может
быть таким X—Y, поскольку для каждого числа по-
последнего вида мы имеем
X— Y<(X— Y)-\- Y=X<XV
2) Если X— Y какое-нибудь заданное число из
рассматриваемого множества и
U<X—Y,
то
U-\- Y < (X— Y) -|- Y= X,
следовательно,
U+ Y = XS
есть нижнее число относительно $ и, значит,
U=Xt—Y
принадлежит нашему множеству.
3) Пусть X—Y какое-нибудь заданное число из
рассматриваемого множества. Выберем какое-нибудь
нижнее число Хг относительно $ такое, чтобы
Тогда
(Xa-Y)-\-Y>(X-Y)+Y,
XS-Y>X-Y,
и, следовательно, Х3—Y—число нашего множества,
большее, чем заданное X— Y.

80 Глава 3
Таким образом, наше множество есть сечение; обо-
обозначим его о.
Мы докажем теперь, что для него
Для этого достаточно установить:
A) что каждое нижнее число относительно о -f т,
есть нижнее число относительно ?;
B) что каждое нижнее число относительно ? есть
нижнее число относительно о -j- yj.
К А). Каждое нижнее число относительно о -[- щ
имеет вид
(А-- Y) + Yv
где X — нижнее число относительно \, Y — верхнее
число относительно y), Fx — нижнее число относительно -ц
и
X>Y.
Имеем:
Y>YV
((Х- Y) + Yx) + ( Y- K,)=(^- Y) + (К,
и, следовательно, (Л"— F) -[- ^ есть нижнее число от-
относительно S.
К В), а) Пусть заданное нижнее число относительно
\ является вместе с тем верхним числом относительно yj;
обозначим его тогда Y. Выберем нижнее число X от-
относительно X такое, чтобы
Х> У,
и, по теореме 132, нижнее число Yx и верхнее число
Г2 относительно yj такие, чтобы
К2— Г1 = ЛГ— К.
Тогда

Сечения 81
следовательно,
Y— Yi = X—
и, значит, Y является нижним числом относительно о -f~ '"I*
Ь) Если заданное нижнее число относительно S
является также нижним числом относительно t\, то оно
меньше каждого числа, рассмотренного в а), и так
как последние, как показано, суть нижние числа отно-
относительно t> —|— -rj, то и само заданное число является
нижним относительно o-j-T|.
Определение 35. Сечение о из теоремы 140 обо-
обозначается % —1\ (— читается: минус) и называется
разностью ? минус i\ или сечением, получающимся
путем вычитания t\ из I.
§ 4. УМНОЖЕНИЕ
Теорема 141. I) Пусть ? и ч\ — сечения. Множе-
Множество рациональных чисел, представимых в виде XV,
где X—нижнее число относительно ?, a Y — нижнее
число относительно ч\, есть сечение.
II) Никакое число из этого множества не может
быть представлено в виде произведения верхнего числа
относительно \ на верхнее число относительно i\.
Доказательство. 1) Пусть X — какое-нибудь
нижнее число относительно \ и Y—какое-нибудь
нижнее число относительно i\, тогда XY принадлежит
рассматриваемому множеству.
Если же Х1—-какое-нибудь верхнее число относи-
относительно X и Fj — какое-нибудь верхнее число отно-
относительно i\, то для всех нижних чисел X, соответ-
соответственно Y относительно S, соответственно т] имеем
х<хи к<к1э
6 Заж. 749. Э. Ландау.

82 Глава 3
и, следовательно,
XY<X1Yl,
XJ^XY.
Таким образом, XlY1 не принадлежит рассматриваемом}
множеству. Тем самым попутно доказано уже и II).
2) Пусть X—нижнее число относительно \, Y —
нижнее число относительно Y) и
Z< XY.
Тогда
X \~v ^j==[X
и, значит, -rz есть нижнее число относительно yj. Равен
ство
показывает тогда, что Z принадлежит нашему мно
жеству.
3) Пусть задано какое-нибудь число из рассматри
ваемого множества. Оно имеет вид XY, где X—ниж
нее число относительно ?, Y—нижнее число относител!
но Y). Выберем нижнее число
Xt>X
относительно I; тогда
так что наше множество содержит некоторое числ
>XY.
Определение 36- Сечение, построенное в теорел
141, обозначается %-ч\ (• читается: раз; впрочем, точи
большей частью не пишут). Оно называется произв<

Сечения 83
дением \ на f\ или сечением, получающимся путем
умножения % на i\.
Теорема 142 (закон коммутативности умножения).
Доказательство. Каждое XY есть также УХ
и обратно.
Теорема 143 (закон ассоциативности умножения).
Доказательство. Каждое (XY) Z есть также
X(YZ) и обратно.
Теорема 144 (закон дистрибутивности).
Доказательство. I) Каждое нижнее число
относительно ;(f]-f- С) имеет вид
где X, У, Z — нижние числа, соответственно, относи-
относительно ?, 1\, С. Но ХУ -\- XZ есть нижнее число относи-
относительно \i\ -f- SC.
II) Каждое нижнее число относительно ?т]-{-?? имеет
вид
где X, У, Хх, Z — нижние числа, соответственно, относи-
относительно S, t\, $, С- В случае Л^ ЛГ, обозначим через Х2
число Л', в случае X <. Xt— число Хг В обоих случаях
Х2 будет нижним числом относительно \, и, значит,
X2(Y-\-Z) — нижним числом относительно $(-г)-}-С). Из
XXZ < X^Z
вытекает
AT f XXZ < Х2Г f X2Z = X2 {У + 2),
6*

84 Глава 3
следовательно, XY-\-XxZ будет нижним числом и отно-
относительно \ (-q-\-Q.
Теорема 145. Из
$>y], соотв. % = t\, соотв. 1<Сц
следует
?С > ¦((-., соотв. XI. = г?, соотв. V, < ¦({,.
Доказательство. 1) Если
то, по теореме 140, существует такое и, что
% = Т) + О.
Поэтому
2) Из
разумеется, следует
3) Из
следует
и, значит, в силу 1\
Теорема 146. Из
& > 7)!1, соотв. %г, == тг)С, соотв. V, < *?
Е > ¦»], соотв. $ = тг), соотв. ?<¦*].
Доказательство. Следует из теоремы 145,
поскольку три случая оба раза взаимно исключают
друг друга и в совокупности исчерпывают все возмож-
возможности.

Сечения
85
Теорема 147. Из
следует
Доказательство. По теореме 145,
следовательно,
Теорема 148. Из
>
или
Доказательство. При знаках равенства в пред-
предположении— уже установлено теоремой 145, в против-
противном случае—теоремой 147.
Теорема 149. Из
следует
Доказательство. При двух знаках равенства
в предположении — очевидно; в противном случае — уже
установлено теоремой 148.
Теорема 150. Для каждого рационального числа R
множество рациональных чисел < R образует сечение.
Доказательство. 1)По теореме 90, существует
X<R. Само R не < R.
2) Если
X<R,
то

86 Глава 3
3) Если
то, в силу теоромы 91, существует Хг такое, что
X<Xt<R.
Определение 37. Сечение, построенное в теореме
150, мы будем обозначать через R*.
(Таким образом, прописные латинские буквы со
звездочками обозначают сечения, а не рациональные
числа.)
Теорема 151.
Доказательство. $-1* есть множество всех XY,
где X—нижнее число относительно \, а
Каждое такое ЛТ< X и, следовательно, является
нижним числом относительно \.
Обратно, пусть задано нижнее число X относительно
\. Выберем тогда нижнее число Хх относительно %
такое, чтобы
*/> Хъ
и положим
у 1 у
Л]
Тогда
Y < Xt Xi = J'
и, следовательно,
X — XJ
является нижним числом относительно $ • 1*.
Теорема 152. Для каждого заданного I уравнение
Еи = 1*
имеет решение о.

Сеченая 87
Доказательство. Рассмотрим множество всех
чисел — , где X— любое верхнее число относительно \,
л
за исключением наименьшего (если такое существует).
Покажем, что это множество является сечением.
1) Рассматриваемое множество содержит, по крайней
мере, одно число. Действительно, если А* — какое-нибудь
верхнее число относительно ?, то и X-\-X—верхнее
число, но уже наверное не наименьшее, и, следовательно,
1
—р— принадлежит нашему множеству,
л l л
С другой стороны, существует рациональное число,
не принадлежащее этому множеству. Действительно,
пусть Хх — какое-нибудь нижнее число относительной,
тогда для всех верхних чисел X относительно \ имеем
и так как
ХХ — 1 Y ]
X— = 1 = XI — ,
X lXi
то
L-+L.
поэтому — не принадлежит нашему множеству.
X1
2) Пусть заданное число из нашего множества,
так что X— верхнее число относительно I, и пусть
U< Л'
тогда
1 1
UX<jX=l =Ujj,
следовательно,
X<TJ>

88 Глава 3
и, значит, — является верхним числом относительно
притом не наименьшим. Так как
и
то, следовательно, U принадлежит нашему множеству.
3) Пусть ——заданное число из нашего множества,
так что X—верхнее число относительно \, и притом
не наименьшее. Выберем верхнее число Хг относи-
относительно S такое, чтобы
Xt<X,
а затем, по теореме 91, — число Х% такое, чтобы
ХХ<Х2< X.
Х% будет верхним числом относительно \ и притом
не наименьшим. Из
у ' ^ v . 1 V
Х2х<Хх-1-х*ъ
следует
__>!.
тем самым мы нашли в нашем множестве число, большее
заданного.
Таким образом, наше множество является сечением;
обозначим его о.
Мы докажем теперь, что для него
Для этого достаточно установить:
А) что каждое нижнее число относительно ?о будет < 1.

Сечения 89
В) что каждое рациональное число <С 1 будет ниж-
нижним числом относительно ?о.
К А). Каждое нижнее число относительно ?о имеет
вид
где X—нижнее, а Хх — верхнее число относительной.
Из
следует
XI :ЛЧ
К В). Пусть
U< 1.
Выберем какое-нибудь нижнее число X относительно ?,
а затем, по теореме 132, нижнее число Хх и верхнее
число Хя относительно ? такие, чтобы
Тогда
Хя — Хг<{1 — U)X2,
= {Х% — Xt) -j- Л
Следовательно, -^ есть верхнее число относительно \,
и притом не наименьшее. Из
следует

90 Глава 3
здесь Хх — нижнее число относительно $, ниж-
уС 1
тг
нее число относительно и; следовательно, U есть
нижнее число относительно Ь-
Теорема 153. Для любых заданных S, -ц уравнение
тр = \
имеет точно одно решение о.
Доказательство. I) Рассматриваемое уравнение
может иметь, самое большее, одно решение. Действи-
Действительно, если
игфи2,
то, по теореме 145,
YPl ф Tj'J_.
II) Для решения нашего уравнения достаточно поло-
положить
где 1 — решение уравнения
существующее по теореме 152. Действительно, по
теореме 151 имеем
Определение 38. Сечение и из теоремы 153
обозначается — (читается: \ на fi). — называется
частным % по yj или сечением, получающимся путем
деления \ на i\.
§ 5. РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕЧЕНИЯ И ЦЕЛЫЕ СЕЧЕНИЯ
Определение 39. Сечение вида X* называется
рациональным сечением.

Сечения 91
Определение 40. Сечение вида х* называется целым
сечением.
(Таким образом, строчные латинские буквы со звез-
звездочками означают сечения, а не целые числа.)
Теорема 154. Из
X>Y, соотв. X=Y, соотв. К<Y
следует
X* > Y*, соотв. Xf != К*, соотв. X* < У*
и обратно.
Доказательство. I) 1) Из
Х> Y
следует, чго Y есть нижнее число относительно X*.
Но Y— верхнее число относительно Y*. Следова-
Следовательно,
X* > У*.
2) Из
Х=У,
разумеется, следует
Х* = У*.
3) Из
Х< Y
вытекает
и, значит, в силу 1),
К* > X*,
X* < у*.
II) Обращение очевидно, поскольку три случая оба
раза взаимно исключают друг друга и в совокупности
исчерпывают все возможности.

92 Глава 3
Теорема 155. (ЛГ-{-У)* = ЛГ*-|-К*;
(Х-— К)* = X* — Y* при X>Y-
х*
Доказательство. I) а) Каждое нижнее число
относительно X* -j- Y* есть сумма рационального
числа < X и рационального числа < К; следовательно,
оно < Х-\- У и потому является нижним числом отно-
относительно (Х-\- Y)*.
Ь) Каждое нижнее число U относительно (A'-j- Y)*
будет<ЛГ+К. Из
^ 1
следует, что U есть сумма рационального числа
и рационального числа < К, а, следовательно,—ниж
нее число относительно X* -\- Y*.
Поэтому
II) Из
рытекает
Х> У
следовательно, в силу I),
— Y)*
Ill) а) Каждое нижнее число относительно x*Y*
есть произведение рационального числа < Хя рациональ-
рационального числа < Y; следовательно, оно < XY и потому —
нижнее число относительно (ЛТК)*.
Ъ) Каждое нижнее число U относительно (XY)*
будет < ХУ.« Выберем, по теореме 91, рациональное

Сечения 93
число t/j такое, чтобы
U<Ut< XY.
Тогда
Таким образом,
есть представление числа U в виде произведения ниж-
нижнего числа относительно X* на нижнее число отно-
относительно Y*. Следовательно, U есть нижнее число
относительно X*Y*.
Поэтому
(XY)*=X*Y*.
IV) * = рК,
следовательно, в силу III),
— у* •
Теорема 156. Целые сечения удовлетворяют пяти
аксиомам для натуральных чисел, если за 1 при-
принять 1* и положить
(**)' = (*')*.
Доказательство. Пусть 3* — множество всех це-
целых сечений.
1) 1* принадлежит множеству $*•
2) Вместе с х* в 3* содержится и (х*)'.

94 Глава 3
3) Так как всегда
х'ф\,
то
(х')*ф1*,
(х*У ф 1 *.
4) Из (х*У = (у*У
следует О')* = (у')*,
*'=/,
х=у,
X* = V*.
5) Пусть некоторое множество 2I* целых сечений
обладает следующими свойствами:
I) 1* принадлежит множеству Ш*.
II) Если х* принадлежит Ш*, то и (х*)' принадле-
принадлежит Ш*.
Обозначим через Ш множество тех х, для которых
х* принадлежит множеству Т1*. Тогда 1 принадлежит
множеству Ti, и вместе с каждым х из Ш также х'
принадлежит 9Ю. Следовательно, каждое целое число
принадлежит Ш и, значит, каждое целое сечение при-
принадлежит Ш*.
Так как, в силу теорем 154 и 155, между поня-
понятиями =, >, <[, суммы, разности (если она существует),
произведения и частного рациональных сечений и ана-
аналогичными старыми понятиями для рациональных чисел
имеется полное соответствие, то рациональные сече-
сечения обладают всеми свойствами, доказанными нами
в гл. 2 для рациональных чисел, и, в частности,
целые сечения — всеми свойствами, доказанными для
целых чисел.
Поэтому отбросим рациональные числа, заменим их
соответствующими рациональными сечениями и будем
впредь говорить лишь о сечениях. (Однако, рациональ-
рациональные числа останутся как элементы множеств в понятии
сечения.)

Сечения 95
Определение 41. (Освободившийся теперь символ)
X будет обозначать рациональное сечение X*, на
которое мы перенесем также наименование „рацио-
„рациональное число"; точно так же на целые сечения мы
перенесем наименование „целое число".
Таким образом, теперь мы будем, например, вместо
г*
I — = 1*
писать
Теорема 157. Рациональные числа — это те и
только те сечения, для которых существует наи-
наименьшее верхнее число X, причем тогда X и есть
данное сечение.
Доказательство. 1) X (рациональное число
в старом смысле) есть наименьшее верхнее число отно-
относительно сечения X (старого X*).
2) Если для сечения I существует наименьшее верх-
верхнее число X, то каждое нижнее число < X, каждое
верхнее число >1 и, следовательно, сечение совпа-
совпадает с X (старым X*).
Теорема 158. Пусть I — сечение. X является ниж-
нижним числом относительно 5 тогда и только тогда,
когда
и верхним числом — тогда и только тогда, когда
Доказательство. 1) Если X—нижнее число
относительно \, то, поскольку X—верхнее число от-
относительно X (старого X*), имеем:

96 Глава 3
2) Если X—наименьшее верхнее число относительно
?, то, по теореме 157,
3) Если X— верхнее число относительно \, но не
наименьшее, то возьмем какое-нибудь меньшее верхнее
число Хх. Тогда Х1 есть нижнее число относительно X
и, следовательно,
Теорема 159. Если
то существует Z такое, что
Доказательство. Выберем верхнее число X от-
относительно 5, являющееся нижним числом относительно
ч\, и затем какое-нибудь нижнее число Z относительно
t\, большее, чем X. Тогда, по теореме 158, будем иметь:
Теорема 160. Каждое
может быть представлено в виде
Доказательство. Пусть С — меньшее из сечений
и (Т$^ГТ; имеем:
Выберем, по теореме 159, Z2 и Z2 такие, чтобы

Сечения 97
Тогда
+ ) <nf (— fcq) = Z.
В произведении
z — 7"
мы будем иметь
так что оно и будет давать требуемое разложение
для Z.
Теорема 161. Для каждого С уравнение
имеет точно одно решение.
Доказательство. I) Существует, самое большее,
одно решение. Действительно, из
следует
II) Рассмотрим множество тех рациональных чисел
X, для которых
XX <С.
Оно образует сечение. В самом деле:
1) Если
X < 1 и X < С,
то
< X • 1 = X < С.
7 Зак. 719. О. Дппдпу.

•3 > *X '3 > *X *XlX = Z
H9 oi/эии ^ '53 0НЧ1/Э1ИЭ0НХ0 noi/эиь иинжин
oih 'эонв! ^ H9 о1/иаоа1ээ1пАэ С6О{ экэйоэх сш 'oi
hi/эки
oih '
I4W 'з ?эйэь эинэьээ иквн эоннэос!1эои
>Z({l-\-X)+X)+XX-=Z
z + x) = (z
x<z+x
(i 4- y) 4- у
vi ^/ i л и ^ ЙИНЭьээ ей ээтчнэк 2 кэйэь киьвнео9О
¦¦}>хх
чхэАц (8
ш"л>ХХ>АЛ
=1 -Х<ХХ
ох
июд
pavrj

Сече nisi 99
Эбозначив через X большее из чисел Хх и .Y, ми по-
поучили бы
з противоречие с определением числа Z.
Если же мы имели бы
го, по теореме 159, существовало бы Z такое, что
«<Z<!1.
По теореме 160, Z имело бы вид
Обозначая через X меньшее из чисел Х1 и Х2, мы по-
яучили бы
что снова противоречит определению числа Z.
Определение 42. Каждое сечение, не являющееся
рациональным числом, называется иррациональным
числом.
Теорема 162. Существует по крайней мере одно
иррациональное число.
Доказательство. Достаточно показать, что реше-
решение уравнения
существующее по теореме 161, иррационально.
Но в противном случае S было бы представило
в виде
„_ х_
'" У '
7*

100
по теореме 27, среди этих представлений существовало
бы представление с наименьшим возможным у. Так как
~ ~у '~у~~~уу~'
то мы имели бы
УУ< 1'(уу) = хх=A[
У<
Положим
х—у = и.
Тогда
у -|- и =s х < \'у =
Но вообще
(¦V -\- w) {1) -\- w) == (v -f- w) v -|- (v -J- w) w =
Следовательно, Положив
мы получили бы
^ (ЛУ + A'") (« + 0) + («я + «) =
1' (ии)) + (A' сяО + ии) + «) =
1' (ии)) + (и -f- 0 (и + t) ==
h 1' («и)) + ^ = 1' (УУ) + 1' (йй) =^
= XX +1' (ИИ),
«=Г(яя),
i-.-L = i'
и и '
что противоречит, однако, предположенной минималь-
минимальности числа у, поскольку

Глава 4
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Определение 43. Сечения мы будем теперь назы-
называть положительными числами; соответственно, мы
будем теперь говорить: положительное рациональное
число {взамен прежнего рационального числа) и по-
положительное целое число {взамен прежнего целого
числа).
Мы создаем новое, отличное от положительных
чисел, число 0 (читается: нуль).
Ми создаем, далее, числа, отличные от положи'
тельных чисел и числа 0 и называемые отрицатель-
ными числами, так, что каждому I (т. е, каждому
.положительному числу) ставится в соответствие
отрицательное число, обозначаемое — I ( — читается:
минус).
При этом —I и —т) считаются за одно число
(т. е. равными) только тогда, когда I и -ц предста-
представляют собой одно число.
Положительные числа, число 0 и отрицательные
числа мы называем вещественными числами.
Прописные греческие буквы, если не оговорено про-
противное, означают всюду вещественные числа. „Равно"
записывается символом =, „не равно" (отлично от) —
символом Ф.
Таким образом, для каждого S и каждого Н имеет
место одно и только одно из соотношений
3=Н, ЕфЯ.
Для вещественных чисел понятия тождества и равенства
сливаются, так что следующие три теоремы тривиальны:
Теорема 163. S = S.
Теорема 164. Из
С" ТТ

J02 Глава 4
следует
Н = Е.
Теорема 165. Из
Е =.- Н, II = Z
следует
E = Z.
§ 2. ПОРЯДОК
Определение 44.
f S, если S = ?,
|Е | — < 0, если Е = 0,
( S, если Е = — t
Число \ Е ] называется абсолютным значением числа Е.
Теорема 166. |Е| положительно для положитель-
положительных и отрицательных S.
Доказательство: определение 44.
Определение 45. Если хотя бы одно из чисел S
и Л не положительно, то
S>H
тогда и только тогда, когда
либо Е отрицательно, Н отрицательно и \ Е [ < | Н |,
либо 3 = 0, Н отрицательно,
либо S положительно, Н отрицательно,
либо S положительно, II = 0.
(> читается: больше.)
Заметим, что для пары положительных S и Н мы
уже имеем понятия > и <, причем последнее даже
использовано в одном из случаев определения 45.
Определение 46. S < Н
тогда и только тогда, когда
H>S.
(<[ читается: меньше,)

Вещественные числа 103
Заметим, что для пары положительных S и Н опре-
определение 46 находится в согласии с нашими старыми
понятиями.
Теорема 167. Для любых Е и Н имеет мести
один и только один из следующих трех случаев:
S = H, Е>Н, E<H.
Доказательство. 1) Если S и Н положительны,
то мы знаем это из теоремы 123.
2) Если S положительно, а Н = 0 или отрицательно, то
далее, по определению 45,
Е>Н
и пэ определению 46
Е не < Н.
3) Если Е = О, Н положительно, т.)
Е:?Н;
далее, по определению 45,
Е не >Н
и по определению 46
3<Н.
4) Если Е = 0, Н = 0, то
Е = Н,
S не > Н,
S не <Н.
5) Если Е = О, Н отрицательно, то
3>Н,
не <Н,

104 Глава 4
6) Если Е отрицательно, а II положительно или
Н = 0, то
Е не >Н,
S<H.
7) Если Е и II отрицательны, то
S ф IT, Е > Н, S не < II для | Е | < | II |,
Е = И, Е не > Н, S не < II для | S | = | Н |.
Е_?Н, S не >Н, Е<Н для |S|>|H|.
Определение 47.
Е > II
означает
S > Н или 3 = II.
(^-читается: больше или равно.)
Определение 48.
3<Н
означает
S < Н или Е = Н.
( <] читается: меньше или равно.)
Теорема 168. Из
Е>Н
следует
Н<Е
и обратно.
Доказательство: определение 46.
Теорема 169. Положительные числа—это числа > О,
отрицательные числа — это числа < 0.
Доказательство. 1) По определению 45,

Вещественные числа 105
2) Из
S>0,
по определению 45, следует
3) По определению 46,
-S<0.
4) Из
S<0,
по определению 46, следует
Е=— I
Теорема 170.
|Е|>0.
Доказательство: определение 44, теорема 166
и теорема 169.
Теорема 171 (транзитивность порядка). Из
S < Н, Н < Z
следует
S <Z.
Доказательство. 1) Пусть
Z>0.
Если
S>0,
то
Н>0,
и мы приходим к старой теореме 126.
Если
S<0,
то необходимо
2<Z.
2) Пусть
Z = 0.

106 Глава 4
Тогда
и, следовательно,
3) Пусть
Тогда
Далее,
и, следовательно,
Теорема 172. Из
Е<Н, Н
Н
Е
Е
Z
н
Е
> Н
<z
< о,
<о,
<z.
<0.
< о,
< о.
> 1Н| >| Z|,
<z.
или Е < Н, Н < Z
следует
Доказательство. При знаках равенства в пред-
предположении— очевидно, в противном случае — уже уста-
установлено теоремой 171.
Теорема 173. Из
Е<Н, H<Z
следует
Доказательство. При двух знаках равенства
в предположении — очевидно;в противном случае — уже
установлено теоремой 172.
Определение 49. Если
S<0,

Вещественные числа 107
то Н называется рациональным, когда
Е = 0,
либо когда
Н < 0 и | S | рационально.
Таким образом, мы имеем теперь положительные рацио-
рациональные числа, рациональное число 0 и отрицательные
рациональные числа.
Определение 50. Если
Н<0,
то В называется иррациональным, если оно не рацио-
рационально.
Таким образом, мы имеем теперь положительные
иррациональные числа и отрицательные иррациональные
числа. (Числа? — Да; мы указали одно иррациональ-
иррациональное Н, но тогда и всякое положительное число \ -\- X
иррационально, так как из
следовало бы
g = Y— X;
а — E -\- X) в таком случае всегда — отрицательное
иррациональное.)
Определение 51. Если
Н<0,
то S называется целым, когда
Е = 0,
либо когда
2<0а |Н| — целое.
Таким образом, мы имеем теперь положительные
целые числа, целое число 0 и отрицательные целые
числа.
Теорема 174. Каждое целое число рационально.

108
Глава 4
Доказательство. Для положительных чисел мы
это уже знаем; для числа 0 и отрицательных чисел это
следует из определения 49 и определения 51.
§ 3. СЛОЖЕНИЕ
Определение 52.
—(IЕ !+|Н.), когда S < О, Н < 0;
О ,«o.'d.iH>0,H<0,j|S!| =
11 s К
H-j-H , когда Е<0, II > 0;
Н , когда Е = 0;
Е , когда Н = 0.
a+ti = '
I
(-\- читается: плюс.) Е-j-H называется суммой чисел
Ей Н или числом, получающимся путем прибавления
H»S.
По поводу этого определения заметим:
1) Для
S > 0, Н > 0
мы имеем понятие B-j-H уже из определения 34.
2) Это понятие использовано также в определении 52.
3) В третьем случае рассматриваемого определения
используется понятие суммы из второго случая.
4) Четвертый и пятый случаи перекрываются, когда
но тогда и число, определяемое как сумма Е -}- Н, одно
и то же (а именно, 0).
Теорема 175 (закон коммутативности сложения).
Доказательств6. При

Вещественные числа 109
оба числа равны Н; при
Н = 0
оба равны Е.
При
S>0, Н> О
приходим к старой теореме 130.
При
S<0, Н<0
имеем, по теореме 130,
S + H = -(|S|+|Hi) = -(|H| + |E|) = H + S.
При
Е<0, Н>0
утверждение теоремы было принято прямо за опреде-
определение.
При
S>0, Н<0
имеем, по предыдущему случаю,
Н + Е = Е + Н,
и, следовательно,
Е -f Н — Н + Е.
Определение 53.
0 при Е = 0,
|Е| при Н<0.
(— читается: минус.)
Заметим, что при Е > 0 мы имеем понятие — S уже
в определении 43.
Теорема 176. Если
Е>0, соотв. S = 0, соотв. Е < 0,
то
— Н<0, соотв. — S=0, соотв. — Е>0
к обратно.

ПО Глава 4
Доказательство: определения 43 и 53.
Теорема 177. — ( — S) = Е.
Доказательство: определения 43, 44 и 53.
Теорема 178. | — 3| = |Е|.
Доказательство: определения 43, 44 и 53.
Теорема 179. S-f( — S) = 0.
Доказательство: определения 52, 53 и тео-
теорема 178.
Теорема 180. — (S -f Н) = — S-f- ( — Ы).
Доказательство. По теореме 175, имеем
= —(H + S)
поэтому без ограничения общности можно предполагать,
что
3>Н;
действительно, имеет место, по крайней мере, одно из
соотношений
Е > Н, Н > S,
а из
__(Н + Е) = -_Н + ( — Е)
тотчас следует
_(S + H) = —E-H-H).
Пусть, таким образом,
Е > Н.
1) Если
Е > О, Н > О,
то
— S-K —Н) = -B

вещественные числа 111
2) Если
Е>0, Н = 0,
то
г? | ( тт\ П7 \ г\ г? /к? I ft\ .
о —|— ^ И) о —j- U = ¦— о — \^uj —|— UJ =з
3).Если
Е>0, Н<0,
то
либо
и, следовательно,
= -(Е + Н);
либо
и, следовательно,
либо
и, следовательно,
Е + II = —(| Н | — S),
Г7 \ t ттч ст ! ! тт I I ТТ I ^ (*3 I ТТЧ
— й -f- ( — п) = — a -j- | И | = | М | — л = —^ -f- л;.
4) Если
то
5) Если
Е<0,

112 Ула&а 4
то
Н<0,
Определение 54. В — Н = Е -f- (— Н\
(— читается: минус.) Е— Н называется разностью В
минус Н или числом, получающимся путем вычита-
вычитания Н из Е.
Заметим, что (как это и должно быть) определение
54 при
Е>Н>0
согласуется с нашим старым определением 35. Действи-
Действительно, тогда
Е>0, -Н<0, |Н|>|-Н|,
Е + ( —Н) —|S| —| —Н|-=Е—Н.
Теорема 181. —(S— Н) = Н — 3.
Доказательство. По теоремам 180 и 177, имеем
= _S + H = H-f-( —H) = H —2.
Теорема 182. Из
Е — Н > 0, соотв. Е — Н = 0, соотв. 2 — Н < 0
следует
Е>Н, соотв. S = Н, соотв. ?<Н
и обратно.
Доказательство. Так как —Н также является
произвольным вещественным числом, то вместо — Н
можно писать Н и, следовательно, доказывать равно-
равносильность соответственных случаев для
Е4-Н>0, соотв. Е-|-Н = 0, соотв. E-f-H<0

Вещественные числа 113
и
S> — Н, соотв. Н =— Н, соотв. Н< — Н.
Если тогда Н = 0 или Н = 0, то утверждение тео-
теоремы очевидно. Если же ни Н, ни Н не равно нулю, то
в случае
Е>0, Н>0
и в трех первых случаях определения 52, если третий
разбить на три подслучая
мы будем и в предположении и в утверждении иметь,
соответственно, знаки
Теорема 183. Из
Е > Н, соотв. S = Н, соотв. S < Н
следует
— S < — Н, соотв. — Е = —Н, соотв. — Е > — Н
и обратно.
Доказательство. По теореме 182, первое соот-
соответствует случаям
Е—Н>0, соотв. Е^Н = 0, соотв. Е — Н < О,
а второе — случаям
— Н — ( — Е)>0, соотв. — Н — ( — Е) = о,
соотв. —Н —( —Е)<0;
но
_Н —(-Е) = —
Теорема 184. Каждое вещественное число может
быть представлено в виде разности двух положитель-
положительных чисел.
8 Зап. 749. Э. Ландау.

114 Глава 4
д
то
2)
то
3)
то
оказательство.
Если
Е
Если
1) Если
Е>
1—1
Е =
= 1
Е<
0,
0,
1
о,
Теорема 185. Из
следует
Е+ Н = &-!-*),)-
Доказательство. 1) Пусть
Е>0, Н>0.
Так как
то тогда
и, значит, утверждение теоремы справедливо.
2) Пусть
Е<0, Н<0.
Тогда, по теореме 181,
Ъ — «i = — 2>0, т!2 — yj1 = — Н>0,

Вещественные числа 115
и, значит, в силу 1),
- S + ( - Н) = (Е, + Ча) — (
3) Пусть
S > О, Н < О,
так что
А) Если
е>|н;,
то
?1 — ^2>Ylj — 11.
и, следовательно,
6i + % = ((Ч - У + У + Ъ = («1 — У
= («, - У — (t;9 -11.) =
= S — |H| = S + H.
В) Если
S<|H|,
то, в силу А),
S + Н = - (-Н + (—S)) = - ((ъ - 4l)+ (Sa-6,))
== - ((^2 f У - (Ii + У) = Di + 5,) — (II + У
С) Если
Е = |Н|,
так что
?i — ?а — 1а—
8*

Ш Глава 4
то
Н 4- Н = 0 = (Е, + Ъ)~
4) Пусть
S<0, Н>0.
Тогда, в силу 3),
5) Пусть
Тогда
а) При
имеем
("Hi — Ъ) + (.
Н = тц — "Па =
b) При
имеем
H = 0 = (
c) При
Ъ <
в силу а), имеем
— Н = Tfja — т)! =
6) Пусть
Н

Вещественные числа 117
Тогда, в силу 5),
Теорема 186 (закон ассоциативности сложения).
(S + H) + Z=E + (H + Z).
Доказательство. Согласно теореме 184, имеем
? = $! — $я, h = y1i — tjj, z = c1—е:2.
Тогда, по теореме 185, получаем:
(S+н) + z = «б, -и,)—& + ч»>) + (С, - V =
Теорема 187. При заданных S и Н уравнение
H+T=S
имеет точно одно решение, а именно,
Т = 3— Н.
Доказательство. 1) Т = 3 — Н есть решение,
так как, по теореме 186,
H + (S-H)=(S-H) + H = (S + (—Н))+Н =
2) Из
следует
S—Н = Е + (—Н) = — Н + Н = — Н + (Н + Г) =

118 Глава 4 ___
Теорема 188. Соотношение
S + Z>H + Z, соотв. S + Z = H + Z,
соотв. E-|-Z<H-f Z
имеет место тогда и только тогда, когда выпол-
выполняется соответственное соотношение
Е>Н, соотв. Е = Н, соотв. 2<Н.
Доказательство. По теореме 182, соотношения
из первой строки равносильны соответственным соотно-
соотношениям
—(H+Z)>0, соотв. (S + Z) — (Н + Z) = 0,
соотв. (S-f-Z) — (H + Z)<0;
и из второй строки — соответственным соотношениям
S — Н>0, соотв. S — Н = 0, соотв. S — Н<0.
Но
Теорема 189. Из
Н>Н, Z>T
следует
S + Z>H + T.
Доказательство. По теореме 188,
S+Z>H+Z
следовательно,
Теорема 190. Из
S>H, Z>T или S>H, Z>T

Вещественные числа 119
следует
Доказательство. При знаках равенства в пред-
предположении— уже установлено теоремой 188, в против-
противном случае — теоремой 189.
Теорема 191. Из
S>H, 2>Г
следует
Доказательство. При двух знаках равенства
в предположении — очевидно; в противном случае —
уже установлено теоремой 190.
§ 4. УМНОЖЕНИЕ
Определение 55.
— (\Е\\Я\)при Е>0, Н<0
или S < О, Н > 0;
| S 11Н | при S < 0, Н < 0;
О при 2 = 0 или Н = 0.
(• читается: раз,; впрочем, точку большей частью не
пишут.) S ¦ Н называется произведением 2 на Н или
числом, получающимся путем умножения S на Н.
Заметим, что S • Н при S > О, Н > 0 известно нам
уже из определения 36, что, кстати, и было использо-
использовано в определении 55.
Теорема 192. ЕН = 0
тогда и только тогда, когда, по крайней мере, одно
из чисел Н, Н есть нуль.
Доказательство: определение 55.

120 ___ Глава 4 ______„__
Теорема 193.
| ЗН | = | S 11Н |
Доказательство: определение 55.
Теорема 194 (закон коммутативности умножения).
Доказательство. При В > О, Н > 0 это — тео-
теорема 142, в остальных же случаях — следует из опреде-
определения 55, так как правые части этого определения
(по теореме 142), равно как и разбиение на Случаи,
симметричны относительно S и Н.
Теорема 195.
S • 1 = Е.
Доказательство. При 3>0 это следует из
теоремы 151; при 3 = 0 — из определения 55; при
S < 0, по определению 55, имеем
S • 1 == — (| S | • 1) = — | 31 = S.
Теорема 196. Если
ЯфО, ЯфО,
то
ЕН = |В||Н1, соотв. ВН = —(|S||H|),
смотря по тому, будут ли числа В, Н оба отрицатель-
отрицательны (или оба неотрицательны), либо, соответственно,
одно из них отрицательно.
Доказательство: определение 55.
Теорема 197:
(-E)H = S(-H)= —(ЗН).
Доказательство. 1) Если одно из чисел В, Н —
нуль, то все три выражения равны нулю.
2) Если
ЕфО, ЪфО,

Вещественные числа 121
то, по теореме 193, все три выражения имеют одина-
одинаковое абсолютное значение | 3 11 Н |, и по теореме 196
все три > 0, соответственно <С 0, смотря по тому,
содержится ли среди чисел Е, Н точно одно, соответ-
соответственно, ни одного или два отрицательных.
Теорема 198.
(— Е) (- Н) == ЗН.
Доказательство. По теореме 197,
= ЕН.
Теорема 199 (закон ассоциативности умножения).
(SH)Z = S(HZ).
Доказательство. 1) Если одно из чисел Н, Н,
Z — нуль, то в обеих частях vтвepждaeмoгo равенства
стоит 0.
2) Если
3^0, Н^О, Z^tO,
то, по теореме 193, обе части имеют одинаковое абсолют-
абсолютное значение
и, по теореме 196, обе части > 0, соответственно
< 0, если среди чисел S, H, Z нет ни одного или
имеется точно два отрицательных или, соответственно,
среди этих чисел содержится точно одно или точно три
отрицательных.
Теорема 200.
5(т| —C) = fc| —К.
Доказательство. 1) При
имеем

122 Глава 4
и, следовательно, по теореме 144,
2) При
имеем
3) При
в силу 1), имеем
= $7| —К.
Теорема 201 (закон дистрибутивности).
Доказательство. 1) Пусть
S>0.
По теореме 184,
Н — тц — %. Z = Ci — Са,
тогда, по теореме 185,
следовательно, по теоремам 200 и 144,
и, значит, по теоремам 185 и 200,
S (Н + Z) = C% — Stja) + (SC, - ЕСа) =
= 2G1, — т12) + Е (С» - С,) = EH + SZ.

Вещественные числа 123
2) Пусть
Е = 0.
Тогда
3) Пусть
3<0.
Тогда, в силу 1),
(-S)(H+Z) = (-E)H + (- E)Z,
следовательно,
= _ ((_ Е) Н) + (- ((- S) Z)) = EH -f- EZ.
Теорема 202.
Е(Н — Z) = EH — SZ.
Доказательство. По теореме 201,
S(H — Z) = E(H-f(— Z)) = BH + S(—Z) =
= EH + (—(EZ)) = SH — EZ.
Теорема 203. Если
S>H,
то из
Z > 0, соотв. Z = 0, соотв. Z < 0
следует
EZ>HZ, соотв. EZ = HZ, соотв. EZ < HZ.
Доказательство. Имеем
S — H>0,
и, следовательно,
(E—H)Z>0, соотв. (E— H)Z = 0 соотв. (Е—H)Z<0,

124 Глава 4
смотря по тому, будет ли
Z>0, соотв. Z = 0, соотв. Z < 0.
Так как, по теореме 202,
(S - Н) Z = Z (Е — Н) = ZE — ZH = SZ - HZ,
то в этих случаях, по теореме 182,
SZ>HZ, соотв. EZ = HZ, соотв. SZ < HZ.
Теорема 204. Уравнение
НГ = Е,
где Е, Н — заданные числа и
имеет точно одно решение Т.
Доказательство. I) Существует, самое боль-
большее, одно решение. Действительно, из
следует
0 = HT1-HYa
и, значит, по теореме 192,
i
II) 1) Пусть
Н>0.
Тогда
служит решением, так как

Вещественные числа 125
2) Пусть
Н<0.
Тогда
служит решением, так как, в силу 1),
Определение 56. Число Т из теоремы 204 обозна-
чается ~ (читается: S на Н) и называется частным
3 по Н или числом, получающимся путем деления
В на Н.
Заметим, что (как и должно быть) при Е >0, Н >0
это совпадает об старым определением 38.
§ 5. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ДЕДЕКИНДА
Теорема 205. Пусть задано какое-нибудь разбиение
всех вещественных чисел на два класса, обладающие
следующими свойствами:
1) Оба класса не пусты.
2) Каждое число первого класса меньше каждого
числа второго класса.
Тогда существует точно одно вещественное число
S такое, что каждое Н < S принадлежит первому,
а каждое Н > S — второму классу.
Другими словами: каждое число первого класса<[Е,
каждое число второго класса^-S.
Предварительное замечание. Ясно, что, об-
обратно, каждое вещественное число S порождает точно
два таких разбиения: одно — с совокупностью чисел
H<^S в качестве первого и Н > S в качестве второго
класса, и второе— с совокупностью чисел H<S в ка-
качестве первого и H^S в качестве второго класса.
Доказательство. А) Больше одного такого числа
S существовать не может. Действительно, если бы два

126 Глава 4~
различных числа Z1и Sa,
1 ^ 2>
обладали утверждаемым свойством, то "' ~Т_ "*, в силу
A + 1) Ei = 3, + S, < В, + Е2 <S2 + S2 = A -f 1) Е2,
должно было бы принадлежать как первому, так и вто-
второму классу.
В) При доказательстве существования требуемого
числа мы будем различать четыре случая.
I) В первом классе содержится положительное число.
Рассмотрим сечение, порождаемое следующим обра-
образом: положительное рациональное число входит в ниж-
нижний класс, если оно принадлежит первому классу, не
являясь там наибольшим рациональным числом; в про-
противном же случае (т. е. если оно является наибольшим
рациональным числом первого класса или принадлежит
второму классу), данное положительное рациональное
число относится к верхнему классу. Это — действитель-
действительно сечение. В самом деле:
1) Так как первый класс содержит положительное
число, то он содержит и каждое меньшее положитель-
положительное рациональное число (такие существуют по теореме
158) и, в частности, такое, которое в первом классе
не является наибольшим. Таким образом, нижний класс
не пуст.
Так как второй класс содержит некоторое число, то
он содержит и каждое большее положительное рациональ-
рациональное число (такие существуют по теореме 158). Таким
образом, и верхний класс не пуст.
2) Каждое число нижнего класса меньше каждого
числа верхнего класса; действительно, каждое число
первого класса меньше каждого числа второго класса,
а возможное наибольшее положительное рациональное
число первого класса, во всяком случае, больше ка-
каждого числа нижнего класса.

Вещественные числа 127
3) В нижнем классе нет наибольшего положительного
рационального числа. Действительно, либо уже первый
класс не содержит такого числа; либо первый класс
содержит такое число, но тогда оно отнесено нами
в верхний класс, а среди положительных рациональных
чисел, меньших заданного, в силу теоремы 91, не суще-
существует наибольшего.
Определяемое нашим сечением положительное число
мы обозначаем S и утверждаем, что оно удовлетворяет
поставленным условиям.
a) Пусть
Н<Е.
Выберем, по теореме 159 (с S = Н, tj = E при Н>0
~ ^ ПРИ ^<^0), число Z такое, чтобы
H<Z<E.
Тогда Z есть нижнее число относительно Н и, следо-
следовательно, принадлежит первому классу; поэтому и II
принадлежит первому классу.
b) Пусть
Н>Е.
Выберем, по теореме 159, число Z такое, чтобы
E<Z<H.
Тогда Z есть верхнее число относительно S, притом
(по теореме 159) не наименьшее, и, следовательно, при-
принадлежит второму классу; поэтому и Н принадлежит
второму классу.
II) Каждое положительное число лежит во втором
классе; 0 лежит в первом классе.
Тогда каждое отрицательное число лежит в первом
классе, и требуемыми свойствами обладает
3 = 0.
III) 0 лежит во втором классе; каждое отрицательное
число лежит в первом классе.

128 Глава 4
Тогда каждое положительное число лежит во втором
классе, и требуемыми свойствами обладает снова
IV) Во втором классе содержится отрицательное
число.
Рассмотрим тогда следующее новое разбиение:
Н лежит в новом первом классе, если- — Н лежало
в старом втором классе;
Н лежит в новом втором классе, если — Н лежало
в старом первом классе.
Это разбиение, очевидно, удовлетворяет обоим усло-
условиям теоремы 205. Действительно:
1) оба класса не пусты;
2) из
Hi < Н2,
по теореме 183, следует
-Н2< — Н,.
Кроме того, новое разбиение подпадает под случай I),
так как в новом первом классе содержится положи-
положительное число. Следовательно, согласно доказанному
в I), существует число Ех такое, что каждое
лежит в новом первом классе, а каждое
Н>3,
— в новом втором. Положим
Тогда из
Н < Е, соотв. Н > S,
следует, что
—Н > Sj, соотв. —Н < 2Р
т. е. что —Н лежит в новом втором, соответственно
новом первом классе, и, значит, Н—в старом первом,
соответственно старом втором классе.

Глава 5
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Определение 57. Комплексное число есть пара ве-
вещественных чисел Hj, E2 (взятых в определенном поряд-
порядке). Мы будем обозначать комплексное число симво-
символом [Sj, B9]. При этом [Ej, S2] и [Н^ Н2] считаются
одним и тем же числом (равными; пишем: = ) тогда,
когда
в проттном же случае — неравными (различными;
пишем: ф).
Строчные готические буквы будут всюду обозначать
комплексные числа.
Таким образом, для каждых двух j и ^ имеет место
один и только один из случаев
Для комплексных чисел понятия тождества и равенства
сливаются, так что следующие три теоремы тривиальны:
Теорема 206. 5 = 2-
Теорема 207. Из
5 = 9
следует
Теорема 208. Из
5 = 9. 9 = 3
следует
Определение 58. н=[0, 0].
Определение 59. е—[1, 0].
g З&к. 749. Э. Ландау.

130 Глава о
Таким образом буквы и и е сохраняются для вполне
определенных комплексных чисел.
§ 2. СЛОЖЕНИЕ
Определение 60. Пусть
Х = [Е1, Е2], 9 = 1^, Н„].
Тогда
Еа + На].
(-f- читается: плюс.) j -\- р называется суммой j и р
или (комплексным) числож, получающимся путем при-
прибавления 9 « 5-
Теорема 209 (закон коммутативности сложения).
Доказательство.
Pi + Hlf S2 + Н2] = [Н, + Slt H2 + Е2].
Теорема 210. S + « = S-
Доказательство.
IS,, SJ + [0, 0] = IE, +0, Е2 + 0] = [Е„ Н21.
Теорема 211 (закон ассоциативности сложения).
Доказательство. Пусть
X=.[Slf S2], 9 = [Н„ Н2], j=[Z,,
тогда, по теореме 186,
= KEi + НО + Z1( (S, + Hs) + Z2]
= [Si + № + Z,), S2 + (H2 + ZJ)
=[Ei, E2] + [H, + 2lt H2 + Z2] =

Комплексные числа 131
Теорема 212. При заданных J, ty уравнение
V + и =¦ I
имеет точно одно решение п, а именно, если
j=»[Elt Н2], l)^[llv ILJ,
то
и = [Е,-Н„ Еа —HJ.
Доказательство. Для каждого
и=Р\,Г2]
имеем:
p + u^lHi+^i. H2 + T21,
и требование состоит в том, чтобы
Н1 + Г1 = Е1)На + Та = Е8.
Тем самым доказательство доставляется теоремой 187.
Определение 61. Число и из теоремы 212 обозна-
обозначается j — р (— читается: минус) и называется раз-
разностью j минус \) или числом, получающимся путем
вычитания I) из J.
Теорема 213. $ — р = ц
тогда и только тогда, когда
5 = 9-
Доказательство.
Et—Ht = Ea —Н8 = 0
тогда и только тогда, когда
Определение 62. — j = it
(— слева читается: минус.)
9*

132 Глава 5
Теорема 214, Если
Х=[Е„ Е2],
то
Доказательство. —[Si, Е3] = [0,0] — [S,, Еа]
= [0 — 3,, 0 — Ea] = [-S1, — Е8].
Теорема 215. — (— 5) = ;.
Доказательство. По теореме 177,
— (-Si) = Si, -(—Е2)=Е2.
Теорема 216. ?+¦(— 5) = »-
Доказательство. По теореме 179,
Теорема 217. — (х + 9) = -X + (~V)-
Доказательство. По теореме 180, полагая
5= [Sl Sa], 9 = [НХ, Н2],
имеем:
Теорема 218. $ - 9 == % + (- 9).
Доказательство.
[В, —Н„ Ев-Н8] = [Е„ EJ + I-Hl -H2
Теорема 219. _(s_p) = p_s.
Доказательство.
-(X—9) =-(*+( — 9)) = — 5 + (-(-W)

________^ Комплексные числа 133
§ 3. УМНОЖЕНИЕ
Определение 63. Пусть
$=12иЕ2], 9 = [Н„ На1.
Тогда
S-V^lEiH, —SjHa, S^a + SaH,].
(• читается: раз; впрочем, точку большей частью
не пишут.) j • ty называется произведением J на Ч) или
числом, получающимся путем умножения j на Ч).
Теорема 220 (закон коммутативности умножения).
Ш = ад-
Доказательство.
[В„ ЕЯ1[Н„ Н^ВД-ЕД, 2^ + 2^] =
= [Н1Е1—H2S2, H1S2 + H2S1] = [H1, H2] [Sj, EB1.
Теорема 221. 2# = н
тогда и только тогда, когда, по крайней мере, одно
из чисел J, 1) равно п.
Доказательство. Пусть
5 = ^, Еа1, 9 = [Hi, He].
1) Из
следует
Е1 = ЕЯ = О,
W= [0 • Ht - 0 • HBI 0 • Н9 + 0 • Щ = [0, 0] =».
2) Из
в силу теоремы 220 и 1), следует
S9 = % = ns = tj.
3) Из
59 = н
нам нужно вывести, что
5 = п или р = п.

134 Глава 5
Мы можем поэтому предположить, что
ВД+НаНаХ),
и должны доказать, что тогда
т. е.
21 = S2 = 0.
По предположению,
EjHj — Е2Н2 = 0 = SjH2 + S2Hj,
следовательно,
О = (Е^ - S2H2) Н, + (Е,НВ + S2H,)H2 =
= ((E^OHi - (H^Hi) + ((S,H2)H2 + (SaHOH,,) =
= (ЗДН.Н,) - S2(H2H1)) + (S.CHaHa) + EB(HXH,)) =
= ((E.CH.H.) - ЕаШ.Нв)) + S2(H,H2)) + S^HaH,) =
== Si(H,Hx) + S,(H2H2) = E^HjH, + H2H2)
и, значит,
^ = 0,
S2H2 = 0 = 2,11,.
Так как хотя бы одно из чисел Hj и Н2 отлично от
нуля, то заключаем, что и
Е2 = 0.
Теорема 222. jc = j.
Доказательство.
IE,, S2] [1, 0]=^ • 1 — Н2 • О, Sj • 0 + S2.1] = [Е„ S2].
Теорема 223.
х(-0«—х-

Комплексные числа 135
Доказательство.
[Elf Ea] f—1,0] = [2, (_1)_S2.0,2,-0 + Е„(—1)] =
== [— Sj, — S2].
Теорема 224,
Доказательство. 1) Имеем:
[-E1,-Ej[H1,HaI =
С—Sa)Hx]
(-Х) 9 = — (»).
2) В силу 1),
5 (- V) = (- V)S= - ОИ) = ~
Теорема 225.
Доказательство. По теореме 224,
(-5)(-9)-Х(-(-^)=Х9-
Теорема 226 (закон ассоциативности умножения).
Доказательство. В этом доказательстве мы для
лучшей обозримости, в виде исключения, будем поль-
пользоваться сокращенной записью
(
(EH)Z = EHZ,
так что также
Е (HZ) = SHZ.

136 Глава 5
Пусть
S=[S1>Eal, v=[H,,Ha], s= [Z3,Z2].
Тогда
Ш)Ъ = [SxH, - S2H2, H^ 4- ЕаНх1 [Z,, Z2] =
= [(S,^ — EjH^Z! — (H^ + EaH^Za,
(EtH, - S2H2) Z2 + C,H2 4" ВД) ZtJ =
= [ (E^, Z, — EjI^Z,) — (E^aZ, + ЗД Z2>,
(EiH,Z2 — S2H2Z2) 4- (E^aZ, + ЕзН, Z,)l -
= [(SiHjZ! 4- (- (ЕаВД))) + (- (E,HaZa 4- EaH^-^),
(E.HaZ, 4- ЕаВД) 4-(S,H1Za + (-(S2H2Z2)))J =
= [E1H1Z1 - (SaHaZ, 4- S^Z, 4- EjH.Za).
(SiHa?! + EjH.Z, 4- E,H,Za) - S2H2ZJ.
Так как
то перестановкой букв (Н вместо Н, Z вместо Н, S
вместо Z) получаем отсюда
S (W) = [НЛЕ1 — CHaZaE, 4- HXZ2H2 4" Щ7ЧЕ2),
(H^aHj 4- HaZ1S1 + ^Z.Ea) - H2Z8S2].
Принимая во внимание соотношения
EHZ = S (HZ) = (HZ) S = HZS,
заключаем из сопоставления вычисленных выражений,
что
Теорема 227 (закон дистрибутивности).

Комплексные числя 137
Доказательство.
I,Sa]([H1)H2] + [Z1,Za])=[S1,S2][H1+Z1,H2+Za] =
[S1(H1+Z1)-S2(H2+Z2),S1(H2+Za)+S2(H1+Z1)] =
[(S,H, + E,Z,) + (-(SaHa)+(-(EaZa))),
[(E.H, - E2H2) + (S^ - S2Z2),
(S,H2 + 32H0 4- (S,
[E^!—S2H2, 3,112+2211!] +
[Е„Еа1 [HLHal + lEj.EaJ [Z
Теорема 228. j (j> — j)
Доказательство.
Теорема 229. Уравнение
№ = h
где j, I; заданы и
имеет точно одно решение и.
Доказательство. 1) Существует, самое большее,
одно решение. Действительно, из
следует
и = ^itj — 9Н2 = р (и, — н2),
откуда, по теореме 221,
и = itj — и2,

138 Глава 5
2) Если
ty = [Hi, Н2],
то
Н=Н1Н,-|-НаНа>0>
Hi
служит решением, так как
н
Определение 64. Число и из теоремы 229 обо-
обозначается ~- (читается: j на 1;) и называется частным
% по 1) или числом, получающимся путем деления j
на 1).
§ 4. ВЫЧИТАНИЕ
Теорема 230. (S~?) + i) = 5-
Доказательство.
С5 — 9L-9 = 9-hCx — 9) = S-
Теорема 231.
Доказатель ство.
Теорема 232, j — (j — I?) = 9-

Комплексные числа 139
Доказательство.
Теорема 233.
E — I)) — Ь = 1 —
Доказательство.
= (((Х —9) —8L" 8)-Н = (Х—
Теорема 234.
Доказательство.
E +(9— 8)) + 8 =
Теорема 235.
(X — i>) + 3 = $— »— 8)
Доказательство.
(E —» + &)+¦(>> —8)=» E-
Теорема 236.
(X + J) —
Доказательство.
ft —9)-b(9 + 8)-
Теорема 237.
(X —9) +(8-и)=-(х+ » —
Доказательство.
((X —
= E —
=15 —

140 Глава 5
Теорема 238.
(х-»—G-u) = (s + u)-G> + s).
Доказательство. В силу теоремы 237 и 236,
имеем:
(C5 + u) —
Теорема 239. j— ty = i — u
тогда и только тогда, когда
Доказательство: теоремы 213 и 238.
§ 5. ДЕЛЕНИЕ
Теорема 240. Если
то
Доказате л ь ство.
5 г
Теорема 241. Если
то
Доказательство. $? = $}.
Теорема 242. Если

комплексные числа 141
то
_?_
Доказательство.
Теорема 243. Если
Л
з ~ ад'
Доказательство.
Теорема 244. Если
то
3
Доказательство.
Теорема 245.
Доказательство.

142 Глава 5
Теорема 246. Если
то
93
Доказательство.
Теорема 247. Если
\}фп, иф it,
то
JL S _ П
Доказательство.
Теорема 248. .Если
9^: It, J^tn, U^tlt,
mo
J_
JL— li1
it
Доказательство. В силу теорем 247 и 246,
имеем:
il1. А = (?") 3 = $ (из) _ X
93' и (93) и 9 C«) 9 '
Теорема
то
249.
Если
п
S
ф
It,
= 11.

Комплексные числа 143
Доказательство. jtt = n.
Теорема 250. Если
ъФъ
то
г
Доказательство. ??==$•
Теорема 251. Если
то
¦V-
тогда и только тогда, когда
Доказательство. 1) Если
то, по теореме 250,
1 ^ Т = е-
2) Если
то, по теореме 222,
Теорема 252. Если
то
J_ = ±
9 и
тогда и только тогда, когда

144 Глава 5
Доказательство. При
утверждение очевидно.
Если же %фи, то, по теореме 248,
и
так что утверждение следует из теоремы 251,
Теорема 253. Если
то
s
9 ' 9 9
Доказательство.
1 9
Теорема 254. Если
ото
S I S _ S" + 93
9 ' u 9u
Доказательство. В силу теорем 246 и 253,
имеем:
X _J_ -3- = -IH + -^- = ilL+J3
Теорема 255. Если
Ъф\\,
то
XJ = s - з

Комплексные числа145
Доказательство.
Теорема 256. Если
то
j а _ ;ч—ш
Доказательство. В силу теорем 246 и 255,
имеем:
_?._ J. _ JH. ^ = tu —93
§ 6. СОПРЯЖЕННЫЕ ЧИСЛА
Определение 65. Число
х=[Е11—га]
называется комплексно сопряженным с числом
S=[EX, Sa].
Теорема 257. S = S-
Доказательство.
[Е„ — (-S2)] = [E1) H2].
Теорема 258. j = и
тогда и только тогда, когда
До казательство. Равенства
Ю Зак. 749. Э. Ландау.

146 Глава S
эквивалентны равенствам
Теорема 259. 5 = 5
тогда и только тогда, когда $ имеет вид
S=[S, 0].
Доказательство,
тогда и только тогда, когда
Теорема 260.
Доказательство. Пусть
5= [Si. Eal. 9=[Н1, Н2];
тогда
i= tSi + Hi, - B, + Н,,)] =
= [Elf — Ea] + [Hlf —Ha] =
Теорема 261. 59 = 5 9~-
Доказательство. Пусть
5=12,, Е„], 1; = [Н1(Н2];
тогда
да= [ЕЛ —ЕаН,,—(Е1Ня+ЕаН1)]
«[EjH, —( —Sa)( —Ha), E,( —

Комплексные числа 147
Теорема 262. $—9=$ — ty.
Доказательство. Так как
5 = E
то, по теореме 260,
5 — V= S— V-
Теорема 263. Если
то
(¦L\ — JL
Доказательство. Так как
то, по теореме 261,
г
но, по теореме 258,
следовательно,
\9/ 9
§ 7. АБСОЛЮТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ
Определение 66. УЧ будет обозначать установлен-
установленное теоремой 161 единственное (положительное) реше-
решение 5 уравнения
Определение 67.
ю*

148 Глаёа 5
Определение 68.
(| | читается: абсолютное значение.)
Теорема 264.
> 0 при s ф и,
= 0 при 5 = ц.
Доказательство: определения 68, 66 и 67.
Теорема 265.
Доказательство.
Но из
ЕН>НН, S>0, H>0
следует
так как в противном случае мы имели бы
0<5<Н,
ЕЕ<НН.
Тем самым теорема 265 доказана.
Теорема 266. Из
[Е,0][Е,0] = [Н10][Н,0], Е>0,-Н>0
следует
Е=Н.
Доказательство. Так как
[Z, О] [Z, 0] = [ZZ —0-0, Z-O-j- 0-Z] = [ZZ, 0],

Комплексные числа 149
то, в силу предположения,
[S3, 0] = [НН,0],
ЕЕ = НН.
Если
Е>0,
то имеем
НН = SS > О,
н>о,
и, следовательно, по теореме 161,
Е = Н.
Если
Е = 0,
то получаем
НН = SS = О,
Н = 0 = Е.
Теорема 267.
[|Sl. 0] Пх|, 0]=ss.
Доказательство. Пусть
S=[S1, S2].
Имеем:
[|SI, 0] [|sl, 0] = [|S| Ijl, 0] = [S1E1 + S2S2, 0] =
= [SjS, — Ea( — E8), SL( — Sa)+E9S,] =
= lZu EallSi, — S21==SS.
Теорема 268. IЙI = IXI191 •
Доказательство. В силу теорем 267 и 261, имеем:
115V1. 0] [ I Я> |, 0] = f й
= [i5lli?l — o-o, Isi-o + o-ltH] [Is 119! — o-o,

150
Глава 5
и, следовательно, в силу теоремы 266,
Теорема 269. Если
то
Доказательство.
_ Isl
следовательно, по теореме 268,
Теорема 270. Из
следует
Доказательство. Пусть
St, E2], t>=[H,, Ha]
По теореме 265, имеем:
и, следовательно,
Теорема 271.

Комплексные числа
151
Доказательство. 1) Если
S + 9 = и,
то левая часть утверждения равна 0 и, значит, ^ пра-
правой.
2) Если
S + Ф =? п
то, в силу равенства
J|L = L±J» _ e
S + 1J ' 5 + 9 5 +
но теореме 270, имеем:
>1
и, значит, по теореме 269,
I S I I I 9 I
15
Теорема 272.
l-
Доказательство.
( - Е,) ( - Е,)
Теорема 273.
- ЕаН - Е2) - Е,
Доказательство. Так как
то, по теореме 271,
is

152 Глава 5
Поменяв местами J и ^, получаем также
1$ —Sl>|!»|-|Sl
и, значит, в силу теоремы 272,
Is—$l = l-fi>—#1 = 19-х1>|1>
Но из
3>Н, 3>-Н,
поскольку | Н | есть либо Н, либо — Н, следует, что
Е>|Н|.
Поэтому
\ъ-ъ\>\\ъ\-Ш-
§ 8. СУММЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Теорема 274. Если
х<у,
то числа т^х нельзя взаимно однозначно отобра-
отобразить на числа п ^.у.
Под отображением я впредь в этом параграфе буду
всегда понимать взаимно однозначное отображение.
Доказательство. Пусть Ж — множество тех X,
для которых утверждение теоремы верно при всех
у>х.
I) Если
К у,
то т — 1 нельзя отобразить на множество чисел п^.у.
Действительно, если т = 1 соответствует числу я = 1,
то для п=у не остается никакого т, если же от = 1
соответствует некоторому п > 1, то для п = 1 не
остается никакого т.
Таким образом, 1 принадлежит множеству 2К.
II) Пусть х принадлежит 2К и

Комплексные числа 153
Предположим, что имеется отображение чисел т ^ х-\-1
на числа п^.у, и рассмотрим два возможных тогда
случая.
ас) Числу т = х -\- 1 соответствует п=у. Тогда
числа т <! х отображаются на числа п^у—1. Но
это невозможно, так как
х<у- 1.
Р) Числу т = х -\- 1 отвечает некоторое п = п0 < у.
Пусть т = т0 соответствует числу п=у, так что
/гао< х-{-1. Тогда мы можем ввести следующее видоиз-
видоизмененное отображение чисел т ^ л: -[- 1 на числа п
f при тфтй, тфх-\-\ сохраняется старое отображение,
j числу т = mQ соответствует п = nQ,
{ числу т = х-\-\ соответствует п-=у.
Но невозможность отображения такого типа уже была
доказана в а).
Таким образом, лс -f— 1 также принадлежит множеству
2JJ, и утверждение теоремы доказано.
Так как доказательства нижеследующих теорем
275—278 и 280—286 вместе с соответствующими
определениями дословно совпадали бы для сумм и
произведений, то, во избежание длинных повторений,
мы вводим нейтральный символ ф, означающий либо
всюду -|-, либо всюду •, и, пользуясь им, проводим рас-
рассуждения сразу и для сумм и для произведений. Соот-
Соответственно этому и вводимый ниже временно символ IJ
заменяет два символа B Для ~Ь и И Для ' )•
Всюду в дальнейшем под „определено" я понимаю
„определено как комплексное число".
Теорема 275. Пусть х фиксировано и f(«) опреде-
определено для всех п ^ х. Тогда существует точно одно
в*(я)
(подробнее записывается

154 Г лая л 5
сокращенно записывается
С (я)),
определенное для всех п^х и обладающее следующими
свойствами:
$х (« + ]) = %х (Я) * f (Я -f 1) При II < X.
Доказательство. 1) Покажем сначала, что суще-
существует, самое большее, одно такое (\х(п).
Пусть я(я) и ^ (я) обладают требуемыми свойствами
и Ш — множество, состоящее из тех я^х, для кото-
которых
Й(я) = $(л),
и всех п > х.
О fl(i) = f(i) = $O);
таким образом, 1 принадлежит множеству Ш-
II) Пусть я принадлежит Ш. Тогда
либо
п<х, з(я)=^(я),
следовательно,
в (л+!) = (!(«) * Т'(я+1) = НЛ) * Г*(л+1) =
и, значит, д -j- 1 принадлежит 9Jt;
либо
я>х,
следовательно,
я + 1 > х,
и, значит, я -(- 1 снова принадлежит Ш.
Поэтому Ш есть множество всех положительных
целых чисел; таким образом,
для каждого п^х, что и требовалось доказать.
2) Покажем теперь, что для каждого х такого,
что |"(я) определено при п^.х, существует требуемое
Я* (я).

Комплексные числа 155
Пусть Ш — множество тех х, для которых это спра-
справедливо, т. е. для которых, раз только f (n) определено
при п^.х, существует, и притом, в силу 1), только
одно требуемое §х{п).
I) При х=1, если f(l) определено выражением
требуемого типа, будет
(второе требование, вследствие невозможности нера-
неравенства и<1, отпадает). Таким образом, 1 принадле-
принадлежит множеству 2R.
II) Пусть х принадлежит Tt. Если f(«) определено
при /z^x-j-l, то оно определено тем самым и
при п^.х, так что здесь имеется, и притом точно
одно, требуемое д,„(я). Тогда требуемыми свойствами
для случая х -\- 1 будет обладать выражение
9»(я) при
Действительно, во-первых,
Во-вторых, при
(так как тогда п-\- 1<!л) имеем:
9^+1 (« + 1) = ?я(л + 1)= д^(л) ^ f (я+ 1)
= e»M(«)*f (я + 1).
а при
П= х
имеем:
Таким образом, при
л <

156 Глава 5
в Обоих случаях получаем:
Поэтому х -\- 1 также принадлежит множеству
t содержит все положительные целые числа.
Теорема 276. Если f(/z) определено при п^.{,
то для соответствующих §х{п) и дж+1(я) имеет
Место равенство
Доказательство. Это равенство содержалось
в самом построении 9а,+ 1(п) в п. 2), II) доказательства
предыдущей теоремы.
Определение 69. Если f(«) определено пря п
то
n = l
Если # означает -f-, то пишут
X
если -^ означает • , то пишут
B читается: сумма; JJ читается: произведение.)
Вместо п в этих символах может стоять также любая
другая буква, обозначающая положительные целые числа.
Теорема 277. Если f(l) определено, то
оказате ль.ств о. 3i С1) = f С1) -

комплексные числа1§7
Теорема 278. Если f(n) определено при п
то
X
Доказательство: теорема 276.
Теорема 279.
2
га = 1
Доказательство. Пусть j фиксировано и Зй—
множество тех х, для которых выполняется утвер-
утверждаемое равенство.
I) По теореме 277,
Таким образом, 1 принадлежит множеству Зй.
II) Если л: принадлежит Зй, то, в силу теоремы 278,
Х+1 X
и = 1 га = 1
Таким образом и х-\-\ принадлежит Ш.
Поэтому утверждаемое равенство справедливо для
всех х.
Теорема 280. Если f(l) и f(l-(-l) определены, то
К f()
га = 1
Доказательство. По теоремам 278 и 277,
имеем:
г
? t(«)= ?
ra=l ra=l

158 Глава 5
Теорема 281. Если f(w) определено при п^х-\-у, то
х+у х у
1 К Z
Доказательство. Пусть дг фиксировано и 2I —
множество тех у, для которых выполняется утвер-
утверждаемое равенство.
I) Если f(«) определено при п < х -f-1, то, по тео-
теоремам 278 и 277,
и=1
Таким образом, 1 принадлежит множеству Ш.
II) Пусть у принадлежит Ш. Если f(«) определено
при w <; х -\- (у -j- 1), то, в силу теоремы 278 (при-
(примененной к х-\-у вместо х), имеем:
у +
Я=1
К f(«)= К
и = 1 п — 1
^ f(* + «)) *
=.1
что, в силу теоремы 278 (примененной к у вместо х
и i(x-\-n) вместо |(я)),
х у + 1
= S т"(л)* S f(*+«)•
я = 1 » = 1
Таким образом, _у -|- 1 также принадлежит Ш, и тео-
теорема доказана.

_____ Комплексные числа 159
Теорема 282. Если f(«) и g(n) определены при
п ^ х, то
Z <f(«)*9(«))= Z f(«)* ?<$(«)•
И = 1 » = 1 » = 1
Доказательство. Пусть 2U— множество тех х,
для которых выполняется утверждаемое равенство.
I) Если f(l) и дA) определены, то
f
М — 1 « = 1
Таким образом, 1 принадлежит множеству Tt.
II) Пусть х принадлежит Ж. Если |(я) и д(я) опре-
определены при и^х-|-1, то, принимая во внимание, что
^ V) * и = (8 * S) * (9 * и) =
имеем:
== S (f (я) * 9(я» * (f
1
= ( f f (я) * S 9 О*)) * (f (^ + О * в
ж+ 1 a?-f 1
= S f («) * ? e («)•
n = l n = 1
Таким образом, л: -f- 1 также принадлежит Tt, и утвер-
утверждаемое равенство верно для всех х.

160 Глава 5
Теорема 283. Пусть s (я) отображает числа п
на числа т^.х, и f (я) определено при п^х. Тогда
к f (*(«))= к ««).
n=l n = l
Доказательство. Положим для краткости
Пусть Зй — множество тех х, для которых утверж-
утверждение
К 9(«)= Sf(«)
n«=l n= 1
справедливо (при всех допустимых s и f).
I) Если
X === 1 у
ТО
s(l)=l,
так что, когда f(l) определено, имеем
n=l n=1
Таким образом, 1 принадлежит множеству Ш.
II) Пусть х принадлежит ffl. Пусть s(ri) отображает
числа я<;л:-|-1 на числа /и^х-|-1, и f(#) опреде-
определено при я ^х -\-1.
1) Если
то s (я) отображает числа я <; х на числа
Тогда

комплексные числа 161
и, следовательно,
Z fl() Z в()Ф9( + )
П=1 П—1
х х+1
= X f («) * f (* +1) = ? f («)•
»=1 га —1
2) Если
s(*-f 1)<*+1, 5A)== 1,
то s(n) отображает числа и, для которых
1 -|- 1 -^ п -^ ле -|- 1, на числа т, для которых
l-j-l^Tra^x-j-l; следовательно, s(l-\-ri)—1
отображает числа и ^ х на числа т <^ л:. Поэтому
i вA+«)= Sf (*(i+«)) =
= X f(l+(^(l+ «)-!))= S fO+я),
»»= i » = i
и, следовательно, в силу теоремы 281,
3) Пусть
Положим
s(l) = e
и определим 6 условиями
1<*<X+1, 5F)= 1.
Тогда
а
11 Зак. 749. Э. Ландау.

162
Г лава 5
а) Пусть
Тогда, как
( 1
st (я) ¦={ а
при я= 1,
{ при п = Ь,
{ s(я) при 1 < я
-|- 1,
так и
а при n = 1,
1 при п = а,
я при 1 <я-^ л:-j-I, fl^ta,
отображают числа я^х-|-1 на числа от^л:-}-- 1.
Но
Действительно, s2 (st (я)) переводит
1 через 1 в a = s(l),
b через а в 1 = s (&),
всямое другое я ^ х -\- 1 через s (л) в s (я).
Sj(я) оставляет 1 на месте, а 52(я) оставляет х-)-1
на месте. Поэтому, в силу 2) и 1), имеем:
Х + 1 Х + 1 X + 1
» = 1
х+
1
я = 1
х + 1
Пусть
Тогда
(и) ¦
f Ь при я = 1,
1 при п = Ь,
я при 1<я<;л;-)-1, пфЪ

Комплексные числа 163
отображает числа /г^лг-(-1 на числа /га-^лт-f-l. При
этом
s («) = Sj (s3 (л)) при п <! х -\- 1.
Действительно, s1(s.i(n)) переводит
1 через Ь в a —s(l),
Ь через 1 в 1 =s(b),
всякое другое п <^ х -\~ 1 — через п в s (я).
s3(/z) оставляет л:-}- 1 на месте. Поэтому, в силу 1)
и 2), имеем:
Ж+1 05 + 1 SB-fl
S «(«)= S f (*(«))= Z fM*8 («))) =
И = 1 Я = 1 ?4 = 1
ж -+ 1 ж -ь 1
= S f(«l(n))= S f(«).
я = 1 и = 1
7) Пусть
а = 6 = *-И-
Если JC=1, то равенство
ж + 1 ж + 1
S й(я)= S f(")
п = \ и = 1
тривиально.
Если же х > 1, то
f 1 при /г = 1,
si («) = ¦; л: -|- 1 при « = х -\- 1,
s(n) при 1<
отображает числа я<!л;-{-1 на числа /я ^ л: -|- 1 -
11*

164 Глава 5
Следовательно, в силу 1),
ал-1 х
К в(я)= ?в(я)*д(
и = 1 й = 1
"К в (я + 1)) * 8
в(я+1)*в(*4-1))==
=1
-* к f(
п= 1
= К f(*4 (Я)) *fD ))
и—1
ж+1 ж+1
= Sf(**(fl))= ST f (Я) -
Итак, во всех случаях х -J- 1 также принадлежит
множеству 2)?, и теорема доказана.
В определении 70 и теоремах 284—286 латинские
буквы обозначают исключительно целые (не обязательно
положительные) числа.
Определение 70. Пусть
и f(«) определено фи

Комплексные числа 165
Тогда
f@ Z
п=у n=l
Вместо п может стоять также любая другая буква,
обозначающая целые числа.
Заметим, что
; у -*С(п-\-у)— 1 <!лг при 1 <^я-С(л;-|- 1)—у,
и что при у = 1 определение 70 (как и должно быть)
находится в согласии с определением 69.
Теорема 284. Пусть
и пусть f(/z) определено при
Тогда
х и х
п*=у п=у п = и+1
Доказательство. По определению 70 и теоре-
теореме 281, имеем:
х (х + 1)~у
^Т ((„\ ^Т си
iX I \п) — Л. \\\
п—у и=1
так как

166 Глава 5
Но
(((и + 1) —у) + «) +У = ((« -Ь 1) — у) -Ь (у + «) =
= (((и+1)—.у)+J0+« = « + («+1),
следовательно, по определению 70,
х и (ж + 1)
f
n-y n
Теорема 285. Пусть
У<х
и \(п) определено при
Тогда
Доказательство. Согласно определению 70,
левая часть утверждаемого равенства
—1),
а правая (принимая во внимание, что
при _у-(-г'-^/г-^А;"(~г')
((ж -+ в) + 1) — (» 4- в)
но здесь
v) f (- »))) + (-у) ==

Комплексные числа167
= (((я + У) + ») + (-»)) + (-
Теорема 286. Пусть
У<х,
f(«) определено при
и s (к) отображает числа п, для которых у <^ « ^ л:,
на чкс^а т, <?^/я которых у ^ /и <; л:. ГЗ
Доказательство.
отображает положительные « ^ (л; -|- 1)—у на поло-
положительные m^(x-j-l)—у. Поэтому, в силу тео-
теоремы 283,
+ )—у
f
п=1
(х + 1)-у
-i))= S f(« + Су
=\ и = 1
Обычно вместо
Sf(«)
пользуются также небрежной записью

168 Глава 5
(и аналогично для произведений); однако вполне безу-
безупречна лишь, например, запись
другими словами,
а + Ь + с + Ь,
что, таким образом, по определению сводит дело к ста-
старому сложению и означает
либо, например, запись
а Ь с Ь f g 11 f (nt о p q r f t it b tt> j ty j.
Можно также спокойно писать, например,
a —b + c
в смысле
так как под такой записью всегда понимается
= с.
Теперь строчные латинские буквы будут снова обо-
обозначать положительные целые числа.
Теорема 287. Если f(/z) определено при л^лг, то
существует S такое, что
Доказательство. Пусть ЭД? — множество тех х
для которых такое S существует (при любом f(«)).

Комплексные числа 169
I) Если f(l) определено, то
2 [|f(«)|,o] =
п ~ 1
Поэтому при л; = 1 требуемым свойством обладает
Таким образом, 1 принадлежит множеству 2Ji.
II) Пусть х принадлежит 2Ji. Если f(«) определено
при п < х -\- 1, то существует Sj такое, что
I i f(«)i<slt
1
i
п- 1
= [SX) о].
Но, согласно теоремам 278 и 271,
05+ 1 Ж
12 f(«)( = l2 |
я = 1 я = 1
п = 1
Следовательно, положив
будем иметь
Г^К)|<
и = 1
С другой стороны, по теореме 278,
2 i|f(«)l. o]=2 [|f(«)l,or + [|f
И=1 И=1
= [Slf O] + [|f(x+l)|, 0]
^[si + lt>+l)l. 0 + 0] =^

170 Глава 5
Таким образом, S обладает требуемыми свойствами
для случая лг-j-l. Следовательно, х-\-\ также при-
принадлежит множеству 9JJ, и теорема доказана.
Теорема 288. Если \{п) определено при п^х, то
ИП f(«)l> 0]= ftllfHI, 0].
я = 1 я = 1
Доказательство. Пусть 9JJ—множество тех х,
для которых выполняется это равенство.
I) Если f(l) определено, то
[1Ш(«I. 0] = [|f(l)|, 0]= П [|f(«)|, 0].
п=1 п=1
Таким образом, 1 принадлежит множеству 2К.
II) Пусть х принадлежит 9JJ. Если f(«) определено
при ге^лг-]-1, то, в силу теорем 278 и 268,
IItlf^)l. °1 = П Ilf(«)l. O].[|f(Jf+DI, 0] =
п=1 n=t
о-о,
|&
я = 1
Я=1
> о].
Следовательно, л? —|— 1 также принадлежит множеству
и теорема доказана.

Комплексные числа 171
Теорема 289. Если f(n) определено при п^.х, то
ftf («)=="
n=l
тогда и только тогда, когда
f(«) = n
для некоторого п ^ х.
Доказательство. Пусть Ш — множество тех х,
для которых справедливо утверждение теоремы.
I) Равенство
Ш
п = 1
тождественно с
Таким образом, 1 принадлежит множеству Ш.
И) Пусть х принадлежит Ш. Равенство
х+1
Ш(я) = «
п =1
означает, что
ftf(«)-f (*+!) = «;
«—1
но по теореме 221 для этого необходимо и достаточно,
чтобы
х
]Jf(«) = n или f(x+ 1) = и,
т. е. (так как х принадлежит множеству Ш) — чтобы
^(п) = и при п ^ х пли при п = х-\-1.
Таким образом, х-\-1 также принадлежит Ш, и тео-
теорема доказана.

172 Глава 5
§ 9. СТЕПЕНИ
В этом параграфе строчные латинские буквы будут
обозначать целые числа.
Определение 71.
П 5 при х>0,
е при i ф п, х = О,
^ при i ф и, х < 0.
(Читается: j в степени х.) Таким образом, $<" не опре-
определено лишь при
Заметим, что при
Ъфи, х<0,
согласно первой строке определения 71 и теореме 289,
е
так что —— в этом случае имеет смысл.
Vх
Теорема 290. Если
то
Доказательство. Для х > 0 это следует из
теоремы 289, для х = 0 — из определения и для
X <[ 0 — ИЗ ТОГО, ЧТО
Теорема 291. f — l-
Доказательство, j1 = JJ 5 = j.
п =i
Теорема 292. Если
x>Q

_. Комплексные числа 173
или
Ъфп, \)Фи,
то
Предварительное замечание. Обе части во
всяком случае имеют смысл, так как при х <^ 0, в силу
предположения,
#:? it-
Доказательств о. 1) Пусть, при фиксированных
j и 5, 30? — множество тех х > 0, для которых
I) По теореме 291,
Таким образом, 1 принадлежит множеству 9JJ.
II) Если х принадлежит Ш, то
ЛГ + 1 X
П EР) = П
п=1 я=1
= (П 5S) (ПР
Я = 1 П= 1
я= 1 п = 1
и, следовательно, лг —|— 1 также принадлежит Ш.
Таким образом, при х > 0 всегда
2) Пусть
Тогда
3) Пусть
х<0, %фп, \)фп.

174 Глава 5
В силу 1), тогда
и, следовательно,
с
Теорема 293. еж = с.
Доказательство. В силу теоремы 292,
и = с^е* — сЧ = сж(еж — е),
следовательно (в силу теоремы 290 и 221),
сж—е = п,
сх = с.
Теорема 294. Если
х > 0, у > О
ИЛИ
то
Доказательство. 1) Пусть
х>0, у>0.
Тогда, в силу теоремы 281,
х + у
5^ 11 5Ш Ш
П=1 П=1 /1=1
2) Пусть
причем либо х -^ 0, либо _у ^ 0.

_ Комплексные числа 175
а) Пусть
х < 0, у < О.
Тогда, в силу 1),
И
***=-! '-= e—r- C
^ * |_жг 1 lj/| r|a;l !_yl
Р) Пусть
* > 0, у < 0.
Тогда
О О О | у | IU | *
A) При
х>\У\,
в силу 1), имеем:
%Х |у| ДГ-lj/l
_* = * * х=3 rX—\y] zzx vXJi
\У\ Ij'l * ^
B) При
имеем:
С) При
х<\у\,
в силу 1), имеем:
-?-— = гж-12/1
f) Пусть
л:
Тогда, в силу |3),
S) Пусть

176 Глава 5
Тогда
s) Пусть
хфО, у = 0.
Тогда, в силу 8),
5*^ = 5
Теорема 295. Если
то
— = хх — у
js/ A •
Доказательство. По теореме 294,
JE-J/JS/ — J(Ж-!/)+!/_ Г.Х-
так как при этом, по теореме 290,
то
Xх
Теорема 296.
то
Доказательство. По теореме 295,
е г°
— — -S— — vO-ж -— г-ж
Теорема 297. Если
х > 0, у > 0
п.
/МО

Комплексные числа 177
Доказательство. 1) Пусть
5 = и, х>0, у>0.
Тогда, по теореме 289,
E*)у = (пх)« = \\у — \\ = пх« = Iх».
2) Пусть
а) Пусть J, х фиксировганы и 931 — множество тех
у > 0, для которых
Таким образом, 1 принадлежит множеству ЭЛ.
II) Пусть у принадлежит Ш- Тогда, по теореме 294,
и, значит, у-\- 1 также принадлежит ЭЛ.
Таким образом, при у > 0 утверждение теоремы
справедливо.
b) Пусть
у = 0.
Тогда
c) Пусть
у<0.
Тогда, в силу а ,
и, следовательно, по теореме 296,
(%x\y = — = —~ = —-— = г- (я\уО = хху.
12 Зак. 749. Э. Ландау.

178 Глава _5
§ 10. ВКЛЮЧЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
Теорема 298.
[S + H, 0] = [Е, 0] + [Н, 0];
[2 — Н, 0] = [S, 0] — [Н, 0];
[ЗН,0] = [Е, 0][Н,0];
[ — S,0] = -[2, 0];
I гТ7 f\i | I'-'tT ]
I L— v I I i i", I i
Доказательство.
1) [H, 0] + [H, 0] = [E + H, 0-fO] =[S-f-H, 0].
2) [S, 0] — [H, 0] = [E — H, 0 — 0] = [S - H, 0].
3) [3, 0][H, 0] = [SH —0-0, S-O + O-H] = [EH, 0].
4) В силу 3), при Н ф 0 имеем:
-|,о]=[5, 0],
5) —[?,0] = [ — S, — 0]=[ — Е,0].
6) |s;i = y|ЕЦЕ| = V*z = У** + о-о = |[Е,оц.
Теорема 299. Комплексные числа вида [х, 0] удо-
удовлетворяют пяти аксиомам для натуральных чисел,
если за 1 принять [1,0] и положить
[*, 0]' = [*', 0].
Доказательство. Пусть [3]—множество чисел
[х, 0].
1) [1, 0] принадлежит множеству [$]¦
2) Вместе с [лг, 0] также [лг, 0]' содержится в [3].

Комплексные числа ]79
3) Так
то
4) Из
следует:
как всегда
[х,
[X,
[х',
X.'
0]
or
01'
о]-
*'
'Ф1,
^[1,
ФП,
= [у у
=У.
01,
0].
01'
01,
[х,0]=\у, 01.
5) Пусть множество [2R] чисел из [3] Обладает сле-
следующими свойствами:
I) [1, 0] принадлежит множеству [2JJ].
II) Если [х, 0] принадлежит [Ш], то и [х, 0]' при-
принадлежит [2К].
Обозначим через Ш множество тех х, для которых
[х, 0] принадлежит [2К]. Тогда 1 принадлежит Й)? и
вместе с каждым л: из Ж также х' принадлежит Ш.
Следовательно, каждое положительное целое число х
принадлежит множеству 2R и, значит, каждое [х, 0} —
множеству [Ш\.
Так как, в силу теоремы 298, между понятиями
суммы, разности, произведения и (в случае его суще-
существования) частного двух чисел вида [S, 0], с одной
стороны, и аналогичными понятиями для вещественных
чисел, с другой стороны, имеется полное соответствие
и то же верно для символов — [Н, 0] и | [S, 0] |, и так
как мы можем принять в качестве определения, что
[Е, 0] >[Н, 0] при 2>Н,
[2, 0]<[Н, 0] при Н<Н,
то, таким образом, комплексные числа вида [3, 0] об-
обладают всеми свойствами, доказанными нами в гл. 4
для вещественных чисел, и, в частности, числа [х, 0] —
12*

180 Глава 5
всеми свойствами, доказанными для положительных
целых чисел.
Поэтому отбросим вещественные числа, заменим их
соответствующими комплексными числами [5, 0] и будем
иметь дело только с комплексными числами. (Однако,
вещественные числа сохранятся парами в понятии ком-
комплексного числа.)
Определение 72. (Освободившийся теперь символ)
Е будет обозначать комплексное число [Е, 0], на
которое мы перенесем также наименование веще-
вещественное число. Равным образом, [S, 0] будет теперь
называться целым числом при целом Е, рациональ-
рациональным числом при рациональном Е, иррациональным
числом при иррациональном Е, положительным чис-
числом при положительном 2, отрицательным числом
при отрицательном 2.
Таким образом, например, вместо п мы будем пи-
писать 0, а вместо е будем писать 1.
Теперь мы можем обозначать комплексные числа
строчными или прописными буквами любого алфавита
(притом не обязательно одного и того же). Однако, для
одного особого комплексного числа обычно употреб-
употребляется специальная строчная латинская буква.
Определение 73. / = [0, 1].
Теорема 300. н = —1.
Доказательство.
«=[0, 1][0, 1]= [0.0—1 . 1, 0.1 + 1.0] =
= [~1, 0] = -1.
Теорема 301. Для вещественных uv u2 имеет
место равенство
ut-\-u2i=[uv u2].
Таким образом, для каждого комплексного числа х
существует однозначно определенная пара веще-
вещественных чисел «j, м2 такая, что
х = М; -4- u%i.

Комплексные числа Ш
Доказательство. Если uv u2 вещественны, то
"]+':=["i, 0] + [и2, 0][0, 1] =
= [в„ 0] + [и2 ¦ 0 — 0 • 1, и, • 1 + 0 • 0] =
= I"i, 0] -j- [О, U2] = [«!, И2].
Теорема 301 делает излишним употребление символа
[ ]. Комплексные числа—это числа и, -\-u%i, где ах и и2
вещественны; равным, соответственно различным парам
«j, м2 соответствуют равные, соответственно различные
числа, и сумма, разность, произведение двух комплексных
чисел и1 -f- и2г, в, -j- в2! (где й,, и2, Wj, wa веще-
вещественны) образуются по формулам
+ «»0 = («1 + *i) + («2 + «») '#
(в, -f- и8!) — (t», + t»a/) = (и, — vj + (и2 - «a) i,
(«! -f- ма j) (г>, + г»20 = (м,-о, — u2v2) + («t^a + M2u
При этом нужно запомнить даже не сами эти формулы,
а только то, что вычисления с комплексными числами
подчиняются тем же законам, что и вычисления с ве-
вещественными числами, причем, кроме того, имеет место
теорема 300; тогда указанные выше формулы для
суммы, разности и произведения двух комплексных чи-
чисел получаются следующим простым вычислением:
(и, + иа0 + Oi + V)
(и, + и2 ¦) — (>! -j- г>2':) = ("i — wt) -Ь (; — »a0 =
= (hi—
(«i + "a0 (""i + wa0 =
i 4-
xi 4- и^а' -j- и3г;2 ( — 1) =
= («!-»! — и2) 4- (M^g 4- «а1»!) г.

182 Глава 5
Что касается деления, то в предположении, что v^
и г>2 не оба равны нулю, вычисление дает следующее
каноническое, в смысле теоремы 301, представление част-
частного двух комплексных чисел:
щ -\- и4 (й) -f- u2i) (Vj — гу)
4-
| — (Ы-ft/g) 4- И^

ОПЕЧАТКИ
Стр.
54
73
76
|49
10
8
6
1
Строка
сверху
сверху
снизу
снизу
Напечатано
<
отиосительо
число
Должно быть
>
относительно
нижнее число
151[91
749.