Автор: Ландау Э.
Теги: дифференциальное исчисление высшая математика интегральное исчисления
Год: 1947
Текст
Эдмунд Ландау
ОСНОВЫ АНАЛИЗА
Действия над целыми,
рациональными, иррациональными,
комплексными числами
ДОПОЛНЕНИЕ К УЧЕБНИКАМ
ПО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ И ИНТЕГРАЛЬНОМУ
ИСЧИСЛЕНИЮ
Перевод с немецкого
д. а. Райкова
1947
Государственное издательство
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУР
Москва
Задачи книги ясно изложены автором; она может
быть интересна преподавателям и изучающим высшую
математику, желающим глубже познакомиться с ее
логическими основами. Несколько позднее Э. Ландау,
вынужденный, как еврей, эмигрировать из Германии,
издал в Голландии учебник дифференциального и ин-
тегрального исчисления, отвечающий его повышенным
требованиям к математической строгости изложения.
Учебник этот будет издан Госиноиздатом. Настоящая
книга должна рассматриваться как необходимая вводная
часть этого учебника.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧАЩЕГОСЯ............... 7
ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ ЗНАТОКА................. 9
Глава 1
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. АКСИОМЫ....................... 17
§ 2. СЛОЖЕНИЕ.......................... 19
§ 3. ПОРЯДОК........................... 26
§ 4. УМНОЖЕНИЕ......................... 33
Глава 2
ДРОБИ
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ. . . 39
§ 2. ПОРЯДОК...................... 40
§ 3. СЛОЖЕНИЕ..................... 46
§ 4. УМНОЖЕНИЕ.................... 52
§ 5. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА 57
Глава 3
СЕЧЕНИЯ
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ....................... 68
§ 2. ПОРЯДОК........................... 70
§ 3. СЛОЖЕНИЕ.......................... 73
§ 4. УМНОЖЕНИЕ......................... 81
§ 5. РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕЧЕНИЯ И ЦЕЛЫЕ СЕ-
ЧЕНИЯ .............................. 90
6
Оглавление
Стр.
Глава 4
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ...............101
§ 2. ПОРЯДОК ..................102
§ 3. СЛОЖЕНИЕ..................188
§ 4. УМНОЖЕНИЕ ................119
§ 5. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ДЕДЕКИНДА .... 125
Глава 5
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ...............129
§ 2. СЛОЖЕНИЕ..................130
§ 3. УМНОЖЕНИЕ................133
§ 4. ВЫЧИТАНИЕ.................138
§ 5. ДЕЛЕНИЕ...................140
§ 6. СОПРЯЖЕННЫЕ ЧИСЛА........145
§ 7. АБСОЛЮТНОЕ ЗНАЧЕНИЕ.......147
§ 8. СУММЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ......152
§ 9. СТЕПЕНИ...................172
§ 10. ВКЛЮЧЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ . . 178
Предисловие для учащегося
1. Прошу не читать помещенного дальше предисло-
вия для знатока!
2. Я предполагаю лишь владение логическим мышле-
нием и языком; ничего — из школьной или, тем более,
высшей математики.
Чтобы предупредить возражения: одно число, ни одного
числа, два случая, все вещи из заданной совокупности
и т. п., все это — ясные языковые словообразования.
Теорема 1, теорема 2, ..., теорема 301 (и аналогично
для аксиом, определений, глав, параграфов) или 1), 2)
и т. п. при разбиениях на случаи — просто знаки, отли-
чающие друг от друга теоремы, аксиомы, ....случаи
и более удобные при ссылках, чем если бы я, скажем,
говорил светлосиняя теорема, темносиняя теорема и т. п.
Введение так называемых положительных целых чисел
только до „301“ вообще не представило бы никакого
труда; первая — преодолеваемая в главе 1 — трудность
лежит в совокупности положительных целых чисел
1, ...
с таинственным многоточием за запятой (называемых
в главе 1 натуральными числами), в определении дей-
ствий, которые можно над ними производить, и в дока-
зательствах относящихся сюда теорем.
Я последовательно излагаю все необходимое в главе 1 —
для натуральных чисел, в главе 2 — для положительных
дробей и положительных рациональных чисел, в главе 3—-
8
Предисловие
для положительных (рациональных и иррациональных)
чисел, в главе 4 — для вещественных чисел (положи-
тельных, отрицательных и нуля), в главе 5 — для ком-
плексных чисел; таким образом я говорю лишь о таких
числах, с которыми ты встречался еще в школе.
В этом смысле:
3. Прошу — забудь все, чему ты учился в школе;
потому что ты этому не научился.
Прошу, однако, всюду вызывать в своем предста-
влении соответствующие разделы школьного курса; по-
тому что тебе все же не следует его забывать.
4. Никакой таблицы умножения, даже теоремы
2.2 = 4,
я не даю; однако, я рекомендую тебе, в качестве
упражнения к главе 1, § 4, определить
2 = l-f-t,
4 = ((1 + 1)4 1)41
и доказать указанную теорему.
Эдмунд Ландау
Берлин, 28 декабря 1929 г.
Предисловие для знатока
Эта книжечка является уступкой коллегам (к сожа-
лению, составляющим большинство), не разделяющим*
мою точку зрения на следующие вопросы.
В то время как в школе, разумеется, приходится
отказаться от строгого построения элементарной мате-
матики без всяких пробелов, математическое препода-
вание в высшей школе должно знакомить слушателя
не только с материалом и результатами, но и с мето-
дами доказательств. Даже тот, кто изучает математику
главным образом ради ее приложений к физике или
другим наукам и кто поэтому часто вынужден само-
стоятельно разбираться в новом математическом мате-
риале, может лишь тогда уверенно сойти с протоптан-
ной тропы, когда он научился ходить, т. е. различать
неверное от верного, предположения от доказательств
(или, как некоторые изящно говорят, — нестрогие
доказательства от строгих).
Поэтому я — в согласии с некоторыми моими учите-
лями и коллегами, с некоторыми авторами, из трудов
которых я черпал, и с большинством моих учеников —
считал правильным, чтобы студент уже в первом семестре
узнавал, на каких основных фактах как на аксиомах можно
без пробелов построить анализ и как это построение
можно начать. При выборе аксиом, как известно, можно
поступать различным образом. Поэтому я считаю отнюдь
10
Предисловие
не неправильными, но лишь почти диаметрально противо-
положным моей личной точке зрения, когда для веще-
ственных чисел в качестве аксиом постулируют много-
численные обычные законы действий и основную теорему
Дедекинда (теорему 205 этой книжки). Разумеется,
я не доказываю непротиворечивости пяти аксиом Пеано
(по той причине, что этого сделать нельзя); однако,
каждая из них явно независима от предыдущих. С дру-
гой стороны, при указанном расширенном числе аксиом
учащемуся сразу навязывается вопрос, нельзя ли какие-
нибудь из них доказать (а хитрец добавил бы: или
опровергнуть) с помощью предшествующих; и так как
доказуемость всех этих вещей известна уже многие
десятилетия, то почему же не дать учащемуся уже
в самом начале ознакомиться с этими (всюду совер-
шенно простыми) доказательствами.
Я уже не буду подробно останавливаться на том, что
часто в основу не кладется даже основная теорема
Дедекинда (или равносильный ее суррогат при обосно-
вании вещественных чисел с помощью фундаментальных
последовательностей), так что такие вещи, как теорема
о среднем значении из дифференциального исчисления,
основывающаяся на ней теорема, что функция, произ-
водная которой на некотором интервале равна нулю,
постоянна в этом интервале, или, например, теорема,
что постоянно убывающая ограниченная последователь-
ность чисел стремится к некоторому пределу, — остаются
без всякого доказательства или же, что еще хуже,
снабжаются мнимыми доказательствами, ничего на самом
деле не доказывающими. Число представителей этой
крайней разновидности другой точки зрения кажется
мне не только монотонно убывающим, но и предел,
Предисловие
И
к которому по упомянутой выше теореме стремится это
число, повидимому, равен нулю.
Однако, с обоснования натуральных чисел начинают
лишь в редких случаях. Признаюсь, что и я издавна
придерживался построения теории вещественных чисел
по Дедекинду, но раньше свойства целых и рациональ-
ных чисел предполагал известными. Во всяком случае,
три последних раза я предпочел начинать с целых чисел.
Из них, правда, один раз, — и делаю это также в на-
ступающем летнем семестре, — в качестве уступки слу-
шателям, желающим только дифференцировать, а выясне-
нием понятия числа заняться не в первом семестре (если же
возможно,—то и вообще никогда), я разбил мои лекции
на две параллельно читаемые части, одну из которых
назвал „основами анализа". В этой части, отправляясь
от пеановских аксиом для натуральных чисел, я дохожу
до теории вещественных и комплексных чисел; правда,
в первом семестре комплексные числа слушателям еще
не нужны; однако, введение их после всего предше-
ствующего столь просто, что никого не затруднит.
Но во всей математической литературе нет никакого
учебника, который имел бы своей целью обосновать
в указанном выше смысле только действия над числами.
И даже в объемистых руководствах, где этому посвя-
щены вводные главы, слишком многое оставляется
(сознательно или бессознательно) на долю читателя.
Эта книжка дает возможность каждому коллеге,
придерживающемуся другого педагогического направле-
ния и, значит, не входящему в изложение основ,
по крайней мере сослаться (если он сочтет ее пригод-
ной для этой цели) на источник, где все недостающее
и только недостающее изложено в связном виде и без
12
Предисловие
пробелов. Чтение ее не представит труда для того,
кто — как это предполагается — знаком с излагае-
мыми результатами по школьному курсу и пре-
одолел уже первые абстрактные четыре или пять
страниц.
Я выпускаю эту книжку в свет с некоторым коле-
банием, так как тем самым выступаю в такой области, где
(за исключением одного устного сообщения д-ра Каль-
мара (Kalmar)) ничего нового сообщить не имею; но ведь
никто другой этого моего, частью скучного, труда
не проделал.
Однако окончательный толчок этому „бегству в глас-
ность“ дал следующий случай.
Представители другого направления всегда думают,
что в процессе дальнейшей учебы учащийся сможет
познакомиться с интересующим нас здесь предметом
по запискам лекций или литературе. И ни один из этих
моих уважаемых друзей и врагов не усомнился бы
в том, что, например, в моих лекциях найдется все необ-
ходимое. Я также верил в это. И вот приключилось
со мной следующее ужасное происшествие. Мой тогдаш-
ний ассистент и любезный коллега приват-доцент
д-р Грандйо (Grandjot) (ныне профессор универси-
тета в Сант-Яго) читал по моим запискам основы анализа
и отдал мне мою рукопись с замечанием, что он счел
необходимым присоединить к аксиомам Пеано в даль-
нейшем еще другие, поскольку на обычном пути, кото-
рому я следовал, обнаружился некоторый пробел.
Прежде чем входить в подробности, укажу, предвосхи-
щая дальнейшее, что:
1. Возражение, которое сделал Грандйо, было обос-
нованным.
Предисловие
13
2. Аксиомы, которые нельзя перечислить в самом
начале (поскольку они опираются на последующие
понятия), весьма нежелательны.
3. Все аксиомы Грандйо (как можно было бы узнать,
уже изучая Дедекинда) доказуемы, так что достаточно
(см. все дальнейшее изложение) одних аксиом Пеано.
Возражение захватывает три пункта:
I. Определение х-\-у для натуральных чисел.
II. Определение х • у для натуральных чисел.
т т
III. Определение 2 х» и Uxn> когда в какой-нибудь
п = 1 п = 1
числовой области уже имеются х и х • у.
Так как для всех трех случаев дело обстоит ана-
логично, то я буду говорить здесь только об х -j- у
для натуральных чисел х, у. Когда я, скажем, в лекции
по теории чисел доказываю какую-нибудь теорему
о натуральных числах, устанавливая ее справедливость
сначала для 1, а затем выводя из ее справедливости
для х справедливость для х-j-l, то обычно какой-
нибудь слушатель выдвигает возражение, что я ведь
совсем не доказал предварительно утверждение для х.
Это возражение не обосновано, но извинительно;
студент никогда не слыхал об аксиоме индукции. Воз-
ражение Грандйо звучало похоже, с тем, однако, раз-
личием, что оно было обосновано, так что я и его
должен был извинить. Основываясь на своих пяти
аксиомах, Пеано определяет ху при фиксированных
х и у следующим образом:
X —J— 1 = х',
х+у’ = (х+у)';
как он, так и его последователи думали, что этим
дано общее определение х-{-у, поскольку множество
14
Предисловие
тех у, для которых х -[-у определено, содержит 1
и вместе с у также у'.
Но ведь х-р-у, стоящее во втором равенстве в скоб-
ках, не было еще определено.
Дело обстояло бы благополучно, если бы мы (чего-
на пеановском пути нет, поскольку порядок вводится
лишь после сложения) имели понятие „числа
и говорили о множестве тех у, для которых суще-
ствует /(г), определенное для z и обладающее
свойствами
/(1) = л
/(г')=(/(г))' при z <у.
Таково обоснование, предложенное Дедекиндом. При.
дружеской помощи моего коллеги фон Неймана (von Neu-
mann) из Принстона я, введя предварительно порядок,
(что представило бы для читателя неудобство), разра-
ботал для этой книжки такой путь. Однако, в послед-
ний момент я узнал от д-ра Кальмара из Сегеда зна-
чительно более простое доказательство; теперь дело
выглядит столь просто и доказательство столь сходно
с остальными доказательствами из первой главы, что
даже знаток не заметил бы этого пункта, если бы я
так подробно не запротоколировал своего признания
в вине и искуплении. С х у дело обстоит совершенно
Я» W1
так же; определение и правда, возможно
п = 1 п — 1
только на дедекиндовском пути; однако, начиная с § 3
главы 1, мы уже имеем множество чисел
Чтобы по возможности облегчить труд читателю,,
я некоторые (не очень объемистые) множества слов по-
вторял в нескольких или всех главах. Разумеется,
Предисловие для знатока
Эта книжечка является уступкой коллегам (к сожа-
лению, составляющим большинство), не разделяющим-
мою точку зрения на следующие вопросы.
В то время как в школе, разумеется, приходится
отказаться от строгого построения элементарной мате-
матики без всяких пробелов, математическое препода-
вание в высшей школе должно знакомить слушателя
не только с материалом и результатами, но и с мето-
дами доказательств. Даже тот, кто изучает математику
главным образом ради ее приложений к физике или
другим наукам и кто поэтому часто вынужден само-
стоятельно разбираться в новом математическом мате-
риале, может лишь тогда уверенно сойти с протоптан-
ной тропы, когда он научился ходить, т. е. различать
неверное от верного, предположения от доказательств
(или, как некоторые изящно говорят,—нестрогие
доказательства от строгих).
Поэтому я — в согласии с некоторыми моими учите-
лями и коллегами, с некоторыми авторами, из трудов
которых я черпал, и с большинством моих учеников —
считал правильным, чтобы студент уже в первом семестре
узнавал, на каких основных фактах как на аксиомах можно
без пробелов построить анализ и как это построение
можно начать. При выборе аксиом, как известно, можно
поступать различным образом. Поэтому я считаю отнюдь
16
Предисловие
Если же тому или иному коллеге другого направле-
ния весь этот материал покажется даже настолько про-
стым, что он включит его в свои лекции для начинаю-
щих (придерживаясь предлагаемого мною или какого-
либо иного пути изложения), то этим я достигну
всего, на что только мог осмелиться.
ЭДМУНД ЛАНДАУ
Берлин, 28 сентября 1929 г.
Глава 1
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. АКСИОМЫ
Мы считаем заданным:
некоторое множество, т. е. совокупность вещей,
называемых натуральными числами, с перечисляемыми
ниже свойствами, называемыми аксиомами.
Предпошлем формулировке аксиом несколько заме-
чаний, относящихся к употребляемым нами символам
“ и ф.
Строчные латинские буквы обозначают в этой книге
всюду, где не оговорено противное, натуральные числа.
Если задано х и задано у, то
либо х и у — одно и то же число; это можно запи-
сать также в виде
х=у
(= читается: равно);
либо х и у — не одно и то же число; это можно
записать также в виде
(ф читается: не равно).
Отсюда чисто логически вытекает:
1) х — х
для каждого X.
2) Из
X — у
следует
у — X.
3) Из
х — у, у = г
следует
х — г.
Таким образом, запись вида
а = Ь = с == d,
2 Золе. 749. Э. Ландау.
18
Глава 1
под которой непосредствечно подразумевается лишь,
что
а = b, Ь = с, с = d,
означает, кроме того, что, напри лер,
а ~ с, a = d, b — d.
(Соответствующие замечания относятся и к аналогич-
ны*м записям в последующих главах.)
Мы принимаем теперь, что множество натуральных
чисел обладает следующими свойствами:
Аксиома 1. 1 есть натуральное число.
Т. е. наше множество не пусто; оно содержит вещь,
именуемую 1 (читается: единица).
Аксиома 2. Для каждого х имеется точно одно
нгтуральное число, называемое его последующим и
обозначаемое х'.
При записи последующих для чисел х, заданных не
в виде одной буквы, мы будем, во избежание путаницы,
заключать последние в скобки. Аналогично мы будем
поступать во’ всей книге и при записи выражений
x-j-y, ху, х—у, —X, ХУ и т. п.
Из
X — у
следует также
х' —у'.
Аксиома 3. Всегда
х'ф1.
Т. е. 1 не служит последующим пи для какого числа.
Аксиома 4. Из
х' = у'
следует
х—у.
свойствами.:
1) 1 принадлежит множеству 3)1.
2) Если х принадлежит ЗД, то и х' принадлежит
331.
Тогда 3R содержит все натуральные числа.
§ 2. СЛОЖЕНИЕ
Теорема 1. Из
хфу
следует
х' фу’
Доказательство. В противном случае мы имели
бы
х' = у'
и, следовательно, по аксиоме 4,
х = у.
Теорема 2. х ф х.
Доказательство. Пусть 331—множество тех х,
для которых это утверждение справедливо.
I) По аксиоме 1 и аксиоме 3,
1'^1;
следовательно, 1 принадлежит множеству 33£.
II) Если х принадлежит 2)1, то
х' ф х,
следовательно, по теореме 1,
(*')' ф х',
значит, х' также принадлежит 9JL
2*
20
Глава 1
В силу аксиомы 5, 3R содержит тогда все натураль-
ные числа, т. е. для каждого х имеем
х' ф х.
Теорема 3. Если
хф I,
то существует (и притом, по аксиоме 4, только одно)
и такое, кто
х = и’.
Доказательство. Пусть 2)1 — множество, состоя-
щее из 1 и тех х, для которых существует и, обла-
дающее указанным свойством. По аксиоме 3, каждое
такое
х ф 1.
1) 1 принадлежит множеству SDi.
II) Если х принадлежит 2R, то, понимая под и число
х, имеем
х' = и',
так что и х' принадлежит 2К.
В силу аксиомы 5, SOi содержит тогда все натураль-
ные числа; таким образом, для каждого
хф 1
существует и такое, что
х — и'.
Теорема 4, одновременно Определение 1. Каждой
паре натуральных кисел х, у можно, и притом лишь
единственным образом, отнести натуральное число,
обозначаемое x-f-y (-}- читается: плюс), так, чтобы:
1) х-|- 1 =х' для каждого х,
2) х фу' = (х-|-у)' для каждого х и каждого у.
хфу называется суммой чисел х и у или числом,
получающимся путем прибавления у к х.
Натуральные числа
21
Доказательство. А) Покажем сначала, что если
при фиксированном х можно определить х-^-у для
всех у так, чтобы
X 1 = х'
и
х-]-у' = (х-\-у)' для каждого у,
то этими условиями х-\-у определяется однозначно.
Пусть ау и Ьу определены для всех у и таковы, что
а1=х', bt=x',
ау/ = (av)', by/ = (Ьу)' для каждого у.
Пусть 2Я — множество тех у, для которых
ау =
I) = х' — Ьц
следовательно, 1 принадлежит множеству 2Ji.
П) Если у принадлежит то
ау ~ by'
следовательно, по аксиоме 2,
(ау) == (Ру) >
значит
ву' = (ау) ~ (Ру) = ^У'
и, таким образом, у' также принадлежит 2R.
Поэтому 9R есть множество всех натуральных чисел,
т. е.
ау^Ьу
для каждого у.
В) Покажем теперь, что для каждого X действительно
возможно определить х -j-у для всех у так, чтобы
*+1 = х'
и
X +/ = (*+ уУ для каждого у.
Пусть 9R—множество тех х, для которых такая
возможность .(притом, в силу А, только одна) имеется,
22
Глава 1
I) При
Х = 1
требуемыми свойствами обладает
х-\-у = у'.
Действительно,
х-ф- 1 = Г == х',
х+у =0')' = (^+уУ-
Следовательно, 1 принадлежит множеству 98.
II) Пусть х принадлежит 28, так что х-ф-у опреде-
лено для всех у. Тогда
х'+Д = (* + .?)'
дает требуемую сумму для х'. Действительно,
х' + 1=(х+1)' = (х')'
X' + У1 = (X + у'У = ((х -4- уУУ ==(х' -4- у)'.
Следовательно, и х' принадлежит 28.
Поэтому 9)1 содержит все х.
Теорема 5 (закон ассоциативности сложения).
(* + у)4-? = х4-(у4-4
Доказательство. Пусть х и у фиксированы, и
28—множество тех z, для которых верно утверждение
теоремы.
О (^+^) + 1 = (х-4-у)' = х-]-У =х + (^4-1),
следовательно, 1 принадлежит множеству 28.
II) Пусть z принадлежит 28. Тогда
(X Ц-у) Ц- z = х -ф- (у -4- г).
следовательно,
(х Ц-у) 4- zr = ((х -4-у) -4- г)' = (х -ф- (у -4- г))' =
= х~г (У 4-г)' = х -4- (у + г'),
так что и г’ принадлежит 98.
Натуральные числа
43
Тем самым утверждение теоремы справедливо для
всех z.
Теорема 6 (закон коммутативности сложения).
х-\-у=у-\-х.
Доказательство. Пусть у фиксировано и 3)1—
множество тех х, для которых верно утверждение тео-
ремы.
I) Имеем
с другой стороны, по построению, проведенному при
доказательстве теоремы 4,
1 +у=у'-
Следовательно,
1 +у=*у+ 1»
так что 1 принадлежит множеству 2JJ.
II) Если х принадлежит 2JJ, то
и, следовательно,
(х 4~уУ = (у + х)' =у -|- х'.
Но по построению, проведенному при доказательстве
теоремы 4,
x'+j/ = (x+_y)'.
Следовательно,
х' 4- у = у 4- х',
так что и х' принадлежит 5)L
Тем самым утверждение теоремы справедливо для
всех х.
Теорема 7.
уфх-\-у.
Доказательство. Пусть х фиксировано и 2JJ —
множество тех у, для которых верно утверждение тео-
ремы.
24__________________Глава 1___________________
I)
1 Ф х',
1 ф х 1;
следовательно, 1 принадлежит множеству 2R.
II) Если у принадлежит 2)i, то
уфхфу,
следовательно,
у'Ф(*ФуУ,
У Фх + />
так что и у' принадлежит Ши
Тем самым утверждение теоремы справедливо для
всех у.
Теорема 8. Из
Уфг
следует
X ф уф X Z.
Доказательство. Пусть у, z— фиксированные
числа такие, что
УФ^.
и 2R—множество тех х, для которых
X ф у фХ ф Z.
I) у'фф
1фуфХфг-
следовательно, 1 принадлежит множеству 9JL
II) Если х принадлежит 2JJ, то
хфуфх ф-г,
следовательно,
(* + УУ Ф(х + г)',
х' ф у фх' фг,
так что и х’ принадлежит
Натуральные числа
25
Тем самым утверждение теоремы справедливо при
всех х, у, г.
Теорема 9. Для любых заданных х и у имеет
место один и только один из следующих трех слу-
чаев:
1) х=у.
2) Существует (и, значит, по теореме 8, — только
одно) и такое, что
х~у и.
3) Существует (и, значит, по теореме 8, — только
одно) v такое, что
у = х V.
Доказательство. А) По теореме 7, случаи 1),
2), равно как и случаи 1), 3), несовместимы. Из тео-
ремы 7 следует также несовместимость случаев 2), 3);
действительно, в противном случае мы имели бы
х = у + и = (х 4- « == х + + «) = (у + и) + X.
Таким образом, может иметь место, самое большее,
лишь один из случаев 1), 2), 3).
В) Пусть х фиксировано и — множество тех у,
для которых имеет место один (и, значит, в силу А, —
только один) из случаев 1), 2), 3).
I) При у=1 имеем, в силу теоремы 3, либо
х = \=у (случай 1)),
либо
х = и' = 1 и —у « (случай 2)).
Поэтому 1 принадлежит множеству 2)t.
II) Пусть у принадлежит 2JL Тогда
либо (случай 1) для у}
х=У,
и, следовательно,
у' =у 4- 1 = х 4- 1 (случай 3) для у');
26
Глава 1
либо (случай 2) для у)
х = у Ц- и
и, следовательно, если
и = 1,
то
х —у -j- 1 =-у’ (случай 1) для У);
а если
и Ф 1»
то, по теореме 3,
и = и/ == 1 -J- w,
и
X — У + (1 + w) = (у -[- 1) 4- w —у' 4- W
(случай 2) Для У);
либо (случай 3) для у)
у = х-4
и, следовательно,
у' = (х 4- VY — х v' (случай-3) для У).
Таким образом, во всех случаях у' также принадле-
жит 2JJ.
Поэтому всегда имеет место один из случаев 1), 2), 3).
§ 3. ПОРЯДОК
Определение 2. Если
X— уфи,
то
х~> У
(> читается: больше).
Определение 3. Если
y=x-}-v,
то
х < у
(< читается: меньше).
Натуральные числа
27
Теорема 10. Для любых чисел х и у имеет место
один и только один из следующих трех случаев'.
Х—у, X > V, X < у.
Доказательство: теорема 9, определение 2 и
определение 3.
Теорема 11. Из
х> у
следует
у<х.
Доказательство. И то, и другое означает суще -
ствование такого и, что
х=у±и.
Теорема 12. Из
х <у
следует
v > х.
Доказательство. И то, и другое означает суще-
ствование такого v, что
y = XJrV.
Определение 4.
х^у-у
означает
х>у или х—у
читается: больше или равно).
Определение 5.
х у
означает
х <_у или х = у
(<С читается: меньше или равно).
Теорема 13. Из
*>У
28
Глава 1
следует
У<х.
Доказательство: теорема 11.
Теорема 14, Из
х -•i' y
следует
У^-х.
Доказательство: теорема 12.
Теорема 15 (транзитивность порядка). Из
х <_у, у<г
следует
х <_z.
Предварительное замечание. Из
х > у, у~> г,
следует также (так как
z <У> У<х,
г<х)
х>г\
однако, подобные предложения, тривиально получаю-
щиеся чтением в обратном порядке, я в дальнейшем
специально формулировать не буду.
Доказательство. Существуют такие v, и>, что
y = x-\-v, z=y-\-'w,
следовательно,
г =• (хv)-j-zu = х (v-i~ w),
X<Zz.
Теорема 16. Из
x^.y, y<z или x<y, y<z
.следует
x <Z z.
Натуральные числа
29
Доказательство. В случае знака равенства
в предположении — ясно; в противном случае — уже
установлено теоремой 15.
Теорема 17. Из
х ^у, xy^z
следует
x<z.
Доказательство. В случае двух знаков равен-
ства в предположении — ясно; в противном случае —
уже установлено теоремой 16.
Теоремами 15—-17 оправдывается законность записи
вида
а< c<d;
непосредственно эта запись означает лишь, что
а</>, b c<^d,
но, в силу указанных теорем, она включает также,
например, неравенства
а < с, а < d, b<d.
(Соответствующие замечания относятся и к аналогич-
ным записям в последующих главах.)
Теорема 18.
х-\-у>х.
Доказательство: х -j-y = х -j- у.
Теорема 19. Из
х>у, соотв. х—у, соотв. х <у
следует
х z > у г, соотв. х-{- г =у -\-z,
соотв. х г <у -L z.
Доказательство. 1)Из
х
30
ГЛава 1
следует
X =у м>
х 4- г — (у 4- м) ~Ь г ~ (и 4~ j) Ч~г = м4'0/_Ьг) =
= О'+г) + «,
х -j- z >у -j- z.
2) Из
х = у,
разумеется, следует
х z — У + z.
3) Из
х<у
следует
У>х
и, значит, в силу 1),
у -f- z > х -|- z,
* + z<y -j-z.
Теорема 20. Из
х Ц- zy>y -|- z, соотв. x-\-z=y-j- z,
соотв. х Ц- z <Zy -J- z
следует
х~^>у, соотв. х = у, соотв. х<у.
Доказательство. Следует из теоремы 19, по-
скольку три случая оба раза взаимно исключают друг
друга и в совокупности исчерпывают все возможности.
Теорема 21. Из
х > у, г~^ и
следует
х~\-г> у-}-и.
Доказательство. По теореме 19,
х -\-г >_у
Натуральные числа
31
и
у Ц- г = z 4-j> > и 4- у = y-j- и,
следовательно,
х±г >^ + «-
Теорема 22. Из
х ~^>у, г> и или х > у, z^u
следует
X 4- z > у 4-м.
Доказательство. Со знаками равенства в пред-
положении—уже установлено теоремой -19, в против-
ном случае — теоремой 21.
Теорема 23. Из
х> у. г '^- и
следует
х 4- z"^>y + «•
Доказательство. С двумя знаками равенства
в предположении — ясно; в противном случае — уже
установлено теоремой 22.
Теорема 24.
х > 1.
Доказательство. Либо
х — 1,
либо
х — и' = и -j- 1 > 1 .
Теорема 25. Из
у> х
следует
У>х + 1.
Доказательство.
У = х-\- и,
и 1,
32
Глава 1
следовательно,
Теорема 26. Из
следует
У<х.
Доказательство. В противном случае мы
имели бы
У>х,
откуда, по теореме 25, следовало бы
У>* + 1-
Теорема 27. В каждом непустом множестве нату-
ральных чисел имеется наименьшее число (т. е. мень-
шее любого другого возможного числа того же мно-
жества).
Доказательство. Пусть 31 — заданное множе-
ство и — множество тех х, которые каждого
числа из 31.
1 принадлежит множеству ЭЛ по теореме 24. С дру-
гой стороны, не каждое х принадлежит этому мно-
жеству; действительно, для каждого у из 31 число
у -J- 1 не принадлежит 2JJ, поскольку
У + 1 >У-
Следовательно, в ЭХ существует такое т, что т 1
не принадлежит ЭЛ; действительно, в противном слу-
чае, в силу аксиомы 5, каждое натуральное число
принадлежало бы множеству ЭХ.
Я утверждаю, что это т каждого п из 31 и при-
надлежит Э1. Первое следует из самого определения
множества ЭЛ. Второе доказывается от противного так:
если бы т не принадлежало Э1, то для каждого и из
Л мы имели бы
т < п,
Натуральные числа
33
и, следовательно, по теореме 25,
т 1 < п;
таким образом, т -|-1 также принадлежало бы мно-
жеству в противоречие со сказанным выше.
§ 4. УМНОЖЕНИЕ
Теорема 28, одновременно Определение 6. Ка-
ждой паре натуральных чисел х, у можно, и притом
лишь единственным образом, отнести натуральное
число, обозначаемое х-у (•читается: раз; впрочем,
точку большей частью не пишут), так, чтобы
1) х- 1 =х для каждого х,
2) х • у' — х -у.-J- х для каждого х и каждого у.
х • у называется произведением х на у или числом,
получающимся от умножения х на у.
Доказательство (mutatis mutandis, дословно
совпадающее с доказательством теоремы 4). А) Пока-
жем сначала, что если при фиксированном х можно
определить ху для всех у так, чтобы
х • 1 — х
и
ху' = ху -J- х для каждого у,
то этими условиями ху определяется однозначно.
Пусть ау и Ьу определены для всех у и таковы,
чго
ах = х, bi — х,
ауг = ау-\- х, Ьуг — Ьу \-х для каждого у.
Пусть 2R — множество тех у, для которых
ау ~ &у-
I) ау = х~Ьу,
следовательно, 1 принадлежит множеству 2R.
3 Зак. 749. Э. Ландау.
34
Глава 1
II) Если у принадлежит 2)1, то
ау Ьу>
следовательно,
«у' == ау + х = bv + х = ЬУ'>
и, значит, у' также принадлежит ЭК.
Поэтому ЭЛ есть множество всех натуральных чисел;
т. е.
ау^Ьу
для каждого у.
В) Покажем теперь, что Для каждого х действи-
тельно возможно определить ху для всех у так, чтобы
X • 1 *= X
и
ху' ~ Ху - х для каждого у.
Пусть ЭЛ — множество тех х, для которых такая
возможность (и притом, в силу А,—только одна)
имеется.
I) При
х = 1
требуемыми свойствами обладает
ху=у.
Действительно,
X • 1 = 1 = X,
ху' =у' = у + 1 = ху + х.
Следовательно, 1 принадлежит множеству ЭК.
11) Пусть х принадлежит ЭК так, что для всякого у
определено некоторое ху. Тогда
х'у = ху + у
дает требуемое произведение для х'. Действительно,
х' • 1 = х 1 1 = х 1 = х'
Натуральные числа
35
и
х'у' = ху' -f-y' = (ху + х) + у = ху + (х + у') =
= ху (х + у)' = ху (х' У) = ху (у X
= (ху + У) + х' = х'у + х'.
Следовательно, и х' принадлежит 2N.
Поэтому содержит все х.
Теорема 29 (закон коммутативности умножения).
ху = ух.
Доказательство. Пусть, при фиксированному,
2R — множество тех х, для которых верно утвержде-
ние теоремы.
I) Имеем
у • 1 = у;
с другой стороны, по построению, проведенному при
доказательстве теоремы 28,
1 -у = у.
Следовательно,
1 -у =у . 1,
так что 1 принадлежит множеству ЗЛ.
II) Если х принадлежит ЗЛ, то
ху —ух,
и, следовательно,
xy-J-y =ух у у = ух'.
Но по построению, проведенному при доказательстве
теоремы 28,
х'у = ху у.
Следовательно,
х'у —ух',
так что и х' принадлежит 2Л.
Тем самым утверждение теоремы справедливо для
всех х.
3*
36
Глава 1
Теорема 30 (закон дистрибутивности).
х (У + г) = ху xz.
Предварительное замечание. Формулу
(у г) X = ух Ц- zx,
йытекакиЦую из теорем 30 и 29, и ей подобные в даль-
нейшем мы не считаем нужным формулировать в виде
специальных теорем или даже особо отмечать.
Доказательство. Пусть, при фиксированных
X и у, 2)1 — множество тех г, для которых верно
утверждение теоремы.
I) х{у \) — ху' — ху Ц-х = ху-|-х • 1;
следовательно, 1 принадлежит множеству
II) Если z принадлежит 2R, то
х (У + — ХУ + хг>
следовательно,
х(У + *') = х((У + *)') = Х(У + *) + х =
= {ху хг)~\~х 5= ху 4- (хг-|-х) = ху хг',
так что и z принадлежит 9Л.
Поэтому утверждение теоремы справедливо для всех
X, у И Z.
Теорема 31 (закон ассоциативности умножения).
{xy)z = x{yz).
Доказательство. Пусть, при фиксированных х
и у, SDJ— множество тех г, для которых верно утвер-
ждение теоремы.
I) {ху)-1=ху = х {у 1);
следовательно, 1 принадлежит множеству SDL
II) Пусть z принадлежит SK. Тогда
{xy)z = x{yz),
Натуральные числа
37
следовательно, применяя теорему 30, имеем:
(xy)z' = (ху) z-\-xy = x (у г) ху = х (уг-\-у) =•
= x(yz'),
так что и z принадлежит 9)1.
Тем самым 9Й содержит все натуральные числа.
Теорема 32. Из
х>у, соотв. х—у, соотв. х<_у
следует
xz>yz, соотв. xz=yz, соотв. xz<_yz.
Доказательство. 1) Из
X > у
следует
X —у «,
xz = (_у-|- «) z== yz -j- «?> vz.
2) Из
x = _y,
разумеется, следует
xz = yz.
3) Из
x<y
следует
_у >х,
и, значит, в силу 1),
yz>xz,
xz < yz.
Теорема 33. Из
xz>yz, соотв. xz=yz, соотв. xz<^yz
следует
х)>у, соотв. х=у, соотв. х<_у.
Доказательство. Следует из теоремы 32, так
как три случая оба раза взаимно исключают друг друга
и в совокупности исчерпывают все возможности.
38
Глава I
Теорема 34. Из
х>у, z>u
следует
XZ > уи.
Доказательство. По теореме 32,
xz>yz
и
уг — ?у > иу == уи,
следовательно,
xz^>yu.
Теорема 35. Из
х^у, Z~y>U или Х~У>у, 2",У' и
следует
хг>уи.
Доказательство. Со знаками равенства в пред-
положении— уже установлено теоремой 32, в против-
ном случае — теоремой 34.
Теорема 36. Из
Х~^>у, z^ и
следует
XZ уи.
Доказательство. С двумя знаками равенства
в предположении — ясно; в противном случае — уже
установлено теоремой 35.
Глав а 2
ДРОБИ
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ
Определение 7. Под дробью ~ (читается: xt на х2)
понимают, пару натуральных чисел xt, х2 (в этом
их порядке).
Определение 8.
*2 Л
(~ читается: эквивалентно), если
Х1У-2 = У1Х2'
Теорема 37.
х2 Х2
Доказательство. xix2 — x1x2.
Теорема 38. Из
*2 У2
следует
У\~Л
У2 х2'
Доказательство. х1у2 — у1х2> следовательно,
У1Х2 ~ Х1У2-
Теорема 39. Из
*2 У2 ’ У2 ^2
следует
х2 ?2 '
40 Глава 2
Доказательство. =3’1x2, y^2~zly2, сле-
довательно,
(У1г2> = (У 1 xz) (^ьУа)-
Так как всегда
(ху) (ги) = X (у (zu)) = x(tyz)a) = х(и (уг)) ==
= (хи) (yz) = (хи) (zy),
то
(Х1У2)(У1^2) = (Х1*2)(У1У2)
И
СМ2) (г1К> = (У1У2) О1Х2) = 01*2) (.У1У2~)>
следовательно, по предыдущему,
(х1*а) 01Л) = (гЛ) (jj'a).
В силу теорем 37—39, дроби распадаются на классы,
так, что
Х2 У2
xt
тогда и только тогда, когда — и — принадлежат од-
х2 У2
ному и тому же классу.
Теорема 40.
Х2 Х2Х
Доказательство. х{ (х2х) = х1 (хх2) — (хус) х2.
§ 2. ПОРЯДОК
Определение 9.
х2 Уг
(>читается: больше), если
Х1У2>У\.Х2-
Дроби
41
Определение 10. —
х3 Уз
(<читается: меньше), если
*1Л<Л*2-
Теорема 41. Для любых дробей —, — имеет место
•^2 У 2
один и только один из следующих трех случаев'.
^<-¥1
хз Уч ’ хз Уз' хг Уз
Доказательство. Для чисел xt, х2, yt, у2 имеет
место один и только один из случаев
Xj_y2 ~у,Х2, XLV2y>yrX2, Х{У2<^У1Х2'
Теорема 42. Из
£1>>1
х3 Уз
следует
Доказательство. Из
'ледует
_У1*2<*1.У2-
Теорема 43. Из
хз ^Уз
следует
Доказательство. Из
XbV2<^lX2
следует
у1х9>хьУа.
42
Глава 2
Теорема 44. Из
Хг У2 ’ Л-2 22 ’ «з
следует
*2 "«2 ‘
Предварительное замечание. Таким образом,
если одна дробь из некоторого класса больше какой-
нибудь дроби из другого класса, то это же имеет место
и для любой пары дробей, представляющих эти классы.
Док азательство.
71И2 = М1Л> ?1X2=X1Z2, Xty2 > у1Х2-
следовательно,
(УД) 01*2) = («1.У2) (х^),
значит, по теореме 32,
(_У1Х2) (г1К2) = (К1г2)(х^2) > (и^) (у^Д
и, значит, по теореме 33,
г1«2>«1г2.
Теорема 45. Из
-'2 Д'з’ *2 23’ >2 ~ «2
следует
£t < «1
Предваритель ное замечание.Таким образом,
если одна дробь из некоторого класса меньше какой-
нибудь дроби из другого класса, то это же имеет место
и для любой пары дробей, представляющих эти классы.
Доказательство. По теореме 43,
>1 ^£1 .
У 2 -*2 ’
так как
У2 ~ «2* X?
Дроби
43
то, следовательно, по теореме 44,
и, значит, по теореме
гЧ
42,
Z‘2 «2
Определение 11.
означает
*1
Хч
или
^^Уу
Хч Уч'
(>читается: больше или эквивалентно.)
Определение 12.
означает
Хч---Уч
Х1 У1 -»1 У1
— <— или ~ — — .
Х<> Уч -*2 Уч
("^читается: меньше или эквивалентно.)
Теорема 46. Из
следует
Хч z3
Уу~<Н
Уч ич
гч^Оч '
Доказательство. Со знаком > в предположении
это ясно из теоремы 44; в противном случае имеем
^2 -^2 У 2
Теорема 47. Из
^1<Уу
хЧг^~'Уч ' Хч Хч ’ J'2 U4
44
Глава 2
следует
•г2~«2 ’
Доказательство. Со
это ясно из теоремы 45; в
знаком < в предположении
противном случае имеем
£1 ~ £1 ~Ух ~ “t
Уз u2
Теорема 48. Из
следует
х2 —У г
У-г.'—X’i ’
Доказательство: теоремы 38 и 42.
Теорема 49. Из
следует
£i<>i
*2~>2
Доказательство: теоремы 38 и 43.
Теорема 50 (транзитивность порядка). Из
следует
’ >2^ Z‘i
Доказательство. хху%<ухх2, yxz2<z^,
следовательно,
(^ьУ2) 01*2) <0/2) OiM
(Xxz2) (уху^ < (z^ (У1;-2),
•^1^*2
Дроби
45
Теорема 51. Из
£1<Л или ^<->1 У1<г.1
х2~Уъ ' У2 'гг Хг''Уъ* у2 ~za
следует
zj
х2 z2 ’
Доказательство. При знаке эквивалентности
в предположении — уже установлено теоремой 45, в про-
тивном случае — теоремой 50.
Теорема 52. Из
следует
Ху^Уу
_y2~z2
fl<£i
Х2— *2 ’
Доказательство. При двух знаках эквивалент-
ности в предположении — уже установлено теоремой 39,
в противном случае—теоремой 51.
Теорема 53. Для каждой дроби — существует дробь
•^2
Доказательство:
—Г А1/ Л2 — A^Ag । ЛЛ1Л2>
*1 + Xi
х2 х2'
Теорема 54. Для каждой дроби — существует дробь
Л" о
*2 V
Доказательство. х1х2< j -x1x2=x1 (x2-j-xa),
*1 xt
x2 -J- x2 x2
Теорема 55. Если
Xy< Уу
x2 У 2 ’
46
Глава 2
. - z,
то существует дробь — такая, что
гч
^<•^1 <- -У1
Xi г2 _у2 ’
Доказательство. х1.У2<.у1Х2, следовательно,
XjX2-|-’НУг < xix2 УЛ, x1y2-^-yiy2<y1x2-]-y1y2,
*i (х2 +у2) < (%! х2, (Xj 4-<У1 (ха+У2\
*i <• xi+j'i Ух
Xi x2+j/2 у2
§ 3. СЛОЖЕНИЕ
Определение 13. Под (4~ читается: плюс)
понимают дробь —<2^^1Х2 .
х2у2
Она называется суммой дробей ~ и —или дробью,
Л?2 Уч
- - Vi Xi
получающейся путем приоавления — к —.
3^2 ^2
Теорема 56. Из
Xi__уу
Xi У2 , z2 U2
следует
I £i_ >1 । Щ
Х-> Ч Z2 _Г2 ”1" и2
Предварительное замечание. Таким обра-
зом, класс суммы зависит лишь от классов, которым
принадлежат „слагаемые11.
Доказательство xiy2~ylx2, zpu2 — uYz2, сле-
довательно,
(•^Л) (^2ч2) = (У Л) (^2«а)> (^i«a) (^2) = ("1^2) (^Уг)
Дроби
47
и, значит,
ЛМ2) (л«2> = 01«2) (*2ДЛ 01*2) (^2И2) = («1Л) (*2^)>
(*1*9) (Уя^Н 01*2) (Л«2) = СУ1«2) (*2?2) + (“1У2) (*2^2)«
(*1Д> + ^1*2)СУ2,г2) = 01И2 + «Л) (*2г2)1
•*1^2 4" ^1-^2 ~h
х2г2 >2^2
Теорема 57. +
Доказательство. По определению 13и теореме40
змеем
xt , х2 хгх + х2х (xt 4- х2) х ____xt4-x2
х * х хх ~ хх х '
Теорема 58 (закон коммутативности сложения).
*i । Л ~ Л । *i
*2 "Г >2 Уч Хч ’
Доказательство.
*! I У1 Х^уч +.У1*2 _У1Х2 Ч~ ХхУч У1 I _^1_
Хч ‘ у2 ХчУч У2Х4 У2 "Г’ Хч
Теорема 59 (закон ассоциативности сложения).
Доказательство.
Mi । I £1____________*i>2 +>1*2 1 2i_________
\ *2 •’ У2 / ’’ *2 ХчУч “T- x2 ~
( rL)'2 +^1*2) z2 21 (*2^2) _ ,((*1У2)^2 Д (У1*2)г?) 4~'г1(>'2*2\_ .
(X2j’2)X2 Хч(Уч2ч)
(^1(>2г2)+(*2Д/1)^+(г1.у2)х2. (х1СУ2га)+х2(у1г2))+(гьу2>хг
*2 (У2гй) *2 (>’2г2)
,-Г1(У2г2)Д((з/1га)х2+(гьу2)ха) xt (у2г2) + (ytx2 4- х2
*2 (УчЪ) ~ *2 (У2Ъ)
~ *1 ! У1^2 + *0'2 _ Д1 I М I _£1_\
*? ”• У2^2 ~ х2‘ Va ‘ 2-2 ) •
48
Глава 2
Теорема 60.
У1 | Л. £1
х-z Уз х2
Доказательство.
*112+11*2 >*1У2-
(Х^ 4" У1Х^ Х2 > (*11г) х2 = Х1 (У2Х2) = Xl (Х2 v2),
Д1 i 11*0'2 +У1хз > £1
х2 'I Уа ~ хгУа ха ’
Теорема 61. Из
li\li_
Ха у а
следует
11 i А > lk_L 1L
*2 '' г2 Уа г2 ’
Доказательство. Из
*112 > 11*2
следует
(х^^ХУ^г) *2-
Так как
(ху) z = x (yz) = х (zy) = (xz)y,
то, таким образом,
(*1^2)12 > СУ 1 *2) х2
и
(ZxX^y^tz^ х2,
следовательно,
(XjC'a х2) у2 > (У1^2 ^ьУг^ х2<
(xje2 4- ztx2) (v2?2) > (v^2 4- z1y2)(x2z2),
21
г2
xiza 4~ zixa •> У1га 4~ г1У2 У1 1 zi
xaza Уага У2 z2
Теорема 62. Из
X\ У1 x, y, 1'1
— > —, соотв. — ~ , соотв. —- < —
x2 У2 *a Уг x2 У2
Дроби
49
следует
Лы_Л >Л + Л;С00ОТЙ. +А
х2 z2 Уч z2 х2 z2 Уч z2
Xi , z. у, . Zi
соотв. — -I—- < — -4------ .
х2 1 *2 у2 ' z2
Доказательство. Первая часть совпадает с тео-
ремой 61, вторая содержится в теореме 56, а третья
следует из первой, так как
У1 xt
Уч Х2 ’
Л_|_Л. > xi । zt
Уч z2 х2 ' z2 *
Л । Л <• >1 I л
х2 "I" z2 у2 “Г z2 •
Теорема 63. Из
х. । Z1 У1 । Z1 xi , zi Vt , z,
— Ч—- > — Н—соотв. — -]—1 — । _±,
хч 1 z2 Уч 1 zz хч' «2 Уч ~ г2
следует
Х1
-*'1 , Zi . У, , Zi
соотв. — —1 < rLL J-!.
х2 z2 Уч z2
У1 А'1 yt
—, соотв. — — —
Уч Х2 Уч
соотв. — < —.
Х2 Уч
Доказательство. Следует из теоремы 62, поскольку
три случая оба раза взаимно исключают друг друга и
в совокупности исчерпывают все возможности.
Теорема 64. Из
Л > Л у Mi
ХЧ Уч ’ z2 и2
следует
xi । zt у yt 1 «1
хч' z2 Уч' «2 ‘
Доказательство. По теореме 61,
Х1 I ! zi
ХЧ* *2^ Уч ' z2
Зак. 749. Э. Ландау.
50
Глава 1
и
3'1 । z'z'- । -Vi Ц1 । 3'1 j'i । “1
3'2 । г2 z2 “Г у2 и2 “Г j-2 у2 ~Г и2 ’
следовательно,
х2 “Г z2 у2 ~Г и2 •
Теорема 65. Из
*i > 34 21>J£1
х2 3'2 ’ г2 н2 х2 3'2 ’ г2 к2
следует.
£j_i £1^34 I »1
х2 ' Zt! у2 "Т” и2
Доказательство. При знаке эквивалентности
в предположении следует из теорем 56 и 61, в про-
тивном случае — уже установлено теоремой 64.
Теорема 66. Из
£t_ > 3'1 Z1 у щ
х2 3'2 г2' и2
следует
У1 । 3'1 । ‘И
Х2 ' гг у2 ' и2 ‘
Доказательство. При двух знаках эквивалент-
ности в предположении—уже установлено теоремой 56,
в противном случае — теоремой 65.
Теорема 67. Если
У1 > 34
Х2 3’2 ’
то
34 1_Д1_ ^1
3’2 "Г" «2 Х2
- , их „ vt W,
обладает решением —1. Если —- и —1— решения, то
г и2 v2 w2 г
Vx Wi
~V2^ "i^4 ‘
Дроби
51
Предварительное замечание. При
*1
Л'2
У
У2
указанное соотношение, в силу теоремы 60, не имеет
решений.
Доказательство. Второе утверждение следует
непосредственно из теоремы 63; действительно, если
У1
Уз
vi
~ У 2 "Н ®2 ’
то, по указанной теореме,
vj w±_
»2 ®2
Существование решения ~ (первое утверждение)
устанавливается следующим образом. Имеем
x1y-i>ytx2.
Определим и из уравнения
и положим
Wj —— Ц *
Тогда дробь будет требуемым решением, так как
У1 , «I ~ ,1'1 I_« _ ,У\Х2 ,___и ~
Уз I" «2 ~ У1 •” Х^’2 Х2у2 ’ 1 Х2у2 ~
__У\Х2 4- и х^у2 Xi
Х3У2 Х2У2 Х2
Определение 14. Дробь построенную при дока-
зательстве теоремы 67, обозначают ------— (— чи-
z х2 у2 х
ч X] У<
тается; минус) и называют разностью — минус
х2 ' Уз
4*
52
Глава 2
или дробью, получающейся путем вычитания дроби
У1
У>.
из дроби —.
Из
£1 Ji . Vt
~ Уг "Г" v2
следует, таким образом,
vi______-ч 21
»2 ~ *2 У‘2 ‘
§ 4. УМНОЖЕНИЕ
Определение 15. Под (-читается: раз; впро-
чем, точку большей частью не пишут) понимают дробь
Х\У\
хгУ2
Она называется произведением дроби — на — или
х2 у2
„ X, у,
дробью, получающейся путем умножения — на —.
Теорема 68. Из
Х1 __ У1 Z!___иг
х2 _У2 1 2 2 и2
следует
ху гу__Л «1
х2 22 Уч Щ
Предварительное замечание. Таким обра-
зом, класс произведения зависит лишь от классов,
которым принадлежат „сомножители".
Доказательство. xLy2 = y1x2, г1«2 = и1г2,
следовательно,
(XjJ/2) (2-j«2) = (VjX2) (UjZ2),
(Xj^) (y2u2) = (y^) (х2г2),
ХуЪ __ ypii
x2z2 y2u2
Дроби
53
Теорема 69 (закон коммутативности умножения).
У1 , У1
х2 Уч Уч хч
Доказател ьство.
*1 Ух *111 J'i*i Ух хх
х2 Уч ~ хчУч Учхч Уч хч '
Теорема 70 (закон ассоциативности умножения).
•*1 1А *х _ *1
*2 Уч) Ч Хч
Доказател ьство.
'2121) ±L____ Л1-У1 £1
. ХЧ Уч) Zi ХчУч *ч
хч (Учгч) Хч у2г2
21
Уч ч)
(x1yi)zl
(ХчУч)гч
2121 М
Хч \12 гч) ’
Теорема 71 (закон дистрибутивности).
Xi ( Ух . «Л. *i li i Xi ?i
хч \ Уч гч) х2 уч ' хч z2'
Доказател ьство.
31/Z1-1AY
Хч \12 ~ Z2)
, . xttyp’b-l- груч)
~ Хч (Учгч)
х1(У1гч) । xi (г1Уч)
Хч(У2гч) "Т" х2(Учгч)
xtyi , хм
-^2^2
xt У1гЧ 4- g112_______
хч Учгч
Xt (У12ч) + Xj (г,уч)
хч (Учгч)
(х\У\)г2 । (х^уч
(ХчУч) гЧ (^2)12
,21 У1 . xt zt
Хч Уч ~Г* хч Z2
Теорема 72. Из
£1>Zl
Хч - Уч’
•Vi Vi -Vi . Vi
соотв. соотв. — <—-
хч Уз хз У$
54
Глава 2
следует
At *1 саате 21 _ -5'1 г>
Х3 -г2 У2 г2 Х2 Z2 У2 z2
соотв.
Д1 Д. < Z1. Д_
х2 z2 У2 z2 '
Доказательство. 1) Из
*i У\
x2 У2
следует
Х1У%>У1Х2*
(Х1У2) О1^2) > О'Л) О1г2)>
(x^j) (у2г2) > (х2г2),
.£1А Л1г1 < У& .._. У1 г<
х2 z2 X2Z2 У2г2 У^ г2
2) Из
Л'2 У2
в силу теоремы 68, следует
Д121 .... Zx
х2 z2 У2 Z2 '
3) Из
л
х2 ~ У2
следует
Уу >Д1
У2 х2 ’
и, значит, в силу 1),
У2 z2 х2 z2 '
xl 2j У! Zj
Х2 z2 У2 Z2
Теорема 73. Из
Х1 2х У1 zi Х1 г1 У1 zt
— — >——, соотв. — — — — — ,
х2 22 У2 22 х2 z2 У2 z2
соотв.
< Уу Д1
х2 z2 У2 z 2
Дроби
55
следует
X, У1 xt V< ХХ У1
— > —, соотв. — ~ , соотв. — <^— .
х2 Уз х2 У2 х2 У2
Доказательство. Следует из теоремы 72, по-
скольку три случая оба раза взаимно исключают друг
друга и в совокупности исчерпывают все возможности.
Теорема 74. Из
J'l 2Х их
*2 Уз ’ z2 «2
следует
-У А > Уу ^у
х2 Z2 У2 «2 '
Доказательство. В силу теоремы 72,
21Л1 у У1 zt
х2 г2 У2 г2
И
21 _Д ~Лу Уу .Еу Уу ~ Уу Лу
Уз ?з z2 у2 и2 у2~ у2 и2 ’
следовательно,
xi 21 У1 lit
х2 *2 У2 «2 ’
Теорема 75. Из
*1_> У1 _£1 иЛи A't > 21 _£1>Л1
х2 ~ У2 ' г2 и2 х2 Уз ' г2 ~ и2
следует
Xj zx у, 1^
х2 22 у2 и2
Доказательство. При знаках эквивалентности
в предположении — следует из теорем 68 и 72, в про-
тивном случае — уже установлено теоремой 74.
Теорема 76. Из
xt yt
~ Уз ’
21 у U1
22 ~ «2
56
Глава 2
следует
-Vi g1 > Jt «1
Х2 г2 У2 и2
Доказательство. При двух знаках эквивалент-
ности в предположении — уже установлено теоремой
68, в противном случае — теоремой 75.
Теорема 77. Соотношение эквивалентности
У1 Uj _ *1
У2 и2 х2 ’
где — и ——заданные дроби, обладает решением
Л-2 _У2 «2
„ Vi W,
Если — и —L — решения, то
V2 w2
Vi Wj
v2 w2
Доказательство. Второе утверждение непосред-
ственно следует из теоремы 73; действительно, если
ЗДЛ -Vi
У2 v2 ~ У2 ®2 ’
то, по указанной теореме,
Vi Wi
v2 ~ w2 '
Существование решения (первое утверждение)
устанавливается следующим образом: дробь , где
== #2 :== Х^у р
является решением, так как
21 ~ Ц1 У1х<Уъ У' _
у2 и2 и2 У2~ x^i у2 (х2у1)у2
Х\ (у^у-д ~ _£1
Х2(У.У2> ~ х2 ’
Дроби
57
§ 5. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА
Определение 16. Под рациональным числом пони-
мают совокупность всех дробей, эквивалентных неко-
торой фиксированной дроби (т. е. класс в смысле § 1).
Прописными латинскими буквами' мы будем всюду,
где не оговорено противное, обозначать рациональные
числа.
Определение 17. X—Y
( == читается: равно), если оба множества содержат
одни и те же дроби. В противном случае
ХфУ
(ф читается: не равно).
Следующие три теоремы тривиальны:
Теорема 78. X — X.
Теорема 79. Из
Х= Y
следует
Y — X.
Теорема 80. Из
X=Y, Y=Z
следует
X—Z.
Определение 18. Х> Y
(> читается: больше), если для некоторой (а, значит
по теореме 44,— для каждой) дроби ~, соотв. — из
множества X, соотв. Y имеет место
У1
*2 У2 ‘
58
Глава 2
Определение 19. X < Y
(< читается: меньше), если для некоторой (а, значит,
Xi Vi
по теореме 45, — для каждой) дроби соотв,— из
множества X, соотв. Y имеет место
< Уу
•v2 У‘2 ‘
Теорема 81. Для любых двух рациональных чисел
X, Y имеет место один и только один из следующих
трех случаев:
X=Y, X>Y, X<Y.
Доказательство: теорема 41.
Теорема 82. Из
Х> Y
следует
Y< X.
Доказательство: теорема 42.
Теорема 83. Из
Х< Y
следует
Y>X.
Доказательство; теорема 43.
Определение 20. Х~^- Y
означает
Х> Y или Х= Y.
()> читается: больше или равно.)
Определение 21. X^Y
означает
X<Y или X — Y.
читается: меньше или равно.)
Дроби
59
Теорема 84. Из
Х> Y
следует
Доказательство: теорема 48.
Теорема 85. Из
Х^ Y
следует
Y^X.
Доказательство: теорема 49.
Теорема 86 (транзитивность порядка). Из
Х< Y, Y<Z
следует
Х< Z.
Доказательство: теорема 50.
Теорема 87. Из
Л'С Y, Y С Z или X<Y, Y^Z
следует
X<Z.
Доказательство: теорема 51.
Теорема 88. Из
X^Y, Y^Z
следует
X^Z.
Доказательство: теорема 52.
Теорема 89. Для каждого X существует
Z>X.
Доказательство: теорема 53.
60
Глава 2
Теорема 90. Для каждого X существует
Z<X.
Доказательство: теорема 54.
Теорема 91. Если
Х< Y,
то существует Z такое, что
X<Z< Y.
Доказательство: теорема 55.
Определение 22. Под Х-\- Y (+ читается: плюс)
понимают класс, содержащий, некоторую (а, значит,
по теореме 56, — и всякую) сумму дроби из X и
дроби из Y.
Это рациональное число называют суммой чисел
X и Y или рациональным числом, получающимся пу-
тем прибавления Y к X.
Теорема 92 (закон коммутативности сложения).
X + Y= Y^-X.
Доказательство: теорема 58.
Теорема 93 (закон ассоциативности сложения).
(АГ+К) + 2 = ЛГ+(К+2).
Доказательство: теорема 59.
Теорема 94. ,¥4-К>Х
Доказательство: теорема 60.
Теорема 95. Из
Х> Y
следует
X-\-Z> Y-^-Z.
Доказательство: теорема 61.
Дроби
61
Теорема 96. Из
X > Y, соотв. Х= Y, соотв. X < Y
следует
X+Z> Y-]-Z, соотв. X-\-Z=Y-\-Z,
соотв. X -f- Z <_ Y -j-Z.
Доказательство: теорема 62.
Теорема 97. Из
X-YZ>Y-J-Z, соотв. X-\-Z=Y-\-Z,
соотв. X —Z<^ Y —Z
•ледует
X> Y, соотв. Х= Y, соотв. X<_Y.
Доказательство: теорема 63.
Теорема 98. Из
Х> Y, Z>U
:ледует
X-j-Z> Y+L7.
Доказательство: теорема 64.
Теорема 99. Из
Х'^ Y, Z> U или Х> Y, Z> U
'.ледует
Z> Y + U.
Доказательство: теорема 65.
Теорема 100. Из
Х> Y, Z> U
ледует
X-\-Z>Y-\-U.
Доказательство: теорема 66.
Теорема 101. Если
Х> Y,
62
Глава 2
то уравнение
Y + U = X
обладает точно одним решением U.
Предварительное замечание. При
У,
в силу теоремы 94, решения не существует.
Доказательство: теорема 67.
Определение 23. Указанное U обозначается X— ¥
(— читается: минус) и называется разностью X минус
У или рациональным числом, получающимся путем
вычитания рационального числа У из рационального
числа X.
Определение 24. Под X- Y (-читается: раз; впро-
чем, точку большей частью не пишут) понимают
класс, содержащий некоторое (а, значит, в силу
теоремы 68, — и каждое) произведение дроби из X на
дробь из Y.
Это рациональное число называется произведением
X на У или рациональным числом, получающимся
путем умножения X на У.
Теорема 102 (закон коммутативности умножения).
ХУ — УХ.
Доказательство: теорема 69.
Теорема 103 (закон ассоциативности умножения).
(ХУ) Z = X( YZ).
Доказательство: теорема 70.
Теорема 104 (закон дистрибутивности).
X(УZ) = ХУXZ.
Доказательство: теорема 71.
Дроби
63
Теорема 105. Из
.¥> Y, соотв. Х = Y, соотв. X < Y
следует
XZ> YZ, соотв. XZ= YZ, соотв. XZ < YZ.
Доказательство: теорема 72.
Теорема 106. Из
XZ > YZ, соотв. XZ = YZ, соотв. XZ < YZ
следует
Х~У> Y, соотв. X = Y, соотв. X < У.
Доказательство: теорема 73.
Теорема 107. Из
Х> Y, Z> U
следует
XZ > YU.
Доказательство: теорема 74.
Теорема 108. Из
Х> Y, Z > U или X> У, Z> U
следует
XZ> YU.
Доказательство: теорема 75.
Теорема 109. Из
X > Y, Z> U
следует
XZ^YU.
Доказательство: теорема 76.
Теорема ПО. Уравнение
YU = X,
64
Глава 2
где X и У— заданные рациональные числа, обладает
точно одним решением U.
Доказательство: теорема 77.
Теорема 111. Из
X . У X у X ' у
у > y> соотв. у ~ -у, соотв. у < у
следует
х>_у, соотв. х—у, соотв. х<у
и обратно.
Доказательство.
х • 1 У • 1> соотв. х • 1 —у • 1, соотв. х • 1 <_у • 1
означает то же самое, что
х~у>у, соотв. х—у, СООТВ. Х<у.
Определение 25. Рациональное число называется
целым, если среди объединяемых им дробей содержится
дробь вида у.
По теореме 111 это х однозначно определено, и,
обратно, каждому х соответствует точно одно целое
число.
Теорема 112.
х . у х-уу
1 ’’’ 1 Т~ ’
X у ху
ТТ~Т'
Предварительное замечание. Таким обра-
зом, сумма и произведение двух целых чисел суть
целые числа.
Доказательство. 1) По теореме 57,
х । У х + у
1 1 ~ 1
Дроби
65
2) По определению 15,
х у ху ху
1 Т~ы Г-
Теорема 113. Целые числа удовлетворяют пяти
аксиомам для натуральных чисел, если за 1 принять
класс дроби у, а последующим классом для класса
дроби считать класс дроби —
Доказательство. Пусть 3 — множество всех
целых чисел.
1) Класс дроби у принадлежит множеству 3-
2) Для каждого целого числа нами определено
последующее.
3) Всякое последующее отлично от класса дроби у,
поскольку всегда
х' =/= 1.
4) Если классы дробей у- и — совпадают, то
Л' У
1 ~ 1 ’
х’ = у',
Х=у,
х У
"1 ~ 1 ’
- „ X у
так что и классы дробей у- и у- совпадают.
5) Пусть множество целых чисел обладает сле-
дующими свойствами:
I) Класс дроби у принадлежит множеству ЭД.
II) Если класс дроби -у принадлежит tyl, то и класс
дроби у принадлежит -Di.
5 Зак. 749. Э. Ландау.
66
Глава 2
Обозначим через 2R множество тех х, для которых
класс дроби -у-принадлежит множеству 3Jt. Тогда 1 при-
надлежит 2R и вместе с каждым х, принадлежащим 2R,
также х' принадлежит 2)1. Следовательно, каждое
натуральное число принадлежит множеству 2)1 и, значит,
каждое целое число — множеству 2)1.
Так как (в силу теорем 111 и 112) между по-
нятиями =, >, <, суммы и произведения для целых
чисел и аналогичными старыми понятиями для натураль-
ных чисел существует полное соответствие, то целые
числа обладают всеми свойствами, доказанными нами
в гл. 1 для натуральных чисел.
Поэтому отбросим натуральные числа, заменим их
соответствующими целыми числами и будем впредь
(поскольку и дроби становятся излишними) говорить
лишь о рациональных числах. (Натуральные числа
останутся в виде пар над и под чертой в понятии
дроби, а дроби — как индивидуальные члены множества,
называемого рациональным числом.)
Определение 26. (Освободившийся теперь символ)
х будет обозначать целое число, задаваемое классом
дроби -у.
Таким образом, на нашем новом языке, например,
X • 1 = X,
так как
A'i ф __Л'1 • 1 -V1
Х2 1 Хп 1
Теорема 114. Если Z—рациональное число, соот-
ветствующее дроби у , то
yZ — х.
Доказательство. *
1 у 1 -у 1 -_у 1
Дроби
67
Определение 27. Рациональное число U из теоремы
110 называется частным X по У или рациональным
числом, получающимся путем деления X на У. Оно
X
будет обозначаться через у (читается: X на У).
Если X и У—целые числа, Х—х, У=у, то по-
нимаемое в смысле определений 26 и 27 рациональное
число — означает, в силу теоремы 114, класс, кото-
рому принадлежит понимаемая в старом смысле дробь
у . Смешения обоих символов у не следует опасаться,
так как в будущем дроби отдельно не будут встре-
чаться; впредь у будет всегда обозначать рациональ-
ное число. Обратно, каждое рациональное число
в силу теоремы 114 и определения 27, можно
х
представить в виде у .
Теорема 115. Для каждых двух заданных X и Y
существует г такое, что
zX> У.
Y
Доказательство, у есть рациональное число;
по теореме 89, существуют (на нашем новом языке)
целые числа z, v такие, что
2_ У_
V > X
В силу теоремы 111,
v Д 1.
Следовательно, по теореме 105,
5*
Глава 3
СЕЧЕНИЯ
$ 1* ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Определение 28. Множество рациональных насел
называется сечением, если'.
1) оно содержит рациональное число, но не ка-
ждое рациональное число-,
2) каждое содержащееся в нем рациональное число
меньше каждого не содержащегося',
3) в этом множестве нет наибольшего рациональ-
ного числа (т. е. числа, большего каждого возмож-
ного другого, отличного от него, числа этого множе-
ства).
Само множество называют также нижним классом,
множество не содержащихся в нем рациональных чи-
сел— верхним классом, и соответственно говорят о
нижних и верхних числах относительно данного сече-
ния.
Строчные греческие буквы всюду, где не оговорено
противное, будут обозначать сечения.
Определение 29. Е = т]
( == читается: равно), если каждое нижнее число от-
носительно Е есть нижнее число относительно •/] и
каждое нижнее число относительно т] есть нижнее
число относительно 5.
Другими словами: когда оба множества совпадают.
В противном случае
( #= читается: не равно).
Из этого определения тривиальным образом выте-
кают следующие три теоремы:
Сечения
69
Теорема 116.
Теорема 117.
следует
Теорема 118.
следует
Из
£ = »)
71 = $.
Из
$ = 7|, 7]
Е = С.
Теорема 119. Если X— верхнее число относитель-
но $ и
Хг>Х,
то Хг — также верхнее число относительно -£.
Доказательство. Следует из условия 2) опре-
деления 28.
Теорема 120. Если X—нижнее число отнеси-
те льно £ и
< А,
то Хг — также нижнее число относительно £.
Доказательство. Следует из условия 2) опре-
деления 28.
Разумеется, и обратно, требование теоремы 120 то-
ждественно условию 2) определения 28. Таким образом,
для того, чтобы доказать, что некоторое множество
рациональных чисел есть сечение, достаточно показать,
что:
1) оно не пусто и, вместе с тем, существует рацио-
нальное число, не лежащее в нем;
2) вместе с каждым его числом в нем содержится и
всякое меньшее число;
3) для каждого из его чисел в нем содержится и
некоторое большее число,
70
Глава 3
§ 2. ПОРЯДОК
Определение 30. Пусть с и т]— сечения', тогда
Е> 7]
( > читается: больше), если существует нижнее число
относительно являющееся верхним числом отно-
сительно 7].
Определение 31. Пусть с и у — сечения', тогда
Е < 7]
(< читается: меньше), если существует верхнее число
относительно являющееся нижним числом относи-
тельно 7].
Теорема 121. Из
Е>Т]
следует
*)<£•
Доказательство. Существует верхнее число
относительно т;, являющееся нижним числом относи-
тельно Е.
Теорема 122. Из
£<•<1
следует
Доказательство. Существует нижнее число
относительно т], являющееся верхним числом относи-
тельно Е.
Теорема 123. Для любых двух сечений у имеет
место один и только один из следующих трех случаев'.
£ = *), 5>Т], Е<Т|.
Доказательство. 1) Соотношения
$ ' 7], Е > 7|
несовместимы в силу определений 29 и 30. Соотно-
шения
; = т], f < т]
несовместимы в силу определений 29 и 31.
Сечения
71
Из
следовало бы существование нижнего числа X относи-
тельно $, являющегося верхним числом относительно т),
и верхнего числа Y относительно $, являющегося ниж-
ним числом относительно т]. В силу условия 2) опре-
деления 28, мы должны были бы иметь тогда одно-
временно
Х< Y, Х> Y.
Следовательно, может иметь место, самое большее,
один из указанных трех случаев.
2) Если
то нижние классы рассматриваемых сечений не совпа-
дают. Таким образом, либо некоторое нижнее число
относительно $ является верхним числом относительно
7], и тогда
5 > Т|,
либо некоторое нижнее число относительно г; является
верхним числом относительно ;, и тогда
Е <7].
Определение 32.
означает
$ > 7] UJIU $ = 7].
читается: больше или равно.)
Определение 33.
означает
$ <б 7] UjIU Е == 7).
(<^ читается: меньше или [авно.)
Теорема 124. Из
72 Глава 3
следует
Т1 <;•
Доказательство: теорема 121.
Теорема 125. Из
следует
•q > £
Доказательство: тзорема 122.
Теорема 126 (транзитивность порядка). Из
i < q> q < -
следует
Доказательство. Существует верхнее число X
относительно Е, являющееся нижним числом относи-
тельно т], и верхнее число У относительно тр являю-
щееся нижним числом относительно С. Вследствие
свойства 2) сечения т;, имеем
Х< У,
так что У есть верхнее число относительно ;. Поэтому
Теорема 127. Из
$ 7], q < С или ; < 7], 7] С
следует
Доказательство. При знаке равенства в пред-
положении— очевидно; в противном случае — уже
установлено теоремой 126.
Теорема 128. Из
t s' у
«< q> q < -
< с
следует
Сечения
73
Доказательство. При двух знаках равенства
в предположении — очевидно; в противном случае —
уже установлено теоремой 127.
§ 3. СЛОЖЕНИЕ
Теорема 129. I) Пусть $ и т] — сечения. Множе-
ство рациональных чисел, представимых в виде
X Ц- Y, где X—нижнее число относительно а ¥—
нижнее число относительо iq, есть сечение.
II) Никакое число этого множества не может
быть представлено в виде суммы верхнего числа
относительно $ и верхнего числа относительно ц.
Доказательство. 1) Пусть X — какое-либо ниж-
нее число относительно $ и Y—какое-нибудь нижнее
число относительно ц, тогда X Y принадлежит рас-
сматриваемому множеству.
Если же X} — какое-нибудь верхнее число относи-
тельно — какое-нибудь верхнее число относи-
тельно т], то для всех нижних чисел X, соответственно
Y относительно соответственно т] имеем
x<xlt к<к1>
и, следовательно,
* + Y <X1+Y1,
х, н- y^x+y.
Таким образом, Хх Ц- ¥г не принадлежит рассматривае-
мому множеству. Тем самым попутно уже доказано и II).
2) Нам нужно показать, что каждое число, меньшее
некоторого числа из рассматриваемого множества,
также принадлежит этому множеству. Пусть, таким
образом, X—нижнее число относительно 5, Y—ниж-
нее число относительно т; и
Z<%+ V.
Тогда
(Л4 Т)^т<(2С+Г).1,
74
Глава 3
следовательно, по теореме 106,
%+ Г ’
значит, по теореме 105,
и
ГУ^7<Г1==Г;
это означает, в силу второго свойства сечения в при-
что Х-^,
менении к
ветственно
соответственно т;,
соот-
г
р-" есть нижнее число относительно ;,
Л ~Г ‘
соответственно тр
Но суммой этих двух рациональных чисел служит
заданное Z:
Х Х+ y+ Y Х+ Y~ 'Ь Х+ Y
3) Пусть задано какое-нибудь число из рассматри-
ваемою множества. Оно имеет вид Х -г Y, где X—
нижнее число относительно 5, a Y—-нижнее число
относительно -q. В силу третьего свойства сечения,
существует нижнее число
относительно В; тогда
Ъ + Y> Х-\- Y,
так что рассматриваемое множество содержит некото-
рое число >Л’4-У.
Определение 34. Сечение, построенное в теореме
129, обозначают $-j-7] (-}- читается: плюс). Оно на-
зывается суммой сечений $ и т; или сечением, полу-
чающимся путем прибавления 7] к Е.
Сечения
75
Теорема 130 (закон коммутативности сложения).
Доказательство. Каждое XК есть также
У-]-Х и обратно.
Теорема 131 (закон ассоциативности сложения).
G + -n) + C = ? + (-n + Q-
Доказательство. Каждое (Л" -|- У) -f- Z есть также
.¥-]-( К Z) и обратно.
Теорема 132. Каково бы ни было заданное А, для
каждого сечения найдутся нижнее число X и верх-
нее число U такие, что
U — X=A.
Доказательство. Пусть Хх— любое нижнее
число. Рассмотрим все рациональные числа
^-\пА,
где и — целые. Не все эти рациональные числа — ниж-
ние. Действительно, для любого верхнего числа У
имеем
Г>^.
В силу теоремы 115, существует такое п, что
нА > У— Хх,
X^nA^Y-X^X^Y.
Следовательно, Хх нА уже верхнее число.
По теореме 27, в множестве тех п, для которых
Xt -J- нА является верхним числом, существует наимень-
шее целое число; обозначим его и.
Если
и = 1,
то положим
Л'=^, U==X, + .4;
76
Глава 3
если
и> 1,
то положим
Х==^1+(и —1)Л, и=Х'-\-иА=Х + А.
В том и другом случае X есть нижнее число, U—верх-
нее число и
U— X — А.
Теорема 133.
Доказательство. Пусть Y—какое-нибудь ниж-
нее число относительно т]. Выберем, по теореме 132,
нижнее число X относительно $ и верхнее число U
относительно $ такие, чтобы
U— Х= У;
тогда
U = X-\- Y
будет верхним числом относительно $ и нижним числом
относительно $ т). Поэтому
$ + -!]>$.
Теорема 134. Из
S >Т]
следует
^ + :>-g + :.
Доказательство. В силу предположения, суще-
ствует верхнее число Y относительно -q, являющееся
нижним числом относительно $. Выберем какое-нибудь
число X относительно $ такое, чтобы
Х> Y;
оно снова будет верхним числом относительно т;. Вы-
берем, далее, по теореме 132, верхнее число Z и ниж-
нее число U относительно С такие, чтобы
Z— u= X— Y.
Сечения
77
Тогда
y + z=r+((x-y)4-£/) =
= (F-!-(^—T))-'r7/=%-'rU
будет нижним числом относительно 5 С и (по тео-
реме 129, И) верхним числом относительно т] 4* С
Поэтому
S + O71 + C.
Теорема 135. Из
$>т„ соотв. 5 = т;, соотв. $ < т;
следует
5-f-С > •»]-}-’, соотв. $-j--С=vj-J-соотв.
Доказательство. Первая часть совпадает с тео-
ремой 134, вторая очевидна, третья следует из первой,
так как
•»)>?,
7) + С>$ + Г„
5-Н<-п4-с-
Теорема 136. Из
5 -|- С > -q соотв. $ 4’ ’ = 71 4"
соотв. 5 4’ ’ < 'П “Г ’
следует
$ > т], соотв. $ = т], соотв. $ < тр
Доказательство. Следует из теоремы 135, по-
скольку три случая оба раза взаимно исключают друг
друга и в совокупности исчерпывают все возможности.
Теорема 137. Из
? > 7), ч > О
следует
Н-’>^4-ц-
78
Глава 3
Доказательство. По теореме 134,
Ж>71Н
и
V] + С = С + 7] > □ + 7] = 7] 4- О,
следовательно,
М* ’ > *! + и-
Теорема 138. Из
$ >- 7], О О или $ > 7], о
следует
^4-^>'g + u-
Доказательство. При знаках равенства в пред-
положении— уже установлено теоремой 134, в против-
ном случае—: теоремой 137.
Теорема 139. Из
$>7],
следует
£-Н :> т] о.
Доказательство. При знаках равенства в пред-
положении— очевидно; в противном случае — уже уста-
новлено теоремой 138.
Теорема 140. Если
^>71,
то уравнение
7] + -; = ;
имеет точно одно решение и.
Предварительное замечание. При
£<т],
в силу теоремы 133, решения не существует.
Доказательство. I) Рассматриваемое уравнение
имеет не более одного решения; действительно, если
01 ¥= °2>
Сечения
79
то, по теореме 135,
“П 4- °1 + •Q + °а-
II) Я покажу сначала, что множество всех рациональ-
ных чисел вида X—Y (так что Л’>К), где X—
нижнее число относительно $, a Y—верхнее число
относительно т], образует сечение.
1) Как мы знаем из начала доказательства теоремы
134, по крайней мере одно такое X— Y существует.
Никакое верхнее число Xt относительно $ не может
быть таким X—Y, поскольку для каждого числа по-
следнего вида мы имеем
X—Y<(X—Y)± Y=X<Xt.
2) Если X— Y какое-нибудь заданное число из
рассматриваемого множества и
U < X— Y,
то
17 + Y <(Х— Г) + Y = X,
следовательно,
17+ У = Х2
есть нижнее число относительно $ и, значит,
17=Ха- Y
принадлежит нашему множеству.
3) Пусть X — Y какое-нибудь заданное число из
рассматриваемого множества. Выберем какое-нибудь
нижнее число Х3 относительно $ такое, чтобы
х3>х.
Тогда
(XS-Y)+Y>(X-Y)+Y,
Xs — Y > X— Y,
и, следовательно, Х3—Y—число нашего множества,
большее, чем заданное X—У.
80
Глава 3
Таким образом, наше множество есть сечение; обо-
значим его и.
Мы докажем теперь, что для него
7] 4* u =?•
Для этого достаточно установить:
А) что каждое нижнее число относительно и 4- rt
есть нижнее число относительно ;;
В) что каждое нижнее число относительно $ есть
нижнее число относительно и т].
К А). Каждое нижнее число относительно о Ц-т;
имеет вид
К) + ур
где X— нижнее число относительно Y— верхнее
число относительно 7], — нижнее число относительно т;
и
X>Y.
Имеем:
у>ур
((A- Y) + KJ + ( У- У1)=(АГ— Y) + (Y, + ( Г— Ух)) =
= (%— У) + Y = X,
{X-У) 4 Y1 < X,
и, следовательно, (X—Y) Yt есть нижнее число от-
носительно 5.
К В), а) Пусть заданное нижнее число относительно
$ является вместе с тем верхним числом относительно iq;
обозначим его тогда У. Выберем нижнее число X от-
носительно $ такое, чтобы
Х> У,
и, по теореме 132, нижнее число Yr и верхнее число
У2 относительно 7] такие, чтобы
У2— У1 = Л'—-У.
Тогда
У>Ур
Сечения
81
следовательно,
Г2 + (Г-У1) = ((^-К)+У1) + (У-У1) =
= (^-г) + (у1 + (у—Г1)) = (^-Г)4-У=^,
Г— У1 = х— у2,
Г=(Г-У1) + У1 = (Х-К2)4-К1,
и, значит, Y является нижним числом относительно о тр
Ь) Если заданное нижнее число относительно $
является также нижним числом относительно т;, то оно
меньше каждого числа, рассмотренного в а), и так
как последние, как показано, суть нижние числа отно-
сительно u -j- т], то и само заданное число является
нижним относительно и -j-тр
Определение 35. Сечение о из теоремы 140 обо-
значается $ — (— читается: минус) и называется
разностью $ минус т; или сечением, получающимся
путем вычитания т; из 5.
§ 4. УМНОЖЕНИЕ
Теорема 141. I) Пусть $ и т;— сечения. Множе-
ство рациональных чисел, представимых в виде XY,
где X—нижнее число относительно a Y — нижнее
число относительно тр есть сечение.
II) Никакое число из этого множества не может
быть представлено в виде произведения верхнего числа
относительно $ на верхнее число относительно тр
Доказательство. 1) Пусть X — какое-нибудь
нижнее число относительно 5 и Y—какое-нибудь
нижнее число относительно тр тогда XY принадлежит
рассматриваемому множеству.
Если же Xt—-какое-нибудь верхнее число относи-
тельно $ и Yt — какое-нибудь верхнее число отно-
сительно т], то для всех нижних чисел X, соответ-
ственно Y относительно 5, соответственно 7] имеем
Х< Xiy Y< Г15
6 Заж. 749. Э. Лапдау.
82
Глава 3
и, следовательно,
XY<
X, yt ф XY.
Таким образом, Х1¥1 не принадлежит рассматриваемом)
множеству. Тем самым попутно доказано уже и II).
2) Пусть X—нижнее число относительно К —
нижнее число относительно 7] и
Z<XY.
Тогда
x(j? z} = (x j^Z=l-Z = Z,
и, значит, у есть нижнее число относительно 7). Равен
ство
Л
показывает тогда, что Z принадлежит нашему мно
жеству.
3) Пусть задано какое-нибудь число из рассматри
ваемого множества. Оно имеет вид XY, где X—ниж
нее число относительно £, Y—нижнее число относителг
но 7]. Выберем нижнее число
относительно тогда
Xt>X
XtY> XY,
так что наше множество содержит некоторое числ
> XY.
Определение 36- Сечение, построенное в теорел
141, обозначается (• читается: раз; впрочем, точв
большей частью не пишут). Оно называется произв<.
Сечения
83
дгнием $ на •»] или сечением, получающимся путем
умножения $ на к].
Теорема 142 (закон коммутативности умножения).
Доказательство. Каждое XY есть также YX
и обратно.
Теорема 143 (закон ассоциативности умножения).
(^)С = $(т(Г).
Доказательство. Каждое (XY) Z есть также
X(YZ) и обратно.
Теорема 144 (закон дистрибутивности).
Доказательство. I) Каждое нижнее число
относительно ;(т]-|-С) имеет вид
X(Y-\-Z) = XY-]-XZ,
где X, Y, Z — нижние числа, соответственно, относи-
тельной, т], С. Но XY -|- XZ есть нижнее число относи-
тельно $7] к.
II) Каждое нижнее число относительно имеет
вид
XY-^X^Z,
где X, Y, Ху, Z— нижние числа, соответственно, относи-
тельно $, т], $, С В случае Х~^> Ху обозначим через Х%
число X, в случае X < Ху— число ХГ В обоих случаях
Х2 будет нижним числом относительно $, и, значит,
X^(YZ) — нижним числом относительно Цт]-|-С). Из
XY^X^Y,
XyZ < X2Z
вытекает
XY |- XyZ < У2 / X2Z = -Y2 (Y + Z),
6*
84
Глава 3
следовательно, ATK-J-A’jZ будет нижним числом и отно*
сительно $ (т; 4" Q-
Теорема 145. Из
Е>т], соотв. Е = т], соотв. Е<т]
следует
ЕС > т]С, соотв. EC = viC, соотв. ЕС<т]С.
Доказательство. 1) Если
5 > V],
то, по теореме 140, существует такое и, что
Е = т] + о.
Поэтому
ЕС = (д +и) 4-и-- >
2) Из
$ = 7],
разумеется, следует
3) Из
следует
v]>E,
и, значит, в силу 1\
7]С>ЕС,
ЕС<т]С.
Теорема 146. Из
> 7]С, соотв. & — соотв. ЕС < т(С
следует
Е > т], соотв. Е = т], соотв. Е < т].
Доказательство. Следует из теоремы 145,
поскольку три случая оба раза взаимно исключают
друг друга и в совокупности исчерпывают все возмож-
ности.
Сечения
85
Теорема 147. Из
$>т|, С>ч
следует
^>7]U.
Доказательство. По теореме 145,
и
Т], = Cl] > ОТ] = 7]0,
следовательно,
> 7]0.
Теорема 148. Из
$ 7j, Z > О или $ > 7],
следует
К > 7р.
Доказательство. При знаках равенства в пред-
положении— уже установлено теоремой 145, в против-
ном случае—теоремой 147.
Теорема 149. Из
следует
&С > 7]U.
Доказательство. При двух знаках равенства
в предположении — очевидно; в противном случае — уже
установлено теоремой 148.
Теорема 150. Для каждого рационального числа R
множество рациональных чисел < R образует сечение.
Доказательство. 1)По теореме 90, существует
X < R. Само R не < R.
2) Если
то
X<R, X^R.
i'
86
Глава 3
3) Если
X<R,
то, в силу теоромы 91, существует Хг такое, что
X<XV<R.
Определение 37. Сечение, построенное в теореме
150, мы будем обозначать через R*.
(Таким образом, прописные латинские буквы со
звездочками обозначают сечения, а не рациональные
числа.)
Теорема 151.
Е- 1* = Е.
Доказательство. $-1* есть множество всех XY,
где X—нижнее число относительно Е, а
Г< 1.
Каждое такое XY< X и, следовательно, является
нижним числом относительно Е.
Обратно, пусть задано нижнее число X относительно
Е. Выберем тогда нижнее число Xi относительно Е
такое, чтобы
Х^> X,
и положим
Тогда
^-, = 1,
и, следовательно,
Х=ХД
является нижним числом относительно Е • 1*.
Теорема 152. Для каждого заданного Е уравнение
Ео = 1*
имеет решение о.
Сечения
87
Доказательство. Рассмотрим множество всех
чисел — , где X—любое верхнее число относительно $,
X
за исключением наименьшего (если такое существует).
Покажем, что это множество является сечением.
1) Рассматриваемое множество содержит, по крайней
мере, одно число. Действительно, если Л’ — какое-нибудь
верхнее число относительно $, то и XX—верхнее
число, но уже наверное не наименьшее, и. следовательно,
1
—-д-— принадлежит нашему множеству.
Y “г X
С другой стороны, существует рациональное число,
не принадлежащее этому множеству. Действительно,
пусть
тогда
Xt — какое-нибудь нижнее число относительной,
для всех верхних чисел X относительно $ имеем
и так
как
I
то
1
Xi’
1^1;
X ^Х1
поэтому^- не принадлежит нашему множеству.
2) Пусть ~ — заданное число из нашего множества,
так что X—верхнее число относительно ;, и пусть
U
2 .
X ’
тогда
их<~х=\ = и~,
л и
следовательно,
х<
2
и ’
88
Глава 3
и, значит, и является верхним числом относительно 5,
притом не наименьшим. Так как
U
то, следовательно, U принадлежит нашему множеству.
3) Пусть у—заданное число из нашего множества,
так что X—верхнее число относительно Е, и притом
не наименьшее. Выберем верхнее число относи-
тельно $ такое, чтобы
Xt<X,
а затем, по теореме 91, — число Х2 такое, чтобы
< ^2 < Х-
Х2 будет верхним числом относительно $ и притом
не наименьшим. Из
следует
1
Х2 X ’
тем самым мы нашли в нашем множестве число, большее
заданного.
Таким образом, наше множество является сечением;
обозначим его и.
Мы докажем теперь, что для него
£□= 1*.
Для этого достаточно установить:
А) что каждое нижнее число относительно Ей будет < 1.
Сечения
89
В) что каждое рациональное число < 1 будет ниж-
ним числом относительно
К А). Каждое нижнее число относительно имеет
вид
где X—нижнее, a Xt— верхнее число относительной.
Из
Х<Х,
следует
X — <Х.—=1.
Xi lXt
К В). Пусть
U< 1.
Выберем какое-нибудь нижнее число X относительно
а затем, по теореме 132, нижнее число Хг и верхнее
число Х2 относительно $ такие, чтобы
х2— ^=(1 — U)X.
Тогда
^а —^<(1 —t/)AT2,
(х2—хх) + их2 < (1 — U) х2 + их2=X* =
UX.2 < АГр
а2 = (± и) х2 - i- (ад< 1 X, = .
Следовательно, есть верхнее число относительно
и притом не наименьшее. Из
следует
90
Глава 3
v Е 1
здесь а, — нижнее число относительно -------ниж-
Xt
U
нее число относительно и; следовательно, U есть
нижнее число относительно $□.
Теорема 153. Для любых заданных $, ч\ уравнение
ту = с
имеет точно одно решение и.
Доказательство. I) Рассматриваемое уравнение
может иметь, самое большее, одно решение. Действи-
тельно, если
то, по теореме 145,
•'Pi ф тр2.
II) Для решения нашего уравнения достаточно поло-
жить
*1' = 1*,
где т — решение уравнения
и =
существующее по теореме 152. Действительно, по
теореме 151 имеем
Гр = 7] (т$) = (7]Т)$ = 1= е.
Определение 38. Сечение □ из теоремы 153
' с
обозначается — (читается: $ на т). — называется
частным $ по т] или сечением, получающимся путем
деления $ на 7].
§ 5. РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕЧЕНИЯ И ЦЕЛЫЕ СЕЧЕНИЯ
Определение 39. Сечение вида X* называется
рациональным сечением.
Сечения
91
Определение 40. Сечение вида х* называется целым
сечением.
(Таким образом, строчные латинские буквы со звез-
дочками означают сечения, а не целые числа.)
Теорема 154. Из
АГ>К, соотв. X=Y, соотв. X < К
следует
Х> > К*, соотв. X' 5= соотв. X* < Г*
и обратно.
Доказательство. I) 1) Из
Х> У
следует, что Y есть нижнее число относительно X*.
Но У—верхнее число относительно У*. Следова-
тельно,
X' > У'.
2) Из
Х = У,
разумеется, следует
X* = У’.
3) Из
Х< У
вытекает
У>Х,
и, значит, в силу 1),
Р > X',
X* < У*.
II) Обращение очевидно, поскольку три случая оба
раза взаимно исключают друг друга и в совокупности
исчерпывают все возможности.
92
Глава 3
Теорема 155. (<¥-}- У)*' = X* 4~ Y*-
(X— Yy* = X* - У - при X > Y;
(XY)-: = X*Y!';
/Х\ __ X*
Ы — у*-
Доказательство. I) а) Каждое нижнее число
относительно X* -J- У* есть сумма рационального
числа < X и рационального числа < Y; следовательно,
оно <Х-|-У и потому является нижним числом отно-
сительно (Х4-У)*.
Ь) Каждое нижнее число U относительно (Х-\~У)*
будет < X 4- У- Из
— <1
Х+У^ L>
г j _. v U I у U
Х+ уП" y+ У
следует, что U есть сумма рационального числа <Х
и рационального числа < У, а, следовательно,—ниж-
нее число относительно X* 4* У*-
Поэтому
(Х4-у)* = х* +у*.
II) Из
Х> Y
вытекает
Х=(Х—У) 4- У,
следовательно, в силу I),
X* = (X— У) 4- У*,
(X—У)* = X* — У*.
III) а) Каждое нижнее число относительно х*У*
есть произведение рационального числа < Хи рациональ-
ного числа < У; следовательно, оно < ХУ и потому —
нижнее число относительно (ХУ)*.
Ь) Каждое нижнее число U относительно (ХУ)*
будет < ХУ. Выберем, по теореме 91, рациональное
Сечения
93
число такое, чтобы
Тогда
и
Таким образом,
есть представление числа U в виде произведения ниж-
него числа относительно X* на нижнее число отно-
сительно Y*. Следовательно, U есть нижнее число
относительно X*Y*.
Поэтому
(XY)* — X*Y*.
IV)
следовательно, в силу III),
(*)*/*,
/Ху: _ X*
“ Y* •
Теорема 156. Целые сечения удовлетворяют пяти
аксиомам для натуральных чисел, если за 1 при-
нять 1* и положить
(х*)' = (х'У*.
Доказательство. Пусть 3* — множество всех це-
лых сечений.
1) 1* принадлежит множеству 3*«
2) Вместе с х* в 3* содержится и (х*)'.
94
Глава 3
3) Так как всегда
х "ф. 1,
то
(х')*:£1*,
(X*)' ф 1 *.
41 Из (х*)' = (у*)'
следует (х')* = (/)*>
х'=У,
х=У,
х* = у*.
5) Пусть некоторое множество 2)1* целых сечений
обладает следующими свойствами:
.1) 1* принадлежит множеству 2)1*.
II) Если х* принадлежит 2)t*, то и (х*)' принадле-
жит 2)£*.
Обозначим через множество тех х, для которых
х* принадлежит множеству 2)i*. Тогда 1 принадлежит
множеству 2)1, и вместе с каждым х из 2)1 также х'
принадлежит 2)1. Следовательно, каждое целое число
принадлежит 2)1 и, значит, каждое целое сечение при-
надлежит 2)1*.
Так как, в силу теорем 154 и 155, между поня-
тиями =, >, <, суммы, разности (если она существует),
произведения и частного рациональных сечений и ана-
логичными старыми понятиями для рациональных чисел
имеется полное соответствие, то рациональные сече-
ния обладают всеми свойствами, доказанными нами
в гл. 2 для рациональных чисел, и, в частности,
целые сечения — всеми свойствами, доказанными для
целых чисел.
Поэтому отбросим рациональные числа, заменим их
соответствующими рациональными сечениями и будем
впредь говорить лишь о сечениях. (Однако, рациональ-
ные числа останутся как элементы множеств в понятии
сечения.)
Сечения
95
Определение 41. (Освободившийся теперь символ)
X будет обозначать рациональное сечение X*, на
которое мы перенесем также наименование „рацио-
нальное число"; точно так же на целые сечения мы
перенесем наименование „целое число".
Таким образом, теперь мы будем, например, вместо
писать
Теорема 157. Рациональные числа — это те и
только те сечения, для которых существует наи-
меньшее верхнее число X, причем тогда X и есть
данное сечение.
Доказательство. 1) X (рациональное число
в старом смысле) есть наименьшее верхнее число отно-
сительно сечения X (старого X*).
2) Если для сечения 5 существует наименьшее верх-
нее число X, то каждое нижнее число < X, каждое
верхнее число X и, следовательно, сечение совпа-
дает с X (старым Л"*).
Теорема 158. Пусть $ — сечение. X является ниж-
ним числом относительно $ тогда и только тогда,
когда
Х<1,
и верхним числом — тогда и только тогда, когда
Х>\.
Доказательство. 1) Если X—нижнее число
относительно то, поскольку X—верхнее число от-
носительно X (старого X*), имеем:
ев
Глава 3
2) Если X—наименьшее верхнее число относительно
;, то, по теореме 157,
3) Если X— верхнее число относительно £, но не
наименьшее, то возьмем какое-нибудь меньшее верхнее
число Xt. Тогда Хх есть нижнее число относительно X
и, следовательно,
Х>1.
Теорема 159. Если
$<»),
то существует Z такое, что
Доказательство. Выберем верхнее число X от-
носительно $, являющееся нижним числом относительно
-г], и затем какое-нибудь нижнее число Z относительно
т], большее, чем X. Тогда, по теореме 158, будем иметь:
5<Ar<Z<ii.
Теорема 160. Каждое
Z>r^
может быть представлено в виде
Z — XY, Х>1, Y^-t\.
Доказательство. Пусть С — меньшее из сечений
. Z— bi
1 и —г-гт; имеем:
(? + ip + 1 ’
Г < 1 г< z~^
’ ^(S + v]) + l •
Выберем, по теореме 159, Z, и Z2 такие, чтобы
5<Zx<S-4-C, 7i<Z2<7] + r.
Сечения
97
Тогда
ад < ($+0(71 + 0 = G + +
<(; + 0*1 + (И 1К = (^ + ”пО + ($+1) С =
=+ (G + ?1) +1Н < + (Z—ад = z.
В произведении
Z ~ Zj Z2
мы будем иметь
* = f- = z Т > ^z^ F = Z > ’’
Zo Z« Z2
F=Z2>7],
так что оно и будет давать требуемое разложение
для Z.
Теорема 161. Для каждого С уравнение
$$ = $
имеет точно одно решение.
Доказательство. I) Существует, самое большее,
одно решение. Действительно, из
*1>?2
следует
4’1 > ’2’2*
II) Рассмотрим множество тех рациональных чисел
X, для которых
XX <Д,.
Оно образует сечение. В самом деле:
1) Если
X < 1 и X < С,
то
XX < X • 1 = X < С
7 Зяк. 749, О. Лапдлу.
98
Глава 3
Если
1 и аг>:,
то
ХХ>Х- 1 = Х>С.
2) Из
X.Y<C, F<AZ
следует
кг< хх<Л-
3) Пусть
ХХ<?,.
г____________________
Обозначим через Z меньшее из сечений 1 и " ;
л -f- (л + 1)
имеем:
Т ' Л Т ' Z —XX
’ Z<A+(A+1)-
Тогда
X-\-Z >Х
(А4-Z) (*+2) = (А + Z) ,Y+ (А + Z) Z <
<(XX-}-ZX)-[(X-}-1) Z=r- YA'-L(%+(Y-Ll))Z<
< XX-^tt— XX) = Z.
Обозначим построенное нами сечение через Мы
утверждаем теперь, что
Действительно, если бы мы имели
и>с,
то, по теореме 159, существовало бы Z такое, что
££>Z >“.
Будучи нижним числом относительно К, Z имело бы
вид
Z = XrX2, Xi < £, Х2 <
Сече nisi
99
Обозначив через X большее из чисел /Yj и .V2, мы по-
гучили бы
Z<XY<C,
з противоречие с определением числа Z.
Если же мы имели бы
<г,,
го, по теореме 159, существовало бы Z такое, что
;; < Z<:.
По теореме 160, Z имело бы вид
Z = XxX2, Х^„ Х„>*.
Обозначая через X меньшее из чисел Хг и Х2, мы по-
лучили бы
Х>1,
Z>^>C,
что снова противоречит определению числа Z.
Определение 42. Каждое сечение, не являющееся
рациональным числом, называется иррациональным
числом.
Теорема 162. Существует по крайней мере одно
иррациональное число.
Доказательство. Достаточно показать, что реше-
ние уравнения
существующее по теореме 161, иррационально.
Но в противном случае £ было бы представимо
в виде
s __ у .
У ’
7*
loo
Глава 3
по теореме 27, среди этих представлений существовало
бы представление с наименьшим возможным у. Так как
__ te _ х х ____ хх
— ~ у '~У~~уу '
то мы имели бы
УУ < =
у < X < 1'у.
Положим
х—у = и.
Тогда
у + и =±= х < 1'у =у
и <_у.
Но вообще
(п -J- w) (У +— (У + V (У + w) w =
— (yv -f- ®V) -p- (p® ww) = (yv 1' (ют)) w,
Следовательно, Положив
у — u — t,
мы получили бы
хх — (у 4-и) (у 4~и) 4- и —
= (уу +1' (уи)) -4 («« 4- *0 =
— (уу 4- U'«) (и 4- 0) 4- (ии 4- Щ =
— (зсу4- 1'(«и))4-((1Ч«04-ии)4-Ю =
= (УУ + 1' (ии)) + (и и 0 (и 4- t) =
= (уУ -F 1' («и)) + УУ = 1' (Уу) + 1' (ии) —
= хх Г (ии),
И — 1'(ии),
/ _ / _j,
и и ~ ’
что противоречит, однако, предположенной минималь-
ности числа у, поскольку
и < у.
Глава 4
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Определение 43. Сечения мы будем теперь назы-
вать положительными числами; соответственно, мы
будем теперь говорить: положительное рациональное
число (взамен прежнего рационального числа) и по-
ложительное целое число (взамен прежнего целого
числа).
Мы создаем новое, отличное от положительных
чисел, число 0 (читается: нуль).
Мы создаем, далее, числа, отличные от положи-
тельных чисел и числа 0 и называемые отрицатель-
ными числами, так, что каждому $ (т. е, каждому
положительному числу) ставится в соответствие
отрицательное число, обозначаемое — $ ( — читается:
минус).
При этом — $ и —т] считаются за одно число
(т. е. равными) только тогда, когда $ и т] предста-
вляют собой одно число.
Положительные числа, число 0 и отрицательные
числа мы называем вещественными числами.
Прописные греческие буквы, если не оговорено про-
тивное, означают всюду вещественные числа. „Равно"
записывается символом =, „не равно" (отлично от) —
СИМВОЛОМ =£.
Таким образом, для каждого Е и каждого Н имеет
место одно и только одно из соотношений
Е = Н, Е ¥= Н.
Для вещественных чисел понятия тождества и равенства
сливаются, так что следующие три теоремы тривиальны:
Теорема 163. Е = Е.
Теорема 164. Из
S = H
102
Глава 4
Н = Е
Теорема 165. Из
следует
Е Н, II = Z
§ 2. ПОРЯДОК
Определение 44.
г е,
। ’
если Е = £,
если Е = 0,
если Е — — $.
Число [ Е | называется абсолютным значением числа Е.
Теорема 166. | Е| положительно для положитель-
ных и отрицательных Е.
Доказательство: определение 44.
Определение 45. Если хотя бы одно из чисел Е
и Н не положительно, то
Е>Н
тогда и только тогда, когда
либо Е отрицательно, Н отрицательно и ] Е [ < | Н
либо Е — 0, Н отрицательно,
либо Е положительно, Н отрицательно,
либо Е положительно, II — 0.
О читается: больше.)
Заметим, что для пары положительных Е и Н мы
уже имеем понятия > и <, причем последнее даже
использовано в одном из случаев определения 45.
Определение 46. Е < Н
тогда и только тогда, когда
( < читается: меньше,)
Вещественные числа
103
Заметим, что для пары положительных S и Н опре-
деление 46 находится в согласии с нашими старыми
понятиями.
Теорема 167. Для любых Е и Н имеет место
один и только один из следующих трех случаев'.
Е = Н, Е > Н, Е < Н.
Доказательство. 1) Если 3 и II положительны,
то мы знаем это из теоремы 123.
2) Если Е положительно, а Н = 0 или отрицательно, то
Е^Н;
далее, по определению 45,
Е>Н
и пэ определению 46
Е не < Н.
3) Если Е = О, Н положительно, тэ
Е^Н;
далее, по определению 45,
Е не > Н
и по определению 46
Е < Н.
4) Если Е —О, Н = 0, то
Е = Н,
Е не > Н,
Е не < Н.
5) Если Е — О, Н отрицательно, то
Е^Н,
Е > Н,
Е не < Н,
104
Глава 4
6) Если Е отрицательно, а II положительно или
Н = 0, то
Е не > Н,
Е < Н.
7) Если Е и II отрицательны, то
Е^П, Е > Н, £ не < : н для |Е|<|Н|
Е = II, Е не > II, Е не < :п для |2| = 1Н|,
Е _#Н, Е не > II, Е < 11 для |Е|>|Ц|.
Определение 47.
Е > II
означает
Е > Н или Е == II.
(^-читается: больше или равно.)
Определение 48.
Е<Н
означает
Е < И или Е = Н.
( читается: меньше или равно.)
Теорема 168. Из
Е>Н
следует
Н<Е
и обратно.
Доказательство: определение 46.
Теорема 169. Положительные числа—это числа > О,
отрицательные числа — это числа < 0.
Доказательство. 1) По определению 45,
£>0.
Вещественные числа
105
2) Из
S >0,
по определению 45, следует
E = L
3) По определению 46,
— £<0.
4) Из
Е < 0,
по определению 46, следует
Е — —
Теорема 170.
|S|>0.
Доказательство: определение 44, теорема 166
и теорема 169.
Теорема 171 (транзитивность порядка). Из
Е < Н, Н < Z
следует
Е < Z.
Доказательство. 1) Пусть
Z>0.
Если
Е> 0,
то
Н>0,
и мы приходим к старой теореме 126.
Если
Е<0,
то необходимо
Е < Z.
2) Пусть
Z==0.
106
Глава 4
Тогда
Н < О,
и, следовательно,
Е < О,
3) Пусть
Z<0.
Тогда
Н < О,
Е < 0.
Далее,
|Е|>|Н|, |H|>|Z|,
и, следовательно,
( Е|> |Z|,
Е < Z.
Теорема 172. Из
Е < Н, Н < Z или Е < Н, Н < Z
следует
Доказательство. При знаках равенства в пред-
положении— очевидно, в противном случае — уже уста-
новлено теоремой 171.
Теорема 173. Из
Е<Н, H<Z
следует
E<Z.
Доказательство. При двух знаках равенства
в предположении — очевидно;в противном случае — уже
установлено теоремой 172.
Определение 49. Если
Е <0,
Вещественные числа
107
то Е называется рациональным, когда
Е = 0,
либо когда
Е < 0 и | Е | рационально.
Таким образом, мы имеем теперь положительные рацио-
нальные числа, рациональное число 0 и отрицательные
рациональные числа.
Определение 50. Если
Е<0,
то £ называется иррациональным, если оно не рацио-
нально.
Таким образом, мы имеем теперь положительные
иррациональные числа и отрицательные иррациональные
числа. (Числа?— Да; мы указали одно иррациональ-
ное но тогда и всякое положительное число $ -f- X
иррационально, так как из
Е + У
следовало бы
$ = у— Х\
а — X) в таком случае всегда — отрицательное
иррациональное.)
Определение 51. Если
Е < 0.
то Е называется целым, когда
Е = 0,
либо когда
Е < 0 и | Е | — целое.
Таким образом, мы имеем теперь положительные
целые числа, целое число 0 и отрицательные целые
числа.
Теорема 174. Каждое целое число рационально.
108
Глава 4
Доказательство. Для положительных чисел мы
это уже знаем; для числа 0 и отрицательных чисел это
следует из определения 49 и определения 51.
§ 3. СЛОЖЕНИЕ
Определение 52.
—(I S |Д-|Н.), когда Е < 0, Н < 0;
4-Н = {—(|Н|—1Е1)
НД-Е
н
[Е| > |Н|;
, когда Е>0, Н<0, I s I = | Н |;
U Е| < |Н|;
, когда Е < 0, II > 0;
, когда Е = 0;
, когда Н — 0.
( Д- читается: плюс.) Е -|- Н называется суммой чисел
Е и Н или числом, получающимся путем прибавления
Н к Е.
По поводу этого определения заметим:
1) Для
Е > 0, Н > 0
мы имеем понятие ЕД-Н уже из определения 34.
2) Это понятие использовано также в определении 52.
3) В третьем случае рассматриваемого определения
используется понятие суммы из второго случая.
4) Четвертый и пятый случаи перекрываются, когда
Е = Н = 0,
но тогда и число, определяемое как сумма ЕД-Н, одно
и то же (а именно, 0).
Теорема 175 (закон коммутативности сложения).
Едн=нда
Доказательств6. При
Е = 0
Вещественные числа
109
оба числа равны Н; при
Н = 0
оба равны Е.
При
Е > О, Н > О
приходим к старой теореме 130.
При
Е <0, Н<0
имеем, по теореме 130,
Е4-Н = —(|Е|+|Н]) = —(|Н| + |Е|) = Н + Е.
При
Е < 0, Н > О
утверждение
ление.
При
теоремы было принято прямо за опреде-
Е > 0, Н < О
имеем, по предыдущему случаю,
Н + Е = Е + Н,
и, следовательно,
Е -f- Н = Н 4- Е.
Определение 53.
( 0 при Е = О,
( |Е| при Е <0.
( — читается: минус.)
Заметим, что при Е > 0 мы имеем понятие — Е уже
в определении 43.
Теорема 176. Если
Е > 0, соотв. Е = 0, соотв. Е < О,
то
— Е<0, соотв. —Е=0, соотв. —Е>0
и обратно.
по
Глава 4
Доказательство: определения 43 и 53.
Теорема 177. —( — Е) = 2.
Доказательство: определения 43, 44 и 53.
Теорема 178. | — S | = ] Е
Доказательство: определения 43, 44 и 53.
Теорема 179. Е-|-(— S) = 0.
Доказательство: определения 52, 53 и тео-
рема 178.
Теорема 180. — (Е + Н) = — 2 -J- ( — Н).
Доказательство. По теореме 175, имеем
-(Е-(-Н) = -(Н + Е)
и
-Е + (—H) = -H + (-S),
поэтому без ограничения общности можно предполагать,
что
Е>Н;
действительно, имеет место, по крайней мере, одно из
соотношений
Е > Н, Н > Е,
а из
_ (н + Е) = -Н + (-Е)
тотчас следует
_(Е + н)=-е-Н-Н).
Пусть, таким образом,
Е > Н.
1) Если
Е > О, Н > О,
-Е-Н-Н) = -(3 + Н).
Вещественные числа
111
2) Если
S > о, н = о,
то
— Е 4- ( — Н) = — Е -J- 0 = — Е = — (Е 4- 0) =
= -(Е4Н).
3) . Если
Е > О, Н<0,
то
либо
S>1H|,
и, следовательно,
Е + Н = Е-|Н|,
— Е 4-( —Н) = — Е 4-1Н | — (Е — |Н[) =
= -(Е + Н);
либо
Е = |Н|,
и, следовательно,
Е Ц-Н = О,
-Е4-(-Н) = -Е4-|Н| = 0 = -(Е + Н);
либо
Е < |Н I,
и, следовательно,
Е4-Н = -(|Н|-Е),
-Е4-(-в) = -Е4-|н| = |Н|-Е==-(Е4Н).
4) Если
Е = О,
Т° _Е + (_н) = 0 + (-Н) = -Н = -(04-Н) =
= -(Е + Н).
5) Если
Е<0,
112 ______________Глава 4_________________
то
Н<0,
E + H = -(|S|4-|H|),
-Е + (- Н) = |Е| +1 HI = -(3 + Н).
Определение 54. Е — Н — Е (— Н\
(— читается: минус.) Е — Н называется разностью Е
минус Н или числом, получающимся путем вычита-
ния Н из Е.
Заметим, что (как это и должно быть) определение
54 при
Е>Н>0
согласуется с нашим старым определением 35. Действи-
тельно, тогда
Е>0, —Н<0, |Е ]>| — Н|,
Е—Н)з=|Е| —| —Н| = Е—Н.
Теорема 181. —(Е—Н) = Н— Е.
Доказательство. По теоремам 180 и 177, имеем
•—(Е-—Н) = — (Е -|-(—-Н)) = — ЕН)) =
= — Е + Н = Н-Н — S) = H — 3.
Теорема 182. Из
Е — Н > 0, соотв. Е — Л — 0, соотв. 3 — И < 0
следует
Е>Н, соотв. Е = Н, соотв. Е<ТТ
и обратно.
Доказательство. Так как —Н также является
произвольным вещественным числом, то вместо — Н
можно писать Н и, следовательно, доказывать равно-
сильность соответственных случаев для
Е-(-Н>0, соотв. Е-]-Н = 0, соотв. Е-|-Н<0
Вещественные числа
ИЗ
и
Е>— Н, соотв. Е =— Н, соотв. Е<— Н.
Если тогда Е = О или Н = 0, то утверждение тео-
ремы очевидно. Если же ни Е, ни Н не равно нулю, то
в случае
Е>0, Н>0
и в трех первых случаях определения 52, если третий
разбить на три подслучая
[Hj>|E|, |Н| = |Е|, |Н|<|Е|,
мы будем и в предположении и в утверждении иметь,
соответственно, знаки
Теорема 183. Из
Е > Н, соотв. Е = Н, соотв. Е < Н
следует
— Е < — Н, соотв. — Е = —Н, соотв. — Е > — Н
и обратно.
Доказательство. По теореме 182, первое соот-
ветствует случаям
Е—Н > 0, соотв. Е—. Н = 0, соотв. Е — Н < О,
а второе — случаям
— Н—(— Е)>0, соотв.—Н — (— Е) = о,
соотв. —Н — (— Е) < 0;
но
-Н-(-Е) = -Н + (-(-Н)) = -Н + Е =
Теорема 184. Каждое вещественное число может
быть представлено в виде разности двух положитель-
ных чисел.
8 Зак. 749. Э. Ландау.
114
Глава 4
Доказательство. 1) Если
Е >0,
то
Е —(E-j-1) —1.
2) Если
Е = 0,
то
Е = 1 — 1.
3) Если
Е < 0,
то
-Е = |Е1 = (|Е| +1)-1,
Е = — ((j Е |1) — 1) = 1 — (| Е ] 1).
Теорема 185. Из
e=Ui_ еа, н=т|1—т]а
следует
Е -L Н = & 4- tiJ — ($2 + т|а).
Доказательство. 1) Пусть
Е > О, Н>0.
Так как
(“ + ?) + (-r + S) = (« + ₽) + (S + f) =
*=((« + ₽) + s) + 1 = 7 + (“ + Ф + 8)) =
= (т + «) + (Р + 8).
то тогда
(Е + Н) + fe + т]2) = + Th,
и, значит, утверждение теоремы справедливо.
2) Пусть
Е<0, Н<0.
Тогда, по теореме 181,
$2 —$1 = —Е>0, т|а — Th — — И > О,
Вещественные числа
115
и, значит, в силу 1),
- Е + ( - Н) = (S2 + т)8)-(Е1 + 71,),
Е + Н = -(-Е + (-Н)) = (Е1 + 711)-(Е3 + т12).
3) Пусть
Е > О, Н < О,
так что
51 — 5-2 > О, Т)2~ 7)1 >0-
А) Если
Е>|Н!,
то
51“ 52>7]2 —Tjj,
и, следовательно,
51 -Г ’ll = ((51 - 52) + 52) + 7)1 = (51 - s2) + (Е2 + 7)1) =*
= (52-Hi) + (5i-52) =
= (52+ ’11) + ((т]2 — 7)1) F (G1— Е2)— (Т)2— 7)1))) =±=
= ((5а + ’ll) + (7)2 — 7)i)) + (G1 — So) — (7)2 — 7),)) =
= (5а + (’ll + (’la — ’ll))) + ((51 — 52) — (7), — 7)P) =
= (5a + ’la) + ((51 — 5a) — (T].2 — Tit)),
(5i + ’ll) — (5a + ’la) == (5, — ?2) — (7)2 — 7)j) =
= E —|H| = E-[-H.
В) Если
E <|H I,
то, в силу A),
s H = - (-H + (-E)) = - ((T)2 - 7)i) + (S2_ Si)) =
= - ((’la + 5a) - (711 + 51)) - (7)1 + Si) - (T)2 + S2) =
=(5i +’ll) — (5a-|-’la)-
С) Если
S = |H],
так что
5i —5a = ’la—’ll,
8*
116
Глава 4
то
= 52 + (*12-flpi
5i + *11 = ^2 + *1а,
Е + Н^О^ + ть)-^-]-^.
4) Пусть
Е < О, Н > О.
Тогда, в силу 3),
н+ЕЧШЬ^Ш
s + h = ($1 + *;1)-G2 + ^).
5) Пусть
Е = О.
Тогда
51 — ^2>
E-f-H = H.
а) При
*11 >*1г
имеем
(*11-*1г) + (5} + *12^ — ((*11-*12) + *12) ^’1 =
= *)i+5i = $i +*11,
Н = *11 — *|2 = (5i + *li) — (51 + *12) =
= (5i + *11) — (52 + *12)’
Ь) При
*11 = *12
имеем
Н = О = (5, + *!!) — (52 + *12)-
с) При
*11 < *12>
в силу а), имеем
— Н = т|а — ти = (5г + *12) — (51 + *11).
Н = -(-Н) = (51 + ^1)-(52 + т;2).
6) Пусть
11 = 0.
Вещественные числа
117
Тогда, в силу 5),
Е+н = н + н = (т11 + е1)-(71а4-е2) =
= G1+’ii)-a3+^-
Теорема 186 (закон ассоциативности сложения).
(S + H)H-Z = E + (H + Z).
Доказательство. Согласно теореме 184, имеем
Л = $! Н = 7]1 — 7]2, Z = Cj ^2-
Тогда, по теореме 185, получаем:
(S + Н) + Z = ((^ + 70 — ($2 + 7]?) + (Cl - Q =
= (G1 + *11) + Q - ((5а 4- 7)2) + у =
= G1 + (*11 + Q) - (е2 + (712 + U) =
= G1 - е2) + ((7)! + Q - (7)2 + Q) =
= S + (H + Z).
Теорема 187. При заданных Е и Н уравнение
Н+Т=Е
имеет точно одно решение, а именно,
Т = Е— Н.
Доказательство. 1) Т = Е— Н есть решение,
так как, по теореме 186,
Н + (Е-Н)=(Е-Н) + Н=(Е + (-Н))+Н =
= Е + (-Н + Н) = Е+0 = Е.
2) Из
Н + Т = Е
следует
Е— Н = Е + (—Н) = — Н + Е = — Н Ц- (Н + Y) =
= (-н + н)4-т = о + т = т.
118
Глава 4
Теорема 188. Соотношение
Е + Z > Н + Z, соотв, Е Z = Н + Z,
соотв. E-|-Z<H-{-Z
имеет место тогда и только тогда, когда выпол-
няется соответственное соотношение
Е>Н, соотв. Е==Н, соотв. Е<Н.
Доказательство. По теореме 182, соотношения
из первой строки равносильны соответственным соотно-
шениям
(E4-Z) — (H+Z)>0, соотв. (Е-]-Z) — (Н + Z) = О,
соотв. (Е 4~ Z) — (H4*Z)<0;
и из второй строки — соответственным соотношениям
Е — Н>0, соотв. Е— Н — 0, соотв. Е — Н<0.
Но
(E + Z) — (H + Z)=(S + Z) + (-Z + (-H)) =
= (E-|-(Z + (-Z))) + (-H) = E + (-H) = S-H.
Теорема 189. Из
Е>Н, Z>T
следует
E+Z>H+K
Доказательство. По теореме 188,
E + Z >H + Z
и
H + Z = Z + H>Y + H = H + Y,
следовательно,
Е + Z >Н + Y.
Теорема 190. Из
Е Н, Z > У или Е > И, Z Г
Вещественные числа
119
следует
E + Z>H + Y.
Доказательство. При знаках равенства в пред-
положении— уже установлено теоремой 188, в против-
ном случае — теоремой 189.
Теорема 191. Из
следует
Е>Н, Z>Y
H + Z>H4-Y.
Доказательство. При двух знаках равенства
в предположении — очевидно; в противном случае —
уже установлено теоремой 190.
§ 4. УМНОЖЕНИЕ
Определение 55.
Б-Н =
— (|S||H|) при
| S 11НI при
0 при
Е > 0, Н<0
или а
<0, Н > 0;
Е <0, Н < 0;
Е = 0 или 11 = 0.
(• читается: раз,; впрочем, точку большей частью не
пишут.) Е Н называется произведением Е на Н или
числом, получающимся путем умножения Е на Н.
Заметим, что Е • Н при Е > 0, Н > 0 известно нам
уже из определения 36, что, кстати, и было использо-
вано в определении 55.
Теорема 192.
ЕЦ==0
тогда и только тогда, когда, по крайней мере, одно
из чисел S, Н есть нуль.
Доказательство: определение 55.
120
Глава 4
Теорема 193.
|ЕН| = |Е||Н|
Доказательство: определение 55.
Теорема 194 (закон коммутативности умножения).
ЕН = НЕ.
Доказательство. При Е > О, Н > 0 это — тео-
рема 142, в остальных же случаях — следует из опреде-
ления 55, так как правые части этого определения
(по теореме 142), равно как и разбиение на Случаи,
симметричны относительно Е и Н.
Теорема 195.
Н • 1 = Е.
Доказательство. При Е>0 это следует из
теоремы 151; при Е = 0— из определения 55; при
Е < 0, по определению 55, имеем
Е. 1= — (| Е | • 1) = — |Е| = Е.
Теорема 196. Если
Ez#0, Hz#О,
то
ЕН = |Е||Н|, соотв. ЕН = — (| Е 11Н |),
смотря по тому, будут ли числа Е, Н обаотрицатель-
ны (или оба неотрицательны), либо, соответственно,
одно из них отрицательно.
Доказательство: определение 55.
Теорема 197;
(- £)Н = Е(—Н)= — (ЕН).
Доказательство. 1) Если одно из чисел Е, Н —
нуль, то все три выражения равны нулю.
2) Если
Е:#0, Hz#0,
Вещественные числа
121
то, по теореме 193, все три выражения имеют одина-
ковое абсолютное значение | S 11 Н |, и по теореме 196
все три > 0, соответственно < 0, смотря по тому,
содержится ли среди чисел Е, Н точно одно, соответ-
ственно, ни одного или два отрицательных.
Теорема 198.
(- Е)(-Н) = ЕН.
Доказательство. По теореме 197,
(—Е) (—Н) = Е( —(—Н)) = ЕН.
Теорема 199 (закон ассоциативности умножения).
(EH)Z = E(HZ).
Доказательство. 1) Если одно из чисел S, Н,
Z — нуль, то в обеих частях мтверждаемого равенства
стоит 0.
2) Если
Ez£0, Н ф 0, Z#:0,
то, по теореме 193, обе части имеют одинаковое абсолют-
ное значение
(|E||H|)|Z| = |E|(|H||Z|)
и, по теореме 196, обе части > 0, соответственно
< 0, если среди чисел Е, Н, Z нет ни одного или
имеется точно два отрицательных или, соответственно,
среди этих чисел содержится точно одно или точно три
отрицательных.
Теорема 200.
$(т]—к.
Доказательство. 1) При
т]>С
имеем
122
Глава 4
и, следовательно, по теореме 144,
£ h — Q + ЕС = Ет;,
Е(т] —С) = Ет]—G.
2) При
Т) = С
имеем
Ет] = ЕС,
Е (tj — С) = Е • 0 = 0 = Ет; — ЕС-
3) При
*1 < С,
в силу 1), имеем
Е(С—т)) = ЕС— Ец,
Е (т| — С) = Е (— (С — т])) = — (Е(С — т;)) = — (ЕС - E7i)=
= Ет; — G.
Теорема 201 (закон дистрибутивности).
E(H-f-Z) = SH + EZ.
Доказательство. 1) Пусть
S > 0.
По теореме 184,
П = та — 7)2, Z = C1-C3,
тогда, по теореме 185,
h+z = (7114-c1)-(712 + c2),
следовательно, по теоремам 200 и 144,
S(H4-z) = E(7il4-c1)-E(7i2+c2) =
= (E*ii + SQ—(Е*12 + ЕУ >
и, значит, по теоремам 185 и 200,
S (Н + Z) = (St], - ЕТ]2) + (SC! - ЕСа) =
-= S (*11 - 712)+S Gt - с2) = ЕН 4- EZ.
Вещественные числа
123
2) Пусть
Е = 0.
Тогда
Е (Н + Z) = 0 = SH + EZ.
3) Пусть
Е < 0.
Тогда, в силу 1),
(-S)(H4-Z) = (-E)H + (- E)Z,
следовательно,
-(E(H + Z)) = (-E)H+(-E)Z,
Е (Н-|~ Z) = — ((— Е)Н-И- E)Z) =
= ~ ((- S) H) + (- ((- E) Z)) = EH 4- EZ.
Теорема 202.
E(H —Z) = EH —EZ.
Доказательство. По теореме 201,
E(H —Z) = E(H-f-(—Z)) = EH4-E(— Z) =
= EH + (—(EZ)) = EH — EZ.
Теорема 203. Если
E > H,
то из
Z > 0, соотв. Z = 0, соотв. Z < 0
следует
EZ > HZ, соотв. EZ = HZ, соотв. EZ < HZ.
Доказательство. Имеем
E — H>0,
и, следовательно,
(E—H)Z>0, соотв. (E — H)Z = 0 соотв. (E—H)Z<0,
124
Глава 4
смотря по тому, будет ли
Z > 0, соотв. Z = 0, соотв. Z < 0.
Так как, по теореме 202,
(Е - Н) Z = Z (Е — Н) = ZE — ZH = EZ - HZ,
то в этих случаях, по теореме 182,
EZ > HZ, соотв. EZ = HZ, соотв. EZ < HZ.
Теорема 204. Уравнение
НТ = Е,
где Е, Н — заданные числа и
Н#:0,
имеет точно одно решение У.
Доказательство. I) Существует, самое боль-
шее, одно решение. Действительно, из
ну1 = е = ну2
следует
0==НУ1-НУ3 = Н(Г1-У2),
и, значит, по теореме 192,
0 = У1-У2,
1 = ^2-
II) 1) Пусть
Н>0.
Тогда
у 1 „
1= — Е
Н
служит решением, так как
нт=н(| е) = (н|)е = 1 .е=е.
Вещественные числа
125
2) Пусть
Тогда
И <0.
служит решением, так как, в силу 1),
Е = |Н|^ е') = |Н|(-Т) = ( —|Н[)Т = НТ.
Определение 56. Число Т из теоремы 204 обозна-
чается (читается: Е на Н) и называется частным
Е по Н или числом, получающимся путем деления
Е на Н.
Заметим, что (как и должно быть) при Е >0, Н >0
это совпадает во старым определением 38.
§ 5. ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ДЕДЕКИНДА
Теорема 205. Пусть задано какое-нибудь разбиение
всех вещественных чисел на два класса, обладающие
следующими свойствами1.
1) Оба класса не пусты.
2) Каждое число первого класса меньше каждого
числа второго класса.
Тогда существует точно одно вещественное число
Е такое, что каждое II < Е принадлежит первому,
а каждое Н > Е — второму классу.
Другими словами: каждое число первого класса-^Е,
каждое число второго класса^-Е.
Предварительное замечание. Ясно, что, об-
ратно, каждое вещественное число Е порождает точно
два таких разбиения: одно — с совокупностью чисел
Н<^Е в качестве первого и Н > Е в качестве второго
класса, и второе — с совокупностью чисел Н<Е в ка-
честве первого и Н^Е в качестве второго класса.
Доказательство. А) Больше одного такого числа
Е существовать не может. Действительно, если бы два
126
Гла&а 4~
различных числа и Н2>
й1 < а2«
обладали утверждаемым свойством, то
в силу
U + * ) Е1 = Е1 + Е1 < Е1 + Е2 <Е2 + Е2 = (1 + 9 Е2;
должно было бы принадлежать как первому, так и вто-
рому классу.
В) При доказательстве существования требуемого
числа мы будем различать четыре случая.
I) В первом классе содержится положительное число.
Рассмотрим сечение, порождаемое следующим обра-
зом: положительное рациональное число входит в ниж-
ний класс, если оно принадлежит первому классу, не
являясь там наибольшим рациональным числом; в про-
тивном же случае (т. е. если оно является наибольшим
рациональным числом первого класса или принадлежит
второму классу), данное положительное рациональное
число относится к верхнему классу. Это — действитель-
но сечение. В самом деле:
1) Так как первый класс содержит положительное
число, то он содержит и каждое меньшее положитель-
ное рациональное число (такие существуют по теореме
158) и, в частности, такое, которое в первом классе
не является наибольшим. Таким образом, нижний класс
не пуст.
Так как второй класс содержит некоторое число, то
он содержит и каждое большее положительное рациональ-
ное число (такие существуют по теореме 158). Таким
образом, и верхний класс не пуст.
2) Каждое число нижнего класса меньше каждого
числа верхнего класса; действительно, каждое число
первого класса меньше каждого числа второго класса,
а возможное наибольшее положительное рациональное
число первого класса, во всяком случае, больше ка-
ждого числа нижнего класса.
Be щественные числа
127
3) В нижнем классе нет наибольшего положительного
рационального числа. Действительно, либо уже первый
класс не содержит такого числа; либо первый класс
содержит такое число, но тогда оно отнесено нами
в верхний класс, а среди положительных рациональных
чисел, меньших заданного, в силу теоремы 91, не суще-
ствует наибольшего.
Определяемое нашим сечением положительное число
мы обозначаем 3 и утверждаем, что оно удовлетворяет
поставленным условиям.
а) Пусть
Н<Е.
Выберем, по теореме 159 (с £ = Н, tj = Е при Н>0
з
и с $ = fqrf > ’’1 “ Е ПРИ Н<^0), число Z такое, чтобы
И <Z< Е.
Тогда Z есть нижнее число относительно S и, следо-
вательно, принадлежит первому классу; поэтому и И
принадлежит первому классу.
Ь) Пусть
И > Е.
Выберем, по теореме 159, число Z такое, чтобы
E<Z<H.
Тогда Z есть верхнее число относительно Е, притом
(по теореме 159) не наименьшее, и, следовательно, при-
надлежит второму классу; поэтому и Н принадлежит
второму классу.
II) Каждое положительное число лежит во втором
классе; 0 лежит в первом классе.
Тогда каждое отрицательное число лежит в первом
классе, и требуемыми свойствами обладает
Е = 0.
III) 0 лежит во втором классе; каждое отрицательное
число лежит в первом классе.
128
Глава 4
Тогда каждое положительное число лежит во втором
классе, и требуемыми свойствами обладает снова
Е = 0.
IV) Во втором классе содержится отрицательное
число.
Рассмотрим тогда следующее новое разбиение:
Н лежит в новом первом классе, если- — Н лежало
в старом втором классе;
Н лежит в новом втором классе, если — Н лежало
в старом первом классе.
Это разбиение, очевидно, удовлетворяет обоим усло-
виям теоремы 205. Действительно:
1) оба класса не пусты;
2) из
Hi < Н2,
по теореме 183, следует
— Н2 < -Нг
Кроме того, новое разбиение подпадает под случай I),
так как в новом первом классе содержится положи-
тельное число. Следовательно, согласно доказанному
в I), существует число Ех такое, что каждое
Н<ЕХ
лежит в новом первом классе, а каждое
Н>31
— в новом втором. Положим
й-j = л.
Тогда из
II < Е, соотв. II > 3,
следует, что
—Н > Ер соотв. —Н < Ер
т. е. что —Н лежит в новом втором, соответственно
новом первом классе, и, значит, Н—в старом первом,
соответственно старом втором классе.
Глава 5
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Определение 57. Комплексное число есть Пара ве-
щественных чисел Ej, Еа (взятых в определенном поряд-
ке). Мы будем обозначать комплексное число симво-
лом [Ер Е2]. При этом [Ер Е2] и [Нр Н2] считаются
одним и тем же числом (равными; пишем: = ) тогда,
когда
Е1 = Нр Е2 = На;
в противном же случае — неравными (различными;
пишем:
Строчные готические буквы будут всюду обозначать
комплексные числа.
Таким образом, для каждых двух j и имеет место
один и только один из случаев
Для комплексных чисел понятия тождества и равенства
сливаются, так что следующие три теоремы тривиальны:
Теорема 206. Х =
Теорема 207. Из
следует
У = 5-
Теорема 208. Из
следует
Определение 58. н=[0, 0].
Определение 59. е= [1, 0].
9 Зак. 749. Э. Ландау.
130
Глава 5
Таким образом буквы it и с сохраняются для вполне
определенных комплексных чисел.
§ 2. СЛОЖЕНИЕ
Определение 60. Пусть
S = [sp S21. V — [Hi, Н2].
Тогда
j + V = [siH-Hi, Е2-|-Н2].
(-|- читается: плюс.) j р называется суммой j и р
или (комплексным) числом, получающимся путем при-
бавления р к 5.
Теорема 209 (закон коммутативности сложения).
s + v = l? + s-
Доказательство.
[31 + Hi, в2 + н2] = [Н, + 21, Н2 + Е2].
Теорема 210. =
Доказательство.
[S1, 32] + [0, 0] = [Ej +0, Е2 + 0] = [Ер Е2].
Теорема 211 (закон ассоциативности сложения).
(x+p)+j=x+(v+j)-
Доказательство. Пусть
5 = [а1, а21> V= [Нр Н2], j=[Zj, Z2];
тогда, по теореме 186,
(J + V) = [®i + Нр S2 + Н2] -|- [Zp Z2] ==
= [(31 + Hl) + Zp (Еа + Щ) + Z2] =
= [31 + (Hl + Zi), E2 + (H2 + 7^] =
=[Ep E2] -|- [Hl Zp H2 Z2] = j-|-
Комплексные числа
131
Теорема 212. При заданных J, V уравнение
V + » = 5
имеет точно одно решение и, а именно, если
j=[Ei, Е2], I) = [Нр П21,
то
п = [Е1 —Нр е2— Н2].
Доказательство. Для каждого
и=[ЛД2]
имеем:
D + u^lH.+Tp Н2 + Т21,
и требование состоит в том, чтобы
Н^Г^Ер Н2 + Г2 = Е8.
Тем самым доказательство доставляется теоремой 187.
Определение 61. Число и из теоремы 212 обозна-
чается j — у (— читается: минус) и называется раз-
ностью j минус V или числом, получающимся путем
вычитания I) из J.
Теорема 213. j — у = п
тогда и только тогда, когда
Доказательство.
Et —Ht = Ё2 — Н2 = О
тогда и только тогда, когда
== Нр а2 = Н2.
Определение 62. — j = и — j •
(— слева читается: минус.)
9*
132
Глава 5
Теорема 214. Если
X=lsi> Е2],
то
— S=[-Ei> -Еа].
Доказательство. — [Еп Е2] — [0, 0] — [Еп Е2] =
= [0 — Et, 0 — Е2] = [—Ер — Е3].
Теорема 215. ~(—Х) = Х-
Доказательство. По теореме 177,
— (-Ei) = Si, -(— Е2)==Е2.
Теорема 216. j4~(— Х)~п-
Доказательство. По теореме 179,
Е1 + (- Е1)=0, Е2 + (-Е2) = О.
Теорема 217. — (X + V) = — X + (~ V)-
Доказательство. По теореме 180, полагая
X=lsi. E2L V = [Hp Н2],
имеем:
— (x + V) = Г—(Ei + Hj), — (Е2 + Н2)] =
= [-Е14-(-Н1), -S2 + (-H2)] =
= [-Ер-Е2]+ [-Нр - Н2]= —х + (- V).
Теорема 218. X ~~ V — X + (~ V)-
Доказательство.
[Sj-Hp Е3-Н2] = [Ер E2J + (-Hp -Н2].
Теорема 219. —(Х~V) = V — X-
Доказательство.
-(X—Р) == — (Х+ ( — Ю) = — х + (~ (~9)) =
=—x + v = v + (-x) = v—X-
Комплексные числа
133
§ 3. УМНОЖЕНИЕ
Определение 63. Пусть
X=[Si, 32], V = [Hn Н2].
Тогда
S V = [ЕА — Е2Н2) ЕхН2 + S2HJ.
(• читается: раз; впрочем, точку большей частью
не пишут.) j • V называется произведением % на i) или
числом, получающимся путем умножения J на ty.
Теорема 220 (закон коммутативности умножения).
Доказательство.
[S1( S2][HX, 3^ + 2^] =
= [НЛ—н232, H1S2 + H2S1] = [H1, Н2] [2р е2].
Теорема 221. = n
тогда а только тогда, когда, по крайней мере, одно
из чисел 5, равно п.
Доказательство. Пусть
S = lsi, S21> V = [Н15 Н2].
1) Из
J = n
следует
S1 = S2 = 0,
JV = [0 . Нх - 0 • Н2, 0 . Н9 + 0 • HJ = [0, 0] =п.
2) Из
V = n,
в силу теоремы 220 и 1), следует
= % = =
3) Из
XV = н
нам нужно вывести, что
J = и или V — И.
134
Глава 5
Мы можем поэтому предположить, что
т. е.
НХНХ +Н2Н2>0,
и должны доказать, что тогда
S = »>
т. е.
Ц1 = а2 ~ О'
По предположению,
s1h1-sa=0=s1h2+s2h1,
следовательно,
О = (ЕХНХ - Е2Н2) Нх + (ЕХН3 + E2Hj)H2 =
= ((ЕХНХ)НХ - (Е8Н2)НХ) + ((ЕХН2)Н2 + (E2Hj)H2) =
= (£х (НХНХ) - Е2(Н8Нх)) + (SX(H2H2) + Е2(НхН2)) =
= ((S1(HXHX) - е2(нхн2)) + s2(HxH2)) + ЕХ(Н2Н2) =
= ЕХ(НХНХ) + Ех(Н2Н2) = ЕХ(НХНХ 4- Н2Н2)
и, значит,
Ех = 0,
е2н2 = о = е2нх.
Так как хотя бы одно из чисел Нх и Н2 отлично от
нуля, то заключаем, что и
е2 = о.
Теорема 222. jc = j.
Доказате л ьство.
(Ех,Е2П1,0]=[Ех. I — е2.0, ех . 04-Е2.1] = [Ех,е2].
Теорема 223.
5(- е) = — 5.
Комплексные числа
135
Доказательство.
[ЕпЕ2] [-1,0] = [Е1 (-1) -е2-о, его + е2(- 1)] =
= [—Ер —Е2].
Теорема 224.
(—Х)9 = Х(—9) = ~(XV)-
Доказательство. 1) Имеем:
[-Ер-Е^НрЩ^
= [(-E1)H1-(-S2')H2,(-£i)H2+(-S2)HJ =
*= [-(2^)+ ЕзЩ, -(ЕД1.Д - E2HJ =
= [—(S1Hi — Е3На),—(EiHa-h S2Hp] -
= —([ЕрЕ2] [НрЩ]),
(-j)V = —Ш
2) В силу 1),
X (— I?) = (- v)x= - (%) = ~ Ш-
Теорема 225.
(- Х)(“ 9) = XV-
Доказательство. По теореме 224,
(— Х)(-9) = Х(- (-^)=ХР-
Теорема 226 (закон ассоциативности умножения).
(XV)? = X(^)-
Доказательство. В этом доказательстве мы для
лучшей обозримости, в виде исключения, будем поль-
зоваться сокращенной записью
(E + H) + Z = S + H4-Z,
(EH)Z = EHZ,
так что также
E + (H-f-Z) = E-}-H + Z,
Е (HZ) = EHZ.
136
Глава 5
Пусть
X—V~[H(,H2], g=[Z1,Z2].
(XV)8= кД 4~ [Zp Z2] =
— [(41Н, — ^Hg) Zj— (ijH2-р Z2,
(S1H1 - S2H2) Z2 + (3^2 + S2H,) ZJ =
= [ (ВД Z1 — S2H2Z1) — (31H2Z2 + ВД z2\
(c-jHjZa S2H2Z2) -j-(Еда, -|- a2H,Z,)[ —
= КЗДZ, + (- (W,))) + (- (E,H2Z2 + E2H1Z2)),
(E1h2z1 4- вда,) 4-(SiH,z2+(-(e2h2z2)))j =
= [£да, - (E2h2z, 4- s1h2z2 -f- Еда2),
(Еда + Еда, + е,н^2) - s2h2zj .
Так как
X (%) = (Ш
то перестановкой букв (Н вместо 3, Z вместо Н, Е
вместо Z) получаем отсюда
s (vj) = дал—дав, 4- HiZ2e2 4- вдз2),
(H1Z2E14- ВДВ, + HiZ^a) - H2Z2E2].
Принимая во внимание соотношения
EHZ = Е (HZ) = (HZ) Е = HZ3,
А + в 4-г = А 4-(в 4-Г) = (в 4 г) + А = в 4-г+А,
заключаем из сопоставления вычисленных выражений,
что
(XV)i = X(V5)-
Теорема 227 (закон дистрибутивности).
X(V + J)“^ + S5-
Комплексные числа
137
Доказатель с т в о.
[Ех, Еа] ([Н„ ВД + tZp Z2])=[E„ Е2] [H,4-Z„H24-Za]=
«=[E1(H1+Z1)-Ea(Ha4-Z3)) s1(H2+za)+s2(H1+z1)] =
=[(s>h, 4- s,z,) 4- (-(e2h2)+(-(e2z2))),
(siHa4-E1Za)-|-(E2H1-|-EaZ1)] =
= ^2H2) 4“ (-{Z, ^2^2\
(SiH2 4- ЗД) 4- (“iz2+s2zi)l
== [E,H,-2^2^24-2^,] 4-
4~ a2Z2> a1^2~ha2Zil =
«[2pE2] [HpHj + tSpSJ [Z,,Z2J.
Теорема 228. j (V — j) =JV~ &
Доказательство.
S (V — J)=S(V-H-J)) = SV4-S(-J) =
= W-H-(S8)) = $—SJ-
Теорема 229. Уравнение
V't = S>
где j, V заданы и
имеет точно одно решение и.
Доказательство. 1) Существует, самое большее,
одно решение. Действительно, из
V»i — S = VU2
следует
n = V«i — Vlt2 = V(ui— «з)>
откуда, по теореме 221,
и = и, — н2,
и, = п3.
138
Глава 5
2) Если
то
и
V = [Нр Н2],
н=н1н1н-н2н2>о,
служит решением, так как
(u = ([H„H2! [-b,-i])s =
-[н.-Ь +Н2-Ь,
Г HjHi + Н2Н2 — (HiH2) -|- НрТД _
— Н ’" н 14
= [i,O]S = ej = j.
Определение 64. Число и из теоремы 229 обо-
значается (читается: j на I)) и называется частным
£ по в или числом, получающимся путем деления j
на V-
§ 4. ВЫЧИТАНИЕ
Теорема 230. (j— =
Доказательство.
(s—v)-H = v+(s—9) = S-
Теорема 231. (s + V) — V —S-
Доказательство.
Теорема 232, j — (j — ty) = V-
Комплексные числа
139
Доказательство.
(J—9)4-9 = s-
Теорема 233.
(5—9)—8=?—(9+з)-
Доказательство.
(9 + 8)4-((5~ 9) —8) = ((5—9) —8)4-(84"9) =
= (((* —*;)—з) Ч-я) 4- v = (£—*;) Н-у = $
Теорема 234.
(х4~9) — 8 = S + (V — 8)-
Доказательство.
(5 4~ (9 — 5)) + 8 — 5 4- ((V — 8)4" 8) = 5 4" 9-
Теорема 235.
(J—9)4~8 = J—(9 — 8)-
Доказательство.
((? — 9) 4“ 8) 4“ (9 — 8) — (5 — 9) + (8 + (V — 8)) =
= (J—9)4-9 = ?-
Теорема 236.
(S-Н) —(9 + з) = 5 —9-
Доказательство.
(5 — 9) 4-(9 4-8) = ((5 —9)4-9)4-8 = 54-8-
Теорема 237.
(5_ 9) 4- (8 — u) = (s 4- з) — (V 4- ч)-
Доказательство.
((5 — 9) 4- (8 ~ «)) + (9 + и) =
=(х—9)4- ((8—и) 4- (it 4- 9))=
= (S—9) 4- (((8 — и) 4-1») 4- 9) = (J—9) 4- (8 4- 9) =
=(5—9)4-(9 4-8) =((S—9)4-9)4-8 = 54-8-
140
Г лай a 5
Теорема 238.
(J — V) — (g—u) = (S + «) — (V + J)-
Доказательство. В силу теоремы 237 и 235,
имеем:
((S + и) —- 0? + 8)) + (J — и) =
= ((?+«) +&)—«V + ?) + и) =
==(s+(«+«))—(v+a+u))=j-v-
Теорема 239. j — p = j— u
тогда а только тогда, когда
S + u = »? + J-
Доказательство: теоремы 213 и 238.
§ 5. ДЕЛЕНИЕ
Теорема 240. Если
то
Доказательство.
f»=4=s-
Теорема 241. Если
то
Доказательство. pj == jp.
Теорема 242. Если
комплексные числа 141
то
9
Доказательство.
Теорема 243. Если
то
J
_L = _L
з ад ’
Доказательство.
£ J / £ \
Теорема 244. Если
^п,
то
Л — Г X
3 5 3 ’
Доказательство.
/ I) \ f ь \
\ о / \ о /
Теорема 245. Если
'ОФ'Л, ^п,
8
Доказательство.
142
Глава 5
Теорема 246. Если
ЪФъ 8=£п,
то
Д3 = .L
93 V
Доказательство.
f (W = (у v)i = K-
Теорема 247. Если
$фп, и^Ьп,
то
Д__________________3 __ ?3
ц ’ и
Доказательство.
(т • I) «»)=т ("и" Н “ i ((т “) ’) =
“ f—i =(!’) *=»
Теорема 248. Если
^Фп, %фп, ифп,
то
s
II1
А '
и
Доказательство. В силу теорем 247 и 246,
имеем:
А?. А = (Еи) 3 = = _L
93 ’ и (93) и 9 (3«) 9 '
Теорема 249. Если
то
п
S ~ ”
Комплексные числа
143
Доказательство. jn = n.
Теорема 250. Если
ЪФ «>
Доказательство. jc = j.
Теорема 251. Если
тогда и только тогда, когда
S = V-
Доказательство. 1) Если
то, по теореме 250,
х
1
2) Если
то, по теореме 222,
S = V,
Теорема 252. Если
£ = А
9 и
тогда и только тогда, когда
JU = VJ-
144
Глава 5
Доказательство. При
утверждение очевидно.
Если же j zfz. и, то, по теореме 248,
г
9 __ ;ц
1. 93 ’
и
так что утверждение следует из теоремы 251.
Теорема 253. Если
то
s I 3 £ + 3
9 "Г 9 9 ’
Доказательство.
’Н+4)=’т+’1=!+»-
Теорема 254. Если
р ф и, и ф п,
то
S I 3 _ 8» + 93
X) ' и 911
Доказательство. В силу теорем 246 и 253,
имеем:
= = SU + 93
9 ' u 9u ' 9U 9»
Теорема 255. Если
то
Е J Е — 3
9 9 9
Комплексные числа
145
Доказательство.
S 3 \ „ S м 8 _т__.
Теорема 256. Если
pytn, U ф П,
то
I___з ;и —93
9 и 9п
Доказательство. В силу теорем 246 и 255,
имеем:
8 3 = ___V3._ gu —9з
9 it 9u 911 9it
§ 6. СОПРЯЖЕННЫЕ ЧИСЛА
Определение 65. Число
Х=[Е1, —Е2]
называется комплексно сопряженным с числом
J= [Еп Е2].
Теорема 257. j = г.
Доказательство.
[Ер — ( — 32)1 = [Si. Sal-
Теорема 258. j = п
тогда и только тогда, когда
5 = «-
До каз атель ство. Равенства
Ei = 0. — 32 = 0
10 Зак. 749. Э. Ландау.
166
Глава 5
Но
(((м-р-1) —у) 4~ «) -f-J = ((а -|- 1)—у) (у -|- п) =
= (((« +1)—j)+j)+» = » +
следовательно, по определению 70,
х и (»4-1)—(«4-1)
S f(«)= S f(«)* S f((« + («4-i))-i)=
n^y n = y n = 1
и X
= S S f(«).
n=y n-u-bl
Теорема 285. Пусть
У<х
и \(п) определено при
У <?п^х.
Тогда
X X 4-V
Sf(O= S ((«—»).
п = у п = у 4- v
Доказательство. Согласно определению 70,
левая часть утверждаемого равенства
(ж-Ь1) — у
= S 1),
п = 1
а правая (принимая во внимание, что у^п — v^x
при y-\-v^n^x-\~v)
((» + ©) + !)-(}/+-«)
*= S f(((« + (j'+^)) —1) —^);
п = 1
но здесь
((х 4-ti) +1) — (y+v) = (1+(%4-и))+((—»)+(—J>)) =
= (1 + (С* + ^) + (— »))) + (—J') =
— (1 + х)— j/ = (x+ 1)— у
Комплексные числа
167
и
((« + (У + т’)) —1) — v = (п "Н-У + т')) — С1 + ~
= ((«+^)+ ») + (—»+(—!)) =
= (((« + у) + + (-0) + (-!) =
s=((«+j')+ (» + (— »))) —1 = («+-V) —1-
Теорема 286. Пусть
у х,
f (п) определено при
у^п^х
и s (п) отображает числа п, для которых у -0-0,
на числа т, для которых у т^х. Тогда
f f(s(«))=
п=у п~у
Доказательство.
S, (я) = s ((Я +_у)— 1) — (у — 1)
отображает положительные я<^(х-|-1)—У на поло-
жительные /я<^(х-|-1)—У- Поэтому, в силу тео-
ремы 283,
£ f (*(«))= £ ((*((«+У)-1)) =
п=у п=1
(® + D— у (к-t-l) — у
= К f(^(«) + (J'-i))“ к f(«+0'-1)) =
п = 1 п = 1
(®+1)-«/ X
- К П(«+У)-1)= К Не-
обычно вместо
2 Г(«)
п=«/
пользуются также небрежной записью
fW + fO'4-1)4-... 4-Н*)
148
Глава 5
Определение 68.
I [SP sa] |=/s1sr+E2s2-
(| | читается: абсолютное значение.)
Теорема 264.
Г > 0 при j ф п,
( = 0 при j = п.
Доказательство: определения 68, 66 и 67.
Теорема 265.
I [Sn S21
Hsi> e2]|>|s2|-
Доказательство.
I [Ep E2] I I (Sp E2I 1 =
= FE +E,hJ>S1S1==|E1I|S11’
1 1 H 2 2 I >EaH2 = |E2||E2|.
Но из
EH>HH, E^>0, H>0
следует
E>H,
так как в противном случае мы имели бы
0<Е<Н,
ЕЕ<НН.
Тем самым теорема 265 доказана.
Теорема 266. Из
[Е, 0] [Н, 0] = [Н, 0] [Н, 0], Е>0, Н>0
следует
2 = Н.
Доказательство. Так как
[Z, 0] [Z, 0] = [ZZ —0 0, Z 0 4 0-Z] = [ZZ, 0],
Комплексные числа
149
то, в силу предположения,
[ЕЕ, 0] = [НН, 0],
ЕЕ = НН.
Если
Е>0,
то имеем
НН = ЕЕ > О,
Н> О,
и, следовательно, по теореме 161,
Е = Н.
Если
Е = О,
то получаем
НН = ЕЕ = О,
Н = 0 = Е.
Теорема 267.
list, 0] [|S|, 0]
Доказательство. Пусть
S= [Sj, s2b
Имеем:
list. 01 llsl, 0] = [|S| |S|, 0] = [S1H1 + E2E2, 0] =
= [EjEj —Ea( —E2), ЕД — Ea)+EaEj] =
= [Si, EJ [Ep —Sal=55.
Теорема 268. I SV I = IXI IVI
Доказательство. В силу теорем 267 и 261, имеем:
[1$1,0] [ IXV1» 0] = (5V) SP = (SV) (sW = (s?) (w) =
= ([ls|,0] [ 1X1,0]) (Uvl, 0] [R|,OJ) =
= ([ |sl> 0] [ ]v|, 0]) ([[S|,0] [|p|,0]) =
= [ixl Ipl—o-o, isi-o+o-hH [Jxi ipI-o.o,
Ixl-OH-O-I VI ] =
[|J| lv|. 01 Щ1И °b
150
Глава 5
и, следовательно, в силу теоремы 266,
159I = 15l Ы-
Теорема 269. Если
V п,
то
|±| — 1^1
I 9 I I 9 Г
Доказательство.
I v I > о,
}V = 5,
следовательно, по теореме 268,
.Ц'ы =151,
I j I _ Is I
I 9 I I 91 '
Теорема 270. Из
5 + 9 =«
следует
Isl + 1 Vl> 1.
Доказательство. Пусть
5= [2О S2], p= [H., H2J
По теореме 265, имеем:
и, следовательно,
lsl + lp|>Si4-Ht= 1.
Теорема 271.
Ij 4- vl <ls) +1 vL
Комплексные числу
151
Доказательство. 1) Если
S + V =
то левая часть утверждения равна 0 и, значит, пра-
вой.
2) Если
S + V Ф и
то, в силу равенства
ъ I Р = s И) = е
J + 1? ~ S + Ч S + ч
по теореме 270, имеем:
и, значит, по теореме 269,
I S I I I р I ,
I J + Р I ' I S + Р I ’
Is I +1VI =! J + v I (jT^Tj- + iT+vi) > I s + V I-
Теорема 272.
l-sl = lsl-
Доказательство.
( — Ej) ( — St) + ( — E2) ( — e2) = StBi + ^2-
Теорема 273.
|J-PI>I|J| — IVl I-
Доказательство. Так как
s = » + (j—Ю>
то, по теореме 271,
|5|<M + |S —Н
152
Глава 5
Поменяв местами J и V, получаем также
Iv—sl>lv| — Ixl
и, значит, в силу теоремы 272,
Is—vi = l-(v—s>l=iv —Si > I vl—1x1=
=—(lx I—IVI).
Но из
3>H, S> —H,
поскольку | H | есть либо H, либо — Н, следует, что
Е>|Н|.
Поэтому
lx—vl>|lsi—Ivll-
§ 8. СУММЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ
Теорема 274. Если
х < J,
то числа т^х нельзя взаимно однозначно отобра-
зить на числа п Г'у.
Под отображением я впредь в этом параграфе буду
всегда понимать взаимно однозначное отображение.
Доказательство. Пусть 2)? — множество тех X,
для которых утверждение теоремы верно при всех
у > х.
I) Если
1 <У,
то т = 1 нельзя отобразить на множество чисел п^у.
Действительно, если т~\ соответствует числу я = 1,
то для п — у не остается никакого т, если же т = 1
соответствует некоторому я > 1, то для п = 1 не
остается никакого т.
Таким образом, 1 принадлежит множеству 2R.
II) Пусть х принадлежит 2R и
лг -f- 1 <у.
Комплексные числа
153
Предположим, что имеется отображение чисел 1
на числа и рассмотрим два возможных тогда
случая.
а) Числу т — х -4 1 соответствует п=у. Тогда
числа т < х отображаются на числа п фу—1. Но
это невозможно, так как
х фу — 1.
Р) Числу т — х 4- 1 отвечает некоторое п — па < у.
Пусть т = т0 соответствует числу п — у, так что
»г0< х 1. Тогда мы можем ввести следующее видоиз-
мененное отображение чисел т х 1 на числа п фу\
( при тфтй, тфхф\ сохраняется старое отображение,
числу т = т0 соответствует п = л0,
числу т = хф1 соответствует п=у.
Но невозможность отображения такого типа уже была
доказана в а).
Таким образом, х 1 также принадлежит множеству
2)1, и утверждение теоремы доказано.
Так как доказательства нижеследующих теорем
275—278 и 280—286 вместе с соответствующими
определениями дословно совпадали бы для сумм и
произведений, то, во избежание длинных повторений,
мы вводим нейтральный символ ф, означающий либо
всюду либо всюду •, и, пользуясь им, проводим рас-
суждения сразу и для сумм и для произведений. Соот-
ветственно этому и вводимый ниже временно символ
заменяет два символа (2 Для и JJ для • ).
Всюду в дальнейшем под „определено" я понимаю
„определено как комплексное число".
Теорема 275. Пусть х фиксировано и f(/z) опреде-
лено для всех пфх. Тогда существует точно одно
9х(«)
(подробнее записывается
fc.fW.
154 Глава 5
сокращенно записывается
9 («) )>
определенное для всех п г'х и обладающее следующими
свойствами:
MI) = f(i).
М« + 1) = За; («) f (« + 0 пРи 11 < х-
Доказательство. 1) Покажем сначала, что суще-
ствует, самое большее, одно такое ах(п).
Пусть ц(п) и fy (п) обладают требуемыми свойствами
и —множество, состоящее из тех в^х, для кото-
рых
й(«) = Н/г)>
и всех п > х.
I) s(i)=f(i)=Hi);
таким образом, 1 принадлежит множеству 9){.
И) Пусть п принадлежит 9)1. Тогда
либо
п < х, g (и) = § (в),
следовательно,
3(« + 1) = 9(«) Ф f(« + l) = Hw) f (« + 1) =
= М« + О.
и, значит, п -f-1 принадлежит ЭЛ;
либо
в > х,
следовательно,
п —1 X,
и, значит, в 1 снова принадлежит 9JJ.
Поэтому ЭД есть множество всех положительных
целых чисел; таким образом,
0 (В) = (В)
для каждого в^х, что и требовалось доказать.
2) Покажем теперь, что для каждого х такого,
что |(в) определено при в^х, существует требуемое
Комплексные числа
155
Пусть — множество тех х, для которых это спра-
ведливо, т. е. для которых, раз только f (я) определено
при существует, и притом, в силу 1), только
одно требуемое дж(уг).
I) При х~1, если f(l) определено выражением
требуемого типа, будет
0®(1) = Ю)
(второе требование, вследствие невозможности нера-
венства п<1, отпадает). Таким образом, 1 принадле-
жит множеству 2R.
П) Пусть х принадлежит 3D?. Если f(n) определено
при то оно определено тем самым и
при так что здесь имеется, и притом точно
одно, требуемое gr(«). Тогда требуемыми свойствами
для случая х Д- 1 будет обладать выражение
дж(я) при п х,
Й®(х) # f(* + 1) при/? = хД-1.
Действительно, во-первых,
fcM(l) = ga,(l) = f(l).
Во-вторых, при
я <х
(так как тогда п Д- 1<х) имеем:
й®п (я + 1)= й® (/г Д- 1) = дж (я) f (я Д-1)
= д® и (л) f (п Д-1),
а при
п = X
имеем:
Й®+1(») =
9® т1 (ч Н-1) — 9® (*) f(x д-1) — g^+i (я) # f (п Д-1),
Таким образом, при
п < х Д-1
156
Глава 5
В Обоих случаях получаем:
fc+i (« + 1) = Ог+1 («) ^ f (« + 1).
Поэтому х 1 также принадлежит множеству Ti, и
содержит все положительные целые числа.
Теорема 276. Если f(n) определено при
то для соответствующих §х(п) и дг+1(л) имеет
место равенство
fc+1(*+ О = Чх(.х) * f(*4-l).
Доказательство. Это равенство содержалось
в самом построении в п- 2), II) доказательства
предыдущей теоремы.
Определение 69. Если f(n) определено при п^х,
то
ZfOO=<U*) ( = дж.|(*))-
п = 1
Если означает то пишут
2 f(»);
п = 1
если означает • , то пишут
Пп«).
п = 1
(2 читается: сумма; JJ читается: произведение.)
Вместо п в этих символах может стоять также любая
другая буква, обозначающая положительные целые числа.
Теорема 277. Если ((1) определено, то
К f(«) = f(D-
п = 1
Доказательство. g1(l)=f(l).
комплексные числа
157
Теорема 278. Если f(«) определено при
то
= i fw 0 f<*+1).
n = 1 n = 1
Доказательство: теорема 276.
Теорема 279.
2 S = m°L
п = 1
Доказательство. Пусть j фиксировано и Эй—
множество тех х, для которых выполняется утвер-
ждаемое равенство.
I) По теореме 277,
1
2 S==S = Xe = s[l,O].
п = 1
Таким образом, 1 принадлежит множеству Эй.
II) Если х принадлежит Эй, то, в силу теоремы 278,
х
2 s= 2 x+s = sk.oi-H[i,o] =
п = 1 п = 1
=5([х, 0] -|-[i,o]) = j[x4-1,0].
Таким образом и x-f- 1 принадлежит Эй.
Поэтому утверждаемое равенство справедливо для
всех х.
Теорема 280. Если f(l) и определены, то
К f(«) = f(l) * f(l + 1).
п - 1
Доказательство. По теоремам 278 и 277,
имеем:
i-1-i 1
X ((«)= К f(п) ф f(l + l) = f(l) * f(l + 1).
n=l n=l
158
Глава 5
Теорема 281. Если f(w) определено при у, то
® + ?/ ж у
X ((«)= К f(«)# К П* + «)-
п—1 п«1 м=1
Доказательство. Пусть х фиксировано и 2)1—
множество тех у, для которых выполняется утвер-
ждаемое равенство.
I) Если f (/г) определено при /г<х4-1,то, по тео-
ремам 278 и 277,
S f(«)= S f(«) # f(*+ 0 =
п — 1 n = 1
— S f (w) 3k f (x 4* n)-
n « 1 W = 1
Таким образом, 1 принадлежит множеству 2)f.
II) Пусть у принадлежит 2)£. Если f(n) определено
при п < х -|~ (у -|-1), то, в силу теоремы 278 (при-
мененной к x-f-y вместо х), имеем:
4-1)
X f(«)=
п = 1
(®+г/) + 1 х+у
= X f(«) = ct М((Х+.У)+1) ==
П - 1 п » 1
z ж У у
= ( Z ((«)# S + *f(x+(y4~1)) =
П8»1
X
= X r(«) *
n = 1
, v \
( X f (x + n) f (x + Су 4~ 0)) >
4Z»=>1 7
что, в силу теоремы 278 (примененной к у вместо х
и f(x-|-n) вместо ((«)),
ж г/ + 1
= К f(«)^ 2 f(* + »)'
п = 1 п = 1
Таким образом, также принадлежит 2R, и тео-
рема доказана.
Комплексные числа
159
Теорема 282. Если f(n) и g(n) определены при
п ^х, то
(С X X
S’ (f(«)^g(«)) = К f(«)# Kg(»)-
n = 1 П = 1 n = 1
Доказательство. Пусть 2R— множество тех x,
для которых выполняется утверждаемое равенство.
I) Если f(l) и д(1) определены, то
i
К (f («) #дОФ =f(i)*g(i) =
» = 1
= К f(«)# К g(«)-
п = 1 п = 1
Таким образом, 1 принадлежит множеству ШЕ
II) Пусть х принадлежит ШЕ. Если [(и) и д(я) опре-
делены при п^х-\-1, то, принимая во внимание, что
(S * Р) Ф (J Ф и) = ((г -К 9) 5) * и = (J # (J * V)) и =
= ((m) W * и = (5 * 5) £ (V * п) =
= (£^ф(Ми),
имеем:
2? 1
Sl g («))==
11 - 1
X
= К (f («) g («)) * (f(x+1) * g(x 4-1)) =
n - 1
= ( J f GO $ t g («)0 # (f (-^ + i) # g OH)^
\ n = 1 n = 1 )
! x \ / x
= 1 S(f(«) * f(*+1).; Ф ( S g(«) g(x + i)) =
n = l и = 1
® + 1 a? + 1
= S I (/z) j 0 (л)-
n = l n = 1
Таким образом, x 1 также принадлежит 2)i, и утвер-
ждаемое равенство верно для всех х.
160
Глава 5
Теорема 283. Пусть s(ri) отображает числа п < х
на числа т^х, и f(«) определено при п С х. Тогда
К f («(«))= J f(«).
п=1 п=1
Доказательство. Положим для краткости
f(s (я))=д(я).
Пусть 2Й— множество тех х, для которых утверж-
дение
К 9(«)= f(«)
Ия1 П—1
справедливо (при всех допустимых $ и f).
I) Если
X = 1,
то
s(l)=l,
так что, когда f(l) определено, имеем
К g(«) = g(i)==f(1)= К !(«)•
П=1 П=1
Таким образом, 1 принадлежит множеству 2Й.
II) Пусть х принадлежит 2Й. Пусть s(«) отображает
числа п х -1 на числа и f(«) опреде-
лено при п х 1.
1) Если
$ (х 4* 1) = х + 1 >
то s (п) отображает числа п х на числа т х
Тогда
К 9 («)= К f(«),
g(x + 1) = f(x+ 1),
комплексные числа
161
и, следовательно,
К s(«)= К s(«)#g(* + i)=
п=1 П=1
= i f(n) * f(* + l)=Tf(4
n=1 n—1
2) Если
s(x-|-l)<x-|-l, s(l)= 1,
to s(n) отображает числа n, для которых
1 -1- 1 п x 1, на числа m, для которых
1 следовательно, s(l-|-n)—1
отображает числа на числа т х. Поэтому
S 9 (1 п) = f(s О + п)) =
п—1 п=1
— f(1 + (9 (1 + я)—1))== fU + w)»
п — 1 п = 1
и, следовательно, в силу теоремы 281,
9(/г) = 9(О^ <jU+n)“
,»=1 п =1
= f(i)* f Ш + «) = i f(«)-
n = l n=*l
3) Пусть
s(x-[-1)<х-|-1, s(l)>l.
Положим
s (1) = a
и определим b условиями
1 b -«C x 1, s (Z>) == 1.
Тогда
я>1, 6>1.
Ц Зак, 749. Э, Ландау.
162
Г лава 5
а) Пусть а х ~|— 1.
Тогда, как 1 при п = 1,
(и) = а при п = Ь, s(n) при 1<и^х-|-1, пфЬ,
так и а при /z=l,
s2(n) = 1 при п — а, п при 1 < п х -f- 1, пфа,
отображают числа я-^х-Ц-1 на числа 1.
Но
s(n) = S2(Sj (я)) при
Действительно, s2 (st (и)) переводит
1 через 1 в a = s(l),
b через а в 1 = s (&),
веяное другое п х -|- 1 через s (л) в s (в).
«Ди) оставляет 1 на месте, a s2(/z) оставляет х-]-1
на месте. Поэтому, в силу 2) и 1), имеем:
К g(») = xK fW)) = К («))) =
П = 1 П = 1 П = 1
= К f(«2 («)) = К f(«)-
п = 1 п = 1
Р) Пусть
Тогда
а — х —|— 1, b х —1.
s3 (n) =
Ь при п = 1,
1 при п==Ь,
п при 1 <п х -j- 1, пфЬ
Комплексные числа
163
отображает числа п х -|- 1 на числа лг<^х-|~1- При
этом
s (и) = Sj (s3 (л)) при п х -f-1.
Действительно, Sj(s3(n)) переводит
1 через b в а — s(l),
Ь через 1 в 1 = s 0),
всякое другое п х -f- 1 — через п в s (л).
$3(л) оставляет х-^-1 на месте. Поэтому, в силу 1)
и 2), имеем:
К 0(«)= К f(s(«)) = К №i(ss («))) =
п = 1 п = 1 И = 1
X -+ 1 х 4-1
= j ((«1 («)) = к f («)•
п - 1 п = 1
7) Пусть
а — b = х -|- 1.
Если х=1, то равенство
® + 1 х +1
К <?(«) = К f(«)
п = 1 п = 1
тривиально.
Если же х > 1, то
f 1 при п — 1,
s4 (и) == { х -J- 1 при п = Л" 1,
[ s (л) при 1 < и < X -4- 1
отображает числа
на числа т х 1.
11*
164
Глава 5
Следовательно, в силу 1),
Z 0(«) = Z 0(«)# 0(*4~1) =
п = 1 И = 1
(д? — 1 \
0(1)# К 0(«4-1)) # й(% + 1) =
(аз—1 \
Z й(«-М)^0(* + 1)) =
п = 1 /
(Q3 ' — 1 \
д(х4-1)ф 9 («+О) # 9(1) =
п = 1 /
(х — 1 \
f(s(x+l))$ S f(s(«+D))^f(s(l)) =
n=l J
(Д> - 1 \
f(1) * К f(^(« + i))Uf(x4-i)=
п— 1 /
= (f(Ml)) -:/K f(S4(«+l))Uf(S4(*+l)) =
\ re = 1 /
= К f(*4(«))^ f(S4(*+l)) =
n «1
aj-f"1 o?4«l
= Z f (s4 («)) = £ f('O •
ra->l ra = l
Итак, во всех случаях x -|-1 также принадлежит
множеству 2)i, и теорема доказана.
В определении 70 и теоремах 284—286 латинские
буквы обозначают исключительно целые (не обязательно
положительные) числа.
Определение 70. Пусть
У<х
и f(д) определено rip и
У п <С х.
Комплексные числа
165
Тогда
х (а:+1)—у
£f(«) = S (((«Ч-лО—!)•
п=у п=1
Вместо п может стоять также любая другая буква,
обозначающая целые числа.
Заметим, что
х-4- 1 >У> У «У 4-j)—1 ПРИ 1 4-1)—у,
и что при у=1 определение 70 (как и должно быть)
находится в согласии с определением 69.
Теорема 284. Пусть
У
и пусть f(«) определено при
У ^.п^х.
Тогда
хи X
к f(»)= к f(«)# к f(«) •
п=г/ п=у n = u-f-l
Доказательство. По определению 70 и теоре-
ме 281, имеем:
X (»+!) — у
Z f ((« Ч-Л') —!) =
п—у л«=1
(м + 1)—у
= z f((«4-^)—1)ф
и = 1
S Ц((((и-|-1)—_у)4-/г)’4~У) —1)>
п = 1
так как
((«+ О—у) + (х — и) =
= (X+(-«))+((« +1)+(-Л) =
~ С* ЧЧ(—и) 4~ (и 4~!))) 44 —у) — (х 4- О у-
166
Глааа 5
Но
(((и + 1) —у) 4- п) у = ((И 1) — J) 4- (у 4- п) =
= (((«+ О—^)4-j)4-« = «4- («4-1)>
следовательно, по определению 70,
х и (а:-(-1)—(«4-1)
S' f(«)= К Г(«)Ф К f((«4-(«4-1))-1)=
П = у П = у П = 1
и X
= Kf(»)# к f(«).
п- у и = « + 1
Теорема 285. Пусть
У<х
и \(п) определено при
у ^п^х.
Тогда
х х 4- v
Sf(«) = К f(n — V).
п = у n -. y i - г,
Доказательство. Согласно определению 70,
левая часть утверждаемого равенства
(ir-1-l)—у
= К f((»4-J)—О>
и = 1
а правая (принимая во внимание, что у^п— v-^x
при
((ж 4-») + 1) — {у -I- »)
*= К f(((« + (^4-®))—О —®);
и = 1
но здесь
((х 4-®) 4-1) - СУ4- V) = (i4-(x4-w))4-((-Ti)4-(-ji)) =
= (1 ((х 4- v) 4- (- г/))) 4- (-у) ==
— (14- х)—у = (х 4-1) — у
Комплексные числа
167
и
((« 4- (у +*0) —О—® = (« -Ну + *0)—U + ч) =
= ((«4-з0 4-^) + (—^ + (—1)) =
= (((«+у) + *0 4- (—*0) + (— О =
5=((«4-з04-(г'4-(— ®))) —1 = («4-34 —1-
Теорема 286. Пусть
у х,
f (п) определено при
у^п <х
и s(я) отображает числа п, для которых у ^п^х,
на числа т, для которых у т х. Тогда
f f(s(«)) = f ((«)•
п—у п~у
Доказательство.
S, (л) = S ((« +^)— 1) — (у — 1)
отображает положительные л^(х-|-1)—У на поло-
жительные —У- Поэтому, в силу тео-
ремы 283,
гс (я?4-1)—у
К f (*(«))= £ f(4(«4-30-i)) =
п = у п = 1
(x+D-y (х + 1)—у
= К ((*!(«) 4-(3,-1))= £ f(«+Cy —1)) =
п = 1 п = 1
(®+1)-г/ х
= К f((«+3d-i)=
=
га = 1
Обычно вместо
пользуются также
2f(«)
п=у
небрежной записью
ГО) + f (У + 1) + ••• +f<x)
168
Глава. 5
(и аналогично для произведений); однако вполне безу-
пречна лишь, например, запись
f(i) + f(i + D + f((i + D+i) +
+ f(((i + D+i) + D,
другими словами,
а-|-Ь + с + Ь>
что, таким образом, по определению сводит дело к ста-
рому сложению и означает
((а —Ь) -Ц- с) Ь,
либо, например, запись
abcbfg^iffinopqrftuViDjpj.
Можно также спокойно писать, например,
а — Ь-|- с
в смысле
а + (—Ь) Н-с,
так как под такой записью всегда понимается
f(D + f(l + l) + f((l + D+ 1)
с
f(l) = a, f(i + l) = -b, f((i + 1)+ i) = c.
Теперь строчные латинские буквы будут снова обо-
значать положительные целые числа.
Теорема 287. Если f(«) определено при п^х, то
существует Е такое, что
X
12 f(«)l<s,
п = 1
2 [|f(«)|, 0] = [S, 0].
п = 1
Доказательство. Пусть 9R — множество тех х
для которых такое Е существует (при любом f (л)).
Комплексные числа
169
I) Если f(l) определено, то
I2 f(«)| = if(i)l.
1 п = 1
.2 [If(«)|,0] = [|f(l)1,0].
п = 1
Поэтому при х = 1 требуемым свойством обладает
s=|f(i)|.
Таким образом, 1 принадлежит множеству ПК.
II) Пусть х принадлежит 2JZ. Если f (я) определено
при я < х -J- 1, то существует такое, что
I 2
П = 1
2 [lf(«)|, 0] = [Е1) 0].
п = 1
Но, согласно теоремам 278 и 271,
I 2\(«)1 = 12 г(я)-н(*+ и 1<
п - 1 п = 1
<| 2t(«)l+lf(^+1)Ksi + if(^ + *)•
п = 1
Следовательно, положив
S = Si+|f(x + l)|,
будем иметь
аз+1
С другой стороны, по теореме 278,
2 I|f(«)l, о]= 2 [|f(«)l,о] + [,f(x +1)|, oi =
п=1 п=1
= IS1, О ] + [ |f(x+ 1) 1, 0] =
= [S1 + lf(x + 1) I, 0 4- 0J = [Е, 0J.
170
Глава 5
Таким образом, £ обладает требуемыми свойствами
для случая x-j-1. Следовательно, х -J-1 также при-
надлежит множеству 9Ji, и теорема доказана.
Теорема 288. Если )(«) определено при п^х, то
II П fOOl, о]= П 1К(«)1, 0].
п - 1 п = 1
Доказательство. Пусть —множество тех х,
для которых выполняется это равенство.
I) Если f (1) определено, то
[| Пf(«)L 0] = [If(i)I, 0]= п (lf(«)i, 0].
п = 1 п = 1
Таким образом, 1 принадлежит множеству 2К.
II) Пусть х принадлежит Ш1. Если f (я) определено
при x-J- 1, то, в силу теорем 278 и 268,
П 0] = П (lf(«)l. 0] . [И(х+ 1)1, 0] =
п = 1 п = 1
= 0] . [If(x-bl)|, 01 =
n = i
= [1 ITf(«)l - if(Ar +1)1—0 - о,
?2==1
| П f(«)l • 0 + 0 • |f(x +1)|] =
= [|IIf(«)|- lfO +1)1. о] =
П = 1
= 11 И f(«>-1)1» О] = [|Ш(«)1> °]-
и=1 п=1
Следовательно, л! -J- 1 также принадлежит множеству
и теорема доказана.
Комплексные числа
171
Теорема 289. Если Цл) определено при п^х, то
ftf(«)==n
п—1
тогда и только тогда, когда
f(«) = n
для некоторого п х.
Доказательство. Пусть 3R— множество тех х,
для которых справедливо утверждение теоремы.
I) Равенство
П = n
п = 1
тождественно с
Г (1) = п.
Таким образом, 1 принадлежит множеству Ш1.
II) Пусть х принадлежит 2Л. Равенство
lJf(n) = n
п = 1
означает, что
ft ((«)• f(*+ 1) = и;
«—1
но по теореме 221 для этого необходимо и достаточно,
чтобы
U f(«) = п или f (х-|- 1) = п,
п=1
т. е. (так как х принадлежит множеству 2R) — чтобы
| (п) = п при п х или при п — х 1.
Таким образом, х -|- 1 также принадлежит и тео-
рема доказана.
т
Глава 5
§ 9. СТЕПЕНИ
В этом параграфе строчные латинские буквы будут
обозначать целые числа.
Определение 71.
JJ j при х>0,
Л = 1
е при j ф п, х = О,
е
при j ф н, х < 0.
(Читается: J в степени х.) Таким образом, не опре-
делено лишь при
j= п, х< 0.
Заметим, что при
j ф п, х < 0,
согласно первой строке определения 71 и теореме 289,
S1*1 Ф п.
е
так что в этом случае имеет смысл.
Теорема 290. Если
ЪФ*.
то
Iх Ф*-
Доказательств о. Для х > 0 это следует из
теоремы 289, для х = 0 — из определения и для
X < 0 — из того, что
Теорема 291. J1 —5-
1
Доказательство. = П 5 = £•
Л =1
Теорема 292. Если
х > О
Комплексные числа
173
или
S Ф «, V Ф п,
то
(СТ)Ж = ГГ-
Предварительное замечание. Обе части во
всяком случае имеют смысл, так как при х <7 0, в силу
предположения,
СТСТ«-
Доказательство. 1) Пусть, при фиксированных
j и ty, ЭЛ — множество тех х > 0, для которых
(CT^SCT®-
I) По теореме 291,
(СТ)1 = СТ = 5¥-
Таким образом, 1 принадлежит множеству Ш1.
II) Если х принадлежит 9Ji, то
л + 1 X
(СТ)жП =П (СТ) = П (СТ) • (СТ) = (JCT®) (СТ) =
П = 1 «= 1
= (n) (rv)=(П s • s) (П v ст) =
п = 1 п - 1
х 4-1 х + 1
= 11 s П v=^+1r+1,
п = 1 п = 1
и, следовательно, х-|-1 также принадлежит 991.
Таким образом, при х > 0 всегда
(СТ)Ж = СТСТ-
2) Пусть
Х = 0, V#:«.
Тогда
(j#)® == е == ее =
3) Пусть
х < 0, j ф п, ф п.
174
Глава 5
В силу 1), тогда
и, следовательно,
е е _ е е
(Я?)1*1 ~ Т7 ‘ V1*1 ’
Шх = ^х-
Теорема 293. еж —с.
Доказательство. В силу теоремы 292,
е®е == еж = (ее)® = е^е®,
п == е^е® — сже = еж(еж — е),
следовательно (в силу теоремы 290 и 221),
с®—е = п,
с® == с.
Теорема 294. Если
х > 0, у > О
или
то
= £ж+у.
Доказательство. 1) Пусть
х > 0, у > 0.
Тогда, в силу теоремы 281,
5^ = Й £ • П S = II £ = Sa,‘
п - 1 п= 1 Л = 1
2) Пусть
причем либо х < О, либо у 0.
Комплексные числа
175
а) Пусть
х < 0, у < О.
Тогда, в силу 1),
jWjiy = jw+lyi = ji*+/
се е
5 i*i ‘ ijzi
4 4 «г
е
—----= гХ + У
[Х+у| <5
р) Пусть
х > О, у < О.
Тогда
^ = ^ = 7
4 4
А) При
х>1у1,
в силу 1), имеем:
tx ly) x-lyl
-2__ —____ii_______,=3 rx—lyl —.
rIXl rlyi ° 6
e 4
В) При
x = \y\
имеем:
_|L =е = ?0 = 5Ж+г/.
С) При
х<\у\,
в силу 1), имеем:
гз? г*®е е
£1»1 гЯг1^-® г^1_® ,2/1 ~ ЪХ*У-
4 4 4 4
у) Пусть
х< О, J, > 0.
Тогда, в силу (3),
= JS/J® = J2/ + ® = J® + 2/_
X — 0.
3) Пусть
176
Глава 5
Тогда
= ejs/ = -ff == jO+y __ j®+y.
s) Пусть
x ф О, у = О.
Тогда, в силу 8),
= £» + !/.
Теорема 295. Если
то
г®
s_ _ «в-у
J» 4
Доказательство. По теореме 294,
уу-у-уу = ^-у1+у = J®;
так как при этом, по теореме 290,
то
Теорема 296. Если
то
Доказательство. По теореме 295,
__ __ А— -—. rO — X — Т — X
^х ^х б б
Теорема 297. Если
х > 0, у > О
или
s¥=n,
то
Комплексные числа
177
Доказательство. 1) Пусть
J = п, х > 0, у > 0.
Тогда, по теореме 289,
— п = № = 1ху.
2) Пусть
J Ф и-
al Пусть J, х фиксированы и 2ft — множество тех
у > 0, для которых
W = S^-
I) (5Ж)1 = 5Л’ = Г-1-
Таким образом, 1 принадлежит множеству 2ft.
II) Пусть у принадлежит 2ft. Тогда, по теореме 294,
(Г)У+1 = (Г№)
— т®
и, значит, v-|-1 также принадлежит 2ft.
Таким образом, при у > 0 утверждение теоремы
справедливо.
Ь) Пусть
y = G.
Тогда
^ = е = 5^.
с) Пусть
J<0.
Тогда, в силу а ,
(
и, следовательно, по теореме 296,
(тх\у =----— = —е-г- = —-— = х~ (х\у ।) = т?у.
I (г®; Iх-'1/1 ° 6
]2 За*к. 749. Э. Ландау.
178
Глава 5
§ 10. ВКЛЮЧЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
Теорема 298.
[S + H, 0] = [Е, 0] +[Н, 0];
[Е —Н, 0] = [Е, 0] —[Н, 0];
[ЗН, 0] = [Е, 0][Н, 0];
“О пР“ Н> 0:
[ —Е, 0] = — [Е, 0];
|[2, 0] | = i:ei.
Доказательство.
1) [5, 01 +[Н, 0] = [Е + И, 0+ 0) = [Е + Н, 0].
2) [Е, 01 —[Н, 0] = [Е —Н, 0 — 01 = [Е —Н, 0].
3) [Е, 0][Н, 01 = [ЕН —0-0, Е-О + О-Н) = [ЕН, 0].
4) В силу 3), при Н =# 0 имеем:
[Н, 01 о] = [н-|,о]= [Е, 0J,
о]
[Н, о] 1 Н ’ 1
5) — [Е, 0] = [ —Е, —0] = [ —Е, 0].
6) I = УЖ1 = /23 = /23+0 •'0 = | [Е, 0) | .
Теорема 299. Комплексные числа вида [х, 0] удо-
влетворяют пяти аксиомам для натуральных чисел,
если за 1 принять [1,0] и положить
[х, 0]' = [х', 0].
Доказательство. Пусть [31—множество чисел
[х, 0].
1) [1, 0] принадлежит множеств}' [31-
2) Вместе с [х, 0] также [х, 0]' содержится в [31.
Комплексные числа
179
3) Так как всегда х'^ 1,
то [х', 0] ф [1, 0], [х, 0]' ф [1, 0].
4) Из [х, 01'= {у, 0]'
следует: [х', 0] == [у', 0],
х'=у',
х—у,
[х, 0] = [у, 0].
5) Пусть множество [2R] чисел из [$] Обладает сле-
дующими свойствами:
I) [1, 0] принадлежит множеству [2R],
II) Если [х, 0] принадлежит [2)i], то и [х, 0]' при-
надлежит [2R].
Обозначим через 2>i множество тех х, для которых
[х, 0] принадлежит [2R]. Тогда 1 принадлежит 2К и
вместе с каждым х из 2R также х' принадлежит ЙК.
Следовательно, каждое положительное целое число х
принадлежит множеству 2R и, значит, каждое [х, 0] —
множеству [2)1].
Так как, в сил}' теоремы 298, между понятиями
суммы, разности, произведения и (в случае его суще-
ствования) частного двух чисел вида [Е, 0], с одной
стороны, и аналогичными понятиями для вещественных
чисел, с другой стороны, имеется полное соответствие
и то же верно для символов — [Е, 0] и | [Е, 0] |, и так
как мы можем принять в качестве определения, что
[2, 0] > [Н, 0] при Е>Н,
[-, 0] < [Н, 0] при Е<Н,
то, таким образом, комплексные числа вида [Е, 0] об-
ладают всеми свойствами, доказанными нами в гл. 4
для вещественных чисел, и, в частности, числа [х, 0] —
12*
180
Глава 5
всеми свойствами, доказанными для положительных
целых чисел.
Поэтому отбросим вещественные числа, заменим их
соответствующими комплексными числами [Е, 0] и будем
иметь дело только с комплексными числами. (Однако,
вещественные числа сохранятся парами в понятии ком-
плексного числа.)
Определение 72. (Освободившийся теперь символ)
Е будет обозначать комплексное число [Е, 0], на
которое мы перенесем также наименование веще-
ственное число. Равным образом, [Е, 0] будет теперь
называться целым числом при целом Е, рациональ-
ным числом при рациональном Е, иррациональным
числом при иррациональном Е, положительным чис-
лом при положительном Е, отрицательным числом
при отрицательном Е.
Таким образом, например, вместо и мы будем пи-
сать 0, а вместо е будем писать 1.
Теперь мы можем обозначать комплексные числа
строчными или прописными буквами любого алфавита
(притом не обязательно одного и того же). Однако, для
одного особого комплексного числа обычно употреб-
ляется специальная строчная латинская буква.
Определение 73. I = [0, 1].
Теорема 300. И ==—1.
Доказательство.
[0, 1] [0, 1] = [о-о— 1.1, о.14-1-о] =
= 1—1, 0] = - 1.
Теорема 301. Для вещественных uv и2 имеет
место равенство
4“ 42i — [йр и^.
Таким образом, для каждого комплексного числа х
существует однозначно определенная пара веще-
ственных чисел иг, и<Л такая, что
х — ut u$i.
Комплексные числа
181
Доказательство. Если «2 вещественны, то
ui 4~ «г'- = [“р 0] 4" 1«2» 0] [0> И —
= [“1. 0] + [и2 • 0 — 0 -1, «2 • 1 + 0 • 0] =
= [«1, 0] -L [0, «21 = [«1, «21-
Теорема 301 делает излишним употребление символа
[ J. Комплексные числа—это числа и, -1- «2!’> где иг и и2
вещественны; равным, соответственно различным парам
и,, z/2 соответствуют равные, соответственно различные
числа, и сумма, разность, произведение двух комплексных
чисел «j u2i, г», -L vtf (где «1» «2> vu v2 веще-
ственны) образуются по формулам
( «1 + «г') + 0Д + ®2!) = («1 + + («2 +
(«1 + «2!) — (®1 + ®20 = («1 — ®1) + («2 — 1>
(и1 + и2?) (г>1 4- t»2?) = (и,®, — и2г»2) 4- (ntu2 4- u2Vj) i.
При этом нужно запомнить даже не сами эти формулы,
а только то, что вычисления с комплексными числами
подчиняются тем же законам, что и вычисления с ве-
щественными числами, причем, кроме того, имеет место
теорема 300; тогда указанные выше формулы для
суммы, разности и произведения двух комплексных чи-
сел получаются следующим простым вычислением:
(“1 + «гО 4" 4~ М — («4 4~ ®i) 4~ («а* + ®20 =
= («1 4~ '«I) 4~ («2 4~ V2) h
(«14-и2;) — (^14-г>2'4 = («! — vt) 4~(“2; — ®2!) =
= (“1— ®l) + («2 — 04
(«1 4~ «2г) (*«1 V2') — (и1 ~Ь «20 V1 4~ («1 4" «2г) V2 —
~ Ulvl + «2гг,1 4“ «1г,2г’ 4~ u2iv2i =
= 4- u^i 4- И11>2! 4- u2v2 ( — 1) =
= («1г>1 — н2^2) 4- (и^2 4- i.
182
Глава 5
Что касается деления, то в предположении, что vi
и т>2 не оба равны нулю, вычисление дает следующее
каноническое, в смысле теоремы 301, представление част-
ного двух комплексных чисел:
щ + w _ (»i + (Vi — Vji) __
t?i 4- и2г (oi + v2i) (щ — v2i)
_ (“1V1 + u2v2) + < — (UiVj) i
+ v2v2) + ( — (Ojtio) + V.V1) i
— + ( — (»1»2) + UjVi'l i
ViVl + V2v2
UjVx + U2v2 , — (Uiv2) 4- u2vt .
Oltlj 4- 02^2 vtv 1 4- V2V2
ОПЕЧАТКИ
Стр. Строка Напечатано Должно быть
54 10 сверху
73 8 сверху отиосительо относительно
76 6 снизу ЧИСЛО нижнее число
|49 1 снизу UI $1 ISl191
749.