ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Государсгвенное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Часть 4
Рекомендовано методическим советом факультета вычислительной
математики и кибернетики для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по специальности 080801 «Прикладная информатика»
Нижний Новгород
2005
УДК 519.21
ББКВ171
С-21
С-21 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Честь 4 /
Составители: В.И. Мухин, В.М.Сморкалова -Н.Новгород: ИНГУ, 2005. -
54с.
Составители: к.ф.-м.н., доп. В Ji Мухин,
«.т.н., доц. ВМСноркмоаа.
Рецензент: х.ф.-м.ж, лоц. В.М. Шашков.
Сборник предиаяачеи для студентов факультета вычислительной
математики и кибернетики, обучающихся по специальности «Прикладная
информатика». Приводятся задачи с ответами к практическим занятиям по
темам: «Системы случайных величин», «Независимость случайных
величин», «Законы распределения функций от нескольких случайных
аргументов», «Числовые характеристики системы случайных величин»,
«Условные законы распределения».
уда 519.21
ББКВ171
СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ
П.р, -плотность распрмелеии* вероятностей
С.в - случайна* величина
Ф4>. - функция распрваелеии*
1.	СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
1.1	В ящике 2 ияра, не каждом hi которых написана цифра I, и 3
шаре, на каждом из которых написана цифра 2. Один та другим наудачу
вынимают дм шара. Найти совместный закон распределении (,'л ). где { -
номер на первом извлеченном шаре, а у - номер на втором.
1J В кошельке лежат 8 пятирублевых монет и 6 двухрублевых.
Наудачу вынимают одну за другой две монеты. Найти совместный закон
распределения (£.?;, где £ - достоинство оврвой монеты, a tj - второй,
1J Из 12 лотерейных билетов 4 выигрышных. Двое вытягивают по
билету, сначала первый тянет, затем второй. Пусть £ - число выигрышных
билетов у первого, д - у второго. Найти совместный закон распределения
«л).
1.4	Двое стрел аов производят по 2 выстрела. Стреляют они
независимо друг от друга и каждый выстрел не зависит от предыдущего.
Верогпюсть попаявши первого при одном выстреле равна р^ второго -
р . Пусть ; - число попаданий 1 - го стрелка, q - второго. Найти
совместный закон распределения ди .
1.5	Бросают две игральные кости. Пусть
11, сумма очков четна
10, сумма очков нечетно
[1, произведение очков четно
t} = <
10, произведение очков печатка
Найти совместный закон распределения для tf.q).
1Л Совместное распределении с.в. и ч задано таблицей, в которой
ив пересечении г - го столбца и у - ой строки приведены вероятности
р/у = Р(^=1л=Л О®-1,1; j = -1,0,1).
	-1	1
-1	X	&
0	Уп	X
1	V /24	X
Найти одномерные законы распределения с.в. f и а
1.1 Есть две урны, содержащие пронумерованные шары. Состав
первой урны: один шер с номером 1, дан шара с номером 2, один шар с
номером 3. Состав второй урны: дм шара с номером 1, три шара с
иомфом 2. один шар с номером 3 Из каждой урны извлекли по одному
щфу Пусть £- номер шара, извлеченного из первой урны,. номер шара,
(влеченного из второй урны. Построить рад распределения двумерной
С.В. U.7).
1.8	Ряд распределения двумерной дискретной с.в.
f(a>) = ^|(<ejf2(aj)j имеет вид
	-1	°	1	1
0	0.1	0,15	!	0,2
1	0,15	0.25	[	0.15
Найти ф.р. f(x, у) данной с.в. н частные ряды распределений с.в. *.(&) и
fit0'»
1,9	Двумерная с.в. £(да)=	) £г(а>)) имеет п р.
f(x,y)<= j0’^	’^“7- Найти ковстанту а, ф.р, F(x,y)ca.
[о , к, у -другие
£(да) = (^(да)*2(да))мчастиуюл.р. /,(х) с.в. ,\(да).
1.10	Двумерная с.в. ч(а’)=1(/|('11115 Ли)) имеет п.р
/(т,у) = Р'е ' *','>0 , Л>0. Нейти /((х)-пр. <,еДда).
(0	, х,у -другие
1.11	Двумерная с.в.	<(#)=&, (и	нмесг	пр.
/(^.у) = ]16ЛУ ’ 0<х<^<2 Найти /^х) Н Д(у) - частные п.р.
(О	, -	другие
1.12	Двумерная с.в.	£(да )= ^((да,(да))	имеет	пр.
,, т Jby1. 0<х«у<1
f(x, y) = i J	. Найти к.
[О , х, у - другие
1.13	Двумерная с.в.	имеет плотность
Дх,у) = -	 ———. Найти; а) константу 4; 8) совместную ф.р.
ж’Р+ЛиУ)
F(x,y); с)	l,0SfcSI).
1.14	Найти вероятность попеления случайной точки (?,/?) в
прямоугольник, огрениченамй прямыми j=l, х=2,у=3,>=5. ®СЛ1<
(О, , xSO idu у SO
Fs" Х’У (I-2',-2“J' + 2'J^	. х,у>о'
1.15	Совместней п.р. с.в. ; и п имеет «ид f =	—«
U’+y+i;
Найти константу Л.
1.16	Совместное распределение i к п «вдается («в«омерным в
единичном круге хг + у1 Найти
1.17	Совместная п.р. с.в, £ н п определяет^* Равенством
(x’^jeG* ГДв G =	°Sx<2;	Найта
п,р. /{(х) с.в. <
1 ie	тк	z 1 г \Л(х*У\
1.18	Пусть	Л,Ы=|о/	™
G = {(х,у): OSxSl; OSySl}. Найти; й) конспекту Л Ь) и /,(У)>
<•) ?<„(*,У)-
1.19	Опреданить вероятность попадания случайной точю, (у, Г?) в
область G = {(х,у); 1 SxS2; 1 Sy S2}, если совмест’н&* функция
распределения F&fay) имеет внй (д>1)
{О, .г S 0 ил и у S О
-х2	.!/	.,2.2 2
1-й a f +а	, х,ууО
1М Соаместная ф.р. с.в. i н ij равн» Fit(x,y). На£™ вероятность
попадания случайной точки л) в область G = {(х, у): х < “J i Sy < е},
1.21	Пусть /(ж,у) совместная п.р, с.в. f н ^.Выразитьчерез /(ж,у)
вероятности следующих событий; а) {£>>?};	d}
1.22	С.в. £ имеет п.р, /,(х), С.в. Найти совместную ф.р.
Г{,(»,У) с ». < и ,.
1.23	Система трех с.в.	распределена с Постоянной
плотностью внутри шара радиусл Я. Найти аероятнссп. попадания
случайной точки , £3) внутрь шара с радиусом Й/2.
1.24	Система трех с.в. (fpfj,/,) равномерно рас прсЛелен а внутри
шаре радиуса Л. Найти: a) п.р. /3 (х) с.в. ; Ь) совместную п.р.
с.в.
135 Найти п.р. системы трех с.в.	если совместим ф.р.
этих	с.в.	Ffx.y.z)	имеет	вид
(вЛс>0).
[О, в противном случае
1,26 Пусть £ и п - с.в., определенные на вероятностном
пространстве (QF,/*), где <1 - квадрат с вершинами (0,0), (0,1 X (1,0). (1,1),
F-а -алгебра борелевскнх множеств Cl, Р - мере Лебега. Найти ф.р. и п.р.
£+>7, если:	я)Йад>®»)«й)|+а>1-	ткч, (Уг) = (й * 1
°*	чй! О4од,он)=<м, 'Хйъсл)~<’Л-
10. ox*ci>i
2,	НЕЗАВИСИМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
XI С.в. { и г; нелеченый. Найти flef = ^),есяи: a) { и п имеют одно
и то же дискретное распределение; Ь) ф.р. с.в. £ непрерывна.
23 Игральная кость'бросается до тех пор, пока впервые не выпадет
меньше пяти очков. Обозначим через { число очков, выпавших пря
последнем бросании, а через ij~ число бросаний хости. Найти совместное
распределение ; и >j. Являются £ и п независимыми?
13	Положение случвйпой точки (f.T.) равновозможно в любом месте
крута радиуса Я, нянтр которого совпадает с началом координат.
Определить п.р- и ф.р. каждой нз прямоугольных координат. Являются ли
с.в. f и 7 независимыми?
2Л Система с.в. (f,n) распределена с постоянной плотностью внутри
квадрата G = {(л,у): 05хSa; OSjrSc}. Найти	F^[x.y),
fc(x), Являются ли с.в. ; н I? независимыми?
,4
2,5	С.в. f и г; имеют совместную п.р. f (х,у) = ----—,
1 + х: +J +д ’’ V'
Найта: а) коэффициент А; Ь) f ,(х), /„О'); с) вероятность попала пн я
случайной точки в квадрат <7 = {(х,у): - I S х S 1; - I S г S I}.
Установить, меняются лн с.в. £ и п независимыми.
2.6	С.в. £ и л независимы. имеет нормальное распределение с
параметрами а = 0,	= а	pe[OI] Най™ ЛЛ1’-^ **
F-ЛЯ-
2.7	Пусть rj и и независимые с,в., каждая из которых равномерно
распределена на [ОД]. Каково число С, для которего с вероятностью 0,75
по крайней мере одна из указанных с.в. будет превышать С?
2.8	Пусть {И независимые с.в., каждая из которых равномерно
распределен* на интервале (0,1). Найти	
19 Двумерная с.в.	<(“>) =	имеет п.р.
/ Где х з1 х 0
Дх,у)“<	’	, Определить, являются ли с.в. и	$
|0	, х,у - другие
независимыми.	;
110	Двумерная с.в.	£;(<»)) имеет п.р.	J
®Sz,>’s3	, Определить, являются ли с.в. и
|0	, хту -дрцлгие	J
независимыми.	]
2*11 В условиях задачи 1.9 Определить, являются ли с.в, £ Jaj) м	j
£?(&) независимыми.	а
112 В условная задачи 1.18 Определить, являются ли с_в. и
(о) независимыми.
2,13	Двумерная ел.	имает ”₽
Г 1 Os s)
/(х,у) = 1^2яе 11	Определить, наяяются ли с.в. ft(a>) и
[0	, у - другое
£2(о>) независимыми.
2.14	Двумерная с.в. &»)=	имеет п.р.
/(х,у)=Ре ’	Л>0 Определить, являются ли с.в. /,(ш) и
|0	, х,у -другие
независимыми,
2.13	С.в. f|(<u) и (и) независимы н имеют следующие п.р.
/Jjj-je’' I>0	f (у) = Ь	. Найти /(х,у) -
J if f [о . X -tyyw	!°	 у ^РУЫ	1
совместную п.р. дан вых с.в.
. 2.16 Двумерная с.в. £(е>)=	Иу(®)) «мест п.р.
«с 1 J — е~**, 0-iyia,x>0	,
Дх.у)=<а	 Определить, валяются ян с.в. ^(ш) и
(0	, х,у -другие
£;(<и) незавясвмыми.
2.17	Двумерная с.в. [ £(o>) = (£|(<w)lf2(a>)) имеет п.р.
,	—, 2tx44. liyil _	, , , t t .
/(*,>)- <П	. Определить, являются ли с.в. и f 2(д>)
(О ►	-«ЭрЗ#1»*
независимыми^
2,18	Св. н ^(<и) независимы и имеют следующие п.р.
, . .	*е[2Л1	, fl ye[2,4J	„
/f|(»)={6	.	/<2W*P	Найти
[fl , х - другое	[О , у - другое
/(х,у) • совместную п.р. данных с.в.
2.19	С.в, f,(<н) н £,(«) независимы, причем fit®) имеет нормальное
распределение с параметрами а = 0, <т = I, а	- нормальное
распределение с параметрами а = 0, а = 42. Найти значение совместной
плотности распреданення f(x, у) данных с.в, вточгех=2,у=2.
2.20	Сл. £ (й>) и £(я) независимы, причин ft(w) имеет нормальное
распределение с параметрами д = 0. ег = 1, а £,(*>) - нормальное
распределение с параметрами. а = I, <т = 2. Найти вероятность попадания
случайной точка £(е>) = ((а>),£;(<ц)) в прямоугольник с вершинами {-
1,1), (2,1), (2,3), (-1,3).
2Л	£ н I] независимые с.а., каждая нз которых имеет стандартное
нормальное распределение. Найти	.
2J2 Пусть случайная точка такая, что £ и rj независим не
с.в., каждая из которых имеет нормальное распределение с параметрами
а, а и й, <т соответственно. Нвйтн Я- радиус круга с центром в точке
{а, Ь), вероятность попадая вн в который для данной случайной точки
равна 0,997.	г^-
2.23	Даны две независимме с.в. Абсолютно непрерывная i с п.р.
ft (л) и дискретная д со значениями ,J-’j> имеющими вероятности
P^Pv И*11™ совместную ф.р, р.ц{х,у).
2.24	Пусть f н п • с.в. Обязаны лн они быть независимыми, если
независимы и 1/?
Х15 Пусть £,t) и v - с.в., причем £ не зависит от 7+и. Верно лн,
что £ не зависит от г/ и от и?
2.26	Доказать, что с.в. не зависит от самой себя тогдн и только тогда,
когда она с вероятностью единица равна постоянной.
2.27	Пусть иа вероятностном пространстве (ftF,P), представляющем
собой отрезок {0,1] с cr-алгеброй борелевских подмножеств и мерой
Лебега, заданы с.в. f и ij. Будут ли они независимы, если: а) £=б),
17=1-Ш2;	^У1>	с) £ = а>’
У?
Г?=-1, 0=^
X- -у,
2,28	Определим вероятностное пространство (ftF.F) следующим
образом: Й*{1ДЗ{, F- совокупность всех подмножеств й,
P<{1})=P({2})=X{3})=X' Л0*»3»™- что на этом вероятностном
пространстве нельзя определить две независимые с.в., каждая нз которых
принимает по крайней мере два значения.
2.29	Вероятностное пространство (£i,F,P] определим следующим
образом: Й={1ДЗ,4}, F- совокупность всех подмножеств Й,
Постр°нть м этом нероггностном
пространстве две независимые случайные величины, не равные с
нероятностью единица постоянным.
230 Пусть (ft F,P) - вероятностное пространство, причем Й состоит
ровно из п точек, каждая из которых имеет положительную вероятность.
Доказать, что ня этом вероятностном пространстия не существует двух
независимых с.в., каждая из которых принимает л различных значений.
231 Пусть (ftF, Р) - вероятностное пространство такое, что F
содержит ровво п событий. £>>£,_, - вопарно независимые с.в.,
определенные ня этом вероятностном пространстве. Доказать, что по
крайней мере одна из них есть с вероятностью едннина постоянная.
232 Существует лн на вероятностном пространстве (ftF.F),
предстаияяющем собой отрезок [0,1] с с-алгеброй борелевских множеств
н мерой Лебега, с.в., не равная с вероятностью единица постоянной н не
зависящая от с.в. £(а>)=afl
2.ЭЗ	Пусть £ и rj - с.в., прячем	>0)« F(i?>0) = ^,
f^$+!} > о)к 'X  Док*зать> что f И Г} зависимы.
234 Пусть £ и q - неэаадсныые одинаково распределенные с.в.,
= Доказать,что р25/’(^'+^>0)5t-g2. _
23S Существуют ли сл. £ н ? такие, что £ и t] на равны с
вероятностью единица постоянным и: о) £ и f+г/ независимы; Ь) £ н frj
независимы; с) £,£+/? н fp независимы в совокупности?
234 Пусть £,т) и v - св., причем £ на зависит от 7 и от v. Верно
ли. что £ не зависит от )?+и?
237 Пусть и v - независимые н совокупности с.в. Будут ли
независимыми с.а £ и q+v? Изменится лн ответ, если предположить
лишь попарную независимость £,17 и и?
3.	ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОТ НЕСКОЛЬКИХ
СЛУЧАЙНЫХ АРГУМЕНТОВ
 3,1 Совместное распределения с.в. и £г задало таблицей:
£.	-1	1
-1	я	%4
0 	У}2	X
I	%4	X
Найти: а) закон распределения 7, = ^, + ^; закон распределения
3.2	Законы распределения числа очков, выбиваемых каждым из двух
стрелков, таковы:
	1	2	3
р	0,1		0,6
Найти закон распределения суммы очков, выбиваемых двумя стрелками,
33 Брошена игральная кость и правильный тетраэдр. Пусть на
гранях тетраэдра палисады цифры 1,2,3,4. Обозначим через и 7 число
очков, выпавших ня кости н тетраэдре соответствеикс. Найти закон
распределении £+77.
,1.4 Сумму двух независимых равномерно распределенных па
{0,1....9} с.в. £ и £3 можно записать в виде £, + £3 = ,07j + 7i*
05^59, i = 1,2. Найти законы распределения rjt и rjr Зависимы ди с.в.
7, * 7?
3.S	Произведение двух независимых равномерно распределенных на
{0,1,...,9} с.в. и £3 можно записать в виде f,^2“ '®7г+ 7г
0ST/(S9, J = 1,2. Зависимы ли с.в. 7]} н
3.6	С.в. и 7 независимы и имеют одинаковое рас пре делен на:
Pfg = 4) = F\>} = 4) = —, к = ]Д,...,М. Поножнм v = min{£, 7},
N
/j = max{^,7}. 2 = /т-v. Найти законы распределения с.в. н, /г и Л.
3.7	Смешаны две группы* деталей, содержащих щ и th деталей
каждая. Число бракованных деталей £ н 7 в каждой группе имеет
бмномнаяыюе распределение с параметрами (д.р) и (rtj.p)
соответственно. Найти закон распределения f+7.
ЭЛ Пусть f и 7 • независимые с.в и Р(£ =/) = (I ~а)а ,
у)=(1-А)У, /20, «Хп<1, (WK1. Найти закон распределения
f+9.
3.9	Пусть н 7 - пуассоновские с.в, с параметрами А| и
соответственно. Доказать, что если Л1<Д2, то при любом целом
неотрицательном п р<£ Pfyin).
3,10	Пусть	- независимые с.в., причем Я(^( = 1) = р,
Р(£ = -1) = 1 -р = Я Найти закон распределения с.в. 7 = £ьх£3х ...х£л.
XI1 Пусть £3......%* - независимые беряудииеаские с.в.
=0) = 1 - Д,Д, (Ц, --1)= ^Д, где Д . малое число, Д>0,
^>0, г = 1Д...,и. Показать, что Я(^| + ...+^, = 1) = ГелУ*^Л1)>
\W /
Ж£+...+£>!)=«д’).
3.11	Из урны, содержащей М белых н N-M черных шаров, по схеме
случайного выбора без возвращен ня вы ня маются все шары. Пусть -
число черных шаров, извлеченных до покияенил t-го белого шара. -
число черных шаров, извлеченных между	н i-м =
белыми шарами, - число черных шаров, появившихся после
последнего белого. Найти: а) = i);	= 4,	= 0;
3.13	С.в. и 5, независимы к нмеитт равномерное распределение
на (0,1). Нейта п.р. с.в. г/, если: й)Ч = ^+^2;	cVl=t\l&,
<^ = №+Ы
З.Н	С.в. и независимы и имеют равномерное распределение
и* (О^з). Найта п.р. с.в. i)t если: =	с)П^&;
X1S С.в. и независимы и имеют равномерное распределение
и* (о, 6) (Ь>а). Найти п.р. с.в, г), если: l)7=£t + fy
З^^наХМ^^ндХК
3.16	Пуста * и г) - независимы
/,0) = |^’	Найта у (г).
’	[О,	jke(0,2]	f ’
3.17	Пусть * и г) - независимы к
/,W =
Г1 хе(0,1|
U xeia.1)'
Л«=^- ”м.
[о. хй(02|
(J4. j’ef-i.i]
/,(.У) = у2	.Найти ft (г}.
3.18	Tочка ,£г) равномерно распределена в квадрате
KxpxJ:0 ^«,0£х]^л}. Показать, что распределения с.в. и
Ш1п{4р£,} совладают.
3.1*	С .в {ну независимы и имеют показательное расараделение с
параметром 2 = 1.Найтип.р.с.в. f + tf, £-/J,	£/»?
3.20	С.в. £ и 7 независимы и имеют показательное распределение с
параметром 2 >0. Найти /^(г).
3.21	С.в. £ и г? независимы и имеют показательное распределение с
параметрами 2i и Aj соответственно	Найта пф. с.в.
im.
ЗЛ2 С.в. и независимы и каждая имеет показательное
распределение с параметром 2>0. С.в. 7,=^| + 2£,. 73 =2£, + £,.
Найти совместную п.р. с л.	и
3.23	С.в. и £2 немвис амы и каждая имеет поьжжтельиое
распределенна с параметром Л=1. Найти совместную плотность
распределили!с.в. 7, = ^, и TJ3=t2£(+3£2.
3.24	Предположим, что с.в. £ и независимы и каждая имеет
нормальное распределение с параметрами в=0, <т‘11 - Показать, что ф.р.
с.а. 7=~^ + <$<тределмгсл формулой F„(z)=C
i	[i-e , 2>о
3.25	Найта п.р. ДО) с.в. 7=^+^ , если к независимы и
каждая имеет нормальное распределения с параметрами а = (\	
3.24	Найта п.р, Д(л) с.в. 7=£+£;, если £ и £г независимы и
f frt-P* Xei<UJ f я>0
* la jr«fai]’ A	[q zso'
ЗЛ7 Независимые с.д. и g3 имеют п.р.
Л/*Нл В4|’НЛ|,,1,‘ Л<г>С-Б-
__ „	,	,, . Ъ , jt>0
&2S Пуст* J и n - независимые с.а, и f.w=\
J{ (O, TSO
7X""'' /,-w" z'-'w
3J9 Найти	если g к rj - независимы н
-I*) /{у}=\Ут
a, Х«[2,4] w v4i1’3!

З.Зв	Совместна» п.р. с.а.	и rj имеет вид
[Л(х+уХ х,yelOJ}	,	,	>
= 1 л  Найти A, f Ах), f Ау) и Д(т), если
*" {Ц х,у-другие	J ‘ J i J *
v = них {£,?},
331 Пусть
2
*(х+У$
х+у г
.0, ?+у2<|
. Найти /^(п), «л*
Л,(*->')=
332 С.в.	независимы и равномерно распределены на (Q,l 1-
Найти п.р. 74j+ft+ft-
333 Найти /,+?(г). «ел*1 » И 7 • независимы и
334 Пусть £ и г; - независимые с.в. с ф.р, Г^(х] и Г^(у)
соответственно. Найти ф.р. следующих с.а/ a)max{£,?}; 6)min{£^i;
c)max{2£?}; ‘Оти’^’л}-
33S Случайна* точка	равномерно распределена внутри
единичного квадрата. Найти закон распределения площади и
пряыоупальника со сторонами
336 Имеете» две с.в. и с совместной п.р. * Lct ,х2). Найти
Ф-Р- ГЧ(У) и п.р. ДО) с.а. ?=max
337 Система двух с.а. имеет совместную п.р, / , г (_г1,.гР-
Найти ф.р. /т,О) и п.р, /,(у) с.а- ij = tiling,
33# С.в. и независимы и имеют показательное распределение
с параметром Я = 1. Найти плотности рас пре деление с.в. rj и V, если
7=max {£,&}, v=ram|f(>fj}.
3.39	С.в	независимы н имеют одну и ту же плотность
[2х, 0<х<1
распределения /W-V	. Найти плотность распределения
(0. хе(0,1)
«max {f),
3,40	С.в	независимы и имеют показательное
распределение с параметром 2. Найти п.р. f^{y} с.в. г), если:
«)’7 = <(+---+<я; />)7=т«х|£,.-.,£,|; с)т?=т^р.-.,^}.
141 Св •-•>£, независимы и имеют показательное распредеаенле
С параметром А. Доказать, что с.в. I^max^......................£,} и
£ £	if
+•“+.•+— одинаково распределены.
2	3	я
342 С.в	независимы в имеет гамма-распределение с
параметрами (Л,а\ '-!>"> т.е.
4,w=
Ал
П«)
Д
, х>0
XS0 
А>0, Л>0. Найти п.р. Д (у) с.в. 7 =
343 С.в	независимы и имеют показательное
распределение с параметром 1=1. Найти пр. /,1у) с.а
7^,^+.-+^' И*2)-
,	344 Пусть { и г; - независимые с.в., Ff(x) - ф.р, с.в. /, в с.в. 7
равномерно распределен* ня отрезке [в,А]. Показать, что
*	© — fl
3.45	Пусть ' независимые и равномерно распределенные ня
{-л,,-1Д1,..,,н~1л} с.в, Подберем многочлен
А*) = 7е'Х1+7)х+75 ™«. то	4(0)~^2, Д1) = ^3. Найти
вероятность Р того, что с.в. 7t,7l>7j принимают целые значения.
346	С в. и независимы и одинаково распределены с ф.р. F(x)
н п.р. /(к). Найти ф.р. ^(УрУз) и п.р. /7Л (Ут’Л) системы с.в.
(ijpfjj), где ^«tninfe,^}, ijjcntaxfe,^.
3.47	Пусть и независимы и равномерно распредвнопы на [0,1).
Найти вероятность того, что действительны корни уравнения:
а»*2 + 5Л + ^/ Мх’+ъж+^где »7I=min^,41l»%”n«{fpi2l>
3.48	Предположим, что с.в. £ и независимы и каждая имеет
независимы.
3.49	С.в. и g2 независимы и имеют одну и ту же п.р. /(х). Найти
совместную tip.	полярных юордмнжт (д fl) точки (^(,^).
3.50	С.в. £( я <*t независимы и имени одну и ту же П.р., ревную
/(х) при х^О я 0 при х<0	' меотрицкгельные с.в.). Найти п.р.
'* iHrfi “ 7за ЛЯЛ
341 Нетто получил дм кредита, каждый из которых on доджей
вернут* по первому требованию. Требование вернут» кредит к (*-1,2)
приходит в случайны» момент времени рь причем Г4 жкяет
показательное риспреденение с параметром Лю Требования приходят
независимо. Найти распределение длительности случайного чромежутке
времени, в течение которого в распоряжения заемщика будут находиться
оба предала.
З.Я К переговорному пункту с двумя кабинами подошли три
клнаита. Первый и второй клиенты заняли сеют веги веяно кабины №1 в
№2, в третий клиент остался ждать. Предположим, что времена г1( гг и Гj
разговоров клиентов независимы я имеют одно и то же лоаазателыюе
распределение с параметром 4. Найти - сфероятяость того, что третий
квнект попадет » кабину №1; i>) пр. времени ожзиааия третьего штевна;
с) вероятность того, что третий клиент закончит разговор раиыае первого
иля второго клиента.
ЗАЗ Пусть £, tj и в - независимые с.в., причем fl принимает
зивчмпм 1 и 0 с вероятностями р и * соответственно, а { и Я
имеют ф.р, Р({х) и F,(y). Найти ф-р. следующих с.в,; o)flf+(1-flH;
i)«f+(l-fl)mu4f,7}; <Ж+(1-А)пш^л}.
3J4 Пуст» fpfj.-. - лоследоваталытость с.л с ф.р F|(xXFj(’)>—
соответственно, в V- полодптльяая целочисленная с.в., ме зависящая от
с.в. £,,fj..Положим pt*f\v*k), i-U,... . Найти ф.р. с.в.
ЗМ Построят» пример непрерывной  точке (л^, д) двумерной ф.р.
Fp,(* Д ДМ которой одномерные ф.р у{(х} и F,W разрывны в точках
,хв и ув соответственно.
ХМ С.в, £, я & имееот п.р. /,(х) и /г(х) я ф.р. F(x) a F1W
ooiti вен । веемо. Случайный вектор	имеет п.р.
+	ГД® функшм г(«,т)
удовлетворяет условиям min г(“»0й-1, [г(м,т)Л>^ p(u,v)A=0.
<Кв,ка	о е
Най™Я.р.
IQ
min(x,.4 0<minpr,y}£l. Найти
t, min{jt,y}>i
^f-i/zy+G-Vzfsi/4)-
3J# C.5.	(л22) иешисвмы и одинаково распределены с
ф.р. F(j). Пусть ' с/хтекпеяно первый я последний элементы
вариационного рада. Найти: а) ф.р. с.в. £.,t; Ь) ф.р. с.в, с) совместную
ф.р. еистеим с.в.
ЗЛ9 С.в.	(л22) независимы и каждая равномерно
распределена не (с.Ь) (Ь>а). Найти п.р. с.в. р = min|^1,.
3.6С По незавясам^и одинаково распределенным с.в.
£।,  -„ (л 2 2), вмеюшям ф.р. F(i) и п.р /(т), построен вариационный
рм 5 s   s £iB)  Найти: а) п.р. с.в. Ь)мяместную п.р. системы
£<«)•****
ЗА! С.в.	независимы и имеют одну н ту ли
непрерывную ф.р. F(x). Пусть	- вариационный рад
«ЛИНИИ £.....Найти:	...*"»,
н
3,*2 С.в.	(л 2 2) независимы и имеют одинаковое
распределение с плотностью /(х). Найти п- мерную п.р. ДОср- чХ»)
членов вариационного рада f(l( Sffl) S. ,.S	.
ЗАЗ Пусть ил л^хжтностном пространстве (Q F, F) задана
последовательность независимых с.в.	равномерно
распределенных на (0,)). С.в, r/(a>) = G, если ^1(n>)cg'1.(A>0); ^(<и) = |,
если £,(ю)ге4. >	№)=?, «ели
\ a й(в>)и ТЛ Найти завой
распределения ^ег).
4.	ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ
ВЕЛИЧИН
At Пусть сл. « п нетаамсмш и =	Mi?®2.
D< = i, £7*7 = 4. Найти иггемжгячсские ожидания
a)^ + 2j71-^-4^+>J + 4;4)(^+7+l)1.
4Д Случайны точи	распределен» равномерно внутри
единичного квддрап- Найти Mij и Dij с.в. 17 ®	2.
4Л Случайны точка распределена равномерно внутри круг»
единичного радиуса с центром в начале координат. Найти Mt) и Drj с.в.

4.4	С.в. и иетыисимы к равномерно распределены ня отрезке
(О,Ц.Найти Мт/, м	11г=(£\-%2?-
4.5	С.в. £ и независимы и имеют иорыалыюе распределение,
причем М^,"М^г»0,	Найта Aft) и Dr) с.в.
f - f,' & •
4.6	С.в. /, и независимы и каждая имеет нормальное
распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией &-1. Найти
Mi) с.в. 7 = ~fo + fj-
4,7	С*, ч ,>-•.£, (и^2) независимы и каждая равномерно
распределена на (о,Ь) (Ь>а). Найти Mi) сд. .......
4Л С.в. f и г] нстмксамы. П.р. /Да) с.в. { имеет вид
—-х + -, -aSxSO
а а
fA^
-~х + ~, 0<* So (п>0), ас.», г; имеет покамтелмюе
а а
0. xt (-0,0]
распределение с параметром 4, Найти: alMirf-g1)', Ы M(ij 1.
с-)М(7 + ^)1
4.9	Нв смежные стороны единичного квадрата случайным обржюы и
нежшгеиыо друг от друга падают точки и Каждая из них имеет в
проделал соответствующей стороны равномерное распределение Найти
i
Мп, где ij-квадратрасстояпи между дштвд точками.
<М Условия предыдущей задачи изменены тис, что точки. £(.f2
падают не на смежные, а на противоположные стороны квадрата. Найти
Мп 1йю г; - квадфжг расстояния между ними.
4.11	Старовы прямоугольника ABCD фраллелъны осям координат.
Найти математическое ожидание площади ц прамоугадышка ABCD а
следующих здучаях: о) координаты (д,.^ точки А фиксированы,
0£«t.аг SI» • точка С имеет равномерное распределение на диагонали
единичного квадрата, соединяющей его вершины (0,0) и (1,1); 6) точки А и
С независимы, точка А равномерно распределена а единичном квадрате
[0,1]х [<Ы], а точка С имеет то же определение, что и в случае а).
4.12	На отрезке длиной I наудачу выбраны две точки. Найти
математическое ожидание и дисперсию расстояния между ними.
4.13	Из НЮ карточек с числами М, 01.98,99 наудачу вынимается
одна. Пусть ц. ~ соответственно сумма и произведение цифр и* этой
карточке. Найти Mf)v М'Ц1, Df], и &Г}2-
4.14	Пусть вероятностное раслраделенна Р на плоскости R1 таково,
что если точки ^7,^еЯ2 независимы и имеют распределение Р, то
Р( £tj,В лежат на одной прлнай}“0. Найти математическое ожидание
угла
4.15	Пусть	независимые с.в. с нулевыми математическими
ожиданиями и конечными третьими моментами. Доказать, что
wU1+--+^=w5t+-+Wf’.
4,(6	Пусть	- независимые с.в., каждая из которых
равномерно распределен» на [0,1]. Найти Мг^.где =
4.17	Из 30 чисел (1,2,... ,29,30) по схеме выбора с возвращением
отбирается 10 чисел. Найти М{, где {- сумма выбранных чисел
4.18	С.в. £(,£Jt...- независимы и имеют одно и то же
метейатическое ожидание а н одну и ту же дисперсию q-3. Пспожим
Т}<1 = ^1~ Найти математическое ожидание н дисперсию с.в,:
ft =	+	+ '"'+ Лгя~1.}я'	ft в ftl +	*'* ^ЯЛ+I ’
ft’fti + 7n + - + ftJl.)-	ft “7ц+ '7J3 *•+^ + 7-.r
4.19	Вычислить мдгематмчеслое ожнделие и дисперсию
определителя Д “	. элементы которого ^-независимые с.а. с
я
* 420 С.в.	независимы и рваномерно	раснределены па [0,1].
Найти	при OsxSI.
421 С.в.	независимы И равномерно	распределены па [0,1].
Положим и-min{i>l}. Найти Mv.
422 Совместна* п.р. с.в.	имеет вид
Г I s frl+Xl> 0SXr*iS1	и.в™	ut
f * »	Найти MJi, Me,,
1	|0, в фяниенан случае	2
4.23 Пусть (f,p) - координаты случайной точки, имеющей
равномерное распределение в области Dcff. Найти коэффициент
корреляции	если: a)D- часть единичного круга, лежащего в
первом квадранте: х2 + у2 SI, х, у 2 0; Л) D - треугольник:
X + у S 1, х,у£0.
4.24 Двумерна» с.а. «у <7> подчинена закону распре лелеян» с
плотностью	Лх->’)а1_	,	где
[0,	(х,у)« О
£>«{fx,y):x + ySl,x20,y 20} . Найти Л,М{,Мр, Df,Dp, covl^.ij’),
р(4л)-
4,25 С.в. i и р независимы к имеют одинаковое распределение с
М{ < Мр*а и ZJf = Dij- ст2. Найти	пи £ = а£ + [Зр,
;?,» of -	.
4Л4 С.в.	независимы. Of, “CT}< > = L3. Найти
коэффициент корреляции величин:	+ft и ^1 + ^4 + ^J;
ь)^| + ^ + ^и^ + ^ + 5>-
4Л7 Какие из приведенных ниже матриц могут, » какие ке
быть ковариационными для случайного вектора =
р 0 0] р 1 р
а) 0. I 0 ;	4) ! 0 1 j; с)
(G 0 I	Ц I о)
р	2	ЗА	Г I 1 -П	/ 1	-1	11
е) 2 3 4 k f) Il i I ; g} -t I -I .
[з	4	5J	[-111)	[ 1	-I	t J
d) t
могут
1 'I
I I :
* f)

a, у«[«]
Найти:
a) Mtf+ lft
с)соЧ^7Х
<*)«(£*-?5; t)W+ift ЛОЦ~Ч)-
[2
-J x, x c [0,o]
4.29 С.в. f и 7 независимы. П.р.
[О, x«(O,e]
2	2 гл о
-TJJ' + p У*(й.*1
[О, »«[0,Ь]
/,(?)-
Найти: a) M(f + i) M(fW
с) covite d)	if- I}; e)DQ4-6гц. 1>.
43й П-р, двумерной с.я. имеет вид f{tix,y)*~e i
Указать Mt), Df, Df), pif.t}),
431 Двумерны с.в. (f,(j) имеет нормальное распределение, причем
Пв 12^1
Mf = -2, Mt)*3, а матрица ковариации имеет вид I L Привести
выражение ди плотности распределения с.я. ({, tj)*	,
432 Производите* стрельба но точечной (малоразмерной} цели, зона
поражении хотфсй1 ггрвдетавлает собой круг радиуса г с центром в начале
координат Случайная тачка попадания ({,$) имеет нормальное
распределение с параметрами » Mrj>0, D{ = Dtj» 4/, Л)”
Сколько независимых выстрелов нужно сделать, чтобы поразить цель с
вероятностью i 0,95?
433 С.в.	независимы и ияжды имеет нормальное
распределение, прнчам A/f( = l, АГ^-2, А/£3-3,	Dfj-4.
*9. Найти закон распределения с.в, 7’2^+^г + 3^}.
434 Пусть { и г) - с.в. с дисперсиями, равными соответственно 2 и
3. А{л)-1.Найти:л}О(2^ + 7>; *)«2^-7).
433 Пусть { - с.в с конечной дисперсией, г/ > нч. *=« + ?><
Найти	и р(^,н).
436 С.в. £0. , £; »£3 независимы и каждая имеет стандартное
22
нормальное распределение. Пусть г] »10 + 4} + f Л1, / = 1.23. Построить
койриашюннуюматрицу с.в. ГЦ.Г1г,Г1г
437 Систем» случайных величин (f	кмест нормальное
распределен ие, причем	М4 1» 0.	£>£,.»10, i * IЛ.
*(£« - A*(f ,f J - 2..	= Mtf	= 0.
Записать выражение ди совместной плотности распределения с.а.
ft.£r£r£*-
43в При каких тначеннях х существует случайный вектор
(I х х\
с ковариационной мятрнцЛ. а) х t х ;
[х х
( I » -1]
Ь) х I * ?
(-х х 1 /
439 Найта ковариационную матрицу случайного вектора
i ”(£,.£1.^). если:	*»«*виснмы и имеют стандартное
нормальное распределение; Ь} вектор 4 имеет равномерное
распределение а кубе Ujfj.xj.Xp:тахЫ*^3г 1	*'> “ктор 4 С
I	is^J J
вероятностью принимает каждое из 6 значений (0Д±<3), (tt,±v3,0),
£-(±Л,0,0).
4.40	Найти коэффициент корреляции между числом выпадений
«едина» и числом нмпддений «шестерок» при я независимых бросаниях
правильной игральной кости.
Mt Пусть неотрицательные целочисленные с_».	.....таковы,
что +...+ f,”” и лая любых Hi,,.. ,ия,, я^^О. «!, + .. +лт, = П
fflj1 ffl»1
ptO. р, + ... + р,»1. Найта gj, /./ = l,2.....i. /*у
4.42	Пусть 4 ' число комбинаций НН (00) и и •» f испытании
Бернулли с вероятностью успеха р, Найта и D4 Сривинть их с
мвтеыжтмческим ожиданием М и дисперсией D числа появлений нуля а л
испытаниях Бернулли, если вероятность повеления исхода ~0~ равна ц',
4.43	Пусть 4 - число комбинаций I |У (01) в n ¥ I испытании
Бернулли с вероятностно успеха р. Найта М4 и D4-
44* С.в. £г.независимы, Повожим < = £, + ... + £„,
“£i9i + -"'+'£и17»‘ НаЙ7Я м4- м,1’ Dr1, С°Ч»Л). «л»	,
О^-сГ. Л?,’1)=р. Л»?* = О) = 9=1-Р, * = U,...,h.
4.45. С.в. ........(лйм) независимы, одинаково
распредейенм и имеют конечную дисперсию. Найти коэффициент
корреляции между с.в. 7;=^+... + ^ М3=£,„( +- +
446 Независимые с.в. ...положительны к имеют одинаковое
невырожденное распределение. Обозначим =	+ +
t = 1,2,...,л. Найти Mt}t,	pit],* - + r}lt,t)l +... + !?;)
4.47 Пусть	непрерывна» ф.р. случайного вектора (f,>7>.
Найти точку (a,i)e ]?’, для которой 4/^ - of +1)? - Aj)= min.
44S Пусть { н ij- ал. с Конечными моментами второго порядка.
Довязать, что М (ft-ag-b)1 й М (Jf-oatf-fto)1 “ (1 - p^Di;, для любых
вещественных а н Ь, где д0*	p = p(£,ty и
ал*0, если Df «0.
449 С.в. ( и 7 (возможно зависимые) обладают конечными
дисперсиями:	Drj^ai- Указать пределы, в которых может
изменяться D(f + 7).
4Л0 С.в. £,..независимы и D^^cr^O, При каких
с....с,. удовлетворяющих условиям р, й 0, с, +.., + Cll = i, с.в.
"<7i|~i + '’‘ + имве1 минимальную дисперсию, и чему эта
дисперсия равна?
4Л1 Пусть f и 7- две с.в. с M^«W7-0, Df = Z>7 = l и
коэффициентом корреляции	Показать, что
1 + -J1 - р1.
4.S2	Пусть i и 7- одинаково распределенные с.в. Верно ли, что
М—£—-W-~?
4ЛЗ С.»- f и 7 имеют равномерное распределение на (0,1]. Доказать,
что при любом характере зависимости между ( и 7
4Л4 Пусть f и 7 - независимые с.в., принимающие положительные
24
4Л6
Доказать,
значения. Доказать, что для любого «го Г г м i" .
I'M Mif°
4.5$	Пусть fp-.'.f, - независимые одинаково распределенные
„  + *
положительные с.а. Доказать, что ЛА	—------|« -.
Пусть £р...,£, - ел. с М^=0 я ^£ = 1, f = I..........»
что если	При любых i Ж /, /, j ~ I п, то
Пусть { и г) независимые с,в., принимающие
неотрицательные целью значения и м,' < » Доказать, что
И min (*.4)- i P(S г *) *’('> а *)
5. УСЛОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
5.1 Случайный вектор if,!?) задан таблицей
—-jL	1	2
-1	0,15	0,05
0	0,3	6,05
1	0Д5	0,1
Найти Р(7».Ц< = 1),гие уе{-1,0,1} и М(^ = I).
5.2	Случайный вектор tj) задан таблицей
	2	5	8
0,4	0.15	0,3	0,35
	0£8		0,05	0,12	0,03
Найти частные законы распределений случайных величин и I/.
P(r; «	« 5), где у е {0,4;0,8} и Р({ = ф « 0,8), где х е |2Д8}.
53 Случайный вектор (f.q) задан таблицей
—	<_	3	6
10	0,25	0,10.
14	0,15	0,05
18	0,32	0,13

Найти Л7*.#’А» >e (10,14,18) и /*if =	= 10), ie(),t),
5.4	Число * выбирается случайным образом из множества (1ДЗ}.
ЗЧгеы и того же множества выбирается наудачу число rj, большее или
равное первому. Требуется: а) списать талон распределена а случайного
вектора и определить зависимы или независимы 4 и о; Я найти
козффицнамт корреляции р({,чУ, с) найти = я|^ = 3), i = 1,2Д;
М(4|7-».
М Совместное распределение с.в. 4 и у задано заблиией
"5 			1	2
-1	у6	X
0	X	%
1	X	X
Найти	MO#-I),	MtfhsO).
5Л Совместное распределение с.в, { к q задано таблицей
'——4 I	t	2
-1	j	0,10	0,10
0	0^5	0,05
1	|	0Д0	0,00
2	I 0,15	0Д5
Найти: а) ряды распределений ( и 7; А) условные законы распределений
с.в. { ПР“ условии, что 7 » 2 и с.в 7 Гфи условии, что 4 = 1; е) 7 < 4);
АсоМ 4,7)3* Pti.rfh
S.1	Пусть { имеет распределение Пуассона с параметром Я = 1.
Найти Ptftfy *4}.
SJ Дважды подбрасывается правильная игральная кость. Пусть { -
число впелленнй шести очков, в 7 - число появлений четного числа очков,
Найти М (457-2),
5.9	С.в. 4 и 7 независимы! причем Л 4 “ !) Р(7 “ D® Р,
Р(4 = О)=Р(7-О)»1-Р- Найти М(4тИ"Ь. М(4 + т|4»О),
М(4|4 + 7»1).
5.1	в С.в. 4 и 7 независимы и одинаково распределены. Найти
М(4)4 + 7 = г),если ?(4 + 7 = д)>0.

5,11	Пусть с.в, { и q независимы, одинаково расвределены, причем
л>о, *=-0.1,.,. Найте Л< =/s‘+
M<i\i + <?»">
5.13	Пусть с.а. 4 и q независимы, причем
Л,>0.	Л,»о. »-W.-
Найти P(f »/|£+ >?'=n),	+ <?»«)•
5.13	Пусть с.а £ и q ' независимы, причем
P(f =>*)-Лп = *) = ₽</''. 0<р<1, 9 = 1-р,	Найти
^3Л# +/V-Jlf-’ri-
5.14	Найти распределение целочисленной неотрицательной с.а.
если: а)Рф<{ <«>> = I, Р({ «Jk +||£ >к) = р. i=0,l,...;
*)Л/г0)»1. /«-* + 14«(М + 1П»с<|, *-ол...:
с>Л£*0)->. Л£ H* + tfe{i,t + l})»-~-^,r>0.*-0,l...
5.15	С.а.	и q незмисимы, прячем
Ль •*)  Л7 " *)я Pq* 0<р<1. ? ” I - Р, к ”1,2,.- Найти:
<0Л{-«;й) Л^><7);е) Р({<чУ, Л Л5 = М>»»):е) Л< = *г£<^
= й) Pii~k]f + q~iy,h) W(ftf+»?-/).
5.16	Пусть	- независимые с.а. с
О)" 1 - р, ।  Доказать, что Ди« любого	и
любого двоичного набора (f, •,£',) wore, что £t + — + ся~к
...
5.17	С.а. $.независимы и распределены по загону Пуассона с
параметрами Л1*-»Лч соотаетстпеимо. Найти:
+	+	 + <v =»>)
5.1#	Пусть ^....^ - с.в и 4?, = J) = Cip’<?" ’• «*!-?•
OSTSff,	С-7?’7’ *.	OS/hSt.....
a j a ',)=Ci р'ч' *• S r. Доказать, что
«Ре.(/Ц1 - р*Г • о * * * *
5.19	№ урны, содержащей 2 черных, 4 красных и 2 белых шара,
последоввтедыю с вояфащенмсы извлекается (по одному) п Шарое. Пусть
‘ • число черных, а 7 - число красных шаров, появившихся в этих опытах.
Найти/><£.<^ + 7-4
51# № урны, содержащей М белых и N-M черных шаров, сначала
извлекается бет возарашенля выборе» объема п, в затем из этой выборе»
извлекается бет вомращенн* выбор» объема ЛцСл. Найти закон
распределенье { - числа белых шаров во второй выборка.
511 В урне W ШЩОД сред» которых М белых и N-M черных.
Наудачу. выбираете» v шаров, где н - с.в., Тфннммвющая значения от 1 до
Л с родными вероятностями. Найти , где £ • число белых миров среди
отобранных.
5-22 Пусть	.	- независимые с.в., М £ - О,
/а!Д... . Найти математическое ожидания и дисперсию
с.в. Т'|>~£|, +bvj + ," + l~v > гл>	- жзамкимые н не зависящие
от £г£2,... с.в, имеющие равиомериое распределение па множестве
513 Пусть fpt,.... - жзамкныые и одинаково распределенные
с.в. с М£*д>0,	/-11.... Сл. v не зависит от
принимает целые положительные зиеченви,
Л/v«4,Ри-J1*<е.Найта Мт it Dr,где г~€, + £} + '-+£г-
$14 С.в. f с веравтисстыо pt имеет плотность /,(x), с
вероятностью р*  плотность f }(х>	+ Найти F.fx),
515 С.в. и случайным образом и независимо друг ст Друга
занимают с постоянной плотностью любое положение на периметра
единичного квадрига. Найти Mi?, где - квадриг расстовшм между с.а
< 
516 Совместим п.р. с.в. я имеет вед

OSxSiOS>$t-i f^yix}
* гфонпмнам случае
£27 Псдожевде случайной точки , ?) рмномпможяо • любом
г У
месте шлипса + Требуете»: а) найти /,(*). f (у),
а Ь	*
f . (xiy), f _(у/х); Мнсслеловггь зависимость и коррелироаянность
с.в. { и г).
53J Положение случайной точки рввновозможио кнутри круга
Х*У*1?-Определить: в) /,(*>, F;U). f ,№ F,W-Зависимы ли
{ и 7? b)f, (х/у); с) являются ли с в. и 7 коррелированными?
5J9 Случайна» точка ff .х?) подчинена равномерному закону внутри
квадрата со стороной а, диагонали которого совпадают с осями координат.
Определить о) /^(х.у); A) ftW, f4W'<c> /Г^Х,У)- ZpfO'/x);
tt)R* |cov(-,)|; е) зависимость и коррелнроавнность.
$30 Случайный вектор равномерно распределен внутри
сферы радиуса it с центром в начале координат. Найти /,(х) и
531 Совместная пр. с.в. { и rj ммеегт вид
У )’ ’>0,>,>0 Определить А, /,(*), /Лу),
”	(0, xSOwuySO	’	’
f,,4(x/y), f*i(ty/x), моменты первого й второго порядка.
532 Совместная п.р. с.в. { и ? имеет вад у* (к, у)« Л
Определить». cov({,7), /{,,(х/у>, /т;{(у/х).
533 Случайный вектор равномерно распределен внутри
треупмоишв с вершинами (О,ОХ (О^Х {*.°Х Найти /, (к, у), f ,(х),
/Л>- f^ylx>-
534 Совместная п.р. с.в. £ и 9 имеет мд
,	М(х + /Х 0<*<1, 0<у<1	„
Л.(х,у)м/	. в) Определить воиетжяту А и
J >’	[0, x,y-d0we
P{i + т) < I). й) Найти f( (х) я f^{y}  Установить, зависимы или мкг сл.
j и 7. с) На»™ Mf, M4,Ft^f(l^>y}	+
5оЭ9 Совместим п.р. с в { м tj имеет ид


L/>	•'J •		1
LE_	0,2$.'	o? .	0,35

1.10
1.11
b, x,№ft
~p~> 0,45 I 0,55 j
1, .	. , х
-(smx + cosx), 0Sx<~
О, х£О uait
2
- (sin x + sin у - sin(x + y))t 0 < x,y 5 —,
i I	XX
-(*tnx +1-cost), OixSy, y>~2’
i(siny + l-cosy), x>~, OSySy,
z'M-0
—. у > “
2	2
. Л>0.
[—(в-Л 0<x<2	0<j
[48™ Л ; ЛЫ = ]32л
(0, x 4(0,2)	[o, yeiO,2)
*=10.1.13 a)H=v5; 6) f(x,y)=Q	+
е)Р(0^1,0£^П= ' .	1.14 J I.IS Л=*
24	128	X
1.12
1.16 F
4arctg - - «0,7114.
3	4 1
[0,	X410.2J	fo, X 4{0,l]
У «(0.11
уеРЛ’
c)F;?(x,y)-
+	0<x,J>£t
L +i/ X>1, 0<jySL
£+?, o<xsi, ^>1
2 2
I, xj>1
1Л1 а) Р{<э/?} = 7 j/(K,v)t/wftf; b) >^}= j 'jf(u,v)dvdu;
-*-e	& -T
,v)dvdu; d) Pfe-^>0= ) jf(utv)dvdu.
-хцЯ
1.22 F*(x.y)=
0, ,v S 0 или у > 0, x S ~-[y
f f({x}dx, y>0, *>Jy
y><J,
,« , <,, (Хл’-х'ИМ И»*.
'“ '> ц>»
la x1 + у > r1
Л.,.О-Ue4-*"’. '•>>«
[О, « нротивнан случае
1.26 s)FU«) =
a, xso
0<xS2,
2
1, x>2
f^~-
123 1/9.
Ц, 0<xS2
2
[ft x«[ft2]
31
о < jr S1,
, . . In-, 0<i£j
x
(a -retail
Л, liO

—, 0<xSt
2
t<x*l
t, x>2
Л-,Ю=
X, Oix<l
2-х, I <xS2.
О, х«[ОД
2.1a) ypj, где pt = P(i®Л1);	Ь)0.
2.2	< leW " = 1Д-
. i н ч независимы.
23f((x)=ff(x)-
-~^яг-Л И**
я R	;
о, Н>*
'О, xs-Л
ел. £ ч ч

Л^. 0<xia. <5<у5а
«'
- , х > и, 0 < у 5 a
a
'Л, 0 < х £ а, у >а
и
!, х > а, у > a
<м.Р' 0SjcSa
[a, xe[0,a]
- I *, US уь<2	•••'	х,
/,Ъ) = р	 С.в. { и I? мфвисимы.^ 2J а) А =
[о, у<[М	}
; с) 1/4. С.в. f в т; независимы.
т<-*, уе[0,1]

0. У$0
£ *{е-'Ч

2.7 С = 5/2. 2.8 1/4 . 2.9 и ^2(са) независимы. 2.10
независимы. 2.11 и
2.13 <|(л) и	независимы.
2.15/(х,у)='-[е *’	.
[0	, х.У -другие
?!<"> « ?jW
2(ш) зависимы, 2.12 £t(a>) и fj(®) зависимы.
2.14 и Независимы.
2.16
и Cji") независимы.
2.J?£](о») и £ ;(<>>) независимы.
2.18 Дж,у):
—, 2SxS< 2£у£4
0
Л^-^Г2е‘
2.22 Я = »7~2ЬфЙЮЭ) * 3,4сг.
2.2(1
2.23
, х, у - другие
0.27.
2J1	0,5.
£{,(*,>)»	F,(7>, где
224 Нет. (Пусть { принимает
FfWs f Л(у)« 1 д.
значении ±1 с вероятностью 1/2 и >? = £). 2JS Нет. (Пусть £ не равна с
вероятностью единица постоянной, г} = {, v = ). 2.27 о) нет; b) да; с) да.
2J9 Указ. £(1)=£(2)=Ч «3)-Я4)-1,	?(1) = 9(3)=0, *2)=£(4)-1.
2.30 Указ. /4&i>i)=«)=^UiJ)=/)Hfl)i)=6) и	Д{е»))-
23] Указ. Пусть к - число различных событий из Г. вероятности которых
отличны от 0 и 1. Очевидно, kSn-2. Предположим, что ни одна из с.а.
ие равна с вероятностью единица постоянной Тогде найдутся
числа	такие, что 0</^f=a;)<i, i = 1,о-1. Обозначим Д.=5^ «в({.
Имеем п-1 событие, вероятности которых отличны от 0 и I. Следовательно,
по крайней мере два из них совпадают: Л =	<*У- Но тогда
=®’<=о>
s	nptmieopofHe. 13? Нет {<т-алгебра, порожденная с.в.
совпадаем F н, слмоватыьЖо, содержит а -алгебру, порожденную любой
друпйге.в). 135 aj да (7 = -£); 6) дв (?? = -); с) да принимает значения
±1, ?=-£. ТогД» £-.7 = 0, ^т=-1).	236 Нет. Укаа. С1 = |1Д34}, F-
совокуоность всех подмножеств П, =	=
Половдм fti)=$(3) = 0, f(2) = tf4) = l,
v(l)= Ц4) = О, И2)^иЗ) = 1, Очевидно £ 7 и и попарно нежыисимы. ио
ftf = 'Л+и •;) = -#!=	= 1} Р(’? + ^ = 2)‘	2Д7 Д3; вообще говора,
4 8
изменится.
^^ = о-72 = 0=Х'
ЗЛ =	PVfo-0J = 0J5, ^; = 1) = 0,45. С,в. r}t и
2i k'
явиснмы. 3.5 Зависимы. 16 ?\vsA} = — ------------------- k. = \,2,,.,,N\
N N' 
P(fi<k] = ^,	k = }X...,N; ЛЛ = 0) = 1	W = m) = ?^L^i
У	W	XT
W ^ + 7 = '") = C^,flJp"(l“Pr‘''1’', "=0,t ffi + n,
I*+P_ r**!
(1-flXt-i)-----Г". a^i>
t п=Д1...,
(»+b(l-a)’a', a-b
последнее
1,9 Указ. Неравенство	Р(ц$1ф равносильно неравенству
Мсшмиуя разложение ^=£7,
д a At Л1 д i AtX ,,
щрввснсгио можно записать в виде	Х“Г’_г>Д X 77 V
i№| Й А-О Мн1 С l!
ж‘Х-/д;= ил2УUr*-л;•*)>»	3->°
’-И «)	N^11
([rt]*=^w-I>...(M-*4-oX	Л/г}(У-МТ^'
с> AfIGV-М)1./Мт ©слн ki±ki+- +k\i4\~№~M и нулю в противном
случае.
113 “>АО»-к /.<«>
 ,6НЛ
’ к уе(<У>
О, vSO
2

2’
^r,w= 04“2^ ‘
О, y«W)
2у
.... «/„cJit'-H '"“л
Id уеСОЛ*)
<я
С)ДО) =
ус^а1)
а У
.0, уе{О.й2)
^/,W =
о, У^О
0<y£i
2
/ / >	0, у^2д или yi2b
з.1>' ОДМ’	——-(у-2а), 2a<jS<j + fr. (A-fl) 2*-> 	~r, а+Ь<у<2Ь
А^(*) =
[°’ 75-1 или z>3
3-z
7* i<^3
Ъ/„<у)=
О, yia-b ил» y£b-a
—-—z(y+6-al e-i<>sO.
(A-а)2
? —Осусй-а
(A-а)
fa y<tO
Oos_
!, y>a
3119 f (Z'-Л ZS0
l*e . г>0	'	геЛ.
V,W=
О, y£a2 «« У zb1
iny-2fnff ,	_ .
—<----<f<y&ab.
(A~«)
2!n6-iny ,	13
------uX, ab<y<b
(b-a)2
ЛчЛ^/0, г*°  f 250
1е\ г>0’	_л.
<'*1’
fa, ZSO
V„W=
a	A
0, yS- или y2-
A	a
—чм ?<y*i
2(A-a)\ У ) b
I Г А1 Л г Ь
-----5Гз“« > ></<--
2(А-аД>	) a
fa zgfa3J
J»
-il+22	’
3’“ f^x-y)=
X23
ZSO
z>0
fa zSO
j- ЛД;
z>0-
[1 JJ_-;-lir+U !
ЬЛ ез '. z*<?<2r
fa * противна^ случае
0<2x<y
10- и пр^тшмом случае

у /[°- iso
J® Z/Wel 2 е^> г>0 Определение Ртлеа).
Iff
fc »№
ГО, ziO
331
ЗЛ1

.l£z<2’
3.26 ДЮ-
'i-e’, o<zsi ,
l(>-3)!, 2S?S3
3J7	/„(^=|('-e’^’)/(i41<2?+^2-,)eV4' /Mtt,
0, z£0
-0-е'Ъ. 0<z£at
a
“(e*,-l)e'A* г>а
зм f{*№
где
zeKW]
z<02]
Указ. P(£+»j<z)=P(£=(l)»7<z)+P(£ = l,»;<z-i). 334 a) F{(x) F4(xyt
f-lny,
3 5 z»°na
7 >
33* F7O)=	J
333 Z;tFf(z)= 2’
IQ.
0, zfi-e
2>«
a «ivi
3M
l(z-3Xz+i),
±<7-zx»+a
3iz<5.
5SzS7
330
Л=1,
«(0,0
z<[<U] ’
jr io,
z«[0J)
ztlOJ]
=?/Wj(y>(z,^.
’•3’ АО')»Р/1О-)+^!Гу)-/’^зСу^)<
AG)=12^’y>0
1°. yso'
a) Aw=joT17f-F"^/- >>o.
la J.SIO
?>0
I yso'
злбД(у)’Ге V~£'l'y
la ?so
3,39	’ 0<Л<1
W J-efCU)
W >S0
3-*1Угаз. Д O’)=p',e'°(l
W л-so
140

(см. жмчу 3.40). Дм
вос^яьзо^бтьс» индукцией, заметив, что для
/'(x^L<fahHe4fa, х>0, k=G.
	 W
3A1 ЛОЛиЛ ’	(.=«+..+«.•
[a
1(Я'1)(1-уГ’- У®l0-11 угаз, Воспользоваться формулой
3-43	y^Qjf

(l<kfe =
OSX<L
(n- 2)!
3.44 Указ. ^т??<х)=	<«)/„(x-u)du = -^~ f />(«)du.
-»	°~a i-ь
3,45 р ~+------—;, Указ. Из системы
2 2(2л+1)’
^, = %-'7i+72
^з=-% + '7|+'?з
. Следовательно. Р ~ Pi^+Z,-четное числа).
k:(bj-(Ky2KV.tf- З’'5-’'*.
3.46 ZVc(*’^ = jf4vj). У1>у,
(ЗЛуМ^Л Л'З'г 3 4, а1 1 b) 1. Уда. к М: Из
>>>.-	-3-4 )n-	6
J2, osy^st	и
ирстмлМией задачи имеем f О’гУЛ"^ в противном ыучое
1VA	11	t
РОЙ-4^г0) = | j2(Wv=	3,48 Указ. П|шожим Ц = +
О О	О2	6	’,
Ke , e Якобиан преобразования f , / ми <
Р-н	=
f . t. Mrcosr)4rsin4 гаа,0^/52ж
3.43 j
[Q, « противном случае
зле/,,,/**)=•
О, в противном случае
(а,
331	Дт>^„Гз)<х) =
’ >’>0. »’=min{r1.n}; <^-
[0,	2
нейти Дг^ + гЛтуН Лтз + г^л).	3-33
Поэтому
332 а)
2’
Указ. В случае с) нужно
‘’)/’Ff(jr)+?FTW;
ЗЛ4 ЛСО = 2>»М-О.
ЗЛЗ Указ. Рассмотреть распределение двумерной с.в. (^Л):
^ = (X'? = 1) = W = 1.,? = O) = ^. Положить дй=У# = 0.
3.S6 /„.(>() = /,(>,), /,10'? = Л0'?.М7 ^/2- Y“»- 1) Показать, что f
и т? равномерно распределены на [0,!]. 2) Показать, что P^ = rf)^\. Для
этого разбить квадрат [0,1)х[0,]) на п квадратике» Д.^ и найти, что
НшЕ^л)еД^)=1.3) Вычислить /ф(£-1/2У 5^*)=“ •
а-ие>1	z
43
tiFs W = F"W;
’1*1

Х^У
. IF'CA х>у
—-—— (Ь->]Г’', У «(я, Ь)
32»/,(Я^ЯЛ-д)в
О, уъ{а,Ь)
ЗЛО a)f (л)»---------f*M(x)(i-F(x))M'/(*);
(от- 1)!(л - от)! '	г
Ые,	м — T,^-(^)(F(y)-F(x)r~'x
’<*1’1-. (л—!)1(да-л-’1)цл—от)!
x(l— F(y)'^“‘ f(x)f(y), х&у и равна нулю в противном случае. Указ, к 6).
Для	х^у	рассмотреть	событие
в*цЯ(х,.у)={*-1 ел. попаяй в (~=чх), m-i-l с& попали в
[х+сйс.у'Х п-т сп. попали в [у+Л,оо) и по одной сл. попали
в [х,х + <&) и b’.J' + rfp)!. 3.61 во всех случаях,
, рПЯхД ««« х^хз^-^х.
3.»/„(jci.-.*,)={ *=1
[О, в противном случае
W Pfaoi) =*) = —£ J, *=0,1,. . 4.1 а) 18; i)21. 4Д W^ = X-
d^s1/\44’ 43 м,1 = 0'	44 M;?i = X’ Мг!г = Уь' 4,5 Мг}^'
4Л Мп = а. 4.7 M^ = -2Lo + _*-. 44	«>7-^-;
fl +1 n +1	X 6
С,Г+^' ** W’ = M-yw 7 = ^4-^. 4.10 M^ = %.
Указ. »j = i	4.П o)~ + Q-a,]Q
I	™»|яьвз}
Укал, для a). Mr} = f(y-aj(y-aj)^-2	f(y~atXy“вг}& 4.12
fl	mm
4.13	£>^ = 402,1875. 4,14
Указ. В треугольнике все углу одинаково распределены и в сумме дают
<.4.16^. 4.17	= 155. 4.18 Me, «0 (* = 1,23,4), De^1na'\
De^la2, £>& = и(и + 1)</.	4Л9 WA = 0,	.
430	X/n\- Указ- Применить индукцию по и и формулу свертки:
ft W=IA	(х-«)Л. 4.21 ,WV-«^2,71828... .
J il+ '5,4..I	J 4..I
Указ. Р(и>*) = ?(£, +    +	< О = •"1 (см. предыдущую задачу) и
,W^ = i^v>t) = e.	432	Dl = ')/]44,  (>1,2),
«3 a)27^a4W,37: *>4-
434,4 = 24,	= Mi? = ^,D* “ D? = ^, cov(£,i;) =-~,р(£л) = - ?.
435(al	1	2
/(« +/?)
436 <r)0; 6)^. 437 В случаях a), j), g) - да; в
остальных случаях - нет. 438 а) 2, 6)1; с)0; Л)\У'-	/)*^j.
, ,я , 2а + b	,. 2аЬ
4ММ$ = Мч = 0, Щ = 5'.
4
с)0; d^att-^a1 + 7^-1;	^|а: + ^Й2-
У 4	©	2
431 /,	4з!г24.
J {’х	1 32ж Ч 32^ 16	50	25 П
433 г; имеет нормальное распределение с параметрами M>j = 13, Оц = 89,
Р 1 °1
434 а)15; 6)9. 435 р(^л)=-1;	р(^,и)=15.	436 1 2 1 ,
1° 1 2 J
437 f (х,, л,х3, J4) = —  - expf-(5(х, + хJ)- 2(х,Х2 + x;xi) + Чх> + х4))]
Змк к ™	2
р 0 0)
43ea)xel-^.lj; 6)xe[-),^j.439 0 J 0 j во всех случаях. 4.40 •	.
(о 0 1J
43
4'X
.	= St; + 0ti^  r^e
i,y = 1,2,...,j, i* j . Указ. Положим
0^ - индикатор события: при i-м испытании
P>4 = p</[n+<?(3n-2)l;
Щ - D- 2(n -Ifpq3 >0,
..U1’ ^~~G
10, в противном случае

был исход i. Тогда	D£t = п pt (1 - рД 4 = 1,2,..., j и
~П)ЛА’ UA 442
M=nq'\ D = flp(ji2(i 4 ^);	= M ;
при л>1. Указ. f = 71+ ... + ;?„,
(£,- исход 4-го испытания), Mq^q2,
2	[°. М1*1
D7i = p7(l + ?) и cov(7,7) = i j	4.43 M^-nptp,
IPq > Р'-Ле’
D' = npq(p3 + q) + 2 р1 q2 	Указ.
1. успех при к - м испытании
,4 = 1................................и +1,
О, неудача при к ~ м испытании
!>, г4=о, г. .=1	Д
Г) =j *	*i+	, k^l.....п. Тогда Mf = =npg,
р. в противна* случае	*-1
= o(Z tDf?l + 2Lcov^r,'l)-	Orjt = pq(l~pqh
[°. l‘“Ji>l	г 2 г з
covO/ .n ) = < г ,	и Df = np.jf-20i-i)p q -np q »
[~P g - |»-Л = >
= Wfl-3/ч))4 2p!^J.	4,44
Оп = пр<(т: +a24), со^гл} = лрст
***•
ff ” 1
|i<4 j	yKa3.
\J1n-k)
M£ = na, Mt} = npa, Dg-Hiy1
4Л5 ———.	4.46 Mn, *-.
n	n
I) ,?| + ... + 7, = l=>WpJ«l
2)6,+ - +6, =1 лО7|+	“ )}м>*<6(,6г} = 0.	Откуда
I
«М7< Л,)-- — и ^7f7? = -—" 3)cov(7, + ... + 7t.71 + ... + 7()-
46
у £соЧ7,,/у)~ W??, + i(l -1>cov(^,7^ = kDfy - А</i)—-i *
j(rt* f)	 _
Далее &Г), +... + T/J-sDzj, + s(j - llcov^,^) = — —— Оу, Откуда
.' + +л n+ '."A °У  + f/r?) + - • + ?,)___________________*("-/)
/Л^1	*' 1	'	+ ... + ?7i)D(f71 + ... + ??,)
4.4"’ а- медиана £ b- медиана q. 4.49 (o’!-сгтУ SDff + 7)^(04 + СТ2У 
4.54) c, = —Ц, где Л =|-L +... + j, D^n = ~.	4Л1 Указ,
Л<Т,	(СГ1 <rj	X
fl + h + |a -й|
Воспользоваться соотношением тах{«,й} = —   — к неравенством
Коши-Буняховского, 4Л Нет. Указ. Пусть П* (1,2,3), F- совокупность
всех подмножеств Q, Р(()})* Р((2})= Р((3})*	. Положим
£(I)-2,<(2)„i,f(3)^O. т(1) = 0.7(23=2, т(3) = 1. Тогда	т.е,
5 + 7	’
? *• 7	+ 7
5.1
Г~^7~ ~ I -1	~ [	о
~ j	7Г
М(^=1) = Х-
5.3
Г7~Г~2 Г~~5~ ' 8 ~ I
Г~ р Т 0.2	0,42 0^8 I
Л [ 0,4	0,8
.j_l_	0.2
г. < |	2	5	8 i
рl.f = J1 д - 0,8)|	0Д5	0.6	0,15 I .	.	J
7	1	0,4	0,8
/(7 = ^ = 5) L	1	%	У1
53
г- 17	10	14	18
1	%		%
47
b)
_______-
L -L_
i H4' = ^=3)
М(^ = 3)=26/11. 55 217, 0, 10/17, 24/17,
SA a)
'. .P. 1.
,k>- -
lEXEi
0_______________i_
~OJ 0,3
0,2 |
2
J /’('-x.fl = 2) 0,75 0,25
______7____________-1 ,
= V.!< = 1) 0,125
0
0J125
r) P{p < £} =0,5; J}cov( t . p } = -0,1 , /Xf<7) ~ -0,244 , 5.7 17/65, 5.8 23.
5.9 p.  p, 1/2.	5.10	z/2.	5,11 Си',, i=0.l,...n;	n'2.
S-llrJ Al Vf A: 1 7, 7^0,1,.,.,n;	5.13 -L
’Ui + ySjU.^J	Л4-^
/’•1,2...	5.14 ^Ра-к) = р(1-р)‘~', *=1,2....:
A>/J(„‘--*1 = fl - -- if—]. *=0,i„. ;c) P^ = k)^'-er, *=0,i.....
i 1-r.M-cJ	tl
5.15 ' я) ; Л) —; с} : d) + q}pq ‘(1 -q '},* = 23,.. :
1 + q 1 + q	i + q
eKl + ?lp/‘'",i = 1,2,...;	+ q'jpq2"'",k = i.2,..., gi-^A = 1,2.- . f -1;
hi'-. 5.17 <oc:(^l f1-?1']	Л^л, -'. + <
-	\Лл) Л\) Л\
Ач-Л + ...-M,-	, !)£*<;.
5.20	= m)=C;Ct-w /С!\ ™ = 0,1,...,min{W.^}. 5.21
5.22	МГ,*0, Й7’п = лСг;р+^р| 5.23 Л/т = ab.
5.24	/.W'A/.W+ ₽,//*) F;W = p,FtW + PiFi^-
Mt-P;
D£ = pt fx2/, (x)sir + p2 j j^/^xWr-fA/^)1. 5.25 2/3. Указ. Ввести три
гипотезы: //] - обе точки легли на одну и ту же сторону квадрата; //. -
точки легли на смежные стороны квадрата; //, - точки легли на
противоположные стороны квадрата. Тогда Л/г; = £/"(//
0Sx<2
5.иД.,(у/к} =
D, в противном случае
5.27 а) /;(х)-		^~у_ 42
	0,	|х; 2 а	0,
f b ___________
[О,
\У <Ь
х,у - df^eue
х, у - другие
40
wv(
вательйр, £ и t) некоррелированные, но зависимые с.в.
XR1
О,
'О, х<-Я
FfU)=F,(*)
- + — «resin - +
2x1 Я
- R < jr £ 41; c.b. f и t)
зависимы; b) f'
^7’ !х(<*
о,
с) eov(£,7) = 0.
5.2»л;/:г|и,^=
1	( ( । jixy2
pi+Ms-r-
О
Н+Ы>?2~

av2 -Ijjtj
С)/; ^Х/У^
aV2-2|^’
д
W<|V2-W
х, у - другие

1
= wivff.^O; с) не
коррелированны, но зависимы. 5Л0 j o(z) = <	4 я3
[о, '	|г| г Я
S31	.4=4,
м
A(z)=A(x)Si{ofe’/oI>0’
Л/f = Af/?=~Vz, D4 = Di)^y--, саИ£,^О. 532 Л« —,
*	4	X
f4Ayf*^~e4i'^.
OrB.S33/ft(^)4i'
|0, x,у-другие
/;W»/,(x) = fe’ I6(°'8).
[o, x 4(0,8)
(—-—, 0<x<8-y, 0<y<8
g~y  >
О,	x,y —другие
534 а) Л=], P(£ + 7<l) = l/3, 6) //*) = />)=Г+ 2’ ie(0’i),
*	[0, j«(0,1)
Зависимы. c)	=
F^ =
0, ISO
j-rf-r + t), 0<tS1;
;1, x>]
xe(0,D
A./Jr/-*') = V + Z2	, <Ky<l; P(24 < l|f + n = 1) = 0,5 .
[0,	x<(O,l)
SJSa)J-3/28, P(^+^<2) = -3-.	= D£ = ^-
14	7	7	’ ]47

Dr) =
46
245’

- 0<x<2
2 + -У	, (Ky<2,
A 14(0,2)
f =
0<y<2
2x+%
A P«(0,2)
0<x<2.
я
Sjeojjjf..	Df£|£ +i>0;
g •	| к #«[0,г1	12
4^./x/2**F*' 0Sxi*,	D(^ + i? = z) = ^-,
.q0) хе[0>г]	12
f..^!i^\~z’ *-1Slilt	D(^+^2) = IL^.
(0. xek-),l)
0<zS1,
15z<2;
= ’/{^Л/г>
6xtz-x) .	„
-—-—-, bixiz
Z
0, xefO.z]
г>»>
337	f->(y}=^e' Уих f"W= [Л<)°'’1)Л=
+ *	1 у3
=	Ho /^S^ = 7<p^(-H = j==e'i 
J	2
У +ae	1 У
2 У'^=^е'2 
Следовательно, f (у) = -Д^д’
J * Vz*
5381/3,
539 P(OSf<^ = 2}“03. 5,40 P(f = *)= -C-j, *-0,1.... . Замечание.
(Л+lp
 1
1:слн ввести оботначення -------------= р, -------“Ч, то получим
Л+1	*+1
P(f = *1 = />о‘, * = 0.1, .. .5Л1 P(f = m)	I - m=0,1,...

Of =	+	+ 1).
Д I Р )
51
ЛИТЕРАТУРА^'
1,	Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.. Теория вероятностей. Задачи и
упражнения. - М.: Наука, 1973. - ЗбТс.
2.	Гнхман И.И., Скороход А,В., Ядосяко М.И, Теория вероятностей и
математическая статистика. -Киев: Вита школа, 19?9.~40вс.
3.	Емельянов Г.В., Скюпанч В.П. Задачник по теории вероятностей и
математической статистике. -Л.; Изд-ео Ленингр. ун-та, 1967. - 340с.
4.	Зубков А.М., Севвсплноа Б.А., Чистяков В.П. Сборник задач по
теории вероятностей: Учеб, пособие для втузов. ~М.: Наука, 1989. -
320с.
5.	Кремер Н.Ш. Теория вероятностей н математическая статистика:
Учебник дая вузов. -М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. - 543с.
6.	Сборник задач по математике для втузов. Ч 3, Теория вероятностей и
математическая статистика: Учеб, пособие да* втузов/ Под ред. А.В.
Ефимова. - M.t Наука, 1990. - 428с.
7.	Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и
теории случайных функций/ Под ред. А.А.Свешииеова. - М.: Наука,
1965.-632с.
8.	Теория вероятностей и математическая статистика а задачах: Учеб,
пособие для вузов / В.А Ватутин, Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев и др. -
М,: Дрофе, 2003.-328С
3.
ОГЛАВЛЕНИЕ
величия.............
айных веянии..........
ня функций от несколымх
..4
-7
.^Случайных ^Йументов...........................
4. Числовые Мраггеристики системы случайных величин.
5. Условные йконы распределения..................
Ответы...........................................
Литериуре...................................  ..
.19
..25
.31
,53
я
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Часть 4.
. Составители:
Муави Владимир Ивьич, Сморкалом Валентине Михайловна
Государственное образоавтельное учреждение высшего
профессионального образования «Нижегородский государственный
университет им. Н.И. Лобачевского»
603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23.
Подписано в печать*tH)6r. Формат 60x84 1 /16.
Бумага оберточная. Печать офсетнва. Гарнитура Таймс.
Усл.-печ.л. 3,5. Уч.-изд. л.—.
Заказ ; Тираж ЗООэкэ.
Отпечатано в тиюграфии Нижегородского госуннвершпета
имЛ.НЛобачевского
603000, г. И. Новгород. ул. Большая Покровская. 37
Лицензия ЦД№ 18-0099 от 14.05.01