/
Текст
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государсгвенное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского» СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Часть 4 Рекомендовано методическим советом факультета вычислительной математики и кибернетики для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности 080801 «Прикладная информатика» Нижний Новгород 2005
УДК 519.21 ББКВ171 С-21 С-21 СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. Честь 4 / Составители: В.И. Мухин, В.М.Сморкалова -Н.Новгород: ИНГУ, 2005. - 54с. Составители: к.ф.-м.н., доп. В Ji Мухин, «.т.н., доц. ВМСноркмоаа. Рецензент: х.ф.-м.ж, лоц. В.М. Шашков. Сборник предиаяачеи для студентов факультета вычислительной математики и кибернетики, обучающихся по специальности «Прикладная информатика». Приводятся задачи с ответами к практическим занятиям по темам: «Системы случайных величин», «Независимость случайных величин», «Законы распределения функций от нескольких случайных аргументов», «Числовые характеристики системы случайных величин», «Условные законы распределения». уда 519.21 ББКВ171
СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ П.р, -плотность распрмелеии* вероятностей С.в - случайна* величина Ф4>. - функция распрваелеии*
1. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН 1.1 В ящике 2 ияра, не каждом hi которых написана цифра I, и 3 шаре, на каждом из которых написана цифра 2. Один та другим наудачу вынимают дм шара. Найти совместный закон распределении (,'л ). где { - номер на первом извлеченном шаре, а у - номер на втором. 1J В кошельке лежат 8 пятирублевых монет и 6 двухрублевых. Наудачу вынимают одну за другой две монеты. Найти совместный закон распределения (£.?;, где £ - достоинство оврвой монеты, a tj - второй, 1J Из 12 лотерейных билетов 4 выигрышных. Двое вытягивают по билету, сначала первый тянет, затем второй. Пусть £ - число выигрышных билетов у первого, д - у второго. Найти совместный закон распределения «л). 1.4 Двое стрел аов производят по 2 выстрела. Стреляют они независимо друг от друга и каждый выстрел не зависит от предыдущего. Верогпюсть попаявши первого при одном выстреле равна р^ второго - р . Пусть ; - число попаданий 1 - го стрелка, q - второго. Найти совместный закон распределения ди . 1.5 Бросают две игральные кости. Пусть 11, сумма очков четна 10, сумма очков нечетно [1, произведение очков четно t} = < 10, произведение очков печатка Найти совместный закон распределения для tf.q). 1Л Совместное распределении с.в. и ч задано таблицей, в которой ив пересечении г - го столбца и у - ой строки приведены вероятности р/у = Р(^=1л=Л О®-1,1; j = -1,0,1). -1 1 -1 X & 0 Уп X 1 V /24 X Найти одномерные законы распределения с.в. f и а 1.1 Есть две урны, содержащие пронумерованные шары. Состав первой урны: один шер с номером 1, дан шара с номером 2, один шар с номером 3. Состав второй урны: дм шара с номером 1, три шара с
иомфом 2. один шар с номером 3 Из каждой урны извлекли по одному щфу Пусть £- номер шара, извлеченного из первой урны,. номер шара, (влеченного из второй урны. Построить рад распределения двумерной С.В. U.7). 1.8 Ряд распределения двумерной дискретной с.в. f(a>) = ^|(<ejf2(aj)j имеет вид -1 ° 1 1 0 0.1 0,15 ! 0,2 1 0,15 0.25 [ 0.15 Найти ф.р. f(x, у) данной с.в. н частные ряды распределений с.в. *.(&) и fit0'» 1,9 Двумерная с.в. £(да)= ) £г(а>)) имеет п р. f(x,y)<= j0’^ ’^“7- Найти ковстанту а, ф.р, F(x,y)ca. [о , к, у -другие £(да) = (^(да)*2(да))мчастиуюл.р. /,(х) с.в. ,\(да). 1.10 Двумерная с.в. ч(а’)=1(/|('11115 Ли)) имеет п.р /(т,у) = Р'е ' *','>0 , Л>0. Нейти /((х)-пр. <,еДда). (0 , х,у -другие 1.11 Двумерная с.в. <(#)=&, (и нмесг пр. /(^.у) = ]16ЛУ ’ 0<х<^<2 Найти /^х) Н Д(у) - частные п.р. (О , - другие 1.12 Двумерная с.в. £(да )= ^((да,(да)) имеет пр. ,, т Jby1. 0<х«у<1 f(x, y) = i J . Найти к. [О , х, у - другие 1.13 Двумерная с.в. имеет плотность Дх,у) = - ———. Найти; а) константу 4; 8) совместную ф.р. ж’Р+ЛиУ) F(x,y); с) l,0SfcSI). 1.14 Найти вероятность попеления случайной точки (?,/?) в
прямоугольник, огрениченамй прямыми j=l, х=2,у=3,>=5. ®СЛ1< (О, , xSO idu у SO Fs" Х’У (I-2',-2“J' + 2'J^ . х,у>о' 1.15 Совместней п.р. с.в. ; и п имеет «ид f = —« U’+y+i; Найти константу Л. 1.16 Совместное распределение i к п «вдается («в«омерным в единичном круге хг + у1 Найти 1.17 Совместная п.р. с.в, £ н п определяет^* Равенством (x’^jeG* ГДв G = °Sx<2; Найта п,р. /{(х) с.в. < 1 ie тк z 1 г \Л(х*У\ 1.18 Пусть Л,Ы=|о/ ™ G = {(х,у): OSxSl; OSySl}. Найти; й) конспекту Л Ь) и /,(У)> <•) ?<„(*,У)- 1.19 Опреданить вероятность попадания случайной точю, (у, Г?) в область G = {(х,у); 1 SxS2; 1 Sy S2}, если совмест’н&* функция распределения F&fay) имеет внй (д>1) {О, .г S 0 ил и у S О -х2 .!/ .,2.2 2 1-й a f +а , х,ууО 1М Соаместная ф.р. с.в. i н ij равн» Fit(x,y). На£™ вероятность попадания случайной точки л) в область G = {(х, у): х < “J i Sy < е}, 1.21 Пусть /(ж,у) совместная п.р, с.в. f н ^.Выразитьчерез /(ж,у) вероятности следующих событий; а) {£>>?}; d} 1.22 С.в. £ имеет п.р, /,(х), С.в. Найти совместную ф.р. Г{,(»,У) с ». < и ,. 1.23 Система трех с.в. распределена с Постоянной плотностью внутри шара радиусл Я. Найти аероятнссп. попадания случайной точки , £3) внутрь шара с радиусом Й/2. 1.24 Система трех с.в. (fpfj,/,) равномерно рас прсЛелен а внутри
шаре радиуса Л. Найти: a) п.р. /3 (х) с.в. ; Ь) совместную п.р. с.в. 135 Найти п.р. системы трех с.в. если совместим ф.р. этих с.в. Ffx.y.z) имеет вид (вЛс>0). [О, в противном случае 1,26 Пусть £ и п - с.в., определенные на вероятностном пространстве (QF,/*), где <1 - квадрат с вершинами (0,0), (0,1 X (1,0). (1,1), F-а -алгебра борелевскнх множеств Cl, Р - мере Лебега. Найти ф.р. и п.р. £+>7, если: я)Йад>®»)«й)|+а>1- ткч, (Уг) = (й * 1 °* чй! О4од,он)=<м, 'Хйъсл)~<’Л- 10. ox*ci>i 2, НЕЗАВИСИМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН XI С.в. { и г; нелеченый. Найти flef = ^),есяи: a) { и п имеют одно и то же дискретное распределение; Ь) ф.р. с.в. £ непрерывна. 23 Игральная кость'бросается до тех пор, пока впервые не выпадет меньше пяти очков. Обозначим через { число очков, выпавших пря последнем бросании, а через ij~ число бросаний хости. Найти совместное распределение ; и >j. Являются £ и п независимыми? 13 Положение случвйпой точки (f.T.) равновозможно в любом месте крута радиуса Я, нянтр которого совпадает с началом координат. Определить п.р- и ф.р. каждой нз прямоугольных координат. Являются ли с.в. f и 7 независимыми? 2Л Система с.в. (f,n) распределена с постоянной плотностью внутри квадрата G = {(л,у): 05хSa; OSjrSc}. Найти F^[x.y), fc(x), Являются ли с.в. ; н I? независимыми? ,4 2,5 С.в. f и г; имеют совместную п.р. f (х,у) = ----—, 1 + х: +J +д ’’ V' Найта: а) коэффициент А; Ь) f ,(х), /„О'); с) вероятность попала пн я случайной точки в квадрат <7 = {(х,у): - I S х S 1; - I S г S I}. Установить, меняются лн с.в. £ и п независимыми. 2.6 С.в. £ и л независимы. имеет нормальное распределение с
параметрами а = 0, = а pe[OI] Най™ ЛЛ1’-^ ** F-ЛЯ- 2.7 Пусть rj и и независимые с,в., каждая из которых равномерно распределена на [ОД]. Каково число С, для которего с вероятностью 0,75 по крайней мере одна из указанных с.в. будет превышать С? 2.8 Пусть {И независимые с.в., каждая из которых равномерно распределен* на интервале (0,1). Найти 19 Двумерная с.в. <(“>) = имеет п.р. / Где х з1 х 0 Дх,у)“< ’ , Определить, являются ли с.в. и $ |0 , х,у - другие независимыми. ; 110 Двумерная с.в. £;(<»)) имеет п.р. J ®Sz,>’s3 , Определить, являются ли с.в. и |0 , хту -дрцлгие J независимыми. ] 2*11 В условиях задачи 1.9 Определить, являются ли с.в, £ Jaj) м j £?(&) независимыми. а 112 В условная задачи 1.18 Определить, являются ли с_в. и (о) независимыми. 2,13 Двумерная ел. имает ”₽ Г 1 Os s) /(х,у) = 1^2яе 11 Определить, наяяются ли с.в. ft(a>) и [0 , у - другое £2(о>) независимыми. 2.14 Двумерная с.в. &»)= имеет п.р. /(х,у)=Ре ’ Л>0 Определить, являются ли с.в. /,(ш) и |0 , х,у -другие независимыми, 2.13 С.в. f|(<u) и (и) независимы н имеют следующие п.р. /Jjj-je’' I>0 f (у) = Ь . Найти /(х,у) - J if f [о . X -tyyw !° у ^РУЫ 1 совместную п.р. дан вых с.в.
. 2.16 Двумерная с.в. £(е>)= Иу(®)) «мест п.р. «с 1 J — е~**, 0-iyia,x>0 , Дх.у)=<а Определить, валяются ян с.в. ^(ш) и (0 , х,у -другие £;(<и) незавясвмыми. 2.17 Двумерная с.в. [ £(o>) = (£|(<w)lf2(a>)) имеет п.р. , —, 2tx44. liyil _ , , , t t . /(*,>)- <П . Определить, являются ли с.в. и f 2(д>) (О ► -«ЭрЗ#1»* независимыми^ 2,18 Св. н ^(<и) независимы и имеют следующие п.р. , . . *е[2Л1 , fl ye[2,4J „ /f|(»)={6 . /<2W*P Найти [fl , х - другое [О , у - другое /(х,у) • совместную п.р. данных с.в. 2.19 С.в, f,(<н) н £,(«) независимы, причем fit®) имеет нормальное распределение с параметрами а = 0, <т = I, а - нормальное распределение с параметрами а = 0, а = 42. Найти значение совместной плотности распреданення f(x, у) данных с.в, вточгех=2,у=2. 2.20 Сл. £ (й>) и £(я) независимы, причин ft(w) имеет нормальное распределение с параметрами д = 0. ег = 1, а £,(*>) - нормальное распределение с параметрами. а = I, <т = 2. Найти вероятность попадания случайной точка £(е>) = ((а>),£;(<ц)) в прямоугольник с вершинами {- 1,1), (2,1), (2,3), (-1,3). 2Л £ н I] независимые с.а., каждая нз которых имеет стандартное нормальное распределение. Найти . 2J2 Пусть случайная точка такая, что £ и rj независим не с.в., каждая из которых имеет нормальное распределение с параметрами а, а и й, <т соответственно. Нвйтн Я- радиус круга с центром в точке {а, Ь), вероятность попадая вн в который для данной случайной точки равна 0,997. г^- 2.23 Даны две независимме с.в. Абсолютно непрерывная i с п.р. ft (л) и дискретная д со значениями ,J-’j> имеющими вероятности P^Pv И*11™ совместную ф.р, р.ц{х,у). 2.24 Пусть f н п • с.в. Обязаны лн они быть независимыми, если
независимы и 1/? Х15 Пусть £,t) и v - с.в., причем £ не зависит от 7+и. Верно лн, что £ не зависит от г/ и от и? 2.26 Доказать, что с.в. не зависит от самой себя тогдн и только тогда, когда она с вероятностью единица равна постоянной. 2.27 Пусть иа вероятностном пространстве (ftF,P), представляющем собой отрезок {0,1] с cr-алгеброй борелевских подмножеств и мерой Лебега, заданы с.в. f и ij. Будут ли они независимы, если: а) £=б), 17=1-Ш2; ^У1> с) £ = а>’ У? Г?=-1, 0=^ X- -у, 2,28 Определим вероятностное пространство (ftF.F) следующим образом: Й*{1ДЗ{, F- совокупность всех подмножеств й, P<{1})=P({2})=X{3})=X' Л0*»3»™- что на этом вероятностном пространстве нельзя определить две независимые с.в., каждая нз которых принимает по крайней мере два значения. 2.29 Вероятностное пространство (£i,F,P] определим следующим образом: Й={1ДЗ,4}, F- совокупность всех подмножеств Й, Постр°нть м этом нероггностном пространстве две независимые случайные величины, не равные с нероятностью единица постоянным. 230 Пусть (ft F,P) - вероятностное пространство, причем Й состоит ровно из п точек, каждая из которых имеет положительную вероятность. Доказать, что ня этом вероятностном пространстия не существует двух независимых с.в., каждая из которых принимает л различных значений. 231 Пусть (ftF, Р) - вероятностное пространство такое, что F содержит ровво п событий. £>>£,_, - вопарно независимые с.в., определенные ня этом вероятностном пространстве. Доказать, что по крайней мере одна из них есть с вероятностью едннина постоянная. 232 Существует лн на вероятностном пространстве (ftF.F), предстаияяющем собой отрезок [0,1] с с-алгеброй борелевских множеств н мерой Лебега, с.в., не равная с вероятностью единица постоянной н не зависящая от с.в. £(а>)=afl 2.ЭЗ Пусть £ и rj - с.в., прячем >0)« F(i?>0) = ^,
f^$+!} > о)к 'X Док*зать> что f И Г} зависимы. 234 Пусть £ и q - неэаадсныые одинаково распределенные с.в., = Доказать,что р25/’(^'+^>0)5t-g2. _ 23S Существуют ли сл. £ н ? такие, что £ и t] на равны с вероятностью единица постоянным и: о) £ и f+г/ независимы; Ь) £ н frj независимы; с) £,£+/? н fp независимы в совокупности? 234 Пусть £,т) и v - св., причем £ на зависит от 7 и от v. Верно ли. что £ не зависит от )?+и? 237 Пусть и v - независимые н совокупности с.в. Будут ли независимыми с.а £ и q+v? Изменится лн ответ, если предположить лишь попарную независимость £,17 и и? 3. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ ОТ НЕСКОЛЬКИХ СЛУЧАЙНЫХ АРГУМЕНТОВ 3,1 Совместное распределения с.в. и £г задало таблицей: £. -1 1 -1 я %4 0 У}2 X I %4 X Найти: а) закон распределения 7, = ^, + ^; закон распределения 3.2 Законы распределения числа очков, выбиваемых каждым из двух стрелков, таковы: 1 2 3 р 0,1 0,6 Найти закон распределения суммы очков, выбиваемых двумя стрелками, 33 Брошена игральная кость и правильный тетраэдр. Пусть на гранях тетраэдра палисады цифры 1,2,3,4. Обозначим через и 7 число очков, выпавших ня кости н тетраэдре соответствеикс. Найти закон распределении £+77.
,1.4 Сумму двух независимых равномерно распределенных па {0,1....9} с.в. £ и £3 можно записать в виде £, + £3 = ,07j + 7i* 05^59, i = 1,2. Найти законы распределения rjt и rjr Зависимы ди с.в. 7, * 7? 3.S Произведение двух независимых равномерно распределенных на {0,1,...,9} с.в. и £3 можно записать в виде f,^2“ '®7г+ 7г 0ST/(S9, J = 1,2. Зависимы ли с.в. 7]} н 3.6 С.в. и 7 независимы и имеют одинаковое рас пре делен на: Pfg = 4) = F\>} = 4) = —, к = ]Д,...,М. Поножнм v = min{£, 7}, N /j = max{^,7}. 2 = /т-v. Найти законы распределения с.в. н, /г и Л. 3.7 Смешаны две группы* деталей, содержащих щ и th деталей каждая. Число бракованных деталей £ н 7 в каждой группе имеет бмномнаяыюе распределение с параметрами (д.р) и (rtj.p) соответственно. Найти закон распределения f+7. ЭЛ Пусть f и 7 • независимые с.в и Р(£ =/) = (I ~а)а , у)=(1-А)У, /20, «Хп<1, (WK1. Найти закон распределения f+9. 3.9 Пусть н 7 - пуассоновские с.в, с параметрами А| и соответственно. Доказать, что если Л1<Д2, то при любом целом неотрицательном п р<£ Pfyin). 3,10 Пусть - независимые с.в., причем Я(^( = 1) = р, Р(£ = -1) = 1 -р = Я Найти закон распределения с.в. 7 = £ьх£3х ...х£л. XI1 Пусть £3......%* - независимые беряудииеаские с.в. =0) = 1 - Д,Д, (Ц, --1)= ^Д, где Д . малое число, Д>0, ^>0, г = 1Д...,и. Показать, что Я(^| + ...+^, = 1) = ГелУ*^Л1)> \W / Ж£+...+£>!)=«д’). 3.11 Из урны, содержащей М белых н N-M черных шаров, по схеме случайного выбора без возвращен ня вы ня маются все шары. Пусть - число черных шаров, извлеченных до покияенил t-го белого шара. - число черных шаров, извлеченных между н i-м = белыми шарами, - число черных шаров, появившихся после последнего белого. Найти: а) = i); = 4, = 0;
3.13 С.в. и 5, независимы к нмеитт равномерное распределение на (0,1). Нейта п.р. с.в. г/, если: й)Ч = ^+^2; cVl=t\l&, <^ = №+Ы З.Н С.в. и независимы и имеют равномерное распределение и* (О^з). Найта п.р. с.в. i)t если: = с)П^&; X1S С.в. и независимы и имеют равномерное распределение и* (о, 6) (Ь>а). Найти п.р. с.в, г), если: l)7=£t + fy З^^наХМ^^ндХК 3.16 Пуста * и г) - независимы /,0) = |^’ Найта у (г). ’ [О, jke(0,2] f ’ 3.17 Пусть * и г) - независимы к /,W = Г1 хе(0,1| U xeia.1)' Л«=^- ”м. [о. хй(02| (J4. j’ef-i.i] /,(.У) = у2 .Найти ft (г}. 3.18 Tочка ,£г) равномерно распределена в квадрате KxpxJ:0 ^«,0£х]^л}. Показать, что распределения с.в. и Ш1п{4р£,} совладают. 3.1* С .в {ну независимы и имеют показательное расараделение с параметром 2 = 1.Найтип.р.с.в. f + tf, £-/J, £/»? 3.20 С.в. £ и 7 независимы и имеют показательное распределение с параметром 2 >0. Найти /^(г). 3.21 С.в. £ и г? независимы и имеют показательное распределение с параметрами 2i и Aj соответственно Найта пф. с.в. im. ЗЛ2 С.в. и независимы и каждая имеет показательное распределение с параметром 2>0. С.в. 7,=^| + 2£,. 73 =2£, + £,.
Найти совместную п.р. с л. и 3.23 С.в. и £2 немвис амы и каждая имеет поьжжтельиое распределенна с параметром Л=1. Найти совместную плотность распределили!с.в. 7, = ^, и TJ3=t2£(+3£2. 3.24 Предположим, что с.в. £ и независимы и каждая имеет нормальное распределение с параметрами в=0, <т‘11 - Показать, что ф.р. с.а. 7=~^ + <$<тределмгсл формулой F„(z)=C i [i-e , 2>о 3.25 Найта п.р. ДО) с.в. 7=^+^ , если к независимы и каждая имеет нормальное распределения с параметрами а = (\ 3.24 Найта п.р, Д(л) с.в. 7=£+£;, если £ и £г независимы и f frt-P* Xei<UJ f я>0 * la jr«fai]’ A [q zso' ЗЛ7 Независимые с.д. и g3 имеют п.р. Л/*Нл В4|’НЛ|,,1,‘ Л<г>С-Б- __ „ , ,, . Ъ , jt>0 &2S Пуст* J и n - независимые с.а, и f.w=\ J{ (O, TSO 7X""'' /,-w" z'-'w 3J9 Найти если g к rj - независимы н -I*) /{у}=\Ут a, Х«[2,4] w v4i1’3! З.Зв Совместна» п.р. с.а. и rj имеет вид [Л(х+уХ х,yelOJ} , , > = 1 л Найти A, f Ах), f Ау) и Д(т), если *" {Ц х,у-другие J ‘ J i J * v = них {£,?},
331 Пусть 2 *(х+У$ х+у г .0, ?+у2<| . Найти /^(п), «л* Л,(*->')= 332 С.в. независимы и равномерно распределены на (Q,l 1- Найти п.р. 74j+ft+ft- 333 Найти /,+?(г). «ел*1 » И 7 • независимы и 334 Пусть £ и г; - независимые с.в. с ф.р, Г^(х] и Г^(у) соответственно. Найти ф.р. следующих с.а/ a)max{£,?}; 6)min{£^i; c)max{2£?}; ‘Оти’^’л}- 33S Случайна* точка равномерно распределена внутри единичного квадрата. Найти закон распределения площади и пряыоупальника со сторонами 336 Имеете» две с.в. и с совместной п.р. * Lct ,х2). Найти Ф-Р- ГЧ(У) и п.р. ДО) с.а. ?=max 337 Система двух с.а. имеет совместную п.р, / , г (_г1,.гР- Найти ф.р. /т,О) и п.р, /,(у) с.а- ij = tiling, 33# С.в. и независимы и имеют показательное распределение с параметром Я = 1. Найти плотности рас пре деление с.в. rj и V, если 7=max {£,&}, v=ram|f(>fj}. 3.39 С.в независимы н имеют одну и ту же плотность [2х, 0<х<1 распределения /W-V . Найти плотность распределения (0. хе(0,1) «max {f), 3,40 С.в независимы и имеют показательное распределение с параметром 2. Найти п.р. f^{y} с.в. г), если: «)’7 = <(+---+<я; />)7=т«х|£,.-.,£,|; с)т?=т^р.-.,^}.
141 Св •-•>£, независимы и имеют показательное распредеаенле С параметром А. Доказать, что с.в. I^max^......................£,} и £ £ if +•“+.•+— одинаково распределены. 2 3 я 342 С.в независимы в имеет гамма-распределение с параметрами (Л,а\ '-!>"> т.е. 4,w= Ал П«) Д , х>0 XS0 А>0, Л>0. Найти п.р. Д (у) с.в. 7 = 343 С.в независимы и имеют показательное распределение с параметром 1=1. Найти пр. /,1у) с.а 7^,^+.-+^' И*2)- , 344 Пусть { и г; - независимые с.в., Ff(x) - ф.р, с.в. /, в с.в. 7 равномерно распределен* ня отрезке [в,А]. Показать, что * © — fl 3.45 Пусть ' независимые и равномерно распределенные ня {-л,,-1Д1,..,,н~1л} с.в, Подберем многочлен А*) = 7е'Х1+7)х+75 ™«. то 4(0)~^2, Д1) = ^3. Найти вероятность Р того, что с.в. 7t,7l>7j принимают целые значения. 346 С в. и независимы и одинаково распределены с ф.р. F(x) н п.р. /(к). Найти ф.р. ^(УрУз) и п.р. /7Л (Ут’Л) системы с.в. (ijpfjj), где ^«tninfe,^}, ijjcntaxfe,^. 3.47 Пусть и независимы и равномерно распредвнопы на [0,1). Найти вероятность того, что действительны корни уравнения: а»*2 + 5Л + ^/ Мх’+ъж+^где »7I=min^,41l»%”n«{fpi2l> 3.48 Предположим, что с.в. £ и независимы и каждая имеет независимы. 3.49 С.в. и g2 независимы и имеют одну и ту же п.р. /(х). Найти
совместную tip. полярных юордмнжт (д fl) точки (^(,^). 3.50 С.в. £( я <*t независимы и имени одну и ту же П.р., ревную /(х) при х^О я 0 при х<0 ' меотрицкгельные с.в.). Найти п.р. '* iHrfi “ 7за ЛЯЛ 341 Нетто получил дм кредита, каждый из которых on доджей вернут* по первому требованию. Требование вернут» кредит к (*-1,2) приходит в случайны» момент времени рь причем Г4 жкяет показательное риспреденение с параметром Лю Требования приходят независимо. Найти распределение длительности случайного чромежутке времени, в течение которого в распоряжения заемщика будут находиться оба предала. З.Я К переговорному пункту с двумя кабинами подошли три клнаита. Первый и второй клиенты заняли сеют веги веяно кабины №1 в №2, в третий клиент остался ждать. Предположим, что времена г1( гг и Гj разговоров клиентов независимы я имеют одно и то же лоаазателыюе распределение с параметром 4. Найти - сфероятяость того, что третий квнект попадет » кабину №1; i>) пр. времени ожзиааия третьего штевна; с) вероятность того, что третий клиент закончит разговор раиыае первого иля второго клиента. ЗАЗ Пусть £, tj и в - независимые с.в., причем fl принимает зивчмпм 1 и 0 с вероятностями р и * соответственно, а { и Я имеют ф.р, Р({х) и F,(y). Найти ф-р. следующих с.в,; o)flf+(1-flH; i)«f+(l-fl)mu4f,7}; <Ж+(1-А)пш^л}. 3J4 Пуст» fpfj.-. - лоследоваталытость с.л с ф.р F|(xXFj(’)>— соответственно, в V- полодптльяая целочисленная с.в., ме зависящая от с.в. £,,fj..Положим pt*f\v*k), i-U,... . Найти ф.р. с.в. ЗМ Построят» пример непрерывной точке (л^, д) двумерной ф.р. Fp,(* Д ДМ которой одномерные ф.р у{(х} и F,W разрывны в точках ,хв и ув соответственно. ХМ С.в, £, я & имееот п.р. /,(х) и /г(х) я ф.р. F(x) a F1W ooiti вен । веемо. Случайный вектор имеет п.р. + ГД® функшм г(«,т) удовлетворяет условиям min г(“»0й-1, [г(м,т)Л>^ p(u,v)A=0. <Кв,ка о е Най™Я.р.
IQ min(x,.4 0<minpr,y}£l. Найти t, min{jt,y}>i ^f-i/zy+G-Vzfsi/4)- 3J# C.5. (л22) иешисвмы и одинаково распределены с ф.р. F(j). Пусть ' с/хтекпеяно первый я последний элементы вариационного рада. Найти: а) ф.р. с.в. £.,t; Ь) ф.р. с.в, с) совместную ф.р. еистеим с.в. ЗЛ9 С.в. (л22) независимы и каждая равномерно распределена не (с.Ь) (Ь>а). Найти п.р. с.в. р = min|^1,. 3.6С По незавясам^и одинаково распределенным с.в. £।, -„ (л 2 2), вмеюшям ф.р. F(i) и п.р /(т), построен вариационный рм 5 s s £iB) Найти: а) п.р. с.в. Ь)мяместную п.р. системы £<«)•**** ЗА! С.в. независимы и имеют одну н ту ли непрерывную ф.р. F(x). Пусть - вариационный рад «ЛИНИИ £.....Найти: ...*"», н 3,*2 С.в. (л 2 2) независимы и имеют одинаковое распределение с плотностью /(х). Найти п- мерную п.р. ДОср- чХ») членов вариационного рада f(l( Sffl) S. ,.S . ЗАЗ Пусть ил л^хжтностном пространстве (Q F, F) задана последовательность независимых с.в. равномерно распределенных на (0,)). С.в, r/(a>) = G, если ^1(n>)cg'1.(A>0); ^(<и) = |, если £,(ю)ге4. > №)=?, «ели \ a й(в>)и ТЛ Найти завой распределения ^ег).
4. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН At Пусть сл. « п нетаамсмш и = Mi?®2. D< = i, £7*7 = 4. Найти иггемжгячсские ожидания a)^ + 2j71-^-4^+>J + 4;4)(^+7+l)1. 4Д Случайны точи распределен» равномерно внутри единичного квддрап- Найти Mij и Dij с.в. 17 ® 2. 4Л Случайны точка распределена равномерно внутри круг» единичного радиуса с центром в начале координат. Найти Mt) и Drj с.в. 4.4 С.в. и иетыисимы к равномерно распределены ня отрезке (О,Ц.Найти Мт/, м 11г=(£\-%2?- 4.5 С.в. £ и независимы и имеют иорыалыюе распределение, причем М^,"М^г»0, Найта Aft) и Dr) с.в. f - f,' & • 4.6 С.в. /, и независимы и каждая имеет нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией &-1. Найти Mi) с.в. 7 = ~fo + fj- 4,7 С*, ч ,>-•.£, (и^2) независимы и каждая равномерно распределена на (о,Ь) (Ь>а). Найти Mi) сд. ....... 4Л С.в. f и г] нстмксамы. П.р. /Да) с.в. { имеет вид —-х + -, -aSxSO а а fA^ -~х + ~, 0<* So (п>0), ас.», г; имеет покамтелмюе а а 0. xt (-0,0] распределение с параметром 4, Найти: alMirf-g1)', Ы M(ij 1. с-)М(7 + ^)1 4.9 Нв смежные стороны единичного квадрата случайным обржюы и нежшгеиыо друг от друга падают точки и Каждая из них имеет в проделал соответствующей стороны равномерное распределение Найти i
Мп, где ij-квадратрасстояпи между дштвд точками. <М Условия предыдущей задачи изменены тис, что точки. £(.f2 падают не на смежные, а на противоположные стороны квадрата. Найти Мп 1йю г; - квадфжг расстояния между ними. 4.11 Старовы прямоугольника ABCD фраллелъны осям координат. Найти математическое ожидание площади ц прамоугадышка ABCD а следующих здучаях: о) координаты (д,.^ точки А фиксированы, 0£«t.аг SI» • точка С имеет равномерное распределение на диагонали единичного квадрата, соединяющей его вершины (0,0) и (1,1); 6) точки А и С независимы, точка А равномерно распределена а единичном квадрате [0,1]х [<Ы], а точка С имеет то же определение, что и в случае а). 4.12 На отрезке длиной I наудачу выбраны две точки. Найти математическое ожидание и дисперсию расстояния между ними. 4.13 Из НЮ карточек с числами М, 01.98,99 наудачу вынимается одна. Пусть ц. ~ соответственно сумма и произведение цифр и* этой карточке. Найти Mf)v М'Ц1, Df], и &Г}2- 4.14 Пусть вероятностное раслраделенна Р на плоскости R1 таково, что если точки ^7,^еЯ2 независимы и имеют распределение Р, то Р( £tj,В лежат на одной прлнай}“0. Найти математическое ожидание угла 4.15 Пусть независимые с.в. с нулевыми математическими ожиданиями и конечными третьими моментами. Доказать, что wU1+--+^=w5t+-+Wf’. 4,(6 Пусть - независимые с.в., каждая из которых равномерно распределен» на [0,1]. Найти Мг^.где = 4.17 Из 30 чисел (1,2,... ,29,30) по схеме выбора с возвращением отбирается 10 чисел. Найти М{, где {- сумма выбранных чисел 4.18 С.в. £(,£Jt...- независимы и имеют одно и то же метейатическое ожидание а н одну и ту же дисперсию q-3. Пспожим Т}<1 = ^1~ Найти математическое ожидание н дисперсию с.в,: ft = + + '"'+ Лгя~1.}я' ft в ftl + *'* ^ЯЛ+I ’ ft’fti + 7n + - + ftJl.)- ft “7ц+ '7J3 *•+^ + 7-.r 4.19 Вычислить мдгематмчеслое ожнделие и дисперсию определителя Д “ . элементы которого ^-независимые с.а. с я
* 420 С.в. независимы и рваномерно раснределены па [0,1]. Найти при OsxSI. 421 С.в. независимы И равномерно распределены па [0,1]. Положим и-min{i>l}. Найти Mv. 422 Совместна* п.р. с.в. имеет вид Г I s frl+Xl> 0SXr*iS1 и.в™ ut f * » Найти MJi, Me,, 1 |0, в фяниенан случае 2 4.23 Пусть (f,p) - координаты случайной точки, имеющей равномерное распределение в области Dcff. Найти коэффициент корреляции если: a)D- часть единичного круга, лежащего в первом квадранте: х2 + у2 SI, х, у 2 0; Л) D - треугольник: X + у S 1, х,у£0. 4.24 Двумерна» с.а. «у <7> подчинена закону распре лелеян» с плотностью Лх->’)а1_ , где [0, (х,у)« О £>«{fx,y):x + ySl,x20,y 20} . Найти Л,М{,Мр, Df,Dp, covl^.ij’), р(4л)- 4,25 С.в. i и р независимы к имеют одинаковое распределение с М{ < Мр*а и ZJf = Dij- ст2. Найти пи £ = а£ + [Зр, ;?,» of - . 4Л4 С.в. независимы. Of, “CT}< > = L3. Найти коэффициент корреляции величин: +ft и ^1 + ^4 + ^J; ь)^| + ^ + ^и^ + ^ + 5>- 4Л7 Какие из приведенных ниже матриц могут, » какие ке быть ковариационными для случайного вектора = р 0 0] р 1 р а) 0. I 0 ; 4) ! 0 1 j; с) (G 0 I Ц I о) р 2 ЗА Г I 1 -П / 1 -1 11 е) 2 3 4 k f) Il i I ; g} -t I -I . [з 4 5J [-111) [ 1 -I t J d) t могут 1 'I I I : * f)
a, у«[«] Найти: a) Mtf+ lft с)соЧ^7Х <*)«(£*-?5; t)W+ift ЛОЦ~Ч)- [2 -J x, x c [0,o] 4.29 С.в. f и 7 независимы. П.р. [О, x«(O,e] 2 2 гл о -TJJ' + p У*(й.*1 [О, »«[0,Ь] /,(?)- Найти: a) M(f + i) M(fW с) covite d) if- I}; e)DQ4-6гц. 1>. 43й П-р, двумерной с.я. имеет вид f{tix,y)*~e i Указать Mt), Df, Df), pif.t}), 431 Двумерны с.в. (f,(j) имеет нормальное распределение, причем Пв 12^1 Mf = -2, Mt)*3, а матрица ковариации имеет вид I L Привести выражение ди плотности распределения с.я. ({, tj)* , 432 Производите* стрельба но точечной (малоразмерной} цели, зона поражении хотфсй1 ггрвдетавлает собой круг радиуса г с центром в начале координат Случайная тачка попадания ({,$) имеет нормальное распределение с параметрами » Mrj>0, D{ = Dtj» 4/, Л)” Сколько независимых выстрелов нужно сделать, чтобы поразить цель с вероятностью i 0,95? 433 С.в. независимы и ияжды имеет нормальное распределение, прнчам A/f( = l, АГ^-2, А/£3-3, Dfj-4. *9. Найти закон распределения с.в, 7’2^+^г + 3^}. 434 Пусть { и г) - с.в. с дисперсиями, равными соответственно 2 и 3. А{л)-1.Найти:л}О(2^ + 7>; *)«2^-7). 433 Пусть { - с.в с конечной дисперсией, г/ > нч. *=« + ?>< Найти и р(^,н). 436 С.в. £0. , £; »£3 независимы и каждая имеет стандартное 22
нормальное распределение. Пусть г] »10 + 4} + f Л1, / = 1.23. Построить койриашюннуюматрицу с.в. ГЦ.Г1г,Г1г 437 Систем» случайных величин (f кмест нормальное распределен ие, причем М4 1» 0. £>£,.»10, i * IЛ. *(£« - A*(f ,f J - 2.. = Mtf = 0. Записать выражение ди совместной плотности распределения с.а. ft.£r£r£*- 43в При каких тначеннях х существует случайный вектор (I х х\ с ковариационной мятрнцЛ. а) х t х ; [х х ( I » -1] Ь) х I * ? (-х х 1 / 439 Найта ковариационную матрицу случайного вектора i ”(£,.£1.^). если: *»«*виснмы и имеют стандартное нормальное распределение; Ь} вектор 4 имеет равномерное распределение а кубе Ujfj.xj.Xp:тахЫ*^3г 1 *'> “ктор 4 С I is^J J вероятностью принимает каждое из 6 значений (0Д±<3), (tt,±v3,0), £-(±Л,0,0). 4.40 Найти коэффициент корреляции между числом выпадений «едина» и числом нмпддений «шестерок» при я независимых бросаниях правильной игральной кости. Mt Пусть неотрицательные целочисленные с_». .....таковы, что +...+ f,”” и лая любых Hi,,.. ,ия,, я^^О. «!, + .. +лт, = П fflj1 ffl»1 ptO. р, + ... + р,»1. Найта gj, /./ = l,2.....i. /*у 4.42 Пусть 4 ' число комбинаций НН (00) и и •» f испытании Бернулли с вероятностью успеха р, Найта и D4 Сривинть их с мвтеыжтмческим ожиданием М и дисперсией D числа появлений нуля а л испытаниях Бернулли, если вероятность повеления исхода ~0~ равна ц', 4.43 Пусть 4 - число комбинаций I |У (01) в n ¥ I испытании Бернулли с вероятностно успеха р. Найта М4 и D4-
44* С.в. £г.независимы, Повожим < = £, + ... + £„, “£i9i + -"'+'£и17»‘ НаЙ7Я м4- м,1’ Dr1, С°Ч»Л). «л» , О^-сГ. Л?,’1)=р. Л»?* = О) = 9=1-Р, * = U,...,h. 4.45. С.в. ........(лйм) независимы, одинаково распредейенм и имеют конечную дисперсию. Найти коэффициент корреляции между с.в. 7;=^+... + ^ М3=£,„( +- + 446 Независимые с.в. ...положительны к имеют одинаковое невырожденное распределение. Обозначим = + + t = 1,2,...,л. Найти Mt}t, pit],* - + r}lt,t)l +... + !?;) 4.47 Пусть непрерывна» ф.р. случайного вектора (f,>7>. Найти точку (a,i)e ]?’, для которой 4/^ - of +1)? - Aj)= min. 44S Пусть { н ij- ал. с Конечными моментами второго порядка. Довязать, что М (ft-ag-b)1 й М (Jf-oatf-fto)1 “ (1 - p^Di;, для любых вещественных а н Ь, где д0* p = p(£,ty и ал*0, если Df «0. 449 С.в. ( и 7 (возможно зависимые) обладают конечными дисперсиями: Drj^ai- Указать пределы, в которых может изменяться D(f + 7). 4Л0 С.в. £,..независимы и D^^cr^O, При каких с....с,. удовлетворяющих условиям р, й 0, с, +.., + Cll = i, с.в. "<7i|~i + '’‘ + имве1 минимальную дисперсию, и чему эта дисперсия равна? 4Л1 Пусть f и 7- две с.в. с M^«W7-0, Df = Z>7 = l и коэффициентом корреляции Показать, что 1 + -J1 - р1. 4.S2 Пусть i и 7- одинаково распределенные с.в. Верно ли, что М—£—-W-~? 4ЛЗ С.»- f и 7 имеют равномерное распределение на (0,1]. Доказать, что при любом характере зависимости между ( и 7 4Л4 Пусть f и 7 - независимые с.в., принимающие положительные 24
4Л6 Доказать, значения. Доказать, что для любого «го Г г м i" . I'M Mif° 4.5$ Пусть fp-.'.f, - независимые одинаково распределенные „ + * положительные с.а. Доказать, что ЛА —------|« -. Пусть £р...,£, - ел. с М^=0 я ^£ = 1, f = I..........» что если При любых i Ж /, /, j ~ I п, то Пусть { и г) независимые с,в., принимающие неотрицательные целью значения и м,' < » Доказать, что И min (*.4)- i P(S г *) *’('> а *) 5. УСЛОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 5.1 Случайный вектор if,!?) задан таблицей —-jL 1 2 -1 0,15 0,05 0 0,3 6,05 1 0Д5 0,1 Найти Р(7».Ц< = 1),гие уе{-1,0,1} и М(^ = I). 5.2 Случайный вектор tj) задан таблицей 2 5 8 0,4 0.15 0,3 0,35 0£8 0,05 0,12 0,03 Найти частные законы распределений случайных величин и I/. P(r; « « 5), где у е {0,4;0,8} и Р({ = ф « 0,8), где х е |2Д8}. 53 Случайный вектор (f.q) задан таблицей — <_ 3 6 10 0,25 0,10. 14 0,15 0,05 18 0,32 0,13
Найти Л7*.#’А» >e (10,14,18) и /*if = = 10), ie(),t), 5.4 Число * выбирается случайным образом из множества (1ДЗ}. ЗЧгеы и того же множества выбирается наудачу число rj, большее или равное первому. Требуется: а) списать талон распределена а случайного вектора и определить зависимы или независимы 4 и о; Я найти козффицнамт корреляции р({,чУ, с) найти = я|^ = 3), i = 1,2Д; М(4|7-». М Совместное распределение с.в. 4 и у задано заблиией "5 1 2 -1 у6 X 0 X % 1 X X Найти MO#-I), MtfhsO). 5Л Совместное распределение с.в, { к q задано таблицей '——4 I t 2 -1 j 0,10 0,10 0 0^5 0,05 1 | 0Д0 0,00 2 I 0,15 0Д5 Найти: а) ряды распределений ( и 7; А) условные законы распределений с.в. { ПР“ условии, что 7 » 2 и с.в 7 Гфи условии, что 4 = 1; е) 7 < 4); АсоМ 4,7)3* Pti.rfh S.1 Пусть { имеет распределение Пуассона с параметром Я = 1. Найти Ptftfy *4}. SJ Дважды подбрасывается правильная игральная кость. Пусть { - число впелленнй шести очков, в 7 - число появлений четного числа очков, Найти М (457-2), 5.9 С.в. 4 и 7 независимы! причем Л 4 “ !) Р(7 “ D® Р, Р(4 = О)=Р(7-О)»1-Р- Найти М(4тИ"Ь. М(4 + т|4»О), М(4|4 + 7»1). 5.1 в С.в. 4 и 7 независимы и одинаково распределены. Найти М(4)4 + 7 = г),если ?(4 + 7 = д)>0.
5,11 Пусть с.в, { и q независимы, одинаково расвределены, причем л>о, *=-0.1,.,. Найте Л< =/s‘+ M<i\i + <?»"> 5.13 Пусть с.а. 4 и q независимы, причем Л,>0. Л,»о. »-W.- Найти P(f »/|£+ >?'=n), + <?»«)• 5.13 Пусть с.а £ и q ' независимы, причем P(f =>*)-Лп = *) = ₽</''. 0<р<1, 9 = 1-р, Найти ^3Л# +/V-Jlf-’ri- 5.14 Найти распределение целочисленной неотрицательной с.а. если: а)Рф<{ <«>> = I, Р({ «Jk +||£ >к) = р. i=0,l,...; *)Л/г0)»1. /«-* + 14«(М + 1П»с<|, *-ол...: с>Л£*0)->. Л£ H* + tfe{i,t + l})»-~-^,r>0.*-0,l... 5.15 С.а. и q незмисимы, прячем Ль •*) Л7 " *)я Pq* 0<р<1. ? ” I - Р, к ”1,2,.- Найти: <0Л{-«;й) Л^><7);е) Р({<чУ, Л Л5 = М>»»):е) Л< = *г£<^ = й) Pii~k]f + q~iy,h) W(ftf+»?-/). 5.16 Пусть - независимые с.а. с О)" 1 - р, । Доказать, что Ди« любого и любого двоичного набора (f, •,£',) wore, что £t + — + ся~к ... 5.17 С.а. $.независимы и распределены по загону Пуассона с параметрами Л1*-»Лч соотаетстпеимо. Найти: + + + <v =»>) 5.1# Пусть ^....^ - с.в и 4?, = J) = Cip’<?" ’• «*!-?• OSTSff, С-7?’7’ *. OS/hSt..... a j a ',)=Ci р'ч' *• S r. Доказать, что
«Ре.(/Ц1 - р*Г • о * * * * 5.19 № урны, содержащей 2 черных, 4 красных и 2 белых шара, последоввтедыю с вояфащенмсы извлекается (по одному) п Шарое. Пусть ‘ • число черных, а 7 - число красных шаров, появившихся в этих опытах. Найти/><£.<^ + 7-4 51# № урны, содержащей М белых и N-M черных шаров, сначала извлекается бет возарашенля выборе» объема п, в затем из этой выборе» извлекается бет вомращенн* выбор» объема ЛцСл. Найти закон распределенье { - числа белых шаров во второй выборка. 511 В урне W ШЩОД сред» которых М белых и N-M черных. Наудачу. выбираете» v шаров, где н - с.в., Тфннммвющая значения от 1 до Л с родными вероятностями. Найти , где £ • число белых миров среди отобранных. 5-22 Пусть . - независимые с.в., М £ - О, /а!Д... . Найти математическое ожидания и дисперсию с.в. Т'|>~£|, +bvj + ," + l~v > гл> - жзамкимые н не зависящие от £г£2,... с.в, имеющие равиомериое распределение па множестве 513 Пусть fpt,.... - жзамкныые и одинаково распределенные с.в. с М£*д>0, /-11.... Сл. v не зависит от принимает целые положительные зиеченви, Л/v«4,Ри-J1*<е.Найта Мт it Dr,где г~€, + £} + '-+£г- $14 С.в. f с веравтисстыо pt имеет плотность /,(x), с вероятностью р* плотность f }(х> + Найти F.fx), 515 С.в. и случайным образом и независимо друг ст Друга занимают с постоянной плотностью любое положение на периметра единичного квадрига. Найти Mi?, где - квадриг расстовшм между с.а < 516 Совместим п.р. с.в. я имеет вед OSxSiOS>$t-i f^yix} * гфонпмнам случае £27 Псдожевде случайной точки , ?) рмномпможяо • любом
г У месте шлипса + Требуете»: а) найти /,(*). f (у), а Ь * f . (xiy), f _(у/х); Мнсслеловггь зависимость и коррелироаянность с.в. { и г). 53J Положение случайной точки рввновозможио кнутри круга Х*У*1?-Определить: в) /,(*>, F;U). f ,№ F,W-Зависимы ли { и 7? b)f, (х/у); с) являются ли с в. и 7 коррелированными? 5J9 Случайна» точка ff .х?) подчинена равномерному закону внутри квадрата со стороной а, диагонали которого совпадают с осями координат. Определить о) /^(х.у); A) ftW, f4W'<c> /Г^Х,У)- ZpfO'/x); tt)R* |cov(-,)|; е) зависимость и коррелнроавнность. $30 Случайный вектор равномерно распределен внутри сферы радиуса it с центром в начале координат. Найти /,(х) и 531 Совместная пр. с.в. { и rj ммеегт вид У )’ ’>0,>,>0 Определить А, /,(*), /Лу), ” (0, xSOwuySO ’ ’ f,,4(x/y), f*i(ty/x), моменты первого й второго порядка. 532 Совместная п.р. с.в. { и ? имеет вад у* (к, у)« Л Определить». cov({,7), /{,,(х/у>, /т;{(у/х). 533 Случайный вектор равномерно распределен внутри треупмоишв с вершинами (О,ОХ (О^Х {*.°Х Найти /, (к, у), f ,(х), /Л>- f^ylx>- 534 Совместная п.р. с.в. £ и 9 имеет мд , М(х + /Х 0<*<1, 0<у<1 „ Л.(х,у)м/ . в) Определить воиетжяту А и J >’ [0, x,y-d0we P{i + т) < I). й) Найти f( (х) я f^{y} Установить, зависимы или мкг сл. j и 7. с) На»™ Mf, M4,Ft^f(l^>y} + 5оЭ9 Совместим п.р. с в { м tj имеет ид
L/> •'J • 1 LE_ 0,2$.' o? . 0,35 1.10 1.11 b, x,№ft ~p~> 0,45 I 0,55 j 1, . . , х -(smx + cosx), 0Sx<~ О, х£О uait 2 - (sin x + sin у - sin(x + y))t 0 < x,y 5 —, i I XX -(*tnx +1-cost), OixSy, y>~2’ i(siny + l-cosy), x>~, OSySy, z'M-0 —. у > “ 2 2 . Л>0. [—(в-Л 0<x<2 0<j [48™ Л ; ЛЫ = ]32л (0, x 4(0,2) [o, yeiO,2) *=10.1.13 a)H=v5; 6) f(x,y)=Q + е)Р(0^1,0£^П= ' . 1.14 J I.IS Л=* 24 128 X 1.12 1.16 F 4arctg - - «0,7114. 3 4 1 [0, X410.2J fo, X 4{0,l] У «(0.11 уеРЛ’ c)F;?(x,y)- + 0<x,J>£t L +i/ X>1, 0<jySL £+?, o<xsi, ^>1 2 2 I, xj>1 1Л1 а) Р{<э/?} = 7 j/(K,v)t/wftf; b) >^}= j 'jf(u,v)dvdu; -*-e & -T ,v)dvdu; d) Pfe-^>0= ) jf(utv)dvdu. -хцЯ 1.22 F*(x.y)= 0, ,v S 0 или у > 0, x S ~-[y f f({x}dx, y>0, *>Jy y><J, ,« , <,, (Хл’-х'ИМ И»*. '“ '> ц>» la x1 + у > r1 Л.,.О-Ue4-*"’. '•>>« [О, « нротивнан случае 1.26 s)FU«) = a, xso 0<xS2, 2 1, x>2 f^~- 123 1/9. Ц, 0<xS2 2 [ft x«[ft2] 31
о < jr S1, , . . In-, 0<i£j x (a -retail Л, liO —, 0<xSt 2 t<x*l t, x>2 Л-,Ю= X, Oix<l 2-х, I <xS2. О, х«[ОД 2.1a) ypj, где pt = P(i®Л1); Ь)0. 2.2 < leW " = 1Д- . i н ч независимы. 23f((x)=ff(x)- -~^яг-Л И** я R ; о, Н>* 'О, xs-Л ел. £ ч ч Л^. 0<xia. <5<у5а «' - , х > и, 0 < у 5 a a 'Л, 0 < х £ а, у >а и !, х > а, у > a <м.Р' 0SjcSa [a, xe[0,a]
- I *, US уь<2 •••' х, /,Ъ) = р С.в. { и I? мфвисимы.^ 2J а) А = [о, у<[М } ; с) 1/4. С.в. f в т; независимы. т<-*, уе[0,1] 0. У$0 £ *{е-'Ч 2.7 С = 5/2. 2.8 1/4 . 2.9 и ^2(са) независимы. 2.10 независимы. 2.11 и 2.13 <|(л) и независимы. 2.15/(х,у)='-[е *’ . [0 , х.У -другие ?!<"> « ?jW 2(ш) зависимы, 2.12 £t(a>) и fj(®) зависимы. 2.14 и Независимы. 2.16 и Cji") независимы. 2.J?£](о») и £ ;(<>>) независимы. 2.18 Дж,у): —, 2SxS< 2£у£4 0 Л^-^Г2е‘ 2.22 Я = »7~2ЬфЙЮЭ) * 3,4сг. 2.2(1 2.23 , х, у - другие 0.27. 2J1 0,5. £{,(*,>)» F,(7>, где 224 Нет. (Пусть { принимает FfWs f Л(у)« 1 д. значении ±1 с вероятностью 1/2 и >? = £). 2JS Нет. (Пусть £ не равна с вероятностью единица постоянной, г} = {, v = ). 2.27 о) нет; b) да; с) да. 2J9 Указ. £(1)=£(2)=Ч «3)-Я4)-1, ?(1) = 9(3)=0, *2)=£(4)-1. 2.30 Указ. /4&i>i)=«)=^UiJ)=/)Hfl)i)=6) и Д{е»))- 23] Указ. Пусть к - число различных событий из Г. вероятности которых отличны от 0 и 1. Очевидно, kSn-2. Предположим, что ни одна из с.а. ие равна с вероятностью единица постоянной Тогде найдутся числа такие, что 0</^f=a;)<i, i = 1,о-1. Обозначим Д.=5^ «в({. Имеем п-1 событие, вероятности которых отличны от 0 и I. Следовательно, по крайней мере два из них совпадают: Л = <*У- Но тогда =®’<=о>
s nptmieopofHe. 13? Нет {<т-алгебра, порожденная с.в. совпадаем F н, слмоватыьЖо, содержит а -алгебру, порожденную любой друпйге.в). 135 aj да (7 = -£); 6) дв (?? = -); с) да принимает значения ±1, ?=-£. ТогД» £-.7 = 0, ^т=-1). 236 Нет. Укаа. С1 = |1Д34}, F- совокуоность всех подмножеств П, = = Половдм fti)=$(3) = 0, f(2) = tf4) = l, v(l)= Ц4) = О, И2)^иЗ) = 1, Очевидно £ 7 и и попарно нежыисимы. ио ftf = 'Л+и •;) = -#!= = 1} Р(’? + ^ = 2)‘ 2Д7 Д3; вообще говора, 4 8 изменится. ^^ = о-72 = 0=Х' ЗЛ = PVfo-0J = 0J5, ^; = 1) = 0,45. С,в. r}t и 2i k' явиснмы. 3.5 Зависимы. 16 ?\vsA} = — ------------------- k. = \,2,,.,,N\ N N' P(fi<k] = ^, k = }X...,N; ЛЛ = 0) = 1 W = m) = ?^L^i У W XT W ^ + 7 = '") = C^,flJp"(l“Pr‘''1’', "=0,t ffi + n, I*+P_ r**! (1-flXt-i)-----Г". a^i> t п=Д1..., (»+b(l-a)’a', a-b
последнее 1,9 Указ. Неравенство Р(ц$1ф равносильно неравенству Мсшмиуя разложение ^=£7, д a At Л1 д i AtX ,, щрввснсгио можно записать в виде Х“Г’_г>Д X 77 V i№| Й А-О Мн1 С l! ж‘Х-/д;= ил2УUr*-л;•*)>» 3->° ’-И «) N^11 ([rt]*=^w-I>...(M-*4-oX Л/г}(У-МТ^' с> AfIGV-М)1./Мт ©слн ki±ki+- +k\i4\~№~M и нулю в противном случае. 113 “>АО»-к /.<«> ,6НЛ ’ к уе(<У> О, vSO 2 2’ ^r,w= 04“2^ ‘ О, y«W) 2у .... «/„cJit'-H '"“л Id уеСОЛ*) <я С)ДО) = ус^а1) а У .0, уе{О.й2) ^/,W = о, У^О 0<y£i 2
/ / > 0, у^2д или yi2b з.1>' ОДМ’ ——-(у-2а), 2a<jS<j + fr. (A-fl) 2*-> ~r, а+Ь<у<2Ь А^(*) = [°’ 75-1 или z>3 3-z 7* i<^3 Ъ/„<у)= О, yia-b ил» y£b-a —-—z(y+6-al e-i<>sO. (A-а)2 ? —Осусй-а (A-а) fa y<tO Oos_ !, y>a 3119 f (Z'-Л ZS0 l*e . г>0 ' геЛ. V,W= О, y£a2 «« У zb1 iny-2fnff , _ . —<----<f<y&ab. (A~«) 2!n6-iny , 13 ------uX, ab<y<b (b-a)2 ЛчЛ^/0, г*° f 250 1е\ г>0’ _л. <'*1’ fa, ZSO V„W= a A 0, yS- или y2- A a —чм ?<y*i 2(A-a)\ У ) b I Г А1 Л г Ь -----5Гз“« > ></<-- 2(А-аД> ) a fa zgfa3J J» -il+22 ’ 3’“ f^x-y)= X23 ZSO z>0 fa zSO j- ЛД; z>0- [1 JJ_-;-lir+U ! ЬЛ ез '. z*<?<2r fa * противна^ случае 0<2x<y 10- и пр^тшмом случае
у /[°- iso J® Z/Wel 2 е^> г>0 Определение Ртлеа). Iff fc »№ ГО, ziO 331 ЗЛ1 .l£z<2’ 3.26 ДЮ- 'i-e’, o<zsi , l(>-3)!, 2S?S3 3J7 /„(^=|('-e’^’)/(i41<2?+^2-,)eV4' /Mtt, 0, z£0 -0-е'Ъ. 0<z£at a “(e*,-l)e'A* г>а зм f{*№ где zeKW] z<02] Указ. P(£+»j<z)=P(£=(l)»7<z)+P(£ = l,»;<z-i). 334 a) F{(x) F4(xyt f-lny, 3 5 z»°na 7 > 33* F7O)= J 333 Z;tFf(z)= 2’ IQ. 0, zfi-e 2>« a «ivi 3M l(z-3Xz+i), ±<7-zx»+a 3iz<5. 5SzS7 330 Л=1, «(0,0 z<[<U] ’ jr io, z«[0J) ztlOJ] =?/Wj(y>(z,^. ’•3’ АО')»Р/1О-)+^!Гу)-/’^зСу^)< AG)=12^’y>0 1°. yso' a) Aw=joT17f-F"^/- >>o. la J.SIO ?>0 I yso' злбД(у)’Ге V~£'l'y la ?so 3,39 ’ 0<Л<1 W J-efCU) W >S0 3-*1Угаз. Д O’)=p',e'°(l W л-so 140 (см. жмчу 3.40). Дм
вос^яьзо^бтьс» индукцией, заметив, что для /'(x^L<fahHe4fa, х>0, k=G. W 3A1 ЛОЛиЛ ’ (.=«+..+«.• [a 1(Я'1)(1-уГ’- У®l0-11 угаз, Воспользоваться формулой 3-43 y^Qjf (l<kfe = OSX<L (n- 2)! 3.44 Указ. ^т??<х)= <«)/„(x-u)du = -^~ f />(«)du. -» °~a i-ь 3,45 р ~+------—;, Указ. Из системы 2 2(2л+1)’ ^, = %-'7i+72 ^з=-% + '7|+'?з . Следовательно. Р ~ Pi^+Z,-четное числа). k:(bj-(Ky2KV.tf- З’'5-’'*. 3.46 ZVc(*’^ = jf4vj). У1>у, (ЗЛуМ^Л Л'З'г 3 4, а1 1 b) 1. Уда. к М: Из >>>.- -3-4 )n- 6 J2, osy^st и ирстмлМией задачи имеем f О’гУЛ"^ в противном ыучое
1VA 11 t РОЙ-4^г0) = | j2(Wv= 3,48 Указ. П|шожим Ц = + О О О2 6 ’, Ke , e Якобиан преобразования f , / ми < Р-н = f . t. Mrcosr)4rsin4 гаа,0^/52ж 3.43 j [Q, « противном случае зле/,,,/**)=• О, в противном случае (а, 331 Дт>^„Гз)<х) = ’ >’>0. »’=min{r1.n}; <^- [0, 2 нейти Дг^ + гЛтуН Лтз + г^л). 3-33 Поэтому 332 а) 2’ Указ. В случае с) нужно ‘’)/’Ff(jr)+?FTW; ЗЛ4 ЛСО = 2>»М-О. ЗЛЗ Указ. Рассмотреть распределение двумерной с.в. (^Л): ^ = (X'? = 1) = W = 1.,? = O) = ^. Положить дй=У# = 0. 3.S6 /„.(>() = /,(>,), /,10'? = Л0'?.М7 ^/2- Y“»- 1) Показать, что f и т? равномерно распределены на [0,!]. 2) Показать, что P^ = rf)^\. Для этого разбить квадрат [0,1)х[0,]) на п квадратике» Д.^ и найти, что НшЕ^л)еД^)=1.3) Вычислить /ф(£-1/2У 5^*)=“ • а-ие>1 z 43
tiFs W = F"W; ’1*1 Х^У . IF'CA х>у —-—— (Ь->]Г’', У «(я, Ь) 32»/,(Я^ЯЛ-д)в О, уъ{а,Ь) ЗЛО a)f (л)»---------f*M(x)(i-F(x))M'/(*); (от- 1)!(л - от)! ' г Ые, м — T,^-(^)(F(y)-F(x)r~'x ’<*1’1-. (л—!)1(да-л-’1)цл—от)! x(l— F(y)'^“‘ f(x)f(y), х&у и равна нулю в противном случае. Указ, к 6). Для х^у рассмотреть событие в*цЯ(х,.у)={*-1 ел. попаяй в (~=чх), m-i-l с& попали в [х+сйс.у'Х п-т сп. попали в [у+Л,оо) и по одной сл. попали в [х,х + <&) и b’.J' + rfp)!. 3.61 во всех случаях, , рПЯхД ««« х^хз^-^х. 3.»/„(jci.-.*,)={ *=1 [О, в противном случае W Pfaoi) =*) = —£ J, *=0,1,. . 4.1 а) 18; i)21. 4Д W^ = X- d^s1/\44’ 43 м,1 = 0' 44 M;?i = X’ Мг!г = Уь' 4,5 Мг}^' 4Л Мп = а. 4.7 M^ = -2Lo + _*-. 44 «>7-^-; fl +1 n +1 X 6 С,Г+^' ** W’ = M-yw 7 = ^4-^. 4.10 M^ = %. Указ. »j = i 4.П o)~ + Q-a,]Q I ™»|яьвз} Укал, для a). Mr} = f(y-aj(y-aj)^-2 f(y~atXy“вг}& 4.12 fl mm 4.13 £>^ = 402,1875. 4,14
Указ. В треугольнике все углу одинаково распределены и в сумме дают <.4.16^. 4.17 = 155. 4.18 Me, «0 (* = 1,23,4), De^1na'\ De^la2, £>& = и(и + 1)</. 4Л9 WA = 0, . 430 X/n\- Указ- Применить индукцию по и и формулу свертки: ft W=IA (х-«)Л. 4.21 ,WV-«^2,71828... . J il+ '5,4..I J 4..I Указ. Р(и>*) = ?(£, + + < О = •"1 (см. предыдущую задачу) и ,W^ = i^v>t) = e. 432 Dl = ')/]44, (>1,2), «3 a)27^a4W,37: *>4- 434,4 = 24, = Mi? = ^,D* “ D? = ^, cov(£,i;) =-~,р(£л) = - ?. 435(al 1 2 /(« +/?) 436 <r)0; 6)^. 437 В случаях a), j), g) - да; в остальных случаях - нет. 438 а) 2, 6)1; с)0; Л)\У'- /)*^j. , ,я , 2а + b ,. 2аЬ 4ММ$ = Мч = 0, Щ = 5'. 4 с)0; d^att-^a1 + 7^-1; ^|а: + ^Й2- У 4 © 2 431 /, 4з!г24. J {’х 1 32ж Ч 32^ 16 50 25 П 433 г; имеет нормальное распределение с параметрами M>j = 13, Оц = 89, Р 1 °1 434 а)15; 6)9. 435 р(^л)=-1; р(^,и)=15. 436 1 2 1 , 1° 1 2 J 437 f (х,, л,х3, J4) = — - expf-(5(х, + хJ)- 2(х,Х2 + x;xi) + Чх> + х4))] Змк к ™ 2 р 0 0) 43ea)xel-^.lj; 6)xe[-),^j.439 0 J 0 j во всех случаях. 4.40 • . (о 0 1J 43
4'X . = St; + 0ti^ r^e i,y = 1,2,...,j, i* j . Указ. Положим 0^ - индикатор события: при i-м испытании P>4 = p</[n+<?(3n-2)l; Щ - D- 2(n -Ifpq3 >0, ..U1’ ^~~G 10, в противном случае был исход i. Тогда D£t = п pt (1 - рД 4 = 1,2,..., j и ~П)ЛА’ UA 442 M=nq'\ D = flp(ji2(i 4 ^); = M ; при л>1. Указ. f = 71+ ... + ;?„, (£,- исход 4-го испытания), Mq^q2, 2 [°. М1*1 D7i = p7(l + ?) и cov(7,7) = i j 4.43 M^-nptp, IPq > Р'-Ле’ D' = npq(p3 + q) + 2 р1 q2 Указ. 1. успех при к - м испытании ,4 = 1................................и +1, О, неудача при к ~ м испытании !>, г4=о, г. .=1 Д Г) =j * *i+ , k^l.....п. Тогда Mf = =npg, р. в противна* случае *-1 = o(Z tDf?l + 2Lcov^r,'l)- Orjt = pq(l~pqh [°. l‘“Ji>l г 2 г з covO/ .n ) = < г , и Df = np.jf-20i-i)p q -np q » [~P g - |»-Л = > = Wfl-3/ч))4 2p!^J. 4,44 Оп = пр<(т: +a24), со^гл} = лрст ***• ff ” 1 |i<4 j yKa3. \J1n-k) M£ = na, Mt} = npa, Dg-Hiy1 4Л5 ———. 4.46 Mn, *-. n n I) ,?| + ... + 7, = l=>WpJ«l 2)6,+ - +6, =1 лО7|+ “ )}м>*<6(,6г} = 0. Откуда I «М7< Л,)-- — и ^7f7? = -—" 3)cov(7, + ... + 7t.71 + ... + 7()- 46
у £соЧ7,,/у)~ W??, + i(l -1>cov(^,7^ = kDfy - А</i)—-i * j(rt* f) _ Далее &Г), +... + T/J-sDzj, + s(j - llcov^,^) = — —— Оу, Откуда .' + +л n+ '."A °У + f/r?) + - • + ?,)___________________*("-/) /Л^1 *' 1 ' + ... + ?7i)D(f71 + ... + ??,) 4.4"’ а- медиана £ b- медиана q. 4.49 (o’!-сгтУ SDff + 7)^(04 + СТ2У 4.54) c, = —Ц, где Л =|-L +... + j, D^n = ~. 4Л1 Указ, Л<Т, (СГ1 <rj X fl + h + |a -й| Воспользоваться соотношением тах{«,й} = — — к неравенством Коши-Буняховского, 4Л Нет. Указ. Пусть П* (1,2,3), F- совокупность всех подмножеств Q, Р(()})* Р((2})= Р((3})* . Положим £(I)-2,<(2)„i,f(3)^O. т(1) = 0.7(23=2, т(3) = 1. Тогда т.е, 5 + 7 ’ ? *• 7 + 7 5.1 Г~^7~ ~ I -1 ~ [ о ~ j 7Г М(^=1) = Х- 5.3 Г7~Г~2 Г~~5~ ' 8 ~ I Г~ р Т 0.2 0,42 0^8 I Л [ 0,4 0,8 .j_l_ 0.2 г. < | 2 5 8 i рl.f = J1 д - 0,8)| 0Д5 0.6 0,15 I . . J 7 1 0,4 0,8 /(7 = ^ = 5) L 1 % У1 53 г- 17 10 14 18 1 % % 47
b) _______- L -L_ i H4' = ^=3) М(^ = 3)=26/11. 55 217, 0, 10/17, 24/17, SA a) '. .P. 1. ,k>- - lEXEi 0_______________i_ ~OJ 0,3 0,2 | 2 J /’('-x.fl = 2) 0,75 0,25 ______7____________-1 , = V.!< = 1) 0,125 0 0J125 r) P{p < £} =0,5; J}cov( t . p } = -0,1 , /Xf<7) ~ -0,244 , 5.7 17/65, 5.8 23. 5.9 p. p, 1/2. 5.10 z/2. 5,11 Си',, i=0.l,...n; n'2. S-llrJ Al Vf A: 1 7, 7^0,1,.,.,n; 5.13 -L ’Ui + ySjU.^J Л4-^ /’•1,2... 5.14 ^Ра-к) = р(1-р)‘~', *=1,2....: A>/J(„‘--*1 = fl - -- if—]. *=0,i„. ;c) P^ = k)^'-er, *=0,i..... i 1-r.M-cJ tl
5.15 ' я) ; Л) —; с} : d) + q}pq ‘(1 -q '},* = 23,.. : 1 + q 1 + q i + q eKl + ?lp/‘'",i = 1,2,...; + q'jpq2"'",k = i.2,..., gi-^A = 1,2.- . f -1; hi'-. 5.17 <oc:(^l f1-?1'] Л^л, -'. + < - \Лл) Л\) Л\ Ач-Л + ...-M,- , !)£*<;. 5.20 = m)=C;Ct-w /С!\ ™ = 0,1,...,min{W.^}. 5.21 5.22 МГ,*0, Й7’п = лСг;р+^р| 5.23 Л/т = ab. 5.24 /.W'A/.W+ ₽,//*) F;W = p,FtW + PiFi^- Mt-P; D£ = pt fx2/, (x)sir + p2 j j^/^xWr-fA/^)1. 5.25 2/3. Указ. Ввести три гипотезы: //] - обе точки легли на одну и ту же сторону квадрата; //. - точки легли на смежные стороны квадрата; //, - точки легли на противоположные стороны квадрата. Тогда Л/г; = £/"(// 0Sx<2 5.иД.,(у/к} = D, в противном случае 5.27 а) /;(х)- ^~у_ 42 0, |х; 2 а 0, f b ___________ [О, \У <Ь х,у - df^eue х, у - другие 40
wv( вательйр, £ и t) некоррелированные, но зависимые с.в. XR1 О, 'О, х<-Я FfU)=F,(*) - + — «resin - + 2x1 Я - R < jr £ 41; c.b. f и t) зависимы; b) f' ^7’ !х(<* о, с) eov(£,7) = 0. 5.2»л;/:г|и,^= 1 ( ( । jixy2 pi+Ms-r- О Н+Ы>?2~ av2 -Ijjtj С)/; ^Х/У^ aV2-2|^’ д W<|V2-W х, у - другие 1 = wivff.^O; с) не коррелированны, но зависимы. 5Л0 j o(z) = < 4 я3 [о, ' |г| г Я S31 .4=4, м
A(z)=A(x)Si{ofe’/oI>0’ Л/f = Af/?=~Vz, D4 = Di)^y--, саИ£,^О. 532 Л« —, * 4 X f4Ayf*^~e4i'^. OrB.S33/ft(^)4i' |0, x,у-другие /;W»/,(x) = fe’ I6(°'8). [o, x 4(0,8) (—-—, 0<x<8-y, 0<y<8 g~y > О, x,y —другие 534 а) Л=], P(£ + 7<l) = l/3, 6) //*) = />)=Г+ 2’ ie(0’i), * [0, j«(0,1) Зависимы. c) = F^ = 0, ISO j-rf-r + t), 0<tS1; ;1, x>] xe(0,D A./Jr/-*') = V + Z2 , <Ky<l; P(24 < l|f + n = 1) = 0,5 . [0, x<(O,l) SJSa)J-3/28, P(^+^<2) = -3-. = D£ = ^- 14 7 7 ’ ]47 Dr) = 46 245’ - 0<x<2 2 + -У , (Ky<2, A 14(0,2) f = 0<y<2 2x+% A P«(0,2) 0<x<2. я
Sjeojjjf.. Df£|£ +i>0; g • | к #«[0,г1 12 4^./x/2**F*' 0Sxi*, D(^ + i? = z) = ^-, .q0) хе[0>г] 12 f..^!i^\~z’ *-1Slilt D(^+^2) = IL^. (0. xek-),l) 0<zS1, 15z<2; = ’/{^Л/г> 6xtz-x) . „ -—-—-, bixiz Z 0, xefO.z] г>»> 337 f->(y}=^e' Уих f"W= [Л<)°'’1)Л= + * 1 у3 = Ho /^S^ = 7<p^(-H = j==e'i J 2 У +ae 1 У 2 У'^=^е'2 Следовательно, f (у) = -Д^д’ J * Vz* 5381/3, 539 P(OSf<^ = 2}“03. 5,40 P(f = *)= -C-j, *-0,1.... . Замечание. (Л+lp 1 1:слн ввести оботначення -------------= р, -------“Ч, то получим Л+1 *+1 P(f = *1 = />о‘, * = 0.1, .. .5Л1 P(f = m) I - m=0,1,... Of = + + 1). Д I Р ) 51
ЛИТЕРАТУРА^' 1, Вентцель Е.С., Овчаров Л.А.. Теория вероятностей. Задачи и упражнения. - М.: Наука, 1973. - ЗбТс. 2. Гнхман И.И., Скороход А,В., Ядосяко М.И, Теория вероятностей и математическая статистика. -Киев: Вита школа, 19?9.~40вс. 3. Емельянов Г.В., Скюпанч В.П. Задачник по теории вероятностей и математической статистике. -Л.; Изд-ео Ленингр. ун-та, 1967. - 340с. 4. Зубков А.М., Севвсплноа Б.А., Чистяков В.П. Сборник задач по теории вероятностей: Учеб, пособие для втузов. ~М.: Наука, 1989. - 320с. 5. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей н математическая статистика: Учебник дая вузов. -М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2000. - 543с. 6. Сборник задач по математике для втузов. Ч 3, Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб, пособие да* втузов/ Под ред. А.В. Ефимова. - M.t Наука, 1990. - 428с. 7. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций/ Под ред. А.А.Свешииеова. - М.: Наука, 1965.-632с. 8. Теория вероятностей и математическая статистика а задачах: Учеб, пособие для вузов / В.А Ватутин, Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев и др. - М,: Дрофе, 2003.-328С
3. ОГЛАВЛЕНИЕ величия............. айных веянии.......... ня функций от несколымх ..4 -7 .^Случайных ^Йументов........................... 4. Числовые Мраггеристики системы случайных величин. 5. Условные йконы распределения.................. Ответы........................................... Литериуре................................... .. .19 ..25 .31 ,53 я
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ Часть 4. . Составители: Муави Владимир Ивьич, Сморкалом Валентине Михайловна Государственное образоавтельное учреждение высшего профессионального образования «Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского» 603950, Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23. Подписано в печать*tH)6r. Формат 60x84 1 /16. Бумага оберточная. Печать офсетнва. Гарнитура Таймс. Усл.-печ.л. 3,5. Уч.-изд. л.—. Заказ ; Тираж ЗООэкэ. Отпечатано в тиюграфии Нижегородского госуннвершпета имЛ.НЛобачевского 603000, г. И. Новгород. ул. Большая Покровская. 37 Лицензия ЦД№ 18-0099 от 14.05.01