Основы векторного исчисления. Ч.1. Векторная алгебра. Элементы векторного анализа - Дубнов Я.С.

Автор: Дубнов Я.С.
Теги: математика векторная алгебра векторный анализ государственное издательство технико теоретической литературы
Год: 1950
Похожие
Элементы векторного исчисления
Векторное исчисление и начала тензорного исчисления
Векторная Алгебра
Основы линейной алгебры и математического анализа
Текст
                    Я. С. ДУБНОВ
■ ш* ? к т —-*
ОCHOВЫ
ВЕКТОРНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
Г0СУДАРГ1 ВЕННОЕ И:Ца ibCTBO
ТКХНИКО.ТКОГЕТИЧКС KOli . . ЫМТУРЫ
195 0

Я. С ДУБНОВ
ОСНОВЫ
ВЕКТОРНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
ЧАСТЬ I
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОГО АНАЛИЗА
ИЗДАНИЕ ЧЕТВЕРТОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 19 50 ЛЕНИНГРАД

Редактор И. М. Яглом.
Техн. редактор Р. А. Негримовсная.
Подписано к печати 9/V 1950 г. Тираж 10 000 экз. Бумага 60Х92/1в. 11,5 бум. л. 23 печ. л.
29,60 уч.-изд. л. 51,320 тип. зн. в печ. л. Т-00276 Цена 10 р. 35 к. Переплёт 1 р. Заказ М 1386.
4-я типография им. Евг. Соколовой Главполиграфиздата при Совете Министров СССР.
Ленинграду Ивмайловскнй пр., 29.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Предисловие к 4-му изданию 6
Из предисловия к 3-му изданию 7
Из предисловия к 1-му изданию 8
Введение 9
глава I.
Аффинные соотношения между векторами.
1. Векторные и скалярные величины 20
2. Типы векторных величин 22
3. Равенство векторов 23
4. Приведение векторов к общему началу. Коллинеарность 25
5. Сложение векторов 26
6. Нуль-вектор. Сумма нескольких векторов 29
7. Вычитание векторов 32
8. Умножение вектора на число 35
9. Деление вектора на число 39
10. Отношение двух коллинеарных векторов 40
И. Компланарность трех векторов; разложение одного из них по двум
другим 43
12. Разложение вектора по трем другим векторам 47
13. Определение положения точки при помощи радиуса-вектора .... 48
14. Деление отрезка в данном отношении 50
15. Координаты (аффинные) вектора и точки 53
16. Действия над векторами в координатах 55
17. Приложения к аналитической геометрии 59
18. Продолжение. Уравнение плоскости . . 64
19. Другое определение вектора и основных операдий 66
20. Единственность аффинных операций векторной алгебры 67
Задачи к гл. I 72
ГЛАВА II.
Скалярное умножение.
21. Единичный вектор. Прямоугольная система координат 77
22. Компоненты и проекции вектора 79
23. Проекции и координаты 82

4
ОГЛАВЛЕНИЕ
24. Угол между векторами в ориентированной плоскости 84
25. Скалярное произведение двух векторов 86
26. Выражения для компонент, проекций, координат с помощью
скалярного умножения 91
27. Алгебраические свойства скалярного произведения 93
28. Приложения к тригонометрии 96
29. Скалярное произведение, выраженное в координатах 98
30. Косое (псевдоскалярное) умножение в ориентированной плоскости . 100
31. Единственность скалярного умножения в геометрии пространства . 106
32. Векторные уравнения линий на плоскости; прямая линия ..... 107
33. Окружность на плоскости 114
34. Уравнение плоскости 119
35. Преобразование декартовых прямоугольных координат вектора
и точки 122
36. Метрическая косоугольная система координат 127
Задачи к гл. /I 129
глава in.
Векторное умножение.
37. Векторные реперы в пространстве 133
38. Векторное умножение 137
39. Примеры из механики и физики 141
40. Алгебраические свойства векторного произведения 144
40а. Единственность векторного умножения 147
41. Векторное произведение в координатах 149
42. Смешанное произведение трех векторов 151
43. Смешанное произведение в координатах 155
44. Двойное векторное произведение 156
45. Некоторые формулы, относящиеся к умножению векторов 159
46. Основные формулы сферической тригонометрии 162
47. Взаимные реперы в пространстве; формула Гиббса 163
48. Плоскость и прямая в пространстве 166
49. Несколько задач, относящихся к прямым в пространстве 170
50. Система сил, действующих на твердое тело 173
Задачи к гл. III 176
Задачи к гл. I—III по векторной алгебре 179
ГЛАВА IV.
Векторные функции скалярного переменного*
Скалярное поле.
51. Различные виды векторных функций 186
52. Вектор как функция скаляра. Годограф . 186
53. Предел вектор-функции. Непрерывность 190
54. Производная вектор-функции, дифференциал, интеграл 193

ОГЛАВЛЕНИЕ
55. Геометрический смысл дифференцирования вектор-функции .... 199
56. Зависимость между дифференциалами вектора и его модуля .... 203
57. Ряд Тейлора для вектор-функции 207
58. Примеры интегрирования векторных дифференциальных уравнений.
Приложения к механике 211
59. Функция точки. Скалярное поле 218
60. Плоское скалярное поле; градиент. Особые точки поля 225
61. Трехмерное скалярное поле. Приложения к геометрии 235
Задачи к гл. IV 240
ГЛАВА Т.
Дифференциальные свойства кривых.
62. Касательная н нормаль к плоской кривой 243
63. Классификация точек параметризованной кривой; особые точки . . 247
64. Выпуклость и вогнутость в обыкновенной точке 251
65. Огибающая семейства кривых на плоскости 252
66. Кривизна плоской кривой 259
67. Формулы Френе для плоской кривой. Натуральное уравнение . . . 265
68. Радиус кривизны. Соприкасающаяся окружность 270
69. Эволюта и эвольвенты плоской кривой 274
76. Кривая в пространстве. Касательная прямая и нормальная плоскость.
Соприкасающаяся плоскость 280
71. Основной трехгранник кривой в пространстве 285
72. Репер Френе. Кривизна. Ускорения тангенциальное и нормальное . 289
78. Формулы Френе для пространственной кривой. Кручение 293
Задачи к гл. IV и V 298
Ответы и решения 301
Приложение. Векторные обозначения 364
Предметный указатель 365

ПРЕДИСЛОВИЕ К 4-му ИЗДАНИЮ.
Структура 3-го издания сохранена, даже оглавление не изменилось.
Тем не менее под прежними заголовками можно встретить иногда
(особенно в главах IV и V) новое изложение — естественная судьба
книги, автор которой через преподавание находится в постоянном
контакте со своей аудиторией. Кроме того, расширен исторический
обзор и сделано много мелких изменений в тексте и в задачах.
Некоторыми из этих изменений я обязан дружеской критике и советам
А. М. Лопшица и И. М. Яг л ома, прочитавших книгу в
рукописи, а также замечаниям, сделанным моими товарищами по работе
при обсуждении книги на заседании возглавляемой В. Ф. Каганом
кафедры дифференциальной геометрии мех.-мат. фак. МГУ.
Март 1950 г.
Яш Дубнов.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К 3-му ИЗДАНИЮ.
По первоначальному замыслу изложение было рассчитано на
читателя, который не должен быть обязательно знаком с элементами
аналитической геометрии. Предполагалось, что в преподавании
векторная алгебра может предшествовать аналитической геометрии или,
по крайней мере, изучение обеих дисциплин может быть начато
одновременно. Личный и коллективный опыт преподавания заставил
пересмотреть эту позицию. По общеизвестным причинам нельзя далеко
отодвигать ознакомление с аналитической геометрией. С другой
стороны, одновременное изучение начал аналитической геометрии и
векторной алгебры противоречит педагогическому принципу,
предостерегающему от «наложения трудностей». В самом деле, векторная
алгебра, как ни элементарен ее базис, представляет собой
принципиально новый алгорифм — в этом источник тех затруднений (часто
неожиданных для преподавателя), которые испытывает начинающий
при изучении этой дисциплины,—затруднений, которые можно
преодолеть, не ослабляя, а усиливая внимание к логической структуре
предмета (автор .убежден, что это следует делать и в тех случаях,
когда преподавание векторной алгебры преследует главным образом
прикладные цели, например во втузах).
Что касается места векторной алгебры в учебном плане, то
наиболее благоприятным, повидимому, является момент перехода от
2-мерной к 3-мерной аналитической геометрии.
По инициативе Государственного издательства
технико-теоретической литературы в новое издание введены две главы, содержащие
элементы векторного анализа: вектор-функции скалярного аргумента
и скалярное поле, с приложениями к дифференциальной геометрии.
Основанием л ля такого расширения материала служило то
обстоятельство, что эти вопросы частично входят в обязательные программы
втузов. Естественно, что в интересах цельности изложения пришлось
несколько выйти за рамки этих программ. Таким образом, все те
вопросы общего втузовского курса математики, при изучении которых
могут быть применены векторные методы, охвачены в пяти главах
нового издания. Тем не менее основное содержание векторного
анализа (векторное поле, интегральные теоремы) не вошло в эту книгу
и будет предметом второй ее части.
Москва, август 1939 г.

ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К 1-му ИЗДАНИЮ.
Автор разделяет установившийся в векторной литературе обычай
излагать основы этой—по существу математической—дисциплины
в тесной свя8И с ее приложениями. Однако в курсе,
предназначенном для студентов, область этих приложений поневоле
ограничивается принесенными из средней школы сведениями по
математике и физике, к которым присоединяются затем элементы
аналитической геометрии и механики.
Впрочем, и в только что очерченных рамках возможно далеко
идущее углубление в предмет и его приложения. В заботе о тех
читателях, которые пожелали бы такое углубление осуществить, автор
широко практикует печатание мелким шрифтом тех частей текста,
которые могут быть опущены без ущерба для цельности и для
понимания последующего основного материала. Для той же категории
читателей предназначено значительное число задач, помещаемых
в конце каждой главы. Как по трудности, так и по содержанию
своему некоторые из этих задач (отмеченные для удобства
ориентировки звездочкой) выходят за рамки упражнений, обслуживающих
основной текст, и будут использованы учащимся в той мере, в какой
он пожелает выйти за пределы программы-минимум.
Почти все задачи снабжены решениями или, по крайней мере,
указаниями, облегчающими решение. По отношению к задачам
элементарного характера это сделано в интересах лиц, изучающих
предмет без руководства преподавателя. Что же касается задач,
отмеченных звездочкой, то здесь решения (по необходимости краткие)
следует рассматривать как эпизодические дополнения к тексту.
Москва, 25/V 1930 г.

ВВЕДЕНИЕ.
Для всякого изучающего элементарную математику не может
остаться незамеченным различие в методах геометрии и алгебры.
Характерным для геометрического рассуждения является применение
вспомогательных элементов (точек, линий, поверхностей).
Именно с помощью этих вспомогательных элементов, которые могут
быть присоединены к изучаемой фигуре на бесчисленное множество
ладов и от удачного выбора которых зависит успех рассуждения,
обычно осуществляется связь между решаемой задачей и ранее
решенными. Отсюда тот характер искусственности (почему проведены
именно эти вспомогательные линии, а не другие?), который присущ
многим геометрическим рассуждениям и который дал повод одному
из философов прошлого века (Шопенгауэр) бросить геометрии упрек
в пользовании «доказательствами-мышеловками»: согласие читателя
с окончательным выводом не возникает в результате изучения фигуры
и сопоставления ее свойств с ранее известными, а улавливается
при помощи хитроумно протянутых нитей — линий.
Если теперь от геометрии мы обратимся к алгебре, то, кон#чно,
неправильно было бы утверждать, будто элемент математической
изобретательности-теряет здесь свое значение. Однако в алгебре удалось
создать приемы, объединяющие широкие классы задач, благодаря
чему процесс их решения становится в известной мере автоматическим.
Например, с того момента, как условие задачи записано в виде пяти
уравнений первой степени с пятью неизвестными, решение обеспечено
в том смысле, что сводится к конечному числу сложений, вычитаний,
умножений и делений, производимых над коэффициентами уравнений
по определенным правилам, которые здесь удается выразить с помощью
формул. Равным образом проверка такого тождества, как
(а + ьу = а* + №Ь + 6а2£3 + * *ь* + **»
может быть осуществлена путем последовательного раскрытия скобок
в выражении {a-\-b) (a*j-b) (a-\-b) (<z-f-£), а это преобразование
в свою очередь сводится к повторному применению нескольких
простейших тождеств, выражающих основные свойства действий над

10
ВВЕДЕНИЕ
числами1). Разумеется, во многих случаях искусство математика способно
значительно сократить путь, ведущий от начального пункта к
конечному, однако принципиально важным является то обстоятельство, что
успех обеспечен и при следовании шаблону. Всякое правило,
устанавливающее, какие из операций, принятых за элементарные, и в какой
последовательности надо произвести, отправляясь от данных в условии
задачи чисел, для того чтобы получить решение, называется
алгорифмом (алгорифм нахождения общего наибольшего делителя,
алгорифм решения системы уравнений и т. п.). Мы можем теперь сказать,
что сильная сторона алгебры заключается в алгорифмах, которые она
создает для широких
классов задач.
Поясним сказанное на
примере задачи, решенной
один раз геометрическими,
другой раз алгебраическими
средствами.
Задача. Построить
прямоугольный
треугольник поданному
катету а и сумме s
гипотенузы с другим
катетом.
Геометрическое
решение. Пусть ABC—искомый треугольник, в котором £С= а,
АВ-\-АС = $. Продолжим катет СА за точку Л на расстояние AD=^ АВ
(черт. 1). Получим треугольник BCD, который может быть построен
по двум катетам а и s. После того как это построение выполнено,
точка А получится как пересечение катета CD с перпендикуляром МА,
восставленным к отрезку BD из его середины М (ибо AD = AB).
Алгебраическое решение. Положим АВ — х> АС=у;
тогда х-\-у
1 sa-f а* 1 ^2 —а2
Черт. 1.
$, л:2—у*г=а2. Решая эту систему уравнений, получим:
Построение любого из отрезков ху у по найденной для него формуле
не представляет затруднений.
Анализируя приведенное выше геометрическое решение, мы
замечаем, что успех его обусловлен счастливой догадкой—провести именно
*) Перечислим здесь те из этих основных тождеств* на которые нам
придется ссылаться впоследствии:
a -J- Ъ =в Ь + а (переместительное свойство сложения);
а + ip + с) = (я + Ь) + с (сочетательное свойство сложения);
аЬ =з Ьа (переместительное свойство умножения);
a (be) ~ (ab) с (сочетательное свойство умножения);
а (Ь + с) = ab + ас (распределительное свойство умножения относительно
сложения).

ВВЕДЕНИЕ
11
те вспомогательные линии, которые отмечены на чертеже пунктиром.
Правда, здесь этот прием подсказывается так называемым «методом
спрямления», часто приносящим пользу при решений тех задач»
где в числе данных имеется сумма двух последовательных сторон
треугольника (или многоугольника). Однако здесь это спрямление
можно было бы осуществить и другим способом—продолжая
гипотенузу на расстояние, равное катету АС, что не привело бы к цели.
Обращаясь к алгебраическому решению той же задачи, мы прежде
всего констатируем отсутствие в нем каких бы то ни было
вспомогательных линий. Выбор в качестве неизвестных (х и у) гипотенузы и
катета АС представляется совершенно естественным. Остается записать
в виде уравнений те геометрические зависимости между элементами
треугольника, которые даны в условии задачи. Первое из этих
уравнений получаем непосредственно из условия, второе — на основании
того хорошо известного факта, что числовое соотношение АВ2=*
= AC1 -f-ВС2 (теорема Пифагора) эквивалентно геометрическому
свойству треугольника — иметь прямой угол при вершине С. С того
момента как составлены два уравнения с двумя неизвестными,
вступает в силу алгорифм, который и приводит к решению *).
В только что приведенном примере мы имеем образец применения
метода, давно завоевавшего себе место в науке под названием
«приложения алгебры к геометрии». В основе этого метода лежит
возможность адэкватного (эквивалентного) отображения
геометрических фактов числовыми соотношениями (например, в нашем случае
выражаемое теоремой Пифагора соотношение между длинами сторон
треугольника адэкватно свойству этого треугольника быть
прямоугольным). Однако,сфера приложения алгебры к геометрии неизбежно
остается узкой до тех пор, пока мы не имеем достаточно полного
«словаря» для перевода геометрических фактов на язык алгебры.
Созданием такого словаря мы обязаны аналитической
геометрии, основание которой положено Декартом в XVII в. При
помощи двух осей координат (для простоты ограничиваемся
аналитической геометрией на плоскости) мы получаем возможность
установить словарь:
точка — пара чисел;
линия — уравнение, связывающее два переменных;
точка пересечения двух линий — решение системы двух уравнений
с двумя неизвестными и т. д.
Благодаря этому далеко идущему параллелизму аналитическая
геометрия подвела прочный фундамент под метод приложения алгебры
к геометрии. Вместе с почти одновременно оформившимся и
вступившим с ней в тесное взаимодействие анализом бесконечно малых, ана-
1) Тот же дух систематизации вносит алгебра в решение задач
практической арифметики. Известно, насколько разрозненными и искусственными
являются приемы решения этих задач и насколько могущественным орудием
оказывается здесь алгебра, в частности — теория уравнений.

12
вввдвнив
литическая геометрия обеспечила тот бурный рост математической
науки» какой, начиная с XVIII в., стимулировался растущими
требованиями новой техники и промышленности.
Было бы, однако, преувеличением сказать, что с помощью метода
координат между геометрией и алгеброй переброшен мост, не
оставляющий желать ничего лучшего. Уже первые шаги аналитической
геометрии обнаружили наряду с мощью этого нового орудия и
некоторые слабые его стороны:
1) простому геометрическому факту не всегда соответствует
простота выражающих его координатных формул;
2) в то время как начальные и конечные формулы координатного
вывода имеют геометрическое содержание (ибо представляют собой
сперввод» условия и заключения теоремы), последнее может временно
исчезнуть в промежуточных выкладках; это лишает нас возможности
геометрического контроля, особенно ценного там, где опасность
ошибок возрастает вследствие громоздкости выкладки;
3) к изучаемой фигуре всегда присоединяется добавочная —
«осевой крест» (совокупность двух координатных осей; в пространстве —
более сложная добавочная фигура: координатный трехгранник),—
часто не находящаяся ни в какой связи с изучаемой фигурой.
Последнее обстоятельство заслуживает того, чтобы на нем
остановиться подробнее. Аналитическая геометрия дает нам возможность
устанавливать соответствия между совокупностями объектов:
геометрических, с одной стороны, и алгебраических — с другой. Таково,
например, соответствие между совокупностью всех так называемых
конических сечений (т. е. линий, получающихся в пересечении
прямого кругового конуса с плоскостью) и совокупностью всех
уравнений вида:
(1) Ах* + Bxy + Cy* + Dx + Ey+F = 0.
Идея соответствия двух совокупностей (или отображения одной
совокупности на другую) принадлежит к числу сильнейших орудий
математической мысли. С того момента как установлено соответствие
между двумя совокупностями, мы получаем возможность заменять
рассуждения над элементами одной совокупности рассуждениями над
элементами другой и используем эту возможность во всех случаях,
когда второй путь представляет преимущества. Нетрудно понять, что
соответствие может быть наилучшим образом использовано тогда, когда
оно является взаимно однозначным, т. е. каждому элементу
одной совокупности соответствует в другой один и только один
элемент, и обратно. К сожалению, соответствия аналитической геометрии
вроде только что упомянутого — между коническими сечениями и
уравнениями типа (1)—не являются взаимно однозначными. Правда,
всякому уравнению типа(1), если только оно удовлетворяется
вещественными значениями хну, соответствует коническое сечение, вполне
определенное по форме и размерам. Но обратное не имеет места: недоста-

ВВЕДЕНИЕ
13
точно знать форму и размеры конического сечения для того, чтобы
написать соответствующее ему уравнение; должно быть еще задано
положение этого конического сечения относительно координатных осей.
Таким образом уравнение является адэкватным изображением не
кривой, а более сложного геометрического образа, состоящего из
кривой и «осевого креста». Можн# сказать, что в геометрии
координатные оси играют ту же роль, что леса при постройке здания: для многих
видов построек леса являются до сих пор незаменимым
вспомогательным средством, но они 1) закрывают от глаза картину строящегося
здания, 2) требуют усилий для своего снятия по окончании постройки.
Этими особенностями координатного метода была отчасти
обусловлена та реакция в сторону чистой («синтетической») геометрии,
которая привела в XIX в. к созданию так называемой проективной
геометрии. Последнюю, впрочем, не следует целиком противополагать
аналитической геометрии в смысле метода: весьма важные результаты
проективной геометрии были получены координатными средствами.
Но еще и в другом направлении искала выхода геометрическая
мысль. В 1679 г., следовательно, на заре аналитической геометрии,
тот самый Лейбниц, с именем которого связано величайшее
завоевание математической науки — анализ бесконечно малых, — писал
Гюйгенсу: «...Я думаю, что мы нуждаемся еще в одном исчислении,
собственно геометрическом или линейном, которое давало
бы нам возможность выражать непосредственно положение,
подобно тому, как с помощью алгебры выражают величину». Эти
слова Лейбница были связаны с предпринятой им в то время
попыткой создать такое «геометрическое исчисление».
Естественной казалась мысль в качестве основного элемента
нового исчисления принять точку; более сложную геометрическую
фигуру Лейбниц рассматривал как определяемую конечным числом
точек: прямолинейный отрезок — двумя крайними точками, сферу —
тремя точками, например центром и двумя точками, характеризующими
длину радиуса, и т. п. Для обозначения того, что фигура,
определяемая точками а, Ь> с% ..., равна (в смысле совпадения при наложении)
фигуре, определяемой точками и\ b'f с', ..., Лейбниц пишет:
abc ... 8 а'Ь'с'.. •
Если в этом соотношении одна из точек рассматривается как
переменная (и соответственно с этим обозначается буквой лг), то мы
имеем своеобразное «уравнение» поверхности или линии —
геометрического места точек, удовлетворяющих данному соотношению.
Например, «уравнения»
ах Ь' Ьх, ах 8 bc> аЬх 8 сЛс
принадлежат соответственно: 1) плоскости симметрии точек а и Ь;
2) сфере с центром в точке а и радиусом, равным отрезку Ъс\
3) окружности, которую опишет вершина треугольника abc,
вращающегося вокруг основания ab, и т. п. В этом первом наброске

14
ВВЕДЕНИЕ
Лейбница уже выступают некоторые черты будущего
геометрического исчисления: а) запись соотношений между самими
геометрическими образами, принятыми в качестве элементарных (в данном
случае — точками), а не между числами, прикрепляемыми к этим
образам (как в аналитической геометрии); Ь) суравнение»
геометрического места, причем роль переменного играет не число, а
элементарный геометрический образ.
В уже упомянутом письме Лейбниц следующими словами
характеризует значение этого исчисления: «Главная же польза состоит
в тех заключениях и рассуждениях, которые можно производить при
помощи действий над знаками и которые нельзя было бы выразить
при помощи фигур (и еще меньше моделей), не увеличивая чрезмерно
их количества и не запутывая их введением чрезмерно большого
числа точек и линий, поскольку придется делать бесконечное
множество бесполезных попыток, между тем как этот метод будет вести
к цели верно и без труда. Я думаю, что таким образом можно будет
трактовать механику почти как геометрию...» Однако собственно
исчисления здесь еще нет, поскольку отсутствуют операции над
геометрическими образами (аналогичные действиям сложения,
вычитания и т. д., производимым над числами). Вместе с тем отсутствует
почва для создания «геометрических алгорифмов» и для
использования геометрией обширного капитала, накопленного алгеброй.
Вплоть до начала XIX в. замысел Лейбница оставался без
дальнейшего развития, оттесненный крупными завоеваниями координатного
метода в области геометрии и механики х). Но в ту эпоху
наметившийся рост теоретической физики (учение об электричестве и
магнетизме) предъявлял новые требования к математическому аппарату.
В Германии системы геометрического исчисления были построены
в первой половине XIX в. Мёбиусом и Грассманом, примыкавшими
к лейбницевой концепции «точечного исчисления» (Punktrechnung —
позднейшее название), но в отличие от Лейбница рассматривавшими
алгебраические операции над точками, соединенными с числами.
Особенно далеко развил свою систему Грассман, присоединивший к
точкам в качестве основных объектов исчисления более сложные фигуры,
определяемые двумя, тремя и четырьмя точками каждая («формы
высших ступеней»), К другому геометрическому исчислению пришел
около того же времени английский астроном и математик Гамильтон.
Руководимый хорошо известным изображением комплексных чисел
при помощи векторов плоскости, Гамильтон построил систему г и пер-
комплексных чисел, приспособленную к изучению
геометрических образов пространства («исчисление кватернионов»).
*) Такова же была судьба другой реакции против координатного
метода— проективной геометрии, основания которой были заложены еще
в XVII в. (Дезарг, Паскаль). Толчком к возрождению этих идей в XIX в.
послужило создание начертательной геометрии, в свою очередь вызванной
к жизни потребностями машиностроения и теории сооружений.

ВВЕДЕНИЕ
15
Во всех этих геометрических исчислениях участвует в более или
менее явной форме понятие вектора. Отсюда выросло (во второй
половине XIX в.) самостоятельное векторное исчисление, в
котором все операции производятся над объектами двух категорий:
действительными числами (скалярами) и векторами. По существу переход
от точечного исчисления к векторному заключается в том, что за
основной геометрический образ принимается не точка, а пара точек,
заданных в определенном порядке. Векторное исчисление оказалось
наиболее жизненным и было воспринято широкими кругами
математиков и физиков. Физики (Максвелл, Гиббс, Лоренц, Абрагам,
электротехник Хивисайд и др.) особенно содействовали развитию и
популяризации нового исчисления.
Русская наука внесла сюда свой вклад уже в конце XIX в.
Глубокие исследования казанского профессора А. П. Котельни-
кова *) (последние 20 лет жизни преподавал в Москве; умер в 1944 г.)
имели своим предметом неевклидову геометрию и механику. По-
видимому, здесь впервые была сделана попытка построить
двойственное геометрическое исчисление на основе известного принципа,
имеющего место в проективном пространстве (см. Приложение
в конце второй части этой книги). Эти работы были продолжены
казанскими математиками Д. Н. Зейлигером и П. А.
Широковым.
Проникновение векторного метода в механику и физику, притом
не только в научную литературу, но и в преподавание, встретило
у нас, как и в других странах, сопротивление консервативно
настроенных академических кругов. Тем более значительна заслуга
петербургского профессора механики П. О. Сомова, который еще в 1907 г.
изложил в своем «Векториальном анализе» не только векторную
алгебру и теорию поля с их приложениями, но и мало известное в то
время «диадное исчисление» (о нем см. I главу II части этой книги).
В настоящее время векторное исчисление считается неотъемлемой
частью высшего математического образования; большинство курсов
аналитической геометрии (Н. И. My с хе ли ш в и л и, Б. Н. Делоне
и Д. А. Райков, А. М. Лопшиц и др.), дифференциальной
геометрии (П. К. Рашевский, С. П. Фиников, С. С. Бюшгенс,
В. Ф. Каган, А. П. Норден и др.), механики (Н. Н. Бух-
гольц, Л. Г. Лойця некий и А. И. Лурье, Н. Е. Ко чин,
И. А. Кибель и Н. В. Роз е, А. И. Не к р а с о в и др.) и
теоретической физики опираются на векторный аппарат настолько
существенным образом, что нередко содержат изложение необходимых
его частей (например, оригинальное и достаточно полное изложение
векторной алгебры можно найти в книге А. М. Лопшица
Аналитическая геометрия, 1948).
х) Бинтовое счисление н некоторые его приложения к геометрии и меха*
нике, Казань, 1895; Проективная теория векторов, Казань, 1899.

16
вввдвннв
Научная работа в области векторного исчисления, кроме Казани,
велась еще, начиная с десятых годов нашего века, в Одессе (позже
в Москве) школой В. Ф. Кагана, который организовал в 1927 г.
при Московском государственном университете «Семинар по
векторному и тензорному анализу с их приложениями к геометрии и
физике», издавший до сих пор семь томов своих «Трудов», где
напечатан ряд работ (А. М. Лопшиц, Г. Б. Гуревич, Я. С. Дуб-
н о в), посвященных линейным функциям от одного и многих векторных
аргументов, а также связям векторного исчисления с тензорным
(см. II часть этой книги). В Ленинграде научная разработка векторных
методов в интересах приложений велась и продолжается главным
образом силами механиков и физиков (А. А. Фридман, Н. Е. Ко-
чин, Я. И. Френкель и др.). Выдающаяся роль советских
математиков в разработке векторного и тензорного исчислений послужила
основанием к тому, что первая международная конференция,
посвященная этому кругу вопросов, состоялась в Москве в 1934 г., а
«Труды семинара» стали единственным в мировой литературе
органом, специализированным в данной области *).
Векторное исчисление дает в наши руки орудие, хотя и созданное на
высших ступенях развития науки, однако весьма действенное и в
применении к вопросам элементарной геометрии. Это обстоятельство создает
возможность уже в ранней стадии изучения
г сопоставить на отдельных примерах особен-
к ности нового метода по сравнению с ранее
У \ применявшимися. Обращаясь к этим приме-
/ \ рам, мы, конечно, предполагаем у читателя
S \ знакомство с простейшими формулами ана-*
н/ \м литической геометрии и векторного исчи-
ЧКг 1>А сления: не имеющему этих сведений при-
У* ^sfi^z \ дется отложить чтение следующих строк дс*
/LJ v^\^ / \ ознакомления с содержанием гл. I и II на-
/ 4i*4tZ- - -~ц£ \ стоящей книги.
.JL^^ ^Ss\ Теорема. Медианы треуголь-
А** ^ifl ника пересекаются в одной
точке, которая делит каждую ме-
qCPTf 2. диану в отношении 2:1 (считая
F " * от вершины к
противоположной стороне).
Элементарно-геометрическое доказательство. Пусть
(черт. 2) AM и BN— две медианы, пересекающиеся в точке О. В
треугольнике ABC проведем среднюю линию МЫ, а в треугольнике АВО — среднюю
линию PQ. Согласно известной теореме о средней линии треугольника:
1) AWU АВ и PQ || АВ, откуда: MN\\ PQ; 2) MN = ^ АВ и PQ = у АВ,
откуда: MNcapQ. Итак» MN#PQ\ следовательно, четырехугольник MNQP
есть параллелограм. Отсюда заключаем, что QO = ОМ, а так как в силу
построения' AQ =» QO. то AQ = QO = ОМ, и точка О действительно делит
медиану AM (и в то же время — медиану BN) в отношении 2:1. Если бы
теперь мы построили третью медиану CR (на чертеже не изображенную),
то, повторяя для AM и CR рассуждение, только что проведенное для AM
1) работы конференции отражены в IV выцуске «Трудов семидара».

ВВЕДЕНИЕ
17
и BNt убедились бы, что CR должна пройти через точку, делящую медиану
AM в отношении 2:1, т. е. через ту же точку О. Таким образом оба
утверждения теоремы доказаны.
Координатное доказательство. Отнесем плоскость
треугольника ABC к декартовым координатам л:, у и обозначим координаты вершин:
(2) A (xlf yj, В (лг2, у2), С (лг3> Уз\
Известные формулы аналитической геометрии позволяют, зная
координаты концов отрезка, написать координаты точки, делящей отрезок в
данном* отношении (см. ниже, п. 17), в
частности—написать координаты середины
отрезка. Теперь естественным образом
возникает следующий план доказательства:
проведем сначала одну медиану, например AM
(черт. 3), и возьмем на ней точку О,
определяемую соотношением АО: ОМ = 2:1;
выразим координаты точки М через
координаты точек В и С; выразим координаты
точки О через координаты точек А и М
и, следовательно, в конечном счете —
через шесть исходных координат (2). Такое
же вычисление мы можем провести для
точек О* и О" (заранее мы не должны
предполагать их совпадающими с точкой
Черт. 3.
О), делящих в отношении 2:1
соответственно две другие медианы BN и CR (на чертеже не
изображенные). Если теорема верна, то в справедливости ее мы должны будем
непосредственно убедиться из совпадения координат, которые получатся для
точек О, О' и О" (что будет означать совпадение этих трех точек).
Осуществление намеченного плана дает:
. *2 + *3
*1 + 2XM *1 + *2 + *3
1, ~У*+У*
Ум 2—'
Уо=-
Уг + Уъ + Уг
•*о- i-f2 м 3 ' J0 " 3
Теперь мы можем освободить себя от дальнейших вычислений
(относящихся к точкам Of и О"): уже то обстоятельство, что формулы, полученные
для х0 и у0> симметричны относительно индексов 1, 2, 3. позволяет
предвидеть соотношения:
х0, = х0„ = х0; у0, =у0/, = у0.
Векторное доказательство. Будем определять положение
каждой точки радиусом-вектором этой точки (см. ниже, п. 13); пусть точкам
А В, С соответствуют радиусы-векторы г\9 г2, г3. Следуя тем же
соображениям, что и при координатном доказательстве, имеем [см. (Зф и (34)}:
\6) гм — 2 *
го^ 1+2 ~ 3
Из того, что полученное для г0 выражение симметрично относительно
индексов 1, 2, 3, вытекает (ср. предыдущее доказательство) справедливость
теоремы.
Обращаясь к сопоставлению трех рассмотренных доказательств, мы можем
по поводу первых двух высказать те же замечания, какие были выше сделаны
в связи с решением задачи на построение двумя способами: геометрическим
2 Зик. 133G. Дубнов, ч. I.

18
ВВЕДЕНИЕ
и алгебраическим. Наличию вспомогательных линий в геометрическом
доказательстве и связанному с этим ощущению искусственности выгодно
противополагается естественный ход мыслей в доказательстве координатном.
При сопоставлении же последнего с векторным доказательством прежде
всего бросается в глаза их чрезвычайное сходство не только в отношении
плана, но даже и внешнего вида формул. Все положительные стороны
координатного доказательства сохраняются в векторном; к ним присоединяются:
1) более короткая запись (одна векторная формула вместо двух
координатных; в рассуждении, относящемся к
пространству, одна векторная формула
заменяла бы т р и координатных); 2) иногда
большая геометрическая наглядность
формул; например соотношение (3)
выражает тот очевидный геометрический
факт, что медиана является половиной
диагонали параллелограма, построенного
на двух сторонах треугольника1).
Только что отмеченное сходство
векторного рассуждения с координатным
дало повод некоторым математикам низко
расценивать роль векторного исчисления,
сводя ее к сокращенной записи
координатных формул. Не говоря о том, что
сжатая символика занимает в
математике далеко не последпее место (например, ап при п целом положительном
есть не что иное, как сокращенная запись произведения а»а... а),
указанная оценка страдает более глубокими дефектами. Если верно то, что всякая
формула, в которой векторы комбинируются только при помощи операций
сложения и умножения вектора на число (следовательно, формула,
выражающая так называемое аффинное соотношение), может быть заменена двумя
(в пространстве—тремя) координатными формулами того же строения, то
положение существенным образом меняется, когда мы имеем дело с м е-
трическими зависимостями между векторами, в частности — со
сравнением длин неколлинеарных векторов. Не вдаваясь в большие подробности,
ограничимся здесь рассмотрением еще одного примера.
Теорема. Биссектриса внутреннего угла треугольника
делит противоположную сторону на части,
пропорциональные двум другим сторонам.
Элементарн о-r еометрическое доказательство. Пусть
CD — биссектриса угла АСВ (черт. 4). Продолжим сторону АС за точку С
на расстояние СЕ = СВ и соединим Е с В. В равнобедренном треугольнике
СЕВ углы СЕВ и СВЕ равны между собой. А так как сумма этих углов
равна (внешнему) АСВ, то каждый из них равен -~ АСВ; в частности,
СЕВ=: A CD, откуда заключаем, что CD \\ ЕВ. Применяя теперь теорему
о сторонах угла, пересеченных параллельными прямыми, получим:
AD__AC.
DB~~CE]
2) Каждое из приведенных в тексте доказательств представляет собой
проверку заранее формулированного геометрического факта.
Методологически более ценным было бы рассуждение, ведущее к открытию этого
факта, т. е. решение задачи: в каком отношении делят друг друга медианы
треугольника? Ниже (п. 11) читатель найдет такую задачу и ее векторное
решение.

ВВЕДЕНИЕ
19
остается заменить здесь СВ через СВ для того, чтобы получить требуемое
соотношение.
Векторное доказательство. Положим С А = Ь, СВ = а, так что
длины сторон АС и ВС обозначатся соответственно через b и а1).
Обозначим через \ интересующее нас отношение AD :DB; тогда [см.
ниже (34)]: *
CU- 1 + Х '
С другой стороны, свойство вектора CD делить пополам угол между
векторами СА и СВ может быть выражено так: первый вектор имеет
направление суммы двух других, приведенных предварительно к
одинаковой длине (свойство диагонали ромба). Приведя векторы anb
* а Ь
к длине 1, получим — и -г, так что
а о
CD «(Л Ь-г) (ш — числовой множитель).
Сопоставление двух выражений, полученных для CD, дает:
1 <о X <о
Т+Т"" &"* Г+Х~ а »
откуда
>__ ь —А£
К-~а~ВС9
чем теорема доказана.
Заметим, что векторное доказательство аналогичной теоремы,
относящейся к биссектрисе внешнего угла треугольника, потребовало бы незна-
а . b а Ь
чительного изменения, сводящегося к замене (--г- на т*
а о а о
Еще проще векторные доказательства обратных теорем. Для случая,
например, биссектрисы внутреннего угла обратная теорема гласит: если
прямая, проведенная через вершину треугольника,
делит противоположную сторону на части,
пропорциональные двум другим (прилежащим) сторонам, то она
служит биссектрисой внутреннего угла треугольника.
До к а з а те л ь ст в о. Так как теперь дано, что AD : DB—AC: СВ = b:at
то [см. ниже (35)J:
CD = ba+f.
a + b
Но векторы Ьа и аЬ имеют одинаковую длину (равную аЬ\
следовательно, угол между ними делится пополам вектором-суммой Ьа + ab. Остается
заметить, что векторы bat ab и Ьа + оЬ имеют соответственно
направления СА, СВ и CD.
1) В этой книге буквой жирного шрифта всегда обозначается вектор;
такой же буквой обыкновенного шрифта — длина этого вектора.
2*

ГЛАВА I.
АФФИННЫЕ *) СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ.
1. Векторные и скалярные величины. Вектором называется
геометрический образ, определяемый следующим построением (черт. 5):
от данной точки А («начало вектора») в данном направлении
(«направление вектора», характеризуемое, например, полупрямой ММ)
откладывается отрезок АВ, равный данному s. Это построение приводит
однозначным образом к точке В> которая называется «концом вектора».
Иногда говорят кратко: вектор есть направленный отрезок
(другое определение
^ , вектора — в п. 19).
У^ / Направление вектора
yS /' отмечается на чертеже
у? У(4 стрелкой, обращенной
>^ / острием к концу век-
S у/ "" j — тора. Очевидно, вектор
Я yf является вполне
опрела деленным, коль скоро
заданы положения его
Черт. 5. начала и его конца.
В связи с этим стоит
обозначение вектора при помощи двух букв, относящихся к крайним
его точкам: пишут — вектор А В; порядок букв здесь не безразличен:
первая буква (в данном случае А) означает начало вектора, вторая
(В) — его конец. Стрелка в обозначении вектора служит для отличия
этого символа от общепринятого обозначения прямолинейного отрезка
1) Аффинным (точнее аффинно-инвариантным) соотношением между
геометрическими объектами называется такое соотношение, которое остается
в силе при любом аффинном преобразовании (т. е. точечном преобразовании
плоскости или пространства, не нарушающем ни прямолинейного
расположения точек, ни параллельности прямых). Впрочем, мы пользуемся понятием
аффинности преимущественно для целей геометрической классификации. Таким
образом, возможное незнакомство с этим понятием не доставит читателю
затруднений при чтении основного (напечатанного крупным шрифтом) текста
этой книги.

1]
ВЕКТОРНЫЕ И СКАЛЯРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
21
с концами А и В. Последний можно с одинаковым успехом обозначать
символами А В и В А, между тем вектор В А не должен быть
отождествляем с вектором АВ.
Понятие вектора наряду с понятием числа находит себе широкое
применение в механике и физике. Последние имеют дело с объектами
(«величинами» — в широком смысле слова) двоякого рода. К первой
категории относятся величины, природа которых такова, что результат
сравнения двух значений рассматриваемой величины может быть
охарактеризован одним (действительным) числом, положительным
или отрицательным. Все значения такой величины — при выбранной
единице измзрения — могут быть отображены на скалу (шкалу), откуда
и название «скалярная величина». Примерами скалярных величин
являются: время, угол, длина, площадь, объем, масса, плотность,
температура, сопротивление проводника, электроемкость, работа и др.
Некоторые из этих величин (например, объем, масса) по самой своей
природе выражаются положительными числами, другие (температура,
работа) способны принимать как положительные, так и
отрицательные значения.
С другой стороны, существуют величины, для полного
описания которых недостаточно одного числа. Например, мало
сказать, что к данной точке приложена сила в 5 г, необходимо еще
указать, в каком направлении эта сила стремится переместить точку.
То же самое можно сказать о ряде других «векторных величин»,
для которых одним из определяющих элементов служит
направление и которые в силу этого могут быть изображаемы векторами.
Таковы: прямолинейное смещение точки из одного положения в
другое !;, сила, скорость точки в криволинейном движении, ускорение,
напряженность электрического или магнитного поля и др. Конечно,
и здесь недостающие сведения о направлении могут быть даны числами,
например проекциями силы на определенно выбранные оси, или углами,
которые данное направление образует с этими осями. Однако, идя
этим путем, мы обычно бываем вынуждены пользоваться
вспомогательными элементами (осями;, чуждыми данной задаче и способными
усложнить ее решение.
Существует множество величин, допускающих изображение с помощью
векторов. Собственно говоря, всякая величина, характеризуемая тремя числами,
может быть изображена вектором, например вектором, соединяющим начало
координат в декартовой прямоугольной системе с точкой, имеющей своими
координатами упомянутые три числа (для величин, характеризуемых двумя
числами, достаточно пользоваться векторами плоскости). Однако не всегда
такое изображение будет плодотворным. Должен иметь место хотя бы
частичный (т. е. хотя бы по отношению к основным связям между
значениями величины и одноименным связям между векторами) «изоморфизм»,
*) Отсюда название «вектор», от латинского vehere — перевозить,
перемещать.

22 АФФИННЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ [ГЛ. !
который, например, в данном случае выражается требованиями: 1) двум
равным между собой значениям величины пусть соответствуют векторы,
также равные между собой (см. ниже, п. 3), 2) сумме любых двух значений
величины пусть соответствует сумма (см. ниже, п. 5) изображающих их
векторов.
2. Типы векторных величин. Согласно определению, данному
в предыдущем пункте, вектор вполне характеризуется следующими
своими элементами:
1) начальная точка («точка приложения» — на языке механики),
2) направление *),
3) длина (иначе называемая «модуль вектора»).
Из этих элементов последние два имеют существенное значение
для всякой векторной величины, чего нельзя сказать о первом
элементе—начальной точке. Рассмотрим, например, поступательное
перемещение твердого тела
из одного положения
/ в другое //; такое
перемещение
характеризуется тем, что
сдвиги всех точек тела
выражаются векторами
(на черт. 6 АА\ ВВ\
СС, DD\ ...)
одинаковой длины и
одинакового направления.
Если поэтому исходное
положение / тела
известно, то новое его положение // будет вполне определяться
любым из векторов АА\ ВВ\ СС\ ...; с такой же
определенностью рассматриваемое перемещение может быть задано вектором MNt
проведенным из произвольной точки М пространства и являющимся
общим представителем векторов АА\ ВВ\ ..., в том смысле, что
Черт. б.
*) Некоторые авторы предпочитают расчленить понятие о «направлении
вектора» в том смысле, в каком оно здесь употребляется (направление,
характеризуемое полупрямой), на два понятия: 1) направление,
характеризуемое полной (т. е. неограниченно простирающейся в обе стороны)
прямой, параллельной вектору, и 2) сторона (sens, Sinn), в которую вектор
обращен. Например, о двух векторах АВ и ВА в нашей терминологии
следует сказать, что они имеют разные (именно — прямо
противоположные) направления; упомянутые же авторы скажут, что эти два вектора
имеют одинаковое направление, но обращены в
противоположные стороны. С этой последней точки зрения вектор
определяется не тремя, а четырьмя элементами: 1) начальная точка, 2) направление
(в смысле, отличном от нашего), 3) сторона, в которую вектор обращен,
4) длина.

3]
РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ
23
вектор MN имеет ту же длину и то же направление, что и любой
из векторов АА\ ВВ', ...
Другой пример: действие, производимое на твердое тело приложенной
к нему «парой сил», как известно (подробнее об этом см. ниже задачу 253а),
вполне определяется одним вектором — «моментом» этой пары, взятым
относительно произвольной точки пространства. Моменты данной пары,
построенные для различных точек пространства, имеют одинаковую длину
и одинаковое направление.
С другой стороны, рассмотрим действие силы, приложенной
в точке А твердого тела и выражаемой вектором АВ. Согласно одному
из основных принципов статики точку приложения этой силы можно
перенести в любую другую точку, взятую на прямой АВ; если при
этом величина и направление силы сохранены, то эффект ее остается
без изменения. Мы имеем здесь дело с вектором, начальная точка
которого может быть выбрана с некоторым, хотя и неполным
произволом.
Наконец, вектор, выражающий напряженность магнитного поля,
существенным образом связан со своей точкой приложения: перенеся
векторы магнитного поля в другие точки, хотя бы каждый раз с
сохранением длины и направления, мы получим поле с другими (вообще
говоря) физическими свойствами.
Сообразно с этим в прикладных науках часто различают три типа
векторов (правильнее было бы сказать — векторных величин):
1) векторы связанные (подразумевается — с точкой
приложения), для полного определения которых требуется каждый раз
задание всех трех элементов, перечисленных в начале этого пункта;
2) векторы скользящие (подразумевается — вдоль прямой);
такой вектор считается заданным, если известны его длина,
направление и прямая, на которой вектор лежит; начало вектора может
быть помещено в произвольную точку этой прямой?
3) векторы свободные, определяемые только своей длиной
и направлением; за начало свободного вектора может быть принята
произвольная точка пространства.
С точки зрения математической теории такое разнообразие
основных объектов представляло бы значительные неудобства. Вот почему
в основу векторного исчисления положено понятие свободного
вектора. Этим отнюдь не ограничиваются возможности применения
нашего исчисления к изучению векторных величин остальных типов;
впоследствии мы убедимся, что задание как связанного, так и
скользящего векторов может быть заменено заданием двух свободных
векторов (п. 14, сноска, и п. 50).
3. Равенство векторов. Выбором свободного вектора в качестве
основного объекта исчисления обусловлено следующее определение
равенства: два вектора считаются равными в том и только
в том случае, когда они имеют одинаковую длину и

24
АФФИННЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ
[гл. I
одинаковое направление1). Из векторов, изображенных
сплошными линиями на черт. 7, равными являются только векторы АВ
и CD (пишут: AB = CD); векторы АВ и EF, хотя и имеют равные
длины, не равны между собой, ибо направления их различны; точно
так же мы должны признать неравными векторы CD и GH, которые
при одинаковых направлениях различны по длине. Вместе с тем
получает точный смысл высказанное ранее (см. п. 1) утверждение, что
АВ-фВА (противоположные направления!).
Черт. 7.
Начинающему приходится на первых порах делать усилие для
того, чтобы отличать равенство векторов, как оно только что
установлено, от привычного равенства отрезков. Так, для равностороннего
треугольника ABC можно написать:
но
АВ = ВС = АС>
АВфВС;
ВСфАС;
АВфАС.
Радиусы одного и того же круга, если их рассматривать как
векторы, идущие от центра к различным точкам окружности, не равны
между собой. Для точки, описывающей окружность, вектор скорости
(напомним, что он всегда направлен по касательной к окружности),
*) По определению, два параллельных (в узком смысле, т. е. не лежащих
на одной прямой) вектора АА', ВВ\ одинаково направлены в том
и только в том случае, когда их концы (Аг, В') лежат по одну сторону от
прямой (АВ), соединяющей их начала. Если же векторы АА\ ВВ' лежат на
одной прямой, то их одинаковая направленность характеризуется тем, что из
двух лучей АА'% ВВ/ один целиком лежит на другом.

4] ПРИВВДВНИБ ВЕКТОРОВ К ОБЩЕМУ НАЧАЛУ. КОЛЛИНЕАРНОСТЬ 25
не может быть постоянным, т. е. в любой момент равным одному и
тому же вектору, даже в том случае, когда точка движется
равномерно; непониманием этого обстоятельства объясняется смущение,
которое испытывает иногда начинающий, когда узнает, что точка,
равномерно движущаяся по окружности, имеет ускорение.
Для векторов АВ и CD (черт. 7), не лежащих на одной прямой,
приведенный выше критерий равенства может быть заменен каждым
из следующих:
1) один из векторов может быть приведен к совпадению с другим
(так, чтобы совпали начало с началом и конец с концом) путем
параллельного перенесения;
2) отрезки АВ и CD, соответствующие данным векторам, вместе
с отрезком АС, соединяющим начала обоих векторов, и отрезком BD,
соединяющим их концы, образуют параллелограм;
3) у отрезков AD и ВС> соединяющих начало каждого вектора
с концом другого, середины совпадают.
Заметим, что эти признаки не опираются на понятие о
направлении; последний из перечисленных признаков, будучи в
противоположность первому, не связанным с понятием движения, применим,
однако, и к векторам, лежащим на одной прямой (проверьте это на
чертеже).
Пользуясь тем или другим признаком равенства векторов, можно
установить следующие свойства этого соотношения:
если АА' = ВВ\ то В В' — АА' («обратимость»);
если АА' = ВВ' и ВВ' = СО, то АА/ = СО («транзитивность»);
отсюда, между прочим, вытекает: два вектора, равные одному и тому же
третьему, равны между собой. Именно наличием этих свойств оправдывается
название «равенства», которое мы приписали некоторому соотношению между
векторами. Отсюда же — возможность применять к векторным равенствам
те выводы, к которым мы привыкли в случае равенств числовых (разумеется,
поскольку эти выводы основываются только на свойствах обратимости и
транзитивности числового равенства).
4. Приведение векторов к общему началу. Коллинеарность.
Согласно определению равенства векторов, в каждой точке
пространства может быть построен (и притом единственным образом) вектор,
равный данному и имеющий начало в этой точке. Отсюда следует, что,
сколько бы нам ни было задано векторов, мы можем «привести
их к общему началу», т. е. построить векторы, соответственно
равные данным и имеющие общее начало в произвольно выбранной
точке О пространства.
Такое «приведение» изображено на черт. 8, где одновременно
применено сокращенное обозначение векторов: именно, каждый
вектор — независимо от положения его начальной точки (ибо векторы—
свободные)'—обозначен одной (латинской) буквой жирного шрифта:
a, Ь>... Введением этого обозначения, которым мы будем в даль-

26 АФФИННЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ [ГЛ. !
нейшем систематически пользоваться, делается важный шаг на пути
построения «векторной алгебры», аналогичной алгебре чисел. В
печатном тексте невозможно будет смешать обозначения векторов с
обозначениями чисел, для которых мы будем пользоваться исключительно
буквами обыкновенного шрифта (предпочтительно — греческими)*).
Два или большее число векторов называются коллинеарными,
если они, будучи приведены к общему началу, располагаются вдоль
одной прямой (по одну или по обе стороны от начала). Например,
векторы, лежащие на параллельных прямых, коллинеарны. Для
обозначения коллинеарности двух векторов а и Ь пользуются символом
Черт. 8.
параллельности (пишут: а\\Ь). Два коллинеарных вектора могут
отличаться длиной, при направлениях либо совпадающих, либо прямо
противоположных.
Отметим частный случай коллинеарности: два вектора называются
равнопротивоположными, если они имеют одинаковую длину
и прямо противоположные направления. Условимся под символом — а
понимать вектор, равнопротивоположный вектору а. Например, АВ
и В А суть векторы равнопротивоположные:
АВ = — ВАУ ВА = — АВ.
Соотношение — (— а)~а не нуждается в пояснениях.
б. Сложение векторов. Понятие о сумме векторов сложилось под
влиянием соображений двоякого рода. Математик заботился о том,
чтобы название сложения было присвоено операции, которая двум
данным векторам (слагаемым) относит по определенному правилу
третий вектор (сумму данных) и которая при этом обладает свой-
1) В письме мы рекомендуем для обозначения векторов пользоваться
вместо жирно написанных букв обыкновенными латинскими буквами с
черточкой наверху. Такие символы, как а, Ь, ..., означают векторы; a,bt а, £.. ,—
числа.

5]
СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ
27
ствами переместительности и сочетательности *) (см. сноску на стр. 10).
С другой стороны, интересы приложений требовали, чтобы операция
сложения имела определенный физический смысл в тех случаях, когда
векторами изображаются значения некоторой физической величины
(силы, скорости и т. п.).
Для частного случая коллинеарных векторов построение вектора-
суммы обычно связывают со сложением относительных (т. е.
положительных и отрицательных) чисел. Как известно, относительные числа
могут быть изображаемы векторами (коллинеарными), лежащими на
«числовой оси» ОХ: например, положительное число -|- 3 изображается
(черт. 9) вектором ОА> отрицательное число —5 изображается векто-
В С 4
о
Черт. 9.
ром ОБ. Равенству (+3) + (—5) = — 2 соответствует следующее
построение, производимое над векторами-изображениями слагаемых:
от конца А вектора О А откладываем вектор АС той же длины и того
же направления, что и вектор ОБ; число —2 (сумма) изобразится
вектором ОС, идущим от начала первого вектора к концу
перенесенного второго. Обобщая этот процесс на векторы любых направлений,
условимся (черт. 10) под суммой двух векторов а и 6
разуметь третий вектор с, определяемый следующим
построением: 1) из произвольной точки О
пространства строим вектор ОА=*а> 2) из его конца строим
вектор АБ = Ь, 3) соединяем начало первого вектора
с концом второго; полученный вектор ОБ есть
вектор-сумма с («правило треугольника»); будем писать:
(4) ОА-{-АВ==ОБ или а-\-Ь = с.
Нетрудно видеть, что произвол в выборе исходной точки О не
влияет на результат построения, так как различные треугольники
типа ОАБу которые соответствуют различным исходным точкам,
получаются один из другого параллельным перенесением.
Действительно, предположим, что вместо точки О мы приняли в качестве
исходной точку О' и получили треугольник ОгА'Вг (черт. 10). В силу
определения равенства векторов, четырехугольники ОААгОт и АА'В'В (не изобра-
*) Относительно того, с какой степенью необходимости определяется
этими требованиями то именно правило сложения, которое дано ниже,
см. п. 20.

28 АФФИННЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ [ГЛ. 1
женные на чертеже) суть параллелограмы, в которых OOr # AAr\ AA'Jfr ВВ'.
Отсюда заключаем, что 00' # ВВ\ следовательно, четырехугольник ОВВ'О9
есть параллелограм, в котором ОВ#0'В', т. е. ОВ = О'В* Рассмотрение
особого случая, когда точка О' лежит на прямой ОА% вследствие чего
предыдущее рассуждение нуждается в изменениях, предоставляем читателю.
\,
а
а
!> о'
с -д
Черт. 10.
/t'
к?
Равным образом результат сложения двух векторов не зависит от
того, какой из этих векторов принять за первый и какой — за
второй (между тем в предыдущем построении роли векторов а и Ь
в качестве первого и второго были различны):
(5)
a-{-b = b-\-a
(переместительное свойство), как в этом легко убедиться из
рассмотрения черт. 11 (левая фигура, построенная в предположении, что
векторы а и Ь неколлинеарны; случай коллинеарности предоставляем
разобрать читателю).
Черт. 11.
Правой фигурой того же чертежа иллюстрируется доказательство
сочетательного свойства, выражаемого равенством:
(6)
(а + 6)+с==а+(& + с)
[на черт. 11 a-\-b = ON; (a + b)^c=^OM+NP^OP; с другой
стороны, Ь-\-с — МР\ а+ (Ь-\-с)^ОМ-\-МР=ОР]> словами:
вместо того чтобы к сумме двух векторов придать третий, можно
к первому вектору придать сумму второго с третьим.

6] НУЛЬ-ВЕКТОР. СУММА НЕСКОЛЬКИХ ВЕКТОРОВ 29
Возвращаясь к левой фигуре черт. 11, мы можем дать другое
построение суммы двух неколлинеарных векторов («правило
параллелограма»): если векторы-слагаемые приведены к общему
началу, то вектор-сумма, выходящий из того же
начала, совпадает с диагональю параллелограма,
построенного на векторах-слагаемых. Читатель без труда
узнает в этой формулировке «правило сложения», общее для
нескольких известных ему физических величин («параллелограм сил», «парал-
лелограм скоростей» и т. п.). Так, например, если
векторами-слагаемыми изображаются две силы, приложенные к одной точке, то вектор-
сумма изобразит нечто, имеющее определенный физический смысл,
именно—равнодействующую этих двух сил. Вместе с тем
выполнено второе из требований, формулированных в начале этого пункта.
Мы можем теперь продолжить высказанную ранее (конец п. 1) мысль об
изображении с помощью векторов тех величин, которые определяются
тройками или парами чисел. Комплексное число а + р/ (/ = у — 1) определяется
парой действительных чисел (а, р), заданных в определенном порядке.
Общепринятое изображение комплексных чисел с помощью векторов плоскости
вполне целесообразно, ибо при этом сумма двух комплексных чисел
изображается вектором, получающимся из векторов-изображений слагаемых по
правилу параллелограма. С другой стороны, несократимая дробь — также
Р
может быть рассматриваема как пара (целых положительных, взаимно
простых) чисел (а, р); однако изображение несократимых дробей посредством
векторов плоскости не было бы целесообразным, ибо при этом сумме двух
дробей не соответствовала бы сумма изображающих их векторов, как в этом
можно убедиться на любом числовом примере.
Задачи.
1. Символом \а\ обозначают длину (модуль) вектора а. Показать, что
\a + b\<\a\ + \b\.
При каких обстоятельствах в этом соотношении имеет место знак
равенства?
2. Векторы a, b и а + b приведены к одному началу. Какому условию
должны удовлетворять (неколлинеарные) векторы а и b для того, чтобы угол
между ними делился пополам вектором а-+-Ь7
3. Показать на чертеже, что (<*+&) + (—Ь) = а.
4. В параллелограме ABCD АВ = т, АО = я. Выразить векторы АС>
СА> BD, DB через векторы т, п% (~т) и (—я).
6. Нуль-вектор. Сумма нескольких векторов. В рассуждениях
предыдущего пункта молчаливо предполагался исключенным один
частный случай, не допускающий, строго говоря, применения ни того,
ни другого из правил сложения векторов. Мы имеем в виду тот случай,
когда слагаемые векторы оказываются равнопротивоположными. На
таких векторах (как и вообще на коллинеарных) не может быть
построен параллелограм; применение же «правила треугольника»
привело бы в данном случае к «вектору», у которого начало совпа*

30 АФФИННЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ [ГЛ. Г
дает с концом. В интересах общности представляется целесообразным
ввести в рассмотрение наряду с обыкновенными векторами этот
особый вектор (с совпадающими началом и концом) под названием
нуль-вектор. Нуль-вектор обозначается тем же символом 0, что
и нуль-число1); таким образом, пишут:
(7)
f АВ-\-ВА = \
(а + ( — а) = 1
Все нуль-векторы считаются равными между собой (АА = ВВ)\ им
приписывается длина, равная нулю, и неопределенное направление. Последнее надо
понимать в том смысле, что нуль-вектор считается коллипеарным с любым
Черт. 12.
другим вектором. Сложение двух векторов, из коих один равен нулю,
определяется равенствами:
а + 0 = 0 + а = а.
Пересмотрев все алгебраические соотношения, выведенные до
сих пор для обыкновенных векторов, можно удостовериться, что эти
соотношения остаются в силе и после присоединения нуль-вектора.
Под символом
разумеют вектор, получающийся в результате ряда последовательных
сложений: к вектору а придают Ь$ к полученному вектору придают с
и т. д. Таким образом, a-\~b-\-c-\-d-\-e означает то же, что и
[l(* + b) + c] + d}+e.
Последовательное применение справила треугольника» приводит к
следующему построению суммы нескольких векторов.
*) Можно было бы пользоваться для этих двух различных понятий
различными символами. Однако этого обычно не делают, так как опасность
смешения здесь отсутствует; очевидно, например, что в таком выражении, как
а+0, или в таком равенстве, как а+(— в) «О, символом 0 обозначен
вектор, а не число.

6] НУЛЬ-ВЕКТОР. СУММА НЕСКОЛЬКИХ ВЕКТОРОВ 31
Из произвольной точки О пространства проводим вектор, равный
первому слагаемому, из конца этого вектора проводим вектор,
равный второму слагаемому, и т. д.; сумма получится как вектор, идущий
из начала первого к концу последнего («правило многоугольника»,
или «правило цепи»). На черт. 12 изображено сложение пяти векторов;
здесь (промежуточные векторы-суммы не показаны на чертеже)
ОВ = а + Ь\ ОС=(а + Ь)-\-с\
^ OE = {l(a + b)-\-c] + d}+e.
Полагая OE = s, пишем:
a + b-]-c-\-d \-e=*sf
или
ОЛ + ЛВ + SC-f CD+ DE = ОЕ.
Вообще, при любом расположении п точек Аи A2t ..., Ап в
пространстве имеем [ср. (4)]:
(8) ^Я + ^в+--*+^СЛ^в^1^С
Вместо этого можно написать [ср. (7)]:
(so ^%+а£*+*--+ап_Х+^1=*ъ
в частности, для всякого треугольника ЛВС
(8") АВ + ВС+СА==0.
В теоретической арифметике доказывается, что из свойства
переместительности, установленного для суммы двух чисел, и свойства
сочетательности вытекает возможность ряда преобразований,
производимых над суммой любого числа слагаемых (перестановка членов,
соединение их в группы). Повторяя эти рассуждения в применении
к векторам, для которых справедливы те же основные свойства
суммы [см. (5) и (6)J, придем к выводу: в сумме любого числа
векторов можно как угодно изменять порядок слагаемых и соединять
слагаемые в какие угодно группы, например:
a+b + c + d + e+f=(d+e) + a+(b+f+c).
Остановимся подробнее на сложении трех векторов, выходящих
из общего начала и не лежащих в одной плоскости. Пусть О А = а;
ОВ = Ь; ОС=с; построим на трех данных векторах
параллелепипед, как показано на черт. 13. Согласно «правилу цепи»
a + b±c = OA+AD + D£ = OE.

32 АФФИННЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ [ГЛ. I
Таким образом, если три вектора-слагаемых (не лежащих в
одной плоскости) приведены к общему началу, то вектор-сумма,
выходящий из того же начала, совпадает с диагональю парал-
С
Черт. 13. Черт. 13а.
лелепипеда, построенного на векторах-слагаемых («правило
параллелепипеда», ср. с «правилом параллелограма» для двух
векторов).
Упражнение. Начертить пять каких-нибудь векторов а, Ь, с, d, е.
Построить (с помощью линейки, угольника и циркуля) их сумму
тремя способами, соответствующими записям:
a-\-b-\-c-\~d-\-e\
а^Ъ-\-й-\-с-\-е\
с~\- e-\-a~\-d-\-b.
Сравнить результаты трех построений.
Задачи.
5. В обобщение результата, полученного при решении задачи 2,
показать, что
\а + Ъ + с+...+1\<\а\ + \Ь\ + \с\ + ... + \1\.
При каких обстоятельствах в этом соотношении имеет место знак
равенства?
6. На сторонах треугольника АВд построены произвольные параллело-
грамы ABMLt BCPN и ACQR (черт. 13а). Доказать, что из отрезков RL,
MN, PQ можно составить треугольник (сохраняя при этом за каждым отрез*
ком его направление).
7. Вычитание векторов. Следуя аналогии с арифметикой,
вычитание векторов определяют как операцию, обратную сложению:
вычесть из вектора а («уменьшаемое») вектор Ь
(«вычитаемое»)— это значит: найти такой в е кто р х («разность»),

71
ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ
33
который, будучи сложен с вектором - вычитаемым,
даст вектор-уменьшаемое1):
(9) Х + Ь = а.
Покажем, что операция вычитания всегда выполнима и
результат ее однозначен. Если смотреть на последнее равенство как на
^уравнение для определения х по данным а и Ь, то решение может
быть получено
приемом, известным из
алгебры : прибавим к
обеим частям равенства по
вектору (— Ь). В силу
сочетательного
свойства суммы получим в
левой части:
х + Ь + (-Ь) =
«* + {* + (-*)}-
*=Х-{-0=Х,
а в правой а+(— Ь);
следовательно,
Xs=a + ( — Ь).
Таково единственное значение х, которое может удовлетворять
уравнению (9); а в том, что этим значением х уравнение
действительно удовлетворяется, убеждаемся непосредственной подстановкой
(опять-таки с применением сочетательного свойства суммы). Вместе
с тем мы получили практически важное правило, которое сводит
операцию вычитания к знакомой уже операции сложения: вместо того
чтобы вычесть вектор Ь, достаточно придать рав-
нопротивоположный вектор (— Ь):
а — й = а + ( — Ь).
В справедливости этого равенства можно убедиться также из
черт. 14: если к вектору ON= а-\-( — Ь) придать вектор NM = b,
то получится вектор ОМ = а.
Любая последовательность сложений и вычитаний может быть
заменена последовательностью одних только сложений, например:
a—b + c — d— ^ = а+( — b) + c-{-( — d) + ( — е);
*) Терминами «уменьшаемое» и т. д. пользуются здесь только для того,
чтобы поддержать аналогию с арифметическим вычитанием: ниже мы
убедимся, что длина вектора а не должна обязательно уменьшиться в результате
вычитания из него вектора Ь.
3 Зак. 1336. Дубнов, ч. I.

34 АФФИННЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ВИКТОРАМИ [ГЛ. I
таким образом, и здесь построение может быть осуществлено на
основании «правила цепи».
Упражнение. Начертить пять каких-нибудь векторов: а, 6, с, rf, е.
Пользуясь справилом цепи», построить (с помощью чертежных
инструментов) вектор х, определяемый формулой:
х = а — Ь-\~с — d— е.
Особенно простым оказывается построение разности в том
случае, когда векторы — уменьшаемое и вычитаемое — имеют общее
начало (черт. 15):
(9') ОВ — ОА = АВ\пбо ОА^АВ—ОВ),
словами: если два вектора имеют общее начало, то
разность их выражается вектором, идущим от конца
вектора - вычитаемо го к
О концу
вектора-уменьшаемого.
Заметим еще, что фигура парал-
лелограма ОАСВ, построенного
на двух векторах ОА = а и
ОВ = Ь, дает не только вектор-
сумму, но и вектор-разность:
ОС = а + Ь\ ВА = а — Ь\
дВ~Ь— а; вектор-сумма совпадает с той диагональю, которая
проходит через общее начало двух исходных векторов, вектор-
разность — с другой диагональю.
Замечание. Если ABC — произвольный треугольник, то
между тремя скалярами, выражающими длины его сторон АВ, ВС,
АС, не существует никакой зависимости, которую можно было бы
записать в виде нетождественного равенства1). Это обстоятельство
выражают, говоря, что длины сторон произвольного треугольника
суть величины независимые. В противоположность этому, между
тремя векторами, соединяющими вершины треугольника попарно,
всегда существует зависимость, которую можно записать одним из
нескольких эквивалентных равенств [см. также (8")]:
А3 + ВС=АС или АВ — СВ^АС и т. п.
Это простое замечание нам предстоит не раз использовать при
решении задач, именно при составлении векторных уравнений (ср.,
например, задачу в тексте п. 11).
*) Имеют место лишь зависимости, выражаемые неравенствами,
например, АВ<^АС + ВС. Уравнение, связывающее длины сторон, может
появиться лишь тогда, когда треугольник принадлежит к какому-либо особому
классу, —таково, например, соотношение Пифагора между сторонами
прямоугольного треугольника.

8]
УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО
35
(черт. 16) АВ
т.
Задачи.
7. Показать, что | а — Ъ|<| а| +1 Ь \. При каких обстоятельствах в этом
соотношении имеет место знак равенства?
8. При каких условиях векторы а + Ь и а — Ь коллинеарны?
9. Предполагая векторы а и Ь неколлинеарными, строя векторы a -f- Ь
и о — Ь с помощью диагоналей параллелограма, проверить на чертеже
справедливость тождества:
(а+Ъ) + (а — Ь) = 2а,
где 2а написано вместо а + с.
10. В параллелепипеде ABCDA'B'C'D'
AD — п, АА'= р. Выразить через
Шу п и р каждый из векторов: 1) АС,
2) ГУВ', 3) АС, А) В'С, 5) ГУВ,
6) !)£'.
11. Показать, что — (а + Ь) —
-а — &.
12. В правильном 8-угольнике
ABCDEFGH положим АВ = а,
ВС = by CD = с, Z)£ = d. Выразить
каждый из диагональных векторов
5?, BG, TdJdQ.DH, 7Xj, СА через
а, Ь, с, d.
8. Умножение вектора на
число. В арифметике целых чисел
умножение появляется как особый случай сложения, именно тот
случай, когда все слагаемые равны между собой. Представляется
естественным и в векторном исчислении положить:
а + а = 2а; а-|~ а-\-а = Ъа-,
и вообще:
па = а + а ... -{- а,
где л есть число равных слагаемых в правой части равенства.
Операцию, приводящую от вектора а к вектору па, будем называть
умножением вектора а на (натуральное) число п. Если, следуя
очевидной аналогии, условимся еще под символом (— п) а разуметь
вектор — (па), то этим будет определена операция умножения
.вектора на целое отрицательное число. Как в случае умножения на
целое положительное, так и на целое отрицательное число, длина
вектора умножается на абсолютную величину этого числа, а
направление в первом случае остается без изменения, во втором — меняется
на прямо противоположное.
Пользуясь целочисленными коэффициентами при векторах, мы
получаем возможность сокращенных записей, вроде
tf-j-a + a + a — Ь — Ь — Ъ = Ьа — 3b = 4a + (~3)b.
3*

36 АФФИННЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ (ГЛ. I
Имея в виду обобщить операцию умножения на случай любого
числового множителя, вспомним, что 1) символом |Х | обозначают
абсолютную величину числа X (например, |-|-5|«=| — 51 = 5); 2)
символом | а | мы условились обозначать неотрицательное число,
выражающее длину вектора а. Установим теперь для умножение вектора
на любое число следующее определение, являющееся
непосредственным обобщением ранее рассмотренного случая, когда множитель
был целым числом: под произведением вектора а (фО)
на число X (ф0) разумеют новый вектор, длина
которого равна |Х|-|а|, а направление совпадает
с направлением вектора а или прямо
противоположно ему в зависимости от того, имеем ли мы Х>0
или X < 0; произведение, о котором идет речь, обозначается одним
из символов:
Ха; X . а; аХ; а • X.
Для случаев, когда тот или другой из сомножителей равен нулю,
вводим дополнительные определения:
0а = 0; Х0 = 0
(в первом равенстве мы имеем слева нуль-число, справа —
нуль-вектор; во втором равенстве — слева и справа нуль-векторы). И здесь
остается в силе равенство
|Ха|-»|Х||в|.
Нетрудно показать, что определенное таким образом
произведение вектора на число обладает рядом свойств, формально
совпадающих со свойствами произведения двух чисел:
(10) X(tia) = (Xlx)a
(сочетательное свойство);
(11) (_Х).а = Х.(— в)=—(Ха);
(12) (Х + р.)а = Ха4-ра
(распределительное свойство по отношению к числовому множителю);
(13) X(a + ^) = Xa + X6
(распределительное свойство по отношению к векторному
множителю); если произведение вектора а на число X равно нулю
(14) Xa==0,
то имеет место по крайней мере одно из соотношений:
Х = 0; а = 0.
Действительно, в каждом из соотношений (10) — (12) и (14)
мы имеем дело с коллинеарными векторами. Поэтому доказательство

8]
УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО
37
состоит каждый раз в установлении того, что векторы, выражаемые
левой и правой частью проверяемого равенства: 1) имеют
одинаковую длину (что сводится к соответствующим числовым тождествам);
2) обращены в одну и ту же сторону (а не в противоположные).
Например, в случае равенства (10):
K>^)a|«|X^||a|»(|X|||i|)|a|;
но крайние правые части в обоих рядах равенств равны между собой
в силу сочетательного свойства произведения чисел, следовательно, и
крайние левые части равны, т. е. длина вектора X (ра) равна длине вектора (Щ а.
Что касается направлений
этих векторов, то они всегда / МП
одинаковы, так как или g о о »
оба совпадают с
направлением а (если Хи^ имеют оди* - _
наковые знаки), или оба про- Черт. 17.
тивоположны направлению a
(если X и [а имеют противоположные знаки). Наконец, если из чисел X, ц
хотя бы одно равно нулю, то равенство (10) также справедливо, ибо обе
его, части суть нуль-векторы.
Несколько более сложных рассуждений требует проверка равенства (12).
На оси, которой мы придадим направление вектора а, отложим
последовательно векторы OL*=\a и LM = \*.a, тогда («правило цепи») OAf = Xa +
+ ЦС Оставляя в стороне случаи, когда среди точек О, Lt М имеются
совпадающие (это возможно только при а =* 0, или X = 0, или (* = 0, или
X =s — |г, во всех этих случаях справедливость равенства (12) очевидна),
рассмотрим шесть единственно возможных расположений точек О, L, М на
оси:
1) OLM, 2) OML, 3) LOM. 4) LMO, 5) MOL, 6) MLOt
здесь точки перечисляются каждый раз в порядке их следования по
выбранному нами направлению оси. Сделав чертежи, нетрудно убедиться, что
перечисленные 6 случаев соответствуют следующим предположениям относительно
множителей X и р:
1) *>0, Ht>0; 2) Х>0, К°, |Х|>1Н;
3) Х<0, |i>0, |Х|<1Н; 4) Х<0, |х>0, |Х|>|Н;
5) х>о, ко, |Х|<1М; б)Х<о,ко.
Остается для каждого из этих предположений проверить
справедливость (12) [работу можно сократить, замечая, что случай 2) переходит в 3), а
случай 4) в 5) при простой перестановке букв X. и (*]; в качестве образца
проведем рассуждение для случая 4).
Итак, пусть точки О, L, М имеют расположение, показанное на черт. 17
(где стрелкой обозначено направление вектора а), что соответствует
предположениям: Х<0, р>0, |Х|>||д.|.В силу известного правила сложения
относительных чисел мы имеем здесь
|X + ix| = Ul-!M
и, следовательно,
|(X + ti)a|=|X + Mie|==(IM-H)<*;

38 АФФИННЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ [ГЛ. I
с другой стороны, так как при нашем построении всегда Ха + \*.а— ОМ,
то в данном случае | Ха + ца | = ОМ = OL -- LM = 1| X 11 а | — | и- \ \ а |.
А так как
(|л|-|р|)|а| = 1Ч1а|-Ы|а|
в силу арифметического свойства распределительности, то
совпадение длин векторов (X + ц) а и \а-\-\^а можно считать для случая 4)
доказанным. Что касается направлений, то достаточно заметить, что в наших
предположениях множитель X + р
отрицателен, следовательно,
вектор (X + \х) а направлен
противоположно вектору а; с другой
стороны, сумма Ха + ра имеет
направление того из двух (коллинеарных)
векторов Ха, ца, который больше
, по длине, т. е. в данном случае —
В вектора Ха, значит, опять-таки эта
сумма направлена противоположно
Черт. 18 вектору а. Этим доказательство
завершено.
В иного рода доказательстве нуждается соотношение (13).
Предполагая сначала Х>0, а векторы а и b неколлинеарными, построим
(черт. 18) векторы
ОА = а; А§ = 6; ОА' = Ха; аГв! = Щ
тогда
(15) 0£ = a-f Ь\ ОВ' = \а + \Ь
(на чертеже векторы ОВ и ОВг не изображены). В силу построения
О'аВ — ОА'В' и ОА':ОА = А'В'\АВ( = Х), откуда заключаем, что
треугольники ОАВ и ОАгВ' подобны, и АОВ = А'ОВ*', так что точки
О, В и Вг лежат на одной прямой. Так как из того же подобия
треугольников следует, что ОВ': ОВ = X, то, принимая во внимание
совпадение направлений векторов ОВ и ОВ\ имеем:
ОВг = \ОВ
или [см. (15)]
Ха+Х6 = Х (а-\-Ь).
Для случая Х<0 может быть проведено либо геометрическое
доказательство, мало отличающееся от предыдущего (подобие треугольников
ОАВ и ОА'В', на этот раз обратно расположенных относительно центра О),
либо основанное на ранее выведенных формулах: в силу (11)
Х(а+о) = ( — Х)[ — (а+0)]=( — Х)[( — а) + ( — Ь)\ (см. задачу И).
Так как в рассматриваемом случае (— X) > 0, а для положительного
множителя распределительное свойство установлено, то можем продолжить
преобразование:
(_Х)[(-а) + (~Ь)] = (-Х)(^а) + (-.Х)(^а) = Ха+Ха [см. (11)].

9] ДЕЛЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО 39
Снова приходим к (13), на этот раз в предположении, что Х<0. Для
случая Х = 0 справедливость равенства (13) непосредственно очевидна.
Остается нерассмотренным случай а \\ Ъ. Если к нему применить
предыдущее построение, то точки О, А, В окажутся лежащими на одной прямой, и
равенство (13) должно быть проверено для каждого из шести возможных
расположений этих точек [если среди них нет совпадающих; отдельно —
для случаев совпадения; ср. выше проверку равенства (10)]. Другой путь
проверки намечен в указаниях к задаче 13а, помещенной ниже.
Упражнение. Начертить три каких-нибудь вектора а, 6, с.
Построить по «правилу цепи» каждую из сумм
a + b + c; 2ya + 2-I* + 2-i-c.
Сравнить длины и направления полученных векторов.
Задачи.
13. Показать, что 1) из Ха = >.&, \ф0 вытекает: а — Ь; 2) из Xa^pta,
афО вытекает: X = р («сокращение равенств»).
13а. Считая, что равенство (13) уже установлено для а\\ bt а также для
случаев, когда один нз векторов a, bt а+6 равен нулю, доказать, что Это
равенство справедливо и в остальных случаях (т. е. при одновременном
выполнении условий а\\Ь, афО, ЬфО, а-\-ЬфО), пользуясь
сочетательным свойством суммы векторов [см. (6)].
§ 9. Деление вектора на число. Эта операция определяется как
обратная умножению вектора на число: разделить вектор а на
число X(фО) это значит — найти такой вектор лг,
который, будучи умножен на X, даст вектор а:
Умножая обе части этого равенства на — и пользуясь
сочетательным свойством произведения [см. (10)], получим решение (единственное)
задачи:
1
Вместе с тем операция деления оказывается сведенной к уже
знакомой операции умножения: вместо того чтобы разделить
вектор на число (отличное от нуля), достаточно умножить
этот вектор на обратное число:
(16) а:Х = а-у.
Результат деления вектора а на число X обозначается символом
а *Л или -^-; это есть вектор, длина которого равна длине а, раз-
деленной на |Х|; направление вектора у совпадает с направлением а
или противоположно ему, смотря по тому, будет ли X > 0 или Х<0.

40
АФФИННЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ [ГЛ. I
Основные свойства деления, выражаемые равенствами:
—7~ = т±т; (а:Х):^ = (а:^) :X«a:(X|i); T«"jJ.
легко доказываются с помощью замены деления умножением [см. (16)].
То обстоятельство, что рассмотренные до сих пор векторные
операции обладают свойствами, формально совпадающими со свойствами
соответствующих арифметических действий, дает возможность
производить над векторными выражениями ряд преобразований (раскрытие
скобок, приведение подобных членов и др.), хорошо знакомых из
обыкновенной алгебры. Например;
3(2а + 5Ь — 4с) — 2{а — Ь — 6с) =
п=ба+156 — 12с — 2а + 2Ь-\-12с = 4а+17Ь;
а — $Ь 2а—3& , 1 За—156—4а+6Е+6а __Ьа—9Ь 5 Зл
~4 g Г^ = f2 — —Г2- ~12а— Х°9
Задачи.
14. В треугольнике ABC проведены медианы AM, BN, СР. Показать,
что AM -f- BN + СР = 0. Кроме векторного доказательства дать этому
предложению формулировку и доказательство на языке элементарной геометрии.
15. Середины сторон треугольника ABC суть D, Е, F. Показать, что для
любой точки О силы OD, ОЕ> OF имеют ту же равнодействующую, что и
силы ОА, ОВ> ОС.
10. Отношение двух коллинеарных векторов. Рассмотренная
в п. 8 операция умножения производится над двумя объектами
различной природы — сомножителем векторным и сомножителем
числовым. Этим обусловлено то, что умножению соответствует не одна,
а две обратных операции (подобно тому, как в обыкновенной алгебре
возведению в степень соответствуют два обратных действия:
извлечение корня и логарифмирование). ДОожно по данному
вектору-произведению и данному числовому сомножителю искать векторный
сомножитель— это именно та операция деления вектора на число,
которую мы рассматривали в предыдущем пункте. Можно еще по данному
вектору-произведению и данному векторнбму сомножителю искать
числовой сомножитель. Другими словами, можно по данным векторам а
(«делимое») и b («делитель») искать число X («частное») такое, чтобы
\Ь = а. Но здесь мы впервые сталкиваемся с существенным
отклонением алгебры векторной от алгебры числовой: поставленная только
что задача деления вектора на вектор, вообще говоря, не
разрешима. В самом деле, умножение вектора на число так определено,
что из равенства kb = a вытекает коллинеарность векторов а и Ь.
В силу этого при делении вектора на вектор делимое и делитель не
могут быть заданы произвольно (как в арифметике), — это должны
быть два коллинеарных вектора.

10} ОТНОШЕНИЕ ДВУХ КОЛЛИНЕАРНЫХ ВЕКТОРОВ 41
Итак, символ а\Ь Г или £-) мы будем употреблять исключительно
в том случае, когда векторы а и Ь коллинеарны, причем ЬфО; под
этим символом мы будем разуметь число («отношение вектора а
к вектору 6»), на которое следует умножить второй вектор (£), для
того чтобы получить первый (а). Нетрудно видеть, что отношение
двух коллинеарных векторов равно отношению их длин, взятому со
знаком плюс, если векторы обращены в одну сторону, и со знаком
минус, если они обращены в противоположные стороны.
Таким образом, взятая для примера запись:
(17) а:Ь^-~
означает, что 1) векторы а и Ь коллинеарны; 2) обращены в про-
3
тивоположные стороны; 3) длина вектора а равна -j- длины
вектора Ь.
Из алгебраических свойств операции деления вектора на вектор
отметим два, являющихся обращением сочетательного [формула (10)] и
распределительного [формула (12)] свойств прямого действия — умножения.
Если векторы а, Ь, с, * коллинеарны, причем 1фЪ% то
(18) Т = ХТ-
(19) « + *+£=« + *+£.
Проверка равенства (18): пусть у = а, тогда а = <х£ Аа — А (а/) = ()л) /,
откуда -г- = Aot =s= A y .
Проверка равенства (19): пусть
а Ь с
тогда а = а/, & = р/, с = т£ откуда a-\-b + c = ai-\- pZ + fJ — (а + Р+ Т) А
а это означает, что
g+ft + g __ff t о i .г.... а , ft , с
Г ° + Р+т-т + т + т,
Соотношение (17) может быть записано и в других равносильных
формах:
a = — ^b; 4a = —Sb; 4в + 3& = 0.
Вообще, если два вектора а и Ь связаны зависимостью типа
(20) <ха + р& = 0,

42 АФФИННЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ [ГЛ. I
где а и р — числа, из которых хотя бы одно отлично от нуля1), то
говорят, что между векторами а и Ь существует
линейная зависимость (или что «векторы а и (5 связаны линейно»).
Нетрудно видеть, что из существования линейной зависимости (20)
вытекает коллинеарность векторов а и Ь, В самом деле, по
предположению хотя бы один из коэффициентов а, р отличен от нуля,
пусть, например, а ф 0; тогда из (20) следует, что
— 1*,.
а это означает, что векторы а и b коллинеарны. Обратно, если век-
торы а и Ъ ф 0 коллинеарны, то, обозначая через X отношение гу| ,
взятое со знаком -{-или — в зависимости от того, обращены ли
векторы а и Ь в одну или в противоположные стороны, имеем:
а = Х& или а — Xb = 0t
а это есть частный случай линейной зависимости (20): <х = 1 =£ 0,
Р = — X. Объединяя предыдущие рассуждения, можно сказать: для
того чтобы два вектора (а и Ь) были коллинеарны,
необходимой достаточно, чтобы между ним и
существовала линейная зависимость [типа (20), где
коэффициенты а и р не равны одновременно нулю].
Замечание 1. Если между двумя векторами установлена одна
линейная зависимость типа (20), то таких зависимостей можно указать бесчислен»
ное множество: одна из другой получается путем умножения на некоторый
3
множитель. Например, из 2а — ЗЬ — 0 следует: 4а — db = 0; а — -^Ь = 0
и т. д.
Замечание 2. С установленным только что признаком коллинеарности
двух векторов находится в полном согласии формулированное ранее (п. 6)
условие, в силу которого нуль-вектор считается коллинеарным со всяким
другим вектсром. Действительно, если a — 0t то между вектором а и любым
другим вектором Ъ может быть установлена линейная зависимость,
например Ъа -\- 0 - Ь = 0, в которой один из коэффициентов отличен от нуля.
Задачи.
16. В равностороннем треугольнике ABC М есть середина стороны ВС,
О — центр треугольника. Имеет ли смысл и — в случае утвердительного
ответа—чему равно каждое из выражений: 1) АО: AM; 2) МО: АО; 3) ОА : ОБ?
17. Показать, что если векторы a, b и с коллинеарны (ЬфО, сф0)> то
j& ^ b _а
b * с ~~ с
18. ABCD — параллелограм, М — точка пересечения его диагоналей,
О — произвольная точка, отличная от М. Можно ли выразить числом отно*
шение
(ОА + ОВ + ОС + OD): ОМ?
3) При а — р = 0 соотношение (20) справедливо для любых векторов a, b
этому не представляет интереса. ♦
и потому не представляет интереса.

11]
КОМПЛАНАРНОСТЬ ТРЕХ ВЕКТОРОВ
43
19. Из медиан треугольника ABC построен новый треугольник Аф^С^
а из его медиан—треугольник А^В^С* Показать, что треугольники ABC и
A%BtC% подобны; найти отношение подобия.
11. Компланарность трех векторов; разложение одного из них
по двум другим. Т^ри или большее число векторов называются
компланарными, если они, будучи приведены к общему началу,
располагаются в одной плоскости. Например, q
векторы, лежащие на прямых, параллель- lb
ных одной и той же плоскости, комила- V В' о
нарны. • ук vS
Вектор-сумма двух векторов всегда \ 74 х
компланарен с векторами-слагаемыми (до- \ \e \
статочно вспомнить «правило параллело- \ \. \
грама»). Соотношение между этими тремя \ \^ *
векторами, написанное в виде а-\-Ь-— 1 ^v>
— С:=0, представляет частный случай С ^А
так называемой «линейной зависимости
между тремя векторами»: Черт. 19.
(21) «а + р& + 7С = 0,
где а, р, ^ суть числа, среди которых хотя бы одно отлично от нуля.
Нетрудно убедиться, что всякие три вектора, связанные линейной
зависимостью, компланарны. Действительно, пусть в соотношении (21)
афО; тогда
(22) а==_16_1С;
приведем теперь все векторы к общему началу О (черт. 19), и пусть
ОА^а; ОВ = Ь; ОС = с;
ОВ' = — ^Ь; ОС'= —±с;
в плоскости ОВС будут лежать как векторы ОВ, ОС, так и
соответственно коллинеарные с ними векторы ОВ\ ОС\ а следовательно,
и сумма двух последних векторов, т. е. (см. (22)] вектор ОА.
Покажем теперь, что справедливо и обратное утверждение: если
три вектора компланарны, то между ними существует линейная зави-'
симость. Другими словами, покажем, что для всяких трех
компланарных векторов я, Ь, с можно подобрать такие три числа а, р, f
(не одновременно равные нулю), чтобы имело место соотношение (21).
Для доказательства воспользуемся построением, имеющим
самостоятельное значение,—разложением данного вектора по двум другим,
компланарным с ним (читатель вспомнит о разложении силы по двум
данным направлениям).

44 АФФИННЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ [ГЛ. I
Разложить вектор а по векторам Ь и с*—это значит:
представить вектор а в виде суммы двух векторов, соответственно колли-
неарных с Ь и с. Пусть (черт. 19) ОА = а, ОВ = Ь, ОС = с— три
компланарных вектора, приведенных к общему началу; векторы a, b
и с мы предполагаем сначала попарно не коллинварными. Желая
разложить вектор а по векторам Ь и с, проводим из точки А прямые,
соответственно параллельные ОВ и ОС, в результате чего получаем
параллелограм ОВ'АС'\ имеем:
Тй^ов'^ос'.
Так как OB' и ОВ коллинеарны, равно как ОС' и ОС, то можем
положить:
ОВ':ОВ = к, OC':OC = \i,
откуда
ОВ' = кОВ = Х&; ОС' = |хОС = цс,
и окончательно ^
(23) а = Х6 + |хг,
а это и есть требуемое разложение (на черт. 19 приближенное
измерение дает k — -^t Р — — 3, так что а —уй — Зс V Числа X и ц
в соотношении (23) называются коэффициентами в
разложении вектора а по векторам b и с. Если бы вектор а был
коллинеарен с одним из векторов Ь, с (которые попрежнему
предполагаются не коллинеарными между собой), то мы имели бы либо
а = \Ь, либо а = |хс; из этих равенств то, которое имеет место, мы
рассматриваем как разложение вектора а по векторам бис, считая,
что один из коэффициентов разложения равен нулю. Итак, всякий
вектор может быть разложен по двум другим, с ним
компланарным (но не коллинеарным между собой).
Это разложение является однозначным в том смысле, что
равенства
(24) a = kb + \ic и а = к'Ь+р'с
могут одновременно иметь место только при X = X' и \l = jj/.
Действительно, из (24) заключаем, что
(25) и+рс^хь + р'с; (х—х')а + (|А—tO<?=0;
если бы разности X — X' и \i — ji' не обращались одновременно в нуль,
то это означало бы, что между векторами b и с существует
линейная зависимость, т. е. эти векторы коллинеарны, вопреки
предположению.

Ill КОМПЛАНАРНОСТЬ ТРЕХi ВЕКТОРОВ 45
Возвращаясь к вопросу о компланарности трех векторов, мы
можем теперь сказать: для того чтобы три вектора были
компланарны, необходимо и достаточно, чтобы между
этими векторами существовала линейная
зависимость типа (21) (причем коэффициенты а, (3, ^ не равны нулю
одновременно). Достаточность была установлена выше. Что касается
необходимости, то в случае, когда не все три вектора коллинеарны,
можно разложить один из них по двум другим (не коллинеарным
между собой), что даст зависимость типа (23), или
а — lb — |хг = 0;
здесь коэффициент при а равен 1 Ф 0. Если же все три вектора
коллинеарны, то линейная зависимость существует уже между двумя
из них; эту зависимость можно рас- f
сматривать как частный случай
соотношения (21), в котором теперь один из
коэффициентов <х, р, т равен нулю, но
среди двух других есть отличный от
нуля.
Упражнение. Начертить три
каких-нибудь вектора (попарно не кол-
линеарных). Предполагая векторы
лежащими в плоскости чертежа, разложить Черт. 20.
каждый из них по двум другим и
определить измерением (а значит, приближенно) коэффициенты в каждом
разложении. Проверить, насколько согласуются между собой три
полученных результата (например, если результат первого измерения дал
О 1
а = — 26 + Ъсу то для двух других должно получиться: Ь = ^с — -£а;
1 2
£— з^ + т^ следует, однако, помнить, что, поскольку
коэффициенты найдены приближенно, полного согласия результатов
ожидать нельзя).
Замечание. На однозначность разложения вектора по двум
другим часто опираются при решении задач. Положим, что из»условия
задачи удалось составить уравнение типа (25) с неколлинеар-
н ы м и Ь и с. Это немедленно приводит к двум скалярным уравнениям
Х = Х/, [i = ti/. Если коэффициенты X, р., X', р' зависят от двух
неизвестных чисел, то мы имеем два уравнения для определения этих
неизвестных. Поясним сказанное примером.
Задача. В каком отношении делят друг друга
медианы треугольника?
Решение. Пусть AM и ВЫ—две медианы треугольника ABC;
О — точка их пересечения. Положим СА = Ь, СВ = а (заданием этих
двух векторов треугольник вполне определяется), тогда АВ = а — Ь.

46 АФФИННЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ [ГЛ. I
Через те же а и Ь легко выразить векторы-медианы:
МА = МС-[-СА==-~% + ft, NB==MC+CB= -|--fa.
Если теперь введем в качестве неизвестных отношения
ОА \МА = 1\ OB:NB = f\t
то будем в состоянии выразить через a, bt £, т\ три вектора,
составляющие треугольник ОАВ:
0А = Ь(Ь— -J), o3 = i|(a —|), .45 = a — b.
Но между тремя векторами, составляющими треугольник, всегда
существует простая зависимость (см. замечание в конце п. 7), напишем
ее в форме
ОВ^ОА + ЛД,
или, подставляя полученные ранее выражения для векторов,
i(«~IH(*-*)+e-*-
Остается раскрыть скобки и сгруппировать члены, содержащие
вектор а, и члены, содержащие Ь,
4e-jft=(i-4)*+(*-i)ft,
а затем применить теорему о единственности разложения (а и Ъ не
коллинеарны!), чтобы получить два уравнения с неизвестными \, х\:
"—1 2' 2 * '
а отсюда решение задачи:
«-V-4
— известное свойство медиан. Эффективность примененного здесь
метода по сравнению с элементарно-геометрическим (см.
заключительную часть «Введения») выступит еще отчетливее при решении более
общей задачи (см. ниже задачу 23).
Задачи.
20. В правильном шестиугольнике ABCDEF проведены векторы АВ — т,
АС = пу AD =р. Показать, что п = т + -о~р. Найти разложение каждого из
векторов т и р по двум другим двумя способами: 1) построением параллело-
грамов, как описано выше, 2) вычислением, основанным на первой
полученной формуле.

121
РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРА ПО ТРЕМ ДРУГИМ ВЕКТОРАМ
47
21. В треугольнике ABC точка D делит сторону АВ в отношении
3:5 (AD : DB = 3:5). Разложить вектор по векторам С А = Ъ и СВ = а.
Решить задачу в общем виде, заменяя отношение 3: 5 буквенным а: [>.
22. При обозначениях задачи 10 показать, что векторы АА', D'B, DB'
компланарны, и найти связывающую их линейную зависимость.
23. На сторонах АВ и АС треугольника ABC взяты соответственно
точки С и Вг> которыми эти стороны делятся
в данных отношениях:
АС:С'В = 1, АВ':ВГС=Ъ.
В каком отношении делят друг друга отрезки
ВВГ и СО! Полученный результат применить
к случаю Э = Т = 1.
12. Разложение вектора по трем
другим векторам. Разложение вектора по
двум другим возможно, как мы видели,
в исключительном случае, — когда все три
вектора компланарны. В
противоположность этому разложение вектора а по Черт. 21.
трем другим Ь, с, d может быть
выполнено, вообще говоря, всегда, т. е. при любом задании векторов
а, Ьу с и d (исключительный случай будет отмечен ниже). В самом
деле, приведем все четыре вектора к общему началу (на черт. 21
О А = а, ОВ = Ь, ОС=с, OD = d) и будем предполагать векторы Ь,
с, d некомпланарными. Если вектор ОА окажется лежащим в одной
из цлоскостей О ВС, OCD, ODB, то задача решена, ибо в этом
случае вектор а может быть разложен уже по двум из трех
векторов Ьу с, d. Отбрасывая этот случай, разложим вектор а сначала
на два слагаемых, из которых одно было бы вектором, коллинеар-
ным с d, а другое — вектором, компланарным сб и с. Для этого
достаточно провести через точку А прямую AE\\OD до пересечения
в точке Е с плоскостью ОВС и затем построить параллелограм OEAD';
будем иметь: OA = OE-\-OD'. Остается разложить вектор ОЕ по
векторам Ь и с, что даст: ОЕ = ОВ' -\- ОС\ и окончательно:
ОА = ОВ'-\-ОС' + OD'.
Полагая ОВ' = ХЬ, ОС' = рс^ OD' = wf, получим требуемое
разложение:
(26) a = \b + )LC-\-vd.
Итак, если три вектора не компланарны, то всякий
четвертый вектор может быть разложен по этим трем.
Такое разложение однозначно, т. е. соотношения
(27) a = X6+jic + vtf и а = \'Ь + ?'с + v'd

48 АФФИННЫЕ соотношвния между ВЕКТОРАМИ [ГЛ. |
могут иметь место только при Х=»Х', ji = ji/, v=a/, Действительно
(ср. доказательство однозначности в п. 11), из (27) следует:
(X—XOft + fa — tOc + O' — *')d = 0;
если бы из разностей ,Х — X', р— j/, v — v' хотя одна была отлична
от нуля, это означало бы; что векторы Ь, с и d компланарны вопреки
предположению.
Одним из непосредственных следствий установленной только что
возможности разложить любой вектор по трем некомпланарным является
предложение: между любыми четырьмя векторами а, Ъ, с, d
существует линейная зависимость:
(28) аа+?Ь + -{C + bd = 0,
где по крайней мере один из коэффициентов a, pi, ?, &
отличен от нуля. Действительно, если векторы 6, с, d не компланарны, то
такая зависимость дается формулой (26), написанной в виде: а—lb— рс—vd = О
(коэффициент при а равен 1Ф0)- Если же векторы Ь, с» d компланарны, то
между ними существует линейная зависимость, которую можно рассматривать
как частный случай (28), соответствующий предположению а = 0, р, *|, 5 не
одновременно нули. Конечно, в этом случае нельзя разложить вектор а
по b, ct d, если только все четыре вектора не компланарны.
Сопоставим результаты, полученные в последних пунктах относительно
линейных зависимостей между векторами: существование линейной
зависимости 1) между двумя векторами означает, что они коллинеарны; 2) между
тремя векторами означает, что они компланарны; 3) между четырьмя — не
налагает на эти векторы никаких ограничений.
Задачи.
24. При обозначениях задачи 10 найти линейную зависимость,
существующую между четырьмя векторами AC', А'С, DB', DB. (Указание.
Воспользоваться выражениями этих векторов через т> я, р.)
25. В параллелепипеде задачи 10 проведен вектор ВМ, где Af — точка
пересечения диагоналей параллелограма А'В'CD'. Разложить этот вектор
по векторам т, п, p. s
13. Определение положения точки при помощи радиуса-вектора.
Выберем в пространстве произвольным, но определенным образом
некоторую точку О, которую ввиду предназначенной для нее особой
роли будем называть полюсом (черт. 22). Теперь положение всякой
точки М пространства может быть определено заданием вектора ОМ,
идущего от полюса к данной точке. Этот вектор мы будем называть
р а д и у с о м-в ектором точки М1) и обозначать буквой г, иногда
1) Термины «полюс» и «радиус-вектор» встречаются также в
аналитической геометрии, именно в теории полярных координат. Первый термин —
в том же смысле, что и у нас; но под «радиусом-вектором» в аналитической
геометрии разумеют нечто иное, именно — расстояние (иногда взятое
со знаком -J- или —) точки от полюса. Таким образом, у нас радиус-вектор
есть вектор, а в аналитической геометрии — число (которое в нашей
терминологии называется «длиной радиуса-вектора»). В этой книге термин
«радиус-вектор» всегда имеет смысл, указанный в тексте; упомянутое расстояние,
рассматриваемое как полярная координата, будет называться «полярный
радиус».

13] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТОЧКИ ПРИ ПОМОЩИ РАДИУСА-ВЕКТОРА 49
сопровождаемой значками (для того чтобы отличать друг от друга
радиусы-векторы различных точек). Например, радиус-вектор точки М
может быть обозначен через гы; в тех случаях, где мы имеем дело
с перенумерованными точками Ai9 А2, •.., Ап, будем большей частью
обозначать соответствующие радиусы-векторы через rlf г2, ..., гп.
Радиус-вектор рассматривается как «свободный вектор» (п. 2).
После того как полюс О выбран, заданием каждой точки
определяется ее радиус-вектор (ОМ или любой равный ему), и,
обратно,—заданием радиуса-вектора определяется положение точки:
стоит только привести этот радиус-вектор к
началу О, и тогда конец его укажет положение
точки.
Из сказанного видно, что радиус-вектор играет
у нас ту же роль, что и координаты точки в
аналитической геометрии. Аналогия поддерживается еще тем
обстоятельством, что как здесь, так и там положение точки
определяется по отношению к некоторой основной
фигуре: у нас это—полюс, в декартовой аналитической
геометрии— оси координат (две — на плоскости, три —
в пространстве). Если вспомним сказанное во
«Введении» относительно неудобств координатного метода
(посторонние геометрические элементы, какими являются
сейчас же можно заметить, что от этого дефекта не свободна и
рассматриваемая система (посторонний элемент — полюс). Однако в результате
ближайшего рассмотрения обнаруживается существенное преимущество системы
«полюс — радиус-вектор». Грубо говоря, это преимущество состоит в
большей простоте посторонней фигуры и, следовательно, в меньшем
произволе при ее выборе. Уточняя эту мысль, скажем: переход от одной
системы координат к другой («преобразование координат») осуществляется
посредством формул сравнительно сложной структуры (см. ниже, п. 35); в
противоположность этому, переход от одного полюса к другому совершается,
как мы сейчас увидим, при помощи крайне простой формулы.
Положим, что мы решили принять за полюс вместо О другую
точку О'. Одна и та же точка М будет иметь по отношению к
полюсам О и О' различные радиусы-векторы: г =0/14 и r' = 0'vW.
Предполагая, что вектор 00\ характеризующий относительное
положение обоих полюсов, нам известен: 00' = а, спросим себя,
какова зависимость между «старым» и «новым» радиус-векторами.
Так как при любом расположении точек Of О' и М имеем:
Черт. 22.
оси координат), то
ТО
(29)
ОМ *= 00' + (УМ%
r^r'-j-a,
т.е. старый радиус-вектор равен новому плюс
вектор, идущий от старого полюса к новому.
4 Зак. 1336. Дубнов, ч. Ь

50 АФФИННЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ [ГЛ. I
14. Деление отрезка в данном отношении. Условимся
относительно некоторых символов и сокращенных оборотов речи. Если
полюс (О) определенным образом выбран, то таким символом, как
М(г) или просто (г), условимся обозначать точку, радиус-вектор
которой есть г; выражение «точка дана» будем понимать в том
смысле, что дан ее радиус-вектор; выражение «найти точку» — в том
смысле, что требуется найти радиус-век-
/ тор этой точки1).
Пусть теперь даны две точки А и Я,
определяющие вектор АВ\ в силу
соотношения (9') АВ — ОВ—ОА> и мы можем
написать:
(30)
АВ = гг
Черт. 23.
резка АгА2; найти
в других обозначениях (черт. 23):
(31) AX = r2 — rt;
словами: всякий вектор,
заданный крайними точками, равен
радиусу-вектору своего конца
минус радиус-вектор своего
начала2).
Применим этот результат к решению
одной важной задачи: даны концы
отточку Ж, делящую этот отрезок
в данном отношении X: 1, т. е. так, что (черт. 23)
(32)
ЛАЖ:Л1Л2 = Х8).
г) Аналогичные условности в аналитической геометрии: пишут «точка
М(2, 3)» или просто «точка (2, 3)» для обозначения точки (на плоскости)
с координатами х = 2, у = 3; говорят: «точка дана», «найти точку» вместо
«даны координаты», «найти координаты» точки.
2) Именно это обстоятельство мы имели в виду, утверждая (конец п. 2),
что задание связанного вектора может быть заменено заданием двух
свободных.
а) Число X может быть как положительным, так и отрицательным; в
первом случае векторы А±М и МА2 имеют одинаковое направление (как на
черт. 23), точка М лежит внутри отрезка А\А$ («внутреннее деление»); во
втором случае векторы АгМ и МА2 имеют противоположные направления,
точка М лежит на продолжении отрезка А\А^ в ту или другую сторону
(«внешнее деление»).

14J
ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ
51
Решение, Пусть гх и г2— радиусы-векторы (данные) точек Л, и Л2;
искомый радиус-вектор точки М обозначим через г. Согласно
формуле (30) имеем:
АгМ = г— гх, МА2 = г2—г,
"после чего соотношение (32) примет вид:
(33) (г — гх):(г2 — г) = Х
или
Решая это уравнение относительно г, найдем (так какХ^ — 1):
ОТ г-а$?.
Если число X дано в виде дроби — (так что АХМ :МА2 = vx :v2),
то формула (34) приобретает вид:
(35) r_VX+V>
(читатель обратит внимание на сочетания индексов при v и г в
числителе дроби). [См. также решение задачи 21» где намечен другой
вывод формулы (35) для случая, когда v4 > 0 и v2 > 0.J
Выделим частный случай, когда точка М делит отрезок АХА2
пополам: X = 1, и формула (34) дает:
Об) '=Чг
— радиус-вектор середины отрезка равен полусумме
радиусов-векторов его концов. К тому же результату мы
пришли бы, замечая, что вектор ОМ совпадает теперь с медианой
треугольника АгОА2у которая в свою очередь представляет половину
диагонали параллелограмма, построенного на векторах гх и г2.
Возвращаясь к формуле (34), представим ее в другом виде:
1 - , * -
г =
T+T'iTT
Легко заметить, что коэффициенты при гх и г2 в сумме дают 1,
так что, полагая . , ■ = <j, имеем
(37) г^^ + О—6)гя.
Итак, если точка М(г) лежит на одной прямой с точками Ах(гх)
и Л2(г2), то в разложении вектора г по векторам гх и г2
сумма коэффициентов при последних равна единице. Обратно, если
между тремя векторами, проведенными из одной точки, имеет место
4*

52
АФФИННЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ
fra. i
At
f
М
ii
г
соотношение вида (37), то концы этих векторов лежат на одной прямой.
Действительно, при S, отличном от нуля, всегда можно найти X
такое, чтобы =£, и тогда (37) перейдет в (34); если же 5 = 0,
то, как видно из (37), точка М совпадает с Л2.
Формулой (37) часто пользуются, когда хотят выразить
требование прямолинейного расположения трех точек (см., например, ниже
решения задач 89—91).
Покажем теперь применение формулы (34) к решению одной из
основных задач статики.
Задача. В точках Ах (rj, Л2(га), ..., Ап(гп) приложены
параллельные и обращенные в одну сторону силы,
величины которых суть
соответственно |Xj, ji2, ..., ря. Найти
центр этой системы
параллельных сил.
Решение. Найдем сначала
равнодействующую и центр системы,
состоящей только из двух сил |it и р2,
приложенных в точках Ах и Л2 (черт. 24).
Согласно известному закону сложения
двух параллельных сил
равнодействующая имеет величину [хх ~J— jx2 и то же
направление, что и составляющие силы,
а точка приложения ее может быть
помещена в «центре» Ж, положение
которого на отрезке АгА2 определяется
пропорцией АгМ : МА2 ==s j*2 * M-i- Пользуясь формулой (34) [или лучше
(35), где теперь надо положить Vj = ^2, Vg^^], находим:
14 + >а2
Только что полученную равнодействующую сложим по тому же
закону с третьей силой ji8, приложенной в Ав; обозначая через N
центр системы, состоящей из всех трех сил, имеем:
N~~ V-i+te + H ~~ Pi-bf^ + ^a /
С помощью полной индукции (доказательство от п к п -\-1)
нетрудно убедиться, что для системы, состоящей из п сил, получим
центр, радиус-вектор г которого определяется формулой:
Pin 4- Wg + -*.+E»rn
Ъ+h
Черт. 24.
гы^
(39)
г = -
H-i + 1Н + - • • + 1Ы
Замечание 1. Легко понять, что формулой (39) можно пользоваться
для определения центра тяжести системы материальных точек, состоящей из
масс {аь {Хо,..., рп, помещенных в точках (г{), (г2),..., (гп).

151 координаты (аффинные) вектора и точки 53
Замечание 2. Формула (39) остается действительной и для того
случая, когда рассматриваемые силы, оставаясь параллельными, не все
обращены в одну сторону. Под jit, JJ4,.... tin следует тогда понимать отношения
соответствующих векторов к некоторому одному, коллинеарному с ними, ~-
отношения, которые будут выражаться как положительными, так и
отрицательными числами (случай н + ъ+---+V-n=s0 исключается из
рассмотрения).
Задачи.
25а. Решить вновь задачу 14, применяя радиусы-векторы для определения
положения точек.
26. Формулы этого пункта выведены в предположении, что полюс взят, где
угодно. Можно поэтому предвидегь, что формулы эти сохранят свой*вид
при переходе от полюса О к новому полюсу О' по формуле (29). Проверить
это на примере соотношений (31) и (39).
27. Показать, что центр тяжести треугольника (точнее плоской
треугольной однородной пластинки), который, как известно, находится в точке
пересечения медиан, совпадает с центрам тяжести трех равных между собой масс,
сосредоточенных в вершинах этого треугольника.
28. Зная, что между радиусами-векторами трех точек Аь Аь Аъ существует
линейная зависимость: 2гх — 5г2 + 3г3 = 0, 1) показать что эти три точки
лежат на одной прямой, 2) найти отношение, в котором каждая из точек
делит отрезок между двумя другими точками. Рекомендуется сделать чертеж.
29. Доказать: для того чтобы три точки А\ (гх), А2(г*), А6 (г3) лежали на
одной прямой, необходимо и достаточно существование трех чисел alt с^, а3,
не равных одновременно нулю и таких, что
«Л + «|Г« + а8Г3 = О И ах + а2 + <% = 0.
15. Координаты (аффинные) вектора и точки. Как известно,
в аналитической геометрии определяют положение точки не с помощью
вектора, а с помощью чисел — координат (двух—на плоскости, трех —
в пространстве). Имея в виду установить связь между двумя
методами — векторным и координатным, — введем понятие «о координатах
вектора».
Начнем с плоскости. Выберем на ней «базис», состоящий из двух
векторов ех, е2 — каких угодно, лишь бы только не коллинеарных.
Эти векторы будем считать заданными в определенном порядке: ех—
первый, е2 — второй вектор базиса. Теперь всякий вектор а той же
плоскости можно будет разложить по векторам ех и е2> т. е.
представить в виде
(40) a = Xex+Ye2.
Появляются связанные с вектором а (и с выбором базиса) два
числа Ху К, которые мы и будем называть координатами
вектора. Итак, координатами вектора относительно
данного базиса называются коэффициенты в
разложении этого вектора по базисным векторам:
1-я координата — коэффициент при 1-м векторе (ех) базиса,
2-я » » » 2-м » (е%) »
На черт. 25 вектор а имеет координаты Х = 3, У=2; для вектора Ь
Х= — 2, К=3. Из векторов базиса первый (ех) имеет координаты

54 АФФИННЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ [ГЛ. I
X=*lf У=0, второй (е2) — координаты АГ==0, К=1. После того
как выбран базис, произвольно заданные координаты X, У
определяют вектор а [по формуле (40)]. Обратно, в силу однозначности
разложения (п. 11), заданием вектора а вполне определяются его
координаты. Другими словами, два вектора равны в том и только в том
случае, когда у них совпадают как 1-е, так и 2-е координаты.
Если кроме базиса мы зафиксируем на плоскости некоторую
точку О (полюс), то получим возможность определять положение всякой
другой точки М двумя способами: 1) с помощью радиуса-вектора ОМ
этой точки (без участия базиса); 2) с помощью двух чисел —
координат этого радиуса-вектора (на этот раз с существенным участием
Черт. 25.
базиса). Координатами точки относительно системы
«полюс—базис» называются координаты
радиуса-вектора этой точки. Если через г обозначим проведенный из полюса
радиус-вектор, а через х ну— его координаты, взятые относительно
базиса еи е2, то
(41) г = хе1-\-уе2.
Нетрудно видеть, что так определенные координаты точки суть
не что иное, как известные из аналитической геометрии абсцисса
и ордината (х, у), но только по отношению к самой общей
декартовой системе координат: косоугольной, с разными масштабами на
осях!). При этом полюс играет роль начала координат; направлениями
базисных векторов определяются направления осей х и у\ наконец,
длинами этих векторов определяются масштабы на осях координат.
Переход от плоскости к пространству осуществляется с помощью
аналогии столь очевидной, что здесь можно ограничиться лишь
краткими указаниями. Теперь базис состоит из трех векторов еи £2> е&
заданных в определенном порядке и подчиненных единственному
ограничению: эти векторы не должны быть компланарны. Для про-
х) Так мы характеризуем эту систему в рамках евклидовой метрической
геометрии. Но можно стать на точку зрения аффинной геометрии (где не
имеет смысла говорить о масштабах и углах); тогда перед нами просто
общая «аффинная система координат».

16J ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ В КООРДИНАТАХ 55
извольного вектора а разложение (однозначное! — см. п. 12)
(42) a = Xex + Ye2 + ZeQ
приводит к трем числам Ху К, Z, которые и называются координатами
(1-я, 2-я, 3-я) вектора а. Эти числа вполне определяют вектор а
и вполне определяются им. Если, кроме базиса, выбран полюс (О),
то положение всякой точки (М) в пространстве может быть
определено как радиусом-вектором г = ОМ, так и тремя числами х, у, г,
появляющимися в качестве коэффициентов в разложении
(43) г = хех + уе2 + zes;
числа х, у, г называются координатами
(соответственно—абсцисса, ордината, апликата) точки М в данной системе «полюс —
базис». Заметим, что словесные определения координат вектора и точки
остаются теми же, какие выше были даны для плоскости.
Задачи.
30. На плоскости вектор а имеет координаты Х~4, У = —2. Найти
координаты векторов: 1) — а, 2) За.
31. Какой вектор на плоскости имеет координаты Х~ 1, К= 1?.Y — —1,
У=1? * = 2, У=«?
32. Написать координаты каждого из базисных векторов eh е2, е$.
33. Показать, что вектор а с координатами 2, —1,-—2 и вектор Ь с
координатами 6, — 3,-6 коллинеарны.
16. Действия над векторами в координатах. Рассмотренные до
сих пор операции векторной алгебры всегда приводили нас к
линейным соотношениям между векторами, т. е. соотношениям, которые
могут быть представлены в виде
(44) аа+р*4-Т^+ ... — 0.
Всякий раз, как выбран базис (полюс здесь роли не играет),
появляется возможность заменять векторы их координатами, а линейные
соотношения типа (44)—двумя (для плоскости) или тремя (для
пространства) соотношениями, связывающими координаты. Основанием
для такого перехода служит
Теорема. Длятого, чтобы между несколькими век то*
рами (а, Ь, с, ...) существовала линейная зависимость
(44), необходимо и достаточно, чтобы такие же (т.е.
с теми же коэффициентами а, р, ?, ...) зависимости
одновременно имели место между 1-ми, между 2-ми и (для
пространства) между 3-ми координатами этих векторов.
Доказательство проведем для пространства. Пусть
а = Хех + Уе.л + Ze6y
b = X'ex+Y'e.^-Z'e:h9
(45) j c^xttei-\~Y"c»-\-Z!'c^

56 АФФИННЫЕ соотношения МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ [гл. т
Подставляя в (44), получим после легких преобразований
(перегруппировка с вынесением за скобку ег; е2> е$):
(46) (ал:4-^Ч-т^"+...)^+(^+^Ч-^"4-.--)«2+
+ («Z + I3Z'+ ?Z"-{-...)*3 = О.
Если бы хоть одно из чисел, стоящих здесь коэффициентами при
^1» е& ебу было отлично от нуля^ то между этими векторами
существовала бы линейная зависимость, означающая, что они компланарны,
а такими векторы базиса быть не могут. Итак,
(47) «У + рГ -НГ+...=0,
I oZ+pZ' + «jZ/!r + --- =°»
чем первая часть теоремы (необходимость условия) доказана.
Обратно, предположим, что имеют место одновременно все
равенства (47); тогда справедливо и равенство (46), а отсюда после
легких преобразований (перегруппировка с вынесением за скобку а,
Р, If, ...) находим:
а (Щ + Ve2+Ze3) + ? (X'et + Гвл+Z'eb) +
+ т (X"et + Г«я + z v3) +... = о,
это и есть (44) [см. (45)].
Для случая векторов на плоскости доказательство будет
отличаться только тем, что отпадут 3-й вектор (е$) базиса и 3-й
координаты (Z, Z', Z", ...), а вместо ссылки на некомпланарность
базисных векторов надо будет опереться на их неколлинеарность.
Прежде чем перейти к приложениям доказанной теоремы, введем
сокращенные обозначения. Именно, вектор, имеющий на плоскости
координаты X, У, условимся обозначать через {X, У}, а вектор,
имеющий в пространстве координаты X, Y, Z, — через {X, У, Z}. Таким
образом, записи
а={Ху У), а=*{Х9 У, Z}
будут означать соответственно то же, что (40) и (42).
Обратимся теперь к рассмотренным в этой главе действиям над
векторами и будем каждый раз ставить перед собой следующую
задачу: зная координаты векторов, над которыми производится
действие, найти координаты вектора, получающегося в результате этого
действия. Применяя с этой целью только что доказанную теорему, мы
разумеется, не должны обязательно приводить линейные зависимости
между векторами к виду (44) (т. е. переносить все члены равенства
в одну сторону).
Например, если из трех векторов (45) третий равен сумме первых
двух:
a -j- b = су

16J ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ В КООРДИНАТАХ 57
то, в силу теоремы, это векторное равенство равносильно трем
числовым:
Х + 2С = Х"% Y+Y'=zY\ z + Z' ^Z,r\
в сокращенных обозначениях
(48) [Х% Г, Z\+{X, У, Z'l^lX+X*' Y+Y\ Z + Z'}.
В случае нескольких слагаемых:
(49) {X, Y, Z) + {X', У, Z'\ + \ХГ, Y", Z"} + ... =
= {Х+Х' + Х"+..., У+Г+Г + ..., Z + Z'+Z"+ ...},
словами: при сложении нескольких векторов, 1-я (2-я,
3-я) координата вектора-суммы равна сумме 1-х
(соответственно 2-х, 3-х) координат
векторов-слагаемых.
Совершенно так же найдем:
(50) [Х% Y, Z} — {X\ Г. Z'} = {X—X\ Y-Y\ Z—Z'\%
(51) X . {X, Y, Z) = [\Xy \Y, AZ},
(52) [X. Y. г\гк={£91,%\.
Почти излишне говорить, что для плоскости мы получаем такие
же формулы, но без участия 3-их координат, например,
{X, Y} + {X\ Г) = {Х + Х\ К+У'}.
Остановимся еще на координатной записи условия
коллинеарности двух векторов. Если вектор а = {Ху К, Z\ коллинеарен
с вектором Ь = {Х', У, Z'}, то
(53) а = Х6, или Ь=*ра,
и обратно: если имеет место одно из этих равенств, то векторы а
и Ь коллинеарны. Первое из равенств (53) равносильно трем
координатным:
X=V?t Y = W, Z^\Z\
а второе:
В обоих случаях:
для того чтобы два вектора были коллинеарны,
необходимо и достаточно, чтобы координаты одного
из них были пропорциональны соответствующим

58 АФФИННЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ [ГЛ. I
координатам другого. Разумеется, в случае плоскости
двойная пропорции (54) сведется к простой:
(55)
X'
У
у;
Сложнее выражается в координатах условие компланарности
трех векторов. Признаком компланарности трех векторов а, Ь, с
является, как мы знаем, существование трех чисел а, 3, ^, не
равных одновременно нулю и таких, что
<ш + $Ъ + ус = 0.
При обозначениях (45) это дает три скалярных условия:
аЛГ + рЛГ' + т^'^О,
аГ+^' + Т^'^0,
Это — система трех (однородных) уравнений 1-й степени с тремя
неизвестными а, {3, «у (девять координат Х> К, .. ., Z" надо здесь
рассматривать как данные). Из алгебры известно, что такая система
от а = р :t- f = 0, в том и только в том
имеет решения, отличные
случае, когда
(56)
X X1 X"
у у уп
Z Z' Z"
= 0.
. Итак, условие компланарности трех векторов,
заданных своими координатами, выражается
обращением в нуль определителя (56), составленного из этих
координат (в 1-Й вертикали — координаты 1-го вектора, во 2-й—
2-го, в 3-й —3-го).
Задачи *).
34. Даны а = { — 4, 3}, Ь — {1, 2}, с — {3, —5}. Показать, что из
векторов а, Ь, с можно составить треугольник.
35. Зная, что АВ = { — J, 3, —3}, ВС — {4, —5, 1}, найти координаты
вектора СА,
36. Зная, что ОМ = {б, 3, 4}, 0ЛГ={—2, 3, 1}, показать, что вектор
MN компланарен с 1-м и 3-м базисными векторами.
37. Построить на чертеже векторы а — { — 2, 1} и Ь = <1, -^->. Найти
вектор За—2Ь 1) построением, 2) вычислением и сопоставить результаты.
38. Показать, что векторы {6,-4} и {— 9, 6} коллинеарны.
*) При составлении чертежей к задачам этого пункта задаемся каждый
раз произвольным базисом.

17]
ПРИЛОЖЕНИЯ К АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
59
39. Показать, что векторы Ь—, — 3, 4-Л и 4— 10. 8~, —12—1кол-
лннеарыы.
40. Показать, что векторы { — 3, 0, 2}, {2, 1, —4} и {П, —2, —2}
компланарны.
41. Разложить вектор т = {4, 1} по векторам а = {4, 6} и Ь = {—3,3}.
42. Найти разложение каждого из векторов задачи 40 по двум остальным.
17. Приложения к аналитической геометрии. Как уже
отмечалось, достаточно присоединить к базису полюс, для того чтобы
получить общую декартову (или аффинную) систему координат. При
этом каждое равенство, линейное относительно векторов, среди
которых имеются радиусы-векторы каких-либо точек, может быть
заменено двумя или тремя числовыми равенствами, содержащими
координаты этих точек.
Например, если от системы координат с началом О мы переходим
к новой системе с тем же базисом, но началом в точке О', причем
вектор смещения 00' = {Х0, К0, ZQ) (координаты взяты относительно
общего для обеих систем базиса), то из (29) находим:
(57) х = х' + Х0, y=y'+Y0t z = z' + Z0,
где (х,у, г)—старые координаты какой-нибудь точки, а (х\ у\ zr) —
новые ее координаты; мы получили важные для аналитической
геометрии формулы преобразования координат при «параллельном
переносе осей».
Точно так же из (31) заключаем: если вектор {X, F, Z] задан
координатами крайних своих точек—начала (л\, у1У гг) и конца
(*2» Уъ 2*)> то
(58) Х=х2 — х19 У=у2—уъ Z-=z2 — zu
т. е. 1-я (2-я, 3-я) координата вектора равна абсциссе
(ординате, апликате) конца минус абсцисса
(ордината, а п л и к а т а) начала.
Задача деления отрезка в данном отношении \:1 приводит к
формулам [см. (34)]:
-ti + ^a „_>Ч + \У2 - — *i + Х*2 .
Х~~ 1 + л~' У~ 1 + а ' 1+>> '
в частности, для координат середины отрезка имеем вместо (36)
^ — *1 + *2 ^1 + .Уа *i + *t
X — g > У — 2 ' ~~ 2 '
В основе аналитической геометрии лежит возможность
представления линий и поверхностей посредством уравнений. Начнем с
линий, причем ограничимся здесь так называемой «параметрической
формой» задания линии (в следующих главах мы встретимся и с

60 АФФИННЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ (ГЛ. t
другого типа уравнениями): текущие координаты точки задаются как
функции некоторого параметра (а):
x=f(u)y y = g(u), z = h(a).
При непрерывном изменении параметра и точка описывает
данную линию; например, на плоскости
х = a cos и, y = bsmu (0 << и < 2тс)
суть параметрические уравнения эллипса с полуосями а и b *). Если
вспомнить, что у нас положение точки определяется
радиусом-вектором, то легко будет понять, что линия может быть задана также
векторным уравнением
характеристика (F) функции обозначена здесь буквой жирного шрифта
для того, чтобы подчеркнуть, что это — функция новой природы:
каждому значению скалярного переменного (и) она ставит в соответствие
определенное значение векторного переменного (г). Например,
уравнение
(59) r = au~\-b (я, Ъ — постоянные векторы; афО)
выражает, как мы вскоре убедимся, прямую линию; уравнение
г=1аи2-\-Ьи-{-с (а, Ь, с — постоянные; а *\\*Ь)
— параболу; уравнение
г = a cos и -f- Ь sin и (а Ц. Ь)
— эллипс и т. п.
Рассмотрим ближе задачи на составление векторных уравнений
прямой линии.
Задача 1. Составить уравнение прямой,
проходящей через данную точку М1(г1) и параллельной данному
вектору а(=£0) (короче—«по точке и параллельному вектору»).
Решение. Возьмем на прямой (черт. 26) произвольную точку М(г);
тогда вектор М^М^г — гг будет коллинеарен с а; если же точка Ж
лежит вне данной прямой, то вектор МХМ не может быть
коллинеарен с а (аксиома о параллельности!). Записывая условие
коллинеарности в виде
(60) г — гх = la или г — rt + Ха,
г) В общей декартовой системе координат а и Ъ суть (измеренные
каждый своим масштабом) длины двух сопряженных полудиаметров,
лежащих на осях координат.

17] ПРИЛОЖЕНИЯ К АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 61
где X—числовой множитель, зависящий от положения точки Af,
получим требуемое уравнение в параметрической форме (X— параметр):
при изменении X (= МХМ: а) от — оо до + оо конец вектора г
описывает всю прямую. Заметим, что второе из уравнений (60)
отличается от (59) только обозначениями, чем и доказывается
справедливость утверждения, высказанного ранее по поводу (59).
Задача 2. Составить уравнение прямой, проходящей
через две данные точки Af, (гх) и Ж2(г2) («по двум точкам»).
Решение, Где бы ни была взята на прямой МХМ2 точка Ж (г),
всегда векторы МХМ = г — гх и МхМ2 = г2— гх коллинеарны; если
же точка М лежит вне этой прямой, то векторы МХМ и МХМ2 не
коллинеарны. Поэтому требуемое
уравнение можно написать в виде
условия коллинеарности
(61) r — rx^X(r2-rx)
(X — параметр)
или
г—(1—Х)гх + Хгв
[ср. (37) п. 14]. Легко видеть, что
в (61) вектор r2— гх играет роль Черт. 26.
вектора а предыдущей задачи.
Обратим внимание, что в обеих задачах мы оставили открытым
вопрос о том, решаются ли они для плоскости или для пространства;
полученные уравнения (60) и (61) подходят одинаково хорошо для
обоих случаев. Различие обнаруживается только при переходе к
координатам.
В случае плоскости положим
*■={*, у), rt = {xlt ух], г2 = {*2» ,У2}> «—ft '")•
Уравнение (60) заменится двумя:
== X/, [ х = хх -\- X/,
= ух -{- fon.
Отсюда можно исключить параметр X, что даст:
(61 ы.) ^-^
— координатное уравнение прямой, которая задана точкой (х1У у\) и
параллельным вектором {/, т). Последнее уравнение, впрочем, можно
было написать непосредственно, так как оно выражает [см. (55)]
условие коллинеарности двух векторов:
[ х — хх = Х/, Г х =
{ или \
MlM^{x — xv v— ух) и а={/,
т

62 АФФИННЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ [ГЛ. I
Точно так же уравнение (61) равносильно двум координатным
параметрическим
х—хх^=к(х2 — х1)у у—у1=^(у2^У0
или одному координатному
(Glter) fr^L.JL^L
' ДГз —*i Уч — Ул
— условие (55) коллинеарности в применении к векторам
{x — xv у—ух) и [х9 — хиу2—у1\.
Мы видим, таким образом, что в любой аффинной (или общей
декартовой) системе координат (х, у) прямая может быть выражена уравнением
первой степени вида
(*) Ах + Ву + С*=0.
Обратно, всякое уравнение вида (*), если только А и В не равны нулю
одновременно, принадлежит некоторой прямой. Действительно, пусть, например,
АфО\ тогда для точки, координаты которой удовлетворяют уравнению (*),
абсцисса х и рлдиус-вектор г могут быть выражены через у формулами:
ВС ( В С\ ,
хя—аУ-а' ' = {-ху-АГ + уе*- = г*+уа'
где
С В ,
П = — а *ь а = — £?i -г е2.
Сравнивая с (60) (роль Л играет теперь у), заключаем, что уравнение (*)
принадлежит прямой, которая параллельна вектору I — -?-, 1 \ || { — В, А}.
Другой вывод смотри в решении задачи 53.
В случае пространства положим
г = {*> У* *}> гг=(хиу19 zt), г2={л:2, у2, г2}9 в —{/, т, п};
тогда (60) перейдет в
х — xi = X/, | x — Xi-^-M,
у—ух — \т, или J у=у{~\- \т,
z — Zi = лл, I z = zi -J- Ал.
а в форме непараметрической
х — xi _у—У\ = г — г\
I т п
— уравнения прямой по точке (лг1Э yv zx) и параллельному вектору
{Л т, л}, выражающие условие коллинеарности двух векторов
[х'—Хц у—yv z — г{) и {/, т> п) [ср. (54) п. 16J.
Уравнение же (61) дает
х — хх=*\(х2 — х{), у— у{=* а0'2—Л), z — *i=*b{*2 — Zi)9

17] ПРИЛОЖЕНИЯ К АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 63
а в результате исключения параметра X [или сразу на основании (54)j
* — *i _ у—у\ _ z — z\
x2 — *i Уг—yi zi — z\ '
Задача 3. При каком условии лежат в одной плоскости прямые
r = r1-jrba1 и г = г2-рца2?
Решение. Необходимо и достаточно, чтобы три вектора
были компланарны. Полагая
^1= \XV У\у Z\)> Г2= 1*2' У* *2J. а1 = «V ;/4l» 7/l)> а2== l^' m2i V/.
можем записать условие компланарности в форме [см. (56)j
Л Л» Wl> ^2 — °-
\Z1 Z^ П{9 /Z2 I
Задачи.
43. Начало вектора АВ = {— б, 9} находится в точке А (2, —3). Найти
координаты конца В; показать, что прямая АВ проходит через начало
координат.
44. Три вершины параллелограма ABCD находятся в точках А (2, 1);
/j (— 7, 1); С (—4, —3). Найти координаты вершины D. Сделать поверку,
вычисляя координаты середин диагоналей АС и BD.
45. Показать, что вектор, идущий от точки А (—3, — 3) к В(0, 3), коллн-
неарен вектору, идущему от точки С (2, 5) к D (— 4, 1).
46. Показать, что точки А{— 3, 2, 4), В (6, 5, 10) и С (3, 4, 8) лежат на
одной прямой.
47. Вершины четырехугольника находятся в точках А (2, 0, — 4),
в (7, —15, 16), С (— 1, — 1, 11), D (—4, 8, — 1). Показать, что ABCD есть
трапеция.
48. Показать, что точки Ах (4, —3, 2), А2 (1, —2, 0), Л3 (9, —3, 4),
Д (3, — 1, 0) лежат в одной плоскости. (Указание. Показать, что векторы
А\Аъ AiA& А^ компланарны.)
49. Вершины треугольника находятся в точках (— 1, 1), (4, 3), (2, 6).
Написать уравнения трех прямых, проведенных через каждую из вершин
треугольника параллельно противоположной стороне.
50. Вершины треугольника находятся в точках А (3, 1, 2), В (—2, -1, 1),
С (0, 2, 2). Написать уравнения прямой, проходящей через вершину А и
параллельной стороне ВС.
51. Вершины тетраэдра г) находятся в точках А {гг), £(г.2), С (га), D (г4).
Написать уравнение прямой, проходящей через А параллельно медиане ВМ
треугольника BCD.
52. Написать уравнение прямой, соединяющей начало координат с
точкой А (гх).
53. Показать, что на плоскости всякое уравнение вида Ах + By -f- С — 0
(А и В не равны нулю одновременно) принадлежит некоторой прямой и что
1) В литературе термин «тетраэдр» употребляется в двух различных
смыслах: 1) правильный четырехгранник, 2) любая треугольная пирамида.
Мы всегда будем пользоваться этим термином во втором смысле.

64 АФФИННЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ [ГЛ. I
эта прямая параллельна вектору {—В, А}, (Указание. Обозначая через
(х1> У г) какое-нибудь решение данного уравнения, привести последнее
к виду (61 bis).]
18. Продолжение. Уравнение плоскости. В пространстве
поверхность может быть выражена уравнением вида
r = F(uy v),
где и, v — независимые переменные (параметры). Впрочем, здесь мы
рассмотрим только составление некоторых уравнений плоскости
по тем или другим данным, определяющим ее положение в
пространстве. Мы убедимся, что в этом
случае радиус-вектор (г) можно
рассматривать как линейную
функцию двух параметров.
Задача 1. Составить
уравнение плоскости,
проходящей через данную точку
М! (гх) и параллельной
каждому из двух данных
(неколли неарных) векторов а
и Ь (спо точке и двум векторам,
параллельным плоскости»).
Решение. Если М (г) —
произвольная точка плоскости (черт. 27),
МХМ( = г — гх), а и b компланарны, как в этом
можно убедиться, перенеся векторы а н b в точку Mv Легко видеть,
что и обратно: компланарности трех векторов МгМ, a, b достаточно
для того, чтобы точка М лежала в плоскости. Таким образом,
уравнение плоскости получим, записывая условие копланарности
векторов г — rv а и Ь\
г — rx = \a-\-\xby
или
r = r1+Xa-r-i**.
Давая здесь параметрам X и jx независимо друг от друга
всевозможные значения от —оо до 4"°°» получим все точки плоскости.
Желая составить непараметрическое уравнение плоскости в
координатах, положим
r = {xf у, г}у rl={xv у19 *,},
а={/, т9 л}, Ь = {1\ т\ п'\
и воспользуемся условием (56) компланарности:
Черт. 27.
то три вектора
(62)
(63)
X Л-!
У—Ух
/ /'
т т'
а и'
==0.

18]
ПРОДОЛЖЕНИЕ. УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
65
Задача 2. Составить уравнение плоскости,
проходящей через две данные точки Mi{rl)y М2(г2) и
параллельной данному вектору а1) («по двум точкам и
параллельному вектору»).
Решение. Обозначая через М(г) произвольную точку, запишем
условие компланарности векторов Л1гМ, МХМ2 и а:
г —r1 = X(ra —r^ + jia.
Легко видеть, что вектор г2 — гх играет здесь роль вектора Ь
предыдущей задачи.
Координатное непараметрическое
уравнение (обозначения нет надобности объя- /м0
снять):
(63 bis)
X— хх
У—Ух
\г — 21
Х2 Х1
У*—Ух
г2—гх
1
т
п
= 0.
Задача 3. Составить
уравнение плоскости, проходящей
через три данные точки М1(г1)9 Черт. 28.
М2{г^)у AJs(r8)2) (<<по тРем точкам»).
Решение. При легко понятных обозначениях (черт. 28) находим:
Г — Г1 = * (^2 — Гх) + Ц {ГЪ — ГХ)9
а в координатах
(64)
У— Л У2—У1 У*—У1
= 0.
В каждой из рассмотренных задач получалось для плоскости уравнение
1-й степени относительно координат х> у, г, т. е. уравнение, приводящееся
к виду
(*) Ax + By + Cz+D = 0.
Покажем, что обратно: всякое уравнение вида (*), если только А, В и С
не равны нулю одновременно, принадлежит некоторой плоскости.
Действительно, если например АфО, то для точки, удовлетворяющей своими
1) Разумеется, надо считать векторы а и МгМ^ неколлинеарными, в
противном случае задача была бы неопределенной.
2) Предполагаем точки Мь Мь т-л не лежащими, на одной прямой, в
противном случае задача была бы неопределенной.
5 Зак, 133(3. Дубшэ», ч. L

66 АФФИННЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ \ГЛ. t
координатами уравнению (*), абсцисса *, а с нею и радиус-вектор могут
быть выражены через у к z формулами
BCD
* = --АУ—Аг—А'
rz=z\~Ay~~~A ь^^^+У^ + ^^т^Л-уаЛ-гЪ,
где
& в i *. с
гх = — -д-еь a=s — -£ei + e2, b = ——ei + ei.
Сравнивая с (62), убеждаемся в справедливости нашего утверждения.
Задачи.
54. Написать уравнение плоскости, проходящей через начало координат
и точки Л*1 (л), М2 (г2).
55. Написать в параметрической форме (векторной и координатной)
уравнение плоскости хиу.
56. Вершины тетраэдра находятся в точках А( — 1, 2, 0), В (3, 1, 2),
С(1, —2, —1), D(4, 3, 1). Написать в параметрической и в непараметрнче-
ской форме уравнения каждой из следующих плоскостей: 1) грани ЛВС;
2) плоскости/ проходящей через ребро АВ параллельно ребру CD; 3)
плоскости, проходящей через вершину D параллельно грани ABC.
19. Другое определение вектора и основных операций. То
изложение основ векторного исчисления, которым мы пользуемся в этой книге,
соответствует историческому ходу развития и является наиболее доступным
для начинающего. Между тем, с точки зрения логической выдержанности
следовало предпочесть иное построение теории, при котором не опираются
ни на понятие «направление», ни даже — до известного момента —на
понятие «длина». Дадим краткий набросок такого построения.
Вектором называется совокупность двух точек, заданных в
определенном порядке. Первая точка (А) называется началом, вторая (В) — концом
вектора (АВ). При этом вовсе не обязательно соединять с понятием вектора
представление об отрезке, идущем от точки А к точке В; вместе с тем
отпадает понятие о длине вектора как длине названного отрезка. Два
вектора АВ и А'ВУ считаются равными в том и только в том
случае, когда середина отрезка АВГ совпадаете
серединой отрезка А'В (ср. п. 3). При этом середину какого-нибудь отрезка
MN мы можем определить, не пользуясь понятием длины, как такую точку
прямой MN, которая гармонически сопряжена с несобственной точкой этой
прямой относительно точек М и М Из этого определения равенства
векторов вытекает возможность переносить начало вектора в любую точку
пространства.
Под суммой двух векторов а и Ъ разумеют новый вектор, который
может быть представлен парой точек А (начало), С (конец), получаемых
следующим построением: строим АВ = а, затем ВС= Ъ («правило трех
точек»).
Пусть а и Ь (=£0) —два коллинеарных вектора. По определению это
означает, что если О А — а и ОВ = Ь, то точки О, А и В лежат на одной
прямой; пусть Q — несобственная точка прямой ОАВ. Под отношением вектора а
к вектору Ъ (символ а: Ь) будем разуметь число А, равное двойному
(ангармоническому) отношению четырех точек О, (~\ А, В,
л = (Ой, АВ)

20] ЕДИНСТВЕННОСТЬ АФФИННЫХ ОПЕРАЦИЙ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 67
(как известно, понятие двойного отношения может быть установлено
независимо от понятия длины).
Операцию умножения вектора на число мы можем теперь определить
следующим образом: п р о и з в е д е н и е м вектора а на число X
называется такой вектор b (коллинеарный с а), что
Ь: а = А.
Вычитание векторов и деление вектора на число определяются как
операции, обратные сложению и умножению на число.
Предыдущее изложение предполагало, что мы оперируем в проективном
пространстве, полученном из аффинного (или же из евклидова) путем
присоединения несобственных элементов. Можно обойтись без этого
присоединения, и тогда надо ч вспомнить, что в аффинной геометрии имеет смысл
деление отрезка в данном отношении (в частности — пополам), а двойное
отношение четырех точек, из которых одна несобственная, переходит в
простое.
Задача 57*. Обосновать следующее правило построения суммы двух
векторов ОА и ОБ: 1) если Q — бесконечно удаленная точка прямой АВ,
то строим точку Л1, гармонически сопряженную с Q относительно А и В;
2) если 9/— бесконечно удаленная точка прямой ОМ, то строим точку С,
гармонически сопряженную с О относительно М и Q'; тогда ОС = ОА -f- OB.
20. Единственность аффинных операций векторной алгебры. В этой
главе вместе с определениями действий над векторами часто отмечались те
геометрические или физические соображения, которые подсказывали выбор
этих определений (пример: сложение векторов — сложение сил). В
дальнейшем обнаруживалось, что так определенные действия близки по своим алго-
рифмическим свойствам (переместительность, сочетательность,
распределительность) к одноименным операциям числовой алгебры — в этом именно надо
видеть источник плодотворности нового исчисления. Тем не менее, если бы
мы ограничились простым констатированием совпадений и расхождении,
имеющих место в двух алгебрах, у читателя должно было бы остаться
впечатление произвола при определении основных операций над векторами.
Законным образом мог бы быть поставлен вопрос: являются ли принятые»
нами определения действий единственно возможными? Нельзя ли
заменить эти определения другими, которые доставляли бы столь же полную
или даже более полную аналогию с числовой алгеброй? Впрочем, в такой
общей постановке вопрос еще лишен определенного содержания; необходимо
каждый раз заранее формулировать те свойства действий, которые мы желаем
(по мотивам алгорифмического или физического характера) сохранить за новыми
операциями. С этой именно точки зрения трактуется ниже вопрос о
единственности; при этом достаточно ограничиться прямыми действиями —
сложением векторов и умножением вектора на число, так как смысл обратных
действий (вычитание и оба вида деления) вытекает с необходимостью из
смысла соответствующих прямых. В результате будет обнаружено, что при
наличии известных предпосылок данные в этой главе определения
действий являются единственно возможными.
Сложение. Предложим себе следующую задачу: каждой паре
векторов а и Ь поставить в однозначное соответствие
третий вектор1), который мы будем называть суммой
т) Однозначность соодветствия надо понимать в том смысле, что третий
вектор единственным образом определяется по векторам а и Ь, заданным
в определенном порядке»
5*

68 АФФИННЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ [ГЛ. I
векторов а и b (а операцию построения суммы —
сложением) и обозначать символом
a*bl),
так чтобы выполнялись следующие требования (постулаты):
1. Операция сложения аффинн о-и нвариантна, т. е. всякое
аффинное преобразование («аффинитет»), которое превращает векторы а и b
соответственно в а' и If, должно превращать сумму а*Ь в сумму а'*&';
2. a°b = bo а (переместительность);
3. а о (Ь о с) = (а о Ь) о с (сочетательность);
4. а о 0 = а.
Приступая к решению, докажем прежде всего, что из требований 1—4
вытекает
(65) а о (— с) = 0 при любом о.
Действительно, если ажяО, то (65) превращается в 0о0=0,а это
справедливо в силу постулата 4. Если же афО, то пусть ОА = а, ОА' = — а;точки
А и А' симметричны относительно О. Подвергнем пространство аффинитету,
состоящему в преобразовании симметрии относительно центра О; при этом
точки А и А' обменяются местами, следовательно, сумма а о (— а) перейдет
в (— а) о а (аффинная инвариантность!) и, значит, не изменится
(переместительность!). Однако никакой вектор, отличный от нуля, не может не
измениться при преобразовании центральной симметрии; этим справедливость (65)
доказана. (
Обратно, если
(66) ао6«0,
то векторы а и b равнопротивоположны. Действительно, из (66) следует
(ао«р( — Ь) = 0.( — Ь)
или (сочетательность и переместительность)
ао{Ь(-Ч} = (-6)оО,
откуда [см. (65)]
аоО=а(-6)оО
и окончательно (требование 4)
а« — Ь.
Обращаясь к общему случаю, будем сначала предполагать, что векторы-
слагаемые а и b не коллинеарны. Пусть О А = а, О В = Ь, ОС = со&;
последний вектор заведомо не равен нулю, так как в противном случае а и b
были бы равнопротиволожны и, значит, коллинеарны. Докажем, что вектор-
сумма ОС должен быть компланарен с векторами-слагаемыми ОА и ОВ.
С этой целью рассмотрим аффинитет, который оставляет неподвижными три
точки О, А В, а значит, и все точки плоскости ОАВ> но смещает любую
точку, лежащую вне этой плоскости (в качестве такого аффинитета можно
взять, например, зеркальное отражение от плоскости ОАВ или равномерное
сжатие к той же плоскости). Допустив, что вектор ОС не лежит в
плоскости ОАВ, мы сейчас же придем к противоречию, состоящему в том, что
*) Мы сознательно уклоняемся здесь от обычного^ обозначения суммы,
так как операция сложения является для нас искомой, и тождественность
операций ° и -f- есть как раз то, что подлежит доказательству.

20J ЕДИНСТВЕННОСТЬ АФФИННЫХ ОПЕРАЦИЙ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 69
вектор-сумма ОС должен остаться без изменения в силу однозначности
сложения (ибо не изменились слагаемые ОА и ОБ), но в то же время должен
измениться в силу аффинной инвариантности (точка С, лежащая вне
неподвижной плоскости, смещается под действием рассматриваемого
преобразования). Итак, вектор ОС лежит в плоскости ОАВ, и следовательно, прямая ОС
либо пересекает прямую АВ, либо параллельна ей. Покажем, что второе
предположение приводит к противоречию. С этой целью сделаем аффинное
преобразование, оставляющее неподвижной точку О и обменивающее местами
точки А и В:
(67)
О,
В,
М).
При этом вектор ОС = ОА о ОВ перейдет в ОВ о ОА и, значит, не
изменится (переместительность!), а вектор АВ (фО) перейдет в равнопротивополож-
ный ВА. Если бы векторы ОС и АВ были кол-
линеарны, то их отношение при аффинитете (67)
должно было бы остаться без изменения, а
между тем оно, будучи отличным от нуля, меняет
знак — приходим к противоречию2). Итак,
прямые Od и АВ пересекаются в точке (D),
которая при аффинитете (67) должна остаться на
месте, '
(68) D -+ D,
вследствие того, что каждая из прямых ОС и АВ,
как мы видели, переходит в самое себя.
Из сопоставления (67) и (68) следует, что
при рассматриваемом аффинитете
В
ь\
-ь\
/
~с
\/
В'
AD
BD, ВО —* AD,
Черт. 29.
а так как отношение двух коллинеарных векторов не должно измениться
(основное свойство всякого аффинитета), то
АО:Ш=1Ю:а5.
Отсюда заключаем, что AD \BD = ± 1, но возможность знака плюс
здесь исключена, так как она означала бы, что точка Dt находясь на
продолжении отрезка АВ, равноудалена от его концов. Остается принять
AD: ВО = — 1, а это означает, что D есть середина отрезка АВ.
Итак, доказано, что прямая ОС, носитель вектора-суммы ОС, делит
пополам (в точке D) отрезок АВ, соединяющий концы векторов-слагаемых,
т. е. имеет направление диагонали параллелограма, построенного на
векторах О А и ОВ. Остается показать, что вектор ОС в точности совпадает
с этой диагональю. Для этого (черт. 29) построим ОВТ = — Ь и, опираясь
1) Стрелка здесь заменяет слова «переходит в...» Напомним, что
аффинное преобразование определяется в пространстве соответствием 4-х (а на
плоскости — 3-х) пар точек.
2) Упрощением доказательства в этом пункте я обязан проф. Г. Б. Гуре-
вичу.

70 аффинные соотношения между векторами Ггл. I
на лостулаты 3, 4, а также на равенство (66), напишем: (aoft)<>(*-6) =
= ao{fco (-6)}t=ao0=o или ОС о OB' = ОА. Отсюда заключаем, что
прямая ОА делит пополам (в точке £) отрезок СБ'. Но из ОВ=*6В\
EQ = ЕВГ следует, что ВС || ОЛ а отсюда и из DB — DA заключаем, что
ОАСВ есть параллелограм. Таким образом, единственность «правила парал-
лслограма» при сложении двух неколлинеарных векторов доказана.
Остается рассмотреть сложение двух коллинеарных векторов а и Ъ (на
черт. 30 ОА = а, ОВ = Ь; читатель без труда приспособит последующие рас*
суждения к случаю, когда а и Ь имеют противоположные направления),
которое мы постараемся свести к сложению неколлинеарных. С этой целью
построим какой-нибудь вектор ОС = с, подчиняя его единственному условию—
не лежать на прямой ОА.
Пользуясь рассуждениями, уже
несколько раз применявшимися,
имеем:
aob — aobo{co( — с)} ~
= {(а о Ь) о с} о (— с) =
— {а о (Ь о с)} о (—с) =
= (ОА о ОМ) о ОС' = ON о ОС'\
здесь обозначения векторов
заимствованы из черт. 30, где ОВМС
и OANM параллелограмы, а
Черт. 30. qc ~ — Сл Итак, вектор а о Ь
совпадает с диагональю (ОР) па-
раллелограма, построенного на ОМ и ОС'. Но в силу равенства
отрезков ОС и ОС этот параллелограм имеет четвертой вершиной точку Р,
лежащую на прямой О А и притом так, что ОР — О А + ОВ, т. е. мы приходим
к обычному правилу сложения коллинеарных векторов.
Умножение вектора на число. Постановка задачи: каждой
парс, состоящей из вектора а и числа (вещественного) X,
поставить в однозначное соответствие вектор, который
мы будем называть произведением X на а (или а на X) и
обозначать символом
X о а (или а о X),
так чтобы выполнялись следующие требования:
1. Соответствие между а и \ о а а фф инно-инв а рна нтно,
т. е. всякий аффинитет, который превращает а в а', должен превращать
А о а в X о а';
2. (^4-ц)ос = Аоа-|-цос;
3. (Х{ж) о а — X о (;л о а).
Решение. Прежде всего покажем, что векторы а и X о а должны быть
коллинеарны. Полагая ОА = а, ОАт = X о л, рассмотрим аффинитет, который
оставляет в покое точки прямой ОА, но смещает все остальные точки (таким
оудет, например, вращение пространства вокруг оси ОА). В силу постулата 1,
из неизменности вектора ОА вытекает неизменность вектора ОА\ а это
гккшпжно только втом случае, когда А- лежит на прямой ОА, т. е. ОЛ' -ОЛ.

201 ЕДИНСТВЕННОСТЬ АФФИННЫХ ОПЕРАЦИЙ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ 71
Пусть теперь О А — а и ОВ^Ь — какие угодно (однако =£0) два
вектора; если О А' = Ьа, ОВ' = Хо/>,то по доказанному О А9 \[ОА, OB' \\0>В.
При любом аффинитете, для которого
О—*0, А—+В,
мы должны иметь (постулат 1) А' ->#', Но так как всякий аффинитет не
меняет отношения коллинеарных векторов, то должно быть
ОАг: ОА = ОВг: ОВ
или
X о а _ lob
а ~ Ь
Последнее равенство показывает, что отношение — не зависит от выбора
вектора а и, следовательно, может быть функцией только от X:
(69) ±1± = /(К) или Хоа = /(Х)а.
Постулаты 2 и 3 тотчас же дают уравнения (функциональные), которым
должна удовлетворять эта функция:
(70) /(* + !*) =/W+/W.
(71) /(Хц)=/(Х)/0х).
Из (71) при Х = {х находим:
/(Х*)«(/(Х))«>0,
а так как всякое положительное число может быть представлено в виде X2
(X — вещественное), то при положительных значениях аргумента функция/
должна иметь положительные (точнее — неотрицательные) значения. Отсюда
и из (70) заключаем, что функция / есть монотонная (возрастающая или, по
крайней мере, не убывающая). Но известно 1), что при этом условии
функциональное уравнение (70) имеет единственное решение:
/(Х) = сХ, с = const.
Подставляя в (71), найдем:
СХ{А ssb C2X|J. (при ЛЮбыХ X И {*),
откуда с =s с2, с = 0 или с = 1.
Первое решение отбрасываем как тривиальное2); остается c*=\f т. е.
/ (X) = X, и, значит [см. (69)], Хоа = Ха— обычное умножение вектора на
число.
*) См., например, Б. И. Делоне и Д. А. Райков, Аналитическая
геометрия, т. I, § 286 (Гостехиздат, 1948).
2) Оно дает X о а = 0, т. с. произведение любого числа на любой вектор
есть нуль — решение, конечно, удовлетворяющее требованиям 1—3.

72 АФФИННЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ [ГЛ. !
Задачи к главе I.
Читателю настоятельно рекомендуется при решении задач делать чертежи.
Звездочкой отмечены задачи либо более трудные, либо относящиеся к тексту,
напечатанному мелким шрифтом. Такие задачи могут быть при первом
изучении опущены.
58. Точки А и А' симметричны относительно центра М. Зная вектор ОМ,
найти сумму О А + О А'.
59. Проверить на черт. 15 справедливость тождеств:
. Ь—а а+Ь а + b , Ь — а
<Н су — 9~~» О 1 О ==&*
60. Изображая векторы а-\-Ь и а — Ь с помощью диагоналей параллело-
грама, найти, какому условию должны удовлетворять а и Ь для того, чтобы
|а + 6|*=|а — Ь\.
61. При обозначениях задачи 10 (черт. 16) найти, каким условиям должны
удовлетворять векторы т, п и р:
1) для того чтобы одновременно было
\т + п + р\ — \т-\-п — р\ и |1я + р — л| = |л + р — т|;
2) для того чтобы
\т-\-п + р\ — \т + п — р\*=\т + р — п\ = \п + р — т\.
62. ABCDEF — правильный шестиугольник, О — его центр. Зная ОА~ а
и ОВ = Ь, найти ОС, OD, ОЕ, OF.
63. К точке приложены четыре силы Fh F2t F& F± одинаковой
величины (F). Зная, что (Fb F^) = (F*>> F3) — (Fq, Fa) — 72э, найти величину и
направление равнодействующей.
64. Отрезок АВ разделен точками Cv С2, .... Сп^ на п равных частей.
Зная О А — а и ОВ — Ь, найти векторы ОСъОСъ ..., OCn~i.
65. В четырехугольнике ABCD положим АВ — т\ ВС = п\ CD — р;
DA — q. Обозначая через Е и F соответственно середины диагоналей АС
и BD> показать, что EF = ——- = ^Г . Изменятся ли формулировка
и доказательство теоремы, если предположить точки А, В, С, D не
лежащими в одной плоскости?
66. В четырехугольнике проведены три отрезка, соединяющих
соответственно: 1) середины двух противоположных сторон; 2) середины двух
других противоположных сторон; 3) середины диагоналей. Показать, что эти
три отрезка пересекаются в одной точке, которая служит их общей
серединой. Перенести этот результат с четырехугольника на тетраэдр.
67. На стороне AD и на диагонали АС параллелограма ABCD взяты
соответственно точки М \\ N так, что AM —-^ AD и AN — -~-AC. Показать, что
о О
точки М, IV и В лежат на одной прямой. В каком отношении делит точка Л'
1
отрезок MB* Решить задачу в более общем виде, предполагая, что AM = — AD
и AN = ■ -у АС. (Указание. Принять АВ — at AD = Ь и выразить
векторы MN к NB, коллинеарность которых требуется доказать, через а и Ь.)

ЗАДАЧИ К ГЛ. Т
73
68. На двух противоположных ребрах AD и ВС тетраэдра ABCD взяты
соответственно точки М п N так, что AM: MD = BN:NC = X. Выразить
вектор MN через АВ, DC и X.
69. Показать, где центроид1) системы точек Ai(r^)t И«(г2),..., Ап (гп)
может быть охарактеризован как такая точка С (г), для которой
CAt + СА2 +. - • + сЯ» = *>•
70. Центроиды треугольников ABC и А'В'О находятся соответственно
в точках Q и G'. Показать, что АА' + ВВ' + СС = 3G(i'. Какой вывод
следует отсюда сделать о влиянии, которое может оказать на сумму ААГ + ВВ' -J-
-{- СС перестановка точек внутри группы А, В, С или группы А', В\ С?
71. Найти центроид (С) системы четырех точек А (г0, А (/"г), Afo)»
Л* fo). Показать, что этот центроид лежит на пересечении четырех отрезков,
соединяющих каждую из вершин тетраэдра A AAA с центроидом
противоположной грани. В каком отношении делятся эти отрезки точкой С?
72. Треугольник 5152В3 вписан в треугольник AAA так, что стороны
второго делятся вершинами первого в одном и том же отношении (именно:
А#з: В$А<1 = АчВ\,\ В\А^ = А$В2: £*А = X). Показать, что треугольники имеют
общий центроид.
73. Даны п точек; показать, что прямая., соединяющая центроид каких-
нибудь k из этих точек с центроидом п — k остальных, проходит через
центроид всех п точек. Рассмотреть частные случаи: 1) я=3, & = 2; 2) п = 4,
*-1; 3) я = 4, * = 2.
74*. В данный треугольник вписаны два треугольника, соответственные
вершины которых расположены симметрично относительно середин сторон
исходного треугольника. Показать, что центроиды вписанных треугольников
симметрично расположены относительно центроида описанного треугольник;».
75*. В пространстве даны четыре точки А» А> А> А- Точками М и N
отрезки АА и АА разделены в одном и том же отношении (АгМ: МЛ» =
= >43iV: М44 = М- Показать, что центроиды трех групп точек АААА>
A\A$MN и A^AJAN лежат на одной прямой.
76. Три точки A (rj), А (го). А (г3) лежат на одной прямой. Разлагая
вектор г3 по векторам rt и г% имеем: г3 = агг + рг>. Показать, что
а = АА: АА; Р = АА: АА-
11*. Стороны О А, ОВ и диагональ ОС параллелограма ОАСВ
пересекаются прямой (не проходящей через О) соответственно в точках Af, В\ О.
Показать, что
ОА , OB = ОС_
ОА' ОВ' ОС' '
*) Центроидом системы п точек называется центр тяжести п
равных масс, сосредоточенных в этих точках. Центроидом.сплошной фигуры
(например треугольника, шара) называется центр тяжести массы, равномерно
распределенной в точках этой фигуры. Центроид есть понятие чисто
геометрическое (хотя происхождением своим обязанное механике). Относительно
центроида треугольника см. задачу 27.

74 АФФИННЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ [ГЛ. I
78*. Из точки О проведены векторы ОА,Л)В,.... OP п вектор OS,
равный их сумме. Прямая (не проходящая через О) пересекается с прямыми ОЛ,
ОЙ,..., OP, OS соответственно в точках А\ В'%..., Р', S'. Показать, что
OS ОА х ОВ х , ОР
OS' ОА' OB' ОР'
79. Для того чтобы четыре точки Ах (гх), А2 (г2), Аг (г6), Л4 (г4) лежали
в одной плоскости, необходимо и достаточно существование четырех чисел аи
аь аз» °Ч» не равных одновременно нулю и таких, что ахгх -\- а2г2 + <*згз +
4- <*4г4 ==0, ах 4- а2 + а3 -+• 04 = 0 (ср. задачу 29). Доказательство!
80. Если три точки Ах (ri), А2 (r2), Az (г3) не лежат на одной прямой, то
радиус-вектор г всякой точки, принадлежащей плоскости АХА2А^ может
быть представлен в виде г = Zrx + т]Г2 + Сг3, где £ + ?] + £ = 1.
Доказательство!
81*. В плоскости треугольника АхА2Ад взята точка АГ. Прямые АХК, А2К,
AZK пусть пересекаются соответственно с прямыми А2Ай, А%АЪ АХА2 в точ-
/ft *\*** ^2 'Vi^3
ках Лх, Л2, Л8. Показать, что - > $ + __^ f -\- <<$ ^ = 1 (проверить это со-
/li/li Л()Л9 ЛвЛл
отношение для частного случая, когда К — центроид треугольника).
82*. Вершины тетраэдра Ах, А% И3, А± соединены с произвольно взятой
точкой К- Прямые АХК, АъК> АЪК, ААК пусть пересекаются с плоскостями
противолежащих граней А2А$А±, AsAxAit А^АХА2, АХА2А9 соответственно
в точках А1$ А2, А'ь, А4/Найти для тетраэдра соотношение, аналогичное
полученному в предыдущей задаче для треугольника.
83. Показать, что прямая, соединяющая точку пересечения диагоналей
трапеции с точкой пересечения боковых сторон, делит основания трапеции
пополам.
84*. В усеченной (параллельно основанию) треугольной пирамиде
А1А2А^А1А^Аг середина каждого из боковых ребер АХАХ, А2А2, АЬА.Л
соединена с точкой пересечения диагоналей противоположной боковой грани.
Показать, что полученные три прямые пересекаются в одной точке.
85. Если в неплоском шестиугольнике AxA2AoA^Aq противоположные
стороны попарно параллельны (АХА2 \\А±АЪ\ А^А^А^А^ АВАА || АВАХ), то
диагонали, соединяющие противоположные вершины (т. е. диагонали АХАА, А2А$,
А^Аъ), пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам. Доказательство!
86*. Точки /., М, N взяты соответственно на сторонах АХА2) А2А& АЪАХ
треугольника Л^^з» причем
ML = ЛрИ = . A^N _
LA2 ' МАЪ ' NAX
Условие, необходимое и достаточное для того, чтобы точки Lt М.
^лежали на одной прямой, выражается равенством: Xjav = — 1 (теорема iMcнeлaя
и обратная ей). Доказательство!
87*. Точки L, Mi N, Р взяты соответственно на сторонах А[А2, И2Л3,
АъАА, А^АХ неплоского четырехугольника AXA2AZA^ причем
А^Т _.. A$i __ т А$ __ % А£
LAt ' ЛМз УУИ4 РАХ

ЗАДАЧИ К ГЛ. I
75
Условие, необходимое и досталчное для* того, чтобы точки L, М9 N, Р
лежали в одной плоскости, выражается равенством Xpvit» -|* I (аналог
теоремы Менелая в пространстве). Доказательство! (Указание. Пользуясь
результатом задачи 79, вести рассуждение так же, как при решении
предыдущей задачи вторым способом.)
88*. Каждая из трех прямых lu /2, 1& не лежащих в одной плоскости,
пересекается с каждой из трех прямых тъ m2, т3 (черт. 31). Зная, что
отрезки, определяемые прямыми т на двух из прямых /, соответственно про*
порциональны (пусть Рх\Рг^Р^Рп = Р&Раа т.РпРа — ^), показать, что и на
третьей прямой группы / соответствующие отрезки находятся в том же
отношении (т.е. что Р^Ръ-РюРп^Ъ- Далее показать, что и прямыми /
определяются на прямых т отрезки, соответственно пропорциональные
(т. е. что я£/>а: Р^РЛ = Р^Р*: Р&Ръ = ^We: ЛкЛз)-
Черт. 31.
Черт. 32.
89*. Стороны А\АЪ А2Аг и А^ треугольника делятся соответственно
точками А*ъ, А[ и А$ в одном и том же отношении X: 1 (АХА3 : АЬА2 =
= А2А[: А[А3 = А3А'2: А'2Аг = X). Выразить радиусы-векторы вершин
треугольника А\а"2Хъ, образованного пересечением прямых AiAv А2А2, Лу'з
(см. черт. 32), через радиусы-векторы гг% г5, г3 точек Аь А& А и число X.
90*. Три параллельные прямые 1и 1г> h пересекаются тремя
параллельными секущими ть m2, т3. Обозначая точку пересечения прямых /< и тк
через Рцс (i= 1, 2, 3; k= 1, 2, 3; следовательно, разметка точек такая же,
как на черт. 31), показать, что прямые /WV ^з^зь РъР& пересекаются
в одной точке или же параллельны.
91*. Точки Вь В* Въ взяты соответственно на сторонах АгА^ Л3Ль
AiA2 треугольника АХА^ так, что
И^: £^8 == *ь A^B2:B^Ai = h> Л]Эв: B^i =» X*
Условие, необходимое и достаточное для того, чтобы три прямые AtBi
Афъ ^з^з пересекались в одной точке, выражается равенством Х^Хд = 1
(теорема Чевы и обратная ей). Доказательство!
92. Лежат ли на одной прямой точки А (— Ы, 2), В (8, 10), с (36, 20)?
Предварительно сделать чертеж.

76 АФФИННЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ [ГЛ. !
93. Найти координаты вершин треугольника, зная, что середины сторон
его находятся в точках (6, —2), (— 1, — 1), (3, 2).
94. Вершины четырехугольника находятся в точках А{\, —3, — 2),
В (8, 0, —4), С (4, 8, —3), D(— 3, 5, —1). Показать, что ABCD есть парал-
лслограм.
95. В параллелепипеде задачи 10 даны координаты четырех вершин:
А (2, — 1, 1), B(\t 3, 4), И7 (4, 2, 0), £>(6, 0, 1). Найти координаты остальных
вершин.
96. Показать, что прямая, соединяющая точки А (3, 0, — 1) и
В (— 3, 4, —3), параллельна прямой, соединяющей точки С(—2, 4, 4) и
Я (7, -2, 7).
97. Показать, что точки А (3, 2, — 1), В (2, 4, 2), С(0, 8, 8) лежат на
одной прямой.
98. Каким условиям должны удовлетворять координаты точек (Xq, y0f z0),
(хь У г, *i), (хъ уъ z«), для того чтобы эти точки лежали на одной прямой?
99. Найти условие того, чтобы четыре точки (дг0, у0, z0), (xif у^ г$%
(л'?> Уъ *ъ)> (х& Уз, zi) лежали в одной плоскости.
100. Написать векторное уравнение плоскости, проходящей:
1) через прямую г—а-\~\Ьн не лежащую на ней точку (г{);
2) через две пересекающиеся прямые r=a-\~\b и г = а-|- )fb'\
3) через две параллельные прямые г = а + Х& и г = а'+ к'Ь (X и If —■
параметры).

ГЛАВА II.
СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ.
21. Единичный вектор. Прямоугольная система координат.
Читатель мог заметить, что на протяжении предыдущей главы нам не
приходилось иметь дела с измерением геометрических величин:
длин, углов и т. д. Нигде не высказывались утверждения вроде
таких: «длина вектора равна 5 см» или «два вектора составляют
угол в 60°» 1). Правда, самим понятием длины нам иногда
приходилось пользоваться, например при определении равенства векторов
или умножения вектора на число; однако и этого можно было
избежать (см. п. 19).
Точнее говоря, пока мы оставались в области аффинной геометрии,
существенную роль играли только аффинно-инвариантные свойства и
взаимоотношения. К числу таких не принадлежит ни свойство отрезка иметь длину
в 5 см — оно, например, нарушается при преобразовании (аффинном)
подобия; ни свойство угла содержать 60° — оно нарушается при преобразовании
(аффинном) равномерного сжатия (на плоскости к прямой, в пространстве —
к плоскости). Отношение длин двух неколлинеарных векторов не является
аффинным инвариантом (оно, например, изменяется при том же равномерном
сжатии) и потому нам не встречалось. Наоборот, отношение длин двух
коллинеарных векторов есть аффинный инвариант, который играл существен-
ную роль в предыдущем изложении.
Начиная с этой главы, мы вступаем в область «метрической»
(измерительной) геометрии. В соответствии с этим будем
предполагать, что установлен некоторый масштаб для измерения длин2)
(и что с выбором единицы длины согласован, как это обычно
делается, выбор единиц для измерения площадей и объемов, например,
1 см — 1 см2—1 ел/3). Вектор, длина которого при выбранном
масштабе равна единице, будем называть единичным вектором.
Из всякого вектора, отличного от нуля, может быть получен
единичный вектор'того же направления: стоит только разделить данный
1) Это не относится к задачам гл. 1; например, в задаче 60 мы
встречаемся с понятием перпендикулярности.
2) На практике иногда выбирают дляРразных прямых разные масштабы
(например, при вычерчивании графиков — разные масштабы па осях
координат), Мы будем предполагать, что масштаб один и тот же для всех прямых.

78
СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
[ГЛ. И
вектор на число (положительное), выражающее его длину. Если
условимся для вектора, обозначенного буквой а жирного шрифта,
длину обозначать той же буквой а обыкновенного шрифта *), а
единичный вектор одинакового с вектором а направления — символом а°,
то
(72) <?=% ; а = аа°.
Среди различных систем координат мы остановимся теперь на
особенно удобной в вопросах метрической геометрии —
декартовой прямоугольной системе с тремя (на плоскости—с
двумя) попарно перпендикулярными осями и равными масштабами
Черт. 33.
на осях. Можно охарактеризовать такую систему координат тем, что
базис ее состоит из трех (на плоскости — двух) единичных попарно
перпендикулярных векторов, для которых мы будем пользоваться раз
навсегда установленными обозначениями (вместо прежних е1ъ е2, е$\
черт. 33):
i — единичный вектор в положительном направлении оси Ох,
j— » » » » » » Oyf
k— » » » » » » Oz.
Везде, где не оговорено иное, равенство а={ЛГ, К, Z) будет
отныне равносильно следующему:
(73) a^Xt^-YJ + Zfc;
символом А (л:, у, г) будет обозначаться точка с радиусом-вектором
(74) r=*xi+yj-)-zk.
1) Для обозначения длины вектора мы ввели уже несколько соглашений;
—-.->.
дадим здесь их сводку: смояря по тому, обозначен ли вектор через ОЛ пли
а, длина его обозначается одним из символов:
OAt | ОА\ ила а, \ а|.

22]
КОМПОНЕНТЫ И ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРА
79
Впрочем, теперь координаты вектора (и точки) допускают еще
иное истолкование, как мы уЗнаем из следующего пункта.
Задачи.
101. На плоскости даны точки А (—2, —3) и В (4, 5). Найти координаты
единичного вектора, имеющего то же направление, что и А В.
102. Доказать: если а = {Х, У, Z}> то a=YX*+Y* + Z\ Вывести
отсюда формулу для расстояния между двумя точками Ai(xt,ybzi) и
А*{**У* **)•
103. Доказать: если векторы а, Ь и \--j- приведены к общему началу,
то последний вектор делит пополам угол между двумя первыми.
104. Найти три единичных вектора, которые, выходя из точки О (черт. 33),
делят пополам углы между: 1) i и / 2) / и к, 3) k и U
22. Компоненты и проекции вектора. Равенство (73)
предыдущего пункта дает нам разложение вектора а на три «составляющие»
или «компоненты»
(точное определение 21
этих терминов дано
ниже) Xi, Yj, Zkt
которые лежат
соответственно на трех
координатных осях (или
параллельны осям). Для
того чтобы
осуществить это разложение
геометрически,
достаточно, пользуясь
«правилом
параллелепипеда» (см. также п. 12), *
выполнить следующее
построение (черт. 34):
из произвольной точки А пространства строим
и через крайние его точки (Л, В) проводим:
сти, перпендикулярные к оси Ох9 2) две
/V
s*\
1 1 ^""""""""v^
1^1
>ч
м
Tj
Черт. 34.
вектор АВ = а
1) две плоско-
ллоскости,
перпендикулярные к оси Оу, 3) две плоскости, перпендикулярные к оси Oz.
В общем случаех) пересечениями этих шести плоскостей
определяется параллелепипед (теперь прямоугольный!), три ребра которого,
выходящие из точки А, и дадут требуемые компоненты (вспомним,
что разложение однозначно, — п. 12):
(75)
AL = Xi, AM = Yj> AN = Zk.
Если бы мы пожелали построить отдельно одну из этих
компонент, скажем, вторую Yj\ то нам незачем было бы пользоваться
1) Точнее: когда вектор АВ не параллелен ни одной из координатных
плоскостей.

80
СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
[ГЛ. Ц
всей системой координат: достаточно было бы знать одну из осей
этой системы, в данном случае ось Оу. Более того, ни начало
координат, ни положительное направление оси не будут играть роли
в предстоящем построении, так что вместо оси Оу можно задать
любую параллельную ей прямую PQ (без стрелки!). В самом деле,
проведем через крайние точки (А и В) вектора а две плоскости,
перпендикулярные (говорят также — ортогональные) к прямой PQ
(черт. 35); если А' и В* — точки пересечения этих плоскостей
с прямой PQ, то вектор А'В' даст требуемую компоненту, ибо он
равен вектору AM черт. 34, воспроизведенному на черт. 35 (А'В' и
AM — одинаково направленные
отрезки параллельных прямых
между параллельными
плоскостями) :
ЁВ* = АМ = у/.
Заметим еще, что АА' и ВВГ
суть перпендикуляры (в общем
случае, не параллельные друг
другу!), опущенные из точек
А и В на прямую PQ; вспо-
Черт. 35. миная, что основание
перпендикуляра, опущенного из точки
на прямую, называется проекцией (ортогональной2) или
прямоугольной) точки на прямую, можем сказать, что А/ и В' суть
проекции соответственно точек А и В на прямую PQ. Теперь
мы в состоянии дать точное определение термина «компонента», не
связанное с системой координат:
Компонентой (ортогональной) вектора АВ по
прямой PQ называется новый вектор, лежащий на этой
прямой и имеющий началом проекцию (на прямую PQ)
начала первого вектора, а концом — проекцию его
конца; будем писать
комПрдЛЯ ■•
:А'В\
Из построений, показанных на черт. 34 и 35, следует: в
пространстве всякий вектор равен сумме своих компо-
*) В геометрии применяются также неортогональные («косые») проекции.
Так как мы ими пользоваться ие будем, то в дальнейшем эпитет «ортогог
нальиая» часто опускается.

22]
КОМПОНЕНТЫ И ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРА
81
цент, взятых по трем попарно перпендикулярным
прямым; например (черт. 34)
АВ = AL -f- AM -{- ЛЛ/= комп0а;Л£ + комп0^4 В + комп0гАВ.
Отсюда можно получить обещанное в предыдущем пункте
истолкование декартовых прямоугольных координат; именно, из (75) следует
(76)
Х =
комп0хАВ
komtiqjjAB
Z =
komu0zAB
А так как векторы /, у, k — единичные, то эти формулы говорят
нам, что декартовы прямоугольные координаты вектора (АВ) суть
не что иное, как взятые с надлежащими знаками длины компонент
этого вектора по осям координат. Для того чтобы точнее выразить
этот результат, воспользуемся понятием «проекции вектора»:
Проекцией вектора а на направление вектора b
называется длина компоненты первого вектора по
прямой (PQ), параллельной второму, взятая со
знаком 4~ и л и — > смотря по тому, имеют ли эта
компонента и вектор Ь одинаковые направления или
противоположные; для обозначения проекции будем писать:
(77) пр^а.
Так как длина вектора Ъ и начальная его точка при этом не играют
роли, то говорят также о «проекции вектора на ось (О/)» и пишут:
uVota>
считая этот символ равносильным предыдущему (77), когда ось Ot
и вектор Ь одинаково направлены. Итак,
(78)
[ Аг=пР/а = пр0^,
\ К = прл=-пр02/а,
( Z = upka^np0za
—декартовы прямоугольные координаты какого*
нибудь вектора суть проекции этого вектора на оси
координат (или на направления базисных векторов /, у, k).
Замечание 1. Так как терминология, относящаяся к «компо»
центам» и «проекциям», в литературе не установилась, то является
О Зак. 1336, Дубнов, % I

82
СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
[ГЛ. И
не лишним еще раз подчеркнуть, в каком смысле здесь
употребляются эти термины; у* нас компонента1) — вектор, проекция —
число (положительное, отрицательное или нуль).
Компонента вектора берется «по прямой» (ненаправленной);
проекция— «на ось» или же «на направление (другого) вектора».
Замечание 2. Читатель без труда перенесет рассуждения этого
пункта, проведенные для пространства, на случай плоскости. При
этом геометрические построения упростятся (например, вместо
прямоугольного параллелепипеда черт. 34 будем иметь прямоугольник).
Изменятся некоторые формулировки (например, «на плоскости
всякий вектор равен сумме своих компонент, взятых по двум взаимно
перпендикулярным прямым»).
Задачи.
105. При каких обстоятельствах компонента вектора а по прямой (PQ)
1) равна нулю, 2) равна вектору а?
106. Показать на чертеже, что: 1) комп (—а) ~— комп а (обе
компоненты — по одной и той же прямой); 2) пр (— а) = — пр а (обе
проекции— на одну и ту же ось).
107. Найти геометрическое место концов векторов, имеющих общее
начало (О) и общую проекцию (р) на направление данного вектора (я).
108. Показать, что компонента суммы нескольких векторов, взятая по
некоторой прямой, равна сумме взятых по той же прямой компонент этих
векторов. Перейти от компонент к проекциям.
109. Показать, что отношение двух коллинеарных векторов равно
отношению их компонент, взятых по одной и той же прямой. Перейти от
компонент к проекциям.
23. Проекции и координаты. Проекцию вектора а на любую
ось Ох всегда можно при желании рассматривать как координату,
например [см. (78)], как 1-ю координату вектора а в декартовой
прямоугольной системе, у которой Ох служит 1-й осью. Эта точка
зрения дает нам возможность немедленно перенести на проекции
общие свойства координат, изложенные в п. 16, и прежде всего
утверждать:
Если между несколькими векторами существует
линейная зависимость
еш + ?* + Т+•••=<>»
то такой же (т. е. с теми же коэффициентами) зависимостью
связаны проекции этих векторов на любую ось:
а пр а -}- 43 пр Ь -f- 7 ПР с "Ь * • • = 0
(обозначение оси здесь опущено; конечно, предполагается, что все
проекции взяты на одну и ту же ось).
*) Вместо «компонента» говорят также «геометрическая проекция», и
тогда «проекцию» в нашем смысле надо называть «алгебраической» или
«числовой»»

23]
ПРОЕКЦИИ И КООРДИНАТЫ
S3
В частности:
Проекция суммы векторов на любую ось равна
сумме (алгебраической) проекций отдельных слагаемых
на ту же ось1) [ср. (49) п. 16]:
(79)
пр(а-\~Ь-\-с-\- .. .)~пр,а + прб-j-npc-f-..,
При умножении вектора на число проекция этого
вектора умножается на то же число [ср. (51) п. 16]:
(80)
пр (ка) = X пр а.
Замечание. Другой вывод формул (79), (80), состоящий в переходе
от компонент к проекциям, намечен в задачах 108, 109 предыдущего пункта.
Нетрудно видеть, что проекция вектора на ось есть число
положительное или равное нулю, или отрицательное, смотря по тому,
составляет ли вектор с осью острый или прямой, или тупой угол
(при :этом под углом между каким-нибудь вектором и осью мы
->
Черт. 36.
разумеем угол между этим векторОхМ и приведенным к тому же
началу единичным вектором оси). Впрочем, можно установить
соотношение, определяющее не только знак, но и абсолютную величину
проекции: проекция вектора на ось равна (по абсолютной
величине и по знаку) длине этого вектора, умноженной
на косинус угла, образуемого вектором с осью:
(81)
пр.а = а • cos(/, а).
Доказательство. Пусть О А' (черт. 36) — компонента
вектора О А = а по прямой ХХХ, на которой лежит вектор /; тогда
пр^^ОЛ':/.
Полагая для краткости AOX—(i7 а)
случая:
= а, рассмотрим два основных
1) Известная «теорема Шаля» является частным случаем этого
утверждения, соответствующим допущению, что все векторы лежат на оси
проекций.
6*

34
СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
[ГЛ. tl
1. Угол а — острый (правая половина черт. 36), следовательно,
векторы ОА' и i обращены в одну сторону, а так как вектор i
единичный, то:
OA'\i^OA'.
Но из треугольника О А'А имеем: О А' = Oleosa = acos а, откуда:
np^a — acosa.
2. Если угол a — тупой (левая половина черт. 36), то
OA!\i = — OA\
Треугольник ОА'А теперь даст ОА'= ОА cos(180° — a) =
= —й cos а, откуда np/a = -^(—a cos а), т. е. снова прчз = a cos a.
Предоставляем читателю удостовериться в справедливости равенства
(81) для опущенных нами случаев: a = 0°; a ==90°; a =180°.
Применяя эту теорему к координатам, рассматриваемым как
проекции [см. (78)], получим: если вектор а={Х% К, Z] составляет
с осями координат Ох, Оу> Ог соответственно углы о^ р, f, то
(82) wY:=flCOsa, F = acosp, Z^acos?.
Участвующие здесь три косинуса можно назвать «направляющими
косинусами» вектора а\ они служат координатами (иначе —
проекциями на оси координат) единичного вектора а0, имеющего то же
направление, что и а. Чаще говорят о «направляющих косинусах
прямой линии», разумея под этим координаты единичного вектора
(одного из двух равнопротивоположных), лежащего на данной прямой.
Задачи.
110. Зная, что длина вектора равна 6, а проекция его на ось равна (—3),
найти угол между вектором и осью.
111. Зная, что проекции векторов а, Ь, с, d на некоторую ось
соответственно равны числам: 6; —1; —10; 5, показать, что вектор a -j- b + с + d
перпендикулярен к оси.
112. Найти пр^, зная, что Зс — 2а — 1Ь, пр^а —1, npfi = ~2.
ИЗ. Вывести соотношение (80) из (81).
114. Найти углы, образуемые вектором а*={Х, Y, Z} с осями координат
(т. е. с основными координатными векторами /, j, k).
115. Даны точки At (2,8, —5 У"2) и Л2(7,3,0). Найти углы, образуемые
вектором АгАъ с осями координат.
24. Угол между векторами в ориентированной плоскости. Когда мы
говорим об угле между двумя векторами в пространстве, то всегда измеряем
этот угол так» как принято в элементарной геометрии, например в
градусах— числом, заключенным между 0 и 180. Но если речь идет только об
углах, лежащих в одной плоскости, то можно стать на иную точку зрения
(свойственную тригонометрии) и для оценки угла между векторами а и Ь
пользоваться мерой того поворота, который сообщает первому вектору (а)
направление второго (Ь); измеряемый в этом смысле угол мы будем
обозначать особым символом (я, Ь) (читается «направленный угол от а к £»).

24] УГОЛ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ В ОРИЕНТИРОВАННОЙ ПЛОСКОСТИ 85
При этом предполагается, что плоскость «ориентирована», т. е. на ней
установлено направление положительного вращения (например, против часовой
стрелки); базисные векторы / и / принято выбирать так, чтобы (/, j)«■ + 90°
(черт. 33).
С этой точки зрения паре векторов а, Ь, заданных в
определенном порядке (а — первый вектор, Ь — второй), соответствует не одно,
а бесчисленное множество положительных и отрицательных значений символа
/\
(а, Ь), значений, которые могут быть расположены в арифметическую
прогрессию с разностью, равной 360°; однако любая тригонометрическая
функция имеет для всех членов этой прогрессии одно и то же значение. При
этом, так как
(а, &) = -(&, а),
то значение четной тригонометрической функции (например косинуса)
угла (а, Ъ) не зависит ни от того, в каком порядке заданы векторы, ни от
того, каким из двух способов ориентирована плоскость (в то время как
для нечетной функции, например, для синуса, тангенса, изменение порядка
векторов или же изменение ориентации умножает значение функции на — 1).
Вот почему формула (81) останется в силе, если мы заменим там символ
(Оо через (£ а).
Некоторое преимущество второй точки зрения заключается в том, что
теперь при сложении углов можно пользоваться «правилом цепи» [ср. (4)]:
/\ /\ /\
(а, Ь) + (6, с) = (а, с).
Поэтому, если а = {X, У}, а = (*, а), р — (/, а), то
Р = (/. ') + & а) = -90° + а,
и первые две из формул (82) дают
(83) X = a cos <х, У = a sin а.
Как простые следствия отсюда отметим равенства
(84) ХГ- + У* = а\
У
(85) -^=tga.
Зададимся еще следующим вопросом: вектор а = {X, У} повернут на 90°
(пусть для определенности в положительном направлении вращения); каковы
координаты полученного в результате этого поворота вектора Ох? Так как
i/\ i/\ /\
а1==(/, ai) = (*\ а) + (а, Ох) = а + 90°,
то
COS ац == — sin a, sin at = COS а.
Полагая ах — {Хх, Уг}, имеем [см. (83)]:
Хх = a cos ах = — a sin a = — У,
}\ = a sin aj = a cos а = Xt
(8G) at={-y, X}.

86
СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
[ГЛ. I!
Таким образом при рассматриваемом повороте координаты вектора
обмениваются местами, после чего у первой координаты знак меняется на обратный.
Легко понять, что при повороте на 90° в сторону отрицательного вращения
вектор {Л", У} переходит в вектор {У, — X}. (Другой вывод см. в задаче
119а.)
Пусть теперь имеем два вектора: {X, У} и {Xr, К'}; для того чтобы
они были взаимно перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор
{X', У'} был коллинсарен с повернутым на 90° вектором {X, У}, т. е. чтобы
[см. (55) и (86)]:
или
(87) A'AV + УУ = 0.
Итак, у с л о в и с перпендикулярности двух векторов
состоит в том, чтобы произведение их 1-х координат,
сложенное с произведением их 2-х координат, было равно
н у л ю.
В п. 29 мы вновь придем к этому условию из соображений более общих.
Задачи.
116. Предполагая, что вектор на плоскости задан координатами своих
крайних точек A (xh у{), В (х* у?), найти: 1) | АВ |, 2) угловой коэффициент
прямой А В.
117. Вершины треугольника находятся в точках А (1, 3); В (б, — 1),
С (4,—З-^-J. Показать, что ABC есть прямоугольный треугольник двумя
способами: 1) на основании теоремы, обратной Теореме Пифагора, 2) опираясь
на условие перпендикулярности (87).
118. Вершины четырехугольника находятся в точках А(—3, — 2); 5(2,1);
С(—1,6); D(— 6, 3). Двумя способами удостовериться в том, что ABCD
есть квадрат: 1) вычисляя координаты векторов, совпадающих со сторонами
четырехугольника, 2) вычисляя координаты двух «диагональных» векторов
AC, BD и координаты середин отрезков AC, BD,
119. Пусть а = {X Г}; а' = {*', У'}; (1?"а) = a, (if\f) « а'.
Перпендикулярность векторов ana' может быть выражена соотношением
tga = — ctg<z/. Исходя из последнего равенства и пользуясь (85), вывести
еще одним способом условие перпендикулярности (87).
119а. Вывести заново (86), исходя из того, что поворот вектора на +90°
равносилен двум последовательным зеркальным отражениям: 1) от оси Ох,
2) от биссектрисы угла хОу.
25. Скалярное произведение двух векторов* Уже
первоначального знакомства с математикой и ее приложениями достаточно для
того, чтобы заметить следующую черту различия между операциями
сложения и умножения. В каком бы смысле ни употреблялся термин
«сложение», всегда разумеют под этим операцию, производимую над
значениями одной и той же величины и дающую в качестве
результата (сумма) некоторое значение той же величины: никогда не
складывают 3 г с 2 см> но можно сложить 3 г с 2 г и получить 5 г,
или «сложить» две силы, приложенные к одной точке, и получить
новую силу (равнодействующую). В противоположность этому при

251
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ
87
умножении сомножители и произведение могут быть значениями
величин различной природы; например, в известной формуле
s=zvt равномерного прямолинейного движения 5 есть длина пути,
v — скорость, t—время.
В соответствии с этим векторное исчисление знает два типа
сложения: «число -f- число = числу» и «вектор -j- вектор = вектору».
Что же касается умножения, то здесь a prori возможны шесть типов:
Сомножители
1 I Число и число
2 Число и число
3 Число и вектор
4 Число и вектор
5 Вектор и вектор
6 I Вектор и вектор
Произведение
Число
Вектор
Число
Вектор
Число
Вектор
Умножение 1-го типа принадлежит чистому учению о числе и,
исчислении, поскольку последнее
F F
Черт. 37.
конечно, встречается в векторном
имеет дело также и с числами.
В умножениях 2-го и 3-го типов
векторное исчисление не
нуждается: можно показать, что при
наличии умножений остальных
типов эти два не внесли бы ничего
существенно нового. Умножение
4-го типа было рассмотрено в п. 8.
Умножением 5-го типа мы
займемся сейчас, а умножением 6-го
типа —в следующей главе.
Итак, предметом ближайшего
изучения будет такая операция,
которая двум векторам, рассматриваемым как сомножители, относит
в качестве произведения число (скаляр); отсюда название:
скалярное умножение. Начнем с примеров подобного отнесения.
Рассмотрим точку, которая переместилась из положения А в
положение В, двигаясь прямолинейно и находясь все время под действием
силы F, постоянной по величине и направлению (черт. 37). В
механике важную роль играет понятие о работе силы F при
перемещении точки ее приложения. Как видим, определяющими
элементами служат здесь два вектора: F (сила) и AB = S (прямолинейное
перемещение). Известно, что работа в этом случае измеряется
произведением:
(88)
F-S.cos(Ft S).
С математической точки зрения это есть число, определенным
образом отнесенное двум векторам и обладающее, как увидим позже,
свойствами, присущими произведению двух чисел.

88
СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
Ггл. II
Другой пример заимствуем из наших недавних рассмотрений (п. 22):
проекция вектора а на направление вектора b
пр,а
есть также число, по определенному правилу сопоставляемое двум
векторам. В образовании этого числа векторы а и b играют
неодинаковую роль: первый участвует как своей длиной, так и
направлением, второй — только направлением. Это сказывается, между прочим,
и в том, что, вообще говоря, ирь а ф пра Ь. Впрочем, можно полнее
охарактеризовать взаимоотношение
этих двух проекций: если
положим а = (а, й), то [см. (81)]:
»
(89) np& а = a cos я, пра b = b cos я,
и следовательно,
ч
чч^ прьа:праЬ = а:Ь,
^ л т. е. рассматриваемые проекции
пропорциональны длинам проекти-
Черт. 38. руемых векторов (на черт. 38, где
ОЛ = а, ОВ = Ь, это
усматривается также из подобия прямоугольных треугольников ОАА' и ОВВ').
Отсюда:
а • npab = b • npba = ab • cos а [см. (89)].
Мы снова приходим к числу, определяемому двумя векторами по
тому же закону, по какому [см. (S8)] механическая работа
составляется из векторов силы и перемещения, — это число мы и будем
называть скалярным произведением векторов а ид,
обозначая его символом
ab.
Итак, скалярное произведение двух векторов (а и Ь)
может быть определено либо как 1) произведение трех чисел:
длин обоих векторов и косинуса угла между ними —
(90) ab = ab cos (а3),
либо как 2) произведение двух чисел: длины одного
вектора и проекции второго вектора на
направление первого —
(91) ab = a • пра b =^b • пр& а.
Теперь мы можем сказать, что работа силы F при перемещении S
измеряется [см. (88)] скалярным произведением FS.
/

25] СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ 89
Из формул (90) — (91) непосредственно усматриваются
следующие свойства скалярного произведения.
1) Если векторы а и Ь отличны от нуля, то [см. (90)]
скалярное произв ёдениеай обра щаетсявнуль втом итолько
в том случае, когда векторы а и Ь взаимно
перпендикулярны.
Вспоминая сказанное в п. 6 о неопределенности направления нуль-
вектора (в силу чего нуль-вектор можно считать перпендикулярным
к любому другому вектору), мы можем отбросить сделанную только
что оговорку (а ф 0, ЬфО) и считать соотношения
(92) ab-=0 и а±Ь1)
вполне равносильными.
2) Если скалярное произведение аЬ отлично от нуля,
то [см. (90); вспомним, что по определению а и Ь суть числа
не отрицательные] оно имеет положительное или
отрицательное значение, смотря по тому, составляет ли
векторы аиЬ острый или тупой у го л. В приведенном выше
примере механической работы последняя является положительной,
если направление силы составляет острый угол с направлением
движения («сила содействует движению»), и отрицательной—в
случае тупого угла («сила препятствует движению»).
3)Если один из перемножаемых векторов —
единичный, то скалярное произведение равно проекции
другого вектора на направление первого.
Например, если £ = 1, то [см. (91)] а6 = пр^а.
4) Произведение двух единичных векторов равно косинусу угла
между ними [см. (90), где теперь положим а = £=1].
5) Произведение двух коллинеарных векторов равно [см. (90)1
произведению их длин, взятому со знаком плюс или минус в зависи-
мости от того, обращены ли векторы в одну сторону [(а, Ь) =0]
или в противоположные [(ау Ь) = 180°].
Остановимся подробнее на том частном случае, когда а=» Ь\ имеем:
аа = а • а • 1 = а2.
Если условимся скалярное произведение аа называть
скалярным квадратом2) (или пррсто квадратом) вектора а и
обозначать через а2, то последнее соотношение перепишется в виде:
(93) а2 = а2,
1) j_—общепринятый знак перпендикулярности.
') Не следует думать, что этим соглашением делается первый шаг к
установлению понятия о произвольной «степени вектора». Понятие это чуждо
векторному исчислению; нигде в дальнейшем мы не встретим таких символов,
как а8, а*, ..., которые для нас останутся лишенными содержания.

90
СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
[ГЛ. I!
т.е. (скалярный) квадрат вектора равен квадратуего
длины (читатель обратит внимание на внешний вид формулы (93),
указывающей на возможность заменять в выражении таком, как а2,
букву жирного шрифта той же буквой обыкновенного шрифта;
равным образом, АВ2 = АВ2). В частности,
(94) если / — единичный вектор, то *2=1.
Замечание. Имея в виду предупредить возможную ошибку,
заметим, что две операции—1) возведение вектора в (скалярный)
квадрат и 2) извлечение квадратного корня из числа — не являются
взаимно обратными:
как видно уже из того, что У а'2 есть скаляр, а а — вектор.
Неожиданным этот результат может показаться только тому, кто
забудет, что при возведении вектора в квадрат исчезает один из
существенных признаков вектора—-его направление: все векторы
одинаковой длины имеют одинаковый скалярный квадрат. Последним
обстоятельством мы будем часто пользоваться при решении задач, именно
в тех случаях, когда захотим освободиться от признака направления
и сохранить только признак длины (см., например, ниже задачу 132).
Задачи.
120. Показать, что д&>аЬ!>— ab.
121. Показать, что (ttfc)2<a2&2. При каких условиях здесь имеет место
знак равенства?
122. Найти угол между векторами а и Ь% зная, что а2 = 5, ft2 = 7, а&=4.
Решить задачу в общем виде.
123. Выразить синус и тангенс угла между двумя векторами через их
квадраты и скалярное произведение.
124. Четырехугольник ABCD
вписан в круг. Показать, что
AB-AD AB-AD
v » (:
* \\
jTl
*%%%&>>*)
wmk». п
WM._
£L-
'CB -CD CB-CD '
125. Показать, что скалярное
произведение двух векторов, идущих от
одной вершины треугольника ABC
к двум другим, может быть
выражено через длины сторон треуголь-
Чеот 39 ник'а.
р ' * 126. Жидкость течет так, что все
ее частицы движутся прямолинейно
с одинаковой постоянной скоростью, изображаемой вектором v. Рассмотрим
замкнутый плоский контур С, погруженный в текущую жидкость и не
препятствующий ее течению; представим себе плоскую площадку с,
ограничиваемую контуром С и будем различать у этой площадки две стороны:
«внутреннюю» / и «внешнюю» // (черт. 39). II от о к ом, отходящим от
площадки с, будем называть объем жидкости, протекающий через контур С
в единицу времени — объем, взятый со знаком плюс, если жидкость перехо-

26] ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ КОМПОНЕНТ, ПРОЕКЦИЙ, КООРДИНАТ 91
(95) пр„а = ^ =
дит с внутренней стороны площадки на внешнюю (как изображено на
чертеже), и со знаком минус в противном случае (соответствующий чертеж
получим, изменив, например, направление вектора v на противоположное).
Нетрудно видеть, что поток вполне определяется (по абсолютной величине и по
знаку) следующими данными: 1) вектором-скоростью v, 2) площадью oi),
3) наклоном площадки а к направлению течения вместе с указанием того, какая
из двух сторон площадки является внешней; и то и другое может быть
охарактеризовано единичным вектором л, нормальным к площадке а и
обращенным во внешнюю ее сторону. Выразить поток через a, v и я.
26. Выражения для компонент, проекций, координат с помощью
скалярного умножения. Для вычислений, содержащих компоненты и
проекции векторов, та символика, которой мы пользовались до сих
пор (сокращения «комп», «пр»), является мало пригодной. Мы
убедимся сейчас, что скалярное умножение даст нам возможность
записывать компоненты и проекции в чисто алгебраической форме. Начнем
с того, что [см. (91), (93)]
ар аЬ
Ь ~ У&°
Далее, если PQ — какая-нибудь прямая, & — параллельный ей
единичный вектор (любой из двух возможных), то сопоставление равенств
прА а = (компрд а) : k и прл a = ak
приводит к формуле
(96) компрд а = (ak) k.
В геометрии пространства, кроме «компоненты вектора по данной
прямой», нередко рассматривают еще «компоненту вектора в данной
плоскости»: компонентой (ортогональной) вектора АВ в
плоскости Яназывается новый вектор А'В\ лежащий в этой
плоскости и имеющий началом проекцию (на
плоскость П) начала первого вектора, а концом —
проекцию его конца; будем писать
компдАЯ — А'В'.
Из построения, показанного на черт. 40, нетрудно усмотреть, что
всякий вектор равен сумме двух своих компонент, взятых: 1) в какой-
нибудь плоскости и 2) по перпендикулярной к ней прямой; в
обозначениях чертежа:
АВ *= компя АВ 4~ компда' АВ.
г) Как это часто делают, мы пользуемся здесь одним и тем же символом
(а) для фигуры и для ее площади (в кв. единицах).

92
СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
[ГЛ> И
Отсюда легко получить алгебраическое выражение для компоненты
вектора а в плоскости П [см. (96)]
(97)
компя а = а—(aft) ft,
где ft — единичный вектор (любой из двух возможных),
перпендикулярный к /7.
Итак, если ft — единичный вектор, то
aft есть проекция вектора а на направление ft (или же на ось,
имеющую направление ft);
(aft) ft — компонента вектора а по прямой, параллельной вектору ft;
a— (aft) ft — компонента
вектора в плоскости,
перпендикулярной к вектору ft.
В применении к декартовым
прямоугольным координатам
вектора а находим [см. (78)]:
(98) X=ai, Y = aj, Z = ak>
откуда [см. (73)1:
(99) a^(ai) i + (aj)j+ (aft) ft.
В правой части этого
равенства отдельные слагаемые суть
компоненты вектора а по
прямым Ох, Оу, Ог, а коэффициенты при *, / ft — проекции вектора а
на оси координат. Для координат точки соответственно имеем;
Черт. 40.
(980
(99')
х = n, y = rj> г = rft,
r=(ri)i+(rj)j+(rk)k.
Сопоставим теперь три формулировки, каждая из которых может
служить определением координат вектора в общей или же в
прямоугольной декартовой системе:
1. Во всякой системе (с базисными векторами еи е2, еъ)
координаты вектора суть коэффициенты в разложении его по еи е2» ez-
2. В прямоугольной системе (с базисными единичными
векторами *, /, ft) координаты вектора суть:
a) проекции его на оси координат,
b) скалярные произведения этого вектора на £, на j и на ft.
Задачи.
127. Записать (79) и (80) п. 23 с помощью скалярного умножения.
128. Найти компоненту вектора а: 1) в координатной плоскости xOz,
2) в плоскости, перпендикулярной к биссектрисе угла хОу.

27] АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ 93
27. Алгебраические свойства скалярного произведения.
Название «умножения», которое мы присвоили операции, относящей двум
векторам («сомножителям») число по формулам (90) или (91), будет
оправдано лишь после того, как обнаружится, что рассматриваемая
операция обладает свойствами обыкновенного умножения чисел
(см. «Введение», сноска 1).
Переместительное свойство скалярного умножения
(100) аЬ^Ьа
непосредственно усматривается из равенства (90) или из двойного
равенства (91).
Переместительное свойство останется в силе и тогда, когда мы изменим
определение действия, заменяя в формуле (90) символ (а, Ь) через (а Ь) (ибо
косинус — функция четная, см. п. 24).
Сочетательное свойство также принадлежит скалярному
умножению, если понимать это свойство в смысле, выражаемом
равенствами:
(101) X (аЬ) = (Ха) * = а(Щ,
словами: вместо того чтобы умножить скалярное
произведение на некоторое число, достаточна
умножить на это число один из векторов-сомножителей.
Действительно, согласно (91):
X (ab) = X . (Ь • прьа) =
= b • (X . пр^а) = [см. (80)1
*=b-npb (Ха) = [см. (91)]
= (Ха)*.
Вместе с тем можно считать доказанной и вторую часть
соотношения (101), так как [см. (100)] в скалярном произведении
различие между первым и вторым сомножителем не играет роли.
При наличии двух типов умножения (ка и ab) естественно возникает
вопрос, имеет ли силу сочетательное свойство также в смысле совпадения
произведений a {be) и (ab)c. Однако нетрудно видеть, что, вообще говоря,
(102) a (be) ф(аЬ)с>
ибо левая часть представляет собой вектор, коллинеарный с а, а правая —
вектор, коллинеарный с с; векторы же а и с, вообще говоря, не коллинеарны
(см. также задачу 135).
Наличие распределительного свойства, выражаемого
равенством
(103) ф + с)=*аЬ + ас,

94 СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ 1^л# п
вытекает из того, что [см. (91)]
а (ft -}- с) = а • пр« (ft + с) =* [см. (79)]
= а (npaft -j- ПР«С) = [в силУ распределительного
свойства умножения чисел] =
*=а« npaft-[-0- пРа^= [см- (91)]
6= aft -f- аг.
Примечание. Идея этого доказательства может быть в общих чертах
охарактеризована так: согласно (91) операция скалярного умножения может
быть разложена на две более простые: 1) проектирование, 2) обыкновенное
умножение (числа на число); а так как каждая из этих двух операций
обладает распределительным свойством, то последнее принадлежит и скалярному
умножению.
Тем обстоятельством, что скалярное умножение подчиняется
законам (100), (101), (103), обусловлена глубокая (хотя и неполная)
аналогия между алгеброй векторной и алгеброй числовой г)> Читатель
без труда проверит справедливость таких, например, тождеств:
(104) (За + *)(5с — Ы) = \Ъас — 12ad-\-5bc — \bd,
(a±ft)2==aa + ft2±2aft=== [см. (93)]
(105) (a + ft)(a — Ь) = а* —1>\
при выводе которых мы опираемся на свойства действий, общие
обеим алгебрам.
В противоположность этому числовое тождество
(e-PHai + ap + p)^ —р
йе имеет себе аналогичного в векторной алгебре: умножая а— Ь на a?+ab+b2,
мы не можем, например, аннулировать члены a(ab) и—ft «а2, ибо [ср. (102)],
вообще говоря, а(аЬ)Ф{ао) ft.
Одним из источников нарушения аналогии является следующий
факт. Из равенства ос[3 = 0 мы заключаем, что либо а = 0, либо
р й= 0; между тем равенство аЬ = 0 означает, что (см. п. 25, свойство 1)
либо а = 0, либо ft = 0, либо а±_Ь при афО, ЬфО.
Таким образом, обращение в нуль скалярного
произведения может иметь место без того, чтобы один
из сомножителей был равен нулю. В связи с этим стоит
незаконность «сокращения» равенства aft = ас на множитель а,
хотя бы и не равный нулю. Из
ab = ac, афО
х) Вопрос о том, является ли скалярное умножение, определяемое
формулой (90) или (91), единственной операцией, которая двум векторам относит
число и при этом обладает свойствами (100), (101), (103), освещен в п. 31.

27] АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ 95
нельзя заключить, что Ь = с, а только, что
a_Lb — с.
Однако справедливо следующее предложение: если равенство
(106) ах = Ьх
имеет место при данных векторах а, Ь и
произвольном векторе х, то а = Ь. Действительно, если бы
вектор а — Ь был отличен от нуля, то, пользуясь произволом в выборе хл
мы взяли бы этот вектор заведомо неперпендикулярным к а — Ь
и тогда имели бы
(а — Ь)хФ0, ахфЬх
в противоречии с (106).
В связи с только что отмеченной особенностью векторной алгебры стоит
своеобразное решение вопроса об операции, обратной скалярному
умножению (такую операцию можно было бы назвать «скалярным делением»). Речь
идет о том, чтобы по данному скалярному произведению и одному из
векторов-сомножителей найти другой сомножитель, т. е. решить уравнение:
(107) ах = а,
где а — данный вектор (=£0), а—данное число; х — искомый вектор.
Начнем с более частной задачи: найти вектор «обратно ко л
линеарный данному а», т. е. для данного вектора аф-0 найти такой коллн-
неарный с ним, чтобы скалярное произведение обоих векторов было равно 1.
Другими словами, для уравнения (107) при а = 1 ищем решение вида х= £а.
Подстановка дает $а2=1, откуда £ = -3, и следовательно, -^ есть вектор
обратно коллинеарный для а. Возвращаясь к уравнению (107), легко теперь
указать его частное решение:
а
1 а1
Если в (107) заменить а через aJCi, то это уравнение примет вид (х—лг1)а = 0.
Отсюда видно, что для того чтобы вектор jc удовлетворял уравнению (107),
необходимо и достаточно, чтобы х — jq был перпендикулярен к а.
Обозначая через р любой вектор, перпендикулярный к я, имеем:
*—*i=p или х — а~2=А
это и -есть общее решение уравнения (107).
Таким образом, скалярное деление есть действие неоднозначное; по этой
причине оно оказывается мало полезным и в дальнейшем рассматриваться
не будет.
Задачи.
129. Показать алгебраически, что, если / есть единичный вектор, то
векторы а — (ai)i и i взаимно перпендикулярны. Выяснить
геометрический смысл этого утверждения.

96 СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ [ГЛ. II
130. Показать что векторы a (be) — b(ac) и с взаимно перпендикулярны,
131. Какому условию должны удовлетворять векторы а и Ь для того,
чтобы их сумма и разность были взаимно перпендикулярны? Выяснить
геометрический смысл результата.
132. Решить задачу 60, не опираясь на свойство диагоналей
прямоугольника. (Указание. То обстоятельство, что два вектора тип имеют
равную длину, может быть выражено равенством тг = я2; см. конец п. 25.)
133. Проверить справедливость тождества
a&=i{a2+&2 — (a--&)2}
и выяснить его геометрический смысл.
134. Показать, что если равенство (106) имеет место для трех
некомпланарных значений х, то а = 6.
135. При каких условиях имеет место равенство a (be) = (ab) с [ср. (102)]?
136. Работа постоянной силы F при смещении s точки ее приложения
выражается скалярным произведением Fs [см. (88)]. Выяснить физический
смысл равенств
(F1 + F2+...+Fn)s = Fls + FtS+... + Fn8
и
F(Si + s2 + ... + sn)-=FSi-\-Fs2+... + Fsnt
написанных на основании распределительного свойства скалярного умножения.
137. Вывести (99) из (73), рассматривая X, У, Z в (73) как
«неопределенные коэффициенты».
28. Приложения к тригонометрии. В треугольнике ABC (черт. 41)
положим АВ = с; АС=Ь\ ВС=а (при этом для длин сторон будем
иметь обычные обозначения a, Ь, с),
так что:
(108) а^=Ь~с\ Ь = а-]-с.
Покажем, как при помощи
скалярного умножения можно получить из этих
равенств некоторые соотношения между
элементами треугольника.
1) Возведя обе части равенства
(108:) в квадрат, найдем [см. (104)]:
Черт. 41. (109) a2 = b2-\-c2 — 2Ьс.
Замечая, что а2 = а2, Ь2 = Ь2, с2 = с2, be = be cos Л, убеждаемся,
что получили хорошо известную формулу тригонометрии:
a2 = b2 -f с2 — 2bc cos Л.
2) Умножая обе части (Ю82) на 6, имеем:
b~ ;*= ab -f- cb = ад cos С -\- be cos Л,
откуда
(ПО) b = a cos С -[- с cos Л.

281
ПРИЛОЖЕНИЯ К ТРИГОНОМЕТРИИ
97
3) Умножая обе части (1082) на а — с, имеем:
аЬ — cb = a2— с2, или b (a cos С—с cos А) =я2 — с2.
Подставляя сюда д из (ПО), найдем:
a2 cos2 С — с2 cos2 А = а2 — с\
откуда
с2sin2А = a2sin9С, -=^4
> с sin О
— теорема синусов.
4) То обстоятельство, что cos а можно рассматривать как скалярное произ»
ведение двух единичных векторов,
составляющих угол а, приносит иногда
пользу при суммировании косинусов.
Пример:
(111) COS а + COS Р = tlx -f #2l
где /, iit i2 — единичные векторы
такие, что
<4У««. (',« = {*.
Вместо (111) можем написать
cos а + cos р = / (1г +1%).
Для построения суммы lx + /2
располагаем векторы ii и fe по «правилу
треугольника», что приводит к черт. 42, где OA = i, 6B = ix, ДС=/о(сле-
довательно, ОА = ОВ = ВС= 1), ЛОЯ = а, >ШС = р.
Теперь *! -f; /2 = ОС, откуда
(112) cos а + cos р = (ОС = ОС cos лЗЬ.
Но в равнобедренном треугольнике ОВС внешний угол при вершине В
равен
следовательно,
/\ )/\ \/\
",«- (U)+(*,*2)-p-«,
«t
ОС — 205СОЗ ДОСГ=2 cos ^— .
Подставляя & |(П2), приходим к известной гониометрической формуле
cos а + cos р ж 2 cos^W- cos *~~£-щ
Другой пример — задача 139.
Задачи.
138. Найти величину равнодействующей двух сил. приложенных к одной
точке, зная величины составляющих сил и угол между ними. Решить ту же
7 Зак. 1336. Дубнов, ч. I.

98
СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
[ГЛ. 11
задачу для случая трех составляющих сил, предполагая известными величины
этих сил и три угла между направлениями сил, взятыми попарно.
sin 2а cos -г
139. Показать, что 1 + cos а 4- cos 2а 4- cos За = . Обобщить
sin ^
полученный результат на сумму 1 + cos a -f cos 2а + ... + cos л а.
29. Скалярное произведение, выраженное в координатах. Идя
в том же направлении, которое привело нас (п. 16) к замене
аффинных операций над векторами вычислениями, производимыми над их
координатами (аффинными), поставим перед собою задачу: найти
скалярное произведение двух векторов, зная их координаты (на этот
раз декартовы прямоугольные). Итак, пусть
а={Х, Г, Z)=*Xl+Yj+Zk%
b={X't Y'9Z'}*=X'i+Y'j-\-Z'k.
Перемножение трехчленов, стоящих в правых частях, сводится
к перемножению векторов /, /, k> для которых имеет место
следующая таблица скалярного умножения:
i
J
\ k
i
J
.i.i
0
0
1
0
k
0
0
1
(113)
Отсюда видим, что из 9 членов, получающихся при раскрытии
скобок в выражении {XI + Yj^-Zk) (X i-\- Y'j-\-Z'k), шесть
обращаются в нуль, так что окончательно:
(114) аЬ=*{Х, Y, Z)-{X\ Y\ Z'}=XX'+YY'+ ZZ\
т. е. скалярное произведение двух векторов равно
сумме произведений одноименных координат. В
частном случае, когда b = а (и, следовательно, X' = X, Y' == К, Z' = Z),
имеем:
(115)
:a2 = A'2-j-y2 + Z*
(ср. задачу 102, решение которой основывалось на геометрических
соображениях).
Условие перпендикулярности векторов а и Ь [см. (92)1
выражается в координатах соотношением:
(не)
XX'^-YY'4-ZZ' = 0.

29J СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ, ВЫРАЖЕННОЕ В КООРДИНАТАХ 99
Более общий результат получим, замечая, что в силу (90):
(117) cos(a?&)=f£;
сопоставляя это равенство с (114) и (115), находим:
XX' + YY' + ZZ' __ XX' + YY' + Z7J
(118) cos (а, *)=■
ab YX*+Y* + Z*/X'* + Y'* + Z*4
Введя сокращенные обозначения для углов, образуемых векторами
а и b с осями координат:
М0 = «, (/Г*) = Р, (*Га) = т. <'Га) = а\ (А) = Р', (*Г*)==т'.
будем иметь [см. (82)]:
X —a cos а, К = acosp, Z = a cos 7,
*' = £cosa', У = ft cos Р', Z' = ft cos 7',
после чего (115) и (118) перейдут в
(115') cosaaH-cos2j3 + cos2T = l,
(Ив7) cos (а, Ь) = cos a cos а' -\- cos р cos р' + cos ? cos 7'
—формулы, часто применяющиеся в аналитической геометрии.
Замечание. При вычислении углов координаты вектора имеют то
преимущество перед направляющими косинусами прямой линии, что первые
являются вполне определенными, в то время как вторые — лишь с точностью
до общего множителя Hh 1. Это сказывается при решении тех задач, где
отыскивается определенный угол между прямыми (например,
внутренний угол треугольника, — ср. ниже задачи 141 и 146).
Задачи.
140. Даны точки /4(5,-2, 1), В( — 3, 0, 2), С(1, 3,-3), Д(2, 6,-1).
Показать, что прямые АВ и CD взаимно перпендикулярны.
141. Определить внутренние углы треугольника, вершины которого
находятся в точках А(2, — 5, 1), В(6,-3. 5), С (6,-4, 9).
142. Если три вектора
(*) {X, Г, Z}, {X't Y', Z}, {X"t Г", Z"}
перпендикулярны к одному и тому же вектору {/, т, п}, то векторы (*)
компланарны; обратно, если векторы (*) компланарны, то, перенеся их в одну
плоскость, можно построить вектор (=£0), перпендикулярный к этой плоскости
и, следовательно, к каждому из векторов (*). Исходя из этого, вывести
условие компланарности трех векторов, заданных своими координатами [ср.
полученный результат с (56)].
14?. Условие коллинеарности двух векторов {ХУ К, Z) и {X't Y\ Z'}
может быть выражено, с одной стороны, двойным равенством (54) п. 16,
с другой стороны, — соотношением [см. (Н8)]
(*) ХХ'+YT + ZZ'
Yx*+Y* + z*Y*'*+y,7 + z'*
7*

100 СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ [ГЛ. П
Проверить с помощью алгебраических преобразований, что из (54) выте*
кает (*), и наоборот.
144. Показать» что четырехугольник с вершинами Л (—3, 5, 6), £(1,-5,7),
С (8, —3, —1), D(4, 7, —2) есть квадрат.
145. На плоскости, полагая а = {X, У}, b = {Хг, К'}, выразить в
декартовых прямоугольных координатах: 1) ab, 2) а2, 3) cos (af b), sin (а, Ь),
146. Определить внутренние углы треугольника, вершины которого
находятся в точках А ( — 7, 1), В (2, 3), С (4, —1).
30. Косое (псевдоскалярное) умножение в ориентированной
плоскости. В этом пункте мы рассмотрим особый вид умножения,
специфический для ориентированной плоскости. Новое умножение будет иметь
со скалярным то общее, что в обоих случаях двум векторам-сомножителям
относят скаляр в качестве произведения; более глубокая связь, открывающая
возможность перехода от одного умножения к другому, выяснится позднее.
Предварительно рассмотрим операцию, производимую в
ориентированной плоскости над одним вектором: поворот вектора а на +90° (ср. конец
п. 24). Тот (вполне определенный при данной ориентации) вектор, который
получается из а в результате этого поворота, будем обозначать
а* (читается «а запятая»);
кроме того, по определению, 0* = 0. Легко видеть, что
(119) iaM«|oi = flf
(120) (а'У =* - а,
(121) (a+by = a> + Ь'
(поворот треугольника или параллелограма как жесткой системы),
(122) (Xa)'= Ха'
(переместительность операций поворота и «растяжения»).
Поставим теперь перед собой следующую задачу: зная векторы а и Ь,
найти тригонометрические функции направленного угла (a, Ь). В
случае косинуса, конечно, получим прежний результат [см. п. 24 и (117)]
(123) cos (a, b) = cos (a/b) = j~.
Иначе обстоит дело с нечетными тригонометрическими функциями: так
i/\ S\ /\ /\
(а, Ь) *= (а, а') + (а', Ь) « 90°+ (а', Ь),
то [см. также (119)]
S\ /\ а'Ь
sin (a, b) = cos {a\ b) - ^~ ,
откуда
a'b =s ab sin (a, b).

30J косое (псевдоскалярное) умножение 101
Число, определяемое левой (или правой) частью этого равенства» будем
называть косым (иначе псевдоскалярным1)) произведением а
на ft и обозначать символом
где на первом месте стоит вектор-множимое, на втором —
вектор-множитель, а косой крест служит для отличия нового умножения от скалярного.
Итак, косое произведение вектора а на вектор 6 может
быть определено как скалярное произведение двух
векторов: второго (ft) и повернутого на +90° первого
вектора (а), или же как произведение трех чисел: длины в е к-
тора а, длины вектора ft и синуса направленного угла (a, ft):
(124) а X Ь == а'Ь = ab sin (а, ft).
Исходя из второго определения, можно еще сказать: косое
произведение а X ft по абсолютной величине равно площади параллелограма,
построенного на векторах а и ft. Что же касается знака, то а X ft > 0, если
с помощью поворота на положительный угол, меньший 180°, можно
сообщить первому вектору (а) направление второго (ft); если же для
указанного совпадения направлений требуется повернуть вектор а на
положительный угол, больший 180° (или, что то же, на отрицательный угол, по
абсолютной величине меньший 180°), то aXft<0. В первом случае говорят, что
векторы а и ft, взятые именно в этом порядке, образуют правую пару
(расположены соответственно так же, как вытянутые большой и
указательный пальцы правой руки, обращенной ладонью кверху), во втором —
левую пару (те же пальцы левой руки).
Пользуясь косым произведением, мы можем ответить на поставленную
выше задачу и дополнить формулу (123) двумя другими:
(125) 51„«а=^. *л=^&.
Перечислим теперь те свойства косого произведения, на которых
основываются алгебраические преобразования.
При перестановке сомножителей косое произведение сохраняет
абсолютную величину, но меняет знак:
(126) aXft = -ftX*.
Косое произведение обращается в нуль в том и только в том случае,
когда перемножаемые векторы коллинеарны:
(127) aXft = 0 есть условие коллинеарности векторов а и ft.
В частности
(128) aXa = 0.
Сочетательное свойство имеет силу в том смысле, что
(129) X (а X ft) = а X W = (la) X ft;
*) Согласно установившейся в физической литературе терминология
псевдоскаляром называют число, определяемое векторами по такому
правилу, в силу которого при зеркальном отражении этих векторов (на
плоскости — от прямой, в пространстве — от плоскости) рассматриваемое
число меняет только знак. Легко видеть, что на ориентированной плоскости
число (a, ft), а с ним и sin (a, ft) меняют знак при зеркальном отражения.

102 СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЙ [ГЛ. II
действительно
с другой стороны [см. (122)],
X (а X Ь) = X (а'Ь) = (Ха') ft = (Ха)» 6 = (Ха) X &•
Распределительное свойство выражается равенствами
(130) аХ(Ь + с)~аХЬ+аХс и (Ь + с) X «==& X а + сХъ
справедливость первого вытекает из того, что
аХФ + с) == а* {Ь + с) = а'Ь + а*с = аХЬ + аХс
а второго из [см. (121)]
(Ь4.с)Ха = (6 + с)'а = (6Чс,)о = Ь,а + ^а = &Ха+^Хо.
Опираясь на эти свойства, мы можем подвергать косые произведения
многим из преобразований обычной алгебры, памятуя лишь, что
перестановка сомножителей влечет теперь перемену знака у произведения.
Например, если а = {Х, Y}, Ь = {X', Y'}, то к формуле
(131)
аХЬ = ХУ' — YX'=*
ХУ
X'Y'
[вытекающей уже из (124) и (86)] мы можем придтц также, отправляясь от
таблицы косого умножения
Множитель
1 /
1 J
i
0
-1
J
1
0
и раскрывая в произведении (XI + YJ) X {X'i + Y'J) скобки на основании
распределительного и сочетательного свойств.
Более общий результат: если
{а = \ха'
^ha' + Pib',
(132)
то [см. (126) и (128)]
(133) аХ Ъ = (А1(л2-^Хг) а' ХЪ' =
х2 \Н
а'XV.
Известно, что на плоскости всякий вектор т может быть разложен по
двум другим а и Ь, не коллинеарным между собою:
С помощью косого умножения мы имеем возможность выразить
коэффициенты аир через векторы т, а и Ь, Действительно, пользуясь тем,
что косое произведение коллинеарных векторов равно нулю, умножил

30] косое (псевдоскалярное) умножение 103
и. следовательно,
(134)
Написанное
(135)
или
(135')
в форме
(с
последнее равенство один раз (справа) на 6, другой раз (слева) на а;
получим (aXb^zOl):
аХЬ'? *ХЬ
аХЬ ^ аХЬ
(аХЬ)т = (тХЬ)а+(аХт)Ь
(аХЬ)т + (ЬХт)а+(тХа)Ь = 0
(последнее соотношение легко запоминается благодаря тому, что 2-й и 3-й
члены получаются из 1-го круговой перестановкой букв а, Ь, /и), это
равенство представляет собою тождество относительно трех векторов ту а, Ь,
свободное от ограничения «а не параллельно Ь», в чем можно убедиться,
подставляя в (135) или (1350 а~кЬ.
Замечание 1. В предыдущем изложении мы не раз апеллировали к
геометрической наглядности; между тем, ни «правое — левое», ни «часовая
стрелка», разумеется, не могут быть существенными элементами в
математическом рассуждении. Покажем, как обойтись без них. Оставаясь в
пределах плоскости (сначала неориентированной), будем называть плоским
репером (французское герёге) совокупность двух неколлинеарных векторов,
заданных в определенном порядке; из двух неколлинеарных векторов а и Ь
можно образовать два различных репера: а, Ь и Ъу а. Пусть теперь задан
другой репер а', Ъ'\ тогда имеют место разложения типа (132), причем
определитель
I /ч
(136)
отличен ;от нуля [в противном случае из (133) имели бы аХ& = 0, а\\Ь
вопреки допущению]. Считая векторы каждого репера приведенными к общему
началу, будем говорить, что эти реперы одинаковой ориентации,
если можно векторам одного репера сообщить направления соответствующих
векторов другого (так, чтобы для измененных векторов стало а = Ха',
b — [xb'f Х>0, [•«•>0), соблюдая следующие требования: векторы первого
репера непрерывным образом вращаются вокруг своего начала, ни
разу не приходи в с о с т о я н и с кол лине арности. Если же такого
рода переход от одного репера к другому оказывается невозможным, то
реперам приписывают противоположную ориентацию.
Нетрудно указать аналитический признак, позволяющий судить о той
или иной взаимной ориентации двух реперов.
Описанному выше непрерывному вращению векторов а, Ъ, сообщающему
им направления а', Ь\ соответствует непрерывный переход коэффициентов
Х2 ,л2
в (132) от их первоначальных личешш к значениям
I 0
Or,
где X, |х — положительные числа (см. выше). При этом переходе возможное
состояние коллинеарности векторов а и Ь будет характеризоваться обраще-

104
СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
[ГЛ. И
иием в нуль определителя (136), элементы которого рассматриваются теперь
как числа переменные. В таком случае геометрический вопросов одинаковой
или противоположной ориентации двух реперов сводится к следующему
аналитическому: возможно ли в результате непрерывного изменения элементов
определителя (136) перейти от первоначального его значения к значению
I 0 Р
так, чтобы при этом определитель (136) ни разу не обратился в нуль?
Замечая, что (136') имеет положительное значение (ибо Х>0, н<>0), и принимая
во внимание, что определитель есть непрерывная функция своих элементов,
легко ответить на этот вопрос, а вместе с тем и на исходный геометрический:
для того чтобы два репера были одинаковой ориентации,
необходимо и достаточно, чтобы определитель (136),
составленный из коэффициентов в разложениях векторов
одного репера по векторам другого, имел
положительное значение. Например, реперы a» b и Ь, а — противоположной
ориентации, ибо положив а' = Ь, Ьг = а, мы получим для (136)-
Теперь скажем: ориентировать плоскость значит — выбрать
на ней определенным образом («ориентирующий») репер и с этим
репером сравнивать все остальные *). Именно, все реперы на плоскости распадутся
теперь на две категории: 1) «положительные» реперы, имеющие ту же
ориентацию, что и выбранный нами, 2) «отрицательные» реперы —
противоположной ориентации 2). Если на плоскости установлена система координат, то
естественно принять базис этой системы за ориентирующий репер; именно
такой смысл имеет соглашение (/, j) = 4-90°.
В качестве иллюстрации решим заново, но теперь чисто
алгебраическими средствами, задачу п. 24: зная а — {X, У}, найти координаты вектора
ах = {Хи У{}, полученного из а поворотом на -{-90°. Записывая по очереди:
1) условие перпендикулярности векторов аи а\,2) условие равенства их длин,
3) условие одинаковости ориентации реперов а, а\ и i, j, получим для
неизвестных Хъ Уг:
XXt+ YYX = 0, Х{+у1 = Х*+ Y\ ХУХ — УХг>0.
Из первого соотношения
Xi — a> У, У1 = — ш А";
подставляя во второе и третье, получим:
а>2=1, —ш>0,
дткуда а> = --1, и окончательно
Х! = — Г, Yi^X.
1) В таком же смысле говорят об «ориентированной прямой», когда на
этой прямой выбрана пара точек, заданных в определенном порядке.
2) Если угодно, можно вместо «положительные» и «отрицательные»
говорить снова «правые» и «левые», но уже не связывая с этими терминами
анатомических представлений.

30] КОСОЕ (псевдоскалярное; умножение 105
Замечание 2. Теорию косого произведения мы развили в рамках
метрической геометрии (вращения!). На самом же деле мы нуждались только
в понятиях: 1) ориентации, 2) площади (но могли, например, обойтись без
измерения длин и углов). Поэтому можно считать косое произведение
принадлежащим так называемой «эквиаффиннои геометрии», т. е. геометрии
подгруппы (более обширной, чем метрическая) тех аффинных
преобразований, которые не меняют ни площадей, ни ориентации реперов.
Задачи.
147. Исходя из очевидного равенства а'Ь* — ab, показать, что 1) йЬ =
s= аХ Ь\ 2) а' X & — аХ Ь (геометрический смысл?).
148. Показать, что
1) (аХ Ь)т* = {am) Ь — (Ьт) а;
2) (аХЬ)(тХп) = (йт)(Ьп) — (an)(Ьт) = I
am an
Ьт Ьп
149. Показать, что (аХ Ь)~ + (abf = а2&2.
150. Показать, что (а + Ь)Х (а — Ь) = — 2а X Ь (геометрический смысл?).
151. Зная длины (а и Ь) непараллельных сторон параллелограма и угол (а)
между этими сторонами, найти угол между диагоналями. [Указание.
Воспользоваться (125а.)]
152. Показать, что если а — {Х, К}, то Х = aXJ. ^=*Х я.
153. Показать, что из a -f- Ь + с = 0 вытекает аХЬ = ЬХс~сХа*
Выяснить геометрический смысл этого утверждения.
153а. Из равенства Ь = а+с (черт. 41) получить с помощью косого
умножения на Ь тригонометрическую формулу а : с = sin А : sin С.
154. Вершины треугольника находятся в точках А (г{}} В (г2), С (г3);
показать, что пл. ABC = -=-1 гг X г2 + г2 X г3 + г3 X /Ч I.
155. Найти площадь (S) параллелограма, построенного на векторах
а = {X, Y} и Ь = {X', Y'}.
156. Найти площадь треугольника ABC по координатам вершин А (хь _ух),
B{xvy& С(хд,у2).
157. Найти расстояние точки Л(1, 2) от прямой, соединяющей точки
В( — 2, —1) и С(4, 7). (Указание. Искомое расстояние равно высоте
параллелограма ABCD, для которого площадь и длину основания мы можем
вычислить.]
158. В силу (131) всякий определитель второго порядка может быть
рассматриваем как косое произведение двух векторов. Каким свойствам
определителей соответствуют свойства косого произведения, выражаемые
формулами (122), (128), (129), (130), вторым равенством задачи 148 и
равенством задачи 149?
159. На плоскости два репера а, & и а*, &* называются взаимными,
если
(I) аа* = &&* = 1, аЬ* = &а* = 0.
Показать, что 1) всякому реперу а, Ь соответствует взаимный, одно«
значно определяемый (на ориентированной плоскости) равенствами:
* _ & # _ а9
а'- аХЬ' * ~ аХЬ;
2) (аХ&)(а*Х&*) = 1;
3) для любого вектора т, компланарного с а и Ь, имеем:
(II) т = {та*) а + (w&*) Ь>

106
СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
(ГЛ. II
160. а = {4, — 1), 6 = {3, 3}. Найти координаты векторов взаимного
репера (см. предыдущую задачу).
161. На плоскости векторов а и Ь найти вектор хиз системы уравнений
ха = а, хЬ = р (а, Ь, о, р — данные). Записать систему уравнений и ее
решение в координатах.
162. Может ли быть репер сам себе взаимным?
31. Единственность скалярного умножения в геометрии
пространства. Вопрос о единственности (см. вводную часть п. 20) скалярного
умножения может быть поставлен в форме следующей задачи.
Каждой паре векторов х, у (порядок a priori не безразличен)
поставить в однозначное соответствие число—будем
называть его скалярным произведением х нау (асамое
действие —скалярным умножением) и обозначать
символом х о j; — так, чтобы выполнялись следующиетребования:
1) операция скалярного умножения обладает
сочетательным свойством но отношениюкумножениюна скаляр
(137) X (х о у) = (Хх) оу^Хо(\у)
и распределительным свойством
(138) х о (y + z) = x о у-\~х о г\
2) если пара (х, у) конгруентна1) парс (х', у') (т. с. если
существует в пространстве вращение, преобразующее одновременно х в хт
и у в у% то х о у = х' о у'ш
Решение. В силу (137)
(139) ху=*ху(хОоуО),
где х° и у® — единичные векторы векторов хну; таким образом, достаточно
решить задачу для единичных векторов. Начнем с частных случаев.
а) Так как пара, состоящая из двух совпадающих единичных векторов,
конгруентна любой другой паре этого рода, то
(140) х° о х° = const ( = \ь)
в том смысле, что скаляр ;х не зависит от направления х°.
б) Пусть х и .у — взаимно перпендикулярные векторы, приведенные
к общему началу. Легко видеть, что такая пара (х, у) конгруентна паре
(—х, у) (вращение на 180° около вектора у). Поэтому [постулат 2]:
X о дг = (— х) о ,у = — (jcoji) [см. (137)],
откуда
(141) х о у = 0, если х ±у.
в) Пусть теперь х°, у® — два произвольных единичных вектора,
образующих угол а (черт. 43). В плоскости векторов х°, .у0 построим единичный
вектор xj» перпендикулярный к х°, причем из двух возможных для xj
направлений выберем то, которое составляет с вектором у^ угол ^90°; тогда
у° = х° COS а + xj Sin а
и, в силу (138),
Х° о у0 ж* х° о (х° cos а) + х° о (х? sin а) = [см. (137), (140), (141)] = j* cos а.
*) Естественно, что при переходе от аффинной геометрии к метрической
требование аффинной инвариантности операций (ср. п. 20) заменяется
требованием инвариантности относительно кингруентных преобразований ( =
движений жестких фигур).

32] ВЕКТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ НА плоскости 107
Возвращаясь к общему случаю, имеем [см. (139)]:
х • у = рху cos a, ц. ^= const.
Постоянный множитель ц не имеет здесь существенного значения, так как
надлежащим выбором масштаба он может быть приведен к ± 1 (мы, конечно,
отбрасываем тривиальное решение jx = 0). Таким образохм, приходится
различать только два вида (несущественно отличающиеся один от другого)
скалярного умножения:
х оу = хусо$а (как принято в векторном исчислении),
х су = — ху cos а (как принято в исчислении кватернионов).
Замечание. Как видим, нет необходимости заранее приписывать
скалярному произведению переместительное свойство: оно появляется само собой,
как следствие постулатов 1 и 2. Иная картина получи- f
лась бы, если бы мы решали ту же задачу не в про- х,
странстве, а на плоскости. Там мы не могли бы более
утверждать, что скалярное произведение двух взаимно
перпендикулярных векторов равно нулю [см. (141)],
ибо на плоскости пары (д:, у) и (— х, у) не получаются
одна из другой вращением. И действительно, мы
знаем, что на плоскости существует еще одна
операция— косое умножение (п. 30),— обладающая теми же
свойствами, какие содержатся в постулатах 1 и 2. Можно
показать, что, не выходя за пределы плоскости, мы по- Черт. 43.
лучили бы в качестве наиболее общего решения задачи
линейную (с постоянными коэффициентами) комбинацию скалярного и косого
произведений:
Хху+ |а*Х.У, (^ Р- — постоянные).
Однако, если к постулатам 1, 2 присоединяется требование
переместительности, то скалярное произведение и для плоскости остается
единственным решением.
32. Векторные уравнения линий на плоскости; прямая линия.
Как известно, в декартовой координатной геометрии на плоскости
уравнением линии называют такое соотношение между
координатами х и у,
(142) F(x,y) = 0,
которое удовлетворяется в том и только в том случае, когда вместо
х и у подставим соответственно абсциссу и ординату какой-либо
(любой) точки, лежащей на данной линии. Аналогично этому
векторным уравнением линии будем называть такое соотношение
(143) <?(/■) = 0
(здесь о — характеристика функции особого рода, именно — функции,
сопоставляющей вектору число), которое удовлетворяется тогда и
только тогда, когда вместо г подставим радиус-вектор какой-либо
(любой) точки, лежащей на данной линии.
Если х и у — декартовы прямоугольные координаты, а
радиус-вектор г проводится из начала координат, то переход от координатной

108
СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
[гл. п
формы (142) уравнения к векторной (143) и обратно может быть
выполнен автоматически по формулам [см. (98') и (74)]
х = ri, у = rj, г = xi -\-yj.
Например, для эллипса, известным образом расположенного
относительно координатных осей, уравнение может быть написано в
координатной форме:
или в векторной
Из этого примера видно, что векторное уравнение может содержать
в явном виде базисные векторы i и у. Что это необязательно,
показывает пример окружности с центром в полюсе и радиусом я, корр-
динатное уравнение которой есть х2-\~у2 = а2, а векторное может
быть написано в каждой из двух форм:
(г*)* + (rj)2 = а2 или г2 = а2.
Не следует также думать, что выводу векторного уравнения линии
всегда должно предшествовать решение аналогичной задачи в коорди*
натах. Нередко, наоборот,
векторная форма уравнения
оказывается вытекающей из
геометрического задания
линии наиболее
непосредственным образом (например,
рассматривая приведенные выше
формы уравнений
окружности, можно заметить, что
уравнение г2 = а2 является
простой записью того факта,
что для всех точек
окружности с центром в полюсе длина радиуса «вектора остается постоянной,
равной а). Мы убедимся в этом также на примере векторных
уравнений прямой линии, к выводу которых и перейдем.
Положение прямой на плоскости является вполне определенным,
коль скоро заданы: 1) точка Мх (г\), через которую прямая проходит,
и 2) вектор пу к которому эта прямая перпендикулярна,—так
называемый нормальный (от слова «нормаль») вектор (черт. 44).
Имея в виду составить щ> этим данным уравнение прямой, возьмем
на последней переменную точку М (г); задача состоит в том, чтобы
связать переменный радиус-вектор г с данными векторами гх и п
уравнением, удовлетворяющимся в том и только в том случае, когда
конец М вектора г лежит на рассматриваемой прямрй. Где бы на

321
ВЕКТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ НА ПЛОСКОСТИ 109
последней ни была взята точка Mt всегда вектор MtM (с
постоянным началом Мг и переменным концом М)у равный г — г1%
перпендикулярен вектору пу т. е.
(144) (Г_Г1)|| = 0.
Наоборот, если точка М' лежит вне прямой МХМ, то M1Mf Fie
перпендикулярен я, М^РЛ' • п ф 0, и следовательно, уравнение (144) не
будет удовлетворено, когда вместо г подставим радиус-вектор точки М1.
Сопоставляя все сказанное, заключаем, что (144) есть искомое
уравнение прямой.
Если точка Мх и вектор п заданы своими координатами
а координаты («текущие») точки М обозначены через (х, у),
то уравнение (144) (т. е. условие перпендикулярности векторов
{л:—х1% у—>>/} и {и, v}) принимает вид:
(145) uix — xJ+viy—yJ^O.
Каждое из соотношений (144), (145) может быть названо уравнением
прямой по точке и нормальному вектору.
Если в левой части уравнения (144) раскроем скобки и обозначим
через $ число (постоянное) гхп, то получим:
(146) т — s —0 или /■/* = $;
написанное в этой форме уравнение выражает тот факт, что при
перемещении точки М по прямой скалярное произведение радиуса-
вектора (г) этой точки на постоянный вектор (п) остается
постоянным. Соответствующее координатное уравнение имеет вид
(147) ад; -*j- vy = s (и, v, s—постоянные).
В частности, к уравнению типа (146) приходим, решая Следующую
задачу: составить уравнение прямой, зная длину и
направление перпендикуляра ОР, опущенного из
полюса на эту прямую.
Итак, пусть OP = pQ>0); п°( = ОР :р прн рфО)—единичный
вектор, характеризующий направление от О к Я1) (черт. 45). Где бы
ни была взята на прямой точка Ж (г), всегда мр„о ОМ = ру т. е.
(см. п. 26):
(148) гп° = ртп гп° — р = 0(\п°\ = 1, р>0).
1) Если прямая проходит через полюс, то под символом л° будем разуметь
единичный вектор, перпендикулярный к этой прямой и имеющий любое из
двух возможных направлений.

по
СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
[гл. п
Это и есть искомое уравнение. Имея в виду перейти к координатам,
обозначим через а угол, образуемый перпендикуляром ОР с осью х, —
точнее, угол, на который надо повернуть в положительном
направлении ось л: для того, чтобы сообщить ей направление ОР (0<><360о).
Тогда /*°=:{cosa, sin а}; а так как г*={х, у}, где х, у—текущие
координаты точки (М) на прямой, то (148) принимает вид:
(149) xcos<x+>/sinai— /7 = 0 (0 < a < 360°, /?>0).
Последнее уравнение [или равносильное ему (148)] носит название
нормального уравнения прямой.
Мы можем теперь вернуться к ранее решенным задачам (1-я и 2-я п. 17)
с тем, чтобы заменить полученные там параметрические уравнения прямой
линии непараметрическими. Вспоминая
условие коллинеарности (127), напишем
уравнение прямой:
а) по точке Mi (г{) и параллельному
вектору a —
(150) (Г —ri)xa=0;
б) по двум точкам М± (гу) и Af2 (Го) —
(151) Гг-г1)Х(г2-г1) = 0.
При переходе к координатам, (150)
и (151) заменяются соответственно
уравнениями [см. (131); сохранены обозначения п. 17]:
Черт. 45.
X — Xi
I
У—Ух
т
= 0 и
= 0,
x — xi у— ух
Х2—ХХ У2—У1
которые несущественно отличаются от (6i bis) и (61 ter).
Из предыдущих рассуждений вытекает, что псякая прямая может
быть предртавлена уравнением вида [см. (146)1
(152) rn = s;
действительно, достаточно взять в качестве (г,) какую-нибудь точку
на прямой, а в качестве п — какой-нибудь из векторов,
перпендикулярных к данной прямой, чтобы придти к уравнению (144), а от
него — к (146). Посмотрим теперь, справедливо ли обратное
предложение. Другими словами, если вектор п и число s заданы произвольно,
то всегда ли найдется прямая, которая была бы графиком
уравнения (152), где п и 5 имеют заданные значения. Ответ дается
следующей теоремой: всякое уравнение вида (152), где яг/-0,
графически изображает ся прямой линией,
перпендикулярной к вектору я. Для доказательства (ср, абзац, напечатанный
мелким шрифтом в конце п. 27) построим прямую, которая, во-первых,

32] ВЕКТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ НА ПЛОСКОСТИ Ц1
проходит через точку, определяемую радиусом-вектором -j п> и
во-вторых, перпендикулярна к п\ уравнение такой прямой есть [см. (144)]
(г n/*Jrt = 0, или гп^$.
В переводе на язык координатной геометрии доказанная теорема
звучит так: всякое уравнение первой степени вида
(153) Ах + Ву^С
(А и В не равны одновременно нулю) графически
изображается прямой линией, перпендикулярной к
вектору {А, В). (Ср. с аффинным истолкованием того же уравнения,
данным в п. 17 и в задаче 63),
Упражнение. Построить (например по точкам пересечения с осями
координат) прямую 4х-\-Зу= 18 и вектор {4, 3}. С помощью
угольника удостовериться в том, что вектор перпендикулярен к прямой.
Таким образом, всякий раз, как уравнение прямой приведено
к виду (153), может быть без всяких вычислений указан для этой
прямой нормальный вектор: координатами последнего служат
коэффициенты при х и у в уравнении прямой. Это замечание часто
оказывается полезным при исследовании угловых соотношений между
прямыми, которые заданы своими уравнениями. Например, для того чтобы
две прямые
(154) Ах + Ву-\~С=0 и Л'я + В'.у + С —О
были параллельны (перпендикулярны), необходимо и достаточно, чтобы
были параллельны (перпендикулярны) нормальные векторы этих
прямых. Отсюда заключаем, что условие параллельности прямых
(154) выражается равенством1)
055) £ = £,
*) Параллельность здесь надо понимать в широком смысле слова, т. е.
включая сюда и возможность совпадения обеих прямых. Если желательно
выделить эту возможность, то надо различать два случая:
; А' В' О '
уравнения (154) равносильны» и следовательно, прямые совпадают;
} А' ~ в' "г а '
прямые параллельны — в узком смысле слова. Заметим еще, что признак
параллельности (но не перпендикулярности!) прямых, заданных уравнениями
(154), хотя и получен здесь метрическими средствами, однако принадлежит
аффинной геометрии.

112
СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
[ГЛ. П
а условие перпендикулярности — равенством
(156) ЛЛ' + ££' = 0.
Полученные только что признаки параллельности и
перпендикулярности могут быть также выведены из следующих общих формул,
определяющих угол между прямыми (154). Приведем оба
нормальных вектора: д = {Л, В} и д' = {А\ В'} (черт. 46) к общему началу;
по свойству углов с взаимно перпендикулярными сторонами (д, д')
равен одному из углов между прямыми (а другим углом между
прямыми дополняется до 180°). Если обозначим через а один из углов
между прямыми (154), то cosa = rtcos (д, д'), sin а := sin (д, д'),
iga^= z!ztg(n} д')- Вспоминая формулы для косинуса, синуса,
тангенса угла между двумя векторами (см.
задачу 145), имеем:
АА'+ВВ'
~Уж+& ул'ъ-\-в'* '
cos a = zzz -—7=
sin a =
(157) tga = ±
Черт. 46.
VA* + B* VAf*+B'^
AB' — BA'
АА' + ВВ''Л
При a == 0 и a = 90° снова найдем при-
. знаки параллельности и
перпендикулярности двух прямых.
Покажем теперь, что уравнение вся*
кой прямой, заданное в форме (146^,
может быть приведено к нормальному виду (1482). Действительно,
последний характеризуется тем, что 1) нормальный вектор (д°)
есть единичный, 2) свободный член (—р) есть число
отрицательное (или нуль). Но первое требование мы всегда можем
выполнить, разделив обе части уравнения т — s = 0 на -\-п или на —п,
после чего уравнение будет содержать в качестве нормального
вектора единичный ±д°; при этом выбором знака мы можем
распорядиться так, чтобы было удовлетворено и второе из упомянутых только
что требований. Итак, для того чтобы прив-ести
уравнение rn — s = 0k нормальному виду, достаточно
разделить обе части это го уравнения на длину п
нормального вектора д, взятую с тем же знаком, какой имеет
число s (иначе — со знаком, обратным знаку свободного члена — s).
Переходя к координатам, можем сказать: для того чтобы
привести уравнение Ax-j-By + С=0 к нормальному
виду (149), достаточно разделить обе части этого
выбирая знак
уравнения на :±ула + 2?2»
при корне с

32] ВЕКТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНИЙ НА ПЛОСКОСТИ ИЗ
таким расчетом, чтобы свободный член нового
уравнения получился отрицательным.
Пользуясь нормальным уравнением прямой, можно найти
расстояние ее от любой точки, взятой на плоскости. Действительно, пусть
имеем прямую, заданную нормальным уравнением rri°—р = 0, и
точку М(г{) (черт. 47); задача состоит в том, чтобы определить длину
перпендикуляра MN, опущенного из М на прямую. Замечая, что
вектор NM коллинеарен с
единичным вектором я0,
можем написать:
Участвующий в этом
равенстве числовой
коэффициент S, взятый по
абсолютной величине, даст нам
искомое расстояние; что же
касается знака, то число о
будет положительным, если
векторы NMnn° имеют
одинаковое направление (т. е.
если точки Ж и О лежат по
разные стороны от прямой, как на черт. 47), и отрицательным,
если эти векторы имеют противоположные направления (точки М и О
лежат по одну сторону от прямой). Имеем:
а так как точка N лежит на прямой гп° — р = 0, то радиус-вектор
этой точки должен удовлетворять уравнению прямой:
(Г! —ол°)л° —/7=0, Г1п° — Ъ—р = 0,
откуда
(158) Ь = Г1п° — р, AW=|8!=I'V*0 — />!•
Рассматривая выражение, полученное для 8, можно заметить, что оно
есть не что иное, как результат подстановки гх вместо г в левую
часть нормального уравнения прямой. Итак, для того чтобы найти
расстояние точки от прямой, подставляем в левую часть уравнения
прямой, приведенного к нормальному виду, вместо переменного радиуса-
вектора (г) радиус-вектор (г^) данной точки; в результате
подстановки получим число, абсолютная величина которого даст искомое
расстояние, а знак покажет, лежит ли точка по ту же сторону от
прямой, что и полюс, или по другую сторону (минус — в первом
случае, плюс — во втором).
Черт. 47.
8 Зак. 1336. Дубиов, ч. (.

114
СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
[ГЛ. Я
При переводе на язык координат в предыдущей формулировке
нядо только заменить 1) выражение «вместо переменного
радиус-вектора (г) радиус-вектор (г^ данной точки» выражением «вместо
переменных координат (х, у) координаты (xv у^) данной точки» и
2) слово «полюс» словами «начало координат». Таким образом,
расстояние MN точки М(хи vx) от прямой Ах -|- By -\- С = 0
выражается формулой
(159) MNtss\A*i + *y* + C
Задачи*
163. Вершины треугольника находятся в точках А (Г{), В (г2)> С (г3).
Написать уравнения трех высот. Удостовериться в том, что эти высоты
пересекаются в одной точке.
(Указание. Для того чтобы три прямые пересекались в одной точке,
достаточно, чтобы уравнение одной из них было следствием уравнении двух
других.)
164. Вершины треугольника находятся в точках А( — 1, 1), В (4, 3),
С (2, 6). Написать уравнения трех высот.
165. Для треугольника задачи 163 написать уравнения перпендикуляров,
проведенных к каждой стороне через ее середину.
166*. Вывести уравнение (150) из (144).
167. Вершины треугольника находятся в точках А( — 4,—5), В (4, 1),
С( к >?)• Написать уравнение биссектрисы (внутреннего) угла А.
168. Найти угол между прямыми Зу— 2х — 12 и 5х-\-4у— 15.
169. Найти внутренние углы треугольника ABC, зная, что уравнения
сторон АВ, ВС и СА суть соответственно Sx — 4v + 12 = 0, х + 2у — 4 = 0 и
*_-3y —3 = 0.
170. Показать, что прямые (1) бл* — 8у — 15 =* 0, (2) 9л* — 12у — 35 = 0,
(3) Зл* — 4v+ 10 = 0 параллельны, и найти расстояния между этими прямыми,
взятыми попарно.
171. Найти уравнение геометрического места точек, равноотстоящих от
двух данных точек А (г{) и А (г2).
172. Написать уравнение прямой, которая проходит через точку А (п) и
находится на равном расстоянии ог точек В (г*) и С (Гц). Решить ту же задачу
в координатах.
33. Окружность на плоскости. С уравнением окружности г- = а2
мы уже встретились в п. 32, где предполагалось, что центр
окружности находится в полюсе. Обращаясь теперь к общему случаю,
рассмотрим окружность радиуса а с центром в точке С (с) (черт. 48).
Для того чтобы точка /И лежала на окружности, необходимо и
достаточно, чтобы СМ = а; а так как СМ = г — с, то уравнение
окружности может быть написано в виде
(160) (г — с)2 = а* или г2 — 2сг = а2 — с2.
Если окружность проходит через полюс, то с*=а, и уравнение (160)
принимает вид
(161) Н— 2<т = 0;

33]
ОКРУЖНОСТЬ НА плоскости
115
написанное в форме г {г — 2с) ~ 0 это уравнение выражает тот факт,
что диаметр 2с виден из любой точки окружности под прямым углом.
Если на окружности, выражаемой уравнением (160), взята точка
А (гр (черт. 49), то уравнение
касательной, проведенной к
окружности в точке А, может быть
написано по точке (/-j) и
нормальному вектору С А (= ri — с);
(162) (r — rj(r1 — c) = 0.
Этому уравнению можно придать
иной вид, если заметить, что
радиус-вектор точки Л, лежащей на
окружности, удовлетворяет
уравнению (160):
складывая (162)
ством, получим
(163)
с этим равен-
после очевидных преобразований:
(г — c)(ri — с) = аК
Черт. 48.
Ниже мы коснемся нескольких более специальных вопросов из теории
круга в векторном изложении.
а) Степенью р точки Р{г±) относительно круга, имеющего центр
в С (с) и радиус а (черт. 50), называется скалярное произведение двух колли-
Черт. 49. Черт. 50.
неарных векторов PQ' и PQ", общее начало которых лежит в точке Р, а
концы — на окружности:
(164) Р = Р(У Рф.
Для того чтобы сделать это определение законным, надо показать,
что упомянутое скалярное произведение не зависит от того, в каком из
бесчисленного множества возможных направлений проведена через точку Р
секущая PQFQf\ Если и — единичный вектор (так что Ф — 1),
параллельный прямой PQrQrf% то последняя может быть представлена уравнением
8*

116
СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
[ГЛ. п
Решая эть уравнение совместно с уравнением окружности, написанным
в форме [см. (160)]
(165) (г—ер —а»«0,
найдем:
(166) (Г14-Хя-*)2 — а* = 0
— квадратное относительно X уравнение, корни которого X' и X"
соответствуют точкам пересечения прямой с окружностью. Точнее, PQ* — >/«,
PQP = Х"я, так что
PQ Р$' « Х'Х"а2 = Х'Х".
Отсюда видим, что интересующее нас скалярное произведение равно
произведению корней квадратного уравнения (166); следовательно, нет
необходимости решать последнее; достаточно установить величины 1)
коэффициента при X2, 2) свободного члена. Первый равен 1*2 = 1, а последний
равен (#i — с)2— а\ так что степень
(167) р = рфр<у'=*(Г1-с)* — а\
Тем обстоятельством, что вектор и не участвует в выражении,
полученном для степени точки Я, доказана независимость этой величины от
направления секущей. (Полученный результат объединяет в себе две теоремы
элементарной геометрии: 1) о постоянстве произведения отрезков хорды,
проведенной через внутреннюю точку круга; 2) о постоянстве
произведения секущей на ее внешнюю часть.) Вместе с тем обнаруживается,
чт© степень точки Р(г{) 1) равна разности между квадратом ее
расстояния от центра круга (ибо rt — с = СР) и квадратом радиуса этого
круга; 2) получается в результате подстановки гх вместо г в левую часть
уравнения (165).
Если имеем две (неконцентрические) окружности
(168) (г— с)2 — л2 = 0 и (г— с*)* — а'* = 0 (с фс'),
то существует бесчисленное множество точек, обладающих тем свойством,
что степень такой точки относительно той и другой окружности,
одинакова. Действительно, для того чтобы
точка (R) обладала этим свойством,
необходимой достаточно, чтобы были равны между
собою результаты подстановки R вместо г
в левые части каждого из уравнений (168):
(R — с)2 — а2 = (Я - c'f — af\
После легких преобразований получаем:
(169) 2 {& — с) R + (с2 — с'* — а2 + а'2) = 0
— уравнение (R — переменный
радиус-вектор, который теперь снова может быть
заменен на г) геометрического места точек,
имеющих одинаковую степень относительно
обеих окружностей. Форма этого уравне-
Черт. 51. ния обнаруживает, что рассматриваемое
геометрическое место есть прямая (так
называемая радикальная ось двух данных окружностей), для которой
вектор if—с служит нормальным. Таким образом, радикальная ось двух
окружностей перпендикулярна к их линии центров.
б) Две точки Pi и Р2 называются полярно сопряженными
относительно круга с цецтром О и радиусом а (черт. 51), если
OPtOPz=a\

33J
ОКРУЖНОСТЬ НА плоскости
117
Примем центр О круга за полюс (начало радиусов-векторов); пусть Гх(**ОРх)
и r% (z= ОР2) будут радиусы-векторы точек Рх и Р^ тогда условие полярной
сопряженности запишется в виде:
(170) ггг% — Л
Если в этом соотношении рассматривать один из радиусов-векторов,
например Гх, как постояниый, а другой г2 —как переменный, и в соответствии
с этим писать г вместо г2, то уравнение
(171) гхг = а*
представит геометрическое место точек, полярно сопряженных с
неподвижной точкой Р\ (Гх). Это геометрическое место называется полярой точки Рг
(относительно данного круга); как показывает структура уравнения поляры,
последняя есть прямая, перпендикулярная к Гх (т. е. к прямой ОРх).
Перечислим несколько простейших свойств полярной сопряженности.
1) Если точка Р2 лежит на поляре точки Plt той обрати о—
точка Рх лежит йа поляре точки Р2. Это является
непосредственным следствием того факта, что полярная сопряженность есть свойство
взаимное [симметричность равенства (170) относительно Гх и г2].
2)Всякаяпрямая, не проходящая через центр О круга,
может быть рассматриваема как поляра некоторой
вполне определенной точки. Действительно, уравнение всякой
прямой гп = s, где s Ф0, может быть (единственным образом) приведено
к виду (171): г*— п = а\ после чего становится очевидным, что рассма-
а*
тривасмая прямая есть поляра точки, определяемой радиус-вектором —я. Эта
s
точка называется полюсом*) прямой гп = з относительно окружности
3) Касательная к основному кругу (гй = а2) есть поляра
точки касания. Это следует из того, что уравнение (163) касательной при
с = 0 принимает вид ггх — а2 [ср. (171)].
4) Сопоставляя свойства 3 и 1, заключаем: если из точки Рь
лежащей вне круга, проведены к последнему две
касательные {Р\М и Pi#), то прямая, соединяющая точки касания,
есть поляра точки Pt (черт. 51).
с) Инверсия. Две точки Р и Р9 называются взаимно
обратными относительно круга г3 = а2, если они 1) являются полярно
сопряженными относительно этого круга, 2) лежат на одной прямой с центром О
круга:
ОРОР' = а\ ОР'\\ОР.
Если г (= ОР) иг/(= OPf) — радиусы-векторы точек Р и Р', то, полагая
л2
г = \гг (условие коллинеарности), имеем Хг' • г' = а?, откуда X = _, и
следовательно,
(172) г= а2—Т2 (ив силу взаимности г' = в2—-Л.
!) Таким образом, термин «полюс» употребляется у нас в двояком смысле:
1) в только что установленном и 2) как синоним «начала радиусов-векторов».
Однако смешения можно не опасаться, так как в первом случае всегда
говорится о полюсе какой-нибудь прямой, а во втором — просто о полюсе.

118 СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ [ГЛ. Ц
Таким образом, один радиус-вектор отличается лишь множителем а*
от обратно-коллинеарного другому радиусу-вектору (см. мелкий шрифт в конце
п. 27). Пользуясь этим соотношением, мы имеем возможность каждой точке (г),
отличной от О, поставить в соответствие другую точку (г'К или, как говорят,
«преобразовать точку (г) в точку (г')». При этом каждой фигуре,
рассматриваемой как совокупность точек, соответствует новая фигура, состоящая
из преобразованных точек; такое преобразование и называется
инверсией *), определяемой данным кругом г2 = а.* (о с н о в н о й круг и н в е р-
с и и), центр которого называется центром инверсии. Нетрудно видеть,
что точки, лежащие вн}три основного круга, преобразуются («инвертируются»)
в точки, лежащие вне этого круга, и обратно; каждая же точка, лежащая
на окружности г2 = а2, инвертируется сама в себя.
Посмотрим, в какую линию инвертируется прямая. Пусть rn = s —
уравнение какой-нибудь прямой, которую сначала предположим не проходящей
через центр инверсии (s ^=0), Заменяя в уравнении прямой г его
выражением через г' по формуле (172), найдем:
r'a — Ynr' ==° или Г'(Г'~Т п) = °
— уравнение искомой линии (rf — переменный радиус-вектор). Сравнивая это
уравнение с (161), заключаем: прямая линия, не проходящая через
центр инверсии, инвертируется в окружность,
проходящую через центр. В случае, когда 5 = 0 (прямая проходит через центр
инверсии), уравнение т = 0 преобразуется в ггп = 0, т. е. прямая
инвертируется сама в себя, как это, впрочем, ясно и из геометрических
соображений 2).
Обращаясь к инвертированию произвольной окружности, напишем
уравнение последней в форме [см. (1602)] г2 — 2сг = а2— с2. Преобразуя это
уравнение по формуле (172), находим последовательно:
(173) ^-2-^rrt-rf-c»; г"+ 2 ;JI^r «■'=-^ .
\2 а4д2
1 а2 —с2 ) (а2 —с2)2'
откуда заключаем, что, вообще говоря, окружность инвертируется
в новую окружность с центром в точке ( ■ 2 а с) и радиусом
I г 2|. Предыдущее рассуждение надает, если а2 — с2 = 0, т. е. если
инвертируемая окружность проходит через центр инверсии; но тогда первое
а* а2 а2
из уравнений (173) принимает вид —^ — 2 -^ г'с = 0 или г'с
=-~—уравнение прямой. Итак, окружность, проходящая через центр
инверсии, инвертируется в прямую.
Задачи.
173. Показать, что кривая, выражаемая уравнением г2 -j- тг — р (т —
постоянный вектор, \ь — постоянное число), есть окружность. Найти ее центр
и радиус.
*) Мы ограничиваемся здесь рассмотрением так называемой
«гиперболической» инверсии; в случае «эллиптической» инверсии было бы ОР ОР/ — — а2.
2) В излагаемой здесь элементарной теории инверсии точка О считается
не участв\ющей в преобразовании. Поэтому, когда окружность или прямая,
проходящие через О, появляются в качестве образа или прообраза в
инверсии, надг считаю эти линии лишенными точки О.

34]
УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
119
174. Написать уравнение окружности, для которой две данные точки А (г%)
и В(г^) служат концами диаметра.
175. Даны две точки А и В; найти геометрическое место точек М, для
которых скалярное произведение AM ВМ равно данному числу \х.
176. Найти условие того, чтобы прямая m = s касалась круга (г — с)2 = а\
177. Написать уравнения (160)—(163) в координатах.
178*. Написать в координатах 1) уравнение (169) радикальной оси, 2)
уравнение (171) поляры, 3) формулы (172) преобразования инверсии.
179*. Написать уравнение прямой, которая служит полярой то*чки (Г\)
относительно круга (г — с)2 *= а2.
180*. Найти уравнения касательных, проведенных из точки А (1, 2)
к кругу (х 4- б)2 + (У — I)2 = 25. (Указан и е. Найти точки пересечения
круга с полярой точки А,)
180а*. Найти геометрическое место точек а) отношение степеней
которых относительно данных двух окружностей имеет данное значение (X):
б) разность степеней которых относительно данных двух окружностей
имеет данное значение.
181*. Если точки А и В инвертируются соответственно в Ат и В\ то
АВ
А'В* д а2 ^ ■ (О — центр, а — радиус круга инверсии). Доказательство!
34. Уравнение плоскости. Всякий раз, как ставится вопрос о
геометрическом месте точек, обладающих данным свойством, ответ будет
получаться двоякий, в зависимости от того, идет ли речь о
совокупности таких точек на плоскости или в пространстве. Например,
геометрическим местом точек, находящихся на данном расстоянии а
от данной точки О, служит 1) на плоскости — окружность, 2) в
пространстве— сферическая поверхность, описанные из центра О
радиусом, равным а. Выше мы видели, что линия на плоскости может
быть задана как геометрическое место точек, радиусы-векторы
которых удовлетворяют некоторому уравнению; в этом именно смысле
мы говорили, что прямая выражается уравнением rn = s,
окружность— уравнением г* = а2 и т. п. Зададимся теперь вопросом,
какие геометрические образы соответствуют тем же уравнениям
в пространстве; каково, например, геометрическое место точек
пространства, радиус-векторы которых удовлетворяют
уравнению г9 = аа. Ответить на последний вопрос нетрудно: искомое
геометрическое место есть сферическая поверхность с центром в полюсе (О)
и радиусом, равным а. Вообще относительно уравнения,
связывающего переменный вектор г с постоянными величинами, будем
говорить, что это уравнение принадлежит данной
поверхности или что поверхность выражается этим
уравнением, если последнее удовлетворяется в том и только в том случае,
когда вместо г подставим радиус-вектор какой-нибудь (любой) точки,
лежащей на поверхности.
Исходя из этого определения, займемся выводом уравнения
плоскости «по точке и нормальному вектору» (ср. п. 32; почти полная
аналогия рассуждений, относящихся в п. 32 к прямой, а здесь к
плоскости, позволяет ограничить последующее изложение немногими
словами). Пусть плоскость задана тем, что она 1) проходит через дан-

120
СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
[ГЛ. П
ную точку Мх (гх) и 2) перпендикулярна к данному вектору ft (черт, 52).
Для того чтобы какая-нибудь другая точка М(г) лежала в этой
плоскости, необходимо и достаточно, чтобы вектор МхМ = г— гх
был перпендикулярен к п\
отсюда—уравнение
плоскости:
(174) (r^-rJn-O,
или [ср. (146)]
(175) rn = st
где s = rxn.
Переходя к
координатам, положим
г = {х, у, z}y
г1== [хи yv zx)%
ЧеРт- 52- »={«, v,w);
тогда уравнение плоскости представится в виде [ср. (145)}:
(176) а (х —хх) + v(y — ух) + w (z — zx) = О,
или [ср. (147)1
(177) их -\- vy -f~ WZ = s,
где
5 = ихх + vyx -f- wzi*
Обратно, в геометрии пространства всякое уравнение вида (175),
где пФО [а в координатах — вида (177), т. е. всякое уравнение
первой степени относительно координат], может быть рассматриваемо
как уравнение некоторой плоскости. Чтобы построить эту плоскость,
достаточно взять, например, точку с радиусом-вектором — л и провести
через нее плоскость, перпендикулярную к л; в силу (174)
уравнение такой плоскости будет:
(г ~л)л = 0 или rn = s.
На языке координат можем сформулировать следующее важное
предложение: всякое уравнение вида Ax-\-By-\-Cz~\-D = 0
(Л, Б и С не равны одновременно нулю) принадлежит
некоторой плоскости, перпендикулярной к вектору
{Л, В, С).
То обстоятельство, что из уравнения плоскости непосредственно
усматривается ее нормальный вектор, позволяет в случае двух плоскостей
(178) Ax + By+Cz + D=*0, А'х^-В'у + Сг + 1Уе=0
легко установить;

34J
УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
121
1) условие параллельности [ср. (155); читатель без труда
распространит на данный случай соображения относящейся к этому
равенству chockhJ:
(179) ~Ar*=:W~'Cr;
2) условие перпендикулярности [ср. (156)]:
AAf + BB'+CC' = Q\
3) формулу для косинуса угла а между плоскостями [ср. (157j)J:
ААТ+ ВВ'+ СО
(180)
cos а =* ± ■
Ya*+в*+с* Ya'*+вп + с2
К так называемому нормальному уравнению
плоскости приходим, решая следующую задачу: написать уравнение
плоскости по данным 1) расстоянию /?С>0) плоскости от полюса,
2) нормальному единичному вектору л° (обращенному при /;>0
от полюса к плоскости).
Итак, пусть ОР — перпендикуляр, опущенный из полюса О на
плоскость (черт. 53). Для любой
точки М (г), лежащей на
плоскости, имеем:
прл0СШ = ОР*=/?э
т. е. [ср. (148)]:
(181) гп°—р==0
(|Л°1=1, р>0);
это и есть искомое (нормальное)
уравнение.
Переходя к координатам,
заметим, что проекциями
единичного вектора п° на оси Ох, Оу, Ог служат косинусы углов а, р,
Т, составляемых этим вектором с осями. Таким образом,
n°={cosa, cosp, cos^},
и уравнение (181) переходит в координатное:
{х cos a -f- у cos р -f- г cos 7 — р = 0,
(cosaa4-cos2{3-fcos2Y=l, /?>0).
Черт. 53.
(182)
Вернемся к плоскости, заданной уравнением (175), или, что то
же, уравнением гп — s = 0 (п ф 0). Последнее всегда может быть
приведено к нормальному виду: для этого достаточно разделить обе

122
СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
(гл. П
части уравнения на длину п вектора nt взятую с надлежащим
знаком. В координатах: уравнение Ах-{-Ву-\-С2-\-О~0 плоскости
может быть приведено к нормальному виду путем деления обеих
частей на длину вектора {Л, В, С}, взятую с надлежащим знаком,
т. е. на ±Уа* + В*+С*.
Нормальным уравнением плоскости можно воспользоваться для
решения следующей задачи: найти расстояние точки Af j (г^)
от плоскости т°—/7 = 0. ПустьMXN—перпендикуляр,
опущенный из Мх на плоскость (черт. 53); полагая NM1:n°=^^ и
повторяя почти буквально рассуждения п. 32, относящиеся к черт. 47,
найдем [ср. (158), (159)]:
(183) ^г^-р^^±^±£й±Л.
Соединяя векторную формулировку с координатной, можем
сказать: чтобы найти расстояние точки от плоскости, подставляем в
левую часть уравнения плоскости, приведенного к нормальному виду,
вместо переменного радиуса-вектора г (вместо текущих координат
х, у, z) радиус-вектор гх (координаты хх, уи zx) данной точки;
в результате подстановки получим число, абсолютная величина
которого даст искомое расстояние, а знак покажет, лежит ли точка по
ту же сторону от плоскости, что и полюс (начало координат), или по
другую сторону (минус в первом случае, плюс во втором).
Задачи.
182. Показать, что плоскости
2х —5у + з + 4 = 0 и 3x + 2y~\-4z — l=0
взаимно перпендикулярны.
183. Найти угол между плоскостями
2jc— y + 2z~5 = 0 и 6х -f 2у — Зг + 4 = 0.
184. Даны точка М(гх) и плоскость гп°—р = 0 (нормальное уравнение).
Найти радиусы-векторы 1) основания N перпендикуляра, опущенного из М на
плоскость, 2) точки М\ симметричной с М относительно плоскости.
185. Какие геометрические образы выражаются в пространстве
уравнениями (160), (162) —(163) п. 33?
186. Установить, руководясь наиболее естественной аналогией, понятия
(п. 33, мелкий шрифт): а) степень точки относительно сферы, б) полярная
сопряженность двух точек относительно сферы, в) инверсия относительно
сферы. Какие геометрические образы будут при этом пространственными
аналогами 1) радикальной оси, 2) поляры?
35. Преобразование декартовых прямоугольных координат
вектора и точки. Вектор может быть задан либо своими
геометрическими элементами (длина и направление, или начало и конец), либо
своими координатами, т. е. проекциями на оси, определяемые тремя
единичными, попарно перпендикулярными векторами (I, /, к),
В последнем случае мы имеем дело с тремя числами А", У, 2, при-

35J ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАГТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ 123
крепленными к данному вектору не без значительного произвола;
действительно, вместо тройки векторов /, у, k можно взять другую
тройку /', /, кг (состоящую из векторов также единичных и попарно
перпендикулярных), по отношению к которой тот же самый
вектор будет иметь уже
иные координаты Х\ Y\ /f'
Z1 (черт. 54). Возникает
вопрос о том, как связаны
«новые» координаты Х\
Y\ Z* со «старыми» Х>
У, Z. Для того чтобы
придать этому вопросу
определенность, надсз
исходить — в качестве
данных— из величин,
характеризующих направления
новых осей по
отношению к старым. С этой
целью введем в
рассмотрение девять углов, составляемых каждым из векторов новой тройки
с каждым из векторов старой. Запишем обозначения этих углов в схеме
Черт. 54.
(184)
V | / | V \
\ i | « | р
1
\ J | «1 | Pi I а 1
! * | а! | h, | Ъ |
которую надо понимать так, что, например, (j, k') = ^ и т- п-
Так как все векторы i, j, k,i\j\ k' — единичные, то [см. п. 26,4)]
скалярные произведения каждых двух векторов, взятых из разных
троек, выражаются девятью косинусами следующей таблицы:
(185)
1 *'
/ | *
/ | cos а | cos р [ cos y
j | COS а± | COS $±
cos Yi
j k j COS в2| COS p2| COS |2
Вместе с тем мы получаем возможность записать разложение
каждого из векторов I', f, к' по /, /, k и наоборот — каждого из
векторов it j, k по i\ j\ k'; достаточно вспомнить [п. 26, (99)],
что коэффициентами в таких разложениях являются скалярные
произведения разлагаемого вектора на каждый из тех векторов, по
которым My разлагаем

124
СКАЛЯРНОЕ" УМНОЖЕНИЕ
[гл. п
Таким образом, имеем:
IV=i cos a-j-J cos a1 -\-k cos «q, f / = V cos a -(-/ cos p Jr ft'cos ?,
f=icos p+y cos pi+fc cos p2, W = i' cosaj-f/ cos pj+ft'cos ^.
ik'sssi cos f-fi cos Ti+ft cos 72» I * = *" cos«2+/ cos p2+ft'cos y2.
Сделаем важное замечание: девять урпов таблицы (184) [а
следовательно, и девять косинусов таблицы (185)] отнюдь не являются
независимыми друг от друга. Более того, даже три угла,
составляемые каким-нибудь из векторов одной группы с векторами другой
группы, например углы a, av а2, не могут быть заданы произвольно:
простые геометрические соображения обнаруживают, что достаточно
задать два из этих углов, и тогда для третьего останется только
одно из двух возможных значений. Аналитически эти ограничения
сводятся к соотношениям, выражающим 1) единичйость и 2)
попарную перпендикулярность векторов каждой группы. Так, например,
условия I
'2.
/2 = ife,2=s 1, if =j'k' =:k'i' = 0 могут быть запи-
(187)
саны как соотношения между косинусами [см. (186J, ср. также
(115')—(118')]:
cos2 a -{- cos3 ах -(- cos2 <z2 = 1,
cos2 p + cos2 pj -J- cos2 p2 = 1,
! cos27 + cos9Yi + cos2if9== 1,
cos a cos p -j- cos aicos pj + cos a2 cos P2 =» 0,
cos p cos f -}- cos pj cos Yi -J- cos p2 cos ?2 = 0,
\ cos •( cos a -j- cos ^x cos ax -}- cos f2 cos a2 = 0,
и аналогично (из i2 =p = Л2 = 1, // = 'jk = ft/ = 0)
cos2<z + cos2p 4-cos2y=1,
cos2ot1 + cos2p14-cos2if1== 1,
cos2 a2 + cos2 p3 + cos2 ?2 = 1,
cos a cos a2 -J- cos p cos pj -j- cos 7 cos ^ «я 0,
cos ax cos a2 4" cos Picos Pa + cos Ticos V2 ==3 0»
cos <x2 cos a + cos p2 cos P + cos f2 cos 7 = 0.
По самому происхождению своему б соотношений (187)
являются независимыми друг от друга, равно как и 6 соотношений (188);
в то же время из (187) вытекает (188), и наоборот. То
обстоятельство, что 9 косинусов подчинены 6 условиям, наводит на мысль,
что эти 9 величин могут быть выражены через 3 независимых
параметра; более детальным рассмотрением, которое мы оставляем в
стороне, это предположение подтверждается (в качестве упомянутых трех
параметров могут быть взяты так называемые «эйлеровы углы»).
Вернемся теперь к поставленной выше задаче установления связи
между старыми и новыми координатами вектора. Рассмотрим какой-
(188>

35] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ КООРДИНАТ 125
нибудь вектор а, имеющий в системе /, /, к координаты X, К, Z,
а в системе 1\ /, к' — координаты Х\ Г, Z'1):
(189) a = A/-^Ky+Zft,
(189') а = X'i' + У/ + £'*'•
(190) X=ait Y = ajt Z=*akf
(190') X' = ai\ Y' = aj\ Z' = ak'.
Внимательного взгляда на эти равенства достаточно для того,
чтобы наметить путь к решению задачи: если, например, желаем
выразить Х\ Т', Z' через X, Yy Z, то подставляем в (190') вместо а
его выражение по формуле (189); выполняя затем умножение согласно
таблице (185), получим:
(191)
Х/ = Xcos a -J- У cos <хх -j- Z cos a2,
Y* = -Ycos p -|- Г cos px + Z cos p2,
Z' = -Ycos y -j- К cos ^ -f- Z cos *jf2.
Точно так же, подставляя в (190) выражение а по формуле (189')
и пользуясь снова таблицей (185), найдем:
(192)
^r^^cosa -f^cosp -f-Z'cos'r,
Kejrcosej+rcospx + Z'cosT!,
Z = ЛГ' cos a2 + *" cos P2 + ^'cos ?2-
Сравнивая формулы (191) преобразования координат вектора с
формулами (186j) преобразования основных векторов [и (192) — с (1862)],
замечаем, что новые координаты (Х\ Y\ Z) получаются
из старых (X, К, Z) с помощью того же линейного
преобразования, какое требуется произвести, чтобы
получить новые основные векторы (/', j\ к') из
старых (/, У, k). Эту мысль выражают короче, говоря, что при переходе
от декартовой прямоугольной системы координат к другой такой же
координаты вектора преобразуются когредиентно
(т. е. согласованно) с основными координатными
векторами.
До сих пор речь шла о преобразовании координат вектора.
Если теперь обратимся к той же задаче, поставленной для координат
точки, то должны будем учесть не только углы между старыми и
г) Сокращенные записи вроде a =s {X, Y, Z}, какими мы пользовались до
сих пор, становятся недостаточными в тех рассуждениях, где
рассматриваются одновременно две системы координат. Теперь следовало бы писать:
а = {X, Yt Z} в системе г, / к,
а^{Х', Y', Z'} в системе *', /, к\
но тогда было бы утрачено преимущество краткости по сравнению с
записями (189)—(1890.

126 СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ [ГЛ. It
новыми осями, но также и смещение нового начала (О') по отношению
к старому (О). Каждой точке М Пространства соответствуют теперь
1) два радиуса-вектора:
г=ОМ и г'^О^М,
2) две тройки координат:
х = г/, y = fj, z~rk
и
(193) x' = r'l\ y' = r'j'f s' = r'k\
причем [см. (29)]
r'=--r — 00'.
Если обозначим через S, tj, С координаты нового начала О' в
старой системе, т. е. проекции вектора OOf на оси Ох, Оу> Ог> то
будем иметь:
(194) г'* = х —5, r'J=y — 'r\, r'k — z — Ъ
и следовательно,
(195) г' = (х —5)/+(^-ч)Л-(г —С)*.
С другой стороны,
(196) г7 — *'*' +// +*'*';
сравнивая (193), (194), (195) и (196) соответственно с (190'), (190),
(189) и (189'), легко заметить, что прежним
a; Xt Y, Z; Х\ Г, Z'
соответствуют теперь
г'; х —;, .у—1|, г—С; х\ у\ г\
Отсюда заключаем, что [ср. (191), (192)] декартовы
прямоугольные координаты точки преобразуются по формулам:
f xf = (х — S) cos а -}- (у — yj) cos at -}- (z — С) cos <x2,
y' = (x — 5)cosp + (j; — tOcosfr + G* — C)cosP2,
l *' = (,v — E) cos if + 0> — ^cosfi +(2; — C)cosy2,
Ix — S=A;,cosa -J~.v'C0SP +^'C0ST>
7 t) = *' COS Ofj -|~y cos ^ + г' COS Yi,
г — С — A:'cosa2-f-y cos,32-|-£'cosT2,
или
|л; = £ -{-Ar'cosa -j-ycosp -f- г' cos?,
у = 7) -J- У COS OCj -j-У cos (3, -f- г' cos *rlf
^ = r 4- .v' cos я2 ~f- У cos % -L z* cos y2.

36] МЕТРИЧЕСКАЯ КОСОУГОЛЬНАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ 127
Задачи.
187. Пусть два вектора а и а^ имеют 1) в системе /, /, k координаты
Х> Y, Z и Xlt Yv Zlt 2) в системе V, /, k' — координаты х'* Y'>z' "
Х[, y[, Z\. Скалярное произведение аа\ может быть выражено в координатах
двояким образом: ааг « XXх + YYt + ZZ% и аах = А* А^ + г' Kj + ^^. Так
как величина скалярного произведения не должна зависеть от того, в какой
системе выражены координаты перемножаемых векторов, то можно
предвидеть, что равенство ХХ± + YYy + ZZX = Х'х[ + V Ух + ^ ^ превратится
в тождество после того, как мы заменим X*, Y*', Z', Х[, Vv Z\ их
выражениями через X, Y, Z, Хг, Y\, Zj. Проверить это непосредственной
подстановкой.
188*. На ориентированной плоскости даны две декартовы прямоугольные
системы координат с базисами г, j и i\ f такими, что
/\ /\ л i/\
(i/)« ('W) = +9°°; (/, *') = а.
1) Выразить г, У через Vf / и наоборот. 2) Обозначая через X, Y
координаты какого-нибудь вектора в первой системе, а через X'', Y' — координаты
того же вектора во второй системе, выразить X, Y через X', Y' и наоборот.
189*. Исходя из формул преобразования координат, полученных при
решении предыдущей задачи, проверить, что равенства
ХХ1 -j- YYt = Х'Х[ + Y' Y'v XY[ — YXt = X' Y[ — YfX[
превратятся в тождества после замены координат А' , Y , Xр }^ их
выражениями через А, К, Xlt Yt. Выяснить
геометрический смысл проверяемых
равенств.
36. Метрическая косоугольная
система координат. Если сохраним
требование, чтобы базисные векторы
были единичными, но не будем
предполагать их обязательно попарно
перпендикулярными, то придем к нередко
применяемой метрической
косоугольной системе координат.
Удерживая для базисных векторов
обозначения /, J, k, мы будем иметь теперь
г2=/2 = #=1, */=COSv,
jk = cos X, ki «= cos [x,
где X, p, v— .углы между осями (черт. 55). Таблица умножения (113) заменится
теперь следующей:
i
/
k
1 *
1 i
1 COS \
I COS (JL
j
COS V
1
cos X
* 1
COS (Jt
cos X
1 1
Черт. 55.

128 СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЙ [гл. п
Если X, Y, Z— координаты вектора а в рассматриваемой системе, то
согласно общему определению координат мы имеем, конечно, и здесь
(198) a = Xl+Yj+Zk;
но Ху К, Z уже не совпадают с ортогональными проекциями вектора а на оси
координат. Вместо этого имеют место более сложные зависимости, которые
мы получим, умножая (198) поочередно на /, J, k с учетом таблицы (197):
|npta= at = Х-\- Kcos v + Zcos (х,
npia = a/ = Xcos v + Y + Zcos X,
npka = afc = X cos ц + Y cos X -f- Z.
Само собой понятно, что все аффинные соотношения между координатами
(гл. I), скажем, формулы для координат точки, делящей отрезок в данном
отношении, имеют в метрической косоугольной системе тот же вид, что и
в декартовой прямоугольной.
Иначе обстоит дело с координатными формулами метрического характера.
Здесь, как правило, играют роль углы X, ц, v между осями, вследствие чего
формулы усложняются по сравнению с теми, какие имели место для
прямоугольной системы. Так, например, желая получить выражение для квадрата
длины вектора а, возводим (198) в квадрат и принимаем во внимание (197);
находим [ср. (115) п. 29]:
& = X* + К* + Z2 + 2ATcos n + 2XZcos ^ + 2yZcos X.
Более общий результат: если в косоугольных координатах a—Xi-^YJ^-Zk,
ах = XJ 4- УгЛ + Ztkt то скалярное произведение аох выражается формулой
[см. (197)]:
аа! = XX^-YYi+ZZtHXyi+УХг) cos v+(XZx+ZXd cos ^{YZ^ZY^ cos X.
В соответствии с этим взятое для примера уравнение rn —s = О плоскости
(см. п. 34) имеет вид
ах 4- Ьу + сг-\- {ау + Ьх) cos n -f (ex + az) cos (a + (bz + cy) cos X — s = 0,
или
(200) x (a + b cos v + с cos \>) + y(b + a cos s + с cos X) +
-f z (c + a cos [l + b cos X) — s = 0,
где a, b, с суть косоугольные координаты нормального вектора я.
Можно, однако, и в косоугольной системе вернуть формулам их
первоначальную простоту, если с каждым вектором (и с каждой точкой) связывать
координаты двоякого рода. Именно, наряду с только что рассмотренными
координатами («1-го рода») X, Y, Z вектора а будем называть координатами
2-го рода и обозначать буквами £/, V, W три проекции (как всегда —
прямоугольные) вектора а на оси Ох, Оу, Ог:
U = ai, V=aJ, W^ak1).
2) Иногда Ху Yy Z называют контра ва риа нтн ы м и, а U, V> W —
ковариантными координатами (или компонентами) вектора а в
косоугольной системе. Более глубокий смысл этой терминологии выясняется в
тензорном исчислении.

8 А ДАЧ И К ГЛ. II
129
Зависимость между координатами того и другого рода дается формулами
[см. (109)]:
IU = X + К cos v + Zcos {х,
V = ;fcosv+y+ZcosA,
W^Xcosp + Ycosl + Z.
В соответствии с этим каждой точке М припишем две тройки координат
(х, У» г) и (и, vt w), которые суть не что иное, как координаты 1-го и
2-го рода, принадлежащие радиусу-вектору г = ОМ. Легко видеть, что в
прямоугольной системе координаты 1-го и 2-го рода (вектора или точки) совпадают.
Пусть теперь вектор а задан своими координатами 1-го рода Xt У, Z,
а вектор Ь — координатами 2-го рода £/', V", W't так что
a=*Xl+YJ + Zk; bi=U', bj=*V, bk=W.
Умножая первое из этих равенств на Ь и пользуясь остальными равен*
ствами, найдем:
(202) ab = XU' + YV + ZW
— формула той же структуры, что и (114). Итак, в косоугольной системе ска*
лярное произведение двух векторов также равно сумме произведений
одноименных координат, но при условии, что для одного из перемножаемых
векторов берутся координаты 1-го, а для другого — 2-го рода. Равным образом
уравнение т — s = 0 плоскости снова может быть представлено в простой
форме Jcp. (177)]:
xU+yV + zW—s*=0,
где х, у, z — текущие координаты 1-го рода, принадлежащие точке на пло*
скости, a U, V, W—координаты 2-го рода вектора п. В частности, нормаль*
ное уравнение т°—/>=0 плоскости сохраняет вид [ср. (182)]:
X cos а + у cos [J -f-z cos т —p — 0,
где а, p, 7 суть углы, образуемые вектором п° соответственно с осями Ох,
Оу, Oz (и значит, cos a, cosp, cosy — координаты 2-го рвда этого вектора;
теперь уже нельзя утверждать, что cos-а -\- cos2 р -f- cos2 у = 1!).
Задачи. ^
190. Вектор а имеет I) в системе i,j, k — координаты Xt Y, Z (1-го рода)
и U, V, W (2-го рода), 2) в системе /',/, kr — координаты X', Y', Z* (1-го рода)
и Ц\ V', W' (2-го рода). Предполагая, что углы между координатными осями
обеих систем даются таблицей (184), выразить 1) U, V, W через Xrt Yf, Zf,
2) X, Y. Z через U'9 V, W, 3) X, К, Z через X', Y', Z\
191. Выразить длину вектора а через координаты (J, Vt W 2-го рода.
Задачи к главе II.
192. Из одной точки проведены векторы а = {—12, 16}, Ь = {12, 5}.
Найти координаты (какого-нибудь) вектора, который, будучи проведен из
той же точки, делил бы между а и Ь пополам (ср. задачу 103).
193. В треугольнике ABC проведена высота AD. Показать, что
комп_» A5=i4^sin2B. Найти пр^лЬ.
АВ ВА
194. Найти проекцию вектора 2а — 36 на некоторую ось, зная длины а, Ь
векторов а, Ь и углы а, р, составляемые каждым из этих векторов с осью.
195. В правильной треугольной пирамиде SABC (S — вершина) найти:
1) компоненту вектора АВ по прямой SC, 2) компоненту вектора SC по
прямой АВ.
9 Зак. 1336. Дубиов, ч. I.

130
СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЙ
[ГЛ. П
196*. Доказать: если произвольный вектор р» лежащий в плоскости
правильного треугольника, спроектировать (ортогонально) на стороны этого
3
треугольника, то сумма трех полученных компонент вектора р равна -^р.
Обобщить» заменяя треугольник правильным многоугольником.
197*. Показать, что сумма компонент любого вектора а, взятых по шести
ребрам правильного тетраэдра, равна 2а.
198*. Две смежные вершины квадрата находятся в точках (1, — 3) и (5, 4).
Найти координаты двух других вершин.
199. Проверить справедливость тождества (а 4* Ь)* + (а— Ь)2 = 2а2 -\- 262
и выяснить его геометрический смысл.
200. Даны два угла, имеющие общую вершину и общую ось симметрии.
Точка, лежащая на стороне одного угла, спроектирована (ортогонально)
на обе стороны другого угла. Доказать; что прямая, соединяющая проекции,
перпендикулярна ко второй" стороне первого угла.
201. Предполагая, что а' \\а, Ь'\\ Ъ% афО, ЬфО, (а, Ь) Ф 90°, показать,
что
а'Ь' в £ . £
ab а ' b *
Останется ли это равенство в силе, если векторы а и а' (или Ь и br) не
коллинеарны?
202. В треугольнике ABC проведена медиана СМ. Показать, что
произведение стороны АВ и проекции медианы СМ на ось, идущую от А к В, равно
полуразности квадратов двух других сторон треугольника.
203. Решить задачу 61, пользуясь тем, что равенство длин двух векторов
а и b может быть записано в форме а2 = д*.
204. Доказать, что при любом расположении точек A, BtC, D имеет место
равенство ВС AD + С A BD + АВ CD *= 0. (Указание. Выразить каждый
вектор через радиусы-векторы его начала и конца.) Воспользоваться
полученным равенством для доказательства теоремы: если в тетраэдре ABCD
два ребра, выходящие из одной вершины, соответственно перпендикулярны
своим противоположным, то и остальные два ребра взаимно
перпендикулярны.
205. Из одной точки проведены три вектора a, b и с. Зная, что
расстояние между концами векторов а и b равно расстоянию между концами
векторов b п Су показать, что векторы а + с — 26 и а — с взаимно
перпендикулярны.
206. В прямоугольном треугольнике ABC опущен перпендикуляр СИ на
гипотенузу АВ. В каком отношении делится отрезок АВ точкой И? Выразить
вектор СИ через векторы а = СВ и b = СА. Выразить СИ через а и д.
207. В треугольнике ABC проведена биссектриса CD. Полагая СА = Ь,
СВ = а, имеем (см. «Введение», черт. 4 и относящийся сюда текст): CD =
as — 4Г7Г • Вывестн отсюда формулу для вычисления биссектрисы по двум
сторонам и углу между ними:
2 аЬ. cos -?г
а-\- b
208. Доказать: если в четырехугольнике диагонали взаимно
перпендикулярны, то сумма квадратов двух противоположных сторон равна сумме
квадратов двух других сторон, и обратно.
209. Если три вектора о, Ь, с не компланарны, то всякий четвертый
вектор m может быть разложен по первым трем: m = аа -j- $b + ?с. В предполо»

ЗАДАЧИ К ГЛ. П
131
женки, что векторы а, Ь, с попарно перпендикулярны, выразить
коэффициенты а, р, 1 через at Ь, с» т.
210. В треугольнике ABC проведен отрезок А'В' \АВ (А' лежит на АС
В' — на ВС). Показать, что если АВ/ =*ВА', то треугольник равнобедренный
{СА - СВ).
211. Дан прямоугольник ABCD и точка М. Показать, что 1) скалярное
произведение векторов, идущих от точки М к двум несмежным вершинам
прямоугольника, равно скалярному произведению векторов, идущих от той
же точки к двум другим вершинам (МА МС = MB МО); 2) сумма
квадратов векторов одной пары равна сумме квадратов векторов другой пары
(МА2 + МС* — MB* + MD*).
212. Показать, что в правильной треугольной пирамиде
противоположные; ребра взаимно перпендикулярны.
213. В обобщение предыдущей задачи показать, что угол 0 между двумя
противоположными ребрами любого тетраэдра может быть вычислен по
формуле
сг + с'* — № —//-
cos 0 s
Чаа'
где а и а? — длины рассматриваемых ребер, Ь и Ы, с и с* — длины
противоположных ребер двух других пар.
214. Зная длины шести ребер тетраэдра, определить длины трех отрезков,
соединяющих попарно середины противоположных ребер.
215. Показать, что сумма квадратов медиан треугольника относится
к сумме квадратов его сторон, как 3:4. Обобщить этот результат, заменяя
медианы отрезками, которые соединяют вершины треугольника с точками.
делящими противоположные стороны в одном и том же отношении а (ср.
задачу 89).
216. Вершина А треугольника ABC соединена с точками А', А", делящими
сторону ВС на три равные части: отрезки АА' =*/>в и А А" да си называются
«терцианами» треугольника (соответствующими стороне а). Показать, что
разность квадратов двух терциан, проведенных из одной .вершины, в три
раза меньше разности квадратов сторон, выходящих из той же вершины.
217*. Присоединяя к обозначениям предыдущей задачи другие, легко
понятные, показать, что
pl + Pl + Pl-(< + *l + ml)~±(a2 + b2 + c\
где та, ту, тс — медианы треугольника.
218*. па стороне ВС треугольника ABC взята точка S, делящая эту сто*
рону на части, пропорциональные квадратам прилежащих сторон (BS:SC~
*= АВ2: АС2)* Полагая АВ ss= с, АС = Ь, выразить длину отрезка AS через Ь и с.
Проведя в треугольнике ABC медиану AM и биссектрису АО, показать,
что прямые AM и AS симметрично расположены относительно АО.
219*. Какое соотношение должно существовать между
радиусами-векторами четырех точек At(ri), А2{г2), Л3(г8), А^(г4), принадлежащих одной
плоскости, для того чтобы эти точки лежали на Ьдной окружности?
220. Прямая составляет равные углы с положительными направлениями
трех осей координат 1). Найти эти углы.
221. Найти угол между биссектрисами углов хОу и xOz.
1) Везде, где не оговорено противное, речь идет о декартовой
прямоугольной системе координат.
У*

132
СКАЛЯРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
[ГЛ. п
222. Найти угол между прямой, упомянутой в задаче 220, и биссектрисой
угла хОу.
223. Вершины треугольника находятся в точках А (2, — 1, 3). В (4, 0, 1),
С (— Ю, 5, 3). Найти направление биссектрисы угла ABC.
224. Определить внешние углы треугольника, вершины которого
находятся в точках А (1, 2, —4), В (4, 0, —10), С (—2, 6. 8).
225. Три вершины параллелограма находятся в точках Л (2, 1, 3),
В (5, 2, —1), С(—1,3, —3). Найти угол между диагоналями АС и BD,
226*. При какой зависимости между векторами а и Ь> лежащими в
ориентированной плоскости, соотношение аХх = Ьх имеет место для всякого
вектора х той же плоскости?
227. Внутри треугольника взята точка О. Доказать: для того чтобы
треугольники йАВ> ОВС и ОСА были равновелики, необходимо и достаточно,
чтобы ОА-\-ОВ-\-ОС = 0 (т. е. чтобы точка О совпадала с центроидом
треугольника— см. задачи 69, 27).
228*, Если S — площадь треугольника, построенного на векторах а и &,
to2S= |аХ &|. Полагая с = а — Ъ и пользуясь тождествами (см. задачу 149)
(аХЬ)2 = а262 — (ab)2, 2ab=*a?-{-b2 — (а — Ь)\ вывести известную фор.
мулу, выражающую площадь треугольника через длины его сторон.
229*. Стороны АВ и CD четырехугольника ABCD продолжены до
пересечения в точке О. Обозначая через М и А соответственно середины
диагоналей BD и А С, показать, что пл. OMN = -^ пл. A BCD.
230. Вершины треугольника находятся в точках А (гх), В (г2), С(Гу).
Написать уравнения биссектрис в форме (144), (150).
231*. Сохраняя обозначения предыдущей задачи, воспользоваться
уравнениями биссектрис, написанными с помощью косого умножения, для
доказательства теоремы: биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
232. Найти радиус-вектор точки, которая была бы симметрична с данной
точкой {Гх) относительно данной прямой гп— s = 0. Формулировать задачу
и записать ее решение в координатах.
233. Написать уравнение, геометрического места точек, обладающих тем
свойством, что отношение расстояний каждой точки от двух данных точек
равно данному числу (X). Истолковать полученное уравнение 1) на плоскости»
2) в пространстве.
233а. Показать, что нельзя решать уравнение х*-\-рх-\-q ~ 0 по
формуле х = — 2 ~ г \2J —^' ^ать пРавнльное решение и объяснить его
геометрический смысл.
234*. Найти полюс прямой гп — s (szfcO) относительно круга г2 = а\
235. Установить в векторной и координатной форме условия того, чтобы
данная (своим уравнением) плоскость была а) параллельна, б) перпендикулярна
данному вектору.
236. Установить в векторной и координатной форме условия того, чтобы
три данные (своими уравнениями) плоскости были параллельны одной прямой.
237. Найти основание перпендикуляра, опущенного из полюса на линию
пересечения плоскостей гп = s, rn' =s', (Указание. Если Р— основание
искомого перпендикуляра, то гР = ал + Р**'» где а, (J подлежат определению.)
238. В тетраэдре А\А^А^Ак через середину каждого ребра проведена
плоскость, перпендикулярная к этому ребру. Написать уравнения полученных
шести плоскостей и показать, что эти плоскости пересекаются в одной
точке. Останется ли в силе последнее утверждение, если заменить каждую
из упомянутых шести плоскостей плоскостью, проходящей через середину
ребра, но перпендикулярной не к этому, а к противоположному ребру?

ГЛАВА III.
ВЕКТОРНОЕ УМНОЖЕНИЕ.
37. Векторные реперы в пространстве. Из перечисленных в п. 2S
типов умножения нам остается рассмотреть последний — именно тот,
в котором как сомножители, так и произведение являются векторами.
Так как при этом речь будет итти о трех векторах (множимое —
множитель— произведение), то начнем с предварительных замечаний,
относящихся к взаимному расположению трех векторов в
пространстве *).
Совокупность трех не ком план арных векторов, заданных
в определенном порядке, будем называть пространствен-
ным репером2). Таким образом, из трех некомпланарных
векторов а, Ь9 с можно составить шесть (число перестановок из трех
элементов) реперов:
(203) а, Ь9 с; Ь, с, а; су а, Ь\
(204) Ъ, я, с; а, с% Ь; с, Ь> а.
Пусть даны два репера я, Ь, с и а\ Ь\ с\ в каждом из
которых мы можем считать векторы приведенными к общему началу;
будем говорить, что эти два репера одинаковой ориентации,
если можно векторам одного сообщить направления
соответствующих векторов другого (так, чтобы для измененных векторов,
для которых сохранены, однако, прежние обозначения а, 6, с, стало
я = ля', # = |1&', с = чс' при X > 0, }а>0, v>0), соблюдая
следующие требования: векторы первого репера непрерывным образом
вращаются вокруг своего начала, ни разу не приходя в
состояние компланарности (в этот момент репер как таковой
перестал бы существовать). Если же указанный переход от одного репера
*) Читатель, ознакомившийся с содержанием п. 30, облегчит себе чтение
ближайших страниц, если возобновит в памяти то, что сказано в
замечании 1 п. 30.
2) Как видим, понятие «репера» формально не отличается от понятия
сбазиса» (гл. 1). Различие — в оттенках словоупотребления: под базисом
обычно разумеют репер, фиксированный в пределах данного
рассуждения— большей частью в качестве фигуры, определяющей систему
координат.

134
ВЕКТОРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
[ГЛ. Ш
к другому оказывается невозможным, то реперам приписывают про-
тивоположную ориентацию. На черт, 56 изображены три
репера; легко представить себе, что а> Ь, си а', Ъ\ с' имеют
одинаковую ориентацию, а, Ъ% с (или а!', Ь\ с') и апу Ь'\ с" — про-
Черт. 56.
тивоположную (при сопоставлении реперов а, Ь, с и а'\ Ъ'\ с" будем
считать, например, что а"в=а, &" = £, с" = — с; оставляя векторы а
и Ь неподвижными, мы не можем непрерывным образом повернуть с
в положение с", не пересекая при этом плоскости а, Ь).
Менее наглядное, но точное определение ориентации, получим, перенеся
на геометрию пространства те рассуждения, которые изложены в
замечании 1 п. 30 применительно к плоскости. Если
(205)
b «s xsa' + М' + *2*'.
то вопрос об одинаковой или противоположной ориентации реперов а, Ь, с
и а', Ь', с* сводится к следующему: возможно ли путем непрерывного
изменения элементов определителя
к Hi *i
2 V-2 v2
(206)
перейти от первоначального его значения к (заведомо положительному)
!?, 0 01
0 (х о]
0 0
8 Xy.v
так, чтобы при этом определитель (206) пи разу не обратился в нуль?
Отсюда: для того чтобы два пространственных репера были
одинаковой ориентации,необходимо и достаточно, чтобы
определитель (206), составленный из коэффициентов в разложениях (205)
векторов одиого репера по векторам другого, имел положительное
Значение.

371
ВЕКТОРНЫЕ РЕПЕРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
135
Опираясь на геометрическую наглядность (или же исходя из только
что установленного аналитического признака, с привлечением свойств
определителя третьего порядка), нетрудно проверить справедливость
следующих утверждений:
1) Если репер а, Ьу с имеет одинаковую ориентацию с каждым
из реперов а\ Ь\ с' и апу Ь'\ с'\ то эти два репера имеют
одинаковую ориентацию.
2) Если в репере, векторы которого приведены к общему началу,
зафиксировать положения двух векторов, а третий вращать, то
ориентация сохраняется, пока вращающийся вектор
остается по одну сторону от плоскости двух других
и меняется при переходе вектора с одной стороны
плоскости на другую. В частности, реперы
а, 6, с и а, Ьу —с
имеют противоположную ориентацию.
3) При перестановке первых двух или последних
двух векторов репера ориентация его меняется.
Например, реперы
а, Ь, с и Ь% а, с
имеют противоположную ориентацию.
4) При круговой перестановке векторов
ориентация репера сохраняется (ибо круговая перестановка трех эле-
Черт. 57.
ментов равносильна четному числу таких перестановок, в которых
обмениваются местами только два соседних элемента); три репера (203)
имеют одинаковую ориентацию; три.репера (204) имеют также
одинаковую ориентацию [но противоположную той, какую имеют
реперы (203)].
Из сказанного до сих пор следует, что по отношению к
ориентации все реперы могут быть разделены на две категории: реперу а,
Ь, с приписывают правую ориентацию (короче говорят: правый
репер), если приведенные к общему началу первый, второй и третий
векторы располагаются соответственно, как большой, указательный
и средний пальцы правой руки при расстановке, показанной на
черт. 57 (большой и указательный пальцы — в плоскости ладони,
средний отклонен в сторону ладони); левый репер находится в ана-.

136 ВЕКТОРНОЕ УМНОЖЕНИЕ [ГЛ. И!
логичном соотношении с пальцами левой руки. Примером правого
репера может служить репер /, У, к на черт. 33; наоборот, реперу,
/, к является левым.
В интересах дальнейшего изложения остановимся особо на том
частном случае, когда третий вектор репера перпендикулярен к
плоскости первых двух. Для этого случая можно указать другие
наглядные признаки, характеризующие правый (левый) репер. Пусть ОА —
первый, ОВ— второй, ОС— третий вектор репера, причем ОС±_ОА
и ОС ±_ОВ. Правая ориентация репера может быть охарактеризована
тем, что:
а) наблюдатель, стоящий на плоскости ОАВ, ногами в О,
туловищем в направлении ОС, глядящий вдоль биссектрисы угла АОВ,
видит вектор ОА справа от себя, вектор ОВ —
слева; другими словами, кратчайшее (т. е. на
угол < 180°) вращение от направления ОА к
направлению ОВ представляется такому
наблюдателю совершающимся против часовой стрелки
(«правило наблюдателя»);
б) если направить ось обыкновенного (пра-
вовинтового) штопора по линии ОС (черт. 58),
а рукоятку поворачивать в направлении
кратчайшего вращения от первого вектора (ОА) ко
Черт. 58. второму (ОВ)у то штопор будет совершать
поступательное движение (ввинчиваясь или
вывинчиваясь) в сторону, указываемую третьим вектором ОС
(«правило штопора»).
Руководствуясь этими правилами, нетрудно проверить, что [см.
также 4) на предыдущей странице] составленные из базисных
векторов реперы
( I, у, k; у, *, l\ к, i, у суть правые,
\ *> ку у; к, у, У; /, *, к » левые.
Отныне мы будем предполагать, что пространство «ориентировано»,
т. е. выбран некоторый репер («ориентирующий») для сравнения
с ним всех других1); при пользовании декартовой системой
координат будем считать ориентирующим репер *, у, к.
Если три вектора заданы своими координатами
a = {Хъ У±. Z& Ь = {Х„ Г2, Z>}, с = №, Ка, Z3},
*) Относительно роли понятий «правое — левое» здесь следует повторись
соображения, развитые в замечании 1 п. 30 для плоскости.

381
ВЕКТОРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
137
То условие того, чтобы репер а, Ь, с был правый, выражается неравенством
[см. (205) и далее]
(208)
JCn *2 ^*2
^3 ^3 А
>о.
Задачи.
239. На чертеже задачи 10 изображен правый репер tn, п. р; определить
ориентацию каждого из реперов: 1) АА', ADt АВ; 2) ЛМ, A'D't A'Bf; 3) АВ\
AD'. АА'; 4) АО, BD', DB\
239а. Доказать: если реперы а, Ь, с и ar, br, с' получаются один из
другого отражением от некоторой плоскости, то эти реперы имеют
противоположную ориентацию.
240. Векторы /, J, k образуют в данном порядке правый репер.
Определить ориентацию репера i-\-j, * + £,/+ k.
241. Каким вращением репер /, Jt k может быть совмещен с репером
jf k, /? с репером k, i, j?
38. Векторное умножение. Рассмотрим два вектора а и Ь,
которые сначала будем предполагать не коллинеарными. Под
векторным произведением вектора а (множимое) на вектор Ь
(множитель) будем разуметь третий вектор с
(произведение), который вполне (т. е. по
длине и по направлению) определяется
следующими признаками:
1) длина вектора с равна
произведению длин
перемножаемых векторов на синус угла а
между ними (черт. 59):
(209)
\с\ = absmcL]
Черт. 59.
другими словами, \с\ выражается тем же
числом, что и площадь параллелограма,
построенного на векторах а и Ь;
2) направление вектора с перпендикулярно к
плоскости только что упомянутого параллелограма
и выбрано (из двух возможных) с таким расчетом, чтобы
3) векторы а, Ь% с, взятые именно в этом порядке
(множимое— множитель — произведение), составляли правый
репер.
Векторное произведение а на Ь обозначается символом
lab];
прямые скобки служат здесь для того, чтобы избежать смешения
со скалярным произведением1). Таким образом, описанное выше
!) По соображениям легко понятным, в этой символике не пользуются
прямыми скобками ни для какой другой цели, кроме как для обозначения
векторного произведения.

138
ВЕКТОРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
[ГЛ. ПТ
соотношение между тремя векторами а, Ь и с моЖно выразить
равенством
с = [аЬ].
Для случая коллинеарности перемножаемых векторов вводим
дополнительное определение
(210) если а\\Ь> то {ab] = 0,
— соглашение, продиктованное интересами непрерывности, ибо
[см. (209)] длина вектора [ад] стремится к нулю, когда угол а
стремится к нулю или к 180°.
Возвращаясь к общему случаю и имея в виду записать определе»
ние векторного произведения одной формулой, рассмотрим вектор п
1) единичный, 2) перпендикулярный к плоскости векторов я, b и
3) дополняющий эти векторы до правого репера а, Ь, п; тогда
(211) [ab\ =nab sin а.
Замечание 1. Требование, чтобы репер с, Ъ> [аЬ] был правым»
является чисто условным и преследует только цель однозначной
определенности (подобно тому как условились за положительное направление
горизонтальной оси абсцисс принимать направление слева направо). С таким
же успехом можно было бы условиться — но только раз навсегда — давать
вектору [ab] такое направление, чтобы репер о, Ь, \аЬ) был левым (так
и поступают некоторые авторы, преимущественно французские).
Замечание 2. В литературе (главным образом у физиков) можно
встретить деление векторов на две категории — полярных и
аксиальных. Правильнее было бы говорить о полярных и аксиальных вектор-
функциях; для уяснения последнего термина достаточно привести примеры:
в каждом из соотношений
(212) с=а+Ь, с = 5а —26, c*=*\ab\
вектор с является функцией двух аргументов (векторных) а и Ь. Все три
случая объединены общим свойством: если векторы а, Ъ> с, приведенные
к общему началу, перенести в пространстве как неизменяемую систему, то
между перенесенными векторами сохранятся те же соотношения (212);
последние инвариантны по отношению к группе движений. В дальнейшем
мы будем рассматривать исключительно вектор-функции, обладающие
указанной инвариантностью. Наряду с этим можно отметить различие в
поведении вектор-функций (212i) или (212*) и (2123) при зеркальном отражении всех
векторов от одной и той же плоскости:
отр (а + Ъ) = отр а + отр Ь,
но (см. задачу 239 а), вообще говоря,
отр \аЬ) Ф [(отр а) (отр Ь)\,
именно
отр \аЬ\ = — [(отр а) (отр Ь)].
Теперь мы можем сформулировать интересующие нас определения:
вектор-функция называется: 1) полярной, если при отражении векторов-
аргументов от любой плоскости вектор-функция подвергается тому же
отражению, и 2) аксиально й, если при указанном отражении вектор-функция
сверх того умножается на (—1). Например» из вектор-функций (212) первые

38]
ВЕКТОРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
139
две суть полярные, третья — аксиальная. Можно заметить, что различие
между полярными и аксиальными вектор-функциями родственно различию
между скалярными и-псевдоскалярными скаляр-функциями (см. сноску на
стр. 101).
Остановимся на некоторых частных случаях
векторного.умножения.
1) Согласно определению из коллинеарности векторов а и Ь
вытекает обращение в нуль произведения [ab]. Обратно, векторное
произведение только тогда может обратиться в нуль, когда
перемножаемые векторы коллинеарны. Действительно, длина вектора с =» [ab],
всегда определяемая формулой (209)э может обратиться в нуль
только при наличии одного из трех соотношений:
а =» 0, b = 0, sin а = 0.
В первых двух случаях мы имеем дело с нуль-векторами, в третьем —
а = 0° или 180°, во всех трех случаях векторы а и b коллинеарны.
Таким образом [ср. (127)],
(213) [ab]=>0
есть условие коллинеарности векторов а и Ь1).
Здесь, как и в случае скалярного умножения, следует
подчеркнуть, что из обращения в нуль векторного произведения отнюдь
нельзя делать вывод, что обращается в нуль один из сомножителей.
В частности,
(214) [аа] = 0у
вследствие чего вводить понятие о «векторном квадрате» вектора
(подобно тому как мы рассматривали скалярный квадрат в связи со
скалярным умножением) представляется излишним.
2) Если векторы а и b взаимно перпендикулярны (а = 90°), то
длина вектора-произведения равна произведению длин
векторов-сомножителей:
| [ab] | = ab% если a JL Ь.
3) Рассмотрим произведение [ka], в котором первый вектор k
будем предполагать единичным.
Приведя векторы k и а к общему началу (черт. 60), мы можем
построить вектор [ka] при том же начале в плоскости /7,
перпендикулярной к k. С другой стороны, [ka] J_ а, и значит («теорема
о трех перпендикулярах»), [ka] перпендикулярен к компоненте
вектора а, взятой в плоскости П (п. 26):
[ka] J_ компл а.
х) Мы видим, что аффинный факт коллинеарности двух векторов может
быть выражен не только аффинным соотношением, каким является (20), но
И метрическим (213).

140
ВЕКТОРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
[гл. Ш
Далее, можно утверждать, что эти два вектора равны по длине;
действительно, так как |fc| = l, то
| [fca] | =э a sin (fc, а);
с другой стороны,
| компя а | = a cos (компда, а) = а sin (fc, а)
[на черт. 60 векторы k и а образуют острый угол; читатель легко
проверит правильность последнего результата в случае, когда угол
(Л, а) тупой]. Подводя итог, скажем: если в векторном
^ произведении [ka] мно-
д у^1 жимое — единичный век-
" ' тор, то это
произведение можно получить,
построив компоненту
вектора а в плоскости
Л_[_£, а затем,
повернув в той же плоскости
полученную
компоненту на 90э в надлежащую
Черт. 60. сторону (точнее — в такую
сторону, чтобы это вращение
вместе с поступательным движением в направлении k слагалось
в правовинтовое движение). Для того чтобы записать этот результат
формулой, условимся для всякого вектора т% лежащего в плоскости
/7, обозначать символом ту результат только что описанного
поворота на 90° (ср. п. 30); тогда
(215) [*а] = (компяа)\ ( \k\ = 1; Л_L АО-
Легко видеть, что в случае произведения [ak] (единичный
вектор k — множитель) предыдущее построение надо изменить только
в одном пункте: поворот на 90э произвести в сторону, обратную
прежней:
(2150 [ak] = — (комппаУ (|ft| = l; I7_lk).
В качестве следствия из формул (215) выведем простое выражение
для компоненты вектора, взятой в данной плоскости. Пусть вектор а
последовательно умножается (векторно) на один и тот же
единичный вектор kf причем умножается один раз «слева», другой раз
«справа»; образуется «двойное векторное произведение» (подробнее
об этом произведении см. п. 44)
l[ka] fc].
Построение этого вектора может быть выполнено в несколько
приемов: 1) строим компоненту вектора а в плоскости fJJ^k) 2) в той

39]
ПРИМЕРЫ ИЗ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ
141
же плоскости поворачиваем эту компоненту на 90' в надлежа*
щую сторону, получаем вектор (компяа)'; 3) для того чтобы
умножить (компда)' = [ka] на k векторно справа, надо построить
сначала компоненту вектора (компя а)9 в плоскости Я, но это будет
тот же вектор (ибо он лежит в Я); 4) остается повернуть (компя а)9
в плоскости Я на 90° в сторону, обратную прежней, — это вернет
нас к вектору компяа; итак,
(216) [[ka] k] = компя а (| k | = 1; Я Jl k)\
это и есть обещанное выражение для компоненты вектора я, взятой
в какой-нибудь плоскости Я (к — единичный вектор, любой из двух
возможных, перпендикулярный к Я). Сопоставляя это выражение для
компоненты с ранее полученным [(97) п. 26], имеем:
(217) \[ka\k\=za — {ak)k
— равенство, которое будет обобщено в дальнейшем (п. 44).
Задачи.
242. Проверить справедливость равенств [(/] = k, [ik] = —J, где /, J, k —
основные координатные векторы прямоугольной системы.
243. Показать, что j [ab] | < ab; при каком условии имеет здесь место
знак равенства?
244. Обозначая через а угол между векторами а и Ь, выразить tg а
через скалярное и векторное произведения этих векторов.
245. Показать, что
[ab] 2 + (aft)2 = а2 Ь\ \ £ С С
246. Исходя из черт. 61 (ОАСВ
и О АС В' — параллелограмы),
показать, что [ab] = [а(Ь + Ха)\, где
Л — произвольное число; верно ли,
что [ab] — [(a + ХЬ) b]l
Сформулировать полученные результаты
словами. „ б1
246а*. Если плоскость, в которой F *
лежат векторы а и Ь, ориентирована,
то можно составить косое произведение а X Ь. Выразить векторное
произведение [ab] через косое произведение и единичный вектор,
перпендикулярный к плоскости а, Ь.
39. Примеры из механики и физики. Векторное умножение
представляется начинающему операцией более сложной и искусственно
созданной, чем рассмотренные в предыдущих главах операции
векторной алгебры.
Между тем разнообразные вопросы механики и физики приводят
к рассмотрению вектора, образованного из двух данных как раз по
закону векторного умножения, и, таким образом, возникает
потребность выделить математическое содержание, общее всем этим
построениям. Приведем несколько примеров.

142 ВЕКТОРНОЕ УМНОЖЕНИЕ [гл. ТП
1) В статике твердого тела существенную роль играет понятие
момента данной силы относительно данной точки.
Если сила F приложена к точке А (черт. 62), то моментом силы F
относительно точки О называется вектор М,
определяемый формулой
(218) M = [rFU
где г = О А есть радиус-вектор точки
приложения (черт. 62). Из определения векторного
произведения следует, что величина момента
(численно равная длине вектора М) равна
величине силы, умноженной на расстояние (ОР)
точки О от прямой, вдоль которой действует
сила.
2) Рассмотрим твердое тело, вращаю-
Черт. 62. щееся вокруг неподвижной оси (/) с
постоянной угловой скоростью ш. Какая-нибудь точка
Р твердого тела будет описывать при этом вращении окружность
с центром в точке Q и радиусом QP = OP sin POQ, где О—точка,
произвольно взятая на оси вращения (черт. 63). Вектор v9
определяющий скорость точки Я, 1) перпендикулярен к плоскости OQP,
2) имеет длину, равную ш . QP в ш . OP sin POQ. С целью дать
сжатую формулу, выражающую величину и
направление скорости, какую имеет точка Р в
любом ее положении, построим вектор и
(«вектор угловой скорости»), определяемый
следующими признаками; 1) длина вектора
и равна ш, 2) за направление вектора и
примем направление поступательного
движения штопора, ось которого совпадает с /,
а рукоятка вращается в ту же сторону, что
и рассматриваемое тело. Из этого построения
следует, между прочим, что репер QP, v,
и — правый, точно так же правым будет
репер OP, V, й, а значит [см. п. 37, 4J, и
репер и, OP, v. Теперь можно написать:
v = [иг],
где г = ОР.
3) Представим себе тело многогранной формы (на черт.
64—треугольная призма), погруженное в жидкость. Каждая грань тела
испытывает со стороны жидкости давление, которое при известных
условиях (например, в случае так называемой «идеальной жидкости» и
для тела достаточно малых размеров) можно считать 1) перпендику-
Черт. 63.

391
ПРИМЕРЫ ИЗ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ
143
лярным к плоскости грани, 2) по величине пропорциональным
площади этой грани. Обозначая (постоянный) коэффициент
пропорциональности через р
(«гидростатическое давление»), мы можем
выразить давления жидкости на
отдельные грани с помощью векторных
произведений
р1№'МР]—на грань NPP'N',
.1 р [Л?ЛГ FFp'\ — на грань M'N'P\
и т. д.
4) Пусть электрон, заряд кото- -==-
рого равен е% движется со ско- ~~~~
ростью v в магнитном поле по- Черт. 64.
стоянной напряженности Н. В таком
случае на электрон действует отклоняющая сила Z7, определяемая
формулой
где с — скорость света.
5) Рассмотрим преломление светового луча (монохроматического) при
переходе из среды / в среду // (например из воздуха в воду). Если
обозначим через а, а' и я единичные векторы, определяющие направления
соответственно луча падающего, луча
преломленного и перпендикуляра, восставленного к
поверхности раздела из точки падения (черт. 65),
то общеизвестные законы преломления [1) оба
луча и перпендикуляр лежат в одной
плоскости, и притом лучи — по разные стороны от
0v sine
перпендикуляра, 2) отношение —g есть
постоянная величина v— показатель
преломления, зависящий только от оптических свойств
сред / и //) могут быть охвачены одной
формулой
(219) [па] = v [na']t v =*<const> 0.
Действительно, из (219) следует, что 1)
перпендикуляр к плоскости (а, я) служит также
перпендикуляром к плоскости (а', я), т. е. три
Черт. 65. вектора а, а\ я компланарны; 2) так как v>0,
то векторы \па\ и [па] имеют одинаковое
направление; это означает, что после приведения векторов о, а' и я к общему
началу направление кратчайшего вращения от я к а совпадает с
направлением кратчайшего вращения от я к а'; т. е. луч преломленный и
продолжение луча падающего лежат по одну сторону от линии вектора я, значит, лучи
падающий и преломленный лежат по разные стороны от этой линии; 3) отно-

144 ВЕКТОРНОЕ УМНОЖЕНИЕ [ГЛ. щ
шеиие двух одинаково направленных векторов равно отношению их длин; но
в силу единичности векторов а, а', л имеем: j [яа] | = sin а, | [naf\ | = sin р,
sin а
следовательно, -^гц-^ v»
sin р
Задачи.
247. Пользуясь результатом задачи 246, показать, что момент силы отно-
сительно точки не изменится, если точку приложения силы переместить по
прямой, вдоль которой сила действует.
248. При каком условии момент силы относительно точки равен нулю?
249. По образцу формулы (219) записать законы отражения
светового луча.
40. Алгебраические свойства векторного произведения»
Приведенные в предыдущем пункте примеры обнаруживают важность того
построения, которое приводит от двух векторов а и b к третьему
вектору, обозначенному у нас через [ab]. Остается> однако,
невыясненным, почему эта операция названа умножением. Чтобы
ответить на этот вопрос, сопоставим свойства векторного умножения
с основными законами, управляющими умножением чисел (см. сноску
на стр. 10).
Начнем как раз с того свойства, в котором проявляется
различие между обоими видами умножения.
1) Векторное произведение не обладает переме-
стительным свойством. Действительно, векторы [ab] и [Ьа]
1) имеют одинаковую длину, равную absin(a,b)% 2) коллинеарны,
так как оба эти вектора перпендикулярны к плоскости (a, b)t
3) обращены в противоположные стороны, ибо направление
кратчайшего вращения от а к b противоположно направлению
кратчайшего вращения от b к а. Отсюда заключаем, что
(220) [Ьа] = — [ab]
— при перестановке сомножителей векторное
произведение умножается на (—1) (или, как иногда не совсем
точно говорят, — меняет знак на противоположный). Таким образом,
при желании мы всегда имеем возможность переставлять сомножители
в векторном произведении, однако не забывая о необходимости
менять при этом знак.
2) Сочетательное свойство имеет силу в том смысле,
что
(221) l(la)b] = X[ab] и [а(Щ] = Х \аЬ\%
т. е. умножая на число один из сомножителей вектор*
ного произведения, мы тем самым умножаем
последнее на этоже число; иначе, числовой коэффициент, стоящий
при одном из сомножителей векторного произведения, может быть
вынесен за знак произведения. Ограничимся доказательством в
предположении, что X > 0, предоставляя читателю случаи, когда А < 0 и

40J АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ 145
Х=^=0. Сопоставим векторы [(Ха)£] и X [ab] по признакам длины и
направления: 1) |х[(Ха)&]| = |Ха| • \b\ sin(Xa, b) = XJa| |£|sin(a, b)y
ибо от умножения вектора а неположительное число X
направление этого вектора, а следовательно, и угол с вектором Ь не
меняется; таким образом, |[(Ха) Ь\ | = Х| \ab\ |; 2) плоскость
векторов a, b совпадает с плоскостью векторов Xa, Ьу следовательно,
векторы [ab] и [(Xa) Ь\ во всяком случае коллинеарны; более того,
3) эти векторы обращены в одну сторону, так как направление
кратчайшего вращения от а к b совпадает с направлением
кратчайшего вращения от Xa к Ь. Теперь справедливость равенства (221г)
следует из того, что векторы [(Xa) b] и [ab] имеют одинаковое
направление,- л отношение длины первого вектора к длине второго
равно X. Равенство (2212) может быть либо проверено аналогичными
рассуждениями, либо выведено из (220) и (2212):
[а (ХЬ)] *= - [(Щ а] == — X [Ьа] = X [ab].
3) Покажем, что векторное произведение обладает
также распределительным свойством:
(222) [а (Ь + с)] = [ab] + [ас] и [(Ь + с) а] = [Ьа] + [са].
Мы убедимся в этом после того, как обнаружим, что векторное
умножение может быть разложено на три более простые операции,
каждая из которых обладает распределительным свойством. Начнем
с того, что обобщим формулу (215), отказавшись от допущения
о единичности одного из перемножаемых векторов. Замечая, что для
всякого вектора a [zfz 0; при а = 0 справедливость (222) очевидна]
можно написать [см. (72)] a = aa°t имеем:
| [ab]= [(аа°) Ь] == [см. (221)]
(223) =я[а°£]= [см. (215)1
( = а (компя Ь)' (П _L а0).
Последняя запись говорит о том, каковы те три операции, о
которых упоминалось выше; это суть: 1) построение компоненты
вектора в плоскости, перпендикулярной к а0 (или, что то же, к а);
2) вращение в той же плоскости на 90° в ту или другую сторону,
в зависимости от направления вектора а0 (или, что то же, от
направления а); 3) умножение вектора на скаляр а. Распределительность
последней операции была установлена еще в п. 8; что же касается
двух первых, то действительно,
(224) компя {пг -\- п) = компя ш + комп# п
(проектирование параллелограма на какую-нибудь плоскость дает
в общем случае снова параллелограм) и
(225) (т + пу = mf -f я'
Ю Зак. 1330. Дубнов, ч. [.

146
ВЕКТОРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
[гл. m
(при вращении жесткого параллелограма*) в своей плоскости
стороны и диагональ поворачиваются на один и тот же угол в одном
и том же направлении). Теперь можем окончательно оформить
доказательство соотношения (222J: в силу (223)
[а(Ь + с)']=а{коыт1(Ь + с)}9= [см. (224)]
= а{комп& + компс}' = [см. (225)]
= а{(комп^),-|-(компс)1} = [см. (13)]
= а(комп&)' + а (компс)' = [см. (223)]
*=[аЬ] + [ас].
После того как соотношение (222j) проверено, легко установить
справедливость формулы (2222), пользуясь перестановкой
сомножителей [(см. 220)]:
\(Ь + с) а] = - [а (Ь + с)] = - {[об] + [ас]} -
« _ [аЬ] — [ас] = [Ьа] + [се].
Распределительное свойство векторного умножения может быть иллюстри*
ровано следующим примером из гидростатики. Рассмотрим погруженную
в жидкость треугольную призму при условиях, описанных в п. 39,3 (черт. 64),
и поставим себе задачу определить равнодействующую * всех давлений,
производимых на пять граней призмы. Прежде всего отбросим, как взаимно
уничтожающиеся, давления на грани MNP и MrN'Pr. Полагая MMf — а,
МN — b, NP — с, вследствие чего MP = b + с, имеем:
Давление на грань MNN'M' равно р [MMr MN] =р [ab],
» » NPP'N' » p\NN'NP\ =р[ас],
» » » РР'М'М » p[PPfPM\ =—p[a(b + c)l
Так как в силу распределительного свойства р [ab] ~\~р[ас] —р \а(Ь + с)\ = 0,
то равнодействующая давлений, производимых на все
гр^ни погруженной призмы, равна нулю — важная теорема
гидростатики.
Опираясь на установленные в этом пункте свойства 1), 2), 3)
векторного умножения, можно производить над произведением
многочленов, линейно составленных из векторов, ряд преобразований,
аналогичных обыкновенным алгебраическим, с тем лишь отличием,
что перестановка множителей в векторном- произведении всегда должна
сопровождаться соответствующим изменением знака.
Пример 1. [(2a—Sb—c)(4x—5y)]==S[ax] — lO[ay\—l2[bx]lr
+ 1Ь[Ьу] — 4[сх] + 5[су].
Пример 2. [(4a — b + 2c)(a-\-3b — 2c)] = 4[aa]+V/[ab] —
—8 [ас]—[Ьа]-Ъ [ftft]+2 [Ьс]+ 2 [са]+6 [cb]—4 [ее] = 0 + 12 [ab]—
— 8 [ас] + [ab] + 0 + 2 [be]—2 [ас] —6 [be] + 0=13 [ab]—10 [ас]—
— 4[bc].
i) Рассмотрение случая коллинеарности векторов m и п здесь, как и при
выводе (224), предоставляем читателю.

40а]
ЕДИНСТВЕННОСТЬ ВЕКТОРНОГО УМНОЖЕНИЯ
147
Существует ли действие, обратное векторному умножению («векторлое
деление»)? Разумеется, вопрос этот надо понимать в смысле возможности
отыскания по двум данным векторам а и ft такого третьего (х), который
удовлетворял бы уравнению [ах] = ft (или же уравнению [ха] = ft, которое
может быть заменено через [ах] = — 6). Сразу видно, что при
произвольных а и ft задача, вообще говоря, неразрешима: необходимым условием
является перпендикулярность векторов а и ft. Если это условие выполнено,
то задача сводится к тому, чтобы в плоскости, перпендикулярной к вектору ft,
построить на векторе а, как на основании, параллелограм с заданной
площадью (численно равной Ь)\ вторая сторона этого параллелограма определит
вектор х (черт. 66). Но таких параллелограмов существует бесчисленное
множество; значит, при aj_ft уравнение [ax] ~ ft имеет бесчисленное
множество решений; если одно из них есть д:0> то решением будет также
Хо + Ая. ибо [a(x0 + Xa)] = [ax0]-f-
4- \ [аа\ — [ах0], (ср. задачу 246).
Итак, операция, обратная
векторному умножению,
либо невыполнима, либо
неоднозначна, вследствие чего в
дальнейшем не рассматривается.
Задачи.
250. Раскрыть круглые скобки
в каждом из произведений:
1) [(a — 2ft) (3/w — n + 4p)]t
2) [(2т + Зя — р) (2т — Зп +р)].
251. Показать, что [(a — ft)(a +
-f- ft)] = 2 [aft], и выяснить
геометрический смысл этого равенства, изображая
средством диагоналей параллелограма.
252. При выводе равенств (220) и (221) молчаливо предполагалось, что
векторы а и ft не коллинеарны. Проверить справедливость этих равенств
при а || ft.
^ 253. Если к одной точке приложено несколько сил, то момент их
равнодействующей, взятый относительно некоторой точки, равен сумме моментов
составляющих сил относительно той же точки (теорема Вариньона).
Доказательство! ^
253а. Парой сил называют совокупность двух сил F и—F, равных
по величине и противоположных по направлению: моментом
пары'относительно некоторой точки — сумму моментов сил F и —F относительно этой
точки. Показать, что момент пары не зависит от того, относительно какой
точки он взят.
254. Дано, что [ас] = [ft*:], сфО; можно ли отсюда заключить, что a = ft
(т. е. «сократить» первое равенство на множитель, отличный от нуля)?
255. Если равенство [ах] = [Ьх] имеет место при данных векторах a, ft
и произвольном х, можно ли отсюда заключить, что a = ft?
40а. Единственность векторного умножения. Постановка задачи1):
каждой паре векторов (х> у) (порядок не безразличен)
поставить в однозначное соответствие третий вектор —
будем называть его векторным произведением х на у
(а самое действие — векторным умножением) и обозначать
символом Хоу — так, чтобы выполнялись следующие
требования:
1) операция векторного умножения обладает
сочетательным (137) и распределительным (138) свойствами;
Черт. 66.
векторы а — ft и а -f- ft по-
L) Читатель с пользой возобновит в памяти ^вводную часть п. 20 и
содержание п. 31; на формулы и чертежи п. 31 мы будем делать ссылки.
10*

148 ВЕКТОРНОЕ УМНОЖЕНИЯ (гл. гп
2) тройка векторов х> у и хоу образует жесткую
систему; это означает: если существует вращение, преобразующее
одновременно х в х' и у в у, то тем же вращением вектор хоу преобразуется
в х'оу\
Решение. Совершенно так же* как в случае скалярного произведения,
сводим задачу к рассмотрению двух единичных векторов х°, у0 [см. (139)).
Приведя эти векторы к общему началу О, строим прямую ОР,
перпендикулярную как к х°, так и к уХ Вращением на 180° вокруг ОР векторы х°, у*
приводятся к совпадению соответственно с векторами (—х°), (—У). Отсюда,
в силу постулата 2, следует, что в результате такого вращения вектор xQoyQ
приводится к совпадению с вектором (— х°)о(-— у>). Но этот последний
в силу постулата 1 [см. (137)] равен вектору х°оуо; таким образом,
упомянутое вращение должно оставить вектор х°оу> в покое, а это возможно
только тогда, когда вектор х?оу лежит на оси вращения.
Рассмотрим теперь два частных случая.
а) Если векторы х° и У> совпадают, то прямая ОР может иметь
бесчисленное множество направлений, перпендикулярных к х°(=>у). Отсюда
заключаем, что
(*) хОох° = 0;
в противном случае вектор х°ох°, отличный от нуля, оставался бы в покое
при вращении около различных осей, что невозможно.
б) Пусть теперь хР_\_У; построим единичный вектор я,
перпендикулярный к плоскости (х°, у°) и (условимся об этом для полной определенности)
так направленный, чтобы репер х°, у0, п был правым. Из сказанного выше
следует, что вектор х°оу0 должен быть коллинеарен с п:
(**) хОоуО^Хл.
Здесь множитель X должен быть один и тот же для всех пар взаимно
перпендикулярных единичных векторов (х°, дг°). Действительно, пусть xj, У,
П{ — другой правый репер, состоящий из попарно перпендикулярных
единичных векторов, и пусть xj«>y— Х^. Вращение, совмещающее х° с х\ и у0
с y\t совместит также вектор я с вектором п. и [постулат 2] Хя с X п ,
а отсюда следует, что Xt = X.
Обращаясь к общему случаю двух произвольных единичных векторов х°,
у% образующих угол а:£0, повторим то же разложение, каким мы
пользовались в п. 31 (черт. 43) для скалярного произведения:
У = х° cos а + х* sin а [где х°х±х°];
х°оу° = х° о (х° cos а + xj sin а) = [см. (137), (138)]
= (х° о х°) cos а + (х° о х\) sin а = [см. (*), (**)]
= Хя Sin а,
где X = const, а единичный вектор я, перпендикулярный к плоскости
векторов х°, Xj и составляющий с этими векторами правый репер, будет
перпендикулярен также к плоскости (х°, у% причем репер х°, у°, я будет правым.
Окончательно для любых двух векторов х, у получим [см. (10)]:
Хоу = Inxy sin а, X = const.

41J
ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КООРДИНАТАХ
149
А так как постоянный множитель X (отбрасываем предположение fc = 0)
посредством надлежащего выбора масштаба может быть сведен к ± Ь то
приходим к двум возможным решениям:
Хоу = п ху sin а (правовинтовая система),
хоу = — п ху sin а (левовинтовая система),
равноправным и несущественно отличающимся одно от другого.
Замечание. Из того, что мы пришли к обычному определению
векторного произведения, заключаем: требование переместительности (хоу =уох),
если бы мы его выставили, оказалось бы несовместимым с требованиями 1, 2.
41. Векторное произведение в координатах. Пусть векторы а
и b заданы своими координатами (прямоугольными):
(226)
а=*{Хи Yl% Z,}, Ь={Х* Ка> Z2};
предложим себе вычислить координаты векторного произведения [ab].
Задача сводится к тому, чтобы преобразовать произведение
(227)
W+YJ+ZM (XJ+ YJ+ZJi)]
в линейную комбинацию векторов *, /, k. Вспоминая сказанное о век*
торном »умножении многочленов, видим, что для нашей цели
достаточно получить выражения парных произведений
[ij]y Щ и т. п.
базисных векторов через эти же векторы. Дополняя результаты,
полученные при решении задачи 242, приходим к следующей
схеме: /<-.
Таблица векторного
умножения базисных
векторов
Множитель
(228)
о>
О
X
X
о
S
SS
'
J
k
i
0
-k
J
J
k
0
—/
k
-J
i
0
По поводу этой таблицы
сделать следующие замечания:
Черт. 67.
можно
1)
векторное умножение двух базисных векторов всегда дает либо просто
третий базисный вектор, либо третий вектор со знаком минус, смотря
по тому, следует ли множитель за множимым в порядке,
отмеченном на черт. 67 кривыми стрелками, или в обратном порядке
[см. (207)]; 2) в согласии с (214) клетки главной диагонали заняты
нулями, 3) в согласии с (220) клетки, симметрично расположенные

150
ВЕКТОРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
[ГЛ. II!
относительно главной диагонали, заняты равнопротивоположными
векторами.
Пользуясь таблицей (228), раскрываем круглые скобки в
произведении (227):
Итак, при обозначениях (226
(229) [aft]«{ J/^1
1 имеем:
>
>
А', Г,'
Л'2 F2
или же — в легко запоминаемой форме —
(230) [aft] =
II у *
к г, г,
к
^2^1
>
)■
где предполагается, что разложение «определителя», стоящего в
правой части равенства, производится по элементам первой горизонтали
так же, как и для определителей с числовыми элементами.
Для практических вычислений можно рекомендовать такой
порядок: 1) составляем матрицу (таблицу) из двух горизонталей и трех
вертикалей, подписывая координаты
множителя под координатами множимого:
Хх Y, Z,
^2 ' 2 ^2
2) для получения 1-Й координаты
произведения закрываем в этой матрице 1-ю верти-
iB каль и вычисляем оставшийся определитель
(2-го порядка); 3) закрываем вторую
вертикаль, и оставшийся определитель берем с
обратным знаком; 4) закрывая 3-ю
вертикаль, берем определитель снова со своим знаком. Числовой пример:
если а={2, 3, 6), ft = {4, 1, 3}, то, пользуясь матрицей
2 36 II
.4 13 I*
находим: [aft] = {3,18,—10}. Подобные вычисления нередко
приходится производить в аналитической геометрии трех измерений. Так,
* = ix.Y.Z]
Черт. 68.

42] СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЕХ ВЕКТОРОВ
для треугольника, изображенного на черт. 68, имеем:
1
151
(231)
(232)
пл. АВС = -
\аЬ]\
У \у z*
+
Z X
Z' X'
+
X У
X' У
sin С
IJa&JJ ' 1 У Z'\ \Z' Х'\ +
> Л2 + У2 + ^ j/ X'* + У2-\- Z'*
Заметим еще, что в силу (229) условие (213) коллинеарности
векторов {X, Уу Z] и {Х\ У\ Zr\ может быть представлено равенствами:
У Z
rzf
!«0,
Z X
Г X'
О,
X У
X' г
= 0:
читатель без труда установит равносильность этого условия с ранее
известным [см. п. 16, (54)].
Задачи.
256. а = {3, —1, 4}, Ь = {—2, 3, —3}; найти координаты вектора [ab].
С помощью скалярного умножения проверить, что полученный вектор
перпендикулярен к каждому из векторов а и Ъ.
257. Выяснить геометрический смысл тождеств:
Xi
y2z2
+ У1
ад
Z2X2
+ *i
XiYt
= 0, Ао
YXZX
YiZ»
+ К2
ад,
Z2X2
+zl
x2y«
=0.
258. Вычислить площадь треугольника, вершины которого находятся в
точках А (2, 0, —1), В(-3, 2, 2), С (4, 1, —2).
259. Вычислить площадь параллелограма задачи 94.
260. Для плоскости, проходящей через точки Л (3, 1, 2), В (—1, —2, 1),
С (0, 4, 1), найти нормальный вектор.
261. Написать уравнение плоскости, проходящей через три данные точки
А (хь ух, zx), В (х2, J'2» z2), С (лг3, у6, z6). (Указание. Найти сначала
нормальный вектор.)
262. Для треугольника задачи 141 найти синусы углов, пользуясь
формулой (232). Сопоставить найденные значения с результатами, полученными при
решении задачи 141.
263. Выяснить геометрический смысл соотношения, известного в теории
определителей под названием «тождества Лагранжа»:
Щ"1
Ш2 ni
+
mip1
+
П2Р2
m\+n[ + p{
mim2 + nirtz-\-p1p2
rnlm2 + niri2 + PiP2
m22+n22 + pl
42. Смешанное произведение трех векторов. Поставим перед
собой следующую задачу: по данным трем векторам а> Ь> с
найти объем параллелепипеда, построенного н а з т и л

152
ВЕКТОРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
[ГЛ. 1П
векторах (черт. 69). Будем сначала предполагать, что векторы
a, by с в этом порядке образуют правый репер. Принимая за
основание параллелепипеда параллелограм, построенный на векторах а,
Ьу и обозначая через S, h и V соответственно площадь основания,
высоту и объем параллелепипеда, имеем: 1/=5Л. Но S = |[a6]|;
а так как, кроме того, вектор \ab] перпендикулярен к плоскости
основания и лежит по ту же сторону от этой плоскости, что и
вектор с [это следует из того, что
реперы а, Ь, с и а, Ь, \аЬ\ у
нас оба правые — см. п. 37, 2],
то высоту h параллелепипеда
можно получить, проектируя вектор
с на направление вектора \аЬ\\
Итак,
V=\[ab\\ nplebJ*
или [см. (91)1
(233) V=[ab]c.
В правой части равенства мы имеем
число, образованное из трех
векторов a, by с (порядок перечисления небезразличен!) следующим
способом: 1) первый вектор (а) умножается на второй (Ь) векторно,
2) полученный вектор {[ab\) перемножается с третьим вектором (с)
скалярно. Условимся называть это число смешанным (ибо здесь
участвуют два вида умножения векторов) произведением трех
векторов: а (первый), b (второй) и с (третий). Условимся также для
упрощения записи опускать в выражении \ab\[с прямые скобки; таким
образом, символ (до сих пор не употреблявшийся)
abc или ab с,
состоящий из трех векторов, написанных рядом и не разделенных
скобками, означает число, для получения которого надо первый
вектор на второй умножить векторно, а затем полученный вектор — на
третий скалярно. Теперь мы можем полученный выше геометрический
результат сформулировать следующим образом: если три вектора
образуют в данном порядке правый репер, то
смешанное произведение этих векторов, взятых в том же
порядке, есть положительное число, равное объему
параллелепипеда, построенного на рассматриваемых
векторах.
Посмотрим теперь, какой геометрический смысл можно приписать
смешанному произведению трех векторов, образующих левый репер,
к fab]
Черт. 69.

42] СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЕХ ВЕКТОРОВ 153
Если репер а, д, с — левый, то [см. п. 37, 2] репер а, Ь%—сбудет
правый, и следовательно,
[аЬ] (- с) - Vl%
где Vj есть объем параллелепипеда, построенного на векторах а, Ъ
и (—с) (черт. 70). Но из чертежа легко усматривается, что этот
последний параллелепипед равновелик параллелепипеду, построенному
на векторах а, Ь, с; поэтому можем
написать:
аЬс = — V,
сохраняя за V прежнее значение. Объединяя
полученные до сих пор результаты,
приходим к окончательной формулировке:
смешанное произведение трех
векторов есть число, абсолютная
величина которого всегда равна
объему параллелепипеда, постро-
енного на этих векторах:
(234) \abc\= V;
что же касается знака, то
смешанное произведение будет положи- Черт. 70.
тельным, если перемножаемые
векторы образуют в данном порядке правый репер, и
отрицательным, если они образуют левый репер.
Теперь мы в состоянии выяснить, как отражается на смешанном
произведении перестановка сомножителей; именно, вспоминая
сказанное в п. 37 о влиянии перестановки векторов на ориентацию репера
(см. в особенности 4), можем утверждать:
(235) аЬс = Ьса = cab = — acb = —Ьас — — сЬа%
т. е. смешанное произведение сохраняет свою абсолютную величину
при любой перестановке сомножителей, и 1) меняет знак при
перестановке двух сомножителей, 2) сохраняет знак при круговой
перестановке трех сомножителей.
При зеркальном отражении параллелепипеда от какой-нибудь плоскости
объем его, конечно, не меняется, но ориентация репера, на котором построен
параллелепипед, переходит в противоположную. Отсюда заключаем: если
сомножители смешанного произведения заменить соответственно их зеркальными
отражениями от одной и той же плоскости, то произведение изменит только
знак. В этом смысле смешанное произведение является псевдоскаляром
(см. сноску на стр. 101). В пространстве (3 измерения) смешанное
произведение трех векторов играет ту же роль, какую на плоскости (2 измерения)
играет псевдоскалярное произведение двух векторов.
!

154
ВЕКТОРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
[ГЛ. in
Выделим из цепи равенств (236) первые два звена: соотношение
abc = bca может быть записано в виде [ab]c=[bc]a или (в силу
переместительного свойства скалярного произведения) [ab] с=*а [be].
Отсюда видим, что если в смешанном произведении abc
мы желаем восстановить подразумевающиеся прямые
скобки, то можем заключить в эти скобки, вместо
первого и второго сомножителей, второй и третий:
(236) abc = [ab] с = а \bc\.
При каких условиях смешанное произведение может обратиться
в нуль? Выделим прежде всего те случаи, когда такое обращение в нуль
представляется очевидным: 1) если среди сомножителей есть нуль-
вектор; 2) если два из перемножаемых векторов коллинеарны (и
следовательно, их векторное произведение равно нулю), в частности:
(237) aab = aba = baa = 0.
Предположим теперь, что среди векторов а, Ьл с нет коллинеар-
ных; в таком случае равенство abc = 0 означает, что вектор [ab]
(отличный от нуля) перпендикулярен к вектору с. А так как, кроме
того, [ab] перпендикулярен к а и Ь, то векторы а, Ь, с компланарны.
Обратно, если векторы а, 6, с компланарны, то [ab] _L с, и, следо-
вательно, [ab] с = 0. Объединяя все сказанное, можем утверждать:
(238) abc = 0
есть условие (необходимое и достаточное) компланарности
векторов я, bt с [см. также (234)].
В заключение отметим одно из применений смешанного произведения
в физике. Представим себе течение жидкости, описанное в задаче 126, и пусть
(при обозначениях этой задачи) площадка с имеет форму параллелограма,
построенного на векторах а и Ъ. За внешнюю сторону площадки примем ту,
куда обращен вектор \аЪ], т. е. положим п = [ab]° (единичный вектор
направления [ab]). В таком случае поток, отходящий от параллелограма, равен
(см. решение задачи 126):
anv = | [ab] | [а6)° v = [ab] v = abvy
т. е. может быть выражен в виде смешанного произведения трех векторов
из коих два характеризуют площадку, а третий — скорость течения. Понятие
потока переносят из гидродинамики на гораздо более широкий класс
векторных величин. Так, если вместо вектора-скорости мы имеем вектор-силу F
(равный const в точности или приближенно — пока мы ограничиваемся площадкой
малых размеров), то смешанное произведение
(239) abF
называют силовым потоком, отходящим от рассматриваемого
параллелограма; вместо этого иногда говорят (не совсем удачно) о «числе силовых ли-
ни#», пронизывающих данную «диафрагму». В дальнейшем, разрешая себе
ход мыслей и язык, которые каждый раз требуют уточнения, понятие потока
распространяют на случай любой диафрагмы: плоскую диафрагму, ограничен-

43] СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КООРДИНАТАХ 155
ную произвольным контуром, заменяют бесконечно большим числом
бесконечно малых параллелограмов; наконец, диафрагму, вырезанную из кривой
поверхности, заменяют бесконечно близкой к ней многогранной диафрагмой.
Задачи.
264. Вычислить смешанные произведения 1) ijk, 2) kjit 3) ikj, 4) ij(i+J+k).
265. Показать, что объем тетраэдра равен -^- абсолютной величины
смешанного произведения, составленного из трех вскторов-рсбер, не
принадлежащих одной грани. Например, объем ABCD = — ) АН • AC- AD | =
= 4 \АВ AC-CD\^ и т. д.
о
266. Показать, что
(240)
(241)
X {abc) = (Ха) be = а (ХЬ) с = аб (Хс),
(а + а') Ьс = а&£ -f а'&с.
267. Раскрыть скобки в выражении (а+Ь) (b + с) (с-\~а).
268. Показать, что abc = ab(c-\- Ха + p-b).
269. Относительным моментом двух сил Fx и F2,
приложенных соответственно в точках Лх и А%, называется смешанное произведение
F\AiA^,Fv Показать, что относительный момент не изменится, если точку
приложения каждой силы переместить вдоль линии ее действия.
270. Показать алгебраическими средствами, что из условия компланарности
(21) вытекает условие (238).
43. Смешанное произведение в координатах. Пусть
а={Хи Yl% Z,}y b={X2, Y2t Z2}, с={Хъ> Г8, Z3}.
Умея вычислять в координатах как векторное произведение
[формула (229)], так и скалярное [формула (114)], мы без труда найдем
выражение смешанного произведения через координаты
сомножителей:
abc
la&]* = {
= Xt
8
* 2^2 1
1 y^i
1 *2 ^2
t
zvx,
ZoX%
l4
-y»
У
ад
z,x,
1
r,2X
2
}
+ ^
3
{*«. У
XtYt
^<iYi i
^} =
Но последнее звено этой цепи равенств есть не что иное, как
разложение определителя третьеро порядка по элементам горизонтали.
Итак, окончательно:
(242)
abc =
ххухгх
У vr у
^2 '2 ^2
^3 ^Ъ?'Ъ
—с мешанное произведение трех векторов, заданных
своими координатами (прямоугольными), равно определи-

156
ВЕКТОРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
(гл. щ
телю третьего порядка, составленному из этих
координат следующим образом: в 1-й, 2-й и 3-й горизонталях пишутся
(в обычном порядке) координаты 1-го, 2-го и 3-го из перемножаемых
векторов. Тем самым устанавливается тесная взаимная связь между
свойствами определителей третьего порядка, с одной стороны, и
свойствами смешанных произведений — с другой (см., например, ниже
задачи 275, 285, 287).
Приведем несколько примеров приложения формулы (242).
1. Условие компланарности (238) для векторов, заданных
координатами, принимает вид:
*i Ух *х
(243) I Х2 Г2 Z2 I =0
^2 *2 ^2
^3 ^S ^8
[ср. конец п. 16, где вертикали определителя (56) соответствуют
горизонталям определителя (243)].
2. Условие того, чтобы четыре точки А (хи уи гх)у В(х2У у2У г2)у
С(хъ, уъ, г8), D(xA, yit г4) лежали в одной плоскости, или, что
одно и то же, условие компланарности векторов А В, AC, AD может
быть записано в виде (ср. задачу 99)
*а — *i У2—У1 4 — Z\
(244)
хь х1
Ха —^1
Уз~Ух
Л—Л
3. При тех же обозначениях объем V тетраэдра ABCD выра-
"8"
*4"
= 0.
жается формулой (см. задачу 266)
(245)
V = -w абс. вел.
о
У*—У\
У*—Ух
У*—Ух
сз"
. 1,3,2}, {4, - 6,2}, { — 3,12,11} компланарны.
-2,-2), В(Ъ, 1, 1), С (4, 2, 0),
Задачи.
271. Показать, что векторы {-
272. Проверить, что четыре точки Л (4,
D (7, — 1, — 6) лежат в одной плоскости.
273. Вычислить объем тетраэдра, вершины которого находятся в точках
Л (2,-1, — 1), Л (б, — 1, 2), С(3, 0, — 3), D (6, 0, - 1).
274. Вершины тетраэдра находятся в точках Л(1, — 5,4), В (0, — 3, 1),
С (— 2, — 4,3), D (4, 4, — 2). Найти длину высоты, опущенной из вершины А.
275. Каким свойствам определителя третьего порядка соответствуют
свойства смешанного произведения, выраженные равенствами (235), (237), (240),
(241), равенством задачи 268?
44. Двойное векторное произведение. Так называют результат
двух последовательных векторных умножений, т. е. каждое из
выражений типа
(246)
\\ab\c] или [а[Ьс]\

44]
ДВОЙНОЕ ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
157
(подчеркнем уже сейчас, что в общем случае [[ад]с] ф [а[Ьс]\
—сочетательное свойство в этом смысле не имеет места; см. ниже
задачу 276). Остановимся на первом из выражений (246), причем
будем сначала предполагать, что векторы а и Ь не коллинеарны.
Нетрудно убедиться, что вектор [[а&]с] компланарен с а и Ь, т. е.
с векторами внутренних прямых скобок. Действительно, векторное
произведение вектора [ab\ на с перпендикулярно к каждому из этих
двух сомножителей, в частности [[а6]с] _L [ub]\ но вектор [ab\ в свою
очередь перпендикулярен к каждому из векторов а иЬ. Итак, вектор
lab] (отличный от нуля по предположению) перпендикулярен к трем
векторам а, Ь и [[ab]c], которые в силу этого являются
компланарными. Отсюда вытекает возможность разложить вектор 1[а6]£] по
векторам а и b (неколлинеарным):
247) \[аЬ]с] = *а-\-$Ь,
где коэффициенты аир пока остаются неопределенными. Однако
легко найти отношение этих коэффициентов: так как ЦаЬ]с]_\_с, то,
умножая обе части (247) скалярнЬ на с,
получим:
следовательно, при с, не
перпендикулярном одновременно к а и Ь, т. е. при
еЩаЬ],
а : р = — be : ас,
а = — \Ьс< р = Хае,
и формула (247) принимает вид
(248) {[able] =к {Ь(ас)— а(рс)). Черт. 71.
Остается определить множитель \ но мы изберем другой путь. Все
изложенные до сих пор соображения будем рассматривать как
наводящие и займемся теперь просто сравнением двух векторных
выражений, участвующих в (248),
(248') ЦаЬ]с] и b(ac) — a(bc)f
предполагая векторы а, Ь, с какими угодно (и, следовательно, снимая
первоначальные ограничения aJftb и cj^[a&].
Сравним координаты векторов (248'), выбрав подходящий базис из
единичных попарно ортогональных векторов /, j\ k: именно (черт. 71)
вектору / дадим направление а; вектор j возьмем в плоскости
векторов а и by после чего вектор k определится из требования, чтобы

158 ВЕКТОРНОЕ УМНОЖЕНИЕ [ГЛ. Щ
репер *, у, k был правым. Будем иметь
а={Хи О, 0}
Ь=[Х* Г» 0}
Теперь последовательно находим [см. (229)]
[а*] = {0, О, ^К2},
С другой стороны, выразим в координатах второе векторное
выражение (248х); последовательно находим [см. (114)1
ас = ХгХ^ Ь (ас) = {Я^АТи, A^K^, 0},
6с = Х2ХЪ + К2Ка, а (И - {^ед, + *iW. °> °}
и, следовательно,
Ь{ас)— а(Ьс) = { — XtY2Y^ ВД*3, 0).
Сопоставление координат, полученных для обоих векторов (248'),
приводит к важной «формуле разложения» (ср. с (217))
(249) [[ab]c]=b(ac) — a(bc)y
которая и дает ответ на вопрос о структуре коэффициентов в (247)д),
Теперь нам нетрудно будет вывести формулу разложения для
второго из выражений (246); в самом деле,
(250) [a [be]] = — [[be] а] = [в силу (249)]
= — {с (ab) — b (ас)} = b (ас) —с (ab).
Результаты, содержащиеся в обеих формулах (249) и (250), можно
объединить в следующей словесной формулировке: двойное
векторное произведение равно сред не му (по занимаемому
месту) вектору, умноженному на скалярное
произведение двух крайних, минус другой вектор
внутренней скобки, умноженный на скалярное произведение
двух остальных.
Замечание. В свое время было отмечено, что при умножении вектора
на скалярное произведение двух других не имеет места сочетательное
свойство [п. 27. (102)]. Теперь мы в состоянии точно установить ту «поправку»,
которую необходимо ввести, если в произведении типа a {be) обменяем
местами вектор, стоящий вне скобки, с одним из векторов, перемножаемых
скалярно [см. (249)]:
а{Ьс) = Ь(ас) \~[c[ab]l
1) Хотя мы могли бы теперь не интересоваться формулой (248), заметим,
что из предыдущих рассуждений следует: если векторы (248') не
обращаются в нуль (что может произойти для них только одновременно), то X = 1.

45] НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К УМНОЖЕНИЮ ВЕКТОРОВ 159
Задачи.
276. При каких условиях [[a&jtfj = [a [#£])?
277. Показать, что [a [be]) + [Ь [со]] + [с [аЬ]] = 0.
278. Доказать, если а ±6, то [a [a [a [ab]]J] =а*Ь, и выяснить
геометрический смысл полученного результата.
279. Доказать алгебраически: если aj_(b— c)f то [a[bc]]\\{b— с).
280. Решить уравнение [ха] = &, где"* — искомый вектор, а иb —
данные взаимно перпендикулярные. (Указание. Умножить обе части
уравнения векторно на а.)
281. В треугольнике ЛВС проведена высота AD\ полагая АС — Ь, СВ = а,
АО —Н, выразить h через а и Ъ,
45. Некоторые формулы, относящиеся к умножению векторов.
1. Рассмотрим скалярное произведение двух векторных
произведений:
(251) [аЬ][ху],
или, что то же, смешанное произведение трех векторов a, b и [лгу] •
Имеем:
(252) [ab] [xy] = ab- [ху] =« [см. (236)]
= а[Ь[ху\]= [см. (250)J
- а {х (by) -у (Ьх)) - (ax)(by) -(ау)(Ьх).
Если пары сомножителей, участвующих в произведении (251),
условимся называть (сообразно местам, занимаемым этими сомножителями
в записи (251)):
а и х — предыдущими,
Ь и у — последующими,
а и у — крайними,
Ъ и х — средними,
то полученный результат может быть выражен словами:
скалярное произведение двух векторных произведений
равно скалярному произведению предыдущих
(сомножителей), умноженному на скалярное
произведение последующ их, минус скалярное произведение
крайних на скалярное произведение средних.
Другая запись тождества (252):
(253) [ab] [ху] -
ах ау
bx by
В частном случае, когда а = лг и Ь—у, снова находим тождества
задач 245 и 263.

160
ВЕКТбРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
(ГЛ. Щ
2. Если в выражении (251) заменим скалярное умножение
векторным, то придем к произведению
\{ab)\xy)h
которое может быть двояким образом рассматриваемо как двойное
векторное произведение, составленное один раз из трех векторов [ab]y
х и у; другой раз — из трех векторов а, Ь и [ху]. Пользуясь
формулами разложения (249) и (250), находим в первом случае:
(254) [lab] [ху]} = х ([ab\ у) —у ([ab] х)^х (aby) —у (abx),
во втором случае:
(255) [[аЬ] [ху]) == Ъ (аху) — а (Ьху).
Сопоставление двух -последних равенств приводит попутно к
следующей линейной зависимости, связующей любые четыре вектора:
(256) х {aby) —у (abx) = Ъ (аху) — а (Ьху).
На существование подобной линейной зависимости было указано еще
в п. 12 (28), но только теперь мы имеем возможность установить
структуру числовых коэффициентов, участвующих в этом
соотношении.
Ввиду важности формулы, выражающей линейную зависимость
между четырьмя векторами, дадим еще другой, более
непосредственный вывод. Будем исходить из задачи: разложить данный
вектор х по трем некомпланарным векторам а, Ь, с*
Другими словами, требуется из уравнения
(257) je==ae + pft + ^» ПРИ аЬсфО,
выразить коэффициенты а, [3, f через векторы а, Ь, с, х. С этой
целью умножим обе части равенства (257) скалярно на [be];
замечая, что b[bc]=0 и с[Ьс\ = 0, найдем:
Xbc = aabc, а = —^ .
аос
Аналогичным образом найдем коэффициенты {3 и К, умножая (257)
поочередно на [са\ и [ab\:
о хса ахс_ ^ abx
* bca abc' * abc *
Итак,
(258) *-j£a+«?ft + gE* при аЬсфО.
Присмотримся ближе к структуре дробей, участвующих в этом
равенстве: общий знаменатель всех дробей есть смешанное
произведение трех векторов, по которым производится разложение; каждый
числитель отличается от знаменателя тем, что один из векторов а,

45) НЕКОТОРЫЕ ФОРМУЛЫ, ОТНОСЯЩИЕСЯ К УМНОЖЕНИЮ ВЕКТОРОВ 161
Ь, с, — именно тот, для которого рассматриваемая дробь служит
коэффициентом, — замещен вектором х. Освобожденное от дробей
равенство (258) переходит в
(259) (abc) х = (xbc) а + {axe) b -{- (abx) с
и в этом виде ничем существенным не отличается от (256). Вместе
с тем выясняется, что соотношение (259) имеет место и в случае
компланарности векторов а, Ь, с, ибо справедливость (256) была
доказана без всяких оговорок.
3. Пользуясь правом круговой перестановки сомножителей в
смешанном произведении, перепишем (259) в виде
(260) (abc) х = (xbc) а + (хса) b + (xab) с
и заменим в этом тождестве х через [ху]; получим:
(abc) [ху] = ([ху] [be]) а + ([лгу! [са])Ь + ([ху] [аЬ])с = [см. (253)1.
а +
xb хс
yb ус
Умножая скалярно на г, найдем:
xb хс
хс ха
ус уа
I ха xb
1 I уа yb
(abc) (xyz) =
yb ус
az-\-
xc xa
yc ya |
** +
xa xb
ya yb
czf
где правая часть равенства представляет, как легко видеть,
разложение определителя третьего порядка по элементам горизонтали.
Таким образом,
ха xb хс
(261)
(abc) (xyz) =
уа yb ус
za zb zc
— тождество, позволяющее выразить произведение двух смешанных
произведений через скалярные произведения сомножителей. Полагая
в (261) х = а, y~b> z — c, найдем:
a2 ab ас
ba b* be
са cb с1
(262)
(abef =
Задачи.
282. Показать, что [ab] [cd] + [ас] [db] + [ad] [be] = 0. По какому
закону составлена левая часть равенства?
283. Показать, что [ab] [be] [са] = (abc)2.
284. Пользуясь результатом предыдущей задачи, доказать: если векторы
[ab], [be], [са] компланарны, то они коллинеарны.
285. Какие свойства определителей выражаются формулами (261), (262),
(253)?
286. Проверить справедливость тождества (abc) d — {bed) а + (сda) b —
— d(abc) = Q. По какому закону составлена левая часть равенства?
И Зак. 133G. Дубнов, ч. I.

162
ВЕКТОРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
[ГЛ. ТП
287. Полагая в (261) x = f, y=J, z — k, где /, / Л —базисные векторы
прямоугольной системы, получить выражение смешанного произведения аЪс
через координаты сомножителей:
а - {Хь Уи 2г\ Ъ = {Хъ Yb Z2}, с = {Х8, У8, г3}.
Сравнивая найденный результат с (242), формулировать соответствующую
теорему теории определителей.
46. Основные формулы сферической тригонометрии. На сфере
единичного радиуса рассмотрим сферический треугольник ABC, высекаемый
трехгранным углом О ABC, вершина которого находится в центре О сферы.
Длины сторон треугольника ABC обозначим через я, Ь, су внутренние углы
через а, р, -у, как показано на черт. 72.
Так как радиус сферы равен
единице, то (в радианах)
ВОС = а, АОС = bf АОВ = с,
Если положим для краткости
ОА » Л, ОВ « В, ОС = С, то
(I) ВС = cos а, АС = cos b,
А В =: cos г;
1[ДСЦ = |[С/?]1^1пд,
(II) ЦЛСЦ = |[Cj*1| — sin 6/
\[AB]\ = \lBA]\=*s\nc.
ePT' Желая связать с векторами Л, В,
С углы а, р, y, заметим, что, например,
а = В'АС', если Л#' и Л£У суть соответственно касательные к дугам Л£ и АС,
Но направление луча ЛЯ' (в другом случае луча АО) совпадает с
направлением компоненты вектора ОВ (соответственно ОС), взятой в плоскости
В/АС/ (J_ ОА). Далее, угол между атимн компонентами можно заменить
углом между векторами [АВ] и [АС], которые суть не что иное [п. 38, (215)],
как соответствующие компоненты, повернутые в плоскости В'АС1 на 90°
в одну и ту же сторону. Итак, а = ([АВ], [АС]) и аналогично
$*=*([ВА], [ВС\\ ч — ([СА\> [СВ]). Теперь легко вычислить
тригонометрические функции углов а, р, 75 например,
_Л«<ДС)-(ЛД)(ЛС)
sin с sin b L v /J
cos a — cos с cos b
sin с sin 6
Написанное в несколько иной форме это соотношение вместе с двумя
аналогичными даст одну группу основных формул сферическая тригонометрии
cos а = cos b cos с -f sin b sin с cos a,
cos b = cos с cos a + sin с sin с cos [J,
cos с =s cos a cos & -)- sin a sin b cos f.

47J ВЗАИМНЫЕ РЕПЕРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ; ФОРМУЛА ГИББСА 163
Другую группу получим, вычисляя синусы:
-—MS1- [см. (254) „ (И)]
откуда
\А (ABC) — С (АВА)\ __ \АВС\
sin с sin b sin с sin b '
sin a \ABC\
sin a sin a sin & sin с'
„, sin 3 sin 7 ,
Такие же выражения мы получим для ——~ и для —— (причина в гом, что
1 - sin b sin с
правая часть последнего равенства симметрична относительно Л, В, С и
относительно a, b, с), следовательно,
sin a sin ft __ sin т
sin a sin b ~~ sin с
— соотношение, играющее в сферической тригонометрии ту же роль, что
теорема синусов в прямолинейной.
47. Взаимные реперы в пространстве; формула Гиббса.
Формула (258), ценная тем, что дает разложение любого вектора по
трем данным некомпланарным векторам, может быть переписана в
таком виде:
Если теперь положим для краткости:
{2Ьд) а -аЬс> Ь — Шс% с — аЬс>
то будем иметь:
(264) х = (ха*) a -f- (xb*) b + (хс*) с
— формула Гиббса. Присмотримся ближе к взаимоотношениям
между векторами двух троек векторов
а, bt с и #*, Ь*> £*.
В силу (263) можем утверждать: 1) каждый вектор второй тройки
перпендикулярен к двум разноименным с ним векторам первой
тройки, например, вектор Ь* перпендикулярен к а и с; 2) скалярное
произведение каждого вектора второй тройки на одноименный
с ним вектор первой тройки равно единице. Оба свойства могут быть
И*

164
ВЕКТОРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
[ГЛ. ш
наглядно представлены с помощью следующей таблицы умножения
(скалярного):
(265)
Обратно, если бы мы [не зная формул (263)) стали искать для
данного репера а, #, с другой а*, 6*, с*, связанный с первым
таблицей умножения (265), то пришли бы к формулам (263) как к
единственному решению задачи. В самом деле, вектор а*, например,
определялся1 бы в этой задаче требованиями
1 а*
Ь*
с*
а
1
0
0
ь
0
1
0
с
0 |
0
1
(266)
а*а = 1, а*6 = 0, а*с = 0;
из двух последних равенств вытекает, что а*||[6с], т. е. а* = Х[Ьс];
подставляя это значение а* в (266х), найдем Ха6с = 1, л=«^
и окончательно а* = - -
аЬс
- . К этому следует добавить, что
определяемые формулами (263) векторы а*, 6*, с* не компланарны;
действительно, из (261) и (265) вытекает, что
10 0
(267) (аЬс){а*Ь*с*)=*\
0 1 0
0 0 1
= 1.
и следовательно, а*6*с*:£0, т. е. векторы а*, £*, с* образуют
репер.
Итак, каждому реперу а, Ь, с однозначным образом
соответствует другой репер а*, Ь*\ с*, связанный
с первым таблицей умножения (265). Такие два репера
называются взаимными, и этот термин оправдывается следующими
соображениями: репер а, Ь> с может быть получен из репера а*,
Ь*у с* тем же построением, каким этот последний репер получается
из первого. Действительно, реперу а*, Ь*9 с* отвечает,■ согласно
доказанному, один и только один взаимный с ним репер, который,
следовательно, не может отличаться от репера а, Ь, с.
Отсюда следует, что
(268)
а =
[Ь*с*]
Ъ =
[с*а*]
a*frV*'
t = [а*Ъ*]
a*ft*£*'
Может ли быть репер сам себе взаимным, т. е. возможны ли
одновременно соотношения
а'* = а, 6* = 6, с*—с?

47J ВЗАИМНЫЕ РЕПЕРЫ В ПРОСТРАНСТВЕ,' ФОРМУЛА ГИББСА 165
Таблица (265) обнаруживает, что в этом случае необходимо
должно быть:
(269) e2 = ^ = c»=lf ab = bc = ca = Ot
т. е. репер должен состоять из единичных попарно
перпендикулярных векторов; очевидно, этого и достаточно. Например, неоднократно
упоминавшийся репер /, jy k базисных векторов прямоугольной
системы служит сам себе -взаимным. В этом случае формула (264)
принимает знакомый вид [см. (99)]:
x = {xi)i+(y])j+{zk)k.
Покажем одно из применений взаимных реперов. Пусть требуется
найти неизвестный вектор, зная скалярные произведения его на три
данных некомпланарных вектора. Другими словами, требуется решить
систему уравнений
(270) дга=*а, xb = ?, хс = ъ
где х — неизвестный вектор, a, bt с3 а, р, у— данные векторы и
скаляры. По условию аЬсфО, и формула [ср. (264)]
(271) х = (ха) a* + (xb) Ь* + (хс) с*
сразу дает решение задачи:
(272) х = аа* + ,36* + тс* = °[Ьс] + Р ('й] + f |aft].
Замечание. Мы .можем теперь провести достаточно полную аналогию
между метрической векторной алгеброй 1) на плоскости и 2) в
пространстве (в последующих строках основной текст относится к плоскости, слова
в скобках — к пространству).
На ориентированной плоскости (в ориентированном пространстве)
существует операция, производимая над одним вектором (двумя векторами), —
поворот этого вектора на + 90° (построение векторного произведения).
Сочетая предыдущую операцию со скалярным умножением, приходим
к псевдоскаляру — косому произведению двух векторов (смешанному
произведению трех векторов).
Всякому плоскому (пространственному) реперу состоящему из двух
(трех) неколлинеарных (некомпланарных) векторов, отвечает взаимный репер,
связанный с первым таблицей умножения (I) задачи 159 [таблицей (265)].
С помощью репера, взаимного данному, мы можем записать разложение
любого вектора плоскости (пространства) в двучленной (трехчленной)
форме (II) задачи 159 [форме (264)].
Это сопоставление дает достаточно ясные указания относительно того,
как может быть построена векторная алгебра в л-мерном евклидовом
пространстве (ориентированном): операции а' (операции [аЬ]) будет
соответствовать операция, сопоставляющая данным (л—1) векторам некоторый
новый вектор; косому умножению двух векторов (смешанному умножению
трех векторов) — операция, сопоставляющая л данным векторам некоторый
псевдоскаляр, и т. д. Заметим, что последняя операция — подобно косому и

166 ВЕКТОРНОЕ УМНОЖЕНИЙ [ГЛ. Щ
смешанному умножениям — не требует, чтобы геометрия была метрической,
а только — эквиаффинной (см. замечание 2 п. 30) *).
Изложенные соображения не учитываются ни современной символикой,
ни терминологией. Было бы, например, более последовательным, сохраняя
для векторного и смешанного произведения символы [аЬ] и abc> писать [а]
вместо а' и аЪ вместо а X Ь (в этом случае для скалярного произведения
векторов а и Ь пришлось бы пользоваться обозначением, отличным от
нашего); называть косое произведение двух векторов и смешанное
произведение трех векторов общим термином: либо в обоих случаях «смешанное»
либо в обоих «косое» (двусмысленности можно не опасаться, так как в
одном случае речь идет о двух векторах на ориентированной плоскости, в дру-
гом — о трех в ориентированном пространстве) и т. п.
.В этой книге сохранены терминология и символика, встречающиеся
в современной литературе. (См* Приложение в конце книги.)
Задачи*
288. Для репера
а = {2, 1. -1}, Ъ = {-3, 0, 2}, с = {5, 1, —2}
найти взаимный репер.
289. Найти репер, взаимный ca=£-f-y, b=j-\-k, c—k + i.
290. Показать, что составленные из взаимных реперов а, Ъ, с и а*, &*, с*
реперы
[а&], [6с], [со] и [a*ft*], [Ь*с% [с*а*]
также являются взаимными.
291. Доказать: если вектор а перпендикулярен к векторам Ъ и с, то
1) а* = ~2, 2) а* перпендикулярен к Ь* и с*.
292. Записать систему уравнений (270) и ее решение (272) в
координатах. Сравнить с решением трех линейных уравнений с тремя неизвестными
посредством определителей.
48. Плоскость и прямая в пространстве* Пользуясь смешанным
произведением, мы имеем возможность записывать условие
компланарности трех векторов а% Ь% с уже не в аффинной форме (21), где
участвуют неопределенные коэффициенты а, р, к, а в виде
непосредственной зависимости между рассматриваемыми векторами
(метрическая форма):
(273) ato = 0.
Воспользуемся этой возможностью для того, чтобы заново
решить несколько основных задач на составление уравнений плоскости
по различным заданиям (ср. п. 18).
1. По точке и двум векторам, параллельным
плоскости (черт. 27), уравнение плоскости может быть написано
в виде:
(274) (г—гг)аЬ = 0.
г) Последовательную эквиаффинную трактовку косого и смешанного
(«тройного скалярного») произведений читатель найдет в книге А. М. Лоп-
шиц, Аналитическая геометрия, Учпедгиз, 1948.

48]
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
167
2. По двум точкам и параллельному вектору (при
обозначениях п. 18):
(275) (г —r,)(r9 —Г!)а = 0.
3. По трем точкам (черт. 28)
(276) (г — /■,)(/•! — гг)(гъ — гг) = 0,
или, раскрывая скобки,
(277) /т2г3 -f /ту, + rr^a = r^/v
Написанные в координатах [см. (242)] уравнения (274), (275), (276)
приведут нас снова к (63), (63 bis), (64) с тем только (внешним)
отличием, что в участвующих там определителях горизонтали
станут вертикалями.
Новые возможности открываются и по отношению к уравнениям
прямой в пространстве, именно благодаря тому, что условие
коллинеарности двух векторов мы можем -теперь записывать в
(метрической) форме (213) равенства нулю векторного произведения.
1. По точке и параллельному вектору (черт. 26)
уравнение прямой в пространстве будет иметь вид:
(278) [(г — rJaJ-O.
или
(279) [га] = М,
где М = [гха] есть (см. п. 39, 1) «момент (относительно точки О)
вектора а», перенесенного в точку Mv Отсюда следует, между
прочим, что MJ_a,
(280) Ma = 0.
В координатах, полагая Л1={л, ц, v}, имеем вместо
уравнения (279)
Iyn— zm~\,
d — хп=ъ
хт—yl = v.
Здесь может возникнуть кажущееся противоречие между формой и
геометрическим содержанием системы (281). Если в этих уравнениях
рассматривать х% у у z как неизвестные, то 1) с одной стороны, система (281) должна
иметь бесчисленное множество решений, ибо должна удовлетворяться
координатами любой точки, лежащей на нашей прямой; 2) с другой стороны, три
уравнения с тремя неизвестными имеют, вообще говоря, единственное
решение. Однако более внимательный анализ уравнений (281) обнаруживает, что
одно из них является следствием двух других, и следовательно, фактически
мы имеем только два независимых уравнения. Это следует, например, из того,
что, умножая уравнения (281) соответственно на /, т, п и затем складывая,
получаем 0 = А 4- тр + п\ а это равенство представляет собою не что иное,
как координатную запись условия (280).

168
ВЕКТОРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
[гл. Ш
2. По двум точкам [ср. (61)] свободное от параметра
уравнение прямой может быть написано в виде
(282)
l(r — rx)(r2 — Ol—O или [r(r2 — rJJ^I/yo].
AT,
3. По точке и двум перпендикулярным векторам.
На плоскости направление прямой одинаково хорошо определяется
как параллельным, так и перпендикулярным к ней вектором. Иначе
обстоит дело в пространстве: заданием параллельного вектора по-
прежнему однозначно определяется направление прямой, но
направлений, перпендикулярных к данному
— вектору, существует бесчисленное мно-
in п'] жество. Однако, если заданы два
вектора п и п (nzhn'),
перпендикулярных к прямой, то этим направление
последней вполне определяется, ибо
такая прямая параллельна вектору [tin'].
Итак, пусть прямая задана одной из
своих точек Мх (гх) и двумя
перпендикулярными к прямой векторами п и п' (черт. 73); в силу только
что сказанного мы находимся в условиях случая 1 и можем написать
уравнение прямой в одной из форм [см. (60), (278)]:
(283) г = гг + \ [пп'\ (X — параметр; [пп'\ ф 0);
(284) [(г— г1)[лл,]] = 0.
В координатах (кроме обычных обозначений, полагаем п = {й, v, w],
п'={а\ v\ <w'\) имеем:
А"
п V
Черт. 73.
j^-f-X
v w
, у=:у1 + К
w и
, z = Zx -fX
и V
или, исключая параметр,
(284')
V W
У —У\
W U\
!
wr а' \
Z —
1 и
\и'
-*1
V
А
4. Прямая как пересечение двух плоскостей. Пусть
даны две плоскости (см. п. 34):
(285)
гп = а и rn = s
если эти плоскости не параллельны, или, что то же, векторы п и п
не коллинеарны, то существует прямая, общая обеим плоскостям.
Желая записать уравнение этой прямой в одной из ранее
полученных форм, заметим, что участвующие в уравнениях плоскостей (285)
векторы п и п' перпендикулярны к линии пересечения плоскостей,

48]
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
159
значит, прямая параллельна вектору [пп'], а потому уравнение ее
может быть записано в виде [см. (279)]:
[г[дЛ,]] = М.
Вектор М найдем, применяя формулу (250) и уравнения (285):
M~s'n — sn'y
так что окончательно уравнение прямой представляется в виде:
(286) [г [пп'\] = s'n — $nf.
Отсюда нетрудно получить и параметрическое уравнение [ср.
задачу 280]:
(2860 г = -rj^nz [{sn' — s'n) [пп'\\ + X \nn'\ (X — параметр).
Если прямая определяется как пересечение двух плоскостей,
заданных координатными уравнениями
(287) А х + By + Cz -f D = 0, A 'x + B'y + С z + D = 0,
то переход к уравнениям (284') может быть выполнен следующим
образом. Берем на прямой одну из ее точек, для каковой цели одной
из координат даем произвольное значение (проще всего — нуль, т. е.
берем точку пересечения прямой с одной из координатных
плоскостей), а две другие координаты вычисляем из уравнений (287). Найдя
таким образом на прямой точку (xv yiy zx) и замечая, что векторы
{Л, В, С), {А\ В', С] перпендикулярны к прямой, пишем
уравнение последней:
А ВГ
А' В'\
5. 11 л ю к е р о в а форма уравнения прямой. Мы видели,
что уравнение всякой прямой может быть представлено в виде (279).
Обратно, всякое уравнение типа (279), где векторы а и М
подчинены единственному условию перпендикулярности (280), представляет
некоторую прямую. Чтобы убедиться в этом, достаточно проверить,
что уравнение (279) равносильно такому (ср. задачу 280 и конец
п. 40):
г = -^ [аЩ -\- >а (X — параметр).
Уравнение (279) называется илюкеровым по имени геометра
П л ю к е р а, который предложил определять прямую двумя
векторами («плюкеровы векторы»): одним (а), лежащим на прямой, и
другим (М), представляющим момент первого относительно выбранного
нами полюса (см. п. 39, 1 и задачу 247). Следует заметить, что для
В с
вг с
С А
а аг

170
ВЕКТОРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
[гл. m
данной прямой и при данном выборе полюса плюкеровы векторы а, М
являются определенными только с точностью до общего скалярного
множителя: если а, М и а\ ЛГ суть две пары плюкеровых
векторов для одной и той же прямой, при одном и том же полюсе, то
а:а' = М:М'.
Задачи.
293. Вывести уравнение (274) из (174).
294. Плоскость пересекает оси координат в точках (а, 0, 0), (0, Ь, 0),
(0, 0, с). Написать в векторной и координатной форме уравнение плоскости
(«по отрезкам на осях»). [Указание. Применить (277).)
295. Из начала координат проведены векторы /+/, У+£. k-\-L
Написать уравнение плоскости, проходящей через концы этих векторов (в
векторной и координатной форме).
296. Написать уравнение прямой, проведенной через точку (Г)) парал*
лельно плоскостям т « s, rn* = s\
297. Вершины тетраэдра находятся в точках А (1, 3, —4), В ( — 2,*1,0),
С (5, —2, 3), D (2, 1, 6). Написать уравнения высот тетраэдра.
298. Полагая в (286') X = 0, находим точку с радиус-вектором
Непосредственной подстановкой удостовериться в том, что эта точка лежит
на пересечении плоскостей (285).
299. Прямую
2jc— у + Зг — 5 = 0,
х + 4у + 2г + Ь = 0
выразить уравнениями типа
I т п '
300. Написать уравнение плоскости, проведенной через точку (ri)
перпендикулярно к прямой [га] = Л1.
301. Написать уравнение плоскости, проведенной через точку (г{)
параллельно прямым [га] = М и [raf] = М'.
302. Найти точку пересечения прямой [га] = М с плоскостью rn = s.
(Указание. Умножить первое уравнение векторно на я.)
49. Несколько задач, относящихся к прямым в пространстве.
Формулировка и решение нижеследующих задач даны в векторной
форме; читателю рекомендуется в каждом случае выполнять переход
к координатам.
1. При каком условии лежат в одной плоскости
прямые, заданные: а) уравнениями r = r1-f-Xa, г =
= г,Ч-1*а' (черт. 74), б) плюкеровы ми уравнениями
[га] = Л1, [га'] = М'?

49] НЕСКОЛЬКО ЗАДАЧ, относящихся К ПРЯМЫМ В ПРОСТРАНСТВЕ 171
Решение, а) Для того чтобы прямые лежали в одной плоскости,
необходимо и достаточно, чтобы векторы а, а' и гх—г'х были
компланарны, т. е. чтобы
(289) (rt — г[) аа' = 0. ——
б) Раскрывая в (289) скобки и
заменяя [гха] и [г[а'] соответственно
через М и М\ найдем:
(290) Nia! -f М'а = 0.
2. Написать уравнение
перпендикуляра, опущенного из
точки Л(гх)на пря муюг = г2-)-к.
1-е решение. Перпендикуляр АР (черт. 75) лежит в плоскости
П | а, причем. АР есть компонента вектора AB = r2— rv взятая
в эрой плоскости. Поэтому [см.
(216)):
л7>=[[а°(г2 — rt)]a%
где а" = -г , следовательно,
(291) ^P = ^-[[e(r9-r1)|aJ.
Теперь мы знаем вектор, идущий
в направлении прямой АР% и
можем написать ее уравнение,
например, параметрическое:
(292) r = rl+v.[[a(r2—rl)]a].
2-е решение. Ищем значение параметра X, соответствующее точке Р.
-гх в условие перпендикуляр-
Черт. 75.
Для этого подставляем АР =г2-\~\а-
ности АР • а = 0:
(ra + taz — г^а — 0,
откуда
и следовательно,
Х = -
(Гд — ri) a
дз
ЛР = Гэ—
to—fi)a
a5
_ да fa_Г1) — {(rg_Г1) a> g
a — Г1 ^
С помощью (249) легко убедиться в тождественности этого выражения
с ранее полученным (291).

172 ВЕКТОРНОЕ умножение [гл. ш
3. Найти расстояние точки А(гх) от прямой,
заданной: а) уравнением г = г2-|-Ха (черт. 75), б) плюкеровым
уравнением [га] = М.
Решение может базироваться на формуле (291):
АР* = ±[[а(г2-Г1)]а]*.
Замечая, что (ср. задачу 245) [[а(г2— r1)]a]* = [a(ri — /*i)]3ea —
— (а (г2 — Г]) а)2 = [а (г2 — /-j)]2 а2, имеем:
ЛР^ДгИго-гО]2; AP = Uair*-n)]].
Более непосредственным образом придем к этому результату из
следующих соображений. Если (черт. 75) ВС = а> то
т. е. снова
(293) ЛР^=\КЪ-гх)а)\ _ УНъ-гЛа}*
1 } \а\ У а?
Если прямая задана плюкеровым уравнением, то, полагая в последней
формуле [г2а] = М, находкм:
ЛР^\М-[гха}\
\а\
4. При обозначениях задачи 1 найти кратчайшее
расстояние между двумя прямыми.
Решение. Задача сводится к отысканию длины отрезка {РР' на
черт. 74), являющегося общим перпендикуляром к обеим прямым.
Допуская сначала, что прямые не параллельны ([аа'] Ф 0), заметим,
что прямая РР' перпендикулярна к каждому из векторов а, а' и,
следовательно, параллельна вектору [аа']. Отсюда заключаем, что
искомая длина равна абсолютной величине проекции вектора АА' (=»г|—гх)
на направление [аа']:
, , I (г\ —- п) аа 1 I (г! — п) аа' \
(294) PP' = \nplaaf](r — г,) =^А " L - л—-^ •
v 7 ' P[aa]V 1Л |[aa']| /[aa'J3
Этой формулой решается задача для случая, когда прямые заданы
уравнениями
г = /-j + Ха; г — г[ + pa'.
Чтобы получить решение для прямых, заданных плюкеровыми
уравнениями, достаточно раскрыть скобки в числителе дроби (294) и

50) СИСТЕМА СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА ТВЕРДОЕ ТЕЛО 173
заметить, что
г\аа = — \г\а ] а = — М а
и
гхааг = \гха\ а = Ма';
окончательно имеем:
(295) РР' = \М«±М«1.
Обращаясь к оставленному в стороне случаю параллельности
заданных прямых (a||a'), мы можем, не нарушая общности, считать
a = a'. Но теперь вопрос сводится к отысканию расстояния какой-
нибудь точки, взятой на одной прямой, от другой прямой, т. е.
к задаче, уже решенной (3). Например, для расстояния точки А'(г[)
от прямой r = r1-j-Xa находим [см. (293), где придется слегка-
изменить обозначение] выражение:
(296) ^_ »
Для прямых [га] *= М и [га7] = М' расстояние равно
(297) ™Lz4>I,
Та'
так как [/^а] = М и [/y*] = M\
Задачи.
«л* „ -х- — 5 у — 2 г — 4 .v — 4 v — 5
303. Показать, что прямые —^— = ~——— = р и —.-,— =•—•-- =
Z 4 -—■ 1 о I
z 5
пересекаются.
~ — 2
304. Даны прямая -—-—== ^—-—= >-- и точка (1, 7,—3). Написать
уравнения перпендикуляра, опущенного из точки на прямую, и найти его
длину.
305. Найти кратчайшее расстояние между прямыми
дг — 3 ,v + l _ г .г+ 2 _ у —4 _ z — 3
— 6 ~~ 4 ~ 1 " 3 ~ * 0 ~ ~^Т~ *
306. Та же задача для прямых х — 5 — 4Х, у = 2-\-7\t z — 1 -f 4Х и
У= 8[а, v = 3 — 1 4[а, z = 4 — Sfa..
50. Система сил, действующих на твердое тело.-Рассмотрим //
сил Fu F2, ..., Fn, приложенных соответственно в точках Аи
Л2,..., A1V Сообразно своей физической природе векторы FvF2,...,Fn
должны рассматриваться как скользящие (см. п. 2). Естественно
поэтому характеризовать действие каждой отдельной силы,
например Fv не вектором Ft и точкой приложения Av а двумя
(свободными) векторами: 1) вектором /^ и 2) моментом Мх этого вектора

174
ВЕКТОРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
Ггл. m
относительно определенно выбранной точки О [см. п. 39, 1 и
задачу 247]:
M^irfxl где rx = OAv
Действительно, заданием вектора Fx определяются величина и
направление силы, а заданием момента Мх — линия действия, для
которой Fx и Мх служат плюкеровыми векторами [см. конец п. 48].
С нелыо изучить совокупное действие всех сил вводят в
рассмотрение два вектора: 1) сумму всех векторов F{:
(298) F = F1 + Fi+...-\-Fn^^Fi
— главный вектор системы и 2) сумму всех моментов, взятых
относительно одной и той же точки:
(299) М = Л1Г!-Л1,-Ь .. J-M^r^J+lrs/y-b . .+[rMFJ=£ [r,Ft]
(где ri = ОА{) — главный момент системы относительно
полюса О. Следует отметить, что в то время, как главный вектор
не находится ни в какой зависимости от выбора полюса О, главный
момент существенным образом зависит от этого выбора. Нетрудно
установить, как изменится главный момент, если вместо точки О
возьмем за полюс другую точку О'; полагая 00'= R и обозначая
новый момент через М'у имеем:
(300) М' = £ [r',Ft] = £[(г< - R) Ft] - Z[rtFt} - [RZFt] = М- [RF].
Таким образом, разность между старым и новым главными моментами
равна взятому относительно старого полюса моменту главного
вектора, приложенного в новом полюсе. Хотя главный момент зависит
от выбора полюса, однако скалярное произведение главного момента
на главный вектор (а вместе с-тем — проекция главного момента на
направление главного вектора) от этого выбора не зависит и, значит,
вполне определяется заданием системы сил, как скользящих векторов.
Действительно, умножая (300) скалярно на /% получим:
(301) FM' = FM — FRF = FM.
Отсюда, между прочим, следует, что главный момент будет иметь
наименьшую величину, если за полюс взять такую точку, чтобы
главный момент и главный вектор были коллинеарны. Займемся
разысканием такой точки. Сначала выберем полюс О наудачу; пусть F и
М — соответствующие главный вектор и главный момент. Записывая
требование коллинеарности в виде [см. (300)]:
(302) М — [/?/=>= Х/%
ищем вектор R и число X. Последнее найдем, умножая (302) скалярно
на F, откуда:
MF
MF^lF*, >.= 9£,

50) СИСТЕМА СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА ТВЕРДОЕ ТЕЛО 175
разумеется, в предположении, что FzfzO. Теперь уравнение (302)
принимает вид:
(303) \RF] = M— y?F
и обнаруживает, что существует бесчисленное множество полюсов,
доставляющих главному моменту наименьшую величину. Действительно,
в правой части (303) стоит вектор, перпендикулярный к F (в чем
можно убедиться, умножая этот вектор скалярно на F), следовательно,
(303) есть плюкерово уравнение некоторой прямой (/?—радиус-вектор
текущей точки). Эта прямая носит название центральной оси
данной системы сил; центральная ось параллельна главному вектору
и представляет собою геометрическое место точек, каждая из которых,
будучи принята за полюс, дает главный момент наименьшей величины.
PJLM
Фигурирующий в (303) скаляр -щ не зависит от выбора полюса
[см. (301)1 и называется с т р е л о й данной системы. Введя для стрелы
обозначение
(304) с? ^ ^
и возвращаясь к обычному обозначению радиуса-вектора, можем
переписать уравнение центральной оси в виде:
(305) [г F] = M — <?F.
Таковы основные понятия, на которых строится в статике теория
эквивалентности систем сил. Две системы сил называются
эквивалентными, если одна может быть преобразована в другую
посредством повторного применения следующих операций: 1) к системе
присоединяются две силы (взаимно уничтожающиеся), равные по
величине, противоположные по направлению и действующие по одной прямой;
2) несколько сил, линии действия которых пересекаются в одной
точке, заменяются своей равнодействующей или, наоборот, — одна
сила заменяется несколькими составляющими. Физический смысл
эквивалентности заключается в том, что обе системы сил оказывают
одинаковое действие на твердое тело. Основная теорема статики гласит:
для того чтобы две системы сил были Эквивалентны, необходимо и
достаточно, чтобы были равны: 1) главные векторы обеих систем,
2) главные моменты, взятые относительно одной и той же точки
[исходя из (300) легко показать, что если у двух систем равны
главные векторы и равны главные моменты, взятые относительно одной
какой-нибудь точки, то будут равны и главные моменты, взятые
относительно любой другой точки]. Доказательство необходимости
вытекает почти непосредственно из данных выше определений
главного вектора и главного момента, если принять еще во внимание
теорему Вариньона (см. задачу 253). Доказательство достаточности
представляется более сложным; читатель найдет его в специальных
курсах механики.

176
ВЕКТОРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
Ггл. ш
Задачи.
307. Показать, что главный момент системы не меняется, если переместить
полюс на отрезок, параллельный главному вектору.
308. В обобщение задачи 253а доказать: для того чтобы главный момент
системы не зависел от выбора полюса, необходимо и достаточно, чтобы
главный вектор был равен нулю.
309. Полагая F~{X, Y% Z}, М = {X, pi, v}, написать уравнения
центральной оси в координатах.
310. Пусть дана система сил с главным вектором F и главным
моментом М, взятым относительно полюса О. Обосновать следующее построение
системы, состоящей из трех сил и эквивалентной дайной системе. Из полюса О
проводим векторы OF=Fn ОМ = М; через О проводим плоскость,
перпендикулярную к ОМ, и в ней берем произвольную точку Р\ строим вектор PQ
так, чтобы [OP PQ] = М (см. мелкий шрифт в конце п. 40); в точке О строим
вектор OR = — PQ. Система трех сил, изображаемых векторами OF, PQ и
OR, эквивалентна данной.
311. Показать, что величина главного момента, взятого относительно
какого-нибудь полюса, равна \F\ T^'f2-+-/?2, где F—главный вектор, <р —
стрела, R—расстояние полюса от центральной оси системы.
Задачи к главе 111.
312. Доказать: 1) если [аЪ\ = 0, [ас]=0, а=£=0, то [Ъс\ = 0, 2) если
аЬ = 0, ас = 0, то [а [Ьс\] = 0; 3) если аЬ = 0, [be] = О, Ь =?=0, то ас = 0.
313. Если отличные от нуля векторы [аЬ\ и [ей] коллинеарны, то
векторы а, Ь, с, й компланарны. Доказательство!
314. Какая поверхность определяется уравнением [k [rk]\2 — р2, где k есть
.достоянный единичный вектор, р — постоянное число, г — радиус-вектор
точки, лежащей на поверхности?
315. Доказать: если \аЬ\ — [cd] и [ас] = [bd\, то векторы а — d и Ь — с
коллинеарны.
316. Какому условию должны удовлетворять радиусы-векторы трех точек
А\(Г\), А>> (гч), А-а(Гъ) Для того, чтобы эти точки лежали на одной прямой?
317. Выразить площадь S треугольника через радиусы-векторы ги г^ га
его вершин.
318. Если для трех неколлниеарных векторов имеет место [/у2] = [г2/з)=
= [ГА]» то /*i + гг + *з = & Проверить это утверждение и выяснить eijo
геометрический смысл.
319. Сила F={2, — 4, 3} приложена в точке М(\, 5,— 2). Найти
момент этой силы: 1) относительно начала координат О, 2) относительно
точки Л(5, —3, 4).
320. Вершины четырехугольника ABCD находятся в точках А (— 1^2, —2),
В (—2, 5, 1), С(— 1, 6,0), D (2, 3, —6). Показать, что этот
четырехугольник— плоский и найти его площадь.
321. Проверить вычисление площади в предыдущей задаче, пользуясь
известной из геометрии формулой: площадь четырехугольника равна половине
произведения диагоналей на синус угла между ними.
322. Вершины треугольника находятся в точках А (2, 6, 7), В ( —3,-2, 0).
С(1, 1, 2). Найти длину высоты AD.

ЗАДАЧИ К ГЛ. III
177
323. Доказать: если прямые [га] = М и [гаг\ = Мг пересекаются, то
т1 _ a+b b-\-c с4- а 1 -
324. Показать, что —к— • —к— • —к— = -г оЬс, и выяснить
геометрический смысл полученного результата (в предположении, -что векторы а, Ь,с
не компланарны).
325. Проверить справедливость тождества:
(5а + т]Ь + С*) (£'а + rfb + Vc) (£"а + чрь + 1"с) =
oto. Ср. с (242).
326. В трехгранном угле с вершиной S проведены параллельные сечения
ABC и А'В'С Обозначая через v, х/, v", vr" соответственно объемы
тетраэдров SABC, SA'B'C, SA'BC, SAB'C, показать, что v" = Уф%7ъ tfvm = vv\
327. Доказать, что векторы Ха—\хЬ, \b — Хс, и — va компланарны.
328. Найти объем параллелепипеда, зная координаты четырех его вершин
(обозначения, как на черт. 16): А (3,5,1), В (5, 2, 2), D (4, 1, —2), Л' (3, 8, 3).
329. Удостовериться, что четырехугольник с вершинами А (2, О, 1),
В (4, —1, —2), С(— 1, 2, 5); £> (2, 1, 0) есть плоский.
330. Найти объем тетраэдра ABCD, зная, что АВ = {4, —2, 0}, С4 =»
«{-3,6,3}, CD -{1,4, -5}.
331. Проверить справедливость следующих тождеств:
1) [а [Ь [cd]]] « [at] (М) - [ad] (be);
2) [Р [Я Irs])] = (prs) q — (ря) Ira);
I аху Ьху I I ** У* \.
I аг Ъг \ I a&x aby I'
| ajcy &*у | | хаз зшя
I auv buv
I [aft] [xy], [ab] [xz]
\[ac] \xy]t [ac] [xz]
6) [ob]* [ac]2 —([aft] [a<:])2 = a2(ato)2;
3) [ab][xy)t =
4) [a*] [xy] [av] =
5)
a&x aby
= (ад:) (ato) (xjtf);
7)(abc)([xy] [хУ]) =
ax ay ах'У
bx by bxfy'
\cx cy cx/yf
332. Показать, что
l[ab] [be]] [[be] [ca]] [[ca] [ab]] « (abc)*.
333*. Доказать: если
m=[[(a + b)(b + c)][(b + c)(c+a)]],
т = ЩЪ + с) (c + a)\[(e+a)(a + b)]]t
p = [[(c + a)(a + b)] [(a +b)(b + c)\].
map ~ \6(abc)K
12 Зак. 1336. Дубнов, ч.

178
ВЕКТОРНОЕ УМНОЖЕНИЕ
[ГЛ. Ш
334*. Проверить справедливость тождества:
(аЬ) [cd] + (ас) [db] + {ad) [be] = a (bed).
335. Доказать: если три вектора а, Ь, с компланарны, причем а не
параллелен &, то
[ab] ' [ab\
Зоб*. Каковы бы ни были векторы а, Ь, с, d, можно утверждать, что
векторы [ab\, [ас], [ad] компланарны и, следовательно, связаны линейной
зависимостью вида:
$[ab)+t[ac] + o[ad] = 0.
1) Выразить коэффициенты (точнее — отношения коэффициентов) р, ?, Ь
через а, Ь, с, d. 2) Получить отсюда тождество
/ и w а ч I аЫ аЬе
(abc)(ade) = \
I acd асе
337*. В шестиугольнике (пространственном) М^М^ш.М^ у которого все
шесть углов—прямые, построено по общему перпендикуляру к каждой из
трех пар противоположных сторон (М^М^ и М^МЬ; Щмъ и М^М^ М^М4 и
MqM\)- Показать, что эти перпендикуляры параллельны одной плоскости.
338*. Доказать теорему: для того чтобы высоты тетраэдра О ABC попарно
пересекались, необходимо и достаточно, чтобы сумма квадратов двух
противоположных ребер была одна и та же для всех тре*х пар.
339*. Выразить объем тетраэдра через длины шести его ребер.
340*. Найти площадь основания тетраэдра, зная длины боковых ребер и
плоские углы при вершине.
341. Выразить объем параллелепипеда, построенного на трех векторах
а, Ь, с, через длины этих векторов и углы (а, Ь) — к, (Ь,с) = р, (с, а) = а.
342. При обозначениях п. 47 показать, что [аа*] -f- [bb*] + [ее*] — 0.
343. Показать, что
xyz~
ха xb хс
у a yb ус
га zb zc
(а*Ь*с*).
Отсюда и из (267) получить новый вывод для (261).
344. Из одной точки проведены три некомпланарных вектора а, Ь, с.
Показать, что плоскость, проходящая через концы этих векторов,
перпендикулярна к вектору
[ab] + [bc] + \ca].
345. Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А (2, —2, 0),
В (6, —2, 1) и параллельной вектору {3, —1, 2}.
346. Каким условиям должны удовлетворять постоянные векторы и
скаляры в уравнениях трех (непараллельных) плоскостей rn = s, rn' — s', rn" = s"
для того, чтобы эти плоскости пересекались по одной прямой. В каком
отношении стоит полученный результат к формуле (?72)?
347*. Найти геометрическое место середин отрезков, соединяющих
каждую точку прямой г = Г\ + XOi с каждой точкой прямой г = г2-f-\^а^ {ах не
параллелен а2). Решить ту же задачу в предположении, что прямые заданы
уравнениями [га^] — М1} [га2] = М2.
348*. Найти основание перпендикуляра, опущенного из точки (г*) на
прямую [га] = М.

ЗАДАЧИ К ГЛ. Т, It, III 179
349*. Две непараллельные прямые заданы своими плюкеровыми векторами:
аь Mt и as, М2 ([а^] ф 0).
Найти плюкеровы векторы общего перпендикуляра этих прямых.
350*. К вершинам треугольника приложены силы, пропорциональные
противолежащим сторонам, соответственно перпендикулярные (в плоскости
треугольника) к этим сторонам и направленные в каждом случае от вершины
к стороне. Доказать, что эти силы находятся в равновесии.
351*. К серединам сторон плоского выпуклого многоугольника приложены
силы, лежащие в той же плоскости, перпендикулярные к соответствующим
сторонам, пропорциональные длинам этих сторон и направленные
одновременно внутрь или одновременно наружу многоугольника. Показать, что эти
силы находятся в равновесии.
Задачи к гл. I, II, III1).
352. Переменный вектор имеет данное начало и данные компоненты по
двум данным непараллельным прямым. В пространстве найти геометрическое
место конца вектора.
353. Даны точки А (3, —6), В (8, 6), С (б, —2), D (7, 1). Показать, что AD
есть биссектриса угла ВАС.
354. Концы гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника ABC
находятся в точках Л (4, —1), В(—3, 3). Найти координаты вершины С.
355. Найти геометрическое место точек (г), для которых (г — а)2 =
= (г — Ь)2; а и Ь — постоянные.
356. К точке О приложены силы ОАь OA2,...,OAn. Если точки Л1ру42,...
.... Лп неподвижны, то каково геометрическое место точек О, для которых
равнодействующая имеет данную величину (/)?
357*. Четыре вектора СМ< = /•{(*=: 1, 2,3,4) компланарны. Выразить
через Г{ двойное отношение четырех лучей ОД-.
358. В прямоугольном треугольнике ' ABC (С — 90°) положим ВС — а,
С А = Ь, В А = с. Показать, что я2 = ас. Какую теорему элементарной
геометрии выражает это равенство?
359. При обозначениях задачи 14* показать, что АВ. СР + ВС • AM +
+ G4-BA/ = 0.
360*. Известно, что комплексные числа можно изображать векторами на
плоскости, в которой некоторый вектор е выбран в качестве изображающего
вещественное число +1. Если а и Ъ — изображения комплексных чисел а
и р, как выразится через а, Ъ и е вектор, изображающий произведение a{J?
361. Показать, что медианы AM и BN треугольника ABC могут быть
-^ 4
взаимно перпендикулярны лишь при условии cos С ;>-?-.
362. В треугольнике ABC проведена высота СН. Полагая АВ — с, ВС = а,
С А = &, показать, что АН: НВ — be: ас. Исходя из этой формулы и
аналогичных для двух других высот, показать, пользуясь теоремой Чевы (задача 91),
что три высоты треугольника пересекаются в одной точке.
*) Порядок задач этого отдела не соответствует расположению материала
в книге. Решающий задачи не будет заранее осведомлен о том, из какой
области он должен заимствовать средства, и таким образом сможет проверить
степень своего овладения предметом в целом. Указания в ответах будут более
краткими, чем до сих пор.
12*

180 ЗАДАЧИ К ГЛ. !, И, III
363. Доказать теорему: «высоты треугольника пересекаются в одной
точке», следуя такому плану: в треугольнике ABC пусть АВ = с, ~АС= Ъ>
О — точка пересечения двух высот AM и ВЫ, АО—р; выражая в
дальнейшем все векторы через Ь, с и р, показать, что из АО ± ВС, ВО ± АС
вытекает СО\АВ.
364. Показать, что во всяком треугольнике ABC
аа 4- Ьг 4- с*
ctg*+ctgB + ctgC=fl ~^у-с f
где S — площадь треугольника.
365. Векторы О А = а, ОВ = Ь, ОС=с попарно ортогональны. Показать,
что ctgA: ctg В: ctg С г= а2: №: с1 (А, В, С—углы треугольника ABC).
366. В треугольнике ABC проведена биссектриса AD. Полагая АВ = с,
АС = Ъ, BD = cr,DC в Ь'> показать, что 1) Ъс' — Ьгс*=Ьс — Ьс, 2) AD* =
^Ьс — Ыс'.
367. Зная длины а и Ь сторон прямоугольника, найти косинус угла между
диагоналями.
368. К вершине куба приложены три силы, величины которых суть 1, 2, 3,
а направления определяются диагоналями граней, выходящими из
рассматриваемой вершины. Найти величину равнодействующей.
869. К вершине А правильного шестиугольника ABCDEF приложены
силы, выражаемые соответственно векторами 2АВ, AC, 4AD, ЗАЕ, 9AF. Найти
величину равнодействующей, если А8 = 1.
370. В треугольнике ABC пусть Л£ = с, ЛС = &. Строим 1) АВ\
имеющий направление вектора с и длину вектора Ь\ 2) АО, имеющий
направление вектора Ь и длину вектора с\ 3) AD = АВ' + АО. Показать, чю прямая AD
делит сторону ВС в отношении АВ*:АС2.
370а. Из прямоугольного треугольника ABC получен с помощью
зеркального отражения от биссектрисы прямого угла новый (прямоугольный)
треугольник А'ВГС, Показать, что проведенные из общей вершины С медиана
одного треугольника и высота другого совпадают по направлению.
371. На сторонах ВС и CD параллелограма ABCD взяты соответственно
точки М и Ы так, что ВМ = -*• ВС и DN = ^DC. В каких отношениях
делятся отрезки AM и BN точкой (К) их пересечения?
372. В правильном шестиугольнике ABCDEF обозначим через М
середину стороны CD. Под каким углом пересекаются прямые AM и BD?
373. какой формы должен быть треугольник, для того чтобы центроид
этого треугольника совпадал с центроидом его периметра?
374. даны треугольник ABC и точка О; пусть А', Вг, О — соответственно
центроиды треугольников ОВС, ОСА, ОАВ. Показать, что стороны
треугольников ABC и А'В'С соответственно параллельны. Найти отношение подобия
этих треугольников.
375. Из точки О проведены векторы ОАх,...,ОАп, сумма которых равна
нулю. Прямая /, не проходящая через и, пересекается с прямыми ОАь.. .,0/Ц
соответственно в точках Ьь ..., Вп. Показать, что
71
V(OA.:OSi) = 0.

ЗАДАЧИ К ГЛ. Г, II, П1
181
376. Найти радиусы-векторы вершин семиугольника Av А>9..., Аь зная
радиусы-векторы середин его сторон. Основываясь на полученном результате»
дать способ построения семиугольника, когда известны положения середин
его сторон.
377. Стороны угла пересечены тремя параллельными прямыми. Если
А, В, С—точки пересечения секущих с одной стороной угла, А'\ В\ С —
соответствующие точки пересечения с другой стороной, то АВ СС-\-ВС AAf -f-
+ С А В В' = 0. Доказательство! Каким соотношением связаны длины
рассматриваемых шести векторов?
378. Показать, что во всяком четырехугольнике вектор, соединяющий
середины двух противоположных сторон, равен полусумме векторов,
совпадающих с двумя другими сторонами четырехугольника (при надлежащем
выборе направлений двух последних векторов). В какой связи стоит это
утверждение с известной теоремой о средней линии трапеции?
379. Показать, что в трапеции отрезок, соединяющий середины
диагоналей, параллелен основаниям и равен их полуразности.
380. Показать, что сумма векторов, идущих от центра правильного
многоугольника ко всем его вершинам, равна нулю.
381. Из вершин Аь А*-*., Ап правильного многоугольника опущены
перпендикуляры Л<Р< на прямую (/), проходящую через центр (О)
многоугольника. Показать, что Р\АХ + Р^Аг -+*••• + РпАп = 0«
382. Обозначая через Mif Afe...» Л*в середины последовательных сторон
шестиугольника А\Аг..шАь показать, что треугольники М\М$Мь и М^М^М^
имеют общий центроид.
383. Проверить справедливость тождества —^— (b — "о*) — Т 1а^\ и
дать ему геометрическое истолкование.
384. Доказать: прямая может составлять равные углы с тремя прямыми
(разных направлений), лежащими на плоское!и, только в том случае, когда
она перпендикулярна к этой плоскости.
385. На каждой стороне плоского выпуклого многоугольника А{А2...Ат
взята точка, и из нее проведен в плоскости многоугольника единичный
вектор, перпендикулярный к этой стороне и лежащий вне многоугольника.
Обозначая через si* s?,..., sm длины сторон многоугольника» через Я1,я2.. • -*rtw—
единичные векторы, соответственно перпендикулярные к этим сторонам,
показать, что
Sl/lj + $2«2 + • • • + Мш = 0.
386. На каждой из четырех граней тетраэдра ОАВС взята точка, и из нее
проведен единичный вектор, перпендикулярный к этой грани и лежащий вне
тетраэдра. Обозначая через olf a2l a3, о4 площади граней, через nbn«,ns, я4—
единичные векторы, соответственно перпендикулярные к этим граням,
показать, что
Обобщить предложение на случай любого выпуклого многогранника
387. В равнобедренном треугольнике ABC {АВ = АС) выразить угол между
медианами BD и СЕ через угол А при вершине.
388. Из точки М проведены к кругу две взаимно перпендикулярные
секущие МАА\ и МВВх (А, А\ н В, В± — точки пересечения с окружностью
соответственно первой и второй секущей). Показать, что вектор МА + МВ
перпендикулярен к прямой Аф\.
389. Дано a~f- b-f~c + d=zOf х = a + b,y = 6 + сЛ)Показать,что[х,у]-»
=[ab] + [cd\. 2) Для случая, когда a, b,c, d совпАдают с последовательными

182 задачи к гл. I, и, га
сторонами плоского выпуклого четырехугольника, выяснить геометрический
смысл последнего соотношения.
390*. Исходя из формулы (219), найти направление преломленного луча,
т. е. выразить а' через а, п и v.
391. В квадрат ABCD вписан прямоугольник MNPQ (вершины М, N, P,Q
лежат соответственно на сторонах АВ, ВС, CD, DA). Полагая
AS = a, AD = b, Л?2 = Ха, BN=^bt
показать, что 1) либо MNPQ есть также квадрат, 2) либо стороны
прямоугольника MNPQ параллельны диагоналям квадрата ABCD.
392. В треугольнике ABC обозначим через К к О соответственно
центроид (точку пересечения медиан) и центр вписанного круга (точку
пересечения биссектрис). Полагая
АВ = с, ВС=а, СА = Ь,
1) выразить векторы
АК, ВК, СК, АО> ВО, СО
через а, Ъ> с;
2) показать, что
™=3{a + b + c)i*(c~-b) + b(«--c) + c(b-a)}.
393*. В треугольнике PQR обозначим через М середину стороны PQ; А*—
центр описанного круга, И—ортоцентр (точка пересечения высот). Полагая
MP — a, MR sss т, показать, что HR = 2МК— —т-— <*'» где а'есть вектор,
(X ТП
полученный из а поворотом на 90° в плоскости треугольника. Основываясь
на этом, показать, что точки /С. И и центроид С треугольника лежат на
одной прямой.
394*. В пространстве даны п точек Pit Рг>. ..,РЛ; в каждой точке Я<
построим сумму Si векторов Р{Р^ (k = 1,2,..., п), идущих от этой точки к каждой
из остальных. Показать, что сумма квадратов всех векторов Si (I = 1,2,..., я)
в п раз больше, чем сумма квадратов расстояний между точками Р, взятыми
попарно во всевозможных сочетаниях.
395*. Показать, что сумма квадратов расстояний центроида С точек
Р\> Рг,-—> Рп ог каждой из этих точек в п раз меньше, чем сумма
квадратов расстояний между этими точками, взятыми попарно во всевозможных
сочетаниях.
Указание. Воспользоваться результатом предыдущей задачи.
396*. При обозначениях предыдущей задачи показать, что для любой
точки О будет ^ ОР\ = 2 СР\\- п * ОС*- При каком положении точки О
k k
сумма квадратов ее расстояний от точек Ри Р2,..., Рп будет наименьшей?
397*. В треугольнике ABC биссектрисы углов А и В пересекаются
в точке О. Показать, что СО есть биссектриса угла С, следуя такому плану:
если АВ = с, ВС а= а, С А — Ь, а0, 6°, с0—соответствующие единичные
векторы, то из АО И с°--Ь<\ ВО II а0 —с0 следует, что СО\\ 6° — а0.
398*. При обозначениях задачи 72 найти отношение площадей
треугольников ВхВфг и АхА2Аг.
398а*. Вершины треугольника В±В^Вг делят стороны треугольника А\А^
В отношениях АХВЪ: В^А* = Х3, А«ВХ: ВХА6 ~ /ь А$Вг: ВгАх = >.:. Найти о -но

ЗАДАЧИ К ГЛ. I, II, HI
183
шение площадей треугольников BiB2Bs и AtA2AQ. Вывести отсюда теорему
Менелая и обратную ей (см. задачу 86).
399*. При обозначениях задачи 89 найти отношение площадей
треугольников А'^А^А'з и АъАгАъ.
400*. Показать, что вписанные треугольники задачи 74 равновелики.
401. Если одна и та же прямая, не проходящая через полюс,
представлена на плоскости уравнениями гп = s к гп' = s', то п:пг = s:s'.
Доказательство!
402. Полюс находится в точке пересечения высот косоугольного
треугольника, уравнения сторон приведены к виду г/ = 1, га«а 1, гп= 1. Показать,
что 1т = тп = nU
403*. Через центроид С треугольника А\АгАъ проведена прямая,
пересекающая стороны его в точках L, М, N. Показать, что ^z. ~t- z~^ + =z^ = Q»
CL CM CN
где i — вектор, параллельный секущей LMN.
404*. Если r*i, Го, r3— радиусы-векторы трех точек, лежащих на
окружности, относительно полюса, лежащего на той же окружности, то Г22(г2Хг3)+
+ г\ (гз X rt) +1\ (ti X r2) ~ 0. Доказательство!
Указание. Воспользоваться тождеством (1350.
405. В равенстве предыдущей задачи заменить косые произведения
выражениями их через длины перемножаемых векторов и синусы углов между
ними. Далее, пользуясь тем, что синусы углов, вписанных в круг,
пропорциональны хордам, на которые эти углы опираются, вывести теорему Птолемея
о четырехугольнике, вписанном в круг.
406*. Доказать: разность степеней какой-нибудь точки относительно двух
кругов, равна удвоенному расстоянию между центрами этих кругов,
умноженному на расстояние точки от их радикальной оси.
407*. Для двух точек построены поляры относительно одного и того же
круга. Доказать: расстояние первой точки от поляры второй относится к
расстоянию второй точки от поляры первой, как расстояние первой точки от
центра круга к расстоянию второй точки от того же центра.
408. Написать уравнение плоскости, проходящей через полюс и линию
пересечения плоскостей гп = s, гп! « s/ (п не параллелен я', s и $' не равны
нулю одновременно).
409. Даны уравнения трех плоскостей гп = s, rnr = s', гп" = s". Написать
уравнение четвертой плоскости, зная, что она проходит через линию
пересечения первых двух и перпендикулярна к третьей.
410. Некоторая кривая на плоскости выражается уравнением
тг == Хг + !*,
где /я, X, (х — постоянные, #и=£0, Х^=0 (скалярное произведение
радиуса-вектора на некоторый постоянный вектор есть линейная функция длины этого
радиуса-вектора). Показать, что для всякой точки, взятой на кривой,
расстояние ее (точки) от полюса находится в постоянном отношении к расстоянию
той же точки от некоторой постоянной прямой. Определить тип кривой и
написать ее уравнение в полярных координатах.
411. Через фокус F кривой второго порядка (см. предыдущую задачу)
/яг=Хг + jj. проведено п лучей, пересекающих кривую в точках Мг, М",..., М(п>
и равномерно распределенных вокруг точки F (так что M'FM"=M"FM'"~=
= ...=* Mi*)FiW « —J. Показать, что сумма -щ{ -\- ... -f- щтк, не зависит
иг того, как выбрано напр явление луча FM\

184
ЗАДАЧИ К ГЛ. I, II, III
412. Вершина кругового конуса находится в точке О, ось конуса имеет
направление единичного вектора е, угол между образующей и осью равен а.
Написать уравнение конической поверхности, принимая О за полюс.
413. Выяснить геометрическое значение уравнения сг = г (с — постоянный
вектор, длина которого больше единицы) на плоскости и в пространстве.
414. Написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точки А (8,-13)
х у—1 z—S
на прямую —^ = --6 = - х-.
415. Найти угол между прямыми г—Гх + Ьа и r — r2-\-pb.
416. Найти угол между прямой г = r*i + Ха и плоскостью гп = s.
A4mt „ u х — 6 v z + Z x + 2 у — 7
417. Найти угол между прямыми —^— = — ■. = —4т и —— — '— -
— 4'
418. При каком условии прямые
— 1
— 2
* — JCt
/
12
л: — дг2
^.У — У%^*— 2
взаимно перпендикулярны?
m' п
л: 4*4
419. Найти угол между прямой —i—
-У-2и
и плоскостью 9дг—
2 "" —6
— 12у + 20-гг — 11 = 0.
420. Написать условия: а) параллельности, Ь) перпендикулярности прямой
xJZL3sss^ry^ _, lZl£i к плоскости Ах + By + Cz + D = 0.
/ /п л
421. Через точку (Р), взятую на оси симметрии правильного
многогранного угла, проведена плоскость, отсекающая от этого угла пирамиду.
Показать, что сумма чисел, обратных длинам боковых ребер этой пирамиды,
зависит только от выбора точки Я, но не секущей плоскости.
422. В тетраэдре О ABC проведена высота OD. Полагая О А = а, ОВ = 6,
ОС = с, OD = ft, выразить h через а, Ъ, с.
423. Основанием пирамиды служит треугольник с вершинами (/*!), (г2),
(г8). Написать уравнение плоскости, параллельной основанию и проходящей
через вершину пирамиды, зная, что высота последней равна я.
424. Найти х из уравнения х = [а(х-\- Ь)\.
425. Найти вектор х и скаляр S из системы уравнений: ха = 0, [ха] +
+ &а=6, где а^=0. (Задача связана с нахождением гамильтонова
кватерниона— см. Введение — равного «частному от деления» Ь:а.)
426. Обозначая через S площадь треугольника ABC, показать, что 85* =
= abc (a cos А + b cos В + с cos С).
427. Показать, что векторное равенство [*%] + []щ\ + [ku$] == 0 (f,/, k —
базисные векторы прямоугольной системы) равносильно трем скалярным:
428. Проверить справедливость тождества
(Р*У) («У*) (^х) — (<?*У) (ryz) (pzx) ^= (xyz)
I ргг xrz I'
429. Показать, что для любых восьми векторов а, Ь, с, d, а', Ъ', cr, dr
аа! аЬ' ас' ad'
ba' bb' be' bdf
со! cbr ее' cdr
da' db' dc' dd'
= 0.

ЗАДАЧИ К ГЛ. Tt IT, III
185
Замечание. В частном случае, когда а' = а, br = Ь, сг *=*с, d' = d, | а\ =
B=s|b|=s|ci = |d| = l, получаем отсюда формулу, выражающую
соотношение между сторонами и диагоналями сферического четырехугольника.
430. В тетраэдре ABCD положим АВ = а, СО = а',и пусть М н Мг —
моменты секторов Л£ и CD относительно какой-нибудь точки О.
Показать, что число | (а + аО (М + М') | равно ушестеренному объему тетраэдра.
431. Е и F суть соответственно середины противоположных сторон AD
и ВС четырехугольника ABCD; М — точка пересечения прямых,
проведенных через Е параллельно ВС и
через F параллельно AD. Показать, что
треугольники АМВ и АМС
соответственно равновелики треугольникам
DMC и DMB.
432. Показать, что плоскость,
проходящая через середины двух
противоположных ребер тетраэдра, делит
объем его пополам.
433. При обозначениях задачи 86
доказать теорему Менелая, следуя
такому плану: полюс берем вне
плоскости треугольника; тогда
требование, чтобы точки L М, N лежали на
одной прямой, равносильно
требованию, чтобы векторы rL> rM, rN были
компланарны.
434. Фигура, образуемая четырьмя
(попарно пересекающимися) прямыми
(черт. 76), называется «полным четырехсторонником», точки пересечения этих
прямых — вершинами четырехсторонника; вершины каждой из пар АхиАх,
А2 и Х2, А< и Л3 называются противоположными. Доказать теорему (Гаусса):
середины отрезков, соединяющих попарно противоположные вершины
полного четырехсторонника, лежат на одной прямой.
435. На сторонах треугольника ABC, как на диагоналях, построены в
плоскости этого треугольника квадраты СМВМ', ANCN', ВРАР', причем
указываемое порядком букв направление обхода по контуру треугольника и
каждого из киадратов— одно и то же. Зная радиусы-векторы Ги г2, га вершин
А, В, С, 1) найти радиусы-векторы точек М> М\ М N't Р, Рг\ 2) показать,
что треугольники ABC, MNP, M'NrPr имеют общий центроид; 3) показать,
что векторы AM и PN равны по длине и взаимно перпендикулярны.
436. Из четырех вершин А, В, С, D тетраэдра проведены параллельные
между собою прямые до пересечения с плоскостями противоположных
граней соответственно в точках А'\ В\ Cr, Df. Показать, что объем тетраэдра
A'B'C'D' втрое больше объема тетраэдра ABCD.
437. Ребра DA, DB, СА, СВ тетраэдра ABCD разделены соответственно
точками М, N, Р, Q в данных отношениях: DM-.MA — X, DN:NB = \t.t
СР:РА = ):, CQ : QB = н-'. Какому условию должны удовлетворять числа X, р,
X', \l' для того, чтобы точки М, N, Р, Q лежали в одной плоскости?
Черт. 76.

ГЛАВА IV.
ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО ПЕРЕМЕННОГО,
СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ,
51. Различные виды векторных функций. В вопросах, касающихся
представления линий посредством уравнений, нам уже приходилось
(например, в пп. 17, 32) встречаться с функциями новой природы,
особенность которых заключалась в том, что значения одного из
двух переменных (зависимого или независимого) были не скалярами,
а векторами. Такие функции естественно возникают во многих
задачах геометрии и механики и благодаря близкому родству с функциями
обыкновенного анализа бесконечно малых допускают распространение
на них основных понятий этого исчисления (непрерывность, дифферен-
цируемость и т. д.). Систематическое изучение этих функций методами
бесконечно малых вводит нас в область векторного анализа,
который надстраивается над векторной алгеброй так же, как
классический анализ над алгеброй числовой.
Исходя из наиболее общего определения функции как
соответствия между значениями переменных любой природы, можно
предвидеть появление в векторном исчислении функций четырех типов:
| независимое переменное
1 зависимое переменное
скаляр
скаляр
скаляр
вектор
вектор
скаляр
вектор
вектор
Функции первого типа (скаляр -+ скаляр) составляют предмет
изучения классического анализа; функциями второго типа (скаляр —►
вектор), а также их применением к геометрии и механике мы будем
заниматься в этой и следующей главах настоящей книги. В связи с
теорией плоских кривых и кривых поверхностей коснемся также
функций третьего типа (вектор -> скаляр); вместе с функциями четвертого
типа они составляют основу другой главы векторного анализа — так
называемой «теории поля», систематическое изложение которой
появится во второй части этой книги.
б2< Вектор как функция скаляра. Годограф. Начнем с примеров,
заимствуя первый из кинематики точки. Пусть точка М движется

52J
ВЕКТОР КАК ФУНКЦИЯ СКАЛЯРА. ГОДОГРАФ
187
Черт. 77.
в пространстве, причем нам известен «закон движения». Это означает,
что мы располагаем правилом, с помощью которого умеем для
каждого момента времени (t) указать положение движущейся точки.
Если в пространстве выбран полюс О
(черт. 77), то положение точки М может
быть определено радиусом-вектором ОМ = г;
который будет изменяться (вообще говоря,
как по длине, так и по направлению) с
течением времени. Мы можем сказать, что
закон движения определяется заданием
радиуса-вектора г как функции скалярного
аргумента L Одновременно появляются и
другие функции того же переменного: в
каждый момент времени движущаяся точка
обладает определенной скоростью, полное
описание которой дается вектором v
(направленным по касательной к траектории
движения); определенным ускорением
(вектор w) и т. п. Векторы v, зд, как и
радиус-вектор г, являются функциями времени, причем, как известно из механики,
первые две функции получаются из последней с помощью операции
дифференцирования (подробнее об этом см. ниже, п. 56).
Другой пример заимствуем из геометрии. Если кривая на
плоскости задана уравнением в полярных координатах р, <р (черт. 78), то
каждому значению полярного угла о (независимое переменное—скаляр)
отвечает определенное положение точки Р на кривой, следовательно,
определенное значение радиуса-вектора
г = ОР. Направление этого вектора
определяется просто заданием угла <?» а длина
| г | == р — из полярного уравнения кривой.
Рассмотрим, наконец, известные из
аналитической геометрии параметрические
уравнения эллипса в декартовых
прямоугольных координатах:
Черт. 78. jt = acostt, y*=bs\nu.
Полагая при обычных обозначениях ш=а, bj=b, имеем
r= a cos и-\-b sin и
— явное выражение вектора г как функции скаляра и
(геометрический смысл параметра и можно уяснить из черт. 79, где около
эллипса описана окружность; О А = а, ОВ = Ь), причем полный обход
эллипса получается при изменении и от 0 до 2тг.
Обобщая эти примеры, установим следующее определение: если
каждому значению переменного скаляра и (изменение

188 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ, IV
которого может быть ограничено известным промежутком)
поставлено в соответствие определенное значение
вектора р, то говорят, что р есть вектор-функция ота
и пишут
Р =/(«)•
Обозначая характеристику функции буквой / жирного шрифта,
желают подчеркнуть особую природу этой функции, состоящую в том,
что значения зависимого переменного
теперь— векторы. Впрочем, чтобы избежать
лишних символов, мы будем большей
частью обозначать одной и той же буквой
характеристику функции и зависимое
переменное. Так, в первом из рассмотрен-
**х ных выше примеров выразим то
обстоятельство, что радиус-вектор, вектор
скорости и вектор ускорения зависят от
времени, равенствами:
r=*r(t), v=*v(f),w=*w(t).
Черт. 79. Значения вектор-функции мы
рассматриваем как свободные векторы,
которые могут быть, если это желательно, приведены к общему
началу. Для изучения вектор-функции такой прием
представляется часто удобным, даже и в том случае, когда по своему
геометрическому или физическому смыслу векторы р(и)
первоначально связаны с определенными «точками приложения» (так,
в рассмотренном выше кинематическом примере естественно считать,
что векторы скорости и ускорения приложены к движущейся точке).
Если все значения вектор-функции приведены к полюсу, взятому в
качестве общего начала, то геометрические место концов этих векторов
образует некоторую линию *), вообще говоря, кривую — так
называемый годограф данной вектор-функции (например, в кинематике
часто пользуются годографами скорости и ускорения).
Утверждение «годограф есть линия», конечно, наполняется содержанием
лишь после того, как дано определение термина «линия» («кривая»). В
дальнейшем мы встретимся с обратным ходом мысли: будет выделен класс
вектор-функций (кусочно-дифференцируемых некоторое число раз), наиболее
важных для приложений, а кривыми будут называться именно годографы
функций этого класса.
Если имеем вектор-функцию р(и), то каждому значению
параметра соответствует на годографе определенная точка, для которой
р(и) служит радиусом-вектором, вследствие чего уместно положить
J) Исключение составляет тот случай, когда при изменении аргумента и
вектор р(и) остается постоянным (р(а) = const), т.е. сохраняет свою
длину и направление; тогда, при закрепленном начале, и конец вектора
р остается неподвижным.

521 ВЕКТОР КАК ФУНКЦИЯ СКАЛЯРА. ГОДОГРАФ 189
/>(#)= г (и). Таким образом, годограф представляет собою
«параметризованную кривую», т. е. кривую, точки которой поставлены
в соответствие с числовыми значениями некоторого параметра. Можно
представить себе, что на кривую нанесена шкала значений параметра
а (черт. 80; подобными криволинейными шкалами пользуются в
номографии). Такая шкала будет, вообще говоря, «неравномерной», т. е.
равным приращениям параметра
будут соответствовать на кривой дуги
неравной длины. Например, на
черт. 79 эллипс и описанная
окружность могут быть параметризованы
посредством угла и; но в то время
как шкала на окружности
окажется равномерной, шкала на
эллипсе такой не будет: равным
центральным углам соответствуют на
окружности равные дуги, однако
перпендикуляры, проектирующие
эти дуги на ось Ох, рассекут эллипс на дуги неодинаковой длины.
Точно так же при неравномерном движении точки шкала времени (t)
на траектории будет неравномерной.
Кривую линию можно бесчисленным множеством способов
рассматривать как годограф некоторой вектор-функции. Для этого достаточно
1) параметризовать кривую (нанести на нее криволинейную шкалу),
2) фиксировать в пространстве полюс; тогда каждому числовому
значению параметра будет отвечать определенная точка на кривой, этой
точке — определенное значение радиуса-вектора, и, таким образом,
радиус-векГор определится как функция скалярного параметра, для
которой данная кривая будет служить годографом.
Остановимся несколько подробнее на способах параметризации
кривой. Предполагая кривую спрямляемой, мы можем сначала
установить на ней равномерную шкалу, следуя, например, такому
пути. 1) Выберем определенный масштаб для измерения длин;
(2 какую-нибудь точку М0 на кривой выберем за «начало отсчета
дуг»; 3) одно из двух направлений движения по кривой назовем
«положительным »; после этого положение всякой точки М, лежащей на
кривой, будем определять заданием числа s, абсолютная величина
которого равна длине дуги М0М> измеренной выбранным масштабом,
а знак числа s будет -(- или — в зависимости от того, происходит ли
движение по кривой от М0 к Ж в положительном или в обратном
(«отрицательном») направлении. Определенное таким образом число s
будем называть криволинейной абсциссой точки М (вместо
этого иногда говорят, жертвуя точностью языка, «длина дуги» или
даже, просто, «дуга»), так как в случае прямой линии s
действительно будет абсциссой в смысле аналитической геометрии.

190 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. IV
После того как одна параметризация на кривой установлена, можно
найти сколько угодно других, подставляя каждый раз вместо
первоначального параметра какую-нибудь монотонную функцию нового
параметра; если написано уравнение кривой г =/(5), то, полагая
s = <э(а), получим:
—уравнение той же кривой, но только, как говорят, «отнесенной
к параметру я». Например, если на окружности с центром в полюсе
и радиусом а установить параметризацию с помощью криволинейной
абсциссы s, то уравнение (при надлежащем выборе начала отсчета
дуг и положительного направления; см. черт. 79, где А — начало
отсчета) будет иметь вид
r=.a(/cos|+/sIn £);
но та же окружность может быть представлена уравнением
r = a(i cos и -f* j sin и)
или уравнением
(переход от первого ко второму осуществляется подстановкой 5 =я аи\
от первого к третьему—подстановкой — = ars cos v-T"*) .
То обстоятельство, что кривую можно рассматривать как годограф
некоторой вектор-функции, делает теорию этих функций важным инструментом
при дифференциально-геометрическом изучении кривых. Имеющийся при таком
рассмотрении кривой произвол (в выборе полюса, параметризации)
заставляет в геометрическом исследовании выделять те свойства, которые не
зависят от этого произвола. Например, свойство кривой иметь в данной точке
данную касательную, очевидно, не зависит от того, как параметризована
кривая и где помещен полюс.
Понятие вектор-функции естественным образом распространяется
на случай нескольких скалярных аргументов. Говорят, что вектор р
есть функция скалярных переменных a, vt .. ., и пишут
р=р(иу V, ...).
если дан закон, в силу которого каждой системе числовых
значений (и ss= uQ, v=zv0i ,..) этих переменных отвечает определенное
значение вектора р.
53- Предел вектор-функции. Непрерывность. Основные для
анализа понятия о пределе, бесконечно малом, непрерывности легко
переносятся на вектор-функции и именно так, что в определениях
этих понятий абсолютная величина числа заменяется модулем вектора
(напомним, что модуль вектора есть число и притом положительное
или равное нулю). Так, например, постоянный вектор р0
называется пределом вектор-функции р(и) при а

53J ПРЕДЕЛ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ 191
стремящемся к а0 (пишут \imp(u)^=p0)t если модуль раЗ-
ноет и р(и)—р0 стремится к нулю,
\р(и)— р0|->0 при и-+и0
или
lim|p(tf)—p0| = 0.
Геометрически это означает, что на годографе функции р (и) конец
вектора р (а) неограниченно приближается к концу вектора р0 (также
перенесенного в полюс), когда и-+и0; другими словами, вектор
р(и) стремится совпасть с р0 как по длине, так и по направлению.
В частном случае, когда
/;(#)-► 0, т. е. \р(и)\->0 при и --> г/0,
говорят, что вектор-функция р(и) бесконечно мала при // -* и0.
Там где ясно, что речь идет о вектор-функции р(и), разрешают себе
сокращенные выражения: «вектор р стремится к пределу...»,
«вектор р бесконечно мал». Бесконечно малые векторы и скаляры,
зависящие от одного и того же переменного, можно сравнивать между
собой по признаку порядка малости так же, как это делается
в скалярном анализе: достаточно вместо бесконечно малых векторов
рассматривать их модули (т. е. бесконечно малые скаляры).
Пользуются еще символом lim р(и)у считая его по о пред е-
лению равнозначущим с lim р (—).
В результате того, что в определении предела участвует модуль
вектора, создается представление, будто понятие о пределе вектор-фикции
принадлежит только метрической геометрии. На самом деле это не так, ибо
бесконечная близость точек не • нарушается при любом непрерывном
преобразовании, в частности, при аффинном. Самое определение предела можно
формулировать, не прибегая к понятию длины. Для этого представим себе все
векторы р0 и р (и) приведенными к общему началу, и пусть конец вектора р0
находится в точке Р0 (постоянной), а конец вектора р (и) — в точке Р
(переменной). Соотношение lim р(и)=р{) будем теперь понимать так, что для
любой окрестности (как бы мала она ни была) точки Р0 можно указать такое
положительное число S (зависящее от выбранной окрестности), что при всех
значениях параметра и, удовлетворяющих неравенствам О < | а — и01 < 5,
точка Р будет принадлежать этой окрестности (другими словами,
соответствующая дуга годографа функции р (и) будет целиком заключаться в
окрестности).
Вектор-функция, стремящаяся к пределу, отличается с>т этого
предела на бесконечно малый вектор: если lim p(u)=p0i то, полагая
р(и)—р0 = в(и), имеем
Р (*0 = Ро + е (u)t где е (и) -> 0 при и ~> и0.

192 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. IV
Известные теоремы о бесконечно малых:
сумма (алгебраическая) определенного числа бесконечно малых
есть бесконечно малое; произведение бесконечно малого на
постоянное есть бесконечно малое; произведение двух бесконечно малых есть
бесконечно малое — сохраняют свою силу и после того, как мы наряду
с бесконечно малыми скалярами вводим в рассмотрение бесконечно
малые векторы, а в термины «сумма», «произведение» вкладываем
то новое содержание, которое им приписывается в векторной алгебре.
Чтобы убедиться в этом, достаточно воспользоваться соотношениями
\P + 9 — r\<\p\ + \q\ + \r\,
|рМ = |рМЧ
\РЯ\<\р\\я\ (так как pq—\p\\q\ cos а),
|P'l = |Pi,
\РХЯ\<\Р\\Я\ (так как \р Хя\ = |р|| ?|sinoc)
\1РЯ]\<\Р\\Я\ (так как \lpq]\ = \p\\q\sina).
Например, желая доказать, что векторное произведение бесконечно
малого вектора на постоянный есть бесконечно малый вектор,
рассуждаем так: пусть р(и)-+0 при u-+ir0i q = const; так как (см.
последнее неравенство)
iip(*)«]i<ip(«)iiffi.
а правая часть есть произведение двух чисел, из которых одно
бесконечно малое, другое постоянное, то в силу известной теоремы
анализа это произведение стремится к нулю; тем более девая часть
|[p(tf)#]| неравенства, будучи неотрицательной, стремится, к нулю,
т. е.
[p(u)q]->0.
Из теорем о бесконечно малых обычным путем выводятся более
общие теоремы о пределах, выражаемые равенствами (где
предполагается существование всех пределов, участвующих в правых частях):
Hm|p| = |limp|,
lim (р -f" q — г) = lim р -{- lim q — lim r,
lim (pk) =s limp • lim Я,
(306) \ Iim (pq) = Hm p • lim qy
lim (p')= (limp)',
lim (pXq) = limp X Hm q,
lim [pq] = [limplira q].
(Заметим, что первое из этих равенств является следствием
четвертого и равенства \p[~'\fpP-) Для пРимеРа проверим справедливость

54] ПРОИЗВОДНАЯ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ, ДИФФЕРЕНЦИАЛ, ИНТЕГРАЛ 193
последнего равенства. Пусть limp (и)=р0, lim q(u) = q0y тогда
p(u) = p0 + t(u)t q(u)=*q0-\-n(u)> где z(u\ 4 (и) суть бесконечно
малые векторы (при и —► и0). Теперь можем написать
|>(«) «.("Л = [(Ро+ •(«)) («о+ 4(«))J =
= [РоЯо\ + 1>оЧ («)] + [« О) ?о] + [• («) ч («)];
но в силу теорем о бесконечно малых последние три слагаемые
правой части, а значит, и сумма их, суть бесконечно малые, т. е.
\Р (и) Я (и)] = [PoQol + С (tf)» где Ню С (tf) = ^" отсюда и вытекает
справедливость доказываемого.
Переходя к определению непрерывности, назовем вектор-
функцию р (и) непрерывной при и — и0 (или в «точке и = и0»),
если предел Игл р(и) существует и равен значению
функции в этой точке:
lim р(и)=р(а0\
Когда говорят, что вектор-функция непрерывна в некотором
интервале {ах < и < и2)> то это означает, что она непрерывна в любой
точке этого интервала.
Другие формы записи условия непрерывности:
lim р (и -f- Д«) — р (и)
Au->0
или, полагая р(и -\-&и)—р(и) = &р,
lim Др = 0
Д«->0
(словами: бесконечно малому приращению аргумента соответствует
бесконечно малое приращение функции);
limp (и) =р(lim я).
Задачи.
438. Доказать, что lim (pqr) = lim р • lim q • lim r.
439. Если \p{u)\ имеет предел при и ->Uq, можно ли отсюда заключить,
что существует lim р {и) ?
440. Доказать, что
Um .*/«> = "Е£М., если „m х <«)*о.
А (и) hm л (и) i / -т-
54. Производная вектор-функции, дифференциал, интеграл.
К операции дифференцирования йектор-функции р(и) мы придем,
следуя тому же пути, что и в скалярном анализе, именно —
рассматривая отношение приращений
*Р~ P(u + *u)—P(tt)
Дк Ди
Это отношение является вектор-функцией двух независимых скаляр*
ных переменных и и Ди; если по одному из этих переменных
33 Зак. 1336. Дубноз, ч. I.

194
ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО ПЕРЕМЕННОГО
[ГЛ. IV
выполним предельный переход, заставляя Аи стремиться к нулю, то
предел отношения бесконечно малого вектора Ар к бесконечно
малому скаляру Аи (мы предполагаем, что этот предел существует,
для чего необходимо, хотя и не достаточно, чтобы функция р(и)
была непрерывна) будет вектор-функцией второго скалярного
переменного (и), которую мы и назовем производной от данной
функции р (и) и будем обозначать одним из символов
-£ р(и) (иногда просто р)1).
Таким образом, по определению
(307)
4£= Нт4£~
du
lim
Аи
lim
р(и + Аи)~ р{и)
Аи
= #»(«)•
Частное значение этой функции при и— и0
Ди->0 ли
называется «производная в точке и0» и является, конечно,
постоянным вектором.
Из определяющего равенства (307) вытекают правила
дифференцирования, аналогичные известным из анализа, с теми только
отклонениями, какие представляет векторная алгебра по сравнению с
числовой (отсутствие деления друг на друга неколлинеарных векторов;
незаконность перестановки сомножителей в косом, векторном и
смешанном произведениях). Если р(и\ q(u)t г (и), Х(и) суть
дифференцируемые (т. е. обладающие производными) функции, то
d , . ч dp . do dr
АгС+*-г)=7йг+-зг-АГ'
(308)
da
du
£(Р9)=Р?& + 1'*?'
'"(©'.
du
du '
d_
du
M-[ff]+['5].
d , ч dp . da , dr
du~ ^ " ~du *Г + Р 1иГ + РЯ^ ■
x) Идущее еще от Ньютона обозначение производной посредством точки,
поставленной над знаком функции (или зависимого переменного), широко
применяется в механике, где именно так обозначают производные, взятые по
времени. В дальнейшем мы будем пользоваться также обычным для
скалярного анализа символом рг (и), однако сохраним его для дифференцирования
по специальному параметру (см. ниже п. 55).

54J ПРОИЗВОДНАЯ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ, ДИФФЕРЕНЦИАЛ, ИНТЕГРАЛ 195
В последних трех формулах существенным является порядок
следования сомножителей: например, поскольку q стоит в левых частях
на втором месте, то и произведения, участвующие в правых частях,
имеют на втором месте либо q, либо -J*- т Справедливость этого
замечания станет очевидной при выводе этих формул, который мы,
для примера, проведем в случае векторного произведения:
±\р,\ - lim JP+Mtt + Wl-IW).,
-}-№]+['£W*£]}'
учитывая, что -1- -* -£-, ~^->~^(в силу предположенной диффе-
ренцируемости функций р(и)% (q(u))> Ар-+0 (в силу непрерывности,
вытекающей из дифференцируемое™;, и применяя формулы (30ба),
(3066) (заметим, что в последней формуле порядок следования
векторов р и q должен быть одинаков для обеих частей равенства),
приходим к (3086).
В качестве другого примера выведем четвертую из формул (308);
учитывая (307), (121), (122) и (3065), имеем:
d
da
p. = lim Р'(« + *)-Р'(ц) я Um (p(u + h)-plu)\';
r h-+o h \ h J
Легко видеть, что если р(а) = const, то р(и) = 0 («производная
постоянного вектора равна нулю»). В силу этого, если в формулах
(3082(3, б,6) один из сомножителей левой части сводится к
постоянному, то в правой части отпадает один из двух членов («постоянный
множитель может быть вынесен за знак дифференцирования»).
Воспользуемся этим замечанием для того, чтобы установить связь
между производной от вектор-функции р(и) и производными от
координат вектора р. Если р(и) = {Х9 К, Z}9 подробнее
(309) р {и) = XI + Yj + Z*,
то
X=ip{u)t К =./>(*). Z^kp(u),
откуда видно, что Xf Y, Z суть скалярные функции перемен*
ного и. А так как векторы /, j, k постоянные, то
du ~~ du l ' duJ ^ du
или
(310) P={-Vf K, Z\
13*

196 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. IV
— при дифференцировании вектора дифференцируется каждая из
его координат в отдельности. В частности, для радиуса-вектора
г = {л:, у, г) кривой, отнесенной к параметру а, имеем
(311) /=={*, У, г)
(в механике — «проекция скорости одинакова со скоростью проекции»).
Если функция р(и) в свою очередь дифференцируема, то можно
образовать производную второго порядка
(312) Ш-Й,-р(»)=*[х,у,2)
du du
и т. д. В дальнейшем мы будем, не оговаривая этого каждый раз,
предполагать, что для рассматриваемых функций (скалярных и
векторных) существуют производные всех тех порядков, какие
участвуют в рассуждении.
Легко понять, что полученные связи между производными вектора
и производными его координат остаются в силе, если вместо
прямоугольных координат пользоваться любыми аффинными, т. е. вместо
(309) исходить из
р(«) —**i + K*a + Z*B,
где el% е2> es образуют произвольный (постоянный) репер. Вместе
с тем мы получаем возможность (которая, однако, при решении
общих задач редко дает преимущество) заменять дифференцирование
вектора хорошо знакомым дифференцированием скалярных функций.
Например, формулы (308) можно было бы выводить, переходя
к координатам и опираясь на аналогичные формулы, известные из
дифференциального исчисления.
Дифференцирование сложной вектор-функции производится
по обычному правилу: если р =/(«), и «=* о (*>), так что р =/[<? («)],
то из тождества
Др ДрДи
Av ~~ Ди &v
заключаем (в результате предельного перехода при At; -* 0, с
обычным выделением случая, когда ~- = 0)
dp __dpdu
dv ~~ du dv
(«производная вектора по скалярному независимому переменному
равна производной по промежуточному скалярному переменному,
умноженной на производную промежуточного переменного по
независимому»).

54J ПРОИЗВОДНАЯ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ, ДИФФЕРЕНЦИАЛ, ИНТЕГРАЛ 197
В связи с последней теоремой уместно и здесь ввести понятие
о дифференциале вектор-функции, определяя его
формально как произведение производной на дифференциал аргумента:
(313) dp(u)=p(u)du
— равенство, справедливое независимо от того, является ли и
промежуточным или окончательным аргументом. Нетрудно видеть, что
по отношению к бесконечно малым приращениям равенство (313)
имеет обычный смысл: если вместо du подставить бесконечно малое
приращение (Да) скаляра и, а вместо dp — соответствующее
приращение (А/?, также бесконечно малое) вектора р, то обе части (313)
будут равны приближенно, с точностью до векторного
слагаемого, порядок малости которого выше, чем порядок Ды.
Полезно рассмотреть также самостоятельное определение
дифференциала, не опирающееся на понятие о производной. Пусть р{и)— вектор-
функция, du — произвольное число1); выражение
р (и -\-\ du) — р(и)
л
представляет собой функцию трех независимых переменных и> du и X; если
по одному из этих переменных выполним предельный переход Х~*>0, то
предел будет зависеть от двух остальных переменных и и du\ этот предел
мы и будем называть дифференциалом функции р {и) и обозначать через dp:
он) dp=UmPJa±lE^zPM.
Легко показать, что это определение дифференциала эквивалентно
предыдущему. Действительно, полагая X du = h, имеем
p(u-\-ldu)—p(u) р(и + \ du) — р(и)
1 * ^ = lim —
Um х u __ da в
я= lim **-* т, du = р (и) du.
С новой точки зрения производная 'р(и) есть частное значение
дифференциала, получающееся при du = 1.
Для вектор-функции нескольких скалярных переменных вводятся
понятия о частных производных и полном дифференциале. Если,
/ ч др др
например, р~р(и, f), то частные производные ~t -&
определяются равенствами:
др и р(и + Дн, v) — р(и, v) , ч
а" ди->о аи
dp и p(u<v-\-Lv) — p{u,v) , ч
l) Обозначение числа двойной буквой применено здесь исключительно
для того, чтобы соблюсти традиционно символику.

198 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. IV
полный дифференциал dp как функция четырех независимых скаляр,
ных переменных и> vt da, dv — равенством
dp ^ 35 du + %dv " р* (*' v) du +Pv(u*v)dv*
В случае сложной функции р=р(и, v),.*u=^y(w), v=zb(w) имеет
место формула дифференцирования
* ' dw ди dw* dv dw *
Столь же естественным образом переносятся на вектор-функции
основные понятия интегрального исчисления. Если р(и) = р(и) или
dP(u) = p(u) du, то говорят, что Р(и) есть примитивная (или
первообразная) вектор-функция по отношению к р(и). Из
одной примитивной вектор-функции можно получить сколько угодно
других, прибавляя к ней произвольный постоянный
вектор. Обратно, разность двух вектор-функций, примитивных по
отношению к одной и той же третьей, есть постоянный вектор.
Это следует из того, что производную, тождественно равную нулю,
имеет только постоянный вектор, в чем можно убедиться, например,
переходя к координатам: если/>={ЛР, К, Z) и р = 0 тождественно,
то [см. (310)] ^=^==2 = 0 тождественно, откуда Х~ const,
Y = const, Z = const и, следовательно, /> = const. Если поэтому
условимся символом Г p(u)du («неопределенный интеграл»)
обозначать любую вектор-функцию, примитивную по отношению к р (и),
а Р(и) есть одна из этих примитивных, то f p(u)du = Р (и)-\-с9
где с—произвольный постоянный вектор.
«Определенный интеграл», взятый от вектор-функции р (и) в
промежутке («0, их)у
j P(")du,
можно определить либо как разность значений примитивной функции
j p{u)du = P{ux) — P{uQ\
либо как предел интегральной суммы
jp(u)du = Jim ^ Р («/) Д«*
при обычных обозначениях; отметим только, что в интегральной
сумме слагаемые суть векторы. Для существования интеграла непре-

55] ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ 199
рывность подинтегральной функции является во всяком случае
достаточной.
Задачи.
\*E-P*L
441. Показать, что ± (£-) = -*L.—JlL.
442. Если р=р(и), найти производную от р2.
443. Вывести (3087) из (308в) и (3086).
444. Считая р, q, г, s функциями одного и того же переменного,
продифференцировать 1) [\pq]r]4 2) \pq][rs], 3) \\pq\ [rs}\.
445. Воспользоваться последней формулой (с08) для того, чтобы вывести
правило дифференцирования определителя 3-го порядка, элементы которого
зависят от одного и того же переменного.
446- Показать, что при а = const
Г ар (и) du — а \ р (и) du; Г ар (и) du = а Гр(и) du.
65. Геометрический смысл дифференцирования вектор-функции.
Пользуясь годографом вектор-функции, можно придать наглядный
смысл операции дифференцирования. Пусть г (и) — радиус-вектор
точки на кривой, отнесенной к параметру и (черт. 81, где
искривленной стрелкой показано
направление возрастания параметра и).
Если в точках М и М', взятых на
кривой, параметр имеет
соответственно значения и и и-\-Аи> то
приращение радиуса-вектора
Дг == г (и + Аи) — г (и) =
^ОМ' — ОМ О
изобразится вектором-хордой Черт. 81.
ММ'. В зависимости от того,
возьмем ли мы Л# > О или Ди < 0, точка М' расположится в первом
случае так, как показано на чертеже, во втором случае — по другую сторону
от точки М. В обоих случаях вектор MP = -г- — / будет лежать
на прямой ММ' и иметь такое же направление, какое идет от точки
(Af или М') с меньшим значением параметра и к точке (М' или М)
с бблыним его значением!). Если теперь заставим Аи стремиться
м
7%
'А*
Т
Urdu
:) Обратим внимание на одну деталь чертежа: вектор MP изображен
имеющим большую длину, чем MMf, и это не случайно: следующий шаг в нашем
построении будет заключаться в том, что мы устремим Ам к нулю; при этом,
начиная с известного момента, \&и\ станет меньше I, и тогда будет

200 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. IV
к нулю, как этого требует определение производной, то вектор MP
будет изменять (вообще говоря) свою длину и направление, вращаясь
около точки М и стремясь к некоторому вектору МТ как к пределу
(существование такого предела мы ведь предполагаем); этот
вектор МТ и дает значение производной -г- в точке М. Так как при
Аи ->• О точка Мг движется по кривой, неограниченно приближаясь
к точке Му а предельное положение секущей есть касательная,
то во всяком случае можно утверждать, что вектор Ж/=-г-
направлен по касательной к кривой г = г(а) в
точке Ж (и притом «в сторону возрастания параметра» — не
будем уточнять геометрически ясный смысл этого выражения).
Разумеется, при этом остается вне рассмотрения исключительный
случай, когда в точке М вектор — обращается в нуль (см. ниже
п. 57) и вследствие этого не определяет никакого направления.
В дальнейшем везде, где не оговорено иное, будем предполагать
du ^
Желая освободить предыдущие рассуждения от расплывчатого
выражения «предельное положение секущей», докажем теорему, которая придаст
ему точный смысл.
Если в точке М кривой г—г (и) вектор г= —отличен от нуля, а точка
М' (и -f- Ды) неограниченно приближается к М (и) так, что Ди, оставаясь
положительным, стремится к нулю, то угол (?) между векторами г и ММ'
стремится к нулю (именно в этом смысле луч, выходящий из М в
направлении г, называют пределом луча ММ' при Ди -> 0).
Действительно,
>Дг
cos <? = -
гДг Аи
' 1 Да
Ьг . , п г2_
а так как > г Ф О, то cos? -> —.— = 1 следовательно, « -> 0.
ДИ |г12
Что же касается длины вектора -—■, то она может быть какой
угодно и целиком зависит от способа параметризации кривой.
Действительно, если кривая отнесена один раз к параметру я, другой
dr dr da
раз — к параметру v% то -г-~ -г- -г~ ; можно положить, например,
// == av. а = const Ф 0, откуда —- = а, и таким образом добиться
1 dv у i
умножения значений производной по всех точках на один и тот же

55] ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ 201
множитель любой величины1). При этих условиях естественно
задаться вопросом: нельзя ли так параметризовать кривую, чтобы
производная радиуса-вектора была вектором постоянной длины, например
длины, равной единице. Итак, пусть кривая задана уравнением
г=>г(и); будем искать новый параметр s как такую функцию от и,
для которой -г- = 1 - Но -^ = -^ -^, следовательно, поставленное
^ I ds | ds du ds'
требование выражается равенством
Отсюда
Таким образом, поставленный выше вопрос разрешается в
положительном смысле: если радиус-вектор г задан как функция какого
угодно параметра (или, что то же, координаты х, у, г заданы как
функции этого параметра), то посредством интегрирования по
формуле (317) может быть найден новый параметр s> для которого
^ =»1. Геометрический смысл этого параметра прост: можно
показать, что определяемая равенством (317) величина есть не что иное,
как длина дуги кривой2), отсчитываемая вдоль этой кривой от
некоторой точки в одном из двух направлений. Допускаемый формулой
(317) произвол в определении s как функции от и (именно,
появление произвольного постоянного при интегрировании и возможность
выбора того или другого знака перед радикалом) как раз
соответствует произволу в выборе 1) начала отсчета дуг, 2)
направления отсчета. Другими словами, параметр s совпадает с
рассмотренной в п. 52 «криволинейной абсциссой» точки. То обстоятельство,
что выбор криволинейной абсциссы в качестве параметра дает вектору-
производной не только определенное для каждой точки направление
*) То обстоятельство, что вектор — всегда коллинеарен вектору
dr
—, открывает возможность дать определение касательной, не опирающееся
на понятие о пределе секущей: прямая, проходящая через точку М
кривой, называется касательной, если она имеет направление вектора г,
полученного дифференцированием радиуса-вектора по какому-нибудь, а значит, и
но любому допустимому для кривой параметру.
2) Понимая под длиной дуги предел, к которому стремится периметр
вписанной в эту дугу ломаной, когда длина наибольшего звена последней
стремится к нулю. См,, например, Б ля ш к е, Дифференциальная геометрия
(1935), стр.21 —26.

202 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. !V
(по касательной), но и определенную, всюду одинаковую длину
( = 1), делает этот параметр (иногда его называют «натуральным»)
особенно удобным при общем исследовании кривой. Производную,
взятую по криволинейной абсциссе (говорят короче: производная по
дуге), условимся обозначать штрихом ('):
, dr „ d'2r
r=is> r =зг*ит-д-;
таким образом,
(318) | г' |=1.
После того, как выяснен геометрический смысл производной,
не представляет труда сделать это же для дифференциала. Так как
dr=^r(u)du)
а вектор г направлен по касательной, то на этой же прямой лежит
и вектор dr (= MD на черт. 82). Длина вектора dr зависит не только
от параметризации кривой, но
еще от числового значения
множителя du, которое может быть
каким угодно. Более
определенная картина получится, если мы
отождествим du с бесконечно
малым приращением Да параметра:
Черт. 82. тогда вектор MD = dr будет
бесконечно малым того же порядка;
что и Д#, а значит (вспомним, что г ф 0)— того же порядка, что
вектор-хорда ММ' = Дг; при этом вектор MD = dr — Дг,
который определяет отклонение точки на кривой от соответствующей
точки на касательной, будет бесконечно малым более высокого
порядка, чем МО и ММ'.
Вернемся к равенству (316) и перепишем его в виде
(319) ds* = dr2.
Это** соотношение столь же простое, сколь важное для теории
кривых, может быть истолковано двояко. 1) Квадрат дифференциала
дуги равен квадрату (скалярному) дифференциала радиуса-вектора,
к какому бы параметру ни была отнесена кривая.
Другими словами, для кривой, отнесенной к любому параметру и,
вектор г и скаляр s являются такими функциями этого параметра,
что

56] ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ДИФФЕРЕНЦИАЛАМИ ВЕКТОРА И ЕГО МОДУЛЯ 203
равенство (319) отличается от только что написанного лишь по
внешнему виду. 2) Если от дифференциалов перейти к бесконечно
малым приращениям, то бесконечно малые As2 и (Аг)2 эквивалентны,
т. е. предел их отношения (при Ая-*0) равен 1. Геометрически это
означает, что |As| и |Аг| эквивалентны, т. е. (черт. 82) длина
бесконечно малой дуги (ММ') эквивалентна длине
стягивающей ее хорды (ММ').
От геометрического истолкования производной г легко перейти
к кинематическому. Когда точка описывает некоторую траекторию,
то радиус-вектор (г) этой точки есть функция времени (/); при этом
скалярной скоростью движущейся точки в какой-нибудь
Mods
мент времени t = t0 называется значение производной -п для t=t0
(«производная от пути по времени»). Если заметить, что -.- есть
единичный вектор [см. (318)], направленный по касательной в
сторону возрастания пути s, то можно сказать, что вектор
• dr dr ds
V~~r~~~ dt~ dsdt
имеет в каждый момент времени направление движения (направление
касательной) и длину, равную скалярной скорости. Этот вектор,
соединяющий в себ^ два существенных элемента движения, и называется
вектором скорости. Дальнейшее дифференцирование приводит
к вектору
dr dv
w^r-Tt=Tt
— вектору ускорения, который можно рассматривать как
скорость движения конца вектора v по годографу этого вектора.
Задачи.
447. Для винтовой линии г *= {a cos и, a sin и, Ьи} найти длину дуги,
заключенной между концами векторов г (и{) и г(и2)«
447а. На кривой г = г (и) ввести новый параметр v так, 1) чтобы
= 2 во всех точках кривой, 2) чтобы I — = | г |.
448. Найти дифференциал дуги циклоиды
г = {а (и — sin и), а (1 — cos и)}.
449. Исходя из формул (319) и г = р (i cos <p-f./sin ?), выражающей
радиус-вектор плоской кривой через ее полярные координаты р и <?, найти
дифференциал дуги в полярных координатах.
56. Зависимость между дифференциалами вектора и его
модуля. Связь между вектором г и его модулем (длиной) г
выражается, как известно, равенством
^2 — г2
« — * %

204 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО ПЕРЕМЕННОГО 1ГЛ. IV
Если г есть вектор-функция параметра и, то г будет скалярной
функцией того же параметра. С целью найти зависимость между
дифференциалами этих функций, дифференцируем обе части предыдущего
равенства
(320) 2rdr = 2rdr\
[обратим внимание на то, что 1) в левой части стоит произведение
двух чисел, в правой — скалярное произведение двух векторов; 2)
левая часть получена по правилам дифференцирования скалярных
функций, правая — по формуле (3083), примененной к произведению гг
(см. также задачу 442)J. Отсюда
dr = — dr = r\ir = nprdr;
здесь1 как обычно, через г° обозначен единичный вектор того же
направления, что и г; кроме того, следует вспомнить, что скалярное
произведение какого-нибудь вектора на единичный равно проекции
первого на направление второго (а направления векторов гэ и г
одинаковы). Итак, дифференциал длины вектора равен
дифференциалу этого вектора, умноженному
скаляр но на единичный вектор того же направления,
что и дифференцируемый
вектор:
(321) tfr = r°dr.
Иначе: проекция дифференциала
вектора на направление этого
вектора дает дифференциал длины
того же вектора:
(322) nprrfr =: dr.
Последнему равенству можно дать простое геометрическое
истолкование, если перейти от дифференциалов к бесконечно малым
приращениям, а вместе с тем — от точного равенства (322) к
приближенному
пргДг да Аг,
обе части которого равны лишь с точностью до малых высшего
порядка. Это видно из черт. 83, где (для определенности
предположено, что Аг>0) М'Р есть дуга окружности с центром в О,
M'N±OP% так что
Дг = MP; пргАг «в MN;
разность MP — MN=NP, как «стрела» кругового сегмента,
действительно имеет высший порядок малости по сравнению с полухор^
Черт. 83.

56] ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ ДИФФЕРЕНЦИАЛАМИ ВЕКТОРА И ЕГО МОДУЛЯ 205
дой NM' этого сегмента, a NMf <;ЛШ' = \ Ar |. Более общие
результаты см. в задаче 455.
Выделим важный для дальнейшего частный случай, когда длина
вектора г {и) остается постоянной, следовательно, изменяется только
направление (если отбросить тривиальный случай г = const); тогда
dr = 0 тождественно, и равенство (321) (или (322)) обнаруживает,
что dr перпендикулярен к г при всех значениях и: если |г(я)| =
с= const, то
(323) dr±r
—-дифференциал вектора, сохраняющего
постоянную длину, перпендикулярен к этому вектору (ср.
ниже задачу 450). Геометрический смысл этого утверждения ясен:
если вектор сохраняет постоянную длину, то годографом этого
вектора служит в двумерном случае окружность, а в трехмерном —
какая-нибудь «сферическая кривая» (т. е. кривая, целиком
лежащая на сфере). Так или иначе, касательная к годографу (а ведь
дифференциал имеет направление касательной) перпендикулярна к радиусу,
проведенному в точку касания. Можно также считать, что мы
получили векторное доказательство только что упомянутого свойства
касательной к окружности (более обще — к сферической кривой).
Приведем другие примеры применения равенства (321) к выводу свойств
касательных.
Пример 1. Рассмотрим эллипс с фокусами F, Fr и большой осью 2а
(черт. 84). Для произвольной точки М на эллипсе положим FM =ь /■, F' М = /?.
Если эллипс отнесен к некоторому параметру (явный
вид уравнения эллипса в дальнейшем не играет ни- л/
какой роли), то г и R являются функциями этого Q^
параметра. Так как
# = г + F'F = г + const,
то
(IR = dr,
что, впрочем, ясно и из других соображений: при
любом перемещении точки М по эллипсу в
положение М' (на чертеже не обозначена), Д/?= Дг= ЛШ'. ц см
То, что сказано до сих пор, не характерно для Р • •
эллипса, а справедливо для любой кривой, точка М
которой рассматривается как общий конец двух радиусов-векторов г и R,
проведенных из двух неподвижных полюсов. Эллипс же характеризуется
соотношением, связывающим длины этих векторов;
(324) г+Я=2я.
Дифференцируя это равенство, получим
dr + dR = 0.
С помощью (321) мы можем теперь перейти от дифференциалов длин к диф*
ференциалам самих векторов:
го dr + R?dR^ 0,

206 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. IV
где г° и #°—единичные векторы соответственно направлений г и /?. Так как
dR = tfr, то последнее равенство может быть переписано в виде
dr(r* + R<>) = 0,
а это означает, что вектор г° + #° перпендикулярен к dr. Но rfr имеет
направление касательной к эллипсу, значит г° + /?° направлен но нормали. Отсюда
вытекает след>ющее построение нормали к эллипсу в точке М: переносим
векторы г° и № в точку М, для чего достаточно продолжить каждый из
отрезков FM и FfM за точку М на расстояние, равное единице, т. е. попросту
отложить на продолжениях этих отрезков MP — MQ; если теперь построим
на векторах MP и MQ параллелограм (ромб!) MPNQ, то диагональ его MN
и даст направление нормали. Если еще заметим, что
диагональ ромба делит угол его пополам, то придем
к следующему свойству эллипса: в любой точке (М)
эллипса нормаль делит пополам угол
между фокальными радиусам и-в екторами
(FM и FrM)% а значит, касательная делит
пополам угол между одним из этих радиусов-
векторов и продолжением другого.
Отсюда получаются новые возможности для
построения касательной и нормали к эллипсу. Следует
заметить, что примененный здесь метод сохраняет силу
и для других кривых, определяемых каким-либо
соотношением между расстояниями произвольной точки
кривой от двух неподвижных точек (иначе говоря,
для кривых, заданных уравнением в «биполярных
координатах» — см. ниже задачи 453, 501, 502, 503).
Пример 2. На черт. 85 изображена парабола
с фокусом F и директрисой d\ FP\_d, i — единичный
вектор направления FP; FP — p—параметр
параболы; MQ (|] FP) — диаметр. Если ML — перпендикуляр,
опущенный из М на директрису, то соотношение FM = MLt
характеризующее нашу кривую как параболу» запишется в виде
r — p — ri
Черт. 85.
(точка F принята за полюс, вследствие чего FM = r). Дифференцируя,
находим
dr = — / dr
или [см. (321)]
Последнее равенство показывает, что вектор г° + / направлен по нормали
к параболе, откуда вытекает следующее построение этой прямой: на
продолжениях фокального радиуса-вектора FM и диаметра QM строим ромб;
диагональ его, выходящая из М, даст направление нормали. Вместе с тем
доказано: в любой точке (М) параболы нормаль делит пополам угол между
фокальным радиусом-вектором (FM) и диаметром (QM), проходящими через
эту точку.—-Полученные здесь и в предыдущем примере результаты находят
применение в геометрической оптике.
Задачи.
450. Вывести (323) непосредственно из г2 = const. Доказать обратное
предложение и истолковать его геометрически.
451. Показать, что d(—) = — 3 .

57]
РЯД ТЕЙЛОРА ДЛЯ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ
207
452. Обобщить результат предыдущей задачи на случай дифференциала
d (гл).
453. Перенести на гиперболу изложенное выше построение касательной
и нормали к эллипсу (черт. 84).
454. Любая кривая 2-го порядка (эллипс, гипербола или парабола) может
быть задана (черт. 86): 1) фокусом (F), 2) соответствующей ему
директрисой (d), 3) какой-нибудь точкой (М), лежащей на
кривой. Обобщая построение, данное для
параболы (черт. 85), обосновать следующий способ
построения нормали к любой кривой 2-го
порядка в точке М (при этом нет надобности, чтобы
кривая была начерчена): опускаем из М
перпендикуляр ML на директрису; в направлении ML
откладываем MQ *= MF\ на продолжении FM
откладываем MP=ML; строим параллелограм
MQNP, диагональ MN которого и дает искомую
нормаль. (Указан и е: если полюс поместить
в F, то уравнение кривой может быть написано
в виде г = е (Л — г/), где е— эксцентрищггет,
h—расстояние фокуса от директрисы,
/—единичный вектор, имеющий направление
перпендикуляра, опущенного из фокуса на директрису.)
455. Вектор / (в общем случае переменной
длины и переменного направления) движется так,
что радиусы-векторы R и г его начала и конца
зависят от одного и того же параметра и
(например от времени) (черт. 87). Показать, что
dl ~uptdr — пр tdR.
Черт. 86.
Вывести отсюда (322). Предполагая в дальнейшем R Ф const, г Ф const,
обозначим через 5 и s криволинейные абсциссы на кривых (R) и (г),
отсчитываемые в сторону возрастания
параметра и. Показать, что
dl = ds cos w — dS cos Q, где
ш = (гГ^г), 9- = (l^dR).
Рассмотреть частные случаи:
I) ш^о^.1. 2) /= const,
о = 1.; 3) со = 0, о = |_. 4) « = о,
/ = s + const и выяснить их
геометрический смысл.
57. Ряд Тейлора для вектор-функции. Известная формула
Тейлора, дающая возможность аппроксимировать (приближенно заменять)
любую функцию (обладающую производными достаточно
высокого порядка) полиномами, расположенными по степеням
независимого переменного, переносится на вектор-функции, однако не при
всякой форме так называемого достаточного члена». Для скалярной

208 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО ПЕРЕМЕННОГО [гл. IV
функции /(//) возьмем формулу Тейлора в следующей записи:
/(«) =/(«о) + («-«o)/(«o) + iJL;irs£7 («о)+ • • • +
(325) +(!L^/W + i«J7_{ / («,) + •(«)}
(*)
(символом / (/г0) обозначена производная k-то порядка в точке
и = и0), где е (я) стремится к нулю при и~+ и0 *).
Рассмотрим теперь вектор-функцию р{и) и вспомним, что
координаты вектора р являются скалярными функциями от а [см. (309)
и последующий текст]:
(326) р (и) = Х{и) i + Y(u)j + Z (и) *,
откуда
p(u) = Xi4-yj+Zk
и вообще
(к) (к) (к) {к)
(327) р (и) = X (и) i + У (u)j + Z (а) Л.
2) Представленная здесь форма записи остаточного члена легко
получается из «лагранжевской» (которая, заметим, не может быть перенесена
на вектор-функции — см. ниже решение задачи 460)
(п+г)1 f (ио + *(«-«о)). 0<0<1,
если учесть, что при и -> к0 будем иметь (мы предполагаем функцию
/ (н) непрерывной в точке и = г/0)
(п + 1) (я+1)
следовательно,
(п + 1) ОН-1)
где
lim е(н) = 0.

57J РЯД ТЕЙЛОРА ДЛЯ ВЕКТОР-ФУНКЦИИ 209
Применим теперь (325) к каждой из скалярных функций Х(и),
У («). Z(u):
Х(и) = Х(и0) + (и - и0)Х К) + ^=^X («0) + ... +
(328)
К(«)- K(«0) + (M-«0) Y(„0) + (Л=^ К(я0) + ... +
1 ("-"о)"'"'/ ч , (и-а0)"+1 ("+1> ч . , Ч1
+ я|° К(цо) + \д+°1), { г(«ь)-Н(«)},
Z(U) = Z(«0) + (a~«0) ZK)+ii^^ Z(«0)4-• • •+
. (u —u0)n("» . . (и - «0)n+i <"+1> . . ....
+ „i° ZK)+ (/f + i), ( z («o) + C(«)}t
где £ (и), т) (и), С (и) стремятся к нулю при и -*■ и0. Подставляя
разложения (328) в (326), группируя члены с производными
одинакового порядка и затем учитывая (327), найдем ')
(329) р (и) = р (*0) + (« - «о) Р (иц) Л- ^^г^ Р К) -1- • •. +
. (и —«о)"^/ ч . (a —«o)n+1 /(" + 1)/ Ч I /м
+ ' „, ^Ю+-(/1 + 1)1-{ Р (Ч)+ «(«))■
где е — бесконечно малый вектор, именно
е (и) = J (я) / -f. *i (tf)У + * (и) * -> О при u->uQ
(ибо скалярные функции £(и), ?)(#), С (я) стремятся к нулю при
// —> и0). Это и есть формула Тейлора для
вектор-функции (другой вывод этой формулы можно найти ниже, в решении
задачи 506; см. также задачу 506а).
Допустим теперь, что вектор-функция р(и) имеет в точке я=»я0
производные любого порядка; тогда в правой части формулы
Тейлора (329) мы можем неограниченно увеличивать п. Если каким-
либо способом удается установить, что при п -> оо остаточный член
в формуле Тейлора стремится к нулю (для всех значений и или, по
крайней мере, для значений, достаточно близких к и0), то имеет
место разложение функции р(и) в (бесконечный) ряд Тейлора:
(330) р(и) = р К) + (и - и0) Ь (и0) +
. (U— Ы0)2 " / ч | I (" — "о)П(П)/ ч |
х) Можно рекомендовать такой порядок выкладки: умножаем равенства
(328) соответственно на /, j, к, и затем складываем; при сложении правых
частей группируем три первых члена, три вторых и т. д.
14 Зак. 1336, Дубнов, ч. I.

210 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО ПЕРЕМЕННОГО (ГЛ. IV
Равенство это надо понимать так, что при упомянутых условиях
написанный справа степенной ряд с векторными коэффициентами сходится
(по крайней мере, в некоторой окрестности точки и0) и имеет
суммой вектор-функцию р(и). Отметим другие формы записи ряда
Тейл о ра:
(330') p(u-\-h) =/,(«)+ hp(u) +J,p(«) + .. . 4-Lp («)+ ...;
вводя обозначения А=Дг/, р(и-\-ки)—р(и) = Ару напишем:
наконец, при &u = du
Ар = dp + ^f + 4£ + . .. (rf*p = pdu*)
—соотношение, хорошо выясняющее связь между приращением
вектор-функции и дифференциалами различных порядков.
Позже мы неоднократно будем пользоваться рядом Тейлора в
теории кривых. Ограничимся пока применением его к простейшей
задаче этой теории — построению касательной. Мы уже знаем, что
направление касательной к кривой г = г(и) в точке и = и0
определяется вектором г(и0), но это при условии, что г(и0)ФО. Если же
r(u0) «0, но среди производных высших порядков имеется хоть
одна, не обращающаяся в нуль при u = uQi то касательная в
данной точке все же при известных условиях существует и ее
направление может быть найдено дифференцированием. Действительно,
пусть в ряду векторов
r(ti0)t г(и0\ г(м0),...
(ft)
г (и0) есть первый, отличный от нуля. Предполагая функцию г (и)
разложимой в ряд Тейлора, пишем [см. (330')]
г(«0+А)—^Ю="уггЮ+ (6 + 1)! г ("о)+ —
hk
Если разделим правую часть на числовой множитель . (, то вместо
равенства векторов будем иметь только коллинеарность:
(ft) h (ft+i)
r(*o + *)—г(«о)У("о) + т+Т г (*<>)+•••
Пусть теперь А-*0; тогда вектор, выражаемый бесконечным рядом,
стоящим направо от знака (||) коллинеарности, будет стремиться
(ft)
к вектору г(и0)Ф0; значит, вектор f(uQ-\-h)—/*(%), идущий от

58] ПРИМЕРЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ВЕКТОРНЫХ ДИФФЕРЕНЦ. УРАВНЕНИЙ 211
неподвижной точки (и = и0) к бесконечно близкой (u = u0-{-h)1
будет стремиться принять одно из двух противоположных напра-
влений, именно направление вектора ± г (и0). Итак, в каждой точке
кривой г = г (и) направление касательной опреде-
(ft)
ляетсязначением производной г наинизшего
порядка, которая в этой точке отлична от нуля.
Задачи.
456. Получить только что сформулированное предложение, опираясь не
на ряд Тейлора, а на формулу Тейлора (329) (следовательно, при меньших
допущениях).
457. Какой вид принимает формула (330) при и0 = 0?
458. Доказать: если при всех значениях и векторы г (и) и г (и) (ф 0) колли*
(к)
неарны, то и все векторы г, г,..., г ... коллинеарны с ними. При известных
допущениях сделать отсюда вывод, что линия г = г (и) — прямая, проходящая
через^ полюс.
459. Доказать: если при всех значениях и векторы г (и) и г (и) не колли*
<*)
неарны, а вектор г (и) с ними компланарен, то при любом к вектор г (и)
лежит в плоскости первых двух. При известных допущениях сделать отсюда
вывод, что кривая r = г (и) — плоская.
460. Если бы вместо (328) мы написали разложения функций X(u)t
У (и), Z («) с остаточными членами в форме Лагранжа (см. сноску на
стр. 208), можно ли было бы получить отсюда разложение вектор-функции
с остаточным членом того же типа?
58. Примеры интегрирования векторных дифференциальных
уравнении. Приложения к механике. Векторным
дифференциальным уравнением (будем называть соотношение вида
(«)
F{u, г (и), г (и), г(«),..., /■(«)}= 0*).
связывающее независимое переменное и с неизвестной
вектор-функцией г (и) и ее производными вплоть до известного порядка (л —
порядок дифференциального уравнения). Уже простейшая задача
интегрального исчисления — разыскание примитивной функции (неопределенного
интеграла)—записывается в форме дифференциального уравнения
(331) Я(«) = Р(«),
где р{и) — данная вектор-функция, Р(и) — искомая. В задаче 450
мы решали дифференциальное уравнение гг = 0, в задаче 458 —
уравнение [гг] = 0; в обоих случаях речь шла о нахождении всех линий,
обладающих данным дифференциально-геометрическим свойством
(касательная перпендикулярна к радиусу-вектору или же совпадает с ним
г) Здесь F может означать функцию как со скалярными, так и с
векторными значениями.
14*

212 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. IV
по направлению). Другим источником дифференциальных уравнений
служит механика и прежде всего динамика, где мы постоянно
встречаемся с задачей разыскания закона движения (т. е. разыскания
радиуса-вектора как функции времени), происходящего под действием
данных сил. Достаточно вспомнить, что основное для динамики точки
соотношение между массой (т)> силой (F) и ускорением (w = -т^ =r J
записывается векторным уравнением
mr = F>
которое при/7*»}^, К, Z) равносильно системе из трех ко#рдинат-
ных уравнений классической механики
тх=Ху myz=Y, mz=*Z.
В дальнейшем мы ограничимся несколькими примерами
интегрирования векторных дифференциальных уравнений, причем обнаружится,
что на эти уравнения могут быть перенесены некоторые из методов,
выработанных для решения аналогичных скалярных уравнений.
Заметим сначала, что особенность, сказывающаяся уже при интегрировании
простейшего уравнения (331) (см. конец п. 64)t — именно появление
в общем решении произвольного постоянного вектора (вместо
произвольного постоянного числа в аналогичной скалярной задаче) — будет
проявляться и в более сложных случаях.
Пример 1. -^- = 0 (движение точки по инерции). Так как
производную, тождественно равную нулю, имеет только постоянный
вектор (п. 54), то первое интегрирование дает —- = const = af
откуда г = adt = at-\~b, где а и b — произвольные постоянные
векторы1). Как и следовало ожидать, в качестве движения по
инерции мы получаем любое равномерное прямолинейное. Для того чтобы
задача стала определенной, достаточно дать «начальные условия»,
например г(0)=г0, г(0) = гг0а) (начальное положение и начальный
вектор скорости); тогда r — vQt-\-r0.
d2r
Пример 2. --^2~•== Е, где Е = const Ф О (движение точки в поле
постоянной силы, например—движение электрона в постоянном
*) Предостерегаем от возможной ошибки: г = Г adt = а Г dt =s a (t + c)t
где а — произвольный постоянный вектор, с — произвольное постоянное
число. Полученное для г выражение не будет самым общим (почему?).
2) Читатель, вероятно, обратит внимание на отличие этих обозначений
от применяющихся для единичных векторов (там — нулики сверху).

58J ПРИМЕРЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ВЕКТОРНЫХ ДИФФЕРЕНЦ. УРАВНЕНИЙ 213
электрическом поле). Последовательные интегрирования дают: -£- =
at
= Et-\-a\ r = -^EP-\-at-\-b> где а и Ь — произвольные
постоянные векторы. Полученное уравнение движения показывает, что
вектор г-—Ьу идущий от неподвижной точки к движущейся, лежит
в плоскости векторов Е и а; если в этой плоскости принять неколли-
неарные векторы £ и а за базисные, то координаты (аффинные) вектора
г — Покажутся пропорциональными t и /2, траектория — парабола
(в случае а\\Е— прямая). При начальных условиях г (0) = г0, г (0) = v0
получим вполне определенное частное решение r = -^Efi-\- v0t-{-r0.
Пример 3. -^-\-a(t)r = p{t\ где a (t) и p{t) — заданные
скалярная и векторная функции (линейное дифференциальное
уравнение 1-го порядка). Из методов, применяющихся для решения
аналогичного уравнения в скалярном анализе, сюда может быть перенесен,
например, метод интегрирующего множителя (другой способ решения
см. в задаче 463).
Действительно, умножая обе части уравнения на e>*{t)df\
приведем его к виду
■£(«'■*)-#*'■*.
откуда
где с —произвольный постоянный вектор. В частном случае, когда
/if
/?(^)»0, уравнение принимает вид -тг-\-*{£)г=*Ъ и выражает требо-
dr ~
вание коллинеарности векторов -^г и г; при этом общее решение
r***4T**dt c = ${f)c показывает, что вектор сохраняет постоянное
направление, и следовательно, годографом его служит прямая линия,
проходящая через полюс (ср. задачу 458).
d?r
Пример 4. -T-g -+- (Зг = 0, где р = const (движение под
действием центральной силы, пропорциональной расстоянию). Допустим
сначала, что р > 0, и в соответствии с этим положим р = X3, так
что уравнение запишется в виде
(332) г « — XV (л «= const).
Применим здесь метод разложения в ряд1) и с этой целью найдем
1) Из теории дифференциальных уравнений следует, что (332) имеет
только аналитические решения.

214 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО ПЕРЕМЕННОГО ГГЛ. IV
(*)
из (332) выражения для производных г любого порядка через гиг.
Начнем с производных четного порядка:
г =, - лаг — - X2 (— Щ = XV;
г = XV = X4 (— XV) = - - XV;
Итак,
г — .__ >9г, г = XV, Г = — XV,. . ., Г = (— 1 )»Х2»Г,...»
откуда
. (5) . (7) . (31*+ 1)
г = —XV, r = XV, г = —XV,..., г ==(— 1)П2»г,...
Теперь мы в состоянии написать разложение искомой функции в ряд
Тейлора (для краткости вводим обозначения г(0) = г0, г(0) = го):
г (0 = Л> + /го 2Г г° ^^ + ™г° + ~5Г г° ~ * ' '
••• + (- 1)"wr<'+(-^ йИгпг'о+ ••• =
т ( - ?А2 Х4/4 д2н/2« \
+ Л \ Л' 3! Г 5! '-'It [) (2я-|-!)ГН • • • / —
= r0 cos Х£ + у- sin X/.
Это и есть общее решение, в котором векторы г0 и г0 играют роль
произвольных постоянных. Если эти векторы не коллинеарны
(начальная скорость не направлена по начальному радиус-вектору), то, как
видим, траекторией служит эллипс, имеющий г0 и — сопряженными
полудиаметрами.
В случае, когда [3<0 (путь (3 = — X2), найдем, пользуясь тем же
методом, общее решение:
, Vlw , W> , >^' , , Х2Н+ 1,2*4-1 ^
= r0chX/+^-shU

58] ПРИМЕРЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ВЕКТОРНЫХ ДИФФЕРЕНЦ. УРАВНЕНИЙ 215
Вспоминая, что ch х = -^ (ех-\-е~х)% shx = у (ех—e~x)f можем для
этого случая написать решение в другой форме
где а и b — новые произвольные постоянные векторы, именно
—т('.+4). *-*(*.-*)•
Наконец, при £ = 0 имеем случай, выясненный в примере 1.
Более общего тина уравнение рассматривается в следующем
примере.
Пример 5. ^ + *^]г + pf" == 0, где а = const, ,9 = const
(линейное однородное уравнение 2-го порядка с постоянными
коэффициентами). Покажем, что это уравнение посредством надлежащей
подстановки может быть приведено к виду, рассмотренному в
предыдущем примере. С этой целью положим г (t) = <р (t)p{t) и
постараемся выбрать функцию cp(f) так, чтобы в уравнении, относящемся
к новой неизвестной вектор-функции p(t)> отсутствовал член с -~ .
Имеем:
dt dtp~ ■ dt ' dt* dp P\* at dt^'dfl '
Подставляя выражения для r> ^7 > ^2 чеРез Pt ~£, ~£ в данное
уравнение, придем к новому:
Теперь видим, что если взять 9 равным какому-либо решению урав-
d --
нения 2-з?-}-аср — О, например, положить <?=?е 2 , то в последнем
уравнении исчезнет член с -^. Произведя эту подстановку,
получим после несложных преобразований
dt'
?-(т-»>-<>.
т. е. действительно уравнение рассмотренного в примере 4 типа.
Ограничимся случаем, когда -j —р > 0; согласно предыдущему общее
решение уравнения для р может быть записано в виде
р --=--- ае г *■ -[-be у 4

216 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО ПЕРЕМЕННОГО (ГЛ. IV
*/
А так как г = е г р, то
Числа, стоящие здесь коэффициентами при tf суть не что иное, как
корни квадратного уравнения («характеристического»)
Пример 6. г = д- г, где а = const > 0 (движение планет *)).
Ограничимся здесь установлением траектории движения. В силу уравнения
векторы гиг коллинеарны (что можно сказать о всяком движении под
действием центральной силы), т. е. [гг] = 0; но [гг] = — [гг], следовательно,
di^rr^0, 0ткуда
(333) [гг] = а, а = const,
— так называемый «интеграл площадей» (имеющий место для всякого
«центрального» движения), из которого» между прочим, видно, что г JL а, т. е.
движение происходит в постоянной плоскости (это верно и при а = 0,
когда движение происходит по прямой, проходящей через центр
притяжения— см. задачи 458 и 499; в дальнейшем будем считать а=£0).
Перемножая уравнение (333) векторно и притом «накрест» с исходным
дифференциальным уравнением, найдем:
г«ч = - д [И »■] = - £ <"• - *■ ("»•
Заменяя здесь гг через гг [см. (320)] и сокращая в правой части на г,
получим:
rr~rr d/r\ d . • . d/r\ А
откуда
(334) [or] + а ~ = ft, ft = const,
причем 6 лежит в плоскости, перпендикулярной к а, так как в ней лежат
векторы г и [аг]. Теперь легко исключить из (333) и (334) вектор г; для
1) Действительно, если полюс взят в притягивающем центре, то сила
ньютонова притяжения имеет единичным вектором I J, а по величине
она равна •— (ц = const >0); поэтому уравнение движения

58J ПРИМЕРЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ВЕКТОРНЫХ ДИФФЕРЕНЦ. УРАВНЕНИЙ 217
этого достаточно умножить (334) скалярно на г и заметить, что [аг] г =
5= а \гг] — — аг [в силу (333)]. Итак, имеем
а так как движение происходит в одной плоскости, проходящей через полюс,
то мы получили уравнение траектории в этой плоскости. Нетрудно
установить характер этой траектории (см. задачу 410), введя на плоскости
полярные координаты р, <р, Для которых полярная ось пусть будет направлена по
вектору Ь; тогда г = р, Ьг = Ьр cos <р, и уравнение траектории принимает
вид
— a2 -f ap = bo cos % р == = £ ,
1 г • т' г а — ^ cos ^ 1 — е cos <р '
где
а2- Ь
а а
— хорошо известное уравнение конического сечения с фокусом
в полюсе.
Пример 7. r= [r/fl, #= const ^0 (движение электрона в постоянном
магнитном поле). В силу уравнения вектор г перпендикулярен к гик//,
следовательно,
гг'яОи rtf=0,
откуда, интегрируя, имеем
г2= const и г//= const.
Первое из этих уравнений показывает, что f /-1 = const, т. е. скалярная скорость
постоянна, а второе, что угол между направлением движения и постоянным
направлением вектора Н остается постоянным (ибо косинус этого угла равен
—; = const). Далее, интегрируя исходное уравнение, имеем
с— const,
откуда
[Нг\ = [Н[гН\\±[Нс]ш
Но модуль вектора [Нг] остается постоянным (ибо модули векторов // и г и
угол между ними постоянны), следовательно,
{[Н[гН\] — [сН\у-= const.
Если теперь заметим, что тт^ [Н[гН]\ есть компонента вектора г в
плоскости, перпендикулярной к И (см. п. 38), то придем к заключению: в общем
случае, когда \Нг] Ф 0, проекция траектории на плоскость,
перпендикулярную к Н, есть окружность (с центром в конце вектора -Ц— , если этот
вектор перенести в полюс и плоскость проекций провести через полюс).
Итак, траектория электрона лежит на поверхности прямого кругового
цилиндра и пересекает его образующие (параллельные вектору Н) под
постоянным углом; движение происходит по обыкновенной
винтовой линии с постоянной скалярной скорость Юг

218 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. IV
Если же [Иг] = 0, \Hr\ = const—траекторией служит прямая, имеющая
направление //.
Пример 8. fxr =~ [гг], где jx = const (движение электрона в поле
магнитного полюса). Как и в предыдущем случае, гг = 0, следовательно,
г- = const — движение происходит с постоянной скалярной скоростью. Далее,
умножая исходное уравнение векторно на г, имеем (учитывая, что rr= гг)
г ", 1 , , \ • ... 1 , • • чч ^—^
ММ = ^{Г(ГГ) ~ гг~> = >1Г (rrr — rr-) = —^—
откуда
^|,г1*-¥?
(А [гг] = с , с = const.
Умножая скалярно на г, найдем ст = г — уравнение прямого кругового
конуса (при |£|>1; см. задачу 413). Итак, движение происходит с
постоянной скалярной скоростью по кривой, лежащей на поверхности прямого
конуса. Более детальное исследование выходит за рамки нашего изложения.
Заметим только, не доказывая этого, что из содержащегося в исходном
уравнении факта перпендикулярности вектора ускорения (?) к образующей
конуса (г) и к вектору скорости (г) следует, что траектория служит на конусе
«геодезической линией», т. е. линией кратчайшего расстояния, и значит, при
развертывании конуса на плоскость превращается в прямую линию. Это
дает уже полную геометрическую картину, которая служит теоретическим
обоснованием некоторых явлений, относящихся к катодным лучам.
Задачи.
dnr
461. Решить уравнение -~г = 0.
'г atn
462. В примере 2 рассмотреть случай коллинеарности векторов Е и v0
(начальная скорость направлена по линии действия силы).
463. Решить заново уравнение примера 3, пользуясь «методом Бериулли»
(применяющимся для решения скалярного линейного дифференциального
уравнения).
464. Решить уравнение -т^- + я (t) — = 0. Выяснить геометрический
CMbfc.i решения.
а2
465. Решить уравнение примера 5 для случая, когда — £ = 0.
465а. Продолжая интегрирование уравнения г=[гН], И = const =£ 0,
частично выполненное в примере 7, найти общее решение этого уравнения*
59. Функция точки. Скалярное поле. Сделаем новый шаг в
сторону расширения понятия о функции. Именно, будем рассматривать
такие функции, для которых независимым переменным служит точка,
а зависимым—-число. С функциями этого рода часто приходится
встречаться в геометрии и в физике. Например, если имеем
неравномерно нагретую пластинку, то температура в каждой ее точке (для
данного момента времени) есть функция этой точки. Вблизи земной
поверхности функциями точки будут, например, высота над уровнем

59]
ФУНКЦИЯ ТОЧКИ. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
219
моря, атмосферное давление (для данного момента) и т. п. Другие
примеры можно привести из области геометрии: 1) расстояние точки
от некоторой фиксированной прямой, 2) сумма расстояний точки от
двух фиксированных точек, 3) угол, под которым из данной точки
виден некоторый фиксированный отрезок и т. п. Вообще, всякий
раз, как задан закон, в силу которого каждой точке
(в пространстве или в некоторой его части; на плоскости или на
некоторой ее части) поставлено в соответствие
определенное число, будем говорить, что задана числовая
функция точки. Часто вместо этого говорят «задано скалярное
поле» (пространственное, плоское), противопоставляя этому другой
тип функции, для которой с каждой точкой связан по определенному
закону некоторый вектор («векторное поле»). Для того чтобы
обозначить в символах, что скаляр о является функцией точки /И,
пишут
<р = <р(уИ).
Введенные сейчас в рассмотрение функции в одном отношении
существенно отличаются от тех, какие встречались нам до сих пор:
независимое переменное принимает частные значения, над которыми
нельзя производить алгебраических действий — ведь точки мы не
складываем, не перемножаем и т. д. Это составляет значительное
неудобство в том случае, когда речь идет о конкретной функции,
и желательно иметь ее явное выражение через аргумент. Затруднение,
впрочем, легко преодолевается на одном из следующих путей.
1) Выбираем некоторую точку О в качестве полюса, после чего
положение любой точки определяется (взаимно однозначным образом)
ее радиусом-векторфм (г). Теперь вместо функции точки будем
рассматривать функцию радиуса-вектора
ср = ф (г)
— это будет функция третьего из перечисленных в и. 51 типов
(вектор -> скаляр). Например, формулами
9 = г2, о = | г |8, v~kr (k — постоянный единичный вектор)
определяются соответственно скалярные поля: 1) квадрат расстояния
точки от полюса, 2) куб того же расстояния, 3) проекция радиуса-
вектора на направление k.
2) Если говорить для определенности о трехмерном скалярном
поле с? (/И), то после того, как в пространстве выбрана определенная
система координат, например декартова (х, у, г), скаляр о
становится просто функцией трех независимых скалярных переменных —
координат точки М:
? = <? (х> У, z)>
Таким образом, изучение скалярного поля в пространстве
сводится к рассмотрению хорош<г знакомой из анализа функции трех

220 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО ПЕРЕМЕННОГО [гл. IV
переменных. Конечно, здесь, как и всегда при пользовании
координатами, возникает забота рб отделении собственных свойств поля от
тех, которые обусловлены выбором системы координат. Тем не менее,
в дальнейшем мы не раз будем переходить к координатам для того,
чтобы использовать имеющиеся уже у читателя сведения.
В ближайших рассуждениях ограничимся плоским скалярным полем.
Геометрически наглядную картину такого поля мы можем создать
себе одним из следующих способов.
1. В каждой точке М плоскости восставим перпендикуляр
(черт. 88), на котором отложим отрезок MP, равный значению <?(М)
функции ц этой точке (откладывание
будем производить по ту или другую
сторону от плоскости в зависимости от
знака числа <р(М)). В важных для
приложений случаях геометрическим местом
точек Р, соответствующих всевозможным
положениям точки М на плоскости, будет
некоторая поверхность, форма которой
позволит нам судить о распределении
значений скаляра <р на плоскости: зная
поверхность, мы можем, наоборот,
построением находить значения скаляра <р
Черт. 88. в любой точке плоскости (достаточно
восставить из этой точки перпендикуляр
к плоскости до пересечения с поверхностью). По существу этот
метод не отличается от того, каким пользуются в аналитической
геометрии для изображения функции г=/(д:, у). В качестве примера
рассмотрим плоское скалярное поле, определяемое равенством о = г2;
так как теперь длина перпендикуляра MP будет для каждой точки М
равна квадрату расстояния этой точки от полюса О (лежащего
в плоскости), то изображающая поверхность представится
параболоидом вращения, имеющим вершину в точке О и в ней касающимся
плоскости.
2. Недостатком только что рассмотренного метода является
необходимость выхода из плоскости — носительницы скалярного поля —
в пространство. Не говоря о том, что этот прием не может быть
перенесен на случай трехмерного скалярного поля (потребовался бы
выход в 4-мерное пространство, с которым у нас не связаны
наглядные представления), самое изучение кривой поверхности может
представить трудности, для преодоления которых мы бываем вынуждены
снова возвращаться к плоскости (например, рассматривать плоские
сечения поверхности, как это делается в аналитической геометрии).
Между тем, можно создать геометрическую картину плоского
скалярного поля, не выходя за пределы плоскости. Чтобы связать новый
метод с предыдущим, воспользуемся сначала тем приемом, какой
издавна применяют в топографии для изображения рельефа земной по-
/

59)
ФУНКЦИЯ ТОЧКИ. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
221
верхности на карте. Геометрическая сущность этого приема состоит
в том, что кривую поверхность пересекают равноотстоящими
горизонтальными плоскостями и полученные сечения проектируют
ортогонально на одну горизонтальную плоскость (черт. 89). Если еще около
каждой проекции обозначить расстояние секущей плоскости от
основной горизонтальной («от уровня моря»), то на последней получается
«карта поверхности в горизонталях», образованная системой кривых
(«проекции с числовыми отметками»), так называемых
горизонталей или линий уровня. Если теперь остаться при одном плоском
Черт. 89.
чертеже с нанесенными на него линиями уровня, то их форма и
взаимное расположение дадут нам представление о рельефе кривой
поверхности— представление тем более точное, чем меньше интервал между
числовыми отметками двух соседних линий. Например, места
сгущения линий уровня соответствуют более крутым участкам кривой
поверхности, места разрежения — более отлогим, как это можно
заметить и на черт. 89. Таким же принципом пользуются при
составлении метеорологических карт, с тем лишь отличием, что здесь
построение происходит с самого начала в одной плоскости. Например,
отмечают на плоской географической карте те места, которые имеют
одинаковую среднюю температуру какого-либо месяца; соединяя эти
места непрерывными линиями (и указывая около каждой
соответствующую температуру), получают так называемые «изотермы» *) — линии
равной температуры (на черт. 90 изображены январские изотермы
для европейской части СССР). На других картах наносят линии
равного атмосферного давления — «изобары».
Возвращаясь к геометрической сущности метода, рассмотрим плоское
скалярное поле у{М) или <p(r)(=^const тождественно), которое мы
1) Греческое слово «изос» означает «равный».

222 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО ПЕРЕМЕННОГО ГГЛ. ту
будем предполагать однозначным и непрерывным в том смысле, что
(рС^+Дг) — <?(г)-*0э когда Дг->0.
Пусть М0 — какая-нибудь точка, относительно которой мы допустим
только, что в ней значение <р (М0) рассматриваемой функции не
Черт. 90.
является ни максимальным, ии минимальным. В таком случае любая
окрестность точки М0 (как бы мала она ни была) будет содержать
точки с большими, чем <?(М0), значениями скаляра © и наряду
с этим — точки с меньшими значениями. Отсюда следует, что в любой
близости к М0 найдутся такие точки М (например, они необходимо
встретятся при непрерывном переходе из точки со значением
большим, чем у (Af0), в точку с меньшим значением), в которых <р (М)
как раз равно o(MQ). Такие точки не могут заполнять сплошного
куска плоскости (что означало бы, что <?(Л4) = const тождественно
в некоторой двумерной области — случай, который мы исключили

69]
ФУНКЦИЯ ТОЧКИ. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
223
из рассмотрения), они образуют некоторую линию с уравнением
<р (М) ----- const = о (М0)
(в координатах со (х, у) = const = ср (х0; у0)), для которой сохраняют
название «линии уровня скалярного поля ср(Л4)».
Естественно, что две линии уровня, соответствующие различным
значениям постоянного (например, линии ф = 3 и ср = 5), не имеют
общих точек, иначе функция ср была бы многозначной. Отдельная же
линия уровня может представлять различные особенности: она может
состоять из раздельных ветвей — такова, например, линия «70» на
черт. 89 (два замкнутых контура), иметь «изолированные» точки,
как линия «90» того же чертежа (замкнутый контур -f-
изолированная точка Л, заметим — точка максимума). Наконец, линия уровня
может сама себя пересекать, имея, например, вид цифры
8,—достаточно вообразить, что кривая поверхность черт. 89 в некоторой
точке представляет «седловину» с горизонтальной касательной
плоскостью (см. ниже — пример 5). Приведем несколько примеров
скалярных полей и их линий уровня.
Пример 1. ср(г) = г — функция определена (и непрерывна) на
всей плоскости. Линии уровня — концентрические окружности (с
центром в О), равномерно распределенные, если о менять через равные
интервалы (читатель сделает чертеж, воспроизведя линии о—-1,
ср = 2, <р = 3,...). Исключение составляет линия <? = 0,
вырождающаяся в точку.
П р и м е р 2. <?(/•) = функция определена (и непрерывна) на
всей плоскости, кроме полюса О. Линии уровня — снова
концентрические окружности, но теперь уже неравномерно распределенные:
если менять ср через равные интервалы, то эти окружности
сгущаются по направлению к центру О (читатель сделает чертеж для
ср = 1, 2, 3,...).
Пример 3. Скаляр ср в каждой точке равен сумме
расстояний этой точки от двух неподвижных точек F и F\ ср. черт. 84.
При обозначениях этого чертежа ср (М) = /--{- R. Если за полюс
принять одну из точек Ff F1', например F, то можно вместо этого
написать
<p(/-)=s |r|-f- jr4-c|, где с= F'F = const.
Функция ср принимает всевозможные значения от \с\ до-j-oo. Линии
уровня ср = const > | с \ — эллипсы («конфокальные») с фокусами F и Ff.
Линия уровня ср = | с | вырождается в отрезок FF'.
Пример 4. Скаляр ср определен в одной из полуплоскостей,
краем которых служит прямая АВ> и в каждой точке уИ, отличной
от А и В (эти точки фиксированы), равен углу AM В, под которым

224 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО ПЕРЕМЕННОГО [гл. IV
отрезок АВ виден из М (черт. 91). Значения <р изменяются от 0 до тс.
Если исключить эти крайние значения, то линии уровня — дуги
окружностей, стягиваемые хордой АВ. Линия <р = тс состоит из
внутренних точек отрезка АВ; линия <р = О—
из точек прямой Ао, лежащих вне этого
отрезка.
Пример 5. На плоскости
декартовой прямоугольной системы координат
скалярное поле определено уравнением
<р = ху. Линии уровня — равносторонние
гиперболы, для которых оси координат
служат асимптотами (черт. 92).
Исключение составляет линия ср = 0,
распадающаяся на две прямые (OX, OY) и,
следовательно, имеющая точку
самопересечения. Если присоединить третью ось координат OZ, перпендикулярную
к первым двум, то можно рассматривать линии уровня как
проекции сечений гиперболического параболоида z = ху плоскостями,
Черт. 91.
параллельными плоскости XOY
чаетсй в пересечении
гиперболоида с самой плоскостью
XOY.
После того, что сказано
о плоском скалярном поле,
немногое придется добавить
для того, чтобы перейти к
скалярному полю в
пространстве. Роль линий уровня будут
играть теперь поверхности
уровня, определяемые
уравнением y(M) = const или
<p(r) = const, или, в
координатах, о(х, у, z) = const.
Через каждую точку
пространства (или некоторой его части),
кроме точек максимума и
минимума скаляра <р(М),
проходит по одной поверхности
уровня. Например, для поля
у (г) —г* это будут
концентрические сферы; для поля о~
пендикулярные к вектору а) и т.
(ср. черт. 88); пара прямых полу-
У*
Черт. 92.
аг—параллельные плоскости (пер-
п.
Задачи.
466. ср(г)=/(г), т. е. значение скаляра у в точке М(г) определяется
расстоянием этой точки от полюса. Что можно сказать о линиях уровня (для
плоского поля), о поверхностях уровня (для пространственного поля)?

60J
ПЛОСКОЕ СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ; ГРАДИЕНТ
225
467. В пространстве у(М) есть сумма расстояний точки М от двух
неподвижных точек. Найти поверхности уровня.
468. На плоскости дана кривая С, В достаточно узкой полосе около
этой кривой нормали к ней, проведенные из различных точек, не
пересекаются, так что расстояние какой-нибудь точки М от кривой С можно
считать однозначной функцией этой точки. Каковы линии уровня этой
функции?
469. В пространстве <р (М) есть расстояние точки М от фиксированной
прямой. Найти поверхности уровня.
470. <р (г) = аЪг + тгп. Найти поверхности уровня.
471. Каковы будут линии уровня, если определение поля f, данное в
примере 4 для полуплоскости, распространить на всю плоскость?
60. Плоское скалярное поле; градиент. Особые точки поля.
Изложенные в предыдущем параграфе методы графического
изображения скалярного поля достаточны (подобно графикам функций
типа y=f(x)) лишь для
обнаружения наиболее простых его свойств.
Исследование более тонкой
структуры скалярного поля станет
возможным с того момента, когда для
функции точки будет определена
операция дифференцирования.
Чтобы осуществить это кратчайшим
путем, мы перейдем к координатам ' Черт. 93.
и ограничимся для начала случаем
плоскости. Итак, пусть на плоскости декартовой прямоугольной
системы (л:, у) задано скалярное поле ср = ср(л:, у). Возьмем какую-
нибудь точку М (*, у) и проведем через нее произвольную гладкую
кривую С, которую отнесем к криволинейной абсциссе s (черт. 93).
Если точка М перемещается по кривой С, то координаты х, у
являются функциями параметра s; с другой стороны, в каждой точке
кривой (и даже в каждой точке плоскости) скаляр ср имеет
определенное значение, которое вдоль кривой будет (вообще говоря)
изменяться как функция того же параметра $. С аналитической
стороны, вдоль кривой С скаляр <р есть сложная функция переменного s,
через посредство переменных хну:
? = ? {*($)> У($) }•
Если <р (х, у) как функция двух переменных дифференцируема
(имеет полный дифференциал) в точке Ж, то для функции одного
переменного о { M(s) } существует производная f~J , которую
будем называть «производная скалярного поля ср в точке М вдоль
кривой С».
Согласно известному правилу дифференцирования сложной функции
- d^_d^dx.d^dy
\66Ь> Ts^d^ds^d^d^'
15 Зак. 1336. Дубнов, ч. I.

226 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. IV
где значения всех производных (частных и обыкновенных)
предполагаются взятыми для точки М. Правую часть равенства (335) можно
рассматривать как скалярное «произведение двух векторов:
присмотримся к этим векторам ближе. Вектор \ -£-, -£ \ есть не
что иное, как уже встречавшийся нам ~ = г' — единичный вектор
касательной к кривой С в точке Му направленный в сторону
возрастания дуги 5; разумеется, этот вектор не зависит от выбора нами
той или другой системы координат. Что же касается вектора I -~ , ^ >,
то он определяется 1) заданием скалярного поля, 2) точкой М и
3) выбором системы координат (скоро мы убедимся, что последняя
зависимость — фиктивная), но никак не зависит от того, какая
кривая (С) проведена через М. В самом деле, координаты этого
вектора могут быть вычислены, если только известна функция <р (л*, у)
и точка М (пример: если <р(лг, у) = х*-\-уь, так что ^- = 2х,
g= ЗУ», то в точке М (2, 1) будет ^, g }м = { 4, 3 }). Вектор
| Д, ~ i мы будем называть «градиентом1) поля <р» и
обозначать символом grad <?, так что по определению
(336) g»d.*»{fe.fj} «.Hgiad^-lg+yg.
Итак [см. (335')],
(337) g- = grad?.r'.
При переходе от системы (х, у) с базисом (/, j) к системе (х*, у*)
с базисом (**, /*), изменяются / и у, но в то же время изменяются
-т^- и ^- ; оказывается, что изменения компенсируются. В этом можно
было бы убедиться выкладкой, опирающейся на формулы
преобразования координат на плоскости (см., например, решение задачи 188),
но мы предпочтем более короткий, хотя и косвенный путь.
Действительно, из участвующих в формуле (337) величин
скаляр ~~ и единичный вектор касательной г' от выбора системы
х) Слово «градиент», означающее «падение», первоначально применялось
в метеорологии как показатель скорости изменения некоторых физических
данных (давления, температуры). Как видим, и в общем случае градиент
связан со скоростью изменения --г некоторого скаляра.

60)
ПЛОСКОЕ СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ; ГРАДИЕНТ
227
координат, конечно, не зависят; если бы (grad у\м, вычисленный по
(336) в двух разных системах координат (х, у) и (х*, у*)%
представлялся двумя разными векторами g и g*, то мы имели бы
(338) gr'=g*r't (g- **)r' = 0,
т. е. вектор g—g* (ФО по допущению) был бы направлен по
нормали к кривой С, в то время как на самом деле векторы g и g*f а
значит, и их разность не зависят от того, как проведена кривая С
через точку М; таким образом, допущение g ф g* приводит к
противоречию. Итак, в каждой точке М плоскости вектор grad ф
вполне определяется (по направлению и модулю) заданием
скалярного поля <р; совокупность значений вектора grad <?,
соответствующих различным положениям точки Ж, образует то, что
мы назвали в начале п. 59 «векторным полем» (плоским).
Замечание. Теперь мы можем лучше понять смысл перехода
от (335) к (335'). Если бы дело было только в том, чтобы правую
часть (335) представить в аналитической форме скалярного
произведения, то ведь это можно было сделать иначе, чем в (335')-
Например, можно было написать
dy fd? dy_ Л \dx_ df} .
ds ~~ \ dx > ds | (els ' dy]>
однако такое разложение было бы лишено геометрического
содержания, так как оба сомножителя правой части зависели бы от выбора
системы координат.
Возвращаясь к (337), заметим, что в правой части равенства
кривая С участвует только £воим направлением (которое определяется
вектором г'; иное было бы, если бы в состав правой части входили
производные высших порядков г",...). Отсюда следует, что
производная (~£J не изменится, если мы вместо кривой С возьмем какую-
нибудь другую (в частности — прямую линию), проходящую через
точку М в том же направлении, т. е. имеющую в М ту же
касательную и ту же ориентацию криволинейных абсцисс. Поэтому
вместо прежней «производной скалярного поля в данной точке вдоль
данной кривой», уместно говорить о «производной
скалярного поля в данной точке по данному направлению»,
разумея под этим производную, взятую по дуге любой кривой,
проходящей через данную точку в данном направлении. Если это
направление определяется единичным вектором t, то
рассматриваемая производная равна
(339) grad о t = пр, grad <р
—производная скалярного поля в данной точке по
данному направлению равна значению градиента в
15*

228 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. !V
этой точке, умноженному скалярно на единичный
вектор, характеризующий направление; иначе —
равна проекции градиента, взятого в данной точке,
на данное направление. В координатах эта производная
может быть записана в виде
(3390 gcosa+gcosp,
так как grad о = 1~, ~ \, a t= { cos a, cos р }, где а и р — углы,
составляемые вектором t с осями OX, OY (вместо cos [3 можно
написать sin а).
Займемся теперь ближе геометрическими свойствами вектора
grad ф. Если в качестве кривой С мы возьмем линию уровня поля <р,
вдоль которой ф = const, то, очевидно, будем иметь ~- = 0.
Отсюда следует [см. (337)], что в точках линии уровня
gradф • г' = 0, т. е. градиент направлен по нормали
к этой линии. Зная это, возьмем теперь производную скаляра ф
как раз по направлению градиента (предполагая grad<p=£0), т. е.
так, чтобы в той же точке новый единичный вектор г' совпал
с |gra ?- (единичный вектор градиента). Тогда будем иметь [см. (337)]
(340) SHsradc?i;
ds
обозначенная слева производная взята по нормали к линии уровня
и притом в таком из двух возможных направлений, для которого
-Д>0 [ибо правая часть (340) положительна], а это означает, что
в данном направлении ф есть возрастающая функция от s.
Резюмируя, можем сказать: если в данной точке вектор
grad ф отличен от нуля, то он лежит на нормали
к линии уровня, проходящей через эту точку, и
направлен в сторонувозрастания скаляра ф *); взятая
поэтому направлению~производная отф дает модуль
градиента. Тем самым получено полное геометрическое описание
градиента и еще раз доказано, что этот вектор не зависит от выбора
системы координат (последняя просто не участвует в приведенном
выше описании).
Коль скоро grad ф в данной точке М известен, мы в состоянии
определить производную -—- по любому направлению, выходящему
из М; для этого достаточно спроектировать (ортогонально) вектор
1) Т. е. так, что при достаточно малом ММ' будет <? (М) < у (АР), если
■ектор ММ' имеет направление (grad <?)#•

60J
ПЛОСКОЕ СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ; ГРАДИЕНТ
229
Черт. 94.
grad<p на это направление (см. (339)]. Соответствующее
геометрическое построение можно осуществить следующим простым приемом:
пусть MNt=* grad ф (черт. 94); на отрезке MN, как на диаметре,
строим окружность; тогда производные
в направлениях MA , MB,... будут
соответственно МАХ%— МВХ (обозначения
ясны из чертежа). Отсюда картина рас-
пределения значений ~ для данной точки
по различным направлениям получается
с достаточной наглядностью: 1) по
направлению касательной к линии уровня
производная равна 0; 2) для направлений,
лежащих по одну сторону от этой
касательной, именно — в полуплоскости,
содержащей grad ф, производная
положительна, в другой полуплоскости
отрицательна; 3) наибольшую абсолютную
величину имеет производная, взятая по
нормали к линии уровня («направление
наибыстрейшего роста или падения скаляра ф»— ср. сноску на
стр. 226).
Для того чтобы уяснить себе, как изменяется модуль вектора
grad ф при переходе из одной точки в другую, заметим, что точное
равенство (340) имеет следствием
приближенное (с точностью до бесконечно
iN малых высших порядков)
Дф «| grad ф | Д$;
здесь под As можно понимать отрезок
нормали к линии уровня, заключенный
между этой линией и другой
близкой к ней, вдоль которой значение
скаляра ф больше на постоянную
величине рт. 95. ну Дф. Это дает следующую
приближенную картину изменения grad ф по модулю:
если строить линии уровня, соответствующие значениям ф0, 9оЧ^л»
Ф0 + 2/г,... скаляра ф, то при достаточно малом h следует ожидать
(в силу «обратной пропорциональности» между |gradcp| и As), что
|grad<p| будет большим в местах сгущения этих линий,
меньшим — в местах разрежения. Точный смысл этого высказывания таков:
если (черт. 95) ММ' и NN'-—нормали к линиям уровня,
проходящим соответственно через М и N, и если мы будем вдоль нормалей
неограниченно приближать М' к М, a N' к N так, чтобы все время

230 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. IV
выполнялось равенство
<р (м') _ ? Щ) = <р (ЛГ) — 9 (ЛО,
то
18гаЛ ?11Г f AW'
ЛШ' | grad ? |ж « AW' | grad ? |„ или fg?^-- = l«m ш,.
Только что изложенное относится к зависимости между
изменением (А?) скаляра ? и смещением (Аг) точки по направлению,
нормальному к линии уровня. Обращаясь к случаю произвольного смещения,
мы найдем интересующую нас связь из равенства (337), которое
теперь перепишем в дифференциалах:
(341) fif? = grado- dr.
Тем самым мы оставляем открытым вопрос о выборе параметра
на кривой С, вдоль которой производится дифференцирование, т. е.
считаем эту кривую отнесенной к произвольному параметру (и),
а соотношение (341) пишем как эквивалент равенства
dv « dr
~l £= jrrad v -г- .
da ^ ' du
Отсюда обычным путем переходим к соотношению между бесконечно
малыми приращениями:
Acp^gradcp • Аг;
здесь А/* — произвольное бесконечно малое смещение конца
вектора г.
Равенство (341) важно еще и в другом отношении: оно часто
дает возможность практически находить градиент, без перехода
к координатам. Именно, пусть скалярное поле задано
формулой <р = <р (г); если, рассматривая г как произвольную функцию
параметра а (а тем самым — <? как сложную функцию этого
параметра), удается представить dy в виде скалярного произведения
некоторого вектора g (зависящего от г) на dr:
(342) dy^gdr,
то вектор g не может отличаться от grad ?. Действительно из
сопоставления (342) с (341) находим
(g— grad ф) dr = 0,
и это — при полном произволе в выборе dr; отсюда [ср. (338) и
относящийся туда текст] gp = grad<p.
Поясним сказанное на примерах тех же полей, для которых мы
в предыдущем пункте строили линии уровня.

60]
ПЛОСКОЕ СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ; ГРАДИЕНТ
231
Пример 1. ср = л Дифференцируя, находим [см. (321)] d<p=5
s= dr — r°dry следовательно, по только что доказанному, grad r = r°.
В каждой точке grad г представляется единичным вектором г°,
выходящим из этой точки по продолжению ее радиуса-вектора (направление
наибыстрейшего роста расстояния г). То обстоятельство, что градиент
имеет здесь постоянный модуль, находится в /соответствии с «равно*
мерным» распределением линий уровня (окружностей) и постоянством
расстояния (по нормали) между двумя окружностями.
Jfl р и м е р 2. ср = --, откуда do = ^=== 2 "г> следовательно,
1 г°
grad === ^ • Градиент в каждой точке направлен от этой точки
к полюсу (в сторону возрастания, и притом наибыстрейшего,
величины—!. Модуль градиента остается постоянным вдоль каждой
линии уровня (окружности), что находится в соответствии с
постоянством расстояния между двумя линиями уровня. Но этот модуль
изменяется в зависимости от расстояния г; именно, градиент
удлиняется (и притом обратно пропорционально квадрату расстояния)
по мере приближения точки к полюсу, т. е. по мере «сгущения»
линий уровня.
Пример 3. <р = /■-{-/?, где г и R — расстояния точки от двух
неподвижных F и F' (черт. 84). Как мы видели в примере 1 п. 56,
do = (r° -f- R°) dr, следовательно, grad о = r° -j- /?°. Это вектор,
направленный по нормали к линии уровня .(эллипсу) наружу, т. е.
в сторону возрастания суммы г -\- /?. Проследим, как изменяется | grad о1
при перемещении точки по одному из эллипсов. Поскольку стороны
ромба MPNQ (черт. 84) имеют постоянную длину (=1), длина
диагонали MN зависит от изменения угла при вершине М. Когда
точка М приближается к концу большой оси эллипса, этот угол
стремится к нулю, а диагональ — к своему наибольшему значению,
равному 2. Наибольший угол М и, следовательно, наименьшую
диагональ MN, будем иметь в концах малой оси. Этот характер
изменения модуля градиента находится в согласии с тем легко
устанавливаемым фактом, что расстояние между двумя конфокальными
эллипсами (если измерять его по нормали к одному из эллипсов)
оказывается наименьшим в концах большой оси, наибольшим — в
концах малой.
Пример 4. о— угол, под которым отрезок АВ виден из
точки М (черт. 91 и 96). ^
1-й способ. Найдем выражение о через г. Полагая Л/Иг=г,
BM = R( — r-\- ВА), имеем cos'.?=-p. Отсюда, замечая, что dr=*
~dR (ср. пример 1 п. 56), dr = r°dr, dR = R°dR, находим:
— sin о do = rR (r + Wdr- (r*> (r/?0 + W dr
* ' r'2R~ '

232 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО ПЕРЕМЕННОГО [гл. IV
следовательно,
grad <р == —
Подставляя rR = rR cos <р, после очевидных упрощений будем иметь:
grad 9 =
r*R (/* — rl) + RPr (R*—г/?)
r2/?2 sin у
rQ(r~R cos y) + ff> (/? — r cos y)
r# sin у
Отсюда можно получить построение градиента; однако быстрее
приводят к цели геометрические соображения, как сейчас будет
показано.
2-й способ. Легко решается вопрос о направлении градиента:
так как линия уровня здесь — дуга окружности, то градиент
направлен по радиусу и притом в сторону возрастания угла ср, значит,
от Ж к центру С окружности (черт. 96). После того как
направление градиента установлено, достаточно для нахождения |grad<p|
вычислить производную по какому-либо направлению, например, по
направлению MB. С этой целью сместимся из Ж в М\ тогда Ду =
= AM' В — АМВ = МАМ'. Теперь
lim
Ay _ г МАМ' __ v sin МAM'
MM' — x™mMM'—j}}™„ "MM'
а так как
sin MAM'
MM'
sin A MM'
''~AM"
M'~+M
sin у
то
Черт. 96.
lim
Ду
7= lim
AM' '
sin у sin у
М'->ммм' w-*uAM'
AM
С другой стороны, мы знаем, что та же производная равна
проекции градиента на направление MB, следовательно, равна
| grad <р | cos СМК = | grad у | sin МСК = | grad <р | sin Л,
если СК _\_МВ, А — угол треугольника AM В. Сравнивая два
выражения для производной, имеем
i j . • л sin у
|grad?|sin4 = -^f
откуда
1.1 sin у sin у
где h — высота, опущенная из М. Теперь градиент определен вполне.
Проследим изменение его модуля при движении точки по линии
уровня — круговой дуге АМВ. Так как при этом угол о остается

60]
ПЛОСКОЕ СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ*, ГРАДИЕНТ
233
постоянным, то |grad<p| изменяется обратно пропорционально
высоте А. Наименьшего значения этот модуль достигает в середине
дуги АМВ, а по мере приближения точки М к концам А и Bt
| grad © | неограниченно возрастает. Это согласуется с тем фактом,
что в нашем случае две линии уровня (т. е. две круговые дуги,
стягиваемые общей хордой и лежащие по одну сторону от нее)
максимально расходятся в точках, являющихся серединами этих дуг,
и неограниченно сближаются около общих концов А и В,
Пример 5. В декартовой прямоугольной системе <р = ;су.
Отсюда gradcp = -|ji, JLl={^y, х)л т. е. градиентом в какой-нибудь
точке М(х, у) служит (перенесенный в М) радиус-вектор
точки М*(у, х)у которая является зеркальным отражением первой
точки (М) от биссектрисы координатного угла XOY. Вытекающее
отсюда простое построение нормали к равносторонней гиперболе,
а также исследование изменения градиента в связи с распределением
линий уровня (черт. 92) — предоставляем читателю (см. ниже
задачу 478).
Закончим дифференциально-геометрическое изучение плоского
скалярного поля рассмотрением так называемых «особых точек».
Точка скалярного поля называется особой, если
в ней градиент обращается в нуль (или, что то же,
производная по любому направлению равна нулю). Таким образом,
особая точка М0(х0,у0) плоского скалярного поля <?(М)
характеризуется условием
(343) (grad^-0
или в координатах (полагая jp —^(х, у), ;р = ?#С*» У)) —
условиями
(3430 <?х (х0, у0)= 0, ?у (*0, у0) = 0.
В этих точках структура поля действительно может представлять
некоторые особенности. Например, как известно из Анализа, при
условиях (343') функция ®(х, у) может (хотя не обязательно будет)
достигать в точке М0 максимума или минимума; если это
происходит, то через точку М0 нельзя провести линию уровня (ср. точку А
черт. 89). Возможно также, что через особую точку проходит линия
уровня, но представляет в этой точке «узел» (самопересечение) или
самоприкосновение (через М0 проходят две ветви кривой и имеют
там общую касательную — ср. задачу 477). Так, в рассмотренном
выше примере 5 точка (0,0) является для ноля ф = ху особой;
проходящая через эту точку линия уровня ху = 0 имеет ее точкой
самопересечения. Другой пример: для поля ср = л:3 -\-у*— Ъаху
начало координат тоже является особой точкой; проходящая через нее
линия уровня Jt3-|-j>8 — Ъаху=*Ъ («декартов лист») имеет вид,

234 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО ПЕРЕМЕННОГО [гл. IV
^ч
представленный на черт. 97. Впрочем, через особую точку поля
может проходить линия уровня, для которой эта точка будет
«обыкновенной»; например, поле о = х*—уъ имеет в начале координат
особую точку, между тем линия
уровня, л:6—у* = 0, проходящая через эту
точку, представляется просто
параболой у = х2 (мы не рассматриваем
мнимых ветвей кривой).
В связи с этим полезно заметить, что
одна и та же кривая может быть линией
р- уровня для различных полей. Так в пре-
X дыдущем примере парабола была
одновременно линией уровня для поля ср = х6—у*
и для поля ^ «я у — х2 + 5.
Неудивительно, что какая-нибудь точка может
оказаться обыкновенной для одного поля и
особой для другого. Однако на кривой могут
Черт. 97. встретиться «существенно особые точки»,
которые останутся особыми для любого
поля, имеющего эту кривую линией уровня. Пример: точка О декартова
листа на черт. 97.
Замечание 1. Обратим внимание на то, что, говоря о плоской
кривой, мы вкладываем в это понятие двоякое содержание: 1) кривая как
годограф вектор-функции (в координатах — кривая, заданная параметрически) и
2) кривая как линия уровня скалярного поля. Основой для такого двоякого
толкования служит теорема Анализа, которая в наших терминах
формулируется так: через всякую неособую точку поля ?, в которой градиент
обладает свойством непрерывности (в координатах — частные
производные __? 9 -1 суть непрерывные функции) проходит линия уровня,
являющаяся вблизи этой точки годографом непрерывной вектор-функции. Так
например, эллипс с полуосями а и Ь можно рассматривать либо как
годограф вектор-функции
г = ai cos u-\-bj sin ut
либо как линию уровня (? = 1) скалярного поля
. ** Л- у* '
Изображенный на черт. 97 «декартов лист», который мы трактовали там
как линию уровня, является в то же время годографом вектор-функции
Заи (1 —и) . . . „ ч л
При изменении параметра и от —оо до + оо, конец вектора г дважды
приходит в полюс О: при и = 0 и при и=1. В окрестности каждого из
этих двух значений и кривая не представляет никаких особенностей, в
частности имеет в каждой точке единственную касательную.
Две касательные в О получаются потому, что через эту точку проходят
две гладкие ветви кривой. Для кривой, рассматриваемой как линия уровня,
такая точка считается особой (именно «узловой»).

61] ТРЕХМЕРНОЕ СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ 235
Задачи.
472. <р (х, у) =» Ъх2у— Зху* + у*; найти координаты градиента.
473. Найти производную функции Зх* — ху + ^ в точке М(\> 2) в
направлении, составляющем с осью ОХ угол в 60°.
474. Найти производную функции 5х2—Зх—_у2+1 в точке М (2, 1)
в направлении, идущем от этой точки к точке Лг(5, 5).
475. Найти производную функции о (х, у) в направлении: 1) биссектрисы
угла XOY, 2) отрицательной полуоси х.
476. Найти особые точки поля у •= jc3 + 3jc2+ 4ху-{-у\
477. Для поля <р = х~— 2х—_y4-j-3 найти особую точку и проходящую
через нее линию уровня.
478. Дать полное построение градиента скалярного поля <р = ху,
намеченное в примере 5.
479. Найти градиенты полей: 1) г2, 2) г5, 3) (аг) (Ъг) (a, ft —постоянные).
61. Трехмерное скалярное поле. Приложения к геометрии.
Операция дифференцирования в скалярном поле, приведшая нас
к понятию градиента, была рассмотрена для двумерного случая только
ради простоты изложения. Не представляет никакого труда
распространить основные понятия и результаты предыдущего пункта на
случай трехмерного скалярного поля. Различие проявится только
в координатных формулах (в связи с появлением третьей координаты)
и еще в том, что место «линий уровня» займут теперь «поверхности
уровня». Проследим вкратце, как будет происходить этот переход.
Пространственное скалярное поле выражается в координатах
функцией ср(х, у> г). Формулы (335) и (335') перейдут в
dcp ду dx , dcp dy , д? dz fd<p ду ду\ [dx dy dz\
ds^JxdS*tydsiteds~\Jx' dy» dz)\dsf dsf dsf
Если в каждой точке пространства определить вектор gradcp
равенством
gId ' \дх' dy' dzf'
то в формуле (337) ничего не придется менять. Попрежнему из этой
формулы будет вытекать независимость градиента от выбора системы
координат. Производная пространственного поля по данному
направлению (/) снова будет определяться выражениями (339), и только
координатная ее запись примет вид
^cosa + Jlcosj3+^cosT,
где cos a, cosj3, cosf — координаты единичного вектора t
(«направляющие косинусы»).
Несколько более подробного рассмотрения требуют геометрические
свойства вектора gradcp в случае пространства. Как и раньше, если
вдоль кривой С скаляр с? сохраняет постоянное значение, то в точках
этой кривой gradcp перпендикулярен к касательной. Но в то время
как на плоскости через данную точку проходила одна линия

236 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. IV
<р ssas const, — в пространстве таких линий бесчисленное множество; все
они лежат на одной поверхности, именно—на поверхности уровня,
проходящей нерез рассматриваемую точку. Условимся называть прямую
касательной к поверхности в точке М, если эта прямая
служит касательной к какой-либо кривой, лежащей на поверхности
и проходящей через М. Теперь мы можем сказать, что вектор (grad ф)#0
перпендикулярен ко всем прямым, касающимся поверхности уровня
<р (М) = ф (М0) в точке MQ. Отсюда немедленно следует, что (если
отвлечься от точек, где gradф обращается в нуль) все прямые,
касающиеся поверхности ф = const = ф(Ж0) в точке М0>
лежат в одной плоскости, перпендикулярной к вектору
(grad <?)if0. Эту плоскость называют касательной плоскостью
к поверхности в точке М0, а проходящую через М0 прямую,
перпендикулярную к касательной плоскости — нормалью к
поверхности в точке М0. После этого мы можем почти дословно
повторить одну из формулировок предыдущего пункта [см. текст,
следующий за (340)]: если в данной точке вектор grad9
отличен от нуля, то он лежит на нормали к
поверхности уровня, проходящей через эту точку, и
направлен в сторону возрастай ия скаляра ф; взятая по
этому направлению производная от ф дает модуль
градиента. Вытекающая отсюда картина распределения значений
производных, взятых в одной и той же точке, но по различным
направлениям, может быть получена построением, аналогичным
изображенному на черт. 94, в результате замены: 1) линии уровня — поверхностью
уровня, 2) касательной прямой — касательной плоскостью, 3)
окружности— сферой. Остаются в силе также замечания, относящиеся
к зависимости между модулем градиента и «густотой», — теперь уже
не линий, а поверхностей уровня.
Определение особой точки (grad© обращается в нуль)
остается дословно прежним. В координатах условия, характеризующие
точку Ж0 (л:0, y0i г0) как особую, записываются равенствами
9х (хо> Уо> *о) = °> ?у (хо> Уо, *о) = 0> <Р* (хо> Уо> *о) = °-
Через особую точку может вовсе не проходить поверхность уровня,
а если проходит, то может (хотя не обязательно будет) представлять
в этой точке известные особенности, которые для поверхности бывают
более сложными и разнообразными, чем в случае кривой линии.
Простейшим типом особой точки на поверхность является
«коническая точка»: касательные прямые не лежат в одной плоскости, а
образуют конус.
Закончим эту главу решением нескольких основных задач, в
которых кривые линии или кривые поверхности рассматриваются как
линии уровня двумерного поля или, соответственно, как поверхности
уровня трехмерного. Всюду в дальнейшем исключаются из
рассмотрения особые точки поля.

61J ТРЕХМЕРНОЕ СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ 237
1. Кривая на плоскости задана уравнением ср(г) =
= const (в координатах — <р (х, у) = const). Для точки (г) [для
точки (дг, y)]f лежащей на кривой, написать уравнения
касательной и нормали.
Решение, Так как gradcp = J-— , ~\ перпендикулярен к касатеЛь-
тельной, то уравнение ее мы можем написать в виде (при
обозначениях, очевидных из черт. 98)
(344) (/? — r)grad<p:
в координатах
\^9
о,
(X,Y) R-rfttft
(344')(*-*)£-|-(К-.у)21 = 0.
в?
ду
ъ
о
Черт. 98.
При неподвижной точке касания
переменными здесь являются только
/?, Xt Y; для остальных величин
(г, х, у, grad ср, j£ э J?.j должны быть взяты их частные значения в
точке касания.
Переходя к нормали и считая теперь Л?, X, Y относящимися к
произвольной точке нормали, запишем условие коллинеарности векторов
R — г и gradcp:
(345) /? — г = X grad ср,
где X — параметр точки на нормали. В координатах
(345')
X— х
Y
дх'
s ду
или в непараметрической форме (пропорциональность координат):
У-У .
(346)
Х-~х
дЛ "
дх
ду
ду
С помощью косого произведения (п. 30) можно написать уравнение нор-
мали в векторной непараметрической форме
(/? —г) X gradcp = 0.
2. Поверхность задана уравнением ср (г)— const (в
координатах ©(*, у, г) = const). Для точки (г) [для точки
(х, у, г)], лежащей на поверхности, написать ура вне*
н и я касательной плоскости и нормали.

238 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО переменного [гл. TV
Решение, Для касательной плоскости остается в силе (344), в
координатах
(344") (*_*)й + (Р-,)Й + (*-«)ё = 0.
Для нормали—(345), в координатах
(345^
Х—х = \
" * ду
dz
Х — х _ У —у Z~z
ду_ ду <Ь"
dz
или
(346')
дх ду
3. Кривая в пространстве задана как линия
пересечения поверхностей уровня
9 (г) = const и ф(г) = const
[в ко ординатах: о (х> yt z) = const, ф(лг, у, г) = const],
принадлежащих двум различным ~Л гт • '-ч г
igrad ф
Черт. 99.
полям. Для точки (г) [для
точки (х, у, z)]y лежащей на
кривой, написать уравнения
касательной прямой и
нормальной плоскости1).
Решение. Так как прямая AT
(черт. 99), касающаяся кривой в
точке Л, является тем самым
касательной в этой точке к обеим
поверхностям, то AT перпендикулярна
одновременно к grad ср и grad ф.
Отсюда следует, что касательная имеет
направление векторного произведения
[grad со. grad ЭД 2). Сохраняя
напишем уравнение касательной
чения предыдущих задач, „_.
торно-параметрической форме:
(347) R—r=X [grade? grad^] (X — параметр)
обозна-
в век-
*) В геометрии пространства нормальной плоскостью к кривой в какой-
нибудь ее точке М называется плоскость, проходящая через М
перпендикулярно к касательной в точке М.
-) Мы предполагаем, что в точке /1 векторы grad <р и grad ф не коллине-
арны; при (grad <р)д|| (grad ф)д поверхности имели бы общую нормаль, и
значит, касались бы друг друга в точке Л.

61]
ТРЕХМЕРНОЕ СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ. ПРИЛОЖЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ
239
в координатах:
(з47о х—х^х\,i-\, r-y^i i;,;:, i, z-z-.
или
(348)
д^ dy
dy dz
dy dz
idy dy
\dz dx\
\dbdty
\dz dx\
dy dy
d* яу
dx dy
X—x
Idy dy
\dy dz
d<b d<b
\dy dz
Y*-y
dy dy
dz dx
dz d*
Z — z
dy dy I
d* dy)
d6 d<J>
d* dy 1
Уравнение нормальной плоскости (по точке и двум векторам,
параллельным плоскости):
(/? — г) grad <р grad <J> = О,
Х—х У—у Z—z
dy
dx
d<b
dx
dy
<Ъ>
d6
d^
dy
dz
d^
dz
(349)
в координатах
(349')
Задачи.
480. у (х, ^, z) = д:3^; найти координаты вектора grad у.
481. Для функции у (х, у, z) =*y-z — 2xyz + z2 найти производную
в точке Л* (3, 1, 1) в направлении, составляющем с осями OX, OY> OZ углы
соответственно в 60°, 45°, 60°.
482. у (л:, у, z) = xyz; найти производную в точке А (5, 1, 2) в
направлении, идущем от этой точки к точке В (9, 4, 14).
483. Найти градиенты полей: 1) abr, 2) [ar] [br], 3) [а [га]]* при
постоянных о, Ь.
484. у (М) = расстоянию точки М от прямой г =*\а-\- Ь\ найти grad у и
результат истолковать геометрически.
485. Найти особые точки поля у = х2 — Аху + 2yz -f- 3z2 — 2у -f- 6z.
486. Найти особые точки поля у = [а [га]]* (аФО).
487. Написать уравнения касательной и нормали к кривой х2— 2ху +
+ 3^ — 2_у = 16 в точке (1, 3).
488. Если две кривые у (х, у) = const, ф (*» .у) = const имеют общую
точку Я, то они образуют в Ругол, равный углу между градиентами (grad у)р и
х2 у2
(grad ф)Р. Применить к решению задачи: при каком условии эллипс -^ +"1^ = *
л:2 у2
и гипербола ~- —^ = 1 пересекаются под прямым углом.
ai bi
489. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
x*-\-xyz + z2 — 3xz+-2y = 11 в точке А (1, 3, 2).

240 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. TV
490. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к эллипсоиду
а2~г Ь2-Гсг -1-
491. Для кривой (пересечение шара с конусом) х2 + у2 + г2 = 169,
16л:2 -f 21 у2 = 4г2 написать уравнения касательной прямой и нормальной
плоскости в точке (3, 4, 12).
Задачи к главе IV.
492. р=р(и); найти производные 6т {рр], ррр-
493. Показать, что при любом значении и векторы р (и) и —п--у-А--г- Д
г ^ v р2 йи ' rt// ^2
взаимно перпендикулярны.
494. р (ц) = X (и) q (а); выразить произведение pp/J через л, </ и их
производные.
495. Доказать: если \р (и) | = const, то рр = —*р\
496. Доказать: если р (к) — единичный вектор, то
(РРР)2=[РР]2-(Р2)3-
497. „-р(В). «-/(с); выразить J.g.g -рез ft, ft, ft
та же зг
do d?n /jfl
для смешанного
и производные от и по v; та же задача — для векторного произведения
[dpd2p] dpdtpd&p
-£- -г\ и для смешанного -f- -^ -т— .
dv dv2\ dvdv*dvd
498. Из известного тождества [а&]3 = а262— (ab)2 вывести дифферент* •
рованием тождество [аЬ\ [ас] = а\Ьс) — (ab) (ас).
499. Исходя из соотношения г — /т°, доказать, что вектор-функция г (и),
для которой г (и) [| г (а), имеет годографом прямую, проходящую через полюс
(ср. задачу 458).
500. Исходя из соотношения г°==--| показать, что г° =-д [г [гг]],т.е.
вектор г° равен разделенной на г компоненте вектора г в плоскости,
перпендикулярной к г. Отсюда снова получить результат предыдущей задачи.
501. Кривой Кассини называется траектория точки, движущейся
так, что произведение её расстояний от двух неподвижных точек постоянно
(частным случаем является «лемниската Бернулли»). По образцу примера 1
п. 56 дать построение нормали к кривой Кассини.
502. Та же задача для кривой Декарта (так называется кривая, для
которой между расстояниями г м R любой ее точки от двух неподвижных
точек существует линейная зависимость ar-\-bR~c с постоянными at Ь, с;
частными случаями являются эллипс и гипербола).
503. В обобщение двух предыдущих задач дать построение нормали
к кривой, заданной («в биполярных координатах») уравнением Ф (г, R) = const,
где г и R— расстояния точки кривой от двух неподвижных точек.
504*. Доказать: если вектор-функция р (и) дифференцируема в
промежутке (а, Ь), то можно указать такое число с, заключенное между а н Ь,
для которого вектор р (с) компланарен с векторами р(а) и р(Ь). Выяснить
геометрический смысл этого утверждения.

ЗАДАЧИ К ГЛ. !V
241
505. Доказать: если р (ы0) ~ 0, <р (м0) = 0 и производные р (и), <р (а) суще-
.. р(и) ,. р(ы)
ствуют в окрестности точки ы0, причем существует Um £-ь—, то am -■ .=
= Нт РЛ / («правило Лопиталя»).
«lim РМ
506*. Пользуясь правилом Лопиталя (см. предыдущую задачу), показать,
что
Р (и)-р ("oM"-"o)P("ob- ^j^P ("о)--..- (^^pVo)
(я + 1)!
(/*-И)
~ Р (и0\
Получить отсюда новый вывод формулы Тейлора (329),
506а*. Получить формулу Тейлора с остаточным членом «в интегральной
форме» на следующем пути. По заданной вектор-функции р(а) одного ар*
гумента определяем вектор*функцию, Rn(t, и) двух аргументов формулой
*«(', й)*=Р(0-Р(«М^-й)Р(и)-(^^Р (и)-...-(^^Р(в).
Показать, что Rn (t, t) *= 0, -^- a — —^j— p (ы), отсюда вывести
*»~ J-й! Р Wrfa
и написать соответствующую формулу Тейлора.
507. Найти траекторию движения из уравнения
S=[ar]t а = const ф0„
503*. Решить уравнение -г- =* {аг)Ь (а, Ь — постоянные, ЬфЬ) при
начальном условии г (0) = г0.
509. В теории явления Зеемана встречается уравнение г = — а2г — ЬЦгМ],
где а, Ь, М — постоянные. Получить отсюда г2 = а — aV2, Afr = р sin я/-f-
-j~ 7 cos at, где а, p, 7 — произвольные постоянные.
510. Для функций <р(г) и <\> (г) проверить справедливость равенств:
grad Of -f <|0 "= Srad ? + Srad Ф.
grad (?<I0 = 9 grad <J* -f- ф grad 9.
511. Проверить справедливость утверждения: для того чтобы функция
точки у(М) достигала максимума или минимума в точке М0, необходимо (но
не достаточно!), чт#бы эта точка была для поля «р особой.
512. Найти линии уровня плоского скалярного поля, определяемого (на
всей плоскости, кроме точек, лежащих на оси OY) уравнением
<r (.v, У) = £г .
16 Зак. 133G. Дубнов, ч. I.

242 ВЕКТОРНЫЕ ФУНКЦИИ СКАЛЯРНОГО ПЕРЕМЕННОГО [ГЛ. IV
513. ср (г) = j~ , где а, Ь — постоянные векторы; найти grad ср.
514. Найти градиент угла <? (М), составляемого радиусом-вектором точьи М
с данным постоянным направлением (а — единичный вектор направления).
515. Значение функции ср в точке М равно сумме квадратов расстояний
этой точки от п фиксированных точек Aif Л2,..., Ап. Показать, что особой
точкой поля служит центроид системы точек А(.
516. Потенциал диполя выражается формулой
где р —постоянный вектор («момент диполя»). Найти вектор напряженности
£ = — grade?.
517. Найти производную поля -г в точке, лежащей на эллипсе 2.v~-f-
-j~j/2 г- с, по направлению нормали к эллипсу.
518*. Найти производную поля ср (.v, у) в точке, лежащей на линии уровня
другого поля ty(x,y), беря производную один раз по нормали, другой раз—
по касательной к этой линии.
519» Найти угол между линиями уровня (поверхностями уровня) двух
полей 9 (Щ и ф Ш) в общей точке этих линий (поверхностей),
520. При каком условии кривая <р (х, у, г) — const, Ь (х, yf z) == const
будет линией уровня для поля х(х, у, г)?
521* Найти особую точку поля ср — xz-\- у* — z*. Рассмотреть поверхность
уровня, проходящую через эту точку.
522*. ср (xty) = anx2 + 2а12ху + а22у2 + 2а^х -\- 2а^у + а&. Если а^а^—
— а\2 Ф0, то, как известно из аналитической геометрии, линии уровня суть
(подобные между собой) кривые 2-го порядка с общим центром. Показать,
что этот центр есть единственная особая точка поля.
523*. Поле то же, что в предыдущей задаче. Какому условию должны
удовлетворять коэффициенты а^ для того, чтобы линия уровня ср == 0
проходила через особую точку поля?
524*. Найти линии (поверхности) уровня и особые точки поля ср (г) =»
= (тг + а) (тг + Р), где т, а, р — постоянные, тфО.
525. Написать уравнения касательной и нормали к кривой 2xs — л2_у +
+ Зх2 + Аху + 5х — Зу-\-6 — 0 в точке пересечения ее с осью ОУ.
526. На плоскости через точку М0(г0) проведена касательная к линии
уровня ср (г) = ср (Го); найти расстояние касательной от полюса.
527*. Доказать: если функция комплексного переменного / (х 4- (у) =
— ¥ (*> у) -j- / Ф (*. у) дифференцируема в некоторой точке, то проходящие
через эту точку линии уровня полей ср и 6 пересекаются под прямым углом.
528. Показать, что поверхности х + 2у — \nz-\- 4 = 0 и х2— ху — 8х~\-
-\-г -|-5 = 0 касаются друг друга в точке М(2, — 3, 1).
529. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к
поверхности z* = x*(x + y) в точке (1, 3, 2).
530. Написать уравнения касательной прямой и нормальной плоскости
для кривой х* + z3 = л3, у* 4- г3 = Ь6 в произвольной ее точке.
531. Найти производную функции F(x,y, z) в точке, лежащей на
кривой ср {х, у у z) = const, •} (х, у, z) = const, по направлению этой кривой.

ГЛАВА V.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ.
62. Касательная и нормаль к плоской кривой. В этой главе
мы будем заниматься почти исключительно кривыми, заданными
параметрически уравнением
часто будем пользоваться в качестве параметра криволинейной
абсциссой («длиной дуги») s. Напомним обозначения, которых мы
условились держаться:
dr
d*r
ds
= r'(s), «£-/*(*),
Предметом дальнейших
рассмотрений будут
дифференциальные свойства кривых, т. е.
свойства, определяемые
производными (различных порядков)
от радиуса-вектора по
параметру. Начнем с простейших
свойств, связанных с производной первого порядка, ограничиваясь
сначала плоскими кривыми.
Вектор г, если он не равен нулю, определяет направление
касательной (ЖГ), а тем самым и нормали {МЫ). При обычных
обозначениях, воспроизведенных на черт. 100, уравнение касательной
может быть написано в виде
(350)
R — r*=\r9
в декартовых координатах;
v350') X—х = \х, У—у = \у (К — параметр);
ю*

244 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА крлвых [гл. у
в непараметрической форме:
Х—х У—у
У
(350")
или
Х—х
х у dx dy
Уравнение нормали:
(351) (/? — г) л- = О,
в координатах:
(3510 {X — x)x-\-{Y~у)у = 0 или(ЛГ — x)dx+(Y—y)dy = 0.
Если за параметр на кривой принять криволинейную абсциссу $,
, dr
то вектор г превратится в г =-^ единичный вектор,
направленный no касательной в сторону возрастания дуги s (черт. 101). В
прямоугольной системе координат
r = xl+yj>
следовательно,
(352)
dr^idx-^jdy,
ds
ds
Черт. 101.
Возведя первое равенство в
квадрат и вспоминая, что dr* = ds2 [см.
(319)1, находим снова [ср. (317)]
(353) ds* = dx*-\-dy*.
Углы, образуемые касательной с осями координат, легко
определить из второго равенства (352): умножая его скалярно один раз
на I, другой раз — на у, и замечая, что скалярное произведение двух
единичных векторов равно косинусу угла между ними, находим:
(354)
dx
ил о dy
[ где ««(ГО. МС/ГО.
Эти формулы находят себе применение при вычислении длин
отрезков, связанных с касательной и нормалью: подкасательной,
поднормали, отрезков касательной и нормали, заключенных между
точкой касания и точкой пересечения с осью ОХ и др.
При изучении кривых часто пользуются полярной системой
координат (р, <р); выведем для этой системы несколько наиболее употре-

62J КАСАТЕЛЬНАЯ И НОРМАЛЬ к плоской КРИВОЙ 245
бительных формул. Так как теперь (вследствие | г | = р)
то
(355) *.-,.ф + р£*?. г' = гО§ + Р^$.
Присмотримся ближе к вектору —; замечая, что годографом
вектора г° служит окружность радиуса «1 (на черт. 102 изображена
пунктиром), для которой радианная
мера угла <р может быть принята за
криволинейную абсциссу *), приходим
к выводу: -7г- есть вектор
единичный, перпендикулярный к г° и на- ^
правленный в сторону возрастания /
угла ср. Заметив это, возведем обе /
части (355t) в квадрат и получим [
[см. (319)] \
(356) dsa = rfP2 + pW \
— выражение для дифференциала
дуги в полярных координатах (ср. задачу Черт. 102.
449). Нетрудно также найти угол y,
образуемый касательной с радиусом-вектором точки касания [точнее,
Y = (r, г*)]; с этой целью умножим (3552) скалярно на г° и заметим,
что t*r' = cosy, (г°)2=1, г°-^-=:0:
(357) cosT = -g-.
Отсюда по известным из тригонометрии формулам [см. также (356)]
(358) „.,_/, _£_/.!£_*,£
(-|- или — в зависимости от того, возрастает или убывает ср при
возрастании $); наконец, из (357) и (358)
(359) tgTeas±p*L
— формула, удобная тем, что не требует вычисления ds. Для
решения задач в полярных координатах угол y играет ту же роль, какая
принадлежит углу а в декартовой системе: с помощью формул (357) —
1) Ибо дуга окружности, соответствующая центральному углу, равна
радиусу (здесь = 1), умноженному на радианную меру этого угла.

246 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ [ГЛ. V
(359) легко вычисляются длины некоторых отрезков, связанных с каса-
тельной и нормалью (так называемые полярные отрезки этих прямых,
полярные подкасательная и, поднормаль).
Несколько иначе могут быть выведены и истолкованы формулы для
угла т. если считать плоскость ориентированной и пользоваться косым про-
/^
изведением. Понимая теперь под 7 направленный угол (г, г*), имеем:
г° У г
sin 7 = Г° X /", cos 7 = r*rr, tg т = м ; подставляя сюда г' из (355.2) и
г*г*
>|
О
1
.7
~h
_
JAi
я*
jg
г
р
X
замечая, что — получается из г°
поворотом на -f- 90° (вследствие чего
r°Xrff~7' имеем:
(360)
sin 7 =
cos 7 =
Замечание. Познакомим
Черте 103. читателя с соображениями хотя и
не строгими, но позволяющими
быстро восстанавливать содержание только что выведенных формул.
Эти соображения, которые при надлежащей обработке (именно, при
точной оценке отбрасываемых бесконечно малых величин) могли бы
служить базой для совершенно строгого вывода, ценны еще тем,
что позволяют с большой наглядностью
представить себе геометрическую
сущность изучаемых зависимостей.
1. В случае декартовой
прямоугольной системы рассмотрим (черт. 103)
«бесконечно малый прямоугольный
треугольник МРМ* с катетами dx> dy и
гипотенузой ds» (на самом деле Ах,
Ay, As). Если пренебрежем
искривленностью одной из сторон, то формула (353)
будет просто выражать теорему
Пифагора в применении к этому
треугольнику, а равенства (354) окажутся
следствиями известных из тригонометрии
формул для отношений катетов к гипотенузе.
2. В случае полярной системы координат (черт. 104) будем
считать для определенности, что ОМ'>ОМ и построим «бесконечно
малый прямоугольный треугольник» МРМ\ в котором MP есть
круговая дуга с центром в О (вследствие чего угол при вершине Р
Черт. 104.

63] КЛАССИФИКАЦИЯ ТОЧЕК ПАРАМЕТРИЗОВАННОЙ КРИВОЙ 247
равен —J. При обозначениях чертежа (и с теми же оговорками, что
в предыдущем случае) катетами этого треугольника служат dp и р dvy
а гипотенузой ds. Если угол между кривой и продолжением/ радиуса
вектора обозначим через y> то угол между дугами MP и ММ
будет tJ- — 7; принимая треугольник МРМ' за прямолинейный, мы
должны считать второй его острый угол (при вершине М') равным f.
Теперь формула (356) получится просто в результате применения
теоремы Пифагора к треугольнику МРМ'\ формулы (357), (358),
(359) (последние две — при знаке ^f- в правых частях) будут
выражать тригонометрические функции угла «у в виде отношений сторон
прямоугольного треугольника.
Задачи.
532. Написать в декартовых координатах параметрические уравнения
нормали к плоской кривой х = х{и)уу = у (и),
533. Написать уравнения касательной и нормали к кривой г = {иъ — 2и3 +
4- Зи + 3, и2 + и + \} в точке А, соответствующей значению параметра
и = 1.
534. Та же задача для кривой г = {и* — 3// — 7, и2-{-2и —4} и для точки
А (3, 4).
535. Написать уравнение касательной к кривой х = и2— Аи +5, у = ц° —
— и* — 9ы3 + 9и2 + 1 в точке А (2,3).
536. Для циклоиды х = а (и — sin и), у — а (1 — cos и) найти дифференциал
дуги и направляющие косинусы касательной.
537. Для архимедовой спирали р — ау найти дифференциал дуги и угол,
образуемый касательной с радиусомгвектором точки касания.
538. Показать, что логарифмическая спираль р = е°я пересекает под
одним и тем же углом все лучи, выходящие из полюса (этим свойством кривой
пользуются при изготовлении фрезеров).
63. Классификация точек параметризованной кривой; особые точки.
На примерах наиболее известных линий мц обычно наблюдаем ту картину
расположения кривой относительно касательной и нормали, какая изображена
на черт. 100: кривая лежит (но крайней мере, в достаточно малой
окрестности точки касания) по одну сторону от касательной и по
разные стороны от нормали. Впрочем, известны исключения:
синусоида у = sin х обладает только что описанными свойствами на всем своем
протяжении, кроме точек пересечения с осью ОХ, вблизи которых кривая
располагается по разные стороны от касательной. Точно так же циклоида
в точках, лежащих на «базисной прямой» (той прямой, по которой катится
круг), располагается по разные стороны от касательной и по одну — от
нормали. Мы займемся теперь такими исключительными точками, в окрестности
которых кривая представляет упомянутые отклонения от нормы. При этом
мы сохраним обычные предположения: кривая, заданная параметрически
уравнением г = г (а), допускает в рассматриваемых точках производные г (и),
г (а),... достаточно высокого или даже любого порядка. Потребуем только,
чтобы эти производные не обращались в нуль одновременно; как известно
(см. конец п. 57 и задачу 456), выполнением этого требования обеспечивается
существование касательной (а значит, и нормали).
Если исходить из характера расположения кривой относительно
касательной и нормали, то окажутся возможными четыре типа точек:

248 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ [гл. V
Относительно
касательной

Относительно
нормали
Схема чертежа
Название точки
По одну сторону
По разные стороны
По разные стороны
По одну сторону
По разные
стороны
По разные
стороны
По одну
сторону
По одну
сторону
xLi
т
к
А-

Обыкновенная точка
Точка
перегиба
Точка
возврата
1-го рода
Точка
возврата
2-го рода
Нашей задачей теперь является установление аналитических признаков,
по которым можно было бы судить о принадлежности точки к одному
из этих четырех типов. Для этой цели понадобится одно предварительное
замечание.
Направление (двустороннее) прямой / (черт. 105) может быть задано
либо лежащим на ней вектором МТ— Т, либо перпендикулярным к ней
вектором MN = N. Так как длины этих
векторов не играют роли, то можно
принять, например, N ~Т', и тогда
На=ТХа.
Если из точки М выходят два
вектора а и by не лежащих на прямой /,
то эти векторы окажутся
расположенными по одну сторону от / в двух
случаях: когда углы (a, MN) и (b, MN)
1) оба меньше, чем — (векторы а
Черт. 105.
и Ь черт. 105), или 2) оба больше, чем ^ (векторы at и Ъ± черт. 105).
Если же один из углов меньше, а другой больше, чем — (как это будет,
например, для векторов а и <Х\ того же чертежа), то векторы лежат по разные
стороны от прямой {МТ). Другими словами: два вектора а и Ь1

63] КЛАССИФИКАЦИЯ ТОЧЕК ПАРАМЕТРИЗОВАННОЙ КРИВОЙ 249
выходящих из какой-нибудь точки, взятой на прямой /,
лежат по одну или по разные стороны от' этой прямой
в зависимости от того, одинаковы или различны знаки
скалярных произведений
(*) Na и Aft
или, вместо этого,
произведений
косых
(**)
ТХа и ТХЬ,
где Т и ЛГ—векторы
соответственно параллельный и пер.
пендикулярный к прямой /.
Применим эти критерии к вопросу
о расположении точек кривой относи-
тельно касательной и нормали. При Черт. 106.
этом для касательной, проведенной
к кривой г —г (а) в точке М(и0),в качестве вектора 7 возьмем (см. конец
(*) (к)
п. 57) значение г (ы0), короче, г0, производной наинизшего порядка, не
обращающейся в нуль при а = и0; этот же вектор можно взять для нормали
в качестве вектора ЛГ, перпендикулярного к ней. Будем рассматривать
кривую (отличную от прямой) в достаточно малой окрестности точки Af0,
т. е. ограничиваясь точками М (и0 •+■ h) при достаточно малых значениях | Л |.
Допуская применимость формулы или ряда Тейлора, имеем:
>> hk(k) ftfc-H (ft + i)
MqM = г (g0 + h) — г (ц0) ~ -^- г0 + (fe + 1)t г0 +...
Пользуясь критерием (**), сведем вопрос к тому, сохраняется ли или
меняется на противоположный знак косого произведения t X М0М при
переходе h от отрицательных значений к положительным. Но
± (к) [ & (к) /jft+i (ft +1) \
rxAM*=r0x|^r0 + (jfe+1)! r0 + ..♦[;
при раскрытии скобок первое косое произведение, конечно, будет равно
нулю; могут обратиться в нуль еще несколько косых произведений, но
допустим, что в последовательности произведений
(к) (А--И) (к) (ft+ 2)
Го X г0 , г0 X г0 .
(к) <* + /)
найдется отличное от нуля 3): пусть первое из них будет г0Х г0 . Тогда
тхм0м =
hk\-l (к) {к + 1)
(Ь + 1)\
7Г0Х г0 +...,
причем написанный з правой части член, отличный от нуля при ЬфО,
управляет знаком произведения ГХМ0Л4, если только \h\ достаточно мало.
*) Если функция г (и) разложима в ряд Тейлора, то обращение в нуль всех
косых произведений означало бы, что ТХ М$М ~0, вектор М0М сохранял
С>ы постоянное направление Г и линия была бы прямой.

250 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ [гл. V
Поэтому при перемене знака у h это произведение меняет знак при к -f- /
нечетном и сохраняет знак при k + t, четном. Итак, кривая вблизи
точки М0 лежит по одну или но разные стороны от
касательной, смотря по тому, будет ли в этой точке четным
или нечетным порядок (k-\-1) наинизшей производной
радиус а-вектор а, которая не параллельна касательной.
Еще проще решается вопрос о расположении кривой относительно
(к)
нормали. Пользуясь критерием (*) и полагая #= г0, составляем скалярное
произведение
—*. (*) ( hk (*) . Л*** (* + 1) \
При раскрытии скобок уже первый член правой части -г^г^ отличен от
нуля (при h =р 0), так как г0 ф 0. Поэтому знак скалярного
произведения N»MqM сохраняется или изменяется в зависимости от четности или
нечетности k. Итак, кривая вблизи точки М0 лежит по одну или
по разные стороны от нормали, смотря по тому, будет ли
в этой точке четным или нечетным порядок (k)
наинизшей производной радиуса-вектора, отличной от нуля.
Полученные результаты резюмируются в следующей схеме:
Если
1 к
Нечетное
Нечетное
Четное
Четное
k + l
Четное
Нечетное
Нечетное
Четное
то
точка
Обыкновенная
Точка перегиба
Точка возврата
1-го рода
Точка возврата
2-го рода
Отсюда, между прочим, следует: если г (и0)фО, то точка-леосо-
бая (т. е. обыкновенная или точка перегиба).
Покажем применение полученных признаков на примерах нескольких
кривых, проходящих через начало координат О; каждый раз будет
определяться тип точки О, в которой и = 0.
Пример 1. г = {и, и2} — обыкновенная парабола (у = х2).
Решение, г0 = {1, 0}, f0 = {0, 2}; г0Xг0^0, следовательно, к — 1,
к + I = 2, точка О — обыкновенная.
Пример 2. г = {и, и?} — кубическая парабола (у = л3).
Решение. г0 = {1, 0}, г0 = 0, г0 = {0, 6}; г0 Хг'оФО,следовательно,k — 1,
к -\-1 — 3, О — точка перегиба.
г_
Пример 3. г — {и\ ы3} — полу кубическая парабола (_у — х 2 ).
Решение. г0 = 0, г0 = {2, 0}, г'о = {0, 6}; г0 X ^*о Ф 0» следовательно, к = 2,
#-]-/=3, О — точка возврата 1-го рода.

64) ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ В ОБЫКНОВЕННОЙ ТОЧКЕ 251
Пример 4. г = {и2, и4 + и5}.
• ... <*> .. <*>
Решение. г0 = 0, г0 = {2, 0}, г0=0, г0 = {0, 24}; г0Хг0Ф0,
следовательно, fc = 2, £ + / = 4, О — точка возврата 2-го рода.
Задачи.
539. Точки каких типов имеются на синусоиде у — sin jc?
540. Тот же вопрос для циклоиды г = а {и — sin ы, 1 — cos «}.
541. Найти особые точки гипоциклоиды
Г = а {2 cos и + cos 2и, 2 sin и — sin 2и}.
64. Выпуклость и вогнутость в обыкновенной точке. Сохраняя
обозначения предыдущего пункта, рассмотрим подробнее наиболее простой и
чаще всего наблюдаемый тип обыкновенной точки, для которой г(и0)ф0
и векторы г(м0) и г(и0) не коллинеарны (при обозначениях п. 63 k = \,
k -J- / = 2; в кинематическом истолковании: векторы скорости и ускорения
не коллинеарны). В этом случае
—* h2 ••• Л» .
ГсХМ)М = -2ТГоХг°+ зтГ0Хг0+...,
причем в правой части уже первый член отличен от нуля (при h Ф 0). Так
как при достаточно малых значениях \h\ знак правой части определяется
знаком первого члена, а—>0, то косые произведенияг0У^МоМ и rQXrQ
одинакового знака; отсюда следует: 1) при достаточной близости точки М
к точке М0 все векторы-хорды М0М лежат по одну сторону от касательной,
2) по эту же сторону лежит вектор г0, если его провести из М&
Условимся вообще — о всяком векторе р,
выходящем из обыкновенной точки М0 (черт. 107),
говорить, что он направлен в сторону
вогнутости, если этот вектор лежит по
ту же сторону от касательной, по какую
лежит кривая вблизи Af0; если же вектор р
лежит по другую сторону, то будем говорить,
что он направлен в сторону выпуклости.
Теперь можем сказать: вектор г0, если
только он не коллиисарен с г0, всегда
направлен в сторону вогнутости. Черт. 107.
Кинематически это означает, что вектор
ускорения, если только он в данный, момент не коллннеареи с вектором
скорости» всегда направлен в сторону вогнутости траектории.
Аналитическим признаком того, что вектор р направлен в сторону вогнутости, является
совпадение знаков у произведений г0Хр и г0X*V
(361) (roXP)tfoXU)>0.
При изучении плоской кривой нередко говорят о вогнутости
(выпуклости) «вверх» или «вниз». Если пользоваться наиболее употребительным
расположением осей декартовой прямоугольной системы координат (ось ОХ
горизонтальна и направлена вправо, ось OY вертикальна и направлена вверх),
то это означает следующее: кривая в точке Mq называется обращенной
вогнутостью «вверх», если координатный вектор /, перенесенный в Mq,
направлен в сторону вогнутости кривой. Аналитический признак вогнутости
«вверх» (см. (361)],
(гоХ/Н^Х^о,

252 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА кривых [гл. V
если заметить, что го X / = *о» запишется в виде
(362) *о(*<^-Уо*о)>0;
в случае вогнутости «вниз»:
(363) *оС%Уо— jVo)<°-
В частности, для кривой, заданной уравнением у — f (х), имеем i=l,
x^0t У=^> j;=g, и (362)^(363)
переходят в хорошо известный признак
(£).-*
Если в предыдущих рассуждениях
заменить j на I, то получаются признаки
вогнутости «влево» и «вправо».
Иногда рассматривают также
выпуклость (вогнутость) кривой по
отношению к данной прямой. Если говорят, что
кривая в точке М0 обращена к
прямой / (черт. 108) вогнутостью, то это означает, что
перпендикуляр MqP, опущенный из М0 на /, лежит со стороны вогнутости кривой.
Например, если речь идет о вогнутости (выпуклости) по отношению к оси ОХ,
то MqP — { 0,*—у0 }, и критерий (361) дает:
| < 0 вогнутость относительно ОХ,
УоХо(хаУо—Уо*о) | >0 выпуклость относительно ОХ
В частности, для кривой y = f(x) имеем признаки:
/ d2y \ \ < 0 вогнутость относительно ОХ,
Уо \ dx2) о / > 0 выпуклость относительно ОХ.
Задачи.
542. Исследовать полукубическую параболу г = {а\ и3} на выпуклость
и вогнутость: 1) «вверх» или «вниз», 2) по отношению к осям OX, OY.
543. Та же задача для циклоиды г = а {и — sin и, 1 — cos и}.
544. На кривой г=*< За,— > дана точка М0 (3, 1). Обращена ли в этой
точке кривая выпуклостью или вогнутостью к прямой 2x4*3^ = 6?
65. Огибающая семейства кривых на плоскости. Кривую,
заданную уравнением г = г(и), можно рассматривать как совокупность
точек, из которых каждая характеризуется выбором определенного
числового значения и = ы0. В этом именно смысле мы называем
переменное и «параметром точки на кривой» *). Вспомним теперь, что
!) Вообще термином «параметр» обозначают переменное число, каждому
частному значению которого соответствует элемент некоторого множества
(например, в только что упомянутом случае — точка из множества точек»
составляющих кривую). Иногда элемент множества определяется в
результате выбора частных значений не одного, а нескольких переменных чисел
(«система параметров»).

65) ОГИБАЮЩАЯ СЕМЕЙСТВА КРИВЫХ НА ПЛОСКОСТИ 253
уравнение кривой часто содержит, кроме параметра точки, еще и
другие переменные числа, обозначенные буквами (пример: уравнение
эллипса r={ a cos и, bsinu }). Всякий раз, как мы дадим этим
переменным частные значения, будет получаться определенная кривая
(например, при й=яЗ,^ = 5 — эллипс г = { 3 cos ы, 5 sin и }). В таком
случае говорят о «семействе кривых», зависящем от одного, двух,..,
параметров. В только что рассмотренном примере мы имели
семейство эллипсов, зависящее от двух параметров (длин полуосей а и Ь).
Другие примеры: 1) совокупность всех возможных на плоскости
окружностей представляет собою семейство, зависящее от трех
параметров
г = [h -f-a cos иу k-\-a sin и},
где h и k—координаты центра, а — радиус окружности; 2)
совокупность всех окружностей радиуса а = 3— семейство, зависящее
от двух параметров:
г я {А + 3 cos а% k + 3 sin и};
наконец, 3) совокупность всех окружностей радиуса а = 3, имеющих
центры на оси ОХ> — семейство, зависящее от одного параметра:
(364) r={h-\-3cosu, г sin и].
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением на плоскости
семейств кривых, зависящих от одного параметра. «Уравнение
семейства» напишем в виде
(365) г = г (и, v)]
здесь и — параметр точки на кривой, v — параметр кривой в семействе;
функция г (и, v) предполагается дифференцируемой. Таким образом,
фиксируя значение t>, мы выделяем из семейства определенную
кривую, а фиксируя вслед за тем значение и, попадаем в определенную
точку на этой кривой (см. сноску на стр. 252). При непрерывном
изменении параметра v кривая семейства непрерывным образом
«перемещается», меняя (в общем случае) не только положение, но
и форму.
Представим себе теперь, что на каждой кривой семейства мы
взяли по одной точке, и притом так, чтобы эти точки в совокупности
составили гладкую кривую (С). Аналитически это сводится к тому,
что каждому значению v поставлено в соответствие некоторое
значение «,
(366) вв?(и),
где функцию ср мы предполагаем дифференцируемой. Уравнение новой
кривой С (вообще говоря, не принадлежащей семейству) представится
в виде
(367) г = г (?(*), v),

254 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ [гл. V
Пользуясь свободой в выборе функции <?(v), мы можем
предъявлять к кривой С различные требования — находиться в определенных
взаимоотношениях с кривыми семейства. Например, если требуют,
чтобы кривая С встречала все кривые семейства под одним и тем же
углом (а), то называют С изогональной траекторией
семейства; в частности, кривая, пересекающая все кризые
семейства под прямым углом, называется ортогональной
траекторией этого семейства. Желая записать условие изогональное™,
заметим, что в качестве вектора, касательного к кривой семейства
(вдоль которой изменяется только параметр и, a v = const),
естественным образом появляется
если он отличен от нуля. С той же оговоркой вектор, касательный
к траектории, получится из ее уравнения (367) по правилу
дифференцирования сложной функции [см. (315)]
[здесь, как и в предыдущей формуле, в каждую из функций ru (и, v)
и rv (и, v) должна быть сделана подстановка и = о (v)]. Теперь
условие изогональности можно записать в виде (см. (117)]
г«(г«2г+г*)
= cos <х,
v?uY{
в частности, условие ортогональности:
'„(r.g+r.bo.
Как видим, задача приводит к дифференциальному уравнению первого
порядка для неизвестной функции ср (v) (в предыдущих равенствах
можно было бы писать — вместо ~j, общее решение которого
зависит от произвольного постоянного, а это означает, что для данного а
существует не одна изогональная (ортогональная)] траектория,
а целое семейство таких кривых, зависящее от одного параметра.
Мы выделим, однако, для подробного рассмотрения
исключительный случай, когда вместо дифференциального уравнения для y{v)
получается конечное, и в соответствии с этим получается одна
кривая (быть может состоящая из нескольких «ветвей») вместо семейства.
Мы имеем в виду случай а = 0, которому соответствует задача:
по заданному семейству кривых найти такую кривую, кото-

65) ОГИБАЮЩАЯ СЕМЕЙСТВА КРИВЫХ НА плоскости 255
рая в каждой своей точке (по крайней мере на некотором
участке) касалась бы одной из кривых семейству
Если такая «общая касательная» существует1), то мы называем ее
огибающей данного семейства. Например, геометрически очевидно,
что для семейства
окружностей (364) огибающая
будет состоять из двух
прямых, параллельных оси Ох
и отстоящих от нее по обе
стороны на расстоянии,
равном 3. Легко также понять,
что каждая кривая служит
огибающей для семейства
своих касательных прямых.
Будем решать задачу об
огибающей независимо от
общей задачи об изогональных траекториях. Требование, чтобы
огибающая и кривая семейства в их общей точке имели касание,
очевидно, сводится к условию коллинеарности упомянутых выше каса-
дг __ dr
тельных векторов — и
и dv^ vl
dv
(если оба они .отличны от нуля):
» или г«з? + г* = Хг"
откуда
^= (х—й)г*> т-е- r»uг«ф
dy
Как видим, производная -± из условия, характеризующего огибающую,
выпала. Записанное в координатах это условие может быть
представлено в виде
(368)
£«* —Ун
х» У»
— "77 или
хи У и
xv Уъ
Последнее уравнение, левая часть которого зависит только от и и v%
должно удовлетворяться тождественно по отношению к v после
подстановки u = y(v), где <р — неизвестная нам пока функция (366).
Если поэтому удастся найти из (368) и как дифференцируемую
функцию от v, то касание будет иметь место по крайней мере в тех
точках, где векторы ги и ru-~-\-rv отличны от нуля2).
г) Этого может и не быть: например, семейство параллельных прямых
или семейство концентрических окружностей (в обоих случаях — семейство
кривых зависит от одного параметра) не имеет огибающей.
а) Может случиться, что из (368) и определяется как функция от v не
во всем промежутке изменения v\ тогда огибающая касается не всех кривых
семейства (см. ниже задачу 599).

256
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ
[ГЛ. V
Замечание. Более цельная картина получится, если мы, начиная с задачи
об изогональных траекториях, будем пользоваться косым произведением.
Условие изогональн<*сти можно будет представить в виде (см. (125))
= tga или __^£»JL_ — = <ga.
Дифференциальным это уравнение перестает быть только при а = 0— случай
огибающей; тогда уравнение (368) появляется в форме
/•цХг,- 0.
Пример 1, Применим изложенный метод к семейству окружностей
(364), где роль параметра v играет h\
хи= —3sin«, ^ = 3cosw; xh= 1, yh = 0,
так что (368) даст: 3cosa = 0 (отсутствие здесь второго параметра—
к
2
случайная особенность рассматриваемого примера), откуда и = -^ и
и=:-£ При подстановке в (364) получаем:
г={Л, 3} и г={/г, — 3}
— уравнения двух прямых ^ = 3 и ,у =— 3, параллельных оси ОХ
(этот результат мы уже раньше отметили как геометрически
очевидный).
Пример 2. г= {2 cosu-}-3cosv, 2 sin u-\-3sinv}, 0<><2тг,
0^г><2гс — семейство окружностей, радиус которых равен 2,
а центры заполняют окружность, описанную из начала координат
радиусом, равным 3.
1 — 2 sin и 2 cos ill
„ . л =s — osinu/— хм обра-
| — 3 sin t/ 3 cos v \ -
щается в нуль при и —г> = 0 и при и — v = ± тс. Подставляя в
уравнение семейства u = v, найдем r=={5cosi;, 5sinx/|, а при
подстановке и =^!z it-}--о, r={cosv, sint/}. Огибающая состоит из
двух концентрических окружностей, описанных из начала координат
радиусами 5 и 1 — результат, который снова можно было
предвидеть.
Пример 3. г ={v cos ut-(l— v)sinu}, 0<<и</, 0<;й<2тг —
семейство эллипсов с общими осями симметрии и постоянной (= /)
суммой полуосей (черт. 110).
Определитель и и
1 xvyv
*иУи
I — v sin и (i — v) COS и
cos и — siii и
= х> — /cos2 и.

65) Огибающая семейства кривых на плоскости 257
Из уравнения v — /cos2iz = 0 удобнее определить v как функцию //:
подставляя i> = /cos2# в уравнение семейства, найдем rs={/cos8tf,
Isirfiu). Огибающая — астроида (равносторонняя).
Конечно, в четырех особых точках астроиды нет касания с
эллипсами семейства (впрочем, предлагаем читателю обдумать
возможность расширения этого
семейства в результате
присоединения значений 1> = 0 и ?>==/).
Пример 4. r={u2-\-v, и3} —
семейство полукубических
парабол (ср. п. 63, пример 3),
получающихся в результате
параллельного смещения одной из них
вдоль оси Ох. Определитель
12а Зи21
II О
= -За2
обращается в нуль только при
и = о, что дает для кривых
семейства их точки возврата, запол- Черт. ПО.
няющие ось Ох. Хотя изложенная
выше теория здесь неприменима, так как (?f~) ^ 0, однако
ось Ох на самом деле касается всех полукубических парабол в их
точках возврата (левая фигура черт. 110а).
Черт. 110а.
Пример 5. г={н2, иъ-\-v)—семейство полукубических
парабол, таких же, как в предыдущем примере, но полученных
параллельным смещением вдоль оси Оу. Определитель
ХиУи
Xv yv
2м Зк2
0 1
= 2и
снова обращается в нуль при и = 0. Необдуманное применение общей
теории дает в качестве огибающей г=={0, v}—ось Оу. Однако эта
J7 Зак. 1336, Дубнов, ч. U

258 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ [гл. V
ось, проходящая через все точки возврата полукубических парабол,
(правая фигура черт. 110а), огибающей не является (для этого
семейства вообще огибающей не существует), что неудивительно, так как
условия применимости общей теории и здесь не соблюдены:
Замечание. Обратим внимание на то, что с аналитической стороны
параметры и и v участвуют равноправным образом как в исходном
уравнении (365), так п в условии (368), отличаясь один от другого только по
геометрическому смыслу. Можно было бы обменять ролями unv, т. е. считатьv
за параметр точки на кривой, а и — за параметр кривой в семействе. Мы
получили бы тогда другое (вообще говоря) семейство кривых, однако с той
же самой огибающей (если она существует и для нового семейства). Так,
в примере 2 перемена ролей и и v привела бы нас к семейству окружностей
радиуса, равного 3, центры которых заполняют окружность радиуса, равного 2.
Здесь и геометрически совершенно ясно, что это новое семейство имеет
огибающую, состоящую из тех же двух концентрических окружностей, какие
получились в примере 2.
Семейство кривых, зависящее от одного параметра, может быть
также задано уравнением
(369) F(x,yt *) = 0,
которое для каждого значения параметра v определяет кривую как
линию уровня некоторого поля. Точнее говоря, мы имеем семейство
(однопараметрическое) скалярных полей F(M, v)y и для каждого
из них (369) есть уравнение линии нулевого уровня. Каждой точке,
взятой на огибающей, соответствует определенная кривая семейства,
именно та, которая касается огибающей в этой точке, значит,
координаты х и у последней должны быть такими функциями параметра v,
для которых
1) тождественно удовлетворяется уравнение (369), т. е.
(370) Flx(v), y(v), i>] = 0;
2) касательный вектор {х (v), y(v)}M к огибающей в какой-либо
ее точке М коллинеарен с касательным вектором к линии семейства,
проходящей через /И, следовательно, перпендикулярен к (grad F)M
(здесь надо считать, что в функцию ^(лг, у, v) сначала подставлено
значение 1>, соответствующее точке М, а затем для полученной
функции от х, у взят градиент в точке М):
(371) £* + f^=°-
В итоге искомые функции х (у\ у (v) должны удовлетворять
уравнениям (369) и (371). Но из тождества (370) путем
дифференцирования находим:
dF • . Fd - . OF п

661
КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ
259
а это вместе с (371) дает — = 0, или подробнее
(372) Fv(x, у, v) = 0
(другой вывод этого соотношения см. ниже в задаче 548). Итак,
вдоль огибающей хну должны быть такими функциями от v,
которые удовлетворяют уравнению (369) и уравнению (372),
получающемуся из первого дифференцированием по параметру. Чтобы
выразить огибающую аналитически, остается либо исключить параметр v
из (369) и (372), либо решить эту систему уравнений относительно
х, у, что даст параметрические уравнения огибающей, отнесенной
к параметру v.
В заключение заметим, что найденные нами условия получены
только в качестве необходимых: если огибающая существует,
то координаты каждой ее точки удовлетворяют известным уравнениям.
Чтобы утверждать обратное, требуется дополнительное
исследование. В приведенных у нас примерах и задачах можно каждый* раз
непосредственно убеждаться в том, что полученная кривая служит
общей касательной для кривых семейства.
Пример 6. (--^-=1— семейство прямых (v — параметр
прямой в семействе), для которых произведение отрезков, отсекаемых
каждой прямой на осях ОХ, О К, постоянно ( = а2).
Дифференцируя по v, найдем г + ^т — О. Решая это урав-
1
нение совместно с исходным относительно х и уу имеем д: = -^-v,
у=-<у равносторонняя гипербола (ху =х аг
Задачи.
545. Найти огибающую семейства эллипсов, оси которых совпадают
с осями координат, а произведение полуосей постоянно и равно /г2 (или, что
то же, площадь эллипса постоянна и равна Ti/г2).
546. Найти огибающую семейства прямых, для которых сумма отрезков,
отсекаемых на осях координат, постоянна и равна s.
547. Найти огибающую семейства окружностей х2-\-у2— 2vx — 2av2y*=Q
(проходящих через начало координат и имеющих центры на параболе _у = ах2).
548. Вывести (372) из (369) и (368).
549*. Как изменится содержание примера 3, если в уравнении г — {vcosu,
(/ — v)smu} считать v за параметр точки на кривой, а и — за параметр
кривой в семействе (ср. замечание, следующее за примером 5).
550. Подтвердить выкладкой утверждение, геометрически очевидное:
всякая кривая г = г(и) служит огибающей для своих касательных.
66, Кривизна плоской кривой. Рассматривая кривую С (с
равномерной шкалой значений 1,2,... дуги s) черт. Ill, мы «на-глаз»
устанавливаем, что, например, на участке 2 — 3 она менее
искривлена, чем на участке 4—5. Для того чтобы эту неточную, ипритом
17*

260 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ [ГЛ. V
качественную, оценку превратить в точную количественную,
проследим, как изменяется направление кривой (т. е. направление ее
касательной) при переходе от одной точки к другой. С этой целью
представим себе, что в каждой точке кривой построен единичный
dr
пользоваться
касательный вектор г* = -4~ , для которого отныне условимся
постоянным обозначением t. Вектор t можно
рассматривать как функцию дуги s,
t = t(s)1); годографом этой
функции, очевидно, служит окружность
радиуса, равного 1, которая
также изображена на черт. 111 как
криволинейная шкала, отнесенная
к параметру •$ кривой С (а не
к собственной криволинейной
абсциссе этой окружности!).
Неравномерность круговой шкалы
(в то время как на кривой С
шкала—равномерная) как раз и
служит отражением неодинаковой
искривленности линии С на
различных ее участках: деления на
круговой шкале располагаются
более (менее) густо в тех ее
частях, которые соответствуют
менее (более) искривленным
участкам кривой С. Привлечем еще на помощь кинематическую
терминологию. Представим себе, что точка описывает кривую С с постоянной
скалярной скоростью, равной 1. В таком случае число, измеряющее
дугу s, можно рассматривать также как меру времени (например,
за 5 сек. проходится путь в 5 см), дифференцирования по дуге 5
считать за дифференцирования по времени и производные, взятые
по s, называть «скоростями». После того, что сказано выше о связи
между кривой С и годографом вектора ty будет естественно, если
мы условимся замеру кривизны кривой линии
принимать скорость (скалярную), с какой движется конец
вектора t по круговому годографу этого вектора.
Вспомним теперь (см. конец п. 56), что скалярная скорость
движения точки измеряется модулем производной, взятой от радиуса-вектора
этой точки по времени (у нас — по дуге s). Итак, окончательно;
кривизной кривой в данной ее точке будем называть
и обозначать буквой х модуль производной-^- (модуль
Черт. 111.
1) Как всюду, где не оговорено противное, мы ограничиваемся точками
кривой, в которых dr=£0; тем самым особые точки из рассмотрения
исключаются.

661
КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ
261
производной от единичного касательного вектора, взятой по
криволинейной абсциссе) в этой точке:
(373) ' dt
|£| = ||£|„л„У.~К|Нг"|.
Это определение и выражающая его формула (373) являются уже по
существу геометрическими, свободными от вспомогательных
кинематических понятий.
От определения кривизны, содержащегося в формуле (373), легко
перейти к другому, которое исторически является более ранним.
С этой целью проследим этап за этапом то геометрическое
построение, которое приводит к вектору -т-. Пусть (черт. 112) MT = t—
единичный касательный вектор в точке М. Если дадим дуге s
приращение As = ММ' (пусть для
определенности— положительное), то придем в
точку М с единичным касательным вектором
Af'T/ = / + A^. Для того чтобы удобнее
получить вектор А*, построим МР—М'Т; тогда
будем иметь TP=&t. Нас интересует скаляр
[см. (306JI
|А*1 РТ
At_
As
Да-
As
t^t
из которого кривизна получится предельным
переходом, состоящим в том, что точка М'.
неограниченно приближается вдоль кривой
к точке М. При разыскании предела мы имеем
право заменить бесконечно малый отрезок РТ
эквивалентной ему бесконечно малой
дугой РТ окружности, описанной из М
радиусом, равным 1. Но РГ = ш, где <о— угол между векторами / и
t-\-kt или, что то же, угол между касательными МТ и М'Т\
проведенными в двух бесконечно близких точках, — так называемый
«угол смежности». Итак,
Черт. 112.
(374)
х = lim
да-» о
As '
т. е. кривизна равна пределу отношения угла
смежности к длине дуги, в концах которой проведены касательные,
образующие этот угол.
Отправляясь от любой иЗ двух формул (373) и (374), можно
придти к третьей, дающей выражение для кривизны через
обыкновенную производную скаляра по скаляру. Именно, рассмотрим (см. п. 62,

262 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ [ГЛ. V
черт. 101) угол а, составляемый касательной (направленной в
сторону возрастания 5) с положительным направлением оси ОХ. Так
как вектор { cos a, sin а } есть единичный, направленный по
касательной, то можно положить
t = icosa^rjsin а,
откуда
(374 bis) ? = (— /sin «-J-/cos «)-^*
Согласно (373) x = | tf | = | — / sin a -\-j cos a | j -^
тор — / sin a -j-y cos a — снова единичный (он получается из вектора
t поворотом на 90°), то
da I
а так как век-
<375> — i*.
К тому же результату придем, отправляясь от (374) и замечая, что
приращению As дуги соответствует приращение Аа угла а, причем
]Аа| есть как раз угол смежности (читатель сделает чертеж).
Иногда йишут вместо (375)
(376) * = -£-,
принимают эту формулу за определение кривизны и тем самым
становятся на несколько иную точку зрения. Действительно, произ-
da
водная -— может принимать как положительные, так и
отрицательные значения (это будет зависеть от того, возрастает или убывает
угол а при возрастании $). Поэтому кривизна, определяемая
формулой (376), есть относительное число, абсолютная величина которого
совпадает с той, какая дается формулами (373), (374) [см. (375)].
Основная задача, связанная с кривизной, состоит в том, чтобы
по заданному параметрическому уравнению (в координатах —
параметрическим уравнениям) кривой уметь вычислять кривизну для
любой точки, т. е. выразить кривизну через производные от радиуса-
вектора (от координат) по параметру кривой. Если радиус-вектор
задан как функция криволинейной абсциссы,
то решение сразу дается формулой (373):
Несколько более сложным, но практически более важным является
решение той же задачи для случая, когда кривая отнесена к произ-
вольному параметру (и).

66]
КРИВИЗНА ПЛОСКОЙ КРИВОЙ
263
Вернемся к формуле (374 bis); если, как это уже делалось
(в пп. 30, 38), будем обозначать запятой, поставленной при символе
вектора, результат поворота этого вектора на -|- 90°, то формула
запишется в виде
ds
Умножая обе части скалярно на единичный вектор t\ получим:
(378) ~ = VI = г"г".
Теперь предстоит перейти от дифференцирования но я к
дифференцированию по и, для чего служат те же формулы, что и в
скалярном анализе:
dr dr^ da , • da
ds du ds ~~ ds
ds* du2 \ds J T du ds* \ ds ) *
Первая из них дает [см. (122)]
ds*9
/♦ \ du
Подставляя полученные для г" и г" выражения в (378) и
замечая, что /г'—0, находим:
da •, ♦♦ / du у г У
lis ~~ г Г\~аТ) ~ 7Ж\* *
\du)
Остается заметить, что [см. (316)] -j-=zV г2 х)у для того, чтобы
придти к окончательному выражению кривизны через производные
от радиуса-вектора, взятые по любому параметру:
(380) > d* У?
ds JL
1) Мы можем ограничиться здесь арифметическим значением корня, если
условимся, что натуральная параметризация (s) так согласована с задан-
ds _
ной (и), что параметры s и и возрастают одновременно, тогда — > 0.

264 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ ГГЛ. V
Для перехода к декартовым прямоугольным координатам примем во
внимание, что г' ={—.у, #}, следовательно,
(3800 *= ху—ух^ ^
К тем же результатам придем, пользуясь с самого начала косым произ*
ведением. Именно, сохраняя символ ш для меры (положительной или
отрицательной) угла смежности (черт. 112), ориентированного от t к t-\-bty имеем:
sb со = *Х(' + *') ='ХАЛ
И»£-1^-Н»(«х£) = *Х<'-г'Хг'.
Так как единичный вектор t и его производная /' взаимно перпендикулярны,
то отсюда сразу видно, что
UmE-|-l'l \f\ = \t'\^y..
Если же рассматривать кривизну как относительное число и определять
формулой (где со теперь — также относительное число)
(380') * = Ит£,
то из предыдущего следует, что
а отсюда переход к дифференцированию rib любому параметру происходит
так же, как и раньше: с помощью (379) и (316) приходим к (380) в записи
(380") -x=-^-f.
Отметим одно из следствий формулы (380): в точке перегиба
кривизна равна 0; действительно, в такой точке г\\г (см.
задачу 641), следовательно, г* J_r, и числитель дроби (380)
обращается в нуль.
Задачи.
551. Для окружности радиуса а найти кривизну тремя способами: исходя
из 1) формулы (374), 2) уравнения г = a I cos —, sin — V , где s — длина дуги,
3) уравнения г = a {cos и, sin и}.
552. Исходя из формулы (374) и пользуясь результатом задачи 538, найти
кривизну логарифмической спирали р = еа<?.
553. Для кривой, заданной в декартовых прямоугольных координатах
уравнением у = f(x), выразить кривизну через производные от у по х.
554. Найти кривизну астроиды г = a {cos3 и, sin3 и).
555*. Найти выражение кривизны в полярных координатах (через dp, dy,

67J
ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ ДЛЯ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ
265
67. Формулы Френе для плоской кривой. Натуральное
уравнение. Присмотримся ближе к вектору
dt_
ds
_ d'r — *»
Согласно самому определению кривизны, этот вектор имеет модуль,
равный кривизне х (рассматриваемой как величина абсолютная). Что
касается направления, то, будучи производной от единичного вектора (/),
вектор г" к нему перпендикулярен и, значит, имеет направление
нормали. Однако можно сказать более определенно: как и всякий вектор,
получающийся из радиуса-вектора двукратным дифференцированием,
/' обращен в сторону вогнутости (если не говорить о
точках перегиба, где г' и г" коллинеарны). На языке кинематики это
означает, что вектор г" лежит в той полуплоскости, где лежат все
векторы ускорения; он действительно принадлежит к их числу, являясь
вектором ускорения в равномерном движении, происходящем со
скалярной скоростью, равной 1. Если теперь в каждой (обыкновенной)
точке кривой построим
единичный вектор л, направленный
по нормали в сторону
вогнутости, то будем иметь:
(381)
ds
= хя.
Репер (f, я), составленный
двумя единичными взаимно
перпендикулярными векторами, из которых один
направлен по касательной в сторону
возрастания дуги, а другой — по
нормали в сторону вогнутости,
будем называть «репером Френе»
(по имени французского
математика). Оба вектора можно
рассматривать как функции параметра s:
t = t(s)y
n(s).
Черт. 113.
Производную первой функции мы знаем [формула (381)]; производную
второй попытаемся определить сначала из кинематических соображений.
Оба вектора t и п имеют годографом единичную окружность
(черт. 113), но для вектора п — со шкалой, сдвинутой на 90° по
сравнению со шкалой вектора /. Из того, что яа= 1, заключаем: вектор
dn
ds
перпендикулярен к п и, значит, параллелен вектору t\ более того,
черт, 113 показывает, что -т- имеет направление вектора (— /). Что

266 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ [ГЛ. V
касается модуля вектора у, то в нашей кинематической
интерпретации— этот модуль выражает скалярную скорость, с какой конец
вектора п движется по круговому годографу этого вектора. Но эта
скорость не может отличаться от такой же скорости, относящейся
к вектору /, ибо векторы /ил, перенесенные в центр годографа,
образуют жесткую систему и поворачиваются одновременно на один и тот
же угол. Итак, -^1== Ц- ==х; присоединяя это к ранее высказан-
ним соображениям относительно направления вектора -з—, можно
ожидать, что
(382) &"*
Сейчас мы подтвердим этот результат аналитически, имея целью
не только дать более строгий вывод, но также подготовить переход
и дальнейшем к кривым неплоским. Вспомним, что на плоскости
разложение какого-нибудь вектора а по двум единичным и взаимно
перпендикулярным, например по i и /, имеет вид [см. (99)]
Напишем, согласно этой формуле, разложения векторов t'=*-:- и
/ dn ,
п — -J-- по t и п:
ds
ri = {n't)t-\-{tin)n.
Из четырех скалярных произведений, участвующих в правых частях,
два (по главной диагонали) обращаются в нуль, так как из ^=1,
я2—1 следует tf = 0, пп' = 0. Далее, fn = * в силу (381), а
я7= (nf)' —t'n = 0 — х = — х, так как векторы t и п взаимно
перпендикулярны (tn = 0).
Итак,
dt
(383) \ dS
ds
где звездочки поставлены для того, чтобы подчеркнуть отсутствие
касательной составляющей у вектора -г- и нормальной
составляющей у вектора -т—. Формулы (383), которые ничем не отличаются
рт (381) и (382) (вторая теперь выведена из первой аналитически),
носят название формул Френе (для плоской кривой).
Фундаментальное значение этих формул в теории плоских кривых имеет источ-

67]
ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ для ПЛОСКОЙ КРИВОЙ
267
ник в том, что с помощью формул (383) можно написать разложе-
ние по векторам tun для производной -т-g любого порядка так,
чтобы коэффициенты разложения были выражены исключительно
через функцию x(s) и ее производные у/ (s), х" (s),. .. Действительно,
dkr
если разложение этого типа получено для производной -^-;- ;
(384) -S-=^+!3n>
то, заменяя в вытекающем отсюда соотношении
#иг _ rf7 db . dt ,q_^
rf^ri ~ -^Г r +157 n "]'~a ds + p rf*
векгоры -d~>—7- по формулам Френс, приходим к разложению
того же типа, что (384), но для производной следующего порядка.
Так, исходя из [см. (381)]
последовательно находим:
г"' *» х'л + ул' = х'я -f х(— х/) = - уН + х'/г,
г"" = - 2xx'f + х"л — xV + xV =
= _ 2хх7 + у"п — х% — хх7 =
= — Зхх'*+(х" — х3) Л
и т. д.
Сделаем отсюда принципиально важный вывод.
Если в некотором промежутке значений 5 — скажем, в
окрестности точки s = 0 — кривизна х известна как функция x(s) параметра sy
то, задавшись произвольно начальным значением г (0) радиуса-вектора
и начальными значениями t (0), я (0) векторов репера Френе, можно
написать (по крайней мере формально, т. е. без исследования
условий сходимости)1) разложение радиуса-вектора r(s) в ряд Тейлора.
Например, ограничиваясь первыми членами этого разложения,
имеем (см. только что полученные формулы для г", г"\ г"'\...;
1) Из теории дифференциальных уравнений следует: если функция v. (s) —
аналитическая в окрестности точки s = 0, то система г' = t, ? --■ %п,
п1 = — *t имеет аналитическое при s — Q решение, однозначно определяемое
начальными условиями; г(0) — г0, t {0) = t0> п(0) = я0.

268 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ [ГЛ. V
для краткости будем писать г0, /0, щ, х0, х0',... вместо г(0), *(()),
«(ОХ х(0), х'(0),...):
г (s) = r0 + s#0 + ^г.0п0+ Jr (— Ч*о -г V*o) +
+ 4Г (— Зхох^о + (хо — *о)я0) +...==
== ''О 4- 'о\5 — хо3! Зх°х°If + • • -] +
4-л0{х0|г4-^'дГ + (хо — Xo)-|~ + ...J.
Тем самым восстановлено уравнение кривой в окрестности
рассматриваемой точки. Произвол в выборе начальных значений г0, t0> п0
(конечно, должны быть соблюдены условия 4 = Ло=1> tonQ~0)
отвечает произволу, с каким кривая может быть помещена на
плоскости. Таким образом, заданием уравнения
(385) x = x(s)
кривая определяется с точностью до положения на
плоскости [т. е. две кривые, для которых имеет место одно и
то же уравнение (385), могут отличаться одна от другой только
положением на плоскости]. Вот почему уравнение (385),
выражающее кривизну как функцию дуги, называют
натуральным (иногда — внутренним) уравнением кривой.
Пример. Найти все кривые, кривизна которых
постоянна и равна К
Решение. Применяя формулы Френе, последовательно находим
Отсюда
. / №s* ( k*$b \, (ks* №s* , kW \
= ro±to\s 3T+~5i •••Ji-'^-g? 4Г+"бГ— ••-) =
£=ro+^" го\** ЗГ *5! -9uP"kno\^Ti 4! ' ~6! •••; —
, . sink? , 1—COSkS ,1 , 1 ,. . , ,v
= ro+4> —g- + no jr~~ ^Vr Tn*> + T ('° Sln ks ~~ n° cos *s)#
Замечая, что вектор t0sinks — n0cosks — единичный (в чем можно
убедиться, возводя этот вектор в квадрат и учитывая, что fi=^nl= 1,
t0n0 = 0), приходим к выводу, что единственная кривая по-
стоянной кривизны ( = &) есть окружность (радиуса ~\
как этого и можно было ожидать.

671
ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ ДЛЯ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ
269
Для плоской кривой можно указать еще другой способ, позволяющий по
натуральному уравнению кривой находить ее координатные уравнения. Будем
исходить из формулы (376) % = --?, следовательно, кривизну будем
рассматривать как относительное число. Если кривизна задана как функция от st
то, интегрируя эту функцию, найдем угол а так же как функцию от s:
(386)
*(S)= \f-(S)ds + aQf
где а0 — произвольное постоянное. Теперь, пользуясь формулами (354),
получим с помощью двух новых квадратур х и у как функции от s. Именно, по-
лагая для краткости I % (s) ds = A (s)t следовательно, a (s) = A (s) -(- а0, имеем:
х (s) = j" cos {A (s) + а0) ds + х0 =
Я Я
= cos а0 I cos A (s) ds — sin а0 j sin A (s) ds + x0
9
y(s)= j sin (A (s) + a0) ds + y0 «
8 *
= cos a0 Г sin Л (s) ds + sin a0 (cos A (s) +y0.
(387)
Таково общее решение задачи, содержащее, как видим, три произвольные
постоянных (а0, х0, у0). Частное решение, соответствующее нулевым
значениям этих постоянных, выражается формулами
9 8
(388) X {s) = f cos A (s) dst Y (s) = f sin Л (*) ds,
8q 8q
с помощью которых (387) приводится к виду
> — X (s) cos a0 — К (5) Sin a0 + X0,
: X (S) Sin a0 + Y (s) COS a0 + ^q.
(389)
| *(*) = .
Теперь бросается в глаза совпадение этих формул с теми, которые в
аналитической геометрии выражают общее преобразование прямоугольных
координат на плоскости (см., например, задачу 188) или, что то же, общее
движение плоскости, состоящее из поворота на угол <х0 и трансляции на вектор
{*о> УоУ- Отсюда — прежний вывод (однако теперь вместо требования
аналитичности для у. (s) можно ограничиться гораздо более слабыми условиями,
например, непрерывностью): если найдена одна кривая,
обладающая данным натуральным уравнением, то всеосталь-

270
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ
Ггл V
н ы е получатся из нес посредством движений. Поэтому на
практике, при разыскании кривой по натуральному уравнению достаточно
найти какое-нибудь частное решение.
Задачи.
556. Написать выражения для векторов t и п через г' и г".
557. Точки кривой, в которых кривизна ее достигает Максимума или
минимума, называются в е р шинами этой кривой. Исходя из необходимого
условия максимума — минимума, // = 0, найти соотношение, которому должны
удовлетворять в вершине векторы rf, г", г'",...
558. Проверить справедливость формул:
г _ г?г — (г г) г
\г\ |г2г — (гг) г\
в предположении, что параметры а и s возрастают одновременно.
559*. Найти кривую по натуральному уравнению % =* - - — (а = const).
у а2 — s2
68. Радиус кривизны. Соприкасающаяся окружность.
Величину (р), обратную кривизне, называют радиусом кривизны:
Мотивировкой такого наименования может служить то
обстоятельство, что для окружности кривизна и радиус суть величины взаимно
обратные (см., например, задачу 551). Более глубокое обоснование
этой терминологии коренится в следующем факте: если в точке,
взятой на кривой, кривизна -х Ф 0, то можно построить окружность
радиуса —, которая вблизи этой точки более тесно примыкает
к кривой, чем любая другая окружность, проведенная через ту же
точку. Понятие о наиболее тесном примыкании будет в дальнейшем
уточнено. Пока отметим только аналогию с касательной прямой,
которая среди всех прямых, проведенных через точку касания,
примыкает к кривой наиболее тесным образом. Подобно тому, как это
делается для касательной прямой, точно так же к упомянутой
окружности мы придем в результате некоторого предельного перехода.
Рассмотрим кривую С (не прямую), отнесенную к длине дуги s, и
пусть (обыкновенная) точка М кривой имеет радиус-вектор r(s),
а точка М — радиус-вектор r(s-\-h). Так как в дальнейшем мы
будем неограниченно приближать М' к Му то можно считать, что
вектор ММ' лежит со стороны вогнутости. Из
элементарно-геометрических соображений легко видеть, что всегда можно (и притом
единственным образом) построить окружность, которая 1) касается кри-

68] РАДИУС КРИВИЗНЫ. СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ОКРУЖНОСТЬ 271
вой С в точке М и 2) проходит через точку М' (черт. 114). Центр К
этой окружности, очевидно, лежит на нормали, проведенной к
кривой С в точке М, ипритом со стороны вогнутости *), так что можно
положить МК = Ы> где S— радиус окружности, а п — второй
вектор репера Френе. Имея в виду выразить $ через ММ' и я,
запишем, "что вектор КМ' — ММ'— Ьь имеет д^
длину \:
(ММ' — Ы)* = ¥,
откуда, учитывая, что я2 = 1, находим:
(390) 6—<^J-.
2л. ЛШ'
Но
(391) ЛШ' = г (« + *) — r(s)=>
«= ftr'+^J г" -f ••.=« + ^ *я +..., ЧеРт< 114-
где для всех производных, а значит, и для t, я, ■/- взяты их знлче-
ния в точке М. Подставляя разложение вектора ММ' в (390) и
замечая, что tn = 0, имеем:
\2
« =
(м+£*п + ...у (t+^гл+...у
2»(« + ^ «+...) *+- '
где все не написанные в разложениях члены содержат множителем h.
Теперь представим себе, что точка Mf неограниченно приближается
вдоль кривой к точке М, так что h -> 0. Последняя формула пока-
ft i
зывает, что при этом S будет стремиться к — = — , следовательно,
окружность будет стремиться к некоторой «предельной окружности»,
у которой центр лежит на нормали со стороны
вогнутости, а радиус равен обратной величине кривизны.
Если на кривой дана точка М%то соприкасающейся
окружностью в этой точке назовем предельное
положение2), к которому стремится окружность,
касающаяся кривой в точке М и проходящая через
другую точку М\ когда последняя неограниченно при-
*) Именно, точка К лежит на пересечении упомянутой нормали с осью
симметрии отрезка ММ'.
2) Под предельным положением окружности, зависящей от одного
параметра (в данном случае — от Л), здесь понимается окружность, для
которой центр имеет предельное положение, а радиус — предельное значение
(при h -» 0).

272 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА кривых [гл. V
ближается вдоль кривой к точке М. Центр и радиус
соприкасающейся окружности будем называть соответственно
центром кривизны и радиусом кривизны кривой в точке Ж.
Содержащееся здесь определение радиуса кривизны, как видим,
тождественно с данным выше. Если радиус-вектор центра кривизны
обозначим через с, то, очевидно,
(392) с — г + рл,
где р = — можно вычислить при помощи любой из формул, данных
выше для х.
Теперь вернемся к той характеристике соприкасающейся
окружности, которая была дана в начале этого пункта, и с этой целью
займемся оценкой степени близости
кривой к различным окружностям,
касающимся ее в точке М.
Рассмотрим (черт. 115) какую-нибудь
окружность, касающуюся кривой в точке М
и, значит, имеющую центр (К) на
нормали к кривой. Пусть М — точка
кривой, бесконечно близкая к Ж, и
пусть луч КМ' пересекает окружность
в точке L\ тогда кратчайшее
расстояние точки М! от окружности будет
измеряться отрезком LM'=\ КМ'—KL |.
Если точка М' неограниченно при-
Черт. 115. ближается вдоль кривой к Ж, а
точка К остается неподвижной (в этом —
существенное отличие от прежнего предельного перехода, ср.
черт. 114), то LM'-* О; степень близости окружности к кривой
будем оценивать именно порядком малости отрезка LM' по
сравнению с длиной дуги ММ'. Вместо разности КМ' — KL мы
предпочтем рассматривать разность квадратов КМ'2 — KL2, которая,
как легко видеть, имеет тот же порядок малости; действительно,
КМ'2 — № = {КМ — KL) (KM' -f KL),
а КМ' + KL -> 2/tt, когда М' -> М *). Итак, пусть МК=Ы, так
что |Е| есть радиус окружности; тогда КМ'~ММ'— 5л,
следовательно [см. (391)],
(393) КМ'2 — KL2 = (ММ' — Ы)2 — $2 = ММ'2 — 2ЪЛШ'п =.
в(^+"ГХЛ + • • -J—к*(ht + тхл + • • •)~*я V - Sx> + • • ••"
*) Эта замена разности на разность квадратов равносильна здесь тому,
что вместо расстояния точки от окружности мы рассматриваем
степень точки относительно окружности (см. гл. II, п. 33).

68] РАДИУС КРИВИЗНЫ. СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ОКРУЖНОСТЬ 273
где ненаписанные члены разложения содержат №, Л4 и т. д. Отсюда
видно, что интересующая нас разность КМ'2— KL2, вообще говоря,
2-го порядка малости относительно h (] h \ = ММ'). Другими словами,
величина, посредством которой мы условились оценивать степень
близости кривой и окружности, для произвольной касательной окружностц
есть, вообще говоря, бесконечно малая 2-го порядка относительно ММ\
Исключение составляет тот случай, когда в разложении (393)
коэффициент при № обращается в нуль:
1—е/.-0, Е = ^=р.
т. е. когда мы имеем дело с окружностью кривизны; тогда
разность КМ'2 — KL? («степень точки относительно окружности» —
см. сноску на стр. 272) будет бесконечно малой 3-го или более
высокого порядка. Именно в этом смысле мы говорили об окружности
кривизны как о наиболее тесно примыкающей к кривой в точке М.
Сделаем еще один вывод из предыдущего. Если принять £ == — = о,
т. е. в качестве касательной окружности взять соприкасающуюся, то
KM'* — KL* = Ah* + Bh*-\- ...,
причем в общем случае А ф 0 (см. задачу 563), т. е. порядок малости
равен 3 в точности. Но тогда, при переходе h от отрицательных
значений к положительным, разность КМ'2 — KL2 меняет знак.
Геометрически это означает, что вблизи М точки М\ лежащие на кривой
по одну сторону от М, попадают внутрь окружн(?сти кривизны
(КМ' < KL), по другую сторону— наружу (КМ' > KL); кривая и
ее окружность кривизны в точке касания, вообще
говоря, «перекрещиваются», как изображено на черт. 115.
В отдельных точках может иметь место иное расположение, как это
будет, например, происходить в вершинах эллипса (см. ниже
задачу 563).
Задачи.
560. Доказать: если расстояние полюса от касательной есть/?, то расстояние
у I dp I
его от нормали, проведенной в той же точке, есть р -~- , где р — радиус
кривизны.
561. При обозначениях предыдущей задачи показать, что
562. Показать, что центр кривизны, соответствующий точке М кривой,
может быть получен как предельное положение точки пересечения двух
нормалей, проведенных к кривой в точках М и !W, если предельный переход
состоит в неограниченном приближении М' к М вдоль кривой.
563. При каких условиях разность KM'~ — KL» формулы (393) будет
бесконечно малой 3-го порядка (точно)?
18 Зак. 1336. Дубнов, ч. I.

274 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ [гл. V
69. Эволюта и эвольвенты плоской кривой. Каждой точке» взятой
на кривой (если только в этой точке кривизна отлична от нуля),
соответствует определенный центр кривизны. Когда точка
перемещается по кривой, то соответствующий центр кривизны описывает
новую кривую, которая по отношению к первой кривой называется
эволютой. Итак, эволюта данной кривой есть
геометрическое место центров кривизны,
соответствующих различным точкам этой кривой. Займемся теперь
решением задачи: по данному уравнению кривой найти уравнение ее
эволюты. Задача легко решается, если кривая отнесена к параметру $, т. е.
задана функция г($); по существу решение уже содержится в
равенстве (392), где р =* ~ = у^ , * = у^гу, так что
«? = Г + -рт=={*-
х1' , у \
— уравнение эволюты, отнесенной к тому же параметру s, что и
исходная кривая. Практически более важным представляется решение
той же задачи для случая, когда кривая отнесена к произвольному
параметру, но этим мы займемся несколько позже — после того «как
познакомимся ближе с геометрическими свойствами эволюты.
Для того чтобы найти касательную к эволюте, достаточно взять
производную от ее радиуса-вектора с по какому-нибудь параметру,
например по s. Дифференцируя (392) и замечая, что -£- = t, -£- = — v.t
[см. (3839)], находим:
Геометрически равенство
(394) £ = ±-пшн dc = nd9
означает коллинеарность двух векторов: 1) нормального к данной
кривой в точке М и 2) касательного к эволюте в соответствующем
центре кривизны К. Но точка К как раз лежит на нормали,
проведенной к исходной кривой в точке М, значит, прямая МК
одновременно служит 1) нормалью к исходной кривой в точке М и
2) касательной к эволюте в точке К. Для облегчения формулировок
условились: если из двух кривых вторая служит для первой эволютой,
то первую по отношению ко второй называть эвольвентой.
Теперь мы можем результат выразить кратко: касательные к
эволюте служат нормалями к эвольвенте. Или иначе:
эволюта служит огибающей для семейства нормалей
к эвольвенте.
Воспользуемся полученным результатом — и именно последней его
формулировкой — для того, чтобы решить поставленную выше задачу:

69] ЭВОЛЮТА И ЭВОЛЬВЕНТЫ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ 275
по данному уравнению г = г(и) эвольвенты найти уравнение эволюты.
Уравнение нормали [см. (351)]
(395) (/? — г) г = 0 или подробнее (/?—г (и)) г (и) = О
выражает семейство прямых, зависящее от одного параметра (и).
Желая найти огибающую этого семейства, присоединяем к (395)
другое уравнение, получающееся из (395) дифференцированием по
параметру и (см. конец п. 65):
(396) (/j_r);_;i = 0#
Остается найти R из (395) и (396). Замечая, что (395) выражает
условие перпендикулярности векторов R— г и г, пишем
где 1терез г3 обозначен вектор, получающийся из г в результате
поворота (в ту или другую сторону) на 90° *). Множитель X найдем,
подставляя последнее выражение для R— г в (396):
. .. . /2
Аг'г — г2, откуда X ■» — .
Итак [ср. (380)],
(397) R^r+ll-r'.
r'r
В координатах г~{х,у}, г9 = {—у,х) (или же г' —{у, — x})t
и для эволюты получаются параметрические уравнения:
(3970 *=*—... ....У» к—>+ ... ...*«
лгу — _y.v лгу — уд:
Более непосредственным образом придем к (397), пользуясь косым
произведением. Будем искать огибающую семейства нормалей, определяемого
уравнением
R=r(u) + vr'(u),
d /drV
2) Символ г' допускает двоякое толкование: ^— г'или f-r— J (сначала
поворот, потом дифференцирование или наоборот), что, впрочем,
безразлично, см. (3084).
18*

276 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ {гл. V
где а — параметр прямой в семействе, v — параметр точки на прямой. Ус^
ловие (см. замечание на стр. 256) Ru X Rv = 0 принимает здесь вид
(; + *г'0Хг'=О,
откуда
гХг' г2
v = -— — —== -(так как гХг'=*г'г' — г г и г' X /" = г X г).
г'Хг* гХг
Подставляя в уравнение семейства, найдем уравнение огибающей:
г* .
R = r + -—г г'.
гХг
Займемся теперь обратной задачей: по данной эволюте найти
эвольвенту. С аналитической стороны задача сводится к
интегрированию векторно-дифференциального уравнения (397), где R {и) —
данная, г (и) — искомая функция. Вместо этого можно,
рассматривая эвольвенту как ортогональную траекторию семейства
касательных к данной кривой R = R(u), свести задачу к
дифференциальному уравнению первого порядка (см. п. 65) с одной
неизвестной функцией (этот план осуществлен ниже—см. решение
задачи 569а).
Однако дальнейшее углубление в связи, существующее между
эволютой и эвольвентой, позволит нам — в обход задачи
интегрирования дифференциального
уравнения— дать геометрическое
построение эвольвенты, а вместе с тем
получить и ее уравнение. С этой целью
вернемся к равенству (394); возведя
обе части в квадрат, получим:
dc% = dp2.
Но с есть радиус-вектор точки на
эволюте; если поэтому через sc
обозначим криволинейную абсциссу,
отсчитываемую по эволюте, то
dc2 = dsc, и предыдущее равенство
перепишется в скалярных величинах:
d$% = d$* или dse *=>±do.
Происхождение двойного знака в
последнем равенстве легко понять: при
отсчете криволинейных абсцисс $с
по эволюте выбор положительного направления зависит от нас;
если, например, мы выберем его так, чтобы с возрастанием sc радиус
кривизны р убывал (как показано кривой стрелкой на черт. 116),

69]
ЭВОЛЮТА И ЭВОЛЬВЕНТЫ ПЛОСКОЙ КРИВОЙ
277
ds
то будем иметь -j^<0 и должны будем принять
(398) dsc = — dp.
Для определенности мы так именно и поступим; тогда, интегрируя,
найдем;
(399) 5С + Р = const
— при движении точки по эволюте сумма
криволинейной абсциссы этой точки с соответствующим
радиусом кривизны эвольвенты остается постоянной.
Другими словами: на сколько увеличивается (уменьшается) радиус кривизны
эвольвенты, на столько же уменьшается (увеличивается) криволинейная
абсцисса центра кривизны, отсчитываемая вдоль эволюты в избранном
нами направлении. Еще иначе: длина любой дуги эволюты равна
(взятой по абсолютной величине) разности между радиусами кривизны
эвольвенты, соответствующими
концам дуги *).
Получается точно такое же
соотношение между криволинейной
дугой и прямолинейным отрезком
касательной, какое имеет место при
наматывании натянутой нити на
кривую линию. Именно, если в точке К
кривой линии (см. черт. 116)
закрепим конец гибкой нерастяжимой нити,
которую натянем по касательной в
виде прямолинейного отрезка КМ,
то при наматывании нити на кривую
сумма намотанной (искривленной) и
ненамотанной (прямолинейной)
частей нити будет оставаться
постоянной ( = /Ш). Предыдущие
рассуждения дают основание ожидать, что
конец нити при наматывании ее на
кривую опишет эвольвенту этой кривой. Проверим это предположение,
переходя одновременно на чисто геометрический язык. Рассмотрим
(черт. 117) криволинейную дугу АВ, состоящую из обыкновенных
точек. В точке А построим к дуге касательную и отложим на ней
отрезок, длина (/) которого пусть будет больше, чем длина дуги АВ.
В каждой другой точке М дуги АВ будем строить касательный
отрезок MN, составляющий «прямолинейное продолжение» дуги AM
Черт. 117.
1) Прн этом, конечно, предполагается, что на протяжении рассматриваемой
дуги радиус кривизны эвольвенты изменяется монотонно — в противном
случае мы не могли бы осуществить нашего соглашения об отсчете
криволинейных абсцисс по эволюте.

278 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ [гл. V
и имеющий такую длину / — s, которая в сумме с длиной (s) дуги AM
дает постоянную величину /. Считая известным радиус-вектор г точки М
как функцию дуги s% легко найдем радиус-вектор R точки N:
(400) /? = /•($) + (/— s)r'(s).
Геометрическое место точек Ыу соответствующих различным
положениям точки М на дуге АВ, представится новой кривой /? = /?(б),
касательную к которой мы найдем, дифференцируя равенство (400):
-g-= г'-К/- *) г"-Г = (/- S) г" = (/- 5) *«,
где п—единичный вектор нормали к кривой в точкт Мт Полученный
результат говорит, что вектор (з^-L параллелен вектору {п)и> а значит,
перпендикулярен к МЫ. Отсюда последовательно заключаем, что 1) MN
есть нормаль к кривой /?==/? (s) в точке /V, 2) кривая АВ служит
огибающей нормалей, т. е. эволютой кривой R = R(s)t и наконец, 3)
последняя является эвольвентой по отношению к кривой АВ? Таким
образом, построение эвольвенты с помощью нити обосновано.
Одновременно мы получили и уравнение эвольвенты — именно (400), где /
играет роль произвольного постоянного — для случая, когда кривая
отнесена к натуральному параметру (s). Если же эволюта отнесена
к произвольному параметру, г = г(и), то вместо (400) напишем
[см. (317)] _^
(400') R = г (а) + (/ — |Уга(и)<*а) -^L=.
УгЦи)
Добавим к этому, что если бы мы установили на эволюте обратное
направление отсчета дуг, то вместо (398) и (399) имели бы
dsc = dp, sc — р = const,
что соответствовало бы «сматыванию» натянутой нити с кривой (см.
задачу 465, где дано иное обоснование только что описанного
построения эвольвенты).
С этими именно построениями связаны названия «эволюта»,
«эвольвента», образованные из латинского глагола, означающего
«развертывать», «разматывать». Вместе с тем мы видим, что для данной эволюты
можно построить бесчисленное множество эвольвент: в самом деле,
ведь длину наматываемой (или сматываемой) нити мы можем по
произволу увеличивать и уменьшать. Все эвольвенты одной и той же
кривой имеют общие нормали (и в этом смысле являются
«параллельными кривыми» — см. решение задачи 45б\ общую эволюту,
касательные к которой каждая эвольвента пересекает под прямыми углами.
Если, как это принято, называть ортогональной траекторией
семейства линий кривую, которая пересекает каждую из линий
семейства под прямым углом (например, окружность есть ортогональная

69]
ЭВОЛЮТА И ЭВОЛЬВЕНТЫ плоской КРИВОЙ
279
траектория семейства прямых, проходящих через ее центр), то можно
сказать, что каждая эвольвента служит ортогональной
траекторией для семейства касательных к эволюте.
Построение эвольвент с помощью нити можно несколько
видоизменить. Именно, вместо того чтобы наматывать на кривую или
сматывать с нее гибкую нерастяжимую нить, можно по этой же кривой
«катить без трения и скольжения» прямолинейный стержень; тогда
каждая точка стержня опишет одну из эвольвент данной кривой.
Траекторию, которую описывает точка, жестко связанная с кривой Л,
когда эта последняя катится без трения и скольжения по кривой В
(«базису»), называют рулеттой (например, циклоида есть рулетта,
образуемая точкой окружности, катящейся по прямой). Таким образом,
каждая эвольвента может рассматриваться как рулетта, образуемая
точкой прямой линии, когда последняя катится без трения и
скольжения по эволюте.
Закончим сопоставлением различных определений
(эквивалентных одно другому), которые могут быть даны для эволюты и для
эвольвенты, ограничиваясь при этом сокращенными формулировками
(полные были даны выше): эво л юто й данной кривой С называется
1) геометрическое место центров кривизны линии С; 2) огибающая
семейства нормалей к линии С; эвольвентой данной кривой С
называется 1) линия, для которой С служит эволютой, 2)
ортогональная траектория касательных к линии С; 3) рулетта при качении прямой
линии по базису С.
Задачи.
564. Найти эволюту параболы г = {и, аи2}. Показать, что вершине
параболы соответствует на эволюте точка возврата 1-го ряда.
565*. В обобщение результата предыдущей задачи доказать: если в
вершине кривой (см. задачу 557) кривизна отлична от нуля и второй ее
дифференциал отличен от нуля 1) (первый дифференциал, конечно, равен нулю
в силу определения «вершины»), то соответствующая точка эволюты есть
точка возврата 1-го рода.
566. Показать, что любая кривая и эволюта ее эволюты имеют в
соответствующих друг другу точках параллельные касательные (и значит,
параллельные нормали).
567. Доказать: если вдоль дуги кривой радиус кривизны изменяется
монотонно, то окружности кривизны, соответствующие двум различным
точкам дуги, вложены одна в другую. Указание: сравнить разность радиусов
окружностей с расстоянием между их центрами.
568. Найти уравнение эвольвенты круга, заданного уравнением
i s - s\
г = a {cos—, sin—>.
\ a a )
569. Зная натуральное уравнение кривой, найти натуральное уравнение
ее эволюты. Применить к циклоиде.
х) Это условие (ЛЧфО) введено только с целью облегчить решение
задачи; по существу оно является излишним.

280 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ [гл. V
569а. По заданному уравнению r — r(v) кривой получить уравнение ее
эвольвенты, рассматривая последнюю как ортогональную траекторию
касательных к данной кривой (см. п. 65).
70. Кривая в пространстве. Касательная прямая и
нормальная плоскость. Соприкасающаяся плоскость. В теории
пространственных кривых простейшая дифференциально-геометрическая задача
состоит в том, чтобы по заданному уравнению кривой г = г(и)
написать уравнение касательной, проведенной в любой точке этой
кривой. Ограничиваясь теми точками, в которых вектор г (и)
отличен от нуля (случай, когда это условие не выполняется, рассмотрен
в конце п. 57) и следовательно, определяет направление касательной,
пишем векторно-параметрическое уравнение последней так же, как
и для плоской кривой [см. (350)]
(401) R — r = \r.
В декартовых координатах получаем теперь три уравнения
(40 Г) X— лг = Хл;, У — у*=*\у% Z — z = \z,
которые могут быть заменены двумя непараметрическими,
выражающими пропорциональность координат двух коллинеарных векторов
R—r и г:
/>.Л1//ч Х—х У—у Z—z Х — х К—v Z — z
(401") -^—-Л-—. „ли _---в--г.в_5_.
Несколько иначе, чем для плоских кривых, обстоит теперь дело
с понятием нормали. Если попрежнему называть нормалью прямую,
перпендикулярную к касательной в точке ее касания с кривой, то
окажется, что для данной на кривой
точки можно построить не одну, а
бесчисленное множество нормалей; все
они заполняют некоторую плоскость,
которую мы будем называть
«нормальной». Итак, если к кривой в
лежащей на ней точке М проведена
касательная, то плоскостью
нормальной к кривой в точке М
называется плоскость, пер-
Черт. 118. пендикулярная к касательной
в этой точке.
Уравнение нормальной плоскости напишем «по точке и
нормальному вектору» [ср. (351)]:
(402)
(*--г)г = 0,

70] КРИВАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. КАСАТЕЛЬНАЯ ПРЯМАЯ 281
где обозначения ясны из черт. 118. В декартовых прямоугольных
координатах
(402')
(X-x)x+(Y—y)y+(Z—*)z = 0
или
(X— x)dx~\-(Y— y)dy + (Z~ z)dz = 0.
Наряду с рассмотренными задачами, аналогичные которым имеются
и в двумерной дифференциальной геометрии, теория
пространственных кривых ставит другие, уже специфические для трех измерений.
Мы видели, что как бы ни была параметризована кривая, всегда
вектор г = -т- % отличный от нуля, определяет некоторое
(двустороннее) направление, именно направление касательной к кривой
в данной точке. При переходе к новой параметризации вектор г
может изменить длину, но направление его обязательно будет
совпадать с одним из двух направлений касательной. Поставим
теперь аналогичный вопрос относительно вектора второй производ-
ной г = ~-п: доступны ли для этого вектора все направления
в пространстве, а если нет, то какие именно? На языке кинематики
можно сказать так: по какому бы закону точка ни описывала
данную траекторию, всегда вектор скорости направлен по касательной;
какие направления может иметь вектор ускорения? Для того чтобы
ответить на поставленный вопрос, представим себе, что кривая
отнесена один раз к параметру и, другой раз — к параметру v.
Связь между первыми и вторыми производными от радиуса-вектора,
соответствующими той и другой параметризации, выражается
формулами [ср. (379)]:
(403;
dr dr_ du
dv du dv *
d*r _ d?r fdu^ , dr d*u
dv2 ~~du* \dv ) * du dv* '
В дальнейшем будем предполагать (пока не оговорено иное), что
существует такой параметр и, для которого в рассматриваемой точке
<«»> [££]**
dr dzr
т. е. векторы — и -т-$ не коллинеарны, следовательно, определяют
d?r
некоторую плоскисть. В этой плоскости должен лежать и вектор ^,
как показывает вторая из формул (403). Итак, вектор, получающийся
из радиуса-вектора в результате двукратного дифференцирования по
какому-либо параметру, не может иметь произвольного направления

282 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ [гл. V
в пространстве: для каждой точки, взятой на кривой, этот вектор
должен лежать в определенной плоскости, которая, заметим,
проходит через касательную прямую (ибо содержит вектор г = j-).
Плоскость, проходящую через М и содержащую
векторы г и г, какова бы ни была параметризация кривой, мы
будем называть соприкасающейся плоскостью в этой
точке. (Ср. с определением касательной прямой в сноске на стр. 201).
Таким образом, направление, доступное в данной точке для
вектора г, ограничено, — хотя и не определенной прямой (касательной),
как это было для вектора г, но определенной плоскостью
(соприкасающейся). Впрочем, это ограничение можно еще уточнить, если
заметить [см. (403)], #что в разложении вектора -^ по -г— и -^
коэффициент при -т—2 всегда положителен 1). Это означает, что век-
d2r (fir
торы -рз и J-* всегда лежат по одну сторону от касательной, и
следовательно, возможные положения вектора г, проведенного из
рассматриваемой точки, ограничены даже не всей соприкасающейся
плоскостью, а только одной из полуплоскостей, на которые она
разбивается касательной прямой. Следуя аналогии с теорией плоских
кривых, условимся говорить о всяком
векторе р, выходящем из данной на кривой
точки и лежащем, в соприкасающейся
плоскости по ту же сторону от касательной,
по какую лежат все векторы г, — что этот
вектор р «лежит со стороны вогнутости
кривой». В терминах кинематики можем
сказать: каков бы ни был закон
криволинейного движения, всегда вектор
ускорения в данной точке траектории
Черт. 119. лежит в соприкасающейся
плоскости и притом со стороны вогнутости
кривой. По этой причине соприкасающуюся плоскость иногда
называют «плоскостью ускорений» (можно говорить даже о
«полуплоскости ускорений»).
Независимо от предыдущего, к понятию соприкасающейся
плоскости можно придти, пользуясь предельным процессом,
аналогичным тому, какой приводит к касательной прямой и (в особенности)
к соприкасающейся окружности (ср. п. 68). Пусть (черт. 119)
du л „ „ du л
!) Мы предполагаем — Ф 0; если бы в какой-нибудь точке было — = 0,
/if
то из (4030, получилось бы —- = 0, т. е. параметризации (v) не была бы
допустимой.

70J КРИВАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. КАСАТЕЛЬНАЯ ПРЯМАЯ 283
^-~-точка на кривой, МТ—касательная; каждую из бесчисленного
множества плоскостей, проходящих через Ж Г, будем называть
касательной плоскостью к кривой в точке М. Положение
касательной плоскости будет зафиксировано, если мы потребуем,
чтобы она проходила еще через точку М\ взятую на кривой. Представим
себе теперь, что точка Мг неограниченно приближается вдоль кривой
к точке М; тогда касательная плоскость будет вращаться вокруг
прямой МТ; будет ли эта плоскость стремиться к некоторому
предельному положению 1) и к какому именно? Положение касательной
плоскости можно определить нормальным к ней вектором, в качестве
какового мы возьмем Af= [гММ'\. При обозначениях, неоднократно
уже применявшихся,
• 2!
3!
следовательно,
at h21 * "i i u3 . •••• ,
lfr>]+ J-[rr] +
Теперь видим, что при h —> 0 касательная плоскость стремится
принять такое положение, при котором она будет перпендикулярна
к вектору [г г] [отличному от нуля в
силу (404)] и, следовательно, будет
содержать, кроме г, еще и вектор г. Снова
приходим к соприкасающейся плоскости.
Наконец, еще одна точка зрения на
соприкасающуюся плоскость появится,
когда мы станем оценивать степень
близости к кривой различных ее касательных
плоскостей: окажется, что среди
последних соприкасающаяся плоскость в
известном смысле теснее всего примыкает к
кривой. С этой целью рассмотрим (черт. 120)
какую-нибудь касательную плоскость, содержащую,
следовательно, вектор г, и пусть m будет единичный вектор,
перпендикулярный к этой плоскости (так что mr = 0). Если на кривой возьмем
еще точку М\ то расстояние М'Р этой точки от рассматриваемой
Черт. 120.
*) Предельным положением плоскости, проходящей через неподвижную
прямую и зависящей от одного параметра (здесь — от параметра,
определяющего положение точки Мг), мы называем такую постоянную плоскость того же
пучка, угол которой с переменной плоскостью стремится к нулю. Конечно,
угол между плоскостями можно заменить углом между нормалями к ним.

284 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ [гл. у
касательной плоскости будет равно абсолютной величине проекции
вектора ММ' на т. Но
(405) пртММ' = тММ' =*т{г{и-{-Н)—г(и)} =
Отсюда заключаем, что расстояние М'Р точки Ж' от какой-нибудь
касательной плоскости будет, вообще говоря, бесконечно малым 2-го
порядка относительно h (или, что то же, при г Ф 0 относительно
хорды ММ' или дуги ММ'). Этот порядок малости повысится до 3
(по меньшей мере), если мы возьмем ту из касательных плоскостей,
для которой тг = 0, т. е. плоскость, содержащую, кроме г, еще и
вектор г — соприкасающуюся, которая именно в этом смысле
повышения порядка является «наиболее тесно примыкающей».
Сделаем еще один вывод из разложения (405). Для
соприкасающейся плоскости т = -С.. (или же т = -т*^- ; остановимся
\\гг\\ \\гг\\
для определенности на первом предположении). В таком случае
разложение (405) принимает вид:
(406) ПртЛШ' = ^-^+...
*- \[гг]\
Отсюда видно, что если в точке М векторы г, г, г некомпланарны,
то расстояние М'Р точки М' от соприкасающейся плоскости будет
бесконечно малым точно 3-го порядка. Проекция же вектора ММ'
на т будет менять знак при переходе h от отрицательных значений
к положительным. Геометрически это означает, что в
окрестности точки касания кривая, вообще говоря,
переходит с одной стороны соприкасающейся плоскости
на другую. В отдельных точках порядок малости расстояния
точки М' от соприкасающейся плоскости может быть выше трех,
и если этот порядок окажется четным, то кривая вблизи*точки
касания будет лежать по одну сторону от соприкасающейся плоскости.
Сопоставляя рассмотренные нами определения соприкасающейся
плоскости (и ограничиваясь теперь неполными формулировками), мы
можем охарактеризовать эту плоскость как
1) содержащую векторы гиг при любой параметризации
(«плоскость ускорений»);
2) предельное положение касательной плоскости, проходящей
через точку, неограниченно приближающуюся к точке касания;
3) ту из касательных плоскостей, которая наиболее тесно
примыкает к кривой вблизи точки касания.

71]
основной ТРЕХГРАННИК КРИВОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ
285
Уравнение соприкасающейся плоскости легко получим, исходя
из того, что она проходит через точку (г) и содержит векторы гиг
[неколлинеарные при допущении (404)]:
(407)
В координатах:
\Х — х У—у Z — z
(4070 л; У г
I х у z
(R — г)/т = 0.
= 0 или
X— х Y—y Z — z
dx dy dz
d2x d2y d~z
= 0.
Если в данной точке векторы гиг коллинеарны, то это, конечно,
не означает, что соприкасающаяся плоскость как предельное
положение не существует или что она становится неопределенной3),
а только то, что уравнение этой плоскости не может быть написано
по формулам (407), (407'). Особо должен быть отмечен случай,
когда [г г] = 0 тождественно, т. е. векторы гиг коллинеарны
в любой точке. Но (см. решение задачи 464) это возможно только
в случае прямой линии, для которой соприкасающуюся плоскость
следует считать неопределенной.
Задачи.
570. Для кривой г = {и8 — и2 — 5, Зн2 + 1, 2us—16 } написать уравнения
касательной прямой и нормальной плоскости в точке, для которой и «в 2.
571. Найти касательную прямую и нормальную плоскость в точке
А (3, —7, 2) кривой г = { и* + к2 + 1, 4ц8 + 5а + 2, "4 — и3 }.
572. Та же задача для точки А (2, 0, — 2) и кривой
г = {к2 — 2и + 3, ц3 —2и2 + ц, 2«з —6й + 2}.
573. Написать уравнение соприкасающейся плоскости к кривой г =
= {и2, и, и*— 20} в точке (9, 3, 7).
574. Показать, что кривая
г = { аи + bt си + d, ы2}
имеет во всех точках одну и ту же соприкасающуюся плоскость. Не
объясняется ли это тем, что быть может кривая — плоская?
71. Основной трехгранник кривой в пространстве. Теперь мы
имеем возможность в каждой точке кривой выделить из числа всех
нормалей две (черт. 121):
1) ту, которая лежит в соприкасающейся плоскости, — будем
называть ее «главная нормаль»;
х) В конце п. 63 приведены примеры плоских кривых, для которых
[fr]=0; однако плоская кривая (не прямая!) всегда имеет единственную
соприкасающуюся плоскость, именно —ту плоскость, в которой эта кривая
лежит.

286 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ [ГЛ. V
2) ту, которая перпендикулярна к соприкасающейся плоскости,—
«бинормаль». Вместе с тем в каждой точке кривой появляется
трехгранный угол — будем называть его «основной
трехгранник»— с тремя попарно перпендикулярными ребрами (касательная,
главная нормаль, бинормаль) и, следовательно, с тремя попарно
перпендикулярными гранями. С двумя из этих граней мы уже
встречались: 1) плоскость, проходящая через касательную и главную
нормаль, есть
соприкасающаяся, 2) плоскость, содержащая
две нормали—главную и
бинормаль, есть нормальная.
Третью грань, определяемую
касательной и бинормалью, принято
называть «спрямляющая
плоскость» (конечно, она
принадлежит к числу касательных
плоскостей).
Займемся теперь
составлением уравнений для ребер и
граней основного трехгранника,
считая заданным уравнение г = г(и)
кривой. С этой целью для
каждого из трех ребер найдем
лежащий на нем вектор. Для
касательной это будет вектор г,
который мы и здесь предпо-
Далее, так как бинормаль перпенди-
плоскости, т. е. к векторам г и г, то
можно считать их векторное произведение [гг] [см. (404)] лежащим
на бинормали. Наконец, направление главной нормали, которое
перпендикулярно как к касательной (значит, к вектору г), так и к
бинормали (значит, к вектору [rrj), можно определить векторным
произведением двух только что упомянутых векторов:
Черт. 121.
лагаем отличным от нуля,
кулярна к соприкасающейся
(408)
\r\rr\].
Теперь легко написать век горно-параметрические уравнения ребер
основного трехгранника (ради цельности повторяем ранее полученное
уравнение (401) касательной):
(409)
касательная: R = г -f- дг,
главная нормаль: /? = r-j-Xfr[/-rH,
( бинормаль: /? = r-f-а [гг].

71J ОСНОВНОЙ ТРЕХГРАННИК КРИВОЙ В ПРОСТРАНСТВЕ 287
Уравнения граней основного трехгранника будем писать каждый раз
по точке и нормальному к грани вектору:
(410)
нормальная плоскость: (R — г)г = 0,
спрямляющая плоскость: (/? — r)r{rr] = 0,
( соприкасающаяся плоскость: (R — г)гг = 0
[зл.есь только второе уравнение является новым — см. (402) и (407)].
Более простой вид принимают уравнения (409) и (410), если
кривая отнесена к натуральному параметру s. В самом деле, вектор г"
1) лежит в соприкасающейся плоскости, как и всякий «вектор
ускорения», 2) перпендикулярен к вектору г', так как г" =(/•')'> а \г' I ~ *»
следовательно, вектор г" сразу дает направление главной нормали.
Таким образом, для параметра 5 можем написать вместо (409а)
и (4102):
(411) главная нормаль: /? = г-|-Хг",
(412) спрямляющая плоскость: (/? — г)г" = 0.
Покажем применение этих формул к винтовой линии
(обыкновенной), для которой предварительно выведем уравнение. Известный
способ построения этой линии состоит в следующем (черт. 122):
к цилиндру вращения (радиуса а) прикладываем плоский угол (а)
так, чтобы плоскость угла касалась цилиндра вдоль образующей,
перпендикулярной к одной из сторон угла. Если теперь наматывать
плоскость угла на цилиндр, то одна из сторон угла а будет обвиваться
вокруг цилиндра по окружности перпендикулярного сечения, а другая—
по винтовой линии, которую можно теперь определить чисто
геометрически— как изогональную траекторию (п. 65) семейства
прямолинейных образующих цилиндра. Отсюда получаются уравнения винтовой
линии. При обозначениях, легко понятных из черт. 122, 123, пусть
М — какая-нибудь точка на винтовой линии, М0М = s — дуга этой
линии, MP—перпендикуляр из М на XOY. Так как криволинейный
треугольник М0МР получился из прямолинейного (и прямоугольного)
путем деформации, не изменяющей длин и углов, то круговая дуга
М0Р равна s cos а, а отрезок MP равен s sin а. Поэтому М0ОР =
6" COS а
~= , откуда
л^Т^п SCOSO
х~а cos A/ftOP=a cos
v = a sin М0ОР = a sin
г = МР~~ s sin а.
а
s cos а

288 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ [гл. V
Итак, для винтовой линии, отнесенной к натуральному параметру,
/41о\ _ f . s COS a . 5 cos a . \
(413) r = { a cos , a sin , s sin a \ .
r*> S COS ot
Если перейдем к другому параметру, полагая = и, то получим:
(414)
r = a {cos иу sin ut utga].
Пример 1. Найти уравнение главной нормали винтовой линии,
исходя из уравнения (413).
Решение.
:COS
а < —sii
„ cos- а (
г ' = -—{cos
SCOS а
1
а
.s cos а
COS
s cos a
.. tge}.
sin
S COS
?-•••}•
Уже отсюда видно, что вектор г", определяющий направление
главной нормали, перпендикулярен к оси Ozt т. е. к оси цилиндра.
Черт. 122. Черт. 123.
Координатные уравнения главной нормали:
Xt=x-\-kcosut Y=zy-{-k sin и, Z = z, где и =
,? cos a
Пример 2. Найти уравнения соприкасающейся и спрямляющей
плоскостей винтовой линии, исходя из (414).
Решение. r = a{ —sin и, cos и, tga }, r== — a { cos и, sin ы, 0 },
Irf] =a2{ sintftga, —cosatga, 1} =a2tga{sina, —cos и, ctgaj,
[r[rr\].
q3
COS* з
cos//, sin //, 0 J.

72] РЕПЕР ФРЕНЕ. КРИВИЗНА 289
Для соприкасающейся плоскости в качестве нормального к ней
вектора возьмем {sin и, —cos и, ctg а }:
(х— a cos и) sin а — (у—a sin a) cos u-\~(z — и tg а) ctg а = О,
х sin и —у cos и -|- г ctg а — а = 0.
Для спрямляющей плоскости за нормальный к ней вектор примем
{cos uf sin и, 0 }:
(х — a cos и) cosu-]~(y—a sin a) sintf = 0
или , .
л: cos й-р^ sin # — a = 0.
Легко видеть, что это не что иное, как уравнение плоскости,
касающейся цилиндра, на котором лежит винтовая линия.
Задачи.
575. Показать, что главная нормаль не может иметь постоянное
направление во всех точках кривой (не прямой).
576. Написать в координатах х, у, z уравнения главной нормали.
577. Найти компоненту вектора г в нормальной плоскости.
Воспользоваться полученным результатом для нахождения вектора, лежащего на
главной нормали.
578. Пользуясь результатом задачи 459, доказать: если бинормаль
во всех точках кривой сохраняет постоянное направление, то кривая —
плоская.
579. Доказать: если соприкасающиеся плоскости, построенные во всех
точках кривой, проходят через одну и ту же точку (Л), то кривая — плоская.
580. Согласно (408) и рассуждениям, предшествующим (411), векторы
{г1 [rfrf,\\ и г" лежат на главной нормали, следовательно, коллинеарны.
Проверить эту коллинеарность непосредственно.
581. Показать, что вектор [г [гг\] лежит на главной нормали со
стороны вогнутости.
72. Репер Френе. Кривизна. Ускорения тангенциальное и нор^
мальное. В предыдущем пункте мы нашли для каждого из ребер
основного трехгранника вектор, определяющий направление этого
ребра. Однако для характеристики направлений удобнее всего
пользоваться единичными векторами (вспомним векторы t$ п в теории
плоских кривых). Для пространственной кривой будем строить
в каждой ее точке «репер Френе», состоящий из трех единичных
попарно ортогональных векторов:
t — единичный вектор, направленный по касательной в сторону
возрастания дуги s;
п — единичный вектор, направленный по главной нормали в сторону
вогнутости;
Ъ — единичный вектор, направленный по бинормали в такую
сторону, чтобы репер t, п> b был правым.
Заметим уже сейчас, что из трех векторов t, п, b только п имеет
направление, не зависящее от нашего произвола; вектор t может
иметь в каждой точке одно из двух возможных направлений
19 Зак. 1336. Дубной, ч. I.

290 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА кривых [гл. V
в зависимости от того, в какую сторону мы ведем счет дуг (s) по
кривой; наконец, вектор b = [tn] изменяет свое направление на
противоположное всякий раз, как это делает вектор t. Эти особенности находят
себе отражение и в формулах, выражающих векторы репера Френе
через производные от г по s:
г" = г"
\r"\ ~~ Y7*s
так как г" лежит на главной нормали [см. рассуждения,
предшествующие формуле (411)] и — как всякая вторая производная от г —
направлен в сторону вогнутости; наконец
[гТЧ
(415)
(416)
(417)
[tn\
Заметим, что при замене 5 на —s вектор г' перейдет в (—г'),
а вектор г" останется без изменения.
Введем теперь понятие кривизны (х) совершенно так же, как
делали это для плоской кривой:
(418)
1*4-
В этой формуле содержится геометрическое определение кривизны.
Кинематический ее смысл остается прежним: скалярная скорость,
с какой конец вектора t движется по
годографу этого вектора, — только годографом
теперь будет уже не обязательно окружность,
а некоторая кривая, лежащая на сфере радиуса,
равного 1. Остается в силе и другое
толкование кривизны, трактующее ее как предел
отношения угла смежности к длине дуги:
х = lim -^т- . Рассуждение, с помощью ко-
Ы'->и ММ!
торого мы установили эквивалентность обоих
определений для плоской кривой, может быть
дословно повторено и по отношению к
пространственной кривой—-только чертеж
(черт. 124) в одной своей детали изменится:
касательные, проведенные в точках М и М\
теперь уже (в общем случае) не пересекаются,
а скрещиваются (ср. также мелкий шрифт в конце п. 66; роль
взятого по абсолютной величине косого произведения ty^t' будет
играть теперь модуль векторного произведения [t /']). Это, конечно,
не мешает говорить об угле между такими касательными.
Отметим теперь случай, где аналогия между плоской и
пространственной кривой нарушается. В то время как для плоской кривой
Черт. 124,

721
РЕПЕР ФРЕНЕ. КРИВИЗНА
291
мы могли рассматривать кривизну как производную [см. (376)],
da
здесь эта возможность отпадает, так как угол смежности <о в случае
пространственной кривой уже не является приращением какого-либо
переменного угла 1). В связи с этим становится бесцельным
рассматривать кривизну как относительное число; кривизну пространственной
кривой мы всегда будем считать числом абсолютным.
Если в данной точке кривизна х отлична от нуля, то обратную
величину Г—j мы будем называть радиусом кривизны (о);
1
Можно показать — мы не будем этого делать, — что и здесь
существует «соприкасающаяся окружность», определяемая тем же
предельным переходом, что и в случае плоской кривой. Эта окружность
лежит в соприкасающейся плоскости (вспомним рассуждение, к
которому относится черт. 119) и имеет радиусом как раз радиус кривизны.
Посмотрим теперь, как вычисляется кривизна, когда дано
уравнение кривой. Если кривая отнесена к параметру s, то равенство (416)
непосредственно дает ответ на вопрос:
(419) х » Y77* = /x^+y^+z"».
Другую формулу для кривизны можно получить из равенства (417),
переписанного в виде [см. также (418)]
xb = [г'г"].
Замечая, что |^|=1, находим
(420) х = | [г'г"] | =» уТРТТ2.
Эта формула, несколько более сложная, чем предыдущая (419),
представит, однако, преимущество в ближайшем вычислении, имеющем
целью перейти к произвольному параметру.
Пусть кривая задана уравнением г^=г{и)\ согласно формулам (379)
преобразования производных при переходе от параметра 5 к
параметру а, имеем:
(421) [г*/*]-™ (i£)\
*) Во второй части этой книги — после того как будет введено понятие
о «функции области» и ее дифференцировании, снова появится возможность
говорить о кривизне как о производной.
19*

292 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ
Подставляя в (420), найдем
(422) xeU"1l|-sT-
\ ds \
Но [см. (316)] -^— == j г |, следовательно,
[rr}\ Vl^W2 V
[гл. V
(423) х =
1 . • 12
у г\
Z X
Z X
2
+
х у
х у 1
(г2)7' •
(i*+> + *>)■/.
Эта формула, разрешающая задачу в самом общем случае, конечно
применима и к плоской кривой: достаточно положить z == 0, чтобы
получить
\хУ\
х у
& + №
т. е. снова найти (380) (отвлекаемся от знака rh).
Пример 1. Найти кривизну винтовой линии, исходя из
уравнения (413).
Решение. Подставляя в (419) значение г", найденное при решении
примера 1 п. 71, находим: х = -^-^- = const. Кривизна винтовой
линии оказывается всюду постоянной, как и следовало ожидать,
потому что эта линия допускает движение без деформации сама
по себе.
Пример 2. Найти кривизну винтовой линии, исходя из
уравнения (414).
Решение. Пользуясь выражениями для г и [г г], найденными при
решении примера 2 п. 71, имеем [см. (423)]:
х_ g2|tgal yi + ctggg _ eos*q
а»(1 +tg2a)i/a а
Роль понятия кривизны в вопросах механики можно
иллюстрировать следующим примером. Пусть известен закон движения точки
г = г(Т), где Т—время1).
Как мы знаем, вектор ускорения -^ лежит в соприкасающейся
плоскости и потому может быть разложен на две составляющие (ком-
*) Отступление от традиции, в силу которой время обозначается буквой /,
вызвано здесь тем, что у нас эта буква использована для другой цели.

73] ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ. КРУЧЕНИЕ 293
поненты): по касательной («тангенциальное ускорение») и по главной
нормали («нормальное ускорение»). Имеем:
dr jrfr ds
dT~ ds W~"tVt
ds
где v и —-=; есть скалярная скорость движения. Следующее
дифференцирование дает
dT*=*1 d'V ~T~V dT ~l dT~\V 4s~dT~~l dTiV ds '
Но [см. (416), (418)]
(424) «-/«^-«i-iil,
так что окончательно разложение вектора -т~ принимает вид:
d?r , dv_ , v^ %
~dT*= Tf » П р '
л dv v2,
здесь t-pj? — тангенциальное, п нормальное ускорение.
Задачи.
582. Показать, что кривизна тождественно равна нулю только для прямой
линии.
583. Написать формулу для вычисления кривизны кривой, заданной
уравнениями у =/(лг), z = g (х).
584. Выразить каждый из векторов t, п, b через два остальных. Показать,
что Ъ' = [М].
585. Согласно (419) и (420), г"2 — [г'г"]г\ проверить справедливость этого
равенства непосредственно.
586. Выразить векторы t, п, Ь через г, г.
73. Формулы Френе для пространственной кривой. Кручение.
По аналогии с теорией плоских кривых можно ожидать, что
разложения векторов i', п', b' по t, п, Ь будут содержать в качестве
коэффициентов скалярные функции, играющие важную роль при
изучении пространственной кривой. Итак, займемся отысканием этих
коэффициентов, отправляясь от известной формулы разложения любого
вектора по трем единичным попарно ортогональным (например по i, j\ k):
а = (ai) i -f (aj)j + (aft) ft.
В применении к нашему случаю это даст
if = (f t)t-\- (/'n)n + {tf b)bt
(425) { n' = («'*)/+ («'я)n + (n'b) by
b' = {b't) t + (Ь'п) n + (b'b) b.

294 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ (гл. V
Из девяти скалярных произведений, стоящих коэффициентами в
правых частях, три во всяком случае равны нулю: это — расположенные
по главной диагонали произведения t?t> п'п, b'b* обращающиеся в нуль
потому, что векторы /, я, b—единичные. Что же касается
остальных шести коэффициентов, то легко видеть, что они попарно равно-
противоположны. Действительно, из условия ортогональности tn = tb=>
z=nb = 0 следует:
г n't = (nt)' — t!n= — tn\ b't={bt)f — t!bz= — tlb>
( 26) ( ъ'п = (bny —rib=z- n'b.
Таким образом, существенно различных коэффициентов в
разложениях (425) может быть только три (те, которые стоят на местах,
симметричных относительно главной диагонали, отличаются друг от
друга только знаками); на самом же деле их будет только два.
Действительно, сопоставляя (4252) с равенством [см. (424)]
заключаем, что
*'я = х, а значит [см. (426j)], я7= — х,
t'b = 0> а значит [см. (4262)], b't = 0.
Если еще введем обозначение
(427) п'Ь = о, откуда [см. (426s)] b'n = — о,
то разложения (425) примут окончательный вид:
(428)
dt
ds ~
dn
ds~~
db
ds ~
*
-%t
*
ХЯ *
* -\~ob
-an *
— «формулы Френе для пространственной кривой»; здесь [как
и в аналогичных формулах (383)] звездочками отмечено отсутствие
в разложении той или иной составляющей. Из двух скалярных
функций л = к (s)t о = о ($), участвующих в формулах Френе, одна, х,
нам уже знакома как кривизна пространственной кривой. Другую
функцию, о, определяемую равенством (427), называют
кручением (иногда «второй кривизной») кривой. Прежде чем мы
обратимся к более близкому ознакомлению с этой функцией, отметим, что
формулы (428) играют в теории пространственных кривых туже
основную роль, какая принадлежит формулам (383) в теории плоских
кривых. Так же, как и в двумерном случае, с помощью формул
•^рене (428) можно найти разложение производной -р% любого по-

73J ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ. КРУЧЕНИЕ 295
рядка по векторам t9 л, 6, причем коэффициенты разложения будут
составлены исключительно из функций х (s)y о (s) и их
производных х' (s), х" ($),..., о' ($), a"(s), ... Перенося на случай
пространственной кривой соображения, развитые в п. 67, читатель без
труда уяснит себе законность следующего утверждения: заданием
уравнений
x = x(s), а = о (s)
(«натуральные уравнения пространственной кривой») кривая
определяется с точностью до положения в
пространстве *).
Займемся теперь выяснением геометрического смысла кручения.
Третья формула Френе обнаруживает, что
|о| = |*'|,
т. е. своей абсолютной величиной кручение показывает скорость,
с какой конец вектора b движется по годографу этого вектора
(годографом будет служить некоторая кривая на сфере радиуса,
равного 1; нелишне напомнить, что в применяемой здесь
кинематической схеме предполагается, что по исходной кривой r = r(s)
точка движется равномерно, со скалярной скоростью, равной 1).
Так как вектор Ь в каждой точке кривой является единичным
нормальным для соприкасающейся плоскости, то по абсолютной
величине кручения можно судить и о том, насколько быстро
поворачивается в данном месте соприкасающаяся плоскость. В частности,
для плоской кривой соприкасающаяся плоскость во всех точках
одна и та же, b = const, b' = Oy и следовательно, кручение равно
нулю. Обратно, если кручение равно нулю тождественно, то из
третьей формулы Френе заключаем, что Ь' = О тождественно,
b = const. А так как b J_r', то 6г'=0 или, внося постоянный
множитель под знак дифференцирования, (br)' = 0, br= const —
уравнение плоскости, которому удовлетворяет радиус-вектор кривой,
значит, кривая — плоская (другой вывод см. ниже, в зад. 690).
Подобно тому как кривизна обращается в нуль (тождественно) для
прямой и только для прямой, так обращение в нуль кручения
оказывается характерным для плоской кривой. Не претендуя на точный
смысл, можно сказать, что кривизна характеризует степень уклонения
линии от прямолинейности, кручение — от
«плоскостности».
Посмотрим теперь, как выражается кручение через производные
от радиуса-вектора. Предположим сначала, что кривая отнесена
к длине дуги s. Очевидно, мы получим решение задачи, если
х) Как и в случае плоской кривой, требование аналитичности для
функций %(s) и a (s) может быть заменено более слабым. См., например.
П. К. Рашевский «Курс дифференциальной геометрии» (1938), § 33.

296
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ
[ГЛ. у
подставим в определяющую формулу (427) выражения (416), (417)
для п и Ь через г\ г".
Впрочем, можно в (427) заменить Ь через [tn\, и тогда оста-
г"
нется подставить /—г', п=-^\ получим:
или {см. (420)]
(430)
г'г'г7
\r!f'Y
Чтобы перейти к произвольному параметру, понадобится формула
преобразования 3-й производной [см. (379)]:
r -r\di) +3r Ц-^ГУГ 1/73'-
Отсюда и из (421) найдем:
(431) rVVw = ;rr(-^'
Подставляя r'r"r"\ а также [r'r"\ из (421) в (430), получим
/ du\*
после сокращения на (-т—) '
'"":)'.
(432)
Г Г Г
\rrV
в декартовых прямоугольных координатах
(4320
х у Z
х у Z
х у Z
У *
у Z
! \ Z X
-Г j .. ..
+
х у
х у \
Сделаем отсюда некоторые выводы, относящиеся к знаку
кручения. В то время как кривизну пространственной кривой мы считаем,
по определению, числом неотрицательным, кручение, как показывает
формула (432), может иметь тот или другой знак в зависимости от
того, будет ли репер г, г, г правым или левым х). Заметим, что ориен-
1) Разумеется, это не относится к плоской кривой, а также к тем
отдельным точкам неплоской, где кручение (а значит, и произведение г г г)
обращается в нуль.

73] ФОРМУЛЫ ФРЕНЕ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ КРИВОЙ. КРУЧЕНИЕ 297
тация этого репера не зависит от способа параметризации кривой
это видно из (431), где множитель (—) всегда положителен и,
следовательно, отражает какое-то геометрическое свойство
последней. Не :)ходя в подробности, мы вернемся к этому вопросу при
рассмотрении примера (см. также задачи 589, 590).
Пример. Найти кручение винтовой линии.
Решение. Если исходить из (413), то для применения формулы
(429) мы должны присоединить к выражениям для г', г",
полученных в примере 1 п. 71, еще одно—для г"':
т COSBa ( . .9 COS a s COS а л \
г = {sin , — COS — , 0 \ .
Теперь, полагая для краткости — = и, имеем [см. (429)]
а*
-sin и COS и tga
cos и sin и 0
sin и — cos и 0
COS"atg а
cos4 а а
[предоставляем читателю получить этот результат, исходя из (414)
и пользуясь (432)]. Отсюда прежде всего видно, что#винтовая линия
имеет на всем своем протяжении одно и то же кручение, как этого
и следовало ожидать (ср. пример 1 п. 72). Далее, кручение
окажется положительным или отрицательным в зависимости от того,
будет ли а<90° или > 90°, т. е. будет ли наша линия rfpaBO-
винтовой («правая нарезка») или левовинтовой («левая
нарезка»). Это проливает свет на вопрос о знаке кручения любой
кривой, так как последнюю можно в каждой ее точке
аппроксимировать с помощью винтовой линии, имеющей ту же кривизну и то
же кручение.
Задачи.
587. С помощью формул Френе написать разложения векторов г"\ г С*)
по t, п, Ь.
588. Решить заново задачу 575, пользуясь формулами Френе.
589. Показать, что две кривые, симметричные относительно некоторого
центра, имеют в соответственных точках одинаковую кривизну и равнопро-
тивоположные кручения. То же для кривых, симметричных относительно
плоскости.
590. Доказать заново теорему: «для того чтобы кривая была плоской,
необходимо и достаточно, чтобы кручение её было равно нулю во всех
точках»— исходя из того, что уравнение (/?—~ Г) Ъ = 0 является для
соприкасающейся плоскости нормальным или получается из такового ущюжением
на (—1).
591. Найти отношение векторов t :Ь\

298
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ
[ГЛ. V
592. Доказать: если т — постоянный вектор, не перпендикулярный к
главным нормалям неплоской кривой, составляющий с касательной и с
бинормалью соответственно углы <р и <|>, то
dy % sin<!>
db a sin у
Тем, что изложено в главах IV и V, далеко не ограничивается
область приложений векторного анализа к дифференциальной
геометрии. Особенно широко и разнообразно применяются векторные
методы в теории поверхностей. Но здесь мы можем только отослать
читателя к специальным курсам *).
Задачи к гл. IV и V.
593. Точка, движется по закону г =* {я sin А— a cost, bf1} {t — время, а
и b — постоянные). Найти годографы скорости и ускорения.
594. р = р(и); выразить производную от (р2)*: 1) через р и dp, 2)
через р и ар.
595. Верно ли равенство (р)2 = (р)" (подобно тому, как рп = р2)?
596. В каждой точке кривой г — г(и) дан казательный вектор Т= Т(г).
Отнести кривую к такому параметру v, чтобы r«-j- .
597. Найти градиенты функций: 1) аг-\-г, 2) (аг)г.
598. Скалярное поле на плоскости определяется равенством ? (М) = ^ ,
л;
где г и R — расстояния точки М от двух фиксированных точек. Найти 1)
линии уровня, 2) gjad ср.
599. В круге С радиуса а проведены все хорды, параллельные
определенному направлению, и на каждой хорде, как на диаметре, построена
окружность. Найти огибающую этого семейства окружностей.
600. Найти огибаюпгую семейства окружностей одинакового радиуса а,
имеющих центры на кривой r = r(s).
601. Показать, что для кривой
г ^=-сг~ {а V а2—а'2 — a1 arc cos , с2}
параметр а может быть принят за криволинейную абсциссу. Найти радиус
кривизны кривой.
602. Обосновать следующий способ построения центров кривизны для
вершин эллипса. Пусть О — центр эллипса, А — конец одной полуоси (ОА =
= а), В — конец другой (ОВ = &), С — четвертая вершина
прямоугольника ОАСВ. Из точки С опускаем перпендикуляр на АВ и продолжаем его
до пересечения с О А и ОВ соответственно в точках Р и Q. Р — центр
кривизны для вершины A, Q— для вершины В.
603*. П о д е р о й плоской кривой г ~ г (и) относительно полюса О
называется геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из О
на касательные к кривой. Составить уравнение подеры.
604*. Пусть Р — точка подеры (см. предыдущую задачу),
соответствующая точке М кривой r = r(s), так что прямая РМ касается этой кривой
х) П. К. Рашевский, Дифференциальная геометрия. ГОНТИ (1938).
В. Бляшке, Дифференциальная геометрия. ОНТИ (1935)
А. П. Норден, Дифференциальная геометрия. Учпедгиз (1948),

ЗАДАЧИ К ГЛ. IV И V
299
в точке М. Вектор Я = ОР равен компоненте вектора ОМ по нормали,
проведенной к кривой r = r (s) в точке М, следовательно, R *=*{гп)п, где л —
второй вектор репера Френе, относящегося к точке М. Найти направления
касательной и нормали к подере в точке Р. Обосновать следующий способ
построения нормали к подере в точке Р: эту точку соединяют прямой с
серединой отрезка ОМ.
605*. Если кривая R = R (и) служит поде рой относительно полюса О
для кривой г = г(и), то вторая кривая называется антиподерой первой
относительно того же полюса. Найти уравнение антиподеры кривой R = #(и).
606*. Пользуясь результатом предыдущей задачи, найти антиподеру прямой
относительно лежащей вне ее точки F.
607*. Уравнение касательной к плоской кривой может быть написано
в форме гп =р, где п — второй вектор репера Френе, относящегося к точке
касания, р — взятое с надлежащим знаком расстояние полюса от касательной.
Обозначая через а угол, образуемый касательной с некоторым постоянным
/ dtp , \
направлением, доказать, что р = —( —r-g + Р )» где р — радиус кривизны.
608*. Показать, что ф г d% — 0, где интегрирование производится по
любому замкнутому контуру.
609* Если в плоскости кривая С* катится по кривой С «без трения и
скольжения», то траектория всякой точки, жестко связанной с С* называется
ру леттой (см. конец п. 69). Построение рулетты можно описать и в
терминах чисто геометрических. Пусть кривые С и С*, как угодно
расположенные в плоскости, поставлены в соответствие по равенству криволинейных
абсцисс, т. е. точке М на С соответствует на С* такая точка Af* которая
имеет ту же криволинейную абсциссу. Уравнения обеих кривых можно
отнести к общему параметру s и написать в виде r = r(s), г* = /■*($). Пусть
р*— неподвижная точка плоскости. Для каждой точки М кривой С построим
точку Р так, чтобы она по отношению к реперу Френе (t, п) точки М
занимала то же положение, какое неподвижная точка Р* занимает по
отношению к реперу Френе (г*, л*) точки Л1*. Геометрическое место точек Р,
соответствующих различным положениям точки М на кривой С, будет рулет-
той точки Р*. Считая известными функции г (s), г* {s) (а значит, и t(s),
n{s), t*(s), п* (s)) и радиус-вектор /?* точки Р*, написать уравнение
рулетты.
610*. Пользуясь результатом предыдущей задачи, доказать: нормаль
к рулетте в точке Р проходит через соответствующую точку М кривой С
(«базиса»).
611*. При преобразовании инверсии (см. п. 33) радиусы-векторы гиг*
соответствующих друг другу точек связаны соотношением
Г — а г2 •
Считая г (а значит, и г*) функцией некоторого параметра, найти
зависимость 1) между </г* и dr> 2) между ds* и ds.
612*. (Продолжение предыдущей задачи.) Пусть t — единичный
касательный вектор к кривой, г*—такой же вектор, относящийся к
инвертированной кривой; показать, что для касательных, проведенных в двух
соответствующих в инверсии точках,
rt
г2
Пусть t и t\ — единичные касательные векторы к двум кривым в их общей
точке (г); Л t\ — такие же векторы для инвертированных кривых в точке (г*),

300
ЗАДАЧИ К ГЛ. IV И V
Показать, что t*t[ — ttx и (для плоскости) ^*х^ = — txtx. Сделать от*
сюда геометрические выводы.
/ dr\' ^
613*. Показать, что РЛ = (*^Н> гДе <*=*(*> О* а р — радиус кривизны.
Получить отсюда в новой форме уравнение эволюты.
614*. В концах плоской дуги АВ, состоящей из обыкновенных точек,
проведены в сторону вогнутости нормали АА± и ВВ^ На расстоянии /
(постоянном, меньшем, чем наименьший из радиусов кривизны вдоль дуги АВ)
проведена параллельная кривая, дуга которой, заключенная между норма-
лями ЛЛ1 и ВВЬ пусть будет А\В\. Показать, что AB — A\B\ = l (AAl9BBx)*
Пользуясь этим, убедиться в том, что разность длин параллельных овалов
равна длине окружности, вписанной в полосу между ними.
615. На кривой С взята точка М, построен соответствующий центр
кривизны К и от него отложен в определенно выбранном направлении
отрезок КР, пропорциональный (с постоянным коэффициентом
пропорциональности) радиусу кривизны кривой С в точке М. Когда точка М движется
по кривой С, то точка Р описывает другую кривую Ct. Показать, что
касательная, проведенная к кривой Q в;точке Р, проходит через точку М.
616. Через каждую точку М плоской кривой С проведена касательная
и на ней отложен отрезок MMi постоянной длины (а), так что
геометрическое место точек М\ дает новую кривую Q. Показать, что нормали к той и
другой кривой, проведенные соответственно в точках М и Ми пересекаются
в центре кривизны кривой С. Какой результат получится, если не
предполагать кривую плоской?
617*. Если векторы t, л, Ь репера Френе перенести в полюс О, то при
движении точки по кривой этот репер будет вращаться как жесткая система
около точки О. Известные соображения из кинематики твердого тела
заставляют ожидать, что существует такой вектор w (s) («вектор мгновенной
угловой скорости»), с помощью которого векторы t\ пг, Ъ' выражаются
формулами
V = М> п' = [»я], Ь = [лЬ].
Найти вектор » («вектор Дарбу»), не прибегая к кинематическим
соображениям.
618. Проверить справедливость равенств
ft"f» = *в (-^Y; Ь'Ь"Ъ'" = а* (~-Y ,
619. Кривая r = r(s) лежит на сфере радиуса д. Найти разложение
вектора г по п и Ь. Показать, что р2 + (tp')2 = я2, где х = — («радиус
кручения»).
620. Написать векторно-параметрическое уравнение соприкасающейся
плоскости.
621*. Доказать: для того чтобы кривая во всех точках составляла
постоянный угол с некоторым постоянным направлением (такая кривая
называется «линией откоса»), необходимо и достаточно, чтобы rf,rmr{*) = р.
622*. Составить уравнение соприкасающейся плоскости для кривой,
заданной уравнениями <р (х, у, z) = const, <!/(*, у, z) = const, в лежащей на
ней точке (х, у, г). Применить полученный результат к кривой л;3 + £2 = #2»

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.
1. Если векторы а и b не коллинеарны, то неравенство | а+ b |< | а\ +
+ | Ъ | вытекает из того, что в треугольнике одна сторона меньше суммы
двух других. Равенство | а+ b | = \а\ +\Ь\ имеет место в том и только
в том случае, когда направления векторов а и b совпадают.
2. Необходимо и достаточно, чтобы векторы а и b были одинаковой
длины (свойство диагонали ромба).
4. AC = m + rt, СА=( — т) + ( — п), BD = ( — m) + n, DB = m +
+ ( —я).
5. Отрезок прямой короче ломаной, проведенной между его концами.
Знак равенства имеет место в том и только в том случае, когда
направления векторов а, Ъ, с,..., I совпадают.
6. Ш + Ш+J^ + PQ + QR + RL^O. С другой стороны, LM +
+ NP+QR=='AB + 'BC + CA^O. Следовательно,
7- Рассмотреть треугольник, образуемый векторами a, b и а—b; или же
опереться на решение задачи 1, замечая, что а— Ь= а + (— Ь), a | — Ь\ =
= | bl Равенство имеет место в том и только в том случае, когда векторы
а и b имеют прямо противоположные направления.
8. Если векторы а и b сами не коллинеарны, то на них можно построить
параллелограм, диагональные векторы которого во всяком случае не
коллинеарны. Следовательно, коллинеарность векторов а + b на — b может
иметь (и действительно имеет)
место только в том случае, когда в с
векторы а и b коллинеарны. /^Ч ^"*7\
9- Пусть 04 = а, OB=b; / ^V^^/^ \
тогда ОС=а + Ь, Ш=а — Ь. /\^^\^ / \
Проведем CD || В А до пересече- £s^ 2Ч/ ^
ния с продолжением стороны О A q j» ~ £
в точке £>;тогда CD =» В А — а — b
—* тг^ -rrt Черт, к задаче 9.
и AD =: ВС = О А = а. Теперь
справедливость проверяемого тождества вытекает из того, что ОС-{-CD =3
= OD = OA + AD.
10. 1) т + п, 2) т — пу 3) т + п+р, 4) л—р, 5) т — п—р, 6) w —
— п-{-р. Поясним способ решения на одном из этих примеров. Желая
написать выражение для DB\ ищем путь, по которому должна двигаться вдоль
ребер параллелепипеда точка для того, чтобы из положения D

302
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
придти в В'. Если в качестве такого пути взять ломаную DCBB', то DB' =
= DC + 7?B + BB'; остается заметить, что 5с = т4СВ=*~-пнВВ'г=рл
К какому результату пришли бы мы, избрав в качестве пути из D в В'
ломаную DAA'B'l
11. Приводим векторы а, Ь, — а,— Ъ к общему началу. Параллелограм,
построенный на векторах (— а) и (— Ь), получается из параллелограма,
построенного на векторах а и Ь, поворотом на 180°. Отсюда заключаем,
что ( — а) + ( — Ь) = — (а-\-Ь) или — а— Ъ = — (а+ Ь).
12. B/^d + c + d —а; B(i = — a + d + c; FD = a—d; Z)S =
= rf— a— b\ DH = d—a — b — c; (Xi^c + d—a — b; CA = — a—b.
13. 1) Xa-—X& = 0; X(a — д)=0;так как X =£ 0, то a-*& = 0, a = 6,
2) Xa—,н*я — 0; (X — p.) a = 0; так как a Ф 0, то X — p = 0, X = p.
13а. Возьмем вектор г произвольно, однако так, чтобы этот вектор
имел направление, отличное от общего трем векторам a, b и а-\-Ь
(отличным от нуля по условию). Тогда, умножая обе части равенства (а +
+Ь) + с««а+(& + с) на X и замечая, что в сделанных предположениях а + Ьфс,
афЬ-\- с, находим последовательно: X (а + W + Х£=Ха+Х (&+г)=Ха+Х&+>^.
откуда X (а + Ь) = Ха + ХЬ.
14. 1) Первый способ. Полагая АВ = с, ВС» а. С4 = &, имеем:
ЛЛ?==1(ЛВ+1С) = ^^, ВЙ«±^£, CP-*^JLf
откуда
с—b . а —с , &—а л
/Ш + #^+№ =
Второй способ. AM = ЛВ + ВЛ1 = с 4* у аналогично
В^=а + А, CP = & + ^,
откуда
АМ + BN+ СР = -|(а + Ь + с) = 0,
так как
2) Требуется доказать: если из конца первой медианы AM проведем
отрезок MQ, по длине и направлению совпадающий со второй медианой ВЫ,
а затем из конца Q этого отрезка — новый отрезок, по длине и
направлению совпадающий с третьей медианой СР> то вернемся к началу А первой
медианы. Для доказательства проведем отрезки РЫ, NQ, QC и QA. В силу
известной .теоремы о средней линии треугольника РЫ#ВМ; кроме того,
из М0#ВЫ заключаем, что Ы(}# ВМ и, следовательно, kQ #РЫ.
Последнее соотношение означает, что точки Р, Ы, Q лежат на одной прямой,
причем Ы есть середина отрезка PQ. Четырехугольник PCQA, в котором
диагонали делят друг друга пополам, есть параллелограм, и, следовательно,
QA # СР, причем направление от Q к А совпадает с направлением от С
к Р. Этим теорема доказана.
15. OD+^ + ^ = y(^ + ^) + ^(^+OC) + -g(OC + ^):=
*=ОА+7)В+ОС.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 303
2 1 ► „
16. 1) у; 2) — y ; 3) не имеет смысла, так как векторы О А и ОВ
не коллинеарны.
17. Пусть _- = *,-- = р., тогда а = М>; Ь = р£, откуда а = Х(|хс)=а
^(Хи.)^ v = xl, = ^-. —.
18. Отношение = 4.
19. Отношение подобия = 3 j 4.
20. m —л — -jp; р=:2 (л — т).
21. Построив параллелограм DMCN (DM || /4С, DjV || £С), имеем (по
—► 3
теореме о рассечении сторон угла параллельными секущими): СМ = — а*
о
CN=-£- b, откуда CD = -^ а + -$• Ь. В общем случае CD = —L а+
о о о а -J- р
а t Ва+а&
1 о = .
22. Имеем (см. ответы к задаче 10) АА' «р, D'B^m— п—р, DBf —
— т — п-\~р. Если верно, что эти три вектора компланарны, то из
предыдущих соотношений можно исключить т, п нр. Действительно, произведя
исключение, находим: DBr — DrB — 2АД'=0 (если считать известным, что
диагонали параллелепипеда пересекаются, то компланарность вытекает уже
из того, что векторы DBf и D'B лежат в одной плоскости, а ААГ
параллелен этой плоскости).
28. Если О —точка пересечения отрезков ВВГ и СС\ то ОВ:В'В~
= (Р+1)-(? + Т+1) или OB: В'0 = W+l):r, аналогично ОС: 00 =
= (Т + 1):Р- _^
24. Исключая из четырех соотношений АС — т-\-п-\-р, А'С=*т +
+ п— р, DB' = т — п-{-р, DB^m — n три вектора т, п и р, найдем:
АС' — аЪ — 2DB' + 2DB = 0.
25. Проектируя точку М параллельно каждому из векторов т> п, р на
плоскость двух других векторов, найдем:
2Ш*=— -^т + ^п + р.
25а. Примем какую-нибудь точку за полюс, и пусть Г\, г2, г3 — радиусы-
векторы точек А, В, С; тогда радиусы-векторы точек М% Nt Р выразятся
соответственно через
Ъ+П r8 + ri ri + r2
2 , 2 , 2 '
Имеем
i4Al «г^ — Гд = s гх;

304
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
аналогично
откуда
Ш=ГЛ+±1--гь CP = t\+l±
26. 1) Полагая в (31) гх— г^ + а, г^ =*= /\j + а, получим ЛХЛ2 = г'>—г[.
2) Полагая в (39) г = г' -\- а, г^ — г\ -\- а,..., гп = г'п + а, будем иметь:
Н (r'i + «) + ^2 (г2 + а) + -.. + **„ (^п + а)
г' + а^
^1Г1 + Р"2Г2 + - • • "Г .апГ» + (К-1 + ^2 + ■ • ■ + У-п) а
+ а,
откуда
.ui + :а2 + • • • + н-п
/■' =3 ; . j
Hi+14 + ••• +Ы
27- Если Гх, г2, г3 — радиусы-векторы вершин, то (см. «Введение», стр. 16)
радиус-вектор точки пересечения медиан равен х ••* -. Такое же выра-
жение получится для г# в формуле (38), если положим там ^ — fx2 = р3 = ц
и сократим дробь на ц.
28. 1) Достаточно показать, что два из трех векторов А±АЪ АЛ3> А-6АХ
коллинеарны. Например, А\А^ — г2 — гъ А*АЪ = г3— г2; заменяя здесь г± его
выражением через г2 и г3, полученным из данной в условии зависимости
/ 5r2—3r3\ т** 5r2 —Зг3 3 . ч 3 ~г\
/ П = ^ ) ' имеем ЛИ* = г2 g— — 2* ^Гз ~~ г^ ^ "2 2 3' так
что Л^ и Ло^з действительно коллинеарны. Быстрее, но более искусственным
путем придем к тому же результату, представляя равенство 2г\ — 5г2 + Зг3 = 0
в виде 2 {Г\ — г2) — 3 (л> — г3) = 0. 2) Полученное выше выражение для /\
к-. о-
через г2 и г3 записываем [сообразуясь с (35)] в виде г± = —^—^—-, откуда
О —■ о
видно, что точка Аг делит отрезок AnAd в отношении (— 3) :5. Так же найдем,
что точки Л2 и Л3 делят соответственно отрезки А^А^ и Я2ЛХ в отношениях 3: 2
и (— 2): б/Заметим, что каждым из этих результатов вновь доказывается
прямолинейность расположения точек Аъ Л2, Л3.
29. Воспользоваться формулой (37).
30- Так как а = 4ег — 2#2, то — а =*= — 4в\ + 2tf2, За = 12^ - (5е2-,
координаты векторов —а и За суть соответственно —4, 2 и 12, '—ф.
31. 1) *i + e2; 2) е2— ег; 3) 2е1--~<?2.
32. 1) 1, 0, 0; 2) 0, 1. 0; 3) 0, 0, l/
33. & = 3а.
34. а+Ь-г-с = {0,-0}=0.
35. СЛ = { — 3, 2, 2}.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
305
36. Вторая координата вектора МЫ равна 0.
37. { — 8,2}. 38* См. (55). 39. См. (54).
40. См. (56). 41. m = i-c— -|&.
42. {11. — 2, -2} = -5. { — 3,0, 2}-2{2, 1, —4}.
43. 1) См. (58); хв = —4, ув = 6. 2) Достаточно убедиться, что
векторы АВ и О А = {2, —3} (О — начало координат) коллинеарны.
44. В А = {9, 3}; таковы же координаты вектора CD, начало которого
находится в точке С( — 4,—3) и, следовательно, конец (ср. задачу 43)
в точке D (5, 0). Поверка дает для обеих середин координаты ( — 1, — ].
45. ЛВ=--|сВ.
46. Векторы АВ = {9, 3, 6} и АС = {6, 2, 4} коллинеарны.
47. Векторы АВ и CD коллинеарны (ср. задачу 46) и не лежат на одной
прямой.
48. А^А2 = { — 3, 1,-2} и т. д. Применить (56).
49. Зх-t-2_у — 1=0; 5* —3_у — 11 =0; 2л; —5_у + 26 = 0 [см. (61 bis)J.
50. х=:3+2л, _у=1—2Х, z = 2 + 3X или £^«^~J-==i^.
51. г = /4 + X (r3 + г4 — 2г2). 52. г = )гь
53. *-*1 = .У-.У1
54. г = Xri + №•
55. г = \ех+ ^2; * = X, у = |i, 2 = 0.
56. 1) л: = 4Х + 2ц — 1,.У = — X —4;j. + 2, * = — 2Х —ц; л' + 2* + 1=0;
2) д: = 4Х + 3{л — l,j/ = — А + 5р + 2,* = —2а + 2ц;8(.*-!- i) — 14 0> —2)+
-f 23z = 0; 3) x = 4X + 2(x + 4, .y = — X — 4^ + 3, z = —2X —ji+1; *+2z —
— 6 = 01).
57. Сопоставить данные в п. 19 определения 1) равенства двух
векторов и 2) сложения.
58. 2 ОМ.
59. Если через М обозначим точку пересечения диагоналей, то
-^0— =ОМ = МС, —2~ =*АМ = МВ;
проверяемые тождества означают, что
ОА + АМ==ОМ, (Ж + МВ==ОВ.
60. Данное в условии равенство означает, что диагонали параллело-
грама — равной длины. Этим свойством характеризуется прямоугольник;
векторы а и Ь должны быть взаимно перпендикулярны.
61. Имеем (см. решение задачи 10): т-\- п + р — АО, т + п — р = А'С,
m+p — n = DB't n+p — m = BD'. Условиями АС'=*А'С и DB' = BD'
г) В качестве параметрических уравнений читатель может получить не те,
которые здесь даны. Расхождение может объясняться иным выбором
параметров.
20 Зак. 1336. Дубнов, ч. 1.

306
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
параллелепипед характеризуется как прямой, у которого ребро АА'
перпендикулярно к плоскости AECD, т. е. вектор^ перпендикулярен к каждому
из векторов т и л. 2) Условиями АО = А1 С = DB' = BD' параллелепипед
характеризуется как прямоугольный, т. е. векторы т, п, ирпопарно
перпендикулярны.
62. ОС = Ь — a, OD^ — а, ОЕ = —Ь, ОЕ=а-Ь.
63. Равнодействующая имеет величину F и делит пополам угол (F% F$)
64. OCk = *H (b — a) = * — (k =» 1, 2, ..., n — 1).
n n
65. 1) Первый способ. С помощью векторов т, п, р, q могут быть
выражены «диагональные» векторы четырехугольника: АС = т + п, BD =
= л+р. Ищем теперь путь, ведущий из Е в F вдоль сторон и диагоналей
четырехугольника; беря в качестве такого пути ломаную ECDF> имеем:
Второе из выражений, указанных в условии, получим проще всего,
замечая, что m + n+p + q — 0, т~{-р = — (я + д).
Второй способ. r£=-g(rA-\-r0)t Гр=~2(гв + гпУ,ЕЕ=Гр—гЕ =
= 4 (/л + rD-rA -гс) «1 (ЛЯ + CD) = 1 (СД + АО).
2) Если теперь предположим точки А В, С, D не лежащими в одной
плоскости и проведем отрезки, соединяющие .зги точки попарно, то получим
теорему, относящуюся к тетраэдру A BCD: вектор, идущий от середины
какого-нибудь ребра (и) тетраэдра к середине противоположного ребра (v),
равен полусумме векторов, совпадающих с двумя другими противоположными
ребрами тетраэдра и так направленных, чтобы начала этих векторов служили
крайними точками реб*ра н, а концы — крайними точками ребра v.
Доказательство ничем не будет отличаться от данного выше для четырехугольника, ибо
в этом последнем доказательстве мы нигде не опирались на то, что точки
А, В, Cf D лежат в одной плоскости.
66. 1) Пусть Aifa), Л2(г2), Az (г3), Л4 (г4) — вершины четырехугольника.
Обозначим середины отрезков
А\Аъ АгАь, А$А4, А±АЬ AXA$> АЛ*
соответственно через
М, N, Р, Q, R, S.
Требуется доказать, что середины отрезков MP, NQ, /?S совпадают.
Имеем:
Г„ Г1 + Г2 * П + fj .
3f = —-—, гР = —2— »
радиус-вектор середины отрезка MP есть
1 (г _l г \ - ri + Го + г8 + г4
"2 "и "г гр) 4 '
Такие же выражения мы получим для радиусов-векторов середин отрезков IVQ
и PS (что можно предвидеть заранее, если проследить ход предыдущего рас-
оуждения и обратить внимание на симметричность окончательного результата

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 307
относительно индексов 1, 2, 3, 4; ср. векторное доказательство теоремы о
медианах треугольника во «Введении»),
2) Так как то обстоятельство, что точки А\, Av Л3, А± лежат в одной
плоскости, не играло никакой роли в наших рассуждениях, то последние
приводят к следующей теореме относительно тетраэдра: если середину каждого
ребра тетраэдра соединим с серединой противоположного ребра, то получим
три отрезка, пересекающихся в одной точке.
Замечание. При решении этой задачи мы предполагали полюс
выбранным произвольно. Если бы вместо этого мы поместили полюс в одну из
вершин четырехугольника (тетраэдра), то выиграли бы в смысле простоты записи
(например, при совпадении полюса с А± в наших выкладках не участвовал бы
радиус-вектор гь равный 0), но проиграли бы в смысле симметрии. При
решении подобных задач часто приходится делать выбор между этими двумя
конкурирующими выгодами.
67. При обозначениях, рекомендованных в указании,
отсюда
АМ = ~Ь, ЛЛГ = 4(а + Ь);
5 о ч ' "
МЫ = AN ~ AM = 1 (а + Ъ) — \ Ь = -5а "
6 v 1 ' 5 30
NB = АВ — AN= а- -~ (а+ Ъ) = -5а~ Ь
и, следовательно, NB = 5MN. Последнее равенство обнаруживает, что 1) точки
М, N, В лежат на одной прямой и 2) отрезок MB делится точкой N в
отношении 1:5. В общем случае
j*_na^b f^^na^b ^.^=1:*.
л(л + 1) л + 1
«« 77tr А$ + *DC
69. САХ = гг — г, СА2 = г2 — г, ..., САп = гп — г.
Из (rt—r) + (r2—r) f ... + (rn — r) = 0 находим: г = п + ^+-" + г».
То же выражение получим для г в формуле (39), если положим там (aj = (/.«> =
= • • • — IV
70. 1) Выразить каждый вектор через радиусы-векторы его крайних точек.
2) Ни та ни другая перестановка не изменяет суммы.
71. 1) Полагая в (39) п = 4, ^ = (х2 — (л3 = ^4, получим для радиуса-вектора
точки С выражение г^= . 3- -*. 2) Вершине Лх противолежит грань
/42w43/t4, центроид Сх которой имеет радиусом-вектором (см. решение
задачи 27) г J* 4 . Имея в виду проверить прямолинейность расположения
3
точек Аи С и Q, или, что то же, коллинеарность векторов АгС и CQ, пишем:
АС - гс — гх = ^ г1 4 '
r<i 4 г3 4- г4 гг 4- ^2 + Ъ 4- П ъ + Гъ + п—Згг
20*
сс1 — гС—'0 ж § 4 "" 12"

308
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
откуда АгС— ЪССХ. Последнее равенство обнаруживает, что точки Аи С, Ct
лежат на одной прямой, причем отрезок АхСх делится точкой С в отношении
3* 1. К такому же результату придем, если вместо вершины А\ будем исходить
из любой другой вершины: Л2 или Л3 или Л4. (В курсах механики
доказывается, что точка С служит центроидом тетраэдра А^А^А^А^)
"* 3 11Т^ + "Т+Г" + Т+7Г;^ 3^(Г1 + Г2 + Гз)-
73 Гз "^~ Г* ~^~ * * * *^~ Гп =
-н
k т\) п — k (
При л = 3, k = 2 получаем результат задачи 27; при л = 4, & = 1 — результат
задачи 71; при п = 4, Л = 2 — результат задачи 66.
74. Если Ах (Гх), Л2 (rj, Л3 (г8) суть вершины описанного треугольника,
то вершины вписанных находятся в точках
(U+5±X,(r1-rj). (-Ц^±Х1(г2-г3)). (u+SiX.Cr,-^)).
где верхние знаки соответствуют одному треугольнику, нижние—другому.
Центроиды вписанных треугольников находятся в точках
(гх + г2 + гг , „\ м ^-Ьг^ + гз
где
,- <-«) ■ (Ч^-).
и = "3 tXs (Г1 ~~ Г^ + Xl (Гг "~ Гв) + Х* <г« ~~г1»'
Остается заметить, что (— J-^—M есть центроид описанного треугольника.
75. Упомянутые центроиды имеют радиусами-векторами соответственно:
'- 4 ' ^~ 4(1 +А)
откуда
r,,_ri + r3+(l+2A)(/-2 + r<)
.... г" + Аг'
1 + Ь
i4ji4a \ АхАг/ АхАъ
1в. 5^ = 4^1, откуда re = 4^r1+(l-4^)rS=^i'-i +
А-А
2Л1
77. Полагая О А' = а, ОЯ' = Ъ> ОС = с, ОА =* аа, ОВ = р*, ОС « ?г,
имеем аа + §Ь = f с. А так как концы векторов а, Ь, с лежат на одной
прямой, то (см. задачу 29) о + Р = 7-
78» На основании результата предыдущей задачи провести
доказательство от п к п +1.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
309
79. Необходимо и достаточно, чтобы векторы А+Аи ААА* А±АЪ были
компланарны. В условии компланарности at (rt — r4) + а2 (г2 — г4)+<*8 to — г4)=0
полагаем а4 = — at — о^ — а8.
80* Разлагаем вектор г — г$ по двум (неколлинеарн*ым<) п —г8, г2 — г»
и в равенстве г — г8 = S (/*i — г3) -+- t] (г2 — г8) полагаем 1 — S — tj = С.
81* Разложение вектора гк по векторам rv га, г3 можно осуществить
в два приема: разложить вектор гк по гх и г[ {г[ — радиус-вектор точки А[),
затем разложить гх по г2 и г3. Уже при выполнении первого из этих разло-
КА\
жений определится коэффициент с при Г\ (см. задачу 76): 6 = ——. Анало-
AVI' AVi'
гично (при обозначениях предыдущей задачи) tj = —£-, С = »*- в Остается
А2А2 А^А^
заметить (см. предыдущую задачу), что ^ + *1+ С = 1.
КЛ' КА' КА' КА'
АХАХ АгА.2 АгАв ^44
88* Пусть в трапеции ABCD {АВ || CD) Q — точка пересечения
диагоналей АС и BD, Р — точка пересечения боковых сторон ВС и AD. Примем Р
за полюс и положим РА = а> РВ = b% PD = Ха, тогда PC = Kb. Если точка Q
делит в отношении £:1 отрезок СА и в отношении tj : 1 отрезок DB, то
Xfr + U _Хд+т,6
откуда
X ч 6 X
1 -ье г-ь-»)* i + e-i+v
Решая эти уравнения относительно 5 и *), находим 5 = *| = X, откуда
Таким образом, вектор rq=PQ\\a+b, т. е. совпадает по налравлению
с диагональю параллелограма, построенного на РА и РВ (или на PD и PC).
Эта диагональ делит отрезки АВ и CD пополам.
84. Если за полюс принята вершина О полной пирамиды (т. е. точка
пересечения боковых ребер) и ОА{ = г€, ОА'{ = Х/\ (/= 1, 2, 3), то три
прямые пересекаются в точке с радиусом-вектором _л4Т. ^2 (г1+г2 + гз)« [У к а~
з а н и е. Для радиуса-вектора точки пересечения диагоналей боковой грани
можно воспользоваться результатом предыдущей задачи.]
85. Полагая АХА^ = а, А2А^ = Ь, АъА^=с, Л4>45=Ха, AbAtf=y.bt АЬА± зс ые
и замечая, что сумма всех векторов равна 0, пишем: (1+Х)а + 0 + $& +
+ (1 -{-v) с = 0. Так как векторы о, Ь, с не компланарны (иначе
шестиугольник был бы плоским), то X = jx = v = — 1, т. е. А^А^ = — А^АЬ = AbAit
А2АЛ = АьАь и l д. Остается вспомнить сказанное в п. 3 о равенстве
векторов (признак 3-й).

310 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
86. Первый способ.
О + ^2 _ _ г2 + № /"з + vn
откуда
- » д. ' — * - • -л I г' а •
Г£_ l-f-A • Га—Г+7"' г»-т+т
7м - Г2 + № Г1 -f >Г8
1 + V 1 + р.
Условие коллинеарности векторов /.Л1 и МЫ:
г2 + № /i + ^2__ Лз + ^i r2 + ixr3^
1 + 1* * + *
= <о ^ + Vrl __ Г2 + РГЛ
Vi+v i + hJ'
Полагая здесь г3 = 0 (т. е. помещая для упрощения выкладки полюс в
вершину ДО и сравнивая коэффициенты при векторах Г\ и г2 (которые теперь
не могут быть коллинеарны), будем иметь:
1 v 1 X 1
1J-A 1+v' 1+JA 1+Х 1+(Л*
Условие совместности этих двух уравнений (получается путем
исключения ш) есть Xixv = — 1.
Второй способ. Условие прямолинейного расположения точек L,
М, N есть (см. задачу 29):
() 1+Х ^Р 1+р. +Т 1+N "'
при
(**) а + Р + Т = 0.
Полагая, для упрощения, в (*) га = О и приравнивая нулю коэффициенты
при гх и /v, имеем:
1 I V /ч X 1
T+X^l + X4^' i + x^i+ц.*
Результат исключения а, р, ? из (**) и этих Двух уравнений есть
XjTy = 1.
87. Имеем:
при
О a + P + ir + S = 0.
Полагаем в (*) г4 = 0; приравниваем нулю коэффициенты при векторах
/*i, г2, г3 (не компланарных]); исключая а, р, т, 5 из полученных трех
уравнений и (**). найдем: Xji.v7c= 1.
88- Пусть гъ г2, г3, г4 — соответственно радиусы-векторы точек Рп, Р18,
Раь Р^; согласно условию радиусы-векторы точек Р12 и Р3з суть
Г1 + АГ2 Ги + АГ4
~ и
1 + А 1 + А

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 311
Вводя для интересующих нас отношений обозначения
имеем:
р ^1 + ^3\ /П + Сгл 1+Х "^ 1 + Х
С другой стороны, радиус-вектор точки Яи> делящей отрезок ^21^23
в отношении jx: 1, равен
П + Sra Г2 + Сг4
1 + 6 +р> 1+С
1+1*
Соединяя знаком равенства два выражения для радиуса-вектора точки Я^.
получим соотношение между гь г2, г3, г4, которое упростится, если полюс
возьмем в одной из исходных четырех точек. Полагая, например, г* = 0, имеем
П + */» + т,г3 _0 + fo , У-Ъ
(i + x)(i + t|) в-(1'+1Г(Г+^ ^ (1 + 0(1+ rt '
Так как теперь векторы rit г2, г3 не компланарны (в противном случае
вся фигура была бы плоской), то
1 _ 1 X _ ц
U + *)0 + l) ~~ (l + 6)d + rt ' (1 + л)(1 + ч)"~ (1 + 0(1 + 1*) '
Ч 6
(l+*)(l + i)) = (1+5)0+{х) '
откуда
7) = £ = С и ц = Х.
89. Так как вершина А"г лежит одновременно на прямых А2А!Л и A$AV то
Сопоставление коэффициентов при ri, г2, Гз (полюс можно предполагать
лежащим вне плоскости треугольника) дает три уравнения, из которых любые
два достаточны для определения £ или г\. Например, получаем
С 1+А + Х*'
откуда
»__ r8 + Xri+ XV3
Л —
'* ~~ 1 + Х + Х* •
Совершенно так же получим (круговая перестановка индексов)
* — П+>^2 + ^3 r" _ /2 + Xl^+XV!
ra i + x + х* ~' 3 i+i + x« •
90. Поместим полюс в точку Яп и положим:
г12 = а, па = >-«» /«si — Ь, Ли =* ^&;
тогда
г33 = Ь + Ха, г& = а + ;^&.

812 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Смотря по тому, лежит ли точка на прямой Р^Р^г или на ^13^31» или на
Р&Р&, радиус-вектор ее имеет вид:
8а+(1—6)6, t|Xa + (l —i)jifc С(* + Ха) + (1—С)(а+ц*).
Речь идет о том, совместны ли два векторных уравнения:
^+(1-5)6 = ^0 + 0—^i)^ = С (6+ Xa) + (1 — C)(a+^)
с тремя неизвестными 5, у\, С. Сопоставление коэффициентов при а и Ь дает
для этих трех неизвестных четыре скалярных уравнения:
g = xif| = xc+i—с, 1—e«p(i—^«с+н-о—с),
решая которые обнаруживаем их совместность при X Ф ц:
Если же X = р., то векторы />i2P2i = b— а, Р^Рц = X (6 — а), ЯззЛю =
= (X — 1) (Ъ — а) коллинеарны.
91. Смотря по тому, лежит ли точка на прямой Афг или на Афъ или
на А%Вд, радиус-вектор ее имеет вид:
^ + Vt+(1_Wri. 6l^±v. + (,_ef,^ e,£i+^+(i-yr,
Требование, чтобы эти три вектора совпали, приводит к двум векторным
уравнениям с тремя неизвестными £и с2, &3. Полагая ради упрощения гх = О,
имеем для этих трех неизвестных четыре уравнения:
_s1 = i^2=__e3; ——^^—^e^i-.^
Исключая ci, £2, $г> получим условие совместности: Х1Х2Х8 = 1; при
соблюдении этого условия уравнения удовлетворяются значениями
= Х2Х3+1 р Х8Хх+1 . XtX2 + l
1 Х2Х3+Х2+Г *2 XyXj + Хз+Г 3 X^ + Xj+Г
Примечание. Доказательство прямой теоремы Чевы может быть
проведено проще, если принять за полюс точку О пересечения прямых Афь
А2В2, АЪВЪ. Пусть гь г>, г3 радиусы-векторы точек Аъ А2, Л3; тогда гв —
Го + Х^з = а»!/*!.
Аналогично
Г3 + X2rj = со2Г2, Гг + Х3Г3 = й)3Г3.
Исключая из трех последних уравнений Г\% найдем:
Г2 + h^ — ш1 (w3r3 — Х3г2) и г3 + Х2 (и^Гь — Х3г2) » ш2г?,
откуда
1 = Ш^з, Xj = (Dj^g, 1 + Х20>3 = 0.
Исключая отсюда <dx, ш3, получим X^Xj^l.
92. Векторы А?^ {22, 8} и ВС = {28,10} не коллинеарны, ибо ~ =£ J* ;
следовательно, точки И, В, С не лежат на одной прямой. Чертеж, сделанный

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
313
без особой тщательности, может создать впечатление, будто /4, В и С лежат
на одной прямой.
93- При обозначениях, указанных на чертеже, имеем:
А'В> = {- 7, 1}; rA~rc, + CA = rc, + #В' = {3, 2} + {-7.1} = {- 4,3};
гв=г^+С7В = гс,-Л7В' = {3,2}-{-7,1} = {10,1}.
Далее,
СМ':={3, ~4};гс^гв, + ^=гв, + СМ^- <— 1. —1> -h <3, -4} »
= {2, -5}.
Итак, вершины треугольника суть А (—4, 3), В (10, 1), С (2, —5).
94. 'АВ = DC = {7, 3, — 2}.
95. В обозначениях задачи 10 имеем:
т = АВ=*{—\, 4, 3},
Л = л5 = {4, 1, 0},
р = АА' = {2, 3, - 1}.
Отсюда
гс=гл + т = {6, 0, 1} +
+ {-1,4,3} ={5, 4, 4};
г^-гр+р» {6,0. 1} +
+ {2, 3, ~1} = {8, 3,0} и т.д.
Ответ. С (5, 4, 4), D'(8, 3, 0), С (7, 7, 3), В' (3, 6, 3).
96. Л£ = {— 6, 4, —2}, CD = {9, —6, 3}, причем ^ == :r§ == ^ •
97. Достаточно удостовериться в том, что векторы АВ = {— 1, 2, 3} и
ВС =» {— 2, 4, 6} коллинеарны.
4
Черт, к задаче 93.
98.
99.
*р—*i ...Уо—Уг *ь — *\
= 0; см. (56) п. 16.
101.
*2~*1 У2—У1 Zi—2l
\Хх — Xо ДС2 "*"' *0 -*3 — **0 I
bi— .Уо .У2 — .У0 .Уз—.Уо
I «1 — Z0 Z2 — Z0 Za — 70 J
100. 1) r=rx + a (a—rj + p&; 2)r=a + ab + $b'\ 3) r=a+a (a— а')+Щ
всюду a, p — параметры.
102. 1) Вектор а совпадает с диагональю прямоугольного
параллелепипеда, построенного на векторах Xi, Yj, Zk, длины которых суть \Х\, \Y\, \Z\;
2) применить (58) п. 17.
103. Векторы — и -г- суть единичные; параллелограм, построенный на
а . Ь
этих векторах, есть ромб с диагональным вектором Ь тт •
104. 1)^(/+Д

314 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
105. 1) alPQ; 2) a\\PQ.
107. Смотря по тому, ставится ли задача для пространства или для
плоскости, находим плоскость или прямую, — перпендикулярные в точке Р к
вектору ОР = рп*.
108. Имеем А^Ач + A«AS + • • • + АП^АП =* АгАп; если 4» A'v ..., Л',г
проекции точек Лъ Л2, ..., Ап на прямую Р(?, то (не прибегая даже к
чертежу) можем написать ^^2 + ^а'4з+ ••• + Л»-И« = A'iAn- 2) Для ^ре-
хода воспользуемся формулой пр АВ = (комп ЛЯ) :tf, где /—единичный
вектор оси проекций; затем — равенством типа (19) п. 10. Получим (79) п. 23.
109. 1) Привести коллинеарные векторы к общему началу и
воспользоваться теоремой о пропорциональности отрезков на двух прямых,
рассекаемых параллельными плоскостями. 2) См. указание к решению 2-й части
предыдущей задачи. Пользуясь равенством (18) п. 10, получим: если а||6 (=£0),
то а: b = пр а: пр Ь.
110. 120°.
111. Из пр (а+ Ъ + с + d) = 0 следует, что а + Ь + с4* d
перпендикулярен к оси (включая сюда и допущение, что а + б + с + ^^О).
,,2-4
113. Согласно (81) npf (Ко) = |Ха| cos (iXa) — IX | a cos (/До). Если Х>0,
то |Х | = X, (/, Ха) = (/, с), и предыдущее равенство принимает вид: прДХа) =
= Ха cos (/, а), а так как а • cos (i, а) = npz а, то пр, (Ха) = X пр/ а. Если теперь
предположим Х<0, то | X | = — X, (/,Ха) = 180° — (I, a), cos (/,Ха)=— cos (/,а),
и снова приходим к (80). Наконец, в случае X = 0 справедливость (80)
очевидна.
114. а — Ух* 4- У2 -4- Z2 (см. задачу 102), следовательно, cos а =:
X
*= -=====г- И Т. Д.
YXb+yz + Z*
115. 60°, 120°, 45°.
116. По формулам (84), (85) и первым двум из (58) п. 17 находим:
\ав\ =Уй^1)Ч(^-л)2; 1*аН^*7в
117. ЛБ2 » 41, ВС2 = 10 1, ЛС2 = 51 1, откуда ЛС* « АВ* + ВО;
4 4
2)>Й = {5,~ 4}, ВС =| — 2, — 2~|; так как [см. (87)] 5.( —2) + ( — 4) X
х( — 2у) = 0,то ЛВС = 90Э.
118. 1) ЛЯ = {5,3}, AD = { — 3. 5}, откуда заключаем, что AD получается
из АВ поворотом на 90°. Остается еще заметить, что DC = {5, 3} = АВ.
2) ЛС = {2, 8}, BD = { — 8, 2}, откуда заключаем, что диагонали
четырехугольника имеют равные длины и взаимно перпендикулярны. Теперь
достаточно проверить, что отрезки АС и BD имеют общую середину.
119. % Г'
IIS а. При отражении от оси Ох первая координата вектора сохраняется,
вторая меняет знак. При отражении от биссектрисы угла хиу координаты

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
315
вектора обмениваются местами. Таким образом, вектор {X, У) переходит
сначала в {X, — К}, а затем в { — Г, X}.
120. См. (90), где l>cos (£&)> —К
121. 1) (а&)2 = ада cos2 а < аЧ'1 = а2&2; 2) знак равенства — при а[|6.
122. cos а = —=: в общем случае cos а = -?- = —_f _t
у 35 ab yftf уь%
l28.sina = ^^pi; tgfl=l^^W .
Уа2 уТ2 s ab '
Относительно вещественности радикала см. задачу 121.
124. AB-AD = AB-AD cos BAD, СВ-CD == СВ. CD cos DC В. Остается
заметить, что BAD-\-DCB = 180°, и следовательно, cos BAD = — cos DCB.
125. CA-CB = -£ (a2 -f- 62 — с2) — следствие из формулы
c2 = a2-|-&2 —2a&cosC,
126. Абсолютная величина потока равна объему цилиндра (вообще
говоря наклонного), основанием которого служит площадка а, а образующими —
векторы Vy проведенные из точек контура С Высота этого цилиндра равна
ГпрлФ |, объем равен a | прм v\. Поток (с правильным знаком) равен
скалярному произведению anv ( = I -п\ пр„ v — a прп v, причем прп г>>0 или <0,
в зависимости от того, будет ли(Ф,я)<90° или > 90°).
127. Если k — единичный вектор оси проекций, то (a+b+c+... )k—
—ak + bk-\-ck-\~... и (la) k = l(ak).
128. 1) (ai)i + (ak)k или a-(aj)j; 2) a — -i- {a (i + J)} (i + J) (см.
задачу 104).
129. 1) {a — (ai)f}i=ai — (а1)Р = Ъ> ибо **=1; 2) a — (ai)i есть
компонента вектора а в плоскости, перпендикулярной к / (см. п. 26).
130. {a (be) — Ъ (ас)} с — (ас) (Ъс) — (be) (ас) = 0. Геометрический смысл
полученного результата будет выяснен впоследствии [п. 44 (249)].
131. Признаком перпендикулярности двух векторов служит обращение
в нуль их скалярного произведения. Так как (а + 6) (а — Ь) = а2 — б2, то
здесь условие перпендикулярности сводится к а = Ь (векторы а и b имеют
одинаковую длину). Геометрически это означает: для того чтобы диагонали
параллелограма были взаимно перпендикулярны, необходимо и достаточно,
чтобы этот параллелограм был ромбом.
132. Из (a + b)2 = (a — by- следует аЬ — 0 и обратно. Снова приходим
к условию а\_Ь.
133. Проверка — раскрытием скобок. Относительно геометрического
смысла см. задачу 125.
134. Если Jti, х2, jc3 — три (некомпланарных) вектора, для которых
ахг = Ьхь ах* — bx%, ах6 = Ьж3, то каждый из векторов xlf x^> хА
перпендикулярен к a — b. Если бы а — b был отличен от нуля, то векторы xlt хг, ж8,
перпендикулярные к a — b, были бы компланарны, вопреки предположению.
135. Равенство, во всяком случае, имеет место при ab *=Ьс=^ 0. Если
же произведения ab и be не обращаются одновременно в нуль, то из а(Ьг) =
— (аЬ)с вытекает коллинеарность векторов а и с. Пусть, например, а = Хс;
подставляя это значение а в испытуемое равенство, получаем тождество.
Итак, равенство a (be) = (ab) с имеет место в двух и только в двух случаях:
1) если вектор b перпендикулярен к каждому из векторов а и с; 2) если
векторы а и с коллинеарны.

316 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
136. В указанных равенствах содержатся две теоремы механики!
1. Если точка подвергается смещению s, находясь под действием
нескольких постоянных сил Fb F<>, ..., Fn, то работа равнодействующей этих сил
равна сумме (алгебраической) работ составляющих.
2. Если точка, находящаяся под действием постоянной силы F,
подвергается смещению s, слагающемуся из нескольких смещений Si, $2, •••» sn* то
работа этой силы при смещении s равна сумме (алгебраической) работ той
же силы при составляющих смещениях.
137. Умножить (73) по очереди на /, на / и на Л, принимая во
внимание, что i2 =/ = £2 = 1, ij — jk = ki = 0.
138. Пусть а, Ь, г — векторы, которыми изображаются соответственно
составляющие и равнодействующая. Известны а, Ь и (си Ь) =* ?• Из г = а + Ъ
находим г2 = a2 -f- ^2 + 2а& cos f. В случае трех составляющих,
изображаемых векторами а, &, с, причем (Ъ,с) = а, (с,а) = $> (а,6)=у»имеем:г2=д2+
+ б2 + £2 + 2д& cos 7 4- 2bc cos а + 2са cos p.
139. Левая часть может быть представлена в виде *(*+ /1 + *2 + /з)»
„ * я * vf\ *\
где *, /х, % /3—единичные векторы, для которых (/, ix) = а, (/, ^) = 2а,
(*» *з) = За, следовательно, (/, *х) = (flt t2) = (^, <а) — а. Построенная по
«правилу цепи» сумма *-Mi + *2 + 4 дает правильную ломаную линию ABCDE
(со стороной, равной единице), следовательно, 1 + cos а + cos 2а -j- cos За =
= АВ • АЕ — ЛЕ cos £Л£. Если около ломаной описать окружность с цен-
g\ i/\ i/\ а
тромО,то легко установить, что 1) ВАС = CAD = DАЕ = ^.следовательно,
/\ За /\ /\
ВАЕ= ~2 ♦ 2) ЛОВ = а, следовательно, ЛОЁ = 4а; а так как длины хорд
относятся как синусы половин соответствующих центральных углов, то АЕчАВ^
, о , а лг* Sin 2а
=csin 2а: sin -о i откуда АЕ = .
z а
sin-g-
, (П-\- 1)а ла
sinv—^-*- cos—
В общем случае 1 + cos а + cos 2а + ... + cos па — .
— -> Sin|
140.ИД = { —8, 2, 1}, CD = {1, 3, 2}„ откуда Л£. CD = -8-1 + 2-3+
141. Для определения угла А вычисляем координаты векторов АВ и АС:
—* —*• 25
АВ = {4, 2, 4}, АС ={4, 1, 8}. Согласно формуле (118) cos Л = <^. По ко"
ординатам векторов В А и ВС находим cos# = —. Наконец, cos С—
3 Vu
31
=*—=. По таблицам находим Л^22°10', В^124°31', С«33°20'.
142. Для компланарности векторов (*) необходимо и достаточно, чтобы
существовал вектор {/, т, п} такой, что
lX + mY+nZ = 0, lX'+my+nZ' = Q, IX" + mV + nZ" = Q.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
317
Из алгебры известно, что условием существования, чисел /, т, л,
удовлетворяющих этим уравнениям и не равных одновременно нулю, является
обращение в нуль определителя
\Х У Z
X Y' Z>
X» Y" Z'
который отличается от определителя, фигурирующего в (56), только тем,
что горизонтали одного служат вертикалями другого.
148. Предполагая, что равенства (54) имеют место, подставляем X' = &Х,
Y1 = шК, Z1 = o>Z в (*) и убеждаемся, что получается тождество. Обратно,
если (*) имеет место, то {XX' 4- YY + ZZ)* = (X*+Y*+Z*) (X'*+V*+Z'*);
последнее равенство после раскрытия скобок и упрощений приводится к виду
(ЛГ — XYf+{yZf — Y'Z)* + {ZX'~- Z'A02 = 0. Но сумма квадратов трех
вещественных чисел может обратиться в нуль только в том случае, когда
каждое из этих чисел равно нулю, следовательно,
XY' — Х'К = YZ' — Y'Z= ZX* — Z'X = О,
а это равносильно (54).
144. Достаточно убедиться, что
1) АВ = DC, 2) АВ = AD, 3) АВ . АО = 0.
•^ч У у 4- ууг
145.1) аЬ = XXе + КГ';2) а2 = Л?+У2; 3) cos (а, Ь)= г "^
.х , ,^ч ]XV' — YX'\ cw ,-- |ЛУ' —KX'I
о
146. Применяя последний результат предыдущей задачи, найдем tg А— -г^,
tg # = — 4, tg С = -| , откуда Л те 22°50', В те 104°, Сте 53°1(К.
147.. 1) afc = а'Ь' = схЬ'; 2) о»ХЬ'= а"&' =а'6=аХ^;
геометрический смысл: если параллелограм, построенный на векторах а и &,
повернуть как жесткую фигуру, то ни площадь параллелограма, ни ориентация
пары а, Ь не изменятся.
148. 1) Заменяем в тождестве (135) т через nV и учитываем 1-е
равенство предыдущей задачи: (аХЬ)т9 — (т' X Ь) а + (аХ "О *— (aw) 6 —
— (6/w) а. 2) (а X Ь) (л* X л) = {(а X &) /»'} «; заменяем здесь (а X &) iw*
выражением, полученным при решении 1-й части задачи.
149. 1-й способ, (а X Ь)2 + (ab)*=(±ab sin a)2 + (ab cos а)* = а-Л
2-й способ. Во втором тождестве предыдущей задачи полагаем т=а, /* = &.
150. Раскрыть скобки, применяя (126), (128). Если на диагональных
векторах параллелограма построить новый параллелограм, то площадь его
будет вдвое больше, чем у первоначального. Кроме того, при обозначениях
черт. 15 пары ОС, В А и ОА, ОВ — противоположной ориентации.
151. При обозначениях черт. 15 tg (ВА9 ОС) - ^^atb] =1%Z& *»
2a6sina у\
= Д2 —62 > где a-(a,6).
152. Умножаем псевдоскалярно обе части раенства а = XI + J-y
поочередно на i и на j.
153. Умножаем псевдоскалярно обе части равенства а~\-Ь-\- с~ О
поочередно на а и на Ь. Если из векторов а, 6, с составить треугольник
АВС(АВ = с, ВС—а, СА — b), то 1) совпадение абсолютных величин трех
косых произведений означает, что равны между собою площади трех пара л-

318
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
лелограмов, построенных на сторонах треугольника, взятых попарно
(каждая из этих площадей равна удвоенной площади треугольника). 2)
Совпадение знаков тех же произведений выражает тот факт, что пары векторов
ВС и С А, С А и ABt АВ и ВС суть одновременно правые или
одновременно левые (проверить на чертеже).
153 а. В результате умножения находим: 0 = ayfi + сХЬ=(см. черт. 41)=:
— — ah sin С+ cb sin А\ сокращаем на Ь.
154. Пл. АВС = ±
1
крыть круглые скобки.
155. S=-±aXb = ±(XY' — YX/) = ±
САХСВ = ^- (п — Гъ)Х(г<> — rd)\ ; остается рас-
, где верхние знаки
X У
X' У
соответствуют правой ориентации пары а, &.
156. Пл. ABC = =fc
1
*2 — *1, _У2—.У1
Хц — хь Уа—У1
; знак + ,если пара ABt АС —
правая, или, иначе, если обход по периферии треугольника от А через В к С
соответствует положительному направлению вращения, установленному на
плоскости.
157. 0,6.
158. 1)
зонталей;
\Х У
X У
X' У
X' У
X У
— изменение знака при перестановке i ори-
2)
3) X
ХУ
\Х У
\х* у
-0;
IX IY\
X* У'\
делителя;
4) |
X' У
X У
Х' + Х" Y+Y"
\Х У
\1Х'1У
X У
X' У
+
■ внесение множителя под знак опре-
\Х У
и
Х'+Х" Y'+Y"\
' X У \
+
Xя У'\
X У
Х/; У" 1
— сложение определителей, отличающихся одной гори-
\Х У
зонталью;
' \Х' Y'\
определителей 2-го порядка;
6) (ХУ — УХ'У + (XX' + УУ'У = (X2 + У*) (Хп + уп) или
| Я*+Г* XX' +УУ\
U V \ I XU+YV, XU' + YV I
= —правило умножения
X У !*
X9 У
\ХХ'+УУ Х'*+У*
— тождество Лагранжа.
159. 1) Из последних двух равенств (I) заключаем; а* — А&', Ь* = \ш9;
, 1 1 1
подставляя в первые два равенства, находим: /. = ^- = — —стч:» V- = -гп, =*
аХЬ*
2) Следствие из 2-ой формулы задачи 148 и равенств (I),

ответы И РЕШЕНИЯ
319
3) Умножая т~аа+$Ь скалярно один раз на а*„ другой раз на Ь* и
применяя (I), находим: а = #ш*, р = тЬ* [ср. также (134)].
,во. ■,-{-£-.—!■}. ** = {-*, ,±Ь
161* 1) Если а и Ь не коллинеарны, то (см. задачу 159) х = (ха)а* +
+ (*&) 6*. откуда * = аа* + рь* = —аЬ' + № .
2) Полагая х = {лг^ *2}, а — {ah a2}t Ь — {Ьъ Ь2}, переписываем
систему уравнений в виде
а1хг+а2х2 = а,
bt xi -h bo х2 — р
и, замечая, что bf = {—^2,^1}, а* = { — а^ ах>, заменяем найденную выше
для х векторную формулу двумя координатными
*\--
а а2
Р *«
А
. л = -
Д1 а
Л
, где Д =
\at а2
\bx Ь2
(ФО)
— известные формулы для решения 2-х линейных уравнений с 2-мя
неизвестными.
162. Если при обозначениях задачи 159 потребуем, чтобы в уравнениях (1J
этой задачи а* = а и &* = Ь, то
получим а2 = ft2 = 1, а& = О, векторы й
и Ь — единичные и взаимно
перпендикулярные (например, репер i, J сам себе
взаимен).
163* Уравнения высот:
(г-п) (г2-Гз) = 0, (r-r2) (г3-гх) == О,
(г — Г3) (Г\ — г2) = 0. Складывая два из
этих уравнений, после раскрытия
скобок и легких преобразований получим
третье уравнение.
164. Векторы АВ, ВС, С А могут
быть приняты за нормальные для
соответствующих высот. Найдя координаты
этих векторов вычитанием (см. чертеж),
пишем уравнение каждой высоты по
точке и нормальному вектору. Для
высоты, проведенной из А находим
— 2 (л: + 1) + 3 (у-— 1) = 0 или — 2х-\-Зу — 5 = 0. Уравнения двух других
высот: — Зл: — Ьу + 27 = 0, 5х + 2у — 22 = 0.
165. г (гх — г«) = -g- if] — г*), г (г2 — Гз) = -J- (г\ — г*), г (г3 — гх) =
1 , о
= -2-(r3-rj).
166. Прямая, параллельная вектору с, перпендикулярна вектору а\ а по*
тому согласно (144) уравнение ее есть а' (г — ^ = 0 или аХ(г — Л) —0.
167. Полагая Л5 = с, ЛС = ft, имеем с =
Черт, к задаче 164.
{8.6}, 6:
•К- 4
откуда
г0 = {0,8; 0,6}, &о = {0,28; 0,96}. Сумма с» + ДО = {1,08; 1,56} дает вектор
параллельный, а разность с0—6° = {0,52; —0,36} — перпендикулярный к
биссектрисе. Теперь можем (двумя способами) 'получить уравнение биссектрисы;
13х —9у+7 = 0.

320 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Замечание. Используя какой-нибудь вектор как параллельный или
нормальный, мы не интересуемся его длиной и потопу можем умножать
или делить обе координаты вектора на одно и то же число. Так, в
предыдущем вычислении можно заменить вектор {0,52; —0,36} через {52,-36}
или {13,-9}.
168. Нормальные векторы: {— 2, 3} и {5, 4}. По третьей формуле (157)
tg о = ± 11,5.
169- tg А = ± -~- , tg В = ± 2, tg С = ^г 1. Знаки должны быть выбраны
с таким расчетом,чтобы А -\-B-\- С — 180° (можно, например, воспользоваться
известным соотношением tg А + tg В + tg С = tg A tg В tg С). Внутренние
углы определяются формулами tgA — -~-; tgB = — 2, tg С = 1.
170. Параллельность прямых устанавливается на основании признака (155).
Далее, приведя уравнения всех трех прямых к нормальному виду, найдем:
0,6* — 0,8у — 1,5 = 0; 0,6* — 0,8>f — 2-^ = 0; — 0,6л: + 0,8у — 2 = 0, откуда
заключаем: первая и вторая прямые лежат по одну, а третья—по другую
сторону от начала координат, на расстояниях 1,5; 2 -^ ; 2 от начала.
Расстояния между прямыми суть:
171. Условие равенства расстояний (г— г{)2 = (г—г2)2 после
упрощений принимает вид: 2г (г2— о) = i\ — г\ — уравнение прямой,
перпендикулярной к вектору г2— Г\ (т. е. к прямой АВ). Ср. задачу 165.
172. Если гп°—р — 0— нормальное уравнение искомой прямой, то
/irt°—р — 0 и |г2я°—р | = |г3я°—р\. Последнее равенство распадается
на два: 1) либо г2 я° — р = г3 я0—р, откуда (г8 — Гг) я0 = 0, л° J_ (г3 — г2),
т. е. искомая прямая параллельна г3 — г2 ( = ВС) и может быть выражена
параметрически уравнением r = r\-\-\(r$ — г2) (или в псевдоскалярной форме,
(г — гх) X (г3 — г2) = 0), 2) либо г2 по — р = — (г3 я° — />), (г2 + г3) я° = 2р;
исключая отсюда и из /yt° — р — 0 неизвестное р, найдем (г2 + г3 — 2г^ л° =
= 0, я0 J_ (г2 + г3 — 2ri), искомая прямая параллельна вектору Г2 -(- г3 — 2rt
(= Л£ + АС) и может быть выражена уравнением г — гх + X (г2 + Га — 2гх)
(или (г — гх) X (г* + г3 — 2ri) = 0). В координатах:
' *з~ *2 ^з—^' *2 + -*з —2*1 .Уг+Л —2yi *
173. Прибавляя к обеим частям уравнения по —, имеем ('"+■9) —
= Н1 + "X * 0ТКУда заключаем [ср. (160)),что кривая есть окружность с центром
( 2 ) И РадиУС0М' Равным у И* + f •
174. 1-й способ. Если М (г) — какая-нибудь точка окружности, то
AM _L ВМ, т. е. (г — г^ (г — г2) — 0. 2-й способ. Центр окружности
находится в середине отрезка АВ, т. е. в точке ( l~T 2 j ; радиус равен 2 ,
откуда уравнение
Л. Г1 + г2у=(гд-Г2)»

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
321
175- Положим А В = 2с и примем за полюс середину отрезка АВ; тогда
радиусы-векторы точек А и В будут соответственно — с и -{-с. Обозначая
через г радиус-вектор точки Af, имеем (г + с) (г — с) = ц или г2 = с2 + ц —
уравнение окружности (действительной, если ц>—-с2) с центром в полюсе.
176. Центр (с) должен находиться от прямой на расстоянии, равном а.
Искомое условие : (сп — s)* — а'*п2.
177- Обозначая координаты центра через ($, т\), имеем: 1) (160) (* — £)2 +
+ (У — *))2=я2 или *2+_у2 — 2£лг — 2rLv = a2 — £2 —т,2; 2) (161) **+>»■—
-25ж —2пу«0; 3) (162) (* — ^) (*!-£) + Су—Л) (л — ifl = 0; 4) (163)
(х — О (*i— I) + (У — ц) CVi — ч) = а\
178. 1) Обозначая координаты центров (с) и (с7) соответственно через
(£, rj и ($', т,'), имеем: 1) (169) 2 (;' — с) л: + 2 <г,' - т,).у + (;2 + т,2 - $'2 — V2 -
- а2 + а'2) = 0; 2) (171) дг^ + ^ = а2;3) (172) х = а2 ^у2, .у=«2 р^-2
179. (гг — с) (г — с) = д2.
180. Искомые касательные касаются круга в точках пересечения его
с полярой точки А (см. предыдущую задачу). Решая уравнение поляры
7л: + .у + 16 «к 0 совместно с уравнением круга, находим две точки
пересечения (—2, — 2) и (— 3,5). Теперь уравнение каждой касательной м«жет
быть написано п© двум точкам; получим:
3* + 4у—11 = 0; 4лг —Зу + 2 = 0.
180 а. а) При X Ф 1 окружность, центр которой лежит на линии центров
данных двух окружностей; при X = 1 прямая линия (радикальная ось; см.
в тексте). Ь) Прямая, параллельная радикальной оси.
181- Обозначая радиусы-векторы точек A, Bt А', Вг соответственно через
Т\*гь г'\>гг> имеем [см. (1722)]:
г2 Г1 N Г2 г1 г1 ГЛ'
r'V ОА*-ОВ*
182. Проверить, что {2, — 5,1} ± {3, % 4}.
183. Угол между векторами {2,-1, 2} и {6, 2, — 3} равен arccos^-.
184. rN = rt— (rtп»—р) я°; гм, = rt — 2(пя0-/>)я0.
185. Уравнение (160) принадлежит сфере с центром в точке (с) и
радиусом, равными. Уравнения (162) или (163) — касательной плоскости,
проведенной к этой сфере в точке (/*i).
186. 1) Геометрическое место точек, имеющих одинаковую степень
относительно каждой из двух данных сфер, есть плоскость («радикальная
плоскость» этих сфер) с уравнением (169). 2) Геометрическое место^ точек,
полярно сопряженных с данной точкой (г{) относительно сферы г2 — д2 есть
плоскость (попрежнему называемая «полярой» точки) с уравнением (171).
187. После замены Х\ К',... их выражениями через X, К,... по
формулам (191) раскрываем скобки и применяем (188).
188. Найдем направленные углы между векторами того и другого базиса:
tt Л = (/, П + (?'. Л = « + 90°; (*', J) - (*'. 0 + ft У) - -а + 90°;
21 Зак. 1336. Дубнов, ч. I.

322
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
/,/) = (/,*) + (/,/) = — 90° + (а + 90°) =г а. Таким образом W = cos а,
*/'=—sin а, уг = sin а, //' = cos о, откуда
( if as / COS а +У Sin а, | * = *v COS а —/ sin а,
( f = — f sin а -(- / COS а, \ У = Г Sin а -\-f COS a.
Теперь совершенно так же, как это было сделано для случая
пространства, из соотношений
a = Xi+YJt a^X'V + Г'/.
Х= ait К= о/ И X7 =* of', К7 = а/
находим
Г Л7 = Xcos а + Г sin а, ( Х = Xf COS а — Yr sin ot,
\ J"= — X sin a + К COS a, 1 F=X/slna + K/COSa.
189. Геометрический смысл: на плоскости как скалярное произведение,
так и косое не зависит от выбора системы декартовых прямоугольных коор-
\/\
динат (во втором случае — при единственном ограничении: (£,,/) =+90°).
190. 1) О = X' cos а + Y' cos р + Z' cos т и т. д. 2) Находим X, Г, Z из
трех уравнений
Xcosa-f Kcos^ + Zcosao^ U\ X cos В + ... = V, A'cosy + ... =*W
(предостережение: нельзя пользоваться (188!). 3) Из
Х-\- К cos v + Zcos [i = Xf cos a + К' cos p + Z' cos ?
и двух аналогичных уравнений можем выразить X, У, Z через Х\ Y'\ Z'.
191. а* = -— {a2 sin2 X + У2 sin3 p. + V72 sin2 v-f-2VV7 (cos ц cos v—cos X) +
+ 2W4/ (cos v cos X — cos (J-) + 2U V(cos X cos «x — cos v)}, где Д = 1 — cos,- X —
— cos2 y. — cos2 v -f- 2 cos X cos {/• cos v.
(21 771
192. aP + 5° = |^, ^r> или другой вектор того же направления,
например {21, 77} или {3, 11}.
193. up _+AD= — ABsltfB.
JBA
194. 2а cos a — 36 cos p.
195. Обе компоненты равны 0.
196. Проверить сначала справедливость теоремы для случая, когда р
совпадает с одной из сторон треугольника. Всякий другой вектор можно
разложить по двум, совпадающим со сторонами треугольника. При переходе
п
к правильному п-угольнику получим сумму компонент, равную -^р.
197. Проверить сначала справедливость теоремы для случая, когда
вектор а совпадает с одним из ребер тетраэдра (воспользоваться результатами
задач 195, 196). Всякий вектор можно разложить по трем некомпланарным,
совпадающим с ребрами тетраэдра.
198. Пусть ABCD — искомый квадрат, А(\, —3), В (5, 4), откуда АВ =
= <4. 7}.
Два решения: 1) AD получается из А В поворотом на -|-90э; тогда [см.
(86)] AD = {-7, 4}; Гд = rA + AD = {1, -3} + {-7, 4} - {-6, 1}; гс~
= rD+DC = rD + AB = { — <5f 1} + {4, 7} = { — 2, 8}. Ответ: Л(-G, 1),

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 323
С(~ 2, 8). 2) AD получается из АВ поворотом на — 90°; AD = {7, —4}.
Ответ: D (8, —7). С (12, 0).
199- Во всяком параллелограме сумма квадратов диагоналей равна сумме
квадратов четырех сторон.
200. Пусть О — общая вершина, из которрй выходят векторы г1э г2,
образующие первый угол, и векторы г3, г4, образующие второй угол; будем
считать все четыре вектора единичными. Из конца М± вектора Г\ опустим
перпендикуляры МгР^ и М\Р± соответственно на прямые векторов г3 и г4.
Требуется доказать, что Р-ЛРА JL г2. Имеем [см. (96)]: ОР9 = комп0Р rt =
s= г3 (г^); ОР4 = комп0Рл гх =? г4 (/у^), откуда ^Р4 — г4 far*) — г3 far8),
Го • ЯЛ = far4) fart) — far3) far3) — 0, так как в силу симметрии аг4 ~/у3
и /чг4 = r2r3.
a'ft' а' 6'
201.Иза'=^аа, ft' = Bft следуета'&' = аЗ а&,—~ := аЗ = —•-£-. В слу-
ао а о
чае неколлинеарности правая часть равенства теряет смысл.
-> —+■ -> —>•
202. Рассматриваемое произведение равно АВ СМ = (СВ — С4) •
203* 1) Из равенств (т-\~ я-|-р)2 = (т + п—р)2 и (/я+р— я)2 =
= (п + Р— т)- после раскрытия скобок и упрощений находим рт ~{- яр = О
и тр — пр — 0, откуда тр — пр — 0, т. е. р ±_ т и р ± п (прямой
параллелепипед). 2) Из равенств (т + п +р)2 = (т + п —р)2 = (т +р — я)2 =
= (л+р —я*)2 после аналогичных упрощений находим тп = пр=рт — 0,
т. е. векторы т, п w р попарно перпендикулярны (прямоугольный
параллелепипед).
204.1) Доказательство сводится к проверке тождества (г3 — Го) (г4 — г{) +
+ fa— гз) fa — г2> + fa — *ч) fa — гз) = О» Для чег0 достаточно
раскрыть скобки. 2) Если А, В, С, D — вершины тетраэдра, причем
<ВСЛ£> = 0 и CABD = 0, то из доказанного только что соотношения следует,
что ABCD = 0.
205. Разлагая левую часть равенства (а— б)2 — (Ь — с)2 = 0 по формуле
(105), найдем (а — с) (а + с — 26) = 0.
206. 1) Обозначая искомое отношение через X, имеем СИ— '. ;а
так как СИ ±АВ=а — Ь, то (Ь + Ха) (а— ft) = 0. Раскрывая здесь скобки
и замечая, что аб = 0, находим X = —^, т. с. ЛЯ: IIB=№ :а2 («отрезки
гипотенузы относятся как квадраты прилежащих катетов»).
2) СЯ = о , ■.„— . Возводя в квадрат и снова замечая, что аЬ — О,
а--\- о~
имеем С//2 — ' — ; С Я = - -1
(а2 _|_ ^2)2 а2 + £2 ' У аа + б2
207. «y^fef + y = ^±ffi^. Заменяя здесь аЬ через
(л + by1 (а + by-
О ОГО/1 , ^ч ^^cos2-^
^ .. ™* 2tf2/;2(H-cosC) 2
a* cos С, найдем: CD- = ^--^ (а + &)2 ■
21*

324 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
208. irjL-rtfMro-rtf—irb-riP-irB-rjP**
= 2(rBrc + rIfA-rArB—r0rD)~2(rA--rc)(rD*--rB).
209. Согласно условию ab я be «= са = 0. Пользуясь этим, мы можец
исключить из уравнения т = аа+р&4-7£ коэффициенты (J и т: достаточно
умножить это уравнение на а; получим лш = ал2, откуда а=—,-.Совер.
0 тЬ тс та
шенно так же найдем р «--£-, т==—-, и следовательно, m=—g- a-f
i тЬ ut тС *
210. Пусть СЛ =*Ъ, СВ= о, СЛ' = Х6, тогда СВ' «s Xa, ЛЯ' = Xa — 6,
ВЛ' — lb — а. Из (Xa— Ь)2«(Х& — а)2 следует (X2 — 1) (a2 — б2) = 0, а так
как X2 ф 1, то а- = Л
211. Полагая, АВ = а, Л2> » b, AM = с, имеем МС = a+b — c, MB =
= а — с, MD = Ь~с, и задача сводится к доказательству того, что
при ab = 0 имеют место равенств*; 1) (а—с)(& — с)**-*-*г(а + Ь~ с),
2) с* + (а + Ь — с)* = (а — с? + (Ь + с)\
212. Пусть в пирамиде О ABC имеем ОЛ«=ОВ = ОС, АдВ **!&£—
=С04; тогда ОА ВС = ОЛ (ОС— 55) = 0, так как ОАОС^ОА ОВ (ср.
задачу 195).
213. В тетраэдре ОАВС положим ОА = a, ОВ «г 6, ОС = с, тогда а' =
= |Ь — с|, У = \с — а и с' = 1а—Ы. Остается проверить справедливость
тождества 2а (с — Ь) = с1 + (а — Ь)2 — ffl — (г — а)2.
214. Пусть ОАВС— тетраэдр, М, N, Р, Ж', N', Рг — соответственно
середины ребер ОА, ОВ, ОС, ВС, СА, АВ. Полагая ОА*=а,С)В = Ь, ОС —с,
имеем ^'«-Lt£_ £, откуда ЛШ'3= j {Ь2 + (с— а)2 + 2&£~ 26а}.
Применяя результат задачи 125, имеем ММ'* = v{b2 + (c — a)2+&2 + £2—-
— (6 — с)2 — &2 — a2 + (a—&)2} = -£{&2 + с2 — as + b'i + e'* —л*},гдеа'=*
= С£, У = АС, с' = J5A Аналогичные выражения получим для NNr и РР'.
215. Полагая ЛЯ = с, ВС== а, СЛ = Ъ, имеем следующие выражения для
с — b а —с b — а * , о . о
векторов-медиан: та = —g—, тъ = g , тс = —^—, т^ + тгь + т<=
= i (2д2 + 262 + 2с2 — 2аЪ — 2Ьс—2ас) = ~ {3 (аЧ^+с2)—(а+b +<02}=
■= -г(я2 + &2 + с2)» иб° 0 + & + £ = О. В общем случае отрезки, о которых
с — Х& а—Хс 6 — Ха
говорится во второй части задачи, суть ■■—.- , ■■ . , , -< i % ; сумма
1 -р Л 1 -j- Л 1 -J- А
квадратов этих отрезков равна j , ■ iг» ■ (с2 + б2 + с2)*
(1 -+- А)*
216. 1-й способ. Полагая АВ = с, ЛС *= &, имеем р = ■ р ° » Я *=*
о з ^
= C-i^-, откуда ра - д|= ^ {(6 + 2с)> - (* + З»)5) = j («• - 62).
2-й способ. Треугольники ЛВС к АА'А" имеют общую меднаяу, по-

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 325
этому pa + qa=*c + b< Далее АРА! « ^ СВ, т. е. ра — qa ~ ~ (с — Ь). откуда
(/>*+ 0а) (Ра — Яа) = j(C+b) (С — Ъ).
217. Полагаем Л£ = <?, ВС=*а, с7=Ь. I) Доказательство первого из
упомянутых в условии соотношении, сводится к проверке тождества:
2) Левая часть второго соотношения может быть представлена в виде:
(—5-) +\—з—) +(—з—J -4-2-) -h-j -hr)e
^^(а* + &2 + с2+а6+Ьс + са)=: -—• <а2 + Ь2 + ^+(« + Ь+^)2} =
«»^(в* + *3 + ^). ибо а + Ъ + с = 0.
от п к-Mf!? ,м_ ^4-g*fr24-2ftV?fo _ ЪЧ*(Ь + с)*
sin. 1) лг> 6з + с2 • А* (** + «*)* (#> + с*)2 •
лс>- ^ + сЗ *
2) Требуется показать, что вектор Ай( = -Jp—) делит пополам угол
между векторами AM ( — —ту—) н AS (ср. задачи 103, 192).
219« Достаточно выразить то обстоятельство, что углы АхА^Аг и А^А^Аг
либо равны между собою, либо дополняют друг друга до 180°; cos AiA^A^ =
« х cos AiAtA»; ——. ■ — — з: - r ==—r =- или
Wi-r,)» /<г*-га)» YiTi — rp V(r,-r4)«
<(ri - r3) (r, - r3)}2(rt - r4)2(r3 - r4)* - {(П-Ъ) (r2 — r4)>2 (rt - r3)* (гг-га)а.
220. Прямая параллельна вектору * + /+& Обозначая через <р угол
между этим вектором и вектором U имеем: cos <р = — =- = —^= ,
<j>^54°44'. К тому же результату придем, пользуясь (1150.
221. г™<п = —Л+ЛУ + Ь -^-^L—= 1г ? =,60°. К тому же
№+Л2У« + Ь)7 /2/2 2
результату придем, пользуясь (118'). ■
222. cos? = |/ у, ?;
;35°16'.
ВА ВС 1
223. Биссектриса параллельна вектору *»Х + 'р?г=== у i—2,—1,2> -|-
+ ТЗ*<~Н 5, 2}Ц< —2, 0, 1}.
лл* т^ о л АВСА
224. Если а есть внешний угол при вершине А, то cos а =» ... . - =
89
, а»12э2'. Аналогичным образом найдем, что внешние углы при
7-13
вершинах В и С соответственно равны (приблизительно) 172°12' и П5Ч7',

326
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
225. 3D =* ВА + ВС = { — 9, 0, 2}; cos (AC BD) = ;
15
7 У85'
226. Согласно (124) а*х = Ъх, и следовательно [см. (106)], а9 = Ь —
вектор 6 получается из вектора а поворотом на +90°.
227. Полагая О А — гх, ОВ = г2, ОС = г3, запишем условие равновелико-
сти в форме ГхХ г2 = г2Хгй = rdXГь Подставляя сюда г1 — 6г2 -+- *]ГЦ,
найдем £ = -п = — 1, откуда п + Г2 + га = 0 (ср. задачу 153).
228. 4Sa = (aXb)8 = e8^ —(e*)2 = ea^-(-2-:!l| -) = j(*+H
+ с) (я + * — с) (а + с — Ь) (Ь + с — а).
229. Примем О за полюс; при обозначениях чертежа имеем (Х> 1, {i> 1),
#"У
гц-
.r3 + >Ti
г« =
Г! + ЦГ2
пл. OAW = 1 \rKXrN\=^\(г3+
С другой стороны, пл. ABCD —
e/xrj
Черт, к задаче 229.
230. Если положить для краткости
=пл. ОВС—пл. OAD--= ^ | /TiXl^H
-YlriXr2 l = 4'|riXr2l(^-1)-
П-
Гг — П
\r-6-r.
^^а%
г\ — п
-60,
= с° (так что а°, 6°, с0 суть единичные векторы векторов ВС, СА,
Л£), то биссектриса угла А параллельна вектору с{) — Ь° и перпендикулярна
вектору с°+Ь°. Поэтому уравнение упомянутой биссектрисы может быть
написано в одном из видов: (г — гх) (с0 + 6°) = 0, (г — гх) X (с0 — &°) =*= 0.
231. Справедливость утверждения вытекает из того, что при сложении
уравнений (г-гх> \ (с°-&п) = 0, (г—г2) X (an—с°) = 0, (г-г^) X (&°—а°)=0
получим 0 = 0, ибо а° || г6—г«, 6° Ц гх — г3, с° || г2 — гь
fc.32. Если (г2) ~т искомая точка, то 1) вектор г2 — гх перпендикулярен
пч / /"i + Го \
к прямой и, следовательно, параллелен щ 2) точка I ——-—-*\ лежит на
прямой. Ст^юда Го — гх — \п и ■ 1 2 n — s = Q. Подставляя во второе
равенство г2 из первого, найдем X = —
2(rxn — s)
откуда Гч — Г\-
2(rxn — s)
л2 * - ■ - . лу
(ср. задачу 184). В координатах: точка (лг2, _у2), симметричная с данной
точкой хь ух) относительно данной прямой Ах + Ву + С — 0, имеет
координаты:
Х2 — ХХ •
2(Ахх + Вух+С)
А* + Я*
Л> ^а = Л-
2(Лл:г4-Ду14-0
Л2 + Я*
Л.
233. Если- Сх(гх), С2(г2)— две данные точки, то уравнение
геометрического места: (г — rxf = X2 (г — г2)а; (1 — №) Г — 2г (гх — Х2г2) + г* — >?г\ = 0.
1) На плоскости это уравнение принадлежит окружности (так называемая
«аполлонисва окружность»), центр которой лежит на прямой CXCZ в точке

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 327
j r yip \
(-. __Х2?7 (см* заДачУ 173)J пРи л~1 окружность вырождается в прямую.
2) В пространстве то же уравнение принадлежит шаровой поверхности,
которая при X = 1 вырождается в плоскость.
233а. Формула ошибочна уже потому, что правая ее часть лишена
смысла (сложение вектора со скаляром). Правильное решение: 1) если
(•т,-) — <7>°* то * = —Ту +Ь у (у) —q* где Л —произвольный
единичный вектор; 2) если (РЛ — ? = О, то х = — £-; 3) если/ЗД — q<0,
нет решений. В первом случае х есть радиус-вектор любой точки на
окружности с центром *— -у и радиусом 1/ (Цг] — я (ср. задачу 173).
а2
234. гх = — л.
235. 1) Плоскость rn — s параллельна вектору О, если ai« (или
arc = 0); она перпендикулярна вектору а, если аЦя (или а = Х/г). 2)
Плоскость -4л: -j- By + Сг + D — 0 параллельна вектору {£, /, т}, если Ak -(-
А В С
-р £/ + Сю = 0; она перпендикулярна вектору а, если -—==— = —.
236. 1) Плоскости m = s, rnf = s' и га" = s" параллельны одной
прямой, если векторы я, я' и я" компланарны. 2) Плоскости Ах-{-By-\-Cz+
+ £> = <). Л'лг + Я'.у + СЛг-гД'^О и А"х-\-В"у +C"z +D" = 0 парал-
] И В С |
лельны одной прямой, если [см. (5(5) и задачу 142] А' В1 О = 0.
I А" В" С" I
237. Подставляя указанное для гР выражение в уравнения обеих пло-
скостей, получим *t& + %пп' = s, atin' + §я'2 = s', откуда a = п*пп — (ппг\2 '
_ s'n<2—snn'
238. 1) Уравнения шести плоскостей суть (см. задачу 165) 2r(/i— г2) =
= г\ — Го и т. п. Уравнения трех из этих плоскостей являются следствиями
уравнений трех других (именно, получаются из них в результате почленного
вычитания). 2) Да. Уравнение плоскости, проходящей через середину ребра
АХА2 и перпендикулярной к ребру Л3Л4, есть 2г (г3 — г4) = (гг + Г2) (г3 — г4).
239. 1) Левая, 2) правая, 3) правая, 4) правая (АС = т + п +р,
~ВГУ = — т + п-\-р, DBf ~т — л + р; вычисляем определитель (206)).
239а. Примем отражающую плоскость за плоскость хОу; тогда
определители (208), составленные для обоих реперов, будут отличаться только
знаками при элементах 3-й вертикали.
240. Левая.
241. Вращением вокруг оси симметрии трехгранного угла it у, k 1) на
120°, 2) на 24(К
242. | [ij\ | = 1 • 1 • sin 90° = 1, т. е. [IJ] есть единичный вектор; так как
последний должен быть, кроме того, перпендикулярен к плоскости i, j и
иметь такое направление, чтобы репер /, j, \ij\ был правым, то \ij) = k.
243. | [аЪ\ | = abъ\п a <^ab, ибо bina<;i; равенство имеет место только
при sin a — 1, а = 90°.
„..„...iigii.

328 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
245. [aftja + (ab)* « (ab sin a)* + (ab cos a)» = aW
246. 1) Параллелограмы имеют одинаковую площадь S; вектор длины 5,
перпендикулярный к общей плоскости параллелограмов и направленный
в надлежащую сторону (у нас — вверх от плоскости чертежа), представит
одновременно произведения [ОА ОВ] и [ОА ОВ'\. Остается заметить, что
OBf = OB + #£' = Ь + Xa, где X — ,_ . 2) Верно; доказательство — по
ОА
образцу предыдущего. 3) Векторное произведение не изменяется, если
к одному из сомножителей прибавить вектор, параллельный другому
сомножителю.
ЗДба. [ab] = й(сХ Ь), где п —^единичный вектор, перпендикулярный
к плоскости а, Ь и так направленный, чтобы положительное вращение в этой
плоскости, вместе с поступательным движением в направлении п, слагалось
в правовинтовое движение.
247. Указанное перемещение равносильно тому, что [см. (218)) в
произведении [rF] заменяется г через г + А/\
24в. Момент равен 0, если F \\ г, т. е. прямая, вдоль которой сила
действует, проходит через полюс.
240. Положить в (219) v = 1, при а Ф af.
250. Цат] — Ь[Ът\— [an]±2[bn)+4]ap]~ 8\bph 2) 12 [пт]+4[гпр].
251. [(о — Ъ) (а + Ь)] = [аа] + [ab] — [Ьа] — [ЬЬ\ = 0 + [а&] + [а&] +
4-0 = 2 [ab]. Геометрическое значение: 1) если на диагоналях параллелограма
построить новый параллелограм, то площадь последнего будет в 2 раза
превышать площадь первого; 2) см. черт. 15; направление кратчайшего вращения
от ВА к ОС совпадает с направлением кратчайшего вращения от ОА к ОВ.
252. При а || b соотношения (220) и (221) имеют место потому, что все
участвующие в них векторные произведения обращаются в нуль.
—>■
253. Пусть к точке А приложены силы Flf F2,..., Fn; полагая OA=r,
имеем: [г (Ft + F2 + ... + Fn)] = [rF,] + [rF2] + ... + jrFJ.
253а. Пусть силы F и — ^приложены соответственно в точках М и N,
а моменты берутся относительно точки О. Момент пары (F, —F) выразится
вектором [OMF\ + [ON(— F)] = [(ОМ — ON) F] = [NM. #?].
254. Нельзя; из данного равенства, написанного в форме [{а — Ь)с\ =0,
можно только заключить, что (а — Ъ)\\с.
255. Да; предположение а — b Ф 0 означало бы (см. предыдущую задачу),
что отличный от нуля вектор а — b коллинеарен с произвольным вектором,
что невозможно.
256. [ab] = {-9, 1, 7}. Проверка: 3 . (—9) — Ы + 4 - 7 = 0; (—2) (-9)+
+ 3.1—3.7 = 0.
257. Если {Xv Yb Zx} = а, {Х2, У2, Z?} — Ь, то рассматриваемые
тождества выражают тот факт, что вектор [ab] перпендикулярен к каждому из
векторов а и Ь.
258. АВ^{ — 5, 2, 3}, ЛС = {2, 1,-1}; [АВ ЛС] = { — 5, 1,-9}.
Площадь равна i У*5*+12 + 92 = -*- ^107.
259. У4986.
2G0. За норм.
261. Нормаль
1\Уг—У1 Ч — *\ I I *2 —*1 х2 — хг I I хг — хх у2 — У1 П
lb'3—Л *з —*i Г I *з — «1 *з —*i Г 1*з — *1 3;з— ^llJ
2G0. За нормальный вектор можно принять [ABAC] ={6, —1, —21}.
261. Нормальный вектор:

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
329
Уравнение плоскости [см, (176)]:
(У —^i) +
или в более сжатой форме:
262
sin А =
2 ^26
+
*2 —*1 ^2—^1
*з —*i Л—У\
4У26
^2 — ^1 >*—Л (г_ г)==0
*з —*1 Уз—^l1
sin В = -■__, sin С = —--
Z Z\
Zt — Zx
4 >^2б
=^0.
Сопоставление
27 ' "" ЗУ17' ™ 9УТГ
(при помощи тождества sin2 а + cos2 а = 1) со значениями косинусов,
полученными в задаче 141, подтверждает правильность выкладок.
263. Если положить а — {тх, пь Рх}, Ь = {тъ л2, р£, то тождество
Лагранжа оказывается координатной записью соотношения [ab]2 = а-№ — (ab)2
(см. задачу 245).
264. 1) //A=M* = A*=1;2)—1:3)—1;4)+1.
265. Сравниваем объем тетраэдра с объемом параллелепипеда,
построенного на тех же трех векторах. Справедливость утверждения вытекает из
того, что 1) площадь основания тетраэдра вдвое меньше площади основания
параллелепипеда, 2) в то время как объем параллелепипеда равен произведению
площади основания на высоту, объем тетраэдра равен 1/з такого произведения.
266. 1) X(аЪс) = X (a [be]) «(Ха) \Ьс\ = (Ха) Ъс;
2) (а4~а')Ъс = {а+ а') [Ьс\ = a [be] + а' [be] = abc + a'be.
267. В силу доказанного при решении предыдущей задачи
распределительного свойства, принадлежащего смешанному произведению, скобки можно
раскрывать по обычным правилам алгебраического умножения двучленов,
следя, однако, при этом за порядком сомножителей. Из восьми произведений,
получающихся при раскрытии скобок, отличными от нуля будут только abc
и Ьса ( — abc). Ответ: 2abc.
268. ab (с + Ха + pb) = abc + ЫЬа + pabb = abc.
269. Если точки Аь А2 переместить указанным образом соответственно
в точки Av А>, то ^1Al=z\Fv A2A2 = \lF2$ следовательно, АХА2 = А}А} +
+ ALA2 + AZA[ = Х/^ + AxA2—\lF2, а отсюда Fx • A[a'z • F2 = /^ (Xf1 + ^41A2—
—»►
-^J^^^rM'^ (ср. предыдущую задачу).
270. Так как в (21) а, р, т предполагаются не равными нулю
одновременно, то пусть, например, В ф 0. Умножая (21) скалярно на [са], найдем
$Ьса = 0, а так как (J =£ 0, то Ьса = 0 или, что то же, abc = 0.
1—1 3 2|
271. Вычисляя определитель
4—6 2
■3 12 11
, убеждаемся, час он равен
нулю.
272. Проверяем компланарность векторов AB, AC, AD.
273. 0,5 куб. ед.
274. Объем тетраэдра (смешанное произведение) равен 7,5; площадь BCD
(модуль векторного произведения) равна 7,5; отсюда высота равна 3.
275. 1) Значение определителя 3-го порядка не меняется при круговой
перестановке горизонталей; изменяет только знак при перестановке двух
горизонталей. 2) Определитель, в котором две горизонтали тождественны,
равен нулю. 3) Если все элементы какой-нибудь горизонтали умножить на

330
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
одно и то же число» то значение определителя умножится на это число.
4) При сложении двух определителей, отличающихся только первыми
горизонталями, складывают соответствующие элементы этих горизонталей, оставляя
без изменения 2-ю и 3-ю горизонтали. 5) Значение определителя не
изменится, если к элементам одной горизонтали прибавить соответствующие
элементы другой, умноженные на общий множитель.
276- В силу (249) и (250) вопрос сводится к ранее решенному (см.
задачу 135).
277. Применить к каждому из двойных векторных произведений формулу
разложения.
278. [a [ab]] = a (ab)— сС-Ь — — azb, так как аЪ по условию равно
нулю; отсюда [а [а [с&]]]=—а*\аЪ] и, наконец, [а [а [a[ab]]]]=—a1 [a [ab]] =
= — а-( — arb) — a*b. К тому же результату придем, замечая, что векторное
умножение вектора b слева на а сводится в данных условиях к 1) повороту
вектора b на 90° в плоскости, перпендикулярной к а, и 2) умножению на
скаляр аш Четырехкратное повторение этой операции равносильно повороту
вектора b на 360° и умножению на а4.
279. Из условия перпендикулярности заключаем: ab = ас; подставляем
в (250).
280* [a[xa]] = [ab\ или а-х — (а*) а — [ab], х — -^ [ab] + la (где
). = —V). Подставляя это значение х в уравнение [ха] — b ■ и принимая
во внимание, что ab = 0, получаем тождество при произвольном X.
Отсюда следует, что формулой х = — [ab]-\-la (X — произвольное) дается
самое общее решение предложенного уравнения (ср. конец п. 40).
281. 1-е решение. АО есть компонента вектора АС в плоскости,
перпендикулярной к СВ, поэтому [см. (216)] h— [а°[Ьа0]] = — [а [Ьа]].
2-е решение, h = AC-\- CD — &-f la; I найдем из условия ha — 0,
им енно; (b + la) а —0, откуда X = ^-, значит, h = b ^-a.
Равносильность этого решения с предыдущим можно установить посредством (250).
282. 1) Применить к каждому из трех слагаемых формулу (252). 2)
Круговая перестановка векторов Ь, с, d.
283. Сначала умножаем [ab] на [be] векторно [см. (255)]: [[ab] [be]] —
— b (abc)—a (bbc) — b (abc). Умножая теперь на [со] скалярно, находим
[ ib] [be] [са] = (cab) (abc) = (abc)\
234. Компланарность векторов [ab], [bc]y [са] может быть выражена
равенством [ab] [be] [са] =0 или (см. предыдущую задачу) abc~0.
Последнее равенство показывает, что векторы a, Ь, С, будучи приведены к общему
началу, лежат в одной плоскости. А так как векторы [ab], [bc]f [са]
перпендикулярны к этой плоскости, то они коллинеарны.
285. 1) Правило умножения определителей 3-го порядка:
IXxUi+YiVt + ZiWb X2U2+Y2V2 + Z2W^.
XXYXZ,
X*Y2Z<,
\XIY,Z,
UiVxWt
U2V2W*
UsVvW*
s=
2) Правило возведения определителя в квадрат.
_ | zix\ 11 a>i«i I _
х1и\+УЛ Jr ziwb xilh + .)№ + 2№ |
•>ч ! л'1>'11 i "i* i1 , I Ji*i 11 v\ w\ I , | zix\ 11 wiu\ I
i Л'-:У'1!! lhv-> I I y-:z-: 11 v-S&'i I I 22x2 I i w-ilh \
хча1 -гУ^! "b z*iwb xtui + У&2 + *ъЩ I

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
331
286. 1) Другая форма записи тождества (260). 2) Круговая перестановка
векторов а, ft, с, d и чередование знаков -f- и —.
1 **■1-^2^4$
287. Замечая, что ijk — 1, находим aftc == Ki Уа К3 . Сопоставление
с (242) приводит к свойству определителя (3-го порядка) — не меняться при
замене горизонталей вертикалями.
-■H-if-Ч—{МЧНт--!-'}-
289. a*=~(i + j-k), b* = ~(j+b-i)> **=у(А + *-Л
290. Пользуясь формулой (253), находим [ab] [a*ft*J = L < = 1;
[aft] [&*c*]=|j °0| = 0ит.д,
291. 1) Так как а* _|_ Ь и с, а по условию a j. 6 и с, то a*||a или
а* = да. Отсюда и из аа* — 1 находим X = —7Г
а-
2) Вытекает из того, что а ± ft* и с*, а в данном случае а* || а.
292. Полагая х = {хъ лг2, лг3}, a = {а1% аъ аг},Ь — {Ьъ Ьъ &3},
с = {clt с2> с3}, переписываем (270) в виде: а^х\ + а^х* + а>х^ = а, ^л^-f-
+ *2*з + ^з*з = Р» С1Х\ + с2*2 + сз-*з — Т- Если а&с =/= 0, т. с. определитель,
составленный из коэффициентов при неизвестных xt, х*, х-6, отличен от
нуля, то имеет место векторная формула (272), которая распадается на 'три
координатных
| сц а <*z
следовательно, а* = —=■.
*\ =
а д.> я3
Р *2 h
Х% '•
»1 Р "3
*1 Г сн
*г-
ах й* а
ct с2 if
где Л =
«1 я2 *з
:*i
*1
*2
*2
*3
сз1
— обычная форма решения трех линейных уравнений
с тремя неизвестными.
293. Плоскость, параллельная векторам а и ft, перпендикулярна к их
векторному произведению [aft]. Полагая в (174) п = [аЬ]% получим (276).
294. Полагая в (277) /i = я*, г3 = V, г3 — ck, найдем bcri + carj-\-
, , ^ t ri.rj.rk. х . у . z л
+ Д&Г& = лбе или Ь -т- Ч = 1; в координатах: г -тН = *•
295. (r — i—j) (k — i) (k—j) = 0 или г (* +У4- Л) = 2, лг+_у+ 2 — 2 = 0.
296. Прямая перпендикулярна к векторам п и л'. Ответ: [(Г—Гх) [ля']]=0.
297. Высота, опущенная из А. перпендикулярна к векторам £С =
= {7, —3, 3} и -?rBD = {2, 0, 3}, значит, параллельна их векторному
произведению = { — 9, —15, 6} || {3, 5, — 2}. Ответ: -£=! - £=£ - * +_4
298. ЯГ1 = :
1
л• (ял' — $'я) • f*w'J ~ 1
1
5 ~~ —2 '
^ [лл'1 [лл']==^. Анало-
гично для я'/^.
299. Прямая проходит через точку (0,-2, 1) и перпендикулярна к
векторам {2, — 1, 3} и {1, 4, 2}. Ответ: ^ = £+2- = ^iFg^

332 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
300. (г— п)а = 0.
301. (г— гх)аа' = 0.
302. Задача сводится к нахождению неизвестного вектора г из
уравнений [га] = М,гп — s. Умножая первое векторно на л, находим [п [га]J = [пМ];
г (па) - а (гп) = [пМ]; г (na)—sa = [пМ\\ г = sa+^ .
303. Смешанное произведение трех векторов: {—1, 3, 1} [идущего от
точки (5, 2, 4) к точке (4, 5, 5)], {2, 4, —1} и {3, 1, —2} равно нулю.
304. Уравнения перпендикуляра х = 1 — 34р, у = 7 — 4ц, г = — 3 -J- 13ц;
длина = -^ У'149.
9ПС 31
305. igf.
306. Прямые параллельны; расстояние = -х- УХШ.
307. Если в (300) R\\Ft то Л1' = Л!.
308. См. (300); для того чтобы М' = М при любом R, необходимо и
достаточно, чтобы [RF] = 0, а это при произвольном R возможно только тогда,
когда F=Q.
309. См. (304) и (305); yZ-,-zY=\— ^ + ff j^ *; *Х—*Z =
X^+^K+vZ LY+^P+vZ
—«- *2+y2 + Z2 *'"' ^ X2+K2 + Z2
310. Главный вектор системы (OF, PQ, OR) равен О/*' + PQ + OR =
= OF=F. А так как моменты векторов О/*' и О/? относительно полюса О
равны нулю, то главный момент равен [OP PQ\— М.
311- В формуле (300) будем считать точку О' произвольной, а в
качестве О возьмем основание перпендикуляра, опущенного из О1 на центральную
ось системы. Тогда R±F, М || F, т. е. М = X/7. Множитель X легко найдем,
умножая обе части последнего равенства скалярно на F, после чего
обнаружится, что [см. (304)) X = ср. Итак, М' = yF— [RF], М'* = *2/я + [RF]\ а так
как [Я/7]2 = &F* — (RF)2 = /?2/?2, то Af/2 = /^ (92 + #>).
312. 1) Из того, что векторы Ь и с коллинеарны вектору а{фО), следует,
что они коллинеарны между собою. 2) Из того, что вектор а перпендикулярен
к каждому из векторов Ь, с, следует, что он коллинеарен их векторному
произведению. Можно также воспользоваться формулой (250). 3) Из того,
что а±Ь и с || Ь, следует, что а±с: можно также воспользоваться
формулой (250).
313. Если я — плоскость, перпендикулярная одновременно к [аЪ] и [cd\t
то векторы а, Ь, с, d могут быть перенесены в эту плоскость.
314. Цилиндрическая поверхность, ось которой проходит через полюс
в направлении k, а радиус равен р.
315. [(a—d) (Ь—с)] =[а&]—[ас]—[db)+[dc) = [ab]~\ac]+[bd\—[cd] =0.
316. [(г2 —rjtre —гй^Оили [г1г2] + [г2г3] + кзГ1]=0.
317. 5 « у | {(ъ-гд (г3-#ч)] | « у | [rtrj + [г2г3] + [г,гх] \.
318. Из [rir2] = [г*гь] заключаем, что [(/"i + r3) r2J = 0, т. е. г2 = X (п+га).
Подставляя это значение г2 в [г2г3] = [/y*i], находим X = — 1. Если гх = О А
jr2 = OB, r3 = ОС, то О — центроид треугольника ЛВС (ср. задачу 227).
319. 1) [OMF\ = {7,-7,-14}; 2) [i4AffJ«0.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
333
320. [ABAC] = {—6, 2. —4}, [ACAD] = {- 18, 6, —12}. Из того, что
векторы [ABAC] и [ACAD] имеют одинаковое направление, заключаем, что
треугольники ABC и ACD лежат в одной плоскости и не перекрываются.
Пл. ABCD = пл. ABC + пл. ACD = пл. ABC + 3 пл. ABC = 4 пл. ABC =
с» 4- -^ У 62 + 22 + 42 = 4/14 (кв. ед.).
321. Упомянутая формула может быть записана так: пл. ABCD =
= 11 [ACBD] \. В данном случае I [ACBD] I = 8 >^Г4.
322. Y22.
323. аМ' + а'М = ата' + а'га == 0.
324. См. решение задачи 267, Если в гранях ОАВ, ОВС, ОСА
тетраэдра ОАВС проведем соответственно векторы-медианы ОС\ ОА', OB't то
1) (см. задачу 265) объем тетраэдра ОА'В'С составляет — объема ОАВС;
2) реперы 0&, OAr, OBf и ОА, ОВ% ОС имеют одинаковую ориентацию.
325. Раскрывая [на основании распределительного свойства смешанного
произведения — см. (241)] скобки в левой части тождества, мы должны
получить 27 членов, из которых отличными от нуля окажутся только 9, именно
те, в которых три векторных сомножителя различны. Вынося в этих девяти
членах за скобки общий множитель аЬс, получим в скобках разложение
определителя 3-го порядка. Соотношение (242) получится (с несущественным
отличием в обозначениях), если положим а = /, Ь=/, с = k.
326. Пусть SA = а, SB « 6, SC = c,SA' = Ха, тогда SB' *= Х6, SC' = \с.
Справедливость утверждений вытекает из того, что 6v = | abc\, 6v' = Xs| abc |,
W « X | abc |, 6v'" = Х21 abc |.
327. Раскрывая скобки в произведении (Ха — ц&) (v& — Хс) (^с — va),
получаем 0.
328. ABADAA' = U (куб. ед.).
329. ABACAD=*0.
330. См. задачу 265. Ответ: 24 (куб. ед.).
331. 1) Преобразуем сначала [Ъ [cd]] по формуле (250).
2) Полагаем в (250) а^р, b = q, с = [rsj.
3) Представляем левую часть один раз в виде \z[ab]],[xy], другой раз
в виде [ab] [\ху]г] и затем применяем формулы (249) и (250).
4) Полагаем в только что доказанных соотношениях 3) г= \uv].
5) В силу (253) определитель, стоящий в левой части проверяемого
тождества, равен [[ab] [ас]] [[ху] [xz]]. Но в силу (254) \[аЬ] [ас]] = а(аЪс)
и [[ху] [хг]\ = х (xyz).
6) Получаем из только что доказанного соотношения 5) при х=а,
y—b, z—c. Другой вывод опирается на тождество задачи 245.
7) Получается из (2Ы) при z — \xfyT].
332. Согласно (254) ЦаЬ] [be]] = b(abc), [[be] [со]] ^c(abc) и [[сa] [ab]]=
«х а(аЬс).
333. Комбинируем результаты, содержащиеся в задачах 332 и 267.
334. (ab) [cd] + (ас) [db] = (ab) [cd] — (ac)[bd] = [{(ab)c — (ас) b} d]=
«= \[[bc\ a]d] = a (bed) — (ad) [be].
335. В силу компланарности с = аа + pb. Умножая это равенство век-
*. „ fcb] Q [ас]
торно один раз на а. другой раз на 0, найдем а = ^—^т, р = -|—^ .
336. 1) Умножая скалярно равенство р [аб] + т [ас] + Ь [ad] = 0 один раз
на Ь, друтой раз на с, получим: ,8:7:0 = acd: adb: abc. Искомая линейная

334
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
зависимость: (acd) [аЬ] + (add) [ас] + (abc) [ad] = 0. 2) Умножая обе части
последнего тождества скалярно на е, получим соотношение, несущественно
отличающееся от подлежащего доказательству.
337. Обозначим векторы MtAfo, Af2^3, Af3Af4, М±МЪ% МЪМ& MqMi
соответственно через alf Ъг, а2, Ьь а3, Ь2; тогда Ьв || [OiOsj. &i || [o^Og], Ь2 I! [Oaeib
Упомянутые в условии три перпендикуляра имеют соответственно
направления векторов
[ad[ai<k))> {<h[<hail]9 [а^м]],
компланарны (сумма их равна 0, см. задачу 277). Другой
а\Ь« = а\Ь$ ~ a<fii = аф% = а$Ь\ = аф% = 0
[а^х] [а*Ь2] [а^Ьг] = 0,
как в этом можно убедиться, пользуясь формулой (4) задачи 331, а затем
перемножая смешанные произведения согласно формуле (261).
338. Требование, чтобы высоты АА' и ВВ' пересекались, равносильно
требованию, чтобы векторы АВ, ААГ и ВВ' были компланарны. Полагая
ОА = а, ОБ = Ъ, ОС = с и замечая, что Ав = Ь — а, ~ААТ || \Ьс], ВВ' || [ ас],
пишем условие компланарности (6 — а) [ас] [дс] =0. А так как [[ас] [Ьс]]=
— с (abc), причем аЬсфО, то (Ь— а)с = 0, Ьс~ ас. Заменяя здесь be и ас
а эти векторы
вывод из
следует:
соответственно через -^ {№ + с2 — (Ь — с)2} и
~{аЧ-*2-
(а—с)2}, найдем
а2 + (6 — с)2 = б2 + (а — с)2, т. е. ОЛ2 + ДС2 = одг + СА\ Из рассмотрения
двух других высот получим 0£2 + С А1 = ОС2 + ИВ2.
339. Обозначая объем буквой V, имеем (см. задачу 265):
б V = | afo |, откуда [см. (262)]:
a2 ab ас
Ьа Ь2 6с
са cb с2
формуле 2а6 = я2 + &2 — (а—б)2 — а2 + &2 — с'2 и аналогичным
2a2 д2+&2_с/2 С2_|_Д3_5'2
_{_ 62 — с'2 2&2 &2 + с2 — я'2
36У2 =
Согласно
находим:
288 V1--
i + a* — b'2 £2 + с2
2с2
340. Если 5 = пл. ABC, то имеем (ср. задачу 317): 4S2 = {[ab] + [Ьс]+
+ \ca\Y = [аб]2 + [&с]2 + [са]2 + 2 [аб] [5с] + 2 [ab] [са] + 2 [6а] [са]. Но
[ab] [be] — (а&) (6с) — (ас) Ь- — аЬЧ (cos y cos а — cos (J).
Окончательно: 4S2 = a262sin2Y + 62c2 sin2a + c2a2sin20 -j- 2a62c (cos y cos a—
— cos fi) -(- 2д26с (cos 3 cos y — cos a) -f- 2a&c2 (cos a cos (J — cos 7).
341. Согласно (234) и (262) V ^ abc
v
1
cos y
cos 8
cosy
1
COS a
COS {J
cos а
1
342. См. (263) и задачу 277.
343. См. (271) и задачу 325.
344. Векторы b — а и с—а лежат в рассматриваемой плоскости,
следовательно, вектор [(& — а) (с — а)] = [ab] + [6с] + [са] перпендикулярен

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 335
к этой плоскости. К тому же выводу придем» помещая полюс в общем начале
векторов и записывая уравнение плоскости [см. (277)]: г {[ab]+[Ьс]+[са]}=аЬс.
345. х — Ъу — 4z —12 = 0.
346. Векторы я, п\ п", перпендикулярные к одной прямой, должны
быть компланарны: (I) ппfn" = 0 или (см. задачу 335) п" = ----- п + ^~i п'.
v J [пп'] [ппг\
Умножая это равенство скалярно на радиус-вектор г точки, общей трем
плоскостям, получим (II) s[«"«']+а7 [ял"]-j-5" \n'A = °- Условия (I) и (II)
не только необходимы, но и достаточны, так как из них вытекает, что
уравнение третьей плоскости есть линейная комбинация уравнений первых
двух: гпГ — s" = l(rn — s) + {х (гп' — s'), где X = ^~], ц = {-~1]. Если бы
' [пп ] ' \ппг\
для нахождения г из уравнений rn = s, rn'~s', rn'r = s" мы незаконно
применили (272). то получили бы г — j-.
347. I) Г — -— = —параметрическое уравнение плоскости
[X и \х— параметры], параллельной данным прямым. Свободное от параметров
уравнение: га^а^ — — (rj~|-/\>) а^а*. 2) Если в правой части последнего
уравнения раскроем скобки и заменим [Г]ах] и {г^а*} соответственно через Ж!
и М*, то найдем:
гала<± ~ у (Мха* — М<,а{).
348. Задача сводится к нахождению г из уравнений [га] = М и
(г — г{) а =-■ 0. Умножая первое уравнение векторпо на а, найдем
а2Г—a(ra)=[aAfJ; но в силу второго уравнения га — г^а, так что
— \аМ] + а (г\а)
г ~ ~~ Ф
349. Обозначая искомые векторы через а и М, можем положить
а = [ащ^Ь тогда М найдется из условий [см. (290)]
Ма — 0, Мах — — вМь Ма^ = — аМ2.
Именно, пользуясь формулой (272), получим:
М = IT^Ti tiaMd faasl ~ (aAf^) fe«i]}. где a = [ща*].
350. Возьмем (для простоты) полюс в плоскости треугольника. Если г1#
Го, Гз — радиусы-векторы вершин, k — вектор, перпендикулярный к плоскости
треугольника', то силы, приложенные в точках (rt), (г?), (г>), могут отличаться
только общим множителем пропорциональности от векторов [(г.: — га) k],
[Vs— ri)^l- Kri— r2)£]« Для последней системы векторов
1) сумма равна 0,
2) момент равен [гх [(г2 — га) *]] + [г2 [(г3 — п) Л]] + [г3 f(rt — г2) *]] = 0,
как в этом можно убедиться, преобразуя двойные векторные произведения
по формуле (250) и принимая во внимание, что krx = kr* — kr:i = 0.
П р и м е ч а н и е. Последняя часть рассуждения может быть заменена
ссылкой на теорему Вариньона (задача 253), если учесть, что линии действия
всех трех сил сходятся в одной точке (пересечения высот треугольника).
351. Возьмем полюс в плоскости многоугольника. Если гь г2, ..., гп —
радиусы-векторы вершин многоугольника, к—вектор, перпендикулярный к его
плоскости, то мы имеем в точках —-•—- , -~—-—-, ..., —'■——- силы, кото-

336
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
рые, оставляя в стороне множитель пропорциональности, выражаются
соответственно векторами
[fri —г,)*], [(г2-г3)*],..., llrn-rjk].
Сумма этих векторов равна 0. Момент, вычисленный, например» для первой
силы, равен y ifo + Л*) [* (^i — г2)]1 "= Yk{ri~~г^> иб° k (ri + r2) = 0.
Теперь легко видеть, что сумма моментов, соответствующих всем силам,
равна 0.
352. Прямая линия (перпендикулярная к двум данным).
—*" —и |64 112)
353г (АВ: АВ) + (АС; АС) = <^ -тр->, а этот вектор, делящий пополам
угол ВИС, отличается от AD положительным множителем (ян).
354. Середина гипотенузы в Ли-х-, 1 J. Вектор МС получается из ^ АВ
поворотом на ±90°, следовательно, Л4С=:±{2; 3,5}. Из гс=^г^ + МС
находим два решения: 1) С (2,5; 4,5); 2) С(—1,5; —2,5).
355» 2r(b — а) + а2 —£2«=0 (на плоскости — ось симметрии, а в
пространстве—плоскость симметрии Двух точек, имеющих
радиусами-векторами а и Ь).
(г *- ? ■■*■* ■—-J —Г—V. На плоскости — окружность,
/
а в пространстве — сфера с радиусом -ис центром в центроиде системы
точек Ah А2,..„ Ап.
357. (О*. ОЛ, ОА» ОЛ),^,^.^^ (последнее
преобразование должно быть обосновано! — ср. задачу 201). То же
двойное отношение может быть выражено с помощью косых произведений:
г\ X г3 . гх X П
г2 X г3 * г2Хг4'
358. Так как с = а + Ъ, то ас— а(а + Ь) — а2, ибо аЪ =*0. Катет
есть среднее пропорциональное между гипотенузой и прилежащим отрезком
(я2 = с • прга).
359. См. решение задачи 14. 1-й способ: <?•—^—-\-а-^-^—f-
356.
+ &.^_' = 0. 2-й способ: с (b + £) + а(с +|) + * (а +|) =
«=-^(а + & + с)2 = 0, ибо а + £> + с = 0.
360. ^-^Xfl^X^0-, где а0 = £. >о=*.
/ \Фе\ \eb°\ \
Иначе: аЬ 1 р^Г <$ + \щп &0 Г • ПРИ этом предполагается, что
векторы а и Ъ не коллинеарны.
361* Из условия перпендикулярности (а—у) (б— ~J = 0 следует
5 ^ а2 Ч- &2 ^ ,
•j cos С = -g v ; правая часть > 1,

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
337
362. 1) Полагая АП:Пв = \% имеем 67/=^—^?. Так как СНL АВ,
то(&-Аа)^0, откуда Х-*?. 2) ^ .*£.?■?= 1.
J ас J ас ba cb
363. Соотношения АО ±_ ВС, ВО ± ЛС записываются соответственно
в виде р (6 — с) == 0, (р — с) & = 0, а подлежащее доказательству Си ± АВ—
в виде (р — Ь) с = 0. Последнее равенство есть следствие первых двух
(получается из них почленным вычитанием).
364. Полагая АВ = с, ВС = а, СЛ = Ь, имеем ctg Л = S2i^ ==
s sin А
ABAC cb , n ас 4 ^ fta , . .
^Л/ЬЛС.з1п-Л = ~-25; ct«B = -25; CtgC = ^25' °ТКуДа Ctg^ +
ипоП+поГ- cb + ac + ba_a* + W + c--(a + b± cf _a?+b*-f c*
+ctg tf+ctg c- 2S ~ " 45 45 '
ибо a + b + с = 0.
365. Обозначая площадь треугольника через S, имеем (ср. решение
предыдущей задачи):
4 - (& — а) (с—а) а2 ^ t *. Л
ctg И = - ^~ = «J, ибо &с == са = об = 0.
б2 с2
Отсюда и из ctg В — ^, ctgC = ^ вытекает справедливость
доказываемого.
366. 1) Так как точка D делит отрезок ВС в отношении с:Ь, то
Ь' = ±-.— ВС = г—;— Ф ~ с), cf = ^— Ф—с), и, следовательно, Ьсг—Ь'с=*
Ь + с Ь + ск ' Ь + с v '
в c(ft2~ai)~ft(ftc--c2) ^ ^_^ 2) Л5 = с + ^ = Ь-Ь', откуда ЛЯ2 =
= (Ь —&') (<? + с') = bc + bc' — Ь'с — b'cr. Заменяя здесь (см. выше)
bcr — brc через be — be, а 6'с' через Ь'сг, найдем AD* = be — &'с'.
•в- (a + ft) (a—&) a2 —б2
367. cos ср = .. '__: . = а . м.
/(а + 6)а "К(а—1>)2 Д* + &2
368. 5. 369. 21.
370
370а
& + Ас , с*
Т+Г' откуда Хв*'
■ (f'+i»)i
. Если СА = Ь, СВ = а, то Га ^- + &-jW —&) = 0.
-^ -^ ^ 1 —» 2
371. Полагая АВ = р, AD = q, имеем ЛЛГ=р+у?, BN = q + j р.
Если А/С = АЛЛ*, #/С = jaB3v, то соотношение Л2 + £/С = АК, после
подстановки вместо ABt ВК, АК их выражений через р н q, дает:
A«=|-f p=|-; AK:KM = *:h ЙЬ*й-3|*
22 Зав. 1336. Дубнов, ч. I.

338
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
372. Полагая АВ — a, BC = b, CD ■■= с, имеем:
(o + ft+f-)(ft + c)
cos <р =
V(a+b + j) Y(* + ')%
Раскрывая здесь скобки, можно, очевидно, положить длину стороны равной I,
= i
9
так что а* = &2 = <£=1, аЬ = &c=cos 60° ~ i, ас ~ cos 120° =—у.
Ответ: cos со = ——.
2 ^39
373. Если г\, г2, га — радиусы-векторы вершин, я, Ь, с — длины сторон,
ю должно быть
Г1 + Го + г3 2 (Г1 + Г*2)С + "2 (Г2 + Гз)а + '2 (Гз + Гх)6
3 = а + Ь -|- с '
откуда а = Ь = с — треугольник равносторонний.
374. Принимая О за полюс, выразим радиусы-векторы точек А', В', О
через радиусы-векторы точек Ау В, С; тогда A'Bf =2г'2 — г[ — —5~^ =
= —-д-ЛД и т. д. Отношение подобия равно 3:1.
375. Полагая ОА{ = Х<52* (/=1,2,».., /г), имеем 2 xt^< = °- Примем
точку О за полюс, и пусть г = rf + ^а— уравнение прямой /. Так как точки
Bit... , 2?71 лежат на прямой /, то OBi = г' + ^*а и, следовательно,
2 ^ (г'+^*а) — °или
Так как векторы г' и а не коллинеарны, то 2 ** = 0# чт0 и
требовалось доказать. Другое решение можно получить из результата задачи 78.
376. Для определения семи радиусов-векторов Г\% г2, . ..,г7 вершин
Аь Аъ ..., i47 имеем семь уравнений ^ + г2 = 2г12, г2 + /*з = 2г23,..., г7 + г^
=2г71, где г12, ... , r7i — радиусы-векторы середин i4i2,.. .,Л71 сторон. Решая
эту систему уравнений, получим', например:
Ъ = гп + (г23 — Гц) + (г45— г34) + (г67—гбв) = г71 + АиА^ + ЛзИ45 + >456/167,
откуда — очевидное построение, которое нетрудно распространить на
многоугольник с любым нечетным числом сторон.
377. 1) Если О — вершина угла, то можем положить О А = a, OB = lat
ОС = [ia, AAF = s, BBf = Xs, CO = ps. Доказательство сводится к проверке
тождества
(X — 1) a [is + (р. — X) as + (1 — ц.) aXs = 0.
2) АВ . СС/ rt ВС • А А' ± СЛ • ВВГ = 0, где знаки зависят от взаимного
расположения точек А, В, С.
378. Пусть п, г«, Гц, г4 — радиусы-векторы вершин И, Л, С, D\ если Л4
и iV— середины сторон /1В и CD, то
л^= гл- - гм = Гя+Л _ i+а = £sqiJl + игр. = i- (йс+ ЛВ).

ОТВЕТЫ И РЕШКНИЯ
339
Если ABCD есть трапеция с основаниями ВС и АО, причем ВС и АО имеют
одинаковое направление, то из 2MN — ВС-^лЗ следует, что MN имеет то
же направление; поэтому
2MN=BC + AD.
379» Задача решается по образцу предыдущей.
380* Если п — число сторон многоугольника, то при повороте
последнего вокруг центра на угол — интересующая нас сумма не должна
измениться. Между тем, если бы эта сумма была вектором, отличным от нули,
то этот вектор подвергся бы тому же самому повороту.
381. Если /—единичный вектор, перпендикулярный к Л то PuAk—(irh) i>
где гк = ОАк. Поэтому ^ рпАк — (* 2 rk)i — °> иб° 2 Пс r^ ° (см-
предыдущую задачу).
382. Центроиды обоих треугольников находятся в точке
Г\ + rg + ra--|- г4 + гГ) + гс
)•
383. Площадь треугольника, построенного на двух векторах-медианах
3
данного треугольника, равна -г площади последнего.
334. Векторная формулировка: единичный вектор а, составляющий
равные углы с тремя единичными компланарными (но не коллинеарными)
векторами Ь, с, d, перпендикулярен к этим последним. Действительно,
условие равенства углов может быть записано в виде аЬ — ее = adt а условие
компланарности — в виде ЬЬ + -\с -\~ od = 0. Умножая на а, получим
\>аЬ-\- yac + bad — 0. Если бы'было аЬ = ас = ad^O, то отсюда следовало
бы р + 7-М = (Х Последнее равенство означает, что (см. задачу 29) концы
векторов Ь, с, dy приведенных к общему началу, лежат на одной прямой,
что для единичных векторов невозможно.
383. Векторы Siri\, ... , smnm могут быть получены соответственно из
векторов AiA*t... у АтА\ путем поворота п плоскости многоугольника на
90° в одну и ту же сторону. А так как А^А* -\- ... + АтАх = 0, то и S\n^\-.,.
...-)- smnm = 0. См. также задачу 351.
386. Пусть ОА^а, ОВ^-Ь, ОС = с, пл. ОАВ = сь пл. ОВС — с,,
пл. ОСА = а3, пл. ABC — а*; тогда векторы $1%, с<2я2, ^з^з» а4^4 отличаются
только общим множителем ( = zt -^Л от векторных произведений (читатель
сделает чертеж и на нем проверит правильность порядка множителей в
каждом из нижеописанных выражений):
[аЫ [Ьс]У [са], [{с-а) (ft-а)].
Последнее произведение равно — [ab] —\Ьс\ —■• [га], откуда и вытекает
справедливость утверждения. — Выпуклый многогранник может быть разбит на
тетраэдры (например, из какой-нибудь внутренней точки), причем каждая
гр^иь какого-нибудь тетраэдра, лежащая внутри многогранника; будет общей
для этого тетраэдра и смежного. Два вектора, приложенных в точке этой
общей грани и относящихся к тому и другому тетраэдру, дадут в сумме нуль.
387» Если ср — угол между медианами, то
5ftc 4ft^ "* ""*" —*"
«>* <р = S5S—4й'ГАе Ь = АС' с = ЛЬ-

340 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Замечая, что (Ь — с)
л Ьс
созЛ--^-,
находим:
5 cos А — 4 й пе>..
cos * = 5 — 4 cos А (ср# Задачу 361)'
888. (МА+МВ) Афх= (МА+МВ) (МВХ—МАХ) = MB МВ^МАМАг = 0.
так как МА МА\ = MB МВХ (степень точки М относительно круга).
389. 1) [ху] « [(а + Ь) (Ь+с)] = [ab] + [(а + 6) с\ = [об] — [(с + <*>*]=
= [aft] + [cd]. 2) Площадь четырехугольника равна половине модуля
векторного произведения диагональных векторов (ср. задачу 321).
390. Полагаем а' = 6а + т)я; неизвестные коэффициенты $ и у\
определяются из условий (219), а'2=1 и яа'<0.
Ответ: а' = ~ [л [ая]] —л|/ 1 —-^[ая]2 .
391. QP *= AW = Xa+jxft, следовательно, Z>P=KOMn CDQP=Kom aqMN—
= Xa, откуда PC = (1 — X)a. А так как mJ=(1 — ^)Ь, то MP = (1 — ^)Ь—
—(1 — X) a. Соотношение (Xa + (xft) {(1 — ja) ft — (1 — X) a} = 0 переходит
вследствие aft = 0 и a2 = ft* в (x(l —ja) —X(l —Х) = 0или (ja — X) (1 — X — (x) = 0.
Предположение ц — X = 0 соответствует случаю MN\\ (a+6), а
предположение I—X — ii = 0 — случаю MN = NP.
392. 1) АК = |.ЛВ + Л^ = у (* — *). Далее Ло || {<Н> + (-fto)} e А _
—-г 9 т. е. ЛО = X (be — cb)\ OB sss (x (ac — сд). Подставляя эти выражения
в АО-\-ОВ = с, заменяя затем а через —(Ь-\-с) и, наконец, сравнивая
в обеих частях полученного равенства коэффициенты при b и (?, найдем;
i_ _ 1
^^-■""a + ft + c'
откуда
1 Лс(Ь — а) + Ъ(а-с) + (с+Ь)(Ь — с)}.
~3(а + Ь + сУ
Заменяя здесь с «+• Ь через (— а), получим требуемый результат.
393. Примем М за полюс, тогда радиусы-векторы точек Pt Q, R
будут соответственно а, — а, /я. 1) Так как МК ± л, то полагаем rK = Xa*.
Коэффициент X определится из условия KN А_ RP, где ЛГ—середина
стороны PP. Так как Гд =*—к—, /W =*—~ Xa', RP—a~m, тс
из fg"^m —XaM (а — я*) = 0 находим X = т<^>1 и» следовательно,
МК= ~~-,— а'. 2) Так как HR±a, то полагаем HR = \*>a* и определяем (х

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 841
из условия PH±QR или (т — fxo» — a) (w + а)« 0, откуда н1 = -Ц-— •
£1 Ш
HR = „^ л' Прямолинейность расположения точек К* С, И вытекает
/п2 — а? т
из того, что их радиусы-векторы суть соответственно -rr-j— а\ -=- ,
ZQTtt о
m j ^ вследствие чего С# = 2#С.
394.5<== 2 ^v *.•= 2 v*- 2 p?i= 2 ЛЛ-РЛ Полагая
а — 2 Si* имеем а — 2 Р{Р*" р*р!> переставляя индексы суммирования / и k,
i i, ft, I
можем написать также с = 2 ЛЛ * ^V*/ = 2 Р*РЪ * ^^к* Из сопоставления
<• ft, J <, ft, I
двух выражений для а находим: а = -^ У\ ^Л V*?i + **?*) ~ "2 ]Е ^V^
*, ft, I »\ ft, i
= -j\ ^^• Здесь суммирование распространено на все размещения
<.»
из индексов 1, ..., п по два. Вместо этого можно написать <т=п 2 ^^L
Oft
распространяя суммирование только на сочетания индексов по два.
395- Пусть С (г)— центроид точек Рх (rj),..., Рп (гя); тогда Р£ =
ю П + ^+.-.+ г» ^r<=J.{(ri„r<) + (r>_r<) + ... + (r<|,r<)>ig
— — —- 2 *Vb ^ ^<» где &i имеет то же значение, что и в предыдущей
ft
задаче. Отсюда
ft
396. СЯ2 ^(ОРк — OCf = ОЯ2, — 20РкОС + ОС2. Суммируя по Л от 1
до л и замечая, что 2 ОРк = пОС, находим: 2 ср1 — 2 0/>* ~"~ 2л 0С* +
ft ft ft
+ Я0С2, откуда 20Pft = 2C/>ft+ л 0С2, Так как SCPft нс завнсит от
ft ft ft
положения точки О, то 2 ®р% имеет наименьшее значение при ОС — О, т. е.
при совпадении точки О с центроидом С
397. Полагая АО^р, мы должны показать, что из рХ (& — Ь°) = 0 и
(Р — с) X (а° — сО) = 0 следует (р + Ь) X (Ь° — <*°) = 0. Для этого достаточно
сложить первые два равенства, используя а + 6 + с = 0.
398. Пл. В&Въ.ил. ,VM3 = (1 — Х + Х2):(1+Х)з (формула для
площади треугольника — в задаче 154 или 317).
398а. I) При обозначениях, примененных в решении задачи 91, имеем:
пл. /гАда=я.-^ 1 + Xi X 1 + зц +~f+X2 Х 1+Х3 + 1 + Хв Х
х га + у8 I ^ 1 + W3 пл> И1Л/1з (в частност„ „р„ X, = Х2 ~
1 + ai J (1 +4)0 +h) О + Ь)

342
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
(/з-гв)).
= Х3г=Х получаем результат предыдущей задачи). 2) Точки Bl9 В2 и £3
будут лежать на одной прямой в том и только в том случае, если
lt\2l2 = —\ (ср. задачу 86),
" 399. Пл. /([А\А\ : пл. A1AZA3 = (X — I)2: (X2 + > + !)•
400. См. решение задачи 74. Удвоенная площадь одного из вписанных
треугольников равна (по формуле задачи 154)
где точки стоят на месте двух косых произведений, получающихся из
написанного круговой перестановкой индексов 1, 2, 3.
Выражение для удвоенной площади второго вписанного треугольника
получается из (*) путем одновременной перемены знаков при всех трех X. Так
как нас интересует, отразится ли эта перемена на величине выражения (*),
то при раскрытии скобок достаточно выписать члены 1-го измерения
относительно Xlf Х2, Х3; получим: -^ *з to X rz + г3 X /Ч + г2 X rt) + -g- h (r2 X гх +
+ ЛХ^зН" ггХг3) + еще два выражения, получающиеся из написанного
круговой перестановкой индексов и в сумме с ним дающие нуль.
401. Умножая первое уравнение на s't второе—на s и вычитая, получим
r(s'n — sn') — 0. Отсюда видим, что если бы вектор srn — snf был отличен
от нуля, то он был бы перпендикулярен к радиусу-вектору г любой точки,
лежащей на прямой, что невозможно.
402. Пусть (г{) — та вершина треугольника, в которой сходятся стороны
г/ = 1 и /тя= 1; тогда гх/ == riiTt (= 1)/Так как вектор Гг лежит на высоте,
опущенной из (гх) на третью сторону гй = 1, то гх \\ п. Подставляя гх = Хя
в равенство г±1 = г^тп, получим In = mn. Аналогичными рассуждениями
доказывается, что mn = lm.
403. Примем С за полюс; тогда /\ + г2 + г3 = 0. Точка L пересечения
секущей со стороной A±A^ найдется из уравнений г=Х/, (г — /i)X(r2— /i) = 0,
откуда для точки L имеем X( = CZ,:/)= 1 2
выражения для CAf
CZ С/И CiV
^ *Х(г2 — п)
i и CN:it будем иметь:
* _/X(r2~rt) , *Х(г8 —га)
>iXr2
Составив аналогичные
*X(ri — г8)
г2Хг3
/•зХГх
последних грех дробен знаменатели равны между собой (в силу равенства
г3 =— rt — Го, — ср. задачу 153), а сумма
числителей равна 0.
404. Уравнение окружности [см. (161)]
г2 — 2сг — 0. Подставляя сюда вместо г
поочередно Гь Го, г3, умножае:.! три полученных
равенства соответственно на г.» X г3, г3 X Гь
rtX/*o и складываем, принимая" во внимание
ОЗУ)!
405. При обозначениях чертежа имеем
г-X г3 = г2га sin ЛоОИ3, r3Xri= —TiX/a^
= — г1гз sin AOj43» rj X Го — г^а sin AiOA2.
Подставляя в равенство предыдущей задачи,
найдем после сокращения: r± sin И20Л3"~
— r2sin А1ОА^-ггъ[\лА1ОАг^{). А так как
sin А^дАл : sin A^QAZ: sin ЛгОА>=Л2И3: /М3: A\A«, то CMi • Л2Л3 + ОАь • Л^*»
-= ОА«- А[Ах] (теорема Птолемея)
Черт, к задаче '105.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 343
408. Пусть Г\ — радиус-вектор данной точки, (г—с)* — яэ —0 и
(г — с')2— л'2 = 0— уравнения кругов. Степени точки (ri) относительно
кругов суть р = (rt — с)« — л2 и />' = (rj — с')2 — в71, откуда р —р' = (гх — с)2—
— (гх — с')2 — я2 + я'2- С другой стороны, уравнение радикальной оси есть
(г~ £)2— (г — £')* — д2 + л'а = 0, а в нормальной форме [см. (169)]
(г —с)2—(г— с'Т- — дг + д'2 _ а
:±2к7~-с'| -а
Расстояние Л точки (г^ от радикальной оси выражается формулой
\(rt — сУ-{гх — сГ)* — а*±а'*\
2\с> — с\
Сравнивая с выражением для р —>/?', находим \р —рг | = 21 с' — с\ h.
407. Поляры точек (гх) и (г2) относительно круга г2 = я2 выражаются
соответственно уравнениями rrt — а2 = О и гг2 — а2 = 0. Расстояние первой
|Г1Г2 —а21
точки от полярь* второй есть hx = А ; расстояние второй точки от
Г2
« t. l*Vi— Д21 «. i.
поляры первой ft3 = ■ » откуда /^: /г* = г*: г2.
408- Уравнение искомой плоскости должно иметь вид (см. задачу 346)
Г (кп 4- рп') = Xs + ps'. Ответ: г (sfn — sn') — 0. ,
409- Уравнение искомой плоскости г (кп + \хп') = Xs + f*s', где отношение
X: (х определится из условия (кп + {*л') я" = 0. Ответ: т" [пп'\ — sn'n"—s'nn".
410» 1) Представим уравнение в виде ж — г, откуда ' — ! —
mm \ т \
= — г. Левая часть последнего равенства есть расстояние (d) точки (г) от
прямой /яг — \х == 0, так что — = — = const. 2) Только что установленным
постоянством отношения характеризуется коническое сечение с фокусом в
полюсе; директриса тг— у. = 0 этой кривой перпендикулярна к вектору т.
3) Направляя полярную ось по вектору т и полагая (m,r) = <p, имеем:
ПХГ COS ф = кг + а, А* = : - = ~ [р = 5- , е = -у- )—ХОрОШО
т ' г' /ч — m cos ^ 1 — е cos ср V л ' X / ^
известное уравнение конического сечения в полярных координатах.
411. Полагая FM{i) « г(г*} (/= 1,-2 л), пишем mr(i) = Xr<*} + «*» откуда
/«rn(i) = X + -yr , где r0^ = r(<): r^\ Суммируя от / = 1 до / — п> получим
f '
т У г<№) = лх -f jx ^ -L . Но (см. задачу 380) ^ r°(lf) = 0, откуда
V JL — _ —
412. с г = г cos я.
413. На плоскости — пара прямых, в пространстве — круговой конус.
414. ж = 2 + 3|л, у*= 1 — ja, * = 4[а [см. (292)].
415* со$ <р
1/.
У а у f>-

844 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
416. sfn <р =
417. Прямые соответственно параллельны векторам {2, —1,-2} и
{3, 12,-4}; coscp^rt^.
418. {/, да, п} ± {/', да', л'}; IV + mm' + nnf = 0.
419. Прямая параллельна вектору {3, 2, —о}; плоскость перпендикулярна
117
к вектору {9, —12, 20}; sin<p= -=-.
420. а) {/, т, п} ± {А, В, С}, т. е. 1А+тВ+пС = 0. Ь) {/, да, л} || {А,В, С},
I т п
т- е- Т = -в = "с •
421. Обозначая через /j, /2. • ••» *« единичные векторы ребер, через р—
вектор, идущий от вершины пирамиды к точке Р, найдем для
рассматриваемой суммы значение (i± + и + ... + ^»): Р-
«*■ ^[(,_a)fl^_fl)]2 №-a) (*-«)].
423. (г—г,) (г,-/^) (Гз-г^-^/ИКг.-п) (га-г0]|.
+ [<*[<
1 + а2
424. x=t^ + tatgftll
425. е = ^ ^_ i^i
с а2 ' * ~~ а2 •
426. Полагая ВС — а, С А = Ь, АВ — с, запишем проверяемое равенство
в виде 2 [ab]2—a2(bc) + &2(ас)+с2 (а&),*а это после подстановки с = —(a-|-ft)
сведется к известному тождеству [a&]2 = а262 — (а&)2.
427. Левые части скалярных равенств получаются в результате
умножения левой части векторного равенства соответственно на /, на j и на Л.
428. В силу тождества (4) задачи 331, правая часть проверяемого
равенства равна (хуг) Црх) [qy] [rz]). Далее перемножаем два смешанных
произведения, пользуясь формулой (261).
429. В общем случае векторы а, Ь, с не компланарны, так что можно
положить </ = aa + §b-\-ic. Подставляя это выражение d в четвертую
горизонталь, обнаружим, что последняя представляет собой линейную комбинацию
первых трех горизонталей (соответственно с множителями а, р, ?), вследствие
чего определитель равен 0. Если векторы а, &, с компланарны, то в
рассматриваемом определителе 4-го порядка равны нулю уже все миноры 3-го
порядка, составленные из элементов первых трех горизонталей [см. (261)J.
480. Если ОА = /1, ОС = г2, то М = [гха], М'=[г2а']. (а+а') (М+М')=
= (а + а') {[г-^а] + [W]} = a'ria+ar2a' — аа' (га — г2), причем г1—г2=СА.
Мы получили смешанное произведение трех некомпланарных векторов,
совпадающих с тремя ребрами тетраэдра (см. задачу 265).
431. Примем М за полюс, и пусть гъ г*, гь, г4 суть радиусы-векторы
вершин А, В, С, D; тогда
/g + /з
rri'-r4 !
rx — rk И -? - ,1 г»
так что можно положить /^ — г4 = а (г2 + r3), fi + г4 = р (г2 — Гц)» Отсюда
легко выразить гь г4 через г2, г3 и затем проверить, что [гхГо] = [г^Гд] и
kir3) = (г4г2].
432. Пусть плоскость отсекает от тетраэдра ОА\А*А-А пятигранник
OA%NPQM, причем /W —середина ребра А\А«, Р— середина ребра ОА6, N и Q

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 345
лежат соответственно на ребрах А2А9 и ОАг. Принимая О за полюс, находим
для М, N, Р, С? радиусы-векторы
Я' п + г>
)■ »№?)■ '(*)■ <*->■
Из чисел X и (А только одно может быть выбрано произвольно: для того
чтобы Mt N, Я, Q лежали в одной плоскости, должно быть PN РМ PQ—0
или
Ъ + Щ гЛ ( rt + r« г3
Т+Г -2Д-2 i)(^-t) = 0'
откуда (сокращаем на /ir2r3 Ф 0) Xja -}- р» — 1 — 0. Теперь
об. OAtNPQM = об. OQMP + об. OWVP + об. OMA,N^Urx • ^4г - ^ -f
, П + г2 rg + ^3 г8 , rt + r2 г24->>ги\_ 1 X;x-j-t* + 2X+l
+ 2 ' 1+Х '2^~2 Г°-*~1 + Х ;-*6 4(1+X) Г1-а<
Но (см. выше) Xvj. -|- {X = 1, следовательно,
об. OA^NPQM - -j • -g- W3 = ~ об. ОА^А*
433. гЛгягу =(1 + X)(1^)(1+v) (ri + Xr2) (г8 + |*г8) (гз + vr,)-
^ (1 4-Х^ (1-4-х) (1 4-ч) Г1ГзГз' отк>'да н пРиходим к условию X(xv = — 1.
434- Возьмем полюс вне плоскости чертежа (ср. предыдущую задачу).
При легко понятных обозначениях требуется доказать, что векторы ^— »
г* + г'о г* + г[
—ту—- , —~ компланарны. Имеем (см. чертеж в тексте задачи):
(*) rir2r3 = 0, т\г+\ = г2 тъг\ = гг г'/2 = 0,
(**) (*Ч - г\) (г2 - г;) (г3 - г;) - 0.
Полагая {гх + г1) (Г2~Ь га) (гз+ гз) = ^ складываем это равенство с (**)и,
принимая во внимание ('•), находим \ь = 0.
435. 1) Обозначая через а* вектор, полученный из а поворотом в
плоскости треугольника на 90° в определенную сторону, имеем:
гм — у (г2 + *») + *2 (г»~*Г2)Э» ГЛГ' == у <г2 + гз) — -J* frs — ггУ
и аналогичные формулы (круговая перестановка индексов 1,2,3) дляг# и rN/,
Гр и гР,. 2) Из полученных формул находим:
ГМ + rN + гг = глг + rtf' + ГР> = ri + г2 + ^
3) АМ = гш — rlS=-i- (ra + r8-2rj)+-2-(rs —гаК
P$=rN-rP= ~ (г3-г2)--5-(г? + Га-2га)'.
2
Откуда Л/И = РЛГ'.

346
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
436* Примем за полюс одну из вершин первого тетраэдра, например вер.
шину D, и пусть ОА = atDB = b, DC= с; DA! = гь DB' =« r2, DC' = ra,
DD'=r4. Обозначая через и вектор, параллельный прямым ЛЛ', ВВ', СС, DD't
будем искать точку D' как пересечение плоскости (г — о) (6 — а) (с — а)=б
■^ лбе п .. ,,, t
с прямой г = Air; получим г4 = —г^ г-7 г #• Далее найдем точку Аг(гх)
и(Ь— а) (с—а)
аЬс
как пересечение плоскости rbc = 0 с прямой г — а-\-\*.и: г^ — а ^— я,
к - obc аЪс _
Аналогично r»= b и, Гл = с г— и. Теперь
аис J abu r
6 об. Л'£'С'£)'=| (/Ч — г4) (г2 — г4) (г3—г4) 1=1^^3—г1ггг4—ГаГ1Г4—г2Га',4 N
| \а6« ' аяс ' ubc)
откуда
и{Ъ — а) (с — а)
= 3 ] afo | = 3 • б об. ЛЯСЯ,
об. Л'£'С'Я' = 3 об. ABCD.
полюс в точке Af, так что г4= — Хгх» то rN = **:2 , Г- , гр = ^~
1 "Г (А 1
437. Обозначая радиусы-векторы точек А, В, С, D соответственно через
Л» ^2» гз. ^4г имеем гм = \ . и аналогично для rN, гР, Гд. Если выбрать
/Ъ + Х'П . -
- "+]/•• Л?-
= -|—г-—^. Подставляя в условие компланарности rNrP /7> =0, найдем Ар/—ц)Л
438. Так как р^г = [р?] г, то [см. (30б4) и (30б7)]
lim (pgr) = lim [pq] lim г = [lim р • lim #] lim г = lim p « lim q • lira r.
439. Нет, ибо направление вектора р (и) может не приближаться ни
к какому предельному направлению.
I. Если lim X (и) = Ао=£0, то lim г-р—- = г-; остается применить (30б3).
U~>Uj
1
Применить (3082) к произведению р -г-.
л
««■*£■
443.
г/и
*•* - а «"I " - ^"" и - {[&] + ИК
dr __dp
*<7
rfr
+ РЧ Ъ7 = £<1Г + Р •& г+РЯн7,-
du du
du
du'
444. 1) [\pq]r] + [[pq]r] + [[pq]r);
2) \pq\ [rs] + [pq] [rs] + [pq] [rs] + [pq] [r's] u т. д.
445. d
446. 1) Проверка дифференцированием. 2) Сравнить две интегральные
суммы, для которых тот и другой определенные интегралы являются
пределами.
Л' У Z
л, у\ г,
Л 2 ) 2 **Ч
^
dX dV dZ
Х\ Ух Zx
X* Y<i Z2
i
"Г
Л" У Z
dX{ d)\ dZt
Хп Y» Z2
+
X У z
Xt П A
dX« dYz dZz

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 347
447. УЖ+№ la* — «i|.
447а. 1) * = 1 J* уТйи; 2) * = /"fe ^
448. ds = 2a sin -^- */и.
449. dr — dp (/cos?-[-ysHi<p).fpdty(— /sincp-f/ cos 9). Замечая, что
векторы /cos?-f /sin 9 и — £sin<?4-ycos 9 — единичные, взаимно
перпендикулярные, находим ds2 = df- + р2 fif?2.
450. 1) Если r2 = const, то (см. задачу 442) rrfr = 0. 2) Если rrfr*=Op
то ~2 d (г2) = 0, г2 = const, г = const; вектор, остающийся при всех
изменениях перпендикулярным к своему дифференциалу, сохраняет постоянную
длину. Этим доказано, что единственная кривая, ортогональная ко всем своим
радиусам-векторам, есть окружность.
431. В равенство d(-jj= £ подставляем <*/* = — dr.
452. d(rn) = nrn-*rdr.
453. Заменяя (324) соотношением r—/? = const, приходим к выводу:
п каждой точке гиперболы нормаль делит пополам угол между одним из
фокальных радиусов-векторов и продолжением другого.
454. Дифференцируем уравнение кривой: dr = — zi dr, (r° -f- e/) г/r = 0;
MP II
направление нормали дается вектором r° + е/ = г° + ттт i MLr*+ MFL
Сложение векторов MLr° и MFi производим в точке М>
453.1 = г — R; дифференцируя /2 ~ (г—/?)2, найдем / dl=(r — R){dr—4R)*=
^=ldr—ldR~ luptdr—lnptaR; остается сократить на /. Равенство (322)
получим, полагая # = 0 (т. е. закрепляя начало вектора I в полюсе), вслед*
ствие чего / = г, / = г. При указанном в условии выборе направления отсчета
дуг s н S имеем [см. (319)] | dr | =* ds, \dR\ = dS, откуда прг<*г = ds cos to,
nptdR = dS cos Q. Частные случаи: 1) При o> =s Q = —- находим di=Ot I =
= const, т. е. если нормали к одной кривой служат одновременно нормалями
к другой (такие кривые называются «параллельными»), то заключенный между
этими кривыми отрезок общей нормали сохраняет постоянную длину. 2) Из
I = const, Q = -=- следует cos о = 0, u> = —: если отрезок постоянной длины
перемещается, оставаясь ортогональным к траектории одного из своих
концов, то он ортогонален также к траектории другого своего конца. 3—4) Если
ш = 0, то каждое из равенств Q = -^, / = s + const есть следствие другого.
Это означает: для того чтобы касательные к одной кривой были нормалями
к другой, необходимо и достаточно, чтобы заключенный между кривыми
отрезок касательной отличался от криволинейной абсциссы точки касания
на постоянную величину. При1 этом предполагается, что на кривой, несущей
точки касания, из двух возможных направлений отсчета дуг выбрано такое,
для которого упомянутые отрезок и криволинейная абсцисса возрастают
одновременно («сматывание натянутой-нити с кривой линии»).
• .. (*—1) <*)
456. Если г (и0) « г («0) = ... = г (и0) =0,аг (и0) Ф °> то г (и0 + Л)~
/jft <*) Л*+1 (* + *>
— г (г/0) = -^у- г(//0) + ^~тт|( г («о) i• •)• w г >0 вместо с Л. Отсюда

348
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
(к) h (*-И)
r(Uo + h) — r(u0)\\r (и0)-\- k , 1 ( г (й0) + •), и снова правая часть стрс-
(*)
мится к г(и0), когда Л->0.
45?.p(ii)-/i(0) + «p(0) + ^p(0)+...+^^
458. По условию г — Хг, откуда г = Хг + Хг = цг, г = цг + рг ~ чг и т. д.
(Вариант: дифференцируем тождество [гг] = О и последовательно находим:
[г?] = 0, [гг] = 0ит. д.)
Если функция г(м) допускает разложение в ряд Тэйлора, то из г(м) =
= г (ц0) + (« — "о) г («о) + ~~^, г (но) + . -. , где все векторы,
участвующие в правой части, коллннеарны одному г (и0), следует, что г (и) = <р (и) г (и0),
т. е. вектор г (и) сохраняет постоянное направление и значит имеет
годографом прямую линию, проходящую через полюс.
459. Согласно условию, тождественно, rfr —0. Дифференцируя но и и
замечая, что смешанное произведение с двумя одинаковыми сомножителями
равно нулю, найдем г гг = 0. Этим доказано, что вектор г лежит в плоско-
. ..(4) ....(4)
стивекторов г,г. Дифференцируя снова тождество г гг = 0, получим rrr +
...(5) ....(4)
-j-rrr = 0; а так какггг = 0 (ранее доказано, что перемножаемые здесь
векторы компланарны), то ггг = 0 и т. д. (в дальнейшем применить метод
полной индукции). В условиях компланарности всех векторов г(щ), г (и0),
г(и0), ... разложение в ряд Тэйлора г (и) — г (и0) = (и — м0) г (и0) +
_)_ * д~Г Ц°Г г (и0) -f- ... обнаруживает, что вектор-хорда Л40М, идущий от
фиксированной на кривой точки М0 к любой достаточно близкой ее точке М,
лежит в фиксированной плоскости (векторов г(и0) и г(и0), проведенных из
М0); это означает, что кривая вблизи точки Af0 — плоская.
460. Нет, потому что в формулах для X (и), У (a), Z (и) мы не имели бы
оснований считать значения множителя $ одинаковыми; выражение же
(«-Ы) (» + 1) (ю-М)
/ X (a0 + bx(u — u0))+j У (и0 + Ъ2(и — щ)) + к Z («0 + 03(« — и0))не
является обязательно частным значением функции р (м)=« ЛГ (ti)Jt-J У («) +
(и + 1)
-\~k Z (и). Замечание. Можно показать, что формула Тейлора с
остаточным членом в форме Лагранжа, даже в простейшем случае п = О, когда
эта формула выражает теорему Лагранжа о конечном приращении /(«) —
—/(ыо) = (н — "и^/("о + ^(м — Щ))> не имеет силы для вектор-функции.
Действительно, если бы теорема Лагранжа (а значит, и следствие из нес—
теорема Ролля) была справедлива для вектор-функции, то отсюда вытекали бы,
например, такие утверждения, заведомо неверные: 1) для всякой хорды можно
указать на стягиваемой сю дуге такую точку, касательная в которой
параллельна хорде; что это неверно, можно убедиться на примере винтовой линии,
у которой существуют вертикальные хорды, но не существует вертикальных
касательных; 2) если движущаяся точка описала замкнутый путь, то скорость
этой точки в известный момент движения должна была обратиться в нуль,—•
чтобы опровергнуть это, достаточно представить себе равномерное движение
точки по окружности.
461. г = а^?'-1+ а2^'""2-г • • • + я/4, где а}, ..., ап — произвольные
постоянные векторы.

465.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 349
462* Если Vq = //£, то полученное в примере 2 решение принимает вид
г = £ (tj- t2 + ht J -f г0 = £u -|- г0, где м = — & + ht — новый параметр.
Траектория — прямая, параллельная вектору £.
463. Полагаем г (/) ~<р(/)£(0 и подставляем в данное уравнение: <ps +
+ (? + а?)s — Р* Выбираем теперь <р так, чтобы !р -J- аср = 0, откуда <р = е~^ ° ;
Га d* _
уравнение для s принимает вид s*=zpe° . Отсюда интегрированием находим
s(t), а затем г (/).
464. Рассматривая уравнение как линейное 1-го порядка относительно
неизвестной функции -~, находим (см. пример 3) — = £ (/) £, где с = const,
— Г« c/f Л Г
р (/) = е J . Отсюда г = 7 (0 £ + ^1> где ? (/) = J р (/) ctf, Cj = const. Если
оставить в стороне тривиальное решение г =* const (при т (f) = const), то можно
принять т (0 за новый параметр и, и тогда уравнение г = ис-\~ с^ покажет,
что годографом служит прямая. Геометрический смысл: если во всех точках
линии векторы гиг коллинсарны, то эта линия — прямая.
Полученное в примере 5 уравнение --— — ( ^ pj/i = 0 превра-
тится в—^г=0 и даст (см. пример 1) р= at-\-b, а так так у = е * , то
г = е *{Ы + Ь).
465а. Исходное уравнение дает: 1)Яг=0, откуда Нг=а< Hr=at-\-$, где а,
р—постоянные; 2) [[Яг] Н)={[Н{гН]) Я] = #2 [гЯ]. Исключая [гН] отсюда и из
полученного на стр. 217 уравнения [Hr] = [H[rti]) + [Не], находим [[Нг\Н\=
=—Я2 {[Я [ГЯ]] + [Яф,или 5 = — НЧ, где г = [[Яг] Н) + [Яг] — уравнение
типа (332), для которого общее решение имеет вид г = a cos Ht-j-b sin Ht,
a, b — постоянные. Так как, с другой стороны, г = #2г— (Иг) Я' + [Не] =
= №/•—(«*+ р) Я+ [Я*], то r=jj2{a cos Яг -j- ft sin Ht + [at+ $)H + [гЯ]}=
= ai cos /// + ftisin Ht+ (а^~{- Э0Я+ [с*Я]. Подстановка в исходное
уравнение показывает, что постоянные аь рх и С\ остаются произвольными, а% = [Hd],
bt = тт■■ {[Hd] Я], где d— произвольный постоянный вектор.
466. 1) Концентрические окружности (см. выше примеры 1 и 2). 2)
Концентрические сферы.
467. Эллипсоиды вращения (ось вращения проходит через
неподвижные точки).
468. Кривые, параллельные С (см. решение задачи 455).
469. Цилиндры вращения, для которых фиксированная прямая служит
осью.
470. Плоскости, перпендикулярные к вектору [ab] -j- [пт\
(предполагается, что этот вектор отличен от 0; в противном случае <р = 0
тождественно).
471. Линия уровня <р (М) = а (0<д О) будет состоять из двух
круговых дуг, стягиваемых хордой АВ и симметричных относительно АВ»
472. {\0ху — Зуз, 5л:2 — Ovy2 + 4У6У-
473. 5 + !£ УЗ [см. (33901.

350 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
476. (0, 0)и (|-,-i).
477. Точка А (1,0). Так как <р(Л)=:2, то линия уровня имеет
уравнение хг — 2х—у* + \ =0 или (х—I)2—y*z=z0, которое распадается на два:
х— 1 =у и х—1 = —у*—две параболы с общей касательной в А.
478. На биссектрисе угла хОу делаем из точки М засечку (О)
радиусом ОМ; (grad ч)м *= МО.
479. 1) 2г; 2) 5rV, 3) (br)a + (ar)b.
480. grad <f = {Zx*y*z\ 2x*yz, *8y*}. 481. — | — 2 YT.
4 3 12
482. Направляющие косинусы направления АВ суть у^, г», -^. От-
98
вет:Тз-
483. 1) [аЬ]; 2) ЦЫ] а] + [[аг\Ъ]\ 3) 2^[а[га]].
484. См, п. 49. Если г —радиус-вектор точки М, то <р = JL_Z1_-L_L f
откуда <prfcp = —^a.[(& —r)a]-rfr; grad<p = — —5 [a [(6 — r)a]]. Ho
-~5(a[(6 — r)d\] есть компонента вектора (6 — г) в плоскости,
перпендикулярной к а, т. е. вектор-перпендикуляр (Л) из М на прямую; а так как <р = ft,
то grad<p =— ТГ55*—Л°—единичный вектор, направленный по внешней
нормали к цилиндрической поверхности уровня. Последний результат можно
было получить проще: из <р = Л следует dy — dh = h° dh\ но при любом
перемещении точки М конец вектора гч-Л движется по данной прямой,
перпендикулярной к Л, Следовательно, d(r + h)±h\\ Л°, Л° • d (Г + Л) = 0,
hQdh~ — h° dr, откуда tfcp = — h° drt grad <p = —- Л°.
485.
/12 _^ ИД
I 13' 13' 13/ *
486. Особые точки образуют прямую г = Аа (см. задачу 4838).
487. 2jc —7у+19 = 0; 7х + 2у —13 = 0.
488.
Градиенты 2<4,;р> и 2< —,— -—J- перпендикулярны, если
У2
=—- 5= 0. Условие совместности этого уравнения с уравнениями
а2а\ bzt>i
обеих кривых есть я2— № = af-\-b\ (как известно из аналитической
геометрии, это означает, что линейные эксцентрицитеты эллипса и гиперболы
одинаковы, кривые «конфокальны»).
489. Если левую часть обозначим через у(х,у, г)% то grad <р =
=» Ф*2+У* — 3*> хг + 2, лгу + 2г — Здг}, (grad<р)д = {3, 4, 4}. КасатеЛь-
х 1
ная плоскость 3 (х — 1) + 4 (у — 3) + 4(* — 2) = 0; нормаль: —«— =
_.у — 3_« — 2
4 4 '

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 851
490. Касательная плоскость: (* — *>* + (У~У)у + **Т*К = о или
az о* с*
§+Ж + 1 = ЬНоРмаль:Х = ,(1+12), K-j,(l+£). Z-,(l + £)
а*(* —*) ft2(^—Д') c2(Z-^2)
или _ в_ в ; .
491. См. (3470, (3490.Касательнаях = 3 — \21\,у = 4 + 60А. г = 12+ 1U;
нормальная плоскость 124*— 60v—llz = 0.
492. 1) \рр\; 2) p/Jp.
493. Скалярное произведение векторов равно ~ 1Г~^Рн~ ( г)^
494. ppp=\Bqqq.
495. Дифференцировать дважды тождество р2 = const.
496. Применить тождество (а&)2 = а'62 — [аб]3, полагая а — р, Ь— \рр\,
заметить, что в нашем случае (см. предыдущую задачу) рр = 0, рр = —р\
497 f?£c=3£~- d*P ~d2p(du\2 dP<Pu. d*p __d*p(du\*
dv ^ dudv'7 dv*~~ du*\dv) + du dv*; dv* ~~ du* \dv) +
д. ч^ du_d^u,dpd^ut r^Pf!P|_r^P£p"|/£ff\3' dEdl£iEP —
+ d drt rfi/ dv2 + rf« dv*' [rfv dt/2 J "" I du du* J \dv) ' dv dv*- dv*
^fy^a*p/du\*
~~ du du* du*\dv) '
498. Считая a = const, Ь = & (u),имеем 2 [a&] [a&] = 2я2 (bb) —2 (a&)(a&).
Остается сократить на 2 и положить Ь = с новое равенство будет
тождеством относительно а, 6, с, так как частные значения вектор-функций Ь{и) и
Й(н) ничем не связаны (всегда можно найти вектор-функцию такую, чтобы
при данном значении аргумента она и ее производная принимали наперед
заданные значения).
499. г = /т° + г/Ч С другой стороны r° J_ г°; если бы г° был отличен
от нуля, то вектор г имел бы по направлению, перпендикулярному к г°,
составляющую, отличную от нуля, вопреки условию. (Вариант: перемножая
векторно равенства г = /т° и г=гг® + гг°, получим \гг] = г2 [г°г°]': а так
как r° J_ г°, то правая часть может обратиться в нуль только при г° = 0.)
Итак, г° = 0, г° = const = с, г = гс. — Это доказательство имеет метрический
характер, в то время как решение задачи 453 не выходит из рамок
аффинной геометрии.
~МА -n rr — 'rr rr — (r°r)r r*r— (rr)r * г г* и ^
500. г*= —^— = ^ = -з—— e ^И^Н- Отсюи,
если \гг] = 0, то г° = 0, r° = const.
501- При обозначениях черт. 82 откладываем от точки М отрезок,
равный FM, на продолжении FfM и отрезок, равный F'M, на продолжении FM.
На этих двух отрезках строим параллелограм, диагональ которого,
выходящая из М, даст направление нормали.
902. При обозначениях черт. 82 направление нормали дается вектором
503. При прежних обозначениях направление нормали определяется
<ЭФ „ , дФ DO
вектором —./* + — #>.
504. Применить теорему Ролля к функции р(и)р (а)р (Ь), обращаю*
щейся в нуль при и = а и и = Ь. Геометрический смысл: если через концы

352 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
дуги (имеющей в каждой точке определенную касательную) проведена
плоскость, то на дуге всегда можно указать точку, касательная в которой
параллельна этой плоскости.
505- Применить известное из анализа правило Лопиталя к каждому из
„ Х(и) У (и) Z(u) v v ^
отношении -7т, —у : , —г-г , где А, У, Z—координаты вектора р.
*(") <р(") ?(") ^
506. Применяя правило Лопиталя k раз, придем к разысканию предела
(к) <*) (* + i) 1 (*+2) 1 (п)
р(")-р("о)-("-"о)Р("о)-2Т(г/~г/о)2Р(^о)-- • -— (п_к)1(и—и<У Р(«о)
lint 1~-—-—— :
(w —м0)"~А + 1:(я —А-{-1)!
(w) (»)
При k = я имеем lim - —^ = р («о)- ДЛЯ вывода формулы Тей-
и — «о
лора остается записать, что дробь, стоящая в левой части проверяемого
равенства, отличается от только что найденного ее предела на бесконечно
малый (при и -► «о) вектор е (и).
S06a-ffi~-p+p-(/-i/)p44/-ii)p-g^ p-
(f—ы)п(я + 1)
— j p . В правой части (2я + 1) членов, которые попарно
уничтожаются, за исключением последнего. Теперь интегрирование дает:
t
!~~Ы— du = ~ lR»{t> U)]Z=« = *»('' ° -Rn(t> U) = - *» ('' *>•
Окончательный вид формулы:
p(t)=p(u) + (t-u)p(u) + (~¥p{u) + ...
• ■•H ^—/>("> +J ^— P («)rf«.
507- Изйз: = 0, /■-— = 0 находим ar = const (плоскость), r2 = const
a/ at
(сфера); траектория — окружность, плоскость которой перпендикулярна к а.
508- Из \Ь ■£- = 0 находим [Ы\ = const = [br0]; [b (г — г0)] = О,
/■ = r0 + <p(0&> r^e <Р (9— неизвестная функция. Подставляя в уравнение
задачи, имеем -^^аЩ + ar^ <р(0) = 0. В общем случае, когда ab ф О,
находим <р = теаЬ* z » гДе постоянное т определяется из условия <р (0) = 0;
окончательно г = r0 + ?^(еш — 1) Ь. Если же аб = 0, то г = r0 + (ar0) tb.
509. Умножить уравнение скалярно один раз на 2г, другой раз на М и
интегрировать.
510- Воспользоваться формулами для t/(cp ++), rf(<p<JO и соображениями,
связанными с (342).
511. Сравнить (343') и (342") с известными условиями максимума —
минимума для функции нескольких переменных.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 353
512. Линия <? — О— прямая 2х—у + 1=0. Остальные линии уровня —
параболы с осями, параллельными Оу, касающиеся упомянутой прямой
в точке (0,1); последняя должна быть исключена из всех линий уровня, как
не принадлежащая к области задания поля.
п п
515. ? = ^ (г -г»)';gradу=2 V(r-r,) = 2n(г-Г*+ Г2|'"+Г») ;
grad <р = 0в точке, для которой г = т "*" Г2 - г>> (см. задачу 396).
516. £ = 3^г-4-
517. Направление нормали определяется вектором {2х,у}, производная
равна 0.
5IS. 1)± У*»'*™** . 2)H,grad?Xgrad^
7 | grad 61 ' I grad +1
•«a grad ю • grad ф
519. cos o) = |g d II grad 61' где Значения градиентов должны быть
взяты в общей точке линий (поверхностей).
520. 6 каждой точке кривой градиенты должны быть компланарны:
grad <р • grad <j/ grad х = 0. Левая часть, записанная в виде определителя,
составленного из частных производных, есть так называемый «якобиан» функ-
521* Начало координат Поверхность уровня х2-\-у2~ 22 = 0—конус
вращения с вершиной в начале координат, которая служит особой точкой
(«конической») и для поверхности.
522. Центр кривой 2-го порядка как раз характеризуется тем, что в
нем^-0, Jt«a
дх ду
523. Условие (необходимое) совместности уравнений у ~0, -г^ = 0,
~~- =s 0 приводится здесь к виду
ап an аы
а21 а22 д2з
л31 Д82 а&
= 0 (условие распадения линии
на пару прямых).
524. Каждая линия (поверхность) уровня состоит из двух прямых
(плоскостей), параллельных прямой (плоскости) тг -\——^ = 0. Последняя
служит геометрическим местом особых точек.
525. В точке (0,2) касательная: 13лг — 3^ + б = 0, нормаль: Зх+13.у—
- 26 = 0.
I (grad ср)01
0(0 Q(h ()т (){[)
527. Известные условия Коши-Римана ■— = ~ ™ = — ч-- как раз
выражают тот факт, что grad ? получается из grad ф поворотом на 90° (в
отрицательную сторону).
528. В точке М (общей для обеих поверхностей — проверить!) градиенты
функций, стоящих в левых частях уравнений, суть \\,2, — 1} и { — 1, — 2,1},
следовательно, коллинеарны.
23 Зак. 1336. Дубнов, ч. I.

SS4
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
529. 17*+.y-4z=12; ±=i- = ZZLi e l^L.
530. Касательная: - ;2-2 =—§"г ^—"~з~Т » нормальная плоскость:
^J-y Z-гД ** -"■У"
И1 grad Fgrad 9 grad 6
531. ,.?... _-, где все градиенты относятся к одной и той же
Vlgrad f grad.il2
точке, лежащей на кривой (ср. задачу 520).
532. Замечая, что вектор {х, у} при повороте на+ 90° переходит
в {— У> *}, находим Х~х — — \$,У—у = Хдг.
533. гА — {5,3}, (г)л = {2,3}. Касательная: Зх — 2у — 9 = 0; нормаль:
2jc + Зу — 19 =«а
534. Решаем систему уравнений: и4 — Зи — 7 = 3, и2-\-2и — 4 = 4*); для
этого достаточно найти все корни одного из уравнений (мы, конечно,
предпочтем второе) и испытать их подстановкой в другое уравнение. Таким
образом находим и = 2, после чего задача решается по образцу предыдущей.
Ответ: бд: — 29_у + 98 = 0; 29л- + 6>— 111 = 0.
535. Решая по образцу предыдущей задачи, обнаруживаем, что точка А
получается при и = 1, а также при и — 3. В точке А —две касательные:
х—2 у—\ х — 2 у—\
—л—=^~-=— и —х—= то * из которых первая относится к
окрестности значения и= 1, вторая — к окрестности значения и = 3,
536. d$ = 2а sin -^- ^и, cos а = sm ^, cos {* — cos -^-.
537. Л?2 = dp2 (1 + ?2) = a^s(1 + 92); cosт =. *
Ун-?2'
538. По формуле (359) находим tg у = — = const.
539. r = {ц, sin и}; r = {1,cosh}=£ 0, следовательно, точек возврата на
синусоиде нет. Так как г = {0,— sin ы}, то произведение г X г = — sin ы»
следовательно, обращается в нуль только при и — пп (я — целое), т.е. в
точках пересечения синусоиды с осью Ох. Отсюда заключаем, что все точки
кривой, не лежащие на оси Ох, — обыкновенные (k = 1,& + / = 2). При и — пъ
имеем г X ^ = 0, г X г = — cos и = :£ 1 =£0; таким образом (£ = 1, & -|- 1=3)
точки пересечения синусоиды с осью* Ох суть точки перегиба.
540. г = д {1 — cos и, sin и} обращается в нуль только при и = 2пк
(п — целое), т. е. в точках, лежащих на оси Ох, Находим г(и) =
=е a {sin ut cos и}; г (2пт) = {0, 1} Ф 0. Далее г (и) = a {cos и, — sin а};
г(2лтс) = а {1, 0}. При и = 2лг* произведение г X /* отлично от нуля,
следовательно, £ = 2, &4-/ = 3—точка возврата 1-го рода.
541. (За, 0), f — у а, —о J' \~1Г а* ~ ~~~Ь—)~-т0чки
возврата 1-го рода.
542. 1) Выше оси Ох вогнута вверх, ниже оси О* —вниз. 2) По
отношению к оси Ох всюду выпукла, к оси Оу — всюду вогнута (точка О как
особая из рассмотрения исключается).
*) Такая система, вообще говоря, будет неразрешимой, и только в том
случае, когда точка А действительно лежит на кривой (как у нас), должно
существовать по крайней мере одно решение.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 355
548. Оставляя в стороне точки, лежащие на Ох, как особые, имеем:
1) всюду вогнутость вниз, 2) всюду вогнутость по отношению к Ох, 3) по
отношению к Оу — выпуклость в интервалах (2дя, (2л +1)л), W п — целое.
544. При обозначениях черт. 108 MqP = {—-- — -Л. В точке Мь
векторы Г и г0 имеют соответственно значения {3, — 1} и {0, 2}.
Произведения гУ^М^Р и г X г оказываются разных знаков: кривая обращена к
прямой выпуклостью.
545
. г = \v cos и, — sin и \ ; условие (368) дает cos2 и -— sin2 и = 0,
откуда cos2 и = sin2 ц = -- . Подставляя в уравнение семейства, найдем
г = 1/ k(v> — —) — совокупность двух равносторонних гипербол
546. Если и—отрезок, отсекаемый на оси Ох, то r=iv + и (to +J(v—s)) =*
= {f(l + 4«(y — s)}. Условие (368) дает: ы = 1. Ответ: парабола
r=i{t/2, (и — S)*}.
S
547. Дифференцируем по параметру v [см. (372)]: — 2х — 4avy = 0.
дг2
Отсюда и из уравнения семейства исключаем v: у (х2 + у2) -f — == 0—
кривая 3-го порядка (циссоида Диоклеса).
548. Рассматривая в (369) х ну как функции от и, vt имеем Fxxu-\- РуУиг*®*
?xxv + РуУь + Fv = 0. А так как в точках огибающей [см. (368)] -^=а*^ ,
то первое из предыдущих уравнений может быть написано в виде
Fxxv + Fy vv — 0 и вместе со вторым дает (372).
549. При и = const координаты ху у суть линейные функции от v —
прямая линия. Вычисляя отрезки, отсекаемые этой прямой на осях координат»
убеждаемся, что сумма квадратов этих отрезков постоянна (= /2); другими
словами» отрезок прямой, заключенный между осями, имеет постоянную
длину ( = /). Задача может быть поставлена так: отрезок постоянной длины
скользит своими концами по двум взаимно перпендикулярным прямым; найти
огибающую всех положений отрезка. Ответ — тот же, что в примере 3.
550. Уравнение семейства касательных:/? = г {и) -f- vr {и) (v — параметр
точки на прямой). Условие Ru\\£v имеет здесь вид г (и) + vr (и) \\г(и). Если
отбросить тривиальный случай г(и)\\г(и) (тогда линия г = г{и) — прямая,
см. задачу 464), то должно быть v = О, следовательно, уравнение огибающей
« = /■(«).
551. 1) Так как для окружности угол между касательными равен углу
между радиусами, проведенными в точки касания, то Д$ = ла>, дГ^-г» и>
следовательно, * = —. 2) Воспользоваться (377). 3) Воспользоваться (3807).
552» Так как угол между касательной и радиусом-вектором остается
постоянным, то из чертежа заключаем, что угол смежности = Д^> гДе ? —по"
гл <*9 Ж? 1
лярныи угод. Отсюда % = — =
<** y<tp* + pd<?* р/а2+1 •
23»

356
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
953. Подставляя в (3800 х=1, * = 0, j> = ~^, $ = --£, находим:
dx*
ЫЖ
554. %= - - (исключаются из рассмотрения особые точки:
Л я Зтс\
555* Если а — угол, составляемый касательной с положительным
направлением полярной оси, то при обозначениях черт.99 имеем: а = <р + у» откуда
% = ~^- = -J— + -—•. Для нахождения ^ дифференцируем (36Qg) и, используя
(360,),'находим: А = ЫУ + И+*~+?*U , 0твет: х = А{2<Мр2 +
+ р2 </?а + Р (^2(Р ^Р — ^Р <*¥)}> гАе ds = У tfp*+p-^92«
556. * = г';я = -^— = ~,
| Г" | >/>"2
557. 1-й способ: дифференцируя равенство *a = r*2, находим %*' «
= r'Y^, при х7 = 0 имеем /"г"' = 0, г"' J. г77, или, что то же, гт И г \ 2-й
способ: из г,п = — %2/ + *'я при *' = 0 получаем г"' || t = jt\ 3-й способ:
из (3807) следует */ = г' X /,,'/; снова приходим к условию коллинеарности
в форме г' X гш = 0.
558. 1) t = r'=r-j-\ остается заметигь, что — =)г|. 2) Вектор
J"'2/1 — (г г) г
—— . .. . единичный, направлен по нормали, так как при скалярном
|rV-(r/)r| ^
умножении на г дает нуль; наконец, направлен (как и вектор г) в сторону
г*
вогнутости, так как в разложении по г и г коэффициент —т-я г-л—:—
положителен.
559- а = I - = arc sin — (опускаем здесь и дальше постоянные
интеграции, так как они влияют только на положение кривой); s = asina;
ds = a cos a da> после чего формулы -^ = cos.ccf-~ = sin а дают dx = a cosVa,
dy — a sin a cos a rfa, откуда * = — (2a + sin 2a). у = — j cos 2a. Полагая
л i па a , , . a a „ .
2a = « + <?, находим: x ^-= -^-(^ —sin <p), -j-—-^ = —(1 — cos ^ —
циклоида.
560. p=*±_rn> откуда -т-= ^ (*л — %rf) я ц:xrf, следовательно, рас-
стояние полюса от нормали, равное I rt |, есть — \— = р \~ .
661. Учесть, что rt = r£~±-jLr*.
562. Радиус-вектор точки пересечения определится из уравнения Г -f- Ал =
== Г + Аг + {а (я + Дя). Умножая обе части на вектор t + А/, перпендикулярный

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 357
Дг It 4- ДА (*' + 2 *" + -)(* + W + ~>
КЯ+ДЯ,Найдем1см.(391)):^Ц+^^^ %+м/+...)
в я^Ф * яР ^ ~~ ~ р* Т* е* PaWc-BeKT0P стремится к г■+• рл [см.
(392)].
568. Если в разложении (393) положим с = р = — и подсчитаем
коэффициент при Л5 (для чего понадобится написать еще один член в разложе-
нии Дг, пользуясь тем, что г'" = — Л + х'л, откуда Лг = Л* + "7> %п +
_{__.(— *7/_|_ хя) + ...),то окажется,что этот коэффициент равен ( J и,
значит, обращается в нуль только в отдельных точках, где */ = 0 (случай
*/~0 не интересен, так как означает, что х = const, кривая — окружность,
а последняя просто совпадаем в любой точке со своей окружностью
кривизны). В частности, для «вершины> кривой (см. задачу 557) всегда будет
%' ~= 0, и, следовательно, там окружность кривизны: 1) аримыкает к кривой
теснее, чем "обычно, 2) не обязательно перекрещивается с кривой.
564. Пользуясь (397) или (3971, получаем:: /? = { — 4aW, Заи2 + ^- ] —
полукубическая парабола с точкой возврата 1-го рода ГО, о~)»
565. Дифференцируя дважды равенство (394), написанное в форме
_ -=. -—я и применяя каждый раз формулы Френе, убеждаемся, что
в той точке эволюты, которая соответствует вершине эвожьвенты, -^ Ф О»
а вектор-т-g не коллинеарсн вектору —^ || л. В обозначениях п. 63 это
означает, что k = 2, /f+/=s3, откуда и вытекает справедливость нашего утверж-
йЧ
дения. У каза ни е., Вычисляя произведение «X jj» можно сделать значи-
dv.
тельные сокращения за счет того, что в рассматриваемой точке — = 0.
566. Дважды применить теорему о совпадении касательной к эволюте
с нормалью к эвольвенте.
567. Пусть Mi и М2 — точки на эвольвенте, Кг н К%—соответствующие
центры кривизны; тогда | МxKi — М2Кч ( = КъК* где KiK^ — дуга эволюты.
Так как дуга К\Къ больше хорды К\Къ то | М±К\ — М2/С21 > К\Къ а это и
есть признак указанного в условии расположения окружностей.
566. По формуле (400) R = {a cos и — (/ — аи) sin и, a sin и +
-(- (/ — аи) cos и }, где и = —, / = const.
669. Натуральное уравнение данной кривой: % = f(s) или—= /(5).
Обозначая нижним индексом (1) величины, относящиеся к эволюте, имеем
(см. (399)) st = /.— р = / ~ т"Р\ (' — постоянное). Далее, по формуле (380")»

358 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Ц = ^тг~ > где (см. (392)) ^^г-г рп — радиус-вектор точки на эволюте;
Ю я
дифференцирование производится по параметру s, который для эволюты
не является натуральным. Так как (см. (394)) г\ = рп, г\ = р"п — ?'%t,
/2
то r[2 = p/j, /■■[ X г^ = — р,2т Xt = + —, так как п X * = ± 1.
р'* 1 Р
Итак, %! = rt г = ± — = g (s), где функция g (s) может быть най-
??' рр'
дена, так как р = —^-. Теперь известны ^ и ^ как функции s, остается
исключить s.
В случае циклоиды натуральное уравнение может быть написано в виде
(см. задачу 559) p2-f-s2 = а2. Такое же натуральное уравнение получается
для эволюты при надлежащем выборе постоянного /, откуда следует, что
циклоида и её эволюта конгруентны.
569а. Семейство касательных определяется уравнением R = r(v)-\-ur (v)t
где v—параметр касательной в семействе, и — параметр точки на
касательной. Условие ортогональности (и — неизвестная пока функция от v):
г ^ - 0 или г (г + -г+r/r J = 0
или г2 -тг + г га = — г2 — линейное дифференциальное уравнение 1-го
порядка. Умножая на интегрирующий множитель —= , получим -г- (и
= —V г\ откуда и — (/-— Г yrzdv) (/ — постоянное интеграции), и
V^ J
окончательно R = г+ —— (/ — IV г2 rfv) г (сравн. (400'))*
/г2 J
570. ^±1 = ^^ = Л;2* + 3.у + 6*--37==0.
— < v I/ л; —3 _УЧ-7 -г —2
571. и = — 1 в точке Л Касательная: —^— — *__ 17 ~ —i— »
нормальная плоскость: бдт — \7y-\~7z — 151 =0.
572. и = \ в точке А; так как г(1) = 0, а г (1) = {2, 2, 12} =£ 0, то
направление касательной определяется этим последним вектором или кол-
линеарным ему {1, 1, 6}. Касательная: — = у — -Т ; нормальная
плоскость: X + v + 6* + 10 = 0.
573. 9л: — 27у — г + 7 = 0.
574. Для соприкасающейся плоскости находим уравнение cx—ay=bc—ad,
не содержащее параметра к. Это можно было предвидеть, так как,
исключая и из уравнений х = ли + &> .У = си + <*> убеждаемся в том, что кривая —
плоская.
575- Если бы касательная к кривой г = г(и) (г ф С) была перпендику»
лярна постоянному вектору а =£ 0, то имели бы аг = 0, аг = const, кривая
лежала бы в плоскости, перпендикулярной к а. Но для плоской кривой
параллельность нормалей означает параллельность касательных, что для
непрямой линии исключено.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
359
576.
X — X
z х — xz ху —ух I
\ху
Z
—S
У-
'X
-у
X
yz
— *У\
\уг — 2у zx — хг\
577. Компонента вектора а в плоскости, перпендикулярной к ЛГ, есть
(см. (216)) j^[N[aN]\; здесь искомая компонента = — [г {г г}]. Так как г
лежит в соприкасающейся плоскости, а компонента — в перпендикулярной
к ней нормальной плоскости, то вектор [г [г г]] лежит на главной нормали
[ср. (408)].
578. Для того чтобы вектор [г г] сохранял постоянное направление,
необходимо (и достаточно), чтобы при всех значениях а он был коллинеарен
со своей производной, которая равна [г г]. Из коллинеарности векторов [г г]
и [г г) следует, что векторы г, г, г компланарны (это можно установить
геометрически или же алгебраически,преобразуя равенство \[гг ] [гг]] = 0).
579. Примем А за полюс, тогда уравнение (R — г) г г =0
соприкасающейся плоскости должно удовлетворяться значением /? = 0 при любом и,
т. е. тождественно г? г = 0, а этого достаточно для того, чтобы утверждать,
что кривая — плоская (ср. задачу 459).
580. [г'[г'/"}) = (г'г")г' — r'V" = — г", так как г'г" = 0иг/!=1.
581. [г \г г]] равнопротивоположен с лежащим на главной нормали
вектором (408) и равен fcr — (г г) г. Справедливость второй части
утверждения следует из того, что 1) г лежит со стороны вогнутости, 2) в
разложении двойного векторного произведения коэффициент (г2) при г положителен.
582. Если [см. (418)] г" = 0, то, интегрируя, находим г = as -j- Ь (а и Ь—
произвольные постоянные векторы) — уравнение прямой линии.
583. Подставляя в (421) х = 1, х = 0, находим:
_ У \dxdx* dxdxV +U*V ^~\dxV
584. 1) t = [пЬ], n = [bt], b = [tit]. 2) b' -= [t'n] + [tnf] = [tn']t так
как f || п.
585. [r'r"]2 =~ r'V'/2~ (г'/")* = г"*, так как r/2 = 1, r'r" = 0.
586. f = it — , b = rt -Ц-7Г- , где должны быть взяты верхние или ниж-
М |[гг]|
ние знаки в зависимости от того, возрастает ли или убывает и при
возрастании s. Отсюда или из результата задачи 581 п — -4 г~~-.
\г\\[гг\\
587. г'" = — -$Н + %'п + хз&; И*) = — 3*у/* + (%" — ** — ««) л +
588. При п = const вторая формула Френе дает: — v.f + ab = 0. А так
как векторы tub неколлинеарны, то % = с = 0 — прямая линия, которую
здесь надо исключить из рассмотрения (главные нормали неопределенны).

360 ответы и решения
589. 1) Примем центр симметрии за полюс. При замене г на (— г)
кривизна остается без изменения, кручение меняет знак [формулы (423) и
(432)1.
2) В (423) и (4320 заменить z на (— z).
590. Необходимо и достаточно, чтобы соприкасающаяся плоскость была
общей для всех точек кривой, а это равносильно требованию, чтобы в
нормальном уравнении этой плоскости оба коэффициента были постоянными:
Ь = const и гЪ = const, т. е. Ьг = 0 и (rb)f — 0 или — on = 0 и огп = 0;
последние два условия равносильны одному а = 0.
591. f:&':=--.
а
592. Дифференцируем равенства т cos ср =* mtt m cos 6 — mb и применяем
формулы Френе.
593. Годограф скорости: г»{а cos /, a sin t, 2bt} — винтовая линия.
Годограф ускорения: г = { — a sin t> a cos/, 2b} — окружность (jc2 + jr*=*a3, z=26).
594. 1) 6 (p2)2 p dp; 2) 6/>5 <*>.
595. Вообще говоря, — нет, так как;? =грр°= |р| cos (р°,р)^\р \ cos (р,р),
откуда р2 = р2 cos2 (р,р). Равенство р2 — р2 имеет место в виде исключения —
при р||р.
595. v**f TrW drt. 597. 1) a + го; 2) га + г»(or).
598. 1) Окружности (так называемые «аполлониевы»); 2) grad <р = ——.
599. За параметр v окружности в семействе примем половину угла, под
которым виден диаметр этой окружности (хорда окружности С) из центра
окружности С. Уравнение семейства: г — a {sin v cos и, cos v -f- sin v sin u},
~~ "2 < v < "о 0< и < 2я. Условие rtt || rv даст sin a = ctg i/, откуда уравнение
f x2 v2
огибающей: г=д {у sin2t/ — cos21>, 2cost;}. Огибающая — эллипс -* 4- ~* — 1.
az 2д3
Мы имеем здесь поучительный пример огибающей, которая касается не всех
кривых семейства (окружности достаточно малого радиуса будут целиком
лежать внутри эллипса; в уравнении огибающей из области изменения
параметра v исключен теперь промежуток —j < v < -j V
600. 1-й способ. Уравнение семейства: R = г(s) + я {t (s) cos « +
+ п (s) sin и}, где t и л — векторы репера Френе; 0 < и < 2к. Условие R8\\ Ru
дает cos и = 0, sin ы = ±: 1. Огибающая Я = г ± ал состоит из двух кривых»
параллельных данной на расстоянии а. 2-й способ. Уравнение семейства
{R — г(s)}2 в д2# Дифференцируя по s, находим: (/?—г) t = О, откуда R — r = \n\
подстановкой в уравнение семейства получаем X2 = с3, X = ± я.
691. Вычислением убеждаемся, что г . J + (~/ ) ~ !• Пользуясь
формулой I = |/(^)8 + (-0)а > находим р = у а*-о».
692. Для эллипса г — {a cos и, Ь sin и} радиус кривизны
(a2 sin2 я + *• cos» uf* № а>
9 в Z» ' откуда р^7* '* = Т'
•""■* ^ ь ь*
При нашем построении АР =? ЛС tg ЛСР = ЛС tg £>40 = b • — = — = р л.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 361
603. Радиус-вектор J? подеры перпендикулярен к г, следовательно Rs= Хг\
где запятая означает поворот на +90°. С другой стороны/?—г$г, т.е.
/X(Xr'-r) = 0, откуда Х«^^-=С^_Г. Ответ: R = r-^±}\
rXr' г* г*
604. ~s = (tn)n—*.{rt)n—*(rn)t~-~*{(rt)n + (rn)t}Urt)n+(rn)tm
Вектор -р-определяет направление касательной к подере в точке А Отсюда
следует, что направление нормали можно определить вектором —(т) я + (rt)t =
= РО + РМ, а эта сумма как раз имеет направление от Я к середине
отрезка ОМ.
605. Антиподера кривой R = R(u) есть огибающая перпендикуляров,
восставленных к радиусам-векторам R в их концах, лежащих на кривой.
Уравнение семейства этих перпендикуляров есть г = R (и) + vR* (и). Из условия
R X /?' RR RR
ги ХЛ>=0 находим t/= — -? = г. Искомое уравнение г = /? Н г Л'.
flx** ЯХ* *Х*
606. 1-й способ. Возьмем F за полюс, и пусть FP~h — перпендикуляр
из F на данную прямую. Уравнение последней, если оси _у-ов дать
направление PF, будет Я = {«, —h}, откуда /?' = {/*, а}, Я = {1,0}, и формула
предыдущей задачи даст ra{2«f ~т h\ — парабола с фокусом Fи вершиной Я,
касающаяся данной прямой в Р. 2-й способ. R=au-\-b, Я' = а9и~\-Ь\
Я—а. Дляантиподеры находим:г—аи+Ъ-\—%-^-^(а'а+&)*=Аи?-\-Ви+С--
парабола.
dp
607. Дифференцируя равенство гп*=*р по *, находим-— = — xrtf, а так
как -£ = rt х, то —г- = л: rf. Отсюда
as да ^
608. фгдх=* ф rf(rx) — фхд>= — <£xrfr = — (bx^^s = (b^~rf5 = 0.
609. Обозначая через R = R{s) радиус-вектор точки Я, имеем по
определению рулетты: MP* t=*M*P*t*и MPn = M*fi*n*, т. е. (Я—/•)/=(**—г») **
(Я — г)л = (/?* — л*)я*, откуда Я = г + {(Я* — г*)t*}t + {(Я* — г*)я*}я.
610. Для упрощения возьмем полюс в точке Я*, тогда Я* = 0, и
уравнение рулетты принимает вид R~r— (r*t*)t — (г*п*)п. Дифференцируя по
общему для кривых С и С* параметру s и применяя формулы Френе, получим:
dR
— = (х — х*) {(г*п*) * — (г*/*) я}, где х и х* — кривизны кривых С и С*.
А так как MP = Я — г = — (г***) * — (г*я*) я, то ^~- = (х — %*) (R — г)' *
= (х— 7.*) MP'. Отсюда следует: MP±-z-, т. е. Л1Я служит для рулетты
Да
нормалью.
611. Л-* = .« (-£ - 2 ^ г) ; Л« =■«♦£; Л* = *2 £
■2

362 ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
612. Из полученных при решении предыдущей задачи формул для dr* и
ds* следует t* = ^ = t—2r~- t\=* tx—2r у± , откуда t*t*x = ttv и
(для плоскости) f*X<I = *X*i —^{(fXrJrfj + trX*!)/*}. Но [см. (135)]
(г X tx) t + (t X г) tt = (tXtt) г, следовательно, ** X * J = * X *i — 2* X *, =*
= — t X *i. Отсюда следует: 1) при инверсии углы сохраняются («конформное
преобразование»); 2) на плоскости меняется ориентация углов.
613» Кривизна х (как абсолютное число) = ± -—, где верхний знак соот-
as
ветствует правому реперу (t, п), нижний — левому. При том же соглашении
относительно двойных знаков, п = ± f = ±(-7-) . Перемножая с р = ± ~,
получаем РЛ8=:г(-^)- Уравнение эволюты [см. (392)]: с = г + (—) . В коор-
dv . dx
дш.атах: х0 = х - -~ , ус = .у -f -^ '
614. За начала отсчета криволинейных абсцисс 5 и s± на АВ и на Афу
примем соответственно А и Ах; положительными направлениями будем считать
идущие от А к В и от А\ к /?х. Угол w между нормалью Л^ и какой-нибудь
другой будем отсчитывать от ААг к ВВЪ так что одновременно s=s1=(i>=0.
При легко понятных обозначениях г1 — г + to, откуда -r-i- = *— Ш. Беря обе
части равенства по модулю, получим —- = 1 — /х = 1—/— t ds^ = ds — Idea,
Интегрирование при наших начальных условиях дает: 5 — si = 1<а. — При полном
обходе овала нормаль поворачивается в одном и том же направлении на угол 2л,
следовательно, разность длин параллельных овалов равна 2тт/.
615. /*i = г + ря + ра, где a — const; rt — г + р (п + a); -^- = t +
+ р' (л + а) + р ( —*/) = р' (я + я) О /1 —г.
616. r1 = r—at> откуда -—- = *4- ах/г — вектор касательной к Q в точке Мх.
Если К—центр кривизны кривой С для точки М, то МК= рл, /ИУС^ ря— я*,
откуда -~ МХК= 0, а это означает, что М^К есть нормаль к кривой Q
в точке Afi. Для неплоской кривой С центр кривизны К лежит на
пересечении главной нормали этой кривой с нормальной плоскостью кривой Су
617. Если искомый вектор о> существует, то он должен удовлетворять
уравнениям [см. (428)] [tat] — хя, [шл] = — %t + ob, [шб] = — zn (*). Умножая
эти равенства скалярно соответственно на п, b, t, находим cotn = х, ыпЬ = <?,
«obtf = 0 или ыЪ = %, tat ~ a, шп = О — проекции вектора to (если* он существует)
на направления векторов репера Френе. А так как со = (<nt) t + (®п)п -f- («&) &,
то единственно возможное для о> выражение имеет вид <а = at + х&. Теперь
непосредственной подстановкой в (*) убеждаемся, что эти уравнения
действительно удовлетворяются.
618- Отправляясь от (428t), последовательно находим разложения векторов
f", t"r по t, п, Ь (ср. задачу 587). Аналогично протекает проверка второго
равенства, причем исходным пунктом служит (4283).
619. Дифференцируя тождество (г (s))2 — Фш находим последовательно:
rt = 0 (геометрически очевидно); it + rrn — 0, откуда гп~ — р, наконец,
tn + г ( — it + aft) = — р7, откуда г& — — тр7. А так как г — (rt) t-j- (/*л) л -|-
4- (rb) Ь, то г= — рл—тр'б. Подставляя в r2~a2, находим р3 + (^р7)2 = а2.

ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 363
620. R = r + lr + pr(\, р — параметры).
621. Доказательство необходимости: если существует постоянный
единичный вектор а такой, что ar' = const, то аг" = 0, af" = 0, а№ = 0, а отсюда
следует, что векторы г", г", г^ компланарны. Доказательство достаточности:
если г"г" Г^ = 0, то существует такой единичный вектор N (s), что
ЛГг" = 0, Nr" = 0, JVrw=0. (*)
Дифференцируя первое равенство с учетом второго и второе с учетом
третьего, находим N'r" = 0, N'rm = 0. Предположим сначала» что г" и тш
не коллинеарны; тогда вектор ЛР, если он Ф0, должен быть перпендикулярен
к плоскости векторов г" и г'", т. е. [см. (*)] коллицеарен с N, что невозможно,
так как Nf _L N (в силу ЛГ2 — 1). Итак. ЛР = О, JV= const, первое равенство(*)
может быть переписано в виде {Nr)" = 0, откуда tfr' = const, т. е.
(/•',#)= const при TV— const. Остается рассмотреть случай, когда гш |] г",
но это означает, что (см. задачу 458) г" имеет постоянное направление,
г" s= ср (5) а, а = const, откуда г = 6 (**) а + ^& ~Ь с — плоская кривая, которая,
конечно, составляет постоянный угол (= 90°) с перпендикуляром к своей
плоскости.
622- Представим себе ту же кривую заданной параметрически. Если
через Т обозначим вектор [grad? gradd*] или любой коллинеаояый с ним
(см. конец п. 61), то г = кТ, откуда г = ХГ+ х/-^ х + ~^*У + -д- *),
M_^[,g]i + [rg]i+[rS]i}-tf{[r£](n) +
+ [г|у'](7у) + [гй"](г*)}' Таким образом всктор [Т{{Т1)Ж +
+ (^У) -з—г~(7*) Х-) даст нам напТ>авленис бинормали и тем самым
позволит написать уравнение соприкасающейся плоскости. В случае кривой х2-}-
+ z2 = а2, у + ** = б2 имеем: grad <р = 2 {*, 0, г}, grad ф = 2 {О, yt z). Можно
принять Г= {у г, xz, ху}\ -^ = {0, г, j/}, ^- = {z} 0, л:}, -gj = {у, х> 0);
П = ^, Tj-xz, Tk=xy; (Ti)^±(Tj)^ + (Tk)^ = {x(z2+y%
yltf^-x7), z(x2+y2)}~{b2xt a2y, г(х2 + у2)}. Векторное произведение
вектора T={yz, xz, ху} на только что полученный дает {л' (z2x% + z2y2— я2_у2),
y[b2x2 — z2x2— z*y2), z(a2y» — b?x2)} — вектор бинормали. Дальнейшие
упрощения (с помощью уравнений кривой) и окончательную запись уравнения
соприкасающейся плоскости предоставляем читателю.

ПРИЛОЖЕНИЕ
ВЕКТОРНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Существующая векторная литература отличается исключительной
пестротой как терминологии» так и обозначений- Впрочем, для читателя,
освоившегося с векторным исчислением, не представляет обычно затруднений
переход от одной символики к другой. Перечислим здесь наиболее
распространенные обозначения.
1. Отдельные векторы обозначаются:
жирными буквами, преимущественно латинского алфавита:
а, Л,...;
буквами старонемецкого (готического) шрифта:
«. 9И,...;
малыми греческими буквами:
«, Р.. .;
буквами обыкновенного шрифта с черточками или стрелками над ними:
— — -»
2. Длину (называемую также «абсолютной величиной», «модулем»,
«тензором») вектора обозначают, заключая символ вектора в
вертикальные черты; если вектор обозначен буквой жирного шрифта или буквой
с черточкой (стрелкой), то длина обозначается соответствующей буквой
обыкновенного шрифта без черточки:
1 а| = а; \а\ = а.
3. Единичный вектор («орт») данного вектора обозначается тем же
символом, что и последний, с добавлением индекса 1 или I (снизу) или 0 (снизу
или сверху). Например, единичный вектор вектора о обозначается одним
из символов:
й\, flj, #0* °°*
4. Проекции вектора а на три оси прямоугольной системы Охуг
обозначаются часто символами ах% а^ az\ составляющие (компоненты) вектора
при разложении по этим осям: а^ ауу аг. Таким образом, если /, J, к —
базисные векторы, то
« = «** + ay] -f azk =ax + ay+ az.
5. Скалярное (у некоторых авторов «внутреннее»)
произведение векторов а и Ъ обозначается одним из символов:
ab, а*Ь, аХЬ, (аЬ)9 (а, 6), а\Ь.
6. Векторное (у некоторых авторов «внешнее», «геометрическое»)
произведение:
[аЪ], [а, Ь\, аХЬ, а/\Ь, об.
7. Смешанное (иначе «векторно-скалярное», «тройное скалярное»)
произведение:
аЬс> (abc), (а, Ь, с), [аЪс], а/\ЪХс = аХ Ь/\с.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсцисса криволинейная 189
Аксиальная вектор-функция 138
Алгорифм 10
Антиподера 299
Аполлониева окружность 326
Астроида 257
Аффинитет 68
Аффинная геометрия 77
— система координат 54
Аффинное соотношение 18, 20
Аффинный инвариант 77
Базис 53
— рулетты 279
Бесконечно малая вектор-функция
191
— малый вектор 191
Бинормаль 286
Биполярные координаты 240
Вектор 20, 66
— аксиальный 138
— главный системы сил 174
— Дарбу 300
— единичный 77
— мгновенной угловой скорости 300
— обратно коллинеарный данному 95
— полярный 138
— свободный, связный,
скользящий 23
— скорости 203
— угловой скорости 142
— ускорения 203
Вектора дифференциал длины 204
— компонента 79, 80, 91
— координаты 53
1-го и 2-го рода; контравариант-
ные и ковариантные 128
— модуль 22
— направление 20, 22
— направляющие косинусы 84
Векторное дифференциальное
уравнение 211
— поле 219
— произведение 137, 147
двойное 140, 156
— уравнение 60
Векторов вычитание 32
— сложение 26, 29
Вектор-функции неопределенный
интеграл 198
— непрерывность 193
— определенный интеграл 198
— порядок малости 191
— предел 190
— производная 194
Вектор-функция 188, 190
— аксиальная; полярная 138
— примитивная 198
— сложная 196
Векторы колли неарные 26
— компланарные 43
— плюкеровы 169
— равнопротивоположные 26
— равные 23, 66
Вершина кривой 270
Взаимные реперы в пространстве 164
на плоскости 105
Винтовая линия 287
Внешнее деление отрезка 50
Внутреннее деление отрезка 50
Вогнутость кривой 251, 252
Вторая кривизна кривой 294
Выпуклость кривой 251, 252
Вычитание векторов 32
Геодезическая линия 218
Геометрическая проекция вектора 82
Геометрия аффинная; метрическая 77
— проективная 13
— эквиаффинная 105
Гиббса формула 163
Гидростатическое давление 143
Гиперболическая инверсия 118
Гиперкомплексные числа 15
Главная нормаль кривой 285
Главный вектор системы сил 174
— момент системы сил 174
Годограф 188
Градиент 226. 228
Давление гидростатическое 143
Движение планет 216
— под действием центральной силы
пропорциональной расстоянию 213—
215
— точки по инерции 212

366
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Движение электрона в поле
магнитного полюса 218
постоянном магнитном поле
217
Двойное векторное произведение 140,
156
Двойное отношение 66, 179
Декартова прямоугольная система
координат 78
Декартов лист 233
Деление вектора на число 39
— отрезка внешнее 50
внутреннее 60
Диадное исчисление 16
Дифференциал вектор-функции 197
— длины вектора 204
Дифференциальное уравнение
векторное 211, 213, 215, 216
Длина дуги кривой 189, 201
Единичный вектор 77
Единственность аффинных операций
векторной алгебры 67
— векторного умножения 147
— скалярного умножения 106
Изобары 221
Изогональная траектория 254
Изотермы 221
Инверсия 118, 122
— гиперболическая 118
— эллиптическая 118
Интеграл вектор-функции 198
— площадей 216
Исчисление диадное 15
— точечное 14
Касательная к кривой 200, 243
— плоскость кривой 283
поверхности 236
Кватернионы 15
Ковариантные координаты 128
Когредиентные преобразования 125
Коллинеарность векторов 26
Компланарность векторов 43
Комплексные числа 29, 179
Компонента вектора 79, 80, 91
Конгруентность 106
Коническая точка поверхности 236
Коническое сечение 12
Контравариантные координаты 128
Координаты биполярные 240
— вектора 53, 128
— лючки 55
Косое произведение 101
Косоугольная система координат 127
Кривая Декарта 240
Кривая Кассини 240
— параметризованная 189
Кривизна вторая кривой 294
— кривой плоской 260, 261, 262
пространственной 290
Кривизны окружность 273
— радиус 270, 291
— центр 272
Криволинейная абсцисса 189
— шкала 189
Кручение кривой 294
Кручения радиус 300
Кубическая парабола 250
Лагранжа тождество 151
Левовинтовая линия 297
Левый репер 135
Лемниската Бернулли 240
Линейная зависимость 42, 43
Линия геодезическая 218
— откоса 300
— уровня 221, 223
Логарифмическая спираль 247
Лопиталя правило 241
Модуль вектора 22
Момент главный системы сил 174
— двух сил относительный 155
— диполя 242
— пары 147
— силы 142
Направление вектора 20, 22
Направленный угол 84
Направляющие косинусы 84
Натуральное уравнение плоской
кривой 268
пространственной кривой 295
циклоиды 356, 358
Непрерывность вектор-функции 193
Нормаль главная 285
— плоской кривой 244.
— поверхности 236
Нормальная плоскость
пространственной кривой 238, 280
Нормальное уравнение плоскости
121
прямой ПО
— ускорение 293
Нормальный вектор прямой 108
плоскости 119, 120
Нуль-вектор 30
Обратимость равенства 25
Обыкновенная точка кривой 248
Огибающая 255
Окружность кривизны 273
— соприкасающаяся 271, 291

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
367
Определенный интеграл
вектор-функции 198
Ориентированная плоскость 85, 104
— прямая 104
Ориентирующий репер 104
Ортогональная проекция 80
— траектория 254
Ортоцентр 182
Основной круг инверсии 118
— трехгранник кривой 286
Особая точка кривой 248
поверхности 236
скалярного поля 233, 236
Остаточный член формулы Тейлора
208
в интегральной форме 241
Относительный момент двух сил 166
Отношение коллинеарных векторов 41
66
Отражение света 144
Пара векторов левая, правая 101
— сил 26, 147
Параллельные кривые 300, 347
Параметр 252
Параметризованная кривая 189
Переместительное свойство сложения
и умножения 10
Плоскости уравнение 63, 120
Плоскость касательная кривой 283
поверхности 236
— нормальная кривой 238, 280
— ориентированная 85, 104
— соприкасающаяся 282
— спрямляющгя 286
— ускорений 282
Плюкерово уравнение прямой 169
Плюкеровы векторы 169
Поверхность уровня 224
Подера 298
Показатель преломления света 143
Поле векторное и скалярное 219
Полный четырехсторонник 185
Полукубическая парабола 252, 257
Полюс 48
— прямой относительно окружности
117
Поляра точки 117, 321
Полярная система координат 244
— вектор-функция 138
Полярный радиус 48
Полярно сопряженные точки 116, 122
Порядок малости вектор-функции
191
Потенциал диполя 242
Поток, отходящий от площадки 90
— силовой 154
Правило Лопиталя 241
— многоугольника 31
— наблюдателя 136
— параллелограма 29
— параллелепипеда 32
— треугольника 27
— трех точек 66
— цепи 31, 85
— штопора 136
Правила дифференцирования для
вектор-функций 194
Правовинтовая линия 297
Предел вектор-функции 190
Преломление света 143
Преобразование координат вектора
123, 125
точки 125
Приведение векторов к общему
началу 25
Примитивная вектор-функция 198
Проективная геометрия 13
Проекция вектора 81
— ортогональная 80
Произведение вектора на число 36,
67, 70
— векторное 137, 147
— двойное векторное 140, 156
— косое 101
— псевдоскалярное 101
— скалярное 88У 106
— смешанное 152, 153
Производная вектор-функции 194
— скалярного поля вдоль кривой 225
-по данному направлению
227
Псевдоскаляр 101
Псевдоскалярное произведение 101
Работа силы 87
Равенство векторов 23
Равнопротивоположные векторы 26
Радикальная ось 116
— плоскость 321
Радиус кривизны 270, 291
— кручения 300
Радиус-вектор точки 48
Разложение вектора по двум
векторам 44
— трем векторам 47, 160
Распределительное свойство
умножения относительно сложения 10
Расстояние от точки до плоскости
122
— _ прямой 113
Репер 103, 133
— Фреие 265, 289
Реперы взаимные J05, 164

368
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Рулетта 279
Рулетты базис 279
Ряд Тейлора для вектор-функции 209
Свободный вектор 23
Связанный вектор 23
Семейство кривых 253
Силовой поток 154
Скалярная скорость 203
Скалярное поле 219
— произведение 88, 106
Скалярный квадрат 89
Скользящий вектор 23
Сложение векторов 26
Сложная вектор-функция 196
Смешанное произведение 152, 153
Соприкасающаяся окружность 271,
291
— плоскость 282
Сочетательное свойство сложения 10
умножения 10
Спираль Архимеда 247
— логарифмическая 247
Спрямляющая плоскость 286
Степень точки относит, круга 115
сферы 122
Стрела кругового сегмента 204
— системы сил 176
Сферическая тригонометрия 162
Таблица векторного умножения
базисных векторов 149
— косого умножения базисных
векторов 102
— скалярного умножения базисных
векторов 98
Тангенциальное ускорение 293
Теорема Гаусса о полном
четырехстороннике 186
— Менелая 74
обратная 74
— о трех перпендикулярах 139
— синусов 97,
— Чевы 75
обратная 75
— Шаля 83
Терцианы 131
Тетраэдр 63
Тождество Лагранжа 151
Точечное исчисление 14
Точка возврата 1-го рода 248
2-го рода 248
— коническая 236
— неособая 24в
— обыкновенная 24в
— особая кривой 248
поверхности 236
Точка особая скалярного поля, 233,
236
— перегиба 248
— узловая 234
Точки взаимно обратные
относительно круга 117
— полярно сопряженные 116
Траектория изогональная 254
— ортогональная 254
Транзитивность 25
Угловой скорости вектор 142
Углы эйлеровы 124
Угол направленный 84
— смежности 261
Умножение вектора на число 36, 70
— векторное 137, 147
— косое 101
— скалярное 87, 106
Уравнение векторное 60
— — дифференциальное 211
— натуральное плоской кривой 268
— нормальное плоскости 121
прямой ПО
— плоскости 63, 120
— прямой 60—62
— — плюкерово 169
— функциональное 71
Уравнения натуральные
пространственной кривой 295
— прямой 62, 63, 167—169
Ускорение нормальное 293
— тангенциальное 293
Ускорения вектор 203
Формула Гиббса 163
— Тейлора 208
для вектор-функции 209, 210
Формулы Френе для плоской кривой
266
пространственной кривой 294
Характеристическое уравнение 216
Центр инверсии 118
— кривизны 272
— системы параллельных сил 52
«— тяжести треугольника 53
Центральная ось системы сил 175
Центроид 73
Циклоида 247
Шкала криволинейная 189
Эвольвента кривой 274, 278, 279
Эволюта кривой 274
Эквиаффинная геометрия 105
Эквивалентность систем сил 105
Эллиптическая инверсия 118

Опечатки
Стр.
142
168
200
206
Строка
чертеж 63
12 св.
13 сн.
15 сн.
Напечатано
V
пфпг
№ {и + Ды)
— idr
Должно быть
V
п%пг
М' (и -f ±и)
~idr
По чьей вине
Тип.
«
«
«
Зак. 1336