Сборник задач
по теории
аналитических
функций
Второе издание
Под редакцией
М. А. Евграфова

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Основное отличие второго издания —это глава VII,
посвященная плоскому векторному полю с комплексным потенциалом.
Большинство задач этой главы было составлено мною специально для этой
книги. Некоторое количество задач я добавил и в другие разделы
(стараясь возможно меньше менять нумерацию задач).
М. А. Евграфов
Внимание!
В связи с дополнениями, сделанными во втором издании,
следующие задачи изменили свои номера:
Номера по первому изданию
1.59
4.39—4.51
10.39—10.48
37.33—37.43
Характер изменения
Заменена другой
Номер увеличился на 10
Номер увеличился на 5
Номер увеличился на 10

Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Комплексные числа
Комплексными числами называются объекты z вида x-\-iy, где х и у—
произвольные действительные числа, если для этих объектов следующим образом
определены понятие равенства и операции сложения и умножения:
1. Два комплексных числа z1 = x1-$-iy1 и z2=x2-{~iy2 называются равными,
если Ху=х2 и Ух—у2.
2. Суммой комплексных чисел Zx—Xx-\-iyx и z2=x2-\-iy2 называется
комплексное число z1+z2 = (хг+х2) -f i (Ух+у2).
3. Произведением комплексных чисел z1 = x1-\~iyl и z2—x2-\-iy2 называется
комплексное число z1zi = (x1x2—У1У2) + t(*i#2+х2уг).
Иначе говоря, комплексные числа складываются и умножаются, как
многочлены относительно символа i, но символ i2 заменяется числом—1.
Легко проверяется, что действия сложения и умножения комплексных
чисел обладают свойствами коммутативности, ассоциативности и
дистрибутивности, т. е.
Zx+z2 — z2-\-zlt z1zi=zzz1;
fa+z2)-f-z3=zx + (z2+z3), (z!Z2) z3=zx {z&aY,
Zi (Z2 + ZS) —ZxZ2-\-Z]Z3.
Число x называется действительной частью комплексного числа z—x-\-ly
и обозначается символом Re г.
Число у называется мнимой частью комплексного числа z—x~\-iy и
обозначается символом Ira z.
1.01. Доказать, что для любого комплексного числа z=^=0
существует единственное комплексное число w, удовлетворяющее
условию zw—\. Это комплексное число обозначается одним из двух
-1 1
символов, z х или —.
Z
1.02. Пусть Rez—x, \mz~y и гфО. Доказать, что
1 _x—iy
z *2-j-#a*
1.03. Символом— обозначим комплексное число zi—. Пусть
z2 z2
Rezk—xk, lmzk=^yk, k—\,2. Доказать, что
zx ^ХхХ2-\-ухУ2 . ,x2yx~Xiy2
1.04. Найти действительную и мнимую части следующих
комплексных чисел:
7

Пусть Rez=x, xmz—y. Величина \^x2-j-y2 называется модулем
комплексного числа z—x-\-iy и обозначается символом \z\. Любое число ф,
удовлетворяющее равенствам
х у
- .-. г =cosф ,,- . . -— sin ф,
называется аргументом комплексного числа z—x-\-iy и обозначается
символом arg 2. Величина arg z определяется только для комплексных чисел,
отличных от нуля. Любая пара возможных значений argz отличается на целое
кратное числа 2л.
1.05. Доказать, что
1. IZiZ.IHsiM*.!- 2. zf
3. aTg(z1z2) = argz1-\-argz2 (mod2ji)
4. arg — = arg zx — arg z2 (mod 2я).
z2
|Z2|' 2^
Примечание. Запись
A = В (mod a)
означает, что А—В — па, где п — целое число.
1.06. Найти модули и аргументы следующих комплексных чисел:
1. I 2.—3. 3. 1+/123.
4. —2 + iv—- 5. T-j-r. 6. -ccsT+/smy.
7. ( —4 + 3/)8. 8. A+/)8A_/]/ЗГ6. 9. l + cosy + /siny.
Пусть лс=Re г, y=Imz. Комплексное число л: — г'у называется
сопряженным с комплексным числом z=x-\-iy и обозначается символом 2.^.
1.07. Доказать равенства:
1. г + 2=21*е,г. 2. z — z=2ilmz.
3. Rez=^. 4. taz = i=^.
5* fc) = z- 6- (*i + *g) = г1 + z2-
7. ]^рГ^) = гх — г3. 8. (г,г2) = гг 2г.
9. (^) = ? (г.^0). Ю. Щ={2)\ я=1, 2, 3
11. |г| = |-г|. 12. zz = \z\K
1.08. Доказать, что для любого многочлена Р (z) с
действительными коэффициентами и для любого комплексного числа z имеет
место равенство Р {2) = Р (z).
1.09. Пусть Р (г) = a0zn + axzar~x + - • • + ап. Выяснить, какими
должны быть коэффициенты многочлена Р (г), если для любых
комплексных значений. ? имеет место равенство:
1. Я (г}^~РЩ 2. Р{z)*= —Р{2).
8 г

1.10 Найти все комплексные значения А, для которых
существует отличный от тождественного нуля многочлен Р (z),
удовлетворяющий для всех комплексных значений z условию Р (z)~AP (z).
Во многих случаях удобно изображать комплексные числа точками
плоскости (или векторами). Именно, каждому комплексному числу z=^x-\-iy, где
x=Rez, a y—lmz, ставится в соответствие точка М (х, у) (рис. 1) с
абсциссой х и ординатой у или вектор ОМ. Сложение
векторов соответствует сложению отвечающих им
комплексных чисел.
Плоскость, на которой изображаются
комплексные числа, называется комплексной плоскостью, ось
X—действительной осью, а ось Y —мнимой осью.
М(х.у)
Рис. 1.
1.11. Доказать, что величина!^—z2\ равна
расстоянию между точками zx и z% на
комплексной плоскости.
1.12. Доказать, что величина zxgz равна
одному из углов, образуемых вектором z
с положительным направлением действительной
оси (угол считается положительным, если он отсчитывается от
положительного направления действительной оси к вектору z против
движения стрелки часов, и отрицательным в противном случае).
1.13. Дать геометрическое описание множеств всех точек
комплексной плоскости, удовлетворяющих следующим неравенствам:
1. Re*>0. 2. Im-z^l. 3. |Rez|<l.
4. |1т*|<1, 0<Re*<l. 5. ]z|*scl. 6. \г —1\>\.
7. 0<|z-H|<2. 8. K\z— 1|<3. 9. 0<агё2<я/4.
10. | л — arg г j <; зг/4.
1.14. Записать с помощью неравенств следующие множества
точек комплексной плоскости:
•1. Полуплоскость, расположенная справа от мнимой оси.
2. Первый квадрант.
3. Полуплоскость, расположенная выше действительной оси и
состоящая из точек, отстоящих от действительной оси на
расстояние не меньшее 2.
4. Полоса, состоящая из точек, отстоящих от мнимой оси на
расстояние, меньшее 1.
5. Полукруг радиуса 1 (без окружности) с центром в точке 2 = 0,
расположенный слева от мнимой оси.
1.16. Найти геометрический смысл следующих величин:
1. \z\. 2. |Rez|. 3. |1шг|.
1.16. Пусть zx и z2— фиксированные точки комплексной плоскости.
Дать геометрическое описание множеств всех точек z,
удовлетворяющих соотношениям:
1. \z—гг\ = \г — гг\. 2. | z- 1 | = | Rez |.
Ъ. \z — z1\-\-\z — z2\ = 2a, a>y|z2 — zx\.
4. 11^ — ^1 — 1^ — ^,11 = 2^
9

1
z0 \<C 1. Доказать, что точку w0~ — можно гео-
1.17. Пусть
метрически построить следующим образом: из точки z0 проводим
перпендикуляр к лучу Oz0 (рис. 2). Какую-либо точку пересечения
этого перпендикуляра с окружностью | z | = 1 обозначим через zi-
В точке z{ строим касательную к
окружности ],гг| = 1. Точку пересечения этой
касательной с лучом Oz0 обозначаем через z2.
Точка wQ симметрична с точкой г2
относительно действительной оси.
1.18. Доказать, что два треугольника
Ai и Л2, первый с вершинами в точках zv
z2, z3, а второй—с вершинами в точках z{,
z'% z'%, подобны, если
Рис. 2.
'1 —
Z2 — Zi Z2 — ZL
1.19. Является ли условие подобия треугольников, предложенное
в задаче 1.18, необходимым?
Уравнения, написанные для переменной точки г, в случае необходимости
можно записать и в прямоугольных координатах.
1.20. Выяснить, какие линии на плоскости записаны следующими
уравнениями:
l.Re-l--.i- (в>0> 2. Re*-1
1
Im —- = 0.
г-}-1
2,
¦4. Re
г+1
z—a
z-\-a
= 0.
= 0
(й>0).
1.21. Выяснить, какие множества точек z комплексной плоскости
удовлетворяют неравенствам:
1. |*-/| + |г + /|<4. 2. Rei-<-i. 3. \z~-2 \-\г + 2 |<2.
4. \l+z\<\l-z\. 5. 0<arg^f<f.6. ReBr(l-0)<V27
7. ^-<argB + 0<|-. 8. |г|>1— Re-г. 9. Rez*>Im2*.
1.22. Пусть Л и С действительные, а В—комплексная постоянные
и пусть AC<Z\B'f. Доказать, что уравнение
A\z\2 + Ez + Bz + C = 0 (A>0),
является уравнением окружности, а также найти центр этой
окружности и ее радиус.
1.23. Доказать, что уравнение окружности, проходящей через
три данные точки z\, Z& Z& не лежащие на одной прямой, можно
записать в виде
1*Г
12
Z
Ч
23
= 0.
10

1.24. Доказать, что при любом положительном значении К,
отличном от 1, уравнение
г—г„
= /С является уравнением
окружности, а также найти центр этой окружности и ее радиус.
1.25. Найти все решения следующих систем уравнений:
1. \
12
z — 8г
z —41
г —8
= 1.
|2«~2*| = 4,
iz+i+г
1 — i
= 1.
1.26. Доказать, что четыре попарно различные точки z?, <г2, ,г3>
г4 лежат на одной окружности (или на одной прямой) в том
и только в том случае, когда величина

действительна.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 1.23.
1.27. Пусть а — произвольное комплексное число, удовлетворяю-
в нижней
щее условию Im a > 0. Доказать, что величина
полуплоскости больше единицы, в верхней полуплоскости меньше
единицы, а на действительной оси — равна единице.
1.28. Пусть а — произвольное действительное число. Доказать,
что если многочлен Р {z) = zn -f- axzn~x +... -f- an имеет п
действительных нулей, то и многочлен • Q (г)=P(z-\-ia)-\-P(z — id) имеет л
действительных нулей.
Указание. Разложить многочлен Р (z) на линейные множители.
* * *
1.29. Найти на отрезке, соединяющем точки zx и z2, точку,
которая делит этот отрезок в отношении \:Х2, где Х{ и Я2 —
положительные числа.
1.30. Доказать, что три попарно различные точки zv z2> z3 лежат
на одной прямой в том и только в том случае, когда величина
— действительна.
2г — Z±
1.31. Доказать, что точка ? лежит на отрезке, соединяющем
точки гг и z2, в том и только в том случае, когда существует
такое число а, 0^а^1, что ? = a2x + (l—а)^-
1.32. Пусть в точках zv ..., zn комплексной плоскости
помещены материальные точки с массами 7^, ..., Хпг соответственно.
Доказать, что центр тяжести такой системы материальных точек
находится в точке ?= 1?,",.nZn.
1.33. Пусть точки zlt z2, z3 лежат на окружности с центром
в точке z = 0. Доказать, что треугольник с вершинами в точках z\>
z%y z3 является равносторонним в том и только в том случае, когда
21 + ^2 + ^3 = 0.
1.34. Доказать, что точки zb z2, z3, z$> лежащие на одной
окружности, являются вершинами прямоугольника в том и только
11

в том случае, когда zi-\-z3=z2-\-z4 (точки занумерованы в порядке
следования при обходе окружности).
1.35. Даны три вершины параллелограмма zv z2, z3 (записанные
в порядке следования при обходе границы параллелограмма). Найти
его четвертую вершину г4.
1.86. Пусть zv zz, z3—три вершины параллелограмма
(записанные в порядке следования при обходе его границы). Доказать, что
точка ? является внутренней точкой этого параллелограмма в том
и только в том случае, когда существует пара чисел tv t2,
удовлетворяющих условиям 0<C^i<l> 0<4<1. и таких, что
? = hzx + 0 — *i — ^) z2 + ^з-
1.37. Доказать, что упомянутая в задаче 1.36 пара чисел tx и t2
по каждой внутренней точке ? определяется единственным образом.
* * *
Комплексные числа тесно связаны не только с плоской, но и со
сферической геометрией.
Представим себе комплексную плоскость в виде горизонтальной плоскости
в трехмерном пространстве и построим сферу единичного диаметра, лежащую
на этой плоскости и касающуюся ее в точке z=0 (рис. 3). Точку касания
обозначим через О, а диаметрально
противоположную точку сферы—через N.
Соединим теперь точку N сферы
прямой , линией с точкой z комплексной
плоскости и обозначим через М (г) точку
пересечения этой прямой линии со
сферой (отличную от точки N). Легко
видеть, что соответствие г -— М (z)
является взаимно однозначным
соответствием между точками плоскости и
точками сферы, проколотой в точке N.
Вместо того, чтобы рассматривать
соответствие между проколотой сферой
и комплексной плоскостью, можно
рассматривать соответствие между полной
сферой и комплексной плоскостью, дополненной символической точкой, которая
называется бесконечно удаленной точкой и обозначается символом со. По
определению, полагаем М (oo) = N. Такое соответствие также является взаимно
однозначным. Оно называется стереографической проекцией.
Комплексная плоскость, дополненная точкой со, называется расширенной
комплексной плоскостью, а сфера, на которую она проектируется—сферой
Романа.
1.38. Выберем в пространстве систему координат ?, т], § таким
образом, чтобы оси 0\ и Оц совпадали с осями Ох и Оу
комплексной плоскости, а ось 0? была направлена по диаметру сферы
Римана. Пусть x—Rez, y==\mz, а точка M(z) имеет
пространственные координаты (g, rj, ?). Доказать формулы:
|г|«
Рис. 3.
I-
-l + izi2 •
Т| =
1-+1*|»
ъ-
l+l*i2
х-
ее
Ч2 + Г12
J/=
l* + V?
12

1.39. Пусть точка M(z) имеет пространственные координаты
(|, tj, 0- Найти пространственные координаты точек:
I. М(—z). 2. AfB). 3. iW(j-).
1.40. Дать геометрическое описание множеств сферы Римана,
отвечающих следующим множествам комплексной плоскости:
1. Re2>0. 2. Imz<0. 3. |г|>1. 4. |*|<1.
1.41. Доказать, что отличные от точек О и N точки iWfo)
и /И (;г8) сферы Римана диаметрально противоположны в том и только
в том случае, когда точки г, и га связаны условием г1?2=—1-
1.42. Доказать, что окружности на сфере Римана отвечает на
комплексной плоскости или окружность, или прямая, причем прямая
получается в том и только в том случае, когда окружность на
сфере Римана проходит через ее верхний полюс N.
1.43. При каких значениях параметра а следующие окружности
комплексной плоскости отвечают большим кругам на сфере Римана:
\.\z — a\ = a (a>0). 2. |z+y| = a (а>0).
3. \z—l\ = a (а>0). 4. \z — 2а/| = а (а>0>
1.44. Расстояние в пространстве между точками M(zt) и M(z^
называется хордальным расстоянием между точками zx и z2
расширенной комплексной плоскости и обозначается символом k (zlt z^.
Доказать формулы:
1. klzr, z2)~—?= \Zl~z*'_ {zx Ф со, z2?boo) .
Kl+l*ir*-Kl+|z«l'
1 s
2. k (zv со) =;
1.45. Дать геометрическое описание множеств точек z
комплексной плоскости, удовлетворяющих неравенствам:
1. k(z, 0)<#, 0</?<1. 2. k(z, co)<tf, 0<tf<l.
3. k{z, 0> у=- 4. !<*(*, 1)< J==.
Символом Z (jVf) мы будем обозначать точку расширенной комплексной
плоскости, отвечающую точке М сферы Римана.
1.46. Обозначим через М точку сферы Римана, получающуюся
из точки М после поворота сферы Римана, как твердого тела,
вокруг диаметра с концом в точке M(Zq) на угол ф против часовой
стрелки (если смотреть из этого конца диаметра). Выразить точку
'zr=Z(M') через точку z — Z(M).
Пусть ф — произвольное действительное число. Под символом е'ф
понимается комплексное число coscp-i-i sincp. С помощью этого символа любое
комплексное число г Ф 0 можно записать в показательной форме:
z = \z\eiarZz.
Использование символа еХф во многих случаях значительно упрощает выкладки.
13

1.47. Доказать, что символ е1^ обладает следующими свойствами
показательной функции:
1. ei0 = 1. 2. е'Ф* • с'Фа — е1 (ф* + ч>*\
З.~ = е'<ч>»-ч>*>. 4. (е'Ф)« = е«яф, л=0, 1, 2, ...
Указание. См. задачу 1.05.
1.48. Доказать формулы Эйлера:
е/Ф-|-«Г/ф _ . е*У—е-/ф -
1. совф = ^ . 2. sm<p=—^ .
1.49. Опираясь на формулу 4 задачи 1.47, доказать формулу Муавра:
[/г/2]
COS Лф = V ( — 1 f C%k COS" - 2*ф Sin2 *ф.
1.60. Доказать формулы:
l.O+cosa + istaa^-fecos^VV"-. 2. (\±**Ё*)Я *+***» ш
v ' ' ' \ 2/ \1—itga/ 1 —itgna'
1.51. Пусть 6^0 (mod 2л). Доказать формулы:
sm ~—- б б
1. sin0 + sin 26 + ...-f- sin«0 = = siny.
smy
sin(/i+-yH
2. -i- +cos0 + cos26+... + cos«e = —i ~i-.
2sin^ .
Указание. Найти сумму геометрической прогрессии
1.52. Пусть 0 у? 0 (mod я). Доказать формулы:
1. cos0 + cos3G + ... + cosBn—1N=^-^.
1 i i v j 2 sin 8
2. sine— sin36 + ... + (_ l)«+isinB«—1N =(—l)^ y^j.
1.53. Доказать, что уравнение zn—l имеет ровно п различных
решений
Zf(=e2k3U/n, 6 = 0, 1, ..., и-1,
называемых корнями степени п из единицы.
1.54. Корень степени п из единицы называется примитивным,
если все его степени от первой до (п — 1)-й отличны от единицы
(т. е. если он не является корнем из единицы степени, меньшей, чем
п). Доказать, что число и>п=е2п'/п является примитивным корнем
степени п из единицы.
1.65. Пусть (о — примитивный корень степени п из единицы.
Доказать, что любой корень степени п из единицы можно записать
в виде а)А, где k равно одному из чисел 0, 1, ..., п—1.
14

1.66. Пусть а — произвольное комплексное число, отличное от
нуля. Доказать, что все решения уравнения zn = a даются формулой
i
п , — агг а и
zk = V]^\en toft, Л = 0, 1, ..., я—1,
где со — примитивный корень степени п из единицы (значение arg a
выбирается не зависящим от номера к).
1.57. Пусть Rea = a, Ima = p\ Доказать, что при {5>»0 все
решения уравнения z2 = a даются формулой
z=:
а при р < 0 — формулой
1.68. Найти все решения следующих уравнений:
• 1. z* = t. '2. 22 = 3-4/. ' 3. 23=-1. «4. 26 = 64.
. 5. 27 + 1=0. .6. ,г8=1+/. - 7. 2?=23. . 8. |zj—г=1+2/.
1.59. Доказать, что при любых комплексных z справедлива
формула
1.60. Пусть е — произвольный корень степени п из единицы, от*
личный от единицы. Доказать формулы:
1. 1 + 2е + Зе2 + ... + «еп-1=-~.
A—еJ
1.61. Доказать, что все вершины произвольного правильного
Л-угольника, лежащего в комплексной плоскости, даются формулой
zk = cndk-\-b, ? = 0, 1, 2, ..., я—1,
где (о — примитивный корень степени п из единицы, а а и Ь —
некоторые комплексные числа.
1.62. Доказать, что точки zv z2, z3 в том и только в том
случае являются вершинами правильного треугольника, когда они
удовлетворяют условиям
{Ч — *l) (*я — Z3) = 0?1 - Ч?> (*i — Z2) (Z3 — Zj) = (Z2 - Z3f.
1.63. Пусть P„(z) = a0z" + a12" + ... + a„, где. ak —
произвольные комплексные числа. Доказать, что среднее арифметическое
значений многочлена Pn(z) B вершинах произвольного правильного
/«-угольника (с т^>п) равно значению многочлена Pn(z) в центре
этого w-угольника.
Указание. См. задачи 1.59 и 1.61.
15

1.64. Пусть со — примитивный корень степени я из единицы.
Доказать формулу
(z~ G>).(Z — GO2). . .B — G)"-1)== 1 +Z -f. . . + 2"-Ч
1.65. Доказать формулу:
. л , 2п . п — 1 п
sin—-sin — * ...«sin л = ?^=т.
Указание. Воспользоваться формулой задачи 1.64 с г=1.
* # *
1.66. Доказать, что для любых комплексных значений z и ?
имеют место неравенства
Н*ЫЕ11*?1* + Е^1*Жи
1.67. Доказать, что:
1. Равенство |2 + ?l = |2! + |?i при отличных от нуля значениях z
и ? имеет место в том и только в том случае, когда arg z —
— arg ? (mod 2л).
2. Равенство |г + С| = ||<г|--|?!| при отличных от нуля значениях
z и ? имеет место в том и только в том случае, когда arg z =
= arg ? + л (mod 2я).
1.68. Доказать, что при любых комплексных значениях z и ?
имеют место равенства:
1. |г + ?12 + и-а2 = Я[г,2-г-2!?|з.
2. |г?+1;2 + |г-?^1+М2)A+т
3. |^-l|2_|z-?!2=(US2-l)(|?i2-J).
Указание. Воспользоваться тождеством Л • А =* | Л |3.
1.69. Доказать, что величина
А1112 + В1}х + Я V -f С! и. j8
неотрицательна при любых комплексных значениях Я, и и, в том
и только в том случае, когда выполнены условия
Л ^ О, С ^ 0, | В |2 ^ ЛС.
1.70. Доказать, что при любых комплексных значениях величин
Zl> Z2? • * ¦» ZTV> fel» Ь2> * ' ¦' fen
имеет место неравенство
(неравенство Коти — Буняковского — Шварца).
п
Указание. Воспользоваться тем, что величина ^ I ^а + ^Са f2 не-
отрицательна при любых комплексных значениях Лиц (см. задачу 1.69).
16

1.71. Доказать, что при любых комплексных значениях величин
zv z2, ..., zn имеет место неравенство
Функция Ф (s), определенная на отрезке [а, Ь], называется выпуклой книзу,
если для любых двух точек S] и sa этого отрезка имеет место неравенство
фEТ^)^Т{фE1,+ф(Ка))'
1.72. Пусть функция Ф(«) определена, выпукла книзу и не
убывает при s^O. Доказать, что для любых комплексных
значений гь ..., zn имеет место неравенство
Ф
1.73. Пусть 0<s'<s. Доказать, что для любых комплексных
значений zv z2, ..., zn справедливо неравенство
t n \]/s f n -\\/s'
?2*
zk
Л
*=i
A=l
1.74. Пусть s>0. Доказать, что для любых отличных от нуля
комплексных значений z{, z2, ..., zn справедливо неравенство
1.75. Пусть zv z%, ..., zn — произвольные комплексные числа.
Доказать, что:
1.1 7 \zk
ft=t
n
2
Zk
\P
1.
2. 2i**i) ^Z\z»\p> °<ki.
1.76. Пусть p~>\ , q> 1 , a 1— == 1. Доказать, что для любых
У Ч
комплексных значений гг, ..., zn и Ci» • • •» Си имеет место
неравенство
19
п , п \1/Р/П
2**.< 2^П 2ir-
(неравенство Гёльдера).
17

ОТВЕТЫ
1.04.
1. Re г = 1/2, !mz = l/2. 2. Rez=0, Imz = l. 3. Rez= — 1,
|тг=0. 4. Rez=—2, Imz=3/2. 5. Rez = 2, lmz=0.
1.06.
1. | г | = 1, arg2=-|- + 2ft*, fc=0, ±1, ±2
2. |z| = 3, argz = Bft+l)jt, ?=0, ±1, ±2, ... .
3. \z\ = V~2, argz=— -^--f 2?jc, fc=0, ±1, ±2, ... .
4. | г |*=.l, argz = ^-f-2ftjt, /г=0, ±1, ±2, ... .
5. | г | = 1, argz=—^- + 2Ьс, 6 = 0, ±J, ±2, ....
6. | г | = 1, argz=y + 2tat, ft = 0, ±1, ±2
7. |z | = 125, argz=—~+3arctg~ + 2ta, k = 0, ±1, :+2
8. \z\=-Tt argz = 2feix, 6=0, ±1, ±2, ... .
4
9. | z | = j/ cos ^ , argz=-^-+2fot, k=0, ±1, ±2,
1.09.
14' ais'-T4
1. Все коэффициенты действительны. 2. Все коэффициенты чисто мнимы.
1.10.
|Л| = 1.
1.18.
1. Полуплоскость, расположенная справа от мнимой оси (точки оси не
включаются).
2. Полуплоскость, расположенная ниже горизонтальной прямой,
проходящей через точку z = i (точки этой прямой включаются).
3. Полоса, состоящая из точек, расстояние которых до мнимой оси
меньше единицы.
4. Прямоугольник с вершинами в точках —i, 1—i, 1-j-i, i (стороны не
включаются).
5. Круг радиуса 1 с центром в точке 2=0 (включая окружность).
6. Вся плоскость, из которой удален круг радиуса 1 с центром в точке
z = i вместе с его окружностью.
7. Круг радиуса 2 с центром в точке z=—i, которая удалена (окружность
круга не включается).
8. Кольцо между окружностями радиусов 1 и 3 с общим центром в точке
2=1 (окружности не включаются).
9. Угол раствора it/4 с вершиной, в точке z=0, расположенный выше
действительной оси, являющейся одной из его сторон (стороны угла не
включаются).
10. Угол раствора я/2 с вершиной в точке z=0, биссектрисой которого
является отрицательная часть действительной оси (стороны угла не включаются).
1.14.
1. Rez>0. 2. Rez>0, 1тг>0. 3. Imz5=2.
4. | Re г | <1. 5. |г|<1, Rez<0.
1.15.
1. Расстояние от начала координат до точки г.
2. Расстояние от мнимой оси до точки г.
3. Расстояние от действительной оси до точки г.
1.16.
1. Прямая, проходящая через середину отрезка, соединяющего точки Zj и
га, перпендикулярно к этому отрезку.
18

2. Парабола, директрисой которой является мнимая ось, а фокусом—тоф-
ка г = 1.
3. Эллипс с фокусами в точках гг и г2 и с большой полуосью, равной а.
4. Гипербола с фокусами в точках гх и г2 и с действительной полуосью,
равной a. N
1.19. Нет, ибо выполнение этого условия может зависеть от нумерации
вершин треугольников.
1.20.
1. Окружность, построенная на отрезке [0, а], как на диаметре.
2. Окружность радиуса 1 с центром в точке 2=0.
3. Действительная ось.
4. Окружность радиуса а с центром в точке г=0.
1.21.
1. Внутренность эллипса —-f~=l.
2. Внешность круга (дг— lJ-f-y2sg 1.
3. Часть плоскости, лежащая справа от левой ветви гиперболы
*-»Ul
х 3 —I.
4. Полуплоскость, лежащая слева от мнимой оси.
5. Правая половина круга радиуса 1 с центром в точке г —0.
6. Полуплоскость, содержащая точку z = 0 и ограниченная касательной к
окружности радиуса 1 и центром в нуле, проведенной в точке z — ' .
7. Угол раствора л/4 с вершиной в точке г=— i, стороны которого
проходят через точки г=1, г-г=0.
8. Чясть плоскости, лежащая с той же стороны параболы у2—1—2х, что
и точка z—\ (и ограниченная.этой параболой).
9. Четыре угла раствора зх/4 с вершиной в точке z = 0, биссектрисами к'о-
л
торых являются лучи argz=—j=-\-nk, k = 0, 1, 2; 3.
Во всех случаях точки граничных линий не включаются.
, ™ тт в т/~\в\2 — Ас
1.22. Центр окружности в точке —-»-, а радиус равен I/ [-—' —,
,. п» Ti zl — К^2 /С ] 2Х — Z2 I
1.24. Центр окружности в точке ~—г^~г а радиус равен —' ¦ ¦¦¦¦!¦
1 —А 1 —Д*
1.25.
1. гж = 6 + 17?, z2 = 6+8i. 2. г1 = 1—/, za= — 1+t.
129 ^1 + ^2
Ai-f-A2
1.35. 24 = г1+г3—г2.
1.39. 1. (-Е,-ть О- 2. &-Y1, D- 3. <?,-tjf 1-0.
1.40.
1. Полусфера, лежащая в полупространстве ? > 0.
2. Полусфера, лежащая в полупространстве tj < 0.
3. Верхняя полусфера. 4. Нижняя полусфера.
1.43.
о
1. а=со, 2. а= /¦„ . 3. 0 = 1^27 4. Ни при каких.
J/3
1.45.
1. Круг с центром в точке 2 = 0 и радиусом
У 1-я» "
2. Внешность круга с центром в точке z=0 и радиусом -^- ]/" 1 _ /?2.
3. Полуплоскость, расположенная выше действительной оси.
19

4. Полуплоскость, расположенная справа от мнимой оси, с удаленным из
этой полуплоскости кругом с центром в точке г=2 и радиусом у 5.
f_z(l-Hzolgg'y) + z0(^-l)
1.58.
4. гк = 2(У\+^ t *=0, 1, 2, 3, 4, 5.
2
26+1
5. zk = e 7 * ' /г = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
6. гЛ=1!А2"е4^ 8 /• ft=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. "
3
7. z1 = 0, z2=l, z3= — 1, z4 = /, z5 =—L 8. 2 = -^ — 21.
§ 2. Последовательности и ряды комплексных чисел
Последовательность комплексных чисел {zn} называется сходящейся к прв'
делу Афсо (или имеющей предел А), если для любого е > 0 существует такой
номер N, что для всех я > N справедливо неравенство | гп — А | < е.
Последовательность комплексных чисел {zn\ называется сходящейся к
пределу, равному бесконечности, если для любого положительного числа М
существует такой номер /V, что для всех n > N справедливо неравенство
Сходимость последовательности {гп} к конечному или бесконечному пределу
А записывается одной из следующих формул:
zn ~- А (п—* со);
п~* со
2.01. Обозначим символом k (г, ?) хордальное расстояние между
точками г и ? комплексной плоскости. Доказать, что
последовательность {zn} тогда и только тогда имеет пределом конечное или
бесконечное число А, если для любого е>0 существует такой
номер N, что для всех n>N справедливо неравенство k(zn, Л)<Се.
2.02. Пусть -xr„=Rezre, yn = \mzn. Доказать, что
последовательность \гп) имеет пределом конечное число А в том и только в том
случае, когда обе последовательности [хп) и {уп} сходятся (к
пределам Re Л и Im А соответственно).
2.03. Доказать, что для сходимости последовательности \zn}
к бесконечности необходимости достаточно, чтобы сходилась к-f-oo
последовательность действительных чисел {| zn |}.
2.04. Доказать, что Пт2п = оо в том и только в том случае,
и—со
когда lim— = 0.
20

2.05. Пусть lim ги = Л ^ со, lim ?n = B v? со. Доказать, mtoj
П-+СО П—С0
1. hm(zn + Z>n)=A + B. 2. \imz,?n = AB.
п-»оо п-»оо
2.06. Пусть Нтг„=Л т^со, Нт?я —В Ф 0. Доказать, что
п -»оо л-к»
lim^=4-
2.07. Доказать, что из каждой последовательности \zn\ можно
выбрать сходящуюся подпоследовательность \zn }, но возможно, что
ее предел будет равен бесконечности.
2.08. Доказать, что еслн |гл|^ЛКоо при л>я0, то из
последовательности {z„} можно выбрать подпоследовательность {znk},
сходящуюся к конечному пределу.
* * *
2.09. Выяснить, при каких значениях комплексного параметра а
сходятся последовательности:
1. М. 2. {?}. 3. -{па"). 4. j^L.}. ^
- 5. \1+а + ...+ а»}. 6. {? + ? + ... + !?}.
2.10. Доказать сходимость следующих последовательностей и
найти их пределы:
3.{^ + ^ + .-. + ^}>|а|>1.4.{|A+^ + ... + ^)},0<Ф<2л.
5. $-~(\—е*-\-е*ч —... + (— \)neinA\, — я<ф<я.
2.11. Пусть Нтгя = Л^оо. Доказать, что
Л-+СО
1 im -LJ——- !—- — А
я-»оо п
2.12. Пусть Птгл —Л ^ со, lim?„ = /? ^ со. Доказать, что
п-+со п-*со
1: m zl?w+гг?ге-1 + •' • Ч~ zt&l __ д^
п—са п
2.13. Пусть числа Ъф Я2,... положительны и пусть
Нт(Я1 + Хя + ...4-Яя)=+оо.
n-t-co
Доказать, что из равенства \\mzn = A^?oo следует равенство
п-*оо
\\rn ^1Z1 ~f~ ^2г2 + • » ' 4"^-nZn A v
П-*СО ^1 + ^2 + ' "+^Л
21

?.14. Доказать сходимость последовательностей и найти их
пределы:
L {тГТТ^+1+/г2; + (й-1J2 + "- + г")}' zl^1* z^h
2'{2^И[2п+1_B""~1)^ + Bй_3)г:4™---+("~1)ге2:2Я]}'
2.15. Пусть ф—действительное число. Доказать, что
Iimil-}- — 1 = cos ф -}-1 sin ф.
П-+СО \ П I
Указание. Доказать существование пределов последовательностей
модулей и аргументов (с точностью до целых кратных 2л) и вычислить эти
пределы.
2.16. Пусть Re ?=.*:, \mz=y. Доказать, что
Jim (l -\-~j=ex((:osy-{-_tsmy).
n-*oo ' л/
I
имеет конечный предел. Этот предел называется суммой ряда.
Бесконечный ряд ^zn называется сходящимся, если последовательность
ы
Бесконечный ряд V zk называется абсолютно сходящимся, если сходится
1
со
РЯД 2lZfel*
1
2.17. Доказать, что абсолютно сходящийся ряд сходится.
2.18. Пусть хп = Яегп, yn = \mzn. Доказать, что для
абсолютной сходимости -ряда ^ zn необходимо и достаточно, чтобы абсолютно
сходились оба ряда ^] хп и JT] уп.
2.19. Доказать, что ряд ]р zn абсолютно, сходится, если
выполнено одно из следующих условий:
1. | zn | < Мрге (п > п0), где М < оо, 0 < р < 1. 2. Нт
П-г 00
3. ] zn | < Мп~а {п > и0), где а>1, М<оо.
'И+1
=р<1.
4. \im\n fl— ?n±i V
П-+0О «- \ Zft /.
а>1.
5. |zw|<Mn^lnn)a (я>Яо), где а>1, Ж<оо.
22

2.20. Доказать абсолютную сходимость следующих рядов:
оо со
1. 2 «"*" М<Ь — оо<а<оо. 2. 2 й*"*" 1*1<А
со
Zj (я!K 1+ги' 1'г1^4*
со
Am {n-\-Z) In2 ft ' ^ '
re=2
со
5. ^ *<*+1)-..<« + я) t Rez<-1.
CO
6. 2[^±^f°J, |*|<i, o<«<i.
CO
Л ^j (« + 2)(z+4)...(z+2n)* г^ z' *» °-"-
«=i
CO
о \ 2^ftl P J_
^ (z-M)B+3)...(z+2n+l)' Kez*>2-
2.21. Пусть x = R$z, y — \mz. Доказать, что
со
Указание. См. задачу 2.16.
При исследовании сходимости неабсолютно сходящихся рядов (и во
многих других вопросах) бывает очень удобно пользоваться преобразованием
Абеля, которое для сумм означает примерно то же, что интегрирование по
частям для интегралов.
2.22. Пусть ап и Ьп, я=1, 2,..., — произвольные комплексные
п
числа. Обозначим Sn= ^] ak> Д^а—#A+i—bk, S0 = 0. Доказать, что
для любых натуральных чисел п и р имеет место равенство
п-\-р я+Р—1
(преобразование Абеля)-
2.23. Доказать, что если ряды ^zk и 21-Ьн*—?а| сходятся,
то сходится и ряд У] zk?k.
2.24. Пусть {А,п}—последовательность положительных чисел,
обладающая свойствами ^ ^2= А^ =^= ^з ^= * • • и НтЯ„==0, а г„ такая
п-*оо
23

последовательность комплексных чисел, что
п
1
М <С оо при
2
любом и. Доказать, что ряд У]Хпгп сходится.
1
2.25. Найти все значения действительного параметра а, при
которых сходятся следующие ряды:
оо оо
1. 2 «-V4 _ 2. 2 *~а*я?/п-
оо оо
з. 2>2+i)-a(^7*-i)- 4. 2(а+1)(а+у?-(а+и)г".
оо оо п
5. ^г """* + '»', 6. J^O+zr^cte^)".
я—1 ге=1
2.26. Пусть |fi„}—последовательность положительных чисел,
монотонно стремящаяся к бесконечности. Доказать, что ряд У. —
Am fA/t
n = l
сходится при любом действительном значении 6, отличном от целых
кратных числа 2л.
emYz °о
2.27. Положим z„=-. , ,¦.>. Доказать, что все ряды V z*
' n=ii и>
&=1, 2, 3, ..., сходятся, но ни один из них не сходится абсолютно.
2.28. Пусть \ап} — последовательность комплексных чисел,
п
удовлетворяющая услозию limу (ап\^~ 1, a Sn— ^] ak. Доказать,
П — со А==0
со со
что при | z | <С 1 ряды ^] anzn и ^] 5„гп сходятся и что их суммы
о о
связаны соотношением
СЮ «JJ
2.29. Пусть |а|<:1. Доказать, что числа zn=l -f- a-\-,..-\~an
удовлетворяют условиям Re (zn A — а)) > 0.
2.30. Пусть {Хп\ — невозрастающая последовательность иоложи-
со
тельных чисел. Доказать,_что ряд ^"knzn в круге |z[«<l сходится
о
и что его сумма отлична от нуля в этом круге.
24

Пусть {гп\ — последовательность отличных от нуля комплексных чисел.
Если последовательность {Zi*z2-... • гп) имеег отличный от нуля и
бесконечности предел, то этот предел называется бесконечным произведением, чисел
оо
zii гг» z8f ••• и обозначается символом TJz„.
1
00
2.31. Доказать, что если бесконечное произведение \\zn cxo-
1
дится, то zn —¦ 1 при п —> сю.
оо
2.32. Доказать, что если бесконечное произведение Y\ zn cxo-
1
оо
дится, то сходится и ряд ^У] In | zn |.
I
2.33. Доказать, что для сходимости бесконечного произведения
оо
ТТ zn необходимо и достаточно выполнения следующих двух условий:
1
со
а) Ряд 2]ln Vn | сходится.
б) Величины argzn можно выбрать (за счет прибавления целых
со
кратных числа 2я) таким образом, чтобы сходился ряд У1 arg zn.
i
со
2.34. Доказать, что если сходится ряд ^ И — zn 1> т0 сходится
со
и бесконечное произведение ][J2„.
1
со оо
2.35. Доказать, что если ряды ^]A—zn) и ^]|1—2„ J8 сходятся,
1 1
со
то сходится и бесконечное произведение ]~[ zn.
2.36. Доказать, что если сходятся ряды
со со со
1 1 ]
со
то сходится и бесконечное произведение PJ^n-
1
оо
Бесконечное произведение ТТ A +ся) называется абсолютно сходящимся,
1
со
если сходится бесконечное произведение ТТA+|сге|).
1
25

2.37* Доказать, что бесконечное произведение J~[ (l-f-О абсо-
1
лютно сходится в том и только в том случае, когда абсолютно схо-
00
дится ряд 2^л-
1
2»38. Доказать абсолютную сходимость следующих бесконечных
произведений:
оо оо
— оо<;а-<оо.
с»
з. ПA + &)« z^-in> п=1> 2> •••:
12 = 1
ОО
га—1
со
5. ПA + *Т*)' 2rs^±^ «^^V^+T. /г=1, 2,.... ,
л=1
п
2
n = 3
2.39. Доказать сходимость следующих бесконечных произведений:
00 00
,. ПA+Ь!Е?). *,>а *П (>+«=?). *->а
п = 1 га—1
оо . ч оо
3-ПA+Я-0<,р<2п'а>а 4- Ш^ет,)-
п=1 и=1
ОТВЕТЫ
2.09. 1. При |а|<1, при] а |> 1 и при а=1. 2. При всех. 3. При всех.
4. При | а] < 1, при | а | > I и при а = 1. 5. При | а | < 1, при | а \ > 1 и при
а=1. 6. При всех.
2.10. 1. 0. 2. 0. 3. с». 4. 0. 5. 0.
2.14. 1. -г^—. 2. i-J-a- 3. г-^-.
1~г l-f~za 1—г
2.25. 1. При а>0. 2. Приа>1. 3. При а>0. 4. При а<0. 5. При
любом а. 6. При а<0.
§ 3. Функции, кривые, интегрирование
Iе. Комплекснозначные функции действительного переменного.
Если каждому значению t из интервала a <i <. b поставлено в
соответствие комплексное число г (f)=х (/) -f- iy (t), где х (t) = Re г (/), а у {f) ~ Im г (t), то
мы будем говорить, что на интервале (я, Ь) задана комплекснозначная функция
z{t) действительного переменного t.
26

Для комплекснозначных функций действительного переменного
естественным образом определяются понятия предела, непрерывности, производной,
интеграла и т. д. Именно, полагаем
lim z(/)= lim x(t) + i Umy(f); z'{f)=xr(f) + iy'{f)\
t-*t0 t-+t0 t-*tB
b b ь
J z @ <#«= J x (t) dt + i J у (t)dt.
a a a
3.01. Убедиться в дифференцируемости следующих функций
и найти их производные:
1. A+W — oo<?<oo, 2. —Lf — оо<*<оо.
3. (l+iV~tK, *>0. 4. еи, — оо<?<со.
5. A —if)e~u, — оо < t < оо. 6. t + i J/1—f2, — 1 < *< 1.
3.02. Вычислить интегралы:
1 i 1
1. i(\+ltfdt. 2. {(a + (b — a)f)ndt, «=0,1,... 3. f -j~-
0 0 0
1 n л
4. V-^dt. 5. (г"й. 6. [ eintdt, n=dhl, ±2, ...
о о —я
3.03. Пусть функции zx(?) и z2@ дифференцируемы. Доказать
формулы:
2- ^ fa @ *2 @] = гх @ ^ @ + г\ @ г2 @-
3. ^t[zx(t)f-n[z^f)f^z\{t), л«0, ±1, ±2, ...
3.04. Пусть функции zx(t) и z2(f) дифференцируемы и пусть,
кроме того, z2(f)^=0. Доказать, что
d zx(t) _z2(t)z[(f)-z's(t)z1(t)
dtz2(t)~ [z2(t)\*
3.05. Пусть <p(t)—действительная функция, дифференцируемая
в точке tG, a z(t)—комплекснозначная функция, дифференцируемая
в точке ф(^о)- Доказать, что функция z1(t) = z((p(t))
дифференцируема в точке t0 и что z't(t0) = z'(cp(t0)) q (t0).
3.06. Пусть функция z(t) дифференцируема и отлична от нуля.
Доказать формулы:
1. ?|*(OI4*@|Re^. 2. Aarg^@ = lm^|.
я d г® -/ z® \тг'®
л dt\z{t)\-l\z{t)\imz{t) '
27

3.07. Пусть действительная функция ф(f) монотонна и непрерывно
дифференцируема на отрезке [а, Ь], а комплекснозначная функция z (t)
непрерывна на отрезке [q>(a), <р(Ь)]. Доказать, что
ь ч>Ф)
$* (ф (9) ф'(*)<# = j z{t)dt.
a <P(Q)
3.08. Пусть комплекснозначная функция z(t) непрерывна на
отрезке a^t^.b. Доказать неравенства
1.
3.
ь
\z(t)dt
а
Ъ
\z(t)dt
а
Ь
\z{t)dt
а
Ь
а
5i
^
\\z(t)\dt 2.
ь
\Rez(t)dt
а
b
5 Re [ela z @] dt
J z (f) dt
\ z (t) dt
(b—a) max |^@|.
\b
\ Im z (t) dt
, —oo <C ct < -f" со,
3.09. Пусть z(t) и ?(?)— комплекснозначные функции,
непрерывные на отрезке a^t^b. Доказать, что:
1. Имеет место неравенство Коши — Вуняковского—Шварца
\z{tW)dt
Jk@i»df.J|C@i«rffc
2. При р>\, ?>Ь 1 =1 имеет место неравенство Гёльдера
Up /b
\lq
И/Р
U I la ) \a
3. При p > 1 имеет место неравенство Минковского
!b \ l/p / b \ l/p r b ч i/p
Sl*(*)+C(9W ^М|*(91я<*| + {$ICWIP<»} .
4. При 0<ip<i\ имеет место другое неравенство Минковского:
\\z{t)+ump dt<\\z(t)\^t+\\i{t)\» dt
а а а
Указание. См. задачи 1.70, 1.75 и 1.76.
* * #
Часто приходится рассматривать несобственные интегралы от комплексно,
значных функций действительного переменного. Для выяснения вопроса об их
сходимости бывают полезны следующие критерии (см. задачи ЗЛО — 3.13).
ЗЛО. Пусть комплекснозначная функция z(t) непрерывна на
отрезке [0, 1] и пусть z @)^=0. Доказать, что несобственный
интеграл \z{t)t—adt сходится при а<1 в расходится при a^l.
о

3.11. Пусть комплекснозначная функция z if) непрерывна при
t ^ 1 и пусть существует отличный от нуля предел этой функции
со
при /-*-f-oo. Доказать, что несобственный интеграл \z(t)t~adt
i
сходится при а>1 и расходится при а<1.
3.12. Пусть комплекснозначная функция z(f) непрерывна при t^ 1
и пусть функции Rez(f) и 1шг(t) неотрицательны и монотонны при
со со
t^l. Доказать, чго несобственный интеграл \z(f)dt и ряд ^ z (ri)
сходятся или расходятся одновременно.
3.13. Пусть ф(?)—действительная функция, непрерывно
дифференцируемая при t^\ и монотонно стремящаяся к нулю при
t->-\-oo, a z if)—комплекснозначная функция, непрерывная при
t ^ 1 и обладающая тем свойством, что
\ z (и) du
=s?M<co, t^l.
Доказать, что несобственный интеграл \ z if) <р if) dt сходится.
i
3.14. Выяснить, при каких действительных значениях параметра а
сходятся следующие несобственные интегралы:
I со I
1. j **•*-«<**. 2. Y^t—dt 3. ^^±^2t4l_ty-adt
О
4. i(l^.Je~^dt 5. ^ е° t-a(In ffdt. 6. f |±|.^-«
0 0 ' -2
CO CO CO . . _, CO
Spit p . n —i\nt С ptln
-dt 8. \ elt (In ft-.» dt. 9. \Z——-dt 10. \ .4—
In2*:
3.16. Доказать, что несобственный интеграл \ elt t~adt при
i
действительных значениях постоянных аи р сходится в том и только
в том случае, когда эти постоянные связаны соотношением а >
>min(l, 1-P).
Рассмотрев функцию z(f) = eif на отрезке [0, 2л], легко убедиться, что
для комплекснозначных функций теорема Ролля неверна. В следующих
задачах предлагается доказать теоремы, заменяющие до некоторой степени теоремы
Ролля и Лагранжа. В связи с этим нам придется определить некоторые
понятия.
Плоское множество Е называется выпуклым, если вместе с каждыми двумя
точками, принадлежащими этому множеству, ему принадлежит и весь
прямолинейный отрезок, соединяющий эти две точки.
29

Легко видеть, что общая часть любого числа выпуклых множеств также
является выпуклым множеством.
Выпуклой оболочкой h (?) произвольного плоского множества Е
называется общая часть всех выпуклых множеств, содержащих множество Е.
3.16. Пусть f(t)—комплекснозначная функция, непрерывная на
отрезке [а, Ь] и дифференцируемая в каждой внутренней точке этого
отрезка. Доказать, что число Я= .1 принадлежит выпуклой
оболочке множества значений, принимаемых функцией /' (t) на
интервале (а, Ь).
Указание. Применить теорему Лагранжа о конечном приращении
к функции F @ = Re {e~ibf (f)}, 0 ==? 6 < 2л.
3.17. Пусть функция f(t) удовлетворяет тем же условиям, что
и в задаче 3.16, a g(t)—действительная функция, непрерывная на
отрезке [а, Ь] и имеющая отличную от нуля производную в каждой
внутренней точке этого отрезка. Доказать, что число Я= }J~ ?\
принадлежит выпуклой оболочке множества значений, принимаемых
функцией *-г7х на интервале {а, Ь)..
3.18. Рассмотрев функции f(t) = t, g(t)=elt на отрезке [0, я],
убедиться, что условие действительности функции g(t) в задаче 3.17
существенно.
3.19. Пусть f(t) и g(f)—комплекснозначные функции,
непрерывные на отрезке [а, Ъ] и дифференцируемые в каждой внутренней
точке этого отрезка. Доказать, что можно подобрать три точки
Tl» т/2, Тз интервала {а, Ъ) и три неотрицательных числа Хх, Я2, Я3, для
которых ^ + ^-{-^3— 1} таким образом, чтобы выполнялось равенство
Указание. Применить результат задачи 3.16 к функции
Ввиду отсутствия теорем Ролля и Лагранжа обобщение правила Лопиталя
раскрытия неопределенностей на комплекснозначные функции не очевидно.
С помощью приведенных выше замен теоремы Лагранжа такое обобщение
возможно:
3.20. Пусть f(t) и g(t)— непрерывные комплекснозначные
функции, удовлетворяющие условиям:
a) g$)ф0 при a^t<:b\ б) Шп /@= Иш g{t)=*0, oo;
t-+b—u t-*b—u
в) функции f(t) и g(t) дифференцируемы при a ^t<Cb\
? (t)
Д) larg?'@i=^a<-?r, a^t<.b. Доказать, что lim Щ- = А.
30

3.21. Рассмогрев функции
g(t)=i-t, /(9=/(i-02*'A-'r2
на промежутке [0, 1), убедиться, что условие г) задачи 3.20
существенно.
3.22. Обозначим через %{f) функцию, обратную к функции
т
'(*)=$ |A+[|;(sinOj2^
о
Рассмотрев функции
. /(*)=ln*-f-T(*)-Hsin*Tt«, g(t)-=f(t)—\nt, fs*l,
убедиться, что условие д) задачи 3.20 существенно.
* * *
2?. Кривая.
Пусть дана комплекснозначная функция z (f), непрерывная на отрезке
[а, Ь]. Когда точка t пробегает отрезок [а, Ь], точка z{t) пробегает некоторое
множество в комплексной плоскости. Это множество вместе с указанием
порядка, в котором проходятся его точки, называется непрерывной кривой,
а уравнение z=z{f)—параметрическим уравнением этой кривой.
Два параметрических уравнения
z—z(f), a^t^b, и z—z1(f) a1^t^b1,
определяют одну и ту же непрерывную кривую в том и только в том случае,
когда существует действительная функция ф (f), непрерывная и монотонно
возрастающая на отрезке [а, Ь] и такая, что
<p(a) = aj., <pF) = fei; г(t) = zx (q>(/)), a^t^b.
Если у кривой существует хотя бы одно параметрическое уравнение
z=z(t), a^t^b, обладающее тем свойством, что функция z{t) принимает
различные значения при различных значениях t, a^t^b, то эта кривая
называется простой кривой. (Легко видеть, что все параметрические уравнения
простой кривой обладают этим свойством.)
Кривая называется замкнутой, если ее начало совпадает с ее концом,
т. е. если она имеет параметрическое уравнение
z=z(t), a^t^b, (l)
Для которого z(a) = z (b). Легко видеть, что все параметрические уравнения
замкнутой кривой обладают этим свойством. Для замкнутых кривых
функцию z (f), определяющую параметрическое уравнение, удобнее считать
определенной не на отрезке [а, Ь], а на всей действительной оси, и периодической
с периодом Ь—а.
Замкнутая кривая называется простой, если она имеет хотя бы одно
параметрическое уравнение A), обладающее тем свойством, что функция z (t)
принимает различные значения при различных значениях t, a-^t<zb.
3.23. Выяснить, какие кривые определяются следующими
параметрическими уравнениями (указать множество точек плоскости и
порядок их прохождения):
1. z = a-\-(b — a)t, 0^fc<l. 2. z=Relt, O^t^n; (#>0).
3. z = t + it2, 0<*<co. 4. z = t + -j-f 1<*<oq.
31

5. г=ае**-\- — e~h, 0 < t < 2зх, (а > 1). 6. 2 = 1 + е-*, 0 ^ * «S 2я.
7. 2 = е2''—1, 0<*<2я. 8.z = {
\ t—2, l=ssr^3.
9. 2*=/cos?, 0^г^2л. 10. z=l-\-icos2t, 0^/^2л.
3.24. Пусть кривая С задана параметрическим уравнением 2=2@,
O^tigLl. Описать кривые, заданные параметрическим уравнением
z = z1(t), O^t^l, где:
1. 22 @=2A — 0-
2. Zi(n={ . л 3. г, (ft = z sin2 — ).
Если кривая С имеет хотя бы одно параметрическое уравнение z=z(ff,
asgtfsgb, с функцией г (/), имеющей на отрезке [а, Ь] непрерывную и
отличную от нуля производную, то кривая С называется гладкой кривой.
Замкнутая кривая С называется гладкойф замкнутой кривой, если, кроме того,
выполнено еще и условие z' (o) = z' (b) (т. е. если функция z(t), как периодическая
функция с периодом Ъ—а, непрерывно дифференцируема при всех f).
Непрерывная кривая С называется кусочно-гладкой кривой, если ее можно
разбить на конечное число частей, каждая из которых является гладкой
кривой.
3.25. Пусть кривая С задана параметрическим уравнением 2 = 2@»
a^t^b, и пусть функция z@ имеет в точке t0 отличную от нуля
производную z' (t0). Доказать, что кривая С имеет в точке z (t0)
касательную и что комплексное число z' (t0) изображает на
комплексной плоскости вектор, направленный по этой касательной.
3.26. Пусть кривая С задана параметрическим уравнением z = z(t),
a^t^b, где 2@ — функция, имеющая две непрерывные
производные на отрезке [а, Ь]. Обозначим через т@ комплексное число,
изображающее единичный вектор касательной к кривой С в точке
2 @ (направленный в ту же сторону, что и сама кривая в этой точке);
через v @ обозначим комплексное число, изображающее единичный
вектор нормали к кривой С в точке 2@ (направленный вправо от
кривой); через р@ обозначим кривизну кривой С в точке 2@-
Доказать формулы: ч
1 r(t)-JLVL 2 vftb--/-?-&- 3 от- ' llmg"(/)
Пусть С—произвольная непрерывная кривая. Выберем на кривой С
произвольное число точек zlf zg, ..., zn, занумеруем их в порядке следования
л-1
по кривой и обозначим К(С; zx, .... z„) = ^] \zk+1—zk j. Если верхняя грань
Я, (С) величины Я (С; zlf ..., zn) по всевозможным наборам точек zk конечна,
то кривая С называется спрямляемой, а эта верхняя грань называется длиной
кривой С.
3.27. Пусть кривая С задана параметрическим уравнением 2 = 2@,
a^t^b, где 2@—функция, непрерывно дифференцируемая на
32

трезке [а, b]. Доказать, что кривая С спрямляема и что для ее
ь
длины к (С) справедлива формула X (С) = § | z' (t) \ dt
а
3.28. Доказать, что любая кусочно-гладкая кривая спрямляема.
Натуральным уравнением спрямляемой кривой называется такое ее
параметрическое уравнение, в котором за параметр t принята длина дуги кривой,
отсчитываемая от некоторой фиксированной точки (обычно от начала кривой).
3.29. Пусть z=%(t), O^t^l, натуральное уравнение кривой С
и пусть функция %(t) дважды непрерывно дифференцируема на
отрезке [0, /], а величины r(t), v(t) и p(t) имеют тот же смысл, что
и в задаче 3.26. Доказать формулы:
1. т @=х' @- 2. v @ = — ш' (9- 3. р @ = I *" (О I-
3.30. Пусть кривая С имеет хотя бы одно параметрическое
уравнение z — z(t), a^t^b, где z(t) — функция, имеющая т
непрерывных производных на отрезке [а, Ь], причем первая производная
отлична от нуля на этом отрезке. Доказать, что тогда и функция
к@> входящая в натуральное уравнение этой кривой, имеет т
непрерывных производных на отрезке [0, Я].
Величина v(z0, С)—индекс точки г0 относительно кривой С, определяется
для произвольной непрерывной кривой С и для любой точки г0, не лежащей
на этой кривой, следующим образом: в каждой точке г кривой С зададим
значение arg(z—г0) таким образом, чтобы при движении по кривой" значение
arg(z—г0) менялось непрерывно. Тогда величина v(z0, С) равна разности
значений arg (г—г0) в конечной и в начальной точках кривой С, деленной на 2я.
3.31. Пусть кривая С задана параметрическим уравнением z = z(f)>
a^t^b, где функция z(t) непрерывно дифференцируема на от-
ь
1С z' (t)
резке [а, Ь]. Доказать, что v(z0, C)=q~\ Im , /Л dt
a
3.32. Вычислить индекс точки zQ=0 относительно кривых,
заданных следующими параметрическими уравнениями:
1. z=^a-\-peu, (Х*^2я, |а|<р.
2. z = a-\-peu, 0<^2я, 0<р<|а|.
3. z=p*r2tY, (Х*<2я, р>0.
4. z = 1/% cos t-{-t sin t, 0^t^2n.
5. z = 2 cos t — /sint, O^tz^6я.
6. 2=l+/sin2*, 0^t^2n.
3.33. Доказать, что индекс точки относительно замкнутой
кривой.—целое число.
Во многих случаях удобно пользоваться символикой, связанной с понятием
произведения кривых.
Пусть нам даны две непрерывные кривые Сх и С2, и пусть конец кривой
Сг совпадает с началом кривой Са. Произведением CiC2 кривой Сг на кривую
Са мы назовем кривую, получаемую последовательным прохождением сначала
множества точек кривой Сг (в том же порядке, что и при Движении по кривой
Сг), а затем—множества точек кривой Са (в том же порядке, что и при
движении-по кривой Са).
2 Под ред. М. А. Евграфова
33

Символом С-1 мы будем обозначать кривую, получаемую прохождением
множества точек кривой С в противоположном порядке.
3.34. Доказать, что умножение кривых обладает свойством
ассоциативности, т. е., если определено произведение (С1С2)С& то
определено и произведение С1(С2Сз)} и эти произведения равны.
3.36. Доказать, что символ С2—СС определен только для
замкнутой кривой С.
3.36. Доказать, что оба произведения, С±С2 и C2CV определены
лишь в случае, когда Сг и С2 — замкнутые кривые, имеющие общую
точку.
3.37. Пусть А.(С)—длина кривой С, a v(z0, С)—индекс точки z0
относительно кривой С. В предположении, что все величины, входящие
в формулы, имеют смысл, доказать, что:
1. ^(C1C2)=^(Ci) + ^(C2)- 2. Я(СН) = Я(С).
3. v(z0,C1C$) = v(z0.Ci) + v(*0,C,)l 4. v(z0,C-*) = -v(z0,C).
* * *
3°. Область.
Множество D точек комплексной плоскости или расширенной комплексной
плоскости называется областью, если:
1) вместе с каждой точкой, принадлежащей этому множеству, ему
принадлежит и некоторая окрестность этой точки;
2) вместе с каждой парой точек, принадлежащих этому множесгву, ему
принадлежит и некоторая ломаная, соединяющая эти точки.
Совокупность всех граничных точек области D называется границей
области и обозначается символом dD. Граница области — замкнутое
множество.
Область D, дополненная ее границей dD, называется замкнутой областью
и обозначается символом D.
Граница произвольной области может представлять собой множество
довольно сложного строения. Однако в большинстве случаев можно ограничиться
областями, граница которых состоит из конечного числа замкнутых кривых
(часть их может вырождаться в точки).
Всюду в дальнейшем мы будем считать (если не оговорено противное), что
граница 3D области D составлена из конечного числа точек и конечного числа
замкнутых кусочно-гладких кривых. Направление кривых, входящих в dD,
мы всегда будем считать выбранным таким образом, чтобы при движении по
кривой область D оставалась слева.
3.38. Описать с помощью неравенств область D, если ее граница
dD состоит из одной замкнутой кривой, определяемой
параметрическим уравнением:
1. z = a + peu, 0^t^2n. 2. z = a-\-pe~lt, Q^t^2n.
3. z — — it, — со< t <со. 4. z = t-J-it2, —oo<it<ioo.
5. z = t2, -co</<co. 6. z = aelt + — е~и, 0^/^2я; а>1.
3.39. Пусть D - конечная область, а ее граница dD состоит
из одной замкнутой кривой, заданной параметрическим уравнением
z=zz(t), a^t^b, где функция z(t) непрерывно дифференцируема
34

на отрезке [а, Ь]. Доказать, что для площади o(D) области D
справедлива формула
ь
а(Д)=| $l*@i3lm^<tf.
Указание. Воспользоваться тем, что Im —тт~—— are z (t) (см.
z(t) dt '
задачу 3.06).
3.40. Пусть D — конечная область, а ее граница dD состоит из
т замкнутых кривых, заданных параметрическими уравнениями
z — zk(t), ak^t^bk, k—l, 2,...tm,
где Zk (f) — функции, непрерывно дифференцируемые на отрезках
[«и» bk\ соответственно. Доказать, что для площади o(D) области D
справедлива формула
"СТ-42$1»»ЮРЬп^А
3.41. Пусть область D ограничена замкнутой кусочно-гладкой
кривой dD. Доказать, что для вершины v(zQ, dD)—индекса точки z0
относительно кривой dD - справедливы формулы
i 1. г? D;
v(*0, dD) = ! ^
~{i
z(?D.
Указание. Разбить кривую dD на гладкие части, а для каждой из
гладких частей вычислить индекс точки г0 относительно нее с помощью
формулы задачи 3.31.
Область D комплексной плоскости называется выпуклой, если вместе с
каждой парой точек zx ? D и г2 6 D она содержит и прямолинейный отрезок,
соединяющий эти точки.
Область D комплексной плоскости называется звездообразной относительно
точки г0 (; D* если вместе с каждой точкой zx ? D она содержит и
прямолинейный отрезок, соединяющий эту точку с точкой г0.
3.42. Доказать, что для выпуклости области D необходимо
и достаточно, чтобы она была звездообразна относительно каждой
своей точки.
3.43. Пусть граница dD области D состоит из одной гладкой
замкнутой кривой с параметрическим уравнением z — z(t), a^t^b,
где функция z(t) имеет на отрезке [а, Ь] непрерывную и отличную
от нуля производную. Доказать, что:
1. Область D выпукла в гом и только в том случае, когда
lm^SsO, a^t^b.
г (t)
2* 35

2. Область D звездообразна относительно точки z0?D в том и
только в том случае, когда
Im Z'J?) S*0, a^t^b.
z(t)—z0 ^ ^
Пусть D — произвольная область комплексной плоскости. Обозначим через
Pd (zi> z2)» гДе zx?D и z2?D, нижнюю грань длин всех ломаных, лежащих
в области D и соединяющих точки гг и z2. Через pD(zlt z2), где zt?D и z2?D,
мы обозначим нижнюю грань диаметров всех ломаных, лежащих в области'
D и соединяющих точки гг и za.
Очевидно, что всегда имеют место неравенства
РЬ (гъ га) ^ PD («i, 22) 3= | гх—г81. •¦
3.44. Доказать, что для выпуклой области D имеют место
равенства
9d i?v z*) = 9d (zv z2)=| zx—z21,
а для области D—звездообразной относительно какой-либо, точки,—
неравенства
Pd(zi> 22)^pbBi. zJ*^npD(zv z2).
Область D расширенной комплексной плоскости называется односвязной,
если ее границу нельзя разбить на два замкнутых множества, не имеющих
общих точек (в расширенной плоскости!).
3.46. Доказать, что область Д звездообразная относительно
одной из своих точек (в частности, выпуклая область), односвязна.
49. Функции комплексного переменного.
Если каждой точке z некоторого множества Е расширенной комплексной
плоскости поставлено в соответствие комплексное число /(z), то говорят, что
на множестве Е определена функция /(г) комплексного переменного г.
Функцию/(z) комплексного переменного г=лг+iy можно рассматривать
как пару функций и (х, у), v (х, у)
и(х, y) = Ref(x+iy), v(x, y) = lmf(x+iy)
двух действительных переменных х и у. Поэтому для функций комплексного
переменного естественным образом определяются понятия предела,
непрерывности, криволинейного интеграла и т. д. Например, функция /(г) непрерывна
на множестве Е, если и функция Ref(x-\~iy), и функция Im/(* + »/)
непрерывны на множестве Е.
3.46. Пусть существуют конечные пределы
Hm/(z)=A ]img(z)=B.
Z—*Zq Z—*Z0
Доказать, что:
1. lim [f(z) + g(z)] = A + B. 2. lim [f(z)g(z)\ = AB.
Z-*Z0 Z-*Z0 S
3. Если B^O, то lim Щ = ~.
z-*zAZ] B
36

3.47. Доказать, что сумма и произведение функций,
непрерывных на множестве Е, также являются функциями, непрерывными
на этом множестве. Частное двух функций, непрерывных на
множестве Е, также является непрерывной на этом множестве функцией,
если знаменатель не обращается в нуль ни в одной точке множества Е.
3.48. Выяснить, будут ли следующие функции равномерно
непрерывны в области 0<!|;г|«<1:
• \. f=e-ln*\. 2./=-?Ц. 3. /=^|^. 4./= е-»/*1.
3.49. Пусть функция f(z) определена и непрерывна на
замкнутом ограниченном множестве Е. Доказать, что:
1. Функция |/(г) j ограничена на множестве Е и достигает
наибольшего и наименьшего значения. .
2. Функция f[z) равномерно непрерывна на множестве Е.
3.60. Пусть функция f{z) определена и равномерно непрерывна
в ограниченной области D. Доказать, что в каждой точке границы
области D функция f{z) имеет предел и что функция f{z),
доопределенная на границе области D этими предельными значениями,
непрерывна в замкнутой области D.
Функция /(г), определенная в области D, называется непрерывной в
области D вплоть до ее границы, если для любого 8 >0 существует такое б>0,
что для любых точек Zi?D и г2?D, удовлетворяющих условию pD (zlt zj) <б,
выполняется неравенство \f(Zj)—/(Za)l<e- (Определение величины pD(zlt z$
см. перед задачей 3.44).
Поскольку ?>D fa, гг)^:| et—2a|, функция, равномерно непрерывная в
области D, непрерывна вплоть до границы области ?>.
3.51. Пусть область D ограничена простой кусочно-гладкой
кривой. Доказать, что функция, непрерывная в области D вплоть до ее
границы, равномерно непрерывна в этой области.
3.52. Пусть область D можно разбить на конечное число областей
Dlt ?>2, ..., Dn, каждая из которых ограничена простой кусочно-
гладкой кривой. Доказать, что для непрерывности функции f(z)
вплоть до границы области D необходимо и достаточно, чтобы
функция f{z) была равномерно непрерывна в каждой из областей Dv ..., Dn.
Пусть функция f(z) определена на множестве Е расширенной. комплексной
.плоскости, но может принимать в точках этого множества значение со. Мы
будем говорить, что функция /(г) непрерывна в точке z0?E в сферической
метрике, если для любого значения е > 0 существует такое б > 0, что для всех
г??; удовлетворяющих условиям k (г, г0)<6, выполняется неравенство
k(f{z)t /(г0)Хе. Здесь k (z, Q — хордальное расстояние между точками
S^H-gj т. е.
VT+\
yi+i2i*-vi+ier
i
V 1 + 1*Г
о,
гфоа, ?=co;
z=cot ?=co.
37

Аналогичным образом определяется равномерная непрерывность функции
в сферической метрике.
3.53. Доказать, что следующие функции непрерывны в
сферической метрике во всей расширенной плоскости:
I. 1. 2. Qzt* 3. ei*i. 4. 1
2 ' cz-\-d * * ' е1 г | 2 *
3.54. Доказать, что функция /(г), определенная нз множестве Е
(но, возможно, принимающая в точках этого множества значение оо),
непрерывна на этом множестве в сферической метрике в том и только
в том случае, когда функция / z) имеет в каждой точке, множества Е
конечный или бесконечный предел, равный значению функции в этой
точке.
3.55. Пусть функция /(г) непрерывна на множестве Е в
сферической метрике, a R(z) — произвольная рациональная функция от z.
Доказать, что функция g(z) — R(f(z)) непрерывна на множестве Е
в сферической метрике.
3.56. Пусть функции /(г) и g(z) непрерывны на множестве Е
в сферической метрике. Обязаны ли функции
!)/(*) + *(** 2) f(z)g(z); 3)Щ
быть непрерывными на множестве Е в сферической метрике?
5°. Криволинейный интеграл. Пусть функция /(г) определена в точках
спрямляемой кривой С. Разобьем кривую С на участки С\, С2,..., Сп
точками г0, гь ..., zn, занумерованными в порядке их следования по кривой С.
Началом участка Ck является точка zk_lt а концом —точка zk. Кроме того,
на участке Ck выберем точку ^ и рассмотрим интегральные суммы
п п
Если эти суммы имеют пределы при безграничном измельчении разбиения
кривой С на участки (т. е., когда длина наибольшего из участков С^ стремится
к нулю) и если эти пределы не зависят от способа измельчения разбиения и
от выбора точек |А на участках Ck, то эти пределы называются
криволинейными интегралами первого и второго рода от функции f(z) no кривой С.
Обозначения таковы:
HmEn= \f{z)dz, lim2* = $/4z)|tfz|.
с с
Опираясь на сведения о действительных криволинейных интегралах, легко
получить утверждение:
Если функция /(z) непрерывна на спрямляемой кривой С, то интегралы
\f{z)dz, \f(z){dz[
С с
существуют.
38

3.57. Пусть кривая С задана параметрическим уравнением z~z(t)t
a^t^b, где z(t)— функция, непрерывно дифференцируемая на
отрезке [а, Ь]. Доказать, что
ь ъ
\f(z)dz = \f{z(t))z'(t)dt, \j(z).dz =\f{z(t)) z'(t) dt
С а С а
3.58. В предположении, что интегралы от функций f(z) и g(z)
по кривой С существуют, доказать формулы
\(.af(z) + $g(z))dz = a\f(z)dz + $\g(z)dz,
с ее
\(af(z) + $g(z)) dz\ = a\f(z)\dz +§\g{z) dz\,
ее с
где а и р*— произвольные комплексные числа."
3.59. Обозначим через СГ1 кривую, отличающуюся от кривой С
лишь противоположным направлением обхода ее точек. Доказать, что
]f{z)dz=-\f{z)dz, \f(z):dz\ = ]f(z),dz.
с-* с с-1 с
(в предположении, чго интегралы в правых частях равенств
существуют).
3.60. Пусть интегралы от функции f(z) по кривым Q и С2
существуют. Доказать, что
J f(z) dz = \ j (z) dz + J f(z) dz,
\ f(z)\dz\ = \f(z) dz\ + \f{z)\dz\
(определение кривой СгСъ см. перед задачей 3.34).
3.61. Непосредственным переходом к пределу в интегральной
сумме вычислить интегралы
1) \dz\ 2) \zdz,
с с
где С—произвольная спрямляемая кривая с началом в точке а и
¦с концом в точке Ь.
3.62. Непосредственным переходом к пределу в интегральной сумме
С dz
вычислить интеграл \ • _ ¦-, где а—произвольное комплек-
I z — а | = р
сное число, р — произвольное положительное число, а окружность
\z—а| = р обходится против часовой стрелки.
3.63. Вычислить интеграл \ | z | dz в случаях, когда кривая С яв-
с
ляется:
1. Прямолинейным отрезком, идущим из точки г==—I в точ-
ку2г=/;
39

2. Полуокружностью |zl = l, Re z^ О, идущей из точки z^=—/
в точку z = i.
3.64. Вычислить интеграл \ \z— 11 j dzj.
3.65. Вычислить интеграл ? z sin zdz, где С—прямолинейный от-
с
резок, идущий из точки z~0 в точку z = L
3.66. Пусть т — произвольное положительное число, а
окружность | z | — г обходится один раз против часовой стрелки. Доказать
формулы:
. Г 2л/, «=—1;
\г,[/"'И о, »+i-±i,±a,...
1*1
2.
i \\г-а\*~\\а\*-г*\1 l^l^7"-
1*1=г
* *
3.67. Пусть функция /(^) интегрируема по кривой С. Доказать
неравенство
J/(z>te <$\№)\\**'
с с
3.68. Пусть функция f{z) интегрируема по спрямляемой кривой С,
имеющей длину А (С), и удовлетворяет всюду на кривой С неравен-
МА(С).
ству J/(,г) j ^ Ж Доказать неравенство K/^rf-?
I с
3.69. Пусть функция f(z) непрерывна в некоторой окрестности
точки z — Zq. Доказать, что Нт 1 ЛШ~ dz = 2m/(z0) (окруж-
p-vo. J, z —z0
|2—20|=p
ность обходится один раз против часовой стрелки).
3.70. Пусть функция f(z) непрерывна во всей расширенной пло-*
скости. Обозначим через Са прямолинейный отрезок, идущий из
точки а в точку а-\-1. Доказать, что lim J f{z)dz=f{po).
а-*со г
с
3.71. Пусть функция f(z) непрерывна в полуплоскости Imz^O
и удовлетворяет неравенству
\f(z)\^M\z\m.
Обозначим через С# полуокружность \z\=R> Imz^O, идущую из
точки z~R в точку z~ — R. Доказать неравенство
\ f{z)eizdz
nMRm.
Указание. Воспользоваться неравенством sin ф > — ф [0 <С ф < -гт ] •
3.72. Пусть функция f{z) непрерывна в угле
— а <; arg z ^ а, @ < а <; зт),
40

и пусть zf(z)->A при гг->оо, Jarg^'^a. Обозначим через С%
дугу окружности \ z \ = R, | arg z j ^ а, идущую из точки z — Re~ia
в точку z — Reta. Доказать, что lim С f(z)dz = 2ia,A.
* # *
3.73. Доказать неравенство Шварца
\fi.z)gi.z)dz*^\ \№?\dz\.\ \g(z)?\dz\
с ее
(в предположении, что функции f(z) и g(z) непрерывны на
спрямляемой кривой С).
Указание. Использовать условие неотрицательности эрмитовой формы
Н(К ii) = J |Я/(г)+]^B)Р| дг\
с
(см. задачу 1.69).
3.74. Доказать неравенство Гёльдера
\\j{z)g{z)dz <п i/(*)Hrf*i}l/p л i^>ncfeiyrt
(в предположении, что функции f(z) и ^@) непрерывны на
спрямляемой кривой С, р>1, #]>1, —|—=5=1)-
Указание. См. задачу 1.76.
3.75. Пусть функция f(z) непрерывна на спрямляемой кривой С,
имеющей длину к (С). Доказать неравенство
\f{z)dz *^VW) И \f{z)?\dz\Vk ^
6". Отображения.
Во многих вопросах комплекснозначную функцию /(г), определенную на
множестве Е комплексной плоскости г, удобно рассматривать как отображение
этого множества в другую комплексную плоскость w. Очевидно, это
отображение равносильно отображению множества Е плоскости (х, у) в плоскость (и, v)
frapofl действительных функций и — и (#, у), v = v (х, у), где
и(х, y) = Ref(x+iy), v(x, у) = lm f(x+iy).
Множество значений, принимаемых функцией f(z) в точках множества Е,
Называется образом множества Е при отображении w—f(z) и обозначается
Символом /(?). Множество Е называется прообразом множества f(E) при
отображении w = f{z).
Отображение w=f{z) называется непрерывным отображением множества Е,
§сли функция f (z) непрерывна на множестве Е. Если функция / (г) непрерывна
на множестве Е в сферической метрике, то мы будем говорить, что и
отображение w = f (г) непрерывно в сферической метрике (определение непрерывности
Ь сферической метрике см. перед задачей 3.53.)
41

3.76. Найти образ множества Е при отображении w=f(z):
\.w=2z\ E:\z\<Zl. 2. w=j; E:\z- 1 . < 1.
3. <ю = г* E:\\z\<R; 0<arg *<-?}.
4. w = z*-t E:{\z\<l, 1т2г>0}.
3.77. Пусть отображение ?=/(.г) множества Е непрерывно и
отображение w—g{L) множества /(E) также непрерывно. Доказать,
что отображение ,w=g(J(z)) является непрерывным отображением
множества Е.
3.78. Доказать, что утверждение задачи 3.77 сохраняет силу и
при замене обычной непрерывности всех упомянутых отображений
непрерывностью в сферической метрике.
Пусть w = f(z)— непрерывное отображение некоторого множества,
содержащего все точки кривой С. Каждому параметрическому уравнению z — z{t),
a^t^b, кривой С отображение w=f(z) ставит в соответствие
параметрическое уравнение
w = w(t), a^ts^b,
где w (t) = f(z (t)). Эти параметрические уравнения определяют в плоскости w
некоторую кривую, которую мы назовем образом кривой С при отображении
w = f(z) и будем обозначать символом /(С).
3.79. Описать геометрически, что представляет собой образ
кривой С, заданной параметрическим уравнением z — z(?), при
отображении w=f(z):
1. w = z%, С:{г = е~", 0^t^2n}.
2. w = z2; C:\z = eil, О^^л}.
3. w = ^(z+±\; C:{z = eu, 0 *?t ^2n].
4. ™ = ^(z+y)> C:{z = ?, 0<*<oo}.
Отображение w=f(z) множества Е называется взаимно однозначным., если
значения функции /(г) в различных точках множества Е различны.
3.80. „ Выяснить, будут ли взаимно однозначными следующие
отображения:
1. w = z2; E:Rez>0. 2. w = z2; Е:\г\<1.
3. w^^- E:\z\<\.
4. e>=-g-(*+4-); E:\z]<2.
5. ie; = l^+lJ; E:{\z\<U 0<argz<^-}.
3.81. Доказать, что образ простой кривой при непрерывном взаимно
однозначном отображении — простая кривая.
42

; 3.82. Пусть w—f(z)—непрерывное взаимно однозначное
отображение области D, а С — замкнутая кривая, лежащая в области D.
Доказать, что для каждой точки г0, не лежащей на кривой С, но
лежащей в области D, справедливо равенство
v(z0, C)=v(/(z0), /(C))
(здесь v(z0, С)—индекс точки zQ относительно кривой С; см.
определение перед задачей 3.31).
Отображение ю = /(г) конечной области D комплексной плоскости
называется дифференцируемым в точке z0 = x0-\-iyQt если функции и (х, у) и v(x, у),
¦Где
и(х, y)^'ReJ(x-{-iy), v{x, y) = Im/ {x+iy)>
дифференцируемы в точке (х0, уп). Отображение области D, дифференцируемое
в каждой точке этой области, называется дифференцируемым отображением
области D. Отображение w — f(z) называется гладким отображением об/iacmu D,
если функции и(х, у) и v (x, у) имеют в этой области непрерывные частные
производные первого и второго порядка.
Величина %
ди dv
J(f, г)-
дх дх
ди dv
ду ду
называется якобианом дифференцируемого отображения w = f(z).
8.83. Найти якобианы следующих отображений:
аг + Ь
1. w = az + bz (а>0, fc>0). 2. w —
3. w = z2. 4. w
-т(«+4)-
cz-\-d"
Пусть функция f{z) непрерывна в замкнутой ограниченной квадрируемой
области D. Интеграл от функции f (г) по области D определяется равенством
»
/ (г) dx dy = \ \ и (х, у) dx dy -f i ^f v (x, y) dx dy,
D b
где, как обычно, и = Ref, o=lmf.
3.84. Вычислить интегралы
1.ц**хау. 2.55**. о<Р<1.
|Z|<1
|Z|<(
3- \\ F=l" 4- \\ zm2ndxdy> m> " = °. Ь 2, •••
p<|z — ai<r
|Z|<1
3.85. Пусть w=/(z)—гладкое взаимно однозначное отображение
области D, a Dt — область, лежащая строго внутри области D.
43

Доказать, что если область Dx квадрируема, то
<y(f(DJ) = §\J(f, z)\dxdy,
где /(Dj) — образ области Dt при отображении w=f(z), a o(f(Dx)) —
площадь этого образа.
3.86. Пусть w=f(z)—гладкое взаимно однозначное отображение
области А а функция F(w) непрерывна в области /(D). Доказать,
что для любой конечной замкнутой квадрируемой области Dv
лежащей в области Д справедливо равенство
\\F(f(z))J(f,z)dxdy= ЭД F(w)dudv.
ОТВЕТЫ
3.01.
1. 2(i-t). 2. -^. 3. _^r<1+/vr7I 4. /A
5. — (t+2i)e-i(. 6. 1 -^—
3.02.
i 2 , • о 1 6re+1-are+1, , ы о л Пп2
l'T+U 2-n+l Ь-fl (^&) 3'T Г""
4. я/2—1 +/In 2. 5. — 2i. 6. 0.
3.14.
1. a<l. 2. ct>l. 3. —l<a<2. 4. a>0. 5. a<l.
6. assl. 7. a>0. 8. a>0. 9. a>l. 10. a>0.
3.23.
1. Прямолинейный отрезок, идущий из точки г=а в точку z=fr.
2. Верхняя половина окружности | г | = R; направление обхода от точки
z = R к точке 2=—R.
3. Правая половина параболы у=х2; направление обхода от точки z=0
к бесконечности.
я;
4. Часть гиперболы ху—1, лежащая в угле 0<argz<-j-; направление
обхода от точки z=l-f-i к бесконечности.
5. Эллипс
ЫУ ЫГ
и
обходимый один раз против часовой стрелки.
6. Окружность \г — 1 | = Ь обходимая один раз по часовой стрелке.
7. Окружность |z + l f = 1» обходимая два раза против часовой стрелки.
8. Контур верхней половины круга |z|<l, обходимый один раз против
часовой стрелки.
9. Прямолинейный отрезок между точками z = —i и z — i, проходимый
дважды — сначала от точки z=i к точке z=—i, а затем обратно.
44

10. Прямолинейный отрезок между точками г=1 и z = l-f-i, проходимый
четырежды — первый раз от точки z=l-(-i к точке г=1, второй раз от точки
2=1 к точке z=\-\-i, третий раз —от точки z=l-j-i к точке г = 1, и
четвертый раз—от точки г=1 к точке г=1+?,
3.24.
1. Множество точек кривой С, проходимое в направлении,
противоположном направлению кривой С.
2. Множество точек кривой С, проходимое дважды—первый раз в том
же направлении, что и у кривой С, второй раз—в противоположном
направлении.
3. Та же кривая, что и в 2.
3.32.
Г. Г. 2. 0. 3. -2. 4. 1. 5. —3. 6. 0.
3.38.
1. |г—а|<р. 2. |z—a|>p. 3. Rez>0. 4. у>хъ, 5. 0 < arg г <г 2л.
*2 . У2
h$ Ы1
<i.
3.48.
Г. Да. 2. Нет. 3." Да. 4. Нет.
3.56. Не обязаны. Пример для 1): Е—вся сфера,
/(z) = z+sin|z|, g(z)=—z.
3.61.
1) 6—а. 2)-^(Ь2—а2).
- 3.62. 2га.
3.63.
1. *. . 2. 2t.
3.64. 8.
3.65. — «Г1.
3.76.
1. / (?): | w | < 2, 2. / (?): Re гу > 1/2.
3. /(?):{M</?2, 0<arga><jt}. 4. /(?):|ю|<1.
3.79.
1. Окружность 1 до 1 = 1, обходимая дважды по часовой стрелке.
2. Окружность |до] = 1, обходимая один раз по часовой стрелке.
3. Отрезок [—1. 1], проходимый дважды,—сначала от точки w=\
к точке w=—1, а затем в обратном направлении:
4. Луч [1, -i-o°)> проходимый дважды,— сначала огдо=~1-со к 1, а затем
в обратном направлении.
3.80.
1. Да. 2. Нет. 3. Да. 4. Нет. 5. Да.
3.83.
1. а2—&2. 2. \ad-~ 6с|2 . |cz+dp. 3. — 4|zp. 4. ~\ 1 — z~21«.
3.84.
1. 0. 2. яр2, з. 0. 4. 0, если тфп\ —~~ при т=п.
§ 4. Элементарные асимптотические методы
Во многих вопросах анализа широко используются символы
О, о, ~,
аченае которых разъясняется в приводимой ниже, таблице.
45

Пусть функции /(z) и <p(z) определены на множестве ?, а 20 — какая-
либо предельная точка этого множества.
Формула
/(z)~ср(г) B — z0, ге?)
/(г)=о(фЙ)(г-г0,.ге?)
/B) = 0(ф(г)), (ге?)
/B) = О(Ф(г))(г->г0, ге?)
Разъяснение
Отношение . ч имеет предел 1.
фB)
когда г —> z0, zeE.
f (z)
Отношение ; - имеет предел 0,
фB)
когда z-*z0, z^E.
¦ Отношение • ¦v.- равномерно
ограничено на всем множестве Е.
f(Z)
Отношение ~~ ограничено в пе-
Ф(г)
ресечении некоторой окрестности
точки z0 с множеством Е.
.....
В случаях, когда это не может вызвать недоразумений, указание на
множество Е для сокращения записи опускается.
Формулы вида /(z)~ ф (г) (г — z0, ге В) обычно называется
асимптотическими формулами, а формулы вида
/(г) = о(Ф(г)) (z-*z0, zge?), /(г) = 0(ф(г)) (г — г0, г е ?).
обычно называются асимптотическими оценками.
Замечание. Использование знака равенства для записи асимптотических
оценок является чисто условным, так как многие свойства знака равенства
не сохраняются. Например, из «равенства»
sin x= 0A) (— co<x<-f-cx>)
не следует, что 0A)= sin x.
4.01. Доказать, что:
1. sinхг^х(х-*-0). 2. sin х=0A) (лг-^ + °°)-
3. 1плг=о(ха) (х-> -Ь°°). а>0.
4. л^=о(е*) (A:->-f °°)> —оо<а<Соо.
5. ?~*=о(ха) (х->-f-°°)> —оо<Са«<оо.
6. In х= о (х'а) (х -* + 0), а > 0.
7. *а = о(хР) (.*-»+ оо), а<р\ 8. JCa = o(jcP) (*-* + 0), а>р\
4.02. Пусть
PBr)=a0^-bfll2rn^ + ... + art; Q(z) = Ъ€?а + Ь12Г-*+... + Ья>
причем а0=^=0 и Ь0ф0. Доказать, чго при z->oo имеют место
следующие асимптотические формулы:
46

1. P(z)Q(z)~a0b0*m+n- ^Щ-Т0гП~т'
3. Если m<in, то Р(z) + Q(z)~a0zn.
4. Если т = п, а а0-{-Ь0фО, то P(z)-\-Q(z)~(a0-\-b^zn.
^ 4.03. Доказать следующие правила действий над символами о и О:
1. о@(Ф(лг)))=0(Ф(лг)). 2. 0@(Ф(лг))) = 0(ф(лг)).
3. О (о (Ф (лг))) = о (Ф (х)). 4. о (О (Ф (лг))) = о (Ф (х)).
5. О (Ф (лг)) + О (Ф (лг)) = О (Ф (лг)). 6. Ь (Ф (*)) + о (Ф (л:)) = о (ф (лг))'
7. 0(ф(лт))=0(Ф(лт)). 8.0(ф(лг)) + 0(я1)(х)) = 0(|ф(х)| + |^(лг)|).
9. о(ф(лг)) + о(я1)(лг)) = 0(|ф(лг)Ц-|я1)(лг)|).
4.04. Пусть ф(лг) = оA) (лг->лг0). Доказать, что:
h 1+Q(y(x)) = 1+0(A,W) (*-**Д
2. A + О (Ф (лг))J = 1 + (<р (лг)) (лг -> лг0).
3. (Г+0(ф(х))) A+0(ф(л-)))=1+0(ф(лг)) (x->x0).
4. е°«Р(*» = 1+0(ф(лт)) (лг->лг0).
5- l+olcptx))^l + ° (Ф <*» С* "* л'о)'
6. {1 + о (Ф (*))}»" = 1 + о (Ф (х)) (лг -> лг0).
7. е° <ч> М> = 1 -f- о (ф (лг)) (лг -+ лг0).
8. A+0(Ф(х))) A+о(Ф(х)))=1+0(ф(л-)) (лг->лг0).
4.05. Пусть функция /(лг) непрерывна при лг^О. Доказать
следующие утверждения:
1. Если /(лг) = 0(л'а) (лг-> + со), где а>—1, то
\f(t)dt = 0(xa+1) (лг-> + оо).
о
2. Если /(лг) = О (лг*) (лг -> -f- °°)> где а <С — 1, то
со
J /(*) dt = О (лг«+1) (лг-> -f оо).
л;
3. Если /(.*)=ОШ (лг->+оо), то 5/@^ = 0Aплг)(лг^ + оо).
4. Если /(лг) = о(лга) (лг-> + °°)» г^е а> — Ь то
$/(*)<# = О (ЛГа+г) (x-> + 00).
О
5. Если /(х) = о (лга) (лг -> -|- оо),. где а<—1, то
со
$ /(*) Л = о (лга+1) (лг -> + оо);
х
47

6. Если f(x)=o(—j (*->-f-oo), то ^f(t)dt = o(lt\x) (x-*-f oo).
\x I 0
7. Если /(л:)г^ла (x-^ + oo), где a>—1, то
8. Если /(дг)/^л:а (#->-{-оо), где a<C—1, то
J/@<«~- ?гт(*-* + оо>
1 *
9. Если f(x)^— (лг-> + оо), то ^f(t)dtr^\nx (x-+ + co).
0
4.06. Пусть ф(#)—непрерывная и положительная при х^О
оо
функция, удовлетворяющая условию $ ф (?)<#= +со. Доказать, что:
о
1. Если функция f(x) непрерывна при лс^О и f(x)~0(<p(x))
(#-> + oo), то
0 Ч>
J/@Л= 0( $Ф(*)Л) (*-*-foo),
2. Если функция /(дг) непрерывна при х^О п f(x)=o(q>(x))
(х -* + оо), то
о \о
\f(t)dt=ol\(p(t)dt) (jr-*-foo)
3. Если функция f(x) непрерывна при х^О и f{x)r^q>(x)
(х -> -J- оо), то
5/@<Й^5ф(ОЛ (*->--foo).
о о
4.07. Доказать справедливость' формул:
l.\YJ* + Tdt=:?j + ±-\nx + 0(l) (jt-> + oo).
о
х 3
2. Jj/F+Tdtf^+OO) (*->+оо>
a-+l
3. ? УЩЛ<Ц^~—- + 0A) (jc-> + oo), a>2.
X
4. 5^-l<tt = Jf + 0(l) (jc->4-oo), n>2.
4§

X
5.
о
х
ьЛ[\-\-^\аЧ=ех—^\пх-\-0{Х) (je->-fco).
о
х
7. i *«(In ty dt~-^(lr\ xf (x-* + oo), a>— 1.
2
Доказать, что
0 ? (\nf)a ,. (ln*)a+1 , 14^1
8. 1 > v dt~±—i-— to->4-oo), a>—1.
J|^»+l C6+1 V \ i ^
2
Доказать, что
x
9. \ " dt r^, 2~\Tx In In x (x -> + oo).
10 ^
4.08. Пусть ft (a;)—положительная и дважды непрерывно
дифференцируемая при х^О функция, удовлетворяющая условиям
h'(x)>0 (x>Xo), h"(x)=o((h'(x)f) (*-* + °o).
Доказать, что
\e-h^dt<oo, jV^d^ + oo.
о о
4.09. Пусть функция h(x) удовлетворяет условиям задачи 4.08,
а функция ф(лт), положительная и -непрерывно дифференцируемая
при х^О, удовлетворяет условию
?$ = о(А'(*)) (х-> + оо).
Доказать, что
оэ со
0 ' 0
4.10. Пусть функция ф(лг), положительная и непрерывно
дифференцируемая при х^0, удовлетворяет условию
лгф/(лг) = о(ф(лг)) (jc->-}-°°)*
Доказать, что при любом фиксированном значении положительной
постоянной а справедлива асимптотическая формула
Ф (ах) <~ ф (х) (х -*- -{- со).
49

4.11. Пусть функция ф (.*:), положительная и непрерывно
дифференцируемая при х^О, удовлетворяет условию
хц>' (х) <~^ рф (лг) (х -> -f- °°)>ч 0 < р < оо.
Доказать, что при любом фиксированном значении положительной
постоянной а справедлива асимптотическая формула
ф (ах) ^ арф (х) (х -> + °°)-
4.12. Пусть функция ф(лг), положительная и непрерывно
дифференцируемая при лг^О, удовлетворяет условию
¦*Ф'(*) = 0((?§!х) <*^ + «* 0<а<1,
а функция а(х)> непрерывная при -*г^0, удовлетворяет условию
1п|а(лг)| = о(Aп.хОа) (х-* + о6).
Доказать асимптотическую формулу
Ф (ха (х)) ~>ф (дг) (jc -> -}- оо).
Многие асимптотические формулы для интегралов, как функций одного из
пределов интегрирования, можно получить с помощью интегрирования по
частям.
4.13. Доказать асимптотические формулы:
X X
1. ^*.dt~?(x-+ + oo). 2. $^~т^ (*-Н-оо>
С ё~* , е~х
3. \ -т= а? ~ -т= (лг -> + со).
В некоторых случаях одного интегрирования по частям бывает
недостаточно, но второе интегрирование по частям приводит к цели.
4.14. Доказать асимптотические формулы:
+ оо
1. ^ E2i^=+^ + 0(*-2) (X-+ + CO).'
х
2. Y^* —^ + o(r"*) (*- + «>>
+ О0
3. 5 t~acostdt=— x-Vsinx+Oix-"-1) (x-^ + oo) a>0.
4. $ sinf# = ^ + 0(jr"»+1) (jc->+oo), я>1.
50

4.1S. Пусть функция h(x), положительная и дважды непрерывно
дифференцируемая при хЗ^О, удовлетворяет условиям
h'(x)>Q(x>x0), h"{x)^o({h'{x)Y) (*-*-+оо>
а функция ф(х), положительная и непрерывно дифференцируемая
при х^О, удовлетворяет условию
q>'(x) = o(h' (х)ф(лг)) (лг-^ + оо).
Доказать асимптотические формулы:
X
1. $ ф (о / to «й ^gft (*; -(ф w {х^+то).
о
Указание. См. задачу 4.08.
4.16. Найти асимптотические формулы для следующих интегралов:
х i± - +оо
1. ^tae2 dt (x->-\-oo). 2. J tae-t7ndt(x-> + oo),m>0.
О х
+ ОЭ
3. \ Vl^+le-'dt (x-^ + co). 4. ? s^l2-^ (x-^-foo).
+ CO
rt gjn ? +CO
5 J yT+T* ^ С*—+оэ). 6. J j/"*2-M sine'tft (r-* + oo).
л: *
x
7. Jl/^4-1 'Jslntdt (x-* + oo).
0
+co
8. J (In t)ae~ Vt sin * dt (x -> + oo).
я
Г 2
9. 5 tae ' dt (x-> + 0). 10. J (sin 0a ecW dt (x -> + 0).
о *
4.17. Пусть функция ц>(х), положительная и непрерывно
дифференцируемая при лг^О, удовлетворяет условию
xq>' (х) — о (ф (х)) (х -* + °°)-
Доказать асимптотические формулы
' х
1. С Ф @ f0 Л ~Д лг°ф (х) (jc -> -f oo), a > 0.
о
+со
2. [ (p(t)ta-ldt^ — ~xa<p(x) (х-» + оо), а<0.
Указание. См. задачу 4.10.
51

4.18. Пусть функция ф(лг), положительная и непрерывно
дифференцируемая при х^О, удовлетворяет условию
ху'(х)^рф(х) (лг->-}-°°)> 0<;р<;оо.
Доказать, что при любом значении а>0 справедливы
асимптотические формулы:
х
1. {q>(t)etadt^^x1-a(p(x)exa (jc-^ + co).
а
-f-oo
2. ? (p(t)e'tadt^^x1-a(p(x)e-xa (jc-> + oo).
X
Указание. См. задачу 4.11.
* * *
Часто приходится иметь дело с интегралами, у которых пределы
интегрирования постоянны, но подынтегральная функция зависит от параметра.
Основой для получения большинства асимптотических формул являются
асимптотические оценки, предлагаемые для доказательства в следующих
нескольких задачах.
4.19. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке а^х^Ь.
Доказать, что ^
ъ
\ f(x) e-b*dx=o (е-М) (А, -> + °о).
а
4.20. Пусть функция f(x) непрерывна при х^а и удовлетворяет
условию | f(x) | <: Me0* (x^a) с некоторыми постоянными Ж и а.
Доказать, что справедлива формула
+ оо
J f{x)e-^xdt=o{e~^a) (^ + оо).
а
4.21. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке а^х^Ь,
где —оо «< а <! Ь <С + оо. Доказать, что
ь
J f{x) e*x dx=o{\) (К -> + оо).
а
Ь
Указание. Вместе с интегралом \f (х)еАх dx рассмотреть интеграл
а
ft—лЛ
V / (я-j—г-) е*Кхdx. Доказать, что и сумма2 и разность этих двух инте-
а
гралов стремятся к нулю при А,—*--}-со.
52

4.22. Пусть .функция f(x) непрерывна при х^а и удовлетворяет
+ оо
условию \ | f(x) | dx < оо. Доказать, что
а
со
J /(лг) eiKx~dx=oA) (А,-> + оо).
Основной прием получения асимптотических формул для интегралов вида
со со
§l(x)e-kxdx, J/(jt)ea*d* (Я,-»+со)
а а
состоит в интегрировании по частям (интегрируется выражение elx dxt а
функция f(x) дифференцируется).
4.23. Доказать следующие асимптотические формулы:
1. ^?^dx==±- + 0(X-*) * (Л-> + оо).
о
со
о
со
о
оо
4. ? C^+l)-3/2 sin Я/<#=-!- +©(Ат2) (Л-* + со).
о
со
со
со
8. ^-'со8Я^ = у| + 0(Я,-1) (Л-> + со).
о
со
9. С-7Ё1=в-мд=-^+0(~>| (*-> + оо).
J/1+*2 JlU/
о
оо
m С ln2' W^ ln8^ i л/lnM /О I Л
о
со
7- lmr*=Tfr+0**> <*-+«*
53

Символом Г (а) обозначается гамма-функция Эйлера, определяемая при
а > 0 интегралом
сю
Г (а) =\ f^e^dt.
4.24. Доказать следующие асимптотические формулы:
а
1. \t*-ie-Mdt~Y{a)lr° (Я-* + оо), а>0, а>0.
о
ja-i __
е-М(И~Г(а)к~а (Я-* + оо), а>0.
о
со '
3. \ tae~^V7+1 dt~jY(^tl) К-<«+» J/P (Я -> + оо),
а>—1, Р>0.
4. ? р-*е-н1п * Я ~ —Г (а) ^ (Я -> + оо), а >0.
6
4.25. Пусть функция f(x) непрерывна при jc^Oh удовлетворяет
условиям
а) /@)^0; б)\/(х)\<Ме** (х>х0)
(М и К—некоторые постоянные). Доказать асимптотические формулы:
оо
1. ^/(О'^-'е-^Л^ЛО)^ (Я-* + оо), а>0.
оо
2- { f(t)t?-*e-" intdt~—f@)Y(а)^? (Я-^ + со), а> 0.
о
4.26. Пусть функция ф(х), положительная и непрерывно
дифференцируемая при х ^ 0, удовлетворяет условию
Хф' (х) = О (ф (х)) (X -*¦ -f- ОО).
Доказать асимптотическую формулу
со .
[xa-l4>(-)e-b*dx~Y(a)%$- (Я~* + оо), а>0.
Указание. См. задачу 4.10.
4.27. Пусть функция f(x) непрерывно дифференцируема на
отрезке a =s^х^by где — оо < я < ?> <С + оо, и удовлетворяет
условиям
/(a) Ф 0, №=0.
54

Доказать, что при Л -> + оо, О <С а < 1 справедлива асимптотическая
формула
ь
\ fix) (х—а)а~х (Ь—x)a'let%x dx~(b — a)" f(a) Г (а) enia'2 X~aelaK
а
4.28. Пусть функция f(x) непрерывно дифференцируема при
х^О и удовлетворяет условиям
/@)ф0, \f(x)\ + \f'(x)\ = 0(^) (*-> + оо).
Доказать асимптотическую формулу
00
5 f(x) х«-1еЛ* dx ~ /@) Г (а) еп1а^ К~а (к -+ + °о), 0 < а < 1.
^ о
4.29. Доказать асимптотические формулы:
, С * м лГ* |(х+# a . ¦>
'• \yW=Xdt~V Ъе (*-+«*
I
2- 5тё?Л~1/Гт«»(*-т)+0(х) <*-+«»
—1
оо
о
4. ?^1п«*Я~у ?ln»X (Л-^ + со).
о
4.30. Пусть функция fix) имеет т непрерывных производных
на всей действительной оси и пусть
со
Hi/^)i+i/'(Ar)i+"-+i/(m)^)i}^<°°-
О
Доказать, что
со
J fix) e^x dx=o (К~т) (Л -> + оо).
о
4.31. Пусть функция f(x) имеет т непрерывных производных
на всей действительной оси и периодична с периодом со. Доказать, что
\ fix)e' ш dx=o(frm) (й-> + оо, л=1, 2, ...).
* * *
55

оо
Интегралы вида \ \ (х) е~^ dx можно рассматривать {с точки зрения полу-
о
чения асимптотических формул) как частный случае интегралов значительно
более общего вида.
4.32. Пусть функция К(х, Я) положительна и непрерывна (по
совокупности переменных) при х > О, Я > 0 и удовлетворяет условию:
а) При каждом фиксированном значении а > 0 справедлива формула
а
\ К(х, X)dx = o (/ (Я)) (Я -* + оо),
о
где °°
7(Я) = J К(х, Я)dx< оо.
о
Доказать, что если функция f(x) непрерывна при дг^О и если
существует предел f(x) при х-+-\-со, равный А, то
оо
\f(x)K(x, Я)сЬг = /(Я)(А + оA)) (Я-* + оо).
о
4.33. Пусть функция Q(x, Я) непрерывна (по совокупности
переменных) при лг]>0, Я>0 и удовлетворяет условиям:
оо
a) 0<Q(x, Я)<1; б) $ A — Q(x, K))dx=o(l) (Я-> + оо).
о
Доказать, что если функция f(x) непрерывна при х^О и
оо
\ \f(x)\dx<?оо, то
о ^
оо со
J f(x) Q (х, Я) dx = J f(x) dx + о A) (Я -* + оо).
о о
В случаях, когда функция / (х) стремится к бесконечности при х — -f- od
(в задаче 4.32), или когда интеграл от нее расходится (в задаче D.33),
асимптотические формулы получаются несколько сложнее, и они сильнее зависят от
вида функций К (х, К), Q (х, h).
4.34. Пусть функция f(x) непрерывна при х^О и удовлетворяет
условию f(x)r^>xa~1 (лг->4-°°) (границы для ос оговариваются
в каждом случае отдельно). Доказать формулы:
оо
1. \f(x) е-*'х dx ~ ЯаГ (а) (Я -> -f оо), а > 0.
о
оо
2. { Ш-^~Й^1(Я-> + оо), 0<а<1.
\ JC-fJl Sin JTOCv i /' -s. —
о
оо
3-SM-dx~f^k <*- + «* °<а<2.
о 2 sin -y
5§

Указание. Считать известными формулы
Y {а)=\ &-Ч-< Ш, а>0; С^1^ = _Д_) 0<а<1.
J J r+1 sin Jtoc'
о о
4.35. Пусть функция f(x) непрерывна при лг^О и удовлетворяет
условию f(x) r^ — (х -> -\- со). Доказать, что
if(x)e-exdxc^\n~ (8-^ + 0).
о
Указание. Проинтегрировать по частям.
4.36. Пусть функция f(x) непрерывна при 0<!-?^1 и
удовлетворяет условию f(x)'--' лг"-1 (х -> + 0) (границы для а указываются
в каждом случае отдельно). Доказать формулы:
1
1. [ЩAх~1?—- (е-* + 0), 0<а<1.
j jc-j-e sin atoc v ' '
0
1
\v^~^\w$F (e^+0)' °<«<2«-
о о
1
3. \mjL~z«~*\l^M, (8^ + 0), 0<a<2.
4.37. Пусть функция ?(лт, е) при O^jcs^I, e>>0, положительна
и непрерывна (по совокупности переменных) и удовлетворяет
условиям:
а) При каждом а, 0 < a ^ 1 справедлива формула
а
\ k (х} е) dx~ 1(e) (е -> + 0),
где /(е) = $&(.#, e)efo;.
б) При лг2 -f- е2 -> 0; -? > 0, в >> 0, справедлива формула
1
k (x, е)
(jr! + eTA+o(l)), -J»>0.
Доказать, что если функция f(x) непрерывна при 0 ¦< х ¦< 1 и если
/(x)^jca_1 (x-* + ()), где 0<а<2/», то
1 °°
t /(*)*(*, е) Ac^e»-"" $ ^^ (е-> + 0).
о о
67

4.38. Доказать асимптотические формулы:
со
1. [ f ^ ritt~1ll—(я-»-}-")-
2 '
1
3. ? 0* + e4)- V« dt ~ In -Ь (е -* + 0).
со
_ С Aп О" Л (,п Л)° 1\ ч _^ л ^ п
5. \ ^v ~v a ' (л-» + оо), а ^ 0, « > 0.
^/Я+Ч^+ЛГ сЛ« -г * •*- . --
1 '
6. \ A — 0а_1 A — г*Г*Л ~ л-!~а- A — г)а~2
J v y v y sin яа v '
о
(Г_*1__0), 0<а<2.
о
8.
С/2
с *р ^inrL- (г-i-o).
Я со
— л 0
(Г^1_ 0), л>1/2.
10. ? A+r2 — 2r cos ф)-,7^ф^2 iny-^; (r^l— 0).
Асимптотические формулы для интегралов вида (f{x)e~Xx dx можно
о
обобщать и в другом направлении.
4.39. Пусть функция /(лг) непрерывна на отрезке О^х^а и
/@)^0, а функция h(x) непрерывно дифференцируема на этом
отрезке и h'(x\>0 при 0 =5^X5^ а. Доказать, что
а
о
58

4.40. Пусть функции f(x) и g (jc) непрерывны и "положительны на
отрезке 0<л<а,ааи fx—положительные постоянные. Доказать, что
а . а
$ fix) х* - »«- ^ w dx~± ДО) [Лв @)]~ * Г (-?-) (X -* + со).
о
4.41. Пусть функция й(х) дважды непрерывно дифференцируема
на отрезке а^х^Ь и имеет там единственный максимум в точке с,
причем о<с<^ и п'(с) Ф 0, а функция f(x) непрерывна на отрезке
а^х^Ь и f{c) Ф 0. Доказать, что
ь ..
$ f(x) «а* с» d> ~/(с) «»* « у - jJ^L (Я -> + со).
а
4.42. Доказать асимптотические формулы:
п/4
л/2
2л
v 2. С cos2re лг cfjc~ -i Л[\ (я -* + оо).
я __
3. \ sin"хdx<^Л/ — in-* + со).
о
I
о
о
-6. \е *\ хЫх^е-ьу ? (А,-* + оо).
о
л
Я
8. С в*-*™* cos4 xdx~~Y/ — е* (A,-*-f-oo).
9. { xan(l—x)ila)ndx~aanil—ayi-a)n т/2лС6^ к)
(л-^ + со, 0<а<1).
со
J A+*T v ' К A — а) л
0
(я -> + со, 0 < а < I).
59

4.43. Доказать асимптотические формулы:
1. \(l+x*)-bdx~k *гШ (А, —+ со).
о ,
со со
Т+Щ*Ч^)ах~Т J T+?dt (Л— + со).
— 00
4.44. Доказать асимптотические формулы:
го
:Yri
о
о
—со
iW^-1 Г(т) <*-*+«*
—со
4.45. Доказать формулу Стирлинга
Г (х + 1) ~ У 2кх ххе~х (je-> + co).
со
Указание. В формуле Г (*-+-1) = \ txe~ldt сделать замену переменной
о
t=xu.
4.46. Доказать асимптотические формулы:
1. J exp{— e*-\-Xx}.ximdx~V2nQnkJmX 2е~ь
— со
(Л-^-f-oo, /я;>0).
2. §e-^^dx~Y^X^eV'-tr
о
4.47. Пусть функция f(x, у) непрерывна в круге х*-\-у2 ^а2
и /@, 0) 9^ 0. Доказать, что
[\ f(x,y)e-K^+^dxdyr^U^p. (Я-> + оэ).
60

4.48. Пусть функция h (х, у) дважды непрерывно дифференцируема
в круге х2-\-у**^а2 и имеет там единственный максимум в точке
d, T]), лежащей строго внутри этого круга, причем
на, то=^& ч) кУ{ь io-[/^a л)? ^ о.
Доказать, что
Получение асимптотических формул для сумм растущего числа членов и
для сумм бесконечных рядов, члены которых зависят от параметра, часто
удается свести к получению асимптотических формул для интегралов. Во
многих случаях такое сведение удается осуществить с помощью оценок,
составляющих содержание следующих двух задач.
4.49. Пусть функция f(x) положительна, непрерывна и монотонна
при jc^O. Доказать, что
S/(*) = J/(*)«te + 0(l) + 0.(/(n)) («-*oo>
k=0 0
4.50. Пусть f(x)—непрерывно дифференцируемая при х^О
функция. Доказать, что
п п
S /(*)-$/(*)<**
1/@)| + $!/' (x)\dx.
4.51. Доказать асимптотические формулы:
п
1. Л Т"'^У^п/г (л-*оо).
a=i
п
fta+i
2. 2] /гаAп?)Р~ ?j^-(lnw)P (w->oo), а>—1.
А =2
3. 2 !(inA)«~Mp (л-*оо), а>-1.
4.
^ ?«<?fe~-|-йа-Р+1<2лР (л-*оо), р<1.
k—\
go
>. 2 ?абГ*Р~^л0-Р+1е-лР (й-^оо), р<1.
А=я
4.52. Доказать асимптотические формулы:
1. 2 ?a*ftP~ «ae"P (л -> оо), р > 1.
А=1
61

2. J] kae-^^nae^ (л->оо), Р>1.
n
3. 2 (&)a~(w!)a (я->оо), a>0.
4.
2 ka4k~lT^T {n-+ao), q>L
as
•<7
4.53. Доказать асимптотические формулы:
со
L 1 т+гп-г=-х (*-*i-o).
/г=0
2.
п=1
3. 2 «а1хге^Г(а)A— дг)-° (х~>1 — 0), а>0.
ге= 1
со
4. 2 лР~1в~ЛЯ1°'^^Г('1)Лг^/а С*-* + 0)> а>0, р>0.
/j=i
Асимптотические опенки часто бывают полезны при исследовании решений
трансцендентных уравнений. Основным приемом является использование
последовательных приближений искомого решения.
4.54. Из геометрических соображений очевидно, что уравнение
tgx = x имеет корень хп, удовлетворяющий условию
*я = Bл+1)? + оA) (я-+оо>
Доказать, что
*в = Bя+1)-|Ь + 0A-) (и^ + оо).
4.55. Доказать, что для корня хп уравнения tgx = j^, о котором
говорилось в задаче 4.44, справедлива асимптотическая формула
л:„ = B„+!)-|-1+0A) <и- + оо>
4.56. Обозначим через хп корень уравнения cos x-\ = 0,
лежащий на отрезке \2пп, 2ля + я]. Доказать, что
*- = B" + т)» + 5й + °(г) С-.+ оо).
62

4.67. Пусть 0<а<М. Обозначим через хп корень уравнения
sin х = х~а, лежащий на отрезке И 2/z -f -^ J я, Bп -f- 1) п , п ^ 0.
Доказать, что
хп = Bя + 1) я -—^ + О (/г 2°) (я-> + со).
4.58. Доказать, чго уравнение
-J-CO
[ sin*2<# + ^ = 0
имеет на отрезке \У 2пп, ]/"Bи + 1) я] при я > 2 ровно один
корень лгп и получить для этого корня асимптотическую формулу
Хп = /B« + ^)д +^ + О (« - w) («^ + со>
Указание. Прежде чем переходить к получению асимптотической
формулы для хп, доказать асимптотическую формулу
-J-CO
^sinPdt^~f + 0(x-^ {х-~+сю).
4.59. Пусть ?>0. Обозначим через k(t) единственный
положительный корень уравнения хех=t. Доказать, что:
1. При всех t^>e справедливо неравенство
In / - In In t < К (t) < In t
2. При t—»-'-{-oo справедлива асимптотическая формула
4.60. Пусть t>e. Обозначим через %(t) единственный корень
уравнения -j—==t, который тоже больше е. Доказать
асимптотическую формулу
*,(*) = * In *-fO(*lnlnQ (t-++oo).
4.61. Пусть ?>1. Обозначим через k(f) единственный корень
уравнения xs-\-\v?x — t, который тоже больше единицы. Доказать
асимптотическую формулу
x(o-vt-^'+o(wi) <*-+«».
Irfit
i-vi~L\ \т-*-\-со).
63

ОТВЕТЫ
4.16.
1. xa*eXi/*. 2. -L-ta-m+i/r*m> 3. xe-x^
m
. 2 COS V* c 1 _ v , . . л с -j: *
4. z=~—. 5. —т=е x (sm x-f-cos x). 6. xe *cose*.
Vx 2Vx
X \^x~
7. -^e* (sin x—cos л:). 8. (In лг)а ? cos x.
9. х^^е-ух. 10. xa+2eV*.
§ 5. Однозначные элементарные функции
При знакомстве с функциями комплексного переменного' часто удобно
говорить о них в терминах совершаемых ими отображений (см. 6° § 3).
Если не считать функции, тождественно равные постоянной, то
простейшими функциями комплексного переменного являются 'линейная функция
w=Az + B, АфО,
и дробно-линейная функция
аг-\-Ъ , . , _
т= ~. ad—ЬсфО.
(Условия А ф 0 и ad—ЬсфО, обеспечивающие отличие функций от
тождественной постоянной, всюду в дальнейшем считаются выполненными.)
5.01. Доказать, что линейная функция осуществляет взаимно
однозначное отображение комплексной плоскости z на комплексную
плоскость w.
5.02. Доказать, что дробно-линейная функция осуществляет
взаимно однозначное отображение расширенной комплексной плоскости z
на расширенную комплексную плоскость w.
5.03. Доказать, что последовательное выполнение произвольного
числа линейных отображений (т. е. отображений, совершаемых
линейной функцией), сводится к одному линейному отображению.
5.04. Доказать, что последовательное выполнение произвольного
числа Дробно-линейных отображений сводится к одному
дробно-линейному отображению.
5.05. Доказать, что линейное отображение переводит прямую в
прямую, а окружность в окружность.
5.06. Доказать, что линейное отображение w = Az-\-B, Аф\,
сводится к преобразованию подобия (с центром в точке В/1—Л) и ко-
эффициенгом подобия | А |) и к повороту вокруг центра подобия на
угол'аг|*Л против часовой стрелки.
5.07. Доказать, что дробно-линейное отображение переводит
окружность на сфере Римана в окружность на сфере Римана.
5.08. Пусть w(z)—линейное отображение, а zx, z2, z3 три
произвольные попарно различные точки. Положим wk — w(zk). Доказать,
что
w3—ц>1 _ г3 — ?i
64

5.09. Пусть w (z) — дробно-линейное отображение, a zv z2, z3,
zt—четыре произвольные попарно различные точки. Положим
wfi = w(Zft). Доказать, что
Ц'4~а,1.а,8~Ц,1 _ г4 ~ gl . г3~ *1
иI—1?>2'х?>3—1?>2 г4—г2 *гд—г2"
5.10. Найти образы множеств Е при отображении указываемыми
функциями:
г—1
1. ?:Imz=l; ^ = ^тт.
2. Я:лг2+У + 2х + 2у-И=0; ^ = Ч^Т (x + ly = z).
Z-\-l
3."Я:|*+1|=1; w = l 4. Я:
г
г
1
1 1
4 ' г
5. ?:И = 2; w=,+ 1-
6. ?:Re2=1; ^=т4~• 7. E:]*| = l; да=Д±1.
8. ?:|*!*?!; w=^-. 9. ?:И^1; гс> = 22г-1
1+2г' •"-¦1-1—- ' - - 2_2 •
10. ?:Re2>0; та> = ^, а<0.
г—а'
* * *
Отображения, совершаемые произвольным многочленом или рациональной
функцией, описать чрезвычайно трудно. Сравнительно просто исследуются
отображения функциями w = zn и о> = -^ (z -| 1.
5.11. Найти образы множеств Е при отображениях указываемыми
функциями:
1. ?: |И=1, O^argz^y, w = z*.
2. Е: {|zj>2, 0<arg2<"ji}; w = z*.
3. E: Re z = 1; w — z\ 4. E: 1тг=1; та> = .га.
5.E: И = 2; ^ = |(z+j)-
е. в 1*1—4-5 *-4(*+т)-
7.fid*|<l, 1тг>0); ^=y(z+y)-
8.fi|z|<i.; ^ = -1(^ + 1).
9. ?: arg2 = -J; w=s^(z-\-j).
1ЛС.я_ Зл. l / . I \
Ю. E: T<arg2;<T; w = у[z + TJ.
* * *
3 Под ред. М. А. Евграфове 65

Функция ё1 для комплексных значений z определяется как сумма
степеней
ного ряда е? ~ У ~т , сходящегося в каждом круге | г \ ^ R < со.
О
5.12. Перемножая степенные ряды, доказать формулу
5.13. Пусть л:—Re,?, y=\mz. Доказать, что
f — e* (cos у -f / sin у).
5.14. Вычислить значения функции е* в точках:
1. 2 = 2ш. 2. z = nl. 3. z = ji//2. 4. z = — я//2. 5. 2 = ш/4.
5.15. Доказать, что ]<?г| = е^е2.
5.16. Доказать, что для всех г имеет место равенство
ez + 2ni — gz
6.17.- Доказать, что ни для каких значений z функция ez не
обращается в нуль.
5.18. Пусть А—произвольное комплексное число, отличное от
нуля. Доказать, что все решения уравнения ег = А описываются
формулой 2 = ln( A\-\-iargA + 2kni, ?==О, ±\, ± 2,
5.19. Описать - все точки z, в которых функция ег принимает:
1. Действительные значения.
2. Чисто мнимые значения.
Тригонометрические и гиперболические функции для комплексных
значений z определяются формулами
eiz\e-iz eiz^e-iz ег-\-е~г . ег—ё~г
cos^= ^ , апг= -. ; chz =—^—, shz=—^—
(для функций tgz, ctgz, thz, cthz сохраняются формулы, выражающие их
через основные функции sin z, cos z, sh z, ch z).
5.20. Исходя из данного выше определения, доказать формулы:
1. cos (— z) = cos z. 2. sin (— z)= — sin z.
3. ch(— z) = chz. 4. sh(— z) = — shz.
5. cos2 z -^sin2 2=1. 6. ch2z — sh22=l.
7. sin {zx -f- г2) = sin zx cos г2 -f- cos zx sin 22.
8. cos BX -j- г2) = cos zx cos г2—sin zx sin ,г2.
9. ch (zx 4- z2) = ch zx ch z2 -f sh zx sh 22.
10. coszx -\-cosг2 = 2 cos -Цр^-cos -Цт-~
66

6.21. Доказать формулы:
1. sinfz -\-^] = cosz. 2. sin(z + n) = — sin z.
3. sin{z -f-2ji) = sinz. 4. cosh? ^-~) = — sinz.
5. cos(z + 2jt)=cosz. 6. tg (z + я) = tg 2-.
7. sh(z+y) = /chz. 8. ch (z-f-^) = ishz.
9. sh(z-f-ju) = —shz. 10. eh (z + я/) = — ch z.
11. th(z.+ :ru) = thz. 12. ch(z + 2m) = chz.
6.22. Доказать формулы:
1. sh 2 = — /sin(/г). 2. sh (?z) = /sinz.
3. cos(/z) = chz. 4. ch (/г) — cos z.
& tg(/z)=/th.?. 6, ib{lz)=iigz.
7. ctg(fc) = —/cthz. 8. cth(/z) = — ^ctgz-
Б.23. Пусть x=Kez, y=lmz. Доказать, что:
1. Resinz = sin.x;-ch_y, Imsinz = cosAr-sh_y.
2. Recosz—cosj*r-ch_y, Imcosz = —sin^r-sh^y.
3. Reshz = shA>cos_y, Imshz = ch.xr-sin_y.
4. Rechz = ch.*r-ch_y, Imchz = shx• shy.
к n . sin 2x , , sh 2y
5" Rete* = cos2* + ch2y Imtg* = cos2*+W
6- Recte^ch2y-fos2*' ImCte^-ch2^-c^2x-
5.24. Пусть Jtr=Rez, j=Imz. Доказать, что:
1. | sin z | = У ch2_y—cos2 x. 2. j cos z | = }/ch2_y—sin2 лг.
3. |shz| = ]/ch2x—cos* j/. 4. | chz| = j/ch2^—-sin2.y.
r U i -|/~ch2f/—cos2* . , -, /~ch2x+cos2y
. 5.25. Описать точки z, в которых следующие функции
принимают действительные значения:
1. cos z. 2. chz. 3. sin г. 4. tgz. 5. cthz.
5.26. Описать точки z, в которых следующие функции
принимают чисто мнимые значения:
1. sinz. 2. shz. 3, cosz. 4. ctgz. 5. thz.
5.27. Найти все точки, в которых обращаются в нуль следующие
функции:
1. sinz. 2. cosz. 3. shz. 4. chz.
5.28. Найти все решения следующих уравнений:
1. sinz = 4//3. 2. sinz = 5/3. 3. cosz = 3//4. 4. cosz = C -4- /)/4.
5.'tgz = 5//3. 6. ctgz = —3//5. .7. shz = //2. 8. ch*=l/2.
3* 67

5.29. Разложив функцию cosxz на отрезке —п^х^п в ряд
Фурье, получить формулу
со
sin яг 1 V . л ч_ 2г sin яг ,
cos.*z=— HZd^ У п*~& cosnx (—п*^х*^п).
6.30. Опираясь на формулу задачи 5.29, доказать формулы:
с» оо
1. „с18пг=1+У^Ц. 2. -Д_ = У *=?..
& г ' ^J г2—л2 яп яг ^ г — п
3.
п=1
я2 VI 1 . я
Z (г-п)
sin8 яг ^d (г—лJ " * cos яг
- '
5. smnz = 7tz I I (l—^g).
оо
7. ehiw«JwQ(l+5)-
n=—
CO
2
n=—
_ 1
Z
со
oo2
+
(-
— n
CO
2
-1)"
1 •
2
2z
г2+л2
* # *
При исследовании сходимости рядов или интегралов, а также во многих
других вопросах, полезно иметь в виду различные неравенства, относящиеся
к показательной и к тригонометрическим функциям.
5.31. Доказать, что при |z|«s;/? имеют место неравенства:
1. \zhz\^?hR 2. |shz|s=cshR 3. | cos г | ^ ch R. 4. |sin-2r jsSshft
5.32. Пусть x=Rez, y=lmz. Доказать, что:
1. Функция ег стремится к бесконечности при х, стремящемся
к + оо, и это стремление равномерно по у.
2. Функция ег стремится к нулю при х-+ — оо и это стремление
равномерно по у.
3. Функции sin z и cos z стремятся к бесконечности при у -*• ± оо
и это стремление равномерно по х.
5.33. Доказать, что:
1. Функция ег* стремится к бесконечности при г->со в любом
угле вида | arg z — л | «? ос и в любом угле вида | arg z j ^ а, если
только а<Ся/4.
2. Функция ez2 стремится к нулю при г->оо в любом угле вида
] arg z ± л/2 | ^ а <С л/4.
5.34. Пусть Р (z) = zn + axzn~x -\-... -|- ап. Доказать, что функция
eP(z) стремится к бесконечности при z-*co ъ углах
2ferc
arg z
л
^<*<? (Л = 0, 1, ..., и-1),
и стремится к нулю при г-^оо в углах
B?+1)я
I BА!+1)Я Я ,. п л
argz— ^ |^«<2Я (* = 0, 1 л—1).
68

6.36. Пусть x—Rez, y=lmz. Доказать неравенства:
1. 2 ^|sin^l^g-±i-.
2. е°"~е 'Я^|со5^1^^±^.
Op-ЗУ 9/>-2У
6. T^r^lctg^/I^^ ty<0).
5.36. Пусть 0<Cp<CJt/2. Обозначим через Dp всю комплексную
плоскость, из которой выброшены круги \z—таг | <С р, я—0, dtl,....
Доказать, что:
1. | ctg z | ^ cth p (zg Dp). 2. | sin z | ^ sin p (z e ?>p).
6.37. Пусть функция /(z) непрерывна при Rez^O, \z\^R, и
удовлетворяет условию f(z) -»¦ 0 (Re z ^ 0, J ? | -> do). Доказать, что
\f(z)eizdz->0 (r->oo); (Cr: |z| = r, Re г 5*0).
Указание. См. задачу 3.71.
6.38. Пусть функция f(z) непрерывна в области D
\z\^R, |argz|<:^ (л=1, 2, ...),
и улозлетворяет условию ] f(z)\ = о(| z |a) (г-*-со, ге ?>). Доказать,
что
$/(г)е-гЯАГг = оХг«-л+1) (г-* со), (Сг: [ г | = г, z е= Я).
5.39. Пусте функция /(г) непрерывна в полуплоскости Rez^A
и удовлетворяет условию /(z)->0 (Re -г -»¦ + оо). Доказать, что:
L I /(^)i^0 (я-> + со, я«1, 2, ...).
2. С /(г:)(ctg г + 0dz-* 0 (я-* + со, и=1, 2, ...)•
* * *
69

rr-\n\Hre^)
для следующих
6.40. Найти величину //f((p)=lmi
A-vOO
функций f(z):
1. ег. 2. sin г. 3. chz. 4. (sh^r — a1)(sh2r — а2).
5.41. Найти величину lim —Цр^ для следующих функций/(z):
1. ег. 2. sin г. 3. cos г. 4. sh^. 5. chz.
6.42. Найти величину lim —-¦¦ ¦ ¦ ' для следующих функ-
у -*-j-oo У
ций f(z):
1. sin z. 2. eiz\ 3. e~2iz\
ОТВЕТЫ
5.10.
1. Окружность \w—1 — /| —1.
3. Прямая Rea)=—-^-. 4. Окружность
2. Прямая —6Reiy-j-4 Ima> = l.
4
. 8
^+3-
3 -
5: Окружность
w — ¦
= -5-. 6. Окружность
О
3
7. Мнимая ось. 8. Внешность единичного круга.
9. j w | ^ 2. 10. Единичный круг.
5.11.
1. Полукруг |и)|^1, Imay^O. 2. Область |ау|>8.
3. Парабола и=1 —с2/4, ш—и + гЧ>. 4. Парабола u = v2/4— 1, «; =
= « + ш.
5. Эллипс с фокусами 1 и —1 и полуосями 5/4, 3/4.
6. Эллипс с фокусами 1 и —1 и полуосями 5/4, 3/4.
7. Вся расширенная комплексная плоскость с разрезом по отрезку
(—1, 1) действительной оси.
8. Внешность эллипса
-=1, w=u-\-iv.
E/4J ' C/4J
9. Правая ветвь гиперболы и2—Ф =1/2, w~u + iv.
10. Область, заключенная между двумя ветвями гиперболы и2—v2 =1/2,
w—u-\-iv.
•1; 3. ft 4. —i; 5.
1 + t
6.14.
1. 1; 2.
5.19.
1. Imz=&ri, A = 0, ±1, ±2, ...
2. 1тг=B? + 1)я/2, ?=0, +1, ±2, ...
5.25.
L lmz=0; Rez=fox, fe=0, ±1, ±2, ...
2. Rez = 0; 1щг==Ая, ? = 0, ±1, ±2, ...
3. 1тг=0; Rez=F+l/2) я, А = 0, ±1, ±2, ...
4. Imz=0. 5. lmz=krc/2, ? = 0, ±1, ±2, ....
5.26.
1. Imz=0; Rez=*fai, ft=0, ±1, ±2, ...
2. Re* = 0; Imz=fcrc, ?=0, ±1, ±2, ...
3. hnz = 0; Re z = (&-]-1/2) я, ? = 0, ±1, ±2, ...
4. Re г = Ля/2, 6 = 0, ±1, ±2, ...
5. 1тг = (?+1/2)я, ?=0, ±1, ±2, ...
70

5.27.
{. z=kn, k^=0, ±1, ± 2, ...
2. г=(А+1/2)л, /? = 0, ±1, ±2, ...
3. z=km, ? = 0, +Л, ±2, ...
4. z=(/e-fl/2)iu\ fe=0, ±1, ±2, ...
5.28.
1. z=i(— l)Mn3+ftji, 6 = 0, ±1, ±2, ...
2. г=± i'ln3-f-J-|-2eji, fc = 0, ±1, ±2, ...
3. г=±(—Пп2+~ L-2foi, *=0, ±1, ±2,...
4. г=±(-у1п2+^+2йл, k=0, ±1, ±2, ...
5. z=iln2+Ji(fc + -^f fc=0, ±1, ±2, ...
6. z^i\n2+n(k-i-^\, k = 0, ±1, ±2, ...
7. г=(-1)*^ + /гш\ ? = 0, ±1, ±2, ...
8. z==±^ + 2?m\ k = 0, ±1, ±2, ...
О
5.40.
1. cos<p. 2. j sin ф |. 3. | cos <p ]. 4. 21 cos <p [.
5.41.
1. Kez. 2. \lmz\. 3. |lmz|. 4. |Rez|. 5. |Rez|.
5.42. 1. 1. 2. —2a;. 3. 4x.
§ 6. Равномерная сходимость. Степенные ряды
Последовательность {fn{z)}, n=l, 2, ..., функций, определенных на
множестве ?, называется равномерно сходящейся на множестве Е к функции / (г),
если для любого е > 0 и для всех точек ге? существует такой номер Л'
(зависящий от е, но не зависящий от г), что при п> N имеет место неравен
отво \fn (z)-f (г)|<е(ге ?).
6.01- Доказать, что на каждом замкнутом множестве Е, лежащем
в круге J z j <С 1, последовательность \ п \ равномерно сходится к
функции f(z) = 1, а на каждом замкнутом множестве Е, лежащем
в области |,г|>1, эта последовательность равномерно сходится
к функции /(г)=0.
6.02. Доказать, что последовательность \nze~nSz2) равномерно
сходится в угле | arg z \ ^ а при любом а, 0 ^ а << л/4, к функции
/Сг)=0.
6.03. Пусть последовательность {/„ {z)\ равномерно сходится на
^множестве Е к функции f(z), и пусть функции. fn {z) непрерывны
Ш множестве Е. Доказать, что функция f[z) также непрерывна на
этом множестве.
Большинство признаков равномерной сходимосги формулируются ле для
*оследовательиостей, а для функциональных рядов-
71

Функциональный ряд У] ип (z) называется равномерно сходящимся на мно-
|i>ft(z)j
1
жесты Е, если последовательность {^]"fe(z)V его частных сумм равномерно
сходится на этом множестве к некоторой функции.
6.04. Пусть ряд V | ип (z) | равномерно сходится на множестве F -
1
а функции vn(z) определены на множестве Е и удовлетворяют нера-
оо
венствам | vn (z) | ^ \un (z) \ (z е Е). Доказать, что ряд 2 vn С?) рав-
1
номерно сходится на множестве Е.
со
6.05. Пусть сга^0 и ^ап<.со, а функции un(z) определены
1
на множестве Е и удовлетворяют неравенствам
\ап(г)\*?ая (z<==E, й>й0).
GO
Доказать, что ряд ^un(z) равномерно сходится на множестве Е.
i
6.06. Доказать, что следующие ряды равномерно сходятся на
множествах Е, указанных в скобках:
1. 21 i*""*" (Е: И^1)- 2- ^Упе~пг (Я Re*^8>0).
л=1 n=l
оо со
8- 2*rf^r (fi|*!<P<4)- *¦ 2«~2 (e«e*s»e>i>
oo
5. J] (— 1УТ' (?: Re*^6>0).
n=l
oo
«=i
Иногда имеет смысл говорить о равномерной сходимости ряда, члены
которого могут обращаться в бесконечность (и сумма тоже) В этих случаях мы
будем пользоваться несколько видоизмененным определением сходимости:
со
Функциональный ряд ^un(z) называется равномерно сходящимся на мно-
1
жеапве Е, на котором определены функции ип (г) (но могут принимать
значение оо), если для любого е>0и для всех ze? существует такой номер N
(зависящий от е, но не зависящий от г), что при п> N все функции ип (г)
конечны на множестве ? и выполняется неравенство
N + m
2 Ип(*>
< е (ге?,т> 0).
72

6.07. Доказать, что следующие ряды равномерно сходятся на
множествах Е, указанных в скобках:
оо со
1 1
оо со
1 1
6.08. Пусть lim -|/"|a„|=l. Доказать, чта
п-»-оо
00
1. Ряд ^ anzn равномерно сходится при |.г|^р<:1.
оо
2. Ряд ^апе—пг равномерно сходится при RezS^d^O.
о
ор
3. Ряд 2j%cosnz равномерно сходится при llm^l =^б <1п 2.
о
со
4. Ряд У гп1 —п равномерно сходится при | z \ ^ р <; min A > -w 1.
о
оо ¦
5. Ряд ^У] ane~n*z равномерно сходится при Re z ^ 6 ;> 0.
о
6.09. Определим функции /„ (z) равенства1ии
/в(г) = 1^. /чП*)=/о(/«(*))¦
Доказать, что последовательность {ЛСг)} равномерно сходится
к нулю на каждом замкнутом множестве Е, лежащем в круге j^l^ 1.
6.10. Доказать, что последовательность {%nfn(z)}, где функции
fn(z) определены в задаче 6.09, равномерно сходится к некоторой
функции на каждом замкнутом множестве Е, лежащем в круге | z \ <С 1.
* * *
Пусть функции qn(z), n — l, 2, ..., определены на множестве Б.
Бескосо
нечное произведение TJ qn (г) называется равномерно сходящимся на
множена
стве Е, если для любого е>0 и для всех точек ге? существует такой номер
N (зависящий от е, но не зависящий от г), что при любом целом
положительном значении т и при всех ге? выполняется неравенство
N-\-m
П Яп{г)~\
<е.
73

6.11. Доказать, что если ряд ^\ип(г)\ равномерно сходится на
i
со
множестве Е, то и бесконечное произведение Y[ О -\-un(z)) равно-
1
мерно сходится на множестве Е.
6.12. Доказать^ что следующие бесконечные произведения
равномерно сходятся на множествах Е, указанных в скобках:
со 2
2-ПA+^К^ (ЕМ^Жоо>
/г=1
В. ПA+П_2) (^ Rez=s=6>l). 4. ПA.+«") (Е: |г|<Р<»)-
л=1 п=0
со со
6.13. Доказать, что если ряды ^ип(г) и ^| ип(z)|2 равномерно
1 1
со
сходятся на множестве Е, то бесконечное произведение jj[ A ~\-ttn (z))
i
также равномерно сходится на множестве Е.
Пусть при любом значении параметра г из множества Е функция F (t, г)
непрерывна по t на промежутке a^t<.b, а в точке t=b обращается
ь
в бесконечность (или 6=со). Несобственный интеграл [F(t, z)dt с особен-
а
ностью в точке t=b называется равномерно сходящимся по г на множестве Е,
если при любом выборе последовательности {Ьп\, где a<.bn<zb, bn—>b,
\Ьп \
последовательность функций \ \ F (t, г) dt ) равномерно сходится на
множестве Е. Равномерная сходимость интеграла с особенностью в точке' t=a
определяется совершенно аналогично.
6.14. Пусть функция ф(?) непрерывна и положительна на интер-
ь
вале (а, Ь) и \q>(t)dt<C.oo. Доказать, что если функция F(t, z)
а
удовлетворяет условию j F(t, z) | ^ф@ (z e E, a<.t<.b), то
ъ
интеграл [ F (t, z) dt равномерно сходится по z на множестве Е.
о
6.15. Доказать, что следующие интегралы равномерно сходятся
по z на множествах Ё, указанных в скобках:
оо 1
1. J ?-Ч~1 dt{E\ | z | *=с г < оо). 2. J r-hr* dt (?: Re z ^ б > 0).
; о
74

со со
sljjLdt (Е: Rez^O). 4. i-?!L-dt (?: Re*^6>0).
о о ~"
оо
b-\j^dt (Е: {|arg2l^3X-6, |*|>р}, б>0, р>0).
о
оо
6- \?~k?dt (E: |arg(l-z)|«;a<*).
(?•: I argA — z)\^a<n).
i
tdt
ie*—г
со
8. \ t^slnPdt (E: 6^Rer^2—6, 6>0).
b
CO
9. ^ exp(tf8z2)<# (Й O^arg^^y, |z|5sp>0).
о
со
10- \,W3^dt (E: Rez^6>0).
о
6.16. Пусть функция ф(?) на промежутке интегрирования
непрерывна и удовлетворяет условию |ф(?)|^:1. Доказать, что следующие
интегралы равномерно сходятся по z на множествах Е, указанных
в скобках:
оо
1. \ ф @ e~tzdt (E: Re z ^ б > 0).
о
со
2. f $M.f-idt (E: 6^Rez<l— б, б.>0).
оо
с)
00
4. 5 уфе-* costzdt (E: \lmz\^l — б, б>0).
о
оо
5. С ^ue-tzdt (E: |Rez|^l— б, б>0).
—оо
6.17. Пусть функция ф(?) непрерывна при t^Q и
удовлетворяет условию lim nl*?V/.l <о. Доказать, что интеграл \ ф(f)e~tzdt
равномерно сходится по г в полуплоскости Re z ^ a.
* * *
75

00
Радиусом сходимости степенного ряда ^cn(z — z0)" называется число /?,
о
Oz^R^co, обладающее тем свойством, что при любом г, для которого
\г—z0\<zR, этот ряд сходится, а при любом г, для которого \г—г0|>/?,—
расходится.
Круг \г—гъ \<.R, где R — радиус сходимости степенного ряда,
называется его кругом сходимости.
6.18. Доказать, что для радиуса сходимости степенного ряда
со
2 Cn(z—zoT справедлива формула Коши—Адамара ^-= lim у \сп \
6.19. Доказать, что если существует предел lim - •¦" ¦¦ *= R, то
п-*оо\Сп + 1
со '
радиус сходимости степенного ряда ^сп(г—z0)n равен R.
о
6.20. Найти радиусы сходимости следующих степенных рядов:
со со °° п » п
1. ^ «**". 2. 2 рп(Л + 2)]**". 3. J 7^)a,«>0- 4- 2 Й!Л
'V ML»» в У (kr?>un
Li (n!J * ^J n!(n+l)I...(n+fc—1I"
/1 = 1 И=1
со со
7. 2 e-^V. 8. J n!*-"V, а>1.
л=0 и—О
со
6.21. Пусть радиус сходимости степенного ряда y]cnzn равен R.
о
Найти радиус сходимости следующих степенных рядов:
со со
о о
со
6.22. Обозначим радиусы сходимости степенных рядов
со со со со
Цв/, 2*»*"» 2 (<*« + *«)*" I>A*n
0 0 0 О
через Rq, Rb, Ra+b> Rab соответственно. Доказать, что
Ra+b7=zmm(Ra, Rb), Rat^RaR»
76

ей
6.23. Пусть степенной ряд ?спх? имеет радиус сходимости R>0.
о
Доказать, что
lim
n-foo
2>^
Vn [ 1 (Н<#)>
I R
оэ
6.24. Пусть степенной ряд ^ anzn имеет радиус сходимости R > О,
о
со
а | z01 < #• Обозначим ?„ (*<,) = ^ <W» • „"f^i *cr Д°казать, что
т=0
\im\bn{z0)\V«^R-\z0\.
п-юо
6.26. Пусть функция /(г;) представима в круге \z\<C.R сходя-
щимся степенным рядом f(z) = ^ anzn. Доказать, что при любом а,
о
|а.|<СЯ функция f(z) представима в круге \z—a\<.R—\а\ сте-
оо
пенным рядом f{z)=^bn{z — a)n, где
b =У а (n+m)i ат
°п ^ ап+т п1т] « •
/л=0
6.26. Пусть функция f(z) представима степенным рядом,
сходящимся в некоторой окрестности точки z — zu. Доказать, что если
не все коэффициенты этого ряда равны нулю, то существует такое
число 6>0, что при 0<C|z—г0|<;6 функция f(z) не обращается
в нуль.
со
6.27. Пусть f(z)= У] cnzn, и пусть радиус сходимости степен-
0
ного ряда равен R > 0. Доказать, что в каждом круге | z | «? г, где
r<Z.R, функция /(г) обращается в нуль лишь в конечном числе
точек, если только f(z)^0.
В некоторых случаях бывает нужно исследовать сходимость степенного
ряда на окружности круга сходимости.
6.28. Доказать, что если имеет место неравенство
где а > Г, то степенной ряд ^] cnzn сходится во всех точках окруж-
0
ности своего круга сходимости.
77

6.29. Пусть все числа сп положительны и
со > ci > сг > • • •» сп -*¦ О-
со
Доказать, что степенной ряд 2 cnzn сходится во всех точках окруж-
о
ности |zj=l, за исключением, быть может, точки z—\\
6.30. Выяснить, в каких точках окружности круга сходимости
сходятся следующие ряды:
00 v со
1 2
4 У<2яI_» 5 V Cn)l , iy,-, fi У(-1)" »»
4- 2 W * 2B^)Ш( } * Z^IHT2 '
1 I 2
со со
VI ря/п«/2 V JUn*fl
7. > ? *". 8- 7 ^-7^2".
п 1
6.31. Доказать вторую теорему Абеля: Если степенной ряд
со ^
У cnzn сходится в точке 20, то он равномерно сходится на всем
о
прямолинейном отрезке, соединяющем точку z = 0 с точкой Zq.
6.32. Опираясь на вторую теорему Абеля, доказать, что из сходи-
со со оо
мости рядов 2"га и ]?vn следует сходимость ряда ^wn, где wn =
о о о
п
о
* * *
6.33. Пусть функция q>(t) непрерывна при ^^0. Доказать
существование числа о, обладающего свойством: при всех z,
удовлетворяющих неравенству Rez>a, интеграл
оо
\<p(t)e-(*dt A)
о
сходится, а при всех z, удовлетворяющих неравенству Re z < a, —
расходится (число о* может быть равным и dtco). Такое число
называется абсциссой сходимости интеграла A).
6.34. Найти абсциссы сходимости следующих интегралов:
со со со
оо со со
4. {-?l~dtf a>0. 5. ieu*-"dt. 6. \e**~tzdt.
78

6.35. Обозначим абсциссы сходимости интегралов
со оо оо со
J а @ е'** dt, J b (f) е~1г dt, J (a (t) + b (t)) e'tz dt, \ a(f)b (t) e~tl! dt
о оо о
через оа, ob, оа±ь> oab соответственно, Доказать, что
oa+b^mm(pa> ab), oab^oa-\rGb.
6.36. Пусть функция <р(?) непрерывна при t^O и интеграл
оо
\ (p(t)e~tzdt сходится при z — z0. Доказать, что этот интеграл рав-
о
номерно сходится на всем луче Im z = 1ш ,г0, Re z ^ Re z0.
ОТВЕТЫ
6.20.
1. 1. 2. 1. 3. со. 4. \/e. 5. 1/4. 6. k~k. 7. 1. 8. со.
6.21.
1. Rm. 2. "\fR. 3. тах(Я, 1).
6.30.
1. При гф\. 2. Во всех. 3. Во всех. 4. При гф1/4.
1 VZ
5. При гф±41,27, 6. При гф — 1, гф-^-±1 ~-.
7. При гф\, гф±1. 8. При гф.1, гф±1.
6.34.
1. 0. 2. —1. 3. а. 4. 0. 5. 0. 6. —2.
§ 7. Гомотопии плоских кривых
Пусть Е — какое-либо замкнутое множество расширенной комплексной
плоскости, Е0—какое-либо его подмножество, <р0—определенная и
непрерывная на этом подмножестве функция, а D — какая-либо область комплексной
плоскости.
Символом оД (Е, Е0, фо. D) мы будем обозначать множество всех функций
/@. определенных и непрерывных на множестве Е и обладающих свойствами:
а) Значения, принимаемые каждой функцией f (t) e q/% (?, Е0, <р0, D) в точках
множества Е, лежат в области D.
б) В точках множества Еа для всех функций / (t) ^ &? (E, Е0, ф0, D) имеет
• место равенство f@ = 9o@-
Две функции f (t) и g(t), принадлежащие одному и тому же классу
е-^ (?, ?о» фо. D), называются гомотопными в этом классе, если существует
семейство функций Ф5 (t) ^ q/? (Е, Е0, ф0, D), непрерывно зависящих от
параметра s, меняющегося на отрезке Osgssgl, и таких, что <P0(t)=f(t),
*i@=g@-
Семейство функций 0S (t), 0 ^ s ^ 1 называется гомотопцями функции f (t)
в 'функцию g @-
• - Гомотопность функции / (t) функции g (f) в классе q/% записывается
следующим образом: / (t) =» g (t) (es?).
7.01. Доказать, что понятие гомотопности функций обладает еле--
дующими свойствами:
~f(t)^f(t).
Если f(t)^g(t), то и g(t)^f(t).
Если /(r)^g(f), а g{t)^h{t), то и f(t)^h(t).
79

7.02. Доказать, что для каждой функции f(f)^a?f существует
такое число е;>0, что любая функция g(f)^os0, удовлетворяющая
условию j/@—g(t)\<Zs при всех t^E, гомотопна функции /@-
Указание. Рассмотреть гомотопии <PS (t) = A — s)f (t) -J- sg (t).
7.03. Пусть для каждой функции f(t) e &? определена
величина F[f] (эта величина может быть числом, вектором, функцией
и т. д.). Предположим, что для каждой функции f {?)&.<&€
существует такое число е >¦ 0, что для всех функций g (г) е е^,
удовлетворяющих условию |/@—g@l<^8 (^^?)> имеет место равенство
F[g]=F[f]. Доказать, что тогда из соотношения f(t)F&g(f)(es?)
следует F[f]=F[g].
7.04. Пусть f(t)t=^g(t)(&>?) и функции /(f) и g(t) имеют на
множестве Е непрерывные частные производные. Доказать, что
существуют гомотопии <?>s(f) функции /@ в функцию g(t), также
имеющие непрерывные частные производные на множестве Е.
7.05. Пусть D—выпуклая область. Доказать, что любые две
функции из класса e?f (E, Е0, ф0> D) гомотопны.
* * *
С помощью понятия гомотопии функций можно определить гомотопии и
других объектов —кривых, областей и т. д. В теории аналитических функций
употребляются фактически только гомотопии кривых.
Две кривые, С и С", лежащие в области D, называются гомотопными
в этой области, если у этих кривых существуют параметрические уравнения
С: z~zx{t), a^t^b; С": z = z2{t), a^t^b,
с функциями z1 (г) и z2 (г), гомотопными в классе q?? (Е, ?0, ф0, D), где
множество Е—это отрезок \а, Ь], множество ?0—концы этого отрезка, а <р0 —
произвольная функция, определенная в концах отрезка [а, Ь).
Гомотопность кривых С и С" в области D легко описать с помощью
геометрических терминов:
Кривая С" называется гомотопной кривой С в области D, если ее можно
непрерывно деформировать в кривую С, не выходя за пределы области D
и не двигая концов кривой.
Гомотопность кривой С" кривой С в области D будем записывать
следующим образом: С" «С (D).
7.06. Доказать, что понятие гомотопности кривых обладает
следующими свойствами:
1. Ся^С. 2. Если С'я^С, то и С'^С".
3. Если С'ъС, а С'"^С", то и С"ъ*С
Пусть конец кривой Сх совпадает с началом кривой С2. Тогда
произведением СгСъ кривой Сг на кривую С2 назовем кривую, получаемую
последовательным прохождением сначала кривой Clf а затем кривой С2 (см. более
подробные разъяснения перед задачей 3.34). Символом С-1 будем обозначать
кривую С, проходимую в противоположном направлении.
7.07. Доказать, что:
1. Если C^CjCv а Сг^С\ и C2^Q, то С^С[С^
2. Если С'^С, то (CV^C-1.
3. Если С = СгСг, а СхъС'г и С2ъС2, то C-_1^(Q-1(Q-1.
80

4. Если конец кривой С совпадает с началом кривой С{ и С[ ?=& Cv
то С я«! ССХ {С\)~х.
7.08. Доказать, что если D—выпуклая область, то любая
кривая, лежащая в области D, гомотопна в этой области
прямолинейному отрезку, идущему из начала этой кривой в ее конец.
7.09. Доказать, что каждая кривая гомотопна некоторой ломаной
с конечным числом звеньев.
Гомотопность замкнутых кривых мы будем понимать как гомотопность
незамкнутых кривых с совпадающими началом и концом. Это означает, что
на замкнутой кривой должна быть выделена начальная точка и что при
деформации эта точка должна оставаться неподвижной.
7.10. Доказать, что каждая замкнутая кривая С гомотопна
ломаной вида СхС% ... Ст где Ck—простые замкнутые ломаные.
7.11. Доказать, что каждая замкнутая кривая С с началом
в точке z0 гомотопна ломаной вида СгС2 ... Сп, где С*— простые
замкнутые ломаные с началом в точке z0.
Замкнутая кривая с началом в точке г0 называется гомотопной нулю
в области D, если она лежит в области D и ее можно стянуть в точку г0,
не выходя за пределы области D и не двигая ее начальной точки г0.
7.12. Пусть простая замкнутая ломаная С ограничивает одно-
связную область Dv лежащую в области D. Доказать, что ломаная С
гомотопна нулю в области D.
Указание. Доказать сначала, что у ломаной С всегда найдутся три
последовательные вершины, обладающие тем свойством, что образованный ими
треугольник лежит в области Df Это позволит заменить ломаную С
гомотопной ломаной, имеющей на одну вершину меньше.
7.13. Доказать, что в односвязной области любая замкнутая
кривая гомотопна нулю.
Указание. См. задачи 7.11 и 7.12.
* * *
Пусть кривые С и С" гомотопны в области D. Кривые Cs, 0 ^ s ^ 1,
непрерывно зависящие от параметра s, называются гомотопиями кривой С
в кривую С" в области D, если:
а) все кривые Cs лежат в области D и Со = С', a Ci=C";
б) все кривые Cs начинаются в одной и той же точке и кончаются в одной
и той же точке.
7.14. Пусть кривые С* и С" гомотопны в области D.
Доказать, что:
1. Если кривые С и С" являются кусочно-гладкими кривыми, то
гомотопии Cs, 0 ^ 5 ^ 1 можно выбрать таким образом, чтобы все
кривые Cs были кусочно-гладкими.
2. Если кривые С и С" являются гладкими кривыми, то и все
гомотопии Cs, 0=sg;s^l, можно выбрать гладкими кривыми.
3. Если С" и С" ломаные, то гомотопии Cs, O^s^l можно
выбрать ломаными с равномерно ограниченным числом звеньев.
81

4. Если С и С" — спрямляемые кривые с длинами /' и I"
соответственно, то гомотопии Cs, 0 <: s ^ 1 можно выбрать
спрямляемыми кривыми и притом такими, чтобы длина каждой кривой Cs
не превосходила величины тах(/', /").
7.16. Пусть кривые С и С" гомотопны в произвольной области D.
Доказать, что эти кривые гомотопны и в некоторой меньшей
области Dx cz D, ограниченной конечным числом простых замкнутых
ломаных.
Указание. Пусть Cs, Osgssg 1, — гомотопии кривой С в кривую С".
Множество точек области D, лежащих хотя бы на одной из кривых Cs,
замкнуто.
Компонентой границы области D называется максимальное замкнутое •
множество, входящее в границу области D, которое нельзя разбить на два
замкнутых множества, не имеющих общих точек. Число компонент границы
области Р расширенной комплексной плоскости является важной
топологической характеристикой области. Если граница области D расширенной
комплексной плоскости состоит из т компонент, то область D называется т-связной
областью.
7.16. Пусть D—произвольная /га-связная область, не содержащая
точку г — оо, а С и С" — две кривые, лежащие в этой области.
Возьмем по одной точке в каждой компоненте границы области D
(точку z = oo будем считать находящейся среди них) и обозначим
через D* всю расширенную комплексную плоскость, из которой
выколоты взятые точки. Доказать, что кривые С и С" гомотопны
в области D в том и только в том случае, если они гомотопны
в области D*.
Указание. См. задачи 7.13 и 7.15.
* * *
Пусть кривая С представляется в виде С=С1С'1С2С'2 ... СпС'п, где C'k —
участки этой кривой, лежащие в области D, а Сд,— участки, лежащие вне этой
области. Деформацией кривой С в области D назовем замену кривой С кривой
С=СгС^СйС ... СпС'п, где Ck — произвольная кривая, лежащая в области D,
но имеющая начало, совпадающее с началом кривой C'k, а
конец—совпадающий с концом кривой C'k.
7.17. Пусть для каждой кривой С, лежащей в области D,
определена величина F [С]. Доказать, что если при деформации каждой
кривой С в достаточно малой окрестности каждой ее точки
величина F[C] не меняется, то из соотношения С рыС" (D) следует .
равенство F [С] = F [С].
Пусть кривая С не проходит через точку z„. Величина v (z0, С) — индекс
точки z0 относительно кривой С — определяется, как изменение величины
— arg(z —г0) при движении точки z по кривой С (величина arg(z—г0)
должна при этом меняться непрерывно).
7.18. Пусть кривые С" и С" лежат в области D, а точка z0 не
лежит в области D. Доказать, что если кривые С и С" гомотопны
в области D, то v(z0, C') — v(z0, С").
82

7.19. Доказать, что окружность |2| = 1, обходимая один раз
против часовой стрелки (начало в точке 2=1), не гомотопна нулю
в области О<С| z|<Ссо.
Указание. См. задачу 7.18.
7.20. Пусть С—простая замкнутая ломаная с началом в точке
2=1, не проходящая через точку 2 = 0, a D — область,
ограничиваемая этой ломаной (при движении по ломаной С область
остается слева). Обозначим через Г окружность | z | = 1 с началом в
точке 2=1, обходимую один раз против часовой стрелки.
Доказать, что:
1. Если OgA то С я« Г в области 0 < | z \ <С оо.
2. Если соеД то Ся&Г-1 в области 0 <С| z | <Соо.
3. Если область D не содержит ни точки 2 = 0, ни точки 2 = оо,
то ломаная С гомотопна нулю в области 0 <С ] z | < оо.
7.21. Доказать, что произвольная замкнутая кривая С гомотопна
нулю в области 0 <С | z | <С 1 в том и только в том случае, когда
v @,Q = 0.
Указание. См. задачу 7.11.
7.22. Пусть D—двухсвязная область, а 20—какая-либо точка,
не лежащая в этой области. Доказать, что кривые С и С",
лежащие в области Д гомотопны в этой области в том и только в том
случае, когда:
а) кривые С и С" имеют одно и то же начало и один и тот же
конец;
б) vB0, C')=vB0, С").
7.23. Пусть С—простая замкнутая ломаная, не проходящая
через точку 2 = 0. Обозначим через п+ число пересечений
ломаной С с положительной частью действительной оси снизу вверх,
а через п~—число пересечений сверху вниз. Доказать, что
л+—/r=v@, С).
7.24. Пусть ?)j и D2—две области, пересекающиеся по непустой
односвязной области D0, a D — объединение этих областей. Доказать,
что произвольная замкнутая ломаная С с началом в точке 20 е= D0,
лежащая в области D, гомотопна некоторой ломаной С*, имеющей
вид C*—C\ClCjPl ...С'пСп, где C'k — замкнутые ломаные с началом
в точке 20, лежащие в области D1? a CI — замкнутые ломаные с
началом в точке 20, лежащие в области D2.
Указание. Разделить область D0 на две части ломаной Г,
соединяющей точку г0 с двумя общими граничными точками областей Dx и ?>а. Эта
ломаная Г (при надлежащем ее выборе) разрежет каждую ломаную С на части,
каждая из которых заключена только в одной из областей Dt или D2.
7.25. Примем обозначения задачи 7.24, согласно которым
С ?*& С1С1С2С2 • • • СпСп~
83

Доказать, что кривая С гомотопна нулю в области D в том и тблькб
в том случае, когда все кривые C'k гомотопны нулю в области Dv
а все кривые С? гомотопны нулю в области D2.
Указание. См. задачу 7.17.
7.26. Обозначим символом D* расширенную комплексную
плоскость с выколотыми точками 2=1, 2 = —1 и 2 = оо, символом С% —
окружность \z — 1 ] = 1> обходимую один раз против часовой стрелки,
а символом С2—окружность j^-j-l | = 1» обходимую один раз против
часовой стрелки (обе с. началом в точке z = 0). Доказать, что
кривая С^С^ъС^С? не гомотопна нулю в области ?)*, хотя величина
v (z0, С) равна нулю для любой точки z0 ^t оо, не принадлежащей
области D*. (Этот факт означает, в частности, что условие гомотопности
двух кривых, предложенное в задаче 7.18, является только
необходимым, но не достаточным, если область имеет порядок связности
больше двух.)
7.27. Пусть у—какая-либо компонента границы области D.
Доказать, что все простые замкнутые кривые с началом в одной и той
же точке, ограничивающие некоторую область, содержащую
компоненту уу но не содержащую точек других компонент границы
области Д гомотопны между собой в области D (при обходе кривой
ограничиваемая ею область должна оставаться слева).
* * *
Множество & называется группой, если:
а) Для любых двух элементов ае^ибе^ определено их произведение ab,
которое также является элементом множества S?.
б) Операция умножения подчиняется закону ассоциативности, т. е. для
любых трех элементов а, Ь, с множества & имеет место равенство (ab) c~a (be).
в) В множестве S? существует элемент е (единица группы), обладающий
тем свойством, что для любого элемента а е & имеют место равенства ее—а и
еа = а.
г) Вместе с каждым элементом а множество S? содержит такой элемент а-1
обратный к а элемент), для которого имеют место равенства аа~1—е и а~1а~е.
7.28. Доказать, что множество всех комплексных чисел, отличных
от нуля, образует группу, если умножением считать обычное
умножение комплексных чисел.
7.29. Доказать, что множество всех целых чисел образует группу,
если под операцией умножения в группе понимать сложение чисел.
(а Ь\
7.30. Доказать, что множество всех матриц вида I ,1, где а, Ь,
с, d—целые числа, удовлетворяющие условию ad—bc=l, образует
группу, если произведение двух матриц определить равенством
h + hc2 aih + bidz)
7.31. Доказать, что множество всех дробно-линейных функций
вида Т (z)— ' ., где а, о, с, а — произвольные комплексные числа,
ci ^l/Vz dj \cxa%
84

удовлетворяющие условию ad—bc^O, образуют группу, если пбд
операцией умножения 7\(г) на T2(z) в группе понимать переход
к функции T2(Tt(z)).
Пусть нам даны 2т символов «t, ajl, в*> йа!» •••• ат> ^т1» которые
мы назовем «буквами». Произвольное конечное число «букв», написанных
подряд, назовем «словом». При этом два «слова» считаются равными, если они
совпадают после вычеркивания всех имеющихся в них комбинаций сда^х,
стоящих рядом. Произведением двух «слов» назовем «слово», полученное
написанием второго сомножителя вслед за первым.
7.82. Доказать, что множество всевозможных «слов» (включая
пустое «слово»), составленных из данных 2т «букв», образует группу
относительно описанной операции умножения «слов».
, Две группы, ^ и $ъ называются изоморфными, если между их элементами
можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором
произведению любых двух элементов одной группы отвечает произведение их
образов в другой группе.
7.33. Доказать, что группа «слов», составленных из двух «букв»
а а а'1, изоморфна группе целых чисел по сложению.
Пусть кривая С лежит в области D. Совокупность всех кривых,
гомотопных кривой С в области ?>, называется гомотопическим классом кривой С и
обозначается символом [С]. Для гомотопических классов (правда, не для
любой пары) можно определить операцию умножения, положив [Сг] [С%] = [CiCgl-
Легко проверить, что возможность умножения данных гомотопических классов
и результат этого умножения не зависит от выбора представителя в каждом
из перемножаемых гомотопических классов.
7.34. Доказать, что множество всех гомотопических классов
замкнутых кривых, лежащих в области D и имеющих начало в точке
z0 e Д образует группу относительно определенной выше операции
умножения гомотопических классов.
Группа всех гомотопических классов замкнутых кривых, лежащих в
области D и имеющих начало в точке 20?D, называется фундаментальной груп*
пой области D относительно точки z0 и обозначается символом щ (z0, D\.
7.36. Доказать, что фундаментальные группы одной и той же
области относительно различных ее точек изоморфны.
7.36. Доказать, что фундаментальная группа двухсвязной области
изоформна группе целых чисел по сложению.
Указание. См. задачу 7.22.
7.37. Пусть Dx и D2—две произвольные области, пересекающиеся
по непустой односвязной области D0, a D—объединение этих
областей. Доказать, . что фундаментальная группа области изоморфна
группе «слов» вида а1Ьхаф%...апЬт где ak—элементы
фундаментальной группы области Dv а Ь^—элементы фундаментальной группы
области D2. При этом «слова» считаются равными, если они
совпадают после всех возможных сокращений, состоящих в вычеркивании
единичных элементов, имеющихся среди ak и bk, и в объединении
произведений элементов одной и той же группы в один элемент.
Указание. См. задачи 7.24 и 7.25.
85

7.38. Доказать, что фундаментальная группа wz-связной области
изоморфна группе «слов», составленных из 2т — 2 «букв».
Указание. Провести индукцию по т, представляя ти-связную область
как объединение (т—1)-связной и двухсвязной областей. Использовать
результаты задач 7.36 и 7.37.
Элементы а1г а2, ..., ат группы й? называются ее образующими, если
каждый элемент этой группы можно представить в виде «слова», составленного из
«букв» alt af1, ..., ат, a~" (понимая на этот раз «слово», как произведение
входящих в него «букв»). Если при этом различные (т. е. не равные в смысле
определения, данного перед задачей 7.32) «слова» являются различными
элементами группы й?, то группа S? называется свободной группой с образующими
&U °2 в/п-
7.39. Доказать, что фундаментальная группа те-связной области D
относительно точки z0^D является свободной группой с
образующими [Гг], ..., [Гт_1], где Гг, ..., Гт-1 — простые замкнутые
ломаные с началом в точке z0, которые обладают следующим свойством:
область Dk, ограничиваемая ломаной Гк, содержит внутри себя одну
из внутренних компонент границы области D и не содержит точек
остальных компонент границы области D. (Естественно, что
различные ломаные Гк отвечают различным компонентам границы области D.)
7.40. Примем обозначения задачи 7.39. Пусть нам дана функция
F [С], определенная на всех гомотопических классах, образующих
фундаментальную группу щ(г0, D), и обладающая свойством
F[CA1=F[CJ + F[CJ
для любых двух гомотопических классов [Ct] и [С2] из
фундаментальной группы щ (z0, D). Доказать, что для любой замкнутой
кривой С с началом в точке z0, лежащей в области Д имеет место ра-
венство F [С] = ^] v (zk, С) F [Гк], где zk -— произвольная точка, ле-
жащая на компоненте границы области Д заключенной внутри
ломаной Гк.

Глава II
РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 8. Условия Коши—Римана. Гармонические функции
Функция f(z), определенная в некоторой окрестности точки z0,
называется дифференцируемой в этой точке, если существует конечный предел
И» Щ=^=ГЫ.
Z-*Z0 Z — Zq
называемый производной функции f(z) в точке г0.
Функция f(z) называется дифференцируемой в области D, если она
определена в области D и дифференцируема в каждой ее точке.
8.01. Найти все точки, в которых дифференцируемы функции:
1. Rez. 2. x*y*(z=x + ly). 3. \z\K 4. х2 + iy2 (z = х + iy).
5. zRez. 6. 2xy — i(x2—у2) (z = x-\-iy).
8.02. Доказать, что:
1. Если функции f(z) и g(z) дифференцируемы в точке z0, то
функции F1(z)==f(z)-\-g(z) и F2(z)=f(z)g(z) также
дифференцируемы в этой точке, и
2. Если функции /(г) и g(z) дифференцируемы в точке z0 и
f(z)
g(z0)=jb0, то функция F (г) =^-у4 также дифференцируема в точке z0, и
f' (? л _ е fro) f Ы -/ (го) ё' Ы
3. Если функция f{z) дифференцируема в точке z0, а
функция g(?) дифференцируема в точке ?o=f(z0), то функция F(z)=:
=g(f\z)) также дифференцируема в точке z0 и F' (z0)=gr (f(z0))f (z0).
8.03. Доказать, что при любом целом значении п функция zn
дифференцируема во всей плоскости или во всей плоскости с
выколотой точкой 2 = 0 (при п<С0) и что (znY=nzn~1.
8.04. Доказать, что многочлен от z является функцией,
дифференцируемой во всей плоскости, а рациональная функция — во всей
плоскости, за исключением точек, где знаменатель обращается в нуль.
8.05. Пусть функция f(z) определена в круге \z — а | ¦< R равен-
оо i
ством f(z)— ^]cn(z — а)п, iimj^j1/"^-— Доказать, что функция
л=.0 я-*00
87

f(z) дифференцируема в круге \z — a\<CR и что
со
8.06. Определим функцию ez при любом комплексном значении
°° „
z равенством ez = 2j ~[: • Доказать, что при любом комплексном зна-
чении постоянной а справедливо равенство (eaz)' = aeaz.
8.07. Определим функции sh z, ch z, sin z, cos z равенствами
sh z = -2 (e* ~ e~% cn z ~ ~2 (e* + e~*)>
sin z. = -sv (е'г—е-''2), cos г; = -я- (е'г + e~iz).
Доказать, что
1. (sh2)' = chz. 2. (ch^'^sh*.
3. (sin z)' = cos 2. 4. (cos z)' — —sin ?.
8.08. Найти, где дифференцируемы следующие функции, и
написать формулы для их производных:
1. ecbz. 2. sin Bez). 3. sin z ch z — i cos z sh г.
л -? e eZ ?. zcosz
8.09. Выяснить, где дифференцируемы следующие функции и
найти их производные:
/>z-4-l 1
1. tg*. 2. ctg*. 3. V-r- 4- ; Т-Г--
6 6 ez__ i tgZ-f-CtgZ
5. (ег—c~T2- 6. —cosz. .
v ' cos z — sin z
Пусть и(х, у) и v(x, у)—две действительные функции, определенные в
некоторой окрестности точки (х0, у0) и дифференцируемые в этой точке. Если
ч'х Ob, Ус) = о'у (*о. У о), иу (х0, у0) = — и'х (х0, у0),
то мы будем говорить, что функции и (х, у) и v (х, у) удовлетворяют условиям
Коши—Римана в точке (х0, у0).
8.10. Пусть функции и(х, у) и v(x, у) удовлетворяют условиям
Коши—Римана в точке (х0, у0). Обозначим через * и п два орто-
тональных вектора, а через -^- и ^—дифференцирование по
направлениям этих векторов (в точке (х0, _y0)). Доказать, что если пара
векторов *, п имеет положительную ориентацию (векторное произ-
г п ч ди до ди до
ведение [s, п\ положительно), то -^ = -к-, а- = — -^-.
8.11. Доказать, что в полярных координатах г, <р условия
Т, г. ди 1 до dv l ди
Коши — Римана имеют вид -н- = — ,— • -^ = *- •
or г дц>' дг г оф

При решении следующих задач существенно используется теорема:
Для дифференцируемости функции /(г) в точке z0=x0-\-iy0 необходимо
и достаточно, чтобы функции и(х, у)~Kef(x+iy), v(x, y)*=lmf(x-\-iy)
были дифференцируемы в точке (х0, у0) и удовлетворяли в этой точке условиям
Коти — Римана.
8.12. Пусть функция /(г) дифференцируема в точке z0 = х0 -\- iy0.
Положим
и (х, у)=Re f{x + iy), v {х, у) = Im f(x + iy).
Доказать справедливость формул:
1 ¦ /' Ы = и'х (•*„, у о) + tojc (х0, у0). 2. /' (г0)=vy (х0, у0) — iuy (xQ, y0).
3. /' Ы = "* C*0, j/0)—ш; (лто, у о). 4. /' (г0)=vy (х0, у0) + ft»; fa у о).
5. |/' Ы I2=«**+К*=«л2+V**=Чу + -и;2=v'x + т»;\
8.13. Пусть функция f(z) дифференцируема в области D и ее
производная равна нулю во всех точках этой области. Доказать,
что f(z)~ const.
8.14. Пусть функция f(z) дифференцируема в области D.
Доказать, что если одна из функций
и (х, у) = Re f(x + iy), v (x, у) = Im f(x -f iy),
P (*> J') = i fix + 00 |> Ф (x, y) = arg /(* + iy),
сохраняет в области D постоянное значение, то и f(z) = const.
8.15. Пусть функция /(г), дифференцируема в области D и
Л Re/(г) + ? Im/(г) + С == О,
где А, В vl С—некоторые действительные постоянные, среди которых
хотя бы одна отлична от нуля. Доказать, что f(z)~ const.
8.16. Пусть функция f(z) дифференцируема в области D и
Ref(z)=F(\mf(z)),
где функция F(t) строго монотонна и непрерывно дифференцируема
на всей действительной оси. Доказать, что /(г) = const.
Указание. Воспользоваться формулой 5 задачи 8.12.
Функция I (г) называется регулярной в точке z0, если в некоторой
окрестности этой точки она представима сходящимся степенным рядом / (г) =
сю
~2ся(г — г°)" (ПРИ го —°° разность г—г0 следует заменить на 1/г).
о
Функция f (г), определенная в области D, называется регулярной в этой
области, если она регулярна в каждой ее точке.
Имеет место следующий важный критерий регулярности:
Функция, дифференцируемая в области D, регулярна в этой области.
8.17. Опираясь только на определение регулярной функции,
доказать следующие утверждения:
1. Сумма и произведение функций, регулярных в точке z0,
регулярны в точке Zq.
2. Частное двух функций, регулярных в точке z9, также регулярно
в точке zQ, если знаменатель отличен от нуля в этой точке.
89

3. Если функция f(z) регулярна в точке 20, а функция- g (z)
регулярна в точке ^о^/С2^)' то функция F(z)—g(f(z)) регулярна
в точке z0.
4. Сумма степенного ряда является функцией, регулярной в круге
сходимости этого ряда.
5. Функция, регулярная в точке Z& бесконечно дифференцируема
в точке Zq.
8.18. Пусть функция f(z) регулярна в точке z0=^x0-\-iy0.
Доказать, что функции u(x,y)—Ref(x-\-iy), v(x,y) — lmf(x~t-ly)
бесконечно дифференцируемы в точке (л;0, у0) и что они предста-
вимы рядами
со со
п=0/п=0
со со
*'(* у)=1> ??п.т(х-хоГ Су-УоГ,
п=0т=О
сходящимися при достаточно малых \х—х0\ и \у.—у0\.
Действительная функция и (х, у), определенная в области D и имеющая
там непрерывные частные производные до второго порядка включительно,
называется, гармонической в области D, если она удовлетворяет в области D
уравнению Лапласа •
. д*и. д*и п
дх2 дуР
(символом Д обозначен дифференциальный оператор Д =
дх* "•" ду2
название оператора Лапласа ].
Известно, что функция и (х, у), гармоническая в области D, бесконечно
дифференцируема е каждой внутренней точке этой области {по
действительным переменным х и у).
8.19. Доказать, что линейная комбинация с постоянными
коэффициентами любого числа функций, гармонических в области D,
также является функцией, гармонической в области D.
8.20. Пусть и(х,у)—функция, гармоническая в области D.
Доказать, что функция
Qn+m
Q-ZQ-iniii.x, у) (/и = 0, 1, 2, ...; и=0, 1, 2, ...)
гармонична в области D. ч
8.21. Пусть функции и(х,у) и v(x,y) определены в области D
и имеют там непрерывные частные производные до второго порядка
включительно. Доказать, что если функции и(х,у) и v(x,y)
дифференцируемы в области D и удовлетворяют в этой области условиям
,г тл ди dv dv ди -
Коши — Римана ^- —^-f ^-= —^-f то они гармоничны в
области D.
90

Пара функций и(х, у), v(x, у), гармонических в области D и
удовлетворяющих условиям Коши —Римана в этой области, называется парой сопряжен,'
ных гармонических функций (порядок функций в паре существен).
8.22. Пусть функция f(z) регулярна в области D. Доказать, что
пара функций и, v, где и = Re fix -f- iy), v — lmf(x-\-iy), образует
пару сопряженных гармонических функций в области D.
8.23. Пусть и, v или uk, vk(k=l, 2) —пары сопряженных
гармонических функций в области D. Доказать, что пары и, V также
образуют пары сопряженных гармонических функций в области D:
1. U=au—bv, V—bu + av (а и Ь — постоянные).
2. и=аиг-\-Ьи%, V=av±-f-bv% (а и Ъ—постоянные).
3. U—щщ—щщ, V=и{иъ-\-ЪхЩ. 4. U=eucosv, V—eus'mv.
Ъ. U=eu2-v*cos2uv, V=eui-V'sir\2nv.
и2 vs . v2 и8
6. U*=emcGs 2 , V=eavsm~^-.
8.24. Пусть и, v—пара сопряженных гармонических функций в
области D, а ф, г]з—пара сопряженных гармонических функций в
области G. Доказать, что если значения и (х, у) -f- iv (x, у) для любых
x-\-ly?zD лежат в области О, то пара U, V, где -
U(x,y) = q>(u(x,y), v(x,y)), V{x1y)=^{ii{x1y)i v(x,y))
образует пару сопряженных гармонических функций в области D.
8.25. Пусть и, v — пара сопряженных гармонических функций
в области D. Доказать, что пара U, V, где
дп+т дп+т
U(x,y) = d-^-fhu(x,y), V{x,y) = ^^v(x,y),
образует пару сопряженных гармонических функций в области D.
8.26. Пусть и, v—пара сопряженных гармонических функций
Э области D и пусть ни в одной точке области D функции и и v
не обращаются в нуль одновременно. Доказать, что функция
и{х,у) = \п[и*(х,$ + 1?{х,у)]
гармонична в области D.
8.27. Пусть u,vt и а, щ—две пары сопряженных гармонических
функций в области D с одной и той же первой функцией. Доказать,
что v1(x,y)—и2 (х, у) = const.
8.28. Пусть D — односвязная область, а и(х,у) — гармоническая
в ней функция. Доказать, что интеграл
г
(кривая Г спрямляема и лежит в области D) не зависит от пути
интегрирования, а зависит лишь от начальной и конечной точек
этого пути.
*91

8.29. Пусть функция и (х, у) гармонична в односвязной области D.
Доказать, что:
1. Функция, определенная равенством
(путь интегрирования лежит в области D), является гармонической
в области D функцией.
2. Функции и, v образуют пару сопряженных гармонических
функций, а функция f{z), определяемая равенством f(x -f- iy) = и (х, _уL-
-\-iv(x, у), является регулярной в области D функцией z = x-{-iy.
8.30. В следующих задачах дается одна из пары сопряженных
гармонических функций и или v (во всей плоскости). Найти вторую
функцию пары.
1. и=ху. 2. и=х2—у*-{-ху. 3. v—ycosyshx-{-xsinychx.
4. к — rep cos <p-j-r In г зшф (z=х-{-iy — r&v).
8.31. Найти все гармонические функции вида
1. и=ф(д:2+У). 2. и=ц>(х2 — у2). 3. « = <р(у). 4. и=а=фГ^±К!\
8.32. Найти гармонические функции, сохраняющие постоянное
значение на каждой кривой следующих семейств кривых:
1. х=С. 2. у=Сх. 3. х24-у2=С. 4. х2+у2=Сх.
8.33. Пусть функция р(х, j/) непрерывна в односвязной
области D со своими частными производными до третьего порядка
включительно. Доказать, что необходимым и достаточным условием
существования функции и(хг у) = ф (|л (х, у)), гармонической в области Д
является условие
dp д^ I Ар \ dp д^ I Ар \
щим критерио
зависимости f(x, y)=F(g(x, у)): выражение 4--S —-jr-Jr должно быть тож-
Указание. Воспользоваться следующим критерием функциональной
геимости f(x, у
дественным нулем.
Иногда бывает удобно вместо переменных х и у использовать переменные
z—x-\-iy. и z==x—iy.
Операции — и — мы определим формально равенствами
дг dz
дг 2 \дх dyj dz 2 \дх ду
Операцию взятия формальной частной производной у,- не следует смешивать
с операцией дифференцирования -т-, определенной в начале параграфа.
92

8.34. Пусть функция f(x, у) имеет непрерывные частные
производные первого порядка. Проверить, что
8.36. Проверить, что условия Коши — Римана в переменных z и 2
имеют вид ^==° или ;Г—0 (здесь f=u-\-iv).
8.36. Проверить, что уравнение Лапласа Ди = 0 в переменных z
и z имеет вид - — О,
dzdz
8.37. Доказать, что для функции и, принимающей действительные
ди /ди\
значения, ^ = (у2).
8.38. Проверить, что формула для якобиана J=^--5 ч-^т
в переменных z и 2 имеет вид J=4/ReD- ^1
di7 б1/7
8.39. Найти — и — для следующих функций:
dz dz
1. F=\z\. 2. F=\z — a\p, — со<р<оо.
3. F= j/>_a|a + |*-fc|2. 4. F= ,|г~а).+ 1||г+а .
г ' '. ' ' ' ч \z — a\—t \ z + a
d*F
8.40. Найти »-нр для следующих функций:
1. F=\zf, —oo<p<oo. 2. F=e?\z\ -^оо</7<оо.
3. F=ln|^r — а |. 4. F = ln(l + |z|3). 5. F=arctg|±|||.
8.41. Пусть f{z)—регулярная функция. Доказать формулы:
ь|A/(*I>Цг|/(*)|.^.
2- ^д/(г)Г)=^|/(г)|м|/'(г)|2. -оо</><оо.
3. |(Re/(z))=i-/'(^)-
4. |(Im/(z))=!/'(*).
^az 4 \ |/(г)|У
dzdz ^UK (l + l/WIV
8.42. Пусть F(tf)—дважды дифференцируемая функция
действительного переменного, w(z) — регулярная функция, а и(х, у) —
гармоническая функция. Доказать формулы:
93

^Р(\/(г)\)^Р'(\/Ш)\/Шу§'
дгд2
4- rr-P(\f^)\)=hf(^iF"Cif(^+ 1/C^)!-1^(№)!)}.
- OZOZ 4
8.43. Пусть w, v—пара сопряженных гармонических функций.
Доказать, что
ди , dv ди , dv
дг dz' dz dz
8.44. Пусть Р(х, у)— многочлен от х и у с комплексными
коэффициентами. Обозначим P*(z, z)=P (—tj—, ~от)- Доказать, что:
1. Функции
и (лг, у) = Re Я (*, _у)> г» (jr, j/)=Im Я (х, у)
удовлетворяют условиям Коши — Римана в том и только в том
случае, когда многочлен Я* (z, z) не зависит от 2.
2. Многочлен Р(х, у) удовлетворяет уравнению Лапласа ДЯ = 0
в том и только в том случае, когда многочлен Р* (z, z) можно
представить в виде Qi(z)-\-Q2(z), где Qt и Q2 — многочлены.
_ д* д*
8.46. Для многочленов Q (z, z) определим операции -^ и ^
как линейные операции, удовлетворяющие условиям
д~ (zmzn) = mzm~xzn, - (zm2n) = nz™^
{m и n—целые неотрицательные числа). Доказать, что
дР д*Р* дР д*Р* /nss/ v r>(z + s z—z\
(p. U^-Pftt!. !=!)).
dz дг dz dz
8.46. Пусть P{z) — многочлен от переменной z. Положим
Q(z)=TW).
Доказать, что:
1. Функция Q(z) является многочленом от переменной z.
2. Имеют место формулы
P(z) + Q (*) = 2 Re Я (z); Я (z)—Q (z) = 2/ Im Я (z).
8.47. Пусть Я (г) — многочлен. Положим
и(х, y)=ReP(x4-iy); v(x, y) = lmP(x-\-iy).
Доказать, что справедливы формулы:
1. Я(г) = 2и(|, щ)-~РЩ- 2. P(z)«2to(|,|)+P@).
94

8.48. Пусть Р (z) — многочлен. Положим
R(x, y) = \P{x + ly)\, Ф{х, y)^argP(x + iy).
Доказать, что справедливы формулы:
1. P(z)W)=R2(ji. |f)- 2- РЮ^РЩе*'*^' *'•
8.49. Доказать следующую формулу, позволяющую восстановить
многочлен Р (z) по функции a Re Р (х + iy) + Ь Im P (x -J- /у) ~g(x, у):
(здесь а и Ъ—действительные постоянные, из которых хотя бы одна
отлична от нуля).
8.60. Доказать, что формулы задач 8.47 — 8.49 остаются в силе,
если считать P(z) не многочленом, а рациональной функцией,
знаменатель которой отличен от нуля в точке z = 0.
Примечание. В действительности с помощью теоремы единственности
легко доказывается, что эти формулы остаются в силе для любой функции,
регулярной в точке z=0.
8.51. Восстановить регулярную функцию f(z) по заданной
функции:
1. Ъе/=х* + 6хгу — дху* — 2у3, /@) = 0.
2. Re/=?*(.x;cos_y—у sin у), . /@) —0.
3. Ref=xcosxchy-\-ysinxshy, /@) = 0.
4. Im f=y cosjchAr-t-Arsinjshjc, /@) = 0.
5. | /| ^=(х2 +У) е* 6. arg/= xy.
7. |/| = ег,С082* (z = rei(o). 8. arg/=cp-f rsin(p (z = rei(P).
В случае, когда функции Re / (z), Im / (z)f | / (z) |, arg / (z), заданы не как
функции х и у, а как функции гиг, восстановление /(г) по одной из
перечисленных выше функций осуществляется еще проще.
. 8.52. Пусть f(z)—рациональная функция, знаменатель которой
не обращается в нуль при z=a, a
Re/(г) = и (г, z), \mf(z)=-v(z, z)t
\f(z)\ = R(z, z), arg/(*)=-0(z, z)y
Доказать, что:
1./(г) = 2и(г. й)—/(а). 2. f(z) = 2lv (z, u)+f(a).
3- fiz) Да) = R* (z, a). 4. f(z) = Да) e5»* <2- Б>.
8.53. Пусть f(z), q>(z) и г]з(.г)—рациональные функции,
знаменатели которых не обращаются в нуль при z~a. Доказать, что если
95

эти функции удовлетворяют условию !/ (z)\ — t\\l) \ 2> т0 они
удовлетворяют и условию
/(«O^-('+!мгп
Vl+lJ)(z)\J)(fl)
Указание. Величину | ш (г) |г можно представить в виде w{z)w1(z),
где ojj (г)==ш(г).
8.54. Пусть f(z)— рациональная функция, регулярная в точке
г = 0 и удовлетворяющая условию
1ГBI _ 1
l + i/(z)la- 1 + Н2'
Доказать, что f(z)—дробно-линейная функция, т. е. f{z) =—rhr-
8.55. Пусть f(z)—рациональная функция, регулярная в
некоторой окрестности точки z — О и удовлетворяющая там условиям
l/Yz)|<i '/'(*> I = 1
Доказать, что f{z)—дробно-линейная функция, т. е. f(z) —-^—r-j •
Примечание. Согласно примечанию к задаче 8.50 условие
рациональности функции /(г) в задачах 8.54 и 8.55 является излишним.
8.56. Пусть функции f(z) и g(z) регулярны в некоторой
области D. Доказать, что сумма f(z)-\-g{z) действительна во всей
области D в том и только в том случае, когда f(z)=g(z)-\-C,
где С—действительная постоянная.
8.67. Пусть функции f(z) и g(z) регулярны в некоторой
области D и g(z)^=0. Доказать, что произведение f(z)g(z)
неотрицательно во всей области D в том и только в том случае, когда
f(z)—Cg(z), где С—неотрицательная постоянная.
8.58. В условиях задачи 8.57 доказать, что произведение f(z)g(z)
действительно во всей области D в том и только в том случае,
когда f(z)=Cg(z), где С—действительная постоянная.
8.59. Пусть функции Л (.г), fa(z), gt(z), g2(z) регулярны в
некоторой области D и | й (г) I2 +1 & (г) |2 ^= 0. Доказать, что выражение
fi(z)gi(z)-h/2(z)g&(z) действительно во всей области D в том и
только в том случае, когда
Л (Z) = «11& (Z) + Ol2& (z)> Л (Z) = fyagl (z) + «22& (*),
где постоянные alv a13, a21, a22 удовлетворяют условиям
lmau = 0, Ima22 = °> «12 = 021-
96

Указание. Записав условие действительности в виде
h (?) Ш?) + h ft ftM= hWei (г) + Шё2 (г),
дважды продифференцировать его по z и найти условие совместности
полученных трех линейных уравнений с двумя неизвестными gx (z) и g2 (z).
8.60. В условиях задачи 8.59 доказать, что выражение
fi(z) gi(z)-\-fi(z)g2(z) неотрицательно во всей области D в том и
только в том случае, когда
Л (z)=<*п& (*)+«12^2 (z)> /з B)=a2i§i (*) + «22^2 (г)>
где постоянные «ц, а^, a2i> 0^22 удовлетворяют условиям
aii ^ 0. «22 S* 0, а12 = а21, | а12 j2 ^ аиа22.
8.61. Пусть F(z) и G(z) — векторы я-мерного комплексного
пространства, компонентами которых являются функции, регулярные
в некоторой области Д причем вектор Q(z) отличен от
тождественного нуля. Доказать, что скалярное произведение {F(z), G(z)) —
= У) Fk (z) Gk (z) действительно во всей области D в том и только
k = i
в том случае, когда F(z)=CUQ(z), где С—действительная
постоянная, а U—постоянная унитарная матрица.
8.62. В условиях задачи 8.61 доказать, что скалярное
произведение (F{z), 0(z)) положительно во всей области D в том и только
в том случае, когда F(z)—CUG(z) U, где С—положительная
постоянная, а U—постоянная унитарная матрица.
ОТВЕТЫ
8.01.
1. Нигде. 2. На действительной оси и на мнимой оси. 3. В точке z=0.
4. На прямой Rez = Imz. 5. В точке z=0. 6. Всюду.
8.08.
1. shzech2. 2. 2ег cos Bez).
3. A— i")coszchz+(l+0 sinzshz. 4. A— z)e~z.
5 (±__±\e* z^o 6 a+z2)(cos2-zsinz)-2z2cosz
8.09.
1 1 2e* егА-ё~г
1. —V. 2. ~. 3. , г |Ч, . 4. cos2z. 5. —2,,*.
cos2z sm2z (ег— IJ (ег—е *)?
6. !
(cos z — sin zJ '
8.30.
1. -^(je-j^+c. 2. 2*y—g-(*«-j^)+C.
3. *cos.ysh;c—у sinycb x-\-C. 4. г ф sin ф—л1иг.созф+С.
8.31.
1. С1п(^+У) + С,. 2. C(x2—jy2)-f Ct.
3. Carotg^ + Cx. 4. C-^^+Ct
4 Под ред. М. А. Евграфова 97

8.32.
1. Ах+В. 2. A arctg|- + B. 3. A In (^+^) + В. 4. —^ + В.
8.39.
j dF 1 \z\ dF l z
dz 2 2» dz 2 \z\ *
2 -^L=:?. Iz—°l^ d/7 _ p |z—a|p
dz 2 z—a ' dz 2 z—й
0 dF 2z—a—6 dF 22—й^-Ь
О. =s
dz 2]A|z—a|2+|z—6|a » dz 2V |z—a|2 + lz—Ь|а •
dF 2iz Iz2—a2! dF 2iz Iz2—a8!
d2 оа—z2 (|z+a| — ?|z—a|)a* dz fi2 —z8 (|z+a|—/[z —o|)a'
8.40.
1. ?|.|*-«. 2. |#Pl«l(p+Tl1). 3. 0.
4 1 K _ _Ы*Р_.
A + И2J' ~ 4|z|(l + |zp)«-
8.51.
1. A—2/) 23- 2. zeF. 3. zcosz. 4. zchz.
5. е**&е*, lma=0, a=const. 6. Aez*/u, A >0—const.
7. e*8***, Imcc—0, a=const. 8. Aze*, Л >0—const.
§ 9. Геометрический смысл производной
Пусть функция w(z) определена в области D. Линейное отображение
w~Az-\-Bz-\-C называется главной линейной частью в точке z~Zq
отображения w=w(z), если
lim \«>&-(A*+Bz+C)\ =Q
Z-*z0 |2 — Z0 |
9.01. Найти главную линейную часть следующих отображений в
указываемой точке z0:
1. w = z2, z0 = L 2. w = z2, z0=U 3. *e» = |*l3> z0=L
2—1 I
4. x0= z0=2. 5. w — ё1, z0 — nl. 6. w=— z0 = —/.
z-j-1 • z ' ¦
9.02. Пусть w=Az-\-Bz-\-C—главная линейная часть
отображения w=z2-\~az-\-b в точке z = z0- Вычислить величину
max \2fi + az-\-b—(Az + B2-\-Q\.
|г —z0Kp
9.03. Пусть функция w(z) регулярна в точке г0. Доказать, что
главная линейная часть отображения w=w(z) в точке z0 имеет
вид w = w (z0) + (z—г0) в/ (г0).
9.04. Пусть функция w \z) определена в области D и пусть
главная линейная часть отображения w — w(z) в каждой точке z0
области D существует4 и имеет вид. w = A (z0) z-\~ В (z^. Доказать,
что, функция w(z) регулярна в области D и что w' iz) — А (г).
98

9.05. Пусть функция w(z) определена в области D, а функции
и(х, y) — Rew(x-\-iy), v{x, y) = lmw(x-\-ly)
имеют в области D непрерывные частные производные. Доказать,
что если отображение w—w(z) сохраняет расстояния между
точками, т. е. если для любой пары точек zt^D и гъщй имеет место
равенство \w(zj)—w(z2)\ = \z1—z2\, то w(z)^eitpz-\-a, где <р
действительная, а а—комплексная постоянные.
Пусть w=tw(z)—гладкое отображение некоторой окрестности точки Zq
(т. е. функции Re w (x-\- iy) и Im w(x~{-iy) имеют непрерывные частные
производные в этой окрестности точки г0). Для каждой гладкой кривой С,
проходящей через точку г0, определим_две величины:
Пусть ф—угол, образуемый касательной к кривой С в точке г0 и
положительным направлением действительной оси в плоскости г (рис. 4, а), а фх —
X
а)
Рис. 4.
и
С*
\
\
, «fr
А\
а
X
а) б)
Рис. 5.
угол, образуемый касательной к кривой С—образу кривой С при
отображении w=w(z), с положительным направлением действительной оси в
плоскости ш "(см. рис. 4, б) (у обеих кривцх есть направление, и касательные
считаются направленными в ту же сторону, что и кривые). Величина а~ф!—ф
называется углом поворота кривой С в-точке z0.
Пусть z—произвольная точка кривой С, расположенная достаточно близко
к точке z„. Обозначим Az=z—z0, &w=w(z)—w(z0) (рис. 5). Коэффициентом
линейного растяжения кривой С в точке г0 называется предел lim *•=/?,
z -•• г0 I ^г I
который существует ввиду гладкости отображения w—w(z) в окрестности
точки z0.
9.06. Пусть кривая С—это луч arg(z—20) = ф, выходящий из
точки z. Найти коэффициент линейного растяжения R (ф) в точке
г0.и угол поворота а(ф) в точке z0 для этого луча при следующих
отображениях:
1. w=z*, z0=l. 2. w—z11, z0 = i. 3. *» = &**, z0 = 0.
4. w=2z-\-lz, z0 = 0. 5. w--
Z — Zq
(z0jb0). 6. w.
l—iz
, z0 = —/.
9.07. Пусть функция w(z) регулярна в точке z0. Доказать, что
и угол поворота а кривой С в точке z0, и коэффициент линейного
растяжения R кривой С в точке z0 при отображении w=w (z) не
4* В9

зависят от выбора кривой С, проходящей через точку z0, и что для
этих величин при w' (z0) ф 0 справедливы формулы
R = \zrf (zj)\, a==argief (г0) + 2Ал (k — целое число).
9.08. Пусть функция w(z) регулярна в точке zQ. Обозначим через
а(ф) и /?(ф) соответственно угол поворота и коэффициент
линейного растяжения в точке z0 луча arg(z— 2L.) = (p при отображении
w—w(z). Доказать, что при ^(г0)ф0
Я(ф)=| vf (z0) |, а(ф)=— 2ф--arg iif (z0) + 2kn
(k—некоторое целое число).
9.09. Найти множества всех тех точек zQt в которых
коэффициент линейного растяжения при следующих отображениях равен
единице:
1. w=z2. 2. w—zs. 3. w=z2—2z.
л 1 к 14-/Z „ аг-\-Ъ , t . „ . _
4. w=—. 5. te;= . . . 6. w =—p-j, ad—ЬсфО, сфО.
Z 1—12 C2 + d' ^ ^
9.10. Найти множества всех тех точек z0, в которых угол
поворота при следующих отображениях равен нулю:
1. w = iz2. 2. w = —г3. 3. w = z2 — 2z.
4. w=~. 5. w = -. . . 6. w———r, aa*— far=l, c^O.
9.11. Пусть функция w(z) регулярна в точке z0, а гладкие
кривые Сх и С2, проходящие через точку г0, обладают тем свойством, что
Re о» О) = Re w (z0) (z e Ct); Im w (z) = Im te> (z0) (z e C2).
Доказать, что если w' (z0) ф 0, то кривые Сх и С2 пересекаются под
прямым углом.
9.12. Пусть функция w(z) регулярна в точке z0, а гладкие
кривые Cj и С2, проходящие через точку z0, обладают тем свойством,
что
\w(z)\*=\w(z0)\ (z^Ci); argw(z) = argw(z0) (zeQ.
Доказать, что если w (zQ) ф 0, то кривые Сг и С2 пересекаются
под прямым углом.
9.13. Пусть функция w(z) регулярна в точке z0, а гладкие
кривые Cj и С2, проходящие через точку z0, обладают тем свойством,
что
\w(z)\ = \w(z0)\ (г?Сг), Rew(z) = Rew(z0) (z ?Сг).
Доказать, что если w' (г0) ф 0, то кривые Сг и С2 при пересечении
в точке z0 образуют углы zt arg w (z0) + kn.
* * *
9.14. Пусть функция w(z) регулярна в замыкании D области D,
a U — образ области D при огображении w = w(z). Доказать, что
100

если отображение w~w(z) взаимно однозначно в области D, то для
площади o(D') области D' справедлива формула
а (?>') = JJ \w' (z) fdxdy.
D
Указание. Доказать, что якобиан отображения w=wB) равен |of (z)|a.
9.16. Пусть функция w(z) регулярна в области D, а С —
произвольная спрямляемая кривая, лежащая в этой области. Доказать,
что для длины /(С) образа С кривой С при отображении w — w(z)
справедлива формула /(С)= ^\w'(z)\\dz\.
с
9.16. Найти длины образов следующих кривых С при указанных
отображениях:
1. C:z = it+l, 0<*s?l; w = z*.
2. C:z = lt, 0^t^2n; w=e*.
3. C:z = it, 0^*<6jt; w=e*.
4. С:2=A-^/)*, (X/<2jt; w = es.
5. C:2 = (l+ l)t, 0^г<1; w=zm {m= 1, 2, ...).
6. С:2 = е", 0^*^2я; да = у^+М.
9.17. Найти площади образов областей D при указанных
отображениях:
1. Я:{2<1г <3, |аг8г|<~}; ffi>=*2.
2. D:{0<Re-2<l, |1шг|<я}; та>=<?*.
z 1
3. D: квадрат с вершинами в точках 0, 1, l-\-\> i\ w——j-r.
9.18. Пусть P(z) = aQ-\-alz-\~...-{-anzn. Обозначим через L(r)x
длину образа окружности \z\ = r при отображении w = P(z), а
через 5(г)—площадь образа круга \z\<iz при том же отображении.
Доказать, что:
1. Справедливо неравенство S(r)^яг2 J Р'@) Ja.
2. Справедливо неравенство '
г
3. Справедливо неравенство L (r) ^s 2jtt | Р*@) |.
Указание. Вначале доказать формулы
2л п
~ \ Р' (rei<p) dq>=P' @); \\ \ Р' W\*dxdy = n ^ m\amV'*m
0 UK* m = 0
101

.9.19. Пусть Q(z)=z-\- ^ckz~k. Найти площадь образа кольца
ft=i
r<.\z\<CR при отображении w=Q(z), считая площадь каждой
элементарной площадки с центром в точке w0 столько раз, сколько
раз функция Q (z) принимает значение w0 в кольце г <С | z \ <C R.
* * *
Величина
Ь(г, ?)
называется хордальным расстоянием между точками г и ? расширенной
комплексной плоскости.
Пусть z и ?—произвольные точки круга |г|<1. Величина
, Л 1. |1—*?"| + | г—Х>\
2 |1~2г;|_|г_г;|
называется неевклидовым расстоянием между точками ги? относительно круга
|«|<1.
9.20. Пусть функция w (z) регулярна в точке Z& Доказать, что
t. k(w(zi), w(Z(S)
существует предел hm —--.\ ¦ —Л~^ и найти его.
гх -* z„ * 12Ь го)
9.21. Пусть функция w(z) регулярна в точке z0, |г0|< 1, и пусть
\w(z0)\<l. Доказать, что существует предел
НШ Р ("*&)¦ w(zo))
Zl-+Zo р(*ь *о)
и найти его.
9.22. Пусть функция w(z) регулярна в области D и пусть
отображение w=w(z) сохраняет евклидово расстояние между точками,
т. е. для любой пары точек zx e D и 22gD имеет место равенство
1*^(^2)—^G^i)! —I^a—zi\- Доказать, что w(z) = eivz-[-ai где <р
действительная и а комплексная постоянные.
9.23. Пусть функция w (z) рациональна и пусть отображение
w=w(z) сохраняет хордальное расстояние между точками, т. е.
для любой пары точек zx и z2 имеет место равенство
k(w(Zj), w(z2))=k(zl, z2).
Доказать, что w(z)——~г, где а, ЬУ с, d—постоянные.
4 cz-f-a*
Указание. См. задачу 8.54.
9.24. Пусть функция w(z) рациональна и удовлетворяет условию
|?2;(.г)|<;1 (|^|«<1), а отображение w = w (z) сохраняет
неевклидово расстояние между точками круга | z | <C 1 относительно этого
круга, т. е. для любой пары точек zx и z2 из круга | z [ <С 1 имеет
102

место равенство p(w(zx), w(z^)=p(zi, z^. Доказать, что w(z) =
аг-l-b * ,
=s—\—7. где a,-by c, d—постоянные.
сг~\-а '
Указание. См. задачу 8.55.
Примечание. В задачах 8.54 и 8.55 условие рациональности функции
w (г) излишне. Используя принцип аналитического продолжения, легко
перенести утверждения этих задач на функции ш(г), регулярные в какой-либо
области D.
ОТВЕТЫ
в.01.
1. оу = 2/г+1. 2. o)=2z— 1. 3. ю»-й+й-1.
2 1
4.,?0=-q- z—g-. 5. вд=—z-f-ra—1. 6. a>=z —2i.
9.02. р3.
9.06.
1. Я (ф)=2, а(«р)=0. ' 2. # (ф)=2, а(ф)=_2<р-^#
3. /?(Ф) = 2, а(ф)=л/2.
4. R (Ф)-/5+4Л12ф, а (Ф) = агЩ 1+?у*+уФ}
5. # (ф) —1/2 | z01, а (Ф)=— arg'z0- 6. /? (ф) —1/2, а (ф) — л/2.
9.09. __
1. \гй| = 1/2. 2. |г0| = 1/]/3._3. jz0-l| = l/2. _
4. |г0|=1. 5. |г0-Н|=К2~. 6. \czQ-\-d\*=V\ad—bc\.
9.10.
1. argz0=— л/2. 2. Reze—0. 3. l<z0<+co.
4. Im (A + 0 z0)=0. 5. Im (A — 0 (z0 -f 0)=0- 6. 1m (сг0*1-сО=0.
9.16. _
1. У+1пA + К2> 2.2л. 3. 6я.
4. /2 (е2я-1). 5. 2m'2. 6. 4.
9.17.
1. |я. 2. л(^-1). 3. i- + |-arctg-|-.
и
9.19. л (Я* - г*) + п J] A I cft р (Г** - /?"»*).
1
§ 10. Теорема Коши. Интеграл типа Коши
Решение приводимых ниже задач рассчитано на использование теоремы
Коши в следующей формулировке:
Пусть функция ({г) регулярна в конечной односвязной области D. Если
спрямляемые кривые Сг и.,С2, лежащие в области D, имеют одинаковое начало
и одинаковый конец, то
\ f{z)dz=\}{z)dz.
103

В частности, если С замкнутая спрямляемая кривая, лежащая в
области D, то
J/B)rf2 = 0.
С
В силу теоремы Коши для функции {(г), регулярной в конечной одно-
связной области D, имеет смысл обозначение
J ЮС
D.
D.
10.01. Доказать, что если функция f(z) регулярна в круге
\z—а | <СН и удовлетворяет условию J f(z)\^M (\z — а | <СR),
то для любых двух точек zx и z2 из этого круга имеет место
неравенство
$/6) Я
M\z2~z1\.
10.02. Доказать, что утверждение задачи 10.01 остается в силе,
если областью регулярности функции }{z) является не обязательно
круг, а произвольная конечная выпуклая область.
Примечание. Область называется выпуклой, если вместе с каждой
парой принадлежащих этой области точек ей принадлежит и прямолинейный
отрезок, соединяющий эти точки.
10.03. Пусть функция f(z) регулярна в конечной односвязной
области D и удовлетворяет условию | f(z) \ ^ М (ге D). Через
Pd (zi> z2)> гДе zi^ D и z2^ D, мы обозначим нижнюю грань длин
ломаных, соединяющих точки Z\ и z2 и лежащих в области D.
Доказать, что
г»
MpD (zv z2).
\№Я
10.04. Пусть функция f{z) регулярна в конечной выпуклой
области D и удовлетворяет условию Re/(z)^Af>0 (геО).
Доказать, что для любых двух точек гг и z2 из этой области
$/'<0<«
M\z2—z1\.
10.05. Доказать, что утверждение задачи 10.04 остается в силе,
если условие Re f(z) ^ M (z e D) заменить условием Re{ei(Pf(z)}^M
(действительное число <р не зависит от точки г).
Функция Ф (z), определенная и дифференцируемая в области D, называется
первообразной функции f(z), определенной в области D, если,
Ф'(г)=/(г) (zeD).
Известно, что если первообразная существует, то она единственна с
точностью до постоянного слагаемого.
104

10.06. Пусть функция f(z) регулярна в конечной односвязной
области D. Доказать, что функция
г
Ф(*) = $ /(?)<*? +const B0e= D, zs=D),
является первообразной функции f(z).
10.07. Пусть функции f(z) и g(z) регулярны в конечной одно-
связной области Д a F(z) и G(z) соответственно первообразные
этих функций. Доказать формулу интегрирования по частям
ь ь
\F(z)g(z)dz = F(b)G(b)-F(a)G(a)-\f(z)G(z)dz.
а а
10.08. Пусть функция f{z) определена при \z — a\<CR рядом
/(*) = S Сп (* - *Г. «Ш | СП fl/« < '
Доказать, что ее первообразная равна
со
F (г) = 2 ~ (* — «)" + const.
10.09. Найти первообразные функций:
1. еая. 2. cfi az. 3. sha^. 4. cosa^r. 5. sin az.
6. <?a* cos bz. 7. геог. 8. z2 ch ог. 9. z cos az.
В следующих задачах рекомендуется использовать теорему Коши и в
такой формулировке:
Пусть функция . / (г) регулярна в ограниченной конечносвязной области D;
граница которой dD состоит из конечного числа замкнутых кусочно-гладких
кривых. Если функция f(z) непрерывна вплоть до границы области D, то
J /(г)Л=0.
до
10.10. Пусть функция f(z) регулярна в кольце г<l\z—a|<R
Доказать, что интеграл
\ f(z)dz, г<р<#,
не зависит от числа р (окружность обходится против часовой стрелки).
10.11. Пусть функция f(z) регулярна в кольце г<C\z\<iR, а
простая кусочно-гладкая кривая С ограничивает область,
содержащую круг | z j ^ г и лежащую в круге | z \ <C R, причем при
движении по кривой С область остается слева. Доказать, что интеграл
\ f(z) dz не зависит от выбора кривой С (удовлетворяющей поста-
с * '
вленным выше условиям).
Указание. Рассмотреть функцию /(г) в области, заключенной между
кривой С и окружностью |2l = /--f-e, e>0.
10о

10.12. Пусть функция f(z) регулярна в произвольной области D
комплексной плоскости. Доказать, что необходимым и достаточным
условием существойания первообразной у функции f(z) в области D
является равенство нулю интеграла от функции f(z) по любой
простой замкнутой ломаной, лежащей в области D.
10.13. Доказать, что следующие функции не имеют
первообразных в областях, указанных в скобках:
1-4; @<И<оо). 2.1--J-J. @<|г]<1).
3-тчЬ а<м<°э)- 4- -цг=щ (о<м<1).
10.14. Пусть функция f{z) регулярна в ограниченной двухсвязной
области D, заключенной между двумя замкнутыми кусочно-гладкими
кривыми Сг и С2, й непрерывна вплоть до ее границы. Доказать, что
функция f(z) имеет в области D первообразную в том и только
в том случае, когда \ f(z) dz = 0.
с,
10.15. Пусть функция f(z) регулярна в односвязной области,
содержащей точку z = co. Доказать, что функция f{z) имеет в этой
области первообразную в том и только в том случае, когда lim zf(z)—0.
г-*го
10.16. Пусть функция f{z) регулярна в односвязной области D,
содержащей точку z = oo. Обозначим через D' область D с
выколотой точкой 2=оо. Доказать, что функция f{z) имеет
первообразную в области D' в том и только в том случае, когда
lim z (f(z)—/(оо)) = 0.
z-*oo
10.17. Пусть функции f(z) и g(z) регулярны в области D,
содержащей точку 2=оо, и имеют первообразные в области D'
(область D с выколотой точкой 2 = оо). Доказать, что функции
f(*)+g(z). №g{*\ P{№)> *m
(P(w)—произвольный многочлен) также регулярны в области D и
имеют первообразную в области D'.
10.18. Пусть функция f(z) регулярна в конечной яг-связной
области D, ограниченной замкнутыми кусочно-гладкими кривыми Г1э
Г2, .... Гт. Доказать, что для существования у функции f(z)
первообразной в области D необходимо и достаточно, чтобы
\ f(z)dz=0 (?=1, 2, ..., m—1).
10.19. Пусть функция f(z) .регулярна в полосе —a<Clmz<Ca и
удовлетворяет условию f(z) -> 0 (z -* оо, — а < Ira z < а). Доказать,
со
что если интеграл § f(x)dx сходится, то при любом а из интер-
106

ftt+oo
вала (— а, а) интеграл ^ f(z) dz также сходится и не зави-
ia—со
сит от а.
Указание. Применить теорему Коши к одному из прямоугольников
—/?1<Кег</?2, 0<| 1тг|<|а|,
а затем перейти к пределу при R^—»+оо, /?2—*-+со.
10.20. Пусть функция f(z) регулярна в угле —a<izrgz<ia и
удовлетворяет условиям
zfiz)-+ 0 (z->О, Jargz|<a), zf(z)-*¦ 0 (z->оо, |argz|<a).
Доказать, что если интеграл \ f(x) dx сходится, то при любом а из
о
интервала (— а, а) интеграл \ f(z) dz также сходится и не зави-
arg 2=а
сит от а.
СО
10.21. Из анализа известно, что ^ е~х dx = "]/~n. Вычислить ин-
—00
теграл
со
J e-** cos ax dx, —оо < а <; оо. у
—-со
Указание. Воспользоваться решением задачи 10.19 с f(x)—e~x*'
10.22. Вычислить интегралы Френеля
оо оо
1г = 5 cos х2 dx, 4 — S sin x% dx>
о о
используя формулу
1
0
Указание. См. задачи 10.20 и 5.38.
Решение следующих задач рассчитано на использование интегральной
формулы Коши:
Пусть функция f (г) регулярна в ограниченной области D и непрерывна
вплоть до ее границы 6D, состоящей из конечного числа замкнутых
кусочно-гладких кривых (обходимых в таком направлении,- чтобы область D оставалась
слева). Тогда
2ni?DZ,-zab-\ 0 (г ?D),
dD - - I - ? ? &).
107

10.23. С помощью интегральной формулы Коши вычислить
интегралы (все окружносги обходятся против часовой стрелки):
. С cos 2 . _ С dz с f cos г .
|z| = 4 (^ + l| = lv ^ 'v ' |гг—*]= l v
7- i?(T^ (D: a> I^K1^ 6> ^i<3/2; в) ,*-i <i/2).
8- S B-«rVb) q«i<r<in»"U.4
10.24. Пусть функции /(-г) и g(z) регулярны в круге |г|-<1 и
непрерывны в круге |г|^1. Доказать, что
_1_ [ ГЖ_ + 5Ш1й-»|/(г)
a*i<ix
(И>1).
10.25. Пусть функция f{z) регулярна в области D, содержащей
точку 2 = оо, и- непрерывна вплоть до ее границы. Доказать, что в
этом случае интегральная формула Коши принимает вид
а формула для производных f(z) сохраняет прежний вид.
Указание. Применить формулу Коши к функции /(г) в области Dr,
получающейся удалением из области D области | г | ^ Rt а затем положить
Я^со.
10.26. Пусть функция f(z) регулярна в круге \z—a\<iR и
непрерывна в круге \z—o|^R. Доказать формулу
2л
gLJ /(a + /fc*)rf«p = /(a).
носящую название теоремы о среднем.
10.27. Пусть функция f(z) регулярна в круге \z\<zR и
непрерывна в круге \z\^R. Вычислить интеграл \\ f(z)dxdy.
r<\z\<R
10.28. Доказать, что функция, регулярная в некоторой области и
отличная от тождественной постоянной, не может принимать во
внутренней точке этой области наибольшего по модулю значения.
{Принцип максимума модуля.)
Указание См. задачу 10.26.
108

10.29. Пусть функция и(х,у) гармонична в круге \z — a\^R.
Доказать, что
2л
2~ J u(a-{-Rcosq>, р*-f-Я sin ф) с?ф = и (а, fi) (a = a-{-i$).
о
Указание. См. задачу 10.26 и задачу 8.29.
10.30. Доказать, что функция, гармоническая в некоторой области
и отличная от тождественной постоянной, не может принимать во
внутренней точке этой области ни наибольшего, ни наименьшего
значения. (Принцип максимума для гармонических функций?)
10.31. Пусть функция f(z) регулярна в конечной области D и
непрерывна вплоть до ее границы 6D, состоящей из конечного числа
замкнутых кусочно-гладких кривых. Доказать неравенство
f(n'(z)
п\
М L а _ 1 о ч
где М = max | f(z)\, р—расстояние от точки z до границы области Д
z^dD
' a L—полная длина границы области D.
10.32. Пусть функция f(z) регулярна в круге \z\<cR и
непрерывна в круге | z | ^ R. Доказать неравенство
/'»• (г)
л!
(fiJffir* (n=\,2,...),(\z\<R),
где М = тах|/(г)|.
10.33. Пусть функция f(z) регулярна в круге ] z | < R и
непрерывна в круге \z\^.R. Доказать неравенство
я
|^Н^Г \(R2 + \z\2-2R\z\cosipr^^ ац>, (\z\<R),
—я
где М = max | f(z)\, и показать, что при я = 1 это неравенство можно
записать в виде
\f №<*&=№ (М<*)-
10.34. Пусть функция f(z) регулярна во всей плоскости и
удовлетворяет условию \/(z)\^M при всех z. Доказать, что f(z)
тождественно постоянна. (Теорема Лиувилля).
Указание. Воспользоваться неравенством для \f'(z)\, скажем, из
задачи 10.32 при фиксированном г и R-+co.
10.35. Пусть функция f(z) регулярна во всей плоскости и
удовлетворяет неравенству | f(z) \ ^ М A -J- ] z | )р, р > 0. Доказать,
что f(z) — многочлен степени не выше р.
10Э

Ё следующих задачах считается известным такой факт:
Если функция f(z) представима степенным рядом
/(*)- S сп(г-аГ,
п=0
сходящимся в некоторой окрестности точки г—а, то сп=—трт (а).
10.36. Пусть функция f{z) регулярна в круге |'2|<сК и
/(*)= S cnzn
в некоторой окрестности точки 2 = 0. Доказать, что
Kl^inf 4Уа (Л»а и 2,...),
где М(г)= max \f{z)\, r <R.
|z|=r -¦
оо
10.37. Пусть функция f(z) = ^lcnzn регулярна в круге *| z\^Я
о
и удовлетворяет в нем неравенству | /' (z) | ^ М. Доказать, что
1 я' *** л#
со
10.38. Пусть функция /(z) = 2 ^л*" регулярна во всей плоскости
о >
и удовлетворяет неравенству \/(г)\^.Ме'гК Доказать, что
М
(¦?) («=0,1,2,...).
* *
10.39. Пусть функция f(z) регулярна в угле | arg z | <C a <С я
и в каждом внутреннем угле |argz|^a—tj, tj>0, для нее
справедлива асимптотическая оценка f(z)—0(l) (z->oo). Доказать, что
в каждом угле ] arg z | ^ а—tj, т] >• 0, справедлива оценка/* {z) = О A/г)
(z -*> оо).
10.40. Пусть функция f(z) регулярна в полосе | Im z | <C а и в
каждой внутренней полосе |1т,г|=^а—rj, rj>>0, для нее справедлива
асимптотическая оценка /(<г)—оA) (z-+oo). Доказать, что в
каждой полосе |Imi|=^a—tj, т)>0, справедлива и оценка
/'(*) = о A) (z^oo).
10.41. Пусть функция f(z) регулярна в полосе \1тг\<^а
и в каждой внутренней полосе |Im^|^a—tj, tj>v0, для нее
справедлива асимптотическая формула f{z)'^~>\jz (г->оо). Доказать, что
в любой полосе |Imz|=^a—ц, "П>0, справедлива асимптотическая
оценка /' (z) = o(l/z) (z-+co).
110

10.42. Пусть функция f(z) регулярна в полосе |1т,г|<;а
и в каждой внутренней полосе | Im z | ^ а—т], г\ < 0, для нее имеется
со
асимптотический ряд f(z)t*& "Jj o,kzrJi] (z^>oo). Доказать, что для
k=i
функции f'{z) в каждой полосе |1т,г|^а—Т], rjX), имеется
асимптотический ряд
со
/' (z) я« — 2 kahz~^x (z -> оо).
10.43. Существует ли функция f(z), регулярная в полосе J Im z | < 1
и удовлетворяющая условиям
f(z)=0(\/z) (z-*oo), \f(x)\^l/x (д?>0)?
Решение дальнейших задач рассчитано на использование следующей
теоремы:
Пусть С—спрямляемая кривая, D\, D2, ...—области, на которые эта
кривая разбивает плоскость г, а функция ф (t) непрерывна на кривой С. Интеграл
2ni) t-zai'
называемый интегралом типа Коши, определен для всех г, не лежащих на
кривой С, и в каждой из областей DK он представляет регулярную функцию fk (г).
Для производных этих функций справедливы формулы
1 с ф'
2га \ {t—.
Число областей D^, вообще говоря, произвольно. Если С—простая
замкнутая кривая, то это число равно двум, а если С простая незамкнутая
кривая, то оно равно единице.
10.44. Найти области Dk и функции Л (.г) для следующих
интегралов типа Коши:
1 J_ С <% о 1 С <К
1' 2га J ?(?_2)(?-г) • *' 2га J \-z •
ICl*i v о
3- 27Й J И2?а+5?+2)(^-г)' D:[\z\<l, z + T >T}.
3D
10.45. Пусть функция f(z) регулярна в кольце r<C|?— a\<CR.
Доказать, что интеграл типа Коши
2Й $ /(Dj*;. r<p<R,
IC-el —р
при | z | <С г (или при | z ] > R) не зависит от числа р.
Указание. См. задачу 10.10.

10.46. Пусть функция /(?) регулярна в кольце г<|?|<;/?
и непрерывна в кольце г^|?|^/?. Обозначим
1С1=я
/.W=-iu S Л0А (|г1>г)
1С1='
(окружности обходятся против часовой стрелки). Доказать, что при
г<C\z\<lR имеет место равенство f(z)=f1(z)-\-f2(z).
10.47. Пусть функция f(z) регулярна в кольце r<Z\z— a\<ZR.
Доказать, что ее можно представить в виде f(z)==f1(z)-{-f2(z), где
функция /]_ (z) регулярна в круге \z — а | < R, а функция /а (z)
регулярна при \z — а | > г и /2 (оо) = 0.
10.48. Доказать, что представление функции /(г) из предыдущей
задачи единственно.
Указание. Воспользоваться теоремой Лиувилля (см. задачу 10.34).
10.49. Пусть простая замкнутая кривая Ct ограничивает конечную
область Dv а простая замкнутая кривая С2, лежащая в области Dv
ограничивает конечную область D2 czDx. Доказать, что любую
функцию f(z), регулярную в кольцеобразной области D = D1 — D2, можно
представить в виде f(z)=f1(z)-\-f2(z), где функция fx(z) регулярна
в области Dlt а функция f2(z) регулярна вне о.бласти D2. Доказать
также, что такое представление единственно, если наложить условие
/2(со)=0.
10.50. Пусть С — простая замкнутая кривая, ограничивающая
конечную область Д а функция ф (z) регулярна в некоторой области,
содержащей кривую С. Доказать, что для существования функции
f(z), регулярной в замыкании области D и совпадающей с функцией
ф(?) на кривой С, необходимо и достаточно, чтобы
С
10.51. Пусть С—простая замкнутая кусочно-гладкая кривая,
ограничивающая конечную область D, а функция ф(?) непрерывна
на кривой С. Доказать, что для равенства
\^SLdt=o (гф-В)
с
необходимо и достаточно, чтобы
\t\(t)dt=Q (я = 0, 1, 2,...),
с
а для равенства
1*&Л = 0. (геВ)
ИЗ

необходимо и достаточно, чтобы
J tny(t) dt = 0 (л=— 1, — 2, .. .)•
с
10.52. Пусть функция f{z) регулярна в полосе —a<Clmz<ia
и удовлетворяет условиям
оо
ф^О (z-*oo, |1ш2|<а), ^ Jjj^ <*.* < со.
—оо
Доказать, что функцию f(z) можно представить в виде fi(z)-\-fu(z),
,где функция fx(z) регулярна в полуплоскости 1тг;>- — а и
удовлетворяет условию
^-*0 (z-+oo, ImzS& — а + е)
(е>0 произвольно), а функция f2(z) регулярна в полуплоскости
1ш-г<Са и удовлетворяет условию
^->0 (z-»oo, Imz^a — e)
(е>0 произвольно). Доказать также, что такое представление
единственно.
Указание. Взять
— ш' + оо
А Ю- 2Й7 J '<»r=i' ImZ>_a'>-a,
— ia' —оо
ia' + co
ia' —oo
10.53. Пусть функция /(?) регулярна в угле —a<Carg?<Ia,
0 <с а <С л, непрерывна вплоть до его границы и удовлетворяет
условиям
оо
С dx
/(-г)-* 0 (г->оо, |argz|^a), ^ |/(*) | _-< оо.
о
Обозначим
arg? = —a arg?=u
Доказать, что:
1. Функция fi(z) регулярна во всей плоскости z с разрезом по
лучу arg z — —а, а функция /2 (г) — во всей плоскости z с разрезом
по лучу argz — a.
113

2. Вне угла \aTgz\^a имеет место равенство Л=Л-
3. Внутри угла \argz\<Za имеет место равенство /2—^ = 2ш/
10.54. Пусть D—полуполоса Re z > 0, | Im z j <С я, a F(z) —
функция, определенная вне D равенством
;—г
Доказать, что функцию F(z) можно аналитически продолжить на
всю комплексную плоскость.
10.55. Пусть D — область | z J-> 1, | arg z \ <С —, р > 1, a F(z) —
функция, определенная вне D равенством
dD
(для ?р берется главное значение). Доказать, что функцию F(z)
можно аналитически продолжить на всю комплексную плоскость.
10.56. Доказать, что для функции F{z) задачи 10.54 (после
осуществления продолжения) имеют место асимптотические формулы
F(z)~ — \/z {z-*oo>z фО),
F(z)=— 1 /z + e*2 + О (l/za) {z -+ oo, ze=D).
10.57. Доказать, что для функции F(z) задачи 10.55 (после
осуществления продолжения) имеют место асимптотические формулы
F(z) lr(-l+l)sin-|- (*-со, гфВ),
F(^) = -lr(l+l)sin|— &+о{±) (*-*co, zezD)
(для zp берется главное значение).
ОТВЕТЫ
10.09.
1. J_?«*j_C- 2. — sh az+C. 3. — chаг+С. 4. isinaz+C.
а а а а
5. cos аг + С
а
6 acosbz+bsmbz ?> Ц _±Wa
а2+6а а \ а}
г2 2г
8. —sha2 -g-chazH
a a2 .
10.21. }/j?exp(— a2/4).
2а 2г 2 г I
8. —shaz -s-chaz-f-^sh az-\-C. 9. —sinaz-4—?cosaz+C.
a cP . & a a2
И4

2 V 2
10.22. /t = /a
10.23.
1. 2л sh 1. 2. 0. 3. 23iish 1. 4. 0. 5. — ni/4. 6. —m'ch 1.7. аJя»; б)зи'B—е);
в) — Jtie. 8) —2ш F—a)~".
10.27. я(#з_r2)/@).
10.43. Да. Пример /B)=-—^.
10.44.
1. Dx: {|г|<1}, Д(«)-^_; Da: fl * | > 1}, Ш-gj-
„ г—II 1 ... 1 г—1
2. Dx: |
3. Dt: {
¦а."*" г
* i 11—*l
In
2n
"+т|<тЬ '«W"-и! D2:{|2|>1}, /а(г)=_1;
3"];, 4fs(z):
2+41>з.
2Bга+5г+2)*
§11. Ряд Тейлора
Известно, что каждая функция f(z), регулярная в каком-либо круге
J г—zQ\<zR, разлагается в сходящийся в этом круге степенной ряд
оо
/(*)=2 ап{г-гй)\
л=0
где коэффициенты ап определяются формулами
1
или
2гы"
\г— z„|
f /(z)(z~z0)-«-i<fe, r<#.
A)
B)
Этот степенной'ряд называется рядом Тейлора функции f(z) в окрестности
точки г=г0.
. Формулы A) далеко не всегда позволяют эффективно вычислить
коэффициенты ая. Формулы B) пригодны для этой цели еще в меньшей степени.
Для эффективного вычисления коэффициентов ряда Тейлора существует ряд
искусственных приемов, о которых будет идти речь ниже.
11.01. Непосредственным вычислением /tn) @) доказать следующие
формулы, справедливые для всех z:
l- *= 2 яг- 2- е°*=2 ^йг(*-*о)*.
п=0
3. chaz-
фП
,2п
л=0
4. shaz-
а2Л+1
Bп)! * ' *' в" " Ai Bл+1) I
п — 0 п — 0
у2л+1
5. Sina*= 2 (~ «Г^руг»-"- 6- cosa*= Ц (-^J^j*"-
Л = 0
л«0
115

во
11.02. Опираясь на разложение eaz — > —у- э доказать формулы:
о
со
1. со5>^= 2 <- ^т ¦
гс=0
со
00
л .=.„¦,,« - V cosnaz" , „ _. , п
4. e2cte «cos? = > -т-= г, a ^ 0, zfcjt, ±2я, ....
^j sinrean!' ^- »
ее
11.03. Опираясь на разложение у-~— = /2Л» справедливое при
о
г | < 1, доказать формулы:
со
п = 0
со
2-(ITiK=2 (-0n("+l)(«-b2)z« (|^1<1).
л = 0
со
п = 1
со
п = 0
со
5- (hW = 2(w+1)(- 1)n*2n я * к *>
со
со
7. (I-*)—i-2 ("+1)("+^-(/г+/П)г" («=1, 2, ...)•
я=0
11.04. Найти разложение следующих функций в ряд Тейлора
в окрестности точки г==0:
1. • . 2. ," . з. >_ 4. »
A+гJ" * A — г2J* ' (l-fz»J- A—гв)з*
116

При разложении рациональных функций в ряд Тейлора разлагаемую
функцию бывает полезно разложить на сумму более простых дробей
(стремиться к полному разложению на простейшие дроби не обязательно).
11.05. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки z = 0
следующие рациональные функции: к.
1. L _ 2. „2г~5 ¦ 3.
B-fl)B —2)* ' г*—5z-j-6* "' (Z2+I)(za__4)*
л г3 - I
(Z«+ 1) B— 1) ' (Z* — 1J (Z2-f4) *
В некоторых случаях рациональную функцию можно упростить при
помощи умножения числителя и знаменателя на подходящий множитель.
11.06. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки г = 0
следующие функции:
1. , ! „ 2. 2г~1
1+г+г8* ** 4г2—2z+l *
3. ¦ ' 4. *
A+г)A+г2)A+г4) * " (I _*)<l + ? + 2«+*r
При разложении в ряд Тейлора комбинаций из показательных и
тригонометрических функций часто полезно преобразовать разлагаемую функцию
к комбинации только показательных функций.
11.07. Разложить следующие функции в ряд Тейлора в
окрестности точки z = 0:
1. sin2z. 2. cos8 гг. 3. sin4 z -f- cos4 z.
4. cos2 z -f- ch2 z. 5. e* sin z. 6. ch г • cos г.
Из курса математического анализа известны следующие разложения:
со
1. 1пA+*)-2 (-1)П'1~, -К*<1.
со
2. A+*)««2 С?Л -1<*<1.
Здесь а—произвольное комплексное число, a
а(а-1) ... (а-п+1)
С" = | Hf ' п-1, 2, ...,
:И
1, л=0.
. Написанные ряды сходятся не только при действительных значениях х из
интервала (— 1, 1), но и для любых комплексных г из круга | г \ < I. Для
сумм этих (и подобных им) рядов мы сохраним в комплексной области (в круге
сходимости) то же обозначение, которое было им присвоено для
действительных значений переменного. (Строгое обоснование возможности такого подхода
является содержанием -принципа аналитического продолжения.)
117

11.08. Опираясь на разложение функции (l-\-z)u в ряд Тейлора,
доказать формулы:
'• Tib" 2 ^w2" d'K*
п = 0
гс=1
„ V Bл)! &п+1 ,. . . t4
4.ь,(«+уТ+У)-2(-1У^г|^-.
r: = 0
11.09. Доказать формулы:
1. m4±i-2 * г2П+1
l—г
я = 0
21тт ««к*
2. arctg^^C-ir^r (I'K1)-
n = 0
со
3. |arctgz+±m{±?=2|^r d'K^
n = 0
oo
4. i=ito(l_,)=_l + ^jj^ (|,|<1).
11.10. Найти разложение в ряд Тейлора в окрестности точки
= z0 следующих функций:
1. tto]/J-sin}/!, z0=0. 2. * inl±^f z0=0.
3. ^p=, *0=0- 4. ln(l+H4 ^o = 0.
5. спя, z0=l. 6. cosz, 20=ji/4.
7 2 i о г —5 r>
'• B + 1) B-z)' *o—*¦ с-.га_42 + з> *o—<*•
9. y=== , *0-l.
Имеется еще один весьма эффективный прием разложения функций в ряд
Тейлора. Он состоит в использовании метода неопределенных коэффициентов,
отыскиваемых с помощью тех или иных соотношений, которым удовлетворяет
разлагаемая функция. Простейшим примером применения этого приема является
задача об отыскании коэффициентов ряда Тейлора отношения двух функций,
ряды Тейлора которых известны.
118

11.11. С помощью метода неопределенных коэффициентов найти
первые три отличные от нуля члена разложения следующих функций
в ряд Тейлора в окрестности точки z = 0:
1,
4.
1пA+г)'
г
arcsm г
2. tgz. 3.
г
A—z2)sin г *
arctgz"
6. е20032.
11.12. Пусть функции f{z) и g(z), регулярные в некоторой
окрестности точки z = 0, связаны соотношением g(z)==-~L-. По-
оо со
ложим f(z)= 2] o,nzn, g(z)=* ^ ^„г;л. Доказать, что ?0 = ао»
п=0 л = 0
^я+i—ct^n = a„+i (я=0, 1, 2, ...).
11.13. Пусть функции f(z) и #(,г), регулярные в некоторой
окрестности точки 2=0, связаны соотношением
*(*)=
/B)
1 —«iZ—ссаг3— ... —сбтгй
Положим /B) = ^]vB> gC?)—/Rfrn-g"- Доказать, что
о о
«l^-i— -•• -а»п^
(п = т, /и+1, ...),
и что это соотношение остается в силе и при п<^/п, если считать
величины в b_i, ..., #_m равными нулю.
11.14. Пусть функция A(z)=\—^ апгП регулярна в некото-
рой окрестности точки 2 = 0. Доказать, что
со
где
ап=
«2
— 1 О
«1
1
—1
<*1
11.16. Пусть f(z)— ^ anzn. Введем обозначение
а0 ах ... ап
Dn(f)=
«1 а2
ап an+i
*л+1
119

Доказать, что функция f(z) является рациональной функцией в том
и только в том случае, когда все определители Dn(f), начиная
с некоторого номера щ, равны нулю.
11.16. Числа Ап, и—0, 1, 2, ... , определяемые условиями
А0=1, А1=1, Ап±2 = Ап+1~\-Ап (и = 0, 1, 2, ..,),
образуют так называемый ряд Фибоначчи.
со
1. Доказать, что У ^я^ = 1_г__г8 •
2. Доказать, что
Метод неопределенных коэффициентов бывает очень полезен, если функция,
разлагаемая в ряд Тейлора, удовлетворяет линейному дифференциальному
уравнению.
11.17. Найти разложения в ряд Тейлора в окрестности точки
z = 0 следующих функций f(z), регулярных в точке г=Ои
удовлетворяющих условиям:
!./'(*)«/(*). /@)=1.
2. A+*¦)/'(*)=*!. /@) = 0.
3. /" (z) + №f(z) = 0, /@) = 0, /' @) = h
4./" (*) + */(*) = <>, /@)=1, /'@)=0.
5. A—2*)/"(*)—*/'(*) = 0, /@) = 0, /'@)=1.
6. /"(г) + |/'Сг)+/(г)=0, /@)=Ь /Ч0)=-0.
7. A-2г«)/"(г)-б2/'(г)-4/(г) = 0, /@)=1, /'@) = 0.
ЭГСЧ1П 2
11.18. Используя тот факт, что функция f(z) — —- удовле-
творяет дифференциальному уравнению
A -z*)f' (z)-zf{z)= 1, /@) = 0,
доказать, что
оо
arcsin2 VI г ,чя 2-4- ... -2п 2п+1
^ / пя 2-4- ... -2rt
Zj l ' ЬЗ-5- ... -Bд+1)
11.19. Доказать формулы:
R=I
(М<1)-
^[^14+2 (-•r(i+4+»'+5irM?J
t + 2
120

1 \ z2re+1
3. '.arctg,.ln(l+^=2<-1^1A+i + -J+-+^Jn+l
(|*|<1).
Указание. Подобрать к разлагаемым функциям подходящие
дифференциальные уравнения, которым они удовлетворяют.
11.20. Доказать, что
со
* ~1 + Ji B« + 2)f г +
оо
.1-4.1 \ (Я*+1*№+3*) ... (Я*+Bя-1)») йя+1
п—1
Указание. Функция f(z)=6^arcslnг удовлетворяет дифференциальному
уравнению A —г2) /" (г)~Хг/' {г)—Щ (z) = 0.
11.21. Доказать, что:
со
1. cos (X areata ,)-1 - ? Sfltg#^3.(- V *
со
Л=1
CO —
3. (arcsm;zJ=2, Bn)l * '
n=i
4 In (« + /! + *) V / iyt ^W .ая+1
re = 0
5. 1/7+?1п(г+КТТ7г) = г_2 (_1)«^2ЫИг^х.
n = l
6. ^(arcsin zK =
CO
e у _e9!_fi +1 + 1+ + ! ](±Yn+1
~ Li Bn+l)(n!)* I ^32 ^52 ^ •*' ^ Bn-l)a J\2J
n = l
CO
7. T(arcsin^) — ? Bn)! [1+2^ + ^ + ¦" + (^1)*\Г '
n = 2
CO
Л=1
121

и = 0
+ АгН_^ Bn+l)! * •
Метод неопределенных коэффициентов полезен и в случаях, когда
разлагаемая в ряд Тейлора функция удовлетворяет и функциональным уравнениям
другого вида (не обязательно дифференциальным уравнениям).
11.22. Пусть функция f(z) регулярна в некоторой окрестности
точки z==0 и удовлетворяет условиям f(z)==z-\-/(z2), /@)=0.
Доказать, что
гс=0
11.23. Пусть функция f(z) регулярна в некоторой окрестности
точки «г = 0 и удовлетворяет условиям f(z)=(l-\-qz)f(qzz), /@)=1,
где q, \q\<1,— некоторое фиксированное число. Доказать, что
оо 2
/(*)=! (i-g2)(i-^)...(i-^)^ (И<«*
n==0
11.24. Пусть функция f{z) регулярна в некоторой окрестности
точки г = 0 и удовлетворяет уравнению f'(z)—f(qz), /@) —1, где
q—некоторое число, \q\^l. Доказать, что
/<*)-]? ^-?л(п+1)/2.
п=0
* * *
Коэффициенты рядов Тейлора многих очень употребительных функций
выражаются через некоторые специальные последовательности чисел.
Числа Бернулли Вп, я—0, 1, 2, ... , определяются соотношениями
я,-1. <?+А+с*+А+••-+?*+А=° С^1).
а числа Эйлера Еп~соотношениями
V-1. ?й+1-°. ?o+c^2+^A+-+cK?a^°-
11.25. Доказать, что
Я2*+1=0 (?=1, 2, ...).
11.26. Доказать, что:
п = 0
оо
2- 2 (-^i^-sii (|*|<т>
п=0
122

11.27. Доказать формулы:
со
к—ч
/1 = 1
1. zctgz^l+2 <-l)"w*an {l*l<Jl)-
/i=i
со
n = l
n = l
n=l
oo
5. In cos ,- 2 (~ '^g^^W (I * Kf )•
n==l
6. mtg(f + f)- f (-'Г^да).^' (I'Kf)-
11.28. Многочлены Бернулли В„(лг), я=0, 1, 2, ..., опреде-
оо
ляются равенством г. — J, ". ¦¦ <гп (j z \ < 2л;). Доказать, что:
«=0
1. Bn@)=Bn (я=0, 1, 2, ...).
2. Jc;+A(jc)=/, и=0, 1, 2, ...
* * *
Иногда бывает удобнее пользоваться не рядом Тейлора, а формулой
Тейлора с остаточным членом.
11.29. Пусть функция f(z) регулярна в односвязной области D,
содержащей точку Zq. Доказать, что для любой точки z^D
справедлива формула
п z
4=1 Zo
11.30. Пусть функция /(г) регулярна в круге |,г|<С/?) а число г
удовлетворяет условию 0<г<;1. Доказать, что для любых двух
точек z и ?, удовлетворяющих неравенствам \z\<ZR, |?| <СR>
|*-g|<mta((l-r)(R-|z|), G—l)(RH5|)j.
справедлива формула
оо
/(*)-/(?)« 2 ^{т^ж1/(п)^)-гя/(Я)(С)].
123

ш
0=и
0="
„г ии • г° 'х э
00 U СО
1=1/ | = W
и*2 — , V + I ^ мг2 —мA—) ,4 +1 6
т+ш>6 ^"» г-MfS L!k
1 = м
•*-?5*-) I з ---S^H I ,
иг* e + i
"ZO'II
0=" 0="
•(|+ия2 — MS2)(l+w) J > "(н-ыег—Ы8г) J *8
СО ОО
¦ 0—" 0=«
"(иег«бЗ— B+we^s+MsS) u(l—) [\ '3 '(i+ws*— ыег) [^ ш\
*90*Н
0=м
1 = ы
*ад« G-M-fr «(!—)+9+"9) J у "9
со
0==ы
*(l-«*2 + w2) J — > •x+«&2(l-«-f' — 1+ыA—)) J Y '6
CO CO
0=u
•90-II
о=ы
'""(Z + vfu + v) Z '* W (I+«)„(!-) ? -S
o = w
0 = u
¦!*?(!+«) S -3 «г (I + «)„(!—) J -i
со -co
•t-0'll
и i з a i о
OXh '4XBSBMOTJ
5 + 2
-2/>l3-*l
ошаоюЛ xoiBdoexaifaotfX ълИ±л oxoxe 5 и г
имьох в '"*/>] г! 9J^dM a BHdui/Ajad (z)f вивннХф чхэЛц *lg*n

A.10.
оо
22Л+1
<-!'"D
п=0
BлI
?i 2™ (л!J
ч=0 п=0
L 2f ( 1)ЯDл+2I г2й+1- 2" 2 2^H *
со
n = 0
Z Г Bл)! +Shl Bn + l)! j*
«=o л=о
со со
«=0 r n=0
11.11.
,. l + j_* + .... 2. ,+ j *+?,.+ .... a. i + |_^^+...
11.17.
Z nl* ^ Z ( } 27ГТГ* 3' Z ( ' B/г+1)! *
п=0 л=0 rt = 0
«ш, со
_ _?!_ д_ г гв yi B/г)! г8"*1
2-3 + 2-3-5-6 2-3-5-6-8-9+""* Z 2г*(/г!J2/г+1
/г = 0
со со
6 У (-1V. 22rt 7. У ^LW-г^
Zl l ; 22"(/г!)а • ^ Bл)! *
л=0 п=0
§ 12. Последовательности регулярных функций.
Интегралы, зависящие от параметра
Следующие задачи рассчитаны на использование теоремы Вейерштрасса:
Предел последовательности регулярных в области D функций также
является регулярной в области D функцией, если эта последовательность
равномерно сходится в области D.
Различные критерии равномерной сходимости последовательностей функций
считаются известными (см. § 6).
12.01. Доказать следующий вариант теоремы Вейерштрасса:
Пусть функции fn(z) регулярны в области D и последовательность
{/и (%)) равномерно сходится на каждом замкнутом множестве,
лежащем в области D. Тогда предел последовательное ги {fn(z)} также
является функцией, регулярной в области D. Кроме того, при любом
125

т последовательность {fn^iz)} равномерно сходится на каждом
замкнутом множестве, лежащем в области D, к т-й производной
предельной функции последовательности {fn(z}}.
12.02. Доказать, что суммы следующих рядов регулярны в
областях, указываемых в скобках:
СО 00
1.2^ (|*]<оо). 2.2|ein« fllm*|<l>
0 1
1 1
о° оо
5^" (**-Ь-2,...). 6.2(-1У,Т* (Re*>0).
i
00
7. 2 2-n*V (Re * > 0> 8. J] *"** ^" (I arS * i < «/4>
—оо 0 __
12.03. Пусть {Я„}—возрастающая последовательность
положительных чисел и пусть
lim"j^=cc>0, a Hm \ап{1'п = р>0.
П-+СО Л П-+00
Доказать, что сумма ряда
1
регулярна в полуплоскости Re 2 > a In р.
12.04. Доказать, что следующие бесконечные произведения
представляют функции, регулярные в областях, указываемых в скобках:
1-II0 —-О (М<1). 2. fltt+z*"rf) (И<1>
1 I
оо со
3-ПA~-т)*/* (|*1<оэ) 4-HA+(-1)rt'^)(^!<co)-
1 I
оо со
5-ПС°8^ <И<°°> 6-IIth? ftafgz|<Ji/4).
i i
со
12.05. Пусть ряд 2!г*1 схоДится, а функция и (г) регулярна
1
в области D. Доказать, что бесконечное произведение
ПA+с*я(*))
1
представляет функцию, регулярную в области D.
126

12.06. Пусть сходятся ряды
со со оо со
II 11
Доказать, что бесконечное произведение
оо
1
представляет функцию, регулярную в полуплоскости Re^>0.
¦ В следующих задачах наряду с теоремой Вейерштрасса (см. начало
параграфа) следует опираться на следующую теорему:
Пусть С — спрямляемая кривая в комплексной плоскости t, a D—область
в комплексной плоскости г. Если функция <р {t, г) определена и непрерывна по
совокупности переменных при teCuz^D, а кроме того, при любом teC
регулярна по г в области D, то функция
f{*) = \f{t.*)dt
Ь
регулярна в области D.
а 12.07. Доказать регулярность функций» представленных
следующими интегралами в областях, указанных в скобках:
l- \ T^dt (Re*>0). 2.$Vv-<<# (H<oo)l
о ' *
со оо -
3. i f^dt (Re2>0). 4. \ -^dt (Rez<2).
00 CO
5-\?fldt (9<Rez<2). eAit,+ lf(l+eiX) (Rez>0).
CO 1
7- $ g2^1 (bn z>0). 8. $ t*(\-ty~*dt (-1 <Rez<2).
1 со
9'\^Tdt C^t-1'0!' *^°°)- 10- Jjq?* (Rez>0).
о о
12.08. Пусть функция <р(/) непрерывна при t^O и удовлетво-
. I ,« I CO ,
ряет условию lim —' *?-¦ ' = а. Доказать, что интеграл$q>@e~tzdt
/-•+00 * q
представляет функцию, регулярную в полуплоскости Re#>a.
12.09. Пусть функция <р(?) непрерывна при —оо<с?<со и
удовлетворяет условиям
t—+oo * *-»— со '
127

Доказать, что интеграл ^ q>(f)e*iedt представляет функцию, регуляр-
—ее
ную в полосе о~х <С Im z <C o2.
12.10. Найти области регулярности функций, представленных
следующими интегралами:
со
о
со
1
оо
dA^p?-dt, |ф@|^МA+0т» ^<оо.
f/t, кйк^.
— CO
CO
5-^A^^ |Ф@|<А««, a<5.
l
l
6- S^F*» |ф@|<ЛЛв, a>-l.
о
-t
7. \ jr~^dt (C:argr = a), -я<а<я.
(C:argr = a), 0^а<-
9* \frzdt [С'-Ы=^> °<l'l<*})-
Во многих вопросах большую роль играет принцип компактности семейств
регулярных функций:
Если функции fi{z), /г(г)> ••• регулярны в области D и удовлетворяют
условиям
\fn(z)\^M (геО,й=1,2,...),
то из последовательности {/„ (г)} мЬжно выделить некоторую подпоследова-
тИгльность {fnk (г)}, равномерно сходящуюся в каждой замкнутой части
области D.
В следующих задачах предлагается, опираясь на принцип компактности,
получить некоторые обобщения и видоизменения этого принципа.
12.11. Пусть функции fn(z), я=1, 2, ....регулярны в области D
и равномерно (по п) ограничены на каждом замкнутом множестве,
лежащем в области D. Доказать, что из последовательности {fn(z)\
можно выделить подпоследовательность {/„ {z)\, равномерно сходя-
128

щуюся на каждом замкнутом множестве, лежащем в области D
(последовательность номеров \nk) выбирается одной и той же для всех
множеств).
12.12. Пусть функции fn(z), я= 1, 2,..., регулярны в круге
J z | <С 1 и удовлетворяют условиям
\fn(z)\^M(l-\z\Tm (|z|<l, л=1, 2, ...), -
где числа М и т не зависят от я. Доказать, что из
последовательности {/„ (z)} можно выбрать подпоследовательность {/й (г)},
равномерно сходящуюся в каждом круге |z|s^r<l.
12.13. Пусть граница dD ограниченной области D состоит из
конечного числа простых кусочно-гладких кривых и пусть на dD
определены и непрерывны функции фге@- Доказать, что- если
последовательность {фя(?)} равномерно ограничена на dD, то из
последовательности функций {/„(г)}, Л(*)=2я? \ /Г* Ik d^ Ф~~ФИКСИР°-
ванное целое число) можно выделить подпоследовательность {/refe(^)}»
равномерно сходящуюся на каждом замкнутом множестве, лежащем
в области D.
12.14. Пусть функции fn(z), я=1, 2,..., регулярны в области D
и удовлетворяют условиям Refn(z)^5zQ (z e D, я=1, 2,...).
Доказать, что из последовательности {fn (z)} можно выделить
подпоследовательность {/я (z)}, равномерно сходящуюся в каждой
замкнутой части области D (возможно, к бесконечности).
12.15. Пусть функции fn(z), я=1, 2,..., регулярны и равномерно
ограничены в области D. Доказать, что если последовательность
{fn(z)} сходится на множестве Е, имеющем хотя бы одну предельную
точку в области D, то она равномерно сходится на каждой замкнутой
части области D. (Теорема Ватала.)
* * *
Большинство теорем о последовательностях регулярных функций
переносятся и на последовательности гармонических функций.
12.16. Пусть функции ип(х, у), я=1, 2,..., гармоничны в
области D и пусть последовательность {ип (х, у)} равномерно
сходится в области D к функции н (х, у). Доказать, что функция и (х, у)
гармонична в области D.
Указание. Рассмотреть последовательность {ип (х, у)} в каждой одно-
связной части области D. Там можно построить регулярные функции fn (z)r
для которых R^fn(x-\-iy) = un(x, у).
12.17. Пусть функции ап(х, у), п—1, 2, ..., гармоничны в
области D и удовлетворяют условиям
К(*, У)\<*М \(х, y)<=D, я=1, 2, ...).
Доказать, что из последовательности {ип (х, у)} можно выделить
подпоследовательность {nnk(x, у)}, равномерно сходящуюся в каждой
замкнутой части области D.
б Под ред. М. А. Евграфова
129

12.18. Пусть функции ип(х, у), л=1, % ..., гармоничны в
области D и удовлетворяют условиям
*Vi(*> УM?ип(х, у) ((х, y)^D, n=U 2, ...).
Доказать, что последовательность {ип(х, у)} равномерно сходится
в каждой замкнутой части области D (возможно, к + сю)-
12.19. Пусть функции fn(z), л= 1, 2,... , регулярны в области D,
не обращаются в этой области в нуль и удовлетворяют неравенствам
Т/лФ.^ЛГ (*е=Д л=1, 2, ...)
(постоянная М не зависит от п). Доказать, что из
последовательности {>/"|/пСг)|} можно выделить подпоследовательность,
равномерно сходящуюся в каждой замкнутой части области D к
функции |gB)|, где g(z)— регулярная в области D функция.
оо
12.20. Пусть степенной ряд ^cnzn имеет радиус сходимости
о
R, 0 <С R <С оо. Доказать, что для каждой точки z0 = Relv
существуют такие последовательности [nk\ и {zk}, для которых
nk
Hm zk = z<;, J] cnznk = 0.
Указание. См. задачи 12.19 и 12.15.
ОТВЕТЫ
12.10.
1. Вся плоскость z с разрезом по отрицательной части действительной оси.
2 Вся плоскость z с разрезом по лучам [ — оо, — 1] и [1, +°°1-
3. Вся плоскость z с разрезом по лучу [ —оо, — 1].
4. Вся плоскость г с разрезом по отрицательной части действительной оси.
.5. Вся плоскость z с разрезами по лучам
[I, +оо], [argz = 2n/3, |z|>l], [argz = — 2я/3, |г|>1].
6. Вся плоскость z (включая точку z=oo) с разрезами по прямолинейным
отрезкам, соединяющим точку г —0 с точками z=l, 2=е2ш>'3, г=е—2я'^3.
7. Вся плоскость г с разрезом по лучу argz = a-f-n.
8. Вся плоскость z с разрезом по спирали, уравнение которой
г =—seitga-ins, l^s<;oo.
9. Вся плоскость z (включая точку z=oo) с разрезом по верхней половине
окружности | г | == 1.
§ 13. Теорема единственности. Аналитическое продолжение
Следующие ниже задачи рассчитаны на использование теоремы
единственности:
Если функция / (г) регулярна в области D и обращается в нуль на
множестве Е, имеющем хотя бы одну предельную точку в области D, то f (z) = 0.
13.01. Пусть функция /(г) регулярна в замыкании D области D.
Доказать, что в области D лежит лишь конечное число решений
уравнения /(г) = а (при произвольном фиксированном значении а).
130

13.02. Пусть функция f(z) регулярна в точке z — Zq. Доказать, что
,. In |/(z)—/(г0)|
существует предел hm —' ,' _j . ' и что этот предел равен
целому положительному числу.
13.03. Существует ли функция /(г), регулярная в некоторой
окрестности /очки г = 0 и удовлетворяющая одному из следующих
условий (и — 1, 2, ...):
!./(!)- sin ». Z/(±)-Ico.™.
\п) 2п-{-cos пп ' ' *\п) •* \ п}'
т./A)-/(-4Ыт- a /(i)-r-
/A)|<,-. 10. 2-»<|/A)|<2>-«.
11.«-«»<|/(±)|<2«-W. 12.j/(i). 2n+1|^„I
I
«а*
9
cos ля I ^ 1
13.04. Пусть функции /г(г) и /2Bг) регулярны в области D и
удовлетворяют в этой области дифференциальному уравнению /' (z) =
— P(z, f(z)), где P(z, яу)—многочлен от своих переменных.
Доказать, что если в некоторой точке -z0 e D имеет месго равенство
fi(z0)=f2(z0), то fx{z) = f2(z).
13.05. Пусть функции fx(z) и f2(z) регулярны в области D и
удовлетворяют в этой области дифференциальному уравнению
fW{z) = P(z, f, /', ...,/<"^),
где Р — многочлен от своих переменных. Доказать, что если в
некоторой точке 20g D имеют место равенства
АЫ=АЫ> .... Пт~Х) (Zo)=Am-l)(Zo)>
то A(z)=f2(z).
13.06. Доказать, что функциональное уравнение f(z)—fBz) не
имеет решений, регулярных в точке г —0 и отличных от
тождественной постоянной.
13.07. Пусть q = e2nin, где а—иррациональное число. Доказать,
что функциональное уравнение f(z)=f(qz) не имеет решений /(-г),
регулярных при 1/2<|г|<2 и отличных от тождественной
постоянной.
13.08. Пусть f(z)—периодическая функция, регулярная в
некоторой области, содержащей точку г —со. Доказать, что f(z) — const
во всей области регулярности.
131

Пусть функция /(г) определена на некотором множестве Е, а функция
F(z) определена-и регулярна в некоторой области ?>, содержащей множество ?.
Если на множестве ? имеет место равенство f(z)=F (г), то функция F (г)
называется аналитическим продолжением функции / (г) с множества ? на область D.
Из теоремы единственности немедленно вытекает принцип аналитического
продолжения:
Если множество Е имеет хотя бы одну предельную точку, лежащую
в области D, то существует не более одного аналитического продолжения
функции /(г) с множества Е на область D.
Вопрос о существовании у данной функции / (z), определенной на том
или ином множестве, аналитического продолжения в более широкую область
довольно сложен и методы его решения чрезвычайно разнообразны.
13.09. Доказать, что функции е*, cos г, sin z, chz, shzt
определяемые первоначально лишь для действительных значений
переменного, можно аналитически продолжить на всю комплексную плоскость,
разложив эти функции в ряд Тейлора.
Комбинируя многрчлен и показательную функцию (или тригонометрические
функции), можно получить аналитическое -продолжение с действительной оси
ряда других элементарных функций.
13.10. Найти возможно более широкую область, в которую
можно аналитически продолжить с действительной оси функции:
1. tgz. 2. ctg^r. 3. thz. 4. <?i/cosz
5. е-Ъ*. 6. sin(th^). 7. cos (<?**). 8. th(e*> 9. ctg(chz).
13.11. Доказать, что функцию Inz, определенную для
положительных значений z, можно аналитически продолжить на всю
комплексную плоскость с разрезом по отрицательной части
действительной оси и, обозначив это аналитическое продолжение символом (In z),
получить для него формулу
Qnz) = \n\z\-\~largz (]arg,?j<rc).
Указание. Воспользоваться формулой In2=1—, справедливой для
всех положительных г. i
13.12. Пусть а — произвольное действительное число. Доказать,
что функцию za, определенную для положительных z, можно
аналитически '' продолжить на всю комплексную плоскость с разрезом по
отрицательной части действительной оси и, обозначив это
аналитическое продолжение символом (za), получить для него формулу
(za) = \z\a eia ar2* (| arg z |< я).
Указание. Воспользоваться формулой ifl=^ealnz, справедливой для
всех положительных г.
13.13. Пусть 0<;а<1- Доказать, что при z, не лежащих на
отрицательной части действительной оси,
со
0
со
где Д= \ -,,. dt, а символ (га) определен в задаче 13.12.
о
132

13.14. Пусть 0<Са-<2. Доказать, что при Re2>0
а при Re z ¦< О
00
P + Z*
dt=((—z)a-2)-A,
где A—\jgj-jdt, а символ (za) определен в задаче 13.12.
б
13.15. Доказать, что
со
\^dt^\{{\nz)-A + B) (Rez>0)
6
и
со
\~#dt=\({\n(-z)).A-±B) (Rez<0),
о
со
где Л=-тг, B==\~p—rdt, а символ (Inг) определен в задаче 3.11.
о
* * *
В аналитическом продолжении часто используется теорема, составляющая
содержание следующей задачи.
13.16. Пусть функция Ф(г1г ..., zn) определена, когда
zk^Dk (й=1, 2, ..., п)
и регулярна по каждой переменной zk в области Dk при произволь*
ных фиксированных значениях остальных переменных. Доказать, что
если йаждая область Dk содержит непустой интервал (aft, b?)
действительной оси и если
Ф(гь ..., zn) = О {zx(ее(%, bx), ..., zn<=(am ?„)),
то 0(zv .... 2«)=~0.
13.17. Опираясь на справедливость приводимых ниже формул для
действительных значений переменных, доказать их справедливость и
для произвольных комплексных значений этих переменных:
1. tf^+^^g2! .?2*. 2. cos2z-J-sin2z — 1.
3. sin 2z = 2 sin z cos г. 4. ch 2z — clPz-{- sh2 гг.
5. sin (zt -f- <г2) = sin ^i cos г2 -f- cos zx sin г2.
6. ch{zl~\-z^ = chz1chz2-i-shz1shzu.
133

7. cos ^i -{- cosz2==2cos-^tilcos?L-~.
8. shz1 + sbz2=2sh?±±&cb%~±.
13.18. Пусть функция /(г) регулярна в некоторой области,
содержащей отрезок [0, 1], и удовлетворяет условию /(z-{-!)=/(г).
Доказать, что функцию f(z) можно, аналитически продолжить в
некоторую полосу — 6 ¦< lm zf<i б, б > 0.
13.19. Пусть функция /(г) регулярна в некоторой области,
содержащей отрезок [0, 1], и удовлетворяет условию
f(z+\)=azf(z) + p(z),
где p(z)— многочлен. Доказать, что функцию f(z) можно
аналитически продолжить в некоторую полосу —б<С»П12<Сб.
13.20. Пусть функция f(z) регулярна в некоторой области,
содержащей отрезок [1, 2], и удовлетворяет условию
fBz)=af(z) + p(z),
где p(z)—многочлен. Доказать, что функцию f(z) можно
аналитически продолжить в некоторый угол — б <С arg z <C 6, б > 0.
13.21. Пусть функция f{z) регулярна при р<|г|<1 и
удовлетворяет функциональному уравнению f(z)—af(z2)^-g(z)t где g(z) —
некоторая данная функция, регулярная в круге | z \ <i 1. Доказать, что
функциюf(z) можно аналитически продолжить в кольцо 0<Z\z\<Cl-
13.22. Гамма-функция Эйлера Г(z) определена при z>0
равенством
оо
о
Доказать, что функцию Г (z) можно аналитически продолжить на всю
комплексную плоскость, за исключением точек 2 = 0, —1, —2,
Указание. Доказать, что функция Г (г) удовлетворяет
функциональному уравнению Т (г-{-1) = гТ (г).
13.23. Бета-функция Эйлера В (z, ?) определяется при z>0
и ? > 0. равенством
i
о
Доказать, что функцию В {z, Q можно аналитически продолжить по
каждой из переменных на всю комплексную плоскость, за
исключением точек 2 = 0, —1, —2, ..* (соответственно ?=0, —1, —2, ...).
Указание. Доказать, что функция В (г, ?) удовлетворяет
функциональным уравнениям
Ь {z, д = 13 (?, г), В (z+ 1, 0=^ В (*, Р-
134

Большинство способов аналитического продолжения связано с теоремой
Коши о независимости интеграла от пути интегрирования. Эти способы
применяются главным образом к функциям, представляемым теми или иными
интегралами.
13.24. Пусть функция <р(?) регулярна в кольце Гг^|?|</?.
Доказать, что функцию f(z), заданную в круге | z | <; г с помощью
формулы
№ = Ш ^ (С-*»®^ (\*\<г)
(т—целое число), можно аналитически продолжить в круг j#|<C# '
и что это аналитическое продолжение F(z) задается формулой
1С1«=Д
13.25. Доказать, что следующие функции могут быть
аналитически продолжены на области D, указанные в скобках:
!./(*)= \ ea^D-^ (И<1); (D:\z\<co).
IСI ===== 1
2. /<*)=¦ \ ea{l+i)^ (И>1); (D:\z\>0).
ICI=i
COSj
3. /(*) = $ \^) ф_ (И<2); (й|*|<оо>
151=2
COSI
It 1-2
5. /(*)= $ sh(c + |)^ (И<1); (ft |г|<оо>
|?1=' |/г
6 ^>= \ IhT^ (И<0; (ft*^±T,±-2-, ...).
I?l=i
13.26. Пусть функция q>(?) регулярна в полосе —?<:Re?^0
й удовлетворяет условию
l9(?)K^0+IMra. a>° (-e<Re.C<o>
Доказать, что функция
/со
/(*) = J ^^ (Re^>0)
допускает аналитическое продолжение в полуплоскость Rez> — а
и что это аналитическое продолжение F(z) дается формулой
— a+j'oo
f(*)= ^ f^^ (Re *>-«).
—a—ioo
135

13.27. Доказать, что для аналитического продолжения F(z),
построенного в задаче 13.26, справедлива также формула
/оо
F(z)= f JpMd? — 2л/ф(г) (— a=^Rez<0).
— /оо
Указание. Воспользоваться интегральной формулой Коши.
13.28. Доказать, что следующие функции могут быть
аналитически продолжены -на области D, указанные в скобках:
оо
1. /(^)= \ gqn[?=^i (Im *> 0M Ф: Imz>-1>
—оо
оо
i/W"-S«=§S5 (Ь"*>Щ! (aim»>--j). .
— ОО
о.-
3. /(*) = $ е-^-^-у, (lmz>0); (О; |z|<co).
4- /(*)= § f=^> а>° (Im*>°); (D: М<°°)-
—оо
оо
5-'W= S (ГГ§Щ (ln.^<0); (ft Im*<f).
— ОО
ОО
—оо
13.29. Пусть функция ф(?) регулярна и ограничена в угле
| arg ? | ^ а < я/2. Доказать, что функцию f(z), определенную в
полуплоскости Re2>0 равенством
ОО
/ю- 5 ?&*
можно аналитически продолжить в угол | arg z | < -н- + ос.
Указание. Повернуть контур интегрирования.
13.30. Пусть функция ф(?) регулярна и ограничена в угле
i arS? I ^ a "^nft- Доказать, что функцию f(z), определенную в
полуплоскости Re z >>¦ 0 равенством
ОО
0
можно аналитически продолжить в угол | arg z \ <Z -к + а.
136

13.31. Доказать, что следующие функции можно аналитически
продолжить на области Д указанные в скобках:
со _
1- /(*)= $ г^г<*fc (D: | arg * |<л).
о
2-/(г)==$п^Б (D: i^Kt)-
о
3- f&= \kkd^ а> 0; (D:'arg(z+а)'<я)-
о
4. /(г) = ^ ^ d? (D: | arg z |< я),
о
оо
5- /(*)=$ ^-^mch^g, ж = 2, 3, ...; (Л |аг&2-|<я).
б
оо
о
7. /@)= ? ^ -г; (?>: I argz |<л).
ОО J,
—со
со . . _
ю./(z)= ^ ^-«r-*. «>°;
— со
(D: z^jRe-zi^sl, Imz^O}, z ^ {Rez «S—1, Imz^O}).
оо
13.32. Доказать, что при любом ос сумма ряда ^ n~aznf опре-
деленная этим рядом в круге |zj<Cl, может быть аналитически
продолжена на всю комплексную плоскость с разрезом по лучу [1, сю].
со
Указание. Воспользовавшись формулой л~а—=у-г \ ta~xe~nl dt,
представить сумму ряда в виде интеграла. °
13.33. Доказать, что утверждение задачи 13.32 сохраняет силу
со оо
и для сумм рядов ^ n~a 1° п ¦ zn, ^ tra (In rif zn. *
* * *
137

Иногда, делая те или иные преобразования, над рядами или интегралами,
удается получить ряды или интегралы с другой областью сходимости. Это
обстоятельство часто позволяет осуществить аналитическое продолжение.
13.34. Пусть функция <р(?) регулярна в круге |*|<С1 и пусть
оо со
Ф (t) = 2 cntn, причем ряд ^] сп сходится. Доказать, что функцию f(z),
о о
1
определенную при Re2">0 формулой f(z) = ^ts~1q>(f)dt, можно ана-
о
литически продолжить на всю комплексную плоскость за
исключением точек z — 0, —1, —2, ..., и что это продолжение дается фор-
оо
мулой /W-2ИЗ- •
О
13.35. Доказать, что функции F (z) дают аналитическое
продолжение функций f(z):
1 оо
I. f(z)=\l*-4-dt, FW=2_f^
О О
00 оо
1 1
ОО . СО
3.f(z)=\—f dt, а>0; Р(г) = >^т^.
J к ' .)е"'+1 ^j/г+ссг
о о
со со
*¦/&>= $ттт* f(*>=2e?-
О —со
со со
СО U~J
+ 1
+ 2K
О
13.36. Доказать, что сумму ряда
со
/(-)-4+2^-г(г+1)-яA+п) №«<»
1
можно аналитически продолжить на всю комплексную плоскость за
исключением точек z — 0, ±1, ±2, .... и что при Re2>0 это
продолжение F(z) дается формулой
со
F(z) = —- I V ' A-г)B-г)...(п-г)
1
138

Указание. Доказать, что при. 0<Rez<;l сумма обоих рядов равна
интегралу \ tz— l A — t)~z dt,
о
13.37. Пусть Г (z)—гамма-функция Эйлера, a
B(z,Q—бета-функция Эйлера (см. задачи 13.22 и 13.23). Доказать, что
В (г о = Г(*>Г<Р
Указание. При г > 0 и ? > О вычислить интеграл
со со
—со —со
двумя способами — как произведение интегралов по х и по у, и переходом
к полярным координатам.
со
13.38. Опираясь на формулу — = > у _j (см. задачу 5.30),
доказать, что Г (z) Г A — z)
я
sin яг
Указание. См. задачу 13.37 и № 4 задачи 13.35.
ОТВЕТЫ
13.03.
1. Нет. 2. Нет. 3. Да. 4. Да. 5. Нет. 6. Да. 7. Нет. 8. Нет. 9. Да.
10. Нет. И. Нет. 12. Нет.
13.10.
я
1. Вся плоскость, кроме точек г = —Bл+1), я=0, ±1, ±2, ...
2. Вся плоскость, кроме точек 2 = ял, п=0, ±1, ±2, ...
я/
3. Вся плоскость, кроме точек г = -^-Bп+1), я = 0, ± 1, ± !
я
4. Вся плоскость, кроме точек z = -^-Bn-}-l), л=0, ±1, ±2,
я
5. Вся плоскость, кроме точек z=-^-B/г+1), п=0, ±1, ±2,
6. Вся плоскость, кроме точек z = -^-Bn+l), я = 0, ±1, ±2,
7. Вся плоскость.
8. Вся плоскость, кроме точек z = ln
+ 2я1/п+ ^ sgn (я + ^J,
л = 0, 1, 2 ... , т = 0, ±1, ±2, ...
л[л+ 2
Я?
9. Вся плоскость, кроме точек г=-^ {2п-\-\), п = 0, ±1, ±2, ... ,
г=± In (ял+]/я2я2 — 1) + 2Шт, л=1, 2, 3, ... , т=0, ±1, ±2, ...
§ 14. Принцип максимума
Следующие задачи рассчитаны на использование принципа максимума
модуля в такой формулировке:
Пусть функция f (z) регулярна в области D и М= sup /(г). Тогда или
в каждой внутренней точке области D имеет место неравенство \f(z)\<Mt
или f(z) = Mei(p, где ф — постоянное действительное число.
139

14.01. Пусть функция f(z) регулярна в области D. Доказать,
что если для любой последовательности точек zn e Д сходящейся
к какой-либо точке границы области D, имеет место неравенство
lim ] f(zn) | sg: M, то или в каждой внутренней точке области D имеет
л-ч-оэ
место неравенство | f(z) | ¦<М, или f(z)^Mei(e.
14.02. Пусть функция f(z) регулярна в круге |г]<;1 и
удовлетворяет в этом круге неравенству \f(z)\<ZM. Доказать, что если
/@) = 0, то функция f(z) удовлетворяет в круге | z \ < 1 и более
сильному неравенству \f(z)\^M\ z\, причем если хотя бы в одной
точке z0, 0 < | z01 < 1, имеет место равенство | f(z0) | = М \ z01, то
f(z) = Mzei(P, где ф—действительная постоянная. (Лемма Шварца).
Указание. Рассмотреть функцию f(z)/z и доказать, что ее можно
аналитически продолжить в точку г=0.
14.03. Пусть .функция f(z) регулярна в круге \z\<ZR и
удовлетворяет там неравенству \f{z)\<CM, а /@)=0. Доказать, что
|/' @) \^M/R, причем знак равенства возможен только для функции
14.04. Пусть функция f(z) регулярна в круге \z\<ZR,
удовлетворяет там неравенству \f(z)\<ZM и обращается в нуль в
некоторой точке z0 этого круга. Доказать неравенства
\т\<м$Е%\ (|*|<R); l/'WI<«^.
14.05. Пусть функция f(z) регулярна в полосе |Rez[«<ft/4,
удовлетворяет там неравенству | f(z) j < 1 и обращается в нуль
в точке z = 0. Доказать, что \ f(z) \^\tgz\ в этой полосе.
14.06. Пусть функция f{z) регулярна при Rez;>0, удовлетворяет
там неравенству | f(z) | < 1 и обращается в нуль в точках гъ z2,...
..., zm. Доказать, что
\J wi-- |2+Zl||z + z,|. ..|z-f*„| vv ^ J
14.07. Пусть функция f(z) регулярна и ограничена в
полуплоскости Rez>0, а в последовательности точек {zn}, zrt-»-oo этой
полуплоскости обращается в нуль. Доказать, что или f(z)~Q, или
ряд ^Re— сходится.
14.08. Пусть функция f(z) регулярна и ограничена в круге
\z\<ZR, а в последовательности {zn\ точек этого круга обращается
в нуль. Доказать, что или /(,г) = 0, или ряд ^(R — | zn |) сходится.
Указание. См. задачу 14.04.
14.09. Пусть функция f(z) регулярна в круге |,г|<;1,
удовлетворяет там неравенству \f(z) j < М, a f@) — w0, \ w0 | < М. Доказать
неравенство
\M*-f(Z)W0\ М V' '
140

14.10. Пусть функция f(z) регулярна в круге \z\<zR и
удовлетворяет неравенствам | f(z) \<М, |/@) \^M<ZM. Доказать неравенство
# # #
14.11. Пусть P(z)—многочлен степени п, a M(r)= max' \P(z)\.
- |2i=r "
Доказать, что при ^<Crx<iT^ имеет место неравенство
М {г г) ^ М (г2)
1 2
причем знак равенства хотя бы при одной паре значений гг и г2
возможен только для многочлена вида P(z) = azn.
14.12. Пусть Р (z) = zn + axzn~h\-... + ап. Доказать, что хотя
бы в одной точке окружности Щ\—\ имеет место неравенство
|P(z)|> 1, или P(z) = zn.
14.13. Пусть P(z)—многочлен степени п, удовлетворяющий на
интервале (— 1, 1) неравенству ' | Р (z) j <: M. Доказать, что в
каждой точке z& лежащей вне этого интервала, имеет место
неравенство | P(z0)\^M(a-\'b)n, где а и b—полуоси эллипса с фокусами
— 1 и 1, проходящего через точку z0. t л
Указание. Рассмотреть функцию Q(?) = ? пРI ~~} в области
1С1>ь
* * # ж
14.14. Пусть функция f[z) регулярна в области D и пусть
inf |/(г)| = ^>0. Доказать, что или f(z)^\ie'% или |/(z)|>ji
для каждой внутренней точки области D.
14.15. Пусть функция f(z) регулярна в области D и непрерывна
в ее замыкании D, а на границе области D ее модуль сохраняет
постоянное значение. Доказать, что если функция f{z) отлична от
тождественной постоянной, то она обращается в нуль хотя бы
в одной точке области D.
14.16. Пусть функции fi(z), ..., fm(z) регулярны в области D
и пусть УИ=Нт {|/iC?)|+... + |/mBr)[}. Доказать, что если хотя бы
z-*dD
одна из /ь (z) отлична от тождественной постоянной, то в каждой
точке из D имеет место неравенство j fx (z) |+... +1 fm (z) | <; М.
14.17. Пусть функция f(z) регулярна в круге [-г|<С/?> a m —
целое положительное число. Доказать, что если функция f(z)
отлична от тождественной постоянной, то функция
1
о
монотонно возрастает при 0 <: г < R.
Указание. Представить интеграл как предел интегральной суммы.
(r) = ^\\f(re^)\md4>
141

Принцип максимума для регулярных функций является частным случаем
гораздо более общего принципа максимума для субгармонических функций,
причем даже при исследовании регулярных функций гораздо болыне можно
получить с его помощью.
Действительная функция и (г), определенная в области D, называется
субгармонической в этой области, если:
а) Функция ешг> непрерывна в области D.
б) Если точка г0 лежит в области D, а число р>0 достаточно мало, то
имеет место неравенство
•231
"(Z°)SS 2лТ \ "<2о + Р*/ф)<*Ф
(интеграл, вообще говоря, несобственный; если он расходится, то его считают
равным —со).
14.18. Пусть функция u(z), отличная от тождественной
постоянной, субгармонична в области D. Обозначим М= lim u(z). Доказать,
г - д П
что в каждой точке области D имеет место неравенство // (z) <C M.
{Принцип максимума.)
14.19. Доказать, что функция u{z), гармоническая в области Д
субгармонична в этой области.
Указание. См. задачу 10.29.
14.20. Пусть функция u(z) гармонична в области D. Обозначим
М= lim u(z), m= lim u(z).
г—dD T^dD
Доказать, что если т ¦< М, то в каждой точке области D
справедливы неравенства т<и(г)<Ж. (Принцип максимума и минимума
для гармонических функций.)
14.21. Доказать, что функция u(z) = \f(z)' субгармонична в
области Д если функция f(z) регулярна в области D.
Указание. См. задачу 10.26. *
14.22. Пусть функция u(z) имеет в конечной области D
непрерывные частные производные второго порядка (по л; —Rez и по
y — \mz) и пусть ^~2+5-3=^0 в области D. Доказать, что
функция u(z) субгармонична в области D.
Указание. Написать для функции и (z0-T-pe'4') формулу Тейлора с
остаточным членом (перейдя к переменным х=Яег и # —Imz).
14.23. Пусть функция f(z) регулярна в области D. Доказать, что
функции и (z) = In I f(z) I и и (z) = I f(z) ,a, a > 0, субгармоничны в
области D.
Указание. В точках, где /(г) —0, требуемое неравенство очевидно.
В остальных точках субгармоничность легко проверяется, скажем, с помощью
результата задачи 14.22.
142

14.24. Пусть функции ul(z) и a2(z) субгармоничны в области D.
Доказать, что:
1. Если числа а и b положительны, то функция au1{z)-\-bui{z)
субгармонична в области D.
2. Функция u(z) = max{ul(z), u2(z)} субгармонична в области D.
3. Функция u(z)=\u1(z)\a при а>1 субгармонична в
области D.
4. При а>0 функция u(z)=eau^z) субгармонична в области D.
14.25. Пусть функции fx(z), ..., fm(z) регулярны в области D.
Доказать, что при а>0 функция и(z) = \Jt(z)|а +... +1 fm(z)|а
субгармонична в области D.
14.26. Пусть функция f(z) регулярна в круге |2^<#- Доказать,
что функция
2л
/«C)=SiJl/Ce'*)iedV
при любом а>0 является монотонно возрастающей функцией г в
интервале 0 ^ г <С R (если f(z) ^Ё const).
Указание. Показать, что функцию 1а(г) можно рассматривать как
субгармоническую функцию переменной z=re1^- -
Случаи, когда субгармоническая функция зависит лишь от некоторой
комбинации переменных jt=Rez и y=\mz, наиболее интересны.
14.27. Доказать, что функция и (z) — ф (Re z) субгармонична
в полосе а < Re z <C b в том и только в том случае, когда функция
Ф (х) выпукла кцизу на интервале а <С х < Ь.
14.28. Доказать, что функция u(rei6)=q>(r) субгармонична
в кольце р <! z ! <C R в том и только в том случае, если функция ф (г)
логарифмически выпукла на интервале (р, R), т. е. если для любых
трех значений р < гх < г2 <С r3 <ZR имеет место неравенство
/ \ — / ч 1ПГЧ —1ПГЯ , , ч Itlr, — In Г\
ф м ^ ф (ri) lnr;_lnr; + ф сеIпг;_1рг;.
14.29. Доказать, что функция н(гел) = гРф(б) субгармонична
в угле а <С G <С Р в том и только в том случае, когда функция ф (б)
тригонометрически р-выпукла на интервале (а, р), т. е. если для
любой тройки значений 61? 62> 83, удовлетворяющих условиям
а ¦< 62 ¦< 62 < 63 <С р* и 63 — Q\<Lnlp, имеет место неравенство
Ф (б2) ^ ф F0 sinp@3_ei) + Ф (б.) sinp№_eij
О
14.30. Пусть функция /(г) регулярна при p<C\z\<CR.
Обозначим М (г) = max | f{z) |. Доказать, что при р> < rx < r2 <C r3 <C R
143

имеет место неравенство ,
1пЖ(г2)^ '"'»-|п'» ta>H(rt)+ '"'«-]"" 1ПЛ1(гД
\ z/- In rs—In Г! v l/ ' In r3—In n B
(Теорема Адамара о трех кругах.)
14.31. Пусть функция f(z) регулярна при р <Cj z \ <ZR. Обозначим
2л
7« <г)=4 \! /(г^/ф) r dcp (a > 0) •
о
Доказать, что при р <С гг <С r2 <c r8 <C R имеет место неравенство
Uri)ln ^+/aWln ^ + /а(Г8)Ш ^^0.
14.32. Пусть функция f(z) регулярна при Re,?>0 и
удовлетворяет неравенству
I/^I^o+hV' a>1 (*е2Г>°>:
Доказать, что функция
со
О
является выпуклой книзу функцией ср на интервале — тс/2 <Z q> < jt/2.
* * *
Принцип максимума перестает быть справедливым, если на границе
области есть хотя бы одна точка, при стремлении к которой функция может
иметь пределом бесконечность. Однако если ограничить скорость стремления
к бесконечности, то иногда можно пренебречь этой исключительной точкой.
14.33. Пусть функция f(z) регулярна при ос < arg z <С р\
непрерывна на сторонах этого угла и удовлетворяет на них неравенству
I f(z) | «S: Af, а внутри угла — неравенству
l/(*)|<Af1*"lp>
где р — произвольное положительное число, меньшее, чем ~—.
Доказать, что функция j(z) удовлетворяет неравенству '/(z)\^M
и внутри угла а ^ arg z ^ р\ (Теорема Фрагмена—Лгшделефа.)
Указание. Сначала доказать неравенство «е(г)^1пЛ1, где
Mz) = ln|f(z)|—e|z|p« cospW argz—^i^j, p<Pl<y~-f
а затем перейти к пределу при е-+0.
14.34. Пусть функция f(z) регулярна в угле a<iargz <?ф
и непрерывна вплоть до его сторон, на которых удовлетворяет
неравенству \f(z)\^M. Доказать, что если внутри угла функция
f(z) удовлетворяет неравенству
|/(*)|<**<1«1>1*1р; Р = р^,
144

где б(х) функция, для которой
litri 8(х) = 0,
то }f(z)\ *^М и всюду внутри угла.
Указание. Сначала, используя результат задячи 14.33, доказать
ограниченность в угле a^argz^p* вспомогательной функции
In |/(г)—eU|Pcospfarg2—^t?).
14.35. Пусть функция f(z) регулярна в полуполосе Re2>0,
—-ъ <C\tn z <C-ту, и непрерывна вплоть до ее сторон, на которых
удовлетворяет неравенству \/(г)\^М. Доказать, что или \f(z)\^M
во всей полуполосе, или существует такое число 6 >> О, что
max In | f(x -J- (у) J >• &ex (x >• x0).
14.36. Пусть функция f(z) регулярна при Re^>0 и непрерывна
при 0 <: Re z <C оо, а кроме того, удовлетворяет неравенствам
|/Сг)!^Мге*\*lp (Rez>0), р< 1;
|/((у) ^Ме«?'р, |/(—(у) ^AfeV», (j/>0).
Доказать, что
|Дге<6) ^Mexpfr Г-?±Р cos 06 + 5-^=^5-sin pelV
|У v ' "\ L2cosnp/2 ' ' 2smnp/2 r J/'
— я/2^С ^я/2.
14.37. Пусть функция f(z) регулярна в полосе a<Re2"<;^.
непрерывна вплоть до ее сторон и удовлетворяет неравенствам
\f{z)\^MxeA^ (a^Rez^b);
\f(a-\-iy)\^Me^v\t |/(ft + (y) «SMePlvl.
Доказать, что
* * *
14.38. Пусть функция f{z) регулярна в круге \z\<ZR, непре-
2л
рывна в круге j z \ ^ R и пусть [ In | f(Re1®) | <%= — оо. Доказать,
о
что f(z) = 0.
Указание. Доказать, что интеграл [ In | / (ге'ф) i dq> является неубыва-
о
ющей функцией г при O^r^R; см. задачу 14.26.
145

14.39. Пусть функция f(z) регулярна в верхней полуплоскости
1гп,г>0 и непрерывна в ее замыкании (включая точку ,г = оо). Дока-
зать, что если V -/_¦ г ¦ ах = — оо , то f(z) =0.
—оо
Указание. Рассмотреть функцию g(Z) — f[fyy) в круге |?|<1 и
применить результат задачи 14.38.
14.40. Пусть функция f(z) регулярна при Re-г^О и
удовлетворяет условиям
/(И) = 0, я=0, 1, 2,...;
\f(x + iy)\^MeAx+alvK 0<а<п (лг^О, — со<_у<оо).
Доказать, что f(z) = 0.
Указание. Рассмотреть вспомогательную функцию
g(z) = WLe-Az.
sin nz
14.41. Пусть функция f{z) регулярна при Rcsr^O и
удовлетворяет условиям:
а) !/(*)|*?1 (Re* = 0);
б) \f{z)\^Me\z?-*, е>0, (Rez^O);
ч ,- 1п|/(лс)|
в) lim —' к-'Ут=—оо .
Доказать, что f{z) ~ 0.

Глава III
МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 15. Функции, аналитические в области
Пусть D—произвольная область расширенной комплексной плоскости,
а г0 — некоторая фиксированная точка этой области. Символом A(D, z0)
обозначим множество всех ломаных Г с началом в точке г0, лежащих в области D
(если точка со лежит в области D, то ломаная Г может проходить через нее,
но число звеньев ломаной Г должно быть конечно).
Функцию [(Г), определенную на множестве A (D, г0) (т. е. закон, ставящий
в соответствие каждой ломаной Г ^ A (D, z0) комплексное число /(Г)), будем
называть функцией, аналитической в области D, если она обладает свойствами:
а) При произвольной деформации ломаной Г в достаточно малой окрестности
любой ее точки значение функции f (Г) не меняется.
б) При произвольной вариации конца ломаной Г в достаточно малой его
окрестности функция f(r) зависит только от этого меняющегося конца
и является регулярной функцией этого конца в упомянутой окрестности.
Для большей ясности приведем четкое определение понятий деформации
ломаной Г и вариации ее конца:
Произвольной деформацией ломаной Г в области D\ называется замена
любого ее участка, попадающего в область Dlt произвольной ломаной,
лежащей в области Dx и имеющей те же концы, что и заменяемый участок.
Произвольной вариацией конца ломаной Г в области Dlt содержащей этот
конещ называется добавление к концу ломаной Г произвольной ломаной,
лежащей в области Dlm
Функцию, аналитическую в области D, мы будем обозначать символом
(/ (г))г« где чбР63 г обозначается конец ломаной Г. Такая запись подчеркивает,
что зависимость функции от конца ломаной Г является основной, а от формы
-ломаной Г —второстепенной.
15.01. Доказать, что функция, регулярная в области Д является
функцией, аналитической в области D.
15.02. Доказать, что если функция, аналитическая в области Д
не зависит от формы ломаной Г, а зависит только от ее конца, то
эта функция регулярна в области D.
15.03. Пусть {f{z))r и (g(z))r—две функции, аналитические
в области D и определенные для ГеА(D, z0). Доказать, что
функции (f(z))r-{-(g(z))r> (f(z))r-(g(z))r> также являются
аналитическими в области D функциями.
15.04. Пусть (f(z))r и (g(z))r—две функции, аналитические
в области D (и определенные для ГеА(Д z0)). Доказать, что если
функция (g(z))r не обращается в нуль во всей своей области опре-
деления, то функция , аналитична в области D.
15.05. Пусть функция (f(z))r аналитична в области Д а функция
F(?) регулярна во всей комплексной плоскости. Доказать, что
функция F((f(z))r) аналитична в области D.
147 .

15.06. Пусть Г—ломаная с началом в точке 1 и с концом в точке г,
не проходящая через точки 0 и со. Обозначим символом (In z)r
величину (lnz)r = \ -j. Доказать, что величина Aпг)г является функ-
г
цией, аналитической во всей комплексной плоскости с выколотой
точкой z = 0.
15.07. Пусть а — произвольное комплексное число. Доказать,
что величина (z°)r —ea(,nz)r, где выражение (In z)r определено
в задаче 15.06, является функцией, аналитической во всей
комплексной плоскости с выколотой точкой z = 0.
15.08. Пусть Г—ломаная с началом в точке 0 и концом в точке z,
не проходящая через точки i и —/ (возможно, проходящая через
точку со). Символом (arctg2)r обозначим величину
(arctg z)r =
Доказать, что выражение (arctg z)r является функцией,
аналитической^ во всей расширенной комплексной плоскости с выколотыми
точками z — i и z= — /.
15.09. Пусть функция ф(г) регулярна в области Д a z0—не-
2
которая точка этой области. Доказать, что величина J <p (t) dt является
аналитической в области D функцией.
Если А — произвольное отличное от нуля комплексное число, то
выражение {1пЛ} означает всю совокупность чисел
1п|Л | + iarg4 + 2nm (я=0, ±1, ±2,...),
а выражение {А }— всю совокупность чисел
jim\AimeiBQiTgA+2nrt (n==0f ± 1, +2,...).
15.10. Доказать, что множество значений, принимаемых
аналитической * в области 0 <; | z | <С со функцией (In z)r на всевозможных
ломаных ГеА@<|2г|<оо, 1) с концом в данной точке а,
совпадает с множеством значений, описываемых многозначным
выражением {In a}.
15.11. Доказать, что множество значений, принимаемых
аналитической в области 0 < | z | < оо функцией (za)r на всевозможных
ломаных Ге А @ < 12 | < оо, 1) с концом в данной точке а,
совпадает с множеством значений, описываемых многозначным
выражением {аа\.
15.12. Доказать, что множество значений, принимаемых
аналитической в области D: {z ф ±г} функцией (arctg z)r на всевозможных
ломаных ГеЛ(Д 0) с концом в данной точке о, совпадает
с множеством значений, описываемых многозначным выражением
\2i 1—ш)
Как правило, функции, аналитические в области, не задаются формулой,
позволяющей тем или иным способом вычислить значение функции для каж-
148
dt
1 + /2'

дои ломаной из области определения функции. Обычно задается только
многозначное выражение, дающее для каждой точки области набор значений,
принимаемых этой функцией на всевозможных ломаных с концом в этой точке.
Про такие многозначные выражения мы будем говорить^ что они изображают
аналитическую в области функцию.
15.13. Для следующих многозначных выражений и областей ?),
указываемых в скобках, найти аналитические в области D функции,
которые изображаются этими выражениями:
(?>: {z ф О, ?ф оо}).
(D: {гфО, гфсо}).
(?>: \гф\, рф — h гфоо)).
{D: {гф1, % Ф —U z Ф оо}).
(?>: {z ф ± Ь г Ф ± U z ф оо}).
tf>. \гф±\> *Ф+1)\
Пусть if(z))r—функция, аналитическая в области D и определенная на
ломаных ГеЛ (D", г0). Если зафиксировать ломаную у^ «= A (D, г0) с концом
в точке ? и произвольно варьировать ее конец в достаточно малой окрестности
точки ?, то согласно определению мы поручим регулярную функцию
меняющегося конца (обозначим его через г) в этой окрестности. Обозначим эту
регулярную функцию, символом (/(z)) и назовем ее элементом аналитической
в области D функции (j(z))r, отвечающим ломаной у^.
Элемент аналитической в области D функции (/(z))r, отвечающий ломаной
у,, выродившейся в одну ее начальную точку г0, называется исходным
элементом аналитической в области функции (/ (г))р.
Все элементы (/ lz))v , отвечающие ломаным yt <= A (D, z0) с концом в
точке ?, называются элементами, лежащими над точкой ?.
15.14. Пусть (f(z))r, где r^A(D, z0),~ аналитическая в области
D функция, a Ft(z)—ее элемент, отвечающий ломаной у с концом
в точке z±. Доказать, что существует аналитическая в области D
функция (f(z))r, определенная на ломаных Г из класса A(D, zj
и имеющая исходный элемент F±(z), а также получить для этой
функции формулу (/(z))r=(/(z))Yr-
Примечание. Символ -у^ означает ломаную, полученную прохождением
сначала ломаной у, а затем — ломаной Г. ^
15.15. Пусть (f(z))r и (f(z))r~ аналитические в области D
функции, о которых шла речь в задаче 15.14. Доказать, что если
функция (f(z))r изображается некоторым многозначным выражением, то
и функция (f(z))r изображается тем >^е самым выражением.
Задавая функцию, аналитическую в области, изображающим ее
многозначным выражением, необходимо указывать & исходный элемент. Несоблюдение
этого правила может привести к серьезным -ошибкам. Простейший пример
ошибок такого рода рассмотрен в следующей задаче.
1. {**}
2. {z3 lnaz}
3. {1пA— z2)}
4. {уТ+^}
5. {"^1— z*}
149

16.16. Пусть функции (ЛB))г, (gi(z))r. (Л(*))г. (gz(z))r анали-
тичны в области D (и определены на одном и том же множестве
A(D, z0) ломаных Г). Предположим, что функции (A(z))r и (gi(z))r
изображаются одним и тем же многозначным выражением, равно как
и функции (/2(^))г и (gz(z))r- Обязаны ли изображаться одним
и тем же многозначным выражением аналитические в области D
функции:
1. (A(z))r + (/a(z))r и (gi(z))r + fe(*))r.
2. СА(*))г-(/»(*))г -и <ft(*))r-(ft(*)b
Многозначные выражения совсем не обязательно изображают
аналитическую в области D функцию. Описываемый ими набор значений может быть
составлен из значений нескольких функций, аналитических в этой области.
16.17. Пусть функция F(z) регулярна и отлична от нуля в
области D.
1. Обязано ли выражение }/rF(z) изображать функцию,
аналитическую в области D?
2. Может ли выражение yF(z) изображать функцию,
аналитическую в области D?
* * *
Следующие ниже задачи требуют использования теоремы единственности
регулярных функций и принципа аналитического продолжения (см. § 13).
Во многих теоретических вопросах часто рассматривается следующий
процесс аналитического продолжения произвольной регулярной функции F (г),
заданной в некоторой окрестности точки г0, по ломаной Г, выходящей из этой
точки:
Функция F (z) разлагается в точке г0 в ряд Тейлора. Радиус сходимости
этого ряда обозначаем через г0, а его сумму —через F0(z). По этим величинам
находится точка zlt обладающая свойствами:
а) Точка гх лежит в круге J z — zQ | «S г0/2.
б) Точка гг лежит на том же прямолинейном участке ломаной Г, что и точка
20, но возможно дальше от начала ломаной (в смысле расстояния по ломаной).
Функция F0 (z) разлагается в точке Zi в ряд Тейлора. Радиус сходимости
этого ряда обозначаем через rlt а его сумму —через F1{z). По этим величинам
находим точку z2 и т. д.
Если описанный процесс в конечное число шагов доводит до конца
ломаной Г, то говорят, что аналитическое продолжение функции F (г) по ломаной Г
возможно. Результатом аналитического продолжения функции F (z) no ломаной
Г называется значение последней функции Fn (г) в конце ломаной Г.
16.18. Пусть D — конечная область и пусть функцию F{z),
регулярную в некоторой окрестности точки zQ e D, можно аналитически
продолжить по любой лежащей в области D ломаной Г, выходящей
из точки z0. Доказать, что результат аналитического продолжения
функции F(z) по ломаной- Г является функцией, аналитической
в области D.
16.19. Пусть (f{z))r, где ГеА(Д z0), — функция, аналитическая
в области D. Доказать, что для любой конечной ломаной Г значение
(f(z))r равно результату аналитического продолжения исходного
элемента этой функции по ломаной Г.
150

Два элемента функции, аналитической в области ^D, лежащие над одной
и той же точкой (eD, называются эквивалентными, если они совпадают
в некоторой окрестности этой точки.
. 15.20. Доказать, что если исходные элементы двух аналитических
в области D функций эквивалентны, то эти функции тождественно
равны.
16.21. Доказать, что если какой-либо элемент аналитической
в области D функции эквивалентен нулю, то эта функция
тождественно равна нулю.
15.22. Доказать, что функция, аналитическая в области Д имеет
над каждой точкой этой области одинаковое (возможно, бесконечное)
число попарно неэквивалентных элементов.
15.23. Пусть (f(z))r—аналитическая в области D функция с
исходным элементом fQ(z). Доказать, что существует аналитическая
в области D функция с исходным элементом Д(г).
15.24. Пусть функция (f(z))r аналитична в конечной области D,
a f0(z) — ее исходный элемент. Доказать, что
существует-аналитическая в области D функция с исходным элементом
\fo(t)dt.
15.25. Взяв в качестве области D всю расширенную плоскость
с выколотой точкой z = 0, а в качестве функции (f(z))r—функцию
\jz, убедиться, что условие конечности области D в задаче 15.24
существенно.
15.26. Доказать, что существует функция, аналитическая во всей
комплексной плоскости с выколотыми точками z==0 и z=l, которая
изображается формулой {In In z}.
Указание. Применить результат задачи 15.24 к функции
1
г (In г)Г'
15.27. Доказать существование функций, изображаемых
следующими многозначными формулами и аналитических в областях,
указываемых в скобках:
1. {(z+iy*Qnzf\ (D: {гфО, гф±\, гфбо}).
2. jln(z+y2*+0} (D: {гф±1, zфоо}).
3. (in (l — Yz )} (D ¦ \z Ф 0» z Ф U z ф oo}).
4. \Vz-\-Vz\ (D: {гфО, гф\, гфоо}).
5. {*|/ш-(-1пгг} (й'/{2ф0, гф—1, гфоо}).
6. {V 1 + |/п~г} (?>: {z ф 0, z ф е, z ф оо}).
15.28. Пусть функции (f(z))r и (g(z))r аналитичны в области D
(и определены на ломаных Г с началом в точке z0 e D). Доказать,
что если область D не содержит бесконечно удаленной точки, то
151

существует аналитическое в области D решение дифференциального
уравнения to'+w-(f(z))r + (gB))г= 0.
Примечание. Относительно понятия производной от функции,
аналитической в области, см. задачу 15.23.
15.29. Пусть функции (f(z))r и (F(?))r аналитичны в областях
D и D' и имеют исходные элементы fZo (z) и /*?0 (?) соответственно,
причем ?,o=fz0(zQ). Доказать, что если все значения, принимаемые
функцией (f(z))r лежат в области ?)', то существует аналитическая
в области D функция с исходным элементом F^a (/Zo (z)).
ОТВЕТЫ
15.13.
1. / 0п 2>Г. 2. Иг ((I" %J- 3. 2 jj Ш-х f Г е A (D, 0).
г
2
V (Ф (z))f Г tdt
4. *3 ,. (<р(г))г= \ ^—у, Г е Л (D, 0).
г
Б. «*№W>rf (9W)/,eJj^!-i ГеЛф.О).
'г
6-4 Sf^i» ГбЛ(в- °°>-
г
15.16. Нет. Пример, пригодный в обоих случаях:
(/i(*))г=(/2(*))r=tei (z))r=(Vz)r> ie2(г))г= -~(V~z)r
15.17.
1. Нет. Пример: F(z) = г2, D: {0<|z[<oo}.
2. Может. Пример: /•" (z) = z, D : {0 < j z j < со}.
§ 16. Выделение регулярных ветвей
Пусть каждой точке z области D расширенной комплексной плоскости
поставлено в соответствие счетное множество комплексных чисел \с,у? (г)}. Если
существует регулярная в области D функция f(z), обладающая тем свойством,
что для каждой точки zeD выполняется условие / (г) е \Qjg (z)}, то говорят,
что многозначное выражение {&>? (z)} допускает выделение регулярной ветви
в области D.
16.01. Доказать, что существует единственная функция,
непрерывная во всей комплексной плоскости с разрезом по отрицательной
части действительной оси и удовлетворяющая условиям:
1. f(z) e {In z\\ 2. /A) = 0; а также убедиться, что эта функция
регулярна в области ее определения.
Указание. Воспользоваться тем, что расстояние между любыми двумя
возможными значениями логарифма в одной и той же точке не меньше, чем 2я.
16.02. Обозначим через DQ всю комплексную плоскость с
разрезом по отрицательной части действительной оси. Доказать, что при-
152

водимые ниже многозначные выражения допускают выделение
регулярных ветвей в области D&
1. {]/7}. . 2. {In2 z}. 3. {zln2z},
4. {(l+za)f/7}. 5. {zz}. 6. {zlnz}.
16.03. Пусть многозначные выражения {esfi(z)} и \o^^{z)\
допускают выделение регулярных ветвей в области D. Доказать, что
многозначные выражения
{<^iB)}e{<^2(z)} и {в^г{г)}е{а^%(г)}
также допускают выделение регулярных ветвей в области D.
Примечание. Символом ?х©?а обозначается множество, элементами
которого являются всевозможные суммы zt -f- z2, где гх е Ег, а г2 е ?а-
Символ 0 аналогичен символу ®, но с заменой суммы произведением.
16.04. Пусть многозначное выражение {&#(z)} допускает
выделение регулярной ветви в области D, a f{z)—^>егУлярная в° всей
комплексной плоскости функция. Доказать, что многозначное
выражение {?(g?? (z))} также допускает выделение регулярной ветви
в области D.
16.05. Доказать, что выражение \\/ 1—гЦ допускает выделение
регулярной ветви в области D, представляющей собой всю
комплексную плоскость с разрезами по лучам (—со, —1] и [1, +со).
Указание. См. задачу 16.03.
16.06. Доказать, что следующие многозначные выражения
допускают выделение регулярных ветвей в "областях Д указываемых
в скобках:
1. {1пA—z2)} (D: {гф[— со, — 1], z ф[1, -fco]}).
2. {VI— z% Inг\ {В: \z ф [— со, —1], z ф [0, -foe.]}).
3. {(Z* + If} (?>: {z ф [— U — too], гф[1, + /со]}).
4. {In (г2 + 1) • In z] (D: {z ф [— fco, + /]}).
5. {У(z*— 1H2 — 4)} (?>: lmz>0).
6. {УТ^Т1) (D: \z\<l), «=2,3,4,...
7. {3/? + ln|±|} (D: 0<argz<-|).
8. {(-га+1)^} (?>: Rez>0).
" 16.07. Пусть функция f(z) регулярна в области D и
удовлетворяет там условию Re/(^)>0. Доказать, что следующие
многозначные выражения допускают выделение регулярной ветви в области D:
1. {Vfffl- * {inл*)}. ъ.{У7ю+Ц. 4. {ш[±|||}.
16.08. Пусть функция f(z) регулярна в области D и не
принимает там значений, лежащих на луче [а, а -f- со]. Доказать, что
многозначное выражение \У а —f(z)\ допускает выделение регулярной
153

ветви в области Д причем существует единственная ветвь ф(<г),
удовлетворяющая условию Re ф (z) >> 0 (z e D).
16.09. Пусть функция /(г) регулярна в области D и не
принимает значений, лежащих на кривой С, идущей из точки z = 0 в точку
2 = oo, оставаясь в левой полуплоскости. Доказать, что
многозначное выражение {In/(г)} допускает выделение регулярной ветви в
области Д и что существует такая ветвь ф (г), для которой
справедливо неравенство
|1тф(,г)|<Зл/2 (z ? ?>).
16.10. Доказать, что следующие многозначные выражения
допускают выделение регулярных ветвей в областях Д указываемых в
скобках:
1. {ln(z-\-V"Tfz*)} (?>: Re2>0).
2. \yz-i-}/T\ (?>: Im2>0).
3. \\n(lz + VT=^)} (?>: {*g[_oo,-l],zg[l, + oo]}).
4. {ln(l/z +]/г-1)} (?>: {г g [-co, 0], z g [l, + oo]}>
5. {уТпГг} (?>: lmz>0).
Наиболее эффективный способ решения задачи о возможности или
невозможности'выделения регулярной ветви связан с использованием понятия функции,
аналитической в области (см. начало § 15). Основой этого способа является
так называемая теорема о монодромии:
Функция, аналитическая в односвязной области, является функцией, регу~
лярной в этой области.
16.11. Пусть многозначное выражение {Л (.г)} изображает (см. § 15
перед задачей 15.13) функцию, аналитическую в некоторой области D*.
Доказать, что в каждой односвязной области D cz D* многозначное
выражение {Л-(г)} допускает выделение регулярной ветви.
Рис. 6. Рис. 7.
16.12. Доказать, что следующие многозначные выражения
допускают выделение регулярных ветвей в областях D:
1. {\n(lz + Vl —z2)} (область D на рис. 6).
2- {VYz +Vz—l} (область D на рис. 7).
154

3. {1пAЛг2 + 1— ]/z2 — 1)} (область D на рис. 8).
4. {y^ln z\ (область D на рис. 9).
Рис. 8.
О /
Рис. 9.
-1 О
Рис. 10.
О J
Рис. И.
ьЗт
-® 711
"®Sret
Рис. 12.
5. {In (In2 г ~|-я2)} (область х> на рис. 10).
6. ||/ In z -f ]/ln^[ (область D на рис, 11).
7. {in (l -l-j/V+l)} (область D на рис. 12).
В случаях, когда область D, в которой выделяется регулярная ветвь, не-
односвязна, часто удается представить исследуемое выражение в виде суммы
или произведения выражений, допускающих выделение регулярной ветви в
более широких односвязных областях.
16.13. Доказать, что многозначное выражение {j/^1—22} допускает
выделение регулярной ветви во всей комплексной плоскости с
разрезом по отрезку [— 1,1].
Указание. Представить исследуемое выражение в виде
{«чЛ=3)
и доказать, что выражение { У \ — z 2} допускает выделение регулярной ветви
во всей расширенной комплексной плоскости с разрезом по отрезку [ — 1, 1].
16.14. Доказать, что многозначное выражение
{V{z~a1){z-bi)...{z-an){z-bn)\
допускает выделение регулярной ветви во всей комплексной
плоскости в разрезами по прямолинейным отрезкам [aki bk], k—l,
2...„я.
16.16. Доказать, что следующие многозначные выражения
допускают выделение регулярных ветвей в указываемых областях D:
155

\ z*-2z+2)
3. {^iF+1*}
(область D на рис. 13).
(область D на рис. 14).
(область D на рис. 15).
-1+i 14
ЧЩ
Рис. 14.
&/
»гМ
1+1
е>—
\о
«
-<
-/-г 1-ь
Рис. 15.
-Зл -2л -л О л 2л Зл
Рис. 16.
Зя -я
г
2
7С
Z
л
ЗЛ
г
Рис. 17.
О
Рис. 18.
4. [У sin z) (область D на рис. 16).
5. {lntgz} (область D на рис. 17)
6. {1^2A — z) In т^-\ (область D на рис. 18).
§ 17. Вычисление значений регулярных ветвей
Если многозначное выражение допускает выделение регулярной ветви в
области D, то таких ветвей, как правило, больше одной. Для выделения из
всего множества регулярных ветвей одной определенной ветви нужно еще
какое-либо дополнительное условие. Обычно таким условием является задание
значения ветви в некоторой точке области D.
17.01. Пусть D—односвязная область, не содержащая точек 2 = 0
и 2 = со, но содержащая точку 2=1, а п—любое целое число.
Доказать, что в области D существует ровно одна регулярная ветвь
фB) многозначного выражения {In г}, удовлетворяющая условию
фA) = 2лш.
17.02. Пусть D—односвязная область, не содержащая точек
г — 0 и 2 = со, а п—целое число, большее единицы. Доказать, что
многозначное выражение \У~г} допускает выделение ровно п
различных регулярных ветвей в области D и что значения этих ветвей в
каждой точке области D попарно различны.
156

17.03. Пусть D—односвязная область, не содержащая точек
z — 0 и z = oo, но содержащая точку #=1. Выяснить, сколько
различных регулярных ветвей <p(z) в области Д удовлетворяющих
указываемому условию, допускают следующие многозначные выражения:
1. {(z—l)\nz\, фA) = 0. 2. {**}, <рA)=1. 3. {z% фA) = 1.
4. \z**)* ФA)=1. 5. \zT7» <рA)=1. 6. D ip'(l)=l.
17.04. Обозначим через Da всю комплексную плоскость с
разрезом по лучу argz*=n—а, где —я<а<;я, а через
q>(z)—регулярную ветвь выражения {In z] в области Da, удовлетворяющую условию
q>(l) = 0. Доказать, что
q>(z) = \n\z] + largz,
где для arg-г берется значение из интервала (—л—а, я—а).
17.05. Пусть ф(г)—регулярная ветвь выражения {In B + /)} в
области Д удовлетворяющая условию фA — /)—0. Найти значение
ф(— 1—/) в случаях, когда область D:
1. Вся комплексная плоскость с разрезом по лучу [—/со, —I].
2. Вся комплексная плоскость с разрезом по лучу [—/, -}-/оо].
Указание. Сделав замену переменной z-\-i—z', воспользоваться
результатом задачи 17.04.
17.06. Пусть ф(-г)—регулярная ветвь выражения I]/ z—еш\,
0<Са<л/2, в области Д удовлетворяющая условию ф @) = ieMl2.
Найти значение ф(е_/а) в случаях, когда область ГУ.
1. Вся комплексная плоскость с разрезом по лучу [eia, ~{-ооеы].
2. Вся комплексная плоскость с разрезом по лучу [eiat eia — со (eia -f- /)].
Указание. Воспользоваться результатом задачи 17.04 и формулой
{vTb{expD-mz;)}.
17.07. Пусть D—вся комплексная плоскость с разрезами по
лучам [ — со, —1J и [1,-j-oo], а ф(г)—регулярная ветвь выражения
{In A—z2)} в области Д удовлетворяющая условию ф@) = 0. Найти:
i.,@. 1,н 3-f(w)- 5-фGг);
Указание. Выбрать регулярные ве7ви выражений {In A — z)} и {In (l -{-z)}
в области D таким образом, чтобы их сумма была равна функции <р (г).
17.08. Пусть ф(г)—регулярная ветвь выражения {8^1—z2\ в
области Д удовлетворяющая условию ф @)=1. Найти значение ф(—3)
в случаях, когда область ГУ.
1. Вся комплексная плоскость с разрезами по лучам [1, -f-oo] и
[—1, —1-Исю].
2. Вся комплексная плоскость с разрезами по лучам [1, 1—/со] и
[—1, — 1+/оо].
3. Вся комплексная плоскость с разрезами по лучам [1, 1—/со] и
J.— 1, _i_iooJ.
157

17.09. Пусть D—вся расширенная комплексная плоскость с
разрезом по отрезку [ — 1, 1 ]. Через cpj (z) обозначим регулярную ветвь
выражения \\/ ._ \ в области А удовлетворяющую условию
ф1(-т-г0)=1, а через ф2B)—регулярную ветвь выражения jln ,_ }
в области Д удовлетворяющую условию ф2( — /0) = 0. Найти
величины:
1. фП —Ю). 2. ф1(-0- 3; ф2( + Ю). 4. ф2($.
17.10. Пусть D—вся расширенная комплексная плоскость с
разрезом по пр ямолинейному отрезку [ — /', /], а ф (z) — регулярная ветвь
выражения jln ._. \ в области А удовлетворяющая условию
фA)=ш"/2. Найти значения:
1. ф(—0). 2. ф(— 1). 3. ц(—УЩ. 4. Ф(оо).
17.11. Пусть D—вся комплексная плоскость с разрезами по
отрезкам [ — 2, —1] и [1,2], а ф(-г)—регулярная ветвь выражения
{]/ (г2— 1) @2 — 4) } в области Д положительная на интервале (— 1, I).
Найти значения:
1. фC). 2. ф(-3). 3. Ф@- 4. ф(_0-
17.12. Пусть D—вся комплексная плоскость с разрезами по
отрезкам [ — 1, г] и [ — i, 1], а ф(г)—регулярная ветвь выражения
\\^1—-г4}, положительная на интервале (—1, 1). Найти значения:
l.v(/|). 2.<p(-/|). 3.9(г]Л|). 4.Ф(-,|Л|).
В дальнейшем для краткости вместо слов «функция <р (г) является
регулярной ветвью многозначного выражения {osf {z)\, удовлетворяющей условию
<р (г0) = со0», мы будем писать формулу:
Ф (z) = e>f {г), ф (г0) = ю0 (геО).
17.13. Пусть ?>—вся комплексная плоскость с разрезом по
отрицательной части действительной оси, функции ф„(-г) определены
равенствами
q>i(z) = ln2.z, ф^^^О; ф2(.г) = га, Фа@=1;
^г^~Ш7* V*W=l> Ф40) = ]/г1п.г, фB)>0,
a я— произвольное положительное число. Найти величины:
I. Фх(—х-{-Ю)—фх(—х—Ю). 2. ф2(—х-\~Ю) — ф2(—л; — ДО).
3. ф3(—х-\-ДО)—ф3(—л:—Ю). 4 ф4(—jc-f-ДО)—ф4(—х—ДО).
17.14. Пусть D—вся комплексная плоскость с разрезом по
отрезку [—1, 1], функция ф(-г) определена равенством
ф (Z) = A + zf (z — II"*, ф B) > 0 (z €E ?>); lm a = 0,
a 0<Cx<Cl. Найти величину ф (л: -|- /0) — ф(л — Ю).
158

17.15. Пусть а и Ъ—две различные конечные точки комплексной
плоскости, а С — некоторая простая кривая, идущая из точки а
в точку Ь. Через D обозначим всю комплексную плоскость с разрезом
по кривой С, а через ф(г)—-произвольную регулярную ветвь
выражения vn«;ii | в области D. Доказать, что для каждой точки z0
кривой С, отличной от точек а и Ь, имеет место равенство q>(zf) —
— ф0г~)=2ш", где символ ф(-г±) означает предел функции ф (г) при
стремлении точки z к точке z0 справа (слева для знака —) от
кривой С.
17.16. Пусть функция f(z) регулярна во всей комплексной
плоскости, а С—простая кривая, идущая из точки а в точку Ь (точки а и Ь
конечны и различны). Доказать, что если число R ;> 0 настолько
велико, что круг \z\<iR содержит внутри себя кривую С, то имеет
место равенство
\ f{z)\nz?=^dz = 2ni^f{z)dz
z\ = R С
по
Ь~ Z
(здесь In «—— означает любую регулярную ветвь этого выражения
в комплексной плоскости с разрезом по кривой с).
Указание. Применить теорему Коши.
17.17. Пусть функция f(z) регулярна во всей комплексной
плоскости. Доказать, что при R^> 1 справедливы следующие формулы:
J 1
1. $ /(г) (in -lJjzdz = 4nl $ f{x) In j^dx.
\z\—R 0
1
2. J f(z) y^J dz - 2/ sin па i fix) (~-J dx
l = R 0
\2
+ Л2
(окружность |,г|—/? обходится против часовой стрелки). В
формуле / X \а
лах, стоящих в правой части равенств, выражения 1п . ¦ и [ 1
понимаются в их арифметическом значении, а в формулах слева
стоят регулярные ветви этих выражений в плоскости с разрезом
по отрезку [0, 1], принимающие действительные значения на
отрицательной части действительной оси.
17.18. Пусть Р (х) — многочлен. Доказать, что любая функция
f(z), регулярная во всей комплексной плоскости с разрезом по
положительной части действительной оси, непрерывная вплоть до границы
Ьтой области и удовлетворяющая условию
fix + Ю).—fix — Ю) = Р ix)
159

Р (z\
при всех #>(), имеет вид f(z) ——~4 \п z-\-g (z), где g{z)—
функция, регулярная во всей комплексной плоскости, а под символом In z
понимается регулярная ветвь этого выражения в плоскости с разрезом
по положительной части действительной оси.
Указа ни е. Для доказательства регулярности функции g (г) во всей
комплексной плоскости воспользоваться теоремой Морера.
17.19. Найти общий вид функции f(z), регулярной во всей
комплексной плоскости с разрезом по положительной части
действительной оси, непрерывной вплоть до границы этой области, за
исключением точки z = 0, и удовлетворяющей одному из условий (х > 0):
1. f(x -f Ю)—f(x—Ю)=A -J- xf In x
2. f(x + iO)—f(x—iO) = \tfx
3. f{x + /0) —fix—Ю)=sin Vx
4. f(x + i0)-f(x~i0)=^^L
б-/(* + Ю)-/(д:-Ю)--Е^±^
6. fix -f Ю) ~f{x—Ю) = Vx In x
7.f(x + i0)-f(x-i0)^^-
8. f(x + i0)-f(x-i0)=^xxl™n2 (x+1)
В случаях, когда многозначное выражение не является комбинацией сумм
и произведений логарифмов и дробных степеней, а включает в себя и
суперпозиции этих выражений, задача о вычислении значений выбранной регулярной
ветви несколько усложняется.
17.20. Пусть D — вся комплексная плоскость с разрезом по
положительной части действительной оси, a q>(z)—регулярная ветвь
выражения {In A 4-V^)}> - удовлетворяющая условию <р(—1) =
= -^- In 2 -f- -j-. Найти значение <р D — Ю).
Указание. Сделать замену г' = 1 -{-\^г, где Yz означает регулярную
ветвь этого выражения в области D, выбрав значение этой ветви так, чтобы
могло выполняться условие на ф( — 1). Затем выяснить, куда переходят в
плоскости г' точки разреза.
17.21. Пусть D—вся комплексная плоскость с разрезами по лучам
[ — /со, —i] и [г, -\-ico], a функция q>(z) определена равенствами
Ф(г)=1п@ + У 1 + г2)> ф@) = 0 (z<==D).
Найти значения:
'¦*№)¦ *•(-*)• 4*+°)-
160

17.22. Пусть ц>(г) — регулярная ветвь многозначного выражения
{ln(]/z-}-2]/4—z)}, удовлетворяющая условию ф i-^-) = "o"ln2"*
Найти значение фD) в случаях, когда область D:
1. Вся комплексная плоскость с разрезами по лучам [—-оо, 0] и
[1, 1+too].
2. Вся комплексная плоскость с разрезами по лучам [—юо, 0] и
[1, 1—/оо].
17.23. Пусть D—вся комплексная плоскость с разрезами по лучам
[—юо, 0] и [1, l-f-юо], а функция (p(z) определена равенствами
Ф (z)= In In zt ф (*2) = In 2 {z <= D).
Найти значение ф(—еп).
17.24. Пусть D—область, изображенная на рис. 19, а функция
ф(г) определена равенствами
y(z) = Vn2 + \n2z, фA) = я (ze=?).
Найти значения: 1. ф(/). 2. ф(—/).
-/
-t-i
Рис. 19.
Рис. 20.
1 1
Рис. 21.
17.25. Пусть D — область, изображенная на рис. 20, а функция
ф(,г) определена равенствами
Ф(z)=]Л+]/1+Т. Ф(8) = 2 (ге D).
Найти значения: 1. ф(—3/4). 2. ф(—2).
17.26. Пусть D—область, изображенная на рис. 21, а функция
ф(г) определена равенствами
ф(*)=1п(*г + 1/1— г2), ф@) = ш (zzeD).
Найти значения: 1. фA/2). 2. ф(—1/2). 3. фDг/3).
Методы вычисления значений регулярных ветвей часто приходится
применять при решении вопроса о возможности выделения регулярной ветви в неод-
носвязных областях.
17.27. Доказать, что выражение {|^1—z2} не допускает
выделения регулярной ветви в области D: 1 <С | z | < оо.
Указание. Обозначим через Вг область D, разрезанную по лучу
|l,-f-°°]- Доказать, что каждая регулярная ветвь выражения {j^l — г2}
в области D1 имеет различные значения в точках г~*4-Ю и г=х—Ю при
6 Под ред. М. А. Евграфова
161

17.28. Пусть ф(г)—регулярная ветвь многозначного выражения
\&€ (г)} в области Д определяемой неравенствами
, r<\z\<R> 0<arg2<2rc.
Доказать, что если функция ф(г) непрерывна в области D вплоть
до ее границы и удовлетворяет условию
ц>(х + Ю)=ц>(х—Ю) (г <*</?),
то функция q>(z) является регулярной ветвью выражения {&? (z)}
в кольце г<1^|<Я
Указание. Использовать теорему Морера.
17.29. Пусть область Dx получена из области D проведением
конечного числа кусочно-гладких разрезов, не разбивающих область D.
Доказать, что если функция ф(г) является регулярной ветвью
выражения \е/% (z)} в области Ог и если эта функция равномерно
непрерывна в области Dv то она является регулярной ветвью
выражения \q?' (z)} в области D.
17.30. Выяснить, допускают ли приводимые ниже многозначные
выражения выделение регулярных ветвей в областях D, указываемых
в скобках:
MVl+l} (Д: КИ<оо>
2. {2 In @+1)— 1пBг — /)} (D: 1<|г|<оо).
3. {]/B2__1)B2_4)} (D: Re*>0, \z — 3|>2,5).
4. {i/l— zb\ (D: Re z > 0, z ф [1, e2™'/5],
ze?[lte-2ni/5]).
17.31. Выяснить, при каком соотношении между числами ах и а2
выражение
{at \n(z — 1) -f- а2 In z}
допускает выделение регулярной ветви в области 1 < | z [ <; со.
17.32. Выяснить, при каком соотношении между числами av a2
и аа выражение
(z— 1)а'(г + 1)а^«з
допускает выделение регулярной ветви в области 1 <; j\z | <Cсо.
17.33. Доказать, что в плоскости с разрезом по отрицательной
части действительной оси существует регулярная ветвь
многозначного выражения {In A—]Лг)}, удовлетворяющая условию фB/) —
= — ш/2.
162

ОТВЕТЫ
17.03.
1. Бесконечное множество. 2. Бесконечное множество. 3. Одну.
4. Бесконечное множество. 5. Бесконечное множество. 6. Одну.
17.05.
1. ni. 2. —ni.
17.06.
1. — (I — 0 Vsina. 2. A — i) J^sin a.
17.07.
1. ln2L 2. In2. 3. 4-ln2-f* 4. *in2-]-^.
2 4 2 ' 4
17.08.
1. 1— *j/3~. 2. 1—1]/3~. 3. 1+iVW.
17.09.
1. —1. 2. *-^i. 3. -2ni. 4. — ^ni.
V2 2
17.10.
3 4
1. 2ni. 2. -jj- ni. 3. -^ jw. 4. ni.
17.11.
1. — K40. 2. —/40. 3. J/16. 4. /TO-
17.12.
1 _*L 2 -^ 3 - 4 -
L ,3- z 3- d- 3- 4' 3-
17.13.
1. Ш1пх. 2. 2/*«sinna. 3. 2ni(x-r-l) 4.2i\Hc\xix.
In2 x-\-n2 r
17.14. 2t A+*)<* A — a:)i-« sin no.
17.19.
, (l+z)a(lnz—nif , .. . . . ,. .
1. — ^—!——-: -4- g (z), In z \g__1=nit g (z)—целая функция.
2. — jr—. In z (In z—ni) (In z—2jw) -f-g (z), In z |r__j = ni.
3. 1 sin l/7+g(z), VT^-i.
2/(г_1)\1_е-2яа \-.e2na) H
6. yj/z~(lnz—ni)-b?(z), 1пг|г__1=ш.
^^^^-^ш^+^г). lnz^-я!, ГО»-*--*'8.
6* 163

17.20. я*.
17.21.1. *. 2. -*. 3. ШЗ + |.
17.22.
1. 2In2+y. 2. 2 In 2-у.
17.23. In п + у In 2—^- я*.
17.24.
1. — yraVX. 2. ул/З".
17.25.
1. _^. 2. I^r^.
г ¦*
17.26.
13 11
1. -_- т. 2. -=-ш. 3. — !пЗ-г-2лг.
о о
17.30.
1. Да. 2. Нет. 3. Да. 4. Да.
17.31. а1-}-а2=0.
17.32. aj + аз+аз равно целому числу.
§ 18. Вычисление значений функций, аналитических
в области
Вычисление значений регулярных ветвей многозначных выражений является
частным случаем задачи о вычислении значений функции, аналитической в
области и изображаемой данным многозначным выражением.
Символом (In г)г будем обозначать величину
(Mi-jr.
где Г—произвольная ломаная, идущая из точки I в точку г, не проходя
через точки 0 и со. Эта величина является функцией, аналитической во всей
комплексной плоскости с выколотой точкой 2=0 (см. § 15).
Символом (In z) будем обозначать величину
Aпг)=1п |г j,+*argz, — n<argz^n,
называемую главным значением In z. Главное значение In z является регулярной
ветвью многозначного выражения {In z} в плоскости с разрезом по лучу
[—со, 0], действительной при положительных значениях г.
18.01. Пусть точка z не лежит на отрицательной части
действительной оси. Доказать, что:
1. Если ломаная Г не пересекает отрицательной части
действительной оси, то Aпг)г—(lnz).
2. Если ломаная Г пересекает отрицательную часть действительной
оси один раз и притом в направлении снизу вверх, то
(In z)r= (In z)—2nL
18.02. Пусть точка z не лежит на отрицательной части
действительной оси. Для каждой ломаной Г, идущей из точки 1 в точку z,
164

не проходя через точки 0 и оо, обозначим через я+(Г) число
пересечений этой ломаной с лучом (— оо, 0] в направлении сверху вниз/а через
п (О—число пересечений в
направлении снизу вверх. Доказать, что
(In z)r=On z) -f 2m (n+ (Г)—n (Г)).
18.03. Пусть ф(^)—регулярная
ветвь многозначного выражения
{In z\ в области, изображенной на
рис. 22, удовлетворяющая условию
<рA) = 0. Найти значения:
1. ф(-1). 2. Ф(-2).
3. Ф(-3).
18.04. Найти результат аналитического продолжения (см.
определение перед задачей 15.18) функции ег$пг) по ломаной Г,
изображенной на рис. 23.
Рис. 23. Рис. 24.
18.05. Найти результат аналитического продолжения следующих
функций ф(,г) по ломаной Г, изображенной на рис. 24:
1. фф^'/г, ф_A)=1. 2. ф0г) = 1п2,г, фA) = 0.
3. ф(,г) = е2<1п2>.~ 4. фBг) = A+1/^Iп2г) фA) = 4зх/.
Рис. 25. Рис. 26.
18.06. Найти результат аналитического продолжения следующих
функций ф(?) по указываемым ломаным Г:
1. фСг)=т/1— z2, ф@)=1 (Г на рис. 25).
2. ф(г) = ]/1— г1п|±^, ф'@)=2/ (/ на рис. 26).
165

22+1
3. (p(z)=lnJ?~j-f <p@)=Jt/ (Г на рис. 27).
4. ф(^)=|/1— z4, ф@)=—1 (Г на рис. 28).
Рис. 27.
Рис. 28.
Рис. 29.
Рис. 30.
5. ф (z)=У^?2—2) (г2—4), ф@)=2 G~ на рис 29).
6. ф(г) = |/г+К«—Ь ф(9) = 5 (Г на рис. 30).
В задачах теоретического характера удобно пользоваться величиной
v (z0, Г) — индексом ломаной Г относительно точки г0 (не лежащей на этой
ломаной). Эта величина определяется формулой
vto-i-siSi=s;-
18.07. Пусть „функции фх(г), ..., q>m(z) регулярны во всей
комплексной плоскости, а сх,..., ст—произвольные конечные точки.
Обозначим через f0(z) регулярную ветвь выражения
{ф1 (*) In (z — с2)+• • - + <р» (z) In {z — ст)}
в окрестностй~~"какой-либо точки z0, отличной от всех точек
clt с2> • • •»ст- Через /г (г) мы обозначим ту регулярную ветвь того же
выражения в той же окрестности точки z№ которая получается из
ветви f0(z) аналитическим продолжением по замкнутой ломаной Г
166

(с началом и концом в точке z0\ не проходящей через точки
cv ..., ст, со. Доказать, что
т
fr(z)—f0{z)=^2ni ^i4>k{z)v{cky Г).
18.08. Пусть область D не содержит точку z — oo, а ее граница
состоит из т простых кусочно-гладких замкнутых кривых С0, Сг,...
...» Ст_г (через С0 обозначена внешняя граничная кривая). Через
f{z) обозначим функцию, регулярную в области D и непрерывную
вплоть до ее границы, а через (F(z$r— аналитическую в области D
функцию (F(z))r= \f(f)dt (Г—произвольная ломаная, идущая из
г
точки z0 в точку z, оставаясь в области D). Доказать, что для
каждой замкнутой ломаной Г справедлива формула
т—1
где ск—произвольная точка кривой Ск, a
Н* = J f{z)dz (Л= 1, 2, ..., /« —1).
18.09. Пусть (F(z))r—функция, аналитическая в области D, а
\Fk(z)}> k — Q, l, 2, .... — все ее элементы, лежащие над некоторой
точкой z0 e D. Доказать, что:
1. Если
Fk(z) = FQ(z)+Ak, Л-Ь 2, ...,
где Ак—некоторые постоянные, то функция (F' (z))r регулярна
в области D.
2. Если
F»(z)=.A*F0D ?=1, 2,...,
где Ак—некоторые постоянные, и если (F(z))r ^? 0, то функция
F' (г))Г
._ . . регулярна в области D, из которой выколото счетное множе-
I*" \г))г
ство точек, не имеющее предельных точек в области D.
3. Если
Fk(z) = AkF0(z)+Bk, A-1, 2, ...,
где Ак и Вк — некоторые постоянные, и если функция (F(z))r отли-
(?" С0)г
чна от тождественной постоянной, то функция /р// „ - регулярна
в области D, из которой выколото счетное множество точек, не
имеющее предельных точек в области D.
4. Если
Р . . AkFf,(z)-{-Bk , . „
167

где Ak, Bk, Cfe, Dk—некоторые постоянные, и если функция F(z))r
отлична от тождественной постоянной, то функция
{Р'У Шг _ ± №"&) А2
[Р (*))г 2 \{F' (z))r J
регулярна в области D, из которой выколото счетное множество
точек, не имеющее предельных точек в области D.
18.10. Пусть область D не содержит точку 2 = oo, а ее граница
состоит из т простых кусочно-гладких замкнутых кривых С0,
Сь ..., Сот-1 (через С0 обозначена внешняя граничная кривая).
Доказать, что функция (F(z))r, аналитическая в замыкании области Д
имеет однозначную в области D действительную часть в том и
только в том случае, когда выполняются условия:
а) функция (F- (z))r регулярна в области D;
б) величины
|Хл. = 5 F'{z)dz, ? = 1, 2, ..», т — 1,
ck
являются чисто мнимыми числами.
18.11. Пусть (F(z))r — аналитическая в кольце г <i\z\<ZR
функция, и пусть функция I^C?)! однозначна в этом кольце. Доказать,
что (F (z))r — \za)r Ц> (z), где функция <р(,г) регулярна в кольце
т <С | z } <C R, а а—действительная постоянная.
18.12. Пусть функция (F(z))r аналитична во всей комплексной
плоскости с выколотыми точками cv c2, ..., ст, которую мы
назовем для краткости областью D. Обозначим через F0(z) исходный
элемент этой функции, а через Friz)—элемент, отвечающий
ломаной Г. Доказать, что если для любой замкнутой ломаной Г, лежащей
в области D, имеет место равенство
/7г(^)==^о(^>+фг(г),
где ffriz)—функции, регулярные в области D, то
т
(FB))r=4>0B)+ E ^(Z)ln(z-Ck)t
где функции tyk(z) регулярны в области D.
' 18.13. Пусть а и Ъ—две различные конечные точки, С — простая
кусочно-гладкая кривая, идущая из точки а в точку Ь, а ф(г) —
функция, регулярная во всей комплексной плоскости. Обозначим
через /0 (z) функцию, определенную равенством
Ъ
Доказать, что функцию f0(z) можно аналитически продолжить по
любой ломаной Г, не проходящей через точки а и Ь, и что
результат friz) аналитического продолжения функции /0(<z) по любой
замкнутой ломаной Г (с началом и концом в точке z) равен
// (*) =Л (*) + Ф (*) [v (Ь, О" v (a, Г)\.
168

18.14. Доказать, что приводимые ниже регулярные функции можно
аналитически продолжить по любой ломаной Г, не проходящей через
точки 0 и оо, а также вычислить величину fr(z)—fo(z), где
friz)—результат продолжения по замкнутой ломаной Г с началом
и концом в точке z\
1-/о(*)=$^§ {гф[0, +оо]).
о
оо
б
со
о
оо
о
со
»-/а(*)в$?рТ# (Re*>0).
В случаях, когда многозначное выражение нельзя представить в виде
сумм и произведений логарифмов и степеней, задача о вычислении значений
аналитической функции несколько усложняется. При ее решении полезно иметь
в виду теорему о монодролши:
Пусть функция (F (г))г аналитична в области D. Если ломаные Г и Г'
гомотопны в области D, то (F (z))r^(F (г))Г„
3)
Рис. 31.
18.15. Найти результат аналитического продолжения функции
/0Br)=lnln|/7, /о02я) = 1пя (\z — е2л|<с2"— 1),
по ломаным Г, изображенным на рис. 31 (а, б, в, г). (Замечание:
«а рис. 31 вместо е* следует читать е**.)
169

18.16. Обозначим через yi окружность \z— i\ = \, а через у2 —
окружность |z-\-11=1 (обе обходятся против часовой стрелки).
Найти результат аналитического продолжения функции
/0(г)==1п(г + ]/Т+^), /0@)=0 (|*|<1)
по кривым:
1. yv 2. у2. 3. у\. 4. yl 5. у^
YaYi-
Примечание. Символ ГгГ2 означает, как обычно, кривую, получаемую
прохождением сначала кривой /\, а затем—кривой Г2.
18.17. Найти результат аналитического продолжения следующих
функций /0 (г) по указываемым ломаным Г:
1./о(*)=1пA+1/г), /D) = 1пЗ (|г—4|<3) (Г на рис. 32).
2. /0(*)=1п(у^+У^=1), /о(|)=т (|*—И<т)
(Г на рис. 33).
Рис. 32.
Рис. 33.
б>*
Рис. 34.
Рис. 35.
Рис. 36.
3. f0(z) = VhTz, /о(<?4)= — 2 (|г—<?4|<е4— 1). (Г на рис. 34).
4- A{z)=?z + Vz, /0D) = У2 (|г-4|<3) (Г на рис. 35).
5. /0(г) = Уiz-\-Y\— z\ /р@) = г (И<1) (Г на рис. 36).
170

Ё дальнейших задачах мы будем пользоваться следующим обозначением":
Символом f0(z) будем обозначать исходный элемент функции,
аналитической в области D, а символом fr{z)—элемент той же функции, отвечающий
замкнутой ломаной Г (лежащей в области D и имеющей начало и конец
в точке z0 <= ?>, где определен исходный элемент).
18.18. Пусть функция f0(z) определена равенствами
/0(^) = |ln(^ + ]Ab=F), /0@) = 0 (Н<1).
Через Yi обозначим окружность \z —1|=1, а через у2 — окружность
j z -\~ 11 = 1 (обе обходятся против часовой стрелки). Найти fr (z)
в случаях, когда:
1. r=Yi- 2- ^=72- 3. r=YiY2- 4- ^=V27i-
5. T^Yi- 6.-T=y1- 7. r=(YlY2)n. 8. r=(YlY2YiJre-
18.19. Пусть функция /0(z) определена равенствами
г
/„(*)« jj-^fei, /o@) = l (|г|<1).
Обозначим через yk, где k=\, 2, 3, 4, окружность \z—/*| = 1.
Найти функцию fr (z) в случаях, когда:
1- Г=ук. 2. T=yI- 3- r=Yi?2y3Y4- 4- r=YiY3-
5. Г=уа74- 6- г=(Т1ТзJ(?274J- 7- r=Y4YsY2Ti-
¦8- r==(Y3YxJ(Y4Y2J-
18.20. Пусть функция /0(г) определена равенствами
/oCO = SVT=^, /о@)=1 (И<1).'
о
Обозначим через yk, где &=1, 2, 3 окружность J2—е2ш/ь\==1.
Найти функцию /г(^) в случаях, когда:
1. r=yk. 2. Г = у1 3. r = YiY2Y3; 4. r = Y3YaYi-
5. r=YiYaY2- 6- ^ = YiYlYa- 7- ^=y!y1Yi- 8- ^=Y*-
18.21. Пусть av a2, ..., ага — точки окружности ]2rj=l, a
функция f0(z) определена равенством
Z
/o(^) = S(C-«i)ai(C-«2)a2.--(C-am)a'"^ (И<1)>
о
где oti, ..., CLm—действительные числа. Доказать, что для
произвольной замкнутой ломаной Г, не проходящей через точки av а2, ..., ат
и оо, имеет место равенство fr (z) = е1ф/0 {z) + Л где
ф—действительная, а Л — комплексная постоянные, зависящие от ломаной Г.
ОТВЕТЫ
18.03.
1. га. 2. 1п2+3ш". 3. 1пЗ-г-5ш\
18.04. — ~.
\Г2
171

18.05.
'¦ -2Т1A+/|А§)- 2-<1п2+2л<>2- 3-^-4-""(,")^),n2-
18.06.
1. l-O-l-l-ijAs). 2. 4m". 3. ni. 4. /. 5. 2. 6. 2 —1]/3.
18.14.
1. — 2nie-*v@, Г). 2. 2nfa*v@t Г). 3. 2jxi(e^—>) v@, Г)-
4. — 2rae-**v@, Г). 5. — 2niezv@t Г).
18.15.
аIп(яК2)+^; 6) ln(nj/2)-f ^; вIп(лК2)-^;
г) In (л/2) + ^.
18.16.
1. ni. 2. — ш. 3. 0. 4. 0. 5. 2га\ 6. —2л/.
18.17. _
1-я*. 2. ™. 3. -К27Г-/]/"!-. 4. ^6е2я. 5.1.
18.18.
1. л-/0(г). 2. — n-f0(z). 3. /0(г) + 2л. 4. /0(г)-2л.
5. /п(г). 6. f0(«). 7. f0(z) + 2nn. 8. f0(z).
i
18.19. Если ввести обозначение д = \ A — #*)—,/2d#, то
1. 2m*~/0(z). 2. f0(z). 3. /0B). ° 4. /вB)+4д».
5. /0(г)-4я. 6.f0(z)~8a(l~i). 7. /0(г). 8. /0 (г)+8аA -/)¦
1
18.20. Если ввести обозначение а=\A~х5I/3 dx, го
о
2(fe—I) 2JU 2А—1 л^
1. taj/Зе 3 -f-e3f0(z). 2. iaVle 3 -е3 f0(z). 3. /0(г).
4. — 31^3 efe'3 -|-/0 (г). 5. 3 КЗ aie2ni/3+/0 (z). 6.. За/ ^Зе2л'/3 + Д, (*)•
7. Мг). 8- /о (г).

Глава IV
ОСОБЫЕ ТОЧКИ. РЯД ЛОРАНА. ВЫЧЕТЫ
§ 19. Изолированные особые точки однозначного характера
Пусть функция f (z) регулярна в кольце 0<|z—о|<р (или если а=со,
то в кольце р<|г| <со), но не определена в самой точке z=a. В этом
случае точку г = а называют изолированной особой точкой однозначного характера
для функции /(г).
По поведению функции /(г) вблизи точки z=a различают следующие три
вида изолированных особых точек однозначного характера:
1. Если предел Нт /(г) существует и конечен, то точка г=а называется
г—а
¦устранимой особой точкой для функции /(г).
2. Если предел lim /(z) существует, ко равен бесконечности, то точка г—а
г—а
называется полюсом функции f(z).
3. Если предел lim /(z) не существует, то точка г—а называется существенно
г-*а
особой точкой функции /(г).
19.01. Доказать, что точка г = а является устранимой особой
точкой для следующих функций:
!• Т=Т (а=1)- 2- ПГ (а = 0)* 3* lh (O==0)'
4- Цяг^ (я = 0). 5. ctgz-1 (a = 0).
6.
г2 V* ¦ /• & z
1 1 , ™ » 1 1
е*— 1 sin z
(а —0). 7. —= т г* (а—-=г).
v у cosaz / я\3 \ 2/
19.02. Доказать, что точка г = а является полюсом следующих
функций:
1. J (а = 0). 2. -jl^ (в^ 3. ?+* (а = оо).
7- ^Л (««я* • 8. ignz (« = ±|, ±|, ...).
19.03. Пусть функции f(z) и g{z) регулярны в точке г = а и
f(a) = g(a) — 0. Доказать, что:
г^а g(г) г_^?' (г) г_й # (z) , _ fl I / (г)g2 (z) I
Замечание. • Первой формулой удобнее пользоваться при раскрытии
0
неопределенности вида -jr- в точке афоох а второй при д=со.
17а

. 19.04. Пусть функции f(z) и g(z) регулярны в точке 2 = а й
f(a) — g(a) — 0. Доказать, что точка z = a является изолированной
особой точкой однозначного характера для функции F (z) — f(z)/g(z)
и что она не может быть существенно особой точкой.
19.05. Пусть z — a — изолированная особая точка однозначного
характера для функции f(z). Доказать, что точка z = a является
существенно особой точкой функции f(z) в том и только в том
случае, если существуют такие две последовательности z\, z'it ...
и z[, z%, ..., что Hm z'n=limzn = ci, a lim f(z'n)= A, )imf(Zn)~B,
П-+СЯ П-+СО Л-+СО П-МЭО
АфВ.
19.06. Доказать, что точка z —oo является существенно особой
точкой для функции sin z.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 19.05, положив г^=лл,
z; = Bn+^jn, n=l, 2, ...
19.07. Доказать, что точка z — a является существенно особой
точкой функций:
1. е* (а = оо). 2. e~zl (a = oo). 3. sin^ (a = 0).
4. г2соБ^- (а = 0). 5. е^г (я = у). 6. sin (?) (а = оо).
7. cos—j-7 (a = —1). 8. sin-jr-p-f (a==—А.
z-}-l v ' z*-\-\ ч '
v 19.08. Найти все изолированные особые точки однозначного
характера для следующих функций и определить их вид:
., г л 1 — cos z п 9 . z .1 кг
1. -—. 2. —г-5—•. 3. 22sin—тт. 4. -г—jcos
sinz" ' sin2z " ' z+1* * z2—1 г-j-1 *
5. ctgz ——. 6. z[ez — l]. 7. e z. 8. sin^e2;.
* * *
19.09. Пусть функция f(z) регулярна при 0<C\z—a\<Zr, a
точка z = a является для нее устранимой особой точкой. Доказать,
что функцию f(z)можно аналитически продолжить в круг \z—a\<C.r.
Указание. Применить интегральную формулу Коши для функции f(z)
в области DP:p<|z — а|<г, а затем устремить р к нулю.
19.10. Доказать, что изолированная особая точка однозначного
характера z=a является для функции f(z) устранимой особой
точкой, если выполняется одно из следующих условий
(расположенных в порядке ослабления ограничений):
1. Функция f(z) ограничена в некоторой окрестности точки z = a.
2. ИтСг — a)f(z) = 0. 3. lim С \f(z)\\dz\ = 0.
г—-а р—«-0 ¦?
|z-o| = p
19.11. Пусть z=a—изолированная особая точка однозначного
характера для функции /(г), удовлетворяющей в некоторой
окрестности этой точки неравенству \f(z)\<CM\z—а\~т, где Мат—
174

некоторые положительные постоянные. Доказать, что точка z = a
не может быть существенно особой точкой функции f(z).
Указание. Рассмотреть функцию (z—a)M + l/(z).
19.12. Пусть функция f(z) регулярна при 0<C\z—a\<ir, a
в точке г^=а имеет полюс. Доказать, что функция g(z),
определенная в круге \z—a\<Zr равенствами
?(г)=щ @<|г-а!<г), g(a) = 0,
регулярна в некоторой окрестности точки z—a.
* * *
Для полюсов имеется и более подробная классификация, но она требует
введения одного предварительного понятия.
Точка г == а, в которой функция f(z) регулярна, называется нулем
функции f (z) порядка т^\ (или кратности т), если
f(a) = f (а) =... =/ ""-!' (а) =0, / "»> (а) Ф 0.
Точка z=со называется нулем порядка (или кратности) m^l для функции
f(z), регулярной в этой точке, если функция Д (?) =/A/?) имеет нуль
порядка т в точке ? = 0.
Если функция /(г) имеете точке г=а полюс, то функция 1//(г) имеет
в точке z — a нуль (см. задачу 19.12). Порядок нуля функции 1//(г) в точке
z=a называется порядком (или- кратностью) полюса функции /(г) в точкеz=a.
19.13. Пусть функция f(z) представима в виде
/(г)«(г-вГф(г),
где т — целое число, а функция <р (z) регулярна в точке z = а и
<р (а) Ф 0. Доказать, что если т > 0, то функция /(г) имеет в точке
z — а нуль порядка т, а если /и<;0, то функция f(z) имеет в точке
z — a полюс порядка — т.
19.14. Пусть функция f(z) представима в виде f(z) = z~m<p(z),
где т—целое число, а функция q>(z) регулярна в точке z=ooa
ф (оо) Ф ф, Доказать, что если т > 0, то функция f{z) имеет в точке
z = оо нуль порядка т, а если /к <! 0, то функция /(г) имеет в точке
z=oo полюс порядка — т.
^ 19.15. Найти все нули и полюсы следующих функций и
определить их порядок:
V l.^+y. 2. ctg z. v 3. г tga z. 4. sin Зг — 3 sin z.
1 ' ctgjiyT" |ЛГ
v/ 6. ^2 <pz+' • 6.—77=—. 7. . лГ—. 8. cos-zcn,?.
* рг shy г
19.16. Пусть функция f(z) регулярна в конечной точке z — a
и имеет там нуль порядка т. Выяснить, какого порядка нуль имеют
в точке z — a функции:
Z
1. F(z)=fn)(z), п<.т. 2. F(z)= \{z — t)nf(t)dt, я = 0, 1, 2,...
19.17. Пусть функция f(z) имеет в конечной точке z — а полюс
порядка /w. Определить порядок полюса в точке z — а функции /(n> (г).
175

19.18. Пусть функция f(z) регулярна в точке z — oo и имеет
там нуль порядка т. Определить порядок нуля функции f{n)(z)
в точке 2 —ею.
19.19. Пусть функция /(г) регулярна в точке z = со и имеет там
нуль порядка т. Определить порядок нуля в точке z = co функции
00
z
19.20. Пусть Pm{z) и Qn(z)—многочлены степеней т и и
соответственно. Найти порядок полюса в бесконечности для следующих
функций:
1. Pm{z) + Qn{z), тфп. 2. Pm(z)-Qn(z). 3. ^&, т>п.
19.21. Пусть функция f(z) и g(z) имеют в точке z — co полюсы
порядков тип соответственно. .Доказать, что функция F (z)=f(g(z))
имеет в точке z=oo полюс порядка тп.
19.22. Пусть функция g(z) регулярна в точке z = а и g(a) — b,
в функция /(?) имеет в точке ?=?> полюс порядка т. Доказать, что
функция F(z)—f(g(z)) имеет в точке z = a полюс порядка тп, где
п — порядок нуля функции g{z)—b в точке z = a.
19.23. Пусть последовательность функций {/„(z)}, регулярных
в кольце 0<Z\z — а|<Сг, равномерно сходится в каждой замкнутой
части этого кольца. Доказать, что если каждая функция fn(z) имеет
в точке z = a полюс порядка т, то предельная функция f{z)
регулярна в кольце 0<c|<z — a\<Zr и имеет в точке z = а полюс
порядка не выше т, или устранимую особую точку.
* * *
19.24. Пусть точка z = a является существенно особой точкой
функции f(z). Обозначим М(р) — max|/(z){. Доказать, что при лю-
\z—a|=p
бом k > О
lim pkM (р) = -f со-
р-0
Указание. См. задачу 19.11.
19.25. Пусть функция g(z) регулярна в точке z — a и g(a) = b,
а функция /(?) имеет в точке t,~b существенно особую точку.
Доказать, что функция F(z)-—f(g(z)) имеет в точке z = а существенно
особую точку.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 19.24.
19.26. Пусть функции _ах (z),... ,ап (г) регулярны в точке а или
имеют там полюс, а функция f(z) имеет в точке а существенно
особую точку. Доказать, что функция
F{z)=f»{z) + al{z)f^{z) + ... + all{z)
имеет в точке а существенно особую точку.
176

19.27. Доказать, что функция w(z), удовлетворяющая уравнению
wn + a, (z) wn~y -f... + ап (z) = О,
не может иметь существенно особых точек, если ах (г),..., ап (г) —
рациональные функции.
19.28. Пусть а -ф оо, • функция g(z) регулярна в точке z = a,
а функция /(г) имеет в точке z = a существенно особую точку.
Доказать, что функция F(z)=f{z)-\-g{z)f{z) также имеет в точке
z=a существенно особую точку.
Указание. Исследовать решение дифференциального уравнения
w'-\-g{z)w = F{z) в окрестности точки г=а в предположении, что функция
g(z) регулярна в точке z=a, а функция F(z) имеет там полюс.
19.29. Рассмотрев функцию /(z)=e*, убедиться, что условие
с^оо в задаче 19.28 существенно.
19.30. Рассмотрев функцию f(z) = e/z, убедиться, что
утверждение задачи 19.28 становится неверным, если разрешить функции g(z)
иметь в точке z = a полюс.
* * *
19.31. Доказать теорему Сохоцкого: Если точка z=a является
существенно особой точкой функции /(z), то для любого
комплексного числа А (включая Л=оо) существует такая последовательность
\zn), что limzn = a, Tim /(z„) = A.
ге-мээ п-+со
Указание. Воспользоваться результатом пункта 1 задачи 19.10 в
применении К фуНКЦИИ -т^г-г jr.
19.32. Пусть z—a—изолированная особая точка однозначного
характера для функции /(г). Доказать, что если Re/(z)>0 в
некоторой окрестности точки г=я, то точка z — a является устранимой
особой точкой для функции /(z).
19.33. Пусть z=.a—изолированная особая точка, однозначного
характера для функции /(z). Доказать, что если в некоторой
окрестности точки z=a функция /(z) не принимает значений, лежащих на
отрезке прямой, соединяющем точки w — a и и> = р\ то точка z — a
не может быть существенно особой точкой для функции f{z).
Указание. Применить результат задачи 19.32 к функции
К} V &-/(«)'
допускающей в некоторой окрестности точки z—a выделение регулярной ветви,
обладающей свойством Re/i (z) > 0.
19.34. Пусть z=a—существенно особая точка функции /(z).
Доказать, что в сколь угодно малой окрестности точки z — а функции
1. Re/(z); 2. Im/(z); 3. jg/|>;
принимают все действительные значения.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 19.33.
177

Точка z=a называется точкой накопления полюсов функции /(z), если
функция/(z) регулярна в некотором кольце 0 ¦< | z—a\<.r, за исключением
бесконечного числа полюсов ах, а2, ..., причем последовательность {ап} имеет
точку г=а своей единственной предельной точкой.
19.35. Доказать, что теорема Сохоцкого (см. задачу 19.31)
остается в силе, если точка z~ а является точкой накопления
полюсов для функции /(г).
ОТВЕТЫ
19.08.
1. z = 0—устранимая особая точка; г=гЬя, ±2я, ...—полюсы.
2. г=0 —устранимая особая точка; г=±я, ±3я, ±5л, ... — полюсы.
3. г=со—полюс; г = —1 — существенно особая точка.
4. г=оо и z = 1 — устранимые особые точки; г = —1 — существенно особая
точка.
5. z=0—устранимая особая точка; z=rb^, ±2я, ^ьЗя, ...—полюсы.
6. г=оо—устранимая особая точка; г=0—существенно особая точка.
,,11 « ч
7. z=±l,d=-q-, ±-q-, •••—существенно особые точки.
8. z=0—существенно особая точка.
19.15.
1. г=±» — нули второго порядка; z—±1—полюсы первого порядка;
z = oo — полюс второго порядка.
21 Зя
2. z=0, ±я, ±2я, ±3я,...—полюсы первого порядка; z=dr-H-, ± -=-,
dr-s-t •¦• — нули первого порядка.
3. г=0—нуль третьего порядка; г=±я, ±2я, ньЗя, ... — нули второго
ТЕ Зл *ЗЛ
порядка; z=dz-~-, ±-o~i — о" '"' — полюсы второго порядка.
4. z=0, ±я, ±2я, ±3я, ... — нули третьего порядка.
5. z=oo — нуль второго порядка; z=0—полюс второго порядка.
1 9 25 49
6. z=-7-, -г-, -г, -7-, ...— нули первого порядка; z=0, 1, 4, 9, 16,...—
тг 4 4 тг
полюсы первого порядка.
7. z=—л2, — 4зх2, —9я2,... — полюсы первого порядка.
яга". Зя Зя/ 5я 5я?
8. z=±-2=» db-g-, ^f=-2-,±:-2-,±:-2-,±-2-f ...—нули первого
порядка.
19.16.
1. т — п. 2. m + n+1.
19.17. m-f/г.
19.18. т+п.
19.19. 4/Я+1.
19.20.
1. max (m, n). 2. m + л. 3. m — я.
176

§ 20. Ряд Лорана
Рядом Лорана по степеням г—а называется ряд вида
2 сп(г-а)п.
п==—со
Этот ряд называется сходящимся в точке г0, если сходятся ряды
0 со
2 _Сп{г0-а)п, 2 cn{zu-df.
п=—со п=1
20.01. Найти множества точек z, в которых сходятся следующие
ряды Лорана:
1. 2 2-l«lz»
п=—со
со
з. \ Я=Ж, а>о.
^ сп ал '
п= — со
5- S B-"'+ 1Г'(г- «У
2 2"
*z"
2.
4.
6.
8.
Li зп-f г
л =— со
" со
2 2~«Ч-г+1Г.
я =—со
со
V гп
Li rfl+l'
П = ОО
со
2 2П2И.
20.02. Пусть ряд Лорана 2 cn(z—of1 сходится в замкнутом
П== СО
кольце г ^ j z — а \ ^ R. Доказать, что для его коэффициентов имеет
место неравенство
\c„\^M(r'n + Rrn) (я = 0, ±1, ±2, ...),
где М — некоторая постоянная, не зависящая от п.
со
20.03. Пусть ряд Лорана 2 cn{z — а)" сходится к сумме/(-г)
п=—со
в кольце г <C\z — а \ <ZR. Доказать, что:
а) на любой замкнутой части указанного кольца этот ряд
сходится абсолютно и равномерно;
б) его сумма f(z) регулярна в кольце r<Z\z — a\<zR;
со
в) ряд 2 ncn(z—а)п~л сходится в том же кольце к сумме f'(z).
п =—со
со со
20.04. Пусть ряды Лорана 2 ап{? — а)п и 2 bn(z—а)п
п =—со п=—со
сходятся в кольце г <C\z — а | •< R соответственно к суммам А (г)
и B(z). Доказать, что ряд Лорана
со со
2 cn(z — а)п> ГДе сп= 2 aA-ft
П = CO k= СО
сходится в том же кольце к сумме A(z)-B(z).
179

20-05. Пусть два ряда Лорана ^ ап (z — а)" и "? b„ {z — af
П=—СО П = — ОО
равномерно сходятся на окружности \z—а| = р к одной и той же
сумме f{z). Доказать, что эти ряды тождественно совпадают, т. е.
а„ — Ьп при всех п.
Любая функция f (г), регулярная в кольце г < | z—a \ <ZR, разлагается
оо
в ряд Лорана ^У] cn(z—a)n по степеням z—а, сходящийся в этом кольце.
п=—сю
Коэффициенты сп определяются по формулам
Сп==Ш I fWiz-aT^dz, r<9<R.
\z — a| = p
Замечание. Практически эти формулы почти никогда не используются
для нахождения коэффициентов разложения конкретных функций в ряд Лорана.
Обычно разложение конкретной функции в ряд Лорана тем или иным способом
сводится к разложению в ряд Тейлора.
20.06. Опираясь на формулу для суммы бесконечной
геометрической прогрессии, а также используя дифференцирование, и интегри-
рование* доказать справедливость формул:
—1
i?^= 2 *-•*", и >;н
Я =— ОО
— 1
?>^ = 2 ь-1^*»", М>!*|.
П——ОО
0
^*q^= 2 (-iyw«, |z|>|H
П = — ОО
—2
*>$=& = - 2 (*+l)ft-"-**", |*1>1&|.
я — —оо
—1
&?=ь= 2 F-дГп_1 (*-«)"; e^fc l2r-e|>|ft-e|.
n=r—с»
0
&(~fJ~ 2 V-n)(P-ay»{z~-aT,a^b,\z-aX>\b-a\.
п——.со
741п??=- 2 KFT«*-,*,^.iii>i«t
П =—оо
для In —— берется регулярная ветвь, выделяемая условием
L г —aj2=«»
180

8 I 1П f_2L я У 1 а-4п-8г4л+8 !»,'--> | /у N
n = —oo
za—a2
для In g 2 берется регулярная ветвь, выделяемая условием
г»—«2]
!1п
= 0.
г»+а2
20.07. Используя биномиальный ряд, доказать справедливость
формул:
—1
, / г \а , , Y4 a(a+l)...(a— n— 1) я , , ,
1- [г=л) =1 + L (-«)i -*' 1г1>1; для функ"
ции (--_.) берется регулярная ветвь, выделяемая условием
П= ОО
функции |/г2— 1 берется регулярная ветвь, положительная при г> 1.
з-(^)°=1+ 2 "°+"(:g-°-"(t-a)-^-e)",a^.
J2—a\'>\b^-a\, для функции (-^Га) берется регулярная ветвь,
\\Т=Гь) i = M =
4. ln?±?f±J_ln2+ у (-i^^T-li-;-1)^,
z AJ 2n (— n)\
n=—oo
z _|_ 1/^2 + 1
1-г|>1; для функции In———±— берется регулярная ветвь,
действительная при z> 1.
Пусть функция /(г) регулярна в кольце r<z\z— a\<.R и представляется
в виде суммы fi{z)+h{z), где функция ft (г) регулярна при | г— а\ <.R,
а-'функция /г(г) регулярна при \z—a\>r. Рачлагая функцию ft (г) в ряд
Тейлора в точке г—а, а функцию /2(г) —в ряд . п& отрицательным степеням
г—а, с помощью приемов, описанных в задачах 20.06 и 20.07, найдем
разложение f (г) в ряд Лорана в кольце г < | г—a\<R. В случае, когда f (г) —
рациональная функция, искомое разбиение /(г)=/г (z)-|-/g(z) легко получается
с помощью разложения на простейшие дроби.
20.08. Следующие функции разложить в ряд Лорана по степеням
z в кольце 1 <; j z | <С 2:
1 * №. 2., *:+* . з.
BEJ-
\г—о{ ж
деляемая условием
1.
B-hl)(z-2)- • (г-1)(г + 2)- " («*-f-l>(г+2)"
(г- 1)а(г + 2) • (г2+ 1)(z2—4)• " (га— lJ(z2-f 4)*
181

20.09? Следующие функции разложить в ряд Лорана по степеням
z —» 'в кольце D (точка а и кольцо D указаны в скобках):
l-ijfhp (fl==I»D: i<i*-i|<2>
1 (e=l, D: l<|z—1|<2).
(z2—9)z2
3.z-±i (fl=i,-iED). 4. g^| (a=l, 2ie=D).
5-г(г-1)(г-2) (« = 0, -|SD). 6.^ (—1.-1 eZ>y.
7-(z+lH*-2) (—1.Л0<|*+1|<3>
Для функций вида In/?(г), где /?(z) — рациональная функция, разбиение
на сумму также не представляет труда.
20.10. Убедиться, что следующие функции допускают выделение
регулярных ветвей в кольце D, и разложить все регулярные ветви
в ряд Лорана по степеням z — а в кольце D (точка а и кольцо D
указаны в скобках):
l-'n^}f^| (а=0, 1<|*|<2).
2. ln^tiZ (a = 0, И>2). -
3-Ьц!^з) <«—Ы«+Ч>а>
4-1пGЦ^Ь) (««=-1. К|г+1|<2).
S-ln|=^|^(a = 0,|2:|>maX(!ce1!,...,|om|t|P1!,...,|Pm!)-
20.11. Пусть f(z) — регулярная ветвь функции \Г\ -\-z2 в
плоскости с разрезом по отрезку [—I, i], такая, что /( — -^-J = -j-.
Разложить f{z) в ряд Лорана в области | z \ > 1 по степеням г.
20.12. Пусть /(-г)—регулярная ветвь функции 1/ —j^t в области
|z|;>l, такая, что/B)<0. Разложить f(z) в ряд Лорана в этой
области по степеням z.
з r~Y~
20.13. Пусть /(г)—регулярная ветвь функции Т/ г в
плоскости с разрезом по отрезкам [0, 2/], [1, 2/], такая, что f[-o) — eni/3.
Разложить функцию f(z) в ряд Лорана в области | z | > 2 по
степеням z.
1 I 3
20.14. В плоскости с разрезом по дуге окружности z—г>" = "о~>
1тг^=0 рассматривается функция \х\—^-^. Пусть f(z)—регулярная
182

ветвь этой функции, определяемая условием /(-=-) = Зш. Разложить
f{z) в ряд Лорана в области | z | > 2 по степеням z.
20.15. Пусть f(z)—регулярная ветвь функции arctgz в плоскости
с разрезом по линии |,г|=1, Rez^Q, такая, что /@) = я. Разложить
функцию f(z) в ряд Лорана в области | z \ > 1 по степеням z.
Иногда разложение функции /(г) в ряд Лорана по степеням z—а в кольце
r<z\z—a\<zR можно получить, представляя функцию f{z) в в.иде
произведения f(z) = fi(z)f2(z), где функция /х (z) регулярна при \z—а | <",/?, а функция
/2 (г) регулярна при | z—a I > г. Тогда функция ft (z) разлагается в ряд Тейлора
в точке z=a, а функция f2(z) разлагается в ряд по отрицательным степеням
г—а. Ряд Лорана для f(z) получается перемножением рядов для fx (z) и f2(z.)
20.16. Разложить функцию f(z) в ряд Лорана по степеням z—а
в кольце D (точка а и кольцо D указаны в скобках):
. г3*1/* (а = 0, 0< | z | <оо).
2. г2шя^ (а = 0, 0<|*i<oo).
3. z3cos-L- (a = 2, O<|0-2|<co).
z—2
z(l-z)
l
(а = 0, l<|zj<oo).
6. <?2"\ */ (а = 0, 0<|-г|<оо).
7. e?ln-~z_a (а = 0, max?Lce|, | p* |)<| z | <oo, все ветви).
z p
Еще один способ разложения функций в ряд Лорана опирается на
формулы, связывающие коэффициенты разложения одной и той же функции в
разных кольцах.
20.17. Пусть функцию f(z) можно представить в виде g(z)-\——-—,
где функция g{z) регулярна в кольце r<Z\z—a\<iR, a z = a —
некоторая точка этого кольца. Положим
со
/(*)= ? cn{z — ay, r<\z — a\<:\a—.a\,
f(z)= 2 Cn(z — aT, ]a — a\<\z — a\<R.
Доказать, что
c'n = cn-\-A(<x — а)""-1 (я=0, ±1, ±2,...).
1 1 + z
20.18. Пусть f(z)=g(z) ~\- у In yz~? . где 8 (z) ~ Функция,
регулярная при р<С|^|< —,р<1- Обозначим через fx(z) регулярную
1вЗ

14-2
ветвь функции f(z) в кольце p<C!-z]<4, отвечающую ветви ^yEt»
равной 0 при г —0, а через f2(z)—регулярную ветвь функции f(z)
в области 1 < | z
z = oo. Положим
1 1+2
в области 1<<|,г|<; —, отвечающую ветви In _ ¦, равной ш при
Л(*)=» 2 С»*П> Р<И<Ь
п = —ос
со
Л = СО
Доказать, что
I . I п . 1_ Ш ' - - 1
с2я—^2я» П — — '> ^!Г2, ...; Со — с0~Г~2'ч сЪп+1 — с2я+1 — 2П-4-1
20Л9. Найти разложение функции ctg? в ряд Лорана по степеням
z в кольце п<С\ z | <2я.
Указание. Воспользоваться разложением функции ctgz в ряд
Тейлора (см. задачу 11.27).
20.20. Найти разложение функции г_.- в ряд Лорана по
степеням z в кольце - 2л <; | z \ <L 4я.
Указание. См. задачу 11.26.
Часто используются разложения функций в ряд Лорана, сходящиеся
в окрестности некоторой точки г=а. В связи с такими разложениями
используются следующие термины:
Рядом Лорана для функции /(г) в окрестности точки 2=а называется ряд
со
/00= S cn{z-ay,
п=—оо
сходящийся в некотором кольце 0<|z—a|-<p.
Рядом Лорана для функции /(г) в окрестности точки 2=со^иЗзывается ряд
со
rtl= СО
сходящийся в некотором кольце R <; \ z | < оо.
Главной частью ряда Лорана для функции /(г) в окрестности точки г = а
называется совокупность тех членов этого ряда, которые стремятся к
бесконечности при г —* а. При а конечном главная часть ряда Лорана состоит из
отрицательных степеней z—а, а при а —со— из положительных степеней г.
Разность между всем рядом Лорана для функции / (г) в окрестности точки
г —а и его главной частью называется правильной частью ряда Лорана для
функции /(г) в окрестности точки г =5а.
Задача об отыскании главной части ряда Лорана для функции /(г) в
окрестности точки г=а решается теми же методами, что и общая задача о
разложении функции в ряд Лорана. Однако ввиду того, что приходится отыскивать
меньшее число коэффициентов, эта задача обычно решается проще.
184

20.21. Найти главную часть ряда Лорана* в окрестности точки
z = z0 для следующих функций (точка z0 указана в скобках):
L FPF (*0==="" 2)* 2* 5^Т ~(*о= 0, it 2л/, ± 4л/, ..Л
3-Sl ^=0>- 4'i4^ (*• = **><*'
7- A2^2I («0 = »)- 8- ctgjw (*0=Q, ±1, ±2, ...).
9. J- (z0 = 0, ±1, ±2, .. А
10. ]/г4 + ^4 (z0=oo, Ь>0, все ветви).
n- z% У iqrp (*о=°°» *>0, все ветви).
12. z3 arctg^ (г0 = оо, все ветви).
20.22. В следующих примерах для функций In г и za
(a—действительно) берется ветвь, регулярная в плоскости с разрезом по
положительной части действительной оси и принимающая
положительные значения на верхнем берегу разреза при ?>1. Найти
главную часть ряда Лорана в окрестности точки z — z0 для функций
(значения zb указаны в скобках):
1.^, сс>0 (.0 = -1). 2.^1^ (*.— !).
3- (z+iJ^+2J. «>° & ^« = —1; б: ^=-2).
Кг In г __п
6. . , ..,/. ^, Ь>0, Ьф\ (а: г0= — 1; б: г0= — #).
In2 г
7-i2 + P» ^>0 C: *0 = /fr, ^ = — /?).
8- (г+1J " (In г—тJ ^° = ~ 1^*
20.23. Найти главную часть ряда Лорана в окрестности точки z = z0
для указанных ниже функций, если для логарифмов и дробных
степеней выбираются ветви, действительные на верхнем берегу
разреза [О, 1J.
1. B2 + 1) Уг{\—г? (z0 = co). 2.(^-1I11-^ (г0 = оо).
3- ii$p (ш Т^)\ Ъ > 0 (г0 = % •
л г 1 / \
4 JZT ; (*о = °о)-
In
1-z
185

20.24. Пусть функция f(z) регулярна в кольце 0<|<г— я|<!р
и пусть ее ряд Лорана в окрестности точки z = a имеет вид
оо ¦ |
/(*) = 2 ся(г-аГ.
п=—оо
Доказать, что:
а) функцию f(z) можно аналитически продолжить в точку z = а
тогда и только тогда, когда сп = 0, п=—1, —2, ...;
б) функция f(z) имеет в точке z = а полюс порядка т в том и
только в том случае, когда с_т Ф 0, с_т_г = с_т_% =... = 0;
в) функция f(z) имеет точку z = а существенно особой точкой
в том и только в том случае, когда имеется бесконечно много
отличных от нуля коэффициентов сп с отрицательными номерами.
20.25. Пусть функция fk(z) имеет в точке z = а полюс порядка
k (k — 1, 2, ...). Тогда функция
S»(*) = /i (*)+/»(*) + ••¦+/»(*)
имеет в точке z = а полюс порядка п.
Допустим, что последовательность Sn(z) равномерно сходится
в каждой замкнутой части кольца 0<С|-г — а|<р. Обязан ли предел
этой последовательности иметь точку z = а существенно особой
точкой?
20.26. Пусть функция /(г) регулярна в кольце г <C\z — a\<CR
и ее ряд Лорана по степеням z — а в этом кольце имеет вид
/(*)= 2 €n{z-af.
П=—ОО
Доказать, что:
а) для того чтобы функцию f(z) можно было аналитически
продолжить на весь круг \z — а \ < jR, необходимо и достаточно, чтобы
с_я = 0, п= 1, 2, ...;
б) для того чтобы функцию f(z) можно было аналитически
продолжить на кольцо р <С | z — а | <Z R, где 0 ^ р <С г, необходимо и
достаточно, чтобы
lim |c_„j»/« = p>
rt-*-|-co
20.27. Пусть функция f(z) регулярна в области D, за
исключением изолированных особых точек однозначного характера av
а2, ..., ат. Обозначим через gk{z) главную часть ряда Лорана для
функции f(z) в окрестности точки _ak. Доказать, что функцию
m
f(z) — 2 8k О?) можно аналитически продолжить на всю область D.
20.28. Доказать, что функция, регулярная во всей конечной
плоскости и имеющая в точке z = oo полюс порядка т, является
многочленом степени т.
186

20.29. Доказать, что функция, не имеющая в расширенной
плоскости никаких особых точек, кроме полюсов, является
рациональной функцией.
20.30. Доказать, что общий вид рациональной функции R(z),
имеющей полюс порядка т0 в точке z = co, полюсы порядка mk
в точках ak, k=l, 2, ..., п, и не имеющей других полюсов, дается
формулой
m0 n mk
s=0 ft=Is = I
где Akmk=/?=0, k = 0, 1, ..., n, а остальные постоянные
AkfS—произвольны.
20.31. Пусть R(z)—рациональная функция, имеющая полюсы
в точках аг, ..., ап и не имеющая других полюсов,
расположенных на конечном расстоянии. Обозначим через Ds область, состоящую
из точек, расположенных ближе к полюсу as, чем к любому другому.
Доказать, что:
2) в каждой замкнутой части В области Ds функция RW (%) не
обращается в нуль, если только я>»я0(?);
3) для каждой точки z — a, лежащей на границе одной из
областей Ds, можно указать последовательность точек {zm}, zm->а и
таких, что #(m>(zm) = 0 (m = 0, 1, ...)•
( 1 f>(mk) (z)\
Указание. Рассмотреть последовательность \—1п Л-*( и восполь-
(nik mk\ )
зоваться результатом задачи 20.30.
о? .
Каждый ряд Фурье F (<р)= ^ спе1пц> можно рассматривать как ряд
п = — оо
оо
Лорана 2- спгП> г=е'ф на окружности |г| = 1. Поэтому задачу о раз-
п = —оо
ложении функции в ряде Фурье часто удается свести к задаче о разложении
в ряд Лорана, сделав замену elfp=z.
20.32. Разложить в ряд Фурье функции:
t 1 — a cos ф i^^-i о a sin ф i^^i
l-i—s т—о, —1<а<1. 2. -л—- 2——- —\<С.а<С.\.
1—2a cos ф-|- a2' l — 2a cos ф +a2
Х~Ф lf0.<a<l. 4. г—^~, -1<и<1.
1 — 2асозф + а2' " ' 1 — автф'
5' О + ^оовфУ 0<а<1. 6. 1пA+^_2асо8Ф), 0<«<1.
7. cos ф • In A + a2 cos2 ф), 0 < а < 1.
20.33. Разложить в ряд Фурье функцию In sin -^- .
187

Указание. Воспользоваться равенством
In
sulf
= 1п
,'Ф/2_й~'ф/2
2/
= 1п
ie'^-l
Rein
l-e1*
20.34. Разложить в ряд Фурье функции:
1. ln|tg|-|. 2. JLzS @«р<2я).
ОТВЕТЫ
20.01.
1. 1/2<|г|<2. 2. 1<|г|<3. 3. е~«<| г-I |<Л
4. 0<|z+l|<oo. 5. 0<|г—а[<1. 6. |"г|«1.
7. | г | = 1. 8. Пустое множество.
20.08.
— 1 -f-oo
ь2ЧГ^-2
3.2П+1-
—сю
—1
-fco
—оо 3
— 1—1 +оо
—оо
<• 2 =Ц^*°+и
о
-f-oo
—оо
— 1 + СО
-3»~4 у (-!)",„
9 ~ X.I 9 ¦ 2И+1 "
n=i=—со С
1 + СО 1 +00
(-^^, V -1 г2и 6 V -5п-6 у (-1)"
4«+1г • °: ^ 25 ^Zj 100-4'
0 —со О
2s».
20.09.
—1
-J-оо
—со О
2. | («+ »)9- (~ V (г_,1Г + +f Ну (г_ у.
—оо О
-1 ° _ .1+1
3. 2 ("+2) г"я+1 (z - 0"- 4- * + 2 (~ 1)П+1 2 2 Sin T (г ~ 1}
— оо —оо
—2 - +со
5. — У гп—у г— У 2-"~8 • г".
— 1 + СО
т

-}-со
7. l(z+\)-i-*- + l?(z+l)-y*(z+l)".
9 27' ' ' ^ Зл+2
8. Y ! + (-!)-^^д
—оо
20.10.
0 -fco
VI 2 VI 2~2п
h 121ГГ1гШ~1~2Л.2^Г1г2П+1 + BЬ+1)п1; Й==°' ±\±2' ¦-
—оо 0
-1 О
VI 1 ( IV 4~я VI 2
2. 2, ^ *"-? Ш=\г*П~Х+2к™' k^°* ± U ±2' -
— СО —ОО
3. ^ 2 я+1-(-^1)яA+2 ")(z+1y,+2fatf, й=0, ± 1, ±2, ...
— оо
О +оо
4" 2 2^1<Z+i)8 + 2 B7г+TJ^(Z+1J'г+1+Bfe+i, "*•
—сю
k=0, ±1, ±2,
—I
5. 2- -й К-Р?JЯ + 2^". *=0, ±1, ±2, ...
п= — со р=1
оо
20.12. 2сиг_Я' Где ?«I=s1'
О
20.13. - , , .
п = 1
20.14. 2л t
+ 2
(_iyi-i+2n
/иг"
"* т+Г^
{ — IV-
2я + 1
О
20.16.
со
1 . 1 . Т^ г~п „ __ t у (-l)*+tg>n+i
»-*+*+т'+т + 2рт>п- *¦
Bn-\-l)l

3. (г__2)з + 6(г-2)з+-|B-2)+5+
1 1
—2 < со i со .
п = 0 \р=п+2
2 ь^(г_1Г+
+ 2{2»fe&+ i чр\*-*-
е.2'-»*". ¦""¦п-^щгЫтГ"' '-jo-c-ir^
(О-
—оо А—п
— 1 , оо
7.
п=—оо \р^0
*==0f ± 1, ±2, ..
— 1
— 1#оо \ со , со .
=—оо\р=0 / п = 0 \ р=1 7
± 2, ...
— 1 со
20.19. 2 ая-***»*-1 + Зг-i+2 ((~ 1УшВ**+2л_2* ) г**~1'
— оо 1
— 1 со
20.20. У (— 1)*2-»*+1яг«*г**-* + 3z_1 —4 + У I — + ^?=-Ю *»*-i.
*?, 2 ^\BА)! Bя)-в* У
20.21.
i; ~(FW + iT2- 2* 7=1й5^-»«а. з. -JL + ±.
4. _*?.. J» . 5. А 6. ^ 1 ¦*"* {
2Ь z—ib' ' 46 (z—ibf^ 46 z~ib '
10. ±z. 11. ± Л \2. nlk+~\z* — z\ ft=0, ±1, ±2, ...
20.22.
1. **. * . 2 ' * * *
Z-J-Г ' H(Z+1J П2 2+1*
3 a> ^ (а + 2)е™а 2аел/а ^ D_а) ga-l^g
' ' (z + l)a z-f 1 : 0) (г+2J + г+2
-й-я+Ппб - . -^-эгс+Лп 6 ,
4. а) т з—v • —-jr; б)
190
26jln26+|-n2j г t0 2ЬМп26+^л2)

- П , 2 V 1 1
5- — тгт-га+^т-- 6- a)
(z+1J ^2+1 * "' F-1J 2 + 1 '
1 1.1 1 „ . [Xnb+ff 1
б) ьТТГ ' /,jttt + 7ПТХГ " TTi; • 7' a)
ln? (z + fcJ ' 61n2fc z + fc* * ' 2i6 z — ib'
(in <>+!-»•)' j
6) -^ 5S -ТЛЕ- «¦
1 1.11
2i7> z+ib' " (z+1L (z+1)8 * 12 B+1J-
20.23.
Зя/
1. e 4 (*~ 22+Цг)- 2- ™г2+г-
2[ K&3+1 U /J 2-й
20.25. Нет. Пример:
fn(z) = M^~(n-l)!2"-i' л=1. 2. ...
20.32.
.со oo со
1. 2 a" cos /up. 2. ^]arasm/Mp. 3. I+2]?]ancos/Mjp.
l i l
2a VI/ x™( l-Vl-cfi^ _
4. --, ^ + ^^==1^ > (— l)n ] cos 2«ф—
a
2a V, IVI X Ь-Vl-fl*\* * . ,„ ,,
l
oo
5' 2aMl1-a2)+2a2(l1-a2)Il(-fl)"A+fl2-"A-fl2>)c0sn<P-
l
6. — 2 2 — cos шр.
,. 2[(i?±b±J+lnja+Z±i]C089+
CO
n—l
CO
20.33- — In 2 — Л — cos nq>.
l
20.34.
0\lcosBn+l)9 уапяф
!- zZi' 2n+i • ^ iL~r~-
191

§ 21. Вычисление вычетов
Пусть функция f(z) регулярна в точке z0 или имеет там изолированную
особую точку однозначного характера. Вычетом функции f (г) в точке г0 при
гйФ<х* называется величина
\г—го1 = р
где число р > О достаточно мало (окружность обходится один раз против
часовой стрелки). Вычетом функции f(z) в точке со называется величина
|г|=Я
где число R > 0 достаточно велико (окружность обходится один раз против
часовой стрелки).
Можно дать более единообразное определение:
Вычетом функции f(z) в точке z — z0, являющейся точкой регулярности
функции / (г) или изолированной особой точкой однозначного характера,
называется деленный на 2ju интеграл от функции f(z) по границе достаточно
малой окрестности точки z0 (в этом определении учитывается, что интеграл
по границе области всегда берется в таком направлении, чтобы при движении
по граничной кривой область оставалась слева).
Согласно теореме Коши res f(z) — 0, если функция f (z) регулярна
г=2о
в точке г0 и z0 Ф со. Вычет в бесконечности может быть отличен от нуля
даже в случае, когда функция ре/улярна в бесконечности.
Вычислять вычеты, исходя из их определения, довольно сложно. Основой
для практического вычисления служит следующая теорема:
Пусть при 0 < | г—г„ | < р
со
п =—со
Тогда res jf(z)=c_i. Если же при /?<|zJ<co /(г) = ^ слг"» то
res /(г)=— c_v
Z=ao
21.01. Вычислить:
, sin z n i /, о ez л в • л
1. res —— 2. res <?1/z. 3. res 7—t^. 4. res г8 sin —.
Z2 ¦ (Z — 112 Z
z=oo z=co z=l * 1 z—со
J J* ez*
5. res -^i-. 6. res**?*-' . 7. res z"<? z. 8- res -i7?T1#
4
2=1 г—со
Задача отыскания вычета в действительности намного проще задачи
разложения функции в ряд Лорана в окрестности данной точки, так как при
отыскании вычета требуется найти только один коэффициент ряда Лорана. Это
упрощение тем заметнее, чем меньше членов содержит главная часть ряда
Лорана.
Перечислим основные формулы для отыскания вычетов:
Пусть функция /(z) имеет конечную точку z0 полюсом первого порядка.
Тогда
res f(z)=Hm (z-z0)/(z). A)
Z=Za Z-*Zq
192

Пусть функция /(z) представима в виде /(z)==7~Vl> где ФУнкиии ф(г)
и ф (z) регулярны в конечной точке z0 и ф (z) удовлетворяет условиям
4>(*о)=0, ф'(*о)^0.
Тогда
Пусть функция /(г) регулярна в точке z=oo. Тогда
res /(z) = lim z(/(cc)-/(z)). C)
2=00 г-»со
Пусть функция /(г) представима в йиде /(г) = ф(—V где функция ф(?)
регулярна в точке ?=0. Тогда
res/(z)=-<p'@). D)
z—со
Пусть функция f(z) представима в виде / (z) = (z — г0)~~т<р(г), где
функция ф (z) регулярна в конечной точке z0. Тогда
2гД./(г)=(^Ьутч'""",,(г»)- E)
21.02. Найти вычеты следующих функций во всех их конечных
особых точках:
1 z2 z2 . 1
1. -Атг. 2. т^—г. 3. "
г_|_гз • — 1+г4' A+г)з- ' B2+1)з-
(z2+l)(z—1J" (г— 1)л' ' ' sin яг
8. ctgji2. 9. th*. 10. cth2nz. 11. т^тр. 12-^йт[-
13. ,*** 14, 1
(z—IK' sin г2'
21.03. Найти вычеты следующих функций в бесконечности:
1 71
... . 0 sin — cos2 —
л 2*4-1 о г + 2 о г . г
1. . . . 2. cosji-д—. 3. т. 4. —г-^-.
ze—1 2z z —1 z + 1
(z"+l)cosT
5. , . , ow B тт. 6. ?COS2—-.
B*4-2) (ze—l) z
В следующих задачах описываются различные приемы, часто облегчающие
вычисление вычетов.
21.04. Пусть функция f(z) регулярна во всей комплексной
плоскости, за исключением конечного числа изолированных особых
точек однозначного характера zv z2 zn (точка z = oo не
включается). Доказать, что
п
2 res /(*L-res/(z) = 0.
ft==1Z=ZA 2=00
7 Под ред. М. А. Евграфова J93

21.05. Доказать, что для каждой четной функции f(z)
res/(z)= res /(г) = 0
г=0 z—co
(в предполжении, что написанные вычеты имеют смысл).
21.06. Доказать, что для четной функции f(z) имеет место
равенство
res f(z) =— res f(z),
z=z0 г=—гв
а для нечетной функции f(z)—равенство
res f(z)~ res f(z)
(в предположении, что написанные вычеты имеют смысл).
21.07. Пусть f(z) = g(az), где а^О. Доказать, что
res f(z) = — res g(z).
Z—Zffi. U Z=Zo
21.08. Пусть f(z) — zmg(zn), где т и я—целые числа,
удовлетворяющие условиям да 5= 0, т<Сп. Доказать, что
res f(z) = e2k3ii im+W res /(z).
21.09. Найти вычеты следующих функций во всех их особых
точках и в бесконечности:
1.^1. 2. -1+г8 . 3. 1+г1°
г6 (г —2)' " ze(z + 2)" 2*(г2+4) "
1_1_22П J
4> г"(г-а)' а^0' л==1» 2> "" 5' sin^sinV
fi cos г _ 1-fz8 . о sin г
°" @2+1J- '• 2*B*+l)COS2rCn^ в- B2+1J*
В случае, когда функция /(z) представима в виде f(z) = q>(z)/ty(z), но
функции ф (z) и ij) (z) имеют в точке z0 нули порядка выше первого, формулы A),
B) или E) мало помогают при вычислении величины res f{z). Самым надеж-
z—z0
ным приемом в таких случаях является замена функций ф (г) и ty (z)
некоторым количеством членов их разложений в ряд Тейлора в окрестности точки г0.
21.10. Вычислить:
, zra_1 , 0 0 sin3z—3sinz
1. res . _ . я—1, 2, ... 2. res -—j~. r.
z=0 sm z z=0 sm Z (sm z— Z)
3. res .. ~~* 4. res -r-=—. n = 2, 3, ...
z^oC1-0082J z=o sh z
5. j«*-»ctg»z, « = 2, 3, ... 6. ^—J—^,
194

21.11. Пусть функции ф(г) и ty(z) регулярны в конечной точке z0
и имеют в ней нуль порядка т. Доказать формулы:
1 грц Ш?1 1 Ig^'fro)
•z=z.H« ' z-zj~y™(z0)'
9 res J?® —L_i = 1 Ф(СТ)(г0) Гф'от+11Bо) _ ^tOT+1,(zo)l
'гД, Ш2> (z-z0Kl m+l^fo) L Ф(т' <*о) ?mi (z0) Г
В случаях, когда вычеты находятся не от функции, однозначной во всей
плоскости, а от некоторри регулярной ветви многозначной аналитической
функции, следует очень внимательно относиться к выкладкам, наблюдая за
тем, чтобы все этапы вычислений проводились с одной и той же ветвью.
21.12. Найти вычеты для каждой ветви, регулярной в некоторой
окрестности точки z0 (исключая, возможно, ее саму):
1 г + 3 п , z—1 0
1. res , . ¦ .' .—т. 2. res In—т-г. 3. res
;04m\-ln(l-j-z)- ' 2=о0 г+Г ' z=, г + УЪ-г"
4. res * 5. resy(z-l)(z-2).
z=o K4--z2-{-2 z=oo
8/222 —Z3
6. res-—Г5—.
2=0O z + 3 „
В некоторых задачах вычеты удобнее всего вычислять, исходя из их
определения, как контурного интеграла, и применяя теорему Коши о возможности
деформирования контура интегрирования в области регулярности
подынтегральной функции.
21.13. Пусть f(z)—целая функция. Доказать формулы:
ь
1. res \f(z) In j^-\ = \f(z)dz (здесь для In ^~— берется любая
a
ветвь, регулярная в окрестности бесконечности).
а —а
2. res|/Br)in^=^|= ^f(z)dz+ ^ f{z)dz (здесь для 1п~р}
/6 « —ib
берется любая ветвь, регулярная в окрестности бесконечности).
ь
3. res j/B) fin jzr^j } = 2 \ /(x)ln jE| ^ CДесь "й действи-
a
z—b
тельные числа, a<ib, а для ln —-— берется ветвь, регулярная в
окрестности бесконечности и равная нулю при z = oo).
а
I z — b\a
— \<Ca<il, — действительные числа, а для ( ^_ 1 берется ветвь,.
регулярная в окрестности бесконечности и равная единице при z = оо).
7* 195

21.14. Найти res {/(z) ф (z)}, если функция y(z) регулярна в
Z — Ze
точке г0, а функция f(z) имеет в точке г0 полюс первого порядка
с вычетом А.
V (z)
21.16. Найти res 77т» если Функция f(z):
Z—Z0 I W
1) регулярна в точке z0 и имеет там нуль порядка т\
2) имеет в точке z0 полюс порядка т.
21.16. Найти res 1фСгLрг1, если функция ф(г) регулярна в
¦z=z0 I l\z)i
точке z = z0, а функция f{z):
1) регулярна в точке z0 и имеет там нуль порядка т;
2) имеет в точке z0 полюс порядка т.
21.17. Найти res /(ф (г)), если функция ф(гг) регулярна в точке z0
z—z0
и ф' (z0) Ф О, а функция /(г) имеет в точке ф (г0) полюс первого
порядка с-вычетом А.
21.18. Пусть функция /(г) регулярна при R <С \ z \ <С со, а
resf(z) = 0. Доказать, что функция f{z) имеет первообразную, регу-
лярную при R •< | г | <С со.
21.19. Выяснить, при каких значениях параметров а, Ь
следующие функции однозначны во всей комплексной плоскости:
, \«+?
21,01.
1. 1. 2.-1.
* 2* ) р
ОТВЕТЫ
3 е 4^ 5 Ы 6 А
d. е. 4. 6 . 5. 2 . о. 2
ф з. \ *«+*) ^
2 8. '
(л+1)Г /»!•
Й1.02._
1. 1 при z=0; —^ при z=i; — -^ при z=—/.
2. 1=1 при г=ея<Л 1±1 при z=e-ni/4'. -Щ при z=e3ni'A;
4^2 4^2 4|/2^
-L=i при г=е-3я//4.
41/2
3. 1 при г=— 1. 4. —J* при z=i; ^ при г=—и
5. —я" при z=l; ^ при г— »"; -^- при z=—i. 6. Cj при z=l.
(— 1)п
7. - — при z=n, где я=0, ±4, ±2,...
8. — при z—nx где п=0, ± 1, ±2,...
196

9. 1 при z=(n± п']л'. r^e я = 0, ± 1, ± 2,...
10. 0 при z=siin, где л=0, ±. I, ± 2,...
И. —sin 1 при г=1. 12. —1 при г=Bя+1)ш, где л = 0, + 1, ± 2,...
13. О при z=l.
14. О при 2 = 0; при z=»ftyrjinf где />=0, 1, 2, 3, л=1, 2, 3,...
Z|/ ПП г г г
21.03.
1. 0. 2. я. 3. 0. 4. — 1. 5. — I. 6. л*.
21.09.
1. g^ при z = 2; —g^ при 2 = 0; 0 при г = со.
о 257' о 1
2. ^ при 2 = —2; — ^ при z=.0; —4 при z=oo.
1023 1023
3. О при 2=0 и г=со; — ЗШб"/ при г==2l; Б6"' при z=~<2i-
4. ап + а""к при 2 = а; —а~п, при г = 0; —а" при 2=со.
5. О при г = 0 и 2=со.
6. — j~ при 2 = t; ^ При z = —i\ 0 при z = co.
1 Г~ Ki _ ¦ . «*
7. О при z = 0 и 2=со; —^е (cos/2-f ch J/T) при 2=е
1 .1 .1
8- —Q при z = l> ~4е ПрИ z = —*: Ye ПрИ 2=оа
21.10.
I. 1. 2. 24. 3. -i. 4. 0. б.--j. 6. —i.
21.12.
1. —3, когда In A+2) !г=о = 4га", и 0 для остальных ветвей.
2. 2 для всех ветвей.
3. 4, когда ^5— z\z==l== — 2, и 0, когда |/5—г |г==а = 2.
4. 4, когда /4—22|^==0 = —2, и 0, когда К1*"^ 1г=г0 = 2.
5. д- Ига — |/(г_1)B-2). 6: ^ lim-1^2г2_2з.
21.14. ЛфB0).
21.15. 1. ш. 2. —/п.
21.16. 1- /йфB0). 2. —/жрB0).
21.17. —-—
ф' fa») '
21.19. 1. при а — — 1. 2. при a+fe=0. 3. при a=I/6.
§ 22. Вычисление интегралов по замкнутому контуру
Задачи этого параграфа рассчитаны на применение теоремы о вычетах:
Пусть функция f(z) регулярна в области D, за исключением конечного
числа точек ak ? D (k=l, 2, ..., п), являющихся изолированными особыми
точками однозначного характера, и непрерывна вплоть до границы д[>
области D, за исключением тех же точек. Граница dD области D предполагается
197

состоящей из конечного числа кусочно-гладких замкнутых кривых. Тогда
п
$/B)e?z = 2jt* 2 res/(z),
tib fc=l z—ak
если граница обходится в положительном направлении (т. е., если при
движении по границе в направлении интегрирования область остается слева).
Замечание. Если область D содержит бесконечно удаленную точку,
то она причисляется к точкам ak, даже если функция f(z) регулярна в ней.
Способы вычисления вычетов считаются известными.
22.01. Вычислить интегралы:
dz
1-Ь
до
(/>. k-i|<i).
2- \ъ=ф&+цА*\*-1-1\<Ъ.
6D
dD
dD
5. J-?-e№«fe (D: М>4).
При вычислении интегралов от функций, регулярных во всей плоскости,
8а исключением конечного числа изолированных особых точек однозначного
характера, следует иметь в виду, что полная сумма всех вычетов такой
функции (включая вычет в бесконечности) равна нулю. Иными словами, яля таких
функций справедливо равенство \f(z)dz =— ^ f(z)dz, где D\—дополне-
QD dDt
ние к D до всей расширенной плоскости (множество ?>i может состоять из
одной области или из нескольких областей).
22.02. Вычислить интегралы:
Ь\^щ (а Г» К ах
дБ
' г2 sin2 —
2- Sd-ooV» (ftH<3>-
dD
3. \~dz (D: |z|<2).
0D
4. J-?-«'/* «fe (D: И<2).
5. f sin^-rf-г (?>: M>3).
0D
6. \ zsin^dz (D: |^1<2).
во
198

7. Jsin^Lj&r (D: |*_1|>1).
dD
8. $exPl-^ J (Z>. |z-2| + |z + 2|<6>
9. f z cos jxi<fe (D: 12 I>2).
ее
11. \C^dz (D: И|>1).
12. ]^zidz (D: |*|<1, Re*>0, lm*>0).
13. J^ (ft И>4).
ее
14. $^у ф' ^i<4)-
15' 5?^7 {D: М<|Л+у(я = 0, 1»2,...)).
ez)
22.03. Доказать формулу
2jtf J * az~ L \2J n\(n+l)l
|2|=I n=0
(окружность обходится против часовой стрелки).
При вычислении контурных интегралов от однозначных ветвей
многозначных аналитических функций необходимо внимательно следить за тем, чтобы
вычеты брались от нужной ветви.
22.04. Вычислить интегралы для всех ветвей многозначных
аналитических функций, стоящих под интегралом:
dD dD
3- kf+V'H'+^T)- 4- V^** {"¦¦ !'!<!)•
dD dD
5. Jini=i«fe (D: |z|>2). '6. jj ^?<fe (Я: |*|>2).
7. \у7Т-Х,1* ф: И>2). 8. $ * (P: M>D-
dD dD
199

9. f J?,fT- (D: |z+ll<l).
.) / — Z4-4V3—z
10
z+4/3—z
dD
f ezdz
Jsin(l+yT)
dD
(D: |*-8|<4).
22.05. Проверить, что многозначные аналитические функции,
стоящие под знаком интеграла, допускают выделение в области D
однозначной ветви, удовлетворяющей заданным условиям, и вычислить
интеграл от этой ветви:
3D
2- ^ \+ln{z-2) <D: l«-3|<0,99) (здесЫп(<г_2)|;г=з==0).
дЪ
dD
(здесь In A -f- z) I z=*-1 = 1 — 2ш)-
6- $-S+5a«i (D: |г|>2) (здесь arctg2U=00=f).
eb
dD Z==
8- ^ , , o^ ,/- <D: i^-10|<9,99) (здесь J/112==4=-2).
3D
9. ]Y(z-a)(z-b)dz (?>: |*|>|e| + |*|)
(здесь — \^(z— a)(z—b)->l, z -*oo).
io- Sу(.4о-»)(D: "i>h+i»i>
(здесь —V~(z — а)Сг— ?)->—1, z->oo\.
11. f .. 2d2 = (D:\z\i>\a\ + \b\)
ao3
(здесь — ^(г — аJ (*—b)-+ e-2ni&, z -> 00].
200

12. f zd* (D:|^|>[a| + |*D
J у (z—aK(z — b)
3D
здесь — |/(г — df(z — b) —*• 1, z—»>oo).
13. J (г: — <*)«(* — &)>-orf2i (D: M>|a| + |*|+l)
ao
здесь ~-{z—a)n(z—b)] -a->l, <г-*оо].
14- \zV^lr]z^bdz <D: K>lel+I*D
ao
fe~^ M M"z—b
тЛ—a , , z — a л
здесь I/ -3т-* 1> In-—гг-*-0> 2->oo
15' \Vv^blnT=^dz (D:\z\^>\a\ + \b\)
dD
здесь |/-зт->1» 1п-^^-»2ш, 2->co].
^znln^dz (D: |г|>|аЦ-|^[); л = 0, 1,2,..
16.
дЬ
здесь In ;—г -*• 2л/, г -> оо ]
г-6
* * *
1 С е'2
22.06. Доказать, что интеграл^—-. \ . ¦ _ .,2- dz, взятый по границе
дЪ
полуплоскости Im z ^> 0, равен сумме вычетов подынтегральной
функции в этой полуплоскости, и найти его значение.
Указание. Применить теорему о вычетах к интегралу, взятому по
границе полукруга Im г > 0, | г \ < R, а затем перейти к пределу при /? -»- со.
22,
1.07. Доказать, что интеграл ^—. \-^те~г* dz, взятый по гра-
дЪ
нице угла | arg z | < я/4, равен- сумме вычетов подынтегральной
функции в этом угле, и вычислить его значение.
Указание. При оценке интеграла по дуге окружности | arg г \ < п/4,
\z\=R, воспользоваться леммой Жордана (см. задачу 5.37).
22.08. Убедиться в применимости теоремы. о вычетах к
следующим интегралам, взятым по границе бесконечных областей, и
вычислить эти интегралы:
Sd
Sire* (й -т<1тг<т)
dD
201

3. С ^*?Ldz (D: —1 <Rez< 1).
^\^e^dz (D; -« <argz<?).
dD
5. [ dz/ (D: x>y*, (z=x + iy)) (здесь
dD
22.09. Убедиться, что к интегралам
1. /= \ e-z*dz (D: lm*>0),
6D
теорема о вычетах неприменима.
22.10. Пусть область D — это вся плоскость с разрезом по
отрицательной части действительной оси, a ~\fz и In-г означают те ветви
этих функций в области D, которые положительны при г> 1. Дока-
C/zlnz,
зать, что к интегралу I . ¦¦ dz применима теорема о вычетах, и
дЪ
вычислить его.
Указание. Сначала рассмотреть интеграл по границе области
p<|z|<#, — Ji<arg2<n
(кольцо с разрезом), а затем положить р —<• О и R —* со.
22.11. Убедиться в применимости теоремы о вычетах к следующим
интегралам, и вычислить их:
С \^~z ln^ z / i—
1. \ / __-ч2 dz (D: —Jt<Carg2<Ji) (здесь "yz>0 при
dD
z>0, и 1пг>0 при z>l).
2-$YWxdz (ft z*[-ь 1])(здесь vHrL.- »)•
dD
3. [ Vzl^fdz (D: z ф [— /, /]) (здесь УI -f г2 -> 1 при г ->0,
ez>
Re2>0).
4- jjlTjSr^ <D: {*<?(—°°* ~ll *^[Ь + °°)}) (здесь
arcsm^|0==o = 3x).
5. 51/(г2-1)(г2-4)^ (ft {г ф[—2, -1], *gfc[l, 2]})
(здесь yV-l)(z2-4)|*=0 = 2).
202

dD
1пг|г=_1==—л/).
* * *
22.12. Пусть функции f(z) и g(z) регулярны в замыкании D
конечной области D, причем функция f(z) имеет в области D нули
аь ..., ап (каждый нуль пишется столько раз, каков его порядок)
и не имеет других нулей ни в области D, ни на ее границе.
Доказать, что
п
0?> fe=l
22.13. Пусть функция f(z) задачи 22.12 имеет в области D еще
и полюсы Ьг, ..., Ьт (каждый, полюс также пишется столько раз,
каков его порядок). Доказать, что
п т
dD k = l " ft=l
22.14. Пусть функция f(z) регулярна в замыкании D конечной
области D, а точки av ..., ап лежат в области D и попарно
различны. Обозначим
P(z) = (z-aJ ... (z-an)
dD
Доказать, что функция Ф(г) аналитически продолжается на всю
плоскость и представляет собой многочлен степени п— 1,
удовлетворяющий условиям
ФЫ=/Ы (Л=1, 2, ..., п).
(Многочлен Ф(г) называется интерполяционным многочленом Лаг-
ранжа.)
22.15. Пусть функция f(z) регулярна в замыкании D конечной
области D, содержащей отрезок [— 1, 1]. Доказать, что функция
Ф(г), определенная вне области D интегралом
дЪ
аналитически продолжается на всю плоскость и представляет собой
многочлен степени 2п—1, удовлетворяющий условиям
ф<*>(± 1)=/(*) (±1) (? = 0, 1, ..., я—1).
22.16. Пусть функции f(z), P(z) и Ф(г) означают то же самое,
что. и в задаче 22.14. Через Dx обозначим область регулярности
203

функции f(z), содержащую D (в силу регулярности f(z) в D такая
область существует), и положим
#(*) _i _____ (z<=EUvz<?U).
dD '
Доказать, что функция /?(z) аналитически продолжается на всю
область D и что она равна f(z)—Ф(г).
22.17. Пусть функция f(z) регулярна при I^I^R, а функция
g(z) определена при J z { <Z R равенством
*«-и S K-fl/#lV*)(|z|<R)-
IEI=»«
Доказать, что функция g(z) регулярна и при \z\<^R, и найти
интеграл
1=Ы J <S-«)<C-»)*(Q;Ej (И<«)
в случаях:
1. |в|<ЯР/ |*|<Д. 2. |e|<R |*|>R. 3. |a|>& |&|>-R.
22.18. Пусть функция #(z), регулярная при |z|<:R, задана.
Найти общее решение f(z) уравнения
ICI-Л
регулярное при j 2 ! <: /?, в случаях:
1. |a|<R, |&|<Я. 2. |а|<К, |&1>Я
22.19. Пусть й, Ъ, с—попарно различные числа, лежащие в круге
\z\<C.R. Каким условиям должна удовлетворять заданная функция
g(z), регулярная при z ^R, для того, чтобы уравнение
!EI = *
имело решение /(.г), регулярное при | z | ^ R? Найти решение этого
уравнения, если условия разрешимости выполнены.
22.20. Найти все решения /(г) уравнения
IС i - 2
регулярные при | z | ^2.
22.21. Найти всё решения f(z) уравнения
1 _ I =2
регулярные при | г j ^ 2.
204

ОТВЕТЫ
22.01.
i га о ni о • • i л Зга' _ 16 .
1. р^. 2. —й-. 3. га sin 1. 4. —=^-. 5. -тгШ.
|Л2 2 64 3
22.02.
9iti
1.0. 2.0. 3. 2л1. 4. —=р. 5. 2га" cos 1. 6. 4га'(cos 1 — sin 1).
7. -2га\ ¦ 8. 2я?. 9. га (cos 1+2 sin 1). 10. ^-(i—l)sinl. 11. 0.
12. ~{i-\)em. 13. -Юга". 14.0. 15. n+1.
22.04.
1. 2nie~2, если In (z+3) | z = 0 = In 3, и 0, если In (z-f-3) J z ^ 0=In 3 +2kni,
где fe =5^0. 2. —2ni, если In (z —2) | z_ , =— га", и 0 для остальных ветвей.
3. —2m cos 1, если In г | z __ , =— ni, и 0 для остальных ветвей. 4. —4kn,
если ln(l-fz) |г = 0 = 2km. 5. 4га' для всех ветвей. 6. —n2i Bfc+l), если
arctgz| 2=soo = tt( *+«-). 7. 0 для всех ветвей. И>. —га", если
|/r4z2+4z-f3 > 0 при z > 1, и га, если yr4z2+4z+3 < 0 при z > 1. 9. 0, если
1^3—z|z = _i=2;—4га", если 1^3—212 = -1=—2. 10. 0, еслиуТ| г=1 = С
и — Anie, если уТ|г = 1 =—1.
22.05.
1. |-лA+2?). 2. —. 3. 0. 4. 0. 5. ^-nl. 6. —~.
7. -2га". 8. -^L. 9. ™F-аJ. 10.2га". 11. уBа+6) (K3+i).
12. —^(За + Я 13. яюA — а) (а—бJ. 14. 2га" (а—6N.
.с 4 „,. ч/\ 3i\ ,„ 2ш
10
iT~*-4(i-&). И. j2j(-*-*«4.
2я,
22.06. — —.
е
2га
22.07. —.
е
22.08.
1. Шг. 2. га. 3. 2л*. 4. 0. 5. — ^Vl + >^2.
22.09.
1. />0, а сумма вычетов равна нулю. 2. /==0, а сумма вычетов отлична
от нуля, в
и2
22.10. -7=1.
22.11.
1. -я* [l + f— i (l - у) I K2. 2. 2га. 3. 2га" (^2-1).
4. 2га" In (^2— 1). 5.0. 6.—2га".
22.17.
l- /-a5=^/(e)+S=5/F)_/w' 2" /=^^«)-f(e). 3./=-f(z).
205

22.18.
- 1. f = (z-a)(z-b)g(z)+cz+ci. 2. f^{z-a){z~b)g{z)-\-c{z-b).
22.19.
Уравнение .разрешимо при выполнении условия (й—c)g(a)~(b—c)g(b),
и его решение имеет вид
fM {z—c)s(z) — {a~c)g{d)
l{,~ {z-a)(z-b)
22.20. / (z) = z. 22.21. f (г) = г/2.
§ 23. Принцип аргумента. Теорема Руше
При решении приводимых ниже задач считать известной следующую
теорему:
Пусть функция f(z) регулярна (за исключением, быть может, конечного
числа полюсов) в замыкании D ограниченной области D, граница которой dD
состоит из конечного числа простых кусочно-гладких замкнутых кривых. Если
на dD функция f(z) не имеет ни нулей, ни полюсов, то справедлива формула
»1-ъ=ш\т"г' A)
dD
где Пе —число нулей функции f(z) в области D, а п7—число ее полюсов в
этой области (с учетом их кратности).
23.01. Пусть граница dD области D состоит из т простых
замкнутых кусочно-гладких кривых Су, С2, ..., Ст. В предположениях
сформулированной выше теоремы доказать, что формуле A) можно
придать вид
п1-п7 = ^г2 I dTaTZf&\dz]
k=\ck
Здесь ~ дифференцирование по направлению кривой в точке
интегрирования.
23.02. Доказать, что ^формуле A) можно придать вид
т
n/+-nf=^2min'/(z)|'Л1-
ft=l Ck
Здесь ^ дифференцирование по направлению внешней нормали'
к кривой в точке интегрирования.
Указание. Воспользоваться условиями Коши — Римана для
действительной и мнимой частей функции ln/(z).
Пусть С —произвольная замкнутая непрерывная кривая, не проходящая
через точку z = 0. Символом vaf lnz мы обозначим разность между результатом
с
аналитического продолжения функции lnz вдоль кривой С и исходным
элементом In z.
23.03. Пусть ограниченная область D имеет границу dD,
состоящую из замкнутых кусочно-гладких кривых Су, ..., Ст, а функция
206

f(z) регулярна в области D, за исключением конечного числа
полюсов, и непрерывна вплоть до ее границы (за исключением тех же
полюсов). Доказать, что если функция f(z) на границе области D
не обращается ни в нуль, ни в бесконечность, то имеет место
формула (/(С)—образ кривой С при отображении w=f(z))
т
п^-пт-ыЪ Z* 1п щ
А=1 МС*'
которую можно записать также в виде
m
{принцип аргумента).
23.04. Пусть функция f{z) регулярна в круге | z \ ^ R, за
исключением полюсов %,..., ап (каждый полюс пишем столько раз, каков
его порядок), a fcj,..., Ьт—ее нули (каждый нуль тоже пишем
столько раз, каков его порядок). Доказать формулу
2ге п т
±\ ini/(R^)Kq,=ini/@)i-2inT|1+2;inT||
О k=\ Jfe=l
{формула Иенсена\
Указание. Написать формулу задачи 23.02 для круга | z | < р и после
небольших преобразований проинтегрировать по р.
* * *
23.05. Пусть функция f{z) регулярна в ограниченной области D,
за исключением конечного числа полюсов, и непрерывна вплоть до
ее границы (за исключением тех же полюсов). Доказать, что если
функция Im/(z) не обращается в нуль на границе области D, то
число нулей функции f(z) в области D равно числу ее полюсов
в этой области.
Указание. Применить принцип аргумента (см. задачу 23.03) и заметить,
что образ каждой компоненты границы области D лежит в^ полуплоскости
Im w > 0 или в полуплоскости Im w<Z 0, где функция. In w допускает
выделение регулярной ветви.
23.06. Пусть функция f{z) регулярна в ограниченной области Д
за исключением конечного числа полюсов, и непрерывна вплоть
до ее границы dD (за исключением тех же полюсов). Обозначим
М — max | /(г) \.
Доказать, что для каждого комплексного значения а,
удовлетворяющего условию | а | > М, число нулей функции /(г) — а в области D
равно числу ее полюсов в этой области.
23.07. Пусть функции F(z) и f{z) регулярны в ограниченной
области D, непрерывны вплоть до ее границы dD и удовлетворяют
207

условию \f(z)\<.]F(z)\ (z^dD). Доказать, что число нулей
функции F (z) -\-f(z) в области D равно числу нулей в той же
области функции F (z). (Теорема Руше.)
23.08. Пусть функции f(z) и F(z) регулярны в ограниченной
области D и непрерывны вплоть до ее границы dD, на которой
f(z)
функция Im ^т^г не обращается в нуль. Доказать, что число нулей
в области D у функций F{z) и F(z)-\-f(z) одинаково.
23.09. Найти число корней приведенных уравнений в областях,
указанных в скобках:
1. г*—Зг+1=0 (|z|<l). 2. 2г4 — 5г + 2 = 0 (|z|)<l). .
3. г7 — 5г4-Ь<г2—2 = 0 (И<1).- 4. г8 — 4г5 + г2— 1 =0 (|г| < 1).
5. z3— 122 + 2 = 0 (И<2). 6. z* — 92-4-1=0 (|г|<2>
7. г6— 6^ + 10 = 0 (\z\ >1). 8.24 + 23 —4г+1=0 A<|г|<2>
23.10. Доказать, что при любом комплексном значении а и при
целом п ^2 уравнение 1 -\-z-\-azn~0 имеет хотя бы один корень
в круге | z | ^ 2.
Указание. Помимо теоремы Руше воспользоваться формулами Виета
(при достаточно больших значениях ja|).
23.11. Доказать, что при Л>1 уравнение zex-z=l имеет в
круге | z | ^ 1 ровно один корень (и к тому же действительный).
23.12. Доказать, что при Л>1 уравнение z — %—е~г имеет в
полуплоскости Re 2^0 ровно один корень (и к тому же
действительный).
23.13. Доказать, что уравнение az3—z-\-b — e~z(zArcZ) при
а > 0, Ъ > 2 не имеет корней в полуплоскости Re z ^ 0.
23.14. Пусть функция f(z) регулярна в круге \z\<\. Доказать,
что существует такое число р>-0, что для всех w из круга
| w | < р уравнение z = wf(z) имеет в круге | z \ <С 1 ровно один корень.
23.15. Пусть функция /(г) регулярна в круге | z \ <С 1 и /@) ф 0.
Доказать, что существует такое число р > 0, что для всех w из
кольца 0 <; | w | <С р уравнение zm = wf(z) имеет в круге 12-1 < 1
ровно m различных корней.
23.16. Доказать, что уравнение zsinz—l имеет только
действительные корни.
Указание. Найти число действительных корней этого уравнения на
отрезке — (п +-к- )лг [п Н )л и сравнить его с числом всех корней
этого уравнения в круге \z | < ( п +-тг] л*
23.17. Доказать, что уравнение tgz — z имеет только
действительные корни.
* * *
23.18. Пусть последовательность функций \fn(z)), регулярных
в области D, равномерно сходится в этой области к функции f(z),
отличной от тождественного нуля. Обозначим через ГУ область,
208

лежащую строго внутри области D и такую, что функция f(z) не
имеет нулей на ее границе. Доказать, что все функции fn{z),
начиная с некоторого номера, имеют в области U столько же нулей,
сколько и функция f{z).
23.19. Пусть целая функция f(z) является пределом
последовательности многочленов {Pn(z)}, равномерно сходящейся в каждой
конечной части плоскости. Доказать, что если - все многочлены Рп (г)
имеют только действительные нули, то и функция /(г), и все ее
производные также имеют только действительные нули.
23.20. Докззать, что все производные функции e~z2+az, где а
произвольное действительное число, имеют только действительные нули.
23.21. Пусть все нули многочлена Р (z) = zn -f- a^zn~x -f-... + an
лежат в круге |z[<M- Обозначим
Q(9)=ReP(e^ 5 (<p) = Im P (e^), — со <Ф <-foo.
Доказать, что:
1. Все нули тригонометрических многочленов <3(ф) и S(<p)
действительны (на промежутке [0,2я] каждый из этих многочленов имеет
ровно 2п нулей).
2. Между каждыми двумя нулями многочлена ф(ф) лежит ровно
один нуль многочлена 5 (ф), и наоборот. ,
Указание. Согласно принципу аргумента число нулей многочлена Р (z)
... 0(Ф)
в круге \z < 1 равно var ¦„,. .
23.22. Пусть 0<А0<й1<...<й„. Доказать, что функция
F (z)=а0 + #i cos z +... + ап cos nz
имеет только действительные нули.
Указание. См. задачи 2.29, 23.21.
23.23. Пусть функция (р(х) непрерывна и монотонна на отрезке
0 «^ х ^ а. Доказать, что функция
а
F(z) = ^ ф С*0 cos xzdx
о
имеет только действительные нули.
Указание. Записать интеграл как предел интегральной суммы.
23.24. Функция. Бесселя порядка п, /2 = 0, 1,..., определяется
равенством
J,
'•& = Ы J
е
\VfA
EL
Доказать, что функция Jn(z) имеет только действительные нули.
209

23.25. Пусть
P(z) = 2» + a12«-'+...+<zm
Q(x)=ReP(x), S(x)=\mP(x), —-oo<л:< oo.
Доказать, что все корни многочлена P(z) лежат в полуплоскости
1тг>0 в том и только в том случае, когда выполняются условия:
а) Многочлены Q(x) и S(x) имеют только действительные
простые нули къ..., Хп и \11г..., \in_! (занумерованные в порядке
возрастания);
б) Я, < \lt < К < • • • < fX„_! < V» В) S(X) < О, X >|1л-1-
23.26. Доказать, что многочлен г2 + aiz 4* а2 имеет все нули в
полуплоскости Ini г > 0 в том и только в том случае, когда
выполняются условия
Pi<0, ^-a^ + ^J^O,
где
ak~Reaki fik = lmak (?=1, 2).
ОТВЕТЫ
23.09.
1. 1. 2. 1. 3. 4. 4. 5. 5. 1. 6. 1. 7. 6. 8. 3.
§ 24. Изолированные точки ветвления
Пусть функция /(г) аналитична в кольце 0<z\z—a\<.r и не является
функцией, регулярной в этом кольце (т. е. неоднозначна). Тогда точка z~a
называется изолированной точкой ветвления для функции f{z).
Если число различных элементов функции f(z) в каждой точке кольца
равно п, то точка z~а называется точкой ветвления порядка п для
функции/(z). В случае, если число различных элементов функции/(г) в какой-либо
точке кольца бесконечно, точка г=а называется логарифмической точкой
ветвления для функции /(г) (или точкой ветвления бесконечного порядка).
24.01. Приведенные ниже функции аналитичны в кольце 0 <Z\z\ <Zl.
Определить характер изолированной точки ветвления г = 0.
1. ~. 2- УШA+,с), 1пA+гI2==0 = 0. 3.1п^±1.
4. Yz+Y*- 5- ШA/7 +г). 6. ~. 7. z^Yl 8. ^йТ7.
9. У sin nz. 10. In In-г. 11. Inctg-^-. 12. r/iiu.
Замечание. Приведенное выше определение различных видов
изолированных точек ветвления пригодно и для случая, когда функция / (г)
аналитична не в кольце 0<|z — a\<cr, а в произвольной односвязной области
с выколотой точкой г — а.
24.02. Указанные ниже функции аналитичны в конечной плоскости
с разрезом по отрезку [—1,1]. Определить характер изолированной
точки ветвления ? —оо.
1. ]/*(г2 — 1). 2. ln(z + ]/02— 1).
210

'/-?i.
In—^-р>0 при z>l. 4. In In г.
]/lnZ-±^( V"i^T>0 при z>l.
6. l/"ini±ii!zLi ^2-1<0приг>1.
У 2z '
24.03. Пусть z —a:—точка ветвления конечного порядка для
функций/(z) и g(z). Доказать, что для функций/(z)-\-g(z) n/(z)g(z)
она также является точкой ветвления конечного порядка, или
изолированной особой точкой однозначного характера.
24.04. Пусть z — a— точка ветвления порядка т для функции
f(z) и точка ветвления порядка п для функции giz). Определить
порядок точки ветвления z = a для функций f(z)-\-g{z) и f{z)g{z)
в предположении, что тип взаимно просты.
24.05. Решить предыдущую задачу, предположив, что тип
различны, но не обязательно взаимно просты.
Если функция f(z) аналитична в многосвязной области, содержащей
кольцо 0<|2 — а\<г, то функция f (z) распадается, вообще говоря, в этом
кольце на несколько ветвей. Для каждой из этих ветвей точка z = a является
изолированной точкой ветвления или изолированной особой точкой
однозначного характера. Особые точки этих ветвей называются особыми точками
функции /(z), лежащими над точкой z = a.
24.06. Следующие функции аналитичны во всей комплексной
плоскости с конечным числом выколотых точек. Определить число и
характер особых точек, расположенных над этими исключительными точками.
1. Vz(l—zf. 2. aictgz. 3. In (z + "Kz2+l)- 4- (arcsinzJ.
5. i^arcsin z. 6. prefer. 7. ]/ z arctg z. 8. f"^2
У z A —z) '
24.07. Пусть функция f(z) аналитична в кольце г < | z | <C R
(обозначим его через D), a fa(z)—какой-либо элемент этой функции
в точке z — a. Символом {fa(z)}m обозначим элемент, получаемый
из элемента fa (z) продолжением по окружности | z \ = \ а |,
проходимой т раз против часовой стрелки. Доказать, что для я-значности
функции /(z) в кольце D необходимо и достаточно, чтобы {fa (z)}m^?
7^/аО) При ОТ=1, 2, ...,Л—1, a {fa(z)}n=fa(z)-
24.08. Пусть z — a— точка ветвления порядка п для функции
f(z). Доказать, что выражение /(a-f-?") представляет собой п
функций, имеющих точку ? = 0 изолированной особой точкой
однозначного характера.
24.09. Доказать, что если функция /(z) имеет точку z = a
точкой ветвления порядка п, то ее можно представить в виде
/(z)=JF(y/T=^),
где функция F(w) имеет точку w = 0 изолированной особой точкой
однозначного характера.
211

Пусть точка z = a- является точкой ветвления конечного порядка для
функции f{z). Если существует предел
lim /(z)
z-ю,
(конечный или бесконечный) при произвольном стремлении точки z к точке а,
то точка z = a называется алгебраической особой точкой функции f (z).
24.10. Пусть функция f{z) регулярна в круге \z— a\<Zr, имеет
в точке г = а нуль порядка m и не имеет других нулей. Доказать,
п>—
что выражение у f{z) представляет собой:
а) если числа т и п взаимно просты, то функцию, аналитическую
в кольце 0<Z\z—a\<Zr и имеющую в точке z—a алгебраическую
точку ветвления порядка п;
б) если т делится на п, то п различных функций, регулярных
в круге \z — а \ < г;
в) если числа тип имеют общий наибольший делитель р,
l<Cp<Zn, то р различных функций, аналитических в кольце
0<С|<г — a\<Zr и имеющих в точке z — a алгебраическую точку
ветвления порядка nip.
24.11. Доказать, что утверждения а) и в) задачи 24.10 сохраняют
силу и в случае, когда функция /(г) имеет в точке z — a полюс
порядка т и не имеет в остальных точках крута \z — а\<Сг ни нулей,
ни полюсов.
24.12. Доказать, что функцию /(г), имеющую в точке z — a
алгебраическую точку ветвления порядка п, можно представить в виде
f (z)=F(yz — а), где функция F(w) регулярна в точке ?2> = 0 или
имеет в ней полюс.
24.13. Доказать, что функцию /(-г), имеющую в точке z = a
алгебраическую точку ветвления порядка п, можно представить в виде
/(^)=ёо(^) + (г-«>1/пй(^) + (^-«J/Г1&(-)+...
. ... + (z-a)("-V/ngn_1(z),
где функции gk{z) регулярны в точке z — a или имеют в ней
полюсы.
24.14. Пусть z = a — алгебраическая особая точка функции f{z).
Доказать, что существует кольцо 0-<|z — а\<С.8, в котором все
элементы функции f(z) не обращаются в нуль.
24.15. Пусть z — a — алгебраическая особая точка функций f(z)
и ^(z). Доказать, что для функций
/(*) + *(*), /(*) 8& ff|
точка z = a может быть только или алгебраической особой точкой,
или полюсом, или устранимой особой точкой.
24.16. Пусть z = c — алгебраическая особая точка функции f{z)
и lim f{z) = b, а w = b — алгебраическая особая точка функции F(w).
Доказать, что z = a — алгебраическая особая точка функции F[f(z)].
212

24.17. Пусть z — a — алгебраическая особая точка функции f{z)
и lim /(z) = ?, Ъ фсо, а функция F(w) регулярна в точке w = b и
г—*а
F' ф) ф 0. Доказать, что точка z — а является алгебраической точкой
ветвления одного и того же порядка для функций F[f(z)] и /(г)
(если F'(Ь) = 0, то порядок точки ветвления для функции F[f(z)]
может быть меньше, чем для функции /(г); см. задачу 24.10).
24.18. Пусть z = a — алгебраическая точка ветвления второго
порядка для функции f(z) и lim /(z) = ?, a w—b — алгебраическая
z—>a
точка ветвления третьего порядка для функции F (w). Каким может
оказаться порядок точки ветвления г = я для функции F[f(z)]
(указать все возможности)?
24.19. Решить предыдущую задачу для произвольных порядков
ветвления т и п (для функций f(z) и F(w) соответственно).
24.20. Доказать, что если точка z = a является логарифмической
точкой ветвления для функции f(z) и алгебраической особой
точкой для функции g(z) = ef &\ то предел g(z) при z-^a может
быть равен только или нулю, или бесконечности.
24.21. Пусть функция /(г) аналитична в кольце г<!|-г — a\<C.R.
Доказать, что выражение f(a-\-e?) представляет собой совокупность
конечного или бесконечного числа функций, регулярных в полосе
In r < Re I < In R.
24.22. Пусть z — a — изолированная точка ветвления функции/(г).
Обозначим
Af(p) = sup|/(*)|
| z—а; = р
(при нахождении верхней грани берутся значения всех элементов
функции f(z), получаемых из какого-либо одного' продолжением по
окружности \z — я| = р с любым числом обходов). Доказать, что
при р -> 0 функция М (р) не может стремиться к нулю быстрее
любой степени р.
Указание. См. задачу 14.41.
24.23. Доказать, что не существует отличной от тождественной
постоянной функции /(-г), аналитической во всей расширенной
плоскости с двумя выколотыми точками, и удовлетворяющей условию
|/(,г)|^1 для любого ее элемента.
ОТВЕТЫ
24.01.
1. Точка ветвления второго порядка. 2. Точка ветвления второго порядка.
3. Логарифмическая точка ветвления. 4. Точка ветвления шестого порядка.
5. Логарифмическая точка ветвления. 6. Логарифмическая точка ветвления.
7. Логарифмическая точка ветвления. 8. Логарифмическая точка ветвления.
9. Точка ветвления третьего порядка. 10. Логарифмическая точка ветвления.
11. Логарифмическая точка ветвления. 12. Логарифмическая точка ветвления.
24.02.
1. Точка ветвления второго порядка. 2. Логарифмическая точка ветвления.
3. Точка ветвления третьего порядка. 4 Логарифмическая точка ветвления.
5. Устранимая особая точка. 6. Точка ветвления третьего порядка.
213

24.04. тп.
24.05. Общее наименьшее кратное чисел тип.
24.06.
1. г=0 и г = 1 точки ветвления третьего порядка, над точкой z=co три
полюса первого порядка.
2. 2=i и z——i — логарифмические точки ветвления.
3. Над точкой 2=со две логарифмические точки ветвления (отвечающие
двум ветвям корня), над точками z = i и z=—i—бесконечное множество точек
ветвления второго порядка.
4. Над точкой z = co две логарифмические точки ветвления, над точками
z=\ и z =— 1 бесконечное множество точек ветвления второго порядка.
5. Над точкой z=oo две логарифмические точки ветвления, над точками
z=l и г= — 1 бесконечное множество точек ветвления второго порядка, над
точкой z = 0 одна точка ветвления третьего порядка и бесконечно много точек
регулярности.
6. z = i и z=—i — логарифмические точки ветвления.
7. z = i и z=—i — логарифмические точки ветвления, над точкой 2 = 0
бесконечно много точек ветвления второго порядка и две устранимые особые
точки.
8. г=1—точка ветвления второго порядка, над точкой z—0 две
устранимые особые точки.
24.18. Особой точкой однозначного характера, точкой ветвления второго,
третьего или шестого порядка.
24.19. Функция F (/ (г)) может быть однозначна или иметь точку
ветвления, порядок которой равен одному из делителей числа тп.
§ 26. Особые точки на границе области регулярности
Пусть функция f (z) регулярна в области D, ограниченной простой
кусочно-гладкой кривой, a L — кривая, лежащая в области D, за исключением
ее конца ?, расположенного на границе этой области. Если функцию /(z)
нельзя аналитически продолжить по кривой L в точку ?, то точка ?
называется особой точкой функции / (z).
Замечание. Нетрудно доказать, что при сделанных предположениях
относительно области D возможность аналитического продолжения функции
f(z) в точку ? не зависит от выбора кривой L (если, конечно, эта кривая
не выходит за пределы области D). Поэтому и понятие особой точки в
сделанных предположениях не зависит от кривой L (в общем случае произвольной
области это не так; см. задачу 25.06).
25.01. Пусть функция f(z) регулярна в области D, ограниченной
простой кусочно-гладкой кривой, а кривая L лежи г в области D, за
исключением ее конца ?, расположенного на границе этой области.
Доказать что если при некотором k
f(h)(z)-+cx> {z-^Ъ zeeL),
то точка ? — особая точка функции /(г).
25.02. Используя результат задачи 25.01, доказать, что все
регулярные ветви приводимых ниже функций в области D имеют точку ?
своей особой точкой (точка ? и область D указаны в скобках
после формулы для функции).
1. In г (? = 0, ? = оо; D: Rez>0).
2. arctg* (? = г, ?=— /; D: |г|<1).
214

3. Yz (? = 0, ? = oo; D: lm*>0>
4. ln(z + Vl+z»)(? = *, C=—i ? = co; D: Re^>0).
5. arcsin^ (?=li ?= —!> ? = co; Z3: lmz;>0).
6. zslnz A=0; ' D: \z— 1 | < 1).
25.03. Доказать, что все регулярные в области D ветви
приводимых ниже функций имеют особую точку в бесконечности (область
D указана в скобках):
- 1. ф- (О: 1тг>0). 2. -^ (D: Rez> 1).
Указание. Исследовать точку С = 0 для функции /A/С).
25.04. Доказать, что функция е~Aп2J допускает выделение
регулярных ветвей в полуплоскости Re z > 0 и что каждая из
ветвей имеет особые точки z = 0 и г = со.
25.05. Функция (\-\-iY^z) имеет две ветви, регулярные в
верхней полуплоскости. Доказать, что точка z = oo является особой
точкой для обеих ветвей, а точка z=-— 1 —только для одной из них.
25.06. Пусть/(г) — регулярная ветвь функции (l -\-i Y^z)~2,
определяемая условием Y'z > 0 при z >> 0. Доказать, что если
функцию f(z) рассматривать только как функцию в верхней полуплоскости,
то точка z=-—1 является для нее особой точкой, а если как
функцию только в нижней полуплоскости, то не является особой.
оо
С e~iz
25.07. Доказать, что функция f(z)~ V dt регулярна
j у 1 -f- ft
о
в полуплоскости Rez;>0 и что точка г = 0 является для нее особой
точкой.
25.08. Пусть функция o(t), непрерывная и положительная при
t ^ 0, удовлетворяет условию
—М In t^ In y(f)^M\nt ^52=1).
оо
Доказать, что функция /(г) = ^ y(f)e~tzdt регулярна в полуплоско-
о
сти Re z ^> 0, и что точка z = 0 является для нее особой точкой.
25.09. Пусть функция <р(t) непрерывна при ^0 и
удовлетворяет условию
| ср (t) — еш | ^ Ме~и, t S& 0 (Ь > 0, — оо < а < оо).
ОО
Доказать, что функцию f(z) =\ ®(f)e"tzdt можно аналитически про-
о
должить на полуплоскость Rez^> — В с выколотой точкой z = ia,
. в которой эта функция имеет простой полюс с главной частью —__.--.
215

25.10. Доказать, что аналитическое продолжение каждой из
следующих функций не имеет во всей плоскости никаких особых точек,
кроме полюсов. Найти все полюсы этих функций и главные части
в этих полюсах.
со со
1. [ e'tS dt, a>0.
о ' о
оэ со
3. [ е Z dt. 4. [ €1 -dt, а>0, В>0. .
о о ' '
25.11. Пусть функция y(f) непрерывна и положительна на от-
1
резке [0, 1]. Доказать, что функция f(z) = \ j^-dt, регулярная при
о
lmz;>0 (и даже во Есей плоскости с разрезом по отрезку [0, 1]),
имеет особые точки при z = 0 и z=l.
25.12. Пусть функция <р@ регулярна в некоторой области, содер-
1
жащей отрезок [0,1]. Доказать, что функция f(z)=^\-~^dt, регу-
6
лярная при lmz>0, имеет особые точки при z = 0 и z—1.
со
25.13. Пусть радиус сходимости ряда /(z) = ^ anzn равен еди-
и==0
п
цице и все коэффициенты ап действительны. Обозначим Sn— У] ak.
/г = 0
Доказать, что если Sn -*¦ + со или Sn -*¦ — со, то точка z = 1 — особая.
со
Указание. Использовать тождество /(z) = (l—z) \\ Snzn.
n=o
25.14. Доказать, чго если на окружности круга сходимости ряда
со
f(z) — 2 а„2гя имеется хотя бы один полюс f(z), то ряд расходится
п — й
во всех точках этой окружности.
25.15. Пусть последовательность \сп), п = 0, 1, 2, ...
удовлетворяет условию
l^ + AT'^-KJ^i, я = 0, 1, 2,..., (Я>1, -оо<а<оо).
со
Доказать, что функцию f(z) = ^ ?Я2Я можно аналитически продол-
м = 0
жить в круг \z\<ZR с выколотой точкой _г = е'а, причем в точке
z = e'a функция/(г) имеет простой полюс с главной частью A {z—е1")'1.
25.16. Доказать, что если функция f(z) регулярна в круге | z j ^ R,
за исключением простого полюса в точке Reta, с главной частью ¦_р-^,
216

то
Л = 0
где
ICn + AR-^e-'^^K-^^., я=0, 1, 2, ...(s>0).
25.17. Доказать теорему: Для того чтобы функция f{z) была
регулярна в круге |-,г|<СЯ, R^>\, за исключением полюсов в
точках еш!, ..., eia™ порядков sv ..., sm соответственно, необходимо и
достаточно, чтобы последовательность {сп} коэффициентов ее ряда
Тейлора в точке z = 0 удовлетворяла условию
lim
П-+СО
т
1/п
де Pk(n) — некоторый многочлен степени sk.
оо
25.18. Пусть ряд f(z)= J[] anzn имеет на границе круга схо-
ге=0
димости лишь одну особую точку, а именно полюс z = z0 порядка т.
Доказать, что ап=—-—[1 -\-г(п)], где e(w)->0, при я—»-оо, А— по-
Z
стоянная, АфО.
25.19. Доказать, чго если на границе круга сходимости степен-
00
ного ряда f(z) = ^У] апгп лежит лишь одна особая точка z = z0, явля-
и = 0
ющаяся полюсом для /(-г), то существует предел
lim —-—=z0
/г —оо ап + 1
оо
25.20. Обозначим Фц (г) = 2 n~azn (| z \ < 1). Доказать, что
при Re а > 0 имеет место равенство
ф«(г»=щ1т^й A*'<')-
о
Указание. Воспользоваться тождеством
оо
f ta~4~nl М = Ц? (Reа >0, п>0).
J па
о
25.21. Опираясь на результат предыдущей задачи, доказать, что
при Rea>0 функцию Фа(г) можно аналитически продолжить на
всю комплексную плоскость с разрезом по лучу A, +°°)*
217

25.22. Доказать, что функцию Фа (z) при. любом а можно
аналитически продолжить на всю комплексную плоскость с разрезом
по лучу A, +оо).
25.23. Обозначим -фа, т {z) =. J] n~a (In ri)mzn (j г [ < 1). Здесь а —
п = \
произвольное комплексное число, a m—целое положительное число.
Доказать, что функцию i])a> m {z) можно аналитически продолжить на
всю комплексную плоскость с разрезом по лучу A, -j-00)-
Указание. Продифференцировать по а тождество из указания к
задаче 25.20.
Задачи 25.24 — 25.28 существенным образом опираются на теорему:
Сумма степенного ряда имеет хотя бы одну особую точку на границе
круга сходимости этого ряда.
оэ
25.24. Пусть радиус сходимости ряда f(z)= ^ cnzn равен R,
0<С^<оо. Введем обозначение:
/(Л)(ге/ф)
п\
\/п
, 0<r<R, 0^ф<2я.
v(r, ф)= Нш
Доказать, что: /
а) функция v(r, ф) является непрерывной функцией г и ф и
удовлетворяет неравенству v(r, q>)^(R— г)'1;
б) max v(r, ф) = -р—-
в) если v(r, ф) = р _ t то точка z—Re{v является особой точкой
функции f(z);
г) если v(r, ф)<р—, то точка z = Re1^ не является особой
точкой функции /(г).
25.25. Пусть f(z)= ^ cnzn, lim |си|1/"=1» и все коэффици-
п=0 п-»со
енты сп неотрицательны. Доказать, что точка z = 1 — особая точка
функции f(z).
25.26. Доказать, что утверждение задачи 25.25 остается в силе
и при более слабых предположениях:
Recn^0 (w>w0), lim (Recw),/n=1-
п—»оо
25.27. Пусть р и q—некоторые целые положительные числа,
оо
а радиус сходимости ряда /(г) — ^] cnznp+9 равен единице. Дока-
зать, что:
а) функция f(z) имеет не менее р особых точек на
окружности |г|=1;
218

б) если z0=el(t—особая точка функции f(z), то точки
zk = e\ + р К k=l, 2, ...,/?-1,
также являются ее особыми точками.
оо
25.28. Пусть радиус сходимости ряда f(z)= ^ cnzn равен еди-
нице и пусть сп = 0, когда п делится на р (здесь р—целое
положительное число). Доказать, что:
а) функция f(z) имеет на окружности |<г|=1 не менее Двух особых
точек;
б) если z0=eia—особая точка функции /(г), то среди точек
zk = e \ р >, k=l, 2, .... р—1,
есть еще хотя бы одна ее особая точка.
Указание. Воспользоваться легко проверяемым тождеством
р — 1 / 2nki\
2 /U р )=°.
25.29. Доказать, что каждая точка окружности | z [ = 1 является
особой точкой для функций
оо оо
л = 0 гг=0
оо
25.30. Пусть радиусы сходимости рядов f{z)= _]У] enzn и ёГ(-г) =
оо
= 2 ^л^71 соответственно равны г и R.
п = 0
Обозначим через аь а2, ... особые точки функции /(г) на
окружности |z[ = r, а через р\, C3, •••—особые точки функции g{z)
со
на окружности | г | = R. Доказать, что если функция F (z) = Jv] aJ>nZn
п = 0
имеет особые точки на окружности | z \ = rR, то эти особые точки
могут находиться лишь в точках вида z — ak$m.
Указание. Воспользоваться формулой
'«-i \ «Цт)т
(р выбрать так, чтобы ряды для / (t) и gi-j-) сходились на
окружности |^!=p)i затем надлежащим образом деформировать контур
интегрирования.
оо
25.31. Пусть радиус сходимости ряда /(г) = 2 сп?п равен R,
п = 0
0 <С R <С со, и пусть функция /(г) имеет на окружности J z \ — R
219

ровно одну особую точку z — Rel*. Дсказать, что при любом s функция
со
fi{z)— ^ nscnzn имеет на окружности |,г| = Я ту же самую особую
точку (и не имеет других особых точек).
ОТВЕТЫ
25.10.
1. Полюсы z=—an, где и —0, 1, 2, ..., с главными частями ^—г——.
z-\-an
2. Полюсы г=—an, где п = 0, 1, 2, ..., с главными частями
(-1)в(я + 1)
{z + anf ¦ V
3. Полюсы 2 = —п, где л = 0, 1, 2, .... с главными частями —¦,— .„ ,,.
(z-\-n)n+l
4. Полюсы z = — л, где л = 0, 1, 2, .... с главными частями -—г-^-ап.
г-\-п
§ 26. Обратные и неявные функции
Следующие задачи рассчитаны на использование теоремы Руше (см.
задачу 23.07) и теоремы о вычетах.
26.01. Пусть функция f(w) регулярна в круге \w—w0\^r и
удовлетворяет условиям
f(wQ) ф 0, | f(w) | ^ М (\w — w0\ ^ г).
Доказать, что для любого z из круга \z — z0\<Cr/M уравнение
w — w0=(z — z0)f(w)
имеет в круге \w—w0\^r ровно одно решение w(z).
26.02. При выполнении условий задачи 26.01 доказать
справедливость формулы
. 1 С 1—(z—*о)/'И / w
к ' ° ' 2ni J w — wQ—(z — zQ)f(w) v Ujf
I Ш — ШH ( == A
Указание. Вычислить интеграл в правой - части формулы с помощью
теоремы о вычетах.
26.03. При выполнении условий задачи 26.01 доказать, что
w(z) = w0-t- У] cn(z — zQ)n,
л= 1
где
1
Cn~~'2nin
С / /(^) \п л 1 ^П г<г, чш
\w — w0[ — r
26.04. Пусть выполнены условия задачи 26.01 и пусть, кроме
того, имеется функция F(w), регулярная в круге \w—w^\^r.
220

Доказать, что
оо
F(w(z))^F(w0)+-J] cn{z-z^\
где
26.05. Пусть выполнены условия задачи 26.04. Доказать, что
сю
1 - (z - z0) f (w(z)) ~ Li п К о) *
/1=0
где
26.06. Пусть w(z)—решение уравнения w = zeaw, регулярное
в точке 2 = 0. Доказать, что
1. ¦Hz)=2"^!~'Z' 2- eawB)=-l+a2
уП— 1 '
п!
/г=1 /г= 1
26.07. Пусть w — целое положительное число, а w(z)—решение
уравнения w — zeaw , регулярное в точке 2 = 0. Доказать, что
w (z) = > —-—-2—?— znmn.
n=0
26.08. Пусть a —произвольное комплексное число, а w(z) —
регулярная в точке z = 0 функция, удовлетворяющая уравнению w =
= \-\-zwa и условию та>@)=1. В предположении, что для функции
[®>B)]а выбрана в окрестности точки 2=0 регулярная ветвь, равная 1
при 2 = 0, доказать формулы:
со
1. w(z)=i+*+ 2t ~w — *";
/1=2
2. 1па,(г) = г+^^ + Cк-'2>^-2>г3 + ..,.
26.09. Пусть функции f(w) и ^Сйу) регулярны при \w\^r и
/@)^0. Доказать, что при достаточно малых значениях \z
уравнение w — zf(w)-\-z2g(w) имеет в круге \w\^r ровно одно
решение w(z) и что для этого решения при достаточно малых
значениях | z ] справедлива формула
- ч 1 С 1— Zf'(w)~Z»ff'(w) .
да(^) = о—¦ V -тгк ¦> , / w dm.
v ' 2ш j w — zf(w) — z2g(w)
221

26.10. Пусть w (z)—функция, определенная в задаче 26.09.
оо
Доказать, что w(z)= ^cnzn, где
[n/2] -ft-
'<¦= 2 И^г^(*-й1гМ]'}|..0.
26.11. Пусть функции Л(ш), ..., fm(w) регулярны в круге
\w\^r и пусть Л@)9^0. Доказать, что при достаточно малых
значениях | z ] уравнение
w^zA{w) + ... + zmfm{W)
имеет в круге | w \ ^ г ровно одно решение w (г) и что для этого
решения справедлива формула (также при достаточно малых
значениях | z |)
W^)~2ni ) w-zfl{w)-...-.z>nfmiw)WClW-
26.12. Пусть функция f(w) регулярна в круге \w—w0\^r и
удовлетворяет там неравенству 0 <c\f(w)\^M. Доказать, что
для всех z, удовлетворяющих условию 0<Z\z— ^ol^yiJ» УРавие"
ние (w—w0)m*=(z — z0)f(w) имеет в круге \w—T'd^r ровно т
решений и что все эти решения описываются формулой z =
~y\\fz— z0), где функция ф(?) регулярна в круге \^\^гМ—^т
и ф' @) ф 0.
Указание. Показать, что исследуемое уравнение равносильно
уравнению w — иH= -fz—г0^(ау), где Д(и))= ^ffip) (для корня выбирается любая
ветвь, регулярная в круге \w — wQ J ^ r).
26.13. Пусть функции fi{w), f2(w), ..., fn(w) регулярны в
круге \w\^r и пусть fi@)^0. Доказать, чго для всех г,
удовлетворяющих условию 0 <С | z | <С р, где р > 0 достаточно мало,
уравнение wm —zfx{w)-{-...-{-zmfn(w) имеет в круге \w\^r ровно
/я решений и что все эти решения описываются формулой w =
= Ф \У~г), где функция ф (?) регулярна в некоторой окрестности
точки ? = 0 и ф'@)=^0.
26.14. Пусть w(z)—функция, регулярная в некоторой
окрестности точки г = 0 и удовлетворяющая условиям w=-zeaw -\-az2ebwy
w(Q)=0.
СО
. Доказать, что w(z)= ? cnzn, где
n=\
[л/2] k
v a [{n—2k)a-\-kbf~k-K
?i k\(n~2k)\
222

26.15. Пусть w(z)— функция, аналитическая в некотором
кольце 0<Z\z—1]<!р и удовлетворяющая условиям
Доказать, что
w(*) = _l+yT=i(l_2l(*--l) + 2». ~(г-1J-
26.16. Пусть -гу (-г)—регулярное в точке z — О решение
уравнения w = zew. Доказать, что в некоторой окрестности точки г —О
имеет место разложение
__ -( »(«+|Г
Vw(z)=vz i+ 21 -—^^
\ п=1
26.17. Пусть w(z)—функция, имеющая в точке z = co полюс
первого порядка и удовлетворяющая уравнению
(йу-f- lK — zw2
Доказать, что в некоторой окрестности точки 2=со имеют место
разложения:
1 1 _ i 11 i X 3nCn—l)...Bn + l) _М
•k)(z)~"z\ + Zj (л+1)! гЛГ
i_ 11 д_ X ЗпCя—1)...(я+1) Л
1 1 /
2.
j/w(z) Kz
1 п= 1
26.18. Пусть функция F(z, w) является регулярной функцией
переменных z и w при \z — z0|^r, \w — w0\^R, т. е.
ОО 00
F{z, w)= У) 2 Abniz — ztfiw—w^,
k=On=0
и пусть функция f0(w)=F(z0, w) имеет в круге |та>—w0\^R
только один нуль в точке wQ (первого порядка), Доказать, что при
достаточно малом значении \z—z0\ уравнение F(z, та>)=0 имеет в
круге \w—w0 \^R ровно одно решение w{z) и что для этого решения
справедлива формула (также при достаточно малых значениях \z—z0\)
г \ 1 Г F'wlz, w) ,
v ' 2m J F (z, w)
\w — w0\=R
26.19. Пусть функция F (z, w) является регулярной функцией
переменных z и w при \z — z0\^r, \w — wq\^lR и пусть функция
/о(w) — F(z0, w) имеет в круге \w—wQ\^R один нуль порядка т
в точке w = w0 и не имеет других нулей. Доказать, что если
223

F'z (zQ, w0) ф О, то при z, удовлетворяющих условию 0 <; ] z—z0 \ <Z p,
где число р>0 достаточно мало, уравнение F(z, w) — 0 имеет
в круге \w—ге»о!^^ ровно т решений и что эти все решения
( ТП/ ^
описываются формулой w~q)\y z—z0) где, функция ф(?)
регулярна в точке ? = 0 и ф' @) ф 0.
* * *
Пусть \p(z) — действительая функция, определенная в области D
комплексной плоскости, а к—некоторое действительно число. Множество Е^,
состоящее из точек области D, в которых функция ty(z) принимает значение к,
называется множеством уровня функции ty(z), отвечающим значению к.
Множество уровня произвольной непрерывной функции может быть
устроено очень сложным образом. Строение множества уровня модуля или
действительной части функции, регулярной в области D, значительно проще. В
приводимых ниже задачах исследуются свойства именно таких множеств. Решение
большинства этих задач рассчитано, на использование теоремы о существовании
обратной функции, формулировку которой приведем:
Пусть функция / (г) определена на множестве Е. Функцию <р (иу),
определенную на множестве Elt мы будем называть функцией, обратной к функции / (г),
если значения функции q> (w) в каждой точке множества ?х лежат на множестве Е
и если для каждой точки w ^ ?г имеет место равенство f (q> (w)) — w.
Если функция f (г) регулярна в некоторой окрестности точки г0^оэ и
V (zo) Ф 0. то существует функция <р (w), обратная к функции / (z),
определенная и регулярная в некоторой окрестности точки иу0=^(г0). Кроме того,
, все обратные функции такого вида совпадают в некоторой окрестности точки
а)о = /(го). если совпадают их значения в точке w0.
26.20. Пусть простая гладкая кривая С лежит в области
регулярности функции f(z0) и не проходит через точки, в которых
функция /'(г) обращается в нуль. Доказать, что:
1. Если на кривой С функция Re/(^) сохраняет постоянное
значение, то функция \mf(z) при движении точки z по кривой С
меняется монотонно.
2. Если на кривой С функция |/Сг)| сохраняет постоянное
значение, то функция arg/(z) при движении точки z по кривой С
меняется монотонно.
Указание. Воспользоваться уравнениями Коши — Римана.
26.21. Пусть функция f(z) регулярна в некоторой окрестности
точки z0 Ф со и / (z0) ф 0. Обозначим через Е0 множество уровня
функции Re/(z), отвечающее значению X=Re/(z0). Доказать, что
часть множества Е, лежащая в достаточно малой окрестности точки z0,
совпадает со множеством точек простой гладкой кривой, проходящей
через точку г0.
26.22. Доказать, что утверждение задачи 25.21 сохраняет силу
и для множества уровня функции j/(z)|. .
Для краткости, множество уровня, совпадающее с множеством точек
простой гладкой кривой, будем отождествлять с этой кривой.
26.23. Пусть функция f(z) регулярна и имеет отличную от нуля
производную в замыкании D ограниченной области D. Доказать, что
множество уровня функции Re f(z) или |/(^)|, отвечающее произ-
224

вольному фиксированному значению Я, состоит из конечного числа
простых гладких кривых (они могут вырождаться в точки).
Гладкая .кривая С называется открытой аналитической дугой, если эта
кривая имеет хотя бы одно уравнение вида z = z (t), a^t^b, где функция z (t)
регулярна и имеет отличную от нуля производную в некоторой области,
содержащей интервал (а, Ь).
Гладкая замкнутая кривая называется замкнутой аналитической кривой,
если она имеет хотя бы одно уравнение вида z = z(t), a^t^b, где
функция 2 (/) регулярна в некоторой полосе — Ь <С Im t < б, имеет там отличную от
нуля производную и периодична с периодом Ъ — а.
26.24. Доказать, что при выполнении условий задачи 26.23
каждая из кривых, входящих в множество уровня, является не только
гладкой, но и аналитической кривой.
26.25. Пусть функция f(z) регулярна в точке z0 ф со и ее
производная имеет в точке z0 нуль порядка т—1. Доказать, что в
достаточно малой окрестности точки z0 множество уровня
функции Ref(z), отвечающее значению A,=Re/(z0), состоит из самой
точки z0 и из выходящих из нее 2т простых открытых
аналитических дуг. При этом углы, образуемые в точке каждой парой
соседних дуг, равны между собой.
26.26. Доказать, что утверждение задачи 26.25 сохраняет силу
и для множестве уровня функции |/(z)|.
26.27. Пусть функция f(z) регулярна в замыкании D области D.
Доказать, что множество уровня функции Re/(z) или |/(<г)|,
отвечающее произвольному значению Я, состоит из конечного числа
простых аналитических замкнутых кривых, открытых простых
аналитических дуг и точек. Простые открытые аналитические дуги могут
соединяться между собой (своими концами) лишь в тех точках
области, где обращается в нуль функция f (z).
26.28. Пусть f(z)—рациональная функция. Множество уровня
функции Re f(z), отвечающее значению Я = 0, разбивает комплексную
плоскость на конечное число областей D±,..., Dn. Доказать
следующие свойства областей Dk-
1. Каждая точка плоскости является внутренней точкой одной из
областей D* или граничной точкой четного числа таких областей.
2. На границе области Dk лежит хотя бы один полюс функции /(г).
3. Если Re /(г) 5? О (г ? А0> т0 каждое значение w,
удовлетворяющее условию Re ш ^ 0, принимается функцией /(г) в области Dk
ровно V?+l раз, где vk — число нулей функции f'(z) в области Dk.
26.29. Пусть функция /(г) регулярна в области D, имеющей точку
z—со своей граничной точкой, и во всех ее конечных граничных точках.
Доказать, что если Re/(,г) = Я на границе области D, то функция
f(z) принимает в области D одинаковое число раз все значения w,
удовлетворяющие условию Re w > Я ' (но это число раз может быть
равно бесконечности).
26.30. Выяснить, при каких значениях Я множество уровня
функции j z2—1 [, отвечающее значению Я, состоит из одной гладкой
простой замкнутой кривой.
8 Под ред. М. А. Евграфова
225

26.31. Пусть Р (z)— многочлен степени п, имеющий нули только'
первого порядка. Обозначим через ах..., ап_х нули его производной,
а через %к величины Xfe = |P(afe)j. Доказать, что:
1. При 0<Д-<тт Xfe множество точек комплексной плоскости,
k
удовлетворяющих неравенству | Р (z), <С К состоит из п попарно
неперекрывающихся областей.
2. При Xl>maxXft множество точек комплексной плоскости, удо-
k
влетворяющих неравенству | Р (z) | <С X, представляет собой конечную
односвязную область.
26.32. В обозначениях предыдущей задачи допустим, что все
величины %k различны и что "кг <С^2<•••<Ki-i- Доказать, что при
^¦т < ^ <С ^-те+1 множество точек комплексной плоскости,
удовлетворяющих неравенству \P(z)\<ck, состоит из п — т попарно
неперекрывающихся односвязных областей.
26.33. Пусть функция f(z) регулярна в замыкании D
ограниченной односвязной области D, граница которой является множеством
уровня функции }f(z)r Доказать, что если функция f(z) отлична
ог тождественной постоянной, то число нулей функции f{z) в области
D на единицу больше числа нулей функции f'(z) в области D.
Указание. Пусть z = z (t), O^t^l,—параметрическое уравнение
граничной кривой области D, в котором в качестве параметра t взята длина дуги
этой кривой, отсчитываемая от какой-либо ее точки. Тогда f(z {t)) = Re1^ ,l\,
где R — постоянная. Доказать, что 6 (t) — монотонно возрастающая функция,
а затем выразить (опираясь на принцип аргумента) через функцию б (t) число
нулей в области D функций /(г) и /'(z).
26.34. Пусть функция /(z) регулярна в замыкании D
ограниченной /л-связной области D, граница которой является множеством
уровня функции | /(г) |. Доказать, что если функция /(г) отлична от
тождественной постоянной, то она имеет в области D не менее т нулей.
Указание. Применить подход, описанный в указании к предыдущей
задаче.
* * *
26.35. Пусть w(z) — функция, регулярная в точке 2=0 и
удовлетворяющая уравнению w—zew. Найти радиус * сходимости ряда
Тейлора в точке z=0 следующих функций:
1 1 о 1±^М о " 1 4 1
2~w(z)- *' 1—да(г)" 1— 2w(z)m l+2w(z)m
Указание. Радиус сходимости ряда для функции w (г) можно
вычислить по коэффициентам этого ряда (см. задачу 26.06); для остальных
функций следует вычислить расстояние от точки 2=0 до ближайшей особой точки
функции, разлагаемой в ряд.
26.36. Пусть функция w{z) регулярна в точке Z—0 и
удовлетворяет уравнению ew—l=zeqw, w@) — 0. Найти радиус
сходимости ряда Тейлора в точке z — 0 для функций
226

26.37. Пусть P(w)— многочлен, имеющий в точке w — О нуль
первого порядка, a ait я9, .... ап—нули Р'(w). Через w(z)
обозначим регулярную в точке г=0 функцию, удовлетворяющую условиям
P(w) = z, w@) = 0. Доказать, что радиус сходимости ряда Тейлора
для функции w(z) в точке г = 0 равен одному из чисел \P(ak)\,
?=1, 2, ..., п.
26.38. Пусть R(w)— рациональная функция, имеющая в точке
w — О нуль первого порядка, а ах, а*, .... ап — нули ее производной.
Через w(z) обозначим регулярную в точке 2 = 0 функцию,
удовлетворяющую условиям R(w) — z, &у@) = 0. Доказать, что радиус
сходимости ряда Тейлора для функции w{z) в точке 2 = 0 равен
одному из чисел \R(ax)\t \ /?(%), ..., |/?(а„),, |/?(оо)|.
26.39. Доказать, что утверждение задачи 26-38 сохраняет силу и
в случае, если R(z) не рациональная функция, а функция, не
имеющая в конечной части плоскости особых точек, отличных от полюсов.
Однако при этом под символом R(co) мы должны понимать все
асимптотические значения функции R(z), т. е. значения, к которым
стремится функция R(z) по какой-либо кривой, уходящей в
бесконечность.
26.40. Пусть P(w) — многочлен с неотрицательными
коэффициентами разложения в ряд Тейлора в точке w — Q и пусть Р@)>»0.
Обозначим через w(z) функцию, удовлетворяющую условиям w —
— zP(w), w@) = 0. Доказать, что радиус сходимости ряда Тейлора
для функции w{z) в точке z = 0 равен D ... , где Я,—наименьший
у км
положительный корень уравнения Р (к) = %Р'(к).
26.41. Доказать, что утверждение задачи 26.40 сохраняет силу
и в случае, когда Р (w) не многочлен, а функция, не имеющая в
конечной части плоскости особых точек, отличных от полюсов.
26.42. Пусть функции fi(w),..., fm(w) обладают свойствами:
а) они регулярны в точке а» = 0 и все коэффициенты их
разложений в ряд Тейлора неотрицательны;
б)Л@)>0;
в) они не имеют в конечной части плоскости особых точек,
отличных от полюсов.
Обозначим через w(z) регулярную в точке z — О функцию,
-удовлетворяющую условиям w = z /j (w) -J- ... -f- zmfm (w), w@) = 0.
Доказать, что радиус сходимости Тейлора для функции w(z) в точке
2 = 0 равен наименьшему из значений %k в парах положительных
чисел (kk, ,ufe), удовлетворяющих системе уравнений
[X = X/1(Li,) + ... + rI/m(Ll), l=V'l(fX) + ... + ^/OT(fX).
26.43. Найти радиус сходимости ряда Тейлора в точке z — 0
для функций w{z), регулярных в точке z — 0 и удовлетворяющих
условиям:
1. w3— 6w2-\-9w = z, и>@) = 0. 2. we-w~w2 = z.
3. w = z (w -f- I) (w 4- 3)а, w (О) = 0.
8*
227

4. w(w + 2)=z(w+l)(w+3), w@) = 0.
5. w = zew-\-z*e*w, w@) = 0.
6. w=z(l+w)-{-±-z3(l+wY, «p@)«0.
26.44. Доказать, что радиус сходимости ряда Тейлора в точке
z = 0 для функции w(z), удовлетворяющей условиям
w=l+zwa, w@)=(^@))a=l (а>1)
равен <хга (а — 1)а_1.
* * *
26.45. Пусть P(z) многочлен. Доказать, что на границе области
оо
сходимости ряда f(z) = ^ сп (Р (Z)T лежит или особая точка функ-
1
ции f(z), или точка, в которой функция Р' (z) обращается в нуль.
26.46. Доказать, что ряд
1 / 2z \ ' 1 / 2г у 1*3 / 2г \* . ЬЗ-5 / 2г \з
2 \1+*/~*~2-4\1+г»у + 2-4.6 \1+&) +2-4-6-8 \1+а«/ ~"~?**
равномерно сходится на всей действительной оси и найти его сумму.
оо
—j— zn~1e-nz равномерно сходится
при 2^0и найти его сумму.
vi Bn4-V)in
26.48. Доказать, что ряд > Г2 4-П1 z е~ равномерно сходит-
71=0
ся при 0 =s: z <i оо и найти его сумму.
* * #
26.49. Пусть функция w{z), регулярная в точке 2 — 0,
удовлетворяет уравнению w=zew. Доказать, что:
1. Функция w(z) регулярна *в круге \z\<L\(e и точка 2 = 1/е
является ее особой точкой.
2. Функцию w(z) можно аналитически продолжить по любому
пути, не проходящему через точки z—1/e,. z~0 и z—co.
1
3. Аналитическое продолжение функции w (z) в кольцо \z
<7
приводит к функции, аналитической в этом кольце и имеющей в точке
z — l/е изолированную точку ветвления второго порядка.
26-50. Пусть w (z) — функция, регулярная в точке г=0и
удовлетворяющая условиям
ew-l=~zeaw> ^@) = 0 (а>1).
Доказать, что: -
1. Функция w(z) регулярна в круге ]2]«<- ^ и точка
z — - ^ является ее особой точкой.
аа
228

2. Функцию w(z) можно аналитически продолжить по любому
пути, не проходящему через точки ,г = 0, ,г = со, z—- j eik«iaf
(fc = 0, ±1, ±2, ...)•
3. Аналитическое продолжение функции w(z) в кольцо
(а 1)я_1
- — <Ср приводит к функции, аналитической в этом кольце
а"
(а—1)°-1
и имеющей в точке z = - изолированную точку ветвления
второго порядка.
26.51. Пусть F (z, w) — многочлен от z и w, удовлетворяющий
условиям F@, 0)=0, Fw@, 0) ^ 0. Обозначим через w(z) функцию,
регулярную в точке z'—О и удовлетворяющую условиям F(z, w(z))~ 0,
<а>@) = 0. Доказать, что функцию w(z) можно аналитически
продолжить по любому пути, не проходящему через точки zv z2, ..., z№
удовлетворяющие системе уравнений
F (z, w) = 0, Fw (z, w) — 0
(после исключения из них переменной w).
26.52. Пусть функция w (z) регулярна в точке z = 1 и
удовлетворяет условиям w3 — 2wz-\-z3 = 0, w(l)=l. Доказать, что функцию
w{z) можно аналитически продолжить в кольцо 0 <| z — 1 j < 1, и
<6 'А /
выяснить характер изолированной точки ветвления z = -^y2 для
2
точки ветвления z =
полученной аналитической функции.
ОТВЕТЫ
26.35.
1. 2/еа. 2. 1/е. 3. 1/2/е-. 4. 1/е.
26.36.
1. 1/4. 2. 1/4. 3. (е— 1)/е2. 4. 1/4.
26.43.
1. 4. 2. 1/А 3. 4/135. 4. 1. 5. у е-3'4. 6. 2/5.
26.46. г при —lsgizsgl; 1/z при z<—1 и при г>1.
26.47. 1 при O^z^ 1/е; при z> 1/е сумма равна функции и (z), обратной
к функции z = г- @ < « (z) < 1).
26.48. 1 при Osgzs^ 1/е2; приг> -^ сумма равна функции и (г), обратной
к функции z= I/4 а @ < и < 1).
26.52. Изолированная точка ветвления второго порядка.

Глава V
ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
§ 27. Разложение мероморфных функций в ряды простейших
дробей и в бесконечные произведения
Функция называется мероморфной в области D, если она не имеег в этой
области особых точек, отличных от полюсов. Функция, мероморфная во всей
конечной плоскости, называется для краткости мероморфной функцией.
27.01. Пусть f(z)— мероморфная функция с полюсами av a2, ...,
имеющими главные часги g(z; ах), g(z; a2), ..., соответственно.
Конечную область G будем считать ограниченной простой
кусочно-гладкой замкнутой кривой С, не проходящей через полюсы функции f(z).
Доказать, что в области G функцию f(z) можно представить в виде
/(*)=Л(*)+2*(*;а*Х
где функция fx(z) регулярна в области G и равна
с
27.02. Пусть f{z) — мероморфная функция с полюсами av a%, ...,
имеющими главные части g{z\ ах), g(z\ о2),..., соответственно.
Предположим, что существует последовательность конечных областей Dn,
ограниченных простыми кусочно-гладкими кривыми Сп, обладающая
свойствами:
1. Каково бы ни было число R>0, области Dn при n>n0(R)
содержат круг | z | <; R.
2. При л->оо имеем \ \f(z) |.' |_^1 ¦-> 0. Доказать, что
f(z)~ 2 g(z;ak)-+0 (л->оо),
причем стремление к пределу равномерно но z в любой
ограниченной части плоскости.
27.03. Пусть /B) —мероморфная функция с полюсами ах, аг, ...,
имеющими главные части g(z; ax), g(z; a2), ..., соответственно.
Обозначим символом G (pv p2, . - •) плоскость z с выброшенными
из нее кругами \z — ak\^pk> k—l, 2, ..., Предположим, что
радиусы рх, р2, ... можно выбрать такими, чтобы:
230

1. Круги \z — ak\^pk> k=l, 2, ..., не имели попарно общих точек.
2. При всех zeG^, р2, ...) выполнялось неравенство
!/(г)!^е(И),
где е (t) ->¦ 0 при ? -> + °° ¦
Доказать, что
/(-г)- Ц *(*",<»»)-> 0 (#-^оо),
причем стремление к пределу равномерно по г в каждой
ограниченной части плоскости.
Указание. Воспользоваться результатом задачи 27.02. В качестве
области Dr взять часть области G (рь р2, ...), лежащую в круге \z\<R и
дополненную кругами j z~ak \ ^ pk, | ак [ < R.
27.04. Доказать формулу
га
Л Ctg Л Y^Z 1
=1+2
т/Т z ' ^ z—/z2'
и убедиться, что ряд, стоящий в правой части этой формулы,
равномерно сходится в каждой ограниченной части плоскости.
оо
Примечание. Ряд V uk> члены которого могут обращаться в беско-
k=\
нечность, мы будем называть сходящимся, если для любого е > 0 можно
указать такое TV, что при всех п> N и т > 0 имеет место неравенство
п-\-т
< е. Аналогично определяется равномерная сходимость таких рядов.
2 «*
= и
1 VI 2
27.05. Доказать, что ctg 2 = 1- У ТИ
22
л2л2
27.06. Доказать формулы:
оо
! - _--«¦ - I - I ^ 2(г--с)
:—еа 2 ^z—a ^ Zj
оо
2 ___ * = 1 + \ 2(~1)Я
(z —аJ + 4л2л2
I
3.
я VI (— 1)"
-2
sin яг ^ы г—л
п = —оо
, cos/г 1 1 у „Г 2 1 I
zsin*|/T z2 бг Zj М(?-^2J л2л2(г-п2л2) |-
n= I
1 _ I I V " (~~ ^я 2лгг
ch 2г — cos 2г ~ 4z2 "^ jLi sh sin 4z4 -f- л4 л4
rt=l
231

27.07. Доказать, что
оэ
1^1 у (-1)"Bп+1)
'«^ *,?„>-(«+i)s
Указание. Применить результат задачи 27.02, взяв в качестве областей
Dn круги | г | < п3. При оценке интеграла по Сп использовать лемму Жордана
(см. задачи 5.37, 5.39).
27.08. Доказать формулы:
со со
1 _!_= \ 1 9 гс2 ^ У 1
sin2z Zj B —пиJ* " courts ^j / . Г \2"
П«=—оэ п — — со( < "о Л J
оэ оо
chz ~ Zj / Г\2 • 4- tg *== — Zj 7 Г\2~*
5.
е2_е-2 ^ 2Z
е2+е „г, ^+
(n-4)v
оэ
eoz 1 . \Ч 2z-cos2jxna—4шг sin 2ппа ~ _ _<
ег— 1 г ' ^ г2+4л2л2 '
гг== 1
27.09. Пусть F(z)—целая функция, удовлетворяющая неравенству
\F{x + ly)\^MeaW\ —-я<а<я, •
при всех действительных х и у. Доказать, что
со
nF(z) X I л\п F(n)
sm nz
- I (-1)" S
«=-co - - 2
Л+1,
cos яг ?d K 1 *
z—n —
- 2 (-•>
27.10. Доказать, что
CO
, sin си 2 V (—1)" я sin no _ ^,
вшяг л ^j z2—n2 '
CO
Л chaz 1 . 1 "V r 14n2zcosna _ _
sh яг яг ' я ij v ' z2-f-n2 '
n=\
3.
^ / (яп -J- an — az)
sin яг
232
^ г—п ' ^ ^

4. у (-iy^-fr-^-a -*«*<«.
2 — Л
п= — оо
к п ! V cos a (z — n) n _ _
smPnz ' ^ (z—«J '
rt= ОЭ
27.11. Доказать формулы:
1 ?ta+PJ_1 /1 1\ l у / 2az 2fe \
' (e«2_ i)(ep2_j) Va^pyz-^ \а222 + 4А2Л2 "Г В22а+4/;2Яг]
сф ф 0, a ^ P-
oo
2. ctg(z-a) + ctga = z J /«,-„,) (г-а + го>) • sin^0.
n=—«»
oo
о sin a V 2a . n
o. = / -s—-.—r-jr—^. sin a =#= 0.
cos z—cos а АшЛ a2—(z-f-2nnJ>
n=—oo
CO
4 cos a V4 n—2a
sin a—sin z ~ Zj (z—а + 2л/г) (z+a+Bn—1) л) ' cosa^a
27.12. Пусть f{z)—мероморфная функция с полюсами alf a2, ...
и нулями bx, b2, ... (каждый нуль и каждый полюс пишем столько
раз, каков его порядок), причем точка 2 = 0 не является ни нулем,
ни полюсом функции f(z). Предположим, что
со со
f(z) At z—bn JU z—an *
причем оба ряда равномерно сходятся в каждой ограниченной части
плоскости. Доказать, что.
П('-3
П и -г
ап.
п = \
причем оба произведения также равномерно сходятся в каждой
ограниченной части плоскости.
со
Примечание. Произведение JT uk, сомножители которого могут об-
ращаться в нуль, мы будем называть сходящимся, если для любого е>0 можно
указать такое N, что при всех п> N и т>0 имеет место неравенство
п-\-т
1 — ТТ uk < е. Аналогично определяется равномерная сходимость ' таких
произведений.
233

27.13. Доказать формулы:
oo
1. Чп^ПО-Ж?)- 2-** = «ПA+"Х
п=1 п=1
папаУ'
3. С0Б,г = П
n = I
1\2 .,
4. th z = z
n=I
14-
j ОО
n=l
oo
7. ch«-cosz = «»Q(l+^?).
n=l
8. cos nz — cos яй =
oo
9. 008^^ = ^B2"+1) I I
n=l \ П"
z(z+l)
1
10.
cos z — cos a
1 — cos a
П
1 -
z2
Bлп + аJ
z (к 4- 2a — z)
11. 51п(гг-а) + 51пда=-^2в--/Д{1
z(n + 2a — z)
12.
sin (z — a)
sin a — sin z
OO ]
z(z —2a)
2лп(яBл — 1)— 2a)
}¦
л?Bл+1)«—а2
XI z(z + 2a)
и==0 я2Bп+1J —a2
13. e22 + е^~л = 2е2
(z2-f 2z —1)
(z-1L
я2B/г— 1)»у
14. e2chz_e2sh2_2ee^Tl7l 4
n=l
^
я*лаУ
234

си
27.14. Используя формулу ctg2-= z -f У г2__п2я2> доказать, что
оо
ctg ^-1 = 2 ^2Л+1 0 * К ")>
где
ап = —2:гГ2<л+1>2 ?-2<"+1>.
fe=i
27.15. Найти коэффициенты разложения в ряд Лорана по
степеням z в кольце kn<i\z]<Z(k-\-l)n, k—l, 2, ... функции ctgz.
27.16. Пусть выполнены все условия задачи 27.03, за
исключением условия 2, которое заменяется условием
2*. i/C^I^MMk1) @gO(Pi, p2,...)),
где р—целое положительное число, а функция e(t) по-прежнему
стремится к нулю при t —> -f- оо, и пусть, кроме того, точка z = 0
не является полюсом функции f(z). Доказать, что
{р—! л р—\
g(r, ak)- 2 |^(s)@; ak)U^ |/(s)@) (*->co),
причем стремление к пределу равномерно в каждой ограниченной
части плоскости.
Указание. Применить результат задачи 27.03 к функции z~Pf(z).
27.17. Доказать, что
со
где С — постоянная Эйлера, определяемая равенством
С= iimfl+1+i + ...+ i—1пя).
Указание. Доказать сначала, что
и
Г (г) = lim \ tz~l 11 — —)" dt (Re г > 0),
/г —со J V я /
0
а затем с помощью интегрирования по частям вычислить интеграл, стоящий
под знаком предела.
27.18. С помощью результата задачи 27.17 доказать формулы
со
,. ?# льгю-с--!— у (-" ±).
Г (г) dz K ' г Ал \z-\-n п}
/г = 1
со
d2* К J Am B +ИJ
/'.= 0
235

ОТВЕТЫ
27.15.
ctg2= J] атг™ъ (Ая<|г|<(Ж)я),
где
om=2л-2т-2 2 s_2m~2 (m < 0).
s=l
§ 28. Простейшие типы несобственных интегралов
Простейшая возможность вычисления интеграла
<х>
$ f{x)dx (l)
—со
с помощью теоремы о вычетах возникает, если поведение функции /(г) в
полуплоскости Im г > 0 (или в полуплоскости Im 2 <z 0) позволяет рассматривать
интеграл A) как интеграл от функции /(г) по границе этой полуплоскости.
28.01. Пусть функция /(z) регулярна в полуплоскости 1т2г>0,
за исключением полюсов alt ..., ап, и непрерывна вплоть до
границы этой полуплоскости (за исключением тех же полюсов).
Доказать, что если функция f{z) удовлетворяет условию f(z) = о (—J
при z->co в полуплоскости Imz^O, то справедлива формула
со п
J f{x) dx =. 2я/ 2 res /@).
—00 ft=iz==aft
Указание. Применить теорему о вычетах к полукругу Im г]>0,
\z\<iR, а затем перейти к пределу при /?—*со.
28.02. Как изменится формула задачи 28.01, если в ее условиях
полуплоскость Im2->-0 заменить полуплоскостью lmz<C.O?
28.03. Вычислить интегралы:
оо со со
ij с x*dx 2 [ *а-*+з dx 3 f _
чУ 3 (х2+1)(х2 + 9)- J x4+10jc2+9 ал' 3 **
dx
Их—2"
— 00 —00
JC2rfX
со 00 00
—00 — —00 —00
CO OO OO
7 С rf* я С X*dx ' Q С *2d* rt^n
J (*2+lK' J (*» + 4«—5)*' 3 (*2+a2K * a;>'U-
—00 —oo . 0
oo 00 ¦
10.
0
236

СО
Меда?- о>0-b>0-
О
со
С dx
•• 13- J (*2+а*)(**+и2' а>0'ь>0'
— со
со
м- $ v-*jL*-w «>°- Р>°- »='¦ 2- -
—со
оэ
15- $ <-—, а>0,Ь>0, п=1, 2, ...
— со
28.04. Пусть функция f(z) регулярна в полуплоскости Im z > 0,
за исключением полюсов av ..., а„, и непрерывна вплоть до
границы этой полуплоскости, за исключением тех же полюсов.
Доказать, что если при z -> oo, Im z ^= 0, функция f(z) удовлетворяет
условию f(z) = o(l), то справедлива формула
со п
\ f(x)eixdx=2nt У res f(z)eK
—оэ &=1 «
Указание. См. указание к задаче 28.01. При оценке интеграла по
полуокружности lmz>0, |z[=i? можно воспользоваться леммой Жордана
(см. задачу 5.37).
28.05. Вычислить интегралы:
со со оэ
—оэ —со —со'
со со оэ
—со
лг4 + 8ж2+16 •
— со —со
— со — со
I + /со а + /оо
I — /со а — /оо
/оэ
и- $ (i2?TiJ^ а) *>0; б) *<0; вН=0..
— /со
(Т + /СО
а—tea
/со -v
—/со
237

2/—со /—со
28.06. Пусть выполнены условия задачи 28.04 и пусть, кроме
гого, функция f(z) действительна при действительных значениях z.
Доказать формулы:
со п
§ /(лг) cos л: dx = — 2зт 1m JJ res /(г) е7г,
—со * = 1 z=^fr^.
СО /1
J /(д;) sin jf я?.г= 2л Re J] res /С8) *"•
i
28.07. Вычислить интегралы:
* со со
V f (*+l)sin2x . Г x»sinx
— CO
CO
J ** + Ю*2 + 9 aX' J «4 + 13*4-36 sin-*rtAr-
— CO —CO
со со
K С (х—I)cos2x , с С xsin* ,
J x2~ 4x+5 J x8 + 2x+10
CO —CO
CO CO
— со U
CO CO
n Г x sin л: , ^ Л 1П Г xsim; , „
9- J *+***• a>°- iai(^+^^ a>°-
0 ' 0
со
¦1L ^-^pSr^ a>°> Refr>0.
0
со
12- ^-^f^r^. *>°> ReA>0.
о
CO
13- \-<Д!У?&х, Rea>0.
6
»¦ S y+^+w Rea>0> Ret>0-
о
CO
, „. С cos ox j _ „
15- It+z+t**, «>o.
0
238

Пусть функция f (х) непрерывна на отрезке [а, Ь], за исключением точки
ь
с, лежащей внутри этого отрезка, причем интеграл \ / (л:) dx расходится. Ин-
а
тегралом от функции f (х) по отрезку [а, Ь] в смысле главного значения
называется предел
ь
v. p. \f(x)dx= lim \ f(x)dx
(если этот предел существует и конечен), где /р —отрезок [а, Ь], из которого
удалена окрестность (с — р, с-\-р) точки с.
Для определения, интеграла в смысле главного значения от функции f{x),
имеющей несколько разрывов на отрезке \а,,Ь\, мы должны разбить отрезок
[а, Ь] на сумму нескольких отрезков, в каждом из которых только одна точка
разрыва. '
28.08. Пусть R(z)— рациональная функция, имеющая полюсы av
а2, ..., ап в верхней полуплоскости и полюсы bv b2, ... , bm на
действительной оси (и не имеющая других полюсов при Im z ^ 0).
Доказать, что если функция R{z) удовлетворяет условию R(z) =
= 0( —) при z —* со, то справедлива формула
со п т
v. p. \ R(x)eixdx = 2ni ]jj res R(z)eiz + m ]jj res R(z)eiz
— СО k^\Z = ak k=lr=bk
(при условии, что интеграл в левой части существует).
Указание. Применить теорему о вычетах к интегралу от функции
R (г) eiz по границе области
lmz>0, \z\<zR, |г —61|>р1, ... , |г—Ьт\>рт,
а затем перейти к пределу при R —» со, pk —* 0. Пределы интегралов по малым
окружностям будут, вообще говоря, отличны от нуля.
Замечание. Результат задачи 28.08 можно использовать и для
вычисления сходящихся интегралов. Например, самым простым способом вычисле-
со
С sin х ,
ния сходящегося интеграла \ dx является применение этого результата.
Действительно,
— оо
—оо —оо
28.09. Вычислить интегралы:
СО
{* dX
LV"P- \ (*Ч-а2) (*-?)' Я>0' -^<?<°°-
—оо
со
С eiax
2. v. р. \ — dx; а) а > 0; б) а < 0.
—оо
239

со
3. С ^Ldx; a) a>0; б) а<0.
о
оо
(» J eiax
4. v. р. V ——ъ—dx; a) а>0; б) а<0.
— 00
оо оо
5. V-^^dx, а>0. e-U^fdx, « = 2,3,4.
О О
оо
„ (* cos2ax;—cos 26л: , _ n t _ _
7. \ ^ rfx, a>0, ?>0.
о
oo
8- Jt^o"^ a>0' Re*>0-
0
oo
л f x2—Ь2 sin ax , ^ n _. , ^ _
9- ].Х2+Ь* ~T~dx' a>0' Refc>°-
о
oo
10- jj ^(^2) dx, a>0, Refc>0.
о
oo
И- \ *(*T*) dX> Rea>°-
о
CO
0
12.
28.10. Пусть
где 1ш ал > 0, a Im bk <C 0. Вычислить интегралы:
oo
L $ ЯС*)^; Ю lmg>0; 6) lm?<0; в)._1т? = 0.
— oo \
00
2. ^ ?(.*;) e'*_^L-; a) lm|>0; 6) lm?<0; в) lmg = 0.
CO
00
3. ^ R(x) shl^~® dx, N>0, — oo<?<oo.
—00
CO
4- $ ^^У-аР^ ^>°> -oo<g<co.
—со
240

28.11. Пусть ? — произвольное комплексное число. Вычислить
интегралы:
<J + /co
i С chz — chC , _ ^
1. \ T—dz, —oo<ZG<Coo.
J г —Ь ,
О —ico
a-\-lco
n f /shz—sh?\2 . ^ ^
2- \ ( _.g ) dz, — oo<ff<co.
a—/со
a + 'oo
о С /chaz— chat\2 . - _ ^ ~
3. \ I —^—~J ete, —co<c<co, a>0.
a+/oo
4- ^ (^EfK^> —co<o<oo, 0<f<l.
с—/со
a—/со
a + /cc
с—/со
(Т — /со
C+ICO
0 (* chz — ch? shz — sh? dz ^ _
a—too
* *
Вычисление интеграла V /(<p)dq>, где f(z) — периодическая функция z
—я
с периодом 2л, сводится к вычислению контурного интеграла двумя способами.
28.12. Пусть /?(?, г}) — рациональная функция и пусть функция
R(cosq>, sincp) не имеет полюсов на действительной оси. Доказать,
что
я
§ R(cos"<p, sin<p)dq>= § R (?"^-. ^г) Tz'
— Я |Z| = I
28.13. Пусть f(z) — периодическая функция с периодом 2я, меро-
морфная в полуплоскости \mz^> — r\, т]>»0. Предположим, что
функция /(г) не имеет полюсов на границе полуполосы Im z > 0,
|Rez |<Cл/ а внутри нее имеет полюсы в точках av ..., ап и
только в них. Доказать, что если функция f(z) удовлетворяет
условию f(z) —> А =f= со при Im ,г-»•-}-°°> то имеет место формула
я п
\ /(<р)Жр = 2яД + 2я/ 2 res f{z).
— я A=l Z:=aA
241

Указание. Применить теорему о вычетах к функции /(г) в
прямоугольнике j 1?е2|<л, 0 < Im z </?, а затем перейти к пределу при ^?->+со.
Учесть, что в силу периодичности функции /(г) интегралы по вертикальным
сторонам прямоугольника взаимно уничтожаются.
28.14. Пусть выполнены все условия задачи 28.13, за
исключением того, что функция /(г) имеет еще и полюсы bv ..., bm,
лежащие на интервале (— л, л). Доказать формулу
v- Р- J /(ф)г/ф = 2зхА + 2ш" J] res f(z)-\- m ^j res f(z)
— Я k=lZ = ak k = \Z = bk
(в предположении, что интеграл существует).
28.15. Вычислить интегралы:
я я 2я
1 { ^Ф о f d<P- 3 J Cos2(P rfm
J 5-f3cosq>" J 13+12 sin ф" ' J 13+12cos(p v*
— n —я о
я я
4- 1тЩф^ 5- §с*?(ф-'"й>% й>°-
я
6. \e2i<Pctg(q> — ia)dq>, a>0.
о
я
7. Г rin«q>.*P a)fl>1. 6)_i<e<i; В)а=1.
— я
2я
8. \ - Т—; а) а>1; б) —l<ia<il (главное значение).
б
я
9. \ т^-^г—-; а) 0<а<+; б) а>>1 (главное значение),
о
ю. f ¦ 9cosB2V 2</Ф, -1<й<1.
j 1 — 2а cos ф + а2 т
— я
"•¦ I 1-??+**Ь -'<«<«. »-М. 2..-
— Я
я
12- ^ Т 95{1ПфЛГЖ^ -1<а<1, л==1, 2, ...
J 1 — 2а sin ф + о2 т
— я
я
1Q f A+2со8ф)" , п 1 о
13- J ^5 + 4со5ф С05Я(Р^ И = °' 1* 2> ••¦
— я
я
. . Р /с052ф —COS2a\« ,Мт , _ ^ _ 31 , о о
14. \ (—г—*- :— еш<Р dm, 0<й<-к-, п~\, 2, 3, ...
J \ sin ф —sin а у Y 2'
242

28.16. Пусть функция f(z) удовлетворяет всем условиям задачи
28.1 3, за исключением условия /(г) —>¦ А при 1шг-)- + °°« Доказать,
что функция /(—ilnz) имеет точку z — Q изолированной особой
точкой однозначного характера и чю
я п
\ Дф)Лр = 2я/ У res f(z) + 2n
/(—/In 2)
res — -.
* * *
28.17. Пусть f(z) — мероморфная периодическая функция с
периодом /со, со > 0. Предположим, что функция f (z) не имеет полюсов
на действительной оси, а внутри полосы 0<Zlm.z<Ca> имеет полюсы
в точках av ..., ап и только в них. Доказать, что если функция
f(z) удовлетворяет условию
f(z)=0(e-P^ez\)(Rez->±oo), p>0,
то имеет место формула
оо п
\e™f{x)dx= j^—S res *«/(*) (I Re cc [</>).
—oo fe = l *
Указание. Применить теоремы о вычетах к интегралу от функции
еаг/(г) по границе полосы 0<;1тг-<со. Интегралы по сторонам полосы
выразить один через другой.
28.18. Пусть выполнены все условия задачи 28.17, за исключением
того, что функции f{z) разрешается еще иметь полюсы bv ..., Ът
на действительной оси. Доказать формулу
оо
v. p. \ enxf(x)dx-
— сю
т
res f(z)e™—ni ^ У res f& e°
i — a. в — 1 .¦*™ z—b.
^-- У res f(z)eaz—ni-.—=^ ? res ff*\***
(в предположении, что интеграл существует).
28.19. Вычислить интегралы:
с» сю
1- \ ??, 0<Rea<l. 2. $ ^^ 0<Rea<2.
— оо — со
оэ со
„ f cos ax , , т , _, и Г cos ах j ^ n i i ~ < ^-1
3- J-dTF^ Ilma|<l. 4. ^__<**, e>0, jlma;<l
о о
oo
5- v- P- \ J^ldx' °<Rea<2-
— oo
243

рах_„$х
6 "
Г ръх__ мх
¦ \ i-ev dx* 0<Rea<l, 0<Rep<l..
— oo
OO CO
7. $*?<*,, |Ima|<l. d^t* Re«>0.
Интегралы вида \ / (x) xa * dx можно свести к интегралам рассмотренного
"о
выше вида заменой х=е^. Однако их можно сводить к контурным интегралам
и непосредственно.
28.20. Пусть R(z)—рациональная функция, не имеющая полюсов
при z>0 и удовлетворяющая условиям
R(Z)=()&-?) (z->0), R{z)=0{z~q) (z-+co),
где р и q—некоторые целые числа (/?.<<?).
1. Доказать формулу
го
^R(x)^^x^~^~:ri2iresR(z)za^ (p<cc<g).
с
Здесь сумма вычетов берется по всем полюсам функции R(z),
отличным от точки 2 = 0, а для га~г в плоскости z с разрезом по лучу
@, -f-°°) выбирается значение е<а~l> (\n\z\ + iargz)y о<argz<C2я.
2. Доказать формулу ^
го
\ R(x)x^dx = ^^yiresR(z)(-zr^ (/7<Rea<?).
о
Здесь сумма вычетов опять берется по всем полюсам функции
R(z), отличным от нуля, а для (—z)a~l выбирается значение
e(a-l) fln|2| + iarg-f-z)J? _ji-<arg(—z) < ЗТ.
Указание. Применить теорему о вычетах к интегралу от функции
R (z) za-1 или R (z) (— z)a_1 по границе плоскости z с разрезом по
положительной части действительной оси.
28.21, Пусть R{z)—рациональная функция, удовлетворяющая
условиям
R(z) = 0(z~p) (z-*0), R(z) = 0(z-q) (z-*oo).
Обозначим через a^, ..., an ее полюсы, не лежащие на луче [0, -f- со],
а через Ь1г ..., Ът—ее полюсы, лежащие на луче @, -р-со).
244

В предположении, что интеграл существует, доказать формулу
оо
v. p. { R(x)x*~ldx=
п т
У res {R(z)(— zf-1} — n cigna У res {R(zyza~1}.
0
n
sm эта
Здесь /?<Rea<?; (— zf-l=e<a-l><ln\*l+lws(-*»t |arg(— *)|<я,
28.22. Вычислить интегралы:
оо оо оо
1. С- ** 2.[ **—. 3.1 ?.—.
J (*+1)К* J (*+*)К* J (х8+4)|^
О О О
оо оо оо
4. v. р. \ ** 5. С 2^Ль 6. ? ^S^dr.
J (x-l)Vx ¦ 3 ^+1 } *3+4
оо
7. \ „, *,—г, 0<а<<1; а)а>0; б) a <C 0 (главное значение),
j xa(jc-j-a)' ' ' ч
о
оо
8- ^ , j лЛ оч» — К«<1; а>0.
о
оо
9- \ и-DWW °<Rea<3.
О
оо
io- So+i)(«T^-(«+«)- °<Rea<«- »-'•2
С .— rainл: d
ОО
12. V Rr-dx, 0<Rea<4.
о
oo
13- { , *!7-л8 rf*» 0<Rea<-|.
о
CO CO
, . С sin (a In x) . _ Л 1K (* [sin (a In x)"l2 , . Л
и- \ —^fdx> «>°- 15- \ [ х-1 J ' «>°-
о
245

Интегралы вида \ т ) / (х) dx также сводятся к интегралам, рассмот-
., \0 — X/
х — а
ренным выше заменой ^—г—= | и их также можно непосредственно сводить
к контурному интегрированию.
28.23. Пусть R{z)— рациональная функция, не имеющая полюсов
при a<Zz<Cb и удовлетворяющая условиям
R(z) = 0 ((z — a)'P) (z -> a); R (г) = О. ((г — bf) {z -+ Ь),
где р и q—некоторые целые числа (p<Lq).
1. Доказать формулу
а
где p<CRe<x<Cq, а сумма вычетов берется по всем полюсам
функции R(z), включая точку z = сю, но исключая точки z~a и z — b.
/z а\а~1
Для (г—-) берется значение
fa—l)ln|—- г—.а -п
е b~z, 0<;lmln^-—<С2зг.
2. Доказать формулу
а
где /? < Re a < #, а сумма вычетов' опять берется по всем
упомянутым полюсам функции R(z). Для ( __, ] берется значение
fa—U In
е
г —а
Im In г < п.
г — Ь\
Указание. Применить теорему о вычетах к интегралу от функции
(±т ) Я(z) по границе плоскости с разрезом по прямолинейному
отрезку (а, Ь).
28.24. Пусть рациональная функция R(z) имеет при a<iz<Zb
полюсы в точках Ьг, ..., bm, а в остальном удовлетворяет условиям
задачи 28.23. В предположении, что интеграл существует, доказать
формулу
246

где p<Z Re <x<Zp- Первая сумма вычетов берется по всем полюсам
функции R(z), лежащим вне отрезка [а, Ь\, и при вычислении вхо-
(г а\а_1
дящих в нее вычетов берется ветвь функции I——А , отвечающая
значениям —ji<Carg ~А<Ся. Во второй сумме argj—- — 0.
28.25. Вычислить интегралы:
2 2 1
J *+3 J x+2 J (*+lK
0 i о
1 1 l
— 1 —1 0
7 f • ** 8 t^^T=^^ 9 (УЩЕйах
' J B—x)jfx(l—xJ' J (x+1K J 5—*
10 г K(i+*)(i-^ „ с ex
±x 2~x ll?B-x)(l+xJ
1 2
12. ^ VQ+jW-Vdx. is. jV^F^rf*.
—1 °
14. { - dx . 15. { dx
I &V?>x-x* — 2 J x\f(x—\f{2—x)
l i
i i
16. [ „f - 17. С d* , a)a>l;6)—l<g<l
о —i
Г
18. $jea(l — xy-adx, — l<Rea<2.
о
i
19. [Xl~(a(!7J)adx, —l<Rea<2.
J l^~T" V
0
1
\ ^+1— dx, — 1 < Re a < 2.
20.
—i
* * *
Для вычисления интегралов вида \ / (х) ха 1lnx dx имеются два способа.
.6
Первый способ состоит в применении теоремы о вычетах к интегралу от
функции / (z) za_1 In г или f (z) (— z)a_1 In (— z) по границе плоскости с разрезом по
лучу @, -j- °°)- Получающиеся интегралы выражаются через искомый интеграл
со
и через интеграл ^ f (х) ха~г dx, формула для которого уже была получена
6
247

раньше (см. задачу 28.20). Второй способ состоит в дифференцировании
последнего интеграла но параметру а. Оба способа применимы и к интегралам
b со
S'w(f=5)"ta(f=2)A. $/И*Л
а —со
28.26. Пусть R (z)—рациональная функция, не имеющая полюсов
при z>0, и пусть интеграл
00
/а = 5 R(x)xa~1lnxdx (а ф 0, ± 1, ± 2, ...)
о
сходится. Доказать, формулу
1а = -.4- У res Я (z) (— г)" In (— z) — л2.с°5Л0С У res R (z) (— z)*~\
"smsta^y v/v ' v y sin2 rax ioJ v y v y
где сумма вычетов берется по всем полюсам функции i?(z), не
лежащим на луче [0, -f-oo], a
— Jt<arg(— *)<л
28.27. Пусть Я (г)—рациональная функция, не имеющая полюсов
при a<Cz<C.b. Найти для интеграла L
ь
la ¦=$*(*) (f—)" ln S^ (« ^ 0, ± 1, ...)
a
формулу, аналогичную формуле задачи 28.26, в предположении, что
интеграл 1а сходится.
28.28. Найти, как меняются формулы задач 28.26 и 28.27 в
случае, когда функция R (z) имеет полюс z = с, где О < с < сю
соответственно, a<Zc<zb, а интеграл берется в смысле главного
значения.
28.29. Вычислить интегралы:
оэ со
, С In а: , Л (» \nxdx
1. \ -p=rdx. 2. \ гт= .
J(*+1)V* 3Vx(x+lJ
о о
»
\— * _ . 4. \ У.хгA—л:) In -^—dx.
с» 1
Inxcte
о
I
5. С lnl±* * =. 6. f «»
_J( 1-Xi/A-XJ(l+X) I 0X+ldX'
n С x sin x , с ? ln x j
7. \ —г—rfJC. 8. \ ~dx.
J chx J(*—1)K*
о о v '
243

9.
о
С х cos х , л л С х sin х ,
)~жтах- 10-)iwx-dx-
i 0
со со •
л С «o-i In jc , _ _ , _ P x0-1 In x , ^ _
1 ~v+fl" ' a>°- 12- V-P- \ —~—dx' a>0'
о о
0<Rect<l.
CO 1
l*-\-?r7Adx* Rea>0. 14. fln^—Щ-Л Rea>0.
J *8-fa2 ^ j I-xjc + o'
о о
со со
15' ^ 3?q^**' Rea>0. 16. [ X^~dx.
о о
ОТВЕТЫ
28.02.
Сумма вычетов в правой части изменит знак на противоположный.
28.03.
1. я/4. 2. 5я/12. 3. 0. 4. я]А2. 5. 4я/3. 6. я/4. 7. Зя/8. 8. 0. 9. я/16а3.
10. *?1. 11. 0. 12. ^а-^Ь-*'\ 13. "& + *> М. 0.
16а 32 2ao3(a + o)z
15. а- l/^я W-3 —B"-3)
(ft-1)!
28.05.
1. яйг1*'. 2. — — sinl. 3. 0. 4. я»еЗ«--ю. 5. я A — i) e~3,~e- 6.=^-.
е \ 32
7. я A + 0 е-». 8. — (sin 1 —cos 1). 9. 2я/ sin t. 10. 0. 11. а) ~ A -f ft e~*.
б) ™ A - 0 еК в) Ц-, 12. - я* (/- 1)а. 13. ni {е-* — e~2f). 14. я ch t.
15. n(t—i)eu.
28.07.
1. tte-2cos2.
5. ne~2 (cos 4 — sin 4).
C* 2a6 ' * 2 e '
я^+За+З)
ld- 16a* e *
2.
4Le-2D_e). 3> iL(e-i + e-3). 4. л(е-2 + е-з),
6. яе~3 f cos 1 +-q- sin 1 j. 7. яе~з (— cos 1 — sin 1),
10. ?«"«. 11. ±r*>. 12. ^(«6+1)^1*.
я /е~« <r*\
2(fca_-o2) V о 6 Г
15. y^2smT-sm^-Tjje
Л|А3/2
28.09.
б) — яа. 5. -2-. 6. /2 = у, ^^-g", /4="аГ- 7' ^(б —а).
249

8- &Q-r*r
9. _? + «,-«*.
2Ь2 46» x }-
,, л
1?
11. JL(\-a+~r<^. 12. a) ni; б)-ш.
28.10.
Jfe=l A=l ft=l fc—1
fe==i
ft=i
_-J« V Bk I 2W(|-fefc)l
2tt ^ (|-Ыа1 '"
*=1
28.11.
1. ttish?. 2. ni. 3. —nia. 4. 0.
°-ro(P-lJi + 4e L(l-CJ A + 02J'
(?-l)aU Cnt g 2 2e j ¦
7.0. 8. g(e2?_2^-Ce4l+?).
28.15.
, я 2я 13
1. -д- . 2. -=- . 3. -p: Я. 4. 2Я
2 5 4а
И-4)'
5. ni. 6. 2яй>~2Я.
7. а)?; б) я; в) я. 8. а) ^=; б) 0. 9. а) JL(i_|/T^); б) Я.
м J/ а2 — 1 " а
14- а2 а" ( l\ka2k+1
10. Пт1^. П. 2я т-=-т. 12. 0 при п=2? и 2я>-, J " при n = 2fe+l.
1 — а2
1—а2
1—а2
».*Ш\ ,4.^-Vo".
28.19.
я
2.^1 d„ «liz^.. 3.
sin яа " 3 sin яа 3
я ^ яа
4.
2ch
5. — ^ ctg -^. 6. я (ctg яа~ ctg яр). 7. _ -? th -^г
2
28.22.
1.я. 2.я
sh яа • sh a
1
\-i
3. -^ 2-4/3. 4. 0. 5.
у 2 ' у г
2ch I
ch яа
я sin (In 2)
4 ch ?
250

ТТЛ а ~ ТГ/7а~1 ТТ
7. а) -4^—; б) jwrectgna. 8. B*-1)~ . 9. -^ (l-2z + 3al).
smra' ° sm яа 2 sinла v '
1 ПО ?d K ' (k—l)\(n — k)\ •
10. " ~ ' —- *
sin
., я sh a^, . Зя 2л (a—l)Ba—1) ,. я ., na
11. —г • —;—— . 12. ^—s . 13. - r—f-1 L 14. fh-=-,
sh яа sm К sm Зла sin 2ла 2 2
15. л a cth 2яа.
28.25.
1. яD-УТВ). 2. n^y-VTSV 3. я^р. 4. л(^2-1).
5. -Л— 6. -?- 7. JI2V3 3-V2. 8. Зл.2-23/4. 9. я/2 Ш-_j/^oY
21/2 ¦ 16 * \ 4 /
1Л 2л /7 _ __\ ,, 2я 10 л / , , л , . л\
10. —7г=г/ %/Q I П. —r=r 12. /— l-fC0S -4-Sin —
sm -=-
5
13. if- " . и. Зл-2-5/2. is. л.г2/^-1/2. 16. л-г2/^-1/2.
25 . 2я
sm—=-
5
17. а) --=?=. б) 0. 18. ™(l~«L 19. 2 ^ "«('-«)
"/¦о2 — 1 ' sin ла sin ла "
20. П
sm ла \
28.27,
/ , . ла , . ла \
( -1+cos-g—Mm -g-J,
/а = > res J Я (г) 1 In 1 -f-
1_еа««^ \ *'\ь—г) b-z]
¦2~{«»(ЙП-
+.¦ 2лг ^
1 _ gSsis:
Сумма вычетов берется по всем полюсам функции R(z) (включая точку г=оо),
кроме возможных полюсов при z —a и г = Ь, а
0<1т1п|^<2я.
fc—z
28.28. К правым частям формул добавляются слагаемые
я2
^ctgna-res (R(z)za In 2) — res G? B) za).
28.29.
1.0. 2.2nt±-4J\ 3. -^ 4. 0. 5. -** 6. "^
9 |/3 / * 4 3 * 4
 Sh T Л2 Я2
8. я». 9. -r^-r. 10. л cth л
. , „ л ' " е" — 1 " " sh2 я *
4 сп2 ~—
11.
яа-1
(In a — nctgna). 12. яс* * ( — ctgпа¦ In a4--т-= ).
" ' \ sm2 ла /
sm па
251

,- лAпа) t. If. о \a le л Л, -_ . зх2\
i3- -V- 14--т(,п5+т)- 15' ^((lnaJ + -TJ-
16. —^— fl _2th8-5-V
8chf
§ 29. Более сложные типы несобственных интегралов
Основная сложность, возникающая при вычислении определенных
интегралов с помощью контурного интегрирования, состоит в том, что во многих
случаях приходится интегрировать по контуру совсем не ту функцию, от
которой вычисляется определенный интеграл.
29.01. Пусть R(z)—рациональная функция с полюсами av ...,an
со
и пусть ^ | R (x) \ dx<i оо. Доказать, что
о
со гс
J R(x)dx = — 2 res R(z)lnz
0 fc=lz = ak
(для Inz берется любая ветвь, регулярная в плоскости с разрезом-
по положительной части действительной оси).
29.02. Пусть С—простая кусочно-гладкая кривая, идущая из
точки z — t, в точку z = oo, а R(z)— рациональная функция с
полюсами alt ..., аю удовлетворяющая условию ^ IR (z) 11 dz \ <C со.
с
Доказать, что
п
\Н{г)йг = —^ res R(z)In(z — Q
С s=l z==as
(для In (z—?) берется любая ветвь, регулярная в плоскости с
разрезом по кривой С).
29.03. Пусть R(z)—рациональная функция с полюсами^, ..., ап,
со
удовлетворяющая условию \ \ R(x) | dx <C оо. Обозначим
о
со
/m=J R(x)lnmxdx, m = Q, 1, 2, ...
о
Доказать, что интегралы 1т связаны рекуррентным соотношением
т— 1 п
2 С* (глО"*-*/^— 2 res R{z)\nmz (l)
k = 0 s = I z"=as
(здесь In z = In | z | -f- / arg z, 0 <; arg г < 2л).
29.04. В обозначениях задачи 29.03 найти формулы для
интегралов Г! и /2.
29.05. Пусть функция R(z) задачи 29.03 разрешается иметь
полюс в точке z — b, ?>0, а интегралы 1т понимаются в смысле
главного значения. Как изменится рекуррентное соотношение?
252

29.06. Пусть R(z)— рациональная функция, не имеющая
полюсов при 2>0 и при z = —1, a av ..., ап—ее полюсы, отличные
от точки ? = 0. В предположении сходимости интеграла доказать,
что
оо п
С RWdx у R(z) р( п
О s = l s
(здесь In 2: = in I z j -f- i arg 2:, 0 < arg г <! 2я).
29.07. Пусть '/(-г)—рациональная функция от ?*, не имеющая
полюсов на действительной оси, a av ... , ая—ее полюсы, лежа-
оо
щие в полрсе 0 < Im z < 2я. Предположим, что § | /(я) ] <2jc < оо, и
—оо
обозначим
оо
/»= J xmf(x)dx.
—со
Доказать формулы:
m—1 п
1. s^2"^*^»—S res *"/(*>• m==l> % ¦••
ft=0 s=l2 = cs
2. ^l^wf-y + ^J.
29.08. Пусть f{z) — рациональная функция от ег, не имеющая
полюсов на действительной оси и в точке z = nt, а аг, ..., ап —
ее полюсы, лежащие в полосе 0 < Im z < 2я. В предположении
сходимости интеграла доказать, что
со п С т \
е -f(x)dx _ tint) , v res )_т_ v * I
J л? + Bт+1JЛ2 _ 2т+\~гLd z^Za J/n+l ^ z-fBfe-l)mf
где m = 0, 1, 2,
29.09. Пусть С — простая кусочно-гладкая кривая, идущая из
точки z — Q в точку ? = ?', а Я(.г)—рациональная функция с
конечными полюсами alt ..., ап, не лежащими на кривой С. Доказать,
что
п
\ R(z)dz^- У res f(z)\n ?=\— tesf(z)ln ^
для Inp—- берется любая ветвь, регулярная в расширенной пло-
скости с разрезом по кривой С].
253

29.10. Пусть кривая С и функция R(z) те же, что и в задаче 29.09.
z — t
Для In -__ выберем любую ветвь, регулярную в расширенной пло-
z г
скости с разрезом по кривой С, а значениями функции In p—- при
z^C мы будем считать предельные значения выбранной ветви при
подходе к кривой С слева (по отношению к направлению кривой).
Обозначим
5*ц,пН)
dz, m = 0, 1, 2,
R (z) dz
[lnf~j + B*1+1)*
, m = 0, 1, 2,
Доказать формулы:
m— 1
fe=0
2-/^ = o^-rres -J^ +
hi ^5 2. — я/
n r m
1) ni
29.11. Вычислить интегралы:
с» со со
1 f In х , „ Г In х dx „ С lnxd*
J^TTP J^ + 2x + 2- d' }(^W
0 0 0
со со со
5 (* + 1) (** + 1) * °- J (*2 + lJ ^ °' J (*2 + lJ **"
МЙ^ *!№?** M
о
In2 л:
(л?+1)а
0
fl?X.
0
со
11. ?-?-&&
J sn л;
— со
со
14. [ (-?-)* dx.
л \shxj
j f\ i л- Cl-Xr
С хс
ch x'
о
J ch x
15. \ -:—dx.
16. \ In
0 0 0
I
l—xdx i- Г Л x \2 dx IO С Л l+xVrf*
17. C(,„ * \'_* ,8. U\n\±?№
J \ 1— JC; Я+1 J\ \—Х)Хг
254

со со со
19 С йх 90 \ e*dx 21 f —
J(*2-f л2)спх- w" J (*2+rc2)chx ' J (x2
??ЛГ
4-л;а
c2 + 9jx2)ch*"
0 —со ' 0
со 1 1
99 С dx „ С dx ? xdx
со
J x2-\-2axcosA-\-a2
о
со со
26- Jji+tf**' Ree>0. 27. ^ eh^-cha' -°°<««*>
0 —со
со
28. \ ( , х~а, ) dx, —со<а<;со.
—со
со
С dx
Ж V- P- i (*-«*) (In* *+я«)' a>°'
о
со
с *** п
J (x-faJ (In2 *-f л2) ' а->и-
о
со
(" dx
J (x + aJ(In2x + Bm+lJn2) ' й> °> m = °> *> 2, ...
о
31.
32
о
1
2- ^7 У Nf ^ . « = 0,1,2,...
о (lnr^J + Bm + 1Jjxa
# * *
Многие довольно сложные на вид интегралы вычисляются с помощью
отделения действительной и мнимой части в сравнительно простых формулах.
29.12. Пусть R (г)— рациональная функция, непрерывная и
действительная при действительных значениях z, а аг, ..., ап—ее
полюсы, лежащие в верхней полуплоскости. В предположении
сходимости интегралов доказать формулы:
со п
1. jj R(x)\n\x— а ' dx = — 2л Irn ^ res R(z)\n(z— а) (здесь
— CO S = l Z==(lS
a — действительное число, а для In (г — а) выбирается любая ветвь,
регулярная в верхней полуплоскости);
со п
- 2. \ R(x)\x-arldx=--^\my res R^I^Y'1
-м sin-2- s=iz-as
(здесь а—действительное число, а>0, а для [(г—a)/i]a~1 выбирается
в верхней полуплоскости ветвь, положительная при положительных
значениях (г — Д)/0>
255

«30 И
3. $ R(x)ln\x2 — a?\dx = — 2лГт J] res R(z)In(г2 — a2)
— oo ч s=lz = fls
(здесь й>0, а для In (г2—а2) выбирается любая ветвь, регулярная
в верхней полуплоскости);
С» П i
4. J R (х) In (хг -f- a2) dr = — 4л Im J] res R (z) In (г+а/) (здесь
—oo s=lz==as
a >> 0, а для In (z + ai) выбирается произвольная ветвь, регулярная
в верхней полуплоскости);
со п
5. . ^ R (х) arctg х dx — 2л Re ^ res R(z)ln(l—/г) (здесь для
In A—iz) выбирается регулярная в верхней полуплоскости ветвь,
для которой | arg A -=— iz) | < л);
6. {R (х) (х2 + а2)«/2 cos (а arctg ±\ dx =
= — 2л Im 2 res "# О) («—^)а
(здесь а—произвольное действительное число, а>0, а для (а — ?г)а
выбирается регулярная в верхней полуплоскости ветвь, для которой
— j a J n <C arg (а—/г)а <С | а | л);
со ZZZHZZI
7. ~$ #С*I/х + 1/л;2 + а2а*.* =
= —2|/2"л1гп 2 res Я (*)"/*+ л/
(здесь а>0, а для У z-\-ai выбирается в верхней полуплоскости
ветвь, для которой — л/2 < arg ]/ z-\-ai •< л/2);
с» л
8. ? К(хI/х + Т/х2 + а2-7=^^=: —л1/Т1т У res ¦ *i!L
CO S=I s
(здесь я>0, a для У z-\-ai выбирается в верхней полуплоскости
ветвь, для которой Re У z -f- ai >> 0).
29.13. Пусть f(z)—рациональная функция от etz, непрерывная
и действительная при действительных z. Дополнительно
предположим, что функция f(z) не имеет полюсов на мнимой оси, и
обозначим через av ..., ап ее полюсы, лежащие в полуполосе 0•<Rez<C
<; 2л, Im z S> 0. Доказать формулы:
2я
1. \/(фIп
ф
C0ST
dq>
2л Re res ^~iln^> ln^— 2л Im У res /(гIп1±^
?=0 ?
256

1 -4-С
(здесь для In ~:- выбирается любая ветвь, регулярная в круге
\JL-gt2 . \
j ? j <С 1; значения In -~— получаются заменой ? == е"Ч;
2я
W>
cos
ч
*Р = —^7 ^ res c ^-pj
cos
зха
t=o
cos-g- 5 = 1г-й« x '
(здесь а>—1, a для (—Jj выбирается в круге |?|<1 ветвь,
положительная при —1<С?<С1; значения (—-=—1 получаются
заменой ? = е;
2я
3. \ /(ф) In A + 2а cos ф + a2) dq>
о
/(-Пп?)
= 4л Re res /( ' nQ In (a + ?) — 4я Ira У res /Гг)In (a + О
s=l
(здесь а>1, а для ln(a-f-?) выбирается любая ветвь, регулярная
в круге |?|<С1; значения \n(a~\-elz) получаются заменой ? на elz).
29.14. Вычислить интегралы:
1 С n*E±idx
1- ) хг+\ ах-
— оо
оо
з. l^S™**.
— оо
оо
5. [ ** .
J {X*+\)V\X~\\
In(l+*2) dx
J х2 l+Jt2"
сю
9. $(arctg*)"?.
о
W& + I + x—УУхЩЛ —~x
со
x \ b?jIL<*
— оо
ОО ».
4. ^iW^^.
—оо
оо
J (*2+lJ
оо
Я С arc*§x dx
CO
11
s
Jt (a:2+ 1)
— uke.
12. J (l^l^4^+* + /yT+^-Je-.2)j
9 Под ред. М. А. Евграфове
257

13.
14.
15.
17.
VVi+*+x-VVi+jfl-x dx
Ф
afr
dx
5 In sin
ь
с?ф, a ;> 1.
-j-coscp
—я
С In (I— 2flcos9+aa)
— л
я
16.
(*3+lJ'
Inltgf
a>0, fc>0.
b -f- cos ф
18. [ arctg (-$*-)
J ь\а + со8фУ
<%
d(f
b ~\- sin ф '
¦ л « + соэф
a> 1, b> 1.
a>l, fc>l.
йф, а >> 1.
Если подынтегральная функция обладает той или иной симметрией, то
части можно сократить вычисления. Иногда, использование симметрии
позволяет получить даже некоторые новые формулы.
29.15. Доказать, что
хът dx
1+х2Л
2л . 2т-И
sm —=г— п
2п
где тип, т<сп,—целые неотрицательные числа, рассмотрев
интеграл от функции 22m(l -f-z2")-1 по границе угла О <С arg z <C п/п.
29.16. Пусть R{z)— четная рациональная функция, не имеющая
полюсов на действительной оси и в точке z = /, а аг, ..., ап —
ее полюсы, лежащие в полуплоскости lm?>-0. В предположении
сходимости интеграла доказать формулу
со п
О 1П2Х +
s~=iz===as in г —
(здесь In z = In j z | + / arg z, 0 <; arg z <L л).
29.17. Пусть R (z)—четная рациональная функция, не имеющая
полюсов при z>\, a av ..., ап — ее полюсы. В предположении
сходимости интеграла доказать формулу
СО п
\ R (х) In (х + Ухг— l) ^=~f У res R (г) arcsin 2:
1 s=l г °s
(для arcsin г берется регулярная в плоскости с разрезами по лучам
(—оо, —1) и A, -f- сю) ветвь, равная нулю при z = 0).
29.18. Пусть R (г) — нечетная рациональная функция, не имеющая
полюсов на действительной оси и в точке z — i, a av ..., ап — ее
258

полюсы, лежащие в полуплоскости 1тг>0. В предположении
сходимости интеграла доказать формулу
со л
(здесь In z = In | 21 -f- / arg z, 0 <C arg z <C л).
29.19. Пусть а>0, 0<а<[у, a /?(.г)— рациональная функция
с полюсами аг, ..., ап, не лежащими на положительной части
действительной оси. Доказать формулу
со п
J e~ax<tcos ла sin (ax® sin па) R (x) dx = — n^ res R (z) e~a <~z>a
(здесь — ла <C arg (— z)a < ла).
29.20. Вычислить интегралы:
5 = 1г = <
со
е* dx
I [ xdx 2 V —
Ч-я^сЬдг"
0 —со
оо со
f sh2Jtrfx л f xdx
(Ах2+л2) ch2 х' "J Dха + 9я2) sh x'
о
С x_i
J Dл*+ !
р. Г In xdx fi С V* In jc .
J (jt2+l)Dln2JC + 9n2) * "' J (*2_1)Aл2д; + Л2) йЛ''
о о
со со
7 с in (*+/**-о^ & с1п»+1^ЕГ *
^ ^ J х_[/>-1 *а+*
п С \nxdx ^ л ,„ С In (х + у х3 — а2), ^ п
9- J (*2 + а2)D1п2*+л2Г а>°- Ш- J У+* **» а>0-
ii Г * « djt -^ п ю MnG^+J/V*-^)
n-Jarctg^F^^' а>а 12" 1 *-* dx'
а 0
со со
лп Г, х-\-\/х2~a2 dx -^ л in С 1 х + а dx -л
13. \ In—rfr -^ 5, а>0. 14. \ In—! r , a>0.
a ' a
15. jje-^sin(a^)~^t я>0, fc>0.
о
CO CO
i с С _*r sin x x3 dx ^ n ,-v С -v xdx -^ n
16 Г — ft** e>a 17- Г cos-**4^' a>0-
о о
9* 259

ОТВЕТЫ
29.04.
h=2 zTa {R(zA-lJ?+nilnz}};
s=l
/a = 7 res
s Ы (z)l— -^1п3г + ш1п2г + ула Inzjj.
S=I
29.05. В правой части добавится слагаемое
— 4- res R(z)-[\nmb+(lnb + 2ni)m].
* z=b
29.11.
i n о Л 1 о о Л >l ^ К n С я ., Я2 Q 2л2 ДЗ
1. 0. 2. -гIn2. 3. г. 4. — ух. 5. 0. 6.-р. 7.-г-. 8. --5-. 9.^.
4 4 16 4 4 3 16
10. Юл2. 11. ~. 12.^. 13.*. 14. ?| B0 +79л2). 15. ^ 16. -J In 2.
,,J^(W2+ItJ, ,a«. „ 1-1. * ,. я. !(*_»).
224- 23.1-1. 2, ^ a. i^. 26. ?(„„„>*+?!).
27 ±(а*+ч*)-?- 28 "* 29 —1 1 4- 1па
3l + 'sha* 3chaa' а2-1 2alna ^ 2а Aп2а + я2) '
m
^ __J !___ 1 1 . 1 V^ In2 a — 4#*л2
aln2a (a—lJ' ' aln2a (a—IJ ' .a ^J (In2a + 4?2л2J
A = l
32- 2^
29.14.
!л2 1 6 Zi k2]'
.14.
1. г'^З-'^я VTbVX 2. л In 2. 3. nln[4 + l^+4l/T±EL.V
4. л. 5. л у ^2+1 . 6. ^-In5-y. 7. яA-1п2). .8-yln2. 9. л In 2.
10. -^ л2 In 2. 11. ^ In A^2+0- 12. у. 13. л. 14. -"- /(а + 1) (fc-f-1).
15. _E=lni±^=i^EL. I6. -7^==ml+g-'^Ei.
Va^ — l 2 j/a2—1 i_a+|/G2_l
2Я.20... »^. 2. j. ,|. 4.-!^. 5.0; 6. |.7.«.
8. П1„A+К2). 9. Я(_4_ + 5у^ ,0.. ?,nA + ,/2>
11. -r lna + я In A + K2 )- 12. — In - —. 13. n-. 14. --.
4 2 |-'e2»_(_ 1 _ 1 2a 2a
15. ILexp(-afc-1/4|'2~). 16. -~e-aY2. 17. *e-°rt.
b * N 4a4 4
260

§ 30. Суммирование рядов
30.01. Пусть f(z)— рациональная функция с полюсами аг ат
среди которых-нет целых чисел, и пусть f{z) = 0{z~2){z-+ oo).
Доказать, что
со т
2 /(«)= — я 2 res [/(^) ctg nz\.
и=—со ft = IE=afc
Указание. Вычислить с помощью вычетов интеграл
^ / (г) ctg лг dz,
где ЛГ—достаточно большое целое число, а затем перейти к пределу при
А/-+00.
30.02. Пусть функция /(г) регулярна во всей конечной
плоскости z, за исключением конечного числа полюсов at, а.г, ..., ат,
среди которых нет целых чисел. Обозначим через Gp всю плоскость
с выброшенными из нее кругами \z.—ак'^р, k—l, 2, ..., т.
Предположим, что функция f(z) удовлетворяет неравенству -
\f(z) ^еа'!'"г!е(|2г;), 0^а<л (z €= Gp),
где е(?)—>0 при ?-*-f-oo. Доказать, что при этих условиях
справедлива формула
2 (-OVM-.-n 2 -
/(*)
res --v '
sm лг
п=—со ft=i"' "й
Указание. Вычислить с помощью вычетов интеграл
dz
/(*)
J 'V sm лг *
|2:|=7V-H i
где N—достаточно большое целое число, а затем перейти к пределу при
Л'—> + со. При оценке интеграла использовать лемму Жордана (см. задачу 5.39).
30.03. Найти суммы следующих рядов:
со со со со
1 V 1 о У ± 3 У '- 4 У '
Li {n — tf Id rfl' Zd n2+Ca.* Ad (ла-Ка)а*
« = CO /2=1 Г2 = l П = 1
CO OO _ CO
5' 2d /x4-?4' 6' 2j (_ 1)П лз + ^а ¦ 7- 2j (~ 1)Л(л2+^)а-
-; = 1 n —1 n = l
CO OO
2 1 1 \n -xr\ pio.n
f«—i
— ' (л — J2 '
261

2 plan ?i fiiatt
фф, 0<а<2„. 12. 2 з^дг.-ЯЖжа
n=—oo n==—со
CO
13. 2 (-ifslny, -*<«<*.
n =—ce
CO
/1=—CO
30.04. Пусть f(z) — рациональная функция от cos 2 и sin .г,
не имеющая полюсов ни на действительной, ни на мнимой оси, и
стремящаяся к нулю при lm z ->¦ zb сю. Обозначим через аг, а2> • • • > ^т
полюсы функции f{z), расположенные в полюсе 0<1^е,г<;2л.
Доказать, что
п—1 m
ft=0 * s=l s
^Указание. Вычислить с помощью вычетов интеграл от функции
/ (г) ctg-s- по границе полосы 0 < Re г < 2я.
30.05. Найти суммы:
'• 2 , . V ,' 0<r<1- Z 2' ' *.'">й
а^о l-2rcos—-J-'8 fe=o aa+cosa —
rt—1 rt—1 rt—1 rt—1 CqS2 „
з. у —' 4. у ctg»*=. 5. у -V. е. у —»
* = i яп*-^- fe=i fe=i sm4-- ft==| sin4 -
30.06. Доказать, что
n—l ....2*я rn /"«» = ± 1, db 2, ...),
'-1 /m?? f 0 (« = ±1,
30.07. Найти суммы:
„ i . „ kzi , Ал
"—' sin2— "—' cos4 —
l2ttV- й>й 2-2-т^-
t о aa4-cos2— k_, sm2 —
n — l /i — l
3. У cos2rt—. 4. У Cos2"—sin2? —
^} П ^i П П
k—0 ft=0
(p и q—целые положительные числа).
n~\ п—1
5.2 *(*+*). «<-<:• e. 2 **(*+?). °<*<
fe=0 A=0
262

30.08. Пусть мероморфная функция F(z) обладает следующими
свойствами:
а) Ряд
"W-2^fe
равномерно сходится в каждой ограниченной части плоскости.
б) Существуют такие положительные числа р1} р2, ..., что
круги \z—Aftj^pft, k—l, 2, ..., не имеют попарно общих точек
и что
\F(z)\ = o(\z[m) (z^co,ze=G)
(символом G обозначена область, полученная удалением из
комплексной плоскости всех кругов \z — A,ft|^pfe, &=1, 2, ...).
Доказать, что для любой рациональной функции R{z) с
полюсами аг, а2, ..., as (отличными от полюсов функции F{z)), для
которой выполняется условие
|«B)| = о(|гГЯ1-1) (г —оо)>
справедлива формула
оо оо
2 Л*Ж**) = - 2 res \R(z) F(z)\.
30.09. Обозначим через ?ч, Д,2, ... все отличные от нуля корни
уравнения tgz = z. Найти суммы:
оо оо
30.10. Найти суммы:
оо оо со
L Id 7fl- 2' 2j "(л-КГ 3' 2j
. . „ n(n+0(«+20"
п=1 п=1 « = 1
Указание. Использовать формулу
Г B) Z ?d \n-\-Z П)
(см. задачу 27.18).
30.11- Пусть функция <p(f) представима сходящимся на отрезке
оо
[0, 1J рядом ф@—,2 cntn- Доказать, что
п=0
2 г+й-я=$<*",ф(')Л с^е2>°)-
а=и
263

30.12. Доказать формулу
оо
УЧЦ?-Г<Д-П«+'?, Rea>-1. «*0, -1. -2....
« = о
Здесь, как обычно,
30.13. Пусть рациональная функция /(г) имеет полюсы в точках
av а2, ..., ат (ak^ 0, 1, 2, ...) и пусть /(г) = О(гр) (г-*со).
Доказать, что при Rea>*p справедливо равенство
со /я
I «<«-'>->-"+2)/(,,)=.-Г(а+1) J res [/Wr^g].
* * *
оо
В некоторых случаях бывает полезно выразить сумму ^] /(п) через
п=—со
интеграл. Иногда получающийся интеграл удается вычислить с помощью
вычетов.
30.14. Пусть функция f(z) регулярна во всей плоскости, за
исключением конечного числа полюсов в точках av а%, ..., ат, не
лежащих на действительной оси, а при достаточно больших | z \
удовлетворяет неравенству
| /О) | ^ еа Jlm z I. ф (Re z),
со
где — 2я<Са<С2я, а ^ q>(x)dx<iсо. Доказать, что
— со
со со
2 /<")- $ /(*)<** =
/! = •—СО — СО
= —я 2 res /(г)№пг + 9 + я 2 res /(*)(ctgnz — О-
30.15. Найти суммы:
со
n =— оо
CO
CO
3- 2(n»+tf0(n«+^ ~2я<а<2я, a>0, *>0.
«=1
со
л VI cos na ¦ sin nB . . 0 . -^ n
2j " (n»+a«) ' —n<.a<3i, —л<Р<я, a>0.
264

Замечание. Формула задачи 30.14 применима к слишком узкому
классу функций. Область применимости формулы следующей задачи
значительно шире, но зато в ней имеется- три интеграла вместо одного.
30.16. Пусть функция f(z) регулярна в полуплоскости Re^^O
и удовлетворяет неравенству
¦Д-к + О'ЖфС*)^^1, С*>0, — со<,у<со),
00
где —2я<Са<;2л;, а интеграл ^y(x)dx сходится. Доказать, что
о
при любом 0<С8<;1 справедлива формула Абеля — Плана
00 ОО
л=1 в
6+/оэ В —/оэ
-"и \ /(^)(ctgJtZ + 0<fa + -g \ f{z){ztgUZ-~t)
dz.
В следующей формуле интегралов еще больше, но зато они несколько
проще.
30.1-7. Пусть функция f(z) регулярна в полосе |1т-г|^г) и
со
удовлетворяет условию \ max \f{x~\-iy)\ dx<Coo. Доказать
справедливость формулы суммирования Пуассона:
СО ОО ОО
2 /(*)= 2 J f{x)e2nnixdx.
П= —OQ П= — ОО ОО
Указание. Воспользоваться разложениями функции ctgяг в ряды
ОО
ctg лг:= — i — 2i2 e2kniz Aтг>0),
k= l
ОО
c\gnz = i + 2i 2 ekniz Aтг<0).
30.18. Пусть функция f(z) регулярна в полуполосе |1т2:|^т},
Re z ^ О и удовлетворяет условию
со
\ max \f(x-\-iy)\dx<Zoo.
Доказать, чго
ОО ОО .00
у/@)+ 2 /(")= Ц \f{x)e^^dx.
Указание. Рассмотреть интеграл от функции f{z)cignz по границе
области, выделяемой неравенствами — ц < Im г < т), Re г > 0, | г | > р. На
прямолинейных частях границы этой области воспользоваться разложениями
функции ctgrtz из указания к задаче 30.17, затем положить р->0.
265

30.19. Пусть функция f{z) регулярна в угле I arg 2 j ^ 6, 6>-0
и удовлетворяет условию
\f(z) \ e~a IIm 21 -> 0 (z -+ оо, | arg z | ^ 6),
с о<2л. Доказать, что интегралы
со
U{x)e2k™*dx, /г = ± 1, ±2, ...,
о
сходятся и что
{N N \ со
j/@)+ 2/(")-^/(^)^ =2 $/(*)***"<?*.
30.20. Вывести из формулы Пуассона формулу Абеля — Плана.
Примечание. В задачах 30.18 и 30.17 предположение о регулярности
не по существу—формула Пуассона справедлива и для любой функции f(x),
абсолютно интегрируемой по всей действительной оси. В задаче 30.19
предположение о регулярности по существу необходимо.
Формулы суммирования Пуассона и Абеля — Плана очень удобны для
аналитического продолжения функций, заданных степенными рядами, за пределы
круга сходимости этих рядов.
30.21. Доказать, что следующие степенные ряды можно
аналитически продолжить на всю комплексную плоскость с разрезом по
лучу A, +оо):
со со
!• ^(n2+l)nzn. 2. 2 епагп, 0^а<1.
п = 0 п = о
СО 00
3. J] [In (n -f-1)]« zn. 4. Yi «а (,n nf zn-
со со
5. ? [1пA+1пл)]агя. 6. ^ elIn ",a^-
n — 2 /i=2
30.22. Пусть функция f(z) регулярна в полуплоскости Re z ^ a
(и определена при 2 = 0, 1, 2, ...) и удовлетворяет условию
1п|/B:)[<[г|-е(|г[) (г-*-сю, Rez^a), e(t)-+0 (*->-}-оо).
со
Доказать, что степенной ряд ^ /(n)zn сходится в круге \z < 1
и что его можно аналитически продолжить на всю комплексную
плоскость с разрезом по лучу A, +оо).
30.23. Пусть функция f(z) регулярна в угле | arg (z — а) ^ б,
й^О, 0<сб-<л;/2 (и определена при г = 0, 1, 2, ...) и
удовлетворяет условию
1п|/(г)|<|2г| .e(|z|) (г-*оо, | arg (^ — a)|<fi), в(*)-*0 (^-> + оо).
со
Доказать, что степенной ряд ^ f(ri)zn сходится в круге |<г|<с1
/1 = 0
266

и что его можно аналитически продолжить в область
* \г\<еШ*г\^ь (| argz |^я).
оо
30.24. Доказать, что степенной ряд ^] е^п zn (М'О) можно
П = 0
аналитически продолжить по любому пути, лежащему в круге \z— 11< 1
и не проходящему через точку z=l.
30.25. Функция ? (s) (дзета-функция Римана) определяется ра-
оо
венством ?(s) = ^ n~s (Res>»l). Доказать, что функция ?(s) ана-
п= 1
литически продолжается на всю комплексную плоскость с выколотой
точкой s=l, в которой имеет полюс, и что она удовлетворяет
функциональному уравнению ?(s) = 25jTs~1sin-^Jr,(s)-?(l — s).
Указание." Применить результат задачи 30.18 к функции / (z) — z~sente
со
и воспользоваться равенством V (—l)nn~s = (l—21-s)?(s).
30.26. Функция ty(x) определяется равенством
со
п== — со
Доказать, что функция ty(x) удовлетворяет уравнению
*м-7?*(т)-
* * *
Некоторые степенные ряды можно просуммировать с помощью приема,
составляющего содержание следующей задачи.
30.27. Пусть функции />(?) и ф(?) регулярны в односвязной
области D, причем функция ф (?) не обращается в этой области в нуль.
Определим функции Q„(?) равенством
0»@ = яг|*{р@[ф@Г}. п = ^ 1-2>-
Доказать, что для каждой замкнутой части В области D можно
со
указать такое 8 = 8 (В), что ряд ^П Qn (?) zn равномерно сходится
при ?<=?, 121< 6E), и что его сумма равна j^^^^ t)], где
«»(г, О — решение уравнения г = ^=?, те» @, ?) = ?.
267

Указание. Записать функции Qn(?) в виде
Qn@==zuh [ p(w)l<?(w)\"(w-t)-"-idw.
\w—u=p
30.28. Найти суммы рядов:
П — \ /1 = 0 П = i
30.29. Полиномы Лежаидра Рп(х) определяются равенством
1 dn
2"n! dxn
РЛх) = ^г~^2-^ -К*<1.
Найти сумму ряда J] Р„(л:J:" (|г|<1).
/1=0
30.30. Полиномы Эрмита Нп(х) определяются рав'енством
dn
8 Ц
Яя (•*)-(-О" ^"-^-П -°э<*<оэ.
Найти сум му ряда У  2:"-
/i==0
30.31. Полиномы Лагерра L„(jc) определяются равенством
n! e dxn^
1 d"
^«(¦*) = :л е*-^ {хпе~х), 0 < * < оо.
Найти сумму ряда ^] Ln{x)zn.
п = 0
ОТВЕТЫ
30.03.
л2
л2 1 1 / яэС2 \
.. . а _ 2.^-. 3. ^(яссШя:-1). 4. ' f-iL^_+ nfcthnt —2 ."
sin2 я? 6 2?2 4J \sh2 ixu /
с 1 я / . „ , .. „ а \ ( п? Л , 1 /jt2?2chji?: . я? 0\
5- ^-4T3(ctgIlt+cthjl0-6;2pte~1)- 7-4сЛ~^^Г+^-2)-
12. л —: ^—(ncteiC — ia—ш). 13. 0. 14. па.
30.05.
1 л (!+/«) я (а + уТЁ+ТУ^ + С-!)" , /^
• A—Г2)A_г")* • a]/y+^(aj{r]r^fTfn-(-i)n' °' 3 '
па—4 я*+10яа—11 - п4 — 5п2 + 4
4. ———. о. tz . о. ¦ — .
6 45 45
268

зо.ог
1 д tV^+l (° + У^ТУ»+(- 1)" l \ о 2n2-9n+l6
(a+l'^+O2'1 — (— 1)я
3. пГ-^. 4. п2~*^ЩЩ~. 5. nctg*. 6.
2п2
(л!J ~ " ~p\ql(p + q)l' "' "w,6~" "' sin2*
30.09.
! ?2-sin4 3 2 ' sh? 3
(sin S-Sa» tf< С2 * ' С ch C-sh С ?¦ '
30.10. _
1. -{Г'"A)+{Г'A)ГA)-[Г'AI3- 2. -i^Ll^±i>-r'(l)).
3. "Г2Г'«+1>
2t2L Г(с+1) г
30.15,
я/_Пп1. 2 ch а?
Г B?+1) l'J"
1 т^'-'+т^
О П f1 f.-a\a\ ¦ 2ch«a\ 1 / fc|a| 2 ch (Хб V) 1_
2(b*-a*)\a[e ~V™_j,| fc^e '1"е2лЬ_1Д 2а2&2-
о n /.~д|а| t 2shaja| -fc|al 2shfcla||
4 "fc-fl,a + BI -eia-PI | gS"(a|<X+P|)-sh"(flja-p|))
¦ 8 \ T" e2™-l /*
30.28.
1. -J— 2 *a* * 1 + Z
30.29.
1 — 2- 1—z* ' 1 + A— a)z*
1
Vl— 2xz + z2
30.30. e-0j! + 2jr2.
30.31. ^ e l~2.
1 —г
§ 31. Интегралы, сводящиеся к гамма-функции
Гамма-функция Эйлера Г (г) определяется равенством
оо
Г (г) == J t*-*e-' dt (Re z > 0). A)
о
Из этого равенства интегрированием по частям легко получается
функциональное уравнение
Г(г+1) = гГ(г). B)
С помощью функционального уравнения гамма-функция без труда аналитически
продолжается из полуплоскости Rez;>0, где сходится интеграл A), на всю
комплексную плоскость с выколотыми точками z = —п, п = 0, 1, 2, ... , в ко-
(— 1)"
торых Г (г) имеет простые полюсы с вычетами -—г-*-.
269

31.01. Доказать формулы:
1. Г(« + 2+ \) = (n + z){n-\-z — 1). .zT(z)(n= 1. 2, ...).
о Г'(г+1) Г'(г) 1
^ГB+1) Г B) г'
Наряду с гамма-функцией часто рассматривается и бета-функция Эйлера
В (г, ?), определяемая равенством
1
В (z, 0= { Г* A — 0?~' Л (Re z >0, Re t > 0). C)
= W*-i(l-tf
Фактически символ В (z, ?) является лишь сокращением записи, так как
в (*,?)= г(г+о . D)
(см. задачу 13.37).
31.02. Доказать формулы:
1. В (г, 0 = В <?,*). 2. в (и, w)-^—j-C т. «=t, 2,...;
3. B(z+1, 0 = ^B(*,Q.
31.03. Доказать формулу Г (.г) Г A — г) = .
Указание. Вычислить интеграл для В (г, I — г) с помощью контурного
интегрирования (см. задачу 28.25 A8)) и сравнить полученный результат с
результатом, получаемым из формулы D).
31.04. Доказать, что ГЧ-^-) = Уп .
31.05. Доказать формулы:
со
1. J *»*-*•<** =-А-Г(i±!) (Re*>-1>
о
оо
2. lxze-xPdx==-Y[^l\ (p>0, Re^>—1).
о
i
3. f An yJ l <#'*= r CO (Re -г > О).
о
oo
4. ^ ^-ie-С dt = ГТ (г) (Re г > 0, ' arg ?1 < ~).
о
oo
5. I t*~* costdt=T(z)cos™ @<Re^<l).
о
30 (-^
rB)sin^,z^0 (-KRez<l),
6. \ t?-4\ntdt = -_
270

со
7. $sln**rf*=-ir(l)sin? Q»l).
о
со
8. ^cosxP^ = ir(l)cos^ (р>1).
о
со
(I
со
11Л <г*р cos^ cos (xP sin/Л) dx = ~T (—) cos Я
/»o, -?<*<5
12. J **-!*-**«» *¦ sin (XP sin А) rfx = — Г (-) sin —
(Re^>0, *>1, _|<X<|j.
31.06. Доказать формулы:
l
1. ^-i(l-^-i,f^|B(}, p) (Rea>0, ReP>0).
b
i
2. ^a-iA_^-i^ = JB(y, p) (/7>0,Rea>0,Rep>0).
о
CO
CO
^SS^-^C'-f) (^a>0, Re(P--|)>0).
CO
5-S(lT^ = 7B(^p-7)(^0-Rea>0'ReH)>0)-
1
6. J (l+^-'O— 0p_,^ = 2«+P->B(aI P)(Rea>0,Rep>0).
— l
31.07. Пусть а>0, Rea>0, Rep>0. Доказать, что
i f/i-V+p ,^-a~p^+1)-aB(«. P).
o- <'+">
271

Указание. Сделать дробно-линейную замену переменной
интегрирования, переводящую точки 0. 1, —а в точки 0, 1, со соответственно.
31.08. Доказать, что формула задачи 31.07 справедлива и в
случае, когда точка а лежит в плоскости z с разрезом по
отрицательной части действительной оси, а выражения (а-\-\)"п и а~$ имеют
следующий смысл:
(a-fl)-a==e-al,1@+,>, —3X<lmln(a+ 1)<я;
а~0=?— 31пй, —л < Ira In а <С п.
31.09. Доказать формулы:
L j ^A-де-'^2-^-1 в ^ pj (Rea>o> Rep>o)
<# = _! 2 p В
0 (\+tp)p
(здесь/?>0, Rea>0, Rep>0).
(f'P)
(H-0a_1 (l—/)p_1
3' i (i , «+p ^ = 2«+Р-Ч«+1)-«(«-1)-р В (a, P)
(здесь a>l, Rea>0, Rep>0).
31.10. Пусть Rea>0, ReP>0. Доказать, что
с (i+*J«~} (i-^-] dx===2a+b_2B
2x
Указание. Сделать замену переменной интегрирования ?=—,
31.11. Доказать формулы:
я/2 л/2
1. ^ (со8ф)°-Мф= f (зШф^йГф^В^, ^) (Rea>0).
о о
п/2
2. f 0ёфГ^ф = ^_ @<Rea<2).
о 2 sin -g-
3. При Rea>0, Rep>0,
я/2
J (cos Ф)«-l (sin Ф)Р-1 <fcp = 1В (-f, -|) •
о
4. При a>0, Rea>0, Rep>0,
V (sin фJ**-'(cos?J!3-1 . 1 / , 1Ч „ r г,/ оч
\ —тгла ЙФ= о (а + 1)~аа-Р В (а, 6).
J (a + sin2<p)a+p 2Ч < ч ' tv
272

5. При Rect'<iRep|
оо
о
6. При |Rea|< Re ^ |
со
7. При Rea>0, Re(a + p)<0,
со
? (sh xfa ~» (ch xJP+' Ле = -~ В (a, — a—P).
с
31.12. Пусть С — произвольный спрямляемый контур, идущий из
точки z =— л/2 в точку z = n/2, оставаясь в полуплоскости Ira z > 0.
Под (sin?)a на контуре С мы будем понимать ту ветвь этой
функции в полуплоскости Im z > 0, которая обращается в единицу в
точке z==—-л/2. Доказать, что при всех комплексных значениях a
справедлива формула
$(sin№i±pBp±i,4)
31.13. Пусть С—произвольный спрямляемый контур, идущий из
точки z = — /, в точку z = /, оставаясь в полуплоскости Re z > 0.
Под г^—1 и (г2+1H—' на контуре С мы будем понимать те ветви
этих функций в плоскости Re?>0, которые обращаются в
единицу в точках z=\ и ,г = 0 соответственно. Доказать, что при
Re Р >> 0 и при любом комплексном значении а справедлива формула
f ^-»B2+l)p-I^ = /cos^B(-|-, pV
31.14. Доказать, что:
1. При любом а и при Rep>>0
я/2
С(со8ф)Р-1со8с«рйф = 2-Р5т?^^В (a~P2+I , pV
о
2. При любом а и при Rep>— 1/2
я/2
С (cos фJР cos2 сир йф = 2-2Р-2 cos л (a — р) В (a — р, 2р) +
+^в(р+|, 1).
3. При ReP<l и Re(a + P)>0
со
(sh лг)Г
273

4. При ReB>—1, Re(a + P)<0, Re(a — p)>0,
oo
[ (sh*)Pshcwcrfx = 2-P-2[B (p + 1, — ?L^) — В (P + 1'Ei^)]-
31.16. Доказать, что при Rea;>0, ReP;>0,
я/4
j (СОБф — ШфJ»-1 (С08ф + 81ПфJР--1^ф = 2о + Р-2В(С6, Р).
— Я/4
Указание. Воспользоваться формулой задачи 31.10.
31.16. Доказать, что при 0<CRea<l справедлива формула
я/4
С / cos ф — sin ф \ аа-1 л,
3 \ cos ф + sin ф } ' ^ 2sin ла'
— Я/4
31.17. Доказать, формулу
\т j
Г* Л: !
2га ,) Г (г)'
с
где С—граница области |?|]>р, | arg ^ ] _<С зх — Т) @ sg т) < я/2).
Указание. При Rez<l положить р = 0, tj = 0, а затем воспользо-
JX
ваться формулой Г (г) Г A —г) = - (см. задачу 31.03).
31.18. Обозначим через Da>p полуплоскость Re z < а, из которой
выброшены круги \z-\-n\<ip, п — 0, 1, 2, ... Доказать, что при
любых фиксированных значениях постоянных р > 0, а и т
справедливо неравенство \T(z) ^M(l-\-\z\)"m (zeD0,p) с некоторой
постоянной М, зависящей от выбора чисел р, а, т.
Указание. С помощью исходной формулы A) для гамма-функции
доказать, что величина j Г (г) j ограничена на любой вертикальной прямой
Кег = а>0, а затем воспользоваться функциональным уравнением B).
31.19. Доказать, что
r|i+/i
= уГшщ> -~<?<~-
31.20. Доказать, что при любых значениях s, лежащих в угле
| arg s | < л;/2, справедлива формула
1/2 +г" со
I /2 — i со
Много формул можно получить, дифференцируя по параметру формулы,
приведенные выше.
31.21. Доказать формулы:
со
1. 5 (In t)m t'-i-e4 dt = Г<т> (z), m=\, 2, ... (Rez> 0).

24
00
- 2. f (In ty» e-fi di = 2~«-' Г<т> (-1V m=l, % ...
о
i
3. Wlnln-p)m^ = r<m)(l), /«=1, 2, ...
00 CO
4. ? i|iin^f = -Jr'(l), 5. \~\x?tdt==~Y\\Y
о о
со
&i«ta*,-,»**-7w(iT5+r'(i))-
31.22. Доказать, что:
со
J (l+*)(i Г(рI v J ^ ' K J ^ "
(здесь Rea>0, Re@ — a)>0).
л/2
2. t (cos ф)а In cos ф dq> —
кЙ| + г)ГA + ')-Г(т + 5М|+')
(здесь Rea>>— 1).
Ряд совершенно иных интегралов, выражающихся через гамма-функцию
и ее производные, можно получить, используя формулу
со г
я = 1
<см. задачу 27.17). Постоянная С, входящая в формулу E), называется
постоянной Эйлера. Она определяется равенством
31.23. Доказать формулы:
со
. й Г'B) ? te~ls ,,
о
l
31.24. Доказать следующую формулу для постоянной Эйлера:
со
275

Si.25. Доказать формулы:
со
О
о
со
О
31.26. Доказать, что при z-^oo, \argz\=^n—ц<Сп, имеют
место асимптотические формулы
31.27. Обозначим через Dp всю плоскость z с выброшенными
из нее кругами | z -\-п | ^ р, п ~ 0, 1, 2,... Доказать, что для любого
р > 0 существует- такая постоянная М, -что
Г'(г)|_1п
1*1 + ". 2- \тгЩ\^М^'К
L Г B)
31.28. Доказать формулы:
1/2+1 со
1/2—/со
l/2 + i со
2. =Ц [ ^^^7Т = Т-^ С*>0)-
2ш J Г (г) 1-е •* v y
!/2—«со
31.29. Доказать формулы:
1
о
^iffl-^-i*^" (Re^>0.U,(, + O>0).
3- S d + Oln* ^=1" ,г/,' 1\ (Rea>°' ReP>0)'
о l («)] I lJ +  /
31.30. Пусть /(г) — рациональная функция от ez> не имеющая
полюсов на действительной оси, а av ...,an—ее полюсы, лежащие
со
в полюсе О <С Im z<С 2л. в предположении, что ^j \f(x)\dx<Z.oo,
— со
доказать формулы:
276

1. Если Re a> 0, то
(л:) dx
м
-\- 2nia
У,
s=\
res
2 = fl„
/(*)
2. Если Re а <С О и точка z = — 2ша не является полюсом f(z), то
со п f Г' I -Ч-аУ
г'й+"
31.31. Доказать формулы:
1. При а>0
dx
1
,3 (х* + 4п*а?)(ех+1) 4а*
—со
2. При а>0 и при любом действительном значении а
dx
(х* + 4п*а?)(ех+егпа)
= **е
-2ЯЯ
+
.—2яп
4л'а
3. При а>0
4. При а>0
со
d*
J_
+ 1)Aп2д; + 4л2а2) — 4а
дг dx
(A'2 + 4n2a2)shA:
ГA + К)
Г#A+и) , 1
T(l-f-a) "^ 2а'
31.32. Пусть f(z)— рациональная функция от е*, действительная
при действительных z и удовлетворяющая условию
со
5 \f(x)\dx <Соо,
—со
а аг, ..., ап — ее полюсы, лежащие в полосе О<СImz<!2л.
Доказать формулу
со п
\ Ах) in (?, + «2) dx = 4я Im 2 «J {/(*) ШГ (~ + «)}
—со s = I s
(здесь а>0, а для 1п? и 1пГ(?) выбираются в полуплоскости
Re ? >> 0 регулярные ветви, действительные при положительных
значениях Z).

Глава VI
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
§ 32. Однолистные функции
Функция f(z), определенная на множестве Е расширенной комплексной
плоскости (значение оо допускается), называется однолистной на множестве Е,
если / (Zy) Ф f (z2) для любых двух различных точек гг и z2 из этого множества.
Отображение, совершаемое однолистной функцией, называется взаимно
однозначным.
Конформным отображением области D расширенной комплексной плоскости
называется отображение, совершаемое функцией, мероморфной и~однолистной
в области D.
32.01. Выяснить, однолистны ли функции f(z) в областях D,
указываемых в скобках:
1./(*)=~ (D:|z[<cx>), ad-bc^Q.
2.f(z)=z* (D:{1<|*!<2, 0<argz<3ji/2}).
3./(*)=** + ! (D: \z\<\).
4. f(z)^<? (D: |z|<4).
5. f(z)^zz (D: {3<!^ + 2'<4, 0<arg(z + 2)<Ззт/2}).
6. f(z) = ez (D: |Re[(l+0«]l<n).
7. /(*) = * + ! (D: \z-l\<Vty-
Образ множества Е при отображении w = f{z) обычно обозначается
символом / (?). Например, символом — Е обозначается множество, состоящее из
точек —z, где z — произвольная точка множества Е\ символом Е-{-а (здесь а —
произвольное комплексное число) обозначается множество, состоящее из точек
z-j-a, где z — произвольная точка множества Е, и т. д.
32.02. Доказать следующие утверждения:
1. Функция zz однолистна в области D в том и только в том
случае, когда области D и — D не имеют общих точек.
2. Функция -ъ4г-\—] однолистна в области D в том и только
в том случае, когда области D и jr не имеют общих точек.
3. Функция ег однолистна в области D в том и только в том случае,
когда области D и D-\-2ni не имеют общих точек.
4. Функция tg z однолистна в области D в том и только в том случае,
когда области D и D-\-n не имеют общих точек.
278

5. Функция cos z оцнолистна в области D в том и том и только в том
случае, когда области
D, —D, ?> + 2л, _?) + 2л
не имеют попарно общих точек.
32.03. Пусть п ^2 целое число, а а — произвольное
действительное число. Доказать, что функция zn-\-neiaz однолистна в круге
32.04. Доказать, что функция z2-\-az однолистна в полуплоскости
\mz>0 в том и .только в том случае, когда выполняется
неравенство Im a ;>= 0.
32.05. Доказать, что ни одна из регулярных в полуплоскости
lrm>0 ветвей функции |/'zb не является однолистной в этой
полуплоскости функцией.
32.06. Доказать, что если функция \п z допускает выделение
в области D регулярной ветви, то эта регулярная ветвь однолистна
в области D.
32.07. Пусть п — целое положительное число. Доказать, что если
функция у z допускает выделение в области D регулярной ветви,
то эта регулярная ветвь однолистна в области D.
32.08. Пусть функция f(z) однолистна на множестве Е, а
функция g(t>) определена на множестве Е' значений функции f(z).
Доказать, что функция g(f(z)) однолистна на множестве Е тогда и
только тогда, когда функция g (?) однолистна на множестве Е'.
32.09. Пусть функция f(z) регулярна и однолистна в круге
!г]<1, а /@) = 0. Доказать, что многозначное выражение yf(zn)
в круге | z! <С 1 распадается на п регулярных и однолистных в этом
круге функций.
Функция f{z) называется однолистной в точке г0, если она определена
и однолистна в некоторой окрестности этой точки.
Имеет место следующий критерий однолистности в точке для регулярных
функций:
Функция / (z), регулярная в точке z0 Ф со, однолистна е этой точке тогда
и только тогда, когда f (z0) Ф 0.
32.10. Убедиться, что следующие функции не однолистны в
указываемы^ областях D, хотя и однолистны в каждой точке этих
областей:
1. z2 (D: 1<|г|< 2). 2. z3 (D: lmz>0). 3. ег (D: И<4).
32.11. Доказать, что функция f(z), регулярная в точке со,
однолистна в этой точке тогда и только тогда, когда
Wm\z(f(z)-f(oo))]jb0.
Z-* 00
32.12. Доказать, что функция f(z), имеющая в точке z0 полюс,
однолистна в этой точке тогда и только тогда, когда этот полюс
имеет первый порядок.
279

32.13. Пусть функция f(z) — anzn -f... -j- a2,z* + z однолистна
в круге |.г!<С1. Доказать справедливость неравенств
1. и|вп|^1. 2. klokl^C^Z] (А = 2,...,л— 1)..
Указание. Воспользоваться формулами Виета.
32.14. Доказать, что для однолистности квадратного трехчлена
az2 -\-bz-\-c в выпуклой области D необходимо и достаточно, чтобы
этот трехчлен был однолистен в каждой точке области D.
Указание. Воспользоваться тем, что середина отрезка, соединяющего
любые две точки в области D, также лежит в области D.
32.15. Пусть а, Ь и zQ—заданные комплексные числа. Найги
наибольшее значение R, при котором функция z2-\-az-{-b однолистна
в круге \z~z0|</?.
32.16. Доказать, что функция z9'^raz-\-b однолистна в каждой
области D, лежащей по одну сторону от какой-либо прямой,
проходящей через точку z = — с/2.
* * *
32.17. Пусть функция /(г) регулярна в выпуклой области D.
Доказать, что если существует такая действительная постоянная а,
что величина Re{eiaf'(z)} отлична от нуля в области D, то функция
f{z) однолистна в области D.
Указа.ние. См. задачу 10.05.
32.18. Доказать однолистность функции zs — Зг в области
{(Re zf > 1 + (Im zf, Re z > 0}.
32.19. Доказать однолистность функции z-\-ez в полуплоскости
Re z < 0.
* * *
32.20. Пусть функция f(z) регулярна в точке z0 ф. оо, а ее
производная имеет в точке z0 нуль порядка т^1. Доказать что
1. Для любого действительного числа ф0 и для любого
положительного числа а <С —тг? существует такое число р > 0, что
функция f(z) однолистна в секторе
|z —Vl<p, <p0<argB; — z0)<ф0 + яа.
2. Если а>—г-т, го каковы бы ни были числа фп и р>0,
/71+1 ти г
функция f(z) не может быть однолистной в секторе
\z — г0|<р, Фо<агёОг — -г0)<ф0 + яа.
Указание. См. задачу 26.12.
32.21. Доказать, что многочлен anzn-\-...-}-a1z-\-a0 может быть
однолистной в полуплоскости Im z > 0 функцией только в гом
случае, если его степень не выше второй.
* * =и
80

32.22. Доказать, что если функция f(z), отличная от
тождественной постоянной, регулярна в области D, то множество значений,
принимаемых этой функцией в области D, образует область.
{Принцип сохранения области).
Указание. См. задачу 23.15.
32.23. Пусть функция f{z), отличная от тождественной
постоянной, регулярна в области D. Обозначим через Ет множество тех
значений w, для которых уравнение f(z)=w имеет в области D не
менее т решений. Доказать, что каждое множество Ет или пусто,
или открыто.
Указание. См. задачу 23.15.
32.24. Вывести принцип максимума модуля регулярной функции
из принципа сохранения области.
* * *
32.25. Пусть функция f(z) регулярна в области Д ограниченной
простой замкнутой кривой С, и непрерывна в замыкании этой области.
Доказать, что если образ кривой С при отображении w—f(z)
является простой замкнутой кривой, то функция f(z) однолистна
в области D.
32.26. Останется ли в силе утверждение задачи 32.25, если (при
соблюдении всех прочих условий) разрешить функции f(z)
обращаться в бесконечность на границе области D и считать ее
непрерывной в сферической метрике?
32.27. Пусть — oo<ai<C.. . <ап<С + оо. Доказать, что любая
регулярная ветвь аналитической функции f(z) — j/(z — аг)... (z — ап)
в полуплоскости Im z > 0 однолистна в этой полуплоскости.
32.28. Пусть
0<Салг<11 (k= 1,2,3), а1-\-а2-\-сс3^=\.
Доказать, что любая регулярная ветвь функции
Z
5 (?- 1)а<-' (? + О0*-1 (?-0а8-' dt
о
в круге | z | < 1 однолистна в этом круге.
32.29. Пусть
— со<; a1<Ca2<.aa<Cai<i-\-oo, 0<!a<4.
Доказать, что любая регулярная ветвь аналитической функции
г
\ (C-ai)"-1 (е-ЯгГ^-ЯзH-1 (?-я4Га dl
о
в полуплоскости Im z ;> 0 однолистна в этой полуплоскости.
32.30. Пусть функция f(z), отличная от тождественной
постоянной, регулярна в замыкании области D, а ее модуль имеет одно
281

и то же значение на всей границе области D. Доказать, что функция
однолистна в области D, если она однолистна в каждой ее точке.
Указание. См задачи 23.07 и 26.33
32.31. Пусть функция f(z) регулярна в области D и в каждой
конечной точке ее границы, а функция Re f(z) равна нулю в каждой
конечной точке границы и отлична от нуля в области D. Доказать,
что функция f{z) однолистна в области D, если она однолистна
в каждой ее точке.
Указание. См. задачу 26.29.
32.32. Пусть функция f{z) = z-\- 2 cnz~n регулярна и одно-
листна при 1 <С | z \ <! со. Доказать неравенство
со
п = 1
Указание. Воспользоваться результатом задачи 9.19 и тем, что
величина lim [S (r, R) — nR2\ — о (г), где S (r, R) — площадь образа кольца г < \z\ <R
Я-* со
при отображении ш=/(г), равна площади части плоскости w, не входящей
в образ области | г | > г (и поэтому — положительна).
32.33. Пусть /(г) —функция из задачи 32.32. Доказать, что при
любом я = 1, 2,3 ... справедливо неравенство | сп | ^ —= и что ра-
\ п
венство \cm\ = -7=z возможно лишь в случае, когда
у т
f(z) = z±-L ,
где а—действительная постоянная.
со
32.34. Пусть функция g (z) = z -f- 2 anZ>l РегУляРна и однолистна
п = 2
в круге z <С 1. Доказать, что \а% ^2 и что равенство возможно
лишь в случае, когда
g(z) = z(l+zei")-2,
где а — действительная постоянная.
Указание. Применить результат задачи 32.33 к функции
(см. также задачу 32.09).
* * *
32.35. Пусть функции /„ (z) регулярны и однолистны в области D
и пусть последовательность {fn{z)\ равномерно сходится к функции
282

f(z) ^Ё const в каждой замкнутой части области D. Доказать, что
функция f(z) однолистна в области D.
32.36. Пусть функции
оо
регулярны и однолистны в области 1 <С | z | «< сю. Доказать, что
из последовательности {fm{z)\ можно выделить сходящуюся при
1 <С! z | <С оо подпоследовательность и что пределом этой
подпоследовательности является функция, однолистная в области |2|>1.
Указание. См. задачи 12.12 и 32.32.
32.37. Пусть функции
оо
регулярны и однолистны в круге |^|<С1. Доказать, что из
последовательности {gm(z)} можно выделить подпоследовательность,
равномерно сходящуюся в каждом круге |г|^г<С1> и что пределом эгой
подпоследовательности является функция, однолистная в круге | z \ < 1.
ОТВЕТЫ
32.01.
1. Да. 2,Нет. 3. Да. 4. Нет. 5. Да. 6. Да. 7. Да.
32.15. /?= г0 + |- .
32.26. Нет. Пример: f(z) = z* (D: 1тг>—1).
§ 33. Дробно-линейная функция
Функция
. , аг-\-Ъ
w (г) = ¦—
у} сг+й*
где а, Ь, с, d постоянные, удовлетворяющие условию
ad — Ьсф 0,
называется дробно-линейной функцией, а осуществляемое ею отображение —
дробно-линейным отображением.
33.01. Пусть w(z) — произвольная дробно-линейная функция,
a zv z2, z3, z4— четыре попарно различные точки расширенной
комплексной плоскости. Обозначим
wk = w{zk), k=l, 2, 3, 4.
Доказать, что
^4 — ^1 . Щ — Wi _ Zi — *! . z3 — гх
ш4 —а/а ' w3 — w2 z4 — z2 ' z3 — z2 '
33.02.- Доказать, что каждая дробно-линейная функция w(z)
удовлетворяет дифференциальному уравнению 2w' w'" = 3(ш"J.
283

33.03. Доказать, что линии уровня модуля дробно-линейной
функции являются окружностями или прямыми линиями.
33.04. Доказать, что линии уровня действительной части дробно-
линейной функции являются окружностями или прямыми линиями.
33.05. Доказать, что образом окружности при дробно-линейном
отображении является окружность или прямая.
33.06. Доказать, что образом прямой при дробно-линейном
отображении является окружность или прямая.
33.07. Доказать," что прообразом прямой линии при дробно-
линейном отображении w — ——7 является окружность (или прямая),
d
проходящая через точку z — .
Точки г! и г2 называются симметричными относительно прямой С, если
они лежат на прямой, перпендикулярной к прямой С, с разных сторон от нее,
и если их расстояния от прямой С равны.
Точки Zx и г2 называются симметричными относительно окружности С,
если они лежат на луче, выходящем из центра окружности С с разных ее
сторон, и если произведение их расстояний от центра окружности С равно
квадрату радиуса этой окружности (точка г=ею считается симметричной
с центром окружности).
33.08. Найти точку а*, симметричную с точкой а относительно
прямой Re(e~i(v(z — z0)) = 0.
33.09. Найти точку а*, симметричную с точкой а относительно
окружности \z — г01 — R.
33.10. Пусть точки zx и г2 различны и симметричны относительно
прямой С. Доказать, что каждая окружность, проходящая через
точки zx и z%, пересекает прямую С под прямым углом.
33.11. Пусть точки zx и г2 различны и симметричны относительно
окружности С. Доказать, что каждая окружность, проходящая через
точки zx и z%, пересекает окружность С под прямым углом.
33.12. Пусть w{z) — произвольная дробно-линейная функция, С —
произвольная окружность (или прямая), a zx и г2 —точки,
симметричные относительно окружности (или прямой) С. Доказать, что
точки w(zx) и w(zv) симметричны относительно образа окружности
(или прямой) С при отображении w = w (z).
33.13. Доказать, что уравнение окружности радиуса R,
обладающей тем свойством, что данные точки zx и z2 симметричны отно-
2—гх К4Я2 +1 г2—гх I* ± I г2—гЛ
сительно нее, можно записать в виде ~ = - ' OD — .
Z — гг zti.
33.14. Найти условие, которому должны удовлетворять точки
zv zx, z2, z%, чтобы существовала окружность (или прямая),
относительно которой точки zk были бы симметричны с точками z% (k— J, 2).
33.15. Пусть точки zv z%, z3 попарно различны, так же как и
точки wXl "Z2>2, Щ- Доказать, что существует единственная дробно-
линейная функция w = w (z), для которой w {zk) = wk (k = 1, 2, 3),
284

и что эта функция w(z) удовлетворяет уравнению
w (г) — ц»! ws—w2 __ z — гх z3—z2
w(z) — w2 ' w3—wt z—z2 ' zs—Zi'
33.16. Доказать, что общий вид дробно-линейного отображения
круга j z | <; 1 на круг ] w j <; 1 дается формулой w = eia -i~a~ J где
a — произвольная точка круга |г|<;1, а а—произвольная
действительная постоянная.
33.17. Доказать, что общий вид дробно-линейного отображения
полуплоскости Im z > 0 на круг | w | < 1 дается формулой
,, z—а
W-
а'
где а — произвольная точка полуплоскости 1шг>0, а
а—произвольная действительная постоянная.
33.18. Доказать, что общий вид дробно-линейного отображения
полуплоскости Im z > 0 на полуплоскость Im w > 0 дается формулой
az-\-b , ,
w — —-ц—т, где а, Ъ, с, а—произвольные постоянные,
удовлетворяющие условию ad — bc=lt ^v*^^ fe JyC
33.19. Найти общий вид дробно-линейных отображений
следующих областей:
1. Круга \z — Zq\<C.R на круг |щ»|<;1.
2. Круга | z | <; R на полуплоскость Im w >• 0.
, 3. Полуплоскости Re z > 0 на круг | w | ¦< 1.
4. Полуплоскости Re z >> 0 на полуплоскость Re w > 0.
¦^^ * => =>
33.20. Доказать, что любое конформное отображение всей
комплексной плоскости на всю комплексную плоскость является
линейным отображением.
33.21. Доказать, что любое конформное отображение всей
расширенной комплексной плоскости на всю расширенную комплексную
плоскость является дробно-линейным отображением.
33.22. Пусть функция w(z) мероморфна в области D. Доказать
следующие утверждения:
1. Если при отображении w = w (z) образом любого отрезка
прямой (лежащего в области D) является отрезок прямой, то w (z) —
линейная функция.
2. Если при отображении w = w {z) образом любого отрезка
прямой (лежащего в области D) является дуга окружности или отрезок
прямой, то w(z) дробно-линейная функция.
I И у I
33.23. Доказать, что величина _".-¦ инвариантна относительно
дробно-линейных отображений круга 1 z \ < R на себя, т. е. что для
любого такого отображения w = w(z) имеет место равенство
\dw\ \dz\ , , , ч
285

33.24. Доказать, что величина W-^ инвариантна относительно
дробно-линейных отображений полуплоскости lmz;>0 на себя.
33.25. Доказать, что величина * . ' |а инвариантна относительно
дг в
дробно-линейных отображений вида w = = — где А, В — произ-
Вг+А
вольные комплексные числа, не равные нулю одновременно
(вращения сферы Римана).
33.26. Неевклидовой длиной кривой С, лежащей в круге [ z \<i l,
1/^ч С Idz I
относительно этого круга называется величина Л (С) = \ ;?_, ' .
с
Доказать, что неевклидова длина кривой сохраняется при всех дробно-
линейных отображениях круга \ z | <С 1 на себя, т. е. неевклидова
длина кривой С равна неевклидовой длине ее образа при таких
отображениях.
33.27. Неевклидовой площадью области D относительно круга
| z | < 1 называется величина
°(D) = \ \ idlfz\2 (x = Rez, y = lmz).
D
Доказать, что неевклидова площадь относительно круга | z \ < 1
инвариантна при любом дробно-линейном отображении этого круга
на себя (т. е. неевклидова площадь каждой области, лежащей в круге
|z|<[l, равна неевклидовой площади ее образа при таких
отображениях).
33.28. Пусть функция w (z) мероморфна в круге | z \ <С I и пусть
неевклидова площадь относительно круга | z \ < 1 каждой области,
лежащей в этом круге, равна неевклидовой площади (относительно
того же круга) ее образа при отображении w = w (z). Доказать, что
w{z)—дробно-линейная функция, отображающая круг |<г|<С1 на
себя.
Указание. См. задачи 8.55 и 9.24.
* * *
В некоторых вопросах значения дробно-линейной функции ю (г) удобно
изображать точками той же плоскости г. В этих случаях говорят о дробно-
линейном преобразовании расширеннрй комплексной плоскости и употребляют
несколько иную символику для обозначений.
Само дробно-линейное преобразование обозначается какой-либо одной
буквой, скажем, Т (без указания аргумента). Символом Тг обозначается
результат применения дробно-линейного преобразования Т к точке г.
Для дробно-линейных преобразований определяется операция умножения:
Произведением Т1Т2 дробно-ли немного преобразования Тх на
дробно-линейное преобразование Т2 называется преобразование, получаемое
последовательным применением сначала преобразования Т2, а затем преобразования 7\.
33.29. Доказать, что произведение 7\Г2 дробно-линейного
преобразования Тх на дробно-линейное преобразование Т2 также является
дробно-линейным преобразованием.
286

33.30. Обладает ли операция умножения дробно-линейных
преобразований свойством коммутативности, т. е. всегда ли имеет место
равенство 7\Т2 — Т^Г^
33.31. Доказать, что операция умножения дробно-линейных
преобразований обладает свойством ассоциативности, т. е. что для любых
трех дробно-линейных преобразований Ть Т2, Тэ имеет место
равенство Т1(ТйТ? = (Г1ТДТя.
33.32. Пусть Е—тождественное дробно-линейное преобразование
(отвечающее функции w{z)^.z). Доказать, что для любого дробно-
линейного преобразования Т имеют место равенства ТЕ = ЕТ=Т.
33.33. Доказать, что для любого дробно-линейного
преобразования Т существует обратное дробно-линейное преобразование 7~-1,
обладающее тем свойством, что ТТ~1 = Т~1Т — Е, где
Е—тождественное преобразование (т. е. Ez — z для всех z).
Символ Т" для любого целого п определяется следующими равенствами:
(п>0);
Г" = <
(п = 0);
(п<0)
(здесь Е—тождественное преобразование, а Т1 — преобразование, обратное
к преобразованию Т).
33.34. Найти преобразование Тп в случаях, когда
преобразования Т определяются формулами:
I. Tz = z + A 2. Tz = Kz + (l— K)z0.
Q 1 _ 1 _j_ д 4 Tz — z1 __ ^ z — z1
Tz — z0 z — zn ' ' Tz — z% z — z%
(здесь A, K, zQ, zv z2 — произвольные комплексные постоянные,
но 2хФг2).
33.35. Найти предельные точки последовательностей {ап\:
1. ах = 0, ап+1=^Ц- (л=1, 2, ...).
2.0,-0, а,г+1 = 2<§-^=^ («=1,2,...).
3 a -0 а 2B + 0^+1-2/
Точка а называется неподвижной точкой дробно-линейного
преобразования Т, если Та=а.
33.36. Доказать утверждения:
1. Каждое дробно-линейное преобразование имеет хотя бы одну
неподвижную точку (конечную или бесконечную).
2. Каждое дробно-линейное преобразование, отличное от
тождественного, имеет не более двух неподвижных точек (конечных и
бесконечных).
287

33.37. Доказать, что дробно-линейное преобразование Т с
единственной неподвижной точкой а удовлетворяет уравнению
» !—1-^
Tz—a z — a '
при а -ф оо, а при а = оо имеет вид
Tz = z + A
(в обоих случаях А— некоторая комплексная постоянная).
33.38. Доказать, что дробно-линейное преобразование Т с двумя
различными конечными неподвижными точками а и Ъ удовлетворяет
уравнению ¦ ¦ ~ — К —^й > где К—некоторая комплексная постоянная.
33.39. Пусть АГ> 1, —со<Сех<со, а а и Ь—два произвольных
различных комплексных числа. Определим семейство дробно-линей-
T'G-g - п. z *- а
ных преобразований \Та\ равенством _ = Ка~—г. Доказать, что
при любом действительном значении а точка Taz0 находится на
окружности, проходящей через точки а, Ь и z0.
33.40. Доказать, что любое дробно-линейное преобразование,
удовлетворяющее уравнению Тт~Е (здесь Е—тождественное
преобразование, а /?г> 1—целое число), удовлетворяет соотношению
¦ ¦ — , =К ~ ¦.¦, где а, Ь, К—комплексные постоянные, причем
1 z—о z—о'
Кт=1.
ОТВЕТЫ
= Zo-e*v(a~z0).
R2
a*=z0-.
a — z0
2 ~~ ^1 * 2 — ^* 1
Z% —2* 2? — Z\
>о.
33.08.
33.09.
33.14.
33.19.
aRe*a — uz
2. !?)=¦¦-.—- , 1гаа>0, —со<а<оо.
3. «>=«»"« —^—, Rea>0, — co<a<oo.
4. ш=^Ц—,. Ima=Imb=Imc=Imd —0, ad+6c=l.
гсг-f-d'
33.30.
Нет. Пример: 7^ = 2+1, 72z= — I/г.
33.34.
1. Ггаг=г-ЬпЛ. 2. Гя2 = Я"г-)-A -^)z<,.
3. Преобразование Г" определяется формулой
Tnz — z0 ~ г~г0+ " *
238

4. Преобразование Тп определяется формулой
Tnz-z2 A z~z%'
33.35.
1. Три точки 0, —1, —/. 2. Одна точка 2. 3. Все точки мнимой оси.
§ 34. Принцип симметрии
Решение приводимых ниже задач рассчитано на использование принципа
симметрии в следующей простейшей формулировке:
I. Пусть D — некоторая область, граница которой содержит интервал y
действительной оси. Символом D* будем обозначать область, симметричную
с областью D относительно действительной оси. Функция f (z) предполагается
удовлетворяющей условиям:
а) f(z) регулярна в области D и непрерывна в ее замыкании;
б) 1т/(г)=0 (гену).
Тогда функцию f{z) можно аналитически продолжить через интервал у из
области D в область D* и для функции /2 {г), осуществляющей это
аналитическое продолжение, справедлива формула h{z)—f{z) (ге/)*).
Многие обозначения теоремы I будут использоваться в задачах.
34.01. Пусть условие б) теоремы I заменено одним из условий:
1. Re/(z) = 0 (ze=Y). 2. Re/(z) = Im/(*) {z e= у).
3. lm/(z)=l (ze=y). 4. arg/(z) = a (геу).
Доказать, что функцию f(z) по-прежнему можно аналитически
продолжить в область D* через интервал у и найти формулу для
функции fx(z), осуществляющей это аналитическое продолжение.
34.02. Пусть область D не содержит тачек действительной оси,
а функция f(z) удовлетворяет условиям теоремы L Доказать, чго
функция F(z), определенная равенствами
(Af) 0
1/B) (*
осуществляет аналитическое продолжение функции /(г) на область,
получаемую объединением областей D и D* и интервала у.
Если же функция f{z) однолистна в области D и не принимает
там действительных значений, то доказать, что функция F(z)
однолистна в области D-\-D*-\-y.
Примечание. Определение однолистности в. области и однолистности
в точке см. в начале § 32.
34.03: Пусть функция f{z) регулярна при Im z >> 0, непрерывна
npjH Imz^O и принимает на действительной оси действительные зяа-
чения. Доказать, что функцию f(z) можно аналитически продолжить
на всю комплексную плоскость.
34.04. Пусть функция f(z) регулярна при 0<^е,г<;1,
непрерывна при 0 ^ Re z ^ 1 и принимает действительные значения на
прямых Re2 = 0 и Re2=1. Доказать, что функцию f(z) можно
аналитически продолжить на всю комплексную плоскость и что
0 Под ред. М. А. Евграфова
289

функция F(z), осуществляющая это аналитическое продолжение,
удовлетворяет условию F (z -f- 2) — F (z).
34.06. Пусть функция f(z) регулярна при 0 <С Itn z <C 1,
непрерывна при 0 ^ Im z =sg: 1 и удовлетворяет условиям
Re/B) = 0 (lmz = 0); Im/Br) = 0 (Imz=l).
Доказать, что функцию f{z) можно аналитически продолжить на всю
плоскость и что функция F(z), осуществляющая это аналитическое
продолжение, удовлетворяет условию F'(z-\-2i)=-— F(z).
34.06. Пусть функция /(г) регулярна в прямоугольнике
|1шг.|<Л, 0<Re^<l,
непрерывна в замыкании этого прямоугольника и удовлетворяет
условиям
Im/B)=0 (Rez = 0, \\mz\<h); Гт/B)=1 (Rez=l, |1тг|<Л).
Доказать, что функцию f(z) можно аналитически продолжить на
полосу | Im z\ <C h и что функция F (z), осуществляющая это
продолжение, имеет вид lz-\-F1(z), где функция Fx(z) регулярна в полосе
j Im z I <C h и периодична -с периодом 2.
34.07. Пусть функция f(z) регулярна в полукольце
р<1*|<Я lmz>0,
непрерывна в его замыкании и принимает действительные значения
на отрезках (— R, — р) и (р, R). Доказать, что функцию f(z) можно
аналитически продолжить в кольцо р < | z \ <C R До регулярной
в этом кольце функции.
34.08. Пусть функция f(z) регулярна в полукольце
р<|г|<Я 1тг>0,
непрерывна в его замыкании и удовлетворяет условиям
lm/(z) = 0 (— R<z< — p); Re/(z) = 0 (р <*</?).
Доказать, что функцию f(z) можно аналитически продолжить по
любому пути, лежащему в кольце р <С | z ] <C R, и что в результате
такого продолжения получается аналитическая в этом кольце
функция, имеющая вид g(z)\/~z, где функция g(z) регулярна в кольце
р<И<К.
34.09. Пусть функция f(z) регулярна в полукольце
p<|z|<tf, 1тг>0,
непрерывна в его замыкании и удовлетворяет условиям
Re/(z) = 0 (p<z<tf); Re/0*) = —Л (— ?<2<_-р).
Доказать, что функцию f(z) можно аналитически продолжить по
любому пути, лежащему в кольце р < | z j < R, и что в результа те
такого продолжения получается аналитическая в эгом кольце функ-
290

ция, имеющая вид g(z)-]—In z, где функция g(z) регулярна в кольце
р <! z j < R
34.10. Пусть функция f(z) регулярна в кольцевом секторе
р<И<Я, 0<afgz<a @<<х<2л),
непрерывна в его замыкании и удовлетворяет условиям
1т/(.г)=0 (arg-г-ос, p<|*|<R); lmf(z) = 0 (p<z<#).
Доказать, что функцию f{z) можно аналитически продолжить по
любому пути, лежащему в кольце р <С \ z \ <C R, и что в результате
такого продолжения получается аналитическая в этом кольце
функция, имеющая вид g(za/n), где функция g(Q регулярна в кольце
р«/а<|Е|<Ял/а.
34.11. Пусть функция f{z) регулярна в кольцевом секторе
р <С | z | <С R, О <С arg z <С я/п (п ^ 1 — целое число),
непрерывна в его замыкании и удовлетворяет условиям
Re/(z) = 0 (р<|г|<Я arg2 = 0);
Re {*-*'/"/(*)} = О (p<\z\<R, arg z = n/n).
Доказать, что функцию f(z) можно аналитически продолжить в кольцо
р < | z | < R до регулярной в этом кольце функции.
* * ) *
34.12. Пусть выполнены все условия теоремы I (см? начало
параграфа) за исключением условия б), которое заменено условием
|/(*)|=.l BTSY*
Обозначим через av ..., ат нули функции f{z) в области D.
Доказать, что функцию f(z) можно аналитически продолжить через
интервал у из области D в область D* с выколотыми из нее точками
av ..., ат и что для функции fx{z), осуществляющей это
продолжение, имеет место формула fi(z)— l//(z) (z e D*).
Указание. Применить теорему I к функции g (z) = i ,^ ¦ .
34.13. Пусть выполнены все условия теоремы I, за исключением
условия б), которое заменено условием
\f{z)-b\ = R (ze=y).
Обозначим через av ..., ат нули функции f(z) — Ь в области D.
Доказать, что функцию f{z) можно аналитически продолжить через
интервал у из области D в область D* с выколотыми из нее
точками аг, ..., ат и что для функции fi(z), осуществляющей это
продолжение, имеет место формула
АЮ^Ь+ =!?-= («ED*)
f(z) — b
34.14. Пусть функция f(z) регулярна в области D и
непрерывна вплоть до ее границы, содержащей дугу у окружности \z\= 1,
Ю* 2У1

а на этой дуге принимает действительные значения. Доказать, что
функцию f(z) можно аналитически продолжить через дугу у из
области D в область D*, симметричную с ней относительно
окружности J z | = 1. Доказать также, что для функции /j (z),
осуществляющей это продолжение, справедлива формула
Л(*)-/(у) C?eZ)*).
34.15. Пусть функция f(z) регулярна в кольцевом секторе
К\г\<Я a<arg2<p\
непрерывна в его замыкании и удовлетворяет условиям
lm/(z) = 0 (|2| = 1, cc<arg2<p7,
Re/(*) = 0 (\z\ = R, a<arg^<P).
Доказать, что функцию f{z) можно аналитически продолжить в угол
а <С arg z <C P и что функция F (z), осуществляющая это
продолжение, удовлетворяет соотношению F(R2z) =— F (z).
34.16. Пусть функция f(z) регулярна в полукольце
р< | 2 |<Я, Im г > О,
непрерывна в его замыкании и удовлетворяет условиям
1т/Bг)>0 (p<J2ri<cR, lmz>0);
|/Bг)|=1 (_tf<*<_p);
\f(z): = r (p<z<R).
Доказать, что функцию f(z) можно аналитически продолжить по
любому пути, лежащему в кольце р < | z \ <Z R, и что в результате
такого продолжения получается аналитическая в этом кольце
— In г
функция вида zn g(z), где функция g{z) регулярна в кольце
p<Z\z\<R.
34.17. Пусть функция f{z) регулярна в полукруге |я|<1,
1шг>0, непрерывна в его замыкании и удовлетворяет условиям
0<1т/(*)<1 <\z\<\r lmz>0);.
1т/(г) = 0 @<г.<1);
\f(z)-i\ = \ (_l<^<0).
Доказать, что функцию f(z) можно аналитически продолжить по
любому пути, лежащему в области 0<|.г|<;1| и что в результате
такого продолжения получается аналитическая в этой области функ-
2л
ция вида ~рг—j—, где функция g (z) мероморфна в круге | z [ <С 1..
34.18. Пусть функция f(z) регулярна в полукруге \z\<C.\,
\mz^>Q, непрерывна в его замыкании и удовлетворяет условиям
0<lm/B)<cosa (|г|<1, lmz>0);
Im/(*) = () @<г<1);
\f{z) — let*\ = \ (-KK0);
— л/2 < a < л/2, a ^ 0.
292

Доказать, что функцию f(z) можно аналитически продолжить по
любому пути, лежащему в области О <С ] z | < 1, и что в результате
такого продолжения получаетса аналитическая в этой области функ-
2а (г) sma , , ч ,
ция, имеющая вид _^' ? где функция g(z) мероморфна в круге
z ё \z)
\г\<1.
В задачах, где функция, продолжаемая с помощью принципа симметрии,
задается, как некоторое конформное отображение, формулировки проще. Это
отчасти объясняется тем, что непрерывность продолжаемой функции вплоть до
границы области непосредственно вытекает из теоремы о соответствии границ,
при конформном отображении:
Если функция f(z) конформно отображает область D на область Dv
причем обе области конечны и ограничены простыми замкнутыми кривыми,
'то функция f{z) равномерно непрерывна в области D и ее можно продолжить
по непрерывности на замыкание этой области.
34.19. Пусть функция f{z) конформно отображает
прямоугольник | Re z | <С h, | Im z | <C h' на какой-либо круг (или полуплоскость).
Доказать, что аналитическое продолжение функции f(z) является
функцией, мероморфной во всей плоскости и периодической с
периодами Ah и 4th'.
34.20. Пусть функция f(z) конформно отображает сектор
|*| <1, 0<argz<л/п,
на треугольник с теми же вершинами 0, 1, ел'/п, причем таким
образом, что эти вершины остаются на месте. Доказать, что функцию f(z)
можно аналитически продолжить в круг [?|<;1 и что функция F(z),
осуществляющая это аналитическое продолжение, конформно
отображает круг | z | <; 1 на правильный 2я-угольник (с центром в точке 0
и одной из вершин в точке 1).
34.21. Доказать, что любое конформное отображение круга на
круг (или на полуплоскость) является дробно-линейным отображением.
34.22. Доказать, что не существует функции, конформно
отображающей кольцо 1 < I z \ ¦< Rx на кольцо 1 ¦< | z \ <C R<>, если только
34.23. Пусть функция f(z) конформно отображает полуплоскость
Im z > 0 на область, определяемую неравенствами
Im^X), 0<Rea><l,
1
W—2
>±
Доказать, что аналитическое продолжение функции f(z) приводит к
функции F(z), аналитической во всей расширенной комплексной
плоскости с тремя выколотыми точками (прообразы точек 0, 1 и со).
34.24. Доказать, что для любого элемента аналитической функции
F(z), о которой говорится в задаче 34.23, справедливо неравенство
lmF(z)>0.
34.25. Доказать, что функция w(z), конформно отображающая
область, определяемую неравенствами
lm^>0, 0<!Re;z< 1, \z—2 ^T*
293

на полуплоскось Im w >• 0, аналитически продолжается на всю
полуплоскость 1тг>0 и что функция W{z), осуществляющая это
аналитическое продолжение, удовлетворяет соотношениям
W{z + 2)=W{z), w(^i)=W(z).
34.26. Пусть w=f(z) — какая-либо функция, конформно
отображающая полуплоскость 1тг>0 на область, определяемую
неравенствами
1гаяу>0, 0<Кегв><;1,
1
>1
так, чтобы /@) = 0, /A)=1, /(оо) = оо. Доказать, что функция f(z)
удовлетворяет дифференциальному уравнению
о V" (*) оГГ(гI2 22-г+1
[Г Щ
If Ш
/'(г) L/'WJ гг(г-1J-
Указание. См. задачи 34.23 и 33.02.
* * *
Кривая С называется аналитической кривой (иногда говорят правильной
аналитической кривой), если она обладает хотя бы одним параметрическим
уравнением z = (p(t), a^t^b, со свойствами:
1. Функция ф (t) регулярна в некоторой области, содержащей интервал (а, Ь),
и непрерывна на отрезке [а, Ь].
2. Функция ц>' (f) отлична от нуля на интервале (а, Ь).
Кривая С называется замкнутой аналитической кривой, если у нее есть
хотя бы одно параметрическое уравнение 2 = ф@> a^t^b, обладающее
свойствами:
1*. Функция ф (t) регулярна в некоторой полосе |Imf[<T} и периодична с
периодом Ь — а.
2*. Функция ф' {f) отлична от нуля при действительных t.
34.27. Доказать, что кривая С с натуральным уравнением z=<P(s)
O^s^l (см. определение перед задачей 3.29) является
аналитической кривой в том и только в том случае, когда функция 0(s)
регулярна и однолистна в некоторой области D, содержащей интервал @, /).
34.28. Доказать, что замкнутая кривая С с натуральным
уравнением z==0(s), O^iss^l, является замкнутой аналитической кривой
в том и только в том случае, когда функция Ф (^lnn регулярна
и однолистна в некотором кольце 1—е<С|?| <С 1 -+-е.
Точки а и а* называются симметричными относительно аналитической
кривой С с натуральным уравнением г = Ф(я), O^s^l, если их прообразы при
отображении z = <P(s) симметричны относительно действительной оси.
Ввиду возможной неоднозначности аналитической функции Ф (s) и обратной
к ней функции определение точек, симметричных относительно аналитической
кривой, становится корректным только после указания определенной области
D регулярности и однолистности функции Ф (s), причем эта область должна
быть симметрична относительно действительной оси.
34.29. Пусть С—аналитическая кривая с натуральным
уравнением z = 0(s), Os^s^il, D — симметричная относительно
действительной оси область регулярности и однолистности функции Ф($).
294

содержащая интервал @, /), G—образ области D при отображении
z = 0(s). Введем обозначения:
D~ — часть области D, лежащая ниже действительной оси.
?>+—часть области D, лежащая выше действительной оси.
Gt — образ области D~ при отображении z — 0(s).
G+—образ области />+ при отображении z = <P(s).
Доказать следующие утверждения:
1. Если функция J(z) регулярна в области G+, непрерывна в ее
замыкании и принимает на кривой С действительные значения, то
функцию f{z) можно аналитически продолжить на всю область G,
причем функция F(z), осуществляющая это продолжение, дается
формулой
?(*) = •
/(**) (Z€=0TJ.
2. Пусть функция f(z) регулярна в области G+, непрерывна в ее
замыкании, а на кривой С удовлетворяет условию
|/(г)| = 1 (zeC).
Тогда функция
F(z)JnZ±-(Z^°+ + C)'
\ Mfiz*) (zceG-);
мероморфна в области G (и осуществляет тем самым аналитическое
продолжение функции f(z) в эту область).
3. Пусть функция /(-г) регулярна в некоторой области В и
непрерывна вплоть до ее границы, содержащей интервал у
действительной оси. Если функция f{z) принимает в области В значения,
принадлежащие области G, а на интервале у—значения,
принадлежащие кривой С, то функцию f(z) можно аналитически продолжить
через интервал у из области В в область В*, симметричную с ней
относительно действительной оси. При этом функция fi(z),
осуществляющая продолжение, дается формулой
Л (*) = №))* (zEEB*)
(здесь (/С?))* означает точку, симметричную с точкой f(z)
относительно кривой С).
34.30. Пусть Р{х, у) многочлен от своих переменных, а
аналитическая кривая С обладает тем свойством, что для каждой точки
zeC имеет место равенство Р(Rez, Imz) = 0. Доказать, что любые
две точки z и г*, симметричные относительно кривой С, удовлетво-
ряют уравнению Р [—?—, —^—) = 0.
34.31. Опираясь на результат задачи 34.30, найти выражение
точки z* через точку z, симметричную с ней относительно кривых:
1. С: \z — z0\ = R. 2. С: у2 = 2рх.
3. С: \z*-\-l\ = R, ?>1. 4. С: \z*+l\=R, tf< I.
5. С: | .г + | =ft R>2. 6. С: ^ + y~ = I, a>b>0.
295

34.32. Пусть С — лемниската
* + -*-
1 г
]/ (верхняя кривая).
верхней кривой лемнискаты
Доказать, что в качестве области G (см. задачу 34.29) можно взять
полуплоскость 1тг>0 с разрезом по дуге окружности |2г| = 1,
~п- <С arg z <С --г, и что при таком выборе ооласти С имеет место
следующая формула для точки z*, симметричной с точкой z
относительно кривой С:
z — z2+l
(для корня выбирается ветвь, равная / при ?==0).
34.33. Пусть функция w(z) конформно отображает внешность
1
Z-i
1 Z
что точка со остается на месте. Доказать, что:
1. Функцию w (z) можно аналитически продолжить на всю плоскость
z с разрезом по дуге окружности 1г| = 1, -к <Z arg z < -*-.
2. В точках zx — enilz и _г2 = е2ти/3 функция w(z) имеет точки
ветвления второго порядка.
34.34. Пусть функция w{z) конформно отображает область
^ + р<! (x = Rez, y = lmz, а>?>0)
на полуплоскость \mW>0. Доказать, что функцию w(z) можно
аналитически продолжить в область
= |/*2 на область | w { > 1 так,
где
~+|^<1 (x=Rez, j/=Imz),,
с2 + 62 - __ 2с6
1 Ка2 — б2' |Аа2~62'
ОТВЕТЫ
34.01.
1. /i(z) = -/(z), 2. Ыг) = 1/B). 3./1(г) = И+/(г).' 4. П(г)=<** f (z).
34.31. s
1. г* = г04-гг^-. 2. z* = z — 2p-f2j/>~ 2рг.
2 — Z0
-/rfe-'- "-V-
1-И2
1
%__/?2z + |/j?jz2 — 4A+г2J fi «__ z(a2 + f>2) + 2a& уга + 6»~а«
2(l + z2) ' Ь* Z а2-62
§ 35. Отыскание отображений элементарными функциями
В задачах этого параграфа задается большое количество областей, иногда
довольно сложной формы. Часть областей задается рисунками, часть — набором
неравенств. В связи с этим договоримся о некоторых обозначениях1
сокращающих запись.
296

Символом [a, b]t где а и Ь — конечные комплексные числа, обозначается
прямолинейный отрезок, соединяющий точки а и Ь.
Символом [a, -j-oo], где а—действительное число, обозначается луч
a^z <-(-оо, а символом [— со, а]—луч —оо<г^а.
Поэтому, например, запись
D:{|zj<l, lmz>0, г ф^-~, /]|
означает, что область D представляет собой верхнюю половину круга j z | <C 1
с разрезом по прямолинейному отрезку [i/2, i], а запись
* D: {г ф [— со, 0]}
означает, что область D — это вся комплексная плоскость с разрезом по
отрицательной части действительной оси.
35.01. Пусть х = Re z, у — Im z, а С — положительная постоянная.
Найти образы каждой линии указанных семейств при отображении
w— 1/z:
1. Семейство окружностей х2-{-у2 — Сх.
2. Семейство прямых у~х-\-С.
3. Семейство прямых у = Сх.
35.02. Пусть x — ReZj y~ \mz. Найти образы каждой области
указанных семейств при отображении w—1/z:
1. Семейство кругов х2 -\-у2 <[ Сх (здесь С— положительная
постоянная).
2. Семейство кругов x2-{-y2<zCx (здесь С — отрицательная
постоянная).
3. Семейство кругов x2-\-y2<Z.Cy (С — положительная
постоянная).
4. Семейство полуплоскостей у>Сх (С — положительная
постоянная).
5. Семейство кругов \z — a\<ZR, где а — фиксированная точка,
а положительная постоянная R удовлетворяет условию R<Z\a\.
6. Семейство кругов \z — a\<CR, где а — фиксированная точка,
а постоянная R удовлетворяет условию R~>\a\.
35.03. Найти образ круга \z — 1 | <2 при следующих
отображениях:
1. w=\—2lz. 2. w = —~. 3. te,' = ^i_. 4. w = l~ ..
-z-f-3 z—2 2z —6
35.04. Найти образ полуплоскости Re г<1 при следующих
отображениях:
1. w = (l+02+l. 2. w = m. 3. w-. z
г— 1-j-i ' ' г —2'
л 4z - z — 3 + t
z+1 z-f-l + t
35.05. Найти образы указанных областей D при указанных
отображениях:
1. D: {|*|<1, lm*>0}, w = |~.
2. D: {*<=?[-2, 1]}, w = i=§.
297

3 D- \\z — i|>l. IraoO}. да=-^.
4. D: {1<|г;1<2}, ^=7ZTr
35.06. Отыскать дробно-линейные функции w(z),
удовлетворяющие условиям:
1. да@) = 4, да A+0 = 2+ 2/, «jB/) = 0.
2. да@) = 0, даA4-0 = 2 + 2/, о>B/) = 4.
3. да @) = 0, да A + 0 = оо, да B/) = 2/.
Найти образ круга \z—/|<С1 при отображениях этими
функциями.
35.07. Отыскать дробно-линейные функции да (г),
удовлетворяющие условиям:
1. да@ = 2, да(со)=1+/, да(—0 = 0.
2. да @ = 0, да (оо) = 1, да (— I) = оо.
3. да@ = — 2, да (со) = 2/, да(—0 = 2.
Найти образ полуплоскости Re^>0 при отображениях этими
функциями.
36.08. Найти функцию да (-г), конформно отображающую область
D на область^ Dx и удовлеторяющую указанным условиям:
1. D: {\z\<l\,Dii {|«р1<1}, да(го)-0, агёда'(^) = а(|^о!<1).
2. D: {1*|<1}, Dt: {\w\<\}, да(г0) = да0, argw'(z0)*=a
^,1<1, |©о1<1)-
3. D: {1тг>0}, Dt: {|да|<1}, да(г„) = 0, argw'{zQ) = a
Aтг0>0).
4. D: {lm z > 0}, D^ {| да) < 1}, да (г0) = да0, arg да' (г0) = а
Aт,г0>0, :да0;< 1).
5. Z): {lm z ;>()}, D^ {1тда>0}, да(г0) = да0, а^да'(г0) = а
Aт г0 > 0, 1т да0 >0).
6. ?fc {|*|<1}, D* {\w\<\\, t»(l)«l, да@ = ^~,
да(~ 1)==—1.
7. D: {|*|<1}, Dt: {|да|<1}, да@ = 4 w[^ = A±.
8. D: {И<1}, Dr- {|да|<1}, «»(|) = |, arg^'(j) = f -
9. D: {1тг>0}, Da: {|да|<1}, да@) = г\ да(—1)=1, да(оо) = — 1.
10. D: {Im2>0}, Dx: {|да|<1}, да@) = ~ i, даB0 = у.
11. D: {1тг>0}, D{. \\ да <1}, даA+0 = 0, arg да' A + 0 = зт.
12. ?>: {1тг'>0}, Р1:{1тда>0}, да(—1) = 0, да@) = 2, даA) = оо.
13. D: {1тг>0}, ?>х: {1тда>0[, да(—1) = —2,
да(—2+0=1+3/.
298

14. D: {lmz>0}, Dt: {Tm ay>0}, w{ 1 + 0 = *. arg w'(\ -ff) = |-.
15. D:- {|* — 1— i <2}, Di: {|^|<1}, w@ = 0, argw'@=|-.
16. D: {Re^>—1}, Dx: {!да|<1}, те>@) = 0, arg та/@) = л.
35.09. Найти общий вид конформного отображения следующих
областей на кольцо 1 < | w | ¦< R:
1. |z — 3|>9, |г — 8|<16. 2. |г — 5|>4, Rez>0.
35.10. Найти образы при отображении w=z2 следующих линий:
1. arg г = а (— п <С о, ^ п). 2. Re г = а (а > 0).
3. lm г = а (а >• 0). 4. | z | = р, j arg г | <х.
35.11. Найги образы при отображении w = z2 следующих
областей:
2. Re^>0. 3. ft<argz<^.
5л 3jc -
т < arg z < T - 5.
1. Imz>0.
4. U|< 1,
Imz<— 1.
6. Rez>l. 7. |z|<2, 0<argz<-K-.
1
- |^1>T, Rez>0.
35.12. Найти образы следующих областей D при отображении
регулярной ветвью функции w=yz, выделяемой ее значением
в указываемой точке:
¦1. D: {1ш2г>0},
2. D
3. D:
4. D
5. D:
6. D:
{Re2r>0[-, .
{z^[0, -fool}.
{*<?[—оо,-+1]},
{|г|<1, lmz>0},
||г|>1, T<argz<TJ,
т/71 .__1±±
^ lz = l_ 1/2 *
^|2=l = l.
r/^U —1= — '•
2 z
l/"^|Z=:_|=i.
7. D: {(lm .гJ > 2 Re .г + 1},
8. jD: {lmz>0, (lm zf > 4 Re z -f 4}, l/"^" U i=/-
35.13. Найти образы -указываемых множеств ? при указываемых
отображениях:
1. Е: jargz = ^-},
2. E:{\z\=l, |< arg г<-*-},
3. Е: {| z j < 1, lm г > 0},
w = ze
w-
W=^Z3/2, '«» f ? J = —4**.
299

4. Е: {|г|>4, Rez>0}, w = z-W, да(9) = —^-
5. Е: {|arg«|<-g-, г^[0, I]}, w=z8.
35.14. Найти какие-либо функции w(z), осуществляющие
конформные отображения областей, изображенных на рис. 37—51, на
полуплоскость 1тда;>0.
35.15. Найти функцию w(z), конформно отображающую область
у2 ;> 4 (х + 1) (х = Re z, у = Im 2)
на круг } да | <Z 1 и удовлетворяющую условиям
да(_4) = 0, argw'(— 4) = 0.
35.16. Найти функцию да (г), конформно отображающую угол
J arg г | <С зт/4 на круг | да | <! I и з'довлетворяющую условиям
даA) = 0, arg да'A) = д.
35.17. Найти функцию да (г), конформно отображающую
разрезанную по отрезку [0, i] полуплоскость Im z >» 0 на круг | да | < 1
и удовлетворяющую условиям:
* * *
35.18. Найти образы следующих линий при отображении
функцией w — ^[z-\-~y.
1. |2,= 1, 1шг>0. 2. |г! = 1, -^<arg*< —J.
3. И = 2. 4. |г| = |. 5. argz = ^. 6. arg««^.
35.19. Найти образы следующих областей при отображении
функцией w = -j-lz-\—):
1. |*>>2. 2. И<1. 3. J<arg*<^.
4. ^<arg^<^, *<?[0, q. 5. |*[<1, 2<?[0, 1].
6. |г|>1, *<?[—2, — 1], гф[1, +оо].
7. hnz>0, г^|)-гг|=1, 0<argz<-J, ^ <argz<3i}.
8. И<1, 1т*<0, г^[—Д -у].
9.
г|<1, 0<arg2<y
10. j*l<l, _^<arg*<—J.
300

////////////Ш
Рис. 37.
Рис. 38.
Рис 39.
Рис. 41 а
1 1-тГг
Рис. 420
У
_ '-JsJlSj %jti—\-
- - i — ¦
1
Agfai)
A i J>
WS/////7//. 0\ 'Ш////77,
Рис. 43»
Рис. 44,
о
301

ф.
/
-тая—<§>--
Рис. 45.
Рис. 46.
Рис. 47.
777777777?у77777777777.
Рис. 48.
0\ \1_
Рис. 51.
302

35.20. Найти образы следующих областей D при отображении
регулярной ветвью функции w = z ~\-]/z2—1, выделяемой ее
значением в указываемой точке- (в неравенствах, определяющих
область, положено x=^Rez, y~\mz, а а, Ь и а—действительные
постоянные):
2- D:&~1^<1) (°<а<1>, да@)=/.
3. В:{гф[— оо, — 1], z ф[1, + oo]}t w@) = L
4. D: \гф[— 1, 1]}, да(оо) = оо.
5. D: {Im z > 0}, да (+ /оо) = 0.
7. D: |-4 ^->1» .*>0,j/>o},(o <«<-?-) даD-со)=0.
Icos2 а sm2 а > -^ -- j > у — ^ 2 / v ' '
8- a{^+-5CT<1. »^[-t, 1)}, (а>1), то(+Ю) = —i
да (г) > 1 при b<Cz<C.a.
35.21. Доказать, что образом области \z — г"Л|>}/'1+ft8 при
отображении w~-^-lz-\—] является вся плоскость да с разрезом
по дуге окружности, имеющей концы в точках да — ± 1 и
проходящей через точку да = ih.
'35.22. Найти какие-либо функции да (z), осуществляющие
конформные отображения областей, изображенных на рис. 52—67, на
полуплоскость Im да > 0.
35.23. Найти какие-либо функции да (z), осуществляющие
конформные отображения областей, изображенных на рис. 68—75, на
круг 1да|<11.
35.24. Найти функцию w{z), конформно отображающую
полукруг |2|<CU 1шг>0, на круг |да|<1 и удовлетворяющую
условиям да(-|-] —0, argw' (~) = 0.
35.25. Найти функцию да (z), конформно отображающую область
х2—у2<С.1 (х = Rez, у == Imz),
на круг |да|«<1 и удовлетворяющую условиям да@) = 0, даA)=1.
35.26. Найти функцию w (г), конформно отображающую круг
|z|<l» разрезанный по радиусу [—1, 0], на круг j-a>|<;i и
удовлетворяющую услов-иям
• О)—1. «(_i+/o)-I=^I. .(_1_ю)»1±«?1.
да

-2U
Рис. 52^
-г > *
i
Рис. 537,
Рис. 54.
Рис. 55.
Рис. 56.
Г
i
Рис. 5РЛ
304

0\ "Штшш
[ Рис. 64?}
... ¦¦¦- ~».
j Рис. 65. ¦
. Рис. 67.)
Рис. 68.
Рис. 69.
Рис. 71.
Рис. 72.
Рис. 73.
Рис. 75.
305

35.27. Найти функцию w(z), конформно отображающую всю
плоскость z с разрезом по дуге окружности |z| = l, 1т,г>.0, на
всю плоскость w с разрезом по отрезку [— 1, 1] и
удовлетворяющую условиям даA)= 1, да (со) = со.
35.28. Найти образы следующих областей D при отображениях,
указываемыми функциями:
— я< Im z < 0}, w = e*.
|.1шг|<:я}, да = ег.
|1т2г|<л/2}, да = ег.
0 < Im z < 2л, Re z > 0},
0<1ш2<я/2, Re2>0},
0 < Re z < я, Im .г > 0},
z<=?[0, +ooj}, да = In г,
Im г >- 0}, да = In г, да (i) -
г<ф[—со, 0], г<ф\\, +оо]}, w = \nz, да(г) = я//2.
|г|<1, 1тг->0}, да = 1п2, да (/ — /0) = — Зш"/2.
|г|<1, гф[0, 1]}, w = lnz, да(—1+0) = —л/.
1. D:
2. D:
3. D:
4. D:
5. Z*
6. D:
7. Z):
8. D:
9. D:
10. Й:
11. D:
12. Z):
13. D:
14. Л:
15. ?>:
16. D:
17. Л:
18. D:
19. ?>:
20. />.
21. D:
22. A-
23. D:
24. ?>:
да = ?*.
та» = e*2.
да = е,гг.
да(— 1) =
Я//2.
я/.
| Im .г | < я/4}, да = Ш.г.
0<;Rez<^}, да = 1д,г.
0 < Re г < я/4}, . w = ctgz.
0<Rez<l, 1т.г>0}, w^tgnz.
0<;1тг<;я}, w — chz.
Rez^>0, —1<Г1тг<С0}, да = сляг.
Re2r>0, 0<lmz<l, *gfc|^-, ±±±]}f
| Im z j < я, Re z > 0},
0<Re2<2jt, lmz>0},
Re^>0}, w = \n(z + Vz*+l )>
Rez>0, lmz>0}, да = 1п (.z + j/> + 1 ),
1
и» = ch яг.
да = sh z.
да — sin z.
да(+0) = л/.
даB)>0.
{(Im2J — (Re гJ^ -i}, да = In (z + l/22+l), да@) = 2л/.
{г<^[—со, —1], г^[1, + со]}, о> = агс8тг, да@) = 0.
35.29. Найти какие-либо функции да (г), осуществляющие
конформные отображения областей, изображенных на рис. 76—91, на
полуплоскость Im да >>0.
35.30. Найти какие-либо функции да (z), конформно
отображающие области, изображенные на рис. 92—97, на полосу 0 <Г Im да <С 1.
35.31. Найти функцию да (-г), конформно отображающую полосу
| Im z | <С я на полосу | Im да | < я и удовлетворяющую условиям
да (я/) = -}- со, да (-J- со) = — я/, да (— ш) = — со.
306

zoe
\jz8 'та
г
>;;;;/;;/;>;;;;;;}//>/////;;/////&
V98 '™d
'98 '™d
~\
у,,#,,«,,,,ф,,,,,,~,~,,,,, ^^^^W^^
--of-
"fc
^^*^^ w^/^Аууш^улш
<ч
¦» "OTJ
1
У///////////////У///////////////.
/М//;//'//у?Х>;м///;у;//;//л
'?8 'ondh
v///////////////////M
Z8 'Wrf '•
"Off "Л1сГЛ-
*t/
tf
VZ ™rf

Рис. 91
Рис. 92.
Рис. 90. \
.^^^
Рис. 93.
. ~ + —
-V2-1 \
Рис. 95.
Рис. 96.
/f///////'//////////S/<
Рис. 97.
308

35.32. Найти функции w (z), конформно отображающие
перечисленные ниже области D на прямоугольник
0<Re^<l, 0<lm^<a,
с каким-либо значением а2>0 таким образом, чтобы указываемые
точки г1г z2, za, z4 переходили в точки
Wj = 0, w2=\, wb—\-\-ai, w^ — al
соответственно, и определить постоянную а:
1. D: {l<|z|<2, Im2:>0})
2"j = 1, Z% = 2, Z$ = — 2, Z$ = -— 1.
2. D: {\z~~8 <I6, jz —3j>9, 1тг>0},
zx =— 6, 22=12,- z3 = 24, z4 —— 8.
3. D: {3jc2 + 4y<12, z ф [— 2, I]} (jc-Rez, y = Im4
2r1 = —2 + 0/, z8 = —1+0/, zs= — 1— 0/, z4 = — 2 — (Ж
4. D: {3jc2 + 4y<12, 2 ^ [— 2, — lj; z«?(l, 2]}
(jc = Rez, y — \mz),
^== — 2 + 0/, z2 = — 2 — 0/, 2Э = 2 —0/, z4 = 2.+ 0/.
35.33. Найти функции яг>(.г), конформно отображающие
перечисленные ниже области D на область ] w ] <С 1 и удовлетворяющие
условиям w (об) — оо, w' (oo) > 0:
1. Область D: плоскость z с разрезом по дуге окружности
\z-\-i ctg а | = ——, лежащей в верхней полуплоскости @ <; а <С я).
2. Область D: I z-4-lctg а|<-Д-,~ \z~ /ctg cti<-J—
11 ь ' sma ' ь i ^ sm а
@ < а < л).
3. Область D: | г + Zctga |'<-Д-, lmz>0 @<а<я).
4. Область ?>: !z + /ctg2а|<-^-^, j^ + Zctga^^^
(°<«<т)-
35.34. Найти w' (со) для функций w (z) задачи 35.33.
Конформным радиусом области D относительно точки z0 ^ D называется
радиус круга |ш|<!^, на который можно конформно отобразить область D
функцией'w (г), удовлетворяющей условиям и>(г0)~0, а»'(г0) = 1, если г0^?оо,
и условию w(z)'^-l/z (z—»оо) при 20=оо.
35.35. Найти конформные радиусы перечисленных областей D
относительно указываемых точек z0:
1. D: \z <R; \z0\<:R. 2. D:hn2>0; lmz0>0.
3. D: круг | z |'< R с разрезами по прямолинейным отрезкам
[reia, Reia], [— reia, — Reia] @ < r < tf); z0 = 0.
4. D: внешность прямолинейного отрезка [a, b]; z0 — oo.
5. D: внешность дуги окружности, отвечающей центральному углу
2а и имеющей концы в точках z — а и z = b\ z0 = оо.
.309

ответы
35.01.
1. Семейство прямых Rew~l/C.
I+* I
w-\-
I
2. Семейство окружностей .. ,
2С I СУ'2
3. Семейство прямых 1тш = —С Rqw.
35.02.
1. Семейство полуплоскостей Reiw> 1/С.
2. Семейство полуплоскостей Re w <; 1/C.
3. Семейство полуплоскостей Iroai<- 1/C.
4. Семейство полуплоскостей Imo><:—С'Re ш.
5. Семейство кругов
a{\af-R*)
<
R
|а !* — /?¦
6. Семейство кругов
35.03.
>
R
а(|а|2 — R*)\ R2 — \а\*
1. |оу— 1+2/1<4. 2. 1а>|<1. 3. |а> — 2|>4. 4. Re да < 1/4.
35.04.
1. Reay+Ima><3. 2. Rew— 1тш< 1. 3/|ш| < 1. 4. |ву—3|> 1. 5. |иу|>1.
35.05.
1. s-<arga><0. 2. иу«?[0, -f-co].
3. — 1/2 <с 1т да < 0
4. Rea>>—1, |и» — 2/3 |> 4/3.
35.06.
1. o> = 2iz + 4, |w —2|<2. 2. w = -^-r, |w-2|>2. 3. w^^—Ul реда->
1 ' г—1' г—1—jJ
35.07.
,2-М I... .к , о z — i , Л Л.г—1
1. ю = A+0—*-г, !в>—1|>1. 2. да = ——, 1тш>0. 3. ш = 2г——^ ,иМ<2.
z— 1 z-j-i' г-\-1 *' '
35.08.
1. ш=А__Е5-е.а
1 —zz0
3. w^i^Zh^
(eia — wQz0) z + w0 ~ г0е''а
2. w=~ . _ __
(a^e"» _ г0) 2 +1 _ и020е'«'
4. w - (К,° "tf e'"> 2 ~ *f° ~У"
z — z0 ' A -f i ш0е*а) г _ г0 — t'z0 ш0е'а *
5 w- (Ш°~^'^ Z + fr"^'"""ш9^о r _2г-1
A—е''а)г+г0е''а—г0 ' Ш 2—г *
2z + i 0 E — Зг)г — 4 п i — 1 — г
4z —5—3t
i — 1 — iz
7. w =
10. U>:
13. MJ:
35.09.
2—iz'
гг+1
z-\-i
г—1
z-f2
8. W.
11. ш =
14. ад =
г—1+i •
z
9. да
12. да =
г-И+f
2г+2
2—z
15. а» =
1 —z
2/z-f 2
z + 3—i
16. ш =
z-j-2'
1. КУ%€'°-
3z
z-f-24'
1та = 0. 2. a> — .2e'a-i——5, lma=0.
Z-j-o
310

(Im wf.
35.10.
1. argt0 = 2a.
3. Reo>=— aa+
35.11.
1. шф [0, -f oo].
3. 1тш>0.
5. Re*K><—1-f-—(ImwJ.
2 Re w=a2—-— (I m a-J-
4a2 v '
4. |w|=p2, Rew>0.
2. w ф [— oo, 0J.
4. |w|<i, y<argo)<rc.
6. Reu>>l — |(Ima)J.
8. \w\ >-г-, a)<?
[- -t]
2. | arg ш | < л/4.
4. Rea>;>0, юф[0, I].
6. |го|>1, |я/2— arg о; |< я/8.
8. Re ce/ > 0, Im w > 1.
7. | a> j < 4, Im o> > 0.
35.12.
1. — Ж arg w < — я/2.
3. Imw<0.
5. |a/|<l, 0<argK»<n/2.
7. 1тк><—V2/2.
35.13.
1. argo) = 3rc/4. 2. |o>|=l, n/2<arg&y<n.
3. |и»1<1, — я < arg ш < я/2. 4. |mj|<1/8, | я— argw|<
5. w ф. [— oo, 1].
2. Рис. 38: w=*[Vz
35.14.
1. Рис.
3. Рис.
5. Рис.
7. Рис.
9. Рис.
11. Рис.
13. Рис.
1 CL Dust
1
37: w = V &-{-№¦
» Н^!J-
«¦ -№Г-
43: w = г —l_:
45: w^^ .
«* — |/^.
49: ю=е«'/*|/Г?±1.
- V^T*
V2
4. Рис. 40: ш = ^1±?J/3,
6. Рис. 42: w=i(~^r\2.
8. Рис. 44: - = (^гГ-
10. Рис. 46: ю = 1/—L-.
12. Рис. 48: *>=~\fZ^+\-
14. Рис. 50: ад
г2
|/г4-1
35.15. w--
35.17. и>=
г+1
2t — Vz
Vz /
3+4i 1Лг2+ 1
35.16. 0> =
1-z*
1+г3
3i-f4lAe2-fl".
35.18.
1. Ima> = 0, — l<Rea><l.
2. „Im ш = 0,
16
16
V2 n V2
3. 25+-q-1,2==1 («=»Rew, c=Imm).

4. hhW3+-q- v*=l (u~Rew, v=lmv).
5. ua—e2=l/2, u>0 (« = Reny, v=lmv).
6. a2 —t>2=l/2, w<0 (& = Re&i, y=Imioi).
35.19.
1С 1^
1. ^tt2+-g-o2>l (u~Rew, v=\mw).
3. ы2 — aa< 1/2(a = Rett), o=Imcy).
4. u8 — и2 < 1/2, ю ^ [— ioo, 0] (u = Re w, v — Im ш).

4
-{-co
5. а» ф \—1, +oo]. 6. w ф\
7. o^-oo, -!—-], ^[^|-, +
8. 1тм)>0, к><?
1
И]
< arg ш < 0.
10. ua — u2<-^, y>0 («z^Rettj, о=1тьу).^
35.20.
1. \w | <я — j/az— 1- 2. a< argo) <rt — a, a==arcsin ]/l—a2
3. 1тш>0. 4. |о>|>1.
5. |a)|<l, 1гпш<0. 6. 1 <1ю|<а+)/аа—1, Imt0>O.
7. |а;|<1, —- к < arg w < 0. 8. л — ]/"a2 — 1 < |а> | < 1.
<|ыу|<й-|-]^1+й2.
35.22.
1. Рис. 52: »e?i±Kf±l
3. Рис. Sfc»-|Ag+*-+3
-г24-2г—1
* г, ее iA 2гз + 5г + 2
4. Рис. 55: . = ]/ -2Т^_.
6. Рис. 57: 10 = 1.^=-. 7. Рис
2. Рис. 53: ш = г— l + J^z2 —2z — 8.
5. Рис. 56: w--
:. 58: a> = l/
22+Юг+16
г2+17г+16
8. Рис. 59: «-^—±1. 9. Рис. 60: «. = ]/ 1+g^-^l.
11. Рис. 62: W--
12. Рис. 63: w--
V
1 +
zn/a(l~hn/a)*
ля/аA+2я/аJ
Кз
е2—4С— 1, i^-iz+V^Ts)
V2
13. Рис. 64: w=(z+Ki2^=l)^e + (z-l/z2^T)rt/°, a = arctg
14. Рис. 65: w=/ [(г+/г^=Т)п/2а _ B _ j/^zrD*/2a], а e arctg J^T
12

15. Рис. 66: ш = B + |Лг"-1)я/а, ct = arctg Щ-.
16. Рис. 67: w= Vh2{\ -f Л2) — г* (г*~ 1) .
35.23.
2. Рвс. 69: ,_х=«^|^еш:, Е=(_^/в.
4 Рис 71- щ С —gg~»> КС —С+1 rfl-iz\S/*
4. Рис. 71. ш_ 2?>-3? + 2' ?~\^~Г; '
5. Ph.. 72. » 2Р-ЗБ + Я. ' C==V*=TJ '
6. Рис. 73: ш = g_ ' .
8. Рис. 75:., .-?-*"*-> ,_fe-/S)»+/
35.24. ю =
35.25. w =
2* A+22) — 32
35.26. Ш:
3/2— 2A+2*)-
2-/ 2+(z + |/z^2)s
'У2+[Гг—гУ2'
35.27. да=-^- [B+1) (г-^0 + (г- 0 К*2- l]-
35.28.
1. 1тш<0. 2. тф[— со, 0].
3. Иеш>0. 4. | ш | > 1, w <ф, [1, +ос].
5. |а>|>1, 1тш>0. 6. |а>|<1, 1тш>0.
7. — 2я<1тш<0. • 8. 0<1тйУ<я.
9. |1ти»|<я, we?[0, -fco]. 10. | Зл/2 + 1тиу | < л/2, Rerc><0.
11. —2л<1гиш<0, Reay<0. 12. и»|<1.
13. тф[— i, i]. 14. |ш|>1, Rea>>0.
15. Iinty>0, we?[0, i\. _ 16. w ф [— со, —1], ш<?[1, -fco
17. Imty<0. 18. 1тш>0, or <j? [0, sh л/2].
19. w<?[— со, .0], ш^[— i, /J. 20. &y<?[—1, 1], w<?[0, +/co].
21. л/2<1тш<Зл/2, Reou<0. 22. 0<1тау<я/2, ReLu>0.
23. 7л/4 < Im ш < 9л/4, Rew>0. 24. | Re w | < л/2.
35.29.
яг яг
1. Рис. 76: w ~ — cos —-, 2. Рис. 77: Dy = ish^r.
Л 2ft
3. Рис. 78: ta = rsh—i—^ ¦ '. 4. Рис. 79: а=ехр( =— + —-].

5. Рис. 80 w=expBni/z). 6. Рис. 81: ш=ехр Djt/z).
7. Рис. 82: ш=—cos . - 8. Рис. 83: w~— ch 2я/г.
z
9. Рис. 84: w=VT^lrz. 10. Рис. 85: ш=|/ е^е ,
..у-! L_. 12. Рис. 87: w=*/~\-\
И. Рис. 86: w
13. Рис. 88: ay=l/ sin^ ~-f sh2 J.
14. Рис. 89: w= \ / 14 ^. 15. Рис. 90: w = i sh^?i
16. Рис. 91: ш =
35.30.
1. Рис.'92: ш = —lnz. 2. Рис. 93: ш = - In (гУп + г~ '/«).
да п '
3. Рис. 94: w= — ln^tf + 4.
л г— z 2
4. Рис. 95: ш= — In О -f- Кг^2) — ~.
зт 2
1
6. Рис. 97: w= — ^-In(l-f
35.31. а» = 2 In
5. Рис. 96: w=-~\n(l+z~n/a)
cha зтг/2/z/ *
« + ег/2
1+/ег/2"
35.32.
. зх In z 0 1,3 / . -~ 32
1. «=_, Ю«ш. 2. a=~\n^t wss-.\n—^.
0 2зг 1 Kza—1 —2
In B +fz) In B+1/3) 2+^3
, я 1 . V?^\-z
4. й = — W= — m'
lnB+]/3)' 2InB~/3) 2+1^3
35.33.
1. 0)=- ! ¦•:.-' .
]/2-f 1-/2-1
2. Of:
B + lJfn~aj+(Z-lJ(;T- aj
я
(г-i-lJ (л ~ a) — (г- lJ (JX ~ a->
J14

2я 2я*| ~ 2я 2яг/
(z ~L lKix "*~ 2а е3л "*" 2a Yz — 1Kл тa e Зя + 2a
2jt 2я "
B_j_ 1Kя +2a _(г_ !Kя + 2a
t я (n + 4a) . я я (я + 4а)
\2я — a J2 (л — 2а) __/,_1\2я — а. 2 ("я —2а)
. (z+iy-" в* <"-*»> —(г—If
а)= —г - v '
я
B+1Jл-а-B-1JЯ-а
/а я\
/3 . а\ . 2п* . /_ а\ . л(л + 4а)
\2 ' я/ Зл + 2а \ к J 2 (л~ 2а)
35.34.
1. 2cosfe—?1 2. 2(l-?
35.35.
1. «*-[*»? 2.21т*. З.Щ^. 4. LlzfLl.
5.
Я u 2r * ¦ 4 * " /а я
4cosU~t
§ 36. Отыскание конформных отображений
с использованием принципа симметрии
>
В случаях, когда отображаемая область симметрична относительно какой-
либо прямой или окружности, задачу конформного отображения этой области
на круг или полуплоскость можно свести к задаче конформного отображения
одной из ее половин. Доказательство возможности такого сведения основано
на принципе симметрии (см. его формулировку в § 34).
36.01. Пусть w(z) функция, конформно отображающая область
{1шг>0, z ф [0, 3/]} на полуплоскость lm^>0 и переводящая луч
[—со, —4] в луч [.— со, 0]. Отыскав функцию w(z), убедиться, что
О
777777777777^7777777777777.
\
i
Рис. 98. Рис. 99
она конформно отображает изображенную на рис. 98 область,
{z ф [—4, +со], z ф [—Ы, Щ) на всю плоскость w с разрезом по
лучу [0, -i-co].
Замечание. Строго говоря, последнее отображение совершает не
функция w (z), а некоторое аналитическое продолжение этой функции. Однако
функция w(z) отыскивается в виде элементарной формулы, содержащей все
необходимые аналитические продолжения.
36.02. Обозначим через w{z) функцию, конформно отображающую
угол 0 < arg г <1 Y на сектор | w \ >> 1, 0 < arg w <. -^ , и удовлетворяю-
315

щую условиям w(\)= 1, w{t) = i, ®(oo) = oo. Отыскав функцию w(z)
убедиться, что она:
1) конформно отображает область, изображенную на рис. 99, на
область lmw>0, j«e»|>lj
2) конформно отображает область, изображенную на рис. 100, на
область |яу];> 1.
36.03. Обозначим через w (z) = w {z\ zv z2, zs) функцию, конформно
отображающую полукруг J2"]<Cl, 1тг>>0, на такой же полукруг
в плоскости w и удовлетворяющую условиям
w{z^)=l, w(z2) = i, w(zs) = ~l
(точки z{, z%> z3 лежат на границе полукруга \z\<ZU Ira^>-0).
Найти, каким условиям должны удовлетворять точки zv z2> z3, чтобы
функция w (z) конформно отображала круг | z \ <; 1 на:
1. Круг |wj< 1. * •
2. Полуплоскость lmw>0.
3. Область, изображенную на,рис. 101.
4. Область, изображенную на рис. 102.
Рис. 101.
I
Рис. 103.
яг _- -t-^ m
у//}//////;/)///////}*/////,.
i
Рис. 104.
5. Область, изображенную на рис. 103.
6. Область, изображенную на рис. 104.
36.04. Обозначим через w(z\ zv г2, z^ функцию, конформно
отображающую сектор
{2|<;l, 0<Carg2<;— (п — целое число, «>!),
на такой же сектор в плоскости w и удовлетворяющую условиям
w(zi, zv zz, г3)= 1, да(гя; гь zv г3) = е2л'/п, w(zs; zb z2, za)~0
316

(zvz2,z3—точки границы сектора J2r|<Cl, О <С arg z <С ¦—).
Выяснить, каким условиям должны удовлетворять точки zv z%, z3, чтобы
функция w {z\ zv z& z3) конформно отображала круг | z ] <C 1 с
разрезами по отрезкам
П^тЛ/^ ?2я/*/п] ? = 0, 1,1.., й—1,
на круг j w J < 1.
36.05. Пусть D — конечная односвязная область, симметричная
относительно действительной оси, a D+—ее верхняя половина.
Обозначим через [а, Ь] отрезок, являющийся пересечением действительной
оси с областью D, а через ty(z)— функцию, конформно
отображающую область D на полуплоскость 1тя]з>>0, и предположим, что
значения *ф(г) на отрезке [а, Ь] конечны. Доказать, что:
1. Функция
У*} У 1]?B)— f
(а)
конформно отображает область D на полуплоскость Im^^O.
2. Функция
V№(z)-y(a)}[ip(b)-y(z)] 1[ф(*>)-_ф(й)]
W(z) = j —f
Ч>й-2»(*)тФ(в)]
конформно отображает область D на круг | та; | -< 1.
Замечание. Строго говоря, функция ty(г) определена только в области
D+, так что речь идет об аналитическом продолжении этой функции в область
D через отрезок \а, Ь\. Существование такого аналитического продолжения
вытекает из принципа симметрии.
36.06. Найти какие-либо функции w(z), конформно
отображающие области, изображенные на рис. 105—116, на полуплоскость
Im w > 0.
36.07. Найти какую-либо функцию w(z), конформно
отображающую область
y*<Z2p(x-\-?) (x^Rez, y = \mz)
(р—положительная постоянная) на полуплоскость lmw^>0.
36.08. Найти какую-либо функцию w(z), конформно
отображающую область
¦—?— г—->1, jc>0 (х = Re z, у = Im г),
cos8 a sm2 a v ** J
(а — постоянная, 0 <С а <С -'„ \ на полуплоскость Im w > 0.
317

•7
I
Рис. 105,
-/
/
Рис. 106.
* Рис. 108.
Рис. 109.
DVC.
Рис. ПО.
ait
¦¦+-'
Л»
уА/уД^/Ж >////////;///№//;/?/////,
Рис. 111.
ЭК.
Рис. i/2.
Ж.
Рис. //5.
3i\
—Ч
—*.,
У/;/7/////У/Л///////}//////, w;//VW/;3)?/;,v;/;///;////s
Рис. 114.
Рис. 115.
z
9 V
Рис. //6.
318

В случае, когда отображаемую область можно разделить более чем на две
симметричные части (но на конечное число таких частей), целесообразнее
отображать область не на полуплоскость, а на круг. При этом каждую
симметричную часть отображают на сектор этого круга (см. задачи 36.02, 36.04).
36.09. Найти какие-либо функции w{z), конформно
отображающие области, изображенные на рис. 117—120, на круг |иу|<1.
-/*/<& bl pi+t
Рис. 117.
~>
Рис. 119.
Рис. 120.
В случае, когда отображаемая область делится на бесконечное множество
симметричных частей, каждая симметричная часть отображается на полуполосу,
а вся область—на полуплоскость.
36.10. Найти какую-либо функцию w{z), конформно
отображающую область
{z ф [km, kni + оо], (k = 0, ± 1, dt 2, ...)}
на полуплоскость Im w > 0.
36.11. Найти какую-либо функцию w(z), конформно
отображающую область
{lmz>0, z<?[kn, kn + nl] (fc = 0, ±1, ±2, ...)}¦
на полуплоскость lmw^>0.
36.12. Найти какую-либо функцию w(z), конформно
отображающую область
{lm^>0; zs?[2k, 2k + 2i], гфЩ+\, 2k+l +/J (Л = 0, ±1,...)}
на полуплоскость lm w >• 0.
319

Во многих случаях при получении промежуточных отображений можно
также использовать принцип симметрии.
Рис. 121.
¦1+i
-1-1
Рис. 122.
y//7//'S"."/s/'i''/sssl .'/s/s/лул
A-l)§
'(Mf
Рис. 123.
36.13. Найти какие-либо функции w(z), конформно
отображающие области, изображенные на рис. 121—123, на . полуплоскость
Im w > 0.
1, z3=l. 3. zT = 0, zs= — l.
ОТВЕТЫ
36.03.
1. Zi—1, z3 =— 1. 2. zx
4. Zl=-i, г„=—i. 5. г1 = -1, г„ = »\ 6. г^е3*'"'*, г3=^4,
36.04. 2x=i, гг=4*2я//п, г3=0.
36.06
1
Рис. 105: ,-lAl+^i+g
2. Рис. 106: u>:
.3. Рис. 107: ю:
-. /" 1 + ^1-г
"|/ ]/2-/l-z2'
_, /~гУ 34 + V 4г*+ lTe^+l
5z —K4z4 + 17z2-j-4
4. Рис. 108; ш =
>
4+z2+— J/" «*-f- 17г2+16
D + га) К34 + 5 |/г* +17г8 + 16
5. Рис. 109: ш=1/ г ;', ^—-
У (г-01/
0 К 5 + 3]/22-1
6. Рис. 110: ю
7. Рис
|/i+l/"
1 +
г —1\а
2 + 1
111 • w-=\f z2+I + l/Az4~2z5!cos2a+1+2g(I + sina)
Г г2+ 1 -f ]/z* — 2z2 cos 2a+ 1 — 2z A + sin a)
8. Рис. 112: т^Уг2+1 ]/^ +1 + j^z^f! .
9. Рис. 113 : а> = — K(z2 — 1) (z2-= 1 + у^Г\А)+2B-\- f~2) z* •
320

1л n 11 л . /У4г*+1722+4-Зг
10. Рис. 114: w=\/ ,
v iA4z4-4-17z2 4-4 — Ъг
У 42*+17z2 + 4 —5г
11. Рис. 115 : w^Vi^Vl+e-™.
12. Рис. 116 : w=
/  / , „ яг .„Я . Я
J J/ Ch2T + sh2--Ch-2
36.07. i ch f я l/ ^-). 36.08. w = i ch (^ In (г + ]Лг«- l)j .
36.09.
1. Рис. 117: ш = (— z3/2+Kz3ZTfJ/3. _
2. Рис. 118: w=-i= УУг4 + 4—y"z^T.
V' 5
3. Рис. 119: ш = (]/1-"УТ=ГГJ/з, ^l=|^2B3+1+|/7qriJ.
4. Рис. 120: —(ГС-П-V, с-^+О^+'+У^+Ц,
2B + К2)г?
36.10. w = i In (е~г+yV8*— О-
cos z 4- y"cos2 z — ch2 я
36.11. ш = Пп-
ch я
36.12. ш=/1п
l/" COS2 ™ + Sh2 -? + l/^ COS2 ™ - Ch2
l/ ch2n + sh2^-
36.13.
i d ,o, V~2+V~5 — V 2-K14 + 4
1. Рис. 121 : w— —!—.
W* + *+V 5
2. Рис. 122 : u>= К 2+У 2-f ]/z^f4-
3. Рис. 123 :
w= J/ sh ~ — 1/ ch2z-f sh2 J -f- ]/ ch -^ - 1/ ch2z+sh2 -J.
§ 37. Отображение многоугольников
До сих пор рассматривались методы отыскания конформного отображения
данной области на каноническую, которые сводились к подбору кохмбинаций
известных отображений.- При этом получались элементарные отображающие
функции, обратные к которым также были элементарными функциями. В этом
параграфе рассматриваются задачи, решаемые более алгоритмическим методом,
использующим интеграл Кристоффеля — Шварца. Здесь отображающие
функции тоже иногда удается выразить через элементарные функции, но обратные
к ним уже почти никогда не выражаются элементарным путем.
11 Под ред. М. А. Евграфова
321

37.-01. Пусть ak и ak, где /г=1, 2, ..., п,—действительные
числа, удовлетворяющие условиям
— со < ах < а2 <... < ап < -\- со,
0<аЛ^2 (А=1, 2, .... л), 2 ak^n—2.
Обозначим через ге>(,г) регулярную в полуплоскости 1гп?>-0 ветвь
аналитической функции
со
продолженную по непрерывности и на действительную ось.
Доказать следующие утверждения:
1. При движении точки ? по действительной оси от —оо до -j-oo
точка w(%) обходит конечную замкнутую ломаную Г с вершинами
Ak = w{ak), k=l, 2,..., п, An+i = w(Go).
2. При движении точки Е по отрезку действительной оси, не
содержащему точек ak, точка w(Q движется по прямолинейному участку
ломаной Г, не меняя направления движения.
3. При переходе точки | через точку ak ломаная Г поворачивает
на угол я A — ak) против часовой стрелки, а при переходе через
точку со — на угол п { ^] ak — п + 2
37.02. Пусть постоянные аг и а3 удовлетворяют условиям
а!>0, а2>0, а1-г-а8<1.
Доказать, что функция
W
(г) = ^а1"~10—О0'-1^ ад(* + Ю)>0 @<*<1),
однолистна в полуплоскости 1тг>»0 и конформно отображает ее на
треугольник с вершинами
Л=да(о)=о, Л-»П)-ГГ(%?^.
л /- \ /п Г(а!)ГA —aj —аз)
Ла = ^(оо)^^ ГA-а2)
Указание. См. задачу 32.25.
37.03. Пусть постоянные * av a2, as удовлетворяют условиям
aft>0 F=1, 2, 3), 0^ + 02 +се8=й,
а точки av a%, а3 попарно различны. Доказать, что функция
Z
322

допускает выделение регулярной ветви, однолистной внутри
окружности, проходящей через точки av c2, а3, и что эта ветвь
конформно отображает круг, ограниченный этой окружностью, на
некоторый треугольник.
Указание. Сделать дробно-линейное отображение, переводящее точки
а1> °2> а3 В ТОЧКИ 0, 1, ОО.
37.04. Пусть
— оо < ах < а2 <С as < <24 <С -}- со,
4
0<а*<2 (А=1, % 3, 4), J] ak = 2.
Доказать, чго любая регулярная ветвь функции
Z
6
в полуплоскости 1т,г>0 однолистна в этой полуплоскости и
конформно отображает ее на некоторый конечный четырехугольник.
37.05. Пусть
— оо < аг < а2 < ... < ап <-}- Ьо,
0<аЛ< 1 (&=1, 2j ..., и), 2 ctfe.= n — 2.
Доказать, что любая регулярная ветвь функции
6
в полуплоскости Im z > 0 однолистна в этой полуплоскости и
конформно отображает ее на конечный выпуклый и-угольник.
Указание. Доказать, что условия на углы a.k могут выполняться лишь
в случае, когда ломаная Г (образ действительной оси при отображении w — w (г))
является границей конечного выпуклого п-угольника.
37.06. Доказать, что функция
о
при достаточно большом значении ^>0 не может быть
однолистной в полуплоскости Im z > 0.
Указание. Найти асимптотические формулы для длин сторон ломаной Г
(образ действительной оси) при k —> -f- оэ и убедиться, что при достаточно
больших значениях k эта доманая имеет самопересечения.
37.07. Доказать, что функция
Z
w(z)= [ dl* =, 0<х<1 (да(* + Ю)>0, — 1<х<1),
о
11* 323

конформно отображает полуплоскость 1т-г>-0 на прямоугольник,
а а а . ., а .,
с вершинами —^* *% > ~2~т~1"' ~у + г&> r#e
_ С dt, . ^ г dt
tt~ ) У A—(*)A-¦>&«)' " J У(Р- \){\~Y?W)'
—1 I
37.08. Найти образ круга J z | <; 1 при отображении
г
dt
w
= 5 «7=6 (w(*)>0> 0<х<\).
37.09. Найти образ области |,г|>*1 при отображении
Z
^5J/5
w=\rz^^ (»И>0, *>1).
37.10. Пусть
— со < «г < «2 < • ¦ ¦ < яЛ < + со,
О < ak < 2 (А = 1, 2,..., я), J] а* = Л, < 2.
Обозначим через w (z) какую-либо регулярную ветвь функции
{z-aifHz~a^ ...{z-anfn
в полуплоскости Im z Z> 0, продолженную по непрерывности на
действительную ось. Доказать, что образом действительной оси при
отображении w=-w(z) является совокупность лучей
argfly = q>0, argw = (p0-|-**
и отрезков
[О, ,V'(<4 + - + aA+*o)] (Лв1, 2, ..., п~1)
(фо— некоторая действительная постоянная, зависящая от выбора
ветви, а Л^ — не зависящие от этого выбора положительные числа).
37.11. Пусть аь ..., а2п — попарно различные действительные
числа, а функция w (z) определена в полуплоскости Im z >• 0
равенством
w(z) — y (z— aJ..-О—a2„), w(x -f Щ>0 (jt:->-}-со).
Доказать, что функция яу(,г) однолистна в полуплоскости ImzX)
и конформно отображает ее на плоскость w с разрезом по лучу
[0, -Ь°°3 и по отрезкам
[0, е- k™'2n J г» (Hfe) j] [к = 1, 2, ..., 2л — 1),
где gfe — нули производной многочлена Р (г) == (z — йх) ... (z — а2я),
занумерованные в порядке возрастания.
324

37.12. Найти образ полуплоскости 1тг>»0 при отображении
w=—ifz(l — z2), ш> (х-f/0) > О (*>1).
37.13. Найти образ круга J z \ < 1 при отображении
«>='-• У\ +г8, w (х) > 0 @ < jc <1).
37.14. Пусть
— оо < ах < а2 <... < ап < -f- oo,
п
а*>0 (А=1, 2, .... л), J)aft<2,
^* = j
а ??>(-?)—любая регулярная вет.вь функции (z — а^.,,{г—ап)ап
в . полуплоскости 1тг>0. Доказать, что функция w(z) однолистна
в полуплоскости Im z >> 0 в том и только в том случае, когда
функция w' (z) имеет на каждом интервале (ak, «а+1), k — l, ..., п—1,
только один простой нуль.
# * *
37.15. Пусть w(z) — какая-либо функция конформно
отображающая полуплоскость 1ш^>»0 на некоторый конечный многоугольник
с вершинами Av А2, ..., Ап, a av а2, ..., ап — точки действительной
оси, переходящие в эти вершины при отображении w — w(z).
Доказать, что функцию w(z) можно аналитически продолжить по любому
пути, не проходящему через точки а1г аа, ..., ап.
Указание. Применить принцип симметрии, воспользовавшись тем, что
на отрезках действительной оси, не содержащих точек ak, функция w(z)
принимает значения, лежащие на некоторой прямой.
w" (z\
37.16. Доказать, что функцию ,}~? где w(z) — функция из за-
W (Z)
дачи 37.15, можно аналитически продолжить на расширенную
плоскость z с выколотыми точками av a2t ..., ап, и что это
аналитическое продолжение является однозначной функцией.
Указание. Доказать, что результат аналитического продолжения
функции w (г) по любому замкнутому пути Г (не проходящему через точки ak) имеет
вид el<(>w (z)-\-C, где <р и С—-постоянные, зависящие от пути продолжения.
37.17. Пусть внутренние углы многоугольника в вершинах Ak
равны nak(k==\, 2, ..., п), где 0<Сссй<;2. Доказать, что
w'(z) Zd z—ak-
(здесь w(z) — функция из задачи 37.15).
37.18. Доказать, что утверждения задач 37.15 — 37.17 сохраняют
силу и в случаях, 'когда точки av ..., ап лежат не на
действительной оси, а на какой-либо окружности \z — zQ\ = R, а функция w (z)
конформно отображает на многоугольник круг \z — .г0|<^ или
область i z — z01 ;> R.
325

37.19. Доказать, что утверждение задачи 37.17 сохраняет силу
и в случае, когда одна из точек ak является бесконечно удаленной
точкой.
37.20. Доказать, что утверждение задачи 37.17 останется в силе
и для случая, когда многоугольник имеет одну или несколько
вершин в бесконечности, если только под внутренним углом в
бесконечно удаленной вершине многоугольника понимать угол между
прямыми, образующими эту вершину, в конечной точке их пересечения,
взятый с обратным знаком (если прямые параллельны, то величину
угла следует-определять предельным переходом).
37.21. Пусть функция w (z) конформно отображает полуплоскость
Im z >> 0 на внешность конечного многоугольника с вершинами
Ak{k—\, ..,, п) и внешними углами в них nak соответственно (для
внешности многоугольника эти углы являются внутренними;
по-прежнему считается, что 0 <С ak ^ 2). Обозначим через ak точки
действительной оси, переходящие в вершины Ak, а через а — точку,
переходящую в точку w — co. Доказать, что Л
п
w" (z) __ V^ txfe^-l _ __2 2_
w'{z) /Li z — ak z—а г —а'
- k = i
37.22. Пусть функция w(z) задачи 37.21 конформно отображает
на внешность многоугольника не полуплоскость Im z ^> 0, а круг
| z | <С 1 (и по-прежнему w (а) — оо). Доказать, что
п
w" (г) _ VI ak— 1 2_ 25
w' (г) Zd z—ak z — a* 1—га'
6=1
37.23. Доказать, что утверждение задачи 37.15 остается в силе,
если стороны многоугольника считать не прямыми линиями, а дугами
окружностей.
Замечание: Строго говоря, утверждение несколько изменится, так как
при аналитических продолжениях функции w(z) могут появляться полюсы.
37.24. Доказать, что если функция w (г) конформно отображает
полуплоскость Im?>0 на многоугольник, ограниченный дугами
W" (z) \w" (z):2
окружностей, то функция 2 - -., - - -—3 - ,-;-: | совпадаете некоторой
рациональной функцией.
Указание. См. задачу 33.02.
* * *
Результаты задач 37.17—37.22 позволяют написать выражение для
функции w (z), конформно отображающей полуплоскость (или круг) на
прямолинейный многоугольник, в виде некоторого неопределенного интеграла. Даже в тех
случаях, когда этот интеграл берется в элементарных функциях, его
вычисление связано с большими трудностями. Поэтому следует иметь в виду случаи,
когда отыскание отображающей функции возможно без интегрирования.
326

37.25. Пусть функция w (z) конформно отображает полуплоскость
Im z > 0 на область D, граница которой состоит из конечного числа
отрезков прямых, проходящих через точку w = 0. Доказать, что
w' (z\ *
функция —j-~ совпадает с некоторой рациональной функцией.
37.26. Пусть функция w{z) конформно отображает полуплоскость
Im z ;>-0 на область D, граница которой состоит из конечного числа
параллельных между собой лучей (или полных прямых). Доказать,
что функция w' (z) совпадает с некоторой рациональной функцией.
37.27. Пусть/ функция w(z) конформно отображает полуплоскость
Im z I> 0 на угол 0 < arg w <С Ял (О <С К ^ 2) с разрезами по
отрезкам [0, Bk], Л=1, 2, ..., п, где
п
— arg#ft = Oi + ... + aft (k= 1, 2, .... п), aft> 0, ^aft<X.
k= i
Предположив, что w(оо) = оо, w(а±) ==... = w(ап+1) = О, где
—оо < аг1+1 < ап <... < йх < -{- оо,
доказать формулу
w'(z) _ V ak п . _, у „
в» (г) - Zi z-aft » а"+1-Л- ^ ttA-
37.28. Пусть функция w(z) конформно отображает область \z\> l
на всю плоскость w с разрезами по отрезкам [0, Bk](k=l, 2,...,«),
где
argBk~argBk_l = siak(k=\, 2, ..., /г, В0 = Вп), аА>0, 2 «а^2-
Предположив, что w (оо) = 0, да (ах) =... = w (ап) = 0, где
О ^с arg аг < arg а% <... < arg an < 2я,
доказать формулу
и
ц>'(*) = у «а _ J_
w(z) jLi г — ак z '
37.29. Пусть w (z) — функция задачи 37.27 или 37.28. Доказать,
что прообразы bk точек Bk (концы разрезов) удовлетворяют урав-
ш# (г) п
нению —гт = О.
B>(z)
37.30. Пусть функция w (z) конформно отображает полуплоскость
Im z >> 0 на плоскость w с разрезами по лучам
[Bk, ?ft + oo], А=1, 2, .... я (\mBk = hk),
где — со < /?i <С.. • <С #« < + оо. Предположив, что
w (оо) = оо, w (а{) = ад (а2) =... = w (fl„_i) = оо,
327

причем — со <С аг <С а2 <С •.. < ая-1 <Z + °° и lim Re те (z) — + со,
z-*ak
доказать формулу
п— 1
37.31. Пусть функция та (г) конформно отображает полуплоскость
1тг>>0 на полосу Нх<11тг<СНг с разрезами по лучам
[Вк, fift-foo], k=\, 2, ..., л; Aт5Л = йА),
где /i1<C.h1<ih2<i...<ihn<CИ%. Предположив, что
Rew(со) == оо, ' Rew(ak) = -f оо (? = 0, 1, ..., п),
причем — оо -< а0 <С ^ <... < ап <Z + со, доказать формулу
37.32. Пусть w (г) функция задачи 37.30 или 37.31. Доказать^
что прообразы Ък точек Вк (концы разрезов) удовлетворяют
уравнению w'(z) = 0.
* * *
В некоторых случаях бывает полезно рассматривать отображения,
совершаемые функцией су'(г)—производной от искомой функции w (г),
отображающей полуплоскость Im г > 0 на многоугольник Ь. Вершины
многоугольника D мы, как и прежде, будем обозначать через Аг, ..., Ап, а их прообразы
на действительной оси — через а1г ... , ап, считая, что — оо<;аг <....<. ап^-\-оо.
Величину внутреннего угла многоугольника D в вершине Ак мы будем по-
прежнему обозначать лак. Для угла в конечной вершине считаем 0 <с ак <z 2,
угол в бесконечности между параллельными прямыми в бесконечности "считаем
равным нулю (или 2л.), а угол в бесконечности между пересекающимися
прямыми—равным углу между теми же прямыми в точке их пересечения, взятому
с обратным знаком.
37.33. Доказать, что образ отрезка (ак, ак+1) действительной оси
при отображении ? = -02/(г) лежит на луче arg ? — arg (Ak+1 — Ak).
37.34. Доказать, что если акфоо и Ак Ф оо, а ак <Z 1, то
образом точки ak при отображении ? = w' (г) является точка ? = со.
37.35. Доказать, что если акФ со и Акф оо, а аА>»1, то
образом точки аи при отображении '^ — w' (г) является точка ? = 0.
37.36. Доказать, что если % = со и Ак — оо, a ak >—1, то
образом точки ак при отображении ? = wr (г) является точка ? = 0.
37.37. Доказать, что если аА ^ с0» Ak = °°> то образом точки ак
при отображении t> = w' (z) является точка ? = 0._
37.38. Доказать, что при движении точки z по конечному отрезку
действительной оси, лежащему на отрезке (ак, ак+1) и не
содержащему точек, где w" (z) — Q, точка ? — w'(z) монотонно движется по
лучу arg ? = arg (Ак+1 — Ak).
37.39. Пусть D — многоугольник со сторонами
arg w — n, arg w = a, arg (w — ?) = п, arg (да — ?) = а @<а<<у),
328

а ср(г)—функция, конформно отображающая полосу 0<1тг<;1
на этот многоугольник, причем
ф(—оо) = —оо, ф@) = 0, ф (+оо) = + ооет.
Доказать, что функция ? = ф' (z) конформно отображает полосу
О <Z Im z < 1 на угол О <С arg t. <C « и удовлетворяет условиям
<р'@) = оо, ф'@ = 0» ф'(— оо)=1, ф' (+ оо) = еы cos a.
Указание. Отыскав нули ф" (г), проследить за движением точки ? =
= ф' (г) по границе многоугольника и воспользоваться принципом соответствия
границ.
37.40. Доказать, что для любого треугольника функция t, = wf (z)
конформно отображает полуплоскость 1т2">0 на некоторый угол
с вершиной в точке ? = 0, разрезанный по отрезкам лучей,
выходящих из точки ? = 0.
37.41. Доказать, что для любого выпуклого конечного
многоугольника D функция w' (z) конформно отображает полуплоскость
Im z > 0 на угол с вершиной в точке ? — 0, разрезанный по
отрезкам лучей, выходящих из точки ? = 0.
37.42. Пусть D — конечный невыпуклый четырехугольник и пусть
прообразы всех его вершин при отображении w = w{z) конечны.
Доказать, что функция ? = w' (z) не может быть однолистна в
полуплоскости Im z > 0.
Для решения приводимых ниже задач рекомендуется применять как
методы, изложенные в задачах 37.17—37.22, так и методы, изложенные в
задачах 37.25—37.32. В обоих случаях основная трудность лежит в отыскании
постоянных ak (прообразов вершин Аи отображаемого многоугольника) и
постоянных интегрирования. Скажем несколько слов о способах отыскания этих
постоянных.
В случае метода, описанного в, задачах 37.17—37.22, постоянные
определяются из уравнений w (ak) = Ak и из условий, задающих искомое
конформное отображение единственным образом (чаще всего эти условия состоят в
задании трех точек а^, но иногда задается значение в некоторой внутренней точке
и одна точка ак). Если некоторые из вершин А^ находятся в бесконечности,
то вместо равенств т(а^) = А^ приходится иметь дело с асимптотическим
поведением отображающей функции в окрестности точек afc. Чаще всего такое
исследование проводится в случаях, когда угол в соответствующей вершине
Ak — co равен нулю) т. е. когда часть многоугольника в окрестности этой
вершины представляет собой полосу. Тогда для отображающей функции
в окрестности соответствующей точки afc имеет место асимптотическая формула
w(z) = — In (z — ak)-\-0(\) (см. задачу 34.10), причем постоянная с равна по
модулю ширине полосы, а ее аргумент выражается через направление полосы.
В случае метода, описанного в задачах 37.25—37.32, способ определения
постоянных несколько иной. Там нужно сначала выразить через точки oft
(часть которых может быть задана условиями, однозначно определяющими
отображение) точки bk (прообразы концов разрезов). После этого все
остающиеся неизвестными постоянные определяются из уравнений w{b^) = Bk (здесь
В^ — концы разрезов, т. е. данные числа).
37.43. Найти функции w(z), конформно отображающие
полуплоскость Im z > 0 на многоугольники, изображенные на рис. 124—137,
329

А,-"
§Ai=l
I
fVL=~z
Puc. 124.
l?////////////////Y///ss//s////,'sfs/,
A~Z Н-«л
Puc 125.
A,=if—
Puc. 126.
Л,=>
A^i*
-j
I
Рг^ая
Puc. 127.
Puc. 128.
Puc. 129.
La=;
%
Рис. 130.
a -~ i A**~
Puc. 131.
A7=C
/7777777Щ
I
Puc. 132.
1 A =
I
'A
A,=0 Aj,=™
\i.H
A,=<
\A,=rtih
XA,=0
Puc 133.
Puc. 134.
Puc. 135.
A=i k-
A--ik~
С=Л V
A, = '
i i.'/)-lfi
A -co
.^Z?L
A^0\,
Puc. 136.
Puc. 137.
330

таким образом, чтобы w@) = Аь w{\)
обозначены на рисунках).
А2, w(oo) = A3 (вершины АГг
Симметричность отображаемых многоугольников относительно какой-либо
прямой значительно упрощает отыскание отображающей функции, так как
позволяет определить, не решая уравнений, большее число прообразов вершин
и уменьшить число подлежащих определению постоянных. Основной прием
таков: п^сть многоугольник имеет две вершины, расположенные на оси
симметрии. Прообразом одной вершины считаем точку г = 0, а прообразом
второй— точку г=со. Тогда прообразы симметричных вершин отличаются только
знаком.
Кроме того, при отображении симметричных многоугольников применимы
все приемы, о которых говорилось в § 36.
37.44. Найти какие-либо функции w(z), конформно
отображающие полуплоскость Im z > 0 на симметричные многоугольники,
изображенные на рис. 138—143.
\Я1
'//////////////////Z/////////////s,v
-ф^=/А
4v**""
<1>;ММ/У/ш/;>?7,
Рис. 138.
I А^еАЫ
A.=lh
6
А,=с° А-=0
Д?=епЬ
'//////////////7X77////////,
I
Рис. 140.
Af-Hnh\ A=Hnh
А =» А „=«
?
Рис. 141.
\Aj4h Af
Рис. 142.
А3=°° I
А~с
А„=°>
ПН
Рис. 143.
37.45. Найти функции w (г), конформно отображающие область
| г j > 1 на многоугольники с внутренней точкой w = со,
изображенные на рис. 144—146, таким образом, чтобы та>(оо) = оо, w(\)=^Av
Описанные методы конформного отображения многоугольников легко
сочетаются и с другими методами конформных отображений. Трудности возникают
лишь при необходимости обращать отображение.
37.46. Найти функции w (г), конформно отображающие
полуплоскость Im z >> 0 на области, изображенные на рис. 147—150, таким
образом, чтобы w@) = Alt w(\) = A?, w(po) = A3. (Для рис. 149
Л, = * + /.0.)
37.47. Найти функции w(z), конформно отображающие всю
плоскость z с разрезом по отрезку [—1, 1]. на области, изображенные
на рис. 151 —153, таким образом, чтобы w(oo) — oo, w(l) — Av
331

gnui-a> | eXin
gXUl-ai
Puc. 147.
Рис. 148,
1+1&
My/2
-l+i
A,=-H
а3=о\Уа,=о
A,=0
T
/
Puc. 149.
Puc. 150.
Puc. 151.
332

37.48. Найти функции w(z), конформно отображающие полосу
|1т.г|< 1/2 на области, изображенные на рис. 154—156, таким
образом, чтобы да @) = 0, да (-\~ оо) = Аг.
'//////////////////А
I /4,= ос
^\Ч\ЧЧЧ>Ь^Ч\Чч\>*
S
. Aj=c>o
8 \
1
'7-1
! /»,= м
Рис. 154.
Рис. 155.
Рис. 156.
37.49. Найти функции да (г), конформно отображающие полупо-
лосу Rez>0, |Imz|<C-9-, на области, изображенные на рис. 157 и
158, таким образом, чтобы да
Аг, да(со) = Л2, да
-!+1
Рис. 157.
А,=0
Аг-г
дя=г
Рис. 158.
37.50. Найти какую-либо функцию да (г), конформно
отображающую полуплоскость lm z > 0 на плоскость да с разрезами по лучам
[ki; ki + сю], [(k+-j)t, ^+^-)/ + оо] (А = 0, ±1, ±2, ...).
37.51. Найти какую-либо функцию да (г), конформно
отображающую полуплоскость lm z ;> 0 на плоскость да, из которой
выброшены полуполосы
{Кеда<0, |& — 1тда|<-^] (Л = 0, ±1, ±2, ...).
В следующих задачах отображающие функции не выражаются через
элементарные функции.
37.52. Найти функции да (г), конформно отображающие
полуплоскость 1т,г>»0 на многоугольники, изображенные на рис. 159—161,
таким образом, чтобы w@) = A1, даA) = Л2, да(оо) = Л3.
37.53. Найти функцию да (г), конформно отображающую круг
| z | < 1 на правильный «-угольник, вписанный в круг[да|*<1, таким
образом, чтобы да@) = 0, даA)=1.
333

При отысканий постоянных часто бывает полезно рассматривать
отображения, совершаемые функцией w' (г) (см. задачи 37.33—37.40). Это особенно
удобно, когда мы ищем отображение полосы на многоугольник.
37.54. Найти функцию w(z), конформно отображающую полосу
0<ilmz<il на область, изображенную на рис. 162, и
удовлетворяющую условиям w(— 00) = ^, w@) = A2, w(-\-oo) = Asr
Указание. См. задачу 37.39.
I Д = »
Рис. 159.
Рис. 160.
Рис. 161.
} AH = lh
/?,= со
A^O
Рис. 162
37.55. Найти функцию w(z), конформно отображающую полосу.
0«<1тг«<1 на область, изображенную на рис. 163, и
удовлетворяющую условиям w(-—co) = Alt w (-{-00) = Л4, w@) — A3.
ih
AP = a-iH
'/мм;мл>м,м;/?,9/м
Рис. 163.
z=,-ih A3=cc
Рас. 164.
87.56. Найти функцию w (z), конформно отображающую
полуплоскость lmz>0 на область, изображенную на рис. 164, и
удовлетворяющую условиям w A) = Av is) (— 1) = Аь, w @0) = Л3.
334

ОТВЕТЫ
37.08.
Правильный шестиугольник с вершинами Аешк1г, fe=l, 2, 3, 4, 5, 6, где
,6Г ' 5 *
(г)
2kni 2k+1 .
га»
37.09. Правильная пятиконечная звезда с вершинами Ае 5 и Be 5
*=0, 1, 2, 3, 4, где
37.12. Полуплоскость lmw>0 с разрезами по отрезкам
[0, 2,/3 З-'/2 в"'"/3], [0, 21/3 З-^2 в2га"/3].
37.13. Вся плоскость w с разрезами по отрезкам
[О, ?2ekni'A], k=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
37.43.
1. Рис. 124: ю = —(—2*+21пг-ЬЛ —га).
2. Рис, 125: w = —(г—In г— 1 + ш').
я
3. Рис. 126: ш = А1п(г—1)+A — Л) In (l +rzr).
3 7^3" (г—1J
4. Рис. 127: W-.
5. Рис. 128': w =
16 z"j/"z •
A—а)г + а
6. Рис. 129: w = — АA+аI+аA_a)i-a2a-iB_ 1J.
7. Рис. 130: ш = — f^-+arcsinB2— 1) + 4 [г — — Wz A— 2)V
8. Рж,131:.~-1' 2 — 1 + |ЛГ
|Az 1-jAz/-
9. Рис. 132: а> = 4- C — г)УТ.
10. Рис. 133:B. = -L/^lni±l? + /Aln/f-l"Al/J
1 —Кг H + ih\fz J'
11. Рис. 134: йу = <1п , In '¦ , ' >
я I j/г—1 + t Я—ft (H—h)Vz-r--\—iH)'
т г, «о- , f(l + fl)zBz + fl—1) . а A — 2))
12. Рис. 135: и) — /г<тг-+—^тг х-,—г-т— 1" ——;—~г. где а—едкнствен-
1A— л) A—2) (г + а) z + a J'
o+l I ,
ное положительное решение уравнения — — к" 'n а-
335

13. Рис. 136- w = i -\ -—¦—:— 1 — In z — In -r-f— , где а—единственное
1 я I 1+a 1 + aJ
(a-\~2f , . & .
положительное решение уравнения ~—гт-с + ш-гт—гтс ——лп.
к J^ 4(с+1) ' 4(a-f-I)
14. Рис. ,37:H*)-^[^-+(g~')f~')'--~Ш«1+*+1Д.
— (a3—l)(a + 2) —lna=—я^.
37.44.
• п ,о0 - 2ft , , я —ft. я —ftz2 .,
1. Рис. 138: © = _ In z-\ In -t ih.
я я n—n
2. Рис. 139: w = — a-a A — aH-1 z2« (g* — l)l~a.
_ 1 I_
3. Рис. 140: г2) = 2-аA—2а) 2сга(г2 — о2J (г3 —о2—1)а,
где а —единственное положительное решение уравнения
а\-ш (я2 -J- 1)«=2a A — 2a) 2 aa • ft.
4. Рис. 141:
ft , j/"(I —22)//2+ft2-f-ftz 1Я . V(l — z2)H2 + h? + iHz
w = — In ¦-/ —- In ¦
я V(l — z*)H* + h*—hz я K(l-z2)№ + ft2—iHz '
5. Рис. 142:
H. hVT^*—V'H* — h*# . h . H VY^z^—VH* - ft2z2
W— In H -In L7== —
я ft]/ 1 — г2+Кяа — ft2z2 я Я|Л — 22 + ]/Я2—ft2z2"
6. Рис. ИЗ:
Я . iz+VT^# , H — h , HVT^i*-\-i(H—ft)г
ш== —¦ In '-¦ • - -¦ ¦¦ -j In —¦¦ ¦ ¦ -— —
я гг—|Л —а* я HVl — z*—i(H — h)z'
37.45.'
1. Рис. 144: a»=— (г-l)i+2« (z +l)l_2a, C = -^—^ШЩ^Ш
z 2/yi—4a»
1
2. Рис. 145:ю = -?-(*-1)»(г«+1I-» C=A~"^ffaa .
_ is __ \
3. Рис. 146: ш = —12 2(l+cose) 2 . JL (г+i)i-2ax
X (г2 + 2z cos 6-flJ
где 6—единственное решение уравнения
A+coseJ = (l-cos8) \j~a) Y2+a)
лежащее на интервале @, -к-).
37.46.
2я
I. Рис. 147: а»
« +п
z—lnz—I *
2. Рис. 148: и> = ^—г -—' ' . -
2г fz +A-т2г)^1—г
336

о п inn ¦ П + К2)A-22K/2 + A-Ь0 33/4|А2A-г)
3. Рис. 149: w = t -— ._'v ' ' ч— .-.-..
A + У 2) A — 22K/2-(I + i) 33/4 |/г A-г)
(здесь Л3 = г + 0/).
4. Рис. 150: Ц= . -, 2f . Г.
Z2 — 2 In 2 + JK — Я — 1
37.47.
1. Рис. 151 ш=A + 0 21/2 • 3~3/4 • {/"(г- 1) (z+ 1)8.
2. Рис. Ь2: w = m < ~\ In ' -3—-У- где о
I (а»— 1)^1 — 22 2 }/1 —г2—l) •
2а , , а+1
единственное положительное решение уравнения —=—r- + In - ,—п.
а2 — 1 а — 1
q п ice - /l АA+я2)г + аг
3. Рис. 153: ш = — яг ! I/ —!—-—-—
1
1п|Аг-1 + КA+а2)г + ^-1 я\~
а]Лг — 1 г/
где а — единственное положительное решение уравнения
а 2
37.48.
1. Рис. 154: w = Mln (еЯ2 + Ко* + е2л2) -171 + а2е2яг - In a\, где а —
единственное положительное решение уравнения |/^ I -}- а2 = cth |А 1 -j-а2.
2. Рис. 155: i<y = 21/33-1/2sh:rtz(chtt2)-2/3.
„г, .^ 1 Г. 2 jAch яг + A + 0 sh яг , ., 2]/"сЬяг + A — i)shnz\
3. Рис. 156: — <ln j^1-^—!— —}-г In — К
я ^ 2 у сЬяг — (l-f-i)sh яг 2\/chnz — A — OshnzJ"
37.49.
i-. t^-r я (а2— 1)
1. Рис. 157: w = — ^—i——. =—г—, где а —единственное по-
. , а2 — 1 , 1 — i sh 2 '
l Sh 2 jr— In . ¦
2 1 +1 sh z
2a , a—I
ложительное решение уравнения —-—=—In
2. Рис. 158: ю=-
a2—1 a+1
я/
2 — cth г "
37.50.
ш = — -j— In {[(a — 6)cos2 + c + 6]3[3(a — &)cos2 + 3(a + 6) + 4]},
где a — единственное положительное, а 6 — единственное отрицательное
решения уравнения 3xi-\-2x?= 1/16.
_JLi /1^4 cos2 2 — 3 — cos 2 / / 4 cos2 г — 3 + 2 cos z \*)
4я 4^4 cos2 z — 3 + cos z \^4 cos2 z — 3 — 2 cos 2 / J*
r(«+P) .rtfi-o с (g-'i)a
Г(о)Г(Р) J Ca + P
37.52.
1. Рис. 159:—Г<я + Р> «*A-q)C CzjT'
337

nia 2Г2 ( - - j z
2. Рис. 160: w = e 2 • _ )n 2 /- [ ?«~2 (?2- W~a <?+ I.
лгГ B —a) J
3 Рис 161- и»= r(Gc+l)g 'p Г a_, p_,
г
2
37.53. g = ЛП -t(l-C»r2/Bd?.
U '-;" }%,
} \ (cas anI'" + (>"*)
37.54. w = h cos йя
о
37.55. ад= \ { -—¦——} dz. ~ — — arctg 2.
J I enz—l ) \i n ъ а
о
2
37.56. a)= \ [l4-(cosjxa)'/a + 22] i V"a

Глава VII
ПЛОСКОЕ ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ С КОМПЛЕКСНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ
§ 38. Произвольные плоские векторные поля
Если каждой точке некоторой области D поставлен в соответствие вектор,
то говорят, что в этой области задано векторное поле. Обычно область берется
в трехмерном пространстве, а в качестве вектора берется та или иная
физическая величина (сила, скорость и т. п.). В полном математическом определении
понятия векторного поля до некоторой степени учитывается и характер этих
физических величин (см. задачи в конце параграфа), но при первом
знакомстве можно обойтись и предложенным выше определением.
Всюду в дальнейшем рассматриваются только плоские векторные поля,
т. е. векторные поля, у которых каждой точке некоторой области плоскости
ставится в соответствие вектор из той же плоскости. Ясно, чт&-плоскому
векторному полю отвечает некоторая комплекснозначная функция комплексного
переменного. Эту функцию мы будем предполагать в области задания
непрерывной вместе с ее частными производными первого порядка.
Кривая, лежащая в области D, называется линией тока векторного поля,
заданного в этой области, если вектор касательной к этой кривой в каждой
ее точке коллинеарен с вектором поля, взятым в той же точке (и направлен
в ту же сторону).
38.01. Пусть функция w(z), отвечающая векторному полю, отлична
от нуля в области D задания этого поля, a L — гладкая кривая -
с параметрическим уравнением z — z(t), a^t^b. Доказать, что
кривая L является линией тока векторного поля в том и только в том
случае, когда выполняются условия
Im {w(z @)¦ z* (О} = 0, Re [w(z(t))• z' (t)}> 0, a^t^b-
38.02. Пусть функция w (z), отвечающая векторному полю, отлична
от нуля в области задания этого поля. Доказать, что кривая с
параметрическим уравнением z — z(t), a^t^b, где функция z(t) удовле-
dz
творяет дифференциальному уравнению -п ==w (z), является линией
тока векторного поля.
38.03. В условиях задачи 38.02 доказать, что каждая "линия тока
имеет параметрическое уравнение z — z(t), a^t^b, где функ-
dz
ция z(t) удовлетворяет дифференциальному уравнению -jt = w(z).
Указание. Воспользовавшись результатом задачи 38.01, выбрать
другой параметр.
38.04. Доказать, что у векторных полей, отвечающих функ-
циям w(z) и линии тока совпадают.
w{zy
339

38.05. Найти все линии тока векторных полей, отвечающих
приводимым функциям w(z), и изобразить их графически:
1. w(z) — z. 2. w(z) — iz.
3. w(z) = ~y 4. о>(г) = ~|. g. w(z) = Y(l— Г2).
Точки области задания векторного поля, которым отвечает
вектор, равный нулю, называются критическими.
38.06. Доказать, что через каждую не критическую точку
проходит ровно одна линия тока.
йг
Указание. В уравнений -tt—w{z) положить z=x-\-iy написать
уравнение линии тока в виде у — у(х) или х=х(у), после чего воспользоваться
теоремой о существовании и единственности решения дифференциального
уравнения.
38.07. Пусть из точки 20^оо выходит линия тока векторного
поля w (z), имеющая длину о, лежащая в области задания этого поля
и не проходящая через его критические точки (начало и конец также
не критические точки). Доказать, что:
1. Из каждой точки zlt достаточно близкой к точке z0, также
выходит линия тока длины 0, лежащая в области задания векторного поля и
не проходящая через его критические точки.
2. Если обозначить через z = "ф0 (s), 0 ^ s ^ 0; z = ifo (s), 0 ^
s^s-s^a, соответственно натуральные уравнения линий тока,
выходящих из точек zQ и zv to величина sup |i|)i(s) — 'фоС5)! стремится
к нулю, когда zx -> 20.
Указание. Воспользоваться теоремой о непрерывной зависимости
решения дифференциального уравнения от начальных данных.
38.08. Найти все критические точки следующих векторных нолей
и выяснить, сколько линий тока входит в эти точки (или выходит
из них):
1. w(z) — z. 2. w\z) — lz. 3. w(z)~ z. 4. w(z) = iz.
5. w(z)^~, 6. w(z)^±(l-r2).
Векторное поле w(z) — u (x, y)~{-iv(x, у) называется соленоидальным в
некоторой области, если существует такая действительная непрерывно дифферен-
dV dV
цируемая в этой области функция V (х, у), что ^- — — v(x, у), ~^~ = и(х, у).
Эта функция V (х, у) (или, для краткости, V (г)) называется функцией тока
векторного поля.
38.09. Доказать, что векторное поле w (z) = и (л:, у) -4- iv (x, у)
соленоидально в конечной одиосвязной области D тогда и только
тогда, когда -~--\-^- = 0 во всей области D.
38.10. Пусть V(z)—функция тока соленоидального векторного
поля. Доказать, что значение функции V(z) во всех точках одной и
той же линии тока одинаково.
340

38.11. Убедиться, что следующие векторные поля w(z) соленой--
дальни, и найти функции тока V(z) для них:
1. w(z) — 2. 2. w{z) = -.—jr. 3. w(z) — x2y2z (z = x-\-iy).
4. и» (г) = ix (x -f- /)—_y(j — /) (г = x -f- /y).
38.12. Пусть V (z)—функция тока соленоидального векторного
тюля. Доказать, что множество уровня функции тока (т. е.
множество точек z, в которых функция V(z) принимает даннре значение)
состоит из некоторого числа линий тока, встречающихся между собой
только в критических точках.
38.13. Пусть два соленоидальных векторных поля заданы в одной
и той же области, a Vr(z) и V2(z)—их функции тока. Доказать,
что если каждая линия тока одного поля является линией тока и
для другого поля, то существует такая дифференцируемая функция
Ф(?, г]), что
Ф(^(г), V.(*)) = 0.
Векторное поле w(z) — u(x, y)-j-iv(x, у) называется потенциальным в
некоторой области, если существует такая действительная непрерывно
дифференцируемая в этой области функция U (х, у), что ^~=" (х, у), --.- = v(x, у). Эта
функция U (х, у) (или, для краткости, U (г)) называется потенциалом
векторного поля.
38.14. Доказать, что векторное поле w (z) — а (х, у) + iv (x, у)
потенциально в конечной односвязной области D тогда и только
тогда, когда -^ — ^- = 0 во всей области D.
дх ду
38.15. Доказать, что векторное поле w (z) потенциально в
области D тогда и только тогда, когда векторное поле iw(z) соленои-
дзльно в этой области.
38.16. Убедиться, что следующие векторные поля w(z)
потенциальны, и найти потенциалы U(z) для них:
1. w(z) = r\ 2. w (z) = t (Z)"8. 3. w(z) = izx2y2 (z = x-\-iy).
4. w (z) — x (x2 + /) -f- iy (У2—0 (z = ~x-{-iy).
38.17. Доказать, что потенциал векторного поля монотонно
возрастает при движении вдоль линии тока.
Линии уровня потенциала векторного поля называются
эквипотенциальными линиями или эквипотенциалями. Для трехмерного векторного поля экви-
потенциали—это не линии, а поверхности. Поэтому понятие направления
эквипотенциальной линии для плоского векторного поля вводится несколько
искусственным путем.
38.18. Пусть векторное поле потенциально. Доказать, что:
1. Через каждую не критическую точку векторного поля прохо*
дит ровно одна эквипотенциальная линия.
2. Эквипотенциальная линия и линия тока, проходящие через
данную не критическую точку, пересекаются в ней под прямым углом.
341

Положительным направлением эквипотенциальной линии мы будем считать
направление налево от положительного направлеиия линии тока (проходящей
через ту же точку).
38.19. Для следующих потенциальных векторных полей w (z)
найти все эквипотенциальные линии, проходящие через критические
точки этих полей:
1. w{z) — z. 2. 1ю (z) = iZx2y2 (z = x~\-iy). 3. w {z) = iz2.
4. да(г) = 1A-Г2).
38.20. Доказать, что векторное поле w(z) и потенциально, и соле-
ноидальна в области D в том и только в том случае, когда
функция w(z) регулярна в этой области.
38.21. Пусть векторное поле w (z) и потенциально, и соленои-
дально в области Д a U(z) и V(z)—его потенциал и функция тока
соответственно. Доказать, что:
1. Функции U{z) и V(z) гармоничны в области Д т. е.
дх* "т" dip ¦ ' дх* + дг/2
2. Функция W(z) = U(z)-\-tV (z) регулярна в области D.
3. Имеет место формула W' (z) = w (z).
Векторное поле, и потенциальное, и соленоидальное в области D, мы
будем называть комплексно потенциальным в этой области, а функцию W (г) =
=si/B)+JVB), где U (г) — потенциал, а V (г) — функция тока, —комплексным
потенциалом этого поля.
38.22. Доказать справедливость утверждений:
1. Для того чтобы векторное поле, соленоидальное в конечной
односвязной области Д было комплексно потенциальным в Д
необходимо и достаточно, чтобы его функция тока была гармонична в D.
2. Для того чтобы векторное поле, потенциальное в конечной
односвязной области Д было комплексно потенциальным в Д
необходимо и достаточно, чтобы его потенциал был гармоничен в D.
38.23. Найти уравнения линий тока и эквипотенциальных линий для
следующих векторных полей, заданных своими комплексными
потенциалами W(z) в указанных областях Д и изобразить их графически:
1. W=e*, D: |Imz <я. 2. № = lnj~tj, D: lmz>0.
3. wwin^, D: 1тг>0. 4. H7 = ~-j, D: гф±:1.
5. №==Лп^~, D: z|<l, lmz>0.
6. W-'y^+i-), D: г'>1.
Пусть векторное поле w{z) задано в области D, a L —
произвольная кусочно-гладкая кривая, лежащая в этой области. Положим
S (L) = \ wn ds, R (L) = \ ws ds, где ws — скалярное произведение вектора w (z)
342

на единичный вектор касательной к кривой L в точке г, a wn—скалярное
произведение вектора w (г) на единичный вектор нормали к кривой L в
точке г (вектор касательной мы считаем направленным по кривой, а вектор
нормали— налево от кривой). Величину S (L) мы назовем потоком векторного
поля w (z) через кривую L, а величину R (L),— циркуляцией векторного поля
вдоль кривой L. (Термин «циркуляция» обычно употребляется лишь для
замкнутой кривой, а для незамкнутой кривой используется исключительно неуклюжий
термин «линейный интеграл векторного поля», от употребления которого мы
воздержимся.)
38.24. Доказать, что циркуляция векторного поля вдоль любого
отрезка линии тока положительна. _
8.25. Пусть w (z)— потенциальное векторное поле. Доказать,
что его поток через участок потенциальной линии, не содержащий
критических точек, отличен от нуля.
38.26. Доказать, что:
1. Поток соленоидального поля через любую замкнутую кривую
равен нулю.
2. Циркуляция потенциального поля вдоль любой замкнутой кри~
вой равна нулю.
38.27. Доказать, что векторное поле, потенциальное в области Ь
не может иметь замкнутых линий тока, лежащих в этой области.
38.28. Доказать, что векторное поле, комплексно потенциальное
в области D, не может иметь ни замкнутых линий тока, ни
замкнутых эквипотенциальных линий (не проходящих через критические
точки), лежащих в этой области.
38.29. Пусть 1\ и Г2 — две линии тока соленоида льного
векторного поля, a V(z)— его функция тока. Обозначим через Сх значение
функции V (z) на линии тока 1\, а через С2 — ее значение на линии
тока Г2. Доказать, что поток векторного поля через любую кривую,
имеющую начало на Г1? а конец—на Г^ равен С2—Сь
38.30. Доказать формулу R (L) + iS (L) = \w (z) dz.
L
38.31. Найти поток S(L) и циркуляцию R(L) заданных вектор:
ных полей w (z) по указанным кривым L (окружности считать
обходящимися против часовой стрелки):
1. да = 1, !:1,г!=1. 2. w = — t L: \z — 2| = 1.
z ' z * ' '
3. «=1, L:|z|=l. 4.» = ^, L: \z\ = 2.
5. w = ег, L: z = it, — л^. t^n.
6. w = cosz, V. z — iR-\-t, — n^t^n.
* * *
Векторное поле называется локально соленоидальным в области D, если
для каждой точки этой области существует такая ее окрестность, в которой
это. поле соленоидально. Аналогично определяются понятия локально
потенциального и локально комплексно потенциального поля.
38.32. Доказать, что векторное поле, локально соленой да льное
в конечной односвязной области, соленоидально в этой области.
Указание. См. задачу 7.13.
343

38.33. Пусть векторное поле локально соленоидально в области
О <; z <С оо. Доказать, что оно соленоидально во всей этой области
в том и только в том случае, когда SQ z \= 1) = 0.
38.34. Пусть векторное поле локально соленоидально в конечной
двухсвязной области. Доказать, что оно' соленоидально во всей этой
области, если существует хотя бы одна замкнутая кривая L, лежащая
в этой области, не гомотопная нулю в этой области и такая, что
S(Z,) = 0.
Указание. См. задачу 7.22.
38.35. Пусть D—конечная w-связная область с внутренними
компонентами границы Cv ..., Ст_{, а г1У ..., гт_г — произвольные
точки компонент С{, ..., Ст__х соответственно.- Доказать, что если
векторное поле w(z) локально соленоидально в области D, то
векторное поле
т
соленоидально во всей области D (здесь Lk, k—1, ..., т—1, —
простая замкнутая кривая, лежащая в области D и являющаяся
границей области Dk, содержащей компоненту Lk и не содержащей других
компонент границы области D).
* й* *
Следующие задачи связаны с тем, что значение векторного поля в точке
области его задания является, строго говоря, не вектором, а линейным
оператором (тензором), действующим в пространстве дифференциалов. При
определенных условиях такой оператор можно задать, задавая некоторый вектор.
Поскольку эти вопросы мало освещены в учебниках ТФКП, мы дадим
некоторые разъяснения, опираясь на физический смысл понятия векторного поля.
Возьмем в качестве физической модели поле скоростей стационарного
движения жидкости. Ясно, что само течение жидкости — это физическое явление,
не зависящее от выбора системы координат, но понятие скорости связано с
выбором системы координат, и скорость течения меняется при переходе от одной
системы координат к другой. Однако величина потока и циркуляции (по любой
данной кривой) в силу физического смысла этих величин должна оставаться
инвариантной при замене координат. В случае плоского векторного поля w (z)
это означает, что величина R (L) -f- iS (I) = \ w (г) dz для каждой кривой L
L
должна быть инвариантна при переходе от одной системы координат к другой.
Ввиду произвольности кривой L (можем считать ее прямолинейным отрезком,
идущим из точки z в точку z-\-dz) это утверждение можно сформулировать
еще проще:
Дифференциальное выражение w (z) dz должно быть инвариантно при
переходе от одной системы координат к другой.
Выражение w (z) dz приходится понимать как применение некоторого
линейного оператора (зависящего от-точки, г) к вектору dz, расположенному в
плоскости дифференциалов. В общем случае такой оператор можно описать
матрицей второго порядка с элементами, зависящими от z, но в некоторых случаях
344

этот оператор может сводиться к умножению комплексного числа dz на
некоторое комплексное число, зависящее от г. Легко показать, что последнее
невозможно, если мы хотим обеспечить инвариантность дифференциального
выражения w (г) dz при любых заменах координат. Однако это становится
возможным, если ограничиться заменами координат, сводящимися к конформному
отображению.
38.36. Пусть w(z)— векторное поле, заданное в области Д а
? = ф(,г) — конформное отображение области D на область D'.
Обозначим через W* (?) значение векторного поля w(z) в новых
координатах ? (отвечающих той же точке, что и точка z в прежних
координатах). Доказать, что w*(Q—==±=L.
<р'(г)
38.37. В дополнение к обозначениям предыдущей задачи введем
еще обозначения
Яег = лг, Im z~y\ Re? = ?, Im? = r);
Re w(z) = u (x, y), Im w (z) = v (x, y);
Re w* (?) = u* (?, rj), Im w* (?) = v* (|, rj).
Доказать формулы:
i ди* dv* —(ди dv\ .| //¦ x-2 о d°* du* _/d° du\ ,, ,_2
a|*+aii*~\a*+ay/ ф ^' • • a|* ari*~\a* ayj'^wl ¦
Всюду в дальнейшем вместо «величина инвариантна при переходе от одной
системы координат к другой, сводящейся к конформному отображению» мы
будем говорить «величина инвариантна относительно конформных отображений».
38.38. Доказать, что функция тока соленоидального векторного
поля инвариантна относительно конформных отображений.
38.39. Доказать, что потенциал потенциального векторного поля
инвариантен относительно конформных отображений.
38.40. Доказать, что критические точки векторного поля
инвариантны относительно конформных отображений.
38.41. Пусть w{z) — векторное поле, заданное в области D.
Будут ли следующие величины инвариантны относительно
конформных отображений?
1. [\w(z)\ds. 2. \\\w(zyfdo. 3. §\w(z)\da. 4. \w(z)dz.
L
ds.
L
du , dv
A L
Здесь L — кривая, лежащая в области D, A — подобласть области D,
ds—элемент длины дуги, do—элемент площади области D,
и (х, у) = Re w {х -\- iy), v (х, у) = Im w (x + iy).
345

ОТВЕТЫ
38.05.
1. ху~const; см. рис. 165. 2. х2 —у2 = const; см. рис. 166. 3. ху = const;
см. рис. 165.
Р«с. /65.
Рис. 166.
Рис. 167.
Рис. 168.
4. arg2 = const; см. рис. 167. 5. (г ) sin ф = const (z = rel<s>);
г ,
см. рис. 168.
38.08.
1. z —0; четыре. 2. 2 = 0; шесть. 3. 2=0; бесконечно много. 4. г = 0]
ни одной.
5. z = 0; шесть. 6. 2 = 1 и 2 = —1; по четыре.
38.11.
1. V=xy-\-C. 2. V=— In | г -\-C
1
3. V=— xV + C. 4. V =
--l^ + ^-xy + C,
38.16.
1. L/ = ln|2|-fC. 2. *7^
У
1
x2+&2
-fC. 3. ?/ = — -Ije»y8-fC. 4. I/
(^ + ^) + ^+С.
38.19.
л . &зг
fen
XL f?TT /?XT
l.arg2 = -4 +~, ? = 0,1,2,3. 2. argz = ^, * = 0, 1, 2, 3.
346

3. argz = 4p-, 4=0, 1, 2, 3, 4, 5.
4..-1: ¦ in^-I)/^
(— 2 < x < 0).
38.23.
1. Линии тока: (/ = const;
эквипотенциальные линии: x=const;
см. рис. 169.
@<*<2);
*=—1:
I
Рис. 169.
Рис. 170.
2. Линии тока: | г—iC\^=V\ -fC2 , 0<С<со; у=0;
эквипотенциальные линии:
а-\-1
3. Линии тока:
С2+1
2С
потенциальные линии:
?2__] — | f2„ 1 | » 0<С<1, С>1; а: = 0; экви-
i: |2 —/C| = l/Ca-f 1 , 0<С<оо; # = 0; см. рис. 171.
4. Линии тока: (x2-f #2J —2(а-з — у*)-\-Сху-\-1 =0; л: = 0; у = 0; эквипо-
тенциальные линии: (л:2-j-$/2J—С(х2—у*)—1-\~С — 0; х=± Vl-{-y2 ', см
рис. 172.
5. Линии тока
const; см. рис. 173
6. Линии тока:
4z2—1
z2 —4
= const; эквипотенциальные линии: arg
4г2—1
г2—4
линии
/ 1 \
( г — — J sin ф=const ( ге'ф = г); эквипотенциальные
/ 1 ч
: ( r -f • j cos ф = const; см рис. 174.
347

Рис. 172.
Рис. 173.
Рис. 174.
348

38.31.
1. S = 2re, /?=0. 2. S = Q, /?=,_-* 3. S = 0, /? = 0. 4. S=0, tf = 0.
5. S = 0, /?r=0. 6. S=0, /?=0.
38.41.
1. Да. 2. Да. З. Нет. 4. Нет. 5. Да. 6. Да.
§ 39.. Особые точки комплексно потенциальных векторных полей
Всюду в дальнейшем мы будем иметь дело только с локально комплексно
потенциальными векторными полями, т. е. с такими векторными полями w (г),
для которых функция w (г) регулярна. Комплексным потенциалом такого
векторного поля называется аналитическая функция W (г), вообще говоря,
многозначная, производная которой однозначна и совпадает с функцией w (z).
Гармонические функции U (z) = Re W (г), V (z) = Im W (z) (также, вообще говоря,
многозначные) называются соответственно потенциалом и функцией тока
векторного поля w (г).
Линией тока векторного поля w (z) называется простая кусочно-гладкая
кривая L, направление которой в каждой точке, где она имеет касательную,
совпадает с направлением вектора w (г).
Эквипотенциальной линией векторного поля w (z) называется простая
кусочно-гладкая кривая L, направление которой в каждой точке, где она
имеет касательную, совпадает с направлением вектора iw (z).
Легко проверяется, что на каждой линии тока функция тока сохраняет
постоянное значение, а на каждой эквипотенциальной линии потенциал
сохраняет постоянное значение (ввиду возможной многозначности функции тока и
потенциала под их значениями в точке кривой следует понимать значения,
полученные непрерывным продолжением по кривой из какого-либо значения,
выбранного в начальной точке кривой).
39.01. Для следующих векторных полей w(z) найти комплексный
потенциал W(z% потенциал U{z) и функцию тока V(z), а также
нарисовать картину линий тока и эквипотенциальных линий:
¦?1 то*
1. w = e 4. 2. w — z. 3. w — iz. 4. w = z2. 5. w — e 4 z.
6. w = — z~\ 7. w^iz'1. 8. w = (l -\-i)z~l.
9. w = z~2. 10. w — lz~^.
Точка z0^:co называется критической точкой векторного поля w(z), если
xso(z0) = 0. Порядком критической точки г0фсо называется _ порядок нуля
функции w (z) в точке г0. Бесконечно удаленная точка называется критической
точкой порядка т для векторного поля w (z), если точка ? = 0 является
критической точкой порядка т для векторного поля —С_2оУ(С-1)-
39.02. Найти линии тока векторного поля w (z) = zm (m = 1, 2,...),
выходящие из критической точки z = 0 и входящие в эту точку.
39.03. Нарисовать линии тока векторных полей w (z) = z и
щ (z) — z2 вблизи критической точки z — 0.
39.04. Найти все критические точки следующих векторных полей,
заданных комплексными потенциалами W(z), и уравнения всех линий
тока, проходящих через эти точки:
1. w = z + -. 2. W=\r\ /+* 3. W=z+l- + ilnz.
' г (z — l)a ' г '
349

4. W=z-i:~i-~-l\nz. 5. W=z + ~-+22\nz. 6. W=z-\-lnz.
7. W=z + ilnz. 8. 1*7=2 ——. 9. W=z + —.
1 2 ' Z
Точка г0фсо называется полюсом, порядка т для векторного поля ну (г),
если эта точка является полюсом порядка т для функции w{z). Точка 2=со
называется полюсом порядка т для векторного поля w (г), если точка ? = 0
является полюсом порядка т для векторного поля —t~%w(^T1)-
Полюсы векторного поля обычно не исключаются из области его задания,
но называются особыми точками векторного поля. Принята следующая
классификация особых точек векторного поля.
Точка z0=?co называется источником, обильности 2яа, если в окрестности
точки г0 функция w(z) может быть представлена в виде o>(z) = f-/(z)",
z z0
где функция / (г) регулярна в точке г0, а число а действительно (источник
отрицательной обильности часто называют стоком).
Точка z0z?co называется вихрем интенсивности 2лр, если в окрестности
;0
точки г0 функция w (г) может быть представлена в виде w (г) = —-—\- f (г)}
z г0
где функция f (z) регулярна в точке га, а число р действительно.
Точка г0^со называется диполем с моментом 2ла, если в окрестности
точки 20 функция до (г) может быть представлена в виде w (z) = — -f-
(г — г0)
-f- f (z), где функция f (г) регулярна в точке z0 (часто моментом диполя
называют число | а j, а число arg а называют направлением оси диполя).
Точка г^-фсо называется мультиполем порядка 2т (т> 1), если в
окрестности точки г0 функция w (г) может быть представлена в виде w (z) =
с
¦f(z), где функция f (г) регулярна в точке г0.
B-*0)Г
Характер особой точки г=со для векторного поля w(z) считается
совпадающим с характером особой точки ?=0 для векторного поля —?-2ДО(?-1);
только если особая точка — диполь, то для момента берется противоположный
знак.
Произвольный полюс векторного поля, вообще говоря, составлен из вихря,
источника, диполя и из мультиполеи порядка 2т, т<_п, где п— порядок
полюса. Для полюса, составленного из вихря и источника, иногда
употребляется название вихреисточник.
39.05. Найти и описать все особые точки следующих векторных
полей, заданных в указанных областях D своими комплексными
потенциалами W(z):
1. W=z + llnz; D: |z|>l. 2. ^=Пп~^-; D:|z'<l.
3. W=z + ilnz; D: |*|<1. 4. W=z + ~; D: |z|<oo.
5. №= In sin г; D: \z\<oo. 6. W=i\ntgz\ D: |г|<оо.
7. W=\r\(z2~ 1); ?>: |г|<оо. 8. W=ln(z + -^\; D: \z\^oo.
9. W^lnU + l/za+T). \TA)>0; D: Z€?[—t,l].
10. и^=/1пBг + 1/^=Л), W(\ 2) = &'(l^+l)-
' / 2И2 +1 '
Z): г ^ [— 1, 1J.
350

39.06. Доказать, что точка 2 = оо будет для векторного поля
вихреисточником обильности а и интенсивности р в том и только
в том случае, когда комплексный потенциал W(z) этого поля
в окрестности точки z = co можно представить в виде W(z) =
— — J~ \nz-\-f{z), где функция /(г) регулярна в точке z — co.
39.07. Доказать, что обильность источника, находящегося в точке
zQ ф. сю, равна потоку векторного поля через достаточно малую
окружность с центром в точке z0 (направление — против часовой
стрелки).
39.08. Доказать, что интенсивность вихря, находящегося в точке
z0=?oo, равна циркуляции векторного поля вдоль достаточно малой
окружности с центром в точ-ке z0 (направление — против часовой
.стрелки).
39.09. Доказать, что особая точка zQ векторного поля будет
источником в том и только в том случае, если потенциал векторного
поля однозначен в некоторой .окрестности точки z0 и сохраняет там
знак.
39.10. Доказать, что особая точка z0 векторного поля будет
вихрем в том и только в том случае, если функция тока этого
векторного поля однозначна в некоторой окрестности точки z0 и
сохраняет там знак.
* * *
Даже для сравнительно простых векторных полей полное исследование
линий тока представляет значительные трудности. Однако для решения многих
вопросов «бывает достаточно получить лишь некоторые качественные сведения
о поведении линий тока. Одним из основных инструментов в подобных
качественных исследованиях является инвариантность дифференциального выражения
w (z) dz при конформных отображениях (подробнее см. текст перед задачей 38.36).
39.11. .Доказать, что порядок, полюса инвариантен при
конформных отображениях.
39.12. Доказать, что обильность источника и интенсивность вихря
инвариантны при конформных отображениях.
39.13. Выяснить, как изменяется момент а диполя в точке z0 при
конформном отображении ? = ф (г) (при условии, что диполь и до,
и после отображения оказывается в конечной точке).
39.14. Нарисовать качественную картину линий» тока в
окрестности источника.
Указание. Воспользовавшись инвариантностью дифференциального
выражения w (z) dz, свести исследование к случаю w(z) — —.
39.15. Нарисовать качественную картину линий тока в
окрестности вихря.
39.16. Нарисовать качественную картину линий тока в
окрестности критической точки первого и второго порядка.
39.17. Нарисовать качественную картину линий тока в
окрестности диполя.
351

39.18. Нарисовать качественную картину линий тока в
окрестности вихреисточника, у которого и обильность, и интенсивность
отличны от нуля.
39.19. Нарисовать качественную картину линий тока в
окрестности мультиполей порядка 4 и 6. 1
39.20. Пусть г0—полюс порядка т^2 для векторного поля
с комплексным потенциалом W(z). Доказать, что множество уровня
функции тока Im W(z) = C в достаточно малой окрестности точки z0
состоит из т—1 линий тока, идущих в полюс, и из т—1 линий
тока, идущих из него. При этом входящие и выходящие линии тока
чередуются и углы в точке z0 между двумя ближайшими линиями
п
равны г.
^ 772—1
Указание. С помощью конформного отображения свести исследование
к случаю, когда W(z)=a In z-|—j^p^, a z0=0.
39.21. Доказать, что сколь угодно малая окрестность особой
точки векторного поля содержит замкнутые линии тока (не
проходящие через эту особую точку) в том и только в том случае, когда
эта особая точка — вихрь.
39.22. Пусть особая точка векторного поля обладает тем
свойством, что из нее выходят линии тока, касательные к любому
направлению. Доказать, что эта особая точка — источник.
39.23. Доказать, что если в некоторой окрестности особой точки
векторного поля нет линий тока, целиком лежащих в этой
окрестности и имеющих начало и конец в этой точке, то эта особая
точка—вихреисточник.
Путь к описанию качественной картины линий тока векторного поля
в целом (а не только в окрестности тех или иных точек) дает теорема,
предлагаемая для доказательства в следующих задачах.
39.24. Пусть область задания векторного поля w (z) содержит
область Д граница которой составлена из участков линий тока этого
векторного поля, соединяющихся в критических точках (но не в
полюсах— их на границе области нет). Проведем в области D все
линии тока, проходящие через критические точки поля,
расположенные в области D или на ее границе. Тогда область D разобьется
на некоторое число областей Dk, k=l, 2, ..., п. Доказать, что
области Dk обязаны принадлежать к одному из следующих четырех
типов:
1. Область Dk односвязна, и на ее границе нет полюсов
векторного поля.
2. Область Dk двухсвязна, и на ее границе нет полюсов
векторного поля.
3. Область Dk односвязна, и одна точка ее границы является
полюсом векторного поля.
4. Область Dk односвязна, и две точки ее границы являются
полюсами векторного поля (эти две точки границы могут иногда
оказаться одной точкой плоскости).
352

Указание. Возьмем какую-либо линию тока, входящую в границу
области Од., и предположим, что на этой линии Im W(z) = C0. Затем
рассмотрим близкую к ней линию тока, на которой lm W (г) — С0-\-&, лежащую
в области Dfy (число е или положительно, или отрицательно). Выяснить, что
происходит с этой линией тока при изменении величины е. При выяснении
полезно иметь в виду результат задачи 38.07.
39.25. В обозначениях задачи 39.24 доказать, что в области Dk
первого типа лежит ровно одна особая точка векторного поля и что
эта особая точка — вихрь.
39.26. В обозначениях задачи 39.24 доказать, что в областях Dk
трех последних типов нет особых точек векторного поля.
39.27. Нарисовать качественную картину линий тока в областях Dk
(см. задачу 39.24) каждого из четырех типов.
39.28. Доказать, что на границе области Dk третьего типа
(см. 39.24) лежи г полюс векторного поля не ниже второго порядка.
39.29. Доказать, что полюс порядка т ^ 2 является общей точкой
замыканий 2т— 2 областей Dk (см. 39.24) третьего типа и, возможно,
еще какого-то числа областей четвертого типа.
39.30. Доказать, что каждая критическая точка порядка т,
лежащая внутри области D, является общей точкой замыкания не менее
чем т-{-2 областей Dk (см. 39.24).
39.31. Доказать, что если критическая точка порядка.т является
общей точкой замыкания областей Dk (см. 39.24) лишь четвертого
типа, то число этих областей равно 2т -\- 2.
39.32. Пусть область D односвязна, а векторное поле имеет в этой
области два источника, противоположных по знаку обильностей, и
не имеет других полюсов. Доказать, что при выполнении условий
задачи 39.24 область D разбивается на две области Dk, причем обе
они четвертого типа.
Указание. Взять какую-либо линию тока lmW(z) = C0, лежащую в
области D (она обязана идти из одного источника в другой), и проследить, что
может произойти с этой линией тока при изменении величины С0.
39.33. Пусть область D односвязна,- а векторное поле имеет в этой
области два вихря с равной нулю суммой интенсивностей и не имеет
других полюсов. Доказать, что при выполнении условий задачи 39.24
область D разбивается на две области первого типа.
39.34. Нарисовать качественную картину линий тока следующих
векторных полей с комплексными потенциалами W(z) в указанных
областях D:
2- ^-""g^llg-l-.^l'K'-
Bz — ел//4> (г — 2enii 4)
Bг _ e~m/4) (г - 2е~ш/А )' ' l
12 Под ред. М. А. Евфафова
353

6 1У=/1пг>^~1); D:U]<1.
7. v^=/l„!!|^=il; D: U1<1,
8. ^2+l + ilnr, ?h|z|>l.
9. W=z-\-\ + U\nz; D:\z\>\.
Ll' W ШBг+1)(г + 2) finBz+l)(z-2)* u' l*!^-1'
io iv7 i Bz—l)(z—2) ,. 4z2—1 n .
12' Ц7==1пBг+1)(г + 2)-/1п^Г4> D: И < L
39.35. Нарисовать возможно больше различных вариантов картины
линий тока в случаях, когда выполнены условия задачи 39.24, область
D односвязна, а векторное поле имеет в области D указанные особые
точки (и только их):
1. Три источника с суммой обильностей, равной нулю.
2. Два источника с суммой обильностей, равной нулю, и диполь.
3. Один вихрь и один диполь.
4. Один вихрь и два источника с суммой обильностей, равной
нулю.
5. Три вихря.
39.36. Нарисовать возможно больше различных вариантов картины
линий тока в случаях, когда выполнены условия задачи 39.24,
область D двухсвязна, а векторное поле имеет указанные особые точки
(и только их):
1. Один вихрь.
2. Один диполь.
3. Два источника с равной нулю суммой обильностей.
4. Два вихря.
39.37. Нарисовать возможно больше различных вариантов картины
линий тока (при выполнении условий задачи 39.24), если область D
трехсвязна, а векторное поле не имеет особых точек.
Те же приемы применимы и к случаю, когда область D — это вся
расширенная плоскость. В этом случае граница области отсутствует и потому не
нужно заботиться, является ли она линией тока.
39.38. Нарисовать качественную картину линий тока следующих
векторных полей с комплексными потенциалами W(z) во всей
расширенной плоскости:
1. №=z + —. 2. W=z——. 3. W==zB + 3z.
'г z
4. W=ln^=^. 5. tt7=ln(z+l)(z — lJ. 6. W=z + l\nz.
7. W = z-\^\nz, 8. №=2 + -^. 9. tt? = 2-f ~ + 2/lnz.
354 \

10. W=i\n^-^. П. W-=l\n(z+l)(z — l)8.
12. U7=2nn^U-r-In^ti
z —t ' г—1
39.39. Нарисовать возможно больше различных вариантов картины
линий тока, если область D—вся расширенная плоскость, а векторное
поле имеет указанные особые точки (и только их):
1. Два диполя (для удобства рисования расположить один из них
в бесконечности).
2. Три источника с равной нулю суммой обильностей (один
расположить в бесконечности).
3. Три вихря с суммой интенсивностей, равной нулю (один
расположить в бесконечности).
4. Диполь и два вихря с равной нулю суммой интенсивностей
(диполь расположить в бесконечности).
5. Один полюс третьего порядка (в бесконечности).
* * *
Пусть векторное поле с комплексным потенциалом W (г) задано в области
D, a L — кусочно-гладкая кривая, составляющая часть границы области D.
Мы будем говорить, что кривая L является граничной линией тока векторного
поля, если:
а) комплексный потенциал непрерывен вплоть до кривой L;
б) функция тока сохраняет на L постоянное значение;
в) при движении по кривой L в положительном направлении потенциал
векторного поля монотонно возрастает.
Если граница области D задания векторного поля в окрестности граничной
точки z0 состоит из двух граничных линий тока этого векторного поля,
соединяющихся в точке z0, и при z —- z0, z^Dy комплексный потенциал векторного
поля стремится к. бесконечности, то мы будем называть точку г0 граничным
полюсом Еекторного поля.
Граничный полюс z0 Еекторного поля мы будем называть граничным
источником, если при г —> z0, ?eD, функция тока векторного поля остается
ограниченной.
Обильностью граничного источника г0 мы будем называть величину потока
векторного поля через любую дугу L, лежащую в достаточно малой
окрестности точки га и соединяющую в области D граничные линии тока,
встречающиеся в точке z0, при условии, что направление дуги L выбрано так, что часть
области D, имеющая точку г0 на своей границе, остается справа от дуги L
(независимость величины потока от выбора дуги L следует из задачи 38.29).
39.40. Пусть z0—граничный источник векторного поля. Доказать,
что при z-+z0, z e А потенциал векторного поля имеет предел,
равный или -г-°°> или — °°-
39.41. Доказать, что, сколь бы малую окрестность граничного
источника мы ни взяли, каждая эквипотенциальная линия, выходящая
из точки границы, достаточно близкой к граничному источнику, не
выходит из выбранной его окрестности и кончается в точке границы,
причем начало и конец находятся по разные стороны граничного
источника.
39.42. Пусть z0—граничный источник векторного поля. Обозначим
через Lx граничную линию токз, предшествующую граничному
источнику, а через L2—граничную линию тока, следующую за ним (при
12*
355

движении по границе области в положительном направлении).
Значение функции тока векторного поля на дуге Li обозначим через Сг,
а на дуге L2—через С2. Доказать, что:
1. Линии тока, входящие в граничный источник (или выходящие
из него), отвечают значениям функции тока, заключенным между Ct
и С2.
2. Обильность граничного источника равна С2—Cv
39.43. Нарисовать качественную картину" линий тока векторного
поля в окрестности граничного источника.
Граничный полюс векторного поля называется граничным диполем, если
на обеих граничных линиях тока, соединяющихся в этом полюсе, функция тока
векторного поля имеет одно и то же значение и если в этот полюс не входит
больше ни одной линии тока с тем же значением функции тока.
39.44. Доказать, что функция тока векторного поля не ограничена
в окрестности граничного диполя.
Указание. Сделать конформное отображение некоторой окрестности
граничного диполя на полукруг | ?| < 1, Im?> 0 (переводящее диполь в точку
? = 0), и применить принцип симметрии.
39.45. Доказать, что при стремлении точки z к граничному
диполю по границе области потенциал векторного поля с одной
стороны имеет предел -f-oo, а с другой — предел —со.
39.46. Нарисовать качественную картину линий тока векторного
поля в окрестности граничного диполя.
39.47. Доказать, что обильность граничного источника инвариантна
при конформных отображениях.
39.48. Для следующих векторных полей, заданных комплексным
потенциалом W(z) с указанными областями Д найти граничные
источники и граничные диполи, причем для граничных источников
определить их обильность:
1. W=-es; D: |Imz'<a. 2. w=inj|±i; D: \z\<l.
3. W=lncosz\ D: 0<Re2<:rc, Im2:>0.
4. w=±(z+±)\ D: lmz>0.
5. W=z + — + lnz; D: 1тг>0.
6. №=У*1+2а, WA)>0; D: lm*>0, ze?[0,t\.
39.49. Комплексный потенциал W(z) векторного поля задан во всей
плоскости с выброшенными лучами argB — л1) = к, arg (^ -f- атг)= л,
как неявная функция, уравнением W (z) -f ew <z> = z, WA)>0. Найти
граничные источники и определить их обильность.
39.50. Нарисовать качественную картину линий тока векторного
поля в односвязной области, ограниченной двумя линиями тока,
соединяющимися в двух граничных источниках, если ни внутри этой
области, ни на ее границе нет других особых точек.
39.51. Нарисовать возможно больше различных вариантов картины
линий тока векторного поля в односвязной области, ограниченной
356

линиями тока, если внутри этой области есть два вихря, а на
границе— два граничных источника, противоположных по знаку обиль-
ностей (и ни внутри, ни на границе нет других особых точек).
39.52. Нарисовать возможно больше различных вариантов картины
линий тока векторного поля в двухсвязной области, ограниченной
линиями тока, если на границе области имеется два граничных
источника, а кроме них ни внутри, ни на границе области особых
точек нет.
39.53. Нарисовать возможно больше различных вариантов картины
линий тока векторного поля в двухсвязной области, ограниченной
линиями тока, если на границе этой области есть один граничный
диполь и ни внутри, ни на границе нет других особых точек.
39.54. Пусть Dk — области, о которых говорится в задаче 39.24.
Выяснить, какие особые точки имеет векторное поле на границе
областей третьего и четвертого типа (если рассматривать эти особые
точки как граничные полюсы в области Dk).
Во многих задачах требуется исследовать поведение не линий тока, а
эквипотенциальных линий. Эта задача легко сводится к задаче исследования линий
тока, ибо эквипотенциальные линии для векторного поля с комплексным
потенциалом W (г) являются линиями тока для векторного поля с комплексным
потенциалом — iW (г). Можно, впрочем, не делать никаких сведений, а просто
проводить аналогичные рассуждения.
39.55. Нарисовать качественную картину эквипотенциальных
линий следующих векторных полей, заданных комплексными
потенциалами W{z) в указанных областях D:
I. №=?+4; Я: |2|<с». 2. W=z + t\nz\ D: |г|<оо.
3. W=\n(z~1}2- D: |г|<оо. 4. №=z—-• D: |гг.<оо.
z-J-1 ' ¦ ' г » ii^-
5 ,r_ln<2*-l)(»-2). D-\z\<:l
6. w-inBz+1)(z+2)f u.\z\<:i.
6 Ц7=ПпB2-1)(г + 2)- D- I*'<1
о. ^-1ШB2+1)(г_2)' u' i^i^1-
7. W=z + —+llnz; D: |-г|>1.
8. W=z + ^-+Si\nz; D: |г|>1.
9. W=nn~=l; D: \z\<l. 10. W=i\ntgz; D:|Re2rj<^.
II. W=lncosz; D: \Rez\<.~.
12. W=l/"l+"z2, U7(l)>0; D: 1тг>0, гф[0, l].
39.56. Дополнить решения задачи 39.35, нарисовав к каждой
картине линий тока отвечающую ей картину эквипотенциальных линий.
* * *
357

Для векторных полей, заданных в областях, ограниченных граничными
линиями тока, наряду с граничными полюсами можно определить и граничные
критические точки. Именно, точка г0 называется граничной критической точкой
порядка т, если из нее выходит или входит в нее 2т + 2 линий тока (включая
граничные линии тока). Число т для граничной критической точки не обяза-
1 „
тельно целое — оно кратно —. Легко видеть, что предложенное определение
можно было бы принять и за определение критической точки, расположенной
внутри области задания векторного поля.
39.57. Пусть комплексный потенциал векторного поля непрерывен
вплоть до дуги L, лежащей на границе области D задания этого
векторного поля, а функция тока сохраняет постоянное значение на
дуге L. Доказать, что на каждой замкнутой части дуги L, не
содержащей ее концов, имеется лишь конечное число граничных
критических точек векторного поля.
Указание. Конформно отобразить некоторую односвязную часть
области D, прилегающую к дуге L, на полукруг j?|<l, lmg>0, так, чтобы
дуга L перешла в диаметр этого полукруга, а затем применить принцип
симметрии.
39.58. Пусть z0—граничная критическая точка векторного поля,
a L] и L2—две соседние линии тока, кончающиеся в этой точке и
отвечающие одному значению функции тока. Доказать, что если при
движении по Lx от точки z0 потенциал векторного поля возрастает,
то при движении по Lz от точки z0 он убывает. (Две линии тока,
отвечающие одному значению функции тока, мы считаем соседними,
если в заключенной между ними части области D вблизи точки zQ
нет других линий тока с тем же значением функции тока.)
Указание. См. указание к предыдущей задаче.
39.59. Пусть комплексный потенциал векторного поля непрерывен
вплоть до дуги L» лежащей на границе области D задания этого
поля, а функция тока сохраняет постоянное значение на дуге L.
Доказать, что направление изменения потенциала векторного поля
может измениться (т. е. убывание может смениться возрастанием
или наоборот) лишь в граничных критических точках нецелого
порядка.
39.60. Пусть комплексный потенциал W(z) векторного поля
непрерывен вплоть до границы области D задания векторного поля,
за исключением конечного числа точек, являющихся граничными
источниками или граничными диполями (непрерывности и даже
однозначности W(z) внутри области D мы не требуем), и пусть вся граница
области D составлена из граничных линий тока, соединяющихся в
граничных особых точках и в граничных критических точках.
Проведем все линии тока, выходящие из критических точек (и входящие
в них), расположенных как внутри, так и на границе области D.
Тогда область D разобьется на некоторое число областей Dk.
Доказать, что эти области Dh принадлежат к типам, описанным в
задаче 39.24.
358

39.61. Пусть выполнены условля задачи 39.60 и пусть, кроме
того, все особые точки векторного поля—это вихреисточники во
внутренних точках области D и граничные источники на ее
границе. Доказать, что для /?-связной области D справедлива формула
М — N-\--x N'-\-р—2, где М—сумма кратностей всех критических
точек векторного поля, лежащих внутри области D и на ее границе,
N— число вихреисточников векторного поля в области D, a N' —
число граничных источников.
Указание. Убедиться в справедливости формулы для каждой из
элементарных областей Dk, а затем показать, что при объединении двух
произвольных областей описанного в задаче типа справедливость формулы не
нарушается.
39.62. Доказать, что формулу задачи 39.61 можно записать в
более общем виде:
M = N-\-p — 2,
где N—сумма кратностей всех полюсов векторного поля, лежащих
внутри области D и на ее границе, если приписать граничному
источнику кратность 1/2, а граничному диполю — кратность 1.
Формула, полученная в задачах 39.61 и 39.62, бывает чрезвычайно полезна
при решении вопросов, связанных с существованием и единственностью тех
или иных векторных полей.
ОТВЕТЫ
39.01.
Ш
1. W=e 4z+C; t/^iZZ + d; V =y~—^+C2; рис. 175.
Рис. 175.
Рис. 176.
2.
3. W--
= T + C; U-
"\c\ и-
x*—y
~ + Cx; V = xy-\-Ci, рис. 176.
xy-Ki. V=>**~y +C2; рис. 177.
359

4. W^~ + C; U=~~xy2 + Ct; t'-jfly-^ -f C2; рис. 178.
5. UP:
z» ^
fC: U
#-У*-2ху,г. v *-y*+2xy , n
тЦ. »¦ — T77S гЦ.
2 " ' 2|/2 ' ~4' ' 2|^2
рис. 179.
6. W= — lnz + C; l/ = —Inlzj + Ct; l/ = —argz + C2; рис. 180.
Рис. 177.
Рис. 178.
7. № = Ппг+Сх; U = — argz+Ci; К =ln | 2 | + C2; рис. 181.
8. W = (l+/)lnz + C; L/ = lnjzj —argz-f-Q; V = ln | z | + argz + C2:
рис. 182.
W=4 + C; */-=-* +Q; V = --^+C2; рис.183.
a:2+^2
д:2+У
-r-Cx; 1/ =
x2+y
39.02.
2kn
Выходящие: argz — , k — 0. 1, .... m—\.
m '
Входящие: argz=- 1—i— k — 0t 1, ..., m-
-f Ca; рис. 184.
1.
39.03. Рис. 176 и 178.
39.04.
1. Точка z = —1; входящие линии тока —луч (—со, —I) и отрезок
@, —1); выходящие —верхняя и нижняя половины окружности |г;=1. Точка
z=l: входящие линии тока —верхняя и нижняя половины окружности |г(=1;
выходящие—луч A, + со) и отрезок A, 0).
2. Точка z = —3: входящие линии тока—луч (—со, —3) и отрезок
(—1, —3); выходящие —верхняя и нижняя половины окружности | z -f- I | = 2.
3. Точка г=ё~5ш/6: выходящие линии тока —дуги окружности (г|=1,
соединяющие точки г = ё~
о 5п//б и г_е я//6. входящие —кривая
^-^{-^^-If-tHlnt-lf + itil-lnt)}, t>l.
и кривая
z=^Z7j-U'((*-1)г-P{lnt- If + it (l~\nt)}, 0<t<l.
360

Рис. 179.
Рис. 180.
Рис. 181.
Рис. 182.
Рис. 183.
Рис. 184.
361

Точка z=e nlf&\ входящие линии тока —дуги окружности | г !*='!, соединяю-
1
щие точки г=е гт'/6 и г—е 5ш/6; выходящие—кривая
и кривая
z=*W-[{~ К(^-1J-^2Aп/-1J+йA-1пОЬ 0</<1.
4. Точка г = —Зг. линии тока, входящие в эту точку и выходящие из
нее, принадлежат геометрическому месту точек г=ге'<?, удовлетворяющих
уравнению
'(S1"-s+8)
«"«Р- з(^-1) •
Точка 2 = —i/З: линии тока, входящие в эту точку и выходящие из нее,
принадлежат геометрическому месгу точек z=relf, удовлетворяющих уравнению
г (8 — 51пЗг)
Sm*= 3(r»-l) •
5. Точка г = —/: линии тока, входящие в эту точку и выходящие из нее,
лежат на окружности |г{ = 1 и на геометрическом месте точек г=гег^^
удовлетворяющих уравнению
г In г
6. Точка г =—1: входящие линии тока —отрезок @, —1) и луч (—со, —1);
выходящие линии тока — кривые
г = — tctgt+it, 0<^<я; z=.— tctgt—it, 0<*<ет.
7. Точка г=—i: входящие в эту точку и выходящие из нее линии тока
лежат на геометрическом месте точек z=x-\-iy, удовлетворяющих уравнению
8. Точка z = i: входящие линии тока—кривые
2eT^sA-'2+2«>' *>1'' z = T^7aA-/2+2//)» 0</<l;
выходящие—кривые
Точка г=—к входящие линии тока —кривые
1 + ^а " l+i
выходящие—кривые
9. Точка z—em/4: линии тока, входящие в эту точку и выходящие из
нее, принадлежат геометрическому месту точек z=x-\-iy, удовлетворяющих
уравнению (#—У 2) (х2 + v2)-[-у = 0. Точка г—ё~Ъш1А: линии тока, входящие
в эту точку и выходящие из нее, принадлежат геометрическому месту точек,
удовлетворяющих уравнению (я-f- |/2) (я2+.У2) +_у = 0.
39.05.
1. 2=со —диполь с моментом 1 и вихрь интенсивности —2л.
2. 2=1/2—вихрь интенсивности 2л. 3. 2=0 —вихрь интенсивности 2л.
362

4. г=со—диполь с моментом 1; г=0 — диполь с моментом 1.
5. z — kn, k — 0, ±1, ±2, ..., —источники обильности 2л.
6. г=?л, k=0, ±1, ±2, ..., —вихри интенсивности 2л; z=f? +-^-) л,
А=0, ±1, ±2, ..., — вихри интенсивности —2л.
7. г=1 и г=1— источники обильности 2л; г = со—источник обильности
— 4л.
8. z = i и z = — / — источники обильности 2л; г=0 и z =со—источники
обильности —2л.
9. z=co— источник обильности —2л.
10. г=со—вихрь интенсивности —2л; г= ——вихрь
интенсивности 2л.
39.13. Делится на <р' (г0).
39.14. Рис. 185.
39.15. Рис. 186.
39.16. Рис. 187 и рис. 188.
39.17. Рис. 189.
39.18. Рис. 190.
39.19. Рис. 191 и рис. 192.
39.27. Рис. 193, 194, 195, 196.
39.34.
1. Рис. 197. 2. Рис. 198. 3. Рис. 199. 4. Рис. 200. 5. Рис. 201. 6. Рис. 202.
7. Рис. 203. 8. Рис. 204. 9. Рис. 205. 10, Рис. 206. И. Рис. 207. 12. Рис. 208.
39.35
1."Рис. 209, 210. 2. Рис. 211, 212, 213. 214, 215, 216. 3. Рис. 217, 218.
4. Рис. 219, 220. 5. Рис. 221, 222, 223, 224, 225, 226.
39.36.
1. Рис. 227, 228, 229. 2. Рис. 230, 231, 232, 233. 3. Рис. 234, 235, 236,
237-. 4. Рис. 238, 239, 240, 241, 242, 243.
39.37. Рис. 244, 245, 246.
39.38.
1. Рис. 247. 2. Рис. 248. 3. Рис. 249. 4. Рис. 250. 5. Рис. 251. 6. Рис. 252.
7. Рис. 253. 8. Рис. 254. 9. Рис. 255. 10. Рис. 256. 11. Рис. 257. 12. Рис. 258.
39.39.
1.' Рис. 259, 260. 2. Рис. 261, 262. 3. Рис. 263, 264. 4. Рис. 265.
5: Рис. 266, 267, 268.
39.43. Рис. 269, 270.
39.46. Рис. 271, 272.
39.48.
1. г= — со—граничный источник обильности 2а; 2==-f-co — граничный
источник обильности ~ 2а.
2. z =1 — граничный источник обильности —л; z=—1—граничный
источник обильности л.
3. г=л/2—граничный источник обильности л; z=со—граничный
источник обильности — ли граничный диполь.
4. г=0 и 2 = —со—граничные диполи.
5. г = 0 —граничный источник обильности л и граничный диполь; 2=со—
граничный источник обильности — ли граничный диполь.
6. z = co — граничный диполь.
39.49. г = — со—граничный источник обильности 2л; г=-\-
со—граничный источник' обильности — 2л.
39.50. Рис. 273.
39.51. Рис. 274, 275.
39.52. Рис. 276, 277, 278.
39.53. Рис. 279, 280.
39.54. В области третьего типа — один граничный диполь, в области
четвертого типа—два граничных источника, противоположных по знаку обиль-
ностей.
363

Рис. 188.
Рис. 189.
Рис. 190.
Рис. 191.
Рис. 192.
Рис. 193.
Рис. 194.
264

Рис. 195.
Рис. 196.
Рис. 197.
Рис. 198.
Рис. 199.
Рис. 200.
Рис. 201.
Рис. 202.
Рис. 203.
Рис. 204.
365

Рис. 205.
Рис. 206.
Рис. 207.
Рис. 208.
Рис. 209.
Рис. 210.
366

Рис. 211.
Рис. 212.
Рис. 213.
Рис. 214.
Рис. 215.
Рис. 216.
Рис. 217.
Рис. 218.
367

Рис. 219.
Рис. 220.
Рис. 221.
Рис. 222.
Рис. 223.
Рис. 224.
Рис. 225.
Рис. 226.
т

Рис. 227.
Рис. 228.
Рис. 229.
Рис. 230.
Рис. 231.
Рис. 232.
Рис. 233.
Рис. 234.
369

Рис. 235.
Рис. 237.
Рис. 239.
Рис. 24L
Рис. 236.
Рис. 238.
Рис. 240,
Рис. 242.
370

Рис. 243.
Рис. 244.
Рис. 245.
Рис. 246.
Рис. 247.
Рис. 248.
371

Рис. 249.
Рис. 250.
Рис. 251.
Рис. 252.
Рис. 253.
372

Рис. 254.
Рис. 255.
Рис. 256.
373

Рис. 257.
Рис. 258.
Рис. 259.
Рис. ¦ 260.
Рис. 261.
Рис. 262.
374

Рис. 263.
Рис. 264.
Рис. 265.
Рис. 26Ь.
Рис. 267.
Рис. 268.
375

Рис. 269. Рис. 270.
Рис. 271.
Рис. 272.
Рис. 273.
Рис. 274.
Рис. 275.
Рис. 276.
Рис. 277.
Рис. 278.
376

Рис. 279.
Рис. 280.
Рис. 281.
Рис. 282.
Рис. 283.
Рис. 284.
377

Рис. 285.
Рис. 286.
Рис. 287.
Рис. 288.
Рис. 289.
Рис. 290.
Рис. 291.
Рис. 292.
378

Рис. 293.
Рис. 294.
Рис. 295.
Рис. 296.
Рис. 297.
Рис. 298.
Рис. 299.
Рис. 300-
379

Рис. 301.
Рис. 302,
Рис. 303.
Рис. 304.
Рис. 305.
Рис. 306.
Рис. 307.
Рис. 308.
28Q

39.55.
1. Рис. 281. 2. Рис. 282. 3. Рис. 283. 4. Рис. 284. 5. Рис. 285.
6. Рис. 286. 7. Рис. 287. 8. Рис. 288. 9. Рис. 289. 10. Рис. 290. 11. Рис. 291.
12. Рис. 292.
Рис. 309. Рис. 310.
39.56.
1. Рис. 293, 294. 2. Рис. 295, 296, 297, 298, 299, 300. 3. Рис. 301, 302.
4. Рис. 303, 304. 5. Рис. 305, 306, 307, 308, 309, 310.
§ 40. Построение векторного поля по данным особым точкам
Все термины, относящиеся к векторному полю и его особым точкам, были
определены в предыдущем параграфе.
40.01. Доказать, что векторное поле, заданное в расширенной
плоскости и не имеющее там особых точек, — тождественный нуль.
40.02. Доказать, что не существует векторного поля, имеющего
во всей расширенной плоскости только одну особую точку,
являющуюся полюсом первого порядка.
Указание. Принять во внимание определение характера особой точки
в бесконечности.
40.03. Доказать, что векторное поле, имеющее в расширенной
плоскости только одну особую точку — полюс порядка т ^ 2 в
бесконечности, имеет вид w (z) = а0 -f- axz -)-... + am_2zm~2.
40.04. Доказать, что векторное поле, имеющее в расширенной
плоскости только одну особую точку — полюс порядка т ^ 2 в точке
z0 Ф оо, имеет вид да (z) = a0 (z — z0)~2 -f • • - -f am_2 (z — z0ym.
40.05. Исследовать особые точки следующих векторных полей
w(z), заданных во всей расширенной плоскости:
1. w
4. w
-*- + —
Z ^ Z— 1
2. w
1
W--
г—\
1 — i
г+1
1—г
г
5. w
z—V
г+1
3. w
1-i
1 ¦ г+1
1
г+ 1 ' г—1 г '
40.06. Исследовать особые точки векторного поля
W
(z)=l
a<k-
k=*\
(ak и рА — действительные постоянные).
381

40.07. Доказать, что векторное поле, имеющее во всей
расширенной плоскости ровно п особых точек, являющихся вихреисточни-
ками обильности а^ и интенсивности рй (&= 1,2,...,«), существует
в том и только в том случае, если выполнены условия аг-\~ ... -\-аа — 0,
Часто приходится решать задачу об отыскании векторного поля w (г),
имеющего в расширенной плоскости данные особые точки и не имеющего
других особых точек. У данных особых точек задаются интенсивность вихря,
обильность источника, момент диполя, коэффициенты при мультиполях. Для
краткости векторное поле, имеющее данные особые точки и не имеющее в
расширенной плоскости других особых точек, мы будем называть векторным
полем, .порожденным данными особыми точками в расширенной плоскости.
40.08. Доказать, что для существования векторного поля,
порожденного данными особыми точками в расширенной плоскости,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:
1. Сумма обильностей источников по всем заданным особым
точкам равна нулю.
2. Сумма интенсивности вихрей по всем заданным особым точкам
равна нулю.
40.09. Найти комплексные потенциалы W(z) векторных
полей, порожденных в расширенной плоскости следующими особыми
точками:
1. Источники в точках z = a и z — й (Ima^O) с обильностями
2л и —2л соответственно.
2. Вихри в точках z — a и z — — 5 (Re а ф 0) с интенсивностями
2л и — 2 л соответственно.
3. Источники в точках a, al, — a>—ai (афО) с обильностями 2л,
— 2я, 2л, — 2л соответственно.
4. Вихри в точках a, ai, —a,-~ai, у, ~, — —, —-i (\а\ф1)
с интенсивностями 2л, 2л, 2л, 2л, —2л, —2л, —2л, —2л
соответственно.
5. Диполи в точках 2 = 0 и 2 = со с моментами 2л и —2л
соответственно.
6. Диполи в точках 2 = 0 и 2 = со с моментами 2л и 2лг
соответственно.
7. Диполь в точке 2 = со с моментом —2л и вихри в точках
2 = 0 и z=co с интенсивностями 2я и —2л соответственно.
8. Диполи в точках 2 = 0 и 2 = со с моментами 2л у каждого
и источники в точках 2 = 0 и 2 = со с обильностями 2л и —2л
соответственно.
40.10. Пусть г0фсо, уфО— комплексные числа, a
h—положительное число. Решить следующие задачи:
1. Найти векторное поле w1(z; h), порожденное в расширенной
плоскости источниками в точках z0-\-yh и 20—yh обильностей л//г
и —njh соответственно.
2. Найти предел w± (z) векторного поля wx B; h) при h ->¦ 0.
3. Исследовать особые точки векторного поля wx(z).
362

4. Найти векторное поле w2 (z; h), порожденное s расширенной
плоскости вихрями в точках z0-\-yh и z0 — yh интенсивносгёй л/ h
и —л/Л соответственно.
5. Найти предел w2(z) векторного поля w2(z;h) при Л->0.
6. Исследовать особые точки векторного поля w2{z).
7. Найти векторное поле w3(z;h), порожденное в расширенной
плоскости источниками в точках z0-\-hy, z0—hy, z0 обильностей
л/Л2, л/Л2, —2л/Л2 соответственно.
8. Найти предел w3 (z) векторного поля w3 {z\ h) при h -*¦ 0.
9. Исследовать особые точки векторного поля w3(z).
40.11. Пусть w{z, z0) — векторное поле, порожденное в
расширенной плоскости вихрем интенсивности Рт^О в точке z0 и
некоторыми другими особенностями, расположенными в точках, отличных
от точки zQ. Обозначив x0 = Re20, y0 — lmzQ, исследовать характер
особой точки z — z0 для векторных полей w1 (z) — -к— w (z; z0),
OXff
В некоторых случаях векторное поле задают лишь его
конечными особыми точками, добавляя условие существования заданного
конечного предела при z—>co.
40.12. Доказать, что, каковы бы ни были действительные числа а*
и рА (?=1, 2,..., и) и комплексное число w^ фоо, существует
единственное векторное поле w(z), имеющее в заданных точках zk
(?—1, 2,..., п) вихреисточники обильности а^ и интенсивности рА,
не имеющее других конечных особых точек и удовлетворяющее
условию lim w(z) = w(X>.
z—>со
40.13. Исследовать характер особой точки в бесконечности у
векторного поля, существование и единственность которого требуется
доказать в задаче 40.12.
40.14. Найти комплексные потенциалы W{z) векторных полей
w (z), имеющих указанные конечные особые точки и удовлетворяющих
условию lim w(z) — Woo:
z-*co
1. Вихрь интенсивности 2л в точке z — Q; ^00 = 1.
2. Источник обильности 2л в точке 2 = 0; Wco—i~
3. Источники в точках z = 1 и z = — 1 обильности 2л каждый;
13000=1.
4. Вихри в точках 2 = 1, z — i,z~— 1, z——i интенсивности
2л каждый; ¦а>со=1 + /.
5. Диполь в точке г = 0 с моментом 2л/ и вихрь интенсивности
2л в точке 2 = 0; гк/оо=1.
Пусть векторное поле да (г) задано в односвязной области D и его
комплексный потенциал W (г) непрерывен в граничных точках этой области (более
точно, для каждого достаточно малого участка границы области D существует
область Dj cz D, имеющая этот участок_ частью своей границы и такая, что
каждая регулярная ветвь комплексного потенциала W (г) непрерывна вплоть
до границы области Dt), а функция тока V (z) —lm W (z) сохраняет постоянное
383

значение на всей границе области D. Такое векторное поле мы будем
называть векторным полем, порожденным в области D своими особыми точками.
Согласно определению, предложенному в § 39, граница области D для
векторного поля, порожденного в этой области своими особыми точками,
состоит из граничных линий тока этого векторного поля.
40.15. Доказать, что существует не более одного векторного
поля, порожденного в односвязной области D своими особыми
точками.
Указание. Допустив существование двух векторных полей шх (г) и вд2 (г),
рассмотреть функцию тока для векторного поля w (г) = w2 (z) — wl (z) и
применить принцип максимума и минимума для гармонических функций.
40.16. Доказать, что необходимым условием существования
векторного поля, порожденного в области D его особыми' точками,
является равенство нулю суммы обильностей источников по всем
особым точкам.
Указание. Поток через границу области D с одной стороны равен
сумме обильностей источников, а с другой стороны — нулю, ибо граница
составлена из линий тока.
Основная задача состоит в том, чтобы построить векторное поле,
порожденное в данной области D заданными особыми точками (в каждой особой точке
задается ее положение, обильность источника, интенсивность вихря, момент
диполя, коэффициенты при мультиполях) Для случая, когда область D —
полуплоскость или круг, задача отыскания такого векторного поля сводится к
построению векторного поля, порожденного данными особыми точками во всей
расширенной плоскости. Сведение основано на принципе симметрии Римана —
Шварца (см. § 34).
40.17. Пусть w(z)— векторное поле, порожденное в
полуплоскости Im z >> 0 своими особыми точками, и пусть функция w (z)
непрерывна в этой полуплоскости вплоть до действительной оси (за
исключением, разумеется, особых точек). Доказать, что функция w{z)
аналитически продолжается в полуплоскость Im z <C 0 и что аналитическое
продолжение 18)х{г) дается формулой w1(z)=-w(z).
Указание. Функция су (г) действительна на действительной оси.
40.18. Доказать, что утверждение задачи 40.17 сохраняет силу
и без предположения о непрерывности функции w{z) вплоть до
действительной оси.
Указание. Сначала аналитически продолжить комплексный потенциал
W (г), ограничившись достаточно малой окрестностью каждой точки
действительной оси (чтобы не мешала его многозначность), а затем воспользоваться
результатом задачи 40.17.
40.19. Пусть w(z) — векторное поле, порожденное в полуплоско--
сти lmz>*0 своими особыми точками, a wx(z)— его аналитическое
продолжение на полуплоскость Ira z <[ 0. Доказать следующие
утверждения:
1. Если точка z0 является особой точкой векторного поля w{z),
то точка zQ является особой точкой векторного поля Wyiz).
384

2. Если в точке zQ векторное поле w(z) имеет источник
обильности а, то векторное поле w1(z) имеет в точке z0 источник той
же обильности а.
3. Если в точке zQ векторное поле w(z) имеет вихрь
интенсивности р\ то векторное поле w1(z) имеет в точке г0 вихрь
интенсивности — р\
4. Если в точке zQ векторное поле w(z) имеет диполь с
моментом а, то векторное поле wx{z) имеет в точке z0 диполь с
моментом а.
40.20. Доказать, что в случае, когда область D — это
полуплоскость Im z > 0, необходимое условие существования векторного
поля, порожденного в области D данными особыми точками,
высказанное в задаче 40.16, является также и достаточным.
40.21. Пусть w(z)— векторное поле, порожденное в круге | z \<iR
своими особыми точками. Доказать, что функция w(z) аналитически
продолжается в область | z | > R и что аналитическое продолжение
fR2\ R2
wx (z) дается формулой •w1{z)= — w I —) -у.
Указание. Мнимая часть комплексного потенциала сохраняет на
окружности |z| = /? постоянное значение, ибо окружность состоит из граничных
линий тока.
40.22. Пусть w(z) — векторное поле, порожденное в круге | z \ <C.R
своими особыми точками, a w1(z) — его аналитическое продолжение
на область j z | > R.
Доказать следующие утверждения:
1. Если точка z0 является особой точкой векторного поля w{z),
то точка R2/z0 является особой точкой векторного поля w^z).
2. Если точка z0 является источником обильности а для
векторного поля w(z), то точка R2/z0 является источником той же
обильности а для векторного поля w1{z).
3. Если точка г0 является вихрем интенсивности C для
векторного поля w(z), то точка R2/z0 является вихрем интенсивности —C
для векторного поля w1(z).
4. Если точка г0 является диполем с моментом а для векторного
поля w(z), то точка R2/z0 является диполем с моментом —aR2lz%
для векторного поля wx(г) при z0^0 и с моментом а при
,*о=0.
40.23. Пусть w(z) — векторное поле, порожденное своими
особыми точками в полуплоскости Re {(г1 — с)е"Р}>0. Доказать, что это
векторное поле аналитически продолжается на всю расширенную
плоскость, и найти формулу для аналитического продолжения w1{z)
на полуплоскость Re {(z — с) е~ "?}. < 0.
40.24. Пусть w(z) — векторное поле, порожденное в
полуплоскости Re z >> 0 своими особыми точками, среди которых имеется диполь
с моментом а в точке г0. Доказать, что аналитическое продолжение
векторного поля w(z) на всю плоскость имеет диполь в точке —z0,
и найти момент этого диполя.
3 Под ред. М. А. Евграфова
385

С помошыо принципа симметрии можно решить задачу о построении
векторного поля, порожденного в области D заданными особыми точками, не
только для случая, когда область D —это круг или полуплоскость, но и для
многих других областей, ограниченных прямыми и дугами окружностей.
40.25. Пусть w(z)—векторное поле, порожденное в полукруге
|г|<;1, Im z > 0, своими особыми точками. Доказать, что:
1. Векторное поле w (z) аналитически продолжается до векторного
поля w1(z), заданного во всей расширенной плоскости.
2. Если точка z0 является особой точкой векторного поля w (z),
то точки f0, l/z0 и l/z0 являются особыми точками векторного поля
wx{z).
3. Если точка z0 является источником обильности а для
векторного поля w(z), то точки 2Ф l/z0 и \/z0 также являются источниками
обильности а для векторного поля wx(z).
4. Если точка z0 является вихрем интенсивности f$ для
векторного поля w(z), то точки Zq, ]/.?0 и l/z0 также являются вихрями
для векторного поля w1 (z) и их интенсивности равны соответственно
-Р. -Р. Р-
5. Если точка z0 является диполем с моментом а для векторного
поля w(z), то точки 20) l/zQ и 1/г0. также являются диполями для
векторного поля ш\ (z) и их моменты равны а, — Щг\, — a\z\
соответственно.
40.26. Найти комплексные потенциалы W(z) векторных полей,
порожденных в указанных областях D заданными особыми точками:
1. Область D: Rez>0; вихрь интенсивности 2л; в точке z—\.
2. Область D: Re^^O; источники в точках ,г=1 и z — 2
обильности 2л и — 2л соответственно.
3. Область D: Re^>*0; источники в точках z — \-\-i иг=1—i
обильности 2л и — 2л соответственно.
4. Область D: Re z > lm z\ диполь с моментом 2л в точке z = 2.
5. Область D: Rez>lmz; диполь с моментом 2л/ в точке ?=1.
6. Область D: |,г|;>1; вихрь интенсивности 2л в точке z = 2.
7. Область D: ),г|>»1; источники в точках z — 2, z = 2l, z =
= — 2, z = — 2i обильности 2л, — 2л, 2л, — 2л соответственно.
8. Область D: \z\^>R\ диполь с моментом 2л в точке z = оо
и вихрь интенсивности 2л в точке 2" = со.
9. Область D: |.г|;>1; диполь с моментом 2л в точке г —оо
и вихри в точках z = a и z — й интенсивности 2л и —2л
соответственно.
10. Область D: | arg z j <L-r', вихрь интенсивности 2л в точке
z—\ и вихрь интенсивности 2л в точке z — 2.
11. Область D: 0 <; arg z *<4-f | z \ <Z 1; вихрь интенсивности 2л
1 + i
в точке z==—^-.
12. Область D: \z—1 | <i\r2, \z-\- 1|<С]/~2; источники в точках
z ~ i/2 и z = — i/2 обильности 2л и — 2л соответственно.
386

В случае, когда известно конформное отображение области D на круг,
полуплоскость или на какую-либо другую область, в которой мы умеем строить
векторное поле по его особым точкам, эта задача может быть решена и для
области D.
40.27. Пусть w(z)—векторное поле, порожденное в области D
своими особыми точками, a z = <p(?) — конформное отображение
области Ог на область D. Доказать, что:
1. Векторное поле wx (Q = w (ф (?)) ф' (?) порождено в области D{
своими особыми точками.
2. Точка ?0 является особой точкой векторного поля wx (?) в том
и только в том случае, когда точка z0 = ф (Со) является особой
точкой векторного поля-w(z).
3. Если точка z0 является источником обильности а для
векторного поля w (z), то точка ?0 также является источником обильности а
для векторного поля ©^@.
4. Если точка z0 является вихрем интенсивности Р для
векторного поля w (z), то точка ?0 также является вихрем интенсивности C
для векторого поля w1{^).
5. Если точка z0 является диполем с моментом а для векторного
поля w (z), то точка ?0 является диполем с моментом а/ф' (?q) для
векторного поля wx (?) (при условии, что z0 ф со и ?0 ф со или
z0 = co и ?о = °о)-
40.28. Опираясь на теорему Римана о существовании конформного
отображения, доказать, что для любой односвязной области D,
отличной от всей комплексной плоскости и от расширенной комплексной
плоскости, необходимое условие существования векторного поля,
порожденного в области D заданными особыми точками
(предложенное для доказательства в задаче 40.16), является и достаточным.
40.29. Пусть D — односвязная область, a z0^=co — ее внутренняя
точка. Обозначим через q(z) функцию, конформно отображающую
область D на единичный круг, переводящую точку z0 в центр круга
и удовлетворяющую условию ф' (г0) >* 0. Доказать, что функция
У7(г) = Ппф(г) является комплексным потенциалом векторного поля,
порожденного в области D вихрем интенсивности 2зх в точке Zq.
40.30. Пусть D — односвязная область. Для любой точки z0^ D
обозначим через ф(г; г0) функцию, конформно отображающую
область D на единичный круг и переводящую точку z0 в центр
круга (эта функция определяется с некоторой степенью произвола).
Доказать, что функция № (z) = In 9^—Ц является комплексным нотен-
ф С2' Z2)
циалом векторного поля, порожденного в области D источниками
в точках zx и z2 обильности 2л и — 2л соответственно.
40.31. Пусть D — односвязная область, имеющая точку г = оо
внутренней точкой. Обозначим через ф (z) функцию, конформно
отображающую область D на внешность единичного круга, оставляющую
на месте бесконечно удаленную точку и удовлетворяющую условию
e—ix
ф'(оо)>0. Доказать, что функция W (z) = е'тф (z) -\—j-z является
13* 3S7

комплексным потенциалом векторного поля, порожденного в области
D диполем в точке г = оэ с моментом q/ (co)eix.
40.32. Найти комплексные потенциалы W(z) векторных полей,
порожденных в указанных областях D заданными особыми точками:
х2 Ф 1
1. Область D: ос + тг >тн; Диполь в точке z = со с моментом 2л.
2. Область D: ос + 1г>тй; Диполь в точке 2=со с моментом
— 2я и вихрь в точке z — со интенсивности 2яр\
х2 у2 1
3. Область D: щ~\-\>та> диполь в г=оо с моментом 2л/?/т.
4. Область D: z<z?[—1.1]; диполь с моментом —2л; и вихрь
интенсивности 2яр в точке z = co.
5. Область D: z ф [—1,1]; диполь с моментом 2я<?/т и вихрь
интенсивности 2л в точке z — со .
6. Область диполь в точке
г = оо с моментом 2пе1\
7. Область D: \г — 1\>}/И, \z + l\>Y~2\ диполь с моментом
2лA-\-1) и вихрь интенсивности 2лр в точке z = co.
8. Область D: z ф[—1, 1]; источники в точках z = i и z — — i
обильности 2л и — 2л соответственно.
9. Область D — вся плоскость с разрезом по дуге окружности
^ + ^/ctga| = yri+|ctg2a, 0<a<^,
лежащей в верхней полуплоскости; диполь с моментом 2зхе'т в
бесконечности.
10. Область D—верхняя полуплоскость с разрезом по вертикальному
отрезку [0, /]; источники в точках z — 2-{-i и z — — 2 -f- г
обильности 2л и — 2л соответственно.
11. Область D — внешность круга |г|^1 с разрезами по
отрезкам A, 2) и (— 2, — 1); диполь с моментом 2ni в бесконечности.
12. Область D—внешность круга |г|^1 с разрезами по
отрезкам A,2) и (—2, — 1); диполь с моментом 2neix в бесконечности.
40.33. Профилем Жуковского называется образ окружности
\Ъ — Бо| = #, где ?о=1—'Re-/a, K>1, 0^а< л/2, при
отображении функцией z = -к-(? + y)- Обозначим через D бесконечную
область, ограниченную профилем Жуковского. Найти комплексный
потенциал W (z) векторного поля, порожденного в области D
диполем с моментом ен и вихрем интенсивности 2лр* в бесконечности.
* * *
Часто приходится строить векторное поле по заданным особым точкам
в области, граница которой составлена не из граничных линий тока, а из
граничных эквипотенциальных линий. Эта задача немедленно сводится к
рассмотренной умножением комплексного потенциала на мнимую единицу.
40.34. Пусть w (г) — векторное поле с комплексным потенциалом
W(z), a w1(z)—векторное поле с комплексным потенциалом iW(z).
Доказать, что:
388

1. Линии тока векторного поля w1(z) являются
эквипотенциальными линиями векторного поля w (z), а эквипотенциальные линии
векторного поля w1(z) отличаются от линий тока векторного поля
w(z) лишь заменой направления движения на противоположное.
2. Если векторное поле w(z) имеет в точке z0 источник
обильности а, то векторное поле Щ(г) имеет в точке z0 вихрь
интенсивности р\
3. Если векторное поле w(z) имеет в точке z0 вихрь
интенсивности р\ то векторное поле 1В)г(г) имеет в точке z0 источник
обильности — р\
4. Если векторное поле w (z) имеет в точке zQ диполь с
моментом а, то векторное поле wx{z) имеет в точке z0 диполь с
моментом la.
40.35. Доказать, что необходимым и достаточным условием
существования в односвязной области D (отличной от всей плоскости
и всей расширенной плоскости) векторного поля, имеющего в этой
области заданные особые точки, при условии, что граница области
составлена из граничных эквипотенциальных линий, является
равенство нулю суммы интенсивностей вихрей в заданных особых точках.
Указание. См. задачу 40.28.
40.36. Найти комплексные потенциалы W (z) векторных полей,
заданных в указанных областях D, по заданным особым точкам при
условии, что граница области D составлена из граничных
эквипотенциальных линий этих полей:
1. Область D:Re2>0; вихри в точках 2=1-}-/ и 2=1—i
интенсивности 2л и —2л соответственно.
2. Область D '.\z\<C.l\ вихри в точках z=—~,z =—<f^~,z =
= —о— , z — —~— интенсивностей 2л,—2л., 2л, — 2л соответственно.
3. Область D : Re z > 0, | z | < 1; диполь в точке z = 1/2 с
моментом 2л/.
4. Область D: | Im z | <С 1; вихри в точках z= — 1 и z = l
интенсивности 2л и —2л соответственно.
5. Область D: \z — /7/З | < 2, | z + i-\/~Z | <C 2; источник
обильности 2л в бесконечности.
Иногда приходится решать задачу.о построении векторного поля по его
особым точкам, заданным не только внутри, но и на границе области. Чаще
всего в таких случаях на границе задаются граничные источники (см.
определение перед задачей 39.40).
40.37. Пусть векторное поле w(z) задано в верхней
полуплоскости и непрерывно вплоть до действительной оси, за исключением
точек z = 0 и z = оо, в которых оно имеет граничные источники
обильности а и —а соответственно, причем лучи @, + оо) и (—оо, 0)
являются линиями тока векторного поля. Доказать, что функция w B)
аналитически продолжается на всю расширенную плоскость (за исклю-
389

чением точек z = 0 и z = оо) и что векторное поле, отвечающее этому
аналитическому продолжению, имеет в точках г = 0 и 2 — со
источники обильности 2а и —2а соответственно.
Указание. Применить принцип симметрии и воспользоваться тем, что
при стремлении точки к граничному источнику функция тока остается
ограниченной, а потенциал стремится к бесконечности.
40.38. Доказать, что утверждение задачи 40.37 сохраняет силу и
без предположения о непрерывности векторного поля — достаточно
потребовать, чтобы был непрерывен комплексный потенциал (лучи
@, + °°) и (— °°> 0) тогда нужно считать граничными линиями тока).
Указание. См. указание к задаче 40.17.
Термин «векторное поле, порожденное в области D данными особыми
точками» мы сохраним и для случая, когда на границе области задается
конечное число граничных источников (а участки границы между ними составлены
из граничных линий тока).
40.39. Доказать, что векторное поле, порожденное в односвязной
области двумя граничными источниками противоположной обильности,
существует и единственно.
Указание. Сделать конформное отображение на полуплоскость.
40.40. Пусть D — односвязная область, ^ и ?2—Две ее граничные
точки, а ф(г)—какая-либо функция, конформно отображающая область
D на полосу 0 <; Ira z <; а и переводящая точку \х в точку — со, а
точку \г—в точку + оо. Доказать, что функция ф(г) является
комплексным потенциалом векторного поля, порожденного в области D
граничными источниками в точках %_ и |2 обильности а и — а
соответственно.
40.41. Найти комплексные потенциалы W(z) векторных полей,
порожденных в указанных областях D заданными особыми точками:
1. Область D: \]mz\<C-w; граничные источники в точках z~-i
и 2= п- обильность ли —л соответственно.
зх
2. Область D: ]Rez|<C -^\ источник в точке г = 0 обильности
2зт и граничные источники в точках z = — loo и z — -\-ioo
обильности — ах каждый.
3. Область D: | Re zl < -s-; источники в точках г=7-иг = j-
обильности 2jx каждый и граничные источники в точках z = -\-ioo и
? ——/оо обильности —2эт каждый.
4. Область D: х2—j^Os-; граничные источники в точках z =
= -}-/со и z =—ioo обильности 1 и —1 соответственно.
5. Область D — полоса Im^l^y с разрезом по лучу @, +оо);
ni , Tti . ..
граничные источники в точках z = ~^--\-oo и z— ^--f-00 ооиль-
390

ности аг и а2 соответственно и граничный источник в точке z = —оо
обильности -— (at -f- a2)-
6. Область D — полоса lmz\<^n/2 с разрезами по лучам
(-^-1п2,-|-со) и (— со, =-1п21; граничные источники в точках
3ti . го" го , го
z==-^-\-coy 2.-= — —°°» z = — у + °°> г=—у—со
обильности тс, — я, тс, — st соответственно.
Можно ставить задачу и об отыскании векторного поля, порожденного
в области D граничным диполем. Однако количественная характеристика
граничного диполя довольно сложна. Сколько-нибудь удовлетворительная форма
для нее (момент граничного диполя) может быть предложена лишь в случае,
когда граница области имеет касательную в точке расположения граничного
диполя. Однако даже в этом случае формулировка достаточно сложна.
40.42. Пусть векторное поле w (z) задано в верхней
полуплоскости и вся действительная ось составлена из граничных линий тока,
а в точке ,г = оо расположен граничный диполь. Доказать, что
функция w (z) аналитически продолжается на всю расширенную плоскость
(за исключением некоторого числа полюсов) и что векторное поле,
отвечающее этому аналитическому продолжению, имеет в точке г=оо
диполь с действительным моментом.
Если граничный диполь расположен на аналитической дуге, то, как видно
из предыдущей задачи, векторное поле аналитически продолжается через эту
дугу и продолженное векторное поле имеет уже внутренний диполь. В этом
случае естественно назвать моментом граничного диполя половину момента
возникающего внутреннего диполя. Аналогичное определение, хотя и с
некоторыми дополнительными сложностями, можно дать и для граничного диполя,
расположенного на гладкой дуге.
40.43. Найти комплексные потенциалы W(z) векторных полей,
порожденных в указанных областях D заданными особыми точками:
1. Область!): \z — i\<V2,\z + i <V%\
граничные диполи в точ-
i i
ках z = -=— и z = —— с моментами п и —я соответственно.
^2+1 ^2+1
2. Область D: |,г|<^1; вихрь интенсивности 2л в точке z = 0
и граничные диполи в точках г==/ и z = —/ с моментами я и—л
соответственно.
3. Область D: верхняя полуплоскость с разрезом по
вертикальному отрезку [0, /]; граничные диполи в точках г=1 и z = —1
с моментами тс каждый.
4. Область D: единичный круг с разрезами по вертикальным
отрезкам — /, —- и -L i ; граничные диполи в точках z~ 1 и z = — 1
с моментами ш и — т соответственно.
40.44. Пусть D — односвязная область, g0—ее граничная точка, а
? = <p(z) — какая-либо функция, конформно отображающая область D
на полуплоскость Im?^>0 и переводящая точку г = Ь,0 в точку ?—оо.
Доказать, что функция ср (г) является комплексным потенциалом
391

векторного поля, порожденного в области D граничным диполем в
точке lQ.
Граничные источники и граничные диполи можно рассматривать как
предельный случай источников и диполей, расположенных внутри области.
40.45. Пусть w (г; г0)—векторное поле, порожденное в односвяз-
вой области D источником обильности а в точке г0 е D и некоторым
количеством других особых точек, не зависящих от z0. Доказать,
что, когда точка zQ стремится к граничной точке g0 области D,
векторное поле w (z; z0) стремится к секторному полю w0 (г),
порожденному в области D граничным источником обильности а в точке ?0
и остальными не зависящими от z0 особыми точками (сходимость
равномерна в каждой замкнутой части области D).
40.46. Пусть \zn)— последовательность точек верхней
полуплоскости, имеющая пределом точку г = 0, a wn (z) — векторное поле,
порожденное в верхней полуплоскости диполем с моментом а в
точке zn и некоторым количеством других особых точек, не зависящих
от п. Доказать, что при п —>¦ со векторное поле wn (z) стремится к
векторному полю w0(z), порожденному в верхней полуплоскости
граничным диполем с моментом Re а в точке г = 0 й остальными
особыми точками, не зависящими от п (сходимость равномерна
в каждой замкнутой части верхней полуплоскости).
В точках, где нарушается гладкость границы области D, уже нельзя
рассматривать граничный диполь как 'предел, последовательности внутренних
диполей с тем же моментом.
40.47. Обозначим через w„ja(z) векторное поле, порожденное
в угле J arg z | < -т диполем с моментом а в точке z~~ eia, | arg a | <^-j.
Найти предел wn>a(z) при п—-со.
* * *
В случае, когда односвязная область D содержит бесконечно удаленную
точку, часто ставится задача отыскания векторного поля w (г), заданного
в области D, лишь по данным конечным особым точкам. Ясно, что такая задача
решается не единственным образом. Для выделения единственного решения
накладываются некоторые дополнительные условия.
40.48. Найти общий вид комплексного потенциала W(z)
векторного поля w(z), заданного в области \z\^>R, не имеющего в этой
области конечных особых точек, при условии, что окружность ] z | = R
составлена из граничных линий тока и что lim w (-г) = w<x>.
z-юз
40.49. Доказать, что векторное поле предыдущей задачи
определяется единственным образом, если помимо величины Woo задать
еще величину циркуляции векторного поля по окружности |г|=1.
40.50. Пусть D — односвязная область, имеющая точку z = co
внутренней точкой. Доказать, что векторное поле w (z),
удовлетворяющее условиям:
а) граница области D составлена из граничных линий тока
векторного поля w(z);
392 -

б) векторное поле w(z) не имеет конечных особых точек
в области D;
в) lim ^B) —0;
г-*со /
г) цирк\лляция векторного поля w(z) по границе области D
равна нулю;
является тождественным нулем.
Задачу о построении векторного поля по заданным особым точкам можно
ставить и в многосвязных областях (описанную выше задачу можно
рассматривать как задачу построения поля в вырожденной двухсвязной области —
области D с выколотой точкой г = со). В этом случае помимо особых точек
приходится дополнительно задавать еще некоторые величины.
40.51. Доказать, что комплексный потенциал W(z) векторного
поля w (г), заданного в кольце 1 <С | z \ <СК и не имеющего там
особых точек, при условии, что граничные окружности кольца
составлены из граничных линий тока векторного поля w{z), имеет вид
W(z) — iy\n \ z \-\-C, где у — произвольная действительная постоянная,
а С — произвольная комплексная постоянная.
40.52. Доказать, что векторное поле w (z), заданное в кольце
1 <С | z ! <C R, граничные окружности которого составлены из
граничных линий векторного поля w (z), определяется единственным
образом, если задать его особые точки и его циркуляцию по
окружности |2-{—1.
Пусть D — какая-либо р-связная область, ограниченная кусочно-гладкими
кривыми Г0, 1\, ..., Гт_1. Одну из граничных кривых (для определенности Г0)
мы будем называть внешней граничной кривой, а-остальные —внутренними
граничными кривыми.
Если векторное поле w (г) задано в области D и граничные кривые этой
области составлены из граничных линий тока векторного поля w (г), то мы
будем говорить, что векторное поле w (z) порождено в области D его особыми
точками и циркуляциями по внутренним граничным кривым.
Вопрос о единственности векторного поля, порожденного в области D
данными особыми точками (задаются, как обычно, положение особых точек,
обильность источников, интенсивность вихрей, моменты диполей, коэффициенты
при мультиполях) и данными циркуляциями по всем внутренним граничным
кривым, сравнительно легко решается с помощью соотношения между числом
критических точек и числом полюсов векторного поля, полученного в
задаче 39.62.
40.53. Пусть ' w (z)—векторное поле, заданное в области D, и
пусть граничные кривые области D составлены из граничных линий
тока векторного поля w (z). Доказать, что если циркуляция
векторного поля w(z) вдоль граничной кривой ГА равна нулю, то на
кривой Гл имеется не меньше двух граничных критических точек.
Указание. Циркуляция векторного поля вдоль линии тока равна
изменению потенциала векторного поля вдоль этой линии, а на участках
линии тока, не содержащих критических точек, потенциал меняется монотонно.
40.54. Пусть векторное поле, порожденное в /7-связной области
его особыми точками и циркуляциями, имеет равные нулю
циркуляции по всем граничным кривым этой области (включая и внешнюю
393

граничную кривую). Доказать, что сумма кратностей внутренних и
граничных критических точек векторного поля не меньше, чем р.
40.65. Доказать, что существует не более одного векторного
поля, порожденного в /7-связной области данными особыми точками
и данными циркуляциями по внутренним граничным кривым.
Указание. Если w1(z) и w2(z) — два таких векторных поля, то их
разность w (z) не имеет в области D особых точек и циркуляции векторного
поля w (г) по всем граничным кривым области D (включая внешнюю) равны
нулю.
* * *
Метод аналитического продолжения векторных полей с помощью принципа
симметрии можно применять и бесконечно много раз, хотя такие продолжения
требуют дополнительного обоснования.
40.56. Обозначим через wn(z) векторное поле, порожденное
во всей расширенной плоскости вихрями в точках zk= -^-Bk -\- I),
— n^k^n—1, с интенсивностями Р/г = (— \)k2n. Доказать, что при
я->оо векторное поле wn(z) равномерно стремится к пределу w(z)
в каждой конечной области и что предельное векторное поле w(z)
дает аналитическое продолжение на всю плоскость векторного поля,
порожденного в полосе 0<CRez<Cft вихрем интенсивности 2jt
в точке ? = jt,/2.
40.57. Обозначим через wn(z) векторное поле, порожденное в
расширенной плоскости источниками в точках г^ — кя, —ns^k^n,
с обильностями 2я каждый и источником обильности — 2nB/z-f-l)
в бесконечности. Доказать, что при я->оо векторное поле wn(z)
стремится к пределу w (z) равномерно в каждой конечной области
и что предельное векторное поле w(z) дает аналитическое
продолжение на всю плоскость векторного поля, порожденного в полосе
|Rezj< n- источником обильности 2эт в точке z = 0 и граничными
источниками обильности —я каждый в точках z=-{-ioo и z —
= —Zoo.
40.58. Пусть w0(z) — векторное поле, порожденное в полосе
\\mz\<i-K- своими особыми точками, причем это векторное поле
не имеет граничных особых точек. Продолжая векторное поле w0(z)
по принципу симметрии через границы, мы можем выяснить
характер особых точек аналитического продолжения во всей плоскости.
Обозначим через wn (z) векторное поле, порожденное во всей
расширенной плоскости теми особыми точками аналитического
продолжения, которые попадают в полосу | \mz \ <с{п-\--^-)т1. Доказать, что
при и —> оо векторное поле wn (z) стремится к пределу равномерно
в каждой конечной области и что в полосе | Im z j <C -$ этот предел
совпадает с векторным полем w0 (z).
40.69. Разрешим векторному полю w0 (z) задачи 40.58 иметь
граничные источники в точках z = -\-oo и z = — со и обозначим их
394

обильности а{ и а2 соответственно. При построении векторного
поля wn(z) мы будем добавлять к особенностям аналитического
продолжения векторного поля wQ(z) еще и источник в бесконечности
обильности Gtj-j-aa. Доказать, что в полосе | Im ^ j ^C-o- векторное
поле wn(z) стремится к пределу, совпадающему с векторным полем,
порожденным в этой полосе теми же конечными особыми точками,
что и поле Wq(z), к которым добавлены граничные источники в
точках z — -{-oo и 2 — — сю обильности •-1"Г--2 каждый.
40.60. Пусть W(z) — комплексный потенциал векторного поля,
порожденного в прямоугольнике
— со <С Re z < со, — со' < Im z < со',
диполем с моментом 2л в точке z = 0. Доказать, что
W (z) = i + ?' {(z — 2ясо — 2ш'со')-2 — B/ио + 2ш'соТ2} + С,
где суммирование распространяется па все целые (положительные и
отрицательные) числа п и и', не равные нулю одновременно.
40.61. Доказать, что функция
ф г_ч г ТТ l-2»[2nm + 2iW)-*
* ; [z2~4(G)-f гш'J][г2 — 4(ш — гш'J] 11 1— гй[Bп+1)ы + гBя'+1)ш'Г2
(произведение берется по всем целым числам и и п', не равным нулю
одновременно) конформно отображает прямоугольник
— со •< Re z <С со, — со' <! Im z <C со',
на круг \1\<R, где Я=1/Ф'@).
Указание. Построить векторное поле, порожденное в этом
прямоугольнике вихрем в точке 2 = 0.
40.62. Пусть W(z) — комплексный потенциал векторного поля,
порожденного в кольце 1 < j z j <C R? диполем с моментом 2л в точке
z = R и циркуляцией по окружности J2-|=l, равной нулю. Доказать,
со
что Щг)= 2 fr-V-i)» +С
п = — со
40.63. Пусть №(г)— комплексный потенциал векторного поля,
порожденного в кольце 1 <С|z\<R2 вихрем интенсивности 2зх в
точке z = R и равной нулю циркуляцией по окружности |г|=1.
со
Доказать, что W (г) = Ип Ф (г) + С, гдеФ(г)= JJ }^^-i > а
Л=:—СО
С — произвольная постоянная.
40.64. Пусть W(z)—комплексный потенциал векторного поля,
порожденного в кольце 1<|г|<!^2 источниками в точках z — R
и z = — R обильности 2зх и — 2я соответственно и циркуляцией по
395

окружности |z]=l, равной нулю. Доказать, что W (г) = In Ф (г) -f- С,
со
/п. ТТ 1 -f- zR2n+1
где Ф(,г)=г II j __ П2П+1 > а ^—произвольная постоянная.
п = — со
40.65. Доказать, что необходимым и достаточным условием
существования векторного поля, порожденного в кольце 1<|2|<С^
данными особыми точками и данной циркуляцией по окружности | z \ = 1,
является равенство нулю суммы обильностей источников по всем
заданным особым точкам.
ОТВЕТЫ
40.05.
1. 2=0—источник обильности 2л; г=1 — источник обильности 2л;
г=оо—источник обильности —4я.
2. г = 0—источник обильности 2л; 2=1 —источник обильности — 2я.
3. 2 = 1—вихрь интенсивности 2л; 2 = —1 — вихрь интенсивности 2л;
г = со —вихрь интенсивности — 4 л.
4. z = 0—источник обильности 2л, г = оо —источник обильности —2л;
г=1—вихрь интенсивности 2л; 2 = —1—вихрь интенсивности —2л.
5. г=1 — источник обильности —2л и вихрь интенсивности 2л; г=— 1 —
источник обильности 2л и вихрь интенсивности 2л; г=со—вихрь
интенсивности — 4л.
6. 2=1 — источник обильности 2л и вихрь интенсивности —2л; 2 = — 1 —
источник обильности 2л и вихрь интенсивности —2л: г=0 — источник
обильности — 4л; г = со — вихрь интенсивности 4л.
40.06. Точка zk — источник обильности 2лаЛ и вихрь интенсивности 2лр^.;
точка г = со — источник обильности —2л (ai+a2+•••+«я) и вихрь
интенсивности —2л (р\ + р2 + ... + EЯ).
40.09.
1. Ц7 = 1п Z—^-\- С.
г—а
2. W = i\n—~-\-С. 3. № = 1п
г2—а2
22 + С2
С.
г4 — а4
4. W = iln-=-—— -f-C. 5.
7. И?=—г+Лпг + С. 8.
40.10.
1. шх (z; /г)
z-\-a
1^=-^—-г+С. 6. W = iz+— + C.
№ = z+—~|-1пг+С.
B —Z0J —/iV
2. и»! (г)
B-*o)«
г?
г0 с моментом —7.
4. су2B; /г) = т .„ ,„ „
* v (г —20J—/i2v2
ке г0 с моментом —iy.
5. йу2 B)
*7
B-20J
%(г; /г) =
8. w3(z)-.
3. Диполь в точке
6. Диполь в точ-
9. Квадру-
Лг-гоЖг-гоJ-^2!' ' dW (*-г0K
воль в точке z0.
40.11. вух — диполь с моментом —ф; гг>2— диполь с моментом р.
40.13. Диполь с моментом 2лшсо, источник обильности — 2п(а1-\-...-\-ап)
и вихрь интенсивности —2л (р\ + • • - + ря)-
40.14.
1. W = z+ilnz+C. 2. № = —iz +In z+C. 3. де = г + 1п(г»— 1) + С
z-f_~f-/In z + C-
4. № = A — 0г+Пп(г4— l)-fC. 5. И?
40.23. щЩ=ш (с~ e2i(v(z—с)) (Re {(z—с)е~/ф} <0).
396

40.24. —а-
40.26.
z+1 ' г2—4 ' • г2 —2iz —2 ^
9. r=z + l + ,|n;2-ai'm-;> + C. 10. r=«ln4=-!+G
г (г —c)(a2—1) г2+1 r
11. ^-'lnB2 + 2/)B22 + /) + C'
(г-0,5/) B-0,6-0,8/) B+0,6-0,8/) B-2,5/)'
' (г+0,5/) B —0,6+0,8/) B+0,6+0,8/) B+2,5/) "^
40.32.
1. ^^z-l-V^ZT+C. 2. W=-^z + ~V&=\-
—/p In (z+]/"ia^I) + C.
3. W=*(-j eix + 2s~ Zt) z + Ц- e/T - 2e~/т] l^i2^! + С.
4. U7=_z — ф1п(г+]Л22^Л) + С.
5. r = zcosT + Z^2a— 1 sinr— /1п(г + ]Л:2— 1) + C.
6. r_2 c/x(^ + lJ/3 + (z-lJ/3 | 2 ^_/тB+1J/3-(г-1J/3 , „
7. W =
3 B+1J/3_(г_1J/3 ' з B+lJ/3 +(г-1J/3 ' ~
2A+/) (г +1J/3 + (г_ 1J/3 1—f (г + 1J/з_(г__1J/з
3 B + lJ'3 - (г -1J/3 + 3 (г + 1J/3 + (г -lJ'3 +
__ +Ф,ПB+1J/3 + (г+1J/3 + С-
8. ^ = 1п?±1^-Ф+/2)
г+Т^=1 + /A + ]А2)
9. № = — e''TB+Ki2=l-/tga) + — _ * + C.
2 2 cos2 a z+yzz— 1 — / tg a
22 + 3—4 VTfz* cos -jb-
10. tt? = ln —+ C.
22 + 3 + 4]/"l+22COS-J-
о
11. w = iy 3*+-^—4,25+C.
12. l^ = B + ^-jcosT+/l/ *2+^-— 4,25 sin T+C.
40.33. t^^z-Co + Kz^T fi^* __
2 z-?0 + /22-l
-ф1пB-^о + /22-1)+С.
40.36.
1 if-Пп (z-l-/)B+l-Q B22-/)B2-2/)
'¦ 1Г <ln B^i + i)(z+H_0+C- * lk-J,nB22 + /)B2 + 2/)+C-
397

60i'z2
3- W = - D22-l)(z2_4) +C-
5. V==,„^±i)^=&=C + C.
40.41
2+lK/5—B_ 1K/5
(г+1K/5 + (г— 1K/5
1. r = lnth ^2z —-y-Wc. 2. W = ln sin z + C.
3. U? = lncos2z + C. 4. Г= -ln(z —Kz^Tj + C.
5. W = -f^- In (Kl+e-^- I)+-g- ln(]/l+e^+l) + C.
e2Z+ 1 +l/ 6й- -г- е^+ 1
6. «7 = In f
e22—l + l/ е4г—-|-е2г+ 1
— In De^—5 + 2 ]/е4г— 5е2г+ 4) + С.
40.43.
1. W = ^ + C. 2. ^il'Z+lC+"-'CF+C
z2-fl (z+lL/3-f-(z—1L/3
2 l/"z2 -4- 1 2i
3. W = iLLijrI + c. 4. w-^ + C.
40.47. Тождественный нуль.
40.48. W=wo0(z+^-j + tpin2 + C.
§ 41. Связь векторных полей с конформными
отображениями и с решениями задачи Дирихле
До сих пор конформные отображения использовались лишь как средство
для решения задачи об отыскании векторных полей с заданными особыми
точками. Однако возможен и обратный подход—построение конформных
отображений через отыскание векторных полей с заданными особыми точками.
41.01. Пусть ? = ф(г) — какая-либо функция, конформно
отображающая односвязную область D на круг {Z, | < R и переводящая
точку z0 e D в точку ? = 0. Доказать, что функция W(z) = i\n q(z)
является комплексным потенциалом векторного поля, порожденного
в области D вихрем интенсивности 2я в точке z0.
41.02. Пусть W(z) — комплексный потенциал векторного поля,
порожденного в односвязной области D вихрем интенсивности 2я в
точке z0^D. Доказать, что функция ф(,г) —<?— iW (z) конформно
отображает область D на некоторый круг | ? | < R, а точку z0
переводит в точку Z, = 0.
Указание. См. задачу 32.30.
398

41.03. Доказать, что из единственности векторного поля,
порожденного в односвязной области D его особыми точками, следует
единственность конформного отображения области D на круг ] Z, | <C R,
если заданы радиус R этого круга, точка z0 ^ D, переходящая в
центр круга, и значение аргумента производной отображающей
функции в точке z0 (при zu ф оо).
41.04. Пусть ? = фСг) — какая-либо функция, конформно,
отображающая односвязнуго область D на полосу ширины 2я со сторонами,
параллельными действительной оси, и переводящая точку gt e дБ в
точку ? = — сю, а точку Ъ^^дй — в точку ?= -f-00- Доказать, что
функция ф (z) является комплексным потенциалом векторного поля,
порожденного в области D граничными источниками в точках |х и
?2 обильности 2л и —2л соответственно.
Указание. См. задачу 26.29.
41.06. Пусть D — односвязная область, содержащая бесконечно
удаленную точку, а ? = ф(г)— функция, конформно отображающая
эту область на всю плоскость с разрезом по отрезку [ — R, R] и
переводящая точку z = со в точку ? = оо. Доказать, что функция ф (z)
является комплексным потенциалом векторного поля, порожденного в
области D диполем в бесконечности с моментом 2этф'(со).
41.06. Пусть W(z) — комплексный потенциал векторного поля,
порожденного в односвязной области D диполем в точке г0 е D.
Доказать, что функция ?= W(z) конформно отображает область D
на всю плоскость с разрезом по некоторому горизонтальному отрезку,
а точку z0 переводит в точку ? = оо.
41.07. Пусть W(z) — комплексный потенциал векторного поля,
порожденного в односвязной области D источниками в точках гг е D
иг2еО обильности 2я и —2я соответственно. Доказать, что функция
? = ew № конформно отображает область D на всю плоскость с
разрезом по некоторому отрезку луча arg ?, = const, причем точка zx
переходит в точку ? —0, а точка z2 — в точку ?= оо.
41.08. Построив надлежащие векторные поля с помощью принципа
симметрии, найти конформные отображения ? = ф(г) полуплоскости
Im z >» 0 на данные области G (с указанными дополнительными
условиями):
1. G: |1т2|<Ся; фA) = — оо, фA) = со, ф@) = ш.
2. G: z ф [ - R, R]; Ф (z) = -^ + О A) (*->/).
3. G: гф[—1Ц iR]\ q>(z)=JL + 0(l) (z-+i).
4. G: ze?[a, а + Щ <pBQ = 0f <pB)=-L. + 0(l) (z->i).
41.09. Построив надлежащие векторные поля с помощью
принципа симметрии, найти конформные отображения ^ = ф(^) круга
| z \ < 1 на данные области G (с указанными дополнительными
условиями):
1. G: 0<Imz<Jt; <p\e 4 J = — oo, q> [e 4J = -)-co, фA) = 0.
399

2. G: a<Re2'<a + 3t; ц> (\) = a-\-i oo, ф(/) —а— /со, cp@) = 0.
3. G: z*?[a — R, a + R); «р(г) = —Ц- + оA) (*-*у).
г
2
4. G: г ф [— г, /]; / lim (г —у) фB)> 0.
г-* 1
41.10. Построив надлежащие векторные поля с помощью
принципа симметрии, найти общий вид конформного отображения ? = ф (z)
данных областей D на единичный круг, переводящего точку zQ e D
в центр этого круга:
1. D: Rez>0. 2. D: \z\<R.
3. D: lmz>0, \z\<l. 4. D: 0<argz<?.
41.11. Построив надлежащее векторное поле с помощью
принципа симметрии, найти общий вид конформного отображения ? = ф(г)
полуплоскости Im z > 0 на всю плоскость с разрезом по отрезку
[— 1, 1 ], переводящего точку z = i в точку ? = со.
* * *
Различные конформные отображения многосвязных областей также
сводятся к отысканию векторных полей с заданными особыми точками и задан-
ными циркуляциями по внутренним граничным кривым.
41.12. Пусть D — двухсвязная область с внешней граничной
кривой Г0 и внутренней граничной кривой 1\, а ? = ф(,г) — какая-либо
функция, конформно отображающая эту область на некоторое кольцо
^1<|?|<^г- Доказать, что функция W(z) = lln q>(z) является
комплексным потенциалом векторного поля, порожденного в области D
циркуляцией по внутренней граничной кривой 1\, равной 2л.
41.13. Пусть D—двухсвязная область с внешней граничной
кривой Г0 и внутренней граничной кривой Ть a W(z) — комплексный
потенциал векторного поля, порожденного в области D циркуляцией
по внутренней граничной кривой Ть равной 2эт. Доказать, чго
функция l, = e— nv& конформно отображает область D на некоторое
кольцо Ri<|?|<^2-
41.14. Доказать, что из единственности векторного поля,
порожденного в двухсвязной области D данной циркуляцией по
внутренней граничной кривой, следует, что функция, конформно
отображающая эту область на кольцо Rx <. ? \ < R2, определяется
однозначно, если заданы внутренний радиус кольца и образ данной точки
на внутренней граничной кривой.
В следующих задачах р-связную область D мы будем считать
ограниченной внешней граничной кривой Г0 и внутренними граничными кривыми
Гх Гр_!.
41.15. Пусть функция ? = фОг) конформно отображает область D
на всю плоскость с разрезами по р горизонтальным отрезкам и
переводит точку z0 e D в точку ? = со. Доказать, что функция ф (z)
является комплексным потенциалом векторного поля, порожденного
400

в области D диполем в точке г0 и циркуляциями по внутренним
граничным кривым, равными нулю.
41.16. Пусть W(z) — комплексный потенциал векторного поля,
порожденного в области D диполем в точке z0 e D и равными нулю
циркуляциями по внутренним граничным кривым. Доказать, что
функция t,= W(z) конформно отображает область D на всю плоскость
с разрезами по р горизонтальным отрезкам, причем точка z0
переходит в точку ? = оо.
41.17. Доказать, что из единственности векторного поля,
порожденного в области D данными особыми точками и данными
циркуляциями по" внутренним граничным кривым, следует единственность
конформного отображения области D на всю плоскость с разрезами
по р горизонтальным отрезкам, если дополнительно задаются точка
zQ, переходящая в бесконечность, главная часть полюса в этой точке
и образ еще одной точки области D.
41.18. Пусть W(z) — комплексный потенциал векторного поля,
порожденного в области D вихрем интенсивности 2я в точке z0 e D
и равными нулю циркуляциями по внутренним граничным кривым.
Доказать, что функция ^ = e—aF<z) конформно отображает область D
на некоторый круг |?|<С^ с р—1 разрезами по дугам
концентрических окружностей, причем точка 20 переходит в точку ? = 0,
а внешняя граничная кривая Г0 — в окружность | ?| = /^.
41.19. Пусть W(z)—комплексный потенциал векторного поля,
порожденного в /7-связной области D (р ^ 2) циркуляцией по
внутренней граничной кривой 1\, равной 2"л, и циркуляциями по остальным
внутренним граничным кривым, равными нулю. Доказать, что
функция ? = е— iW{& конформно отображает область D на некоторое
кольцо /?i<|?|<!R2 с р — 2 разрезами по дугам концентрических
окружностей, причем внешняя граничная кривая Г0 переходит в
окружность 1^1 = ^2, а внутренняя граничная кривая 1\ — в окоужность
41.20. Пусть W(z) — комплексный потенциал векторного поля,
порожденного в области D источниками в точках Zj e D и г2 е О
обильности 2я и — 2л соответственно и равными нулю
циркуляциями по внутренним граничным кривым. Доказать, что функция ?i = ewW
конформно отображает область D на всю плоскость с р разрезами
по отрезкам лучей, выходящих из точки ? = 0, причем точка гг
переходит в точку ? = 0, а точка z2 — в точку ? = оо.
41.21. Пусть W{z) — комплексный потенциал векторного поля,
порожденного в области D вихрями в точках zx e D и г2 е D
интенсивности 2л и — 2я соотзетственно и разными нулю циркуляциями
по внутренним граничным кривым. Доказать, что функция ? = е— 'W(z>
конформно отображает область D на всю плоскость с р разрезами
по дугам окружностей с центром в точке ? = 0, причем точка zx
переходит в точку ?=0, а точка z%—в точку ? = оо.
41.22. Пусть W(z) — комплексный потенциал векторного поля,
порожденного в области D вихреисточниками в точках zx e D и
г2 е D обильности 2л и — 2л и интенсивности 2л и — 2л соотзет-
401

ственно и равными нулю циркуляциями по внутренним граничным
кривым. Доказать, что функция ? = ехр т, ¦ конформно отображает
область D на всю плоскость ? с разрезами по р дугам
логарифмических спиралей j?|=Ceaare?, причем точка zx переходит в точку
?=0, а точка z2—в точку ? — оо.
* * *
Пока мы не касались вопроса о существовании в многосвязных областях
векторных полей, порожденных данными особыми точками и данными
циркуляциями по внутренним граничным кривым. Этот вопрос может быть сведен
к вопросу о разрешимости в соответствующих областях задачи Дирихле.
Напомним, что'решением задачи Дирихле в области D с данной граничной функцией
/41) (т- е- функцией, определенной на граничных кривых области D)
называется функция V (г), гармоническая в области D, непрерывная вплоть до
границы этой области и совпадающая на границе этой области с граничной
функцией f(l).
Известно, что в области, ограниченной конечным числом кусочно-гладких
кривых, задача Дирихле разрешима для любой непрерывной граничной функции,
и притом единственным образом.
Кроме того, известно, что если граничная функция удовлетворяет условию
Липшица порядка а, 0 < а < 1, то и решение задачи Дирихле, и любая
однозначная ветвь сопряженной с ним гармонической функции (которая, вообще
говоря, многозначна) удовлетворяют условию Липшица того же порядка а
в каждой односвязной части замыкания области D.
41.23. Пусть V(z) — функция тока векторного поля,
порожденного в области D диполем с моментом 2па в конечной точке z0^ D
и равными нулю циркуляциями по внутренним граничным кривым.
Доказать, что функция V(z)—Im является решением задачи
г — г0
Дирихле в области D с граничной функцией f(%) — Ck — Im =
s—zo
g e й/)), где Cjt — некоторые постоянные (для каждой граничной
кривой своя постоянная).
41.24. Обозначим через Уг(г) решение задачи Дирихле в
области D с граничной функцией /(?) = — 1га (? е dD, z0 e Д
¦ Z —-Zq
t ч dVx ¦ dVi „
z0=j*= со) и положим ix>i{2;) = ~~-—1~я~- Доказать, что векторное
поле w(z) = Wx(z) — а B — z0)~2 является векторным полем,
порожденным в области D диполем с моментом 2па в точке z0 и некоторыми
циркуляциями по внутренним граничным кривым.
41.25. Пусть /7-связная область D ограничена внешней граничной
кривой Г0 и внутренними граничными кривыми Гх, ..., Гр_^.
Обозначим через Vh (z) решение задачи Дирихле в области D с граничной
функцией fk(%)> равной 1 на граничной кривой Fk и нулю на осталь-
, . дУь .дУь гт
ных граничных кривых, и положим wk(z) = -~—') * "еРез Vkm
обозначим циркуляцию векторного поля wk(z) по внутренней
граничной кривой Тт. Доказать, что матрица
(Укт)> k = 1,2,..., /7—1; т= 1,2,..., р — 1,
имеет отличный от нуля определитель.
402

Указание. Показать, что в противном случае существует векторное
поле без особых точек в области D с равными нулю циркуляциями по всем
граничным кривым, у которого функция тока постоянна на каждой граничной
кривой и которое отлично от тождественного нуля. Существование такого
векторного поля находится в противоречии с утверждением задачи 40.54.
41.26. Вывести из задач 41-24 и 41.25, что векторное поле,
порожденное в области D диполем с любым данным моментом в
любой точке z0 ^ D и любыми данными циркуляциями по внутренним
граничным кривым, существует и единственно.
41.27. Вывести из задачи 41.26, что любую область D,
ограниченную конечным числом кусочно-гладких кривых, можно конформно
отобразить на всю плоскость с разрезами по горизонтальным отрезкам.
41.28. Доказать, что векторное поле, порожденное в области
любым числом вихрей (в любых данных точках области D и с
любыми данными интенсивностями) и любыми данными циркуляциями по
внутренним граничным кривым, существует и единственно.
Указание. Провести построение, как и в задаче 41.24, но с граничной
функцией /(|), равной — Е Рй In \г—zk\, где zft — точки, в которых заданы
вихри, а Рд — интенсивности этих вихрей.
41.29. Доказать, что для существования векторного поля,
порожденного в области D данными особыми точками и данными
циркуляциями по внутренним граничным кривым, необходимо и достаточно,
чтобы сумма обильностей источников по всем данным особым точкам
была равна нулю.
Указание. При построении, как в задаче 41.24, взять в качестве
граничной функции /(?) мнимую часть комплексного потенциала векторного поля,
построенного по данным особым точкам во всей комплексной плоскости. Для
осуществимости построения эта мнимая часть должна быть однозначна вне
области D и на ее границе.
41.30. Пусть D — область комплексной плоскости, ограниченная
конечным числом кусочно-гладких кривых. Доказать существование
конформного отображения области D на следующие канонические
области:
1. Вся плоскость с разрезами по отрезкам лучей, выходящих из
начала координат.
2. Вся плоскость с разрезами по дугам окружностей с центром
в начале координат.
3. Единичный круг с разрезами по дугам концентрических
окружностей.
4. Единичный круг с разрезами по отрезкам радиусов.
5. Кольцо 1<С|?|<СК c разрезами по отрезкам радиусов.
6. Полоса 0<С1тг<я с разрезами по горизонтальным отрезкам.
7. Полоса 0<;1т-г<Сд с разрезами по вертикальным отрезкам.
8. Полуплоскость 1шг>>0 с разрезами по горизонтальным
отрезкам.
ОТВЕТЫ
41.08.
I. Ь ZlnZ—1 Ш- ^ Ь— 22+1 • °- * 22+i" Ч- Ь 22+1^3-
403

41.09.
cm"/4-z 1_г ч . 4i 5z2-5z-l
L S " «**-i • 2- C==I,nI+fc- 3- ^Т'Bг-1)(г-2)-
4- ? = ;
/(z*+l)
2Bz— l)(z — 2)-
41.10.
3 ?=е/т (г-го)A-^0) 1тТ==0 4 e=eiT.?2^ imT=0.
(z-20)(l-zz0)' * zn—zV
41.11. C~??I±».?±* » Imx-Q.
1+2Я2 z2+l A-}_2X2)/1+X2
§ 42. Некоторые задачи, связанные с обтеканием тел
Течение жидкости в гидродинамике характеризуется тремя величинами:
плотностью р, давлением р и скоростью w, которая в плоском случае имеет
две компоненты и и v. Для идеальной несжимаемой жидкости плотность
постоянна, и ее обычно принимают равной единице. Компоненты и и v скорости w
и давление р связаны между собой уравнениями
^--{-^- = 0 (уравнение неразрывности)
и
др , ди , ди _ dp . dv , dv „ . „„ .
До тех пор, пока нас интересует лишь скорость течения, гидродинамическая
задача равносильна задаче теории векторного поля, т. е. мы можем свободно
переходить от одной системы координат к другой, используя инвариантность
величины w (г) dz относительно конформных отображений. Давление же не
является величиной, инвариантной относительно конформных отображений, и
все действия, в которых оно участвует, должны проводиться в координатной
системе первоначальной задачи. В этом параграфе мы будем иметь дело с
задачами гидродинамики, тем или иным способом связанными с учетом давления.
Одной из простейших задач гидродинамики является задача об обтекании
неподвижно закрепленного конечного (на плоскости) твердого тела с идеально
гладкой (в физическом смысле) границей потоком жидкости, имеющим на
бесконечности заданную скорость Woo- Некоторые допущения позсоляют считать
векторное поле скоростей установившегося течения локально комплексно
потенциальным полем (хотя из приведенных выше уравнений вытекает лишь, что это
поле является локально соленоидальным). Нетрудно заметить, что наложенных
условий недостаточно для решения задачи, ибо векторное поле скоростей при
заданном значении Wx> может иметь в бесконечности не только диполь, но и
вихрь, интенсивность которого нужно задать дополнительно. (В
гидродинамических задачах обычно говорят не о вихре в бесконечности, а о циркуляции
поля скоростей вдоль границы обтекаемого тела.)
В ближайших задачах мы будем считать обтекаемое тело занимающим
конечную область D комплексной плоскости и будем искать течение жидкости
в бесконечной .области, внешней к области D. При этом область D может
вырождаться в то или иное замкнутое множество без внутренних точек
(например, обтекание бесконечно тонкой пластинки). Согласно физическому смыслу
граница области D должна быть составлена из граничных линий тока
векторного поля скоростей.
404

42.01. Пусть W(z) — комплексный потенциал поля скоростей
течения жидкости, обтекающего область D, a p (z) — давление в
точке z. Доказать формулу Бернулли
p(z) + \ W (z) |2 = const {z ф D).
Указание. Воспользоваться приведенными выше уравнениями, добавив
к ним уравнение
dv ди __
Ш~ду *
вытекающее из существования комплексного потенциала поля скоростей.
42.02. Найти комплексный потенциал поля скоростей течения
жидкости, обтекающего круг | z \ <С 1 со скоростью в бесконечности
wo0=Vei'c и с циркуляцией вдоль окружности [г |=1, равной 2яр\
42.03. Нарисовать качественную картину линий тока течения
жидкости из предыдущей задачи при 0 ^ C < 2 и при C > 2.
42.04. Для течения жидкости из задачи 42.02 вычислить
давление р (z) в каждой точке окружности | z \ — 1 и найти его
наибольшее и наименьшее значения.
42.05. Пусть ? = Ф (z) —функция, конформно отображающая
внешность области. D на внешность единичного круга и
удовлетворяющая условиям ф(оо) = оо, ф'(оо)Х). Доказать, что комплексный
потенциал W(z) обтекания области D со скоростью в бесконечности
wc0 = Vel~ и циркуляцией 2?ф по границе области D можно
представить в виде
В гидродинамике часто приходится оперировать с силой PD— силой
давления потока жидкости на обтекаемое тело. Эта сила определяется, как
результирующая всех элементарных сил давления, действующих на обтекаемое
тело. Каждая элементарная сила направлена внутрь тела по нормали к его
поверхности, а ее абсолютная величина равна произведению площади
элементарной площадки поверхности тела на величину давления р (г) в центре этой
элементарной площадки. В плоском случае формула для силы давления РD
имеет вид
PD = i\ P(z)dz-
dD
Легко убедиться, что сила РD не инвариантна относительно конформных
отображений. Однако эта сила просто выражается через w^ и величину
циркуляции вдоль границы области D.
42.06. Пусть W(z) - комплексный потенциал обтекания области D.
Доказать формулу
PD=,—i \ |\FB)|2 dz.
dD
42.07. Пусть W(z)-~комплексный потенциал обтекания области
D со скоростью в бесконечности Wai—Vet'z и с циркуляцией по
405

границе области Д равной 2яр\ Доказать формулу
где z=ip(?)— функция, конформно отображающая область |?|;>1
на внешность области D и удовлетворяющая условиям tjj(oo) = oo,
Tj/(oo)>0.
Указание. См. задачу 42.05.
42.08. Преобразовать формулу предыдущей задачи к виду
PD = — 4пф ww гр' (oo).
Указание. Перейти в формуле задачи 42.07 к сопряженным числам и
воспользоваться тем, что на окружности | ? | = 1 имеет место равенство ? = 1/?.
Возможны две принципиально различные картины линий тока вблизи
обтекаемого тела: или вблизи тела есть замкнутые линии тока, окружающие это
тело, или одна часть линий тока находится по одну сторону от тела, другая —
по другую. В последнем случае есть линия тока, которая находит на тело,
разделяется на две части, идущие по разным его сторонам, а затем снова
соединяющиеся в одну линию тока. Точка границы обтекаемого тела, в которой
линия тока разделяется на дар. части, называется пинкой входа, а точка, в
которой эти две части снова соединяются в одну линию, — точкой схода.
42.09. Пусть ? = cp(z)—функция, конформно отображающая
внешность области D на внешность единичного круга и
удовлетворяющая условиям ф (оо) = сю, <р' (сю) > 0. Доказать, что обтекание
области D обладает точкой входа и точкой схода в том и только
в том случае, когда скорость в бесконечности wm и величина 2я|3
циркуляции вдоль границы области D связаны неравенством
|Р|ф'(ооХ2|«;«,!.
42.10. В условиях задачи 42.09 доказать, что точка входа гх и
точка схода z2 удовлетворяют уравнениям ср (гг) — —ег{'+ь\ <р (z^ — ef^K
где
п . 6 • ф'(оо)
r=argwaa, 8 =—ares in 2i^Lr
42.11. Найти точку входа zx и точку схода г2 для обтекания
следующих областей D со скоростью в бесконечности wco = eL~ и
циркуляцией 2зт|3 по границе области:
1. Область D, выродившаяся в отрезок [—1, 1] (обтекание
пластинки).
2. Область D—эллипс
Для идеальной жидкости в принципе возможны варианты обтекания с
любым значением циркуляции вдоль границы обтекаемого тела. Однако для
реальной жидкости вязкость, как бы она ни была мала, все же отлична от нуля.
Это приводит к тому, что при обтекании тела устанавливается течение,
имеющее одну из наиболее предпочтительных циркуляции. Такие предпочтительные
циркуляции сравнительно ярко выражены, когда у обтекаемого тела есть острые
углы. Тогда предпочтительными являются те циркуляции, при которых точка
схода. совпадает с одним из острых углов. Это правило называется постулатом
Жуковского— Чаплыгина.
406

42.12. Для обтекания указанных областей D со скоростью на
• зт зт
бесконечности wca = el'z, —т<<х<^а:^ пайти предпочтительную
циркуляцию 2лр и силу давления PD на обтекаемое тело (течением
с предпочтительной циркуляцией):
1. Область D, выродившаяся в отрезок (—1, 1).
2- Область D, выродившаяся в дугу окружности \z-\-ictga\ =
— -—, лежащую выше действительной оси @ <;«<«-).
3. Область D : \z-\-ictga[ <С
1
sin ос'
Z — /ctgoc|<
1
sin a
4. Область D
5. Область D
0<а<?).
0<а<^).
г + /ctgа <^
|z + /ctg2a|<
lmz>0 0<a<
1
sin 2 а'
z + /ctga|>-
42.13. Профилем Жуковского называется образ окружности
0<а<^,
при отображении г = oU + t)• ^ля °бтекания проф

Жуковского со скоростью в бесконечности к/со = Vetz, — г <С t <С j-, найти
предпочтительную циркуляцию 2л[3 и силу давления Рд на
обтекаемое тело (течением с предпочтительной циркуляцией).
Наряду с описанным выше обтеканием тел рассматриваются также задачи
обтекания стенок и течения в каналах. Границы стенок и каналов чаще всего
считаются прямолинейными, так что отображечия, требуемые для отыскания
течений, можно получить с помощью интегралов Кристоффеля — Шварца. Чаще,
однако, используется метод, основанный на исследовании отображения,
совершаемого функцией w (z) (ср. задачи 37.33 — 37.42). Этот метод хотя и обладает
меньшей общностью, часто позволяет получить результаты более экономным
путем. Сущность метода излагается в следующих задачах.
42.14. Пусть w(z)— векторное поле скоростей течения
жидкости в области D, ограниченной ломаными линиями (мы считаем, что
особые точки векторного поля могут
находиться только в бесконечности).
Доказать, что в углах области D,
имеющих раствор, меньший л, скорость w (z)
равна нулю, а в углах, имеющих
раствор, больший л, — бесконечности.
42.15. Пусть W (z)— комплексный
потенциал течения жидкости в канале,
изображенном на рис. 311,
отвечающего скорости на бесконечности в левом конце канала, равной ё~т.
Для определенности мы будем считать комплексный потенциал W (z)
407

нормированным условием W @) = 0. Доказать, что функция ? = W (z)
конформно отображает канал на полосу 0 <; Im ? <С a cos а, причем
левый конец канала переходит в точку ?= —со, а правый — в точку
? = +со.
Указание. Векторное поле скоростей течения жидкости в канале
порождено двумя граничными источниками противоположной
обильности, расположенными в концах этого канала. Найти обильности этих
источников и воспользоваться результатом задачи 41.04.
42.16. В условиях задачи 42.15 доказать, что-при z-^-оов левом
конце канала W (z)-~ ёа, а при .г -* со в правом конце канала W (z)-*e~ia.
42.17. В условиях задачи 42.15 доказать, что:
1. При движении точки z по левой нижней стороне канала от точки
z = 0 до точки z = оо точка w = W (z) движется по лучу arg w — a
от точки w = 0 до точки w = eia (возможно» не монотонно).
2. При движении точки z по левой верхней стороне канала от
точки z = ia до точки z = co точка w=W(z) движется по лучу
arg w=а от точки гу = оо до точки w = eia (возможно, не монотонно).
42.18. Доказать (в условиях задачи 42.15), что из предположения
монотонности функции | W (z) | при движении точки z по
прямолинейным сторонам канала вытекает, что функция w =W (-г) конформно
отображает канал на угол | argwj <Cа, причем
W@) = 0, Wr( + ooeia) = e~ia, W (ia) = oo, W (-\-oo e~ia) = eia.
42.19. Обозначим через ,г=Ф(?) функцию, обратную к функции
?=H7B). Доказать, что в предположениях задачи 42.18 функция
$=ф'(?) конформно отображает полосу 0<; Im?<; a cos а на угол
1 arg s | < а, причем
Ф'(—оо ) = *?-'"«, Ф'@) = оо, Ф'D-со) = е1а, Ф'(fa cos а) = 0.
Указание. Использовать формулу Ф' (Q = TOwTfwnV.
42.20. Пусть Ф(?)— функция, обратная к комплексному
потенциалу задачи 42.15. Доказать, чго
t
Ф@=
/ ат* \ , , Jа/л
ехр +1
r \ a cos a ' I f,
? —( )¦ d?.
ехр — 1
г \а cos a J
Указание. Убедиться, что для написанного комплексного потенциала
предположение о монотонности функции | W (z) | на прямолинейных сторонах
канала справедливо.
42.21. Для каналов, изображенных на рис. 312—315, найти
функцию Ф (?), обратную к комплексному потенциалу W(z), отвечающему
течению жидкости в канале, направленному из левого конца в
правый и имеющему модуль скорости на бесконечности в левом конце,
равный единице. Комплексный потенциал W(z) для определенности
считать нормированным условием W(fa) = 0.
408

42.22. Найти функцию Ф (?), обратную к комплексному
потенциалу W(z) течения жидкости по каналу, изображенному на рис. 316,
со скоростью на бесконечности в левом конце канала, равной 1.
Комплексный потенциал W(z) для определенности считать
нормированным условием W@}=0.
Рис. 312.
4(Mtf№/fM/M.
'MW*//M/M,f(tt,
Рис. 313.
's,s/////////////,//s//s,ur
Рис. 314.
Рис. 315.
•»,wwrf^
гй
Рис. 316.
Рис. 317.
42.23. Найти функции Ф (Q, обратные к комплексным
потенциалам W(z) течений жидкости вдоль стенок, изображенных на рис. 317
и 318, со скоростью на бесконечности, равной единице.
Комплексный потенциал W(z) для определенности считать нормированным
условием W (id)=0.
la
Г
97777777777777?
Рис. 318.
Рис. 319.
42.24. Найти функцию Ф(?), обратную к комплексному
потенциалу W{z) течения жидкости вдоль стенки, изображенной на рис. 319,
409

со скоростью на бесконечности, равной единице. Комплексный
потенциал W(z) считать нормированным условием W(ia) = 0.
Когда граница области течения имеет слишком резкие повороты, обычно
происходит явление, называемое отрывом струй. Это означает, что течение
жидкости распадается на две части — в одной части жидкость движется, в
другой — неподвижна. Для отыскания границы этих частей, называемой линией
раздела, используются следующие два условия равновесия:
1. Линия раздела должна быть линией тока.
2. Давление с обеих сторон линии раздела должно быть одинаково.
Поскольку давление в покоящейся жидкости постоянно, из формулы Бер-
нулли (см. задачу 42.01) вытекает, что на линии раздела модуль скорости
сохраняет постоянное значение.
Для решения задач о течениях с отрывом струй применяется тот же
метод, основанный на исследовании отображений, совершаемых функцией W (z),
где W (г) — искомый комплексный потенциал.
42.25. Рассмотрим течение жидкости, порожденное в
плоскости z с вертикальными разрезами [iat-\-ioo\ и [—/со,— id], а;>0,
источником обильности nV, V;>0, в точке z — —со и источником
обильности —nV в точке z=-|-oo, в предположении, что в точках
z~ia и z =— ia происходит срыв струй со скоростью, равной
по модулю V0. Обозначим через W{z) комплексный потенциал
течения в области D, где жидкость движется, а через Ф(?) — функцию,
обратную к функции W(z). Доказать, что:
1. Функция t,= W(z) конформно отображает область D на
полосу ширины nV со сторонами, параллельными действительной оси,
причем точка ? = -—со переходит в точку ? = — со, а точка
z = + со — в точку ? = + со.
2. Функция w — W (z) конформно отображает область D на
полукруг \w\<cVq, Re^i>0, причем W{—со) = 0, Wr(ia) = iV0,
UT( —/a) = —/Vo, W"(+oo)=Vo.
42.26. Доказать, что течение, описанное в предыдущей задаче,
возможно лишь в случае, когда выполняется соотношение 2а V0—
= (я —2) V.
42.27. Доказать, что функция Ф (?), отвечающая течению жидкости,
описанному в задаче 42.25, выражается формулой
Vb ' V0\ 2 \fl+e-2r/v-ij
(С — произвольная постоянная).
42.28. Пусть течение жидкости порождено в угле 0<Сargz•<ла,
0<Са<;1, некоторым граничным диполем в бесконечности
(направление скорости на луче arg 2 = а от точки z = со к точке z — 0),
причем в данной точке z = aeia происходит срыв струй со
скоростью, равной по модулю V0. Обозначим через W(z)
комплексный потенциал течения в области, где жидкость движется, а через
Ф(?) — обратную к нему функцию. Найги функцию Ф (О и
асимптотическую формулу для комплексного потенциала W(z) в
бесконечности.
410

42.29. Пусть течение жидкости в областях, изображенных на
рис. 320 и рис. 321, порождено граничным источником обильности яУ,
V;>0, в точке z =— оо и граничным источником обильности —л V
Рис. 321.
в точке z = + °°> а в точках z — ih и z = — lh происходит срыв
струй со скоростью, равной по модулю V0. Обозначим через W(z)
комплексный потенциал течения там, где жидкость движется,
а через Ф(?) — обратную к нему функцию. Найти соотношения,
при которых такие течения существуют, и формулы для Фг (?).
Задачи на обтекание с учетом срыва струй всегда сложнее задач, не
учитывающих этот эффект. В некоторых случаях учет срыва струй течения
жидкости в односвязной области может привести к отображениям
многосвязных областей. Ниже рассматривается одна из простейших задач подобного рода.
42.30. Рассмотрим течение жидкости, порожденное в конечной
односвязной области О вихрем интенсивности —2п$ в точке z0 e G,
и предположим, что вблизи вихря происходит срыв струй при
скорости, равной по модулю Va. Кривую, отделяющую движущуюся
жидкость от покоящейся, мы обозначим через /, а двухсвязную
область, в которой жидкость движется,—-через D. Через W(z)
обозначим комплексный потенциал движения жидкости в области D,
а через Ф(?) — функцию, обратную к функции W(z). Обозначим
еще через а± значение Im W(z) на кривой /, а через а2—значение
Im W(z) на дО.
Доказать, что:
1. Функция Ф(?) определена и регулярна в горизонтальной
полосе аг <С Im ? <Са2 (если р <; 0, то а2<а1 й неравенства
следует написать в обратном направлении), причем она является
периодической функцией с периодом 2зтр\
2. Функция
s = exp{?V7B)/p}
конформно отображает область D на кольцо е~аг№ <| s { <ie~aJ®.
42.31. Пусть в обозначениях задачи- 42.30 область G—это квадрат
|Re^|<;l, | Imz i<l, а точка z0—его центр. Обозначим а = а2 — ах и
нормируем комплексный потенциал W{z) условием Ф (/ее -f- лр72) = 1 -f-i
(поскольку сам комплексный потенциал многозначен, а обратная к нему
функция однозначна, то нормировка через обратную функцию удобнее).
Рис. 320.
411

Доказать, что функция
v о
конформно отображает полосу О <С Im ? < а (считаем Р > 0) на
верхнюю полуплоскость Im ? > 0 с разрезами по вертикальным лучам,
выходящим из точек gft =/с + зт/г/2, А = 0, ±1, ±2, ..., причем
§(—со) = —со, ?(+со)=т-°о, Ц/а-+^ч==/оо
(А = 0, ±1, ±2, ...)
(с — некоторая постоянная, нуждающаяся в отыскании).
42.32. Доказать, что для функции ? = F(g), обратной к функции
! = !(?) задачи 42.31, справедлива формула
'©- S
cos2|
dt
0 /A-Я)A-А-в/2)'
где постоянная &, 0<?<;1 связана с постоянной с из задачи 42.31
соотношением kch2c—l, а с постоянными а и р— соотношениями
1 i/k
J ]/A— f2)(l~fe2/2) 4 J К(*я—1)A—АЧ2)
(Я — некоторая положительная постоянная).
42.33. Доказать, что функция Ф(?), обратная к комплексному
потенциалу W(z) течения жидкости задачи 42.31, может быть
записана в виде
*©-iHSvr,,ii('-*)+'a,fc('-?)'*-
ia
где sn да — sn (да; k) и en да = en (да; А) — эллиптические функции
Якоби (синус-амплитуда и косинус-амплитуда), определяемые
равенствами
sntw
да = \ , en w —1/1 — sn2 да.
J 1/A— /2)A—#?2)'
Постоянная &, входящая в определение функций впда и епда,
связана с постоянными аир формулами, приведенными в задаче 42.32,
42.34. Пусть течение жидкости, описанное в задаче 42.31,
отвечает данным значениям р>0 и V0. Выяснить асимптотическое
поведение при V0 ->¦ со функции Ф (?) и числа а.
42.35. Пусть в обозначениях задачи 42.30 область О—это
правильный /г-угольник с вершинами в точках e2kni/n, k = 0, \,..., п—1,
412

а точка z0 — центр этого и-угольника. Найти, при каких соотношениях
между величинами а, р и V0 существует описанное в упомянутой
задаче течение жидкости со срывом струй.
ОТВЕТЫ
42.02. W = z-\- — -f/Blnz+C.
42.03. См. рис. 204 и 205.
42.04.
р(е/ф)=Ро-|Р+2йпфР;
Рт1п = А>-(|РЦ-2J;
Ро-(|Р1-2J (|Р1<2),
¦Р* AР1>2)-
42.11.
1. Zl= --y(KV2— р2 cosт+ р sin t);
z2 r= L (Yv*— Р8 cos т — р sin т).
2. гх = -^^ (К#21/2-р2 cos т+р sin T)+
¦-{
+ —^ OfR'Vb—fP sin т- Р cos т);
г2 = ^±i (|А#21/2_ Вг cos т _ р sin r) _
Я2 — 1
RSV
42.12.
1. В = — sin т; PD=2ni elX sin т.
(]Л^2 уи _ р2 sin т + В cos х).
/ , а я\ . ( . а п\
VtEZJl Pn,w* ."(т+т-т)
(т-т) «"U-tJ
sin I г
2. р= ^ , * У-. Pr>=2nieix
cos
_ 0 я sin т _ . ,т 2я3
3. В= , р =ielT shit.
r я—a ' u я—a
/ 2я2 \ кл ч 2л2 \
4ЯСОЗ T—5 r-77- 643X3COS T — 5 r-fr-)
\ Зя + 2а/ D . ix \ Зя-f 2a/
4- P- - ЬгЧ ^^
2я2 ' ^ ,«.««.„ 2я2
(Зп + 2a) sin g—г-тг- (Зя+2aJ sin2
Зя+2а v l ' Зя+2а
Г я(я + 4аУ| 16зт*со=Гт л<я+4к>1
LT 2(я-2а)] _ _, ,т 16jt COSLT 2fr-2a)J
g COS Т
5 В = L *\-> —-"/j p ^1е,
2л —а . л (я —4а) * D ._ ч„ . я(я + 4а)
smjr-^r {¦ Bя —aJ sm n ) „ (
2Bя—a) v ' 2 (я —2а)
42.13. p = #I/sin(a—r), PD=ielT -2nR*V sin (т — а).
413

42.21.
1. Ф (?) = '<*+J Г.,,, ) #•
о
ent/a+l
о
Е
3. Ф @ = fe+ \ (era/a+ l)a/n dt.
о
4. Ф <?) = *+ ( A-(«сова+6а»п«)"А^П dL
о ¦
42.22.
¦г
ф (О=j (i —е*'аУп (i+ея (*-и/°у/*а,
о
где ?v—действительное число, определяемое из условия Ф(А, + ш) = ш.
42.23.
о
Е
2. Ф (?)=ш + W/2—^ sin* а]~а/Я^аГп dL
42.24.
Е.
ф (?) = т + ] (t+%)- а/я (/ - ц)~ р/я ^а + р) /я Л,
о
где Л, и ц—положительные числа, определяемые из уравнений
к
J (Я.-о~ а/гт([*-МГ P/Va + р;/я <й=в,
о
J (Я.+0" а/л (|*- 0~ Р/Эт*fa + Э)/л #=«.
о
42.28.
UVq
где а,=-
аB—а)"*
а С—произвольная постоянная;
УB)~аB~а)(дУогI/а (г-со).
42.29.
я/2 v Z/V
1. А==в?.(* С яп—ctgxdr]; Ф(?-С)=-~ f ^ + КТ+^)Л/Я1
V 0 / D

/ Ya*-
V_ л^_ С
К{2 )
Ya*+i
xVl—x*
Ott-C) = -ii [ А+У^ + Аг + l
0
. 1 /2HV0 nV \
где A-Y[l^r^WvJ
Г'3
91/ Г 9 \ 4 / 9
42.34. Обозначим k——^ 1/ ттт • Тогда а-^ 2 In-г- и при любом
В г я ^ / 1 \ k
фиксированном t,
' 4
42.35. Определим числа 0 < ft < 1 и А > О по числам a и В из
соотношений
1 \/k
[-=?= = ?«* [ , dt
J V(i-t2)(i-k*p) n • } V(p—i){i—k*t*)
О 1
Тогда связь между величинами а, В и 1/0 описывается формулой
ш+л/з/п
V„ = 4- \ KsnXf + icnWdf,
/a
где sn>.? — sn (№; ft), en Я/ = en (Я/, ft).