/
Автор: Хакен Г.
Теги: оптика физика лазеры спектроскопия квантовая электроника
ISBN: 5-03-000937-X
Год: 1988
Текст
Light
Volume 2
LASER LIGHT DYHAMICS
H. Haken
Institut fur Theoretische Physik,
Stuttgart
North-Holland Physics Publishing
Amsterdam • New York • Oxford • Tokyo
1985
ГХакен
Лазерная
светодинамика
Перевод с английского д-ров, физ.-мат. наук
И. М. Бетерова и Т. И. Кузнецовой
под редакцией д-ра физ.-мат. наук
Н. Г. Преображенского
Москва „Мир" 1988
ББК 22.343
Х16
УДК 535
Хакен Г.
Х16 Лазерная светодинамика: Пер. с англ. — М.: Мир,
1988.— 350 с, ил.
ISBN 5-03-000937-Х
Книга известного физика-теоретика из ФРГ, одного из создателей современ-
современной квантовой теории лазера, представляет собой изложение кинетической тео-
теории лазерных систем, в котором вопросы лазерной кинетики рассматриваются
под нетрадиционным углом зрения. Глубоко и вместе с тем вполне доходчиво из-
излагаются аппарат и важнейшие приложения квантовой теории лазера, при этом
анализируется ряд новейших проблем оптики лазеров: оптическая бистабиль-
иость. двухфотонный лазер, устойчивость режима ультракоротких импульсов
и др. Может служить учебным пособием.
Для студентов вузов и аспирантов физических специальностей, а также для
специалистов, работающих в области квантовой электроники и спектроскопии.
Редакция литературы по физике и астрономии
ISBN 5-03-000937-Х (русск.) © Elsevier Science Publishers В. V., 1985
ISBN 0-444-86021-5 (англ.) © перевод на русский язык, «Мир», 1988
Предисловие редактора перевода
Книга Г. Хакена «Лазерная светодинамика» представляет собой
второй том капитального трехтомного издания, которое автор объе-
объединил названием «Свет». Имя профессора Штутгартского универси-
университета (ФРГ) Германа Хакена хорошо известно советскому читателю
по двум монографиям, выпущенным издательством «Мир» на рус-
русском языке в 1980 и 1985 гг. [1,2]. Эти книги служат введением
в бурно развивающуюся ныне теорию неравновесных фазовых пе-
переходов и кооперативных процессов самоорганизации, для которой
Г. Хакен предложил новый термин «синергетика». Многие советские
специалисты знают также фундаментальный обзор Г. Хакена по
теории лазера [3], который сначала составил содержание 25-го
тома известной «Энциклопедии физики», а затем вышел в свет от-
отдельным изданием в виде самостоятельной книги.
Из трех томов «Света» Г. Хакена за рубежом пока что изданы
первые два. В первом томе, озаглавленном «Волны, фотоны, атомы»
[4], автор, начиная с самых элементарных понятий и положений,
излагает физические основы и математический аппарат квантовой
теории с акцентом на световые явления; при этом, по мнению
Г. Хакена, от читателя не требуется даже предварительного зна-
знакомства с квантовой механикой и предполагается лишь владение
стандартным математическим аппаратом. Точно так же для чтения
второго тома не нужна обязательная проработка первого тома:
обращаться к его тексту было бы полезно лишь при чтении неко-
некоторых специальных разделов «Лазерной светодинамики», однако
советский читатель легко найдет все необходимые пояснения и в
других доступных ему учебных пособиях, руководствах и моногра-
монографиях (см., например, [5—17]). В запланированном третьем томе
Г. Хакен намерен дать детальный теоретический анализ нелиней-
нелинейных процессов взаимодействия мощного когерентного излучения
с веществом.
Рассмотрим несколько подробнее структуру и содержание пред-
предлагаемого читателю второго тома. В книге 13 глав. Две первые
главы носят вводный характер. В них кратко, с большим числом
наглядных иллюстраций описаны основные принципы работы ла-
6 Предисловие редактора перевода
зера, сформулированы наиболее актуальные задачи, стоящие се-
сегодня перед лазерной теорией. Здесь, еще без каких-либо матема-
математических выкладок, читатель знакомится с различными представи-
представителями многочисленного семейства современных лазеров: газовыми,
химическими, твердотельными (в том числе инжекционными) вплоть
до лазеров на свободных электронах.
Тема главы 3 — лазерные резонаторы. Основное внимание
здесь также обращено на простое и наглядное теоретическое описа-
описание типов колебаний (мод) в конфокальном резонаторе и в резона-
резонаторе Фабри—Перо. Приведены результаты компьютерных расчетов
распределений поля для этих резонаторов. Указанные расчеты ба-
базируются на алгоритмах, построенных еще в начале 60-х годов;
в настоящее время разработаны методы решения дифракционного
интегрального уравнения для лазерного резонатора, не исполь-
использующие стандартной итерационной схемы типа Фокса и Ли. Такие
методы более экономичны, позволяют получать в одном расчетном
цикле большой набор резонансных мод и соответствующих им по-
потерь, оперировать с любыми числами Френеля вплоть до границ
применимости геометрической оптики [18].
Глава 4 называется «Интенсивность лазерного излучения, ско-
скоростные уравнения». В ней изложена простая фотонная модель
одномодового лазера, рассмотрены релаксационные колебания,
модуляция добротности, балансные уравнения, описывающие важ-
важнейшие процессы в многомодовом лазере. Вторая половина главы
в основном посвящена анализу эффекта «образования провалов»
на контуре линии; затрагиваются также вопросы конкуренции мод.
Говоря о проблеме пространственной модуляции усиления в лазере,
которая обусловлена структурой поля в резонаторе, уместно на-
напомнить о работах советских авторов [19, 20], носящих приори-
приоритетный характер.
В главах 5 и 6 излагается полуклассическая теория лазера
в том ее варианте, который был предложен автором книги в начале
60-х годов, причем в 5-й главе рассмотрены основные уравнения
теории и методы их решения, а в 6-й главе — различные приложе-
приложения этой теории. Из разбираемых Г. Хакеном задач особенно инте-
интересными представляются анализ уравнений лазерной динамики
с учетом свойств резонатора, а также скрупулезное рассмотрение
двух важных приближений: вращающейся волны и медленно ме-
меняющейся амплитуды. Из числа затронутых прикладных задач
можно выделить исследование многомодового режима твердотель-
твердотельных лазеров и описание лазерного гироскопа. Материал этих двух
глав весьма тесно переплетается с содержанием известных статей
У. Лэмба [21, 22], которые советским специалистам по квантовой
электронике, по-видимому, известны значительно лучше, нежели
соответствующие работы Г. Хакена с сотрудниками, хотя послед-
последние были опубликованы несколько раньше*
Предисловие редактора перевода 1
В главе 7 рассмотрена теория формирования ультракоротких
импульсов. Исследуются активный и пассивный^ режимы синхро-
низации^мод, дан линейный, а затем^нелинейный анализ устойчи-
устойчивости ^возникающих импульсов.|Конец главы посвящен модели ла-
лазера с нелинейной^поглощающей ячейкой. Отметим, что в эту важ-
ную^область^квантовой^электроники существенный вклад внесли
советские теоретики. Так в работе [23] была построена квантовая
теория^лазера._с нелинейнымАпоглотителем, впервые выявлена тес-
тесная аналогия "с картиной фазовых переходов первого рода вблизи
критической точки, вычислены времена перехода из одного биста-
бильного состояния лазера в другое. Укажем еще на обзорную
статью [24] (в ней содержится много ссылок на более ранние ра-
работы советских авторов), в которой подробно прослежены особен-
особенности процесса генерации сверхкоротких световых импульсов в ла-
лазерах с просветляющимся фильтром, причем основное внимание
уделено статистическим аспектам явления.
Заголовок главы 8 таков: «Иерархия нестабильностей лазер-
лазерного излучения, хаос и пути возникновения хаоса». Математиче-
Математической основой в данном случае служит полученная в предыдущей
главе система динамических уравнений для самопульсирующего
лазера. Вводятся популярная в работах по синергетике модель
Лоренца и сопутствующий ей странный аттрактор; устанавливается
соответствие лазерных уравнений и уравнений гидродинамики,
описывающих конвекцию в ячейке Бенара. Основная часть главы
отведена вопросам хаотизации характеристик лазерного излуче-
излучения, экспериментальным иллюстрациям процессов удвоения пе-
периода, перемежаемости, перехода в пичковый режим и т. п. Чита-
Читателю, желающему изучить этот круг вопросов более подробно
и основательно, следует обратиться к уже цитированным моногра-
монографиям Г. Хакена [I, 2], а также к статьям советских авторов [25, 26].
Небольшая по объему глава 9 посвящена теории оптической
бистабильности — направлению, которое развивается необычайно
стремительно. Возникновение бистабильности изучается на мо-
модельной задаче, в которой волна распространяется внутри замкну-
замкнутого контура, состоящего из непрозрачных и полупрозрачных зер-
зеркал. В одном из плеч контура находится ячейка с нелинейной ак-
активной средой. Проведено рассмотрение и для более общего случая
с произвольной восприимчивостью среды. Подчеркнем, что оптиче-
оптическая бистабильность рассматривается в настоящее время как идей-
идейная основа будущего оптического компьютера, новых полностью
оптических систем обработки информации с использованием ди-
дискретной логики. Выпускаемая в 1988 г. на русском языке изда-
издательством «Мир» книга [27] послужит для заинтересованного чи-
читателя хорошим продолжением материала главы 9.
I В главах Ю и И излагается последовательная квантовая теория
лазера. Первый вариант такой теории был предложен автором книги
8 Предисловие редактора перевода
еще в 1964 г., а в дальнейшем существенно развит его ближайшими
сотрудниками: Рискеном, Вайдлихом, Хааке. Альтернативные
варианты теории разрабатывались также Лэмбом, Скалли, Арекки,
Лэксом и другими авторами [16, 17], но особенно заметный вклад
был внесен несколько позднее А. П. Казанцевым и Г. И. Сурду-
товичем (см. дополнение к книге [16], а также статьи [28, 29]).
В главе 10 рассматривается структура гамильтониана задачи, об-
обсуждаются квантовомеханические аналоги уравнений Ланжевена,
выясняются понятия когерентности и шума, трактуемые на чисто
квантовом языке, исследуются вопросы статистики фотонов и воз-
возможности описания поведения лазера вблизи порога. В главе 11
Г. Хакен сосредоточил внимание на анализе динамических свойств
лазера в припороговой области. Здесь широко используется аппа-
аппарат матрицы плотности и описан путь получения «из первых прин-
принципов» обобщенного уравнения Фоккера—Планка. Указаны спо-
способы редукции этого уравнения и схемы его решения в простейших
частных случаях.
Следует отметить, что подход Г. Хакена к квантовой теории
лазера методически интересен, отличается прозрачностью и про-
простотой. С его помощью реально удается получить решение для га-
газовых лазеров с малой плотностью возбужденных атомов, когда
можно пренебречь коллективными эффектами в спонтанном излу-
излучении. Правда, если среднее число фотонов в моде велико, то ла-
лазерное поле естественно описывать в квазиклассическом прибли-
приближении, используя представление когерентных состояний. Цити-
Цитированные выше работы [28, 29] как раз и посвящены построению
квантовой теории лазера, асимптотически точной по квазикласси-
квазиклассическому параметру; в результате удается единым образом описать
все основные типы лазеров при произвольном соотношении времен
релаксации среды и поля в резонаторе с учетом существенной роли
коллективных эффектов.
В короткой 12-й главе рассматривается теория так называемого
двухфотонного лазера (имеется в виду испускание двух квантов,
сумма энергий которых определяется заданным электронным пе-
переходом). С помощью квантового уравнения Ланжевена изучается
случай реализации одномодового режима, однородного уширения
и бегущей волны.
Заключительная, 13-я глава книги посвящена уже довольно
давно развиваемой Г. Хакеном концепции, согласно которой лазер
выступает как типичный объект исследования в современной си-
синергетике. Подробно поясняется, каким образом в открытой системе
типа лазера может происходить неравновесный фазовый переход.
В целом «Лазерную светодинамику» Г. Хакена есть все основа-
основания расценивать как интересный, оригинально построенный и из-
изложенный с большим педагогическим мастерством курс современ-
современной кинетической теории лазерных систем.
Предисловие редактора перевода 9
Перевод книги осуществлен кандидатом физ.-мат. наук И. М. Бе-
теровым (гл. 1—6) и доктором физ.-мат. наук Т. И. Кузнецовой
(гл. 7—13). Хочется отметить внимание профессора Г. Хакена к рус-
русскому переводу книги и, в частности, поблагодарить его за предис-
предисловие, написанное к русскому изданию.
Я. Г. Преображенский
Литература
1. Хакен Г. Синергетика.— М.: Мир, 1980.
2. Хакен Г. Синергетика. Иерархии неустойчивостей в самоорганизую-
самоорганизующихся системах и устройствах.— М.: Мир, 1985.
3. Haken II., Laser Theory.— In: Encyclopedia of Physics, vol. XXV/2c,
Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1970; corr.: Springer-Verlag, Ber-
Berlin, Heidelberg, 1984.
4. Haken H., Light, Vol. I, Waves, Photons, Atoms.— North-Holland, Else-
vier Science Pibl. B. V., Amsterdam, 1986.
5. Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Цитаевский Л. П. Квантовая элек-
электродинамика.— М.: Наука, 1980. (т. IV курса теоретической физики
Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица).
6. Карлов Н. В. Лекции по квантовой электронике.— М.: Наука, 1983.
7. Ахманов С. А., Дьяков Ю. Е., Чиркин А. С. Введение в статистическую
радиофизику и оптику.— М.: Наука, 1981.
8. Справочник по лазерам./Под ред. А. М. Прохорова.— М.: Сов. радио,
1978, т. 1, 2.
9. Летохов В. С, Чеботаев В. П. Принципы нелинейной лазерной спектро-
спектроскопии.— М.: Наука, 1975.
10. Раутиан С. Г., Смирнов Г. И., Шалагин А. М. Нелинейные резонансы
в спектрах атомов и молекул.— Новосибирск: Наука, 1979.
11. Ханин Я. И. Динамика квантовых генераторов.— М.: Сов. радио, 1975.
12. Сверхкороткие световые импульсы./Под ред. С. А. Ахманова.— М.:
Наука, 1978.
13. Мэйтлэнд А., Дани М. Введение в физику лазеров.— М.: Наука, 1978.
14. Ярив А. Квантовая электроника.— М.: Сов. радио, 1980.
15. Лоудон Р. Квантовая теория света.— М.: Мир, 1976.
16. Арекки Ф., Скалли М., Хакен Г., Вайдлих В. Квантовые флуктуации
излучения лазера.— М.: Мир, 1974.
17. Люиселл У. Излучение и шумы в квантовой электронике.— М.: Наука,
1972.
18. Булышев А. Е., Ведерников Г. А., Преображенский Н. Г.— Квантовая
электроника, 1980, т. 7, с. 1093.
19. Кузнецова Т. И., Раутиан С. Г.— ЖЭТФ, 1962, т. 43, с. 1897.
20. Островский Л. А., Якубович Е. Я.— ЖЭТФ, 1964, т. 46, с. 963.
21. Lamb W. E., Jr.— Phys, Rev., 1964, v. 134, A, p. 1429.
22. Лэмб У. Теория оптических мазеров.— В ки.: Квантовая оптика и кван-
квантовая радиофизика.— М.: Мир, 1966, с. 281.
23. Казанцев А. П., Сурдутович Г. М.— ЖЭТФ, 1970, т. 58, с. 245.
24. Зельдови'. Б. Я-, Кузнецова Т. Я.—УФН, 1972, т. 106, с. 47.
25. Кузнецова Т. И.— ЖЭТФ, 1969, т. 57, с. 1673.
26. Ораевский А. Н.— Квантовая электроника, 1981, т. 8, с. 130.
27. Гиббс X. Оптическая бистабильность. Управление светом с помощью
света.— М.: Мир, 1988.
28. Казанцев А. П., Сурдутович Г. Я.— ЖЭТФ, 1969, т. 56, с. 2001.
29. Kazantsev A. P., Surdutovich G. I.— In: Progress in Quantum Electro-
Electronics, Pergamon Press, v. 3, 1975, Part 3, p. 231.
Предисловие к русскому издании?
В этой книге речь идет об устройстве, которое называют кванто-
квантовым генератором света, оптическим мазером или лазером. В част-
частности, название «квантовый генератор света» указывает на кванто-
вомеханическую природу того основополагающего процесса, ко-
который отвечает за световую генерацию. Роль этого процесса под-
подчеркивается и аббревиатурой maser, означающей «усиление СВЧ-
радиоволн за счет вынужденного испускания»; здесь сделан
акцент на вынужденный характер процесса испускания.
В термине «оптический мазер» находит отражение то обстоя-
обстоятельство, что создание и развитие этого нового устройства уходит
корнями в СВЧ-радиофизику. И наконец, название «лазер» указы-
указывает на то, что в процессе вынужденного испускания рождается
свет. Сейчас всем известно, что такое устройство необычайно ши-
широко применяется в науке и технике. Мы все время слышим о но-
новых и новых его разновидностях и усовершенствованиях. Кроме
того, квантовый генератор света, или лазер, оказался ярким при-
примером процессов самоорганизации, когда система приобретает про-
пространственную, временную или функциональную структуру без
какого-либо специфического воздействия извне, и тем самым мы
получили некий весьма интересный прототип биологических про-
процессов. Это привело к появлению новой междисциплинарной об-
области исследования, именуемой «синергетикой», области, важную
роль в развитии которой сыграли ученые Советского Союза.
Я расцениваю перевод моей книги «Свет (Лазерная светодина-
мика)» на русский язык как большую честь для себя, поскольку
именно в СССР был сделан фундаментальный вклад в создание
и в дальнейшее теоретическое и экспериментальное развитие ла-
лазерной физики. Надеюсь, что моя книга будет полезна и студентам,
и научным работникам. Я убежден, что мы пока лишь в самом на-
начале долгого пути, двигаясь по которому будем глубже и глубже
проникать в интригующие, сложные процессы, происходящие в ла-
лазере. Возможно, что, когда мы научимся лучше разбираться в ин-
интегральных эффектах самоорганизации, нам удастся создать со-
совершенно новые типы полностью оптических компьютеров.
Г. Хакен
Перед предисловием
Уважаемый читатель, перед чтением данной книги Вам, пожа-
пожалуй, будет полезно иметь в виду следующее. Поскольку это — вто-
второй том 1), Вы можете подумать, что для его чтения (и, конечно,
понимания) Вам нужно знать все, что содержится в первом томе.
Но это не так. Данный том 2 снова начинается с довольно элемен-
элементарного уровня и затем шаг за шагом переходит к более трудным
вопросам. Только на заключительных стадиях требуются более
глубокие сведения из теории, которые могут быть почерпнуты в
томе 1. Я выбрал такую форму изложения, чтобы сделать теорию
лазерного излучения более доступной для широкой аудитории —
от студентов в начале их университетских занятий до преподава-
преподавателей и научных работников, интересующихся последними дости-
достижениями. О распределении материала по главам книги довольно
подробно говорится в конце гл. 1.
Г. Хакен
*) Том 1 монографии Г. Хакена «Свет (Волиы, фотоны, атомы)» на рус-
русский язык не переводился— Шрам. ред.
Предисловие
Эта книга предназначена для студентов и преподавателей физики.
Поскольку в ней дается общий обзор по физике лазера и приводятся
наиболее интересные последние результаты в области динамики
лазерного излучения, такие, как самопульсации и хаос, она будет
интересна также научным работникам и инженерам, занятым ис-
исследованиями лазеров или их разработкой. Изложение начинается
с довольно элементарного уровня и постепенно подводит читателя
к более сложным вопросам лазерной физики, в число которых вхо-
входят вопросы об основных особенностях лазерного излучения —
когерентности и шумовых свойствах.
В вводных главах затрагиваются наиболее типичные экспери-
экспериментальные конструкции и активные среды лазеров, но основная
часть книги будет посвящена теоретическому описанию широкого
круга лазерных процессов. Лазер, или оптический мазер, как он
первоначально назывался, будучи одним из самых важных изобре-
изобретений нашего века, нашел многочисленные применения в физике,
химии, медицине, технике, теле- и радиосвязи и других областях.
Весьма перспективны и другие приложения, например в компью-
компьютерах. Но физические процессы, приводящие к уникальным свойст-
свойствам лазерного излучения, необычайно интересны и в плане фунда-
фундаментальных исследований. Лазер — прекрасный пример системы,
находящейся вдали от теплового равновесия, которая может до-
достигать макроскопически упорядоченного состояния путем само-
самоорганизации. Это был первый пример неравновесного фазового
перехода, и его исследование способствовало рождению синерге-
синергетики, новой области исследований на стыке наук.
Я включился в исследования по физике лазеров на ранней
стадии и при весьма счастливом стечении обстоятельств. В 1960 г.
я был «приглашенным» научным работником фирмы Bell Tele-
Telephone Laboratories (г. Маррей-Хилл). Там я вскоре узнал, что на
этой фирме ведутся исследования принципиально новых источни-
источников света. За два года до этого, в 1958 г., идея такого источника
была предложена Шавловым и Таунсом, которые, в частности, вы-
вывели пороговое условие генерации и затем продемонстрировали
Предисловие 13
возможность нового прибора. Вскоре я подключился к теоретиче-
теоретическим исследованиям процессов в лазерах и продолжил их в Штут-
Штутгартском университете. Я разработал теорию лазера, основные
результаты которой опубликовал в 1962 г. и которую затем вместе
с моими коллегами приложил к различным конкретным задачам.
Примерно в то же самое время Лэмб опубликовал свою теорию,
которую он и его соавторы использовали для решения многочис-
многочисленных задач. Теперь хорошо известно, что эти две теории, которые
называются полуклассическими и которые разработаны незави-
независимо, эквивалентны. Следующий шаг состоял в создании квантовой
теории лазера, которая позволяет предсказать когерентность и шу-
шумовые свойства лазерного света (и света от обычных ламп). Эта тео-
теория, опубликованная мною в 1964 г., впервые показала, что ста-
статистические свойства лазерного излучения резко изменяются вблизи
порога генерации. В последующие годы моя группа в Штутгарте
продолжила эту работу дальше, и, например, были предсказаны
особенности статистики фотонов вблизи порога.
Начиная с 1965 г. Скалли и Лэмб стали публиковать резуль-
результаты по квантовой теории лазера, используя различные прибли-
приближения, а Лэкс и Люиселл предложили свою теорию. Снова все эти
теории в известном смысле оказались более или менее эквивалент-
эквивалентными. В те годы экспериментальная лазерная физика развивалась
(и до сих пор развивается) гигантскими шагами, но так как книга
главным образом касается теории лазера, я буду вынужден опу-
опустить описание истории развития этой области физики.
Из изложенных выше моих личных воспоминаний явствует, что
теория лазера и, пожалуй, в еще большей мере лазерная физика
были областями сильной научной конкуренции. Но, что гораздо
существенней, лазерная физика была для всех нас увлекательней-
увлекательнейшей областью исследований. Если оглядеться в наши дни, можно
уверенно сказать, что она и сегодня не потеряла своей привлека-
привлекательности. Снова и снова предлагаются новые лазерные материалы,
изобретаются новые экспериментальные устройства, предсказы-
предсказываются и обнаруживаются новые эффекты. Несомненно, в течение
многих лет лазерная физика будет оставаться весьма привлека-
привлекательной и важной областью исследований, в которой фундаменталь-
фундаментальные проблемы тесно переплетаются с приложениями большой прак-
практической важности. Я надеюсь, что читатель моей книги почувст-
почувствует очарование этой области физики.
За последние почти 25 лет мне принесли большую пользу со-
сотрудничество и дискуссии со многими учеными, и я воспользуюсь
предоставившейся мне возможностью поблагодарить их всех. Это
Вольфганг Кайзер, который был первым (на фирме Bell Telephone
Laboratories), с кем я обсуждал проблемы лазера. Потом это члены
моей группы в Штутгарте, которые в 60-х годах работали над тео-
теорией лазера и внесли в нее неоценимый вклад. Мне хотелось бы
14 Предисловие
упомянуть, в частности, Грэхэма, Гефферса, Рискена, Зауэрмана,
Шмида, Фольмера, Вайдлиха. Большинство из них имеют свои
собственные кафедры в различных университетах. Среди моих
коллег, кто в последние годы занимался теорией лазеров и ее при-
приложениями, были Голль, Шенцле, Оно, Вундерлин и Цорелль.
Я благодарен за многочисленные в течение всех этих лет дружеские
и стимулирующие дискуссии с Арекки, Беннеттом, Бломбергеном,
Бонифацио, Эберли, Гарретом, Глаубером, Хааке, Климонтовичем,
Лэмбом, Лэксом, Люиселлом, Луджато, Менделом, Нардуччи,
Пайком, Сарджентом, Скалли, Шимодой, Стенхольмом, Вэнгом,
Вольфом, Цангом и многими другими учеными.
Я хочу поблагодарить своего коллегу д-ра Оно за его неослабе-
вавшую большую помощь при подготовке рукописи. В частности,
он тщательно проверил формулы и упражнения, некоторые доба-
добавил сам и подготовил рисунки. Особенно благодарен я моему сек-
секретарю, миссис Функе, которая, несмотря на свою большую адми-
административную работу, помогла мне во многих случаях при напи-
написании рукописи и напечатала различные варианты быстро и высо-
высококачественно. Ее неутомимое усердие постоянно подстегивало
меня, подгоняя к завершению работы.
Большую поддержку при написании этой книги оказала мне
программа Немецкого общества научных исследований. Эта про-
программа была инициирована профессором, доктором Майером-
Лейбницем, которого я сердечно благодарю.
Г. Хакен
Обозначения
А — константа; поперечный размер зеркала.
Ai — апертура t-ro зеркала.
Ац, ki — константа в уравнении для матрицы плотности.
А% — комплексная амплитуда.
А% it) — комплексная амплитуда, медленно изменяющаяся
часть.
Лд — комплексная амплитуда, не зависящая от времени;
дипольный момент атома.
A\i% @ — медленно изменяющаяся амплитуда моды; дипольный
момент.
а/ — оператор уничтожения электрона в /-м состоянии.
af — оператор рождения электрона в /-м состоянии.
а? — оператор рождения электрона в /-м состоянии атома
с номером ц,
а,-, ц — оператор уничтожения электрона в /-м состоянии
ц-го атома.
акк'кП" — коэффициент в нелинейных членах.
В — комплексная амплитуда электрического поля, не за-
зависящая от времени; константа; магнитная индукция.
B^(t)— медленно изменяющаяся амплитуда электрического
поля моды с номером X.
В (t) — медленно изменяющаяся комплексная амплитуда
электрического поля.
Ь? — оператор рождения моды с номером Я,.
Ь% — оператор уничтожения моды с номером К; безразмер-
безразмерная комплексная амплитуда электрического поля.
С — константа.
Сцк — коэффициент связи для амплитуд мод ??, ?/, %к.
с — скорость света в вакууме,
с' — скорость света в среде.
С/ — постоянный коэффициент.
С/ @ — коэффициент в разложении теории возмущений,
с( — пропускание зеркала,
16 Обозначения
D — диэлектрическое смещение; нормированная инверсия;
расстояние между зеркалами.
D — нормированная инверсия заселенности.
Dt — начальная инверсия при модуляции добротности.
Do — ненасыщенная инверсия.
3H — полная ненасыщенная инверсия в лазере, на который
действует вынуждающее внешнее поле.
<2) (t) — полная насыщенная инверсия в лазере, на который
действует внешнее поле.
D {x,t) — плотность атомной инверсии.
D^n — комбинация констант.
Dp.iv — комбинация констант.
d — малое отклонение от нормированной инверсии.
do — ненасыщенная инверсия одного атома.
dp — инверсия fi-ro атома.
d(a>) — спектральная плотность инверсий.
Е — нормированное электрическое поле.
Е — напряженность электрического поля.
Ео — амплитудный множитель напряженности электриче-
электрического поля,
^внеш— вынуждающее внешнее электрическое поле.
Е — нормированное электрическое поле.
Е (t)— зависящая от времени напряженность электрического
поля.
<§{t) — амплитуда электрического поля в лазере, на который
действует вынуждающее внешнее поле.
Ех — компонента напряженности электрического поля по
оси х.
Е(х) — напряженность электрического поля.
Е {\,t) — напряженность электрического поля.
Е~(х,/) — электрическое поле (отрицательно-частотная часть).
(^) — электрическое поле (положительно-частотная часть).
(*) — напряженность электрического поля на зеркале 5.
Ет — амплитуда прошедшего электрического поля.
(t) — зависящая от времени амплитуда в разложении элек-
электрического поля по модам.
\f) — отрицательно-частотная часть амплитуды моды элек-
электрического поля.
— положительно-частотная часть амплитуды моды элек-
электрического поля.
е — элементарный заряд; малое отклонение от нормиро-
нормированного электрического поля.
е^ — вектор поляризации моды с номером X.
F — нормированная напряженность электрического поля;
площадь поперечного сечения резонатора.
Обозначения 17
F(t),
F+ (t) — квантовомеханические флуктуации (моды поля).
?полн (t) — полная флуктуация (моды поля).
/ — постоянная в законе Гука.
/ (х) — пространственная зависимость моды резонатора.
fx (x) — пространственная зависимость амплитуд.
/ \q,t) — плотность распределения.
/ (г,ф) — плотность распределения в полярных координатах.
7 (x,y;t) — функция распределения.
G — полный коэффициент усиления вдали от насыщения.
Gij, и — коэффициент корреляции для квантовомеханических
флуктуации.
g — константа связи.
g^ — константы связи одной моды с fi-м атомом.
8уй. — коэффициент связи ц-ro атома с модой номер X.
g (x) — пространственная зависимость моды резонатора.
Н — напряженность магнитного поля.
Я — гамильтониан.
#0 — невозмущенный гамильтониан.
НА — гамильтониан атомов.
Haf — гамильтониан связи одного атома с полем.
HAf — гамильтониан связи атомов с полем.
НA_F — гамильтониан связи атомов с многомодовым полем.
Нв — гамильтониан /-го теплового резервуара.
Ив—а — гамильтониан связи теплового резервуара с атомами.
HB[_f — гамильтониан связи теплового резервуара с полем.
#f — гамильтониан свободного поля.
Нр — гамильтониан многомодового поля.
Нп (х) — полином Эрмита.
Hs — возмущенный гамильтониан.
Hf2 — матричный элемент возмущенного гамильтониана.
Ни — компонента напряженности магнитного поля по оси у.
h, h/2n, % — постоянная Планка, h = h/2n.
I — интенсивность.
/( — интенсивность падающего света.
1% — интенсивность моды X.
/s — интенсивность насыщения.
Iт — интенсивность прошедшего света.
i — мнимая единица.
Jkk'k' — свертка пространственных мод.
j — плотность тока.
К (А,дх) — линейная матрица.
К (q) — сила, действующая на фиктивную частицу.
Ki(t.t') — функция взаимной когерентности.
к^ — волновой вектор моды Я.
// —
М —
18 Обозначения
if — длина оптического пути в кольцевом резонаторе.
L — обобщенный полный оператор Фоккера—Планка;
длина резонатора.
LA — обобщенный оператор Фоккера — Планка для ато-
атомов.
LA_f — обобщенный оператор Фоккера—Планка для системы
атом—поле.
Lf — обобщенный оператор Фоккера—Планка для моды
поля.
— вспомогательное обозначение.
число генерирующих мод.
М; — средние значения мощностей (чисел фотонов),
т — вспомогательное обозначение.
т — масса электрона.
N — число Френеля; число атомов; число синхронизован-
синхронизованных мод.
Jf — нормировочный множитель.
Nt — число заполнения (заселенность) 1-го уровня.
N«)> Nis — стационарное число заполнения (заселенность) i-ro
уровня.
Ni, пор— пороговое, число заполнения (заселенность) ?-го
уровня I.
Ntt ц — число заполнения (заселенность) /-го уровня ц-го
атома.
N (A,q) — нелинейная часть уравнения движения.
п — число фотонов.
п — среднее число фотонов.
п0 — стационарное число фотонов.
tii — начальное число фотонов в режиме модуляции доб-
добротности.
rij — число заполнения (заселенность).
«макс — максимальное число фотонов при модуляции доброт-
добротности.
«сп — число спонтанно испущенных фотонов.
п (t) — временная зависимость числа фотонов в режиме мо-
модуляции добротности.
пТ — число тепловых фотонов.
_% — число фотонов в моде номер "к.
Об' — собственный вектор левого вращения.
О(У—собственный вектор правого вращения.
О(р\ Р*) — экспоненциальный оператор.
Р, Р(а) — интенсивность излучения лазера (при мощности на-
накачки а).
Р — плотность атомной поляризации.
Р — нормированная поляризация.
Обозначений 19
Р (t) — полный дипольный момент в лазере, на который дейст-
действует вынуждающее внешнее поле.
Р (и, и*) —функция распределения Глаубера—Судершана.
Р (х,0 — плотность атомной поляризации.
Р+ (x,t) — плотность атомной поляризации (положительно-ча-
(положительно-частотная часть).
Р~ (х,0 — плотность атомной поляризации (отрицательно-ча-
(отрицательно-частотная часть).
Р^ (t) — зависящая от времени амплитуда в разложении по-
поляризации по модам.
Р?-) (t) — отрицательно-частотная часть амплитуды моды (по-
(поляризации).
ffjH (/) — положительно-частотная часть амплитуды моды (по-
(поляризация).
р — малое отклонение от нормированной поляризации;
плотность состояний фотонов; нормированная поля-
поляризация.
р — дипольный момент атома.
р(+) — положительно-частотная часть дипольного момента.
р<-> — отрицательно-частотная часть дипольного момента.
рд — дипольный момент fi-ro атома.
Р (п,Т0) — распределение числа фотонов.
Q — добротность.
Q, Qij — коэффициент диффузии в уравнении Фоккера—Планка.
q (t) — координата фиктивной частицы.
q (x,t) — отклонение вектора состояния от вектора стационар-
стационарного состояния.
R — коэффициент отражения зеркала.
R (t) — модуль параметра порядка.
г (t) — модуль комплексной амплитуды электрического поля.
S — полный дипольный момент.
Sz — спиновые операторы.
Т — продольное время релаксации; коэффициент пропу-
пропускания зеркала.
7\ — продольное время релаксации.
t — время.
U (х) — функция, описывающая моду резонатора.
U (x,t) — вектор состояния.
Uo (x,t) — вектор стационарного состояния.
и — классическая переменная, соответствующая моде поля.
и% (х) — пространственная зависимость моды поля.
% (х) — собственная волновая функция, описывающая моду
резонатора.
V — объем резонатора.
20 Обозначения
V (q) — потенциал фиктивной частицы.
v — скорость атомов газа; классическая переменная, со-
соответствующая дипольному моменту.
W — вероятность спонтанного излучения на один атом
в единицу времени.
W (п) — функция распределения дискретных чисел фотонов.
Wt — энергия г'-го уровня; собственное значение.
Wj (k) — энергетическая полоса.
WKil — вероятность излучения fi-ro атома в моду номер X.
W\ (со) — спектральная плотность излучения в моде с номером X.
W% — константа.
w (x, t) — собственная волновая функция линейного уравнения.
Шц — вероятность перехода i -> /.
ws — радиус (размер) пятна.
X — нормированное поле прошедшего света (общий слу-
случай).
X, Y — пространственные координаты, нормированные.
х — нормированное поле прошедшего света.
х, у, z — пространственные координаты.
х — вектор точки пространства.
Хц, —вектор положения [х-го атома.
Y — нормированное поле падающего света (общий случай).
у (со) — нормированное поле падающего света.
z — аксиальная координата.
а — ширина неоднородно уширенной линии; поляризуе-
поляризуемость атома; коэффициент поглощения; собственное
значение.
а; — критический управляющий параметр,
а^ (() — комплексный дипольный момент fi-ro атома,
a (t) — среднее значение нормированного комплексного ди-
польного момента.
Р, Р; — собственные значения.
Г — действительная часть собственного значения.
Yd (t) — квантовомеханическая флуктуационная сила (инвер-
(инверсия).
Г+, Г_,
Г;;- (/) —¦ квантовомеханическая флуктуационная сила (диполи).
Гц+, Гц- — квантовомеханическая флуктуационная сила (один
диполь).
у — атомная (естественная) ширина линии.
Yb —константа продольной релаксации.
Yj_ — ширина однородно-уширенной линии.
Л — оператор Лапласа; нормированный параметр рас-
расстройки.
Обозначения 21
А У — элемент объема.
Av — ширина линии лазерного излучения; атомная ширина
линии.
Да» — ширина полосы (частот).
б — константа в уравнении матрицы плотности; нормиро-
нормированная частотная расстройка,
б (х) — функция Дирака,
бу, 6Xv — символы Кронекера.
б„ — малые отклонения от стационарного числа фотонов
8Nt — малое отклонение от стационарного числа заполнения
(заселенности).
бсо — нормированный параметр расстройки.
V — оператор градиента (набла).
8 — диэлектрическая проницаемость.
80 — электрическая постоянная.
0 — угловая ширина пучка.
¦9- — атомный дипольный момент.
®jk — матричный элемент дипольного момента.
х — константа затухания резонатора.
х(/) — зависящие от интенсивности потери резонатора.
хх — константа затухания моды с номером X.
А — нормированный параметр накачки.
К — длина волны; индекс (номер) моды.
fi — индекс (номер) атома; магнитная восприимчивость.
[х0 — магнитная постоянная,
v — частота атомного перехода.
? — постоянная в уравнении для матрицы плотности; ко-
координата электрона.
?ц — пространственное смещение электрона в ц-м атоме.
\kj @ — амплитуда, зависящая от времени.
is (t) — стабильная амплитуда моды.
?„ (/) — нестабильная амплитуда моды (заданный пара-
параметр).
р — приведенная матрица плотности; расстояние в про-
пространстве.
Ро — пространственная плотность атомов,
р/ — приведенная матрица плотности моды поля.
Pf,T — матрица плотности моды поля, связанной с тепловым
резервуаром.
р (а») — спектральная плотность мод.
рполн — матрица плотности полной системы.
о — электрическая проводимость,
т — нормированное время.
Ф — волновая функция.
Ф (t) — фаза комплексной амплитуды электрического поля.
22 Обозначения
Ф (б) — интеграл ошибки.
Ф — фазовый множитель.
ФУ- — собственная волновая функция невозмущенного га-
гамильтониана.
Фь — постоянная фаза в амплитуде моды.
X — диэлектрическая восприимчивость; комплексный ко-
коэффициент поглощения.
X (I) — характеристическая функция.
X (Р,Р*) — характеристическая функция распределения Вигнера.
%р (Р. Р*) — характеристическая функция распределения Глау-
бера—Судершана.
%q (Р.Р*) — характеристическая функция в Q-распределении.
*? — волновая функция.
ip — относительная фаза синхронизованных мод.
Q — частота лазера в заполненном резонаторе; мнимая
часть собственного значения; обобщенный квантово-
механический оператор,
о» — круговая частота моды резонатора,
о' — частотное расстояние между модами резонатора,
со — круговая частота атомного перехода.
оH — центральная частота.
Од — круговая частота ц-го атома.
щ — частота моды с номером А, в незаполненном резона-
резонаторе.
(лм — частота модуляции.
шпт — частота перехода.
<ог — мнимая часть собственного значения.
«„ — мнимая часть нестабильного собственного значения.
ВВЕДЕНИЕ
1.1. Принцип действия мазера и лазера
Английское слово «laser» составлено из начальных букв выраже-
выражения «light amplification by stimulated emission of radiation», что
в переводе означает «усиление света за счет вынужденного испу-
испускания излучения». Принцип действия лазера явился дальнейшим
развитием принципа действия мазера. В свою очередь слово «та-
ser» — это акроним выражения «microwave amplification by sti-
stimulated emission of radiation» [усиление микроволн (СВЧ) за счет
вынужденного испускания излучения]. Понятие вынужденного
излучения было введено Эйнштейном в 1917 г., когда он анализи-
анализировал физический смысл формулы Планка для излучения. Потре-
Потребовалось почти 40 лет, чтобы родилась мысль об использовании
процесса вынужденного излучения для получения когерентного
микроволнового излучения и, в частности, света новой природы —
лазерного света.
Первые мазеры были созданы Басовым и Прохоровым A954—
1955 гг.) и независимо Таунсом A954 г.), которые выполнили также
эксперименты с таким устройством. Шавлову и Таунсу мы обязаны
распространением принципа мазера на оптическую область спектра
A958 г.).
Одно из первых предложений использовать вынужденное излу-
излучение для усиления света содержалось в авторском свидетельстве,
выданном В. Фабриканту в 1951 г., но его содержание было опубли-
опубликовано только в 1959 г.
В 1977 г. Гоулду был выдан патент на некоторые аспекты прин-
принципа действия лазера. Но его работа не была опубликована и оста-
осталась неизвестной научной общественности.
Поскольку принцип действия лазера развился из принципа
действия мазера, первое название, предложенное Шавловом и Таун-
Таунсом, было таким: «оптический мазер». Однако теперь повсеместно
используется более краткий термин «лазер».
*г Чтобы понять принцип действия лазера, будет полезным рас-
рассмотреть сначала работу мазера. Мазер*состоит из двух основных
компонентов. Одна — это резонатор, а другая"—"молекулы, ко-
которые содержатся в резонаторе или вводятся в него. Резонатор
24
Глава 1
представляет собой полую металлическую камеру определенной
формы и определенных размеров. В нем может быть возбуждено
электромагнитное поле с дискретным выбором длин волн (рис. 1.1
1 Z
Рис. 1.1. Мода электромагнитного поля в полом СВЧ-резонаторе. Стрелками
указаны локальное направление и относительная величина напряженности
электрического поля.
и 1.2). Соответствующие стоячие волны в дальнейшем будут на-
называться модами резонатора. Они отвечают дискретной последова-
последовательности собственных частот. Эти моды, которые могут в принципе
-Стенки
Рис. 1.2. Стоячая электрическая волна между двумя идеально проводящими
стенками.
существовать в резонаторе, необходимо возбудить. С этой целью
в резонатор вводятся энергетически возбужденные молекулы, в ча-
частности молекулы аммиака. Чтобы понять работу мазера, пока что
Введение
25
достаточно знать, что возбужденная молекула NH3 может перейти
в основное состояние, испустив электромагнитную волну с энер-
энергией кванта hv = Wt—W,-, где v — частота испускаемой волны,
a W; и Wf — энергии начального и конечного состояний молекулы.
Частоты мод
Рис. 1.3. Зависимость интенсивности излучения молекулы от круговой ча-
частоты. В большинстве случаев в СВЧ-диапазоне частоты мод настолько да-
далеки друг от друга, что внутри линии излучения оказывается только частота
одной моды резонатора.
Кроме того, возбужденные атомы и молекулы могут «вынуждаться»
к испусканию кванта света, если уже имеются один или несколько
квантов такого электромагнитного поля; такой процесс называется
вынужденным испусканием излучения. При наличии возбужден-
возбужденЧастоты мод
Рис. 1.4. Пример асположения модовых частот в оптической области. В об-
общем случае в линию излучения могут попадать многие частоты.
ных молекул в резонаторе определенная его мода может все больше
и больше усиливаться за счет процесса вынужденного испускания.
Чтобы передача энергии молекул в электромагнитную волну была
эффективной, частота молекулярного перехода должна совпадать
с частотой моды резонатора, которую требуется усиливать. Точ-
26 Глава 1
нее говоря, нужно, чтобы частота моды лежала в пределах линии
молекулярного перехода. В зависимости от того, какие молекулы
используются в мазере, для усиления той или иной моды нужно
подбирать размеры полого СВЧ-резонатора. Таким путем можно
добиться, чтобы только одна частота попадала в пределы линии
перехода, а все остальные частоты лежали вне ее (рис. 1.3).
Шавлов и Таунс предложили распространить принцип действия
мазера на оптическую область, используя оптические переходы
между электронными уровнями атомов. При попытках реализо-
реализовать принцип действия лазера возникают новые по сравнению с ма-
мазером фундаментальные проблемы. Это связано в первую очередь
с тем, что длина волны света мала по сравнению с любыми приемле-
приемлемыми размерами резонатора. Таким образом, в общем случае ин-
интервал между частотами различных мод становится очень малым,
а потому в частотную полосу атомного перехода попадает большое
число мод (рис. 1.4). Следовательно, приходится осуществлять
выделение нужной моды. Одна из возможностей такого выделения
заключается в том, что убирают боковые стенки резонатора и ис-
используют просто два зеркала, расположенных параллельно друг
другу на его концах. При этом образуется интерферометр Фабри—
Перо, что было предложено Шавловом, Таунсом, Прохоровым
и Дике. Селекция мод осуществляется двояко (рис. 1.5 и 1.6).
Прежде чем начнется процесс генерации лазерного излучения,
возбужденные атомы спонтанно испускают свет во всех возможных
направлениях. Благодаря указанному расположению зеркал в ре-
резонаторе будут существовать достаточно долго (для эффекта вы-
вынужденного испускания) только те световые волны, которые рас-
распространяются в направлении, близком к оси лазера. Другие же
моды не будут усиливаться. Такой механизм особенно эффективен,
поскольку за счет вынужденного испускания усиливаются волны,
которые имеют одни и те же направление, длину волны и поляри-
поляризацию. Таким образом, интерферометр Фабри—Перо осуществляет
сильную дискриминацию мод по их временам жизни в резонаторе.
Далее, при указанном расположении зеркал может поддерживаться
возбуждение только тех аксиальных мод, для которых выполняется
условие
где X — длина волны, L — расстояние между зеркалами, an —
целое число. Но даже при таком ограничении в пределах одной
атомной линии может лежать большое число частот. Окончатель-
Окончательная селекция мод вплоть до выделения одной моды достигается
в процессе самой лазерной генерации. Это будет продемонстриро-
продемонстрировано далее в книге.
Первое экспериментальное подтверждение принципиальной воз-
возможности работы лазера было осуществлено в 1960 г. Мейманом.
Введение
27
который использовал рубин — красный драгоценный камень. С тех
пор лазерная физика быстро развивалась и прогрессирует до на-
настоящего времени. Практически каждый год открываются новые
материалы или лазерные системы, и существует все еще множество
актуальных задач, как, например, распространение принципа дейст-
действия лазгра на рентгеновскую область спектра и на диапазон у-из-
Jep/ta/ra
Рис. 1.5. Возбужденные атомы в
лазерном резонаторе могут испу-
испускать свет во всех направлениях.
Волны, которые распространяют-
распространяются не параллельно оси лазера,
через короткое время выходят из
резонатора и не дают вклада в
процесс лазерной генерации.
Рис. 1.6. Напряженность электричес-
электрического поля аксиальной стоячей волны
в лазерном резонаторе.
лучения. Сегодня известно уже очень много лазерных материалов.
Краткое обсуждение наиболее типичных из них будет проведено
в разд. 2.3.
1.2. Проблемы теории лазера
В этой книге основное внимание будет сосредоточено на теорети-
теоретическом описании работы лазера. Как мы увидим, в лазере сущест-
существует множество весьма интересных процессов, и мы рассмотрим их
детально. Но каковы физически интересные аспекты и проблемы
в теории лазера? Мы должны ясно представлять себе, что в лазере
присутствует очень много активных атомов, скажем 1014 или больше,
которые взаимодействуют со многими лазерными модами. Следо-
Следовательно, мы сталкиваемся здесь с проблемой многих частиц. Да-
Далее, лазер — открытая система. С одной стороны, лазер все время
испускает свет через одно из своих зеркал, частично прозрачное.
С другой стороны, энергия должна непрерывно вводиться в лазер
для поддержания генерации. Таким образом, система является не-
незамкнутой в смысле обмена энергией с окружающей средой. Так
как атомы непрерывно возбуждаются и испускают свет, атомная
28 Глава 1
система далека от теплового равновесия. За последние годы стало
ясно, что лазер представляет собой прототип незамкнутой системы,
далекой от теплового равновесия. Ясно, что оптические переходы
между атомными уровнями должны рассматриваться согласно
квантовой теории. Сама линейчатая структура спектра уже яв-
является прямым проявлением квантовой природы вещества. Оче-
Очевидно, что здесь мы имеем дело с весьма сложной задачей, решение
которой потребовало новых форм физического мышления. Эта за-
задача решалась в несколько этапов.
1.2.1. Скоростные уравнения
Простейшее описание, которое носит егае модельный характер,
основывается на уравнениях для скорости изменения числа фото-
фотонов, заполняющих отдельные моды «резонатора». Типичное урав-
уравнение для числа фотонов п имеет вид
dnldt = скорость генерации—скорость исчезновения.
Эти уравнения полностью подобны тем, из которых Эйнштейн по-
получил формулу Планка. Такого рода описание, которое использо-
использовалось Тангом, Штатцем, Демарсом и многими другими для про-
процессов в лазерах, все еще применяется сегодня, когда изучаются
достаточно общие явления, такие, как распределение интенсивно-
интенсивности лазерного света. Но модельное описание, основанное на числах
фотонов, недостаточно для описания многих важных процессов
в современной лазерной физике, в частности когда важны фазовые
соотношения между световыми волнами. Наиболее адекватное опи-
описание лазерных процессов дает полуклассическая теория лазера.
1.2.2. Полуклассическая теория
Эта теория имеет дело с взаимодействием между электромагнитным
полем мод резонатора и атомами газообразной или твердой актив-
активной лазерной среды. Поле рассматривается как классическая ве-
величина, подчиняющаяся уравнениям Максвелла, а движение элек-
электронов в атомах описывается на основе квантовой теории.
Члены источника в уравнениях Максвелла, которые в класси-
классическом описании отвечают осциллирующим атомным диполям,
представляются квантовомеханическими средними. Учитываются
также процессы накачки и высвечивания атомов. Получающиеся
в результате сцепленные уравнения нелинейны и требуют специ-
специальных методов решения. Такая теория была развита мной в 1962 г.
и в дальнейшем совершенствовалась мной и моими сотрудниками.
Эта теория, а она будет подробно изложена в книге, позволяет рас-
рассматривать многомодовую задачу как в твердотельных, так и га-
газовых лазерах. Она дает возможность понять, в каких условиях
Введение 29
происходит селекция одной моды, а в каких может существовать
несколько мод. Ниже будет показано, что при лазерной генерации
частоты испускаемого излучения сдвинуты относительно центра
атомной линии и относительно собственной частоты резонатора.
При определенных предположениях, в частности о том, что от-
отсутствуют какие-либо фазовые соотношения между отдельными
модами, из полуклассических уравнений могут быть выведены
и тем самым обоснованы скоростные уравнения. Теория, эквива-
эквивалентная нашей, была развита независимо Лэмбом и опубликована
им в 1964 г., причем Лэмб рассматривал газовый лазер. При нали-
наличии фазовой синхронизации мод возникает ряд новых важных яв-
явлений, таких, как генерация ультракоротких импульсов. Полу-
Полуклассические уравнения все еще используются многими учеными
как основа для исследования различных явлений, происходящих
в лазерах, и ниже будет представлен ряд примеров. Таким обра-
образом, центральное место в этой книге, посвященной динамике лазер-
лазерного излучения, будет занимать полуклассическая теория.
1.2.3. Квантовая теория лазера
Полуклассическая теория, в которой поведение атомов описывается
некоторыми квантовомеханическими средними, а световое поле
рассматривается как классическая величина, приводит к одному
странному выводу. В то время как выше критического значения
мощности накачки, в результате которой атомы непрерывно воз-
возбуждаются, лазерное излучение возникает в виде полностью коге-
когерентной волны, ниже этой критической мощности вообще не должно
быть испускания света. Но адекватная теория лазера должна вклю-
включать в себя описание излучения и обычных излучателей как част-
частный случай и должна быть в состоянии объяснить различие между
светом обычного теплового источника и лазерным излучением. Из-
Известно, что излучение обычных ламп обусловлено спонтанным ис-
испусканием. Спонтанное излучение — типичный квантовый процесс.
Очевидно, что полуклассическая теория не в состоянии описать
такой процесс. В связи с этим становится необходимым развить
полностью квантовомеханическую теорию лазера. Созданная ра-
ранее квантовая теория, в частности разработанная Вайскопфом и
Вигнером, могла подробно описать спонтанное излучение отдель-
отдельного атома, но была непригодна для описания работы лазера.
Таким образом, мы встали перед необходимостью разработки
теории лазера, которая была бы полностью квантовой и включала
в себя нелинейности, известные из полуклассических теорий. Эта
теория, которую я опубликовал в 1964 г., показала, что излучение
лазера принципиальным образом отличается от света обычных
источников. В то время как свет обычных ламп состоит из отдель-
отдельных некогерентных волновых цугов, излучение лазера представ-
30 Глава 1
ляет собой единственную волну, фаза и амплитуда которой подвер-
подвержена малым флуктуациям. Измерения флуктуации интенсивности
лазерного излучения ниже и выше порога, выполненные Армстрон-
Армстронгом и Смитом A965 г.), Фридом и Хаусом A965 г.), полностью под-
подтвердили мои предсказания. Мой подход требовал исключения не-
непосредственной окрестности порога генерации. Этот пробел был
устранен в 1965 г. Рискеном (и позднее Хемпстэдом и Лэксом).
Рискен интерпретировал мое квантовое уравнение лазера как клас-
классическое уравнение Ланжевена и вывел соответствующее уравне-
уравнение Фоккера—Планка. Стационарное решение этого уравнения
Фоккера—Планка описывает статистику лазерных фотонов. Коге-
Когерентные и шумовые свойства излучения лазера, а также статистика
фотонов будут рассмотрены в гл. 10 и 11. При этом кроме уравнений
Ланжевена и Фоккера—Планка нам потребуется также уравнение
для матрицы плотности. Уравнения для матрицы плотности, кото-
которые описывают квантовомеханически как атомы, так и световое
поле, были выведены Хааке иВайдлихом A965 г.) и Скалли и Лэм-
бом A966 г.). Решения уравнений для матрицы плотности враз-
личных представлениях были получены Скалли и Лэмбом A966 г.)
и Вайдлихом, Рискеном и Хакеном A967 г.). В дальнейшем эту
работу продолжил ряд других авторов, которые использовали
другие представления и включили в уравнения члены более высо-
высокого порядка.
1.2.4. Квантово-классическое соответствие
В виде отступления сделаем несколько технических замечаний,
интересных для теоретиков.
Возник интересный вопрос: почему квантовомеханический про-
процесс может описываться классическим уравнением Фоккера—
Планка? Это ведет к дальнейшему развитию принципа соответст-
соответствия, который позволяет нам установить связь между квантово-
механическим описанием и классической формулировкой, не те-
теряя квантовомеханической информации. Такая формулировка тео-
теории была предложена Вигнером A932 г.), который рассмотрел
квантовые системы, описываемые операторами координаты и им-
импульса. Следующий важный шаг сделали Глаубер и Судершан
A963 г.), которые ввели операторы бозе-поля. В частности, тщатель-
тщательное исследование Глаубером квантовых корреляционных функций
дало общую основу для описания когерентных свойств света. Но,
конечно, будучи общей, она не позволяла сделать какие-либо пред-
предсказания о когерентных свойствах лазерного света. Поэтому и по-
потребовалось разработать квантовую теорию лазера (см. разд. 1.2.3).
В последней нельзя было обойтись без включения в рассмотрение
атомной системы, а для этого понадобилось весьма расширить прин-
принцип соответствия. Задача была решена Гордоном A967 г.) и Хаке-
Введений 31
ном, Рискеном И Вайдлихом A967 г.) различными, хотя и эквива-
эквивалентными способами. Поскольку принцип соответствия важен не
только в физике лазера, но и в нелинейной оптике, он будет пред-
представлен в разд. 11.2.
1.2.5. Лазер прокладывает путь синергетике
Новые горизонты в теории лазера открылись в 1968 г., когда было
замечено, что переход в каждом лазере от спонтанного излучения
к генерации обнаруживает большое сходство с фазовыми переходами
в системах, находящихся в тепловом равновесии. Лазер стал пер-
первым примером, в котором удалось установить детальную аналогию
между фазовыми переходами в системе, далекой от теплового рав-
равновесия, и в равновесной системе [Грэхэм и Хакен A968, 1970 гг.);
Де Джордже и Скалли A970 г.); Казанцев и др. A968 г.)]. Вскоре
оказалось, что существует целый класс систем, в которых могут
возникать макроскопические упорядоченные состояния вдали от
теплового равновесия. Это дало толчок рождению новой области
научных исследований, так называемой «синергетике». Тем самым
может быть установлена глубокая аналогия между совершенно
различными системами в физике, химии, биологии и даже в гума-
гуманитарных науках. В развитии этого нового направления лазер
сыграл пионерную роль. В рамках синергетики стало возможным
сделать новые предсказания о поведении лазерного излучения.
Например, на основе аналогии между динамикой жидкости и ла-
лазерным излучением удалось предсказать явление ц.хаоса» в излу-
излучении лазера (Хакен, 1975 г.). Различные пути установления хаоса
в лазерном излучении могут быть выявлены экспериментально.
Мы вернемся к этим увлекательным вопросам в гл. 8.
1.2.6. Оптическая бистабильность
В эту книгу будут включены также другие аспекты теории лазера,
например оптическая бистабильность. В то время как в обычных
лазерах накачка осуществляется некогерентно, приборы с опти-
оптической бистабильностью могут рассматриваться как лазеры, ко-
которые управляются когерентно внешним полем. Поэтому многие
теоретические методы, разработанные для лазеров, применимы
и к анализу оптической бистабильности. Обстоятельный теорети-
теоретический анализ этого явления был дан Луджато и другими авто-
авторами. Термин «оптическая бистабильность» обусловлен тем, что
при подходящих условиях пропускание света через резонатор, за-
заполненный атомами, может принимать два разных значения. Тео-
Теория прибора с оптической бистабильностью вселяет надежды на
то, что будет создан оптический транзистор.
32 Глава 1
1.2.7. Двухфотонный лазер
В основной части книги речь идет о лазерных процессах, в кото-
которых оптический переход в атоме является однофотонным. В то же
время известно, что в оптических переходах могут одновременно
излучаться или поглощаться также два или несколько фотонов.
Это привело к идее двухфотонного лазера, значительный вклад
в развитие которого внесли Уоллс, Вэнг и др. Краткое изложение
этой теории дается в гл. 12.
1.3. Структура теории лазера и ее
представление в книге
В заключение остановимся на структуре теории лазера и на плане
ее изложения в книге. В строгой логической форме структура тео-
теории лазера следующая. В качестве исходного мы имеем последова-
последовательное квантовое теоретическое описание атомов и светового поля,
которое было дано в гл. 7 первого тома. Соответствующие уравне-
уравнения описывают взаимодействие между атомами и световым полем.
Но дополнительно как атомы, так и световое поле связаны с окру-
окружающей средой, например поле связано механизмом потерь с зер-
зеркалами, а активные атомы взаимодействуют с кристаллической ре-
решеткой (рис. 1.7). Взаимодействие поля и атомов с соответствую-
соответствующей окружающей средой ведет к затуханию и флуктуациям, кото-
которые мы рассматривали в первом томе. С учетом всего этого выво-
выводятся основные уравнения квантовой механики, описывающие ла-
лазер, который рассматривается как незамкнутая система. Если ус-
усреднить эти основные уравнения по флуктуациям тепловых резер-
резервуаров, представляющих окружающую среду, и вычислить соот-
соответствующие квантовомеханические средние, то мы придем к по-
полуклассическим уравнениям лазера. Исключив из этих уравнений
дипольные моменты атомов и выполнив усреднение по фазам, можно
получить скоростные уравнения. Скоростные уравнения имеют
более простую структуру, чем полные квантовомеханические урав-
уравнения, по крайней мере в отношении интерпретации и решения.
По этой причине возникает противоречие между требованием ло-
логической последовательности изложения и требованием его педаго-
педагогичности.
В своей книге я выбрал педагогический аспект, стараясь вы-
выполнить обещание, которое дал в предисловии, представить мате-
материал в наиболее простой и доступной форме. Поэтому я начинаю
со скоростных уравнений, которые ввожу феноменологически. Они
позволяют рассмотреть ряд важных явлений (см. табл. 1.1). После
этого будут рассмотрены иолуклассические уравнения, которые
подробно выводятся, но так, что для этого не потребуется полностью
квантовомеханического описания. Полуклассические уравнения
Введение
33
будут теоретической основой для центральной части книги, в ко-
которой рассматривается ряд различных явлений, таких, как одно-
модовый и многомодовый режим и, в частности, явление синхрони-
синхронизации мод, которое приводит, например, к генерации ультракорот-
Атамьт
Световое
поле
Тепловой,
резервуар 1
Тепловой
резервуар И
Рис. 1.7. Схема связи между атомами, световым полем и тепловыми резер-
резервуарами.
ких импульсов. Далее мы перейдем к детальному описанию хаоти-
хаотического лазерного излучения.
В заключение мы вернемся к полностью квантовому описанию
и изложим суть метода квантовомеханических уравнений Лан-
жевена, преимущество которых состоит в легкости решения по
Таблица 1.1
Квантовомеханические уравнения
о
е
Полуклассические уравнения
Скоростные уравнения
аналогии с полуклассическими уравнениями. Мы включим в наше
представление уравнения для матрицы плотности и принцип кван-
тово-классического соответствия, который позволит вывести клас-
классическое уравнение Фоккера—Планка для квантовомеханического
Заказ Ш 146
34 Глава 1
лазерного процесса. Таким путем мы дадим детальный расчет ко-
когерентности и шумовых свойств лазерного излучения, статистики
его фотонов. Структура теории лазера разъясняется в табл. 1.2.
Таблица 1.2. Структура теории лазера
1. Скоростные уравнения для чисел фотонов и заселешюстей атомных уравнении.
Эти уравнения позволяют проанализировать следующие вопросы: условие
лазерной генерации, распределение интенсивности по модам, одномодовый
режим работы лазера, многомодовый режим (одновременная генерация и кон-
конкуренция мод), каскадная генерация, режим модулированной добротности,
релаксационные колебания.
2. Полуклассические уравнения
Они основываются на уравнениях Максвелла и уравнении Шредипгера для
электронов атома с учетом связи с тепловым резервуаром.
Эти уравнения позволяют рассмотреть следующие вопросы (среди других):
сдвиги частоты генерации, синхронизацию частот, пульсации заселенностей,
активную и пассивную синхронизацию мод, незатухающие колебания, ультра-
ультракороткие импульсы, хаос в лазерном излучении и пути к нему, фотонное эхо,
распространение волны в «инвертированном» веществе, оптическую биста-
бильность, двухфотонный лазер и все вопросы, указанные в п. 1.
3. Квантовомеханические уравнения
Они основаны иа полном квантовом описании светового поля и атомов с по-
помощью уравнения Шредингера или эквивалентных ему уравнений, в частности
уравнения Гейзенберга. Эти уравнения позволяют рассмотреть следующие
вопросы (среди других): ширину линии лазерной генерации, флуктуации
фазы, амплитуды и интенсивности лазерного излучения (шумы), когерент-
когерентность, статистику фотонов и все проблемы, указанные в п. 1 и 2.
Закончим введение рекомендациями читателям с разными за»
просами. Если читатель хочет познакомиться со всей областью,
не вдаваясь в детали, то можно предложить следующий порядок
чтения:
Перечень разделов для первого чтения:
2.1—2.3. Основные свойства и типы лазеров.
3.1. Лазерные резонаторы.
4.2. Фотонная модель одномодового лазера.
4.4. Модуляция добротности.
5.1.—5.6, 5.8, 5.9. Полуклассические уравнения.
6.1—6.3. Одномодовый режим работы лазера, включая переход-
переходные процессы.
6.8. Одномодовые газовые лазеры (не обязательно).
Дальнейшее чтение зависит от интересов читателя.
Читателям, интересующимся квантовотеоретическими основами
уравнений и их приложений:
Гл. 10. Когерентность, шумы и статистика фотонов. Квантовая
теория лазера и, возможно, гл. 11.
Читателям, интересующимся другими «макроскопическими свой-
свойствами», захватом частот, ультракороткими импульсами, хаосом
и т. д.:
Введение 35
6.4, 6.5. Многомодовый лазер.
6.6. Захват частоты.
6.7. Лазерный гироскоп (не обязательно).
7.1. Ультракороткие импульсы. Некоторые основные механизмы.
8.1. Хаос в излучении лазера.
8.2. (Здесь потребуется разд. 7.2.)
8.3.
9.1. Оптическая бистабильность.
9.2.
Читатели могут читать также отдельные главы, если они хотят
познакомиться с конкретными приложениями скоростных уравне-
уравнений, полуклассических уравнений или полностью квантовомеха-
нических уравнений. Наиболее целесообразным будет предвари-
предварительно ознакомиться с более широким кругом вопросов, а затем
уже пристально вчитываться в соответствующие главы.
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА И ТИПЫ
ЛАЗЕРОВ
2.1. Условие лазерной генерации
Рассмотрим лазер, изображенный с большими подробностями на
рис. 2.1, и выясним назначение его отдельных частей. Два зеркала,
установленные на торцах, выполняют следующую функцию. Если
свет рассматривать как волну, то между двумя зеркалами могут
формироваться только стоячие волны. Их длины волн Я, связаны
с расстоянием между зеркалами L соотношением nkl2 = L, где п —
целое число. В разд. 2.3 мы кратко остановимся на вопросе о том,
как конечные размеры зеркал влияют на формирование этих стоя-
стоячих волн. Если же свет рассматривать как поток фотонов, то от
зеркал будут вновь и вновь отражаться фотоны, распространяю-
распространяющиеся в осевом направлении. Следовательно, эти фотоны могут
оставаться в лазере сравнительно долго, тогда как фотоны, испу-
испускаемые в других направлениях, быстро выходят из лазера. Таким
образом, зеркала служат для селекции фотонов по их времени пре-
пребывания внутри лазера.
Рассмотрим фотоны одного сорта, например те, которые рас-
распространяются в аксиальном направлении и имеют определенную
длину волны X. Посмотрим, как число п изменяется с учетом про-
процессов, происходящих в лазере. Для этого нужно сделать некото-
некоторые предположения об атомах, участвующих в работе лазера. Пред-
Предположим, что каждый активный атом имеет два уровня энергии,
оптический переход между которыми и приводит к лазерной гене-
генерации (рис. 2.2). Внешний источник накачки служит для того,
чтобы перевести достаточно большое число атомов в возбужденное
состояние. Обозначим это число через N2. Остальная часть атомов
N1 остается в основном состоянии (рис. 2.3). Возбужденные атомы
испускают фотоны спонтанно со скоростью, пропорциональной их
числу N2. Обозначив через W скорость, с которой один возбужден-
возбужденный атом генерирует фотон, получим полную скорость спонтанного
излучения как произведение WN2. Известно, что фотоны могут
образовываться также в результате процесса вынужденного излу-
излучения. Соответствующая скорость их формирования"может быть
получена умножением скорости" спонтанного испускания на п;
в результате для вынужденного излучения вероятность в единицу
Основные свойства и типы лазеров
37
времени равна N2Wn. Атомы же, находящиеся в основном состоя-
состоянии, поглощают фотоны со скоростью — N xWn. Наконец мы должны
принять во внимание, что генерируемые фотоны могут теряться,
Илппульсная лампа
Световой
пучок
Запускающий
электрод
Рубиновый стержень
Рис. 2.1. Схема первого экспериментального рубинового лазера, изготовлен-
изготовленного Мейманом. Рубиновый стержень, находящийся в центре, окружен спи-
спиральной импульсной лампой.
например, за счет поглощения в зеркалах, рассеяния на примесях
и т. д. Обозначим величину, обратную соответствующему времени
жизни в резонаторе tx, через 2%. Коэффициент потерь дается ве-
IIV
W,
vv,
ЧЛЛА/W» hv =-- W2 -
Рис. 2.2. Энергетическая ди-а рамма двухуровневого атома с уровнями Wt
и W2, из которых занят только верхний. При переходе с уровня 2 на уровень
1 испускается фотон с энергией кванта hv — W2—WL.
личиной — 2кп. Складывая скорости этих отдельных процессов,
получим основное уравнение лазера
dnldt^{N2—Ni)Wn + WN2—2xn. B.1)
Выражение для W было выведено в первом томе [формула
B.96)]. Выведем его заново на основе «правдоподобных» рассужде-
38
Глава 2
ний. Скорость спонтанного испускания всех возможных фотонов
связана с радиационным временем жизни атома (по отношению
к спонтанному испусканию) соотношением W = 1/т. Нас интере-
интересуют переходы в атоме с испусканием только определенного сорта
W
Излучение
накачки
N,
Число
атомов
а
wz
Изл
учен
к g
ле
LlJlJ
Число
атомов
\ 6
Рис. 2.3. о — за счет механизма накачки некоторое число атомов из состоя-
состояния 1 переходит в состояние 2. Следовательно, число атомов в основном со-
состоянии N1 уменьшается, а в возбужденном возрастает, б — возбужденные
атомы могут переходить в основное состояние, испуская свет.
фотонов. Следовательно, мы должны разделить скорость перехо-
переходов в секунду 1/т на число возможных сортов фотонов. Таким об-
образом, получаем величину W = 1/т/?, где число р в соответствии
с формулой B.56) тома 1 равно
р = V8nv2Av/c3.
B.2)
В этой формуле V — объем активной среды лазера, v — частота
света, Av — ширина атомной линии, ас — скорость распростране-
распространения света в лазерной среде.
Основные свойства и типы лазеров 39
С помощью формул, полученных выше, можно сразу получить
пороговое условие лазерной генерации. Лазер начинает генериро-
генерировать, если число фотонов п нарастает экспоненциально. Это выпол-
выполняется, если правая часть равенства B.1), где мы пренебрежем
вкладом спонтанного излучения WN2, положительна. При под-
подробном изложении квантовой теории лазера в гл. 10 мы увидим,
что дополнительный член WN2, описывающий спонтанное излуче-
излучение, дает некогерентный вклад, тогда как процесс вынужденного
излучения обеспечивает рост когерентных фотонов. С учетом вы-
выражений для W и х получаем условие генерации
>l/t1. B.3)
Это условие дает представление о том, какими должны быть ла-
лазерные материалы и как следует конструировать лазер. В первую
очередь необходимо позаботиться о том, чтобы было достаточно
большим время жизни фотона tx в резонаторе лазера. Будет пока-
показано, что этого можно достигнуть, если сделать достаточно боль-
большим расстояние между зеркалами. Для оценки tx предположим,
что фотоны распространяются в аксиальном направлении и что
они выходят из лазера с определенной вероятностью всякий раз,
когда попадают на одно из зеркал. Эту вероятность можно характе-
характеризовать коэффициентом отражения зеркал R. Легко установить,
что время жизни фотона в резонаторе пропорционально расстоя-
расстоянию между зеркалами, обратно пропорционально скорости света
и величине A—R). Таким образом, имеем соотношение
*! = ?./<: A-Я). B.4)
Например:
R = 90 %, L = 30cm. B.5)
Получим
^=10-8с. B.6)
Рассмотрим теперь левую часть неравенства B.3). Чтобы удов-
удовлетворять условию B.3), необходимо иметь разность (N2—NJ, т. е.
инверсию заселенностей, как можно большей. Объем V должен
быть как можно меньше или же, если рассматривать отношение
инверсии к объему, то достаточно большой должна быть плотность
инверсии. Множитель v2 следовало бы иметь как можно меньше,
но поскольку в каждом случае желательно получить генерацию
света на определенной длине волны, величина v2 фиксирована и не
может быть изменена. Однако мы видим, что с увеличением частоты
становится все более трудным обеспечить выполнение порогового
условия генерации, что делает чрезвычайно сложным создание
рентгеновского лазера. Как ширину атомной линии Av, так и спон-
40 Глава 2
тайное время жизни атома т следует выбирать как можно мень-
меньшими. Но здесь существуют фундаментальные ограничения. Из
квантовой механики известно, что должно выполняться соотноше-
соотношение неопределенностей Avt > 1.
Подставляя типичные значения величин
v=l№6c-1, с=3-1010 см/с, т=10-8с, Av=10loc-\ B.7)
получаем плотность инверсии, обеспечивающую работу лазера:
(ЛГ2—N1)/V>№ см-3. B.8)
В разд. 2.3 мы обсудим различные механизмы накачки, с помощью
которых может быть достигнута необходимая величина инверсии
заселенностей.
Упражнения к разд. 2.1
1. Вычислить W при следующих значениях параметров лазера
(рубин): V = 62,8 см3, v = 4,32-1014 Гц, Av = 2,49-1013 Гц, с =
= 2,9979-108 м/с, т = 3,0 мс.
2. Найти число мод резонатора с длиной L = 1 см, 10 см, 100 см,
которые попадают в ширину линии Av = 6,22- 10е Гц. Каково число
мод в тех случаях, когда моды являются аксиальными (Е =
= sin kx) модами интерферометра Фабри—Перо?
3. Вычислить фактор качества 2и == 1/^, используя формулу B.4)
для следующих случаев: длина резонатора лазера (тождественно
равна расстоянию между зеркалами) L — 1 см, 10 см, 100 см, ко-
коэффициент отражения R = 99 %, 90 %, 10 %. Как изменятся ре-
результаты, если показатель преломления среды равен п = 2, п = 3?
Сравните ширину линии к = 1/2 tx резонатора с расстоянием ме-
между частотами соседних мод и шириной линии оптического пере-
перехода рубина (упр. 2).
4. Вычислить критическую плотность активных центров в рубине,
исходя из порогового условия лазера, при следующих значениях
параметров: V = 62,8 см3, v = 4,32-1014 Гц, Av = 2,49-1013 Гц,
т = 3,0 мс, с' — 1,7-108 м/с (с' — скорость распространения света
в кристалле рубина), R = 99 %.
Указание. Пренебречь вырождением уровней.
2.2. Типичные свойства лазерного излучения
Основные свойства лазерного излучения делают лазер идеальным
прибором для многцх физических и технических приложений. От-
Отметим некоторые из наиболее важных свойств.
/. Излучение лазера может иметь высокую интенсивность.
Мощности в лазерном импульсе могут достигать более 1010 Вт.
Чтобы почувствовать эту цифру, нужно представить, что это от-
Основные свойства и типы лазеров
41
вечает мощности 108 лампочек по 100 Вт. Это больше полной мощ-
мощности всех американских электростанций. Для лазерного термо-
термоядерного синтеза в настоящее время строятся лазеры с мощностью
более 1013 Вт. Высокие интенсивности достигаются также при ге-
генерации непрерывного излучения — вплоть до 105 Вт. Достигну-
Достигнутые верхние пределы мощностей по очевидным^причинам не опубли-
опубликованы.
2. Лазерное излучение обладает высокой направленностью. Это
обусловлено тем, что свет внутри лазера падает на зеркала в форме
б -
Рис. 2.4. а — за счет вынужденного излучения в лазере генерируется пло-
плоская световая волна, б — расходимость света, испускаемого лазером, соот-
соответствует расходимости в случае дифракции плоской волиы на щели.
плоской волны и, стало быть, зеркала действуют как круглое от-
отверстие, на котором происходит дифракция (рис. 2.4). Поэтому рас-
расходимость почти не превышает расходимости идеальной плоской
волны, дифрагированной на щели. Лазерный луч диаметром не-
несколько сантиметров, направленный на Луну, дает пятно на ее
поверхности диаметром несколько сот метров. Строгая параллель-
параллельность световых лучей ведет к отличным фокусирующим свойствам
излучения, что в сочетании с большой интенсивностью позволяет
получить высокую мощность лазерного излучения в малом объеме.
Если вычислить напряженность электрического поля, которая со-
соответствует данной мощности, то можно получить величину, су-
существенно большую, чем 108 В/см, что отвечает энергии связи элек-
электронов в атоме. Таким образом, становится возможной ионизация
атомов под действием лазерного света.
42
Глава 2
3. Спектральная чистота излучения лазера может быть чрез-
чрезвычайно высокой. В идеальном случае ширина линии, обратно про-
пропорциональная испускаемой мощности, при мощности 1 Вт может
быть равна 6v = 1 Гц. Экспериментально была реализована ши-
ширина 6v = 100 Гц1). Принимая Sv = 1 Гц, для видимого света
имеем относительную ширину 6v/v = 10~15, т. е. того же порядка,
E(t
л
V
А ¦
V
1
а
-Eft!
Рис. 2.5. а — электрическое поле Е (t) света от лампы состоит из отдельных
некоррелированных волновых пакетов; б — лазерное излучение представ-
представляет собой один когерентный очень длинный цуг волн.
что и в эффекте Мёссбауэра. Важно, что эта спектральная плот-
плотность достигается одновременно с высокой интенсивностью испус-
испускаемого света; это принципиально отличается от обычных спек-
спектральных методов, в которых высокое спектральное разрешение
ведет к потере интенсивности. Спектральная чистота излучения
лазера тесно связана с его когерентностью.
4. Когерентность. Свет обычных ламп состоит из отдельных вол-
волновых цугов длиной несколько метров. Лазер же испускает волно-
волновые цуги длиной до 300 000 км.
1) На самом деле ~ 0,4 Гц в Не—Ne-лазере на 3.39 мкм, стабилизиро-
стабилизированном по СН4-поглотителю.— Прим. перев.
Основные свойства и типы лазеров
43
5. Лазерное излучение может быть получено в форме ультрако-
ультракоротких импульсов длительностью 10~12 сA пс) и даже короче, на-
например 30 фемтосекунд A фс = 10~15 сI).
Очевидно, что вышеупомянутые свойства лазерного света де-
делают лазер идеальным прибором для многих целей, некоторые из
которых будут рассмотрены в этой книге. Наиболее интересным
вопросом, который дальше будет изучен во всех деталях, является
то, каким образом происходит переход от некогерентного излучения
обычной лампы к генерации ко-
когерентного излучения.
Если рассмотреть лазер, ко-
который работает вблизи порога, и
построить график зависимости
амплитуды его электрического
поля Е от времени t, то можно
получить картину, представлен-
представленную на рис. 2.5. Световое поле
состоит из полностью некорре- -- t.— i ^ р
лированных отдельных волно- . Порог
вых цугов и напоминает верми-
вермишель. Когда же мы увеличиваем
мощность накачки выше опре-
определенного порога, возникает со-
Шум
Рис. 2.6. Зависимость мощности / ис-
испускаемого излучения от мощности
накачки. В начальной области, где
лазер действует как лампа, имеется
только шум, интенсивность которого
медленно возрастает с увеличением
мощности накачки. Выше порога ге-
генерации интенсивность нарастает с
мощностью иакачки значительно
быстрее. Интенсивность взита для
одной отдельной моды.
вершенно иной характер пове-
поведения излучения: цуг становит-
становится чрезвычайно длинным. Этот
резкий переход, который ме-
меняет качество света, становится
наглядным, если начертить за-
зависимость мощности испускае-
испускаемого излучения (для одной моды) от мощности накачки (рис. 2.6).
В то время как ниже лазерного порога, т. е. в области теплового
излучения, испускаемая интенсивность увеличивается весьма мед-
медленно, выше порога она быстро нарастает.
Этот процесс сильно напоминает картину фазовых переходов
в сверхпроводниках и ферромагнетиках. Действительно, в гл. 13
будет показано, что данная аналогия весьма тесная. Среди недавно
открытых свойств лазерного излучения отметим следующее. При
определенных условиях, а именно высоком уровне накачки и низ-
низком качестве резонатора, излучение лазера ведет себя хаотически.
«Хаос» в лазерном излучении является совершенно новым состоя-
состоянием света, и его не следует смешивать с так называемым «хаоти-
«хаотическим излучением» тепловых источников. Как мы увидим, свет
1) В настоящее время получены импульсы длительностью 16 и даже
6 фемтосекунд.— Прим. перев.
44 Глава 2
тепловых источников состоит из большого числа отдельных волно-
волновых цугов. Хаотический же лазерный свет все еще состоит из ги-
гигантских волновых цугов, которые, однако, могут проявлять спе-
специфические флуктуации, изучаемые ниже в этой книге. Изучение
хаотического лазерного света открыло новую главу в лазерной
физике.
2.3. Примеры лазерных систем (типы лазеров
и лазерных процессов)
Как мы уже видели, типичный лазер состоит из следующих элемен-
элементов: активная среда, источник накачки и резонатор. В этом разделе
мы приведем примеры лазерных материалов. На сегодняшний день
известно множество разнообразных активных сред, пригодных для
создания лазера, а также ведется поиск новых. Перечень приво-
приводимых примеров не будет полным, мы отметим только некоторые
наиболее важные лазерные материалы. Читатели, которые интере-
интересуются фундаментальными основами лазерной физики, могут либо
пропустить этот раздел полностью, либо рассмотреть один первый
пример — рубиновый лазер.
2.3.1. Схемы энергетических уровней и схемы накачки;
виды уширения линий
Прежде чем говорить о конкретных лазерных средах, будет полез-
полезным рассмотреть различные схемы энергетических уровней, на ко-
которых основаны накачка и лазерная генерация. Фактически мы об-
обнаружим всего несколько основных схем. Выше мы уже привели
простейшую схему, когда каждый из атомов активной среды содер-
содержит только два уровня. Оптический переход, в результате кото-
которого генерируется лазерное излучение, происходит между двумя
этими уровнями. Поскольку для работы лазера необходимо боль-
большое число возбужденных атомов, требуется «накачивать» энергети-
энергетически атомы с уровня 1 на уровень 2 за счет внешнего источника
энергии (рис. 2.7).
Такая модель пригодна для теоретического описания большин-
большинства свойств лазерного излучения. Но если мы хотим создать ре-
реальный лазер, схема уровней энергии становится более сложной.
Можно различить три основных типа таких схем. Первая представ-
представлена на рис. 2.8. Электрон атома из основного состояния 1 возбуж-
возбуждается в состояние 3. Такое возбуждение может быть вызвано фо-
фотоном света накачки с частотой, соответствующей частоте перехода
с уровня 1 на уровень 3 (метод оптической накачки, предложенный
Кастлером). Затем электрон безызлучательно или с излучением
может перейти с уровня 3 на уровень 2, который связан с уровнем
Основные свойства и типы лазеров
45
Л
Излучение
накачки
Лазерная
генерация
1 оптически разрешенным переходом. Этот оптический переход
и является основой процесса генерации света. Следующий тип на-
накачки представлен на рис. 2.9. Основное состояние атома обозна-
обозначено цифрой 0. С помощью оптической накачки система переводится
из основного состояния 0 в состояние 2. Уровни 2 и 1 связаны раз-
разрешенным оптическим перехо-
переходом. Электрон на уровне 1 ре-
лаксирует в основное состояние
безызлучательно или в излуча-
тельном переходе. Безызлуча-
тельные переходы могут вызы-
вызываться различными механиз-
механизмами, например столкновениями
атомов газа между собой или со 1
стенками, взаимодействием ато-
атомов в решетке с решеточными
колебаниями и т. д. Как мы уже
видели, для возникновения ла-
лазерной генерации необходима
достаточно большая инверсия заселенностей N2—Nх. Поскольку
в схеме рис. 2.8 практически все атомы первоначально находятся
в основном состоянии, для получения достаточно большой инвер-
инверсии требуется существенно большая мощность накачки, чем в схеме
Рис. 2.7. Накачка и испускание ла-
лазерного излучения в двухуровневом
атоме.
А
Излучение
наначни.
Безызлучательный
переход
I
Лазерная
генерация
Рис 2 8. Накачка, безызлучательный переход и лазерный переход в трех-
трехуровневом атоме, в котором генерации происходит за счет нижнего перехода.
рис. 2.9. Если релаксация с уровня 1 на уровень 0 происходит
достаточно быстро, то уровень 1 будет оставаться слабовозбужден-
слабовозбужденным и инверсия будет определяться только числом возбужденных
атомов N,.
Довольно часто используется другая схема, которая представ-
представлена на рис. 2.10. Здесь оптическая накачка осуществляется с
уровня 0 на уровень 3. В результате излучательной или безызлу-
46
Глава 2
чательной релаксации электрон переходит на уровень 2. Уро-
Уровень 2 является начальным уровнем оптического перехода в состоя-
состояние 1, который и используется для получения генерации. Уровни
А
Излучение
накачки.
I
Ливерная
генерация
Быызлучателъный.
переход
Рис. 2.9. Накачка, безызлучательный переход и лазерный переход в трех-
трехуровневом атоме, в котором генерация происходит за счет верхнего перехода
1 и 0 связаны процессами безызлучательной или излучательной
релаксации.
Известно, что дискретным набором уровней энергии обладают
не только отдельные электроны в атомах, но и более сложные кван-
квантовые системы. Как мы увидим ниже, в общем почти все лазерные
материалы могут быть охвачены типичными схемами переходов, по-
показанными выше. Но на практике может потребоваться более де-
детальный анализ. Довольно часто для накачки используется целый
Л
Безызлучательный
переход
Излучение
накачки
I
Лазерная
генерация
Безызлучательный
переход
Рис. 2.10. Четырехуровневый атом: накачка, безызлучательный и лазерный
переходы; генерация происходит за счет среднего перехода.
набор различных уровней. Дело в том, что всегда желательно на-
накачать систему по возможности сильнее. Кроме того, оптически
активные уровни 2 и 1 уширены.
Основные свойства и типы лазеров
47
Кратко напомним читателю, что мы должны различать несколько
типов уширения линий. С одной стороны, имеется уширение, ко-
которое одинаково для всех атомов системы. Такой тип уширения
называется «однородным уширением линии». Уширение, которое
всегда присутствует, приводит к наличию «естественной ширины
линии» (рис. 2.11). Она обусловлена конечным временем жизни элек-
электрона в возбужденном состоянии, из которого он уходит в резуль-
результате оптического перехода. Естественная ширина линии Av свя-
связана с этим временем жизни т соотношением Av = 1/т. С другой
стороны, мы встретим и другие виды уширения, когда будем рас-
Рис. 2.11. Лоренцева форма линии.
Рнс. 2.12. Неоднородно уширенная
линия гауссовой формы (сплошная
линия). Для сравнения показана
также лоренцева форма линии для
перехода с однородным уширением
(штриховая линия).
сматривать конкретные лазерные среды. Например, активные
атомы в твердых телах испытывают различные внешние возмуще-
возмущения, в частности обусловленные локальными электрическими по-
полями, которые зависят от положения отдельного атома. Это ведет
к неоднородному уширению линии. Когда мы рассматриваем ан-
ансамбль атомов, то в связи со сдвигами энергий отдельных атомов
полная линия оказывается результатом суперпозиции однородно
уширенных линий (рис. 2.12). Другое важное неоднородное уши-
уширение обусловлено эффектом Доплера движущихся атомов. Это
явление хорошо известно из акустики. Когда автомобиль, издаю-
издающий гудок, проезжает мимо, сигнал кажется более высоким по ча-
частоте при его приближении и более низким при его удалении. По-
Подобный же эффект наблюдается в оптике. Когда атом движется
со скоростью v в направлении наблюдателя, частота света, испу-
испускаемого атомом, кажется больше согласно формуле v' =
= v A + vie), где v — частота перехода покоящегося атома. Когда
атом летит в противоположном направлении, знак меняется,
v' -- v A—v!c). Если газ содержит атомы, движущиеся с различ-
различными скоростями в соответствии с тепловым распределением (рас-
48
Глава 2
пределением Максвелла), раз-
разброс скоростей приводит к соот-
соответствующему распределению
частот. В таких случаях мы бу-
будем говорить о доплеровском
уширении линии (рис. 2.13).
2.3.2. Лазерные среды
Рассмотрим ряд примеров ла-
лазерных материалов. Мы хотим
лишь показать, насколько раз-
различными могут быть активные
среды лазеров. Рассмотрим сна-
сначала переходы электронов в ато-
атомах. Такие атомы могут быть
введены в твердые тела в виде
примеси. Это приводит нас к пер-
первому классу лазерных систем.
Рис. 2.la. a — максвелловское рас-
распределение по скоростям / (v) ато-
атомов газа, которые движутся со ско-
скоростью v параллельно оси лазера;
б — доплеровское уширение линии
испускания атомов газа, обуслов-
обусловленное максвелловским распределе-
распределением по скоростям.
Лазеры на твердом теле
а. Рубин. Кристалл рубина —
первый материал, в котором бы-
была осуществлена лазерная гене-
генерация. Рубин, хорошо извест-
известный драгоценный камень, пред-
представляет собой кристалл окиси
алюминия А12О3. Его решетка легирована ионами Сг3+, т. е. трех-
трехкратно ионизированным хромом, с типичной концентрацией 0,05
вес. %. Ионы хрома дают рубину его красную окраску. Лазер ра-
работает на переходах между уровнями Сг3+. Соответствующая схема
уровней энергии показана на рис. 2.14. Таким образом, в основном
мы имеем дело со схемой переходов, соответствующей рис. 2.8, но
только рабочие уровни 2 и 3 расщеплены. Оптическая накачка осу-
осуществляется в состояния, обозначенные символами 4F2 и iFi (рис.
2.14). Ион хрома с этих уровней релаксируетна уровень 2 (рис. 2.8),
который на рис. 2.14 обозначен символом 2?. В действительности
этот уровень расщеплен на два подуровня. Нижний из этих поду-
подуровней, обозначенный буквой Е, является верхним уровнем опти-
оптически разрешенного перехода, т. е. лазерного перехода в состоя-
состояние 1 (который в действительности четырехкратно вырожден).
Длина волны оптического перехода Rt равна 0,6943 мкм. Вре-
Время жизни верхнего лазерного уровня Е составляет около
3-10~3 с. Ширина линии сильно зависит от температуры. При 300 К
мы имеем Av = 2-10u Гц. Обычно кристалл рубина возбуж-
возбуждается мощными импульсными лампами, но для того, чтобы по-
Основные свойства и типы лазеров
49
лучить непрерывную генерацию, используются и другие источ-
источники света.
б. Лазер на неодимовом стекле. В этом случае активным ве-
веществом служит стекло, в которое введены активные ионы неодима
(Nd3+). Схема накачки соответствует рис. 2.10, но вместо одного
уровня 3 используется целый набор уровней. Нижний уровень
лазера 1 энергетически отстоит от основного состояния настолько
далеко, что заселенность его равна е~10 заселенности основного
во
25
го
10
5
О
/ 29 см4 дг =?
@,6943 мклл)
Я**
Рис. 2.14. Схема энергетических уровней рубина. / — основное состояние,
2 — возбужденное состояние, из которого происходит переход, 3 — нака-
накачиваемые уровни. [Т. Н. Maiman, Phys. Rev. Lett., 4, 564, I960.]
состояния 0. Следовательно, можно считать, что первоначально
уровень 1 практически не заселен. Длина волны оптического пере-
перехода 2 -> 1 равна 1,06 мкм.
в. Неодимовый лазер на иттрий-алюминиевом гранате (ИАГ).
В этом лазере ионы неодима введены в кристалл иттрий-алюминие-
иттрий-алюминиевого граната Y3A15O12. Соответствующая схема уровней приведена
на рис. 2.15. Лазер генерирует на длине волны к = 1,0641 мкм при
комнатной температуре.
г. Кристаллы пятиокиси неодима. Ионы неодима могут быть
встроены в регулярную подрешетку таких кристаллов, и тогда они
могут генерировать лазерное излучение.
д. Кристалл вольфрамата кальция, легированный ионами редко-
редкоземельных элементов. Это будет последним нашим примером лазе-
лазеров на твердом теле.
50
Главе 2
№000
IZ000
юооо -
8000
1-3/2
Газовый лазер
В этом случае активной средой лазера служит газ. Первым экспе-
экспериментально реализованным газовым лазером стал Не—Ne-лазер,
в котором использовалась газовая смесь гелия и неона (рис. 2.16).
Лазерная генерация происходит
в Ne, наиболее характерные ли-
линии таковы: X = 0,6328 мкм, X =
= 1,15 мкм, X — 3,39 мкм. Способ
накачки атомов Ne особенно ин-
интересен. В смеси газов, которая
обычно содержит 1,0 мм рт. ст. Не
и 0,1 мм рт. ст. Ne, возбуждается
разряд постоянного или пере-
переменного тока. Высвобождающиеся
в разряде электроны набирают
высокую энергию, достаточную для
возбуждения Не в электрон-атом-
электрон-атомных столкновениях. Возбужден-
Возбужденные атомы Не релаксируют в кас-
каскадных процессах и накапливаются
преимущественно в долгожи-
вущих метастабильных состояниях
23S и 2XS (рис. 2.17). Поскольку
эти долгоживущие уровни практи-
практически совпадают (по энергии) с
уровнями 2S и 3S атомов Ne, воз-
возбужденные атомы Не в столкно-
столкновениях могут передавать энергию
атомам Ne, которые в результа-
результате оказываются в возбужденных со-
состояниях. Эти уровни являются начальными состояниями для ла-
лазерных переходов или даже для каскада лазерных переходов.
К газовым лазерам относится важный класс ионных лазеров.
*/,
I3/Z
'п/г
6000
4000
2000
О
Рис. 2.15. См. текст. [Л. Yariv,
Quantum Electronics, 2nd ed.,
Wiley, New York, 1976.]
Рис. 2.16. Пример экспериментальной конструкции Не—Ne-лазера. Через L
обозначена газоразрядная трубка лазера. Окна на ее концах установлены
под углом Брюстера. Лазер поставлен на амортизаторы для подавления
вибраций.
Основные свойства и типы лазеров
51
Лазерная генерация возникает на переходах ионов газообразных
Не или Аг. Ионизация и возбуждение осуществляется электрон-
электронным ударом. Длины волк испускаемого света лежат в видимой и
ультрафиолетовой областях спектра.
Не*
19
18
7- 76
8 15
13
1Z-
11 -
X
Но*
(ю
-7.
BрЬ) Инфракрасный
, лазер '{ХУЗлии
^ 3
(S • Ю'6 с) *" Т
Z S Столкновении
A0-* с)
О
1'S
Гелий
е'-удар
Неон
Рис. 2.17. Схема энергетических уровней гелия и неона. Энергия возбужден-
возбужденного атома гелия передается неону в процессе столкновений. [W. R. Bennett,
Appl. Opt. Suppl. 1, Optical Masers, p. 24, 1962.1
Электронные переходы в молекулах
Эксимерные лазеры
Чтобы понять, что такое эксимер, рассмотрим два атома с запол-
заполненными внешними электронными оболочками, например два атома
Не. Находясь в основном состоянии, они отталкиваются друг от
друга, а поэтому молекула Не2 не может существовать. Но если
электрон одного атома возбужден, то этот атом может образовать
52 Глава 2
с другим атомом устойчивую, так называемую эксимерную моле-
молекулу. Когда возбужденный электрон релаксирует, молекула раз-
разрушается. При этом условия лазера выполняются практически
идеально, поскольку молекулы в основном состоянии не сущест-
существуют и Nt = 0. Лазерное действие эксимерных систем впервые
было обнаружено в жидком ксеноне, который накачивался элек-
электронным пучком. Впоследствии были созданы эксимерные лазеры
на газообразных молекулах Хе2, Кг2, Аг2, а также на соединениях
инертных газов с галогенами, таких, как XeBr, XeF, XeCl, KrF,
ArF, KrCl. Атомы возбуждаются электронными пучками высокой
энергии или с помощью быстрых разрядов. Эксимерные лазеры могут
испускать свет в ультрафиолетовой и вакуумно-ультрафиолетовой
областях спектра.
Химические лазеры
Здесь возбужденные состояния в молекуле создаются за счет хи-
химической реакции. В качестве примера приведем реакцию взаимо-
взаимодействия фтора с водородом
в результате которой возбуждается молекула HF.
Лазеры на органических красителях
Многие органические красители способны ярко люминесцировать
в широком интервале видимой области спектра. Классическим кра-
красителем, который очень часто используется в лазерах, является
родамин 6 Ж- Его молекулярная структура показана на рис. 2.18.
Оптические переходы являются электронными. Различают два типа
возбуждений. В одном случае спин электрона в возбужденном со-
состоянии противоположен по знаку моменту остова молекулы, так
C2H5HN
сн,
COOCjH,
Рис. 2.18. Структурная формула молекулы родамина 6 Ж-
что полный спин равен 0. Такие состояния называются Sco-
стояниями (синглетные состояния). Во втором случае спины воз-
возбужденного электрона и остова молекулы параллельны. Полный
спин молекулы равен 1, и такие состояния называются триплет-
ными. Оба типа состояний в дальнейшем расщепляются вследствие
молекулярных колебаний. Уровни представлены на рис. 2.19 жир-
Основные свойства и типы лазеров
53
Синглвтные
уровни
Триплетные
уровни
I
ными линиями. Наконец, существует еще и тонкое расщепление.
Оно обусловлено вращением молекул, которое, согласно квантовой
теории, также является квантованным. В реальных эксперимен-
экспериментальных установках молекулы органических красителей нахо-
находятся в растворе. Молекулы красителя возбуждаются излучением
лазера (например, аргонового), под действием которого молекула
переходит из состояния So
в состояние Sv Это воз-
возбуждение сопровождается
быстрой релаксацией на
нижний подуровень синг-
летного состояния Sj. Пос-
После этого осуществляется
оптический переход в одно
из состояний группы тер-
термов So- Крометакой оптиче-
оптической релаксации происхо-
происходит переход из Sx в Тх
с относительно малой ско- L
ростью. Поскольку оптиче- з
ский переход из триплетно-
го состояния Тг в основное
запрещен, состояния 7\ яв-
являются долгоживущими. К
сожалению, частота погло-
поглощения на переходе из 7\
в Т2 совпадает с частотой
испускания за счет перехо-
перехода из Sx в So. Поэтому ис-
испускаемое лазерное излу-
излучение сильно реабсорби-
руется, так что лазерное
действие быстро подавляет-
подавляется. В подобных случаях мо-
может наблюдаться только
импульсная генерация. Однако добавлением новых веществ в раст-
раствор может быть обеспечена быстрая релаксация триплетного со-
состояния Ti, и в результате реабсорбция оказывается подавленной.
Кроме родамина б Ж имеется большое число органических кра-
красителей, на которых получена лазерная генерация. С помощью
комбинаций различных типов органических красителей может быть
перекрыта область длин волн от 430 до 800 нм. Благодаря боль-
большой ширине линий люминесценции лазеры на органических кра-
красителях особенно хорошо перестраиваются. Перестройка длины
волны может быть осуществлена, например, с помощью отража-
отражательных дифракционных решеток.
Г
So.
L
Рис. 2.19. Схема энергетических уровней
красителя. Слева изображена группа синг-
летных состояний, которые расщепляются
далее вследствие колебаний и вращения
(см. текст). Справа показана группа три-
плетных состояний.
54
Глава 2
Лазер на колеоательных перехоо^х
Наиболее важным примером подобного рода является лазер на
СО2. В молекулах СО2 отдельные их атомы могут совершать коле-
колебания. Три основных типа колебательного движения показаны на
рис. 2.20. В соответствии с квантовой теорией различные типы ко-
колебаний должны быть квантованы, так что в результате молекула
имеет набор дискретных энергетических уровней. На рис. 2.21
представлена диаграмма нижних колебательных состояний моле-
а
Кислород
Углерод
Кислород
Симметри. чпое
растяжение
\ Деформация
Асимметричное
растяжение
Рис. 2.20. Типы колебаний молекулы СО2.
кулы СО2. Генерация происходит в оптическом переходе между
уровнями, которые обозначены символами 00° 1—10 °0. Возбуждение
верхнего уровня достигается обычно в плазме разряда, в которой
кроме СО2 имеются N2 и Не. В тлеющем разряде большая часть
двухатомных молекул N2 возбуждается в колебательные состоя-
состояния, в результате чего молекулы накапливаются в возбужденном
состоянии с колебательным квантовым числом п = 1 гармониче-
гармонического осциллятора. При столкновениях с молекулами СО2 в ос-
основном состоянии оказывается возможной передача энергии от воз-
возбужденных молекул N2 с образованием возбужденных молекул
СО2. Оставшаяся небольшая часть энергии переходит в кинетиче-
кинетическую энергию сталкивающихся молекул. КПД СО2-лазеров очень
велик и достигает ~ 30 %. Для получения высоких значений вы-
выходной мощности построены такие лазеры с длиной активной среды
в несколько сотен метров. Согласно квантовой теории, кроме ко-
Основные свойства и типы лазеров
55
лебательных уровней молекулы СО2 имеют также набор дискрет-
дискретных вращательных состояний, которые также могут участвовать
в процессе генерации. Когда давление газа увеличивается свыше
5 мм рт. ст., из-за многочисленных столкновений возникает уши-
рение линий, которое превышает доплеровское уширение. Это при-
2000-
5
Й
лхргии при
столкновении
~ Иалучательный.
распад
СО? | основное состояние
@0°0)
Рис. 2.21. Колебательные уровни молекулы СО». [С. К-
Lett., 12, 588, 1964.)
V=1
Nz, основное
состояние (v=C
[. Patel, Phys. Rev.
водит ко второму режиму генерации СО2-лазера, который особенно
интересен для приложений.
Наиболее высокие мощности излучения могут быть получены
с помощью газодинамических лазеров. Здесь используется смесь
газов СО2, N2, H2O или Не. Эта смесь газов, которая первоначально
удерживается при высоком давлении и высокой температуре, вы-
выпускается через сверхзвуковые сопла. При расширении газа воз-
возникает инверсия на переходах молекул газа, что приводит к соз-
созданию активной лазерной среды. Сверхзвуковой поток газа про-
проходит через оптический резонатор из двух зеркал, и при этом ге-
генерируется лазерное излучение (рис. 2.22).
56
Глава 2
-Камера сгорания
Рис. 2.22. Типичная схема газодинамического лазера. [J. D. Anderson Jr.,
Gas Dynamic Lasers. An Introduction, Academic Press, New York, 1976.]
Электронные переходы в полупроводниках
Здесь мы рассмотрим еще один класс твердотельных лазеров. В этом
случае электронные состояния, между которыми происходит ла-
лазерная генерация, принадлежат уже не отдельным примесным ато-
атомам, а всей кристаллической решетке, образующей полупроводник.
Полупроводник обычно представляет собой кристалл, в котором
отдельные атомы составляют периодическую решетку. В такой
Рис. 2.23. Схема энергетических зон для электронов в твердом теле. По вер-
вертикальной оси отложена энергия W электрона в валентной зоне (нижняя
часть) н зоне проводимости (верхняя часть), а по горизонтальной — волно-
волновой вектор k; a — постоянная решетки.
Основные свойства и типы лазеров
57
периодической структуре электроны могут распространяться по-
подобно периодически модулированным волнам с волновым векто-
вектором к. Определенному вектору к отвечает целый набор энергий
Wj (к), / = 1, 2, ... (рис. 2.23). Когда W,- (к) рассматривается
как функция волнового вектора к, энергетические уровни образуют
непрерывные зоны, которые разделены зонами без уровней (на
Запрещенная
зона
W
Зона
проводимости
Валентная
зона
Оптический
переход
Рис. 2.24. рЕслн спроецировать энер- Рис. 2.25. Оптический переход элек-
гетические уровни на ось W, то ста-
становится ясно видно, что зона прово-
проводимости и валентная зона (темные)'
разделены энергетической щелью тора k.
светлая).
трона из валентной зоны в зону про-
проводимости происходит вертикально,
т. е. с сохранением волнового век-
рис. 2.24 представлен пример двух энергетических зон с одной
щелью между ними). В основном электронном состоянии всего кри-
кристалла отдельные уровни энергии, которые можно представить
себе как дискретные, но расположенные очень плотно, заполнены
доверху электронами. Точнее говоря, каждый уровень занят двумя
электронами, имеющими противоположно -направленные спины.
В диэлектрике такая валентная зона полностью занята электро-
электронами. Следующая зона, которая называется зоной проводимости,
пуста. Как показывается в физике твердого тела, оптические пе-
переходы в периодической кристаллической решетке могут происхо-
происходить лишь при сохранении вектора к, т. е. в системе энергетиче-
58
Глава 2
ских уровней, приведенных на рис. 2.25, должны иметь место
только вертикальные переходы.
Как можно осуществить лазерную генерацию в таком кри-
кристалле? Для этого нам нужно создать инверсию заселенности, т. е.
возбудить электроны из валентной зоны в зону проводимости.
Такой пример схематически показан на рис. 2.26. В силу только
w
Незанятые уровни
(дырки)
.Ж
а
Рис. 2.26. Когда часть электронов возбуждается оптически или за счет элек-
электронных столкновений, то они занимают уровни в зоне проводимости, тогда
как в валентной зоне остаются незанятые уровни (дырки). В результате
может возникать ннверсня заселенности.
что упомянутого правила отбора по k электроны могут переходить
из зоны в зону независимо друг от друга, так что большая инвер-
инверсия заселенности может быть создана, если мы только переведем
достаточную часть электронов в верхнюю зону, т. е. в зону прово-
проводимости. Экспериментально такая инверсия заселенности может
быть получена путем облучения кристалла пучком электронов с до-
достаточно высокой энергией. В результате электроны валентной зоны
выбиваются в зону проводимости, где они собираются на ее дне.
В большинстве практических приложений используются, однако,
другие механизмы накачки. Если имплантировать в кристалл при-
примесные центры, то не только создаются новые энергетические
уровни, но также сдвигаются валентная зона и зона проводимости.
Когда в различные области кристалла введены различные сорта
Основные свойства и типы лазеров
59
примесных атомов, возникает следующая энергетическая схема,
представленная на рис. 2.27. Поскольку в основном энергетиче-
энергетическом состоянии кристалла электроны занимают самые нижние
уровни электронной энергии, схема заселения оказывается такой,
как на рис. 2.27. Наинизшее энергетическое состояние заполнено,
и поэтому не может быть излучательных переходов. Для создания
р-область
п-область
© © © © е ©
Валентная
зона
Доноры
Положение >-
(координата')
Рис. 2.27. При легировании полупроводника различными примесями энерге-
энергетические зоны локально могут сдвигаться. На диаграмме представлена за-
зависимость энергии от пространственной координаты. Доноры — это прнмеси
в кристаллической решетке, которые могут давать электроны в зону прово-
проводимости. Акцепторы же — это прнмеси, которые могут связывать электроны,
т. е. генерировать дырки в валентной зоне. F — уровень Ферми, до которого
могут быть заполнены электронные уровни; Wc — нижний край зоны про-
проводимости, Wv — верхний край валентной зоны, р и п относятся к «положи-
«положительным» и «отрицательным» носителям заряда (в соответствии с типом ле-
легирующих примесей).
инверсии, соответствующей рис. 2.26, к кристаллу прикладывается
электрическое поле. Это электрическое поле увеличивает энергию
электронов на одном конце кристалла и уменьшает на другом.
Другими словами, схема уровней энергии становится наклонной.
Поскольку электроны снова стремятся занять самые нижние энер-
энергетические уровни, они, очевидно, должны совершить переходы,
показанные на рис. 2.28. Эти излучательные переходы с заполнен-
заполненного на незаполненные уровни и лежат в основе работы полупровод-
полупроводникового лазера. Мы описали общую схему р—«-переходов, где р
и п — начальные буквы английских слов «положительный» и «от-
«отрицательный» (заряд). Важным примером такого полупроводнико-
полупроводникового лазера является арсенид галлия (GaAs).
60 Глава 2
Изложенную простую схему излучательных переходов прихо-
приходится модифицировать, поскольку на электронные переходы ока-
оказывают сильное влияние примеси. При этом правило отбора по k
нарушается.
Полупроводниковые лазеры могут иметь очень малые размеры
(доли миллиметра). Поскольку такие источники света тем не менее
весьма интенсивны, они используются в медицине и в технике
связи. По разным техническим соображениям простой р—п-пере-
Край зоны
проводимости
Хрий валентной
зоны
Дырки ^ч,,
"чч___Электроны -
-ЛАДА/*" 'Ротон
Рис. 2.28. При включении внешнего электрического поля электроны сдви-
сдвигаются в одну сторону (влево), а положительно заряженные дырки — в дру-
другую. Заполненные электронные уровни оказываются над незаполненными
(дырочными) уровнями, так что электроны могут переходить вниз по верти-
вертикальной стрелке, испуская фотон.
ход, который мы только что описали, приходится по-разному мо-
модифицировать. В частности, применяются многослойные р—«-струк-
р—«-структуры, пример которых представлен на рис. 2.29.
Следующий класс полупроводниковых лазеров образован экси-
тонными лазерами. Напомним кратко, что такое экситон. Рассмот-
Рассмотрим диэлектрик и представим его как кристалл, построенный из
отдельных атомов с локализованными электронами. Если мы воз-
возбуждаем такой диэлектрик, то электрон может сместиться от своего
атома к другому атому. В результате исходный атом станет поло-
положительно заряженной электронной дыркой. На отрицательно за-
заряженный электрон действует сила кулоновского притяжения со
стороны оставшейся дырки, и он может вращаться вокруг дырки.
Согласно квантовой механике, полная энергия системы «электрон +
+ дырка» является квантованной. Такая электронная система
нового вида, состоящая из электрона и дырки с квантованными
уровнями энергии, называется экситоном. Если полупроводник
Основные свойства и типы лазеров
61
облучается светом большой интенсивности, то возникают высокие
плотности таких экситонов. Когда электрон и дырка экситона ре-
комбинируют, они могут испускать свою полную энергию в виде
Металл
GaAs
(подложка)
Область
рекомбинации
Окисел
Металлиза и,ил
Припой
Ширина полоски. ~ 13 мкм
Рнс. 2.29. Полупроводниковый лазер в разрезе (многослойная структура).
Генерация происходит в области рекомбинации [Я. Kressel, I. Ladany,,
М. Ettenberg, H. Lockwood, Physics Today, May 1976, p. 38.]
излучения. Если в таком процессе участвует много экситонов,
можно ожидать возникновения генерации излучения. Однако
типичной трудностью в процессах с участием экситонов является
то, что испускаемый свет может перепоглощаться и генерировать
новые экситоны. Поэтому одна экситонная система никогда не мо-
'экситон
Рис. 2.30. В экснтонном лазере полная энергия, высвобождаемая при реком-
рекомбинации экснтона, разделяется между световым квантом с энергией hi и фо-
фотоном с энергией /гУфотон. Поэтому энергии светового кванта недостаточно,
чтобы снова образовался экситон, и процессы реабсорбции (перепоглощения)
невозможны.
62
Глава 2
жет обеспечить получение генерации. Однако в кристаллах воз-
возможны процессы другого рода. А именно энергия, которая высво-
высвобождается в результате рекомбинации электрона и дырки, может
преобразоваться в энергию фотона и фонона, т. е. кванта колебаний
решетки. Поэтому энергия фотона
оказывается недостаточной для реаб-
сорбции и за счет рекомбинации эк-
ситонов действительно может генери-
генерироваться лазерное излучение (рис.
2.30).
В качестве последнего примера
лазерных процессов в твердом теле
упомянем лазеры на центрах окраски.
Это лазеры на ионных кристаллах ти-
типа хлорида натрия (NaCl), бромида
калия (КВг) и т. д. Положительно
заряженные ионы натрия и отрица-
отрицательно заряженные ионы хлора рас-
расположены регулярно, образуя кри-
кристаллическую решетку. Дефекты в та-
такой решетке могут быть разных видов.
Один из важных дефектов — отсут-
отсутствие отрицательно заряженного ио-
иона хлора в узле решетки. Поскольку весь кристалл нейтрален,
такой дефект ведет себя как положительный заряд (рис. 2.31).
Подобный положительно заряженный центр может захватить
Рис. 2.31. Решетка кристалла
NaCl. Отрицательно заряжен-
заряженные иоиы хлора изображены в
виде крупных светлых шаров,
а положительно -заряженные
ионы натрия — в виде мелких
темных.
f* 5, Z Л!
Рис. 2.32. Схема лазера иа свободных электронах. 1 — СО2-лазер модели
Т-250 фирмы Molectron; 2 — зеркало; 3 — сгруппированный в сгустки пу-
пучок электронов с энергией 24 МэВ; 4 — винтовой магнит (период 5,2 м);
5 — модулированное излучение A0,6 мкм), идущее к фотоприемнику (Си,
Ge) и монохроматору. В винтовой магнит справа входит сгруппированный
в «сгустки» электронный пучок. В данном эксперименте на излучение элек-
электронов налагается излучение СО2-лазера и регистрируется модулированное
излучение. [D. A. G. Deacon, L. R. Elias, J. M. J. Madey, H. A. Schwettman,
Т. I. Smith.— In: Laser Spectroscopy III, eds. J. L. Hall, J. L. Carlesten,
Springer, Berlin, 1977.]
Основные свойства и типы лазеров 63
электрон, так что последний будет вращаться вокруг этого центра.
В соответствии с квантовой механикой уровни энергии захвачен-
захваченного электрона являются квантованными. Электрон может совер-
совершать переходы между ними и испускать или поглощать излучение.
Поскольку эти центры придают вышеупомянутым кристаллам цвет,
они были названы центрами окраски. Если возбуждается доста-
достаточно много центров окраски, то можно получить лазерную гене-
генерацию.
Совершенно особый класс составляют лазеры на свободных элек-
электронах.
В этом случае электроны движутся в вакууме и проходят в виде
электронного пучка через область пространственно-модулирован-
пространственно-модулированного магнитного поля (рис. 2.32). Под действием силы Лоренца они
периодически отклоняются. Из классической электродинамики
хорошо известно, что отклоняемые, т. е. движущиеся с ускорением,
заряженные частицы испускают электромагнитные волны. За счет
коллективного излучения большого числа электронов возможна
генерация лазерного света. Преимуществом такой системы, кото-
которая была реализована, например, на линейном ускорителе Стан-
фордского университета, является ее перестраиваемость, которая
может осуществляться путем непрерывного изменения напряжен-
напряженности магнитного поля.
Лазеры рентгеновского и гамма-диапазонов
В связи с многочисленными приложениями лазеров очень жела-
желательно, конечно, было бы иметь лазеры с очень короткими длинами
волн. Лазеры рентгеновского и гамма-диапазонов пока еще не соз-
созданы. Возможными активными средами могли бы быть возбужден-
возбужденные ядра атомов, которые могут испускать гамма-лучи. Для реше-
решения проблемы резонатора предложен принцип распределенной об-
обратной связи. Поскольку в пороговое условие генерации B.3)
входит величина v2, реализация таких лазеров, по-видимому, будет
очень трудной задачей.
ЛАЗЕРНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ
3.1. Обзор
В принципе световое и вообще электромагнитное поле содержит
все возможные длины волн, направления распространения и на*
правления поляризации. Но главное назначение лазера как при-
прибора состоит в генерации света с определенными характеристиками.
Первый этап селекции, а именно по частоте, достигается выбором
лазерного материала. Частота v испускаемого света определяется
формулой Бора hv = WKa4 —WK0Ue4l, и фиксируется выбором
уровней энергии W активной среды. Разумеется, линии оптических
переходов не являются резкими, а по различным причинам уширены.
Причиной уширения могут быть конечные времена жизни уровней
вследствие излучательных переходов или столкновений, неодно-
неоднородность кристаллических полей и т. д. Для дальнейшей селекции
частот используются оптические резонаторы. В простейшем СВЧ-
резонаторе, стенки которого имеют бесконечно высокую проводи-
проводимость, могут существовать стоячие волны с дискретными частотами.
Эти волны являются собственными модами резонатора. Когда уче-
ученые пытались распространить принцип мазера на оптическую об-
область спектра, было не ясно, будут ли вообще моды у резонатора,
образованного двумя зеркалами и не имеющего боковых стенок
(рис. 3.1). Вследствие дифракции и потерь на пропускание в зерка-
зеркалах в таком открытом резонаторе не может длительно существовать
стационарное поле. Оказалось, однако, что представление о типах
колебаний (модах) с успехом может быть применено и к открытому
резонатору. Первое доказательство было дано с помощью компью-
компьютерных вычислений. Фокс и Ли рассмотрели систему двух плоских
параллельных зеркал и задали начальное распределение поля на
одном из зеркал. Затем они исследовали распространение излуче-
излучения и его отражение. После первых шагов начальное световое поле
рассеивалось и его амплитуда уменьшалась. Однако после, скажем,
50 двойных проходов мода поля приобретала некую окончательную
форму и ее амплитуда понижалась в одно и тоже число раз
при каждом отражении (с постоянным коэффициентом отражения.
Стало ясно, как обобщить понятие моды на случай открытого ре-
резонатора. Это такая конфигурация поля, которая не изменяется
Лазерные резонаторы
65
со временем, если не считать того, что ее амплитуда уменьшается
в одно и то же число раз после каждого прохода. Тогда стало воз-
возможным рассчитать моды открытого резонатора, и в разд. 3.2 бу-
будут приведены два примера.
Как и в объемном резонаторе, в открытом резонаторе может
существовать целый ряд отдельных мод, отвечающих последова-
последовательности дискретных частот. Кон-
Конфигурации собственных мод резона-
резонатора могут быть охарактеризованы
распределением интенсивности на
зеркалах. Примеры таких распреде-
распределений показаны на рис. 3.2. В силу
конечного времени жизни мод, обу-
обусловленного дифракцией и особенно
прозрачностью зеркал, амплитуда по-
поля убывает со временем, что приводит
к увеличению ширины линии. В
большинстве лазеров такое уширение
намного меньше исходной ширины
атомной линии (резонатор с высокой
добротностью). В тех случаях, когда резонаторное уширение боль-
больше, чем атомная ширина (резонатор с низкой добротностью), воз-
возникают важные динамические эффекты. Но необходимо усвоить
Зеркала
Рис. 3.1. Лазерный резона-
резонатор с плоскими параллельны-
параллельными зеркалами.
ТЕМ,.
t
¦
i
ТЕМ13
TEM.-v
I
ТЕМ-.
I
I,
Tl
ТЕМ ¦
1
t
T
•Is
ТЕМ
Квадратные зеркала
TLM::
Круглые зеркала
Рис. 3.2. Слева — распределение электрической составляющей поля лазер-
лазерного излучения в торцевых плоскостях лазера с прямоугольным попереч-
поперечным сечением. Сокращение ТЕМ означает «мода поперечного электрического
поля». Индексы указывают число нулей поля в вертикальном и горизонталь-
горизонтальном направлении. Справа — то же самое для лазера с круглым сечением.
66
Глава 3
следующее. В результате самого лазерного процесса, который
будет рассматриваться в этой книге, эффективная ширина линии
становится на много порядков величины меньше как ширины атом-
атомной линии, так и резонаторного уширения.
Как нетрудно сообразить, свет может многократно отражаться
при распространении между зеркалами лишь в том случае, если
Рис. 3.3. Схема лазера с вогнутым сферическим и плоским зеркалами.
они установлены строго параллельно друг другу. Если же зеркала
лазера наклонены, то цуг световых волн очень быстро выйдет из
резонатора. Его время жизни в резонаторе существенно умень-
уменьшится, и пороговое условие генерации больше не будет выпол-
выполняться. По этой причине были разработаны новые типы резонато-
резонаторов, моды которых менее чувствительны к положению зеркал. При-
Пример такой конструкции показан на рис. 3.3, где одно из плоских
зеркал заменено сферическим зеркалом.
Рис. 3.4. Схема лазера с двумя конфокальными сферическими зеркалами.
Довольно часто применяется и другая схема, а именно конфо-
конфокальный резонатор, в котором центр одного из зеркал совмещен
с фокусом другого зеркала. Плоскопараллельные зеркала часто
предусматривают на концевых поверхностях самого лазерного
стержня. В других вариантах одно или оба зеркала устанавли-
устанавливаются вне активной среды лазера. В таких устройствах в процессе
работы лазера можно управлять селекцией мод. Как будет пока-
показано ниже, лазерная генерация может одновременно происходить
Лазерные резонаторы
67
на ряде мод, которые являются стоячими волнами. Такие моды ста-
становятся возможными благодаря экспериментальным конфигура-
конфигурациям, показанным на рис. 3.1—3.5.
Чтобы повысить коэффициент отражения в резонаторе для по-
поляризованного света, зеркала часто устанавливают под углом Брю-
стера. Этот вариант особенно
применяют в газовых лазерах,
например в гелий-неоновом ла-
лазере. Чтобы получить очень уз-
узкий спектр излучения, необхо-
необходимо выделить одну моду. Это
может быть достигнуто, напри-
например, в схеме кольцевого лазера
(рис. 3.6). В таком кольцевом
лазере генерируются бегущие
Активная зона
деркссла
Рис. 3.5. Схема лазера, в котором од-
одно из зеркал удалено от активной
среды.
волны. С помощью дополнитель-
дополнительных элементов, например фа-
радеевского вращателя, распо-
расположенного между двумя зерка-
зеркалами, можно даже выделить одно направление распространения
света. Кольцевой лазер, в котором две волны распространяются в
противоположных направлениях, служит основой лазерного гиро-
гироскопа, который будет подробно рассмотрен в разд. 6.7. Суть всех
этих зеркальных конструкций в том, чтобы свет снова и снова воз-
возвращался в активную среду (обратная связь), в результате чего
интенсивность излучения все более
нарастала бы, пока не достигнет
некоторого стационарного состояния.
^ известном смысле свет когерентно
рассеивается обратно в материал.
Такое когерентное обратное рассеяние
может быть осуществлено совсем иначе
на основе принципа, который хоро-
хорошо известен в рентгеновской технике.
Когда на кристалл падает рентгено-
рентгеновское излучение, каждый атом кри-
кристалла действует как центр рассеяния.
Если оно падает на кристалл в опре-
определенных направлениях и с опреде-
определенными длинами волн, то определен-
определенные цуги обратнорассеянных волн
могут интерферировать с падающим
световым полем и в результате образуются стоячие волны. Эти
стоячие волны соответствуют тем модам, о которых мы говорили
выше. Однако в отличие от прежних конструкций с зеркалами
здесь центры рассеяния (центры отражения) регулярно распре-
\\\\\\\\
Рис. 3.6. Схема расположения
зеркал в кольцевом лазере.
Применяется также схема с
четырьмя зеркалами.
68 Глава 3
делены по всему кристаллу. Этот принцип может быть приложен
к оптической области. С помощью дифракционной решетки осущест-
осуществляется обратное рассеяние волновых цугов. При этом мы прихо-
приходим к принципу лазера с распределенной обратной связью.
В ряде случаев генерация лазерного излучения может быть полу-
получена без использования специфических механизмов обратной связи,
которые мы только что упомянули. Например, в ряде полупровод-
полупроводников различие в показателях преломления материала и воздуха
настолько велико, что внутреннего отражения вполне достаточно,
чтобы получить тот же самый эффект, который дает зеркало. До-
Дополнительно к конструкциям зеркал, которые мы уже упомянули,
„Шепчущая"
мода
Рис. 3.7. «Шепчущая» мода.
были предложены и даже опробованы более экзотические устрой-
устройства, как, например, резонатор с «шепчущими» модами (рис. 3.7).
Прежде чем перейти к детальному описанию методов, с помощью
которых могут быть рассчитаны моды открытого резонатора, на-
напомним некоторые технические термины. Добротность резонатора Q
определяется как Q = со/0, где со — частота моды, a t0 — ее время
жизни в незаполненном резонаторе, т. е. в резонаторе без активной
среды. Величина t0 — это время, за которое интенсивность моды
уменьшается в е раз. В данной книге будет использована константа
затухания к — 1/2 /0. Чтобы получить большую добротность Q,
согласно физической оптике (теории дифракции), нужно обеспе-
обеспечить выполнение следующего условия. В случае двух зеркал с апер-
апертурами 2/1J и 2/12, разнесенных на расстояние D, должно выпол-
выполняться неравенство
A1A2/XD>1, C.1)
где К — длина волны. Параметр N—A2/№, получаемый при А —
= Ах = А2, называется числом Френеля. Он приближенно равен
Лазерные резонаторы 69
числу зон Френеля, которые видны на одном зеркале из центра дру-
другого зеркала. Теория резонатора должна объяснить следующие
моменты: 1) структуру мод на зеркалах; 2) распределение поля
внутри открытого резонатора; 3) потери на дифракцию, отражение,
разъюстировку зеркал и абберации; 4) структуру поля в дальней
зоне.
В разд. 3.2 и 3.3 будут даны два примера расчета структуры мод.
3.2. Моды в конфокальном резонаторе4
Такой резонатор образован двумя сферическими зеркалами одина-
одинакового радиуса кривизны, разнесенными на расстояние, равное
этому радиусу. Фокальная длина зеркала равна половине его ра-
радиуса кривизны, так что фокальные точки отражателей совпадают.
Предположим, что отражатели имеют квадратную форму со сто-
стороной 2/1 (рис. 3.8), которая мала по сравнению с расстоянием
D = R, где R — радиус кривизны. Величины А и R намного больше
длины волны. Из соображений симметрии можно выбрать вектор
электрического поля в направлении либо х, либо у. В дальнейшем
соответствующий индекс х или у будем опускать. Действительно,
если иметь дело со скалярным полем, то все существенные этапы
математического анализа задачи можно проследить, используя
принцип Гюйгенса.
Напряженность поля в точке х' обозначим через Е(\). Тогда,
согласно принципу Гюйгенса, эта точка является источником но-
новой сферической волны, которая создает в точке х напряженность
поля, равную
ik ехр[ — ik\x — х'|] р , л
где k — волновое число, х и х' — векторы, определяемые в виде
х = (х, у, z), C.3)
х' = (х', у', z'). C.4)
Полное поле в точке х находится интегрированием по всем началь-
начальным точкам х' на поверхности. Далее, в качестве такой поверхно-
поверхности рассмотрим сферические зеркала и соответственно выберем на
них координаты хну.
Для двух зеркал 5 и 5' можно написать
E(x)^Es(x, у), C.5)
E(x') = Es(x', у'). C.6)
J) Специфическая форма мод, которая рассматривается в этом и следую-
следующих разделах, не очень важна для большинства теоретических выводов, ко-
которые делаются в последующих главах. Поэтому читатели, которые интере-
интересуются главным образом работой лазера, могут пропустить разд. 3.2 и 3.3.
70
Глава 3
Поле на зеркале S дается в виде
Es(*, *)=$-?¦ eXp[;'*Pi Es, (х', у') dS',
s
где
Так как 2А <CR, представим р в приближенном виде
C.7)
C.8)
C.9)
В соответствии со сказанным в разд. 3.1 относительно определения
моды будем исходить из того, что распределение поля воспроизво-
Рис. 3.8. Конфокальный резонатор с зеркалами S и S'. Указаны коорди-
координаты, используемые в тексте.
дится после прохождения от одного зеркала до другого с точностью
до постоянного множителя о:
Es(x, y)^oEs,(x, у). C.10)
Подставляя C.7) в C.10) получим уравнение для Е$г- Его решение
найдем, пройдя несколько простых этапов. Поскольку позднее вы-
выяснится, что размер пятна распределения поля гораздо меньше R,
примем приближенное равенство
exp [ — tfep] cxp[ — ikR] [—ikjxx'+yy')
P R L R
C.11)
Если выражение C.11) подставить в формулу C.7), то интеграл
можно представить в виде произведения двух интегралов, один из
которых относится к хх', а второй к уу'. Решение для поля тогда
можно искать в виде произведения
Es,=EQf(x)g(y), C.12)
где Ео — константа. По формальным соображениям преобразуем а
также в произведение:
C.13)
Лазерные резонаторы 71
Подставив C.12) и C.13) в C.10), где были использованы C.7) и
C.11), получим
А
^ --Х2^Ж \ /<*'
x' X
—А
А
х \ g{y')ехР У У \dy'¦ C-14)
—А
Поскольку слева и справа стоят произведения функции перемен-
переменной х на функцию переменной у, это равенство может выполняться
только в том случае, если для этих множителей выполняется урав-
уравнение
А
f (x) = const j f {x') exp [ik xx'IR) dx' C.15)
—A
и соответствующее уравнение для функции g (у). Интегральное
уравнение C.15) решается точно. Решения получаются в виде угло-
угловых волновых функций в координатах вытянутого сфероида, ко-
которые были введены Фламмером. Правда, вряд ли кто-либо хорошо
знаком с волновыми функциями такого рода. Но в нашем случае
решение уравнения C.15) может быть записано в хорошо известной
форме, если только поле имеет не слишком много узловых точек
в плоскости х, у. В таком случае оно сосредоточено в основном
вблизи оси резонатора, так что xIA С 1- Если поле сильно скон-
сконцентрировано, вкладом интеграла в области х' ж ± А практически
можно пренебречь, что позволяет расширить пределы интегриро-
интегрирования до бесконечности. Следовательно, вместо C.15) мы можем
решать уравнение
оо
/ (х) = const J" / (xr) exp [ik xx'IR] dx'. C.16)
— 00
Легко догадаться, какой вид будет иметь решение уравнения C.16).
Это не что иное, как гауссово распределение
— kx4R\ C.17)
2 J у '
Предоставим читателю возможность в качестве упражнения убе-
убедиться в том, что C.17) действительно является решением C.16),
и определить постоянный множитель перед интегралов. Ниже бу-
будет удобно ввести следующие обозначения:
C.18)
72 Глава 3
Исходя из C.17) и C.18) и выбрав то же самое решение при задан-
заданном у, найдем полное распределение поля на зеркалах. Это гауссово
распределение
Е (х, у) = ?0 ехр [- -L (X* + У*)] • C.19)
Можно ввести размер пятна ws как радиус, на котором поле C.19)
падает в е раз, что приводит к выражению
. C-20)
Принцип Гюйгенса позволяет также рассчитать поле внутри резо-
резонатора. Поскольку такой расчет носит чисто технический характер,
выпишем просто окончательные формулы. Введем обозначение
l=2z/R. C.21)
Получим
Е(х, у, z) = Ee/y/_L_exp[—i^±^)jsincp(X, Y, I), C.22)
где
,(*. г, B-(f 1F^r)(f»
C.23)
Фо=|^|-. C.24)
Как нетрудно видеть, в х, у-направлении поле все еще гауссово,
хотя размер пятна изменяется вдоль оси лазера. Функция sin ф
выглядит довольно сложной, но простой анализ показывает, что
она имеет следующую структуру:
sin ф « sin (kz -t- / (z)), C.25)
где sin (kz) описывает быстрые осцилляции поля, a/ (z) — медленно
изменяющаяся функция. Это означает, что в z-направлении, т. е.
в направлении оси лазера, мода поля напоминает моду объемного
резонатора. Поле вне резонатора также может быть найдено с по-
помощью принципа Гюйгенса и имеет вид
Е(х, у, z)^ctE0 д/_^—ехр [ ~((^ П ]ехр[-^Ф(Х, Y, I)]
C.26)
Лазерные резонаторы
73
где ct — коэффициент пропускания зеркал. Размер пятна поля
в дальней зоне на расстоянии z дается выражением
tt»s = l
C.27)
Положение зеркала
6
Паложтиие jcp/a ла
Рис. 3.9. Распределение поля между двумя конфокальными зеркалами, со-
соответствующее формуле C.22). Показана только огибающая; быстро осцил-
осциллирующая функция sin ^ опущена, а — в правильном масштабе; б — утри-
утрированное сужение распределения поля в средней части.
Угловая ширина пучка в может быть определена как отношение
wjz при z -э- со, что ведет к выражению
2л
2л R
C.28)
74
Глава 3
Результаты представлены на рис. 3.9 и 3.10. Распределение поля
C.19) представляет моду, для которой минимальны потери.
Более тщательный анализ показывает, что существует целая
последовательность мод, которая хорошо знакома физикам.
Положение зеркала
Рис. 3.10. Распределение ноля вне конфокального резонатора, соответствую-
соответствующее формуле C.26). Показана только огибающая; быстро осциллирующая
функция ехр [нр] опущена.
А именно, общее решение уравнения C.14) может быть записано
в виде
Е (х, у) - Е0Нт (X) Hn(Y) ехр [ - -|-(Х2 {- У2)] , C.29)
где Нт — полином Эрмита (т = 0, 1, 2, . . .) и
X --. x^fk/R , Y - y^/k/R
по крайней мере в случае, когда число Френеля N --
A/2) (A*k/R)
оо.
) )
Ради полноты выпишем выражения для поля внутри и вне ре-
резонатора в самом общем случае. Поле вне резонатора имеет вид
Ж*. „, г) ,.с,
X
хехр[ — i(p(X, Y)\. C.30)
Чтобы получить поле внутри резонатора, множитель с следует
опустить, а функцию ехр [—щ (X, К) 1 заменить функцией
sin (cp (X, Y)). Чтобы вычислить потери за счет дифракции, необ-
необходимо, очевидно, учесть конечный размер зеркал. Анализ показы-
показывает, однако, что потери в результате дифракции в общем намного
Лазерные резонаторы /5
меньше (в типичной ситуации в 100 раз), чем потери за счет конеч-
конечного пропускания зеркал. Поэтому мы не будем учитывать потери
этого рода. Напомним, что в z-направлении величина k принимает
только дискретные значения, которые определяются соотношением
2л/-2 (л/2—kR + (m~n)n/2), C.31)
где т, п, I — целые числа.
3.3. Моды резонатора Фабри — Перо
Мы не собираемся полностью излагать теорию такого резонатора,
а хотим лишь дать читателю представление о том, как выглядят
моды резонатора. Из сказанного в предыдущем разделе видно, ка-
каким образом принцип Гюйгенса позволяет определить конфигура-
конфигурации поля внутри конфокального резонатора в сравнительно про-
простом виде. Здесь же мы хотим в сжатом виде продемонстрировать
результаты модельных расчетов, которые не основаны на прибли-
приближениях, использованных в принципе Гюйгенса. Для простоты рас-
рассмотрим двумерную модель резонатора Фабри—Перо, который со-
состоит из двух плоских металлических зеркал. Предположим, что
пространство между зеркалами заполнено активным материалом,
который может быть описан комплексной восприимчивостью % =
= %' + t'x". В строгом рассмотрении должны быть использованы
уравнения Максвелла.
Из соображений симметрии положим
C.32)
dU
Ex~
u
"у -
или
нх-
р
су -
= и(у, z),
i
= U(y, z)
i
(e + X)
dU
дг
@
dU
дг
//,=
ду
Е2= —• C.33)
(е -г X) w ду
Вводя гипотетическое выражение C.32) или C.33) в уравнения
Максвелла, легко убедиться в том, что функция U должна подчи-
подчиняться волновому уравнению
AU + k*MU-=Q, C.34)
где kM — волновое число, которое дается выражением
C-35)
в активной среде и
C.36)
C.37)
76
Глава 3
вне активной среды. Здесь г — диэлектрическая проницаемость.
Предполагается, что коэффициент отражения зеркал г близок к
единице, так что тангенциальные составляющие полей Е и Н
1,0
0,8
0,2
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 у/А
0,2 0,4
0,8 1,0 у/А
Рис. 3.11. Распределение амплитуды (вверху) и фазы (внизу) для наинизшей
моды четной симметрии в случае двумерного резонатора (N - - 6,25). [И. Ris-
ken, Zs. Physik, 180, 150, 1964.]
должны удовлетворять определенному граничному уравнению,
которое носит имя Леонтовича. Оно выглядит так
Л
C.38)
где п — единичный вектор нормали к поверхности зеркала.
Существенные результаты решения могут быть суммированы
следующим образом. Если числа Френеля достаточно велики, то
электрическое поле имеет следующую пространственную зависи-
зависимость:
][(?)] «3.39,
Это решение легко может быть обобщено на трехмерный резонатор:
C'40)
где 2Аг и 2/12 — размеры прямоугольных концевых зеркал в на-
направлении х я у соответственно, D — расстояние между ними, а /,
т, п — целые числа. Этот результат был получен для аксиальных
Лазерные резонаторы 77
или почти аксиальных мод, так что п — большое число (Хп ~ D),
тогда как / и т —¦ малые целые числа порядка единицы.
Условие резонанса выглядит приближенно так:
О, Z 0,4 0,6 0,8
1,0 I
Рис. 3.12. Распределение амплитуды (вверху) и фазы (внизу) для наинизшей
моды нечетной симметрии в случае двумерного резонатора (N = 10).
[Я. Risken, Zs. Physik, 180, 150, 1964.]
Более детальный анализ показывает, что в приближении более вы-
высокого порядка функции C.39) и C.40) должны быть трансформи-
трансформированы в двух моментах. Величины I, та п приобретают дополни-
дополнительно небольшие мнимые части, и в выражения C.39) и C.40)
следует ввести дополнительные члены. Поскольку формулы не
дают нам наглядной физической картины явлений, мы приводим
на рис. 3.11 и 3.12 только соответствующие распределения ампли-
амплитуды и фазы. В тексте остальной части книги, когда будем иметь
дело со стоячими волнами, нам будет достаточно выражений C.39)
и C.40) для волновых функций.
ИНТЕНСИВНОСТЬ ЛАЗЕРНОГО
ИЗЛУЧЕНИЯ,
СКОРОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
4.1. Введение
В этой главе мы рассмотрим скоростные уравнения. Такие уравне-
уравнения уже встречались нам, когда мы выводили пороговое условие
генерации в разд. 2.1. Известно, что, когда световое поле рассмат-
рассматривается квантовомеханически, каждой моде можно приписать
определенное число фотонов п. В данной главе мы будем считать,
что число п, хотя оно, согласно квантовой теории, должно быть
целым, есть непрерывная переменная. Более строгий вывод ско-
скоростных уравнений возможен только на основе полной квантовой
теории лазера, а в довольно хорошем приближении — на основе
полуклассических уравнений лазера. Отложим этот вывод до сле-
следующих глав и начнем здесь прямо со скоростных уравнений для
того, чтобы дать первое представление о физических процессах,
происходящих в лазере.
4.2. Фотонная модель одномодового лазера
Рассмотрим фотоны только одного сорта, число которых обозначим
через п. Так как в последующем нас интересует картина физиче-
физических процессов в реальном лазере, мы будем пренебрегать ско-
скоростью спонтанных переходов WN2 (см. разд. 2.1). Ниже мы увидим,
что скорость вынужденного излучения (jV2—Nj) Wn играет совер-
совершенно другую роль, чем скорость WN2. Это проявляется в стати-
статистических свойствах лазерного излучения, которые будут рассмот-
рассмотрены позднее.
Итак, начнем со следующего уравнения для зависимости числа
фотонов от времени:
dnldt = {N2—N1)Wn—2kn. D.1)
В результате процесса генерации изменяется не только число
фотонов, но и числа заполнения возбужденных состояний атомов.
Рассмотрим для простоты систему двухуровневых атомов и иссле-
исследуем временные изменения чисел заполнения N\ и N 2. Число N2
увеличивается за счет возбуждения электронов в результате на-
накачки. Скорость переходов пропорциональна числу атомов в ос-
Интенсивность лазерного излучения, скоростные уравнения
79
новном состоянии, т. е. величине N±. Соответствующий коэффи-
коэффициент пропорциональности обозначим через w21 (рис. 4.1). Отме-
Отметим, что здесь и в последующем нужно читать индексы у символов
w справа налево, т. е. w21 относится к переходу с уровня 1 на уро-
уровень 2. Эта скорость перехода зависит, конечно, от оптических
свойств атома или, точнее, от матричных элементов соответствую-
соответствующих оптических переходов. Наконец, скорость ша1 пропорцио-
пропорциональна интенсивности света накачки. Не вникая в подробности,
будем смотреть на w21 как на контролируемый параметр, которым
можно управлять извне.
Рис. 4.1. Различные оптические переходы в системе двухуровневых атомов
с числами заполнения (заселенностями) Л^ и N2.
Атомы, находящиеся на уровне 2, могут переходить в основное
состояние в результате безызлучательных переходов, т. е. без ис-
нускания фотонов. Такие процессы могут быть вызваны, например,
столкновениями в газе или взаимодействием между атомами и ре-
решеточными колебаниями в твердом теле. Скорость таких перехо-
переходов, конечно, пропорциональна числу возбужденных атомов N2.
Соответствующий коэффициент пропорциональности обозначим сим-
символом wn.
Этим коэффициентом мы также учтем радиационные процессы,
при которых испускаются фотоны ненужного нам сорта. Наконец,
имеют место процессы вынужденного излучения и поглощения фо-
фотонов. Число соответствующих переходов в 1 с дается выражением
{N 2—N]) Wn. Складывая все только что упомянутые скорости пе-
переходов, получаем скоростное уравнение для плотности заселен-
заселенности на уровне 2:
dN2/dt = w21Nl—w12N2^-(N2~N1) Wn. D.2)
Уровень 1 может быть описан аналогичным образом. Получим
dN1/dt = wliNi—wilNl-t-(Nt—N1) Wn. D.3)
Складывая обе части уравнений D.2) и D.3), получаем
Nt)/dt =-- 0.
D.4)
80 Глава 4
Это означает, что полная заселенность уровней 1 и 2 постоянна.
Она равна полному числу атомов:
N! + N2=N. D.5)
Поскольку в уравнения D.1) — D.3) входит разность чисел запол-
заполнения, т. е. инверсия заселенностей (N2—Мг), будем 'ее рассмат-
рассматривать как новую переменную
N2—N1^=D. . D.6)
Числа N± и N2 могут быть выражены через N и D:
(N + ), N^-t-iN—D). D.7)
Так как N — константа, остается только одна переменная D. Пе-
Перепишем уравнения D.1) — D.3) так, чтобы в них входила только
эта переменная. Вычитая D.3) из D.2) и учитывая D.7), получаем
dD/dt = N (w21—wu)—D (wsl + wn)— 2WDn. D.8)
Этому уравнению можно придать еще более прозрачную форму,
если вспомнить, что множители w имеют смысл скоростей перехо-
переходов, т. е. обратно пропорциональны некоторым временам перехо-
переходов. Введем постоянную времени Т соотношением
l/T = wu + wlt. D.9)
Теперь посмотрим, какова инверсия D = Do в отсутствие лазерной
генерации, когда имеются только накачка и релаксационные про-
процессы. Мы найдем эту величину, положив левую часть уравнения
D.8) равной нулю и опустив последний член. Результат таков:
D0=N w"-w» ¦ D.10)
По причинам, которые будут объяснены ниже, эта величина назы-
называется ненасыщенной инверсией. Подставив Do и D.9) в D.8), окон-
окончательно получим
dD/dt = —(D0—D)—2WDn. D.11)
Если пренебречь здесь последним членом, то можно легко найти
решение этого дифференциального уравнения, которое свидетельст-
свидетельствует о том, что D релаксирует к значению Do за время Т (см. уп-
упражнение).
Используя D.6), можно записать скоростные уравнения для
числа фотонов в виде
dn/dt = DMn—2Kn. D.12)
Уравнения D.11) и D.12) являются фундаментальными уравнениями
лазера, и мы обсудим их более детально. Поскольку правые части
Интенсивность лазерного излучения, скоростные уравнения 81
этих уравнений содержат произведения переменных Dun, эти
уравнения нелинейны и, вообще говоря, не могут быть решены
в замкнутой форме. Поэтому при обсуждении и решении таких
уравнений мы будем постепенно переходить от простых ситуаций
к более сложным. В наиболее простом случае п и D не зависят от
времени, что"соответствует стационарному состоянию.^
Стационарное решение
В этом случае имеем
dn!dt=--0 dD/dt^O, D.13)
так что D.11) .[сводится к уравнению
(Do—D) = 2TDWn. D.14)
Решая это уравнение относительно инверсии заселенностей D, по-
получаем
D = DJ(l + 2TWn). X4.15)
Выражение D.15) показывает, что с увеличением числа фотонов
фактическая инверсия заселенностей D уменьшается по сравнению
с инверсией Do, определяемой только накачкой и процессами ре-
релаксации. Иначе говоря, происходит насыщение инверсии заселен-
заселенностей. Наиболее ясно это, когда число фотонов п еще мало. В этом
случае выражение D.15) можно заменить приближенным равенст-
равенством
D&D0—2D0TWn. D.16)
Как указывалось выше, Do — ненасыщенная инверсия. Член, со-
содержащий п, учитывает насыщение. Подставив D.15) в D.12),
с учетом равенства dnldt ~ 0 после небольших преобразований
получим
п ( ^ 2%\ = 0. D.17)
V \+2TWn ) '
Это уравнение имеет два решения:
ло=--О, D.18)
no = (WDn—2y)/DkTW). D.19)
(Индекс «О» у п говорит о том, что это'стационарное решение.) Ра-
Равенство п0 = 0 означает, что фотонов нет, т. е. нет лазерной гене-
генерации. Рассмотрим решение D.19) и, в частности, первый множитель
(WD0—2x).
Если накачка лазера слаба, то величина Do мала, так что
(WD0—2к)<0. D.20)
82
Глава 4
Поскольку число фотонов не может быть отрицательным, решение
D.19) непригодно, и остается только решение D.18). Следовательно,
генерации излучения нет. Если увеличить DQ так, чтобы выполня-
выполнялось условие
(WD0—2х)>0,
D.21)
то решение D.19) с по>0 становится возможным, и это соответст-
соответствует генерации излучения. Легко
убедиться, что условие D.21)
идентично условию генерации B.3)
(см. упражнение). Кривая воз-
возрастания п0 с увеличением Do пред-
представлена на рис. 4.2. В то время
как ниже критического значения
Do = 2k/W генерация в лазере
отсутствует, при больших значе-
значениях она возникает и п0 быстро
увеличивается. Но остается неяс-
неясным, почему мы можем исключить
решение п0 = 0 в области D.21).
Чтобы объяснить это, мы должны
рассмотреть уравнения, зависящие
от времени.
Вывод о том, что ниже порога
генерации нет фотонов, обуслов-
обусловлен тем, что мы пренебрегли спонтанным излучением. Мы сможем
учесть его значительно позже, когда будем рассматривать в гл. 10
квантовую теорию лазера.
Zx/W Do
Рис. 4.2. Зависимость числа ис-
испускаемых фотонов пд от ненасы-
ненасыщенной инверсии Do. В данной мо-
модели ниже критической инверсии
Dn = 2х/№ лазерная генерация
отсутствует, а выше число фото-
фотонов возрастает линейно.
Приближенные решения уравнений, зависящих от времени
Так как уравнения, зависящие от времени, точно не решаются,
попытаемся решить их приближенно. С этой целью сделаем два
предположения. Рассмотрим отклонение D от ненасыщенной ин-
инверсии Do, т. е. величину D—Do.
Предположим, что разность D—Do изменяется очень мало за
время Т (см. упражнения). В математической форме это условие
имеет вид неравенства
-j-{D-Do)
dt
D.22)
Поскольку DQ от времени не зависит {dDJdt = 0), можно пре-
пренебречь левой частью уравнения D.11), т. е. величиной dDldt, по
сравнению с величиной (DQ—D)IT в правой части или, другими
Интенсивность лазерного излучения, скоростные уравнения
83
словами, в уравнении D.11) можно положить dDldt = 0. Это по-
позволяет сразу же решить уравнение D.11), выразив D (/) через
мгновенное .значение п (t), как это было сделано выше в уравнении
D.15). Но теперь п и D зависят от времени t. Подставляя D.16) в
D.12) и перегруппируя члены, получаем уравнение лазера
dnldt = (D0W—2x) n—2D0TW2n2. D.23)
Это уравнение можно интерпретировать следующим образом. Пока
накачка лазера слаба, инверсия Do мала и даже отрицательна.
n(t)
а
n(t)
Рис. 4.3. Зависимость числа фотонов от времени, а — в момент t = 0 задано
отличное от нуля число фотонов, но рабочая точка лазера лежит ниже по-
порога генерации; б — предполагается, что условие генерации выполняется.
В зависимости от начального числа фотонов стационарное значение п0 до-
достигается сверху или снизу.
В этом случае (D0W—2х) <0 и вся правая часть уравнения D.23)
отрицательна, т. е. dnldt <0. Даже если в начальный момент
имеется некоторое количество фотонов, например за счет спонтан-
спонтанного излучения, число фотонов убывает экспоненциально. Если
увеличивать интенсивность накачки, получим, наконец
(D0W—2х) >0. Так как обычно в начале лазерной генерации число
фотонов предполагается малым, можно пренебречь членом, квад-
квадратичным по п, в выражении D.23) по сравнению с линейным.
84 Глава 4
Тогда, согласно формуле D.23), будет наблюдаться экспоненциаль-
экспоненциальный рост числа фотонов. Иными словами, мы имеем дело с «неустой-
«неустойчивостью». Спонтанно образованные фотоны размножаются в про-
процессе вынужденного излучения как лавина. Разумеется, число
фотонов не возрастает экспоненциально до бесконечности, поскольку
в формуле D.23) становится существенным квадратичный член,
в связи с чем правая часть равенства D.23) начинает стремиться
к 0. Это означает, что и dnldt стремится к 0, и в конце концов мы
приходим к стационарному состоянию с п = п0. Из D.16) можно
легко усмотреть, что квадратичный член обусловлен насыщением
инверсии заселенности. Именно насыщением определяется возмож-
возможность достижения стационарного значения. Если начать с числа
фотонов п, превышающего стационарное значение п0, то будет
преобладать второй член в D.23). В этом случае правая часть ра-
равенства D.23) отрицательна. Следовательно, число фотонов убы-
убывает и в конце концов становится равным стационарному значе-
значению п0. Эти результаты показаны на рис. 4.3. Полное решение
уравнения D.23), зависящее от времени, приведено в упражнении
3 данного раздела.
Упражнения к разд. 4.2
1. Решите уравнение
dD/dt = (D0—D)/T.
Каков смысл выражения «D релаксирует к Do за время Т»?
2. Покажите, что условие D.2) идентично пороговому условию ге-
генерации B.3).
Указание: Используйте определения величин х и W, данные в
разд. 2.1.
3. Здесь мы приводим зависящее от времени решение уравнения
D.23) для числа фотонов п:
dnldt — an — bn2,
где а — D0W—2к, Ь = 2 D0TW2 и в начальный момент t = tQ число
фотонов п = п0 >0. Убедитесь, что решение уравнения D.23) та-
таково:
а) при а !>0
U \+bcexp[a(t — to)]
где
c=nQ/(a—bn0);
б) при а <0
\a\cexp[a(t— to)] _
U ~ l
Интенсивность лазерного излучения, скоростные уравнения
85
Проанализируйте временную зависимость п (t).
4. Выясните, когда выполняется условие медленного изменения
D.22).
Указание: Воспользуйтесь уравнениями D.15) и D.11) и результа-
результатами упражнения 3.
4.3. Релаксационные колебания
Здесь мы хотим провести дальнейшие исследования процессов
в одномодовом лазере в зависимости от времени. Не будем больше
предполагать, что инверсия мгновенно следует за изменением числа
фотонов. Такое предположение хорошо выполняется, когда число
фотонов мало, но может нарушаться при их большом числе. Рас-
Рассмотрим малые отклонения п и чисел заполнения от соответствую-
0
wZ0N0
wz,N,
\WnN,
WnN?
wo,N,
Рис. 4.4. Схема переходов в системе трехуровневых атомов, в которой опти-
оптический переход связывает верхний уровень со средним.
щих стационарных значений. Для этого предположим, что п или
N/ первоначально мало отличаются от стационарных значений.
Нашей целью будет показать, что п и Nj совершают затухающие
колебания, или, другими словами, релаксационные колебания.
Рассмотрим в качестве примера трехуровневый лазер, в котором
оптический переход осуществляется между двумя верхними уров-
уровнями (рис. 4.4). Соответствующие числа заполнения снова обозна-
обозначим символами N1 и Nг. Предположим, что нижний переход с
уровня 1 в состояние 0 происходит очень быстро (см. также упраж-
упражнение в конце раздела). В этом случае уравнения лазера выглядят
следующим образом.
Уравнение для фотонов:
dn/dt = —2xn + DWn, D.24)
где D = Ni—N^
Уравнение для чисел заполнения:
dNJdt = Nwn—vhiNt— WN9n, D.25)
где N — полное число атомов. Так как мы предположили, что
нижний лазерный уровень практически не заселен, можно заме-
86 Глава 4
нить в уравнении для числа фотонов величину D величиной N2.
Предположим теперь, что п и Nг отличаются от их стационарных
значений N0 и N°. Посмотрим, будет ли достигаться снова и каким
путем стационарное значение. Допустим, что
D»iV2---iVi> + 8iV2, D.26)
п^-По + Ы, D.27)
где стационарные решения п0 и N°. определяются из условий
D.28)
V2Q2 D.29)
Подставив D.26) и D.27) в D.24) и D.25), получим члены, которые
содержат только стационарное решение, члены, пропорциональные
8п и 6Л^2, и, наконец, выражения, которые содержат произведение
8п8Л/2. Предположим, что отклонения от равновесных значений
малы. Это позволит нам пренебречь членом более высокого порядка
8n8JV2. Так как стационарное решение подчиняется уравнениям
D.28) и D.29), это решение выпадает и остаются следующие урав-
уравнения:
i^ D.30)
D.31)
N°
SN2
Это два сцепленных линейных дифференциальных уравнения, ко-
которые мы можем, как обычно, решать в предположении экспонен-
экспоненциального закона
8я ,= А ехр (at), D.32)
bN2= Bexp(at). D.33)
Подставим D.32) и D.33) в D.30) и D.31), продифференцируем по
времени и поделим полученные уравнения на экспоненциальную
функцию. Получим
*В, D.34)
N°
ИЕзеВ—mWA. D.35)
л/0
/V2
Это однородные уравнения для неизвестных А и В. Согласно эле-
элементарным теоремам алгебры, нетривиальное решение возможно
Интенсивность лазерного излучения, скоростные уравнения
87
только в том случае, если соответствующий детерминант равен
нулю:
а — 2кпп/Ш
= 0 D.36)
Этот детерминант может быть легко вычислен. Подставив значе-
значения для №2 и п0, согласно D.28) и D.29), получим уравнение для а:
о? + (w20NW/2k) a + (WNw20— 2ш12х) = 0. D.37)
Чй
1й -
Время
Рис. 4.5. Пример релаксационных колебаний [L. F. Johnson.— In: Lasers,
ed A. K. Levine, Dekker, New York, 1966.]
1
-
1
111
w
1
1 1
АЛллл
i i
i i i
i i i
i I
Представим решение этого квадратного уравнения в виде
а=—Г+шг,
где
Д.
-1 2хш12
[
-
4а)
пор
D.38)
D.39)
D.40)
Мы предполагаем, что второй член в квадратных скобках в формуле
D.40) значительно больше первого и, следовательно, частота <аг —
действительная величина. Кроме того, мы используем обозначе-
обозначение
Шпор = 2w12k/NW. D.41)
Наиболее общее решение для числа фотонов может быть представ-
представлено в виде
or)t\ н-Л2ехр[—(Г + кйгJ], D.42)
где Аг и А2 определяются из начальных условий для числа фото-
фотонов п и числа заполнения N2. Очевидно, что система релаксирует
к стационарным значениям, совершая колебания (рис. 4.5).
88 Глава 4
Упражнения к разд. 4.3
1. Напишите скоростные уравнения для числа фотонов п и атомных
чисел заполнения в случае схемы переходов, приведенной на
рис. 4.4. Рассмотрите предельный случай, когда w01 — очень боль-
большая величина. Убедитесь, что в этом случае N-i « 0. При каких
условиях можно было бы заменить первый член в правой части урав-
уравнения D.25), который, строго говоря, должен равняться N0w2Q,
где No — число атомов в основном состоянии, величиной Л^ш20?
Почему из всего набора уравнений можно сохранить только урав-
уравнения для числа фотонов и для Л/2?
2. Найдите величину ЬЫ2, которая соответствует выражению D.42),
и определите Аъ А2, исходя из начальных условий в момент вре-
времени t = 0
2 @) =
,0.
Указание. Выразите В через А (для А1 мы имеем а = — Г -f- шг;
для А2 имеем а = — Г—тг), используя уравнение D.34).
4.4. Модуляция добротности
Скоростные уравнения одномодового лазера (разд. 4.1) позволяют
исследовать работу лазера в режиме модулируемой добротности.
В таком лазере коэффициент отражения одного из зеркал можно
резко изменять. Для этого можно, например, установить одно из
зеркал на определенном расстоянии от конца активной среды и
привести его во вращение. На практике используется вращающаяся
призма (рис, 4.6). Для получения очень малых времен модуляции
добротности пользуются также ячейкой Керра, которая особенно
удобна, когда лазерное излучение выходит из активной среды по-
поляризованным (как, например, в кристалле рубина).
Р9? Суть метода модуляции добротности заключается в следующем.
Если убрать одно из зеркал, то фотоны будут иметь очень короткое
время жизни в активной среде. Даже при очень интенсивной на-
накачке пороговое условие генерации не может быть выполнено и ла-
лазер генерировать не будет. Поскольку в процессе лазерной генера-
генерации инверсия падает, в отсутствие зеркала можно достичь очень
большой инверсии, пока нет генерации. Если затем резко поста-
поставить зеркало в его правильное положение, начнется генерация с
с очень большой начальной инверсией. Так как в уравнении D.12)
разность DW—2и очень велика, можно ожидать экспоненциаль-
экспоненциального лавинообразного нарастания числа фотонов п, т. е. должен
испускаться гигантский импульс. Энергия в импульсе и его ширина
будут ограничены, согласно D.11), большим числом фотонов п
в последнем члене этого уравнения, который уменьшает инверсию.
Этим в соответствии с D.12) будет замедляться увеличение числа
Интенсивность лазерного излучения, скоростные уравнения
89
фотонов и, если инверсия D станет отрицательной, даже будет вы-
вызвано падение числа фотонов.
Рассмотрим эти эффекты болееЛдетально. Начнем с уравнения
D.11) и допустим, что генерация устанавливается значительно бы-
быстрее, чем накачка и процессы релаксации в атомах, Далее, прене-
пренебрежем, как обычно, спонтанным излучением. Тогда уравнение
E.11) сведется к виду
dD/dt=—2WnD. D.43)
Активная
среда
Зеркала
Рис. 4.6. Одна из возможных схем лазера с модуляцией добротности.
Вращающаяся
призма
Согласно уравнению D.43), при малых значениях п инверсия па-
падает довольно медленно, так что можно заменить D в правой части
уравнения
dnldt = (WD— 2м) п D.44)
и в^уравнении D.43) величиной Dt. Далее предположим, что в ре-
результате спонтанных переходов в среде вначале присутствует опре-
определенное число фотонов, которое [обозначим через nt. Решения
D.44) и D.43) выглядят так:
п = п( exp (at), D.45)
t)]/a}, 1D.46)
где
a^WD,—2%. D.47)
В начальной фазе импульса число фотонов п возрастает экспонен-
экспоненциально с константой усиления а, тогда как инверсия падает, со-
согласно выражению D.43) или D.46). Рост п превращается в момент
времени tlt когда D (tj) s= 0. (На самом деле он заканчивается
раньше из-за потерь, соответствующих константе 2х.) Если мы пре-
пренебрежем в выражении D.46) единицей по сравнению с экспонентой
exp (at), то из него получим
= a/2W = пиякс D.48)
л, exp
или, что эквивалентно,
D.49)
90
Глава 4
Уравнение D.48) описывает число фотонов, присутствующих в мо-
момент времени tx. Можно предположить, что после tt инверсия от-
отсутствует, т. е. D = 0. Далее число фотонов падает экспоненци-
экспоненциально по закону
Л @ = ПмаксвХр [—2х (t — tt)\.
0,15
0,10
С 0,05
J
/
\
\
V
0,8
0,6
0,4
0,2
1,0
-2
D.60)
/
У
\
\
-4024
б
\
Рис. 4.7. Временная зависимость интенсивности излучения лазера с'модуля-
цией добротности при различных степенях возбуждения. [UJ'. Wagner,
В. A. Lengyel, J. Appl. Phys., 34, 2040 A963).]
Представленные нами уравнения пригодны по крайней мере для
приближенной оценки величин tlt пшкс и п (t). Решить эти урав-
уравнения более точно можно компьютерными методами. Некоторые
типичные результаты таких расчетов представлены на рис. 4.7.
Интенсивность лазерного излучения, скоростные уравнения 91
4.5. Основные скоростные уравнения
многомодового лазера
В предыдущих разделах мы исследовали лазер, предполагая, что
атомы испускают свет, отвечающий только одной моде. Это, ко-
конечно, резко отличается от излучения атомов в обычных источни-
источниках света, где свет испускается, например, во всех возможных
направлениях. Как мы уже говорили ранее, селекция мод обуслов-
обусловлена различием времени жизни различных фотонов в резонаторе.
В данном разделе мы хотим подробнее остановиться на вопросе
о селекции мод в лазере. Мы увидим, что может наблюдаться одно-
одновременное испускание фотонов, отвечающих разным модам.
Нам нужно более внимательно проанализировать структуру ко-
коэффициента W, который входит в уравнения лазера. Мы взяли
этот коэффициент из полуклассической теории излучения Эйнш-
Эйнштейна. Как будет детально показано в дальнейших главах, вели-
величину W нельзя считать одинаковой для всех типов фотонов. Чтобы
показать, какова структура коэффициента W, мы выведем соот-
соответствующее выражение не очень строго. (Вывод его из основных
принципов будет дан в разд. 6.9). Величина W учитывает, конечно,
взаимодействие светового поля с атомами. Если рассмотреть оди-
одиночную стоячую волну в виде sin kx, то совершенно ясно, что све-
световая волна не может взаимодействовать каким-либо образом с ато-
атомом в точке х — 0 или в других нулях синусоидальной волны. Но
можно ожидать максимального взаимодействия между атомом и све-
световой волной, когда функция синуса имеет максимум. Поскольку
атом и световое поле обмениваются между собой энергией, следует
предположить, что W зависит не от амплитуды поля, а от его ин-
интенсивности, т. е. от квадрата амплитуды. Кроме синусоидальной
волны в лазерном резонаторе могут генерироваться также другие
типы световых полей (см. гл. 3). Обозначив соответствующие формы
световых волн символом и% (хд), с учетом сказанного введем веро-
вероятность перехода в виде
\2. D.51)
Так как мы имеем дело с несколькими волновыми формами, мы раз-
различаем их по индексу X, где X — длина волны. Но здесь этот индекс
к может также обозначать различные направления распростране-
распространения волны или ее поляризацию и т. п. Вектор хд есть радиус-век-
радиус-вектор точки пространства, в которой локализован атом. Отдельные
атомы помечены индексом ц. Таким образом, W есть скорость пе-
перехода, обусловленная взаимодействием волны X с атомом \i
(рис. 4.8).
Другая зависимость W от светового поля и атомных величин
возникает, если учесть поляризацию поля и атомов. Движение
электронов внутри атомов может быть описано как движение ко-
92
Глава 4
леблющихся диполей. Здесь и в последующем мы будем предпола-
предполагать для простоты, что диполи в активной среде колеблются в од-
одном и том же направлении.
Световая волна К, имеющая направление поляризации ех, мо-
может взаимодействовать с атомным дипольным моментом только
в том случае, если дипольный момент атома 8- имеет компоненту
в направлении вектора поляриза-
поляризации tk. Поскольку, как указыва-
указывалось, во взаимодействии играют
роль только интенсивности, при-
примем, что зависимость W от поляри-
поляризации имеет вид (рис. 4.9)
а
D.52)
Наконец, мы должны устано-
установить, как в W входят положения
частот отдельных мод по отноше-
отношению к частотам оптических перехо-
переходов в атоме. Во всей книге мы бу-
будем использовать следующие обо-
обозначения круговых частот атомов
и полей: со — круговая частота
атомного перехода, со^ — круго-
круговая частота световой волны в ре-
резонаторе- лазера. Из эксперимен-
экспериментальной физики известно, что из-
излучение атомов имеет определен-
определенную форму линии (рис. 4.10). Оди-
Одиночный атом испускает свет не
равномерно в пределах своей ши-
ширины линии, а в соответствии с не-
некоторым законом распределения
интенсивности. В случае лоренцевой формы линии интенсивность
световой волны с частотой сох и центральной частотой атомного
перехода со дается соотношением
|1 , D.53)
у2 + (ш — сея.)
где опущен множитель /0. Здесь у — ширина линии (или, точнее,
половина ширины на половине интенсивности). Вспомним, что W —
скорость, с которой атом испускает свет с длиной волны X. Поэтому
потребуем, чтобы величина W была пропорциональна выражению
D.53) (см. рис. 4.10).
В некоторых случаях приходится обобщать выражение D.53),
Например, активные атомы в твердом теле могут занимать различ-
Рис. 4.8. Зависимость функции
взаимодействия W [формула
D.51)] от пространственной ко-
координаты х, измеряемой вдоль
оси лазера. L — расстояние меж-
между зеркалами резонатора, х^ —
координата атома (х. а — Хц совпа-
совпадает с максимумом; б—х^ совпа-
совпадает с нулем поля.
Интенсивность лазерного излучения, скоростные уравнения
93
ное положение в кристаллической решетке. Вследствие этого атомы
имеют различные центральные частоты со, которые мы обозначим
индексом атома ц. Если имеется некое распределение частот со^
в некотором частотном интервале, то мы имеем дело с неоднородным
уширением. Неоднородное уширение в газах вызывается также
эффектом Доплера, связанным с движением атомов газа. В случае
ЩХ)
Рис. 4.9. Зависимость функции взаи-
взаимодействия W от угла % между ди-
польным моментом атома и поляри-
поляризацией поля.
1i W(w)
Рис. 4.10. Функция W (со), отвечаю-
отвечающая формуле D.53).
однородного и неоднородного уширения необходимо предположить,
что W имеет вид
W
Y2 + (шц -
D.54)
Поскольку W зависит от длины волны X и от рассматриваемого
атома (х, мы введем для W индексы X и fx.
Соберем вместе все виды пропорциональности, найденные для W,
и введем коэффициент пропорциональности, который будет выве-
выведен в одной из предыдущих глав. Тогда WXll можно будет запи-
записать в виде
2y '- '2 D.55)
где использовано обозначение
Очевидно, что все множители в выражении для g^ нам уже из-
известны, кроме последнего, который можно найти только путем точ-
точного квантовомеханического расчета.
Теперь можно составить уравнения лазера. Предположим, что
в лазерном резонаторе существует некоторый набор мод с разными
индексами к. Каждая мода может быть заполнена определенным
числом фотонов ях. Так как времена жизни различных типов коле-
94 Глава 4
баний резонатора могут быть неодинаковы, введем константы за-
затухания нк, которые, вообще говоря, отличаются одна от другой.
Так как отдельные атомы взаимодействуют с модами лазера по-раз-
по-разному, мы должны рассматривать атомы индивидуально. Для про-
простоты вновь рассмотрим двухуровневую схему, оставив распростра-
распространение решения на случай трехуровневой системы в качестве упраж-
упражнения.
Обозначим числа заполнения атома ц в состояниях 1 и 2 через
^ьи и ^2,ц- Соответствующая разность заселенностей дается вы-
выражением ^Д=-Л/2)Р1—NUVL. Обобщая уравнение лазера B.1),
можно сразу же написать уравнение для моды К:
dnjdt = - 2ххпх + пх ? UV*n + 2 UVV8l „• D.57)
Хотя такое уравнение здесь не выводилось (это будет сделано
позже), оно выглядит вполне правдоподобно. Изменение числа фо-
фотонов сорта К во времени определяется: 1) потерями (первый член
в правой части); 2) процессами вынужденного излучения и погло-
поглощения отдельного атома jjl (первая сумма в правой части); 3) чле-
членом, представляющим спонтанное излучение (вторая сумма в пра-
правой части). В случае лазерной генерации последний член будем
опускать.
Критически настроенный читатель вполне справедливо задаст
вопрос: почему не учитываются фазовые соотношения между мо-
модами и осциллирующими дипольными моментами электронов в ато-
атомах? Действительно, уравнение D.57) отвечает приближению,
смысл которого будет выяснен в следующей главе. Уравнение
D.57) может быть получено лишь в пренебрежении фазовыми со-
соотношениями, что допустимо во многих случаях, но не всегда. Бо-
Более того, очень многие эффекты в лазере, такие, как синхронизация
мод, возникают именно вследствие специфических фазовых соотно-
соотношений.
В скоростных уравнениях для отдельного атома ц должны учи-
учитываться процессы накачки и релаксации и, кроме того, эффект
вынужденного излучения и поглощения. Поскольку излучается не
один, а различные сорта фотонов, должны быть учтены все числа
фотонов. С учетом всего этого получим скоростные уравнения для
атома fx:
dN2, Jdt - w21Nu „—wnN2, ^—d» ? nxWk, „, D.58)
dNlt Jdt =- —w21Nh „_ + wnN.lt „ | dn ? nkWx»- D.59)
Интенсивность лазерного излучения, скоростные уравнения 95
Складывая D.58) и D.59), получаем закон сохранения полного
числа атомов \i:
и, следовательно,
JV^ + yV^EEzA^-l. D.60)
Так как мы имеем дело с одним атомом, положим N^ = 1. Так же
как и в случае одномодового лазера (разд. 4.2), из уравнений D.58)
и D.59) можно вывести уравнение для инверсии d^ = N2t ^ — Nbll:
j ^ D.61)
Уравнения D.57) и D.58) представляют собой основные лазерные
уравнения, и далее мы займемся их анализом.
Упражнение к разд. 4.5
Составьте скоростные уравнения, соответствующие уравнениям
D.57) — D.59), для трехуровневых атомов с накачкой по схеме,
приведенной на рис. 2.9.
4.6. Образование провалов, качественное
объяснение
В рамках скоростных уравнений нашей задачей будет вычисление
распределения интенсивности по отдельным модам лазера. Точнее,
мы хотим найти числа фотонов, принадлежащих отдельным модам к.
Так как скоростные уравнения нелинейны, эта задача не совсем
проста. Однако можно получить полезные представления о неко-
некоторых важных механизмах, исследуя инверсию d^, которой в ос-
основном определяются числа фотонов. Начнем с уравнения D.57),
в котором пренебрежем последним членом, описывающим, как уже
говорилось, спонтанное излучение. Из уравнения D.57) явствует,
что инверсией d^ отдельных атомов определяется, могут ли быть
скомпенсированы потери, описываемые членом — 2и^пх. В даль-
дальнейших рассуждениях следует иметь в виду, что инверсия d^ опре-
определяется в свою очередь числами фотонов, как это можно увидеть
из уравнения D.61). Ограничимся стационарным случаем, положив
ddJdt^O. D.62)
Как и в случае одномодового лазера, включим также процессы,
в которых d^ мгновенно следует за числом фотонов и для которых
96 Глава 4
также выполняется условие D.62). При условии D.62) можно ре-
решить уравнение D.61) относительно d^:
du= ^ D-63)
В последующем нас будет интересовать работа лазера не слишком
высоко над порогом. В этом случае можно считать число фотонов
% малым, так что правую часть уравнения D.63) можно разложить
в ряд по числу фотонов. Как мы увидим, достаточно сохранить
первые два члена разложения:
D.64)
Рассмотрим сначала случай, когда только одно фотонное число от-
отлично от нуля. В этом случае равенство D.64) упрощается:
dll^do(l-2TnWXll). D.65)
Индекс моды X у п опущен, так как мы имеем дело только с одной
модой. Напомним, что индекс \i относится к сорту атомов. Теперь
посмотрим, как число фотонов п влияет на разность заселенностей dp,
отдельных атомов. Для этого вспомним определение величины W^
[выражения D.55) и D.56)]. Согласно этому определению, вели-
величина Wxy, состоит в основном из двух частей, одна из которых опи-
описывает пространственное поведение моды, а другая зависит от от-
относительного положения частоты рассматриваемой моды X и цен-
центральной частоты атомного перехода. Мы хотим исследовать раз-
раздельно влияние этих двух факторов на поведение разности засе-
заселенностей d^. Рассмотрим сначала случай бегущих волн, который
может реализовываться, например, в кольцевом лазере. В этом слу-
случае пространственная функция их (х^), которая входит в W^,
согласно формулам D.55) и D.56), дается выражением
"х Ы = -j=- exp [i kxxj, D.66)
где V — объем, а к^ — волновой вектор. Поскольку в выражение
D.55) входит только абсолютная величина выражения D.66), ока-
оказывается, что WXil не зависит от пространственной координаты.
Следовательно, можно ограничить наше обсуждение только той
частью WXil, которая имеет вид
UV~ 2 ^Y -vg- D-67)
Y' + U )
После этих подготовительных шагов перейдем к эффекту обра-
образования провалов в неоднородно уширенной линии. Мы рассматри-
рассматриваем неоднородно уширенную атомную линию, для которой ча-
частоты переходов со^ зависят от атомного индекса \i. Сначала иссле-
Интенсивность лазерного излучения, скоростные уравнения
97
дуем поведение d^ D.65) при изменении сод. Для простоты опу-
опустим индекс (х и рассмотрим рис. 4.11, где представлена зависи-
зависимость разности заселенностей d от со. Если нет генерации, т. е.
если п = 0, мы имеем ненасыщенную разность заселенностей d0,
которая показана верхней пунктирной линией. Когда п Ф 0, мы
должны вычесть из d0 лоренцеву кривую D.67). Максимум этой
кривой лежит на той частоте атомного перехода со, которая совпа-
совпадает с частотой со^ рассматриваемой лазерной моды. Полуширина
этой кривой дается величиной у.
Таким образом, получаем сплош-
сплошную кривую, изображенную на
рис. 4.11, которая обнаруживает
минимум инверсии. Это означает,
что в результате лазерной гене-
генерации вблизи резонанса со = со^
инверсия, понижается, или, дру-
другими словами, в линии образуется
провал.
Как такое образование прова-
провала влияет на уравнения, описы-
описывающие моды лазера? Фотоны об-
образуются в результате процесса
вынужденного излучения, т. е.
описываются вторым членом в пра-
правой части уравнения D.57). В этом члене инверсия
под знаком суммы по всем атомным индексам:
соя о)
Рис. 4.11. Зависимость насыщен-
насыщенной инверсии d (со) от частоты
атомного перехода со; сох — ча-
частота поля, d0 — ненасыщенная
инверсия.
оказывается
Е flW D.68)
и
Так как, по крайней мере в общем случае, мы имеем дело с большим
числом атомов (скажем, 1014 и более), можно заменить сумму ин-
интегралом. Сначала рассмотрим эффект качественно, а затем прове-
проведем вычисления. Малая область частот переходов со ... (со + dco)
может содержать некоторое число атомов. Вообще говоря, это число
максимально вблизи центральной частоты со0 и падает с увеличе-
увеличением разности частот. В общем случае число атомов dZ внутри
частотного интервала dco может зависеть от со. Поэтому напишем
dZ = р (со )d©. D.69)
Во многих практических случаях, например в твердотельных ла-
лазерах, можно принять, что р (со) подчиняется гауссову распреде-
распределению (рис. 4.12). Чтобы вычислить сумму по ц в D.68), нужно пе-
перейти от отдельных атомных индексов \i к новой переменной со:
I UV*n ^^WK(u)d (ш) р (©) <to. D.70
98 Глава 4
Мы заменили WKll на Wx (&>) и d^ на d (со), поскольку хотели пе-
перейти от переменной ц к со. В действительности же суммирование
по ц учитывает не только распределение атомов по частотам со, но
и их пространственное распределение. Однако так как в данном
контексте рассматриваются величины W, не зависящие от коорди-
координат, мы не будем обсуждать здесь соответствующую процедуру
интегрирования по положениям
р(ш) атомов. В выражении D.70) можно
ввести плотность инверсии d:
d(a) = d(a)p(®). D.71)
Чтобы представить функцию 5
графически, мы должны перемно-
перемножить кривые рис. 4.11 и 4.12.
В результате получаем (рис. 4.13)
Рис. 4.12. Зависимость ^плотности КрИвую зависимости плотности
инверсии от частоты перехода 5.
Конечно, снова образуется про-
провал в плотности инверсии на ча-
частоте со = (о^. Как эффект образования провала влияет на усиле-
усиление, которое пропорционально величине D.68)? Очевидно, что
в сумму D.68) или в соответствующий интеграл снова входит мно-
множитель
Y2 + («Я. —
D.72)
[ср. с D.67)]. Таким образом, вклад области (а = а>к в сумму D.68)
можно считать доминирующим. Так как глубина провала одина-
одинакова для всех частот (ах, эффективное усиление станет наибольшим,
если положение провала совпадет с центральной частотой атомного
перехода со0. В стационарном случае глубина провала определяется
из условия
dn/dt = O, D.73)
т. е. выполняется соотношение
2>4 = ?1*VV D-74)
м.
В разд. 4.7 мы вычислим, в частности, величину D.74).
Здесь же продолжим качественное обсуждение и рассмотрим
поведение инверсии, когда присутствуют две моды, т. е. когда
пх ф 0 при К = 1 и X = 2. Чтобы выяснить, каким образом умень-
уменьшается инверсия, выполним ту же процедуру, что и для одномодо-
вого режима, но, кроме того, учтем, что соответствующие лорен-
Интенсивность лазерного излучения, скоростные уравнения
99
цевы линии должны вычитаться из ненасыщенной инверсии d0
при двух положениях со =f (Oj и со = со2. Таким образом получим
рис. 4.14, который соответствует рис. 4.11. Рис. 4.12 можно снова
/I d{dj)
Рис. 4.13. Зависимость плотности инверсии d (со) от частоты атомного пере-
перехода ш. Легко видеть эффект «образования провала» в точке ы% (= частота
поля).
использовать без изменений, так что мы получим рис. 4.15 как
окончательный результат для плотности инверсии. Этот график
относится к случаям, когда частоты (а1 и &>2 соответствующих ла-
лазерных мод разделены интервалом, большим по сравнению с одно-
d(cu)
Рис. 4.14. Зависимость насыщенной инверсии d (со) от со (d0 — ненасыщенная
инверсия). Моды с частотами wx и w2 прожигают две дырки в инверсии. Если
число фотонов двух мод неодинаково, то дырки различаются по глубине.
родной шириной линии у. Как мы видели выше при рассмотрении
одной моды, множитель W^, который снова входит в сумму D.68),
имеет максимум вблизи ю — а^ Это означает, конечно, что, когда
присутствуют две моды, ни одна из них не влияет на усиление дру-
другой. Если мы представим для наглядности две моды как две коровы
на лугу, то это означает, что коровы пасутся на разных частях
100
Глава 4
луга, а в лазерном контексте — что моды берут энергию у двух со-
совершенно различных групп атомов. Ситуация резко меняется, когда
расстояние между частотами двух мод становится настолько малым,
что они оказываются внутри ширины линии 2у. Тогда, образно
говоря, две коровы пасутся в одной и той же части луга — и воз-
возникает вопрос: чем в результате закончится эта конкуренция? Мы
рассмотрим этот вопрос в разд. 4.9.
Теперь вернемся к эффекту образования провала в газовых лазе-
лазерах, поскольку здесь возникают особенно интересные эффекты.
Ограничимся рассмотрением одномодового лазера. Относительно
случая нескольких мод рекомендую читателю свою книгу [5.3].
Рис. 4.15. Плотность инверсии, соответствующая рис. 4.14. Кривая полу-
получается из представленной на рис. 4.14 умножением на кривую рис. 4.12.
Ясно видны два провала.
Поскольку атомы газа движутся, существует эффект Доплера. Он
играет особенно важную роль, если имеет место лазерная генера-
генерация. В соответствии с эффектом Доплера частота перехода соо атома,
удаляющегося со скоростью v от наблюдателя, сдвигается по за-
закону
© = ©0A—и/с). D.75)
Частота же излучения атома, летящего навстречу наблюдателю,
равна
© .-=©0A+о/с). D.76)
Поскольку отдельные атомы \i обладают различными скоростями v^,
это приводит к эффективному уширению линии. Сравним вышепри-
вышеприведенное обсуждение неоднородно уширенной линии покоящихся
атомов, используя частоты со^, входящие в соотношения D.75) и
D.76). По сравнению со случаем лазера на твердом теле возникает
важное отличие, так как D.75) и D.76) содержат компоненты ско-
скоростей v отдельных атомов в направлении распространения свето-
световых волн. Когда мы имеем дело со стоячими волнами, лазерная мода
состоит из двух волн, бегущих в противоположных направлениях.
Интенсивность лазерного излучения, скоростные уравнения
101
Как следствие, лазерная мода находится в резонансе с двумя груп-
группами атомов, а именно теми, которые движутся в противоположных
направлениях с определенной скоростью \v\. Следовательно, каж-
каждая волна дает два провала в атомной инверсии.
Для полной аналогии с нашим ранним обсуждением мы должны
учесть распределение частот. Согласно формулам D.75) и D.76),
оно определяется распределением по скоростям v, которое в со-
Рис. 4.16. В газовом лазере со стоячей волной возникают два провала, сим-
симметрично расположенных относительно центра линии.
ответствии с кинетической теорией газа является максвелловским.
Таким путем получаем рис. 4.16, где принято, что
| а>я,—&>0|>2у. D.77)
Путем изменения расстояния между зеркалами частота лазерной
моды может быть перестроена так, чтобы она совпада с &>0. В резуль-
результате оба провала совпадут, что ведет к частичному уменьшению их
глубины. Поскольку мода лазера взаимодействует с атомами почти
исключительно в области провала и только здесь инверсия сильно
уменьшается, получаем следующий результат. Если перестраи-
перестраивать частоту лазера в области атомной линии, то усиление станет
меньше, чем в случае, когда выполняется условие D.77), по край-
крайней мере при малой расстройке. Этот эффект, который играет важ-
важную роль в спектроскопии, свободной от доплеровского уширения,
количественно будет рассмотрен в разд. 6.8.
4.7. Количественный анализ эффекта
образования провалов, работа одномодового
лазера в случае неоднородно уширенной линии
Вернемся к одномодовому лазеру на твердом теле с неоднородно
уширенной линией. Начнем с уравнения D.57), которое запишем
для случая одной моды. Опустим индекс К у п, но сохраним его для
102 Глава 4
большей ясности у величины Wkll. Пренебрегая как обычно спон-
спонтанным излучением, получаем уравнение
л-—2хл4 «IX^V D.78)
и
Подставим в него выражение для насыщенной инверсии [формула
D.64)]
dVL^do(l-2TnWilik). D.79)
Будем рассматривать бегущие волны [формула D.66)], так что
WXll больше не зависит от пространственной координаты х. Взяв
Wkil в форме, задаваемой выражениями D.55) и D.56) и заменив
индекс (л переменной со, напишем
WKtl - Wx (п) = А -ТТГ- W' D-80)
V v2 + (w wO
где введено обозначение
Л:-со0|ве|/йе0. D.81)
Подставив D.79) в D.78), приведем уравнение D.78) к виду
n--nl WXll(d0— 2TnWl#d0)—2x/t. D.82)
Перейдем от суммирования по атомным индексам ц к интегралу
по пространству и интегралу по частотам ы:
? . . . =| . . . ds* f . . .dw. D.83)
Поскольку U^ не зависит от пространственных координат, интег-
интегрирование по элементам объема dsx дает объем резонатора V. Чтобы
вычислить интеграл по частотам ы, примем для распределения по
частотам р (ы) гауссову форму
р E) = Ро (a V« )"' ехр [ - (^^J] - D-84)
где р0 — плотность атомов (р„ -- N/V, причем N — полное число
активных атомов в резонаторе, а V — объем резонатора), а — по-
полуширина гауссова распределения.
Сначала рассмотрим первый член в правой части уравнения
D.82)
4.E11V D-85)
Интенсивность лазерного излучения, скоростные уравнения 103
Чтобы вычислить это выражение, подставим в него D.80) и D.84).
Поскольку интеграл по объему в D.83) сокращается с объемом V
в знаменателе выражения D.80), нам нужно рассмотреть
D86)
Этот интеграл не может быть вычислен аналитически. Но довольно
просто вычислить его приближенно, если предположить, что v««.
В этом случае с хорошей точностью получим
D.86) = d0Po^-^exp[-62J, D-87)
где
6= юх~"° • D.88)
Аналогичным образом можно вычислить второй член в D.82), т. е.
-ZZTriW^W^do, D.89)
и
что дает
-PoAdo3ATn V^ex2Pv^62] • D.90)
Приводя подобные члены, можно переписать D.82) в явной форме:
п= РоАAо^-ехр\—62\A*-ЗАТп/2у)п—2хп. D.91)
В стационарном случае, когда dnldt = 0, это уравнение может
быть легко решено относительно п. Так как п — единственный
свободный параметр в формуле D.79) для образования провала,
мы тем самым фиксировали глубину провала. Заметим, что интег-
интегралы типа D.86) могут быть взяты аналитически, если неоднород-
неоднородная атомная линия является лоренцевой.
Упражнение к разд. 4.7
1. Решите уравнение D.91) для п (при п = 0) и проанализируйте
зависимость п от ненасыщенной инверсии d0 и расстройки б.
4.8. Пространственный эффект образования
провала, качественное объяснение
Пока что мы исследовали случай, когда Wkii не зависит от про-
пространственной координаты. Теперь рассмотрим случай, когда
имеется пространственная неоднородность величины W%v,, обус-
104
Глава 4
т. d(x)
о
L
ловленная стоячими волнами. Для простоты примем, что линия
атомного перехода однородно уширена, и, следовательно, сод не
зависит от jj.. Другими словами, мы принимаем, что положение цен-
центральных частот всех атомных переходов одно и то же. Пока нас
интересует пространственная часть функции W%]X, а поэтому рас-
рассмотрим только эту часть. Согласно формулам D.55) и D.56), где
sin (к^Хц), она дается выражением
J- D.92)
Если построить в соответствии с D.65) график зависимости инвер-
инверсии от пространственной координаты х = х^, то мы получим кри-
кривую, представленную на рис. 4.17.
Очевидно, что провалы перио-
периодически возникают в ненасыщен-
ненасыщенной инверсии точно в тех местах,
где стоячая волна поля лазера
имеет максимумы. Если присутст-
присутствует не одна мода, а, скажем, две,
то, согласно формуле D.64), обе
моды дают провалы в ненасыщен-
ненасыщенной инверсии.
В следующих разделах мы по-
покажем, как образование прова-
провалов влияет на сосуществование
различных лазерных мод и конку-
конкуренцию между ними. С этой целью
проведем решение в несколько
ступеней. Сначала рассмотрим частный случай, когда «выживает»
только одна мода из многих. Затем качественно покажем, каким
образом становится возможна одновременная генерация несколь-
нескольких мод, а в заключение представим детальный математический
анализ влияния, оказываемого эффектом образования провалов.
4.9. Многомодовый лазер, конкуренция мод
и естественный отбор по Дарвину
Рассмотрим лазер, в котором возможны только бегущие волны.
Это может быть схема с четырьмя зеркалами (ср. рис. 3.6), в кото-
которую кроме активной среды входит некая ячейка, пропускающая
свет только в одном направлении. Плоские волны представим
в виде
exp (ikx), D.93)
Рис. 4.17. Пространственное вы-
выгорание дырки. Инверсия d (х)
уменьшается в точках х, отвечаю-
отвечающих максимумам лазерных мод
(L — длина лазера).
и
так что
\и |2-= const.
D.94)
Интенсивность лазерного излучения, скоростные уравнения 105
Это означает, что все волны могут участвовать в атомном испуска-
испускании одинаково, по крайней мере в отношении их пространствен-
пространственного поведения. Таким образом, выражение для скорости перехода
W\fL (<»ц = w) упрощается:
«V = , , ,- w ! 812 • - ^- D.95)
V2 + (ш — сох)
Мы рассматриваем однородно уширенную линию атома. Внима-
Внимательный анализ уравнений D.57) — D.61) показывает, что можно
вынести выражения Wx за знаки сумм по [i, входящих в уравне-
уравнение D.57). Это означает, что скорость рождения и уничтожения
фотонов определяется только полной инверсией
Zd^D. D.96)
Чтобы вывести уравнение для D, просуммируем уравнение D.61)
по ц. Следовательно, нужно учесть только набор атомов, а не их
отдельные заселенности. Если ограничиться стационарным случаем,
то можно положить пх ¦-= 0 и D' = 0. Тогда вместо D.57) получим
уравнение
0 --^ —2кхпх + nxW%D. D.97)
Так как D.97) можно записать также в виде
(WXD—2хх)/?х= 0, D.98)
эта система уравнений означает, что число фотонов пх или множи-
множитель при нем равны нулю:
WXD—2хх^о. D.99)
Предположим, что для некоторого набора мод пх Ф 0. Для этих
мод, которые мы можем пронумеровать индексом ^—1,2,...,
должно выполняться уравнение D.99). Но это означает, что
ТГГ7 »ГГ7 Itrr ^
Поскольку инверсия D однозначно определена, правые части
должны быть равны друг другу. Рассмотрим следующую ситуацию:
все моды имеют одно и то же время жизни, но отвечают разным
частотам, и для разных частот соответствующие величины W неоди-
неодинаковы. При таких предположениях и выражения 2nJWk, к = 1,
2, ... должны различаться. Мы приходим к противоречию, кото-
которое возникает из-за того, что предполагалось существование на-
набора мод с отличными от нуля числами фотонов п%. Это противо-
противоречие снимается только в том случае, если от нуля отлично самое
большее одно пк, а все остальные равны нулю. Как нетрудно убе-
убедиться, число п^ отлично от нуля для частоты, которая наиболее
близка к частоте атомного перехода. Конечно, наши рассуждения
106
Глава 4
могут быть сразу же обобщены на случай, когда имеется дискри-
дискриминация мод, обусловленная различием их времен жизни в резо-
резонаторе лазера. Мы приходим к важному выводу, что в лазере, если
учитывается распределение мод по
частотам и их времена жизни,
генерируется только одна мода.
Пользуясь аналогией с биологи-
биологической селекцией, можно сказать,
что в борьбе за существование
побеждает только одна мода, а
все другие вымирают. Это точная
математическая формулировка дар-
дарвиновского закона выживания
наиболее приспособленных. Если
представить себе возбужденные
атомы как питание, которое не-
непрерывно подводится к системе,
а фотоны как живые существа, то
результат будет иметь следующий
смысл. Одна группа существ, кото-
которая имеет лучший доступ к пище,
растет быстрее и может поедать
все больше пищи. Другие же су-
существа не могут конкурировать в
питании и в конце концов выми-
вымирают.
Как показывает этот пример,
сосуществование возможно, если
каждая группа существ имеет свой
источник питания, так что те существа, которые едят быстрее, не
могут лишить питания остальных. В биологии это называется эко-
экологическими нишами. В лазере подобная (в абстрактном смысле)
ситуация возможна, если разные
группы атомов генерируют раз-
различные группы фотонов. Это мо-
может происходить, например, в сле-
следующих случаях.
1. Атомная линия неоднородно
уширена.
Например, у нас имеются две от-
отдельные группы атомов с разными
частотами оптических переходов а>1
, ,„ „ , и со,, причем соответствующие
Рис. 4 19. График зависимости г> г j •«.
инверсии от координаты х, отве- линии испускания не перекрыва-
чающий одной лишь второй моде. ются. Тогда фотоны, принадлежа-
6
Рис. 4.18. Сосуществование стоя-
стоячих волн (в данном случае с дву-
двумя наибольшими длинами волн).
Представлена зависимость ампли-
амплитуды мод от пространственной
координаты в продольном направ-
направлении.
d(x)
Интенсивность лазерного излучения, скоростные уравнения 107
щие модам с частотами сй1 = со1и(й2 = аJ. располагают отдель-
отдельными «ресурсами питания» и могут существовать. Общий случай
непрерывного распределения центральных частот (неоднородно уши-
уширенной линии) был рассмотрен в разд. 4.6.
2. Моды представляют собой стоячие волны.
Моды должны представлять собой стоячие волны, а линия может
быть, например, однородно уширенной. Рассмотрим две моды, про-
пространственное распределение которых показано на рис. 4.18. Если
имеется только мода 2, то она создает инверсию за счет пространст-
пространственного эффекта образования провалов, как показано на рис. 4.19.
Очевидно, что инверсия не насыщена там, где имеет максимум мода 1
(см. рис. 4.19). Таким образом, мода 1 может существовать за счет
этой ненасыщенной инверсии. Очевидно, что обе моды по крайней
мере частично подпитываются двумя различными группами ато-
атомов, которые расположены в разных точках пространства. Следо-
Следовательно, эти моды могут сосуществовать, если они обеспечены до-
достаточно большой ненасыщенной инверсией d0. Глядя на графики
рис. 4.18 и 4.19, можно подумать, что такой эффект возможен
только в случае больших длин волн. Но на самом деле он не зави-
зависит от длины волны в резонаторе. Он делает возможной одновре-
одновременную генерацию и большего числа мод. В следующем разделе
мы покажем это более строго.
4.10. Сосуществование мод вследствие
пространственного эффекта
образования провалов, количественное
рассмотрение
Будем исходить из фундаментального уравнения D.57) для вре-
временного поведения числа фотонов:
Предположим, что инверсия d^ мгновенно следует за изменениями
лазерного поля, как это говорилось в разд. 4.2. Это позволяет нам
положить d'n = 0 в уравнении D.61) и решить его приближенно
в случае достаточно малых п. Результат таков:
D.102)
что мы получили раньше. Подставив D.102) в D.101), получим си-
систему сцепленных уравнений, описывающую только числа фото-
фотонов пх:
toZnvWw. D.103)
108 Глава 4
Далее сосредоточим внимание на стационарном случае, когда
пх^.0. D.104)
В этом случае система уравнений D.103) преобразуется к виду
E ? Z х- 0. D.105)
Эта система уравнений может быть решена, если либо пх = 0, либо
равно нулю все выражение в скобках. Так как нас интересуют
реально генерирующие моды, будем рассматривать те уравнения,
для которых п^фО. Поэтому мы подробнее проанализируем вы-
выражение в скобках. Нашей задачей будет вычислить суммы, содер-
содержащие WX]X- Рассмотрим частный случай, когда имеются стоячие
волны в одном направлении, и предположим, что моды практически
постоянны по сечению лазерного стержня. (Все изложенное не-
нетрудно будет обобщить и на случай, когда моды пространственно
изменяются в поперечном сечении.) В рассматриваемом случае
можно записать WXil в виде
где мы предположили однородное уширение линии и где А — ве-
величина, даваемая выражением D.81). Напомним, что иногда удоб-
удобнее представить WXil в несколько другой форме, а именно:
где последний множитель может быть записан формально как вы-
выражение
I^xl2 = ^|ux(xti)|2, D.108)
в котором введена новая константа связи g. Множитель 21V перед
функцией синуса определяется так, чтобы эта функция была нор-
нормирована на объем резонатора лазера длиной L с площадью попе-
поперечного сечения F:
f dxF — sin2 (kxx) = 1, D.109)
о V
причем
FL-.-V. D.110)
Поскольку расстояние между активными атомами довольно мало,
можно заменить сумму по \i интегралом по пространству. В данном
Интенсивность лазерного излучения, скоростные уравнения 109
случае, когда WXll не зависит от пространственных координат,
перпендикулярных оси лазера, допустим переход
Z-v-J- ¦ -dxF> DЛ11>
где N — полное число атомов, так что NIV — плотность активных
атомов.
Произведем такой переход при вычислении суммы по Wkll:
L
to-+-ir\ dxF \т sin2 ^ А -ГГГ- V ¦ <4'! 12>
2 {
ц 0
Обозначим эту сумму через Wx- Ее вычисление сводится к интегри-
интегрированию в выражении D.112) квадрата синуса, что сразу же дает
=W% -= — А —5—рД г=- . D.113)
Z
Нетрудно вычислить также сумму по \i, содержащую произведение
двух функций W, если снова заменить суммирование по \i интегри-
интегрированием. Простые выкладки дают следующий результат:
— Wl при к=Х',
_^ _ D.114)
WxWk' при
Подставив результаты D.113) и D.114) в скобки, входящие в урав-
уравнение D.105), легко получить следующую систему уравнений:
— 2хк-\-doW,, — -22L- X nx'^vWb — -!Z?- 3W{nk = 0.
D.115)
После умножения этих уравнений на выражение
N/Wxd0T D.116)
получим
3TV7 „ | о \^ <л IV/ / IА \\П\
где мы использовали обозначение
D.П8)
110 Глава 4
Если рассматривать Wxnx как новую переменную ух, то, как не-
нетрудно убедиться, система уравнений D.117) имеет очень простую
структуру. Это позволяет нам искать ее решение прямо в виде
i(' + + '"l D.119)
ухфШ%пхЛхl
УХ 7 X X X 2УИ + ]
С учетом определения величины 1Х [формула D.118)] получаем
для D.119)
W п - — Г ' _ _^_ : 2BУ?~1+-- + 2-У%) 1
ХХ т|2УИ+1 dW ' BM + \)d0 J
d0Wx '
D.120)
В этом выражении М — полное число мод с числом фотонов пх,
отличным от нуля. В формулах D.119) и D.120) мы обозначили
моды таким образом, чтобы ненулевые моды имели индексы от 1
до М.
Поскольку WK — положительная величина, а нас интересуют
те моды, для которых пх >0, исследуем условия, при которых
выражение в квадратных скобках в формуле D.120) положительно:
>0
2УИ + 1 d0Wx
Два примера одновременной генерации мод
Покажем теперь, при каких условиях пространственный эффект
образования провалов, который качественно обсуждался в разд. 4.8,
позволяет сосуществовать различным модам. С этой целью рассмот-
рассмотрим два реальных случая, а именно:
1) все моды имеют одни и те же константы затухания, но рас-
расстояние их частот от центра линии увеличивается по закону
D.122)
где m — положительное или отрицательное целое число, включая
нуль;
2) все моды имеют практически одну и ту же частоту, но вследст-
вследствие смещения их оси симметрии относительно оси лазера их кон-
константы затухания кх различаются.
1. Рассмотрим первый случай. Обозначим через Яо (или пг0) ин-
индекс моды, которая наиболее далека от резонанса. Так как мы пред-
предполагаем симметричное расположение мод резонатора по отноше-
отношению к центру линии, индекс гп0 связан с полным числом мод М со-
соотношением М = 2гп + 1. Подставив явное выражение для Wx,
отвечающее формулам D.113) и D.122), в D.121), нетрудно вычис-
вычислить сумму по /л, входящую в D.121). Выполнив простые алгебраи-
Интенсивность лазерного излучения, скоростные уравнения 111
ческие преобразования и положив т = т0 в D.122), можно при-
привести условие D.121) к виду
4 ml-f m§—|- m0 <~ ^ (g2?0-*V) - D.123)
где использовано обычное обозначение для полной атомной инвер-
инверсии
D0^Nd0. D.124)
Эта формула позволяет нам вычислить индекс моды т0, которая
наиболее удалена в положительном (или отрицательном) направ-
направлении от центра линии.
Если нас устраивает грубая оценка (с точностью ~ 10 %), то
можно заменить условие D.123) неравенством
D.125)
которое позволяет быстро определять число генерирующих мод
при заданных значениях б [формула D.122I, g [формулы D.107),
D.108)], Do [формула D.124)], у и х.
2. Теперь рассмотрим второй случай, когда все моды имеют
практически одинаковую частоту, но константы затухания к% раз-
различаются. Будем исходить из простой модели, в которой моды про-
пространственно независимы в направлении, перпендикулярном оси
лазера. (При более детальном рассмотрении следовало бы учесть
и эту зависимость.) Для простоты обозначим моды по-новому, раз-
различая их индексом т, а не А,, так что
хга — хA -} q)m~\ D.126)
где q — величина, которая характеризует быстроту возрастания
константы затухания с увеличением индекса моды т. Начнем с зна-
значения т — 1. Будем далее предполагать, что
Mq«\. D.127)
Подставив это условие в D.121), легко получим
м
^>°- D-
2М + 1 d0W
Геометрическая сумма по т легко вычисляется. Результат сильно
упрощается благодаря предположению D.127). После простых ал-
алгебраических выкладок получаем окончательно условие
— (^-— Л+1 ¦ D-129)
q \ 2х )
112 Глава 4
для максимального числа М мод, которые могут генерировать од-
одновременно. Если величина q достаточно мала, то значительное
число мод может сосуществовать даже немного выше порога лазер-
лазерной генерации, который дается соотношением
do?—2x = 0 D.130)
(см. упр. 1).
Упражнения к разд. 4.10
1. Покажите, что соотношением D.130) определяется порог появ-
появления первой моды.
Указание: Воспользуйтесь формулой D.115).
2. Вычислите т0 по формуле D.123) при у = 1010 с~\ у, = 108 с1,
б -- 108 с и 5-108 с-1, Ьо — на 1 и 10 % выше DOtC (одномодо-
вый порог). Требуется ли значение величины g2?
3. Вычислите М по формуле D.129) при q -•- 0,01, х ----- 108 с1,
df, — на 1 и 10 % выше одномодового порога. Требуются ли зна-
значения величин W ч х?
4. Каково соотношение между d0W и g2D0?
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ПОЛУКЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ
ЛАЗЕРА
5.1. Введение
В данной главе мы приступим к центральной теме книги, а именно
к полуклассической теории лазера. В предыдущей главе работа
лазера описывалась на языке чисел фотонов, и при этом основные
уравнения лазера могли быть введены только эвристически. Поэ-
Поэтому возникает необходимость вывести эти уравнения строго, ис-
исходя из «первых принципов». Из классической физики известно,
что для полного описания светового поля требуется знать не только
интенсивность (которая определенным образом соответствует числу
фотонов), но и его фазу. Поскольку числа фотонов не несут инфор-
информации о фазах, скоростные уравнения предыдущей главы являются
неполными. Этот недостаток может быть устранен с помощью по-
полуклассической теории лазера. В теории, которую мы будем изла-
излагать, свет рассматривается как классическое электромагнитное
поле, которое подчиняется уравнениям Максвелла. Поскольку ра-
работа лазера обусловлена взаимодействием между световым полем
и атомами, необходимо адекватно рассмотреть движение электро-
электронов в атомах. Таким образом, мы не можем обойтись без кванто-
квантовой теории, и движение электронов требует квантовомеханиче-
ского описания. Мы будем излагать теорию в несколько этапов.
Сначала, исходя из уравнений Максвелла, выведем волновое урав-
уравнение для напряженности электрического поля. Окажется, что по-
поляризация среды выступает в роли источника электромагнитных
колебаний. Затем мы рассмотрим вопрос о том, каким образом эта
поляризация наводится полем. Таким путем мы придем к уравне-
уравнениям, которые описывают связь между полем и атомами. Далее
будут введены некоторые хорошо обоснованные приближения и та-
таким образом получены фундаментальные уравнения полукласси-
полуклассической теории лазера. Анализ этих уравнений будет проведен в
гл. 6—9.
114 Глава 5
5.2. Вывод волнового уравнения для
напряженности электрического поля
Начнем со следующих уравнений Максвелла:
rotE=—В, E.1)
rotH = j + D. E.2)
Первое из них представляет собой закон индукции. Оно показы-
показывает, что изменение магнитной индукции В во времени приводит
к появлению вихревого электрического поля Е. Уравнение E.2)
показывает, что электрический ток j создает вихревое магнитное
поле Н (закон Эрстеда). Вихревое магнитное поле может также воз-
возникать при изменении по времени диэлектрического смещения D.
Как обычно нам нужно знать соотношения между D и Е, а также
между В и Н. Как показано в электродинамике, диэлектрическое
смещение D зависит от напряженности электрического поля Е
и поляризации Р среды, в которой происходит процесс:
D--e0E + P. E.3)
где е0 — электрическая постоянная. Напомним коротко читателю,
как можно наглядно представить физический смысл поляриза-
поляризации Р. Предположим, что вещество состоит из отдельных атомов.
Если приложить электрическое поле, то электроны отдельных
атомов сместятся относительно своих ядер. Поскольку центры за-
зарядов электронов и ядер уже не совпадают, внешнее электрическое
поле в каждом отдельном атоме индуцирует диполь. Поляризация Р
определяется как полный дипольный момент, который складывается
из отдельных атомных диполей и вычисляется на единицу объема.
Вычисление дипольных моментов отдельных атомов будет в даль-
дальнейшем важной задачей теории. Сейчас нам нужно выразить плот-
плотность тока j через напряженность электрического поля Е. Для
этого предположим, что вся среда или ее часть обладает удельной
проводимостью ст, и воспользуемся законом Ома. Тогда можно на-
написать
\-=оЕ. E.4)
Наконец, ограничимся в нашем анализе рассмотрением только не-
немагнитных материалов:
B = fx0H. E.5)
Далее будем описывать волновые явления и, следовательно, пред-
предположим, что электрическое поле является поперечным, т. е.
divE = 0. E.6)
Наша цель будет заключаться в том, чтобы вывести из упомяну-
упомянутых выше уравнений простое уравнение для напряженности элек-
Основные уравнения полуклассической теории лазера 115
трического поля, Если эта величина известна, то с помощью урав-
уравнения E.1) можно рассчитать магнитную индукцию. В последую-
последующем рассмотрении мы будем иметь дело только с напряженностью
электрического поля Е, поскольку она в полном объеме содержит
информацию, которая необходима, чтобы развить теорию лазера.
В качестве первого шага продифференцируем E.2) по времени:
rot Н = j-i D. ' E.7)
Заменим в E.1) магнитную индукцию В величиной ц0Н. Выразив Н
в формуле E.7) через rot E, согласно формуле E.1), получим для
левой части уравнения E.7) выражение
—rotrotEssAE. E.8)
При выводе выражения E.8) мы использовали равенство
rot rot ? = grad divf—AE,
хорошо известное из векторного анализа, причем учли условие
E.6). В этом выражении, как обычно А, — оператор Лапласа: А —
— дг1дх2 -\- д21дуг + d2/dz2. Заменим, наконец, величины j и D
в правой части уравнения E.7) выражениями E.4) и E.3) и пере-
перенесем все члены, содержащие Е, в левую часть равенства E.7). Та-
Таким образом получим фундаментальное волновое уравнение
ДЕ —-^Ё + щдЁ^щР, E.9)
С
где введено обозначение eojj,o = \1с2, причем с — скорость света
в вакууме. Если положить Р -= 0, то уравнение E.9) сведется к так
называемому телеграфному уравнению, которое было выведено
еще в прошлом веке. Некоторые решения телеграфного уравнения
будут исследованы в упражнениях. В уравнении E.9) поляриза-
поляризацию Р можно рассматривать как «источник», который создает элек-
электрическое поле. Но и электрическое поле в среде может вызывать
поляризацию. Следовательно, нужно рассмотреть вопрос о вычис-
вычислении поляризации Р.
Упражнения и разд. 5.2
Решите телеграфное уравнение E.9) в одномерном случае при сле-
следующих условиях:
1) в точках х = О и х = L электрическое поле Е равно 0;
2) среда занимает полупространство от х = 0 до х = оо; при
х = 0 мы имеем Е = E0cos wot.
Каковы наиболее общие решения? Проанализируйте тип зату-
затухания решений в случаях 1 и 2.
116
Глава 5
Указание. В случае 1 положите Е — f (t) sin kx и определите k
и j (/). (Заметим, что линейная комбинация решений телеграфного
уравнения есть новое его решение.) В случае 2 ищите решение
в виде Е = ехр [ш0Л g (л;) и образуйте адекватную линейную
комбинацию.
5.3. Материальные уравнения
Напомним сначала читателю некоторые выводы из классической
физики. Будем считать, что атомы, различающиеся индексом ц,
локализованы в точках пространствах х„. Движение электрона
Рис. 5.1. Напряженность электрического поля Е (х, t) (слева) световой
волны, падающей на атомный диполь с удлинением |ц, расположенный в
точке пространства х^ (справа).
в атоме будем рассматривать на основе простой модели, в которой
он упруго связан с атомным ядром. Смещение электрона из поло-
положения равновесия обозначим через |№. С таким смещением связан
дипольный момент
Pu = (e)V E.10)
В классической физике отклонение |д электрона с зарядом — е
и массой т описывается уравнением движения
miil-vfllx = (e)E{xll, t), E.11)
где / — постоянная закона Гука. Напряженность электрического
поля Е взята в точке хд (рис. 5.1). Приняв для Е форму гармони-
гармонических колебаний
сразу можно найти решение уравнения E.11):
Ъц -- -=li 2 ' 2 Е (Х^, t),
E.12)
E.13)
Основные уравнения полуклассической теории лазера 117
где введено обозначение
E.14)
Подставив этот результат в E.10), находим, что дипольный момент
рд атома \i равен напряженности электрического поля Е, умно-
умноженной на постоянную величину а, так называемую поляризуемость
атома:
p^ = aE(vO- E-15)
Сравнение с E.13) показывает, что поляризуемость дается выра^
жением
a . (о. 16)
т а>1 - ш2
Так как поляризация среды есть сумма дипольных моментов в еди-
единице объема, из равенства E.15) следует, что величина Р пропор-
пропорциональна Е. Поскольку в уравнение E.9) входит вторая произ-
производная от Р по времени, влияние поляризации сводится к измене-
изменению эффективной скорости распространения света в среде. Конечно,
то, что мы изложили, есть не что иное, как обычная теория диспер-
дисперсии.
Эта теория, однако, не в состоянии адекватно описать работу
лазера, поскольку мы имеем дело с квантовомеханическими про-
процессами. Предположим, что во взаимодействии между атомом и све-
световым полем участвуют только два энергетических уровня атома.
Обозначим координату электрона через |. Подходя к движению
электрона чисто квантовомеханически, будем исходить из уравне-
уравнения Шредингера
HW^ihW. E.17)
В нем гамильтониан Н складывается из невозмущенного оператора
Гамильтона Но и оператора внешнего возмущения Hs:
HS=elE(t), E.18)
т. е.
H^Ho + elE(t). E.19)
Гамильтониан Яо описывает невозмущенное движение электрона
в поле ядра атома. В последующем будем предполагать, что реше-
решение соответствующего невозмущенного квантовомеханического
уравнения
Яоф/=и?,Ф/, /=1, 2 E.20)
уже найдено, т. е. известны волновые функции <py и их энергии W,-.
Волновую функцию W мы будем искать в виде суперпозиции невоз-
невозмущенных волновых функций фх и ф2. Другими словами, мы пред-
118 Глава 5
полагаем, что взаимодействие электрона с электрическим полем Е
существенно только для двух рассматриваемых уровней. Физи-
Физически это может быть обосновано тем, что частота электрического
поля находится в точном резонансе или близка к частоте электрон-
электронного перехода между соответствующими двумя уровнями, так что
электрическое поле стимулирует переходы между уровнями 2 и 1.
Чтобы найти коэффициенты сх и с2 линейной комбинации
H ca(/)exp[ —tBWlcpad), E.21)
подставим как обычно ее в уравнение E.17) и умножим получен-
полученное уравнение соответственно на ср* и ц>*2, Проинтегрировав затем
по координате электрона, получим
Cl = -i-E@Hf2c2, E.22)
c2 = -i-E@HflCl, E.23)
Чтобы упростить эти выражения, введем матричные элементы в сле-
следующем виде:
? К® *], E.24)
где
«>mr = ±(Wm-Wn). E.25)
Предположим далее, что атом не обладает статическим дипольным
моментом, так что
E.26)
Если нам известны коэффициенты сг и с2, которые в принципе
могут быть получены решением уравнений E.22) и E.23), можно
вычислить различные важные средние значения, например диполь-
ный момент атома
P = J4r*F, t){-e)V?{l, f)d*t E-27)
Чтобы упростить обозначения, рассмотрим одиночный атом, так
что временно опустим индекс \i (который ранее был введен для
того, чтобы различать атомы). В таком случае классический ди-
польный момент E.15) заменяется данным средним значением ди-
польного момента р. Таким образом, вычислив р, мы сможем найти
поляризацию среды Р, и тем самым задача вычисления источнико-
вого члена в волновом уравнении будет решена. Подставляя выра-
Основные уравнения полуклассической теории лазера 119
жение E.21) для Ч' в уравнение E.27) и используя соотношение
E.26), получаем
¦—р —с^ехр [—iwt] Vi2-(- С|Сгехр [iwt] 0-2ь E.28)
где использованы обозначения
a = (Wi—W1)/h, E.29)
a> = J<P*e|qy*3S. E-30)
Отсюда явствует, что для вычисления дипольного момента р
нам нужно знать коэффициенты Cj. Оказывается, что не так уж
удобно решать вначале уравнение E.22) и E.23), а затем по фор-
формуле E.28) вычислять дипольный момент. Будем действовать так,
как, например, поступают при выводе уравнений Блоха для ядер-
ядерного спина, т. е. выведем уравнения для среднего значения диполь-
дипольного момента р. Заметим, что дипольный момент р известен, если
известна величина
CiC2exp| — mt\ = a(t), E.31)
поскольку дипольный момент можно записать в виде
— р = а@»и + а*@**1- E:32)
Введем следующие обозначения:
р(+)-— а@»и, р<->-— а*@ви, E.33)
так что дипольный момент рассматриваемых атомов может быть
представлен в виде
р = р<+> + р<->. E.34)
Теперь уже будем выводить уравнения для величины E.31).
Читатель будет вполне прав, если a (t) будет рассматривать как
меру дипольного момента атомов, т. е. припишет величине а смысл
дипольного момента. После дифференцирования E.31) по времени
получаем
а— ¦—/иа + с*с2ехр [ — mt\ -f- с*с2ехр f—iat\. E.35)
Подставим для производных по времени с2 и с* их выражения E.22)
и E.23) и соответствующие комплексно-сопряженные выражения.
Но предварительно перепишем эти выражения в несколько другой
форме
Cj = -4- Е (t) 6-12 ехр [—Ш] с2, E.36)
ih
с2 = — Е @ »21 ехр [—Ы] сх. E.37)
120 Глава 5
Подстановка в E.35) даст
а -г- — «са — Е (t) S21 d, E.38)
где введено обозначение
d=|c2|2-|c1|2. E.39)
Хорошо известно, что |су|2 есть вероятность обнаружения элек-
электрона в состоянии /. Но величины \с,-\2 можно рассматривать и как
числа заполнения состояния /. Следовательно, формула E.39) дает
квантовомеханическое выражение для разности чисел заполнения,
или, другими словами, для инверсии.
Чтобы было более понятным дальнейшее, напомним читателю
вновь уравнения Блоха для спина. На электрон атома действует
не только внешнее световое поле, но и другие возмущения. Напри-
Например, в газе атом может сталкиваться с другими атомами. В твердом
теле электрон может взаимодействовать с колебаниями решетки
и т. д. Известно, что подобные эффекты приводят к затуханию ди-
польных моментов. Введем это затухание в теорию феноменоло-
феноменологически, добавив в правую часть равенства E.38) член затуха-
затухания — уа. Константа затухания у имеет тот же самый смысл, что
и обратное время поперечной релаксации Т2 для ядерных спинов.
Таким образом, получаем для рассматриваемого атома следующее
уравнение:
сс=— iwa—уа —E(t)?)nd. E.40).
ih
Очевидно, что нам пришлось ввести новую неизвестную пере-
переменную, а именно инверсию E.39). Чтобы завершить вывод урав-
уравнений движения, необходимо найти уравнение для инверсии. С этой
целью продифференцируем E.39) по времени:
d=--cjc2 f c*2c2—c*[cl — c\cl. E.41)
Если заменить производные по времени от с;- соответствующими
выражениями E.36) и E.37), то после небольших преобразований
мы получим
d = — E(t)(ti21a*—aO12). E.42)
ih
Это уравнение описывает изменение инверсии, обусловленное взаи-
взаимодействием между электроном и электрическим полем. Если нас
интересует работа лазера, мы не можем игнорировать взаимодейст-
взаимодействие лазера с его окружением. Например, атом должен возбуждаться
энергетически с помощью процесса накачки. В то же время взаимо-
взаимодействие возбужденного электрона с окружающей средой ведет
Основные уравнения полуклассической теории лазера 121
к его релаксации. Например, этот процесс может быть связан с бе-
зызлучательными переходами. Необходимо также учитывать пе-
переходы, в процессе которых свет испускается спонтанно незави-
независимо от самого процесса лазерной генерации. Все вместе эти про-
процессы будут приводить к релаксации инверсии до некоторого ста-
стационарного значения d0 с характерным временем релаксации Т.
Эти эффекты можно учесть, добавив в уравнение E.42) соответст-
соответствующий релаксационный член, так что получаем в итоге
d - - -^- Е @ (»„ а* - а 012) 4- -^=-1 . E.43)
Постоянная времени Т, входящая в это уравнение, соответствует
времени продольной релаксации 7\ в теории ядерных спинов
Блоха.
Теперь у нас имеется все необходимое для составления полу-
полуклассических уравнений лазера. Однако необходимо вспомнить,
что в лазере мы имеем дело не с одним атомом, а с набором атомов.
Для каждого из этих атомов мы вывели уравнения для «диполь-
ного момента» а и инверсии d. Напомним читателю, что a (t) есть
безразмерная величина, которая, однако пропорциональна диполь-
ному моменту. Подчеркивая такой физический смысл параметра а,
будем называть его здесь и далее дипольным моментом. Чтобы рас-
рассмотреть набор атомов, введем в уравнения E.40) — E.43) для со-
соответствующих атомных величин атомный индекс \i. Учтем далее,
что напряженность электрического поля Е является функцией
координат атомов х^,. В результате получим основные материаль-
материальные уравнения лазера:
1
=(—ш —у)осц ^~E(V 0*21<*ц. E.44)
К =
^
v о (•» «;-%»..)¦
И наконец, необходимо связать макроскопическую поляризацию
с отдельными дипольными моментами. Для этого применим мате-
математический прием, записав поляризацию в форме
Р(х, 0=E6<x-xu)Pu- E-46)
и
Здесь б есть 6-функция Дирака, которую наглядно можно предста-
представить как имеющую бесконечный максимум в точке х = хц и рав-
равную нулю во всех остальных точках. Суммирование проводится по
всем атомам вещества. Изменяя координату х, мы как бы «прощу-
«прощупываем» вещество с помощью б-функции, и каждый раз, когда те-
текущая координата проходит через точку хц расположения атома,
становится преобладающим его дипольный момент р (см. упр. 1).
122 Глава 5
Отдельные дииольные моменты ру. связаны с величинами а^ соот-
соотношением
Р^Р^ + РГ =" -KW»i2 + ^@»2i]. E-47)
которое мы получили раньше. Итак, мы имеем замкнутую систему
уравнений. Она состоит из уравнений для напряженности электри-
электрического поля волны E.9) и материальных уравнений E.44) и E.45).
Уравнения связаны главным образом через поляризацию Р в со-
соответствии с соотношениями E.46) и E.47). Ниже мы преобразуем
эти уравнения так, чтобы они были более удобными для решения
соответствующих физических задач.
Упражнения к разд. 5.3
Определение б-фуикции Дирака, которую мы ввели в выражение
E.46), таково:
I. 5(х—хо) = О при х^=х0;
II. j 6{x—xo)dx=\
Хо—е
где б — произвольная положительная величина. Если / (х) — не-
непрерывная функция
\f(x)b(x~xo)dx=\ f{Xo) ПРИ
а { 0 в других точках,
то б-функция может быть определена также в трех измерениях:
I. б(Х—Х„) = 0 При ХфХо,
II. J6(x—xo)dsx=l
к
при условии, что х0 содержится в объеме V.
1. Вычислите jv/(х) б (х—х0) dsx по аналогии с формулой (>|<).
2. Усредните E.46) по элементу объема ДУ, который содержит х0.
Пусть элемент AV настолько мал, что в нем р^ практически не из-
изменяется. Напишите р^= р (х0) и покажите, что Р (х0) t) =
= рр (х0), где черта над Р означает усреднение, ар — плотность
атомов, т. е. р = AN/AV, если AjV —¦ число атомов в объеме А У.
Указание. Среднее значение определяется так:
Основные уравнения полуклассической теории лазера 123
5.4. Полуклассические лазерные уравнения
для макроскопических величин напряженности
электрического поля, поляризации
и плотности инверсии
Уравнения для макроскопической поляризации и плотности ин-
инверсии могут быть выведены из уравнений E.44) и E.45) путем
простых преобразований. Поскольку мы не будем сразу же исполь-
использовать эти уравнения в следующих разделах, торопящийся чита-
читатель может пропустить этот раздел. Обратимся снова к выражению
E.46). Если подставить я него разложение E.4?), то можно рассмат-
рассматривать новую величину
р<+)(х, t)=-Yib(x-xil)bna{L(t). E.48)
v-
Обозначим величину, комплексно-сопряженную величине Р(+\
через Р(-):
Р<+)* = р<->. E.49)
Аналогично выражению E.48) определим плотность инверсии, сум-
суммируя по всем отдельным атомам с помощью б-функции Дирака:
D(x, 0=?8(х-хд)^. E.50)
Наша задача заключается в том, чтобы вывести уравнения для мак-
макроскопических величин Р и D из уравнений E.44) и E.45). С этой
целью умножим обе части равенства E.44) на 8 (х—хм) д-г 2 и про-
просуммируем по [I. Возникающий при этом член б(х—хм)Е(Хц, t)
может быть заменен выражением
б(х—xlA)E(xM, 0 = б(х— xlA)E(x, 0 E.51)
(см. упражнение). Таким путем мы сразу получаем соотношение
-|-Р<+>(х, t)^(Uo~y)PW(x, 0 + -^-lE (x,0»d »12?>)х,0- E-52)
Повторив то же самое с выражением E.45), найдем
— D(x, t) = °о-В(*'О _.1_Е(х, *).(Р<->—р<+>). E.53)
at T ih
Здесь введена полная инверсия Do (которая получается в процессе
некогерентной накачки), согласно соотношению
?do = M/o = Do. E.54)
v-
Уравнения E.52) и E.53) представляют собой макроскопические
материальные уравнения. Чтобы вывести полные уравнения ла-
124 Глава 5
зера, необходимо дополнить уравнения E.52) и E.53) уравнением
для поля E.9), которое для полноты перепишем снова:
АЕ ^Ё-цоаЁ = Цо(Р(+) + Р(-)). E-55)
с2
Формулы E.52), E.53) и E.55) дают очень элегантную форму урав-
уравнений, описывающих взаимодействие между полем и веществом,
и в дальнейшем мы будем их использовать. Эти уравнения охваты-
охватывают большое число наиболее интересных с физической точки зре-
зрения процессов. Они позволяют не только рассмотреть процессы в ре-
резонаторе лазера, но дают также возможность описать явления рас-
распространения. Ко мы в данном контексте ограничимся процессами,
протекающими в самом лазере. Поэтому нам нужно учесть, что ла-
лазерный резонатор образован зеркалами и, следовательно, мы,
должны рассматривать стоячие световые волны.
Упражнение к разд. 5.4
Докажите равенство E.51).
Указание. Проинтегрируйте обе части равенства E.51) по малому
объему и вспомните свойства б-функции, приведенные в упражне-
упражнениях к разд. 5.3.
5.5. Лазерные уравнения в резонаторе
Нам уже известно, что лазерные процессы, как правило, происхо-
происходят внутри резонатора. Резонатор образован зеркалами, установ-
установленными на торцах активного материала или вне его. Вначале
рассмотрим электрическое или электромагнитное поле в вакууме
и ограничимся одномерным случаем (рис. 5.2). Предположим, что
проводимость зеркал бесконечна. Тогда тангенциальная компо-
компонента электрического поля на зеркале должна быть равна нулю.
Это граничное условие выполняется в случае электрического
поля, имеющего узлы на зеркалах. Напряженность такого элек-
электрического поля можно записать в виде
E = Eosinfec. E.56)
Здесь k дается соотношением nrniL, где L — расстояние между
зеркалами, am —• произвольное целое число. Таким образом,
в резонаторе может генерироваться набор различных мод. Ниже
мы откажемся от специальной формы стоячей волны E.56) и будем
обозначать пространственную часть волновой функции через и^ (х).
В рассмотренном частном случае функция их имеет вид
, E.57)
Основные уравнения полуклассической теории лазера
125
где &-А — единичный вектор направления поляризации поля, т. е.
единичный вектор, параллельный вектору напряженности элек-
электрического поля. Величина N есть нормирующий множитель, а
пространственные изменения волновой функции их описываются
синусоидальной функцией, как и в выражении E.56). Но теперь
мы можем предполагать также, что и^ описывает трехмерную кон-
конфигурацию электрического поля, например волны, которые, так
сказать, бегут не параллельно оси лазера. Электрическое поле,
Рис. 5.2. Напряженность электрического поля Е {х) в области между двумя
зеркалами, находящимися иа расстоянии L друг от друга.
которое может быть в общем случае функцией как пространства,
так и времени, может быть представлено в виде суперпозиции та-
таких стоячих волн u^ (x):
Е(х, 0= _
где Ех (t) — амплитуды, зависящие от времени. Будем предпола-
предполагать далее, что собственные функции щ отдельных мод подчиняются
волновому уравнению вида
Ли, (х)-- —k\\x. (х) — —и, (х). E.59)
Как показано в теории резонатора, для функций их выполняется
условие ортогональности
jux(x)ur(x) ?Р*-6и.. E.60)
Поскольку лазерный резонатор является открытым, условие E.60)
справедливо только приближенно. Но мы не будем рассматривать
здесь этот вопрос более подробно. Наша цель заключается в том,
чтобы вывести уравнения для амплитуд поля Ех (t). Исходным
снова является волновое уравнение для напряженности электриче-
электрического поля, которое, как мы помним, имеет вид
АЕ -Ё—
E.61)
126 Глава 5
Подставим в него E.58) и используем соотношение E.59), в резуль-
результате чего можно будет заменить дифференцирование по координа-
координатам простым умножением на — а>Цс2. Затем умножим полученное
уравнение на и^ и проинтегрируем по объему резонатора. С уче-
учетом условия ортогональности E.60) получаем
©2 Е, + Ё, + У (<Weo) К' = — П^о) К E-62)
X'
В нем использовано тождество |л0с2 = 1/е0 и обозначение
0,,, = luxa«,,d3x. E.63)
Вспомним, что а есть удельная проводимость вещества. Если ве-
вещество обладает однородной проводимостью, то можно вынести a
из-под знака интеграла и снова воспользоваться условием ортого-
ортогональности E.60). Если же проводимость изменяется в пространстве,
например значительна только в зеркалах, то необходимо хотя бы
в принципе учитывать то обстоятельство, что оХх' может отличаться
от нуля также при К ф%'. Мы не будем сейчас заниматься этим
довольно тонким вопросом, а вернемся к нему позднее. Наконец,
необходимо разъяснить смысл величины Ръ которая входит в пра-
правую часть уравнения E.62). Она дается выражением
Г^— I U^ ^А^ Г \\) ИХ, ^O.Utj
Если рассматривать разложение E.58) по векторам и как разло-
разложение в ряд Фурье, то Р^ есть не что иное, как фурье-компонента
поляризации Р. Чтобы установить связь Р\ с микроскопическим
представлением поляризации, т. е. с отдельными дипольными мо-
моментами атомов рц, вспомним, что поляризация Р связана с ними
соотношением
Р(х, 0 = ?6(х—х^р^. E.65)
Подставив E.65) в E.64) и вспомнив свойство б-функции (см. уп-
упражнение к разд. 5.3), мы сразу же выполним вычисления и по-
получим
-Р<-)( Рх-- — '?их(х )flI2a @ + к. с. E.66)
Итак, мы преобразовали уравнение для напряженности электриче-
электрического поля Е в уравнения для отдельных амплитуд Е^ (')• Сделаем
теперь то же самое с материальными уравнениями. Для этого до-
достаточно в уравнениях E.44) и E.45) заменить в правой части
Основные уравнения полуклассической теории лазера 127
Е (х^, t) соответствующим разложением E.58). Немедленно по-
получим
j)».!. E-67)
Уравнения E.62), E.67) и E.68) могут служить хорошей основой
для исследования лазерных процессов. Во многих случаях эти
уравнения могут быть еще более упрощены путем введения двух
приближений, которые, как правило, хорошо выполняются. Эти
приближения будут рассмотрены в следующем разделе.
Упражнение к разд. 5.5
Выведите уравнения типа E.44) и E.45) или E.67) и E.68) для бо-
более общего случая трехуровневых атомов со схемой накачки, при-
приведенной на рис. 2.9.
Указание. Начните с уравнения Шредингера с тремя энергетиче-
энергетическими уровнями и выведите уравнения для с\с2, c\clt \сг\й, |с2|2,
|с3|2. Добавьте члены затухания -- у (с\с2) и —у (с^) соответст-
соответственно и используйте в уравнениях для dNj/dt == d\Cj\2/dt допол-
дополнительные члены перехода по аналогии со скоростными уравне-
уравнениями.
5.6. Два важных приближения: вращающейся
волны и медленно меняющихся амплитуд
Рассмотрим сначала приближение вращающейся волны. С этой
целью разложим амплитуды мод Ех (t) на положительную и отри-
отрицательную частотные составляющие:
E%(t) = E^ @ + ?<->@, E.69)
где
ко,/]. E.70)
Допустим, что амплитуды Ах и А*% зависят от времени, но изме-
изменяются во времени значительно медленнее, чем экспоненциальные
функции в формуле E.70). Вспомним далее, что величина а^, со-
согласно ее определению E.31), содержит быстро осциллирующий
множитель:
с^~ехр[—Ш). E.71)
128 Глава 5
Теперь рассмотрим типичные выражения, входящие в правую часть
равенства E.68),
(<0х—ш)/'|, а»Ех ~ ехр [ — t(cox f ©)*]. E.72)
В результате последующих вычислений окажется, что для работы
лазера важны только такие моды, частоты которых лежат вблизи
частоты атомного перехода со. Экспоненциальные функции, ука-
указанные в формуле E.72), совершенно различны, потому что в одну
из них входит разность частот шх и со, а в другую — сумма. Когда
мы интегрируем по интервалу времени, большому по сравнению
с одним периодом осцилляции t0 — 2я/со, но малому по сравнению
с временами, за которые существенно изменяются амплитуды Ах
и А*%, возникает следующее. Экспоненциальная функция в формуле
E.72), которая содержит сумму частот (л% + со, очень быстро ос-
осциллирует, так что вклад интеграла за время t0 исчезающе мал.
Экспоненциальная же функция E.72), которая содержит разность
частот, за это время заметно не изменяется. Поэтому можно пре-
пренебречь вторым членом в формуле E.72), по сравнению с первым.
Тогда уравнение E.68) преобразуется к виду
E.73)
Уравнение E.67) может быть преобразовано аналогично. В самом
деле, вспомним, что а^ содержит быстро осциллирующий множи-
множитель E.71). Если умножить обе части уравнения E.67) для а^ на
ехр (— iait), то с величинами Е% это даст члены вида E.72). По-
Поэтому мы можем применить приближение вращающихся волн и к
уравнению E.67). В результате получим
%= (-to-YK -^Z^+MOuJxJflv E.74)
И наконец, можно разложить величины Ех и Р%, входящие в вол-
волновое уравнение E.62), на их положительные и отрицательные ча-
частотные части [см., например, E.69)]. Получим уравнение поля
E-75)
Уравнения E.73) — E.75) представляют собой систему сцепленных
уравнений, описывающих поле и вещество (среду).
Следующей нашей задачей будет дальнейшее упрощение урав-
уравнения E.75). Это может быть достигнуто в приближении медленно
Основные уравнения полуклассической теории лазера
129
меняющихся амплитуд. Рассмотрим в качестве примера положи-
положительную частотную часть ?<+>:
-ш^]. E.76)
Как мы увидим в последующих главах, в общем случае нельзя пред-
предполагать, что амплитуды А% не зависят от времени. Но амплитуда
А% изменяется значительно медленнее соответствующей экспонен-
экспоненциальной функции. Иначе говоря, амплитуда Ах совершает на-
намного меньше осцилляции в единицу времени, чем соответствую-
соответствующая ей экспоненциальная функция (рис. 5.3). Следовательно,
Elt)
гт
cosiest)
IT7
it
Рис. 5.3. Напряженность электрического поля Е (t): функция косинуса
и огибающая А {().
можно предполагать, что производная от А% по времени намного
меньше величины (й%А%, т. е.
|AVtf|«|<O;A|. E-77)
Воспользуемся этим неравенством. Дифференцируя обе части E.76)
по времени, получаем
Но в силу неравенства E.77) можно заменить уравнения E.78) урав-
уравнением
d
dt
E.79)
Подобным же образом найдем вторые производные и рассмотрим
выражение
+?<+).
E.80)
130 Глава 5
Используя разложение E.76), получим для величины E.80) выра-
выражение
По аналогии с E.77) предположим, что выполняется также нера-
неравенство
E.82)
В этом приближении основной член выражения E.81) получается
в следующем виде:
Далее нас будет интересовать не Ак, а Ек. Поэтому выразим
через Е\, в результате чего E.83) перейдет в выражение
—2т% (??+> + /еох?<+>). E.84)
Подобную процедуру можно провести и с поляризацией Р%. Не по-
повторяя снова все сказанное выше, сразу напишем результат:
р<±> ~_«2P<±>. E.85)
Для простоты будем далее считать, что выполняется равенство
tfu' = 6U'tfb E.86)
т. е. отличны от нуля только те вклады, для которых к = к'. Ис-
Используя приближения E.79), E.84) и E.85), мы можем преобразо-
преобразовать записанное ранее уравнение E.75) для напряженности элек-
электрического поля в уравнение
E.87)
Разделим это уравнение на — 2ia>k, введем обозначение
E.88)
и перенесем все члены, кроме /:<+>, в правую часть. В конце концов
получим довольно простое уравнение
^ E-89)
Мы сделали дополнительное предположение, что в последнем члене
можно заменить (ах величиной и>.
Подытожим результаты данного раздела. Сначала мы ввели
приближение вращающейся волны, а затем приближение медленно
меняющихся амплитуд. Полученные уравнения представлены в фор-
формулах E.73), E.74) и E.89). Эти уравнения могут служить основой
Основные уравнения полуклассической теории лазера 131
для теории лазера, и их действительно весьма часто используют
именно в этой форме. Но, как оказывается, им можно придать еще
более простую и симметричную форму. В разд. 5.8 и 5.9 мы введем
такого рода уравнения, которые, кстати, позднее позволят устано-
установить связь с квантовой теорией лазера. В этом квантовом описа-
описании будет также квантоваться и световое поле. Но пока будем оста-
оставаться в рамках полуклассической теории.
5.7. Полуклассические уравнения лазера
для макроскопических величин напряженности
электрического поля, поляризации и плотности
инверсии в приближении вращающейся волны
и медленно меняющихся амплитуд
Приближения вращающейся волны и медленно меняющихся ампли-
амплитуд не могут быть приложены к уравнениям лазера в резонаторе,
но они могут использоваться для упрощения лазерных уравнений,
которые были выведены в разд. 5.4. Поскольку такие упрощенные
уравнения понадобятся намного позже, читатель может пропу-
пропустить данный раздел и вернуться к нему тогда, когда это будет
необходимо.
Начнем с уравнения для поля E.55). Что касается его левой
части, то возможны разные варианты в зависимости от конкретной
задачи, например — имеем ли мы дело со стоячими или бегущими
волнами. Если речь идет о стоячих волнах, то случай относится
главным образом к полю в резонаторе. Поскольку этот вопрос ра-
разобран в разд. 5.5 и 5.6, будем рассматривать здесь только бегущие
волны. Подчеркнем, что в этом случае функциональная зависи-
зависимость Е от х и t может быть представлена в симметричном виде.
Рассмотрим плоскую волну exp [i(kx—iu>t)], модулированную во
времени и пространстве. Выразим это записью
Е(х, *)=Е<+>(х, *) + ?<->(х, t), E.90)
где
Е<±>(х, 0=Е<±)(х, *)exp[±i(kx—©Q], E.91)
kc = (a. E.92)
Рассмотрим выражение
ДЕ<+> ^Ё<+> E.93)
и перепишем его с учетом формулы E.91). Получим
exp ft (kx—©01 f—& E<+> + 2i (kv) E<+> + Д?<+> + (co2/c2) E<+> +
Ё Ё'(+>]. E.94)
132 Глава 5
Первый и четвертый члены в квадратных скобках взаимно уничто-
уничтожаются, тогда как третьим и шестым членами можно пренебречь
в приближении медленно меняющихся амплитуд. Тогда E.93) сво-
сводится к виду
exp [i (kx—©0] \2i (kv) E<+» + BtWca) E<+>]. E.95)
Подобным же, хотя и более простым, приемом сведем
— М.„аЁ<+> E.96)
к виду
exp [i (kx—at)] \iQom E<+>. E.97)
Чтобы преобразовать правую часть уравнения E.55), предположим,
что Р(+) (х, t) имеет ту же форму, что и Е<+> (х, t), т. е.
Р±(х, *) = Р<±>(х, t)exp[±i(kx—©01, E.98)
где Pj,*) — функция, изменяющаяся в пространстве и во времени
намного медленнее, чем exp [± i (kx—att)]. Применяя приближе-
приближение медленно изменяющихся амплитуд к ц0Р(±) (х, t), легко полу-
получить
—ш2ц0 Р<±> (х, ОехрШОк—©01- E-99)
Разделим теперь правую и левую части уравнения E.55) соответст-
соответственно на положительную и отрицательную частотные части и со-
соберем соответствующие члены E.95), E.97) и E.99). После деления
полученного уравнения на exp [t (kx—u>t)] останется
2t (kv) E<+> 4- Bш/с2) Ё<+> -Ь \10аш Е<,+) =, —«2и-0 Р{,+)- E.100)
В качестве заключительного шага умножим это уравнение на с*/2ш,
используем соотношения
k/k = ek, с2ц0==-:1/е0, а/2го.--х, E.101)
а в правой части E.100) примем ю » ю. Это приводит нас к окон-
окончательному результату, а именно уравнению поля для медленно
меняющихся амплитуд
(х, О + Ё<+>(х, t) + xEp>(x, t) = ЫBе0) Р(+) (х, 0-
E.102)
Преобразуем материальные уравнения E.52) и E.53) подобным же
образом. Для этого подставим E.90), E.91) и E.98) в E.52) и ис-
Основные уравнения полуклассической теории лазера 133
пользуем приближение вращающихся волн. Сразу же получим
уравнение для медленно изменяющейся амплитуды поляризации:
рн->(х, o = (fo-?©- ^[ ]
E.103)
Заметим, что величина со не должна совпадать с со, а требуется
только, чтобы выполнялось неравенство | со—со| С ©, ш- Подста-
Подставим E.90), E.91) и E.98) в E.53). Если пренебречь в выражении
Е(+) р<-)_Е(-) р(+)_Е<+) Р<+) 4- ЕЯ Р<"> E.104)
быстро осциллирующими членами с exp [± i (со + со) t], то вы-
выражение E.53) можно преобразовать в уравнение для плотности
инверсии, содержащее только медленно меняющиеся амплитуды:
D(x,Q
d/ Т
А ОР^Чх, О-Е'-Ч». *№Чх, 0]. E.105)
Уравнения E.102), E.103) и E.105) и являются окончательным ре-
результатом наших вычислений.
5.8. Безразмерные параметры светового поля
и введение константы связи
Здесь мы продолжим рассмотрение, начатое в разд. 5.6. Введем
вместо амплитуд мод ?<+> и Е^ безразмерные переменные Ьх и Ь*%.
Величины Ек и Ь% различаются только множителем:
?[-> = _ i ф^ЙЩ) bl E.107)
Можно показать, что энергия электрического поля с амплитудой
Ек пропорциональна |?\12- Но в квантовой теории Ь(д\ есть энер-
энергия фотона. Так как Ьх — безразмерная величина, квадрат ее
модуля | Ьк\г должен иметь смысл числа фотонов, может быть с точ-
точностью до какого-то множителя. Позже окажется, что | Ьк\г дейст-
действительно есть среднее число фотонов. Это будет установлено в од-
одной из последующих глав на основе квантовой теории лазера. Рас-
Рассмотрим лазерные уравнения E.73), E.74) и E.89) более внима-
внимательно. Можно обнаружить, что в них всегда входит комбинация
d21u^(x|ll) (или комплексно-сопряженная величина). Кроме того,
в них входит множитель д/со1/B^ео). Чтобы сохранить зависи-
134 Глава 5
мость от координат, предположим, что эту комбинацию можно
заменить величиной, которую определим как
& E.108)
Переписать уравнение лазера, перейдя к введенным нами новым
величинам, в принципе несложно. Мы выпишем в следующем раз-
разделе уравнения лазера, минуя промежуточные ступени.
5.9. Основные лазерные уравнения
В данном разделе мы подытожим все сказанное об основных урав-
уравнениях в предыдущих разделах. Это даст возможность читателю,
которого не интересует их детальный вывод, приступить к этим
уравнениям прямо здесь. Дадим вначале интерпретацию величин,
входящих в лазерные уравнения. К таким величинам относится
напряженность электрической составляющей светового поля в ла-
лазере. Эту функцию, которая зависит как от координат, так и от вре-
времени, следует искать в виде разложения по собственным модам
резонатора их(х). Индекс А. характеризует различные моды. Пред-
Предположим, что моды резонатора нормированы на объем резонатора
и взаимно ортогональны. Рассмотрим открытый резонатор, кото-
торый образован двумя зеркалами, установленными на противо-
противоположных концах лазерного стержня. Одномерным примером такой
моды может служить стоячая волна
^ E.109)
где е^ — единичный вектор направления поляризации электриче-
электрического поля, k}_ — волновое число и wx — соответствующая частота
света в резонаторе в отсутствие активной среды. Наконец, предпо-
предположим, что световое поле, связанное с модой резонатора Я, может
существовать в резонаторе только конечное время. Точнее говоря,
амплитуда светового поля затухает во времени с константой зату-
затухания х^. Таким образом, напряженность электрического поля
можно представить в виде
Е(х, *)=--XM0Mx)-tfx-LK. с, E.110)
где by (t) — амплитуда моды X оптического поля. Эту амплитуду
можно записать в безразмерном виде, выбрав множитель Nk в виде
Nx - - i У A©T/Beii). E.111)
Такой выбор множителя Nx нужен для того, чтобы можно было
прямо установить связь с квантовой теорией лазерного поля. На-
Напомним читателю, что амплитуда Ьх (() равна напряженности элек-
электрического поля, взятой с некоторым численным множителем.
Основные уравнения полуклассической теории лазера 135
В то время как световое поле представляет собой одну подсистему
лазера, другая подсистема обеспечивается средой. Предположим,
что активная среда состоит из отдельных атомов, которые мы бу-
будем различать по индексу [х. С каждым атомом связан дипольный
момент рц, который представим в форме
-PH = *.2%@4-»21a;W- E-П2)
Здесь v12 — матричный элемент дипольного момента, который вы-
вычисляется в квантовой теории и не зависит от времени, Его точное
определение дано в формуле E.30). Функциями а^ (t) определяется
поведение дипольного момента во времени. Так как р^ и а^ (t) раз-
разнятся только постоянным вектором \'i2, величину а^ (t) будем рас-
рассматривать в последующем как безразмерный дипольный момент
и так и называть. При рассмотрении системы двухуровневых ато-
атомов единственной необходимой дополнительной атомной перемен-
переменной является инверсия d^. Она определяется как разность чисел
заполнения верхнего и нижнего уровней атома jj,:
du = Nitlk-NltVL. E.113)
Пока мы обсудили подсистемы, а именно моды поля, с одной сто-
стороны, и величины (дипольный момент и инверсию), описывающие
вещество,— с другой. Связь между этими двумя подсистемами осу-
осуществляется за счет электромагнитного взаимодействия электронов
атомов с электрическим полем световой волны. Это взаимодействие
описывается константой связи g, которая зависит от индексов ц. и к:
?цх - i «-21 ux (xH) v4/Bf,e0). E.114)
Очевидно, что эта константа связи содержит матричный элемент
дипольного момента ¦&21, а также пространственную амплитуду
поля и^ в точке х^, занимаемой атомом. Это допущение эквива-
эквивалентно дипольному приближению. В предыдущих разделах из
функциональных уравнений на основе двух приближений, а именно
приближения вращающейся волны и приближения медленно меняю-
меняющихся амплитуд, были получены следующие уравнения.
1. Уравнения поля
<5Л15>
Физический смысл этих уравнений таков: в левой части стоит ско-
скорость временного изменения амплитуды поля, а в правой — источ-
источники (причины) этого изменения. Первые два члена правой части
описывают осцилляции и затухание амплитуды поля в резонаторе,
если нет взаимодействия между полем и активными атомами. По-
Последний член описывает действие дипольных моментов как силы,
136 Глава 5
вынуждающей колебания поля. Вторая группа уравнений отно-
относится к атомам.
2. Материальные уравнения
а»* =-- (—К—у) о^ -г i ? 81ЛЬ^, (?.116)
л
Как и в уравнениях E.115), левые части описывают временное по-
поведение дипольных моментов и атомной инверсии. Теперь рас-
рассмотрим правые части, в которых представлены причины времен-
временных изменений величин а^ и d^. Первый член в уравнении E.116)
содержит частоту перехода атома \и, равную ю^. Поскольку в твер-
твердом теле для атомов возможны разные положения, частоты пере-
переходов отдельных атомов могут различаться. Учтем это индексом ц.
В результате взаимодействия атома с окружением колебания его
дипольного момента будут затухать. Соответствующая константа
затухания обозначена через у. Таким образом, первый член в пра-
правой части уравнения E.116) описывает колебания и затухание
дипольного момента атома в отсутствие взаимодействия со свето-
световым полем. Сумма по к, которая входит в уравнение E.116), опи-
описывает взаимодействие всех мод К с рассматриваемым атомом. Мно-
Множитель d,x имеет особенно важное значение. Благодаря ему урав-
уравнения лазера оказываются нелинейными, так как в них входит
произведение величин Ь% и d^. Этот член учитывает дипольный
момент, который создается электрическим нолем, представленным
амплитудой моды Ьх. Но так как здесь мы имеем дело с двухуров-
двухуровневым атомом, поток энергии между атомом и полем зависит от
внутреннего состояния атома. Если его электрон находится на верх-
верхнем уровне, то энергия атома будет преобразовываться в энергию
дипольного момента. Если же атом находится в своем нижнем со-
состоянии, то энергия будет передаваться (за счет поглощения) от
поля атому. Это изменение направления учитывается множителем
d^, знак которого зависит от фактической заселенности двух атом-
атомных уровней.
Теперь рассмотрим правые части уравнения E.117). Первый
член описывает релаксацию инверсии, вызванную накачкой и не-
некогерентными процессами релаксации. Величина d0 — это устанав-
устанавливающаяся в результате релаксации равновесная инверсия, а
Т — соответствующее время релаксации. Появление суммы по X
обусловлено взаимодействием между модами поля X и атомом \а.
Мы видим, что этот член пропорционален энергии, получаемой или
теряемой атомом за 1 с вследствие когерентного взаимодействия
между атомом и полем.
Основные уравнения полуклассической теории лазера 137
Как будет показано в следующих главах, уравнениями E.115) —
E.117) описываются многие явления.
Для полноты приведем представление, которое эквивалентно
уравнениям E.115) — E.117), но в котором подчеркивается не-
непрерывное распределение частот атомов ю^ в неоднородно уширен-
уширенной атомной линии. В таким описании (см. также разд. 4.6 и 4.7)
частота ыи, а также индекс ц заменяются непрерывной перемен-
переменной со. Далее предполагается, что g^ не зависит от координат (см.
также разд. 6.1). В новых обозначениях уравнения E.116) и E.117)
записываются так:
Особенно важно, что сумма ?ц. входящая в уравнение E.115),
преобразуется в интеграл по м, который содержит частотное рас-
распределение р («) (см. разд. 4.6). Это распределение может быть га-
гауссовым или (в некоторых модельных расчетах) лоренцевым. В та-
таком случае уравнение E.115) преобразуется к виду
+<*> ._ _
\^( — '°Ч—X»,)V- l Г Жор(ш)а-. E.120)
—оо
Заметим, что величины а-, й- и Ьх — функции времени.
Упражнение к разд. 5.9
Преобразуйте уравнения E.115) — E.117) применительно к случаю
одномодового лазера и примите, что g^ — действительная вели-
величина. Приняв для решений вид Ъ — г ехр [цр], ад = Р^ + iQ^,
где г, ф, Р^ и Q^ — действительные величины, выведите уравне-
уравнения для этих новых действительных переменных.
ПРИЛОЖЕНИЯ ПОЛУКЛАССИЧЕСКОЙ
ТЕОРИИ
6.1. Одномодовый лазер, исследование его
устойчивости
Как мы увидим, полуклассические уравнения лазера пригодны для
анализа широкого круга лазерных явлений. Правда, решение этих
уравнений — довольно трудная задача: могут взаимодействовать
друг с другом более 103 лазерных мод и 1018 активных атомов.
Кроме того, из-за наличия членов с b^d^ и Ь%а^, Ь^а^ уравнения
являются существенно нелинейными. Но, несмотря на все эти труд-
трудности, нам удастся решить уравнения лазера в очень хорошем при-
приближении. Мы обнаружим ряд интересных эффектов. Чтобы дать
читателю представление о том, как уравнения описывают лазерные
процессы, мы будем рассматривать вначале частный случай одной
лазерной моды. К тому же будем предполагать существование точ-
точного резонанса, т. е. будем считать, что частота со^ рассматривае-
рассматриваемой моды резонатора совпадает с частотами атомных переходов,
которые по предположению не зависят от ц. (однородное уширение
линии). Таким образом, ых -•• о>. Подобная настройка может быть
осуществлена путем подбора расстояния между зеркалами. Примем
модель 1), в которой константы связи g^ не зависят от индекса к
и от координаты атома А,д: g^x = g, и будем считать, что g — дейст-
действительная величина. Поскольку мы имеем дело только с одной из
лазерных мод и нет необходимости их различать, опустим всюду
индекс к. В таких предположениях уравнения E.115) — E.117)
сводятся к виду
?-(_ц0 —x)/7-fg?cCA, F.1)
и
F.2)
\ -к. с). F.3)
Сначала рассмотрим случай, когда интенсивность накачки на-
настолько мала, что пороговые условия не могут быть выполнены.
¦) Это;"] модели отно>'ает кольценой лазгр (см. упражнение).
Приложения полуклассической теории 139
В этом случае мы должны иметь дело с излучением обычной лампы.
Как можно убедиться, решения уравнений F.1) — F.3) будут та-
такими: b -= 0, а^ = 0, dp = d0- Этот результат весьма удивителен:
амплитуда светового поля, которая, конечно, пропорциональна
величине Ь, оказывается равной нулю. На самом деле лампа ис-
испускает свет, так что величина b не может равняться нулю. Данное
расхождение может быть удовлетворительно устранено лишь в рам-
рамках квантовой теории, которая будет представлена в гл. 10. Дело
в том, что коэффициент b в формуле F.1) относится только к коге-
когерентной части светового поля. Свет же, испускаемый обычной лам-
лампой, конечно, некогерентен.
Посмотрим, что произойдет, если увеличивать мощность на-
накачки d0. Чтобы проверить, остаются ли решения b — а^ = 0
и d^ = d0 устойчивыми, введем малые отклонения 66, ба^ и Sd^
и линеаризуем уравнения F.1) — F.3), т. е. пренебрежем в этих
уравнениях квадратичными членами, т. е. такими, как содержащие
произведение bd^Sb. В таком приближении уравнение F.3) ос-
остается справедливым при d^ — d0, а уравнения F.1) и F.2) приоб-
приобретают вид
66 =---(—(со — y)bb—ig^6aH, F.4)
б«и^(—"°—Y) 6°^-Wg^Wo. F.5)
Поскольку, согласно формуле F.4), световое поле создается сум-
суммой всех дипольных моментов, можно рассматривать эту сумму как
новую переменную
Ea^S. F.6)
Соответственно этому просуммируем обе части равенства F.5) по
(j, и получим с учетом равенства
? 1 = N ¦-- Полное число атомов F.7)
новые уравнения
bb^{—m~Y)bb—igbS, F.8)
6S-~(—i(o~yNSTigD0bb. F.9)
Здесь величина Do — Nd0 есть ненасыщенная инверсия по всем
атомам. Чтобы решить эту систему линейных уравнений, будем,
как обычно, искать решение в виде затухающих осцилляции
6&-660ехр|(—t'Q + Г)*]. F.10а)
6S-6Soexp[(—tQ + Г)']. F.106)
где 5Ь0 и 6S0 — постоянные множители, не зависящие от времени,
Q — частота, а Г — константа затухания (Q и Г должны быть
140 Глава 6
найдены). Подставив выражения F.10) в F.8) и F.9), получим два
однородных линейных уравнения для 6Ь0 и 650. Чтобы найти не-
нетривиальное решение этой системы уравнений, нужно положить
его детерминант равным нулю. Это условие ведет к секулярному
уравнению
(io)-f х—;й + Г)(ио + Т—tQ-i-Г)—g2Do-=0. F.11)
Если выделить в этом уравнении действительную и мнимую части,
то мы получим для мнимой части ю = Q и два решения Г+ и Г_:
I\= ^rj__± л/ >"-» +g2D0. F.12)
Когда величины Г+ и Г_ отрицательны, отклонения F.10) релак-
сируют к нулю. Устойчивым является состояние с b — 0, в кото-
котором нет когерентного излучения. Если увеличивать инверсию Do,
которая в формуле F.12) входит в подкоренное выражение, то ве-
величина Г+ в конце концов станет положительной. В этом случае
отклонение б растет экспоненциально. Другими словами, система,
образованная из поля данной моды и атомов, становится неустой-
неустойчивой. После элементарных алгебраических преобразований полу-
получим из условия Г+ > 0 неравенство
F.13)
Это — условие, налагаемое на атомную инверсию Do = Nd0. Легко
показать (см. упражнение), что неравенство F.13) является в точ-
точности пороговым условием лазера, которое было выведено в пре-
предыдущих главах.
В результате проведенного анализа мы установили, что, пока
выполняется условие F.13), амплитуда лазерной моды возрастает
экспоненциально. Но такой экспоненциальный рост не может про-
продолжаться бесконечно. В конце концов достигается стационарное
состояние, в котором энергия, подводимая за счет накачки, равна
энергии, выводимой за счет лазерного излучения. В следующем
разделе мы исследуем это стационарное состояние более подробно.
Упражнения к разд. 6.1
1. Покажите, что в случае кольцевого лазера с бегущими волнами
справедливо выражение g,a= g exp (ik^xJ. Убедитесь в том, что
в уравнении одномодового лазера (К фиксировано) множитель
&) можно исключить, если искать решение в виде
Если g — комплексная величина, то положите g = \g\eiq> и пока-
покажите, что множитель ei<f может быть снова исключен.
Приложения полуклассической теории 141
2. Покажите, что условие лазера F.13) совпадает с условием, вы-
выведенным в разд. 2.1.
3. Выведите условие неустойчивости (пороговое условие) для слу-
случая, в котором g^ все еще зависит от ц, а линия является одно-
однородно уширенной.
Указание. Ищите решение, принимая b — bb, ail = ball, й^ — йо +
+ б^, и получите линеаризованные уравнения для 66, ба^, 8^.
Сделайте дальнейшие предположения
8b = 6boexp[(—iQ + T)t],
бац ¦= ба^,о ехр [(—/Q + Г) t\,
Ьйц — О), 6b0, ба^, 0 не зависят от времени.
Исключите из полученных уравнений ба^о и убедитесь в правиль-
правильности следующего промежуточного результата:
6.2. Одномодовый режим работы лазера,
амплитуда и частота излучения лазера
в стационарном состоянии
Снова будем исходить из уравнений E.115) и E.117), которые за-
запишем для случая одной моды. Соответственно этому опустим ин-
индекс X у символов (о и х- Чтобы ясно показать связь со скорост-
скоростными уравнениями, введенными раньше, сохраним индекс % и кон-
константы связи g^x. Допустим, что частоты атомных переходов могут
отличаться друг от друга, т. е. что линия является неоднородно
уширенной. Тогда уравнения лазера будут иметь следующий вид:
dt »
— — (—г'«ц—V) ац + *?ц*ЛА F.15)
dt
aub*~§uKb)- F-J6)
Поскольку мы имеем дело только с одной модой, индекс К фикси-
фиксирован и в уравнениях F.15) — F.16) нет суммирования по К. Так
как мы предполагаем, что уравнения F.14) — F.16) допускают
стационарную генерацию светового поля, будем искать амплитуду
поля в виде
& = Ве-«", F.17)
где В и Q — не зависящие от времени амплитуда и частота, кото»
рые нам еще предстоит определить. Мы полагаем, что в стационар.
142 Глава 6
ных условиях инверсия принимает постоянное значение, а потому
напишем
^ = const. F.18)
Как явствует из уравнения F.15), изменение дипольных момен-
моментов ад вызывается осциллирующим световым полем. Поэтому можно
полагать, что отдельные атомы колеблются с частотой светового
поля, и написать
ац = А„г«". F.19)
В выражении F.19) величина Лд — амплитуда, не зависящая от
времени, которую необходимо определить. Подставляя выражения
F.17) — F.19) в уравнения F.14) — F.16), получаем следующие
уравнения (после умножения на exp liQt]):
В(,-(@_О) + Х)^_1?^в, F.20)
лвAК-й)-и) = &дАв, F.21)
0- -^й- + 2i (?;ЛВ*-АИ;Я> F-22)
Уравнение F.21) может быть сразу решено относительно Лд:
Л„= _WwB—. F.23)
i (Шд — Q) + v
Подставляя это выражение для Лд в F.22), получаем уравнение
^^^-^. F.24)
Последние множители в формуле F.24) хорошо известны нам из
скоростных уравнений. Там мы ввели множители, описывающие
связь между световым полем и атомами. Соответствующие константы
связи даны выражением D.55):
^= UV F.25)
В последующем мы будем пользоваться этим хорошо нам известным
обозначением. Уравнение F.24) линейно относительно все еще
неизвестной инверсии йп. Мы можем сразу же решить его и полу-
получим
F.26)
Здесь мы ввели дополнительные обозначения. А именно, как мы
сейчас увидим, величина | В |2 тоже нам хорошо известна. Это число
.фотонов п, которое было введено в скоростные уравнения:
\В\2 = п. F.27)
Приложения полуклассической теории 143
Уравнение F.26) показывает, как изменяется фактическая инвер-
инверсия d^ относительно ненасыщенной инверсии d0, когда лазер ге-
генерирует п фотонов. Величина d^ называется насыщенной инвер-
инверсией. В формуле F.26) мы выразили инверсию через число фотонов.
Если подставить F.26) в F.23), то можно выразить амплитуды ди-
польных моментов Лц только через амплитуду поля В. Вычислен-
Вычисленную таким образом величину Лд мы затем подставим в F.20). В ре-
результате получим уравнение
^. F.28)
В дальнейшем будем предполагать, конечно, что пороговое условие
лазера выполняется, чтобы получить амплитуду В, отличную от
нуля. Поэтому можно поделить обе части равенства F.28) на В.
Чтобы исследовать это уравнение дальше, рассмотрим отдельно
его действительную и мнимую формы. Действительная форма та-
такова:
" Г*? п ' F'29)
и
где мы снова использовали обозначение F.25).
Точно то же самое отношение может быть выведено из скорост-
скоростных уравнений D.57), D.61), если их привести к случаю одной
моды. Предоставим читателю выполнить это в виде упражнения.
Если число фотонов п достаточно мало, то можно разложить зна-
знаменатель выражения F.29) в ряд по степеням п. Сохраняя первые
два члена, получаем соотношение
Можно рассматривать его как уравнение для числа фотонов п и
вычислить последнее. Поскольку вычисления не дают чего-либо
нового по сравнению со случаем одной моды, рассмотренным при
решении скоростных уравнений, мы адресуем читателя к нашему
прежнему результату (см. разд. 4.7 и 4.10, где вычислялась сумма
по ц в случаях неоднородно уширенной линии и стоячих волн).
Исследуем теперь уравнение F.28) для мнимых частей (поделив
его предварительно на 5). Имеем
ш_й=_Ау1(шц—Q) ^± . F.31)
2Y L ^ 1 + 27-WV»
Определив из уравнения F.29) или F.30) число фотонов п, под-
подставим его в формулу F.31). Это даст нам уравнение для пока еще
неизвестной частоты лазера Q. Поскольку в F.31) входит число
фотонов п, можно полагать, что частота лазерного излучения Q
144 Глава 6
зависит от него. Это действительно так, если линия неоднородно
уширена. Мы представим соответствующие результаты в конце
раздела.
Здесь же вначале рассмотрим однородно уширенную линию,
для которой все частоты переходов одинаковы: ю^ = ю. Мы пока-
покажем, что в этом случае частота не зависит от числа фотонов. Тогда
можно вынести множитель со— Q за знак суммы, фигурирующей
в формуле F.31), после чего эта сумма станет идентичной той, ко-
которая входит в уравнение F.29). Это приводит к соотношению
со—?2 = -(©—Q), F.32)
из которого можно найти частоту Q:
"* + (°V . F.33)
Эта формула говорит нам, что в общем случае частота генерации
лазера Q не совпадает с частотой моды «пустого» резонатора. Это
такой резонатор, в котором нет взаимодействия между оптическими
модами и активной средой, или, другими словами, это резонатор
без активных атомов. Смысл частотного сдвига F.33) легко уяснить,
если вспомнить, что константы затухания х и у пропорциональны
обратным временам релаксации светового поля tx и атомных ди-
польных моментов ta, соответственно. Следовательно, если ввести
вместо х и у соответствующие временные константы
2у= \/ta, 2x = l/tlt F.34)
то равенство F.33) можно переписать в виде
n_tau + *tLt F35)
ta + tx
Чем больше временные константы (времена жизни) ta и tx подси-
подсистем, состоящих из дипольных моментов атомов или мод поля, тем
больший вес мы должны приписать данной частоте атома со или поля
со при определении частоты генерации Q.
Полученные выше результаты показывают, что полуклассиче-
полуклассические лазерные уравнения подтверждают правильность скоростных
уравнений, введенных ранее (по крайней мере, для стационарных
условий и случая одной моды). Но, кроме того, теперь можно также
определить частоту генерации. Фаза лазерного излучения остается
все еще неопределенной. Мы вернемся к этому вопросу, когда пе-
перейдем к квантовой теории лазера.
В свете полученных результатов возникает вопрос: можно ли
вывести из полуклассических уравнений скоростные уравнения
Приложения полуклассической теории 145
также и в случае многомодовой генерации? Мы вернемся к этому
вопросу в разд. 6.9.
В заключение данного раздела приведем окончательные фор-
формулы для числа фотонов п и частоты Q в том случае, когда сумма
по [i вычисляется точно. Мы рассмотрим важный частный случай
однородно уширенной линии и воспроизведем результаты для п,
полученные в разд. 4.6.
Стоячая волна. Согласно формуле D.91), равенство F.30) мо-
может быть переписано в виде
^1 — ЗАТп/2у), F.36)
где принято, что у <^ а; р0 — плотность активных атомов,
А — соо | {)• |2//г80, б — (Q— (О0)/а (произведена замена (о ->- Q!), а —
полуширина гауссова распределения [формула D.84)].
Интеграл, входящий в формулу F.31), тоже может быть взят
при условиях 7«« и A 4 2TWXnn)-1 « I—2TWKuti.
Результат таков:
C, F.37)
а
где
2 2a2
Точнее говоря, F.36) и F.37) — это система двух сцепленных урав-
уравнений для п и Q. Их можно решить методом итераций, приняв на
первом шаге, что Q = (о.
Упражнения к разд. 6.2
1. Покажите, что уравнение F.29) вытекает из скоростных уравне-
уравнений D.57) и D.61), если dnldt = ddjdt = 0.
Указание. Решите уравнение D.61) относительно dn и подставьте
результат в D.57).
2. Решите уравнение F.36) относительно п.
6.3. Одномодовый лазер, переходные режимы
В данном разделе мы будем исследовать решения уравнений одно-
модового лазера, зависящих от времени. Поскольку уравнения
нелинейны, задача не может быть решена аналитически. Даже
компьютер не решил бы ее, так как, если лазер содержит 1014 ак-
активных атомов и имеется только одна мода поля, нам пришлось бы
решать систему из B-Ю14 + 1) сцепленных нелинейных дифферен-
146 Глава 6
циальных уравнений. Следовательно, необходимо найти подходя-
подходящие приближенные методы решения. В данном и последующих
разделах мы изложим общую схему допущений, которые позволяют
решить задачу в очень хорошем приближении. Во-первых, потре-
потребуем, чтобы амплитуды поля | Ьк\ не были слишком велики. Это озна-
означает, что наша процедура пригодна для области вблизи порога
лазерной генерации, которая представляет, конечно, особый фи-
физический интерес. Далее будем предполагать, что «ширина линии»
резонатора к намного меньше продольных и поперечных ширин
атомных линий Т~1, у. В последующих главах мы увидим, что по-
порог лазера не является единственной точкой нестабильности, в ко-
которой качественное поведение света резко меняется. Имеется це-
целая иерархия нестабильностей, и мы представим в более поздних
главах методы, позволяющие справиться с такими нестабильно-
стями. В данном же разделе будем рассматривать случай, в котором
лазерная генерация устанавливается, и начнем для примера с од-
номодового лазера. Чтобы прояснить важнейшие моменты, предпо-
предположим наличие точного резонанса между частотой резонаторной
моды (% = со и частотой атомного перехода ю^, т. е. примем, что
(о = юд. Далее допустим, что константа связи g^ не зависит от ц
и ^'- Sni = ?. гДе g — действительная величина. В следующем раз-
разделе мы покажем, каким образом эта процедура может быть рас-
распространена на многомодовый случай, в котором придется отка-
отказаться от указанных предположений о резонансе и о g^.
Начнем с уравнений F.1) — F.3). Согласно уравнению F.1),
дипольные моменты возбуждают моду поля. Уравнение же F.2)
говорит нам о том, что лазерная генерация вызывает колебания
диполей. В соответствии с уравнением F.3) совместное действие
диполей и светового ноля вызывает временные изменения инвер-
инверсии. Совершенно очевидно, что эти три фактора — мода лазера,
атомные дипольные моменты и атомная инверсия — взаимосвязаны.
В определенном смысле мы имеем здесь замкнутый круг. Чтобы
разорвать его, предположим на мгновение, что мы уже знаем све-
световое поле Ъ. Тогда материальные уравнения F.2) и F.3) дадут
нам ад и dw Следовательно, в принципе можно выразить ад че-
через Ь. Мы увидим, что это действительно возможно, и получим ам
в следующей форме:
а„ = cxb + сф | b |2 -;-..., F.38)
где С] и с2 — некоторые постоянные коэффициенты. Если поля не
слишком сильны, то можно пренебречь членами разложения с бо
лее высокими степенями Ъ, которые обозначены многоточием. Если
мы оставим в разложении F.38) только линейный член, пропорцио-
пропорциональный Ь, то дипольные моменты атомов ад будут пропорцио-
пропорциональны амплитуде поля Ь. В этом случае мы приходим к обычной
Приложения полуклассической теории 147
теории дисперсии. Подставив дипольные моменты F.38) в уравне-
уравнение поля F.1), получим одно уравнение для неизвестной Ь. Круг
вновь замкнулся, но мы уже можем решить это новое уравнение.
Как читатель может убедиться сам в виде упражнения, это новое
уравнение не допускает устойчивого решения, по крайней мере
в общем случае. Процесс установления стационарной генерации
может быть правильно описан, только если учесть нелинейные
члены в разложении F.38). Нашей целью будет вывести разложе-
разложение F.38) и затем исследовать получающееся нелинейное уравне-
уравнение для Ъ.
Вернемся снова к нелинейным уравнениям F.1) — F.3), к ко-
которым применим следующую итерационную процедуру. Предпо-
Предположим сначала, что поле дано в виде
F.39)
В последующем будем полагать, что поле В =¦ В (/) зависит от вре-
времени, но его временные изменения значительно медленнее процес-
процессов атомной релаксации, описываемых константами у и 1/Т. Как
показывает детальный анализ, на отдельных этапах процедуры ите-
итерации величину В можно считать константой. Примем далее, что
в низшем приближении инверсия постоянна:
d,i = do, F.40)
и определяется накачкой и процессами релаксации. В то же время
согласно уравнению F.2), поле наводит отличные от нуля диполь-
дипольные моменты ад атомов. Поскольку мы определяем эти ад на пер-
первом шаге, обозначим их символом а^. Согласно уравнению F.3),
дипольные моменты и поле вместе обусловливают новую величину
инверсии, которую обозначим через d^". Подставив эту новую ин-
инверсию в правую часть уравнения F.2), получим уточненное зна-
значение дипольного момента а^>. Как мы сейчас увидим, нам удастся
выразить дипольные моменты ад только через амплитуду поля Ъ.
Если подставить соответствующие выражения в уравнение F.1)
для Ь, то мы получим уравнение только для одной неизвестной Ъ.
Это уравнение может рассматриваться как условие самосогласо-
самосогласованности. Атомные переменные полностью устранены, и мы опре-
определили реакцию поля на само поле. Наша процедура может быть
представлена следующей схемой.
Начало: —*Ь = В ехр [ — 1Щ
Прежде чем выполнять отдельные шаги, заметим, что в случае
w = ю частота Q предполагаемой функции F.39) становится рав-
148 Глава 6
ной частоте со. Чтобы максимально упростить последующие фор-
формулы, заранее примем, что Q — ю. Подставляем выражения Ъ =
= В ехр [— iwt] и с/д = d0 B формулу F.2), рассматривая поле В
практически не зависящим от времени, так что можно пренебречь
его производной по времени. Решение уравнения F.2) выглядит
так:
«(!>(*) =*Ь@. F.42)
Вычислим теперь уточненное значение инверсии d^ подставив вы-
выражения Ъ -- В ехр [— ш(\ и F.42) в формулу F.3). Предпола-
Предполагаем, что величина d^ ¦-•¦ d(l) изменяется очень мало за времена
порядка времени релаксации Т, т. е. что можно пренебречь вели-
величиной с1ц по сравнению с (d0—d^lT. Следовательно, можно поло-
положить в формуле F.3)
^ = ^)-0, F.43)
и мы легко получаем
dAb\2. F.44)
Теперь можно повторить первый шаг, а именно вычисление d^
с помощью уравнения F.2), где используем первое приближение dA)
вместо d0. Получаем
ад @ « af (t) - ^ b (t) (d0 ~ -^- d0 [b\*y F.45)
Согласно формуле F.45), данное поле Ь вызывает колебания ди-
диполей с той частотой, с которой изменяется и само поле. Конечно,
поле лазера не задается извне, а генерируется за счет лазерного
процесса. В излагаемой теории это находит отражение в том, что
мы должны подставить выражение F.45) в уравнение F.1). В ре-
результате получаем фундаментальное самосогласованное уравнение
лазера:
^^^6|aft, - F-46)
где Do = Nd0 — ненасыщенная инверсия. Это уравнение показы-
показывает, каким образом световое поле лазера взаимодействует с самим
собой через посредство атомов. Чтобы выяснить физический смысл
уравнения F.46), снова используем представление
F.47)
Приложения полуклассической теории 149
т. е. отделим быстро осциллирующую часть. Получим следующее
уравнение для В:
В (t)= (—х + ^Л В @ - 4g4r2D° l В |2 В (t). F.48)
а с
Первый член в скобках в правой части уравнения учитывает по-
потери в резонаторе, а второй (положительный) связан с ненасыщен-
ненасыщенной инверсией. Последнее слагаемое правой части описывает умень-
уменьшение эффективной инверсии, вызываемое процессом лазерной ге-
генерации.
Уравнение F.48) показывает, что лазерная система ведет себя
совершенно по-разному в зависимости от того, действует ли лазер
выше или ниже порога F.13). Это особенно наглядно можно пред-
представить, если (чисто формально) отождествить В (t) с координатой
q (t) частицы. Добавив член ускорения tnq в уравнение F.48) и обо-
обозначив правую часть последнего символом К. (q), получим урав-
уравнение
m'q + q = K(q). F.49)
Это — уравнение движения частицы с затуханием под действием
силы К. Если положить т ->- 0, то, сохранив механическую ин-
интерпретацию, можно сделать следующие выводы. Сила К (q) может
быть выражена через потенциал V:
F.50)
где V (q) дается формулой
причем G и С — величины, указанные в формуле F.48). Кривые
этого потенциала представлены на рис. 6.1. Когда лазер действует
ниже порога, т. е.
Du<v.ylg\ F.52)
потенциал соответствует штриховой линии кривой. Имеется только
одна точка равновесия, а именно q = 0; в ней амплитуда светового
поля В = q равна нулю. Если же выполняется пороговое условие,
то следует рассматривать сплошную кривую. Совершенно оче-
очевидно, что амплитуда q = 0 теперь уже неустойчива, но появ-
появляются два новых стабильных положения при условии, что q —
действительная величина. Если же q — комплексная величина,
как В, то имеются положения равновесия с произвольной фазой
поля В, что будет продемонстрировано ниже. Таким образом, выше
порога (Do >y>i/g2) амплитуда лазерного излучения не равна нулю.
150
Глава 6
Величину q легко можно вычислить, если положить q -- q -- О
в уравнении F.49) и разделить полученное уравнение на q (или
на В). Получим
<7о = I Во
F.53)
Здесь фаза величины Во — |fio|exp [йр] остается неопределенной.
Более того, ее можно выбрать произвольно. Уравнение F.48) бу-
будет удовлетворяться, если интенсивность поля не слишком сильно
V(q)
Рис. 6.1. Зависимость потенциала v |формула F.49)] от координаты q фик-
фиктивной частицы. Штриховая линия — ниже порога лазерной генерации,
сплошная линия —¦ выше порога. В области выше порога имеются два устой-
устойчивых значения, из которых показано одно (^0).
отклоняется от своего стационарного значения F.53) и если лазер
работает без большого превышения порога. Уравнение F.48), ко-
которое описывает нелилейную релаксацию амплитуды лазерного
поля, имеет точное решение вида
Я(9-=г(9ехр[*Ф(9], F.54)
где г и Ф считаются действительными величинами. Подставляя эту
функцию в формулу F.48), получаем два уравнения:
Ф-0, F.55)
r^-Gr—Cr3. F.56)
Из равенства F.55) следует, что фаза Ф постоянна, но не опреде-
определена. Точное решение уравнения F.56) выглядит так:
г —
f Gh (t) у72
\\ + h(l)Cj
F.57)
Приложения полуклассической теории 151
В нем h (t) дается выражением
г2
h(t)= 5—-exp[2G (*—*„)], F.58)
где г0 — амплитуда поля в момент времени t0. Умножая обе части
уравнения F.56) на г и полагая г2 -¦- п, получаем скоростное урав-
уравнение
n = 2Gn—2Cn2. F.59)
Оно согласуется со скоростным уравнением одномодового лазера,
полученным в разд. 4.1.
Упражнение к разд. 6.3
Решите уравнения одномодового лазера (со •- юц - - (о, g^ — g
действительная величина) в линейном приближении, в котором
в уравнении F.38) только сх Ф О, а для всех остальных коэффици-
коэффициентов ск выполняется условие ck -- 0.
6.4. Многомодовый режим работы твердотельных
лазеров, вывод редуцированных уравнений
для амплитуд мод
В гл. 4 мы показали, что в лазере одновременно могут возбуж-
возбуждаться несколько мод. В данном разделе мы рассмотрим вопрос о
том, каких эффектов можно ожидать при многомодовом режиме
работы лазера. Экспериментальные и теоретические исследования
таких эффектов еще не закончены, они активно ведутся, и все время
открываются новые и новые эффекты. В этой и следующих главах
мы попытаемся показать наиболее важные и интересные из них,
обнаруженные к настоящему времени, надеясь, что это позволит
читателю заняться поисками новых эффектов.
В данном разделе мы будем придерживаться той же линии, что
и в предыдущем, т. е. ограничимся в своем анализе рассмотрением
лазерных мод, амплитуды которых достаточно малы, и ситуацией,
в которой генерация начинается при пороге, введенном ранее. Позд-
Позднее мы представим методы и результаты, относящиеся к новым ти-
типам неустойчивостей. Поскольку лазерные уравнения, которые
мы вывели в гл. 5, нелинейны, в общем случае их невозможно ре-
решить аналитически. В данной главе мы изложим две приближенные
процедуры, которые позволят нам получить некоторое представ-
представление о работе многомодового лазера. Будем здесь использовать
тот же самый метод, что и при рассмотрении одномодового лазера,
и исключим из уравнений атомные переменные, т. е. дипольные
152 Глава 6
моменты и инверсию. В результате получим уравнения только для
поля, которые позволят выявить новые эффекты, в частности фа-
фазовую синхронизацию. Дальше мы рассмотрим вопрос о том, можно
ли скоростные уравнения, которые мы ввели феноменологически
в гл. 4, вывести из начальных лазерных уравнений гл. 5. Как мы
увидим, это действительно возможно при условии, что отсутствует
фазовая синхронизация различных мод лазера, т. е. что можно
проводить усреднение по фазам отдельных мод. Но начнем сначала
с вывода уравнений для мод лазера.
Будем исходить из фундаментальных уравнений E.115) — E.117)
разд. 5.9. Допустим, что генерируют несколько мод с определен-
определенными индексами, например А,г, . . . , Хп. Для амплитуды каждой
отдельной моды примем выражение
bK(t) = Bxexp[—iQit\. F.60)
Частоты пх пока неизвестны. Мы определим их ниже из условия
самосогласованности. Пока и амплитуды Вх остаются неизвестными
величинами. Будем считать, что они зависят от времени, но их
изменения происходят значительно медленнее колебаний с часто-
частотами Qx и процессов релаксации с константами у и \1Т. Это позво-
позволяет использовать приближение медленно меняющихся ампли-
амплитуд. На первой ступени нашего метода решения предположим, что
вследствие накачки и процессов релаксации инверсия d^ достигла
значения dQ:
df=d0. F.61)
Подставим теперь выражения F.61) и F.60) в уравнение для ди-
польных моментов E.116). Поскольку в его правую часть входит
сумма экспоненциальных функций вида F.60), запишем решение
уравнений для ад также в виде суперпозиции экспоненциальных
функций с соответствующими частотами:
-KVI- F.62)
Подставив это выражение в уравнение E.116), сразу же получим
соотношение
Приравняем множители соответствующих экспоненциальных функ-
функций exp 1—iQ), t] в обеих частях этого уравнения. Таким образом
Приложения полуклассической теори- 153
мы найдем величину А^х и подставим ее в формулу F.62). Это при-
приводит к следующему точному выражению для дипольных моментов!
^)(t) = d0Zg^?ik + -%-iy)-\. F.64)
В рамках первой ступени нашей приближенной схемы дипольные
моменты атомов осциллируют с той же самой частотой, что и при-
присутствующие лазерные моды. Поскольку дипольный момент ад
отличен от нуля и амплитуды мод Вх по предположению тоже не
равны нулю, в уравнении E.117) для инверсии возникает допол-
дополнительный член. Это дает нам возможность вычислить следующее
приближение для инверсии сИ1К Чтобы проинтегрировать соот-
соответствующее уравнение, будем искать dm в виде экспоненциальной
функции exp [(ii\—i?iv)t]. Получим:
F-65)
Символами Оцм' в формуле F.65) для кратости обозначены сле-
следующие величины:
?W= -«К- Qv—iyrHUT + iiOb—Qv)rl. F.66)
Подставим теперь это более точное значение инверсии в выражение
F.65), а наше первоначальное представление F.60) мод светового
поля — в уравнение для дипольных моментов. Интегрирование
может быть выполнено способом, аналогичным тому, который мы
только что использовали, так что сразу можно записать оконча-
окончательный результат:
1
*"Ч ? *Xv*,aA^MW- F'67)
W'J"
Постоянные коэффициенты М^хк"К" даются выражением
X [K-Qx' + ^-'-K-Qx.-fT)-1]. F-68)
Это, конечно, довольно длинное выражение, и мы используем его
позднее в такой форме лишь в отдельных случаях. Значительно
более интересна формула F.67). Первая сумма нам уже известна.
Она означает, что дипольные моменты колеблются когерентно с пер-
первоначально присутствующими амплитудами генерации лазера,
Ь% (/). Дополнительный член в выражении F.67) учитывает то
обстоятельство, что инверсия изменяется под действием генерации.
В противоположность одномодовому режиму лазера здесь инвер-
инверсия становится функцией времени. Инверсия совершает пульсации
154 Глава 6
с частотами, соответствующими разности частот индивидуальных
лазерных мод. Поэтому данный эффект называют пульсациями ин-
инверсии. Имея выражение F.67), мы можем сделать последний шаг,
а именно подставить точное выражение для дипольных моментов
F.67) в уравнения для мод лазера E.115). В результате получаем
окончательные уравнения:
-Ч 2 ^Л^ЛЛАА^хз- F-69)
Если привести эти уравнения к случаю одной моды и точного ре-
резонанса (соц — оль = Q, g^ = g—действительная величина), то
получим уравнение F.46), которое было найдено в разд. 6.3.
Уравнение F.69) — это результат, довольно приятный для фи-
физика, поскольку нас главным образом интересуют не колебания
электронов в активных атомах, а осцилляции поля лазерных мод.
Но так как полевые уравнения F.69) содержат нелинейные члены,
они все еще трудны для решения.
Тем не менее в ряде случаев можно довольно легко показать
наглядно, что означают эти уравнения для Ь. Рассмотрим, напри-
например, кубические члены. Предположим, что мы вводим амплитуды
поля bh в виде Ьх = В% ехр [— iuht\ и допустим на мгновение,
что амплитуды Вк не зависят от времени. Тогда обнаружим следую-
следующее. Кубический член может рассматриваться как вынуждающая
сила для величины Ьк в левой части уравнения F.69). Эта вынуж-
вынуждающая сила изменяется с разными частотами в зависимости от
того, какой член суммы по A,]A,2X3 рассматривается. Имеются опре-
определенные сочетания, например %t = Я,2, К3 — X или Я,г = А,, А,2 = Х3,
при которых кубический член осциллирует в фазе с модой поля.
В таком случае можно предполагать, что в стационарном режиме
амплитуды В не зависят от времени. Ниже мы увидим, что в этом
случае можно вернуться к начальным скоростным уравнениям.
В то же время в уравнения F.69) входят дополнительные члены,
в которых частота вынуждающей силы отличается от первоначально
предполагаемой частоты лазерной моды К. Этим обусловлены но-
новые явления, в которых решающую роль играют фазовые соотно-
соотношения. В следующем разделе мы рассмотрим сравнительно про-
простые, но весьма характерные примеры эффектов, к которым при-
приводит фазовая синхронизация. Они ясно показывают, что фазовые
соотношения, которые совершенно не учитывались в скоростных
уравнениях, могут быть очень существенными для работы лазеров.
Приложения полуклассической теории 155
6.5. Простые примеры многомодового режима
В предыдущем разделе нам удалось существенно упростить перво-
первоначальную задачу. В то время как исходные уравнения описывали
не только моды лазера, но и многочисленные атомные переменные,
в конце концов мы получили уравнения, которые относятся только
к лазерным модам. Полученные уравнения все еще сложны, но
позволяют описать очень многие явления. Мы постараемся про-
пробиться через дебри этих сложных нелинейных уравнений, сосредо-
сосредоточив свое внимание на особенно интересных частных случаях.
Это позволит получить некоторое представление о структуре этих
уравнений и взаимодействии, которое они описывают. Далее мы
можем рассмотреть ряд эффектов, которые в физическом отношении
особенно интересны. Простейшим случаем, конечно, является слу-
случай одной моды, в котором мы можем опустить индекс К у символа
Ьх. Затем мы опустим все суммы по %. Но в противоположность
тому, что было в разд. 6.3, сохраним индексы \а и включим в рас-
рассмотрение нерезонансный случай. Выражение для инверсии F.65)
выглядит теперь так:
Если вспомнить определение D.55) величины WXll< то мы сразу
же увидим, что F.70) согласуется с выражением D.64), которое
было выведено в рамках скоростных уравнений. Это выражение
описывает, как мы знаем, эффект образования провалов. Соответст-
Соответственно этому получим из уравнений F.69) уравнение вида
db/dt-{—ш—х-' Go-M6o)iN—(s + i8<i>2)\b\*b, F.71)
где константы Go, 8a>l, s и боJ действительны. Мы уже выводили
уравнение такого вида в рамках итерационной процедуры разд. 6.3
[формула F.46)]. Дополнительные члены 8w1 и бю2. которые
имеются в случае неоднородно уширенной линии, представляют
особый интерес. Эти члены описывают сдвиг частоты лазерной
моды. Мы нашли такие члены в разд. 6.2. Но есть разница между
первоначальным уравнением F.31) и настоящим результатом.
В разд. 6.2 мы должны были ограничиться стационарным случаем,
но могли рассмотреть произвольно большие амплитуды Ьк. Здесь
же нам удалось найти также нестационарные решения, хотя мы
вынуждены были ограничиться не слишком большими значениями Ь.
Рассмотрим второй простейший случай, а именно случай двух
мод. Получим следующее выражение для инверсии:
156 Глава 6
~ ехрA(Й2—Й^+компл. сопр.
Хотя это довольно длинное выражение, его нетрудно проанализи-
проанализировать. Ранее в рамках скоростных уравнений [формула D.64)]
мы уже выводили выражение, которое здесь заключено в большие
круглые скобки. Оно описывает эффект образования провалов.
Выражение же в квадратных скобках, которое зависит не от числа
фотонов, а от амплитуд отдельных лазерных мод,— новое. Можно
показать, что и в этом случае отдельные лазерные моды колеблются
по гармоническому закону
&/(*)= В,-ехр[ — «3/*]. F.73)
Таким образом, уравнение F.72) описывает зависящую от времени
модуляцию инверсии заселенностей. Этот эффект можно назвать
пульсацией инверсии. Подобный эффект не могут дать скоростные
уравнения, поскольку в них не учитываются никакие фазовые со-
соотношения. Возникает вопрос: в каких случаях можно пренебречь
пульсациями? Запишем сначала явные выражения для Од21 и ?>д11:
Du21 = —4 г (± + i (Qa- uSV1, F.74)
— Qx + a^ — iyKT )
DM11 -¦= l- T, F.75)
— Й1 + Шц — iy
где D — величины F.66). Получаем следующее соотношение:
i/v/^ni=ri+r2(Q;_QiJ11/2<<i, F.76)
если
| Г (?2,-0^1 »1, т. е. |Qa —QJ» 1/Г. F.77)
Отсюда следует, что пульсации пренебрежимо малы, если расстоя-
расстояние между частотами лазерных мод велико по сравнению с обрат-
обратной величиной времени продольной релаксации инверсии Т. В про-
противном случае эти величины могут достигать того же порядка ве-
величины, что и члены, входящие в скоростные уравнения, так что
процессы пульсации могут играть важную роль. Уравнения для
амплитуд генерируемых мод становятся довольно длинными. Чтобы
получить представление об отдельных вкладах, введем сокращен-
сокращенное обозначение Ьъ X = 1, 2, для множителей при амплитудах.
Приложения полуклассической теории 157
Как пример получающихся уравнений, рассмотрим их для моды 1
и проанализируем последовательно отдельные члены.
+ (С,,/г, + Cl2n2) bl + (Fn, + F'n2) b2 -
Члены с множителями Ctk, F, F', И, Н' могут быть легко опреде-
определены при сравнении с уравнением F.69). Первая строка и первый
член во второй строке, который содержит множитель Cllt известны
нам из теории одномодового лазера.
Другие члены содержат выражения, которые представляют
связь между модами. Такая связь возникает различными путями.
Прежде всего имеется член, содержащий С12- Он соответствует вы-
выражению, которое известно нам из скоростных уравнений.
Его смысл в том, что инверсия ослабляется не только модой 1, но
и модой 2 (образование провалов). Особенно интересны подчеркну-
подчеркнутые выражения. Первая группа подчеркнутых выражений дается
соотношением
(Рп1-тР'Пг)Ьл^ехр\—ИУ], F.79)
которое означает, что мода с индексом 2 модулирует моду с индек-
индексом 1 за счет пульсаций инверсии. Другие эффекты модуляции пред-
представлены членами, подчеркнутыми волнистой линией, в которых
имеются следующие зависимости от частоты:
exp[~fBQ2 — Qi)f|, F.80)
Q2)t]. F.81)
Мы видим, что взаимодействие между отдельными модами осущест-
осуществляется через посредство атомов, причем становятся возможны но-
новые комбинации частот, приводящие к появлению боковых полос.
Как будет видно из следующих глав, эффекты связи (между мо-
модами), в которых существенны фазовые соотношения, играют важ-
важную роль в разных отношениях. Они могут вызывать фазовую синх-
синхронизацию или затягивание частоты. В случае, когда устанавли-
устанавливается фиксированное соотношение фаз для большого числа мод,
могут генерироваться ультракороткие импульсы.
Упражнение к разд. 6.5
Найдите выражения для величин Gn, 8wl и 6со2 в одномодовом слу-
случае, исходя из уравнения F.69). Сравните выражение для
бсо 1 + I ^ |2бсо3 с соответствующим выражением, полученным из
уравнения F.31) при 2TWlltn С 1.
t58
Глава 6
6.6. Затягивание частоты в случае трех мод
Случай, который мы собираемся обсудить, дает яркий пример того,
как полуклассические уравнения лазера могут описать эффекты,
которые не могут быть получены с помощью скоростных уравне-
уравнений. Рассмотрим лазер, который генерирует на трех модах 1—3.
Предположим (это может быть подтверждено экспериментально),
что эти три моды отвечают последовательным частотам резонатора
В резонаторе без активной среды, т. е. в незаполненном резона-
резонаторе, эти частоты мод эквидистантны. Но мы знаем, что лазерная
UJ, Я,
со2
Рис. 6.2. Затягивание частоты. Схема частот мод. По оси абсцисс отклады-
откладывается круговая частота. Частота со0 соответствует центру атомной линии;
coj, со2, ш3 — частоты мод пустого резонатора; Qx, Q2, Q3 — действительные
частоты генерации в отсутствие связи, вызывающей их синхронизацию.
генерация ведет к сдвигам частоты (см. разд. 6.2). Эти новые сдви-
сдвинутые частоты будем обозначать, как обычно, через Q> (рис. 6.2).
Образуем разность разностей частот соседних мод
(Qa—Qi) — (Qj,—Q2).
F.82)
Экспериментально установлено следующее. Как обычно, частоты
можно сдвигать, изменяя расстояние между зеркалами. Чаще всего
три моды лазера возбуждаются на соответствующих частотах не-
независимо друг от друга. Если же изменять расстояние между зер-
зеркалами так, чтобы частоты сдвигались, то, когда разность F.82)
становится малой (~ 103 Гц в случае газовых лазеров), частоты
скачком изменяются и происходит их затягивание, что мы и соби-
собираемся вывести теоретически. Запишем амплитуды мод в виде
Ь^ =^ г^ ехр | — ibl}J—^ФхЬ F.83)
где г% — действительные амплитуды. Позволим действительным фа-
фазам фя зависеть от времени. Рассмотрим снова более тщательно
кубические члены, входящие в уравнения F.69). Если выбрать
А,, ~ Х2, X = Хя, то правая часть уравнения будет изменяться с той
же самой частотой, что и величина Ьх в левой. То же самое справед-
справедливо при выборе Хг = X, Х2 = Х3. Но теперь мы хотим рассмотреть
Приложения полуклассической теории 159
также члены, в которые входит комбинация частот, отличная от
частоты моды Ь%. Если рассмотреть уравнение для моды 1, то та-
такую комбинацию частот можно получить, выбрав
V-^-2, V-=l, V--3 F.84)
или наоборот. Примем, что величина F.82) мала; тогда приближенно
(но не точно) выполняется соотношение
з—Их,- F.85)
Чтобы выяснить основные закономерности, будем считать в после-
последующем, что действительные амплитуды поля гк не зависят от вре-
времени. Подставив выражения F.83) в многомодовые уравнения F.69)
и разделив каждый результат подстановки на экспоненциальную
функцию F.83), получим уравнения в следующей форме:
Й! + ф1 = ~a>i + Im (dexp \i (Qt -}- й3—2Q2) t\ exp [—1BФг—Ф1—Фз)]),
F.86)
Й3 + ф3 = ш3 + Im (C3 exp [i (Qx -f Q3— 2Qa)f] exp [—1Bф2— щ—щ)\),
F.87)
^2 + фг ~ «а + Im (C2 exp [—i(Qt + fi3—2Q2)J exp [/Bф2—ф!—ф3)]).
F.88)
Величины а>1, (о2, (о3 — это частоты, которые получаются из на-
начальных частот мод незаполненного резонатора после различных
частотных сдвигов. Конечно, в общем случае частотные сдвиги
могут зависеть от интенсивности лазерных мод. Но, предполагая,
что интенсивности не зависят от времени, мы не будем рассматри-
рассматривать зависимость со^ от действительных амплитуд гх. Подобным же
образом будем считать, что коэффициенты перед экспоненциаль-
экспоненциальными функциями — константы, не зависящие от времени:
Ci = C,(rlt r2, г3). F.89)
Это допустимо, если пренебречь изменениями величин гх во вре-
времени.
Попробуем вывести из уравнений F.86) — F.88) уравнение
для величины
YsBQa—Й!—О8)М-Bф,-ф1—ф8), F.90)
которая входит в экспоненты в правых частях уравнений F.86) —
F.88). С этой целью умножим обе части равенства F.88) на два
и вычтем из него равенства F.86) и F.87). Получим уравнение с од-
одной неизвестной W:
4f=E-t-asin4r-bPcos4f, F.91)
160 Глава 6
где
S = 2ffla—щ—оK> F.92)
а а и р — константы, которые складываются из действительных
и мнимых частей коэффициентов С. В формуле F.91) мы имеем диф-
дифференциальное уравнение первого порядка, которое может быть
решено методом разделения переменных. Будем искать ? как функ-
функцию переменной t в неявной форме
w
t = [ *0L. , F.93)
J l + asinV' + pcosY' v
где Wo — начальное значение W в момент / = 0. Наша цель — вы-
выяснить характер временной зависимости \Р (/). Он определяется
тем, выполняется ли условие
F.94)
или условие
(а2 + Р2)>?2- F.95)
В первом случае подынтегральное выражение в формуле F.93)
не имеет сингулярностей. Мы можем разложить его по функциям
синуса и конуса. Таким образом, мы видим, что интеграл ведет
себя как const-W-\- пульсации. Пренебрегая этими пульсациями
и малыми поправками, сразу же получаем
? = !/¦¦!-const,
где Е дается выражением
?^2ш2—«!—fi>3 = 2Q2—ах—Q3. F.96)
Это именно то поведение, какого мы ожидаем в нормальном трех-
модовом режиме лазерной генерации.
Рассмотрим теперь случай F.95). В этом случае интеграл может
расходиться. Это означает, что время t в формуле F.93) стремится
к бесконечности, когда величина У принимает конечное значение
?=—ф—arcsinE(a2-fp2)-I/2), tg<p=p7a. F.97)
В этом случае Y больше не зависит от времени. С учетом формулы
F.90) можно показать, что такой результат возможен лишь тогда,
когда частоты мод удовлетворяют соотношению
Q2 —Qi^Qs—й2- F-98)
Разность частот Q2— ^i теперь синхронизирована с разностью
Q3— Q2. Переход от несинхронизованного режима к синхрониза-
синхронизации т. е. захвату частоты) экспериментально демонстрируется пу-
путем измерения частот биений Q3—• Qt и Q3— Q2. Сначала фикси-
Приложения полуклассической теории
161
руют расстояние между зеркалами, при котором эти разности ча-
частот различаются (несинхронизованный режим). При этом вы-
выполняется условие F.94). Если путем настройки резонатора сдви-
сдвигать центральную'частоту в сторону частоты атомного резонанса е>и
то интервал между двумя разностями частот будет уменьшаться.
Когда |||2 достигает величины а2 + р12, происходит скачкообраз-
скачкообразный переход в состояние с синхронизацией частот и вместо двух
разнящихся частот биений Q2— Qx и fi3—Q2 остается только одна.
6.7. Лазерный гироскоп
Очень хорошим примером применения лазеров может служить ла-
лазерный гироскоп. Кроме прочего, этот пример показывает нам, что
технические приложения связаны с фундаментальными физиче-
физическими явлениями. При помощи лазерного гироскопа оказывается
возможным регистрировать вращение относительно инерциальной
системы космоса. Следовательно, лазерным гироскопом можно заме-
заменить механический гироскоп. В принципе лазерный гироскоп пред-
пред Ю
п
-1Z
К фотоприемникам
15
Рис. 6.3. Схема лазерного гироскопа. / — трубка для геттера; 2 — отросток
для заполнения; 3 — диафрагма; 4 — плоское зеркало; 5 — кварцевый блок;
6 — усилительная трубка; 7 — кинематическое крепление; 8 — электро-
электроввод; 9 — сферическое зеркало; 10 — анод; 11 — катод; 12 — экран от
распыления; 13 — зеркало (отсчет); 14 — светоделитель; 15 — призма, сое-
соединяющая лучи. /. Killpatrick, IEEE Spectrum, Oct. 1967, p. 44.
162
Глава 6
ставляет собой кольцевой лазер, схема которого показана на
рис. 6.3. Если все это устройство вращается относительно инерци-
альной системы Вселенной, то, согласно общей теории относитель-
относительности, происходит следующее. «Наблюдатели», в нашем случае
фотоны, бегущие в направлении вращения, проходят путь, длина
которого отличается от проходимой наблюдателями (фотонами)
в противоположном направлении. В соответствии с общей теорией
относительности эта разница в длине пути пропорциональна пло-
Скоросгль
изменения
фазы на выходе
лазерного
гироскопа
I отклонением
I от 7<урса
Рис. 6.4. Затягивание частоты в лазерном гироскопе (см. текст).
щади Л, охватываемой траекторией L, и скорости вращения Q
в инерциальном пространстве. В случае фотонов, летящих со ско-
скоростью света, изменение длины AL равно 4AQ/c, где с — скорость
света. Существование этого эффекта было показано в 1913 г. Санья-
ком. При частоте вращения 2 Гц ему удалось обнаружить измене-
изменение длины порядка 100—200 А. Для измерения очень малых изме-
изменений длин пути, которые должны наблюдаться при малых скоро-
скоростях вращения, представляется возможным применить лазер, по-
поскольку частота лазера определяется длиной кольцевого резона-
резонатора. Соответствующее изменение длины резонатора ведет к сдвигу
частоты. Измерив сдвиг частоты, можно определить скорость вра-
вращения гироскопа. Схема такого прибора и показана на рис. 6.3.
Так как ширина линии генерации лазера очень мала, чувствитель-
чувствительность лазерного гироскопа должна быть очень высокой.
Правда, при малых скоростях вращения возникают трудности,
которые заключаются в следующем. Поскольку зеркала могут от-
отражать свет в направлении падающего пучка, может возникать
Приложения полуклассической теории 163
связь между волнами, бегущими в противоположных направлениях,
и неизбежно явление затягивания частоты. Связь между модами
снова описывается уравнением в форме:
4r = a + 6sin?, F.99)
где W — разность фаз мод, бегущих в противоположных направле-
направлениях, а — скорость вращения (равная Q), а 6 — коэффициент об-
обратного рассеяния. При а >6 фазовой синхронизации не происхо-
происходит. Однако в противоположном случае (a <zb) происходит фазовая
синхронизация, что препятствует измерению скорости вращения
(рис. 6.4). Существует ряд возможностей устранить последний эф-
эффект. Например, можно заставить систему вибрировать или бес-
беспорядочно колебаться.
6.8. Газовый лазер, одномодовый режим
Основное отличие газового лазера от твердотельного в том, как
движутся атомы газа. Координата одиночного атома теперь дается
выражением Хц+ v^ /, где х^ — координата атома ц в момент
времени t = 0, а v^ — его скорость. (Конечно, вследствие столкно-
столкновений атомы «перемещаются» внутри распределения по скоростям,
но на ансамбле атомов это не сказывается.) Будем считать, что воз-
возможны, любые углы 0^ между вектором поляризации моды све-
светового поля К и дипольным моментом атома ц. Таким образом,
константа взаимодействия g^ между модой X и атомом ц берется
в виде
Ян = ~y lexp Лххд + flcovO—к. с] cos 6^. F.100)
Суммирование по ц в соответствующих уравнениях производится
по координатам х^, по скоростям v^ (для которых принимается
максвелловское распределение) и по всем углам 6^.
Уравнения движения могут быть взяты теперь прямо из урав-
уравнений E.115) — E.117), которые относятся к неподвижным атомам,
если использовать «константу» связи F.100). Частота сор, должна
быть идентифицирована просто с центральной частотой соо покоя-
покоящегося атома. [Доплеровское уширение автоматически учитывается
явным представлением движения атома в выражении F.100).]
В области не слишком большого превышения над порогом ла-
лазерной генерации можно исключить атомные переменные с помощью
той же самой (в принципе) процедуры итерации, что и описанная
в разд. 6.4. Но из-за наличия временной зависимости g^ в выра-
выражении F.100) ее необходимо повторить шаг за шагом. Оставим вы-
выполнение этой процедуры читателю в качестве упражнения и просто
приведем результаты для частного случая одномодового режима
164 Глава 6
генерации. Заинтересованному читателю для рассмотрения двух-
и трехмодового режима рекомендую обратиться к моей книге «Тео-
«Теория лазера».
Приняв
b*(t) = B*exp\iQt], F.101)
получаем в том же самом приближении, что и в разд. 6.4,
l* + i(w — Q)]B*expliQt\ = lY;el(f)al(t), F.102)
где a* (t) имеет следующую структуру:
а; @ = В* ехр №\ {с+ exp [ikx^ (t)\ +c_exp [—ikx^ (*)]} +
+ пВ*exp[IQt] \d+ exp[ikx^{t)\ + cLexp[—ikx^t)]) +
+ f+ exp №X]l (t)] +L\- Шх„ (t)] +
-1- /+ exp [ikX]l (t)] + /- [exp \—ikX]l (*)]]. F.103)
причем c±> d±, f±, j± — комплексные константы, не зависящие
от пространства и времени, которые даются выражениями
с+ = ± -^- cos в =-± =^-, F.104а)
2 Q — ш0 — «V ± »
(Q — соо — ШцJ + v2 / t (Й — «о — 'V ± »ц)
F.1046)
t = -p rfolgl2gcosse(Y±tv)
2( A/Г ± 2Ю)
X = = = =— , F.104в)
[(Q — соJ — (Шц + iy)*] [Q — ш0 — iy ± Зсо]
.- = , rfo(Y±tv)cose^|glg
* 2i A/Г ± 2(ш)
X = = ! = = . F.104Г)
[(Q — со0J - (сор, =F iyJ] [Q — со0 — iy ±all]
Здесь (о0 — центральная частота атомного перехода, *д@ =
=^д + ^ и Мц = ^ц> где wn—компонента скорости атома ц
в аксиальном направлении и k = (k, 0, 0). Если умножить выра-
выражение F.103) на g*^ [формула F.102)] и просуммировать результат
умножения по координатам, то зависимости от времени с exp [ita^t]
и ехр [/3@^] исчезнут в силу взаимной ортогональности плоских
волн, и правая часть уравнения будет иметь ту же самую зависи-
зависимость от времени, что и 6* в соответствии с нашим предположением
Приложения полуклассической теории 165
F.101). Выполняя интегрирование по х и усреднение по в и пред-
предполагая симметричное распределение по скоростям W (сОц), а 'также
однородное пространственное распределение активных атомов,
получаем
(Q - со - ш0J + Y2
№4
5[(Q-co0-coJ + Y2]
-+- ——— \ = - =—:I— = = со (со) dw,
10 J A/Г-2ш)(й-со0 — ш — iyJ(Q-coo + <о+ «Y)
F.105)
где р — плотность атомов, а Л — величина, даваемая выражением
D.81). Члены, содержащие А, в первом интеграле возникают из-за
статического истощения возбужденных атомных состояний, тогда
как второй интеграл связан с временным откликом атомной си-
системы. В этом легче всего убедиться, проследив отдельные шаги
нашей итерационной процедуры.
Предполагая гауссово распределение по скоростям и используя
значения констант, типичные для Не—Ne-лазера, можно показать,
что последний интеграл в формуле F.105) на порядок величины
меньше первого и, следовательно, им можно пренебречь. Удержав
члены порядка у/а и разбив выражение F.105) на его действитель-
действительную и мнимые части, получим одно уравнение для плотности фо-
фотонов и одно — для сдвига частоты (а — полуширина гауссова
распределения).
/. Уравнение для плотности фотонов:
6a
откуда мы найдем плотность фотонов:
VI, F.106)
-G>o)VJ
Л МпорF)\/Л + *!___у F.107)
V do Л \ v + (И — шо) /
2, AT
Если построить график плотности фотонов как функции частоты,
то на кривой будет провал. Это объясняется тем, что атомы дви-
движутся в противоположных аксиальных направлениях. В резуль-
результате в неоднородно уширенной линии симметрично относительно
центра линии образуются два провала. Если же мы имеем дело с не-
неподвижными атомами, то такой двойной провал не возникает. Этот
провал, теоретически предсказанный независимо Хакеном и Зауэр-
маном, а также Лэмбом, называется провалом насыщения или лэм-
166 Глава 6
бовским провалом. Он играет фундаментальную роль в (нелиней-
(нелинейной) спектроскопии насыщения.
2. Уравнение для сдвига частоты:
с', F.108)
За
где А, б и Ф (б) — величины D.81), D.88) и F.37). Коэффициент с'
дается выражением
, A2pd0T -\/л Д2 / 1 Q — шо 16
2а V 10 -f + (Q — ш0J
— —V F.109)
5 а )
Сравним этот результат с выражением F.37) для случая неподвиж-
неподвижных атомов и единственного направления поляризации. Первый
член в правой части равенства F.108) равен соответствующему
члену в выражении F.37), если не считать множителя 1/3, который
возник как результат интегрирования по поляризации (только
треть атомов при усреднении участвует в лазерной генерации).
Этот член представляет зависящий от мощности эффект затягивания
частоты и возникает из-за доплеровской формы линии.
Для члена, пропорционального п, который обусловлен неза-
независящей от времени инверсией заселенностей атомов, наблюдается
следующее. Та часть коэффициента с', которую дает второй член
в больших скобках в выражении F.109), совпадает с полным вы-
выражением для С в формуле F.37), если не считать численного мно-
множителя, который тоже возник в результате интегрирования по
углам поляризации. Этот второй член в с' в общем случае, т. е. при
не слишком больших расстройках частоты (б < 1), намного меньше
первого члена, который описывает отталкивание частоты вследст-
вследствие существования двух провалов, образующихся в инверсии за-
заселенностей (заметим, что стоячая волна взаимодействует с атомами,
частоты которых сдвинуты на + kvu и — kvn). Отталкивание
частоты становится преобладающим, если мода настроена на центр
линии с точностью до естественной ширины. Подставляя выраже-
выражение F.107) для п в F.108), получаем в качестве окончательного ре-
результата сдвиг частоты
= o) — х
ПОр (б)
X —¦
2v2+(Q
«o.2. V F.110)
Приложения полуклассической теории 167
6.9. Вывод скоростных уравнений из
полуклассических лазерных уравнений
В гл. 4 мы ввели скоростные уравнения чисто феноменологически
и пообещали вывести их позднее из более фундаментальных урав-
уравнений. Представим этот вывод здесь, где станет более понятно, ка-
какие нужно сделать предположения, чтобы получить наши прежние
скоростные уравнения. Предположим, что лазерные уравнения до-
допускают решение для генерирующих мод в виде
6х = Б„ехр[~-1ВД F.111)
причем амплитуды Вх могут слабо зависеть от времени. Подставим
выражение F.111) в лазерные уравнения E.116) для атомных ди-
польных моментов и предположим, что инверсия заселенностей d^
не зависит от времени или зависит, но медленно изменяется. Тогда
точно так же способом, как и в разд. 6.4, получим
V
. F.112)
Подставим это выражение в уравнения для поля E.115) и умножим
полученные уравнения на b"v Добавим теперь к этим уравнениям
их комплексно-сопряженные и введем, как обычно, плотность фо-
фотонов
Сумма комплексно-сопряженных уравнений может быть записана
в следующей форме:
У У ( g^wj:
L-i ?-.i V — 1 (Qv — соц)
j
+ у
Рассмотрим более внимательно величины bx, b*v которые входят
в правую часть уравнения F.114). Если всюду выполняется ра-
равенство А/ = К, то мы будем использовать в правой части числа фо-
фотонов F.113), как в обычных скоростных уравнениях. Предполо-
Предположим теперь, что колебания К не синхронизованы по фазе. Вообра-
Вообразим, что мы усредняем по фазам обе части уравнения F.114), и пред-
предположим, что фазы некоррелированы. Тогда в правой части урав-
уравнения F.114) выпадут все величины, для которых %' Ф%. Таким
образом, сумма по К' выпадает и мы можем записать уравнение
F.114) в виде
<6Л15)
168 Глава 6
Здесь введена величина WX]i, которую можно найти путем сравне-
сравнения формул F.115) и F.114) и которая дается выражением
. F.116)
2 V '
^ (Q^-co^ + T2
Но это точно та самая скорость перехода, которую мы ввели в гл. 4
феноменологически. Единственная разница в том, что частоты мод
Qx являются действительными частотами генерирующих мод, а не
частотами мод незаполненного резонатора, как мы предполагали
ранее в гл. 4. Чтобы получить уравнения для инверсии заселенно-
стей, проведем вычисления аналогичным образом, а именно под-
подставим выражение F.112) в уравнения E.117) для инверсии и снова
предположим, что выполнено усреднение по фазам. Это сразу же
приводит к уравнениям:
F.117)
Немедленно обнаруживаем, что уравнения F.117) идентичны ра-
ранее введенным скоростным уравнениям. Все изложенное показы-
показывает, что скоростные уравнения можно получить, если пренебречь
фазовыми соотношениями между лазерными модами и если измене-
изменения инверсии и числа фотонов медленны по сравнению с колеба-
колебаниями на частоте генерации. Данное условие практически всегда
выполняется благодаря относительно высокой частоте атомного
перехода. Уравнения справедливы и при большом числе фотонов,
т. е. достаточно далеко от порога генерации. Уравнения, которые
мы только что вывели, носят более общий характер, нежели при-
приведенные в разд. 6.3 и 6.4, где мы вынуждены были ограничиться
режимами, не слишком далекими от порога генерации. К тому же
скоростные уравнения основаны на предположении об отсутствии
фазовых и частотных корреляций, а потому не позволяют рассмот-
рассмотреть целый ряд важных явлений.
СВЕРХКОРОТКИЕ ИМПУЛЬСЫ
7.1. Основные механизмы, активная
и пассивная синхронизация мод
Мы уже говорили о явлении синхронизации лазерных мод
в разд. 6.6. Посмотрим, что происходит, если синхронизовано боль-
большое число мод. Для начала не будем уточнять, какой конкретный
механизм приводит к синхронизации. Напомним, как мы вводили
отдельные моды. При выводе полуклассических уравнений для ла-
лазера мы разлагали напряженность электрического поля Е по ам-
амплитудам отдельных стоячих волн. Если предположить, как мы
обычно делали, что имеется только одно направление поляриза-
поляризации, то можно считать поле Е скалярным. При этом разложение
поля Е по модам имеет вид
?(*)=?ад. G.1)
Если говорить более точно, то нужно указать, что величины !?\
зависят также от пространственных координат:
Е% = Ек{х, t), например E^~smkkx. G.2)
Однако в данный момент нам важна временная зависимость ком-
комплексных амплитуд Ек, а их пространственная зависимость инте-
интересна в меньшей степени. Для простоты будем предполагать, что
все амплитуды имеют одинаковые модули, и, следовательно, можно
написать
?*,~exp[tcp,J. G.3)
Рассмотрим теперь два характерных случая.
/. Фазы фх распределены случайно. Следствием этого является
выполнение условия
Е^Еу = О (к Ф %') G.4)
(см. также упражнения). Исследуем выражение для интенсивности,
которое получается при усреднении по фазам:
Мы можем представить себе, например, что фазы случайно изме-
170
Глава 7
няются во времени, а мы усредняем интенсивность по какому-то
отрезку времени.
Подставив выражение G.1) в формулу G.5), получаем выраже-
выражение
G.6)
которое можно в соответствии с условием G.4) привести к виду
2Х@. G.7)
где мы использовали обозначение
h=\E^. G.8)
Если сумма G.1) содержит N мод, имеющих одинаковые интенсив-
интенсивности, то мы имеем
Окончательно получаем
/некорр = N\E0\2 (некоррелированные фазы). G.10)
Таким образом, полная интенсивность равна интенсивности одной
моды, умноженной на N.
-си-
-OJ-.
«г я., яп я, яг
Рис. 7.1. Эквидистантные частоты мод.
2. Коррелированные фазы и частоты. Будем предполагать, что
частоты соседних мод эквидистантны и мы можем написать ср^ = со^,
где
ш^со + Яш', Я = 0, ± 1, ±2, . . . G.11)
(рис. 7.1). При условии, что пространственный множитель является
константой, формула G.1) принимает вид
?коРР @ = ? ?„ exp [i (ш + Ясо') t\. G.12)
Индекс «корр» означает «коррелированные фазы», т. е. синхрони-
синхронизованные моды. Для удобства будем считать, что JV нечетно и что
суммирование в формуле G.12) производится по следующим ин-
индексам:
x=-JL=±, ш ш . , j,._JL=±. G.13)
Сверхкороткие импульсы
171
Сумма G.12) представляет собой геометрическую прогрессию и
легко вычисляется:
sin( Nw't\
V2 ;
G.14)
sin (— us't
\ 2
Если мы будем повторять все эти выкладки заново для случая бе-
¦ Elx.t)
t-x/c
Рис. 7.2. Напряженность поля Е, соответствующая выражению G.16) (мно-
(множитель exp [ш (t—х/с)] опущен).
гущих волн, то нам придется заменить выражение G.12) выраже-
выражением
@ = ??0 exP I*/—
я,
При этом окончательный результат примет вид
s\n(—N(u'(t — x/c)\
?коРР @ =¦- Ео ехр [ко (t—x/c)]
sin
Г— №'(^ — х,'с) )
G.15)
G.16)
Далее для простоты мы будем считать х ~ 0. При этом отношение
синусоидальных функций достигает максимума в моменты времени
т—целое.
G.17)
Максимальная интенсивность, отвечающая формуле G.16), состав-
составляет величину
/корр — I ^0 !2 Л^2 ¦ - yV/некорр, G.18)
т. е. максимальная интенсивность пропорциональна квадрату числа
мод. Таким образом, мы получили первый важный результат. При
172 Глава 7
наличии синхронизации мод интенсивность излучения сильно воз-
возрастает, причем тем больше, чем больше число синхронизованных
мод. На рис. 7.2 представлена зависимость отношения синусои-
синусоидальных функций из формулы G.16) от величины /—х/с. Экспо-
Экспоненту, стоящую в формуле G.16). перед синусоидальными функ-
функциями, мы не рассматриваем: она представляет собой быстро ос-
осциллирующую несущую, которая нас пока не интересует; интере-
интересует же нас огибающая. Как видно из графика, за очень интенсив-
интенсиви>0
Рис. 7.3. Связь между лазерными модами ?0 и Е1ш
ным импульсом следуют очень слабые. Ширина большого импульса
дается выражением
т=-^-, G.19)
которое легко получить из формулы G.16). Произведение
это частотный интервал, охватывающий частоты отдельных мод
[формулы G.11) — G.13) ]. Это произведение дает спектральную
ширину Дсо:
ЛГсо' = Дсо. G.20)
Из формулы G.19) видно, что длительность импульса, которая
может быть достигнута, обратно пропорциональна спектральной
ширине Лео. Можно подвести итог сказанному. Если моды синхро-
синхронизованы, то достигаются высокие значения максимальной интен-
интенсивности и малые длительности импульсов при условии, что синх-
синхронизовано достаточно большое число мод.
Теперь перейдем к вопросу о том, как добиться синхронизации
мод. Этот вопрос мы рассмотрим в два этапа. Сначала представим
некоторые качественные соображения, а в последующих разделах
изложим детальную теорию, относящуюся к «пассивной» синхрони-
синхронизации мод.
Приступим к качественному рассмотрению вопроса. Для этого
нам нужно будет ввести механизм, посредством которого частота со
и фаза ф лазерной моды Ео могут быть связаны с частотой (лх и фа-
Сверхкороткие импульсы
173
зой фх другой лазерной моды Ех. В частности требуется установить
частотное расстояние со' (рис. 7.3). Этого можно добиться путем
модуляции основной волны Ео частотой ш', в результате чего среди
боковых частот появится частота о^ = и + со'. Можно ожидать,
что полученная таким образом боковая частота окажется в резо-
резонансе с модой Е1 и поэтому будет влиять на поле Ег. Модуляцию
поля Ео можно осуществить путем модуляции потерь, вносимых
зеркалами. Примем, что коэффициент потерь имеет вид
K = K0\-y.1sm(i)'t. G-21)
Как мы уже знаем, в уравнениях для лазера есть члены вида
Е-%. G.22)
Если мы разложим поле Е на отдельные моды и выделим амплитуду
/
Зеркало
Активная Насыщающийся Зеркало
среда поглотитель
Рис. 7.4. Схема лазера с насыщающимся поглотителем^(просветляющимся
фильтром) для генерации сверхкоротких импульсов.
Ео, а также зависящую от частоты часть коэффициента потерь х
[формула G.21)], то получим схему
Eo(t) «I sin m't
I I G-23)
со j = со 4
Так возникает новая полевая мода с частотой col. Если имеется
мода резонатора как раз с такой частотой (coj), то будут возбуж-
возбуждаться ее вынужденные колебания, сфазированные с колебаниями
моды Ео. Точно так же мода ?\ может возбудить следующую моду
Ег в правильной фазе и т. д.
Другой возможный способ обеспечить связь между модами —
взять насыщающийся поглотитель (рис. 7.4). Насыщающийся по-
поглотитель помещают между активной средой и одним из зеркал.
Действие такого поглотителя можно представить себе следующим
образом. Рассмотрим ансамбль двухуровневых атомов (рис. 7.5).
Если направить на эту систему свет, возможны два разных слу-
174 Глава 7
чая в зависимости от интенсивности падающего света. Если излу-
излучение малоинтенсивное, то за счет поглощения лишь немногие
атомы перейдут из основного в возбужденное состояние и они снова
вернутся в основное. При этом в основном состоянии всегда будет
находиться много атомов. Если такой процесс является стационар-
стационарным, то цуги падающего света всегда будут встречать достаточное
количество атомов в основном состоянии, способных поглощать
свет.
Все происходит совершенно иначе в случае света большой ин-
интенсивности. В этом случае столь много атомов совершают пере-
переходы в возбужденное состояние, что для процессов поглощения не
остается достаточного количества свободных атомов. Кроме того,
ОПАДАЛ*-
Рис. 7.5. Действие насыщающегося поглотителя. Приходящая слева волна
падает на двухуровневые атомы (уровни изображены горизонтальными ли-
линиями), и часть атомов возбуждается.
падающее световое поле может усиливаться за счет вынужденного
испускания. Итак, мы видим, что при переходе от малых интенсив-
ностей к большим характер поглощения совершенно изменяется.
Точное выражение для коэффициента потерь х (/), I = \Е\2, легко
можно вывести из теории вынужденных переходов двухуровневого
атома. Для этого нужно только найти, как разность чисел заполне-
заполнения зависит от интенсивности падающего света /. Нетрудно полу-
получить
к(/)= *° ¦ G.24)
w 1 + р/
Эту зависимость можно изобразить кривой, представленной на
рис. 7.6; в соответствии с ней коэффициент потерь заметно умень-
уменьшается после того, как напряженность поля достигает критиче-
критического значения р-.1/2. В роли таких насыщающихся поглотителей
могут выступать органические красители.
Рассмотрим теперь, что происходит в лазере, изображенном на
рис. 7.4, благодаря наличию насыщающегося поглотителя. Будем
считать, что флуктуации интенсивности излучения создают цуг
волн с большой интенсивностью, неоднородной в пространстве.
Если этот цуг волн попадает на насыщающийся поглотитель, то те
участки цуга, интенсивность которых недостаточно велика, будут
поглощаться, а участки с достаточно большой интенсивностью прой-
пройдут через поглотитель. В результате крылья лазерного импульса
Сверхкороткие импульсы
175
будут вновь и вновь обрезаться (рис. 7.7) и световой импульс станет
короче и интенсивнее. Чтобы установить связь этой картины с мо-
модуляцией потерь, рассмотрим более внимательно импульс, «бегаю-
«бегающий» туда и обратно в резонаторе лазера. Обозначив через с' эф-
эффективную скорость света во всем устройстве, а через L — расстоя-
Рис. 7.6. График зависимости коэффициента потерь х от напряженности
поля Ео, соответствующий формуле G.24).
ние между зеркалами, мы можем для периода повторения импуль-
импульсов написать
tr = 2LlC. G.25)
Частота модуляции, нужная для образования крыльев импульса,
дается выражением
(nM = 2n/t1. G.26)
Предположим теперь, что мы разложили импульс по отдельным
стационарным лазерным модам с частотами cov Тогда взаимодейст-
взаимодействие каждой из мод с поглотителем создаст новые частоты, которые
отличаются от основной частоты со^ на величину, кратную частоте
Рис. 7.7. Действие насыщающегося поглотителя. Он отрезает участки им-
импульса, где интенсивность низка.
176
Глава 7
G.26). Вместе с тем разности частот аксиальных мод в лазере тоже
даются выражениями G.26) и G.25) (вспомним, что в промежутке
между двумя зеркалами должно укладываться целое число полу-
полуволн лазерного излучения). Таким образом, частоты, возникающие
при модуляции, попадают в резонанс с соседними модами, так что
частоты могут очень эффективно взаимодействовать (этому резо-
резонансу препятствуют, впрочем, различные уходы частоты, связан-
связанные с процессом лазерной генерации — см. ниже).
Третий пример связи между модами известен нам из того, что
было, рассмотрено в разд. 6.6. Там связь между модами обеспечи-
обеспечивалась нелинейной поляризацией. Вклады, обусловленные поля-
-со
CV-,
<-Оп
CV, OJ
Рис. 7.8. Связь между модами ft)-i, coo и at.
ризацией, приводят к нелинейным членам в уравнениях F.69) и
в общем случае имеют вид
Р ~ F F F* G 07\
Мы опять разберемся на примере в том, как устанавливается син-
синхронизация мод (рис. 7.8). Будем рассматривать выражение G.27)
как вынуждающую силу, действующую на моду. Тогда получим
схему
Е
G.28)
В реальных ситуациях взаимодействуют не три моды, а целый на-
набор мод. При этом возникает возможность пульсаций в лазерах,
к которой приводит синхронизация мод, если накачка достаточно
велика.
""ТМожно описать единым образом три случая, а именно внешнюю
модуляцию потерь, насыщающийся поглотитель и модуляцию уси-
усиления, возникающую из-за нелинейной поляризации. Чтобы сде-
сделать это, рассмотрим две моды с амплитудами 6„ и &1( причем мода
Сверхкороткие импульсы 177
60 будет считаться основной, с которой связывается мода 1. Урав-
Уравнения движения для моды 1 можно написать в виде
G.29)
В этой формуле ft>i — частота моды 1, а х0 — ее потери (без моду-
модуляции потерь). Величина G1 описывает насыщенное усиление. До-
Дополнительный член Z описывает эффект синхронизации мод и за-
зависит от того, какой механизм мы рассматриваем. Для различных
механизмов мы будем использовать следующие выражения:
а) модуляция потерь (активная синхронизация мод)
Z = x1(sinw'06o; G.30)
б) нелинейная поляризация (пассивная синхронизация мод)
Z = a(b*_xb0)b0; G.31)
в) внутренняя модуляция, т. е. насыщающийся поглотитель (пас-
(пассивная синхронизация мод),
G>32)
Полная интенсивность всех мод / берется в виде
/ = |2М^ехр[;М12- - G.33)
Упражнение к разд. 7.1
Выведите равенство G.4).
Указание. Среднее по фазам дается формулой
x (Ф) Ev (Ф')-
7.2. Основные уравнения для лазера
с режимом пульсаций
Продолжим тему, начатую в предыдущем разделе, где мы рассмат-
рассматривали вопрос о том, как механизмы синхронизации приводят
к коротким лазерным импульсам. Здесь мы сосредоточим внимание
на лазере, в котором режим пульсаций возникает спонтанно, т. е.
в отсутствие внешней модуляции (например, модуляции пропуска-
пропускания зеркал). Получение сверхкоротких импульсов в кольцевом
лазере с однородно уширенной линией атомного перехода сначала
было предсказано теоретически. Пульсации были обнаружены
и экспериментально, но в случае неоднородно уширенной линии.
Чтобы пояснить основные механизмы и способ их описания,
мы представим здесь теорию возникновения сверхкоротких импуль-
178 Глава 7
сов в лазере с однородно уширенной линией. Затем наметим воз-
возможные обобщения теории.
Большая часть результатов последующего анализа будет при-
приведена в разд. 7.6, так что читатель, которому неинтересны матема-
математические подробности, может пропустить их. Наше рассмотрение
будет основываться на уравнениях E.102), E.103) и E.105) для
медленно меняющихся амплитуд Е<+> и Р<+>напряженности электро-
электромагнитного поля и поляризации, соответственно, описывающих
модулированные бегущие волны в кольцевом резонаторе, и для
плотности инверсии D. Мы предполагаем, что накачка достаточно
велика и, следовательно, достигается по крайней мере первый по-
порог генерации. Соответствующее стационарное решение будем обо-
обозначать символами Е[+>.тац Р^+С'тац и О„^. Для простоты мы счи-
считаем, что величины Е, Р и д21 имеют одинаковую поляризацию,
и направление ее перпендикулярно направлению распространения
(т. е. оси х).
Формулы можно несколько упростить, если ввести нормирован-
нормированные величины
G.34)
G.35)
G.36)
и новый параметр накачки
A = (D0—DCT.u)/DCTail. G.37)
Величина Дстац — это пороговое значение инверсии. Далее, вве-
введем обозначение \1Т = у. Несложные выкладки (см. упражнение)
приводят уравнения E.102), E.103) и E.105) к виду
\Л- + с^- + к)Ё-яР, G.38)
[ dt дх )
+ y}^yED, G.39)
|| /2. G.40)
Разумеется, значения
E = P=rD=l G.41)
являются стационарным решением этой системы уравнений. Метод,
которым мы будем находить импульсные решения этих уравнений,
приложим и к другим задачам лазерной физики, а потому сначала
Сверхкороткие импульсы 179
мы изложим его в общей форме. И только на следующем этапе мы
применим данный метод для изучения частного случая: кольцевого
лазера с однородно уширенной линией.
Упражнение к разд. 7.2
Решите уравнения E.102), E.103) и E.105) при условии dE^ldt =
= dPi+Vdt = dDldt = 0. Преобразуйте уравнения E.102), E.103)
и E.105) к виду G.38) — G.40), используя формулы G.34) — G.37),
а также выражения для величин ?'^+с)та и др., которые только что
найдены.
7.3. Общий метод исследования
нестационарного решения вблизи
точек неустойчивости
Рассмотрим систему, которая описывается зависящим от коорди-
координаты и от времени вектором состояния U (х, t). Для простоты огра-
ограничимся одномерным случаем. Поскольку в дальнейшем мы наме-
намереваемся решать систему G.38) — G.40), вектор состояния должен
быть таким:
( Ё(х, t) \
\](х, 0= Р(х, 0 • G.42)
V D(x, t) )
Для простоты будем считать величины Е и Р скалярными, хотя
метод пригоден и в том случае, когда они векторные. Допустим,
что вектор состояния U удовлетворяет системе дифференциальных
уравнений, которые мы напишем в общем виде
^L = G(U, дх, А). G.43)
от
Здесь G — нелинейная функция вектора U, которая может содер-
содержать его производные по пространственной координате. Величина
д —. это параметр, контролируемый извне, например путем изме-
изменения подводимой энергии. Конкретным примером системы диффе-
дифференциальных уравнений G.43) могут служить уравнения G.38) —
G.40). Используем далее обозначение
дх = д/дх. G.44)
Теперь рассмотрим следующую ситуацию. Допустим, что при не-
некотором значении Л мы нашли решение системы G.43), которое
не зависит ни от времени, ни от координаты. Это решение мы обо-
180 Глава 7
значим через Uo. Система G.38) — G.40) дает нам такой пример,
потому что мы знаем решение
( ' 1
Ио= 1 • G.45)
V 1 /
Метод, который мы хотим изложить, обобщается также и на слу-
случай, когда вектор Uo изменяется и в пространстве и во времени,
причем х — трехмерный вектор. Этот случай читатель может изу-
изучить по книге [8.6]. На многих примерах, приводимых в данной
книге, мы убедимся, что решение может стать неустойчивым, если
изменится управляющий параметр Л (например, мощность на-
накачки). Чтобы исследовать решение на устойчивость, положим
U (a;, t) = V0 + q(x, t). G.46)
Подставляя выражение G.46) в систему G.43), получаем уравнение
для функции q:
^L§JL = К (Л, дх) q (х, t) + N (Л, q). G.47)
at
Здесь мы разбили правую часть на линейный член /Cq и нелиней-
нелинейный член N. Если в исходном уравнении функция G не содержит
более высоких степеней LJ, чем вторая, то функция N тоже будет
второго порядка. Запишем разложение для компонент функции N
в виде
tf, (Л, qHX^o^o- G.48)
Прежде всего мы хотим исследовать устойчивость решения LJ0.
Для этого линеаризуем уравнение G.47). Если обозначить решение
линеаризованного уравнения через w, то уравнение, которое нам
предстоит исследовать, можно записать в виде
at
Можно показать, что в самом общем случае его решение должно
иметь вид
w(jc, t) = exp [pi] v (*). G.50)
В дальнейшем мы ограничимся задачей с периодическими гранич-
граничными условиями и будем требовать, чтобы выполнялось равенство
v/(x + L, t) = w(x, t). G.51)
Тогда функцию v (x) можно взять в виде
G.52)
Сверхкороткие импульсы 18'
причем величина k должна удовлетворять условию
exp\ikL] = l. G.53)
Множитель \I-\JL служит для нормировки функции на отрезке,
равном ее периоду, а множитель О — это постоянный вектор, ко-
который нужно определить. Подставляя выражения G.50) и G.52)
в уравнение G.49), мы можем сразу же выполнить дифференциро-
дифференцирование, обозначенное символом дх. С учетом равенства
дх exp [ikx] = ik exp \ikx\ G.54)
получаем
К (A, dx)exp[ikx] = K(A, ik) exp [ikx]. G.55)
В уравнении, в которое перейдет G.49), нужно будет выделить экс-
экспоненты exp [fit] и exp [ikx], после чего мы получим просто систему
алгебраических уравнений, в которой функция К будет уже чис-
числовой матрицей, a f> будет играть роль собственного значе-
значения. Чтобы найти нетривиальные решения уравнения
рО = К(Л, ik)O, G.56)
нужно определить собственные значения |3. Матрица К содержит
параметр k, так что собственные значения зависят от k. Система
алгебраических уравнений G.56) имеет ряд собственных значений
Р,-, / = 1, . . . , т, так что мы для них вводим обозначение $j (k).
От того же индекса и от того же параметра зависит и решение О,
а поэтому мы будем писать
G.57)
С использованием этих обозначений решение G.50) можно предста-
представить в виде
w(x, t) = exp$,(k)t]\k'i(x). G.58)
Предположим далее, что существуют собственные векторы, кото-
которые умножаются на оператор К слева, т. е. удовлетворяют системе
уравнений:
Ol(k)K = h{k)Ol(k). G.59)
Мы будем считать, что «левые» собственные вектора и «правые» соб-
собственные вектора образуют ортонормированную систему, т. е. что
выполняется равенство
O'(k) О'(?)==? 6С (k)O'v (k) == 6ц. G.6J)
182 Глава 7
Чтобы решить исходные нелинейные уравнения G.47), разложим
искомое решение по полному набору собственных векторов, кото-
которые задаются формулой G.58), т. е. напишем сумму
q(*. *)=??*-/(ОvM(*), G.61)
*./
в которой амплитуды % (t) пока не известны. Подставив выражение
G.61) в левую часть уравнения G.47), получим
^ik.(t)vf(x). . G.62)
*¦/
Для линейного члена в правой части уравнения G.47) получаем
выражение
Е^/ЕК«'(Л- **К''(*). G-63)
которое можно, пользуясь формулами G.56) и G.57), преобразо-
преобразовать к виду
fe)?Mit'(*). G.64)
Нелинейные члены G.48) принимают вид
ц.а к', Г к", Г
Приравнивая выражение G.62) сумме величин G.64) и G.65), по-
получаем уравнения для неизвестных амплитуд ?t>/- (t). Чтобы эти
уравнения представить в более удобной форме, мы умножим их
слева на векторы
0{(fc)exp[—ikx]. G.66)
Затем просуммируем их по индексу / и проинтегрируем по про-
пространству от х = 0 до х = L:
^ J ... их. G.67)
; о
В силу условия взаимной ортогональности экспонент, которое
можно выразить формулой
\exp[ikx + ikx]dx 6kk \ = k' G.68)
L Ъ 1 0 при k=?k',
с учетом равенства G.60) получаем
**./=?/(*)**.,+ Z $к'.А'.гакк'к'>,,П'^к-к- G-69)
Сверхкороткие импульсы 183
Здесь мы использовали обозначения
<W.иг = Z ё^Щ (к) ОГ (V) ОГ (k"), G.70)
1ЦСТ
0
В общем случае замена переменных, конечно, не может решить за-
задачу. Однако в данном случае замена может привести к существен-
существенным упрощениям. Для этого нужно прежде всего выделить устой-
устойчивые и неустойчивые моды. Мы будем называть моду /, k устой-
устойчивой, если ее собственное значение р/ (k) имеет отрицательную
действительную часть. В таком случае малое возмущение будет
затухать и система будет возвращаться в исходное состояние; в слу-
случае лазера, например, система будет возвращаться к решению
/ 1
1
V 1
Какое-либо новое состояние, например режим пульсаций, может
возникнуть только в том случае, если хотя бы у одного собствен-
собственного значения действительная часть положительна. Мода /, k на-
называется неустойчивой, если действительная часть величины Р/ (k)
положительна (или равна нулю).
Далее мы увидим, что в случае кольцевого лазера действитель-
действительная часть величины ру- (k) может стать положительной, если на-
накачка будет достаточно большой. Такая точка неустойчивости до-
достигается только при определенном волновом числе (см. далее
рис. 7.9). Волновое число, при котором первый раз достигается
неустойчивость, мы будем обозначать через кс. Собственные значе-
значения р мы будем нумеровать таким образом, чтобы эта неустойчи-
неустойчивость появлялась при / = 1. Пару значений (k — kc, j — 1) обо-
обозначим индексом и, имея в виду неустойчивость (unstable). Предпо-
Предполагая далее, что все остальные величины р имеют отрицательные
действительные части, т. е. все остальные моды устойчивы (stable),
мы будем использовать обозначения
В нашем общем рассмотрении мы не должны ограничиваться
случаем одной неустойчивой моды; допустим, что существует не-
несколько таких мод, и будем различать их индексом и. Введя эти
новые обозначения и и s, мы можем переписать систему уравнений
G.69) по-новому:
dljdt = РА + Z Cuuj«tu, + Z СииАЬ + Z Cuss?ish> <7-72)
и,, и~
184 Глава 7
причем здесь величины ahk'k"jn"Jkk'k" обозначены через CUUlll2,
Cuu<s или CUSSl в зависимости от входящих в них комби-
комбинаций индексов k', ']' и т. д. Таким образом, неустойчивые моды
оказываются связанными с устойчивыми. Во многих реальных слу-
случаях величины Cuu,Uj обращаются в нуль в соответствии с пра-
правилами отбора. Для простоты соответствующую сумму в G.72) мы
будем опускать. Рассмотрение более общего случая можно найти
в литературе.
В свою очередь устойчивые моды удовлетворяют уравнениям
вида
dljdt = Р& + ? CsuulalUi + ? CSUS[ 6^ +. ? CssJslS2, G.73)
и, и, и, s, ,, s,
где введены обозначения С для величин а ... J . . . в соответствии
с разными комбинациями индексов k'', /', .... Отметим одно важ-
важное обстоятельство. Термины «устойчивый» и «неустойчивый» от-
относятся к линейным исследованиям на устойчивость, но здесь мы
имеем дело с нелинейными исследованиями и увидим, что «неустой-
«неустойчивые» моды стабилизируются из-за связи с «устойчивыми», которые
в свою очередь связаны с «неустойчивыми». В дальнейшем мы ука-
укажем метод, с помощью которого можно «устойчивые» моды исклю-
исключить и прийти к уравнениям для одних только «неустойчивых» мод.
В определенном смысле эта процедура подобна изложенной в
разд. 6.3 и 6.4, где мы исключали атомные переменные и приходили
к уравнениям, содержащим только полевые моды. Основное раз-
различие между настоящей процедурой и той прежней заключается
в следующем. В прежнем случае константы затухания и, у, \1Т
были непосредственно видны, а теперь константы затухания воз-
возникают как собственные значения р линеаризованной задачи. Ам-
Амплитуды мод 1и будем называть параметрами порядка. Можно
показать, что параметры порядка могут служить параметрами ма-
малости, если только мы не слишком далеко ушли за точку неустой-
неустойчивости. Несложным путем можно убедиться, что амплитуды устой-
устойчивых мод по крайней мере на порядок меньше амплитуд |„. Это
приводит нас к следующей итерационной процедуре. Мы хотим
выразить |s через |и. В низшем приближении уравнения G.73) при-
принимают вид
и, ы,
Формальное решение уравнения G.74) дается выражением
и, и,
Чтобы найти оператор, обратный оператору, заключенному в
скобки, представим параметры порядка в виде
|„ = К@ехр(Ы). G.76)
Сверхкороткие импульсы 185
причем мы здесь предвидим, что параметры порядка будут осцилли-
осциллировать с частотой, которая приближенно определяется из условия
(ои=1т(ри). G.77)
Мы предположим, что вблизи точки перехода функцию R (f) можно
приближенно считать постоянной в сравнении с осциллирующей
экспонентой. Это позволит нам произвести следующую замену
оператора dldt в формуле G.75):
. G.78)
После этого мы можем вместо формулы G.75) написать
?=Е1«(®.+»Л)-Р.]-1сЮВ1МВ1- G-79)
и, ы,
Этот метод мы будем называть «адиабатическим приближением».
В нашем рассмотрении мы пользуемся неперенормированными ча-
частотами со в соответствии с формулой G.77). Однако метод можно
обобщить и на такой случай, когда учитываются сдвиги частоты
[8.6]. Отметим, что, как явствует из выражений G.75) и G.78),
наш метод не включает в рассмотрение нестационарные процессы,
для которых характерны более короткие времена, чем 1/соц. Если
мы подставим выражение G.79) в правую часть уравнения G.72),
то получим члены третьего порядка ?;„:
iu=Uu-4- G-80)
Во многих практически интересных случаях, например при до-
достижении первого порога генерации, когда включается «обычное»
действие лазера, кубический член оказывается отрицательным,
так что достигается стабилизация состояния всей системы. Мы ви-
видели, что это не обязательно должно иметь место, когда возникают
сверхкороткие импульсы, а потому нам нужно будет продвинуться
на два порядка дальше, и мы сейчас вкратце опишем дальнейшие
шаги. В низшем приближении мы рассматривали уравнение G.74),
решение которого в адиабатическом приближении давалось фор-
формулой G.79).
На следующем шаге в своих приближенных вычислениях мы
включаем это решение в уравнение G.73), которое в приближении
первого порядка можно записать в виде
\dldt~ p.] U» = X CsuututUi + ? Csaslul@). G.81)
и, и, a, s,
В адиабатическом приближении решение уравнения G.81) дается
формулой
186 Глава 7
Константы Г даются выражением
Гй,,,- К„в -Ps]-'CsUS, K,u - P.,l-'CJlBlB,. G.83)
где использовано обозначение
(ов«Л... в„ = Im (Р„ + PBl + Pu2 + • - • Рв„). G.84)
Подставив выражение G.82) в G.72), получим замкнутую систему
уравнений, в которой неизвестными будут только параметры по-
порядка ?„.] Поскольку окончательный результат оказывается до-
довольно громоздким, мы оставляем его вывод читателю для упраж-
упражнений. В случае же когда имеется только один комплексный пара-
параметр порядка, окончательное уравнение имеет вид
\dldt^u]lu = B\tu\4u + C\lu\4u. G.85)
Нетрудно убедиться, что решение этого нелинейного уравнения
можно исследовать, пользуясь аналогией с потенциалом, как это
делалось в разд. 6.3. Мы вернемся к этому вопросу, когда займемся
лазером.
7.4. Возникновение сверхкоротких импульсов:
линейный анализ устойчивости
Будем исходить из уравнений G.38) — G.40). Чтобы еще больше
упростить их, произведем масштабное преобразование пространст-
пространственной и временной координат
Затем всюду в уравнениях опустим «шляпку», и система, которую
нам предстоит исследовать, будет иметь вид
i"+ y)D=
G.88)
V dt
Напомним читателю, что эти уравнения написаны для нормирован-
нормированных величин и что накачка предполагается достаточно большой,
по крайней мере настолько, чтобы осуществлялась обычная гене-
генерация. Стационарное решение имеет вид
E = p = D = \. G.89)
Далее мы будем изучать такие импульсные решения, в которых
фазы величин Е и Р не изменяются, а поэтому можно будет просто
Сверхкороткие импульсы 187
считать ? и Р действительными величинами. Как было сказано
в предыдущем разделе, прежде всего мы должны исследовать за-
задачу на устойчивость. Для этого введем обозначения
(?, D, P) = (l+e, \+d, 1-fp), G.90)
причем вектор d будет играть роль вектора q. Коэффициенты
при нелинейных членах принимают вид
gvna --= — уЛбу2, (б^з + бд3601)/2 + 6v3 Fщ6о2 + б^хб^/г. G.91)
Кроме того, имеем
[cdldxA-v, 0 —х \
уЛ у ТЛ . G.92)
—1—1 I /
(Если принять зависимость
(е, d, p)~exp(^ + ib/c], G.93)
то вместо дифференциальных уравнений, соответствующих линеа-
линеаризованной задаче, получим систему алгебраических уравнений.
Определитель системы должен обращаться в нуль:
M-x 0 —х
G.94)
-1 -1 р+1
Отсюда получаем характеристическое уравнение
+ iky A + Л) 4- 2хуЛ = 0. G.95)
При заданном k это уравнение имеет три в общем случае различ-
различных решения, которые можно снабдить индексами / -— 1, 2, 3. Под-
Подробное исследование решений уравнения G.95) довольно трудо-
трудоемко. Поэтому мы представим только самые важные результаты.
Если потери резонатора малы,
x<l+Y- G.96)
то неустойчивость возникает при условии, что интенсивность на-
накачки Л превышает величину Лс. Эта критическая величина" дается
формулой
Y)]1/2. G-97)
188
Глава 7
Если это условие выполнено, то существует область значений вол-
волновых чисел k, при которых одно из трех собственных значений р
имеет положительную действительную часть. Мы будем называть
критической точкой то значение k, при котором первое собственное
значение касается мнимой оси. Соответствующее критическое собст-
собственное значение выражается формулой
рс -= i [у (ЗЛС—у)/2|1/2 G.98)
Расположение различных собственных значений на комплексной
плоскости схематически представлено на рис. 7.9. Отдельные точки
на каждой кривой различаются параметром k. Заметим, что зна-
flmlp)
Рнс. 7.9. Положение собственных значений E на комплексной плоскости
в случае резонатора с высокой добротностью (т. е. прн х <1 + v в обозна-
обозначениях данного раздела). Точки на каждой кривой отвечают различным зна-
значениям волнового числа k, которое изменяется от — оо до -J- оо. Ветви 1
и 2 относятся к модам с затухающими амплитудами (устойчивым модам),
а ветви 4 и 5 — к модам с затухающими фазами. Ветвь 3 соответствует модам,
которые становятся неустойчивыми, когда она заходит за мнимую ось. От-
Отдельные точки на каждой кривой характеризуются параметром k, так что
неустойчивость возникает прн конечном значении k.
чения k должны удовлетворять условию k = nn/L (где п — целое
число, a L — длина кольцевого резонатора), чтобы функция
exp [ikx] была увязана с резонатором. Ветви 1 и 2 соответствуют
устойчивым модам, а ветвь 3 — область, в которой моды могут
стать неустойчивыми, поскольку у числа р появится положитель-
положительная действительная часть. Значение k = 0 соответствует пересе-
пересечению этой ветви с действительной осью. При k -> — оо собствен-
собственные значения смещаются в сторону положительных мнимых ча-
частей, а при k -*¦ -г °° в сторону отрицательных мнимых частей.
Чтобы была достигнута неустойчивость стационарного решения,
Сверхкороткие импульсы
189
волновой вектор должен попасть в область неустойчивости. Устой-
Устойчивые ветви 1 и 2 не обнаруживают сильной зависимости от k, их
действительные части, очевидно, значительно меньше отрицатель-
отрицательных действительных частей неустойчивых собственных значений.
Если поля Е и Р являются комплексными и если исследуется их
устойчивость, то мы получаем ветви 4 и 5 для их фаз. При этом
ветвь 5 оказывается сильно затухающей, а ветвь 4 при k = 0 про-
Re(p)
Рис. 7.10. Положение собственных значений E на комплексной плоскости
в случае резонатора с низкой добротностью (т. е. прн х >1 + у в обозначе-
обозначениях данного раздела). Точки на каждой кривой отвечают различным зна-
значениям волнового числа k, которое изменяется от — оо до + оо. Там, где
ветви 1 н 2 заходят за мнимую ось, они отвечают неустойчивым модам. Можно
показать, что первое пересечение происходит при к = 0. Ветви 1 и 2 содер-
содержат, конечно, н затухающие моды при значениях кФО. Ветвь 5 связана с фа-
фазовой модой; эту моду можно не учитывать в нелинейном анализе, поскольку
фаза остается неизменной. Ветвн 3 н 4 относятся к модам с затухающими ам-
амплитудами (устойчивым модам).
ходит через начало координат. Соответствующая мода является
«маргинальной». Эти ветви не зависят от накачки Л. Поскольку
можно ограничиться исследованием действительных полей, мы не
будем рассматривать в дальнейшем ветви 4 и 5.
Собственные значения при и >1 -f- у. Для полноты картины
отметим, что при к >1 + V устойчивые и неустойчивые ветви,
показанные на рис. 7.9, меняются ролями (рис. 7.10). В то время,
как ветвь 3 уходит влево, бывшие прежде устойчивыми ветви 1 и 2
движутся к мнимой оси, и (при условии, что накачка достаточно
велика) у них могут даже появиться участки с положительной
действительной частью. Ветви 4 и 5 обнаруживают сходное пове-
поведение, но при к >1 + у они по-прежнему несущественны. Неустой-
Неустойчивость возникает сначала при значении k ф 0, но путем выбора
190 Глава 7
длины резонатора это значение k можно исключить, что так прежде
всего будет появляться неустойчивость моды с k = 0. В таком слу-
случае будут возникать поля, однородные в пространстве, но с хаоти-
хаотическими осцилляциями ва времени. Это явление мы рассмотрим
в гл. 8.
7.5. Возникновение сверхкоротких импульсов:
нелинейный анализ
В предыдущем разделе мы показали, что при достаточно больших
накачках стационарное решение становится неустойчивым и можно
ожидать решения нового типа. Чтобы найти это решение, мы про-
проведем нелинейный анализ с помощью метода, представленного в
разд. 7.3. В качестве примера рассмотрим случай резонатора с вы-
высокой добротностью, т. е. случай, когда к <1 + Y- Далее предпо-
предположим, что только собственные значения Р,- (k), где j = и (неустой-
(неустойчивость), k = ± kc, пересекают мнимую ось (см. рис. 7.9) и что
в резонаторе находится только один импульс. Кроме того, для
простоты примем, что длина резонатора выбирается таким образом,
чтобы неустойчивость возникала при наименьшем возможном зна-
значении параметра накачки [определяемом формулой G.97)].
Введем для параметров порядка (т. е. амплитуд неустойчивых
мод) обозначения
%kc, и И %,-kc, и-
Соответствующие им собственные векторы О будем обозначать сим-
символами
Ou(kc) и Ou(-kc).
Поскольку поля действительны, должны выполняться соотношения
Р —р*
6-* . и — Ч , и'
G.99)
Из-за наличия множителя Jkk'k" в выражении G.69) амплитуды
подчиненных мод будут иметь волновые векторы k, которые кратны
kc: k = nkc. Индекс s пробегает все значения, отвечающие устой-
устойчивым модам (см. рис. 7.9). С учетом всех этих замечаний мы можем
представить искомое решение для Е, Р, D
G.100)
Сверхкороткие импульсы 191
в виде
1 \
1
1
c, и (О ОЫ (fce) exp [ikcx\ -~ + к. с. 4-
vr
1
-f- ? &«.«(')О»(nk)exp [inkcx]. G.100a)
s, п
Здесь использовано разложение вида G.61). Индекс s принимает
значения, соответствующие всевозможным устойчивым модам с дан-
данным волновым числом nkc- Если величины О, Ъ,и и ?s известны, то
мы можем сразу найти пространственно-временную зависимость
функций Е, Р, D. Как мы уже знаем из разд. 7.3, величины %к> s
можно выразить через \k, и. Таким образом, нас интересует урав-
уравнение только для величины \к, и. Мы увидим, что для нее можно
получить уравнение вида
1=№ + А1\1\г + В1\%\\ G.101)
где Ъкс,и==Ъ. Это уравнение позволит нам определить и стацио-
стационарное состояние ? = ?0) и даже переходные процессы % = | (t),
так что мы сможем найти как стационарные импульсы, так и режим
их установления. Если читатель торопится, он может отсюда пе-
перейти прямо к разд. 7.6. Те же читатели, которые хотят ознако-
ознакомиться с подробным выводом уравнения G.101), должны продол-
продолжить чтение данного раздела. Далее мы упростим обозначения,
произведя замену
&*.«-»-?, G.Ю2)
G.103)
Коэффициенты в формулах G.72) и G.73), определяемые соотноше-
соотношениями G.70) и G.71), мы снабдим индексами, которые будут ука-
указывать на соответствующие волновые векторы. Наша цель состоит
в том, чтобы исключить устойчивые моды с помощью итерационной
процедуры, изложенной в разд. 7.3. В низшем порядке нашего
разложения следует оставить только устойчивые моды, отвечаю-
отвечающие волновым числам ks = 0 и ks = 2k, так' как только колебания
этих двух типов мод возбуждаются параметром порядка
j6l2. G-Ю4)
Cj««K. G.105)
Уравнения G.104) и G.105) были получены методом адиабатиче-
адиабатического исключения (см. разд. 7.3). Выражения G.104) и G.105) можно
192 Глава 7
теперь подставить в уравнение для параметра порядка ?, в резуль-
результате чего возникнет нелинейность третьего порядка. Поскольку
при определенных условиях коэффициент при члене ? |||2 оказы-
оказывается положительным, устойчивость не обеспечивается, и мы
должны рассматривать более высокую степень нелинейности.
Прежде чем переходить к такому приближению, введем еще одно
обозначение, а именно
Ou(kc)^O. G.106)
Заметим, что при этом получаем
О"(—kc)-+O*. G.107)
Из формул для | и |s разд. 7.3 можно усмотреть, что собственные
векторы О всегда появляются в комбинации О-?, тогда как для
величин, полученных путем итераций, всегда имеем ?s = . . . О-
Поэтому для удобства введем обозначение
* pv И = Е Н«- Ps (mfe)]-4 ("ik) б» (mfe)- <7-108)
s
Первый сомножитель под знаком суммы возникает в ходе исполь-
использования адиабатического приближения. Введенные обозначения не
только упрощают выкладки, сокращая запись, но и позволяют
самым простым способом вычислить величину к (см. ниже). Правая
часть равенства G.108) содержит сумму операторов проектирова-
проектирования 00. В силу условия полноты системы собственных векторов
00, т. е. (в обозначениях разд. 7.3) в силу равенства
?0/(^N/^) = 8^, G.109)
мы можем при т Ф 1 написать
К (m)=[mpB/-(-#(*, mk)\-\ G.110)
где / — единичная матрица
1** = К- G.111)
Оператор K\(tnk) можно найти, произведя в формуле G.92)
замену д/дх-*- imk. Имея уравнение G.110), мы можем не решать
задачу на собственные значения для каждого волнового вектора.
Достаточно лишь найти обратную матрицу третьего порядка, ко-
которая стоит в формуле G.110). Собственные векторы и собственные
значения должны вычисляться только при т = 1, а сумму G.108)
нужно вычислять по устойчивым модам. Введем, наконец, обозна-
обозначения
аО;Оа, G.112)
Сверхкороткие импульсы 193
GpB) = 2KpvB)gv^O|X00. G.113)
vpio
После этих замечаний вернемся к нашей исходной задаче, а именно
продвинемся еще на один шаг в наших приближениях. Для этого
предположим, что мы подставили в уравнение G.73) низшее при-
приближение для устойчивых мод. При этом нетрудно увидеть, что
в игру вступают еще два набора мод, а именно моды, описываемые
уравнениями
ps (ft)] lk>. = 2Сде0, Si -f 2C-; 2?%k, _ =
= IЩ (ft)gvix0 [O& @) + O;Ga B)] 11 \4, G.114)
\dldt~ p,Cft)] ЕЛ, = 2СГ.^2Л> s = J] 20^ Cft) 8щир,рвB) БЙ. G.115)
vn<r
Моды, соответствующие волновым числам ks ~ 0 и ks — 2k, ос-
остаются на этом итерационном шаге неизменными вследствие пра-
правил отбора по k. Нужно подставить соответствующие выражения
в уравнения G.114) и G.115) и после этого решить G.114) и G.115)
относительно устойчивых мод.
По аналогии с G.112) и G.113) введем величины
Gp C) = 2 ? Kpv (Vg^Ga B). G.117)
vpio
Учет устойчивых мод с точностью до первого порядка итераций
означает, что мы можем ограничиться рассмотрением мод с волно-
волновыми числами, не превышающими ks = 3k. Тогда уравнение для
параметра порядка будет иметь вид
\dldt~ р.] 6 = ? 2OvgWZ [°Л (°) Н»., + 0;0>а Bk)l42k,. +
°) s*. л. s,+0s;
В правую часть мы должны теперь подставить выражения G.104),
G.105) и G.114), G.115) для устойчивых мод. После этого мы полу-
получаем окончательное уравнение для параметра порядка
№. G.119)
194 Глава 7
Коэффициенты Этого уравнения даются выражениями
В = Z 2^с [°Л @) + O;Ga B)], G.120)
С = Е Ч^а L^(l) Ga @) + G; A) G0 B) + G; B) G0 C)]. G.121)
V(lO
Читатель видит, что вся процедура достаточно проста. Для ее про-
проведения требуется лишь вычислить некоторые суммы, что легко
можно сделать с помощью компьютера.
7.6. Решение уравнения для параметра порядка
Поведение кольцевого лазера вблизи второго порога описывается
полученным в предыдущем разделе уравнением
ЫШ*-$и\1 = В\Ъ\П + С\1\*1. G.122)
Это уравнение напоминает нам уравнение для одномодового лазера.
В параметрах Р„, В, С, содержащихся в уравнении G.122), выде-
выделим мнимые и действительные части:
G.123)
G.124)
G.125)
В выражении G.125) мы специально написали знак минус перед
действительной частью: именно такой знак обеспечивает устойчи-
устойчивость системы. Мнимую часть критического собственного значе-
значения рц заменим ее значением в критической точке G.98). Это упро-
упрощение не носит принципиального характера и лишь незначительно
изменяет скорость импульса. Комплексную амплитуду ? разложим
на модуль и фазу:
l(t) = R{t)exp[iy](t)\, G.126)
где R (t) и т] @ — величины, явно зависящие от времени. Подста-
Подставив G.126) в G.122) и выделив затем действительную часть этого
уравнения, получим
dRldt = bR+ dR*—fRb. G.127)
Это уравнение можно решить аналитически, но нам будет доста-
достаточно его качественного исследования. Допустим, что уравнение
G.127) описывает передемпфированное движение частицы в поле
с потенциалом V (г), и запишем его в виде
dR/dt=—dV№, G.128)
У (Я) = -L FbRi + 3dRi—2fR<i). G.129)
Сверхкороткие импульсы
195
Мы видим, что поведение величины R соответствует поведению
некой частицы, которая стремится к ближайшей точке минимума
функции V (R), отвечающей стационарному состоянию. Фаза r\ (t)
описывается уравнением
dx[ldt =
G.130)
Таким образом, в частоту входят поправки, зависящие от ампли-
амплитуды. В стационарном состоянии параметр порядка можно пред-
представить в виде
? = #вехр[Ы], G.131)
если пренебречь нелинейными поправками в формуле G.130).
7.6.1. Потенциал в критической точке
Чтобы выяснить, как изменяется форма потенциала при изменении
параметра накачки Л, мы должны обратиться к отдельным коэффи-
коэффициентам. Подробный анализ показывает, что коэффициент С ме-
меняется совсем немного, если изменять мощность накачки или кри-
0,001 -
-0,001 -
31,78
34,61 L,cm
Рнс. 7.11. Зависимость действительной части величины E (левая ось ординат
и сплошная линия) и величины d =з Re (В) (правая.ось ординат и штрихо-
штриховая линия) от длины резонатора. Вертикальными штриховыми линиями
указана область значений L, в которой мода становится неустойчивой. Штри-
Штриховая кривая пересекает ось абсцисс; это означает, что коэффициент при ку-
кубическом члене в уравнении для амплитуды меняет знак в пределах разре-
разрешенных значений длины резонатора.
тическое волновое число k (критическое волновое число k = kc
изменяется при изменении длины L). Однако действительная часть
коэффициента В при кубическом члене в формуле G.122) очень
сильно зависит от kc (т. е. от длины резонатора). На рис. 7.11 пред-
представлена зависимость действительной части коэффициента В от
длины резонатора при значении параметра накачки Л = 12. За
196
Глава 7
дальнейшими подробностями мы отсылаем читателя к первоисточ-
первоисточникам. Отметим только одно важное обстоятельство: действитель-
действительная часть коэффициента В меняет знак. Поэтому мы получаем два
Интенсивность
^~
нак&чки
Рис. 7.12. Зависимость потенциала
V вида G.129) от амплитуды R при
разных значениях интенсивности на-
накачки; приводится случай d =
= Re (В) >0(см. рис. 7.11).
Интенсивность
накачки
t V(R)
Рис. 7.13. То же, что на рис. 7.12,
но для случая d = Re (В) <0 (см.
рис. 7.11)."
типа потенциальных кривых, которые дают два возможных типа
поведения системы, а именно: резкий переход от непрерывного ре-
режима к импульсному и плавный переход (рис. 7.12 и 7.13).
7.6.2. Импульсные решения: характеристики полей
Подытожим полученные результаты. Мы вывели уравнение для
параметра порядка, которое не только легко решается в стационар-
стационарном случае, но и позволяет рассчитать временные зависимости.
Если параметр порядка известен, то можно найти амплитуды устой-
устойчивых мод. После того как это сделано, по формулам G.100) и
G.100а) могут быть вычислены поле, поляризация и инверсия. Нор-
Нормировочный множитель плоских волн может быть учтен при над-
надлежащей нормировке собственных векторов О и О; в формуле
G.100а) он опущен. Некоторые конкретные результаты по неста-
нестационарным решениям приведены на рис. 7.14 и 7.15.
Уравнения G.86) —¦ G.88), которые являются основными в дан-
данной главе, решались также прямым интегрированием. Типичный
результат приведен на рис. 7.16. В области накачек, незначительно
превышающих порог генерации, было получено прекрасное со-
согласие результатов численного подхода с аналитическими резуль-
Сверхкороткие импульсы
197
P"r
-
w -
0,6 -
\ л=яс f~\f\
\\ D-l P-l Д \\-?- .
\ \\ / /\\\ /
\ V // \ \V-
\yG Vxsj
2,0
7,0
t-cc/v
Рис. 7.14. Зависимость величин Е, Р и D в фиксированный момент времени t
от координаты вдоль оси лазера, рассчитанная по формуле G.100а) при d >0,
в случае, когда точно выполняется второе пороговое условие [7.25]. Ампли-
Амплитуда оказывается конечной.
?,Pi
Л /\ A
A X= 75 / V /
/ \\ / /V
\ \\ / /л
\ \\ V P7/ \
\\\/ /
\
л
\\ -
V/
\ \\ /
40
1,0
0
¦L/v
t-x/v
Рнс. 7.15. То же, что на рис. 7.14, но при некотором превышении второго
порога [7.25].
198
Глава 7
i-x/v
Phc. 7.16. Результаты численного интегрирования уравнений G.86) — G.88)
при небольшом превышении накачки над порогом [7.23]. Левая шкала по
оси ординат относится к величине Е, а правая — к D. Поле Е представлено
штриховой линией, поляризация — штрих-пунктирной, инверсия — сплош-
сплошной, сплошной линией проведена также кривая интенсивности. По осн абс-
абсцисс откладывается переменная t—xlv, где t — время, х — координата
вдоль оптической оси, a v — скорость импульса (L — длина кольцевого ла-
лазера).
татами. Преимущество аналитического подхода в том, что он позво-
позволяет «прочувствовать» характер нестационарных процессов, кото-
которые могут происходить, когда достигнут второй лазерный порог.
7.6.3. Более поздние результаты
Чтобы ближе подойти к реальным задачам, требуются более де-
детальные расчеты. Возьмем, например, такое обстоятельство. В на-
наших расчетах предполагалось, что пространственные изменения
моды происходят только в направлении ее распространения. В дей-
действительности же интенсивность моды меняется по поперечному
сечению, перпендикулярному направлению распространения, при-
приблизительно в соответствии с распределением Гаусса. Можно по-
показать, что если ввести такую поперечную структуру, то неста-
нестабильность исчезнет. Вместе с тем подробное исследование показы-
показывает, что взаимодействие излучения с насыщающимся поглотите-
поглотителем может понизить порог лазерных пульсаций, так что отрица-
отрицательный эффект пространственной модовой структуры будет более
чем скомпенсирован. Поскольку в резонаторе с низкой доброт-
добротностью порог возникновения импульсов или хаоса значительно
Сверхкороткие импульсы
199
снижается, если вводится неоднородное уширение атомного пере-
перехода, мы можем предположить, что и в резонаторе с высокой доб-
добротностью будет аналогичная тенденция.
Изложенный выше общий метод может найти ряд других приме-
применений, например в задачах об уже упоминавшихся лазерах с на-
насыщающимися поглотителями и в задачах о бистабильности (гл. 9).
7.7. Модели лазеров с насыщающимися
поглотителями
В разд. 7.1 мы вкратце описали насыщающиеся поглотители и то,
как они воздействуют на лазерное излучение. В этом разделе мы
хотим более аккуратно записать основные уравнения для лазера
с насыщающимся поглотителем и перечислить основные резуль-
результаты, полученные к настоящему времени. Далее будет ясно, сколь
¦Зеркало Активист среда
а
Поглотитель Зеркало
•Tepttajro Активная среда * поглотитель Зеркало
6
Рис. 7.17. а — схема лазера, в котором насыщающийся поглотитель S от-
отделен от активного материала; б — схема лазера, в котором поглотитель
и активный материал заполняют весь объем резонатора.
большую работу по расчету возникающих здесь импульсов еще
предстоит выполнить. Вместе с тем мы увидим, что, даже вводя уп-
упрощения, можно получить интересные особенности, характерные
для лазера с просветляющимся фильтром. Укажем два варианта
экспериментальной схемы. На рис. 7.17, а активная среда и насы-
насыщающийся поглотитель помещены в разных участках лазерного
резонатора. Это — обычный вариант эксперимента. Другой воз-
206 Глава 7
можный вариант — когда активные атомы и атомы (или молекулы)
насыщающегося поглотителя более или менее равномерно распре-
распределены по всему объему.
Мы будем считать, что активное вещество лазера состоит из двух-
двухуровневых атомов (нетрудно перенести рассмотрение и на случай
трехуровневых атомов). Насыщающийся поглотитель будем моде-
моделировать набором двухуровневых атомов. В отличие от активных
атомов, которые некогерентно возбуждаются извне, атомы насы-
насыщающегося поглотителя будут находиться в основном состоянии
до тех пор, пока не вступят во взаимодействие с лазерными полями.
Написать основные уравнения нам здесь очень легко, это будет
естественное обобщение основных уравнений E.115) — E.117). Для
простоты примем модовое описание и будем рассматривать только
одну моду. Поскольку мода (с амплитудой Ъ) взаимодействует с ди-
польными моментами и активных атомов и поглотителя, уравнение
E.115) следует записать в виде
Здесь и далее штрихом будут обозначаться величины, относящиеся
к поглотителю. Коэффициенты связи g даются формулой E.114).
В общем случае дипольные моменты активных атомов и атомов
насыщающегося поглотителя различаются по величине. В моделях,
изображенных на рис. 7.17, а и б, на коэффициенты gag' нала-
налагаются следующие условия:
а) g^^O в области L,
g^ -- 0 вне области L;
#д, =/=0 в области S, G.133)
g' -—¦ 0 вне области S;
, „ во всей области внутри резонатора.
Из-за наличия двух сортов атомов мы теперь имеем две группы ма-
материальных уравнений. Первая группа относится к активным ато-
атомам:
«и = (~ i(On — У) ац + igvAvt>, G.134)
К = ~-^ + У (Iffab-g&b), G.135)
а вторая — к атомам насыщающегося поглотителя:
«V = (—ш'ц> —у') а'ц' +ig[i' d'w b, G.136)
Сверхкороткие импульсы 201
причем здесь считается, что величина do (инверсия в отсутствие
лазерного излучения) такова:
di-=—1, G.138)
a d0 — положительная величина. В общем случае ширины атом-
атомных линий у и у' неодинаковы; то же самое можно сказать и о вре-
временах релаксации Т и 7". Представленные уравнения нетрудно
обобщить на многомодовый случай, и это обобщение мы оставляем
читателю в качестве упражнения. [Можно написать соответствую-
соответствующие уравнения, снабдив величины Ь, со, к, g^ и gy индексом X
и проведя суммирование по 1 в уравнениях G.134) — G.137).]
В литературе пока что исследован только одномодовый случай,
и мы кратко изложим имеющиеся здесь результаты.
Сначала рассмотрим стационарное решение. В этом случае мы
предполагаем, что оно имеет вид
Ь @ = Ве-ш,
aM = V-'Q/> G.139)
где В, Ау и Л|1 (как и d^ и d'^) — величины, не изменяющиеся во
времени. Тогда дифференциальные уравнения G.132), G.134) —
G.137) переходят в систему алгебраических уравнений; это анало-
аналогично тому, что мы имели в разд. 6.2 при рассмотрении стационар-
стационарного состояния одномодового лазера. Пользуясь этими уравне-
уравнениями, мы можем выразить величины А^, dM и А'^, d'^< через ам-
амплитуду поля В, т. е. найти функции
А^-.А^В), А'»- ^ Ар (В), G.140а)
d^d^B), d'w=d'w(B). G.1406)
Подставив найденные функции G.140а) и G.1406) в уравнение,
G.132), получим нелинейное уравнение, содержащее только одну
неизвестную величину В:
B[iD>-Q)-\-x]---iZgliAVi(B)-iZg'il.A'IX'(B). G.141)
м- и'
Решив его, мы можем найти амплитуду В как функцию инверсии dn.
Можно показать, что при достаточно малых, но отличных от нуля
значениях d0 существует устойчивое стационарное состояние. Ис-
Исследованные случаи относятся к лазеру бегущей волны. В некоторых
интервалах параметров можно получить сразу три решения с по-
постоянными амплитудами, и при этом будет возможен гистерезис.
Можно показать, что при увеличении параметра накачки воз-
возникают осцилляции. Эти осцилляции описываются полукласси-
202 Глава 7
ческими уравнениями G.132), G.134) — G.137), но не могут быть
получены из скоростных уравнений.
Можно также показать, что при определенных предположениях
о параметрах системы существуют одновременно два предельных
цикла. В некоторых условиях даже состояние без излучения
(В = Лд = А'ц' = 0) может оказаться неустойчивым и перейти
в осциллирующее.
Была также сформулирована многомодовая задача о лазере с на-
насыщающимся поглотителем в варианте «б» (рис. 7.17, б) как прямое
обобщение уравнений G.38) — G.40) на случай изменяющихся во
времени и в пространстве напряженности поля, поляризаций и ин-
инверсий. Эта модель приводит к нестабильности относительно пуль-
пульсаций, однако решения, дающие пульсации в явном виде, пока еще
получены не были. Исключение составляет упрощенная модель,
в которой действие насыщающегося поглотителя описывается как
потери в резонаторе, зависящие от интенсивности поля (см. разъяс-
разъяснения в разд. 7.1). По-видимому, в этой области еще многое пред-
предстоит сделать. Проблема достаточно сложна, поскольку из-за боль-
большого числа переменных, и в особенности из-за большого числа
свободных параметров, возможны самые различные режимы. Как
можно судить по результатам для одномодового лазера без насы-
насыщающегося поглотителя, здесь могут встретиться исключительно
разнообразные явления, которые еще ждут своего исследователя.
8
ИЕРАРХИЯ НЕСТАБИЛЬНОСТЕЙ
ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ, ХАОС
И ПУТИ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ХАОСА
8.1. Предварительные замечания
Вначале кратко напомним, что нам уже известно о различных ти-
типах лазерного излучения.
1. Одномодовый режим лазера
Если начать с малой мощности накачки и повышать ее, то выше
некоторого критического значения возникнет генерация. Излуче-
Излучение описывается полностью когерентной волной.
2. Многомодовый режим лазера
Даже в условиях, когда можно пренебречь эффектами затягивания
(синхронизации) фаз, моды лазера влияют друг на друга через
разность заселенностей атомных уровней. В зависимости от типа
уширения линии атомного перехода и от пространственной модовой
структуры моды могут либо конкурировать, либо существовать
совместно. В случае сосуществования мод напряженность поля
можно представить в виде суммы
Е(х, 0 = ?fA(x)e'Q*' . (8.1)
Величины Qj, — это частоты, на которых генерируют лазерные
моды, а функции fx (x) описывают пространственную зависимость
амплитуд мод. Эти амплитуды могут содержать еще фазовые мно-
множители. Если корреляция между фазами или частотами отсутст-
отсутствует, мы говорим о генерации на несвязанных модах. В математике
функция, временной ход которой дается формулой (8.1), называется
квазипериодической. В частности, подразумевается, что различ-
различные частоты Qk «иррациональны» по отношению друг к другу. Это
означает следующее: нельзя найти такие целые числа т^, чтобы
выполнялось соотношение
m1Q1 + m2Q2+ . . • + mmQm = 0. (8.2)
Частоты мод пустого резонатора coj, удовлетворяют «условию ра-
рациональности» (8.2), но истинные частоты генерации Qj, в случае
несвязанных мод оказываются сдвинутыми относительно соответст-
соответствующих значений щ, так что может выполняться «условие ирра-
иррациональности». В том, что квазипериодичность действительно
204 Глава 8
имеет место, можно убедиться, исследуя временные компоненты
Фурье функции (8.1) (экспериментально это можно сделать при по-
помощи спектрографа). Тем не менее величина (8.1), рассматриваемая
как функция времени, обнаруживает нерегулярный ход изменения.
В гл. 7 мы видели, что при фазовой и частотной синхронизации
мод появляются новые эффекты. Возникают, например, сверхкорот-
сверхкороткие импульсы, которые, однако, являются пока очень регулярными.
В этой главе речь пойдет о том, какие еще типы поведения были об-
обнаружены или могут ожидаться в лазере. Один из самых удиви-
удивительных результатов — «хаотическое лазерное излучение». Поиски
этого нового типа поведения были обусловлены определенными
аналогиями в динамике лазерного излучения и гидродинамике.
К сожалению, термин «хаос» (или «хаотическое излучение») может
иметь двоякий смысл, и во избежание недоразумений мы должны
отметить это прежде всего. В традиционной оптике хаотическим
иногда называют излучение тепловых, т. е. термически возбужден-
возбужденных, атомов. В этом случае никакой генерации нет. Атомы нака-
накачиваются лишь очень слабо. После возбуждения каждый атом спон-
спонтанно начинает испускать волновой цуг. Поскольку акты спонтан-
спонтанного испускания совершенно не коррелированы, создается пол-
полностью случайное световое поле. Ни скоростные уравнения, ни
введенные выше полуклассические уравнения не позволяют адек-
адекватно описать спонтанное испускание. Тут необходимо чисто кван-
квантовое описание, и мы вернемся к этому вопросу в следующей главе.
А пока что нам нужно только помнить об одном важном обстоя-
обстоятельстве. Случайность, или хаотичность, излучения здесь создается
флуктуациями, обусловленными квантовой природой спонтанного
испускания.
В данной главе мы будем иметь дело со вторым, совсем иным,
типом хаоса. Мы будем исходить из полуклассических уравнений
для лазера, которые, очевидно, являются детерминированными
и никаких флуктуации заранее не содержат. Тем не менее мы уви-
увидим, что решения уравнений соответствуют излучению, которое
ведет себя случайным образом. Однако это случайное поведение
отличается от той хаотичности, о которой мы говорили в связи с теп-
тепловым излучением: здесь большое число атомов, действуя коге-
когерентно, дает хаотический лазерный свет. Данная глава посвящена
этому новому типу хаотического излучения. Сначала мы приведем
пример, а затем обсудим критерии, на основе которых можно ре-
решать, является ли излучение хаотическим или, допустим, только
квазипериодическим. После этого поговорим о некоторых простых
механизмах, которые могут привести к генерации хаотического
света. В заключение покажем, что возможны разные пути установ-
установления хаоса, начинающиеся с обычного одномодового режима ла-
лазера.
Иерархия нестабильностей лазерного излучения, хаос 205
8.2. Основные уравнения
Чтобы установить связь с теми сведениями по хаосу, которые
имеются в гидродинамике, мы возьмем основные уравнения лазера
в специальном виде — уравнения из разд. 7.2. Для большего удоб-
удобства воспроизведем их:
(8.3)
\-1)-УъЛЕР, (8.4)
-1*- (8-5)
Здесь мы приняли, что Е и Р — действительные величины. Напом-
Напомним читателю значение отдельных величин. Константы у, уц = \1Т
их — обычные константы затухания, которые использовались
всюду в этой книге. Предполагается, что мощность накачки пре-
превышает первое пороговое значение, при котором начинается ста-
стационарная генерация. Символами Е и Р мы теперь обозначаем мед-
медленно меняющиеся амплитуды бегущих волн поля и поляризации,
и они, так же как и плотность инверсии D, нормированы на свои
стационарные значения. Следовательно, в этих нормированных
переменных стационарное решение имеет вид Е = Р = D = 1.
Величина Л — нормированный параметр накачки. В дальнейшем
мы будем искать решение уравнений (8.3) — (8.5), которое не за-
зависит от координат (чего можно добиться подбором длины резона-
резонатора кольцевого лазера). Это означает, что мы ищем одномодовое
решение. Уравнения (8.3) и (8.4) остаются неизменными, а урав-
уравнение (8.5) упрощается и принимает вид
= хР. (8.6)
После этих предварительных шагов обратимся к одной частной мо-
модели гидродинамики
206
Глава 8
8.3. Уравнения одномодового лазера и их
эквивалентность лоренцевой модели
турбулентности
Бросим беглый взгляд на другую область физики — гидродина-
гидродинамику. В этой области есть давняя проблема, все еще остающаяся
нерешенной — проблема возникновения турбулентности. Перво-
Первоначально Лоренц стал исследовать свои уравнения в поисках про-
Рис. 8.1. а — схема эксперимента по неустойчивости Бенара: слой жидкости
в сосуде нагревается снизу; б — образование стационарных конвективных
«роликов» в жидкости при надкритической разности температур верхней
и нижней поверхностей.
стой модели турбулентности. Он рассматривал достаточно извест-
известную задачу гидродинамики, которая называется конвективной не-
неустойчивостью или неустойчивостью Бенара. Такая неустойчивость
возникает, когда слой жидкости нагревается снизу (рис. 8.1). Дви-
Движение жидкости описывается уравнениями Навье—Стокса, кото-
которые мы здесь не будем выписывать, поскольку они для нас не важны.
Укажем только, что это нелинейные уравнения в частных произ-
производных. Чтобы упростить задачу решения этих уравнений, Лоренц
перешел к представлению Фурье. Он разложил поля скоростей
и температур в жидкости в пространственные ряды Фурье. При этом
Иерархия нестабильностей лазерного излучения, хаос
207
коэффициенты Фурье считались зависящими от времени величи-
величинами. Из бесконечных сумм Лоренц оставил только три члена.
Таким путем он вывел три связанных дифференциальных уравне-
уравнения для трех переменных. Физический смысл их нас здесь интере-
интересовать не будет, мы просто введем три абстрактные функции, ко-
Рис. 8.2. Типичная зависимость координаты X от времени для аттрактора
Лоренца (произвольные единицы).
торые обозначим через X, Y и Z. Уравнения Лоренца имеют сле-
следующий вид:
X = aY-aX, (8.7)
= — XZ + rX — Y,
(8.8)
Z=XY—bZ.
(8.9)
Для тех, кто интересуется гидродинамикой, мы дадим пояснения.
Здесь а — число Прандтля, г = R/Rc, где R — число Рэлея, а
Rc — критическое число Рэлея (определяющее возникновение кон-
конвекции), Ъ = 4я2/(я2 -\- Щ), где Щ — безразмерное волновое число.
Структура уравнений (8.7) — (8.9) весьма проста. Это обыкновен-
обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие только два нели-
нелинейных члена: XZ и XY. Для многих физиков и математиков ока-
оказалось неожиданным, что такие уравнения могут иметь совершенно
нерегулярные решения. Подобные решения были получены путем
компьютерных вычислений. На рис. 8.2 представлена кривая из-
208
Глава 8
менения во времени величины X ((),
которая, очевидно, ведет себя
совершенно нерегулярно. Графики
величин X, Y и Z в различных
плоскостях обнаруживают сле-
следующие особенности поведения
(рис. 8.3). Точка X (/), Y (/), Z (t)
движется по незамкнутым кри-
кривым в одной области, через некото-
некоторое время внезапно перескаки-
перескакивает в другую область и «закручи-
«закручивается» в ней в течение какого-то
времени, потом как бы случайно пе-
перескакивает опять в первую об-
область и т. д. Мы видим, что детер-
детерминированные уравнения довольно
простого вида приводят к совер-
совершенно нерегулярному движению,
которое называется хаотическим.
Чтобы получить хаотическое дви-
движение, нужно иметь по крайней
мере три дифференциальных урав-
уравнения первого порядка для трех
переменных. Если же имеются
только две переменные, подчи-
подчиняющиеся уравнениям вида X =
= F (X, У) и Y = G (X, Y), то
нерегулярное движение никогда
не возникает (это можно строго
математически доказать).
Чем же так важны уравнения
Лоренца для физики лазеров?
Ответ на вопрос можно получить
таким путем. Сначала произведем простое преобразование
л — g, г =-т], z, — г—1,>
которое приведет уравнения (8.7) — (8.9) к новому виду:
• • •
jL _ . (TW ~^~— CXI* W (t^ ^—^- Yl i /7 (/" -^— *1 r^ W Es I ili
Полученные уравнения уже полностью идентичны уравнениям для
лазера (8.3), (8.4) и (8.6), в чем можно убедиться, выполнив замену
t-^t'al-л, Ё ->а?, где а =[Ь (г—1)]~'/2, г>1,
Р-^ат], D-+t,, у\\-~хЫо, у^-л/о, Л = г— 1,
Рис. 8.3. a — траектории аттрак-
аттрактора Лоренца в проекции на
плоскость Z—X; б — то же в
проекции на плоскость Y—X.
(Первые результаты такого рода
были получены Э. Лоренцем.)
Иерархия нестабильностей лазерного излучения, хаос 209
Имеет место следующее соответствие:
Проблема Бенара Лазер
а—число Прандтля о— к/у
r=RlRc {R—число Рэлея) г-=А-±1
Уравнения (8.10) описывают по меньшей мере две неустойчивости,
которые были найдены в лазерах и в гидродинамике независимо.
При Л <0 (/"<1) нет лазерной генерации (жидкость в покое), а
при Л > 0 (г > 1) устанавливается лазерная генерация (конвек-
(конвективное движение) с устойчивыми, не зависящими от времени зна-
значениями |, т], ?. Кроме этой хорошо известной неустойчивости воз-
возникает новая, если выполняются условия
Лазер
«>Y + V[. A>(i4yu +к)СИ ¦«)/?(«—Y—Yi). (8-11)
Гидродинамика
+ l, r>a(a-;-6 + 3)/(a—1 —ft). (8.12)
Эта неустойчивость приводит к нерегулярному движению, пример
которого был дан на рис. 8.2. Если в условие (8.12) подставить чис-
численные значения параметров, то получится очень большое значе-
значение числа Прандтля, которое никогда не достигается в реальных
жидкостях.
С точки зрения истории вопроса интересно, что эта вторая не-
неустойчивость была найдена независимо в физике лазеров и в гидро-
гидродинамике, однако смысл второй неустойчивости для лазеров был
выяснен значительно позже.
Численные исследования показывают, что для выполнения ус-
условия (8.11) мощность накачки в лазере должна быть очень велика.
В связи с этим, после того как была продемонстрирована принци-
принципиальная возможность излучения хаотического лазерного света,
начались поиски других механизмов, которые позволили бы полу-
получить хаотическое излучение от лазера при более низкой мощности
накачки. Основная идея состоит в том, чтобы свести уравнения ла-
лазера (8.3) — (8.6) к более простым уравнениям путем, например,
адиабатического исключения поляризации, но ввести при этом
какой-либо модуляционный эффект, оставляя полное число пере-
переменных равным трем. В теоретических работах рассматривались
следующие эффекты модуляции: а) временная модуляция потерь
резонатора; б) временная модуляция инверсии d0; в) инжекция мо*
210 Глава 8
дулированного когерентного электромагнитного поля. Прежде чем
разбирать эти случаи, рассмотрим (в следующем разделе) критерии,
по которым можно установить, имеет ли место хаос.
8.4. Критерии хаотического поведения
Казалось бы, для решения вопроса о том, имеется хаос или нет,
нужно просто посмотреть на временную зависимость одной из пе-
переменных системы. Если график будет выглядеть нерегулярным,
то процесс можно назвать хаотическим. Однако такой подход ведет
к определенным трудностям. Квазипериодическое движение, ко-
которое описывается, например, формулой (8.1), тоже может выгля-
выглядеть нерегулярным. Значит, нужен более тщательный анализ. Ряд
исследователей предлагали рассматривать фурье-образ величины
(8.1) или, вообще, некой переменной q (t), характерной для изучае-
изучаемой физической системы. Периодическому квазипериодическому
движению (или световому излучению) отвечает набор дискретных
линий, тогда как широкая спектральная полоса могла бы означать
хаос. Здесь, однако, опять возникают затруднения из-за того, что
тепловым источникам тоже соответствуют широкие спектральные
полосы. Но испускание света тепловыми источниками состоит из
ряда некоррелированных спонтанных актов и не имеет отношения
к тому хаосу, который мы здесь исследуем. Другой критерий хао-
хаотического поведения, предлагавшийся в литературе, основывается
на исследовании корреляционной функции вида (q (t + т) q (t)).
При таком критерии хаосу отвечает экспоненциальный спад корре-
корреляционной функции. Однако в случае излучения тепловых источ-
источников корреляционная функция тоже затухает экспоненциально,
хотя здесь мы не имеем «детерминированного хаоса». Таким обра-
образом, оба критерия, а именно широкий спектр и экспоненциальный
спад корреляционной функции, оказываются неудовлетворитель-
неудовлетворительными, хотя довольно часто ими и пользуются в литературе. Так
что нужно сформулировать другие критерии.
Критерий, который привлекает внимание исследователей в по-
последние годы, основывается на концепции показателей Ляпунова.
Численные решения уравнений Лоренца и других подобных урав-
уравнений показывают, что временная эволюция переменных очень
чувствительна к изменению начальных условий. Иными словами,
если мы лишь немного изменим начальные условия, то с течением
времени две траектории будут все дальше удаляться друг от друга.
Если говорить более строго, расстояние между ними со временем
растет экспоненциально.
Чтобы эту концепцию сформулировать математически, рассмот-
рассмотрим произвольную систему нелинейных уравнений для вектора
состояния q
p-N(q), (8.13)
Иерархия нестабильностей лазерного излучения, хаос 211
Мы исследуем ход (в каждый момент времени t) двух соседних тра-
траекторий, полагая
q' = q-bu, (8.14)
где и считаем малой величиной. Подставив выражение (8.14) в си-
систему (8.13) и линеаризовав полученные уравнения по и, найдем
u-L(q@)u. (8.15)
Здесь L — матрица, элементы которой зависят от времени, так как
они зависят от траектории q (t). Поскольку мы имеем u — q'—q,
величина | u | является мерой расстояния между траекториями q'
и q. Мы ожидаем, что в случае хаоса величина и ведет себя как
u~-ewv, (8.16)
причем А, — положительная константа, a v — функция, которая
изменяется медленнее экспоненты. Формула (8.16) представляет со-
собой грубое упрощение, но в математике показано, что можно опре-
определить величину, соответствующую %, таким образом:
Хг-.\ш —— ln|u|. (8.17)
t-*oo \t\
Так определенная величина К называется показателем Ляпунова.
Если вектор q принадлежит я-мерному пространству, то сущест-
существует не больше п различных показателей Ляпунова. Если хотя бы
один из них положителен, критерий возникновения хаоса выполнен
(при условии, что исключаются некоторые «патологические» слу-
случаи). Более подробное изложение и более строгое определение ве-
величины к можно найти в литературе.
8.5. Пути возникновения хаоса
Согласно положениям синергетики (гл. 13), которая исследует за-
закономерности, общие для различных научных дисциплин, воз-
возможны далеко идущие аналогии в поведении совершенно различных
систем независимо от природы их составных частей. Эти аналогии
становятся особенно отчетливыми в тех случаях, когда качественно
меняется макроскопическое поведение системы. В физике лазеров
примером таких качественных изменений может служить возник-
возникновение лазерной генерации с ростом параметра накачки и возник-
возникновение «детерминированного хаоса». В гидродинамике известен не
только переход к турбулентности, который описывается моделью
Лоренца. И теоретические и экспериментальные исследования по-
показывают, что здесь может проявиться целая иерархия различных
неустойчивостей, прежде чем будет достигнуто хаотическое состоя-
состояние.
Среди изученных путей есть следующие.
212 Глава 8
1. С ростом некоторого характерного «управляющего» параметра
(например, мощности накачки лазера) возбуждается все большее
число гармоник с частотами со1( со2, . . . . В гидродинамике этот
путь перехода к турбулентности называют моделью Ландау—
Хопфа. В лазерах аналогичную картину можно наблюдать, если
все больше и больше несвязанных мод вступает в генерацию и при
этом не происходит синхронизации частот. Согласно первоначаль-
первоначальной модели Ландау—Хопфа, турбулентное состояние в гидродина-
гидродинамике характеризуется бесконечным числом гармоник, частоты ко-
которых взаимно иррациональны. Эта идея была отвергнута,
поскольку эксперимент показал, что после возбуждения колебаний
на двух или трех частотах в гидродинамике уже возникает хаос.
В лазерах, однако, наблюдалось большее количество несвязанных
мод. Поэтому нужно отметить один специальный термин.
Если размерность вектора
Ч = ЕС«Г" . -, «м ехР L? («i«i -! «г«2 Ч • • • -fijuwju)!] (8.18)
больше числа фундаментальных частот со,, со2, . . . , то можно счи-
считать, что конец вектора q (t) описывает траекторию, лежащую на
торе. Модель Ландау—Хопфа основана на предположении, что
с ростом управляющего параметра происходит переход к торам
все более и более высокой размерности.
2. Ньюхауз, Рюэлль и Тэкенс предложили модель, основанную
на математических соображениях о свойствах общности (generic).
Согласно этой модели, после того как в системе возникли колеба-
колебания на двух основных частотах, должен установиться хаос. Такой
механизм наблюдался в гидродинамике в разных случаях (движе-
(движение на двумерном торе), но было обнаружено также и движение
на трехмерном торе. Мы не собираемся утомлять читателя матема-
математическими тонкостями и поэтому упомянутый термин «свойства об-
общности» будем понимать просто как типичные свойства. Следует,
впрочем, предупредить читателя, о том, что сейчас не вполне ясно,
можно ли это понятие, связанное с определенными математиче-
математическими свойствами систем, непосредственно прилагать к реальным
физическим ситуациям. Ясно, что лазер, генерирующий на четырех
несвязанных модах,— пример не в пользу такого приложения.
3. Третий путь установления хаоса, который стал сейчас весьма
«популярен», представляет собой последовательность удвоений пе-
периода (рис. 8.4). В этой модели при увеличении управляющего па-
параметра, когда достигаются определенные значения параметра,
происходит удвоение периода колебаний. Для широкого класса
систем значения управляющего параметра а, при которых возни-
возникают удвоения, подчиняются соотношению
lim ai+l-ai =--6^4,6692016. (8.19)
Иерархия нестабильностей лазерного излучения, хаос
213
Константа б называется числом Фейгенбаума. В некоторых кон-
конкретных случаях последовательность удвоений периода может про-
прослеживаться до п = 5 или п — 6, после чего уже наблюдается
хаос. Наблюдению больших значений п препятствуют шумы. По-
видимому, последовательности удвоений периода представляют со-
Рис. 8.4. Траектории в плоскости qlt q2 (q2 = ?j), рассчитанные на основа-
основании уравнения Даффинга для нелинейного осциллятора, на который дейст-
действуют гармоническая возбуждающая сила и возвращающая сила, состоящая
из линейного и кубического слагаемых. Амплитуда вынуждающей силы уве-
увеличивается от верхнего рисунка слева к верхнему справа, затем к нижнему
слева и к нижнему справа. При критических значениях амплитуды вынуж-
вынуждающей силы траектории расщепляются и удваивается время, которое тре-
требуется для того, чтобы точка вернулась в исходное положение.
бой широко распространенное явление для нелинейных колебаний.
Вместе с тем могут наблюдаться и другие последовательности, на-
например утроения периода, а также смешанные последовательности
удвоений и утроений. Более того, были найдены и другие случаи
генерации субгармоник. Хотя среди физиков распространилась
уверенность в универсальности явления удвоения периода, сле-
следует помнить о возможности генерации и других субгармоник; в про-
214
Глава 8
¦•¦'
Рис. 8.5. Переход (а—д) к хаосу путем удвоения периода, наблюдавшийся
в Не—Ne-лазере непрерывного действия [8.16]. Последовательность осцил-
осциллограмм получена за счет изменения наклона одного из зеркал относи-
относительно положения, соответствующего точной юстировке.
Иерархия нестабильностей лазерного излучения, хаос
215
а
ft МГц ~* и
Рис. 8.6. Последовательность {а—в) Рюэлля—Тэкенса в Не—Ne-лазере
непрерывного действия, полученная за счет изменения наклона одного из
Зеркал резонатора [8.16]. После осцилляции на частоте fx (а) идут два пе-
периодических состояния с частотами ft и /г (б), а затем следует хаос (в).
216
Глава
тивном случае экспериментаторы будут ошибочно находить то,
что они хотят увидеть, а именно только удвоение периода.
4. Наконец, упомянем явление перемежаемости как возможный
путь установления хаоса. Здесь некоторая физическая характе-
характеристика, например поле скоростей жидкости, в течение какого-то
времени находится в стационарном состоянии, затем возникает его
Рис. 8.7. Изменение временной зависимости интенсивности выходного излу-
излучения лазера от осциллирующего состояния (а) до хаотического C) при из-
изменении угла наклона зеркала как управляющего параметра [8.16]. При-
Приводятся также спектры для случаев а и д, регистрация спектров начинается
от частоты, отстоящей на — 9 МГц от центра линии. Схема эксперимента
примерно такая же, как и в случае рис. 8.6. В случаях б—г четко обнаружив
вается явление перемежаемости.
Иерархия нестабильностей лазерного излучения, хаос 217
хаотическое возмущение, затем восстанавливается стационарное
состояние и т. д.
5. Следует, пожалуй, еще отметить, что, например, в химиче-
химических реакциях было обнаружено чередование периодических и хао-
хаотических осцилляции при непрерывном увеличении управляющего
параметра.
Некоторые из перечисленных выше путей возникновения хаоса
можно наблюдать в настоящее время с помощью лазеров (рис. 8.5—
8.7), и в физике лазеров открываются широкие возможности иссле-
исследования новых механизмов. В последующих разделах мы рассмот-
рассмотрим ситуации, в которых может наблюдаться или уже наблюдался
хаотический лазерный свет. Обсуждение математических деталей,
связанных с различными механизмами возникновения хаоса, вы-
выходит за рамки данной книги, и я отсылаю заинтересованных чи-
читателей к моим книгам [8.5, 8.6], в которых рассмотрены эти про-
проблемы.
8.6. Как получить хаотическое лазерное
излучение, некоторые теоретические
модели
Аналогия между уравнениями для одномодового лазера и лоренце-
вой моделью турбулентности позволила нам выявить одну возмож-
возможность получения хаотического лазерного излучения. Как мы ви-
видели [формула (8.11)], для этого должны быть велики потери в ре-
резонаторе, так что этот случай можно назвать случаем низкой доб-
добротности. Теперь мы перейдем к рассмотрению других способов
получения хаотического лазерного излучения.
Начнем с уравнений для одномодового лазера F.1) — F.3) и при-
прибегнем к тем же упрощениям, что и в разд. 6.1. Для удобства вос-
воспроизведем эти уравнения:
^ (8.20)
(8.21)
^-сс^). (8.22)
Чтобы освободиться от слагаемых, содержащих величину ш, про-
произведем замену переменных
b = exp[ — mt\&(t), (8.23)
(8.24)
218 Глава 8
Входящую в правую часть уравнения (8.20) сумму по ц будем
рассматривать как новую переменную
X«,i = ^@. (8-25)
и
Чтобы получить уравнение для этой новой переменной, мы должны
просуммировать уравнение (8.21) по атомному индексу \л. При этом
нам придется ввести еще одну новую переменную
1^ = 0. (8.26)
и
Уравнение для этой переменной можно получить, просуммировав
по и уравнение (8.22). При этом мы введем полную ненасыщенную
инверсию Фй:
14, = 0о- (8.27)
и
В результате у нас имеются три уравнения для трех неизвестных
<%, 0* и 3). В дальнейшем в отдельных случаях мы будем предпола-
предполагать, что на лазер действует внешнее поле. Введя в уравнения, вы-
вывод которых мы сейчас привели, соответствующий дополнительный
член y.<St, получим следующую систему:
(8.28)
d&ldt =—у$> + igg®, (8.29)
—9>*g). (8.30)
[Мы оставляем читателю в виде упражнения установить связь ме-
между этой системой и уравнениями (8.3) — (8.5) путем перенорми-
перенормировки переменных. ] Далее мы хотим осуществить «минимальную
программу» получения хаоса. Поскольку зависящая от времени
величина Ше представляет собой новую переменную, мы попы-
попытаемся провести дальнейшее упрощение уравнений (8.28) — (8.30).
В зависимости от того, какую величину мы будем исключать, мы
будем приходить к разным моделям. Перейдем к обсуждению этих
моделей.
1. Хаотическое поведение лазера, обусловленное модулированным
внешним полем.
Предполагая выполненным условие
*«Yll«Y, . (8.31)
мы прибегаем к адиабатическому исключению переменной 5я, т. е.
считаем, что d&ldt — 0. При этом из уравнения (8.29) получаем
(8.32)
Иерархия нестабильностей лазерного излучения, хаос 219
Налагая такое же условие на переменную Ф, из уравнения (8.30)
с учетом соотношения (8.32) находим
*=t+wiw7' (833>
Подставляя выражение (8.33) в формулу (8.32), получаем выраже-
выражение для величины 0>, в которое входит только поле <%:
4' (8'34)
Подставив это выражение в уравнение (8.28), получим одно урав-
уравнение для одной неизвестной — поля $. Проведенные преобразо-
преобразования близки к тому, что было сделано в разд. 6.3, но носят более
строгий характер. Теперь мы уже не основываемся на разложении
величины 2Р в ряд по степеням поля $". Мы рекомендуем читателю
сопоставить уравнение
(8-35)
с уравнением F.46). Используя потенциал V и выводя формулы,
аналогичные формулам F.49) — F.51), убеждаемся, что при
&е = 0 решение уравнения (8.35) стремится к стационарному зна-
значению & = <SV Таким образом, для получения хаоса существенно
наличие внешнего поля. Обозначим частоту внешнего поля через со,,
и введем величину
(со,— со)/и = 8со, (8.36)
т. е. расстройку в единицах и. Для проведения численных расче-
расчетов удобно ввести также безразмерное время т в соответствии с ра-
равенством
f = x/x (8.37)
и, кроме того, перенормировать переменные с помощью соотноше-
соотношений
exp [f8coTl/2g, (8.38)
8е = А (т) (-и* || F exp U'8coT]/2g. (8.39)
Вводя еще одно вспомогательное обозначение
R = tfJh-., (8.40)
V
получаем наше основное уравнение
-М(х). (8.41)
220 Глава 8
Рассмотрим сначала действие внешнего поля постоянной ампли-
амплитуды А (г) = а. Если положить левую часть уравнения равной
нулю, то можно легко найти стационарное решение В's из уравне-
уравнения
+ a = 0, (8.42)
в котором использованы обозначения
zs^—?—, Q^6co. (8.43)
Затем можно провести линейное исследование на устойчивость,
с которым теперь читатель хорошо знаком. Результаты такого ис-
исследования показывают, что стационарное состояние всегда неустой-
неустойчиво, если коэффициент R достаточно велик. Более тщательный
анализ, который мы здесь проводить не будем, показывает, что при
такой неустойчивости возникают осцилляции величины §% а не
хаос. При указанных условиях поле Ш оказывается модулирован-
модулированным, несмотря на то что падающее поле постоянно по амплитуде.
Чтобы получить хаос, мы возьмем модулированное внешнее поле
вида
А(х) = а + а'соъ(&т), а>а'>0. (8.44)
Численное решение уравнения (8.41) действительно указывает
на хаотическое поведение при достаточно больших значениях ам-
амплитуды а!. При а' — 0 в системе имеется предельный цикл ]) с кру-
круговой частотой Qo = 0,2714. При увеличении амплитуды а' в си-
системе возникает квазипериодическое движение с двумя характери-
характеристическими частотами Q' и Qo. При дальнейшем возрастании ам-
амплитуды а' предельный цикл захватывается внешней силой А (т).
При Qo/Q' « 0,6031 та 3/5 захват происходит на частоте, которая
является рациональной по отношению к Q', а именно на частоте
C/5) Q'. Таким образом, если мы наблюдаем временную зависи-
зависимость на интервалах 2я/?2', то видим, что имеет место пятикратный
цикл (этот термин будет использоваться и дальше). Это периодиче-
периодическое состояние становится неустойчивым при а — 0,0339 и пере-
переходит в хаотическое состояние. Графики спектральной интенсив-
интенсивности для периодического и хаотического состояний приведены на
рис. 8.8. В случае хаотического состояния ясно виден широкий
пик. Чтобы доказать хаотичность поведения, построим график рас-
расстояния между двумя первоначально близкими точками. Мы дейст-
действуем таким образом. После большого числа шагов, когда можно
считать, что фазовая точка захвачена аттрактором, мы берем эту
1) Читателям, которые не знакомы с такими понятиями, как «предель-
«предельный цикл», «странный аттрактор», рекомендуется моя книга [8.61.
Иерархия нестабильностей лазерного излучения, хаос
221
точку, а также выбираем другую точку, удаленную от первой на
малое расстояние. В данном примере мы брали разность действи-
действительных частей полей В равной 0,00001. Затем строили график из-
изменения во времени этой разности (рис. 8.9). В квазипериодиче-
квазипериодическом случае (а' — 0,01), как нетрудно видеть, две фазовые точки
со
Рнс. 8.8. Графики спектральной интенсивности для периодического (а' =
~ 0,03, слева) и хаотического (а' = 0,036, справа) состояний [8.20]. Резкие
пики на частоте со = 0,45 в обоих случаях соответствуют частоте модуляции
внешнего поля. Представлены результаты усреднения по 50 спектрам.
остаются близки друг другу. В периодическом случае (а' ----- 0,03)
фазовые точки со временем сближаются. Дело в том, что периоди-
периодическое состояние возникает из-за захватывания фазовой точки
внешним полем и фаза фазовой точки но отношению к внешней
силе А (т) на аттракторе становится фиксированной. Значит, при
т ->- оо эти две фазовые точки будут совпадать друг с другом. В хао-
хаотическом же состоянии (а! = 0,036) две такие фазовые точки с те-
222
Глава 8
чением времени становятся более удаленными. Насыщение появ-
появляется после значения т » 400. Это связано с тем, что размер (size)
странного аттрактора является конечным (в данном случае он—по-
он—порядка единицы). Такое поведение величины D (т) согласуется с дру-
другими примерами хаоса.
При достаточно больших значениях а' (> 0,15) временная эво-
эволюция системы оказывается периодической с периодом 2я/й'. Между
о
100
zoo
воо
400
Рис. 8.9. Зависимость расстояния D (т) между двумя первоначально близ-
близкими точками от времени т [8.20]. По оси ординат логарифмический масштаб.
Даются три кривые: для квазипериодического (а' = 0,01), периодического
(а' = 0,03) и хаотического (а' = 0,036) состояний.
этим состоянием полного захватывания и хаосом, упоминавшимся
ранее, имеются три различных состояния. Схема бифуркаций об-
обнаруживает структуру с «окнами». Например, система имеет со-
состояние с восьмикратным периодом при а' — 0,05 и хаотическое
состояние при а' — 0,07. Подробная схема бифуркаций, происхо-
происходящих при изменении а' и Q', очень интересна, но выходит за рамки
данной книги.
Если величины параметров Q, а, и R выбраны так, что система
находится глубоко внутри области предельного цикла, то получить
хаотическое поведение труднее. Причина этого, возможно, со-
состоит в том, что вблизи области перехода от стационарного состоя-
состояния к предельному циклу орбиту предельного цикла легко возму-
возмутить внешней силой, тогда как глубоко внутри области предель-
Иерархия нестаёильностей лазерного излучения, хаос 223
ного цикла требуется сильная модуляция внешнего поля А (т),
чтобы изменить орбиту предельного цикла (здесь может даже по-
потребоваться нарушение условия а >а').
По-видимому, для существования хаоса, который был рассмот-
рассмотрен, не очень важно то приближение, которое было введено вначале
(адиабатическое). Достаточно близко от области, в которой проис-
происходит переход от стационарного состояния к состоянию с предель-
предельным циклом, всегда можно ожидать схемы бифуркаций, приводя-
приводящей к хаосу, если только выбрать соответствующие переходу к
КП ЗП , Хаос ¦ 2п-Биср. ; 1П
О 0,1 0,2 0,3 0,4
Рис. 8.10. Схема бифуркаций (см. текст) при возрастании управляющего
параметра R' [8.21]. КП — квазипериодическое состояние, ЗП—трижды
периодическое, 2 -БИФ — процесс удвоения периода.
хаосу значения параметров. Рассмотрим теперь другой путь полу-
получения хаоса в лазере.
2. Хаос, создаваемый внешним гармоническим полем постоянной
амплитуды и модуляцией инверсии.
От инверсии 3)й зависит коэффициент R в уравнении (8.41) [ср.
с формулой (8.40)], а поэтому положим
Д = /?„ + /?'cos (Q7). (8.45)
Теперь основное уравнение будет таким:
_=...—turn#-,-1 7 8 __1)<^ + Л0. (8.46)
ах \ 1 -\- | в | /
Оно было решено численно при определенных значениях парамет-
параметров.
Чтобы фазовое пространство было трехмерным, обе величины
Q! и Л0 в уравнении (8.46) должны быть отличны от нуля. При
Q! — 0 или Л 0 = 0 уравнение (8.46) можно свести к двум уравне-
уравнениям первого порядка. При R' — 0 уравнение (8.46) имеет стацио-
стационарное решение &s. Предельный цикл появляется тогда, когда это
стационарное решение становится неустойчивым при достаточно
больших значениях Ra. Полагая Ro — 2, со -=.0,5, Ло ~ 0,4,
Q' — 0,4 и изменяя R', получаем схему бифуркаций, представлен-
представленную на рис. 8.10. При значениях R', чуть превышающих значение
R' — 0,16, происходит переход от состояния с утроенным перио-
периодом к хаотическому состоянию по механизму «перемежаемости»
(рис. 8.11). При R' — 0,1610 можно видеть только несколько хао-
хаотических вспышек, прерывающих периодическое движение. Число
224
Глава 8
хаотических вспышек растет с увеличением параметра R'. Хаоти-
Хаотический режим продолжается вплоть до R' « 0,22, после чего на-
наблюдается сложное бифуркационное поведение с участием субгар-
субгармоник. При дальнейшем возрастании R' область перемежаемости
сменяется областью полного хаоса. Этот режим при Rf =•-- 0,18 был
:. 8.11. Временной ход действительной части напряженности поля, а —
: R' = 0,1610; б — при R' — 0,1615; в — при R' = 0,1620. Ясно видна
Рис
при
перемежаемость
исследован разными методами. В энергетическом спектре действи-
действительной части амплитуды электрического поля видны широкие пики.
Хотя вычисления относятся к одномодовому случаю, их результаты
указывают на то, что в многомодовых лазерах хаос может возникать
и без внешней модуляции. В самом деле, в многомодовом лазере
инверсия заселенности, воспринимаемая каждой модой, уже яв-
является модулированной на частотах, равных частотам межмодовых
биений, так что амплитуды одних мод создают вынуждающую силу
для других мод (см. разд. 6.4 и 7.1).
8.7. Одномодовый лазер с инжектируемым
сигналом; хаос, «дышащий» режим, пульсации
В предыдущем разделе мы исследовали влияние инжектируемого
когерентного светового поля. Мы рассматривали случаи, когда ин-
инверсию заселенности и поляризацию атомов можно исключить и
уравнения для лазера сводятся к довольно простому уравнению
для одной лишь величины b (или <$). В этом разделе мы откажемся
от адиабатического приближения и будем рассматривать полную
Иерархия нестабильностей лазерного излучения, хаос 225
систему уравнений для лазера. Основная система уравнений нам
хорошо известна, она имеет вид
(8.47)
Мы будем исходить из полной системы уравнений (8.47), причем
поле <§е возьмем в виде &е~ А ехр [— mot]. Чтобы исключить
множитель ехр [— iaot) из уравнений (8.47), положим
(8.48)
(8.49)
После такой замены получаем
Ж = \—t((o—coo)—х]& + хА—ig&, (8.50)
(8.51)
(8.52)
Чтобы уменьшить число свободно варьируемых параметров, а также
сделать систему (8.50) — (8.52) более удобной для компьютерных
вычислений, нужно ввести перенормированные величины
C = aLdo/{2T); (8.53)
здесь а — ненасыщенный коэффициент поглощения на единицу
длины, L — длина образца, Т — коэффициент пропускания зеркал
(по интенсивности);
T = yt, (8.54)
K = x/v = CT/i?Y. (8-55)
S — полная длина кольцевого резонатора,
V = Y|/Y. (8-56)
Д = (п>—coo)/Y, (8-57)
е = ((о — щ)/у. (8.58)
Управляющими параметрами являются величины С, А, в и у, а
также величина у, которую мы определим ниже.
Сначала отметим, что стационарное состояние системы (8.50) —
(8.52) можно найти аналитически. Нормируем амплитуду падаю-
падающего поля А на квадратный корень из насыщающей интенсивности
и обозначим эту новую величину через у. Амплитуду лазерного
226
Глава 8
поля $, нормированную таким же образом, обозначим :; через х.
Связь между этими величинами дается формулой
ГГ. (8.59)
График этой зависимости (при определенных значениях параметров,
входящих в формулу) приводится на рис. 8.12. Чтобы рассчитать
поведение системы во времени, приходится прибегнуть к помощи
100
50
Рис. 8.12. График зависимости \х\ от у, соответствующий формуле (8.59)
[8.23]. При С = 500, А = в = 5, к = 1 участок АВ является неустойчи-
неустойчивым.
компьютера. В таких вычислениях принималось условие у и = Y-
В дальнейшем мы будем считать, что имеет место резонанс между
модой резонатора (частоты ш) и центральной частотой со линии пе-
перехода, т. е. со = со. При включении внешнего поля выходная ин-
интенсивность начинает регулярно осциллировать с частотой со—соо,
где со0 — частота падающего поля. Средняя интенсивность на вы-
выходе изменяется непрерывно, так что поведение системы представ-
представляет собой прямое продолжение той устойчивой генерации, кото-
которая имелась в отсутствие внешнего сигнала. При дальнейшем росте
величины А в системе начинаются нерегулярные автопульсации
(рис. 8.13). При еще больших значениях А хаотическая картина
становится хорошо развитой (рис. 8.14). Лазерное излучение пред-
представляет собой ряд всплесков, в которых резкий максимум сопро-
сопровождается быстрыми нерегулярными осцилляциями. Дальнейшее
нарастание величины А выводит систему из области хаоса через
последовательность бифуркаций с удвоением периода. Устанав-
Устанавливается обратный порядок нерегулярных автопульсаций
(рис. 8.15). При этом система входит в новый режим. Сначала ам-
амплитуда простых осцилляции непрерывно падает с ростом вели-
величины у; в то же время постепенное растягивание временнбго мае-
Иерархия нестабильностей лазерного излучения, хаос 227
штаба предвещает появление (в узком интервале значений у) «ды-
«дышащего» режима, т. е. устойчивой модуляции огибающей автопуль-
автопульсаций. Временной масштаб картины «дыхания» приблизительно
в 50 раз превышает масштаб простых осцилляции. Возрастание
инжектируемого поля вызывает резкое усиление картины «дыхания»
(«тяжелое дыхание», рис. 8.16) и в конце концов приводит к пичко-
вому режиму (рис. 8.17), в котором за очень узкими пичками сле-
Рис. 8.13. Временной ход нормированной амплитуды \х\ поля на выходе
при С = 500, Д=в=5, к = у = 1 [8.23]. Одно деление по оси абсцисс
равно т. Осциллограмма обнаруживает нерегулярное поведение величины
\х\. Входная амплитуда составляет у = 117.
дуют длительные периоды «молчания». Обычно пички имеют меняю-
меняющуюся высоту максимумов, а временные интервалы между ними
растут, когда величина у приближается к точке поворота для урав-
уравнения состояния (8.59). Наконец, когда у намного превысит вели-
величину г/пор, система быстро достигает стационарного состояния на
верхней ветви (захватывание инжектируемым полем).
Когда параметры выбирались так, что порог инжекционного
захвата лежал за точкой поворота, «дыхание» и пички не наблюда-
наблюдались. Вместо этого происходит постепенное уменьшение амплитуды
автопульсаций, которая в конце концов падает до нуля на инжек-
ционном пороге. (В этом случае период автопульсаций составляет
в единицах т примерно 0,3.)
В разд. 8.4 было сказано, что критерием существования стран-
странного аттрактора является экспоненциальная расходимость нерегу-
нерегулярных траекторий, исходные точки которых были произвольно
228
Глава 8
Рис. 8.14. Тоже, что на рис. 8.13, но при входной]амплитуде у = 250 [8.23]
Обнаруживаются резкие всплески.
Рис. 8.15. То же, что на рис. 8.13 и 8.14, но при входной амплитуде {/=279
[8.23]. Наблюдается учетверение периода.
Иерархия нестабильностей лазерного излучения, хаос
229
Рис. 8.16. Временной ход нормированной амплитуды выходного ^.!
с теми же параметрами, что и на рис. 8.13 [8.23]. При у = 310.3 в системе
наблюдается заметная модуляция огибающей пульсаций.
Рис. 8.17. То же, что на рис. 8.16, но при у = 311 [8.23]. Обнаруживается
пичковый характер излучения,
230 Глава 8
близки друг к другу в фазовом пространстве. Такая экспоненци-
экспоненциальная расходимость действительно была найдена в хаотических
лазерных режимах.
Хаотическое поведение здесь не связано с моделью Лоренца,
так как в случае, когда у — 0, при выбранных нами параметрах
стационарное состояние лазера является устойчивым. Однако можно
взять управляющие параметры, которые будут лежать внутри об-
области неустойчивости Лоренца [она определяется условием
A + ч + V) (ч + 2С) <2х BС—1)]. В этом случае наблюдаются
автопульсации большой амплитуды с признаками нерегулярного
поведения даже при малых значениях амплитуды инжектируемого
поля. Кроме того, в отличие от предыдущего случая здесь нет кас-
каскада удвоения периода при выходе из области хаоса; вместо этого
наблюдается прерывистое поведение такого типа, как показано на
рис. 8.14. Если у возрастает и дальше, мы приходим к простым ос-
цилляциям, после которых пойдет та же последовательность ре-
режимов, что и в предыдущем случае (т. е. «дышащий» режим и пички).
Значение С = 500 не очень интересно с практической точки
зрения, но мы его здесь рассмотрели, поскольку оно дает исключи-
исключительно разнообразные явления. Впрочем, почти такой же набор
решений, как решения, приведенные на рис. 8.13—8.15, можно по-
получить и при значении С — 20. Это значение С уже достижимо
в лазерах с большим усилением. [Правда, в этом случае «дышащий»
режим в резонансе (тх = тс), по-видимому, отсутствует или трудно
выявляется. ]
В общем случае для возникновения хаотического поведения
в данной модели требуется, чтобы константы у, и у были одного по-
порядка величины. В модели Лоренца же (у = 0) требуется выпол-
выполнение условия и >v + V и • Кроме того, возможность получения
хаотической картины сохраняется даже при существенно разня-
разнящихся значениях величин у и уц.
ОПТИЧЕСКАЯ БИСТАБИЛЬНОСТЬ
9.1. Введение
Явление оптической бистабильности, по-видимому, может найти
разнообразные применения в оптических устройствах важного при-
прикладного значения. Поэтому мы остановимся на этом явлении и до-
довольно подробно изложим его теорию. Рассмотрим эксперименталь-
экспериментальную схему, представленную на рис. 9.1. Когерентное световое из-
излучение лазера (поле Et) падает на зеркало, от зеркала частично
отражается, а частично проходит в среду. Здесь оно распростра-
распространяется в виде волны Ег и достигает второго зеркала. Затем тоже
частично отражается (E2)t а частично выходит из системы. Нас ин-
интересует, как связано поле Ет прошедшей волны с полем Et на
входе. В дальнейшем будем считать, что резонатор Фабри—Перо,
изображенный на рис. 9.1, настроен в резонанс (или почти в резо-
резонанс) с полем Ei падающей волны. Если среда отсутствует, то мощ-
мощность прошедшего света 1Т пропорциональна входной мощности Iit
причем коэффициент пропорциональности зависит от расстройки
резонатора и его «резкости» (ширины его резонансов). Качественно
новые явления могут возникать, если резонатор заполнен вещест-
веществом, для которого поле падающего света оказывается резонансным
или почти резонансным. В отличие от обычного случая лазера, ак-
активное вещество которого некогерентно накачивается извне, в на-
нашем случае в отсутствие когерентного поля Ei вещество находилось
бы в основном состоянии. Такое вещество должно поглощать по-
Ет
Рис. 9.1. Схема экспериментального устройства для исследования оптиче-
оптической бистабильиости.
232
Глава 9
падающий на него свет. Но вследствие эффектов насыщения погло-
поглощение может нелинейно зависеть от падающего светового поля.
Таким образом, поле Ет становится нелинейной функцией поля Е(.
Ниже мы увидим, что поведение системы определяется отношением
параметра поглощения aL (где а — ненасыщенный коэффициент
поглощения на единицу длины при условии точного резонанса, а
L — длина поглощающего об-
'' I * ^к. РазИа) к пропусканию зер-
т л ~ кала Т.
Посмотрим, что произой-
произойдет, если увеличивать отно-
отношение aLlT (см. рис. 9.2, где
показана зависимость интен-
интенсивности прошедшего света
от интенсивности падающего).
Как мы видим, наклон кривой
может стать больше единицы,
иными словами, дифференци-
дифференциальное усиление dITldIi мо-
может быть больше единицы.
Если при этом медленно мо-
модулировать интенсивность па-
падающего света, то на интен-
интенсивность прошедшего модуля-
модуляция будет передана в соответ-
соответствии с нелинейным соотноше-
соотношением Ir = IT (Ii) и окажется
усиленной. Таким образом, система действует как оптический тран-
транзистор. Если увеличивать отношение аЫТ еще сильнее, то кривая
1Т = 1Т (Ц), отвечающая стационарным условиям, становится 5-об-
разной. В то время как участки с положительным наклоном яв-
являются устойчивыми, участок с отрицательным наклоном неустой-
неустойчив. Таким образом, имеется определенный интервал значений /(,
в котором система бистабильна. Если медленно увеличивать мощ-
мощность падающего света от нуля до величины, лежащей за областью
бистабильности, а затем изменять ее в обратном направлении, то
мы получим петлю гистерезиса, содержащую ветви с низким и вы-
высоким пропусканием. Такое бистабильное поведение системы обус-
обусловлено как нелинейностью взаимодействия атом — поле, так и об-
обратной связью, создаваемой зеркалами; оно и составит предмет
нашего дальнейшего изучения. Пороговое значение аЫТ, при ко-
котором возникает бистабильноеть, зависит от ряда параметров: от-
отстройки резонатора (относительно частоты поля), отстройки атома,
неоднородного уширения линии и т. Д. Когда поле падающего
света находится в точном резонансе с атомной линией, дисперсия
не проявляется и можно говорить о чисто абсорбционной биста-
-*¦ I;
Рис. 9.2. Зависимость интенсивности If
прошедшего света от интенсивности /^
иа входе при разных значениях пара-
параметра aLlT (возрастающих сверху вниз).
Оптическая бистабильность 233
бильности. В общем случае приходится рассматривать и абсорб-
абсорбционную, и дисперсионную бистабильность. Если же отстройка
атома от резонанса так велика, что можно пренебречь поглоще-
поглощением, мы говорим о чисто дисперсионной бистабильности. Наряду
с указанными выше системами с чисто оптической (собственной)
бистабильностью, исследовались также различные варианты гиб-
гибридных, электрооптических систем. Типичное устройство такого
типа получится, если заменить поглотитель электрооптическим
кристаллом, которым управляет выходное поле и показатель пре-
преломления которого изменяется пропорционально выходной мощ-
мощности. Из сказанного ясно, что такие системы имеют большое бу-
будущее как приборы. Они могут работать как оптические транзи-
транзисторы, элементы памяти, формирователи импульсов, исключающие
шумовую часть падающего света, дискриминаторы, односторонние и
двусторонние ограничители. Назовем еще такое приложение:
система может работать как преобразователь непрерывного излу-
излучения в импульсное (близкая аналогия с импульсами, изучавши-
изучавшимися в разд. 7.4—7.6). Были получены также хаотические режимы.
9.2. Конкретная модель
Для большей ясности далее мы будем говорить об одной конкрет-
конкретной модели, хотя иногда будем затрагивать и более общие случаи.
На первой стадии нашего анализа заменим схему, приведенную на
рис. 9.1, другой схемой, которая кажется более сложной, но допу-
допускает более простое теоретическое описание. Поскольку отклик
среды в резонаторе нелинеен, интерференция поля Ег волны, бе-
бегущей вправо, с полем Е% волны, бегущей влево, приводит к нели-
нелинейным интерференционным эффектам. Мы хотим исключить
их из теоретического рассмотрения. С этой целью рассмотрим уст-
устройство, в котором распространяются волны только одного направ-
направления (рис. 9.3). Мы примем конкретную модель отклика нели-
нелинейной среды, рассматривая двухуровневые атомы с однородным
уширением. Кроме того, мы принимаем, что поля можно задавать
в виде плоских волн.
Примем приближение медленно меняющихся амплитуд и при-
приближение вращающейся волны. Поле в среде разлагаем, как обычно,
на положительно- и отрицательно-частотную части Е(+> и E<-). Урав-
Уравнения для EJ+' и Р<+> — медленно меняющихся амплитуд поля Е(+)
и поляризации Р(+> — были выведены в разд. 5.7 [формулы E.102),
E.103) и E.105)]. Мы возьмем эти уравнения в качестве исходных
и для большего удобства выпишем их заново. Чтобы упростить
обозначения, опустим индекс «0», так что теперь Е и Р — только
медленно меняющиеся амплитуды.
234
Глава 9
Далее предположим, что все векторы одинаково направлены
и перпендикулярны оси г. Уравнение для поля имеет вид
дЕ
{+)
dt дг 2е0
Отклик среды на поле описывается материальными уравнениями
'D, (9.2)
i?. = Y|1 (Do—D) —
5/ *#
(9.3)
Мы включили в уравнения расстройку между частотой атомного
перехода со и частотой падающего поля юв (= ш в наших прежних
е: У
\
/ г-
О
1
•
V
\
1
ч
1
\ >
2
3
Ет
\
Рис. 9.3. Схема экспериментального устройства, принятая для модельных
расчетов [9.5]. 1 и 2 — полупрозрачные зеркала, 3 и 4 — полностью отра-
отражающие зеркала; V — среда.
обозначениях). В силу граничного условия на зеркале 1 эта ча-
частота будет воспроизведена в осцилляциях поля и поляризации
в среде. В отличие от случая лазера, где величина Do была больше
нуля, здесь мы считаем, что накачки нет, так что
Do= —N/V (N — полное число атомов). (9.4)
Напомним читателю, что D — плотность инверсии:
D = {Ni~N1)IV. (9.5)
Чтобы полностью сформулировать задачу, мы должны дополнить
уравнения граничными условиями. Допустим, что расстояние ме-
между выходом из среды и зеркалом 2 пренебрежимо мало; тогда гра-
граничное условие имеет вид
t), (9.6)
Оптическая бистабильность 235
где Т — пропускание зеркала. Соответствующее граничное усло-
условие на зеркале 1 имеет вид
?@, t) = <s/TE, + Rexp\ — i&0\E{L, t—M) (9.7)
(R = 1—T — коэффициент отражения). Здесь мы учли, что поле
Е (L, t) возвращается в среду. От соотношений (9.6) и (9.7) легко
перейти к аналогичным соотношениям для ?(+).
Очевидно, что второе слагаемое в выражении (9.7) обеспечивает
обратную связь. В нем R — коэффициент отражения зеркала,
б0 — фазовый сдвиг, который дается формулой
б0-——, (9.8)
а Д^ — временное запаздывание, равное времени прохождения
света от зеркала 2 через зеркала 3 и 4 к зеркалу 1, т. е.
&t = Bl + L)lc. (9.9)
Величина шс — частота моды резонатора, самая близкая к частоте
поля падающего света, а длина 9? составляет
W). (9-10)
9.3. Стационарный режим для модели
из разд. 9.2
Стационарный режим характеризуется условием
°- (9Л1)
Нетрудно убедиться, что Р(+) и D тоже можно выбрать не завися-
зависящими от времени. В полной аналогии с нашим выводом для слу-
случая одномодового лазера здесь можно выразить поляризацию и
плотность инверсии через ?(+) и ?'<~) (ср. с разд. 6.2). Подставляя
это выражение вместе с (9.11) в (9.1), мы немедленно получаем урав-
уравнение
(9.12)
Х(||),
dz
где % — величина, которая дается выражением
(9.13)
Смысл величины % известен из электродинамики. Она представляет
собой комплексную диэлектрическую восприимчивость:
(9.14)
236 Глава 9
где %а и %d — абсорбционная и дисперсионная компоненты. Вели-
Величины, входящие в (9.13), определяются следующим образом. Ве-
Величина Д — это измеренная в единицах у расстройка между ча-
частотой падающего света ю0 (s= со) и частотой атомного перехода ш:
¦ Д = (п>—со„)/у. (9.15)
Величина /s — интенсивность насыщения, определяемая формулой
. (9.16)
Если мы в (9.13) положим Д = 0 и будем считать, что поле ?(+> очень
мало, то получим
Х=«. (9-17)
Из этой формулы и формулы (9.14) становится ясно, что а имеет
смысл коэффициента поглощения. В рамках выбранной нами мо-
модели (9.1) — (9.3) легко получить явное выражение для а, оно
имеет вид
а. (9.18)
2sohVcy v ;
Чтобы разъяснить физический смысл наших результатов, мы рас-
рассмотрим частный случай, когда падающее излучение, атомы и ре-
резонатор находятся в точном резонансе. Введем безразмерную ам-
амплитуду поля F:
Р= ?+ = 21 е
Тогда уравнение (9.12) принимает форму
^? (9.20)
dz
причем мы здесь предположим, что поле — действительная вели-
величина. Выполним перенормировку амплитуд падающего и прошед-
прошедшего полей, аналогичную (9.19); при этом будут введены новые ве-
величины у, х:
После этого исходные соотношения (9.6) и (9.7), определяющие гра-
'Ничные условия, принимают вид
x = F(L), (9.23)
F{0)=Ty + Rx. (9.24)
Оптическая бистабильность
237
Не составляет труда решить дифференциальное уравнение первого
порядка (9.20) и выразить F через г. Получаем
F@)
In
(9.25)
Объединяя уравнения (9.23) — (9.25), находим точное соотношение
между полем х прошедшего и полем у падающего света:
Мы видим, что это уравнение содержит два параметра aL и Т. Ре-
Решение уравнения (9.26) можно найти путем графических построе-
построеРис. 9.4. Примерная кривая зави-
зависимости нормированного поля F @)
при г = 0 от поля F (L) = х при
z = L (передаточная функция среды
в стационарном состоянии) [9.5]. При
R = 0 имеем F @) = у. Величины х
и у пропорциональны полям прошед-
прошедшего (Ej-) и падающего (Е f) света.
При заданном R значение функции
х = х (у) дается точками пересечения
кривой с прямой линией F @) =
= RF (L) + Ту.
10
Рис. 9.5. График зависимости поля
прошедшего света от поля падающего
для стационарного режима при фик-
фиксированном значении C = aL/2T (С =
= 10) и различных значениях ocL и
Т [9.5]. При aL -*¦ 0 кривые при-
приближаются к зависимости, предска-
предсказываемой теорией среднего поля,
а — при aL = 20, Т = 1; Ь —при
aL = 10, Т = 0,5; с — при aL = 2,
Т = 0,1; d — «среднее поле», С= 10.
ний (рис. 9.4). Стационарные значения х даются точками пересе-
пересечения прямой линии (9.24) с кривой (9.25). Прямая (9.24)—это
граничное условие для резонатора. Кривая (9.25) — передаточная
функция среды, которая связывает поле при 2 = 0 с полем при
г = L. Она не имеет ни максимумов, ни минимумов, но имеет точку
перегиба. Тангенс угла наклона касательной (Rc) в точке перегиба
заключен в пределах 0<^с<:1. Величина Rc зависит только от
238 Глава 9
a.L. При R <.RC имеется только одна точка пересечения при любых
значениях у. При R >RC имеется область значений у, для которых
пересечение происходит в трех точках: ха <Cxb <_xc. Точки ха и хс
оказываются устойчивыми, а точка хь — неустойчивой. Таким об-
образом, мы здесь имеем бистабильную ситуацию. Если построить
график зависимости стационарных значений х от поля у падающего
света, то получим S-образную кривую (рис. 9.5), которая приводит
к гистерезису. Из изложенного ясно, что бистабильность обуслов-
обусловлена совместным действием нелинейного пропускания среды [урав-
[уравнение (9.25)] и обратной связи на зеркалах [уравнение (9.24)].
Обратная связь необходима, поскольку при R = 0, как видно из
рис. 9.4 и 9.5, бистабильность не возникает.
9.4. Случай произвольной восприимчивости
Теперь мы хотим вывести общее выражение для пропускания резо-
резонатора. Пропускание определяется как отношение интенсивности
прошедшего света к интенсивности падающего:
Т=1т/1,. (9.27)
Мы определяем эти интенсивности формулами
I, = | ?<+> |2, (9.28)
/г = |?(+>|2. (9.29)
Поле мы представим в более общем виде. Поскольку теперь поле
может быть комплексным, напишем
?(+)(г) = р(г) ехр [йр(г)] (9.30)
и, подставив это выражение в (9.12), получим
р, (9.31)
Йф-=-хЛР2). (9-32)
dz
Используя (9.6) и (9.7), получаем для пропускания (9.27) выраже-
выражение
- RY + 4flTisirv> JJL [ф (Ц - Ф @) - в0]
(9.33)
где для краткости мы ввели обозначение
ri = p(O)/p(L), (9.34)
причем
ц>1. (9.35)
Оптическая бистабильность 239
Рассмотрим теперь несколько частных случаев. Если резонатор
пустой, так что %а = xd — 0,' то г] = 1 и р (L) = р @). При этом
выражение (9.33) сводится к виду
1 (9-36)
1 + |~4Я sin2 Г— 8В\] / Г2
L V 2 )I
т. е. к обычной зависимости пропускания от расстройки резона-
резонатора б0.
- В частном случае двухуровневых атомов, который мы рассмат-
рассматривали выше, выражению (9.33) можно придать несколько более
конкретную форму. Для этого введем нормированные интенсивно-
интенсивности падающего и прошедшего света:
Y = 1JF > (9-37)
=-?r, (9.38)
где /s — величина, определенная выше [формула (9.16)]. Из урав-
уравнений (9.31) и (9.32), используя (9.6), (9.7), (9.13), (9.14) и (9.1-9),
получаем
Х = —-—[aL—A + Д2Iпт1], (9.39)
ТJ— 1
<p(L) —<р@)=Д1пт1. (9.40)
Если решить уравнение (9.39) относительно х\, то можно найти
функцию г] (X). Поэтому, подставив (9.39) в (9.33), получим выра-
выражение для пропускания в зависимости от нормированной интенсив-
интенсивности прошедшего света:
Т = — = . (9.41)
Y ft (X) - R]* + 4т| (X) R sin^ Г-L (Д In n(X) - 6„I
Итак, здесь вид функции °Г (X) определяется зависимостью г\ от X.
В частности, при больших X величина г\ стремится к единице, так
что пропускание становится постоянным и равным пропусканию
пустого резонатора (9.36). Если дисперсия преобладает над по-
поглощением, то при соответствующих условиях «выживает» один
или несколько резонансов. Возможность возникновения мульти-
стабильности (рис. 9.6) зависит от числа осцилляции у функции
Как явствует из выражения (9.39), величина г\ представляет собой
монотонно убывающую функцию переменной X и изменяется в диа-
240
Глава 9
пазоне от 1 до ехр [аЫ(\ + А2)]. Из этого следует, что величина
A In I]—60 изменяется от — б0 до aLA/(l + А2) — б0. Стало быть,
число осцилляции синусоидальной функции определяется пара-
параметром cxLA/(l + Д2).
60
i.0
Рис. 9.6. Оптическая мультистабильность (х = УX — нормированное поле
прошедшего света). Для всех кривых С = 900, Д == 5, в = 0,05. Кривая а
соответствует случаю однородного уширения (Т*2 = оо); кривая b — значе-
значению уТ% = !'• кривая с — значению уТ*2 — 0,5. При увеличении неоднород-
неоднородного уширения мультистабильность, как нетрудно видеть, исчезает.
Уравнение (9.41) можно переписать таким образом:
Y = X(r\)-±r j(n-ЯJ + 4Ят|sin2 [-L(A Inтг,.—6
Уравнениями (9.39) и (9.42) задается параметрическое представле-
представление X = X (r\), Y = Y (ti) функции X (Y), выражающей интен-
интенсивность прошедшего света через интенсивность падающего.
Стационарное решение в приближении «среднего поля»
Далее мы будем рассматривать исключительно двухуровневые атом-
атомные системы. В общем случае восприимчивость имеет вид
x(|?l2b-«x(im (9.43)
где а и F — величины, которые определяются формулами (9.18)
и (9.19). Ясно, что стационарное решение становится особенно
простым при czL <С 1, поскольку в этом случае, как видно из урав-
уравнений (9.31) и (9.32), поле практически не изменяется в простран-
пространстве. Если говорить точнее, то нужно перейти к пределу по несколь-
нескольким параметрам
aL->0, Т^0, 6о^0, (9.44)
Оптическая бистабильность 241
соблюдая условия
C=saL/BT) постоянно,
eA ^-м° постоянно.
Нетрудно получить стационарное решение в пределе (9.44). Дейст-
Действительно, в первом порядке по at из (9.31), (9.32) и (9.35), (9.44)
следует
(9.45)
Подставляя (9.45) в (9.33), в пределе (9.44) получаем
Т={[1+2С11(Х)]* + [в-2СЪ(Х)]г}-1, (9.46)
а поскольку 3" = XIY, мы имеем
1 й. (9.47)
Предельный случай (9.44) в литературе по оптической бистабиль-
ности называется «приближением среднего поля». Для однородно
уширенной системы из (9.13) получаем
(9.48)
В частном случае А — в = 0 соотношение (9.48) можно перепи-
переписать, выразив обе части через амплитуды, а не через интенсивности:
. (9.49)
Уравнения (9.48) и (9.49) можно было бы также вывести из точных
решений (9.39), (9.42) и (9.26), выполнив предельный переход (9.44).
Поясним физический смысл условий (9.44). Прежде всего, «L -> О
(т. е. а -> 0) — это предел слабого взаимодействия между полем
и атомами. Но если устремить к нулю только ocL, оставляя Т ко-
конечным, то С обратится в нуль и мы получим решение для пустого
резонатора Y = X A + @2). Если же устремить к нулю также и Т,
то параметр С будет произвольным и в формуле (9.47) мы сохраним
нелинейные члены, из-за которых возникают все интересные яв-
явления. Физический смысл условия Т->-0 состоит в том, что сред-
среднее время жизни 3?1сТ фотонов в резонаторе оказывается бесконеч-
бесконечным, так что фотоны могут взаимодействовать с атомами, даже если
взаимодействие становится исчезающе малым. Наконец, предел
0
cT!2?
242
Глава 9
означает, что расстройка резонатора должна быть меньше межмодо-
вого расстояния, но одного порядка величины с шириной линии
резонатора k, определяемой формулой
k = cTI?. (9.50)
Из рис. 9.7 видно, как результаты приближаются к кривой (9.48)
в пределе (9.44). Участки кривых с отрицательным наклоном не-
неустойчивы, так что возникают
петли гистерезиса. Кривая е на
рис. 9.7, а построена по формуле
(9.48) при С = 50, Д = 0 = 0
(чисто абсорбционный случай);
кривая е на рис. 9.7, б построена
по формуле (9.48) при С = 50,
А = 10, 0 = 2,25 (дисперсионный
случай). На обоих рис. 9.7, а и б
кривыми а, Ь, с, d представлено
точное решение уравнений (9.39)
л (9.42) при разных значениях
aL и пропускания, выбранных та-
таким образом, чтобы отношение
С = aL/BT) было постоянным и
равнялось 50. При больших зна-
значениях aL и Т, как на кривой а,
бистабильность отсутствует, а при
уменьшении aL и Т бистабильное
поведение усиливается. При этом
мы подходим все ближе к резуль-
результату (9.48) («среднее поле»), ко-
который оказывается хорошим при-
приближением уже при aL « 1. При
фиксированных С и Т кривая
«среднего поля» дает более точное
приближение в дисперсионном слу-
случае (рис. 9.7, б), чем в абсорб-
абсорбционном (рис. 9.7, а). Это объяс-
объясняется тем, что в дисперсионном
случае поглощение уменьшаете
и изменения амплитуды поля в
пространстве даже при больших aL
оказываются не очень сильными.
В следующих двух подразделах
мы проанализируем уравнение состояния в приближении среднего
поля (9.48), которое выражает интенсивность падающего света че-
через интенсивность прошедшего. Оно зависит от трех параметров:
параметра «кооперативности» С, атомной расстройки А и расстрой-
Рис. 9.7. Графики зависимости
амплитуды х = л/X поля прошед"
шего от амплитуды у поля падаю-
падающего света в случае однородного
уширения [9.5]. Кривые а, 6, с,
d — точное стационарное решение
[формулы (9.39) и (9.42)]; кривая
е — решение в приближении «сред-
«среднего поля». Графики: а — при
С = 50, Д = в = 0; б — при С =
= 50, Д = 10, в = 2,25. Кривые:
а — при aL == 100, Т = 1; Ь —
при aL =50, Т — 0,5; с — при
aL = 20, Т = 0,2; d — при aL =
= 10, Г = 0,1.
в
Оптическая бистабильность 243
ки резонатора в. При сопоставлении (9.48) с экспериментальными
данными нужно заменить определение (9.44) величины С сле-
следующим:
C=-aLJ/2n, (9.51)
где J — отношение межмодового расстояния к ширине моды пу-
пустого резонатора, т. е. «резкость» последнего. Уравнение (9.48),
в отличие от уравнений (9.39) и (9.42), никогда не приводит к мульти-
стабильности, самое большее, что оно может дать — это бистабиль-
бистабильность.
Условие бистабильности в резонансном случае (приближение «сред-
«среднего поля»)
Поле внутри резонатора, вообще говоря, сильно отличается от
поля падающего света, так как имеется поле реакции, коопера-
кооперативно создаваемое атомами и противодействующее полю падаю-
падающего света.
В чисто абсорбционном резонансном случае А = в = 0 стацио-
стационарный режим описывается формулой (9.49). Нелинейный член
2Сх/A + х2) возникает из-за наличия поля реакции, т. е. из-за атом-
атомных кооперативных эффектов, мерой которых является параметр С
При очень больших х уравнение (9.49) переходит в решение для
пустого резонатора х = у (т. е. ЕТ = Е,). Атомная система насы-
насыщается настолько, что среда «просветляется». В этой ситуации каж-
каждый атом взаимодействует с падающим полем так, как если бы дру-
других атомов не было; это — некооперативное поведение, и квантово-
статистическое рассмотрение показывает, что атом-атомные корре-
корреляции здесь пренебрежимо малы. При малых же х уравнение (9 49)
сводится к соотношению у = BС + 1) х. Линейность в этом соот-
соотношении связана с тем простым обстоятельством, что при малых
внешних полях отклик системы линеен. В этой ситуации атомная
система не насыщается; при больших С кооперативное поведение
атомов доминирует, и мы имеем сильную атом-атомную корреля-
корреляцию. Кривые у (х), которые получаются при различных С, анало-
аналогичны кривым Ван-дер-Ваальса для фазового перехода жидкость
пар, причем величины х, у и С играют роль давления, объема и тем-
температуры соответственно.^ При С <4 величина у является монотон-
монотонной функцией переменной х, так что бистабильность не возникает
(рис. 9.8). Однако для части кривой дифференциальное усиление
dxldy оказывается большим единицы, т-ак что в этой ситуации воз-
возможен транзисторный режим. Действительно, если интенсивность
падающего света адиабатически модулируется и среднее величины
/7 таково, что dITldI, = (x/y) dx/dy >\, то в прошедшем из-
излучении модуляция будет усилена.
При С = 4 (критическая кривая) график имеет точку перегиба
с горизонтальной касательной. Наконец, при С >4 на кривой по-
244
Глава 9
являются максимум и минимум, которые при С ^> 1 соответствуют
точкам
(*м«1, ум «С) и Om«V2C- г/т«л/8С)-
Таким образом, при ут <Су <Сум мы получаем три стационарных
решения ха <.Хь <хс. Как показывает более подробный анализ,
решения хь на участке кривой с отрицательным наклоном неустой-
Критическия
изотерма
Оптический
тра нзистор
Ха Хм ХЬ Хт Хс Х~ЕТ
Рис. 9.8. График, соответствующий уравнению состояния (9.49) для случая
чисто абсорбционной бистабильности, когда 6 = 0, при разных значениях
параметра бистабильности С [9.5].
чивы. Поэтому мы имеем бистабильную ситуацию и, поменяв ме-
местами оси х и г/, можем немедленно получить петлю гистерезиса
для зависимости интенсивности прошедшего света от интенсивно-
интенсивности падающего. Поскольку кооперативное поведение атомов преоб-
преобладает при х = ха и пренебрежимо мало при х — хс, мы будем на-
называть решение с х = ха «кооперативным стационарным режимом»,
а решение с х = хс «одноатомным стационарным режимом», как это
принято в литературе.
Условия бистабильности в общем случае (приближение «среднего
поля») i
Рассмотрим теперь уравнение (9.48) при произвольных значениях
Айв. Мы принимаем, что Ав >0, поскольку при Дв <0 биста-
бильность получить труднее. Для определенности будем считать,
что А, в > 0, но ситуация не изменится, если одновременно изме-
Оптическая бистабильность 245
нить знак у А и в. Функция Y (X), определяемая формулой (9.48),
всегда имеет одну точку перегиба при
Хпер= 2с+де1 (Д2 + 1)- (9-52)
<0. (9.53)
Условия возникновения бистабильности имеют вид
dY
dX
Первое условие гарантирует, что точка перегиба лежит в физиче-
физической области X >0, а второе выделяет те значения параметров, при
которых кривая Y (X) имеет максимум и минимум. При Ав >0
первое из условий (9.53) означает
— ОДе —1. (9.54)
Второе условие дает
BС— Ав + IJ (С + 4Дв —4)>27С (А + вJ. (9.55)
Анализ условий (9.55) и (9.54) приводит к следующим выводам.
1. Бистабильность невозможна при С <С4.
2. При заданном С >4 наибольшая петля гистерезиса получается,
когда А = в = 0, а бистабильность существует только в конеч-
конечной области плоскости {А, 6} в окрестности начала координат.
3. Если С и А остаются постоянными, а С удовлетворяет условию
(9.55) при в = 0, то с ростом в петля гистерезиса увеличивается,
пока не достигнет максимума, а затем уменьшается. В конце кон-
концов петля исчезает при значении величины в, превышающем,
BС + 1)/Д [формула (9.54)].
4. Если С ;>4 фиксировано, а А и в одновременно изменяются,
нарастая от нуля, причем отношение А/9 сохраняется постоянным,
то петля гистерезиса для кривой X (К) сдвигается влево и умень-
уменьшается в размерах, пока не исчезнет.
Итак, если в однородно уширенной двухуровневой системе
при 6 = 0 невозможна абсорбционная бистабильность, то диспер-
дисперсионная бистабильность невозможна ни при каких Айв. Это ут-
утверждение не относится к неоднородно уширенным системам
(Т*2 < оо). При фиксированных А, в и неоднородном времени ре-
релаксации Т2 мы можем получить бистабильность, если величина С
превышает некоторое значение С„ин, зависящее от А, в и Т*2.
Величина Смии резко возрастает с ростом (Т*2)~1. Существенно
следующее: при (уТ^)'1 <? 1 можно найти такие значения С, что
система не является бистабильной при А = в = 0, но становится
бистабильной при достаточно больших Аи в. Иными словами,
246 Глава 9
при этих значениях Т* и С нельзя получить абсорбционную биста-
бильность, можно — только дисперсионную.
До сих пор мы рассматривали явления гистерезиса, которые
возникают при изменении интенсивности падающего ноля и по-
постоянных параметрах С, А и в. Но можно, разумеется, говорить
о явлениях гистерезиса, возникающих при постоянном У и варьи-
варьировании С, или А, или 0, или каких-либо из этих параметров
вместе. Например, можно было бы поставить эксперимент, в кото-
котором адиабатически перестраивалась бы частота падающего поля,
что приводило бы к совместному изменению величин Айв.
Сопоставление абсорбционной и дисперсионной бистабильности
Как уже было сказано, чисто абсорбционную бистабильность мы
получаем в том случае, когда атомная расстройка А равна нулю.
Чисто дисперсионная же оптическая бистабильность возникает
при больших расстройках А, когда можно пренебречь абсорбцион-
абсорбционной частью нелинейной восприимчивости и уравнение состояния
(9.47) принимает вид
. (9.56)
В случае однородно уширенной двухуровневой системы формула
(9.56) служит хорошим приближением для формулы (9.47) при
Да»1, Д6»1, А» в. (9.57)
Если, кроме того, выполняется условие
2С —1«1, (9.58)
Д0
то уравнение (9.56) в свою очередь сводится к виду
(9.59)
Уравнение (9.59) — это частный случай «кубической модели» чисто
дисперсионной бистабильности
Y^X[l-\ (В—АХ)% (9.60)
в которой бистабильность имеет место при В > д/3- Уравнение
(9.60) пригодно для описания оптической бистабильности некото-
некоторых материалов, например (в определенном приближении) среды
с нелинейностью Керра.
Перейдем теперь к физическим механизмам, которые приводят
к гистерезису при абсорбционной и дисперсионной бистабильности.
В абсорбционном случае будем рассматривать для простоты резо-
резонансную ситуацию 6 = 0. На «кооперативной» ветви (т. е. ветви
с более низким пропусканием) пропускание мало из-за того, что
Оптическая бистабильность 247
насыщающийся поглотитель очень сильно понижает добротность
резонатора Q. Большая часть падающего света отражается от ре-
резонатора. При возрастании поля падающего света поглотитель на-
начинает насыщаться, что приводит к увеличению Q. В результате
этого увеличивается внутреннее поле, которое еще больше усили-
усиливает насыщение, и т. д., пока поглотитель не просветлится на-
настолько, что установится равенство /г « 1,. Если же система на-
находится на «одноатомной» ветви (т. е. ветви с более высоким пропу-
пропусканием) и интенсивность падающего света уменьшается, то поле
внутри резонатора уже является достаточно сильным, чтобы по-
поглотитель оставался насыщенным, и поэтому проходящий свет «вы-
«выключается» при более низкой падающей мощности, чем та, которая
была бы нужна для включения, что и дает гистерезис.
В случае чисто дисперсионной оптической бистабильности дейст-
действует совсем иной механизм. В пустом резонаторе пропускание низ-
низкое из-за того, что частота пустого резонатора сос отстроена от ча-
частоты падающего света со0. Если атомная расстройка и расстройка
резонатора одного знака, то при возрастании поля падающего света
нелинейный показатель преломления изменяет эффективную оп-
оптическую длину резонатора в сторону резонанса. В результате уве-
увеличивается внутреннее поле, которое еще сильнее сдвигает эффек-
эффективную частоту резонатора со^ = сос —х%а (X) к частоте падающего
поля, и так происходит до тех пор, пока не будет достигнут резо-
резонанс, так что 1Т « I,. Если же система находится на ветви с боль-
большим пропусканием и интенсивность падающего света уменьшается,
то внутреннее поле уже является достаточно сильным для поддер-
поддержания резонанса, что опять дает гистерезис.
Чтобы завершить обсуждение стационарного режима, разъяс-
разъясним относительные преимущества абсорбционной и дисперсионной
бистабильности. Прежде всего ясно, что дисперсионная оптическая
бистабильность достигается легче в основном по двум причинам:
а) она не требует насыщения среды, что можно видеть из кубиче-
кубической модели (9.60); б) в случае абсорбционной оптической биста-
бистабильности трудно поддерживать резонанс между падающим светом
и атомами в течение такого времени, за которое система успеет до-
достигнуть стационарного состояния, из-за «дрожания» лазерной ча-
частоты.
Как мы видели в предыдущем разделе, при однородном ушире-
нии абсорбционная оптическая бистабильность имеет то преиму-
преимущество, что она дает больший цикл гистерезиса при фиксированном
С, если А = в = 0. Но это не относится к случаю неоднородного
уширения. Кроме того, даже при однородном уширении переклю-
переключение с ветви с низким пропусканием на ветвь с высоким пропуска-
пропусканием происходит при меньших значениях входного поля, если А
и 0 отличны от нуля. Это—существенное преимущество хотя бы по-
потому, что наличие в поглотителе слишком сильного поля может
248 Глава 9
приводить к нежелательным эффектам, например к чрезмерному
нагреванию среды.
Однако для теории, а значит, и для сравнения эксперимента
с теорией абсорбционная оптическая бистабильность при 6 = 0 го-
гораздо проще, так как в уравнениях (9.1) — (9.3) все поля можно
считать действительными величинами. Именно поэтому в большин-
большинстве теоретических работ рассматривается абсорбционный случай.
9.5. Заключение
В этой главе я попытался изложить в общих чертах некоторые ос-
основные идеи в области оптической бистабильности, близко придер-
придерживаясь первой части статьи Луджато [9.5]. В литературе можно
найти исследования других явлений, в особенности для предель-
предельного случая (9.44). На основе разложения поля Е по модам резона-
резонатора были выведены уравнения, очень близкие к уравнениям по-
полуклассической теории для многомодового лазера. Их точное или
приближенное решение позволяет изучать переходные процессы.
При этом выявляются такие качественно новые явления, как воз-
возникновение импульсов или хаоса при постоянной интенсивности
падающего света. Проведен также подробный квантовомеханиче-
ский анализ этих явлений. Но все это выходит за рамки нашей
книги. Впрочем, можно отметить, что методы, используемые при
таком подходе, либо полностью аналогичны методам, которые мы
изложили здесь применительно к лазеру, либо могут рассматри-
рассматриваться как их определенное развитие, как, например, метод «оде-
«одетых» мод Луджато и Бенца. Для более подробного ознакомления
с результатами, упомянутыми выше, мы отсылаем читателя к ли-
литературе, в особенности к статье Луджато [9.5].
10
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ЛАЗЕРА I
Первоначальный подход,
основанный
на ивантовомеханичесиом
уравнении Ланжевена
10.1. Почему квантовая теория лазера!
Полуклассическая теория лазера, которую мы представили в пред-
предшествующих главах, позволила нам объяснить и даже предсказать
многие свойства лазерного излучения. Однако из этой теории сле-
следовало, что лазерная генерация устанавливается при накачке,
превышающей определенный порог, а ниже этого порога вообще
не возникает никакого излучения. Этот вывод нельзя считать удов-
удовлетворительным, поскольку даже без выполнения условия генера-
генерации испускание света возможно, а именно свет излучают обычные
лампы. Адекватная теория лазера должна описывать переход от
излучения обычных ламп к лазерному излучению, она должна ох-
охватывать излучение лампы как частный случай. Таким образом,
становится очевидным, что мы упустили важный аспект теории ла-
лазеров. Чтобы разъяснить постановку вопроса, рассмотрим более
внимательно явление испускания света обычными источниками.
Как мы знаем, свет испускается возбужденными атомами при
спонтанных переходах х). Такое излучение нельзя получить в рам-
рамках теории, которая описывает свет классически. Спонтанное из-
излучение возбужденных атомов может быть адекватно описано только
в том случае, если проквантовать световое поле. Мы знаем также,
что затухание классической или квантовой величины всегда сопро-
сопровождается флуктуациями. Пусть, например, световое поле в резо-
резонаторе затухает из-за пропускания зеркал. Мы должны ожидать
при этом флуктуации амплитуды светового поля. Как флуктуации,
связанные со спонтанным излучением, так и флуктуации, обуслов-
обусловленные потерями в резонаторе, не учитываются в полу классиче-
классических уравнениях лазера. Мы увидим, что становится необходимым
полностью квантовое описание лазера, если мы хотим объяснить
различие между лазером и обычной лампой. Флуктуациями лазер-
лазерного излучения фундаментальным образом определяются свойства
когерентности лазерного света. Если же рассматривать свойства
х) В данной главе при переводе исключены многочисленные ссылки на
т. 1, который иа русский язык не переводился.— Прим. ред.
250 Глава 10
лазерного излучения не с точки зрения оптики, а с позиций элек-
электроники, то следует говорить о шумовых характеристиках, а не
о когерентности.
Наконец, если рассматривать свет лазера как состоящий из
фотонов, то мы должны учитывать статистику фотонов. Полностью
квантовое описание лазера важно не только с точки зрения свойств
излучения, его когерентности, шумов и статистики фотонов. Оно
имеет фундаментальное значение в теории лазера. Такое описание
позволяет вывести уравнения лазера из первых принципов.
Поскольку строгая теория лазера достаточно сложна, мы ра-
разобьем наше рассмотрение на два этапа. В данной главе мы будем
оперировать с квантовомеханическими уравнениями Ланжевена.
Это даст нам возможность найти наиболее интересные и важные
характеристики лазерного излучения, а именно его когерентность,
шумы и статистику фотонов, способом, который достаточно легко
понять и который позволит провести прямое сравнение с экспери-
экспериментальными данными. В гл. 11 мы разовьем другой подход к кван-
квантовой теории лазерного излучения, на этот раз основанный на урав-
уравнении для матрицы плотности. Уравнение для матрицы плотности
будет преобразовано в обобщенное уравнение Фоккера—Планка, а
последнее затем будет приведено (при выполнении определенных
условий) к уравнению, которым мы будем пользоваться в разд. 10.5.
Читатели, которых не слишком интересуют детали такого квантово-
механического вывода, могут пропустить гл. 11. Для читателей,
недостаточно знакомых с квантовой теорией, особенно с теорией
квантованных полей, мы приведем следующее важное соображе-
соображение. Из чтения последующих разделов читатель скоро обнаружит,
что квантовые уравнения лазера очень похожи на полуклассиче-
полуклассические уравнения. Действительно, квантовые уравнения лазера имеют
почти такой же вид, как полуклассические, различие лишь в на-
наличии дополнительного члена, представляющего флуктуационные
силы. Хотя соответствующие уравнения являются операторными,
их физический смысл можно объяснить, оставаясь на классических
позициях.
10.2. Гамильтониан лазера
В этом разделе мы выведем квантовые уравнения лазера из «первых
принципов». Для этого рассмотрим лазерную систему более под-
подробно. Прежде всего лазер состоит из вещества, содержащего ак-
активные атомы (или другие квантовые системы). Мы знаем, что в ре-
резонаторе может быть поле. Далее мы знаем, что атомы и поле взаи-
взаимодействуют друг с другом. При квантовомеханической формули-
формулировке вначале всегда следует написать гамильтониан, который
в классической трактовке представляет собой энергию. В квантово-
механическом описании гамильтониан становится оператором Га-
Квантовая теория лазера I 251
мильтона. Ниже мы выпишем явный вид операторов Гамильтона,
но предварительно введем некоторые обозначения. Гамильтонов
оператор поля будем обозначать через Н/, оператор атомов — че-
через НА, а оператор, описывающий взаимодействие атомов с по-
полем,— через НЛ[. Однако этих операторов недостаточно для описа-
описания лазера. Дело в том, что поле связано с зеркалами, которыми
обусловлены затухание и флуктуации поля. Мы будем представ-
представлять зеркала и все другие системы, с которыми поле может взаимо-
взаимодействовать (кроме активных атомов), тепловым резервуаром (тер-
(термостатом) .
Атомы тоже взаимодействуют с термостатами. Они накачи-
накачиваются извне, а их возбуждение может сниматься за счет различных
каналов распада. Например, возбужденные атомы могут совершать
безызлучательные переходы или радиационные переходы с излу-
излучением в нелазерные моды светового поля. Движение электронов
в атомах может испытывать возмущения при взаимодействии с ко-
колебаниями решетки или при атом-атомных соударениях. Все эти
эффекты могут быть учтены при соответствующем выборе термоста-
термостатов, с которыми атомы будут связаны.
Для дальнейшего существенно, что нам не требуется сведений
о конкретной физической природе этих термостатов. Для нашего
анализа достаточно будет знания только некоторых характеристик
термостатов, о чем будет сказано ниже.
Мы обозначим гамильтонианы термостатов типа 1 через HBt,
а типа 2— через #в,- Далее, обозначим гамильтониан взаимо-
взаимодействия термостата типа 1 с полем символом Яд,_/, а гамильто-
гамильтониан взаимодействия термостата типа 2 с атомами — символом
Нв.-л-
В соответствии с основными правилами квантовой механики га-
гамильтониан полной системы можно получить, просуммировав от-
отдельные вклады, так что полный гамильтониан имеет вид
H^H; + HA-i н^-гНвг'-Нв^-'-Нв, '-Нв^-а- (ЮЛ)
Еще раз подчеркнем, что гамильтониан —это оператор.
Теперь мы должны привести явный вид гамильтонианов. По-
Поскольку случай одной моды дает все нужные нам характерные за-
закономерности, мы только этот случай и будем рассматривать. Пред-
Представим напряженность электрического поля в резонаторе в виде
)sinkx. A0.2)
В классическом подходе величины Ь+ и b — зависящие от вре-
времени амплитуды. Теперь же они становятся операторами, для ко-
которых выполняется коммутационное соотношение
ЬЬ+ — Ь+Ь=\. (Ю.З)
252 Глава 10
С помощью этих операторов энергия квантованного поля может быть
записана в виде
Hf^twb+b. A0.4)
Операторы Ь+ и b описывают рождение и уничтожение фотона рас-
рассматриваемой моды поля. Наряду с рождением и уничтожением
фотонов мы должны включить в рассмотрение такие же процессы
для электронов. Рассмотрим одиночный атом с двумя уровнями 1
и 2. Рождение электрона на уровне 1 описывается оператором рож-
рождения а+, а на уровне 2 —оператором а+. Уничтожение же элек-
электрона на уровнях 1 или 2 описывается операторами уничтожения
аг или а2. Для полноты отметим, что для этих операторов выпол-
выполняются коммутационные соотношения
A0.5)
A0.6)
k k kp A0.7)
где / и k могут принимать значения 1 или 2. Гамильтониан одного
атома, который мы обозначим символом На, следующим образом
выражается через эти операторы:
. A0.8)
Величина W,- — это энергия электрона на уровне с номером /,
j = 1, 2. Поскольку начало отсчета для энергии можно выбрать
произвольно, мы примем
W^--0. A0.9)
Энергетическое расстояние W2 между уровнями свяжем с частотой
атомного перехода со соотношением
\Р2 = й<о. A0.10)
С учетом сказанного формула A0.8) сводится к виду
Н2-!та+а2. A0.11)
В резонаторе имеется большое число активных атомов, и мы будем
различать их, как и раньше, индексом ц, так что нам придется
добавить этот второй индекс к операторам а:
а+-+а+ ,
' "* A0.12)
Энергия атомной системы — это сумма по энергиям атомов:
и- A0ЛЗ)
Квантовая теория лазера I
253
Для удобства мы снова приведем здесь соответствующие коммута-
коммутационные соотношения для атомных операторов:
+ aftn' а/ц = 0,
A0.15)
fcvv^VW <10-16>
Наконец, нам понадобится явное выражение для гамильтониана,
который описывает взаимодействие атома с рассматриваемой модой
поля:
Har^nga+a2(b + b+) + hga+ai(b^b+). A0.17)
Смысл этого гамильтониана взаимодействия становится ясным,
если вспомнить, что а+, а и b+, b — операторы рождения и унич-
7-
Г-
1-
ОЛ/Ч/»/Л/\П/к
!¦
Рис. 10.1. Схема процессов, описываемых выражением A0.17).
тожения. Величина a+a2b+, например, описывает рождение фо-
фотона, одновременно с которым уничтожается электрон в состоянии 2
и рождается в состоянии 1 (напомним, что последовательность опе-
операторов следует читать справа налево). Схема процессов, описы-
описываемых формулой A0.17), представлена на рис. 10.1. Величина g —
это константа связи, пропорциональная матричному элементу оп-
оптического диполя:
2/iE0
A0.18)
Векторная функция и^ — это напряженность поля рассматривае-
рассматриваемой моды. Мы предполагаем, что поле поляризовано в направлении
оси г и дается выражением
"(хо) "= —~sinkx0,
A0.19)
х) Здесь и далее будем предполагать, что g — действительная константа;
это всегда может быть достигнуто за счет выбора фазы произведения afcix-
254 Глава 10
гдех0 = (х0, г/0) г0) — вектор, характеризующий положение атома.
В дальнейшем мы примем приближение вращающейся волны, с ко-
которым мы уже познакомились в разд. 5.6 и которое здесь мы сфор-
сформулируем несколько иначе. А именно мы ограничимся рассмотре-
рассмотрением реальных переходов, в которых испускается фотон, тогда как
атом переходит из верхнего состояния в нижнее, или, напротив,
фотон поглощается, а атом переходит из нижнего состояния в верх-
верхнее. При таком ограничении гамильтониан A0.17) принимает вид
Haf = hga+a2b+ -f hga+afi. A0.20)
Если поле взаимодействует с набором атомов, которые мы разли-
различаем индексом ц, то мы составляем полный гамильтониан взаимо-
взаимодействия, суммируя отдельные вклады вида A0.20), причем, как
и прежде, добавляем индекс ц к атомным операторам. При этом
получаем
Здесь константу связи g мы также снабдили индексом ц, поскольку
величина g зависит от атомной координаты x0?li, как это можно ви-
видеть из формулы A0.18). Для простоты мы будем опускать индекс ц
у константы g^, так как по крайней мере в случае бегущих волн
зависимость g^ от х0) ^ можно исключить путем преобразования
операторов а^, а+ (см. упражнения).
Сумма гамильтонианов A0.4), A0.13) и A0.21) дает нам гамиль-
гамильтониан, который описывает взаимодействие поля с набором атомов.
Но этого суммарного гамильтониана еще недостаточно для описа-
описания лазера, так как поле и атомы связаны с соответствующими им
термостатами (резервуарами). Действие термостатов на операторы
поля и на атомные операторы можно учесть с помощью дополни-
дополнительных слагаемых в полном гамильтониане (ЮЛ) — операторов
Нв,, //в,-/. Нв,, HBi-A- В отличие от операторов Н/, НА и НА;,
явный вид этих дополнительных гамильтонианов нам не понадо-
понадобится. Нам достаточно знать только некоторые, весьма общие свой-
свойства этих гамильтонианов. Основная идея следующего шага состоит
в исключении переменных термостата, неявно содержащихся в опе-
операторах Нв,, • ¦ • , Нв2-л- Это можно сделать двумя способами:
либо в рамках квантовомеханического уравнения Ланжевена, либо
в рамках уравнения для матрицы плотности. В разд. 10.3 и 10.4
мы будем следовать первому подходу, а разд. 11.1 посвятим вто-
второму.
Квантовая теория лазера I 255
10.3. Квантовомеханические уравнения
Ланжевена
10.3.1. Поле, связанное с термостатом
Чтобы вывести квантовомеханические уравнения Ланжевена, мы
будем пользоваться представлением Гейнзенберга. В этом пред-
представлении операторы считаются зависящими от времени, а волно-
волновые функции от времени не зависят. Временная зависимость опера-
операторов определяется уравнениями движения Гейзенберга, которые
можно получить следующим путем. Допустим, мы хотим исследо-
исследовать зависимость от времени для оператора Q. Его временная про-
производная дается уравнением
Й =—[//, Q\ = — (HQ — QH), A0.22)
h h
т. е. временная производная оператора Q дается коммутатором
гамильтониана и оператора Q. На одном простом примере напом-
напомним читателю суть этого формализма.
Рассмотрим оператор поля b и один только соответствующий
ему гамильтониан Hf. При этом мы будем иметь свободное поле из-
излучения, не взаимодействующее ни с атомами, ни с термостатом.
Полагая, что Q = Ь, и подставляя оператор Hf [формула A0.4) ]
вместо оператора Н в формулу A0.22), получаем
Ь = — /гсо (b+bb—bb+b). A0.23)
h
На основе коммутационного соотношения A0.3) можно правую часть
преобразовать к виду
A0.24)
Выполнение этого преобразования мы оставляем читателю в каче-
качестве упражнения.
Теперь рассмотрим взаимодействие поля с термостатом 1. При
этом временная производная оператора b дается уравнением
Ь = _L[(//rhtfBl +HBl-f), b\. A0.25)
а
Поскольку гамильтониан термостата и гамильтониан взаимодейст-
взаимодействия содержат переменные термостата, для этих переменных нужно
тоже получить уравнения Гейнзенберга. Исключив из этих уравне-
уравнений переменные термостата, мы получим уравнение для одной не-
неизвестной — оператора поля Ь. Это окончательное уравнение имеет
вид
A0.26)
256 Глава 10
где х — коэффициент, описывающий затухание моды поля. Коэф-
Коэффициент к совпадает с величиной, которая была введена феномено-
феноменологически в полуклассические уравнения лазера в разд. 5.5. В дан-
данном случае константу к можно получить, исходя из первых прин-
принципов. Величина F — это флуктуационная сила, которая представ-
представляет собой оператор. Обозначая угловыми скобками квантовомеха-
ническое усреднение по переменным резервуара, от которых зависит
оператор F, мы, как известно из учебников по квантовой механике,
можем написать следующие соотношения:^
(F{t)) = (F+(t)) = O, A0.27)
(F+(t)F+(t')) = (F(t)F(t')) = O, A0.28)
{F+(t)F{t')) = n(TJx6(t — t'), A0.29)
(F (t) F+ (*')> = {n(T) + 1) 2x6 (t —t'), A0.30)
где F+ — оператор, эрмитово-сопряженный оператору F. Вели-
Величина n (T) — среднее число фотонов в моде при температуре Т
(Т — температура резервуара, связанного с полем). Для оптиче-
оптического диапазона при комнатной температуре величина п намного
меньше единицы, и потому ею практически всегда можно прене-
пренебречь. Однако для общности мы в дальнейшем рассмотрении вели-
величину п сохраним.
10.3.2. Электроны (или атомы), связанные с термостатами
Обратимся теперь к уравнениям Гейзенберга для электрона, при-
принадлежащего атому. Мы начнем со свободного атома, который не
взаимодействует ни с какой внешней системой. В дальнейшем мы
будем постоянно обращаться к нашему полуклассическому рассмот-
рассмотрению. В нем мы использовали в качестве переменной инверсию
(иными словами, разность заселенностей). Поскольку величины
а+аг и а?а2 представляют собой операторы, которые определяют
заселенность атомных уровней 1 и 2 соответственно, мы введем опе-
оператор d с помощью равенства
d = afa2—afav A0.31)
Уравнение Гейзенберга для d, разумеется, имеет вид
d = -^[Ha,d], (Ю.32)
п.
где На — оператор, который дается формулой A0.11). В силу ком-
коммутационных соотношений A0.5) — A0.7) правая часть формулы
A0.32) равна нулю (см. упражнения), т. е.
d = 0. (Ю.ЗЗ)
Квантовая теория лазера I 257
Далее введем операторы
A0.34)
ф A0.35)
Алгебраические преобразования вместе с упомянутыми выше ком-
коммутационными соотношениями приводят нас к уравнениям движе-
движения Гейзенберга
а-.— йоа, A0.36)
' A0.37)
(см. упражнения).
Перейдем теперь к выводу уравнений движения Гейзенберга
для электрона (атома), взаимодействующего с термостатом.
Рис. 10.2. Схема безызлучательного перехода или нелазерного оптического
перехода (слева) и процесса накачки (справа) с указанием соответствующих
скоростей перехода.
Введем средние значения чисел заполнения электронных уров-
уровней с номером /, / = 1, 2 с помощью соотношения
пг-:(Ф\а+а.\Ф), j^-.l, 2. A0.38)
Под действием накачки и процессов затухания эти числа заполне-
заполнения могут изменяться, что описывается хорошо известными ско-
скоростными уравнениями
^ A0.39)
A0.40)
at
Константы wtl и до1а— это скорости переходов, обусловленных
накачкой и процессами некогерентного распада соответственно
(рис. 10.2). И накачка и процессы распада обусловлены взаимо-
взаимодействием электрона с термостатом 2. В полностью квантовых урав-
уравнениях движения для операторов роль термостата может быть уч-
учтена следующим образом:
+ Г22 (t), A0.41)
(t). A0.42)
258 Глава 10
В данном разделе мы уже ввели в качестве новой переменной ин-
инверсию d A0.31); уравнения для этой величины можно получить
вычитанием уравнения A0.42) из уравнения A0.41). Находим
d= 2w2latai-2wl2a+a2 + Ги-Ги. A0.43)
Поскольку электрон может находиться в одном из двух состояний 1
или 2, выполняется равенство
a+^ + afa^l. A0.44)
Переписав еще раз уравнение A0.31), имеем
af^—a+a^d. A0.45)
С помощью равенств A0.44) и A0.45) можно выразить операторы
? и afax через оператор d:
= ±-(\+d), A0.46)
=-L(l-d). A0.47)
Используя соотношения A0.46) и A0.47) и вводя обозначения
A0.48)
A0_49)
Г«—ГЦ = ГЛ A0.50)
приводим уравнение A0.43) к виду
d = Yn(do—d)-HV A0.51)
Сопоставление этого уравнения с аналогичными уравнениями D.11)
или E.43) полуклассической теории позволяет нам выяснить, что
константа d0 представляет собой ненасыщенное значение инверсии,
а константа 7ц = UT есть скорость затухания инверсии, т. е. ве-
величина, обратная времени продольной релаксации Т. Уравнения
для операторов вида A0.34), A0.35) таковы:
а=— iaa—ya-T_(t), A0.52)
a+ = i(oa.+—ya+ + r+(t), A0.53)
где
г -А-г
A0-54)
В дальнейшем нам понадобятся корреляционные функции для опе-
операторных флуктуационных сил Г. Если провести квантовомехани-
Квантовая теория лазера I 259
ческое усреднение по переменным резервуара 2, то можно получить
соотношения вида
GlllU6{t-t'), ... A0.55)
или в общем случае вида
(Tik(t)Tlni(t'))^Gik,tJ(t~t'). A0.56)
Выражения для величин G таковы:
Gii,u = wwnz + w21nv A0.57)
G1i,22= ~wsln1 — wlins = GibU, A0.58)
G22, 22 ~ ^21«1 + ^12«2> A0.59)
0X2,12=021,21=0, A0.60)
Gn,2i = w12n2<—w21n1 + 2yn1, A0.61)
G2i, 12 = ^2i«i—^12^2 + 2v«2. A0.62)
В случае лазера мы должны иметь дело с большим числом атомов
(они различаются индексом ц), а потому следует сказать несколько
слов о том, как обобщить корреляционные функции на этот случай.
Как всегда, мы будем предполагать, что каждый атом связан со
своим термостатом, так что переменные термостатов друг от друга
не зависят. В таком случае имеет место соотношение общего вида
0V/*@iV,,m(O>~V'- (Ю.63)
Нетрудно перейти от корреляционных функций, полученных для
операторов Гу^, к корреляционным функциям для флуктуационных
сил, входящих в формулы A0.50) — A0.54). Несложные преобра-
преобразования приводят к следующим соотношениям:
<1> @) ¦-= (V @) - (V (*)> -= 0, A0.64)
<Гв+@1>-(П>-(уA + <<*д» +-L (do-ад) 6Д14.6 (*-*'), (Ю.65)
(iv(огЦ'+(п>-((vA -ад-~ (do-ад)s^'6(t-n, A0.66)
0V» @IV, (*'»=B/Т) (l ~d0 ад 6^-6 (t-r), A0.67)
(Т»+аП\.АП)=-(иТ)(\+й0)(а+)8т,8у-П A0.68)
(Гц- @ TWd(t')) = (l/T) (l-doXoge^e (*-*'). A0.69)
260 Глава 10
10.3.3. Поле и атомы, связанные с термостатами.
Квантовомеханические уравнения Ланжевена для лазера
Мы получили уравнение Гейзенберга для поля, связанного с его
термостатом, и для атомов, связанных с их термостатами. Теперь
мы хотим рассмотреть полную систему, в которой поле и атомы
взаимодействуют друг с другом, а каждая из этих подсистем свя-
связана со своим термостатом. При этом оператор поля b подчиняется
уравнению движения
b = -L[H,b], A0.70)
п
где теперь в качестве оператора Н нужно брать сумму A0.1). По-
Поскольку оператор b коммутирует со всеми гамильтонианами, ко-
которые не содержат оператор поля Ь+, мы должны включать в пра-
правую часть равенства A0.70) только те слагаемые из суммы, в ко-
которых содержится оператор Ь+. Поскольку выше мы уже рассмот-
рассмотрели взаимодействие поля с его термостатом 1, то единственное
слагаемое из гамильтониана Н, которое нам остается учесть,— это
слагаемое, возникающее из-за взаимодействия атом—поле. Таким
образом, при взаимодействии поля с единственным атомом мы
должны были рассматривать величину
db
dt
[(g + g), b] A0.71)
f—a n
[при записи этого выражения мы использовали равенство A0.20)].
Поскольку оператор b коммутирует с атомными операторами, можно
сразу воспользоваться коммутационным соотношением A0.3) и по-
получить
db
dt
f-a
A0.72)
Этот результат немедленно обобщается на случай многих атомов,
и мы получаем
db __
dt f-A ~~
Закончив все эти промежуточные выкладки, мы сможем написать
окончательное уравнение для оператора Ь, взаимодействующего
и с атомами, и с термостатом. Объединяя правые части равенств
A0.26) и A0.73), получаем
A0.74)
Квантовая теория лазера I 261
Для дальнейшего важно подчеркнуть, что на корреляционные функ-
функции операторов F и F+ [формулы A0.27) — A0.30) ] взаимодействие
поля с атомами не влияет.
Аналогичным путем выводятся уравнения движения атомных
операторов, когда включается в рассмотрение взаимодействие атома
с полем. Вычисления по формуле
=-Мяф а] A0.75)
f-a h
требуют некоторых алгебраических преобразований с использова-
использованием коммутационных соотношений. Оставляем эти преобразования
читателю для упражнений, а здесь приводим окончательный ре-
результат:
— = igbd. A0.76)
dt f—a
Из этой формулы видно, что временная зависимость оператора а
определяется не только оператором Ь, но и оператором d, соответст-
соответствующим инверсии [формула A0.31)]. Поэтому уравнение для опе-
оператора d нам также понадобится. Прежде чем выводить его, напи-
напишем уравнение для оператора а в случае, когда берется полный
гамильтониан A0.1). Учитывая члены, обусловленные «свободным»
движением оператора а, связью с термостатом и взаимодействием
с полем, получаем уравнение
A0.77)
Обобщение этого уравнения на случай набора атомов, различаю-
различающихся индексом \i, является очевидным. Мы просто снабжаем атом-
атомные переменные and индексом ц:
ali = (—iu—y)all + igbdil + ril-. A0.78)
Уравнение для эрмитово-сопряженного оператора имеет вид
а+ = (I-5_V) a+-igb+d^ + Гц+. A0.79)
Наконец, мы должны вывести уравнение для d. Мы сразу напишем
его, поскольку конструкция этого уравнения вполне понятна:
К =
Первые два слагаемых в правой части этого уравнения отвечают
действию термостата на электрон. Величина в скобках связана с
взаимодействием электрона с полем, а последнее слагаемое пред-
представляет собой флуктуационную силу. Уравнения A0.78) — A0.80)
и A0.74) — это основная система уравнений для лазера. Для пол-
полноты отметим, что атомные флуктуационные силы и флуктуацион-
262 Глава 10
ная сила, действующая на поле, являются некоррелированными,
так что
ИО, A0.81)
(T,(t)F+(t')) = O. A0.82)
Корреляционные функции для операторов Г и для операторов Г
и / не зависят от оператора ИAf, описывающего когерентное взаи-
взаимодействие, а поэтому можно и впредь использовать выражения
A0.27) — A0.30), A0.64) — A0.69), A0.81) и A0.82). Однако при
этом нужно иметь в виду, что в правых частях соотношений A0.64)—
A0.69) средние значения должны вычисляться на основе полной
системы уравнений для лазера, учитывающей взаимодействие
атом—поле. Окончательная система уравнений для лазера A0.78)—
A0.80) и A0.74) обнаруживает значительное сходство с системой
полуклассических уравнений для одномодового лазера F.1) —
F.3). Впрочем, у нее имеются два отличия. Одно, очевидное, состоит
в том, что в нее входят дополнительные (флуктуационные) силы,
действующие на полевые и атомные операторы. Другое отличие —
это то, что теперь величины Ь, Ь+ , а, а+ и d являются квантовоме-
ханическими операторами, подчиняющимися определенным комму-
коммутационным соотношениям. Как будет видно далее, форма полу-
полученных уравнений позволит нам действовать зачастую по аналогии
с полуклассическими уравнениями.
В заключение покажем, как перейти от квантовых уравнений
для лазера к полуклассическим уравнениям. Возьмем квантовоме-
ханическое среднее обеих частей равенства в каждом из уравнений
A0.74), A0.78) — A0.80). Дальше в этой книге будет показано,
что если лазер находится выше порога генерации, то величины
(bdft), (ац6+) и (а+ Ь) можно с хорошей степенью точности пред-
представить произведениями
<Ч> ~ Ф) Ю- <«^+) ~ <«д> Ф+) ^ К)
Поскольку средние значения флуктуационных сил равны нулю, а
величины (Ь) и т. д. представляют собой классические величины,
мы приходим к полуклассическим уравнениям, т. е. выводим по-
последние таким путем из «первых принципов».
Упражнения к разд. 10.3
1. Выведите уравнение A0.24), пользуясь формулами A0.22) и
A0.3).
2. Докажите равенство A0.33) с помощью формул A0.32) и A0.11)
Указание. Воспользуйтесь формулами A0.5) — A0.7).
Каков физический смысл этого результата?
3. Выведите уравнения A0.36), A0.37).
Квантовая теория лазера I 263
10.4. Когерентность и шумы
Наша задача состоит в том, чтобы решить основную систему урав-
уравнений A0.74), A0.78) — A0.80). Удивительное сходство квантовых
уравнений с уравнениями полуклассической теории позволяет нам
в квантовом случае действовать так же, как в полуклассическом.
Это будет возможно, если мы будем заботиться о надлежащем по-
порядке операторов в нелинейных членах и об учете флуктуационных
сил F и Г. Первый шаг состоит в том, чтобы исключить атомные
переменные а^, а^ и d^; это делается так же, как в разд. 6.3. По-
Поскольку там эта процедура была подробно описана, мы ее повторять
не будем, а приведем окончательный результат:
Ь = (~m—x + g2D0/y)b-Cb+bb + Рпо„„. A0.83)
Здесь константа Do дается выражением
D0 = Nd0, A0.84)
а константа С — выражением
C-4g27D0/Y2. (Ю-85)
Величина /•'полк определяется формулой
Fnon» @ = F (t)—(ig/y) ? V @- A0-86)
В отношении членов, не содержащих флуктуации, уравнение
A0.83) столь же точно, как наше прежнее, полуклассическое урав-
уравнение F.46). Что же касается дополнительных, т. е. флуктуацион-
флуктуационных членов, то тут нужно сказать, что один член, связанный с флук-
туациями инверсии, мы отбросили, потому что он обычно приводит
лишь к малым эффектам. Для дальнейшего нам будут нужны свой-
свойства флуктуационной силы Fnoml. Если воспользоваться опреде-
определением A0.86) и формулами A0.27) — A0.30), A0.64) — A0.69),
A0.81), A0.82) для корреляционных функций флуктуационных сил,
то нетрудно получить следующие соотношения:
0, A0.87)
@ ^полн (Г)) - 0, A0.88)
A0-89)
2х
Глтепл + ш N\° 1 б (*-*')• (Ю.90)
L (#а— #l)nOp J
264 Глава 10
При переходе от A0.89) к A0.90) мы предположили, что лазер дейст-
действует в установившемся режиме и что в окрестности порога генера-
генерации равенство d0 — (d^) ж 0 выполняется с хорошей степенью
точности. Кроме того, мы использовали равенство Nltll + N2tll = 1
и пороговое условие ?>0 пор = (N2—WiJnop = Kylg2, что и позво-
позволило нам получить окончательное выражение A0.90). Величина
Nt,s — эт0 заселенность атомного уровня 2 с учетом насыщения,
а величина птепл — число фотонов в условиях теплового равно-
равновесия.
Прежде чем приступить к решению уравнения A0.83), выясним
его смысл, считая b классической переменной. Потом эти представ-
представления можно будет перенести и на случай оператора Ь. Используем
модель потенциала, к которой мы уже прибегали в разд. 6.3. Будем
рассматривать Ъ как координату q частицы. При этом уравнение
A0.83) может рассматриваться как уравнение передемпфированных
осцилляции частицы. Это уравнение имеет структуру
mq + q^K(q) + F(t)^--^ + F(t), A0.91)
причем член mq, отвечающий ускорению, очень мал. В правой
части равенства стоит сила, действующая на частицу, которая
представляет собой сумму величины К (q), соответствующей силе
в полуклассическом случае, и флуктуационной силы F (t). Как мы
уже видели в разд. 6.3, решения уравнения A0.83) существенно
зависят от того, выполняется ли условие лазерной генерации. Эти
два разных случая мы рассмотрим отдельно.
10.4.1. Допороговый режим
В этом случае имеет место неравенство G <0, где величина G пред-
представляет собой полное насыщенное усиление
—x + g2D0/y = G. A0.92)
Потенциал V представлен на рис. 10.3 штриховой линией. В рас-
рассматриваемом случае координата q фиктивной частицы остается
близкой к нулю; поэтому мы можем предположить, что величина q
является малым параметром. Мы можем также ожидать, что, вы-
вычислив квантовомеханическое среднее нелинейного слагаемого b+bb
в формуле A0.83), получим величину, значительно меньшую, чем
линейные члены, так что нелинейное слагаемое можно будет от-
отбросить. (Этому имеется и строгое обоснование.) Таким образом,
уравнение A0.83) принимает вид
A0.93)
Квантовая теория лазера I
265
Поскольку уравнение A0.93) линейно, коммутационные соотно-
соотношения здесь роли не играют, так что величину Ь, по крайней мере
формально, можно рассматривать как классическую переменную.
Решение уравнения A0.93) таково:
6@ = |ехр[(—ш — \G\)(t—t')]EnOnn(t')dt' +
о
+ 6@)ехр[-(ш — \G\)t). A0.94)
Чтобы пояснить, как действует сила FnOnn, мы рассмотрим мо-
модельную задачу, а именно примем, что функция /^олн имеет вид
^ш>лн= ?/цб(*—*ц), причем /ц = /ехр[/фц]. A0.95)
Действие флуктуационных сил легче всего представить себе, если
рассматривать их как последовательность толчков, возникающих
t V(q)
Рис. 10.3. Зависимость потенциала фиктивной частицы от координаты q.
Штриховая линия — потенциал ниже порога генерации. После каждого
акта возбуждения, вызванного флуктуационной силой, частица релаксирует
к своему положению равновесия. Сплошная линия — потенциал выше по-
порога генерации.
в случайные моменты времени t^. При этом наша фиктивная ча-
частица с координатой q ведет себя как мяч, лежащий в углублении
между двумя горками, по которому футболисты ударяют случай-
случайным образом. Слагаемое вида —\G\b, описывающее затухание
в уравнении A0.93), можно представить себе как силу трения, с ко-
которой трава действует на футбольный мяч. Пусть сила F принимает
действительные значения, а величина b представляет собой произ-
произведение действительного множителя на экспоненту ехр [— tot].
В этом случае для величины Ъ будет наблюдаться временная зави-
зависимость такого типа, как на рис. 10.4. Если мы примем во внимание
осциллирующий множитель ехр [— tot], то получим зависимость,
изображенную на рис. 10.5. Мы видим, что временная зависимость
266
Глава 10
амплитуды светового поля представляет собой последовательность
затухающих цугов волн. Поскольку фазы отдельных толчков не
коррелированы, то и цуги волн оказываются не коррелированными
по фазе. Когда растет накачка и увеличивается инверсия Do, мо-
модуль величины G убывает. В этом случае, как видно из выражения
A0.94), отдельные цуги волн затухают медленнее. Далее будет
видно, что более медленное затухание цугов означает уменьшение
ширины атомной линии излучения. Итак, мы ожидаем сужения
линии с ростом накачки. Такие эффекты действительно в лазерах
наблюдались, и некоторые исследователи даже считали, что излу-
излучение лазера отличается от излучения обычной лампы только ши-
Re[b(t)]
-> t
Рис. 10.4. Временная зависимость амплитуды 6, которая считается дейст-
действительной величиной, без множителя ехр [—iwt].
риной линии. Но мы увидим, что это отличие — не единственное
и не главное. В действительности при превышении порога генера-
генерации лазер ведет себя качественно совершенно не так, как в допо-
роговом режиме.
Продолжим пока обсуждение допорогового режима и обсудим
свойства когерентности света, вытекающие из формулы A0.94).
Поскольку толчки одного и другого знака равновероятны, вели-
величина, которая дается формулой A0.94), имеет нулевое среднее зна-
значение:
<&> = 0. A0.96)
Следующий наш шаг — исследование функции когерентности вто-
второго порядка. Функция когерентности вводится с помощью ампли-
амплитуды поля Е, которую разлагают на положительно- и отрицательно-
частотные части (Е+ и Е~). Осцилляции положительно-частотной
части описываются множителем ехр [—ia>t], а отрицательно-ча-
отрицательно-частотной — множителем ехр [i<at]. Из уравнения A0.24) видно, что
положительно-частотная часть соответствует оператору Ь, а отри-
Квантовая теория лазера I
267
цательно-частотная — оператору Ь+. Можно произвести следующую
замену:
Е+ -*- Ы yWBeo)u (x),
Е- -*¦ — b+l V^(o/Beju (x).
A0.97)
Мы видим, что величины b и Ь+ умножаются на величины, которые
не флуктуируют, так что при усреднении эти множители можно не
учитывать.
От классических средних можно перейти к квантовомеханиче-
ским средним, что было продемонстрировано в разд. 8.1. Будем
Рис. 10.5. То же, что на рис. 10.4, но с учетом множителя ехр [— tot].
обозначать усреднение угловыми скобками. Как мы уже сказали,
когерентность лазерного света описывается выражением вида
(b+(t)b(t% A0.98)
Для выражения A0.98) с учетом A0.94) получаем формулу
ф+ @ Ь (*')> = ехр [ш (t~t')-\ G\\t-t'\] (b+ (О b (*')>. A0.99)
В этой формуле мы пренебрегаем процессами установления, т. е-
рассматриваем излучение в стационарном состоянии, для которого
время t очень велико, а разность t—t' конечна. Рассматривая ста-
стационарное состояние, мы можем (по крайней мере при достаточно
больших значениях /') пользоваться равенством
(b+(t')b(t')) = ~n, A0.100)
в котором п — величина, не зависящая от времени. Оператор b+b
представляет собой оператор числа фотонов, а поэтому величина п
имеет смысл среднего числа фотонов. Это число можно найти с по-
268 Глава 10
мощью выражения A0.94), если подставить последнее в формулу
A0.100). Для достаточно больших времен получаем
A0.101)
Этот двойной интеграл легко вычислить с помощью формулы A0.90)
(см. упражнения), и результат таков:
). A0.102)
Здесь мы ввели обозначение
"сп^ "у . A0.103)
Два слагаемых в формуле A0.102) имеют следующий смысл. Вели-
Величина Ятепл (= «тепловое) СВЯЗЭНа С КОрреЛЯЦИОННОЙ фуНКЦИвЙ
операторов F+ и F и равняется числу фотонов в моде частоты о,
которое является равновесным при заданной температуре. Для ла-
лазеров оптического диапазона это число пренебрежимо мало. Но
в СВЧ-диапазоне (в мазерах) оно играет определяющую роль. Сла-
Слагаемое Псп (= «спонтанное) — ЭТО ЧИСЛО СПОНТЭННО ИСПуСКЭеМЫХ
световых квантов; его появление в формуле связано с корреляцион-
корреляционной функцией операторов
^о« - (- tgly) IV @. F+o» ш (ig/y) ? V (*).
Выражение A.0.103) справедливо для системы двухуровневых ато-
атомов, которые мы здесь рассматриваем. Величина jV2)S — это засе-
заселенность верхнего атомного уровня при учете насыщения, т. е. та
заселенность, которая реально существует в режиме генерации.
Величина (N2—А^)Пор — пороговое значение инверсии. Вели-
Величина x/|G|, на которую в формуле A0.102) умножается число фо-
фотонов (Ятепл + Ясп), будет представлять для нас особый интерес.
Как видно из формулы A0.92), величина G есть полное ненасыщен-
ненасыщенное усиление, и в допороговом режиме мы имеем
Если выполняется равенство Do = 0, т. е. в возбужденном и ос-
основном состоянии находится по одинаковому количеству атомов,
то эффекты вынужденного испускания и поглощения компенси-
компенсируют друг друга. В этом случае имеем \G\ — x, и число реально
присутствующих фотонов дается величиной п — итепл + па\. Если
инверсия Do увеличивается, то вынужденное испускание начинает
преобладать над поглощением и величина \G\ становится меньше
величины х, т. е. выполняется неравенство x/|G|>l. При этом
Квантовая теория лазера I
269
мы получаем уже увеличенное число фотонов п > ятеш, -f псп.
Система находится еще ниже порога, но уже в режиме усиления.
Когда инверсия Do приближается к своему пороговому значению
?>о,пор = щ1ёг, величина \G\ стремится к нулю. Вследствие этого
множитель y,l\G\ стремится к бесконечности. Подчеркнем, что ука-
указанная расходимость возникает из-за отбрасывания нелинейного
члена ~ b+bb. Из строгих вычислений, учитывающих нелиней-
нелинейность, будет видно, что число фотонов остается конечным и при
достижении порога; мы покажем это в разд. 10.5. С помощью фор-
Рис. 10.6. Схема экспериментального измерения величины {(b+ (t) +
+ b+(t') (b (t) + b (/'))>. Первое зеркало (сверху слева), являющееся
полупрозрачным, разделяет входной пучок на два. Второе (внизу
слева) и третье (внизу справа) зеркала возвращают отклоненный пучок об-
обратно, и затем четвертое зеркало (вверху справа) объединяет его с первона-
первоначальным пучком. При этом на первоначальную волну налагается волна,
идентичная ей, но задержанная во времени.
мулы A0.99) мы можем сразу найти комплексную степень когерент-
когерентности. В данном случае степень когерентности можно представить
формулой
(ЬЩ
t')—|G||f—1
A0.104)
Степень когерентности убывает как экспоненциальная функция
временного сдвига, что обусловлено конечной длительностью от-
отдельных волновых цугов. Корреляционную функцию A0.104)
можно получить экспериментально либо непосредственно по схеме
опыта Юнга с двумя щелями, либо с помощью схемы, изображен-
изображенной на рис. 10.6. Еще одна возможность определения корреляцион-
корреляционной функции заключается в измерении ширины линии при спек-
спектральном разложении света в спектрометре.
Эта возможность основана на теореме Винера—Хинчина, стро-
строгий вывод которой мы приводить здесь не будем, ограничившись
простым пояснением. Представим себе идеальный спектрометр,
270 Глава 10
который выполняет спектральное разложение Фурье амплитуды
поля b (t):
b(t) = Jd((a)exp(i(ot)da>. A0.105)
—оо
Поскольку операторы Ъ (t) и b+ (t) выражаются через флуктуа-
ционные силы [формула A0.94)], фурье-амплитуды d (со) тоже
флуктуируют, т. е. являются случайными величинами. Как пока-
показывают вычисления, из соотношений A0.88) — A0.90), которым
подчиняются флуктуационные силы, следует равенство
). A0.106)
Если подставить в выражение A0.98) для корреляционной функ-
функции разложение A0.105), то возникающий при этом двойной интег-
интеграл можно на основании равенства A0.106) свести к однократному
интегралу и получить
Jt — t')\da>. A0.107)
оо
Но величина
y(w) = (d+{a)d(a>)) A0.108)
есть интенсивность спектральной линии на частоте со. Соотношение
A0.107) представляет собой математическую запись теоремы Ви-
Винера—Хинчина. Корреляционная функция, т. е. левая часть ра-
равенства, может быть представлена в виде фурье-образа спектра.
В нашем случае спектральное распределение может быть вычис-
вычислено аналитически. Рассмотрим стационарное состояние и вос-
воспользуемся формулой A0.99), в которой положим t' = 0. Тогда
левая часть равенства A0.107) примет вид
(b+(t)b(O))^--exp[iat—\G\\t\]n. A0.109)
Объединяя соотношения A0.107), A0.108) и A0.109), получаем
J. A0.110)
Отсюда находим спектральную функцию у (со), выполняя обратное
преобразование Фурье:
у(ffl) = Л_ 7exp[—iat]exp[iat~-\G\\t\]dt. A0.111)
Интеграл легко вычисляется, и в результате получаем
y(e,)=:J _2|G|" „ . A0.112)
Квантовая теория лазера I
271
Мы видим, что корреляционная функция, которая дается формулой
A0.109), соответствует лоренцевой линии с полушириной \G\.
Если время затухания 1/|О| увеличивается, то происходит суже-
сужение линии. Этот результат мы предсказали ранее на основе интуи-
интуитивных соображений.
Ниже мы покажем, что существенные различия в статистиче.
ских характеристиках излучения обычных ламп и излучения лазе.
Микродиеиррагма
1
Фотоприемник 1
\
Газоразрядная
лампа
Временная
задержка,
(изменяемая)
Фотоприемник Z
Счеглчип^
совпадений
Рис. 10.7. Схема экспериментального измерения корреляционной функции
четвертого порядка, с помощью которой определяется корреляция чисел фо-
фотонов. До появления лазеров источником излучения здесь служила газораз-
газоразрядная лампа. В современных экспериментах она заменяется лазером, и при
этом микродиафрагма уже не требуется. Пучок разделяется при помощи
полупрозрачного зеркала. Фотоприемники 1 я 2 регистрируют приходящие
на них фотоны. Выходной импульс фотоприемника 2 направляется с неко-
некоторой временной задержкой иа счетчик совпадений, который регистрирует
этот импульс, если одновременно с ним поступил импульс от фотоприемника /.
ров обнаруживаются только при рассмотрении корреляционных
функций четвертого (и более высокого) порядка. С помощью
рис. 10.7 напоминаем читателю, как можно экспериментально оп-
определить корреляционную функцию четвертого порядка. Рассмот-
Рассмотрим функцию вида
{b+(t)b+(t')b(t')b(t)).
A0.113)
Наши дальнейшие вычисления будут довольно громоздкими. Чи-
Читатель, которому хочется скорее узнать окончательный результат,
может пропустить все эти выкладки и сразу перейти к формулам
A0.124) и A0.125). Чтобы сделать наши вычисления более понят-
понятными, мы будем предполагать, что оператор Ь дается формулой
A0.94), в которой флуктуационная сила представляет собой сумму
272 Глава 10
дельта-образных толчков, т. е. определяется выражением A0.95).
Строго говоря, мы должны были бы здесь иметь дело не с силами,
а с операторами случайных сил; но детальный анализ показывает,
что все дальнейшие вычисления можно было бы выполнить также
и с операторами. Мы же считаем, что важнее разъяснить читателю
смысл вывода, чем заставлять его следить за формальной стороной
выкладок, представленных в наиболее строгой форме. Сосредото-
Сосредоточим внимание на стационарном режиме и не будем рассматривать
переходные процессы. Это означает, что в формуле A0.94) можно
отбросить слагаемое, содержащее величину Ь @). Учитывая, что
сила, действующая на оператор, равна сумме отдельных вкладов,
представим оператор Ь (t), так же как оператор Ъ+ (/), соответст-
соответствующими суммами:
(юли)
Будем считать, что вклады, обусловленные отдельными толчками,
некоррелированы, т. е. что имеет место соотношение
A0Л15>
Поскольку вычисление величины A0.113) для выражений A0.114)
представляет собой довольно сложную процедуру, мы предвари-
предварительно в качестве упражнения займемся более простой корреля-
корреляционной функцией. Вычислим функции вида A0.98); подставив в эту
формулу выражения A0.114), получим
?<M> A0Л16>
Благодаря наличию символа Кронекера 8т> в формуле A0.115)
эта двойная сумма по ц и ц' сводится к однократному суммированию
по fi. Таким образом, выражение A0.116) принимает вид
Чтобы преобразовать выражение A0.113) с помощью соотношений
A0.114), мы должны рассмотреть среднее значение произведений
четырех операторов, а именно
Будем по-прежнему считать, что операторы Р с разными индексами
ц являются некоррелированными, а также что произведения вида
Р+Р+ или р р при одинаковых значениях индексов цх =
='р,2 = ц обращаются в нуль. При этом выражение A0.118) имеет
отличные от нуля значения только в следующих двух случаях:
1) M-i = М-4 и одновременно ц3 — Иг.
2) Hi = Цз и одновременно \i2 — (х4-
Квантовая теория лазера I
Подставляя A0.114) в A0.113), получаем
273
Это выражение содержит только два типа отличных от нуля сла-
слагаемых, а именно те слагаемые, для которых
ц-ц'", и-' -¦= и-". A0.120)
и та, для которых
ц = ц", ц' = ц'". A0.121)
В соответствии с этими условиями мы можем разложить сумму
Скорость счета
совпадений.
Рис. 10.8. Результаты эксперимента Брауна—Твисса, проведенного по схеме
рис. 10.7 с газоразрядными лампами в качестве источника излучения: за-
зависимость числа совпадений в единицу времени от временной задержки.
A0.119) на две части, в каждой из которых четырехкратное сумми-
суммирование будет заменено двукратным:
A0.119) =, /? <р+ @ ^(t))\ /? <р+ (*') р (V
A0.122)
Используя промежуточный результат A0.116), мы приходим
к следующему окончательному выражению:
ф+ (t) b+ (f) b (?) Ъ (t)) = (ф+ @ Ь {t))f л-1 ф+ @ Ъ {Г)) \\ A0.123)
где мы учли условие {b+ (f) Ь (t1)) = (b+ (t) b (t)). И при теоре-
теоретическом анализе, и при обработке результатов измерений часто
274 Глава 10
оказывается удобным вычесть из выражения A0.123) среднее число
фотонов, т. е. ввести новую функцию
K2(t, t') = (b+(t)b+(t')b(t')b(t))-{{b+(t)b(t))F. A0.124)
На основании равенства A0.123) находим
/С. С t') = \{b+(f)b(t'))\\ (Ю.125)
В ходе вывода этого результата мы не очень внимательно сле-
следили за порядком операторов р\ считая их классическими величи-
величинами. В действительности же это операторы, которые, вообще го-
говоря, не коммутируют друг с другом. Однако детальный анализ
показывает, что и для операторов результат A0.125) остается в
силе. В этом результате существенно то, что корреляционная функ-
функция четвертого порядка выражается через корреляционную функ-
функцию более низкого порядка. С помощью формул A0.99), A0.100)
мы можем получить явное выражение для функции /С2:
К2=ЙJехр(—2у8фФК—1'\), Ys«33|G|. A0.126)
Эти корреляционные функции можно измерять экспериментально
по схеме Брауна—Твисса (рис. 10.7 и 10.8). Можно доказать более
общее утверждение. Все корреляционные функции высших поряд-
порядков выражаются через корреляционные функции первого и второго
порядка при условии, что величина b есть сумма большого числа
статистически независимых вкладов или, иными словами, если вели-
величина b описывается распределением Гаусса. Поскольку напряжен-
напряженность поля Е непосредственно выражается через величины b и Ь+,
сказанное означает, что поле излучения обычных ламп подчиняется
гауссовой статистике. К этому обстоятельству мы вернемся
в разд. 10.5.
10.4.2. Поведение выше порога
Теперь рассмотрим свойства лазерного света при превышении по-
порога генерации. Если мы будем вновь рассматривать величину b
как классическую переменную, то сможем выяснить ее поведение
по сплошной кривой на рис. 10.3. Подчеркнем, что b — комплекс-
комплексная величина. Имея это в виду, мы можем из уравнения A0.91) вы-
вывести уравнения для действительной и мнимой частей величины Ь.
При этом становится ясно, что поведение величины b можно пред-
представить как отвечающее движению фиктивной частицы в двух из-
измерениях хну, причем b = х + iy. Точно так же силу, входящую
в уравнение движения, можно получить из потенциала, график
которого представлен на рис. 10.9. Если флуктуационные силы от-
отсутствуют, то частица будет находиться в состоянии покоя на рас-
расстоянии г0 от начала координат; угловая координата при этом бу-
Квантовая теория лазера I
275
дет произвольной, но фиксированной. Флуктуационные силы, ко-
которые мы представляем себе как толчки, проявляются двояко.
Толчки в радиальном направлении заставляют частицу под-
подниматься, увеличивая расстояние от положения равновесия. Эти
флуктуационные отклонения мы будем обозначать через р (t). По-
Поскольку частица, выталкиваемая вверх, стремится вернуться в по-
положение равновесия, мы можем считать, что величина р (t) остается
Рис. 10.9. Потенциал для двумерного движения фиктивной частицы, которое
отвечает поведению комплексной амплитуды поля лазера выше порога гене-
генерации.
малой. Нужно учитывать еще и толчки в тангенциальном направ-
направлении. В этом направлении возвращающая сила не действует, а
поэтому частица будет совершать какое-то диффузионное движе-
движение. Вследствие этого фаза ф (/) будет флуктуировать. Примем во
внимание, что величина Ь осциллирует на несущей частоте о, и те-
теперь, с учетом сказанного выше, представим величину Ь в виде
Ь = \г0 + р (t)] exp [ир (t)] exp [ — tat].
A0.127)
Детальный анализ показывает, что такое представление остается
в силе и в том случае, когда величина Ь является оператором. При
этом оказывается, что величина г0 остается с-числом, а величины р
и ф становятся операторами. Мы не будем останавливаться на след-
следствиях из этого. Можно показать, что лазер описывается с доста-
достаточной степенью точности, если считать величины р и ф классиче-
классическими. Чтобы найти величины р и ф, нужно подставить выражение
276 Глава 10
A0.127) в уравнение A0.83), которое для большего удобства мы
здесь повторим:
b = (-iay~K + giD0ly)b—Cb+bb + FI,omi. A0.128)
а
Подставляя сюда выражение A0.127), выполняя дифференцирова-
дифференцирование по времени и проводя в полученном уравнении деление на экс-
экспоненты, имеющиеся в выражении A0.127), получаем
t-p) — C(rg + 3rgp + . • .) + ехр[Ш—i
A0.129)
Величину г0 мы найдем из требования, чтобы уравнение A0.129)
в отсутствие флуктуации, т. е. при ф = р = Fnonn — 0, выпол-
выполнялось тождественно. Получаем
G = Cr20. A0.130)
Отделяя в уравнении A0.129) действительную и мнимую части,
находим
«р=— lm(FBoaB), A0.131)
«Го
H), A0.132)
где введено обозначение
Vfl = 2G>0. A0.133)
Уравнение A0.131) легко проинтегрировать. Читатель может про-
проделать это в качестве упражнения и убедиться, что величина ф
имеет следующую корреляционную функцию:
<(Ф@-ф@))*>=2у/ A0.134)
При х С V эффективная ширина линии уф дается формулой
Тф=А(В--у-Х2(Псп + Птепл), A0.135)
где введено обозначение
A0.136)
Как мы увидим, величина До есть ширина спектральной линии
лазерного излучения. Напомним читателю смысл величин, входя-
входящих в формулу A0.135): ев—это частота лазерного излучения
(она равна центральной частоте атомного перехода, так как, по
нашему предположению, имеет место точный резонанс); 2х — об-
обратное время жизни моды резонатора в отсутствие лазерного эф-
Квантовая теория лазера I 277
фекта; пт и лтепл — числа спонтанно испускаемых и тепловых
фотонов [формула A0.103)]; Р — мощность лазерного излучения,
an — среднее число фотонов, присутствующих в лазере. Можно
легко найти корреляционную функцию оператора Ь+ в момент
времени t и оператора b @). Как мы покажем, несколько выше по-
порога выполняется неравенство р (t) <^ г0. Поэтому при вычислении
корреляционной функции операторов Ь+ и b можно пренебречь
слагаемым р. Вычисления, схему которых мы укажем в упраж-
упражнениях, показывают, что рассматриваемая корреляционная функ-
функция имеет вид
-y9t}. A0.137)
Таким образом, мы имеем лоренцеву линию, ширина которой умень-
уменьшается с увеличением мощности лазерного излучения Р.
Теперь мы хотим показать, что имеются фундаментальные раз-
различия в статистических свойствах лазерного излучения и излуче-
излучения ламп накаливания. Для этого рассмотрим корреляционную
функцию /С2 [формула A0.124)] и подставим в формулу A0.124)
выражение A0.127). Учитывая, что р — малая величина, мы бу-
будем вычислять корреляционную функцию с точностью до главных
членов по р. Как выясняется, это — члены, квадратичные по р.
Вычисления приводят к следующему результату:
К2 = 4г*«рЛ,)-<р,><Р,». A0.138)
Величина р, описывается уравнением A0.132). Формально это урав-
уравнение будет полностью совпадать с уравнением A0.93), если поло-
положить в последнем о = 0 и заменить коэффициент \G\ величиной уа,
а величину Рполн величиной Re (FnOnu)- Так что решение уравне-
уравнения A0.132) у нас уже имеется. В частности, мы получаем
(ft) = (Pr) = 0. A0.139)
С учетом этого правая часть уравнения A0.138) сводится к выра-
выражению
4г*<р,р,.>. A0.140)
С помощью решения A0.132) мы можем найти корреляционную
функцию для величин pt и р<-, действуя так же, как при получении
выражения A0.99). После этого мы получаем наш окончательный
результат
х], A0.141)
где величина пс„, как и прежде, есть число спонтанно испускаемых
фотонов, даваемое формулой
Исп = ^Ъ» . A0.142)
278
Глава 10
Величина лте„л — это число тепловых фотонов, которое в случае
лазера оказывается пренебрежимо малым (заметим, что в случае
мазера, напротив, величина яТепл преобладает над величиной псп)-
Кроме того, мы здесь использовали равенство
A0.143)
и соотношение
A0.144)
(здесь Т—время релаксации инверсии).
Чтобы сопоставить поведение функции Кг До порога и выше по-
порога, удобно разделить величину К% на число фотонов п и построить
график зависимости этой величины
от выходной мощности. При т. = 0
мы получаем кривую, представлен-
представленную на рис. 10.10. Как видно из гра-
графика, ниже порога генерации вели-
величина K<Jn растет линейно в соответ-
ствии с уравнением A0.126), а выше
порога генерации она убывает как
\1п. В этом проявляется существен-
существенное различие между излучением ла-
лазера и излучением лампы. Соответ-
Соответствующие экспериментальные данные
приводятся на рис. 10.11, и они убе-
убедительно подтверждают теорию. От-
Отметим, что за счет использованных
приближений (линеаризации ниже
порога и выше порога) из рассмотрения была исключена узкая
область значений накачки в окрестности порога. Эта область бу-
будет проанализирована в следующем разделе. Подытожим полу-
полученные результаты.
Мы показали, что физические характеристики лазерного излу-
излучения существенно зависят от того, действует ли лазер в допорого-
вом или в надпороговом режиме. В допороговом режиме излучение
состоит из экспоненциально затухающих цугов волн, фазы кото-
которых полностью не коррелированы. С увеличением интенсивности
накачки, поскольку время затухания волновых цугов увеличи-
увеличивается, линия излучения все более и более сужается. Выше порога
генерации излучение приобретает совсем иные свойства. Оно пред-
представляет собой колебания с амплитудой, которая может слегка
флуктуировать относительно своего среднего значения. Приблизи-
Порог
Рис. 10.10. Зависимость) кор-
корреляционной функции К =
= Ка/п от мощности накачки
Р.
Квантовая теория лазера I
0,03
279
~T.---t----t---t.T-f--
22
23
Рис. 10.11. Первый эксперимент, в котором была изменена функция К [10.14].
Представлена зависимость величины К @) для наиболее интенсивной моды
полупроводникового лазера от тока инжекции /, который служит парамет-
параметром накачки. Для экспериментальных точек вертикальными отрезками ука-
указаны интервалы ошибки, отвечающие стандартному отклонению числа фо-
фотоотсчетов. Кривая А — относительная интенсивность излучения данной
моды.
тельно постоянная амплитуда сочетается с диффузной фазой, что
приводит к конечной ширине линии лазерного излучения. С ростом
интенсивности излучения ширина линии уменьшается.
Упражнения к разд. 10.4
1. Выведите равенства A0.87) и A0.90).
Указание. Воспользуйтесь формулами A0.27) — A0.30), A0.64) —
A0.69) и A0.81), A0.82).
2. Вычислите величину п, входящую в соотношение A0.100).
Указание. Воспользуйтесь формулами A0.94) и A0.90).
3. Докажите, что (р (t) р @)) — уРР @-
Указание. Проинтегрируйте уравнение A0.132) и воспользуйтесь
б-коррелированностью величины Тчюлн @ и ?™лн (О> т- е- соотно-
соотношением
4. Выведите соотношение A0.137).
Указание. Возьмите в качестве приближенного решения уравнения
A0.83) выражение Ь (t) г» гоехр [мр (/)]. Предположите, что <р (/)
разлагается на отдельные слагаемые фи, т. е. что имеет место ра-
280 Глава 10
венство ср (t) — 2цф^ (t), и считайте эти слагаемые малыми и ста-
статистически независимыми ({<Рцфц') = 0 при ц ф |х'). Затем вос-
воспользуйтесь разложением
ехр [1Ф @] = exp U ? Ф|4 @ j = Д exp [i% (t)] « Д A +
10.5. Поведение лазера вблизи порога,
статистика фотонов
В предыдущих разделах мы показали, что характеристики лазер-
лазерного излучения выше порога и ниже порога коренным образом раз-
различаются. Однако наши методы не позволили нам исследовать
очень небольшую, но интересную область в окрестности порога,
в которой как раз и изменяется поведение лазера. Чтобы воспол-
восполнить этот пробел, целесообразно ввести в рассмотрение функцию
распределения лазерного излучения. Это можно сделать различ-
различными способами. Один подход основан на уравнении для матрицы
плотности лазера и его непосредственном решении. Другой подход
состоит в использовании принципа соответствия между квантовыми
и классическими величинами, что позволяет преобразовать урав-
уравнение для матрицы плотности в обобщенное уравнение Фоккера—
Планка. Затем это уравнение можно существенно упростить при
условиях, близких к пороговым или совпадающих с пороговыми,
и после решения уравнения получить искомую функцию распреде-
распределения. Такой подход будет изложен в гл. 11. В математическом
плане этот подход представляет известные сложности, а поэтому
в данном разделе мы будем придерживаться нашего прежнего спо-
способа рассуждений. В какой-то мере эти рассуждения основаны на
интуиции и, на первый взгляд, носят не очень строгий характер,
но они позволят нам быстрее разобраться в основных особенностях
статистики фотонов вблизи порога (а также при точном выполнении
порогового условия). Строгое обоснование представленных здесь
рассуждений, в которых оператор Ь считается с-числом, будет дано
в следующей главе.
В предыдущих разделах мы уже выяснили, что квантовое урав-
уравнение Ланжевена A0.83) для излучения лазера по существу можно
рассматривать как классическое уравнение. В данном разделе мы
будем считать, что уравнение
— ^(~i(a-\-G)b~C{b+b)b + FnonK, A0.145)
at
которое рассматривалось раньше, относится к классическим величи-
величинам. Мы смогли бы построить уравнение Фоккера—Планка для
Квантовая теория лазера I 281
функции распределения, соответствующей уравнению Ланжевена.
Поэтому построим уравнение Ланжевена (для действительных пе-
переменных). Будем действовать в два этапа. С помощью преобразо-
преобразования
Ь = ё~шВ A0.146)
выделим экспоненциальный множитель, содержащий частоту атом-
атомного перехода ы. Поскольку величины b и В являются комплекс-
комплексными, запишем величину В в виде
B = x + iy, A0.147)
где х и у — действительные функции времени. По аналогии с фор-
формулой A0.147) разложим флуктуационную силу FnonH на действи-
действительную и мнимую части, положив
ei("Fn0J1H = Fx + iFy, A0.148)
где Fx и Fy — действительные флуктуационные силы, которые мы
будем считать с-числами. Подставим выражения A0.147) и A0.148)
в уравнение A0.145) и в полученном уравнении отделим действи-
действительную и мнимую части:
J± = Gx~C(x*-ty2)x + Fx, A0.149)
at
GyC(x + y)y + Fy. A0.150)
at
В случае системы уравнений вида A0.149) и A0.150) мы должны
построить уравнение Фоккера—Планка для функции распределе-
распределения / (х, у; t), зависящей от двух независимых переменных хну
и от времени t. Величина / (х, у; t) dx dy представляет собой ве-
вероятность найти переменные л: и г/ в момент времени t в интервалах
х . . . х+ dx, у . . .у + dy. Позднее мы приведем пример функции
/ (а:, у; t). Уравнение Фоккера—Планка для функции J имеет вид
Здесь Qxx и Qyy — коэффициенты диффузии. Они выражаются че-
через корреляционные функции флуктуационных сил с помощью
соотношений
, i,j = x,y. A0.152)
В классическом подходе, которому мы здесь следуем, коэффи-
коэффициенты Qi/ однозначно определяются соотношением A0.152). Но
282 Глава 10
если величины F обязаны своим происхождением квантовомеханиче-
ским уравнениям Ланжевена, таким, например, как уравнение
A0.83), требуется более внимательное рассмотрение. В таком слу-
случае существенна последовательность операторов F+ и F. Забегая
вперед, мы здесь приведем результаты строгого квантовомеханиче-
ского рассмотрения, которое будет представлено в гл. 11. Вблизи
порога генерации можно использовать выражение A0.152) с сим-
метризованными операторами F, а именно заменять величину F
полусуммой A/2) (F+ + F), или же можно брать нормально-упо-
нормально-упорядоченную последовательность операторов (F+ (t) F (t')), что
приведет к тем же окончательным результатам. Более подробное
рассмотрение при этом дает следующие соотношения:
Qxy=Qyx=o, A0.153)
Qxx = Qvy = O, A0.154)
где Q = A/2) х (Лтепл + Лсп), а лтепл и псп — величины, которые
были введены формулами A0.102) и A0.103). Для дальнейшего
анализа нам потребуется перейти от координат х, у к полярным
координатам:
. A0.155)
При этом функция / преобразуется в новую функцию распределе-
распределения /, зависящую от переменных г и <р, такую, что
fdxdy^frdrdif. A0.156)
Поскольку выполнение преобразований в уравнении Фоккера—
Планка не представляет большого интереса, мы сразу приведем
новый вид уравнения:
Л...
dt
В общем случае решение уравнения A0.157) может быть най-
найдено только с помощью компьютеров. Однако стационарное реше-
решение этого уравнения можно получить аналитически. В этом случае
имеем
Л. = 0. A0.158)
Мы сначала попытаемся разъяснить, что в стационарном случае
функция распределения / не зависит от ф. Из предыдущих разде-
разделов мы знаем, что в лазере имеет место диффузия фазы поля. Если
снова обратиться к представлению о частице, совершающей диффу-
диффузию по «долине» на потенциальном рельефе, нетрудно увидеть, что
здесь должно устанавливаться равновероятное распределение по
Квантовая теория лазера I 283
фазам. Это значит, что вероятность найти частицу в какой-то точке
на дне долины одинакова для всех точек. Как следствие этого
-^-=0. A0.159)
Эф
При этом уравнение A0.157) принимает вид
(Ю.160)
[()Л ^
дг д
Это уравнение можно проинтегрировать, и в результате получим
{Gra — Cri)f=Qr-^--\ С. A0.161)
Константу С" можно найти следующим образом. Поскольку / —
функция распределения, она должна быть нормирована на весь
полубесконечный интервал 0 < г < оо. Следовательно, и функция
/ и ее производная по г должны достаточно быстро убывать при
г-»- оо. Устремляя г к бесконечности в формуле A0.161), мы сразу
получаем
С-0, A0.162)
и с учетом этого приводим формулу к виду
(GrCr)f. A0.163)
Это дифференциальное уравнение первого порядка легко решается.
Решение имеет вид
f^ ^L ехр [r2G/BQ)-r4C/DQ)]. A0.164)
Здесь JC — константа, которая обеспечивает правильную норми-
нормировку и определяется выражением
— =,fexp[. ..] г dr. A0.165)
Jf о
С помощью введенного ранее [формула F.51)] потенциала фиктив-
фиктивной частицы функцию / можно представить в особенно простом виде
/ = -^ехр[—7(r)/Q], A0.166)
где qssr.
Исследуя поведение функции A0.164), мы можем выяснить,
как ведет себя лазерное излучение на пороге и вблизи порога. За-
Зависимость функции / от переменной г представлена на рис. 10.12
284
Глава 10
при разных значениях параметра G. Ясно, что, когдаG <0, макси-
максимум функции / лежит при г ~ 0. При G >0 этот максимум сдви-
сдвигается в сторону больших значений г с ростом параметра G. Мы
знаем, что величина г2 совпадает с \Ь\2. В классическом подходе
<?¦
0,3
I
0,1
[
1
la--
Л
2
0
л
\
v
10
Рис. 10.12. Функция распределения лазерного излучения [формула A0.164I,
представленная как функция безразмерной переменной /Г= г2 [формула
A0.168)]. У
величина \Ь\2 представляет собой (с точностью до постоянного
множителя) интенсивность излучения, а в квантовом мы можем
рассматривать величину г2 как некую меру числа фотонов. На
рис. 10.13 и 10.14 представлена зависимость функции / от г и <р,
и при G ;>0 в распределении вероятности можно видеть «кратер».
Рядом с графиком функции распределения представлен график
потенциала. В случае G <0 потенциал имеет только один минимум.
Соответственно этому функция распределения имеет только один
максимум. При G >0 возникает радиально-симметричная «долина»
в потенциальной функции. Соответственно этому распределение
Квантовая теория лазера I
285
вероятности имеет вид радиально-симметричного «хребта» с «крате-
«кратером» посредине.
При сопоставлении изложенной выше теории с экспериментом
нужно иметь в виду следующие два обстоятельства. Чтобы единым
образом представить различные параметры лазера, целесообразно
ввести новые переменные. Кроме того, аргумент г функции распре-
распределения является непрерывной переменной. Как уже упомина.
лось, в классической интерпретации переменная г2 = |Ь|2 со.
Рис. 10.13. Слева — потенциал фиктивной частицы в допороговом режиме,
справа — функция / (gi, q2) координат дг, q2 (причем г2 --= q\ + q%); функ-
функция / имеет колоколообразную форму.
ответствует интенсивности. При квантовом же подходе перемен-
переменная г есть некая мера числа фотонов, т. е. дискретная величина.
Поэтому нам нужно произвести преобразование от непрерывной
переменной к дискретной. Предварительно введем безразмерные
переменные
г=^\ПЩг, 1-=<\[CQt, п----г*, a-G/л/ОС A0.167)
(символ г читается «г со шляпкой»). Тогда функция распределения
A0.164) может быть записана в виде
A0.168)
Теперь займемся переходом от непрерывных переменных к дис-
дискретным. В эксперименте дискретные числа фотонов регистрируются
286
Глава 10
счетчиком в заданном временном интервале счета То при помощи
фотоприемника, расположенного вне лазерного резонатора. Полу-
Получаемую таким образом функцию распределения числа фотонов обо-
обозначим через р (я, То). Строгая теория показывает х), что функцию
р можно связать с функцией вида A0.168). Если интервал То мал
>tq .Я?)
Рис. 10.14. Функция распределения / (qlt q2) в надпороговом режиме, в ко-
котором потенциал имеет вид, представленный на рис. 10.9. Функция f, имеет
«кратер» в центре.
по сравнению с временами релаксации нелинейных осцилляторов
вида A0.145), то имеет место соотношение
р(п, TQ)
A0.169)
Константа s, которая определяется свойствами фотоприемника,
пропорциональна величине То и, в частности, зависит от чувстви-
чувствительности фотоприемника.
Если мы подставим выражение A0.168) в формулу A0.169) и
предположим, что среднее число фотонов достаточно велико, то
получим практически непрерывную функцию распределения
р (п, То) =
sF о (a)
ехр
1 z' л \2 , 1 «1
— — | — I 4 а — .
A0.170)
Иными словами, мы получаем функцию распределения прежнего
вида, только вместо числа фотонов п в нее входит величина nls,
х) См. работы, указанные в списке литературы.
Квантовая теория лазера I 287
пропорциональная этому числу. Множитель FQ (а) дается форму-
формулой
J[^]7, A0.171)
причем параметр а, как видно из формулы A0.167), пропорциона-
пропорционален ненасыщенному полному усилению G. Поскольку усиление
пропорционально ненасыщенной инверсии и, следовательно, на-
накачке, параметр а называют также параметром накачки.
Произведенное преобразование мы больше обсуждать не будем,
а рассмотрим некоторые следствия из полученных теоретических
результатов и подтверждающие их экспериментальные данные.
Обратимся снова к рис. 10.12. Ясно, что статистика фотонов ме-
меняется вблизи порога, т. е. при условии 0 = 0, или а = 0. О ста-
статистике фотонов ниже и выше порога можно судить просто по сред-
среднему квадрату отклонения (т. е. по дисперсии) числа фотонов
<(rt-<n»»>«<n«>-<ri>», A0.172)
где символ {. . .) означает квантовомеханическое среднее.
Эту величину можно определить экспериментально. Таким пу-
путем можно детально проследить за переходом от допороговой функ-
функции распределения к надпороговой функции.
В квантовомеханическое среднее A0.172) мы подставили вели-
величину п вместо оператора числа фотонов b+b. До сих пор наш упро-
упрощенный подход, при котором операторы Ь+ и b рассматривались
как классические переменные, был обоснованным (пояснения см.
в гл. 11), однако при вычислении величины вида A0.172) требуется
учитывать операторный характер величин Ь+ и Ь. Подставляя
в формулу A0.172) выражение п = b+b, мы получаем
или в более подробной записи
{(ЬЧЬЩ)-{ЪЩ\ A0.173)
Как мы знаем, для операторов Ь и Ь+ выполняется коммутационное
соотношение
bb+—b+b=l. A0.174)
На основании этого соотношения произведение b+bb+b в формуле
A0.173) можно привести к виду b+b+bb + b+b. Таким образом,
величина A0.173) принимает вид
A0.175)
В гл. 11 будет показано, что величину Кг в формуле A0.175) можно
вычислять, пользуясь функцией распределения / так, как если бы
288
Глава 10
операторы b+, b были классическими переменными. Кроме того,
величины (b+b+bb) и (b+b) можно выразить через решения клас-
классических уравнений Ланжевена. Следовательно, мы можем взять
в качестве величины /С2 в формуле
A0.175) выражение /С2 (т = 0) из
разд. 10.4, которое было там найдено
для допорогового и надпорогового ре-
режима. Получаем:
а
т\
ниже порога
выше порога
К2(т = 0)--"
I
№
A0.176)
A0.177)
Дисперсию, которая дается выраже-
выражением A0.172), можно вычислить,
подставив формулы A0.176), A0.177)
в выражения A0.175), A0.172). Таким
путем находим:
ниже порога
IT II 111 ««-<«»2н
=-2(Л>«Л>+1).
A0.178)
Рис. 10.15. Верхние кривые
обоих рисунков—зависимость
интенсивности света от време-
времени [10.16]. Вертикальными ли-
линиями отмечены моменты при-
прибытия отдельных фотонов на
фотоприемник. Рисунок а —
обычная лампа. Происходит
группировка фотонов. Соот-
Соответственно этому в интенсив-
интенсивности света имеются сильные
флуктуации. Рисунок б — из-
излучение лазера. Приблизитель-
Приблизительно сохраняется неизменным
средний интервал между фо-
тоиами. Соответственно этому
наблюдается гладкий ход ин-
интенсивности излучения во вре-
времени.
Этот результат типичен для случая
статистики Бозе—Эйнштейна, в кото-
котором фотоны могут группироваться в
«сгустки» (рис. 10.15, а). В то же вре-
время мы имеем
выше порога (п -*- оо)
((n—(n)Y)f*(n). A0.179)
Хорошо известно, что такое соотно-
соотношение выполняется для распределе-
распределения Пуассона. Оно означает, что фо-
фотоны приблизительно сохраняют оп-
определенное (среднее) расстояние меж-
между собой (рис. 10.15, б). Мы уже имели
возможность получить эти результаты,
решив уравнение для лазера A0.128).
Но там нам пришлось исключить не-
небольшую область накачки в окрестности порога генерации. Теперь,
используя функцию распределения вида A0.164) или A0.170), мож-
можно ликвидировать этот пробел. Напомним читателю еще раз, что
Квантовая теория лазера I
289
в гл. 11 будет обоснована возможность замены квантовомехани-
ческих средних классическими средними. Чтобы описать непре-
непрерывный переход от выражения A0.178) к выражению A0.179), пред-
представим левую часть равенства A0.178) [или A0.179)] в виде
л», A0.180)
где #2 — функция переменной (л), пока еше не известная. Оче-
Очевидно, что Я2 = 1 ниже порога и Н2 = 0 выше порога. Решив
0,9-
0,8
0,7 -
0,6
0,5
О А
0,3
о, г
0,1
Н"
10'
Ю п/п0
Рис. 10.16. Зависимость величины Я2 от нормированного числа фотонов
(отдельные точки —экспериментальные данные [10.15], сплошная линия —
теоретическая кривая [10.131).
уравнение A0.180) относительно функции #2, G использованием
обозначений М2 = {п2), Мх = (л) получаем выражение
//2= 2 . . A0.181)
Таким образом, функция Я2 прямо выражается через измеряемые
величины, а именно через первый и второй моменты числа л. На
рис. 10.16 результаты теории, основанной на функции распределе-
распределения A0.164), сопоставляются с экспериментом. Эти результаты
хорошо согласуются с экспериментом, а также указывают на плав-
плавный переход от зависимости вида A0.178) к зависимости вида
A0.179). Вместо параметра накачки здесь использовалась норми-
290
Глава 11
—'
I—..
ч
г-—
рованная интенсивность излучения. Столь же хорошее согласие
теории с экспериментом было найдено для других величин, которые
выражаются через высшие моменты, такие, например, как М3 =
= (л3) и Mt = (л4).
Мы знаем, что свойства когерентности излучения характери-
характеризуются корреляционной функцией напряженности поля, например
функцией (Е<--) (t) ?(+) (t')). В предыдущих разделах были вычис-
вычислены две очень важные величины
(Ь+ (О Ь СО)) и К2 (т) = ф+ @) Ь+ (т) Ь (т) Ъ @))
2,0 г-
is
4 1,0
0,5
~Ю -8-6-4-2 О 2 4 6 8 Ю
Рис. 10.17. График функции а (а), входящей в формулу A0.183) [10.17].
при значениях накачки, лежащих ниже и выше порога. В окрест-
окрестности накачки эти величины можно вычислить с помощью нестацио-
нестационарных решений уравнения Фоккера—Планка A0.157). Такие ре-
решения были найдены путем численных расчетов. Мы представим
некоторые из этих результатов, чтобы показать, как ширина линии
лазера Дсо изменяется вблизи порога генерации. Величина Aw =
== Дсо (а) изменяется непрерывно при изменении параметра на-
накачки а, и выполняется равенство
Асо(а)Р(а) = AwoPoa(a). A0.182)
Здесь Р (а) — интенсивность излучения лазера при параметре на-
накачки, равном а. Величины Дш0 и Ро — это ширина линии и интен-
интенсивность излучения лазера в надпороговом режиме; они даются
формулами A0.135) и A0.136). Как нетрудно видеть, произведение
Асо0Ро не зависит от генерируемой мощности, так что формулу
A0.182) можно представить в виде
Дсо (a) P (а) = const -а (а). A0.183)
Функция а (а) исследовалась численным методом, и ее график
представлен на рис. 10.17. Если бы мощности излучения до порога
и над порогом были одинаковы, то мы бы получили, что ширина
линии до порога равна удвоенной ширине линии в надпороговом
режиме.
11
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ЛАЗЕРА II
Второй подход,
основанный на уравнении
для матрицы
плотности и соответствии
между квантовыми
и классическими уравнениями
11.1. Уравнение для матрицы плотности
В предыдущей главе мы излагали квантовую теорию лазера на ос-
основе квантовых уравнений Ланжевена. Преимущество этих урав-
уравнений состоит в том, что их физический смысл легко уяснить бла-
благодаря аналогии с полуклассическими уравнениями для лазера.
Они довольно легко решаются (даже в квантовом случае) для до-
порогового и надпорогового режима путем линеаризации. Вместе
с тем небольшой интервал значений накачки в окрестности порога,
в котором происходят наиболее интресные явления, нельзя проана-
проанализировать с помощью квантовых уравнений Ланжевена. Это свя-
связано с тем, что, хотя уравнения и применимы, не известен способ
их решения для данной области. Поэтому в разд. 10.5 мы вынуж-
вынуждены были обратиться к уравнению Фоккера — Планка. Там мы
выводили классическое уравнение Фоккера—Планка из квантовых
уравнений Ланжевена на основе эвристических соображений.
Цель настоящей главы — восполнить указанный пробел. Мы хо-
хотим здесь вывести прежнее уравнение Фоккера—Планка из «первых
принципов», причем сложную квантовомеханическую задачу бу-
будем решать по этапам с помощью вполне обоснованной и хорошо
известной приближенной процедуры. В данном разделе мы сделаем
первый шаг на этом пути и выведем уравнение для матрицы плот-
плотности лазера. От читателя требуется знакомство с основными
свойствами уравнения для матрицы плотности.
Как и в предыдущей главе, опять начнем с полного гамильто-
гамильтониана, который имеет вид
Н = Hr\-HA + HAf + HBl + HBi-
Здесь гамильтониан Яо слагается из гамильтониана Hf свободных
колебаний поля, гамильтониана НА атомов, дающих вклад в гене-
генерацию, и из гамильтониана HAf, описывающего взаимодействие
атомов с полем. Мы принимаем такую же модель, как в предыдущей
главе, а именно будем рассматривать одну моду поля и набор двух-
двухуровневых атомов, находящихся в резонансе с полевой модой.
292 Глава 11
Явный вид указанных гамильтонианов дается формулами A0.4),
A0.13) и A0.21). Остальные слагаемые в выражении A1.1) описы-
описывают взаимодействие поля и атомов с их термостатами. Возможный
способ исследования системы, определяемой гамильтонианом A1.1),
состоит в решении соответствующего уравнения Шредингера
НЧ?=ШЧ, A1.2)
которое, разумеется, содержит переменные всех термостатов. Эти
переменные непосредственного интереса для нас не представляют,
и мы постараемся их исключить. Поэтому мы будем применять под-
подход, основанный на матрице плотности. Матрица плотности рПОлн,
которая описывает всю систему с гамильтонианом A1.1), подчи-
подчиняется уравнению движения
= -[Н, рполи]. (И.З)
ДРполи
dt h
Однако нас интересует матрица плотности, содержащая только неп-
непременные полевой моды и атомов, т. е. собственно лазерные пере-
переменные, но не переменные термостатов. В связи с этим мы введем
новую матрицу плотности р, усреднив первоначальную матрицу
плотности рполн по переменным термостатов!
Р = (Рполн>. (П.4)
Относительно переменных термостатов мы предполагаем, что они
отвечают тепловому равновесию при определенных значениях тем-
температуры. Очевидно, что нам потребуется получить уравнение для
эффективной матрицы плотности р.
Рассмотрим полевую моду, связанную с термостатом. Матрицу
плотности этой полной системы будем обозначать символом
Р^.полн. (U-5)
Эта величина удовлетворяет уравнению
d9f'n
°m
- -4" Щ + # * + Hb,-U 9Uпол„]. A1.6)
n
4
at n
Можно получить уравнение для матрицы плотности р/, которая
содержит только переменные поля Ь+, Ь. Такое уравнение для мат-
матрицы плотности
РГ = <Р/,полн> (П.7)
имеет вид
р,= 1Г[Ь«>Ь+Ь, pf] + 8{[b+pf, b\ + [b+, 9fb}) +
n
+l\lbpf, b+) + [b, pfb+]}, A1.8)
Квантовая теория лазера II 293
где ? и б — константы, которые выражаются через константу за-
затухания полевой моды и и число тепловых фотонов птепЛ'.
б = КПтепл, (И.9)
! = х(ЯтепЛ-И). (НЛО)
Теперь мы можем перейти к выводу редуцированного уравнения
для матрицы плотности A1.4) системы поле + атомы. Полная про-
производная по времени для матрицы р состоит из трех слагаемых:
1. Вклад, обусловленный когерентным взаимодействием поля
и атомов. Этот вклад, как обычно, дается формулой
--JLttfeiP]. (ii.ii)
когер А
2. Два других вклада отвечают взаимодействию поля с его тер-
термостатом и взаимодействию атомов с их термостатами.
В итоге получаем
+(f) ()
вх—\ V dt Jb,-A
Вклад в производную от р, отвечающий взаимодействию поле —
термостат, представлен формулой A1.8). Поскольку когерентное дви-
движение матрицы pf учитывается выражением A1.11), из формулы
A1.8) следует взять только указанные ниже слагаемые:
A1.13)
Последнее слагаемое в уравнении A1.12), описывающее взаимо-
взаимодействие атомов с их термостатами, имеет вид
A1.14)
Здесь проведено суммирование по отдельным атомам (индекс ц),
причем предполагается, что термостаты различных атомов являются
статистически независимыми. Поскольку мы имеем дело только
с двухуровневыми атомами, индексы i и / принимают два значения
1 и 2.
Величины А представляют собой константы, о которых не тре-
требуется дополнительной информации, так как известна их связь
со следующими феноменологическими константами:
1) скорость переходов с уровня / на уровень т при некогерентных
процессах
294 Глава 11
2) ширина линии перехода между уровнями тип
\ mi.im • пит, g
3) частотные сдвиги для переходов, связывающих уровни тип,
Дсотп=—V 1т(Лп. in-r A*mi ,-,„)• A1-17)
i
Поскольку частотные сдвиги невозможно отделить от исходных
энергий атомных уровней (перенормировка), мы будем считать,
что величина A1.17) равна нулю, и, как показывает более подроб-
подробное рассмотрение, мы даже можем считать величины А действи-
действительными. При этом для двухуровневых атомов (которые мы и рас-
рассматриваем) равенства A1.15) и A1.16) принимают вид
а%- = 2Л12J1, A1.18)
Y = Y12 = Y21 ^ -г- (Щг - w2i) -г А, A1 • 19)
причем слагаемое
A-Y^n-l-ufc) A1.20)
описывает фазовые флуктуации, которые не являются следствием
реальных переходов. Чтобы не перегружать изложение, мы в даль-
дальнейшем слагаемое A1.20) будем опускать. Читатели, которых ин-
интересует этот вопрос, могут ознакомиться с деталями по книге
fll.8).
Используя обозначение ata2 — а, . . . , которое было введено
ранее, мы можем представить формулу A1.14) в виде
Уравнение A1.12) вместе с формулами A1.11), A1.13) и A1.21) и дает
искомое уравнение для матрицы плотности. Это уравнение является
в той же мере строгим, как квантовомеханические уравнения Лан-
жевена из разд. 10.3, и в этом смысле полностью им эквивалентно
[при условии, что в формулу A1.21) включено слагаемое A1.20)].
Отметим, что в основе обоих подходов лежат одинаковые приближе-
приближения, а именно в обоих случаях предполагается, что взаимодействие
поля с атомами не настолько сильно, чтобы заметно повлиять на
взаимодействие этих отдельных систем с их собственными термо-
термостатами. При очень сильном взаимодействии поля с атомами могут
Квантовая теория лазера 11 295
возникнуть новые эффекты, в частности, взаимодействие атомов
с их термостатами может подавляться.
Один возможный путь дальнейшего продвижения — решать
непосредственно уравнение для матрицы плотности A1.12). При-
Приближенные решения уравнения для матрицы плотности имеются
в литературе, и читатели, которые ими интересуются, смогут с этими
решениями ознакомиться. Мы же в данной книге предпочитаем
следовать линии, намеченной в начале этого раздела, т. е. вывести
из квантовомеханического уравнения для матрицы плотности клас-
классическое уравнение Фоккера—Планка. Для этого наметим связь
между квантовым и классическим описанием на основе метода кван-
тово- класси ческого соответстви я.
11.2. Квантово-классическое соответствие,
пример затухающей полевой моды
(гармонический осциллятор)
11.2.1. Формальная аналогия между квантовыми
и классическими статистическими средними
Метод, который мы здесь собираемся изложить, пригоден и в тео-
теории лазеров, и в нелинейной оптике. Будем исходить из квантово-
механических уравнений Ланжевена для затухающей полевой моды.
Уравнение для оператора уничтожения Ь имеет вид
& = ( —te>—jt)u-fF(f). A1.22)
Путем замены
6 = Ьехр[ — Ш], A1.23)
F(t) = F(t)exp\—i(ot}: A1.24)
уравнение A1.22) можно привести к более простому виду
Ь--=— v.b-r F(t). A1.25)
Это уравнение аналогично классическому уравнению Ланжевена
q=—x.q + F. A1.26)
Данное уравнение можно рассматривать как уравнение передемпфи-
передемпфированного броуновского движения частицы. Мы хотим, основываясь
на аналогии между уравнениями A1.25) и A1.26), найти способ
вычисления квантовомеханических средних с помощью с-числовой
процедуры («с» означает «классический»). Если квантовый осцилля-
296 Глава 11
тор связан с термостатом, то его квантовомеханическое среднее
и квантовое статистическое среднее (Ь) определяется как
й)=Тг{6р}. (П-27)
где р — матрица плотности, а Тг ¦— обозначение следа матрицы.
Чтобы найти величину вида A1.27), нужно, конечно, решить урав-
уравнение для матрицы плотности р. Идя далее по пути к той аналогии,
к которой мы стремимся, посмотрим, как вычислялось бы в класси-
классической физике среднее значение, соответствующее среднему вида
A1.27). В классической физике среднее значение координаты q
определяется следующим образом:
t)dq, A1.28)
где f (q, t) — функция распределения. Величина f (q, t) dq дает
нам вероятность найти частицу в момент времени t в интервале
q . . . q -f dq. Функция распределения / удовлетворяет уравнению
Фоккера—Планка, которое имеет вид
dt dq v n 2 dq2 ч
Чтобы было понятно дальнейшее, напомним в общих чертах чита-
читателю, как уравнение Фоккера—Планка A1.29) выводится из урав-
уравнения A1.26). (Читатели, которым необходимо более подробное
изложение, могут обратиться к моей книге [13.2].)
11.2.2. Классическое уравнение Фоккера — Планка
для затухающего квантового осциллятора
Рассмотрим сначала частный случай — уравнение A1.26) без
флутуационной силы F (t). Если задано начальное условие для q,
то зависимость q (t) определена. Мы знаем, что при этом частица
в момент t с определенностью попадает в интервал q . . , q -f dq
[здесь значение q (t) принадлежит этому интервалу ] и с нулевой
вероятностью в любое другое место. Функция распределения, отве-
отвечающая такому требованию, дается б-функцией:
/о(9- 0 = 6(<7-<7@)- (П-30)
Теперь предположим, что координата частицы q изменяется под
действием флуктуационной силы F (t), создаваемой термостатом.
Эта сила вызывает случайные толчки, и при различных реализа-
реализациях случайных событий частица будет проходить разные пути.
Если мы теперь хотим получить вероятность нахождения частицы
в момент времени t в интервале q . . . q -f dq, нам нужно усред-
усреднить функцию распределения A1.30) по различным путям, обуслов-
Квантовая теория лазера II 297
ленным термостатом, т. е. мы должны вместо формулы A1.30) на-
написать
f(q, t) = (b(q-q(t)))B. (П-31)
Используя выражение A1.31), с учетом свойств флуктуационных
сил можно вывести уравнение Фоккера—Планка A1.29), соответст-
соответствующее уравнению A1.26) (см. книгу [13.2]). Однако в данный
момент более важно другое свойство выражения A1.31). Действи-
Действительно, воспользуемся фурье-представлением б-функции
J\dt A1.32)
Подставляя выражение A1.32) в выражение A1.31) и замечая, что
интегрирование по переменной ? не затрагивает усреднения по
термостату, получаем
1 ОО
i {e*P\i{q{t)q)l])B<%. A1.33)
На том же основании можем написать
A1.33)- — f exp[—iqt}(exp\iq(t)l)Bdt A1.34)
Статистическое среднее экспоненциальной функции, которое вхо-
входит в подынтегральное выражение в формуле A1.34), хорошо из-
известно в статистической физике. Оно называется характеристиче-
характеристической функцией и часто обозначается буквой %:
<ехР;[«7@?]>в = Х(Ю- A1.35)
После того как написаны эти соотношения, можно переходить
к задаче нахождения функции распределения для квантовомехани-
ческих переменных. Сначала заметим, что в соответствии с основ-
основными принципами квантовой теории классические наблюдаемые —
такие, как q (t) — заменяются в квантовой механике операторами Ь.
Как мы знаем, в квантовой механике можно по-разному выбирать
временную зависимость операторов Ъ. В представлении Шредин-
гера операторы b, b+ не зависят от времени и вся временная зави-
зависимость квантовой системы описывается волновой функцией <р или
(при более изящном подходе) зависящей от времени матрицей плот-
плотности. Другое описание основывается на представлении Гейзен-
берга, в котором зависят от времени операторы b, b+, а волновая
функция от времени не зависит. В нашем изложении будет исполь-
использоваться представление Шредингера, которым мы уже пользова-
пользовались в разд. 11.1, хотя и не употребляли этот термин. Мы установим
аналогию между структурой статистического среднего такого вида,
как в формуле A1.35), и квантовомеханического среднего вида
298 Глава 11
A1.27). Сначала приведем определение (вполне ясное по смыслу)
квантовомеханического и квантового статистического среднего
функции exp [iblh
A1.36)
Тем самым мы определили квантовомеханическую характеристиче-
характеристическую функцию, которая аналогична функции A1.35). В то время
как в случае действительной переменной q (t) для получения всех
требуемых статистических свойств достаточно характеристической
функции вида A1.35), в случае величины Ь в классической области
мы должны иметь дело с комплексной переменной, а в квантовой —
с оператором Ь и эрмитово-сопряженным к нему оператором. При
этом характеристическая функция будет зависеть не от одной
действительной переменной ?, а от двух комплексных переменных
Р и [J*. Таким образом, обобщая выражение A1.36), мы определим
характеристическую функцию гармонического осциллятора (полевой
моды) как
гф, P*)=Tr{expLip&-MP*6+]p}. A1.37)
Здесь выявляется фундаментальное различие между характеристи-
характеристическими функциями классических случайных величин [выражение
A1.35)] и характеристическими функциями для операторов [вы-
[выражение A1.37)]. Дело в том, что, поскольку операторы b и Ь+ не
коммутируют, мы получим разные определения характеристических
функций, если будем разными способами записывать экспоненты,
содержащие b и Ь+. Например, мы могли бы представить экспо-
экспоненту в формуле A1.37) в виде произведения и получить такую ха-
характеристическую функцию:
Хр(р\ Р*) = Тг{ехр[ф*&+]ехр[1|}6]р]. A1.38)
Эта функция отличается от функции вида A1.37), поскольку опе-
операторы b и Ь+ не коммутируют. Читатель помнит, что в квантовой
механике мы читаем операторы справа налево. Поэтому выражение
A1.38) означает, что экспонента, содержащая оператор Ь, действует
раньше, чем экспонента, содержащая оператор Ь+. Если же мы пе-
переставим эти две экспоненты, то придем к новой характеристиче-
характеристической функции, а именно
Xq(P, Р*) = Тг|ехр[*р&]ехр[*р*&+]р}. A1.39)
Таким образом, характеристические функции вида A1.37), A1.38),
A1.39) будут давать разные функции распределения: функцию рас-
распределения Вигнера %, функцию распределения Глаубера—Судар-
шана Хр и Q-характеристическую функцию %Q соответственно.
В дальнейшем мы будем использовать выражение A1.38).
Напомним, в чем состоит наша конечная цель. Мы хотим полу-
получить функцию распределения, соответствующую квантовому про-
Квантовая теория лазера II 299
цессу. Исходным пунктом служит формула A1.31), которая яв-
является определением функции распределения / для классической
переменной q (t). Переход от этой функции распределения к кван-
квантовой функции распределения дается формулой A1.34), в которой
мы должны заменить классическую характеристическую функцию
A1.35) квантовой характеристической функцией A1.38). Для этого
мы просто берем фурье-образ характеристической функции A1.38),
в которой вместо прежней действительной переменной q исполь-
используются две комплексные переменные и и и* и вместо однократного
интегрирования по ? проводится двумерное интегрирование по d2p\
Мы не будем углубляться в математику в связи с интегрированием
в комплексной плоскости. Вместо этого используем некоторые
формальные соотношения, а математическое обоснование подхода
читатель сможет найти в специальной литературе. По аналогии
с соотношениями A1.33) и A1.34) мы определим функцию распре-
распределения Глаубера—Сударшана формулой
Р(и, ы*) = я~2 fexpf — фы—ф*ы*]хР(р\ p*)d"P- (П.40)
Если учесть соотношение A1.38), то формула A1.40) принимает вид
Р(и, ы*)^л-2 [ехр[—фы—ф*и*]Тг {ехр [10*6+] ехр 1ф&]р}сBр\
A1.41)
Посмотрим, какие величины в выражении A1.41) известны, а какие
нет. Величины и и и* — независимые переменные, a [J и [J* — пе-
переменные интегрирования. Величины Ь+ и Ь — это операторы
с заданными свойствами. Так что единственной неизвестной вели-
величиной является матрица плотности р. Иными словами, если известна
матрица плотности р, то имеется возможность (хотя бы в принципе)
вычислить функцию Р. Таким образом, один путь состоит в том,
чтобы сначала решить уравнение для матрицы плотности р, а за-
затем проводить вычисления по формуле A1.41). Однако мы стре-
стремимся к иному, более значительному результату: мы хотим выве-
вывести уравнение Фоккера—Планка для Р. Чтобы прийти к этой цели,
мы преобразуем уравнение для матрицы плотности р в эквивалент-
эквивалентное уравнение для функции Р. При этих преобразованиях нам по-
понадобятся некоторые формальные соотношения. Прежде всего вве-
введем обозначение
О - ехр [ф*Ь+] ехр [фб] A1.42)
Тогда характеристическую функцию % можно записать в виде
Хр(Р, Р*) = Тг(Ор}. A1.43)
Для простоты мы в дальнейшем не будем ставить индекс Р у сим-
символа х
300 Глава 11
Сначала выведем уравнение для характеристической функ-
функции %. Продифференцируем обе части равенства A1.43) по времени;
в результате получим
dx/df = Tr{O(dp/df)}. A1.44)
Подставим в формулу A1.44) вместо производной dpldt правую
часть равенства A1.13), причем используем явные выражения A1.9),
A1.10) для величин б и \. Далее воспользуемся теоремой о следе
произведений матриц, получаемых при циклических перестанов-
перестановках, которая выражается формулой
Тг{ЛВС} = Тг{СЛВ}. A1.45)
С учетом равенства A1.45) перепишем формулу A1.44) в виде
= % Tr {[2b+0b~0b+b—b+b0] p} +
ЛТт\[Ь+0Ь~bb+0~0b+b + ЬОЬ+] р\. A1.46)
Теперь нам предстоит выразить правую часть равенства A1.46)
через функцию %; при этом мы будем считать, что функцию % можно
дифференцировать по переменным р и Р* или умножать на них.
Обратимся к формуле A1.42). Дифференцируя правую часть
равенства A1.42) по ф*, получаем
а дифференцируя это выражение и по ф* и по ф, находим
6+06 = — . A1.48)
Далее на основании коммутационного соотношения bb+—b+b = 1
мы можем написать равенство .
bO=i$*O + Ob. A1.49)
Умножая обе его части слева^на оператор Ь+, получаем
b+bO = i$*b+O-r b+Ob. A1.50)
При этом становится ясно, что правую часть можно заменить про-
производными по переменным ф* и ф:
™*°—. A1.51)
к д(ф*) ^ d(i$*)d№
Таким образом, формулы A1.48), A1.50) и A1.51) позволяют нам
выразить некоторые произведения операторов через производные
от оператора О. Аналогичные выражения можно получить и для
остальных слагаемых, входящих в формулу A1.46); вывод этих
выражений мы оставляем для упражнений читателю.
Квантовая теория лазера II 301
Покажем теперь, как можно использовать соотношения типа
A1.48), чтобы выразить правую часть равенства A1.46) через функ-
функцию %. Рассмотрим величину
Тт{Ь+ОЬр}. A1.52)
С помощью равенства A1.48) эту величину приведем к виду
Тг{ ?2 р). A1.53)
Поскольку вычисление следа матрицы не затрагивает переменных
[J и [J*, можно изменить последовательность операций дифферен-
дифференцирования и взятия следа, т. е. написать
Тг{Ор}. A1.54)
Записанный здесь след в соответствии с формулой A1.43) совпадает
с характеристической функцией %, так что окончательно получаем
Точно так же можно преобразовать все остальные слагаемые; это
мы опять-таки оставим читателю для упражнений. Собирая все
слагаемые, находим
it- -* (ф1ш+^ im)x+2ma"mm* AL56)
Это и есть искомое уравнение для характеристической функции.
Последним этапом в нашем выводе будет преобразование уравне-
уравнения A1.56) для характеристической функции в уравнение для функ-
функции распределения Р. Чтобы выполнить эту задачу, продифферен-
продифференцируем обе части равенства A1.41) по времени. При этом в левой
части равенства получим
dP(Udt "*} =КРехР[-^-Ф*"*] -—-. (П.57)
Далее нужно заменить производную dyjdt в правой части равенства
A1.57) выражением A1.56). Проанализируем для примера одно
из слагаемых в формуле A1.56), скажем выражение
которое при подстановке в формулу A1.57) дает величину
302 Глава 11
Здесь умножение экспоненты на величину ф можно заменить диф-
дифференцированием по «. Поскольку операции интегрирования по р"
и дифференцирования по и можно поменять местами, запишем
выражение A1.59) в виде
^фи-ф*и*]-^. A1.60)
Теперь возьмем интеграл по частям, в результате чего он перейдет
в интеграл от выражения, содержащего производную экспоненты.
Мы будем считать, что функция % обращается в нуль на бесконеч-
бесконечности, а поэтому интегрирование по частям приводит к следующему
результату:
-^-jd2p-(-«)exp[—tpu—ip*u*]x. A1.61)
Очевидно, что на основании определения A1.40) можно предста-
представить выражение A1.61) в виде
~(иР(и, и*)). A1.62)
аи
Подведем итоги. Мы показали, какую величину в уравнении
для функции Р, которое мы ищем, дает первый член из правой ча-
части уравнения A1.56). Второй член из правой части уравнения
A1.56) после аналогичных преобразований даст величину
-~-(и*Р{и, и*)). A1.63)
ди*
В обоих выражениях A1.62) и A1.63) мы временно опустили мно-
множитель и. Еще более простым путем можно продемонстрировать,
что последний член из формулы A1.56) дает (с точностью до постоян-
постоянного множителя) следующую величину:
<*Р*)(*Р)х--гтг. О1-64)
диди*
Сложив величины A1.62) — A1.64) и заменив ими правую часть
уравнения A1.57), мы получим основное уравнение для функции
распределения Р:
dP(u, и*)Ш=х(~и+ — и*)Р + 2хп1еая д* Р. A1.65)
V ди ди* ) ди ди*
Очевидно, что здесь получено уравнение Фоккера—Планка в клас-
классических переменных и и и*, и тем самым строго показано, что за-
задача решения уравнения для матрицы плотности сводится к задаче
Квантовая теория лазера II 303
решения классического уравнения Фоккера—Планка. В дальней-
дальнейшем мы будем сокращенно записывать уравнение A1.65) в виде
P = LfP, A1.66)
где символом Lf обозначен дифференциальный оператор, стоящий
в правой части уравнения A1.65). Решение уравнения A1.65) мы
оставляем читателю в качестве упражнения.
11.2.3. Как вычислить квантовомеханические средние
с помощью классических средних
В начале данного раздела мы ставили такой вопрос: нельзя ли
найти метод, который позволил бы нам вычислять квантовомеха-
квантовомеханические средние, например среднее вида A1.27), на основе с-чис-
ловой процедуры, т. е. с помощью классических средних? Теперь
мы хотим продемонстрировать, что такой метод найден и что в слу-
случае, например, величины вида A1.27) мы имеем равенство
Tr{bp}=JuP(u, u*)d?u. A1.67)
Чтобы вывести это соотношение, представим левую часть равенства
A1.67) в специальном виде, а именно
= [Тг{О(р\ р-*)рр}]р-р-о, A1.68)
где О — оператор, введенный ранее:
Оф, p*) = exp[ip*6+]exptfP&]. A1.69)
Теперь напомним читателю свойства б-функции. Мы не будем стре-
стремиться к большой математической строгости и используем только
следующие свойства: для любой непрерывной функции f аргумен-
аргументов р и Р* справедливо равенство
J6(pN(p*)f(p, p*)d2p-f@, 0), A1.70)
причем
6 (р) б (Р*) = -L Г ехр [—ipM— ip*u*] cPu. A1.71)
Подставим в формулу A1,70) вместо функции / величину
iL P*)p)=f(P, P*) A1.72)
T
и составим выражение
| Р*)р}). A1.73)
304 Глава 11
Выполним интегрирование по частям по переменной ip1 и изменим
порядок интегрирования в двойном интеграле A1.73). Получим
(>ыи-МсРрехр[—фи—;р*и*1Тг{0(р, р**)р}
Р (и, и~)
Напомним, что мы строили выражение A1.73), исходя из левой ча-
части равенства A1.67); вместе с тем выражение A1.74) можно пред-
представить с помощью величины Р. Таким образом, мы имеем
Tr(M = J"P(". u*)d2u, A1.75)
что подтверждает справедливость приведенной выше формулы
A1.67). Основой нашего вывода было выражение A1.72), с помощью
которого мы ьыразили оператор Ob через производную оператора О
по переменной iji. Это выражение легко обобщить и получить для
оператора b в степени п следующее равенство:
Тг |Ь"р} =--
Действуя так же, как при выводе формулы A1.75), находим
Tr {bnp} = J ипР (и, и*)д?и. A1.77)
Наконец, с помощью производных можно вычислить величину
Т»{F+Г6"р[, (П.78)
для чего нужно будет воспользоваться равенством
r-- AL79)
Повторяя здесь прежнюю процедуру, получаем соотношение
Tr \(b+)mbnp} = [ (и*)типР (и, и*) сРи. (И .80)
Отметим важное обстоятельство: равенство A1.80) выполняется
только при условии, что произведение операторов рождения и унич-
уничтожения Ь+ и b является нормально упорядоченным, т. е. опера-
операторы рождения стоят слева от операторов уничтожения. Если не-
некая функция f операторов Ь+ и b определена как нормально упоря-
упорядоченная, то мы имеем следующее правило вычисления средних
значений:
Тг {/(&+, b)p}=J7(u*, и)Р(и, и*)сРи. (П.81)
Это окончательный результат данного раздела.
Подведем итоги. При исследовании случайного процесса, ка-
каковым является временная зависимость оператора Ь (или Ь+), дей-
действие термостата можно учитывать различными способами: 1) ре-
Квантовая теория лазера II 305
шая квантовое уравнение Ланжевена; 2) решая уравнение для
матрицы плотности и вычисляя (на основе этого решения) кванто-
вомеханические средние; 3) решая классическое уравнение Фок-
кера—Планка A1.65) и вычисляя квантовомеханические средние
путем интегрирования по классическим переменным в соответствии
с формулой A1.81).
Таким образом, становится возможным совершенно строго пе-
перевести квантовомеханическую задачу на классический язык. Мы
продемонстрировали подобный переход для представления Глау-
бера—Сударшана A1.38). Читатель может в качестве упражнения
выполнить такой же переход для двух других функций распреде-
распределения, которые даются формулами A1.37) или A1.39).
Упражнения к разд. 11.2
1. Решите уравнение A1.65) для стационарного состояния, т. е.
при условии dPldt = 0.
Указание. Ищите решение в виде
Р = ./Гехр[—Си*и]
и определите константу С, подставив эту функцию в уравнение
A1.65).
2. Найдите решения уравнения A1.65), зависящие от времени.
Указание. Ищите решение в виде
P = Jf(f) exp l—h(t) (и—и @) (и*—и* (*))]
и определите неизвестные функции и (t), и* (t), Jf (t), h (t).
11.3. Обобщенное уравнение Фоккера — Планка
для лазера
В предыдущей главе мы показали, как уравнение для матрицы
плотности затухающей полевой моды может «без потерь инфор-
информации» быть преобразовано в классическое уравнение Фоккера—
Планка. Теперь мы можем поставить вопрос: может ли аналогич-
аналогичная процедура быть применена к матрице плотности лазера A1.12),
которая содержит и полевые, и атомные (или электронные) пере-
переменные? Здесь возникает одно усложнение, которое связано с раз-
различием между бозе-операторами Ь, Ь+ и ферми-операторами элек-
электронов af, ak." Хотя их коммутационные соотношения внешне раз-
различаются лишь знаком, это различие приводит к серьезным труд-
трудностям, если пытаться вывести операторные уравнения типа A1.49).
Тем не менее получить уравнение Фоккера—Планка и в этом слу-
случае возможно, однако (в силу особых свойств операторов Ферми)
это уравнение Фоккера—Планка содержит производные всех по-
306 Глава 11
рядков, так что это уравнение мы будем называть обобщенным
уравнением Фоккера—Планка.
Поскольку подробный вывод не внесет большей физической яс-
ясности, нежели вывод, представленный в предыдущем разделе, мы
не будем здесь входить в подробности. Сошлюсь лишь на свою книгу
[8], в которой имеется детальный вывод. Здесь же мы только на-
наметим схему вывода.
По аналогии с тем, как мы действовали при получении кванто-
квантовых уравнений Ланжевена, будем пользоваться билинейными ком-
комбинациями операторов af, аь, ставшими для нас уже] привычными:
= а, A1.82)
A1.83)
d. A1.84)
Поскольку нам придется иметь дело с набором атомов, которые
различаются индексом ц, мы снабдим этим индексом величины
в правой части равенств A1.82) — A1.84):
%г<*+. <V A1.85)
Для упрощения вычислений примем модель одномодового лазера
бегущей волны, так что пространственная зависимость коэффици-
коэффициентов связи g^ может быть отброшена. В рассматриваемом случае
полевая мода взаимодействует с оператором полного дипольного
момента; поэтому мы введем такой оператор, а также оператор,
эрмитово-сопряженный ему:
5X = S-, A1.86)
и
?<x+ = S+. A1.87)
и
Кроме того, мы введем в качестве новой переменной, которую обо-
обозначим через 252, сумму по всем операторам d^:
и
Обозначения A1.86) — A1.88) связаны с тем, что для операторов
S+, S~ и S2 выполняются такие же коммутационные соотношения,
как и для компонент оператора спина. Явно мы это обстоятельство
здесь использовать не будем, хотя оно играет известную роль в под-
подробном выводе обобщенного уравнения Фоккера—Планка, о ко-
котором пойдет речь.
В предыдущем разделе мы видели, что существует соответствие
между операторами Ь, Ь+ и величинами и, и*
Ь++и, Ь+<-»ц*. A1.89)
Квантовая теория лазера II 307
Аналогичным образом введем соответствие
S-~ v, S+^v*, 2SZ<-»D. A1.90)
Если говорить о формальной стороне, то теперь нам предстоит про-
провести те же самые выкладки, что и в разд. 11.2. Сначала с помощью
экспоненты определим характеристическую функцию по аналогии
с определением A1.43) и A1.42). Так как величины вида A1.86) —
A1.88) представляют собой операторы, имеется несколько возмож-
возможных вариантов расположения экспоненциальных функций. Мы
здесь примем такой порядок:
ОА = exp [il*S+] exp [%SZ] exp [US'] A1.91)
по аналогии с выражением A1.42), введенным выше. Отметим, что
в литературе рассматривались и другие варианты, например ва-
вариант с перестановкой операторов S+ и S~, или вариант, в кото-
котором линейная комбинация операторов S+, S~, Sz стоит под знаком
одной и той же экспоненты. Все эти варианты имеют свои преиму-
преимущества и недостатки, которые проявляются в конкретном виде ре-
решения уравнения Фоккера—Планка и в способе вычисления сред-
средних значений и корреляционных функций.
Чтобы определить характеристическую функцию полной си-
системы полевая мода + атом, введем оператор
O=0A0h A1.92)
который зависит от параметров ?, ?*, ?, р и Р*:
О=0[1, I*, I, р, И- (П.93)
Теперь нам нужно представить функцию распределения лазера
в таком виде:
f(u, u*t v, v*, D) = jf{. . .Jexp[—i{vl + v*l* + W/2 + u$ +
+ и*Р*)]Х(Е.Е*. S, P. P*)d2№2P, A1.94)
где характеристическая функция определяется, конечно, равенст-
равенством
%=Тт{0A, Е*. С, Р, Р*)Р(*)}- (П-95)
Выше уже говорилось, что подробный вывод обобщенного уравне-
уравнения Фоккера—Планка весьма громоздок, а потому мы здесь при-
приведем только окончательный результат. Уравнение для функции
распределения имеет вид
df/dt = Lf, A1.96)
где L—линейный оператор:
(П.97)
Слагаемые, составляющие эту сумму, таковы. Оператор L/ возни-
возникает из-за связи полевой моды с ее термостатом. Он выражается
308 Глава 11
формулой A1.65), которую мы здесь для удобства читателя повто-
повторяем:
\] ^ A1-98)
ди* J диди*
Оператор LAf описывает когерентное взаимодействие полевой моды
с набором атомов и дается выражением
i DV'+\-ir+"']"-[-^+"
Наконец, оператор LA возникает из-за взаимодействия атомов с их
термостатами. Вид этого оператора наиболее громоздкий:
2
dv I dvdv* J dv* L dvdv
J 2 Г 2
L
Если расфазировка атомных диполей происходит не только при ре-
реальных переходах, но и при виртуальных, то к правой части ра-
равенства A1.100) нужно добавить следующее слагаемое (в нем
т) = 2Д):
L JL/D ?\ A1.100a)
2 1 dv dv* dvdv* 2 dvdv* j
В дальнейшем мы не будем рассматривать этот член и только в
конце нашего анализа отметим его роль.
Очевидно, что полученное здесь уравнение Фоккера—Планка
связано только с теми членами исходного уравнения для матрицы
плотности A1.12), которые описывают взаимодействие поля и ато-
атомов с их термостатами, а также взаимодействие атомов с полем.
Гамильтониан свободного движения поля и атомов здесь не учиты-
учитывается. Можно показать, что свободное движение легко отделяется.
Уравнение A1.96) вместе с выражениями A1.97) — A1.100)
представляет собой обобщенное уравнение Фоккера—Планка для
лазера. Отметим, что некоторые слагаемые имеют привычный для
уравнения Фоккера—Планка вид и выражаются только через пер-
Квантовая теория лазера II 309
вые и вторые производные. Однако имеются также производные
по и и и* вплоть до четвертого порядка и производные по D до бес-
бесконечного порядка (наличие экспонент). Естественно, встает во-
вопрос: можно ли это громоздкое обобщенное уравнение Фоккера—
Планка свести к обычному уравнению Фоккера—Планка? В сле-
следующем разделе мы рассмотрим такую процедуру.
11.4. Редукция обобщенного уравнения Фоккера —
Планка
В этом разделе мы хотим показать, как обобщенное уравнение
Фоккера—Планка, вывод которого в общих чертах был намечен
в предыдущем разделе, приводится к обычному уравнению Фок-
Фоккера—Планка. Чтобы проделать это преобразование, мы должны
оценить заранее масштаб величин и, v, D в лазере. Разумеется,
в исходном уравнении самого общего вида
Ц, A
at
в котором оператор L содержит величины и, v, D и производные
по и, v, D, эти величины могут принимать любые значения. Поэ-
Поэтому надежный ответ на вопрос о том, какие значения эти величины
будут принимать в лазере, может быть дан лишь при условии, что
известна функция /. Эта функция является функцией распределе-
распределения, она как раз и указывает нам, какие значения примут вели-
величины и, v, D после усреднения по f. Возникает трудность, очень
типичная для физики и связанная с тем, что функция / неизвестна.
Поэтому мы должны так или иначе предугадать вид функции f
или хотя бы порядок величин и, v, D, обусловленных функцией /.
Поскольку мы ожидаем, что уравнение Фоккера—Планка вида
A0.157) приведет к решению для лазера вблизи порога, вначале
мы воспользуемся решением A0.164) уравнения A0.157). Это ре-
решение даст нам порядок величин и, v, D, что позволит разложить
уравнение A1.96) и оставить в нем лишь главные члены, коль скоро
будет введен критерий малости. Далее будет видно, что таким пу-
путем действительно можно вывести уравнение вида A0.157) при ус-
условиях, близких к пороговым, так что в целом наша процедура яв-
является самосогласованной.
Предварительно сделаем одно замечание общего характера.
Позже выяснится, что выбор параметра малости зависит от условий
работы лазера, т. е. от того, вблизи или вдали от порога он нахо-
находится. В дальнейшем мы будем брать величины такого порядка,
которые типичны для лазера вблизи порога. Другой случай менее
интересен, поскольку он приводит нас к исследованию, эквива-
эквивалентному линеаризации или квазилинеаризации квантового урав-
310 Глава 11
нения Ланжевена. Мы предполагаем, что вблизи порога выпол-
выполняется соотношение
\и\2жппоР. A1.102)
Величина ппор есть число фотонов в окрестности порога; она, ес-
естественно, отличается от числа птеш, фотонов при тепловом равно-
равновесии. Соотношение между атомным дипольным моментом, пропор-
пропорциональным v, и амплитудой полевой моды и можно найти с по-
помощью полуклассической теории, приняв условие стационарности.
Последнее допустимо, поскольку вблизи порога эффективное время
релаксации стремится к нулю (критическое замедление). При та-
таком подходе получаем
\v\ = ^-\u\. A1.103)
Чтобы получить приемлемый параметр разложения, предположим,
что плотность р0 активных атомов остается постоянной, а размеры
лазера стремятся к бесконечности. Обозначив полное число актив-
активных атомов через N, а объем активной среды через V, мы можем,
разумеется, написать
Q0=N/V, A1.104)
так что при N -*¦ оо мы должны положить
N~V. A1.105)
Константа связи g, которая входит в формулу A1.103), зависит от
объема, и эта зависимость имеет вид
g ~ V~m ~ ЛГ1/2. A1.106)
Из формулы для числа фотонов вблизи порога мы получаем
iVnOp~iV1/2. A1.107)
Далее введем соотношения
A1.108)
{ + 4). A1.109)
Здесь мы указали, что, вообще говоря, в выражении A1.109)
имеется дополнительный член г\, который обусловлен процессами
дефазировки, не связанными с реальными переходами. Для упро-
упрощения мы здесь не будем учитывать это слагаемое, но в оконча-
окончательный результат его включим.
Из полуклассической теории мы знаем, что пороговое значение
инверсии таково:
А,ор=^. A1.110)
Квантовая теория лазера II 311
Для удобства в дальнейшем введем обозначения
К = -^-, A1.111)
JL-Ijl, (П.112)
4 + V X
6,=^—. A1.113)
V
Заметим, что вследствие зависимости A1.106) величина К, опреде-
определяемая формулой A1.111), не зависит от N. Если же объединить
формулы A1.110) и A1.111), то можно получить, что
Dnop=^-~N, A1.114)
К
т. е. величина DnOp растет пропорционально N.
Далее мы введем в рассмотрение нормализованные величины,
которые вблизи порога оказываются близкими к единице. Для этого
преобразуем амплитуду поля, дипольный момент и инверсию сле-
следующим образом:
Vn
nop упор Опор
До сих пор символы ЛпоР, fnop и Dnop использовались просто
для обозначения неких комбинаций констант, но в дальнейшем
будет ясно, что соответствующие величины представляют собой
число фотонов, полный дипольный момент и полную инверсию на
пороге генерации.
Забегая вперед и надеясь отыскать самосогласованное решение,
положим
„пор = б^1/2. A1.116)
Учитывая равенство A1.103), находим
Подставим теперь величины A1.115) в правую часть равенства
A1.101), причем будем считать, что производные по q имеют по-
порядок величины q-1. Выражение, которое будет получаться при
этом, будем рассматривать как функцию переменной Nxli и разло-
разложим в ряд по отрицательным степеням величины N112. Чтобы найти
312 Глава 11
уравнение, обеспечивающее ограниченную функцию распределе-
распределения, мы должны включить члены порядка N~l/2. При этом получаем
3D б2 dv dv*
LAf=-ig\-2 -^Ъ*~и
{ dD
dv*
A1.118)
^Ъи^Щл/К + ~Ъи VV6; =rNf
dD dv VA
—K.c.l, A1.119)
4
a»
а оператор Lf сохраняет свой первоначальный вид. Заметим, что
можно было бы также оставить члены, которые существенны вдали
от порога, но сейчас мы этого делать не будем.
Если включены дополнительные процессы дефазировки, то мно-
множитель ш21 перед производной d2/dv dv* нужно заменить вели-
величиной
и»п + -^лA+5/К). A1.120)
Разложим комплексные классические переменные и и у на их
действительные и мнимые части и напишем
Reu \ / Rev
( A1.121)
/ Reu \ / Rev \
u= , v = ( .
V Imu / \ Imv ужш
Введем далее обозначение для хорошо известной комбинации кон-
констант
D0 = N w*~w" . A1.122)
После этого уравнение Фоккера—Планка, содержащее члены
A1.118), A1.119) и A1.98), нетрудно привести к виду
A1.123)
Квантовая теория лазера И 313
Если имеются дополнительные процессы дефазировки, то вместо
множителя Nw%1 нужно написать
*й + ут, + о|. A1.124)
Уравнение Фоккера—Планка A1.123) содержит и полевые, и атом-
атомные переменные. Вместе с тем из полуклассического подхода нам
известно, что в случае лазера на пороге генерации атомные пере-
переменные можно исключить. Оказывается, что и из уравнения Фок-
Фоккера—Планка вблизи порога атомные переменные легко исключить.
Это можно сделать двумя способами: либо непосредственно в урав-
уравнении Фоккера—Планка, либо с помощью уравнения Ланжевена.
Выбор того или иного способа определяется отчасти личным вку-
вкусом, отчасти соображениями удобства. «Кружной» путь через урав-
уравнение Ланжевена на самом деле проще, так что мы выбираем его.
Как показано в классической статистической физике, уравнение
Фоккера—Планка A1.123) совершенно эквивалентно следующей
системе уравнений Ланжевена:
A1.125)
~дГ + Y) v~iguD = lTt" (ПЛ 26)
u-vu*) = TD. A1.127)
Коэффициенты диффузии, которые стоят в уравнении Фоккера—
Планка A1.123), выражаются через флуктуационные силы с по-
помощью соотношений
A1.128)
Q,= lim-L f I' <едг;(У>ЛА' / = и, v, D.
В соответствии с уравнением Фоккера—Планка A1.123) коэффи-
коэффициенты диффузии имеют следующий вид:
QB =-?" Ятепл, A1.129)
Z
A1.130)
4
Заметим, что коэффициенты диффузии, связанные с величинами Го,
не вошли в уравнение A1.123), мы их отбросили в связи с их ма-
малостью.
314 Глава 11
Теперь обратимся к методу адиабатического исключения, ко-
которым мы уже пользовались в этой книге в различных других за-
задачах. Предположим, что выполняется условие
*«?.?„. A1.131)
При таком условии мы можем адиабатически исключить атомные
переменные v и D, в результате чего придем к классическому урав-
уравнению Ланжевена для одной только амплитуды поля и:
u=p(d—|и|2)ы + Г. A1.132)
Здесь мы использовали обозначения
Р -=-- 4*2 , A1.133)
d--Il(D0-DnOp). A1.134)
4и
Величина Dnop была введена выше [формула A1.110)]. При ус-
условии A1.131) флуктуационная сила Г дается суммой
Г--гГ„ + -«-Г0. A1.135)
у
Учитывая соотношение A1.128), а также некоррелированность сил
Ги и Го, находим
Q=-QU^^QV, (П-136)
причем явный вид коэффициентов Qu и Qo дается формулами A1.129)
и A1.130).
Отметим, что классическому уравнению Ланжевена A1.132)
соответствует классическое уравнение Фоккера—Планка, совпа-
совпадающее с уравнением A0.151). Однако в разд. 10.5 мы получили
это классическое уравнение Фоккера—Планка эвристическим пу-
путем из квантовомеханических уравнений Ланжевена, а здесь мы
его вывели из квантовомеханических уравнений с помощью прин-
принципа соответствия. Чтобы наш вывод был более общим, мы возьмем
коэффициент Q в той форме, которая была использована в разд. 10.5.
На основании выражений A1.129) и A1.130) коэффициент Q можно
представить в виде
Q - ~ «тепл + 4 4" NWn' A1 ¦13?)
В силу соотношения
11= '* A1.138)
V2 vO
Квантовая теория лазера II 315
величина Q принимает вид
Q = JLnTenjI+J *& . A1.139)
Напомним теперь читателю формулу A1.109):
2у= wu + w21, A1.140)
а также формулы A0.39) и A0.40), из которых для JV атомов мы
получаем
Nw— »^2,nop»^Stg. A1.141)
С учетом формул A1.140) и A1.141) преобразуем выражение A1.139):
Q =-- -^ (Птещ, Ч-Пел), A1.142)
здесь первое слагаемое в скобках — число тепловых фотонов, а
второе:
представляет собой число спонтанно испускаемых фотонов [фор-
[формула A0.103)].
В заключение отметим, что обобщенное уравнение Фоккера—
Планка A1.123) приложимо и в том случае, когда лазер находится
значительно выше порога (при этом метод адиабатического исклю-
исключения может оказаться уже неприменимым).
11.5. Заключение
Уравнение Фоккера—Планка, которое мы вывели в разд. 11.4,
легко решается в стационарном случае. Метод квантово-классиче-
ского соответствия позволяет находить средние значения операто-
операторов поля 6+ и Ь с помощью классических средних на основе класси-
классической функции распределения f (или Р — в наших прежних обо-
обозначениях).
При таком подходе мы имеем хорошо разработанную процедуру
вычисления, например введенной в разд. 10.4 функции /С2> во вся-
всяком случае при т — 0. Метод квантово-классического соответствия
может быть распространен также и на корреляционные функции,
зависящие от времени, при условии что они являются нормально-
упорядоченными и упорядоченными по времени. Таким образом,
функцию К2 можно вычислить и при т Ф 0 тоже с помощью класси-
классических средних (подробнее см. [11.8]). Надеемся, что читатель
увидел теперь (хотя бы в общих чертах), как можно обосновать
наши результаты, приведенные в разд. 10.4 и 10.5.
12
ТЕОРИЯ ДВУХФОТОННОГО ЛАЗЕРЛ
12.1. Введение
В предыдущих главах мы исследовали действие лазера, основанное
на однофотонных оптических переходах, т. е. переходах с испуска-
испусканием или поглощением лишь одного фотона. Номы знаем, что су-
существуют процессы, в которых одновременно поглощаются два
фотона с энергиями tt(ax и Йи2> а электрон в атоме переходит
с уровня 1 на уровень 2, причем выполняется соотношение
йол1 + /кй2 = W2—Wlt где Wj — энергия электронов в состоя-
состоянии у. Поскольку на микроуровне квантовые процессы являются
обратимыми, должен быть возможен также обратной процесс одно-
одновременного испускания двух фотонов в одном электронном пере-
переходе. Если такие переходы будут процессами вынужденного испу-
испускания, то, очевидно, мы придем к идее двухфотонного лазера.
Это прекрасная иллюстрация того, что методы развитые в данной
книге, можно применять к весьма разнообразным оптическим про-
процессам. В частности мы увидим, как из основных квантовомехани-
ческих уравнений выводятся различные приближенные способы
описания, например полуклассический подход.
В чисто квантовой теории мы исходим из гамильтониана. Он
слагается из гамильтониана полевых мод, гамильтониана активных
атомов и гамильтониана взаимодействия этих двух подсистем. Как
мы знаем, двухфотонное поглощение может происходить следующим
образом. Сначала электрон виртуально переводится из состояния
1 в промежуточное состояние i с поглощением одного фотона, а при
втором виртуальном поглощении следующего фотона электрон пе-
переходит из промежуточного состояния в конечное состояние 2. Вме-
Вместо того чтобы явно рассматривать эти отдельные виртуальные про-
процессы, мы можем исходить прямо из феноменологического гамиль-
гамильтониана, который описывает двухфотонное поглощение (или испу-
испускание) вместе с соответствующим электронным переходом. Явное
выражение для гамильтониана мы получим в следующем разделе.
Далее мы перейдем к гейзенберговым уравнениям движения
для операторов рождения и уничтожения фотонов. Приняв во вни-
внимание, что поле и атомы взаимодействуют с термостатами, мы смо-
сможем ввести в уравнения движения затухание и флуктуационные
Теория двухфотонного лазера 317
силы. Выполнив усреднение по квантовым флуктуациям и кванто-
вомеханическому состоянию системы, получим полуклассические
уравнения для двухфотонного лазера. Эти уравнения можно рас-
рассматривать как прямое обобщение уравнений однофотонного ла-
лазера. Хорошим упражнением для читателя было бы перенесение
других методов, например метода матрицы плотности или подхода,
основанного на уравнении Фоккера—Планка, на случай двухфо-
двухфотонного лазера. Необходимые для этого первые шаги будут ука-
указаны в следующем разделе.
12.2. Эффективный гамильтониан, квантовые
уравнения Ланжевена и полуклассические
уравнения
Гамильтониан Я полевых мод, связанных с набором двухуровне-
двухуровневых атомов, дается выражением
H=HP + HA + HAF. A2.1)
Здесь отдельные слагаемые таковы:
гамильтониан полевых мод
гамильтониан атомов
гамильтониан взаимодействия
\Ъ I
z ц М.'
Выражение A2.4) феноменологически описывает процесс двухфо-
двухфотонного испускания или поглощения, который сопровождается
соответствующим электронным переходом. Величины а^ и а+ —
это обычные операторы дипольного момента. Смысл их становится
ясным, если мы напомним, что они связаны с операторами рождения
и уничтожения электрона на его энергетических уровнях
Для простоты будем рассматривать бегущие волны, так что кон-
константы связи можно записать в виде
318 Глава 12
Как показывает более подробное рассмотрение, константы g сим-
симметричны относительно перестановки индексов X и К':
ЯцМ'= S|*'V A2.7)
Запишем уравнение движения Гейзенберга для произвольного опе-
оператора Q в виде
1Н,п]+(Щ . A2.8)
dt П \ dt Jb-s K '
Второй член в правой части уравнения A2.8) описывает взаимо-
взаимодействие системы с термостатами и дает константы затухания и
флуктуационные силы. Вычислить коммутатор в правой части урав-
уравнения A2.8) не составляет труда. С помощью коммутационных со-
соотношений для операторов Ь+, Ь, а^, . . . находим
%= (- Ч-?К+ т?^*А*хЛ + Г|1 W ' <12Л0>
%
A2.11)
Мы получили квантовые уравнения Ланжевена, которые можно
рассматривать как непосредственное обобщение однофотонного слу-
случая, исследованного в разд. 10.3. Чтобы вывести полуклассические
уравнения, заменим операторы их средними значениями. Для удоб-
удобства далее вместо этих средних будем писать их аргументы, напри-
например:
(bx)-+bx. A2.12)
Предположим также, что средние произведений распадаются на
произведения средних. Кроме того, будем считать, что флуктуа-
флуктуационные силы удовлетворяют условиям
(^@)-<^@)--=(ГИ@)-0. A2.13)
Уравнения, которые получаются при таких предположениях, бу-
будут рассматриваться в следующем разделе, а потому здесь мы их
не выписываем. Мы просто будем в дальнейшем считать величины Ъ
и т. д. классическими переменными, зависящими от времени, и бу-
будем опускать флуктуационные силы.
12.3. Исключение атомных переменных
Для полноты описания мы получим здесь основные результаты для
случая произвольного набора мод X. Читатели, которых не интере-
интересуют довольно сложные формулы этого раздела, могут сразу пе-
Теория двухфотонного лазера 319
рейти к разд. 12.4, где будет рассмотрен значительно более простой
случай одной моды и однородно уширенной линии перехода.
Предположим, что амплитуды классических полей Ьх являются
малыми величинами и что константы затухания мод резонатора к%
очень малы по сравнению с величинами у и 1/Т, причем будем счи-
считать выполненным неравенство 1/Т <? у. При таких условиях мы
можем прибегнуть к той же процедуре, что и в разд. 6.4. Сначала
допустим, что инверсия равна своему ненасыщенному значению,
т. е.
С =4. о- A2Л4>
Далее предположим, что установились когерентные моды
bb=Bx(t)cxp[-~iQxt\, A2.15)
причем будем считать, что амплитуда Вх it) изменяется во времени
значительно медленнее экспоненты, на которую амплитуда умно-
умножается. Величина Qx —это частота моды, на которой установи-
установилась генерация. Чтобы получить первое приближение, мы подста-
подставим выражения A2.14) и A2.15) в полуклассический вариант урав-
уравнения A2.10). В стационарном случае получаем решение
«1{)-Т,АмьА» A2Л6)
лл'
в котором введено обозначение
Аим- ~Td».^^ + Qv-^ + iy)~1 A2Л7)
и использовано предположение о медленном изменении амплитуды.
На следующем шаге итерационной процедуры мы подставим выра-
выражения A2.15) и A2.16) в уравнение A2.11). Решение напишем в виде
dU1=dM+gW№.^;- A2Л8)
а/,
Поскольку выражения для коэффициентов С достаточно громозд-
громоздки, мы их здесь выписывать не будем; читатель может в качестве
упражнения сам вывести эти выражения.
Подставим теперь выражения A2.18) и A2.15) в полуклассиче-
полуклассический вариант уравнения A2.10). Решение опять-таки сразу нахо-
находится и имеет вид
" g, D^\^hh'Kf.\\- A2.19)
Опять мы оставляем читателю для упражнений получение явных
выражений для коэффициентов D. Теперь можно подставить ре-
320 Глава 12
шение A2.19) в уравнение A2.9), чем и замкнется цикл. Мы получим
самосогласованные уравнения для полевых мод Ь^. Общий вид
этих уравнений таков:
Л,' Л,,Л,; 112 2 3 3 112 2 3 3
Коэффициенты М и JV имеют вид
V.. • x;=t^^^<s^,4^v;[ • • -]> A2>22)
где введено обозначение
A2-23)
Очевидно, что уравнения A2.20) представляют собой аналог урав-
уравнений F.69) для многомодового лазера, которые применимы при
небольших превышениях накачки над порогом. В дальнейшем мы
не будем развивать подробную теорию, включающую все возмож-
возможные моды. Мы предпочтем наиболее простой случай и будем рас-
рассматривать ситуацию, когда только для одной моды время жизни
достаточно велико и только на ней происходит генерация.
12.4. Одномодовая генерация, однородно
уширенная линия и бегущая волна
В этом случае имеется только одна полевая мода, так что
X = к' = к0. Далее этот индекс мы будем опускать; при этом обо-
обозначения упрощаются:
eWv-V О2-2*)
Поскольку мы рассматриваем бегущие волны, то, приняв выраже-
выражение A2.6), можем написать
I^l2 = g2. 02.25)
Теория двухфотонного лазера 321
Далее предположим, что d^ 0 ¦-- d0, и проведем суммирование по
атомным индексам ц,:
? d^, 0-.--М/о - Do. ¦ A2.26)
где Do — полная ненасыщенная инверсия. Наконец, используем
связь между числом фотонов п и амплитудой моды
\Ь\2^п. A2.27)
При таких условиях уравнения A2.20) принимают очень простой
вид:
Ь^--(,—ш>—к)Ъ -\ Do \у—fBQ—fi))]^2^—
2
Чтобы выявить основные особенности решения, предположим, что
имеет место точный резонанс, т. е. что частота моды пустого резо-
резонатора связана с частотой атомного перехода однородно уширенной
линии равенством
2(о-©. A2.29)
При таком условии получаем, что частота моды Q при генерации
совпадает с величиной и:
Q=©. A2.30)
Если принять зависимость
6 = Я(*)ехр[ —М], A2.31)
где В — комплексная функция, то уравнение A2.28) примет вид
\В\»В. A2.32)
Это уравнение можно рассматривать как аналог уравнения F.48)
для лазера на однофотонном переходе. Можно записать уравнение
A2.32) в виде
Br=—dVldB*, A2.33)
где V — потенциал, который дается выражением
L ±. A2.34)
На рис. 12.1 представлен график потенциала V при разных значе-
значениях ненасыщенной инверсии Do, которая служит здесь парамет-
параметром накачки. Очевидно, что мы имеем дело с фазовым переходом
первого рода. Чтобы попасть в минимум потенциала V, располо-
расположенный при некотором значении амплитуды поля В, непременно
322
Глава 12
требуется затратить энергию. Поэтому генерация должна возбуж-
возбуждаться с помощью внешнего сигнала, резонансного с модой частоты
со. В таком случае уравнение A2.32) заменяется уравнением
= — кВ+Сг\В\шВ—С2\В\°В-\ Во,
A2.35)
Увеличение на качни
Рис. 12.1. Зависимость потенциала V от \В\, соответствующая формуле
A2.34), при разных значениях ненасыщенной инверсии О0(параметр накачкн).
в котором константа Во пропорциональна амплитуде вводимого
извне сигнала. Нетрудно привести уравнение A2.35) к виду A2.33),
причем теперь потенциал будет таким:
A2.36)
Читателю рекомендуется самостоятельно исследовать форму потен-
потенциала V при разных значениях параметров DQ и Во.
В этой короткой главе мы рассмотрели простейший вариант
двухфотонного лазера, чтобы выявить наиболее характерные за-
закономерности, связанные с новым механизмом испускания фотонов.
Случай, который здесь исследовался, называется вырожденным,
так как энергия электронного перехода расщепляется на две рав-
равные части ha>i = /гюа.
В невырожденном случае нужно рассматривать испускание двух
фотонов с энергиями йсо1 и /гсо2. Выделение двух таких мод обеспе-
обеспечивается соответствующим выбором констант затухания их и и2.
При этом из общих уравнений A2.20) выводятся два уравнения
для мод Х1 и Л2. Эти уравнения нужно решать. Такое исследование
выходит за рамки данной книги, а потому мы рекомендуем чита-
читателю, интересующемуся проблемой, обратиться к литературе.
13
ЛАЗЕР — ПРОТОТИП
В СИНЕРГЕТИКЕ
13.1. Что такое синергетика!
В этой книге по разным поводам мы упоминали синергетику и ссы-
ссылались на аналогию между поведением лазера на пороге генерации и
фазовыми переходами. В данной главе мы хотим некоторые аспекты
этой аналогии рассмотреть подробнее, в частности обсудить значе-
значение лазера как прототипа систем, которые на основе самоорганиза-
самоорганизации создают пространственные или временные структуры.
Сначала разъясним термин «синергетика». Он составлен из двух
греческих слов и означает «совместное, согласованное действие»
или «наука о совместном, согласованном действии». Изучая свойства
тех или иных объектов, исследователи часто разлагают объекты на
отдельные части. Например, физик разлагает кристалл на атомы,
а биолог — орган на отдельные клетки. Во многих случаях свойства
полной системы не могут быть объяснены на основе простой супер-
суперпозиции свойств отдельных ее частей. Часто оказывается, что от-
отдельные подсистемы взаимодействуют друг с другом, и иногда это
взаимодействие даже выглядит целенаправленным. При этом у
полной системы возникают такие свойства, которые качественно
отличаются от свойств отдельных подсистем. Основная задача си-
синергетики состоит в том, чтобы вскрыть общие принципы, по ко-
которым отдельные подсистемы формируют макроскопические свой-
свойства полной системы. Подобная программа исследований охваты-
охватывает весьма широкий круг явлений, поскольку в качестве отдельных
подсистем могут выступать атомы, молекулы, клетки, компьютеры
и даже человеческие индивидуумы. Лазер сыграл фундаментальную
роль в обнаружении упомянутых общих принципов. Вместе с тем
под влиянием синергетики стало возможным предсказание качест-
качественно новых свойств лазерного излучения (см. гл. 8). Поэтому мы
считаем логичным изложить в рамках этой книги некоторые наибо-
наиболее важные аспекты синергетики. Мы покажем, что переход от из-
излучения лампы к излучению лазера представляет собой яркий
пример самоорганизации. Более того, мы хотим показать, что про-
процессы, происходящие в лазере, дают нам пример нового класса
явлений — неравновесных фазовых переходов.
324 Глава 13
13.2. Самоорганизация и принцип подчинения
В гл. 10 мы показали, что статистические свойства лазерного света
резко меняются на пороге генерации. Обратимся еще раз
к рис. 10.10. На этом рисунке изображена зависимость нормиро-
нормированной интенсивности шумов в зависимости от мощности накачки.
Из рисунка видно, что статистические свойства лазерного излуче-
излучения качественно меняются на пороге генерации. До порога шум
растет с ростом накачки, а после порога начинает убывать. Мы
Eft)
Eft)
WWW
Рис. 13.1. Зависимость напряженности поля от времени для обычной лампы
(слева) и для лазера (справа). Внизу — электрон, вращающийся в атоме
вокруг ядра (модель Бора). Переходя с внешней орбиты на внутреннюю, он
излучает световую волну, показанную в верхней части рисунка. В обычной
лампе переходы электронов не коррелированы. В лазере же переходы проис-
происходят синфазно, т. е. коррелированно.
уже говорили о том, как такое поведение представить наглядно.
Ниже порога излучение состоит из отдельных волновых цугов,
испускаемых различными атомами независимо друг от друга. Выше
порога испускается цуг практически бесконечной длины. Чтобы
пояснить связь этого явления с другими явлениями самоорганиза-
самоорганизации, рассмотрим процессы в лампе и в лазере с позиций модели
Бора для атома (рис. 13.1). Лампа испускает свет таким образом,
что возбужденные электроны в атомах переходят с внешней орбиты
на внутреннюю совершенно независимо друг от друга. Свойства
же лазерного света можно объяснить только тем, что переходы от-
отдельных электронов происходят коррелированно. Перенесем эти
процессы на явление, в котором участвуют люди. Допустим, группа
людей стоит вдоль бортика канала, наполненного водой. Люди
символизируют атомы, а вода — световое поле. Опуская в воду
палки, люди вызывают движение воды. Чтобы смоделировать ис-
испускание света лампой, мы должны считать, что люди опускают
свои палки в воду независимо друг от друга. При этом возникают
Лазер — прототип в синергетике 325
случайные колебания поверхности воды, которые можно сопоста-
сопоставить с некогерентным излучением. Чтобы представить когерент-
когерентность лазерного излучения, мы должны предположить, что люди
опускают в воду палки вполне коррелированным образом (рис. 13.2).
В повседневной жизни это может происходить лишь в том случае,
если кто-то дает людям команды, по которым они опускают палки
Рис. 13.2. Различие между обычной лампой и лазером. В обоих случаях роль
атомов играют люди, а световое поле представлено водой в канале, на бор-
бортике которого они стоят. Опуская в воду палки, люди возбуждают волны
в воде. В случае, соответствующем обычной лампе, толчки осуществляются
нерегулярно и несогласованно. В случае же, соответствующем лазеру, палки
опускаются периодически и синфазно.
в воду. Но в лазере (и это очень важный момент) нет никого, кто бы
мог давать такие команды атомам. Поэтому поведение атомов —
типичный пример самоорганизации.
За последние десять или двадцать лет выяснилось, что сходные
процессы, включающие самоорганизацию, обнаруживаются во мно-
многих других областях науки: в физике, химии, биологии. Продемон-
Продемонстрируем, как возникает самоорганизация, на примере лазера.
Возьмем уравнения одномодового лазера, содержащие флуктуа-
ционные силы, но для простоты будем считать, что уравнения на-
написаны для классических величин. Далее выделим быстрые осцил-
326 Глава 13
ляции на частоте со, так что уравнения для лазера примут привыч-
привычный вид
A3.1)
A3.2)
B'-AlB). A3.3)
В последнем уравнении мы опустили флуктуационные силы, по-
поскольку они не очень важны. Во многих реальных случаях кон-
константа затухания я намного меньше константы затухания у. Это
обстоятельство приводит нас к идее, которая уже неоднократно
использовалась в этой книге, например в разд. 6.3 и 6.4. Поскольку
константа и мала, мы в соответствии с уравнением A3.1) будем счи-
считать, что амплитуда В затухает очень медленно. В гл. 10 мы видели,
что ниже порога затухание амплитуды В определяется константой,
которая значительно меньше константы %. Но если учесть процесс
генерации, то оказывается, что и выше порога амплитуда В релак-
сирует очень медленно.
Как следует из уравнения A3.2), временные изменения вели-
величины Лц обусловлены амплитудой поля В, стоящей в правой части
уравнения (в данный момент мы пренебрегаем флуктуациями).
Поэтому мы можем ожидать, что величина А^ меняется медленно.
Это сразу приводит нас к неравенству
|<МД/Л|« 1x4,1 |«|y4J. A3.4)
Поскольку константа х намного меньше у, мы можем левую часть
уравнения A3.2) положить равной нулю и после этого решить его
относительно А^\
^u@ = ('ff/Y)^B@-! fyV. A3.5)
Данное равенство говорит нам, что мгновенное значение амплитуды
диполя, которое пропорционально величине А^, дается амплиту-
амплитудой поля В (t) (и флуктуационной силой). Это, пожалуй, самый
простой пример проявления принципа, который в синергетике иг-
играет фундаментальную роль и называется принципом подчинения.
В данном контексте этот принцип можно сформулировать сле-
следующим образом. Быстро релаксирующие величины (например, А^)
принимают мгновенно свои новые значения, отвечающие новым зна-
значениям медленно изменяющихся величин [например, В (t)], или,
используя специальные термины, можно сказать, что быстро ре-
релаксирующие величины являются ведомыми, а медленно релаксирую-
релаксирующие—ведущими. В синергетике показывается, что разными спосо-
способами принцип подчинения можно в значительной мере обобщить
(см., например, разд. 7.3). Однако в данной книге мы не будем вхо-
входить в подробности по этому вопросу. Для нас здесь важно только
Лазер — прототип в синергетике
327
то обстоятельство, что принцип подчинения приводит к значитель-
значительному уменьшению числа степеней свободы (рис. 13.3). Поскольку
значение величины А^ (/) предписывается значением В (/), все
атомные дипольные моменты подчиняются полю. При более под-
подробном исследовании лазера, таком, например, как проводилось
в разд. 6.3 и 6.4, можно показать, что инверсия тоже мгновенно
следует за полем. Так как величины А^ и d^ выражаются через
амплитуду В (t), они могут быть исключены и?, уравнений A3.1) —
Поле
Pi
d,
/
/
1
\
/ 1 \ \ 4
/ 1 \ \ \
P2
d2
P3
d3
p4
db
p6
d6
Атомы
O00GOO¦
000000
Рис. 13.3. Принцип подчинения. Вверху: напряженность поля Е управляет
атомными диполями и инверсией. Внизу: первый ряд кружков — ниже по-
порога, доминируют флуктуации и направления дипольных моментов случайны;
второй ряд кружков — выше порога, дипольные моменты подчиняются
полю Е.
A3.3), и мы получаем (при не слишком больших значениях В)
уравнение
= GB~ C(B+B)B
A3.6)
Это уравнение уже было выведено в этой книге ранее. Им полностью
определяется поведение лазера, а следовательно, и изменения от-
отдельных дипольных моментов и заселенностей в атомах. Ниже по-
порога величина В мала. Из уравнения A3.5) видно, что в таком слу-
случае поведение диполей определяется в основном флуктуациями Г^,
а поэтому диполи оказываются некоррелированными. Выше порога
когерентное поле В увеличивается все сильнее и может управлять
дипольными моментами и инверсией. В синергетике показано, что
вид уравнения A3.6) является очень типичным для уравнений,
описывающих эффекты самоорганизации. Уравнением типа A3.6)
328 Глава 13
описывается, например, возникновение конвективной структуры
в гидродинамике (см. разд. 8.3) и появление макроскопической
структуры при химических реакциях. Впрочем, в синергетике
было показано, что имеются и другие классы уравнений, описы-
описывающих макроскопические свойства. Однако уравнение A3.6) было
первым примером уравнений такого типа для систем, далеких от
термодинамического равновесия.
13.3. Неравновесные фазовые переходы
Лазер явился первым примером системы, для которой удалось про-
продемонстрировать возможность возникновения неравновесных фазо-
фазовых переходов. Прежде чем приступить к этой проблеме, мы хотим
напомнить читателю некоторые важные свойства систем, находя-
находящихся в термодинамическом равновесии. Примеры фазовых пере-
переходов дают нам ферромагнетики и сверхпроводники. В обоих слу-
случаях мы имеем термодинамически равновесные системы. Когда
температура Т понижается до критического значения Тс, макро-
макроскопическое поведение системы резко изменяется. В ферромагнетике
внезапно возникает макроскопическая намагниченность, а в сверх-
сверхпроводнике полностью исчезает электросопротивление.
Предлагались разные теории таких переходов. Наиболее из-
известны теория фазовых переходов Ландау и более поздние теории,
основанные на ренормгруппе Вильсона. Здесь достаточно будет
напомнить читателю теорию Ландау. Рассмотрим систему в термо-
термодинамическом равновесии; допустим, это будет ферромагнетик.
Можно считать, что ферромагнетик состоит из элементарных маг-
магнитов, магнитный момент каждого из которых равен [i. Предполо-
Предположим, что для векторов магнитных моментов допустимы только два
направления: вверх и вниз. Обозначим число элементарных маг-
магнитов, направленных вверх, через М^, а направленных вниз —
через М ф. Полная намагниченность материала будет равна
A3.7)
В дальнейшем мы заменим переменную М переменной q, так как
хотим рассматривать проблему в более общем виде. Мы будем на-
называть величину q «параметром порядка», поскольку она описы-
описывает степень упорядоченности системы (например, ферромаг-
ферромагнетика). Напомним некоторые основные сведения из термодина-
термодинамики. В данном случае свободная энергия зависит от двух величин:
температуры Т и намагниченности q. Если величина q не слишком
велика, мы можем разложить свободную энергию в ряд Тейлора
• • • + — ?"""@, Т)<7* + . • • •
4!
A3.8)
Лазер — прототип в синергетике
329
Во многих практически интересных случаях первая и третья про-
производные равны нулю в силу симметрии:
&-' = д-'" = 0. A3.9)
Тогда формула A3.8) принимает вид
а „ й .
= .Т@, Т)-
A3.10)
где для постоянных коэффициентов введены обозначения а/2 и р/4.
В статистической физике доказывается, что вероятность найти
систему в состоянии с температурой Т и удельной намагниченностью
q дает формула
? = ЛРехр(—&~{q, T)/kBT). A3.11)
В этой формуле kB — константа Больцмана, а /С — нормировочный
множитель. Наиболее вероятное значение параметра порядка опре-
определяется из условия ?F — mini. Положение соответствующего ми-
минимума (или минимумов) зависит от коэффициента а. В теории фа-
фазовых переходов Ландау этот коэффициент берется в виде
а^-а(Т~Тс) (а>0), A3.12)
т. е. он меняет знак при Т — Тс. Следовательно, мы должны раз-
раздельно рассматривать области Т >ТС и Т <ТС, что отражено в
табл. 13.1 (здесь мы видим, что при а >0 минимум свободной энер-
энергии &~ достигается при значении q = qQ = 0). Обратимся к энтропии
Таблица 13.1
Температура
Параметр (внешний)
Наиболее вероятное значе-
значение параметра порядка q0
1 (q) = max!
W = min!
Энтропия
S- d$-{q0, T)ldT
Теплоемкость
с- Т (dS/dt)
Состояние
Разу поря дочеииое Упорядоченное
т>тс
а > 0
SB = — dST
Т (dS0/dT)
т< тс
а< 0
Чх - ±(- а РI/2
Нарушенная симметрия
@,Т)/дТ So + (aVBf,))(T-Tc)
Непрерывна при Т = Тс
Т (dS0/dT) 4- (а2/Bй)) Т
Скачок при Т — Тс
330 Глава 13
системы. В термодинамике энтропия S выражается формулой
S--= — dT(q,T)/dT. A3.13)
Таким образом, в области температур Т >ТС мы получаем
S = So=--—dF(O,T)fdT. A3.14)
Вторая производная функции &~ по температуре даст нам (с точ-
точностью до множителя Т) теплоемкость с:
c=T(dS/dT). A3.15)
Пользуясь формулой A3.14), получаем
c=T(dS0/dT). A3.16)
Повторим те же шаги для случая, когда Т <ТС, т. е. когда а <0.
Теперь у нас будет новое положение равновесия q = ± qt и новое
значение энтропии S, которое приведено в табл. 13.1. В табл. 13.1
указано, что при Т = Тс энтропия непрерывна. Если же мы вы-
вычислим теплоемкость, то получим два разных выражения для об-
областей температур, лежащих ниже и выше критического значения,
так что при значении Т — Тс будет скачок теплоемкости. Такое
явление называется фазовым переходом второго рода, поскольку
терпит разрыв вторая производная свободной энергии. Но так как
энтропия остается непрерывной, переход называют также непре-
непрерывным фазовым переходом. В статистической физике изучается
еще и временной ход параметра порядка. Очень часто из чисто
феноменологических соображений принимают, что временной ход
параметра порядка дается уравнением вида
q= —dFldq. A3.17)
В рассматриваемом здесь случае A3.10) оно выглядит так:
Я~-Щ-№- A3.18)
Это уравнение совпадает с уравнением A3.6), если в последнем счи-
считать величину В действительной и отбросить флуктуационные силы.
В каждом из уравнений A3.17) и A3.18) мы опустили постоян-
постоянный множитель в правой части, что просто приводит к изменению
временного масштаба. Уравнение A3.18) дает нам возможность
«предсказать» некоторые явления, характерные для фазовых пере-
переходов, с которыми мы уже встречались в ином контексте — при
изучении теории лазеров. Если в уравнении A3.18) мы положим,
что коэффициент а стремится к нулю, то получим явление, которое
в теории фазовых переходов называется критическим замедлением.
В разд. 6.3 мы встретились с этим явлением в совершенно ином
контексте. В точке перехода возникает неустойчивость, обусловлен-
обусловленная нарушением симметрии, потому что при Т<ТС положение
Лазер—прототип в синергетике 331
равновесия q0 — О становится неустойчивым и сменяется одним
из двух положений равновесия <7r-:Vlal/P и Я\-'—V^lal/P'
Наконец, если мы введем в уравнение A3.18) флуктуационные
силы [формула A3.6)], то эти силы будут наиболее эффективными,
если коэффициент а близок к нулю и возвращающая сила опреде-
определяется третьей степенью координаты q, так что при малых значе-
значениях q возвращающая сила очень мала. В этом случае мы имеем
дело с критическими флуктуациями величины q.
Итак, мы напомнили читателю некоторые основные понятия из
теории фазовых переходов термодинамически равновесных систем.
Если мы посмотрим на отдельные формулы теории фазовых пере-
переходов Ландау, то сразу увидим поразительную аналогию с уравне-
уравнениями для лазера. В самом деле, выражение A3.11), в котором
стоит функция ^.определяемая формулой A3.10), в точности со-
соответствует функции распределения для лазера (при г = q). Таким
образом, потенциал V фиктивной частицы, введенный нами в тео-
теории лазера, играет ту же самую роль, что и свободная энергия
в теории фазовых переходов систем, находящихся в термодинами-
термодинамическом равновесии. Кроме того, уравнение A3.18) имеет точно
такой же вид, как упоминавшееся ранее лазерное уравнение. Глав-
Главное различие же заключается в том, что q — действительная ве-
величина, а амплитуда поля В — комплексная. Но нетрудно пере-
перенести понятия критического замедления, критических флуктуа-
флуктуации и нарушения симметрии в теорию лазера. С формальной точки
зрения в случае лазера мы наблюдаем точно те же явления, что
и при фазовых переходах в условиях теплового равновесия. Сущест-
Существенное различие же в том, что лазер является системой, далекой
от термодинамического равновесия. Это — открытая система, в нее
постоянно «накачивается» энергия, и она отдает энергию наружу
в виде лазерного излучения. Указанная аналогия носит чисто фор-
формальный характер. Мощность накачки, которой определяется не-
ненасыщенная инверсия,— аналог температуры. Можно показать,
что мощность излучения соответствует энтропии. Теплоемкость же
заменяется дифференциальной эффективностью, т. е. изменением
мощности излучения, отнесенным к изменению мощности накачки.
Несмотря на формальный характер этой аналогии, исследование
свойств лазерного излучения с позиций теории фазовых переходов
оказалось весьма плодотворным. Тем более, что существует ана-
аналогия не только с фазовыми переходами I рода, но и с фазо-
фазовыми переходами II рода. При таких переходах возникает петля
гистерезиса. В определенных лазерных устройствах подобные
фазовые переходы могут быть реализованы.
В заключение заметим, что неравновесные фазовые переходы
найдены также во многих других системах, например в жидкостях
и в некоторых системах химических реагентов.
Литература
Поскольку число публикаций по лазерной физике исключительно велико,
дать полную библиографию не представляется возможным. Поэтому здесь
указываются (за небольшим исключением) только теоретические работы.
Ссылки на экспериментальные работы можно найти в указанных ниже кни-
книгах и сериях. И из теоретических работ приведена лишь малая часть. Я вклю-
включил в список литературы те работы, которые были пионерными в том или ином
направлении исследований, а также те, на которые данная книга существенно
опирается. Приношу извинения исследователям, чьи работы я не смог здесь
указать. Специально для студентов-старшекурсников и научных работников
я привел ряд ссылок на работы самого последнего времени.
Монографии и обзоры по общим вопросам лазерной физики (вместо термина
«лазерная физика» часто используют термины «квантовая оптика» и «кван-
«квантовая электроника»).
0.1. Bloom A. L., Gas Lasers, Wiley, New York, 1968.
0.2. Haken H., Laser Theory, Encyclopedia of Physics, Vol. XXY/2c, Sprin-
Springer, Berlin, 1970, 2nd corr. ed. 1984.
0.3. Laser Handbook, Vols. I—II, Eds. F. T. Arecchi, O. E. Schulz—Dubois,
North-Holland, Amsterdam, 1972.
0.4. Lengyel B. A., Lasers, Wiley, New York, 1971.
0.5. Maitland A.., Dunn M. H., Laser Physics, Elsevier, New York, 1970.
0.6. Pantell R. H., Puthoff H. E., Fundamentals of Quantum Electronics,
Wiley, New York, 1969. [Имеется перевод: Пантел Р., Путхоф Г. Ос-
Основы квантовой электроники.— М.: Мир, 1972.]
0.7. Sargent III M., Scully М. О., Lamb W. ?., Jr., Laser Physics, Addi-
son-Wesley, Reading, MA, 1974.
0.8. O'Shea D. C, Callen W. R., Rhodes W. Т., Introduction to Lasers and
their Applications, Addison-Wesley, Reading, MA, 1978.
0.9. Siegman A. E., Introduction to Lasers and Masers, McGraw-Hill, New
York, 1971.
0.10. Smith W. V., Sorokin P. P., The Laser, McGraw-Hill, New York, 1966.
0.11. Svelto O., Principles of Lasers, Plenum, New York, 1976. [Имеется
перевод 2-го издания: Звелто О. Принципы лазеров.— М.: Мир, 1984.]
0.12. Yariv A., Quantum Electronics, Wiley, New York, 1975.
Далее указываются книжные серии, по крайней мере частично относящиеся
к лазерной физике:
0.13. Springer Topics in Applied Physics, Springer, Berlin.
0.14. Springer Series in Optical Sciences, Springer, Berlin.
0.15. Progress in Optics, Ed. E. Wolf, Nortn-Holland, Amsterdam.
Литература
0,16. Physics oi Quantum Electronics, Eds. S.Jacob, M. Sargent Hi, M. O.
Scully, Addison-Wesley, New York.
Более конкретные ссылки будут даны по главам.
Глава 1
1.1. Принцип действия мазера и лазера
1.1. Einstein A., Phys., Z., 18, 121 A917) (спонтанное и вынужденное испу-
испускание, поглощение).
1.2. Басов И. Г., Прохоров А. М.~ ЖЭТФ, 1954, т. 27, с. 431; 1955, т. 28,
с. 249.
1.3. Gordon J. P., Leiger H. J., Townes С. П., Phys. Rev. 95, 282 A954); 99,
1264 A954).
1.4. Schawlow A. L., Townes С. H., Phys. Rev., 112, 1940 A958).
1.5. Прохоров А. М.— ЖЭТФ, 1958, т. 34, с. 1958.
1.6. Dicke R. H., US Patent 2851652 (Sept. 9, 1958).
1.7. Fox A. G., Li Т., Bell Syst. Tech. J., 40, 489 A961).
1.8. Maiman T. //., Brit. Comm. Electron., 7, 674 A960); Nature, 187 493
A960).
1.2.1. Скоростные уравнения
1. 9. Tang С. L., Slatz П., de Mars G. A., J. Appl. Phys., 34, 2289 A963).
1.10. Statz H., deMars G. A.— In: Quantum Electronics, Ed. С. Н. Townes
Columbia University Press, New York, 1960, p. 530.
1.2.2. Полуклассическая теория
1.11. Хакен Г. Выступление на Международной конференции по оптической
накачке, Гейдельберг, 1962.
1.12. Haken Н-, Sauermann H., Z. Phys. 173, 261 A963); 176, 47 A963).
1.13. Haken Н., Laser Theory, Encyclopedia of Physics, Vol XXY/2c, Sprin-
Springer, Berlin, 1970, 2nd corr. ed. 1984.
1.14. Lamb W. E., Jr., Phys. Rev., 134A, 1429 A964).
Пульсации в лазерах
1.15. Risken H., Nummedal K-, -I- Appl. Phys., 39, 4662 A968); Phys. Lett.,
26A, 275 A968).
1.16. Graham R., Haken II., Z. Phys., 213, 420 A968)
1.2.3. Квантовая теория лазера
1.17. Weisskopf V., Wigner E. P., Z. Phys., 63, 54 A930); 65, 18 A930) (спон-
(спонтанное излучение тепловых источников).
1.18. Haken П., Z Phys., 181, 96 A964).
1.19. Armstrong J. A., Smith A. W., Phys. Rev. Lett., 14, 68 A965).
1.20. Freed C, Haus H. A., Appl. Phys Lett., 6, 85 A965); Phys. Rev. 141,
287 A966).
Очень точные и надежные измерения:
1.21. Pike E. R.— In: Quantum Optics, Eds. M. S. Kay, A. Maitland, Aca-
Academic Press, New York, 1970 (имеются ссылки на другие работы).
1.22. Arecchi F. Т., Rodari G. S., Sona A., Phys. Lett., 25A, 59 A967).
1.23. Risken H-, Z. Phys., 186, 85 A965).
1.24. Hempstead R. D., Lax M., Phys. Rev., 161, 350 A967).
1.25. Weidlich W., Haake F., Z. Phys., 185, 30 A965); 186, 203 A965).
1.26. Scully M. O., Lamb W. E., Jr., Phys. Rev. Lett., 16, 853 A966); Phys.
Rev., 166, 246 A968).
1.27. Weidlich W., Risken H., Haken H., Z. Phys, 201, 396 A967).
334 Литературе
1.28. Lugiato L. A., Nuovo Cimento, 50B, 89 A979).
1.29. Casagrande F., Lugiato L. A., Phys. Rev., A14, 778 A976).
1.2.4. Принцип квантово-классического соответствия:
1.30. Wigner E. P., Phys. Rev., 40, 749 A932).
1.31. Glauber R. J., Phys. Rev. Lett., 10, 84 A963); 130, 2529 A963); 131,
2766 A963).
1.32. Sudarshan П. С G., Phys. Rev. Lett., 10, 277 A963).
1.33. Gordon J. P., Phys. Rev., 161, 367 A967).
1.34. Haken //., Risken //., Weidlich W., Z. Phys, 206, 355 A967).
1.2.5. Лазер прокладывает путь синергетике
1.35. Graham R., Haken H., Z. Phys, 213, 240 A968); 235, 166 A970); 237,
31 A970).
1.36. DeGiorgio V., Scully M. ()., Phys. Rev., A2, 1170 A970).
1.37. Казанцев А. П., Раутиан С. Г., Сурдутович Г. И.— ЖЭТФ, 1968,
т. 54, с. 1409.
1.38. Haken П., Graham R., Umschau, 6, 191 A971).
1.39. Haken H., Synergetics. An introduction, 3rd ed., Springer, Berlin, 1983.
Глава 2
2.1. Maiman Т. Н., Phys. Rev. Lett., 4, 564 A960).
2.2. Yariv A., Quantum Electronics, 2nd ed., Wiley, New York, 1976.
2.3. Bennett W. R., Appl. Optics. Suppl. 1 (Optical Masers), p. 24 A962).
2.4. Patel С. К- N., Phys. Rev. Lett., 12, 588 A964).
2.5. Anderson J. D., Jr., Gas Dynamic Lasers. An Introduction, Academic
Press, New York, 1976.
2.6. Kressel H., Ladany M., Ettenberg M., Lockwood H., Physics Today, May
1976, p. 38.
2.7. Deacon D. A. G., Elias L. R., Madey J M. J., Schwettman H. A.
Smith T. /.— In: Laser Spectroscopy III, eds. J. L. Hall, J. L. Carles-
ten, Springer, Berlin, 1977.
Глава 3
3.1. Краткое изложение вопроса
3.1. Fox A. G., Li, Т., Bell. Syst. Tech. J., 40, 489 A961).
3.2. Моды конфокального резонатора
3.2. Boyd G. D., Kogelnik H., Bell Syst. Tech. J., 41, 1347 A962).
3.3. Моды резонатора Фабри—Перо
3.3. Risken H., Z. Phys., 180, 150 A964).
Глава 4
4.1. Введение
Ссылки на ранние работы можно найти в списке литературы к подраз-
подразделу 1.2.1.
4.3. Релаксационные колебания
4.1. Collins R. J., Nelson D. F., Schawlow A. L. Bond W., Garrett С G. В.,
Kaiser W., Phys. Rev. Lett., 5, 303 A960).
4.2. Коробкин В. В., Успенский А. В.— ЖЭТФ, 1963, т. 45, с. 1003.
4.3. Buley E. R., Cummings F. W., Phys. Rev., 134, А1454 A964).
Литература 335
4.4. Модуляция добротности
Модуляция добротности была предложена в работе:
4.4. Hellwarth R. W.~~ In: Advances in Quantum Electronics, Ed. J. Singer,
Columbia University Press, New York, 1961, p. 334.
4.5. Основные скоростные уравнения многомодового лазера
4.5. Haken Н., Laser Theory, Encyclopedia of Physics, Vol. XXV/2c, Sprin-
Springer, Berlin, 1970, 2nd corr. ed. 1984.
4.6. Эффект образования провалов, качественное рассмотрение
4.6. Bennett W. R., Jr., Phys. Rev. 126, 580 A962) (спектральное образова-
образование провалов).
4.7. Количественное исследование эффекта образования провалов. Одно-
модовый режим при неоднородном уширении линии
4.7. Haken H., Sauermann Я., Z. Phys. 173, 261 A963).
4.8. Haken H., Sauermann H., Z. Phys., 176, 47 A963) (твердотельные и га-
газовые лазеры).
4.9. Lamb W. E., Jr., Phys. Rev., 134A, 1429 A964) (газовые лазеры).
4.8. Пространственный эффект образования провалов, качественное
рассмотрение — см. в разд. 4.10
4.9. Многомодовый лазер, конкуренция мод и дарвиновское выживание
наиболее приспособленных
См. [4.7].
4.10. Сосуществование мод, обусловленное пространственным эффектом
образования провалов, количественное исследование
См. [4.7], а также:
4.10. Tang С. /„., Statz Н., de Mars G. A., J. Appl. Phys., 34, 2289A963).
4.11. Johnson L. F.— In: Lasers, Ed. A. K- Levine Dekker, New York, 1966.
4.12. Wagner №., Lengyel B. A., J. Appl. Phys., 34, 2040 A963).
Глава 5
Общие замечания к гл. 5 и 6.
Литература по полуклассическим уравнениям лазера чрезвычайно об-
обширна, поскольку почти все важнейшие характеристики работы лазера можно
исследовать, пользуясь этими уравнениями. Вывод основных уравнений
в значительной степени опирается (но крайней мере в случае двухуровневых
атомов) на аналогию между системой двухуровневых атомов и системой спи-
спинов, которые описываются уравнениями Блоха. По поводу этой аналогии
см. разд. 4 в книге:
5.1. Haken H., Light, Vol. I, North-Holland Amsterdam, New York, Oxford,
Tokyo, 1981.
В этой книге, в частности, выводятся уравнения Блоха, относительно
которых см. работу:
5.2. Bloch F. Phys. Rev., 70, 460 A946).
Уравнения Блоха для двухуровневых атомов объединяются с уравне-
уравнениями Максвелла. Полученную таким путем систему уравнений часто назы-
называют уравнениями Максвелла—Блоха. Методами квантовой статистики
можно получить сходные уравнения и для многоуровневых систем; см., на-
например:
5.3. Haken H., Laser Theory, Encyclopedia of Physics, Vol. XXV/2c, Sprin-
Springer, Berlin, 1970, 2nd corr. ed. 1984.
336 Литература
Существенным моментом в полуклассической теории, изложенной в гл. 5
и 6, является метод, с помощью которого решаются нелинейные уравнения
для многих неизвестных, основанный на исключении атомных переменных:
5.4. Haken Н., Sauermann Н., Z. Phys., 173, 261 A963); 176, 47 A963).
5.5. Lamb W. Е., Jr., Phys, Rev., 134A, 1429 A964).
Обзоры по общим вопросам: см. [5.3], а также:
5.6. Sargent HI M., Scully M. 0., Lamb W. Е., Jr., Laser Physics, Addison-
Wesley, Reading, MA, 1974.
5.3. Материальные уравнения
См. [5.2], а также:
5.7. Wangsness R. K-, Block F., Phys. Rev., 89, 728 A953) (релаксация спина).
5.8. Feynman R. P., Vemon L., Hellwarth R. W., J. Appl. Phys., 28, 49 A957)
(разработка аналогии спин 1/2 — двухуровневая система).
5.6. Два важных приближения — вращающейся волны и медленно ме-
меняющейся амплитуды
Об использовании приближения вращающейся волны в случае спинового
резонанса см., например:
5.9. Block F., Siegert A. J'., Phys. Rev., 57, 522 A940).
5.10. Rabi J. J., Ramey N. F., Schwinger J., Rev. Mod. Phys., 26, 107 A954)
Глава 6
6.6. Частотная синхронизация лазерных мод
6.1. Lamb W. E., Jr., Phys. Rev., 134A, 1429 A964).
6.7. Лазерный гироскоп
6.2. Sagnac G., Compt. Rend., 157, 708, 1410 A913); J. Phys. Radium, 4, 177
A914).
6.3. Post E. J., Rev. Mod. Phys., 39, 475 A967).
6.4. Chow W., Hambenne J., Hutchings Т., Sanders V., Sargent III M.,
Scully M. O., J. Quant. Electr., 16, 918 A980).
Один из ранних обзоров по лазерному гироскопу:
6.5. Killpatrick J., IEEE Spectrum, Oct. 1967, p. 44.
Влияние шумов:
6.6. Zuhairy M. S., Scully M. O., Just K- Opt. Comm., 36, 175 A981).
6.7. Scully M. O.— In: Laser SpKectroscopy IV, Eds. H. Walther, K. W. Rothe,
Springer, Berlin, 1979, p. 21.
Одна из ранних работ по влиянию шумов на затягивание частоты:
6.8. Haken H., Sauermann H., Schmid С, Vollmer H. D. Z. Phys., 206, 369
A967).
6.9. Cresser J. D., Louisell W. H., Meystre P., Schleich W., Scully M. O., Phys.
Rev., A25, 2214 A982).
6.10. Dorschner T. A., Haus H. A., Holz H., Smith I. M., Statz #., IEEE J.
Quant. El., QE-16, 1376 A980).
6.11. Schleich W., Cha С S., Cresser J. D., Phys. Rev., A29, 230 A984).
6.8. Газовый лазер. Одномодовый режим
См. [6.1 ], а также:
6.12. Haken H., Sauermann H. Z., Phys., 176, 47 A963).
6.13. Lamb W. E., Jr., Phys. Rev., 134A, 1429 A964).
Литература 337
Об эквивалентности этих двух подходов:
6.14. Haken Я., Laser Theory.— In: Encyclopedia of Physics, Vol. XXV/2c,
Springer, Berlin, 1970, 2nd corr. ed. 1984.
6.9. Вывод скоростных уравнений из полуклассических уравнений для
лазера
См., например, статью [6.14].
Глава 7
Фазовая синхронизация хорошо известна в радиотехнике, например как
эффект «захватывания» частоты генератора частотой внешнего сигнала.
Подробное изложение вопроса можно найти, например, в книгах:
7.1. Gardner F. M., Phase Lock Techniques, Wiley, New York, 1966.
7.2. Viterbi H. J., Principles of Coherent Communication, McGraw-Hill,
New York, 1966.
Наиболее ранние экспериментальные результаты для лазеров, показы-
показывающие, что один газовый лазер синхронизуется по частоте с другим,
можно найти в работе:
7.3. Stover Я. L., Steiner Я. W., Appl. Phys. Lett., 8, 91 A966).
Ранние работы, содержащие теоретический анализ применительно к ла-
лазерам:
7.4. Uchida Т., IEEE J. Quant. El., 3, 7 A967).
7.5. Tang С. L., Statz Я., J. Appl. Phys., 38, 323 A967).
Другие ссылки на ранние работы, включающие аналогии с колебательным
контуром радиочастотного диапазона, можно найти в работе:
7.6. Haken Я., Laser Theory, Encyclopedia of Physics, Vol. XXV/2c, Sprin-
Springer, Berlin, 1970, 2nd corr. ed. 1984.
Поскольку активная синхронизация мод, основанная на модуляции по-
потерь, играет важную роль в приложениях, мы укажем здесь несколько ран-
ранних работ по этому вопросу.
Линейные теории:
7.7. Di Domenico M., Jr., Appl. Phys. 35, 2870 A964).
7.8. Yariv A., J. Appl. Phys., 36, 388 A965).
7.9. Cromwell M. Я..ЛЕЕЕ J. Quant. El., QE-1, 12 A965).
Нелинейные теории:
7.10. McDuff О. P., Harris S. ?., IEEE J. Quant. El., QE-3, 101 A976). (не-
(неоднородно уширенная линия).
7.11. Haken Я., Pauthler M., IEEE J. Quant. El., QE-4, 454 A968) (одно-
(однородно уширенная линия; в статье показано, что возможны импульсы
различной формы).
Аналогичный теоретический анализ проведен в работе:
7.12. Kuizenga D. J., Siegmann A. Е., IEEE J. Quant. El., QE-6, 694 A970)
(в этой статье приводятся также экспериментальные данные).
Другой важный метод получения сверхкоротких импульсов — пассив-
пассивная синхронизация мод. Первые теоретические исследования вопроса можно
найти в работах:
7.13. Garmire E., Yariv A., IEEE J. Quant. El., QE-3, 222 A967).
7.14. Schwarz S. E., IEEE J. Quant. El., QE-4, 509 A968).
338 Литература
7.15. Basov N. G., Kriukov P. G., Letokhov V. S., Senatzki Yu. V., IEEE J.
Quant. El., QE-4, 1968 A968).
Более поздние работы:
7.16. Lugiato L. A., Mandel P., Dembinski S. Т., Kossakowski A., Phys.
Rev., A18, 338 A978).
7.17. Dembinski S- Т., Kossakowski A., Lugiato L. A., Mandel P., Phys.
Rev., A18, 1145 A978).
7.18. Velarde M. G., Antoranz J. C, Phys. Lett., A40, 220 A980); J. Stat.
Phys., 24, 235 A981); Opt. Comm., 38, 61 A981); Progr. Theor. Phys.,
66, 717 A981).
7.19. Bonilla L. L., Velarde M. G., J. Math. Phys., 20, 2692 A979).
7.20. Arimondo E., Casagrande F., Lugiato L. A., Glorieux P., Appl. Phys.,
B30, 57 A983).
7.3. Общий метод расчета нестационарного режима вблизи точек неустой-
неустойчивости
7.21. Haken И., Synergetics. An Introduction, 3rd ed., Springer, Berlin, 1983.
7.4. Возникновение сверхкоротких лазерных импульсов: линейное иссле-
исследование устойчивости
7.22. Graham R., Haken Н., Z. Phys., 213, 420 A968).
7.23. Risken Н., Nummedal К-, J. Appl. Phys., 39, 4662 A968); Phys. Lett.,
26A, 275 A968).
7.5. Возникновение сверхкоротких лазерных импульсов, нелинейный
анализ
7.24. Ohno H., Thesis, Stuttgart, 1980.
7.6. Решение уравнения для параметра порядка
7.25. Haken H., Ohno H., Opt. Comm., 16, 205 A976).
7.26. Ohno Н., Haken H., Phys. Lett., 59A, 261 A976).
7.27. Haken H. Ohno H., Opt. Comm., 26, 117 A978).
7.6.3. Более поздние результаты
7.28. Mayr M., Risken H., Vollmer H. D., Opt. Comm., 36, 480 A981).
7.29. Gerber P. R., Buttiker M., Z. Phys., B33, 219 A979).
Исследования последних лет по различным неустойчивостям более вы-
высокого порядка в лазерах можно найти в статьях:
7.30. Goggia R. S., Abraham N. В., Phys. Rev. Lett., 51, 650 A983).
7.31. Casperson L. W., Phys. Rev., A21, 911 A980); A23, 248 A981).
7.32. Maeda M., Abraham N. В., Phys. Rev., A26, 3395 A982).
7.33. Goggia R. S., Abraham N. В., Opt. Comm., 47, 278 A983).
7.34. Mandel P., Zeglache H., Opt. Comm., 47, 146 A983).
7.35. Hillman L. W., Boyd R. IF., Stroud С R., Jr., Opt. Lett., 7, 426 A982).
7.36. Hendow S. Т., Sargent III M., Opt. Comm., 40, 385 A982).
7.37. Minden M. L., Casperson L. W., IEEE J. Quant. EL, 18, 1952 A982).
7.38. Hillman L. W., Krasinski J., Boyd R. W., Stroud С R., Jr., Phys.
Rev. Lett., 52, 1605 A984).
7.7. Модели лазеров с насыщающимися поглотителями
См. [7.16—7.20], а также:
7.39. Казанцев А. П., Раутиан С. Г., Сурдутович Г. И.— ЖЭТФ, 1968,
т. 54, с. 1409.
Литература 339
7.40. Scott J. F., Sargent III M., Cantrell С D., Opt. Comm., 15, 13 A975).
7.41. Knapp //., Risken H., Vollmer H. D., Appl. Phys., 15, 265 A978).
7.42. DeGiorgio V., Lugiato L. A., Phys Lett., A77, 167 A980).
7.43. Lugiato L. A., Mandel P., Dembinski S. Т., Kossakowski A., Phys.
Rev., A18, 338 A978).
7.44. Dembinski S. Т., Kossakowski A., Lugiato L. A., Mandel P., Phys.
Rev., A18, 1145 A978).
7.45. Velarde M. G., Antoranz J. C, Phys. Lett., A40, 220 A980); J. Stat.
Phys., 24, 235 A981); Opt. Comm., 38, 61 A981). Progr. Theor. Phys.,
66, 717 A981).
7.46. Bonilla L. L., Velarde M. G., J. Math. Phys., 20, 2692 A979).
7.47. Arimondo ?., Casagrande F., Lugiato L. A., Glorieux P., Appl. Phys.,
B30, 57 A983).
Глава 8
8.3. Уравнения одномодового лазера и их эквивалентность лоренцевой
модели турбулентности
8.1. Lorenz Е. N., J. Atmos. Sci., 20, 130 A963).
8.2. Haken H. Z. Phys., 190, 327 A966).
См. также:
8.3. Risken Н., Schmid С, Weidlich №., z. Phys., 193, 37 A966); 194, 337
A966).
8.4. Haken //., Phys. Lett., 53A, 77 A975).
8.4. Критерии хаотического поведения
8.5. Haken H., Synergetics. An Introduction, 3rd ed. Springer, Berlin,
1983.
8.6. Haken H., Advanced Synergetics. Springer, Berlin, 1983.
8.5. Пути возникновения хаоса
8.7. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред.— М.: Гостех-
издат, 1953.
8.8. Hopf П., Commun. Pure Appl. Math., 1, 303 A948).
8.9. Ruelle D., Takens F., Commun. Math. Phys., 20, 167 A971).
8.10. Newhouse S., Ruelle D., Takens F., Commun. Math. Phys. 64, 35
A978).
Удвоение периода:
8.11. Grossmann S., Thomae S., Z. Naturforsch, 32A, 1353 A977).
8.12. Feigenbaum M. J., J. Stat. Phys., 19, 25, A978); Phys. Lett. 74A, 375
A979).
8.13. Collet F., Eckmann J. P., Iterated maps on the Interval as Dynamic
Systems, Birkhauser, Boston, 1980.
Перемежаемость:
8.14. Pomeau Y., Manneville P. Commun. Math. Phys., 77, 189 A980).
Хаос в лазерном излучении, эксперимент:
8.15. Arecchi F. Т. Meuci R., Puccioni G. P., Tredicce J., Phys. Rev. Lett.,
49, 1217 A982).
8.16. Wejss C. O., Godone A., Olafsson A., Phys. Rev., A28, 892 A983).
8.17. Weiss С. О., King //., Opt. Comm., 44, 59 A982).
340 Литература
Теоретические исследования:
8.18. Lugiato L. A., Narducci L. M., Bandy D. K-, Abraham N. В., Opt. Comm.
46, 115 A983).
8.19. Mandel P., Opt. Comm., 44, 400 A983); 45, 269 A983).
8.6. Как получить хаотическое лазерное излучение, некоторые теорети-
теоретические модели
Здесь представлены результаты, которые, в частности, содержатся в ра-
работах:
8.20. Yamada Т., Graham R., Phys. Rev. Lett., 45, 1322 A980).
8.21. Scholz H. J., Yamada Т., Brand #., Graham R., Phys. Lett., 82A 321
A981).
Обзор ранних работ:
8.22. Рабинович М. И.— УФН, 1978, т. 125, с. 123.
8.7. Одномодовый лазер с инжектируемым сигналом; хаос, «дышащий»
режим, пички
Изложение следует в работе:
8.23. Lugiato L. A., Narducci L. M., Bandy D. К-, Penisse С. A., Opt. Comm.,
46, 64 A982).
С дальнейшими экспериментальными и теоретическими исследованиями
по хаосу в лазерном излучении можно познакомиться по работам:
8.24. Broomhead D. S., Elgin J. N., Jakeman E., Sarkar S., Hawkins S. C,
Drazin P., Opt. Comm., 50, 56 A984).
8.25. Graham R., Cho Y., Opt. Comm., 47, 52 A983).
8.26. Elgin J. A/., Sarkar S., Physs. Rev. Lett., 52, 1215 A984).
8.27. Brun E., Derighetti В., Holzner R., Meier D., Helv. Phys., Acta, 56,
825 A983).
Глава 9
Абсорбционная оптическая бистабильность была предсказана теорети-
теоретически в работах:
9.1. Szoke A., Daneu V., Goldhar J., Kurnit N. A., Appl. Phys. Lett., 15,
376 A969).
9.2. McCall S. L., Phys. Rev., A9, 1515 A974) (теоретически показывается,
что такая система может иметь свойства транзистора).
9.3. Gibbs H. M., McCall S. L., Venkaiesan T. N. С, Phys. Rev. Lett., 36,
113 A976) (наблюдались транзисторный эффект и бистабильность в нат-
натрии).
Фундаментальная теоретическая работа:
9.4. Bonifacio R., Lugiato L. A., Opt. Comm., 19, 172 A976).
В этой главе я следую изложению первой части превосходной статьи:
9.5. Lugiato L. A.— In: Progress in Optics, Vol. 21, p. 71, Ed. E. Wolf, North-
Holland, Amsterdam, 1984 (подробная история вопроса и обширная биб-
библиография).
Исследования последних лет:
9.6. Optical Bistability, eds. С. М. Bowden, H. M. Gibbs, S. L. McCall, Ple-
Plenum, New York, 1984.
Литература 341
Глава 10
10.3. Квантовомеханические уравнения Ланжевена
Квантовая теория лазера, использующая операторы — источники шума,
была развита в работах:
10.1. Haken H., Z. Phys. 181, 96 A964); Phys. Rev. Lett., 13, 329 A964);
Z. Phys. 190, 327 A966).
См. также:
10.2. Haken H., Laser Theory, Encyclopedia of Physics, Vol. XXV/2c, Sprin-
Springer, Berlin, 1970, 2nd corr. ed. 1984.
Подход, близкий к этому, развивался в работах:
10.3. Lax M., Phys. Rev., 145, ПО A966).
10.4. Lax M.— In: Physics of Quantum Electronics, Eds. P. L. Kelley et al.,
McGraw-Hill, New York, 1966.
10.5. Lax AT, Louisell W. H., Phys. Rev., 185, 568 A969).
Эта область исследований активно развивается, в ней изучаются но-
новые эффекты; см., например:
10.6. Haus H. A., Yamamoto У., Phys. Rev., A29, 1261 A984) (рассматри-
(рассматриваются квантовые шумы синхронизованного инжекционного лазера).
10.7. Graham R., Hohnerbach M., Schenzle A., Phys. Rev., Lett., 48, 1396
A982).
10.8. Short R., Mandel L., Roy R., Phys. Rev. Lett., 49, 647 A982).
10.9. Schenzle A., Graham R., Phys. Lett., 98A, 319, A983).
10.10. Dixit S. N., Sahni P. S., Phys. Rev. Lett., 50, 1273 A983).
10.11. Lett P., Short R., Mandel L., Phys. Rev. Lett., 52, 341 A984).
10.12. Fox R. F., James G. E., Roy R., Phys. Rev. Lett., 52, 1778 A984) (рас-
(рассматривается влияние флуктуации инверсии на излучение лазера).
10.5. Поведение лазера вблизи порога, статистика фотонов
10.13. Risken П., Z. Phys. 186, 85 A965).
Эксперимент:
10.14. Armstrong J. A., Smith A. W., Phys. Rev. Lett., 14, 68 A965).
10.15. Arecchi F. Т., Rodari G. S., Sona A., Phys. Lett., 25A, 59 A967).
10.16. Pike E. R.—\n: Quantum Optics, Eds. M. S. Kay, A. Maitland, Acade-
Academic Press, New York, 1970.
10.17. Risken H., Z. Phys., 191, 302 A966).
Глава 11
11.1. Уравнение для матрицы плотности
11.1. Weidlich W., Haake F., Z. Phys., 185, 30 A965); 186, 203 A965).
11.2. Scully M. O., Lamb W. E., Jr., Phys. Rev. Lett., 16, 853 A966); Phys.
Rev., 166, 246 A968).
11.2.2. Классическое уравнение Фоккера—Планка для затухающего
квантового осциллятора
11.3. Wigner E. P., Phys. Rev., 40, 749 A932).
11.4. Glauber R. J., Phys. Rev. Lett., 10, 84, A963); Phys. Rev., 130, 2529.
A963); 131, 2766 A963).
11.5. Sudarshan E. C. G., Phys. Rev. Lett., 10, 227 A963).
11.6. Moyal J. E., Cambridge Phil. Soc., 45, 99 A949).
11.3. Обобщенное уравнение Фоккера—Планка для лазера
342 Литература
Здесь кратко изложен подход работы:
11.7. Haken Н., Risken Н., Weidlich W., Z. Phys. 206, 355 A967).
См. также:
11.8. Haken H., Laser Theory, Encyclopedia of Physics, Vol. XXV/2c Sprin-
Springer, Berlin, 1970, 2nd corr. ed. 1984.
В работе [11.8] дано подробное изложение вопроса. Подход основан на
представлении Глаубера—Сударшана и характеристической функции для
электронов вида A1.95). С предложенными позднее подходами, основанными
на функции распределения Вигнера и ее обобщении на атомные переменные,
можно ознакомиться по работам:
11.9. Lugiato L. A., Casagrande F., Pizzuto L, Phys. Rev. A26, 3438 A982).
11.10. Haake F., Lewenstein M., Z. Phys. B48, 37 A982); Phys. Rev., A27,
1013 A983).
11.11. Casagrande F., Eschenazi ?., Lugiato L. A., Phys. Rev., A29, 239
A984).
11.4. Редукция обобщенного уравнения Фоккера—Планка
См. [11.8]
Относительно других схем исключения атомных переменных см. работы
[11.3—11.10].
Глава 12
В этой главе мы следуем работе:
12.1. Wang Z. G., Haken H., Z. Phys. A984). В печати.
См. также более ранние работы:
12.2. McNeill К. /., Walls D. F., J. Phys., A8, 104 A975).
12.3. Parigger С, Zoller P., Walls D. F., Opt. Comm., 44, 213 A983).
12.4. Gortz R., Walls D. F., Z. Phys., B25, 423 A976).
Двухфотонное усиление:
12.5. Narducci L. M., Eidson W., Furcinitti P., Eteson D., Phys. Rev., A16,
1665 A977).
12.6. Estes L. ?., Narducci L. M., Shammas В., Lett. Nuovo Cimento, 1,
175 A971).
Эксперимент:
12.7. NikolausB., ZhangD. Z., Toschek P. ?., Phys. Rev. Lett., 47 171 A981).
12.8. Grynberg G., Giakobiano ?., Biraben F., Opt. Comm., 36, 403 A981).
Нестабильности относительно возбуждения боковых мод в двухфотон-
ных лазерах рассматривались в работе:
12.9. Ovadia S., Sargent III M., Opt. Comm., 49, 447 A984).
Глава 13
13.1. Haken H., Rev. Mod. Phys., 47, 67 A975).
См. также литературу к разд. 1.2.5.
13.2. Haken H., Synergetics. An Introduction, 3rd ed., Springer, Berlin, 1983.
13.3. Haken H., Advanced Synergetics, Springer, Berlin, 1983.
В этих книгах имеется обширная библиография. Популярное изложение
можно найти в книге:
13.4. Haken H., The Science of Structure. Synergetics, Van. Nostrand Rein-
hold, New York, 1984.
Литература 343
Относительно аналогии между фазовым переходом и лазером см. лите-
литературу, указанную к разд. 1.2.5. Из более поздних работ, посвященных этой
аналогии, можно указать, например:
13.5. Lett P., Christian W., Singh S., Mandel L., Phys. Rev. Lett., 47, 1982
A981).
13.6. Mandel L., Opt. Comm., 42, 356 A982).
13.7. Agarwal G. S., Dattagupta S., Phys. Rev., A26, 880 A982).
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автопульсации нерегулярные 226
Адиабатическое исключение пере-
переменной 191, 218, 314
— приближение 185
Аксиальная мода 77
Активная среда 28
Активные атомы 27
Бегущая волна 201
Бистабильность абсорбционная 232,
233
— дисперсионная 246
Бифуркации 223
Блоха уравнение 120
Бозе оператор 305
Бозе — Эйнштейна статистика 288
Брауна — Твисса эксперимент 273
Брюстера угол 67
Валентная зона 57
Вектор состояния 179
Волна когерентная 203
— плоская 68
— сферическая 69
Волновая функция 117
Волновое число критическое 195
Волновой цуг 43
Время релаксации поперечной 120
продольной 120
Выгорание (образование) провалов
пространственное 98, 103
спектральное 96, 100
Выделение (селекция) моды 26
Вынужденное излучение 23
Гамильтониан (оператор) 117, 251
— взаимодействия 117, 253, 317
— полевых мод 317
Гауссово распределение 71, 198
Гейзенберга уравнение 255
Генерация субгармоник 213
Гироскоп лазерный 161
Гистерезис 201, 238, 244
Граничные условия Леонтовича 76
периодические 180
Группировка фотонов 304
Гюйгенса принцип 69
Детерминированные уравнения 208
Детерминированный хаос 210, 211
Двухмодовый режим 98, 100
Двухфотонный лазер 217, 316
Дипольный момент атома 92, 114,
117
Дифракция, потери 68, 74
Доплеровское уширение 47
Допороговый режим 266
«Дышащий» режим генерации 227
б-функция Дирака 121
Единичный вектор направления по-
поляризации поля 134
Затягивание частоты 158
в лазерном гироскопе 162
— фазы 203
Захват инжекционный 227
Зона проводимости 57
Иерархия нестабильностей 203
Инверсия заселенностей 80
критическая 39
модуляция 223
насыщение 81
ненасыщенная 80
плотность 80
пульсации 154
Иррациональности условие 203
Предметный указатель
345
Квазипериодичность 203, 210
Квантованная энергия поля 252
Квантовое уравнение Ланжевена 281
Классическое уравнение Ланжевена
295
Когерентная волна 203
Когерентность лазерного излучения
42
Кольцевой лазер, второй порог 194
Коммутационное соотношение 251
Комплексная диэлектрическая вос-
восприимчивость 235
Конкуренция мод 104
Константа связи 108, 253
Кооперативное стационарное состоя-
состояние 242
Кооперативный параметр 242
Критерий хаоса 210
Критическое замедление 310, 331
Лазер:
бегущей волны, кольцевой 201
газовый Не—Ne 50
на иттрий-алюминиевом гранате
49
на молекуле СОа 54
на неодимовом стекле 49
на органических красителях 52
на свободных электронах 63
на центрах окраски 62
одномодовый 78, 320
полупроводниковый 56
принцип 23
рентгеновского и гамма-диапа-
гамма-диапазонов 63
рубиновый 37, 48
с распределенной} обратной
связью 67
химический 53
эксимерный 51
экситонный 60
Ландау теория фазовых переходов
328
Ландау — Хопфа модель 212
Лоренцева модель турбулентности
206
— форма линии 92
Лэмбовский провал 165
Ляпунова показатель 230
Магнитная индукция 115
Мазер 23
Макроскопическая поляризация 123
Максвелла уравнения 75, 114
Максвелловское распределение 47
Материальные уравнения 116
Матрица плотности 292
Многомодовый режим генерации 151
Модулированное внешнее поле 218
Модуляция добротности 88
Моды резонатора 24
— неустойчивые 183
— «одетые» 248
— устойчивые 183
Мощность лазера 40
Направленность лазерного излуче-
излучения 41
Насыщение поглощения 173, 199
Некогерентный распад 257
Неустойчивость Бенара 206
— Лоренца 230
— обусловленная нарушением сим-
симметрии 331
— точка 184
Нормированный параметр накачки
205
Обобщенное уравнение Фоккера —
Планка 306
Оператор рождения и уничтожения
фотонов и электронов 252
— Лапласа 115
— случайных сил 272
Оптический транзистор 232, 244
Отталкивание частоты 144, 166
Параметр накачки 287
— порядка 184
Передемпфированное движение ча-
частицы 194
Перемежаемость 216
Пичковый режим 227
Поляризация среды 114
Поперечное электрическое поле 114
Пороговое условие генерации 39
Предельный цикл 220
Преобразование Фурье 270
Приближение вращающейся волны
127
— медленно меняющихся амплитуд
129
— среднего поля 241
Принцип подчинения 326
— соответствия 235
Просветляющийся фильтр 199
Пуассона распределение 289
Пульсации, режим 177
Распределение интенсивности мод 95
Рациональности условие 203
346
Резонатор:
кольцевой 67
конфокальный 66, 69
объемный 24, 64
открытый 64
Фабри — Перо 75
Релаксационные колебания поля 85
Релаксация безызлучательная 45
— излучательная 45
Самоорганизация 323
Самосогласованные уравнения мод
320
Сверхкороткие импульсы, длитель-
длительность 172
Секулярное уравнение 140
Синергетика 323
Синхронизация мод 160
Скалярное поле 69
Скорость переходов 78
Собственные векторы 181
— значения 189
Сосуществование мод 104, 107
Спектральная чистота излучения
42
Спонтанное излучение 249
Статистика Бозе — Эйнштейна 305
Стационарные импульсы 191
Стационарный режим кооперативный
244
одноатомный 244
Стоячая волна 36
Сужение линии 266
Схема уровней, двухуровневый атом
45
трехуровневый атом 45
четырехуровневый атом 46
Телеграфное (волновое) уравне-
уравнение 115
Теорема Винера — Хинчина 269
Тепловой резервуар (термостат)
251
Точка критическая 188
Угловая ширина пучка 73
Предметный указатель
Угловые волновые функции (Флам-
мера) 71
Удвоение периода 212
Уширение линии неоднородное 47
однородное 47
Фазовая точка 221
Фазовый переход, неравновесный
323, 328, 330
Фазы диффузия 282
— коррелированные 170
— некоррелированные 170
— синхронизация 160
— усреднение 169
Фейгенбаума число 213
Фемтосекундпые импульсы 43
Ферми оператор 305
Фиктивная частица 265
Флуктуации лазерного излучения
249
Флуктуационная сила 258
Фоккера — Планка уравнение 281,
313
Фотонная модель лазера 78
Френеля число 68
Функция когерентности 266
— Q-характеристическая 298
— распределения Вигнера 298
Глаубера — Судершана 299
Фурье амплитуда 270
Фурье-образ 270
Хаос 210
Хаотическое движение 208
— излучение 204
Характеристическое уравнение 187
Частота атомного перехода 92
— световой волны 92
Числа заполнения (заселенности) 78
Ширина линии 120
Шредингера уравнение 117, 292
Энтропия 330
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие к русскому изданию 10
Перед предисловием 11
Предисловие 12
Обозначения 15
Глава 1. Введение 23
1.1. Принцип действия мазера и лазера 23
1.2. Проблемы теории лазера 27
1.3. Структура теории лазера и ее представление в книге ... 32
Глава 2. Основные свойства и типы лазеров 36
2.1. Условие лазерной генерации 36
2.2. Типичные свойства лазерного излучения 40
2.3. Примеры лазерных систем (типы лазеров и лазерных про-
процессов) 44
Глава 3. Лазерные резонаторы 64
3.1. Обзор 64
3.2. Моды в конфокальном резонаторе 69
3.3. Моды резонатора Фабри—Перо 75
Глава 4. Интенсивность лазерного излучения, скоростные уравнения . 78
4.1. Введение 78
4.2. Фотонная модель одномодового лазера 78
4.3. Релаксационные колебания 85
4.4. Модуляция добротности 88
4.5. Основные скоростные уравнения многомодового лазера . 91
4.6. Образование провалов, качественное объяснение .... 95
4.7. Количественный анализ эффекта образования провалов,
работа одномодового лазера в случае неоднородно ушн-
ренной линии 101
4.8. Пространственный эффект образования провалов, качест-
качественное объяснение 103
348 Оглавление
4.9. Многомодовый лазер, конкуренция мод и естественный от-
отбор по Дарвину 104
4.10. Сосуществование мод вследствие пространственного эф-
эффекта образования провалов, количественное рассмотре-
рассмотрение 107
Глава 5. Основные уравнения полуклассической теории лазера 113
5.1. Введение 113
5.2. Вывод волнового уравнения для напряженности электри-
электрического поля 114
5.3. Материальные уравнения 116
5.4. Полуклассические лазерные уравнения для макроскопиче-
макроскопических величин напряженности электрического поля, поля-
поляризации и плотности инверсии 123
5.5. Лазерные уравнения в резонаторе 124
5.6. Два важных приближения: вращающейся волны и медленно
меняющихся амплитуд 127
5.7. Полуклассические уравнения лазера для макроскопиче-
макроскопических величин напряженности электрического поля, поля-
поляризации и плотности инверсии в приближении вращаю-
вращающейся волны и медленно меняющихся амплитуд .... 131
5.8. Безразмерные параметры светового поля и введение кон-
константы связи 133
5.9. Основные лазерные уравнения 134
Глава 6. Приложения полуклассической теории 138
6.1. Одномодовый лазер, исследование его устойчивости . . . 138
6.2. Одномодовый режим работы лазера, амплитуда и частота
излучения лазера в стационарном состоянии 141
6.3. Одномодовый лазер, переходные режимы 145
6.4. Многомодовый режим работы твердотельных лазеров, вы-
вывод редуцированных уравнений для амплитуд мод .... 151
6.5. Простые примеры многомодового режима 155
6.6. Затягивание частоты в случае трех мод 158
6.7. Лазерный гироскоп 161
6.8. Газовый лазер, одномодовый режим 163
6.9. Вывод скоростных уравнений из полуклассических лазер-
лазерных уравнений 167
Глава 7. Сверхкороткие импульсы 169
7.1. Основные механизмы, активная и пассивная синхрониза-
синхронизация мод 169
7.2. Основные уравнения для лазеров с режимом пульсаций . 177
7.3. Общий метод исследования нестационарного решения
вблизи точек неустойчивости 179
7.4. Возникновение сверхкоротких импульсов: линейный ана-
анализ устойчивости 186
7.5. Возникновение сверхкоротких импульсов: нелинейный
анализ 190
7.6. Решение уравнения для параметра порядка 194
7.7. Модели лазеров с насыщающимися поглотителями .... 199
Оглавление
349
Глава 8. Иерархия нестабильностей лазерного излучения, хаос и пути
возникновения хаоса 203
8.1. Предварительные замечания 203
8.2. Основные уравнения 205
8.3. Уравнения одномодового лазера и их эквивалентность ло-
ренцевой модели турбулентности 206
8.4. Критерии хаотического поведения 210
8.5. Пути возникновения хаоса 211
8.6. Как получить хаотическое лазерное излучение, некоторые
теоретические модели 217
8.7. Одномодовый лазер с инжектируемым сигналом; хаос,
«дышащий» режим, пульсации 224
Глава 9. Оптическая бистабильиость 231
9.1. Введение 231
9.2. Конкретная модель 233
9.3. Стационарный режим для модели из разд. 9.2 235
9.4. Случай произвольной восприимчивости 238
9.5. Заключение 248
Глава 10. Квантовая теория лазера 1. Первоначальный подход, основан-
основанный на квантовомеханическом уравнении Ланжевена .... 249
10.1. Почему квантовая теория лазера? 249
10.2. Гамильтониан лазера 250
10.3. Квантовомеханические уравнения Ланжевена . . . 255
10.4. Когерентность и шумы 263
10.5. Поведение лазера вблизи порога, статистика фотонов
Глава 11. Квантовая теория лазера II. Второй подход, основанный на
уравнении для матрицы плотности и соответствии между кван-
квантовыми и классическими уравнениями 291
11.1. Уравнение для матрицы плотности 291
11.2. Квантово-классическое соответствие, пример затухаю-
затухающей полевой моды (гармонический осциллятор) .... 295
11.3. Обобщенное уравнение Фоккера—Планка для лазера . 305
11.4. Редукция обобщенного уравнения Фоккера—Планка . 309
11.5. Заключение 315
Глава 12. Теория двухфотонного лазера 316
12.1. Введение 316
12.2. Эффективный гамильтониан, квантовые уравнения Лан-
Ланжевена и полуклассические уравнения 317
12.3. Исключение атомных переменных 318
12.4. Одномодовая генерация, однородно уширенная линия
и бегущая волна ... , . 320
350
Глава 13. Лазер — прототип в синергетике
13.1. Что такое синергетика?
13.2. Самоорганизация и принцип подчинения
13.3. Неравновесные фазовые переходы . . .
Литература
Предметный указатель
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, к;
честве перевода и другие просим присылать по адресу: 129821
ГСП, Москва, 1-й Рижский пер., д. 2, изд-во «Мир».