/
Автор: Шилин А.П.
Теги: математика задачи по математике дифференциальные уравнения учебное пособие
ISBN: 978-5-9710-2207-7
Год: 2023
Текст
А. П. Шилин
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
Подробный разбор решений
типовых примеров
•
1800 примеров,
собранных в многовариантные задания по
важнейшим темам курса
•
Коллекция важнейших типов решений
алгоритмического характера
Допущено
Министерством образования Республики Беларусь
в качестве учебного пособия для студентов учреждений,
обеспечивающих получение высшего образования
по физико-математическим специальностям
Издание стереотипное
URSS
МОСКВА
ББК22.1я73 22.161.6
Шилин Андрей Петрович
Дифференциальные уравнения: Подробный разбор решений типовых примеров.
1800 примеров, собранных в многовариантные задания по важнейшим темам
курса. Коллекция важнейших типов решений алгоритмического характера:
Учебное пособие. Изд. стереотип. — М.: ЛЕНАНД, 2023. — 312 с.
Учебное пособие представляет собой сборник задач по дифференциальным уравнениям,
особенность которого в том, что задачи и примеры представлены здесь в форме однотипных
многовариантных заданий по важнейшим темам курса дифференциальных уравнений. В про
цессе многолетней преподавательской работы со студентами физических специальностей
автор неоднократно апробировал примеры, собранные в этом пособии: для решений в качест
ве домашних заданий, контрольных и самостоятельных работ, примеров в экзаменационных
и зачетных заданиях, а также примеров, решаемых на доске во время практических занятий.
Охватить все темы и типы примеров в форме многовариантных заданий — непосильная
задача, однако в данном пособии автор постарался собрать все важнейшие типы примеров,
решение которых носит в основном алгоритмический характер. Лишь уверенное умение ре
шать подобные примеры даст впоследствии возможность специалисту как владеть в полной
мере методами дифференциальных уравнений, так и самому разрабатывать эти методы.
За многочисленными формулами и математическими значками автор хорошо видит
перед собой своего главного читателя — студента, изучающего высшую математику. Предла
гаемые примеры и сформированные из них задания призваны помочь успешному изучению
этим читателем важного раздела высшей математики.
Предназначено для студентов физико-математических специальностей вузов, а также
студентам технических и экономических специальностей.
Рекомендовано кафедрой высшей математики УО «Белорусский государственный
университет информатики и радиоэлектроники»
Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, проф. В. Н. Русак, д-р физ.-мат. наук, проф. Л. А. Черкас
Автор благодарит В. А. Петрова ча помощь в оформлении материалов.
Формат 60x90/16. Печ. л. 19,5. Доп. тираж. Зак. № АС-7435.
Отпечатано в ООО «ЛЕНАНД».
117312, Москва, проспект 60-летия Октября, 11 А, стр. 11.
ISBN 978-5-9710-2207-7
©ЛЕНАНД, 2017, 2022
978-5-9519-3660-8
(мягкая обложка)
978-5-9519-3661-5
(твердый переплет)
НАУЧНАЯ И УЧЕБНАЯ ЛИТЕРАТУРА
E-mail: URSS@URSS.ru
Каталог изданий в Интернете:
httpy4JRSS.ru
Телефакс (многоканальный):
URSS
+ 7 (499) 724 25 45
Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может быть воспроизведена или
передана в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то элек
тронные или механические, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель,
а также размещение в Интернете, если на то нет письменного разрешения владельца.
Предисловие
Из сборников задач по дифференциальным уравнениям, приемлемых
для студентов физико-математических специальностей, следует назвать в
первую очередь сборники [1-5]. Настоящее учебное пособие является так
же сборником задач, особенность которого в том, что задачи и примеры
представлены здесь в форме однотипных многовариантных заданий по важ
нейшим темам курса дифференциальных уравнений. Это позволяет давать
индивидуальные задания каждому студенту в академической группе.
В процессе многолетней преподавательской работы со студентами физи
ческих специальностей Белорусского государственного университета автор
неоднократно предлагал примеры, собранные в этом пособии, для реше
ний в качестве домашних заданий, контрольных и самостоятельных работ,
примеров в экзаменационных и зачетных заданиях, а также примеров, ре
шаемых на доске во время практических занятий.
Все примеры, содержащиеся в настоящем пособии, решаются класси
ческими методами, изложенными, например, в учебниках [6-10] и многих
других. Разбор решений типовых примеров проведен и в самом пособии.
Умению решать примеры будет также способствовать знакомство читате
ля с учебными пособиями [11-15], содержащими разбор решений большого
числа различных дифференциальных уравнений, в том числе возникающих
в приложениях.
В курсе дифференциальных уравнений должны решаться задачи и при
меры по ряду тем, не вошедших в настоящее пособие: приближенное реше
ние задачи Коши, особые решения, нелинейные уравнения порядка выше
второго, исследования устойчивости с помощью функций Ляпунова, задачи
прикладного характера и др. Охватить все темы и типы примеров в форме
многовариантных заданий — непосильная задача для любого автора, да и
нет в этом необходимости для учебного процесса. В этом пособии собраны
те важнейшие типы примеров, решение которых носит в основном алго
ритмический характер. Лишь уверенное умение решать подобные примеры
даст впоследствии возможность специалисту как владеть в полной мере
методами дифференциальных уравнений, так и самому разрабатывать эти
методы.
Ко всем примерам приводятся ответы. В ответах С, Ci, Сг,... — произ
вольные действительные постоянные, т — произвольное целое число, F —
произвольная дифференцируемая функция.
3
4
Предисловие
В ответах к заданиям из § 1, 17 с помощью компьютера сделаны ри
сунки. При их выполнении требуется создать подобные рисунки вручную,
с соблюдением достаточной точности и аккуратности. Можно привлекать
и компьютер, обратившись, например, к учебному пособию [16].
Большинство примеров данного пособия составлено автором, часть из
них была ранее указана в его учебном пособии [17]. Совсем незначительное
число примеров заимствовано из указанных выше сборников, а также из
пособий [18], [19]. Помощь при составлении примеров к § 14, 15, 17 оказал
доцент Белорусского национального технического университета П. Г. Ласый, которому автор выражает свою признательность. Автор признателен
также многим студентам факультета радиофизики и компьютерных техно
логий Белорусского государственного университета за участие в проверке
правильности ответов к ряду примеров и в выполнении некоторых рисун
ков.
За многочисленными формулами и математическими значками, состав
ляющими большую часть содержания этого пособия, автор хорошо видел
перед собой своего главного читателя — студента, изучающего высшую ма
тематику. Предлагаемые примеры и сформированные из них задания при
званы помочь успешному изучению этим читателем важного раздела выс
шей математики.
§ 1. Построение интегральных кривых
с помощью изоклин
Графики решений дифференциального уравнения у' = f(x,y) называ
ются его интегральными кривыми. Нахождение решений такого урав
нения может быть сложной задачей, однако интегральные кривые можно
приближенно строить не находя самих решений. Для этого удобно исполь
зовать изоклины. Уравнение изоклин имеет вид f(x,y) = к. Каждому
значению fc 6 R соответствует своя изоклина, в роли которой чаще всего
выступает кривая. Изоклина представляет собой множество точек на ко
ординатной плоскости, в которых наклон искомых интегральных кривых
имеет постоянное значение, равное к. Решая конкретный пример, следует
нарисовать вначале некоторое количество изоклин. Обычно рисуют в пер
вую очередь изоклины, отвечающие значениям i = 0, ±1, ±2, а затем еще
некоторые изоклины так, чтобы была понятна закономерность их располо
жения на координатной плоскости.
Рассмотрим в качестве примера уравнение у1 = - chx—у. Здесь изокли
ны будут представлять собой семейство цепных линий у = - ch х —к. Нари13 5
суем изоклины, отвечающие значениям к = 0, ±1, ±2, ±-, ±-, ±- (рис. 1).
5
6
§1. Построение интегральных кривых с помощью изоклин
Далее изобразим наклон искомых интегральных кривых с помощью
стрелок, выходящих из точек на изоклинах, взяв эти точки в достаточном
количестве. Стрелки следует провести под углом к оси Ох, тангенс которо
го равен соответствующему значению к. (При этом стрелки, выходящие из
точек одной и той же изоклины, окажутся параллельными друг другу.) В
случае указанного выше примера приходим к рис. 2.
Для дальнейшего построения интегральной кривой следует задавать
точку, через которую эта кривая проходит. Затем, начиная с этой точки,
интегральную кривую следует рисовать таким образом, чтобы она касалась
стрелок в начальных точках этих стрелок. Для большей точности постро
ения можно добавить на рисунке новые изоклины и стрелки.
Таким образом, описанное построение интегральных кривых представ
ляет собой восстановление этих кривых по известным наклонам. Изоклины
помогают быстрее понять, как устроен наклон во всех точках. Известно, что
если в некоторой области функции fix, у) и —- ----- непрерывны, то через
оу
каждую точку этой области проходит единственная интегральная кривая.
§ 1. Построение интегральных кривых с помощью изоклин
7
В случае нашего примера запалим точки I 0; — I, I ®i — ^ ) и выполним
рис. 3.
Задания
Для данных уравнений с помощью изоклин проведите приближенно ин. тегральные кривые, проходящие через указанные точки:
1.
1)
2)
з)
4)
у'
у3,
у' = еу + х — 1,
у' = х + 1 + ch у,
у' = х2 + у2/4,
2.
1)
2)
3)
4)
у'
у'
у'
у'
=
=
=
=
3.
1)
2)
3)
4)
у'
у'
у'
у'
=
=
=
=
(0;0),
(0;0),
(0;0),
(0;0),
(0; -2);
(0;-2);
(-2;0);
(0;4).
У2 + х + 1,
х + 1 + hiy,
У — arctgi,
х2 + у2 + 2{х + у) 4-1,
(0;0),
(U),
(0;0),
(0;0),
(0; -2);
(0;2);
(0;2);
(0; -2).
у + X3,
У + е~х,
у + ch х,
х2/2 + у2-2,
(0;0),
(0;0),
(0;0),
(0;0),
(0;-1);
(0; -2);
(0; -2);
(0;-1).
8
§ 1. Построение интегральных кривых с помощью изоклин
4.
1)
2)
3)
4)
у'
у'
у'
у'
=
=
=
у + (х+ I)2,
х — 1 + \пу,
aictgy + i,
х2 +(у- I)2,
№0),
(0;1),
(0;0),
(0;0),
(0;-2);
(0;3);
(0;-2);
(0;3).
5.
1)
2)
3)
4)
у'
у1
у'
у'
=
=
=
=
у3+ х+ 2,
х — еу,
х-shy,
4(j + I)2 + у2,
(-2;0),
(0;0),
(0;0),
(-1;0),
(0;-1,3);
(0;-2);
(0;-2);
(-i;i).
6.
1)
2)
3)
4)
У
у'
у'
у'
=
—
=
=
х- у*,
у + Ini,
у- arctg(i + 1),
(х + I)2 + у2,
(0;0),
(1;о),
(-1;0),
(-1;0),
(0;-2);
(3;0);
(-1;2);
(0;-1).
7.
1)
2)
3)
4)
у'
у'
у'
у'
=
=
=
=
у + у/х,
у + ех,
х + thy + 1,
(х+ I)2 + (у + I)2,
(i;i),
(0;0),
(0;0),
(-i;-i),
(1;-2);
(0;-2);
(0;-2);
(-1;0).
8.
1)
2)
3)
4)
У1
у'
у1
у'
=
=
=
=
у/У + х,
х + \пу,
у + arcctg х,
2(х2 + у2),
(0;1),
(0;1),
(0;0),
(0;0),
(0;3);
(2;1);
(0;-2);
(0;1).
9.
1)
2)
3)
4)
у'
у'
у'
у'
=
=
=
=
у + у/х + 1,
у + ех~1,
у+ shx,
(х- I)2 + у2,
(1;1),
(1;о),
(0;0),
(0;0),
(4;0);
(0;-2);
(0;-2);
(2;0).
10.
1)
2)
3)
4)
у' =
у’ =
т/ =
у1 =
у/у-\ + х,
х- l + ln(i/ + l),
х + axctgy,
2х2 + у2/2,
(-i;3),
(0;0),
(0;-1),
(0;0),
(0;2);
(0;2);
(0;1);
(0;2).
11.
1)
2)
3)
4)
у'
у’
у1
у'
=
=
=
=
у + Vx + 1,
2у + ех,
у + thi,
(х- 2)2 + у2,
(0;-1),
(0;0),
(0;0),
(2;0),
(0;-2);
(0;-1);
(0;-2);
(2; -2).
12.
1)
2)
3)
4)
у'
у1
у'
у1
= х + у4,
= x + \gy,
= у + aictgx,
= х2 +(у + 2)2,
(0;0),
(-Ц),
(0;0),
(0;0),
(0;-1);
(0;2);
(0;-2);
(0;-2).
§ 1. Построение интегральных кривых с помощью изоклин
13.
1)
2)
3)
4)
у'
у'
у'
у'
=
=
=
=
х + (у - I)3,
у + ех~2,
х + ch(y - 1),
х2 + у2 - 2(х + у),
(0;0),
(0;0),
(0;0),
(0;0),
(0;1);
(0;-2);
(0; 1);
(0;4).
14.
1)
2)
3)
4)
у'
у'
у'
у'
=
=
=
=
(у- 2)2 + 2х,
2у + In я,
я + arcctg(y + 1),
х2 + у2 + 4(i + у),
(0;0),
(i;-i),
(0; -1),
(0;0),
(-2;0);
(1;0);
(-2;-1);
(-4; -3).
15.
1)
2)
3)
4)
у'
у'
у'
у'
=
=
=
=
х-(у + I)3,
у + ех~1,
х + ch(y + 2),
(х- 2)2 + (у + 2)2,
(0;0),
(0;0),
№-1),
(i;-i),
(0;-2);
(1;-2);
(i;-i);
(2;-2).
16.
1)
2)
3)
4)
у’
у'
у'
у'
=
=
=
=
у + (х- 2)2,
2i/ + lnH),
х — 1 — arctgy,
2(х + I)2 + у2,
(1;0),
(-i;2),
(0;0),
(-1;0),
(2;-1);
(-i;-i);
(3;0);
(-i;-i).
17.
1)
2)
3)
4)
у1
у'
у'
у'
=
=
=
=
(у + 2)3 + х,
е^1 - у,
ch у — х — 1,
-я2 - У2,
(0;0),
(-1;0),
(0;0),
(0;0),
(0;-3);
(-1;2);
(0;2);
(0;-1).
18.
1)
2)
3)
4)
у'
у'
у'
у'
=
=
=
=
у2 - х - 1,
HlgH.
х+ 2 + arctg(y + 2),
2(х + у)-х2- у2,
(0;0),
(-i;-i),
(0;-2),
(0;0),
(0;2);
(-1;2);
(1;-2);
(-1;0).
19.
1)
2)
3)
4)
у'
у'
у'
у'
= (у- 2)3 - х,
= ех-у-2,
= sh у + х,
= -(х + 1)2 -у2,
(0;2),
(0;-1),
(-2;°),
(-i;0).
20.
1)
2)
3)
4)
у'
у1
у1
У'
=
=
=
=
{у- З)2 + х,
-у - 1 + ln(i + 1),
2х + axctgy,
-я2/2 - у2,
(0; 1),
(Oil),
(0;0),
(0; 1),
(0;3);
(0;-2);
(4;0);
(0;1).
(0;3);
(0;—3);
(2;0);
(-1;0).
21.
1)
2)
3)
4)
у'
у'
у’
У'
=
=
=
=
у-(х- 2)3,
е1”3 + у +1,
thy — х,
-х2 — у2/4,
(2;0),
(3;3),
(0;0),
(0;2),
(2;1);
(3; -3);
(-2;0);
(0;-4).
9
§1. Построение интегральных кривых с помощью изоклин
10
= х- у\
= у + 1п(1 -х),
= у+ 2aictgx,
= х2 +у2 + 4у,
22.
1)
2)
3)
4)
у'
у'
у'
у'
23.
1)
2)
3)
4)
у' =
у'=
у' =
у' =
24.
1)
2)
3)
4)
у'
у'
у'
у'
25.
1)
2)
3)
4)
у' =
у' =
j/=
у' =
=
=
=
=
у +$х,
2у- е~х,
ch (у + 1) + 2х,
2х — х2 — у2,
(0;0),
(°;-2),
(0;0),
(0;0),
(0;-2);
(0;2);
(0;-2);
(0;-2).
(0;0),
(0;1),
(0;-1),
(0;0),
х + (у - I)4,
х + 1п(1 - у),
у + arctg(x - 3),
3(i2 + i/2),
(0;1),
(0;0),
(3;0),
(0;0),
(0;-1);
(0;-1);
(1,5;-1);
(1;-2).
(2; 2);
(0;-1,7);
(3;-2);
(0;-2).
у + фх + 1,
у + 2х,
I + 1 + ch (у + 1),
-(х2 + у2),
(0;0),
(0;0),
(0;0),
(0;0),
(0;-2);
(0;-2);
(-2;-1);
(i;0).
Ответы
J1. Построение интегральных кривых с помощью изоклин
11
12
§ 1. Построение интегральных кривых с помощью изоклин
§ 1. Построение интегральных кривых с помощью изоклин
13
14
§1. Построение интегральных кривых с помощью изоклин
§ 1. Построение интегральных кривых с помощью изоклин
15
16
§ 1. Построение интегральных кривых с помощью изоклин
§ 1. Построение интегральных кривых с помощью изоклин
17
18
§1. Построение интегральных кривых с помощью изоклин
§1. Построение интегральных кривых с помощью изоклин
19
20
§ 1. Построение интегральных кривых с помощью изоклин
§ 1. Построение интегральных кривых с помощью изоклин
21
22
§1. Построение интегральных кривых с помощью изоклин
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными
и уравнения, сводящиеся к ним
Уравнение с разделяющимися переменными, записанное в нор
мальной форме, имеет вид
У1 = f(y)9&).
Его решение осуществляется разделением переменных
и последующим интегрированием обеих частей. Следует проверять также,
не теряются ли решения при делении на f{y}.
Пример 1. Решить уравнение
у' = 2у/у cos х.
Решение. Разделяем переменные
а
dy
-—= = cos х ах.
2^
Отсюда после интегрирования обеих частей y/у = sin х + С. При делении
на 2у/у потеряно, очевидно, решение у = 0.
Ответ: ^у — sinx + С, у = 0.
Пример 2. Решить уравнение
х(у + 3) dx 4- у(х + 2)dy = 0.
Это уравнение с разделяющимися переменными, записанное в дифферен
циальной форме.
Решение. Разделяем переменные после деления обеих частей уравне
ния на (у + 3)(х + 2):
у dy
xdx
у+3
х+2
и интегрируем обе части:
х - 2 In |х + 2| + С = 31п \у + 3| — у.
(2.1)
К полученной совокупности решений следует добавить решения х =
= —2 и у = —3, потерянные, очевидно, при делении исходного уравнения
на (у + 3)(т + 2).
23
24
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными и сводящиеся к ним
Все полученные решения можно записать более кратко, если в соот
ношении (2.1) взять С - InCj (где Сг — произвольная положительная
постоянная) и затем потенцировать обе части этого соотношения:
С/ _ |у + 3|3
е»
(х + 2)2
Отсюда Сгех+у = (х + 2)2(у + З)3, где С\ теперь следует расценивать как
произвольную ненулевую постоянную. Если, наконец, допустить ^ = О
(таким образом, станет Сг £ R), то последнее соотношение охватит решения
х = —2 и у = —3.
Ответ: С^е1^ = {х + 2)2(у + З)3.
Пример 3. Решить задачу Коши
х In х dy + ev dx = 0,
j/(ee) = —1п2.
Решение. Разделяем в уравнении переменные и интегрируем:
— I е~у dy — I ^х ,
J
J x In x
e-v = In | Inxl + C.
Теперь подбором постоянной С добиваемся удовлетворения начального
условия, для чего начальные данные подставляем в полученное решение:
2 = 1 + С,
С = 1.
Ответ: е~у = In 11пт| + 1.
Уравнение вида
у' = f(ax + by),
(2.2)
в котором а, Ь е R, сводится к уравнению с разделяющимися переменными
заменой ax + by = z, где z = z(x} — новая неизвестная функция.
Пример 4. Решить уравнение
у' = 2 + 4ух — у2 — 4т2.
Решение. Приводим уравнение к виду
у’ = 2-(у- 2х)2.
Теперь понятно, что следует сделать замену у — 2х = z\
(z + 2х)' = 2 — z2,
z' = —z2.
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными и сводящиеся к ним
25
Далее разделяем переменные и интегрируем:
dz
,
—г = ах,
1
- = х + G.
z
При делении на z2 теряется решение z = 0. Осталось вернуться к исходной
переменной.
Ответ:----- — = х + С, у = 2х.
У~2х
Аналогично уравнению (2.2) решается однородное уравнение
У'= f
\х/
•
(2-3)
У
Оно сводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой — = z.
х
Следует отметить, что однородное уравнение, записанное в дифференци
альной форме
Ых, у) dx + f2(x, у) dy = 0,
характеризуется тем, что функции j\(x,y) и f2(x,y) являются однородны
ми одинаковой степени однородности.
Пример 5. Решить уравнение
(ху' - у)1п I - +
\х
V
=Х.
I /
Решение. Уравнение является однородным. (Это можно установить,
если, например, разрешить его относительно у' и тем самым придать ему
вид (2.3).) Делаем замену у/х = z, откуда у = zx, у' = z'x + z, и приходим
к уравнению с разделяющимися переменными
z'x In ^z + \/1 + z2) = 1.
Далее получаем In (z + \/1 + z2) dz = —. После интегрирования бу
дет z In (z + ^1 + z2) — vTTz2 = In |т| + С и останется лишь вернуться к
исходной переменной.
Ответ: -1п(+
= In|i| + С.
26
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными и сводящиеся к ним
Для решения уравнения вида
= j (д^ + М + сЛ
J \a2x + b2y + ’
(2-4)
где Oj,Ьрс1;02,Ь2,С2 € R, a^/a? ^ Ьг/Ь2, следует вначале решить систему
уравнений
а^ + Ъ^у + Cj = О,
(2-5)
О^Х + Ь2у + С2 = 0.
Затем в уравнении (2.4) следует перейти к новой неизвестной функции z =
= z(t), где z = у—у0, t = т—т0, a (i0, у0) — решение системы (2.5). При этом
уравнение (2.4) перейдет в однородное уравнение для нахождения функции
Пример 6. Решить уравнение
, _ 6(д + Зу + 53)
У
17т + у + 1
Решение. Вначале для системы
Г а: + Зу + 53 = О,
| 17т + у + 1 = О
найдем решение т0 = 1, у0 = —18. Затем делаем в исходном уравнении
замены т—1 = £, у+18 = z и для новой неизвестной функции z(t) приходим
к однородному уравнению
dz
dt
6(t + 3z)
17t + z
Делая новую замену - = u (u = u(t)), получим уравнение
du
6(1+ 3u)
— t + u = —--------dt
17 + u ’
в котором переменные можно разделить:
17 + u
,
dt
—--------- -du = -—.
—U—6
t
Осталось выполнить интегрирование обеих частей, вернуться к исходным
переменным и учесть потерянные при делении решения.
Ответ: (у — Зт + 21)4 = С (у + 2т + 16)3, у + 2т + 16 = 0.
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными и сводящиеся к ним
Задания
Решите уравнения или задачи Коши:
1.
1) у2у' = е ®31пт,
у (е3) = v^;
2) y' = tg(T —у);
> -У ,
1
3) У ~
।
. / , v
х axcsin(y/x)
,
4т + 21у-25
4) V =------------------ •
' *
24т + у -25
2.
1) у'\пу = ух2\пх,
у(1) = 1/е;
2) у' = 9т2 + у2 + у + 4 + Зт(2у + 1);
■ 2У
I у> ----У\
I cos -У = sin
—;
\
х/
х
х
, у-15т+ 13
4) ” = Н»-1Г
3.
1) уу'= e~yx2sinx3,
у(^^г) = О;
2) у' = х2 + у2 + 2 {ху + 1) + 4 (т + у);
3) у' = У- + -еУ/х}
X у
, 26у — 10т — 16
4)
У
у + 37т - 38
4.
1)
^1 — х2у2у' = arcsinT,
у(1/2) = ^;
e3(l-i)-»
2) У = (Зт + у)2 — 3’
,= У+
т у Щу/х) ’
, 34 — 12т — 5у
4) V =---------------------------------- •
2т + у — 6
3)
5.
1) у'= (т sin у)2 cost,
у(0)=7г/4;
/
1
Л2
2) у' = ($у-х+ ------- I ;
\
$у - х)
>=
у +
х у arctg(y/T) ’
,
51 — 30т — 7у
4) У =------------------ •
4т + у — 7
3)
27
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными и сводящиеся к ним
28
6.
1)
х2
2УУ' " Гл------ 2’
У ^ " 0;
2) у' = х2 + у2 + 2ху + 5 (я + з/ + 1);
7-
3)
f3/sin ^ = cos’^;
\
х/
X
X
4)
2(y-3s-ll)
7х + у — 1
1) еху' = ^1-у,
j/(-ln2) = 0;
2) з/ = 1 + sin2 (3/ + я);
3)
8.
.
х
ух
4 - 6i - 5и
3/ + 4
4)
У
1)
(jlnji)2j/' = j/,
з/(3/2) = е;
З2^1)-»
2) У =-------г + 2;
У ~2х
у' = у + ^_.
3)
х х51п(у/х)
, _ 31у — 9т — 53
4)
у + 41т — 43
9.
1)
У1 = (У2 + 4з/ 4- 5) (т2 + 4т + 5),
з/ (3) = -2;
2) у' = sin (т + з/) 4- cos (т 4- з/) - 1;
i
У
1
3) У =- +-------х axccos(y/x)
,
4 (14т 4- 17у - 3)
4) У
67т 4-3/4-66
10. 1) у' (х2 4- 8т 4-17) 1пз/ = 1,
2) 3/' = 6 4- cos2 {у 4- Зт);
3)
(У-nmbL
\
х/ X
у*
,
4) У
4(3i + 8j/ + H)
31т 4-3/4-32
з/(—4) = 1;
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными и сводящиеся к ним
11. 1) уу' = (у4 - 2у2 + 10) (т4 — 2т2 + 10) ,
у (0) = Г,
2) у' + е1+* + 2 = 0;
3) у' =
1
х arctg(y/T)’
.
,
Ют + 33у + 43
4) V —-------------------- .
' *
30j + у + 31
12. 1)
у/ху2 + 1 +1 + y2dx = ydy,
у (3) = ^3;
2) у'= х2+ у2+ 2ху + Зх + Зу+1;
’ у
2(i + 8H9)
17i + Н 18 '
13. 1) ydy + x2ev+x3dx = 0,
у (0) = 0;
2) у' = (х + у)4 + 4 (т + у)3 + б (т + у)2 + 4 (т + у);
х
2(3*+14!,-17)
271 + 9-28 '
'
14. 1)
arcctg(y/T) ’
y/ху + 2ydx = dy,
у (—3) = ^8;
2) у1 = (i + ?/)3 + 3(i + j/)2 + 3(i + i/);
3)
X
,
’ У
X/
X X
2(2т+13у-15)
29т + у-30 ‘
15. 1) уу^е1^2,
у(1п7-21п2) = ^п2;
2) V'=tc^ + y)k
(0 2);
3) 3 (у' sh2 ^ = ch4 ^;
\
х/
X
X
,
2 (4т + 19у + 23)
У
40т + у + 41
29
30
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными и сводящиеся к ним
16. 1) уу1 = х-/х2у2 4- х2 4- у2 4-1,
у (73) = 78;
2) (У+ 1) cos (у 4-х) = sin3(j/ + i);
3) х3у' = i3 + 4х2у + Зху2 + у3’,
4) У=*4 + (Л^.
I+2
х+2
17. 1)
у (^-2) = -1п2;
(i2 + 4x + 5)y' = e’1
е1+»
х + у'
3) х2у' = х2 + Зху 4- у2-,
2) 7 + 1 =
4)
18. 1)
2)
у^ = е'
-=й’
X
\1пу/
yVTE+I
У+ 2х
у
’
3) х^у' = х4 4- 5х3у 4- Ъх2у2 4- 4ху3 4- у4;
4)
19. 1) y'arcsiny = ху/х2у2 4-1 — х2 — у2,
2)
у (1) = 0;
(у1 + 2) sin {у 4- 2х) = cos5 (у 4- 2х);
3) х2у' = х2 4- 7ху 4- 9у2;
Л4х-1^^^.
4- 3
х 4- 3
4) у
,
arctg2 х
20. 1) У - ------------------------ о,
1 4- х2 4- у2 4- (ху)2
2) у1 = —--------- 2;
2x4-у
3)
(y'-^cos^sin12*';
\
х/
X
,
7х 4- 57у 4- 64
4) У =------------------63х 4- у 4- 64
X
, .ч
.
у (tg 1) = 1;
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными и сводящиеся к ним
21. 1) у' = 2хех2+у,
2)
"
у(0) = 0;
у + Зг + Г
/
/
ч 4
\ 2
П +^+8 *
3) Зу' =
W
X
\у,
у + 8\
4х + у
у' ~ ----- - cos------ —
х—2
х—2
4а; 4- у
1) у' In у (х4 — 6х2 + 10) = 2ху,
у (%/з) = е е;
4)
22.
2)
2; — 2
(у1 + 3) sin (у + Зх) = cos4 (у 4- Зх);
( у\^
2
(2
У
3) Зу' =
у4-2\ . х + у
у'~ ----- - sin----- х — 2J
х—2
.
х+У
= 1 - cos----- 27-2
1) 2ху = y'y/^l-x4) In у,
у
—е;
4)
23.
2)
з
3) у'
4)
\2: /
ху
/у - 25
,\ . 5х +у
5х + у
---- г— V sm
— = 14- cos------ —
\ 2г 4- 5
/
2:4-5
2:4-5
24. 1) У'У^И1 - 4 = cos2 у,
2)
(у' 4-1) (2: 4- у)5 In (2: 4- у) = 1;
3) у''=
4)
25.
у (0) = ^;
/ \з
*
-^ + 10^;
х
у
■ , у —6\
2х +у
. 2х +у
у---------- cos----------- = sin------------- 1.
х + 3J
а:4-3
2:4-3
1) у3у' = ex+yi,
у (In 2) = 0;
е2^-*)-»
2) у' + 2 =
3) 4
у 4- 2х
-W^cos3*';
X■J
X
,
202: 4- 77у — 97
4) У = 762; 4-у-77 ’
X
31
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными и сводящиеся к ним
32
Ответы
1.
1)
6й3 = 3i(hi — 1) — 5e3;
2)
x + у + In |sin(x — y) — cos(x -1/)| = С, x - у = — + тгт;
3)
4)
2.
1)
(y — x)5 = C(y + 4x — 5)4,
2 , Л
у + 4i — 5 = 0.
11
1\
3)
2
2(3x + y) + 1
—= arete--------- =------= x + C
3VS
3^3
In III + cosec — = С, у = nmx;
4)
(у + Зх — 5)3 = C(y + 5i - 7)2, у + 5x — 7 = 0.
1)
1
4
(y - l)e* + - cosx3 + - = 0;
2)
3.
- arcsin — + ^1- (-^ = In |x| + C\
3)
^Ц = Сеь, x + 2/ + 3 = O;
x+y+3
In |i| + —e~* + e~^ = C;
4)
(y + x — 2)4 = C(y + Юх — ll)3, у + lOi —11 = 0.
1)
,3
. ,
23 ,
У =2 arcsm^ x + —
2)
((3s + y - I)2 + 1) e3^1^ = x + C;
2)
3)
5.
4)
(г/ + 4x — 10)2 = C(y + 3x - 8), 2/ + 3x — 8 = 0.
1)
3)
1 — ctg2/ = 2xcosx + (x2 — 2) sinx;
2
2y/y^^x + 1
2^y—x — In I y-i+l+^-il---- 2= arctg ——-=------- =
V3
v3
i
У
У
In |г| =
4)
(к + 6г- 9)2 = С(у + 5i — 8), у + 5г — 8 = 0.
1)
I3 -3 + 2^/(1 - у2)3 = 0;
^^ = Се*, i + y + 3 = 0;
2)
2)
3)
In |x| =---- Цт + С,
у
х;
2 cos2 —
4)
7.
1)
2)
3)
4)
(у + 2х — 6)5 = С(у + Зх — 5)4, у + Зх — 5 = 0.
4У(М=Зе-1-2;
1
Л tg (^ +1)
arctg----- )=----- “ = х + С\
уб
v2
In |х| = eV^ + (7, J, = 0;
(2/ + 3x — 8)3 = C(y + 2x — 4)2, у + 2i — 4 = 0.
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными и сводящиеся к ним
8.
1)
,
з
In3 у Н------ 3 = 0;
2)
2»-2<i+1) (In 2 (у - 2i) - 1) = iln2 2 + С;
3)
9.
4)
1)
а:3
arctg (2/ + 2) = — + 2i2 + 5i — 42;
2)
'2
У
= х + С. х + у = лт-—;
4
У
1)
2/ (In у — 1) = arctg (r + 4) - 1;
2)
—= arctg------ =
= i+O
Зч/io
5/16
in|i|4@3M-D+C;
4)
о \Х/ \ £ 3/
(2/ — 4m — 3)5 = C(y + Зт + 4)4, у + 3r + 4 = 0.
4)
1
и2 - 1
Is
2r3
« arctg
— = — - — + 10г;
О
ООО
2i + 2/ — In (el+B + 1) = C;
inM^amg^-lin/W + iW
x
x 2 \\x/
/
(y — 5x — 4)5 = C(y + 2r + 3)4, 3/ + 2;r + 3 = 0.
1)
3,/^Tl = г^ГЙ)2 - 10;
2)
^^ = C«‘. 1 + „ + 2 = 0;
x+y+2
\
1)
2)
3)
12.
я
4)
3)
11.
/х+у
1 ,
In |i| = — arccosх
х
(у-Зх- 9)5 = С (у + 7х + 6)4, у + 7х + 6 = 0.
3)
10.
+ Л = С;
+
11 4л4^ г 4/
(у + т - З)5 = С(у + 9i- II)4, у + 9z - 11 = 0.
3)
13.
4)
(у - m)e = C(y + 2x + 3)5, 2/ + 2m + 3 = 0.
1)
3 (2/ + 1) e~v = e*3 + 2;
2)
4)
3(m + 2/+l)3
In |r| = — arcctg - + ^ In f
+ 1^ + C;
x
x 2 \\x/
/
(у — Зх + 2)6 = C(y + 2т — 3)5, у + 2r — 3 = 0.
1)
2^= У(й+2/ + 3;
2)
3)
mH------------- = C, r + </ + 1 = 0;
2СГ + 2/+1)2
In |r| + ^ + C = 0, 2/ = 0;
4)
(y — m)6 = C(y + 4a: — 5)5, 2/ + 4m — 5 = 0.
3)
14.
33
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными и сводящиеся к ним
34
15.
1)
е~^ + 2с1 - 4 = 0;
(»t,tl)“sjtC| ,+!(+1=();
2)
16.
3)
1—п
1л III = th3 ^ + С;
4)
(у-2х- I)7 = С(у + 4а: + 5)®, у + 4z + 5 = 0.
1)
1
.у,------- г — С, х + у = пт;
2зтг(х + у)
2)
х+
3)
1)
^1 +
,
'2=^ V = ~x;
„
2 (i + у)
ch^ = C(z + 2).
i+2
'
'
е~у + arctg (i + 2) — 2 - = 0;
2)
l + (l + y + 1) e—C^+w) = C;
3)
In \x\ H---- - — = C, у = —x;
x+y
4)
17.
3 V^+T = У(х2 + 1)3 + 1;
4)
Z+4
z2 /
18.
1)
2)
3)
4)
19.
21.
^(2i + y+ l)3 - 2^2i + у + 1 =x + C, 2i + y + 1 = 0;
x3
bww=c' ,=":
Z ~г 1
3)
3 arcsin2 у + 2-^(1 — x2)3 = 0;
1
тг
x — :-----г;----- Гт = C, у + 2x = — + nm;
4соя*(у + 2х) *
2
’
3In |z| 4----- = C, 3y + i = 0;
4)
et&
1)
2)
20.
e2
у (Ln21/ — 2 In г/ + 2) = y lh2i-hi + -l + e-'4’
i + 3y
=C(z + 3).
2)
\
i +J
x+6 J
y3 + 3y = arctg3 a: + 3;
x + e~7x~y (2i + y + l) = C;
3)
^l1'^ П ctg11 — = С, у = irmx;
1)
4)
(y — i)’ = C(y + 7x + 8)7, у + 7i + 8 = 0.
1)
e^ +e~y = 2;
2)
^yl(j^+^x + 2^ - 2^y + 3г + 2 = x + C, у + 3a: + 2 = 0;
3)
1
v3 - ж3
h|i| = ^arctg-^-+C;
4)
l + sin^ = C(i-2).
x—2
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными и сводящиеся к ним
22.
23.
24.
1)
In2 у = 2 arctg (z2 — 3) + е2;
2)
з^ет = 1+С’ у + ^ = \ + ^
3)
In |i| = arctg У ^h С;
4)
1)
l-cos^| = C(i-2).
и—2
2\^i?!/ = 3arcsmr2 + 2-
2)
е'^^ = х +С, х + у = 0\
3)
2 In |i| = arctg------j------ 1- C;
4)
l + cOs^ = C(i + 5).
o; + 5
2y/tg*y = 3 arcsin a; + 2;
1)
2)
25.
3)
6 In |z| = arctg y
4)
1 - sin
x+3
=x + C;
+
by
Зя2
+ C;
= C(x + 3).
1)
e-^ + 4er = 9;
2)
^(x-D+v (y + 2l _ i) = x + C.
3)
ln|r| = tg4 - + C, у =
z;
X
\2
/
(у — 5x 4- 4)9 = C(y + 4т — 5)8, у 4- 4x — 5 = 0.
4)
35
§ 3. Уравнения в полных дифференциалах.
Интегрирующий множитель
Уравнение
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
(3.1)
называется уравнением в полных дифференциалах, если существует
функция и(х,у), для которой du(x,y) = M(x,y)dx 4- N(x,y}dy. Общий
интеграл уравнения (3.1) имеет вид
и(х,у) = С.
(3.2)
Везде в дальнейшем функции М(х, у) и N(x, у) будут непрерывно диф
ференцируемы, а уравнение (3.1) будет рассматриваться в односвязной об
ласти (либо в совокупности односвязных областей). В этом случае необходи
мым и достаточным условием того, чтобы уравнение (3.1) было уравнением
в полных дифференциалах, является выполнение тождества
дМ{х, у) = dN(x, у)
ду
~
дх
'
Задача решения уравнения в полных дифференциалах сводится к клас
сической задаче математического анализа о восстановлении функции двух
переменных по ее дифференциалу.
Пример 1. Решить уравнение
(2isiny 4- ys\ix)dx 4- (x2cosy 4- chi + 2)dy = 0.
Решение. Находим
дМ(х,у}
„
,
dN(x,y)
„
,
---- 1------ = 2т cos ?/ + sh т,
---- - ----- = 2т cos 2/ 4- sh т,
ду----------------------------------- дх
следовательно, тождество вида (3.3) справедливо. Теперь найдем функцию
и(х,у), для которой du(x,y) = (2т sin 2/ 4- 2/зЬт)</т 4- (т2 cos 3/ -Ь ch т -|- 2)d?/.
ч
ди(х,у) ,
ди(х,у} .
Поскольку du(x, у) = —s----- dx Ч------ - ----- dy, то
дх
ду
^^^ - 2Tsinv4-пзЬт
дх
- т2 cosu + chт
2
dy
Используя, например, первую из этих частных производных, получим
и(х,у) = У(2тsin2/ 4- yshx)dx = х2siny + у chx + ip(y),
36
J 3. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
37
где функция ф(у) подлежит определению. Найдем ее из равенства
—(х2 sin у + у ch х + ф(у)) = х2 cos у + ch х + 2.
оу
Имеем
х2 cos j/ + chi + ф'(у) = я2 cos у + ch х + 2,
откуда ^'(у) = 2, <р(у) = 2у (достаточно взять конкретную первообразную).
Итак,
и(х, у) = х2 sin у + у ch х + 2у,
и по формуле (3.2) можно записать ответ.
Ответ: х2 sin у + у ch х + 2у = С.
Пусть уравнение (3.1) не является уравнением в полных дифференциа
лах. Функция д = д(х, у) ^ 0, после умножения на которую уравнение (3.1)
становится уравнением в полных дифференциалах, называется интегри
рующим множителем этого уравнения. Использование интегрирующего
множителя позволяет решить уравнение. При этом необходимо следить ,
чтобы умножение на этот множитель не приводило к потере решений и по
явлению посторонних решений. Общего метода эффективного нахождения
интегрирующего множителя не существует. Укажем отдельные случаи:
9М(х,у) _ dN(x,y)
1. Предположим, что функция
----- ^— зависит лишь от х, обоN(x,y)
значим ее ^(х). В этом случае интегрирующий множитель может быть най
ден по формуле
ц = ae^x)dx,
где a — любая ненулевая постоянная (обычно полагают а = 1), а под
f ф(х) dx понимают любую конкретную первообразную функции ^(х). Ин
тегрирующий множитель, следовательно, будет функцией, зависящей лишь
от х.
Пример 2. Решить уравнение
(х2 cos(x + у) + y)dx + (х2 сов(х + у) — x)dy = 0.
Решение. Тождество вида (3.3) не выполняется. Вычислим
дМ(х,у) _ dN(x,y)
ду
дх
N(x,y)
_
X
38
§ 3. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
Следовательно, можно взять интегрирующий множитель в виде р,(х) =
-f-dx
=е Jх
1
ГТ
= —т. После умножения на него исходное уравнение примет вид
dy = 0.
(3-4)
Теперь тождество (3.3) будет выполняться, т. е. мы получили уравнение в
полных дифференциалах, и дальнейшее решение можно осуществить ана
логично примеру 1. Уравнению (3.4) можно также придать вид
cos(i + y)(dx 4- dy) 4-
= g,
из которого легко непосредственно усматривается, что левая часть уравнеУ
ния (3.4) есть дифференциал функции sin(i + у)----.
Заметим еще, что при умножении исходного уравнения на интегрирую
щий множитель теряется решение х = 0.
У
Ответ: sin(x + у)-----=
я = 0.
х
dM(xty)
dN(x,y)
2. Пусть функция —^
---- ^— зависит лишь от у, обозначим ее Му).
-М(х,у)
В этом случае
д = ае^^,
относительно а и J ф(х) dx можно сделать те же замечания, что и в преды
дущем случае. Здесь интегрирующий множитель оказывается функцией,
зависящей лишь от у.
Пример 3. Решить уравнение
1
\
/
XG^ \
—F е^ I dx 4- ( 2 4---------) dy = 0.
У
)
\
У /
(
Решение. Вычислим
dM(x,y) _ dN(x,y)
ду______ дх
_
-М(х,у)
1
у’
убедившись предварительно, что рассматриваемое уравнение не есть урав
нение в полных дифференциалах. Следовательно, интегрирующий множи
тель можно взять в виде
у, = р.(у) = aeJ у v = а\у\.
§ 3. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
39
Исходное уравнение определено в совокупности полуплоскостей у > 0 и
у < 0. В полуплоскости у > 0 удобно взять а = 1, а в полуплоскости у < О
а = — 1. Тогда для обеих полуплоскостей у(у) = у. После умножения на
этот множитель уравнение примет вид
(1 + уе^) dx + (2у + хеху) dy — О
и станет уравнением в полных дифференциалах. Дальнейшее решение осу
ществляется аналогично примеру 1.
Ответ: х + у2 + еху = С.
дМ(х,у) _ dN(x,y)
3. Пусть дробь
. ^ .---- -~—г есть функция от х + у, обозначим
N(x, у) — М(х, у)
ее ф(х + у). В этом случае интегрирующий множитель также может быть
представлен как функция от х + у:
р = ш(х + у),
(3.5)
ш^ае^*
(3.6)
где
(с прежними замечаниями относительно а и интеграла).
Пример 4. Решить уравнение
(tg(x + у) + х) dx + xdy = 0.
Решение. Вычислим
9М(х,у)
дЩх^
N(x,y) - М(х,у) = “tg^ +
Следовательно, здесь ф(1) = — tg 4. По формуле (3.6) получим
w(i) = ae~^tgtdt = а| cost|.
Используя формулу (3.5) и рассуждая относительно а и модуля аналогич
но предыдущему примеру, получим у, = cos(x + у). Умножая на этот ин
тегрирующий множитель исходное уравнение, приходим к равносильному
уравнению в полных дифференциалах
(sin(x + у) + х cos(x + у)) dx + х cos(x + y}dy = 0.
Дальнейшее решение осуществляется аналогично примеру 1.
Ответ: х sin(x + у) = С.
§ 3. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
40
Последний пример может быть решен другим методом. Перепишем ис
ходное уравнение в этом примере в виде
tg(x + y)dx + х d(x + j) = 0.
В результате получится уравнение, которое может быть решено как урав
нение с разделяющимися переменными х + у и х.
Задания
Решите уравнения, проверив предварительно, являются ли они уравне
ниями в полных дифференциалах. Если необходимо, подберите интегриру
ющий множитель вида у, = р,(х), у, = у(у) либо у = у(х + у).
1.
1)
(2z cos х2 + cos у2) dx — 2ху sin y2dy = 0;
f У
\ ,
finx
\ ,
2)------ 1- sin у I dx 4- (------ h cos у I dy = 0;
\xex
/
ye1
/
x
,
fxch(xy)
x\ ,
ch (xy) + -=]dx+ I----------------- ; I dy = 0;
У )
\
У
У/
4) sin ydx+ (cos y(x + y) In (x + y) + sin y) dy = 0.
2.
1)
\2xyexi + chy2j dx + ^e®2 + 2xyshy2) dy = 0;
2)
(2exx sin у — cos y) dx + (e^x2 cos у — sin y) dy = 0;
xy ch (xy)-----) dy = 0;
У/
\
ч
П
I
/
(^(x + y) y\
/21n(x + y)
\ x+y
X)
\ x+y
I fl од
\
f X
11
—- + 2,/y ] dx+ [ — + — dy = 0;
ex
/
уУ /
\
J
(
3)
(у3 ch (xy) + y) dx + (xy2 ch (xy) — x) dy = 0;
/(1+йМцй+41и+и11Л!,=(|
\
ch x
J
§ 3. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
1)
(е^у10 + ^хте ') dx + (Юе^у9 + iees) dy = 0;
2)
(2Jyex
Л
/ „ еЧпаЛ
I
-------- у3} dx + I Зу2 Ч------- — I dy — 0;
\ 1
/
\
у/У J
3)
2i Ч----- уз—г da; Ч- - I а; Ч------ 77—г I dy = 0;
cosz (ху)/
у \
COS2 (ху) /
4)
1) 2 х arcsin у Ч—,
^Л-у3
\
yl —а;4
(sh
у
—
е~
2х
ch
у)
dx
Ч(ch
у
Че~
2х sh у) dy = 0;
2)
6.
3)
У + —ГТ—; di Ч- 2J4------- 77—7 dy = 0;
COS'2 (ху) /
\
у COS'2 (ху) /
4)
(а; Ч-у) In (а; Ч-у)
\ ,
------- ------- z------ - Ч- arctg г ) da; Ч- arctg xdy = 0.
1)
2)
3)
4)
(cosy3 4- 2xycosx2') dx 4- (sina;2 — 3xy2siny3) dy = 0;
thy
у \ , /1
lna;\ ,
—- 4- -7 ) da; 4- l —5— 4----- I dy
= 0;
x
XхJ
\ch у
x J
y2siny\
/y2cosy
\
У-------- ;—da; 4------------------ a;dy = 0;
x
J
\ x
J
I + x)dx + (e~x~v + x)dy = 0.
7.
2)
x2
\
—5—I- a; In a; dy = 0;
ch у
J
I y2 cos (ху) 4— I dx 4- I xy cos (xy)-----7 ) dy = 0;
\
У/
\
У J
4) x(2 + x)dx + (2ye~x~v 4- a;2) dy = 0.
3)
8.
1)
2)
3)
4)
(— cos In a; 4- In cos у) dx 4- ( sin In a; — ^^ \ dy = 0;
\
cos у J
COS X cos у
(sin x sin у \ ,
2xy------------- I dy = 0;
x
/
9
/ \ 2r\
(У3
xy cos (xy)------ I dy = 0;
У /
v + x) dy = 0.
41
§3. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
42
9.
1)
(4х3 + бху3 + 7у5) dx + (9х2у2 4- 35ху4) dy = 0;
2)
^4х2у + K^^l^ dx + (х3 + ch(xj/)) dy = 0;
XG^
\
------- F 2i di/ = 0;
У
/
(^+v
\
---------I dj/ = 0.
У---- /
2arccosv\ ,
2uarccosi ,
arccos2 х------ ==^ dy---dr. = 0;
(
2)
I 4xy 4- -—5— ]dx+ (i2 4-----------dj/ = 0;
\
x2 /
\
x /
I------ Fl Ur4- —5-4----- )dy — 0-,
\ У
J
\ У2
У /
4) (1 — x)dx 4- (ex+v cosy — x^dy = 0.
3)
11. 1) tex2dy 4- ( —5—г — sinxe008® jdar = O;
icosj
cos?A ,
/xsinx
.
---------------- ) dx - I —5----- 1- sm у I dy = 0;
У
x J
\ У
J
ysiny\ ,
S'у cos у x\ ,
1Ur 4- - --- - - - dy = 0;
xz J
\
У/
(1 — x)dx + (ex+2y — x)dy = 0.
(
(
4)
12. 1)
2)
3)
4)
13. 1)
(ch y2 4- 2xy cos x2)dx+ (2xy sh y2 4- sin x2) dy = 0]
1 siniA ,
f cosy ilni\ ,
--------- rU+M-------r d^O;
(
(y2smy
. \
/
y2cosy\
(-----5----- I- ?/ sin x I dx 4- I cos x-------------I dy = 0;
\ x2
/
\
x /
(e2x+y — y)dx 4- (1 - y)dy = 0.
/
i/2
\
/
x
\
(--------- 5---- h tglni/)dx 4- ( 2j/lntgx 4------- 5-:—)dy = 0;
\tgxcos2x
/
\
у cos2 In у/
sint/ xsinx\ ,
f xcosx
\ ,
—- 4--------- dx 4- ---- 5------ cos j/ dy = 0;
x
У J
\ У
/
(
4)
(1 4- x)dx 4- (x — e x 2y)dy = 0.
§ 3. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
14. 1)
2)
(За;2 4- 12гу3) dx + (18i2j/2 4- 8у7) dy = 0;
X COS X
------------- cos у
У
у In у cos a; к
\ ,
I X Sin X
.
\ ,
] dx — \------=----- 1- x sin у ] dy = 0;
J
\ У2
/
,
/sin a;
1\ ,
И1 + H--------dy = °;
3)
(
4)
(1 + x)dx + (x + 2yey2~v~xJ dy = 0.
15. 1)
2)
3)
4)
16. 1)
2uarctgi
1+x2
(
у
к.
^i^yj
/
к
n
x
к .
A^Ay}2)
f xcosx
ук ,
/
rsinr\ ,
I-------------- di + 1---------- ;— du = 0;
к У
^J
к
У J
fysiny
. к .
/cosa: у cos у к ,
I —A + sin x ) dx + I------------------- dy = 0;
у ar
/
к У
a; /
(1 + 2a;) dx + 2 (x - e-2^4^) dy = 0.
(ctgr2 — я; cos 1/евшн) dy — Itt^
2)
3)
4)
17. 1)
2)
3)
(1 + i — e 2^l+^) dx + (x — e 2^) dy =.0.
3 (i2 sh y3 + x2y2 sh x3) dx 4- (3a:3y2 ch y3 + 2y ch a;3) dy = 0;
(
2y\
/
1\
I xy cos {xy}-----г da: + a:2 cos {xy} 4— dy = 0;
y2
A
—=--- 1- у In у I dx + {y th x + x}dy = 0;
ch a:
j
4)
18. 1)
2)
3)
4)
43
f2xycosx2 , к ,
—:—г--- Ь In у ] dx 4\ sin ar
j
. о
,
In sin ar 4— ay = 0;
\
уJ
x2y cos {xy} —
sina;sinyk ,
/ , cosx cos у к ,
2xy-------------- — da; 4- 2a;2 4------------ - dy = 0;
У
/
к
У
J
(1 4- x — ye 2^+^) da; 4- (a; 4- e 2(l+y) — ye 2(l+w)) dy = 0.
(
„
44
§3. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
19. 1) 5 (х4 + 2ху8) dx + 4 (10х2у7 4- у3) dy = 0;
3)
------- I- 2у I dx 4- (е^ + x)dy = 0;
х
J
(j/3 + ch (xy)) dx 4- ^4ху2 + Х ^^j dy = 0;
4)
(e2^ + xe2(x+*) — y) dx + {xe^-1^ + 1 — y) dy = 0.
20. 1)
2)
I ------- ; + 2iarctgu di+ arctgi + -------j I dy = 0;
V+z
/
\
^+y /
(^+^+(^+1)^=0;
3)
L«&+L,+i^k=Oi
4)
\
У J
\
У2
)
(1 4- у cos xe~x~y) dx 4- (1 4- smie-®-®) dy — 0.
x2 — xsinye^^ dy = 0;
21. 1)
dy = 0;
2)
3)
f in у
\ ,
Iх
Л
------ F cos x dx 4------- F sin x dy = 0;
\ey
J
\yey
J
4) у ((x + y) In (x 4- y) 4- x) dx 4- x ((x 4- y) In (x 4- y) 4- y) dy = 0.
22. 1)
2)
3)
(eehv + уcosie™1) dx + (e™1 -t- xchye811’) dy = 0;
X/
\
,
/ 2 +xcos
+ ycos(xy)\
у----- \_y± ]dx+
-----x+y J
\
x4
4)
23. 1)
2)
3)
4)
'
(eyy2 cos x — sin a:) dx + (2eyy sin x — cos x) dy = 0;
dy = 0.
L
n
3l+2 dy = 0;
: ■" 4- Iny ) dx 4- (In (3x 4-------~r
J
\
У J
(x2y ch (xy) — y) dx + (x3 ch (xy) + x) dy — 0;
OX
y
14,
/Inx „ Д ,
---- 1—t= I dx 4- I------ 1- 2di I dy = 0;
eyx
y/x J
\ ey
v у «
\
(
xc^ \
3 + t------- ^ I dx 4- I 3 4- -------- ^ j dy = 0.
(x + yfj
\
{x + y)2J
(
§ 3. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
24. 1) 6 (х5 + 2ху^ dx + (ба:2 + 5у4) dy = 0;
ч у /
1
\
/
1
А
2) -\У + —2~(—\ ]dx+[2y + —г—- dy = 0;
X \
cos2 [ху) /
\
cos2 [ху) /
о eslny\ j
(2Jx^
Л .
3) I Зт2 4----- т=- ] dx + [----------- i3 dy = 0;
\
Vх J
\ У
/
' ( ,
,
\
ч
хеху \
4)
3 г + у Н--------- ] dx+ 3 а + у) d---------- dy = 0.
\
х + у)
\
x + yj
arctgy+—;—■—тт di+ —7+----- -------- -2 dy = 0;
l + (i + y)2/
\l + y2 i + (x + yyj
2)
3)
2У +------2/—V dl + p + —27—V )dy = 0;
\
x cos2 [xy) /
\
cos2 [xy) J
(ch x + e~2y sh x) dx + (sh x — e~2y ch 1) dy = 0;
4) ydx + ((x + y) In (x + y) + y) dy = 0.
Ответы
1. 1) sin x2 + x cos у2 = C;
2. 1) yex2 + xchy2 = C-,
2) у In x + e1 sin у = C;
2) x2siny + e~x cosy = C;
3) sh(xy) + - = C;
У
4) sin у ln(i + у) = C.
3) sh(xy) + - = C;
У
4) lnxln(x + y) = C.
3. 1) In2 (x + у) + у In x = C\
4. 1) exyw + x‘ev = C-,
2) x\ny + 2exy/y = C\
2) y3e~x + 2y/ylnx = C;
3) sh(xy) + - = C, у = 0',
У
4) th x ln(x + y) = C.
3) x2y + tg(xy) = С,
у / 0;
4) i/x\n(x+ y) = C,
I / 0.
5. 1) i2arcsiny+yarcsini2 = C;
6. 1) xcosy3 + ysinx2 = (7;
2) e1 shy + e-1 ch у = C;
2) xthy + ylnx = C;
3) xy2 + tg(xy) = C, y^O;
4) arctg x ln(x + у) = C.
7. 1) xeyl + x2 shy = C\
x siny
_
3) - +---- - = С, у = 0;
У
x
4) у + xex+v = С.
8. 1) у sin In x + x In cos у = C;
2) xthy + ylnx = C;
2) x2y2+sinicosy=C, i/O;
3) sin(xy) + ^ = C;
3) sin(xy) + ^=C;
4) y2 + x2ex+v = C.
4) y3 + xex+v = C.
45
46
§ 3. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
9. 1) х4 + Зу3!2 + 7уьх = С;
10. 1) g/arccoe2x + sxccos2g/ = C;
2) х4у + sh(xg/) = С, х / 0;
2) x4y + sh(xg/) = C, x / 0;
3) е®> + х^ = С, g//0;
3) ecy + xy2 = C, g// 0;
4) In \у\ + xe~x~v = С.
4) sing/ + xe~x~y = C.
11. 1) e“I + !/tgi2 = C;
^+C08j = c.
У
х
з) * + ™У=С-,
У
X
4) еу + хе~х~у = С.
13. 1) j/’htgi + xtglnу = С\
sinj/ + co^ = C;
X
у
sing/ Ьх
4) e~v + xex+v = С.
15. 1) g/arctg2x+arcsin(xg/)=C;
2) Ц^ = С;
х
у
8ing/ + CO^
X
у
4) е-^ + хе2(х+у^ = С.
17. 1) х3 sh g/3 + g/2 ch x3 = С;
2) sin(xg/) + Jj = С;
12. 1) xchg/2 + g/sinx2 = C;
2)
sing/
Inx
’
cosx + sing/=C]
У
x
4) tf + ye~z-y = C.
14. 1) x3 + бх2!/3 + g/8 = C;
8inX + COSg/
У
sinx
i=0,
x
Ing/
4) е^+1е®+“ = С.
16. 1) yctgx2 — xe^11 = C;
2) У + ^=С, x=0;
x
у
3) g/thx + xlng/= C;
4) e~x~y + xex+y = C.
18. 1) g/lnsina;2 + xlng/ = C;
3) g/thx + xlng/= С;
2) sin(xg/) + 4 = C;
x
3) x2g/2+cosxsing/ = C, g//0;
4) е~х~у + xex+y = С.
4) xex+y + уе~х~у = C.
19. 1) хв + 5x2g/® + у4 = С\
20. 1) g/arctga: + x2arctgg/= (7;
2) е®* + х2у = С, х ^ 0;
2) ^ + x2y = C, x/0;
3) ху4 + sh(xg/) =С, g/ / 0;
3) xy4 + sh(xg/) = C, g/ / 0;
4) xex+v + ye~x~v = С.
4) e®+B + g/sinx = C.
21. 1) ie“» + !/tgi2 = C;
22. 1) ye^ + x^y = C-,
2) sh(xg/) + - = C;
X
3) xlng/ + eysinx = C;
2) sh(xg/) + - = C;
X
3) y2 sin x + e~v cos x = C;
4) xg/ln(x + g/) = C.
4) (x + y)2 + sin(ig/) = C.
§ 3. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
23. l)j/ln(3x+2)+(3z+2)lnj/ = C;
24. 1) xe + 6х2у + у5 = С;
2) ху2 4- ^{ху) = С, i/O;
2) sh(ij/) + - = С, 1 = 0;
х
3) ylnx + 2evy/x = С;
3) iV’ + 2/ilnj = C;
4) (х + у)3 + е^ = С.
4) (i + у)3 + е1® = С.
25. 1) arctg(i+j/)+iarctgi/=C;
2) х2у + tg(ij) = С, I/O;
3) e’shi + e_#chi = (7;
4) yln(i + j/) = С.
47
§ 4. Линейные уравнения 1-го порядка и уравнения,
сводящиеся к ним
Линейное уравнение 1-го порядка имеет вид
У' + Р(?)у = f(x).
(4-1)
Решение однородного (f(x) = 0) уравнения (4.1) дается формулой
y = Ce~fpMdx,
где под интегралом достаточно понимать любую первообразную.
Для решения неоднородного (f(x) ^ 0) уравнения (4.1) можно приме
нять, например, метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоян
ной), который состоит в том, что решение неоднородного уравнения ищется
в виде
y = C(x)e~^dx,
(4.2)
где С(х) есть функция, подлежащая определению. Функция C(i) находит
ся после непосредственной подстановки выражения для у по формуле (4.2) в
исходное уравнение. При интегрировании в процессе нахождения функции
С(х) следует брать произвольную аддитивную постоянную, тогда формула
(4.2) даст все решения неоднородного уравнения (4.1).
у
Пример 1. Решить уравнение у1 = —= -I----- 5—.
cos2 х
Решение. Запишем решение соответствующего однородного уравне
ния:
у = Се}^ = Се^.
Затем решение исходного уравнения ищем в виде у = С(т)е^®. Подстав
ляя это выражение в уравнение, получаем
С'(х)е^ +
С[х)ё^ _ С^е^
2у/х
2у/х
е^
cos2 я:’
откуда С'{х) = ——, С(х) = tgj 4- Cv
COS X
Ответ: у = (tgi + С^е^.
Уравнение, не имеющее вида (4.1), может стать линейным, если в нем
поменять ролями переменные i и у, т. е. расценивать х как функцию у.
48
§ 4. Линейные уравнения 1-го порядка и уравнения, сводящиеся к ним
49
Пример 2. Решить уравнение y3dx + (1 — ху) dy = 0.
Решение. Придадим уравнению вид
dxх 2 1+„ “з =
dy---- у2 у3
0
(при этом теряется решение у = 0). Получаем линейное уравнение относи
тельно неизвестной функции х = х^у). Для соответствующего однородного
уравнения
-1
х = CeJ Vs = Се у.
Решение неоднородного уравнения ищем в виде х = С(у)е у. После
I
подстановки этого выражения в уравнение получаем С (у) = —еУ/у3, от
куда
С (у) = ~
J У
dy = ev [ - + Сг
\У
J
1
Ответ: х =---- 1 + С}е у, у = 0.
У
Уравнение Бернулли
у' + Р&)у = f(x)ya,
где а € R а^ 0, а^ 1, сводится к линейному заменой z = у1^.
Пример 3. Решить уравнение у' + 2у + 2y^sini = 0.
,з
1
Решение. Здесь a = 3/2. После замены z = у 2 = -— (при этом
теряется решение у = 0) исходное уравнение приобретает вид
/ = z + sinz.
Решая это линейное уравнение, получаем
1 ■
1
z = С е — - sin х — - cos х
2
2
и возвращаемся к исходной функции.
Ответ:
у/У
= Сех - -sini - - cosх, у = 0.
2
2
’ У
50
§ 4. Линейные уравнения 1-го порядка и уравнения, сводящиеся к ним
Уравнение Риккати
У' + Р&)у + q(x}y2 = f(x)
в случае, если известно его некоторое частное решение уч, может быть све
дено к уравнению Бернулли заменой у — z+y4. Общего метода нахождения
уч не существует. Например, для уравнения
I +-I
аУ + by
1 12 = ^,
с
у'
X
х2
где а, о, с Е К, частное решение можно попытаться найти в виде у„ — —,
где к ER.
. 2у
,52
Пример 4. Решить уравнение у Л------ 1- Зу^ = —^.
X
X*
Решение. Если искать частное решение в виде у, = -, то получим
х
к
2к
Зк2
52
х2
Это приводит для нахождения числа к к квадратному уравнению 3fc2+
+к — 52 = 0, имеющему корни кг = 4 и к2 = —-. Следовательно, исход4 3
13 п
ное уравнение имеет частные решения у^ = — и у2 = ——. Оставляем,
например, первое из этих частных решений (второе отбрасываем). После
4
замены у = гЛ— исходное уравнение сводится к уравнению Бернулли
х
. 26z
z -I-------- 1- 3z — 0.
x
Решая уравнение Бернулли аналогично предыдущему примеру, получим
- = - ~ + Ci26,
z
25
z = 0.
„
4
Делая обратную замену z = у-----и несложные преобразования, получим
х
решение исходного уравнения.
Л
4Сх25 +13
4
Ответ: у = „ „е—— , У = ~
у
Сх26 - Зх
х
§ 4. Линейные уравнения 1-го порядка и уравнения, сводящиеся к ним
Задания
Решите уравнения или задачи Коши:
1-
у
____
1
1) у1 + - = Vx-l, у(2) = —;
X
ю
2) (cos5 у ~ х ctg у) dy — dx-,
3) 21/1/+
2.
3-
= 1;
ilni
4) Л- + 5г/ = ^.
X х*
1) у' - - = х2у/х 4-1, у(3) = 0;
X
2) (sin у — х cos4 у} dy = sin у cos3 ydx;
3) - - 99i/ = 102(iy)100;
X
, » 5
«9
4) У----- У + ^У = —jX----- X*
4 ^db"312' »w = 1+^
2) ydx= (y/y - 1 - 2x) dy;
4.
3) 3^ + ^ = ^;
X
X
4) у' + ~~y2 + ^ = 0x
1) у' = у thx + 4 ch2 ish3i,
y(0) = 1;
2) (sin2 у — 2x cos y} dy = sin у dx;
3) 3y2y' +
4)
— = i2;
xlnx
+
5- 11 ^(и/ш,/"1821' »(1) =
| ——----- ?/10 I dy dx = 0;
\J/lny
/
.
cthx y’„ ,
3)------------- - = 2chi;
У
У*
4) у' + ^ + Зу2^.
X
2)
тг1п2
8
51
§ 4. Линейные уравнения 1-го порядка и уравнения, сводящиеся к ним
52
6.
1) у' + — = хех, j/(l) = 2ch 1;
X
( х
\
2) 1;------- 1 dy + ydx = 0;
\1пу
/
3) 2уу' + У2 tg I = cos3 х;
4)
7-
у>+У+2у1 = ^.
X
X2
, У
к
1) У-----= larcsmi, у - = —;
у
х----------------- ’ у\2/
24’
2) ydx= (ychy — 2x)dy;
3)
- - 7т/ = 10(zy)8;
X
7
8.
2
„ ,
2
4) т/ + -у + Зу2 = —2X
X*
у'
=
ythx
+
10ch
2 xsh9 х,
1)
2)
(2у — V)dx— (у100 — 4х) dy,
3)
х
ху
,
9
12
4) tf + y =л-
9.
у(0) = 1;
’
1) у' +
-Ini, j/(e)-O;
ж In I
2) ydx + (2x — yev) dy = 0;
3) 4y3y' + yitgx = sin3 x cos2 x\
. 3j/ „ 2
16
4) j/ + “ + 3j/2 = —JX
10.
1) У1 +
----- 1— = cos31 arcctg x,
(1 + ar) arcctgi
2) У
^^2-2x'
3) Sy2!/ + if cth x — x',
, 2w „ ,
3
4) ^ + ^ + 2у2 = -^.
X
X*
y(0) = 1;
§ 4. Линейные уравнения 1-го порядка и уравнения, сводящиеся к ним
11. 1) !/'+- = lnj, у(1) = 0;
х
2) у dx — (yshy — 2х) dy,
3)
X
- 15у'= 18Ы16;
4) У1 + Зу2 =
12. 1) у1 ~ — = x2shx,
х
е
2) dx = ( -.---------------------- Fl/] dy,
\(H-J/2)arcctgy
у2 yxlnx
’
4) у' + ~ + у2 = ^X
13
^’^
2^ dX
^
(1 + y2)arctgy)dy'
, У
arcsini
3y' + - =------ 2-;
х
xy*
4) у’ - — -3y2 + ^ = 0.
Xх
14. 1) у’ + у tg х = 5 cos2 х sin4 х,
з
у(0) = 1;
1------------- I dy,
arcsm у 1
3) Ьу^у' + —— = х5-,
zlni
4) у'-^-Зу2 = 1
15- 1) У’ =
г
---------- g---- :— + arcsin2x,
Vl-r arcsmi
2) sh2 ydx = (cth у - х) dy,
3) ЮА' + — = 12я10;
X
94
4) у' + Зу2^.
у (\4 J
53
54
§ 4. Линейные уравнения 1-го порядка и уравнения, сводящиеся к ним
16. 1) y' + - = arctgx, у(1) =
х
4
2) Зу2(у3 - х)з/ = 1;
3) ytgx-2y' =------ ;
cos®
4) У + — + y2 = ~X
xz
17. 1) y' — — = 3i31dj,
x
3/(1) = 1;
2) \/l -y2dx= (14dy,
\
arccosy/
3) 10y9y' + y10 cth ® = 11 ch10 x;
..
, 3y
,
12
4) У -~ + У =^X
X
18. 1) у'+ у tgx = cosxlnx,
у(1) = 0;
2) (1 + у2) dx = fl
) dy\
\
arctg у/
у
y2arccosx
з) --у = —“—;
X
X
z 4y
2 40
4) >’ + 7 + >, = ?
19- ^ ^+^^ = ^^’ y^ = 0’
2) 2y(y2 -x)dy = dx3) у tg x — Sy' = y4 sin5 x cos2 x;
4) y' + — + 2y2 = ^.
X
X*
20. 1) y' + - = chx, y(l) = 0;
x
2) dx = (sin(2y) — x sin y) dy,
3) 53/ + -^-=
xlnx
\y J
4) y' -~ + 9y2 - ^.
x
§4. Линейные уравнения 1-го порядка и уравнения, сводящиеся к ним
21. 1) у' А—------ ------------ = 2iarccosi,
у1 - г arccosa:
2) dx = (sin(2j/) + х cos у} dy,
у(0) = 1;
3) 2yy' + y2ctha: = 1;
4) y' + — - I/2 + ^ = 0.
x
22. 1) y'+ ytgx = cos2 xeBmx,
y(0) = 1;
2) У' =----x + 2ye^
3) 4y3y' + — = 8a;6;
x
I ^У
2 42
I
23. i) y' +
= ^-,
(l + rjarctgi
arctgi
2) cos2 у dx = (tgy — x) dy,
3) — — V = У2 arctg x;
x
4) y' - — + 2y2 +
x
=
24. 1) y'-- = 2xe2x, y^) = 0;
x
2) 5y4(y5 - x)^ = 1;
, , y3 COS X
3) ytgx-4y = —^—;
sin x
, Uy
2
24
4) y' + — + y2 = —X
X*
25.
1) y' A—— = 2i In x,
x Ina;
e
v
(e
v
— x)y' = 1;
2)
3)
4)
ctha;
2y'
2
--- 5-------- T = Зсп X,
'
^У
1 2
50
y(e) = 0;
«W-1;
7Г
55
§ 4. Линейные уравнения 1-го порядка, и уравнения, светящиеся к ним
56
Ответы
1)
У = ^ (3^/^~^ + 5'^" 7);
С — cos6у
с sin
' 2/ ’
6
2)
^=
3)
У =------- Ь;
4)
ЗСх28 + 13
У~ Сх™-5х'
1)
2)
,
ilni — х + С
3
У~ х'
У=^ (3^*^ - 5-/(х + I)3 - 5б);
J\ 1
х=1------ ^ + С ----- ,
\2 cos2у
J sin у
4)
4 = ж101 + —, у = 0;
Vя
х
С + 2?
1
У~ Сх^з?' У~х
1)
У
3)
2)
3)
*=
а
Х
лт
у=—:
2
1
lux’
13
31м
V^P + ;yFi? + cl 4
у3 = arctg I —
2x
In (x2 + 1) + —;
x
4)
1)
.
>
5.
y = chi(sh4x+l);
x=
cos3 у — 3cosy + C
3^
’
3>
, 3x3 Inx — x3 + C
^-—te—■
4)
5xB - 2C
^-Сх + гх10’
1)
2
x'
у = aretgx (xarctgi — ^ln(x2 + 1)
2)
I=
3)
1
у
4)
У~
/ S/11,
г/11
11^-121
sh2 x + C
shx ’
2(Cx12 + 1)
У~ Cx^-x
2
y=X
§4. Линейные уравнения 1-го порядка и уравнения, сводящиеся к ним
6.
3)
е
1
у = хех — 2ех + 2---- 1----- ;
х
хе
1п2у + С
х=
21пу
/1 . „
1
Д
У2 = I - sm2j + -I + С I cos а:;
4)
У=
1)
у = х2 arcsin х + i^l — х2 —
1)
2)
2)
4
У=~
х
Сх17 — х
х = (y2shy-2ychy + 2shy + C)^,
4)
-7=i’ + - У = 0;
У7
х
2з?-С
1
У~ Cx + W У = ~х
1)
у = chi(shl0i + 1);
2)
х = (—у102у101 +
\5Г
ЮГ
3)
2
2т arcctg I + In (? + 1) + С
У =
й
’
4)
4Ст7 + 3
У=С^'
1)
.
п
2т — е
1/ = ilnx - 2i Н—;----- ;
3)
8.
4(Cj16 + 1)
2)
3)
1)
т——,
J (2у-1)2’
У=
" 2’
4
У=х-
i = (ev(y2 - 2y + 2) + C)i
У2
.
/ sin4 x
Л
у = cos x I--------- FC;
\ 4
/
2(CxM + 4)
У “ Ci15 - Зт ’
10.
у = 0;
у = 0;
2
У~х'
/21.3
. \
j/ = I---- -- sm т + sm я ) arcctg
2)
3
3)
ichz-shi + C
^ =---------shi
i----------- 5
4)
C? + 3
У~Сх6-2х'
,
1
У~х'
J yl
57
§4. Линейные уравнения 1-го порядка и уравнения, свсдящиеся к ним
58
И.
1)
2)
3)
12.
13.
14.
15.
ilnx
2
"
X
4
1
4а:’
х = (y2chy - 2yshy + 2chj + С)^,
У
У16
= а:17 + —,
х
у = 0;
у = 0;
2
У~х'
4)
2Сх11 +5
У~Сх12-Зх’
1)
y = x2chx — xehx;
2)
2а: = у2 + 1 +
3)
1
у
/ о;4 In а:
\ 4
4)
*=
2(Сх4 + 1)
С^-х ’
1)
у-
In Ihil — 1
1ПХ
1
2)
х= (yarctgy-iln(y2 +1)+ С) —^—;
\
2
/ arctg у
3)
, о: arcsin а: + у/1 — х2 + С
У =
х
’
4)
(7 + 2а;9
У~Сх-х10’
1)
у = cosx (sin6а: + 1);
2)
arcsin3 у+ С
3 arcsm у
arcctgj/
Д 1
/ шх
а:4
16
2
У=х'
1
У~х'
а:6 Л
1\
С
— hl“ с + i—5
6mx \
6/
3)
в
У =
4)
У~
1)
у = arcsin а: 1 о: arcsin х + vl — х2---- — 1;
2)
х = cth з/ -Ь 1 + Certhv;
Ci + 2
Сх2 + 3х’
1
х'
У
ую = ,11 + £.
3)
4)
X
3Cxv + 8
У~Сх1в-Зх'
У
3
х'
§ 4. Линейные уравнения 1-го порядка и уравнения, сводящиеся к ним
16.
1)
„
arctg г + 1
2у = a; arctg а: 4------------------- 1;
х
2)
х = у3 — 1 + Се^;
3)
17.
18.
У = 0;
7
У=х
У=
1)
i,
х4 4х
у = х4]пх-— + —-,
2)
X=
3)
у10 =
С — arccos2 у
2arccosу ’
у = -1;
ch11 х + С
sha:
6? - 2С
Сх 4- х9 ’
2
У = ~х
4)
У
1)
у = cos a: (a: In а: — а: + 1);
2)
а: =
а
Д
1
- arctg’ у + С] ——5-;
\4
/ arctg3 у
1
х arccos х — ^1 — х2 + С
х
V
4)
5Сх13 4- 8
У~ Сх^-х’
1)
у = In х- -—;
ma:
2)
х = уi2-l + Ce->’;
1 2
3)
20.
7Сх15 + 8
Сх16 — х
4)
3)
19.
-^ = (tgx + C)cosi,
1
У3
5
У~ х
4
/ sin6 х _\
I —г---- h С cosx,
у
6
у
4)
4Ci22 + 7
У~ Сх23-!
1)
,
ch а:
1
j/ = shr---------- 1----- ;
х
хе
2)
х = 2 cos у 4-2 4- Се"*9-,
3)
у5 =
4)
_ ЗСх52 + 25
У~ Сх^-Эх’
4
У=х
3
У=х
у = 0;
У = 0;
59
§ 4. Линейные уравнения 1-го порядка и уравнения, сводящиеся к ним
60
21.
1)
2)
22.
/ 2 2\
у = 1 х + — ) arccos х;
\ /
х = Се*” - 2 sin;/ - 2;
3)
,
chi+ С
У -------ЭПТ
^-------- 5
4)
8С + 5х13
У~ Сх-х14'
1)
у = соей™1;
2)
х = (2е^ + С),/у,
3)
у4 = х7 + —;
X
4)
2Cxa + 21
У~ Сх^-х ’
1)
У
2)
1 = tg!/ — 1 + Ce-tgK;
3)
1
У
4)
С+ 3х4
У~Сх + х5’
1)
у = х^е21 — е2);
2)
i = j^-H Се~^-,
4
23.
24.
у = 0~,
с
2
У~ х'
arctgх’
(х2 + 1) arctgx — х + С
2х
1
У~х'
4)
4 = (С — ctgi) cosr, у = 0;
Г
2Сх14 + 12
2
У~ Сх^-х ’ У~х-
1)
х2 — е2
^ = ^-1)+ 21nj;
2)
х = еу — 1 + Се^;
3)
1 _ ch3 х + С
у2
sh I ’
4)
5Сх2Б + 10
V = Схж — Зх >
3)
25.
7
8
У~ х
5
У=~х
’
§ 5. Уравнения 1-го порядка,
не разрешенные относительно производной
Пусть уравнение
F(x,y,y') = O
(5.1)
нельзя разрешить относительно у1. Укажем отдельные случаи, когда его ре
шение может быть построено в квадратурах. Эти случаи характеризуются
тем, что уравнение записывается с помощью вспомогательного параметра
и его решение получается, как правило, в параметрическом виде. Так, как
указано ниже, бывает целесообразно решать уравнение (5.1), даже если его
можно разрешить относительно у7, однако такое разрешение связано с гро
моздкими выкладками либо с затруднениями при последующем решении.
1. Уравнение вида
*=Ш
(5-2)
называется неполным уравнением, разрешенным относительно х.
Его следует записать в параметрическом виде:
У,=Р,
^ = f(p)-
Далее из соотношения dy = у1 dx получим dy = pf(p) dp, следовательно,
у = f Pf'(p) dp+C, что вместе со вторым соотношением в (5.3) даст решение
уравнения (5.2) в параметрическом виде.
Пример 1. Решить уравнение
х = sin у' + cosy'.
Решение. Запишем уравнение в параметрическом виде
\^^Р,
\ х = sinр + cosp.
Далее получим
dy = у' dx — p(cosp — sinp) dp,
У = Jp(cosp — sinp) dp = p(sinp + cosp) + cosp — sinp + C.
x = sinp + cosp,
у = p(sinp + cosp) + cosp — sinp + C.
{
61
62
$ 5. Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной
2. Аналогично решается неполное уравнение
У = /(1/'),
(5-4)
разрешенное относительно у. Записав его в параметрическом виде
у' = Р,
У = ftp),
из соотношения dy - у' dx найдем dx = ^ = ^^ dp, откуда, х — J ^^ dp +
+ С, что вместе со вторым соотношением в (5.5) даст решение уравнения
(5.4) в параметрическом виде. (Следует проверять также, не потеряны ли
решения вида у = const.)
Пример 2. Решить уравнение
у = (у')2^Решение. Запишем уравнение в параметрическом виде
\^=Р,
[у = р2ер.
Далее получим
dx = ^ = (р + 2)&dp,
х = j (р + 2)tF dp = (р + 1)е? + С.
Из решений вида у = const потеряно, очевидно, решение у = 0.
Ответ: ( х = (р + l)^ + С,
{у = р2ер-,
У = 03. Пусть уравнение (5.1) можно разрешить относительно х:
x = f(y,y')-
(5.6)
Запишем его с помощью параметра
( У1 =Р,
b = f(y,P)-
(5-7)
Подставим в правую часть соотношения dy = у' dx выражение через пара
метр:
df ,
df
dy = p ’a~dy + -£dy
op
§ 5. Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной
63
Это дает для нахождения функции у = у(р) уравнение
(рЦ- -l)dy +
dp = 0,
\ оу
J
Ор
(5.8)
разрешенное относительно производной. Если уравнение (5.8) допускает ре
шение
^(у,Р, С) = о
в квадратурах, то, добавив к этому решению вторую формулу из (5.7),
получим решение исходного уравнения (5.6) в параметрическом виде
ф(у,р,с) = о,
х = У(у,р)-
В конкретных случаях вид (5.9) решения уравнения (5.6) можно попы
таться упростить, например, выразить у через р в первом соотношении (5.9)
и подставить во второе, а затем, возможно, исключить параметр.
Пример 3. Решить уравнение
У^ - ху’ = 0.
Решение. Разрешим уравнение относительно х
У In у'
У
и запишем его с помощью параметра
I
У =Р,
У^пр
х =------ .
Р
Соответствующее уравнение (5.8) приобретает вид
'
(Inp — l)dy + у —-------— dp = 0.
Р
После сокращения на Inp — 1 (приводящего к потере решения у = ех)
получаем уравнение с разделяющимися переменными
dy — - dp = 0,
Р
имеющее решение у = Ср. Следовательно, через посредство параметра ре
шение исходного уравнения может быть записано в виде
ylnp
Р
у = Ср.
1 =-------- >
64
§5. Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной
Здесь оказывается возможным исключить параметр р-.
р = у/С,
х = С 1п(у/С)/у.
Ответ: х =------ —, у - ех.
У
4. Аналогично уравнению (5.6) можно решать уравнение вида
У = У^,у'У
(5.10)
Его также следует записать с помощью параметра
I У1 =Р,
\у = f^,P)-
(5.П)
Далее получим
Л
>Л
dy = у ax,
df Л
df л
— dx -\- — dp = pdx,
ox
op
(df
V
df J
n
l — -p)dx + ^-dp = 0,
\ox
/
op
(5-12)
т. е. возникает уравнение для нахождения функции х = х(р), разрешенное
относительно производной. Если удается найти его решение
Ф(х,р,С) = 0,
(5.13)
то формула (5.13) вместе co второй формулой в (5.11) даст решение урав
нения (5.10) в параметрическом виде.
Указанным способом могут быть решены уравнение Клеро
у = ху' + ф(у')
и уравнение Лагранжа
у = х<р(у'} + ф^у'}
(<р(у')
у').
В случае уравнения Клеро уравнение (5.12) приобретает вид (i+
+^’,(р))^Р = 0, откуда, во-первых, dp — О, р — С, что дает решение
у = хС + ф(С),
(5-14)
и, во-вторых, х + ф'^р) = 0, что дает еще одно решение
( х = -^'(р),
( у = хр + ф(р).
(5.15)
§ 5. Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной
65
Решения (5.14) и (5.15) называются соответственно общим и особым ре
шениями уравнения Клеро.
В случае уравнения Лагранжа уравнение (5.12) оказывается линейным.
Пример 4. Решить уравнение
у = ху' + (у')2.
Решение. Согласно формулам (5.14) и (5.15) для данного уравнения
Клеро получаем у = хС + С2 и ^ 1 _ ^^’ ^ ® особом решении легко
исключить параметр и прийти к явному виду этого решения.
Ответ: у = хС + С2, у = —т2/4.
Пример 5. Решить уравнение
е4"'
12
Решение. Данное уравнение Лагранжа запишем с помощью параметра:
' У' =Р,
Соответствующее уравнение (5.12) выглядит следующим образом:
1 J
(
е4рк
л
—- dx + I + — ) dp =
О
\
^ /
Это линейное уравнение, которому лучше придать вид
- ---- Зт = ер.
dp
Решая последнее уравнение, получим х — е^р + Се3р.
( x = eip^Ce3p,
Ответ: <
/
1\
е4₽
• = ‘ ’-3 +й
§ 5. Уравнения 1-го порядка, пе разрешенные относительно производной
66
Задания
Решите уравнения:
1.
1) I = у' arcsiny' + У1 - (У)2;
2) у = 1 In — - у'-,
’ У
2
l-у7
У’
3) уу1 Ini/+ у2 - х (j/)2 = 0;
4) у = х^ + у1 shy1-chу1.
2.
1) j = 2j/'arctgi/-ln((!/)2 + l);
2) у = у1 In2 у1-21/^1/+ 2у'-,
3) у + 2y2 (у')3 - 2xy'= 0]
4) у = х(у' - e~v') + ee".
3.
1) x = у' aiccos у' — ^/1 — (у')2;
2) у = у1 chy” - shy’;
3)
(y + y,)2-\ny’-x = 0;
2
(у')3
—
) +
- 4у'.
1/ + —
2^3
У
4) У = х
1)
(у’)2
2)
у sin(2g/)
4
cos(2j/)
8
У
3) т/ In 3/ + i/ sin -2- — ху' = 0;
У
у = xi/fl - Inз/9 4- (j/)2 6nji' 4)
5.
.
1) х = з/'lnj/ - з/;
2)
У=
3) Xi/
О
arctg з/ ОО
j 1п((У)2 + 1);
y'cos(yi/) = 0;
4) у = х^ - tg3/') + siny - у’cosy1.
§ 5. Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной
6.
1)
х = 2y'cosy' + ((i/')2 - 2) sinj/;
2) У
2(1-(J/')2)
4°l-j/
3) sin(y + y'} — In y' — x = 0;
4)
7-
1)
1 = WY -%/ + 2)ew';
2)
о
t
do
3) j/lnj/ + y'ev^ — xy' = 0;
4) у = x(y' -e v') + e2e".
8.
1) i = sini/- y'cosy'-,
2) У = (WY + 2) shJ/' - Zy'chy1-,
3) xy' -~ У'^УУ1) = 0;
4) У = х
9.
- - (i/)2-
1) x — y' chy' — sh y';
2) у = ln|cosi/'| +j/'tgy';
3)
tg(3/ + 3/') -lnj/-a: = 0;
4) у = xy'(l — In y') + (y')3 I Iny' - - I •
\
о/
10. 1) x = sh y1 — 2y^\
(?/')2 + l
, y'
2) У =-----j-----^^У “ 2"!
3) ylny' + y'ln^-xy' = 0;
4) у = x(y' - tg y') + - cos3 y' - cos y'.
1
,A
11. 1) X = —; - arctgy;
У
1
,
у'
2)
3) xy'4)
+ у's^yy') = 0;
у = x^}2 + ^^—- axcsiny' + ^yi - (y')2-
67
§5. Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной
68
12.
1) х = cosy7 + у7 sin у7;
2)
y^my7-^
3) ev+v> — Int/ — I = 0;
4) у = 1(^-6 v') + y'eeV.
13. 1) а: = 2у7 sin у7 — ((у7)2 - 2) cosy7;
2) у = ((3/)2 + 2)chy'-2y,shy/;
У
3) yin у7 + y'ch- - xy’ = 0;
У
4)
14.
\y
27
1) x = y1 shy' — chy';
2) у = ln|siny'|-y'ctgy';
3) у + 2y' arccos(yy') — 2xy' = 0;
4) у = xy'(l - In y') + In2 y1.
15.
1 + y'
-2y';
1-3/
Q/)2 + l
f . y7
2) У -------- z----- arcctgy + -;
1) i = In
3) ch(y + У7) -Inу7 - X = 0;
4) У = хЫ — tgy') + 2y'siny' - ((у7)2 - 2) cosy'.
16. 1) J = (y'-l)e<
2) У = jln((y')2 + 4);
3) ylny'-b--------- xy' = 0;
У
4) у = x(y')2-he^iy'- 1).
y' sin^y7)
17. 1) x =-----------------;
2
4
’
2)
§5
. Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной
3) xy' -^-y'ew' = П^ у = х(у' - е^) 4- ev'+eV.
18.
1) I = In
2
1 +У
1 - j/
У
2) У = ((j/')2 - 2j/ + 2)е“';
3) arcsin(y + j/') - In j/ - i = 0;
4) » = .^(K^-¥
\y
2/
5
19. 1) x = sin y'---- у
;
w)2-1
2) у = 2y'cosy' 4- ((y')2 - 2)sinj/;
3) у Iny' 4- y'arctg —-xy1 = 0;
У'
4) у = xy\l - In y') 4- | In3 y'.
20-
I = JT7 + ln^+1l;
у +1
2^ = "^4—"arccosУ' “ ^^ - (^2;
3) ^-2-^ = °!
4) у = x(y/ - tg y') + sin2 y'.
21. 1) x = y'\n2yr-Zy'iny1+ 21/-,
2)
2
5
з
y = -(y' + 3)2 -2(y' + 3)2;
3) arctg(y + j/) - In yr - x = 0;
4) y = i(y/)2 + e»'((y/)2-2y' + 2).
22. 1) x = y'ln((y')2 + 1) - 2y' + 2arctgy/;
2) у = y'lny' -y';
3) у In у' + у' arcsin ^- — xy1 = 0;
У
4) у = x^ — е~^) 4- (y/)2ee1'.
69
70
§5
. Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной
23. 1) х = у^\
2) у = 2Щ -2^ + 2)еЛ-
3) w+"‘Wr = Oi
4) ( = 1(^2Ьт-’М‘
\У 3
т
In2 О 2 In У+ 2
24. 1) х =-------------- ----------- ;
У1
2) у = 2т/sin г/ - ((j/)2 - 2) cos j/;
3) 2xtf -у-21/ arcctg(yj/) = 0;
4) у = ху'(1 — In у') + In In j/.
25‘ ^
= (^FZ^Y+ aj’ctg2/':
2) У = ^^—- arcsin У1 + ^ У1 - (г/')2;
3) ln;/ + a:-
^0;
Уу + у'
4) > = "I»’-W) + ^
Ответы
1-
х = paxcsinp + ^/1 — р2,
1)
У = fy - J arcsinp + ^yi -р^ + С;
I=-^lnl1-P2l + c>
2)
»=2h
1+p
-P,
1 -p
2/ = 0;
3)
i = Ch| + C2,
.
4)
1 — In2 p
X=
4
’
_ P(l-bp)
H
2
’
(1 — p) shp + chp + C
x=—
О
у = xp1 +pshp — chp,
{
y = -l,
y = x-e~1.
§ 5. Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной
2.
( х = 2parctgp - ln(p2 + 1),
1)
I У = (р2 + 1) arctgp - р + С;
х = - In3 р + С,
2)
у = pln2p — 2р1пр + 2р;
3)
я = ^4-^,
2/= О,
3
т~16р<’
1
,
' х = ер+еГ(С + е’>'),
4)
у = х(р — е_₽) + е'Р.
х = parccosp — ^/1 — р2,
1)
У= I у “ 4 J arccosp- -^/1 -р1 + С;
2)
х = chp + С,
у = pchp — shp,
{
У = 0;
3)
х = С*- 1п(С - у),
1
z = t-j - 1пр,
4Р2
1
I = (2р + С)р,
4)
/2
'
p
р\
р3
= i \р: + й2/ +т
3 -4р,
16
у = ±2х^ —.
Р2,
1)
2)
Р2
Р . ^
!
1= 2+
+С
Р2 + psin(2p)
4
1
Р = 8’
сов(2р)
8
71
72
§ 5. Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной
3)
4)
х = С In ^ + sin С,
/
У
Inp + cos- = 1,
I
х = -Inp + sin-;
Р
Р
С
х = рА—,
Р
у = хр(1 - 1пр) + р2 (1пр - ^
{
1
5.
X = plnp — р,
1)
1
4
+ С-,
(р2 + 1)arctgp- р
Х=------------2------------+ С'
1?
р2
1
р = — arctgp - - + - ^(р2 + 1),
V
J
0
0
у = 0;
3)
х = — + wsC,
у = 0,
2Р2 sin(yp) + 1 = 0,
*
4)
У
1 = Г + cos(yj’)i
2р
(
/р2
I х=(—+ Clcosp,
( у = х(р — tgp)+sinp — pcosp,
у = 7tm(x - (-1)"*).
6.
1)
( х = 2pcosp+ (p2 — 2)sinp,
| у = (Зр2 — 6) cosp + (p3 — 6p) sinp + C;
2)
2(1-P2)
l У
у = 0;
2(1^)
’
4^ 1+P
1 -P
§ 5. Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной
3)
г = sin С — 1п(С — у),
pcos(y+p) = 1,
х = sin(p +р) — Inp;
2
Р 1
Р
у = хр* + —\пр- —,
оУ
1
9
у
7.
( х = (р2 — 2р + 2)ер,
( у = (р3 - Зр2 + 6р — б)^ + С;
1)
,
’
2)
3)
р5
Р3
Р6,
Р6
s^lnp-^ + C,
х = С]п^+ес,
( X = 1 + (1п(1 — 1пр) - 1) 1пр,
( Р = pln(l — 1пр);
4)
Г а^е^ЧС + ге'”),
1 р = х(р — е_р) + е2’?.
[ у = 2psinp - (р2 -2) cosp + С;
2)
( х = pshp-chp + C,
1 У = (р2 + ty shp - 2pchp,
Р = 0;
з)
у2
1 = ^+ЬС,
У2
1=1 + 1п^;
( х = (р2 + С)р,
4)
'
У = Х(1
{р+Р\
2)+Р*
7~Р2 '
у = ±-^2^ - 1 •
9.
1)
( x = pchp —shp,
I У = (р2 + 2) chp — 2pshp + С;
2)
[ х = ^Р + С’
[ р = In |cosp| +ptgp,
У = 0;
73
74
§ 5. Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной
3)
х = tgC - h(C - у),
( р = соа2(у + р),
( х = tg(y + p) - Inp;
^р2 + —,
Р
(
Л
у = хр(1 — 1пр) + р3 I Ьр - - )
4)
1
» = 1-з10.
1)
х = shp — 2р,
у = pshp — chp — р1 + С;
{
2)
x = paxctgp — ^(р2 + 1) + С,
^+1
.
Р
У = —— arctgp- -,
У = 0;
3)
х = С In
+ In С,
1 = 1 hL- ^- ^^
1 -р^р
.
4)
11.
1)
2)
_ 1 — 1пр’
г=
х
7—“ + ^) cosPi
\2 4 х
/
у = х(р- tgp) + - cos3p - а
О
2
у = лтх- -(-1)т.
и
1
х =------- arctgp,
₽
1
у = In |р| - - Infp* + 1) + С;
| 1=-2(р’ + 1)+С’
I[!/ = -arctgp
1
Р
-^,
У = 0;
x = ^=+shC,
у = 0,
( 2p2ch(yp) = l,
] х=
+ ^(ур)',
§5. Уравнения 1-го порядка,, не разрешенные относительно производной
1
4)
2р2 - 1
.
,Р Л---- ~2
у = хр2 + ---- -— агсзшр + -\/1 - р1,
4
4
у = 0,
12.
1)
х = cosp + psinp,
у = 2pcosp + (р2 - 2) sinp + С;
{
2)
3)
у = х + ~.
О
= 4
р5,
16
р5
х = ес — 1п(С — у),
х =---- Inp,
Р
у=-р- 1пр;
Г х = е^^С+ р + ер(р — 1)),
4)
1 у = х(р — е~р) + рееР.
13.
1)
Г х = 2psinp — (р2 — 2) cosp,
\ у = (Зр2 - 6) sinp - (р3 - 6р) cosp + С;
2)
J а: = pchp — shp + С,
[ У = (р2 + ty chp - 2pchp,
3)
i = Cln^ + chC,
2/= 2;
Inp 4- sh - = 1,
V p
У
x = - Inp + ch
Ip
p
’ i= (41n|p+v^| + C)p,
4)
*
^1
p\
y = x\ - + ^]+pt- 2\/2p,
\P
у = y/2x — 2, у = —fix + 6.
14.
1)
( i=pshp —chp,
[ У = (p2 + 2) shp - 2pchp + C\
2)
[ x = — ctgp + C,
(p = In |sinp| — pctgp;
75
76
§5. Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной
3)
4)
'll
х = — + arccos С,
у=0
.
гр2
+1=0,
- (да)2
а: = ^- + arccos(yp);
-
21пр + (7
х —-------------,
Р
у = zp(l — 1пр) + In2 р,
.
у = х.
15.
1)
2)
1 +Р
-2р,
1 -Р
I у = С-1п|1 -р2! -р2;
а: = In
I = parcctgp + ^to^ + 1) + С,
р2 + 1
р
У = —J—"cctgp+-,
7Г
3)
4)
а: = ch С — 1п(С — у),
/ psh(y + p) = 1,
[ j = ch(j/ + р) - 1пр;
(
/р3 Д
I I= I y+
cosp,
( у = х(р - tgp) + 2psinp - (р2 - 2) cosp,
у = лтх + (—1)т(2 — (ш)2).
16.
1)
2)
( х = (р — 1)^,
1 у = (р2 -2р + 2)е₽ + С;
1
Р
z = 2 arctg - + С,
У = ^ ^(Р2 + 4),
у = to 2;
3)
х = С]п^ + ^,
р2
= 1,
У2
х = - 1пр +
Р
У
top -
§ 5. Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной
4)
1
= е₽(2 - р) + С
(1-Р)2 ’
у = хр2 + ер(р — 1),
у=-1,
17.
р
Х~2
1)
у = х.
sin(2p)
4 ’
У = ^Р(Р ~ si"(2p)) - ^^ + С\
2)
р2
Р2
Х = ^^Р~^+С,
)
Р3, Р3
3)
1=2С+еС’
'
У = °^
1 — 1п(2р2)
1=
2^
’
у
МУ).
р
( i = ^'(c + ep + ^,
4)
( у = х(р — е~р) + ер+еР.
18.
1)
*
2)
р2
У-^^тг^0’
( х = рер — ер + С,
| у =(р2 -2р + 2)ер,
У = 2;
3)
х = arcsin С — 1л(С — у),
■
у
Р
=1,
У1 - (у + р)2
х = arcsin(p + р) — 1пр;
f
\
х = ( -г + 4р + С р,
I
/1 р\ р5
^ = 1(^ + 9 +Т-4Р’
X /о
16^
у = ±V2iT —.
77
78
§ 5. Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной
^^
х
у = рашр + cosp----- .
+ С;
VP2- 1
2)
J х = painp+cosp + C,
| у = 2pcosp+ (р2 — 2)sinp,
У = 0;
3)
I = Ch ^ + arctg С,
р2
р2 + У2
х = — Lnp 4- arctg —;
Р
Р
h2p + C
х =------------ 1
Р
2 з
у = гр(1 - lnp) + - In р,
У = х.
20.
I=-+Ь р ,
’ 1
У = Р--------21п|р| + С;
Р
1)
х = paiccosp — ^1 — р2 + С,
2)
'
Зр2 - 1
р г—
У =---- :---- arccosp — -y/l — Jr,
4
4
7Г
^=-8 =
3)
4)
2С + (Р’
16’
{х = (2sinp + C)co8p,
у = г(р - tgp) + sin2p,
у = лтх.
21.
1)
х = pin2 р — 2р1пр + 2р,
У = у (1п2Р - lnp + 0 + С;
2)
2 з
х = -р^+С,
{
2 5
3
У = тР2 -2р2,
§ 5. Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной
3)
х = arctgC — 1п(С — у),
Г р = 1 + (у + р)2,
| I = arctgp + р) — 1пр;
их
}
_ (Зр-3-pV + C
(1-р)2
у = хр2 + ер(рг - 2р + 2),
у = 2,
22.
1)
у = х + е.
х =pln(p2 + 1) - 2р+ 2arctgp,
У = ^(р2 + lXlnCp2 + 1) - 1) + С;
2)
у = phip — P‘t
3)
У
х = Chi — + arcsin С,
1пр Ч---- . Р
= 1,
^-у2
У,
-У
х = - шр 4- arcsin -;
I
Р
Р
23.
4)
( х = ^^(С + р* + ер(р2 — 2р + 2)),
\ у = х(р — е~р) + р2ееР.
1)
( х = рер,
| У = (р2 —р+ 1)е” + С;
2)
Г х = 2е^ + С,
| у = 2(р- 2^р + 2)е^,
У = 4;
3)
х = ^~ Ь(С - у),
(у + р)3 + 2р = О,
4)
( % = (р4 + С)р,
{1
\р
у = ±V2x -
р\
р6
2/
о
79
80
§ 5. Уравнения 1-го порядка, не разрешенные относительно производной
24.
1п2р + 21пр + 2
1 =------------------------ >
,
Р
1п3р л
у=
+С
1)
2)
( х — ^np — pcosp + C,
\ у = 2psinp — (р2 — 2) cosp,
У = 2;
3)
У2
х = — + arcctg С,
,
у = 0,
Зр2
Т+О^1-0,
х = + arcctg(pp);
2р
С1лр — 1
4)
25.
(
plnp ’
у = тр(1 — Inp) + In Inp.
1)
р
X = -5—7 + ^бР-
2)
x = parcsinp + \/1 — p2 4- С,
У=
гр2-!
p f—-г
:—arcsmp+ --yl -p1,
4
4
У = 0;
3)
I = 7^“ h(C - У),
vО
P + 3(y + р)фу + р = 0,
{
4)
x = —== — Inp;
^y+p
x = (tgp + C)cosp,
у = x(p - tgp) +------ ,
cosp
у = irmx + (—l)m.
§ 6. Уравнения 2-го порядка
Укажем некоторые случаи уравнения
F(x,y,y',y") = 0,
(6.1)
когда его можно решить в квадратурах либо свести к уравнению 1-го по
рядка.
1. Частным случаем уравнения (6.1) является уравнение
х = fW).
(6.2)
Перепишем уравнение (6.2) в параметрическом виде
Г У" = Р,
Ь = f(p).
Далее следует сначала в соотношении di/ = у" dx, а затем в соотноше
нии dy = у' dx выражать правые части через параметр р и интегрировать
обе части. В результате получим у как функцию р, что вместе с равенством
х = f(j>) Даст решение исходного уравнения в параметрическом виде.
Пример 1. Решить уравнение
Решение. Запишем уравнение в параметрическом виде:
' У" = Р,
2
Далее получим
\2р +
dp,
\
Р J
dy' = у" dx = р \ 2 +
d}
\
Р/
,
2
1
У=Р--+
р
dp,
dy = y'dx= [р2-- + С1] \2 + \]dp == (2р2 -1 + 2CJ 4 +
\
Р
) \
рЧ
\
р
р/
2 ,
У = ^Р ~ In |Р| + 2С1Р +
81
Зр3
2р2
2
82
§ 6. Уравнения 2-го порядка
У ~ I?3 ~ 1п И
+ ^iP + ^“ ^ + ^2
Ответ: <
Х = 2Р~^-
2. Пусть в уравнении (6.1) функция F обладает свойством одно
родности некоторой степени к относительно переменных у, у', у". Это
означает, что при любом множителе t выполняется соотношение
F(x, ty, ty', ty") = tk F(x, y, y’, y").
В этом случае с помощью замены у1 = yz уравнение (6.1) сводится к урав
нению 1-го порядка.
Пример 2. Решить уравнение
уу" = (у1)2
+ уу1 + У2^-
Решение. Здесь соответствующая функция
F(x, у, у', у") = уу" - (у')2 - уу' - у2ех
обладает свойством однородности второй степени относительно переменных
У, V, у"ty ■ ty" - (ty')2 - ty ■ ty' - (ty)2ex = t2 (yy" - (y')2 - yy' - y2ex) .
Делаем замену у' = уz, при этом у" = i/z + yz1 = y(z2 + z'):
y2(z2 + z') = y2z2 + y2z + y2ex,
z' = z + ex.
Решая возникшее линейное уравнение 1-го порядка, получаем z = ех(х+
+С\). Возвращаясь к исходной переменной, приходим к уравнению с раз
деляющимися переменными у1 = уех(х + Сх), имеющему решение у =
= C2ee^x+c^> (С^-1).
Ответ: у = С2е^х+с^.
3. Уравнение вида F^x, у', у") = 0 сводится к уравнению 1-го поряд
ка заменой у1 = z.
Пример 3. Решить уравнение
у' = ху" + (у")2.
Решение. После замены у1 = z получаем уравнение Клеро
z = xz' + (z')2.
§ 6. Уравнения 2-го порядка
83
Найдя его решение z = хС + С2, z — —х2/4 (см. пример 4 в § 5), получим
у' = хС + С2, у' = —х2/4. Осталось восстановить функцию у интегриро
ванием.
OTBeT:y = ^ + C2x + Clt у = С2-^.
Пример 4. Решить уравнение
(10а;9 + 9? + sinx)y" = (90а;8 + 72а;7 + cosx)y'.
Решение. Сделаем замену у' = z, тогда у" = z' и уравнению можно
придать вид
(10а;9 + 9а;8 + sinx)z' = (90а;8 + 72а:7 + cosa?)z.
После разделения переменных и интегрирования получаем
z = С^Юа;9 + 9а;8 + sinx).
Делаем обратную замену z = у' и восстанавливаем функцию у интегриро
ванием.
Ответ: у = СДх10 + а:9 — cos а;) + С2.
4. Уравнение вида F1(y, у', у") = 0 сводится к уравнению 1-го порядка
после замены у' — z. В отличие от предыдущего случая функция z при этой
замене рассматривается как функция аргумента у, тогда у" = ^ = ^'^ =
= z' ■ Z.
Пример 5. Решить уравнение
у" + 3(г/)3 sin2 у cos у = 0.
Решение. Подставляя у' = z, у" = z'z, получим для нахождения
функции z = z(y) уравнение 1-го порядка:
z' + ^z2 sin2 у cos у = О
(при этом сокращение на z приводит к потере решений у = С). Возникшее
уравнение есть несложное уравнение с разделяющимися переменными. Его
решение дается формулой | = sin3 у+С\. Возвращаясь к исходной функции
по формуле z = у', получим еще одно несложное уравнение с разделяющи
мися переменными ^ = sin3у + СД
Ответ: х = ^^ — cos у + С}у + С2, у = С.
5. Если в уравнении (6.1)
F(x, у, у', у") = ^F^x> У' У')’
84
§ 6. Уравнения 2-го порядка
то это уравнение называется уравнением в точных производных. В
этом случае оно сводится к равносильному уравнению 1-го порядка
F№,y,y') = Cv
Общего способа нахождения функции F^x^y') не существует.
Пример 6. Решить уравнение
и
^х-у
г
г ■
у = ——Ь - ух cos х — хух sm х.
2х2
2
Решение. Уравнению можно придать вид
d .
d /у
\
— у = —----- h хУх cos х I ,
dx
dx \2х---------------- /
откуда
у = — + Ху/Х COS X + С).
Получили линейное уравнение 1-го порядка (решение таких уравнений см.
в §4).
Ответ: у = (х sinx + cosx + 2С1У/х + C^yfx.
Задания
Решите уравнения:
1) х = у" + е “"j
2) УУ1' ~ (у')2 -yy'ctgx = 0;
3) у' = ху" + \пу";
2 . 1
+ -т 81П -Г.
/=3
2.
X = у" + In у”-,
2) (х2 + !) (уу" ~ {У')2) = 2хуу';
3) у' = ху" — е^' \
4) у” = 2^
\х
1 1
у \ + -хе*.
х2
§ 6. Уравнения 2-го порядка
3.
1) х = (/)2 + lnt/";
2) arctgz(l + i2) (уу" - (у')2) = УУ’’,
3) у’ = ху" - vV7;
4)
2/ = ^ - 4 +
X
X*
\/Х
1) х = у" + sin у"-,
2) ilni
У" “ № ) = У^>
3) у' = ху"
6 ’
-= ЮОз^сЛ
X
X* J
1) X = (у") ~ cosy";
4) У"+ 9
5.
2) УУ" ~ (у')2 = УУ'^х;
3) у= ху “ “Г’
4)
\1 X2 J
I
=
sh
у"
+ у"\
1)
2)
X1
X
Vl- i2arcsini (уу" - (у')2) = У^
3) у" = (у')2е1;
4)
7.
У
1---------- Г — 4UX
X
X*
ЫН X .
1) х = chy"+ (у")2;
2) sin a; cos а; {уу" - (y')2j = 2уу';
3) у"х\пх — у' = 0-,
4) у А------------ х = 1бх е .
х
х2
1) х = In2 у” + у"-,
2) sin а; (уу" — (у7)2^ = Зут/cos х‘,
3) у"^х - у' = 0;
у'
У
X
= arcsina: + .
4) у------- ь
х
х2
У1 -12
85
86
§ 6. Уравнения 2-го порядка
9.
1) х = у"е^'\
2) sin ж (уу" - (з/)2) = iyy'cosx;
3) у"(1 + х2) arctga; = 7/';
4) у" — — + ^ = 9i2 Inr + Зя2.
х
10. 1) x = y"lny”-,
2) cos! \yy" ~ (V) j + 2ytfsinx = 0;
3) y"Vl — i2 arcsin! = j/;
4)
y" + ^-^ = ex(l + x).
X
X*
11. 1) X =
+ In
2) сова:
sin x = 0;
3)
„ _ y(2a:arctga: + 1) - 1/(1 +12) arctg!
4) У
/1 ।
x 2
(1 + z9\9
2)2 arctg
2z
12. 1) я = y/y^+^y";
'
2) sinx(yy" — (j/)2) + yi/cosx = 0;
3) у” + (^^у = 0;
4) У
13. 1)
„
y'(l + !2) arcctg! + (1 — 2!arcctg!)y
(1 +!2)2 arcctg2!
+
x = y" sin y"-,
2) xlnx(yy" - (j/)2) = 2yy';
3) у" + {у')3еУ = 0;
„ = 2(y - xy')
x2
14. 1) x = y” cosy"-,
4)
2)
1^x-2
5!^(! - 2)4
x2
(e1 + i)(w" - (y')2) + eW = °;
3) y"ch2y + (j/)3 = 0;
4)
yll = y(ln! + 1) _ у1 _ 1
(llni)2
!ln! !2
J 6. Уравнения 2-го порядка
15. 1) х = у" + ^2)
(х2 4- cosx)(yy" - (у')2) = (2i - sinx)yy';
3) y" + (y')3cosy = 0;
- 4^LZ_^2?£2L11 + 2x99 991 ~ 50
(2х-1)2
(2x-lf
16. 1) 1 = (И2+(!/")5;
4)
2) (x2 + 1)(yy" - (у1)2) + 2xyy' = 0;
3) У'= (?/')2ctgy;
4) у" + — —
= 36x5 cos x6.
x
x*
17. 1) х=(О2 + ^;
2) x(x 4- lnx)(yy" - (y')2) = (x + l)yy';
3) (2 4- siny)y" = (y7)2 cosy;
4) y^^L^l^.
18. 1) x = у" sin у,' 4- cos у"-,
2) 2y/x(x + y/x)(yy" - (у')2) = (2^+ ^УУ7;
3)
^ + l)y"=(y')2;
и
,
У
cos 1
4) У 4- у tg х 4----- г- =---------- sin х In х.
cos2 x
x
x
=
(у")
3
4In
у";
19. 1)
2) sinxcosx(yy" - (у')2) = 2yy';
3) у"(1 + у2) = 2y(y')2;
4)
2(цчЛ+е,
20. 1) X = y'W+lny";
2) 2(x 4- >/x)(yy" - (?/)2) = УУ1',
3)
(y')2+ y"y In у = 0;
4)
yn = y(lni4-l) _ y’
4- 10x9.
(xlnx)2
xlnx
87
§ 6. Уравнения 2-го порядка
88
21. 1) х = ^'(у" - 1);
2)
(sini + со8х)(уу" — (у')2) = (cosx — sinx^yy';
3)
(у')2 + /(1 + У2) arctgy = 0;
4)
„ = 2(у - ху')
1
_ у/х-1
х2
2х^/х — 1
22. 1) х = (у"-1)1п/;
х2
2) sinxcosx(yy" - (у')2) + 2ytf = 0;
3)
4)
(г/)2 + У">/1~ У2 arcsiny = 0;
^ = fc?fl + lllI
23. 1) X = у" + (у")4;
2)
(2х + shx^yi/' - (у7)2) = (2 + chx)yy'-,
3) ху" = ?/in^;
4) у" = —----- у1 ctg х — 5 cos4 х sin х.
sin г
24. 1) x = у" cos у" — sin у"-,
2) 2(хт/х + sinx)(yy" - (у')2) = (3^5 + 2cosj)j/i/;
3) уу" = (г/')2;
4) у =2 \ —=----- у ctg X ) + COS X.
\sin i--- /
25. 1) x = \^+ (г/')5;
2) 4(i + tfx^tyy" - (y')2) = yi/-,
3)
(y')2 = y"y^-Varccosj/;
„
У
,
3 sin i
4) У = —----- j/ctga: +----- 7—.
sin X
cos4 X
§ 6. Уравнения 2-го порядка
Ответы
1.
1)
/
3
\
1
р3
у = е~р[С1-1 + -е~р ) + -ре~р(р + е~р) + ^ + Cip + С2,
\
О
к х = р + е р;
'
2) у^^’™*-,
у = С - iln(-z);
3) у = Ci— + zlnCi + С2,
4)
2.
1)
у = Cix + I3 ( С2 - i sin
D3
{
У=
о
.
3
+ ^Р* + (Ci + Чр + Ci Inp + С2^
4
х = р + Inp;
2) у = С^1^3^;
т2
3) у = Ci— — хес' + С2,
т2 /
У = -^ (bi - -j + С;
4) у = х2 ^Ci + е^ + С2х.
4
8
У = т^Р6 + qP3 + CiP2 + Р + Ci Inp + С2,
1и
У
х = р2 + In р;
!
2) У —
Cz ’
(х2 + 1) 2
X2
3) у = Ci—- ху/С^ + С2,
1
у=--\пх + С',
4) у = 2у/хе^ + Cix + С2У/х.
/р2
1\
3
1
р3
У= ( т+с1+х sinp+-sin(2p)--pcos(2p)+^-+Cip+C2,
{
у 2
2/
о
4
z = р + sinp;
2) у = Cie0*^*-^,
3) У = С1--СТ- + С2, у = -х2^+с2
0 DD
4) у = Cix +
е110 + С2
х9
о
89
§ 6. Уравнения 2-го порядка
90
5.
1)
У=
4р®
d
3
+ 4 cos(2p) - - sin(2p)-
- ( ^р3 + 2р + СИ cosp + 2 ship + Cip2 + ^ + C2,
x = p2 — cosp:,
2) I/ = Ciec“hl;
3)y = cX-C^+C2, p = ^^ + C;
£
XU 1Уи
4) p = Cix + t2 (c2 — cos i Y
6.
1)
1
3
\
У=л ^^ ” в sh(2P) + 7 + C1 ~ 1 ^^
+
- ;Y p+ C2,
x = shp + p;
2) у = Ciec’(I“Ii,ll+'/5:?);
3)y=^^^ + G,
y = e-* + C3,
y = C-,
л
n
Cz-sinz6
4) у = Сц +----- ^------.
7.
1)
2
\
1
3
У = jpch(2p) - T sh(2p) + qP3 — 2P + Cl I chp+
4
о
4
D
+ 2 shp + —PS + Cij? + - + C2,
lu £
x = chp 4-p2;
2) у = Cie0^81^;
3) у = Cii(lni — 1) + C2;
4)y = Cil+^.
8.
1)
у = (4p + Cl)ln2p + f^p2 - 12р^ hp + ^ - ^p2+
+ (Ci + 12)p + C2,
x = In2 p + p;
2) p = CieCilca3!-3™»).
3) у = Ci cos a: + C2;
§ 6. Уравнения 2-го порядка
4) 2/ = х(х arcsin х + \/1 — а;2 + Ci In |r| + С2).
9.
, I = рер;
2) у = CieC2(2x~s^(2x));
3) y = Ci (х arctgi - | ln(i2 + 1)) + С2;
4) У = х I Ci + C2 In x + x3 In x —— ).
V3
У = ^(181n2? + 15hp + 4) + Cj>lnp+C2,
lUo
(
x = plnp;
2) у = C'1ec’(2l+"“,(21));
3) p = C\[x arcsin x + y/T— s2) + G;
4) p = e1 ( ж - 2 + - ) + Cix + —.
\
x)
x
n-1}
| у = ^ + 7^+р+с№р+ьр) + Съ
( x = ffi + Inp;
2} у = ^1еСа(Зшп1-8щ31).
3) X = yaictgy - ^ ln(p2 + 1) + Ciy + C2,
y = C-,
n
. C2-Ciln(l + i2)-2j
4) y = x2 + Cix + l +---------- —4------<------- .
2 arctg я
42- 1) ( 2/= ^ H-----^~ + P+С^у/р + ^р) ~^ Q’
\ x = y/p + Inp;
2) 2/ = <^r |tg^|Ca;
1/2
37/2
3) x = ylnp-y + CiP + G,
y = C(C>0);
x2 + 2Cix+1 x + Ci ln(l + x2) + C2
4) u =-------------------- 1-------------- 5-------- -------- .
2
2 arcctg x
91
§ 6. Уравнения 2-го порядка
92
бр2 +1 ■
\ Зр - 2р3
, . р3 р
V = —аш(2р) +---- - ---- cos(2p) + ^ - 5+
13. 1)
+ Cipsinp + С^
х = psmp;
2) у
_ ^gCj(lnai-21nz+2)z.
3)i = Cty + ev + С2,
у — С\
5 /(z-2)2^^2
(i-2)^2 „ „ ,
4) ’ = ? (!------- 1Г------- + 5-------- 3------- * й * 61
2Р3 — Зр
14. 1)
.
бр2 + 1 .
.
р3
р
У =-----5---- cos(2p)------- —— sm(2p) + 7-5+
1
+ Cipcosp +С2,
х = pcosp;
3) 1 = Inchp + Ci?/+ С2,
у = С\
Ini C]l(lni-1)+C2
4) У=Т +
hi
I х = р + $р\
2) у
= С1^(’’+,“1);
3) х = С^ - cosy + С2,
/ТЮ2
-.101
у = С\
\
1
4) K^-^+Ci+G(2l-1)3J^^16. 1)
1 У = ^11 + ^+^ + С‘^ + С‘Р2 + С’’
<
00
о
\1о
/
( х =р2 + р6;
2) у = С1ес,’гЛйх-,
3) h|tg^| = Cix + C2-,
it. 4 / »=^*^+(й+й)’’+с'>#+й'
( i=
+ ^;
2) у = C1eCj(ia+2l(1“I_1));
§ 6. Уравнения 2-го порядка
2
2tg| + l
3) —= arctg---- ^=— = С^х + С2;
V3
V3
4) у = (х2 ch х — 2i sh х + 2 ch х 4- Ci + С2х3)х 2.
18. 1)
lip — 2р3
.
Мр2-!! .
р3
У =----- J—cos(2p) +-----—---- sm(2p) + у+
о
о
io
+ Ci (р sin р + cosp) + C2,
x = psinp + cosp;
2) у = Cie^3*2-4*^;
3) у - e v = C\x + C2;
4) у = cos X I r(ln X — 1) + Cl In
19. 1)
1 + smr
1 — sin г
+ ci(p3 + inp)+P+c2,
y= ^+
lo
x = p3 + lnp;
2) у = CiC^1-*);
3) arctgу = Cix + C2;
4) У = (ex(x2 -2r + 2) + Ci + C2x3)x~2.
20. 1)
У= ^p’^+^^+C^^ + lnpJ+p+C^
x =p^ + lnp;
2) у = c^21^2^;
3) y(lny - 1) = Cjx + C^
/x11 /
1 \
4) У = ( ТГ ( hl - 77
\ 11
21. 1)
\
\ 1
+ C‘ + CixQnx -1) :—
11/
/ In я
y=^-^-t^^e2P + C1(p-l^^
x = (p— l)ep;
2) у = C,ie<7a(sinl-CMl);
3) у arctg у - ^ln(y2 + 1) = С\х + C2;
4) У= I pf1 “ l)2^1 _ 1 + h1- W1 “ 1 + Ci + C2r3)
\5
3
J x£
93
§ 6. Уравнения 2-го порядка
94
р31п2р
(
/5 ,
ЗА
р3
р2
+ Ci(p — 1) 1пр + С2,
х = (р — 1) 1пр;
2) у = С1еС1(^х+х);
3) у arcsin у + ^1 - у2 = Cix + С2;
2chi 2ehx + Ci
_
4) у = ehi — ------- +-------- 5---- - + С2Х.
X
X2
23. 1) Г у = ^p’ + ^Pe + ^P3 + Cip(l + p3)+G,
I х =р + р4;
2) у = С^2^*^-,
3) У =
4) У =
1 \
ес^2 /
л
ех2
Ci — C2cosx — cos6 х
бвпи
2Р3 - Up
.
11 - Up2 .
.
У =----- j—— cos(2p) +---- —!- sm(2p)+
o
lb
24. 1)
+ у + Ci(pcosp - sinp) 4- C2,
x = pcosp — snip;
2)
3) у = (Ле^;
4) У =
25. 1)
4
cos3 я — cos х + Ci + С2
25 „
25 Л _
1 „
_ . _
_
У = ^P + ^P VP + T^p^ + ^if^ + P6) + C2,
00
io
12
, x = v^+p5;
2) у = CieCv^^\
3) у arccosу — ^/1 - у2 = Cix + C2;
4)
1
sin2 а:
У=
1о
\2cos2x
+ Ci - C2cosr)
/ sin I
§ 7. Системы дифференциальных уравнений
Система п дифференциальных уравнений для нахождения п неизвест
ных функций уг = у^х), Уъ = У2(х), ..., уп — Уп(х) может быть задана в
нормальной форме
Ж = Л^,У1,У2>--->Уп)>
■& = /2&У^Уъ---,Уп\
{
(71)
Vn = /п^^УъУъ - уУп)
или в симметрической форме
=
dyi
у№,ух,у2,
... ,уп]
=
dyn
Зп^у^Уъ-^Уп)
=
dx
2
д(х,у1,у2,...,упУ
Обе формы легко сводятся друг к другу.
Общего метода решения таких систем не существует.
Часто эффективным оказывается метод исключения, сводящий ре
шение системы (7.1) или (7.2) к решению одного уравнения порядка п (иног
да — к решению нескольких уравнений, суммарный порядок которых равен
п). Ограничимся указанием на то, что применительно к системе (7.1) для
п = 2, т. е. к системе
I У1 = №,уъу2У
I У2 = /2^^У^У2^
метод исключения состоит в нахождении выражения для у2 из первого
уравнения системы и подстановке его во второе уравнение (либо в нахо
ждении выражения для уг из второго уравнения системы и подстановке
этого выражения в первое уравнение). В результате получается уравнение
2-го порядка относительно функции yt = у^х) (либо соответственно отно
сительно функции у2 = у2(х)).
Пример 1. Решить систему
. У2 = У1 + 1-
Решение. Из первого уравнения системы выразим функцию
й=i+
95
(7-3)
96
§ 7. Системы дифференциальных уравнений
и подставим ее во второе уравнение системы:
1+
2уМ2 ~ УМ _ „
, ,
В результате приходим к уравнению 2-го порядка относительно функции
Ух-
У1 = £
Ух
Ух
Решая это уравнение (например, как уравнение в точных производных, см.
§ 6), получим
Ух = С2^хХ
(СхС2 ^ 0).
Затем равенство (7.3) позволит записать вторую искомую функцию:
Деление на у^, приведшее к равенству (7.3), могло привести к потере
решений системы, для которых уг = С3. Подставляя в исходную систему
Ух = Сз> получаем
п
С1
О =---- —,
'
У2~х
. У2 = С3 + 1-
Оба равенства обратятся в тождества, очевидно, при С3 = О, у2 = х + С
{С / 0). Следовательно, решения вида ^ = 0, у2 = х + С были потеряны.
„
Ух = С2ес'х, у2 = х +
Ответ:
У1 = 0,
у2 = х + С;
(С^/О).
Первым интегралом системы (7.1) (или (7.2)) называется такая от
личная от тождественной постоянной дифференцируемая функция Ф =
= Ф(г, yv у2,..., у„), для которой Ф(х, уДх), у2(х),..., у„(х)) = const для
всякого решения системы. Знание первого интеграла позволяет уменьшить
в системе на единицу число уравнений и искомых функций. Для этого надо
из равенства Ф(х, yv у2,..., уп) = С выразить одну из искомых функций и
подставить в соответствующие уравнения системы. Найти первый интеграл
часто помогает составление из уравнений системы интегрируемой ком
бинации, т. е. легко решаемого уравнения относительно некоторых, вообще
говоря, новых функций, зависящих от х, ylt у2,..., уп.
§ 7. Системы дифференциальных уравнений
97
Пример 2. Решить систему
dy} _ х
dx
у2
dy2
I
dx
уд'
Решение. После деления первого уравнения на второе получаем
^1
dy^
У1
У2
Это и есть интегрируемая комбинация, а именно уравнение с разделяю
щимися переменными уд и у2. Интегрирование дает угу2 = Сд (Сд ^ 0).
Теперь можно выразить у2 = — и
У1
^1
У^х п
с ^
—— = -—. Отсюда у, = 0,6^1 и,
dx
Од
д2
Ответ: уг = С2е2С^, у2 = —Ц
подставить в первое уравнение системы:
С1 С1
следовательно, у2 = — = —е
y^ С2
I2
2Ci.
Первые интегралы Фь Ф2, ..., ФА (к ^п) называются независимыми,
если
(в некоторой области изменения переменных х, уд, у2,..., уп, в которой ре
шается система).
Знание к (к < п) независимых первых интегралов позволяет обыч
но понизить на к единиц число уравнений и искомых функций в системе.
Знание же п независимых интегралов Ф1; Ф2, ..., Ф„ позволяет записать
общий интеграл системы, т. е. совокупность соотношений
Ф1&,Уд,У2,---,Уп)=Сд,
$2(x,y1,y2,...,yn) = C2,
К&УъУъ-■ ■ ,уп} = спОбщий интеграл расценивается как найденное решение системы.
§ 7. Системы дифференциальных уравнений
98
Отметим, что при нахождении интегрируемых комбинаций для системы
(7.2) бывает полезно использовать свойство равных дробей: если
= /
^1 _ ^2 _
то при любых (одновременно не равных нулю) множителях кг, к2,..., кп
справедливо равенство
к^ + к2а2 + ... + кпап =
кгЬг + к2Ь2 + ... + кпЬп
Пример 3. Решить систему
dy1
dy2
c°s х dx
ХУ1
^^У2
J/isinj/2
Решение. Первое равенство системы дает
dy-j, _ dy2
У1
^У2
откуда после интегрирования у^/ siny2 = Ср Можно считать, что первое
равенство представляет собой в готовом виде интегрируемую комбинацию.
Чтобы создать еще одну интегрируемую комбинацию, представим tgj/2 =
= siny2/ cos 2/2 и воспользуемся свойством равных дробей:
sin у2 dyx + yt cos у2 dy2
хуг sin у2 + xy' sin у2
</(?/! sin у2)
cosxdx
77—/---- :----- Г =---- :----- >
2x(y1siny2) yiSHiy2
cos х dx
ух sin у2 ’
dfasiny^
----- «------- = cosxdx.
2х
В результате получаем уравнение с разделяющимися переменными, роль
которых играют у1 siny2 и х. После интегрирования получаем
ух sin з/2 = 2(isini + cost) + С2.
Таким образом, найдены два первых интеграла исходной системы
Фг = .^- ,
sin 2/2
Ф2 = j/, sinj/, — 2(твшт + cost).
На несложной проверке их независимости не останавливаемся.
Ответ:
У1 =
sm 2/2
У1 sin2/2 — 2(xsini + cost) = C2.
§ 7. Системы дифференциальных уравнений
Задания
Решите системы:
1.
1)
( 2/1 = У1 + 2/2,
^-1
У2 =
2)
3)
4)
2.
SID
X
2/1
2/1 =
У1 - У2
У2
У2 =
У1-У2’
dyi
dy2
dx
^У\
^У2
У1У2^2+^У
eyidyi
еУ2 + е1
exdx
е^1 + еУг
ey2dy2
еУ1 + ех
у'1 = У1 + У2,
.
2)
3)
3.
1
+ tgi- l)j/i + (tgT- 1)у2;
\COS2I
2/1
2/1 =
2/1 + 2/2 ’
У2
У2 =
У1+У2
Zdyi
xyi
4)
7
dy2
ху?
dx
у1у2^
+ 1)'
shyidyi _ shy2dy2 _ shxdx
ch x ch y2 ch x ch yi
ch y\ ch y2
У1 = У1 + У2,
\х
2)
У1 =
Д - iki + ( — — lk;
Xх
J
\x
/
2/1
3(z/i + У2)3’
У2 = 3(i/i + 2/2)3’
99
§ 7. Системы дифференциальных уравнений
100
dy2
xy2
dx
y^^ + iy
3)
3dj/i
xyi
4)
dyi
_
dy2
_
dx
yilnxlny2
y2\nxlnyi
x\nyi lny2
4.
У1 = У1+ У2,
,
/3
Д
3
/3
A
й= Г?-1Г+ Г1 Г
2)
У1
2yi + ^у2
У2
У2 =
2yi + ^У2 ’
У’1 =
3)
dy2
dyi =
У1У2
еху1у/1-у%
4)
yidyi
fax')2
5.
У2
xdx
(У1У2У
V2dy2
fax)2
У1=У1 + У2,
4cos(2i)
sin2(2i)
s4 = fA2)
6.
dx
Л
/2
^1+\sin(2i)
Л
)У2’
У1
(У1-У2)3'
У2
У2 =
(У1-У2)3’
J/i =
dy2
xtgy2
3)
2dyi
xyi
4)
dyi
у2 + х
dy2
х + уг
dx
yisiny2’
dx
yi + y2
У'1 = Уг + У2,
^2
, _ /4соз(2ж)
2
\sin2(2i)
sin(2i)
Л
J^1
/2
1Л
\sin(2i)^ /^’
J 7. Системы дифференциальных уравнений
,
yicosz
Й =
о >
У1 — 21/2
,
У2СО8Х
У2=
о ;
У1 — 21/2
2)
dyi
^ctgyl
dyi _
4> ; yz+z-yi
7-
101
dy2
yiy2
dx
хуУ
dy2
_
eyi+x-yz
dx
eyi+y2-x'
[ У1=У1 + У2,
1)
/ 2
\sh(2j)
,
[
f
2)
4ch(2z)
sh^(2i)
\
J
/2
\sh(2i)
\
J
, = Vi^
^
2l/i + y2 ’
, _ У2ех
k У2
21/1 + 1/2 ’
!dyi _
dy2
_ dx
3) ;
ПУ2
xyKyl + l}
xy2’
dyi
4> ;
’-У2
8.
dx
yi-y2'
’ y'l = У1 + У2,
1)
<
2)
dy2
yi-x
, _ /4 ch(2x)
, ^2
\sh2(2i)
Г
~
1
.
2
2
\
/2
\
sh(2i)
/ 1
\sh(2i)^ /2’
2/1
х(У1 + 3y2) ’
.
x(yi + З1/2) ’
lyi = dy2 _
dx
” ;
•yi
x
yie^(x2 + iy
4)
dyi
_
dy2
_
dx
А
/У1(.у/х ~ у/У2)
у/У2(\/У1 ~ V^)
у/хУ/yi ~ у/У2)
§ 7. Системы дифференциальных уравнений
102
9.
1)
( у{ =уг+ У2,
1!/2=^4-1рй’1)?/2 (i>0);
2)
[У'1 = X^1+^2),
х2(3У1+4у2)’
[У2
м
dyi _ dy2 = dx
xyi
xcthy2
yichy2’
eV1dyi
eV1dy2
exdx
4) ---------- =----------- =------------ .
' ег _ еи
ewi - ex
e^ - e"2
10. 1)
Vi
= 2/1 +
У2,
^й-^-’к s'1®
2)
У1
cos2 x(2yi - Зу2) ’
У2
У2 = cos2 x(2yi - Зу2) ’
?A =
3)
dyi _ dy2 _
dx
xyi
xtgy2
1/1 sin 3/2’
4)
Vidyi = y2dy2
x2 ~У2
У2- x2
11. 1)
2/1 = 91 +
У2 =
2)
x dx
У1-У2
У2,
2ctgx -
У1 +У2
У2
У1+У2,
У1
2
-l h/!+
sin2T
2ctgi - 1 )y2;
§ 7. Системы дифференциальных уравнений
у/У^у/Ух + Vх)
у/Ух(у/У2 + Vх)
12.
1)
ху2’
-xy^yj + l)2
У1У2
у/^у/Ух + у/йУ
У\=У1+ У2,
/ 2
\
у'2 = - 2tgi + —5— + 1 h/i COS^
'
\
2tgr+ 1 у2;
,
^Ух~ у2
Ух =--------->
У2
,
2yi - у2
у2 =-----------;
Ух
2dy2
УхУ2
dy^
Ху^
dx
хух ’
yldyi = yldy2 = X2dx
Х3~У2
13. 1)
Ух^^
Ух~У2
у{ = у&2,
^Ух
+ 31/2
2yi + Зу2
dyx
dy2
х
yiew(x4 + l)’
cos2 у^ (tg У2 + tg x)
14. 1)
У'х = УхУ2,
cos2 y2(tg Ух + tg x)
cos2 i(tg У1 + tg У2) ’
§ 7. Системы дифференциальных уравнений
104
У1 ~У2
ХУ2
У1 ~ У2
У2 =
ХУ1
dyi
xyi
dy2
х th у2
У1 sh у2(х2 + 1) ’
dyi
CO82yitgy2tgX
15. 1)
dy2
COS2 3/2 tg У1 tg I
COS2ltgyitgy2
( y{= У1У2,
\ y2 = y2tgx - yiyl,
1 ,_У1-4у2.
\( У2
• 2x’
yi sm
dyi
У1У2
dy2
У1(У2 + 1)
dyi
ei/2-vi — e®-i/i
16. 1)
dx
y2Cthx'
dy2
e®-w_ gt/i-w
ev\~x — e^~x
i/i = -У1У2,
, y,2^y2Ctgx + yiy2;
xyi
xy2
dyi
yi ln(xy2)
3/ij/2(x4 +1)’
dy2
У2 In(xyi)
x \n{yiy2) ’
§ 7. Системы дифференциальных уравнений
17. 1)
y'l = У1У2,
У2 =
2)
0
У^
- У1У2,
sin х cos х
(32/1 ~ 2у2) sinx
v'i =
У2
(3yi - 2y2) sini
У2 =
У1
3)
dyi
ХУ2^У1
4)
dyi
У2 -x
18. 1)
2)
4)
19. 1)
2)
dx
У1У2
xyi
dy2
x-yi
У1 = У1У2,
У2ес
У2 = е1 + 1
dx
У1 ~ У2
0
- Vivi;
(3yi + у2} COS I
У1 =
У2 =
3)
Zdy2
dyi
У1У2
У2
(3yi + g/2) cos д;
У\
dy2
e^i^ + l)2
dx
У2
dyi
'ySJy2-Jx
У1 = У1У2,
,
y2cosx
У2 = 1 + sin x - У1У2,
3(j/l + Уг)^2
У1 =
У2 =
У2
3(yi +У2)д2.
У1
dy2
dx
105
§ 7. Системы дифференциальных уравнений
106
3)
dyi _
dy2
= dx
У1У2
У1 sh х(у% + I)2
у2 thi
4)
yidyi
у2-х2
2
/
20. 1)
yidy2 _ xdx
x2~yj
У2-У2
2/1 = 2/12/2,
Ъху2
У2 = I2 +1 - 2/13/2!
2(У1 ~ У2)х
2)
У2
2(2/1 -3/2)д.
2/1
3)
dyi
_ dy2 _ dx
У2^ ch х
У1У2 i/i cth I ’
4)
sinyidyi
COS X — COS У2
21. 1)
у{ = 2/12/2,
siny2dy2
COS У1 — COS X
3x^
У2 = T3 + 1 - 2/13/2!
2i/i + 3/2
%У2у/х ’
Шй.
3/2 = 2yiy/x ’
2)
3)
У1 =
dyi
xyi
dy2
xy2
Vidyi
У2+Х2
22.
1)
'
dx
У^е? ’
V2dy2 _ xdx
У1+х2
У1+У2'
У1 = У1У2,
,
У2
2
У2 = jlni - 3/13/2!
sin xdx
COS У1 — COS У2
§ 7. Системы дифференциальных уравнений
, _ 4(2yi 4- 3y2)z3
У1 —------------------- ?
У2
, _ 4(2j/i + Зт/гк3
У2 —
>
У1
dy2
xy2
2dyi
xyi
dx
yly2Vx2 +1’
• 9
sm2yictgy2ctgT
23. 1)
»9
sin y2 ctg У1 ctg x
*9
*
smzzctgyictgy2
( y{ = yly2,
\
cos x + ex
,
У2
=
------7~^У2
У^Уъ
I
sin I + e1
2(yi + 2y2)lnx
( ,
J
|
I
I
xy2
_ 2(yi + 2y2)lnx
у2—
ХУ1
;
3dyi _ dy2 _
dx
xyi
xy2
у3У2(х2 + 1)2’
ch2y2(thyi — thi)
ch2yi(thi — thy2)
24. 1)
| y{ = y[yl,
У1 + 3y2
y2x In X ’
,
yi + 3y2
У2 = —
i—;
У1Х1ПХ
dyi
У2^+х
dy2
У1У2
(xy2)3
(xyi)3
dx
У1 ’
(У1У2)3'
ch2x(thyi — thy2)
§ 7. Системы дифференциальных уравнений
108
Г у\ = yloyl,
25. 1)
1 з4 = у - уЫ0;
, _ (3^1 - ^У2)ех
,У2
У1(ех + 1)
dyi _ dy2 _ dx
У1 — 2х
у2~ 2х 3i ’
cosyidyi _ cosy2dy2 _
cosxdx
sin уъ + sin x sin yi + sin x
sin yi + sin y2
Ответы
1.
1)
yi = Ci sin sin |tg — j 4-Chains,
У2 = (cosz - sins) ^Ci In |tg ^| + C2) + Ci;
2.
2)
l/i = C2(z + Ci),
3)
— = Ci,
4)
^^ = C^
i)
yi = С1ЙПХ + С2,
cosz
Ci + C2 sin z Ci sin z + C2
1/2 =---------5---------------------------- ;
cos2 z
cos X
yi = C2(x + Ci), У2 = (1 — C2)(z + Ci);
2)
3.
У2 = (C2 — l)(x + Ci)-,
yiy2 - In (z2 + 1) = C2;
(e* + e*+e")(e*-e')2 = C2.
yjy2 — arctgz2 = C2;
3)
— = Ci,
V2
4)
ch21/1 — ch2 z = Ci,
1)
yi = Cix in |z| + C2z,
ch2 уг — ch2 z = C2.
1/2 = (1 — iJtC'i In |z| + C2) + Ci;
уг = (1 — C2)^X + Ci,
2)
yi = C2^x^~Ci,
3)
— = Ci, yfy2-axctgx2 = C2;
V2
In21/1 - In2 z = Ci, In2 j/2 — In2 z = C2.
4)
§ 7. Системы дифференциальных уравнений
4.
1)
у! = С^ - С2х,
У2 = С1?(3 - я) + С2(х - 1);
„
С/т + С1
yi—C2(x + Ci),
5.
„
0~^2){x + Ci)
у2 —----------------------- ,
урГ1 - axcsniyl = Су,
3)
yi?~x = Ci,
4)
yt~x4 = Clt
1)
j/i = (7itgiln|smi| + C2tgT,
у\-х4 = С2.
1
2/2 =
2)
2/i — C2 v^3z + Ci,
3)
sin 2/2 _ r
2/?
*’
4)
V1 _^2 = Cii
2/2
6.
(Ci In | sin z| + C2) + Ci;
COS2I
1)
2/2 — (C2 — l)^i+^;
2yl
(yitf _
3
2 sin j/2
2’
(2/1 + 2/2 + ^)(2/i — У2)2 — Сг-
^
yi = Cirtgx - C2ctglln I cosi|,
2/2 = ( -—5—I- ctg x I (C2 In I coszl - Ci) + C2;
\sm z
/
7.
(C2 - l)(sina: + Ci)
y2 =----------- --------------- ;
2)
\
у i = C2(smz + Ci),
3)
^ = Cb
4)
e^' - e2x = Ci,
1)
3/1 = Ci th a; In | shz| + C2thz,
in I cosg/?| + xy2 = C2;
e2w - e21 = C2.
2/2=( -Д----- thz 1 (Ci In I sha:| + C2) + C^
\ch z
/
8.
2)
У1 = C2(ex + Ci),
3)
4)
^ = Cb zy2-h(!/2 + l) = C2;
X
2/1+ 2/2-z = Ci, (2/1 -z)(j/2 - x) = C2.
1)
yi = Ci cth x In ch x + C2 cth x,
y2 = (1 — 2C2)(ex + Ci);
V2 = Ci - ( —i—h cth z I (Ci In ch i + C2);
(sh z
/
2)
Г /In ItIС 1
2/1 — C2(ln |z| + Ci),
3)
2/1С-и = Cl,
4)
y/yi+y/Уг- i/x = Ch
(1 - C2)(ln |z| + Ci)
y2 —-------------------------- ,
3/iew - ln(z2 + 1) = C2;
(Тзд-^(5/2/2 - V^) = C2.
109
J 7. Системы дифференциальных уравнений
110
9.
1)
2/1 = С^х + С2у/х,
У2 = Ci(l -i) + С2 ^2^5 - ^;
2)
3)
10.
yl = C2(cl--\
\
= Ci,
у2 = 1^2(с1--\
х/
4
2/1 ch J/2 - х2 = С2;
4)
саут
е* + еи - е1 = Съ
1)
2/i = Ci® + С2^х,
\
XJ
(е* — ех)(ё^ - е1) = С2
У2 = Ci(l - i) + C2^[^--l);
2)
У^ЗДх + СО,
3)
”^1^ = С1,
^ = (2^2Ж£±^;
2/18insl ~х2 = Сг’
4) У1+У2~х2 = G, (у? - х2)(.У2 - я2) = С2.
11.
1)
2/1 = 8шх(С1вшх — Cjcosi),
У2 = Ci(sin(2i) — sin3 я) + C2(sinxcoex — cos(2x));
2)
2/i = (1 + Ci)x + CiC2,
y2 = ———x + C2~,
11 + Ci I + |G| / 0;
12.
^-^r = ^
3)
ГС1’
4)
^^ = C1’
1)
2/1 = cosr(Cisini + eicosa:),
№ + И& + ^)(Д-^)2 = с2.
V2 = Ci(cos(2x) — coax sin x) — C2(sin(2x) + cos2 x);
2)
2/i = (2Ci - l)x + CtC2,
y2 = —^—x + C2;
|2G - 1| + |C2| / 0;
13.
3)
y = G,
4)
1/1 +1/2 - ®* = Cl,
1)
У1 = С2ес^,
У1 = 0,
2)
ху2 + е^=С2;
(1/1-Z3)(2/1-x3) =C2.
Vi = -^^
y2 = Cx-,
1/i = (2C1 + 3)x + CiCa,
12^i + 3| + IC2I
0;
H=^i + C2;
§ 7. Системы дифференциальных уравнений
14.
3)
yiem=Ch
4)
“-*’
1)
У1 = С2е^3,
У1 =0,
2)
1леи - arctgz2 = С2;
(tgl + tgV1+tg№)(tM1-tEI)! = C2-
у2 = %е-<^-
у2 = Сх;
У! = (G-1) In И + С1С2,
Й = ^1п|1| + С!;
IG-1I + IGI/0;
4)
У1
ух shy2 — h(i2 + 1) = С2;
"Г--- — Ь]
shj/2
tg2 ух - tg2 z = Cb tg2 y2 - tg2 a; = C2.
1)
_ I /X 7T\|C1
l/i = G|tg^- + -J| ,
3)
15.
„
3/1 = o,
2)
y2
Cx
I /I
C2cosz I ® \2
ni’C1.
4/1
C
y2 =------ ;
cosz
3/1 = (4 - Cl) ctg x + CxC2,
4-Ci
3/2 = —^~ ctgz + C2;
|Ci-4| + |C2|/0;
16.
t-=Ci,
4)
2?/i - arctgy^ = C2;
СПЯ
em + e” + e* = Ci, e2»1 + e2” 4-e2z = C2.
1)
yi = C2^,
3)
У1 = 0,
2)
y, = £^;
y2 = Csinz;
l/i — (5 — Cx)ex + CiC2,
y2 — ———-e1 + C2;
|Ci - 5| + |C2| / 0;
4)
— = Cl, Уху2 - arctg i2 = C2;
3/2
^M=Cl’ bi|z3/ij/2|ln2(3/i/z) = C2.
1}
Й = ^’
3)
1T-
3/1 = 0,
2)
3/2 = §tgz|coszn:
3/2 = Ctgz;
3/i = (2 - 3Ci) cos z + CiC2,
y2 = —^ cos z + C2;
|3Ci - 2| + |C2| / 0;
3)
4)
— = Clt In | sin J/?| - xy^ = C2;
X
S/i+3/2 +1 = Ci, Ух+у2+х2 = С2.
111
§ 7. Системы дифференциальных уравнений
112
18.
1)
3/1 = С2ес^+Х\
Vi =0,
2)
+ l)^'***);
у2 =
1/2 = С{ех + 1);
3/1 = (3Ci + 1) sinx + CLC2,
301 I 1
У2 = —7;— ami + С2;
|3G +1| + |С3| / 0;
4)
*
= С2;
У2 + 1
y/yi + у/У2 + V% = Cii 8/1 + 3/2 +1 = ft.
1)
У1 = С2еС1(1“ОТ1),
3)
19.
Vie 1 = Ci,
3/1 = 0,
2)
yiex +
С\(1 + sini)
^ - Сге01^-™”1)’
й = С(1 + 8пи);
3/1 — (^i + I)1* + С\С2,
з/2 — —^—з? + С2;
|С1 + 1| + |ft| / 0;
4)
~г~ — G> 3/1 sh ж Ч—,
— С2;
ahi
l/2 + l
yl + y2+x2 = С1, У1 + У$ + х* =
1)
У1 = Сче011^^
3)
20.
3/1 = 0,
2)
У2
С2.
Ci(? + 1)
С2ес^!^'
У2 = С(х* + 1);
3/1 — (Ci ~ 1)^2 + ftft,
У2 —
—х2 + С2;
|ft - 1| + |С2| / 0;
4)
-^■=^1, j2chi + e ^ =Q;
СПЯ
С08 {/1 + COS J/2 —COST = С1, (сов J/l - cos х) (cos у2 —cost) =С2.
1)
Vl = С2ес^/М\
3)
21.
3/1 = 0,
2)
У2 =
+ 1)е-й’^/*+1).
у2 = С{^ 4-1);
3/1 = (2С1 + 1)^ + CiC2,
У2 = —^---- у/х + С2\
|2Ci + 1| + |С2| / 0;
3)
22.
4)
~ = Cii 3/13/2 +
= ft;
3/2
|-^ = С1, (х2 + з/? + 3^) (з/? -12)2 = ft-
1)
У1 = С^е0'"^1-1),
3/1 = 0,
y2 = Ckix;
у2 = — hxe-011^1-1’;
С2
§ 7. Системы дифференциальных уравнений
2)
2/1 = (2G + 3)? + С^,
у2=2
^1х^С2-,
|2С, + 3| + |С2| / 0;
23.
yfo - 2^ТТ = С2;
3)
^ = CU
4)
3/2
ctg21/1 - ctg21 = Cb
1)
y^Cie^-™1),
J/1=O,
2)
ctg2 y2 — ctg2 x = C2.
y^^sinx + e^e0'^1-^-,
C2
y2 = Cfsini + e1);
3/1 = (C'l + 2) In2 x + CtC2,
y2 = —l—— In2 x + C2;
IQ + 2I + IGI/0;
24.
^l^2 +
1 = ^2'
3)
л =
4)
3/2
I +1
thj/! + thy2 — ths = Ci,
1)
У1^С2е^/\
У1 =0,
2)
(thi/i — ths)(th2/2 - ths) = C2.
y2 = ^.xe-^
C2
y2 = Cx;
2/1 = (<?i+3)ln|lns| 4-C!C2,
!/2 = ^ln|lnsH-C2;
|Ci + 3| + |C2|/0;
25.
y2ex + e~^ = C2;
3)
У2е~х = Clt
4)
2/i - i6 = Ci,
1)
j/i = C2eWl°,
У1 =0,
2)
y^-x6 = C2.
ft^se-W0;
y2 = Cx;
У1 = (3Ci—4) ln(e1+l)+CiC2,
У2 = —i—ln(eI-H)+C2;
bl
|3G - 4| + |C2| ^ 0;
3)
4)
(lhZjfe)! = Cl> №±^ = c.
X
yi + x
sinwi — sin X
-----------------= Ci, (smi+smyi +sinj/2 (smi/i —sinxY = C2.
sm y2 — sin x
113
§ 8. Линейные и квазилинейные уравнения
1-го порядка с частными производными
В дифференциальных уравнениях с частными производными искомой
является функция нескольких переменных у = у(хх, х2,..., х^.
Линейное однородное уравнение имеет вид
. ду
/
\
a1(x1,x2,...,xn) — + ... + an(x1,x2,...,xn) — = 0.
(8.1)
Для его решения следует найти п — 1 независимых первых интегралов
ФДяр х2,..., *„), Ф2(Х1, i2,.. .,in),..., Фп-Дх!, я2, ..., хп)
(8.2)
соответствующей системы в симметрической форме
dx
dx2
dxл
®1(®1»®2> • ■ •’^n)
^(^l) ^Э’• • • I-^n)
^(^l! ^I • • ' 1 ^n)
Общее решение уравнения (8.1) записывается по формуле
^Р(Ф1,Ф2,..„ФП_1),
(8.4)
где F — произвольная дифференцируемая функция.
Пример 1. Решить уравнение
хх^. + х
1 Здхх
3
dy I J18iDJ2 ду -0.
2дх2
cosx3 дх3
Решение. Запишем соответствующую систему (8.3):
dx^
dx-y
*^1*^3
^3 ^6 *^2
cos x^dx^
*^1 ^^ *^2
Ее независимые первые интегралы
Ф, = —----- ,
sin х2
Ф2 = хх sinj2 — 2j3(sinj3 + cosx3)
(см. пример 3 § 7, отличающийся лишь обозначениями).
Ответ записываем по формуле (8.4).
Ответ: у = F ^А^, хх sinх2 — 2i3(sini3 4- cosх3)).
Задана Коши для уравнения (8.1) состоит в нахождении решения это
го уравнения с учетом начального условия
у(хи ...,xio_b 1?, 1^+1, ...,!„) = ^(ip...,xio_bх^+1,...,х„),
114
(8.5)
§8. Линейные и квазилинейные уравнения 1-го порядка с частными производными 115
где г0 — фиксированный номер аргумента функции, 1 ^ г0 ^ п, х^ —
фиксированное значение этого аргумента, р — заданная функция.
Чтобы решить задачу Коши (8.1), (8.5), следует вначале найти незави
симые первые интегралы (8.2), затем решить систему уравнений
Ф^!, . . .,1И,1“,1;о+1,.. ,,in) = Ср
Фг^р ..., ^0-ъ ^, iio+i,...,хп) = С2,
(8-6)
Vlt1!. • • ■, Ч-b Ч’ ^Ь ■ • • > ^п) = Сп-1‘
Если
ij-F^Cj.Cj,...,^), ... , т,о_1 — ^-ifC], С2, • • • jCn-i),
^0+i = F«0+i(G>^-•••,^-i), •••>*„ = Fn(G,G, ■ • •,Cn_i) есть решение
системы (8.6), то решение задачи Коши (8.1), (8.5) записывается по форму
ле
y = <p(F1 (Ф.Ф, ..., Ф^О ,..., ^ч (Фь Ф2,..., Ф^),
(8-7)
Fio+1 (Фп Ф2,..., Ф^),..., Fn (Фп Ф2,..., Ф^)
Пример 2. Решить задачу Коши
Решение. Соответствующая система в симметрической форме (8.3) со
стоит из одного уравнения
dx^
dx2
Tj cos212 + 2^ e^
2y/x^cos2x2
Этому уравнению можно придать вид
—1 = —
dx2
2^х2
1---------- ,
cos2 х2
отличающийся от решенного примера 1 из § 4 лишь обозначениями. Придав
решению этого уравнения форму
хге ^ — tg т2 = С,
находим соответствующий первый интеграл:
Ф = х^^ — tgi2.
116 §8. Линейные и квазилинейные уравнения 1-го порядка с частными производными
Система (8.6) состоит в данном случае из одного уравнения ххе 1 —
tg 1 = С, имеющего решение хх = е ^С + tg 1^. Осталось воспользоваться
формулой (8.7).
Ответ: у = е {ххе~^ -tgi2 + tg 1).
Квазилинейное уравнение имеет вид
9у
ду
ajip x2,...,xn,y) — + ...+ an(xx, х2,..., хп, У}^ = Ф1,
, хп, у).
(8-8)
Для его решения следует вначале найти п независимых первых интегралов
$i(ah, х2,..., хп, у), Ф2(а:1, яъ» • • •, хы У),---, ^(^ь %•••> хы У)
(8-9)
соответствующей системы в симметрической форме
dxn
_
dy
an(xx,x2,...,xn,y)
a(xvx2,... ,xn,y)'
(8.10)
Общее решение уравнения (8.8) записывается в неявном виде по фор
муле
Г(Ф1,Ф2,...,Фп)=0,
(8.11)
dxx
_
ar{x^x2,...,xn,y)
_
в которой F есть произвольная дифференцируемая функция.
Пример 3. Решить уравнение
1
ду
2ухх дхх
! е1^ ду_ 2
2х2 дх2
Решение. Соответствующая система (8.10)
_
2х*)
2ухх dxx = ^/у
dy
= ^г
распадается на два независимых уравнения
«
_ dy
Z^dx! _ dy
2yxxdxx--у2,
решения которых хх + 1/(2у2) = Сх, х2 + е1^ = С2 позволяют записать
функции (8.9):
Ф1 = ^ + 1/(2у2), Ф2 = х2 + еУу.
Теперь применим формулу (8.11).
Ответ: F[x2 + \/{2у2), х2 + е1^) = 0.
§8. Линейные и квазилинейные уравнения 1-го порядка с частными производными 117
Для уравнения (8.8) начальным условием называется то же допол
нительное условие на решение (8.5), что и для уравнения (8.1).
Чтобы решить задачу Коши (8.8), (8.5), следует вначале найти неза
висимые первые интегралы (8.9), затем решить систему уравнений
' $1(^1. • • ■ , Ч-Ь Ч’ ^о+Ь • • • > ^П, у) = G( Ф2(т1,...,а;;о_1,х9,^о+1,...,тп,2/) = С2,
(8-12)
> ^l, • • • , Ч’^Ч' ^о+Ь ' • • > ^П, У) = ^п'
Если хг = Fy(Cy, С2,...,Сп), ..., i^.j = ^0-1(С1> С2,..., Сп), а\о+1 =
= Fio+1(Cy,C2,...,CJ,...,xn = F^^
y = G(Cy,C2,...,Cn)
есть решение системы (8.12), то решение задачи Коши (8.8), (8.5) записы
вается по формуле
G^2)...^n) = ^(F^p...^J,...,^
Fia+y^y,...,*J,...,Fn(*y,..^^
Пример 4. Решить задачу Коши
ди
= 1,
y(ln2,i2) = i2 + 2.
Решение. Соответствующая система (8.10)
е 1 dxy = — = dy,
или
е®1 diy = dy,
I Y = ЙУимеет общий интеграл е®1 ~у = Су, х2 = С2. Следовательно, система (8.12)
для нашего примера записывается в виде
2 — у = Су,
. ^2 = ^2
и приводит к решению i2 = С2, у = 2 — Су. Формула (8.13), дающая в
общем случае решение в неявном виде, теперь приобретает вид
2 - е11 + у = х2 + 2,
что позволяет выразить решение явно.
Ответ: у = е1' + х2.
118 §8. Линейные и квазилинейные уравнения 1-го порядка с частными производными
Задания
Решите уравнения или задачи Коши:
1.
1)
ох2
0X1
+ xix2^^~ = 0;
0x3
2) 2x2^^- + cosxi^- = 0,
0X1
0X2
у(0, Х2) = е®’;
3) (ij + 2у - У2}^- + (^2 + Зу2 - у3}^- = 1;
0X1 ОХ2
ду
4) zi— = у, у{2, х2) = smi2.
0x1
}
2 dxi+ 2 Здх2 + 1
3
’
2) lnj2------1- shii— = 0, y(xi, 1) = (chai + I)2;
UXi-0X2
ду
ду
3) (xi — sin у + cosy)------h (i2 - siny - cosy)— = 1;
0x1------------------------------ 0x2
4)
,
0X1
dy
= у2 '
y^
Oy
X2)=
^2
.
.
2) 4i2^- + e11— = 0, y(xi, 0) = sine11;
dxi
dx2
3) (Il + e2")^- + (i2 + 2е^)^- = 1;
UXi OX2
4.
dy
^xi— = y2, y(xi,0) = xi.
OX2
1) Х2е^+х*^- +
= °;
dx\
0X2
ox$
2) 6xl^- + chxr^- = 0, y(0, i2) = 81^;
0X1
dX2
3) ^ _ ^ + (x2 +1 - y)^- = 1;
0X1
dX2
^}^^- = y2, y(ii, 1) = e11.
OX2
§8. Линейные и квазилинейные уравнения 1-го порядка с частными производными 119
5.
1) (ц - 2i3)^- + (i2 - 2i3)^- + 3i3^- = 0;
0X1
0X2
ох3
ду
,
.
+ е1^ = 0, у(ц, 1) = е1* - 1;
UXi
UX2
з) (xi + y- 1)^- + (12 - у)^- = 1;
0X1
0X2
dy
0
2
4< &; =» “"ь
ч
2)
6.
,
ду
к
ду
ду
, „
' ду
1) 1]1з^- + i2i3^- +1112(13 + ^г- = °;
OXi
7-
8.
UX2
иХ^
ду
ду
,
2) I1COSI27------ 2smj27- = о, у(1, i2) = sin i2;
UXi------------- UX2
3) (2е’ - Х1)^- + (Зе2» - х2)^~ = 1;
0X1 0X2
,
ду
ду
4)х1— + у-— = у, y(ib l) = ii.
ОХ\
ОХ2
1113 ду
ду
2
4
ду
4 ~^+^д^+‘!чМ+‘t=0;
2) ii sin(2i2)—+ cos2i2— = 0, y(ii, 7r) = if;
UXi
OX2
3) (e» - ii)^- + (y2 + 2y- i2)^- = 1;
0X1
0X2
dv
dv
4) xl-^-+ y—= 0, y(ii,-2) = ib
Oxi
OX2
D 22 S’ + ^ + 4^1 + !Л = 0;
3 dxi
dx2
dx3
dy
dy
2) chiisini2------1- shii cosi2—— = 0, y(ib 7г) = — chii;
OXi------------ dX2
о
9.
3) (у - ц + 2)^- + (2y - I2 + 1)^- = 1;
OXi OX2
4) y^ + e~x*^- = Q, y(ib ln2) = ib
OXi
OX2
дУ 1
------ idy
дУ
n
1) 11I27---- 1- ^ic3 V1 - ij— + i2y = 0;
UXi
0X2
Ox$
„
dy
.
dy
n
/
тг\
.
2) 3iicosi2------- smi2—— = 0, У £1, — = sinii;
120 § 8. Линейные и квазилинейные уравнения 1-го порядка с частными производными
ду
ду
3) (сову + siny - 11)------- (сову + siny + i2)t- = 1;
0X1
0X2
.
ду
ду
.
.
4) е11------- у—= 0, y(0,i2) = i2 + l.
OXi
UX2
щ
111з ду
ду
ду
Ю. 1)
■ +i3tgi27- + iisinj2—= 0;
2- oil
0x2
0x3
ду
ду
2) (1 +1^) arctg х2-з------ 117- = 0, у(1, i2) = arctg2 х2;
UX2
oxi
\ ду
,
х ду
3) (cosy - siny - ii)— + (siny - cosy - r2)y = 1;
0X1
0X2
4) y-^-- xj-^-= 0, y(xi, 1) = xi 4-1.
OXi
0X2
9 dy
dy
dy
11 .1) X2X3 ctg x{— + 11X2-3— + ®i®3 = 0;
dx\
dx2
dx^
2)
- arctgii^- = 0, y(0, i2) = i2;
OXi
UX2
3) 2y(y2 - 11)^- + (y3 + 3y2 - x2)^- = 1;
0X1
dX2
4) xi^- + x2^~ = y, y(xb 1) = xj.
0x1
0x2
12. 1)
2)
3)
.
4)
13. 1)
2)
3)
4)
+ ф,Н + 1)^ +
= 0;
2 oxi
di2
dxs
21ni2^-+X2tg2Ii^- = 0, у(7Г, X2) = (7Г + In2 X2)2;
0X1
0X2
dy
dy
(2cosy - siny - 2ii)------1- (2 sin у 4- cosy — 2х2)-з— = 1;
0X1
0X2
dy
dy
,
.
xi^- + 2x2-3— = 4y, y(l, x2) = x20X1
0X2
х^з^- + Хз^ + ne^xl + 1)^- = 0;
0x1
dx2
dx^
dy
dy
sinx2—----F3sin2xicos2x2cosxi—— = 0, у(0, X2) = соахг;
dxi
dx2
(3e« - 2X1)^- + (e-’ - 2x2)^ = 1;
0X1
0X2
^^ + X2^2 = ^’ У^ХХ' ^ = X^'
§ 8. Линейные и квазилинейные уравнения 1-го порядка с частными производными 121
.
du
ди
14. 1) х\х3------|-j3cthi2----- FJichi27— = 0;
0X1
0X2
0Х$
2) 3sm 127 I-J1COSJ17---= 0, W 11,- =COSIi + liSinii + l;
dxi-------------- dx2
V
2/
du
du
3) (1 + 2y - 2ц)/ - (1 + 2y + 2i2)/ = 1;
0X1
0X2
x
dy
dy
4) 117------- 127- = 2y, y(2, I2) = sini2.
0X1
0X2
dy
dy
dy
15. 1) iii3T-----Fi3tgr27--- 1-iisin 12-5—= 0;
UX\
0x2
0x$
2) y/x[x2 lnx2^- +
= 0, y(ib 1) = 2e^;
0X1
0X2
3) 2(y + y2 - ^1)^- - 2(y + y2 + ^2)^- = 1;
UX\
0X2
.
dy
dy
..
4) 11^- + 4i2-7— = 12?/, ?/(2, x^ = i20X1
UX2
16. 1) xxx2^- - iii3(i2 + l)2^- + x2x3^- = 0;
0X1
0X2
0Хз
2) (^i +1)^- +
= °> у(°» J2) = 7^;
0X1
0X2
3) (4 + 3y - 3X1)^- + (6?/ - 1 - 3x2)^- = 1;
0X1 0X2
4) 11^- + 5l27- = Юу, y(-l, 12) = ^20Xi
0X2
dy X1X2 dy
dy
17. 1) 1 хзе11^- +
+ 11I37- = 0;
dxi
2 dx2
dx3
2) 3(ег1 + 1) In2 x2^~ + X2^~ = 0, ?/(0, x2) = In6i2;
0Xi
0X2
3) (3y - 5 - Зц)^ + (6y + 2 - 3i2)^ = 1;
0X1 0X2
4)
0X1
+
0X2
=
у^’I2^= X2'
18. 1) xxx3^~ + x3~ + iie®2^ + 1)^- = 0;
0X1
0X2
0X$
2) 7-----Fiilniisin2i2—= 0,
0X1------------------ 0X2
y(l, x2) = ctgx2 - 1;
122 § 8. Линейные и квазилинейные уравнения 1-го порядка с частными производными
ди
ди
3) (2 siny 4- 4 cosy - 3ii)----- 1- (2cosy - 4sinj/ - З12)-— = 1;
(7^1
OX2
.
dy
dy
.
.
4) 117------- ®2Ч— = ^У, у(хъ 1) = e11.
0X\
0X2
19. 1)
+ 13 th 2:2^- + ii shi2(ia + 1)-^- = 0;
dx\
dx2
dx3
2) (1 4- cosii)i^^ + j^ = 0, y(xlt 0) = tgy;
0X1
UX2
2
3) 3(y3 4- y2 — Xi)^- - 3(y3 + j/2 + x2)^- = 1;
0X1
UX2
дУ
дУ
С 1
1
4) 117------- 127- = У,
У(~^, ^2) = CO8I2№1
0X2
20. 1)
^
3)
4)
21. 1)
2)
3)
4)
22.
+
+
+
=
0X1
0X2
0Хз
+XieX1 ^2+х^ = °’ ^0’^=
0x1
0x2
Х2+1
(4е« - Зц)^- - (2е-’ + 3^2)^- = 1;
0X1 0X2
611^- + Х2^~ = 12у,
2/(1, Х2) = 008 2^.
0X1
0X2
х^з^- + х2хз^~ + 112:2(2:3 + 1)^- = 0;
дх\
dx2
дх3
(iJ + 1)(^ + 1)^-+iJ^- = 0, 2/(1, i2) = 12
+ 1\
0X1
0X2
\О
/
(5е« - 42:1)^- + (42:2 - Зе»)^- = 1;
0X1 0X2
7- =
0X1
х2у2,
2/(-1, х2) =2:2 + 1.
®2x3tgxlaa;i +
2
2)- - -----h aicsin2:i71 — xl—— = 0, у(0, х2} = arcsini2;
OTi----------------------- дх2
ду
ду
3) (5cosy - sin 2/ - 5ji)t-----1- (cos у + 5 sin у - 5x2)~— = 1;
0X1--------------------------------- 0X2
§ Sr = ^У^2’ y(X1’^ = ^iox2
§8. Линейные и квазилинейные уравнения 1-го порядка с частными производными 123
23. 1) х^-^- + xiel3(^ 4-1)2^- +
= 0;
0X1
0X2
Ох^
ч
ч ду
\
2) 4sinJ2COSJl2(l-Smii)COSIi-----= 0, у(0, Ц)=СО8 Ц;
0X1------------ dl2
3) 2(3у2 + у- Зх^^- - 2(3у2 + у + 3x2}^- = 1;
0X10X2
ду
9
/
2
24. 1) i1zJ^- + risliiJ(^ + l)1^.+TJtbzj^- = O;
0Х\
0X2
Ох^
2)
+ ^Х1Х2)2^- = 0, 7/(0, г2) = ^2;
0X1
0X2
дц
dv
3) (1 + бу - 6ц)/ + (5 - бу - 612)7- = 1;
OXi
0X2
4) xi— = еХ2у2, у(ц, In2) = xy
0X2
2
dy
25. 1) X2eXl chi3------1- i]i27--- F ii cthi3-— = 0;
OXi
0X2
OX^
Qy
dy
2) (СО8Г1СО812)2Й-----F
= 0, y(x-L, 271) = tgari;
Ox\ OX2
du
dv
3) (6y + 7 - 2ц)/ + (21y + 10 - 3ц)/ = 1;
OXi
0X2
dv
4) Цу = ~e~X1y2, y(-ln3, ц) = x2.
OXi
Ответы
1.
2.
1)
y = F{—, a:ii2 + e 4
2)
у = e1’ — sinzi;
3)
F ((an - у2^, (x2 - !/>-») = 0;
4)
!/ = у8Ш12-
1)
у = F ( —, х2хг - 2y/xl + 1
2)
у = (chi! - J2lni2 + x2)2;
3)
F((xi — siny)e~v, (3:2 — cosj/Je"*) = 0;
4)
У =------—------- •
1 - ii + 1^2
\*^2
124 §8. Линейные и квазилинейные уравнения 1-го порядка с частными производными
3*
4.
5.
!)
y=F(i’
2)
у = sin^1 - 21^);
3)
F(xie^ - eV, x2e~v — e*) = 0;
1)
y = F(x2e 13, i2e”+e “’);
2)
i/ = (2^-shii)3;
3)
F((X1 - l)e-v, (®2 - y)e~v) = 0;
1)
y = f((^,^Y
2)
x3
ii +x3/
2
1
y = ez' ~-x2y/x;- -;
3)
F((ii + y)e~y, (x2-y- l)e‘«) = 0;
4)
y =------- v
1)
у = F (—, iii2 - ln(x? + 1)
2)
X^
!/ = 11вш!12;
3)
F((n - е*)е*, (x2 - e^} = 0;
4)
y = it.
\
6.
7.
8.
/
2)
/x2
\
у = F I —, x2x2 — arctg®! I;
4^2
/
у = x2cos4x2;
3)
F((ii - shy)e“, (i2 - У2)еу) = 0;
4)
у = -11(12 + 1).
1)
2)
I/ = F I —, i?i2 — arctg X? I;
4^2
/
у = chij cos®2;
3)
F((n -y- 1)6», (®2 -2y + l)e») = 0;
1)
4) у=^\-
§8. Линейные и квазилинейные уравнения 1-го порядка с частными производными 125
9.
io.
11.
12.
13.
1)
у = F(xie~X3, XieX3 — arcsine2);
2)
у = sm(iisin3i2);
3)
F((ii + x^ev, (x2 + sin y)ev) = 0;
4)
у = (z2 + l)exi.
i)
3
2 sin i2 J
2)
у = (iiarctgi2)2;
3)
F((h + x2)ev, (x2 + cosy)ev) = 0;
4)
y = 12(11 + 1)-
1)
2)
у = F (—, In |cosz!| + i2i3
к^з /
y = (ii arctg zi - In y/xl + 1 +12)2;
3)
F((xt -y2 + lie"1, (y3 - x2)ev) = 0;
4)
1)
у = тx2
/x2
\
y = Fl —, ф3 - ]n(i2 + 1));
2)
У = (b2^ +ii - tgii)2;
3)
F((i! — cos j/)e2#, (i2 — sin y)e2v) = 0;
4)
у = x}x2.
1)
y = F(x1e~X3, Xiexi — h(z2 + 1));
м
2)
У
3)
14.
\ i]
COSI2
q
• 3 ’
1 — COS 12 SID Ji
F((xi - e^e2*, (x2 - e^e2*) = 0;
4)
У = () •
\x2/
1)
2)
у=F(
, i!chi2 - ®3 );
yen I2
/
у = COSI1 + Xi sinii — COS3l2 + 3COSI2 + 1;
3)
Ft^ + ^.fe + ^^O;
4)
!/=ysm—.
126 § 8. Линейные и квазилинейные уравнения 1-го порядка с частными производными
15.
1)
/6Ш Х2
~\
y = Fl------- , Xi sin z2 ~ $з I;
2)
_
1
у = 2е^+^-^1пх2-^
3)
F((ii + х^е2*, (х2 + у2)е2у) = 0;
3^2
256
16.
1)
» = ^Д.зд--Д}
2)
у = у^2 - ^Mctgii;
3)
F((n -у- lje”, (i2 -2у + Це3») = 0;
1)
y = F[ —, фз + е-1>
2)
У = ($1 - InCe^1 + 1) - In3 z2 + In 2)2;
3)
F^ -y + 2)6^, (i2 - 2y)e3y) = 0;
*2 ' А/
\*3
17.
/т2
12-31 + 1
1+ (1 - 3i)(l2 -31 + 1)'
18.
1)
у = F(xie Ta, Xie1’— arctgX3);
V
3)
= 7^31 “ o’ + ^^ “
0
7
7
a'
F((ii — cosy — siny)e3y, (x2 — cosy + sinyje3») = 0;
P = tgy + j(l-»lH-^
3)
F((1! + I2)e3’, (i2 + J3)^) = 0;
4)
y = -хг cos(xiX2).
1)
y = F\ Д-. 2a:i - arctg3^ );
\cnl3
/
2)
!/ = (1 - зЦе11 -
®2 + I
;
§8. Линейные и квазилинейные уравнения 1-го порядка с частными производными 127
21.
3)
F((X1 - е»)е\ (х2 + е^е3») = 0;
4)
y = xicos—.
1)
у = F ( —, х^х2 — arctgij );
3)
. 7Г
— + 1 - Xi + arctgi! + 1- -;
3
/
4
F((ii - ei>)e\ (х2 - е»)е-4») = 0;
1 -г2(1 + ii)(l + i2)'
У=F
In |sinij| - ijiaj;
2)
у = arcsin i2 — ij arcsin Xi — ^/1 — ij + 1;
3)
F((ii — cosj/)e5v, {x2 — sinj/Je5*) = 0;
x2
y~ l + xf(l-x2)‘
23.
1)
у = F (Xie~X3, x^3 + /
2)
y= (ln(l — sin i]) + cos4 zj)3;
3)
F((xt + x^e6», (x2 + j/2)e6») = 0;
4)
У =------—-------■
IlP+l^l)
1)
j
I2 + 1
24.
=
\snz3
25.
^shia + Y-J-jy
l+x%J
3)
F((ii - у)е^, (x2 + y- 1)е®") = 0;
1)
у=FI
3)
F^ -3y- 2)e2*', (l2 -7y- l)^) = 0;
2 , r2chi3 + e z* I;
§ 9. Линейные однородные уравнения
с постоянными коэффициентами
Линейное однородное уравнение порядка п с постоянными
коэффициентами имеет вид
y(n} + а^^ + ... + а^у' + апу = 0,
(9.1)
где alt а2,..., ап — заданные действительные числа.
Для решения уравнения (9.1) следует вначале найти все корни (вообще
говоря, комплексные) соответствующего характеристического уравне
ния
An + OjA" 1 + ... + an_jA + an = 0
(9.2)
вместе с их кратностями.
Пусть 7 — действительный корень уравнения (9.2) некоторой кратности
к. Сопоставим ему функции е71, хе11, ..., х^е11. Пусть a±if) (^ > 0) —
пара комплексно-сопряженных корней уравнения (9.2) кратности s. Сопо
ставим ей функции еах со8(0х), xeax cos(J3x), ...,
cos(/3x); eai sin(/3x),
хеах sin(/3x), ..., x^e^sin^x).
Функции, сопоставленные указанным образом всем действительным
корням и всем парам комплексно-сопряженных корней уравнения (9.2), об
разуют фундаментальную систему решений уравнения (9.1). Взяв ли
нейную комбинацию этих функций с произвольными действительными ко
эффициентами, получим общее решение уравнения (9.1).
Пример 1. Решить уравнение
^(5) _ Зу(4) _ 6у"' + 10у« + 21т/ + 9г/ = о.
Решение. Характеристическому уравнению
А5 - ЗА4 - 6А3 + 10А2 + 21А + 9 = 0
придадим вид
(А-3)2(А + 1)3 = 0.
Это означает, что его корнями будут числа 3 и —1 кратностей соответствен
но 2 и 3. Фундаментальную систему решений образуют функции е3г, хе3®;
е~х, хе~х, х2е~х.
Ответ: у = e3l(C1 + С2х) + е~х(С3 + С\х + С5х2).
128
§ 9. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
129
Пример 2. Решить уравнение
у^ + 4?/5) 4- 53j/(4) - 0.
Решение. Характеристическому уравнению
А6 + 4А5 4- 53А4 = 0
придадим вид
Л4(Л + 2 - 7г)(А + 2 4- 7г) = 0.
Действительный корень 0 имеет кратность 4, а пара —2 ± 7г комплексно
сопряженных корней имеет кратность 1, поэтому фундаментальную систе
му решений образуют функции 1, х, х2, ж3; e*2lcos(7i), e"2lsin(7i).
Ответ: у = С\ + С2х + С3х2 + С^ + е~2х(С5 cos(7x) + С6 sin(7i)).
Пример 3. Решить уравнение
г/6) + Зу(4^ 4- Зу" + у = 0.
Решение. Соответствующее характеристическое уравнение
Ае 4- ЗА4 4- ЗА2 4-1 = 0
может быть записано сначала в виде (А2 4- I)3 = 0, а затем в виде
(А — г)3(А 4- г)3 = 0. Это означает, что его корнями будет пара комплексно
сопряженных чисел ±г кратности 3. Фундаментальная систему решений
состоит из функций cost, icosi, i2cosj; sinx, isini, i2sini.
Ответ: у = Cjcosi 4- C2sini 4- t(C3cost 4- C4sini) 4- j2(C5cosj44-C6sini).
Пример 4. Решить уравнение
У(5) 4- у = 0.
Решение. Характеристическое уравнение А5 4- 1 =0 дает А = ^-1.
Следует извлекать корень из — 1 как из комплексного числа. Получим дей
ствительный корень —1 и две пары комплексно-сопряженных корней cos |±
±гsin |, cos yiisin у; кратности всех корней равны 1. При написании оттг
вета воспользуемся тем, что cosj =
5 “
4
•
•
т
V10-2VS
sin2 = -*—---- , cos у1 =
______
Ответ: у = С^1 4- е^Т^ ^2 cos
4- е^ (с4cos ^^ + С, sin ^).
1-75
______
+ сз sin
V10"2^1) +
§ 9. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
130
Задания
Решите уравнения:
1.
1) у^ + 2/"' - Зу" -б^-2у = б-
2) у® + 4yW + by" + 2У = 0;
3) уЮ + Зу^ 4- 44/' + 132У = 0;
4)
Е^У^^О.
к=0
2.
1) у^ + 5/' + 9у" + 7^ + 2» = 0;
2) у® 4- 5у^ 4- Зу" 4- 4у = 0;
3) у^ + 8у« 4- 40у'" + 320у = 0;
4)
Е^У(2к) = 0.
k=o
3.
1) у^ - бу"' + бу" 4- 4у' - 8у = 0;
2) у^ 4- 11у(4) 4- 40г/" + 48j/ = 0;
3) у^ 4- у^ 4- 64г/" 4- бФу = 0;
4)
f^HV^O.
fc=O
4.
1) у^ 4- 5у'" 4- бу" - Фу' - 8у = 0;
2) у^ - 3/ - 2у = 0;
3) ут 4- 9yW 4- 20/' 4- 180j/ = 0;
п
4)
5.
S Сп ФЛ~ку^п^ = 0.
ьо
1) г/(4) + 2/' - 2г/ - у = 0;
2) у(6) 4- 7у^ 4- 16г/' 4- 12У = 0;
3) у^ 4- 24г/4> + 2/' 4- 48г/ = 0;
EcbM = o.
ьо
1) г/(4) - /' - 9г/" - Из/ - 4у = 0;
4)
6.
2) г/6) 4- 6yW + 9г/" 4- 4г/ = 0;
3) г/(7) + 27t/4) 4- 4/' 4- 1082/ = 0;
4)
EcfU-W^^o.
t=0
§ 9. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
7.
1) у(4)-6/ + 8у'-Зу = 0;
2) у® + 9yW + 24у" + 201/ = 0;
3) у™ + 72у^ + 20у'" + 1440у = 0;
10
4)
8.
Мо 410-V2fc) = 0.
1) у^ - бу"' + 12/ - Ют/ + Зу = 0;
2) у(6) + 7у^ + 11/ + 5у = 0;
3) у™ + 81yW + 2/' + 162у = 0;
4)
9.
Е ^10 (-16)10-V4t) = 0.
*=о
1) у^ - 4/' + 16j/ - 16у = 0;
2) у^ + 17у^ + 63/ - 81у = 0;
3) у^ - у^ + 36/' - 36у = 0;
4)
£ С^у^^ = 0.
к=0
10. 1) у^ + 4/' - 16у' - 16у = 0;
2) у^ + Пу^ + 7у" - 147у = 0;
3) у^ - Зу(4) + 64/' - 192у = 0;
Echw = o.
*=o
11. 1) у^ - 5/' + 9/ - 71/ + 2у = 0;
4)
2) у^ + 8yW + 13/ + бу = 0;
3) у(7) - 8у(4) + 12у"' - 96у = 0;
4)
20
Ё С‘о 22°-ki/<t+20> = 0.
t=o
12. 1) у(4)-/'-3/ + 5у'-2у = 0;
2) у® + 4у(4) — 16/ — 64у = 0;
3) у^ - 9yW + 24у'" - 216у = 0;
20
4)
Ё <?20 (—l)*420-fcy<2^ = 0.
1=0
131
132
§ 9. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
13. 1) г/(4) - бу" - 8т/ - бу = 0;
2) у^ + 9yw + 15/ + 7у = 0;
3) у^ - 24у^ + 4у'" - 96г/ = 0;
4)
ёс^з/^Ч-в!)20--*^.
*=о
14. 1) у^ + бу'" + 12/ + 10j/' + Зу = 0;
2) у® + З/4) - 4у = 0;
3) у^ - 27у^ + 20/' - 540г/ = 0;
4)
Echw = o.
ьо
15. 1) /4) - 7/'+ 15/- 13j/+ 4у = 0;
2) у^ - 12/ - 16у = 0;
3) уЮ - 72у^ + 2/' - 144j/ = 0;
4)
Е С* 4”-ку^ = 0.
*=о
16. 1) у^ + у"'- 9у" + Ну'— 4у = 0;
2) у® + 9у^ + 24/ + 16j/ = 0;
3) yW - 81/4) + 4/' - 324// = 0;
20
4)
Е ^ (—i)*22°-*j/(fc+50) = о.
к=0
17. 1) /О + 7/'+ 15/+ 131/+ 41/= 0;
2) у^ + 7уЮ + 15/ + 9у = 0;
3) ут + 31/W + 36/' + 108» = 0;
50
4)
Е <?и (—1)*95О-*з/2А:> = 0.
fc=0
18. 1) у^ - 8у"' + 18/ - 16j/ + 5» = 0;
2) у^ 4- 8yW + 21/ + 18у = 0;
3) /7) + 81/W + 12/' + 96j/ = 0;
4)
Е С& (—l)*2563°-fc2/(4fc) = 0.
fc=0
19. 1) г/(4) - 9/' + 21/ - 19г/ + 6г/ = 0;
2) г/(6) + 7у(4) + 8/ - 16г/ = 0;
§ 9. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
3) у(7) + 9yW 4- 40/' + ЗбОу = 0;
4)
£ С* 2п~кУ{к} = 0.
к=0
20. 1) у^ + 2у"' - 12у" + 14^ - 5у = 0;
2) у^ + 12у^ 4- 21у" 4- Юу = 0;
3) у(7) - Зу^ 4- 32у"' — 96у = 0;
4)
EcU2nV’ = o.
ьо
21. 1) у^ 4- Зу'" - 15у" + 17у' - бу = 0;
2) у® 4- 10yW 4- 32у" 4- 32у = 0;
3) у(7) - 8уЮ 4- 24у"' - 192у = 0;
4)
10
£ Cfo (-l)^10-*^*20) = 0.
fc=O
22. 1) у^ - 2у"' - 12у" - 14^ - 5у = 0;
2) y(6) + llyW + 39y" + 45y = 0;
3) у(7) - 9у<4> + 16у"' - 144у = 0;
20
4)
5Z <^20 Э20-^2^ = 0.
fc=0
23. 1) у^ - Зу"' - 15у" - 17у' - бу = 0;
2) у(6)+у(4)-8у"-12у = 0;
3) у^ 4- 24yW + 4у'" + 96у = 0;
ю
4) £ Gio (-ЮООО)10-*^ = 0.
к=О
24. 1) у(4) 4-8у"'4-18у" 4-16у'4-5у = 0;
2) у(6) 4- бу^ - 32у = 0;
3) у^ - 27уЮ + 2у"' - 54у = 0;
4)
£ С* (-Л/З^у^ = 0.
*:=0
25. 1) у(4>+9у"' + 21у" + 19у' + 6у = 0;
2) у® 4- 2уЮ - 4у" - 8у = 0;
3) У^ — У^ 4- 44у'" — 44у = 0;
4)
Ecbw = 0.
л=о
133
§ 9. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
134
Ответы
1.
1) г/ = С^ + (С2 + С3х + с^е-*-,
2) у = Ci cos(^x) + С3 8in(v^i) + (Сз + C^x) cosx+
+ (СБ + C6i)sini;
3) у = е ^ (Ci cos( v^llx) + С2 зш(^П1)) +
+ e~ ^x (C3 costv^Hi) + C4 ein(^ii)) + C3e~ ^“+
+ e^/2 (C6cos^ + С7зш^);
4) » = S (Ci + ft+ioe-1) i4-1.
2.
1) у = Cie-^ + (C2 + C3i 4- C^)e~x-,
2) У = Ci cos x + <?2 sin x + (C3 + C4X) cos(v^i)+
+ (C8 + Cex) em(^x);
3) у = e^1 (Ci cos(v^Oi) + C2 sin(v/i6x)) +
+ e_ ^ (C3 co8(^i0x) + Ci ап(\/10х)) + C3e~2x+
+ ex(C3 соз(-УЗх) + Cjeinfx/Si));
5
3.
4) l/= S (^sini + Ct+sCosx)?’1.
k=l
1) 2/ = C^e x + (Ci + C3x + CiX^je^j
2) У = Ci cos(\/3x) + С3 sinfv'it) + (C3 + С^х) cos(2i)+
+ (C5 + C3x) sin(2x);
3) у = e2x (Ci cos(2x) + Ci sin(2i)) + e~2x (C3 cos(2x) + C4 sm(2i)) +
+ C3e~x + e1/2
^Cq cos ^^^ + Cq sin ^^;
40
4.
4) 2/ = £ (Ckex + Ck+4oe-x + Ct+80 sin x + Ck+iX cos x) x*-1.
k=l
1) 1/ = Ciex + (Ci + C3x + CiX2)e~2z-,
2) у = Cie^ + Cie-'/21 + (C3 + C4X) cos x + (C3 + Cji) sinx;
3) у = e^1 (Cicoe(y/5x) + Cj8in(^5i)) +
+ e-^1 (Cacosf^i) + C48in(^x)) +
+ C6e~ ^ + e ^2 (<7e cos ^ + C, sin ^);
4) y=t(Ok + Ck+ne-^)xk-\
*=1
5.
1) 2/ = Ci^ + (C2 + C3x + C4X2)e~x-,
2) У = Ci cos(y/3x) + C2 sin(v^x) + (C3 -4- C4X) cos(\^x)+
+ (C5 + Cex) sin(^x);
§ 9. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
3) у = ех№(с1соа-^ + С2ви1-^ +
-|- е~х>^ ^C3cos ^ + C4sm ^ + Съе~2^+
+ е^ (C6cos^ + C7sm^;
Зп
6.
4) У = Е (ск sin X + Ck+3n COS я) I1’1.
ы
1) 2/ = Ge41 4- (С2 + С31 4- C4i2)e-1;
2) у = Ci cos(2i) + С2 sin(2x) + (Сз + С^х) cos я+
4- (С5 4- C6i)smi;
3) У = ^(Ci cos я 4- C3sini) 4- e~x(C3cosx + C4sinx)4+ С5е-^ + в31'2 (c6 cos ^ + C7 sin ^);
7.
4) У = E CkZ*-1 4- e1 £ Ck+^x^1.
Ы
Ы
1) у = Cie 31 + (C2 4- C3x 4- C4z2)eI;
2) у = Ci cos(^5i) 4- C3sin(V^i) 4- (C3 4- C4X) cos(>/2z)44- (C5 4- C6x) sinfv^r);
3) у = e^x (Ci cosfv^i) 4- C2sin(^5z)) 44- e~^x (Сзсоэ(^5х) 4- С4зш(^т)) 4- Cse~2^x+
4- e^(Ce cos^^t) 4- C7sin(3^3x));
10
8.
4) у = E (^ Sin(2i) 4- C|t+1o cos(2i)) x*-1.
k=l
1) у = Cie31 4- (C2 4- C3x 4- CiX2)ex\
2) у = Ci cos(i/5x) 4- C2 sin(75i) 4- (C3 4- C4X) cos x+
4- (Cs 4- C6x) sin x;
3) У = e1!^2 {(Ji cos -^ 4- C2 sin -^^ 4+ e~x! ^ (c3 cos ^ 4- C4 sin ^) + C5e~3 ^4
+ e3^(c6cos^ + C7sin^);
10
4) У = E {C^ 4- Ck+ioe-21 4- Ck+2D sin(2x) 4- Ci+3o cos(2x)) x*-1.
9.
1) j/ = Cie-21 4- (C2 4- C3x 4- C^)^-,
2) у = Ciex 4- C2e~x 4- (C3 4- C4x) cos(3i) 4- (C5 4- C6j) sin(3i);
3) у = e1^1 (Ci cos(\/3i) 4- C2 зш(\/3г)) 44- e-^31 (C3 cos(i/3i) 4- C4 sin(^3i)) 4- C$ex+
4- e~x/2 ^C6 созф 4- C7 sin ^j;
4) У = E Ckxk~l 4- e~x £ Ck+^x^1.
Ы
k=l
135
136
§ 9. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
10. 1) у = С^е2* + (С2 + С3х + С4х2)е 2a\
2) у = Cie^ + С^-^ + (С3 + С4х) cos(^i)+
+ (С6 + С6х} sin(^r);
3) у = e2x(Ci cos(2i) + С2 sm(2j))+
+ e-2l(C3cos(2z) + C48in(2i)) + Сье^У
+ e-^/2 ^6COS^ + CT8ill^.
2n
4) !/ = E (й™1 + C№ cos x)I*’1ы
11. 1) j/ = Cie^ + (C2 + C3x 4- C4x2)e3',
2) у = Ci cos(\^i) + C2 sin(v^i) + (C3 + C4x) cos x+
+ (C5 + C6i)smi;
3) у = e^Picoe(^i) + C2sm(№t))+
+ e_ ^(G cos(№r) + C4 sin(№r)) + C6e2x+
+ e~x(Ce cos(^r) + Ci sin(^i));
4) У = E (c* + Ck+2Oe~2x) a:*-1,
ы
12. 1) y = Cie-2* + (C2 + C3x + C4i?)ex-,
2) у = Cie23 + C2e^2x + (C3 + C^x) cos(2x) + (Cs + C3x) an(2i);
3) j/ = e^(Ci coster) + Сзып(^6х))+
-I- e-^®1 (63 003(1^62:) + С48щ(’Уб1)) + Сзе^Ч
+ e-^/2 (cecos ^ + C7sin ^);
4) у = E (pke-23 + Ck+^e23) xk~l.
fc=l
13. 1) j/ = Cie33 + (C2 + C3x + C4x2)e x',
2) у = Ci cos(y/7x) + C2 sin(\/7x) + (C3 + C^x) cos x+
+ (C5 + Celsius;
3) У = e3(Ci cos x + C2 sin x) + e~x{C3 cos 2: + C4 sin 2:)+
+ ^e2^ + e-^ (<7ecos-^ + C7sin ^);
20
4) У = E {Сьв^ + Ck^e-33 + Ck+w sin(3a:) + Ck+so cos(3z)) x*-1.
14. 1) ^С^ + ^ + Сзх + С^У1;
2) У = Cie3 + C2e~3 + (C3 + C^x) cos(72x) + (C6 + C6x) sinful);
3) у = e^33 (Cicos(v^i) + C2sin(v^x)) +
+ e~ ^3 (C3 cos(№:) + C4 sin(^5i)) + Сье^У
+ e-^ ^Ce cos 3^ + C, sin ^j;
4) У = E Ckrk~l + e~x £ Ck+nX*-1.
k=l
k=l
§ 9. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
15. 1) у — Cie41 + (С2 + ^з^ + С4х2^ех]
2) У = С{ е2х+Ge-21+(С3+С4х) cos(^i) 4- (С5 4-С6х) sin(^i);
3) у = ех/^ ^CiCos-^+Cisin^+e-1^ (<73cos-$=4-C4sin-$=) +
4- С5е2 ^ + г^1 (С6 coe(3^32:) + Cr sin(3^3x));
4) 9 = Е (Ck sin(2i) + Ck+n cos(2t)) х*"1.
ы
16. 1) у = Ge-41 + (С2 + С3х + С'4х2)е1;
2) у = Ci cost 4- Cjsini + (С3 4- С4х) cos(2x)4+ (С5 4- С^х) sin(2i);
3) у = ex(Ci cosx 4- Cjsini) + e-I(C3cosi + C4sinx)4+ C5e3^ + e’3^2 (C8cos^ + C7sm^);
4) 9 = E CkX*-1 4- e2x £ Ск+50хк~1.
fc=l
Ы
17. 1) у = C^ 4- (C2 + C3x + CiX2)e-x2) у = Ci cos x 4- C2 sin x 4- (C3 + C4x) cos(\/3z)+
+ (C8 + C8i) sin(^r);
3) у = e'/'3x (Ci cos(v^i) + C2 sin(\/3i)) +
4- e-^ (C3 cos(v^i) + C4 sin(^/3r)) + C5e~ ^4-
+ е^2 (c6cos^ + C78m^);
4) У = E (Cite-31 4- Ct+5oeb) x*-1.
Ы
18. 1) ^C^ + ^ + Cjx + C^Je2;
2) y = Ci cos( V^x) + C2 sin(x^i) + (C3 + C4x) 005(^/31)+
+ (C5 4- C6x) зт(УЗх);
3) у = e^31 (Ci cos(^3i) + C2sin(v^x)) +
+ e~^3x (С3соб(№г) + Qanfi^i)) 4- Сье-2^
+ e1 (C6cos(V5x) 4- C7sin(v^i));
30
4) у = E (C^ + Ck+xe-41 4- C*+6o sin(4x) + Ct+90 cos(4i)) xk~\
*=1
19- 1) У = Ci^1 + (C2 4- C3x 4" C74x2)ez;
2) У = Ciex 4- C2e~x 4- (C3 4- C4x) cos(2x) 4- (C5 4- C6x) sin(2i);
3) у = e^^ (Ci cos(i/iOi) 4- C2sin(v^T0x)) 44- e'®1 (C3cos(-v/’T6:e) 4- Cjsinf^iOi)) 4- C5e^^x+
4- e^/2 (c6C0S ^ + C7sin ^);
4) y = e-2x'£,Ckxk~1.
137
138
§ 9. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
20. 1) у = Cie-51 + (С2 + С3х + С^х2^-,
2) у = Ci cos(-yiOx) + С2 sin( У10х) + (С3 + С^х) сов х+
+ (С5 + Сената;;
3) у = е'^х (Ci cos(№r) + Сгsin(№r)) +
+ e~^*z (C3co8(v^i) + Cianf^i:)) + C3e^Sz+
+ e- ^2 (ce cos ^ + C7 sin ^);
4) 1/ = E (Ct sin(2a:) + C*+2n cos(2i)) a*-1.
21. 1) у = Cie-6* + (Сг + C3i + C4i2)eI;
2) У = Ci cos(y/2x) + Сг sin(v^i) + (C3 + C^x) cos(2a)+
+ (C5 + Cex) sin(2a:);
3) у = e^ (Cicos(v^x) + Сг8in(v/6i)) +
+ e-^ (C3cos(v^a:) + C4siii(^a:)) + C3e2z+
+ e~z(Ce coe(v^a:) + CjsmfVSa:));
4) у = E C^-1 4^ ^ С^гох*-1.
22. 1) у = Cie*1 + (C2 4- C3i 4- C<x2)e~z-,
2) У = Ci cos(\/5x) + Сг sin(>/5a:) + (C3 + C^x) cos(v^a:)+
3) у =
+ (C3 + C3x) sin(v^r);
(Ci cos(y/2x) + Сг sin(\/2i)) 4+ e-^ (C3cos(V5a) + C4sin(v^x)) 4- C6e^*+
+ e~ ^2 (c„ cos ^ + Ct sin ^);
4) 1/ = E (Cfccos(3a:) + Ct+asinfSi)))?'1.
23. 1) у = Cie^ + (C2 4- C3x 4- CiX2)e~z-,
2) У = Cie^ + C2e~'^x 4- (C3 4- Cix) cos(v^x)+
+ (C5 + Cex) sin(^i);
3) 1/ = eI(GiCosi + C2sina:) + e~z(C3cosx 4- C<sina;)+
4- C3e~2 ^ + e^31 ^C3 cos ^ 4G sin ^jj;
4) У=Е (C*e10:r+Ck4aoe_10a4C*+2oCos(10a:)+Cbb3osin(10aO^^
24. 1) j/ = Ge-5" + (C2 + C3x + CiX2)e~z-,
2) у = Cie^ + Сге^1 + (C3 + C^x) cos(2a:) + (G 4- Csx) sin(2a:);
3) !/ = ez^'^2 (Ci cos -^ + Сг sin ^j +
+ e-1/^2 (c3 cos ^ + G sin ^) + C3e3z+
+ e-3*/2 (C6 cos ^ + C7 sin ^);
4) 1/= e3* £ C^a;*-1.
*=1
§ 9. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
25. 1) у = С^ + (С2 + С3х + С4х2)е~х;
2) у = С1е'/2х + Сге~^х + (С3 + С4х) cos(y/2x)+
+ (С5 + С6х) зт(\/2т);
3) у = е^х (Ci cos(^ili) + С2зш(-У11т)) +
+ е~ ^ (С3 cos(^ITi) + С4sin(^iTz)) + С5ех+
+ e~xl2 (с6 cos ^ + С7 sin ^^;
4п
4) У = Е (С* sin 1 + CkUn cosi) ifc"‘.
Ы
139
§ 10. Линейные неоднородные уравнения
с постоянными коэффициентами
Для решения линейного неоднородного уравнения
у^ + а^^ + а2у(п~2^ + ... + ап_ху' + апу = f(x)
(10.1)
следует вначале найти функции У1,у2,--., Уп> образующие фундаменталь
ную систему решений соответствующего однородного уравнения.
I. Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоян
ных). При использовании этого метода общее решение уравнения (10.1)
записывается в виде
У = С^х^ + С2(х)у2 + ... + Сп(х)уп.
(10.2)
Функции Сг(х), С2(х),..., Сп(х) восстанавливаются по своим производным,
которые находятся из линейной системы
С'1(х)У1 + С'2(х)у2 +...+ С'п(х)уп =0,
C'i(xWi + С'2(х)у'2 +...+ С^т/п =0,
-.....................-............................... -...............................
СКт)^"^ + 0^^ + • • • + С'п№у{”-2} = 0,
CJ^M Ч-С^х)^ +... ЧС'^’1’ = f(x).
(Ю.З)
Функции С^х), С2(х), ..., Сп(х), восстанавливаемые по производным,
следует брать с произвольными аддитивными постоянными.
Заметим, что при n = 1 метод Лагранжа указан в § 4.
Пример 1. Решить уравнение
у" - 4у' + 4у = —2=.
у/Х
Решение. Фундаментальную систему решений соответствующего одно
родного уравнения у"—4у'+4у = 0 образуют функции ух = е2х к у2 = хе2х.
Запишем для нашего примера систему вида (10.3):
С'^х^е21 + С2(х)хе2х = 0,
С'^х^е21 + С'^х^е21 + 2хе2х) = -^.
Ее решение С'^х) = у/x,
= ^Ху/х + С\,
(10.2).
С2(х) = -^, следовательно, С^х) =
С2(х) = С2 — 2у/х. Осталось воспользоваться формулой
140
§10. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами
141
Ответ: у = (Сг + С2х — | ху/х) е2х.
II. Метод неопределенных коэффициентов. В этом методе общее
решение уравнения (10.1) записывается в виде
У = C'iS/i + С2у2 + ... + Спуп + уч,
(10.4)
где частное решение уч уравнения (10.1) находится по-разному в зависимо
сти от вида правой части f(x) этого уравнения. Укажем два подходящих
для этого метода вида функции f(x):
1)
f(x) = eaxP(x),
(10.5)
где а — действительное число, Р(х) — многочлен. В этом случае
уч = х^^Щх).
Если число а не является корнем соответствующего характеристического
уравнения, то к = 0. Если же число а является таким корнем, то число
к полагается равным кратности этого корня. R(x) — многочлен той же
степени, что и многочлен Р(х), коэффициенты его берутся внача
ле неопределенными, а затем находятся после подстановки уч в исходное
уравнение (10.1).
Пример 2. Решить уравнение
у'" - у" + 120у' 4- 122у = -610а; - 478.
Решение. Характеристическое уравнение соответствующего однород
ного уравнения
А3 - А2 + 120А + 122 = 0
имеет однократные корни —1, 1 ± Иг. Фундаментальную систему решений
однородного уравнения образуют функции уг = е~х, у2 = eIcos(lla;),
Уз = eIsin(lla;).
Правая часть исходного уравнения имеет вид (10.5), причем а = 0.
Так как среди корней характеристического уравнения нет числа 0, то к =
0, уч = ах + Ь. Коэффициенты а и b подлежат вычислению. Подставляя
выражение для уч в исходное уравнение, получим
120а + 122(аз: + 6) = -610а: - 478.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х
Г 122а = -610,
( 120а + 1225 = -478,
§10- Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами
142
откуда a = —5, 6 = 1.
Итак, у, = 1- 5т. Теперь вступает в силу формула (10.4).
Ответ: у = Сге~х + ех (С2 cos(IIt) + С3 щп(Пт)) 4-1 — 5т.
Пример 3. Решить уравнение
у" + у' -бу = 2е-3®т2.
Решение. Характеристическое уравнение для соответствующего од
нородного уравнения имеет однократные корни —3 и 2. Фундаменталь
ную систему решений однородного уравнения образуют функции ух = е~3®,
У2 = е21.
Правая часть исходного уравнения имеет вид (10.5), причем a = —3,
Р(х} = 2т2. Поскольку число —3 находится среди корней характеристиче
ского уравнения, то в данном случае А: = 1. Многочлен Я(т) должен иметь
вторую степень. Итак,
уч = те-3® (ат2 + bx + с).
Для нахождения коэффициентов а, Ь, с подставляем выражение для уч
в исходное уравнение. После сокращения на е-3® и приведения подобных
членов получим
—15ат2 4- (6а — 106)т 4- 26 — 5с = 2т2.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х
<
' -15а = 2,
6а — 106 = 0,
26 - 5с = 0,
откуда а — — ^> 6=—^, с=—j|g. Теперь можно воспользоваться форму
лой (10.4).
Ответ: у = С,е~3х + С2е2® - те-3® (Ат2 + Лт + 4н)-
2)
f(x) = eax (Р(х) соз(/?т) + Q(x) зш(/?т)),
(10.6)
где а и [3 — действительные числа, Р(х) и Q(x) — многочлены. В этом
случае
уч = xkeax (R(x) cos(/3t) 4- S(x) зш(/3т)).
Если комплексные числа a±i(3 не являются корнями соответствующего
характеристического уравнения, то А: = 0. Если же они являются такими
корнями, то число к полагается равным кратности этих корней. й(т) и
§10. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами
143
S(x) — многочлены, степени которых одинаковы и равны наибольшей из
степеней многочленов Р(х) и Q(x). Коэффициенты многочленов R[x) и
S(x) берутся вначале неопределенными, а затем находятся после подста
новки уч в исходное уравнение (10.1).
Пример 4. Решить уравнение
у" — 2у' + 2у — ехх sin х.
Решение. Для соответствующего однородного уравнения корнями ха
рактеристического уравнения
А2 - 2А 4- 2 = 0
являются комплексные числа 1 ± г, кратности корней равны 1, фундамен
тальную систему решений образуют функции ух = excosx, у2 = e^sinz.
Правая часть в примере имеет вид (10.6), причем a = /3 = 1, Р(х) =
= х, Q(x) = 0. Поскольку числа a ± iff = 1 ± г, то следует взять Л = 1.
Многочлены R(x), S(x) должны иметь первую степень, т. е. R(x) = ax+ b,
S(x) = сх + d, поэтому
уч = хех ((ах + Ь) cos х + (сх 4- d) sinх).
Подставляем это выражение в исходное уравнение. После сокращения
на ех и приведения подобных членов получим
4ст cos х + (2а + 2d) cos х — 4ах sin х + (2с — 2b) sin х = х sin х.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых функциях слева и справа:
' 4с = 0,
2а 4- 2d = 0,
—4а = 1,
. 2с - 2Ь = 0,
отсюда 6 = с = 0, а = —|, d = ^. Ответ записываем по формуле (10.4).
Ответ: у = ex(C1cosx 4- ^sinx) — | те1 (т cost — sini).
Если в уравнении (10.1) f(x) = fx(x) 4- f2(x) 4-... 4- /Дт), то частное ре
шение уравнения (10.1) иногда удобно находить в виде y4=y4i 4- у^ 4-... 4- y4t,
где y4j — частные решения уравнений
у(п) 4-а^^*0 4- • •. 4- а^у' 4- any = //т),
j = 1,2,.. .,Л
Пример 5. Решить уравнение
у'" — Зу' + 2у = cos т — 3 sin т 4- cos(3i).
144
§10. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами
Решение. Для соответствующего однородного уравнения корнями ха
рактеристического уравнения
А3 - ЗА + 2 = О
являются числа 1 и —2, их кратности равны соответственно 2 и 1, фун
даментальную систему решений образуют функции уг = ех, у2 = хе1,
Уз = с-2*
Находим вначале частное решение уч1 уравнения
у1" — Зу' + 2у = cosx — 3 sin х.
(10.7)
Используя метод неопределенных коэффициентов, мы должны взять уч1 =
= acosi + bsini. Подставляем выражение для уч1 в уравнение (10.7), при
водим подобные члены и приравниваем коэффициенты при функциях cos х
и sin о: в левой и правой частях уравнения:
2a - 46 = 1,
4a 4- 26 = —3,
откуда a = b = —|, поэтому уч1 = -|(cosi + sinx).
Теперь найдем частное решение у^ уравнения
у'" - Зу1 + 2у = cos(3x).
Согласно методу неопределенных коэффициентов у^ = ccos(3x)+d sin(3x).
Коэффициенты cad находятся аналогично коэффициентам а и 6 и полу
чаются равными с - gjg, d = — 3I5, поэтому J/,2 = Йб cos(3^) — 3^5 sin(3i).
Наконец, находим частное решение исходного уравнения по формуле
уч = уч1 + у^ и записываем ответ по формуле (10.4).
Ответ: у = ех(С1 + С2х) + Сзе^ — |(cosx + sinx) + ^соз(Зх)—
-325sin(31)-
§10. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами
Задания
Решите уравнения:
1.
1) у" -6Л Юу =------ ;
COST
2) у" + V -бу = (2- 10т)е~31;
3) У^ — 27у^ = sin я;
4) у" — Фу1 + Юу = т2 + 1 + е2хcos(3i).
2.
1) у" - 14т/' + 50у =------ ;
COST
2) у" + У1 ~ бу = -2(1 + 5т)е2®;
3) у^°^ + у^ = 2sinT;
4) у" + 14т/ + 65у = 2т2 + т + c"7i(cos(4t) + 2sin(4r)).
3.
1) у" -2Л 26у =
cos(5t)
2) у" + у' -2у = (1- Зт)е’21;
3) ^18’ + у(1Г* = 2cost;
4) у" — бу' + 13у = —т2 + е3г cos(2t).
4.
1) у" - 2^ + 65у =
Лд и
sin(8Tj
2) У" + У1- Юу = (2 - 14т)е-41;
3) у^15^ + 4i/13) = sinT;
5.
4) у" + 8у' + 20у = 1 — т2 + Зе-41 cos(2t).
r10i
1) у" - 20у' + 101у = - ---- ;
2) у" + у'-20у = -(1 + 9т)е4г;
3) у^ + у^ = — cos т;
4) у" — Юу' + 29у = т — 1 — 2т2 — е5х вт(2т).
6.
е4г
1) у" - 8у' + 17у =------ ;
COS X
2) у" Фу' -бу = (5т - 1)е-3г;
3) у^ + 27у(21) = cos т;
4) у" — Фу1 + 20у = т2 + e2l(cos(4T) — sin(4T)).
145
§10. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами
146
7.
1) /-16г/ + 651/ = —;
COSI
2) / + У - 2У = (2 + 6х)ег;
3) j/37) — у^36^ = 2 sin х + cos х;
4) у" + бу' + 18?/ = Зх - г2 - е-31 Bin(3i).
8.
бе1
1) у"-2у1 + 37у = ——cos(oi)
2) у" + 1/ -2у = (Зх — 1)е’21;
3) ^п) — у® = 3sini;
4) у" — fy/ + 25у = —х2 + е4® cos(3i).
9.
1) /-2^ + 82!/=^;
2) у" + 2/- 12у = (7х - ^е"41;
3) у^18) + 9у(16) = cos х;
4) у" — Юу1 + 41у = 2 - I - I2 - е5х sin(4i).
10. 1) у" - 22j/ + 122у = -—;
sinx
2) у" + 2/ - 20у = (2 - 18х)е-5*;
3) 2/23) — У^ ~ — sinx;
4) у" — 4^ + 29у = 4х2 + 3 + е2х(2 sin(5i) + cos(5x)).
11. 1) у" — Юу' + 26у = ——;
cosx
2) у" + 2/ - бу = (1 - 5x)e-31;
3) yw+8y<5>= sin х + cos х;
4) у" + бу' + 25у = х2 + х + 4g'31 cos(4x).
12. 1) у«-2уЧЮу=-^;
cos(ox)
2) у" + 2/- 2у = (1 + З^е1;
3) у(21* + ЮООу^ = cosx;
4) у" — 82/ + 32у = х — х2 — e4®(cos(4x) + 4sin(4x)).
§10. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами
13. 1) з/" - 22/'+ 50г/= ——^-;
cos(7i)
2) у" + у'-12у = (2 + 14х)е3г;
3) 2/^31^ — у^30^ = cos а;;
4) у" — Юу' + 61у = 1 - г2 + е51 sin(6i).
14. 1) у"-2у'+Ю1у=^^-;
sin (Юх)
2) у" + у'~ Юу = (28г - 4)6-^;
3) у^23) + 16у(21) = 2cosz;
4) у" + 12у' + 40у = 2 - Зх2 4- 2e“fe(cos(2x) - sin(2x)).
е121
15. 1) у" - 24у'+ 145у =------ ;
sinx
2) у" + у' - 20у = (9х - 1)е’51;
3) у(33) + 2у(32) = 2sinx;
4) у" — 14у' + 53у = 1 + х + 2х2 + е71 cos(2x).
16. 1) у"-12у' + 37у =------ ;
COSX
2) у" + У - бу = (2 + Юх)е21;
3) У^ — ЮООу® = sinx;
4) у" - 4j/ + 40у = -1 — х2 + 2е21 sin(6x).
17. 1) у"-2у' + 5у = —
cos(2x)
2) у" + 3/- 2у =-2(1 + Sxje*;
3) у*14’ — 64у(п) = sinx;
4) у" — бу' + 34у = х2 + х + 1 + e3®(cos(5x) + sin(5x)).
18. 1) у" - 2у' + Юу =
sin(3x)
2) у" + у'— 12у = (1 + 7х)е3г;
3) у® + у® = cosx — sinx;
4) у" + 8у' + 41у = 1 — Зх2 — е’41 cos(5x).
147
§10. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами
148
е3х
19. 1) /-6У+ Юу - - ---- ;
sin я
2) У" + tf- 20у = (2 + le^e41;
3) у^ + 25у^ = 5sini;
4) у" + Юу1 + 7Фу = х2 + е-5® sin(7x).
е13®
20. 1) у" - 26з/ + 170j/ = —;
sin ж
2) У" + У”- 20у = (36г - 4)е“5®;
3) у^ + 5у(24) = 5 cos х;
4) у" — Юу1 + 45у = —х2 + e6®(cos(3i) — sin(3x)).
21. 1) у"-4у' + 5у =------ ;
COST
2) у" + V — бу = (1 + 5х)е2®;
3) ^м’ — 8j/55) = cos х;
4) у" — Фу1 + 53у = Зх + 2х2 + е2® cos(7x).
22.
1) у"-2з/ + 17у = —у—;
cos(4x)
2) У" + У1 ~ 2у = (2 - 6т)е-2®;
3) у*16’ + у*14’ = sinx — cosx;
4) у" - 61/ + 45у = х + 2х2 + бе3® cos(6x).
2е®
23. 1) у"-2у' + 5у = ——;
sm(2x)
2) у" + у7 - 12у = -2(1 + 7х)е3®;
3) у^ + у^ = cos х + sin х;
4) у” + 8у’ + 52у = 1 + 2х + Зх2 + 4е-4® sin(6x).
е9®
24. 1) у" - 18у'+ 82у = —;
sinx
2) у" + у7 - 20у = (1 +9х)е4®;
3) у^17) + 36у(15) = 6sinx;
4) у" — 12У7 + 52у = х2 — е6® cos(4x).
§10. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами
—;
smi
2) у" — Эу7 + 14у = 2(5i — 1)е2®;
25. 1) у" - ЗОз/ + 226у =
3) j/16) + 16i/15) = cos I + sin ж;
4) у" — 14т/ + 58т/ = —х — х2 + е7х sin(3i).
Ответы
1.
1)
у = (Ci cosa: + Cjsini + Ln |co8i| cost + zsini)e31;
2)
у = Ge’31 + Qe2* + x2e~3x-,
3)
y = Cie31 + Cie-3*/2 cos ^^x _|_ eye’ll2 sin ^^^+
s 1
27
+ E ^w1*'1 + ^sinj:+ ^c051;
Jt = 1
2.
•W
/uU
4)
У = e2x (Ci cos(3i) + (C2 +
sm(3a:)) +
\
\
О/
/
Id
1)
у = (Ci cosi + Cjsini + In |cosi|cosi + xsinije’1;
2)
у = Ge"3* + Cie21 - Л21;
3)
У = E С*1*-1 + Ciooe"1 + sin x + cos x;
k=l
У = e~7x ((Ci - I) cos(4x) + (c2 + ^ sin(4i)j + ^-+
109
219/
99
4)
9i
386
+ 4225 ~ 274625'
3.
1)
у = (Ci cos(5x) 4- C2 sin(5i) + ^ln |cos(5t)| cos(5x)+
+ xsin(5i)^eI;
2)
j/ = Cie1 + C2e-21 + ^e'21;
3)
У = E Ck^-1 + ^le^"1 + sinx - cost;
4)
y^ (Ci cos(2l) + (C2 + I) sin(2l)) -
17
- j^.
149
150
§10
4.
. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами
1)
л= ^CiCO8(8i) + C2sin(8i)-xcoe(8i)+
+ jh |вш(8т)| sinfei)^;
2)
^Ci^ + Cje^+A-4-;
3)
!/ = E С*т*-1 + Сц cos(2i) + Cis8in(2i) — | cost;
4)
1)
» = e”41 ( Ci cos(2i) + Cs + у зш(2т) ) “ ™ + 5? +
\\
4
/
ZU Zu
1UUU
у = (Cicost + C2sinT + In |sinT|sinT — icosi)ellh;
2)
у = C^ + Ge"51 - ^T2ete;
3)
18
11
!/= L Cfc^-1 + ^we"1 + ; sin л + - cost;
Ы
Z
z
4)v
у = к ((Ct +
1)
у = (Cicosi + C2sinT + In |coei|coei + isinije41;
2)
у = C^ + C^e2* - ^e-3*-,
3)
У =72 CkX^1 + Сгге'31 + C^e^12 cos
13
5.
6.
z
.
/n
2j2
Hi
835
2
fc=i
л
. Зд/Зт
27
1
+ Cue3*'2 sin —— + — зшт + — cost;
Z
1w
1 OU
7.
4)
y = e^ ((C1+|) cos(4t) + (c2+|) sm(4r)) + ^ + ^- ^
1)
у = (Ci cost + C2SU11 + In |cosi| cost + isinj)ete;
2)
у = Cie* + Cie-2* + т2ех;
3)
y= '£,Ckxk-l + C37e* --Ш1Х- -cost;
8.
13
36
*=1
2
2
cos(3t) + C2 зш(Зт)} -
4)
y = e-3* ( fa +
1)
у = (CiCos(6t) + C2sin(6T) + ^ln |cos(6t)| cos(6t)+
2)
1/ = Cie* + C2e-2* - |т2е”а1;
3)
9
3
У = £ C*®* 1 + Сще1 + Cue 1 + - cost;
1=1
2
§10. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами
4)
9.
1)
У = е^ fa cos(3i) + fa +
sin(3i)] ’
\
х
6/
/
25
625
" 7^'
15625
у = (Cj cos(9т) + C2sin(9x) — icos(9i)+
+ ^ln |sin(9x)|sin(9x))eI;
2)
у^е^+Ъе-Ь-^е-**-,
3)
16
1
У = E Ck%k~l + Ci7cos(3z) + Ci8sm(3z) 4- - cosx;
ы
8
+8)СО8(41) +Сг8т(4а:))" 41-1681 + 68921-
4)
10.
1)
у = (Ci cost + C2sinx + In |sinx| sinx — x cosx)e11T;
2)
y = Cie41 + C2e-5x + A-51;
3)
22
11
У=^ CkX*-1 + C^e1 — - sinx — -cosx;
ы
2
2
4)
2/ = e21 ((Ci - I) cos(5x) + (c2 + ^) sin(5x)} + ^+
32x
2419
+ 841 + 24389'
11.
1)
у = (Ci cosx + C2 sinx + In |cosx| cosx + x sinx) e51;
2)
y = Cie-31 + C2e2x + ix2e—^j
3)
У = 12 CkX^1 + C6e—^ + C2ex cos(y/3x) + C^ sin(\/3x)+
t=i
9
7
+ — sin x — — cos x;
65
65
x\ .
Л x2
13x
128
y=e
cos(4x) + (C2 +
sm(4x)) +
~ 7^7\
\
2/
/
25 625
15625
5
4)
12.
1)
y= (Ci cos(3x)+C2sin(3x)+| In |cos(3i)| cos(3x)+ xsin(3x))eI;
2)
y = Ciex + C2e"21 + ^2eJ;
3)
y=Yl Ckxk~l + (71ве“101 + C^e51 соз(5л/3х)+
к=1
я , +e
1
1000 cosx;
+ C2ie* sln(5^)
smx-e
4)
У = eix (fa+z) cos(4x) + fa sin(4x)}
XX
2/
x
о/
/
18
o2
04
512
151
152
§10. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами
13.
1)
у = (Cicoe(7x) + Сг8т(7х) + ^ln |cos(7x)| cos(7i)+
+ r^Txjje1;
2)
y^e^ + Cie-^ + x2^-,
3)
30
11
У = E CkX*-1 + C3iex - - sinx + - cosar;
1=1
2
2
4)
14.
1)
z2 20a;
3643
y = e5z((C1- - co8(6i) + C2em(6j) -— - — + —.
x\
12/
/ 01
of 21 22оУо1
у = ^ClCOs(lOx) + Сз8ш(10х) — xcos(10x)+
+ ^in 1™(^1)1™(^1))е"'
2)
у = Cie31 + CjC4* - 2A-41;
3)
i/ = Ё Ckxk 1 + C22 coe(4x) + C23 ain(4x) + — sin x;
fc=i
У = г6* ((^ + D ^(^ + (С» + I) sm(2a;)) - ^-+
4)
9x
161
+ 200 + 4000’
15.
1)
2)
17.
у = Cie** + Сге-51 - ^x2e'ta;
4)
32
4
2
!/= E Ckxk~l + Сззв~21 + - sin x - - coex;
ы
5
5
Л+—
2x2 + —
109x + —
4123 .
у=
(Cx cos(2x) + (c2 + J sm(2x))
1)
y— ^(7i cosx + C2 sinx + In |cosx| cosx + xsinx^e®1;
2)
l/^ie-^ + Ge^ + x^21;
3)
y=Z Ckxk~k + C7elte + C^ cos(573x)+
Ы
1000
1
+ u9c bu
sin(5v3x)
4------------cosx,
-r
4uv ^ -r
1000001 sin
^x
* -------------1000001 ^
4)
у = e2x ((G - I) cos(6x) + G sin(6x)) - ^ - ^ - ^-
1)
у = (c\ cos(2x) + C2 sin(2x) + ^h |cos(2x)| cos(2x)+
3)
16.
у = (Ci cosx + Cjsinx + In |sinx| sins — x cosine121;
+ i8in(2x)je';
2)
у = Ckex + C2e~2x — z2^;
3)
!l = E ^xk 1 + Cue41 + Cue 21 cos(2^3x)+
fe=l
§10. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами
+ С14е 2*sin(2V5i) - — sini “^“s1;
4)
v = e3l^C1-^cos(5i)+(c2 + ^sm(5i)) + ^+
23s
341
+ 578 + 9826’
18.
1)
y = (Ci cos(3i) + C2sin(3z) - jcos(3i)+
+
2)
4)
1)
у = ^Qcosi + Cjsini + In|sinz|sinz - scosz^e31;
2)
y = C^ 4- Ge”51 + z2e41;
4)
57
5
!/ = £ Ckxk^' + Си cos(5z) + Сбэ sin(5z) - — cos z;
Ы
24
у=
((C1-^ cos(7z)+C28m(7s))+^-^+^.
1)
у = (Cicosz + C2sinz + In |sinz| sinz — zcosz)eiar;
2)
y = Cie41 + C2e-^ - 2z2e-51;
3)
24
5
25
V=Y, CkXk-i + C25e_51 + — sin z + — cos z;
fc=l
^0
20
4)
У = e61 (((Л + I) cos(3z) + (<72 4- ^ sin(3z)} -^~
1)
8z
22
~ 675 ~ 10125’
у = (Ci cosz + C2sinz + In |cosz| cosz + zsinz^e21;
2)
у = Cie-^ + Сге21 + ^e21;
3)
y=Y, CkXk~l + Csge21 + Cb7e~x cos(73z)+
ы
3)
20.
21.
22.
у = Ge31 + Ge”41 + ^e31;
8
У = E Сьх*-1 + CBe~x + cos z;
ы
,_ , +(c
/_2--)sm(5x))-x\
Л 3z2 +-+
48z —
1543 .
y = e~ (c1cos(5z)
3)
19.
In |sin(3i)| sin(3i)V;
n
4)
+ C№e~x sin(v^z) + — sin z — — cos z;
65
65
x\ 81. n(7z))
Л +2z2 + —
175z +—
488 .
y = e [ciaffi(7I)+(c2+-)
1)
у = ^Ci cos(4z) + C2 sin(4z) + ^ In |cos(4z) | cos(4z)+
+ zsin(4z))eI;
153
154
§10. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами
2)
у = С^1 + С2е~2х + xV21;
3)
У = X, Ck^1 + Ci5e~z + cost;
л
4)
ч
Л
2х2 23х
у^е31 (Cr cos(6i) + С2 +
sm(6i)l + 77 + 7=7 +
\ \
2/
/
40
OlO
1U120
у= ^G cos(2x) + С2 sin(2i) — х cos(2i)+
14
23.
1)
26
+ ^ln|sin(2x)|sin(2x))e®;
2)
у = Ge3* + С2е~^ - х’е31;
3)
V = 52 CkXk~l + Cie~x — sinx;
4)
У=е
6
24.
1)
х
Зх2 7х
243
({С1-о) cos(6x) 4- C2sm(fc) +77 + ^ + 77^\\
о/
/02
000
IfDiO
у = (Cicoei + Gsinx + In |sinx|sinx — rcosije9';
2)
у = Ge41 + Ge"61 + jx^4*;
4)
is
6
У = 52 CkX*"1 + Gecos(6x) + Grsin(6x) + — cosi;
ы
y = e^ (g cos(4i) + (g - |) sin(4x)) + 75 + ^ + 7^.
1)
у = ^Gcosx + Gsinx + In |sini| sinx — icosije151;
2)
y = Cie21 + Ge71 - A21;
3)
У= £с^-1 + С1ве‘1Ь-^sinx + ^cosx;
4)
У = eTl ((G -
3)
25.
cos(3x) + Gsin(3x)} -
§ 11. Уравнения Эйлера
Уравнение Эйлера
хпу^ + аххп~ху^п~^ + ... + a^xy' 4- any = f(x),
(11.1)
где а^аз,... ,an — действительные числа, представляет собой линейное
уравнение с коэффициентами специального вида. Будем решать его при
т > 0.
Пусть вначале уравнение Эйлера является однородным:
хпу^ 4- а^"-1}/"-1) + ... 4- а^ху' 4- апу = 0.
(11.2)
Уравнение
А(Л — 1)... (А — п-Ь 1) 4-Oj А(А — 1)... (А — п4- 2) 4-.. .4-Оп-^+^п = 0 (11.3)
называется определяющим уравнением для уравнения (11.2). В левой
части уравнения (11.3) после раскрытия скобок и приведения подобных
членов получится многочлен степени п относительно А. Решение определя
ющего уравнения, таким образом, — это нахождение корней многочлена.
Для решения уравнения (11.2) следует вначале найти эти (вообще говоря,
комплексные) корни вместе с их кратностями.
Пусть 7 — действительный корень уравнения (11.3) кратности к. Сопо
ставим ему функции т7, Ini'i7,..., (lni)bli7. Пусть p±iv (у > 0)- пара
комплексно-сопряженных корней уравнения (11.3) кратности s. Сопоставим
ей функции i^cos^lni), Ini • a^cos^lnz), ..., (Ini^'i^cos^lni);
iMsin(i/lnx), Ini • тя8ш(р1пх), ..., (Ini)’_1i/‘sin(i/lni).
Функции, сопоставленные указанным образом всем действительным
корням и всем парам комплексно-сопряженных корней уравнения (11.3), об
разуют фундаментальную систему решений уравнения (11.2). Взяв
их линейную комбинацию с произвольными действительными коэффици
ентами, получим общее решение уравнения (11.2).
Пример 1. Решить уравнение
х3у^ 4- 10?j/^ 4- 27х3у'" 4- 21х2у" 4- Зху' = 0.
Решение. Запишем определяющее уравнение:
А(А - 1)(А - 2)(А - 3)(А - 4) 4- ЮА(А - 1)(А - 2)(А - 3)44-27А(А - 1)(А - 2) 4- 21А(А - 1) 4- ЗА = 0.
155
§11. Уравнения Эйлера
156
После упрощений получим А3(А2 + 2) = 0. Отсюда находим корни 0, ±iV^
кратностей соответственно 3, 1. Следовательно, фундаментальную систему
решений образуют функции 1, Ini, (Inя)2, coe(v^lni), sin(v^lni).
Ответ: у = С\ + С2\пх + C3(lni)2 + C4cos(v^lnx) + C5sin(v^lni).
Для решения неоднородного уравнения (11.1) следует вначале найти
функции уг,у2,..., Ут образующие фундаментальную систему решений со
ответствующего однородного уравнения. Затем можно использовать, на
пример, метод Лагранжа. Общее решение уравнения (11.1) в методе Ла
гранжа записывается в виде
У = С^уг + С2(х)у2 + ... + Сп(х)уп.
(11.4)
Функции СДх), С2(х),..., Сп(х) восстанавливаются по своим производным
(и берутся с произвольными аддитивными постоянными), а производные
находятся из линейной системы
Су{х)ух
+
С'2(х)у2
+...+
C'i^i +
С'п(х)уп
=0,
С'п{х^п
=0,
■ c'l(.)>|-') + c;rf-, + ...+ c;wi4",, = o,
|115)
C«»rf_,) + с^)»?”4 +. ..+c;(.),'-,| = ^.
Пример 2. Решить уравнение
х2у" — Зху' + Зу = 2т4 cos(i + 1).
, Решение. Для соответствующего однородного уравнения х^у" — 3xi/+
+3?/ = 0 легко найти фундаментальную систему решений: ух = х, у2 = х3.
Теперь запишем для нашего примера систему вида (11.5):
( С\{х)х + С2(х)х3 = 0,
| С'^х) + ЗС2(х)х2 = 2x2cos(x + 1).
Ее решение С'^х) = —х2 cos(i + 1), С 2(х) = cos(i + 1). После интегриро
вания находим
^iW = (2 — i2)sin(i+l) — 2icos(j+1) + С\,
С2(х) = sin(i-l-l) 4- С2.
К ответу приводит формула (11.4).
Ответ: у = С^ + С2х3 + 2isin(j + 1) — 2i2cos(i + 1).
§11. Уравнения Эйлера
157
Если правая часть уравнения (11.1) имеет специальный вид, то для ре
шения этого уравнения бывает целесообразно использовать метод неопре
деленных коэффициентов. В этом методе общее решение уравнения заг
писывается по формуле
У = С1У1 + С2У2 + • • • + СпУп + Уч,
(116)
в которой частное решение уч зависит от вида f{x). Укажем два случая
функции f(x), подходящих для этого метода:
1)
/(i) = /P(lni),
(11.7)
где а — действительное число, P(t) — многочлен. В этом случае
уч = (lni)^“fl(lni).
Число £ берется равным нулю, если число о не является корнем соответствующего определяющего уравнения. Если же число а является таким
корнем, то число £ полагается равным кратности этого корня. R(t) — мно
гочлен той же степени, что и многочлен P(t). Коэффициенты многочлена
R(t) берутся вначале неопределенными, а затем находятся после подстаг
новки уч в исходное уравнение.
Пример 3. Решить уравнение
х5у^ + 9х4у^ + 19х3у"' + 8х2у" — ху' + у = 6х\пх.
Решение. Здесь корни соответствующего определяющего уравнения
равны 1, —1, ±г, а их кратности равны соответственно 2, 1, 1. Фунда
ментальную систему решений однородного уравнения образуют функции
у} = х, y2 = xlnx, у3 = 1/х, yi = coslni, у5 = sinlni.
Правая часть имеет вид (11.7), причем а = 1, P(t) = 6t — многочлен
первой степени. Так как число 1 является корнем определяющего уравнения
кратности 2, то
уч = (lnz)2x(alnz + 6).
После подстановки уч в исходное уравнение и выполнения соответствующих
действий приходим к равенству
24a In х + 36a + 86 = 6 In т.
Теперь приравниваем коэффициенты обеих частей равенства при одинако
вых степенях In х:
Г 24a = 6,
| 36a + 86 = О,
§11. Уравнения Эйлера
158
отсюда а = |, Ь = —|. Следовательно, уч = (lnj)2j(|lni-|), Ответ
записываем по формуле (11.6).
Ответ: у = С\х + C2ilni+ ^ + C4coslni + C58inlni+
+(1пх)2х(| Ini - I).
2)
f(x) = xa (P(ln x) cosQ9 In or) + Qpn^sin^lni)),
(11.8)
где а и /3 — действительные числа, P(t) и Q(t) — многочлены. В этом случае
уч = (1пт/т“ (fi(lni) cos(/31nx) 4- S(lni) sin(/31ni)).
Число £ равно нулю, если комплексные числа a±i(3 не являются корнями
соответствующего определяющего уравнения. Если же эти числа являются
такими корнями, то £ полагается равным кратности этих корней. R(t) и
S(t) — многочлены, степени которых одинаковы и равны наибольшей из
степеней многочленов P(t) и Q(t). Коэффициенты многочленов R(t) и S(t)
берутся вначале неопределенными, а затем находятся после непосредствен
ной подстановки выражения для уч в исходное уравнение.
Пример 4. Решить уравнение
х2у" + ^ху' + 32у = 128a:4cos(41na:).
Решение. Определяющее уравнение А(А — 1) + 9А + 32 = О для соот
ветствующего однородного уравнения имеет пару комплексно-сопряженных
однократных корней —4±4г. Фундаментальную систему решений однород
ного уравнения образуют функции
cos(41ni)
1/1 = ------ ---------- ’
sin(41nx)
^2 = ------ ~4------ •
Правая часть уравнения имеет вид (11.8), причем а = /3 = 4, P(t) = 128,
Q(t) = 0. Поскольку числа 4±4г не являются корнями определяющего урав
нения, то £ = 0. Многочлены R(t) и S(t) должны иметь нулевую степень.
Таким образом,
уч = х* (a cos(4 In т) + Ь sin(4 Ini)).
После подстановки уч в исходное уравнение и выполнения соответству
ющих действий получим равенство
(а + ft) cos(41ni) + (Ь — а) ain(41ni) = 2cos(41ni).
§11. Уравнения Эйлера
159
Приравниваем коэффициенты при одинаковых функциях слева и справа,
приходим к системе:
a + b = 2,
b — a = 0,
откуда a = b = 1. Итак, уч = x4(cos(41nir) + sin(41ni)) и можно восполь
зоваться формулой (11.6).
Ответ: у = х~4 (CjCos^Idt) + C2sin(41ni)) + i4(cos(4Idj:)+
+ sin(4 Ini)).
Теория уравнений Эйлера, основные факты которой приведены в этом
параграфе, основана на замене аргумента искомой функции по формуле
х = ^. Эта замена сводит исходное уравнение к линейному уравнению с по
стоянными коэффициентами. Некоторые уравнения Эйлера (как правило,
невысокого порядка) бывает’ удобно решать с помощью этой замены. При
этом функция у = у(х) заменяется на функцию у = y(t) = у(е^, у1 = &е~*,
у'1 = (у" — fl) e~2t. Несложно при необходимости вывести формулы и для
последующих производных. Так, уравнение в последнем примере при пере
ходе к аргументу t примет вид
e2t (у" — у')e-2t + 9е‘ у' е—* -I- 32у = 128e4t cos(4Z),
или
у" + 8у' + 32у = 128e4tcos(4i).
Решив возникшее уравнение методами § 10, получим
у = e~4t (Ci cos(4t) + Сг sin(4i)) + e4t (cos(4t) + sin(4t)).
К ответу примера придем, вернувшись к исходному аргументу у найденной
функции по формуле t = 1пх.
Задания
Решите уравнения при i > 0:
1.
1) х4у^ + 6х3у’" + Зх2у" — Зху1 + Зу = О',
2) х2у" -2у =
х2
+ If
+ 2 ln(i + 1);
4
3) х3у"' + Зх2у" — 2ХУ1 + 2у = —;
х
4) х2у" + ху1 + 4у = sin(2 In а;).
2.
1) х^у^ + бх3у"' + 4х2у" — 2x1/ — 4у = 0;
2) х2у" - бу =-j—-,
ar + 1
3) х3ут + 7х2у" + 10ху' + 2у — 12х;
4) х2у" + ху' + 9у — 3 (3 cos(3 In ж) + sin(3 Ina;)).
3.
1) х^у^ + бх3ут + x2if — Зхг/ — 7y = 0;
2) x2y" + xtf - у =-j—-,
x* + 1
4
3) x3y"' + 6x2y" + 4xi/ — 4y = —
x
4) x2y" + xi/ 4- 16y = 8cos(41nz).
4.
1) x^y^ + 6x3y"' + 2x2y" — 4xi/ + 4y = 0;
2) x2y" + 2xi/ -2y= 2
;
a/ +1
3) x3y"' + 8x2y" + 14xy' + 4y = — 18a;;
4) x2y'' + 3xi/ + 5y =
5.
4 (sin(2 In z) + 2 cos(2 In x))
1) x^y^ + 6x3y"' — x2y" — 7xi/ + 7y = 6\
2) x2y" + xi/ -4y = —5-—
^+1
1я
3) x3y"' — 2x2y" + 4x1/ — 4y =----4) x2y" + 3xi/ + Юу =
6.
3sin(3 Ina:)
1) a;4y(4) + 6x3y'" — 2x2y" — 8xy' + 14y = 0;
3) x3y"' — x2y" + 2xi/ -2y = 4x3;
4) x2y" — xy1 + 17y = x (sin(4 Ini) + cos(4 Ina:)).
7.
1) x^y^ + 6x3y"' — 3x2y" — 9xi/ + 16y = 0;
2) a:2y"-6y = —
§11. Уравнения Эйлера,
3) х3у'" + 10т2у" + 23ху' + 9у = 32т;
4) х2у" — ху' + 26т/ = 2т cos(5 In т).
8.
1) x^yW + 6х3у"' + 7х2у" + ху/ — 4у = 0;
2) .у + хЛг/—;
3) х3у'" — 2х2у" — ху1 + 9у = -16i;
4) х2у" — ху' + Юу = -6т sin(31пт).
9.
1) х4у^ + 6х3у"' + 10т2у" + ^ху' — 4у = 0;
2) х2у" + 2ху' -2у = ~^ц;
120
3) х3у'" + 8х2у" + 9ху' — 9у =-----
о
t л
sin In X
4) х2у" + Зту +2у =--------- .
х
10. 1) х4у^ + 6х3у"' + 12х2у" + бху' + 4у — 0;
2) х2у" + ху' -4у = ;
г+1
3) х3у"' — 4х2у" + 9ху' — 9у= —Зт2;
4) # + 4 + 5.= ^^.
11. 1) х4у^ + 6т3у'" + 15т2у" + 9ху' + 16у = 0;
о
Зт3
х2у -2у = ~2—;
т2 + 1
3) х3у'" 4- 8х2у" + 13ху' -У Зу — 96т3;
2
, „ , , „
2соз(21пт) — 8ш(21пт)
4) т2у" + 5ТУ7 + 8у =------ <
т2
12. 1) т4у(4) + 6х3у"' — 6т2у" — 12ту' + 36у = 0;
2) т2у"-6у = —
т+1
3) х3у"' + 2х2у" - 5ту' — Зу = —9т2;
4) х2у" + 5ту' + 13у = ^!|!^
161
162
§11. Уравнения Эйлера
13. 1) х4у^ + 6x3f/" — 8х2у" — 14ху' — 16у = 0;
2) х2у" + ху1 - у =-j—-,
3) х3у"' + 4х2у" — Зху' + 3у = 35i2;
4) х2у" — Зху' + 20у = 16i2 sin(4 In х).
14. 1) х4у^ + 6х3у"' — 10х2у" — \8х^ + 16у = 0;
2) хУ + 2^-21/—;
3) x3i/" - 2х2у" + 3xi/ ~^У = -3;
4) х2у" — Зху' + 29у = 10i2 (sin(5Ini) — 2cos(5Ini)).
15. 1) x5y^ + 10j4j/W + 19x3y"' — 30x2y" + 36xy' = 0;
2) x2y" + xi/ -4y = ^2
t;
3) x3y"' — 3x2y" + 4xi/ — 4y = 8\
9 „ „ ,
sin(31ni)
4) x2y" + 7xi/ + 18у =----- ^----- .
16. 1) x5y^ + 10x4y^ + 15x3y"' — IbsPy" + 7x1/ = 0;
2) ^"-2^—;
x+1
24
3) x3y'" 4- 5x2i/' — 4xi/ + 4y = —;
n
9 „ „ ,
5 (sin(51nx) — cos(51nx))
4) x2y" + 7xi/ + 341/ = -*—*------ ^------ -------- -.
17. 1) x5y^ + 10j4j/^ + 21x3ym + Зх21/' — 15xi/ = 0;
2) xY-e^^-;
It!
3) x3y"' + x2y" — 8xi/ — 4y — 84i;
4) x2y" — 5xy' + 101/ = 2x3 (cos In i — sin In x}.
18. 1) x5y^ + 10i4j/^ + 23x3i/" + 15x2y" — 3xi/ = 0;
2) x2y" + xi/ -y = --Л-г;
+1
3) x3y"' + 9x2y" + 16xy' + 4y = 20i;
4) x2y" — Зху1 + 13j/ = 6 cos(2 In x}x3.
§11. Уравнения Эйлера
19. 1) х5у^ + Юх^у^ + ЗОх3у"' + 30х2у" — Зх/ = 0;
2) х2у" + 2ху’ -2у =
;
50
3) х3у'" — 6х2у" + Юху1 — 16г/ =----- ;
х
4) х2у" — 5ху' + 25г/ = 4т3 (4 sin(4 In т) + cos(41nx)).
20. 1) х5у^ + 10i4j/^ 4- З4т3г/'" + 42х2у" + Юху' = 0;
2) х2у" + ху' - ку = ^^ 1;
3) х3у"' — 4х2у" + 2x1/ + Юу = -54i;
о „ „ , ._
cos In I
4) х2у" + Эху1 + 17г/ = ^4 .
21. 1) т5г/5) + Юх^у^ + 17т3г/'" — 9х2у" + 5ху' = 0;
2>
„
Зт3
-2» = ^
3)
+ 10хгу" + 16x5/ — 16у — ——;
X
л
8 (cos(21nx) — sin(21nx))
4) х2у" + Эху1 + 20г/ = -^----
22. 1) х5у^ + 10т4г/4) + 12т3?/" — 24х2у" + 24тг/ = 0;
2т6
;
г+1
3) х3у''' + 12х2у" + 34ху' + 16г/ = 150i;
I
2) х2у" + ху' -у =
9
3sin(31ni)
4) х2у + 9x1/ + 25г/ =---------- j------ .
23. 1) х5у^ + Юх^у^ + 23х3у’" + 9х2у" = 0;
2) х2у" + ху' -у =
х2+1’
>
3) х3у"' — 6х2у" + 7ху' + 25у = 64i;
4) х2у" — 7ху' + 25г/ = —2т4 (sin(31ni) + cos(31ni)).
24. 1) х5у^ + 10j4j/W + Юх3у"' — Зх2у" + Зху' = 0;
2) х2у" + 2ху' -2у = ^-у;
3) х3у"' — 9х2у" + 34тг/ — 50г/ = 16т;
4) х2у" — 7ху' + 32у = —т4 sin(4 In т).
163
§11. Уравнения Эйлера
164
25. 1) х3у® + 10x4yW + 32xV" + 36z2y" - IOtj/ = 0;
2) zV + is/- 4у =-j—;
3) x3y"' — 10x2y" + Mxy' — 75y = —9т2;
4) x2y" + Hxtf + 26y =
sin In i + cos In x
x5
Ответы
i.
2.
3.
i)
^сц + ^ + Сз!^!-^;
2)
y = Cix2 + — - ln(x + 1);
з)
1
у = (Ci + c21hi)j + -f + -;
4)
у = Ci sin(2hi) + ^C2 — ^^ cos(21ni).
1)
j = Ci?H—^ + C3 cos In I + C4 sin In x;
2)
, C2
1
x2
1 In V^ + T
y = C!? + ^ + ?arctgi-- + --------- ^----- ;
3)
Ci + C2 Inx Сз
y =------- x------- + ? + l;
4)
у = ^Ci + ^^ sin(31nz) + (c^ — ^“^ cos(31ni).
1)
/7
ft
y = Cix'/'-l---- _ + C3 cos In a: + C4 sin In x;
o\
3)
„
Cj
arctg x
y = CiX-{
l-rarctgr-H
;
X------- X
Cj + Cjhr 2
y = C1X +------ —------ + -;
4)
у = (Ci + lnx)sin(41nx) + C2cos(41nx).
1)
y = Cir2 + ^ + C3i + ^
X2
X
,
2)
4.
2)
C2
1 In yjx2 + 1
y = C^x + -j + r arctgi - - +------- j----- ;
41
Ci L ft + Cabs
X
X*
(Ci + 2 In x) sin (2 In x) + (C2 — hi)cos(2hj)
w = --------------------------------------------------------------
§11. Уравнения Эйлера
5-
1)
У = Cix^ + -^ + C3i + -;
2)
о
1 arctg а:
у = С^х2 + 4 + i + г2 arctg id------------ 5—;
х2
х
х2
3)
.
4)
3)
у = Cix2 4-------- arctg х;
х
у = (Сх 4- С2 lnr)i 4- С3Х2 4-13;
4)
У=
2)
7.
1)
2)
3)
4)
8.
1)
2)
3)
4)
9.
10.
у = (Ci 4- С21пг)? 4- С3х + -;
х
Cism(31ni) + (С2 — lni)cos(31nr)
У=---------------------- 2^---------------------- '
r((Ci 4- Inr)sin(4 Ini) 4- (С2 - hr) cos(41ni))
8
!/ = Ci^4-^4^4-^;
_ 3 C2
,
,
1
In yjx2 4- 1
у = Qar1 4 -7 4r 4iJarctgr 4- - ----------- 5----- ;
x2
2
x2
Ci 4~ C2 In x C3
X2
X
a:((Ci 4hx)sin(5hr) + C2cos(51ni))
5
у = Cix^ 4- -^ 4- C3cos(i^hi) 4- Cisinf^lni);
у = Cii 4- — 4-1 ln(z2 4-1)4x
+1\
x
У = (Ci 4- C2 Inx)? 4 — - 2i;
x
у = x(Ci sin(31ni) 4- (C2 41ni) cos(3hi)).
2)
C2
у = Cix 4------- 1- C3cos(2hi) 4- C4sin(2In:r);
x
„
C2
In V?TT
у = Cix + ^2 + 1 4- xarctgi4------- -------- ;
3)
Ci 4 C2 h 1
_
40
y=------ ^------ + C’I + ?
4)
Ci sinlni 4 (C2 — In x) cos In x
У =------------------ Tx-------------------'
1)
у = Ci cos In a: 4- C2 sin In a: 4- C3 cos(21ni) 4- C4 sin(21ni);
1)
3)
2 C2
2
x
1 In Vx2 4- 1
у = C\x2 4 -г 4 i2ln
- - 4-------- 5----x2
Vx2 4-1
2
a:2
У = (Ci 4- C2 Ini)? 4- C3X - 3a:2;
4)
У=
2)
(Ci — 2 In a:) sin In a: 4- (C2 — 21na:)coslna:
x2
165
§11. Уравнения Эйлера
166
11.
1)
2)
3)
4)
12.
13.
1)
16.
У _ (Ci + 21nx)sin(21nx) + (С2 + In ж) cos(2 In х)
4х2
» = С1? + § + С3х2 + ^;
X3
X2
y=C1? + ^-?h(x + l) + --- + --- + -х* 5
4
3
2 х
х£
3)
у = —------ ------ + С3з? + х2;
4)
^_ (Ci + lnT)sin(31ni) + Gco8(31nj)
1)
(/ = С1?Ч--7Ч-СзС08Ь1Ч-Сч8т1п1;
3)
„
С2
.
2 , ,
arctg®
j/ = Ci®4-------- х arctg x Ч- -x2 Ч-1------------- ;
x
3
x
у = (Ci 4-C2hi)xЧ- ^ Ч-7®2;
4)
у = a:2 (Ci sin(4 In г) Ч- (Сг — hx)coe(4hi)).
1)
у = Ci®4 Ч-
3)
4)
у = х2 ((Ci — 2 In ®) sin(5 In ®) Ч- (С2 — In ®) cos(51п ®)).
1)
^G + ^ + ^ + C^ + ^i
пл
2)
3)
, С2
,
11 arctg ®
У = Cix2 Ч- —х Ч-®2 arctg® - -х Ч------------- ;—;
х‘
3
®
у = (Ci Ч- С21п х)х + С3®4 — 2;
.
4)
Ci sin(31n®) Ч-(Сг — 1п®)соа(31пх)
У =---------------------- 6^---------------------- •
1)
у = С1 + С2®2^+-^ + С4®^ + -^;
Х***
XVJ
2)
у = Cix2 Ч—- + Х21п(® Ч-1) — -®2 Ч- -® - 1 Ч---- х 3
2---------------- х
у= (Ci Ч- С21п®)® Ч-^ЧX
(Ci — ln®)sin(51n®) Ч-(С2 — ln®)cos(51nx)
3)
4
Ч- С3х ч- —;
^2
. . ,
2
2
2arctg®
у = Ci® Ч- -т 4-®1п(®2 Ч-1) - —® Ч------------- 5—;
®а
3
®
®2
у — (Ci Ч" С21пх)х Ч" С3®3 Ч" lj
2)
15.
л 1 С2
2
® In V®2 +1
У = С^х2 Ч------- 1- a:2 arctg ® - - Ч---------------- ;
X
&
X
^CLi^ + g+s»;
2)
2)
14.
у= (Ci + Cjhi)cos(2hi) + (C3 + C4hx)sm(2hj);
;
167
§11. Уравнения Эйлера
17.
4)
у = Ci + С2х^ 4---- + Cicosfv^lni) + СВ8ш(\/51л1);
JV6
ln(i + l)
i G
,
z
i2
ill
у = Cix 4—j + i h ——— —7 + 7 _ й ^----- 4"
i2
’
I2
z 4-1
4
3
2 z
Ci + Cj hi
4
У =-------- ;---------h C3z4 - 7z;
xL
у = x3 ((Ci + Ini) sin In i + (C2 4- In z) cos In z).
1)
2/ = Ci + C2x^ +
2)
,
arctg x
у = Cix 4---- - + 1 + 1 arctg 14
;
X------------- X
Ci + C^ In x C3
1)
2)
3)
18.
3)
19.
1)
у = Ci + Cix^ 4---- 2. _|_ C4cos(i/7hi) 4- C5sin(\/7hi);
2)
_
C2
,
i
1
arctg x
y = Cix + — 4- iln -== - - 4----- j—;
x
y/x2 4-li
x2
1)
У = (Ci + C2 lnz)z4 4- C3x 4- -;
x
ж3 ((Ci + In z) sin(4 In x) + (C2 — 4 In z) cos(4 In z))
У=
2
у = Ci + C2lnx + C3(lnz)2 4- C4cos(31nz) + C5sin(3hr);
2)
у = Cix2 4-
3)
4)
У = (Ci 4- Cjlnr)? 4—--3r;
x
(Ci 4- In z) sin In x 4- C2 cos In x
У =------------------ 4?------------------
1)
у = Ci + C2z^ +
2)
3)
1)
2)
x2
4-12 In y/x2 4-1 * 7 + 7 4
2
ln\Zx2 4-1
i2
’
+ C^ +
y/1 — x2
„ , C2
,
.
v/(l - I2)3
у = C\x 4------- hi arcsinx —-■ ■ ------- 4------------:
x----------- 3x
x
Ci + C2lnx
2
y =------ --------- + Сз* + 7
(Ci 4- 2 In 1) sin(2 In z) 4- (C2 4- 2 In z) cos(2 In z)
y =------------------------------ й------------------------------
4)
22.
z3((Ci 4- 31nz)sin(21nz) + C2cos(21nz))
2
’
У=
4)
21.
y=—x—+7+Ii
4)
3)
20.
+ C4 cos(i^hi) + Cssin^lni);
у = Ci + C2z3 +
4- C4z2 + %
_
C2
2.2,,
arctg z
у = Cix 4------- h —z4 - -z2 — 1 4- z arctg z 4
z
15
3
x
Ci 4- C2 In z C3
3)
y = —7----- + 7 + 3li
4)
У=
Ci sin(3 In z) 4- (C2 4- In x) cos(3 In z)
2Z4
§11. Уравнения Эйлера
168
23.
24.
25.
1)
у = Ct + С2х + C3xlnx + С4 + ^^^i
X
2)
у = — + С3х +
а;
4
3)
4)
у — (Ci + С21пх)хБ + —+ 2i;
х
я4 ((Ci - lni)sm(31ni) + (С2 +lni) coe(3 In а:))
1)
!/ = Ci + C2i2 + ^ + C41^ + 4;
2)
у = С11 + — + х2 - tarctgi - -а:2 + - --------- ^----- ;
3)
у = (Ci +Cjlni)z5 + Cji2 -х;
4)
V =---------------------------- 8---------------------------- •
1)
у = Ci + С2х^ +
- zlnч/д2 + 1 +
2
а
х4 (Ci sin(4 In 1) + (С2 + In a;) cos(4 In a:))
3)
+ C4cos(31nx) + t?s sin(3 In a:);
x*2
о ft 4 ,
,
1
1
arctgx
y = Cii2 + -^ + -x3 - x2arctga: + -a:----- +------5—;
a:2 5
3
x
x2
У = (Ci + C2 In x)x6 + C3x3 + x2;
.
4)
(Ci + lnx)sinlnx + (C2 — lnx)coslnx
^------------------------2^-------------------
2)
;
§ 12. Линейные однородные системы
с постоянными коэффициентами
Подробно рассмотрим систему трех уравнений:
3/1 ~ а11У1 + а12У2 + а1зУз^
< У2 = а21У1 + О22У2 + а2зУз>
(12-1)
. Уз = азхУ1 + аз2У2 + аззУз<
где а^ бЖ; k,j = 1,2,3.
Систему (12.1) можно записывать в векторно-матричной форме:
У' = Ау,
/ул
где у = I 3/2 I ~ искомый вектор, у' = I Уг I — производная искомого
\Уз)
\Уз/
а11 а12 а13\
а21 а22 а23 I — матрица системы.
(
а31 а32 азз/
Общее решение системы (12.1), записанное в векторной форме, имеет
вид
У = С1У1 + С2У2 + СзУз,
(12-2)
где С1; С2, С3 — произвольные действительные постоянные, а У1,У2’Уз~
векторы, образующие фундаментальную систему решений системы
(121)'
В зависимости от характеристик матрицы А векторы уг, у2, у3 выражал
ются по-разному.
Предположим вначале, что собственные значения матрицы А действи
тельны. Тогда следует найти какие-либо три линейно независимых вектора
711 721 7з1 подчинив их одному из следующих требований:
1. Векторы 7^ 72, 73 являются собственными векторами матрицы А.
В этом случае
У1=е^хЪ, > = 1,2,3,
где Aj — собственные значения (не обязательно различные), отвечающие
соответствующим собственным векторам ^.
2. Векторы 7j и 72 являются собственными векторами матрицы А, а
вектор 73 является присоединенным к собственному вектору 72. В этом
случае
yj = ^x1j, > = 1,2,
у3 = ех*х(хъ + ъ),
(12-3)
169
170
$ 12. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами
где Xj — собственные значения (не обязательно различные), отвечающие
соответствующим собственным векторам 7^.
3. Вектор 7J является собственным вектором матрицы А, а векторы 72 и
73 являются соответственно первым и вторым векторами, присоединенными
к собственному вектору 7Г В этом случае
У1 = еА171,
Уг^^Ъ + 'Тг),
у3 = eAl I у ^ + Х72 + 73 1,
где А — собственное значение, отвечающее собственному вектору 71Предположим теперь, что матрица А имеет действительное собствен
ное значение At и пару комплексно-сопряженных собственных значений
А23 = a ±i0 (0 > 0). Обозначим ^ — какой-либо собственный вектор,
отвечающий собственному значению Alt а 72 — какой-либо (комплексный)
собственный вектор, отвечающий собственному значению А2 = а + г/3. В
этом случае
yi = eA1I7i,
у2 = Re (е^1^) ,
Уз = Im (eA2l72) ■
(12.4)
Пример 1. Решить систему
14 =
6у2 -15j/3,
Уг = -4У1 +пУг -20у3,
Уз = ~У1 +2у2 -2у3-
{
/0 6 -15\
Решение. Матрица I —4 11 —20 I системы имеет одно собственное
\-1 2 -2/
значение А = 3. Дальнейший анализ свойств этой матрицы позволяет ука
зать, например, три таких линейно независимых вектора:
-з \
1 I’
1 /
(
/ з\
^2 = I 4 I’
\ 1 /
/
^3=
\
0 •
0 /
При этом векторы ^ и 72 будут собственными, а вектор 73 присоединенным
к вектору 72. Следовательно, фундаментальная система решений исходной
системы записывается по формулам (12.3), в которых Aj = А2 = 3:
Й = е31
/ “3 \
1 )’
\
1 /
Й = ®31
/3Л
4 1,
\ 1
/ /3\
у3 = е31 1 х 1 4 1 + 1
oil.
§ 12. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами
171
Решение системы в векторной форме запишем по формуле (12.2):
/уг\
/-3\
/3\
/ /3\
L2
= Qe31
1
+ С2е31 4
+ ^e31 г 4
+
\Уз /
\
1/
\
V/
и/
0
\
.
0//
Ответ приведем в развернутом виде.
уу = (—ЗС[ + 3Cj — С3 + 3Cji)c31,
Ответ: у2 = (Q + 4С2 + 4С3х)е3х,
Уз = (Q + ^2 + С3х)е3х.
Пример 2. Решить систему
' У{ = 4^ +5у2 +Уз,
* Уг = ~5У1 -4у2 -ЗУз,
. Уз = -У1 -Зу2-
/45
1 \
Решение. Матрица системы I —5 —4 —3 ] имеет одно действитель\ -1 -3
0 /
ное собственное значение Aj = —2 и пару комплексно-сопряженных соб
ственных значений A2j3 = 1 ± 2г. Найдем какой-либо собственный вектор,
отвечающий собственному значению Ар и какой-либо собственный вектор,
отвечающий собственному значению А2 = 1 + 2г; такими векторами ока
жутся, например, соответственно векторы
Далее вычислим вектор
/i-а
//
еХ2Х^2 = е^+2^х I
^ ] = e^cos^z) + isin(2x))
\ —1 /
\\ —1 /
/
/ 1\
/-1\
/
/-1\
= ех cos(2i) I 0 1— sin(2x) I 1 J + г Icos(2i) I 1 j
\
\-i/
i\
О I +г j
\ 0/
\
\ 0/
\
111 =
0 //
/ 1\\\
+ sin(2i) j 0.
\-i///
Теперь по формулам (12.4) находим
У1 = е-21 I
\
11,
1 /
Уг =eI I cos(2i) [
\
Ч - sin(2i) I —11 \ \ ,
0
\—1 /
\°//
172
§ 12. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами
/
1 I + sin(2x) I
cos(2i) I
\
О/
1 \\
О I I.
\ -1 //
Формула (12.2) приводит к следующему решению исходной системы в
векторной форме:
+6^
+ sin (2т)
cos(2i)
Ответ укажем в развернутом виде.
уг = —Сге~2х + ((С2 — С3) cos(2i) + (С2 + С3) sin(2x))e®,
Ответ: у2 = Сге~2х + (C3cos(2x) — C2sin(2x))e®,
у3 = Сге~2х — (С2 cos(2x) + С3 sin(2x))e®.
Аналогичный метод решения существует для линейных однородных си
стем с постоянными коэффициентами любого числа уравнений. Существу
ют и другие методы решения таких систем.
Задания
Решите системы:
1-
2-
1)
У1 = 2уг +У2- Уз,
у^ = 15i/i - Зу3,
з/з = —5г/1 - у2 - 2у3;
3)
yi = -2yi - у2 + уз,
У2 = -3yi - Зу2 + 2у3,
у£ = -4yi - Зу2 + 2у3;
У1 = У1 + У2 — Зуз,
Уг = 3yi + 2у2 - Зуз,
Уз = У1 + Уз‘,
4)
' у! = -2yi - 5у2 - 5у3,
« у2 = -2yi - у2 - Зу3,
. Уз = Зуг + Зуз-
1)
' у{ = 2yi - 2у2 + уз,
1 Уг = 4yi - 7у2 + 4у3,
. Уз = -2yi + 4у2 - уз;
2)
( Ух = 3yi + 2уг + Зуз,
\ У2 = ~^У^ ~ 2Уг ~ буз,
Уз = 2Й + 2уг + 4у3;
3)
{
у[ = 6yi + 2у2 - уз,
Уг = -5У1 + 2Уз,
у£ = У1 + У2 + Зу3;
4)
у{ = 8yi + 9у2 + 4у3,
Уг = -7yi - 7у2 - 5у3,
Уз = —6yi - 7у2 - 4у3.
§12. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами
3.
4.
1)
’ 2/i = 7yi - 3?/2 + Зу3,
' 2/2 = 4yi + 4у3,
. Уз = -32/1 + Зу2 + 2/з;
2)
' у{ = 4yi 4- уг - Уз,
’ 2/г = -62/1 - 2/2 4- 2у3,
. Уз = 42/1 4- у2 - Уз!
3)
(1/1 = -42/2,
< 2/г = 2/1 - 42/2,
I Уз = 2/1 — 22/г - 21/3;
4)
' 2/i = -2/2 4- уз,
’ 2/i = 6У1 4- Зуг 4- Уз,
. Уз = -2/1 4- у2 - 2у3.
1)
' 2/1 = -22/1 - З2/2 + Зу3,
1 2/2 = 4yi - 9у2 + 4у3,
. 2/з = -32/1 + З2/2 - 8у3;
2)
yi = 3yi 4- у2 4- 2у3,
2/г = 2/2 - 4у3,
у'з = 3yi + у2 4- 2у3;
4)
2/1=2/1-2/2 4- 2у3,
2/г = 5У1 4- Зу2,
Уз = -32/1 4- у2 - 4у3.
' 2/1 = 32/1 - Уз,
3)
'
5.
1)
3)
2/г = 2/1,
. 2/з = 3yi - 2/2!
' 2/'i = -2yi - 2/2 + Уз,
' 2/2 = -7yi - 82/2 + 7у3,
, 2/з = 2/1 + 2/2 - 2у3;
' 2/1 =У1~ Уз,
2)
' 2/i = Зу2 4- 4у3,
* 2/2 = 2/1 - 2у2 - 4уз,
_ у'з = -2yi + Зу2 4- 6у3;
4)
’ 2/i = 7yi 4- у2 4- 5у3,
' 2/2 = -82/1 - буз,
, Уз = -llyi - У2 - 9у3.
' 2/i = 2/14- 2у2 + Зуз,
' 2/2 = 2/1 - Зуз,
. Уз = 2У1 4- 2у2 4- 2у3;
’ 2/г = 2/1 - 22/2,
. Уз = 32/1 - 2/2 - 2у3;
6.
7-
1)
’ 2/i = -5yi - 4у2 + Уз,
' 2/2 = -4yi - 111/2 4- 2у3,
. 2/з = -32/з;
2)
3)
2/1 = -2/1,
2/г = “22/1 - 2у2 + Уз,
Уз = -2yi - Уг;
{
4)
2/i = -9yi - 5у2 + уз,
У2 = 12yi + 7у2 - 2у3,
Уз = -7yi - Зу2 + уз-
1)
’ 2/1 = -$2/1 + 2/2 + Уз,
’ 2/2 = -42/1 - 2/2 + 2у3,
. Уз = -4yi + 2у2 - Уз;
2)
2/1=2/1-2/2 4- уз,
1 У2 = 6yi - 4у2 + Зуз,
. Уз = -2yi - У2 4- 4уз;
3)
' 2/i = 4yi - уз,
' 2/2 = 2/1 + У2,
. Уз = 3yi - у2 4- Уз;
4)
' 2/1 = -У1 - У2 - Уз,
’ У2 = У2 + 2уз,
. Уз = “82/1 - буг 4- уз-
173
§ 12. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами
174
8.
1)
3)
9.
1)
3)
10.
1)
11. 1)
3)
12. 1)
3)
У1 = -2у2 - 2у3,
Уз = 3yi + 5jfe + Зи,
Уз = 2j/i + 2и + 4и;
У1 = -У1 + Уг 4- 4у3,
Уг = 4yi - Уг ~ 8у3,
Уз = У1 + Уг 4- 2у3;
{
У = “Уз,
У^ = У1 — Зи,
Уз = 3з/1 - у2 - Зу3;
4)
( У\ = -4yi - 4у2 - уз,
< Уг = 6yi 4- 7у2 4- 2у3,
I Уз = -7У1 - 6У2-
1А = -7yi - 2Уч - 2уз,
У2 = -5У2,
Уз = Зи + Зи - 2у3;
2)
( у[ = 3yi + У2- Уз,
S Уг = -2У1 + Уз,
( Уз = 6yi 4- уг - 4у3;
У = 4yi 4- 5у2 - уз,
У2 = Зг/2,
Уз = И + 5и + 2у3;
4)
( У1 = -12yi - 7у2 4- уз,
У = 16yi 4- 10у2 - 2у3,
( Уз = -14yi - буг 4- 4у3.
У1! = -Эи - ^Уч ~ ^Уз,
Уз = Зи - 2и + Зу3,
Уз = 2yi 4- 2у2 - Зу3;
(
2)
( у\ = ^Уч 4- 4у3,
< Уг = -4yi - 8у2 - 8у3,
I Уз = -У1 + Зуг 4- 5у3;
' 1А=У1-Уч + Уз,
< Ж = -3yi 4- 2у3,
„ Уз = ~4У1 “ Зу2 4- 5у3;
4)
Г У^ = 5yi - Уг 4- 4у3,
< Уг = 3yi 4- 5у2 - 2у3,
I Уз = -7У1 + Уг - 6у3.
у[ = -У1 - ^Уч ~ ^Уз,
У2 = 3yi 4- 6у2 4- Зуз,
Уз = 2yi 4- 2у2 4- 5у3;
2)
( у{ = 3yi 4- 2у2 - 4у3,
< Уг = ЧУч ~ 8у3,
( Уз = 5У1 + 2И - 6у3;
14 = -3yi - У2 4- Уз,
У2 = -3yi - 4у2 4- 2уз,
Уз = -4У1 - Зуг 4- уз;
4)
У1 = У1 - Зу2 4- Зуз,
< Уг = 6у1 4- 4у2,
. Уз = -3yi 4- Зу2 - 5у3.
у! = 8у2 4- 4у3,
1А = 3yi 4- 2у2 4- Зу3,
у£ = 2yi 4- 4у2 - 2у3;
2)
' yi = -У1 4- уг,
< Уч = -4yi - 5уг,
. Уз = -5yi 4- уг 4- 4у3;
4)
' У1 = -4yi 4- 5у2 - уз,
< Уч = -У1 4- уг,
. Уз = 3yi - 5у2.
{
{
{
{
{
{
' у! = -Уч 4- Уз,
( Уг = -У1 + УЗ,
14 = -2yi - 2у2 4- Зуз;
§12. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами
13. 1)
' yi = 2ух + Эй + 9у3,
3/2 = 2У1 - Зу2 + Зу3,
, Уз = 4й + 2у2 + 2у3;
2)
' yi = 4yi - У2 + 4уз,
< У2 = 21уз - 6у2 + 28уз,
. Уз = 53/1 - 3/2 + Зуз;
' У = 2yi - у2 + Уз,
у'2 = —3yi + у2 + 2у3,
. у'3 = -4yi - Зу2 + 6у3;
4)
' у'х = 3yi + 2у2 + Уз,
' У2 = “7yi - 4з/2 - 2уз,
. Уз = ~ 4yi - 2у2 - 2уз.
' у{ = 2ух + 6у2 + 9у3,
У = 2yi + Зу2 + буз,
. З/з = 3/1 + 2Уг + 2!/з!
2)
’ 3/1 = ?У1 + 2Уг + Зуз,
' 3/2 = —9?/1 - 2у2 - 9у3,
_ Уз = lOyi + 2у2;
3)
У1 =-4yi-у2+ уз,
У2 = -3yi - 5у2 + 2у3,
. Уз = -4yi - Зу2;
4)
' 3/1 = 3/1 + 3/2 - Уз,
( У2 = -4yi - Зу2 + 2у3,
. Уз = -3/1 -У2~ Уз-
15. 1)
’ У1 = -4yi + 6у2 + 2у3,
У2 = 4yi + у2 - уз,
. Уз = 12^1 - 9уг + Уз',
2)
' у'х = 9yi + 2у2 - 5у3,
' Уг = -7yi + $Уз,
к Уз = lOyi + 2у2 - 6у3;
' ух = -2yi - у2 + уз,
У2 = ~У1 ~ 2Уз + Уз,
. Уз = -2yi ~ 2У2 + Уз',
4)
' 3/1 = 5yi - 13у2 - уз,
' Уг = 4yi - 10у2 - Уз,
. Уз = -63/1 + 13у2.
16. 1)
' Ух = ~Ух + 4у2 + 4у3,
3/2 = —3yi - 9у2 - 2у3,
. Уз = -3yi - 2у2 - 9у3;
2)
' yi = 5yi + 2у2 - буз,
’ Уг = 4yi + 7у2 - 12уз,
. Уз = 3yi + 2у2 - 4у3;
3)
Г yi = 4yi + 2у2 - Уз,
У2 = -5У1 “ 2У2 + 2у3,
4)
' yi = -3yi - 2у2,
- 3/2 = 2У1 - 3/2 + Уз,
. Уз = 2yi + 2у2 - уз' 3/1 = 5yi + у2 - Уз,
' Уг = — 63/1 + 2у3,
. Уз = 5У1 + з/2 - уз;
3)
14. 1)
3)
I Уз = 3/1 + Уг + Уз',
17. 1)
\ Ух = ~Ух - буг - 2уз,
Уг = -6У1 + 4j/2 + Зуз,
[ Уз = — 6yi + 9у2 - 2у3;
2)
3)
г у[ = 2yi + 2у2 - уз,
3/2 = -5yi - 4у2 + 2уз,
. з/з = зл + з/2 - уз;
4)
у'х = 2у2 + Уз,
У2 = -2yi - 5уг - 2у3,
у'з = 3у1 + 4у2.
{
175
176
§ 12. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами
18. 1)
у’1 = 7j/i + 63/2 - 6з/з,
У2 = 22/1 + З3/2 — 2з/з,
Уз = -4з/1 - 4з/2 + 5з/3;
У1 = 2yi + 2у2 + Зу3,
У2 = У1 + У2- Зуз,
Уз = 3yi + 2у2 + 2уз\
3)
У'1 = 3/1 - 3/2 + Уз,
^2 = -У1 + У2 + Уз,
Уз = -2yi - 2у2 + 4з/3;
У1 = У1 + У2 + 2уз,
У2 = У1- У2,
Уз = -^У1 - 2у2 - 4уз-
19. 1)
3/1 = -Зз/i - 2у2 - уз,
У2 = 9з/1 + 63/2 + З2/3,
Уз = -63/1 - 4j/2 - 2j/3;
У1 = У2 + 4уз,
У2 = 42/i - 82/з,
Уз = 2yi + j/г + 2у3\
3)
20. 1)
3)
21. 1)
3)
22. 1)
3)
<
1
1
1
1
1
<
У1 = $У1 + 2з/г - Уз,
^2 = ~бУ1 -У2 + %Уз,
Уз = У1 + У2 + 2уз\
4)
У1 = З3/1 - 63/2 + З3/3,
У2 = —42/1 + 5з/2 + 2у3,
Уз = -2yi - 2у2 + Ю3/3
( У1 = —62/1 - 2у2 + 2у3,
\ У2 = 8У1 + 2У2 - 42/3,
I З/з = -3j/i - У2-
У1 = 5г/1 -1/2 + 42/3,
у'2 = 21jii - 5у2 + 28у3,
Уз = 63/1 - J/2 + З3/3;
У1 = У1 + 2у2 - Уз,
У2 = -6yi - 5у2 + 2у3,
Уз = У1 + У2- 2у3\
4)
У1 = -7У1 ~ &У2 + З3/3,
У2 = ~У1 - 7з/2 + Уз,
Уз = ~У1 - З3/2 - Зз/з;
2)
' у'1 = -З3/1 - У2,
* У2 = 7У1 + У2 + 2у3,
.Уз = У1 + У2~ 2уз-
у'1 = 4j/i + 2уз - Фуз,
У2 = 81/2 - 82/3,
2/з = 6У1 + 2У2 ~ буз;
j/i = -3l/i - 1/2 + УЗ,
~У1 - З3/2 + Уз,
У2
-2зл - 2з/2;
=
Уз
3/1 = -Фу-1 -&У2+ Уз,
У'1 = -2з/1 + З3/2 + з/з,
У2 = ~У1 - 63/2 - уз,
Уз = З3/1 4- 9з/2;
у'1 = 41/1 + 3/2 - Уз,
Уз = ~2У1 +У2 + Уз,
Уз = 7з/1 + 3/2 - 4з/з;
3/1 = 4з/1 4- 52/2 — 2з/з,
У2 = -23/1 - 2у2 4- уз,
Уз = ~У1 -У2 + Уз',
У2 = 2У1 + У2,
Уз = У1 + 2У2 - Ъуз-
4)
у'1 = У2,
У2 = -3j/l - 3l/2 - 3/3,
Уз = 2з/1 + У2-
§12. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами
23. 1)
3)
24. 1)
3)
25. 1)
3)
( Ж = 1/1 - 2у2 — 2у3,
\ У2 = ~*У1 + Зуг + 4у3,
Из = 2У1 ~ 2у2 - Зу3;
2)
’ У1=У1~У2+ Уз,
’ Уз = бу! - 4у2 + Зу3,
. Уз = -3yi ~У2 + 5у3;
' у{ = -4yi + 2у2 + Юу3,
1 У2 = -4yi + Зу2 + 7уз,
. Уз = -3yi + Уг + 7уз;
4)
' у{ = -3yi - Зу2 + 2у3,
- У2 = Уг- Уз,
.Уз = У2- Зуз-
' У1 = 8yi + 2у2 — 4у3,
' У2 = 9У1 + Зуг ~ вУз,
. Уз = 3yi + У2,
2)
' У1 = -У1 + У2,
' У2 = “4У1 - буг,
. Уз = -&У1 + У2 + 5уз;
' у[ = -4yi - 2у2 + 2у3,
1 У2 = “6У1 - 2У2 + Зу3,
, Уз = -lOyi - 4у2 + 5у3;
4)
( y'l = 2yi + Зу2 + 2уз,
\ У2 = ~5У1 - 5У2 - Зуз,
Ьз = -У2 - 2Уз-
’ У1 = 2у! - 6у2 - 6у3,
' У2 = -2yi + Зу2 + 4у3,
i Уз = -3yi + 6у2 + 5у3;
2)
’ У\ = 7yi + 4у2 + Зуз,
' Уг = -lOyi - 6у2 - 6у3,
. Уз = 9yi + 4у2 + уз;
’ У1 = У1- Зуг + Зуз,
- Уг = -2yi - 6у2 + 13у3,
. Уз = ~У1 - М/2 + 8уз;
4)
' у[ = -2у! - 2у2 + Зуз,
’ УГ
2 = -У2 - 2уз,
. Уз = -2/1 - 4у3-
Ответы
1.
2.
I)
й^^ + ^Л
Уг = ЗС1661 + Сзе 31,
Уз = —С\^х + (5С2 + Сз)е
2)
yi = С2ех + Сзе21,
Уз = 3(Cj + C2z)eI + 4Сзе2х,
?/з = (^1 + С2х)е? + Сзе21;
3)
yi = - (Сг + 6С3 + 2Сзх)е х,
Уз — (Ci + Сг + 8С3 + (Сг + 2Сз)х + Сзх^е ’,
Уз = (Ci + C2z + СзХ2)е
4)
yi = 2Cie-2z + 5(Сг cos z + С3 sin х^,
у2 = С^-21 + ((2С2 - С3) cosz + (С2 + 2С3) smz)e*,
уз = —Cie-21 — 5(C2cosz + CjsmzJe1.
1)
у! = Ge”81 + 2С2е^,
у2 = 4Cje 81 + (C2 + CjJe1,
Уз = —2Cie 81 + 2Сзех;
177
178
J12. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами
3.
4.
5.
2)
ух — (Ci + С2 + 2С2х)е2х + ЗС3е^,
1/2 = -(2Ci + С2 + 4С2х)е2х - 6С3ех,
l/з = (Ci 4" С2 + 2С2х']^х + ЗСз^;
3)
|/1 = (Ci + С2 + 4(?э + (С2 + 2Сз)х + СзХ2)е3х,
У2 = -(Ci + С2х + С3Х2)е?“,
J/з = (^1 + 2С2 + 10Сз + (С2 + 4Cj)i + СзХ2)е3х;
4)
l/i = —Схе~3х + ((4С3 - ЗС2) сова - (4С2 + ЗС3)smije1,
Уг = Ge-51 + ((С2 - ЗС3) cos I + (3Q + С3) sin x)ez,
Уз = Cie-51 + ((2С2 — С3) cosx + (С2 + 2С3) sinije1.
1)
у! = 3Ci + Cae4®,
И — 4(71 + (С2 + С^е^,
Уз = —3Ci + Сзе4^;
2)
l/i = ((71 + С2 + С^е1 — Сз,
у2 = —(2С1 + С2 + 2С2х)ех + 2Сз,
Уз = (Ci + С2 + С2х}ех — 2Сз;
3)
l/i = (2Ci + С2 + 2C2x)e~ix,
1/2 = (Ci + Сцх)?-21,
Уз = (Ci + Сз + C2i)e-21;
4)
i/i = —Cie~x — (С2 coax + Cismije*,
у2 = Cie~x + ((2С2 + Сз) cosx + (2С3 - С2)sinije1,
1/з = 2Cie-1 + (С2 cos х + Сз sin i)e".
1)
yi = 3Cie-te + C2e-te,
у2 = 4Cie—^ + (С2 + Сз)е-Ьг,
Уз = —ЗС1в 01 + Сзв ь;
2)
ух = (Ci + С2 + С2х)е2х + 2Сз,
1/2 = — (2Ci + С2 + 2Сзх)е31 — 4Сз,
Уз = (Ci + С2 + С2х)е3х — Сз;
3)
ух = (Ci + С2 + Сз + (С2 + 2Сз)х + СзХ2)ех,
у2 = (Ci + Сз + С2х + Сзх2)^,
Уз = (2Ci + С2 + 2(С2 + Сз)х + 2Сзх2)ех;
4)
yt = —Схе^ + (С2 cosx — Cssinxje1,
У2 = Cie-2x + ((Сз - 2С2)cosx + (С2 + 2С3)8шх)ех,
1/з = 2Cie—^ — (С2 сов х — Сз sin i)e*.
1)
l/i = Cie”101 + С2е~х,
у2 = 7Cie-lte + С3е-Х,
1/з = —Cie-lttx + (С2 + С3)е~х’,
2)
ух = (Ci + С2 + ЗС2х)ех + 4Сзе2х,
1/2 = -(Ci + ЗС2х)ех - 4С3е2х,
Уз = (Ci + С2 + ЗС2х)ех + 5Сзе2х;
§12. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами
6.
7.
8.
3)
1/1 = (Ci + ^2+^3 + (Q 4- 2Сз)х + Сзх2)е х,
Уз = (Ci + С3 + С3Х + Сзх2)е х,
Уз = (2С1 + С2 + ^(Сз + Сз}х + 2Сзх2)е х;
4)
у! =—Cie-*1 — (Сзсозх + Сззшх)е?,
Уз = Ge-41 + ((С2 - Сз)соз1 + (С2 4- C3)sini)ex,
Уз = 2Сге~^ 4- (С3 cosa: + Сзвта:)ех.
1)
у! = С1е~13х + С2е~3х,
уз = 2Cie-lix + Сзе-^,
Уз = 2(С2 + 2С3)е-31;
2)
у\ = (С] + С2 + 2Сзх)^х + Сзе х,
Уз = ~(Ci 4- 2Сзх')е2х — Сзе х,
Уз = (G 4- С2 4- 2Сзх)е2х',
3)
У1 = {—Сз 4- Сз)е~х,
У2 = (Ci + 2С2х)е~х,
Уз — (Ci 4- 2Сз 4- 2C2z)e х;
4)
yi = Cie~3x + (Cjcosi + CjsmiJe1,
Уз = -Cie~3x — 2(C2cosz + C3 sin x)ex,
Уз = Cie~3x + (C3 cosi — C2sinz)ex.
1)
Vl = Cie-X + (C2 + C^e-31,
Уз = 2Cie~x 4- 2Сзе^3х,
уз = 2Cie-x + гСзв”31;
2)
l/i — (Ci — C3 4- Сзх)е x + Сзе31,
У2 = (ЗС2 — 4С2 4- 3C2i)e 1 4- ЗСзб^1,
Уз = (^1 — Сз + Сзх)е х 4~ 5С3е3х;
3)
yi = (Ci 4- Сз 4- Сз 4- (Сз 4 2Сз)х 4" Сзх^е21,
У2 = (Ci 4- Сз 4- С3Х 4- СзХ2)е2х,
Уз — (2Ci 4- С2 4- 2(С2 4- Сз)х 4- 2СзХ3^е^х\
4)
l/i = Cie~x — (С2 cos(2z) 4- С3 sin(2i))ex,
У2 = -Cie~x 4- 2(C2cos(2i) 4- Cjsin(2z))ex,
Уз = Cie~x 4- 2(C3cos(2z) - C2sin(2z))ex.
1)
Vl = ~2CiebI + Сзе2^
Уз = 3Cie3x 4- Сзе21,
Уз = 2С^ - (C2 + C3)e2x;
2)
yi = (Ci 4~ C2 4~ СзХ^ех + ^Сзе 21,
Уз = — (2Ci 4- C2 4- 2СзХ^ех — 8Сзе 21,
Уз = (Ci 4- C2 4- Сзх)ех 4- Сзе 2x;
3)
1/1 = (Ci + C2 4" C3 4- (C2 4" 2Сз)х 4- Сзх2)е ^f
У2 = (Ci 4- C3 4- Сзх 4- Сзх2)е 2x,
Уз = (2Ci 4- C2 4“ 2(C2 4" Сз)х 4~ ЗСзх^е 2x',
179
180
§ 12. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами
9.
10.
11.
4)
1/1 = Cie-® + (С2 cos i + Cjsm x)eh,
1/2 = —Cie-1 — 2(C2 cos x + C3 sin a^e2®,
Уз = Cye~x + ((2C2 - C3) coss + (C2 + 2C3) anije21.
1)
i/i = -2Cie-4® + C2e-8®,
Уз = C3e-S®,
Уз = 3Cie-4® — (C2 + Сз)е~3х;
2)
t/i = (Ci + C2 + C2s)e® — Сзе 31,
Уз = -(Ci + C2x)ex + Сэе-31,
Уз — (Ci + C2 + Czx)ex — 5Сзе-3®;
3)
i/i = (Ci + C2 — 5C3 + 2C2s)e3®,
Уз = Сзе31,
Уз = (Ci — C2 + 2Czx)e3x\
4)
l/i = Cie"*1 + (C2cosx + Casmije*1!
yz = —Cie-*1 — 2(C2cosi + Сзвшх)е3®,
Уз = Ge-4® + ((C2 + C3) cost + (C3 - C2) sina^e3®.
1)
yi = -4Cie-4® + C2e-b,
yz = 3Cie-4® + C3e-S®,
Уз = 2Cie~*x — (C2 + Сз)е-Б®;
2)
y\ = (Ci + C2 + 3Czx)e 21 + 4C3e®,
yz = —(2Ci + C2 + 6Czx)e 21 — 8Сзе®,
Уз = (Ci + C2 + 3C2x)e 21 + 7C3e®;
3)
yi = — (C2 + 6C3 -f- 2C3s)e2®,
yz = (Ci + C2 + (C2 + 2C3)s + C3x2)e2®,
1/3 = (Ci — 8C3 + Czx + СзХ2)е2®;
4)
yi = -Cie-21 — (Cz cos s + C3 sin x)e3x,
yz = Cie-21 + ((2C2 + C3)coss + (2C3 - C2)sina^e3®,
l/3 = 2Cie-2® + (C2 cos a; + C3 sin a^e3®.
1)
yi = -4C1C4* + Сзе31,
yz = 3C164* + Сзе3®,
l/3 = 2Cie4®-(C2 + C3)e3®;
2)
yi = (Ci + C2 + 2C2s)e3® + 4C3e-2®,
yz = (2Ci + 3C2 + 4C2s)e3® + 8Сзе 21,
Уз = (Ci + C2 + 2Czx)e3x 4- 9Сзе 21 j
3)
yi = —(C2 + 6C3 + 2Сзх)е~3х,
yz = (Ci + C2 + (C2 + 2C3)x + СзХ2)е 21,
Уз = (Ci - 8C3 + C2s + C3x2)e-2®;
4)
l/i = -Cie-2® + (C3 cos(3a:) - C2 вш(3х))е®,
Уз = Cie-2® + ((C2 - C3) cos(3i) + (C2 + C3) sin(3a:))e®,
1/3 = 2Cie-2® - (C3coe(3s) - C2sin(3s))e®.
§12. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентам^ ■.
12.
13.
14.
15.
1)
У1 = 4Ciete + 2С2е-4х,
г/2 = ЗС1е8х-(С2 + С3)е-4х,
Уз = 2С^ + 2Сзе-*'-,
2)
У\ = (С; 4- С2 4- С2х)е~3х,
у2 = —(2С1 + С2 4- 2С2х)е ^
Уз = (Ci 4- С2 4- С2х)е 31 + Сзе4^;
3)
Vi = (Ci 4- Сз 4- С2х)ех,
Уз = (G + Cj + С2х)ех,
Уз = (2С) + 2С2 + Сз + 2С2х)ех\
4)
yi = (2Ci + 5(С2 cos i 4- Сз sin i))e'x,
Уз = (Ci + (2С2 + Сз) cos о: + (2Сз — С2))е-Х,
Уз = -(G + StCjCosj + Cjsini))^1.
1)
у^ЗС^ + Сзе-*1,
у2 = С1е9х - (2С2 4- ЗСз^41,
Уз = 2С1е9х + Сзе-41;
2)
yi = (Ci — С2 4- С2т)ех + 2Сзе х,
У2 = (7Ci — 8С2 + УСзХ^е1 + 14Сзе х,
Уз = (Ci — С2 + С2х)ех + Сзе х;
3)
yi = — (С2 + 6С3 4- 2Сзх)е3х,
У2 = (Ci 4- С2 4- (С2 + 2Сз)х 4- Сзх^т?1,
Уз = (Ci 8С3 4- С2т + Сз^2)е3х;
4)
и = — (Ci + 2(С2 cosi + Сз8тх))е_х,
У2 = (Ci + (ЗС2 - Сз) cos а: 4- (С2 4- ЗС3) sinije"1,
Уз = 2(Ci + С2 cos х + Сз sin х)е~х.
1)
У1 = ЗС^91 - (2С2 + ЗС3)е-х,
у2 = 2С\^Х + С2е х,
Уз = Cie9x + С3е-Х;
2)
yi = (Ci + С2 + 2С2х)е*х 4- ЗСзе 3l,
У2 = — (3Ci + 2С2 + 6C2i)e^ — 9Сзе Зх,
Уз — (Ci 4- С2 4- 2С2х]т^х — 4Сзе ^j
3)
з/1 = — (С2 4- 6Сз + 2Сз1)е-3х,
У2 = (Ci 4- С2 4~ (С2 4- 2Сз)х 4- Сза2)е Зх,
Уз = (Ci — 8С3 4- С2х 4- Сзх2)е ^
4)
У1 = (Ci 4- С2 cos а: 4- Сз sin х)е~х,
У2 = ~(Ci 4- 2C2cosa: 4- 2Сззта:)е_х,
Уз = (Ci — Сз cos а: 4- С2 sin х)е~х.
1)
У1 = -2С1е-10х 4- (ЗС2 4- С^е41,
у2 = С1е-10х 4- 4С2е4х,
Уз = ЗС1е-10х 4- 4С3641;
181
182
$ 12. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами
16.
17.
18.
2)
Ji = (Ci + С2 + 2С2х)е2® - 5С3е-®,
Уз = -(Ci + 2С2х)е2® + 5С3е-®,
1/э = (Ci + С2 + 2С2х)е^х — 8С3е ®;
3)
yi = (Ci + 0з + С2х)е~х,
1/2 = (01 + С2 + С2х)е~х,
у3 = (2Ci + 2С2 + С3 + 2С2х)е~х\
4)
1/1 = 2Cie-1 + 13(С2 сое х + С3 sin х)е-2®,
1/2 = Cie~x + ((8С2 — C3)cosj + (С2 + 8С3) anije’21,
у3 = -Cie~x — 13(C2coei + C3smi)e‘Jl.
1)
i/! = -2Cie-5® - 2(С3 + С3)е-71,
l/2 = Cie-5® + 3C2e-7®,
!/з = Ge”51 + ЗС3е-71;
2)
l/i = (Ci + С2 + 2C3x)e3® + бСзе2®,
1/2 = (2Ci + ЗС2 + 4C3x)e3® + 12C3e^x
Уз = (Ci + C2 + 2C2x)e3x + ТСзе2®;
3)
уi = (Ci + C2 + 4C3 + (C2 + 2C3)x + C3x2)e®,
1/2 = -(Ci + C2x + C3x2)e®,
Уз = (Ci + 2C3 + 10C3 + (C2 + 4C3)x + C3x2)e®;
4)
i/i = —Cie-1 — 2(C3 cos x + C3 ein ^e'21,
Уз = Ge-® + ((C2 + C3) coax + (C3 - C2)sinx^-2®,
y3 = 2Cie~x + 2(C3cosx + C3sinx)e-2®.
1)
1/1 =-2Cien® + (3C2 + C3)e-5®,
I/2 = 3Cie“® + 2C2e-fe,
l/3 = 3Cie11® + гСзе-6®;
2)
l/i = (Ci + C3 + C3x)e2® — C3,
y2 = —(2Ci + C2 + 2C3x)e2® 4- 2C3,
Уз = (Ci + C2 + C3x)e2® — 3C3;
3)
1/1 = (Ci + C3 + 4C3 + (C3 4- 2C3)x + C3x2)e ®,
y2 = —(Ci + C3x + C3x2)e ®,
Уз = (Ci 4- 2C2 + 10C3 + (C3 4- 4C3)x + C3x2)e ®;
4)
t/i = Cie-® 4- (C3 cosx — C2 ainije'2®,
1/2 = —Cie-® — 2(C3cosx — C2sinx)e-2®,
1/3 = Cie-® + ((2C3 - C2)cosx - (2C2 + C3)smx)e-2®.
1)
1/1 = 3Cie13® + C2e®,
Уз = Cie13® + C3e®,
y3 = -2CIeu® + (C2 + C3)e®;
2)
1/1 = (Ci 4- C3 4- 2C3x)e3® + 3C3e ®,
Уз = -(Ci + 2C2x)e3® - 3C3e-®,
1/3 = (Ci + O2 + 2C3x)e3® — C3e ®;
§12. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами
19.
20.
21.
3)
Уз = (Сз + Сз + C2i)e2x,
Уз = (Сз 4- С2 4- C^je2*,
Уз = (2Cj + 2С2 + Сз + 2С2х)е2х;
4)
Уз = -Cie-21 4- (C2cosi — Cisinije’1!
У2 = Cie~2x + (Cacosi 4- C2sinz)e-1,
Уз = Cie~2x - ((С2 + Сз) cosz + (С2 - С3) sini)e-1.
1)
уз = Сцх + С2,
Уз = —ЗСзе* + Сз,
Уз = 2Ciex — (ЗС2 + 2С3);
2)
yi = (С! + С2 + С^е2* 4- С3е~2х,
Уз — —(2Ci + С2 4- 2С2х')е2х — 2Сзе 2х,
Уз = (Сз 4- С2 + С2т)е2*;
3)
yi = (G + С2 + 4С3 + (С2 + 2С3> 4- С3х2)е2*,
Уз = -(Ci + С2х 4- Сзх^е21,
уз = (Сз 4- 2С2 + 10С3 + (С2 4- 4C3)i 4- C3z2)e2*;
4)
yi = Cie~2x 4- 2(C2cosi 4- Casin^e-1,
Уз = -Cie~2x - 4(С2 cosz 4- Casinije"1,
Уз = Сзе-2* 4- ((С2 4- С3) coez 4- (С3 - С2) sinz)e-1.
1)
уз = ЗСз 4-Ge91,
у2 = 2Сз 4- Сзе9*,
Уз = Ci + 2(С2 4- Csje®1;
2)
У1 = (С3 — С2 4- С2х)е2х 4- 4Сзе *,
Уз = (7Сз - 8С2 4- 7С2х)е2х 4- 28С3е-*,
Уз = (Сз — С2 4- С2х)е2х 4" Сзе *;
3)
yi = (Сз 4- С2 4- 4Сз 4- (С2 4- 2Сз)г 4- Сзх2)е 2х,
Уз = —(Сз 4- С3Х 4- Cji2)e 21 у
Уз — (Сз 4- 2С2 4- IOC3 4" (С2 4- 4Сз)х 4- C3i2)e ^j
4)
уз = —Сзе-21 — (C2cosz 4- C3sinz)e-1,
у2 = Сзе-21 4- ((2С2 4- С3) cosz 4- (2С3 - С2) sinzje'1,
Уз = 2Сзе-2г 4- (C2cosz 4- C3sinz)e-1.
1)
уз = ЗСзе”9* 4- С2е^,
Уз = Сзе’91 4- Сзе-4*,
Уз = Суе 9х 4- (С2 4" ЗСз)е ^;
2)
уз = (Сз 4" С2 4" 2C2z)e4* 4- 2Сзе ^
Уз = (2Сз 4- ЗС2 4- 4C2z)e4* 4- 4Сзе 2х,
Уз = (Сз 4- С2 4- 2С2х)е4х 4~ 5С3е ^j
3)
Уз = (Сз 4- Сз 4- С2х)е ь,
Уз = (Сз 4- С2 4- Сзх'цг2*,
Уз = (2Сз 4~ 2С2 4~ Сз 4~ 2С2х)е ^^
183
184
§ 12. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами
22.
23.
24.
4)
yi = -Cie-1 - ((2С2 + С3) cosz + (2С3 - С2) sin:г)е—^
1/2 = Cie-1 + ((С2 + С3) cosa: + (С3 - С2) sinz)e-21,
J/з = C\e~z + (C2cosz + C3sinz)e-2x.
1)
yr = Cie-2* + C2e-3*,
Уз = -Cie-21 + C3e-3*,
1/3 = 3Cie-2* - (C2 + 3C3)e-te;
2)
yi = (C1 + C2 + C2z)ea’-C3e-te,
У2 = -(Ci + C2z)e2* + C3e-3*,
Уз = (Ci + C2 + Сзх)^ — 6C3e b;
3)
yi = —(Ci + 2C2 — 2C3 + (C2 + 4C3)z + C3z2)e*,
1/2 = (Ci + C2 — 2C3 + (C2 + 2C3)z + C3z2)eI,
I/з = (Ci + C2x + C^Je*;
4)
i/i - (—Ci + C3 cos x — C2 sin x)e~x,
У2 = (Ci - (C2 + C3)cosz + (C2 - C3)sinz)e-x,
Уз = (Ci + C2 cosz + C3sinz)e-X.
1)
yi = Cie3* + (C2 + C3)e-X,
y2 = -гс^3* + C2e-1,
h = Cie3' + C3e-1;
2)
i/i = (Ci — C2 + C2z)e x + Сэе4*,
У2 = (3Ci — 4C2 + 3C2z)e x + ЗСэе4*,
Уз = (Ci — C2 + C2z)e 1 + бСзе4*;
3)
l/i = 2(Ci + C2z + C3z2)e2x,
1/2 = (Ci + C2 — 5C3 + (C2 + 2C3)z + Сзг2)е2*,
I/з = (Ci + C3 + C2z + C3z2)e2*;
4)
l/i = (-Ci + (3C2 - C3) cosz + (C2 + 3C3)sinz)e-2x,
1/2 = (Ci - 2(C2cosz + C3sinz))e-2x,
I/з = (Ci + (C3 - C2) cosz - (C2 + C3) sinz)e-2x.
1)
2/i = 2Ciete + гСге2*,
y2 = 3Ciete + гСде2*,
y3 = Cie9* + (3C2 + COe2*;
2)
l/i = (Ci + C2 + C2z)e-3*,
Уз = — (2Ci + C2 + 2C2z)e 31,
1/3 ■ (Ci + C2 + C2z)e-3* + Сзе31;
3)
l/i = Ci + C3e-2*,
1/2 = C2e* + C3e 21,
Уз = 2Ci + C2e* + 2C3e ^j
4)
l/i = —Cie-3* + (C3 cosz — С2ап1)е“',
1/2 = Cie-31 - ((C2 + C3) cos z + (C3 - C2) sin z)e-*,
I/з = Cie-3* + (C2cosz + C3sinz)e-*.
§ 12. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами
25.
1)
^^-зс^ + г^ + с^-*,
у2 = 2С1612* + С2е~х,
УЗ = ЗС^е12* + Сзв~х-
2)
у^^ + Сз + ЮзХ^ + ЗСзе-21,
у2 = -(2G + С2 + 8С2х)е21 - 6С3е-21,
Уз = Р. + С2 + ^(е21 - Сзе’21;
3)
yi — (3Ci 4- 5Сз 4- 3Cji + ЗСз^е1,
У2 — pl — 2^2 + С3 + (G — 4Сз)х + Сз!2)^,
Уз = (Ci — С2 4- Сз 4- (С2 “ 2Сз)ж 4- Ca^Je1;
4)
yi = -С^31+ ((С2-2С3)со8х+(2С2 + Сз)Бтх)е~2х,
у2 = С71С-^ 4- ((Сз — С2) cost - (С2 4- Сз) sinrr)e—^j
Уз = Ge-31 4- (Сзсобх - C2smT)e-2z.
185
§ 13. Линейные неоднородные системы
с постоянными коэффициентами
Систему можно записывать как в развернутой форме
У1 = а11У1 + “122/2 + • • • + “Л + Л^),
2/2 = “212/1 + “222/2 + • • • + ОщУп + AW,
24 = “п12/1 + “п22/2 + • • • + “пп2/п + 4W,
так и в векторно-матричной форме
у' = Ау + f(x),
fan а12 ... а1п^
“21
“22
•••
\“nl
“п2
• • • апп/
“2п
Для решения системы (13.1) следует предварительно найти векторы
Vj = У23 ,
j = ^п,
W
образующие фундаментальную систему решений соответствующей одно
родной системы у' = Ау. Далее можно применить, например, метод
Лагранжа или метод неопределенных коэффициентов.
I. Метод Лагранжа (метод вариации произвольных постоян
ных). В этом методе общее решение системы (13.1) записывается по фор
муле (в векторной форме):
У = С^х) у1 + С2(х)у2 + ... + Сп(х) уп.
(13.2)
Функции Cj(x) восстанавливаются интегрированием по своим произ
водным Cj(x), j = 1,п, (берутся с произвольными аддитивными посто
янными), производные же находятся из решения линейной алгебраической
системы
С'^Уп + C'2(x)y12+...+ C'n(x)yln = f^x),
С'1^У21 + С'2(х)У22 +... + C'n(x)y2n = f2(x),
С'Ах)Уп1 + С^Упг + • • • + С'^Упп = fn^186
(13.3)
§13. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами
187
Пример 1. Решить систему
У1 = ~У1 + 2й ~Уз + е*х/х,
у'2 = 14^ - 4% + 2% + 2е3х/х,
Уз = 40У1 - 20% + 10%.
-1
2 -1 \
14—4
2
имеет три собственных значе40 -20 10 /
пия 0, 2, 3. В качестве собственных векторов, отвечающих этим собствен
ным значениям, найдем, например, векторы соответственно
(
0\
1 ,
2/
/1\
4 ’
\5/
/1\
2
\0/
Тогда фундаментальную систему решений соответствующей однородной си
стемы составят векторы
/о\
% = I 1 I,
Л
% = е21 I 4 I = I ^2l I >
W
\2/
/е3х А
% = е3х I 2 I = | 2с31 J.
\5е27
\0/
\ 0 /
Система (13.3) примет вид
С^х^е21 + С'3(х)е3х = е3х/х,
С\(х) + 4С'2(х)е2х -I- 2С'э(х)е3х = 2е3х/х,
2С[(х) + 5С’2(х)е2х = 0.
Решая ее, получим С\(х) = 0, С^1) = ^, С'3{х) = 1/х. Отсюда
C1(i) = C1, С2(х) = С2, С3{х) = ln|i| + С3. Следовательно, решение
исходной системы в векторной форме принимает согласно формуле (13.2)
вид
М
Уг
/°\
=Q 1
Уз)
\2/
/А4 + (In |:г| + С3)е3г /А2 .
+ С2е21
\5/
В ответе укажем решение в развернутом виде,
у, = С2е2* + (In И + С3)е31,
Ответ: у2 = ^ + 4С2е21 + 2(ln |i| + С3)е3г,
Уз = 2С\ + 5С2е2х.
\0/
188
§13. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами
II. Метод неопределенных коэффициентов. В этом методе общее
решение системы (13.1) в векторной форме записывается в виде
У = С1у1 + С2у2 + ... + Cnyn + yv
(13-4)
где С\, С2,... ,СП — произвольные действительные постоянные, а частное
Уч1
решение уч =
Уч2
находится по-разному в зависимости от вектора f(x).
\Учп/
Не для всякого вектора f(x) удается найти уч методом неопределенных
коэффициентов. Укажем два случая вектора f(x), подходящих для этого
метода:
f(x) = eax
где a — действительное число, Pj(x) — многочлены степеней соответственно
m,j, j = 1,п. В этом случае
eax
^(я)
где Rj(x), j = 1, n, — многочлены степени m+k, m = max(m1, m2,..., mn),
а число k полагается равным нулю, если число а не является собственным
значением соответствующей матрицы А, и полагается равным кратности
этого собственного значения в противном случае. Коэффициенты всех мно
гочленов Rj(x) берутся вначале неопределенными, а затем находятся после
непосредственной подстановки уч в исходную систему.
Пример 2. Решить систему
У1=У1+У2~ Уъ
У,2 = У1-У2 + Уз + е1,
Уз = У1-$У2 + ЗУз-
{
/ 1 1 -1 \
Решение. Матрица 11—1
1 | имеет три собственных значения
\ 1 -3
3 /
О, 1, 2. В качестве собственных векторов, отвечающих этим собственным
§13. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами
189
значениям, можно указать, например, векторы соответственно
о\
/1 \
1 ’
1 ’ р ’
V
V/
X-1/
и тогда фундаментальную систему решений соответствующей однородной
системы составят векторы
Й =
/о\
1 Ь
Й = е1 I 1 I,
X1/
В нашем примере
/1А
Й = е2* I О I.
х-1/
X1/
/0\
1 ,
Х°/
т. е. а = 1, тщ = m2 = т3 = О, m - 0. Поскольку число а = 1 является
собственным значением матрицы системы кратности k = 1, то m + к = 1
и, следовательно,
(ц^х 4— bi
a2x 4- b2
a3x 4“ b3
Л» = е1
или, по-другому, уЧ} = ех(а^х 4- bj), где a^b^ j = 1,2,3, — подлежащие
нахождению коэффициенты.
Подставим выражения для y4j в исходную систему. После сокращения
на ех и приравнивания соответствующих коэффициентов в левых и правых
частях приходим к линейной алгебраической системе
Oi — Gi 4" ^2
®3’
а1 + ^1 = ^1 + ^2 — ^3>
^2 — ^1
^2 "*" ^3’
®г + ^2 = ^1 _^ + ^з + 1>
Од —- ^1
( Од
Зо2 4” ЗО3,
4“ Ь3 — bi
3^2 4" 3bj.
Возникающая на этом этапе рассуждений система всегда имеет решение,
но, возможно, не единственное. Для дальнейшего достаточно взять какоелибо конкретное решение этой системы. В нашем случае возьмем a,i = а2 =
= а3 = — 1, bi = —4, 62 = — 1, 63 = 0. Итак,
—я - 4
-1-1
—х
(
§13. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами
190
Ответ запишем с помощью формулы (13.4), придав ему развернутый
вид.
У1 = ~С2(х + 3)е® 4- Сзе2®,
Ответ: у2 = Cj — С2хех,
Уз = С1 + С2^ ~ ^ ~ Сзе21-
(Q^\
^2(х)
cos(^i) +
2)
\
sinQSx)
/
где a и (3 — действительные числа, Р^{х} и Qj(x) — многочлены степеней
тп^ и lj соответственно, j = 1, п. В этом случае
^гС1)
sin(^)
,
где Rj(x) и Sj(x), j = l,n, — многочлены степени m + k, m =
= max^j, m2,..., mn, 1г,12,..., /п), число к полагается равным нулю, если
комплексные числа а ± г/3 не являются собственными значениями соответ
ствующей матрицы А, и полагается равным кратности этих собственных
значений в противном случае. Коэффициенты всех многочленов Rj(x) и
S^x} берутся вначале неопределенными, а затем находятся после непосред
ственной подстановки уч в исходную систему.
Пример 3. Решить систему
yj = —8yj + у2 — 5у3 + 13cos(2i) + 3sin(2i),
i/2 = ISi/j -|/2 + 10у3 — 28cos(2ar) — 10sin(2i),
Уз = llj/j — 1у2 + 10у3 — 19 соз(2а;) — 12sin(2a;).
—8
1 -5 \
18—1 Ю I имеет собственные зна11 -7 10 /
чения 1, ±5г. Аналогично примеру 2 § 12 можно найти фундаментальную
систему решений соответствующей однородной системы:
(
—1\
1 >
2 /
(
/
Й=
0
\
2 sin(5i)
I,
\cos(5a:) + 2 sin(5i)/
/
-cos(5i)
Уз = I
2 cos(5i)
\2cos(5i)-sin(5i)
§13. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами
191
В нашем примере
/ 13 \
/ 3 \
/*(т) = I —28 I cos(2i) + j —10 j sin(2i),
\-19/
\-12/
e. a = 0, /3 = 2, mr = m2 = m3 = lr = l2 = l3 = 0, m = 0. Так как числа
a±i[3 = ±2г не являются собственными значениями матрицы системы, то
к = 0, тп + к = 0, поэтому
t.
cos(2t)
+
зш(2т),
или, что то же самое, у^ = a} cos(2t) + bj вш(2т), где a?, bj — неопределен
ные коэффициенты, j = 1,2,3. Подставляем выражения для y4j в исходную
систему и приравниваем соответствующие коэффициенты при функциях
cos(2i) и sin(2i) в левых и правых частях:
2ЬХ = —8aj + a2 — 5a3 + 13,
—2flj = —Sb-[ T 62 — 5b3 -j- 3,
2b2 = 18a! — a2 + 10a3 — 28,
-2a2 = 186j — 62 + 10b3 — 10,
2b3 = Raj — 7a2 + 10a3 — 19,
. -2a3 = 116i - ™2 + 10Ьз - 12
Из возникшей системы линейных алгебраических уравнений находим
aj = 0, Ьг = а2 — Ь2 = 0 а3 = b3 = 1. Следовательно, уч1 = cos(2t),
уч2 = 0, i/q3 = cos(2т) + sin(2i), или по-другому
cos(2i)
0
cos(2t) + sin (2т)
(
Ответ записываем с помощью формулы (13.4).
У1 = — Це1 — С3соз(5т) + cos (2т),
Ответ- 2/2 = ^^ + 2672 ™^5^ + 2Сз СО8(5з;)’
у3 = 2С1ех + (С2 + 2С3) cos(5t) + (2С2 — С3) sin(5T)+
+ cos (2т) + sin(2T).
§13. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами
192
Задания
Решите системы:
I-
1)
2/1 = ~У1 - 4у2 ~ 2у3 + 4=,
ух
Уз = -4У1 - &У2 + 2^3 + Д=;
2)
Г 2/1 = 2/2,
1
< У2 = Уз------1
COS61
Из = 5У1 ~У2 + 5»з;
3)
4)
2-
1)
Ух = —2i/i — 2у2 + 2уз + 2х + 3,
У2 = -32/1 + й - 4уз + Зх - 1,
Уз = -32/1 + 2у2 - 5уз + Зх - 2;
{
2/1 = ~У1 + 42/2 - ^уз,
у'2 = yi + 4у2 + sinx,
Уз = 4j/i + 22у2 - Зу3.
{
Ух = 4уг + Зуз + Зуз,
у[2 - -2ух - 1пх,
у'3 = -2ух - 4у2 - 4у3 + 1пх;
{
2/1 = 2ух + 2у2 — Уз,
У'з = Уз,
Уз = Ух + sin(3x)(tgx 4- ctgx);
2)
{
3)
' 2/1 = -2/1 + 42/2 - 2уз + х,
< У2 = ~У1- 2уз - 22/з - я + 1,
. 2/3 = -2/1 - 32/2 - 2/з;
4)
( 2/1 = 32/1 + 42/2 + 42/з - 9sinx - 3cosx,
< 2/2 = —2/1 ~У2~ Зуз + 4 sin х + 2 cos х,
( Уз = За/i + 62/2 — 42/з — 2 sin х — 2 cos х.
2
2/1 = -2/1+ 22/2 + 2/3 + —2~,
1
,
1
2/2 = 2/1 — 2У2 + 3?/з + —2~,
COS^ X
У'з = 42/1 - 82/2 + 62/3;
§13. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами
4.
2)
’ 2/1 = 2/1 + 2/2 - Уз + ctgx - sinx,
' У2 = Уз 4-sinx - ctgx,
. Уз = 2/1 + cosx + 1;
3)
' yi = 3i/i + 2y2 + 4i/3 + x - 5,
' У2 = ~У2 - 2у3 4- х + 3,
. Уз = -tyi — 2у2 - 5уз - 2х + 5;
4)
i/i = 42/i 4- 3j/2 - З2/3 4- 3sinx 4- 3cosx,
* 1/2 = З1/1 4-1/24-1/3-sinx-cosx,
. i/i = 82/1 4- 5i/2 - З1/3 4- 2 sin x 4- 4 cos x.
1)
rf--3H+3!fi + 2ia+e,(11+i2),
,
2
У2 = У2 + УЗ- -777---- 2V
4
Уз = -8?/i + 6i/2 + 4i/3 4- —7—
2)
У1 = У2,
,
sin2 х
1/2 = Й + ---- к-,
cos°x
Уз = Уз-У2 + уз;
5.
3)
у[ = -У1 - ^У2 — 4уз + 4хе21,
У2 = У1~ 2у2 — 2у3 4- 2хе2г,
Уз = -2уг + у2 + уз + (х + 1)е21;
4)
' У1 = -4yi - 5i/2 4- Уз 4- 3cosx,
' у'2 = 2у1 + 2у2-уз-Ып1,
y'3 = —2yi 4- Зуз — 6 cos х — 2 sinх.
1)
2/1 = 3l/l - З1/2 - Ъуз - т 6 2 ,
ех sin х
* У2 = -З3/1 - 2/2 + 2уз 41 2 ,
е® sin х
2/3 = 2/1 - З2/2 - 22/3 - г . 2 ;
е® sin х
193
§13. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами
194
'
2)
,
(
cos(2x) + sin(2i)
= ^ +-------- 1
^(2.)-^.),
yz
,
4
2(сов(2а:) 4- sin(2i))
3/3 = 16У1 - 4у2 + 42/з - —>—5=---3)
4)
6.
1)
2)
у^ = -2yi + У2 + 2у3)
У2 = ~У1 ~ 5У2 ~ Зуз + 5е®,
Уз = -3®1 +уг + Зу3;
{
у'! = -5yi - Зуз - Зуз + COSI,
З/г = -3J/1 - 2у2 ~Уз + cos х,
Уз = 8У1 + ^У2 + 4уз 4- cos х.
{
3/i = ~У1 ~У2-Уз + бу/хе?,
У2 = ~У1 + &У2 + 4у3 - 21yfxe,
j/з = -29j/i - 7у2 + 15у/хех;
{
' з4 = У2,
,
1
У2 = УЗ------- .
COS5!
. 3/з = 2/1-3/2 + Уз',
7.
у1! = -4з/1 + 3/2 4- З/з 4- (я + 1)е-1,
3/2 = 3/1 - З3/2 - Зз/з 4- 2е-1,
З/з = -63/1 4- $3/2 4- 5у3;
3)
{
4)
' yj = -4уг + 2у2 + 2у3 + 6sinx,
1 3/2 = ~У2 + Уз — sinx - СОВ X,
Уз = —15з/1 + IO3/2 + 5уз + 24sini — 4cosx.
1)
,
3/1 = -3/1 - 3/2 4- З/з 4-
5
2 ,
е^® ch х
4
3/2 = -3yi 4- 21/2 4- З/з 4е2® ch21 ’
1
з/з = —3j/i + 4=3/2 ~Уз~
е2® ch2 х ’
§13. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами
2)
У1 = У2,
.
Q
COS X
Уг = Уз + ~'
S1D
X
Уз = У1~У2 + Уз]
3)
( У1 = ~У1 -У2- Зуз + 4х + 3,
\ Уг = ~2уг — 5уз + 7i + 6,
I Уз = 3yi - Зу2 + Зя + 4;
’ У1 = У1 +у2 + 3COSI,
4)
' Уг = ~У1 ~ ЗУ2 - 2у3,
. Уз = У2 + уз - 2sini.
8.
1)
У'1 = -У1 - 2у2 - 2у3 +
Л—
eWl + х2
* Уг = ~У2 + 4у3,
. Уз = -2уг + 5у3;
2)
У1 = У2,
2/3
cos(2i)’
Уз = 12У1 - 4у2 + Зу3;
3)
' у{ = -4yi - Зу2 + Уз + е1,
- Уг = 2уг + 4у2 - Зу3 - 2с1,
, Уз = 2у! + 2у2 - уз + яе1;
4)
<
9.
1)
У1 = У1 +Уг + Уз + соая,
У2 = 3yi + 4у2 + 2у3 + Зсозя — 2sini,
Уз = —3yi — 4уг — 2уз + 2 sin я — 2 cos я.
У1 = -4yi - 4у2 + Зу3 - -у-,
sh я
’ У2 = -2yi + 2уг + Уз -
sh х
,
8
Уз = -4yi - 4у2 + Зу3 - -у-;
sh я
195
§13. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами
196
. _
2________ 2
1 ^2 + cos(2z) sin(2i) ’
2)
, _
2 ^3
4sin(2z)
cos2(2x)
4cos(2x)
sin2(2i) ’
8
8
Й = 8М-4й + 2й-^ + ^;
3)
Г У1 = -% + 2/2 - 42/3 4- 2,
\ 2/i = “2/1 “ 2/2 - ^Уз,
Уз = 4У1 - Уг + Зуз -1;
yi = -2уг - y2 + 2уз,
У2 = 4y2 + 3y3-3cosi,
Уз = -2у2-уз + 48Ш1.
4)
10. 1)
2)
3)
' yi = -2yi - У2 - 2у3)
* гб = У1 + 2уг + 4у3 - 10i\/J,
. Уз = 7yi + 2у2 + 4у3 + 5х^;
yi = У2,
.
S1D X
У2 = Уз + ---- 12~’
СО8“ X
Уз = -У1~У2- Уз',
{
yi = -3yi - 5у2 + 2у3,
yi = У1 + У2 + х,
Уз = 2yi + Зу2 4- уз;
{
4)
।
11.
1)
yi = — 2yi — 2уг — 2уз 4- 4 sin х 4- 6 cos х,
yi = — yi 4- уз 4- 2cosi — 3sinx,
2/' = 4yi — З2/2 + 2уз — 6 sin I — 9 cos х.
1
ех^\ — х2'
1
- Уг = 2/1 + 2уг + 2уз exVl — х2'
,
1
2/i = ~У1 + т л —:!
yi = 2yi 4- 4уг 4- уз 4-
§13. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами
I
2)
х
У1 = У2 + -----cos а;
,
a; sin а:
У2 = Уз------- йcos^x
Уз = 6yi - У2 + 6у3 -
х
COST
3)
' yi = -2у! + 4у2 - 4у3,
' Уг = У1 + 2уг - Уз - 2,
, Уз = У1 + 2у2 - Уз;
4)
' yi = 2yi - 2у2 - 4у3 + 2sins,
* Уг = -2У1 - 4у2 ~ Уз~ cos а;,
. Уз = 2yi + 4у2 + Уз - 2COSI.
12. 1)
yi = 2yi - 5у2 + уз +
У2 = “У1 + Зуг + Уз +
1
е^у/х
1
3
Уз = 6yi - 15у2 - Зу3 - —
,
cos(3x) 4- sin(3i)
yi = У2 +----------------------- ,
X
,
3(cos(3i) — sin(3i)l
yi =Уз + -- ---- —-------x
/
n
n
9(cos(3a;) + sin(3a;))
yi = 27yi - 9y2 + 3y3 -
2)
3)
' У1 =У1- Зуг - Зуз,
' У2 = 3yi - 2у2 - 2х,
. Уз = -3yi + 4у2 + 2у3;
4)
<
13.
1)
yi = -4yi — уг - Уз + 11 cost + 3sinx,
yi = 2yi + 4у2 + Зуз — 9 cos а: — 6 sin х,
у'3 = 22yi + 2уг + Зуз — 26 sin а: — 50 cos х.
" У1=У1-У2- 2уз + 4^1,
< у^ = у! + 4у2 + Зуз - 4^/т,
. Уз = -У2 - Уз + 4^;
197
198
§13. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами
у'1 = Уг + sin х + cosx,
.
COS* X SID X
У2 = Уз + —.---------------- ,
sm х
cos x
2)
Уз = 3yi ~У2 + Зу3 - sinar - cosi;
3)
( У1 = ~2У1 + 4Уг ~ ^Уз,
I У2 = 2yi - 2й + 2,
I Уз = 4У1 — 4у2 + 2у3;
4)
’ у'1 = У1 4- Зу2 + Зуз,
1 Уг = У1 +2У2 + 3sini,
. Уз = -У1 - ЗУ2 - Уз-
14. 1)
2)
yi = 2yi + 4у2 + Уз + е21 In х,
У2 = 2у2 + Уз,
Уз = 4у2 - Уз;
{
У'1 = У2,
.
8Ш° X
У2 = Уз------- б-,
COS0!
{
Уз = -yi - Уг - уз;
у'1 = 2yi + 2у2 + 2уз 4- (2i + 1)6®,
У2 = -2yi - 2у2 -уз- ех,
Уз = -2yi - 2у2 - Зуз + (х + 2)ег;
3)
{
4)
' yi = 4yi + Зу2 - 2у3 + 2cosj,
’ Уг = -3yi - 2у2 + уз - cosi,
Уз = 3yi 4- 5уг — Зуз — sin т + 3 cos х.
15. 1)
у'1 = 2yi 4- у2 - Зуз 4- 5 tgx,
у^ = 2yi 4- 4уг 4- Зуз -4tgi,
Уз = -6yi - 8у2 - уз 4- 2tgz;
{
,
sin а:
yi =У2------- r4-cosa:,
cos2 а:
2)
1
Уг = -У1 4- 2уг 4- 2у3------------ sin х,
COSX
.
1
Уз = У1 4---------- Hsin я;
cos а:
§13. Лилейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами
16.
3)
' i4 = -2yi + 3/2 + Зу3 - 5z - 6,
1 Уг = “2Уг + Уз - ^ - 1,
, у'3 = -4у2 + Зу3 - Зт - 2;
4)
' у{ = -2yi + 2у2 + 2уз - 4cosi + 4sini,
- У2 = -У1 + Зуз - sinx,
l Уз = -3yi + 2уг + Зуз + 6sini - 6cosi.
1)
'
2)
' Уг = -3yi - 4у2 -уз- 7ех ctg х,
Уг = -У2 + Зуз + бе1 ctg х,
, Уз = -4yi - 8у2 + буз + 4ех ctg z;
Г yi = Уг + 1 - cosz,
\ У2 = Уз + sinz + ctgz,
( Уз = 2yi - у2 + 2у3 + cosz - 1;
3)
yj = -2yi + 2у2 - 4у3,
У2 = -2yi + 4у2 - Зуз + (z - 2)е21,
Уз = -6У1 + 16Уг - 7у3;
4)
' yi = 3yi + 4у2 + 4у3 + cos z - 11 sin z,
• Уг = У1 “ У2 - Уз + cos z + sin z,
. Уз = -3yi - 2у2 - 2у3 + cosz + 7sinz.
17. 1)
yi = -У1 + Уг - 2у3 +
Уг = ~У1 + 4уг + Уз +
1
Зу^2
1
Уз = У1 - 5Уг - 2у3 3\^’
2)
' У'1 = У2,
1 У2 = Уз-ctgz-ctg3z,
. Уз = yi - Уг + Уз;
з)
' у'1 = -У1 + 4у2 - 2уз,
1 Уг = “2уг - Уз + е21,
, Уз = -У1 - 4уг + е2г;
4)
yi = 2yi + Зу2 + Зуз,
Уг = 3yi + у2 + sinz,
Уз = “ЗУ1 - 2уг - Уз-
199
200
§ 13. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами
18. 1)
2)
3)
( у{ = Ух - Зу2 — Уз,
< Ж = -У1- 2Уг - 4^е‘21,
( Й = 3yi + 12^/2 + 22/з -Ь 12^ie‘21;
У1=У1+У2~ Уз,
Уг = Уз,
,
1
Уз = yi------- г-;
COS4!
{
у[ = 3j/i + 2у2 + 4уз 4- же-21,
У2 = -У1~У2- Зуз - е~2г,
{
Уз = ~7yi ~ 4^2 - 6у3;
4)
у[ = 2j/i + 42/2 + 2у3 + sini-5 cosi,
{
Уг = ~У1 + Уз,
Уз = У1-2У2~ Зуз 4- cosa; - 3sin!.
19. 1)
У1 = У1 - У2 4- Зуз 4-16^,
У,2 = У1-2У2 + 2у3 4- 4^,
г/з = 31/1 - 82/2 4- 4i/3 - 4^;
{
yi =^2 4-tg!-Ctg!,
Уг = Уз 4- 2,
Уз = У1-Уз + Уз + ctg! - tg!;
2)
{
3)
' у{ = ~У1 -У2- ^Уз 4- 2!,
' 3/£ = 2/1 4-S/2 — 2/з — 2! — 1,
. Уз = ~У1 ~ 3J/2 - 2уз 4- 2! - 2;
4)
’ у{ = -3yi -ЗУ2- Уз,
1 Уг = У1 4-22/3 - 2СОВ!,
, Уз = У1 - 2уг 4- 4у3.
20. 1)
yi
<
= -5yi - 4у2 4- 42/3 4- п=
X
2/2 = — 2?/1 4- 42/2 4- Зй -
Уз = -3yi -4й + 22/з 4-
—1— -7*2
.
,
9;
V1 4- !2
§ 13. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами
,
sin4 х
Ух=Уз + —;-,
cos' X
2)
У2 = ~Ух - 2у2 - 2у3,
. Уз = Уъ
3)
4)
21.
' у{ = -Зух - 2у2 + 2уз - (я + 1)е1,
’ У2 = ~У1 + *У2 ~ 4уз - хех,
. Уз = -У1 + 5У2 - 5у3 - е1;
Ух = —Ух + 2у2 + 4уз ~ 6 cos х — 4 sin х,
Ж = ~У2 ~ Уз + 2COSJ,
у'3 = 2у2 + 2у3 — 3 sin х — 3 cos х.
{
Ух = 4ух -y2 + tgx,
^2 = -У1+У2 + Зуз + 4tgi,
1/з = ^Ух-Зу2-Зуз-^т\
1)
{
2)
Ух = У2,
' У2 = Уз -cos(3i)(tgi + ctgj),
. у'з = 4^ -у2 + 4уз,
у'х=Ух + 2у2 4- 2у3,
& = У1-Зу2- 4уз,
Уз = 6?Л + Зй + е~х-,
3)
{
4)
' У'х = 2ух 4- 4у2 - 4уз,
< у'2 = 2у2 -2уз + 2 sin х,
. Уз = 4у2 - 4у3 + 3sxnx.
22. 1)
' Ух = -2j/i -У2~ 2уз 4- е~хctgx,
' Й = ~У1 + 2Уг 4- 2уз 4- е~х ctg х,
. Уз = 2Ух +у2 + 2уз — е~х ctg х\
/
2)
3)
.
_
_
COS2 X
Ух = Зух 4- Зу2 -уз----- :
sin х
9
• 2
,
COS X sin X
У2 = Уз + —----- +-------- ,
Sin X
COS X
7/3 = ?/i — cos x + sin x;
Ух = 2yi 4- 4y2 4- 4y3,
y^ = 2yx — 2у2 4- е~х,
у3 = -2ух + 2у2 - хе~х-
{
• 2
S1D
X
cos х
201
§13. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами
202
4)
23. 1)
У1 = У1 + %У2 — 2у3 + 6cosi - 2зтж,
< 14 = -2и + 2й + й + 4апг-2совг>
Уз — 3yi + 2уг — 4уз — 8 sin ж + 8 cos х.
У1 = -2yi -У2- 2у3 + 7—2>
,
6
14 = 2yi + 2у2 + 5й - 7-—Й,
2
Уз = 14i/i + 4у2 + 5й + 7—2
14 = Зй + 12й - 4й,
1/2 = Уз,
.
2
й = ^ + ад:
2)
{
3)
' yi = -4yi - й + 4у3 - е1,
' У2 = 3j/i - 2у2 - 2у3 + 26*,
, Уз = -6j/i - Зу2 + 6й + е1;
4)
' 14 = 3yi + 2у2 + 4у3,
- ?4 = -У1 - 2у2 + COS Ж,
. Уз = ~У1 “ У2 ~ Уз24.
1)
У1 = -51/1 + 4у2 + 4й,
!й=’!+2й’^
1
Уз = “12У1 + 81/2 + 7у3 + 2Д^
2)
' з4 = У2,
,
COS7 X
У2 = Узsin х
, Уз = ~У1 -У2- Уз\
-ю ,
yi = -3yi + 2й + уз,
У2 = ~2У2 -Уз-х,
у'з = -21/1 + 21/2 + 21/3;
3)
{
4)
Г у* = 4й — 31/2 — 26 cos ж — 15 sin ж,
< У2 = 2У1~ 2у2 + уз~ 4апж - 10 cos ж,
( Уз = 21/1 - 2у2 + уз- Юсобж.
§13. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами
25. 1)
У1 = 2yi + Зу2 -
Зе®
у1 — X1
У2 = 3yi - 21/2 + 4у3 +
Уз = 3yi - 6у2 + 6?/з +
2)
'
\Z1-I2’
\/1-12’
,
1
У1 = У2 + —>
Sin X
У2 = УЗ,
Уз = 2У1 - Уг + ^Уз ~ —3—;
sin X
' у{ = -2ух + 4у2 - 4^3 + 2,
' Уг = ~У1 + 2уг - Зуз - 1,
. Уз = -У1 + 2У2 - Зу3 - 2;
4)
’ yj = 4yi + Зу2 - 2уз - 2 cos х,
* Уг =-2yi-2у2 + 2у3-со8т,
, Уз = 4yi + Зу2 - 2уз 4- sin® + cosi.
Ответы
1.
1)
yi — —GCje21 + 3Cje 1 + 2(Сз + у/х),
У2 = 4Cie2* - Сзе~х - Сз - у/х,
Уз — Cie2* + 2С2е х + Сз + у/х\
х\
2+
| cos® + (С3 - tg®) sin®,
2) У! = С^ + \С
\
2 cos2х J
У2 = 5С1651 - I С2 + - ---- — I sin® + (С3 - tg®)cos®,
\
2 cos2 x J
Уз = 25C1651 - I C2 + - ---- 5— I cos® - (C3 - tgi)sin®;
\
2 cos2 x J
3)
У1 = -Сге^ - 2C3e~x + x,
У2 = Cie 3х + 3C2e 2x + 5С2е x+ 1,
Уз — Cie 31 + 3C2e 2x + 4C2e x\
2.
4)
уi = —^Cie~x — 4C2 — 6Сзвх — 2 sin® — 38 cos®,
У2 = Cie~x + C2 + 2Сзех — 2sin® + 9cos®,
Уз = Cie~x + 2C2 + 5C3ex — Hsin® + 19cos®.
1)
yi = ЗС^21 + C3e-2x,
У2 = -3Cieh - C2 + C3e-2x - ®(ln® - 1),
Уз = Cie21 + C2 - ЗСзе’21 + ®(ln® - 1);
2)
yi = 4016^ — (C2 — In |cos®|)cos® — (C3 + 1) sin®,
У2 = Cie21 + (C2 — In |cos®|) cos® + (C3 + 1) sin®,
Уз = 2Cie2x — (C2 — In |cos®|) sin® + (C3 + ®) cos 1 4- 2sin®;
203
204
§13. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами
3)
У1 = -С1е-*-2С2е-* + 7С3е‘ + 1Х-^,
1/2 = ^е-3* + С2е-ъ + С3е* - J® + ^,
и
1о
Уз = Cie-3* + Ge-21 - 5С3е* "^ + ^1
3.
4)
yi = —3Cie-* — 2(726* — 16С3е-2® + сое®,
У2 = 2Cie-* + С2е* + 11С3е-2® + sin®,
Уз = Cie-* + 9С3е-2® + sin®.
1)
yi = С^21 + 2(С2 + tgi) + 9C3e’,
3/2 = Cie2* + C] + tgx + 7C3e*,
Уз = Cie2* + 4C3e*;
2)
j/i = Ge® - (C2 + ®)sin® + (c3 + ln
cos®,
y2 = Cie* + (C2 + ®)sin® - ^C3 + In tg|)o»®,
Уз = Cie* + (C2 + ®) cos® + (c3 + In tg^ ) sin®;
4.
3)
У1 = -Cie-3* + C2e-* - C3e* - x,
3/2 = Cie-3® - 2C2e-* - C3e* + x,
Уз = Cie-3® + C3ex + 1;
4)
3/i = 9Cie-® - C2e®,
3/2 - —14Cie* + 4Сге* + Сэе2®,
Уз = Cie-® + 3C2e® 4- Сэе2® + sin ® + cos x.
1)
3/i = Cie2® + 3C2e® + e-®(C3 4- arctg®),
3/2 = Cie2® + 4C2e® - 2e-*(C3 + arctg®),
Уз = Cie2® + 4e-®(C3 + arctg®);
C2----- — I cos® + I C3 -I—— ) sin®,
4 / \
& J
C2------— I sin® + I C3 + —— cos®,
X
о /
ca 0081 + “^y sinI’
5.
3)
3/1 = 2Cie-3® - 2C3e®,
Уз = -C2 - 4C3e®,
y3 = Cie 31 + C2 4- 5C3e* + ®e2*;
4)
yi = 2Cie-® + бСге2* + 3C3,
3/2 = -Cie~x - 4C2e2® - 2C3 + cos®,
Уз = Cie-* + ЮСгв2* + 2C3 + 2 cos®.
1)
3/1 = 2C1C3® + 3C2e-2* + 6(C3 + ctg ®)e-*,
3/2 = -Cie3* + 3C2e-2® - (C3 + ctg®)e-*,
З/з = Cie3* + 4C2e-2* + 9(C3 + ctgi)e-*;
2)
3/1 = Cie4* + (C2 + y/x) cos(2®) + (C3 + y/x) sin(2®),
У2 = 4C1C4® - 2(C2 4- y/x) sin(2®) + 2(C3 4- y/x) cos(2®),
§13.. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами
Уз = 16(71 е4* — 4(Са + >/z) cos(2z) — 4(С3 4- у/х) sin(2a;);
6.
3)
yi — Cie 31 + (7С2 4" 1)е* 4" Сзе ^,
У2 = -ЗС^ - (1 4- \7С2)ех - 2С3е~2х,
Уз = Cie 31 4 (19(?2 4- 2)ех 4- Сзе ^j
4)
yi = —3(71 4- С2е 21 —— sin х 4- — cos х,
1)
2)
3)
1
18
у2 = 4С1 4- 2С2е~2х 4- С3е~х 4- - sin а: —— cos х,
55
31
7
Уз = Ci — ЗС2е—^ — С3е~х 4 -г sinz 4 - cosх.
55
yi = 4С1631 4- С2е“21 4- 2(С3 4- 2ху/х)ех,
у2 = -17Cie3x — ЗСае-2^ - 9(С3 4- гт^е1,
Уз = Cie31 4- 4С2е_21 4- 5((73 4- 2ху/х)ех-,
1
\
tg31
У1 — Ciex 4 Ic24 ——j-lcosa:4- ((73----- ------ tg
4 cos4 х 1
\
3
1
\
tg3 z
У2 = Ciex — (c2 4-—7- ) sms 4 G
z
tg;
4 cos4 х
\---------- 3
1 \
м tg3 а;
Уз = Cie1 — ( C2 4- -—— COSZ - С3----- ------ tg
4 cos4 х J
\
3
yi = ЗС^'31 4- C2ex 4- -xe~x,
4
y2 = г^е"31 - 14C2ez - C3 4- [З147 | e-1,
\
4/
/7
1\
Уз = Ge-31 + 19C2ex 4- (73 - ( 4^ + 2 / e
7.
4)
2/1 = <7i 4- 2C2e~x 4- ^Сз^ 4 2 sin rr,
y2 = <7i 4~ 3C2e x 4" 5C3(4,
Уз = Ci + 10Сзех 4- sin 14- cosi.
1)
yi = 4C2e-1 4- 5((73 4- thx)e_2z,
y2 = Cie31 4- 3C2e-1 4- 4(C3 4- thz)e-21,
Уз = Ge31 4- 3C2e-1 - (C3 4- thz)e-21;
2)
yr= Ciex 4- ^C2 4- “^“j cosi4 ^C3 - -yj—^ sinx,
» . C^ - (c, + ^) »x + (q - ^)
„
/_
ctg10z\
/_
Ctg13l\ .
Уз = Ciex - I C2 4----- — I cost - I (73-------- — 1 smi;
3)
у, = 4C16-31 - 7(72e21 4-(73e-21 4-^,
y2 = 5Cie-3" - 15C2e2z 4- C3e-21 4- z 4Уз = Cie”31 4- ^Cje2" 4x4^;
4)
У1 = Ci — 2C2ex 4- Сзе~2х 4- 2 sin x,
4
205
206
§13. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами
У2 = — Ci — ЗС3е 21 - 2sinx — соях,
3
5
У3 — С1 + С2е* + Сзе-2* + -sinx + -cosx.
8.
1)
yi = -С^3* + (С2 4- vT+?)e-' - ЗС3е*,
Ут = Cie3* + 2Сзе?,
Уз = Cie31 + Сзе1;
2)
yi — Cie3* + ^С2 — ^ In |coe(2i)|^ cos(2x) + (С3 — х) sm(2i),
у2 = SCie3* — 2 ^С2—^ In |coe(2i)|^ вш(2х) + 2(С3 — х) cos(2x),
Уз = QCie3* — 4 ^С2" In |coe(2j)|^ cos(2x) — 4(С3 — х) вш(2х);
3)
У1 = -ZCie-3* — ГСзе2* -С3- №х+
е1,
Уз = С^’3* + 160^ + 2С3 +
<
Уз = Cie-3* + бСзе2* + 2С3 + ( % +
V
9.
) е1;
16 /
4)
V1 = -2С1 + С2е* — cosx,
y2 = Ci- ЗС2е* - Сзе21,
l/з = Ci + ЗС2^ + Сзе3* + sinz.
1)
yi = Cie3* + 5(С2 + cthx) + 4С3е ь,
у2 = —Cie3* + С2 + cth х + Сзе 21,
Уз = Cie3* + 8(С2 + cthi) + 4C3e-2x;
2)
У1 = Cie2* + (C2 + tg(2x)) cos(2x) + (C3 + ctg(2x)) sin(2x),
y2 = QCie2* — 2(C2 + tg(2i)) sin(2x) + 2(C3 + ctg(2i)) coe(2i),
Уз = ACie2* — 4(C2 + tg(2x)) cos(2x) — 4(Сз + ctg(2x)) sin(2x);
3)
l/i - -Cie-21 - 2C2e-1 - C3 - 2®,
Уз = Cie'2* — 4C2e-* - C3 - 2a:,
Уз = Cie 21 + C2e * + C3 + 2z + 1;
4)
12
yi = Cie* — Сзе-2* + 7Сз&* — 7sina - — cost,
ь 12 .
21
Уз = —Cie* — 12C3C21 + — sinx + —cosx,
0
a
23
19
Уз = Cie* + вСзе2” —-шла ——cosx.
10.
1)
yi = -Cie31 + C3e*,
Уз = SCie3^ — 2C2 — 5C3e* — 4x24/x,
I/з = Cie3* + C2 + C2e? + 2x2y/x;
2)
yi = Cie-*+IC2----- — lcosi+IC3+
Isinx,
Уз = -Cie * — I C2----- — 1 sinx+ I C34——I cosx,
§13. Линейные неоднородные системы с постоянными Коэффициентами
Уз = Cie~x - I С2----- — j cosx - ( С3 4—— Isinr;
3)
У1 = -ЗС^-21 - 4С2е^ 4- С3еь -
+ 4,
7
9
У2 = Cie”21 4- 2С2е-’ + Сзе21 + -I--,
4
4
Уз = Cie-21 + С2е-1 + бСзе2* + 71- 1;
4
11.
4)
yi = —4Ciez + С3,
У2 = SCie1 - С2е-1 - 2С3 4- 2 sin х 4- 3 cos х,
Уз = С^е* + С2в~х + С3.
1)
yi = ЗС1631 + 8С2е21 + (С3 + arcsin х)е-х,
У2 = Cie31 + С2е2х — (С3 + arcsin х)е-1,
Уз = —Cie31 — 4С2е2г + (С3 + arcsin х)е-1;
2)
з/1 = Ciefa 4- (С2 + I tg I + In |cos х|) cos х 4- С3 sinх,
у2 = 6С1С®1 — (С2 4- х tgx 4- in |cosi|) sini + Cjcosr,
Уз = ЗбС^®1 — (С2 + х tgI + In |cosx|) cosx - C3 sinx;
3)
y! = -ЗС^”2* - 2C2 - 4x + 5,
3
У2 = Cie 21 4- 3C2 4- Сзе1 + 6x + —,
Уз = Cie-21 4- 4C2 4- C3ex 4- 8x;
12.
cosx,
4)
3/1 = 2Cie* 4- 7C2 4- Сзе-21 —
1)
52
9
У2 = —Cie1 — 5C2 — 2Сзе“2х 4- — sinx 4- — cosx,
5
5
67
9
Уз = Cie1 4- 6C2 4- 2Сзе-21 - — sin x - - cos x.
3/1 = Cie31 4- 7C2e* 4- 2(C3 4- ^e’2*,
sinx —
У2 = 2C2ez 4- (C3 4- ^/x)e 2z,
» = Cie31 4- 3C2e* - 3(C3 4- i/5)e"21;
2)
3/1 = Cie31 4- (C2 4- In |x|) cos(3x) 4- (C3 4- In |x|) sin(3x),
У2 = SCie^ — 3(C2 4- In |x|) sin(3x) 4- 3(C3 4- In |x|) cos(3x),
3/3 = ЭС^3" — 9(C2 4- In |x|) cos(3x) — 9(Сз 4- In |i|) sin(3x);
3)
3/1 — C2ex 4- 12Сзе2х 4- 3x 4- —,
7
У2 = -C!e~2x 4- C2ex 4- ЭС^21 4- -x 4- 5,
Уз = Cie-21 - C2ex - ХЗСзе21 -^-^;
4)
3/1 = C2 4- Сзе21 4- sin x 4- 2 cos x,
У2 = —C\ex 4- 10C2 — 16Сзе2х 4- sinx,
Уз = Ciex — 14C2 4- 10C3e& 4- 2cosx.
207
208
§13. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами
13.
1)
у! = С^ + ЗСае1 + С3 + Зх^х,
Уг = -iCie3* — Юге1 — С3 — Зх^/х,
Уз = Cie^ + Сзех + С3 + Зх у/х\
2)
Ш = С^е31 + (Сз — In |coei|)coei + (С3 + In |sini|) sinx,
Уз = 3Cie31 - (G — b |cosx|)sinx + (G + In |sinx|) cosx,
Уз = QCie3^ — (G — In |cos x|) cos x — (G + In |sin x|) sin x;
3)
yi = Ge21 + 2G - 4x - 4,
Уз = Cie"21 + Ge21 + 3G - 6x - 3,
Уз = Ge-21 + 2C3 - 4x;
4)
yt = Ciex — ЗСзе~х — - sinx,
g
3
3
1/2 - ~Ciex + Ge21 + Ge-1 + - sin x + — cos x,
5
1U
9
9
= Cie* — Cje2* + С3е-* + — eini - - coax.
10
5
14.
1)
yi = SCie^H-Cie2* + ze^lns - 1),
2/2 = Ge3*-Ge"2*,
2/э = G6^ + 4Ge 22;
smz,
cosx,
smz;
Уз = C^x - ZCie-b + g - ^ e*;
15.
4)
yi = -SCie2- + Ge"21 + Ge-1,
Уз = 4C1621 + Сзе x,
Уз = Cie21 + 3C2e—^ + 4C3e-1 + cosx.
1)
yi =-ЗС^31 - ЭСге21 + 5(C3 - In |cosx|),
Уз = Ge31 + бСае^ - 4(C3 - In |cosx|),
Уз = Ge31 + ЪСге21 + 2(C3 - In|cosx|);
2)
1/1 = 2C1621 — (G + tgx) sinx + (C3 + x) cosx,
1/2 — 4Cie2x - (G + tgx)cosx - (C3 + x)sinx,
Уз = Ge21 + (G + tgx) cosx + (Сз + x) sinx;
3)
yi = 4Cie-^ - Сзе-31 + ХЗСзе* - x - 1,
§13. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами
У2 = Cie 1 + 4Ge2z,
Уз — Ge х + IGCje^ +1 + 1;
16.
4)
yi = Cie21 + Ge-2z + SGe1 + 2 sin ж,
Уз = Cie21 — Ge-2* + 7С3е^ +3cosi,
Уз = Ge21 + Ge-21 + 5С3е'.
1)
yL = — Ge21 — 2Ge-z — 7(G + ln|sinx|)ez,
У2 = Ge21 + Ge-1 + 6(G + b IsiniDe1,
y3 = Ge21 + 4(G + In |sin x|)ez;
2)
2/1 = Ge21 + (G - i) cost -+ (g + In ^1) sins,
3)
У2 = 2G621 - (G - r) sin i + (G +- In tg |
cost.
Уз = 4Ge2z - (G - x) cosx - (g + In tg
sinx;
/1477 94 \
J/1 = 2Ge-3z + 9Ge“2z - 5G + ( 7777г ) e2*,
\ tvU
ZU /
У2 = Ge-3z + 4Ge“2z "^з+^-^е21,
\ 1U
Уз = Ge-31 + 2Ge-^ +2G+
4)
\ 1U
20/
zuu /
уi = C\e~x + 2Сзех + sin x,
У2 = -2Ge-z + 3Gez - G + sin x,
y3 = Ge-Z - 4Gez + G + sins.
17.
1)
2)
j/i = -Ge2T + 3(G+^) + HGe-1,
У2 = -Ge21 + G + ^ + 2Ge-z,
y2 = Ge21 - G - v^ + Ge-1;
\
cosx
1, I хЛ .
2/i = Ge + G-т— cosi+ G+rri—b— In tg- sinx,
\
sin 1 /
\
2 sin2 x 2 I 21/
/
It
1
COS X
1
I
y2 = Ciex- G--— sinx+| G + tti—Ь-ln tg- I cosx,
\sin x / \
2 sin x 2
I 21/
_
3)
.
1
/_
\
cosx
ZU
oU
/
2/3 = Ge-3z + (4G - ^) e22;
4)
.
2/3 = Ge - G—:— cosx- G+m—b— In tg- sinx;
\
sin x /
\
2 sin2 x 2
I 21/
2/1 = -Ge”31 - 4G6-21 +
I ~ 4G) e2*,
\5
4
/
9
3
2/1 = 2Cie-1 + Ge2® - — sin т + — cos a:,
13
2
У2 = -3G1C"1 + ЗСге2* — Сзе® + — sin я + - cos я,
209
210
§ 13. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами
Уз = Cie х — ЗСзе2* + Сзе? — - sin х — — сое х.
18.
1)
yi = -4С162® + ЗС2е®,
Уз = Cie21 - С2е? - (Сз + Зх^х^"2*,
уз = С^ + ЗС2е® + 3(С3 + 3x^e_Jl;
2)
yi = Ciex — (ft +
cosx-
sins
Сз ~ й2---cos2~
2я
SmS,
4/ I/
1 Л
Уз — Cie? + I С2 + 7---- Г" С°8Я+
Зсов^х/
/_
sins
l.i (х я\|Х .
+ Сз“й---- 2-------- o^Rg к + т
81111’
\ 2cos2s 2 I \2
4/1/
Уз = Ciex — (с2 + ^^j smz+
sins
1. I (X 7Г\|\
2--------- Ob Мо+т) J008^
2cos2s 2 I \2
4/1/
/3
\
У1 = -Cie-31 - 3C2e~x + 2C3 + I--8i e-2®,
+ Г3‘о
\
3)
/17
1
У2 — Cie ^ + 46^6 1 — 5Сз + I —х---- е-2®
\ 2------ 4
11
15\
2Х
4 ) е-2®;
Уз — Cie 31 + С2е
19.
4)
У1 = ^i + 2С3е® + sin s + cos ж,
у2 = —Ci + Сгв-2* — Сзех — sins + cos s,
Уз ~ Ci — ЪСзё"^ + Сзе1.
1)
J/i = Cie2® + 7C2e® + 4(C3 + 3x^),
y2 = C^e2® + 3C2e® + C3 + 3xtfx,
Уз = Cie2® + C2ex -C3- 3x^/x;
2)
У1 — Cie?+ (c2+In <2+4)
y2 = Cie®+ ^Ci+ln tg(2 + 4)
(X +7T\
y3 = Ciex— ^Cj+ln tgU
4)
3)
4)
x
sinx — ^Сз + In tg2
X
cos x + ^Сз + In
tg2
X
sin x + ( C3 + In tg2
yi = Cie 31 + 5C2e 1 + Сзе2® + 2x,
y2 = -2C2e~® + бСзе2®,
Уз = Ge-3® + C2e-® - 4C362® - 1;
61
37
yx = —2Ci — ЗС2е"® — 4C3621 4- — sin s —— cos s,
5
5
37
9
y2 = C\ + C2e~x + ЗСзв2® —— sins + - coss,
5
5
2/3 = Ci + С2в~х + бСзе^ — 7 sin s + cos x.
COSS.
sins.
coss:
§ 13. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами
20.
1)
2/1 = С1е314-36С2е-214-4(Сз4-^+^),
Уз = -С^ - Cie-* - Сз Уз = Cie31 + 26С2е 21 4- 4(Сз 4- ^1Т?);
COST,
У2 = 4С1С
Уз — Cie 21 4- ( С2
3)
yi = 3Cie 31 4- С3е 1 -
О
у2 = Cie-31 4- С2 4- 5С3е-1 + ( у - Зт) ех,
Уз = Cie-31 4- С2 4- 6C3e_I + ^ - ^ е1;
21.
4)
й = 2Cj + ЗСге1 — Сзе-1,
Уз = —Ci — Сзе? + cosx,
Уз = Ci + 2С2е* + cos х + sin г.
1)
yi = Cie3* + Сзех + C3 — In |cosi|,
Уз = Cie31 + 5C2e* 4- 4(C3 — In |cosz|),
Уз = Cie31 — 3C2ez - C3 4- In |cosi|;
2)
yi = Cie*1 4- (C2 4- sin(2i) — i)cosz+
4- (Сз 4- 2sin2i — In |sini|)smi,
Уз = 4Cje4^ — (C2 4- sin(2a) — x) sin x+
4- (C3 4- 2 sin21 — In |sin i|) cos x,
Уз = 16Cie4z — (C2 4- sin(2i) — x) cosx—
— (C3 4- 2 sin21 — In | sin a: I) sins;
3)
4)
22.
1)
/
2
1\
yi = 4C16-31 + 2C2e2* + 2C3 + -x - - e
\
”
и/
/2 5
\
УЗ = -9Cie-3* - ЪСзе2* 4- ( - - -i - 5Сз ) e~x,
Уз — С±е 31 + ЗСге21 + (ЗС3 + x)e z;
4
y! = -C2e2x + C3e-2z + - smi,
0
yi = -Cie31 4- 2C2 4- (C3 4-ln|sini|)e“',
Уз = ZCi^1 4- 6C2 4- (C3 4- In |sin i|)e“',
Уз = Cie3* - 5C2 - (C3 4- In |sin;r|)e_a:;
211
212
§ 13. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами
2)
3)
2/1 = 9С163® — (C2+ln|smi|)co8i - (Сз - h|coei|)Bini,
2/2 = Cie3® — (Cj+ln|smi|) cos® + (Сз — In |cosx|) sins,
2/3 = SGe3® — (Сз + In |emi|) sin® + (Сз — In |coei|) cos®;
\
2/i = 2C2 + ЭСзе2® - I - +-® ) e-®,
Oy
2/2 = —Cie-2® + 2C2 + Сзе2® +
e-®,
11
23.
(
2S\
e‘i
4)
2/i = Cie® + ЮСге-2® + 2Сз + 2 sin®,
2/2 = Cie® + C2e 21 + Сз,
2/з = Cie® + 16C2e-2® + 2Сз + 2 cos®.
1)
2/1 = —Cie3® + Сг + arctg® — бСзе2®,
2/2 = ЗС^3® - 6(C3 + arctg®) + 16C3e2®,
I/з = C^e31 + 2(C2 + arctg®) + гСзе2®;
2)
2/i =9Cie3® - 4(C2 - ®)cos(2®) - 4 ^C3 + ^h |sin(2®)|) sin(2®),
2/2 = Ge3® + (C2 - ®)cos(2®) + (c3 + ^h|ein(2i)|^ sin(2®),
2/3=3Cie3® - 2(C2 - ®)sin(2®) + 2 ^C3 + ^h |ein(2®)|) cos(2®);
3)
2/i = —Cie 31 + 2GC2® + ^7C3 + - ------—^ e®,
2/2 = 5Cie-3® +
+|
e®,
36
4/
/
27 \
2/3 = Cie-3® + ЗСге2® + (9C3 - -ij e®;
\
24.
4)
2/i = — 3Cie® - 2Сг - 2С3е'® + sin® - cos®,
2/2 = Cie® + C2 + 2C3e-® + cos®,
2/3 = Cie® + C2 + C3e-® - ^ sin® + - cos®.
1)
2/i = Cie3® + 2C2e®,
2/2 = Cie3® + 3C2e® - (C3 + -^x)e~z,
2/3 = Ge3® + (C3 + ^®)e-®;
(c2 —
2/2 = -Cie-® - (c2 —
2/3 = Ge-® - (c2 \
3)
smx,
cos® + Гс3 +
2) 2/1 = Cie ® +
cos я
sin® + Гс3 +
cos® Oy
2/1 = 3Cie-2® 4- C2e-® - ® +1,
(c
3+
\
sms:
у
у
§ 13. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами
3
у2 = Ge-21 + С2е~х + С3ех - 2т + -,
Уз = Cie-21 - 2C3e* + т + ^;
25.
4)
У1 = С^1 + ЗС2е2х + ЗС3 + 2 sin а; + 7 cos т,
Уз = Cie1 + 2С2^ + 4Сз,
Уз = С\ех + 2С2е2х + 2С3 - 4 cost.
1)
yi = SCie3^ — 4С2е21 — 3(Сз + arcsin х)ех,
у2 = Cie31 + (С3 + arcsin т)е1,
Уз = —Cie31 + ЗС2е2х 4- 3(С3 + arcsin х)ех;
2)
yi = Cie2x + ( С2 - „ \ | cost + (С3 - ctgi) sini,
\
2 sin т /
3)
4)
у2 = 2Cie2x — \С2- -—J sini + (С3 - ctgT) cost,
\
2 sin т J
y3 = 4C1621 - (c2
I cost — (C3 - ctgi)sint;
\
2 sin x J
у\ = С\с 21 + 2C2 + 2т,
У2 = Cie 21 + C2 + Сзе-1 + т — 2,
Уз = Cie 21 + C3e 1 — 2;
sin т + 3 cos t,
yi = Cie21 + 3C2e-21 — C3 —
9
12
y2 = -^e"21 + 2C3 + - sin я —— cos ж,
5
5
9
Уз = Cie2® 4- ЗСге-2® 4- Сз 4- -sinx 4- 2cosx.
5
213
§ 14. Линейные уравнения и системы
с начальными и краевыми условиями
Линейное уравнение
У^ + pi(x)y(n~^ + .. ■ + Рп-1(х)у' + Рп(х)у = f(x)
(14.1)
и систему линейных уравнений
' У1 = Ри(х)у1 + pi2(x}y2 + ... + pin(x)yn + Ых},
( Уг = P2i(z)yi + Р22(х}У2 + ... + ^
(142)
. у'п = Рп1(х)уг + рпг(х)уг + ... 4- рпп(х)уп + fn(x)
будем решать на том интервале I, на котором определены и являются
непрерывными соответствующие коэффициенты и свободные члены.
Начальные условия — это дополнительные условия на решение. Для
уравнения (14.1) они имеют вид
j/w(io) = у$\
к = 0, п - 1,
а для системы (14.2) —
Ук(х0) = ук0,
к = Vn,
где То — заданная точка на интервале 1, а у^' или уко — заданные действи
тельные числа.
Известно, что с любыми начальными условиями уравнение (14.1) и си
стема (14.2) имеют единственное решение.
Краевые условия — это также дополнительные условия на решение. В
общем случае как для уравнения (14.1), так и для системы (14.2) краевые
условия представляют собой некоторые заданные соотношения между зна
чениями искомых функций и их производных, причем эти значения берутся
более чем в одной точке интервала I. В частности, при п = 2 простейшие
краевые условия могут иметь вид |/(ii) = yi, у(хг) = уг для уравнения и
вид yi(xi) = yi, уг(хг) = Уг для системы. Точки 11,12 и действительные
числа yi, уъ задаются.
Как уравнение (14.1), так и система (14.2) не обязательно имеют един
ственное решение, удовлетворяющее тем или иным краевым условиям: та
ких решений может вовсе не быть, либо таких решений может быть семей
ство, зависящее от произвольных постоянных.
214
§14. Линейные уравнения и системы с начальными и краевыми условиями
215
При решении конкретных уравнения (14.1) или системы (14.2) с учетом
дополнительных (начальных или краевых) условий следует, как правило,
найти вначале общее решение уравнения или системы, а затем осуществить
учет дополнительных условий надлежащим подбором значений произволь
ных постоянных, входящих в общее решение.
Задача о нахождении решения уравнения (14.1) или системы (14.2), удо
влетворяющего начальным условиям, называется задачей Коши, а удовле
творяющего краевыми условиями — краевой задачей.
Пример 1. Решить задачу Коши
у" -2у' + у = 2с1,
j/(l) = 2е,
у'(1) = Зе.
Решение. Найдем общее решение указанного уравнения: у = (Ci+
+С2Х + х2)ех. Вычислим у1 = (Ci + C2+x(C2 + ty + x2)ex. Учитывая теперь
начальные условия, приходим к системе
Г (Ci + 0*2 + 1)е = 2е,
( (Ci + 0*2 4" (G + 2) + 1)е = Зе,
откуда Ci = 2, С2 = —1. Осталось подставить эти значения в формулу
общего решения.
Ответ: у = (2 — х + х2)ех.
Пример 2. Решить краевую задачу
У 1 = 2у2 + 2,
Уг = —2yi + 2,
У 1 (0) = Уг (J) = 1-
Решение. Общее решение системы имеет вид
У 1 = Ci sin(2i) + С2 cos(2i) + 1,
У2 = Ci cos(2i) — C2sin(2;r) — 1.
Учет краевых условий дает систему
С2 + 1 = 1,
- С2 - 1 = 1
с противоречивыми уравнениями.
Ответ: Нет решений.
Пример 3. Решить краевую задачу
х2у" + xi/ + у = 2 sin In х,
у(Х) = 2, у(е2^ = 2-2к.
§14. Линейные уравнения и системы с начальными и краевыми условиями
216
Решение. Решаем вначале уравнение Эйлера: у = (Ci — In х) cos In х+
+Cj sin In x. Теперь подставляем значения из краевых условий:
G = 2,
Ci — 2тг = 2 — 2тг.
Отсюда Ci = 2, а постоянная С^ остается произвольной.
Ответ: у = (2 — In х) cos In j + ^ sin in x.
Задания
Решите задачи Коши или краевые задачи:
1.
1) у" - 4у'+ 4у — 15е2ху/х,
у(1) = бе2,
{/(1) = 23е2;
2) у" — 4у' + бу = 3e2l(sin(2i) — 3cos(2x)),
у(0) = 3,
у(2тг) = 3е4’;
3) х2у" + Зху' + бу = —(sin(31ni) + cos(31nx)),
2/(1) = 3/(е-7Г) = 0;
4)
Г У1 = 3У1 + 9?/2 + 12т + 14,
11/2 = 2/1 + Ий + 201 + 1°>
У1(0) = 9,
2.
уг(0) = -1.
2) у" — 2у' + бу = бе1 cos(3i),
у(0) = 1,
3) х2у" — xy'+ 17у =—15xsinlnx,
4)
у(2тг) = е2г;
у(1) = y(e”^2) = 1;
Г У1 = ~4yi + 32уг - ЮОх - 65,
11/2 = 2У1 + 8»2 - 22т - 13,
У1(0) = -6,
3.
13
23
vW= 15^’
1) V +
у2(0) = 4.
,
1) 25!/'-10у' + у = 750е1М,
у(1) = 16^,
146тУё
^(1) = —
2) у" + 2у' + 5у = -5e-I(sin(3x) + cos(3x)), у(-тг) = у(0) = 0;
з
3) х2у" 4- бху' + $У = ~j (sin(2 In х) + cos (2 In х)),
2/(1) = У^2*) = 0;
§14. Линейные уравнения и системы с начальными и краевыми условиями
4)
Г У1 = 42/1 + Ьу2 - 7 sin х — 8 cos х,
[ ^2 = —4yi — 4у2 + 9 cos а: + 4 sin х,
y2W=0.
?/1(0) = 2,
4.
1) у" -2у' + у = ^-еху/х,
у(1) = 0,
f/(l) = |;
2) у" + 4i/ + 5у = 3e“2l(cos(2i) — sin(2a:)),
у(—2тг) = 2/(0) = 0;
3) х2у" — ху' + 26у = 24х(cos In а: — sin In х),
у(1) = 0,
4)
у{^} = е2*;
Г 2/1 = ~42/1 + 8У2 + 12а: - 41,
I У2 = 8У1 + 8У2 ~ 24г + 88,
2/1(0) = -12,
5.
2/2(0) = 3.
1) 9у" - бу'+ у = 27ех/3у/х,
у(1) =—,
у'^ = —;
10
О
2) J/" — 2$/+ 102/= 8ex(cosa; + 2sina;),
2/(0) = 1,
15
3) х2у" + Зху'+ 17у = — (cos In а; + 2 sin In а:),
х
4) i У1 = ~5yi + 2у2 - 5а: - 43,
1 У2 = “152/1 + 82/2 — 15а: — 128,
2/1(0) =-5,
6.
yin) =—е*',
j/(l)=j/(e2,r) = l;
2/2(0) = 9.
1) 25y"+10y' + y = 250e-x/\fa
2) у"-2У1+ 17у =-15exsinx,
7
77
у(1) =--—, j/(l) = —^=5
иу 6
idy €
у(0) = 2/(0 = 1;
3) х2у" + Зху' + lOj/ = —(cos(21na:) + 2sin(21na:)),
2/(1) = 2,
4)
2/(6—) = 0;
Г 2/1 = 22/1 + 22/2 - Юа: + 21,
( У2 = 92/1 - 2/2 - 45а: + 152,
2/1(0) = -15,
7.
2/2(0) = 14.
1) у" - бу' + 9у = ^е31^,
У^) = -^~,
!/(1) = -^-;
4
2) 2/" — 22/' + 262/ = 24с1 (cosx — sin а:),
2/(0) = 0,
3) х2у" — Зху' + 132/ = 8a:2(cos In а; — 2 sin In а:),
у(2я) = е2*]
217
218
§ 14. Линейные уравнения и системы с начальными и краевыми условиями
1/(1) = 1,
4)
Г У1 = У1 + У2 + cos х,
( У2 = —10j/i — у2 + 9sini — cosx,
1/1(0) =
8.
з/(е27Г) = е4’;
й(0)
= 0.
1) 9y" + 6y' + y = 36e~x/3y/x,
У^ = ~^^’
2) y"+2y'+Wy=5e~x (cos(2j)+2sin(2j)),
3) х2т/' — х^ + 2у = — 15icos(41ni),
4)
у(—тг) = О, у(0) = 2;
у(1) = 0,
j/(e’r) = е’;
Г 14 = ^У1 + ЗУ2 - бх - 35,
1 14 = 7У1 + 91/2 - 18® - 47,
1/1(0) = 9,
9.
^ = ^^ ;
й(0) = 8.
1) 36у"-12г/ + у-120е^,
3/(1)=-^, 1/(1)=-^^;
У
04
2) у" + 2i/ + Пу = 15e-I(cosi + 2sinj), з/(0) = j/(2tt) = 1;
3) x2y" — Зху' + 20y = 24j2sin(2Ini),
4)
2/(1) = 1/(6^) = 0;
f 14 = 4j/i + 3y2 - 4i + 4,
11/2 = -3j/i - 61/2 + 3z - 6,
l/i(0) = 4,
1/2(0) =-5.
10. 1) у" - 8y' + 16y = ^./x, !/(l) = ~,l/(l) = ~;
о
0
12
2) у" — 2y' + 2y = —15excos(4j), y(0) = 0,з/(тг) = e’;
3) x2y" — 3xy' + 29?/ = 24i2 (cos In i — sin In a:),
j/(l) = 1,
4)
3/(e2ir) = e4ir;
f У1 =У1 + У2 4- 4cos(2z) - 2 sin(2a:),
[ 1/2 = -2yi — y2 + 4sin(2i),
* (9=” G)=°-
11. 1) 16y" - 8^ + у = wt^y/x,
y(i) = ^^-. VW = ^^-;
2) у" — Ay1 + 83/ = 3e2l(cosz + sinx),
2/(0) = 2, y(2it) = e4,r;
3) j2/+ 5ii/' + 8j/ = —^sin(31nj),
3/(1) = y(e*j = 0;
§ 14. Линейные уравнения и системы с начальными и краевыми условиями
4)
Г У1 = У1 + 3а; + 1,
{ У2 = ^У^ + Пуг + 54i + 69,
yi(0) = -14,
у2(0) = 10.
12. 1) 36?/" + 12?/' + у = ^бГ1/6^,
Z±yc
2) у" — 4у' + 13у = 8e2l(cosi — 2sini),
3) х2у" + эху1 + 13у = —zcoslni,
4)
у'(1) =
у(1) =
I
Уу с
у(0) = 1, у(2тг) = е4,г;
у(1) = 1, у^е2*) = 0;
Г У? = 3yi 4- 5у2 — 20i + 1,
I Уг = У1 + Эу2 + 12i - 3,
yi(0) = -3,
у2(0) = 2.
13. 1) у" - Юу' + 25у = 5e5l7i,
25е5
у(1) = —, у'(1) = 49е5;
2) у" — 4у' + 20у = 24e2z sin(2j), у(0) = у(тг) = 0;
12
3) х2у" + 5ху' + 20у = — (cos(21na?) — sin(21ni)),
у(1) = 0,
4)
у^2} = е-1;
Г yj = 6yi + 12у2 - Юз: + 6,
I Уг = 2У1 “ 4Уг + 4i + 3,
У1(0)=4,
у2(0) = 2.
у(1) = Л=, у'(1) = Д=;
оуе
2) у" — 4у' + 29у = 24e2l(cosi — sini), у(0) = 1, у(2тг) = е4,г;
14. 1)
16у" + 8у' + у = Эбе"1/4^,
48
3) х2у" + 5ху' + 29у = -т sin In х,
4)
у(1) = 0, у(е2,г) = 1;
Г yj = ~&У1 — 84а; — 14,
t Уг = 2yi + 4у2 + 24а; - 3,
У1(0) = -5,
у2(0) = 3.
15. 1) 1ООу"-2Оу'+у = 7ООе1/10^,
у(1) =----- -f-, у'(1) = —
10
2) у" + 4?/'+ 8у =-5e~2lsin(3a;),
?/(0) = у(тг) = 0;
3) х2у" + 7ху' + Юу = —^ (cos(2 In ar) + sin(2 In a;)),
/О
219
220
§14. Линейные уравнения и системы с начальными и краевыми условиями
2/(1) = 2/(е’) = 0;
4)
Г 2/1 = 92/i + 21J/2 + ЗОх + 8,
I 02 = ЗА + 5У2 + 6х,
2/1(0) = 3,
й(0) = 2.
Не10
2/(1) =----- 2/(1) = - 19е10;
16. 1) у" - 20у' + 1002/ = Зе10*^,
j/(0) = 1, 2/(2тг) = 0;
2) у" + 4}/ + 13у = 8е-21 сов!,
3) х2у" — ^ху* + 102/ = —Зх3cos(21пх),
4)
{ 2/i = 6?/i - 2/2 + Эх - 54,
I 2/2 = -112/1 - 42/2 + 36х + 108,
2/1(0) = 11,
2/2(0) = 10.
17. 1) W'+20i/+2/-800e-I/V,
2) 2/' + 42/ + 292/ = 48е-21 sinx,
у^-^, у'(1) = ^^ ;
j/(0) = 0, 2/(2тг) = 1;
3) х2у" - 5x2/ + 132/ = -5x3sin(31nx),
4)
2/(1) = 1, 2/(е2,г) = е^;
j/(l) = 2/(е,г) = 0;
Г 2/1 = -82/1 - 2/2 - 9x - 15,
[ 2/2 = -132/1 + 42/2 - 9x - 35,
2/1(0) = 0,
2/2(0) = -10.
18. 1) y" + 2y, + y = e~xy/x,
y(l) =2/(1) =;
loe
эе
2) j/' + 4j/ + 202/ = 12e~21 (cos(2x) — sin(2x)),
2/(0) = 0, 2/ Q =
3
3) x2y" + 7xy' + 132/ = —J sin In x,
4)
y(en) = y(e2,r) = 0;
Г 2/1 = 32/1 + 2/2 + 6x,
I 2/2 = 122/1 + 72/2 + 24x + 14,
2/1(0) = 0,
2/2(0) = 10.
19. 1) 2/' + 42/ + 42/ = ^e’21^,
2/(1) = -^j, 2/(1) = 5^;
2) y" — 62/' + Ю2/ = —3etecos(2x),
2/(0) = 1, 2/(2?r) = e6*;
3) x2^' — ху1 + Ю2/ = 8x (cos In x + 2 sin In x),
§14. Линейные уравнения и системы с начальными и краевыми условиями
221
3/(1) = 1, у(е”) = 0;
4)
Г У{ = 4yi + 2у2 - 6i + 8,
I 3/2 = 3У1 -У2 - 17х - 2,
3/1(0) = 0,
го.
1/2(0) = 4.
1) f + 6i/ + 9s/ = <3^ yW = Д’ ^W =
4
5еб
Юе1’
2) у" — бу' + 13т/ = — 5e3lsin(3i), у(0) = у(тг) = 0;
3) х2у" — Зху' + 8у = Зх2 (cos In а: + sin In x),
y(l) = 2, y(e2ir) = e41;
4)
( 1^= 5уг + 8y2 - 90s + 26,
I 3/2 = $У2 + 9>
3/1(0) = 3,
i/2(0) = 0.
21. 1) y" + Sy’ + 16i/ = |e^7^
i/(l) =i/(l) =
2) y" + бу' + 10i/ = —6e-31 (cos(2x) + sin(2i)), i/(0) = j/(ir) = 0;
g
3) x2y"+7xy'+18y =—, (cos In x + sin In x), i/(l)=j/(e’r) = O;
4)
f 3/'i = -43/1 + 2y2 + 6i - 1,
( 1/2 = “33/i + 3y2 4- 6x - 1,
3/i(O) = 2,
1/2(0) = 3.
22. 1) / + W + 25!/ = ^-5^,
2) y" + Gy' + 13y = — Зе-3® sin 1,
2/(1) = _L y'(i) = _2_;
г/(тг) = з/(2тг) = 0;
3) x2y" — 7xy' + 17y = — 614 sin(2 In 1),
j/(l) = j/(e2,r) = 0;
4) f У1 = У1 ~ %У2 + cos(2i) — 5sin(2x),
l У2 = У1 ~ У2 ~ 3cos(2x) — 2sin(2i),
23. 1) / + 12036^-^,
957
^ = -^^ = ^’
2) у" + бу1 + 18t/ = — 8e-3l(cosx + sinx),
i/(0) = y(ir) = 0;
3) x2y" — 7xy’ + 20y = З14 (cos Ini - 3 sin In x),
3/(1) = 0,
y(e^ = e4’;
222
§ 14. Линейные уравнения и системы с начальными и краевыми условиями
f 14 = 9yi + 7у2 - 8® + 25,
L 3/2 = 31/1 + 5у2 + 8i+ 11,
4)
J/i(O) = 8,
у2(0) = -1.
24. 1) ^ + W + 64y = -e-^,
1/U) = "^ ^) - ^
2) у" - 8у' + 17у = -бе41 sin(2i),
3/(0) = у(2тг) = 0;
3) х2у" — Эху1 + 5у — З®2 (sin(2 Ini) — 3 cos(2 In j)) ,
y(l) = 3,
4)
y(e2’) = 3e4’;
f Уг — У2 + cos(2®) — sin(2i),
[ 1/2 = —3/1 +2cos(2i) — sin(2x),
3/1(0) = 3/2 =0.
25. 1) 4y" - iy'+ у = 4ex/2y/x,
1/(1) =
3/(1) =
10
2) у" — 8y' + 20y = Зе4® (cos я — 3sinx),
3) x2y" — xy' + 5y = -5icos(31ni),
о
y(0) = 0, у(тг) = e4’;
3/(1) — 1> y(e*) = —e’;
f 14 = $yi + 23/2 ~ 881 + 22,
11/2 = _9j/i _ $1/2 + 156® - 13,
4)
1/1(0) = 3,
3/2(0) =—12.
Ответы
1.
1)
2)
3)
4)
у = e2x(l + x + 4з?^/х)\
у = e2® (C sin x + 3 coe(2i) — sin(2z));
нет решений;
yi = Эе21 + е12® + 2х - 1, у2 = -е2® 4- е12® - 2z - 1.
2.
1)
у = е~х^ ( 2 — х + ^х2^) ;
2)
3)
4)
у = ех (2 cos(2i) — cos(3a;) + С sm(2s));
нет решений;
У1 = 2е12® - 8е-®® - i, у2 = е12® 4- е”8® 4- За; 4- 2.
1)
2)
3)
У = е®/6(2 4бх + вх2^;
нет решений;
у = -^(Csmhi 4- coslnx — cos(21nx) - sin(2hx));
3.
§14. Линейные уравнения и системы с начальными и краевыми условиями
4)
yi = 2cosx,
4.
1)
2)
3)
4)
у = ех(1 — 2х + х2-^х)-,
у = e-2l(Csini + cosx — coe(2i) + sin(2i));
нет решений;
у^е^-ге-^ + Зх-Н, у2 = 2е12х + е”81.
5.
1)
2)
3)
4)
у = ех^3 [2 — 2х + ^х2у/х \ ;
\
5
/
у = eI(Csin(3x) + 2sinx +cosx);
нет решений;
й =eto + 2е"21 - х - 8, у2 = 5eSl + Зе”21 + 1.
1)
у = е~х^ (^х2^ — 2х - 3^ ;
2)
пет решений;
3)
у = —(Сsin(31nx) 4- cos(31nx) + cos(21nx) + 2sin(21nx));
4)
yi = 2e^ - e-*1 + 5x - 16,
1)
у = е31 ( 2 - Зх + ^х2у/х) ;
2)
3)
нет решений;
у = x2(Csin(3 In х) + coslnx — 2sinlnx);
4)
l/i = sin х,
1)
у = e~xl2 ^x — 5 + yjl2^ ;
2)
3)
4)
у = e-I(Csin(3x) + cos(3x) + cos(2x) + 2sin(2x));
нет решений;
l/i = Зе121 — e2' + 7, y2 = 7e12x + e2x + 2x.
1)
j/ = e1/6 ^2 — 5x + ^x2^ ;
2)
3)
4)
нет решений;
у = x2(Csin(41nx) + 2sin(21nx));
У1 = Зе31 + e“51 + x, y2 = -e3* - Зе”6* - 1.
6.
7.
8.
9.
10.
y2 = Зе51 + Зе”41 + 8.
1/2 = — sin x.
4)
y = e4x(x — 2 + ji2y^ | ;
\
6
/
нет решений;
у = x2(Csin(51nx) + coslnx — sinlnx);
yi = -2(v^sini — sin(2x)), y2 = — 2\/2(cosx — sinx).
1)
у = ex^
1)
2)
3)
11.
у2=ыпх.
2)
4
\
1 + 7z+ -x2^x I ;
\
Oy
нет решений;
/
223
224
§14. Линейные уравнения и системы с начальными и краевыми условиями
12.
13.
14.
15.
16.
3)
у = -^(Csin(21nx) + вш(31пх));
4)
у! = -10е® - Зх - 4,
1)
у = е-®/6 ^3 + 7х + ^^ ;
2)
3)
4)
у = e2®(Csin(3x) + cosx — 2sinx);
нет решений;
У1 = е10® — бе4® + 6х + 1, У2 = е1Лс + е4® — 2х.
1)
1/ = е5® ^3 + 4х + jX27ij ;
2)
3)
4)
У = e^lC вш(4х) + 2 вш(2х));
нет решений;
2/1 = бе8® — е-8® — 1, 1/2 = 6®® + е-8® + х.
1)
у = е-®/4 I 5 - х + -?v/i ) ;
2)
j/= e2®(C7sm(6x) + cos х — sin х);
3)
4)
нет решений;
yi = -бе-8® - 14х,
1)
у = е®/10 (х - 5 + ^’^ !
2)
3)
4)
у = e"2®(Csin(2x) + вш(Зх));
нет решений;
yi = 7е12® — Зе2® — х - 1, у2 = е12® + е2® - х.
1)
2)
3)
4)
17.
1)
2)
3)
4)
18.
/
1/2 = Те111 + 7? - Зх - 4.
Я
\
1/2 = е4® + е-8® + х + 1.
/
4
\
у = е10® I х — 4 + -х2у/х ) ;
\
5
/
нет решений;
у = ?(Csmlni + cos(21nx));
yi = е7® + e-S® + 9, Уз = —е?х + Не-5® + 9х.
у = е-®^10 ( 2х - 1 + ^х2^];
\
/
нет решений;
у = x3(C'sin(21nx) +ein(31nx));
2д = е8® + е-8® — х — 2, 1/2 =-13с5® + е-9® — х + 2.
2)
3)
/
4
\
у = е-® ( 1 — Зх + —х2-^ ) ;
\
15
/
нет решений;
у = -^(Csin(21nx) — sin In х);
4)
yi = ^ (Зе9® - Зе® - 4х),
1)
у2 = Эе9® + Зе® - 2.
§14. Линейные уравнения и системы с начальными и краевыми условиями
19.
1)
2)
3)
4)
20.
1)
2)
3)
4)
21.
22.
23.
24.
25.
1)
/
2
\
yi = е-21 ( 2 — 4т + -х2у/х ) ;
\
5
/
у = e^Psini + cos(2z));
нет решений;
yi = 2е51 — е-21 + 4т — 1, уг = е51 + Зе231 — 5т.
у = е3х\1 + Ьх + ;т2\/5 |;
\
5
/
у = e^Csin^T) + зш(Зт));
нет решений;
yi = е51 + 2с91 + 18т, у2 = евх-1.
у = е 41 (г - 3 + ^i2^i
2)
нет решений;
3)
у = —(Csin(31nT) + соэ(31нт) — cosIht — shiIht);
4)
j/i = е21 + 2е 31 + т - 1,
1)
j = e 51 ^1 - т + ^i2^ ;
2)
3)
4)
у = e-^Csin^T) - зшт);
у = T4(CsinlnT + 2sin(21nT));
нет решений.
1)
у = е^ ^^^V^ “ 1 “ 1) ;
2)
3)
4)
У = e-3l(Csin(3i) + cos(3t) — cost - suit);
нет решений;
У1 = е21 + 7е12х + 4т, у2 = —е2* + Зе12’ — 4т — 3.
1)
у = e-te ^^т2-у/т — 2т — 3^ ;
2)
3)
4)
j/ = e4l(CsinT + 2зш(2т));
у = T2(Csinlni + 3cos(21ht) — sin(21ni));
нет решений.
1)
у = е1/2 [ 3 + 5т + -^т2Ут ) ;
2)
3)
4)
нет решений;
у = r(Csin(21ni) + cos(31ht));
и = е31 + 2е-41 + 18т, у2 = -е31 - Эе’41 - т - 2.
у2 = Зе21 + е 31 - т - 1.
225
§ 15. Голоморфные решения
линейных уравнений и систем
Голоморфность функции в некоторой окрестности точки т0 означает
возможность представить эту функцию степенным рядом по степеням
х — х0, сходящимся по меньшей мере в этой окрестности.
Пусть коэффициенты и свободный член уравнения
у" + pi(x)t/ 4- Р2(х)у = f{x)
(15.1)
голоморфны в некоторой окрестности точки х0. Тогда при любых действи
тельных числах уо, у'о задача Коши для этого уравнения с начальными
условиями
У&о) = УО,
VM = у'о
(15.2)
имеет единственное решение, также голоморфное в той же окрестности точ
ки 2?0 и, следовательно, имеющее вид
У = Уо + Уо(х — Jq) + а2(х — i0)2 + а3(х - io)3 + • • •
(15.3)
Аналогичный факт справедлив для линейных уравнений и систем лю
бого порядка.
Для нахождения коэффициентов О2,а3,... следует в уравнении (15.1)
разложить в степенные ряды функции pi(i), Р2(х), f(x), подставить вместо
у ряд (15.3), вместо у', у" производные ряда (15.3), полученные почленным
дифференцированием, и выполнить соответствующие действия с рядами.
Далее следует приравнять в левой и правой частях уравнения коэффици
енты при одинаковых степенях х — xq. Из возникающих уравнений опреде
ляются искомые коэффициенты.
Пример 1. Найти в виде соответствующего степенного ряда решение
задачи Коши
у" + еху = 1,
у(0) = у'(0) = О-
Решение. Коэффициент уравнения е1 и свободный член 1 голоморфны
в окрестности |j| < оо точки iq = 0. В нашем случае
у = а2х2 + азх3 + а^х4 + ...,
у" = 2 • 1 • аг + 3 • 2 • азх + 4 • 3 • 0412 + ...
Уравнение приобретает вид
226
§15. Голоморфные решения линейных уравнений и систем
227
2 • 1 • й2 + 3 ■ 2 • 0,3! + 4 • 3 • Л4Х3 + ... +
/
х2 х3
\
+ ( 1 + т + — + — + ... I (о^х2 + оз!3 + сцх4 + ...) = 1.
Выполним соответствующие действия и приравняем коэффициенты при
одинаковых степенях х:
х°: 2- 1 -а2 = 1,
°2 = 2’
I1: 3 • 2 • аз = О,
аз = О,
1
24’
1
г3: 5 • 4 • а5 + а3 + а2 = 0,
«5 = 40’
1
х4 \ 6 ■ 5 • Об + а4 + аз + ^ = 0, а6 = 144’
х2: 4 • 3 ■ а4 + а2 = 0,
(14 = —
Продолжая процесс, сможем найти любое количество коэффициентов
ап. Следует попытаться найти выражение для коэффициентов ап в общем
виде, однако такое выражение может оказаться весьма громоздким. Здесь
мы ограничимся найденными коэффициентами.
Отает:!/ = ^2-^14-^15-^16 + ..., И < оо.
Ряд, выражающий решение задачи Коши, иногда удается просуммиро
вать, т. е. представить в виде элементарной функции. (К просуммирован
ным, в частности, относятся ряды с конечным числом ненулевых слагае
мых.)
Пример 2. Найти в виде соответствующего степенного ряда решение
задачи Коши
у" + ху + Фу = 2х sin(2i) + 4,
j/(0) = ^(0) = 0.
Решение. Подставим в уравнение ряды
у = азх2 + азх3 + а^х4 + ...,
у1 = 2азх + Заза;2 + 4а4т3 + ...,
у" = 2 • 1 • а2 + 3 • 2 • азх + 4 • 3 • а4Х2 + ...,
п
л
2
2V
2616
2818
2ism(2i) + 4 = 4 + 22т2 - — + --- --------— + .
228
§15. Голоморфные решения линейных уравнений и систем
2 • 1 • аг + 3 • 2 • аз! + 4 • 3 • 04a:2 + ... +1(2021 + Заз!2 + 4о4!3 + .. .)+
.,
2
4
3
2
ч
24x4
2616
283:8
+4(аг!2 + О3!3 + О4!4 + ...) = 4 + 22!2--- — + —-------- — +
Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях i:
!°: 2 • 1 • 02 = 4,
I1: 3 • 2 • аз = О,
!2: 4 • 3 • а4 + 2аг + 4аг = 22,
!3: 5 ■ 4 • а5 + За3 + 4а3 = О,
4
24
! : 6 • 5 • Об + 4а4+ 4а4 = ——,
!5: 7 • 6 • оу + 5оз + 4о5 = О,
!6: 8 - 7 - а8 + 6аб + 4а6 =
26
о!
Из полученных уравнений последовательно находим:
n
аг = 2,
Об =
п
аз = 0,
22-6а2
24
а4 = ———— = ——,
4-3
4!
а5 = О,
-24/3! - 8а4 _ -24/3! + 8 • 24/4! _ -4 • 24 + 8 • 24
26
= 6!’
6-5
6-5
6!
а8 =
26/5! - Юоб _ 26/5! - 10 • 26/5! _ 6 • 26 - 10 • 26
8-7
8!
8-7
Очевидно, что для n = 1,2,3,... получается агп = (—l)n+1,
поэтому искомое решение
22!2
У = 1!
24!4 26!6
4Г + ~6!
а7 = °’
8! ’ ''
. , O2n+i = О,
28!8
_
8Г+ ” ~
/
(2!)2 + (2!)
4
(2!)
(2!)8
\ =
= ,1-V-V
4Г6! 6 + V-j
OS(
)'
Ответ: у = 1 — cos (2т).
Пример 3. Найти в виде соответствующего степенного ряда решение
задачи Коши
у" + sin! у' + sin! у = !2sin! + 2,
у(1) = 1, у'(1) = 0.
§15. Голоморфные решения линейных уравнений и систем
229
Решение. Удобно переписать уравнение в виде y"+sinx(y'+y — х2) = 2
и затем подставить в него
у = 1 + a2(x - I)2 + а3(х - I)3 + ...,
у' = 2а2(х - 1) + 3a3(i - I)2 4-,
у" = 2 • 1 • аг + 3 • 2 • а3(х — 1) + 4 ■ 3 • а^х — I)2 + ...,
•
• .
- .
Sin 1 .
.л COS 1 .
.«
smi = sinl + cosl (i-l)---- —— 1/----- —— 1) ■
sinl.
,. cosl.
..
+ — (,-1)4—(^l)5!...,
z2 = 1 + 2{x - 1) + (i- I)2.
Получим
2 • 1 • аг + 3 • 2 • a3(x — 1) + 4 • 3 • a4(x — I)2 + ... + ( sin 1 + cos 1 (x — 1) —
-
sinl
, cosl.
sinl.
cosl.
(^ - l)2 - 4f(^ - l)3 + 4f(i - l)4 + -^(1 - 1Г +
\
Jx
x ^2o2(t - 1) + 3a3(z - l)2 + 4a4(x - l)3 + ... + 1 + a2(x — 1)2+
+ 03(0: — l)3 + a4(x — I)4 ... — 1 — 2(z - 1) - (1- I)2) = 2.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях (i - 1):
(т-1)°: 2-1-02 = 2,
(т —I)1: 3 • 2 • аз + sin 1 (2а2 — 2) = О,
(х — I)2: 4 • 3 • a4 + sin 1 (Заз + аг — 1) + cos 1 (2а2 — 2) = О,
(х-1)3: 5 • 4 • as+sin 1 (4а4+аз)+со81 (Заз+аг —1) —^р(2аг — 2) = О,
Отсюда последовательно находим а2 = 1, аз = 0, а4 = 0, 05 = 0.
Несложно обосновать, что все последующие коэффициенты ап равны
нулю, следовательно, у = 1 + (х — I)2. (Можно, желая избежать этого
обоснования, предположить, что это так, и сделать проверку решения у =
1 + (z- I)2 непосредственной подстановкой в исходное условие.)
Ответ: у = 1 + {х — I)2.
230
§15. Голоморфные решения линейных уравнений и систем
Пример 4. Найти в виде соответствующего степенного ряда решение
задачи Коши
( yj = sin х yi + Фхуч — 6хsinх — 4i + 2,
[ 1/2 = sin х yi + 2ху2 — 4т sin х — 2х + cos х,
1/1(0) = О,
у2(0) = 1.
Решение. Подставляем в уравнения системы
yi = aix + a2x2 + a3x3 + ...,
уг = 1 + &ix + fox2 + fax3 + ...,
yi = ai+ 2a2x + За3х2 + ...,
У2 = Ь1 + 2^х + ЗЬэх2 + ...,
т3 х3
“П1 = 1" 3! + 5!+""
х2 х4
cosx = l-- + - + ...
и в результате получаем
2
/
х3
ai + 2а2х + За3х + ... = ^i - ^
aix + a2x2 + a3x3 + ...) +
+ 4i(l 4- bix + fox2 + Ьзх3 + ...)- 6i J “ ТГ + VT + •
\
о!
о!
я3
a\X + O2i2 + a3x3 + ...) +
bi + 2^x + ЗЬзх2 + .
3!
x3 x5
\ n
а + а+' )-2l+
I2 X4
+ 1’2!+4T + Теперь приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:
i°: ai = 2,
x3: 4a4 = a2 + 46г,
bi = l,
4&4 = a2 + 2b2,
Xх: 2a2 = 4 — 4,
2^ = 2 - 2,
x2: Заз = ai + 46i — 6,
ЗЬз = ai + 2bi — 4 — —,
x*: 5a5 = a3- —+ 46з + —,
ai
4
1
565 = °3 " 3! + 2Ьз + 3! + 4!’
§ 15. Голоморфные решения линейных уравнений и систем
Отсюда наряду с di = 2, bi = 1 находим a2 = b? = аз = 0, Ъз =
231
1
3!’
а^ = Ь^ = аз = 0, Ьз = —.
Чтобы лучше понять возникающую закономерность, можно найти еще
некоторое количество коэффициентов. Будем получать а$ = ат =
= О,
= 0, Ьт = ——, &д = ^ и т. д. Следовательно,
be = Ьз = bio =
У1 = 2х,
^•3
дЛ
у2 = 1 + х~^ + ^-^+-- = 1 + sini-
Заметим, что должная математическая строгость в обосновании пра
вильности найденного решения системы будет достигнута либо после ис
пользования метода математической индукции при выводе выражений
для коэффициентов, либо после непосредственной проверки найденного
решения.
Ответ: yi = 2т, у2 = 1 + sinT.
Задания
Найдите в виде соответствующих степенных рядов решение задач Коши.
В первом и втором примерах каждого варианта ограничьтесь четырьмя
ненулевыми слагаемыми ряда. В третьем и четвертом примерах каждого
варианта полученные ряды просуммируйте.
г
1] у” + т^1у = 0'
^°) = “1’
2) у" + е~2ху' + sin(3T)y = х,
3) у" + ху' + у = 1,
4)
у(0) = 2, 1/(0) = 0;
у(0) = у'(0) = 0;
( У1 = cos xyi — х2уз + х? — cos х + 2т,
I У2 = У^~У^ + cos х — х2 — sin т,
У1(0) = 1,
2.
^ = 0;
у2(0) = 2.
1) у" + т(2-1п(т + 2))у = 0,
у(-1) = 0,
2) ^^^ji^1262^11^12’
у(-1)
3) у" - ху'+ (х+1)у = ех-2(х + 2),
у'(-1) = 2;
= ^ зЛ-1) = °;
у(2) = 2, у'(2) = 3;
§15. Голоморфные решения линейных уравнений и систем
232
4)
Г У1 = sin 1У1 — 2хуг — 3 sin х + 6j + 2,
I Уг — У1 — У2 + sin х — 2j 4- cos х,
1/1(0) = 2/2(0) = 3.
3.
1) У" + —^-У = 0.
1/(0) = з, 1/(0) = 0;
2) у" + arcsin ^у1 + 1п(1 - Зх)у = 2х 4- 5,
3) у" + ху' -ху = х2 -2х- е1+2,
у(-2) - 2, у'(-2) = -2;
^ = ^ ^ - 1П(1 - ^ + ^’
4)
,
2/2 = ХУ1-----У2 - Я 1п(1 - z2),
аг — 1
2/1(0) = 0,
4.
у(0) = 0, 1/(0) = --;
2/2(0) =-1-
1) у” 4- e-l3(sin(3x) 4-1)?/ = 0,
2) у" 4- — 4- х3у = у/х,
2/(0) = 2, у'(0) = 0;
у(1) = -2, 2/(1) = 0;
3) у" 4- х2у' + у = x2cosx + 2х2 4- 2х — 1,
4)
Г У'1 = ХУ1 + (1 - х2)У2,
I 2/2 = У1 - ХУ2,
У1(0) = 1,
5.
у(0) = —1, 2/(0) = 3;
у2(0) = 0.
1) у"+(lnQ-1)-з)у = 0,
у(1) = 0,
у'(1) = |;
X
2) у" 4-е-1(3 —1)2/4-arctg —у = cosi,
1
у(0) = -, 2/(0) = 0;
3) у" — хт/ 4- 2у = 2 4- 2 cos ж — ж2 cos а:,
у(0) = 1, у'(0) = 0;
4)
Г 2/1 = 3yi 4- 2ху2 — Зх3 - 2х4,
I Уг = У1 + 2х2у2 - х3 - 2х5,
У1(0) = 0,
у2(0) = 1.
1) у" 4- (х 4-1)2 ^1 - Зх2у = 0,
у(0) = 0, у'(0) = ^;
2) y"4-(l-2x)2/4-lnxy = 2sin2(l-x),
3)
+
2х + 1
2^ + 1
=
у(1) = 0, 2/(1) =-4;
У(0) = 1, 2/(0) =-2;
§15. Голоморфные решения линейных уравнений и систем
4)
/ у{ = sinxyi — (х — 1)у2 — 2sinx + 1,
1 3/2 = У1 — 2у2 + 2 sini - 1 - j + cosх,
У1(0) = 1,
7.
1)
2)
у2(0) = 0.
у" + fsin(x + 2) 4-у = О,
у(-2) =-2,
\
х/
у" + У8^ху' + Зу = ezsin(3x),
у(0) = -|, у'(0) = 0;
3) у" — 2ху' + 4у = —4х cos(2x) + 2,
4)
у2(0) = 1.
1) у" + (1 - х) cos3 х у = 0,
2) у" + 4у' + е^^у =
з
у(0) = 0, у'(о) = --;
у(-1) = -1, у'(-1) = 0;
3) у" -ху' + у = -xcos(x - 1),
у(1) = 2, у'(1) = 3;
,
1
2х —х2
J/1 = ;------ У1 +У2 +-------- г,
1 —X--------- х — 1
,
х2 — 2х
У2=У1~У2 + —--- —,
У1(0)=0,
9.
у(0) = 0, ДО) = 2;
Г yi = xyi + Зу2 - х5 - 3 + 2х,
I У2 = У1 + 2я2У2 - I4 - 2х5,
2/1(0) = 0,
4)
Д-2)=0;
у2(0) = -1.
1) ^" + ^4^^ = 0’ у(2) = 3, у'(2) = 0;
xz — 4х + 3
2) у" + у' + arcsin х2 у = 2cos2(2x), у(0) = 0, у'(0) = —3;
3) у" + 2ху' — у = 2(х2 + 1) cos(x + 2),
4)
у(-2) = 0, у'(-2) = -2;
У' + У2 + 1 - X,
1—X
У2 = (X- l)yi + у2 + 1 - X,
у{ =
3/1(0) = У2(0) = -1.
10.
1) / + ^^Uly = 0,
ДО) = 0, у'(0) =
2) у" + х2у' + 2у = arctg(2-x),
у(2) =у'(2) = 0;
3) у" - ху'+ у =-xcos(x - 3),
у(3) =-9, у'(3) =-2;
233
234
§15. Голоморфные решения линейных уравнений и систем
2
7
4)
2/1 = :------ 2/1 + 2/2 + х - х*,
1—X
У2 = (х2- X)yi + 2/2 — I2 + 2l - 1,
У1(0) = -1,
Ы0) = 0.
И. 1) у" +
у = ^ у^ = -2’ ^(-2) = °;
у X ~г о
2) у" + sinху1 + cosx2y = 1п(1 — х), у(0) = 0, у'(О) = О;
3) у" - xj/ - (1 + х)у = -2х2 — 4i,
4)
у(О) = 2/(0) = 1;
у[ = xyi — cos ХУ2 + cos2 х — sin х,
У2 = sinrj/i — sinx 1/2 + i sin 2; — sinx + 1,
{
yi(0) = 2/2(0) = I.
12. 1) y" + cos ^(ln(2i + 1) - l)y = 0,
2)
y" + ^1 + ^2/' + Xel~xy = z3,
3) y” -y' + 4x2y = 2(1 - 1) sinx2,
1/(0) =
i/(0) = 0;
2/(1) = -1, y'(l) = °;
2/(0) = 1, 2/'(0) = 0;
4)
j4
= (1 - Х2)уг + 22/2 - 2i2,
У1(0) = 1,
13. 1)
2/2(0) = 0.
^ + ^-^ = 0,
y(l) = 1, y'(l) = 0;
2) y'' + y/x + I2/ + (x + 1)2J/ = sinisin(2i),
y(0) = 0, 2/^(0) = 2;
3) y" — 2x1/ + 9y = 18xsin(3x), 2/(0) = 3, j/(0) = 0;
2x
2/1 =
2/1 + ХУ2-Х- X4,
{г _ Д.2
2/2 = 3x2(l - x2)2/i + 2/2 - 1 - X3,
2/1(0) = 2/2(0) = 1.
14.
1) y" + ^1 -4x(sin I + 1^2/ = 0,
2/(0) = -2, 2/'(0) = 0;
2)
y" + 2y' + xsin^j/ = ln(3-x),
3)
2/” — 2/ + 9x42/ = 3x(x — 2) sinx3,
1/(2) = 0, 2/(2) = 0;
2/(0) = 1, 2/(0) = 0;
§15. Голоморфные решения линейных уравнений и систем
4)
Г У1 = У1 + ехУг - хех,
\ У2 = %У1- хеху2 + хех 4- 1,
у2(0) = 1.
3/1(0) = 0,
у = 0,
15. 1) у" + — cos (1 —
х
\
2/
2/(2) =
у'(2) = 0;
2
2) у" + 2е~ху' 4- ^l-i у = cos
1/(0) = 0, у'(0) =
3) у" - (г + 1)у' + у = (х + 1) sin(i 4-1),
4)
Г yj = 2ху} + У2- Зх,
I 3/2 = ^У1 -У2- хе1* + 1,
yi(0) = l,
у2(0) = 0.
16. 1) у" + е x(cos^+ 2)у = 0,
2)
у(0) = 1, i/(0) = 0;
у" + cos(l - 2х)у' + ху = ^
у ^ = 1, у' Q) = 0;
у(-1) = -1, у'(-1) = 0;
3) 2у” ~(х+ l)i/ + ху = 3el+1,
4)
у(-1) = у'(-1) = 1;
у{ = Vl + xyx -у2 +
1
Уг =
Vl + x
1
2^1 4- х’
У1 + Уг - 1 - х,
3/1(0) = у2(0) = 1.
17. 1) у" + х^ In
2) у" + In
X
+ 1^ = 0,
х+2
у' + 4у = arctg а;2,
2—х
3) у" -ху' + у =
4)
у
1 — X
+ 1-1,
(х 4- I)2
Г у{ = 2yi -у2 + 2х-1,
I Уг = У1+ху2 + х- хех,
3/(0) = 0, у'(0) = 2;
у(0) = у'(0) = 0;
3/1(0) = у2(0) = 1.
18. 1) у" + (sins2 + 1)у = 0,
2)
у(0) = -3, у'(0) = 0;
у" 4- х^2 -ху' + - = е1-1,
х
у(1) = ^ у'(1) = 0;
3
235
§15. Голоморфные решения линейных уравнений и систем
236
3)
4)
+
1/(0) = 1/(0) = 0;
=
(1А = ХУ1 + U - х2Ууъ
Ху^У!- хУ2,
2/1(0) = о,
19. 1)
+ ^у = 0)
2) у" + In fl -
3)
4)
у(_2) = _ 1 у(_2) = 0;
у' + 3у = sin(? + 2i),
у" - 7-V V + xy =
2/(0) = -1, 1/(0) = 0;
2/(0) = 1, 2/(0) = 2;
Г 1А = У1 + У2,
I 2/2 = 2/1 “ ХУ2 + е1,
2/1(0) = 0,
20. 1)
Ы0) = 1-
2/2(0) = 1.
„ sin(3i) + 1
„
У + —j----5----- 2/ = 0,
2
2/(0) = 0, j/(0) = -;
2) у" + arctg(i + 3)2/' + ху = ~, 2/(-3) = -1, 2/(-3) = 0;
х
3) у" — 613/ + 242/ = 26 + 24i 4- 24i2 + 6х3, 2/(0) = 2/(0) = 1;
4)
J 2/i = 2/1 + сЬ(2ж)2/2 — sh(2i) — 2ich(2i),
[ 2/2 = 2^2/1 — sh(2i)i/2 + 2sh(2x) + 2,
2/i(0) = 0,
21. 1)
2/2(0) = 2.
х2
2/" + —^=2/
= 0,
y(-l)= 1 2/'(-1) = 0;
2) у" + 22/ + arcsin(2x)2/ = е^3х(х + 2),
3) у" - 2у' + ху = хе2х + х,
4)
2/(0) = 2, 2/(0) = 0;
2/(0) = ?/(0) = 2;
С 2/1 = 2x3yi + (2х - 2х5)у2,
{У2 = 2ху! - 2х3у2,
2/1(0) = 0,
2/2(0) = 1.
22. 1) у" + cos(2z — х2)у = 0,
2/(0) = — 1, 2/z(0) = 0;
2)
3) у" — Зх2у' — бху = -9i2,
2/(0) = з/(0) = 1;
§ 15. Голоморфные решения линейных уравнений и систем
4)
( у\ — ^У\ — ХСОЗХ2У2 — 2xeinx2,
\ У2 = Х2У! - СО8? У2 4- 2j,
У1(0) = 1,
й(0)=0.
23. 1) у" + (i- 1п(4 - х))у = 0,
у(3) = О, У(з) = 2;
2) / + 1пГТУ' + 3^ = ^773) у" - Зх2у' — бху = 2 — 12л3,
^ = ^Т
4)
2/(0) = -1> ДО) = 0;
i/(0) = 1, j/(0) = 0;
+ |п<х +‘^ + 7ТТ’
1
Д = У1 + Х~+1У2 ~ ^ + 1)’
У1(0) = 0,
у2(0) = -1.
24. 1) у" + (1 + е~3х)у = 0,
2)
3)
4)
1/(0) = 0, г/(0) =
у" + у/2 - 2ху' + ху = ^,
^^)=0^'^=^
У" + ^ + У = 1°(* + 1) +
\ ДО) = 0, 1/(0) = 2;
Xт
Xт1
у'\ =yi + —У2 — ln(l - i) + i - 1,
{
У2 = У1-У2- 1п(1
-х)-Х2 + 2,
2/1(0) = №(0) = 0.
25. 1) у" + (х2 + arctg(2(x - l)))j/ = 0,
2) у" + е-1/2^ + cos211/ = arctg |,
3) у" + ху'- (2 +х)у = 2ех,
4)
у2(0) = 0.
у(0) = 0, Д(0) = 1;
у(0) = 0, у'(0) = 1;
( у{ = 2x3yi + (2i - 2х5)у2,
{1/2 = 2xyi - 2х3у2,
У1(0) = 1,
1/(1) = 0, у'(1) =
237
238
§15. Голоморфные решения линейных уравнений и систем
Ответы
1.
X3
6
„
5?
2) *
6
3) у = 1 - в-1*/2;
1)
4) 2/1 = Я2+1,
Xе
180
19iB
120
ХЪ
20
5?
24
*
И < 1;
|i| < оо;
7/2 = СО8Х + 1.
1) у = 2(г+1) + ^+1)3-^+1)Ч^+1)в + ..., к+1|<1;
|1+1|<^
2)
12
2
УО
о
3) у = хех~2;
2/2 = sin а: + 3.
4) 2/1 = 2z + 3,
3.
. .
И<5
.
о За:2 а:3
а:5
I) „-3-- + -- —+
х 5а:2
За^
а;4
2) » = -? + т + Т“Т + "-'
&
«
о
и
и
3) у = 1 — х — е1+2;
4) 2/1 = Ь(1 - аг2),
4.
2/2 = ^ту.
а:4
1) у = 2 — а;2 — х3 + — + ...,
2) 2/ = “2 +
1
И<,;
- I)2 +
|а:| < оо;
— I)3 +
- 1)4 + ..., |i - 1| < 1;
3) у = sin х + 2а: — 1;
4) yi = 1 + а2,
5.
2/2 = х.
1) у=1(ж-1)+1(а:-1)3 + 1(а:-1)4 + 1(^^
3
6
18
40
1
2:2
14а:3 49а:4
. ,
21 » = з +
+
- - м<3;
3) у = a: sin а: + 1;
4) У1=Х2 + х3,
»
6.
уз = 1 + ?.
,1
а а3
а4
ав
. ,
1) у =---------------- Ч--------- а: < —
1 у
2
12
12 240
1
V5
о
2) 2/= —4(а:—1) — 2(;r —I)2 — 2(а: —I)3 —-(а: —I)4 + ..., |а:—1|<1;
3) у = е-^
4) yi = i + 1,
2/2 = sin х.
§15. Голоморфные решения линейных уравнений и систем
7-
1)
у = -2 - 1(1+2)2 + i(x+2)3 - ^(х+2)4 + ■ • •,
2
2 х3 7х4
2) » = -q+1
т +w +
□ 0/2
3) у = sin(2i) +12;
1)
2)
3i
. .
М <8;
?/2 = 1 + х3.
4) У1 = х2 + х4,
8.
|х+2| < 2;
х3
х*
xs
. .
г/ = -i + (ш) - (з+i)3 + ^(1+1)4 + • • •, l1!!! < i;
3) у = 2х + sin(i — 1);
9.
4) 3/1 =----- 7, у2 = х - 1.
X—1
j/ = 3 + 3(i-2)2 + ^(г-2)3 + (х-2)4 + ..., |х- 2| < 1;
1)
. . ,
И<1;
5х2 5i3
Hi4
2) у=-3х + -------- - ------- — + ...,
2
о
24
3) у = isin(i + 2);
1
у2 = х - 1.
4) s'1 = ;—
x— 1
2x x3 x4
4x5
10. 1)
"
3
9
6
45
3 3.
13.
2) l/ = -^ + ^-2) "tOi
2 2
b
3) у = sin(x — 3) — 3x;
1
2’
11
12
1
2
4) 3/1 =----- г, Уг = х ~ x.
x— 1
з/ = -2 - 2(х+2)2 + |(х+2)3 - ^(1+2)4 + ..., |H2| < 1;
11. 1)
X3
X4
Xs
X6
2) у =-------------- 1---------------- 1-...,
9
6
24 60 720
i < 1;
3) 3/ = e-1 + 2x;
4) 3/1 = cosx,
12.
1)
3/2 = cosx + I.
1 x2
x3
19x4
4 + 8" ” 12 + ЗМ +
1
2’
4
2) ^-l + ^-l^- 1 (I_l)3+^_l)4
+ ...) Ix-lKl;
3) у = cosx2;
4) Й = Т^'
3/2 = X + I2.
239
240
§15. Голоморфные решения линейных уравнений и систем
13. 1) у = 1 - ±(г-1)3 + Jtx-l)’ + 1(х-1Г + ..., |х-1| < со;
X3 X*
2) у = 2х-х2- —+ — + ...,
О
1D
И < 1;
3) у = 3соз(3г);
4) yi = , 1 ,,
№ = 1 + ?•
14. 1) » = -2 + ?- -- — + ...,
О
12
И < ?!
4
-2)6 - ^^-г)’ +
2) у = ~{х-2У + 1(г-2Г 24
О
3U
JOU
к-2| < 1;
3) у = cost3;
у2 = х+1.
4) у! = хех,
15. 1) у = ~ +
г^-2)2 - i^-2)3 - ^t1-2)4 + • • • - l1-2! < 2;
ZD
120
10
3j
„ , 19?
Ill4
=------12?----------- 1-------2) У
v
2
12
8
3) у = x + 1 + cos(x + 1);
4) !/1 = 1 + ?’,
16.
3i2
1)
У2=х.
?
55г4
T + ?+
о /
1 \ 2
1<]
4
3
2) У =
|х-1/2|<1/2;
3) у = i?+1;
4)
17.
1\
2)
1) щ = 2 I х— I
"
\
1/ 1V
1/ 1V
19/
1V
I х— I
I х— I
I х— I
6\ 2/
2 V 2)
48 \
2/
|х - 1/2| < 1/2;
5г3 г4
23г6
. .
2) К = 21’Т+12 + ^ + '"’
3) у = iln(i + 1);
4) j/i = е1 - г,
18. 1)
у2 = е1.
Зд?
?_13?
2 + 8
240
|1|<1;
§15. Голоморфные решения линейных уравнений и систем
2
1
2) У = - + -(т-1)2--(ж-1)3 + —(z-l)4 + ...,
ОО У
|х—1| < 1;
X — 1
4) 1/1 =Х,
у2= 1.
19. 1) ^=-hl(l+2/-W + ^(x+2)4...,
2 4
О
4о
«
1 Зг2 z3 I4
. .
2) » = -1 + т + т-т + -1 М<2;
ZOO
з)
|1+2|<х;
1 — 2т
4) l/i = ^е1,
у2 = е+
2) y = -lJ(l+3)2 + l(1+3)3-^+3)4 + ...,
О
1OZ
3) у = 1 + х + х2 + х3 +14;
4) yi = sh(2z),
|х+3|<1;
2/2 = 2 + 2i.
21- Ч » = J-il+1)24(I+1)3-I(I+1)4 + --
k+i|<i;
z 4
do
4oz
„
2 1313
19Z4
, ,
1
2) ^2 + J2- —+ — + ..., K-;
o
2
iz
3) 2/ = e2l + l;
4) 2/1 = i2,
1/2 = 1-
T2
rT4
22. 1) у =—1----------------1------- 1-■..,
'
2
24
10
’
Ы < oo;
W
|z + 3/2| < 1/2;
3) y = x + ex3;
4) j/i = cosx2,
23.
y2 = x2.
1) У = г^-зМя-зЭ’-^-зГ+^Сг-з)5 +..., |z-3| < i;
x2 x3
77x4
y = -l + —
+ ...,
2) y
4 +----24 h-----288
3) у = x2 + e^3;
4) yi = ln(i+1),
2/2 =7
kr < 2;
241
§15. Голоморфные решения линейных уравнений и систем
242
24.
4а:
4а:3
23а:5
а:4
. .
1)
’ = УТ + -3--90-+ -
2)
1/ 1Х
3/
1\2 7/
IX3 23 / IX4
V
"=—
2 \х—
2 / 14—
4 VI х—
2/) —
8 \I х—
2/I Ч----24 I\х—2 J
|1|<0О;
|а: - 1/2| < 1/2;
3) у = х + 1п(а Ч-1);
4) ух = 1п(1 - а:),
у2 = 2х- х2.
25. 1) у = 1(а:-1)-1(а:-1)34(*-1)4-^(^
2
12
О
46
2)
=
l2 3:3
7+
2
и
5а:4
+
Уо
3) у = хех;
4) 1/1 = 14- а:4,
у2 = а:2.
'
.
И < 2;
2
§ 16. Устойчивость по первому приближению
Устойчивость (по Ляпунову) решения системы дифференциальных
уравнений отражает тот факт, что малые изменения начальных условий,
породивших это решение, приводят к малому изменению решения.
Предположим, что автономная система
' 16 = Л(.У1,У2,---,Уп)>
У2 = /2(.УъУ2> • • • >Уп)>
(16.1)
. Уп = /ЛУ1,У2,--->Уп)
с непрерывно дифференцируемыми правыми частями имеет нулевое реше
ние ук(х) = 0, k~l,n.
Системой первого приближения для системы (16.1) называется линей
ная однородная система
' г4 = «112/1 + «122/2 + • ■ ■ +
У2 =
«212/1 + «222/2 + • • • +
. 2/n = ani2/i + «„гй + • ■ • +
а1пуп,
^пУп,
аппуп,
где
^kj
д
Qy fк\У1>У2> • • • I Уп)
k,j = 1,П.
(0,0,...,0)
По свойствам матрицы
^«11
«12
•■•
«1г?
02!
022
•• ■
«2п
\«nl «п2
■• •
апп/
этой системы часто можно сделать вывод об устойчивости нулевого реше
ния системы (16.1).
Если все собственные значения матрицы А имеют отрицательную дей
ствительную часть, то нулевое решение системы (16.1) устойчиво (и притом
асимптотически). Если хоть одно собственное значение матрицы А имеет
положительную действительную часть, то нулевое решение системы (16.1)
неустойчиво. Если действительные части всех собственных значений мат
рицы А неположительны, причем хоть одна действительная часть равна
нулю, то вопрос об устойчивости нулевого решения системы (16.1) требует
дополнительного исследования; такие случаи здесь не рассматриваются.
243
244
§16. Устойчивость по первому приближению
Пример 1. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы
У1 = 3^1 + 4 tg у2 + е3» - 1,
у'2 = 2Уз ~ е6^+’'’+»з) + 1,
Уз = 1п(1 — ЗЛ — 2у2 - 3j/3).
Решение. Вычислим
0,1 =
1(0.0.0) =4’
+
=
(2у, - еб^+й+й) + 11 I
= -6,
I (о,о,о)
91/1 \
^=^(2»-es‘',h'‘^
^=^(2s’-e“”,+'’^
аз,=^1°<1“й“2й“3Ч»«=“1’
1132 = а»ln(1" й "2й " ^Iwi= -2,
1133 = а»ln<1" й "2,2 - ^км = -3,
(Отметим, что коэффициенты матрицы А можно было также найти, ис
пользуя разложения элементарных функций по формуле Маклорена и
оставляя в этих разложениях лишь слагаемые порядка не выше первого.)
Следовательно, матрица соответствующей системы первого приближения
имеет вид
3
4
3 \
-6 -6 -4 .
-1 -2 -3 /
Находим ее собственные значения: Aj = —4, Л23 = — 1 ± г. Поскольку
действительные части всех собственных значений отрицательны, то нулевое
решение исходной системы устойчиво (и притом асимптотически).
Ответ: Устойчиво.
(
§16. Устойчивость по первому приближению
245
Пример 2. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы
у\ = ^(0,01^) + sin—,
1/2 = 1 + arcsin — — ^/1 + 19,98у2.
Решение. Легко вычислить, что в данном случае
“
/0,01
1/я\
1/7Г -9,99 J
Собственные значения этой матрицы Ах ~ 0,02, А2 ~ —10.
Приближенные вычисления проводились с помощью микрокаль
кулятора. Точность вычисления должна гарантировать правильность зна
ков действительных частей собственных значений. Поскольку одно из соб
ственных значений положительно, то нулевое решение исходной системы
неустойчиво.
Ответ: Неустойчиво.
Нахождение собственных значений матрицы А сводится к нахождению
корней многочлена вида
Ап + О1 А"”1 + а2А"“2 + ... + ап.
(16.2)
Вопрос о знаках действительных частей корней многочлена (16.2) ино
гда удобно решать без нахождения самих корней. Для этого используется
матрица Гурвица этого многочлена
н=
/ «1
а0
“-1
О-2
•
а2-п
а3
а2
а1
а0
•
^4—п
а5
“4
°з
а2
•
®6-п
Gy
а6
«5
а4
•
а8-п
а2п-2
а2п-3
°2п-4
•
an
( а2п-1
•
\
/
в которой а0 = 1, а^ а2,. ■ ■, ап — коэффициенты многочлена (16.2), ак — 0
при к < 0 и к > п.
Если все главные миноры матрицы Н окажутся положительными, то со
гласно критерию Рауса—Гурвица все корни многочлена (16.2) будут иметь
отрицательную действительную часть. Нулевое решение соответствующей
системы (16.1) в таком случае будет, следовательно, устойчивым (и притом
асимптотически).
§16. Устойчивость по первому приближению
246
Если же хоть один главный минор матрицы Н является неположитель
ным, то не все корни многочлена (16.2) будут иметь отрицательную дей
ствительную часть. При этом возможно, что ни один из корней не имеет
и положительной действительной части, так что вопрос об устойчивости
нулевого решения системы (16.1) остается открытым. (В такой ситуации
следует, например, все же попытаться найти собственные значения.)
Пример 3. Исследовать на устойчивость нулевое решение системы
Ж = ~У1 - 2% + 2у3,
?4 = 2yi-4arctg(y1 + y2),
Уз = ~2У1 + 41/2 - ^Уз-
Решение. Матрица системы первого приближения в данном случае
имеет вид
Находим ее собственные значения:
2
—1 — А
-2
-2
-4 - А
О
-2
4
-3-А
= 0,
откуда А3 + 8А2 + 19А + 32 = 0.
Найти корни этого уравнения затруднительно. Запишем соответствую
щую матрицу Гурвица:
/ 8 1 0\
Я = I 32 19 8 1.
\ 0 0 32 /
Ее главные миноры
8
> о,
8 1
32 19
8 1 0
32 19 8
0 0 32
>0,
поэтому все собственные значения будут иметь отрицательную действи
тельную часть.
Ответ: Устойчиво.
§16. 'Устойчивость по первому приближению
247
Задания
В каждом примере убедитесь, что система имеет нулевое решение. Со
ставьте ее систему первого приближения. По собственным значениям мат
рицы системы первого приближения сделайте вывод об устойчивости или
неустойчивости нулевого решения исходной системы.
При нахождении собственных значений вычисления точными могут не
получаться, в этом случае с надлежащей точностью делайте приближенные
вычисления с помощью микрокалькулятора или таблиц значений. В неко
торых примерах целесообразно использовать критерий Рауса - Гурвица.
В ответе к каждому примеру укажите:
а) матрицу системы первого приближения;
б) устойчиво или неустойчиво нулевое решение исходной системы.
у{ = -4^ + 32т/2,
i/2 = 1 + 81/2- е“2и;
2>. у'1 = 2sm(i/I6yi) + 1п(1 - у2),
^2 = 41J/1 - 2^уг;
3)
у\ = 29у2 - 15i/i + 1/1 + 21/з - 1,
< 1/2 = 18j/2 - 9yi + tg(y| + у3),
i/з = 14yi - 29у2 - 2у3;
4)
f у{ = 4arcsin(2y2 + 2у3 - yi),
У2 = -4У1 - У2,
k Уз = ЗзЬу2- 4yi - уз(1 + у2).
2-
«. У1 = sin(3yi)+tg(9y2),
У2 = У1 +1п(1 + Пуг);
2>. ' у; = 20* - 6у2 - 1,
У2 = (1 + У1~
3)
у^ -1;
’ у{ = -2у! - 5у2 - 5уз,
у' = 3 - е2»1 - е»2 - е3»3,
Уз = 2у2 + 3arcsin(y2 + у3);
§16. Устойчивость по первому приближению
248
4)
у'1 = yi + 8(у3 -У1- Уг) + У2 - 1,
{
У2 = 2th(j/3-№) - 3yi,
Уз = 5(уг - У1) + sh(yi + у2уз)-
3.
1)
yi =-4yi 4-sh(8y2),
у^ = sin(8yi) 4- 8j/2;
2)
3/1 = 9й - cos з/1 - З3/2,
3/2 = ln(l +1,53/J - 23/2;
3)
Ух = 0 + 4(з/1 + 4з/2 - 2з/3) - 1,
{
У2 = Уз ~2 arcsin(3/i + 3/2 + 23/3),
3/3 = 2yi + 4j/2 - Зу3;
4)
у{ = -4j/i + 53/2 - з/з,
{
Уг = 2(-/1 + У2-У1 ~ сЬз/з),
З/з = 3 arctg(j/i + 3/2) - 83/2.
4-
1)
yj = llyi 4-arcsin(3y2),
3/2 = л/1 + 63/1 + З3/2 - 1;
2)
f yi = 2VH3/1 + 31п(1 4- Зуг),
{У2 = “5У1 ~ 2^Уг',
3)
У1 = tg(yi 4- У2 4- Уз) + sin(2yi + 3/2),
{
Уг = -7yi - 4У2 - 2у3,
у' = 2 - е4»1 - е2(й+и);
4)
у{ = yi - 3sh(yi + у2 + Уз),
{
Уг = ЗУ1 - 4(у2 + уз),
Уз = 4yi + 7у2 + Зу3(1 4- 2уг).
5.
1)
yi = 5yi 4- Зу2,
у2 = 1 4- 7yi - ^1 - 27у2;
2)
yj = 1,44’1 — cos yi — 0,4уг,
з/2 = 1п(14-0,4(у1-у2));
§16. Устойчивость по первому приближению
3)
| У1 = “4у1 ~ 2У2 ~ УЗ,
j З/г = 23/1-4tg(yi+у2 + у3),
I з/з = 7у2 + Зуз - yi;
4)
' у{ = sin(5yi - 13у2 - З/з),
* У2 = 4У1 - lCh/2 - arctg(yiy2 + уз),
< Уз = 13i/2 - 6shyi + ch7/3 - 71+Уз-
6.
1)
< У1=У1У2~У1,
7/2 = sin(7yi) - 11у2;
2)
/ yj = 1,32^-(1 + у2)8 + 7у2,
7/2 = 0,4т/1 - 0,6у2;
3)
' У1= Уз~ 4th(y; + у2 + у3),
’ У2 = Зуз - 4т/1 - Зу2,
. Уз = 5У1 -У2~ ^/1 + 2(у2 + у3) + 1;
4)
3/1 = 1п(1 + sin^ + у2)) + 2у3,
7/2 = arctg(7/i - Т/2 + 7/|),
Уз = -4у! - 2у2 - 4shy3.
7.
1)
y'i = yi + л/1 - 4у2 - 1,
7/2 = ^/1 + 8т/1 - Зу2 - 1;
2)
у{ = 2\/13yi - Smy2 - COST/2 + 1,
у'2 = 53yi - 2^/477/35
3)
у\ = &У2 - 2arcsin(2yi + у3),
' У2 = 2уз~4 th(yi +у2 + уз),
, Уз = 63/1 -У2~ Зу3;
4)
' 3/1 = 8yi + 5з/2 + 4sh(y2 + Уз),
' З/г = 23/з - 71п(1+ у!+у2+ у3),
, Уз = -бЗ/1 - 7у2 - 4у3.
8.
1)
у( = Зу! + 10у2,
У2 = -2shyi - 5у2;
249
§16. Устойчивость по первому приближению
250
2)
!/1 = 2,25»‘ + (1-0,2!й)5-2,
Й = 0,7j/i - 0,8^;
3)
Г 2/1 = 1п(1 + 3/2 + Уз),
<2/2 = 2уз -f- cos з/i — е3^1+й+и\
( Уз = У1 + th(3/i + 3/2) + sin2 2/3;
4)
[ З/'i = -23/1 + Зу2 - 4уз,
\ 3/2 = 3/1 - 4 arcsin(yi + 2/2 + З/з),
( Уз = 43/1 + 3/2 + У1 +2(2/2 +З/з) - Ch 2/3.
9.
1)
34 = 5(2/1 + 3/2),
У2 = \/1 + 22/1 4- 92/2 - cos 2/2;
2)
/ 2/^1,8^-е"’,
3/2 = 1,5з/1 - 1,22/2!
3)
| У1 = 4arcsin(2/2 + З/з — 3/1(1 + З/г)),
< Ж = Зу3 - 2lfy - yi,
( З/з = 22/1 - 3(2/2 + Уз);
4)
Г у' = 21п(1 4- yi + уг + Уз) + ain(2/2 4- 2/з)>
S Уг = 2Уз - 5sh(2/i + у2 + Уз),
I Уз = “У? - Уг - 2у3-
10.
1)
yi = 62/1 4- 202/2,
У2 = 1 - 1/1 + 23/1 - 22/2;
2)
2/i = 2\/б2/1 - 5 sin 2/2,
j/2 = 51n(l +2/1) - 2v^152/2;
3)
Г i/i = 3 - е4»1 - е3» - е»,
< Уг = 4У1 -Зуг- 2у3,
( Уз = 3yi - 22/з(1 4- 2/2);
4)
Г У1 = — 9yi - 5г/г + Уз,
< 2/г = 12sh2/i + 7th2/2 + 5ch(2/i 4- У2) - 2у3 - 5,
I Уз = ~7У1 - 4У2 + arcsin(2/2 + Уз)-
§16. Устойчивость по первому приближению
И. 1)
2/1 = 3yi + arctg уг,
2/£ = 6 sin(22/i) + 7j/2;
3/i = 1.42»1 - ^1 + з/2,
2)
2/2 = У1 - °, ЧУК
' У1 = 7yi + 4з/3 + 1п(1 + з/2 + з/з),
3)
у2 = 2еи — 8еИ1+уз + 6 cos 3/2,
<
. Уз = “ПУ1 - У2 - 9з/3;
4)
' j/i = 3sh(j/i -3/2) + 4j/3,
1 yi = У1 - 2 arcsin(3/i + 3/2) - 4з/3,
„ Уз = 4уг - З3/1 - 2з/3.
12.
1)
2/i = 2 cos 2/1 - \/1 + 42/1 - ей,
2/i = 1З2/1 + 4i/2;
2)
2/i = 1,82»- 1 + 1,51/2,
2/2 = -2/1 - 1,22/2;
3)
2/i = 22/2 - 4з/1 - З3/3,
{
yi = 2sh(3/3 - 3/2) - j/i (3/2 + ch 3/2),
2/3 = 4j/i - З3/2 + 23/3;
4)
2/i = 22/3 -31n(l + 2/1 +3/2),
- 2/i = arcsin(3/i - 3/3),
Уз = У2 - Зз/3.
13. 1)
3/i = 3sin(22/i) + ln(l - 2/2),
3/i = -П3/1 - 2th(23/2);
2)
yi = 2^1/1 + ^/1 + 83/2 - cos 3/2,
3/2 = -15з/1 - 2^2;
3)
' У1 = -У1 - 41/2 - Уз,
< 2/2 = 4 arcsin(2/i - У2 - Уз),
„ Уз = 3(У2 - У1) - 2з/3;
251
§16. Устойчивость по первому приближению
252
4)
yi =Уз~ 41n(l + sh(yx + 2/2)),
{
у' = ея+и+я + arctg(yi - 2/3) — ch 2/1,
Уз = У1 + 2(У2 - Уз) + УхУг14. 1)
У1! = 5г/2 ~ е*1 + ch 2/1,
{
У2 = 3ji2-ln(l + yi);
2)
/ yi = 112^ - (1 + у2)6,
Уг = 4j/i - 4,8у2;
3)
У1 = Зуз - 2sin(yx + у2),
{
Уг = tg(yi -У2~ 2у3) - Уь
Уз = -У1 - 4уз;
4)
yi = 2 arcsin(y3 - у2) - Зух,
{
Уг = 4уз - 3yi - 2у2,
2/з = 2у3 - 4arctg(yi + у2) + Уг-
15. 1)
Г yi = -2sh(2yi) - у2)
( yi = 5sin(2yi) + 2y2;
2)
Г yi = 4й - cos(2y2) + зт(2уг),
[ yi = —1,4y2 — ух;
3)
yi = 1 - е“1+и+и,
{
yi = Ух - И + 2ух - 4у3 4-1 + у2,
Уз = Уз - 8ух - 6у2;
4)
yi = 1п(1 - у2 - уз) - Зух,
{
yi = 2ух - 4у2 - Зуз,
Уз = 8У1 ~ Зуг - 2уз(сЬу3 + у3).
16. 1)
yi = v'1 + 2уг - cos у2 - 5ух,
yi = Зу2 - 17ух;
2)
f yi = гх/тбух - 4 sin у2,
[ yi = 17 arcsin ух — 2У17у2;
§16. Устойчивость по первому приближению
3)
У'1 = Зуз - 4ln(l + yi + у2 + Уз),
’ yi = 6yi + 7у2 + 2у3,
. Уз = У2 - 7th(yi + з/2);
4)
' yi = 3 - е2"1 - е3»2 - е4й,
- У2 = 8уз~(1 + У1+У2)4 + 1,
, Уз = У1 - 4У2 - Уз17. 1)
yi = cosy2 - ^1 + 6yb
У2 = 21n(l + 2yi) - Зу2;
2)
/ yi = 1(F - 5у2 - 1,
У^ = У1 - 2, Зу2;
3)
| yi = 2 sin(y2 + 2 sin у3) - 3yi,
\ У2 = 4(у3 - у2) - yi(chу! + уз),
( Уз = -У1 ~ 2уг - 4у3;
4)
' yi =1п(1 + у1+у2-у3),
1 yi = 2у3 - 4 arcsin(yi + у2) + arctgу2,
yi = 2 shyi - th(3yi + у2 + уз)18. 1)
yi = -3yi - 5у2,
yi = ln(l + yj + i/l + 2у2 - cosy2;
2)
У'1 = Уг + б2’1 - (1 + У?)3,
yi = -3,6у2 - 13yi;
3)
yi = 2sin(y3 - y2 - sinyi),
1 yi = ~4(yi + У2) - Зу3,
. Уз = 2У1 + Зу2 - уз;
4)
' yi = 2shy2 -31n(l + yi +у2),
- yi = 7yi + у2 + 2у3,
yi = arcsin(yi + у2 + yj) - 2у3.
19.
1)
yi = \/1 + 6yi - 101/1 + 4у2 + 9,
yi = lly2-sinyi;
253
254
§16. УстоЛчивость по первому приближению
Г 34 = 2^2/1-210(1 + 2^),
2)
1 34 — 15 arcsin J/1 — 2\А5з/г;
3)
Г з/i = сЬуз-е3ш-2з/2,
< 14 = 4У1 - Зуг - Уз,
( Уз = Зуг - 2г/1 - Зг/з;
4)
Г yi = sh(2/2 + Уз) + 4 th(2/i + 2/г),
< Уг = “5У1 - 4уг - Зг/з,
( Уз = 2У1 - 3tg(2/i + 2/2 + Уз)-
20.
24 = е4»2 - ^/1 + 142/1,
1)
Уг = 8У1 - Зуг;
2)
/ з4 =43/2 + 2^- 1,
24 = 41n(l+yi - 2/г);
’ yi = 5?/2 - 7sin(2/i +2/з),
3)
-
2/г = 4sh(j/2 - 2/1) - 32/з(1 + Уг),
. Уз = 6tg(2/i + 2/з) - 5з/2;
4)
yi = З2/3 + 4arcsin(2/2 - yi),
2/i = cos 2/1 - ch 2/2 - 42/1 + y2 + Уз,
Уз = (1 + У2-У1)4-е’и-
21.
1)
2)
yi = 63/2 + i/l - 82/1 - ch 2/1,
24 = \/l - 61/1 - ^/1 - 43/2;
Г 34 = 10^ - (1+-3/2)3,
l Уг = 7У1 - 4,63/2;
3)
| yi = tg(y3 - 3/2) + cos 2/1 - 1,
< 14 = 6yi + З3/2 + 2/3,
I yj = sin(2/2 - 2/1 - 23/3);
4)
2/i = ln(l + 22/2 + З3/3 - sin 3/1),
< У2 = 4 arctg(j/i — 3/2 — Уз),
. Уз = -3yi - 23/2 - 4j/3.
§16. Устойчивость по первому приближению
22>
i)
I Ух = ^1 + 4з/1 + 83/2 - cos ух,
[ 2/2 = -5thyi - 6tgj/2;
2)
3)
24 = 2\/3(jyi + ln(l + 10j/2) + у2,
' Уг = У1 + 1п(1 - 122/0 - 2^16502;
' Ух = У2- 3sin(yi +у2),
< у2 = arcsxn(y3 - у2 - у%) + 2ух,
. Уз = 2(У1 + Уг) - Уз(1 + 3/2 + 2/1);
4)
3/5 = 1- е^(У1+У2+У1)
" Уг = 2У1 - (1 + 3/2 + Уз)3 + 1,
. Уз = 2(i/2 - 3/1) - З3/3.
23.
1)
i/i = ^1 - 4yi + ей - 2 ch ух,
у’1 = 1п(1 + 4у2) — 10ух;
2)
24 = 2>/7з/1 - 5 sin уг,
3/2 = 63/1 - 2^зй;
3)
| 3/1 = 3?/з - 4 arcsin(j/i + 3/2),
S З/2 = 2(3/1 - 3/з)(1 + Уг) ~ ^Уг,
[ Уз = 4(з/1 - З/з) + З3/2;
4)
Ух = tg(yi - У2) + 2з/з,
' 3/2 = 23/i + 3th(3/i + 3/2),
Уз = Уг~ Зух - 4у3.
24. 1)
3/1 = 2уг - З1/1,
3/2 = VI + 2з/2 - 83/1 - cos(23/i);
2)
3)
3/1 = (7г2 + 29) sin3/1 - 6I3/2,
^ = (7г2 - 49) sinз/2 + 5sh(53/i);
' 2/i = 21n(l + 3/3 - 2(з/! + з/2)),
< 3/i = 1 - е4"2 - 3 arctg(3/i + 3/3),
2/3 = sin(sin(3/i - 3/3)) + 2з/2;
265
256
§16. Устойчивость по первому приближению
4)
[yi = 2sin(y3 - 3/2) - 6yb
< yi = 8»1 + 2уг — 4уз,
I З/з = “3У1 ~ У2-
25. 1)
yi = 5sinyi + ln(l + 4y2),
{
3/2 = -5yi - Зу2;
2)
/ yi = (-17^103-^3)3/! -18tgyj,
' 3/2 = (ISv® 4- 2)yi + (19^103 - ^3)уг;
' yi = 2arcsin(y3 - у2) - 3yb
3)
* З/2 =-3yi-2(у2 + уз),
. З/з = 2(yi + 2у2) - Зу3;
4)
yi = 2eV2+V3 - у3 - cosyi - 1,
{
yi = -буг - \/1 + 4(у1 + уз) + chyi,
yi = 3yi + 4у2.
Ответы
2)J
б)
неустойчиво;
-15
-9
(
2-
Ч
29
18
а)
41
б)
устойчиво;
1 \
11
б)
14 -29 -2 /
неустойчиво;
■>
(? и)'
б)
неустойчиво;
-4 8
8 \
-4-1
0 1,
-4 3 -1 /
(
б)
6
б)
устойчиво;
б)
—4 —3 4\
-3 -2 2 ,
-4
5 0 /
устойчиво.
а)
(21п3 ^2 Y
б)
неустойчиво;
-4 5 -1 \
-1 1
0 ,
3-5
0 /
(
0 5
3 /
неустойчиво;
неустойчиво;
2
8 -4 \
-2 -2 -3 ,
2 4 -3 /
(
-6 /
б)
(
з- ч а) ("51)’
устойчиво.
/ 2 In 20 —6 \
2)
-2 -5 -5 \
-2 -1 -3 I,
б)
-2^32
2)
(
§16. Устойчивость по первому приближению
б)
4.
1)
а)
б)
устойчиво;
f 11 3
\ 3 3 7’
неустойчиво;
б)
2)
а)
б)
/
3)
а)
б)
5.
1)
а)
б)
3)
а)
б)
6.
1)
а)
б)
3)
а)
6)
7.
1)
а)
б)
3)
а)
б)
8.
1)
а)
6)
3
2
1 \
-7 -4 -2 ,
\ -4 -2 -2 /
устойчиво;
4)
/ 5 Э \
\ 7 9 7’
неустойчиво;
2)
/ -4 -2 -1 \
1-2 -4 -4 ,
\ -1
7
3 /
устойчиво;
f— 1
° А
X 7 -11 /’
устойчиво;
/ -4 -4 -3 \
-4-3
5 ,
У 5 -2 -1 /
устойчиво;
/ 1 -2 \
\ 4 -3 /
устойчиво;
/ -4
8 -2 \
-4 -4 -2 ,
У 6 -1 -3 /
устойчиво;
f 3 10
\ —2 —5 /’
устойчиво;
а)
б)
а)
6)
а)
б)
9.
1)
а)
б)
°
1
° \
-3 -3 -1 ,
\ 2
1
0 /
устойчиво;
/ 5 5 \
X 1 9 7’
неустойчиво;
/ 2711
9
\ -5 -2^37
устойчиво;
/ -2 -3 -3 1
3-4-4
\ 4
7
3^
устойчиво.
/2Ы,2 -0,4
У 0,4
-0,4
устойчиво;
/
4)
а)
б)
2)
а)
б)
4)
2)
5 -13 -1
4 -10 -1
\ -6
13
0
устойчиво.
/21п1,3 -1
0,4
-0,6
устойчиво;
б)
/1
1
2 >
1-10
У -4 -2 -4 у
устойчиво.
а)
/ 2^13
-1
V 53
-2^47
б)
устойчиво;
а)
/
4)
а)
б)
2)
а)
б)
/
3)
устойчиво.
4)
а)
б)
2)
а)
б)
8
9
4 1
-7 -7 -5
У -6 -7 -4 у
неустойчиво.
/21п1,5 -1
У 0,7
-0,8
неустойчиво;
/ -2
3-4 1
-3 -4 -4
У 4
2
1 у
устойчиво.
/21л1,8 -1
\ 1,5
-1,2
устойчиво;
257
§16. Устойчивость по первому приближению
258
б)
-4
4
4 \
-1-2
3 ,
2 -3 -3 /
устойчиво;
*)
/ -16 _
20
[
2 \
/•
б)
неустойчиво;
б)
-4 -3 -1 \
4 -3 -2 ,
3
0 -2 /
устойчиво;
а)
(12 0’
б)
неустойчиво;
б)
7 1
5 \
-8 0 -6 ,
-11 -1 -9 /
неустойчиво;
а)
(13 “J)’
б)
неустойчиво;
б)
232
-5 -5 -3
0 -1 -2
устойчиво.
б)
~5
5
-2/15
устойчиво;
б)
(-9 -51
12
7 -2
-7 -3
1
неустойчиво.
(
Ю-
1)
(
2)
(
Ч
(
12‘
Х>
-4
2 -3 \
-1-2
2 ,
4-3 2 /
(
13-
1)
б)
устойчиво;
а)
(_п
2)
б)
4)
2)
б)
4)
ча)
(^0’
б)
неустойчиво;
б)
-2-2
3 \
0 -1 -2 ,
-1
0 -4 /
устойчиво;
а)
б)
4)
устойчиво;
(
а)
б)
неустойчиво;
(
14-
а)
-1)’
-1 -4 -1 \
4 -4 -4 ,
-3 3 -2 /
б)
а)
б)
2)
б)
, /21н1,4 -0,5
аЦ
1
-0,'
а)
б)
2)
а)
б)
4)
а)
б)
устойчиво;
/3-34
I -1 -2 -4
\ -3
4-2
устойчиво.
/21н1,8 1,5
\ -1
-1,2
устойчиво;
-3 -3
2
1
0 -1
0
1 -3
устойчиво.
2/14
4
-15 -2/53
устойчиво;
-4 -4 1
2 1
0
1
2-2
устойчиво.
(
/21П11 -6
\
4
-4,8
устойчиво;
-3 -2 2 \
-3-2 4
-4-3 2/
устойчиво.
(
§16. Устойчивость по первому приближению
15.
1)
3)
а)
( “4 4
^10
2 /
б)
устойчиво;
а)
/ —1 —1 —1 \
1
0
1
2 ,
\ -8 -6
1 /
неустойчиво;
6)
16.
1)
3)
17.
1)
3)
18.
1)
3)
а)
V -17 3 )’
б)
устойчиво;
б)
/ -4 -4 -1 \
6
7
2 ,
\ -7 -6
0 /
неустойчиво;
а)
/ —2
0 \
Л -з)’
б)
устойчиво;
а)
б)
/ -3
2
4\
-1-4
4 ,
\ -1 -2 -4 /
устойчиво;
а)
б)
а)
а)
б)
19.
1)
а)
б)
3)
20.
1)
4)
а)
'
2Ь2
2
У -1 -1,4
б)
устойчиво;
б)
/ -3 -1 -1 \
2-4-3
\ 8 -3 -2 /
устойчиво.
б)
устойчиво;
а)
У
4)
a)
б)
2)
17
-2-/17
/ -2 -3 -4 \
I -4 -4
8
\ 1 -4 -1 /
устойчиво.
/ Ы0 -5 \
аЦ 1
-2,3 /
б)
неустойчиво;
б)
1
1 -1 \
-4 -3
2
\ -1 -1 -1 /
устойчиво.
( -3 -5 \
^11/
aj
f 21п6
1 А
_13 _3 6 J,
устойчиво;
б)
устойчиво;
/ -2 -2
2 \
1 -4 -4 -3 ,
\ 2
3 -1 /
устойчиво;
/
3 -20 \
\ -1
11 /’
/
4)
4)
.
б)
а)
Л7
Л
Л -3 л
6)
неустойчиво;
а)
б)
/ -3 -1
0 \
1
7
1
2
\ 1
1 -2 /
устойчиво.
.
/ 2^58
а)
J
15
б)
неустойчиво;
/ -3 -2
0 \
I
4 -3 -1 ,
\ -2
3 -3 /
устойчиво;
а)
2)
4)
a)
б)
2)
-4
-2^15
устойчиво;
/ 4
5
1 \
I -5 -4 -3
\ -1 -3
0 /
неустойчиво.
а)
( 6Ь2 4 1
4
—4 /
б)
неустойчиво;
259
§16. Устойчивость по первому приближению
260
з)
21.
1)
3)
22.
1)
/ -7
5 -7 \
-4
4 -3 ,
\ 6 —5
6 У
б)
неустойчиво;
а)
/ -4 5 \
^-22/
6)
устойчиво;
а)
/
I
б)
\ -1
1 -2 /
неустойчиво;
б)
\ -3 -2 -4 /
устойчиво.
\ -5 -6
устойчиво;
б)
-11 -2^165
устойчиво;
а)
б)
3)
а)
1)
3)
24.
1)
3)
25.
1)
2)
3)
0 —1
6
3
2)
1 \
1 ,
а)
б)
неустойчиво;
а)
/ -4 -4
3 \
2 -4 -2 ,
\ 4
3 -4 У
устойчиво;
а)
/ —3 2 \
-4 1 У’
б)
устойчиво;
а)
а)
/ -4 -4
2 \
-3 -4 -3 ,
\ 1
2 -1 У
4)
4)
а)
а)
б)
2)
j
устойчиво.
/ 21П10 -3 А
аЦ
7
-4,6 )'
б)
/ -3 -2
0\
1
2-1
1 ,
\ 2
2 -1 У
б)
4)
б)
устойчиво;
f -2 П
V -10 4 У’
б)
23.
/ -4 4 3 \
-4 1 1 ,
\ -4 4 1 /
а)
J
б)
неустойчиво;
/ -1
2
3\
4 -4 -4 ,
/ -4 -4 -4 \
1
2 -3 -3 ,
\ -2
2 -3 У
устойчиво.
РЛ
“5
6
-2^20 У’
устойчиво;
1 -1
2 \
5
3
0 ,
\ -3
1 -4 У
/
4)
а)
б)
.
.
б)
4)
а)
неустойчиво.
/ тг2 + 29
-61
\
25
тг2 — 49
устойчиво;
/ -6 -2
2 \
8
2 -4 ,
\ -3 -1
о У
б)
устойчиво;
а)
/5
4
К —5 —3 У’
б)
неустойчиво;
а)
/ -17-У103-\/23
-18
\
\ 1вда+2
19-У103-л/$3 У’
б)
устойчиво;
а)
/ —3 —2
2 \
1 -3 -2 -2 ,
\ 2
4 —3 У
б)
устойчиво;
б)
4)
устойчиво.
а)
/ 0
2
1 \
1-2 -5 -2 ),
\ 3
4
0 У
б)
устойчиво.
§17. Фазовая плоскость
Пусть дана линейная однородная система
Г У1 — апУ1 + а12У1>
I У2 = а21У1 + а22У2’
(17 1)
где ап, а12, а21, а22 — действительные числа, ух = ^(i), У2 = УгМ — иско
мые функции, —оо < х < оо.
Каждому решению системы (17.1) отвечает ее интегральная кривая в
трехмерном пространстве (х,уг,у2). Плоскость (y1;i/2) называется фазо
вой плоскостью системы (17.1), а проекция любой интегральной кривой
на фазовую плоскость называется фазовой траекторией системы (17.1).
Важной характеристикой системы (17.1) является картина расположения
совокупности всех ее фазовых траекторий, которую мы в дальнейшем бу
дем называть фазовой картиной.
Начало координат на фазовой плоскости всегда будет отдельной фазо
вой траекторией (отвечающей нулевому решению). В зависимости от
свойств матрицы Л = I 011 °12 J возможны девять различных фазовых
\ а21 а22 /
картин. В приведенной ниже таблице дана соответствующая классификаг
ция и описаны фазовые траектории, отличные от начала координат, причем
через An Л2 обозначены собственные значения матрицы А.
Таблица
Классификация и описание фазовых картин
Свойства
матрицы А
1.
sign Aj =
= — sign А2
Название
фазовой
картины
седло
Схематический
рисунок
и
261
Краткие пояснения
Вначале следует провести две
прямые (сепаратрисы) через на
чало координат в направлении
собственных векторов. Фазовы
ми траекториями будут четыре
семейства кривых типа ветвей
гипербол, а также половинки се
паратрис, разграниченные нача
лом координат
262
§17. Фазовая плоскость
Продолжение таблицы
2.
sign Aj =
= Я1^ц А2,
\ / ^2
узел
Вначале следует провести две се
паратрисы аналогично предыду
щему случаю. Далее следует по
строить два семейства кривых
типа парабол, касающихся в наг
чале координат той сепаратри
сы, которой отвечает меньшее
по модулю собственное значение.
Фазовыми траекториями будут
части (половинки) сепаратрис и
указанных кривых, разграничен
ные началом координат
фокус
3.
Фазовые траектории образуют
семейство кривых типа логариф
мических спиралей
^2
^ ^1,2 ^ 0,
^ ^1,2 ^ 0
/ / J / У'
\Wv
центр
4.
Фазовые траектории образуют
семейство эллипсов, похожих на
концентрические окружности с
центром в начале координат
'2
1^\,2 “ 0,
Ьн ^1,2 / 0
>’1
5.
А, = 0,
^/0
парал
лельные
полупря
мые
1
'2
к'
Вначале следует провести пря
мую (сепаратрису) через нача
ло координат в направлении соб
ственного вектора, которому от
вечает нулевое собственное зна
чение. Далее следует провести
семейство прямых, параллель
ных собственному вектору, ко
торому отвечает ненулевое соб
ственное значение. Фазовыми
траекториями будут всевозмож
ные точки на сепаратрисе, а
также половинки параллельных
прямых, разграниченные сепара
трисой
§17. Фазовая плоскость
6- -4 = A2/0; дикритисуществуют ческий
два линейно узел
независимых
собственных
вектора
7. А1 = Л2/0; вырож
существует
денный
одно
соб узел
ственное
направление
8. Aj — Л2—Oj парал
существует
лельные
одно
соб прямые
ственное
направление
9. Aj = Л2 — 0; всевоз
существует
можные
два линейно точки
независимых
собственных
вектора
’2
263
Продолжение таблицы
Фазовыми траекториями будут
всевозможные полупрямые, вы
ходящие из начала координат
Вначале следует провести пря
мую (сепаратрису) через нача
ло координат в направлении соб
ственного вектора. Далее следу
ет провести семейство характер
ных кривых, касающихся в нача
ле координат сепаратрисы и сим
метричных относительно нача
ла координат. Фазовыми траек
ториями будут части (половин
ки) сепаратрис и кривых, раз
граниченные началом координат
Следует провести сепаратрису
'2
аналогично предыдущему слу
ЖЖ
чаю. Фазовыми траекториями
будут всевозможные точки на се
паратрисе, а также всевозмож
ные прямые, параллельные сепа
/////—у' ратрисе
'2
'2
Фазовыми траекториями будут
все точки фазовой плоскости
§17. Фазовая плоскость
264
Задания
Для данных систем установите тип фазовых картин и изобразите их:
1.
1)
Г 14 = -21/1 4- 2у2,
2)
k 14 = -l/i + 4?/2;
14 = 71/1 + З1/2;
3)
Г 14 = 31/1 + 51/2,
4)
(14 = yi + 7й;
2.
1)
Г 14 = -31/1,
(14 = 31/1 -101/2,
2)
1)
Г 14 = -91/1 - 31/2,
4)
Г 14 = ~У1 + 21/2,
| 14 = 31/1-
2)
f 14 = 61/1 - 31/2,
1 14 = 22/1 - 2/2;
4)
( У1=У1+ У2,
14 = 31/1 - 31/2;
з)
Г 14 = -51/1 + 2У2,
14 = “l/i - 1/2"
14 = -151/1 + 81/2;
4.
1)
( у{ = 9yi + 51/2,
2)
Г 1/1 = 9i/i + 7у2,
4)
1)
\ Ж = У1 + 491/2,
2)
f 14 = -51/1 + 51/2,
4)
1)
Г 14 = -31/1 +1/2,
2)
( 14 = 51/1 - 1/2,
1 14 = 1/1 + З2/2;
Г 14 = 31/2,
14 = -l/i + *У2\
14 = 21/г;
з)
( 14 = 31/1,
( 14 = 41/1 + 7У2-
14 = -51/1 +1/2;
6.
( 14 = -41/1 - 8№>
( 24 = -31/1 + 61/2;
14 = -1/1 + 151/г;
3)
( 14 = 31/1,
14 = 51д.
14 = 31/1 + 5у2;
5.
( 14 = — 42/1 + 21/2,
14 = -1251/1 + 141/г;
1/2 = -51/1 - 1/г;
3)
Г 14 = 5i/i + у2,
1 14 = 121Д 4- 91/2;
( 14 = 1/1 - 31/2!
3.
Г 14 = 2j/i - 51/2,
14 = 61/1 + 41/2-
( 14 = -Зуг;
з)
Г 14 = 21/1 +1/2,
4)
( 14 = -21/1 + 21/2,
} 14 = -651/1 - 81/2.
§17. Фазовая плоскость
7.
к
у'1 = 2yi,
У2 = 2уг;
4)
ь
У1 = 4^/1 + 2у2,
У2 = -2yi - у2;
у'1 = 5yi + Зу2,
У2 = 4yi + 9у2;
2)
У1 = 2yi - 4у2,
= У1 - 2у2,
4)
у'1 = 7У1 + У2,
У2 = 5yi + Зу2;
2)
У1 = У1 + 2у2,
-65yi + 7у2;
У2
4)
у'1 — 4yi +у2,
У2 = 11У1 - &У2]
2)
У1 = 9yi + 2у2,
У2 — 62/1 + 5у2;
4)
У1 = 17yi - 100у2,
У2 = У1 ~ Зуг;
2)
у'1 = -4yi + 7у2,
4)
1)
3)
4
2)
265
4
к
*
4
к
’
8.
1)
к
'
3)
<
*
9.
1)
3)
4
4
к
10.
1)
3)
11.
1)
3)
12.
1)
3)
13.
1)
4
4
4
4
'
4
к
У2 = У1 + 2у2;
2)
к
у'1 — ~У1>
У2 = -У2;
4)
к
у'1 = 15yi + Зу2,
У2 = -5yi - у2;
у'1 = 5yi + 2у2,
У2 = —9yi - б2/2;
2)
4
4
к
»
4
4
'
у'1 = 2yi + 109у2,
У2 — ~У1 + 8у2;
У1 = У1 - 12у2,
У2 = З2/1 + 13у2.
42/1 +
13у2,
к
У2 = У1 ~ Вуг;
к
У1 = У1,
У2 = 0.
к
у'1 = У1 + 5у2)
У2 = -5yi - 9у2;
к
У'1 = 4yi + 2у2,
У2 = -101^1 - 14у2
к
у'1 = -4yi + 1011/2,
У2 = -yi - бу2;
4
4
4
4
у'1 = 3yi + 2у2,
4
к.
У2 = У1 + 41/2-
к
у'1 = У1 + 2у2,
У2 = —40yi - 7у2;
4
4
= ~У1 + 2у2,
У2 = буь
у'1
у'1 =
4
4
у'1 = 42/1 + у2,
У2 = ~У1 + 2у2;
у'1 = 4yi + Зу2,
У2 = -У1-
у'1 = 2У1 - У2,
У2 = У1 + 4у2;
266
§17. Фазовая плоскость
3>
l/i = ^У1 + 12^2,
Ж = -2ух + 2у2,
4)
у^ = -18уг-2у2.
У2 = У1 + 71Ы
14.
[ у{ = -4yi 4- 2у2,
1)
1/1 = ~^У1 + З3/2,
2)
У2 = -12yi 4- 6^;
к У2 = ~ЗУ1 + З3/2;
' l/i = -tyi + 2й,
3)
4)
к 1/2 = -41У1 - 41/25
15.
1)
3)
У1 = 7У1 ~ ^У2,
к 1/2 = 5yi - 7уг;
2)
У1 = 13й - 91/2,
4)
1/1 = 4й + 2у2,
1)
<
{
У1 = О,
1/1 = 3yi + 2у2,
{
у^ = -18^ + 3j/2.
l/i
2)
1/2 = 3yi - 3/25
3)
1/1 = 5У1 + 83/2,
1/1 = -8й - У2,
1)
2yi + 2у2,
1/г = ~У1 ~ УЪ
4)
[ 1/1 = 9yi + 2Ьу2,
{1/2 = ~У1 - У2-
1/2 = 9j/2;
17.
1/2 = ^У1 + Зу2.
^ = 2й;
к У2 = 4У1 + У2\
16.
1/1 = II3/1 4- 4у2,
2)
( У1 = ?У1,
<
(3/2 = Туг;
у^ = -13yi + 4у2;
3)
<
1/1 = З3/1 + У2,
4)
1)
3)
l/i = 3j/i 4- Ю3/2,
у'2 = -lOj/i - 17з/г;
2)
У1 = 6^1 - У2,
у^ = -11»1 - 4у2\
З/i = 4уу 4- 87у2,
4)
yi = 4yi - 8у2,
<
У2 = ~У1 + 2з/г;
19.
1)
у{ = 15j/i - 52/2,
{
Уг = %У1 - ^У2-
2)
( У1 = ~бУ1,
<
У2 = 5у1+ 5з/г;
3)
{
у'2 = -27yi + 4у2.
1/2 = 12^1 + 7у2;
18.
l/i = 4yi + З3/2,
З/j = 9з/1 4- 2I3/2,
3/2 = У1 + 5У2;
[У2 = 2У1 + ^У2\
4)
{у[ = -5yi + 2у2,
у'2 = -72yi - 5у2.
267
§17. Фазовая плоскость
20.
1)
Уг = 5?/1 + 5у2,
^2 = Уг + 9у2;
2)
4)
к
У1 = 5У2,
У2 4уг;
2)
к
Уг = ^Уг + Зу2,
У2 = —Зт/1 - бу2;
Уг = -3yi + 173у2,
У2 = -Уг ~ 7уг;
4)
2)
к
Уг = Уг + 9у2,
У2 = -4yi + 13у2;
4)
к
Уг = —3yi + Зу2,
У2 = -27yi - Зу2;
У'г = ~Уг + У2,
У2 — -25yi + 9у2;
2)
4)
к
У'г = 2yi + 2у2,
У2 = -2yi - 2у2;
2)
к
Уг — 5yi - 17у2,
У2 = 2yi - 5у2;
4
к
3)
21.
1)
*
3)
22.
1)
4
3)
23.
1)
3)
24.
1)
4
4
*
= 2yi - 4у2;
к
Уг = -4yi,
У2 = -4у2;
Уг = Уг,
У2 = 7yi + 11у2.
4
к
Уг = 5yi + Зу2,
У2 = 7yi + 9у2;
к
Уг = 2yi + 2у2)
У2 = 9yi - У2-
4
4
= 3yi + 2у2,
У2 = -6yi - 4у2;
У'1
4
'
к
Уг = -4yi + 8у2,
У2 = 8yi + 8у2.
к
Уг = llyi + 3у2,
У2 = 3yi + Зу2;
4
4
'
4)
2)
к
Уг = Уг + Уг,
У2 = -3yi + у2;
4)
к
Уг = 15yi + 25уг,
У2 = ~Уг + 5у2;
к
Уг
к
к
У'г = 17yi 4- 2у2,
У2 = -50yi - Зу2;
4
*
= 6yi + 12уг,
У'г = 3yi + Зуг,
1А = -Зу! + 9у2.
4
*
3)
у'1
4
к
У'г = -4yi + 32у2,
У2 = 2yi + 8у2.
к
У'г = 0,
У2 = 0;
к
Уг = 3yi + 9уг,
У2 = Уг + Пуг-
4
'
25.
1)
*4
3)
*
<
§17. Фазовая плоскость
268
Ответы
1) Седло
2) Вырожденный узел
3) Узел
4) Фокус
§17. Фазовая плоскость
3) Центр
4) Седло
269
270
§17. Фазовая плоскость
3.
1) Вырожденный узел
2) Параллельные полупрямые
3) Седло
4) Параллельные прямые
§17. Фазовая плоскость
1) Вырожденный узел
2) Фокус
3) Узел
4) Параллельные полупрямые
271
§17. Фазовая плоскость
272
5.
1) Вырожденный узел
2) Седло
3) Фокус
4) Узел
§17. Фазовая плоскость
6.
3) Вырожденный узел
4) Фокус
273
274
§17. Фазовая плоскость
7.
1) Дикритический узел
2) Вырожденный узел
3) Параллельные полупрямые
4) Седло
§17. Фазовая плоскость
8.
1) Узел
2) Фокус
3) Параллельные прямые
4) Вырожденный узел
275
§17. Фазовая плоскость
276
9.
1) Узел
2) Седло
3) Фокус
4) Параллельные полупрямые
§17. Фазовая плоскость
10.
1) Седло
2) Вырожденный узел
3) Узел
4) Фокус
277
278
§17. Фазовая плоскость
11.
1) Вырожденный узел
2) Фокус
3) Седло
4) Узел
4) Узел
§17. Фазовая плоскость
3) Параллельные полупрямые
о
КЗ
280
§17. Фазовая плоскость
3) Узел
4) Фокус
281
§17. Фазовая плоскость
Уа
У2
1
Z
2 1
0.5
0.5
II
!
/ ]2 1 / ! F
0.75
Iff
2) Параллельные прямые
1) Седло
У2
У2
-2 \ 1
3) Фокус
nil
II
Г—Г
ГГ“ —
2 III
in “II
У1
—-0.04
4) Узел
1
1^—^-1—У1
-ОДО-------- \OJji.---------
282
§17. Фазовая плоскость
15.
1) Центр
2) Параллельные полупрямые
3) Вырожденный узел
4) Фокус
§17. Фазовая плоскость
16.
1) Седло
2) Параллельные полупрямые
3) Узел
4) Вырожденный узел
283
§17. Фазовая плоскость
284
3) Узел
4) Фокус
§17. Фазовая плоскость
18.
1) Вырожденный узел
2) Седло
3) Фокус
4) Параллельные прямые
285
286
§17. Фазовая плоскость
19.
1) Вырожденный узел
2) Седло
3) Узел
4) Фокус
§17. Фазовая плоскость
287
§17. Фазовая плоскость
288
21.
1) Седло
2) Дикритический узел
3) Фокус
4) Узел
§17. Фазовая плоскость
22.
1) Вырожденный узел
2) Узел
3) Фокус
4) Седло
289
290
§17. Фазовая плоскость
23.
1) Вырожденный узел
2) Параллельные полупрямые
3) Параллельные прямые
4) Седло
§17. Фазовая плоскость
24.
1) Центр
2) Узел
3) Вырожденный узел
4) Седло
291
292
§17. Фазовая плоскость
25.
1) Фокус
2) Всевозможные точки
3) Вырожденный узел
4) Узел
Дополнение.
Линейные интегральные уравнения второго рода
с вырожденными ядрами
В линейном интегральном уравнении второго рода
ь
У^} + A j К(х, t)y(t) dt = f(x)
(17.1)
a
искомой является функция у(х), х G [a,b] (эта же функция от аргумента
t присутствует под знаком интеграла). Функции K(x,t) (ядро уравнения)
и f(x) (правая часть уравнения) заданы, действительный параметр
А в примерах обычно также имеет заданное значение. Все функции непре
рывны.
Ядро уравнения (17.1) называется вырожденным, если оно имеет вид
п
K(x,f) = ^k(^bk(t\
(17.2)
k=l
где п — некоторое натуральное число.
В представлении всякого вырожденного ядра существует некоторый
произвол. Как функции ak(x), так и bk(t), k = 1,п, следует брать линейно
независимыми.
Для решения уравнения (17.1) с ядром (17.2) следует вначале найти
постоянные а^к и ^ по формулам
ь
ajk = У ^(х)ак(х) dx,
ь
^j = У bj(x)f(x)dx,
j,k = l,n.
a
a
Далее следует составить и решить систему линейных алгебраических урав
нений
п
dJ + АЕ ajkdk = ^г
J =
(17-3)
Если эта система несовместна, то уравнение (17.1) не имеет решений.
Если же система (17.3) совместна, то решение уравнения (17.1) записыва
ется по формуле
п
У(х) = f(z) - А^dkak(x},
(17.4)
fc=i
где постоянные dk представляют собой общее решение системы (17.3).
293
294
Дополнение
Пример 1. Решить уравнение
о
= х + 8х2 — 6 cos (тле) .
-2
Решение. Здесь А = 3, п = 2, аг(х) = х2, b^t) = t, 02(1) = соз(тг:г),
b2(t) = 1. Имеем
о
-4,
a'l = J
-2
о
У х cos(tti)
dx = О,
-2
о
о
о21»/11!& = |,
О,
-2
-2
о
88
х(х + 8х2 — бсов(та)) dx =
/
-2
О
58
1 • (т + 8т2 — 6 cos(tti)) dx =
/
-2
Запишем в развернутом виде систему (17.3) для п = 2:
f ^i + A(a11d1 + а124г) = ^1,
( d2 + ^(a21^1 + а22^2) = ^2-
Подставляя соответствующие примеру значения, получим
| dj + 8dj = —,
откуда dT = 8/3, d^ = —2. Теперь пользуемся формулой (17.4):
у = х + 8х2 — 6 соз(тгх) — 3
X.
Ответ: у = х.
Пример 2. Решить уравнение
у^х) — cth 1 /
&
4 '
J ch21
о
_ с^2 х
286
Дополнение
Решение. В этом примере А = — cth 1, n = 1, ^(т) = 1, ^(t) = ch 2t,
ch2 ids = 1.
= thl,
Система (17.3) состоит из одного уравнения d{ — cth 1 • th 1 • d] = 1, не
имеющего решений.
Ответ: Нет решений.
Пример 3. Решить уравнение
't4)y(t) dt = sin(?ri).
Решение. Полагая А = —1/2,
МО = ^4, получаем
^(i) = 1,
j 1 • Idx — 2,
q12
= J 1 • x3 dx = 0,
-i
-1
1
1
0^21 —
a2(i) = x3,
1
1
an =
b^t) = 1,
I X ’ L dx —
J
a22 = j x* • x3 dx = Q,
5
-1
1
1
P^= J1 • sin(7ri) dx = 0,
в2 = У я4 sin(7rx) dx = 0.
-1
Система (17.3) приобретает вид
-1
d, — - 2d, = 0,
1 2 1
{
d2
2 5 ^1—°’
откуда d2 = dj§, ad] — произвольная действительная постоянная. Форму
ла (17.4) приводит к решению
• t \ 1 / .
di 3
у = sinfiri) + - I di + — т
2 \
5
Положим d^/2 — С^иС будет играть роль новой произвольной постоянной.
Ответ: у = sin(7ri) + С(1 +13/5).
Дополнение
296
Задания
Решите уравнения:
1
L.
1) у(х) — У xty(t) dt = 2т;
о
2тг
2) у(х) — — У ( cost cost + сов(Зт) cos(3t)) y(t) dt = sin(2T);
о
3) у^ -
е2 2е_ ! /[ dixy(t)dt =
о
4) У^) + j\lnt + x) y{t) dt = a
1
2.
1) у(х) + — [ cos2 ty(t) dt = 1;
J
о
i;
0
1
3) y(x) + J^ ex t y(t) dt = 0;
о
4) У(х) + /
+ - ) y(t) dt = - + \.
1
7Г
з. 1) y(x) — — I t sin x y(t) dt = 2 sin x]
о
i
2) y(x) - (4>/3 - 6) ^ (x + t) y(t) dt = 0;
2
3) y^ =
e2 _ !
о
i
Г
J ^У^) dt + ex;
о
1
5
1
{x-Vt) y(t) dy = -x + y/x--.
о
/
о
о
Дополнение
2тг
4.
y(t) dt = sini;
1) у(х) -—
О
1
2) y(x) — 4 J x t2y(t) dt = 0;
о
i
3) ^ = \/n J^ + v^)УWdt+1- 6i2;
e
4) y{x) + У (In21 + x)y(t) dt = (e- l)(i + 1).
i
i
5.
1) у(х) + -п У x sin(2Tvt)y(t) dt = со8(2тгх);
о
i
2) y{x) - У kl y^dt = 0;
i
3) y(x) — У (xt + x2)y(t) dt = 0;
4) y{x) + 3 / (In21 + x2)y(t) dt = 3z2 + - + 1.
i
i
6.
1) y(x) -^ x^y^t) dt = e-1;
о
2) y(x) — J ^—sinxsint + t^ y(t) dt = sin(2x);
1
3) y{x) + У (1 + 2x)ty(t) dt = 0;
о
i
4) y(x) — I axccos t у(t) dt =—=^=.
J
yl — X2
287
Дополнение
298
к/2
7.
У sinx costy(t) dt = !■,
о
i
/ (^^ ^^ — 1)) У W di ~ О’
-1
1
-i
х2.
7t/4
8.
1) y(x)- У tgty(t)dt = ctgx;
—тг/4
1
2) y(x) + 6 У (xt — 2x2)y(t') dt = 0;
о
7Г
3) y(x) — 3y xcostyfydt = 0;
х.
-1
2тг
9.
1) у(х)----- / cos х sin t y(t) dt = sin x;
о
i
2) У(х) -в j\l + 2x)ty(t) dt = 0;
о
i
3) y{x) — 2^ Vxty{t) dt = x;
о
i
х2
-i
Дополнение
1
10. 1) у(х) — j (1 + х} cos(2irt)y(t) dt = х\
о
7Г
2 Г
2) у(х) ^— / sin(x + t)y(t) dt = 0;
яJ
о
i
о
2
-2
тг/4
11. 1) y(x) — j tg ty(t)dt = cos2i;
о
7Г
2) y(x) — — I cos(i — t)y(t) dt = 0;
— 7Г
1
У (1 — i2)j/(t) dt = 0;
о
i
о
i
12. 1) y(x) — J i(l + t)y(t) dt = ж2;
о
2) y{x)----- I cos x cost у (t) dt = 0;
it J
о
i
о
i
\ \ i
Зтг In 2
(arctgt + arcsin t)y{t) dt = —-------—
0
299
Дополнение
300
1
13. 1) у(х) — J xy(t) dt = sin(2Tvx)-,
о
1
2) y(x) - - / (1 - ^)y(t) dt = 0;
0
2tt
3) y(x) — — f (cosrr cos£ + cos(2:r) cos(2£))y(£) <й = cos(2x);
о
УЬЗ
4) y(x) + 2 У t3et2y[f) dt = 3 In 3 — 2.
i
i
(1 + 2x)t y(t) dt = 1 — - X]
0
1
2) y(x) + 2тг У ^isin(2Trt) — ^ y(t) dt = 0;
о
7Г
3) y(x) + — У cos(x + t)y(t) dt = 1;
о
2
f
4) У^--------- о / arcsintj/^) dt =
1
.
0
1
15. 1) y(x) — У x sin(27rt)y(t) dt = x-,
о
6
3
2) У(х) - 7 / (1 + 2х^У^ dt = l- -x\
0
7Г
3) У (%) + У cos(x — t)y(t) dt = 0;
о
о
4) y^x) + У(e4 + xt)y(t) dt = e~x - j + 1.
-i
7Г
16. 1) y(x) — J"sin x cos t у(t) dt = cos x\
о
301
Дополнение
2) у(т) — — J (i2cost + isii
cos я;
—7Г
1
3) у(х) - J(x + t)y(t) dt = 0;
о
1
-i
e
1) y(x) + У In ty(t) dt = 2;
1
7Г
2 f
2) j/(t)----- / cos(t + t)y(t) dt = 1;
тг J
о
6 //* t(1 + t)y(t) dt = t2;
3) y(x) - 5J
o
In 2
о
5 + е2
tinty(t) dt = ———;
/
1
7Г
2) у(х) — — / т sin f y(t) dt = 0;
о
_ i
v3 f
13
3) уф + — J (x + t)y(t) dt = - + -t;
-i
i
4) y(z) “*■ 8 У (arcsinf + x)y(t) dt = 13i — 7 + 5тг.
о
г
e2 4-1
19. 1) y(x) + I In t y(t) dt = —- ----- Ft;
e
1
2) У&) + 7
cost;
302
Дополнение
it
3) у(х) + J sin(i + t)y(t) dt = 0;
о
i
4) y(x) + 8 У(arccost + x)y(t) dt = 5x + 7r.
о
20. 1) y(x) + 3 / ln2ty(t) dt — - + 7]
e
2) y(x)----- I cos(i — t)y(t) dt = 0;
яJ
о
i
3) у(х) + 2-к У x sin(27rt)y(t) dt = x;
о
i
4) y(x) + 4 У(^ + I)sW dt = arctg x + г(тг — 2 In 2) + % о
i
7Г
arcsin ty(t) dt = —;
/
0
1
2) y(x) + (4\^ 4- 6) У(x + ^yW dt = 0;
о
7Г
3) З/М + ^г ^ x sin t у(t) dt = 0;
о
(i + lnt)lnty(t)dt = x(e — y/e) + ------- 1-
22. 1) y(x) + У axcco8ty(t) dt — 2-,
о
i
2) y(x) + 2% У x sin(2irt)y(t) dt = 1;
о
3) y(x) + У cos x cos t y(t) dt = 0;
о
2
Дополнение
4) y(x) =
Г
(xt + ^t2)y(t) dt + 1 J
Zu
303
2
О
23. 1) y(x) + / arctg ty(t) dt = —— — In 2 + 1;
0
2) у (x) + — У (x2 cos t + x sin t) y(t) dt = cos x;
—Я
1
In 2
4) У(х) + У (e1 + е^у^ dt =2eI + |-
24. 1) y(x) + Iaxcctgty(t) dt = l + ^- +
0 1
2) y[x} — 2 У xy(t) dt = sin(2?rx);
3) y(x) ^^ J sin(x — t)y(t) dt = 0;
4) y(x) = j(x + t — 2xt)y(t) dt + x + x2.
i
0
\ i
7Г
2 Id 2
t arctgpy(t) dt = x A1- —;
°1
-1
t) y(t) dt = cosx;
2
8. „ 7 5i
3Ь2~9 + Т'
1
Дополнение
304
Ответы
1) У = Зя;
3) нет решений;
2
1)
3'
3) у = 0;
2) у = Ci cos Х + С2 cos(3z) + sin(2z);
4) 2/ = Ina:.
3.
1) у = 4 sin z;
3) нет решений;
2) !/ = C(A + l);
4) у = 1 + y/x.
4.
1) у = С + sin х;
3) нет решений;
2) У = Cx-,
4) 2/ = 1-
5.
1) у = соз(2и);
2) !/ = C|i|;
3) У = 0;
1) у = е-1 + х;
4) y = -X
_ / sin I
\
у
=
C
l-------- 1- 2 I + sin(2z) — тг;
2)
3) 2/ = 0;
4) нет решений.
1) 2/ = 1 + 2 sin z;
2)
3) У = 0;
4) У = х2.
1) У = ^ + ctgz;
2) у = С(х - 2х2) ;
3) г/ = 0;
4) У = х.
1) у = sin z + cos а:;
3) нет решений;
2) у = С(1 + 2а:);
4) 2/ = а:2 + 1.
1.
2.
6.
7.
8.
9.
10. 1) У = х;
3) У = 0;
2) у = С(1 - a;2) 4-z;
1
4) У = ~-
1
У = С Qz + z2) ;
2) у = C(smi — cosz);
4) у = х + X3.
11. 1) ^-со°2- 1 2(2-1п2);
2) у = Ci cos х + С2 sin z;
3) У = 0;
, 7z
12. 1) У = х2 + —;
4) у = ex + x.
3) У = 0;
13. 1) у = sin(27rz);
3) нет решений;
,
3
14. 1)
и
2
3) нет решений;
15. 1)
2ttz
~ 2тг 4- Г
3) ?/ = 0;
7Г
16. 1) у = cos х + - sm х\
3) У = 0;
2) у = C cos z;
4) У = 12) y = C(l-z2);
4) У = 12) У = С;
4) нет решений.
2)
у = С(1 + 2z) + 1 - |z;
4) У = e~x.
X2
2) у = Cx + 7- + cos z;
4) y = x.
Дополнение
17. 1) у = 1;
3) нет решений;
18. 1) у = 1;
3) нет решений;
19. 1) у = х;
3) 2/ = 0;
1
20. 1) 2/=
3) нет решений;
21. 1) v = 1;
3) 2/ = 0;
22. 1) у = 1;
3) 2/ = 0;
23. 1) 2/ = 1;
3) нет решений;
24. 1) у = 1;
3) У = °;
25. 1) У = х;
3) у = COSX+ —-,
0
,
2 .
2) у = С cos х + 1----- вш х;
7Г
4) У = ех.
2) У = Сх;
4) у = х + 1.
2) нет решений;
4) У = х.
2) у = Ci cos х + Ci sin X-,
4) у = arctg x.
2) у = C(y/3x - 1);
4)
У=^
2) у = Cx+ 1;
4) У = 1-
х2
2) у = cosx + —;
4) У = е1.
2) у = Сх + sin(2irx);
41 5
4) P=« + 7I + I'3i
2) у = С + sin(7ri) + —;
4) У = х-
305
Список литературы
1. Филиппов, А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям.
М.: Ленанд/URSS, 2015.
2. Матвеев, Н. М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным диф
ференциальным уравнениям / Н. М. Матвеев. — СПб: Лань, 2002. —
432 с.
3. Альсевич, Л. А. Дифференциальные уравнения. Практикум / Л. А. Альсевич, С. А. Мазаник, Г. А. Расолько, Л. П. Черенкова. — Минск: Выш.
шк., 2012. — 382с.
4. Краснов, М. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения /
М.Л. Краснов, А. И. Киселев, Г. И. Макаренко. — М.: Ленанд/URSS,
2016. -256 с.
5. Романко, В. К. Сборник задач по дифференциальным уравнениям и ва
риационному исчислению/В. К. Романко. — М.: Юнимедиасгайл, 2002.
256 с.
6. Богданов, Ю. С. Курс дифференциальных уравнений / Ю. С. Богданов,
С. А. Мазаник, Ю. Б. Сыроид. — Минск: Ушверсггэцкае, 1996. — 287 с.
7. Минюк, С. А. Математика для инженеров: в 2 т. / С.А. Минюк,
Н.С. Березкина, А. В. Метельский. — Минск: Элайда, 2004,— Т. 2. —
592 с.
8. Матвеев, Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференци
альных уравнений / Н. М. Матвеев. — Минск: Выш. шк., 1974. — 766с.
9. Элъсгольц, Л. Э. Дифференциальные уравнения. М.: Издательство
ЛКИ/URSS, 2014. -312 с.
10. Элъсголъц, Л. Э. Вариационное исчисление — М.: Издательство
ЛКИ/URSS, 2014. - 208 с.
11. Тихонов, А. Н. Дифференциальные уравнения / А. Н. Тихонов,
А. Б. Васильева, А. Г. Свешников. — М.: Наука, 1985. — 231с.
12. Самойленко, А. М. Дифференциальные уравнения: примеры и задачи /
А.М. Самойленко, С.А. Кривошея, Н.А. Перестюк. — М.: Высш, шк.,
1989. - 383 с.
13. Минюк, С. А. Дифференциальные уравнения и экономические моде
ли / С.А. Минюк, Н.С. Березкина. — Минск: Выш. шк., 2007. — 141с.
14. Амелькин, В. В. Дифференциальные уравнения в приложениях /
В. В. Амелькин. — М.: Книжный дом «Либроком^/URSS, 2012. — 208 с.
15. Пантелеев, А. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения в при
мерах и задачах / А. В. Пантелеев, А. С. Якимова, А. В. Босов. — М.:
Высш, шк., 2001. — 376с.
306
Список литературы
307
16. Васильева, А. Б. Дифференциальные и интегральные уравнения, вари
ационное исчисление в примерах и задачах / А. Б. Васильева, Г. Н. Мед
ведев, Н.А. Тихонов, ТА. Уразгильдина. — М.: Физматлит, 2005. —
432 с.
17. Прокопеня, А. Н. Применение системы Mathematica к решению обык
новенных дифференциальных уравнений / А. Н. Прокопеня, А. В. Чичурин. — Минск: БГУ, 1999. — 265 с.
18. Шилин, А. П. Задания по дифференциальным уравнениям / А. П. Ши
лин. — Минск: БГУ, 2001. — 182 с.
19. Сборник задач по математике для втузов: в 4 ч. / под ред. А. В. Ефи
мова. — М.: Наука, 1990. — 4.4. Методы оптимизации. Уравнения в
частных производных. Интегральные уравнения — 304 с.
20. Краснов, М.Л. Интегральные уравнения / М.Л. Краснов, А. И. Кисе
лев, Г. И. Макаренко. — М.: Ленанд/URSS, 2016. — 304 с.
Содержание
Предисловие ....................................................................................................
§ 1. Построение интегральных кривых с помощью изоклин.............
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными
и сводящиеся к ним...................................................................
23
§ 3. Уравнения в полных дифференциалах.
Интегрирующий множитель...................................................
36
§4. Линейные уравнения 1-го порядка
и уравнения, сводящиеся к ним
48
§5. Уравнения 1-го порядка,
не разрешенные относительно производной..........................
61
§ 6. Уравнения 2-го порядка......................................................................
§ 7. Системы дифференциальных уравнений......................................
§ 8. Линейные и квазилинейные уравнения 1-го порядка
с частными производными...................................................... 114
§ 9. Линейные однородные уравнения
с постоянными коэффициентами.......................................................
§10. Линейные неоднородные уравнения
с постоянными коэффициентами............................................. 140
§11. Уравнения Эйлера.................................................................................
§ 12. Линейные однородные системы
с постоянными коэффициентами............................................. 169
§ 13. Линейные неоднородные системы
с постоянными коэффициентами............................................. 186
§ 14. Линейные уравнения и системы с начальными
и краевыми условиями............................................................. 214
§ 15. Голоморфные решения линейных уравнений и систем................
§ 16. Устойчивость по первому приближению
§ 17. Фазовая плоскость.................................................................................
Дополнение. Линейные интегральные уравнения
второго рода с вырожденными ядрами...................................................
Список литературы.......................................................................................
308
3
5
81
95
128
155
226
243
261
293
306
«ЯВя
3»йй^иИ±ДЩЙ
Представляем Вам следующие книги
и
09
IBSS.ra; ai-UBSS j t l ^^JISSS jt
L -^ ^
/Филиппов А. Ф. Сборник задач но дифференциальным уравнениям.
г Боярчук А.К., Головач Г.П. АнтиДемидович. Справочное пособие по высшей
математике.
/Эльсгольц Л. Э. Вариациопное исчисление.
URSS
/Зельдович Я. Б., Мышкис А.Д. ЭЛЕМЕНТЫ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ.
(Книга, которую следовало бы назвать иначе...)
г Понтрягин Л. С. Дифференциальные уравнения и их приложения.
гШалдырван В. А., Медведев К. В. Руководство по решению обыкновенных
дифференциальных уравнений. Кн. 1,2.
/Филиппов А. Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений.
/Краснов М.Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И., Шикин Е. В., Заляпин В. И. ВСЯ
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА.
/ Поляк Б. Г. Введение в оптимизацию.
/Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений.
/ Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
/Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
/ Филипс Г. Дифференциальные уравнения.
/ Тарасевич Ю. Ю. Использование пакетов Maple, Mathcad и LaTeX2e при решении
математических задач и подготовке текстов.
/Сикорский Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
/ Зеликин М. И. Оптимальное управление и вариационное исчисление.
/Арнольд В. И. Теория катастроф.
/Амелькин В. В. Дифференциальные уравнения в приложениях.
/Краснов М.Л., Киселев А. И, Макаренко Г. И. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ:
Задачи и примеры с подробными решениями.
/Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений.
/ Ивченко Г. И., Медведев Ю. И. Математическая статистика.
/Ивченко Г. И., Медведев Ю. И., Чистяков А. В. Математическая статистика
В ЗАДАЧАХ: Около 650 задач с подробными решениями.
/Ивченко Г. И., Медведев Ю. И. Введение в МАТЕМАТИЧЕСКУЮ СТАТИСТИКУ.
/ Чистяков В. П. Курс теории вероятностей.
/Емеличев В.А., Мельников О.И., Сарванов В.И., Тышкевич Р.И. Лекции по теории
графов.
/Киселев А.П. Алгебра. В 2-х ч.
/Логачев О. А., Сальников А. А., Смышляев С. В., Ященко В. В. Булевы функции в теории
кодирования и криптологии.
/ЗолотаревскаяД. И. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ:
Все вопросы учебных программ. Около 200 примеров с подробными решениями.
Наглядное и доступное изложение.
/Эглит М. 3. (ред.) Механика сплошных сред в задачах. Более 1000 задач
и упражнений.
/ Боровков А.А. Теория вероятностей.
/Фиников С. П. Теория поверхностей.
/Лунц Г. Л., Эльсгольц Л. Э. Функции комплексного переменного с элементами
операционного исчисления.
/ Понтрягин Л. С. Алгебра.
/ Понтрягин Л. С. Анализ бесконечно малых.
URSS.ru
URSS.ru
URSS.ru
URSS.ru
09
09
в
09
И
09
09
■Нга
"TZZillsiO®
Ж.
е
^?«
GO
GO
ж
go
и*
go
ся
се
у Жуков А. В. Вездесущее число «пи».
гХалафян А. А., Боровиков В. П., Калайдина Г. В. Теория вероятностей,
математическая статистика и анализ данных: Основы теории и практика
на компьютере. STATISTICA. EXCEL. Более 150 примеров решения задач.
URSS
^Жуков А. В. Элегантная математика: Задачи и решения.
г Овчинников А. В. Алгебра и геометрия в вопросах и задачах: Основы алгебры
и аналитической геометрии.
г Мищенко А. С., Соловьев Ю. П., Фоменко А. Т. Сборник задач по дифференциальной
геометрии и топологии.
г Челпанов Г. И. Учебник логики.
v Вигнер Э. Инвариантность и законы сохранения. Этюды о симметрии.
г Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия.
у Шноль С. Э. Герои, злодеи, конформисты отечественной науки.
гЭвнин А.Ю. 150 красивых задач для будущих математиков: С подробными решениями.
г Киселев А.П. Арифметика: Целые числа. О делимости чисел. Измерение величин.
Метрическая система мёр. Обыкновенные (простые) дроби. Десятичные дроби.
Пропорциональные величины..
г Оре О. 1)ифы и их применение.
гЭльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения.
zЖизнеописание Льва Семеновича Понтрягина, математика, составленное им самим.
г Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии.
г Уиттекер Э. Т, Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа.
г Пухначев Ю. В., Попов Ю. П. Математика без формул. В 2-х книгах.
гПантаев М.Ю. Математический гербарий абитуриента: Алгебра во всем ее блеске и
многообразии.
г Тьюринг А. М. Может ли машина мыслить?
г Киселев А.П. Начала дифференциального и интегрального исчислений.
г Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Т.П. Обыкновенные дифференциальные
уравнения: Задачи и примеры с подробными решениями.
гДеза Е. И. Пишем выпускные квалификационные работы дискретной тематики:
176 тем и 26 конспектов бакалаврских работ и магистерских диссертаций.
Наши книги можно приобрести в магазинах:
«НАУКУ - ВСЕМ!» (и. Профсоюзная, Напшокииб пр-т, 56. Тея. (499) 724-2545)
«Библио-Глобус» (и. Лубянка, ул. Мяомцяая, 5. Тел. (495) 625-2457)
«Московский дои пап» (и. Арбатская, ул. НовьЯ! Арбат, 9. Тел. (495) 293-9242)
Тел./фак;
+7 (499) 724-25-45 ■Молодая твердая» (и. Полянка, ул. Б. Поляна, 29. Тел. (495) 238-5001,
(иного*аильный) (495) 700-3370)
«Дои научто-теампеагай книлт» (ЛеммсяМ пр-т, 40. Тея. (495) 137-6019)
«Дои имин на Лещинской» (и. Бауианотая, ул. Ладожская, 8. пр.1.
Е-лиИ:
DRSSeURSS.ni Тея. (495) 267-0302)
http://URSS.ni «СаиятЧ1етерОургашй Дои аил» (Невеша пр., 28. Тея. (612) 448-2355)
«Нмтамй буи» (г. Каев, маш рытой «Петровка», ряд 62, иесто 8
(паважон «АиадеИОмп»). Тея. +38 (067) 273-5010)
Сеть иагазаное «Дои амии» (г. Екатеринбург, ул. Антона Валена, 12.
Тел. (343) 253-5010)
Шн!!31Ш8аИИЙ1
« п и к i W H M 'H H M M M
S
да s t k h w
Представляем Вам следующие книги:
■RSS.ru
^Щя
Уважаемые читатели! Уважаемые авторы!
и
Наше издательство специализируется на выпуске научной и учеб
ной литературы, в том числе монографий, журналов, трудов ученых
Российской академии наук, научно-исследовательских институтов
и учебных заведений. Мы предлагаем авторам свои услуги на выгод- . .„
ных экономических условиях. При этом мы берем на себя всю ра
боту по подготовке издания — от набора, редактирования и верстки
до тиражирования и распространения.
Среди вышедших и готовящихся к изданию книг мы предлагаем Вам следующие:
s Гарднер М. Загадки Сфинкса и другие математические головоломки.
уСекованов В. С. А. Н. Колмогоров: Жизнь в науке и наука в жизни гения из Туношны.
^Свердлик А. Г. Как эмоции влияют на абстрактное мышление и почему математика
невероятно точна: Как устроена кора головного мозга, почему её возможности
ограничены и как эмоции, дополняя работу коры, позволяют человеку совершать
научные открытия.
г- Мищенко А. С., Фоменко А. Г. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии.
s Златопольский Д. М. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ: учебные и занимательные
материалы: Более 100 содержательных задач. Фокусы, головоломки, исторические
факты. Решение задач из ЕГЭ по информатике. Вопросы для конкурсов «Что? Die?
Когда?» и «Брейн-ринг».
/Пантаев М. Ю. МАТАНАЛИЗ С ЧЕЛОВЕЧЕСКИМ ЛИЦОМ, или Как выжить
после предельного перехода: Полный курс математического анализа. В 2-х томах.
v Ушаков И. А. История науки сквозь призму озарений. В 8 кн.
Кн. 1. Пути познания Вселенной.
Кн. 2. Сначала было числоЕ
Кн. 3. Колдовство геометрии.
Кн.4. От арифметики до алгебры: Таинственная страна Аль-Джебр.
Кн. 5. Вероятность и статистика: Этот случайный, случайный, случайный мирЕ
Кн. 6. От счетных машин до ЭВМ: Как люди научили машины «думать».
Кн. 7. Покорение океана и неба: Икары и Ихтиандры.
Кн. 8. Покорение космоса: Небо без границ.
г Борисович Ю. Г, Близняков И. М., Израилевич Я. А., Фоменко Т. И. Введение
в топологию.
s Перельман Я. И. Обманы зрения: Коллекция оптических иллюзий.
s Раков Д. Л., Печейкина Ю.А. Парадоксальный мир невозможных фигур
и оптических иллюзий.
s Тактаров И. Г. Справочник по высшей математике для студентов вузов.
s Федер Е. ФРАКТАЛЫ.
^Федин С.Н. (ред.) Математики тоже шутят.
s Тарасов Л. В. Азбука математического анализа: Беседы об основных понятиях.
По всем вопросам Вы можете обратиться к нам:
тел. +7 (499) 724-25—45 (многоканальный)
или электронной почтой URSS@URSS.ru
Полный каталог изданий представлен
в интернет-магазине: http://URSS.ru
URSS.ru
Научная и учебная
литература
URSS.ru ^URBBru
URSS.ru
М. Ю I Ьмаев • Матанализ с чслл-ч чкклг’ лицом (г: 2 книгах;
Кию ска^лл.^^
скучнскнудня
нужно писать
В наешашцрй книю столона нанмшкл 1дложмна курс лиешолииннчоскош аналое tout
соаклЯную члена обшрчола^оиекай кульшурм. Айнор лишая of инншрало
и нрачд/аВной но ара и аирсю, на ниш, чша&л юна номмаю ПриблИЗИТЬ
математику К читателю, куена и Малона Ъаллкаллу ош ню. Чиниинлло налушж
t ctoo paaapatcoHuo но шалька снрлХаишк, ig кошарою лишена atodopoutatuo»
формула Ъля /ошалнонмя раоашных рл£аш, но и кмиш для чшлния, аиковную налили
ому над/снеМама, с каной
ПОраЗИТСЛЬНО КраСИВОИ НауКОЙ
он сшалкнулся.
М. Ю. Пантаев
: МАТАНАЛИЗА
с человеческим лицом, перехода.
Ля***"
Й^<
*Й5”
1 Ottf*^b*'ovo
"I#****
Там
Палньш курс млме.млмцче.скага лнллиуа.