Автор: Гарднер М.
Теги: психология психология личности математика детское развитие логика головоломки развлечения загадки счет
ISBN: 978-5-17-058244-0
Год: 2009
Текст
МАРТИН ГАРДНЕР
ЛУЧШИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
И ГОЛ
Или самый настоящий
математический цирк
МАРТИН ГАРДНЕР
Лучшие математические
игры и головоломки,
или самый настоящий
математический цирк
Новые головоломки, игры, парадоксы
и другие математические развлечения
из журнала «Сайентифик Америкен»
с предисловием Дональда Кнута,
послесловием автора
и 105 рисунками и диаграммами
Москва
ACT ‘Астрель
УДК 159.9
ББК 88.37
Г20
Автор М. Гарднер
Перевод с английского М. И. Антипина
Компьютерный дизайн обложки дизайн-студия «Графит»
Настоящее издание представляет собой авторизованный перевод оригинального
английского издания «The Mathematical Circus» (автор — Martin Gardner),
впервые опубликованного в 1992 г. Математической ассоциацией Америки:
< The Mathematical Associations of America ( Incorporated).
Гарднер, M.
Г20 Лучшие математические игры и головоломки, или самый
настоящий математический цирк / М. Гарднер; пер. с англ.
М.И. Антипина. - М.: ACT, Астрель, 2009. — 255, [1] с.
ISBN 978-5-17-058244-0 (ООО «Издательство ACT»)
ISBN 978-5-271-23247-3 (ООО «Издательство Астрель»)
Добро пожаловать на величайшее математическое представление на Зем-
ле! Мартин Гарднер снова выступает в роли опытного конферансье, пред-
ставляя как простые задачи о спичках и долларовых купюрах, так и фунда-
ментальные проблемы физики, математики, астрономии и философии. Как
и все книги М. Гарднера, это издание одновременно доступно самому широ-
кому кругу читателей и интересно профессиональным математикам.
УДК 159.9
ББК 88.37
Общероссийский классификатор продукции ОК-005-93,
том 2; 953000 - книги, брошюры
Санитарно-эпидемиологическое заключение
№ 77.99.60.953.Д.009937.09.08 от 15.09.08 г.
Подписано в печать 20.01.09. Формат бОхЭО’/ш.
Усл. печ. л. 10,08. Тираж 3000 экз. Заказ № 9751.
ISBN 978-5-17-058244-0 (ООО «Издательство ACT»)
ISBN 978-5-271-23247-3 (ООО «Издательство Астрель»)
© ООО «Издательство Астрель», 2009
. © 1992 by The Mathematical Associations of
America (Incorporated)
J
Дональду E. Кнуту,
выдающемуся математику, программисту,
музыканту, юмористу,
энтузиасту занимательной математики,
и много кому еще
Содержание
Предисловие 8
Введение 10
Глава 1. Оптические иллюзии (Ответы на с. 22) 13
Глава 2. Спички (Ответы на с. 35) 25
Глава 3. Сферы и гиперсферы (Ответы на с. 48) 37
Глава 4. Принципы индукции (Ответы на с. 59) 50
Глава 5. Элегантные треугольники (Ответы на с. 67) 60
Глава 6. Теория случайных блужданий и азартные игры (Ответы на с. 77) 69
Глава 7. Случайные блуждания на плоскости и в трехмерном пространстве (Ответы на с. 88) 78
Глава 8. Булева алгебра (Ответы на с. 100) 89
Глава 9. Могут ли машины думать? (Ответы на с. 110 103
Глава 10. Циклические числа 111
(Ответы на с. 120)
Содержание
7
Глава 11. Необычные шахматы и другие задачи 122
(Ответы на с. 128)
Глава 12. Домино 135
(Ответы на с. 147)
Глава 13. Числа Фибоначчи и Люка 148
(Ответы на с. 161)
Глава 14. Простота 164
(Ответы на с. 174)
Глава 15. Круглый стол и другие задачи 176
(Ответы на с. 184)
Г
г Глава 16. Странности Солнечной системы 194
(Ответы на с. 204)
/
Глава 17. Построения Маскерони 206
(Ответы нас. 217)
Глава 18. Абак 221
(Ответы на с. 230)
Глава 19. Палиндромы: слова и числа 231
(Ответы на с. 240)
Глава 20. Долларовые банкноты 241
' (Ответы на с. 248)
Постскриптум 250
*
Предисловие
Леди и джентльмены! Добро пожаловать на величайшее математи-
ческое представление на Земле! К вашим услугам самые занима-
тельные и зубодробительные задачи, лучшие достижения человече-
ской изобретательности! Полюбуйтесь таинственным и чудесным
парадом узоров из чисел, слов, фигур и явлений природы! Вас ждут
экзотические, будоражащие парадоксы, невероятные подвиги гим-
настики ума! Перед вами — подлинный Источник лучших развлече-
ний в особо крупном размере, в новом издании!
Мартин Гарднер снова выступает в роли опытного конферансье
в стремительном и бурном варьете. Здесь каждый найдет что-нибудь
для себя; более того, здесь каждый найдет длячсебя просто кучу все-
го. В двадцати главах этой книги в удачной пропорции присутству-
ют творческие идеи, воплощенные как в простых, приземленных
вещах вроде спичек и долларовых купюр, так и в предметах далеких
либо абстрактных, например планетах или случайных перемещени-
ях. Мы узнаем о древних приспособлениях для счета и о современ-
ной точке зрения на искусственный интеллект. Эта книга — настоя-
щий праздник для глаз, рук и ума.
Три сотни статей о математических развлечениях, написанных
Мартином Гарднером, — это сокровища мирового масштаба, как
симфонии Гайдна или картины Босха. Много лет я всегда держал их
под рукой — в качестве источников информации и вдохновения.
Сначала у меня хранились просто страницы, выдранные из журнала
«Сайентифик Америкен», где они и появились впервые. Затем, ког-
да сборники заметок стали выходить в виде книг, я немедленно по-
купал каждую из них, радуясь непременному довеску из новых фак-
тов и анекдотов, добавленных в очередное издание. Я надеюсь, что
когда-нибудь эти жемчужины окажутся в числе первых свободно
доступных компьютерных книг, когда технологии наконец позволят
издавать книги в цифровом виде.
Чем же так замечательны эти маленькие эссе? Причин много,
возможно, больше, чем я в состоянии перечислить, но, как я пола-
гаю, главная все же в том, что сквозь изящный слог Мартина Гард-
Предисловие
9
нера проглядывает его искренний энтузиазм. У него особый дар пе-
редавать математические идеи, используя минимум специальных
терминов, и в результате красоту решений смогут оценить самые
разные люди всех возрастов. Его тексты легко воспринимают мои
родители и мои дети; однако при этом математики в них достаточно
для того, чтобы даже профессионалам вроде меня всегда было чему
поучиться.
П.Т. Барнум совершенно верно подметил, что людям время от
времени хочется, чтобы их околпачили, и под цилиндром Мартина-
фокусника всегда полно хитрых трюков и розыгрышей. Однако при
этом важно заметить, что он до скрупулезности честен. Он безуко-
ризненно выверяет все факты и подробно освещает историю вопро-
са. Эти эссе представляют собой шедевры одновременно с научной
и с популяризаторской точки зрения; это серьезные исследования,
которым можно доверять. Нередко мне случалось писать полный
(как мне казалось) обзор по тому или иному вопросу, в то время как
Мартин независимо писал на ту же тему в своей постоянной жур-
нальной колонке. Неизменно оказывалось, что все с трудом най-
денные мной «лакомые кусочки» присутствовали в его статье, а кро-
ме того, находилось и многое, что я упустил.
Так что спешите, спешите под купол шапито; вот-вот начнется
удивительное представление! Хватайте ваши чипсы и садитесь по
местам. Оркестр уже играет увертюру; занавес открывается!
Дон Кнут, 1992
Введение
...Идумы эти повергают в изумленье
Покой полдневный и встревоженную ночь.
Т.С. Элиот*
Главы этой книги впервые увидели свет в качестве ежемесячной
рубрики в журнале «Сайентифик Америкен» под заголовком «Ма-
тематические игры». Иногда математики спрашивают меня, что я
подразумеваю под этой фразой. Ответ не из простых. Слово «игра»
Людвиг Витгенштейн использовал в качестве примера так называ-
емого «семейного понятия», слова, которому нельзя дать одно-
значного определения. У него много значений, связанных между
собой, подобно тому, как связаны друг с другом родственники в се-
мье, значений, связи между которыми возникали в ходе эволюции
языка. Можно сказать, что «математические игры» или «развлека-
тельная математика» — это любая математика с элементом игры,
но это мало что объясняет, потому что «развлечение» и «игра» —
понятия близкие, почти синонимы. В конце концов мы окажемся
в тупике, из которого выводят разве что уловки вроде тех, что на-
зывают поэзией любое творчество поэтов, а джазом — любую му-
зыку, которую играют джазмены. Так вот, развлекательная матема-
тика — это такая математика, которая нравится математикам на от-
дыхе.
Хотя я и не могу объяснить, что такое математическая игра, рав-
но как и что такое стихотворение, я все же полагаю, что математи-
ческие игры, чем бы они ни были, — это лучшее средство завладеть
вниманием молодого поколения, обучая его элементарной матема-
тике. Хорошая математическая головоломка, парадокс или фокус
* Перевод Я. Пробштейна (прим. ред.).
Введение
11
развивают воображение ребенка гораздо лучше, чем практические
примеры (особенно если примеры далеки от того, с чем ребенок
сталкивается в жизни), а если игра выбрана со знанием дела, она
легко выводит на важные математические идеи.
Не только дети, но и взрослые могут вдруг увлечься головолом-
кой, у которой нет очевидного практического применения; в исто-
рии математики есть множество примеров, когда работа над подоб-
ными задачами как профессионалов, так и любителей приводила к
неожиданным открытиям. В своей книге «Математика: царица и
служанка науки» Эрик Темпл Белл пишет о ранней работе по клас-
сификации и изучению узлов, что раньше воспринималось как не-
многим более, чем игра-головоломка, но затем выросло в цветущую
отрасль топологии:
«Так, в конце концов выяснилось, что проблемы узлов — это
нечто большее, чем просто игра. Подобные явления нередки в
математике, отчасти потому, что математикам порой свойствен-
но извращенное стремление сформулировать серьезную пробле-
му, не поддающуюся решению, в виде простой на вид загадки.
Этот грязный трюк обманывает тех скромников, кого эта же про-
блема во всем своем научном великолепии непременно отпугну-
ла бы; в результате множество любителей внесли в математику
значительный вклад, не подозревая об этом. Характерный при-
мер — задача Т.П. Кёркмана (1806—1895) о пятнадцати школьни-
цах, часто встречающаяся на страницах книг по занимательной
математике».
Некоторые математические головоломки действительно просты
и никуда не ведут. Однако у тех и у других много общего, и никто не
сказал об этом лучше, чем знаменитый математик Станислав Улам в
своей автобиографии «Приключения математика»:
«У математики при всех ее грандиозных перспективах, стрем-
лении к красоте и видению новых реальностей есть менее оче-
видное и здоровое свойство, в чем-то подобное действию иных
лекарственных препаратов - способность вызывать зависи-
мость. Даже самая ничтожная головоломка, очевидно простая
или широко известная, может пробудить подобное болезненное
пристрастие. Решение таких задач затягивает. Я помню, как
Mathematical Monthly время от времени публиковал задачи,
присылаемые французским геометром, — простенькие, об ок-
ружностях, отрезках и треугольниках на плоскости. «Belanglos»
12
Лучшие математические игры и головоломки
(«несущественно»), как говорят немцы, однако эти фигуры слов-
но притягивали вас, стоило вам начать думать над ними, даже ес-
ли при этом вы все время помните, что решение их тривиально и
не ведет к темам, более интересным либо широким. Это во мно-
гом противоположно тому, что я говорил об истории теоремы ч
Ферма, приведшей к созданию широкого спектра новых алгеб-
раических концепций. Разница, по всей видимости, в том, что
«маленькие» задачи можно решить, прилагая лишь умеренное
усилие, в то время как теорема Ферма все еще не доказана* и по-
прежнему бросает вызов. Однако оба этих вида математических
курьезов для будущего математика оказываются равно притяга-
тельны на всех уровнях: от тривиальнейших задач до воодушев-
ляющих высот знания».
к
Мартин Гарднер,
март 1979 г.
* Теорема Ферма была доказана только в 1995 г. (прим. ред.).
’ 1 <: 11 I .
Оптические иллюзии
Оптические иллюзии — изображения, объекты или явления, кото-
рые представляют собой не то, чем кажутся, когда на них смотрят, —
играли и все еще играют важную роль в искусстве, математике, пси-
хологии и даже философии. Древние греки так исказили форму ко-
лонн Парфенона, что наблюдателю с земли они кажутся идеально
прямыми. Средневековые живописцы часто искажали перспективу
больших фресок таким образом, чтобы снизу они выглядели нор-
мальными. Математикам оптические иллюзии интересны тем, что
многие из них имеют отношение к перспективе (разделу проектив-
ной геометрии) и другим вопросам геометрии. Психологи изучают
иллюзии, чтобы понять, как мозг интерпретирует данные, поступа-
ющие в него посредством чувств. Ну а философам различных школ
реализма, утверждающим, что мы воспринимаем реальные объек-
ты, внешние по отношению к нашему сознанию, приходится объяс-
нять, как возникают ошибки восприятия.
На менее серьезном уровне оптические иллюзии — просто раз-
влечение. Поддаваться обманам зрения почти так же забавно, как
обманываться, подпадая под чары фокусника. Иллюзии напоми-
нают нам, что огромный мир вокруг нас не всегда таков, каким ка-
жется. В этой главе мы рассмотрим несколько не слишком широ-
ко известных оптических иллюзий с заметным математическим
оттенком.
Процессы, с помощью которых мозг интерпретирует информа-
цию, поступающую через зрение, очень сложны и до сих пор не
вполне понятны, поэтому стоит ли удивляться тому, что психологи,
14
Лучшие математические игры и головоломки
объясняя даже самые простые иллюзии, нередко оказываются на
противоположных точках зрения. Одна из самых древних — замет-
ное увеличение видимых размеров Солнца, Луны и созвездий, ког-
да они находятся близко от горизонта. Покойный Эдвин Г. Боринг
из Гарвардского университета написал множество статей, в которых
утверждал, что «лунная иллюзия» возникает, когда смотрящий под-
нимает глаза. Иную точку зрения на эту проблему, восходящую к
Птолемею, разделяют Ллойд Кауфман и Ирвин Рок в своей статье
«Лунная иллюзия» в журнале «Сайентифик Америкен» за июль 1962 г.
Их теория «видимого расстояния», в свою очередь, оспаривается
Фрэнком Рестлом в работе, опубликованной 20 февраля 1970 года в
журнале «Сайнс» (Science).
Сегодня считается, что большинство оптических иллюзий воз-
никает в мозге, когда он отыскивает в памяти то, что Ричард Л.
Грегори назвал «лучшим приближением»: то истолкование, кото-
рое лучше всего объясняет поступившую зрительную информа-
цию в соответствии с уже имеющимся опытом. Эту точку зрения
поддерживают недавние открытия ученых, которые обнаружили
иллюзии, объяснимые подобным образом, у многих животных, в
том числе у птиц и рыб, а также наблюдения за представителями
народов, чья культура значительно отличается от нашей. Зулусы,
к примеру, живут в практически совершенно круглом мире. Их
хижины и двери в них округлы. Поля они распахивают по кривой.
Прямые линии и прямые углы почти не попадаются им на глаза,
и в их языке нет слова «квадрат». Вот как говорит об этом Джон
Апдайк во второй строфе стихотворения «В стране зулусов нет
квадрата»:
Когда зулусы не могут улыбнуться, они хмурятся,
чтобы сохранить дугу на лице.
Описывая расстояние до города,
они скажут: «Как летит бабочка».
Недавние исследования показали, что оптические иллюзии, в
которых участвуют параллельные линии и прямые углы, столь рас-
пространенные в квадратном мире обществ с развитыми техноло-
гиями, зулусы воспринимают с трудом. Философы Джон Локк и
Джордж Беркли задавались вопросом, сможет ли человек, родив-
шийся слепым и внезапно получивший дар зрения, понять, какой
из двух предметов куб, а какой — шар, не ощупывая их. Локк и Берк-
ли полагали, что не сможет. Работа Грегори «Глаз и мозг» сумми-
Оптические иллюзии
15
рует последние исследования в этой области, и хотя они не вполне
однозначны, они, похоже, подтверждают правоту обоих филосо-
фов, вновь подкрепляя гипотезу о том, что большинство оптичес-
ких иллюзий вызвацо неверной интерпретацией поступающих в
мозг данных.
В последнее время все более популярны оптические иллюзии,
относящиеся к категории так называемых «невозможных фигур»;
изображения предметов, которые невозможны с точки зрения гео-
метрии. Мозг, не в силах понять их, приходит в странное замеша-
тельство. (Эти фигуры в чем-то подобны предложениям, невозмож-
ным с‘точки зрения логики, типа «Это утверждение неверно» или
«Не пропусти это, если можешь».) Самая известная из подобных
фигур - знаменитый портик с тремя (или все-таки двумя?) колон-
нами, который начал свое победное шествие среди инженеров и не
только еще в 1964 году. На обложке журнала «Мэд» (Mad) за март
1965 года изображен ухмыляющийся (и четырехглазый) Альфред Э.
Ньюман, который балансирует на этом странном сооружении, опи-
раясь только лишь на указательный палец. Роджер Хэйвард написал
статью «Портики: исследование и развитие» в The Worm Runner’s
Digest (за декабрь 1968 года), в которой привел несколько вариантов
(см. рис. 1).
Другая широко известная «невозможная фигура» — квадратная
лестница, по которой можно бесконечно идти вверх или вниз, не
опускаясь и не поднимаясь. Ее можно увидеть на гравюре Мориса
Эшера «Восхождение и нисхождение» (см. мою книгу «Математи-
ческий карнавал», с. 95) и на гравюре того же автора от следующе-
го, 1961, года, где изображен водопад, вращающий вечный двига-
тель. Впервые же об этой завораживающей иллюзии упомянули
придумавшие ее Л.С. Пенроуз, английский генетик, и его сын Ро-
джер Пенроуз, физик-математик, в их совместной статье «Невоз-
можные объекты: особый вид оптических иллюзий», опублико-
ванной в «Британском психологическом журнале» (февраль 1958 г.,
с. 31-33).
Эти же два автора использовали ее в своем сборнике «Рождест-
венские головоломки» для издания The new Scientist (25 декабря
1958 года, с. 1580—1581). Предположив (см. рис. 2), что для того,
чтобы подняться с земли (А) на ступеньку В, нужно три шага, как
попасть на ступеньку С, поднимаясь не более чем на 10 ступенек?
Решение существует лишь постольку, поскольку само сооружение
невозможно.
16
Лучшие математические игры и головоломки
Рис. 1.
«Невозможное сооружение» Роджера Хэйварда.
Оптические иллюзии
17
Рис. 2.
Головоломка на основе лестницы Пенроузов.
Третий из известных невозможных предметов — остов куба, ко-
торый держит в руке персонаж еще одной гравюры Эшера, приве-
денной на с. 95 в моей книге «Математический карнавал». Журнал
«Сайентифик Америкен» за июнь 1966 г. приводил фотографию по-
добного «ящика Фримиша» в разделе писем, но это изображение
было получено путем ретуширования исходного снимка. Однако
возможно построить и реальную модель, фотографируя которую,
возможно получить реальный снимок ящика Фримиша. Его устрой-
ство описывает Уильям Хайзер в «Методах фотографии для промы-
шленности» за январь 1970 г. Модель Хайзера изображена на рис. 3.
Если эту модель повернуть и наклонить таким образом, чтобы при
разглядывании одним глазом прорези точно совпали с двумя задни-
ми планками клетки, мозг сочтет, что задние планки расположены
спереди, и возникнет мысленный образ «невозможного куба».
Благодаря тому, что мы видим мир именно двумя глазами, воз-
можно множество забавных иллюзий. Выставите указательные
пальцы вперед и расположите их перед глазами горизонтально, так
чтобы концы их соприкасались. Посмотрите через пальцы на уда-
18
Лучшие математические игры и головоломки
Рис. 3.
Возможная модель «невозможного» куба.
ленную стену и слегка разведите пальцы в разные стороны. Между
двумя пальцами в воздухе появится призрачная сосиска, образован-
ная, конечно же, пересекающимися изображениями кончиков
пальцев, видимых отдельно каждым из глаз. Для того чтобы полу-
чить другой давно известный обман зрения, надо приставить к пра-
вому глазу трубу (например, свернутую из газеты), словно телескоп.
Левая рука повернута ладонью к вам, правым своим краем она рас-
полагается перед трубой. Если теперь смотреть обоими глазами на
далеко расположенный объект, а левую руку перемещать вперед и
назад вдоль оси трубы, вы обнаружите точку, в которой будет казать-
ся, будто вы смотрите через дыру прямо посреди левой ладони.
При определенных обстоятельствах изображение, видимое одним
глазом, создает иллюзию глубины. Один из наиболее поразительных
обманов зрения, видимых одним глазом, приведен на рис. 4. Страни-
Оптические иллюзии
19
цу нужно отклонять назад, пока она не станет почти параллельна на-
правлению взгляда. Если смотреть на картинку одним глазом с нижне-
го края страницы, примерно из той точки внизу, в которой сходились
бы воображаемые продолжения всех линий, на секунду-другую пока-
жется, что гвозди поднялись вертикально. Уильям Джемс в 19-й главе
второго тома своих знаменитых «Принципов психологии», приводя
превосходное объяснение этого явления, дает после него краткое ре-
зюме современных подходов к пониманию восприятия: «Другими
словами, мы, как всегда, видим наиболее вероятный объект».
Рис. 4.
Вертикально стоящие гвозди.
Удивительная иллюзия, воспринимаемая двумя глазами, назы-
вается «маятником Пульфриха» по имени своего первооткрывате-
ля, Карла Пульфриха, описавшего ее в немецком периодическом
издании в 1922 году. Маятник представляет собой просто отрезок
бечевки длиной от 30 см до метра с небольшим, к которому с одно-
го конца привязан небольшой грузик. Пусть кто-нибудь еще возь-
мет нить за другой конец и раскачает грузик в плоскости, перпен-
дикулярной направлению вашего взгляда. Встаньте посреди ком-
наты и смотрите обоими глазами на маятник, держа перед одним
из них стекло от солнечных очков. Оба глаза должны оставаться
открытыми! Старайтесь смотреть скорее на середину бечевки, чем
на сам грузик. Вам покажется, что маятник движется не взад-впе-
ред, а кружит по эллиптической орбите! Переместите темное стек-
ло к другому глазу, и груз вновь последует по своему эллиптическо-
му маршруту, но уже в обратном направлении. Иллюзия столь
20
Лучшие математические игры и головоломки
сильна, что если за плоскостью движения маятника разместить
крупный предмет, будет казаться, что груз, как призрак, проходит
сквозь него.
Грегори объясняет иллюзию Пульфриха тем, что глаз за темным
стеклом, адаптировавшийся к темноте, посылает сигналы в мозг
медленнее, чем второй, невооруженный глаз. Из-за этого периода
запаздывания мозг полагает, что груз движется то впереди, то поза-
ди реальной плоскости движения.
Подобные же иллюзии глубины возникают, если смотреть на эк-
ран телевизора, закрыв один из глаз темным стеклом или же глядя
одним глазом через маленькую дырочку в картоне. Когда что-либо
на экране движется горизонтально, кажется, что оно перемещается
перед экраном либо позади него. Эта иллюзия подвигла в 1966 году
несколько компаний на выпуск особой пары очков, которая, со-
гласно рекламе, позволяла видеть плоское изображение на экране
телевизора объемным. Стоили они недешево, но представляли со-’
бой всего лишь недорогие солнечные очки, в которых на одном гла-
зу был затемненный пластик, а на другом — прозрачный.
Другая, хорошо знакомая нам категория иллюзий, тщательно
проанализированная школой гештальт-психологии, представляет
собой образы, которые можно интерпретировать двояко с равной
или почти равной вероятностью обоих вариантов. Ум колеблется, не
в силах выбрать, что же подходит лучше. Пожалуй, самый извест-
ный пример — узор из кубиков, который вдруг переворачивается
так, что число кубиков меняется. В последние годы всем нам надо-
ели фотографии лунных кратеров, которые трудно не воспринимать
как столовые горы, особенно если изображение повернуто "Гак, что
кратеры освещены солнцем снизу, с таким углом подсветки, с каким
мы практически не сталкиваемся в жизни.
Другой заезженный пример иллюзии плавающих гештальтов —
черная ваза с контурами, в которых можно увидеть профили двух
людей, — неожиданно всплыл, явив себя в новом канадском флаге,
принятом в 1965 году после многомесячных прений в Палате об-
щин. Обратите внимание на белый фон, окружающий верхнюю
часть кленового листа (рис. 5). Вы увидите профили двух мужчин
(либерала и консерватора?), столкнувшихся лбами и ожесточенно
ругающихся (один по-английски, другой по-французски?) друг с
другом.
Увидев эти лица, вы уже без труда поймете, что означают стран-
ной формы прямоугольники на рис. 6.
Оптические иллюзии
21
Рис. 5.
Канадский флаг и двое сердитых мужчин на нем.
Куб Неккера (по имени швейцарца Л.А. Неккера, писавшего о
нем в 1830-х годах) — другая хорошо изученная фигура, которая пе-
реворачивается, если на нее пристально смотреть. Пенроузы в упо-
мянутых ранее рождественских загадках догадались поместить на
куб (в данном случае — прямоугольный ящик) жука (см. рис. 7). Ка-
жется, что жук находится на стене, снаружи. Вглядитесь в дальний
угол коробки и представьте, что он находится ближе всего к вам. Ко-
робка неожиданно перевернется, и жук окажется внутри, на дне.
Удивительную иллюзию, возможно, родственную иллюзии
Мюллера-Лайера (две линии одинаковой длины, которые кажутся
Рис. 6.
Гештальт-головоломка. Что означают черные фигуры?
22
Лучшие математические игры и головоломки
Рис. 7.
Посадите жука в коробку.
разными, потому что на конце одной — стрелки, направленные
внутрь, а на другой — направленные наружу), нетрудно продемонст-
рировать при помощи трех одинаковых монет. Поместите монеты в
ряд (см. рис. 8). Попросите кого-нибудь опустить среднюю монету
вниз так, чтобы отрезок АВ стал равным отрезку CD. Почти никто
не передвигает монету достаточно далеко, более того, не измерив
отрезки собственноручно, трудно убедиться, что на рисунке приве-
дено верное положение. Этот трюк можно проделывать также со
стаканами, блюдцами и другими подобными предметами.
Иллюзия «призрачной копейки», о которой больше знают фо-
кусники, чем психологи, показана на рис. 9. Зажмите две монетки
между подушечками указательных пальцев и быстро потрите их друг
о друга. Появится монетка-призрак -1 но почему она видна только
с одной стороны и не видна с другой?
ОТВЕТЫ
Чтобы подняться по лестнице Пенроузов на десять ступенек вверх, не-
обходимо сначала подняться на четыре ступени, повернуть направо,
взойти еще на три, повернуть назад и пройти по U-образной ровной
площадке, спуститься на три ступени, затем подняться на три ступени.
Оптические иллюзии
23
Рис. 8.
Иллюзия неравных расстояний.
Рис. 9.
Иллюзия призрачной монетки.
24
Лучшие математические игры и головоломки
Я никогда не сталкивался с объяснением трюка с монеткой-при-
зраком в печати, но это убедительное объяснение присылает такое
множество читателей, что я уже не сомневаюсь в его правильности.
Когда две копейки трутся друг о друга описанным выше образом,
из-за угла, под которым расположены пальцы, в переднем положе-
нии монеты слегка расходятся, создавая два отчетливо отдельных
образа. И напротив, легкое боковое усилие V-сторон треугольника
из пальцев заставляет монеты в заднем положении сходиться и зри-
тельно перекрываться. В результате раздельные передние изображе-
ния размыты, в то время как перекрывающиеся задние изображе-
ния усиливают друг друга, создавая единый, более четкий образ.
Читатели описали множество простых способов подтвердить
эту теорию. Марджери Лундквист и С.Х. Норрис, к примеру,
предложили следующий эксперимент. Выверните ладони наружу
так, чтобы большие пальцы были направлены к вам. Если две мо-
неты зажать между подушечками больших пальцев и потереть друг
о друга, монетка-призрак появится на той стороне пальцев, кото-
рая обращена от тела. Этого и следовало ожидать, ведь легкие на-
правленные в сторону движения теперь заставляют изображения
перекрываться с внешней стороны. Если большие пальцы дер-
жать так, чтобы вместо буквы V они образовывали прямую ли-
нию, боковые движения равны с обеих сторон, и вы увидите две
призрачные монеты. Такой же симметричный «призрак» появля-
ется и тогда, когда монеты зажаты между указательными пальца-
ми, но потирают ими друг о друга не в направлении взад-вперед,
а вверх-вниз. Другое удивительное подтверждение этой теории,
которое я обнаружил сам, легко получить, быстро потерев кончи-
ки указательных пальцев друг о друга безо всяких монет. Расхож-
дение спереди и перекрывание сзади станет очевидным. С внут-
ренней стороны буквы V, образованной пальцами, вы увидите
призрачный кончик пальца!
Иллюзию с копейкой-призраком можно подать как фокус. Нач-
ните с монетки, зажатой в правой руке. Возьмите у кого-нибудь две
другие монеты того же достоинства и зажмите их между кончиками
большого и указательного пальцев правой руки. Быстро потрите мо-
неты друг о друга, создавая «призрак», держа при этом руку так, что-
бы зажатой в ней монеты не было видно. После того как призрак за-
мечен, сожмите ладонь в кулак, затем разожмите и продемонстри-
руйте «материализовавшуюся» третью монету.
ГЛАВА 2
Спички
У спичек есть два свойства, делающих их пригодными для различ-
ных математических развлечений: их можно использовать как счет-
ные единицы, а кроме того, они представляют собой наглядные мо-
дели отрезков одинаковой длины. Полное собрание математичес-
ких игр и головоломок со спичками заняло бы несколько толстых
томов. В этой главе мы упомянем несколько характерных примеров
фокусов, игр и головоломок со спичками.
Трюк, известный иллюзионистам как «фортепьянный фокус»,
называемый так из-за постановки рук показывающего, может быть
представлен как чудесное взаимопревращение четного и нечетного.
Попросите кого-нибудь положить руки на стол ладонями вниз.
Вставьте по две спички между каждой парой соседних пальцев, кро-
ме мизинца и безымянного одной из рук — туда идет только одна
спичка (см. рис. 10). Теперь вынимайте каждую пару по одной, раз-
деляя спички каждой пары и раскладывая их в две кучки на столе,
по одной спичке из пары перед каждой из рук зрителя. Каждый раз,
выполняя эту процедуру, вы говорите: «Две спички». Продолжайте
действовать таким образом, образуя две кучки спичек перед каждой
из рук, пока не останется последняя спичка. Возьмите эту спичку,
поднимите ее и скажите: «Здесь у нас две кучки спичек, каждая со-
стоит из пар. В какую кучку мне положить непарную спичку?» По-
ложите спичку в указанную зрителем кучку.
Покажите на кучку, в которую вы уронили спичку, и скажите:
«В этой кучке теперь лишняя спичка». Укажите на другую кучку и
скажите: «Эта кучка по-прежнему состоит из пар». Сделайте пассы
26
Лучшие математические игры и головоломки
Рис. 10.
«Фортепьянный фокус».
руками над обеими кучками и объявите, что вы заставили лишнюю
спичку незримо переместиться из одной кучки в другую. Чтобы до-
казать, что так оно и случилось, «сосчитайте» спички в кучке, в ко-
торую вы уронили непарную спичку, вынимая из нее спички и скла-
дывая парами в сторонку. «Счет» здесь в кавычках, потому что на са-
мом деле вы их не считаете, а вместо этого просто повторяете: «Две
спички» всякий раз, когда перемещаете пару в сторону. В этой куч-
ке будут только пары, и лишней, непарной спички не останется.
«Пересчитайте» подобным образом и вторую кучку. После того как
последняя пара будет отложена в сторону, останется непарная спич-
ка. При соответствующем антураже на этот фокус попадается по-
давляющее большинство людей. На самом деле этот фокус склады-
вается сам собой, не требуя ловкости рук, и читатель, попробовав-
ший его показать, легко догадается, в чем тут дело.
Фокус, восходящий к эпохе Средневековья и упомянутый в самом
первом в истории сборнике развлекательных математических задач,
Problemes plaisans et delectables Клода Гаспара Баше, опубликованном
в 1612 году во Франции, в своих разных вариантах до сих пор все еще
в ходу среди фокусников. Классическая версия описана ниже.
Двадцать четыре спички выкладываются на стол вместе с тремя
мелкими предметами — например, монеткой, обручальным кольцом
и дверным ключом. Троих зрителей выбирают в качестве ассистен-
тов. Обозначим их 1, 2 и 3. Чтобы запомнить этот порядок, говорите
вы, одну спичку отдают зрителю 1, две — зрителю 2 и 3 — зрителю 3.
Эти спички берутся из тех 24, что лежат на столе, и в кучке остается
18. Попросите каждого из ассистентов убрать свои спички в карман.
Оптические иллюзии
27
Повернитесь к ним спиной, чтобы не видеть, что происходит, и
попросите зрителя 1 взять со стола один из трех предметов и поло-
жить в карман. Зритель 2 берет один из двух оставшихся предметов.
Третий зритель кладет в карман последний предмет. Теперь попро-
сите того, кто взял со стола монетку, взять со стола столько же спи-
чек, сколько вы дали ему вначале, и зажать их в кулаке. (Вы не зна-
ете, кто это, потому что все еще стоите к ним спиной.) Пусть теперь
тот, кому досталось кольцо, возьмет вдвое больше спичек, чем было
у него сначала, и тоже зажмет в кулаке. Того же, у кого ключ, попро-
сите взять в кулак вчетверо больше спичек, чем досталось ему сна-
чала.
Тут вы поворачиваетесь и после нескольких минут напряженной
экстрасенсорной концентрации говорите каждому, какой из пред-
метов у него в кармане. Разгадка кроется в числе спичек, оставших-
ся на столе. Возможно всего шесть вариантов различных сочетаний
трех предметов и трех зрителей. В результате каждого из них на сто-
ле остается различное число спичек. Если мы обозначим предметы
М, С и К (мелкий, средний и крупный), то в таблице на рис. 11 мы
найдем все возможные сочетания, соответствующие возможным ва-
риантам количества оставшихся спичек. (Обратите внимание, что
ни при каком раскладе не остается четырех спичек. Если на столе
четыре спички, кто-то из участников сжульничал или ошибся, и фо-
кус нужно начинать заново.)
Придумано множество мнемонических предложений, позволя-
ющих ведущему быстро определить, как распределены три предме-
та. Баше обозначал предметы а, е, i - по трем первым гласным —
и пользовался следующей французской фразой: (1) Par fer (2) Cesar (3)
jadis (5) devint (6) si grand (7) prince. Две гласные в каждом слове или
словосочетании сообщают всю необходимую информацию. Напри-
мер, если фокусник видит на столе пять спичек, пятое слово, devint,
говорит ему, что предмет «е» был взят первым зрителем (которому
дали одну спичку), а предмет «Ь — вторым зрителем (с двумя спич-
ками вначале); оставшийся третий предмет, «а», должен находиться
в кармане третьего зрителя, которому в начале демонстрации фоку-
са дали три спички. Другие европейские фокусники XVII века, так-
же обозначая три предмета тремя первыми гласными, запоминали
Шесть сочетаний по первым двум гласным каждого слова следую-
щей латинской строфы: Salve certa animae semita vita quies.
Для английского языка в варианте, в котором предметы обо-
значены буквами S, М, L — small, medium, large, хорошую мне-
28
Лучшие математические игры и головоломки
Число Зрители
остов- ____________ж
шихся । 2
спичек
1 М С Б
2 С м Б
3 м Б С
5 с Б м
6 Б М с
7 Б С м
Рис. 11.
Таблица-ключ к фокусу с тремя предметами.
моническую фразу придумал фокусник-любитель Оскар Вигл:
1) Sam 2) moves 3) slowly [4) since] 5) mule 6) lost 7) limb. Первые две
ключевые буквы каждого слова указывают на два предмета, взятых
первым и вторым ассистентом соответственно, третий же предмет,
доставшийся третьему, находят методом исключения. Для этого
фокуса существует и множество других мнемонических фраз на са-
мых разных языках; читатель при желании гложет придумать свою
собственную. Предметы можно обозначить другими буквами, на-
пример, А, Б, В, или Л, С, Т (легкий, средний, тяжелый), или по за-
главным буквам используемых предметов и т.д. Удобно, когда в
предложении есть и четвертое, не содержащее ключевых букв сло-
во, как у Вигла (в квадратных скобках), хотя остаток из четырех
Оптические иллюзии
29
спичек и невозможен. В этом случае, считая спички, фокусник
просто, проговаривает про себя слова мнемонического предложе-
ния, не заботясь о том, что четвертый номер пропущен. Интерес-
ный расширенный вариант фокуса, датируемый 1893 годом, с учас-
тием п игроков и п предметов, в системе исчисления с основой на п,
приводится в книге У.У. Роуза Болла Mathematical Recreations and
Essays (с. 30 в переиздании 1960 г.).
За другим, не столь старинным способом «чтения мыслей» стоят
некоторые познания в элементарной теории чисел, а также тот факт,
что в новой упаковке картонных спичек их ровно 20 штук. Отверни-
тесь и попросите кого-нибудь'из зрителей оторвать от новой упаковки
любое число спичек от 1 до 10 и положить в карман. Затем попросите
его сосчитать оставшиеся спички, сложить две цифры этого числа и
оторвать от упаковки соответствующее этой сумме число спичек. (На-
пример, если их осталось 16, он складывает 1 и 6, получает 7 и отрыва-
ет еще семь спичек.) Эти спички он также кладет в карман. Наконец,
он отрывает еще несколько спичек — столько, сколько пожелает, —
и зажимает их в кулаке. Теперь вы оборачиваетесь, забираете у него
коробку, считая оставшиеся спички в уме, и кладете ее в карман.
Теперь вы легко можете сказать, сколько спичек у него в кулаке, ведь
в результате двух первых операций в пачке всегда остается девять спи-
чек (можете ли вы доказать, что это всегда так?), и вам остается толь-
ко вычесть из девяти число спичек, оставшихся на упаковке.
Во многие игры, в которых игроки берут по очереди фишки,
например, в ним, удобно играть со спичками; немало и игр, в ко-
торых спички используются в качестве жребия и зажимаются в ку-
лаке. В приведенной ниже игре картонные спички особенно удоб-
ны, потому что у них подходящая форма, а головки бывают разных
цветов. Эту игру относительно недавно придумал Юрг Нивергельт,
математик-программист, и назвал ее «Бей и беги». Обычно в нее иг-
рают на квадратном поле 4x4 (см. рис. 12).
В начале игры у одного игрока полная пачка спичек с черными
головками, у второго тоже полная, но с серыми. По счастливому
совпадению, сорока спичек как раз достаточно. Игроки по очереди
выкладывают по одной спичке на любое ребро решетки игрового
поля. Задача черных - составить из своих спичек путь, соединяю-
щий две противоположные (черные) стороны игрового поля. Задача
серых — соединить две другие (серые) стороны. Пути противоборст-
вующих сторон могут пересекаться под прямым углом. Выигрывает
тот, кто первым заканчивает свой путь. Игра называется «Бей и беги»,
зо
Лучшие математические игры и головоломки
Черные
Черные
Черные
Серые
Рис. 12.
Игровое поле игры «Бей и беги» (вверху)
и завершенная игра (внизу).
Серые Серые
Спички
31
потому что ход игрока может заблокировать путь противника (удар)
и одновременно удлинить его собственный путь (бег).
На первый взгляд игра похожа на «Хеке», придуманный Питом
Хейном, и его более поздние варианты вроде Бриджит и Твикст,
но за ней кроется совершенно другая математическая структура.
Как и в крестиках-ноликах, здесь нетрудно доказать, что в том
случае, если оба игрока играют разумно, игра заканчивается либо
победой того, кто делает первый ход, либо ничьей. Допустим, что
у второго игрока имеется выигрышная стратегия. Первый игрок
может позаимствовать ее, сделав сначала произвольный ход, а за-
тем следуя выигрышной стратегии. Произвольный ход может
быть только ценным вкладом, но не задолженностью. Если выиг-
рышная стратегия требует произвольного хода, то он уже сделан,
поэтому следующий ход тоже непринципиален. Таким образом,
первый игрок выигрывает. Поскольку это противоречит началь-
ному допущению, из этого следует, что у второго игрока нет выиг-
рышной стратегии. Соответственно, первый игрок может либо
выиграть, либо сыграть вничью, хотя это доказательство ничего
не говорит о том, какой именно стратегии он должен придержи-
ваться.
Черные
Черные
Черные
ф
ф
(41) (41)
Черные
Серые
Рис. 13.
Победа игрока, делающего ход первым,
на полях2x2(слева) и 3x3(справа).
32
Лучшие математические игры и головоломки
На поле 2X2 очевидно, что в игре «Бей и беги» выигрывает тот,
кто делает первый ход (слева на рис. 13). Первый ход черных (41)
вынуждает серых пойти С1. Ход 42 ставит черных в такое положе-
ние, при котором они завершают путь любым из двух возможных
ходов (обозначенных 43), поэтому у серых нет возможности поме-
- шать победе черных со следующим ходом. Первый игрок выигрыва-
ет подобным же образом, помещая за первый ход свою спичку на
любую из шести вертикальных линий.
4итатели могут самостоятельно доказать, что на поле 3X3 иг-
ра также всегда заканчивается победой первого игрока (черных),
если он или она сначала ставит спичку на любую из линий, обо-
значенных 41 (справа на рис. 13). Нивергельт получил такое дока-
зательство, просто исчерпав все возможные варианты; из-за его
длины оно здесь не приводится. Насколько мне известно, для по-
ля 4 х 4 и полей большей кратности пока не показано, будет ли
игра заканчиваться победой делающего первый ход или ничьей,
если оба игрока играют максимально хорошо. 4ерными и серыми
спичками можно играть также в игру «Коннекто», описанную Дэ-
видом Л. Силверманом в книге «Твой ход» (изд-во МакГроу-Хилл,
1971). Здесь два игрока также по очереди размещают спички на
Рис. 14.
Окончание игры в «Коннекто».
Спички
33
квадратном поле произвольной кратности, но в этом случае цель
каждого игрока — окружить участок поля любой формы только
своими спичками. На рис. 14 черные выиграли. Сможете ли вы за-
ново открыть простую стратегию Силвермана, с помощью кото-
рой второй игрок всегда может предотвратить выигрыш первого,
даже на бесконечном поле?
Наконец, еще шесть головоломок со спичками (см. рис. 15а
и 156):
1. Уберите семь спичек так, чтобы осталось три.
2. Шесть спичек на рисунке расположены так, чтобы разграни-
чить карту из трех цветов, при условии, что любые два замкнутых
участка карты, имеющие общую границу, не могут быть одного цве-
та. Переставьте спички так, чтобы получилась плоская карта, при
тех же условиях требующая четырех цветов. Трехмерное решение с
построением тетраэдра исключается.
3. Измените положение двух спичек так, чтобы число квадратов
стандартного размера сократилось с пяти до четырех. «Свободные
концы» — спички, не входящие в состав квадрата, не допускаются.
Забавная особенность этой классической задачи в том, что стоит пе-
ревернуть исходную фигуру зеркально, или вверх ногами, или и то и
другое одновременно — и для человека, уже решившего ее, она ока-
зывается столь же трудной.
Рис. 15а.
Шесть задач со спичками.
2-9751
34
Лучшие математические игры и головоломки
Рис. 156.
4. Легко увидеть, как убрать четыре или же три спички, оставив
два равносторонних треугольника, но сможете ли вы оставить два
равносторонних треугольника, убрав только ДВЕ спички? «Свобод-
ных концов» при этом оставаться не должно.
5. Переместите одну спичку так, чтобы равенство стало вер-
ным. Перечеркивать знак равенства, получая знак неравенства,
нельзя.
6. Переместите одну спичку так, чтобы получился квадрат. (Ста-
рое решение, при котором верхняя спичка слегка выдвигается вверх
и в центре образуется квадратное отверстие, не засчитывается; но
юмор понадобится также.)
Спички
35
ДОПОЛНЕНИЕ
В двух упомянутых выше играх со спичками используются спички
с головками двух разных цветов. Если вам удастся найти коробку
спичек с черными головками, то играть черными и белыми спич-
ками даже удобнее. Разумеется, в обе игры можно играть и на бу-
маге, расставляя точки и соединяя их линиями различных цветов.
Нивергельт подчеркивал, что силвермановское доказательство
победы второго игрока при игре в «Коннекто» не работает на других
правильных решетках. Например, на треугольном поле первый иг-
рок может выиграть, заполнив единичный треугольник на седьмом
ходу или быстрее.
Нивергельт находит, что в «Коннекто» весьма занимательно иг-
рать на различных других матрицах, и задается вопросом, кто побе-
дит, если игра будет вестись на кубической сетке. «Было бы инте-
ресно, — писал он, — если бы кто-нибудь в терминах теории графов
определил условия, при которых на регулярной бесконечной мат-
рице первый игрок способен выиграть».
ОТВЕТЫ
Ответ на задачу Дэвида Силвермана выводится из наблюдения, что
любой игрок, выигрывающий в «Коннекто», должен поставить две
спички в форме буквы L в пределах своего участка. Второй игрок
может не дать первому выиграть на поле любого размера, просто ме-
шая своему противнику пристроить вторую спичку, образующую
букву L. Если первый игрок выставляет вертикальную планку по-
тенциальной L, второй ставит на ее месте свою горизонтальную, и
наоборот. Это гарантирует второму игроку по меньшей мере ничью.
Ответы на шесть задачек со спичками даны на рис. 16. Несколь-
ко читателей нашли альтернативное’решение для шестой задачи.
VI слева заменяется на XI, римский эквивалент числу 11 в арабской
записи, расположенному справа.
2*
36 Лучшие математические игры и головоломки
Рис. 16.
Ответы на задачи со спичками.
ГЛАВА 3
Сферы и гиперсферы
— Мама, мама, почему я всегда хожу по кругу?
— Заткнись, а не то я тебе и вторую ногу к полу прибью.
Детский черный юмор, около 19,55 г.
Круг — это местоположение на плоскости всех точек, равноудален-
ных от некоей точки, лежащей в этой плоскости. Давайте распрост-
раним это понятие на эйнштейновские пространства произвольной
мерности и назовем n-мерной сферой местонахождение всех точек
n-мерного пространства на данном расстоянии от неподвижной
точки в данном п-мерном пространстве. В одномерном пространст-
ве (на линии) одномерная сфера состоит из двух точек, расположен-
ных на одинаковом расстоянии по обе стороны от центральной точ-
ки. Двумерная сфера — это крут, трехмерная — шар, то, что обычно
называют сферой в узком смысле. За ней следуют гиперсферы чет-
вертого, пятого, шестого измерений и так далее.
Представьте себе палку длиной в одну единицу, прикрепленную
одним концом к неподвижной точке. Если позволить ей вращаться
только в плоскости, ее свободный конец будет описывать окружность
единичного радиуса. Если она будет вращаться в трехмерном прост-
ранстве, ее свободный конец будет описывать сферу единичного диа-
метра. Допустим теперь, что у пространства есть также четвертая ко-
ордината, перпендикулярная остальным трем, и представим, что те-
перь палка вращается в четырехмерном пространстве. Ее свободный
конец при этом будет описывать четырехмерную гиперсферу единич-
ного диаметра. Гиперсферы невозможно представить зрительно, од-
нако их свойства можно изучать, просто распространяя принципы
шалитичеекой геометрии на пространства, в которых более трех ко-
ординат. Формула Декарта для круга: а2 + Ь2 = г2, где г — это радиус.
Формула для сферы а2 + Ь2 + с2 = г2. Для четырехмерной гиперсферы
12 + Ь2 + с2 + d2 = г2 и так далее по восходящей лестнице измерений.
38
Лучшие математические игры и головоломки
Поверхность n-мерной сферы имеет мерность п — 1. «Поверх-
ность» круга — одномерная линия, поверхность собственно сферы —
двумерная, а поверхность четырехмерной гиперсферы трехмерна.
Возможно ли, что наше трехмерное пространство на самом деле — это
гиперповерхность огромной четырехмерной сферы? Могут ли такие
силы, как гравитация и электромагнитные силы, передаваться как
вибрации подобной гиперповерхности? Многие математики и физи-
ки конца XIX века, как эксцентричные, так и ортодоксальные, отно-
сились к таким предположениям серьезно. Сам Эйнштейн предлагал
поверхность четырехмерной сферы в качестве модели Вселенной,
безграничной и вместе с тем конечной. Подобно тому, как обитатели
плоского мира на поверхности сферы могут двигаться по прямой в
любом направлении и вернутся тем не менее в исходную точку, так
(предполагал Эйнштейн) и космический корабль, покинувший Зем-
лю и движущийся достаточно долго в одном направлении, когда-ли-
бо вернется назад. Если житель плоского мира начнет закрашивать
поверхность сферы, на которой он живет, все расширяя витки спи-
рали, то рано или поздно он достигнет точки, после которой витки
спирали будут сужаться, а он окажется внутри, и в конечном счете
окажется на крохотном незакрашенном островке, окруженном крас-
кой. Аналогично в космосе Эйнштейна, если земные астронавты
начнут картировать Вселенную по все более расширяющимся сфе-
рам, они в конечном счете окажутся в небольшом сферическом про-
странстве на противоположной стороне гиперсферы.
Многие другие свойства гиперсфер именно таковы, каких следо-
вало бы ожидать по аналогии со сферами измерений низшего по-
рядка. Круг вращается вокруг центральной точки, сфера вращается
вокруг центральной прямой, четырехмерная гиперсфера вращается
вокруг центральной плоскости. В общем виде ось вращения п-мер-
ной сферы - пространство размерностью п — 2. (Четырехмерная
сфера, однако, способна на удивительное двойное вращение, кото-
рому нет аналогов в дву- или трехмерном пространствах: она может
вращаться одновременно вокруг двух фиксированных перпендику-
лярных друг другу плоскостей.) Проекция круга на прямую — отре-
зок, но каждая точка этого отрезка, за исключением его концов, со-
ответствует двум точкам на окружности. Если спроецировать сферу
на плоскость, вы получите диск, и каждая точка окружности будет
соответствовать двум точкам на поверхности сферы. Проекция че-
тырехмерной гиперсферы на наше трехмерное пространство будет
заполненным шаром, каждая внутренняя точка которого будет со-
Сферы и гиперсферы
39
ответствовать двум точкам гиперповерхности четырехмерной сфе-
ры. Это также верно и для сфер высших измерений.
То же верно и для сечений. Пересеките круг прямой, и сечение
будет одномерной сферой, или отрезком, ограниченным парой точек.
Разрежьте сферу плоскостью, и сечение окажется кругом. Рассеките
четырехмерную сферу трехмерной гиперплоскостью, и срез будет
трехмерной сферой. (Двумерной плоскостью гиперсферу разрезать
нельзя. Гиперъяблоко, рассеченное пополам двухмерной плоско-
стью, останется одним целым.) Представим себе, что четырехмерная
сфера медленно движется сквозь наше пространство. Сначала мы
увидим ее как точку, а затем как маленькую сферу, которая будет рас-
* ти и, достигнув максимального размера — своего максимального се-
чения, постепенно станет уменьшаться и исчезнет.
Сфера любого измерения, сделанная из достаточно гибкого ма-
териала, может быть вывернута наизнанку в следующем по мернос-
ти измерении. Точно так же, как мы можем изогнуть тонкое резино-
вое кольцо так, чтобы его внутренняя сторона стала внешней, ги-
персущество смогло бы, взяв наш теннисный мяч, вывернуть его
наизнанку через свое пространство. Оно могло бы сделать это как
сразу, так и начать с одной конкретной точки, вывернуть сначала
небольшую часть, затем постепенно увеличивать ее, пока весь мяч
не окажется вывернут наружу.
Рис. 17.
Найдите радиус четвертого круга.
40
Лучшие математические игры и головоломки
Одна из самых изящных формул, легко обобщаемая на сферы
всех измерений, это формула радиусов максимального числа взаим-
но соприкасающихся- n-мерных сфер. На плоскости можно размес-
тить не более четырех окружностей так, чтобы каждая из них каса-
лась трех других, причем каждая пара соприкасается в отдельной
точке. В принципе возможны две ситуации (за исключением вырож-
денных случаев, когда у одного круга бесконечный радиус и он ста-
новится прямой): либо три больших круга окружают маленький
(рис. 17, слева), либо три маленьких круга находятся внутри одного
большого (рис. 17, справа). Фредерик Содци, британский химик, по-
лучивший в 1921 году Нобелевскую премию за открытие изотопов,
так написал об этом в первом стансе поэмы «Идеальный поцелуй»,
появившийся в журнале Nature (т. 137, 20 июня 1936 г., с. 1021):
Чтобы поцеловаться, двум парам губ,
вероятно, тригонометрия не нужна.
Не так обстоит дело, когда целуются
четыре круга — каждый три других.
Чтобы это случилось, нужно, чтобы
три были в одном или один среди трех.
Если один среди трех,
каждому достается три поцелуя снаружи.
Если три в одном,
то тот один трижды расцелован изнутри.
Следующий станс Содди описывает простую формулу. Его тер-
мин «изгиб» — это то, что обычно называют кривизной, — величина,
обратная радиусу. (Таким образом, у окружности радиусом 4 кри-
визна равна 1/4.) Если как в случае большого круга, окружающего
три маленьких, его касаются изнутри, то говорят, что кривизна его
отрицательная, и число, означающее ее величину, пишется со зна-
ком минус. Содди пишет обо всем этом так:
Четыре круга слились в поцелуе,
у тех, что меньше, больше изгиб.
Изгиб — это всего лишь величина,
обратная расстоянию от центра.
Хотя Эвклид и не писал об этом ничего,
нам не нужно ничего считать на пальцах,
поскольку известно, что нулевой изгиб —
Сферы и гиперсферы
41
это прямая линия, у вогнутого изгиба — знак минус,
а сумма квадратов всех четырех изгибов
равна половине квадрата их суммы.
Если а, Ь, с, d — четыре кривизны, то формула Содди выглядит
как 2(а2 + Ь2 + с2 + d2) = (а + b + с + d)2. Читатель без особого тру-
да сможет подсчитать радиусы четвертых кругов на каждой иллюст-
рации. В третьем и последнем стансе поэмы эта формула расшире-
на для пяти взаимно соприкасающихся сфер:
Инспектор целовальных дел может обнаружить,
что за занятиями сфер уже не так просто наблюдать,
ведь у сфер дела идут веселее:
теперь, помимо пары пар,
пятая сфера участвует в поцелуе.
Однако теперь для того, чтобы каждая могла
целовать другие четыре,
квадрат суммы всех прогибов
должен быть втрое больше суммы их квадратов.
Издатели журнала «Нейчур» сообщили в номере за январь 1937 года
(т. 139, с. 62), что они получили от читателей несколько четвертых стан-
сов, в которых формула Содди обобщалась для n-мерных пространств,
однако опубликовали они только следующий, принадлежащий перу
Торольда Госсета, английского адвоката и математика-любителя:
И не стоит нам ограничивать себя
лишь простыми кругами, плоскостями и сферами,
но следует подняться выше,
к гиперплоскостям и кривизнам,
где поцелуи множатся в числе.
В n-мерном пространстве целующиеся пары -
это гиперсферы, и, видит Бог, когда их п + 2
и каждая целуется с и + 1 другими,
квадрат суммы всех кривизн
равен сумме их квадратов, помноженной на п.
В грубой прозе, для n-мерного пространства максимально воз-
можное число взаимно соприкасающихся сфер равно п + 2, и сумма
квадратов всех кривизн, помноженная на п, равна квадрату суммы
42
Лучшие математические игры и головоломки
всех кривизн. Позднее оказалось, что формула для четырех сопри-
касающихся окружностей была известна еще Рене Декарту, но Сод-
ди переоткрыл ее независимо и, по всей видимости, первый распро-
странил ее также на сферы.
Обратите внимание, что общая формула годится даже для трех
взаимно соприкасающихся «сфер» одномерного пространства: два
соприкасающихся концами отрезка внутри третьего, который пред-
ставляет собой просто сумму этих двух. Для любителя заниматель-
ной математики эта формула — просто подарок. Головоломки о со-
прикасающихся сферах и кругах легко решаются с ее помощью. Вот
одна из них. Три взаимно соприкасающихся сферических грейп-
фрута, каждый с радиусом в три дюйма, лежат на, плоском столе.
Идеально круглый апельсин также лежит на этом столе под тремя
грейпфрутами и касается каждого из них. Каков радиус апельсина?
Задачи плотной упаковки сфер единичного радиуса не так легко
обобщить, поднимаясь вверх по лестнице измерений: чем больше
мерность пространства, тем они сложнее. Рассмотрим, к примеру,
задачу определения наибольшего числа сфер единичного радиуса,
которые могут соприкасаться с одной единичной сферой. Для кру-
гов это число равно шести (см. рис. 18). Для сфер оно равно 12, но
это удалось доказать лишь в 1874 году. Трудность тут заключается в
том факте, что, когда 12 сфер располагаются вокруг тринадцатой, с
центрами в углах воображаемого икосаэдра (см. рис. 19), между
каждой парой остается довольно много места. Пустого пространст-
ва, как кажется, даже несколько больше, чем требуется для того,
чтобы впихнуть тринадцатую сферу, вот если бы только эти 12 мож-
но было бы раздвинуть и правильно упаковать. Смазав 14 шариков
для пинг-понга резиновым клеем, читатель обнаружит, как легко
обклеить один из них двенадцатью другими, однако ему будет сов-
сем не ясно, возможно ли будет добавить тринадцатый, не сдавли-
вая его и соседей. Вопрос, эквивалентный этому (понимает ли чита-
тель, почему?), таков: можно ли 13 бумажных кружков, каждый из
которых занимает 60 градусов дуги круга по диаметру сферы, накле-
ить на эту сферу так, чтобы они не перекрывались?
Х.С.М. Коксетер, рассказывая о «Проблеме расположения оп-
ределенного числа равных неперекрываюшихся кругов на сфере»
(в «Трудах Нью-Йоркской академии наук», т. 24, январь 1962 г.,
с. 320-331), упоминает о том, что, возможно, было первой доку-
ментированной дискуссией по проблеме тринадцати сфер. Дэвид
Грегори, оксфордский астроном и друг Исаака Ньютона, упомя-
Сферы и гиперсферы
43
Рис. 18.
Шесть окружностей единичного размера касаются седьмой.
нул в записной книжке в 1694 году, что он и Ньютон имели спор
на эту тему. Они обсуждали, как звезды различной величины рас-
пределены по небу, и это привело их к вопросу о том, может ли
или нет одна единичного размера сфера соприкасаться с 13 други-
ми. Грегори полагал, что может. Ньютон был с ним не согласен.
Как пишет Коксетер, «прошло 1809 лет, прежде чем Р. Хоппе до-
казал, что Ньютон был прав». С тех пор были опубликованы более
простые доказательства, самое последнее — в 1956 году, Джоном
Личем, британским математиком.
Как много единичных гиперсфер в четырехмерном пространстве
может соприкасаться с одной гиперсферой? До сих пор неизвестно,
24, 25 или 26. Ничего определенного нельзя сказать и про измерения
более высокого порядка. Для пространств с мерностью от 4 до 8 са-
мые плотные возможные размещения известны лишь в тех случаях,
если центры гиперсфер образуют правильную решетку. При таком
размещении нижние пределы чисел сфер, которые могут в данном
измерении касаться другой, равны, соответственно, 24, 40, 72, 126 и
240. Если мы не ограничены размещением по правильной решетке,
соответственные верхние границы равны 26, 48, 85, 146 и 244. Для
пространств сложнее восьмимерного неизвестна даже плотность
размещения по правильной матрице. На основе нерегулярного раз-
44
Лучшие математические игры и головоломки
Рис. 19.
Двенадцать сфер единичного размера касаются тринадцатой.
мещения, как сообщили Лич и Слоун в 1970 году, 306 сфер могут ка-
саться другой сферы в девятимерном пространстве и 500 — в десяти-
мерном. (Верхние пределы тут равны, соответственно, 401 и 648).
Почему такие сложности с девятимерным пространством? Рас-
смотрение некоторых парадоксов с гиперкубами и гиперсферами
может пролить немного света на забавные явления, происходящие в
девятимерном мире. В единичный квадрат можно поместить, от од-
ного угла до другого по диагонали, отрезок длиной V2. В единич-
ный куб таким же образом можно упаковать отрезок длиной уже
73. Расстояние между противоположными углами n-мерного куба
равно 4п, и поскольку квадратные корни увеличиваются бесконеч-
Сферы и гиперсферы
45
но, из этого следует, что если п достаточно велико, то в единичный
n-мерный куб можно вписать отрезок любой длины. Удочка длиной
10 футов войдет по диагонали в однофутовый стомерный куб. Это
относится также к объектам более высоких измерений. В кубе поме-
стится квадрат размером больше, чем его квадратная поверхность.
В четырехмерный куб войдет трехмерный куб, больший, чем его
кубическая гиперповерхность. В пятимерный куб войдут более
крупные квадраты и кубы, чем в любой куб более низких измерений
с ребром той же длины. Слон или весь Эмпайр-Стейт-Билдинг с
легкостью войдут в n-мерный куб со сторонами не больше кубика
сахара, если только п достаточно велико.
Ситуация с n-мерной сферой совершенно иная. Не важно, как
велико становится п, в n-мерную сферу никогда не поместится отре-
зок, больший, чем ее диаметр. При этом с увеличением п с п-прост-
ранством происходит нечто весьма странное. Площадь единичного
круга равна, разумеется, л. Объем единичной сферы более 4,1. Гипе-
робъем единичной четырехмерной сферы более 4,9. В пятимерной
сфере гиперобъем еще больше, 5,2 с лишним, однако в шестимерной
он уже снижается до 5,1, и с этого момента неуклонно падает. В са-
мом деле, с приближением п к бесконечности гиперобъем п-мерной
сферы стремится к нулю! Отсюда следует множество удивительных
выводов. Дэвид Сингмастер, рассуждая «О круглых втулках в квад-
ратных дырках и квадратных втулках в круглых дырках» («Математи-
ческий журнал», т. 37, ноябрь 1964 г., с. 335—337), решил, что круглая
втулка подходит к квадратной дырке лучше, чем наоборот, потому
что отношение площади круга к описывающему его квадрату (л/4)
больше, чем то же отношение для квадрата, вписанного в круг. Ана-
логично можно показать, что шар лучше вписывается в куб, нежели
куб в шар, хотя тут разница между соотношениями чуть меньше.
Сингмастер обнаружил, что эта разница продолжает уменьшаться
вплоть до восьмимерного пространства, а затем меняет знак на про-
тивоположный: в девятимерном пространстве отношение п-мерно-
го шара к n-мерному кубу меньше, чем отношение n-мерного куба
к n-мерному шару. Иными словами, n-мерный шар лучше входит
в n-мерный куб, чем n-мерный куб в n-мерный шар, только в том
случае, если п меньше или равно восьми.
Подобный же неожиданный поворот дел в девятимерном прост-
ранстве случается и в неопубликованном парадоксе, открытом Лео
Мозером. Четыре единичных круга уместятся в квадрате со сторо-
той 4 (см. рис. 20). В центр при этом мы можем поместить еще не-
46
Лучшие математические игры и головоломки
сколько меньший круг с радиусом 72—1. Аналогичным образом во-
семь единичных сфер разместятся по углам куба со стороной 4
(см. рис. 21). Радиус самой большой сферы, которая поместится при
этом в пространство в центре, равен 73 — 1. Далее этот ряд обобща-
ется очевидным образом. В четырехмерный куб со стороной 4 мы
можем вписать уже 16 единичных четырехмерных сфер и централь-
ную сферу радиуса 74 — 1, что равно 1, так что центральная сфера те-
перь того же размера, что и прочие. В общем случае по углам п-мер-
ного куба со стороной 4 можно разместить 2П единичных п-мерных
сфер, а также еще одну сферу в центре с радиусом 7« — 1. Однако об-
ратите внимание, что происходит, когда мы доходим до девятого из-
мерения: радиус центральной сферы оказывается равен 79 -1 = 2,
что равно половине ребра гиперкуба. Ни в каком более высоком из-
мерении центральная сфера не может быть больше, потому что те-
перь она заполняет весь гиперкуб, касаясь центров всех гиперпо-
верхностей, и все же в 29 = 512 углах имеется достаточно места для
512 единичных девятимерных сфер!
Близкий этому, также неопубликованный парадокс, опять-таки
открытый Мозером, рассматривает n-мерные шахматные доски.
Вокруг всех черных квадратов описаны круги (см. рис. 22). Допус-
тим, что сторона каждой клетки — 2, а площадь — 4. У каждого кру-
га радиус 72 и площадь 2л. Площадь каждой белой клетки, которая
Рис. 20.
Четыре круга вокруг одного радиуса 4~2 — 1.
Сферы и гиперсферы
47
Рис. 21.
Восемь сфер единичного радиуса оставляют место для еще одной
с радиусом у/з — 1.
осталась белой (не занята частью окружности), равна 8-г2л:=1,71+.
В аналогичной ситуации для кубической шахматной доски черные
кубические поля со стороной 2 заключены в сферы. Объем каждой
черной клетки равен 8, а объем каждой сферы, радиус которой >/3,
равен 4тгV3, однако объем каждого белого куба, не занятого частя-
ми сфер, уже не так просто подсчитать, потому что эти сферы час-
тично перекрываются.
Рассмотрим теперь четырехмерную сетку из гиперкубов со сто-
роной 2 с ячейками, раскрашенными в шахматном порядке, как и
раньше, так, что каждая клетка окружена восемью гиперкубами
противоположного цвета. Вокруг каждой черной гиперклетки опи-
48
Лучшие математические игры и головоломки
Рис. 22.
Задача Лео Мозера о шахматных гипердосках.
сана гиперсфера. Каков гиперобъем области белых клеток, не вклю-
ченный в сферы? Неожиданный ответ можно получить сразу, не
зная формулы для объема гиперсферы.
ОТВЕТЫ
В первой задаче предлагалось определить размеры двух окружнос-
тей, каждая из которых касается трех других взаимно соприкасаю-
щихся окружностей с радиусами в одну, две и три единицы. Вос-
пользовавшись формулой, данной в этой главе выше,
_ 1 1 1 ч zi 1 1 1 ч2
2(i+ _+ - + _) = (]+ - + - + -)1
4 9 х 2 3 х
5
Сферы и гиперсферы
49
где х — радиус четвертого круга, несложно получить значение 6/23
для маленького круга и 6 — для большого.
Во второй задаче говорилось об апельсине и трех грейпфрутах с
радиусом по три дюйма, лежащих на столе и соприкасающихся
друг с другом. Какого размера апельсин? Плоскость, на которой
они покоятся, можно рассматривать как пятую сферу с бесконеч-
ным радиусом, касающуюся четырех других. Поскольку у нее ну-
левая кривизна, она не учитывается в формуле о значениях, обрат-
ных радиусам пяти соприкасающихся сфер. Пусть, х — радиус
апельсина, тогда:
откуда х равен одному дюйму.
Эту же задачу можно, разумеется, решить и другим способом.
Когда она появилась под номером 43 в Pi Mu Epsilon Journal, за но-
ябрь 1952 г., Леон Банкофф решил ее следующим образом (R — ра-
диус большой сферы, г — маленькой):
«Меньшая сфера радиусом г касается стола в точке, равноуда-
ленной от точек соприкосновения трех больших сфер со столом.
Следовательно, она лежит в центре окружности, описанной вокруг
равностороннего треугольника, сторона которого равна 2R. Тогда
(R + г) — гипотенуза прямоугольного треугольника, высота которо-
го равна (R — г), а основание которого V3 / 3. Таким образом,
(R + г)2 = (R - г)2 + 4R2/3, или г = R/3».
Ответ на парадокс Лео Мозера о четырехмерной шахматной дос-
ке заключается в том, что никакая часть белых гиперкубов не оста-
ется незанятой гиперсферами, описанными вокруг черных гиперку-
бов. Радиус каждой гиперсферы равен V4 или 2. Поскольку у ги-
перкубических полей сторона равна 2, мы сразу видим, что каждая
из восьми гиперсфер вокруг белого гиперполя доходит до самого
центра этого поля. Восемь гиперсфер пересекаются одна с другой,
не оставляя в белой гиперклетке незанятого места.
ГЛАВА 4
Принципы индукции
Многие игры и развлечения отдаленно перекликаются с индукцией,
той странной процедурой, с помощью которой ученые, отметив тот
факт, Что у некоторых изученных страусов длинные шеи, делают из
него вывод, что у всех неизученных страусов также длинные шеи.
Например, в покере и бридже игроки, наблюдая за ходом игры, по
отдельным намекам строят гипотезы относительно возможного рас-
клада карт на руках у противников. Шифровальщик догадывается,
что данное слово с характерным расположением букв, например,
йцуйфйщйцуй, обозначает «абракадабра», затем проверяет это ин-
дуктивное умозаключение, пробуя подставить полученные буквы в
текст. В старой игре участники передают друг другу по кругу ножни-
цы. Передавая ножницы, игрок говорит «открыто» или «закрыто».
Те, кто знают секретное правило, поправляют его, когда он говорит
неверное слово, и так забава продолжается, пока все участники пу-
тем индукции не отгадают правило. На ножницы смотреть не нуж-
но, это отвлекающий маневр; нужно говорить «закрыто» только в
том случае, если у говорящего скрещены ноги.
В некоторых хорошо знакомых нам играх, таких как «морской
бой», параллели с научным методом более очевидны, однако первой
игрой, в полной мере построенной на принципе индукции, была
«Элевсин» (Eleusis), карточная забава, придуманная Робертом Аббо-
том и впервые описанная в моей колонке в журнале «Сайентифик
Америкен» за июнь 1959 г. (более подробно см. «Новые карточные
игры от Аббота», издательство Stein & Day, 1963, и книгу Funk &
Wagnalls от 1969 года). «Элевсин» заинтриговал многих математиков —
Принципы индукции
51
в том числе Мартина Крускала из Принстонского университета, ко-
торый разработал замечательную разновидность этой игры, описан-
ную в 1962 году в изданном за собственный счет буклете «Дельфы —
игра индуктивного мышления».
В «Элевсине» и в «Дельфах» секретное правило, определяющее
порядок, в котором могут быть разыграны отдельные карты, упо-
добляется закону природы. Игроки пытаются отгадать это правило
путем индукции и затем (как ученые) проверяют на практике свои
умозаключения. В этой главе я представлю вам новую индуктивную
игру под названием «Узоры», созданную Сидни Сэксоном и вклю-
ченную в его замечательную книгу «Весь диапазон игр».
В «Узоры» играют с карандашом и бумагой, участвовать в ней мо-
жет любое число игроков, хотя удобнее, если их не более шести. Она
заметно отличается от «Элевсина» и «Дельф», но подобно им удиви-
тельно напоминает научный метод, настолько, что с ней переклика-
ются многие трудноразрешимые задачи, связанные с индукцией и
приковывавшие внимание философов от науки с тех пор, как Дэвид
Юм доказал, что индукция не оправдана с точки зрения логики.
Каждый игрок вычерчивает на своем листе бумаги игровое поле
размером шесть на шесть клеток. Игрок, которого выберут Проек-
тировщиком (роль Проектировщика переходит от игрока к игроку с
каждой новой игрой), втайне от других заполняет свои 36 клеток,
рисуя в каждой один из четырех различных символов. Сэксон пред-
лагает те четыре, что приведены на рис. 23, но сойдут и любые дру-
гие четыре. Проектировщик, исполняющий здесь функции Приро-
ды, Провидения, Божества или Вселенной, волен заполнять клетки
как ему вздумается; фигуры могут образовывать полностью или ча-
стично симметричный узор, либо вообще располагаться без види-
мого порядка., Однако (и здесь Сэксон применяет блестящую идею
Аббота) метод подсчета числа очков таков, что Проектировщику
выгоднее создавать узоры симметричные либо определенным обра-
зом упорядоченные, которые сможет распознать хотя бы один иг-
рок, но при этом не сможет разгадать хотя бы один другой игрок.
Примеры четырех типичных узоров из книги Сэксона располага-
ются примерно по степени сложности разгадывания (см. рис. 23).
Все они до определенной степени зрительно симметричны, однако
'если игроки достаточно сильны в математике, можно использовать
и иные виды упорядоченности, отличные от симметрии. Например,
Проектировщик может, нумеруя клетки последовательно слева на-
право и сверху вниз, ставить крестик в тех случаях, когда порядко-
52
Лучшие математические игры и головоломки
1 "I*,
—|— • • • • • • —-|—
1 * • • ☆ • • • 1
• • • ☆ • • • —1—
о —1— • • * •
о —F* 1
Рис. 23.
Узоры из игры Сидни Сэксона, демонстрирующие различные виды симметрии.
вый номер клетки — простое число, и звездочку — во всех остальных.
То, каким будет Исходный План, во многом связано с тем, как Про-
ектировщик оценивает способности остальных игроков, потому
что, как мы сейчас увидим, больше всего очков он получает тогда,
когда у одного из игроков - очень хороший, а у другого — очень сла-
бый результат. Сможет ли читатель распознать принцип, согласно
которому фигуры выстраиваются в асимметричную картину, приве-
денную на рис. 24?
Проектировщик кладет свой листок на стол картинкой вниз. Те-
перь каждый, из игроков может задавать вопросы, отмечая на своей
сетке косой черточкой в левом нижнем углу ту клетку, о содержимом
Принципы индукции
53
Рис. 24.
По какому принципу распределены эти фигуры?
которой он хотел бы узнать. Его листок картинкой вниз передается
Проектировщику, который ставит правильный символ в указанную
клетку. Очередности нет. Игрок может задавать вопрос, когда хочет,
и получать подсказки относительно любого числа клеток. Каждый
такой вопрос соответствует научному наблюдению над природой
или эксперименту, ведь эксперимент — это всего лишь способ кон-
тролируемо получать нужные наблюдения; клетки, заполненные
Проектировщиком, соответствуют результатам таких эксперимен-
тов. Игрок может задать вопрос о содержимом всех тридцати шести
клеток и сразу получить весь узор, но это не даст ему никаких пре-
имуществ, потому что в этом случае, как мы сейчас увидим, его счет
будет равен нулю.
Когда игрок решает, что понял Исходный План, он рисует сим-
волы во всех пустых клетках. Эти символы, вычисленные путем ин-
дукции, заключаются в скобки, чтобы их сразу было видно. Если иг-
рок решает, что не в состоянии угадать исходный узор, он может
выйти из игДы с нулевым счетом. Это иногда имеет смысл, так как
спасает от отрицательного счета, а также потому, что налагает
штраф на Проектировщика.
После того как все игроки либо заполнили все 36 своих клеток,
либо вышли из игры, Проектировщик обнародует свой Исходный
План, поворачивая листок лицом вверх. Каждый из игроков сверяет
54
Лучшие математические игры и головоломки
свои догадки с исходным узором, выставляя себе +1 за каждый вер-
ный символ и —1 за каждый неверный. Получившаяся в результате
сумма будет его счетом. Если игрок мало обращался за подсказками и
отгадал все или почти все символы верно, у него будет хороший счет.
Если неверных ответов окажется больше, чем верных, счет будет от-
рицательным. Те, у кого много очков, — прекрасные ученые; те, у ко-
го их мало, — ученые посредственные, чересчур импульсивные (ино-
гда просто невезучие), публикующие плохо подтвержденные теории.
Выходят из игры ученые посредственные или слишком осторожные,
предпочитающие не рисковать и не строить предположений.
Счет Проектировщика составляет удвоенная разница между са-
мым хорошим и самым низким счетом. На него налагается штраф за
каждый выход из игры. Из его счета вычитают пять очков, если вы-
был один, и десять очков за каждого последующего выбывшего.
Сэксон приводит следующие примеры результатов игры игроков А,
Б, В и проектировщика П:
Если А набирает 18 очков, Б — 15, а В — 14, то П получает 8 оч-
ков — удвоенную разницу между 18 и 14.
Если А набирает 18,Б-15, аВ только —2 очка, П получает 40 оч-
ков — удвоенную разницу между 18 и —2.
Если А набирает 12, Б набирает 7, а В выходит из игры с нулевым
счетом, то П получает 19 очков — удвоенную разность 12 и 0 за вы-
четом пяти очков штрафа за одного выбывшего из игры.
Если А набирает 12 очков, а Б и В выходят из игры, то П получа-
ет 9. Это удвоенная разница между 12 и 0, минус 5 очков штрафа за
первого выбывшего и 10 — за следующего.
Рис. 25.
Три этапа нащупывания
Исходного Плана.
1
Принципы индукции
55
Если все трое выйдут из игры, счет П составит -25. Его базовый
счет — 0, и 25 очков вычитается за трех выбывших.
Реальная партия, сыгранная Сэксоном, демонстрирует нам, как
рассуждает хороший игрок (см. рис. 25). Пятью начальными под-
сказками игрок проверяет рисунок на наличие симметрии (слева).
Листок с пятью заполненными символами возвращается игроку (се-
редина). Серия дополнительных запросов приносит новую инфор-
мацию (справа). Похоже, что рисунок симметричен относительно
диагональной оси, проходящей из верхнего левого в правый нижний
угол. Поскольку звезды так и не появились, Сэксон делает индук-
тивный вывод, что на этом рисунке их нет.
Теперь наступает ответственный момент, так плохо поддающий-
ся рационализации, момент интуитивного предчувствия или озаре-
ния, шаг, символизирующий формулировку гипотезы сведущим и
творчески мыслящим ученым. Сэксон выдвигает предположение,
что в верхнем левом углу рисунка находится кружок, что все примы-
кающие к нему три клетки содержат плюсы и что, если двигаться
вниз по диагонали, плюсы с флангов окружают троеточия, а узор
повторяется, выстраивая более длинные последовательности из тех
же трех символов в том же цорядке. Чтобы проверить эту догадку
минимальным числом подсказок, Сэксон запрашивает информа-
цию только по еще двум клеткам, клеткам, которые на рис. 25 спра-
ва показаны пустыми, но с косыми чертами слева.
Если в этих клетках не окажутся кружки, исходное предположе-
ние неверно. Как полагает философ Карл Поппер, самое «сильное»
предположение — то, которое проще всего опровергнуть, и Поппер
56
Лучшие математические Игры и головоломки
считает его эквивалентом «самой простой» гипотезы. В игре Сэксо-
на самое сильное (простое) предположение заключается в том, что
все клетки содержат один и тот же символ, например, звезду. Оно
является «сильным» в попперовском смысле, потому что любой за-
прос относительно любой клетки, ответом на который будет не звез-
да, опровергает его. Самое слабое предположение - что в каждой
клетке расположен один из четырех символов. Поскольку ни один
запрос не сможет опровергнуть это утверждение, эта гипотеза со-
вершенно верна и столь же бесполезна, лишена какого-либо эмпи-
рического содержания, ведь она ничего не говорит нам об Исход-
ном Плане.
Круги оказываются именно там, где Сэксон и ожидал их увидеть.
Это увеличивает то, что философ Рудольф Карнап называл «степе-
нью достоверности» гипотезы относительно совокупности имею-
щихся данных. Сэксон решает совершить индукционный рывок и
«опубликовать» свои предположения. Он заполняет пустые клетки
своей сетки. При сравнении получившегося у него рисунка с Исход-
ным Планом (см. рис. 26) подсчет отгаданных символов (тех, что" в
скобках) показывает в итоге, что Сэксон правильно отгадал 20 из
них и ошибся в одном, получив 19 очков.
Единственная звезда, не предугаданная Сэксоном, неожиданна,
но тем самым напоминает нам о тех сюрпризах, что так часто пре-
подносит нам Природа. Наука — сложная игра, в которой Вселен-
ной присуща некая сверхъестественная упорядоченность, порядок,
который частично поддается человеческому осознанию, но не без
приложения к этому усилий. Чем больше мы изучаем историю иг-
ры, именуемой Наукой, тем больше нас преследует странное чувст-
во, что Вселенная старается максимально увеличить свой счет. Пре-
красная иллюстрация этому — недавнее независимое открытие
Марри Гелль-Манном и Ювалом Нееманом «восьмеричного пути».
Это вид симметрии, определяемый постоянной структурой групп,
характерный, по всей видимости, для всех элементарных частиц.
Как только накопился достаточный объем информации, закон об-
наружили сразу два физика, однако благодаря своей сложности для
всех остальных игроков он оставался незамеченным.
Сэксон, изобретатель «Узоров», по профессии инженер, специ-
ализировавшийся на строительстве стальных мостов и зданий. Со-
бирание, изучение и изобретение игр — увлечение всей его жизни.
У него одна из самых богатых частных коллекций современных па-
тентованных игр, книг по играм, а также сведений^ полученных
Принципы индукции
57
Рис. 26.
Узор, построенный игроком (слева) в сравнении с Исходным Планом (справа).
кропотливыми изысканиями в крупнейших библиотеках и музеях
мира. Он сам изобрел сотни игр. Первую, сообщает он в своей кни-
ге, он придумал, когда был еще в первом классе; она заключалась в
расположении слов на странице в виде колец и собирания этих ко-
лец в цепи. Первой настольной игрой, право на которую он приоб-
рел, была Uncle Wiggily, до сих пор не исчезнувшая с рынка. Приоб-
ретя ее, он немедленно изменил правила и заменил зайчиков солда-
тиками, чтобы отныне это была военная игра.
Почти все игры Сэксона, встречающиеся на рынке, отдают пред-
почтение скорее интеллекту, чем везению. Игра под названием
Acquire, об инвестициях в гостиничные сети, лидирует в списке
продаж. Среди других его игр, присутствующих на рынке, следует
упомянуть «Дело неуловимого убийцы» (логическая игра, основан-
ная на диаграммах Венна), «Фокус», «Базар», Tam-Bit, Take Five,
«Чет или Нечет», «Темпо», «Интерплей» и две карточные игры —
Venture и Monad.
Книга «Весь спектр игр» замечательна тем, что почти любая из 38
приведенных в ней игр будет совершенно незнакома для читателя.
Инвентарь для игры в любую из них легко приобрести или сделать;
это карты, игральные кубики, костяшки домино, счетные палочки и
шахматные доски. Двадцать две из них придуманы самим Сэксоном.
Другие созданы либо друзьями Сэксона, либо это старинные игры,
заслуживающие возрождения. Конечно, не найдется двух читателей,
которые бы отреагировали на каждую из этих игр одинаково. Мне
58
Лучшие математические игры и головоломки
особенно нравится «Охота на ферзя», в которую играют одним чер-
ным и одним белым ферзем, а также тридцатью маленькими фишка-
ми. Ее придумал Александр Рэндольф, родившийся в Чехословакии,
но ныне живущий в Венеции. Ему принадлежат несколько превос-
ходнейших игр, популярных на американском рынке: Oh-Wah-Ree
(основанная на африканской игре манкала), Twixt и Breakthru. Дру-
гую игру, имеющую непосредственное отношение к математике, Сэк-
сон нашел в сборнике 1890 года; это Plank, разновидность крестиков-
ноликов, в которую играют с помощью двенадцати трехцветных кар-
тонных полосок.
Живой язык книги Сэксона пестрит забавными историями и
вкраплениями неожиданных исторических данных. До прочтения
этой книги я не знал, что поэт XVII в. сэр Джон Саклинг изобрел
cribbage или что «Монополия», самая коммерчески успешная из па-
тентованных настольных игр, создана на основе «Игры в помещи-
ка», запатентованной в 1904 году некоей Лиззи Дж. Мэджи и пред-
назначавшейся для изучения «теории одного налога» Генри Джорд-
жа. Сэксон приводит изображение игровой доски, запатентованной
Мэджи, — сходство с «Монополией» очевидно.
Коммерчески успешные игры, напоминает нам Сэксон, как пра-
вило, отражают крупнейшие события и ключевые интересы своего
времени. Забавным подтверждением этому правилу может послу-
жить, пусть и не упомянутая Сэксоном, «Игра в деньги», изобретен-
ная сэром Норманом Энджеллом, получившим в 1933 году Нобе-
левскую премию мира. Помимо особых карт и миниатюрных денег
в коробке этой игры, имитировавшей спекуляции на биржё, нахо-
дилось также руководство в двести с лишним страниц, написанное
Э.П. Даттоном, с участием Уолтера Липпманна, Джона Дьюи и из-
вестных экономистов. В чем же заключается мрачная ирония этой
игры? Дата ее выпуска - 1929 год, начало Великой депрессии.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Роберт Эббот значительно изменил свою игру «Элевсин», сделав ее
более увлекательной. Правила «Нового Элевсина» см. в моей ко-
лонке в «Сайентифик Америкен» за октябрь 1977 года.
Сидни Сэксон в 1970 году оставил инженерную деятельность и все-
цело посвятил себя изучению игр и писательству. Его «Весь спектр игр»
все еще издают в твердом переплете (издательство Castle Books), а в на-
Принципы индукции
59
стоящее время в продаже имеются четыре книги в твердом переплете,
написанные им для Pantheon, отделения Random House: «Больше чем
крестики-нолики», «Больше чем пасьянс», «Больше чем слова» и
«Больше чем соревнование». Во всех четырех есть специальные листы
для вырывания, чтобы играть в новые игры с карандашом и бумагой.
Сэксон продолжает вести обозрение новых игр в своей колонке в по-
священном военным играм журнале «Стратегия и тактика», выходя-
щем раз в два месяца, а также пишет в британский журнал «Игры и го-
ловоломки» и в новое американское периодическое издание «Игры».
Более двух дюжин настольных игр, придуманных Сэксоном,
продается в настоящее время в Соединенных Штатах, из которых
лучше всего известны: Acquire, Bazaar, Executive Decision, Venture,
Monad и Sleuth. Его игра «Фокус» обсуждается в пятой главе моей
«Шестой книги математических игр из “Сайентифик Америкен”».
Попытки механизировать процесс индукции посредством ком-
пьютерных программ в настоящее время представляют весьма важ-
' ную область исследований, растет и объем литературы по этому во-
просу. Несколько ученых-программистов экспериментировали с
программами, способными играть в сэксоновские «Узоры». Одна
такая программа подробно обсуждается в работе Эдварда Томаса
Пёрселла «Игровая методика в индуктивных играх». Это была дис-
сертационная работа Пёрселла 1973 года по программированию в
Калифорнийском университете Лос-Анджелеса.
ОТВЕТЫ
По условию задачи требовалось определить, каким образом упоря-
дочено расположение фигур в данном примере индуктивной игры ’
Сэксона. Ответ: начиная с верхней клетки слева и двигаясь по спи-
рали к центру, следует сначала один символ, затем два других, три
третьих, четыре четвертых, далее к центру следуют серии из четырех
символов в том же порядке, по пять, шесть, семь и восемь.
ГЛАВА 5
Элегантные треугольники
Может показаться на первый взгляд, что скромный треугольник был
столь тщательно изучен древнегреческими геометрами, что последу-
ющие века уже не могли внести сколько-нибудь значимый вклад в
изучение многоугольника с наименьшим числом сторон. Это мнение
очень далеко от истины. Число возможных теорем о треугольни-
ках, разумеется, бесконечно, но после определенного уровня они ста-
новятся столь сложны и далеки от жизни, что никто уже не рискнет
назвать их доказательства «красивыми». Дьёрдь Пойа однажды ска-
зал, что степень красоты геометрической теоремы «прямо пропорци-
ональна числу содержащихся в ней идей и обратно пропорциональна
усилиям, необходимым, чтобы их увидеть». В последние столетия в
науке о треугольниках сделано немало прекрасных открытий, важных
и красивых в одно и то же время, но нечасто попадающихся в курсе
общей планиметрии. В этой йтаве мы сможем обсудить лишь неболь-
шую часть прдобных теорем, обращая внимание преимущественно
на те из них, что послужили источником головоломок.
«Ваа-первых, — скажем мы, подражая герою джойсовских «По-
минок по Финнегану, — соорудим Проб Лемму равнообветренного
древугольника!» Начнем мы с треугольника АВС с произвольными
сторонами (см. рис. 27). На. каждой из сторон строится равносто-
ронний треугольник, наружу (вверху слева) или внутрь (вверху
справа) исходного треугольника. В обоих случаях, соединяя центры
(пересечения двух высот) трех новых треугольников прямыми ли-
ниями (пунктир), мы получаем четвертый, также равносторонний
треугольник. (Иногда эта теорема формулируется иначе — на сторо-
Элегантные треугольники
61
Рис. 27,
нах строятся равнобедренные треугольники с углами при основании
30 градусов, а затем соединяются их вершины, но, поскольку эти
вершины совпадают с центрами равнобедренных треугольников с
теми же основаниями, эти две теоремы идентичны.) Если исходный
треугольник также равносторонний, три направленных внутрь тре-
угольника на его сторонах дают вырожденный равносторонний тре-
угольник — точку. Эта красивая теорема верна и в том случае, когда
исходный треугольник вырождается в два отрезка на прямой линии,
как на рисунке внизу. Я не знаю, кто первый ее придумал — авторст-
62
Лучшие математические игры и головоломки
во ее часто приписывают Наполеону, но в последние десятилетия
опубликовано множество различных доказательств. Необычное до-
казательство с использованием только теории групп и симметрич-
ных преобразований приводит российский математик Исаак Мои-
сеевич Яглом в книге «Геометрические преобразования».
Другая изящная теорема, в которой словно из ниоткуда возника-
ет круг, как в предыдущей задаче, — четвертый равносторонний тре-
угольник, это знаменитая теорема «окружности по девяти точкам».
Она была открыта двумя французскими математиками и опублико-
вана в 1821 г. На каждом данном треугольнике мы находим три три-
ады точек (см. рис. 28): '
1) Середины (а, Ь, с) трех сторон.
2) Основания (р, q, г) трех высот.
3) Середины (х, у, z) отрезков, соединяющих каждую вершину с
центром пересечения трех высот.
Как видно из рисунка, все эти девять точек лежат на одной окруж-
ности, и из этой неожиданной теоремы вытекает множество других.
Несложно доказать, например, что радиус окружности по девяти точ-
кам составляет ровно половину радиуса круга, описанного вокруг ис-
ходного треугольника. Тот факт, что три высоты любого треугольника
пересекаются в одной точке, интересен сам по себе. У Евклида о нем
не упоминается. Хотя Архимед ссылается на этот факт, лишь Прокл,
философ и геометр, живший в V в. н. э., рассматривает это детально.
Три линии, соединяющие центры каждой из сторон треугольни-
- ка с противоположными вершинами, называются его медианами
(см. рис. 29). Все они также пересекаются в одной точке, называе-
мой центроидом, или центром тяжести поперечного сечения. Цент-
роид отделяет треть каждой из медиан, а три медианы разделяют
треугольник на шесть меньших треугольников одинаковой площа-
ди. Более того, центроид — это центр тяжести треугольника, что так-
же было известно Архимеду. Ваш школьный учитель геометрии на-
верняка показывал это, вырезая из картона неравносторонний тре-
угольник, проводя на нем медианы и уравновешивая треугольник,
поместив острие карандаша под центром пересечения медиан.
Медиана — частный случай более общей линии, называемой че-
вианой (по имени итальянского математика XVII в. Джованни Че-
вы). Чевиана — это линия, проведенная из вершины треугольника
к любой точке на противолежащей стороне. Если вместо середин
сторон мы выберем точки, делящие стороны в отношении 1 к 2, то
три чевианы, проведенные как на рис. 30, разделят треугольник на
Элегантные треугольники
63
Рис. 29.
семь частей, площадь каждой из которых пропорциональна одной
двадцать седьмой площади исходного треугольника. Площадь цен-
трального треугольника, на рисунке заштрихованного, составляет
3/21, или одну седьмую исходной площади. Существует множество
хитроумных способов доказательства этой теоремы, а также ее бо-
лее общего случая, при котором каждая сторона треугольника де-
лится на п равных частей. Если чевианы проводятся, как и раньше,
к первой точке от каждой вершины в направлении по часовой
стрелке (или против часовой стрелки), то площадь центрального
64
Лучшие математические игры и головоломки
Чевианы, делящие стороны на три равных отрезка.
треугольника будет равна (h — 2)2/(п2 — n + 1). Еще более широкое
обобщение, при котором каждая из сторон исходного треугольни-
ка делится на свое независимое число равных частей, обсуждает
Х.С.М. Коксетер в своем «Введении в геометрию». Он приводит
формулу, восходящую к 1896 году, и показывает, как легко ее полу-
чить, помещая треугольник в регулярную матрицу точек.
У каждого треугольника три стороны и три угла.* Эвклид привел
три случая, в которых два треугольника равны, если три из шести эле-
ментов у них равны (например, две стороны и угол между ними). Воз-
можно ли, чтобы у двух треугольников 5 из 6 элементов были бы рав-
ными, и всё же они не были бы равны? Это кажется невероятным, но
существует бесконечное множество таких «равных по пяти» треуголь-
ников, как их окрестил Ричард Поли. Два треугольника, равных по
пяти элементам, равны, если все три стороны у них равны, поэтому
единственная возможность неравенства — это ситуация, когда у них
совпадают три угла и две стороны. Пример такой пары с минималь-
ным значением длин сторон, выраженных в целых числах, приведен
на рис. 31. Обратите внимание, что стороны с совпадающими значе-
ниями, 12 и 18, находятся при различных углах. Эти треугольники,
разумеется, подобны, но они не равны. Задача нахождения всех таких
пар тесно переплетена с проблемой золотого сечения.
Существует множество древних формул вычисления неизвест-
ных сторон, углов и площадей треугольников по известным вы-
сотам, медианам и другим подобным линиям. Выражение
тДС? - - b)(s - с), где а, Ь, с — стороны любого треугольника, as —
Элегантные треугольники
65
Рис. 31.
Пара треугольников, «равных по пяти» минимального размера.
полусумма сторон, вычисляет площадь треугольника. Эта удиви-
тельно простая формула впервые доказана в «Метрике» Герона
Александрийского, жившего на рубеже I и II вв. н. э. Эту формулу,
доставившую Герону славу математика, легко вывести тригономе-
трически. Мы же сегодня помним Герона скорее как автора блес-
тящих трактатов о механических устройствах и гидравлических иг-
рушках, например о знаменитом «фонтане Герона», в котором
струя воды словно отрицает земное тяготение, поднимаясь выше
уровня своего источника.
Классическая задача неизвестного авторства, решение которой ис-
пользует подобие треугольников, обрела известность благодаря тому,
что, как выразился обозреватель Дадли Ф. Чёрч, «ее очарование — в
кажущейся простоте решения, которое вскоре оказывается алгебраи-
ческой абракадаброй». Это задача о двух скрещенных лестницах не-
равной длины. (Если длины лестниц одинаковы, решение тривиаль-
но.) Лестницы опираются на два здания, как показано на рис. 32.
Если известны длины лестниц и высота точки их пересечения, то че-
му равно расстояние между зданиями? Значения трех данных отрезков
очень варьируют в разных опубликованных вариантах задачи. Здесь
мы приводим типичный пример из книги Уильяма Р. Рэнсома «Сто
математических курьезов». Лестницы длиной в 100 (а) и 80 (Ь) единиц
пересекаются в 10 единицах (с) от земли. Из подобия треугольников
Рэнсом выводит формулу к4 — 2ск3 + к2(а2 — Ь2) + с2(а2 — Ь2) = 0, что в
данном случае сводится к к4 — 20к3 + 3600k2 — 72000k + 360000 = 0.
Это пугающее уравнение четвертой степени лучше всего решает-
ся методом Хорнера или другими методами последовательных при-
ближений. Решив уравнение, получаем, что к равно примерно
11,954, откуда расстояние между зданиями (u + v) оказывается рав-
ным чуть больше 79,10. Получить решение можно и при помощи
множества других подходов.
Возникает непростой вопрос. Существуют ли варианты данной
задачи, в которой все отмеченные на рис. 32 отрезки имеют целые
3-9751
66
Лучшие математические игры и головоломки
значения? Насколько мне известно, на него впервые ответил Альф-
ред А. Беннет в 1941 году. Впоследствии его уравнения неоднократно
выводили заново. Простейшее решение, при котором минимальны
как высота точки пересечения, так и расстояние между зданиями, до-
стижимо при длинах лестниц в 119 и 70 единиц, высота пересечения
при этом 30 единиц, а расстояние между стенами — 56. Число целых
решений бесконечно. Существует также бесконечное множество ре-
шений, при которых расстояние между вершинами лестниц также
выражается целым числом (см. решение Джеральда Дж. Януша, упо-
минаемое в списке литературы).
Если требуется, чтобы целыми были только длины лестниц, рас-
стояние между зданиями и высота точки пересечения над землей,
возможно найти решения, минимизирующие тот или иной отрезок.
Наиболее полный анализ проблемы прислал Х.Г. АпСаймон. В ре-
шении, при котором расстояние между зданиями минимально, эта
переменная равна 40, высота пересечения — 38, длины лестниц —
58 и 401. Наименьшая высота пересечения составляет 14 единиц при
Элегантные треугольники
67
промежутке между зданиями в 112 и длинами лестниц в 113 и 238 еди-
ниц, соответственно. (Оба этих решения ранее были найдены Джо-
ном У. Харрисом.) В решении, при котором минимальна длина более
длинной лестницы, расстояние между стенами равно 63, высота пе-
ресечения — 38, а длины лестниц — 87 и 105. Если минимизировать
длину более короткой лестницы, расстояние между зданиями будет
равно 40, высота пересечения — 38, а лестницы — 58 и 401 единицам.
АпСаймон искал также и решение, при котором разница между
длинами лестниц будет минимальна. В лучшем из полученных им ре-
шений расстояние между стенами равно 1540, высота пересечения —
272, а длины лестниц — 1639 и 1628, с разницей в 11 единиц. Он, одна-
ко, не сумел доказать, что это действительно минимальный вариант.
Если нам даны только расстояния от некоторой точки до трех
вершин треугольника, совершенно очевидно, что существует беско-
нечное множество треугольников, определяемых этими тремя от-
резками. Однако если известно, что этот треугольник — равносто-
ронний, то три расстояния определяют единственное решение. Точ-
ка может находиться снаружи, внутри или на самом треугольнике.
Старинную задачу этого типа часто присылают мне мои читатели
обычно в следующем виде. Точка внутри равностороннего треуголь-
ника находится на расстоянии трех, четырех и пяти единиц от его
? вершин. Чему равна сторона треугольника?
ОТВЕТЫ
t Требовалось найти длину стороны равностороннего треугольника, ес-
ли расстояния от точки р внутри него до его вершин равны 3,4 и 5 еди-
ницам. Приведенное ниже решение взято из книги Чарльза У. Тригга
«Задачки на скорую руку». Пунктирные линии на рис. 33 проведены
.таким образом, чтобы PCF был равнобедренным треугольником, а от-
резок АЕ был перпендикуляром к продолжению отрезка PC. Угол
РСВ = 60 градусов - угол РСА = угол АСЕ Треугольники РСВ и FCA,
следовательно, равны и AF = ВР = 5. Поскольку APF — прямоуголь-
ный треугольник, угол АРЕ = 180 — 60 — 90 = 30 градусов. Из этого мы
|заключаем, что АЕ равно 2, а ЕР равно двум корням из трех. Отсюда:
: АС = J22 + (3+2>/3)2 = 725+127Г,
откуда АС, сторона исходного треугольника, примерно равна 6,7666.
68
Лучшие математические игры и головоломки
Решение к задаче о трех расстояниях.
Существует прекрасное в своей симметрии уравнение, позволя-
ющее вычислить длину стороны равностороннего треугольника по
расстояниям от некоей точки до трех его углов:
3(а4 + Ь4 + с4 + d4) = (а2 + Ь2 + с2 + d2)2.
Любые три из четырех переменных могут быть приняты за три
расстояния до углов. Нахождение четвертой переменной дает иско-
мую длину стороны. Самое простое решение в целых числах — 3, 5,
7,8. Точка расположена снаружи треугольника во всех случаях, кро-
ме того, когда сторона равна 8 — в этом случае она расположена на
одной из сторон. У.Х. Гриндли, Йорг Вальдфогель и другие присла-
ли доказательства того, что во всех трех случаях (точка внутри, сна-
ружи или на стороне треугольника) существует бесконечное множе-
ство примитивных полусовершенных (без общего делителя) целых
решений. Самое простое решение для точки внутри треугольника —
расстояния, равные 57, 65 и 73, и сторона, равная 112.
ГЛАВА 6
Теория случайных блужданий
и азартные игры
...порешив на том, продолжал свой путь, вернее, путь, ко-
торый избрал его конь, ибо Дон Кихот полагал, что именно
так и надлежит искать приключений.
Дон Кихот, том 1, глава 2
Бродяга, бесцельно блуждающий от города к городу, вполне может
быть просто невротиком, но даже абсолютно психически здоровому
человеку иногда необходимо вести себя случайным образом. Одна из
форм такого поведения — движение по произвольному пути. Несо-
мненно, что популярность знаменитых плутовских романов, к кото-
рым можно отнести и «Дон Кихота», отчасти объясняется тем удо-
вольствием, которое читатель получает от описания неожиданных
событий, ожидающих героя на подобном случайном пути.
Хорхе Луис Борхес в своем эссе «Новое опровержение времени»
описывает свои случайные блуждания по улицам Барракаса: «Мне
не хотелось идти куда-то в определенное место, и я не стал себя ог-
раничивать каким-то конкретным направлением, чтобы не маячила
перед моим внутренним взором одна и та же картина. Я решил от-
правиться, как говорится, куда глаза глядят». Второй медовый ме-
сяц Г. К. Честертона, как он описывает его в своей автобиографии,
был случайным «путешествием в пустоту». Вместе с женой они са-
дились в произвольный проходящий автобус, выходили из него,
когда он доезжал до железнодорожной станции, садились на первый
подошедший поезд и в конце линии выходили, чтобы побродить
куда глаза глядят, по сельским дорогам, пока им не попадалась гос-
тиница, где они и останавливались.
Математики упорствуют в своем желании анализировать всё, что
поддается анализу. Случайные блуждания — не исключение, и (в ма-
тематическом смысле) анализ их не менее увлекателен, чем при-
ключения рыцаря из Ламанчи. И действительно, теория случайных
70
Лучшие математические игры и головоломки
блужданий — это основное ответвление в теории цепей Маркова,
которая, в свою очередь, представляет собой одну из наиболее горя-
чих точек современной теории вероятности из-за быстро растущего
применения в прикладной науке.
Цепь Маркова (в честь российского математика А.А. Маркова-
старшего, который впервые занялся их исследованием) — это систе-
ма дискретных «состояний», в которой переход из любого состоя-
ния в любое другое имеет фиксированную вероятность, не зависящую
от истории системы. Один из самых простых примеров такой систе-
мы - случайное блуждание по отрезку прямой, как на рис. .34. Каж-
дый интервал на этом отрезке — единичный шаг. Человечек начина-
ет движение в точке 0. Чтобы определить направление следующего
шага, он подбрасывает монетку: орел — идет направо, решка — нале-
во. В математических терминах его «вероятность перехода» от одной
отметки к следующей равна S. Поскольку с равной вероятностью он
сделает шаг или налево или направо, такое блуждание называется
симметричным. Вертикальные черты А и Б, расположенные на от-
метках —7 и +10, — «поглощающие барьеры». Это означает, что,
если человечек достигает любого из барьеров, барьер «поглощает»
его, и движение прекращается.
К числу неожиданных свойств такого блуждания относится его
близость к старой проблеме, называемой «разорение азартного иг-
рока». Игрок А начинает игру с семью долларами, игрок Б - с деся-
тью. Они по очереди бросают монету. За каждого орла Б дает А один
доллар, за каждую решку — А дает Б один доллар. Игра кончается
тогда, когда один из игроков «разорится», то есть у него кончатся
деньги. Нетрудно заметить соответствия между ходом игры и пере-
движением случайно блуждающего по прямой человечка. В каждый
конкретный момент капитал А в долларах соответствует расстоянию
А В
о
____I___I__I__I__1___I_______I__1__I____i__I___I_I__I___I______
-7 _б -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10
Рис. 34.
Одномерное случайное блуждание с поглощающими барьерами.
Теория случайных блужданий и азартные игры
71
от ходока до барьера А, капитал Б — расстоянию до барьера Б. Если
первые.два броска выпали орлами, человечек делает два шага впра-
во; в терминах игры А увеличил свой капитал с семи до девяти дол-
ларов, в то время как у Б из 10 долларов осталось 8. Если ходок до-
стигнет барьера А, это соответствует проигрышу игрока А. Если он
достигнет барьера Б, это означает разорение игрока Б.
Все вопросы о вероятности возможных событий в обоих интер-
претациях имеют идентичные ответы. На некоторые ответить не-
трудно, другие же вызывают значительные затруднения. Один из са-
мых простых: какова вероятность выигрыша для каждого игрока?
Иными словами, какова вероятность, что прогулка человечка окон-
чится у того или иного барьера? Нетрудно показать, что вероятность
выигрыша игрока равна его исходному капиталу, поделенному на
общее число долларов у обоих игроков. Вероятность выигрыша для
А составляет 7/17, для Б - 10/17. В терминах случайного блуждания
вероятность того, что прогулка закончится у барьера А, равна 7/17,
у барьера Б — 10/17 (простейшее доказательство этого, использую-
щее растягиваемую резиновую ленту, упоминается в статье «Бро-
уновское движение и теория потенциала» Рейбена Херша и Ричарда
Дж. Григо в журнале «Сайентифик Америкен» за март 1969 г.)
Обе вероятности в сумме должны составлять единицу, что озна-
чает, что в том случае, если игра или прогулка будет продолжаться
достаточно долго, она обязательно закончится. Что же случится, ес-
ли один из барьеров, например Б, убрать, позволив прямой продол-
жаться вправо бесконечно? Тогда, если прогулка длится достаточно
долго, она рано или поздно кончится у барьера А. В терминах азарт-
ной игры, если А играет против игрока с бесконечным запасом дол-
ларов, рано или поздно он непременно разорится. Для страстных иг-
роков это плохие новости: даже если игроку очень везет, он играет
против «противника» (индустрии азартный игр), чей капитал прак-
тически не ограничен, и поэтому разорение для него неизбежно.
Нетрудно также и высчитать вероятность того, что ходок, старто-
вав из определенной точки, достигнет другой точки (или вернется
на исходную точку) после определенного числа шагов. Здесь оказы-
вается важной паритетность четного и нечетного, поэтому в поло-
вине случаев ответ равен нулю (невероятное событие). Например,
ходок не может добраться от нуля до любой четной отметки за не-
четное число шагов или, наоборот, до нечетной отметки за четное.
Какова же вероятность того, что он дойдет от отметки 0 до отметки
1 ровно за три шага? Ровно такая же, как и вероятность того, что в
72
Лучшие математические игры и головоломки
результате трех подбрасываний монет выпадут (в любом порядке)
две решки и один орел. Поскольку это происходит три раза, а всего
равновероятных исходов восемь, то ответ равен 3/8. (Ситуацию
можно усложнить, заменив один или оба поглощающих барьера на
«отражающий барьер», расположенный посредине между двумя от-
метками. Достигая такого барьера, ходок отбрасывается на ту отмет-
ку, на которой он только что был. В терминах азартной игры подоб-
ное происходит, когда разорившемуся игроку дают один доллар,
чтобы он мог продолжать игру. Если оба барьера будут отражающи-
ми, разумеется, игра не закончится никогда.)
Другое несложное наблюдение, которое, однако, труднее дока-
зать, — это ожидаемое число подбрасываний монеты до момента,
когда ходок на отрезке с двумя поглощающими барьерами окажется
поглощен. «Ожидаемое число» здесь — среднее из множества повто-
рений отдельных путешествий. Ответом будет произведение рассто-
яний от нуля до обоих барьеров. В нашем случае 7X10 = 70. «Типич-
ная» прогулка будет состоять из 70 шагов; типичная игра окончится
разорением одного из игроков после семидесяти подбрасываний мо-
неты. Это ожидаемое число значительно больше, чем представляет-
ся большинству людей. Это означает, что честная игра двух игроков
с бросанием жребия, если у каждого игрока было вначале по сотне
долларов и ставки каждого равны одному доллару, закончится че-
рез десять тысяч бросаний жребия. Еще более неожиданным ка-
жется то, что, если один игрок начинает с одного доллара, а другой —
с пятисот, средняя игра закончится через пятьсот бросаний жребия.
В терминах случайных блужданий человечек, стартовавший в одном
шаге от одного барьера и в пятистах шагах от другого, перед погло-
щением пройдет в среднем целых пятьсот шагов!
Каково же ожидаемое число шагов до того момента, когда ходок
достигнет расстояния п от нуля — исходной точки, если предполо-
жить, что оба барьера расположены дальше от старта, чем п? Легко
увидеть, что это особый случай обсуждавшейся выше проблемы.
Иначе этот вопрос можно представить как ожидаемое число шагов
до поглощения в том случае, когда оба барьера расположены на рас-
стоянии п от старта. Оно равно просто n х п = и2. Таким образом, ес-
ли ходок сделает п шагов и максимально отдалится от нуля, то ожи-
даемое расстояние от старта окажется равным у/п.
Однако если расстояние от нуля не обязательно должно быть
максимальным, его ожидаемая величина после п шагов будет иной.
В этом случае формула оказывается несколько более сложной. Для
Теория случайных блужданий и азартные игры
73
одного шага оно, очевидно, равно единице, для двух шагов — также
единице (четыре равновероятные возможности - 0,0,2, 2). Для трех
шагов — 1,5. С приближением п к бесконечности предел для ожида-
емого расстояния (которое может быть по любую сторону от нуля)
равен >/2л / тг, или примерно 0,8\/п для больших и, как доказывает
Фредерик Мостеллер с соавторами в книге «Вероятность и статис-
тика», с. 14.
Самый невероятный из всех аспектов теории случайного блуж-
дания обнаруживается при рассмотрении блуждания, начинающе-
гося в точке бесконечной прямой без барьеров, когда мы задаемся
вопросом, насколько часто ходок будет пересекать ноль. Принимая
во внимание симметрию блуждания, естественно ожидать, что за
время достаточно долгого путешествия человечек проведет по обе
стороны от старта примерно равное время. На самом деле всё стро-
го наоборот. Вне зависимости от продолжительности блуждания на-
иболее вероятное число перехода через старт равно нулю, менее ве-
роятное - одному, еще менее — 2, 3 и так далее!
Уильям Феллер в знаменитой главе «Флуктуации в случайных
блужданиях и при бросании монет» (в классической работе «Введе-
ние в теорию вероятности и ее практическое применение», т. I, гла-
ва III) заявляет следующее: «Если бы современного педагога или
психолога попросили прокомментировать записи длительных серий
отдельных подбрасываний монет, он счел бы, что большинство этих
монет нарочно плохо отцентровано. Если множество монет подбра-
сывается по п раз каждая, удивительно большая доля их приведет
одного из игроков к выигрышу, и лишь в очень редких случаях ли-
дерство в игре будет часто переходить от игрока к игроку, как этого
следовало бы ожидать в случае «правильной» монеты». В случае все-
го 20 подбрасываний вероятность того, что каждый из игроков будет
вести счет 10 раз, составляет чуть более 0,06 — наименее вероятный
исход. Вероятность же того, что проигрывающему за всю игру так и
не удастся отыграться, составляет более 0,35.
Если монету подбрасывают раз в секунду в течение года, подсчи-
тал Феллер, в одной из 20 повторностей эксперимента лидирующий
игрок будет вести счет более чем 364 дня и 10 часов! «Немногие смо-
гут поверить, — пишет он, — что совершенно идеальная монета мо-
жет порождать весьма абсурдные последовательности выпадений, в
которых за многие миллионы подбрасываний счет ни разу не срав-
няется, однако именно так нормальная монета и будет чаще всего
:ебя вести».
74
Лучшие математические игры и головоломки
Рис. 35 представляет собой графическое отображение типичного
случайного блуждания вдоль бесконечной вертикальной линии,
время здесь представляет собой движение вправо. Здесь при постро-
ении графика вместо подбрасывания монет или таблицы случайных
чисел использованы цифры числа «пи» до первых ста знаков после
запятой. (Поскольку знаки числа «пи» проходят все тесты на слу-
чайность, это удобный источник случайных цифр.) Каждая четная
цифра — это шаг вверх, каждая нечетная — шаг вниз. За 101 шаг хо-
док побывал сверху от черты лишь 17 раз, примерно в 17% случаев.
Осевую линию он пересек лишь однажды. График типичен также и
тем, что на нем видно, что возвращения к нулю случаются волнами,
причем длина этих волн растет со временем со скоростью, пример-
но пропорциональной квадратному корню из времени блуждания.
Подобные этому графики, построенные на основе симуляции под-
брасывания монет 10 000 раз, можно найти в книге Феллера.
Рис. 35.
Симметричное случайное блуждание,
основанное на первой 101 цифре числа «пи».
Мы можем усложнить задачу, допустив отклонение вероятности
смены направления от S, а также допустив шаги длиннее единицы.
Рассмотрим забавный парадокс, к которому (в терминологии азарт-
ных игр) мое внимание впервые привлек Инн Норак, канадский ма-
тематик. Человечек начинает движение в ста шагах правее нуля на
линии без барьеров (см. рис. 36). Вместо монеты в качестве рандо-
мизирующего фактора используется колода из 10 игральных карт —
±.
о
о
1
+100
Рис. 36.
Парадокс на основе случайного блуждания вдоль прямой без барьеров.
Теория случайных блужданий и азартные игры
75
пяти красных и пяти черных. Карты перетасованы, разложены ру-
башками вверх. Выбирается любая карта, отмечается ее цвет, после
чего карта выбывает из игры. Если карта красного цвета, игрок де-
лает шаг вправо; если черного, то шаг влево, так продолжается до
тех пор, пока не будут перевернуты все 10 карт. (Вероятность изме-
нения направления меняется с каждым ходом. Она равна S только
до первого хода, когда число черных и красных карт одинаково.)
Это блуждание отличается от описанных выше также тем, что перед
каждым переворачиванием карты игрок выбирает длину шага, кото-
рая не обязательно должна представлять собой целое число.
Допустим, что в выборе длины шага игрок будет руководство-
ваться следующей стратегией: после переворачивания карты он де-
лает шаг (вправо или влево), равный ровно половине расстояния от
него до нуля. Таким образом, первый его шаг составляет 100/2 = 50
единиц. Если карта красная, он оказывается на отметке 150. Тогда
следующий его шаг будет длиной в 150/2 = 75 единиц. Если же пер-
вая карта оказывается черной, он движется влево на отметку 50, и
тогда длина его следующего шага равна 50/2 = 25. Он продолжает
двигаться таким образом до тех пор, пока не будет перевернута де-
сятая карта. Будет ли он к этому моменту справа или слева от отмет-
ки 100, с которой началось его движение?
Ответ таков — он обязательно окажется слева. Это, может быть, и
не столь удивительно, но, несомненно, поражает тот факт, что вне
зависимости от порядка, в котором вынимаются карты, в конце
концов он окажется в одной и той же точке! Она расположена при-
мерно в 76 единицах левее точки старта. Точное расстояние опреде-
ляется следующей формулой:
где а — точка старта, а п — число красных (или черных) карт в стоп-
ке. Когда а равно 100, а п равно 5, как в предыдущем примере, из
приведенной выше формулы мы получаем число 76,26953125 — на
такое расстояние влево от старта продвинется ходок к концу игры.
А теперь переведем это в исходные для этого парадокса термины
азартной игры. Вначале у игрока имеется 100 долларов. Выигрыш и
проигрыш определяется с помощью перетасованной колоды из пя-
ти черных и пяти красных карт. (Это было бы эквивалентно десяти
76
Лучшие математические игры и головоломки
броскам монеты, если бы монета выпадала орлом и решкой ровно
одинаковое число раз. Используя карты, мы гарантируем это равен-
ство.) Игрок выигрывает, если карта красная, и проигрывает, если
она черная. Каждый раз он ставит на кон половину имеющейся у
него суммы. В это трудно поверить, но к концу каждой такой игры
он потеряет ровно 76,26953125 доллара. С увеличением п это число
растет. Если п = 26, как в стандартной колоде из 52 карт, он потеря-
ет более 99 долларов. Его потери, однако, всегда будут меньше ста
долларов.
Вместо того чтобы выставлять на кон половину своего капитала,
он может играть на определенную фиксированную его долю. Пусть
эта доля составляет 1/к, где к - любое положительное действитель-
ное число. Чем меньше будет эта доля, тем меньше он проиграет к
концу игры; чем больше - тем больше он потеряет. Если к будет рав-
но 1, он потеряет всё. В более общем случае сумма потерь составит
а —
г 1Г
а 1---
к2]
Эту формулу можно обобщать и далее, допуская неравное число
черных и красных карт, но результаты слишком сложны, чтобы при-
водить их здесь.
А теперь предлагаю вашему вниманию забавную задачу, также
предложенную Нораком, представляющую собой вариант игры,
приведенной выше. Игра отличается от предыдущей только тем, что
ставки теперь назначает противник игрока с сотней долларов. Назо-
вем противника Смитом и допустим, что у него достаточно средств,
чтобы оплатить любой проигрыш. Используется стандартная коло-
да из 52 игральных карт. Прежде чем вытащить любую из карт, Смит
ставит на кон ровно половину той суммы, которая на тот момент
имеется у его противника, человека с сотней долларов вначале. По-
сле того как будет перевернута последняя карта, окажется ли Смит в
выигрыше или же в проигрыше? В любом случае, будет ли сумма
выигрыша (или проигрыша) всегда одной и той же и, если да, како-
ва ее формула? Если вы внимательно следили за обсуждением вы-
ше, вы сможете ответить на эти вопросы практически сразу же.
В следующей главе мы вернемся к ошеломляющим чудесам слу-
чайных блужданий на плоскости и в пространстве, а также на мат-
рицах, таких как шахматные доски и грани геометрических фигур.
Теория случайных блужданий и азартные игры
ОТВЕТЫ
Эта задача — шутка. Если игрок А начинает с определенным числом
долларов и если во время каждого переворачивания карты из коло-
ды с равным числом черных и красных карт В, противник А, ставит
на кон половину капитала А на данный момент, игра очевидно
идентична предыдущей, в котором А всегда сам ставит на кон поло-
вину собственного капитала. Поэтому формула, приведенная для
первой игры, применима и в этом случае. Нам дано, что игрок начи-
нает с сотней долларов, а в качестве рандомизатора используется
колода из 52 карт. В выиграет ровно 100 — [100(3/4)26] долларов, ос-
тавив своему сопернику менее 10 центов.
ГЛАВА 7
Случайные блуждания
на плоскости и в трехмерном
пространстве
В предыдущей главе я рассказывал о случайных блужданиях из от-
дельных шагов вдоль прямой, на которой наличествуют или отсут-
ствуют поглощающие барьеры, и отметил забавные соответствия
между ними и различными азартными играми с участием двух игро-
ков. В этой главе о случайных блужданиях мы выходим дальше: на
плоскость и в трехмерное пространство.
Среди случайных блужданий на плоскости особенно хорошо изу-
чены перемещения от узла к прилежащему узлу бесконечной прямо-
угольной решетки, показанной на рис. 37. Каждый шаг равен одной
единице, а движение «симметрично» в том смысле, что каждому из
четырех возможных направлений соответствует одна и та же вероят-
ность, 1/4. Путь можно ограничить, окружив ходока поглощающими
барьерами, на рисунке показанными точками; когда человечек на-
ступает на одну из этих точек, он «поглощается», и блуждание закан-
чивается. (Окружающие поле барьеры не обязательно должны быть
в форме правильного квадрата, они могут представлять собой фигу-
ру любой формы.) Как и в подобном конечном блуждании вдоль
прямой, нетрудно подсчитать вероятность того, что блуждание, на-
чавшееся в любом узле решетки, закончится на данном барьере. Воз-
можно также определить ожидаемое число шагов (среднее в длинной
последовательности повторностей из отдельных блужданий), кото-
рое необходимо сделать до окончания движения. У формул, приме-
няемых при подобных расчетах, существует немало неожиданных
применений в прикладной науке, например, при определении воль-
тажа внутренних частей электрических цепей.
Случайные блуждания на плоскости ив трехмерном пространстве 79
Если ходок не заперт в ловушке из поглощающих барьеров, а мо-
жет вырваться на просторы бесконечной прямоугольной решетки,
ситуация усложняется и порождает множество новых задач, среди
которых и те, что еще ждут своего решения. Некоторые из доказан-
ных теорем просто парадоксальны. Рассмотрим случайное блужда-
ние по бесконечной прямоугольной решетке без барьеров. Если оно
длится произвольно долгое время, частота попадания ходока в лю-
бую данную точку стремится к нулю. С другой стороны, если блуж-
дание длится достаточно долго, ходок непременно попадет в любую
из точек решетки, включая и возвращение в исходную точку. Как
пишет Джон Кемени в «Случайных блужданиях», превосходной не-
технической статье в журнале Enrichment Mathematics for High School,
это демонстрирует нам фундаментальные различия между вероят-
J ь . - . .
1 1 1 1 II 11.11.1 III 1
Рис. 37.
Случайные блуждания по прямоугольной решетке.
80
Лучшие математические игры и головоломки
ностью логической и практической. Логически возможно, что такой
путешественник будет странствовать вечно, никогда не возвраща-
ясь в данную точку. Для математика, однако, это событие имеет
практическую вероятность, равную нулю, несмотря на то, что ожи-
даемое число шагов, необходимых для достижения любой конкрет-
ной точки, равно бесконечности. С этим различием часто прихо-
дится сталкиваться при рассмотрении бесконечных последователь-
ностей. Если бесконечно долго подбрасывать монетку, логически
вероятно, что орлы и решки будут бесконечно чередоваться, хотя
практическая вероятность этого события равна нулю.
Кемени говорит об этом так: если вы стоите на пересечении ли-
ний бесконечной прямоугольной решетки, в то время как ваш друг,
начавший движение в любой другой точке, беспорядочно блуждает
по ней, он практически наверняка наткнется на вас, если вы сможе-
те ждать его неопределенно долгое время. Более того, после первой
встречи вероятность того, что ваш друг, продолжая блуждания, рано
или поздно возвратится к вам, равна единице. Другими словами,
практически наверняка подобный путешественник, если в запасе у
него будет бесконечно много времени, навестит каждый узел этой
решетки бесконечное число раз!
Допустим, двое ходоков движутся случайным образом по беско-
нечной прямоугольной решетке. Обязательно ли они встретятся?
(Если они начнут двигаться, находясь друг от друга на расстоянии в
нечетное число единиц, и будут шагать в ногу, они никогда не встре-
тятся в узле решетки, но могут столкнуться друг с другом посредине
отрезка.) И снова правильный ответ — если они будут блуждать до-
статочно долго, они будут встречаться бесконечное число раз. Если
же по этой же решетке, шагая в унисон, будут блуждать трое, а на
старте каждую из пар разделяет четное число шагов, все трое обяза-
тельно встретятся в каком-либо узле. Вероятность того, что они
встретятся именно в данном узле, однако, будет уже меньше едини-
цы. Если ходоков будет четверо или больше, вероятность того, что
они все встретятся в каком-либо месте, также меньше единицы.
Самая большая неожиданность ожидает нас, когда мы обобщаем
ситуацию до объемной решетки. Если такая решетка (не обязатель-
но кубическая) конечна, случайно блуждающий по ней ходок прак-
тически наверняка побывает в любом ее узле за конечное время. По
словам Кемени, если вы находитесь внутри большого здания со
сложной системой коридоров и лестниц, то, случайно блуждая по
нему, вы непременно достигнете выхода за конечное время. Если же
Случайные блуждания на плоскости и в трехмерном пространстве 81
решетка бесконечна, дело обстоит иначе. Дьёрдь Пойа в 1921 году
доказал, что вероятность попадания в любой конкретный узел по-
добной решетки при случайном блуждании меньше единицы, даже
если блуждание длится бесконечно долго. В 1940 году У. МакКри и
Ф. Уиппл доказали, что вероятность возвращения ходока в исход-
ную точку после блуждания по бесконечной кубической решетке в
течение бесконечного времени составляет примерно 0,35.
При переходе от плоских решеток к собственно плоскости, ког-
да от любой точки можно сделать единичный шаг в любом направ-
лении, ситуация усложняется в одних аспектах и упрощается в дру-
гих. Например, ожидаемое (среднее) расстояние ходока от исходной
точки за п равных шагов равно просто длине шага, помноженной на
квадратный корень из п. Это доказал Альберт Эйнштейн в работе по
молекулярной статистике, опубликованной в 1905 Г., в том же, в ко-
тором вышла его первая знаменитая статья по относительности.
(Независимо от него это доказал Мариан Смолуховский. Читатели
смогут найти простое доказательство в книге Джорджа (Георгия) Га-
мова «Раз, два, три.., бесконечность».)
Отдельные случайные блуждания в пространстве подчиняются
одной и той же формуле с квадратным корнем. Как и на плоскости,
шаги не обязательно должны быть равной длины. Ожидаемое рас-
стояние от старта после п шагов равно средней длине шага, помно-
женной на квадратный корень из и. Именно в этом случае теория
случайных блужданий становится незаменимой в изучении явления
диффузии: случайных передвижений молекул жидкости или газа,
распространения тепла по металлам, расползания слухов, распрост-
ранения заболеваний и так далее. Эпидемия гриппа представляет со-
бой сумму миллионов случайных перемещений вирусов. Примене-
ние этой теории находится практически в любой отрасли науки.
Первое практическое приложение метода Монте-Карло — способа
компьютерного анализа вероятностных вопросов — заключалось в
просчете случайных блужданий нейтронов сквозь различные веще-
ства. В подобных явлениях диффузии, равно как и при броуновском
движении, формула квадратного корня нуждается в модификации с
учетом таких факторов, как температура, плотность поглощающей
среды и так далее. Более того, подобные перемещения обычно не-
прерывны, а не дискретны; они называются «процессами» Маркова,
в отличие от марковских «цепей». Формула квадратного корня пред-
ставляет собой лишь первое приближение при оценке ожидаемых
расстояний. (Для ознакомления с более позднимй работами в этой
82
Лучшие математические игры и головоломки
области, открывшейся блестящей статьей Норберта Винера о бро-
уновском движении в 1920 году, обратите внимание на публикацию
Рейбена Херша и Ричарда Григо «Броуновское движение и теория
потенциала в журнале «Сайентифик Америкен» за март 1969 г.)
Продвижение идущего от точки старта вовне как на плоскости, так
и в пространстве происходит не с одинаковой скоростью. Если собст-
венно скорость, то есть частота шагов, постоянна, то квадратный ко-
рень из числа шагов прирастает со временем на всё меньшую величи-
ну. Чем дольше длится блуждание, тем медленнее дрейф. Гамов в кни-
ге, упомянутой выше, приводит впечатляющий пример. Кванту света,
стартующему около центра Солнца, требуется около пятидесяти веков
«пьяных блужданий», чтобы добраться до поверхности. Покинув
Солнце, он моментально трезвеет, и, если движется в правильном на-
правлении, достигает Земли примерно за восемь минут.
Вот простая задача. Два человека стартуют из одной и той же точ-
ки на плоскости. Один из них произвольно блуждает, делая 70 ша-
гов, затем останавливается. Второй останавливается после блужда-
ния продолжительностью в 30 шагов. Каково ожидаемое расстояние
между ними после прекращения движения?
Теперь мы перейдем к иному типу блужданий, отличному от всех,
упомянутых выше. Представим себе, что жук начинает движение из
угла А квадрата ABCD, показанного на рис. 38 слева, и произвольно
ползает по его граням. Вместо того чтобы уравнивать вероятности
перехода от угла к углу, как в примерах, приведенных выше, предпо-
ложим, что в углах В и С вероятность попасть в угол D у жука вдвое
больше, чем вернуться в угол А. В точках А и D жук выбирает между
двумя возможными путями с вероятностью S для каждого, в то вре-
мя как в точках В и С он выбирает путь к D с вероятностью 2/3 и путь
к А — с вероятностью 1/3. Поле перемещений здесь конечно, но по-
скольку поглощающих барьеров нет, блуждание длится вечно. Такое
блуждание обычно называют эргодическим. Попробуем теперь под-
считать вероятность того, насколько часто жук будет попадать в каж-
дый из углов, если блуждание будет длиться достаточно долго.
Проще всего сделать это, составив «стохастическую матрицу»,
Приведенную на рисунке справа, показывающую вероятность пере-
мещения из любого угла в любой другой. Нули в матрице обознача-
ют невозможные переходы. Поскольку любое состояние этой эрго-
дической системы Маркова ведет за собой другое, то сумма вероят-
ностей любого горизонтального ряда, называемая «вектором веро-
ятности», должна быть равна единице.
Случайные блуждания на плоскости и в трехмерном пространстве 83
BCD
Рис. 38.
«Эргодическое блуждание» по сторонам квадрата (слева)
и матрица вероятностей перехода (справа).
Вероятность того, что жук попадет в данный угол, равна сумме
вероятностей попадания его туда за время своего бесконечного
блуждания из прилежащих углов. Например, вероятность того,
что он находится в D, равна сумме вероятности того, что он попа-
дет в D из В, и того, что он попадет туда из С. (Это вероятности
именно долговременные, а вовсе не вероятности попадания в D
при старте в точках С или В.) Пусть d — вероятность того, что в
тот момент, когда жук находится в вершине квадрата, он находит-
ся в вершине D. Пусть а, Ь, с — вероятности того, что он находит-
) ся в углах А, В, С. Из столбика Цматрицы на рис. 38 мы видим,
что вероятность того, что за продолжительное время жук будет
попадать в D из В, равна 2/ЗЬ, а того-то он будет попадать в D из
С, равна 2/Зс. Долговременная вероятность нахождения в D рав-
на сумме двух этих вероятностей, поэтому мы можем вывести сле-
дующее равенство:
d = 2/ЗЬ + 2/Зс. -
Три других столбца дают нам схожие формулы для а, b и с:
а = Ь/3 + с/3;
Ь = а/2 + d/2;
с = а/2 + d/2.
84
Лучшие математические игры и головоломки
Если жук не ползет по ребру, он обязательно находится в каком-
либо из углов, поэтому отсюда пятое равенство:
a + b + c + d= 1.
Беглый взгляд на предыдущие равенства позволяет нам увидеть,
что b = с и d = 2а, после чего уже нетрудно решить систему из пяти
уравнений: а = 1/6, Ъ = 1/4, с = 1/4 и d = 1/3. Одну шестую своего вре-
мени жук будет проводить в А, одну четверть — в В, одну четверть —
в С и одну треть — в D. В D он будет появляться вдвое чаще, чем в А.
Читатели могут применить этот метод решения для задачи, которая
аналогична этой с той разницей, что блуждание происходит по кубу;
ее приводит Кемени в упомянутой выше статье. На кубе, показанном
на рис. 39 слева, жук движется к точке Н с вероятностью вдвое боль-
шей, чем к точке А. Стохастическая матрица вероятностей перемеще-
ний приведена справа от изображения куба. Система из восьми урав-
нений, полученных из восьми столбцов матрицы, вкупе с уравнением
a + b + c + d + e + f+ g + h= l, имеет единственное решение. Жук, со-
вершая свое бесконечное эргодическое странствие, будет 3/54 от всех
визитов в вершины куба оказываться в вершине А, по 5/54 — в каждой
из вершин В, С, D, по 8/54 — в каждой из вершин Е, F, G и 12/54 —
в вершине Н. Он будет заходить в Н в четыре раза чаще, чем в А.
Если эргодическое блуждание подобного типа симметрично, то
есть в каждой из вершин вероятность всех возможных последующих
шагов одинакова, то доля посещений любых двух данных вершин
пропорциональна числу различных путей, которыми можно по-
пасть в эти две вершины. Например, кот, совершающий случайное
эргодическое блуждание пог граням пирамиды Хеопса, на каждые
четыре посещения вершины пирамиды будет посещать угол при ос-
новании лишь трижды, потому что до вершины'можно добраться
четырьмя разными способами, адо угла при основании — лишь тре-
мя. Нетрудно Построить матрицу и составить уравнения, из которых
будет видно, что четверть времени кот будет проводить на вершине
и по 3/16 — в каждом из четырех углов при основании.
Еще одна простая задача: представим, что по кубу на рис. 39 с той
же стохастической матрицей из точки А начинает случайное блужда-
ние муха. В то же самое время из точки Н начинает такое же случай-
ное блуждание паук. Оба двигаются с одинаковой скоростью. Какова
вероятность того, что они встретятся посреди ребра, после того как
каждый из них прошел минимальное расстояние в полторы грани?
Случайные блуждания на плоскости и в трехмерном пространстве 85
Рис. 39.
Случайное эргодическое блуждание по граням куба (слева)
и матрица вероятностей перемещений (справа).
А В С D Е FGH
0 1/3 1/3 1/3 0 0 0 0
1/5 0 0 0 2/5 2/5 0 0
1/5 0 0 0 2/5 0 2/5 0
1/5 0 0 0 0 2/5 2/5 0
0 1/4 1/4 0 0 0 0 1/2
0 1/4 0 1/4 0 0 0 1/2
0 0 1/4 1/4 0 0 0 1/2
0 0 0 0 1/3 1/3 1/3 0
В связи с эргодическими случайными блужданиями по граням
куба и других правильных фигур возникает множество других зани-
мательных проблем. Если пьяный жук начинает движение из угла
куба и ползет в самый удаленный угол, выбирая в каждом из углов
один из трех путей с равной вероятностью, в среднем его путешест-
вие будет длиной в 10 граней. Если же жук пьян только наполовину
и никогда не возвращается на гранью по которой он только что про-
полз, но оставшиеся две выбирает-с равной вероятностью, то до
противоположного угла он будет добираться в среднем за 6 граней.
В обоих случаях средняя продолжительность обратного путешествия
жука в точку старта будет равная граням, по числу углов в кубе.
Это не случайное совпадение. Томас X. О’Бирн из Глазго (чей тер-
мин «полупьяный» я позаимствовал) продемонстрировал неопубли-
кованное доказательство того, что в любой регулярной сетке, каждая
вершина которой топологически точно такая же, как и любая другая
вершина, случайное блуждание назад к точке старта совершается в
среднем за ожидаемое число шагов, равное общему числу вершин.
Это верно вне зависимости от того, выбирает ли идущий в каждой
вершине с равной вероятностью все возможные пути или же только
86
Лучшие математические игры и головоломки
те, по которым он не проходил только что. Пьяный либо полупья-
ный жук, перемещающийся от угла к углу квадрата, в среднем дойдет
до точки старта за четыре шага. Грани всех платоновых и архимедо-
вых фигур образуют регулярные пространственные сети того же
свойства. По тетраэдру пьяный либо полупьяный жук в обратном пу-
тешествии к старту пройдет четыре грани; по додекаэдру он пропол-
зет 20 граней и так далее. Читатели, которых заинтересует, как выво-
дят уравнения для подсчета средней продолжительности блужданий
на таких сетках, найдут этот метод, рассмотренный на примере доде-
каэдра, в решениях к задачам Е1752 и Е1897 в журнале American
Mathematical Monthly за февраль 1966 г. на с. 200 и октябрь 1967 г.,
с. 1008—1010. В случае ромбододекаэдра, не являющегося правиль-
ной фигурой, смотрите статью О’Бирна «Бессмысленные результаты
статистики движения пьяных мух» в «Бюллетене института матема-
тики и ее применений», за август 1966 г., с. 116—119.
Шаги по сетке не обязательно должны вести в прилежащие точки
сетки. Представим себе симметричные эргодические случайные пе-
ремещения ладьи по шахматной доске, предположив, что каждый
следующий ход ладья выбирает среди всех возможных с равной веро-
ятностью; Поскольку в любой квадрат доски ладья может попасть из
14 других полей, вероятность перемещения для каждого поля равна
1/14. Поэтому в каждой из клеток ладья проведет одно и то же время.
С другими шахматными фигурами дело обстоит иным образом, по-
тому что вероятности перемещений у них другие. Ферзь, например,
может попасть в угловую клетку только из двух других, в то время как
в любую из шестнадцати центральных клеток он может попасть из
восьми других. Поскольку соотношение здесь 2/8 или 1/4, из этого
следует, что во время бесконечного блуждания по шахматной доске
ферзь будет попадать в каждый данный угловой квадрат поля в четы-
ре раза реже, чем в любой из центральных шестнадцати. Доказатель-
ство см. в статье «Обобщенные симметричные случайные блуждания»
Юджина Элберта в Scripta Mathematica за август 1964 г., с. 185—187.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Выше в этой главе мы столкнулись с замечательной теоремой, ко-
торая в терминах теории графов звучит следующим образом.
Представим себе любой граф, правильный в том смысле, что каж-
дая его точка принадлежит одному и тому же числу линий. Если
Случайные блуждания на плоскости и в трехмерном пространстве 87
жук начнет случайное блуждание из любой его точки, в каждой
точке выбирая одну из возможных линий с равной вероятностью,
ожидаемое (среднее) число шагов назад к точке старта равно числу
точек графа.
Хотя я приводил ссылки на источники, объясняющие, как рас-
считывать подобные блуждания, я не приводил примеров. Читате-
лю может показаться интересным то, как это делается для треуголь-
ника и тетраэдра. Затем он сможет обобщить данную процедуру для
граней многоугольников и многогранников и других правильных
фигур.
Обозначим углы треугольника А, В, С. Нам необходимо узнать
1 ожидаемую длину случайного блуждания от А и назад к А, предпо-
лагая, что в каждой вершине одна из двух граней выбирается с рав-
ной вероятностью. Обратите внимание, что это то же самое, что на-
звать А поглощающим барьером (после того как сделан первый
шаг), затем задаться вопросом об ожидаемой длине случайного
блуждания до поглощения.
Пусть х — ожидаемая длина блуждания от В до А. По причине
симметрии оно равно ожидаемому расстоянию от С до А.
Предположим, что жук находится в В. Если он предпочтет двигать-
ся к А, ожидаемый путь до А равен 1. Если он решит двигаться к С,
ожидаемый путь до А равен 1 плюс ожидаемый путь от С до А. Послед-
I нйй равен х, поэтому ожидаемый путь от С до А составляет (1 + х). Сло-
j Жим длины двух путей, 1 + (1 + х), и разделим на 2, чтобы получить
среднее. Таким образом мы получаем следующее простое уравнение:
откуда х равен 2. • 1'
Теперь мы знаем, что, если жук йачинает двигаться либо из В, ли-
бо из С, ожидаемый путь до А равен 2. Если же жук стартует в А, ему
нужно пройти один шаг, чтобы оказаться в В или в С. Поэтому ожи-
даемая длина блуждания от А и обратно к А составляет 1 + 2 = 3.
В случае тетраэдра решение строится по той же схеме. Обозначим
углы А, В, С, D. Жук начинает движение с В. Если он решит двигать-
ся прямо к А, ожидаемый путь равен 1. Если он выберет движение в
сторону С или D, ожидаемый путь к А равен (1 + х). Средняя длина
пути от В до А, следовательно, составляет 1 + (1 + х) + (1 + х), поде-
ленное на три. Получаем уравнение:
88
Лучшие математические игры и головоломки
_1 + (1 + х) + (1 + х)
3
откуда х = 3. Жук, находящийся в А, должен сделать один шаг, что-
бы попасть в один из трех других углов, поэтому ожидаемый путь от
А назад к А равен 1 + 3 = 4.
В качестве упражнения, получив лишь ненамного более слож-
ные уравнения, читатель может попробовать доказать, что ожидае-
мая длина блуждания по квадрату и кубу от данного угла и обратно
до него составляет, соответственно, 4 и 8.
ОТВЕТЫ
1. Два человека выходят из одной и той же точки на плоскости.
Один совершает случайное блуждание длиной в 70 единичных ша-
гов, второй - в 30 шагов. Каково ожидаемое (среднее) расстояние
между ними к концу движения? Если вы представите себе, что один
человек поворачивает обратно по ходу движения, возвращается в
исходную точку и затем продолжает идти по пути второго человека,
вы увидите, что данный вопрос аналогичен поиску ожидаемого рас-
стояния от исходной точки за время случайного блуждания в сто
шагов. Выше мы уже упоминали, что это ожидаемое расстояние
равно средней длине шага, помноженной на квадратный корень из
числа шагов. Поэтому ответ составляет 10 шагов.
2. Так как куб — симметричная фигура, любой первый шаг пья-
ной мухи обязательно приведет ее на шаг ближе к самому удаленно-
му от старта углу куба, откуда одновременно начал движение пья-
ный паук. Поэтому не так важно, какой именно первый шаг делает
муха. Паук, однако, может попасть в угол, соседний с мухой, только
двумя из трех возможных для него путей. Поэтому вероятность то-
го, что после своих первых шагов эти существа окажутся на сосед-
них углах, равна 2/3. На каждой паре соседних углов, которые они
тогда будут занимать, вероятность того, что муха будет двигаться к
пауку, составит 2/5, а вероятность того, что паук продолжит двигать-
ся навстречу мухе, составит 1/4. Произведение этих трех вероятнос-
тей, 2/3, 2/5 и 1/4, составляет 1/15. Это и есть вероятность того, что
паук и муха встретятся посреди грани после того, как каждый из них
прошел 1 ’/2 грани.
ГЛАВА 8
Булева алгебра
Заслуга в создании формальной логики целиком принадлежит Ари-
стотелю, несмотря на тот факт, что он практически всё свое внима-
ние уделил силлогизму Сегодня, когда силлогизм стал тривиаль-
нейшей частью логики, трудно поверить, что две тысячи лет он был
основной темой трудов по логике и что еще относительно недавно,
в 1797 году, Иммануил Кант мог написать, что логика — это «закры-
тая и завершенная область познания».
«В силлогических умозаключениях, — объяснял некогда Бертран
Рассел, — предполагается, что вы уже знаете, что все люди смертны,
а Сократ — человек; отсюда вы логически выводите то, чего и пред-
ставить себе не могли, — а именно то, что и Сократ смертен. Подоб-
ные формы умозаключений действительно встречаются в жизни, хо-
тя и очень нечасто».
Далее Рассел сообщает, что единственный известный ему случай
был вызван к жизни комическим Выпуском британского философ-
ского журнала Mind за 1901 год, замышлявшегося издателями как
специальный рождественский номер/Немецкий философ, озада-
ченный рекламным приложением1 журнала, сделал следующий вы-
вод: «В этом журнале всё - шутка, реклама размещена в журнале,
следовательно, и реклама — шуточная». «Если вы хотите стать логи-
ком, — писал Рассел, — я могу дать вам один полезный совет, кото-
рый никогда не будет излишним, а именно: не изучайте традицион-
ную логику. Во времена Аристотеля это, конечно, стоило усилий, но
тогда была актуальна и астрономия Птолемея».
Поворотный момент настал в 1847 году, когда Джордж Буль
(1815—1864), скромный самоучка, сын английского сапожника
90
Лучшие математические mi ры и головоломки
Рис. 40.
Джордж Буль.
(см. рис. 40), опубликовал свой «Математический анализ логики».
Этот и другие его труды, вопреки отсутствию ученой степени, при-
вели его на кафедру профессора математики в Королевском колле-
дже (теперь Университетском колледже) в ирландском городе Корк,
где им и был написан трактат «Исследование законов мышления, на
которых основаны математические теории логики и вероятности»
Булева алгебра
91
(Лондон, 1854). Основная его идея — замена всех слов, используе-
мых в формальной логике, символами — ранее приходила в голову и
другим, но Буль первым создал удобную в работе систему. В общем
и целом ни философы, ни математики его столетия не проявили
особого интереса к этому замечательному достижению. Возможно,
это послужило одной из причин терпимости Буля к математическим
эксцентрикам. Он написал статью о коркском чудаке по имени
Джон Уолш («Философский журнал», ноябрь 1851 г.), которую Ога-
стес Де Морган в своей «Кладези парадоксов» называет «лучшей из
известных мне биографий героя-одиночки».
Буль умер от воспаления легких в возрасте 49 лет. Считается, что
фатальная для него болезнь началась с простуды, последовавшей за
чтением лекций в мокром костюме, после того как он попал под
дождь. Его пережили жена и пятеро дочерей. Норман Гриджман, на-
писавший «Во славу Буля», приводит многие замечательные факты
об этих шести дамах.
Жена Буля, Мэри Эверест, писала популярные книги о взглядах
своего мужа на математику и образование. Одна из книг называлась
«Философия и радости алгебры». Старшая дочь, Мэри, вышла за-
муж за Чарльза Хинтона, математика, написавшего первый роман
про плоский мир (см. главу 12 моей книги Unexpected Hanging),
а также книги о четвертом измерении.
Другая, Маргарет, стала матерью сэра Джоффри Тэйлора, кемб-
риджского математика. Алисия, заинтригованная изысканиями
Чарльза Хинтона в многомерных пространствах, сделала значитель-
ные открытия в этой области. Люси стала профессором химии. Этель
Лилиан, младшая, вышла замуж за Уилфрида Войнича, ученого
польского происхождения. Они поселились в Манхэттене, где Этель
и умерла в 1960 году. Ее перу принадлежат несколько романов, в том
числе «Овод» (1898), который был так популярен в России, что по
нему даже ставили оперы. В последние годы миллионные тиражи
этого романа расходятся в Китае. Современные русские постоянно
удивляются, — пишет Гриджман, — что почти никто на Западе не
слышал про Этель Лилиан Войнич, великую писательницу».
Те немногие, кто оценил гений Буля (в особенности немецкий
математик Эрнст Шрёдер), в скором времени значительно улучши-
ли предложенную Булем систему записи, которая была довольно
неуклюжей — во многом из-за попыток Буля сделать ее похожей на
градиционную алгебру. Нд сегодняшний день булева алгебра опира-
ется на «неинтерпретированную» абстрактную структуру, которая
92
Лучшие математические игры и головоломки
может быть аксиоматизирована самыми разными путями, но в ос-
нове своей представляет собой модернизированную, упрощенную
версию системы Буля. «Неинтерпретированная» означает, что сим-
волам структуры не ставится в соответствие никаких значений — в
логике ли, математике или в физическом мире.
Как и в случае любых абстрактных алгебр, символам булевой ал-
гебры можно приписать множество различных интерпретаций. Сам
Буль интерпретировал свою систему в аристотелевском смысле, как
алгебру классов и их свойств, но значительно расширил старую ло-
гику классов за пределы узких рамок силлогизма. Поскольку от
предложенной Булем системы записи сейчас отказались, современ-
ная булева алгебра записывается в символах теории множеств, при
этом под множеством понимается то же, что Буль называл классом:
любое объединение отдельных «элементов». Множество может быть
конечным, например числа 1, 2, 3, или число зеленоглазых жителей
города Омаха, вершин куба, планет в Солнечной системе или любое
другое особым образом обозначенное собрание вещей. Множество
может также быть и бесконечным, например множество четных це-
лых чисел или, возможно, множество всех звезд. Если мы точно оп-
ределим множество, конечное либо бесконечное, и затем решим,
что все его подмножества (в их число входит как само множество,
так и пустое множество без элементов) соотносятся друг с другом
путем включения (например, множество 1, 2, 3 включено в множе-
ство 1, 2, 3, 4, 5), мы можем построить булеву алгебру множеств.
В современной записи для обозначения множеств, подмножеств
и их элементов используются буквы. «Универсальное множество»,
самое большое из рассматриваемых множеств, символизируется
знаком U. Пустое, или нулевое, множество обозначается 0. «Объе-
динение» множеств а и b (всё в о Ь) обозначается знаком иногда
называемым «чашей». «Пересечение» множеств а и b (всё общее для
а и Ь) обозначается знаком иногда называемым «шляпой». (Пере-
сечением множеств 1, 2, 3 и 3, 5 является 3.) Если два множества
идентичны (например, множество нечетных чисел идентично мно-
жеству целых чисел, делящихся на 2 с остатком 1), это символизи-
руется знаком равенства. «Комплемент» множества а — все элемен-
ты универсального множества, не входящие в а, — обозначается как
а'. (Комплемент множества 1, 2 по отношению к универсальному
множеству 1, 2, 3, 4, 5 — это 3, 4, 5.) Наконец, базовое бинарное от-
ношение включения в множество обозначается символом е; а € b оз-
начает, что а входит в состав Ь.
Булева алгебра
93
В качестве исторической справки сообщим, что среди предло-
женных Булем символов были буквы для элементов, классов и под-
классов: 1 означало универсальный класс, 0 - нулевой; + — союз
классов (понимаемый им в «исключающем» смысле; переход к
«включающему», впервые предложенному британским логиком и
экономистом Уильямом Стенли Джевонсом, привнес так много
преимуществ, что позднее логики приняли именно его); х — для пе-
ресечения классов; = — для равенства; и знак минуса — для вычита-
ния одного множества из другого. Чтобы обозначить комплемент от х,
Буль писал 1 — х. У него не имелось специального символа для
включения в класс, но он мог выразить его различными способами,
например, такими, как а х b = а, что означало, что пересечение а и
b идентично всему множеству а.
Булева алгебра множеств может быть изящно представлена в ви-
де диаграмм Венна (по имени английского логика Джона Венна),
которые в настоящее время включаются во многие школьные обра-
зовательные курсы. Диаграммы Венна интерпретируют булеву алге-
бру посредством топологии точечных множеств. Пусть два перекры-
вающихся круга символизируют объединение двух множеств (см.
рис. 41), которыми в данном случае будут множество первых десяти
цифр и множество первых десяти простых чисел. Область за преде-
лами обоих кругов представляет собой универсальное множество.
Ее обычно заключают в прямоугольник, который затеняют, чтобы
показать, что это нулевое множество; оно пустое, потому что нас
интересуют только элементы, входящие в область, очерченную дву-
Диаграмма Венна для пересечения множеств.
94
Лучшие математические игры и головоломки
мя кругами. Эти 16 элементов представляют собой объединение
двух множеств. Перекрывающаяся область представляет собой пе-
ресечение. Оно состоит из множества 2, 3, 5,7; цифр, которые одно-
временно обозначают простые числа.
Договорившись затенять все обларти, о которых известно, что
они содержат пустое множество, мы увидим, как диаграмма Венна
из трех кругов наглядно доказывает античный силлогизм, о котором
столь пренебрежительно отзывался Рассел. Круги подписаны, что-
бы обозначить множества людей, смертных и Сократа (множество с
одним элементом). Первая посылка, «Сократ — человек», таким об-
разом, отображается затемнением круга Сократа, чтобы показать, что
все Сократы, а именно он сам, находятся в круге людей (см. рис. 42,
слева). Теперь мы изучим диаграмму, чтобы понять, верно ли заклю-
чение «Сократ смертен». Да, оно верно. Всё множество Сократов
(незатененная часть его круга, помеченная точкой) находится внут-
ри крута смертных. Используя топологические свойства простых за-
мкнутых кривых, мы получаем метод построения диаграмм, равно-
ценный булевой алгебре множеств.
Первую важную новую интерпретацию булевой алгебры предло-
жил сам Буль. Он отметил, что если его единицу принять за истин-
ное высказывание, а ноль за ложное, истинность либо ложность вы-
сказывания можно исчислять. Буль не довел эту идею до конца, это
сделали его последователи. Сейчас это называется пропозицио-
нальным исчислением, или исчислением высказываний. Это ис-
Посылка: «Все люди смертны». Посылка: «Сократ — человек».
Рис. 42.
Булева алгебра
95
Булева алгебра Пропозициональное исчисление
U (универсальное множество) П (правда)
0 (нулевое множество) Л (ложь)
а, Ь, с (множества, подмножества, элементы) р, q, к (предположения)
а b (объединение: все элементы а и Ь) р V q (дизъюнкция: либо только р, либо только q, либо оба верны)
а Ь (пересечение: общие элементы а и Ь) р • q (конъюнкция: и р, и q верны) '
а = b (равенство: множества а и b идентичны) р = q (эквивалентность: если и только если р верно, то q верно)
а' (комплемент: все элементы 2, не входящие в а) ~ р (отрицание: р - ложь)
а € Ь (включение: а - член множества Ь) р 3 q (импликация: если р верно, то q верно)
Рис. 43.
Соответствие символов в двух версиях булевой алгебры.
числение, относящееся к высказываниям, истинным либо ложным,
связанным такими бинарными отношениями, как: «Если р, то q»,
«Либо р, либо q, но не оба сразу», «Либо р, либо q, либо оба сразу»,
«Если, и только если р, то q», «Ни р, ни q» и так далее. Диаграмма на
рис. 44 показывает соответствие символов пропозиционального ис-
числения символам булевой алгебры множеств.
Нетрудно увидеть изоморфизм двух интерпретаций, рассмотрев
силлогизм о Сократе. Вместо того чтобы сказать «Все люди смерт-
ны» в терминах свойства класса или включения множества, мы пе-
рефразируем это как «Если х — человек, то х смертен». Теперь у нас
имеются две пропозиции, которые будут объединены связкой — им-
пликацией, или следствием. Это отражается на диаграммах Венна
точно тем же способом, каким мы только что записали «Все люди
смертны». На самом деле все бинарные отношения в пропозицио-
нальном исчислении могут быть записаны в виде диаграмм Венна, и
эти диаграммы могут использоваться при решении простых задач в
исчислении. Можно только сожалеть о том, что авторы большинст-
96
Лучшие математические игры и головоломки
ва вводных пособий по формальной логике до сих пор не оценили
это по достоинству. Они продолжают использовать диаграммы Вен-
на для иллюстрации старой логики классов, но не применяют их в
пропозициональном исчислении, где они столь же эффективны. На
самом деле даже более эффективны, потому что в пропозициональ-
ном исчислении не стоит проблема «квантора существования», ут-
верждающего, что класс не является пустым, потому что в нем есть
хотя бы один член. В традиционной (логике это выражалось словом
«некоторый» (например, «Некоторые яблоки зеленые»). Чтобы
справляться с такими утверждениями, Булю приходилось выбирать
сложные обходные пути.
Чтобы увидеть, как легко диаграммы Венна справляются с опре-
деленным типом логических задач, рассмотрим следующие исход-
ные условия относительно трех бизнесменов, Абнера (А), Билла (В)
и Чарли (С), которые каждый день совместно обедают:
Если Абнер заказывает мартини, Билл поступает так же.
Кто-нибудь из двух — либо Билл, либо Чарли — всегда заказыва-
ет мартини, но они никогда не заказывают его одновременно.
Либо Абнер, либо Чарли, либо они оба вместе всегда заказывают
мартини.
Если Чарли заказывает мартини, Абнер поступает так же.
Рис. 44.
Диаграммы Венна для задачи про мартини.
Булева алгебра
97
Чтобы отобразить эти утверждения в виде диаграмм Венна, мы
принимаем заказанное мартини за истину и незаказанное — за ложь.
Восемь областей, образованных перекрывающимися кругами на
рис. 44, помечены, чтобы обозначить все возможные комбинации
значений истинности для а, b и с, которыми обозначены Абнер,
Билл и Чарли. Таким образом, область, обозначенная а, ~ Ь, с, отра-
жает ситуацию, в которой Абнер и Чарли заказали мартини, а Билл —
нет. Попробуйте затенить области, которые четыре исходных усло-
вия определяют как пустые, и затем выясните, кто из бизнесменов
будет заказывать мартини, если вам случится обедать с ними.
Есть множество других возможных интерпретаций булевой алге-
бры. Ее можно счесть особым случаем абстрактной структуры, на-
зываемой цепью, либо особым случаем другой структуры, называе-
мой решеткой. Она может быть интерпретирована в терминах ком-
бинаторики, теории информации, теории графов, теории матриц и
в общем случае — в метаматематических теориях дедуктивных сис-
тем. В последние годы наиболее значимое применение она нашла в
теории переключательных схем, которая особенно актуальна при
создании электронно-вычислительных машин, но не сводится к
электрическим цепям. Она применима к любым системам, в кото-
рых энергия передается по каналам с переключателями, перекры-
вающими или открывающими путь энергии либо переключающими
ее с одного канала на другой.
Энергия может быть потоком газа или жидкости, как в совре-
менных жидкостных системах контроля (см. «Жидкостные системы
контроля» Стенли Ангриста, в «Сайентифик Америкен» за декабрь
1964 г.) Это могут быть лучи света. Это может быть механическая
энергия, как в логических машинах, придуманных Джевонсом для
решения четырехэлементных задач булевой алгебры. Это могут быть
катящиеся шарики, как в некоторых построенных по компьютерно-
му принципу играх на современном рынке: Dr. Nim, Think-a-Dot
и Digi-Comp II. А если у обитателей далеких планет обнаружится
особо развитое обоняние, то их компьютеры вполне могут представ-
лять собой системы передачи запахов по трубкам к наружным выхо-
дам для обнюхивания. Во всех случаях когда энергия перемещается
либо не перемещается по определенному каналу, есть аналогия
между этими двумя состояниями и двумя значениями истинности в
пропозициональном исчислении. Каждому соединительному слову
в пропозициональном исчислении соответствует переключатель.
Три простых примера приведены на рис. 45. Нижняя схема исполь-
4-9751
98
Лучшие математические игры и головоломки
Схема «И»: лампочка горит только тогда, когда и а, и б замкнуты.
Схема «включающего ИЛИ»: лампочка горит толькб тогда,
когда либо а, либо б, либо оба замкнуты.
Схема «исключающего ИЛИ»: лампочка горит только тогда,
когда либо а, либо б, но НЕ а и б вместе, замкнуты.
Рис. 45.
Электрические схемы для трех бинарных отношений.
Булева алгебра
99
зуется во всех случаях, когда два сильно разнесенных выключателя
включают один и тот же источник света. Легко увидеть, что если
свет выключен, изменение положения любого из выключателей
включит его, а если он включен, любой из двух его выключит.
Эта интерпретация булевой алгебры в терминах электрических
сетей была впервые предложена в одном российском журнале Пав-
лом Эренфестом в 1910 году и независимо в Японии в 1936 году, од-
нако первым серьезным трудом, представившим эту интерпретацию
создателям вычислительных систем, стал «Символический анализ
реле и переключающих цепей» Клода Шэннона, в журнале
Transactions of the American Institute of Electrical Engineers, том 57,
за декабрь 1938 г. Он был основан на диссертации Шэннона в Мас-
сачусетском технологическом институте от 1937 года.
С тех пор как была опубликована работа Шэннона, булева алге-
бра стала незаменимой при создании вычислительных машин. Осо-
бенно она ценна возможностью упрощать цепи и тем самым сокра-
щать объемы «железа». Цепь сначала «переводится» в утверждение в
терминах логики символов, утверждение «минимизируется» раз-
личными способами, а затем вновь переводится в цепь, но уже уп-
рощенную. Разумеется, в современных компьютерах переключате-
лями служат уже не магнитные устройства либо вакуумные лампы,
но полупроводниковые транзисторы. ;
Напоследок еще об одной интерпретации булевой алгебры, дей-
ствительно любопытной. Рассмотрим следующее множество из
восьми чисел: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30. Все они являются множителя-
ми числа 30, в том числе 1 и 30. Мы интерпретируем «объединение»
как наименьшее общее кратное любой пары этих чисел. «Пересече-
нием» мы назовем их наибольший общий делитель. Включенным
множеством становится отношение «является множителем п». Уни-
версальным множеством оказывается 30, нулевым множеством — 1.
Комплемент числа а равен 30/а. Придав отношениям булевой алге-
, бры эти новые интерпретации, мы обнаруживаем, что получили по-
следовательную булеву структуру! У всех теорем булевой алгебры в
этой забавной системе, основанной на множителях числа 30, име-
ются свои соответствия. Например, в булевой алгебре комплемент
комплемента а равен просто а, или же, в терминах пропозициональ-
ного исчисления, отрицание отрицания равно отсутствию отрица-
ния. В более общем случае, только нечетная серия отрицаний экви-
валентна отрицанию. Применим этот булев закон к числу 3. Его
комплемент равен 30/3 = 10. Комплемент 10 равен 30/10 = 3, что
4*
100
Лучшие математические игры и головоломки
возвращает нас снова к тройке.
Рассмотрим два самых известных булевых закона, именуемых за-
конами Де Моргана. В алгебре множеств они выглядят как:
(а - ЬУ = а' - Ь'
(а-Ь)' = а'-Ь'.
В пропозициональном исчислении они таковы:
(а V b) - ~ а' ~ b
(а ' b) = ~ а V ~ Ь.
Если читатель подставит любые два множителя числа 30 вместо а
и Ь, истолковав символы так, как объяснялось выше, он обнаружит,
что законы Де Моргана выполняются. Тот факт, что законы Де Мор-
гана образуют пару, иллюстрирует знаменитый дуальный принцип
булевой алгебры. Если в любом утверждении вы поменяете местами
объединение и пересечение (если и там, где они наличествуют) и по-
меняете местами универсальное и нулевое множество, а также поме-
няете направления включения в множество, результатом будет дру-
гой действующий закон. Более того, эти изменения могут присутст-
вовать на всех стадиях доказательства одного закона, с получением в
результате правомерного доказательства другого закона! (Подобный
же прекрасный принцип дуальности действует в проективной геоме-
трии по отношению к взаимозаменяемости линий и точек.)
Числа 1,2, 3, 5, 6, 7,10,14,15,21, 30, 35, 42, 70,105, 210 - 16 мно-
жителей числа 210 — также образуют булеву систему при подобной
же интерпретации, хотя, конечно, в этом случае универсальное
множество — это 210, а комплемент а равен 210/а. Сможет ли чита-
тель найти простой способ получать множества из 2П чисел, где п —
любое положительное целое число, которые будут образовывать бу-
левы системы подобного типа?
ОТВЕТЫ
Три диаграммы Венна затенены, как на рис. 46, чтобы решить за-
дачу о трех мужчинах, обедающих вместе. Каждая из первых четы-
рех диаграмм затенена, чтобы отобразить одно из четырех исходных
условий задачи. Наложение всех четырех диаграмм друг на друга с
Булева алгебра
101
Рис. 46
102
Лучшие математические игры и головоломки
образованием последней диаграммы показывает, что если четыре
исходные посылки истинны, то единственно возможная комбина-
ция значений истинности — это а, Ь, ~с, или истинное а, истинное b
и ложное с. Поскольку мы ассоциируем истинность высказывания с
заказом мартини, это означает, что Абнер и Билл всегда заказывают
мартини, а Чарли никогда не делает этого.
Метод получения последовательностей из 2П целых чисел, обра-
зующих булевы системы, привел Фрэнсис Д. Паркер в журнале The
American Mathematical Monthly за март 1960 г., с. 268. Рассмотрим
множество из любого числа различных простых чисел, например 2,
3, 5. Запишем произведения всех подмножеств этого множества
простых чисел, которые включают 0 (нулевое множество) и исход-
ное множество из всех простых чисел. Заменим 0 на 1. В результате
получаем множество 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30, первый из приведенных
примеров. Таким же образом четыре простых числа 2, 3, 5, 7 образу-
ют второй пример, 24 — .16 множителей числа 210. Доказательство,
что все такие множества образуют системы булевой алгебры, можно
найти в книге «Булева Алгебра» Р. Л. Гудштейна в ответах к задаче
№ 10, с. 126.
ГЛАВА 9
Могут ли машины думать?
Было время, когда казалось крайне невероятным, что ма-
шины научатся сообщать о своих потребностях звуками,
пусть даже посредством человеческого уха; не можем ли мы
тбгда представить себе, что настанет день, когда в этих ушах
не будет более необходимости, и слышать машина будет бла-
годаря тонкости собственной внутренней организации, когда
, ее язык из дикого звериного рева разовьется в речь, столь же
замысловатую, как наша?
Сэмюэл Батлер, Эревон
!
Алан Мэтисон Тьюринг, британский математик, погибший в 1954 го-
ду в возрасте сорока двух лет, был одним из самых талантливых сре-
ди создателей первых вычислительных машин. Сегодня он известен
в первую очередь своей концепцией так называемой машины Тью-
ринга. Мы вкратце рассмотрим принципы работы таких машин и
затем перейдем к одной из менее известных идей Тьюринга, игре
Тьюринга — игре, приводящей к глубоким и до сих пор не разрешен-
ным философским противоречиям.
Машина Тьюринга — это управляющее устройство типа «черный
ящик» (машина с неопределенным устройством), способное скани-
ровать бесконечную ленту с квадратными клетками. Некоторая ко-
нечная часть ленты содержит клетки-ячейки с определенным со-
держанием — в каждой из них находится один из конечного числа
символов. Когда управляющее устройство «видит» ячейку, оно мо-
жет оставить символ без изменений, стереть его, стереть и напеча-
тать иной символ или впечатать символ в пустую ячейку. Лента за-
тем смещается на одну ячейку влево или вправо либо остается на
месте; управляющее устройство же остается в том же состоянии ли-
бо переключается в иное состояние.
Свод правил в таблице описывает, что делает управляющее уст-
ройство в случае каждого возможного сочетания символа и состоя-
104
Лучшие математические игры и головоломки
Состояние А Состояние В
1 1. Стереть 1. 2. Сканировать следующую ячейку справа. 3. Перейти в состояние В. 1. Сканировать следующую ячейку справа. 2. Оставаться в состоянии В.
+ 1. Стереть плюс. 2, Напечатать 1. 3. Стоп.
Рис. 47.
Машина Тьюринга для сложения.
ния. Подобная таблица полностью определяет данную машину
Тьюринга. Существует исчислимая бесконечность (алеф-нуль) ма-
шин Тьюринга, каждая из которых предназначена для особой зада-
чи, и для каждой задачи символы, состояния и правила, применяе-
мые машиной, могут значительно различаться.
Проще всего понять принцип машины Тьюринга, построив ее,
хотя бы в самом упрощенном варианте (см. рис. 47). Восемь ячеек
на бумажной ленте заполнены символами 1111 + 111, обозначаю-
щими сложение 4 и 3 в «единичной» системе исчисления, в которой
целое число п записывается n-ным числом единиц. Чтобы создать
машину, начертите квадрат (это будет «черный ящик») и сделайте по
краям его две прорези, чтобы сквозь них можно было пропустить
ленту, как на рисунке. Расположите ленту так, чтобы была видна
первая единица. В таблице под рисунком есть все необходимые пра-
вила.
Могут ли машины думать ?
105
Начните с допущения, что сейчас машина в состоянии А. Сверь-
тесь с таблицей относительно сочетания символа 1 и состояния А и
сделайте то, что она предписывает; сотрите 1, передвиньте ленту
влево (таким образом, чтобы машина сканировала следующую
клетку справа) и примите, что она перешла в состояние В. Продол-
жайте действовать таким образом до того момента, пока таблица не
скажет вам «стоп».
Если вы будете точно следовать правилам, машина сотрет пер-
вую единицу, затем будет передвигать ленту влево до тех пор, пока
не натолкнется на знак «плюс», поменяет плюс на единицу и оста-
новится. Налейте при этом останется запись 1111111, или 7. Итак,
очевидно, что благодаря этим простым правилам данное устройство
запрограммировано на сложение любых пар положительных целых
чисел, как бы велики они ни были.
Конечно, это довольно утомительный способ сложения, однако
Тьюринг ставил перед собой задачу свести машинное исчисление к
максимально простой и абстрактной схеме, чтобы было проще ана-
лизировать различные теоретические проблемы исчисления, напри-
мер, что может, а что не может быть подсчитано. Тьюринг показал,
что его идеализированный прибор может быть запрограммирован на
выполнение, пусть и своим неуклюжим способом, всех действий, на
которые способны самые мощные электронные вычислительные ма-
шины. Как и любой компьютер — а так же как человеческий мозг —
он ограничен тем фактом, что некоторые подсчеты (например, ис-
числение числа «пи») требуют бесконечного числа шагов, а также тем
фактом, что некоторые задачи неразрешимы в принципе, поскольку
нет алгоритма либо эффективной процедуры, с помощью которых их
можно было бы решить. «Универсальная машина Тьюринга» способ-
на делать всё, на что способны машины Тьюринга для специальных
целей. Проще говоря, она исчисляет все, что исчислимо.
В 1950 году статья Тьюринга «Вычислительные машины и разум»
появилась в британском философском журнале Mind и с тех пор бы-
ла переиздана в составе нескольких антологий, включая «Мир мате-
матики» Джеймса Р. Ньюмана. «Я предлагаю, — начинает Тьюринг,
— рассмотреть следующий вопрос: «Могут ли машины думать?»
Этот вопрос, полагает Тьюринг, звучит слишком расплывчато, что-
бы на него можно было дать осмысленный ответ. Он предложил вза-
мен близкий, но более точный вопрос: сможет ли машина выиграть
в «имитационной игре», в настоящее время называемой «игрой
Тьюринга» или тестом Тьюринга?
106
Лучшие математические игры и головоломки
! Игра Тьюринга основана на игре, в которой мужчина прячется в
одной комнате, а женщина — в другой. Ведущий любого пола задает
прячущимся игрокам вопросы, которые передает посредник; отве-
ты возвращаются в напечатанном виде. Каждый из разнополых иг-
роков пытается убедить водящего, что он или она, например, жен-
щина. Водящий выигрывает, если верно отгадывает, кто из двух го-
ворит правду.
Допустим^ пишет Тьюринг, мы заменим одного игрока обучаю-
щейся машиной, способной изъясняться на обычном языке, напри-
мер английском. Сможет ли такая машина обмануть водящего, если
и машина, и ее живой сообщник будут пытаться убедить водящего,
что он/она/оно - человек, а не машина?
Смысл слова «обмануть» затемняет несколько континуумов.
Насколько долго может продолжаться беседа? Насколько умен во-
дящий? Насколько умен человек, соревнующийся с машиной? Се-
годня компьютер легко проходит тест Тьюринга, если вопросы за-
дает ребенок, и их допускается лишь несколько. Будущее, вероят-
но, не принесет существенных прорывов в этой области, подобно
тому, как давно не было прорывов в эволюции человека. Машйны,
способные вести беседу, постепенно совершенствуются, поэтому,
чтобы их победить, требуются всё более долгие диалоги и всё более
хитрые вопросы. Возможно, когда-нибудь только особый спраши-
вающий компьютер сможет угадывать верно каждый раз, машина
перед ним или нет. Сам Тьюринг сделал на этот счет осторожное
предсказание. К 2000 году, писал он, компьютеры будут «говорить»
достаточно свободно для того, чтобы обманывать «среднего водя-
щего», по крайней мере4 в 30% случаев в ходе примерно пятими-
нутного разговора. Он представлял, что типичной будет подобная
беседа:
В. Напишите, пожалуйста, сонет про Четвертый Мост.
О. Увольте. Я никогда не был силен в поэзии.
В. Сложите 34957 и 70764.
О. (молчит в течение 30 секунд, затем отвечает} 105621.
В. Вы играете в шахматы?
О. Да.
В. У меня только король на Е1 и никаких других фигур. У вас
только король на Е6 и ладья на А8. Ваш ход. Как вы ходите?
О. (после паузы в 15 секунд} Ладья на А1. Мат.
Могут ли машины думать ?
107
В настоящее время существует множество программ, позволя-
ющих компьютерам имитировать беседу на английском языке.
Джозеф Вайценбаум, электротехник из Массачусетского техноло-
гического института, написал программу, которую назвал Элиза,
по имени Элизы Дулиттл из пьесы- Шоу «Пигмалион». Газета
«Нью-Йорк Таймс» (15 июня 1968 г.) привела записанный диалог с
женщиной, в котором машина IBM 7094 выступала в роли психо-
терапевта:
Ж.. Все мужчины одинаковы.
М. В чем именно?
Ж. Они вечно донимают нас по тому или иному поводу.
М. Можете привести конкретный пример?
Ж. Ну, вот мой бойфренд заставил меня прийти сюда.
М. Заставил вас прийти сюда?
Ж. Ну да, он говорит, у меня все время депрессия.
М. Мне очень жаль, что у вас депрессия.
Ж. Это верно. Я несчастлива.
М. Как вам кажется, то, что вы пришли сюда, поможет вам не
быть несчастливой?
Ж. Мне нужна помощь, это я могу сказать точно.
М. Что изменится для вас, если вам будет оказана помощь?
Ж. Может, я наконец смогу поладить с матерью.
М. Расскажите мне о вашей семье.
Ж. Моя мать обо мне очень заботится.
. М. Кто еще в вашей семье о вас заботится?
Ж. Мой отец.
М. Ваш отец?
Ж. Вы в чем-то похожи на моего отца.
М. В чем, по-вашему, я похож на вашего отца?
Ж. Вы не очень агрессивны, но не хотите, чтобы я это заметила.
М. Почему вы думаете, что я неагрессивен?
Ж. Вы со мной не спорите.
Диалог продолжается далее в том же ключе и совершенно неот-
личим от беседы пациента с терапевтом. Эта программа даже не бы-
ла самообучающейся. Вайценбаум с готовностью признал, что ком-
пьютер не «понимает» ничего из сказанного. Разумеется, эта про-
грамма не смогла бы пройти тест Тьюринга. Представим, однако,
компьютер, играющий в игру Тьюринга столь же успешно, как сего-
108
Лучшие математические игры и головоломки
дня в шахматы и шашки. Что же это сможет нам рассказать о том,
как устроено машинное «мышление»?
Читавшие роман Артура Кларка «2001; Космическая одиссея»,
смогут вспомнить, что HAL, говорящий компьютер звездолета, счи-
тался «думающим», потому что «с легкостью проходил тест Тьюрин-
га». (HAL — сокращение от «эвристически (heuristically) программи-
руемый алгоритмический компьютер», но вполне возможно, что,
придумывая название, Кларк намекал и на более хитрую игру слов.
Сможет ли читатель догадаться, в чем тут секрет?) Думает ли HAL,
или же он всего лишь имитирует мышление? Тьюринг полагал, что
к тому моменту, когда компьютеры смогут говорить достаточно хо-
рошо, чтобы проходить его тест, никто не будет стесняться гово-
рить, что они думают.
Немедленно возникают очень запутанные вопросы. Сможет ли
подобный компьютер осознавать сам себя? Могут ли у него быть
эмоции? Чувство юмора? Короче говоря, можно ли будет считать
его личностью, или же он останется мертвой машиной, имитирую-
щей личность? У Л. Франка Баума был Тикток, заводной механиче-
ский человек, подобный роботу, который «думает, говорит, действу-
ет и всё, что угодно, только не живет».
Разумеется, способность компьютера пройти тест Тьюринга
будет означать только то, что этот компьютер способен имитиро-
вать человеческую речь достаточно хорошо для того, чтобы прой-
ти подобные тесты. Представим, что некто в Средневековье пред-
ложил следующий «тюльпанный тест». Возможно ли в принципе
изготовить искусственный тюльпан, который будет невозможно
отличить на вид от настоящего? Сегодняшние тюльпаны легко
пройдут этот тест, но это ничего не скажет нам о том, как химики
синтезируют органические вещества, или о том, смогут ли они со-
здать тюльпан, способный расти, как настоящий. Подобно тому,
как сегодня мы прикасаемся к цветку и восклицаем «Ах! Он ис-
кусственный!», так и в будущем, весьма вероятно, настанет день,
когда мы, после длительной и увлекательной беседы с кем-то, ко-
го мы считаем личностью, увидим, открыв дверь, что общались с
компьютером.
Кит Гундерсон в важной работе за 1964 год, критикуя Тьюринга
за то, что он придавал своему тесту незаслуженно большое значе-
ние, выражал свою точку зрения следующими словами: «В конце
концов выяснилось, что паровой бур роет железнодорожные тонне-
ли лучше Джона Генри, однако это не доказывает, что у машины
Могут ли машины думать?
109
есть мышцы; это доказывает лишь то, что для рытья тоннелей мыш-
цы не обязательны».
С неожиданной точки зрения рассмотрел тест Тьюринга Майкл
Скривен в лекции, впоследствии перепечатанной в статье «Закон-
ченный Робот; Введение в андроидологию» в «Измерениях разума»
под редакцией Сидни Хука. Скривен признавал, что способность
вести беседу не означает, что компьютер обладает другими призна-
ками «личности». Представим, однако, что компьютеру удалось
объяснить смысл слова «истина» (скажем, в том смысле, который
точно определил Альфред Тареки) и затем запрограммировать его
так, чтобы он не смог лгать. «Таким образом, этот робот, — пишет
Скривен, — не сможет работать личным слугой, сочинителем рекла-
мы или политиком, но будет пригоден для других целей». Теперь мы
можем спросить его, знает ли он, что существует, есть ли у него эмо-
ции, кажутся ли некоторые шутки ему смешными, действует ли он
по своей воле, получает ли удовольствие от поэзии Китса, и т. д.,
и ожидать, что он даст нам верные ответы.
Есть вероятность, что «машина Скривена», как ее окрестил один
из философов, критикующий работу Скривена в других главах анто-
логии Хука, ответит «нет» на все эти вопросы. Но если ответы будут
положительными, спорит Скривен, у нас есть все основания верить
машине, как мы верим человеку, и нет никаких оснований не счи-
тать ее «личностью».
Философы не согласны с аргументами Тьюринга и Скривена.
В короткой пьесе «Суперкомпьютер-лжеп» Скривен ответил неко-
торым из своих оппонентов. Мортимер Адлер в своей книге The
Difference of Man and the Difference It Makes стоит на точке зрения,
что тест Тьюринга построен по принципу «всё или ничего» и что ус-
пех или постоянные неудачи в создании компьютеров, способных
его пройти, будут, соответственно, ослаблять или усиливать мнение,
что человек радикально отличается от любой возможной машины,
а также от любых животных.
Смогут ли говорящие машины действительно изменить точку
зрения людей, придерживающихся подобных взглядов? Не так
сложно Представить себе телешоу лет так через 50, в котором гости
в прямом эфире экспромтом шутят с роботом Джонни Карсона, чья
память набита миллионами шуток и который обучался искусству
мгновенного ответа у лучших живых комиков. Я сомневаюсь, что
кто-нибудь будет думать, что этот компьютер наделен чувством
юмора в большей степени, нежели человек, проигравший компью-
110
Лучшие математические игры и головоломки
теру в шахматы, думает, что его электронный противник чем-то
принципиально отличается от машины, играющей в крестики-но-
лики. Правила синтаксиса и семантики не так уж принципиально
отличаются от шахматных правил,
В любом случае дебаты продолжаются, а их еще более запутыва-
ют метафизические и религиозные взгляды и сложные лингвисти-
ческие проблемы. Все старые как мир загадки тела и сознания и
природы личности формулируются в новой терминологии. Трудно
представить себе, какие пороги будут преодолены и как их преодо-
ление скажется на фундаментальных философских разногласиях,
когда роботы будущего станут совершеннее — а это произойдет не-
пременно — в своем умении думать, говорить и действовать, как
люди. ,
Сто лет назад те главы из утопии Сэмюэла Батлера «Эревон», где
объясняется, почему эревонцы (едгины) решили уничтожить свои
машины до того, как они из слуг превратятся в хозяев, читались как
притянутая за уши сатира. Сегодня они уже более похожи на трез-
вый прогноз. «Тот факт, — пишет Батлер, — что сейчас машины не
особо сознательны, никак не обезопасит нас от возможности появ-
ления машинного сознания в будущем. Моллюск тоже не слишком
сознает себя. Однако обратите внимание на тот рывок, который ма-
шины сделали за последние несколько веков, и сравните это с тем,
как медленно прогрессируют представители растительного и жи-
вотного царств. Более сложно организованные машины в этом
смысле, образно говоря, детища даже не столько вчерашнего дня,
сколько последних пяти минут в сравнении с прошлым всего миро*
здания».
ОТВЕТЫ
Если каждую букву аббревиатуры HAL передвинуть на одну вперед
в порядке расположения в латинском алфавите, мы получим IBM.
Поскольку логотип IBM виден на дисплеях HAL’a, все решили, что
этот сдвиг букв был замыслом Кларка. Впоследствии Кларк уверял
меня, что это было чисто случайное совпадение и что он и сам был
немало удивлен, когда ему впервые об этом рассказали.
ГЛАВА 10
Циклические числа
Число 142857, которое любители развлекательных моментов в тео-
рии чисел сразу узнают - одно из самых замечательных среди целых
чисел. За исключением вырожденного случая — единицы — это са-
мое маленькое из так называемых «циклических» чисел. «Цикличе-
ское» число — это целое число из п цифр с одним необычным свой-
ством: если его умножить на любое число от 1 до п, в результате по-
лучается число, состоящее из тех же п цифр, расположенных в том
же порядке, в каком они находились в исходном числе. Представим
себе, что число 142857 написано по окружности кольца так, что за
последней цифрой снова следует первая. Это кольцо можно разо-
рвать в шести местах, получившиеся в результате цепочки цифр об-
разуют шестизначные числа, шесть циклических перестановок ис-
ходных цифр:
1 х 142857 = 142857
2х 142857 = 285714
3 X 142857 = 428571
4 х 142857 = 571428
5 X 142857 = 714285
бх 142857 = 857142
Циклическая природа шести произведений давно заинтриговала
фокусников, и на ней основаны многие хитрые математические
трюки-предсказания. Вот один из них:
112
Лучшие математические игры и головоломки
Рис. 48.
Бесконечная полоса (сверху), помещенная в конверт (снизу) для фокуса
с предсказанием.
Возьмите полную колоду игральных карт и достаньте из нее де-
вять номерных карт пиковой масти. Расположите их снизу коло-
ды так, чтобы снизу и к верху колоды они располагались в следу-
ющем порядке; 1, 4, 2, 8, 5, 7, а остальные три карты — в произ-
вольном порядке. Ваше предсказание результата фокуса — это
число 142857, написанное крупными цифрами на полоске бумаги,
которая вдвое длиннее конверта, в котором она будет запечатана.
Склейте концы ленты вместе, чтобы получилось кольцо, цифры
на котором расположены снаружи, затем сложите ленту так, как
показано на рис. 48. Сложенную ленту упакуйте в конверт, как на
рисунке.
Циклические числа
113
Вы, конечно, запомнили число 142857, и не забываете также о
том, что его первые три цифры находятся на верхней стороне ленты.
Конверт впоследствии вскрывается ножницами в одном из четырех
мест, обозначенных буквами А, В, С, D. Если вы будете резать его в
точках А или D, отрезайте также и конец ленты, чтобы при вскры-
тии конверта на развернутой ленте оказались цифры 142857 либо
857142. Четыре другие перестановки получаются при разрезании
конверта в точках В и С. Начинайте резать только по конверту, ни-
же ленты. Продолжая резать, постарайтесь, чтобы ножницы захва-
тывали только верхнюю часть конверта и верхнюю же часть ленты.
Таким образом вы получите полоски бумаги с цифрами 428571 или
285714. Чтобы получить два оставшихся варианта, просто перевер-
ните конверт и следуйте описанной выше процедуре. Этот способ
- разрезания конверта, в результате которого из него легко достается
лента с любым из шести произведений числа 142857, основан на ме-
тоде Сэмюэла Шварца, адвоката и фокусника-любителя из Нью-
Йорка. Он пользуется для этих целей конвертом с прозрачным
окошком, через которое зрителям вцдны цифры на ленте, и не-
сколько другими методами подготовки и подачи фокуса, но в целом
метод приведен почти без изменений.
Запечатанный конверт с вашим предсказанием отдается кому-
нибудь в руки в самом начале фокуса. Вручите другому участнику
подготовленную колоду и попросите разделить ее на две части и по-
менять эти две части местами. Таким образом девять цифровых карт
пиковой масти распределятся по колоде, но при этом их порядок от-
носительно друг друга не изменится. Чтобы получить случайное ше-
стизначное число, объясняете вы, вы будете снимать карты по од-
ной, откладывая первые шесть попавшихся карт пиковой масти с
цифровыми значениями. Ими окажутся 1, 4, 2, 8, 5, 7. Расположите
эти шесть карт в ряд на столе. Бросанием кубика теперь выбирается
множитель от 1 до 6. Еще лучше дать одному из участников в руки
воображаемый игральный кубик и попросить его подбросить его и
сказать, какая цифра при этом «выпала». Умножьте число 142857 на
названное им число. Разрежьте конверт нужным образом (чтобы оп-
ределить, где резать, умножьте 7 на выбранный множитель, чтобы
получить последнюю цифру произведения) и вытяните ленту, чтобы
показать, что вы верно предсказали результат.
Число 142857 участвует еще во множестве других математических
фокусов (см. список литературы). Недостаток этих трюков в том, что
зрители могут заметить, что в предсказании повторяются одни и те же
114
Лучшие математические игры и головоломки
цифры, 142857; к тому же и само «волшебное» число сейчас уже хоро-
шо известно. Один из способов обойти этот момент - вместо 142857
использовать частное от деления его на один из его делителей. Напри-
мер, 142857/3 = 47619. Вместо того чтобы умножать 47619 на 1, 2, 3,4,
5,6, умножайте его на любое из первых шести произведений числа 3.
В результате, разумеется, получится одно из циклических производ-
ных числа 142857. Можете взять также 142857/9 = 15873 и умножать
его на первые шесть произведений девяти; либо 142857/11 = 12987 и
умножать его на 11, 22, 33,44, 55 и 66.
Много столетий назад, когда математики впервые узнали о
циклической природе числа 142857, они задались поиском других
чисел с таким же причудливым свойством. Ранние работы в этой
области собраны в первом томе «Истории теории чисел» Леонар-
да Юджина Диксона, в главе 6, а с момента первого издания кни-
ги Диксона в 1919 году вышли десятки статей на эту тему. Оказы-
вается, что все циклические числа представляют собой повторяю-
щиеся последовательности цифр — периоды, получающиеся по-
сле запятой в результате деления единицы на некоторые простые
числа. Число, обратное семи, или 1/7, дает после запятой повто-
ряющийся период 0,142857142857142857... Заметьте, что число
цифр в периоде на единицу меньше делителя — семи. Это один из
способов поиска других циклических чисел. Если 1/р, где р — про-
стое число, дает десятичную дробь с периодом из р — 1 цифр, этот
период — циклическое число. Следующее по величине простое
число, обратное которому — подобная десятичная дробь, это 17.
Его повторяющийся период — циклическое число из 16 цифр
0,588235294117647. Если умножить его на любое число от 1 до 16,
в результате окажутся те же 16 цифр в том же циклическом поряд-
ке. Все циклические числа, образованные простыми числами
больше 7, должны начинаться с одного или более нулей. Если вы
собираетесь устраивать с помощью этих чисел фокусы с предска-
занием или показывать чудеса мгновенного вычисления, началь-
ные нули можно убирать — главное, не забывать вставлять их на
нужное место в полученных произведениях.
Среди простых чисел меньше 100 циклические числа образуют
ровно девять чисел; 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97. В XIX столетии
были найдены многие другие циклические числа. Уильям Шенке,
более известный некорректным вычислением числа «пи» до 707
знака, обнаружил циклическое число, получаемое из периодичес-
кой дроби 1/17389 и сосчитал (верно) все его 17388 цифр.
Циклические числа
115
Ни у одной дроби со знаменателем d не может быть повторяю-
щегося. периода, в котором более чем d — 1 цифр. Поскольку этот
период максимальной величины достижим только тогда, когда d —
простое число, следует, что циклические числа эквивалентны пери-
одам максимальной длины в дробях, обратных целым числам. Не-
сложно увидеть, почему d — 1 дает самый длинный период из воз-
можных. Когда мы делим 1,000... на d, на каждом этапе процесса де-
ления возможно получить только d — 1 разных остатков. Как только
остаток повторяется, начинается период, поэтому ни у какой дроби
со знаменателем d не может быть периода из более, чем d — 1 цифр.
Несложно также понять, почему подобные периоды максимальной
длины цикличны. Рассмотрим дробь 8/17. Поскольку при делении 1
на 17 получаются все возможные остатки, при делении 8 на 17 тот
же циклический процесс начинается просто с другого места. Вы по-
лучите тот же повторяющийся порядок цифр в периоде этой перио-
дической дроби. Умножение циклического числа, полученного де-
лением 1 на 17, на 8 эквивалентно нахождению периода дроби 8/17,
поэтому произведение будет циклической перестановкой тех же 16
цифр, что и в периоде 1/17.
В настоящее время не найдено нерекурсивной формулы, позво-
лившей бы автоматически находить все обратные простым числа с
периодом максимальной длины (и, следовательно, получать все
циклические числа), но имеется немало уловок, упрощающих
идентификацию таких простых чисел и создание компьютерных
программ для их поиска. Пока еще не известно достоверно, суще-
ствует ли бесконечное множество простых чисел, порождающих
циклические числа, однако это представляется весьма вероятным.
В таблице Сэмюэля Йейтса, содержащей данные о длине периода
всех простых чисел до 1370471, примерно 3/8 всех простых чисел —
именно такого свойства. Их пропорция остается примерно посто-
янной на всем протяжении, и отсюда заключение о том, что это
верно для всех простых чисел, представляется разумным.
. Когда циклическое число умножают на породившее его простое
число, результатом всегда оказывается число из одних девяток. На-
пример, 142857 х 7 = 999999. Отсюда выводится еще один способ
поиска циклических чисел: делить простое число (р) на числа, со-
стоящие из одних девяток, до тех пор, пока не будет остатка. Если в
частном будет р — 1 цифра, это будет циклическое число. Еще более
неожиданным кажется тот факт, что две части каждого циклическо-
го числа (либо его производных, полученных путем циклической
116
Лучшие математические игры и головоломки
перестановки) при сложении между собой дают число из одних де-
вяток. Например: 142 + 857 = 999. Другой пример: «разрежем» на-
двое циклическое число, образованное периодом дроби 1/17, и сло-
жим половины:
05882352
94117647
99999999.
Это удивительное свойство — частный случай «теоремы Ми-
ди», которую Диксон приписывает Е. Миди, опубликовавшему ее
во Франции в 1836 году. Теорема утверждает, что если период пе-
риодической дроби а/p (где р — простое число, а дробь а/p макси-
мально сокращена) содержит четное число цифр, то сумма двух
его частей будет последовательностью из девяток. В случае неко-
торых простых чисел, таких как 11, периоды состоят из четного
числа цифр, не будучи циклическими, однако сохраняют это
свойство. У других простых чисел, например, 3 или 31, периоды
нечетной длины. Все циклические числа состоят из четного числа
цифр, поэтому теорема Миди к ним применима. Об этом стоит
помнить, потому что, если вы выполняете деление, чтобы полу-
чить циклическое число, вам достаточно продвинуться наполови-
ну. Остальные цифры легко вывести, взяв цифры уже полученной
части й записав последовательно разницу каждого с девятью. Ко-
нечно, из теоремы Миди следует, что все циклические числа де-
лятся на девять, потому что любое число, сумма чисел которого
делится на девять, само делится на девять. Читатели, которых за-
интересует простое доказательство теоремы Миди, сможет найти
его в книге «Радости математики» Ганса Радемахера и Отто Тепли-
ца (издательство Принстонского университета, 1957, с. 158—160).
Другое доказательство приводит У. Ливитт в «Теореме о периоди-
ческих дробях» в журнале American Mathematical Monthly за
июнь—июль 1967 г., с. 669—673.
У циклических чисел есть еще множество других удивительных
свойств, некоторые их которых читателю будет приятно обнаружить
самостоятельно. Я упомяну лишь еще одно. Каждое циклическое
число может быть получено несколькими путями как сумма беско-
нечной арифметической прогрессии, записанной диагонально. На-
пример, начните с 14 и удваивайте числа с каждым шагом, записы-
вая каждое число так, чтобы оно выступало справа на две цифры:
Циклические числа
117
14
28
56
112
224
448
896
142857142857...
Сумма повторяет наименьшее невырожденное циклическое
число. Другой способ получить тот же цикл — начать с 7 и дви-
гаться по диагонали влево и вниз, умножая на пять на каждом
шаге и выдерживая прямую диагональную линию с правой сто-
роны:
7
. 35
175
875
4375
...142857
Та же самая процедура при применении ее к последовательности
простого удвоения 1, 2, 4, 8, 16, 32,..., даст период дроби 1/19, или
третье по величине циклическое число: 052.631.578.947.368.421. По-
следовательность с утроением каждого последующего члена —1,3,
9, 27, 81,..., записанная по диагонали вниз и вправо, с выдвижени-
ем двух цифр вправо на каждом шаге, в сумме повторяет период
дроби 1/97, самого длинного циклического числа, образованного
. простым числом менее ста.
| Завершим это краткое обсуждение, затрагивающее лишь малую
гчасть удивительных свойств циклических чисел, вопросом к читате-
Ьпо: какие циклические свойства он сможет обнаружить у периода
Ьроби 1/13? Этот период, 076923, не является истинным цикличес-
118
Лучшие математические игры и головоломки
ким числом. Его можно назвать циклическим числом второго по-
рядка. Ответ откроет новое поле для исследований, тесно связанное
с более известными циклическими числами первого порядка, кото-
рые мы рассматривали выше.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Джон У. Уорд обратил мое внимание на совершенный магический
квадрат, показанный на рис. 49. Он приведен на с. 176 «Магических
квадратов и кубов» У. С. Эндрюса, вышедшего в 1917 году и доступ-
ного сегодня в виде переизданий. Квадрат основан на циклическом
числе, полученном из дроби 1/19. Все его строки, столбцы и Основ-
ные диагонали в сумме дают 81.
5 2 6 3 / 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 /
а/ - А ~ ./ О 5 2 6 3 / 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2
Ч = ./ 5 7 8 9 7 3 6 8 4 2 / О 5 2 6 3
.2 / О 5 2 6 3 / £ 7 8 9 4 7 3 6 8 4
= 2 6 3 / 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 / 0 5
* / - А - 3 / 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 / О 5 2 6
7/? = .3 6 8 4 2 / 0 5 2 6 3 / 5 7 8 9 4 7
•/,, = .4 2 / О 5 2 6 3 / 5 7 8 9 4 3 6 8
% = .4 7 3 6 8 4 2 1 О 5 2 6 3 / 5 7 8 9
/о/ — //9 - J5 2 6 3 / 5 7 8 9 4 7 3 6 8 4 2 / О
% = .5 7 8 9 4^ 7 3 6 8 4 2 / 0 3 2 6 3 /
- .6 3 / 5 7 8 9 7 3 6 8 4 2 / О 5 2
£ 8 4 2 / О 5 2 6 3 / 5 7 8 9 4 7 3
"Л = 3 6 8 4 2 / О 5 2 6 3 / 5 7 8 9 4
**7/9 = 8 9 4 7 3 6 8 4 2 / 0 5 2 6 3 / 5
.8 4 2 / О 5 2 6 3 ! 5 7 8 9 4 7 3 6
.8 9 7 3 6 8 4 2 / 0 5 2 6 3 / 5 7
.9 4 7 J 6 8 4 2 / О 5 2 6 3 / 5 7 8
Рис. 49.
Единственный совершенный магический квадрат, основанный
на циклическом числе.
Циклические числа
119
Совершенно очевидно, что любое циклическое число образует
квадрат, который будет «магическим» по столбцам и. строкам, но
Уорд обнаружил, что приведенный здесь квадрат уникален тем, что
в нем «магичны» также и диагонали. Как пишет Эндрюс: «Не так-то
просто понять, почему сумма каждой из двух диагоналей этого ква-
драта равна 81, но если написать их одну над другой, то сумма каж-
дой пары чисел будет равна 9». Уорд показал также, что у всех полу-
совершенных магических квадратов, основанных на циклических
числах, суммы диагоналей равны удвоенной магической константе,
Многие читатели задавались вопросом и исследовали, что полу-
чается, если циклическое число первого порядка умножить на чис-
ло, большее, чем число его цифр, п. Оказывается, что во всех таких
случаях произведение легко можно преобразовать либо в цикличес-
кую перестановку исходного числа, либо в число, состоящее из п де-
вяток. Я проиллюстрирую это на примере 142857, тогда будет ясно,
как обобщить этот метод для больших циклов.
Вначале мы рассматриваем все множители более п, которые не
делятся на и + 1. Например: 142857 X 123 = 17571411.- Отметьте
шесть цифр справа и к этому числу прибавьте число из цифр, остав-
шихся слева:
571411
____17
571428
Сумма представляет собой циклическую перестановку 142857.
Другой пример: 1428572 = 20408122449.
20408
122449
142857
Если множитель очень велик, мы начинаем с правой стороны
фоизведения и разбиваем число на группы по шесть цифр каждая.,
^пример, 142857 х 45013648 = 6430514712336.
712336
430514
6
1142856
120
Лучшие математические игры и головоломки
Поскольку в первой Сумме больше шести цифр, мы повторяем
процедуру:
142856
_____1
142857
Если множитель циклического числа делится на п 4- 1 (где п —
число цифр в циклическом числе), то в результате описанной выше
процедуры мы получим ряд девяток. Например, 142857 X 84 =
= 11999988.
999988
_____П
999999
Читатель может самостоятельно открыть, к каким результатам
приводит эта процедура применительно к циклическим числам бо-
лее высокого порядка.
«Звезда Ратнера», роман Дона ДеЛилло (Кнопф, 1976) пестрит
ссылками на число 142857 и его многочисленные странные нумеро-
логические свойства. Главный герой романа — четырнадцатилетний
юный математик из Бронкса по имени Билли Твиллиг. В 1979 году
его нанимает правительство для участия в сверхсекретном проекте,
цель которого — попытаться понять, почему одна далекая звезда в
галактике Млечного Пути шлет на Землю числа 14—28—57 в пульси-
рующем коде. В конце концов выясняется, что означает это число —
впрочем, лучше прочтите роман сами.
ОТВЕТЫ
Период дроби 1/13 (076923) не является настоящим циклическим
чйслом в том смысле, в каком мы определяли его выше. Оно, од-
нако, циклично в следующем двойном смысле. Если его умно-
жить на любое число от 1 до 12, половина произведений представ-
ляет собой шесть циклических перестановок от 076923, а вторая
половина — шесть циклических перестановок числа 153846. Обра-
тите внимание, что каждое из этих двух чисел можно разделить на
Циклические числа
121
две части по три цифры и сложить, получив 999, совсем как с на-
именьшим циклическим числом первого порядка, 142856. Более
того, каждое можно разделить на три части и сложить, получив
99 (07 + 69 + 23 = 99; 15 + 38 + 46 = 99; 14 + 28 + 57 = 99).
Когда число с п цифрами, умноженное на числа от 1 до 2п, дает
произведения, представляющие собой циклические перестановки
двух n-значных чисел, оно называется циклическим числом второ-
го порядка. Не рассматривая вырожденный случай числа 1/3, самое
маленькое простое число, порождающее циклическое число второ-
го порядка, - это 13. Другие простые числа до 100, порождающие
циклические числа второго порядка, — это 31, 43, 67, 71, 83 и 89.
Циклические числа могут быть любого порядка. Самое ма-
ленькое простое число, порождающее циклическое число третье-
го порядка, — это 103. Повторяющийся период дроби 1/103, по-
множенный на любое число от 1 до 102, дает произведения, деля-
щиеся на три класса, каждый из которых представляет собой 34
циклические перестановки 34-значного числа. Самое маленькое
число, порождающее циклическое число четвертого порядка, —
это 53. В целом, как сообщает нам X. Дартналл, наш лондонский
корреспондент, если число, обратное простому числу р, имеет по-
вторяющийся десятичный период с длиной (числом цифр), рав-
ной (р — 1)/п, то этот период является циклическим числом п-го
порядка. Например, дробь 1/37 имеет трехцифровой период 027.
Поскольку 36/3 =12, этот период — циклическое число 12-го по-
рядка. Наименьшие простые числа, порождающие циклические
числа порядков от 5 до 15 — это, соответственно, 11, 79, 211, 41,
73, 281, 353, 37, 2393, 449, 3061. Обратите внимание, что 10 произ-
ведений циклического числа порядка 5, 09 (период дроби 1/11) —
это первые 10 множителей числа 9.
Между числами Фибоначчи и циклическим числом второго по-
рядка, порождаемым дробью 1/89, есть удивительная взаимосвязь.
Она объясняется на с. 157.
- Область знаний о циклических числах высоких порядков — это
темные джунгли, литература по ней разрознена и заслуживает того,
чтобы когда-нибудь по ней составили основательную библиогра-
фию. То же относится к циклическим числам в системах записи, от-
личных от десятичной. В каждой системе имеются свои цикличес-
кие числа. В двоичной, например, последовательность циклических
чисел первого порядка (мы запишем их в десятичной системе) начи-
нается так: 3, 5, 11, 13, 19, 29...
ГЛАВА 11
Необычные шахматы
и другие задачи
1. НЕОБЫЧНЫЕ ШАХМАТЫ
Посетив недавно воображаемый шахматный клуб, я обнаружил
там сидящих за партией мистера Блэка и мистера Уайта, самых экс-
травагантных игроков клуба. К моему глубокому удивлению, доска
выглядела так, как показано на рис. 50. Сначала я подумал, что каж-
дый из игроков начал игру без королевского коня и что Блэк подпел
черными первым, но мистер Блэк сообщил мне, что только что со-
вершил четвертый ход в стандартной игре, которая прошла таким
образом:
Белые Черные
Kgl-f3 d7-d5
Kf3-e5 Kg8-f6
Ke5-c6 Kf6-d7 /
K:K K:K
Рис 50.
Шахматная доска после
четвертого хода черных.
Необычные шахматы и другие задачи
123
Час спустя, проиграв другому игроку, я вернулся посмотреть,
что произошло у Блэка с Уайтом. В их следующей партии доска
выглядела точно так же, как и в предыдущий раз, за тем исключе-
нием, что теперь отсутствовали все четыре коня! Мистер Блэк, иг-
рающий черными, поднял глаза и проговорил: «Я только что сде-
лал пятый ход».
а. Может ли читатель сконструировать партию, не нарушающую
правил и приводящую к такому причудливому дебюту?
«Кстати, — заметил мистер Уайт, — я придумал задачу, которая
наверняка развлечет ваших читателей. Представьте, что мы выва-
лили все фигуры полного набора в шляпу — все 16 белых и 16 чер-
ных, - хорошо ее потрясли и затем достаем из нее фигуры попарно.
Если обе фигуры черные, мы складываем их на стол в черную куч-
ку. Если обе белые - тоже на стол, но в другую, белую кучку. Еже-
ли две фигуры разного цвета, мы кладем их в шахматную коробку.
После того как все 32 фигуры вынуты из шляпы, какова вероят-
ность того, что число фигур в черной кучке равно числу фигур в
белой?»
«Гм, — пробормотал я, — если отвечать без подготовки, то, я по-
лагаю, весьма низкая». Блэк и Уайт продолжили игру, подавив
смешки.
б. Какова точная вероятность того, что две кучки будут равны?
2. ЮЛЯ-ДОМОСЕДКА
Этот крипторитм (или альфаметик, как еще иногда называют по-
добные задачи) — довольно старый, неизвестного авторства, весьма
неплох и, как я надеюсь, незнаком большинству читателей:
, ДОМАДОМАДОМА...
Одинаковые цифры обозначают одинаковые буквы, в том числе
нули. Дробь ИЩИ / ЮЛЮ максимально сокращена. Ее десятичная
форма имеет период из четырех цифр. Есть только одно решение.
Чтобы решить ее, вспомните, что для того, чтобы получить простей-
шую дробь, эквивалентную повторяющемуся периоду из п цифр,
нужно написать этот период над рядом из п девяток и максимально
сократить полученную дробь.
124
Лучшие математические игры и головоломки
3. ТРИ КВАДРАТА
Используя только элементарные геометрические познания (без
тригонометрии), докажите, что угол С на рис. 51 равен сумме углов
А и В.
Выражаю благодарность за эту задачу Л. Кацу. Он пишет, что в
детстве учился в московской школе, где эту задачу давали на уроках
геометрии в качестве дополнительного задания. «Число тупиков, в
которые может завести эта задача, — добавляет он, просто порази-
тельно».
Рис. 51.
Докажите, что угол А и угол В в сумме равны углу С.
4. ПРЕДЛОЖЕНИЕ ПОЛА
Этот фокус придумал Фредерик Пол, известный фантаст; не так
давно он был опубликован в журнале магии и фокусов «Эпилог».
Программисты обычно находят решение к нему чуть быстрее
других.
Попросите кого-нибудь нарисовать на листе бумаги горизон-
тальный ряд небольших кружков, изображающих монеты. Пока он
рисует, вы стоите отвернувшись. Затем он ставит подушечку право-
го большого пальца на первый кружок так, что большой палец и ла-
донь полностью закрывают ряд кружков. Вы оборачиваетесь и заяв-
ляете, что готовы немедленно написать число, представляющее со-
бой общее число возможных комбинаций орлов и решек, если каж-
дую из монет подбросить. Например, две монеты могут выпасть че-
тырьмя разными комбинациями, три монеты — восемью разными
способами и т.д.
Вы не можете знать, сколько монет он нарисует, и все же легко
дадите верный ответ. Как?
Необычные шахматы и 'другие задачи
125
5. ГОЛОВОЛОМКА ЭСКОТТА
Z
Эта замечательная головоломка с фигурами, перемещающимися по
прямоугольному полю (см. рис. 52), была изобретена Эдвардом
Бриндом Эскоттом, американским математиком, умершим в 1946 го-
ду. Впервые она появилась в августе 1938 года в недолго просущест-
вовавшем журнале под названием «Игровой дайджест». Решение не
было опубликовано. Задача состоит в том, чтобы перемещать фигу-
ры по плоскости по одной, не выходя за границы прямоугольника,
до тех пор, пока фигура 1 и фигура 2 не поменяются местами с фи-
гурами 7 и 10 так, чтобы в результате две пары фигур оказались в по-
ложении, показанном справа, прочие же фигуры могут располагать-
ся где угодно. Фигуры нельзя поворачивать, даже если позволяет
место; каждая из них должна сохранять свою исходную ориентацию
и двигаться только вверх, вниз, вправо и влево.
Из всех задач подобного рода, встречавшихся мне в печати, эта —
самая сложная. Решение занимает48 ходов, считая каждое переме-
щение одной фигуры одним ходом, даже если она огибает другую.
Эскотг был специалистом по теории чисел и нередко писал в ма-
тематические журналы. Он преподавал в нескольких высших шко-
лах и колледжах на Среднем Западе и в последние годы своей жиз-
ни работал актуарием (статистиком страхового общества) в городе
Оук-Парк в штате Иллинойс.
Рис. 52.
Головоломка Эскотта.
126
Лучшие математические игры и головоломки
6. КРАСНЫЕ, БЕЛЫЕ И СИНИЕ ГИРИ
Последние несколько десятилетий неизменной популярностью
пользуются задачи о весах и предметах разного веса. Вот одна из
них, довольно необычная, придуманная Полом Карри, фокусни-
ком-любителем.
У вас шесть гирь. Одна пара красная, вторая белая, третья синяя.
В каждой паре одна гиря несколько тяжелее другой, но внешне ни-
как не отличается. Все три тяжелые гири (вне зависимости от пвета)
весят одинаково, равны по весу и три легкие гири трех цветов.
Вам дается право двух взвешиваний на весах с двумя чашами.
Как вы определите, какая гиря в каждой паре более тяжелая?
01 23456789
Рис. 53.
Задача про цифры.
7. ЧИСЛО ИЗ ДЕСЯТИ ЦИФР
В десять клеток на рис. 53 впишите десятизначное число следую-
щим образом: цифра в первой клетке — это общее число нулей в
этом числе, цифра в клетке под номером «1» означает число единиц
в нем, и так далее до последней с номером «9», в которую вписыва-
ется цифра, означающая число девяток в этом числе. (Разумеется,
ноль тоже цифра.) У задачи только одно решение.
8. ТРЕУГОЛЬНИК ИЗ МОНЕТ
Кобон Фудзимура, главный специалист по головоломкам в Япо-
нйи, придумал эту маленькую, но хитрую задачу, опубликованную
в одной из его недавних книг. Расположите десять одинаковых мо-
неток так, как располагают шары в боулинге (см. рис. 54). Каково
наименьшее число монет, которое требуется убрать, чтобы никакие
три из оставшихся монет не образовывали бы равностороннего тре-
угольника любого размера? Если не считать повороты и зеркальные
отражения, то для наименьшего числа монет есть только одно ре-
шение.
Необычные шахматы и другие задачи
127
Рис. 54.
Японская задача с монетами.
Обратите внимание, что на рисунке есть равносторонние тре-
угольники, основания которых не горизонтальны.
9. ГЕОГРАФИЯ «НА ВЫБЫВАНИЕ»
Это игра для любого числа игроков. Первый игрок называет любой
из пятидесяти американских штатов. Следующий игрок должен на-
звать другой штат, который либо начинается с последней буквы пре-
дыдущего штата, либо кончается на начальную букву предыдущего.
Например, если первый игрок называет штат Nevada, следующий
может «приставить к концу» штат Alaska либо «приписать спереди»
штат Wisconsin. Другими словами, цепочка штатов остается откры-
той с обоих концов. Когда игрок оказывается не в состоянии присо-
единить что-либо к цепи, он выбывает из игры, а следующий игрок
начинает новую цепочку новым штатом. Ни один штат нельзя упо-
минать дважды за одну игру. Игра продолжается до тех пор, пока не
останется последний игрок, победитель.
Дэвид Силверман спрашивает: «Если вы играете еще с двумя иг-
роками и первым называете штат в игре, какой именно штат вы на-
зовете, чтобы с гарантией выиграть?» Мы предполагаем, что все иг-
роки играют рационально и не заключают тайный сговор против
первого игрока.
128
Лучшие математические игры и головоломки
ОТВЕТЫ
1. й. Одна из возможных линий игры:
Белые Черные
1. Kgl-f3 Kg8-f6
2. КЬ1-сЗ КЬ8-с6
3. Kf3-d4 Kf6-d5
4. K:Kd5 d7:Kc6
5. К:Кс6 c6:Kd5
Обе шахматные задачи были перепечатаны в 1969 г. в летнем вы-
пуске математического журнала Manifold, издаваемого универси-
тетом г. Уорик близ Ковентри, Англия. В качестве источника они
указывали выпуск «Шахматного обозрения» за 1947 г. Приведен-
ный выше вариант, приписывают Ларри Блюстайну, американско-
му шахматисту.
Маннис Чарош обратил мое внимание на интересный вариант
задачи о двух конях. Вместо того чтобы сначала убирать коней с ко-
ролевской стороны, можно сначала удалить ферзевых коней, тогда
черная пешка шагает не через поле, а на соседнее поле. Этот вари-
ант тоже может быть решен в четыре хода, но. он единственный в
своем роде (в приведенной мной версии два, первых хода черных
взаимозаменяемы). Эта задача появилась в журнале Fairy Chess
Review за февраль 1955 г., где ее приписывали Г. Швайгу, впервые
опубликовавшему ее в 1938 году. Решение ее я предоставляю найти
читателю.
б. Вероятность равна 1. Поскольку в тех парах, которые возвра-
щаются в коробку, по определению равное число черных и белых
фигур, кучка из черных и кучка из белых фигур должны быть одина-
ковыми.
2. Как упоминалось ранее, чтобы получить простейшую дробь,
равную десятичной дроби с периодом из п цифр, напишите период
в числителе, ряд из п девяток — в знаменателе, и максимально со-
кратите. В этом случае дробь ДОМА/9999, максимально сокращен-
ная, должна быть равна ИЩИ/ЮЛЮ. Следовательно, ЮЛЮ —
один из делителей числа 9999. Только три таких числа могут быть за-
писаны как ЮЛЮ: 101, 303 и 909.
Если ЮЛЮ = 101, то ИЩИ/101 = ДОМА/9999, и ИЩИ
ДОМА/99. Иначе ДОМА = 99 X (ИЩИ). ИЩИ не может быть 101
Необычные шахматы и другие задачи
129
(поскольку мы уже решили, что 101 — это ЮЛЮ), а все, что больше
101, при умножении ца 99 дает пятизначные числа. Значит, вариант
ЮЛЮ =101 отбрасывается.
Если ЮЛЮ = 909, тогда ИЩИ/909 = ДОМА/9999, и ИЩИ =
ДОМА/11, ДОМА = 11 X (ИЩИ). Тогда последняя буква ДОМА
должна быть тоже И, а это не так. Поэтому вариант 909 также не
подходит.
В качестве возможного варианта для ЮЛЮ остается только 303.
Поскольку ИЩИ должно быть меньше 303, И — это 1 или 2. Из 14
возможных вариантов (121, 141,..., 292) только 242 порождает деся-
тичную дробь с периодом, подходящим для ,ДОМАДОМАДОМА...,
в котором все цифры отличаются от ИЩИ и ЮЛЮ.
Единственно возможный ответ - 242/303 = 0,798679867986... Ес-
ли дробь ИЩИ/ЮЛЮ сокращена не полностью, возможно также
другое решение — 212/606 = ,349834983498...
3. Существует много способов доказать, что угол С в фигуре на
рисунке является суммой углов А и В. Вот один из них (см. рис. 55).
Постройте квадраты, на рисунке отмеченные тонкими линиями.
Угол В равен углу D, потому что они - соответствующие друг другу
углы подобных прямоугольных треугольников. Поскольку углы А и
D вместе составляют угол С, В можно заменить на D, отсюда неза-
медлительно следует, что С равен сумме А и В.
Рис. 55.
Построение для доказательства теоремы о трех квадратах.
5-9751
130
Лучшие математические игры и головоломки
Эта небольшая задача вызвала целый поток писем от наших чи-
тателей, присылавших десятки других доказательств. Многие кор-
респонденты избежали дополнительных построений, сделав диаго-
нали равными квадратным корням из 2, 5 и 10, а затем, используя
соотношения, нашли два подобных треугольника, из которых и сле-
дует желаемое доказательство. Другие обобщили задачу необычным
образом.
Чарльз Тригг опубликовал 54 различных доказательства в «Жур-
нале развлекательной математики», т. 4, апрель 1971 г., с. 90—99. До-
казательство, в котором используется вырезание фигур из бумаги,
авторства Али Р. Амира-Моэ, приведено в том же журнале, т. 5, зи-
ма 1973 г., с. 8—9. Другие доказательства см. в статье Роджера Норта
в The Mathematical Gazette, за декабрь 1973 г., с. 334-336, и ее про-
должение в том же журнале за октябрь 1974 г., с. 212—215. Обобще-
ние теоремы для ряда из п квадратов см. в статье Тригга «Геометри-
ческое доказательство результатов Лемера» в журнале The Fibonacci
Quarterly, т. 11, декабрь 1973 г., с. 539-540.
4. Чтобы выиграть пари, пририсуйте единицу слева от большого
пальца, прикрывающего ряд кружков. Когда палец уберут, на бума-
ге окажется двоичное число, состоящее из единицы и нескольких
нулей. Так как п нулей соответствует п монетам, это двоичное число
будет соответствовать десятичному числу 2П, числу вариантов, кото-
рыми могут выпасть п монет.
5. Когда я впервые представил задачу Эскотта в своей журналь-
ной колонке, я привел решение из 66 ходов, однако многим читате-
лям удалось сократить его до 48 ходов. Теперь это самое короткое из
известных решений.
Решение в 48 ходов не уникально. То, которое приведено в таб-
лице на рис. 56 (присланной Джоном У. Райтом), наиболее типично.
Буквы В, Н, П, Л означают, соответственно, «вверх, вниз, вправо,
влево». В каждом случае обозначенная фигура передвигается в ука-
занном направлении до упора.
Поскольку исходное расположение симметрично, у каждого ре-
шения есть зеркально обратное. В данном случае обратное решение
начинается с того, что фигура 5 двигается вниз и влево вместо фигу-
ры 6, движущейся вверх и вправо, и продолжается ходами, соответ-
ственно симметричными приведенным.
Необычные шахматы и другие задачи
131
Ход Фигура Направление Ход Фигура Направление
I 6 В, П 25 4 В
2 1 н 26 2 В
3 5 л 27 10 В
4 6 л 28 9 п
5 4 н 29 7 В
6 5 С. п 30 1 в
7 2 н 31 8 в, п
8 3 л 32 1 н
9 5 в 33 7 л
Ю 2 п 34 10 л
11 6 в, л 35 2 л
12 4 л, в 36 4 н
13 7 в 37 2 п, н
14 10 п 38 3 н
15 9 п 39 6 п
16 8 н 40 5 п
17 1 н 41 7 в
18 7 л 42 10 л, в, л, в
19 2 н 43 8 в, л, в, л
20 4 п, н 44 4 л, в
21 5 н 45 2 н, л
22 3 п 46 9 в
23 6 в 47 2 п
24 5 л, в 48 1 п
Рис. 56.
Решение к задаче с перемещающимися фигурами в 48ходов.
5*
132
Лучшие математические игры и головоломки
6. Один из способов решить задачу с шестью гирями — двумя
красными, двумя белыми и двумя синими — заключается в том,
чтобы сначала положить на одну чашу красную и белую гири, а на
другую — синюю и белую.
Если весы уравновесятся, вы знаете, что на каждой чаше по од-
ной легкой и по одной тяжелой гире. Уберите обе цветные гири, ос-
тавив только белые. Таким образом вы узнаете, какая из двух белых
тяжелее. В то же самое время вы узнаете, какая из двух цветных
гирь, взвешенных ранее (красная и синяя), тяжелая, а какая — лег-
кая. А это, в свою очередь, указывает на то, какая из оставшихся
гирь легкая, а какая — тяжелая.
Если же при первом взвешивании весы не уравновесились, вы
знаете, что белая гиря на той чаше, что пошла вниз, — тяжелая, но о
красных и синих гирях это вам пока ничего не говорит. Сравните вес
исходной красной гири с той синей, что осталась (или, наоборот,
исходной синей с той красной из пары, что осталась). Как утверж-
дает К.Б. Чандлер (приславший это простое решение), результат
второго взвешивания и память о том, какая сторона в первом была
тяжелее, будут достаточны для опознания всех шести гирь.
Для читателей, которым понравилась эта задача, предлагается
следующий вариант, изобретенный Беном Бродом, нью-йоркским
дантистом и фокусником-любителем. Все шесть гирь ничем не от-
личаются друг от друга (включая цвет), кроме того, что три из них
тяжелые и три легкие. Все тяжелые и все легкие гири весят одинако-
во. Определите вес каждой за три отдельных взвешивания.
Как указал Томас О’Бирн, для задачи Брода возможно два прин-
ципиально различных типа решения: один, в котором взвешивают-
ся пары против пар, и второе, в котором каждый раз гири взвешива-
ют по одной. Джон Хамилтон привел эту краткую таблицу четырех
возможностей для более простого метода. (Оно опубликовано в
марте 1970 г. в издании для фокусников, The Pallbearers Review.)
12 3 4
а\В а\В a—b а—b
c\D c-d . b-c b\C
e\F d\E c\D D-E
Заглавная буква означает тяжелую гирю, строчная — легкую. Го-
ризонтальная черта означает одинаковый вес, наклонная линия по-
казывает, куда склоняются весы.
Необычные шахматы и другие задачи
133
7. Единственный возможный ответ — 6210001000. К сожалению,
недостаток места не позволит привести здесь подробное доказатель-
ство, однако одно, весьма неплохое, авторства Эдварда ДеЛоренцо
можно найти в игровой колонке Аллана Готтлиба в издании
Technical Review Массачусетского технологического института за
февраль 1968 г. Там же, в номере за июнь 1968 г., имеется доказатель-
ство Кеннета Дрица, что для менее чем 10 клеток в системах счисле-
ния от 1 до 9 единственно возможные ответы— это, соответственно,
1210; 2020; 21200; 3211000; 42101000 и 521001000.
j См. также «Журнал развлекательной математики», т. 11, 1978—
1979, с. 76-77, с обобщенным решением Фрэнка Рубина. Он пока-
зывает, что для всех систем счисления с основой более 6 есть только
одно решение вида R21(0...0)1000, где R - число, на 4 меньшее ос-
новы, а число нулей в скобках на семь меньше, чем основа.
8. Четыре монетки, заштрихованные на рис. 57, - тот минимум,
что необходимо убрать из 10 для того, чтобы оставшиеся не образо-
вывали собой углов равносторонних треугольников. Если не счи-
тать поворотов, решение уникально; оно, разумеется, совпадает с
собственным зеркальным отражением.
Рис. 57.
Решение задачи с 10 монетками.
9. Проще всего выиграть в географическую игру Дэвида Силвер-
мана, назвав сначала штат Tennessee. Второй игрок может только
приставить к нему спереди Connecticut либо Vermont. Поскольку ни-
134 Лучшие математические игры и головоломки
какой штат не начинается с Е и не заканчивается на С или V, третий
игрок выбывает. Теперь снова ваша очередь начинать. Вы можете вы-
играть, назвав Maine либо Kentucky. Maine исключает второго игро-
ка сразу же, потому что нет штатов, кончающихся на М либо начи-
нающихся на Е. Kentucky тоже быстро приводит к победе, потому
что вынуждает второго игрока назвать New York. Вы выигрываете,
называя кончающиеся на N Michigan, Washington либо Wisconsin.
Три других первых хода также приводят к победе первого игрока
на втором ходу: Delaware, Rhode Island и Maryland. Другие штаты,
такие как Vermont, Texas и Connecticut, приводят к победе на треть-
ем ходу первого игрока.
ГЛАВА 12
Домино
Удивительно мало известно о ранней истории домино. В западной
литературе первые упоминания о нем появляются лишь в середине
XVIII столетия, когда первые игры на основе домино появились в Ита-
лии и Франции. Затем они распространились по Европе и появились в
Англии, затем в Америке. Стандартный западный набор домино всегда
состоял из 28 костей, на которых изображены все возможные пары чи-
сел от 0 до 6 (см. рис. 58). Каждое число в наборе повторяется восемь
раз. Изредка в продаже появлялись и наборы с большим числом кос-
тей, от двойного нуля 0—0 (два пустых квадрата) до 9—9 (всего 55 кос-
тей) или до 12—12 (91 кость), предназначенные для большого числа иг-
роков. Кости обычно черные, с белыми заглубленными точками. Воз-
можно, название «домино» появилось благодаря сходству кости 1—1
с черной полумаской домино, которую носили на маскарадах.
Никто не знает, было ли европейское домино изобретено само-
стоятельно или же позаимствовано из Китая. В любом случае подоб-
ные игры были популярны в Китае за многие столетия до того, как
появились в Европе. В китайском домино, называющемся Кват-пай,
отсутствуют пустые клетки. В набор входят все парные комбинаций
чисел от 1—1 до 6—6 (всего 21 фишка), но 11 фишек из них представ-
лены в двойном количестве, поэтому всего их 32. Как и на китайских
игральных костях, на «тузах» (единицы) и четверках точки красные.
Все остальные точки белые (или черные, если фишки белые), кроме
6—6, где по три точки на одной стороне каждой шестерки красного
Цвета. (Корейское домино отличается от китайского только тем, что
«туз» гораздо больше остальных костей.) У каждой кости имеется
136
Лучшие математические игры и головоломки
НИН
ив вв
на ин ш
НН НИ №9 НН
Ш НН ИН НИ ИН
ИМ ИМ мм мм мм мм
вида —дп мда иид мдд кщ дддп
И^Я виЕЁН ЕйВЕш КИЯ ВВВЕВ BflKfl ВЯЕш
Рис. 58.
Стандартный набор «западного» домино из 28 костей.
свое колоритное китайское название; 6-6 - «небо», 1—1 - «земля»,
5—5 — «сливовый цвет», 6—5 — «головатигра» и т.д. Также называют-
ся и соответствующие броски костей.
Фишки китайского домино чаще делают из картона, чем из де-
рева, кости и подобных материалов; их тасуют и раскладывают, как
игральные карты. Как и на Западе, с этими фишками играют во
множество разнообразных игр. Самые популярные западные игры
описаны во многих книгах и довольно известны. О китайских и ко-
рейских играх на основе домино лучше всего прочитать у Стюарта
Кулина в книге «Игры Востока», вышедшей в 1895 году. В Японии
нет национального домино, но существуют игры, в которые играют
западным набором костей.
«Британская энциклопедия» упоминает, что костяные наборы, в
которых от 60 до 148 фишек, использовались в некоторых эскимос-
ских племенах в азартных играх, в которых участники нередко дохо-
дили до того, что ставили на кон и проигрывали собственных жен.
Домино издавна было любимым времяпрепровождением на Кубе, а
сейчас стало излюбленным досугом кубинских беженцев в Майами.
Одна из самых старых задач в комбинаторике — определение
числа способов, которыми полный набор западного домино можно
расположить в линию в соответствии со знакомым правилом — со-
Домино
137
прикасающиеся половинки костей должны совпадать по числу то-
чек. (Набор считается полным, если в нем есть все пары от 0—0 до
п—п.) Задача интересна тем, что напрямую переводится в термины
теории графов (см. рис. 59). Опуская вырожденный набор из одного
Рис. 59
Графы для решения задачи на построение рядов из полных наборов домино.
138
Лучшие математические игры и головоломки
домино, 0—0, рассмотрим простейший полный набор; Р—0,0—1,1—1 (а).
Линия от 0 до 1 соответствует кости 0—1. Круги, показывающие, что
каждая цифра спарена с собой, обозначают двойные кости этого на-
бора. Число путей, которыми три кости могут быть выстроены в
ряд, равно числу путей, по которым этот простой граф можно обой-
ти одним путем так, чтобы не проходить ни по одной линии дваж-
ды. Очевидно, что таких путей только два и один из них - зеркаль-
ное отражение другого. Эти два пути (0—0, 0—1, 1-1 и его зеркаль-
ное отражение) - единственные варианты, которыми кости могут
быть размещены в ряд так, чтобы концы их совпадали.
Решение менее очевидно со следующим, ббльшим набором из
шести костей от 0—0 до 2-2. Его треугольный граф (рис. Ь) также ха-
рактеризуется одним уникальным путем и его отражением, но те-
перь этот путь замкнут и должен вернуться в исходную точку. Это
означает, что соответствующая ему цепь домино представляет собой
замкнутое кольцо: 0-0, ..., 2-0. Представим, что два этих конца -
0—0 и 2-0 - замкнуты. Поскольку кольцо можно разорвать в любом
месте из шести, между любыми двумя костями, с образованием не-
замкнутого ряда, получается шесть различных решений или даже
12, если зеркальные их отражения считать за отдельные.
Полный набор из 10 домино (от 0—0 до 0—3) обнаруживает не-
ожиданные свойства (с). Все четыре вершины графа нечетные, то
есть в каждой сходится нечетное число линий. (Центральная точка —
пересечение диагоналей — не считается вершиной.) Старое правило
прохождения графов, впервые приведенное Леонардом Эйлером в
его знаменитом анализе задачи о семи мостах Кёнигсберга, заклю-
чается в том, что граф можно пройти одним путем, не проходя ни по
одной линии дважды, в том и только в том случае, если все его вер-
шины четные, либо если нечетных вершин ровно две. В первом слу-
чае путь всегда замкнут, начинается в том же месте, где и заканчива-
ется. Во втором случае путь должен начинаться в одной нечетной
вершине и заканчиваться в другой. Поскольку в данном случае у нас
имеется четыре нечетные вершины, граф невозможно обойти весь
одним путем, и поэтому десять домино нельзя выстроить в один
ряд. Другое, равноценное доказательство — обратить внимание на
то, что каждая цифра в этом полном наборе повторяется пять раз.
Поскольку каждая цифра должна повторяться внутри ряда четное
число раз, согласно правилу совпадения соседних половин домино,
нечетная цифра должна оказываться в конце ряда. Всего цифр четы-
ре, но концов у ряда только два, поэтому единственный ряд невоз-
Домино
139
можен. Лучшее, что мы сможем сделать, — это пройти граф двумя
независимыми путями, что будет соответствовать двум отдельным
рядам костей. На концах этих рядов очевидно будут числа 0, 1, 2, 3.
«Полный граф» для пяти точек с окружностями, означающими
соединение точек самих с собой, соответствует полному набору из
15 костяшек, от 0—0 до 4—4 (d). Поскольку все вершины четные,
их можно объединить одним замкнутым путем. (Как и на всех по-
добных графах, точки пересечения диагоналей не являются вер-
шинами!) Подсчет общего числа этих путей, каждый из которых
может быть разорван в 15 местах, — уже довольно-таки непростая
задача. Генри Эрнест Дьюдени, отвечая на этот вопрос в своей
книге «Развлечения в математике» (задача 283), указывает, что пя-
тиугольный граф, не считая замкнутые круги, может быть прой-
ден 264 путями, каждый из которых соответствует кольцу из до-
мино. (Например, путь, начинающийся с 3024..., дает кольцо 3-0,
0-2, 2—4...) Пять дублей могут быть размещены в каждом кольце
32 (2 в пятой степени) разными способами, отсюда всего возмож-
но 264 х 32 = 8488 различных колец. Каждое кольцо может быть
разомкнуто в 15 местах; поэтому мы умножаем 8448 на 15 и полу-
чаем 126 720 различных расположений в ряд, включая зеркальные
отражения.
У шестиугольного графа для шести точек (е) шесть нечетных вер-
шин. Следовательно, полный набор из 21 домино, от 0-0 до 5—5,
нельзя выстроить в один ряд. Ближайшим приближением будут три
отдельных ряда с числами 0, 1,2, 3, 4, 5 на шести концах.
Стандартный набор из 28 домино, от 0—0 до 6—6, соответствует
семиугольному графу (f). Заметьте, что 28 — второе из «совершен-
ных» чисел, равных сумме своих делителей. Все совершенные числа
треугольны (суммы последовательных целых чисел 1, 2, 3...), и до-
статочно одного взгляда на рис. 58, чтобы увидеть, что каждое «тре-
угольное» число — это число костей в одном полном наборе. Все
вершины на семиугольном графе четные, поэтому возможно прове-
сти замкнутые пути. Оказывается, что существует 7 959 229 931 520
таких путей! Это число всех путей, включая зеркальные отражения,
которыми можно выложить 28 домино в ряд. Для всех полных набо-
ров, кроме того, чья самая большая цифра — 1, расположение всех
костяшек в единственный ряд возможно только в том случае, если
самое большое число — четное. Если же это число п — нечетное, по-
требуется по крайней мере (n + 1 )/п рядов, при этом все п цифр ока-
, зываются на концах этих рядов.
140
Лучшие математические игры и головоломки
Тот факт, что цепочка из 28 домино должна быть замкнута, лежит
в основе старинного настольного фокуса. Ведущий незаметно заби-
рает из набора любую кость, не являющуюся дублем. Он выходит из
комнаты, в то время как другие игроки выстраивают кости в ряд.
После того как это сделано, фокусник может, не глядя на стол, на-
звать цифры на концах этого ряда. Разумеется, они совпадают с ци-
фрами на той кости, которая оказалась у него. (При желании он мо-
жет «предсказать» два числа заранее, записав их на листке, который
на время складывают и убирают подальше.) Чтобы повторить трюк,
во время перемешивания костей он незаметно возвращает «укра-
денную» костяшку и берет из набора другую.
Придумано множество задач с домино, в которых полный набор
надо расположить в виде многоугольника, с некоторыми ограниче-
ниями. Например, математик XIX века Эдуард Люка во втором томе
своих «Математических развлечений» представил так называемые
«кадрили», многоугольники, в которых стандартные 28 костей рас-
положены таким образом, что каждая цифра образует два квадрата,
оба два на два. «Кадриль» из книги Люка приведена на рис. 60; у нее
единственное решение, если не считать перестановки цифр и зер-
кального отражения всей фигуры (см. рис. 60).
Другая старинная забава — построение из домино так называе-
мых «магических квадратов». Квадрат считается «магическим», если
сумма любого его столбца, любой строчки и любой из двух главных
диагоналей одинаковы. При помощи костей из набора в 28 штук
можно собрать магические квадраты только порядка 2, 4 и 6. (Квад-
раты нечетных порядков содержат нечетное число клеток, поэтому
при попытке строить их из домино непременно придется оставлять
дырки.) Магический квадрат порядка 2 очевидно невозможен; даже
если исключить диагонали, обе кости должны быть одинаковыми.
Магический квадрат порядка 6 с наименьшей возможной маги-
ческой константой 13 (см. рис. 61, сверху) можно превратить в ква-
драт с наибольшей возможной константой, 23, заменив каждую ци-
фру ее разностью с 6. Эти два квадрата называются «комплементар-
ными» относительно 6. Чтобы доказать, что 13 и 23 — минимальная
и максимальная константы, для начала обратим внимание на то, что
магический квадрат порядка 6 должен иметь в сумме число точек,
кратное 6. Поскольку 78 и 138 — наименьшее и наибольшее число
точек, кратное 6, которое может оказаться на 18 домино, получает-
ся, что 78/6 = 13 и 138/6 = 23 — это наименьшая и наибольшая воз-
можные константы.
Домино
141
ММ ИВМ кята
КЖЛСКЗ DbjUO иХЗЕШ
гч ran пап вип ran ran
Ии дд ни ВИ ИИ ММ
М№МН
sssass
Рис. 60
Простая «кадриль».
Наибольшая и наименьшая константы для магического квадрата
порядка 4, сформированного из восьми домино стандартного набо-
ра, равны 20/4 = 5и76/4=19. Взяв магический квадрат с констан-
той 5 за исходный (снизу слева на с. 61), и заменив каждую цифру ее
разницей с 6, получим магический квадрат с максимальной кон-
стантой, 19. Магический квадрат порядка 4 возможен с любой кон-
стантой от 5 до 19. Может ли читатель найти ге восемь костей стан-
дартного набора, которые, расположенные так, как показано на
рис. 61 снизу справа, образуют магический квадрат, сумма всех
строк, столбцов и основных диагоналей которого составляет 10?
В 1969 г. Уэйд И. Филпотт доказал, что магические квадраты поряд-
ка 6 могут быть составлены с любой константой от 13 до 23.
142
Лучшие математические игры и головоломки
Рис. 61.
Магические квадраты из домино.
Домино
143
Магические квадраты нечетных порядков можно исследовать,
приняв одно или несколько следующих некрасивых допущений:
1г Можно оставить единичную «дырку», считающуюся за ноль.
Нетрудно доказать, что магические квадраты порядка 3 такого типа
невозможны.
2. Допускается одну из клеток домино, предпочтительно пустую,
выставить за пределы квадрата.
3. Можно считать каждую кость домино одним квадратом с чис-
лом, равным сумме точек на всей кости. Поскольку на отдельных
домино из стандартного набора легко найти суммы от 1 до 9, из де-
вяти костей можно выстроить уникальный магический квадрат по-
рядка 3 с цифрами от 1 до 9. Для порядков 4 и 5 приходится исполь-
зовать удвоенные суммы.
Лесли Кард обнаружил, что любые 25 домино из стандартного
набора позволяют построить магический квадрат порядка 5 такого
рода (см. «Проблема реестра» Дэвида Силвермана в «Журнале раз-
влекательной математики» за октябрь 1970 г., с. 226—227).
Замечательную головоломку с домино я почерпнул у Леха Пиа-
новского, кинокритика из Варшавы, который также ведет ежене-
дельную газетную колонку, посвященную занимательным играм, и
является автором книги, о настольных играх в 360 страниц, «Путе-
шествие в страну игр» (Podroze w Krainie Gier).
Играть в нее может любое число игроков, но мы допустим, что их
двое. Каждый поступает следующим образом. Пока противника нет
в комнате, он перемешивает стандартный набор из 28 домино, точ-
ками вниз, и случайным образом формирует из них прямоугольник
7X8. Затем кости переворачиваются и цифры на них переносятся в
таблицу 7 х 8, но при этом не показывается расположение отдельных
костей. (Полезно бывает сделать одновременно и вторую копию с
указанием их расположения, чтобы впоследствии можно было дока-
зать, что такое расположение существует на самом деле). Игроки об-
мениваются таблицами, и тот из них, кто первым догадывается, как
воспроизвести это расположение цифр костяшками домино, выиг-
рывает. Поскольку для многих вариантов расположения цифр на
сетке 7x8 есть несколько решений, не обязательно воспроизводить
именно исходное расположение костей — достаточно, чтобы оно со-
ответствовало расположению цифр в таблице. Если перед нами ис-
ходная таблица (см. «а» на рис. 62), как следует приступать к поиску
решения? Л. Пиановский советует сначала выписать все пары доми-
но, затем искать в таблице пары, которые могут встречаться только
144
Лучшие математические игры и головоломки
4 1 3 4 3 5 3 3
5 0 4 1 1 5 0 2
0 1 2 0 2 1 6 2
2 5 1 0 б 4 0 0
5 3 5 б 6 6 5 3
6 4 3 0 2 1 5 6
6 2 3 2 4 1 4 4
4 1 3 4 3 5 3 3
5 0 4 1 1 5 0 2
0 1 2 0 2 1 6 2
2 5 1 0 б 4 0 0
5 3 5 6 6 6 5 3
6 4 3 0 2 1 5 6
б 2 3 2 4 1 4 4
Рис. 62.
Решение задачи на воспроизведение расположения домино.
Домино
145
4 1 3 4 3 5 3 3
5 0 4 1 1 5 0 2
0 1 2 0 2 1 6 2
2 5 1 0 6 4 0 0
5 3 5 6 6 6 5 3
6 4 3 0 2 1 5 6
6 2 3 2 4 1 4 4
4 1 3 4 3 5 3 3
5 0 4 1 1 5 0 2
0 1 2 0 2 1 6 2
2 5 1 0 6 4 0 0
5 3 5 6 6 6 5 3
6 4 3 0 2 1 5 6
6 2 3 2 4 1 4 4
146
Лучшие математические игры и головоломки
в одном месте. В этом случае 4-5, 2—2, 3—6 и 4—4 должны быть там,
где они показаны на рис. «Ь». После этого мы можем сразу добавить
0—0 и 3—3. Поскольку это означает, что 3—3 и 0-0 более нигде не по-
явятся, мы можем провести между этими цифрами в таблице жир-
ные линии, означающие, что здесь проходит граница между кос-
тяшками.
Кость 2-5 должна быть либо горизонтальной, либо вертикаль-
ной, как показано пунктиром на рисунке «с». В любом случае 1—0
должна лечь так, как показанр^отсюда находим далее 1-3 и 0—4,
избегая повторения 0—1. Теперь можно добавить еще несколько
разделительных черт. Продвигаясь таким образом, не так трудно
найти решение. Рис. 62 «d» показывает одно из четырех возможных
решений.
Читателю предлагается испытать свою сообразительность на
чуть более сложной таблице, показанной слева на рис. 63. У нее
только одно решение. Если это вам удастся, можно попробовать
свои силы на особенно сложной задаче, приведенной на том же ри-
сунке справа. Обе таблицы предложены Л. Пиановским. У второй
возможно восемь решений.
2 3 3 1 6 6 0 4
5 2 3 0 4 6 1 1
1 4 6 1 3 3 0 1
1 0 2 5 6 6 3 2
5 5 2 0 5 4 4 5
5 5 1 3 2 0 0 3
4 4 4 0 2 2 6 6
6 5 1 1 3 5 3 3
2 4 1 4 3 2 2 4
1 2 5 0 0 2 1 1
6 1 0 0 0 0 6 3
6 5 4 0 0 1 6 2
5 2 4 6 3 3 6 4
4 2 4 3 5 5 5 6
Рис. 63.
Две задачи на расположение домино.
Домино
147
ОТВЕТЫ
Два из множества возможных решений приведены на рис. 64. Ответ
на первую задачу с расположением домино согласно таблице уника-
лен (см. левое изображение на рис. 65).
Вторая задача имеет восемь решений. Всего возможно три ос-
новных типа расположения: то, что справа на рис. 65, у него так-
же есть второй вариант, образованный перестановкой двух зате-
ненных костей; второе, у которого также есть два варианта, полу-
чаемых перестановкой тех же двух костей; и третий, в котором
есть два квадрата порядка 2, каждый из которых может быть выст-
роен двояким образом, добавляя ещ^йетыре решения к перечис-
ленным выше. 1Lt
3 4 1 2
3 1 5 1
2 1 3 4
2 4 1. 3
Рис. 64.
Решение задачи на построение магического квадрата.
2 3 3 1 6 б 0 4
5 2 3 0 4 6 1 1
1 4 6 1 3 3 0 1
1 0 2 5 6 6 3 2
5 5 2 0 5 4 4 5
5 5 1 3 2 0 0 3
4 4 4 0 2 2 6 6
6 5 1 1 3 5 3 3
2 4 1 4 3 2 2 4
Д|| И И "5^1 м 5 0 0 2 1 1
0 0 0 0 6 3
6 5 4 0 0 1 6 2
5 2 4 6 3 1 3 6 4
4 2 4 3 5 5 5 6
Рис. 65.
Решение задачи на воспроизведение расположения домино.
ГЛАВА 13
Числа Фибоначчи и Люка
Пять было жен у Фибоначчи;
Чем далее, тем формами богаче;
Вес каждой — как у двух, что были до;
Да, пятая входила в дом с трудом!
W Дж. Линдон
Величайшим европейским математиком Средневековья был Лео-
нардо из Пизы, известный как Фибоначчи, что означает «сын Бо-
наччио» (см. рис. 66). Хотя Леонардо и родился в Пизе, его отец был
представителем итальянского торгового предприятия в Алжире, и
именно там юный Леонардо учился азам математики у мусульман-
ских педагогов. Он быстро осознал огромное преимущество арабо-
индийской десятичной системы с ее позиционной системой записи
и символом нуля по сравнению с неуклюжей римской системой, ко-
торая все еще использовалась в то время в его родной стране. Его
наиболее известный труд, Liber Abaci (буквально «Книга счётов», а
на самом деле полный и понятный учебник-справочник по арифме-
тике и алгебре для купцов), отстаивал преимущества индийско-
арабской системы записи чисел. Его аргументы не произвели особо-
го впечатления на итальянских купцов того времени, однако со вре-
менем книга стала важнейшей работой, представившей европей-
скому миру арабскую позиционную систему. Хотя Liber Abaci была
завершена в 1202 году, до наших дней она сохранилась только в пе-
реиздании 1228 года, посвященном известному придворному астро-
логу того времени. Ее никогда не переводили на английский язык.
По иронии судьбы, о Леонардо, который вйес весьма сущест-
венный вклад в математику, сегодня помнят в основном благодаря
тому, что французский математик XIX века, занимавшийся теори-
ей чисел, Эдуард Люка (редактор классического четырехтомного
сборника по развлекательной математике), присвоил имя Фибо-
наччи особой последовательности чисел, впервые упомянутой в
Числа Фибоначчи и Люка
149
Рис. 66.
Фибоначчи.
качестве простой задачи в Liber Abaci. «Представим себе, — писал
Леонардо, — что взрослую пару кроликов — самца и самку - поме-
щают в клетку для получения приплода. Допустим, что кролики
спустя два месяца после своего рождения начинают размножаться
сами; при этом у них рождается только одна пара детенышей, са-
мец и самка; такая пара появляется у них в конце каждого месяца.
Если ни один из кроликов не умрет, сколько пар кроликов будет в
клетке к концу года?»
Схема в виде дерева (см. рис. 67) показывает, что происходит
в течение первых пяти месяцев. Нетрудно видеть, что числа пар
в конце каждого месяца образуют последовательность 1, 2, 3, 5, 8,...,
в которой каждое число (как показал Фибоначчи) представляет со-
бой сумму двух предыдущих. К концу двенадцатого месяца в клетке
будет 377 пар кроликов.
Фибоначчи не исследовал эту последовательность, и никаких
попыток ее серьезного исследования не предпринималось до конца
XIX века, когда работы по ней, по меткому выражению одного ма-
тематика, не начали плодиться буквально как те самые кролики.
150
Лучшие математические игры и головоломки
О 1
X
Рис. 67.
Схема размножения кроликов в задаче Фибоначчи.
Люка предпринял тщательное изучение последовательностей (ныне
называемых «обобщенными» последовательностями Фибоначчи),
начинающихся с любых положительных целых чисел, в которых
каждое далее расположенное число представляет собой сумму двух
предыдущих. Простейшую из таких последовательностей, 1, 1, 2, 3,
5, 8, 13, 21, он назвал последовательностью Фибоначчи. (Следу-
ющая простейшая серия: 1,3, 4, 7, 11, 18... — теперь называется по-
следовательностью Люка.) Положение каждого числа в этой после-
довательности традиционно обозначается нижним индексом, так
что Fi = 1, F2 = 1, F3 = 2 и так далее (первые сорок чисел Фибонач-
чи перечислены на рис. 68). Fn обозначает любое число Фибоначчи,
Fn+1 — следующее за ним число, Fn_, — предшествующее ему число;
F2n — число Фибоначчи с порядковым номером, вдвое большим,
чем у Fn, и так далее.
Числа Фибоначчи и Люка
151
Последовательность Фибоначчи интересовала математиков
многие столетия отчасти потому, что имела свойство обнаруживать-
ся в самых неожиданных местах, но в основном потому, что даже на
самом любительском уровне познаний в теории чисел, не зная ни-
чего, кроме простой арифметики, можно исследовать эту последо-
вательность и обнаруживать неисчерпаемое количество разнообраз-
нейших удивительных теорем. Недавние успехи в компьютерном
программировании возродили интерес к этим последовательнос-
тям, поскольку оказалось, что им находится применение при сорти-
ровке данных, восстановлении1 информации, генерации случайных
чисел и даже в быстрых методах аппроксимирования максимальных
и минимальных значений сложных функций, производные для ко-
торых неизвестны.
Ранние достижения в этой области собраны в главе 17 первого
тома «Истории теории чисел» Леонарда Юджина Диксона. Интере-
сующиеся последними открытиями по этой теме читатели могут об-
ратиться к периодическому изданию The Fibonacci Quarterly, выпус-
каемому с 1963 года Ассоциацией Фибоначчи. Это издание, выходя-
щее под редакцией Вернера Хогарта-младшего из Государственного
колледжа Сан-Хосе в Калифорнии, посвящено в основном обоб-
щенным числам Фибоначчи и подобным числам (например, т.н.
«числам трибоначчи», которые являются суммами трех предыдущих
в последовательности чисел), однако уделяет внимание также «изу-
чению целых чисел с особыми свойствами».
Несомненно, самое примечательное свойство рядов Фибоначчи
(это относится и к обобщенным последовательностям) заключается
в том, что отношение двух последовательных чисел друг к другу по-
переменно то чуть больше, то чуть меньше «золотого сечения», и что
с увеличением порядковых номеров чисел эта разница становится
все меньше; в пределе это отношение стремится к золотому сече-
нию. Золотое сечение — знаменитое иррациональное число,
1,61803..., получаемое делением пополам суммы единицы и корня
из пяти. Существуют многочисленные литературные данные, в том
числе не вполне научные, об отношении золотого сечения и близ-
кой к нему последовательности Фибоначчи в живой природе и их
применении в искусстве, архитектуре и даже поэзии. Джордж Эк-
кель Дакворт, профессор классической литературы в Принстонском
университете, в своей книге «Структурные паттерны и пропорции в
«Энеиде» Вергилия» (Издательство Мичиганского университета,
1962) утверждает, что ряды Фибоначчи сознательно использовали
152
Лучшие математические игры и головоломки
F1 1 L1 1
F2 1 L2 3
F3 2 L3 4
F4 3 L4 7
F5 5 L5 11
F6 8 L6 18
F7 13 L7 29
F8 21 L8 47
F9 34 L9 76
F10 55 L10 123
F11 89 L11 199
F12 144 V L12 322
F13 233 А L13 521
F14 377- L14 843
F15 610 L15 1364
F16 987 L16 2207
F17 1597 L17 3571
F18 2584 L18 5778
F19 4181 L19 9349
F20 6765 L20 15127
F21 10946 L21 24476
F22 17711 L22 39603
F23 28657 L23 • 64079
F24 46368 L24 103682
F25 75025 L25 167761
F26 121393 L26 271443
F27 196418 L27 493204
F28 317811 L28 710647
F29 514229 L29 1149851
F30 832040 L30 1860498
F31 1346269 L31 3010349
F32 2178309 L32 4870847
F33 3524578 L33 7881196
F34 5702887 L34 12752043
F35 9227465 L35 20633239
F36 14930352 L36 33385282
F37 24157817 L37 54018521
F38 39088169 L38 87403803
F39 63245986 L39 141422324
F40 102334155 L40 228826127
Рис. 68.
Первые 40 чисел Фибоначчи и Люка.
Числа Фибоначчи и Люка
153
Вергилий и другие поэты его времени. Я писал об этом в своей ра-
нее вышедшей статье по золотому сечению, переизданной во «Вто-
рой книге математических головоломок и развлечений из журнала
“Сайентифик Америкен”».
В растительном мире числа Фибоначчи наиболее поразительно
проявляют себя в спиральном расположении семян на поверхно-
сти соцветий некоторых сортов подсолнечника. Это два набора
логарифмических спиралей, один из которых направлен по, а вто-
рой - против часовой стрелки, как показано на рис. 69 (затемне-
Рис 69.
Гигантский подсолнечник из 55 спиралей против часовой стрелки
и 89 спиралей по часовой стрелке.
154
Лучшие математические игры и головоломки
ние). Число спиралей в этих двух наборах неодинаково, обычно
это два последовательных числа Фибоначчи. У соцветий обычно-
го размера спиралей чаще всего 34 и 55, однако встречаются и ги-
ганты, у которых число их доходит до 89 и 144. В отделе читатель-
ских писем журнала Scientific Monthly (ноябрь 1951 г.) геолог Дэ-
ниел О’Коннел с женой сообщают, что на своей ферме в Вермон-
те они обнаружили поистине циклопический экземпляр со 144 и
233 спиралями!
Глубокая внутренняя связ^ между рядами Фибоначчи и золотым
сечением может быть видна из цджеследующей формулы для п-го
числа Фибоначчи:
RI
Это выражение позволяет получить n-е число Фибоначчи точно
(корни из пяти сокращаются), однако для больших чисел использо-
вать ее неудобно, хотя использование логарифмов позволяет полу-
чить их с хорошим приближением. Гораздо более простая формула
для п-го числа - это золотое сечение в степени п, деленное на квад-
ратный корень из пяти. Когда получившийся результат округляют
до ближайшего целого числа, в итоге также получается точное чис-
ло с данным порядковым номером. Обе формулы - нерекурсивные,
поскольку они получают n-е число Фибоначчи прямо из п. Рекур-
сивная процедура - это серия шагов, каждый из которых зависит от
предыдущего шага. Если вы вычисляете n-е число Фибоначчи, сум-
мируя последовательно предыдущие числа до тех пор, пока не до-
стигнете п-го, вы получаете его рекурсивно; определение п-го числа
Фибоначчи как суммы двух предшествующих ему чисел — простей-
ший пример рекурсивной формулы.
Формула, позволяющая получить n-е число Люка точно, приве-
дена ниже:
но, как и в случае чисел Фибоначчи, имеется куда более простой
способ получить n-е число Люка. Просто возведите золотое сечение
в степень п и округлите до ближайшего целого числа.
Числа Фибоначчи и Люка
155
Если вам дано любое число Фибоначчи, большее 1, вам не нужно
знать его порядковый номер, чтобы получить следующее за ним.
Пусть А — данное число. Следующее за ним число Фибоначчи равно
2
где квадратные скобки обозначают округление до ближайшего це-
лого числа. Та же самая формула позволяет получить следующее
число Люка для любого числа Люка более 3.
В обобщенных последовательностях Фибоначчи сумма первых п
членов ряда равна Fn+2 минус второй член ряда. Эта формула может
послужить основой для замечательного фокуса с мгновенным вы-
числением. Пусть кто-нибудь выберет любые два начальных числа,
а затем напишет столько чисел обобщенного ряда Фибоначчи,
сколько пожелает. Попросите его провести черту между любыми
двумя членами ряда, и вы можете быстро выдать сумму всех членов
ряда до этой черты. Всё, что вам нужно, — это заметить второй по-
сле черты член ряда и вычесть из него второй с начала член после-
довательности. Если это стандартный ряд Фибоначчи, вы вычитае-
те 1; если это последовательность Люка, вы вычитаете 3.
Вот некоторые хорошо известные свойства чисел стандартной
последовательности Фибоначчи. Большинство из них нетрудно до-
казать, и, разумеется, все они являются частными случаями теорем
обобщенных последовательностей.
1. Квадрат любого числа Фибоначчи на единицу отличается от
произведения соседних ему чисел ряда. Эта разница в серии попере-
менно то на единицу больше, то на единицу меньше. (Для чисел
Люка постоянная разница равна пяти.) См. главу 5 моей книги «Ма-
тематика. Магия. Тайна», в которой приводится знаменитый геоме-
трический парадокс рассечения, в котором эта теорема играет осно-
вополагающую роль. В обобщенной последовательности Фибонач-
чи эта разница составляет ± (F21 2 — F/ — FtF2).
2. Сумма квадратов любых двух идущих подряд чисел Фибоначчи
F2n и F2n+1, равна F2n+1. Поскольку у последнего числа оказывается
нечетный индекс, из этой теоремы следует, что, если вы запишете по-
следовательно квадраты чисел Фибоначчи, суммы соседних квадра-
тов дадут последовательность из нечетных членов ряда Фибоначчи.
156
Лучшие математические игры и головоломки
3. Для любых четырех последовательных чисел Фибоначчи, А, В,
С, D, верна следующая формула: С2 — В2 = А х D.
4. Последовательность последних цифр в ряде Фибоначчи По-
вторяется циклами по 60 чисел. Последние две цифры повторяются
в циклах из 300 чисел. Длина этого цикла составляет 1500 для трех
цифр, 15 000 для четырех, 150 000 для пяти и далее подобным обра-
зом для большего числа цифр.
5. Для каждого целого числа ш. существует бесконечное число
чисел Фибойаччи, которые делятся на m без остатка, и по крайней
мере одно такое число окажетс^-'среди первых 2m членов рада Фи-
боначчи. Эта теорема неверна Для Последовательности Люка. Ни
одно число Люка, к примеру, не делится'на 5.
6. Каждое третье число Фиббйкччи делится на два, каждое чет-
вертое — на три, каждое пятое — HaF5, каждое шестое — на 8 й так
далее, то есть делители образуют последовательность Фибоначчи.
У двух следующих друг за другом чисел Фибоначчи (равно как и чи-
сел Люка) не может быть общих делителей, кроме 1.
7. За исключением 3, у каждого простого числа Фибоначчи по-
рядковый номер также простое число (например, 233 — простое
число, и его индекс, 13, также простое число). И наоборот, если ин-
декс числа Фибоначчи - число составное, то же относится и к само-
му числу. К сожалению, утверждение, обратное последнему, не все-
гда верно; под порядковым номером, представляющим собой про-
стое число, не всегда находится простое число. Первый опроверга-
ющий это пример — Fi9, 4181. Индекс — простое число, но 4181 —
это произведение 37 и 113.
Если бы обратная теорема была верна во всех случаях, можно
было бы ответить на самый главный вопрос относительно чисел
Фибоначчи: существует ли в этом ряду бесконечное число простых
чисел? Мы знаем, что число простых чисел бесконечно, поэтому ес-
ли бы каждое число Фибоначчи с простым индексом само было бы
простым, мы доказали бы бесконечность множества простых чисел
Фибоначчи. Поскольку это не так, в настоящее время никто не зна-
ет, существует ли самое большое простое число Фибоначчи. Подоб-
ный же вопрос остается открытым и для последовательности Люка.
Самое большое из известных простых чисел Фибоначчи — это F57i,
число из 119 цифр. Самое большое из известных простых чисел Лю-
ка L353, число из 74 цифр.
8. За исключением вырожденных случаев нуля и единицы (при-
нимая 0 за Fo), единственное число Фибоначчи, являющееся квад-
Числа Фибоначчи и Люка
157
ратом, — это F12, 144, которое, как это ни удивительно, является
квадратом своего порядкового номера. Вопрос о том, существует ли
являющееся квадратом число Фибоначчи, большее чем 144, оста-
вался открытым вплоть до относительно недавнего времени, пока
проблему не решил в 1963 году Джон Кон из Бедфорд-колледжа в
Лондонском университете. Он доказал также, что 1 и 4 — единствен-
ные квадраты в последовательности Люка.
9. Единственные кубы в последовательности Фибоначчи — это
1 и 8, а в последовательности Люка —^только 1. (См. «О числах Фи-
боначчи и Люка, представляющие собой точные степени», Хайми
Лондон и Рафаэль Финкельштейн, в журнале Fibonacci Quarterly,
т. 77, декабрь 1969 г., с. 476—481.) {3
10. Число, обратное 89, одиннадцатому члену ряда Фибоначчи,
можно получить из ряда Фибоначчи, начиная с нуля и записывая
его следующим способом:
0,0112358
13
21
34
55
89
144
233
337
610
0,011235955056.........
1/89 = 0,011235955056179775...
Этот список свойств, если его продолжать, растянется на хоро-
шую книгу. Не меньший объем займет и рассказ о том, как эта по-
следовательность применима к различным математическим и физи-
ческим ситуациям. Лео Мозер изучал пути прохождения лучей через
две соприкасающиеся плашмя стеклянные пластины. Неотражен-
ный луч проходит через пластины только одним путем (см. рис. 70).
Если луч отражается один раз, путей уже два. Если отражается дваж-
158
Лучшие математические игры и головоломки
ды, путей три, а если три раза, то путей пять. С увеличением п — чис-
ла отражений — число возможных путей выстраивается в последова-
тельность Фибоначчи. Для и отражений число путей равно Fn+2.
Эта же последовательность может быть отнесена подобным же
образом к числу различных путей, которые может выбрать пчела,
проползая по шестиугольным клеткам (см. рис. 71). Вправо клетки
идут произвольно далеко. Допустим, что пчела всегда переползает
на соседнюю'клетку и всегда движется вправо. Нетрудно показать,
что существует 1 путь в клетку 0, два пути в клетку 1, три — в клетку
2, пять — в клетку 3 и так далее. Как и ранее, число путей равно Fn+2,
где п — число рассматриваемых клеток.
Кстати, у трутней — самцов пчел — не бывает отцов. Как отметил
С.А.Б. Смит, у трутня имеется только один родитель (его мать), 2 пра-
родителя (родителя матери), 3 прапрародителя (у отца его матери
тоже не было отца), пять прапрапрародителей и так далее по ряду
Фибоначчи.
• I
Рис. 70.
Существует Fn+2 путей, которыми луч может отразиться п раз,
проходя сквозь две стеклянные пластины.
Числа Фибоначчи и Люка
159
Рис. 71.
Существует Fn+2 путей, которыми пчела может доползти до клетки п.
о
Дэвид Кларнер показал, как числа,Фибоначчи определяют чис-
ло путей, которыми домино (прямоугольники 1x2) могут быть сло-
жены вместе с получением прямоугольников размерностью 2 х к.
Есть только 1 способ составить прямоугольник 2x1, два спосо-
ба составить прямоугольник 2x2,3 способа для прямоугольника
2X3, пять способов для прямоугольника 2 х 4 и так далее.
Рассмотрим связь ряда Фибоначчи с игрой ним, придуманной
несколько лет назад Робертом Гаскеллом. Игра начинается с кучки,
в которой п фишек. Игроки по очереди берут из нее фишки. Первый
игрок не может взять всю кучку, но затем любой из игроков может
взять все оставшиеся фишки, если позволяют следующие условия:
по крайней мере одну фишку игрок обязан взять в свою очередь; иг-
рок никогда не имеет права брать более чем в два раза больше фи-
шек, чем взял предыдущий игрок в свою последнюю очередь. Таким
образом, если один игрок в свой ход взял три фишки, другой в свой
ход может взять не более шести. Тот игрок, который забирает по-
следнюю фишку, выигрывает.
Оказывается, что если п — число Фибоначчи, второй игрок все-
гда может выиграть; в противном случае всегда может выиграть пер-
вый игрок. Если игра начинается с 20 фишек (это не число Фибо-
наччи!), как много фишек должен взять первый игрок, чтобы навер-
няка выиграть?
Вторая задача посвящена малоизвестному трюку «мгновенного
вычисления». Отвернитесь и попросите кого-нибудь написать два
любых положительных целых числа (одно под другим), сложить эти
числа, получив третье, написать третье под первыми двумя, сложить
два последних числа, получив четвертое, и продолжать таким путем,
пока не образуется столбец из 10 чисел. Другими словами, он запи-
сывает обобщенную последовательность Фибоначчи, в которой
160
Лучшие математические игры и головоломки
каждое число — сумма двух предыдущих, кроме двух первых, произ-
вольных, чисел. Затем вы поворачиваетесь, проводите черту под по-
следним числом и моментально пишете сумму всех 10 чисел.
Секрет здесь в том, чтобы умножить седьмое число на 11. Это
можно легко сделать в уме. Допустим, последнее число — 928. По-
следняя цифра, 8, будет последней цифрой суммы. Сложите 8 и 2,
получится 10. Напишите 0 слева от 8, держа 1 в уме. Сумма следую-
щей пары цифр, 9 и 2, равна 11, плюс 1 в уме — 12. Напишите 2 ле-
вее нуля, один в уме. Добавьте к девяти 1 в уме и, получив 10, напи-
шите слева от 2. Полная сумма равна 10208. Проще говоря, вы скла-
дываете цифры попарно, двигаясь влево, где нужно держа 1 в уме, и
заканчиваете последней цифрой слева.
Сможете ли вы доказать, что сумма первых 10 членов обобщен-
ной последовательности Фибоначчи всегда равна седьмому члену,
помноженному на 11?
ПРИЛОЖЕНИЕ
Числа трибоначчи (1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, ...) были так названы
блестящим молодым математиком, Марком Фейнбергом, написав-
шим статью о них в журнал Fibonacci Quarterly (октябрь 1963 г.)
в возрасте 14 лет. Его карьера в университете штата Пенсильвания
трагически оборвалась в 1967 году, на втором курсе — он разбился на
мотоцикле. '
В своей статье о числах трибоначчи Фейнберг показал, что отно-
шение между соседними числами с ростом чисел в последователь-
ности сходится к 0,5436890126..., корню уравнения х3 + х2 + х = 0.
Эту теорему можно обобщить для суммы четырех членов ряда (чис-
ла тетраначчи), пяти членов, шести членов ряда и так далее. Во всех
таких последовательностях отношение соседних членов друг к дру-
гу сходится к определенному пределу. С ростом числа суммируемых
членов ряда число, к которому стремится это отношение, становит-
ся все меньше, в пределе стремясь к 0,5. Это обобщение опублико-
вал в 1913 году Марк Барр. (См. мою «Вторую книгу математических
головоломок и развлечений из журнала “Сайентифик Америкен”»,
с. 101.)
«Запись Фибоначчи» (представленная в ответе к первой задаче),
в которой каждое целое число уникально представлено в виде сум-
мы чисел Фибоначчи, играет важную роль в методах компьютерной
Числа Фибоначчи и Люка
161
сортировки информации. См. мою колонку в журнале «Сайентифик
Америкен» за апрель 1973 года, где описан способ, которым «абак
Напье» (малоизвестное счетное устройство, которое изобрел тот же
человек, что и «кости Напье») может быть применен для счета в «за-
писи Фибоначчи». О роли записи Фибоначчи в выборе стратегии
при игре в игру «Ним Витхофа» (игра, напоминающая ним), см.
мою колонку в журнале «Сайентифик Америкен» за март 1977 г.
О том, как проявляются числа Фибоначчи в треугольниках Паска-
ля, см. главу 15 моего «Математического карнавала».
Числа Фибоначчи и Люка связаны десятками простых формул.
Например: n-е число Люка равно Fn.j + Fn+i. Произведение Fn и Ln
равно F2n. Нижеследующее диофантово уравнение
5х2 ± 4 = у2
имеет решение в целых числах только тогда, когда х — число Фибо-
наччи, а у — соответствующее число Люка.
У ряда Фибоначчи и ряда Люка есть два общих для них числа —
1 и 3. Существуют ли числа, больше этих, общие для обоих рядов?
Ответ на этот вопрос будет отрицательным. См. заметки Мартина
Хирша об «Аддитивных последовательностях» в «Математическом
журнале», том 50 за ноябрь 1977 г., с. 264.
Как упоминалось выше, до сих пор не Найден ответ на фундамен-
тальный вопрос, касающийся последовательности Фибоначчи, —
содержит ли она конечное или бесконечное число простых чисел.
В обобщенной последовательности Фибоначчи, если два первых чис-
ла делятся на простое число, все его числа делятся на это простое
число, и несложно показать, что такая последовательность содер-
жит конечное число простых чисел. Если первые два числа взаимно
простые (не имеют общего делителя, кроме единицы), существует
ли обобщенная последовательность, в которой вообще нет простых
чисел?
На последний вопрос ответил Р.Л. Грэм в статье «Фибоначчи-по-
добные последовательности составных чисел» в «Математическом
журнале», т. 57, ноябрь 1964 г., с. 322-324. Таких последовательнос-
тей бесконечно много, однако наименьшие возможные первые два
члена такой последовательности — это числа:
1786772701928802632268715130455793,
1059683225053915111058165141686995.
6-9751
162
Лучшие математические игры и головоломки
ОТВЕТЫ v
Первая задача — найти выигрышный ход в ниме Фибоначчи, если
игра начинается с 20 фишек. Поскольку 20 не число Фибоначчи,
первый игрок может победить наверняка. Чтобы определить свой
первый ход, он представляет 20 как сумму чисел Фибоначчи, начи-
ная с самого большого - в этом случае 13 — затем добавляя следую-
щее по размеру, 5, затем следующее — 2- Таким образом., 20 - 13 5 +
+ 2. Каждое целое положительное число может быть уникальным
Образом представлено в таком виде. В этом выражении не должно
быть соседних по ряду чисел Фибоначчи. Само число Фибоначчи
выражается в этой системе только одним числом: самим собой,
Последнее число 2 — это число фишек, которые должен взять иг-;
рок в первый ход, чтобы выиграть. Правилами нима второму игро-
ку запрещено взять больше, чем два раза по две фишки, и поэтому
он не может сократить число фишек в кучке (их там теперь 18) до
числа Фибоначчи 13. Допустим, он берет 4 фишки. В кучке остает-
ся 14 фишек. Это соответствует сумме чисел Фибоначчи 13 + 1, по-
этому первый игрок берет одну фишку. Продолжая следовать этой
стратегии, он обязательно получит последнюю фишку и выиграет.
Если же начальное число фишек — это число Фибоначчи, ска-
жем, 144, второй игрок выигрывает. Конечно, первый игрок может
взять 55 фишек, оставив 89, но тогда второй выигрывает немедлен-
* Ь a '
t: 2. ; ъ +1
3.". ° <+’ + b
4. ,a ’ + 2b i
+ ' 5. 2a . зь +?
6. 3a ; . 5b .
^,",7. 5a / + 8b
| / '8.', • 8a -13b
9. - -13a ' + 21b ’’I
Ю- ' 21a 34b' - 'I
| 55a + 88b L
Рис. 72.
Ответ к задаче о сумме десяти чисел Фибоначчи.
Числа Фибоначчи и Люка
163
но, забирая все 89 фишек — ведь это меньше, чем два раза по 55. Та-
ким образом, первого игрока вынуждают взять не-фибоначчиево
число фишек, и далее второй игрок следует только что описанной
выше стратегии. (См. Дональд Э. Кнут, «Фундаментальные алгорит-
мы», изд-во Эддисон-Уэсли, 1968 г., с. 493, упражнение № 37, а так-
же «Ним Фибоначчи» Майкла Уайнихана в журнале Fibonacci
Quarterly, том 1, № 4, декабрь 1963 г., с. 9-13.)
Чтобы доказать, что сумма первых десяти членов обобщенной
последовательности Фибоначчи всегда равна седьмому члену, по-
множенному на 11, назовем первые 2 числа а и Ь. Десять чисел и их
сумма могут быть представлены, как показано на рис. 72. Сумма,
очевидно, представляет собой седьмой член, помноженный на 11.
Обратите внимание на то, что коэффициенты при а и b тоже обра-
зуют последовательность Фибоначчи.
6*
ГЛАВА 14
Простота
Fulfilling absolute decree
In casual simplicity.
Эмили Дикинсон
Строки Эмили Дикинсон — о сером камешке на дороге, но если мы
рассмотрим этот камень как часть Вселенной, следующую законам
мироздания, то окажется, что внутри него на микроуровне происходят
самые разные замысловатые и таинственные процессы. Понятие
«простоты» как в науке в целом, так и в математике вызывает к жизни
множество глубоких, запутанных, всё еще не решенных вопросов.
Действительно ли основных законов природы немного, иди же много,
или их бесконечное множество, как полагает Станислав Улам и дру-
гие? А сами эти законы, сложные они или простые? Что именно мы
имеем в виду, когда говорим, что один закон или математическая тео-
рема проще, чем другой закон, другая теорема? Существует ли объек-
тивный способ измерения простоты закона, теории, теоремы?
Большинство биологов, в особенности те из них, кто занимается
изучением мозга, поражаются невероятной сложности живых орга-
низмов. И напротив, хотя квантовая теория в последнее время и
стала сложнее благодаря открытию сотен неожиданных частиц и их
взаимодействий, большинство физиков сохраняет прочную веру в
предельную простоту основных физических законов.
В особенности это можно было сказать про Альберта Эйнштей-
на. «Наш жизненный опыт, — писал он, — укрепляет нас в вере в то,
что природа — это воплощение простейших из возможных матема-
тических законов». Когда он подбирал тензорные уравнения для
своей теории гравитации, он выбрал простейший подходящий их
набор, затем опубликовал их с полнейшей уверенностью, что (как
сказал он однажды математику Джону Кемени) «Бог не упустил бы
Простота
165
возможность устроить мир так просто». Порой говорилось даже, что
великие достижения Эйнштейна — это интеллектуальное выраже-
ние того психологического порыва, которое Генри Дэвид Торо в сво-
ем «Уолдене» выражал так:
«Простота, простота, простота! Сведите свои дела к двум-трем,
а не сотням и тысячам; вместо миллиона считайте до полдюжины
и умещайте все счета на ладони».
Питер Мишелмор в своей биографии Эйнштейна рассказывает:
«Спальня Эйнштейна выглядела монашеской. Стены без картин, пол
без ковра... Брился он грубо, с простым мылом. По дому часто ходил
босиком^ Только раз в несколько месяцев он дозволял Эльзе (жене)
кое-как обстричь волосы. Белье он, как правило, не считал нужным.
. Он обходился также без пижам, а позже и без носков. «Зачем нужны
носки? — вопрошал он. — От них одни дырки». Эльза топала ногой,
видя, как он обрезает рукава новой рубашки от локтя вниз. Он же
объяснял, что лацканы придется застегивать на пуговицы или запон-
J ки, а также регулярно стирать — все лишняя трата времени».
«Любая собственность, - говорил Эйнштейн, - это камень, при-
вязанный к ноге». Это утверждение, кажется, могло бы; найтись
прямо в тексте «Уолдена».
Все же у природы к ногам привязано довольно-таки много кам-
ней. Основные ее законы просты только в первом приближении;
они становятся все более сложными, когда их приходится уточнять,
чтобы объяснить новые наблюдения. Девизом ученого, ведущим его
по жизни, писал Альфред Норт Уайтхед, должно быть: «Ищи про-
стоту, но не доверяй ей». Галилей выбрал простейшее рабочее урав-
нение для падающих тел, но оно не принимало во внимание высоту
тела й нуждалось в уточнении, результатом которого стали более
сложные уравнения Ньютона. Ньютон также отличался большим
доверием к простоте. «Природе приятна простота, — писал он, эхом
отзываясь на известное выражение Аристотеля, — и ее не трогает
пышность избыточных причин». Однако и уравнения Ньютона, в
свою очередь, были изменены Эйнштейном, а сегодня есть физики,
например Роберт Дикке, которые полагают, что уравнения Эйн-
• штейна для гравитации следует изменить, еще более усложнив их.
Утверждать, что если известные законы природы просты, то и
неизвестные должны быть также простыми, означает ступать на
опасный путь. Первые простые приближения очевидно проще все-
го обнаружить. Поскольку «цель науки - находить простые объяс-
нения сложным фактам», снова по Уайтхеду (глава 7 «Концепции
166 Лучшие математические игры и головоломки
природы»), мы оказываемся склонными «впадать в заблуждение»,
думая, что природа в основе своей проста, лишь потому что «про-
стота — это цель наших поисков».
Наука иногда упрощает положение вещей, создавая теории, ко-
торые сводятся к проявлениям того же закона, которые раньше счи-
тались никак не связанными — например, эквивалентность гравита-
ции и инерции в общей теории относительности. Столь же часто на-
ука обнаруживает, что за внешне простыми явлениями, такими как
строение материи, прячется неожиданная сложность. Иоганн Кеп-
лер долгие годы защищал положение о том, что, орбиты планет — ок-
ружности, поскольку окружность — это наименьшая замкнутая кри-
вая. Когда он, наконец, убедился в том, что орбиты — это эллипсы,
он писал, что эллиптические орбиты - это «грязь», на которую при-
шлось согласиться, чтобы избавить астрономию от еще большего
количества грязи. Это довольно проницательное утверждение, по-
тому что оно предполагает, что введение большей сложности на од-
ном уровне поможет упростить систему в целом.
Тем не менее на пути ученого простота таинственным образом
вмешивается в его деятельность буквально на каждом шагу, делая
наиболее надежной именно самую простую гипотезу. Слово «про-
стая» употреблено здесь в строго объективном смысле, т.е. незави-
симом от точки зрения наблюдателя, хотя в настоящее время никто
и не знает, как именно можно это понятие определить. Разумеется,
существует множество критериев, по которым одна теория может
оказаться проще другой в практическом отношении, но эти крите-
рии не имеют отношения к общему вопросу, который мы сейчас об-
суждаем. Как сказал философ Нельсон Гудман, «если вы хотите по-
пасть куда-нибудь быстро, и перед вами открывается несколько
одинаково доступных путей, никто не спросит вас, почему вы вы-
брали самый короткий». Другими словами, если две теории не рав-
ноценны — ведут к различным предсказаниям — и ученый полагает,
что они могут быть истинны с равной вероятностью, сначала он
экспериментально проверит ту теорию, которую проверить проще.
В этом, прагматическом, смысле простота зависит от ряда фак-
торов: доступного математического аппарата, размеров финансиро-
вания, имеющегося времени, познаний ученого и его ассистентов и
т.д. Более того, одна и та же теория может казаться простой одному
ученому, хорошо знающему математику, и сложной — другому, кото-
рый с математикой в не столь хороших отношениях. Теория может
быть простой с точки зрения математической формы, но предска-
Простота
167
зывать сложные явления, которые трудно проверить эксперимен-
тально, и наоборот", возможна сложная теория, предсказывающая
простые результаты. Как указал Чарлз Пирс, обстоятельства могут
быть таковы, что экономичнее всего может оказаться проверить
вначале наименее правдоподобную из нескольких гипотез. ‘
Эти субъективные и практические факторы очевидно играют
значительную роль в исследованиях, однако они не могут коснуться
сердца тайны. Центральный вопрос заключается в следующем: ho-
чему, при прочих равных, именно самая простая гипотеза, Как пра-
вило, оказывается на верном пути — то есть с наибольшей вероятно-
стью подтвердится будущими наблюдениями? • ' • ,
Рассмотрим следующий «простой» пример научного исследова-
ния. Физик, в поисках функции, описывающей взаимодействия
двух переменных, записывает свои наблюдения В виде точек на гра-
фике. При этом он не только постарается выбрать наиболее про-
стую кривую, проходящую возможно близко от точек,1 ой пойдёт
дальше и сочтет простоту несколько важнее реальных данных. Если
точки расположены вблизи от некоторой прямой, он не станет вы-
черчивать волнообразную кривую, проходящую через каждую точ-
ку, а предположит, что его наблюдения, скорее всего, слегка неточ-
ны, выберет прямую линию, не проходящую ни через одну из точек,
и выдвинет гипотезу, что искомая функция - простое линейнбе вза-
имодействие вроде х = 2у (см. рис. 73). Если эта гипотеза не сможет
предсказать верно данные, полученные в результате новых наблю-
дений, он попробует перейти к кривой более высокого порядка, ги-
перболе или параболе. Смысл вышеизложенного в том, что при
прочих равных условиях у более простой функций больше шансов
на успех. Поистине поразительное число основных законов приро-
ды выражается уравнениями низших степеней. Склонность приро-
ды к экстремумам, максимуму и минимуму, — другой известный
пример простоты, потому что именно в этих двух случаях производ-
ная функции равна нулю.
Простота иногда оказывается важнее данных даже при оценке
самых сложных высокоуровневых теорий, таких, например, как те-
ория относительности или теория элементарных частиц. Если Тео-
рия достаточно сложна и красива и обладает большой объясняющей
силой, эти факты часто больше говорят в ее пользу, чем более ран-
ние экспериментальные данные, которые, как кажется, только
фальсифицируют теорию, говорят против нее. Все это ставит один
из самых непростых вопросов в философии науки. Каким образом
168
Лучшие математические игры и головоломки
Рис. 73.
Наблюдения (а), кривая возможной
функции (б), наиболее вероятная
функция (в).
(а)
этот конкретный вид простоты — тот, что увеличивает вероятность
истинности закона или теории — может быть определен? Если он
все же может быть определен, можно ли его измерить? Ученые не
любят эти два вопроса. Они, как правило, оценивают простоту ин-
туитивно и не заботятся о том, что это такое. Однако возможно, что
когда-нибудь способ оценки простоты окажется весьма ценным с
практической точки зрения.
Вообразим две теории, объясняющие все известные нам факты
об элементарных частицах. Они одинаково надежно предсказывают
новые данные, хотя предсказания и различаются. Обе теории сразу
не могут быть верны. Обе они могут оказаться ложными. Каждая из
них требует экспериментального подтверждения, которое стоит
миллион долларов. Если простота влияет на вероятность истиннос-
ти теории, то, очевидно, выгодно оценивать простоту, чтобы прове-
рить более простую теорию первой.
В настоящее время никто не знает, как измерить простоту этого ви-
да, ни даже как ее определить. Нечто в ситуации нужно минимизиро-
вать, но что же именно? Не годится подсчет элементов в математиче-
ских формулах, потому что их число зависит от системы записи. В од-
ной системе в формуле может быть десять переменных, в другой —
три. Формула Эйнштейна Е = тс2 выглядит простой лишь потому, что
каждая ее переменная — это удббный символ той или иной концеп-
ции, каждая из которых может быть записана формулой, связываю-
щей ее с другими концепциями. То же верно и для теоретической ма-
тематики. Единственный способ выразить число «пи» через целые
Простота
169
числа — это предел бесконечной серии, но написав «л», мы концент-
рируем всю эту серию в одном-единственном символе.
Минимизация степеней переменных - также тупиковое на-
правление. Во-первых, линейные уравнения типа х = 2у выглядят
прямыми только в декартовых координатах. В полярной системе
координат это уже спираль. С другой стороны, минимизация сте-
пеней ничего не дает, если уравнения не представляют собой мно-
гочлены. И даже если это так, можно ли сказать, что уравнение ти-
па w = 13х + 23у + 132z проще, чем х = у2?
При сравнении простейших геометрических фигур признаки
простоты пугающе нечетки. В одном из «доисторических» комиксов
Джонни Харта пещерный человек изобретает квадратное колесо.
Поскольку у него слишком много углов и оно слишком часто под-
прыгивает, он возвращается к своим чертежам и изобретает «более
простое» треугольное колесо. Углы и удары вроде бы минимизирова-
ны, однако изобретатель лишь дальше ушел от «простейшего» круг-
лого колеса, у которого вообще нет углов. Или же, напротив, круглое
колесо должно считаться наиболее сложным, потому что оно в неко-
тором смысле является многогранником с бесконечным числом вер-
шин? Истина такова: треугольник проще квадрата тем, что у него
меньше сторон и вершин. С другой стороны, проще квадрат, так как
в формуле для вычисления его площади меньше переменных.
Один из наиболее соблазнительных способов проверки гипотезы
на простоту среди многих - подсчет числа используемых в ней про-
стых понятий. Но это, к сожалению, не более чем очередной тупик.
170
Лучшие математические игры и головоломки
Можно искусственно уменьшить число понятий, объединяя их.
Нельсон Гудман четко показал это в своем парадоксе «силеного», о
котором написаны десятки технических статей. Рассмотрим про-
стой закон: все изумруды зеленые. Теперь мы вводим концепцию
«силеный». Это свойство означает, что нечто зеленого цвета, если
мы наблюдали его, скажем, до 1 января 2050 года, и синего цвета,
если наблюдалось позднее. Мы устанавливаем второй закон: все
изумруды силеные.
Оба закона характеризуются одинаковым числом понятий. У них
одно и то же «эмпирическое содержание» (они объясняют имеющи-
еся данные), у них равная предсказательная сила. Единственный
случай неверного цвета, наблюдаемый при изучении изумрудов в
будущем, сделает ложными обе гипотезы. Все оказывают предпо-
чтение первому закону, потому что «зеленый» проще «силеного» —
ведь эта концепция не нуждается в новых теориях, объясняющих,
почему после 1 января некоего далекого года цвет всех изумрудов
изменится. Хотя Гудман и продвинулся дальше других в этой узкой
области определения простоты, он все же далек от конечных резуль-
татов, не говоря уж о более серьезной проблеме оценки общей про-
стоты закона либо теории. Концепция простоты в науке далеко не
проста! Может оказаться, что простоту невозможно измерить по од-
ному какому-нибудь показателю, но лишь по многим, самого раз-
ного свойства, и все они должны быть учтены в комплексной конеч-.
ной оценке закона либо теории. ,
Как ни странно, даже в теоретической математике постоянно
возникают подобные трудности. Обычно математики ведут поиск
новых теорем почти так же, как физики ищут новые законы. Они
проводят эмпирические эксперименты. Размышляя с каранда-
шом над выпуклыми четырехугольниками — что в чем-то близко к
экспериментам с физической моделью, — геометр может обнару-
жить, что если построить квадраты снаружи на сторонах выпукло-
го четырехугольника и соединить центры противоположных ква-
дратов, то полученные отрезки окажутся равны и перпендикуляр-
ны друг другу (см. рис. 74). Он повторяет опыты с четырехуголь-
никами различной формы, и всё время получает тот же результат.
Тут он начинает чувствовать, что дело пахнет теоремой. Как и фи-
зик в подобной ситуации, он выбирает самую простую гипотезу.
Он, к примеру, даже и не подумает сначала проверять гипотезу,
согласно которой два отрезка соотносятся как 1 к 1,00007 и пере-
секаются цод углами 91 и 89 градусов, хотя это умозаключение не
Простота
171
Рис* 74.
«Простая» геометрическая теорема.
менее точно соответствует его грубым измерениям. Вначале он
проверяет более простой вариант — что отрезки всегда равны и
перпендикулярны. Его «экспериментальная проверка», как и в
случае физика, — это поиск дедуктивного доказательства, которое
надежно подтвердит гипотезу.
Теория комбинаторики богата подобными примерами, когда са-
мое простое решение оказывается наиболее вероятным. Как и в ми-
ре физики, встречаются, однако, и неожиданности. Рассмотрим сле-
дующую задачу, открытую Лео Мозером. На окружности произволь-
но ставятся две или более точки. Каждая пара соединяется прямой.
Если точек п, каково максимальное число частей, на которое таким
образом может быть разделен круг? На рис. 75 приведены ответы для
двух, трех и четырех точек. Читателю предлагается найти ответ для
пяти и шести точек и, если удастся, вывести общую формулу.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Замечательная теорема о квадратах на сторонах произвольного вы-
пуклого четырехугольника известна как теорема Ван Обеля. Мно-
гие читатели, огорченные тем, что я не привел ее доказательства,
172
Лучшие математические игры и головоломки
Рис. 75.
Проблема комбинаторики.
прислали превосходные доказательства, выведенные ими самостоя-
тельно. К сожалению, недостаток места не позволит мне привести
здесь хотя бы одно из них, однако простое векторное доказатель-
ство можно найти в статье «Теорема Ван Обеля о четырехугольни-
ках» авторства Пола Келли в «Математическом журнале» за январь
1966 г., с. 35—37. Иное доказательство, основанное на симметрич-
ных преобразованиях, имеется в «Геометрических преобразовани-
ях» И.М. Яглома (Random House, 1962), с. 95—96, задача 24Б.
Как отмечает Келли, эту теорему можно обобщить тремя путями,
что делает ее еще более изящной:
1. Четырехугольники не обязательно должны быть выпуклыми.
Отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, мо-
гут не пересекаться, но они остаются равными и перпендикуляр-
ными.
Простота
173
2. Любые три или даже все четыре утла четырехугольника могут
быть коллинеарны. В первом случае четырехугольник вырождается
в треугольник с «вершиной» на одной из сторон, во втором — в от-
резок с двумя «вершинами» на нем.
3. Одна из сторон четырехугольника может быть нулевой длины.
При этом две вершины оказываются в одной точке, которую можно
рассматривать, как центр квадрата нулевой величины.
Странные обобщения теоремы Ван Обеля.
174
Лучшие математические игры и головоломки
Второе и третье обобщение обнаружил наш читатель У. Нельсон
Гудвин, нарисовавший четыре примера, показанные на рис. 76. Об-
ратите внимание, что теорема остается верной, даже если противо-
положные стороны четырехугольника сокращаются до нуля. Обра-
зующийся в результате отрезок можно рассматривать как одну из
линий, соединяющую центры противоположных квадратов нулево-
го размера, и, конечно же, она равна и перпендикулярна отрезку, со-
единяющему центры двух квадратов, нарисованных на противопо-
ложных сторонах исходного отрезка.
ОТВЕТЫ
Задача Лео Мозера о точках на окружности — забавный пример
того, как легко эмпирическая индукция может завести на невер-
ный путь в случае чистой математики. Для одной, двух, трех, че-
тырех и пяти точек число областей, на которые делится круг после
соединения всех точек между собой прямыми линиями, равно
1, 2,4, 8, 16... Можно предположить, что этот простой ряд продол-
жается таким же образом и далее, и решить, что Максимальное
число областей для и точек равно 2П"1. К сожалению, для любого
числа точек более 6 эта формула оказывается неверной. Рис. 77
демонстрирует, что шесть точек делят круг не на 32, а на 31 об-
ласть.
Верная формула такова:
Заключенное в скобки выражение (*) — это число способов, ко-
торыми m предметов можно расположить, по к за раз. (Оно равно
ш’Д! (m-к)!.) Мозер указывает, что эта формула дает суммы рядов
чисел слева от диагональной линии, проходящей через треугольник
Паскаля, как показано на рисунке.
В полном виде формула выглядит как
к4 —6л3+23и2 —18и + 24.
24
Простота
175
Рис. 77.
Решение к задаче Лео Мозера о точках на окружности.
Если вместо п подставлять положительные числа, формула обра-
зует последовательность: 1, 2, 4, 16, 31, 57, 99, 163, 256, 386, 562...
Эта задача — прекрасная иллюстрация к совету Уайтхеда искать про-
СТоту, но не доверять ей.
Я не смог обнаружить, где и когда Мозер впервые опубликовал
эту задачу но в письме он сообщает, что, насколько он помнит, это
было в «Математическом журнале» примерно около 1950 года. С тех
пор она множество раз появлялась в книгах и периодических изда-
ниях, с самыми различными методами решения.
ГЛАВА 15
Круглый стол
и другие задачи
1 . ВРАЩАЮЩИЙСЯ
КРУГЛЫЙ СТОЛ
В 1969 году, после десяти недель разногласий и споров, вьетнамские
переговорщики в Париже наконец выбрали форму стола для зала за-
седаний: круг, за которым размещается 24 человека, сидящих на
равных расстояниях друг от друга. Допустим, что на карточках с фа-
милиями, определяющих место участников такой конференции,
ровно 24 разных имени и что на некотором мероприятии в суматохе
все 24 дипломата сели за стол на произвольные места. Они обнару-
живают, что никто из них не сидит на своем месте. Вне зависимости
от того, как именно они сидят, всегда ли возможно повернуть стол
так, чтобы хотя бы два человека оказались напротив карточек с их
именами?
Задача сильно усложняется, если оказывается, что только один
человек сел на верное место. Будет ли в этом случае всегда возмож-
но повернуть стол так, чтобы хотя бы два человека оказались напро-
тив своих карточек?
2. ШАХМАТЫ ПЕРВОГО ШАХА
«Британский шахматный журнал», т. 36, № 426 за июнь 1916 г., со-
общает, что некий американский любитель по имени Фрэнк Хоп-
кинс изобрел разновидность шахматной игры, которую назвал
«Один шах» или «Первый шах выигрывает». В эту игру играют со-
Круглый стол и другие задачи
177
вершенно так же, как и в обычные шахматы, за тем исключением,
что победа присуждается тому игроку, который первый ставит шах
(не мат) королю противника. В журнале (цитирую по статье в
Brooklyn Daily Eagle писали по этому поводу, что «возникает подо-
зрение, переходящее в уверенность, что белые в этой игре обрече-
ны на выигрыш»; американский гроссмейстер Фрэнк Дж. Мар-
шалл заявил лаконично, что «развенчает» новую игру. Хопкинс не
готов был признать это до тех пор, пока Маршалл не выиграл, дей-
ствуя только двумя белыми конями. Стратегия Маршалла не приво-
дится, за исключением первого хода, не говорится ничего и о том,
сколько ходов сделали белые, прежде чем был объявлен фаталь-
ный шах.
С 1916 года идея «шахмат первого шаха» независимо приходила
в голову многим игрокам. Впервые я услышал о ней от Соломона
Голомба, который знал ее под названием «быстрые шахматы»; его
•дал ей Дэвид Силверман, узнавший об этой игре в 1965 году от че-
ловека, придумавшего ее заново. В конце 1940-х годов эту же игру
независимо изобрела группа выпускников-математиков в универ-
ситете Принстона. Один из студентов, Уильям Миллс, обнаружил
тогда стратегию, явно совпадавшую с маршалловской: способ, Ко-
торым белые, передвигая только коней, выигрывают на пятом ходу
или раньше. В 1969 г. Миллс и Джордж Соулс совместно нашли не-
сколько стратегий, в которых белые выигрывают в пять ходов, иг-
рая другими фигурами. Сможете ли вы повторить удачное решение
Рис. 78.
Белые ходят конями и ставят шах в пять ходов.
178
Лучшие математические игры и головоломки
Маршалла, решив задачу, показанную на рис. 78? Как белым, ходя
только конями, поставить шах черному королю не более чем за
5 ходов? • •
Предпринимались попытки уравнять шансы обоих игроков, вво-
дя в эту игру дополнительные правила. Хопкинс сам предложил,
чтобы игроки начинали, располагая пешки не на втором, а на треть-
ем ряду от королей. СиДни Сэксон, который сообщил мне о замет-
ке 1916 года, предлагает считать победителем того игрока, который
первым ставит шах определенное число раз, от 5 до 10,' в зависимо-
сти от того, как долго должна продолжаться игра. Насколько эф-
фективно это либо предыдущее предложение нивелирует преиму-
щество белых, мне неизвестно.
1 i . <
' ' ' . ' ‘ к ‘ '! 1 . 5
3. ОТГАДАЙТЕ СЛОВО '
• * 1 Ю , 1
Примерно в 1965 году Анатоль У. Холт, математик, который любит
придумывать новые игры, предложил нижеследующую игру в слова.
Два игрока придумывают каждый по «ключевому слову», с одинако-
вым числом букв. Новички начинают с.трехбуквенных слов, посте-
пенно, с развитием навыка, переходя к более длиным. Игроки по
очереди называют «пробные» слова той же самой длины. Против-
ник должен ответить, является ли число «попаданий» (верных букв
на верном месте) четным либо нечетным. Выигрывает тот, кто пер-
вым угадывает слово противника. Чтобы показать, как логический
анализ помогает найти слово, не прибегая к догадкам, Холт привел
следующий пример шести «пробных» слов, придуманных одним иг-
роком:
Чет . Нечет
DAY SAY
MAY DUE
BUY TEN
Если вы знаете ключевое слово и сравниваете его, буква за бук-
вой, с каждым словом в списке «чет», вы обнаружите, что в каждом
пробном слове на нужном месте окажется именно четное количест-
во нужных букв (ноль тут считается «четным»); слова же из нечетно-
го списка совпадают с ключевым словом по нечетному числу пози-
ций. Найдите «ключевое» слово.
Круглый стол и другие задачи
179
4. ТРИ ПИВНЫХ КОЛЬЦА
Эта задача появилась впервые в серии буклетов с головоломками
«Озадаченный досуг», ежегодно выпускаемых Litton Industries в ка-
лифорнийском Беверли-Хиллз.
Некий человек трижды ставит свою кружку пива на стойку та-
ким образом, что на ней остаются три круга, как на рис. 79. Он де-
лает это очень аккуратно, так, что каждая окружность проходит че-
рез центр двух других. Бармен считает, что площадь перекрывания
всех трех кругов (на рисунке заштрихована) меньше, чем четверть
одного круга, посетитель же возражает, что больше. Кто из них
прав? '
Решение задачи можно получить сложным путем, найдя пло-
щадь равнобедренного треугольника, вписанного в заштрихован-
ный сектор, а затем прибавить к ней площади трех сегментов круга
на каждой стороне этого треугольника. Читатель этой колонки, Тэд
Дунн из Уиллоудейла в Онтарио, прислал мне прекрасное чисто гра-
фическое решение, не требующее геометрических формул и обходя-
щееся минимумом арифметики, зато в нем используется повторяю-
щийся рисунок, похожий на узор обоев. Сможет ли читатель также
найти его?
Рис. 79.
Какая часть одного круга заштрихована ?
180
Лучшие математические игры и головоломки
5. КАЛЕНДАРЬ ИЗ ДВУХ КУБИКОВ
В Нью-Йорке я увидел на витрине магазина необычный настоль-
ный калейдарь (см. рис. 80). День на нем выставлялся просто путем
расположения двух кубиков с числами так, чтобы их передняя по-
верхность образовывала дату. На каждой стороне каждого куба было
только по одной цифре, от 0 до 9, и кубики можно было располо-
жить так, чтобы получить любое число месяца от 01, 02, 03... до 31.
Читателю не составит труда определить четыре цифры, которые
не видны на левом кубике, и три — на правом, хотя это и не так про-
сто, как кажется на первый взгляд.
Рис. 80.
Какие цифры расположены на скрытых от глаз сторонах куба ?
6. НЕПЕРЕСЕКАЮЩИЕСЯ ПУТИ КОНЯ
В «Журнале развлекательной математики» за июль 1968 г. Л.Д. Яр-
бро предложил новый вариант классической задачи о пути коня
по шахматной доске. Вдобавок к правилу, что конь, путешествуя
по шахматной доске, не должен заходить в одну и ту же клетку дваж-
ды (за исключением последнего хода, который в некоторых случаях
позволяет коню вернуться в исходный квадрат), коню также запре-
щено пересекать собственный путь. (Путем в данном случае счита-
ется серия прямых линий, соединяющих центры начальных и ко-
нечных полей каждого прыжка.) Возникает вопрос: каков же мак-
симально длинный путь коня по квадратным доскам различных
размеров?
Круглый стол и другие задачи
181
На рис. 81 приведены примеры самых длинных непересекаю-
щихся путей коня, найденных Ярбро для квадратных досок поряд-
ков от 3 до 8. Доска порядка 7 представляет особый интерес. Очень
нечасто замкнутый путь оказывается самым длинным; этот пред-
ставляет собой редкое исключение, к тому же он отличается чудес-
ной четырехсторонней симметрией.
Рис. 81.
Попробуйте найти более длинный путь коня по доске 6x6.
182 Лучшие математические игры и головоломки
Идея непересекающихся путей коня обратила на себя внимание
Дональда Кнута. Он написал «возвращающуюся» компьютерную
программу, которая, помимо прочего, находила максимально длин-
ный непересекающийся путь коня на квадратных досках до 8-го по-
рядка. Как обычно, повороты и зеркальные отражения не считают-
ся отдельными решениями. Компьютер нашел два таких пути для
доски порядка 3, пять для порядка 4, четыре для порядка 5, один для
порядка 6, 14 для порядка 7 и 4 для порядка 8 (стандартной шахмат-
ной доски).
Именно единственный путь на доске 6x6 наиболее удивителен
и составляет суть нашей задачи. Только на доске порядка 6 Ярбро не
смог найти наиболее длинный непересекающийся путь. Найденный
им путь состоял из 16 ходов, однако на этой доске существует и не-
пересекающийся путь в 17 ходов. Читателю предлагается померять-
ся силами с компьютером и попробовать найти 17-шаговый путь.
7. ДВЕ ЗАДАЧИ О ПРЕДМЕТАХ В МЕШКАХ
Преподаватели теории вероятности любят иллюстрировать теоремы
задачами об одинаковых предметах, которые поочередно вынимают
из урн, ваз, коробок, мешков и тому подобных непрозрачных емко-
стей. Даже самые простые из подобных задач могут сбить с толку.
Рассмотрим, например, пятую из «Полночных задач» (Pillow prob-
lems) Льюиса Кэрролла: «В мешке находится одна фишка, о которой
известно, что она либо черная, либо белая. В мешок кладут одну бе-
лую фишку, встряхивают его, и вынимают одну фишку, которая ока-
зывается белой. Какова теперь вероятность, что оставшаяся в мегй-
ке фишка тоже белая?»
«На первый взгляд, — начинает ответ Кэрролл, — может пока-
заться, что, поскольку теперь, после операции, состояние мешка со-
вершенно аналогично состоянию «до», вероятность осталась той же.
Это, однако же, неверно».
Кэрролл далее показывает, что теперь вероятность того, что в
мешке осталась именно белая фигура, на самом деле составляет 2/3.
Его доказательство несколько затянуто. Хоуард Эллис, наш чита-
тель из Чикаго, решил ее несколько иначе. Пусть Ч и Б( 1) означают
черную или белую фишку, которая могла быть в мешке исходно, а
Б(2) — белую фишку, добавленную впоследствии. После того как
вынули белую фишку, возможны три равновероятных состояния:
Круглый стол и другие задачи
183
В мешке Снаружи
Б(1) Б(2)
Б(2) Б(1)
Ч Б(2)
В двух из этих вариантов в мешке остается белая фигура, поэто-
му шанс вынуть из мешка именно белую фигуру теперь равен 2/3.
Недавно придуманная задача подобного же рода, с еще более не-
ожиданным ответом, начинается с того, что в мешке содержится не-
известное количество черных и неизвестное количество белых
предметов. (При этом есть по крайней мере один предмет каждого
из двух цветов.) Предметы вынимают из мешка согласно нижесле-
дующей процедуре. Вначале случайно вынимается любая фигура и
выбрасывается. Так же произвольно вынимается второй предмет
Если он того же цвета, что и предыдущий, его тоже выбрасывают.
Вынимается третий предмет. Если он совпадает по цвету с двумя
предыдущими, его тоже выбрасывают. Так продолжается до тех пор,
пока появляющиеся из мешка предметы совпадают по цвету с пер-
вым.
Как только вынутый из мешка предмет окажется другого цвета,
чем предыдущий, его возвращают в мешок, мешок перетряхивают, и
все начинается сначала.
Чтобы не возникало совсем уж никаких разночтений, вот при-
мер того, как все это может происходить:
1. Первый предмет черный. Выбросить.
2.. Следующий предмет черный. Выбросить.
3. Следующий предмет белый. Вернуть в мешок и начать снова.
4. Первый предмет черный.
5. Следующий предмет белый. Вернуть в мешок и начать снова.
6. Первый предмет белый. Выбросить.
7. Следующий предмет белый. Выбросить.
8. Следующий предмет черный. Вернуть в мешок и начать снова.
9. Первый предмет черный. Выбросить.
10. Следующий предмет белый. Вернуть в мешок и начать снова.
Оказывается, как это ни удивительно, что вне зависимости от
соотношения черных и белых предметов вначале есть вполне по-
стоянная вероятность того, что последний предмет в мешке ока-
жется черным. Какова эта вероятность?
184
Лучшие математические игры и головоломки
8. ДЕСЯТЬ МАЛЕНЬКИХ ЗАДАЧ
1. У вас есть песочные часы, рассчитанные на 11 и на 7 минут. Как с
их помощью быстрее всего отмерить 15 минут, необходимые для то-
го, чтобы сварить яйцо? (Из Карла Фулвза.)
2. Некий человек проехал пять тысяч миль с одной сменной ши-
ной. Время от времени он менял шины, так что к концу путешест-
вия оказалось, что каждая шина была задействована одинаковое
число миль. Сколько миль проехала каждая шина?
3. Стандартную колоду из 52 карт тасуют и снимают колоду (т.е.
меняют местами две произвольно выделенные ее части). Отмечают
цвет верхней карты. Эту карту кладут наверх, снова снимают коло-
ду. Снова отмечают цвет верхней карты. Какова вероятность того,
что обе карты окажутся одного цвета?
4. Найдите систему счисления, отличную от десятичной, в кото-
рой 121 будет точным квадратом.
5. Начертите шесть отрезков равной длины так, чтобы получи-
лось восемь равносторонних треугольников.
6. Исходя из того, что угол нельзя разделить на три части при по-
мощи циркуля и линейки, докажите, что ни одно из чисел в ряду 1,
2, 4, 8, 16, 32,... не делится натри. (Из Роберта А. Уикса.)
7. У одного фермера 20 свиней, 40 коров, 60 лошадей. Сколь-
ко всего будет у него лошадей, если назвать коров лошадьми?
(Из Т.Х. О’Бирна.)
8. Переведите: «Не spoke from 2222222222222 people».
9. Некий древний грек родился в седьмой день 40 г. до н. э. и умер
в седьмой день 40 г. н. э. Сколько лет он прожил?
10. Женщины либо всегда отвечают правдиво, либо всегда лгут,
либо'чередуют правдивые и лживые ответы. Как, задав два вопроса,
на которые можно ответить либо «да», либо «нет», определить, гово-
рит ли эта женщина всегда правду, всегда лжет или чередует правду
и ложь?
ОТВЕТЫ
1. Если за круглым столом на равном расстоянии друг от друга сидит
четное число человек, а карточки на столе отмечают их места, то,
как бы они ни сели, всегда возможно повернуть стол таким образом,
чтобы как минимум двое из них оказались на своих местах. Возмож-
ны два типа исходных ситуаций:
Круглый стол и другие задачи
185
а. Никто не сидит на своем месте. Простое доказательство в этом
случае основано на том, что математики называют «гнездовым
принципом». Если п предметов поместить в гнезда числом п — 1, то
по крайней мере в одном гнезде окажется два предмета. Если за сто-
лом 24 человека и никто из них не сидит верно, совершенно очевид-
но, что, вращая стол, можно сделать так, чтобы каждый из них по-
очередно оказался перед своей карточкой. Всего человек 24, но ос-
тавшихся положений стола только 23. Поэтому по крайней мере два
человека в одном из новых положений стола окажутся одновремен-
но напротив своих карточек. Это доказательство можно применить
вне зависимости от того, четное ли число мест или нечетное.
б. Один из присутствующих сидит правильно. Наша задача — до-
казать, что стол можно повернуть так, что по крайней мере два че-
ловека окажутся на своих местах. Доказательства этого можно было
бы привести в сжатом виде, но они узко специальны и требуют осо-
бой системы записи. Вот доказательство чуть более длинное, но бо-
лее простое для понимания. Основано оно более чем на дюжине до-
казательств, присланных нашими читателями.
Нашей стратегией будет reductio ad absurdum. Сначала мы допу-
стим, что невозможно повернуть стол таким образом, чтобы два че-
ловека оказались на своих местах, а затем покажем, что это допуще-
ние ведет к противоречию.
Если наше допущение верно, то ни при каком положении стола
не окажется, что все присутствующие сидят неправильно, ведь тог-
да ситуация будет аналогична вышеупомянутой, которую мы разре-
шили благодаря «гнездовому принципу». За столом 24 места, при-
сутствует 24 человека, поэтому при каждом положении стола ровно
один человек будет сидеть верно.
Допустим, что на своем месте только Андерсон. У каждого участ-
ника есть свое определенное «число смещения» — на сколько мест он
отстоит по часовой стрелке от своего законного места. Смещение Ан-
дерсона равно нулю. Один человек будет смещен на одно место, дру-
гой — на два места, третий — на три места и так далее, вплоть до того,
кто смещен на 23 места. Отчетливо ясно, что ни у какой пары участ-
ников не может быть одинакового числа смещения. Если бы было
так, то было бы возможно повернуть стол так, чтобы оба оказались на
своих местах, а это исключается нашим исходным допущением.
Рассмотрим случай Смита, который сидит не на своем месте. Мы
считаем кресла против часовой стрелки вокруг стола до тех пор, по-
ка не оказываемся у карточки Смита. Полученное число равно, ра-
186
Лучшие математические игры И головоломки
зумеется, числу смещения Смита. Теперь обратим внимание на
Джонса, который сидит там, где должен бы сидеть Смит. Продолжа-
ем считать, двигаясь против часовой стрелки, пока не дойдем до
карточки Джонса. Опять же, полученное число равно смещению
Джонса. У карточки Джонса сидит Робинсон. Мы отсчитываем си-
денья против часовой стрелки до карточки Робинсона и так далее.
Рано или поздно мы вернемся обратно к Смиту. Если бы Смит и
Джонс сидели бы в креслах друг друга, мы вернулись бы к Смиту
всего лишь за один такой ход вокруг стола. Если бы на сиденьях друг
друга сидели Смит, Джонс и Робинсон, мы вернулись бы к Смиту
после цикла из трех подсчетов. В этот цикл может входить любое
число людей от 2 до 23 (кроме Андерсона, который сидит верно), но
рано или поздно счет вернется к тому месту, с которого начался,
обойдя стол целое число раз. Таким образом, сумма всех чисел сме-
щения в цикле должна нацело делиться на 24.
Если цикл, начавшийся со Смита, не включает всех 23 неверно
сидящих участников, выберите другого, сидящего неверно, и повто-
рите процедуру. Как и ранее, подсчет должен закончиться там, где
начался, целое число раз пройдя вокруг стола. Следовательно, сумма
смещений в этом цикле также должна делиться на 24. После одного
или нескольких таких циклов мы будем знать число смещения каж-
дого участника. Поскольку сумма каждого из циклов нацело делится
на 24, сумма всех циклов тоже должна делиться на 24. Иными слова-
ми, мы показали, что сумма всех смещений должна делиться на 24.
А теперь противоречие. Смещения представляют собой ряд 1, 2,
3, ..., 23. Сумма этой последовательности равна числу 276, которое
НЕ делится на 24. Противоречие заставляет нас отказаться от исход-
ного предположения и заключить, что по крайней мере у двух чело-
век числа смещения одинаковы.
Доказательство можно обобщить для любого стола с четным чис-
лом стульев. СуммаО+1 + 2 + 3 + ...+nравна
п(п +1)
2 ’
что делится нацело на п только в том случае, если п — нечетное. По-
этому доказательство не работает для столов с нечетным числом
кресел.
Джордж Рибики решил обобщенную задачу следующим образом.
Начнем с того, что допустим обратное тому, что хотим доказать.
Круглый стол и другие задачи 187
Пусть п — четное число человек, пусть их имена заменены целыми
числами от 0 до п — 1 «таким образом, что карточки пронумерованы
последовательно по окружности стола. Если делегат d исходно си-
дит на порядковом месте р, то стол нужно повернуть на г шагов,
прежде чем он окажется на своем месте, где г = р — d, если только
это число не отрицательно, тогда г = р - d + п. Множество всех зна-
чений d (и р) для всех делегатов очевидно равно последовательнос-
ти целых чисел от 0 до п — 1, где каждое число фигурирует только
один раз, но таково же и множество значений г, иначе можно было
бы сделать так, чтобы два делегата сидели рядом одновременно.
Суммируя приведенные выше равенства, по одному для каждого де-
легата, получаем S — S + nk, где к - целое число и S = п(п - 1)/2,
сумма целых чисел от 0 до п - 1. Отсюда следует, что n = 2к + 1, то
есть нечетное число». Это противоречит исходному допущению.
«На деле впервые я решил эту задачу уже несколько лет назад, -
пишет Рибики, - это была другая, но полностью аналогичная пробле-
ма, обобщение задачи «восьми неатакующих ферзей» для цилиндри-
ческой доски, где диагональная атака разрешена только в одном на-
правлении. Я доказал, что эта задача неразрешима для любой доски
четного порядка. Выше — перевод моего доказательства в термины за-
дачи о столе. Совершенно случайно доказательство оказывается не-
сколько проще, если можно применять конгруэнтность по модулю п».
Дональд Кнут также упоминал об эквивалентности задач о круг-
лрм столе и о ферзях и цитировал раннее решение авторства Жоржа
Пойа. Несколько читателей отметили, что, когда число человек не-
четное, очень просто сделать так, чтобы на своем месте оказалось не
более одного человека, как бы впоследствии не вращался стол; для
этого их надо посадить против часовой стрелки по отношению к по-
рядку их именных карточек.
2. Как белым, ходя только конями, выиграть в «шахматы одного
шаха» всего за пять ходов или раньше?
Открывать игру должен ход конь КсЗ. Поскольку этот ход угро-
жает шахом в два хода несколькими путями, черные вынуждены вы-
двинуть пешку, которая позволит королю уйти. Если выдвигается
пешка при ферзе, то ход белого коня на Ь5 вынудит черного короля
перейти на d7, затем ход конем на f3 приведет к шаху на четвертом
ходе белых. Если черные пойдут пешкой на f6, ход коня на Ь5 ведет
,к шаху на третьем ходу. Поэтому черные должны выдвинуть пешку
при короле. Если черные выдвинуть ее на два поля, ход коня на d5
188
Лучшие математические игры и головоломки
не даст королю уйти и белые выигрывают на третьем ходу. Поэтому
единственный хороший ход черных — пешка е7—еб.
Второй ход белых — конь на е4. Черные вынуждены передвинуть
короля на е7. Третий ход белых, конь 13, черные могут встретить по-
разному, но ни один ответ не предотвращает шага на пятом ходу бе-
лых или даже раньше. Если черные попробуют пойти пешками на
d6, Гб, ферзем на el, пешкой d5, с5 на конем на f6? ход белых Kh4 оз-
начает их выигрыш на следующем же ходу.
В 1969 г. Уильям Миллс обнаружил, что белые могут поставить
шах в пять ходов также сделав вначале ход КаЗ. Черные должные
выдвинуть пешку при короле на одну или две клетки. Ход коня на Ь5
вынуждает черного короля перейти на е7. За третьим ходом, пешка
е2-е4, следует четвертый ход белых, Ф13 или ФЬ5, в зависимости от
третьего хода черных, и шах на пятом ходу белых.
Два других начальных хода, ведущих к шаху в пять ходов, найде-
ны Миллсом и Георгом Сулзом. Это е2—еЗ и е2—е4. Почти при лю-
бом ответе черных ход Og4 ведет к шаху в три хода. Если второй ход
белых Kh6 или h7—h5, Ф13 ведет к шаху в четыре хода. Если второй
ход черных - е7—еб, белые ходят ФИ5. Черные должны ответить
g7-g6. Тогда дело решает ход Фе5 (на ход черных Фе7 белые берут
Фс7; слон е7 получает ответ белых Фg7; конь е7 — Феб). Если второй
ход черных - Kf6, ход белых КаЗ вынуждает черных выставить пеш-
ку при короле на одно или два поля вперед, тогда ход КЬ5 вынужда-
ет черных выдвинуть короля, и Ф13 ведет к шаху на следующем ходу.
Дэвид Силверман предложил еще один способ сделать шахматы
одного шаха более равной игрой. Выигрывает тот, кто первым ста-
вит шах фигурой, которую нельзя взять. Насколько я знаю, в этом
варианте неизвестно, какой из игроков имеет больше шансов выиг-
рать, если оба играют на пределе возможностей.
3. Чтобы определить ключевое слово, обозначим шесть пробных
слов следующим образом:
4етные. Нечетные •
41 DAY Hl SAY
42 MAY Н2 DUE
43 BUY НЗ TEN
41 и 42 показывают, что первая буква задуманного слова не D и
не М, иначе четность этих слов не могла бы быть одинаковой. 41 и
Круглый стол и другие задачи
189
Н1 показывают, что первая буква искомого слова — либо D, либо S,
иначе четность этих слов не могла бы быть разной. Первая буква не
может быть D, поэтому, это S.
Если S — первая буква, 42 и 43 неверны в первых буквах. Оба
слова оканчиваются на Y, поэтому вторая буква — не А и не U, ина-
че эти слова не были бы одинаковой четности. Зная, что U — не вто-
рая буква, и D — не первая, мы делаем вывод из Н2, что третья бук-
ва — Е. Зная, что искомое слово начинается на S и кончается на Е,
из НЗ видим, что вторая буква — Е. Ключевое слово — SEE.
4. Три пересекающихся круга, из которых каждый проходит через
центры двух других, можно воспроизвести на плоскости так, что обра-
зуется узор, показанный на рис. 82. Каждый круг при этом состоит из
шести дельтовидных фигур (Д) и 12 «бананов» (Б). Поэтому одна чет-
верть круга должна состоять из полутора дельт и трех бананов. Пло-
щадь же пересечения трех кругов (на рисунке затемнена) состоит из
трех бананов и одной дельты и поэтому меньше одной четверти круга
на половину дельты. Вычисления показывают, что область взаимного
перекрывания составляет чуть более 0,22 площади крута.
5. На каждом кубе обязаны быть 0, 1 и 2. Таким образом, для ос-
тавшихся семи цифр имеется лишь шесть поверхностей, но, к счас-
тью, в качестве 6 и 9 можно использовать одну и ту же сторону куба,
В зависимости от его расположения. На рисунке на правом кубе
видны 3, 4, 5, поэтому на его обратной стороне должны быть 0, 1 и
2. На левом кубе видны 1 и 2, поэтому остальные цифры на нем — 0,
9 (она же 6), 7 и 8.
Джон С. Синглтон из Англии написал нам, сообщив, что запа-
тентовал календарь из двух кубиков в 1957 г. (патент № 831572), од-
нако в 1965 г. он перешел в другие руки. Разновидность этой задачи
см. в моей рубрике в «Сайентифик Америкен» за декабрь 1977 г.
6. На рис. 83 показан уникальный длиннейший непересекаю-
щийся путь коня на доске 6x6.0 подобных путях на квадратных до-
сках более высоких порядков и на прямоугольных досках, см. «Жур-
нал развлекательной математики», к 2, июль 1969 г., с. 154-157.
7. Утверждалось, что если фигуры вынимаются по определенной
процедуре из мешка, в котором неизвестное число как черных, так
и белых фигур, существует постоянная вероятность того, что по-
190
Лучшие математические игры и головоломки
Рис. 82.
Решение к задаче о пересекающихся кругах.
следняя фигура будет черная. Если это верно, это должно быть вер-
но применительно к обоим цветам. Поэтому вероятность равна 1/2.
Хотя это и отвечает на поставленный в задаче вопрос, нужно еще
доказать, что эта вероятность действительно постоянна. Это можно
сделать путем индукции, начиная с двух фигур и затем переходя к
трем, четырем и так далее, или же это можно сделать непосредст-
венно. К сожалению, оба доказательства слишком длинны, чтобы
приводить их здесь, так что я удовлетворюсь тем, что отошлю чита-
теля к «Процессу взятия образцов» Б.Э. Оукли и Р.Л. Перри в жур-
нале The Mathematical Gazette за февраль 1965 г., с. 42—44, где при-
водится прямое доказательство.
Некоторые могут поспешно заключить, что это решение можно
обобщить: то есть если в мешке содержится смесь из фигур п цветов,
Круглый стПол и другие задачи
191
" Рис. 83.
\ Самый длинный путь коня на доске размером 6x6.
вероятность того, что последняя фигура в мешке окажется опреде-
ленного цвета, составляет 1/п. К сожалению, это не так. Как Перри
указал в письме, если в мешке, скажем, 2 красных, 1 белая и 1 синяя
фишки, то вероятности того, что последняя фишка окажется крас-
ной, белой или синей равны, соответственно, 26/72, 23/72 и 23/72.
8. Ответы на десять быстрых задач: ,
(1) Переверните часы на 11 и на 7 минут, опустив яйцо в кипя-
щую воду. Когда в семиминутных часах песок перестанет сыпаться,
переверните их снова. Когда перестанет сыпаться песок в 11-минут-
ных часах, снова переверните семиминутные. Когда они опять опу-
стеют, пройдет 15 минут.
Приведенное выше решение — самое быстрое, но в нем требует-
ся дважды переворачивать часы. Когда эта задача появилась впер-
вые, Я, не Подумав, просил выбрать самое простое решение, имея в
Диду самое короткое. Несколько десятков читателей обратили мое
внимание на следующее решение, которое требует больше времени
(22 Минуты), однако проще в том смысле, что требует только одно-
го переворота. Запустите часы одновременно. Когда кончится песок
в семиминутных, опустите яйцо в кипящую воду. Когда 11-минут-
ные часы опустею!, переверните их снова. Когда песок в них снова
иссякнет, пройде! 15 минут. '
192
Лучшие математические игры и головоломки
Если вам понравилась эта задача, вот вам чуть более сложная, из
«Превосходных математических задач» Говарда Дайнсмана (Лон-
дон, «Аллен и Анвин», 1968): как быстрее всего отмерить 9 минут
песочными часами на 4 минуты и на 7 минут?
(2) Каждая шина используется 4/5 всего времени. Поэтому каж-
дая из них проехала 4/5 общего пути в 5000 миль, то есть 4000 миль.
(3) Какого бы цвета ни была первая карта, она не может оказать-
ся сверху колоды во второй раз. Во второй перетасовке карта выби-
рается случайно из 51 карты, из которых 25 того же цвета, что и пер-
вая карта, и поэтому вероятность совпадения двух карт по цвету рав-
на 25/51, то есть чуть меньше половины.
(4) 121 — квадрат в любой системе счисления с основанием боль-
ше 2. Это легко доказать, отметив, что 11 X 11 в любой системе в
этой же системе равно 121. Крейг Шенстед показал, что при подхо-
дящих определениях слова «квадрат», число 121 является квадратом
даже в системах, основанных на отрицательных числах, дробях, ир-
рациональных числах и комплексных числах. «Хотя системы счис-
ления неистощимы, я уже истощен, как, думается, и вы, поэтому я
остановлюсь», — пишет он в заключение.
(5) На рис. 84 слева показано, как я ответил на этот вопрос.
Справа другое решение, независимо найденное читателями Гарри
Кеммерером и Гэри Ривешлем.
(6) Каждый угол можно разделить надвое циркулем и линейкой.
Повторяя деления, мы можем разделить угол на 2,4, 8, 16, 32,... рав-
ные части. Если бы хоть какое-нибудь число в этом ряду делилось
на три, тогда повторяющееся деление угла пополам, очевидно, поз-
волило бы и трисекцию угла циркулем и линейкой, а так как невоз-
можность этого доказана, ни одно число в этом ряду не делится на-
цело на три.
(7) У фермера 60 лошадей. Коров можно сколько угодно назы-
вать лошадьми, но лошадьми они от этого не станут.
Джон Аппель и Даниэль Розенблюм первыми сообщили мне, что
это одна из версий шутки, приписываемой Линкольну. Он однажды
спросил человека, который утверждал, что рабство — это не рабство,
а вид покровительства, сколько ног будет у собаки, если хвост на-
звать ногой. Правильный ответ, заметил Линкольн, — четыре, пото-
му что хвост, названный ногой, остается хвостом.
(8) Я представил это в виде «Не spoke from 22 to 2 to 2:22 to 2222
people». Читатели присылали и другие трактовки. Дэвид Айзендрат-
младший написал, что если говоривший был полковником, он бы
Круглый стол и другие задачи
193
Восемь треугольников из шести отрезков.
употреблял военное время и поэтому расшифровка была бы «Не
spoke from 22 to 22 to 22:22 to 22 people».
(9) Грек прожил 79 лет. Нулевого года не было.
(10) Спросите эту женщину: «Чередуете ли вы правду и ложь?»
дважды. Два отрицательных ответа покажут, что она правдолюбка,
два положительных — что она лгунья, а ответы «да» и «нет» или «нет»
и «да» покажут, что она чередует правду и ложь.
После того как было опубликовано это решение, несколько чи-
тателей прислали другой ответ. Я цитирую письмо Джозефа Кроуте-
ра-младшего:
«Склонности этой леди можно узнать, задав ей вопрос о ка-
кой-нибудь очевидной истине, например «Два ли у вас уха?» или
«Мокра ли вода?» Правдивая ответит оба раза «да», лгунья —
«нет», а чередующая правду и ложь не только даст по одному по-
ложительному и отрицательному ответу, но и выдаст тем самым,
на какой по счету вопрос она врет, а на какой — говорит правду,
что пригодится в дальнейшей беседе».
Ральф Сейферт-младший прислал решение из одного вопроса,
которое, по его словам, придумал его друг М. Зорн. «Если бы кто-
нибудь спросил бы вас два раза об одном и том же, солгали ли бы вы,
сказав «нет» только один раз?» Правдивая сказала бы «нет», лживая
«да», а та, что чередует ложь и правду, так запуталась бы, что не зна-
ла бы, что сказать.
7-9751
ГЛАВА 16
Странности
Солнечной системы
По древнему пути, плечом к плечу,
Шла армия предвечного закона.
Джордж Мередит, «Люцифер в звездном свете>>
В астрономии, как и в каждой науке, есть свои причудливые боковые
тропки, на которых можно наткнуться на математические проблемы,
многие стороны которых вполне могут служить развлечением. В этой
главе мы окинем беглым взглядом Солнечную систему - ведь в по-
следнее время о ней делается столько неожиданных открытий — и
рассмотрим некоторые забавные математические вопросы, возник-
шие в ходе истории размышлений человечества о том, как же именно
устроено солнечное семейство движущихся небесных тел. , ( ,
Для начала — немного исторических фактов. Весьма распростра-
нено заблуждение, что все древние считали Землю плоской и нахо-
дящейся в центре мироздания. Греки-пифагорейцы, к примеру, учи-
ли, что Земля круглая и вращается. Центром системы у них счита-
лось не Солнце, но сияющий центральный огонь, чей свет Солнце
отражает подобно тому, как наша Луна (по нашим современным по-
нятиям) заимствует свой «бледный огонь» (выражаясь словами
Шекспира) у Солнца. Земля, Солнце, Луна и пять других известных
планет описывали круги вокруг центрального огня. Поскольку Зем-
ля в течение всего своего 24-часового движения по кругу повернута
к срединному огню своей ненаселенной стороной, огонь этот ни-
когда не виден. Аристотель предполагал, что именно из-за общей
одержимости пифагорейцев культовым для них числом 10 («тре-
угольным» числом, суммой 1, 2, 3, 4) в их версии Солнечной систе-
мы появилась десятая планета под названием «антихтон» (противо-
земля), Она также была невидима, потому что ее орбита располага-
лась между Землей и срединным огнем. Аристарх Самосский, грече-
Странности Солнечной системы
195
ский астроном, живший в III в. до н. э., выдвигал гипотезу о гелио-
центрическом устройстве системы, в которой все планеты враща-
лись вокруг Солнца, но его трактат об этом был утерян и известен
нам сегодня только по комментариям Архимеда.
Однако общепринятой в греческой астрономии, равно как и в
средневековой науке, была всё же геоцентрическая модель Аристо-
теля: неподвижная, сферической формы Земля в центре Вселенной,
вокруг которой вращаются все остальные небесные тела, включая
звезды. Аристотелю принадлежит один из самых ранних и убеди-
тельных аргументов в пользу шарообразности Земли. Во время лун-
ного затмения край тени от Земли на Луне закруглён, что проще
всего объясняется тем, что Земля шарообразна. Модель Птолемея,
датируемая II в. н.э., была уточнением аристотелевской и призвана
была объяснить непрямые движения видимых планет по небу Это
удалось сделать, заставив планеты, помимо больших орбит, по кото-
рым они вращаются вокруг Земли, двигаться еще и по малым кругам,
так называемым эпициклам. Эта модель вполне адекватно объясня-
ла видимые перемещения небесных тел, в том числе «Неправильные»
Движения планет и лун, вызываемые эллиптическим характером ор-
бит —'если подобрать нужное число эпициклов и позволить плане-
там двигаться по ним с разной скоростью.
Всем нам теперь известно, как после продолжительных жарких
споров, увенчавшихся отречением Галилея, победила гелиоцентри-
ческая модель польского астронома XVI в. Николая Коперника.
Иногда говорят, что победила она лишь потому, что была проще и
красивее. Томас С. Кун пошел еще дальше и отрицает даже то, что
модель Коперника была более простой и более точной. «Истинная
притягательность астрономии с центром в Солнце, - пишет он в
«Революции Коперника», — лежала скорее в плоскости эстетики,
Нежели практического удобства. Для астрономов выбор между сис-
темами Коперника и Птолемея был всего лишь делом вкуса...»
Но Кун не прав. Многие астрономические наблюдения, на кото-
рые указывал еще сам Коперник, гораздо проще объясняются его
теорией, чем теорией Птолемея, и поэтому ее превосходство никак
Не сводится только к «хорошему вкусу». Впоследствии, конечно,
она объяснила огромное множество астрономических явлений, та-
ких, например, как выпуклость земного экватора, с которыми тео-
рии Птолемея было бы не справиться (см. «Кун и революция Копер-
ника» Ричарда Холла в «Британском журнале философии науки»,
май 1970 г., с. 196-197).
7
196
Лучшие математические игры и головоломки
Последний виток в этой истории колебаний — общая теория отно-
сительности Эйнштейна. Если эта теория верна, то вообще не сущест-
вует абсолютных движений относительно неподвижного пространст-
ва, и поэтому нет никакой «предпочтительной точки отсчета». Можно
допустить, что Земля неподвижна — даже не вращается вокруг своей
оси — и со всем справятся тензорные уравнения относительности.
Земля шире в поясе не из-за сил инерции, а оттого, что вращающий-
ся космос порождает гравитационное поле, вызывающее выпуклость.
Поскольку любое движение относительно, выбор между гелиоцентри-
ческой и геоцентрической моделью — вопрос удобства. Мы говорим,
что Земля вращается вокруг своей оси потому, что намного проще
принять космос за неподвижную точку отсчета, нежели говорить, что
он вращается и перемещается необъяснимым образом. Таким образом
гелиоцентрическая система не то что бы более «верна». Разумеется,
само Солнце тоже движется и ни в коем случае не является центром
Вселенной, если только у Вселенной вообще есть хоть какой-то центр.
Единственное «истинное» движение для нас — это относительное дви-
жение Земли и космоса друг относительно друга.
Произвольность выбора точки отсчета вызывает к жизни забав-
ный аргумент, все еще всплывающий порой в салонных беседах, Лу-
на вращается вокруг Земли точно так же, как Земля в пифагорей-
ской модели вращалась вокруг срединного огня — так, что всегда об-
ращена к Земле одной стороной. Это всегда привлекало внимание
поэтов как маститых, так и малых, а также астрономов. Роберт Бра-
унинг в «Еще одном слове» сравнивает две стороны Луны с двумя
«сторонами души» каждого мужчины: одна, чтобы встретить мир
лицом к лицу, и другая — для женщины, в которую влюблен. Эдмунд
Госсе утверждал, что его домоправительница создала нижеследую-
щее бессмертное четверостишие:
Соблазнителен лик у красотки Луны,
Что загадочно смотрит на нас с вышины;
Но гораздо сильней, мы признаться должны,
Интригует всех нас ее вид со спины!
Привычка Луны прятать от людских глаз свою заднюю часть по-
рождает следующий банальный вопрос. Вращается ли Луна вокруг
своей оси, обращаясь вокруг Солнца? Астроном скажет — да, один
оборот на каждое обращение вокруг Земли. Трудно поверить, но
многих неглупых людей до того задевало это утверждение, что они
Странности Солнечной системы
197
публиковали (как правило, за свой счет) многословные памфлеты,
отстаивающие точку зрения, что луна не вращается вовсе. (Некото-
рые из этих трактатов обсуждаются в Budget of Paradoxes Огастеса
Де Моргана.) Даже великий Иоганн Кеплер предпочитал думать,
что Луна не вращается вокруг своей оси. Он сравнивал ее с мячом, к
которому прикрепили бечевку и вращают над головой. Солнце вра-
щается вокруг своей оси, рассуждал он, чтобы привести в движение
планеты; вращается и Земля, чтобы привести в движение свой спут-
ник. Поскольку у Луны нет спутника, вращаться ей незачем.
Проблема с вращением Луны вокруг собственной оси в основе
Своей подобна парадоксу с монетками, описанному в главе 2 моего
'«Математического карнавала». Если вы катите одну копейку вокруг
другой, закрепленной неподвижно, все время следя за тем, чтобы
оба обода соприкасались и не проскальзывали, катящаяся копейка
оборачивается вокруг своей оси дважды за один полный круг.
‘ Или всё-таки нет? Джозеф Висновски, один из издателей журна-
ла «Сайентифик Америкен», привлек мое внимание к яростным
спорам над этим вопросом, бушевавшим в отделе писем этого жур-
нала почти три года. В 1866 году некий читатель спросил: «Как мно-
го оборотов вокруг своей оси совершит колесо, катясь по ободу
колеса того же размера?» «Один», — отвечали издатели. И тут хлы-
нул Поток писем от несогласных читателей. В томе 18 (1868-г.), на
о. 105—106, журнал «Сайентифик Америкен» напечатал подборку из
полупудового мешка писем, поддерживающих точку зрения, что
Оборотов два. Следующие три месяца журнал регулярно печатал
письма как «оДнистов», так и «двойнистов», включая гравюры
сложных механических приборов, изготовленных и высланных ими
для доказательства своей правоты.
«Если вы возьмете кота за хвост и раскрутите его над головой, —
писал «однист» X. Блаффер (21 марта 1868 г.), нападая на идею враще-
ния Луны вокруг своей оси, — будет ли его голова, глаза, позвонки
вращаться вокруг своих осей? Издохнет ли он на девятом повороте?»
Объем писем достиг таких размеров, что в апреле 1868 года изда-
тели объявили, что закрывают тему, но продолжат ее в новом журна-
ле «Колесо», посвященном «великой проблеме». По крайней мере
Один выпуск этого периодического издания вышел в свет, потому что
в выпуске «Сайентифик Америкен» за 23 мая того же года читателям
сообщали, что они могут приобрести «Колесо» в киосках или по поч-
те за 25 центов. Возможно, масла в огонь подливали' сами издатели.
Вполне очевидно, что это не более чем спор о том, что понимать под
198
Лучшие математические игры и головоломки
фразой «вращается вокруг своей оси». Для наблюдателя, находящего-
ся на неподвижном колесе, движущееся оборачивается вокруг оси
один раз за цикл. Для наблюдающего всё это со стороны оно обора-
чивается вокруг оси дважды. Луна не вращается относительно Земли:
она вращается относительно звезд. Сможет ли читатель понять, не
изготовляя модели, сколько раз внешняя монета (или колесо) обер-
нется вокруг оси за один оборот вокруг неподвижной внутренней, ес-
ли ее диаметр равен половине диаметра неподвижной монеты?
Тот же самый смешной вопрос о вращении Луны можно было за-
давать с 1890 по 1965 год и о Меркурии. Итальянский астроном
Джованни Скиапарелли (тот самый, с которого начался шум на пу-
стом месте вокруг марсианских «каналов», увиденных Скиапарелли
на поверхности планеты) объявил в конце 80-х годов XIX века, что
его наблюдения доказали, будто Меркурий всегда повернут одной и
той же стороной к Солнцу. Другими словами, он оборачивается во-
круг своей оси один раз за каждый оборот вокруг Солнца, занимаю-
щий 88 дней. В течение следующих 75 лет сотни наблюдений масти-
тых астрономов подтверждали этот факт. Поскольку у Меркурия нет
атмосферы, которая как-то распределяла бы тепло, считалось, что
его освещенная сторона постоянно нагрета до 700—800 градусов по
Фаренгейту (около 400 °C), а его теневая часть близка к абсолютно-
му нулю. «Меркурий отличает то, — писал Фред Хойл еще в 1962 го-
ду, ~ что на нем находится не только самое жаркое, но и самое хо-
лодное место в Солнечной системе».
Между жаркой и холодной стороной, разумеется, должен был
располагаться пояс вечной зари, предположительно, с условиями,
пригодными для возникновения жизни. Эта идея долго волновала
умы фантастов. «Сумерки. Вечные сумерки, — говорит побывавший
на Меркурии герой рассказа 1951 года Артура Кокса «Сумеречная
планета». «Дни идут своей чередой — по крайней мере об этом вам
говорят часы и календари. Но время, субъективное время, застыло в
полете. Долина — океан теней- прилив сумерек наполз на берега
гор». В рассказе Роберта Силверберга «Рассвет на Меркурии» (1957)
астронавты приземляются в «Сумеречном поясе» Меркурия, между
«холодным, льдистым царством дна Дантова ада» и «империей горя-
щей серы». Пояс — то место, где встречаются пламя и холод, «два по-
лушария, два вида ада». Когда рассказ вышел в 1969 году в антологии
«Первый шаг в открытый космос», издатель Роберт Хоскинс был вы-
нужден снабдить его комментарием, гласившим, что из области на-
учной фантастики он успел перейти в область чистого вымысла.
Странности Солнечной системы
199
Первый намек на jo, что тут что-то не так, обнаружился в 1964
году, когда австралийские астрономы, наблюдая в радиотелескопы
Меркурий, обнаружили, что его теневая сторона, где предполагался
космический холод, имеет температуру около 15 °C. Может быть, у
этой планеты, спрашивали они, все-таки есть атмосфера? В 1965 го-
ду Гордон Петтенгилл и Рольф Дайс с помощью отражения от про-
тивоположных краев планеты открыли действительную причину.
Скиапарелли заблуждался относительно вращения Меркурия не
меньше, чем относительно марсианских каналов. Меркурий довер-
шает один оборот вокруг своей оси за каждые 59 дней, ровно за две
трети периода обращения вокруг Солнца. Скорее всего, у этой ма-
ленькой планеты смещен центр тяжести, как у нашей Луны, либо
имеется экваториальная выпуклость, благодаря которой Солнце и
поймало его в «резонансный замок» с частотой 3/2. За каждые два
прохождения орбиты он поворачивается вокруг оси три раза. Одной
из причин того, что астрономы ошибались в течение 75 лет, была в
том, что они обычно смотрели на Меркурий в одно и то же излюб-
ленное время, которое бывает раз в году, наблюдая одни и те же тем-
ные отметины, они предполагали, что поскольку Меркурий пробе-
жал четыре орбиты, он повернулся вокруг оси также четыре раза,
хотя на деле поворотов было шесть. Хотя можно найти подобные
оправдания, пишет Ирвин Шапиро (см, «Радионаблюдения за.пла-
нетами» Ирвина Шапиро, в журнале «Сайентифик Америкен» за
июль 1968 г.), все же «печально осознавать это упорство в собствен-
ных заблуждениях». Как только Чарльз Форт, этот эксцентричный
бунтарь-иконоборец от науки, проглядел такой лакомый кусок!
Еще более ошеломляющим было сделанное в 1962 году открытие
особенностей вращения Венеры. Ранее считалось, что ее медленное
обращение вокруг своей оси настолько близко к орбитальному, длина
которого 225 земных дней, что многие астрономы (и Скиапарелли в их
числе) полагали, что ее орбитальный и ротационный период совпада-
ют, как у Меркурия и у нашей Луны. В 1962 году астрономы, взяв на
вооружение Голдстоновский радар Калифорнийской лаборатории ре-
активного движения, установили два невероятных факта. Венера мед-
ленно вращается в обратную сторону по сравнению со всеми осталь-
ными планетами. (Направление вращения Урана вокруг своей оси
можно трактовать двояко. Его ось находится настолько близко к па-
раллели к плоскости эклиптики, что любой его полюс можно назвать
северным.) Венера — единственная планета, на которой солнце восхо-
дит (очень медленно) на западе. Более того, ее период обращения во-
200
Лучшие математические игры и головоломки
круг собственной оси — 243,16 суток, чуть больше, чем ее.собственный
год — ровно такой, что во всех случаях, когда Венера подходит наибо-
лее близко к Земле, она повернута к нам одной и той же стороной!
В «Доне Жуане» лорд Байрон говорит о «розовом небе, с единствен-
ной звездой (имеется в виду Венера), сверкающей сквозь него, словно
око». Почему Венера не сводит глаз с Земли, до сих пор остается загад-
кой. Возможно, что она, как и Меркурий, асимметрична по массе или
обладает достаточно большой приливной выпуклостью и поэтому во-
шла с Землей в такой неожиданный резонанс.
История о несуществующей венерианской луне — очередной де-
тективный эпизод в истории астрономии. В 1645 году итальянский
астроном Франческо Фонтана заявил, что видел у Венеры спут-
ник. Его наблюдения подтвердил в 1672 году Жан Доминик Касси-
ни, открывший к тому моменту два спутника Сатурна, а впослед-
ствии обнаруживший еще два. Спутник Венеры видели также мно-
жество ведущих астрономов XVHI столетия. Знаменитый немец-
кий математик, физик и астроном Иоганн Генрих Ламберт опубли-
ковал в 1773 году трактат о луне Венеры, в котором даже высчитал
ее орбиту. Фридрих Великий хотел почтить Жана д’Аламбера, на-
звав этот спутник в его честь, но великий французский математик
вежливо отказался. Разумеется, никакого такого спутника никогда
не было, иначе он был бы виден в виде черной точки при прохожде-
нии Венеры по солнечному диску. Астрономы видели либо располо-
женные «неподалеку» звезды, либо оптические артефакты, произ-
водимые рефракцией линз, либо, как в случае тех астрономов, что
«наблюдали» марсианские каналы, упорные надежда и вера сыгра-
ли злую шутку над зрением. Подобными же причинами, скорее
всего, объясняются многочисленные «наблюдения» Вулкана — пла-
неты, предположительно расположенной ближе к Солнцу, чем
Меркурий, - в XVIII и XIX вв.
Как возникла и развивалась Солнечная система? Никто точно не
знает. Самая популярная в настоящее время точка зрения близка к
той, что в свое время выдвинул Иммануил Кант. Каким-то образом
планеты сформировались из газов и частиц пыли, вращавшихся ког-
да-то в виде дисковидного облака вокруг Солнца. Вращение этого
облака против часовой стрелки, если смотреть со стороны над север-
ными полюсами, объясняет, почему все планеты и большинство их
лун вращается в том же направлении. Почему, однако, эти древние
пути пролегли именно так, а не иначе? Что это — дело случая или же
расстояния между ними управляются математическими законами?
Странности Солнечной системы
201
Самое фантастическое объяснение породило воображение Кеп-
лера. Вначале он пробовал вписывать и описывать правильные мно-
гоугольники, затем сферы и кубы друг относительно друга, но натк-
нуться на закономерность, которая бы давала правильные соотно-
шения, никак не удавалось. Неожиданно его посетило вдохновение.
Планет всего шесть, значит, промежутков между ними пять. А ведь
правильных выпуклых геометрических тел тоже пять, и только пять!
Угнездив пять платоновских геометрических тел одно в другом в оп-
ределенном порядке, оставив между ними место для оболочек,
обеспечивающих эксцентричность движения планет по эллиптиче-
ским орбитам, он получил структуру, грубо соответствовавшую тог-
дашним представлениям о максимальном и минимальном расстоя-
нии планет от Солнца (см. рис. 85). Эта теория выглядела безумной
даже во времена Кеплера, однако сам Кеплер представлял собой та-
кой удивительный сплав изумительной научной интуиции и ок-
культных верований (включая астрологию), что для него поиски по-
добной гармонии были вполне ожидаемы. По иронии судьбы его
действительно верные идеи, что планеты движутся по эллипсам,
а не по окружностям и что приливы вызываются Луной, казались
в то время столь же надуманными, и даже Галилей отклонял обе точ-
ки зрения, считая их не более чем фантазией Кеплера.
В 1772 году Иоганн Даниель Тициус из Виттенберга опубликовал
простую последовательность чисел, которая, казалось, соответству-
ет Орбитам планет. Вскоре она стала известна как «закон Боде», по-
тому что четыре года спустя более известный немецкий астроном,
Иоганн Элерт Боде, привел эту последовательность в своем руко-
водстве. Чтобы получить эти числа, начните с 0, 3, 6, 12, 24, 48, 96,
192... Каждое число равно половине следующего за ним, за исклю-
чением нуля, вместо которого должно бы стоять Р/г- К каждому
числу ряда прибавляем 4. Полученная в результате последователь-
ность — 4, 7, 10, 16, 28, 52, 100, 196 — описывает отношения средних
расстояний планет от Солнца. Если мы примем расстояние Земли
от Солнца за астрономическую единицу, 10 станет 1, и, разделив ос-
тальные члены ряда на 10, мы получим средние расстояния для дру-
гих планет в астрономических единицах. В таблице на рис. 87 даны
эти расстояния в сравнении с реальными. Обратите внимание, что
расстояния для первых шести планет, во времена Боде считавшихся
единственными, замечательно близки к значениям, полученным из
ряда Боде. Более того, благодаря закону Боде подтвердились два за-
мечательных предсказания.
202
Лучшие математические игры и головоломки
TaBVLaIII.OR.BIVMcPlAN£TA>.VM DIMENSIONED ЕТ DBTANTIAS PER-CDTNOVE
Ж-EOVLASLI А. СОВ. РОИ A GEOMETHICA EXHLStNS.
Ill.vstr.iss: prjncipi, ас dno. Рйо.Еятвтлглсо, DVCIWHL
TENbEBGICO, ЕТ ТЕССЮ, СОМГГ1 MONTIS BELGAB.VM, ETC. CONSECt AT A..
Рис. 85.
Кеплеровская модель Солнечной системы.
Первое из них заключалось в том, что на расстоянии в 19,6 астро-
номических единицы должна быть еще одна планета. Когда в 1781 го-
ду обнаружили Уран, оказалось, что он находится на расстояний
19,2, и этот факт убедил многих астрономов в действенности закона
Боде. Второе гласило, что в огромном промежутке между орбитами
Марса и Юпитера должна быть еще одна планета, примерно в 2,8
единицы от Солнца. В 1801 году, в первый день нового века, Цереру,
Странности Солнечной системы
203
Планета Единицы Боде Реальное среднее расстояние
Меркурий 0,4 0,39
Венера 0,7 0,72
Земля 1 . 1
Марс 1,6 1,52
(Церера) 2,8 2,77
Юпитер 5,2 5,20
Сатурн 10 9,57
Уран 19,6 19,15
Нептун 38,8 29,95
Плутон 77,2 39,39
Рис. 86.
Закон Боде о расстояниях между орбитами планет.
самый большой из астероидов, обнаружили в 2,77 единицы от
Солнца! Позднее в этой же области удалось увидеть многие тысячи
более мелких планетоподобных небесных тел. Сторонники закона
Боде с уверенностью утверждали, что стероиды — остатки взорвав-
шейся планеты, которая когда-то вращалась вокруг Солнца там, где
ей предписывал закон Боде.
Увы, в случае Нептуна и Плутона закон не сработал, и многие ас-
трономы стали полагать, что более ранний успех теории был случай-
ным. Другие не так давно предположили, что Плутон — сбежавший
спутник Нептуна, и до расхождения двух тел орбита Нептуна могла
быть недалеко от того места, которое предсказывает закон Боде.
Высказывалась также точка зрения, что закон Боде применим ко
всем планетам, кроме тех, которые находятся у самого центра и на
краю Солнечной системы, где различного рода нерегулярности бо-
лее вероятны. Поскольку орбиты Меркурия и Плутона значительно
более эксцентричны и наклонены к плоскости эклиптики, чем ор-
биты других планет, логично предположить, что экстремальные ус-
ловия делают их исключениями из общего правила.
Что же все-таки представляет собой закон Боде: всего лишь ну-
мерологический курьез, столь же далекий от реальности, как много-
204
Лучшие математические игры и головоломки
гранники Кеплера, или же в нем есть нечто ценное, чему впоследст-
вии теория происхождения Солнечной системы найдет объясне-
ние? Вопрос остается открытым. Защитники закона обычно вспо-
минают в этой связи последовательность чисел, опубликованную в
1885 году швейцарским математиком Иоганном Якобом Бальме-
ром, которая хорошо соответствовала частотам спектральных линий
водорода. Эта последовательность долгое время считалась пустой
нумерологией, пока, спустя десятилетия, Нильс Бор не нашел объ-
яснение «рядов Бальмера» в квантовой механике. '<. » • *
«Вопрос в том, - пишет Ирвин Джон Гуд в недавней работе о за-
коне Боде, перечисленной в списке литературы к этой книге, — об-
ладает ли данный образчик научной нумерологии, не подтвержден-
ный никакими теориями, достаточной привлекательностью для то-
го, чтобы мы решили, что надо начинать искать модели, которые
смогут-таки его научно объяснить». Я, не будучи специалистом в
этой области, не могу даже представить себе, какая судьба ждет за-
кон Боде в будущем.
Завершает эту главу еще одна хитрая задача. Когда Земля дви-
жется вокруг Солнца, Луна, ее спутник, по отношению к Солнцу
двигается по волнообразному пути. Сколько участков этого волно-
образного пути за 12 лунных обращений вокруг Земли будут вогну-
тыми, в том смысле, что их выпуклые части будут направлены к
Солнцу?
ОТВЕТЫ
Ответ на первую задачу - колесо трижды оборачивается вокруг сво-
ей оси за один оборот вокруг неподвижного колеса с вдвое большим
диаметром. Поскольку окружность катящегося колеса составляет
половину большого неподвижного, то по отношению к неподвиж-
ному колесу оно обернется вокруг своей оси два раза, а обращение
по большому кругу дает третий оборот вокруг оси с точки зрения на-
блюдающего это сверху. Общая формула, где а — диаметр неподвиж-
ного колеса, а b — диаметр катящегося, имеет вид (а/b) + 1. Таково
число оборотов вокруг своей оси на одно обращение по кругу. Таким
образом, если катящееся колесо будет обладать диаметром вдвое
большим, чем у неподвижного, оно обернется вокруг оси полтора
раза на круг. С ростом диаметра катящегося колеса по отношению к
диаметру неподвижного число обращений вокруг оси стремится в
Странности Солнечной системы
2
пределе к единице — пределу, достижимому только в том случае,
когда неподвижное колесо вырождается в круг нулевого диаметра,
иначе — в точку. Допустим, диаметр неподвижной монеты равен
длине окружности катящейся монеты. Сколько раз подвижная мо-
нета обернется вокруг оси за один цикл?
Ответ на вопрос о числе вогнутых отрезков волнообразного пути
Луны вокруг Солнца таков — этот путь никогда не бывает вогнутым.
Луна расположена так близко к Земле, и скорость движения Земли
по орбите настолько велика относительно скорости вращения Луны
вокруг Земли, что путь Луны (относительно Солнца) все время вы-
пуклый.
ч
Построения Маскерони
Часто говорят, что древнегреческие геометры, следуя традиций,
начатой, предположительно, еще Платоном, строили все фигуры
на плоскости при помощи циркуля и линейки без делений («пра-
вила»). Это не совсем верно. У древних греков было множество
других геометрических инструментов, в том числе устройства, де-
лящие угол на три части. Они полагали, однако, Что построения,
выполненные только при помощи циркуля и простой линейки
изящнее, чем те, что выполняются более сложными инструмента-
ми. Их упорные попытки найти способы трисекции угла, квадрату-
ры круга и удвоения куба при помощи лишь этих двух инструмен-
тов - эти три великие геометрические проблемы древности - лишь
спустя более чем два тысячелетия были, наконец, окончательно
признаны невозможными.
После античности геометры нередко развлекались, налагая еще
более строгие ограничения на инструменты, используемые в задачах
на построение. Первая систематическая попытка подобного рода —
работа, приписываемая персидскому математику X века Абу-ль-
Уафе (Абулу Вефе), в которой описаны построения, возможные с по-
мощью лишь простой линейки без делений и «фиксированного
циркуля», который впоследствии окрестили «ржавым циркулем».
Это циркуль, радиус которого никогда не меняется. Хорошо нам
знакомые способы деления отрезка либо угла пополам — простей-
шие примеры построений подобного рода. На рис. 87 показано, как
легко «ржавым циркулем» разделить пополам отрезок, который бо-
лее чем вдвое длиннее, чем расстояние между его ножками. Многие
Построения Маскерони
207
Как разделить пополам отрезок любой длины с помощью «ржавого циркуля».
из решений Абула Вефа — в частности, его метод построения пра-
вильного пятиугольника по одной из его сторон — удивительно ори-
гинальны и до сих пор не превзойдены.
На рис. 88 показано, как «ржавым циркулем» можно провести
линию, параллельную линии АВ, через любую лежащую вне ее точ-
ку Р. Это делается путем построения вершин ромба в три шага, и так
просто, что для понимания того, как это делается, достаточно на-
глядного рисунка. Этот метод документирован еще 1574 годом, од-
нако до сих пор его снова и снова открывают заново и публикуют,
как совершенно новый (см., например, журнал «Преподаватель ма-
тематики» за февраль 1973 г., с. 172).
Рис. 88.
Построение линии, параллельной данной, с помощью «ржавого циркуля».
208
Лучшие математические игры и головоломки
Леонардо да Винчи и многочисленные математики эпохи Воз-
рождения экспериментировали с жестким циркулем, однако следу-
ющим значительным трактатом по этой теме был лишь 24-странич-
ный буклет 1673 года, опубликованный анонимно в Амстердаме —
Compendum Euclidis curiosi. Четыре года спустя его перевел на анг-
лийский Джозеф Моксон, британский королевский гидрограф.
Сегодня уже известно, что автором этой работы был датский гео-
метр Георг Мор, о котором мы еще вспомним далее. В 1694 году лон-
донский землемер Уильям Лейбурн в несколько чудаковатой книге
«Удовольствие с пользой» рассматривал построения с помощью
«ржавого циркуля» как математическую игру. Раздел на эту тему он
озаглавил следующим образом: «Здесь показано, как (без Цирку-
лей), вооружась лишь Вилкой для Мяса (или тому подобным Ин-
струментом, который не сделать ни шире, ни уже), и простым
Правилом, произвести множество восхитительных геометричес-
ких операций».
В XIX в. французский математик Жан Виктор Понселе предло-*
жил доказательство, впоследствии значительно доработанное швей-
царцем Якобом Штайнером, что все построения с обычным цирку-
лем и линейкой возможны также с линейкой и фиксированным
циркулем. Это умозаключение следует из их демонстрации того, что
все построения, возможные с циркулем и простой линейкой, воз-
можны и с одной линейкой, если на плоскости уже заданы окруж-
ность и ее центр. В начале XX в. было показано, что даже эта ок-
ружность «Понселе-Штайнера» не требуется целиком. Нужна
лишь часть дуги этой окружности, какой бы малой она ни была, и ее
центр. (В таких построениях считается, что круг построен, если оп-
ределен его центр и одна точка на окружности.)
Многие известные математики изучали построения, возможные
при помощи таких простых инструментов, как простое правило без
делений, правило с двумя точками, линейка с двумя параллельными
прямыми сторонами, угольник с двумя сходящимися под прямым
углом ровными поверхностями и так далее. Наконец в 1797 году
итальянский геометр Лоренцо Маскерони поразил математический
мир, опубликовав свой труд Geometria del compasso, в котором дока-
зал, что любые построения, возможные с циркулем и линейкой,
возможны также с одним только подвижным циркулем. Поскольку
прямые линии, разумеется, невозможно проводить циркулем, при-
нимается допущенйе, что две точки, полученные пересечением дуг,
определяют прямую.
Построения Маскерони
209
Построения с помощью одного только циркуля до сих пор назы-
ваются построениями Маскерони, хотя в 1928 году было обнаружено,
что Мор ранее доказал то же самое в малоизвестной небольшой рабо-
те Euclidus Danicus, опубликованной в 1672 году в Дании и Голлан-
дии. Датский студент, обнаруживший эту книгу в букинистическом
магазине в Копенгагене, показал ее своему преподавателю математи-
ки, Йоханнесу Ельмслеву из Копенгагенского университета, который
сразу же оценил важность документа. Ельмслев опубликовал работу в
факсимиле с немецким переводом в Копенгагене в 1928 году.
Сегодня геометров уже мало интересуют построения Мора—
Маскёрони, но поскольку на их основе существует такое множество
задач занимательного свойства, они отданы на откуп энтузиастам
веселой математики. Целью им обычно служит улучшение извест-
ных построений путем поиска путей, требующих меньшего количе-
ства шагов. Иногда методы Мора-Маскерони возможно усовер-
шенствовать, иногда нет. Рассмотрим, к примеру, простейшие из
пяти решений Маскерони для задачи № 66 — нахождения точки по-
середине между двумя заданными точками А и В (см. рис. 89).
Начертите две окружности радиусом АВ с центрами в точках А
и В. Тем же раствором циркуля, с центрами в С и D, сделайте, соот-
ветственно, засечки D и Е. (Читатель может вспомнить, что это на-
чало известной процедуры деления окружности на шесть равных
дуг — или три дуги, если брать точки через одну.) Точка Е лежит на
продолжении отрезка АВ вправо, и АЕ будет вдвое больше АВ. (Оче-
видно, что эту процедуру можно повторять, двигаясь вправо, удваи-
вая, утраивая и т.д. отрезок АВ.)
Раскройте циркуль радиусом АЕ и проведите дугу с центром в Е, ко-
торая пересекает левый круг в F и G. Закройте циркуль снова до ради-
уса АВ. С центрами в F и G проведите две дуги, пересекающиеся в Н.
Н располагается посередине между А и В. Это легко доказать, за-
метив, что два равнобедренных треугольника, отмеченные углами
AFH и AFE, имеют общий угол FAE и потому подобны. AF — это по-
ловина АЕ, следовательно, АН — половина АВ. Для читателей, зна-
комых с инверсионной геометрией, Н — это инверсия Е по отноше-
нию клевой окружности. Простое доказательство этого построения
с помощью инверсионной геометрии можно найти в книге «Что та-
кое математика?».Ричарда Куранта и Герберта Роббинса (Оксфорд,
1941), с. 145. Обратите внимание, что если отрезок АВ проведен с
самого начала и задача состоит в том, чтобы найти его середину с
помощью одного только циркуля, требуется провести только одну
210
Лучшие математические иЙ*ы и головоломки
Метод Маскерони для нахождения точки Н, находящейся посередине между
точками А и В, с помощью одного только циркуля.
из последних двух дуг, сократив число шагов до шести. Я йе знаю,
как можно достичь этого меньшим числом шагов.
Другая знаменитая задача, решенная Маскерони, — нахождение
центра у данной окружности. Его метод слишком сложен, чтобы
воспроизводить его здесь полностью, но, к счастью, упрощенный
подход неизвестного авторства встречается во многих старых книгах
и приведен на рис. 90. А — любая точка на окружности. С центром в
точке А проведите циркулем дугу, пересекающую окружность в точ-
ках В и С. С радиусом АВ и центрами В и С проведите дуги, пересе-
кающиеся в D. (D может быть как внутри окружности, так и вне ее,
в зависимости от того, насколько широко был раскрыт циркуль в
первый раз.) Радиусом АВ из центра D проведите дугу, получив точ-
ки пересечений Е и Е С радиусом АЕ из центров Е и F проведите ду-
ги, пересекающиеся в G. G и есть центр окружности. Как и для пре-
дыдущей задачи, имеется простое доказательство, начинающееся с
того, что у двух равнобедренных треугольников DEA и А имеется
общий угол EAG, и потому они подобны. Остальное доказательство,
Построения Маскерони
211
Рис. 90.
Как при помощи одного лишь циркуля найти центр круга в шесть шагов.
равно как и доказательство с помощью инверсионной геометрии,
читатель может увидеть в книге Л .А. Грэма «Внезапное нападение на
математические задачи» (Dover, 1968), задача № 34.
Третья широко известная задача из книги Маскерони известна
как «задача Наполеона», потому что считается, будто исходно эту за-
дачу Маскерони предложил сам Наполеон Бонапарт. Немногие зна-
ют, что Наполеон был увлеченным математиком-любителем, хотя и
не слишком многого достиг в этой области; особенно же он увлекал-
ся геометрией, которая, разумеется, имеет особую важность в воен-
ном деле. Великие французские математики того времени вызывали
у него безграничное восхищение. Гаспар Монж (известный любите-
лям занимательной математики в основном по своей юношеской ра-
боте — анализу так называемого «расклада Монжа», при котором
карты по одной снимаются с колоды левым большим пальцем и пе-
ремещаются поочередно то поверх карт в правой руке, то под них)
был, похоже, единственным человеком в мире, с которым Наполеон
водил дружбу. «Монж любит меня почти как любовницу», — заявил
212
Лучшие математические игры и головоломки
как-то Наполеон. Монж был одним из нескольких французских ма-
тематиков, произведенных Наполеоном в графы. Каким бы посред-
ственным геометром ни был Наполеон, нужно отдать ему должное:
по мнению нескольких независимых историков науки, он произвел
воистину революционный переворот в преподавании математики во
Франции, и именно благодаря его реформам случился небывалый
расцвет творческой математической мысли во Франции XIX века.
Как и Монж, юный Маскерони восхищался Наполеоном и
Французской революцией. Кроме преподавания (он был профессо-
ром) на кафедре математики в университете города Павии, он также
писал стихи, которые высоко оценивали итальянские критики.
Сборники его поэзии издавались в Италии несколько раз. Его кни-
га «Задачи для землемеров» содержит стихотворное посвящение На-
полеону. Они познакомились и стали друзьями в 1796 году, когда
Наполеон вторгся в Северную Италию. Годом позже, когда Маске-
рони издал свою книгу о построениях с помощью одного только
циркуля, в ней снова было посвящение Наполеону, на этот раз весь-
ма пространное.
Наполеон освоил многие из построений Маскерони. Говорят,
что в 1797 году, когда Наполеон обсуждал вопросы геометрии с Жо-
зефом Луи Лагранжем и Пьером Симоном де Лапласом (знамени-
тые математики, которых Наполеон впоследствии сделал, соответ*
ственно, графом и маркизом), «маленький генерал» поразил своих
ученых собеседников, продемонстрировав им некоторые из реше-
ний Маскерони, которые оказались им совершенно внове. «Гене-
рал, — воскликнул Лаплас, — мы ожидали от вас чего угодно, только
не уроков геометрии». Достоверен этот исторический анекдот или
нет, неизвестно, однако Наполеон действительно ознакомил фран-
цузских математиков с работами Маскерони. Перевод Geometria del
compasso был опубликован в Париже в 1798 году, через год после
первого итальянского издания.
«Задача Наполеона» состоит в следующем: разделить окружность
с данным центром на четыре равные дуги при помощи одного цир-
куля. Другими словами, нужно найти четыре угла вписанного квад-
рата. Прекрасное решение из шести дуг показано на рис. 91. Рас-
крыв циркуль на радиус круга, выберите произвольно точку А, затем
отметьте точки В, С и D, используя точки А, В, и С в качестве цент-
ров. Раскройте циркуль на радиус АС. Проведите дуги с центрами в
А и D, пересекающиеся в Е. Наконец, проведите дугу с центром в А
и радиусом ОЕ, пересекающую исходную окружность в точках F и G.
Построения Маскерони
213
Рис. 91.
Решение «задачи Наполеона» в шесть шагов.
214 Лучшие математические игры и головоломки
A, F, D и G - вершины вписанного квадрата. Я не знаю, принадле-
жит ли это решение самому Маскерони (книга не переводилась на
английский язык, а доступа к итальянскому и французскому изда-
ниям у меня нет) или же оно было обнаружено позднее. Генри Эр-
нест Дьюдени приводит его без доказательства в своих «Современ-
ных головоломках» (1926). Простое доказательство можно найти у
Чарльза У. Тригга в книге «Короткие математические задачи»
(MCGraw-Hill, 1976), задача № 248.
Вот еще две близкие к приведенной выше и не слишком извест-
ные задачи Маскерони: 1) даны две соседние вершины квадрата, по-
строить две недостающие и 2) даны две противоположные вершины
квадрата, найти две недостающие.
Ответы на первую задачу из восьми дуг были присланы мне неза-
висимо читателями Доном Ольмстедом и Полом Уайтом и могут
быть найдены, с доказательством, в книге М.Х. Гринблатта «Мате-
матические развлечения». (Crowell, 1965), с. 139. На рис. 92 показа-
.G ,
Рис. 92.
Построение недостающих вершин квадрата по двум данным прилежащим
вершинам А и В в восемь шагов.
Построения Маскерони
215
на сама процедура. А и В - две дайные точки. Начертив две окруж-
ности, каждая из которых с радиусом АВ, тем же раствором цирку-
ля отметьте точки D и Е дугами в точках С и D. Растворите циркуль
до радиуса СЕ Проведите две дуги с центрами в А и Е, пересекаю-
щиеся в G. С радиусом GB и центрами в точках А и В проведите ду-
ги, пересекающие окружности в точках Н и I. Это и будут искомые
вершины квадрата.
Наилучшее известное мне решение второй, более сложной зада-
чи строится проведением девяти дуг. Читателям предлагается найти
либо его, либо превосходящее его решение.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Маннис Чарош обратил мое внимание на неожиданную, малоизве-
стную теорему о том, что все точки, которые можно получить цирку-
лем и линейкой без делений, можно получить, имея лишь неограни-
ченный набор одинаковых по длине зубочисток. Зубочистки служат
в этом случае в качестве жестких отрезков, которые можно переме-
щать по плоскости.
Этот забавный метод построения был изобретен Т.Р. Доусоном,
редактором «Фэйри-Чесс-Ревью», и описан им в работе под назва-
нием «Геометрия на спичках», в «Математической газете», т. 23, май
1939 г., с. 161-168. Доусон доказывает общую теорему, упомянутую
выше, а также показывает, что с помощью спичек нельзя построить
ничего, что не могло бы быть также построено с помощью циркуля
и линейки без делений. Он приводит способы деления пополам от-
резка и угла, проведения перпендикуляра, проведения линии, па-
раллельной данной, через данную точку, и другие основные постро-
ения, достаточные для доказательства его правоты.
Поиск в целях развлечения методов построений с использовани- •
ем минимального количества спичек (зубочисток) — бесконечное и'
неисследованное поле деятельности. Например, лучший из приду-
манных Доусоном методов построения единичного квадрата (сторо-
на которого равна длине одной зубочистки) показан на рис. 93, где
AF — любая прямая, проходящая внутри угла ВАС. Для нее требует-
ся 16 палочек.
Доусон утверждает, что для нахождения середины отрезка еди-
ничной длины требуется минимум 11 зубочисток и целых 13 — для
нахождения средней точки между двумя заданными точками, нахо-
216 Лучшие математические игры и головоломки
Г9 л
дящимися на единичном расстоянии друг от друга. Он предлагает
читателю найти требующий десяти спичек метод разделить пополам
расстояние между точками, которое больше единичной длины
спички, но меньше квадратного корня из 3.
На рис. 94 показан простой, требующий всего пяти зубочисток
метод деления пополам любого угла не более 120 градусов и не рав-
Ьис. 94.
Деление угла попдлам пятью зубочистками^
Построения Маскерони
217
ного точно 60 градусам. Этот же метод восстанавливает перпендику-
ляр из С к отрезку АВ. Отрезки продолжаются далее, а параллель-
ные линии проводятся просто путем продолжения ряда равнобед-
ренных треугольников так далеко, как это необходимо.
ОТВЕТЫ
На рис. 95 приведено решение задачи Маскерони о нахождении с по-
мощью одного циркуля недостающих вершин квадрата по двум дан-
ным противолежащим, требующее построения девяти дуг. А и В —
данные углы. Начертите окружность радиусом АВ с центром В. Тем
же раствором циркуля проводим дуги С, D, и Е (центры А, С, и D).
Радиусом СЕ из центров А и Е проводим две дуги, пересекающиеся
в Е Радиусом BF с центром в Е проводим дугу, которая пересекает
Рис. 95.
Построение квадрата по противолежащим вершинам А и В.
218
Лучшие математические^гры и головоломки
предыдущую в точке G. Радиусом BG и с центрами в точках А и В
проводим дуги, пересекающиеся в Н и I. А, Н, В, I — вершины ис-
комого ква драГа. Филипп Смит-младший из Хастингса-на-Гудзоне,
штат Нью-Йорк, прислал простое доказательство этого построения,
основанное на прямоугольных треугольниках и теореме Пифагора,
но я предоставляю заинтересованным в нем читателям найти его са-
мостоятельно.
Уже после того как вышла моя колонка о построениях Маскеро-
ни, я узнал, что решение «Задачи Наполеона» в шесть дуг действи-
тельно принадлежит самому Маскерони. Фитч Чейни прислал мне
свою статью «Сможем ли мы превзойти Маскерони?» («Преподава-
тель математики», т. 46, март 1953 г., с. 152—156), в которой он при-
водит решение Маскерони вместе со своим собственным, которое
проще и требует лишь пяти дуг.
Решение Чейни приведено на рис. 96. Выберите произвольную
точку А на данной окружности и начертите вторую окружность ра-
диусом АО. С центром в точке С и тем же радиусом проведите тре-
тью окружность. С центром D и радиусом DA проведите дугу, пе-
ресекающую исходную окружность в точке Е. С центром F и ради-
усом FO проведите дугу, пересекающую предыдущую в точке G.
С центром С и радиусом CG проведите дугу, пересекающую исход-
ную окружность в точках Н и I. Е, I, С и Н - вершины искомого
квадрата.
Чейни привлекает внимание читателя к тому факту, что совре-
менный циркуль, сохраняющий степень раскрытия, принципи-
ально отличается от «классического циркуля» Эвклида, который
схлопывается, как только любая из его ножек отрывается от пло-
скости. Решение Чейни, в отличие от решения Маскерони, ис-
пользует только «классические» дуги. Далее в своей статье Чейни
приводит также метод вписывания пятиугольника в круг «класси-
ческим» циркулем в семь шагов, что на два шага меньше, чем ана-
логичное построение Маскерони с помощью «современного»
циркуля.
Многие читатели заметили, что принадлежащий Маскерони
метод нахождения точки посреди отрезка, заданного двумя дан-
ными точками, может быть сокращен на один шаг. Расстояние
между пересечениями двух окружностей на рис. 89 очевидно рав-
но СЕ, поэтому точку Е можно найти, обойдясь без промежуточ-
ного шага — нахождения точки D. Эта процедура, как верно отме-
тили многие читатели, автоматически снижает на одну число дуг,
Построения Маскерони
219
Рис. 96.
Более простое решение «задачи Наполеона» Фитчем Чейни.
требующихся для бисекции отрезка, для нахождения четырех
вершин квадрата, вписанного в данный круг («задача Наполеона»),
и, если даны две соседние вершины квадрата, нахождения осталь-
ных двух вершин.
Задача о нахождении по двум данным противолежащим верши-
нам квадрата двух остальных — на которую я нашел ответ в девять
шагов — упрощается до восьми шагов, если выполнить описанную
чуть выше процедуру. Однако многие читатели смогли обнаружить
удивительно красивое решение, требующее всего шести шагов (см.
рис. 97). А и В — данные вершины. Начертив две окружности через
220
Лучшие математические игры и головоломки
Рис. 97.
Решение задачи Маскерони в шесть шагов.
две эти точки, раскройте циркуль на расстояние CD и из центра С
проведите дугу EDF. Из центра F радиусом AF проведите дугу GAH.
Из центров Е и F радиусом EG проведите две дуги, пересекающие-
ся в X и Y. Нетрудно доказать, что AXBY — вершины искомого ква-
драта.
N
ГЛАВА 18
Абак
Слово «абак» за свою историю применялось по отношению к трем
не слишком похожим приспособлениям для подсчетов. СаМое ран-
нее и простое, использовавшееся во многих культурах античности,
в том числе в Древней Греции, представляло собой всего лишь дос-
ку, припорошенную тонким слоем темного песка, на котором мож-
но было чертить цифры и геометрические фигуры, оставляя след на
песке стилосом или пальцем. Считается, что Архимед занимался
вычислениями на такой «песочной доске», когда его убил римский
солдат. Греческое слово «абаке», в общем означавшее плоскую дос-
ку или столик без ножек, возможно, произошло от древнееврейско-
го слова «abaq», что означает «пыль».
Второй, более поздний тип, известный уже с IV в. до н.э. и бла-
гополучно доживший до эпохи Возрождения, представлял собой
счётную доску. Это был уже настоящий вычислительный инстру-
мент, в такой же степени подлинный цифровой компьютер, в кото-
рой логарифмическая линейка — это аналоговый компьютер. Доска
была размечена параллельными рядами линий, представлявших
«позиционные значения» системы исчисления, обычно десятичной.
Эти линии рисовались по пергаменту, вытесывались в мраморе, вы-
резались по дереву и иногда даже вышивались по ткани. Никак не
закрепленные счетные фишки для осуществления простых подсче-
тов передвигались туда-сюда по этим линиям. Греки называли эту
счетную доску «абакион», римляне — «абакус». Обычно в качестве
счетных единиц использовали округлые камешки или подобные им
предметы, которые передвигались по бороздкам. От латинского
222
Лучшие математические игры и головоломки
слова «calculus» («камешек») произошли такие слова как «калькуля-
ция» и «калькулятор». Несколько доведших до нас изображений, в
том числе на древнегреческой вазе, свидетельствуют о том, как вы-
глядела счетная доска в действии, но лишь одна древнегреческая
счетная доска дожила до наших дней; мраморный прямоугольник
примерно пять на шесть дюймов, найденный на острове Саламис.
В Средние века счетные доски часто были расцвечены, как шахмат-
ные или шашечные («chequer»); отсюда и пошли такие слова, как
«чек» и «exchequer» — казначей.
То устройство, которое называется «абаком», или «счётами», в на-
стоящее время представляет собой в общих чертах ту же счетную до-
ску, модифицированную таким образом, чтобы счетные фишки были
закреплены в пазах или нанизаны на проволоку или стержни. Проис-
хождение счётов неизвестно. У древних греков, по всей видимости,
таких инструментов не было; самые ранние упоминания о них встре-
чаются в древнеримской литературе. Счетные фишки, которые рим-
ляне называли «claviculi» («ключики»), перемещались вверх и вниз по
специальным пазам. У римлян это устройство встречалось в несколь-
ких видах. Маленькие бронзовые счеты, которыми пользовались в
Италии еще чуть ли не в XVII в., представляют особый интерес, по-
скольку основной принцип их устройства такой же, как у современ-
ных японских счетов. Каждая вертикальная бороздка означает сте-
пень десяти, степени увеличиваются последовательно влево. Четыре
фишки в каждом пазу ниже горизонтальной линий означают единич-
ные множители позиционной величины. Одна фишка в каждом пазу
над чертой обозначает умножение позиционного значения на пять.
Здесь мы сталкиваемся с курьезным положением дел, на которое
обратил всеобщее внимание Карл Меннингер, немецкий матема-
тик, в своей прекрасной энциклопедической работе «Числовые Сло-
ва и числовые символы». Более пятнадцати веков греки, римляне,
а затем средневековые европейцы и люди эпохи раннего Возрожде-
ния считали на устройствах, основанных на полноценной позици-
онной системе, где ноль обозначался пустой линией или пазом ли-
бо пустым местом на линии или в пазу. Однако когда те же люди
считали без помощи подобных устройств, они пользовались неук-
люжими и громоздкими системами записи, в которых отсутствова-
ли как позиционные значения, так и ноль. Потребовалось очень
долгое время, пишет Меннингер, чтобы понять, что для эффектив-
ной записи чисел также удобно использовать символ, Означающий,
что это место в числе означает отсутствие единиц этого Порядка. '
It
Абак
223
Возможно, основной причине#! этого культурного ментального
блока было то, что папирус и пергамент были дороги и редко упо-
треблялись. Поскольку вычисления делались почти исключительно
на счетных досках, особой потребности в совершенствовании сис-
темы записи не было. Лишь итальянец Леонардо из Пизы, извест-
ный сегодня как Фибоначчи, познакомил Европу в 1202 году с ин-
до-арабской системой записи чисел (см. с. 152). Это впоследствии
привела к ожесточенной борьбе между «абакистами», которые
предпочитали записывать числа римским способом, но считали на
абаках, и «ал гори стам и», которые отказались и от римской системы
счисления, полностью перейдя на индо-арабскую. Слово «алго-
рист» происходит от имени средневекового арабского математика
Аль-Хорезми; от его же имени образовано такое современное слово,
как «алгоритм». (На рис. 98 абакист соревнуется с алгористом. Гра- *
вюра служила иллюстрацией к книге XVI века Margarita Philosophica
(«Жемчужина философии).) В некоторых европейских странах «ал-
горизм» был даже запрещен законом, и подсчеты в позиционной
системе записи приходилось вести втайне. Некоторое противостоя-
ние ей имелось даже в странах арабского мира. Новая система запи-
си окончательно заняла свои позиции только в XVI веке, когда бу-
маги стало много, и вскоре после того благодаря книгопечатанию
установилась общепринятая форма цифр.
Счёты в Европе и Англии вымирали постепенно. В современных
Соединенных Штатах какие-то воспоминания о них сохранились
разве что в цветных бусинах на проволоках, используемых в качест-
ве инструментов для обучения десятичному счету в младших классах
и для помощи в подсчете очков в бильярде. В некотором смысле это
прискорбно, потому что за прошедшие столетия на Востоке и в Рос-
сии вычисления на счетах превратились в своего рода искусство. Это
процесс, требующий вовлечения многих чувств сразу; счетовод ви-
дит перемещения костяшек, слышит их постукивание друг о друга,
ощущает их пальцами - и все это одновременно. Несомненно, ника-
кой компьютер не сравнится со счетами по уровню надежности от-
носительно столь низкой цены и затрат на обслуживание и ремонт.
Сегодня регулярно используются три вида абаков. Китайский
суань-пань (рис. 99), используемый также в Корее, отличается кос-
тяшками, выточенными в форме маленьких пончиков, перемеща-
ются они по бамбуковым стержням почти бесшумно. На каждом
стержне пять костяшек ниже планки (единицы) и две выше нее (пя-
терки). Китайский иероглиф «суань» («вычислять») воспроизведен
224
Лучшие математические игры и головоломки
Рис. 98.
«Абакист» (справа) соревнуется с «алгор истом» (слева).
Гравюра XVI в.
Абак
225
Рис. 99.
Китайский суанъ-панъ, показывающий число 2187.
по книге Меннингера; он состоит из символа абаки, который снизу
поддерживается символом «руки», а над ним располагается символ
«бамбук». Происхождение суань-паня неизвестно. Точные его опи-
сания датируются XVI в., но он, несомненно, на много столетий
старше.
Прошлое японского соробана (см. рис. 100) также можно просле-
дить до XVI столетия, когда он, по всей видимости, был заимствован
из Китая. Его счетные фишки сТочены на острый край, по форме
приближаясь к двум конусам, соединенным широкими основания-
ми. На каждом стержне только одна костяшка над планкой, в части,
которую японцы называют «небом», и только четыре под ней, на
«земле». (Исходно в этом инструменте, как в китайском суань-пане,
тоже было пять костяшек снизу, но около 1920 г. от пятой избави-
лись. Две дополнительные фишки на каждом стержне суань-паня
вовсе не обязательны для современного метода вычислений на сче-
тах, и в результате их исчезновения получился более простой инстру-
мент.) В Японии все еще проводятся ежегодные соревнования по вы-
8-9751
226
Лучшие математические игры и головоломки
Рис. 100.
Современный японский соробан, показывающий число 4620.
числению на счетах, в которых участвуют тысячи; соробан до сих пор
используют в магазинах и мелких конторах, хотя в банках и крупных
фирмах его быстро вытесняют современные кассы и компьютеры.
Проводилось немало соревнований, в которых японские или ки-
тайские счетоводы состязались с американскими операторами кас-
совых аппаратов. Самую широкую огласку получило состязание,
состоявшееся в 1946 году в Токио, когда рядовой Томас Вуд высту-
пил против Киёси Мацудзаки. Японский счетовод со своим сороба-
ном оказался проворнее во всех подсчетах, за исключением пере-
множения очень больших чисел. Надо признать, что невероятная
скорость вычисления восточных счетоводов во многом определяет-
ся тем, что значительную часть вычислительных операций они осу-
ществляют в уме, используя счет только для записи отдельных ста-
дий процесса.
Принципиальный недостаток вычислений на счетах в том, что
предыдущие стадии никак не фиксируются. Если где-то допущена
ошибка, приходится заново проводить все вычисление целиком.
Японцы часто справляются с этой ненадежностью благодаря тому,
что одну задачу решают одновременно и независимо три счетовода.
Если все три ответа совпадают, решение принимается, совсем как
по правилу, выдвинутому Кормчим в «Охоте на Снарка» Льюиса
Кэррола: «Верь в то, что сказал я три раза!»
Русские счеты (см. рис. 101) заметно отличаются от восточных
абаков. В Россию они, скорее всего, попали через арабов, подобные
счеты все еще используются в некоторых областях Индии и Ближ-
него Востока, где турки называют их «coulba», а армяне — «хореб».
В России ситуация напоминает японскую: почти во всех небольших
магазинах еще имеются счёты*, хотя на крупных предприятиях их
* М. Гарднер описывает ситуацию 1960—70-х годов {прим. ред.).
Абак
227
Рис. 101.
Русские счёты.
постепенно заменяют современные калькуляторы. У русских счетов
горизонтальные стальные или проволочные стержни, на большин-
стве из них по десять косточек; две средние косточки другого цвета,
чтобы лучше было видно, где их разделять. Стержни с четырьмя ко-
сточками, как на тех счетах, что показаны на иллюстрации, нужны
для подсчета рублей и копеек.
В последние годы очевидное удобство счетов для обучения сле-
пых детей арифметике, наконец, привлекло всеобщее внимание, и
специально для этой цели были разработаны счетные доски с мини-
мальным трением. Терране Краммер придумал соробан со вспенен-
ной резиной и фетром под круглыми фишками, который выпускает
Американский печатный дом для слепых, Авеню Франкфорт, 1839?
Луисвилль, штат Кентукки, 40206. Эта фирма выпускает также ру-
ководство к нему, набранное шрифтом Брайля, авторства Фреда
8*
228
Лучшие математические игры и головоломки
Гиссони. Виктор Хаас придумал использовать земное тяготение для
того, чтобы косточки соробана не соскальзывали случайно, разме-
щая их на проволочных стержнях, изгибающихся полукруглой ду-
гой кверху; этот же принцип используется в некоторых конструкци-
ях русских счетов.
Из всех видов вычислений на счетах проще всего овладеть сло-
жением. Для читателей, которым не хватит времени или интереса
научиться движениям пальцев при вычитании (движения при вы-
числениях на счетах должны быть полностью автоматическими; че-
ловек, оставливающийся посреди подсчета, чтобы вспомнить, как
выполнять движения сложения в обратном порядке, умеющим
пользоваться счетами не считается!), найдется старинный метод вы-
читания на счетах при помощи сложения. Вместо того чтобы вычи-
тать меньшее число, вы прибавляете «комплемент» каждой цифры
этого числа относительно 9. Например, вы хотите вычесть 9213 из
456789 на восточных счётах. Отсчитайте на счётах 456789. Мыслен-
но поставьте перед числом 9123 два нуля, чтобы оно было таким же
по длине, как и уменьшаемое. Затем прибавляйте цифры попарно,
как обычно, но слева направо (а не наоборот, как на бумаге), за тем
исключением, что каждую цифру в 009123 вы заменяете ее разницей
с девятью. Короче говоря, к 456789 вы прибавляете 990786. После
получения результата 1447575, вам остается только один маленький
шаг. Уберите одну косточку слева и добавьте одну косточку справа.
У вас получится 447576, верный ответ. На практике это последнее
дополнение опускается, потому что вы не откладываете одну кос-
точку влево во время начального сложения и добавляете одну кос-
точку справа автоматически. Добавочные нули у короткого вычита-
емого также не нужны, если вы помните, что одну косточку нужно
будет убрать не с самой левой стороны, а от первой цифры уменьша-
емого, которая левее числа цифр вычитаемого.
Вычитание путем прибавления комплемента — метод, использу-
емый также комптометрами и высокоскоростными электронно-вы-
числительными машинами. Этот метод годится для любой системы
счисления, при том условии, разумеется, что комплементы соответ-
ствуют основе системы минус единица. Таким образом, в системе с
основой 12 вы прибавляете комплемент к 11. Для компьютеров, ис-
пользующих двоичную систему счисления, комплементация — про-
стая процедура, потому что в этом случае она представляет собой
всего лишь замену всех нулей на единицы и всех единиц — на нули.
Само собой разумеется, что можно изготовить счеты для системы
Абак
229
счисления с любым основанием. Восточные счеты легко адаптиро-
вать к некоторым другим основаниям. В случае двоичной можно ис-
пользовать только «небо» соробана. «Земля» же его может быть при-
менена для подсчетов в системе с основой 5. Таким же образом су-
ань-пань можно использовать для систем с основанием 3 и 6. Для
системы с основанием 4 сосредоточьте свое внимание на верхних
трех косточках ниже планки в обоих вариантах счет. Для системы с
основанием 12 используйте китайские счеты, присваивая верхним
косточкам значение 6 вместо 5.
Прекрасное упражнение для тренировки навыков сложения на
счетах связано со старым числовым фокусом, который иногда пока-
зывают некоторые учителя. «Волшебное число» 12345679 (восьмерки
нет, обратите внимание!) записывается на доске. Школьника вызыва-
ют к доске и просят назвать любую цифру. Допустим, он выбирает 7.
Учитель приписывает 63 снизу от 12345679 и просит ученика перемно-
жить эти числа. Оказывается (надеюсь ко всеобщей радости), что по-
лучившееся произведение состоит целиком из семерок! (Чтобы опре-
делить множитель, учитель просто умножает выбранную цифру на 9.)
Чтобы применить это волшебное число в качестве упражнения
для развития навыка работы на счетах, отсчитайте его на счетах, за-
тем прибавьте к нему его же 8 раз, что эквивалентно умножению его
на 9. Если все восемь сложений выполнены правильно, вы увидите
на счетах ряд из одних единиц (одиночные кости под планкой).
Прибавьте волшебное число к этой сумме еще девять раз и получи-
те ряд из двоек. После еще девяти сложений вы получите число из
одних троек, и так далее, пока, после 80 сложений, вы не получите
ряд из девяток. В этом упражнении должен быть задействован каж-
дый палец. Более того, вы можете легко проверить аккуратность ва-
ших вычислений на любой из девяти стадий, а отмечая время, затра-
ченное на каждой стадии, вы сможете заметить, как день ото дня
растут ваши успехи.
Бесконечное число других «волшебных» чисел обладает теми же
свойствами, что и 12345679, если их умножают на произведение не-
коей цифры d и определенной константы. Например, произведение
37 и 3d состоит исключительно из d - например, 37 X (3 х 8) = 888.
Для 7d наименьшее магическое число — 15873, для 13d это 8547, а
для 99d это 1122334455667789. Такие числа нетрудно найти. Вот про-
стой вопрос: каково наименьшее подобное число для 17d? Другими
словами, какое число, умноженное на 17d, где d — любая цифра, об-
разует число, состоящее целиком из этой цифры?
230
Лучшие математические игры и головоломки
ОТВЕТЫ
В задаче предлагалось найти наименьшее число, которое, если его
умножить на 17d, где d - любая цифра, дает произведение, состоя-
щее только из цифр d.
Такое число обязательно должно образовывать ряд из единиц,
если умножить его на 17, поэтому мы просто делим 1111... на 17 до
тех пор, пока оно не разделится без остатка. Этого мы достигаем,
получив число 65359477124183, ответ на поставленный вопрос. По-
скольку это число, умноженное на 17, равно 1111111111111111, то
умноженное на число 34 = 17 х 2, оно даст ряд из одних двоек, и так
далее для остальных цифр.
Поскольку бесконечная периодическая дробь 0,1111... равна 1/9,
или числу, обратному 9, можно показать, что любое целое «волшеб-
ное» число — это повторяющаяся часть десятичного периода чисел,
обратных нечетным множителям числа 9, не делящихся на 5. В дан-
ном случае «волшебное» число — это десятичный период дроби
1/153, или числа, обратного произведению 9 и 17. Пример нецелого
«волшебного» числа — 1,375. Если умножить его на 8d, произведе-
ние будет состоять только из d, если не считать нули справа от деся-
тичной запятой.
ГЛАВА 19
Палиндромы:
слова и числа
Палиндромом обычно называют слово, предложение или набор
предложений, которые не меняются при прочтении их наоборот.
Этот термин относится также к целым числам, которые не меняют-
ся, если их написать наоборот. Оба типа палиндромов издавна инте-
ресовали тех, кто любит играть со словами и числами, возможно,
из-за глубокого, полубессознательного эстетического удовольствия
от симметрии, которой обладают палиндромы. Свои аналоги у па-
линдромов есть и в других областях: мелодии, которые не меняют-
ся, если их сыграть наоборот, картины и здания с зеркальной сим-
метрией, билатеральная симметрия животных и человека (см. рис.
102) и так далее. В этой главе мы сосредоточим наше внимание на
числовых и языковых палиндромах и рассмотрим некоторые забав-
ные новые достижения в этой области.
Вот, например, старинная гипотеза о палиндроме неизвестного
происхождения (ссылки на нее встречаются с 30-х годов XX в.).
Возьмите любое целое положительное число. Напишите его в об-
ратном порядке и сложите два этих числа. Эту же процедуру повто-
рите с суммой, получив следующую сумму, и так далее то тех пор,
Рис. 102.
Летящая чайка — визуальный палиндром.
232
Лучшие математические игры и головоломки
пока не получится сумма со свойствами палиндрома. Суть гипотезы
в том, что палиндром всегда получается после конечного числа сум-
мирований. Например, 68 образует палиндром в три шага:
68
+ 86
154
+ 451
605
+ 506
1111
Для всех двузначных чисел очевидно, что если сумма их чисел
меньше 10, то первый же шаг ведет к получению двузначного па-
линдрома. Если сумма цифр составляет 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 и 18,
палиндромы получаются после 2, 1,2, 2, 3, 4, 6, и 6 шага соответст-
венно. Как указывает Анджела Данн в книге «Математические барь-
еры» (изд-во McGraw-Hill, 1964), исключением из этого правила яв-
ляются числа, сумма цифр которых равна 17. Этому условию соот-
ветствуют только 89 и 98. Если начать с любого из этих двух чисел,
палиндром не образуется вплоть до 24-го шага, результатом которо-
го будет 8813200023188.
Эта гипотеза до недавнего времени долго считалась верной, од-
нако никому не удалось ее доказать. Чарльз Тригг, калифорнийский
математик, хорошо известный своими занимательными задачами,
изучил этот вопрос более тщательно в своей статье 1967 года «Па-
линдромы путем сложения». Он обнаружил 249 целых чисел мень-
ше 10000, которые не образовали палиндрома даже после сотого ша-
га. Наименьшее из таких чисел, 196, в 1975 году было доведено до
237310-го шага Гарри Саалом из Израильского научного центра. Па-
линдромных сумм обнаружить не удалось. Тригг полагает, что пред-
положение неверно. (Число 196 — это квадрат 14, но, возможно, это
не относящийся к делу факт.) Не считая 249 исключений, все целые
числа менее 10000, кроме 89 и 98, образуют палиндром менее чем за
24 шага. Самый большой палиндром, 16668488486661, образуется из
числа 6999 (и его зеркального отражения 9996) за 20 шагов.
Ни в одной из систем счисления это предположение не удалось
подтвердить, а доказать его неверность удалось только в системах
счисления с основаниями, представляющими собой степени 2
(см. статью авторства Хейко Харборт). Самый маленький пример
Палиндромы: слова и числа
233
противоречия исходному предположению в двоичной системе —
10110 (или 22 в десятичной системе). После четырех сложений сум-
ма составляет 10110100, после 8 — 1011101000, после 12 —
101111010000. Каждый четвертый шаг увеличивает на одну цифру
каждую из двух последовательностей подчеркнутых цифр. Альфред
Бруссо в работе «Палиндромы путем сложения в двоичной системе»
доказывает, что этот асимметричный рисунок далее повторяется
бесконечно. Он также обнаружил подобные асимметричные ри-
сунки из большего числа цифр у двоичных чисел большей вели-
чинь!.
Статей и предположений на тему свойств простых чисел-па-
линдромов немного, но число их растет. Очевидно, что таких про-
стых чисел бесконечно много, хотя, насколько я знаю, это пока
еще никто не доказал. Несложно доказать, однако, что у палинд-
ромического простого числа, за исключением 11, должно быть не-
четное число цифр. Может ли читатель сделать это самостоятель-
но до того, как прочтет простое доказательство в конце главы?
Норман Т. Гриджман выдвинул гипотезу, что существует бесконеч-
ное множество пар простых чисел вида 30103—30203 и
9931399—9932399, в которых все цифры одни и те же, за исключе-
нием средних, которые отличаются на одну. Но предположение
Гриджмана пока не подтверждено.
Густавус Дж. Симмонс написал две работы о палиндромах-степе-
нях. Показав, что вероятность того, что произвольно взятое целое
число окажется палиндромом, стремится к нулю с ростом числа
цифр в этом числе, Симмонс берется за точные квадраты и обнару-
живает, что среди них палиндромов гораздо больше, чем среди про-
извольно взятых целых чисел. Существует бесконечно много квад-
ратов-палиндромов, квадратные корни большинства которых, по-
видимому, тоже палиндромы. Компьютерный анализ всех кубов
меньше чем 2,8 X 1014 выявил воистину поразительный факт. Един-
ственный палиндромный куб среди всех кубов, проанализирован-
ных Симмонсом, кубический корень из которого — не палиндром,
это 10662526601. Его кубический корень, 2201, ранее приметил еще
Тригг, сообщивший в 1961 году, что это единственное непалиндром-
ное число с палиндромным кубом меньше 1953125000000. Пока не-
известно, не является ли 2201 единственным целым числом такого
свойства.
Предпринятый Симмонсом компьютерный поиск среди четвер-
тых степеней-палиндромов вплоть до тех же пределов, до которых
234
Лучшие математические игры и головоломки
ранее были исследованы кубы, не смог обнаружить ни одной чет-
вертой степени-палиндрома, корень четвертой степени из которого
не был бы также палиндромом. Общей для них формы 10...01. Для
степеней от 5 до 10 компьютер не нашел никаких палиндромов во-
обще, за исключением вырожденного случая 1. Симмонс выдвигает
предположение, что не существует палиндромов вида Хк, где к боль-
ше 4.
Числа, состоящие из одних единиц, образуют палиндромные
квадраты, если число единиц от 1 до 9, однако квадраты чисел, в ко-
торых более 10 единиц, непалиндромны. Ранее неверно предполага-
лось, что только у простых чисел могут быть палиндромы-кубы, но
этому противоречит бесконечное множество целых чисел, меньшее
из которых — 111. Оно делится на 3, но его куб, 1367631, — палинд-
ром. Число 836 также представляет особый интерес. Это самое боль-
шое трехзначное целое число, чей квадрат, 698896, является палин-
дромом, и это же число, 698896, — наименьший палиндромный ква-
драт с четным числом цифр. (Обратите внимание также на то, что
это число остается палиндромным, даже если перевернуть его вверх
ногами.) Подобные квадраты-палиндромы встречаются исключи-
тельно редко. Следующий квадрат-палиндром с четным числом
цифр — это 637832238736, квадрат 798644.
Переходя к палиндромам языковым, отметим для начала, что в
английском языке нет слов-палиндромов с числом букв более 7.
Примеры семибуквенных палиндромов — это reviver, repaper, deified
и rotator. Палиндромное слово «радар» замечательно тем, что его со-
здали таким искусственно, чтобы символизировать отражение ра-
диоволн. Дмитрий Боргман, обладатель коллекции из многих тысяч
палиндромов на самых разных языках, пишет в своей книге «Язык
на каникулах», что самое длинное слово-палиндром, не содержащее
дефиса — это saippuakauppias, что по-фински означает «торговец
мылом».
Среди имен собственных на английском языке, если верить
Боргманну, самое длинное носит Wassamassaw (Уассамассау), болото
к северу от г. Чарльстона в Северной Каролине. Согласно легенде,
пишет он, на языке индейцев это означало «худшее место в мире».
Пекарня Yreka Bakery давно находится на Уэст-Майнер-стрит в ка-
лифорнийском городке Yreka. Палиндромны имена таких деятелей,
как Лон Нол, некогда бывшего премьер-министром Кампучии, а
также У Ну, который был премьером в Бирме. Ревило П. Оливер,
преподаватель классической литературы в университете Иллиной-
Палиндромы: слова и числа
235
са, носит то же имя, что и его отец и дед. Оно с самого начала заду-
мывалось как палиндром. Я не знаю, есть ли реальные люди с па-
линдромическими именами длиннее этого, хотя Боргманн и пред-
лагает такие варианты, как Norah Sara Sharon, Edna Lala Lalande,
Duane Rollo Renaud и многие другие.
Существуют тысячи превосходных палиндромов-предложений
на английском языке, некоторые из них упомянуты в главе о игре
слов моей «Шестой книги математических игр из “Сайентифик
Америкен”». Интересующийся вопросом читатель найдет неплохую
подборку в упомянутой выше книге Боргманна, а также в книге Хо-
уарда Бергерсона. Сочинение палиндромов по ночам — неплохой
способ скоротать темное время суток для страдающего бессонни-
цей, о чем с такими забавными подробностями пишет Роджер Энд-
желл в статье «Ацинноссеб» («Бессонница» наоборот) в The New
Yorker. Я ограничусь лишь одним палиндромом, не слишком извест-
ным, однако замечательным как своей длиной, так и естественнос-
тью: «Doc note, I dissent. A fast never prevents a fatness. I diet on cod».
(«Я протестую. Постом не предотвратить полноты. Я на диете из
трески»). Джеймс Мичи получил за него приз на соревновании па-
линдромистов, которое спонсировал английский New Statesman;
результаты были опубликованы в номере за 5 мая 1967 г. Палиндро-
мы лауреатов многих конкурсов гораздо длиннее, чем у Мичи, но,
как это обычно бывает, чем длиннее палиндром, тем непонятнее его
содержание.
Сочинители палиндромов прибегают к различным средствам,
чтобы сделать свои произведения более читаемыми: представляют
их как телеграммы, как телефонный разговор, слышный только с
одной стороны, и т.д. Ли Мерсер, ведущий английский палиндро-
мист (он автор знаменитого «А man, a plan, a canal — Panama!»),
предложил способ написания палиндрома любой желаемой длины.
Предложение должно иметь форму типа ««—», sides reversed, is «—»»
(«—» наоборот будет «—»). Вместо первого тире может быть любая
последовательность букв, вместо второго — она же, но в зеркальном
отражении.
Особенно редко встречаются хорошие палиндромы с именами
американских президентов. Боргманн приводит решительный «Taft:
fat!» («Тафт: тучен!») в качестве одного из самых коротких и лучших.
Имя Ричарда Никсона фигурирует в, пожалуй, несколько надуман-
ном «No «х» in ‘Mr. R.M. Nixon’?» («Нет «х» в [слове] «Р.М. Ни-
ксон»?»)
236
Лучшие математические игры и головоломки
Есть и более короткий, заглавными буквами, вариант этого па-
линдрома, NO X IN NIXON, который можно также переворачивать
вверх ногами.
Тот факт, что по-английски «Бог» («God») наоборот — это «пес»
(dog), сыграл значительную роль в тематике многих палиндромов, а
также в ортодоксальном психоанализе. В работе «Вклад Фрейда в
психиатрию» А.А. Брилл цитирует заходящий довольно далеко ана-
лиз Юнгом и коллегами фобий человека, страдающего подрагива-
нием рук, похожим на тик. Психоаналитики решили, что причиной
тика явилась полученная в раннем возрасте визуальная травма, свя-
занная с собаками. Из-за зеркальности слов «god-dog» и религиоз-
ных убеждений человека его бессознательное выработало этот осо-
бый жест, отгоняющий зловещего «богопса». Частое использование
Эдгаром Алланом По зеркальных слов «dim» и «mid» отмечает Гум-
берт Гумберт, персонаж, от лица которого ведется повествование в
романе Набокова «Лолита». Во второй части поэмы «Бледного ог-
ня», из романа Набокова с одноименным названием, поэт Джон
Шейд рассказывает о пристрастии его умершей дочери к чтению
слов наоборот:
...She twisted words: pot, top,
Spider, redips. And «powder» was «red wop».
Подобные зеркальные пары слов, а также предложения, которые
читаются задом наперед осмысленно, но иначе, чем прямо, — близ-
кие родственники палиндромов, но это большая отдельная тема, и
здесь мы не будем в нее вдаваться.
Палиндромы-предложения, в которых основной единицей слу-
жат не буквы, а слова, — это специальность другого британского ма-
стера игры в слова, Дж. А. Линдона. Приведу два чудесных примера
подобных палиндромов (всего у него их сотни):
«You can cage a swallow, can’t you, but you can’t swallow a cage, can
you?»
(«Ты можешь запереть ласточку в клетку, не так ли, но ты не мо-
жешь проглотить клетку, не так ли?»)
и
«Girl, bathing on Bikini, eyeing boy, finds boy eyeing bikini on bathing
girl»
(«Девушка, купающаяся на Бикини, глядя на парня, видит, что
парень глядит на бикини на купающейся девушке»)
Палиндромы: слова и числа
237
Попыток написания поэм-палиндромов, в которых отдельными
единицами выступали бы буквы, было предпринято немало, но все
они бессмысленны, лишены рифм и многих иных поэтических до-
стоинств. Несколько лучших результатов можно достичь, делая па-
линдромом не весь стих в целом, а его отдельные строки, либо ис-
пользуя в качестве единиц палиндрома слова. Линдон написал не-
мало стихов того и другого рода. Третий тип палиндромов, изобре-
тенный Линдоном, в качестве единиц использует строчки. Стихо-
творение не меняется, если его строчки читаются прямо, но в обрат-
ной последовательности. Разумеется, когда строчка повторяется во
второй раз, пунктуацию в ней можно изменить. Нижеследующий
пример - одно из лучших творений Линдона:
As I was passing near the jail
I met a man, but hurried by.
His face was ghastly, grimly pale.
He had a gun. I wondered why
He had. A gun? I wondered ... why,
His face was ghastly! Grimly pale,
I met a man, but hurried by,
As I was passing near the jail.
(Проходя мимо тюрьмы
Я увидел человека, но поспешил прочь,
его лицо было ужасно, мрачно и бледно.
У него было ружье. Я недоул?евал: как же?
У него было... ружье? Я недоумевал, как же
его лицо было ужасно! Мрачный и бледный,
я увидел человека, но поспешил прочь,
проходя мимо тюрьмы.)
Следующее, более длинное, также принадлежит перу Линдона.
Оба стихотворения приведены в сборнике Хоуарда Бергерсона «Па-
линдромы и анаграммы» (Dover, 1973).
Двойник
В пустынном доме со своей женой
Я увидал его впервые:
Тайком из-за куста,
Как движущаяся темнота,
238
Лучшие математические игры и головоломки
Как тень среди теней,
На миг — отблеск горящих глаз
В зазубренной луне.
Вот ближе; обернулся он,
И прочь, бежать.
Я не решился
(Почему, не знаю сам),
Хотя и знал, что действовать пора.
Я прятался, я размышлял над этим,
Вот женщина идет одна к воротам:
Пришел и он, я вижу, он крадется
За ночью ночь.
За ночью ночь,
Пришел и он, я вижу; он крадется;
Вот женщина идет одна к воротам.
Я прятался — я размышлял над этим,
Хотя и знал, что действовать пора;
Почему, не знаю сам,
И прочь, бежать.
Вот ближе; обернулся он.
В зазубренной луне
На миг - отблеск горящих глаз;
Как тень среди теней,
-Как движущаяся темнота,
Тайком из-за куста,
Я увидал его, впервые
В пустынном доме со своей женой.
Линдону также принадлежит и рекордное по длине слово, встав-
ленное в буквенный палиндром. Чтобы понять, о чем в нем идет
речь, нужно предварительно знать, что у некой дамы по имени Бе-
рил есть муж, предпочитающий разгуливать по двору без одежды.
Нед спрашивает его, не делает ли он это для того, чтобы позлить же-
ну. Тот отвечает: «Named undenominationally rebel, I rile Beryl? La, no!
I tan. I’m, О Ned, nude, man!» («Поименован бунтарем, я раздражаю
Берил? Ха, нет! Я загораю. Я ведь, о Нед, гол!»
Палиндромы: слова и числа
239
ПРИЛОЖЕНИЕ
А. Росс Экклер, издатель и редактор ежеквартального журнала
Word Ways, посвященного игре слов, в котором увидели свет десят-
ки статей о палиндромах всех видов, написал мне, сообщив, что раз-
рыв между английским и другими языками по длине возможных
слов-палиндромов, вероятно, не столь велик, как я предполагал.
Слово «semitime» (во втором издании словаря Webster) может быть
употреблено во множественном числе, тогда оно станет палиндро-
мом из 9 букв, а в третьем издании того же словаря есть еще более
длинное слово «kinnikinnik» (растение «медвежье ушко»). Дмитрий
Боргманн отмечал в журнале Word Ways, сообщает Экклер, что в ре-
зультате изучения иностранных словарей не обнаружено таких
длинных слов-палиндромов, как финский торговец мылом, и пред-
полагает, что они созданы искусственно.
Среди городов-палиндромов в Соединенных Штатах Боргманн
нашел семибуквенный Оконоко (в Западной Виргинии). Если штат
(или его сокращение), в котором расположен город, включать в па-
линдром, то добавляются Аполло, Па., и Адавен, Невада. Названия
некоторых американских городов, пишет Экклер, образуют наме-
ренные зеркальные пары, например, Орестод и Дотсеро в округе
Игл, штат Колорадо, и Колвер и Ревлок, в округе Кембрия, штат
Пенсильвания. Нова и Авон в штате Огайо — случайная зеркальная
пара.
Джордж Л. Харт III прислал нижеследующее письмо, опублико-
ванное в журнале «Сайентифик Америкен» за ноябрь 1970 г.:
Господа,
Вдогонку к вашему спору о палиндромах я хотел бы предложить
пример того, что, как я полагаю, представляет собой наиболее слож-
ный и изысканный вид палиндрома за всю его историю. Он был
изобретен санскритскими эстетами, называвшими его «сарватобха-
дра», что означает «совершенный во всех отношениях». Самый из-
вестный пример подобных палиндромов демонстрирует эпическая
поэма (Сисупалавадха)
sa-ka-ra-na-na-ra-ka-sa
ka-ya-sa-da-da-sa-ya-ka
ra-sa-ha-va-va-ha-sa-ra
na-da-va-da-da-va-da-na
(na da va da da va da na
240
Лучшие математические игры и головоломки
га sa ha va va ha sa ra
ka ya sa da da sa ya ka
sa ka ra na na ra ka sa).
Черточки обозначают, что следующий слог относится к тому же
самому слову. Последние четыре строчки, представляющие собой
инверсию четырех первых, не являются частью стихотворения, но
приведены для того, чтобы его свойства были более очевидны.
Этот стих описывает армию и может быть переведен следующим
образом: [Та армия], что наслаждалась битвой (rasahava), с дружи-
ной, повергшей наземь (дух) и походку своих многочисленных
рьяных врагов (sakarananarakasakayasadadasayaka), и в ней ржанье
лучших скакунов соперничало с музыкальными инструментами
(vahasaranadavadadavadana)».
Два читателя, Д.М. Ганн и Розина Уилсон, сообщили мне при-
скорбную новость, что пекарня Yreka bakery более не существует. За-
то в 1970 году ее слава перешла к галерее Yrella Gallery, и в качестве
подтверждения мисс Уилсон прислала фотоснимок вывески гале-
реи. Сохранилась ли эта галерея или нет, мне неизвестно.
ОТВЕТЫ
Читателю предлагалось доказать, что ни одно простое число, кроме
11, не может быть палиндромом, если в нем четное количество
цифр. Доказательство использует хорошо известный признак дели-
мости на 11 (доказательство которого здесь приведено не будет): ес-
ли разница между суммами всех цифр в четных и всех цифр в не-
четных положениях равна нулю или одиннадцати, то число делит-
ся на 11. Когда у палиндрома четное число цифр, цифры в нечетных
положениях неизбежно совпадают с цифрами в четных, поэтому
разница между суммами двух множеств должна быть равна нулю.
Таким образом, весь палиндром делится на 11 и не может быть про-
стым числом.
То же правило делимости применимо к системам счисления с
любой основой, когда фактор делимости равен основе плюс едини-
ца. Таким образом, в любой системе счисления палиндром с четным
числом цифр не может быть простым числом, за возможным ис-
ключением 11. Число 11 в системе будет простым, если основа сис-
темы на единицу меньше простого числа, как в случае десятичной.
ГЛАВА 20
Долларовые
банкноты
Огромное разнообразие небольших предметов, созданных челове-
ком, открывает широкий простор для задач и фокусов, некоторые
из которых вполне математического свойства.
Забавный трюк со складыванием купюры, основанный на сим-
метрии прямоугольной банкноты, хорошо известен многим фокус-
никам. Иллюзионист держит банкноту за края, портретом Дж. Ва-
шингтона вверх (см. рис. 103). Он складывает купюру пополам по
длинной оси, затем по короткой влево и еще раз влево. После этого
он разворачивает купюру, очевидно повторяя свои действия в обрат-
ном порядке, но теперь Вашингтон оказывается вниз головой! Когда
зрители пытаются воспроизвести фокус, купюра упорно «отказыва-
ется» переворачиваться.
Секрет заключается во втором сгибе. Обратите внимание, что
при этом правая часть загибается ПОД левую. Третий сгиб выполня-
ется противоположным образом. Когда фокусник расправляет две
складки, он раскрывает обе вперед. Эти действия аналогичны пово-
роту купюры на 180 градусов вдоль вертикальной оси, что легко ви-
деть, сравнивая банкноту на стадии 2 с банкнотой на стадии 6. По-
следний переворот кажется удивительным, даже если знать, отчего
он происходит, следует немного потренироваться, чтобы все три
складывания выполнялись ровно, гладко и быстро. Разворачивать
купюру, напротив, следует медленно и нарочито, заявляя при этом
(фокусники имеют право привирать), что вы повторяете в обратном
порядке те же самые три шага.
242
Лучшие математические игры и головоломки
Рис. 103.
Переворачивание купюры.
Долларовые банкноты
243
Знатоки оригами посвятили немало времени изобретению спо-
собов складывать из долларовых купюр кольца, галстуки, павлинов,
кроликов в шляпе: два труда на эту' тему были опубликованы Ир-
ландской магической компанией Чикаго: «Книга о складывании
фигур из денег» Адольфо Серседы (1963) и «Книга о складывании
фигур из денег № 2» Сэмюэля и Джин Рэндлетов (1968). Фигуры,
описанные в этой книге, довольно сложно складывать, но вот вам
одна задача на сложение, которая достаточно проста, чтобы решить
ее самостоятельно. Как сделать на долларовой купюре две складки
так, чтобы получилось изображение гриба?
У каждой купюры имеется индивидуальный серийный номер из
восьми цифр, и, разумеется, эти числа возможно использовать в раз-
личного рода математических диверсиях. Приходилось ли читателе
когда-либо играть в долларовый покер? Каждый из игроков достает
из кармана по купюре, затем двое по очереди делают ставки, исполь-
зуя цифры серийного номера, как если бы они были картами. Стри-
ты и фул-хаусы запрещены, однако наборы одинаковых чисел могут
идти дальше пяти одинаковых. На каждый ход игрок должен повы-
сить ставку или принять ее (сделать «Call»). После принятия ставки
два номера проверяют и игроку, сделавшему последнюю ставку, раз-
решают проверить обе банкноты, чтобы подтвердить свою ставку. На-
пример, если он поставил шесть троек, и на его банкноте только две
тройки, а на банкноте соперника 4 или более, он выигрывает доллар
соперника. В противном случае его доллар переходит к сопернику.
Трюк, который очень любил Ройял В. Хит, нью-йоркский сток-
брокер и фокусник-любитель, в 1933 году написавший книгу под
названием «Матемагия», начинается с того, что кого-нибудь просят
достать один доллар и посмотреть на его серийный номер. Он назы-
вает сумму первой и последней цифры, затем сумму второй и треть-
ей цифры, третьей и четвертой, четвертой и пятой и так далее до
конца. В качестве восьмой и последней суммы он складывает по-
следнее и второе число. Исполнитель фокуса записывает все эти
суммы в порядке их называния. Безо всяких письменных подсчетов
он легко называет серийный номер купюры.
Задача заключается в том, чтобы быстро решить систему из вось-
ми уравнений. Решение восходит к Диофанту, математику III в.,
жившему в Александрии; самое раннее упоминание об этой задаче,
как о фокусе, встречается в «Задачах занятных и приятных» Клода
Гаспара Баше (1612 г.), задача VII. Для вычисления исходного числа
есть простая процедура. Сложите вторую, четвертую, шестую и вось-
244
Лучшие математические игры и головоломки
мую суммы; вычтите из этого числа сумму третьей, пятой и седьмой
сумм; поделите результат пополам. Это можно легко сделать в уме,
пока суммы называют. Начиная со второй суммы, числа поперемен-
но вычитают и складывают, как показано схематически на рис. 104.
Деление конечного результата пополам дает вторую цифру серийно-
го номера. Вместо того чтобы называть ее, однако, исполнитель вы-
читает ее из первой суммы, чтобы написать и назвать первую цифру
суммы. Назвать оставшиеся цифры просто. Вторая нам уже извест-
на. Вычитание ее из второй суммы дает нам третью, вычитание тре-
тьей из третьей суммы дает нам четвертую, и так далее до конца.
Этот трюк не ограничен цифрами восьмизначных чисел. Он
применим для любых последовательностей действительных чисел,
положительных и отрицательных, рациональных и иррациональ-
ных. Если в серии четное число членов, используется описанная вы-
ше процедура. Если число членов нечетное, вы просите, чтобы по-
следняя сумма была суммой последнего и первого члена. Вместо то-
го чтобы игнорировать первую сумму, начните с нее и попеременно
вычитайте и прибавляйте. Деление пополам конечного результата в
этом случае дает первый, а не второй член исходной серии. Допус-
тим, например, что наш ряд чисел таков: 100, —27, 2/3, —1, 2456.
Суммы пар: 14-7 + 5 - 3 + 9- 13 +13 = 18
18/2 = 9 (вторая цифра серийного номера)
Рис. 104.
Древняя формула в основе трюка с долларом.
Долларовые банкноты
245
Пять сумм будут следующими: 73, -26%, —1/3, 2455 и 2556. Если их
последовательно вычесть и сложить, получится 200. Половина от
200 — это 100^ первое число ряда. (Головоломки, основанные на
этом материале, см. в Узле IV «А tangled tale» Льюиса Кэрролла.)
Многие фокусы с серийными номерами основаны на том, что
фокусники называют «принципом девяток», который, в свою оче-
редь, возникает оттого, что наша система исчисления основана на
десяти. Попросите кого-нибудь достать доллар, пока вы стоите, по-
вернувшись к нему спиной. Пусть он запишет его серийный номер.
Попросите его «перемешать» его восемь цифр, то есть записать его
цифры 6 произвольном порядке, получив второе число, а затем вы-
честь из большего числа меньшее. Все еще отвернувшись, попроси-
те его вычеркнуть любую цифру (кроме нуля) в ответе и назвать
вслух, в любом порядке, оставшиеся цифры. Вы немедленно назы-
ваете ту цифру, которую он вычеркнул.
Секрет тут в том, что если взять любое число, перемешать его циф-
ры и затем вычесть из большего числа меньшее, у разности будет ци-
фровой корень 9. Поясню на примере, что это такое. Допустим, серий-
ный номер — 06281377, перестановкой мы получаем число 87310267.
Разница составляет 81028890. Цифровой корень числа получают, скла-
дывая цифры в произвольном порядке, опуская при этом попадающи-
еся девятки. Восемь плюс один плюс два равно 11, в уме вы складыва-
ете две единицы и запоминаете только 2, что все равно, что вычесть 9
из 11. Продолжайте в том же духе, складывая цифры каждый раз, как в
частичной сумме окажется больше одной цифры. Единственная циф-
ра в конце и есть цифровой корень. Поскольку число, полученное опи-
санной выше процедурой, обязательно будет иметь цифровой корень
9, недостающую цифру определить легко. Просто складывайте цифры
в уме в порядке их называния, отбрасывая при этом девятки. Если ито-
говая цифра — 9, ваш зритель вычеркнул 9. Во всех остальных случаях
вычтите конечную цифру из 9 и получите вычеркнутую цифру.
Многие другие процедуры также в итоге приводят к числам с циф-
ровым корнем 9. Например, зрители могут сложить все цифры серий-
ного номера, затем вычесть это число из серийного номера. Можно
также сложить все цифры, умножить на 8 и прибавить полученное
произведение к исходному числу. Вместо того чтобы называть цифру,
вычеркнутую из последнего результата, вы можете подсчитать возраст
зрителя, попросив его прибавить свой возраст к последнему числу и
назвать цифры суммы в произвольном порядке. Вы же получаете циф-
ровой корень из последнего числа, а затем прибавляете к нему девятки
246
Лучшие математические игры и головоломки
до тех пор, пока не получите число, соответствующее, по вашему мне-
нию, возрасту зрителя. Допустим, зритель-женщина выполняет любую
из описанных выше процедур, приводящих к числу с цифровым кор-
нем 9. Она прибавляет к нему свой возраст и называет цифры в нем в
измененном порядке. Допустим, они дают в сумме цифровой корень 4.
В уме вы попросту отсчитываете 4—13—22—31—40—49 и т. д., выбирая
число, которое скорее всего соответствует ее возрасту.
Для другого трюка, основанного на принципе девяти, найдите ку-
пюру с цифровым корнем 9 и носите ее с собой. Вы просите кого-ни-
будь написать произвольные восемь цифр, но прежде чем он начнет,
вас якобы внезапно осеняет идея. Достаньте купюру и попросите его
воспользоваться серийным номером; это удобный способ, объясните
вы, получить случайный набор цифр. Пока вы отвернулись, он пере-
ставляет цифры в числе и складывает второе число с первым, затем
вы применяете любой из описанных выше трюков. На самом деле он
может получить путем перестановки цифр столько чисел, сколько
пожелает: их сумма всегда будет иметь цифровой корень 9. Если он
переставит цифры и умножит полученное на любое число, цифровой
корень произведения все равно будет 9. Если он заподозрит, что ваша
банкнота какая-то особая, и настоит на том, чтобы взять вместо нее
его собственную, переключитесь на описанные выше процедуры.
Несколько сложнее разобраться в том, как устроена следующая
загадка на основе серийных номеров купюр, впервые появившаяся
в иллюзионистском периодическом издании с необычным названи-
ем «Похоронное обозрение» (The Pallbearers Review), за октябрь
1967 г., с. 127; декабрь 1967 г., с. 144. Зритель записывает серийный
номер своего доллара, переписывает его в обратном порядке и скла-
дывает два этих числа. Он вычеркивает любую цифру и зачитывает
результат вслух, заменяя недостающую цифру буквой «икс». Допус-
тим, серийный номер доллара 30956714. Зритель начинает с того,
что прибавляет это число к числу с обратным порядком цифр,
41765903. Он вычеркивает из суммы 6 и зачитывает вслух: 72722x17.
Как вам вычислить вычеркнутую цифру?
Разумеется, серийные номера купюр служат в основном для того,
чтобы препятствовать различным видам криминальной деятельнос-
ти, однако существует по крайней мере один способ мелкого мошен-
ничества, в котором серийный номер купюры играет ключевую роль.
Время от времени эта жульническая проделка вновь всплывает то в
одном, то в другом американском баре. Человек у одного конца стой-
ки начинает показывать фокусы, развлекая бармена и находящихся
Долларовые банкноты
247
неподалеку посетителей. После нескольких удачных трюков он объ-
являет, что сейчас покажет самый сенсационный из известных ему
фокусов. Для него нужна купюра в 10 долларов. Он просит бармена
одолжить ему такую купюру, а в доказательство того, что ничего с ку-
пюрой не случится, просит записать ее серийный номер. Затем фо-
кусник складывает купюру и, как кажется всем присутствующим, за-
печатывает ее в конверт. На самом деле купюра проходит через щель
в конверте и зажимается в ладони. Конверт якобы с купюрой, а на де-
ле пустой, сжигается в пепельнице. Пока конверт горит, фокусник
тайно передает купюру сообщнику, который в это время как бы слу-
чайно проходит к другому концу стойки. Этой купюрой сообщник
расплачивается с другим барменом за заказанный напиток. После то-
го как конверт догорит, фокусник говорит бармену, что сгоревшую
купюру он найдет внутри кассы. Купюра действительно оказывается
там, ее серийный номер торжественно сверяют, все поражены, а двое
мошенников удаляются, выручив примерно девять долларов.
Знает ли читатель, как использовать доллар в качестве рулетки?
Расстояние от правой стороны щита ниже орла до правого края ку-
пюры равно одному дюйму. Ширина словосочетания «United States»
наверху зеленой стороны равна двум дюймам. Прямоугольник со
словами «Federal reserve note» сверху лицевой стороны доллара ши-
риной в три дюйма. Сама купюра лишь на три шестнадцатых дюйма
длиннее шести дюймов. Если не считать одну кайму, получится рас-
стояние, очень близкое к шести дюймам.
Завершает главу серия головоломок и задач, в которых речь идет
о купюре в один доллар, если только это не оговорено особо:
1. Цифра 1 на одном долларе повторяется 10 раз, не считая цифр
серийного номера, не считая 1, начинающий год серии, а также
римское I внизу пирамиды. Сколько раз на банкноте повторяется
слово, обозначающее «один»?
2. Сколько раз слово «ten» (десять) повторяется на купюре в 10
долларов?
3. Найдите на долларе дату «1776».
4. Найдите изображение ключа.
5. Найдите слово, представляющее собой анаграмму слова «poet-
ics».
6. Найдите слово, представляющее собой анаграмму слов «а night
show».
7. Найдите следующие слова из четырех букв: «sofa», «dose»,
«shin», «oral», «eats», «fame», «isle», «loft».
248
Лучшие математические игры и головоломки
8. Найдите «Esau» и «Iva».
9. Найдите фразу «at sea».
10. Найдите испанское слово, написанное вверх ногами.
11. Найдите слово с буквой «О», которая произносится как «W».
12. Что означает глаз над пирамидой и кто его там разместил?
13. На пятидолларовой купюре найдите «New Jersey» и номер 172.
14. Если подбросить купюру в пять долларов в воздух, какова ве-
роятность, что она приземлится так, что на верхней стороне будет
портрет Линкольна?
ОТВЕТЫ
Первой задачей было сложить доллар так, чтобы получился грибо-
чек. Ответ виден на рис. 105.
Вторая задача была о сумме серийного номера купюры и числа с
обратным ему порядком цифр. Когда любое число с четным числом
цифр прибавляют к числу с обратным ему порядком цифр, сумма все-
гда делится на 11. А у всех чисел, делящихся на 11, есть следующее
свойство: либо сумма цифр в нечетных положениях равна сумме цифр
в четных положениях, либо эти суммы различаются на число, кратное
11. Отсюда можно вывести способ определения цифры, вычеркнутой
из суммы серийного номера и числа с обратным ему порядком цифр.
Попросту получите две суммы — цифр в четном и цифр в нечетном по-
ложениях, затем присвойте пропущенной цифре значение х, которое
сделает разницу между этими двумя числами равной либо нулю, либо
числу, кратному 11. Например, зритель называет число 72722x17. Сум-
ма четных цифр равна 17, нечетных — 11 + х. Поскольку х - цифра в
Рис. 105.
Как сложить 1 доллар, чтобы получился грибок.-
Долларовые банкноты
249
нечетной позиции, она должна дополнять 11 до 17. Отсюда х = 6. Ес-
ли в позиции, в которой находится х, сумма цифр больше 17, напри-
мер 19, вы прибавляете 11 к 17, получая 28, затем вычитаете 19, полу-
чая 9, вычеркнутую цифру. (Иначе вы можете вычесть 11 из 19, полу-
чив 8, затем вычесть 8 из 17, получив 9.) Если сумма цифр в том же по-
ложении, четном или нечетном, в котором находится х, меньше дру-
гой суммы и отличается от нее более чем на 11, добавьте 11 и вычтите.
Если суммы цифр в двух положениях равные, то вычеркнут ноль.
Ответы на короткие вопросы:
1. Слово, обозначающее «один», встречается на купюре в один
доллар девять раз. Не забыли ли вы слово «unum»?
2. Слово «ten» («десять») повторяется на десятидолларовой банк-
ноте 13 раз. Не проглядели ли вы его в словах «tender» и «septent»?
3. Дата 1776 написана римскими цифрами у основания пирамиды.
4. Дверной ключ виден на зеленой печати с лицевой стороны ку-
пюры.
5. Анаграмма слова «poetics» — слово «coeptis» (над пирамидой).
6. «Washington» — это анаграмма выражения «а night show».
7. «Sofa» в «United States of America», «dose» в латинской фразе под
пирамидой, «shin» в «Washington», «oral» в «for all debts», «eats» в «great
seal», «fame» в «of America», «isle» в «is legal», «loft» в «great seal of the».
8. «Esau» в «Thesaur» (в зеленой печати). «Iva» в «private».
9. «At sea» в «great seal».
10. Перевернутое испанское слово — si (например, в «this note is
legal...»). Наш читатель Скотт Браун нашел еще четыре: «о», «по»,
«ш», «os».
11. В слове «опе» «о» читается как «w».
12. Глаз над пирамидой — это «Око провидения». Изображение
его было предложено Бенджамином Франклином, чтобы подчерк-
нуть, что Союз, символически выраженный тринадцатью ступеня-
ми пирамиды, всегда будет под неусыпным оком Господа.
13. На пятидолларовой купюре «New Jersey» — название штата
над третьей и четвертой колонной мемориала Линкольна. Чтобы
увидеть его, нужно увеличительное стекло. Число 172 крупными ци-
фрами можно увидеть в листве у основания мемориала, слева. Это
число можно прочитать и как 3172, но тройка не так различима, как
остальные цифры.
14. Вероятность равна единице. На оборотной стороне пятидол-
ларовой банкноты изображена статуя Линкольна внутри одноимен-
ного мемориала.
Постскриптум
1. Оптические иллюзии
С тех пор как эта книга впервые вышла в свет, было обнаружено
множество принципиально новых оптических иллюзий. Некоторые
вы найдете в ссылках, добавленных к библиографии. Эффектные
демонстрации недавно открытых иллюзий ждут читателей в Экс-
плоратории, знаменитом музее науки в Сан-Франциско.
2. Спички
Разумеется, существуют сотни, а возможно, и тысячи, головоло-
мок, фокусов и задач со спичками, которые просто не могли войти
в соответствующую главу. Некоторые вошли в более поздние сбор-
ники моих журнальных колонок. Однако я не могу устоять перед ис-
кушением добавить здесь сложную малоизвестную головоломку не-
известного происхождения. Я узнал о ней от своего друга, Мела
Стоувера из Виннипега.
Расположите пять спичек так, чтобы получился жираф, глядя-
щий влево:
Постскриптум
251
Лучше сразу отделить головки спичек или использовать зубочи-
стки, потому что ориентация головок спичек в этом случае совер-
шенно не важна. Задача состоит в том, чтобы, изменив положение
только одной спички, сохранить исходную фигуру. Второй «жираф»
может быть повернут по отношению к первому и/или быть его зер-
кальным отражением. Ответ я приводить не буду, чтобы не испор-
тить читателям все удовольствие. Многие часами бьются над этой
задачей, прежде чем, наконец, их не осеняет: «Ага!»
3. Сферы и гиперсферы
В последние два десятилетия достигнут огромный прогресс в
поисках максимально плотного размещения сфер в измерениях от
3 и выше. Во многом интерес к плотной упаковке вызван тем, что
эта тема оказалась родственна проблеме создания кодов, исправля-
ющих ошибки, — способов посылать цифровые сигналы так, чтобы
минимизировать искажения, вызванные шумом в каналах. Лучшее
неспециальное объяснение того, как это происходит, вы найдете в
статье Нейла Слоуна в журнале «Сайентифик Америкен» за 1984 г.,
упомянутой в библиографии. Вдобавок к применению в задачах на
плотное размещение сфер, эти же принципы применяются при со-
здании аналогово-цифровых компьютерных преобразователей, а
также имеют отношение к свойствам жидкостей и твердых веществ.
Удивительно, что максимально плотная упаковка доказана только
для «сфер» одного и двух измерений. В трехмерном пространстве гра-
ницентрированная кубическая упаковка, заполняющая пространства
(несколько более 74%), несомненно, является оптимальной. Кеплер
в своем маленьком трактате о снежинках называл ее лучшей, того
же мнения придерживался и Бакминистер Фуллер, в своей книге
«Синергетика», хотя ни тот, ни другой не приводили доказательств.
В 1988 году было показано, что плотность не может превышать 77 про-
центов. Гилберт в своем знаменитом списке основных нерешенных
задач от 1900 года упоминает необходимость доказать, что грани-
центрированная кубическая решетка является наиболее плотной.
В 1990 году By-И Сянь в Калифорнийском университете в Беркли
объявил о доказанности, но доказательство его длинное и сложное и к
моменту, когда я это пишу, еще не считается подтвержденным.
В 1980 г. Ноам Элкис из Гарварда нашел умный способ строить
решетки для плотного размещения из эллиптических кривых. Его
техника привела к открытию нескольких улучшенных размещений,
хотя почему это работает, пока не понятно.
252
Лучшие математические игры и головоломки
Нижеприведенная таблица дает число взаимно соприкасающих-
ся сфер в наиболее плотном размещении из известных в простран-
ствах с мерностью от 4 до 13:
4-24
5-40
6-72
7 - 126
8 - 240
9 - 272
10 - 372
11 - 566
12 - 756
13 - ИЗО
Для четырехмерного мира в настоящее время известно, что чис-
ло взаимно соприкасающихся сфер должно быть либо 24, либо 25.
В восьмимерном и двенадцатимерном пространствах размещение
необычно плотное и почти наверняка наилучшее.
Одним из наиболее важных среди недавних открытий было най-
денное Личем размещение в 24-мерном пространстве, в котором
каждая сфера касается 196500 других. В 1968 году Джон Конвей
сконструировал группу симметрии для этой решетки. В ней
8315553613086720000 элементов. В 1979 году Нейл Слоун и Эндрю
Одлыжко, оба из лабораторий Белла, доказали, что не более 196560
гиперсфер могут касаться одной гиперсферы в 24-мерном прост-
ранстве, но пока не доказано, что какое-нибудь нематричное разме-
щение не может оказаться более плотным.
Разрезание решетки Лича различными способами порождает на-
иболее плотные из известных размещений для всех пространств с
мерностью меньше 24, за исключением 10-, 11- и 13-мерного прост-
ранств. О размещении в пространствах мерностью выше 24 извест-
но мало. Когда число измерений приближается к 1000, случайное
размещение дает более плотные результаты по сравнению с любым
матричным размещением.
9. Могут ли машины думать?
Жаркие, порой злобные споры в настоящее время вызывает во-
прос, смогут ли компьютеры, подобные тем, которые мы умеем де-
лать — из проводов и выключателей, — когда-либо развить сознание,
Постскриптум
253
свободу воли и способность выполнять творческие задачи, которые
сегодня выполняют люди. К тем, кто убежден, что компьютеры ког-
да-нибудь достигнут этой цели, относится большинство лидеров AI
(Artificial Intelligence, искусственный интеллект). Ганс Моравиц в
своей книге «Дети разума» предсказывал даже, что эта цель будет
достигнута в ближайшие пятьдесят лет.
Среди философов главным противником этой точки зрения яв-
ляется Джон Сёрль. Его знаменитый мыслительный эксперимент
«Китайская комната», широко обсуждаемый в наши дни, задуман
для демонстрации того, что как бы быстры и сложны ни были наши
компьютеры, они не более чем оперируют символами, ничего не оз-
начающими для самой машины. Компьютеры играют в шахматы на
уровне гроссмейстеров, но знают ли они, что играют в шахматы?
«Знает» ли компьютер о том, что он делает, хоть в каком-то смысле
больше, чем пылесос, который чистит ковер?
Самые сильные нападки на точку зрения, что компьютеры дума-
ют способом, аналогичным нашему, можно увидеть в работе «Но-
вый разум короля» британского физика-математика Роджера Пен-
роуза. Не стоит предполагать, что Пенроуз защищает «призрака
в машине» или же отказался от мнения, что разум — функция мате-
риального мозга. Центральная идея Пенроуза в том, что мы недо-
статочно знаем о материи, особенно об уровнях ниже квантовой ме-
ханики, чтобы понимать, как наш мозг делает то, что он может де-
лать. Иначе говоря, мы не знаем, насколько сложным должен стать
компьютер, чтобы пересечь грань, отделяющую его от самосозна-
ния, свободы воли, способности создавать плодотворные научные
теории, открывать значимые математические теоремы, писать хоро-
шие стихи и т.д.
В принципе возможно построить машину Тьюринга из детского
конструктора типа «Лего», которая сможет делать все, что умеет эле-
ктронный компьютер. Разумеется, она будет чудовищно громозд-
кой и предельно медленной. Тем не менее ничего из того, что умеет
компьютер из переключателей и проводов, не окажется ей не по си-
лам. Будет ли подобный компьютер, большой и сложный, осозна-
вать себя? Или же для подобной осознанности, размышляет Пенро-
уз, понадобится компьютер, основанный на пока не известных нам
законах физики?
. Согласно заметке из «Уолл-Стрит-Джорнал» (18 марта 1991), близ-
ки к осуществлению планы реально провести тесты Тьюринга. Пер-
вый раунд пройдет в Бостонском компьютерном музее, под руко-
254
Лучшие математические игры и головоломки
водством психолога Роберта Эпстайна. Среди судей будут филосо-
фы У. Квайн и Дэниел Деннет и программист Джозеф Вайценбаум.
Хью Лебнер, бизнесмен из Нью-Йорка, филантроп и компьютер-
ный фанат, обещает приз в сто тысяч долларов первому, кто пройдет
тест Тьюринга, с оговорками, которые еще предстоит выработать.
Меньшие призы достанутся тем, кто наберет высшие баллы на на-
чальных раундах.
Две биографии Тьюринга — среди них берущие за душу воспоми-
нания его матери - перечислены в библиографии. Они рассказыва-
ют о его грустной, эксцентричной жизни, закончившейся вероят-
ным самоубийством в возрасте 42 лет.
10. Циклические числа
Эдвард Кичен, в задаче 1248 («Математический журнал», т. 60,
октябрь 1987, с. 245), обратил внимание на удивительный факт, что
шесть координатных точек (1, 4) (4, 2) (2, 8) (8, 5) (5, 7) и (7, 1) ле-
жат на эллипсе. Другая группа, исследующая все периодические
дроби с периодом из шести цифр, обнаружила, что восемь дробей,
если представить их подобным же образом, располагаются на эл-
липсе, а дроби с периодом в 13 и 17 цифр — на гиперболе. Все дру-
гие периодические дроби с периодом 6, в которых достаточно точек,
чтобы определить кривую, не лежат на конических кривых.
11. Эксцентричные шахматы и другие задачи
Две статьи о проблеме десятизначного числа и ее обобщениях
появились в Mathematical Gazette: «Цепочки с самоописанием»
Майкла МакКея и Майкла Уотермана, т. 66, март 1982 г., с. 1—4, и
«Списки с самоописанием - попытка небольшого исследования»
авторства Тони Гарднера, т. 68, март 1984 г., с. 5—10.
14. Простота
Почти никакого прогресса, а возможно, и совсем никакого не
наблюдалось в поисках способа измерять простоту теории таким об-
разом, чтобы это было полезно для ученых. Одно из последних
предложений, основанное на технике для определения случайных
чисел, состоит в том, чтобы перевести теорию в последовательность
двоичного кода. Простота теории затем определяется по длине
кратчайшей компьютерной программы, необходимой для того, что-
бы напечатать эту последовательность. От этого предложения не
стало легче. Помимо сложностей, связанных с поиском кратчайше-
Постскриптум
255
го алгоритма для длинной двоичной последовательности возник во-
прос, как будет формироваться эта цепочка? Как, например, выра-
зить теорию суперструн цепочкой цифр двоичной системы?
Все ученые соглашаются, что некоторым образом простейшая из
двух теорем, каждая одинаковой объяснительной и предсказатель-
ной силы, имеет больше шансов оказаться плодотворной, но никто
так и не знает, почему. Возможно, потому, что основные законы
природы просты, но кто поручится, что основные законы вообще
существуют? Некоторые физики подозревают, что возможны беско-
нечные уровни сложности. На каждом уровне законы могут стано-
виться все проще, до тех пор, пока экспериментаторы не нажмут
крючок очередной дверцы мышеловки, за которой откроется новый
пласт сложности.
20. Доллары
Колонка Скота Морриса «Игры» в журнале Omni (см. послед-
нюю часть в библиографии) содержит множество новых развлече-
ний с долларовыми купюрами. Вы узнаете, как сложить купюру так,
чтобы, наклоняя ее, заставлять Вашингтона то хмуриться, то улы-
баться. Сколько всего глаз на одном долларе? Два у Джорджа, один
на вершине пирамиды и еще один у орла. Моррис показывает, как
свернуть купюру так, чтобы получились морды двух лупоглазых чу-
довищ, в результате чего общее число глаз вырастет до восьми.
Я полагал, что число 1 на долларе встречается 10 раз, но Моррис
нашел одиннадцатый — в дате 1789 у основания зеленой печати.
«Saw nothing» («ничего не видел») — еще одна анаграмма имени
«Washington».
Научно-популярное издание
Мартин Гарднер
ЛУЧШИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИГРЫ
И ГОЛОВОЛОМКИ,
ИЛИ САМЫЙ НАСТОЯЩИЙ
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ЦИРК
Перевод с английского М.И. Антипина
Зав. редакцией Е. М. Иванова
Редактор И. М. Волцит
Художественный редактор И. В. Шибалкина
Технический редактор М. Н. Курочкина
Компьютерная верстка Е.М. Илюшиной
ООО «Издательство АСТ»
141100, РФ, Московская обл., г. Щёлково, ул. Заречная, д. 96
ООО «Издательство Астрель»
129085, г. Москва, пр-д Ольминского, д. За
Вся информация о книгах и авторах
Издательской группы «АСТ» на сайте
www.ast.ru
По вопросам оптовой покупки книг
Издательской группы «АСТ»'
обращаться по адресу:
г. Москва, Звездный бульвар, д. 21 (7 этаж)
Тел.:616-01-01, 232-17-16
Заказ книг по почте:
123022, Москва, а/я 71, «Книга — почтой»,
или на сайте: shop.avanta.ru
ОАО «Владимирская книжная типография»
600000, г. Владимир, Октябрьский проспект, д. 7.
Качество печати соответствует
качеству предоставленных диапозитивов
Выдающийся популяризатор математики Мартин Гарднер уже многие десятилетия
очаровывает, озадачивает и развлекает множество читателей во всем мире. Его
блистательные и остроумные задачи, чрезвычайно увлекательные рассказы о слож-
ных научных проблемах и удивительных фактах из истории математики, необычайная
эрудиция принесли ему заслуженную славу лучшего автора популярных книг как
среди любителей, так и среди профессиональных математиков.
М. Гарднер - автор более 40 книг, в том числе художественных и философских, лау-
реат многих престижных наград и званий. Он также почетный член Математической
ассоциации США. Другие книги Мартина Гарднера «Калейдоскоп головоломок»,
«Новые математические развлечения», «Математическое шоу» - теперь также
доступны в русском переводе.
«Цирк это веселье и наслаждение, и все это вы найдете в книге Мартина Гарднера.
Эта книга должна обязательно быть в школьной библиотеке и на столе учителя...
Невозможно, прочитав ее, гге ощутить прилив жизненных сил и радостного интереса
к математике, что, несомненно, крайне важно как ученикам, так и учителям».
«Математикой Газетт»
«Его головоломки и парадоксы, игры и развлечения не только дарят читателям
многие часы умственного напряжения и отдыха, но и проверяют способности
к логическому мышлению и точности. Его задачгг упражняют интеллект и не
только увлекают любителей головоломок, но и восхищают и интригуют серьезных
профессиональных математиков, физиков и астрономов».
«Саинс Репортер»
www.elkniga.ru
SBN 978-5-17-058244-0
9 785 70 '582440