Алгебра и начала анализа. 11 класс. Часть 1 - Мордкович А.Г., Семенов П.В.

Автор: Мордкович А.Г. Семенов П.В.
Теги: общее школьное образование общеобразовательная школа анализ алгебра математический анализ функциональный анализ 11 класс
ISBN: 5-346-729-6
Год: 2007
Похожие
Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. В 2 частях. Часть 1
Алгебра и начала математического анализа. 10—11 классы. В 2 частях. Часть 1
Алгебра и начала анализа. 10-11 классы. Учебник
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. Часть 2. Задачник
Текст
                    А. Г. МОРДКОВИЧ, П. В. СЕМЕНОВ _
И НАЧАЛА АНАЛИЗА
ПРОФИЛЬНЫЙ
УРОВЕНЬ
Часть 1
УЧЕБНИК
класс
II

п
fa nJa
V p (cosa + i sina) =
cos
O, 1,2,...,л-

А. Г. МОРДКОВИЧ, П. В. СЕМЕНОВ
АЛГЕБРА
И НАЧАЛА анализа
11
класс
В двух ч а стях
Часть 1
УЧЕБНИК
для общеобразовательных учреждений
(профильный уровень)
Допущено
Министерством образования и науки
Российской Федерации
Москва 2007

УДК 373.167.1:[512+517]
ББК 22.14я721+22.161я721.6
М79
Мордкович А. Г.
М79 Алгебра и начала анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник
для общеобразовательных учреждений (профильный
уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — М. : Мнемозина,
2007. — 287 с. : ил.
ISBN 5-346-729-6
Учебник представляет собой первую часть комплекта из двух книг,
предназначенных для изучения курса алгебры и начал анализа в 11-м классе с
профильной подготовкой по математике (вторая часть — задачник).
Отличительные особенности учебника — доступное изложение материала, большое
число подробно решенных примеров, приоритет
функционально-графической линии, появление ряда новых тем.
УДК 373.167.1:[512+517]
ББК 22.14я721+22.161я721.6
© «Мнемозина», 2007
ISBN 5-346-00728-8(общ.) © Оформление. «Мнемозина», 2007
ISBN 5-346-00729-6 Все права защищены

предисловие для учителя
Издательство «Мнемозина» подготовило
учебный комплект для изучения курса алгебры и начал
анализа в 11-м классе профильной старшей школы,
состоящий из двух книг:
А Г. Мордкович, П. В. Семенов. Алгебра и начала
анализа. Часть 1. Учебник (профильный уровень).
А Г. Мордкович и др. Алгебра и начала анализа.
Часть 2. Задачник (профильный уровень).
Этот комплект — непосредственное
продолжение аналогичного комплекта для 10-го класса. У вас
в руках первая книга — учебник.
Изложение материала дается подробно и
обстоятельно. Во многих случаях материал, который
содержится в том или ином параграфе, сложно успеть
полностью изучить на уроке, но это и не нужно,
поскольку данная книга предназначена в первую
очередь для неспешного домашнего чтения и изучения
школьниками. Опираясь на учебник,мучитель сам
прекрасно разберется в том, что надо рассказать
учащимся на уроке, что порекомендовать им залом-
нить, а что просто прочитать дома (и, возможно,
обсудить на следующем уроке в классе — в жанре
беседы).
В тексте приведено немало примеров с
подробными решениями. На окончание решения примера
указывает либо слово «ответ», либо значок ■. Часть
текста дана петитом; изучать этот материал или
нет — дело учителя.
Главы 2, 3, 4, 6 данной книги во многом
текстуально совпадают с главами 5—8 учебника для
общеобразовательной школы1 (речь идет о главах,
1 Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа, 10—11. В 2 ч. Ч. 1.
Учебник. М., Мнемозина.

посвященных интегралу, корням n-й степени,
степеням и степенной функции, показательной и
логарифмической функциям, уравнениям и неравенствам).
Но есть и отличия: достаточно простые примеры и
рассуждения заменены более сложными и
интересными. Иначе говоря, уровень предъявления
материала в указанных «старых» главах в целом выше,
чем в упомянутом учебнике для
общеобразовательной школы.
И, разумеется, появились новые главы и
параграфы, например: § 10 «Извлечение корней из
комплексных чисел», § 29 «Уравнения и неравенства с
модулями», § 30 «Иррациональные уравнения и
неравенства», § 31 «Доказательство неравенств», § 32
«Уравнения и неравенства с двумя переменными».
Новая глава (глава 1) посвящена многочленам от
одной и нескольких переменных; здесь же
рассматривается теорема Безу, приводится схема Горнера,
обсуждаются различные приемы решения
уравнений высших степеней, уделяется внимание
однородным и симметрическим системам уравнений.
Глава 5 «Элементы теории вероятностей и
математической статистики» является непосредственным
продолжением аналогичной главы из учебника для
10-го класса.
В заключение обратим внимание учителя на то,
что в методическом пособии приведены три
варианта примерного тематического планирования (из
расчета 4, 5 или 6 часов в неделю на изучение курса
алгебры и начал анализа в 11-м классе).

I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
/Многочлены
г
г
Г| I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
гггггггггггггггггггггггп
§ 1. Многочлены от одной переменной
Понятия одночлена, многочлена, стандартного вида
одночлена и многочлена известны вам из курса алгебры 7-го класса. Мы
говорили о том, как многочлены складывают, вычитают,
перемножают, возводят в степень, разлагают на множители. Если,
например, даны два многочлена рг(а; Ь) = ba2b + ab2 и р2(а; Ь) =
= a2b - ab2, то нетрудно составить многочлен р(а; Ь) = рг(а; Ь) -
-р2(а; Ь)у получим р(а; Ь) = (Ъа2Ь + ab2) - (a2b - ab2) = Ьа2Ь + ab2 -
- a2b + ab2 = 4a2b + 2ab2 = 2ab(2a + b). В этом примере
фигурировали многочлены от двух переменных а и Ь.
Особый интерес для математики и ее приложений
представляют многочлены от одной переменной. О них и пойдет речь
в настоящем параграфе.
1. Арифметические операции над многочленами
от одной переменной
Пусть р(х) — многочлен, представляющий собой сумму
одночленов а0, ахху а2х2, а3х3> ..., апхп, где п — натуральное число, а
а0, av а2, а3, ..., ап — произвольные числа, коэффициенты,
причем ап * 0. Условимся располагать эти одночлены по
убывающим степеням переменной ху т. е. записывать многочлен в виде
р(х) = апхп + ... + а3х3 + а2х2 + ахх + а0, и называть эту запись
стандартным видом многочлена р(х). Одночлен апхп называют
старшим членом многочлена р(х), коэффициент ап —
коэффициентом при старшем члене. Если ап = 1, то многочлен называют
приведенным, если же ап Ф 1, то — неприведенным. Одночлен а0
называют свободным членом многочлена р(х). Число п —
показатель степени старшего члена — называют степенью многочлена.
Например, х + 3 — приведенный многочлен первой степени,
-0,5л:5 + Зх2 - 4 — неприведенный многочлен пятой степени,
ах2 + Ьх + с (где а Ф 0) — многочлен второй степени, или
квадратный трехчлен. Впрочем, квадратный трехчлен может не быть

трехчленом в буквальном смысле слова. Например, 2х2 + х —
квадратный трехчлен; здесь а = 2, & = 1, с = 0.
Все не равные нулю числа удобно считать многочленами
нулевой степени; например, число 3 можно (если нужно) представить
в виде Зх°, поскольку х° = 1 (если х * 0).
Каждый многочлен апхп + ап_1хп'1 + ... + а2х2 + а±х + а0 можно
рассматривать, с одной стороны, как алгебраическое выражение,
записанное в виде суммы одночленов и, с другой стороны, как
функцию, которая каждому действительному числу х ставит в
соответствие число апхп + ап_1хп'1 + ... + а2х2 + ахх + а0.
Следующая теорема показывает, что эти две точки зрения
согласованы между собой, т. е. два многочлена одинаковой
степени совпадают как алгебраические выражения в том и только
в том случае, когда они совпадают как функции. Мы приводим
эту теорему без доказательства.
Теорема 1. Два многочлена р(х) и s(x) тождественны тогда
и только тогда, когда они имеют одинаковую степень и
коэффициенты при одноименных степенях переменной в обоих
многочленах равны.
Если, например, дано тождество ах3 + Ьх2 + сх + d = Зх2 -
- 4л: + 1, то на основании теоремы 1 можно сразу сделать вывод
о значениях коэффициентов а, Ь, с, d (их в подобных случаях
называют неопределенными коэффициентами): а = 0 (поскольку в
правой части тождества нет члена с х3), Ь = 3, с = -4, d = 1.
Многочлены от одной переменной, как и любые многочлены,
можно складывать, вычитать, перемножать, возводить в
натуральную степень; при этом снова получается многочлен от одной
переменной. Если складываются или вычитаются два многочлена разной
степени, то в результате получится многочлен, степень которого равна
большей из имеющихся степеней. Если складываются или
вычитаются многочлены одной и той же степени, то в результате
получится многочлен той же или меньшей степени. Например, сложив
многочлены первой степени х + 3 и пятой степени -0,5лг* + Зле2 - 4,
получим -0,5л:5 + Зл:2 + х - 1 — многочлен пятой степени. Сложив
два многочлена третьей степени 2х* + Зл:2 - х и -2х* + Зл: - 4,
получим Зл:2 + 2х - 4 — многочлен второй степени; если же составить
разность этих многочленов, то получится многочлен третьей
степени: (2л:3 + Зл:2 - х) - (-2л:3 + Зл: - 4) = 4л:3 + Зл:2 - 4л: + 4.
Если многочлен р(х) умножается на многочлен s(x), то
старший член произведения равен произведению старших членов
многочленов р(х) и s(x). Поэтому если многочлен р(х) имеет
степень тп, а многочлен s(x) — степень п, то их произведение p(x)s(x)
имеет степень т + п. Например, перемножив многочлен пятой
6

степени -0,5л:5 4- Зх2 - 4 и многочлен первой степени х 4- 3,
получим многочлен шестой степени: (-0,5л:5 4- Зх2 - 4)(л: 4- 3) =
= -0,5л:6 - 1,5л:5 + Зл:3 + 9л:2 - 4л: - 12. Обратите внимание, что
старший член полученного многочлена шестой степени равен
произведению старших членов перемножаемых многочленов:
-0,5л:6 = -0,5л:5 • х.
Если многочлен р(х) степени п возвести в степень т, то
получится многочлен степени пт. Например, возведя многочлен
пятой степени р(х) = -0,5л:5 4- Зл:2 - 4 в квадрат, получим:
(р(х))2 = (-0,5л:5 4- Зх2 - 4)2 = (-0,5х5 + Зл:2 - 4)(-0,5л:5 4- Зл:2 - 4) =
= 0,25л:10 - 1,5л:7 4- 2л:5 - 1,5л:7 4- Эх4 - 12л:2 4- 2л:5 - 12л:2 4- 16 =
= 0,25л:10 - Зл:7 4- 4л:5 4- 9х* - 24л:2 4- 16;
это многочлен 10-й степени (5 • 2 = 10).
В некоторых случаях выполнимо и деление многочлена на
многочлен. Говорят, что многочлен р(х) делится на многочлен s(x),
если существует такой многочлен q(x), что выполняется тождество
р(х) = s(x) • q(x). (1)
При этом используется та же терминология, что и при
делении чисел: р(х) — делимое (или кратное), s(x) — делитель,
q(x) — частное. Впрочем, можно сказать по-другому: s(x) —
частное, a q(x) — делитель.
Например, многочлен х? — Зх2 4- 5л: - 15 делится на многочлен
л:2 4- 5 и на многочлен х - 3, поскольку
Xs - Зх2 4- 5л: - 15 = (л:2 4- 5)(л: - 3).
Многочлены л:24-5ил:-3 — делители многочлена х3 - Зл:2 4-
4- 5л: - 15.
Деление многочлена на многочлен нулевой степени (т. е. на
отличное от нуля число) всегда осуществимо. Например, многочлен
л:2 4- 5 можно представить в виде 7\—х2 4- — . Значит, многочлен
л:2 4- 5 делится на многочлен нулевой степени 7, при этом в частном
получится многочлен — х2 + —. Это явно неинтересная операция,
7 7
поэтому обычно, говоря о делении многочлена на многочлен,
случай деления на многочлен нулевой степени не рассматривают.
2. Деление многочлена на многочлен с остатком
Как и для целых чисел, для многочленов рассматривают
деление с остатком, возможность которого вытекает из
следующей теоремы, которую мы приводим без доказательства.

Теорема 2. Для любых двух многочленов ненулевой степени
р(х) и s(x) существует пара многочленов q(x) и г(х) такая, что
степень многочлена г(х) меньше степени многочлена s(x) и
выполняется тождество
р(х) = s(x)q(x) + r(x). (2)
В формуле (2) многочлен р(х) называют делимым, s(x) —
делителем, q(x) — частным (или неполным частным), а г(х) —
остатком. Формулу (1) можно считать частным случаем
формулы (2) — когда остаток равен нулю.
Степень не равного нулю остатка в формуле (2) должна быть
меньше степени делителя. Если, в частности, в качестве
делителя выступает многочлен первой степени, то в остатке будет
многочлен нулевой степени, т. е. число; если в качестве делителя
выступает многочлен второй степени, то в остатке может быть
число или многочлен первой степени. Степень частного q(x)
равна разности степеней делимого р(х) и делителя s(x) (естественно,
при условии, что степень делителя не больше степени делимого).
Пример 1. Выполнить деление с остатком многочлена
2х2 - х - 3 на х - 2.
Решение. Имеем:
2х2 - х - 3 = 2х2 - 4х + Зх - 6 + 3 = 2х(х - 2) + 3(х - 2) + 3 =
= (х - 2)(2х 4- 3) 4- 3.
Итак,
2х2 - х - 3 = (х - 2)(2х + 3) + 3.
Здесь 2л;2 - х - 3 — делимое, х - 2 — делитель, 2х + 3 —
частное (неполное частное), 3 — остаток. ■
Для деления многочлена р(х) на многочлен s(x) можно
применять правило «деления углом», похожее на правило деления
многозначных чисел. Чтобы получить старший член частного,
делят старший член делимого р(х) на старший член делителя s(x).
Полученный член частного умножают на делитель и
произведение вычитают из делимого. Разделив старший член полученной
первой разности на старший член делителя, находят второй член
частного. Полученный второй член частного умножают на
делитель и произведение вычитают из первой разности. С
полученной второй разностью поступают так же: делят ее старший член
на старший член делителя, находят тем самым третий член
частного, затем умножают его на делитель, произведение вычитают
из второй разности и т. д. Этот процесс либо приведет к делению
многочлена р(х) на многочлен s(x) без остатка, либо на некото-
8

ром шаге получится разность, степень которой меньше степени
делителя, — эта разность и будет остатком т\х).
Выполним, например, деление многочлена 2х2 - х - 3 на
двучлен х - 2:
2х2 - х - 3
2х2 - 4х
х-2
2x4-3
Зх - 3 (первая разность)
Зх-6
3 (вторая разность, остаток)
Итак, 2х2 - х - 3 = (х - 2)(2х 4- 3) + 3 (см. пример 1).
Пример 2. Разделить многочлен Xs - Зх2 4- 5л; - 15 на
многочлен х2 4- 5.
Решение.
х2 + 5
х-3
X3
-
-Зх2 ^
-Зх2
-Зх2
- 5х-
- 5*
—
15
15
15
О
Остаток равен 0, значит, мы выполнили деление без остатка.
Получили: х3 - Зх2 4- 5х - 15 = (х2 4- Ъ)(х - 3). ■
Особую значимость имеет случай деления многочлена на
двучлен х - а.
Теорема 3. Остаток от деления многочлена р(х) ненулевой
степени на двучлен х - а равен р(а) (т. е. значению многочлена
р(х) при х = а).
Доказательство. Если р(х) — делимое, х - а — делитель
(многочлен первой степени), q(x) — частное иг — остаток
(число), то по формуле (2) получаем:
р(х) = (х- a)q(x) 4- г. (3)
Подставив в формулу (3) вместо х значение а, получим р(а) -
= (а - a)q(a) 4- г, т. е. р(а) = г, что и требовалось доказать.
Эту теорему обычно называют теоремой Безу в честь
французского математика Этьена Безу (1730—1783).
Найдем, например, остаток от деления многочлена р(х) =
= 2х2 - х - 3 на двучлен х-2. По теореме Безу остаток равен
р(2). Имеем: р{2) = 2-22-2-3 = 3.
9

Сравните это решение с решением примера 1. Там мы
получили такой же остаток, но по-другому, использовав более
сложные рассуждения.
Если при х = а многочлен р(х) обращается в нуль, т. е.
выполняется равенство р(а) = О, то число а называют корнем многочлена.
Если р(а) = 0, то в формуле (3) г = 0 и она принимает вид р(х) =
= (х - a)q(x). Это значит, что многочлен р(х) делится на х - а. Тем
самым получено следствие из теоремы 3.
Следствие. Если число а является корнем многочлена р(х\
то р(х) делится на двучлен х - а.
Для деления многочлена на двучлен х - а можно
использовать специальный прием, который обычно называют схемой Гор-
нера. Поясним суть этого приема для случая, когда делимое —
многочлен четвертой степени (что, впрочем, непринципиально).
Пусть р(х) = Ьх4 4- сх3 + dx2 + ex + f. Разделив р(х) на х - а,
получим р(х) = (х - a)q(x) 4- г, где q(x) — некоторый многочлен
третьей степени, коэффициенты которого нам пока неизвестны:
q(x) = kx3 + mx2 + пх + s. Итак,
Ьх4 + сх3 + dx2 + ex + f = (kx3 + mx2 + пх 4- s)(x - а) + г. (4)
Раскрыв скобки в правой части тождества (4), получим:
Ьх4 + сх3 + dx2 + ex + f= kx4 + (m - ka)x3 + (n - ma)x2 +
+ (s - na)x + r - sa.
Воспользовавшись теоремой 1 о тождественности двух
многочленов, приходим к следующей системе равенств: Ъ = ky с =
= т - ka, d = n - та, е = s - na9 f= r - sa. Это значит, что
неопределенные коэффициенты k, m, n, s, r связаны с известными
коэффициентами а, Ь, с, d, e, f следующими соотношениями:
k = b;
т = ka + с;
п = та + d;
s = па + е;
г = sa + /.
Эти соотношения удобно записать в виде следующей таблицы.
а
b
k = b
с
m = ka + с
d
п = та + d
е
s = па + е
f
г = sa + f
В верхней строке таблицы записаны коэффициенты делимого —
заданного многочлена, а в первом столбце второй строки — заданное
число а. В остальных столбцах второй строки последовательно получаются
10

коэффициенты частного и остаток, при этом соблюдается следующий
порядок ходов: во втором столбце второй строки записывается то же число,
что во втором столбце первой строки; в третий столбец второй строки
записывается число, равное сумме произведения числа из второго столбца
второй строки на число а и числа, находящегося в третьем столбце первой
строки; в четвертый столбец второй строки записывается число, равное
сумме произведения числа из третьего столбца второй строки на число а и
числа, находящегося в четвертом столбце первой строки; в пятый столбец
второй строки записывается число, равное сумме произведения числа из
четвертого столбца второй строки на число а и числа, находящегося в
пятом столбце первой строки; в шестой столбец второй строки записывается
число, равное сумме произведения числа из пятого столбца второй строки
на число а и числа, находящегося в шестом столбце первой строки.
Пример 3. Используя схему Горнера, разделить многочлен
р(х) = 2хъ + х4 - Зх3 + 2х2 + 5 на двучлен х + 2.
Решение. Здесь а = -2 (х + 2 = х - а), а коэффициенты
многочлена-делимого равны соответственно 2, 1, -3, 2, 0, 5. Строим
таблицу для применения схемы Горнера:
-2
2
2
1
2 • (-2) +
+ 1 = -3
-3
(-3) • (-2) +
+ (-3) = 3
2
3 • (-2) +
+2 = -4
0
(-4) • (-2) +
+ 0 = 8
5
8 • (-2) +
+ 5 = -11
Итак, коэффициенты частного — числа 2, -3, 3, -4, 8,
а остаток г = -11. Значит,
2хъ + х4 - Зх3 + 2х2 + 5 =
= (х + 2)(2х4 - Зх3 + Зх2 - 4х + 8) - 11. ■
Схема Горнера удобна тем, что при ее применении нужно
использовать меньшее, чем при делении многочлена на
многочлен «уголком», число арифметических операций, и вообще она
более компактна.
3. Разложение многочлена на множители
С различными приемами разложения многочлена на
множители вы познакомились в курсе алгебры 7—9-го классов.
Напомним их.
1. Вынесение общего множителя за скобки. Это
преобразование основано на распределительном законе умножения
относительно сложения: (а + Ь)с = ас + Ьс, — только при разложении
на множители этот закон прочитывается «справа налево»:
ас + be = с(а + Ь).
11

2. Способ группировки. Законы сложения (переместительный,
сочетательный) позволяют группировать члены многочлена
любым способом. Иногда удается такая группировка, что в каждой
группе после вынесения за скобки общих множителей в скобках
остается один и тот же многочлен. Его как общий множитель
можно вынести за скобки. В этом и состоит способ группировки.
Пример 4. Разложить на множители многочлен х3 - Зх2 +
+ 5* - 15.
Решение. Произведем группировку слагаемых следующим
образом: (х3 - Зх2) + (Ьх - 15). В первой группе вынесем за
скобки общий множитель х2> во второй — множитель 5.
Получим х2(х - 3) + 5(х - 3). Теперь двучлен х - 3 как общий
множитель можно вынести за скобки: (х - 3)(х2 + 5).
Итак, х3 - Зх2 + Ьх - 15 = (х - 3)(х2 + 5). ■
3. Использование формул сокращенного умножения. Из
курса алгебры 7-го класса вам известны пять формул сокращенного
умножения многочленов.
1) (а - Ъ)(а + Ъ) = а2 - Ь2.
2) (а + Ь)2 = а2 + 2аЬ + Ь2.
3) (а - Ь)2 = а2- 2аЬ + Ъ2.
4) (а + Ь)(а2 - аЬ + Ь2) = а3 + Ь3.
5) (а - Ъ)(а2 + аЬ + Ь2) = а3 - Ъ3.
Добавим еще две формулы. Рассмотрим выражение (а - Ь)3.
Имеем:
(а - Ъ)3 = (а - Ъ)2(а - Ъ) = (а2 - 2аЬ + Ъ2)(а - Ъ) =
= а3 - 2а2Ъ + аЬ2 - a2b + 2аЬ2 - Ъ3 = а3 - За2Ь + ЗаЬ2 - Ь3.
Итак,
6) (а - Ь)3 = а3 - За2Ь + ЗаЬ2 - Ь3 («куб разности»).
Аналогично выводится формула
7) (а + Ь)3 = а3 + За2Ь + ЗаЬ2 + Ь3 («куб суммы»).
Формулы 1)—7), будучи прочитанными «справа налево», во
многих случаях оказываются полезными для разложения
многочлена на множители.
Пример 5. Разложить на множители многочлен х6 - 1.
Решение. Представим х6 - 1 в виде (д:3)2 - I2.
Воспользовавшись формулой 1) («разность квадратов»), получим (jc3)2 - I2 =
= (х3 - 1)(х3 + 1). Используя далее формулы 5) и 4) («разность
кубов», «сумма кубов»), получим:
(х - 1)(х2 + х + 1)(х + 1)(х2 - х + 1).
12

Квадратные трехчлены х2 + х + 1, х2 - х + 1 имеют
отрицательные дискриминанты, а потому, как известно, из курса
алгебры 8-го класса, не разлагаются на линейные множители с
действительными коэффициентами.
Итак, х6 - 1 = (х - 1)(х2 + х + 1)(х + 1)(х2 - х + 1). ■
Пример 6. Разложить на множители многочлен 16л;7 -
- 72л:6 + 108л:5 - 54л:4.
Решение. 16л:7 - 72л:6 + 108л:5 - 54л:4 = 2л:4(8л:3 - 36л:2 +
+ 54л: - 27) = 2л:4((2л:)3 - 3 • (2л:)2 • 3 + 3 • (2л:) • З2 - З3) =
= 2л:4(2л: - З)3.
В процессе решения мы использовали прием вынесения
общего множителя за скобки и формулу «куб разности». ■
4. Разложение квадратного трехчлена на линейные
множители.
Если хги х2 — корни квадратного трехчлена ал:2 + Ьх + с, то
ал:2 + Ъх + с = а(х - хг)(х - х2). (5)
Например, корнями квадратного трехчлена 2л:2 - 5л: - 7
являются числа -1 и 3,5, значит, 2л:2 - 5л: - 7 = 2(х + 1)(л: - 3,5) =
= (х + 1)(2л: - 7).
Если, в частности, квадратный трехчлен имеет один корень
(дискриминант квадратного трехчлена равен нулю), то для
использования формулы (5) полагают хг = х2 (кратный корень), и
формула (5) принимает вид ах2 + Ьх + с = а(х - хг)2.
Если квадратный трехчлен не имеет действительных корней
(дискриминант отрицателен), то квадратный трехчлен не
разлагается на линейные множители с действительными
коэффициентами.
Выше, в следствии из теоремы 3, был получен следующий
результат: если число а является корнем многочлена р(х), то р(х)
делится на двучлен х - а, т. е. может быть представлен в виде
р(х) = (х - a)q(x). Это еще один прием разложения на множители
многочлена от одной переменной. Отметим одну любопытную
теорему, которая не раз позволит нам пользоваться указанным
приемом разложения многочлена на множители.
Теорема 4. Пусть все коэффициенты многочлена р(х) —
целые числа. Если целое число а является корнем многочлена
р(х), то а — делитель свободного члена многочлена р(х).
Доказательство, простоты ради, проведем для случая,
когда р(х) — многочлен третьей степени: р(х) = Ьхг + ел:2 + dx + m,
где все коэффициенты Ь, с, d, m — целые числа. По условию,
13

целое число а является корнем многочлена р(х). Это значит, что
р(а) = О, т. е.
Ьа3 + са2 + da + т = 0.
Преобразуем полученное равенство к виду т = а(-Ъа2 - са - d)
и обозначим целое число -Ьа2 - са - d буквой k. Тогда последнее
равенство можно переписать в виде т = ak, а это и означает, что
число а — делитель числа т, т. е. делитель свободного члена
многочлена р(х).
Аналогично проводится доказательство теоремы для случая,
когда р(х) — многочлен четвертой, пятой и вообще п-й степени.
Пример 7. Разложить на множители многочлен
р(х) = хг - Зх2 - 10* + 24.
Решение. Попробуем найти целочисленный корень этого
многочлена. Если он есть, то, по теореме 4, его следует искать
среди делителей свободного члена заданного многочлена, т. е.
среди делителей числа 24. Выпишем эти делители —
«кандидаты в целочисленные корни»: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24.
Будем подставлять выписанные значения поочередно в
выражение для р(х). Имеем:
р(1) = 12 Ф 0, р(-1) = 30 Ф 0, р(2) = 0.
Итак, х = 2 — корень многочлена р(х), а потому р(х) можно
представить в виде (х - 2)q(x). Чтобы найти частное q(x), можно
разделить р(х) на х - 2 «уголком», можно использовать схему
Горнера (сделайте это!), но мы покажем вам еще один прием:
р(х) = хг - Зх2 - 10* + 24
" р{2) = 23 - 3 - 22 - 10 - 2 + 24
р(х) - р(2) = (х3 - 23) - 3(х2 - 22) - Щх - 2).
Поскольку р(2) = 0, то
р(х) = (х- 2)(х2 + 2х + 4) - 3(х - 2)(х + 2) - 10(* - 2) =
= (х - 2)((х2 + 2х + 4) - 3(х + 2) - 10) = (х - 2)(х2 -х- 12).
Квадратный трехчлен х2 - х - 12 имеет корни 4 и -3, значит,
х2 - х - 12 = (х - 4)(х + 3).
Итак, р(х) = (х- 2)(х - 4)(х + 3). ■
Завершая разговор о разложении на множители многочленов
от одной переменной, отметим еще одну важную алгебраическую
теорему (о ней мы поговорим подробнее в § 10).
14

Теорема 5. Любой многочлен р(х) степени п > 3 разлагается
в произведение многочленов первой и второй степени.
Вернемся к примерам, рассмотренным в этом параграфе.
1) х3 - Зх2 + Ъх - 15 = (х - 3)(х2 + 5) (см. пример 4). В
полученном разложении на множители — один многочлен первой
степени и один многочлен второй степени.
2) х6 - 1 = (х - 1)(х2 + х + 1)(х + 1)(х2 - х + 1) (см. пример 5).
В полученном разложении на множители — два многочлена
первой степени и два многочлена второй степени.
3) х3 - Зх2 - 10* + 24 = (х - 2)(х - 4)(х + 3) (см. пример 7).
В полученном разложении на множители — три многочлена
первой степени.
4) 16л:7 - 72л:6 + 108л:5 - 54л:4 = 2хххх{2х - 3)(2* - 3)(2х - 3)
(см. пример 6). В полученном разложении на множители — семь
многочленов первой степени.
В связи с последним разложением подчеркнем следующее
обстоятельство: многочлен 16л:7 - 72л:6 + 108л:5 - 54л:4 имеет
всего два корня: 0 и 1,5. Но эти корни кратные: х = 0 — корень
кратности 4, а х = 1,5 — корень кратности 3. Составляя
разложение многочлена на множители, следует каждый корень
многочлена учитывать столько раз, какова его кратность.
§ 2. Многочлены от нескольких переменных
Многочлены от нескольких переменных можно складывать,
вычитать, перемножать, возводить в натуральную степень,
разлагать на множители — это вам известно из курса алгебры
7—9-го классов. В настоящем параграфе мы несколько
расширим ваши знания о многочленах.
Пример 1. Разложить на множители многочлен
2л:2 - Ьху + 2у2.
Решение. Первый способ. Воспользуемся методом
группировки:
2л:2 - Ъху + 2у2 = 2х2 - Аху - ху + 2у2 = 2л:(л: - 2у) - у(х - 2у) =
= (х- 2у)(2х - у).
Второй способ. Рассмотрим данный многочлен от двух
переменных как квадратный трехчлен от переменной х с
коэффициентами 2, -Ьу> 2у2 соответственно. Найдем его корни:
Ъу ± рЪу2 -4 2 2у2 5у±3у о Л о
——-— — - — -. Значит, либо х = 2у, либо
4 4
х =
4 4
15

у
х = —. Применив к квадратному трехчлену формулу разложе-
ния на линейные множители, получим: 2х2 - Ьху + 2у2 =
= 2(х - 2у)(х - ±) = (х - 2у)(2х - у). Ш
Пример 2. Разложить на множители:
а) хп - уп (п е N); б) х2п + l + y2n + l (n e N).
Решение, а) Первый способ. Воспользуемся идеей второго
способа решения предыдущего примера. Зафиксируем
произвольно числовое значение переменной у и рассмотрим выражение
хп - уп как многочлен только от одной переменной х. Если х = у,
то этот многочлен обращается в нуль, т. е. число у является
корнем многочлена. По следствию из теоремы Безу, этот многочлен
делится на х - у> т. е. хп - уп = (х - y)q(x), где q(x) — некоторый
многочлен степени п — 1:
q(x) = ап_ххп-1
Значит,
хп - уп = (х -
+ пп-2
У)(ап-1
хп-2 .
хп-\ н
f ап_3хп~* -
ь ап_2х"~2 н
f ... ■
f a2x2
гхп-3 -
а0),
т. е.
хп - уп = ап_гхп + (ал_2 - уап_х)хп-1 + (ал_3 - уап_2)хп~2
Применим к полученному равенству теорему 1 из § 1 о
тождественности двух многочленов от одной переменной х. Получим:
а0 - уах = 0;
-уа0 = -у\
Из этих равенств последовательно получаем:
ап_х = 1, ап_2 = у, ап_3 = у2, ..., ^ = у«~\ а, = уп~2, а^ = у*1.
Таким образом,
хп _ уп= (х _ y)(an_lXn-i + ап_2хп~2 + ап_3хп~3 + ... +
+ а2х2 + а^х + а0) = (х - y){lxn~l + i/xn"2 + г/2д:л-3 + ... +
уп~3х2
16

Получили следующую формулу разложения на множители:
хп _ уп = (х - у)(хп1 + хп~2у + хп~3у2 + ... + х2уп~3 +
+ хуп~2 + уп~1).
Из нее, в частности, получаем:
х2 - у2 = (х - у)(х + у);
х3 - у3 = (х - у)(х2 + ху + у2);
х4 - у4 = (х - у)(х3 + х2у + ху2 + у3);
х5 - у5 = (х - у)(х4 + х3у + х2у2 + ху3 + у4).
Второй способ. Рассмотрим конечную геометрическую
прогрессию 1, g, g2, ..., qnl. Найдем ее сумму Sn, используя
известную из курса алгебры 9-го класса формулу: Sn = , q Ф 1.
Получим:
п _ -I
1 + q + q2 + ... + gn"2 + gnl = g _ 1 , или
qn - 1 = (q - l)(qnl + q"2 + ... + q + 1). (1)
Заметим, что это равенство верно и при g = 1 (обе его части в
этом случае равны нулю).
Предположим в формуле (1) g = —, у Ф 0. Получим:
уп у yn~L
хп - уп = (х - у)(хп1 + хп2у + хп~3у2 + ... + х2уп~3 + хуп~2 + уп1).
Заметим, что если у = 0, то это равенство также верно, так как
имеет вид хп = хп. Значит, это равенство верно при любых
значениях переменных хну.
б) Представим заданный двучлен в следующем виде:
%2п+1 _|_ ц2п+1 — g2n+l _ (_ц\2п+1
К полученной разности применим формулу, доказанную
в пункте а):
17

- (-У))(х2п + x2n~l(-y) + x2*-2(-yy + Х2п4-У?
Таким образом, получили следующую формулу разложения
на множители:
+ х2у2п~2 - ху2п~1 + у2п).
Из нее, в частности, получаем:
х3 + i/3 = (х + i/)(x2 - ху + у2);
Пример 3. Вывести формулу сокращенного умножения для
♦ квадрата суммы» (х + у + z + и)2.
Р е ш е н и е. (х + у + 2 + и)2 = ((х + у) + (z + и))2 = (х + i/)2 +
+ (2 + и)2 + 2(х + i/Xz + и) = х2 + i/2 + z2 + и2 + 2(ху + xz + хи +
+ yz + уи + zu).
Итак,
(х + I/ + 2 + и)2 = х2 + у2 + z2 + и2 + 2(ху + xz + хи +
л- yz л- уи л- zu). ■
Формулу, полученную в примере 3, можно обобщить:
(х1 + х2 + х3 + ... + *„_! + хп)2 =
= х\ + х% + х% +... + *£_! + я£ + 2(jq^ + xlx3 + ...
Среди многочленов от двух переменных выделяют однородные
и симметрические многочлены.
Многочлен р(х; у) называют однородным многочленом п-й
степени, если сумма показателей степеней переменных в каждом
члене многочлена равна п. Еслир(л:; у) — однородный многочлен,
то уравнение р(х; у) = 0 называют однородным уравнением.
Приведем примеры.
1) р(х; у) = 2х + Зу — однородный многочлен первой степени;
соответственно 2х + Зу = 0 — однородное уравнение первой
степени.
18

2) р(х; у) = Зх2 + Ьху - 1у2 — однородный многочлен второй
степени; соответственно Зх2 + Ьху - 7у2 = 0 — однородное
уравнение второй степени.
3) р(х; у) = х3 + 4ху2 - by3 — однородный многочлен третьей
степени; соответственно х3 + 4ху2 - by3 = 0 — однородное
уравнение третьей степени.
4) р(х; у) = апхп + ап_1хп1у + ап_2хп~2у2 + ап_3ха-*у* + ... +
+ a^i/71"1 + а^71 — общий вид однородного многочлена п-й
степени.
Существует достаточно изящный способ решения однородных
уравнений. Поясним его суть на двух примерах.
Пример 4. Решить уравнение х3 + 4ху2 - by3 = 0.
Решение. Заметим прежде всего, что если в заданном
уравнении положить х = 0, то получится у = 0; это значит, что пара
(0; 0) является решением однородного уравнения.
Пусть теперь х Ф 0. Разделив почленно обе части заданного
однородного уравнения третьей степени на л:3, получим:
1 + 4| — | - 51 — I =0.
I х \ \х)
у
Введем новую переменную z = —. Тогда уравнение примет вид
1 + 422 - bz3 = 0. Далее последовательно находим:
бг3 - 4z2 - 1 = 0;
(523 - 522) + (22 - 1) = 0;
522(2 - 1) + (2 - 1)(2 + 1) = 0;
(2 - 1)(522 + 2 + 1) = 0.
Из уравнения 2-1 = 0 находим 2 = 1, уравнение 522 + 2 + 1 = 0
не имеет действительных корней.
у
Если 2 = 1, то — = 1, т. е. у = х. Это значит, что любая пара
вида (t; t) является решением заданного однородного уравнения.
Между прочим, и отмеченная выше пара (0; 0) также входит
в указанный перечень решений.
Ответ: (t; t)> где t — любое действительное число.
Пример 5. Решить уравнение
2х3 - Ьх2у + 2ху2 = 0.
Решение. Имеем х(2х2 - Ьху + 2у2) = 0. Значит, либо х = 0,
либо 2л:2 - Ьху + 2у2 = 0. Первый случай можно истолковать так:
19

заданному уравнению удовлетворяют пары вида (0; t), где t —
любое действительное число. Во втором случае, разделив обе
части однородного уравнения второй степени 2х2 - Ъху + 2у2 = 0
почленно на х2, получим:
,-.(*)♦,£[...
у
Введем новую переменную z = —. Тогда уравнение примет вид
1 У
2z2 - bz + 2 = 0, откуда находим: гх - 2, z2 = — , т. е. либо — = 2,
у 1
а потому у = 2х> либо — = ~т, а потому х = 2i/. Это значит, что
х £
любая пара вида (t; 2t) или (2f; t) является решением заданного
однородного уравнения.
Ответ: (0; t), (t; 2t), (2t; t)> где t — любое действительное
число.
Замечание. Вернемся еще раз к последнему однородному
уравнению. Каков содержательный смысл той информации, которая
содержится в ответе? Она сразу дает возможность для любой пары чисел
ответить на вопрос, является эта пара решением уравнения или нет.
Например, решениями заданного однородного уравнения являются:
(0; 0), (0; -5), (0; S) (это пары вида (0; t));
(1; 2), (-4; -8), (>/7; 2^7) (это пары вида (t; 2t));
( А 2Л
(6; 3), (-7; -3,5), -; - (это пары вида (2t; t)).
[7 7)
В то же время такие, например, пары, как (5; 5), (3; 0), (2,5; 0,7) не
являются решениями уравнения.
„ „ \р(х; у) = а,
Систему уравнении < называют однородной, если
[я(х; у) = Ь
Р(х> У)у Ч(х\ У) — однородные многочлены одной и той же
степени, а а и Ъ — действительные числа.
Идея решения однородной системы достаточно проста, она
сводится к тому, чтобы с помощью составления некоторой
комбинации уравнений системы получить однородное уравнение.
Впрочем, если в заданной системе а = 0 или Ь = 0, то в системе
уже есть однородное уравнение, которое, как мы видели выше,
У
решается методом введения новой переменной z — — • Если оба
20

числа а, Ъ отличны от нуля, то, умножив первое уравнение
системы на Ьу а второе — на а, получим:
Ьр(х; у) = аЪу
aq(x; у) = ab,
откуда находим, что Ьр(х; у) - aq(x; у) = 0; это однородное
уравнение.
Пример 6. Решить систему уравнений
\х3 + i/3 = 1,
[х2у + 2ху2 + у3 = 2.
Решение. Левые части обоих уравнений системы —
однородные многочлены третьей степени, значит, система является
однородной. Имеем:
\2(х* +i/3) = 2,
[х2у + 2ху2 + у3 = 2.
Значит, 2(хг + у3) = х2у + 2ху2 + у3, т. е. 2х3 - х2у - 2ху2 +
+ у3 = 0. Получили однородное уравнение третьей степени.
Решим его.
Если х = 0, то у = 0; пара (0; 0) — решение однородного
уравнения. Если х Ф 0, то можно обе части уравнения разделить по-
л / л2 / л3
членно на х3\ получим: 2-1— -2— +— =0. Введя но-
у
вую переменную z = —, получим уравнение 23 - 2z2 -2 + 2 = 0.
Решим его:
z2(z-2)-(z-2) = 0;
(2 - 2)(z2 - 1) = 0;
zl = 2, z2 = 1, z3 = -1.
у у
Значит, либо — = 2, т. е. у = 2jc, либо — = 1, т. е. у = х, либо
- = -1, т. е. у = -х.
В итоге приходим к совокупности трех систем, каждая из
которых без труда решается методом подстановки:
у = 2ху [у = х, [у = -х,
х3 + у3 = 1; [х3 + у3 = 1; [х3 + у3 = 1.
21

Подставив 2х вместо у во второе уравнение первой системы,
получим 9х3 = 1, х3 = — • Удобнее переписать последнее уравне-
ние в виде х3 = —- Тогда х = Щ— = -2= = ^- , a i/ = 2х =
= —— (с кубическими корнями вы познакомились в курсе алгебры
3
9-го класса). Итак, первая система имеет решение ~g~' —д~ •
Подставив х вместо у во второе уравнение первой системы,
получим 2х3 = 1, х3 = — • Удобнее переписать последнее уравне-
ние в виде х3 = —• Тогда х = я— = ~~г= = ~~^~> У . Итак, вто-
й V о yJS * 2
рая система имеет решение -г~5 ~г~ •
I 1
Подставив -х вместо у во второе уравнение третьей системы,
получим 0 = 1, чего не может быть. Значит, третья система не
имеет решений.
Теперь поговорим о симметрических многочленах и об
использовании их при решении систем уравнений. Многочлен р(х; у)
называют симметрическим, если он сохраняет свой вид при
одновременной замене х на у и у на х. Например, симметрическим
является двучлен х2у + ху2. В самом деле, при одновременной
замене х на у и I/ на х получится двучлен у2х + i/jc2, но это то же
самое, что х2у + лч/2. Другие примеры симметрических многочленов:
ху, х + I/, х2 + i/2, х3 + у3, х4 + i/4, 2x3i/ + Зх2у2 - х4-у4 + 2ху3
и т. д.
В предыдущей строке написаны шесть симметрических
многочленов. Первые два из них считаются основными в том
смысле, что любые другие симметрические многочлены можно
представить в виде некоторой комбинации многочленов х + у и ху.
Теорема. Любой симметрический многочлен р(х; у) можно
представить в виде многочлена от ху и х + у.
Например,
х2 + у2 = (х + у)2 - 2ху;
22

х3 + у3 = (х3 + Зх2у + Зху2 + у3) - (Зх2у + Зху2) =
= (х + i/)3 - Зху(х + I/);
х4 + i/4 = (х2 + i/2)2 - 2х2у2 = ((х + у)2 - 2ху)2 - 2(ху)2;
2х3у + Зх2у2 - х4 - у4 + 2xi/3 =
= 2ху(х2 + i/2) - (х4 + i/4) + 3(лч/)2 и т. д.
Уравнение р(х; у) = а, где а е R, называют симметрическим,
если р(х; у) — симметрический многочлен. Систему двух
уравнений с двумя переменными называют симметрической системой,
если оба ее уравнения — симметрические. Идея решения
симметрической системы фактически предопределена проведенными выше
рассуждениями; вводят две новые переменные: х + у = и, ху = и.
Пример 7. Решить систему уравнений
\х3 + х3у3 + у3 = 17,
[х + ху + у = 5.
Решение. Введем две новые переменные: х + у = и, ху = v.
Воспользуемся при этом полученным выше выражением х3 + у3
через х + I/ и дч/:
JC3 + I/3 = (X + I/)3 - ЗХУ(Х + у).
Тогда заданная система примет вид:
(и3 - 3uv + у3 = 17,
[и + v = 5.
Выразим и из второго уравнения: v = 5 - и. Подставим
полученное выражение вместо v в первое уравнение системы:
и3 - Зи(5 - и) + (5 - и)3 = 17;
и3 - 15и + Зи2 + 125 - 75ы + 15и2 - и3 = 17;
18и2 - 90и + 108 = 0;
и2 - 5и + 6 = 0;
i^ = 2, из = 3.
Соответственно находим vx = 3, и2 = 2.
Осталось решить две простые системы уравнений:
х + у = 2, \х + I/ = 3,
х» = 3; {ху = 2.
Первая система не имеет действительных решений, из второй
находим два решения (1; 2); (2; 1).
Ответ: (1; 2); (2; 1).
23

§ 3. Уравнения высших степеней
В этом параграфе мы поговорим о решении уравнений вида
Р(х) = О, где Р(х) — многочлен, степень которого выше второй.
Имеется два основных метода решения таких уравнений: метод
разложения на множители и метод введения новой переменной.
Сущность метода разложения на множители, напомним,
состоит в следующем. Дано уравнение Р(х) = 0, где Р(х) —
многочлен, степень которого выше второй. Предположим, что нам
удалось разложить многочлен на множители: Р(х) = Рх(х) Р2(х) Р3(х).
Тогда заданное уравнение примет вид:
РДх) Р2(х) Р3(х) = 0.
Значит, либо Рх(х) = 0, либо Р2(х) = 0, либо Р3(х) = 0. Обычно в
таких случаях говорят так: получили совокупность уравнений
Р1(х) = 0; Р2(х) = 0; Р3(х) = 0.
Используют и такую терминологию: уравнение Р(х) = 0
равносильно совокупности уравнений Рх(х) = 0, Р2(х) = 0, Р3(х) = 0.
Множество корней уравнения Р(х) = 0 представляет собой
объединение множеств корней уравнений Рх(х) = 0, Р2(х) = 0, Р3(х) = 0.
Для разложения многочлена на множители используют
известные приемы (вынесение общего множителя за скобки,
формулы сокращенного умножения, группировка, разложение
квадратного трехчлена на линейные множители). Так, в § 2 мы уже
использовали метод разложения на множители для решения
уравнений третьей степени 1 + 4г2 - 5z3 = 0 (см. пример 4) и
г3 - 2г2 -2 + 2 = 0 (см. пример 6). В том же параграфе мы
несколько раз воспользовались методом введения новой
переменной (см. примеры 4—7). Приведем еще один пример.
Пример 1. Решить уравнение х(х - 1)(х - 2)(х - 3) = 24.
Решение. Заметив, что х(х - 3) = х2 - Зх, а (х - 1)(х - 2) =
= х2 - 3jc + 2, перепишем уравнение в виде (х2 - 3jc)(jc2 - 3jc + 2) =
= 24. Введя новую переменную у = х2 - Зх, преобразуем
уравнение к виду у(у + 2) = 24 и, далее, у2 + 2у - 24 = 0. Корнями этого
квадратного уравнения служат числа 4 и -6.
Возвращаясь к переменной х, мы должны решить два
уравнения:
х2 - Зх = 4; х2 - Зх = -6.
Из первого уравнения находим х1 = 4, х2 = -1; второе уравнение
не имеет действительных корней.
Ответ: 4; -1.
При решении уравнений высших степеней используются
теоремы из § 1; напомним их.
24

1. Если все коэффициенты многочлена Р(х) — целые числа и
если х = а — целочисленный корень многочлена Р(х), то число а
является делителем свободного члена многочлена Р(х).
2. Если х = а — корень многочлена Р(х), то Р(х) делится без
остатка на двучлен х - а.
Докажем еще одно полезное утверждение.
Теорема. Если приведенное уравнение с целыми
коэффициентами имеет рациональный корень, то этот корень
обязательно является целым числом.
Доказательство. (Проведем его на примере уравнения
третьей степени, что непринципиально). Дано уравнение х3 + Ьх2 +
+ сх + d = 0, где Ь, с, d — целые числа. Предположим, что оно
имеет рациональный корень х = —, где — — несократимая дробь
Я. Я.
(т. е. р, q — взаимно простые числа). Подставив это значение в
уравнение, получим:
р3 + bp2q + cpq2 + dq3 = 0;
p3 = q(-bp2 - cpq - dq2).
Обозначив числовое выражение в скобках буквой /п, получим
р3 = qm. Это значит, что р3 • q, или, что то же самое, (р2 • р) • q
(напомним, что символ • заменяет словосочетание «делится на»).
В курсе 10-го класса мы отмечали следующее свойство делимости:
если произведение двух натуральных (или целых, это
несущественно) чисел делится на натуральное число q и один из
множителей взаимно прост с q, то второй множитель делится на q. По
условию числа р и q взаимно просты. Значит, р2 : д, или, что то же
самое, (р'р)'- q. Еще раз воспользовавшись упомянутым свойством
делимости, получим, что р ! q. В силу взаимной простоты чисел
р и q последнее соотношение возможно лишь в случае, когда q = 1
и, следовательно, х = р — целочисленный корень уравнения.
Как доказанная теорема применяется на практике? Если дано
приведенное уравнение с целыми коэффициентами, то методом
проб следует найти целочисленный корень уравнения — среди
делителей свободного члена. Если это не удается, приходится
констатировать, что рациональных корней у уравнения нет и,
следовательно, для его решения надо либо пользоваться готовыми
формулами (они известны для уравнений третьей и четвертой
степеней, но достаточно сложны), либо что-то изобретать (разла-
25

гать на множители, вводить новую переменную). Если же дано
неприведенное уравнение, то существуют способы замены
переменной, обращающие уравнение в приведенное, мы покажем их
ниже на примерах.
Пример 2. Решить уравнение х3 + 2л:2 - 7х - 12 = 0.
Решение. Попробуем найти целочисленный корень
уравнения, искать его следует среди делителей числа -12, т. е. среди
чисел ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Положим р(х) = х3 + 2х2 - 1х - 12.
Имеем р(1) = -16, р(-1) = -4, р(2) = -10, р(-2) = 2, р(3) = 12,
р(-3) = 0.
Итак, хг = -3 — корень заданного уравнения. Разделим р(х)
на х + 3; воспользуемся приемом, показанным в § 1 в примере 7:
р(х) = х3 + 2х2 - 7х - 12
~р(-3) = -27 + 18 + 21-12
Р(х) - р(-3) = (х3 + 27) + 2(х2 - 9) - 7(х + 3).
Значит,
р(х) = (х + 3)(х2 - Зх + 9) + 2(х + 3)(х - 3) - 7(х + 3) =
= (х + 3)(#2 - Зх + 9 + 2х - 6 - 7) = (х + 3)(х2 - х - 4).
Из уравнения х2 - х - 4 = 0 находим еще два корня заданного
уравнения:
_ 1±У17
2, 3 - £
: -З;
2
Пример 3. Решить уравнение 21л:3 + х2 - Ъх - 1 = 0.
Решение. Если свободный член уравнения равен 1 или -1,
то уравнение преобразуется в приведенное уравнение с помощью
замены х = —. Смотрите:
211 it +flT-5fl 1-1 = 0;
У) {У
21 + у - Ъу2 - у3 = 0;
у3 + Ъу2 - у - 21 = 0.
Среди делителей числа -21 методом проб (как в примере 2)
найдем целочисленный корень последнего уравнения: ух = -3.
Разделив многочлен у3 + Ъу2 - у - 21 на у + 3, получим
квадратный трехчлен у2 + 2у - 7 с корнями i/23 = -l±2v2. Так как
х = —, то
26

_ 1 _ 1 1 1 _ 2V2 + 1
- — - -—, X2 = — =
У1 3' y2 2V2 - 1 (2V2 - l)(2>/2 + 1)
_ 2V2 +1 _ 1 - 2V2 __
Пример 4. Решить уравнение 4x3 - IOjc2 4- Ых -5 = 0.
Решение. Умножим обе части уравнения на 2:
8х3 - 20л:2 + 28л: - 10 = 0;
(2х)3 - 5 • (2х)2 + 14 • (2х) - 10 = 0.
Введя новую переменную у = 2х, получим приведенное
уравнение у3 - Ъу2 + 14i/ - 10 = 0. Целочисленный корень уравнения
очевиден: уг = 1. Разделив многочлен у3 - by2 + 14у - 10 на i/ - 1,
получим квадратный трехчлен у2 - 4у + 10, не имеющий действи-
тельных корней. Так как jc = ~, tojc1 = -^- = — — единственный
корень уравнения.
Ответ: 0,5.
Уравнение вида ах4 + Ьх3 + сх2 + Ьх + а = 0 (где все
коэффициенты отличны от нуля) называют возвратным (первые два
коэффициента а и Ь как бы возвращаются в последних двух членах
уравнения). Возвратные уравнения решаются методом введения новой
переменной. Если разделить обе части уравнения почленно на х2 (что
вполне законно, поскольку значение х = 0 не является корнем
уравнения), получим:
l + J^O; afx2 +-^-1 + &fx +-1 + с = 0. (1)
Пусть у = х + — у тогда у2 = * + — , откуда находим, что
х у х )
х2 + — = у2 - 2. С помощью новой переменной у уравнение (1)
можно переписать в виде а(у2 - 2) + by + с = 0. Предположим,
что это квадратное уравнение имеет корни ух и у2. Тогда,
возвращаясь к переменной jc, остается лишь решить два уравнения:
* + ! = й; * + ! = й.
Уравнение вида ад:4 4- fot3 + cjc2 4- kbx 4- fc2a = 0 (где все
коэффициенты отличны от нуля) также называют возвратным. Здесь
после почленного деления на х2 получаем:
ах2 + Ьх + с 4- &- +<*(-! =0; а(х2 4 ^-1 4 ъ(х 4 -1 4 с = 0. (2)
27

k ( k f k2
Если у = x + -, то у2 = \х + - , откуда х2 + — = у2 - 2k.
ух) х
С помощью новой переменной у уравнение (2) можно
переписать в виде квадратного уравнения
а(у2 - 2k) + by + с = 0.
Если это уравнение имеет корни ух и у2, то остается решить два
уравнения:
Пример 5. Решить уравнение Зх4 - 2х3 - 9х2 - 4х + 12 = 0.
Решение. Имеем: Зх4 - 2х3 - 9х2 - (2 • 2)х + 22 • 3 = 0. Это
возвратное уравнение. Разделим обе его части почленно на х2:
Зх2 - 2х - 9 - 2 - + з(-) = 0;
х [х)
9 = 0. (3)
2 ( 2 Y
Пусть у = х + —, тогда i/2 = Jt + — , откуда находим, что
X \ X )
х2 + —- = у2 - 4. С помощью новой переменной у уравнение (3)
хг
можно переписать в виде 3(у2 - 4) - 2у - 9 = 0, т. е. Зу2 - 2у -
- 21 = 0. Найдем корни этого квадратного уравнения: ух = 3,
7 2 2 7
у2 = —. Значит, либо jc 4- — = 3, либо х + — = —. Из первого
3 х х 3
уравнения находим хг = 1, х2 = 2, а второе уравнение не имеет
действительных корней.
Ответ: 1; 2.
Пример 6. Решить уравнение 2(х2 + х + I)2 - 7(х - I)2 =
= 13(х3 - 1).
Решение. Введем две новые переменные: и = х2 + х + 1,
v = х - 1. Тогда уравнение примет вид 2и2 - 13uv - lv2 = 0. Это
однородное уравнение второй степени, о решении таких
уравнений мы говорили в § 2. Разделив обе части уравнения почленно
на v2 и введя новую переменную у = —, получим квадратное
уравнение 2у2 - 13у - 7 = 0 с корнями ух = 7, у2= —. Значит,
либо — = 7, т.е. и = 7vy либо — = —, т.е. v = -2и.
v v 2
28

Возвращаясь к переменной х, переписываем соотношение u = 7v
в виде х2 + х + 1 = 7(х - 1), т. е. х2 - 6х + 8 = 0; х1 = 2, х2 = 4.
Переписываем второе соотношение v = -2и в виде х - 1 =
= -2(х2 + * + 1), т. е. 2х2 + Зх + 1 = 0; *3 = -1, *4 = -|-
Ответ: 2; 4; -1; --.
Кроме метода разложения на множители и метода введения
новых переменных, при решении уравнений высших степеней,
как, впрочем, и при решении любых других видов уравнений,
используются различные функционально-графические приемы.
О них мы поговорим в заключительных примерах этого параграфа.
Пример 7. Решить уравнение
хъ + Ъх - 42 = 0.
Решение. Преобразуем уравнение к
виду х5 = 42 - Ъх. Поскольку функция у = хъ
возрастает, а функция у = 42 - Ъх убывает,
то уравнение хъ = 42 - Ъх имеет только один
корень (рис. 1; масштабы на осях координат
различные), и этот корень нетрудно
подобрать: х = 2. ■
Пример 8. Решить уравнение
х4 - 8х + 63 = 0.
Решение. Первый способ. Найдем
наименьшее значение функции у = х4 - 8х +
+ 63. Для этого найдем ее производную:
у' - 4ха - 8. Приравняв производную нулю,
находим единственную стационарную точку
х = >/2, причем это точка минимума
функции. Значит (см. § 46 учебника «Алгебра и
начала анализа-10»), в этой точке функция
достигает своего наименьшего значения,
найдем его: 1/наим = (3/2)4 - 8^/2 + 63.
Полученное число явно положительно, значит, для
всех х выполняется неравенство х4 - 8х + 63 >
> 0, а потому заданное уравнение
действительных корней не имеет.
Второй способ. Преобразуем уравнение к
виду х4 = 8х - 63 и построим графики
функций у = х49 у = 8х - 63 (рис. 2). Они не
пересекаются, значит, уравнение корней не имеет. Рыс. 2
У
\
\
У
\
2-
О
f
=
х5
\~
V
/
\ ^
\ \
\
\
Л**
V
\
X
Рис. 1
1
\
X
\
о
f
и — х4
и
у
/
/
/
[_,
/
ч
ч
/
/
/л
д.
to1
1
[
X
29

Третий способ. Воспользуемся методом разложения на
множители:
х4 - 8х + 63 = (я4 + 16х2 + 64) -
- (16х2 + 8х + 1) =
= (х2 + 8)2 - (Ах + I)2 =
= ((х2 + 8) + (4х + 1))((*2 + 8) - (4х + 1)) =
= (х2 + 4* + 9)(х2 - 4* + 7).
Значит, заданное уравнение можно переписать в виде (х2 + Ах +
+ 9)(jc2 - 4jc + 7) = 0. Теперь задача сводится к решению
уравнений х2 + 4jc + 9 = 0, х2 - Ах + 7 = 0. Поскольку ни одно из них
не имеет корней, то и заданное уравнение не имеет корней. ■
Замечание. Первый и третий способы решения примера 8 —
строгие, а второй не очень, поскольку то, что графики не пересекаются,
не доказано.
Пример 9. Решить
уравнение х6 + х2 - 8х + 6 = 0.
Решение. Преобразуем
уравнение к виду х6 = -х2 + 8л: - 6
и построим графики функций
у = х6, у = -х2 + 8л: - 6 (рис. 3).
Замечаем, что эти графики
имеют общую точку (1; 1). Но
единственная ли она?
Составим уравнение
касательной к графику функции у = х6.
Положим f(x) = х6. Тогда f\x) = бх5,
/'(1) = 6. Уравнение касательной
имеет вид у = /(1) + f(l)(x - 1),
т. е. у = 1 4- 6(л: - 1) или у - 6х - 5.
Составим уравнение
касательной к графику функции у = -х2 +
+ 8х - 6. Положим g(x) = -х2 +
+ 8х - 6. Тогда g\x) = -2х + 8,
#'(1) = 6. Уравнение касательной имеет вид у = g(l) + g'{l)(x - 1), т. е.
у = 1 + 6(х - 1) или у = 6х - 5.
Итак, построенные графики имеют общую касательную в точке
(1; 1). Но функция у = х6 выпукла вниз, ее график расположен выше
проведенной касательной. Функция у = -х2 + 8л: - 6 выпукла вверх, ее
график расположен ниже проведенной касательной. Значит,
построенные графики не могут иметь более одной общей точки.
Ответ: 1.
1
f
У
I
о
i
к
\o
\
у
= X"
h
\
л
/
/
/
a 1
'1
л
I
f
У
4
a
\\
\
-
\
-\
V-
H
i
\
\\
\\
\
V
1
1
|
X
PUC. 3

I I I I I I I I I I I I I I I I
I I I I
Степени и корни.
Степенные функции
§ 4. Понятие корня п-й степени
из действительного числа
Рассмотрим уравнение х4 = 1 и решим его графически. Для
этого в одной системе координат построим график функции у = х4
и прямую у = 1 (рис. 4, а). Они пересекаются в точках А(-1; 1)
и Б(1; 1). Абсциссы точек А и Б, т. е. хх - -1, jc2 = 1, являются
корнями уравнения х4 = 1.
Рассуждай точно так же, находим корни уравнения х4 = 16:
*! = -2, *2 = 2.
У1
16
1
1
I
l\
1
-2-1
Q
i
1 Я
I/
1 2
i
' — ±
6
У = x
4
\
1 \У'
1 Г1
1
!\
[\^
/го
/а
1 1
1
1
1
1
/!
-И ■
у/0
у -
л
4
X
а
X
PUC. 4
А теперь попробуем решить уравнение х4 = 5; геометрическая
иллюстрация представлена на рис. 4, б. Ясно, что уравнение
имеет два корня — хг и х2, причем это противоположные числа,
31

как и в двух предыдущих случаях. Но для первых двух
уравнений корни были найдены без труда (их можно было найти и не
пользуясь графиками), а с уравнением х4 = 5 имеются проблемы:
по чертежу мы не можем указать значения корней, а можем
только установить, что один корень располагается левее точки -1, а
второй — правее точки 1.
Встретившись впервые с подобной ситуацией, математики
поняли, что надо придумать способ ее описания на математическом
языке. Они ввели в рассмотрение новый символ л/ , и с
помощью этого символа корни уравнения х4 = 5 записали так: хх = -у/б,
х2 = у/Е (читают: корень четвертой степени из пяти).
Новые термины и новые обозначения в математике
появляются, когда они необходимы для описания новой математической
модели. Это отражение особенности математического языка: его
основная функция не коммуникативная — для общения, а
организующая — для организации успешной работы с
математическими моделями в разных областях знаний.
Мы говорили об уравнении х4 = а, где
а > 0. С равным успехом мы могли
говорить и об уравнении хп = а, где а > 0, a n —
любое натуральное число. Например, решая
графически уравнение хь = 1, находим х = 1
(рис. 5); решая уравнение х5 = 7,
устанавливаем, что уравнение имеет один корень хи
который располагается на оси х чуть
правее точки 1 (см. рис. 5). Для числа хг
введено обозначение v7.
Вообще, решая уравнение хп = а, где
а > 0, п € N, п > 1, получаем в случае
четного п два корня: -у/а, у/а (рис. 4, в); в случае нечетного п —
один корень у/а (читают: корень п-й степени из числа а). Решая
уравнение хп = 0, получаем единственный корень х = 0.
Замечание. В математическом языке, как и в обыденном языке,
бывает так, что один и тот же термин применяется к разным понятиям.
Так, в предыдущем абзаце слово «корень» употреблено в двух смыслах:
как корень уравнения и как корень n-й степени из числа. Обычно из
контекста бывает ясно, какое толкование термина имеется в виду.
Теперь мы готовы дать точное определение.
У = л
Уь
7
1
о
/
II
I
ь
Ь
/'
У
У
—
—
7
1
PUC. 5
32

Определение 1. Корнем п-й степени из неотрицательного
числа а (п = 2, 3, 4, 5, ...) называют такое неотрицательное
число, при возведении в степень п которого получается число а.
Это число обозначают \/а, число а при этом называют
подкоренным числом, а число п — показателем корня.
Если п = 2, то обычно не говорят «корень второй степени», а
говорят «корень квадратный». В этом случае не пишут >/а, a
пишут л/а. Если п = 3, то вместо «корень третьей степени» часто
говорят «корень кубический». Это те частные случаи, которые вы
специально изучали в курсе алгебры 8—9-го классов.
Итак,
если а > О, п = 2, 3, 4, 5, ..., то: 1) Va > О; 2) {rfaf = a.
Вообще \fa = Ъ и Ъп = а — одна и та же зависимость между
неотрицательными числами а и Ь> но только вторая описана
более простым языком (использует более простые символы), чем
первая.
Операцию нахождения корня из неотрицательного числа
называют извлечением корня. Эта операция является обратной по
отношению к возведению в соответствующую степень. Сравните
Возведение в степень
52 = 25
103=1000
0,34 = 0,0081
Извлечение корня
V25 =5
^/1000 =10
^/0,0081 =0,3
Еще раз обратите внимание: в таблице фигурируют только
положительные числа, поскольку это оговорено в определении 1.
И хотя, например, (-б)2 = 36 — верное равенство, перейти от него
к записи с использованием квадратного корня, т. е. написать, что
v36 = -6, нельзя. По определению, л/36 — положительное
число, значит, v36 = 6 (а не -6). Точно так же, хотя и 24 = 16,
и (-2)4 = 16, переходя к знакам корней, мы должны написать
л/1б = 2 (и в то же время 4Дб ф -2).
2 Алгебра и начала
анализа 11 кл.
33

Иногда выражение yfa называют радикалом (от латинского
слова radix — ♦ корень»). В русском языке термин радикальный
используется довольно часто, например, «радикальные
изменения» — это значит «коренные изменения». Между прочим, и само
обозначение корня напоминает о слове radix: символ v — это
стилизованная буква г.
Пример 1. Вычислить:
а) V49; б) ^/0,125; в) ^/0; г) ^17.
Решение, а) >/49 = 7, так как 7 > 0 и 72 = 49.
б) 3/0,125 = 0,5, так как 0,5 > 0 и 0,53 = 0,125.
в) ^0=0.
г) В отличие от предыдущих примеров мы не можем указать
точное значение числа y/l7. Ясно лишь, что оно больше, чем 2,
но меньше, чем 3, поскольку 24 = 16 (это меньше, чем 17), а
З4 = 81 (это больше, чем 17). Приближенное значение числа yfl7
можно найти с помощью калькулятора, который содержит
операцию извлечения корня, оно приближенно равно 2,03, т. е.
47l7 « 2,03 (с точностью до 0,01). ■
Пусть а — натуральное число. Если yfa не извлекается, т. е.
не существует натурального числа Ь такого, что If1 - а, то yfa —
иррациональное число. Докажем это, например, для числа ^17,
о котором шла речь в примере 1.
Число л/ГГ — корень уравнения jc4 = 17. Уравнение jc4 - 17 = 0 —
приведенное уравнение с целыми коэффициентами. Его
целочисленными корнями, как мы видели в главе 1, могут быть только
делители числа 17, т. е. числа ±1, ±17. Ни одно из этих четырех
чисел уравнению не удовлетворяет. В то же время, как мы
отмечали в той же главе 1, если у приведенного уравнения нет
целочисленных корней, то нет и рациональных корней. Вывод: число
лДУ, служащее корнем уравнения, не может быть рациональным
числом, это иррациональное число.
Операцию извлечения корня определяют и для отрицательного
подкоренного числа, но только в случае нечетного показателя
корня. Иными словами, равенство (-2)5 = -32 можно переписать
в эквивалентной форме как >/-32 = -2. При этом используется
следующее определение.
34

Определение 2. Корнем нечетной степени п из
отрицательного числа а (п = 3, 5, ...) называют такое отрицательное число,
при возведении которого в степень п получается число а.
Это число, как и в определении 1, обозначают у[а9 число а —
подкоренное число, число п — показатель корня.
Итак,
если а < О, п = 3, 5, 7, ..., то: 1) Va < О; 2) (Vaf = a.
Подчеркнем еще раз: корень четной степени имеет смысл (т. е.
определен) только для неотрицательного подкоренного числа;
корень нечетной степени имеет смысл для любого подкоренного
числа.
Пример 2. Решить уравнения:
а) %3х + 4 = -2; в) #2- Ъх = -4;
б) ^/3jc - 2 = 1; г) Цх2 - Ъх + 68 = 2.
Решение, а) Если Щу = -2, то у = -8. Фактически обе части
заданного уравнения мы должны возвести в куб. Получим:
Зх + 4 = -8;
б) Рассуждая как в пункте а), возведем обе части уравнения в
четвертую степень. Получим:
Зх - 2 = 1;
в) Здесь не надо возводить в четвертую степень, это уравнение
не имеет корней. Почему? Потому что, согласно определению 1,
корень четной степени — неотрицательное число.
г) Возведя обе части уравнения в шестую степень, получим:
х2 - Ъх + 68 = 64;
х2 - Ъх + 4 = 0;
*х = 1, х2 = 4. ■
2* 35

§ 5. Функции у = >[х, их свойства и графики
В предыдущем параграфе мы ввели понятие корня п-й
степени из действительного числа, отметили, что из любого
неотрицательного числа можно извлечь корень любой степени (второй,
третьей, четвертой и т. д.), а из отрицательного числа можно
извлечь корень нечетной степени. Но тогда следует подумать и о
функции у = у[ху о ее графике и свойствах. Этим мы и займемся
в настоящем параграфе. Сначала поговорим о функции у = у[х
в случае неотрицательных значений аргумента.
Рассмотрим функцию у = хп, х е [0; +°°), где п е N, п > 2. Ее
график изображен на рис. 6. Эта функция монотонна и
непрерывна на луче [0; +°°), область ее значений — луч [0; +°о).
Значит, по теореме об обратной функции (см. «Алгебра и начала ана-
лиза-10», § 10) для функции у = хп, х е [0; +°о) существует
монотонная и непрерывная на [0; +°°) обратная функция. Этой
обратной функцией является х = %[у> или,
поменяв, как обычно, х и у местами, у = yjx.
Итак, у = у[х — функция, обратная по
отношению к степенной функции у = хпу
х е [0; +°о), а потому ее график получается
из графика степенной функции с помощью
преобразования симметрии относительно пря-
Рыс. 6 мой у - х (рис. 6).
Свойства функции у = %/*, х > 0:
1) D(f) = [0; +сю);
2) функция не является ни четной, ни нечетной;
3) возрастает на [0; +оо);
4) не ограничена сверху, ограничена снизу;
5) не имеет наибольшего значения, а уваям = 0;
6) непрерывна;
7) E(f) = [0; +сю);
8) функция у = у[х выпукла вверх на луче [0; +оо).
В курсе алгебры и начал анализа 10-го класса мы
познакомились еще с одним свойством функции — дифференцируемо-
стью, увидели, что функция у = хп дифференцируема в любой
точке, ее производная равна тис71"1. Геометрически это означает,
что в любой точке графика функции у = хп к нему можно
провести касательную. Этим же свойством обладает и график
функции у = yfx: в любой его точке можно провести касательную.
1
~9
•
о
-
4У
1
1
/
/
>
-:
L
=
X
1
V
-'.
г =
г
36

Таким образом, мы можем отметить еще одно свойство функции
yfc.
9) функция у = у/х дифференцируема в любой точке х > 0.
Обратите внимание: о дифференцируемости функции в точке
х = 0 речь не идет — в этой точке касательная к графику
функции совпадает с осью у, т. е. перпендикулярна оси абсцисс.
Пример 1. Построить график функции у = у/х + 1 - 4.
Решение. 1) Перейдем к вспомогательной системе
координат с началом в точке (-1; -4) — пунктирные прямые х = -1 и
у - -4 проведены на рис. 7.
2) «Привяжем» функцию у = у[х к новой системе координат.
Это и будет требуемый график (рис. 7). ■
Пример 2. Решить уравнение
</х = 2 - х.
Решение. Первый способ.
1) Введем в рассмотрение две функции: у = \х и у - 2 - х.
2) Построим график функции у = Чх (рис. 8).
3) Построим график линейной функции у = 2 - х (рис. 8).
4) Построенные графики пересекаются в
одной точке А, причем по графику можно
сделать предположение, что координаты точки А
таковы: (1; 1). Проверка показывает, что на
самом деле точка (1; 1) принадлежит и
графику функции у = ух, и графику функции
у = 2 - х. Значит, наше уравнение имеет один
корень х = 1 — это абсцисса точки А.
Второй способ. В курсе алгебры и начал
анализа 10-го класса мы уже пользовались
тем фактом, что если функция у = f(x)
возрастает, а функция у = g(x) убывает и если
уравнение f(x) = g(x) имеет корень, то только
один (см. также пример 7 из § 3).
Вот как, опираясь на это утверждение, мы
можем решить заданное уравнение:
1) заметим, что при х = 1 выполняется
равенство 5/1 = 2-1, значит, х = 1 — корень
уравнения (этот корень мы угадали); Рис. 8
1
--
г
1
I
О
-У
-Л
X
PUC. 7
yi
1-
Q
—
3:
1 1 1
>
37

2) функция у = 2 - х убывает, а функция у = yfx возрастает;
значит, корень у заданного уравнения только один и этим
корнем является найденное выше значение х = 1.
Ответ: х = 1.
До сих пор мы говорили о функции у = yfx только для
неотрицательных значений аргумента. Но ведь если п — нечетное
число, выражение yfx имеет смысл и для х < 0. Значит, следует
поговорить о функции у = yfx в случае нечетного п для любых
значений х.
Собственно говоря, к перечисленным добавится только одно
свойство: если п — нечетное число (п = 3, 5, 7, ...), то у = yfx —
нечетная функция.
В самом деле, пусть f(x) = yfx. Тогда
-1
1
Л
1
а
^^
-.
L
аи
X
Рис. 9
f(-x)= tf^c =-V^ =
(для нечетного показателя п
такие преобразования верны).
Итак, f(-x) = -/(*), а это и
означает нечетность функции.
Как же выглядит график
функции у = л[х в случае нечетного
показателя п? При х > 0, как
показано на рис. 6, это ветвь искомого
графика. Добавив к ней ветвь,
симметричную ей относительно начала координат (что, напомним,
характерно для любой нечетной функции), получим график
функции у = yfx (рис. 9). Обратите внимание: ось у является
касательной к графику в точке х = 0.
Итак, повторим еще раз:
если п — четное число, то график функции у = yfx имеет вид,
представленный на рис. 6;
если п — нечетное число, то график функции у = yfx имеет
вид, представленный на рис. 9.
Пример 3. Построить и прочитать график функции у = f(x),
где
I \fx9 если х < 1,
—г, если х > 1.
I*
38

Решение. Сначала построим график функции у = у[х и
выделим его часть на луче (-оо; 1] (рис. 10). Затем построим график
функции у = — и выделим его часть на открытом луче (1; +оо)
(рис. 11). Наконец, оба «кусочка» изобразим в одной системе
координат — это и будет график функции (рис. 12; здесь для
наглядности увеличен масштаб).
—■
Vi
0
1
У
т •
\ -
яГ
V
X
—
X
Уь
О
1
1
■
i
1
у
1
1
\
_ 1
г2
1 г
Рис. 11
У!
о
/
\
У
1
s
X
РЫС. 12
PUC. 10
Перечислим (опираясь на
построенный график) свойства функции у = f(x):
1) D(f) = (-сю; +сю);
2) ни четная, ни нечетная;
3) убывает на луче [1; +оо);
возрастает на луче (-оо; 1];
4) не ограничена снизу, ограничена
сверху;
5) нет наименьшего значения, а i/наиб. = 1 (достигается в
точке х = 1);
6) непрерывна;
7) E(f) = (-оо; 1];
8) функция дифференцируема всюду, кроме точек х = 0и
х = 1;
9) график функции имеет горизонтальную асимптоту у = 0 при
х —> +оо; это означает, напомним, что lim f(x) = 0. ■
X -» +ОО
Пример 4. Найти область определения функции:
а) у = $/4х-8;
б)у= з/х2 - 9 ;
в) у = у/2х + 2 - #16- я2.
Решение, а) Под знаком корня четной степени должно
находиться неотрицательное число, значит, задача сводится к
решению неравенства 4х - 8 > 0. Получаем х > 2. Значит,
= [2; +оо).
39

б) Под знаком корня нечетной степени может находиться
любое число, значит, здесь на х не накладывается никаких
ограничений, т. е. D(f) = R.
в) Выражение у/2х + 2 имеет смысл при условии 2х + 2 > О,
а выражение %/16 - х2 — при условии 16 - х2 > 0. Значит,
должны одновременно выполняться неравенства 2х + 2 > 0 и
16 - л;2 > 0, т. е. задача сводится к решению системы неравенств
2х + 2 > 0,
16 - х2 > 0.
Решая неравенство 2х + 2 > 0, находим л; > -1.
Решим неравенство 16 - д:2 > 0. Разложим левую часть
неравенства на множители: (4 - х)(4 + х) > 0. Левая часть
неравенства обращается в 0 в точках -4 и 4. Отметим эти точки на
числовой прямой (рис. 13, а). Числовая прямая разбивается
указанными точками на три промежутка, причем на каждом промежутке
выражение р(х) = (4 - д:)(4 + х) сохраняет постоянный знак (знаки
указаны на рис. 13, а). Промежуток, на котором выполняется
неравенство р(х) > 0, заштрихован на рис. 13, а. По условию задачи
нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство
р(х) = 0. Таких точек две: х = -4, х = 4 —
+ они отмечены на рис. 13, а темными кру-
ШШШШННШЩ ,х Жочками.
4 4 Отметим найденные решения первого
и второго неравенств системы на одной
координатной прямой, использовав для пер-
вого верхнюю, а для второго нижнюю
~4 4 штриховку (рис. 13, б). Решением систе-
б мы неравенств будет пересечение решений
Рис. 13 неравенств системы — отрезок [-1; 4].
Ответ: D(f) = [-1; 4].
§ 6. Свойства корня n-й степени
Чтобы успешно использовать на практике операцию
извлечения корня, нужно познакомиться со свойствами этой операции,
что мы и сделаем в настоящем параграфе.
Все свойства формулируются и доказываются только для
неотрицательных значений переменных, содержащихся под
знаками корней.
40

Теорема 1. Корень п-й степени (п = 2, 3, 4, ...) из
произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней
п-й степени из этих чисел:
Доказательство. Введем следующие обозначения: yjab = х9
у/а = У у yfb = г. Нам надо доказать, что для неотрицательных
чисел х, у9 z выполняется равенство х = yz.
Так как у/аЬ = х9 то хп = аЪ. Так как \[а = г/, то уп = а. Так как
yfb = z, то zn = Ь.
Итак, хп = ab, уп = a, zn = Ь, тогда хп = ynzn, т. е. хп = (yz)n. Но
если степени двух неотрицательных чисел равны и показатели
степеней равны, то равны и основания степеней; значит, из
равенства хп = (yz)n следует, что х = yz, а это и требовалось доказать.
Замечание 1. Теорема 1 остается справедливой и для случая,
когда подкоренное выражение представляет собой произведение более чем
двух неотрицательных чисел.
Замечание 2. Теорему 1 можно сформулировать, используя
конструкцию «если... то» (как это принято для теорем в математике).
Приведем соответствующую формулировку: если а и Ь — неотрицательные
числа, то справедливо равенство ЩаЬ = у/пу/Ь. Следующую теорему мы
именно так и оформим.
Теорема 2. Если а^О, b > 0 и п — натуральное число,
большее 1, то справедливо равенство
Краткая (хотя и неточная) формулировка, которую удобнее
использовать на практике: корень из частного равен частному
корней.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 1,
проведите его самостоятельно.
Вы, конечно, обратили внимание на то, что указанные два
свойства корней п-й степени представляют собой обобщение
известных вам из курса алгебры 8-го класса свойств квадратных
корней. И если бы других свойств корней п-й степени не было, то
все было бы просто (и не очень интересно). На самом деле есть
еще несколько интересных и важных свойств, которые мы
обсудим в этом параграфе. Но сначала рассмотрим примеры на
использование теорем 1 и 2.
41

Пример 1. Вычислить ^125 64 27.
Решение. Воспользовавшись первым свойством корней
(теорема 1), получим:
3/125 64 27 = 3/125 3/б4 3/27 = 5 4 3 = 60. ■
Замечание 3. Можно, конечно, этот пример решить по-другому,
особенно если у вас под рукой есть микрокалькулятор: перемножить
числа 125, 64 и 27, а затем извлечь кубический корень из полученного
произведения. Но, согласитесь, данное выше решение «интеллигентнее».
Пример 2. Вычислить Я5—.
А/ 16 ..
Решение. Обратим смешанное число 5jj в неправильную
1 81
дробь: 5т^ = уд. Воспользовавшись вторым свойством корней
(теорема 2), получим:
Ж _ з _ л к -
l6 " 2 " '
Пример 3. Вычислить:
а) 3/24 3/9; б) 3/96 : З/з.
Решение. Первое свойство корней означает, что л/аЬ
можно представить в виде у/а • yfb и, наоборот, ^а • yfb можно
заменить выражением yfab. To же относится и ко второму свойству
корней. Учитывая это, выполним вычисления.
а) 3/24 3/9 = ^24 9 = ^8 27 =3/8^27 =23 = 6.
б) 3/96 : 3/3 = ^96:3 = 3/32 =2. ■
Пример 4. Выполнить действия:
а) ifa - $[Ъ - tfb; б) 4а • 3/а.
Решение, a) yfa Sib yfb = tfa b b = ^a?.
б) Теорема 1 позволяет нам перемножать только корни
одинаковой степени, т. е. только корни с одинаковым показателем.
Здесь же предлагается умножить корень второй степени из
числа а на корень третьей степени из того же числа. Как это делать,
мы пока не знаем. Вернемся к этой проблеме позднее. ■
Продолжим изучение свойств радикалов.
42

Теорема 3. Если а > 0, k — натуральное число и п —
натуральное число, большее 1, то справедливо равенство
а) =
Иными словами, чтобы возвести корень в натуральную
степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение.
Это следствие теоремы 1. В самом деле, (у/а) = Уа ' ^а ' ••• ' ^а, =
I
= Цаа ... а =
k множителей
k множителей
Теорема 4. Если а> Oun,k — натуральные числа, большие 1,
то справедливо равенство
Иными словами, чтобы извлечь корень из корня, достаточно
перемножить показатели корней.
Например, %$а = x*Ia\ ^Ja = 1Оу/а; 47a = tfa.
Доказательство. Введем следующие обозначения: уу/а = х,
пу[а = у. Тогда хп = va, откуда следует, что (xn)k = а, т. е. xnk = a.
Далее, из пу[а = у следует, что ynk= а. Таким образом, xnk = ynk,
значит, х = у у что и требовалось доказать.
Замечание 4. Чему вы научились благодаря доказанным
теоремам? Вы узнали, что над корнями можно осуществлять четыре
операции: умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня (из
корня). А как обстоит дело со сложением и вычитанием корней? Никак.
Об этом мы говорили еще в 8-м классе по поводу операции извлечения
квадратного корня. Например, вместо v8+27 нельзя написать ylS + \^27.
В самом деле, ^8+ 27 = ^35, а ^8 + ^27 = 2 + 3 = 5. Но ведь очевидно,
что v35 ф 5. Будьте внимательны!
Самое, пожалуй, интересное свойство корней — это то, о
котором пойдет речь в следующей теореме. Учитывая особую
значимость этого свойства, мы позволим себе нарушить
определенный стиль формулировок и доказательств, выработанный в этом
параграфе, с тем чтобы формулировка теоремы 5 была немного
«мягче», а ее доказательство — понятнее.
Теорема 5. Если а > 0 и если показатели корня и
подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же
натуральное число, то значение корня не изменится, т. е.
43

Например:
а8 = у/а2 (показатели корня и подкоренного выражения
разделили на 4);
я i—
= yja (показатели корня и подкоренного выражения
разделили на 3);
yla2 = *va4 (показатели корня и подкоренного выражения
умножили на 2).
Доказательство. Обозначим левую часть доказываемого
равенства буквой х: sci9 = х. Тогда по определению корня
должно выполняться равенство
хпр _ akp
Обозначим правую часть доказываемого равенства буквой у:
Щак = у. Тогда по определению корня должно выполняться
равенство уп = ak.
Возведем обе части последнего равенства в одну и ту же
степень р, получим: упр = akp.
Итак, хпр = akp, упр = akp.
Сопоставляя эти два равенства, приходим к выводу, что хпр =
= упр, а значит, х = у, что и требовалось доказать.
Доказанная теорема позволит нам решить ту проблему, с
которой мы столкнулись выше при решении примера 46, где
требовалось выполнить умножение корней с разными показателями:
Вот как обычно рассуждают в подобных случаях.
1) По теореме 5 в выражении \[а можно и показатель корня
(т. е. число 2), и показатель подкоренного выражения (т. е.
число 1) умножить на одно и то же натуральное число.
Воспользовавшись этим, умножим оба показателя на 3:
2) По теореме 5 в выражении va можно и показатель корня
(т. е. число 3), и показатель подкоренного выражения (т. е.
число 1) умножить на одно и то же натуральное число.
Воспользовавшись этим, умножим оба показателя на 2:
3) Поскольку получили корни одной и той же шестой
степени, их можно перемножить:
44

Мы рассмотрели пять свойств радикалов, которые
безоговорочно верны для неотрицательных подкоренных выражений. Но
при решении примеров на действия с радикалами нужно иметь
в виду возможность появления отрицательных значений этих
выражений. Очевидно, что все перечисленные свойства
распространяются на случай корней нечетных степеней.
Несколько сложнее обстоит дело в случае корней четных
степеней. Пусть а и Ъ — отрицательные числа, an — четное число.
В этом случае нельзя писать yfab = yfa • yfb, так как правая часть
такого «равенства» не имеет смысла (например, нельзя писать
^/(-бХ-б) = V^5 л/^6). Здесь можно рассуждать так: а и Ь —
отрицательные числа, следовательно, аЬ > 0. Но тогда аЪ =
= \аЬ\ = \а\ • |fr|. Значит, tfab = ^\ab\ = */|a| • |Ь|. Так как \а\> 0
и \b\ > 0, то по теореме 1
Итак, если п — четное число, а числа а и Ъ имеют
одинаковые знаки, то yjab = d\a\ • ц\Ь\ и аналогично «/— =
#1"
Очень внимательно следует относиться к свойству 5, о
котором шла речь в теореме 5. Нельзя применять ее бездумно. Пусть,
например, нужно упростить выражение ^(>/3 - 2)2. Если
формально разделить показатели корня и подкоренного выражения
на 2, получится выражение, не имеющее смысла: vV3 - 2
(квадратный корень из отрицательного числа). Правильнее в подобных
случаях рассуждать так:
- 2f = ^/|V3 - 2|2 = у]\Л-2\ =
Еще один пример: нужно умножить \jyfs - 2 на у\[з + 2.
Формальное применение теоремы 5 приведет к неправильному
- 2
- 2)2(7з + 2), поскольку
результату
в результате перемножения отрицательного и положительного
числа получилось положительное число. Правильнее в подобных
случаях рассуждать так:
45

Обратите внимание: все опасности, связанные с применением
свойства 5, относятся к случаю умножения или деления
показателей корня и подкоренного выражения на одно и то же
четное число (с нечетными множителями никаких неприятностей
не происходит).
§ 7. Преобразование иррациональных выражений
В предыдущих параграфах вы познакомились с операцией
извлечения корня п-й степени из действительного числа, изучили
свойства этой операции, а именно (для неотрицательных
значений а и Ь):
а) =а; \Чап) = а; (1)
; (2)
); (3)
(4)
(5)
(6)
Используя эти формулы, можно осуществлять преобразования
выражений, содержащих операцию извлечения корня
(выражений с радикалами), — такие выражения называют
иррациональными. Рассмотрим несколько примеров на преобразование
иррациональных выражений.
Пример 1. Упростить выражения:
а) */32аь; б) ($?).
Р е ш е н и е. а) Представим подкоренное выражение 32а5 в виде
16 • а4 • 2а и воспользуемся формулой (2):
Полученное выражение считается более простым, чем
заданное, поскольку под знаком корня содержится более простое
выражение. Подобное преобразование называют вынесением
множителя за знак радикала.
б) Воспользуемся формулой (4):
46

Представим подкоренное выражение а10 в виде а9 • а и
воспользуемся формулой (2):
Как видите, и здесь удалось вынести множитель за знак
радикала. ■
Вспомните формулу у]а2 =\а\9 которую вы изучали в курсе
алгебры 8-го класса. Она обобщается на случай любого четного
показателя корня:
«W.
Эту формулу следует иметь в виду в тех случаях, когда нет
уверенности в том, что переменные принимают только
неотрицательные значения. Например, вынося множитель за знак корня
в выражении ух4у, следует (если о знаке числа х ничего не
известно) рассуждать так:
Наряду с вынесением множителя за знак радикала в
необходимых случаях используется и преобразование, так сказать,
противоположной направленности: внесение множителя под знак радикала.
Это преобразование мы используем в следующих двух примерах.
Пример 2. Сравнить числа 2 3/3 и 3 у/2.
Решение. Имеем: 2 = 3/8; 3 = 3/27. Значит,
2^/3 = 3/8 • 3/3 = 3/3~8 = 3/24;
33/2 = 3^27 • 3/2 = 3/27^~2 = 3/54.
Теперь ясно, что 3/24 < 3/б4, т. е. 23/3 < 33/2. ■
Пример 3. Упростить выражение ^fx2 • \[х.
Решение. Сначала внесем множитель х2 под знак корня
третьей степени:
3 3/
Теперь заданное выражение можно записать так: \ \1х7.
Воспользовавшись формулой (5), мы можем последнее
выражение записать в виде Щх7.
Итак, ijx2 • #с = l2J7. Ш
47

Пример 4. Выполнить действия:
а) (45 + VbXVa - 4b);
б) (45 - 4&)№ + УаЬ + 4ft1)-
Решение, а) Здесь можно применить формулу сокращенного
умножения «разность квадратов»:
Воспользовавшись формулой (6), разделим в каждом из
полученных радикалов показатели корня и подкоренного выражения
на 2; это существенно упростит запись: va - yfb. Это возможно,
поскольку по смыслу примера а > О и Ь > 0.
итак, (45 + 46X45 - 4ь) = V5 - 7ь.
б) Здесь можно применить формулу сокращенного умножения
«разность кубов»:
Пример 5. Выполнить действия:
а) у[х* • 12\[х^; б) vV5 - 2 • yjAyfE + 9.
Решение, а) Поскольку перемножать можно корни только
одной и той же степени, начнем с уравнивания показателей
имеющихся радикалов. Для этого дважды воспользуемся формулой (6):
_ 12
А теперь воспользуемся формулой (2):
Осталось вынести множитель за знак радикала:
24У^" = 2V^24 • х7 = 2№ • 24V7 =\x\2if7 =
(мы учли, что х > 0 — это следует из условия примера),
б) Первый способ. Преобразуем первый множитель:
- 2 • 2 • S + 22 =
^ 4 = {(9 -
48

А теперь уже нетрудно выполнить умножение радикалов:
- 475 • ^9 + 4V5 = ^(9 " 4л/б)(9 + 4л/б) =
- (4>/5)2 = 4/81 - 80 = 1.
Второй способ. Сначала поработаем с подкоренным
выражением во втором множителе:
9 + 4>/5 = 5 + 4л/б +4= (л/б)2+2-2- 7б + 22 = (л/б + 2)2.
Значит, ^9 + 4>/5 = yj{\[5 + 2) . Разделив показатели корня и
подкоренного выражения на 2, получим vV5 + 2 (формулой (6)
мы здесь имеем право пользоваться, поскольку подкоренное
выражение >/б + 2 — положительное число). Осталось выполнить
умножение квадратных корней:
Пример 6. Разложить на множители выражение
Решение. Заданное выражение можно переписать
следующим образом:
Теперь видно, что это полный квадрат — квадрат разности
выражений v*2 и Щу. Значит,
Пример 7. Сократить дробь ^
- 2Цху + yjy
Решение. Первый способ. Преобразуем знаменатель дроби:
49

Целесообразно представить числитель как «разность
квадратов»:
Далее,
Второй способ. Введем новые переменные \[х = а и $[у = Ъг,
учтем, что при этом ых = a2, Jy = Ь2. Тогда заданная дробь при-
22
а2-Ь2
МеТ ВИД
Что дала нам замена переменных? Она позволила заменить
иррациональное выражение (с переменными хиу) рациональным
выражением (с переменными а и Ь). А оперировать с
рациональными выражениями намного проще, чем с иррациональными:
а2 - Ь2 (а-ЪУа + Ъ) а + Ъ fc [
а2-2аЬ + Ь2 (а - bf a~b Ух - &
§ 8. Понятие степени
с любым рациональным показателем
Вы умеете вычислять значение степени с любым
целочисленным показателем, руководствуясь при этом следующими
определениями:
1) если п = 1, то а1 = а;
2) если п = 0 и а Ф 0, то а0 = 1;
3) если п = 2, 3, 4, 5, ..., то ап = а а • а • ... • а (п
множителей); i
4) если п = 1, 2, 3, 4, ... и а * 0, то а~п = —ц.
Но математики на этом не остановились, они научились
работать не только с целочисленными показателями. В этом
параграфе мы обсудим, какой смысл придается в математике
понятию степени с дробным показателем, т. е. выясним, что означа-
з
ют такие символы математического языка, как 25, 3~0'3 и т. д.
50

Зададимся вопросом: если вводить символ 2б, то каким
математическим содержанием его наполнить? Хорошо бы, рассуждали
математики, чтобы сохранялись привычные свойства степеней,
например, чтобы при возведении степени в степень показатели
перемножались, в частности чтобы выполнялось следующее
равенство:
з\5
= 23 (1)
з -
(поскольку 77 • 5 = 3). Пусть а = 25. Тогда равенство (1) можно
переписать в виде а5 = 23, откуда получаем а = \f2F. Значит, по-
з I
явились основания определить 25 как v 23 . Подобные
соображения и позволили математикам принять следующее определение.
р
Определение 1. Если — — обыкновенная дробь (р > 0, q > О,
р ,—
q Ф 1) и а > О, то под ая понимают \1ар, т. е.
a
Например, З2 = >/3; 71 = Т^ и т. д.
Самое любопытное, что введенное определение оказалось
настолько удачным, что при нем сохранились все привычные
свойства степеней, которые были доказаны для натуральных
показателей: при умножении степеней с одинаковыми основаниями
показатели складываются, при делении — вычитаются и т. д.
1 1
Пусть, например, нам нужно выполнить умножение а2 • а3.
Поскольку а2 = у/а 9 а3 = yja 9 задача сводится к умножению
радикалов:
- - - 1 1 ъ
Итак, а2 • а3 = а6. Но, между прочим, -^ + ^ = ^, т. е.
Zoo
1
а2
1Л
51

Пример 1. Вычислить:
а)
646;
Решение.
б)
в)
2 J-
б)
а)
71
2
273;
64* =
= </о =
51
в) О4;
^64 = 2.
)2 = З2 = 9.
О.
г) (-8)3.
г) Это задание некорректно, поскольку нет определения
степени с дробным показателем для случая отрицательного
основания. Математики договорились возводить в дробные степени
только неотрицательные числа (и это оговорено в определении).
I
Так что запись вида (-8)3 считается в математике лишенной
смысла. ■
Замечание. Иногда приходится слышать возражения: неверно,
что запись (-8)3 лишена смысла, ведь можно вычислить корень третьей
степени из числа -8; получится -2. Так почему бы не считать, что
г
(-8)3 = -2? Если бы математики не запретили себе возводить в
дробные степени отрицательные числа, то вот с какими неприятностями
пришлось бы столкнуться:
-2 = (-8)3 = (-8)ё = ^(-8)2 = ^64 = 2.
Получилось «равенство» -2 = 2. Выбирая определения, математики как
раз и заботятся о том, чтобы все было точно, определенно,
недвусмысленно. Поэтому в определении степени с нулевым показателем а0
появилось ограничение а Ф 0, а в определении степени с положительным
р
дробным показателем а4 появилось ограничение а > 0.
Разумеется, математики не ограничились понятием степени
с положительным дробным показателем, они ввели и
определение степени с отрицательным дробным показателем, используя
известную идею:
52

Но наличие дробного показателя заставляет сделать
ограничение а > О, а наличие знаменателя заставляет сделать
ограничение а * О, в итоге приходится накладывать ограничение
а > 0.
Определение 2. Если — — обыкновенная дробь (q * 1) и
- 1
а > 0, то под a q понимают —:
Например,
Л
= 4 =
и т. д.
Итак, теперь мы знаем, что такое степень с любым
рациональным показателем. Справедливы следующие свойства
(предполагаем, что а>0, Ь>0, 8 и t — произвольные рациональные
числа):
2) а8: а* = а8'*;
3) (а8)' = а8';
4) (аЬ)8 = а8 • Ъ8\
5) \ь) - ь8 •
Докажем, для примера, свойства 1 и 3.
Пусть а > 0, s = —» t=~n' где m е ^> Р е
ь 1. Тогда:
а8 а* = ап • aq =
NyqeNyn*\y
(а8У = (an)q = \yjam)q =
= ап q = а".
Поскольку оперировать с дробями легче, чем применять
свойства радикалов, на практике во многих случаях предпочитают
заменять радикалы степенями с дробными показателями. Для
53

иллюстрации этого положения вернемся к примеру 5а из § 7:
V*3 •1у1^1. Если перейти к дробным показателям, то получим:
Видите, насколько быстрее и проще мы получили здесь тот же
результат, что и в § 7.
Пример 2. Упростить выражение
Решение.
/I I\2 ( I\2 1 I ( I\2 2 11 2
1) \дс3+1/3/ = \л:3/ + 2x3y3 + \i/3j = xs + 2jc3i/3 + i/3
2) $ф = (xyf = х~3у*
(2 11 2\ 11 2 2
ха + 2x^3 + у*) - 2xsy* - у3 = х3.
2
Ответ: Xs.
Пример 3. Решить уравнения:
а) С? = 1; б) J = 1.
Решение, а) Возведем обе части уравнения в куб:
б) Это практически то же самое уравнение, что и в пункте а),
но с одной существенной оговоркой: поскольку переменная х
возводится в дробную степень, она, по определению, должна
принимать только неотрицательные значения. Значит, из найденных
выше двух значений х в качестве корня уравнения мы имеем
право взять лишь значение х = 1.
Ответ: а) ±1; б) 1.
54

_ _
Пример 4. Решить уравнение хг - 2х 3 -8 = 0.
_1 _2
Решение. Введем новую переменную у = х 3. Тогда л: 3 =
/ _п2
= Vjc 3/ = i/2. Значит, получаем квадратное уравнение
относительно новой переменной у:
у2 - 2у - 8 = 0.
Решив это уравнение, получим: ух = -2, у2 = 4.
Теперь задача сводится к решению двух уравнений:
_1 _1
л: 3 = -2; х 3 = 4.
Первое уравнение не имеет корней, поскольку (напомним еще
раз) область допустимых значений для переменной х в подобных
_1
случаях определяется условием х > 0, а тогда и х 3 > 0. Решая
второе уравнение, последовательно находим:
1 ~ *» Л "" 4' ^ "~ 4'
JC3 з
Х = Ы ; * = 64 *
Ответ: -^-г.
64
Уравнения, в которых переменная содержится под знаком
корня или возводится в дробную степень, называют
иррациональными. Первое знакомство с иррациональными уравнениями
состоялось у вас в курсе алгебры 8-го класса, где встречались
уравнения, содержащие переменную под знаком квадратного корня.
В этой главе мы рассмотрели еще несколько примеров решения
иррациональных уравнений — пример 2 из § 4, пример 2 из § 5
и примеры 3, 4 из § 8.
Основные методы решения иррациональных уравнений:
— метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же
степень;
— метод введения новых переменных;
— функционально-графический метод.
Если используется метод возведения обеих частей уравнения
в одну и ту же четную степень, то возможно появление
посторонних корней, значит, обязательна проверка всех найденных
решений — об этом мы говорили и раньше, в курсе алгебры
8-го класса. Более подробно об иррациональных уравнениях речь
пойдет в главе 6.
55

§ 9. Степенные функции, их свойства и графики
Степенными функциями называют функции вида у = х\ где
г — любое рациональное число.
Целый ряд таких функций мы с вами уже изучили. Так, если
г — натуральное число (г = /г), то получаем функцию у = хп\
графики и свойства таких функций вам известны из курса
алгебры 7—9-го классов. На рис. 14 изображен график функции
у = х1 (прямая), на рис. 15 — у = х2 (парабола), на рис. 16 — у = х3
(кубическая парабола). График степенной функции у = хп в
случае четного п(п = 4, 6, 8, ...) похож на параболу, а график
степенной функции у = хп в случае нечетного п (п = 5, 7, 9, ...) — на
кубическую параболу.
Если г = -/г, то получаем функцию у = х~п, т. е. у = —^; о
таких функциях мы говорили в курсе алгебры 9-го класса. В случае
четного п график имеет вид, как на рис. 17; в случае нечетного
п — как на рис. 18.
Наконец, если г = 0, т. е. речь идет о функции у = дс°, то о ней
и говорить неинтересно, поскольку это функция у = 1, где х Ф 0;
график изображен на рис. 19.
/
/
/
Уь
о
/
- Л
1
//
\
/1
1
У
/
/
X
\\
\\
\
\
\
\
\
У>
\
о
I /
/
/
/
^
i
X
1
1
1
1
yt
О
/
<
u
)
[
0
/
x_
РЫС. 14
РЫС. 15
РЫС. 16
У
ц
I
I
I
I
/
1
о
\
1
X
о
У
—
(
X
)
X
РЫС. 17
РЫС. 18
РЫС. 19
Теперь познакомимся с функциями у = хг, где г —
положительное или отрицательное дробное число.
56

У±
л
о
09
/
i
/
\\
If
F\
1
*
i
у = V5
X
Рассмотрим в качестве примера
функцию у = jc2'5. Область ее определения — луч
[0; +°°). Построим на этом луче графики
функций у = х2 (ветвь параболы) и у = х3
(ветвь кубической параболы) — эти графики
изображены на рис. 20. Обратите внимание:
на интервале (0; 1) кубическая парабола
располагается ниже, а на открытом луче (1; +°о)
выше параболы.
Нетрудно убедиться в том, что график
функции у = х2'5 проходит через точки (0; 0)
и (1; 1), как и графики функций у = х29 у = х3. При
остальных значениях аргумента х график функции у = х2'5 находится
между графиками функций у = х2 и у = х3 (рис. 20). Почему?
Смотрите.
1) Если 0 < х < 1, то
х6 < хь < х4;
PUC. 20
2) Если х > 1, то
X3 < X2'5 < X2.
X4 < ХЪ < ХЬ\
< V? <
х2 < х2'5 < х3.
График функции у = х2* изображен на рис. 20 (сплошная линия).
Примерно так же обстоит дело для любой степенной функции вида
у = х\ где ^-~^ — неправильная дробь (числитель больше
знаменателя). Ее графиком является кривая, похожая на ветвь параболы.
Чем больше показатель г, тем «круче» устремлена эта кривая вверх.
т
Свойства функции у = хп, где — > 1:
1) D(f) = [0; +сю);
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) возрастает на [0; +оо);
4) не ограничена сверху, ограничена снизу;
5) не имеет наибольшего значения; i/наим. = 0;
6) непрерывна;
57

7) E(f) = [0; +00);
8) выпукла вниз.
Сделаем некоторые комментарии к свойствам 1)—8). Свойства
1) и 2) достаточно ясны. Свойство 8) мы доказать не в состоянии,
поскольку у нас нет формального определения выпуклости,
ограничимся наглядно-интуитивными представлениями. Докажем
свойство 3).
Пусть f(x) = хп , 0 < хх < х2. Тогда
т m
х1п < х2п .
< х£, у я? < ^
т. е.
Итак, из 0 < х1 < х2 следует fixx) < Ддс2)» т. е. функция возрастает.
Докажем свойство 4). Ограниченность функции снизу очевидна,
поскольку для любого х > 0 выполняется неравенство хп > 0.
Неограниченность сверху докажем методом от противного:
предположим, что функция ограничена сверху, т. е. существует
число М > 0 такое, что для любого неотрицательного х выполняется
неравенство f(x) < М.
Возьмем на луче [0; +оо) точку xQ - (М + 1)т. Тогда f(xQ) =
= ((М + 1)»)^ =М + 1 > М.
Это противоречит предположению о том, что для любого
неотрицательного х выполняется неравенство f(x) < М. Значит,
наше предположение неверно, функция сверху не ограничена.
Отсюда, кстати, сразу следует и свойство 5).
Свойство 6) будет обосновано ниже. Наконец, свойство 7)
следует из того, что непрерывная функция отображает промежуток
в промежуток.
т
Рассмотрим степенную функцию у=хп для случая, когда
т
— — правильная дробь (0 < — < 1). Все рассмотренное в § 5 в
отношении функции у = yfx, x > 0, или, что
1
то же самое, у = хп (ее график изображен
на рис. 6), имеет место и по отношению к
любой степенной функции вида у = хг, где
г = — — правильная дробь (числитель
меньше знаменателя). График функции
у = хг изображен (схематически) на рис. 21.
Уь
1
-]
1
1
)-
X
PUC. 21
58

-
i
l
о
л\
\
\
\
_i
у -
[
Хп
X
РЫС. 22
т
Свойства функции у = хпу где О < — < 1:
1) D{f) = [0; +сю);
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) возрастает на [0; +оо);
4) не ограничена сверху, ограничена снизу;
5) не имеет наибольшего значения; 1/наим. = 0;
6) непрерывна;
7) E(f) = [0; +сю);
8) выпукла вверх.
Нам осталось рассмотреть степенную
_т
функцию вида у = х п . Область ее
определения — открытый луч (0; +°о). Выше мы
построили график степенной функции у = дгл,
где п — натуральное число. При х > 0
график функции у = х'п похож на ветвь
гиперболы (рис. 18). Точно так же обстоит дело для
_т
любой степенной функции вида у=хп9 график которой изображен
на рис. 22. Отметим, что график данной функции имеет
горизонтальную асимптоту у = 0 и вертикальную асимптоту х = 0.
_т
Свойства функции у = х п:
1) D(f) = (0; +оо);
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) убывает на (0; +оо);
4) не ограничена сверху, ограничена снизу;
5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значения;
6) непрерывна;
7) E(f) = (0; +сю);
8) выпукла вниз.
Докажите самостоятельно свойства 3), 4) и 5).
Вы, наверное, заметили, что мы пока ничего не сказали о
свойстве дифференцируемости степенной функции. Начнем
издалека.
Мы знаем, чему равна производная функции у = хп> где п —
натуральное число:
(хпУ = пхп-1. (1)
Нетрудно найти производную степенной функции у = дГ\ где
п — натуральное число. Для этого надо переписать выражение
59

х п в виде — и воспользоваться правилом дифференцирования
дроби:
(1)' хп-1 (хп)' _ О хп -пхп~х _ -пхп~х _ п х
(*Л)2 - х2п " х2л " П* •
Итак, для любого х Ф 0 справедлива формула
(дгл)' = -/uc"nl. (2)
Формулы (1) и (2) можно объединить в одну:
(хГ)' = тхГ-\ (3)
где т — любое целое число (кроме нуля).
Идем дальше. Мы знаем, что (у[х) = ~гт= - Эту формулу
можно записать следующим образом:
У) =\х~2.
\х. (4)
И формула (3), и формула (4) являются частными случаями
общего утверждения.
Теорема. Если х > 0 и г — рациональное число, то
производная степенной функции у = хг вычисляется по формуле
(*')' = г*'1. (5)
Доказательство. Если г — целое число, то формула
(хг)'= гхг~г верна — это уже доказано выше. Значит, нам
осталось доказать формулу (5) для случая, когда г = —, где т е Z
п
(т * 0), п е N, п Ф 1.
Пусть для начала г = —. Функция у = хп, т. е. у = \[х, явля-
п
ется обратной по отношению к функции х = уп. Значит, мы
можем воспользоваться правилом дифференцирования обратной
функции (см. «Алгебра и начала анализа-10», § 42), согласно
которому yfx = —г- Получим:
- 1 --1 1
Итак, мы доказали, что (хп)' = ~ • хп , т. е. что для г= — фор-
п п
мула (5) верна.
60

Рассмотрим общий случай: г = —. Воспользуемся тем, что
ml П
хп = (хп)т, и правилом дифференцирования сложной функции
(см. «Алгебра и начала анализа-10», § 42). Получим:
ml II т_1 л 1_г mj
П П
— т ——1 ТП.
Итак, мы доказали, что (хп)' = — • хп , т.е. что для г = —
п тг
формула (5) верна. Теорема полностью доказана.
Из дифференцируемости функции у = хгна (0; +оо) вытекает
и ее непрерывность на (0; +оо).
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функ-
3
ции у = х2:
а) на отрезке [1; 9]; б) на интервале (0; 4); в) на луче [25; +°°].
3
Решение. Воспользуемся тем, что функция у = х2
возрастает и, следовательно, свои наименьшее и наибольшее значения
достигает соответственно в левом и правом концах заданного
промежутка, если, разумеется, концы промежутка принадлежат
самому промежутку.
а\ и — 12 — л/13 — 1» а — Q2 — л/О3 — ^3 — 97
б) Здесь нет ни наименьшего, ни наибольшего значения
функции, поскольку концы промежутка — точки 0 и 4 — интервалу
(0; 4) не принадлежат.
з I
в) i/наим. = 252 = V253 = 53 = 125; уяаиб. не существует. ■
Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функ-
16 - 1
ции у = ^-х2 - -^х3 на отрезке [1; 9].
Решение. Воспользуемся алгоритмом отыскания
наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке
(см. «Алгебра и начала анализа-10», § 46).
4 Л х^~ з '3*2 = 8^ -х2.
61

2) Производная существует при всех х > О, значит,
критических точек у функции нет, а стационарные найдем из условия
у' = 0. Имеем:
= *2;
= (х2)2;
64* = х4;
х(х* - 64) = 0;
Xi = 0; х2 = 4.
Отрезку [1; 9] принадлежит лишь точка х = 4.
16 - 1
3) Составим таблицу значений функции у = -§-х2 - j^x3,
о о
включив в нее концы отрезка — точки х=1ил: = 9 — и
найденную стационарную точку х = 4.
X
У
1
5
4
9
-99
Таким образом, уваиы, = -99 (достигается в точке х = 9);
Ушаиб. = 21д (достигается в точке х = 4).
2
s =
Пример 3. Решить уравнение Xs = 12 - л;.
Решение. Нетрудно подобрать один корень этого уравнения:
х = 8. В самом деле,
= 4 и 12 - 8 = 4,
значит, при х = 8 уравнение обращается в верное числовое
равенство 4 = 4.
2
Так как степенная функция у = х^ возрастает, а линейная
функция у = 12 - х убывает, то других корней у уравнения нет.
Ответ: 8.
62

Пример 4. Построить график функции у = (х-1) 3 - 2.
Решение. 1) Перейдем к вспомогательной системе
координат с началом в точке (1; -2) — пунктирные прямые х = 1и
у = -2 проведены на рис. 23, а.
о
о
- i
V
1
о
I I
X
-
У>
0
9
1
\
X
PUC. 23
2
2) «Привяжем» функцию у = х 3 к новой системе координат.
Это и будет требуемый график (рис. 23, б). Ш
Пример 5. Составить уравнение касательной к графику
функции:
а) у = — в точке х = 1;
б) у = jc 3 в точке х = 1.
Решение. Напомним общий вид уравнения касательной:
у = № + f (аХ* " а). (7)
Воспользуемся алгоритмом составления уравнения
касательной (см. «Алгебра и начала анализа-10», § 43).
2) f(a) = /(1) = i = 1;
3) f(x) = -± ; Па) = f(1) = -рг = "I-
4) Подставим найденные числа а = 1, /(а) = 1, f(a) = -1 в
формулу (7):
у = 1 - (х - 1),
у = 2 - *.
б) f(x) = Д
1) а = 1;
2) f(a) = /(1) = ^ = 1;
63

3)f (*) = -■§.
4) Подстав
в формулу (7):
; f(1) = -| .
4) Подставим найденные числа а = 1, /(a) = 1, f(a) = -4
о
y = l- §(*-
»-!*♦!•
Ответ: а) у = 2 - x;
Замечание. График функции у = х 3 похож на ветвь гиперболы
у - — : оба графика имеют своими асимптотами оси координат, оба
графика проходят через точку (1; 1). Но их поведение в точке (1; 1)
различно, у них, как мы увидели при решении примера 5, разные касательные
в этой точке (см. рис. 24, 25).
«
Уй
1
>
з-
1
О
\
\
\
[
■1
У
S
-1-
1
z -
(
1,1
)-
ч
х_
\
2 Ч
1- -
1" ~
о
—:
Ч
с
1
-1
m
L_
С
И
ММ 1
"х
РИС. 24
РЫС. 25
Существует довольно красивый способ построения касательной к
графику степенной функции у = хг в точке х = а, где а > 0. Составим
уравнение касательной в общем виде (у = f(a) + f(a)(x - а)); для заданной
степенной функции получим
у = ar + rarl(x - a).
Найдем точку пересечения касательной с осью ху т. е. с прямой у = 0:
0 = аг + гаг1(х - а);
а + г\х - а) = 0;
г-1
X =
а.
(8)
64

У
Xй
\
\
\
\
\
\
\
\
о
.
//
//
1
i
/
/
аа
2
X
1
1
1
\
У1
О
/
2
\
\1
\
/
/
/
п\
/
— L
\ J
1
X
Р1АС. 26
Р1АС. 27
Таким образом, чтобы построить касательную к графику функции
у = хг в точке х = а, где а > 0, нужно найти на оси х точку х = —-— а и
провести прямую через эту точку и точку касания. Если, например, г = 2,
п
т. е. речь идет о функции у = х2у то по формуле (8) получаем х = -r* Это
значит, что для построения касательной нужно разделить отрезок [0; а]
оси х пополам и полученную точку соединить с точкой касания (рис. 26).
Если г = 3, т. е. речь идет о функции у - х3, то по формуле (8) получаем
2а
х = ~о~« Способ построения касательной показан на рис. 27. Если г = -1,
т. е. речь идет о функции у = — > то по формуле (8) получаем х = 2а.
х
Способ построения касательной показан на рис. 28. Если, наконец,
г = о» т» е» речь идет о функции у = у[х, то по формуле (8) получаем
х = —а. Способ построения касательной показан на рис. 29.
1
у ■
ч,
1
X
ук
П
11
11
ч
\
II
II
Y
и
9^
X
а
У*
О
с
i
У
РЫС. 28
Р\АС. 29
3 Алгебра и начала
анализа 11 кл.
65

Пример 6. Построить график функции у = yjsin2 x.
Решение. Отметим некоторые свойства заданной функции,
которые помогут нам построить ее график.
l.D(f) = (-00; +00).
2. Функция периодическая, ее основной период равен я. В самом деле,
- cos2x
-, откуда и следует,
функцию можно преобразовать к виду у =
2я
что ее основной цериод равен -q" (см. «Алгебра и начала анализа-10»,
§ 9, 16, 19), т. е. я. Значит, чтобы построить весь график, нужно
построить ветвь графика на отрезке [0; я], где sin x > 0, а затем,
воспользовавшись периодичностью функции, построить весь график.
3. Найдем производную заданной функции:
i 2 cos х
а • cos х =
(sin*)' = |(sinx)
Найдем стационарные и критические точки функции на отрезке [0; я]:
\f = 0, когда cos х = 0, т. е. при х = -r* \f не существует, когда sin х = 0, т. е.
при х = 0 или при х = к. В обеих критических точках (т. е. в точках 0 и тс)
заданная функция обращается в 0, а в стационарной точке х = ~о
значение функции равно 1 — это точка максимума. Других точек экстремума
на рассматриваемом отрезке у функции нет.
4. Функция непрерывна на всей числовой
прямой.
Ветвь графика заданной функции на отрезке
[0; я] представлена на рис. 30, а весь график —
на рис. 31. Обратите внимание: в каждой из
критических точек (это точки вида х = ял) касатель-
Рыс. 30 ная к графику перпендикулярна оси абсцисс .■
1
0
f
2
7С
V
_
/
71
1-
\
0
>
7
г
У
I
Vein7"
2
X
/
/
к
X
Рис. 31
ее

§ 10. Извлечение корней из комплексных чисел
До сих пор мы говорили об операции извлечения корня из
действительного числа. А как обстоит дело на множестве
комплексных чисел? Прежде чем говорить об этом, вспомним
вкратце, что мы знаем о комплексных числах из курса 10-го класса.
Каждое отличное от нуля комплексное число z может быть
записано в двух формах: в алгебраической и в тригонометрической.
Алгебраическая форма
Z = X + iy
х = Re z — действительная часть г
y = \mz — мнимая часть z
Тригонометрическая форма
z = p(cos a + i sin а)
р= у]х2 + у\ р = |*|
р — модуль числа z
Алгебраическая запись (запись в декартовых координатах)
однозначна: равенство двух комплексных чисел означает, что
равны их действительные части и равны их мнимые части. Короче
говоря,
Xi + iyi = x2 + iy2 <=> хг = х2, ух = у2.
В тригонометрической форме больше неопределенности:
p^cos (Xi + i sin
<=> Pi = p2,
= p2(cos a2 + i sin a2)
- a2 = 2nn, n e Z.
Другими словами, модуль р = \z\ данного комплексного числа z
определен однозначно, а вот к числу а можно прибавлять числа,
кратные 2л, — ведь это период тригонометрических функций
косинус и синус. Из всех возможных тригонометрических записей
числа 2, как правило, выбирают «самую простую»: в ней a 6 (-л; л].
Такую запись мы называли стандартной тригонометрической
формой, а a — аргументом комплексного числа z.
На рис. 32 представлена геометрическая интерпретация чис-
ла z - а + Ы = p(cos a + i sin a) в комплексной плоскости.
и
и
о
Г
W
z
а
X
с
Z
1
1
РА
J
f
о
/
* (
и
X
X
РЫС. 32
67

Пример 1. Сколько различных комплексных чисел среди
перечисленных:
гг = 1 - *л/з, 22 = 2fcos^ + i sin^
= 8* (cos 2,25л + i sin 2,25л), z4 = Q26 (5!)"1 + 2i cos —,
2Ъ = 2<|103 + tg61 + ^27 (2 cos2 0,125л - 1 + i sin (л • 22))?
Решение. Запишем числа z2, z3, 24> гъ в алгебраической форме:
г2- [^cos-£- lSin3j~ 1*2 l"2~J~ ^ ~ ZU
z3 = 8*(cos2,25л + isin2,25л) = V2| cos- + isin- ] = 1 + i;
V )
2icosf =
+ (V3)6 -31 + cos^ - 1 + isin| =
Таким образом, для пяти заданных чисел выполняются
следующие соотношения: zx = z2 = z4; z3 = 25; различных чисел всего два. ■
Сложение и вычитание комплексных чисел в алгебраической
форме выполняются покоординатно:
(*i + iy\) + (*2 + Ч/2) = (л:1 + х2) + i(i/i + Уг)>
(*2 + i«/2) = (л:1 - х2) + i(i/i - у2)-
Умножение следует выполнять как обычное умножение
числовых или буквенных выражений, но только с учетом основного для
комплексных чисел равенства i2 = -1. Значит,
(xi + iyi)(x2 + iy2) = ххх2 + h/i*2 + ixxy2
xxy2).
В частности, если z = л: + ii/, то (х + ii/)(x - и/) = л:2 + i/2 = |г|2.
Число х - iy называют числом, сопряженным числу 2 и
обозначают 2. Таким образом, z • z = \z\2. Из этой формулы, в частности,
68

можно получить правило для вычисления -- Смотрите: z • r^W = 1,
1 г 1 х - ш „
т. е. - = гтт или г- = —о—%• Итак,
Складывать и вычитать комплексные числа в
тригонометрической форме неудобно, надо переходить к алгебраической
форме, выполнять действия, а потом возвращаться к
тригонометрической форме. Обычно такие переходы полностью и не выполняют.
Значительно удобнее в тригонометрической форме выполнять
умножение и деление.
Если Zi = pi(cos a + i sin аг) и z2 = p2(cos p + i sin p), то
ziz2 = Pip2(cos (a + p) + i sin (a + p)),
^ = £4cos(a - p) + *sin(a - p)).
22 P2
Иногда говорят, что при умножении комплексных чисел
модули перемножаются и аргументы «складываются», а при
делении комплексных чисел модули делятся и аргументы
«вычитаются». Если сумма a + р (разность a - р) аргументов окажется
вне пределов основного промежутка (-тс; я], то для нахождения
аргумента произведения или частного следует прибавить или
отнять 2л. Именно поэтому термины «складываются» и
«вычитаются» взяты в кавычки.
Если правило умножения применить к п одинаковым
множителям, то получится знаменитая формула Муавра:
(p(cos a + i sin a))n = pn(cos na 4- i sin na), n € N.
Она верна и для целых отрицательных показателей степени п. Из
нее видно, что все тонкости, связанные с возведением
комплексных чисел в целую степень, так или иначе, связаны с числовой
окружностью на комплексной плоскости.
Пример 2. Пусть z = O,5(cos 0,23л + i sin 0,23л). Какие
числа из множества {г, z2, г3, ..., г9, z10}:
а) расположены во второй координатной четверти;
б) расположены правее оси ординат и внутри круга радиуса
0,001 с центром в начале координат?
Решение, а) Сначала отметим на числовой окружности все
степени tn = (cos 0,23л + i sin 0,23л)л, п = 1, 2, ..., 10. По формуле
Муавра находим 10 чисел: Г = cos 0,23л/г + i sin 0,23л/г, п = 1, 2,..., 10.
69

t'
f
1
\
~t
5 J
t
/
3
\
Ц
I
L
У1
f\
i
t
J
\
7
/
•«-
r
>\
\
J
—
X
РЫС. 33
Им соответствуют на числовой
окружности 10 точек: 0,23л, 0,46л, 0,69л,
0,92л, 1,15л, 1,38л, 1,61л, 1,84л,
2,07л, 2,3л (рис. 33). Из них во
вторую четверть, т. е. в промежуток от
0,5л до л попали два числа 0,69л,
0,92л. Значит, во второй
координатной четверти находятся только числа
гъ и z4: ведь от умножения на 0,5л
изменятся лишь расстояния до начала
координат.
б) Надо найти все числа zn, для
которых И < 0,001. Но \zn\ = \z\n = 0,5\
Значит, речь идет о неравенстве 0,5л < 0,001. Оно
выполняется только при п = 10 (для заданных десяти чисел). Итак, число
z10 = 0,510(cos 2,3л + i sin 2,3л) лежит внутри круга радиуса 0,001 с
центром в начале координат. Поскольку аргумент числа равен
2,3л - 2л = 0,3л, а это значение принадлежит первой четверти
числовой окружности, получается, что число г10 расположено правее
оси ординат, что и требуется в условии.
Ответ: a) z\ z4; б) z10.
То, что было сказано выше, известно вам из курса 10-го
класса. Теперь перейдем непосредственно к теме этого параграфа, т. е.
к извлечению корней я-й степени из комплексных чисел. Как и
для действительных чисел, такая операция является обратной по
отношению к возведению в п-ю степень. Основных отличий, как
мы увидим, два. Во-первых, извлекать корни п-й степени можно
из любых комплексных чисел. Во-вторых, за исключением
случая z = 0, корней п-й степени из заданного комплексного числа z
всегда имеется ровно п.
Определение. Корнем л-й степени из комплексного числа z
называют комплексное число, п-я степень которого равна z.
Множество всех корней п-й степени из комплексного числа z
обозначают yfz. Извлечь корень п-й степени из комплексного числа z —
это значит найти множество yfz.
Заметим, что при z = 0 получим Vo = 0. Всюду далее будем
считать, что z ^ 0.
При п = 2 и п = 3 это определение совпадает с определениями
соответственно квадратных и кубических корней из комплексных
чисел («Алгебра и начала анализа-10», глава 6). Формула для
нахождения \[z, как мы увидим, является обобщением формул для
4z и yfz. Напомним, что
70

л/г = >/p(cos a + i sin а) = +>/p cos — + i sin — =
= ^p(cosoc + isinoc) =
COS-
Например,
+ isin
I
\\k = 0, 1, 2| =
L 6 6 6 6 2
_.j (рис 34)>
Выведем формулу для нахождения луг.
Теорема. Если z = p(cos a + i sin a), mo
^p(cosa + isina) =
| fe = 0,1, 2,..., Л -
(здесь лур — обычный арифметический корень из положительного
числа).
Доказательство. Пусть rfz = w. Запишем w в
тригонометрической форме: w = r(cos p + i sin P). Тогда wn = r"(cos яР +
+ i sin дР). Поскольку, с другой стороны,
uf = z, то получаем равенство rn(cos тф +
+ i sin яР) = p(cos a + i sin a).
В этом равенстве р и a считаются
заданными, а найти надо г и р.
Использовав условие равенства
комплексных чисел в
тригонометрической форме, заключаем, что гп = р,
а яр и а отличаются на слагаемое,
кратное 2л, т. е. г = ^р, яР - a = 2л/я,
meZ. Для г ответ уже совпал с
требуемым. Второе равенство запишем так: Рис. 34
71
-2
\
/
\
\
ч
\
ч
\
\
Mi
о
\
\
1
0
у
,/
5
*\
/
2^
S
тс
в
г
/
'0
1.
Х_

яР = а + 2пт; значит, Р = , т € Z. Мы видим, что
теорема практически доказана. Единственное отличие состоит в том,
что у нас получилось т € Z, а в формулировке теоремы указано,
что k = 0, 1, 2, ..., п-1.
Представим m в виде т = nl + Л, 0 < k < п, I € Z, здесь Л —
остаток от деления т на. п.
Имеем:
Vp(cos р + i sin p) = Vpfcos а + 2я/п + i sina + 27C/nl =
\ n n )
n n )
Таким образом, множества комплексных чисел
me Z
И < у]р\ COS 1- I Sill И К = U, 1, Z, ..., 71 —
совпадают. Теорема доказана.
Пример 3. Найти y/l.
Решение. Представим число 1 в тригонометрической форме:
1 = 1- (cos 0 + i sin 0). Применим теорему:
^1 (oos0+ isinO) =
2^ + isin2^>||ft = 0, X 2, з1.
В ответе получаем четыре числа:
если k = 0, то 20 = cos 0 + i sin 0 = 1;
, ., я ... я
если Л = 1, то гг = cos — + г sin — = i;
если k = 2, то z2 = cos я + i sin n = -1;
, о Зя , . . Зя . t ot,4
если k = 3, то 23 = cos — + i sin — = -i (рис. 35).
Ответ: {±1, ±i}.

22,
/
f
\
/
s
ч
Уь
\
о
•*^
7Т
2
N
\
V
/
/
1
z0
х_
2
/
{
\
\
X
к
'2
\
/
ч
\
/
1
\
о
/
\
ч
/
п
4
\
X
У
г
'0
\
\
/
/
1
X
PUC. 35
Пример 4. Найти V-1.
Рис. 36
Решение. Представим число -1 в тригонометрической форме:
-1 = cos n + i sin я. Применим теорему:
= о, 1, 2,
В ответе получаем четыре числа:
если Л = 0, то 20 = cos —
4
. . Я л/2 .л/2
sin — = -?— + iJL—;
4 2 2
, ^ Зя , . . Зя л/2 .л/2
если л = 1, то Zi = cos — + i sin — = —^ + i-1—;
, n 5я , . . 5я л/г .л/г
если Л = 2, то z2 = cos — + г sin — = г—;
4 4 2 2
если k = 3, то z3 = cos^ + isin^ = *1 - i*l (рИс. 36).
V2 . ,л/2 V2
>/2 . ;V2 V2 . ,л/2
-, -
Пример 5. Найти тот из корней шестой степени из числа -Si,
который принадлежит третьей четверти.
Решение. хУ=& = Jefooef—^
f /of -0,5я + 2nk . . -0,5я
= V2 cos—'-— + isin—'-—
V
6
6
isinf-|ll =
ft = 0, X 2, 3, 4, Ъ\.
Вычислим нужные значения ос* =
-0,5я
6
к
0
п
12
1
п
4
2
12
3
11тг
12
4
4
5
19тг
12
73

/
i
_
/
/
Л
\\ i
\\\
\\L
1
7
***
•
Q
•
-1
**•
/
*5
i
j
/
Sj
\\
Y\
\»
L-
и
#
/1
Рис. 37
Третьей четверти принадлежит
значение -т-, соответствующее
значению параметра k = 4. Получаем:
*4 = V^cos^ + *sin^j =
= -1 - i (рис. 37).
Ответ: -(1 + *)•
Можно сформулировать
некоторый геометрический алгоритм
извлечения корня п-й степени.
Для извлечения корня п-й степени из комплексного
числа z следует:
1) найти модуль р и аргумент а этого числа;
2) провести окружность радиусом ^р с центром
в начале координат;
3) провести из начала координат луч под углом —
к положительному направлению оси абсцисс;
4) найти точку z0 пересечения окружности и луча;
5) построить правильный п-уголъник, вписанный
в окружность, одной из вершин которого является z0.
Вершины п-угольника образуют множество всех
корней п-й степени из z (рис. 38).
Как и в случае нахождения квадратных и кубических корней,
следует отметить, что с помощью циркуля и линейки этот
алгоритм далеко не всегда может быть реализован. Дело в том, что
существуют задачи на построение, не
разрешимые с помощью циркуля и
линейки. К числу таких задач
относится, например, трисекция угла, т. е.
деление произвольного угла на три
равные части. Также неразрешимой
является задача о построении
правильных 7- или 9-угольников,
вписанных в данную окружность. В то
же время Карл Гаусс в 1796 году в
возрасте 18 лет доказал, что
циркулем и линейкой можно построить
Рыс. 38 правильный 17-угольник, вписанный
/
\
/
\
J
/
/
/
\
\
Чу
Т
^>
о
Z
у
/
г
А
{
а
z
***
1
7
Г
J
1
г
1
Р
X
74

в данную окружность. Более того, он доказал, что построение
правильного р-угольника для простого р возможно в том случае, когда
р = 2*1 + 1, п € N. Например, при п = О, 1, 2, 3 получаются
простые числа р = 3, 5, 17, 257.
Основной вывод, который можно сделать из всего сказанного
выше, сформулируем следующим образом: для любого отличного
от нуля комплексного числа с уравнение zn - с = О имеет п
различных комплексных корней.
Оказывается, это утверждение верно не только для
простейшего многочлена P(z) = zn - с, но и вообще для любого
многочлена п-й степени. Этот факт базируется на так называемой
основной теореме алгебры.
Основная теорема алгебры. Любое уравнение
апгп + пп-гг"'1 + ... + O2Z2 + агг + а^ = О, ап * О
с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один
комплексный корень.
Если один корень, скажем zu найден, то (см. § 1, следствие из
теоремы 3) многочлен, содержащийся в левой части уравнения,
можно разложить на множители:
anzn + ап.ггп~1 + ... + а^2 + axz + Оо =
n-2
= (2 - ZiXfti-i*11"1 + bn.2zn-2 + ... + byz + Ьь), bn-i = ап Ф 0.
Применим аналогичное рассуждение к многочлену,
содержащемуся во вторых скобках — многочлену степени п - 1:
= (z - z2)(cn.2zn-2 + cn.3zn-3 + ... + dz + Co).
Повторив эту процедуру п раз, мы и получим п корней
многочлена п-й степени, а многочлен будет представлен в виде
произведения п линейных множителей:
anzn + an_xzn~^ + ... + O2Z2 + axz + Оо =
= an(z - zt)(z - z2) ... (z - zn).
Конечно, среди этих корней могут быть и одинаковые
{кратные корни). Это означает, что среди скобок также встретятся
одинаковые. Например, P(z) = (z3 - 3z2 + 3z - l)3(z2 + l)2(z - 2 - i)—
многочлен 14-й степени; его можно преобразовать к виду P(z) =
= (z - l)g(z - i)2(z + i)2(z - 2 - i). Четырнадцать корней
многочлена таковы:
Zi = z2 = ... = Zg = 1, zw = zn = U z12 = zl3 = -U zu = 2 + i.
75

Решение кубических уравнений.
Разложение многочленов на линейные
и квадратичные множители
Итальянский математик, философ и врач Джероламо Кардан о (1501—
1576) описал формулу для нахождения корней кубического уравнения
Xs + рх = q при р > 0 в книге «Великое искусство, или Об алгебраических
правилах» (1545) так:
«...Куб третьей части числа "вещей", к которому ты прибавляешь
квадрат половины числа из уравнения и берешь корень из всего
полученного, — это квадратный корень, который ты используешь в одном
случае, прибавляя половину числа, которое как раз умножал само на себя,
в другом случае, вычитая ту же самую половину, и ты будешь иметь
соответственно "бином" и "вычет"; затем вычти кубический корень из
вычета из кубического корня из бинома и остаток от этого есть величина
"вещи"...»
Оказывается, речь идет о такой формуле:
♦!
4-1
Расскажем, как можно получить эту формулу. Начнем с тождества
(а + Ь)3 = а3 + Sa2b + Sab2 + b3, которое перепишем в следующем виде:
(а + bf = а3 + Ш(а + Ь) + Ь3;
(а + Ь)3 - Ш(а + Ь) - (а3 + Ь3) = 0;
х3 - ЗаЬх - (а3 + Ь3) = 0, где х = а + Ъ.
Придавая параметрам а и b различные действительные значения, мы
будем получать различные кубические (приведенные) уравнения вида:
jc3 + рх + q - 0
с действительными коэффициентами рид. Например:
а
-1
4
b
3
3
-3ab=p
9
-36
-a3-b3 = q
-26
-91
Уравнение
Jt3 + px + g = O
х3 + 9х-26 = 0
Jt3-36*-91 = 0
Корень
x = a + b
2
7
Верно и обратное: по любому уравнению х3 + рх + q = 0 с
действительными коэффициентами р и q можно восстановить параметры а и Ь9
а значит, найти и корень х = а + b приведенного кубического уравнения.
Только вот а и b могут оказаться не действительными, а комплексными!
76

1
/
/
у
/
/
/
/
/
/
1
—
У>
L_
\
\
U
1
1
4,4
X
>/з-|\уз
■
0
i.
\ \
и
■М
PUC. 39
Удивительно, что при этом сумма х-аЛ-
+ b будет действительным числом.
Получается, что при решении кубических
уравнений, как и при решении
квадратных уравнений с действительными
коэффициентами, мы сталкиваемся с
комплексными числами. Проиллюстрируем
это конкретным примером.
Рассмотрим уравнение
Xs - 9х + 4 = 0.
Построим график функции у = х3 -
- 9х + 4. Имеем: у' = Зх2 - 9, у' = 0 при
л: = ±V3; х = \[3 — точка минимума,
t/min = 4 - 6>/3 ~ -6,4; х = -л/3 — точка максимума, у^^ = 6>/3 + 4 « 14,4.
График представлен (схематично) на рис. 39.
Видим, что уравнение х3 - 9х + 4 = 0 имеет три различных
действительных корня.
Попробуем свести уравнение д^-9л: + 4 = 0к уравнению вида х3 -
- ЗаЬх - (а3 + Ь3) = 0. Подберем а и b так, чтобы выполнялись равенства:
ЗаЬ = -р = 9 и а3 + Ь3 = -д = -4. Обозначим а3 = с, ft3 = d. Тогда с + d = -4,
cd = (aft)3 = 27. Так как d = -4 - с, то
а* = с(-4 - с) = -с2 - 4с = 27;
с2 + 4с + 27 = 0;
cit2 = -2 ± V4- 27 = -2 ± iV23;
<*i,2 = -2 +
Значит, x =
= ^-2 + i>/23 + ^-2 - /V23. Отметим,
что тот же ответ получится для другой пары end:
JC = Д + D = \fC2 + vW2 = v~^ "" l\£д + V"
Как мы знаем, ^-2 + i>/23 и \f-2 - i>/23 — это множества,
состоящие из трех комплексных чисел. Если формально производить попарные
суммирования, то получится девять ответов, вместо ожидаемых трех.
Оказывается, что из обоих множеств следует выбирать только пары
сопряженных комплексных чисел: ведь в сумме должны быть действительные
ответы. Вот тогда в итоге и получатся три искомых действительных корня.
Итак, получается, что и сама задача об отыскании корней уравнения
х3 - 9х + 4 = 0, и все ответы к задаче «лежат» в действительных числах,
а для решения и записи необходимо выходить за «действительные»
пределы и использовать новые, комплексные числа! Дадим формулировку
общей теоремы.
77

Теорема 1. Корни кубического уравнения х3 + рх + q — О находят
по формуле Кардано
При этом:
[ч2 • чЗ
2 "М Ч > ^' то УРавнение имеет ровно один
действительный корень, который находится по указанной формуле;
2) если А = 0, то уравнение имеет два действительных корня, один
из которых двукратный (исключение — случай р = q = 0, когда есть
один трехкратный корень х = О);
3) если А < О, то уравнение имеет три действительных корня,
которые равны удвоенным действительным частям трех кубических
корней из комплексного числа --х + v Д.
Теперь поговорим о разложении многочлена (с действительными
коэффициентами) на множители. Самый хороший случай составляют
многочлены л-й степени, у которых можно некоторым конструктивным
способом найти п различных действительных корней. Тогда, как мы уже
отметили выше,
Р(х) = ап(х - хг)(х - х2) ... (х - хп).
Например, квадратный трехчлен ах2 + Ьх + с с действительными
коэффициентами а Ф О, Ь, с и неотрицательным дискриминантом D = Ь2 - 4ас
имеет два действительных корня хи х2 и раскладывается на линейные
множители: ах2 + Ьх + с = а(х - хх)(х - х2). Если дискриминант D = b2 - 4ас
отрицателен, то действительных корней у многочлена ах2 + Ьх + с нет и
его разложение на линейные множители в действительных числах
невозможно.
Разберем случай многочленов третьей степени с действительными
коэффициентами.
Теорема 2. Многочлен третьей степени ах3 + Ьх2 + сх + d с
действительными коэффициентами а Ф О, Ь, с, d может быть разложен
либо в произведение трех многочленов первой степени, либо в
произведение многочлена первой степени и квадратного трехчлена с
отрицательным дискриминантом.
Доказательство. Докажем, что у многочлена ах3 + Ьх2 + сх + d
с действительными коэффициентами а * О, Ь, с, d есть хотя бы один
действительный корень. Для этого покажем сначала, что многочлен
обязательно принимает как положительные, так и отрицательные значения.
Запишем многочлен так:
ах3 + Ьх2 + сх + d = аэ?[\ + — +
{ ах
78

Если х по модулю — достаточно большое число, то слагаемые
bed
-—> —2» —з — достаточно маленькие числа. Поэтому множитель
ах ах "*
ах
с
1 + — + —5- + —т практически неотличим от единицы. В частности,
ах ах* ах?)
он положителен. Значит, при достаточно больших по модулю значениях
аргумента х знаки чисел ах3 + Ьх2 + сх + d и ах3 одинаковы. При
положительных х знак числа ах3 совпадает со знаком числа а, а при
отрицательных х знак числа ах3 совпадает со знаком числа -а. Следовательно,
функция у = ах3 + Ьх2 + сх + d принимает как положительные, так и
отрицательные значения. Геометрически это означает, что на графике
функции у = ах3 + Ьх2 + сх + d есть как точки, лежащие выше оси
абсцисс, так и точки, расположенные ниже оси абсцисс (рис. 40).
/
/
/
1
1
1
/
\
ч
о
)
\
1
\\
\
(
X
1
I
\
\
\
О
/
I
i
l\
\
\
\
u
\
n
\
1
1
X
PUC. 40
При непрерывном изменении аргумента соответствующая точка
графика также непрерывно будет перемещаться из верхней полуплоскости
в нижнюю полуплоскость или, наоборот, из нижней в верхнюю. В
какой-то момент график обязательно пересечет ось абсцисс. Но это как раз
и означает наличие нуля х0 функции у = ах3 + Ьх2 + сх + d или же
корня х0 многочлена ах3 + Ьх2 + сх + d. Тогда (см. § 1, следствие из
теоремы 3) имеет место тождество
ах3 + Ьх2 + сх + d = (х - хо)(ах2 + Вх + С).
Рассмотрим квадратный трехчлен ах2 + Вх + С. Бели его
дискриминант неотрицателен, то он раскладывается в произведение двух
линейных множителей, а весь многочлен ах3 + Ьх2 + сх + d
раскладывается в произведение трех линейных множителей. Бели дискриминант
отрицателен, то приходится ограничиться уже найденным
разложением многочлена третьей степени на линейный и квадратичный
множители.
Теорема доказана.
79

А как обстоит дело с многочленами четвертой степени?
Теорема 3. Многочлен четвертой степени ах4 + Ьх3 + сх2 + dx + /
с действительными коэффициентами можно разложить в
произведение множителей, каждый из которых является или многочленом
первой степени, или многочленом второй степени с
действительными коэффициентами.
Доказательство. Если у многочлена ах4 + Ьх3 + сх2 + dx + / есть
действительный корень, скажем х0, то
ах4 + Ьх3 + сх2 + dx + / = (х - хо)(ах3 4- Вх2 4- Сх 4- D).
После этого ко второму множителю следует применить предыдущую
теорему и получить требуемое разложение многочлена.
Если у многочлена ах4 + Ьх3 + сх2 + dx + / нет действительных корней,
то рассмотрим многочлен az4 + bz3 + cz2 + dz + f с теми же
коэффициентами, но от комплексной переменной z. Разложим этот многочлен на четыре
линейных множителя:
az4 + bz3 + cz2 + dz + f = a(z - zx)(z - z2)(z - z3)(z - z4).
Поскольку коэффициенты многочлена — действительные числа, то
число, сопряженное с корнем многочлена, также является корнем
многочлена (см. «Алгебра и начала анализа-10», § 35) . Это значит, что четыре
корня zl9 z2t z3t z4 на самом деле разбиты на пары сопряженных
комплексных чисел. Скажем, z2 = гь z4 = 23. Отметим, что zx & 2и так как среди
корней, по предположению, нет действительных. Аналогично и z3 Ф г^.
Рассмотрим произведения:
(г - zx)(z - z2) = (z- zJiz - Zi) = z2 - (Zi + zx)z + zxzx= z2 - pz + q;
(z - z3)(z - zA) = (z- z3)(z - 23) = z2 - (23 + 2з)г + г32з= z2 - sz + t.
Поскольку z + ~z и zz — действительные числа, то коэффициенты р,
q> s и t — действительные числа. А это означает, что
az4 + bz3 + cz2 + dz + / = a(z2 - pz + g)(z2 - sz + *)
для некоторых действительных чисел а, р, </, s и t.
В частности, возвращаясь к действительной переменной х, получаем
искомое разложение:
ах4 + Ьх3 + сх2 + dx + f = а(х2 - рх + д)(*2 - вх + *)
данного многочлена четвертой степени в произведение двух многочленов
второй степени с действительными коэффициентами и отрицательными
дискриминантами.
Теорема доказана.
Примерно так же доказывается и общая теорема.
Теорема 4. Любой многочлен с действительными
коэффициентами можно разложить на множители, каждый из которых является
или многочленом первой степени, или многочленом второй степени
с действительными коэффициентами.

I I I I I
показательная
и логарифмическая
функции
l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l
§ 11. Показательная функция, ее свойства и график
Найдем значения выражения 2х при некоторых рациональных
значениях переменной х:
если х = 2, то 2х = 22 = 4;
если х = 5, то 2х = 2Ь = 32;
если х = О, то 2х = 2° = 1;
если х = -4, то 2х = 2"4 =tj = —;
16
если х = -^,
если, = -3,5, то 2Х= 2- = ^ = JL =
Вообще, какое бы рациональное значение мы ни придали
переменной х, всегда можно вычислить соответствующее числовое
значение выражения 2х. Таким образом, можно говорить о
показательной функции у = 2х, определенной на множестве Q
рациональных чисел:
у = 2х, х е Q.
Рассмотрим некоторые свойства этой функции.
Свойство 1. у = 2х, х € Q — возрастающая функция.
Доказательство осуществим в два этапа.
Первый этап. Докажем, что если г — положительное
рациональное число, то 2Г > 1.
Возможны два случая: 1) г — натуральное число, г = п; 2) г —
обыкновенная несократимая дробь, г = —.
Если г = п, то очевидно, что 2п > 1.
Если г = — > то рассуждаем так:
81

В левой части последнего неравенства содержится 2Л, а в
правой — 1. Значит, последнее неравенство можно переписать в виде:
т
2" > 1.
Итак, в любом случае из г > 0 следует 2Г > 1, что и требовалось
доказать.
Второй этап. Пусть Х\ и х2 — рациональные числа, причем
Xi < x2. Составим разность 2Х2- 2*1 и выполним некоторые ее
преобразования:
2*2 _ 2х1 = 2Х1(2Х2Х1 - 1) = 2х1 (2Г - 1)
(мы обозначили разность х2 - хх буквой г).
Так как г — положительное рациональное число, то по
доказанному на первом этапе 2Г > 1, т. е. 2Г - 1 > 0. Число 2х1 также
положительно, значит, положительным является и произведение
2*1(2Г - 1). Тем самым мы доказали, что справедливо неравенство
2ЛС2-2Х1>0.
Итак, из неравенства Хх < х2 следует, что 2х1 < 2Х\ а это и
означает, что функция у = 2х — возрастающая.
Свойство 2. Функция у = 2х> х 6 Q ограничена снизу и не
ограничена сверху.
Ограниченность функции снизу следует из неравенства 2х > 0,
справедливого для любых значений х из области определения
функции. В то же время какое бы положительное число М ни
взять, всегда можно подобрать такой показатель х, что будет
выполняться неравенство 2х > М — а это и характеризует
неограниченность функции сверху.
Доказать это можно, например, так. Возьмем произвольное
число М > 0. Рассмотрим его целую часть [М] и составим число
Р = М + 1. Обозначим буквой п количество цифр этого числа.
Тогда выполняется неравенство Р < 10л. Вычислим значение
функции у = 2х в точке х0 = —«^. Имеем:
10л .
2**= 2 3 = $210)л = (Ш24)п > (3/1000)л = 10" > Р > М.
Свойство 3. Функция у = 2*, х 6 Q не имеет ни наименьшего,
ни наибольшего значений.
То, что данная функция не имеет наибольшего значения,
очевидно, поскольку она, как мы только что видели, не ограничена
сверху. Но снизу она ограничена, почему же у нее нет
наименьшего значения?
82

Предположим, что 2Г — наименьшее значение функции (г —
некоторый рациональный показатель). Возьмем рациональное
число q < г. Тогда в силу возрастания функции у = 2х будем иметь
2Ч < 2Г. А это значит, что 2Г не может служить наименьшим
значением функции.
Все это хорошо, скажете вы, но почему мы рассматриваем
функцию у = 2х только на множестве рациональных чисел,
почему мы не рассматриваем ее, как другие известные функции, на
всей числовой прямой или на каком-либо сплошном промежутке
числовой прямой? Что нам мешает? Обдумаем ситуацию.
Числовая прямая содержит не только рациональные, но и
иррациональные числа. Для изученных ранее функций это нас не
смущало. Например, значения функции у = х2 мы одинаково легко
находили как при рациональных, так и при иррациональных
значениях х: достаточно было заданное значение х возвести в квадрат.
А вот с функцией у = 2х дело обстоит сложнее. Если аргументу х
придать рациональное значение, то, в принципе, 2х вычислить
можно (вернитесь еще раз к началу параграфа, где мы именно
это и делали). А если аргументу х придать иррациональное
значение? Как, например, вычислить 2 ? Этого мы пока не знаем.
Математики нашли выход из положения; вот как они
рассуждали.
Известно, что >/з = 1,7320508... Рассмотрим
последовательность рациональных чисел — десятичных приближений числа >/з
по недостатку:
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,7320; 1,73205; 1,732050; 1,7320508; ... .
Ясно, что 1,732 = 1,7320, а 1,732050 = 1,73205. Во избежание
подобных повторов отбросим те члены последовательности,
которые заканчиваются цифрой 0. Тогда получим возрастающую
последовательность:
1; 1,7; 1,73; 1,732; 1,73205; 1,7320508; ... .
Соответственно возрастает и последовательность
oi. о1'7* 21'73* 91'732* 91'73205* о1'7320508
Все члены этой последовательности — положительные
числа, меньшие, чем 22, т. е. эта последовательность ограниченная.
А по теореме Вейерштрасса (см. «Алгебра и начала анализа - 10»,
§ 38) если последовательность возрастает и ограничена, то она
сходится. Если последовательность сходится, то только к одному
пределу. Этот единственный предел договорились считать
значением числового выражения 2 . И неважно, что найти даже
приближенное значение числового выражения 2 очень трудно,
важно, что это конкретное число (в конце концов, мы же не боя-
83

лись говорить, что, например, х = Vl7 - л/13 — корень рациональ-
ного уравнения, а х = arccosl~^j — корень тригонометрического
уравнения, не особенно задумываясь над тем, а что же это
конкретно за числа: Vl7 - V13 или arccos(~^j).
Итак, мы выяснили, какой смысл вкладывают математики
в символ 2 . Аналогично можно определить, что такое 2 , 2,5Л
и вообще что такое аа, где а — иррациональное число и а > 1.
Определение. Пусть а > 1 и а = a,aia2aS9...an... —
положительное иррациональное число (бесконечная десятичная
непериодическая дробь). Составим последовательность десятичных
приближений числа а по недостатку:
oti = а,аи (Хг = а,а1а2, a3 = a,aia2a3, ..., ап = a,axa2az... ап, ... .
Тогда предел последовательности аа\ а"2, ааз, ..., аал, ...
обозначают ап и называют степенью с иррациональным показателем.
Если a < 0, то под аа понимают ——.
Подчеркнем, что при а > 1 указанная в определении
последовательность аа\ aa2, a"3, ..., аа% ... возрастает и ограничена сверху,
она сходится к пределу aa, который является одной из верхних
границ последовательности, т. е для любого п выполняется
неравенство пап < аа.
А как быть в случае, когда 0 < а < 1? Как вычислить,
например, (^1 ? Самым естественным способом: считать, что (тт I = f-^) ,
т. е. свести вычисления к случаю, когда основание степени больше 1.
Теперь мы можем говорить не только о степенях с
произвольными рациональными показателями, но и о степенях с
произвольными действительными показателями. Доказано, что степени с
любыми действительными показателями обладают всеми
привычными свойствами степеней: при умножении степеней с
одинаковыми основаниями показатели складываются, при делении —
вычитаются, при возведении степени в степень —
перемножаются и т. д. Но самое главное, что теперь мы можем говорить о
функции у = аху определенной на множестве всех действительных
чисел.
Вернемся к функции у - 2х, построим ее график. Для этого
составим таблицу значений функции у = 2х:
84

X
У
0
1
1
2
-1
1
2
2
4
-2
1
4
3
8
-3
1
8
Отметим точки (0; 1), (1; 2), (-1; ±), (2; 4), (-2; ±), (3; 8),
[-3; ij на координатной плоскости (рис. 41), они намечают
некоторую линию, проведем ее — это график функции у = 2х (рис. 42).
Свойства функции у = 2х:
1) D(f) = (-сю; +сх>);
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) возрастает;
4) не ограничена сверху, ограничена снизу;
5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6) непрерывна;
7) E(f) = (0; +сх>);
8) выпукла вниз.
Строгие доказательства перечисленных свойств функции у = 2х
приводят в курсе высшей математики. Часть этих свойств мы в
той или иной мере обсудили ранее, часть из них наглядно
демонстрирует построенный график (см. рис. 42). Например,
отсутствие четности или нечетности функции геометрически
связано с отсутствием симметрии графика соответственно
относительно оси у или относительно начала координат.
Покажем, для примера, как можно доказать возрастание
функции у = 2х при х > 0. Пусть 0 < Xi < х2. Если оба числа —
рациональные, то выше мы уже доказали, что в этом случае
выполняется неравенство 2х1 < 2Х2. Пусть хх — рациональное, а х2 —
иррациональное число: х2 = а. Рассмотрим последовательность
i
k i
о.
о
4*
о_
Z
1 t
-3-z-
[
1
|р
J
L !
2 г
3
х_
о
1
4-
о.
Z
-Л*
F4
-3-2-
1
/
j
7
/
\1
/
/
/
/
а*
if
1 2 3
X
PUC. 41
РЫС. 42

десятичных приближений числа а по недостатку: oti = а,аи а2 =
= a9a,ia2, ol3 = a,aia2a3, ..., <хп = a,aia2a3,... ап> ... . Поскольку хх < а,
найдется ап такое, что хг < ап. В последнем неравенстве обе
части — рациональные числа, значит, 2х1 < 2а\ Но 2а"< 2а, значит,
2х1 < 2а, т. е. 2х1 < 2х2.
Пусть jcx = а — иррациональное, а лг2 — рациональное число.
Пусть дс3 — рациональное число, заключенное между аи х2, т. е.
а < xz < x2. Рассмотрим последовательность десятичных
приближений числа а по недостатку: аь а2, а3, ..., ал, ....
Для любого п выполняется неравенство а„ < л:3; здесь обе части
неравенства — рациональные числа, а потому 2а" < 2х3. В курсе
математического анализа доказана такая теорема: если все члены
сходящейся последовательности меньше некоторого числа, то
предел последовательности не больше этого числа. Значит, 2а < 2х3.
Но х3 < Х2> причем обе части неравенства — рациональные числа,
значит, 2х3 < 2х2. В итоге получаем, что 2а< 2Х2, т. е. 2х1 < 2х2.
Если, наконец, и Xi и х2 —
иррациональные числа, то выберем между ними
рациональное число х3. Тогда, по доказанному
выше, выполняются неравенства 2х1 < 2х3
и 2х3 < 2х2. Значит, и в этом случае 2х1 < 2х2.
Точно такими же свойствами обладает
любая функция вида у = ах, где а > 1.
На рис. 43 в одной системе координат
построены графики функций у - 2х, у - 3х,
Рис. 43 у = 5х.
/IVе
Рассмотрим теперь функцию у = 1^1 , составим для нее таблицу
значений.
о
-у = о
г
X /
-у = э-
III
N
1'
J/
t
Ж
/Г
1
/
1
Ч
// J
I/
0
1
-1
2
1
1
2
-2
4
2
1
4
-3
8
3
1
8
Отметим точки (0; 1), (-1; 2), (l; |), (-2; 4), (2; I), (-3; 8),
(3; i) на координатной плоскости (рис. 44). Они намечают
некоторую линию, проведем ее — это график функции у = (-|)
(рис. 45).
86

-
2-
0
1
—С
с
<
»
>
. 1
-1-2
• <
w
\
\
\
A
\
\
/
Г
Q
1
—Q
О
t
-2-
l
>
]
—
■k 4
r—
Lzd
PUC. 44 PUC. 45
Свойства функции у =
1) D(f) = (-оо; +оо);
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) убывает;
4) не ограничена сверху, ограничена снизу;
5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6) непрерывна;
7) E{f) = (0; +сх>);
8) выпукла вниз.
Точно такими же свойствами обладает любая функция вида
у = ах> где 0 < а < 1. На рис. 46 в одной системе координат по-
И\х /IVе
строены графики функций у = hd и у =[■$) .
/IVе
Обратите внимание: графики функций у = 2Х и у = \^\ , т. е.
у = 2~х, симметричны относительно оси у (рис. 47). Это следствие
известного утверждения: графики функций у = f(x) и у = f(-x)
симметричны относительно оси у. Аналогично будут
симметричны относительно оси у графики функций у = 3х и у = Ь:) , у = Ъх
и у = (!) и т. д.
-
/
\\ \ \Уь
\ \\
\ У
ъ
\
ю
I
2-1
С
-А
1 1 <
:<
V
]
L [
а
1
3
W
, *"
11
\
\
\У(
\
о
V"i
\?
! 1 !
-3-2-1
()
]
у
/
L i
\
/
/
/
/ •
1 ?
PUC. 46
РЫС 47
87

Подводя итог сказанному, дадим определение показательной
функции и выделим наиболее важные ее свойства.
Определение. Функцию вида у = ах> где а > О, а * 1, называют
показательной функцией.
Основные свойства показательной функции у = ах:
№п/п
1
2
3
4
а>1
Д/) = (-сю;+сю)
Д(Я = (О;+сю)
Возрастает
Непрерывна
0<а<1
Д/) = (-оо;+оо)
Е(Я = (О;-кх>)
Убывает
Непрерывна
График функции у = ах для а > 1 изображен на рис. 48, а для
О < а < 1 — на рис. 49.
Кривую, изображенную на рис. 48 или 49, называют экспо-
нентой (впрочем, экспонентой обычно называют и саму
показательную функцию у = ах).
Обратите внимание на геометрическую особенность графика
показательной функции у = ах: ось х является горизонтальной
асимптотой графика. Правда, обычно это утверждение
уточняют следующим образом: ось х является горизонтальной
асимптотой графика функции у = а* при х —» -оо, если а > 1 (см. рис. 48),
и при х —» +оо, если 0 < а < 1 (см. рис. 49).
Иными словами (см. «Алгебра и начала анализа-10», § 39),
если а > 1, то lim ax = 0;
х -» -оо
если 0 < а < 1, то lim ax = 0.
У1
о
)
/
Л
1
/
/
/
J
1
1
У
(а
>
а'
1
с
Г
X
({
0 <
Iх
а
1
\
< 11
\
\
\
\
1
1
<
Ч
О
1
2
X
PUC. 48
Р1ЛС. 49
88

Первое важное замечание. Школьники часто путают
термины: степенная функция, показательная функция. Сравните: у = х2, у - х3,
у = х2, у = х~2'5 — это примеры степенных функций; у = 2х, у = (-~1 ,
у = (2,5)* — это примеры показательных функций. Вообще у = хг> где г —
конкретное число, — степенная функция (аргумент х содержится в
основании степени); у = а\ где а — конкретное число (положительное и
отличное от 1), — показательная функция (аргумент х содержится в
показателе степени).
А такую «экзотическую» функцию, как у = хх, не считают ни
показательной, ни степенной (ее иногда называют показательно-степенной).
Второе важное замечание. Обычно не рассматривают
показательную функцию с основанием а = 1 или с основанием а,
удовлетворяющим неравенству а < 0, показательная функция у = ах при а = 1
«вырождается» в постоянную функцию у = 1 — это неинтересно. Если
а = 0, то 0х = 0 для любого положительного значения зг, т. е. мы
получаем функцию у = 0, определенную при х > 0, — это тоже неинтересно.
Если, наконец, а < 0, то выражение ах имеет смысл лишь при целых
значениях ху а мы все-таки предпочитаем рассматривать функции,
определенные на сплошных промежутках.
Встречаются ли показательные функции как математические
модели реальных ситуаций, заданные на всей числовой прямой
или на каком-либо числовом промежутке? Безусловно, и очень
часто. Например, из физики известен закон радиоактивного
¥■■
распада вещества: т = т0 • 1-^ ; здесь т0 — первоначальная
масса вещества, т — масса вещества в рассматриваемый момент
времени t, T — некоторое положительное число (константа), свое
для каждого вида радиоактивного вещества (это число обычно
называют периодом полураспада). Как видите, указанный закон
связан с показательной функцией, причем областью определения
этой функции является множество всех неотрицательных чисел
(аргумент t может принимать любые неотрицательные значения).
С показательными функциями связаны многие экономические
и биологические законы, физические законы, относящиеся,
например, к изменению температуры тела, и т. д.
Пример 1. Решить уравнения и неравенства:
а) 2х = 1; в) 2х = 8; д) 2х > 1;
б) 2* = 4; г) 2*=^; е) 2х < 4.
Решение. Воспользуемся тем, что функция у = 2х монотонна
(возрастает), а потому из равенства 2х = 2а следует равенство х = ос
89

У
У
—
—
4
1
-
4
1
О
/
J
/
1
/
/
7
1-
//
х
У
—
1
у»
1
/
д
/
/
и
1
/
'и
ill
7
и - ах\
У u |
(~ ^, 1 \
(а > 1)—
ш
III
ill
'I J
ш
J J
и
X
РЫС. 50
PUC. 51
а) Из уравнения 2х = 2° получаем: дс = 0.
б) Из уравнения 2х = 22 получаем: х = 2.
в) Из уравнения 2х = 23 получаем: jc = 3.
г) Из уравнения 2х = 2 4 получаем: х = -4.
д) График функции у = 2х расположен выше графика
функции у = 1 при х > 0 — это хорошо читается по рис. 50. Значит,
решением неравенства 2х > 1 служит промежуток (0; +оо).
е) График функции у - 2х расположен ниже графика
функции у = 4 при х < 2 — это хорошо читается по рис. 50. Значит,
решением неравенства 2х < 4 служит промежуток (-оо; 2). В
В основе всех выводов, сделанных при решении примера 1,
лежало свойство монотонности (возрастания) функции у = 2х.
Аналогичные рассуждения позволяют убедиться в справедливости
следующих двух теорем.
Теорема 1. Если а > 1, то равенство а = а3 справедливо
тогда и только тогда, когда t = 8.
Теорема 2. Если а > 1, то неравенство ах > 1 справедливо
тогда и только тогда, когда х > 0 (рис. 51), неравенство а* < 1
справедливо тогда и только тогда, когда х < 0.
Пример 2. Решить уравнения и неравенства:
б> (if -* «> (if >!'
в> (if =9' е> Ш* <3-
Решение. Воспользуемся тем, что функция у = \тА
монотонна (убывает), а потому из равенства \-^) = (^) следует
равенство X = CL
90

а) Из уравнения hd = f^J получаем: х = О.
(1 \х /1 \~г
^1 = Г« I получаем: х = -1.
в) Из уравнения Ьт] = (-д) получаем: # = -2.
г) Из уравнения (^1 = hr) получаем: х = 2.
д) График функции i/ = (тИ расположен выше графика
функции у = 1 при # < 0 — это хорошо читается по рис. 52. Значит,
решением неравенства (тт) > 1 служит промежуток (-оо; 0).
е) График функции у = (^| расположен ниже графика
функции у = 3 при х > -1 — это хорошо читается по рис. 52.
Значит, решением неравенства hd < 3 служит промежуток
(-1; +оо). ■
В основе всех выводов, сделанных при решении примера 2,
лежало свойство монотонности (убывания) функции у = f^j .
Аналогичные рассуждения позволяют убедиться в справедливости
следующих двух теорем.
Теорема 3. Если 0 < а < 1, то равенство а = а8 справедливо
тогда и только тогда, когда t = s.
Теорема 4. Если 0 < а < 1, то неравенство а* > 1
справедливо тогда и только тогда, когда х < 0 (см. рис. 53);
неравенство ах < 1 справедливо тогда и только тогда, когда х > 0.
i
1
\\у>
-1-
|
3
1
о
'■(
1
3>
г
«
7/
) <
7/1
\
\
yt
1
!= 1
w mss
PUC. 52
PUC. 53
91

н
' II
■ х ~
-1
«/А/
л 5
/
0
/= з'
+
4-
[/ = 2-
2
PUC. 54
Пример 3. Построить график
функции у = 3 3х + 2 и найти наибольшее и
наименьшее значения этой функции на
отрезке [-2; 2].
Решение. Можно действовать так:
построить график функции у = 3х, затем
осуществить его растяжение от оси х с
коэффициентом 3, а затем полученный
график поднять вверх на 2 единицы
масштаба. Но удобнее воспользоваться тем, что 3 • 3х = Зх+1, и,
следовательно, строить график функции у = 3х+1 + 2.
Перейдем, как неоднократно уже делали в подобных случаях,
к вспомогательной системе координат с началом в точке (—1; 2) —
пунктирные прямые х = -1 и у = 2 на. рис. 54. «Привяжем»
функцию у = 3х к новой системе координат. Для этого выберем
контрольные точки для функции у = 3х: (0; 1), (1; 3), 1-1; ^), — но
строить их будем не в старой, а в новой системе координат (эти
точки отмечены на рис. 54). Затем по точкам построим
экспоненту — это и будет требуемый график (см. рис. 54).
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения заданной
функции на отрезке [-2; 2], воспользуемся тем, что заданная
функция возрастает, а потому свои наименьшее и наибольшее
значения она принимает соответственно в левом и правом концах
отрезка.
Итак,
i/неиб =
Пример 4. Решить уравнение и неравенства:
а) 5х = 6 - х; б) 5х > 6 - х; в) Ъх < 6 - х.
Решение, а) Построим в одной системе координат графики
функций у = 5хиу = д-х (рис. 55). Они
пересекаются в одной точке; судя по
чертежу, это точка (1; 5). Проверка
показывает, что на самом деле точка (1; 5)
удовлетворяет и уравнению у = 5х, и уравнению
у = 6 - х. Абсцисса этой точки служит
единственным корнем заданного уравнения,
поскольку у = 6х — возрастающая функция,
а у = 6 - х — убывающая функция.
Итак, уравнение 5х = 6 - х имеет един-
Рыс. 55 ственный корень х = 1.
N
i
ч
-(
у-
I J
I'
■
/
/
-f-
^ •
/ -
ч
\
е
92

б) и в) Экспонента у = 5х находится выше прямой у = 6 - х>
если х > 1, — это хорошо видно на рис. 55. Значит, решение
неравенства 5х > 6 - х можно записать так: х > 1. А решение
неравенства Ъх < 6 - х можно записать так: х < 1.
Ответ: а) х = 1; б) х > 1; в) # < 1.
Пример 5. Дана функция у = /(#), где /(#) = 10*. Доказать,
что /(sin2 *) • /(cos2*) =10.
Решение. По условию f(x) = 10х.
Значит, /(sin2 х) = 10^4 a /(cos2*) = Ю008^. Имеем:
/(sin2 *) /(cos2 *) = Ю3*2*- 10C0s2x= ю8^00*2*.
Ho sin2 * + cos2* = 1. Значит, iff******* = Ю1 = 10.
Итак, /(sin2 x) • /(cos2*) = 10, что и требовалось доказать. ■
Пример 6. Решить уравнение I—J + — = 2х.
Решение. Снова воспользуемся тем,
что если функция у = /(*) убывает, а
функция у = g(x) возрастает и если уравнение
/(*) = g(x) имеет корень, то только один.
Нетрудно догадаться, что заданное
уравнение имеет корень х = 1: подставив
значение * = 1 в заданное уравнение,
получим (_) + 1? = 21 — верное числовое
равенство.
(2\х 12
-=] + — убывает,
а функция у = 2х возрастает, то корень у
заданного уравнения только один, и этим корнем является
найденное выше значение * = 1 (рис. 56).
Ответ: 1.
§ 12. Показательные уравнения
Показательными уравнениями называют уравнения вида
аЛх)=а*<х), (1)
где а — положительное число, отличное от 1, и уравнения,
сводящиеся к этому виду.
Опираясь на полученные в предыдущем параграфе теоремы 1
и 3, согласно которым равенство а* = а\ где а > 0, а Ф 1,
справедливо тогда и только тогда, когда t = s, мы можем
сформулировать следующее утверждение.
-у
1
о
\5
2
1
\
\
> )
7
yi
\
о
s
/
/
Л
1
I
/
/
1
1
/
/
//
*Х
Рис. 56
93

Теорема. Показательное уравнение аПх) = а8(х) (где а > О, а Ф 1)
равносильно уравнению f(x) = g(x).
Пример 1. Решить уравнения:
а) 22х"4 = 64; б) (|f^ = ^ ; в) 5х2"3х = 53х"8.
Решение, а) Представив 64 как 26, перепишем заданное
уравнение в виде 22х"4 = 26. Это уравнение равносильно уравнению
2х - 4 = 6, откуда находим: х = 5.
б) Представив ~7jt как (А) , перепишем заданное
уравнение в виде (^1 = \-б) • Это уравнение равносильно уравнению
2х - 3,5 = 0,5, откуда находим: х = 2.
в) Заданное уравнение равносильно уравнению
х2 - Зх = Зх - 8.
Далее имеем:
х2 - 6* + 8 = 0;
хх = 2, х2 = 4. ■
0,2х"0*5
Пример 2. Решить уравнение ~*~~fe— = 5 • 0,04х "2.
Решение. Здесь есть возможность и левую и правую части
уравнения представить в виде степени с основанием 5. В самом
деле,
(1 \х-°&
I) ={5
S = 5^ = 50'5;
е0,5 - х , е0,5 кО,5-х-О,5 К~х»
5 • 0,04х"2 = 5 • (^)*"2= 5 • (5"2Г2 = 5 • Ъ~2х + А = 51"2**4 = 55~2\
Таким образом, заданное уравнение мы преобразовали к виду
5-*=55"2д:.
Значит, -х = 5 - 2х и, следовательно, х = 5. В
Пример 3. Решить уравнение 4х + 2Х+1 - 24 = 0.
Решение. Заметив, что 4х = (22)*= 22х = (2х)2, а 2Х+1 = 2 2х,
перепишем заданное уравнение в виде
(2х)2+2 2х- 24 = 0.
94

Есть смысл ввести новую переменную у = 2х; тогда уравнение
примет вид у2 + 2у - 24 = 0. Решив квадратное уравнение
относительно у, находим: уг = 4, у2 = -6. Но у = 2х, значит, нам остается
решить два уравнения:
2*= 4; 2х = -6.
Из первого уравнения находим х = 2, а второе уравнение не
имеет корней, поскольку при любых значениях х выполняется
неравенство 2х > 0.
Ответ: 2.
Подведем некоторые итоги. Можно выделить три основных
метода решения показательных уравнений.
1) Функционально-графический метод. Он основан
на использовании графических иллюстраций или каких-либо
свойств функций. Мы применяли этот метод в § 11.
2) Метод уравнивания показателей. Он основан на
теореме о том, что уравнение afix)= а**х) равносильно уравнению
f(x) = g(x)y где а — положительное число, отличное от 1. Мы
применили этот метод в примерах 1 и 2.
3) Метод введения новой переменной. Мы
применили этот метод в примере 3.
Рассмотрим несколько более сложных примеров.
Пример 4. Решить уравнение 22x+2yfxYl2 - 5 • 2х+4х*-2~1 = 6.
Решение. Преобразуем заданное уравнение к виду
2 2 = б
Введем новую переменную у = 2* 2. Тогда уравнение
примет вид
у2 - |i/ - 6 = 0,
о
откуда находим: yi = 4, у2 = -—• Теперь задача сводится к реше-
нию совокупности двух уравнений: 2x+^"2=4; 2x+yJx2~2 = —-. Вто-
рое уравнение не имеет корней, а из первого получаем:
-2=2- х; х2 -2 = (2 - xf; x = ^.
Поскольку при решении иррационального уравнения у]х2 - 2 =
= 2 - х пришлось возводить обе его части в квадрат, могли
появиться посторонние корни, а значит, обязательна проверка.
95

Подставив найденное значение х = 1,5 в уравнение yjx2 - 2 = 2 - х,
получим д/1,52 - 2 = 2 - 1,5, т. е. ^0,25 = 0,5 — верное
равенство. Значит, х = 1,5 — корень иррационального, а вместе с тем
и исходного уравнения.
Ответ: 1,5.
П р и м е р 5. Решить уравнение </б4 - у/2?х+3 + 12 = 0.
Решение. Сразу заметим, что, поскольку х — показатель
корня, х может принимать только натуральные значения,
начиная с числа 2. Значит, речь идет об отыскании натуральных
корней уравнения.
6 Зх + З
Преобразуем уравнение к виду 2х -2х + 12 = 0 и далее:
2х - 2 х + 12 = 0;
6 3
2х - 8 2х + 12 = 0.
з
Введем новую переменную у = 2х. Тогда уравнение примет вид
у2 - 8у + 12 = 0, откуда находим: ух - 6, у2 = 2. Теперь задача
з з
сводится к решению совокупности двух уравнений: 2х =6; 2х =2.
Первое уравнение не имеет натуральных корней (т. е. никакое
натуральное число не удовлетворяет этому уравнению), а из вто-
Q
рого получаем — = 1, т. е. х = 3. ■
2 р
Примерб. Решить уравнение 9 27 3 - — 9*+2 = 9.
Решение. Выполним некоторые преобразования уравнения:
9 . ^11 - А . 9х • 92 - 9 = 0;
273 81
33х - 2 -32х - 9 = 0.
Введем новую переменную у = 3х, тогда уравнение примет вид
у3 - 2у2 - 9 = 0.
Разложим левую часть последнего уравнения на множители:
у3 - 2у2 - 9 = (у3 - Зу2) + (у2 - 9) = у\у - 3) + (у + 3)(у - 3) =
2
у + 3).
96

Значит, уравнение можно переписать в виде (у - 3)(у2 + у +
+ 3) = О, откуда получаем, что либо у = 3, либо у2 + у + 3 = 0.
Последнее уравнение не имеет действительных корней.
Осталось решить уравнение 3х = 3, откуда находим: х = 1. В
Пример 7. Решить уравнение 52х + 1 - 13 • 15* + 54 9х"1 = 0.
Решение. Воспользуемся тем, что
52х + 1 = 5-52х;
15х = 5х 3х;
54 9х1 = 54 ^ =6 9х = 6 32х.
у
Это позволяет переписать заданное уравнение в более удобном
виде:
5 52х - 13 5х 3х + 6 32х = 0.
Разделив обе части уравнения почленно на 32х, получим
равносильное ему уравнение:
5 • (If -1з • (IF+б = °- <2)
Л. 52х tbf 5* -3*
Мы воспользовались тем, что -т^ = hjl > и тем, что —r-jj— =
- - - И"
~ 3* ~ \3) '
(5\х
—) ,
относительно которой уравнение (2) имеет вид квадратного
уравнения:
by2 - \Ъу + 6 = 0.
Корнями этого уравнения служат числа уг = ^> у2 = 2.
Значит, нам остается решить два уравнения:
С первым из этих уравнений проблем нет:
Со вторым уравнением у нас возникает проблема: как
представить число 2 в виде некоторой степени числа ^> мы пока не
4 Алгебра и начала 97
анализа 11 кл.

Q
о.
1
>
0
У]
1
i
11
>\
-У
/
2 ^
/
А-
_
|
+
X
знаем. Между тем второе уравнение тоже
имеет единственный корень — это
хорошо видно из графической иллюстрации,
представленной на рис. 57. Придется нам
в дальнейшем еще раз вернуться к этому
уравнению.
Ответ: хг = -1, х2 — корень уравне-
ния
Пример 8. Решить систему уравнений
J
\д*+у _ зх+у = 72.
Решение. 1) Преобразуем первое уравнение системы к более
простому виду:
2-
= 212дг"4у#
23* - 9у = 2.
2) Преобразуем второе уравнение системы к более простому
виду. Введем новую переменную z = Зх+У. Тогда второе уравнение
системы примет вид г2 - z = 72, откуда находим: zx = 9, z2 = -8.
Из уравнения 3х+у = 9 следует, что х + у = 2; уравнение 3х+у = -8
не имеет решений.
Итак, второе уравнение системы нам удалось преобразовать
к виду
3) Решив полученную систему уравнений
[23* - 9у = 2,
х + у = 2,
находим: х = |, у = -^.
Ответ: \^; -g-|.

§ 13. Показательные неравенства
Показательными неравенствами называют неравенства вида
где а — положительное число, отличное от 1, и неравенства,
сводящиеся к этому виду.
Для решения неравенства (1) проведем следующие
рассуждения. Разделив обе части неравенства (1) на выражение а*х\
получим неравенство ^^ > 1, равносильное неравенству (1) (поскольку
обе части неравенства (1) мы разделили на выражение,
положительное при любых значениях х). Далее имеем:
fif\.x)~s\x) ^ *1 т р а} ^ 1 гттр t — f(x\ &(х\
Теперь следует рассмотреть два случая: а>1иО<а<1.
Если а > 1, то неравенство а1 > 1 имеет место тогда и только
тогда, когда t > О (см. теорему 2 из § 11). Значит, f(x) - g(x) > О,
т. е. f(x) > g(x).
Если 0 < а < 1, то неравенство а% > 1 имеет место тогда и только
тогда, когда t < 0 (см. теорему 4 из § 11). Значит, f(x) - g(x) < 0,
т. е. f{x) < g(x).
Тем самым доказано следующее утверждение.
Теорема. Показательное неравенство аПх) > а8(х)
равносильно неравенству того же смысла f(x) > g(x), если а > 1;
показательное неравенство аНх) > ag(x) равносильно
неравенству противоположного смысла f(x) < g(x), если О < а < 1.
Пример 1. Решить неравенства:
а) 22х~4 > 64; б) Ш* * < -4; в) 095х2'3х< 0,53*"8.
Решение, а) Имеем 22х"4 > 26. Это неравенство равносильно
неравенству того же смысла 2х - 4 > 6, откуда следует, что х > 5.
I
б) Воспользовавшись тем, что —f= = f^j , перепишем задан-
ное неравенство в виде (-^I < (-^I . Здесь основанием служит
число «• < 1. Значит, рассматриваемое неравенство равносильно
о
4* 99

неравенству противоположного смысла 2х -
- 3,5 > 0,5, откуда следует, что х > 2.
Тс в) Заданное неравенство равносильно
неравенству противоположного смысла х2 -
- Зх > Зх - 8, т. е. г* - 6х + 8 > 0. Найдем
корни квадратного трехчлена х2 - 6х + 8:
#1 = 2, jt2 = 4.
Построив (схематически) параболу i/ = jc2 - 6jc + 8, находим
решение неравенства х2 - 6jc + 8 > 0 (рис. 58):
х < 2, х > 4. ■
„ Л т> 4 Зх-10 ,
Пример 2. Решить неравенство y*i i < 1-
Решение. Заметим, что 3х+1 = 3 • 3х, и введем новую пере-
ох тт 4у-10 ^ .
менную у = 3 . Получим: 3i# - 1 *
Далее последовательно получаем:
4и -10 у - 9 1/-9
Применив метод интервалов (рис. 59),
Г ^%^у находим | < У < 9-
^ ~ Возвращаясь к переменной х, получаем
Рис 59
двойное неравенство:
А < 3х < 9, т. е. З"1 < 3х < З2,
о
откуда следуем, что -1 < х < 2.
Ответ: -1 < х < 2.
Пример 3. Решить неравенство 4(9Х - 3х) > ~^г + 3х+1.
Решение. Имеем:
4(32х - 3х) > ^г- + 3 3х;
4 32х - 4 3х > Ш + 3 3х.
100

Введя новую переменную у = 3х, перепишем неравенство
в виде:
л 2 л 45 , о
4у - 4у > — + Зу;
4и3 - Чу2 - 45
-*—£ >0-
Разложим числитель алгебраической дроби на множители:
4у3 - 1у2 - 45 = (4у3 - 12у2) + (6у2 - 45) =
= 4у2(у - 3) + 5(i/ + 3)(i/ - 3) = (у - 3)(4i/2 + 5у + 15).
Теперь интересующее нас неравенство можно переписать так:
(у - 3)(4у2 + Ъу + 15)
у 4i/2 + 5i/ + 15
Поскольку у = 3х, т. е. у > 0, выражение поло-
у
жительно и на него можно разделить обе части последнего
неравенства. Получим у - 3 > 0, т. е. у > 3.
Осталось решить неравенство 3х > 3, откуда находим: х > 1 —
решение заданного неравенства. ■
Пример 4. Решить неравенство 8х + 18х > 2 27х.
Решение. Преобразуем неравенство к виду 23х + 2х • 32х >
> 2 • 33х и разделим обе его части почленно на 33х:
(2\х
^1 , перепишем неравенство
в виде у3 + у - 2 > 0.
Разложим левую часть неравенства на множители:
у3 + у - 2 = (у3 - 1) + (у - 1) = (у - 1)(у2 + у + 1) + (у - 1) =
= (У ~ 1)0/2 + У + 2).
Итак, имеем неравенство (у - 1)(у2 + у + 2) > 0. Учтя, что
у2 + I/ + 2 > 0, придем к более простому неравенству у - 1 > 0,
т. е. у > 1.
•«I > 1. Получим: jc < 0 —
решение заданного неравенства. И
Пример 5. Решить неравенство (х2 + х + 1)* < 1.
Решение. Дискриминант квадратного трехчлена i/ = х2 +
+ jc + 1 отрицателен, а коэффициент при х2 положителен. Значит,
этот трехчлен при любых значених х принимает положительные
101

значения. Нам следует рассмотреть для этого трехчлена три
возможности: 1) 0 < у < 1; 2) у = 1; S) у > 1. Правую часть заданного
неравенства полезно переписать в виде (х2 + х + 1)°.
1) Пусть 0<#2 + # + 1<1. Тогда неравенство (х2 + х + 1)х <
< (х2 + х + 1)° можно рассматривать как показательное
неравенство вида у* < у09 где 0 < у < 1. Значит, получаем: х > 0. Но
нужно еще учесть условие 0<Jt2 + jt + l<l. Левое неравенство
очевидно, а из правого находим: х2 + х < 0; х(х + 1) < 0; -1 < х < 0.
Это неравенство несовместно с условием х > 0. Значит, в первом
случае заданное неравенство не имеет решений.
2) Пусть jc2 + х + 1 = 1. Тогда неравенство (х2 + # + 1)* <
< (jc2 + jc + 1)° принимает вид Iх < 1. Это верно при любых х, но
нужно учесть условие х2 + х + 1 = 1, откуда находим: хх = 0,
х2 = -1.
3) Пусть х2 + jc + 1 > 1. Тогда неравенство (я2 + х + 1)х <
< (х2 + х + 1)° можно рассматривать как показательное
неравенство вида у* < у0, где у > 1. Значит, получаем: я < 0. Но нужно
еще учесть условие х2 + х + 1 > 1. Решив это неравенство,
получим: х < -1, jc > 0. Решение jc > 0 нас не устраивает (оно
несовместно с условием х < 0). Итак, в третьем случае получаем х < -1.
Ответ: х < -1; х = 0.
§ 14. Понятие логарифма
Рассмотрим уравнение 2х = 4, решим его графически. Для
этого в одной системе координат построим график функции у = 2х
и прямую у = 4 (рис. 60). Они пересекаются в точке А(2; 4),
значит, х = 2 — единственный корень уравнения.
Рассуждая точно так же, находим корень уравнения 2х = 8
(см. рис. 60): х = 3.
А теперь попробуем решить уравнение 2х = 6; геометрическая
иллюстрация представлена на рис. 60. Ясно, что уравнение имеет
один корень, но, в отличие от
предыдущих случаев, где корни уравнений были
найдены без труда (причем их очень легко
было найти и не пользуясь графиками),
с уравнением 2х = 6 у нас возникают
трудности: по чертежу мы не можем
определить значение корня, можем только
установить, что этот корень заключен в
промежутке от 2 до 3.
С подобной ситуацией мы уже встреча-
Рис. 60 лись в § 4, когда, решая уравнение х4 = 5,
.у = Я
т
У
т
У
—
| —
?
6
4
1
О
/
л
\
-
П
t
!
L i
г-
1-
X.
Х_
102

поняли, что надо вводить новый символ
математического языка \[ъ. Обдумывая
ситуацию с показательным уравнением
2х = 6, математики ввели в рассмотрение
новый символ log2 и с помощью этого
символа корень уравнения 2х = 6 записали так:
х = log2 6 (читают: логарифм числа 6 по
основанию 2). Теперь для любого
уравнения вида 2х = Ьу где Ь > 0, можно записать
корень — им будет число log2 Ь (рис. 61).
Мы говорили об уравнении 2х = 6. С равным успехом мы
могли говорить и об уравнении 3х = 5, и об уравнении 10х = 0,3, и об
-J
—
b
ш
ь
1
о
J
/
In
/ У -
/
/
ч
i
i
b
-- 2
х
X
уравнении y-^j = 4, и вообще о любом уравнении вида ах = &, где а
иЬ — положительные числа, причем аФ\. Единственный корень
уравнения ах -Ъ математики договорились записывать так:
х = loga Ь
(читают: логарифм числа Ь по основанию а).
Определение. Логарифмом положительного числа Ь по
положительному и отличному от 1 основанию а называют показатель
степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число Ь.
Например,
log2 8 = 3, так как 23 = 8;
log3 (Д) = -3, так как З"3 = ^;
i 25 = -2, так как (|) = 25;
log4 2 = ^, так как 42 = 2.
Особо выделим три формулы (попробуйте их обосновать, это
очень просто):
loga a = 1,
loga 1 = 0,
lOga ДС = С.
Например,
log2 2 = 1, log3 З4 = 4, log5 5~^ = -|, log8 1 = 0.
Для числа log2 6, которое встретилось нам в начале
параграфа, точного рационального значения мы указать не можем,
103

поскольку log2 6 — иррациональное число. Доказывается это
довольно красиво.
Предположим, что log2 6 — рациональное число, т. е. что
т - ( -Y*
log2 6 = —, где тип — натуральные числа. Тогда 2Л = 6, \2п ) = 6\
2т = 6\ Последнее равенство невозможно, поскольку его правая
часть есть целое число, которое делится без остатка на 3, а левая
часть делиться без остатка на 3 никак не может.
Полученное противоречие означает, что наше предположение
неверно и, следовательно, log2 6 — иррациональное число.
Мы дали определение логарифма на обычном языке, а теперь
приведем то же определение на языке символов:
а"*«ь= Ъ.
В самом деле, что надо подставить вместо * в равенство а* = Ь?
Какое число должно находиться в показателе степени, в которую
надо возвести число а, чтобы получить число Ы Ответ следует из
данного выше определения: этим показателем является loga Ь.
Значит, вместо * надо подставить число loga b, что мы и сделали.
Например, 2log23=3, 5log5l0=10, 10logl0°'4= 0,4.
Подчеркнем, что loga b = с и ас = Ь — одна и та же зависимость
между числами а, Ь и с, но только вторая описана на более
простом языке (использует более простые символы), чем первая.
Операцию нахождения логарифма числа обычно называют
логарифмированием. Эта операция является обратной по отношению
к возведению в степень с соответствующим основанием. Сравните:
Возведение в степень
52 = 25
103=1000
0,34 = 0,0081
Логарифмирование
Iog525 = 2
log101000 = 3
log03 0,0081 =4
Вычисление значения логарифма сводится, как правило, к
решению некоторого показательного уравнения.
Пример. Вычислить:
а) log4 128; б) log^ л/9 ; в) log^ 4л/2 .
2
Решение, а) Пусть log4 128 = х. Тогда, по определению
логарифма, 4х = 128. Решая это показательное уравнение,
последовательно находим:
22х = 27, 2х = 7, х = 3,5.
104

б) Пусть log^ v9 = х. Тогда, по определению логарифма,
= v9 . Решая это показательное уравнение,
последовательно находим: * 2
в) Пусть log! 4>/2 = х. Тогда, по определению логарифма,
I — I = 4V2. Решая это показательное уравнение, последовательно
находим:
2ГХ = 2? 2\ -х = 2 + |, х = -2,5. ■
Логарифм по основанию 10 обычно называют десятичным
логарифмом. Так, log10 5, logio 3,4 — десятичные логарифмы.
Вместо символа log10 принято использовать символ lg; так, вместо
logio 5 пишут lg 5, а вместо logio 3,4 пишут lg 3,4. В недалеком
прошлом десятичным логарифмам отдавали предпочтение;
опираясь на особенности принятой десятичной системы счисления,
составляли весьма подробные таблицы десятичных логарифмов,
создавались специальные логарифмические линейки. В эпоху
всеобщей компьютеризации десятичные логарифмы утратили свою
ведущую роль, более важны стали логарифмы по основанию 2, но
особенно широко используются в математике и технике логарифмы,
основанием которых служит особое число е (такое же знаменитое,
как число я); с этим числом мы познакомимся позднее (в § 19).
В заключение заметим, что теперь мы в состоянии довести до
конца решение уравнения 1-|) = 2, с которым не справились в § 12
(см. пример 7). Получим х = logs 2.
з
§ 15. Логарифмическая функция, ее свойства и график
В § 14 мы ввели понятие логарифма положительного числа
по положительному и отличному от 1 основанию а. Для любого
положительного числа можно найти логарифм по заданному
основанию. Но тогда следует подумать и о функции у = loga jc,
х е (0; -ьоо), о ее графике и свойствах. Этим и займемся в
настоящем параграфе.
В § 11, где речь шла о показательной функции у = ах, мы
выделили ее основные свойства: эта функция определена и
непрерывна на (-оо; +оо), монотонна (возрастает при а > 1, убывает при
105

О < а < 1), область ее значений — (0; +оо). Значит, по теореме об
обратной функции (см. «Алгебра и начала анализа-10», § 10) для
функции у = а* существует обратная функция. Этой обратной
функцией является х = loga i/, или, поменяв, как обычно, х и у
местами, у = loga x.
Итак, у = loga х — функция, обратная по отношению к
функции у = ах, а потому ее график получается из графика
показательной функции у = а* с помощью преобразования симметрии
относительно прямой у = х.
На рис. 62 схематически изображены графики функций
у = ах и у = loga х в случае, когда а > 1; на рис. 63 схематически
изображены графики функций у = ах и у = loga x в случае, когда
0 < а < 1.
•
У!
а-
&
>
/
/
2
-1
7
/
/
—7
/У
а'
\о
1Л
\
•
УА 1
ч II
•
о
\
-
1\
•
-
у
'л
'/
1
-1-
><
1
—
Q
^
>
t
л:
РЫС. 62
Р\АС. 63
График функции i/ = loga x называют логарифмической кривой,
хотя на самом деле нового названия можно было и не
придумывать. Ведь это та же экспонента, что служит графиком
показательной функции, только по-другому расположенная на
координатной плоскости.
Бели значение основания а указано, то график
логарифмической функции можно построить по точкам. Пусть, например,
нужно построить график функции у = log2 x. Составляя таблицу
контрольных точек, будем руководствоваться соотношением log2 2Г = г
(см. § 14). Поэтому в таблицу в качестве значений аргумента х
мы включим числа, являющиеся степенями числа 2.
Имеем:
log2 (\) = log2 2"2 = -2;
log2 (|) = log2 2"1 = -1;
log2 1 = log2 2° = 0;
log2 2 = log2 21 = 1;
log2 4 = log2 22 = 2;
log2 8 = log2 23 = 3.
106

Сведем полученные результаты в таблицу:
X
У = bg2 х
1
4
-2
1
2
-1
1
0
2
1
4
2
8
3
9-
1 ■•
1
Q
Чг
II
/
о
£
j
!/-log2*-
О
л:
PUC. 64
Построив на координатной плоскости
точки (J; -2), (|; -l), (1; 0), (2; 1),
(4; 2), (8; 3), проводим через них
логарифмическую кривую (рис. 64).
Свойства функции у = loga х, а > 1.
Необходимую информацию извлекаем
из геометрической модели,
представленной на рис. 62.
1) D(f) = (0; +оо);
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) возрастает на (0; +оо);
4) не ограничена сверху, не ограничена снизу;
5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6) непрерывна;
7) E(f) = (-сю; +оо);
8) выпукла вверх.
Замечание. Сравните график функции у = loga xy изображенный
на рис. 62, и график функции у = хг (0 < г < 1), изображенный на рис. 21
(§ 9). Не правда ли, они похожи (при х > а)? На самом деле между ними
есть принципиальная разница: график функции у = хг «набирает
обороты» быстрее. Иными словами, для достаточно больших значений х
ордината графика степенной функции у = л:г(при 0 < г < 1 и уж тем более при
г > 1) значительно больше соответствующей ординаты графика
логарифмической функции с любым основанием, большим, чем 1. В курсе
математического анализа доказано, что при а > 1 и г > 0 выполняется
равенство
1 ^
Свойства функции у = loga #, 0 < а < 1.
Необходимую информацию извлекаем из геометрической
модели, представленной на рис. 63.
1) D(f) = (0; +оо);
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) убывает на (0; +оо);
4) не ограничена сверху, не ограничена снизу;
107

5) нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6) непрерывна;
7) E(f) = (-оо; +оо);
8) выпукла вниз.
Отметим, что ось у является вертикальной асимптотой графика
логарифмической функции и в случае, когда а > 1, и в случае,
когда 0 < а < 1.
Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения
функции на заданном промежутке:
а) у = lg х, х е [1; 1000]; б) у = logl x, x e [l; 27].
Решение, а) Функция у = lg x — непрерывная и
возрастающая, поскольку основание этой логарифмической функции
больше 1 (напомним, что lg x = logi0 x). Следовательно, своих
наименьшего и наибольшего значений функция достигает на концах
заданного отрезка [1; 1000]:
Унаим. = lg 1 = 0;
= lg ЮОО = Iog10103 = 3.
б) Функция у = logi х —" непрерывная и убывающая, поскольку
3 1
основание этой логарифмической функции, т. е. число £, меньше 1.
о
Следовательно, своих наибольшего и наименьшего значений
функция достигает на концах заданного отрезка —; 27 :
3
27 = logi
з
Пример 2. Решить уравнение и неравенства:
a) logs х = 0; б) logs х > 0; в) log5 x < 0.
Решение. График функции у = log5 x схематически
изображен на рис. 62. Заданные уравнение и неравенства нетрудно
решить, используя эту геометрическую модель, причем в силу
монотонности функции, решение будет вполне строгим.
а) Уравнение log5 х = 0 имеет один корень х = 1, поскольку
график функции у = log5 х пересекает ось х в единственной точке (1; 0).
108

б) График функции у = log5 х расположен выше оси х при х > 1.
Значит, решение неравенства log5 х > О имеет вид # > 1.
в) График функции у = log5 * расположен ниже оси х при
О < х < 1. Значит, решение неравенства logs* < 0 имеет вид
О < х < 1.
Ответ: а) х = 1; б) х > 1; в) 0 < х < 1.
Пример 3. Решить уравнение и неравенства:
a) log2 х = 0; б) log2 # > 0; в) log2 x < 0.
5 5 5
Решение. График функции i/ = log2 дс схематически изобра-
5
жен на рис. 63. Заданные уравнение и неравенства нетрудно
решить, используя эту геометрическую модель.
а) Уравнение log2 х = 0 имеет один корень х = 1, поскольку
5
график функции у = logg x пересекает ось х в единственной точ-
5
ке (1; 0).
б) График функции у = log2 x расположен выше оси у при
5
0 < х < 1. Значит, решение неравенства logg x > 0 имеет вид
0<*<1. *
в) График функции у = logg х расположен ниже оси х при х > 1.
5
Значит, решение неравенства log2 х < 0 имеет вид х > 1.
5
Ответ: а) х = 1; б) 0 < х < 1; в) х > 1.
Пример 4. Построить графики функций:
а) у = log2 (jc + 2) - 3;
б) у = log2 (-*);
в) у = -3 log2 "2«
Решение. В этом примере нужно выполнить различные
преобразования графика функции у = log2 x (см. рис. 64).
а) Перейдем к вспомогательной системе координат с началом
в точке (-2; -3) (пунктирные прямые х = -2 и у = -3 на рис. 65).
«Привяжем» график функции у = log2 x к новой системе
координат — это и будет требуемый график (рис. 65).
109

-Iе?
"-1 и
—1 н
-9
/
/
i
0
■1
i
=i
ТТтт
'mi
л:
у = log2 (~Х
**•
Ч
У1
)
\
1
р
i
y = \og2x
i
f I
—
л:
PUC. 65
PUC. 66
б) Напомним, что график функции у = f(-x) симметричен
графику функции у = f(x) относительно оси у. Учтя это, строим
график функции у = log2 x> а затем, подвергнув его
преобразованию симметрии относительно оси у, получаем график функции
У = log2 (-*) (рис. 66).
в) Построение графика функции у = -3 log2 т> осуществим
в несколько шагов.
1) Построим график функции у = log2 x (пунктирная линия на
рис. 67).
2) Осуществим растяжение
построенного графика от оси х с коэффициентом 3
и симметрию «растянутого» графика
относительно оси х. Получим график
функции у = -3 log2 х (тонкая линия на
рис. 67).
3) Осуществим сжатие построенного
графика к оси у с коэффициентом -^ (т. е.
растяжение графика от оси у с коэффи-
о
1
н
11
\\
V\
fk
1
1 t
\
1
у;
\с
^1
Ч
ч|
ч ,
а
ч.
ч
• -
ф- х
\
S
s
. -
л:
-
циентом 2). Получим график функции
Рис. 61
у--Ъ log2 -9 (жирная линия на рис. 67). ■
Пример 5. Построить и прочитать график функции
12е, если х < 1,
log! xy если х > 1.
2
Решение. Построим график функции i/ = 2х и выделим его
часть на луче (-оо; 1] (выделенная часть пунктирной линии
на рис. 68). Построим график функции у = log! x и выделим его
2
часть на открытом луче (1; +оо) (выделенная часть тонкой линии
на рис. 68). Объединение двух выделенных на рис. 68 линий и
110

У
2Л
Уь
1
0
/
/
^^~
I
/
S
( = 10^^
2
■**
PUC. 68
представляет собой график заданной
функции.
Прочитаем график, т. е. укажем
иллюстрируемые графиком свойства
заданной функции:
1) D(f) = (-сю; +сю);
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) возрастает на луче (-оо; 1], убывает
на открытом луче (1; +оо);
4) не ограничена снизу, ограничена
сверху;
5) Ушшб. = 2 (достигается в точке х = 1), наименьшего значения
у функции нет;
6) функция непрерывна на луче (-оо; 1) и на открытом луче
(1; +оо); претерпевает разрыв в точке х = 1;
7) E(f) = (-сю; 0) U (0; 2];
8) выпукла вниз на промежутках (-оо; 1] и (1; +оо).
Заметим, что прямая у = 0 (ось jc) является горизонтальной
асимптотой графика функции при х -» -оо. Это значит, что
lim
Пример 6. Решить уравнение lgх = 11 - х.
Решение. Достаточно очевидно, что х = 10 — корень
уравнения. В самом деле, lg 10 = 1 и 11 - 10 = 1, т. е. при х = 10
заданное уравнение обращается в верное числовое равенство
1 = 1.
Так как функция у = lg х возрастает, а функция у = 11 - х
убывает, то заданное уравнение имеет только один корень,
который уже найден путем подбора: jc = 10. ■
Завершая разговор о логарифмических функциях и их
графиках, рассмотрим более сложный пример, где речь идет о
построении графиков нескольких «экзотических» функций.
Пример 7. Построить графики функций:
а) у = logxx; б)у= 21<**х; в) у = л***2.
Решение, а) Мы знаем, что logxjc = 1, но при этом следует
учесть, что х — основание логарифма, а потому х > 0 и х * 1.
Значит, речь идет о построении графика функции у = 1, область
определения которой задается условиями х > 0, х Ф 1. График
функции изображен на рис. 69.
111

1
У1
1 1
1
-1
1
6
/
/
/
/
/
/
о.
О
Рыс. 69
PUC. 70
РЫС. 71
б) Мы знаем, что 2log2X= х, но при этом следует учесть, что х —
логарифмируемое число, а потому х > 0. Значит, речь идет о
построении графика функции у = х, область определения которой
задается условием х > 0. График функции изображен на рис. 70.
в) Мы знаем, что л***2 = 2, но при этом следует учесть, что х —
основание логарифма, а потому х > 0 и х * 1. Значит, речь идет
о построении графика функции у = 2, область определения которой
задается условиями х > 0 и х * 1. График функции изображен
на рис. 71. ■
§ 16. Свойства логарифмов
В предыдущих параграфах мы ввели понятие логарифма
положительного числа по положительному и отличному от 1
основанию, изучили свойства функции у = \oga x, построили ее график.
Но чтобы успешно использовать на практике операцию
логарифмирования, нужно познакомиться со свойствами этой операции,
что мы и сделаем в настоящем параграфе. Все свойства
формулируются и доказываются только для положительных значений
переменных, содержащихся под знаками логарифмов. Впрочем,
два свойства доказательства не требуют, они представляют собой
запись на математическом языке определения логарифма как
показателя степени, мы ими уже пользовались:
loge ar = r,
Ъ.
Теорема 1. Логарифм произведения двух положительных
чисел равен сумме логарифмов этих чисел:
loga Ъс = loga Ъ + loga с.
Например,
log2 15 = log2 (3 5) = log2 3 + log2 5;
log3 18 = log3 (9 2) = log3 9 + log3 2 = 2 + log3 2;
lg 5 + lg 2 = lg (5 • 2) = lg 10 = 1.
Доказательство. Введем следующие обозначения: loga be =
= jc, loga b = y, loga с = г. Нам надо доказать, что выполняется
равенство х = у + z.
112

Так как \oga be = jc, to ax = be.
Так как loga b = у, то ay = b.
Так как loga с = z, то a2 = с.
Итак, ах = be, ay = b, a2 = c.
Значит, ay a2 = ax, т. е. ay + z = ax.
Но если степени двух положительных чисел равны и
основания степеней равны и отличны от 1, то равны и показатели
степеней. Значит, у + z = jc, что и требовалось доказать.
Теорема остается справедливой и для случад, когда
логарифмируемое выражение представляет собой произведение более двух
положительных чисел.
Например, log5 2 + log5 3 + log5 7 = log5 (2 • 3 • 7) = log5 42.
Теорему 1 можно сформулировать используя конструкцию
«если... то» (как принято для теорем в математике). Приведем
соответствующую формулировку: если a, b и с — положительные
числа, причем а Ф 1, то справедливо равенство loga be = loga b +
+ loga с. Следующую теорему мы именно так и оформим.
Теорема 2. Если а,Ь, с — положительные числа, причем аФ\,
то справедливо равенство
f = loga Ь - loga с.
Краткая формулировка, которую удобнее использовать на
практике: логарифм частного равен разности логарифмов
делимого и делителя или логарифм дроби равен разности
логарифмов числителя и знаменателя.
Например,
log, 2,5 = logi (|) = logi 5 - logi 2 = logi 5 +1;
2 2 2 2 2
lg 15 - lg 3 = lg ^ = lg 5.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 1,
проведите его самостоятельно.
Теорема 3. Если anb — положительные числа, причем а * 1,
то для любого числа г справедливо равенство
| lQgq V = Г lQga Ъ. |
Краткая формулировка, которую удобнее использовать на
практике: логарифм степени равен произведению показателя
степени на логарифм основания степени.
113

Например,
log! 25 = logx 52 = 2 logx 5;
2 2 2
lg — = lg 5~ = —lg 5;
э
3 log2 5 = log2 53 = log2125.
Доказательство. Введем следующие обозначения: loga br= jc,
loga b = у. Нам надо доказать, что х = ry.
Из loga br = х следует, что ах = Ьг; из loga b = у следует, что ау = Ь.
Возведя обе части последнего равенства в степень г, получим
CL — О •
Итак, ах = &г, а'1' = Ь\ значит, ах = аР*, т. е. jc = п/, что и
требовалось доказать.
Пример 1. Известно, что положительные числа jc, у, z> t
связаны соотношением jc = -jt=- . Выразить loga jc через логарифмы
по основанию а чисел у, z, t.
Решение. 1) Логарифм дроби равен разности логарифмов
числителя и знаменателя. Значит, loga -£г~ = loga (yz3) - loga vt .
2) Логарифм произведения равен сумме логарифмов
множителей. Значит, loga (yz3) = loga У + loga z3.
3) Логарифм степени равен произведению показателя степени
на логарифм основания степени. Значит,
_ I
lOga Z3 = 3 lOga 2; lOga № = lOga t* = | loga *.
4) В итоге получаем:
3 lOga V* = loga У + loga Z* - | lOga * =
У + 3 lOga 2 - I lOga *•
При наличии определенного опыта решение примера можно
не разбивать на последовательные этапы, а оформить его так:
yz3 ±
lOga X = lOga -Щ- = lOga У + lOga Z* ~ lOga ^ =
= lOga У + 3 lOga 2 " I lOga *• ■
Еще раз подчеркнем, что все свойства логарифмов мы
получили при условии, что переменные принимают положительные
значения. А как быть, если про знак переменной ничего не изве-
114

стно? Можно ли, например, написать lg х2 = 2 lg jc, если о знаке
числа х ничего не известно? Отвечаем: нельзя, поскольку при х < О
левая часть равенства определена, а правая не определена. Как
же быть в таком случае? Нас выручит знак модуля. Поскольку х2 =
= | х \2 и | х | > 0 при х * 0, верное равенство выглядит так: lg x2 =
= 2 lg | х |. Это частный случай общей формулы
Помните и о том, что заменять выражение loga be выражением
loga b + loga с мы имеем право лишь в случае, когда b > 0 и с > 0.
Если мы в этом не уверены, но знаем, что be > 0, то, поскольку в
этом случае выполняется равенство be = | b | • | с |, следует
использовать формулу
loga ЬС = loga | Ь | + loga | С |, ГДв Ъс > 0.
Если некоторое выражение А составлено из положительных
чисел х, у, г с помощью операций умножения, деления и
возведения в степень, то, используя свойства логарифмов, можно
выразить loga А через логарифмы чисел х, у, z. Такое преобразование
называют логарифмированием (см. пример 1). Ценность операции
логарифмирования состоит в том, что она позволяет сводить
вычисления к операциям более низкого порядка: произведение,
частное, степень заменяются соответственно на сумму, разность,
произведение.
Иногда приходится решать обратную задачу: находить
выражение, логарифм которого представлен через логарифмы
некоторых чисел (потенцирование). При этом используется следующее
утверждение.
Теорема 4. Равенство loga t = loga s, где а > 0, a * 1, t > 0,
s > 0, справедливо тогда и только тогда, когда t = s.
Это достаточно очевидное следствие монотонности
логарифмической функции.
Пример 2. Известно, что lg х = 2 lg у - lg z + 0,5 lg t.
Выразить x через у, z, t.
Решение. Имеем последовательно:
2 lg у = lg у2;
0,5 lg t = lg tOtS = lg yft;
2 lg у - lg 2 + 0,5 lg t = lg y2 + lg yjt - lg z = lg У-у-.
U2\ft U2\ft
Итак, lg x = lg У—у- , и, следовательно, х = ^—y- . ■
115

ПримерЗ. Известно, что log3 2 = а. Вычислить log3 6,75.
Решение. Выразим число 6,75 через числа 3 и 2 (3 —
основание логарифма, 2 — заданное в условии логарифмируемое число)
с помощью операций умножения, деления и возведения в степень:
>75 = 64 =Т = ¥'
Значит,
log3 6,75 = log3 Mb" = log3 33 - log3 22 = 3 - 2 log3 2 = 3 - 2a.
Ответ: 3 - 2a.
П р и м е р 4. Вычислить 491"0'25 log7 25.
Решение. Поработаем с показателем степени:
1 - 0,25 log7 25 = log7 7 - log7 25* = log7 7 - log7 tftf =
= log7 7 - log7 V5 = log7 ~^.
Теперь заданное числовое выражение мы можем записать
в виде 49 .
Далее находим:
49°?^ = 7 7у1* = 7 ?'^ = 7loe?T.
Остается вспомнить, что alogab = Ь. Значит,
1 49
Ответ: 9,8.
Пример 5. Положительное число а записано в стандартном
виде а = а0 • 10л, где 1 < а0 < 10 и п — целое число. Найти
десятичный логарифм числа а.
Решение, lg а = lg (а0 • 10я) = lg а0 + lg 10л = lg а0 + п.
Таким образом, lg а = п + lg a0. ■
Проанализируем полученный в примере 5 результат. По условию
1 < Oq < 10, значит, в силу возрастания функции у = lg x имеем
lg 1 < lg а0 < lg 10, т. е. 0 < lg а0 < 1.
Таким образом, нам удалось представить число lg а в виде суммы
целого числа п и числа lg а0, заключенного в промежутке [0; 1).
116

Это значит, что п — целая часть числа lg a, a lg a0 — дробная
часть числа lg а.
Обычно целую часть числа \ga называют характеристикой
десятичного логарифма числа а, а дробную часть числа lg а
называют мантиссой десятичного логарифма числа а.
Математики, как вы знаете, ничего просто так не делают; если
уж они выделили десятичные логарифмы, ввели термины
«характеристика» и «мантисса», значит, с определенной целью. С
какой? Для ответа на этот вопрос рассмотрим пример: вычислить
lg 70, lg 700, lg 700 000, lg 0,007, если известно, что lg 7 « 0,8451.
Имеем:
lg 70 = lg (7 10) = lg 7 + lg 10 « 0,8451 + 1 = 1,8451;
lg 700 = lg (7 102) = lg 7 + lg 102 » 0,8451 + 2 = 2,8451;
lg 700 000 = lg (7 105) = lg 7 + lg 105 « 0,8451 + 5 = 5,8451;
lg 0,007 = lg (7 10"3) = lg 7 + lg 10"3 * 0,8451 - 3 = -2,1549.
Таким образом, возвращаясь к решению примера 5,
достаточно составить таблицу десятичных логарифмов чисел,
заключенных в промежутке [1; 10), чтобы с ее помощью и с помощью
стандартного вида положительного числа вычислять десятичные
логарифмы любых положительных чисел.
Рассмотрим занимательный пример, где используются
десятичные логарифмы.
Пример 6. Сколько цифр содержит число 7100?
Решение. Часто начинают решать эту задачу «в лоб»:
возводят число 7 постепенно в первую, вторую, третью и т. д.
степень и пытаются увидеть закономерность. Имеем:
71 = 7 (одна цифра), 72 = 49 (две цифры), 73 = 343 (три
цифры), 74 = 2401 (четыре цифры), 75 = 16 807 (пять цифр),
76 = 117 649 (шесть цифр).
Возникает естественная гипотеза: каков показатель степени,
столько цифр в результате. Но эта гипотеза рушится уже на
следующем шаге: 77 = 823 543 — в этом числе не 7, а 6 цифр. Так
что метод перебора и угадывания здесь не срабатывает.
Поступим по-другому: вычислим десятичный логарифм
числа 7100. Получаем: lg 7100 = 100 lg 7 = 100 • 0,8451 = 84,51.
Видим, что характеристика логарифма равна 84. Значит,
порядок числа 7100 равен 84, а потому в числе 7100 — 85 цифр.
Ответ: 85 цифр.
Логарифмических функций бесконечно много: у = log2 х;
у = logs х; у = Iog0,3 х; у = lg x; у = logg x и т. д. Возникает вопрос,
7
117

как они связаны между собой. Есть ли,
например, какая-то связь между
функциями у = log2 хи у = log3 х? На рис. 72
изображены графики функций у = log2 jc
и у = log3 #• Не кажется ли вам, что
график первой функции получается из
графика второй функции растяжением от
оси х с некоторым коэффициентом k > 1?
Если это на самом деле верно, то должно
выполняться равенство
log2 х = k log3 х.
Так ли это? Теоретической основой для ответа является
следующая теорема.
Теорема 5. Если а>Ъ> с — положительные числа, причем а и
с отличны от 1, то имеет место равенство
РИС. 72
(формула перехода к новому основанию логарифма).
(1)
Например, log2 3 = j^§5 1о^7 4 = ^j и т. д.
Доказательство. Введем следующие обозначения: logaЪ = jc,
logc b = у, logc a = z. Нам надо доказать, что jc = —.
Из loga Ъ = jc следует, что ах = Ь; из logc Ъ = у следует, что & = Ь.
Итак, ах = су. Далее, из logca = 2 следует, что с2 = а. Значит,
(с2)* = с1', т. е. zjc = у, что фактически и требовалось доказать.
Теперь нетрудно ответить на поставленный выше вопрос: как
связаны между собой различные логарифмические функции?
Рассмотрим логарифмические функции у = log2 jc и у = log3 jc, графики
которых изображены на рис. 72. По формуле (1) получаем:
log3 jc = !°~2 о > откуда находим, что log2 jc = log2 3 • log3 jc.
iog2 «>
Таким образом, наша догадка подтвердилась: действительно,
справедливо соотношение log2 jc = k log3 jc, где k = log2 3;
подтвердилась и наша догадка о том, что в данном случае k > 1, поскольку
log2 3 > 1.
Аналогичные формулы связывают и другие логарифмические
функции. Например, справедливы соотношения:
logs x = k log7 jc, где k = logs 7;
lg jc = k logo.s x, где k = lg 0,5 и т. д.
118

Рассмотрим два важных частных случая формулы перехода к
новому основанию логарифма, два следствия из доказанной
теоремы.
Следствие 1. Если а и Ь — положительные и отличные
от 1 числа, то справедливо равенство
logab= log, a*
(2)
Например, log2 3 =
; lg 5 =
Доказательство. Применив формулу (1) к случаю, когда
с - Ь, получим:
Следствие 2. Если а и Ь — положительные числа, причем
а Ф 1, то для любого числа г Ф О справедливо равенство
r ЪГ.
(3)
Например, log2 3 = log^ З2 = Iog2_i &l = log^ V3 и т. д.
Доказательство. Перейдем в выражении log^ br к лога-
^ 1 иг lQgfl У r\ogab , .
рифмам по основанию a: iogar о = т г = — = loga &.
Пример 7. Дано: lg 3 = a, lg 5 = b. Найти log2 15.
Решение. Воспользовавшись формулой (1) перехода к
новому основанию, а затем свойствами логарифма, получим:
1
iog2
lg2
lg(3-5) Ig3 + lg5 a + b
- l I " 1 6
g 5
lglO - Ig5 " 1 -
Пример 8. Дано logi4 28 = a. Найти log49 16.
Решение. Сначала воспользуемся формулой (3):
log49 16 = log^ Vl6 = log7 22 = 2 log7 2.
119

Значит, нам нужно log7 2 выразить через а. Введем
обозначение log7 2 = х. Тогда
а = log14 28 =
_ Iog728 _ log7 (7 22) _ Iog77+21og72 _ 1 + 2х
I " I " I7 l '
л. ~т~ X
log714 log7 (7 2) log7 7 + log7 2 1 + x
Таким образом, чтобы найти jc, нужно решить уравнение
Значит, log4916 =
2х __ а -
= а. Из этого уравнения находим: х =
Ответ:
Пример 9. Дано: log6 30 = a, logi5 24 = Ь. Найти logi2 60.
Решение.
logi2 60 =
Iog260 log2 (3 5 22) Iog23-hlog25-h 2
Iog212
Iog2(3 22)
log2 3 + 2
Есть смысл ввести обозначения: log2 3 = х, log2 5 = z/. Тогда logi2 60 =
x + у + 2
x + 2 '
Теперь поработаем с теми логарифмами, которые даны в условии:
a = log6 30 =
Iog230 log2 (3 5 2) log2 3 + log2 5 + log2 2
log2 6 log2 (3 2)
_ x + у + 1.
- x + 1 '
log2 3 + log2 2
b = log15 24 =
Iog224 _ log2 (3 23) _ Iog23-h31og22 _ x + 3
log215 " log2 (3 5) " log2 3 + log25 " x + y'
Таким образом, чтобы найти х и у, нам следует решить систему
уравнений:
x + 1
x + 3
х + у
= Ь.
Освободившись в обоих уравнениях от знаменателей, получим
систему двух линейных уравнений:
Г(1 - а)х + у = а - 1,
[Ф -1)х + ъу = г.
120

Выразим у через х из первого уравнения и подставим полученное
выражение вместо у во второе уравнение системы:
у = а-1-х + ах;
Ьх - х + Ь(а - 1 - х + ах) = 3;
(аЬ - 1)х = Ь + 3 - ab;
b+3-ab.
х= ab-1 '
у = а-1+(а-1)х = (а- 1)(1 + х) = (а -
_ (а - l)(fr + 2)
Теперь уже можно выразить через а и b интересующий нас логарифм:
у + 2
2а& + 2а - 1
_ (Ь + 3-ab ^ (а - !)(& + 2) ^ ,Л f Ь + 3 - аЬ
-[ аЬ-1 + аЬ-1 +2)'( аЬ-1 +
Ответ:
1 )( ) аЬ + 6 + 1
2ab+2a-l
—г—г—=—•
ею + о + 1
§ 17. Логарифмические уравнения
Логарифмическими уравнениями называют уравнения вида
l0ga № = bga «(*), (1)
где а — положительное число, отличное от 1, и уравнения,
сводящиеся к этому виду.
Опираясь на теорему 4 из § 16, согласно которой равенство
loga t = loga s, где a > 0, a Ф 1, t > 0, s > 0, справедливо тогда и
только тогда, когда t = s, мы можем сформулировать следующее
утверждение.
Теорема. Пусть a>Oua#l, I — решение системы
неравенств < ' Тогда уравнение loga f(x) = loga £(jc)
равносильно на множестве X уравнению f(x) = g(x).
На практике эту теорему применяют так: переходят от
уравнения (1) к уравнению f(x) = g(x) (такой переход, напомним,
называют потенцированием), решают уравнение f(x) = g(x), а затем
проверяют его корни по условиям f(x) > 0, g(x) > 0,
определяющим область допустимых значений (ОДЗ) переменной х. Те корни
уравнения f(x) = g(x), которые удовлетворяют этим условиям,
121

являются корнями уравнения (1). Те корни уравнения f(x) = g(x),
которые не удовлетворяют хотя бы одному из этих условий,
объявляются посторонними корнями для уравнения (1).
Пример 1. Решить уравнение
logs (x2 -Зх-5) = log3 (7 - 2х).
Решение. 1) Потенцируя (т. е. освободившись от знаков
логарифмов), получаем:
х2 - Зх - 5 = 7 - 2х;
х2 - х - 12 = 0;
Хг = 4, Х2 = -3.
2) Проверим найденные корни по условиям
\х2 - Зх - 5 > 0,
[7 - 2х > 0.
Значение х = 4 не удовлетворяет этой системе неравенств
(достаточно заметить, что х = 4 не удовлетворяет второму
неравенству системы), т. е. х = 4 — посторонний корень для заданного
уравнения. Значение х = -3 удовлетворяет обоим неравенствам
системы, а потому х = -3 — корень заданного уравнения.
Ответ: -3.
Пример 2. Решить уравнение logx+4 (х2 - 1) = logx+4 (5 - х).
Решение. Потенцируя, получим уравнение х2 - 1 = 5 - х,
корнями которого являются числа 2 и -3. Для проверки, кроме
условий jc2-1>0, 5-jc>0, придется учесть еще два условия:
jc + 4>0, # + 4*1. Таким образом, область допустимых
значений переменной для заданного уравнения определяется системой
неравенств
х2 - 1 > 0,
5 - х > 0,
х + 4 > 0,
х + 4 Ф 1.
Значение х = 2 удовлетворяет этой системе, а значение х = -3 —
нет, это посторонний корень.
Ответ: 2.
Пример 3. Решить уравнение
log2 (х + 4) + log2 (2х + 3) = log2 (1 - 2х).
Решение. 1) Сначала надо преобразовать уравнение к виду (1).
Для этого воспользуемся правилом «сумма логарифмов равна
122

логарифму произведения». Оно позволяет заменить выражение
log2 (х + 4) + log2 (2х + 3) выражением log2 (* + 4)(2# + 3). Тогда
заданное уравнение можно переписать так:
log2 (х + 4)(2* + 3) = log2 (1 - 2х).
2) Потенцируя, получаем:
(х + 4)(2* + 3) = 1 - 2х\
2х2 + 8х + 3* + 12 = 1 - 2*;
2*2 + 13* +11 = 0;
#i = 1, Хч = о,о.
(х + 4 > 0,
3) Проверим найденные корни по условиям 12х + 3 > 0,
[l - 2* > 0
(обратите внимание: условия для проверки всегда составляют
по исходному уравнению). Значение х = -1 удовлетворяет этой
системе неравенств, а значение х = -5,5 не удовлетворяет, это
посторонний корень.
Ответ: -1.
Замечание. Иногда удобнее использовать другой порядок ходов:
сначала решить систему неравенств — в примере 3 решением системы
неравенств будет интервал (-1,5; 0,5); это область допустимых значений
переменной (ОДЗ). Затем найти корни: хх = -1, х2 = -5,5. И наконец,
сделать проверку найденных значений х, но уже не с помощью системы
неравенств, а по найденной заранее области допустимых значений.
В примере 3 значение х = -1 принадлежит интервалу (-1,5; 0,5), а
значение х = -5,5 этому интервалу не принадлежит. Следовательно, х = -5,5 —
посторонний корень, а х = -1 — единственный корень заданного
логарифмического уравнения.
гг
Пример 4. Решить уравнение lg2 х + lg х + 1 = —.
Решение. Так как lg j~ = lg x - lg 10 = lg x - 1, то заданное
гч
уравнение можно переписать так: lg2 х + lg х + 1 = т-—зт«
Есть смысл ввести новую переменную у = lg x; тогда
уравнение примет вид у2 + у + 1 = —^т .
Далее находим:
(У ~ 1)0/2 + У + 1) = 7;
У* ~ 1 = 7;
У3 = 8;
123

Это значение удовлетворяет условию у Ф 1 (посмотрите: у
записанного вьппе рационального относительно у уравнения переменная
содержится в знаменателе, а потому следует проверить, не
обращается ли знаменатель в 0 при найденном значении переменной у).
Итак, у = 2. Но у = lg x, значит, нам осталось решить
простейшее логарифмическое уравнение lg х = 2, откуда находим: х = 100.
Ответ: 100.
Пример 5. Решить уравнение Iog0,ix# + Iog0,2x* = 0.
Решение. Перейдем к десятичным логарифмам:
lgx - V
, _ \gx lgx \gx
10g0,2x* " ^02х ~ ^ + ^i " lgx _ lgg.
5
Тогда заданное уравнение можно переписать так:
+ 0
Введя новую переменную у = lg х9 получим рациональное
относительно новой переменной у уравнение —^Т + —_ j-к = 0
у -^ у ■'в *^
и далее 2у2 - (1 + lg Ъ)у = 0. Корнями этого квадратного уравне-
. l + lg5
ния служат числа у1 = 0, у2 = —*—•
Возвращаясь к переменной jc, заключаем, что либо lgjc = 0,
т. е. х = 1, либо lgjc = —-Z—. Поработаем с правой частью по-
следнего уравнения:
^Y^ = |dg Ю + lg 5) = |lg 50 = lgV50 = lg5V2.
Из уравнения lg x = Ig5v2 находим: х = 5>/2.
Проверка. Область допустимых значений для заданного
уравнения определяется следующими условиями: х > 0; 0,1* Ф 1; 0,2* Ф 1.
Найденные значения переменной хг = 1, х2 = 5\/2 этим условиям
удовлетворяют.
Ответ: 1; 5>/2.
Подведем некоторые итоги. Можно выделить три основных
метода решения логарифмических уравнений.
124

1) Функционально-графический метод. Он основан
на использовании графических иллюстраций или каких-либо
свойств функций. Мы применяли этот метод в § 15.
2) Метод потенцирования. Он основан на теореме
равносильности, полученной в начале параграфа. Мы применили этот
метод в примерах 1, 2 и 3.
3) Метод введения новой переменной. Мы
применили этот метод в примерах 4 и 5.
Завершая параграф, рассмотрим примеры, в которых для
решения уравнения используется еще один метод — метод
логарифмирования, и пример решения системы логарифмических уравнений.
Пример 6. Решить уравнение у*~1о*ъх = 0,04.
Решение. Возьмем от обеих частей уравнения логарифмы
по основанию 5; это равносильное преобразование уравнения,
поскольку обе его части принимают только положительные
значения. Получим logs x1'10*5* = logs 0,04.
Учтем, что logs xr - r log5 x и что
logs 0,04 = logs (^s) = logs 5"2 = -2.
Это позволит переписать заданное уравнение в виде (1 - log5 x) x
х logs х = -2. Замечаем, что «проявилась» новая переменная
у = logs xy относительно которой уравнение принимает весьма
простой вид: (1 - у)у = -2.
Далее получаем:
у2 - у - 2 = 0;
i/i = 2, y2 = -l.
Но у = logs х, значит, нам осталось решить два уравнения:
logs х = 2; logs x = -1.
Из первого уравнения находим х = 52, т. е. х = 25; из второго
уравнения находим х = 51, т. е. х = ^.
о
Ответ: 25; ^.
Пример 7. Решить уравнение log* (За:1*х + 4) = 2 lg x.
Решение. Воспользуемся определением логарифма:
Целесообразно ввести новую переменную у = х?*х. Относительно
новой переменной получаем существенно более простое уравнение:
i/2 = 3i/ -I- 4. Находим корни последнего уравнения: ух = -1, у2 = 4.
125

Поскольку у = d*x, нам остается решить два уравнения: э№х = -1
и xlgx = 4. Первое уравнение, поскольку х > О, корней не имеет,
а из второго последовательно получаем:
*lgx=4;
lg(***) = lg4;
lg jc • lg jc = lg 4;
lgx= fi
x = 10±ViF\
Пример 8. Решить систему уравнений
j
[2 log3 (x - y) = log3 (y + 2).
Решение. 1) Преобразуем первое уравнение системы к
более простому виду:
lg (2х - у) + lg 10 = lg (у + 2х) + lg 6;
10(2* - у) = 6(у + 2х);
х = 2у.
2) Преобразуем второе уравнение системы к более простому виду:
log3 (х - у)2 = log3 (у + 2);
(х - у)2 = у + 2.
3) Решим полученную систему уравнений:
\х = 2у,
{(х - у)2 = у + 2.
Подставив 2у вместо х во второе уравнение, получим: (2у - у)2 =
= У + 2; у2 = у + 2; у2 - у - 2 = 0; уг = 2, у2 = -1.
Соответственно, из соотношения jc = 2i/ находим: хх = 4, jc2 = -2.
4) Осталось сделать проверку найденных пар (4; 2) и (-2; -1)
с помощью условий, которые мы определяем, анализируя
исходную систему уравнений:
2х - у > 0,
у + 2х > 0,
х - у > 0,
у + 2 > 0.
Пара (4; 2) удовлетворяет этим условиям, а пара (-2; -1) не
удовлетворяет (например, она «не проходит» уже через первое
условие 2х - у > 0).
Ответ: (4; 2).
126

§ 18. логарифмические неравенства
Логарифмическими неравенствами называют неравенства вида
loga f(x) > loga g(x), (1)
где а — положительное число, отличное от 1, и неравенства,
сводящиеся к этому виду.
Для решения неравенства (1) преобразуем его к виду loga f(x) -
g(x) > 0 и далее loga ^ > 0, т. е. loga t > О, где t =
Теперь следует рассмотреть два случая: а>1иО<а<1.
Бели а > 1, то неравенство loga t > 0 имеет место тогда и только
f(X)
тогда, когда t > 1 (см. § 15). Значит, ^у > 1, т. е. f(x) > g(x), —
мы учли, что g(x) > 0.
Если 0 < а < 1, то неравенство loga t > 0 имеет место тогда и
только тогда, когда 0 < t < 1 (см. § 15). Значит, 0 < -гг^т < 1, т. е.
f(x) < g(x), — мы учли, что g(x) > 0 и f(x) > 0.
Проведенные рассуждения позволяют сформулировать
следующие утверждения.
Теорема 1. Пусть а > 1 и X — решение системы неравенств
I ' Тогда неравенство loga f(x) > loga g(x) равносильно
на множестве X неравенству f(x) > g(x).
Теорема 2. Пусть 0 < a < 1 и X — решение системы
неравенств I ' Тогда неравенство loga f(x) > loga g(x)
равносильно на множестве X неравенству f(x) < g(x).
На практике эти теоремы применяют так: переходят от
неравенства loga f(x) > loga g(x) при a > 1 к равносильной ему системе
неравенств
Ш > о,
\g(x) > 0,
[f(x) > g{x),
а при 0 < а < 1 — к равносильной системе неравенств
Ш > о,
\g(x) > 0,
[f(x) < g(x).
127

Первые два неравенства каждой из этих систем определяют
область допустимых значений переменной для неравенства (1), а
знак последнего неравенства каждой из систем (обратите
внимание!) либо совпадает со знаком неравенства (1) — в случае, когда
а > 1, либо противоположен знаку неравенства (1) — в случае,
когда 0 < а < 1.
Пример 1. Решить неравенства:
а) log3 (2х - 4) > log3 (14 - х);
б) logi (2х - 4) > logi (14 - х).
3 3
Решение, а) Область допустимых значений переменной для
заданного неравенства определяется условиями 2х - 4 > О
и 14 - х > 0. Поскольку основанием логарифмов служит число 3,
а оно больше 1, то, «освобождаясь» от знаков логарифмов, мы
получим неравенство того же смысла 2х - 4 > 14 - х.
В итоге получаем систему неравенств, равносильную
заданному неравенству:
(2х - 4 > 0,
14- х > 0,
[2* - 4 > 14 - х.
Из первого неравенства системы находим х > 2, из второго —
х < 14, из третьего — х > 6. Геометрическая модель (рис. 73)
помогает найти решение системы неравенств 6 < х < 14.
j, jyilllllllllllllllllllllllllllllllli
14 * 2 6 14 *
PUC. 73 PUC. 74
б) Здесь основание логарифма, т. е. число ^, меньше 1.
Значит, заданное неравенство равносильно системе неравенств:
(2х - 4 > 0,
14-х > 0,
- 4 < 14 - х
(обратите внимание: знак последнего неравенства системы
противоположен знаку исходного логарифмического неравенства).
Из первого неравенства системы находим х > 2, из второго —
х < 14, из третьего — х < 6. Геометрическая модель (рис. 74)
помогает найти решение системы неравенств: 2 < х < 6.
Ответ: а) 6 < х < 14; б) 2 < х < 6.
128

Рассмотрим еще раз систему неравенств, которая получилась в
пункте а). Третье неравенство системы имеет вид 2х - 4 > 14 - ху а
второе — 14 - х > 0. Но из этих двух неравенств автоматически (по
свойству транзитивности неравенств) следует, что 2х — 4 > 0. Что это
значит? Это значит, что первое неравенство системы с самого начала
можно было отбросить без всякого ущерба для решения системы.
Рассуждая аналогично, в системе неравенств, которую мы
получили в пункте б), можно было с самого начала отбросить
второе неравенство.
Получив систему неравенств, обычно смотрят, нет ли в ней
неравенства, которое логически следует из других. Если такое
неравенство есть, его можно отбросить. Советуем и вам так
поступать, но, разумеется, только в том случае, если вы уверены в
правильности своих выводов.
Пример 2. Решить неравенство log! (16 + 4х - х2) < -4.
2 j
Решение. Представим -4 в виде логарифма по основанию т> -
-4 = logi (о) = logi 16. Это позволит переписать заданное нера-
2 Х*' 2
венство в виде logi (16 + 4я - х2) < logi 16.
2 2
Учитывая, что здесь основанием логарифмов служит число,
меньшее 1, составляем, согласно теореме 2, равносильную
заданному неравенству систему неравенств
[16 + 4х - х2 > 0,
[16 + 4х- *2>16.
Обратите внимание: если выполняется —^ ^~-
второе неравенство системы, то автоматиче- + ^Ъшшнпш/ +
ски выполняется и первое неравенство (если of /4 *"
А > 16, то тем более А > 0). Значит, первое \^^'
неравенство системы можно отбросить. Решая рыс 75
второе неравенство, находим:
х2 - 4х < 0; х(х - 4) < 0.
С помощью метода интервалов (рис. 75) получаем: 0 < х < 4. ■
Пример 3. Решить неравенство
Решение. Имеем последовательно:
lg х + lg (45 - x) = \g *(45 - х) = lg (45* - х2);
2 + lg 2 = lg 100 + lg 2 = lg 100 2 = lg 200.
5 Алгебра и начала 129
анализа 11 кл.

Значит, заданное неравенство можно преобразовать к виду
lg(45*- *2)<lg200.
«Освобождаясь» от знаков десятичных логарифмов, получим
неравенство того же смысла: 45л; - х2 < 200. А условия, задающие
область допустимых значений переменной (внимание!), всегда
определяют по исходному неравенству; в данном примере они
таковы: х>0и45-х>0. В итоге получаем систему неравенств
(*>0,
J45- х> 0,
[45* - jc2 < 200.
Первые два неравенства можно записать в виде двойного
неравенства 0 < х < 45. Решим третье неравенство системы:
х2 - 45* + 200 > 0;
(х - 40)(* - 5) > 0;
х < 5; х > 40 (рис. 76).
Отметив на числовой прямой эти решения совместно с
полученным ранее интервалом 0 < х < 45, находим их пересечение (рис. 77),
т. е. решение составленной выше системы неравенств: 0 < х < 5;
40 < х < 45. ■
шин
шнщ mfiiini^ пнинпшщщ
р^ J?0 х Qilml
щ^
llllllllllllllllllllllllllllllMr^g jc
PMC. 76 PMC. 77
Пример 4. Решить неравенство log2* x2 - 5 log2 jc + 1 < 0.
Решение. Здесь «напрашивается» введение новой
переменной у = log2 х9 но сначала надо разобраться с выражением log2 x2.
Имеем: logz х2 = (log2 *2)2 = (2 log2 xf = 4 log! *• Итак, если
у = log2jc, то \og\x2 = 4i/2. Поняв это, перепишем заданное
неравенство так:
4у2 - Ъу + 1 < 0.
Найдем корни квадратного трехчлена 4у2 - Ъу + 1: ух = 1,
i/2 = -т. Значит, 4i/2 - Ъу + 1 = 4(i/ - l)f i/ - ij, а потому последнее
неравенство можно переписать в виде 4(у - 1)1 у - i] < 0.
130

Находим решение неравенства: -г < у < 1.
Подставив вместо у выражение log2 #> получим: -т < log2 jc < 1,
i
или, что то же самое, log2 24 < log2 х < log2 2. Остается
«освободиться» от знаков логарифмов, сохранив имеющиеся знаки нера-
1
венств: 24 < х < 2. ■
Пример 5. Решить неравенство
log,-2 (2* - 3) > logx_2 (24 - 6*). (1)
Решение. Если х - 2 > 1, то к неравенству (1) применима
теорема 1, если же 0 < я - 2 < 1, то к нему применима теорема 2.
Таким образом, решение неравенства (1) сводится к решению
двух систем неравенств:
х - 2 > 1,
2х - 3 > О,
24 - 6х > О,
2х - 3 > 24 - 6х;
О < х - 2 < 1,
2х - 3 > О,
24 - 6х > О,
2х - 3 < 24 - 6*.
о
Из первой системы получаем 3— < х < 4, а из второй — 2 < д: < 3.
о
Ответ: 3- < х < 4; 2 < х < 3.
о
Пример 6. Решить неравенство
xlg*>10. (2)
Решение. Неравенство (2) можно назвать
показательно-логарифмическим. Выше мы отмечали, что при решении
показательно-логарифмических уравнений целесообразно использовать
метод логарифмирования обеих частей уравнения по одному и
тому же основанию. Этот же метод можно применять и при
решении показательно-логарифмических неравенств. Естественно, при
логарифмировании обеих частей неравенства (как и уравнения)
предварительно следует убедиться, что логарифмы существуют.
Знак полученного логарифмического неравенства останется
таким же, каким он был до логарифмирования, если
логарифмирование выполнялось по основанию а > 1; если же логарифмиро-
5* 131

вание выполнялось по основанию 0 < а < 1, то знак неравенства
изменится на противоположный.
Вернемся к неравенству (2). Обе его части принимают только
положительные значения, и поэтому логарифмы этих частей
существуют. Возьмем логарифмы по основанию 10. Так как 10 > 1,
то получим неравенство lg (xlgx) > lg 10 того же знака, что и
неравенство (2), и равносильное ему.
После преобразований получим неравенство \gxlgx > 1,
т. е. lg2 х - 1 > 0, откуда lg х < -1 или lg x > 1.
Из первого неравенства получаем 0 < х < 0,1, а из второго —
х> 10.
Ответ: 0 < х < 0,1; х > 10.
§ 19. Дифференцирование показательной
и логарифмической функций
1. Число е. Функция у = е\ ее свойства, график,
дифференцирование
Рассмотрим показательную
функцию у = ах, где а > 1. Для различных
оснований а получаем различные
графики (рис. 78, 79), но можно заметить, что
все они проходят через точку (0; 1), все
они имеют горизонтальную асимптоту
у = 0 при х —> -оо, все они обращены
выпуклостью вниз и, наконец, все они
имеют касательные во всех своих точках.
Проведем для примера касательную к графику функции у = 2х
в точке х = 0 (рис. 78). Если сделать точные построения и
измерения, то можно убедиться в том, что эта касательная образует
t
! l
У1
1 ■■
о
1/
4
// /
4 .
H-
L-2-
i
X
PUC. 78
/
о.
о.
о"
1
Si
о
II
II
1
1
1
1
1
1
If
-1-5
i
сч
и
&
/
о
•>
i
)
i
У
/
f
/
/
/
/
X
1
/
Vi
if
1
о
- II
- ;з
/
f\
j
/
66,5
I
1
i
f
о
j
1
X
РЫС. 79
132

с осью х угол 35° (примерно). Теперь проведем касательную к
графику функции у = 3х тоже в точке х = 0 (рис. 79, а). Здесь угол
между касательной и осью х будет больше — 48°. А для
показательной функции у = 10х в аналогичной ситуации получаем угол
66,5° (рис. 79, б).
Итак, если основание а показательной функции у = ах
постепенно увеличивается от 2 до 10, то угол между касательной
к графику функции в точке х = 0 и осью абсцисс постепенно
увеличивается от 35° до 66,5°. Логично предположить, что
существует основание а, для которого соответствующий угол равен 45°. Это
основание должно быть заключено между числами 2 и 3, поскольку
для функции у = 2х интересующий нас угол равен 35°, что
меньше, чем 45°, а для функции у = 3* он равен 48°, что уже немного
больше, чем 45°. В курсе математического анализа доказано, что
интересующее нас основание существует, его принято обозначать
буквой е. Установлено, что число е — иррациональное, т. е.
представляет собой бесконечную десятичную непериодическую дробь:
е = 2,7182818284590... ;
на практике обычно полагают, что е ~ 2,7.
Замечание (не очень серьезное). Ясно, что Л. Н. Толстой никакого
отношения к числу е не имеет, тем не менее в записи числа е> обратите
внимание, два раза подряд повторяется число 1828 — год рождения
Л. Н. Толстого.
График функции у = ех изображен на рис. 80. Это экспонента,
отличающаяся от других экспонент (графиков показательных
функций с другими основаниями) тем, что угол между
касательной к графику в точке х = 0 и осью абсцисс равен 45°.
Свойства функции у = ех:
1) D(f) = (-оо; +сю);
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) возрастает;
4) не ограничена сверху, ограничена
снизу;
5) не имеет ни наибольшего, ни
наименьшего значений;
6) непрерывна;
7) E(f) = (0; +оо);
8) выпукла вниз;
9) дифференцируема. Рыс. 80
У1
-и
/
о
1
/
/
/
/
/
(5
-+-
1
1
1
ч
II
/
/
7
^/
X
133

Вернитесь в § 11, взгляните на имеющийся там перечень
свойств показательной функции у = ах при а > 1 (например, у = 2х).
Вы обнаружите те же свойства 1—8 (что вполне естественно), а
девятое свойство, связанное с дифференцируемостью функции, мы
тогда не упомянули. Обсудим его теперь.
Выведем формулу для отыскания производной функции у = е*.
При этом мы не будем пользоваться обычным алгоритмом,
который не раз с успехом применяли в курсе алгебры и начал
анализа 10-го класса. В этом алгоритме на заключительном
этапе надо вычислить предел, а знация по теории пределов у нас с
вами весьма и весьма ограниченные. Поэтому будем опираться
на геометрические предпосылки, считая, в частности, сам факт
существования касательной к графику показательной функции не
подлежащим сомнению (поэтому мы так уверенно записали в
приведенном выше перечне свойств девятое свойство — диф-
ференцируемость функции у = ех, хотя, конечно, строго доказать
это нам не по силам, это делается в курсе высшей математики).
1. Отметим, что для функции у = /(#), где f(x) = ex, значение
производной в точке х = О нам уже известно:
2. Введем в рассмотрение функцию у = g(x), где g(x) = f(x - а),
т. е. g(x) = е*~а. На рис. 81 изображен график функции у = g(x): он
получен из графика функции у = f(x) сдвигом по оси х на \а\
единиц масштаба. Касательная к
графику функции у = g(x) в точке х- а
параллельна касательной к графику
функции у = f{x) в точке х = 0 (см.
рис. 81), значит, она образует с осью х
угол 45°. Используя геометрический
смысл производной, можем записать,
что g'(a) = tg 45° = 1.
3. Вернемся к функции у = f(x).
Имеем:
f(x) = ех = еа- ех~а = е* • g(x).
Значит, f'(x) = е* • g'(x), в частности, f(a) = е? • g\a). Но g\a) = 1,
значит, f(a) = e".
4. Мы установили, что для любого значения а справедливо
соотношение f(a) = e". Вместо буквы а можно, естественно,
использовать и букву х; тогда получим, что f(x) = в*, т. е.
7
и
/ю
/
/
/
/
У
1/
ч-
1
1
ц
/
о—.
/
/
/
/
/
/
Iff
У| 1
г
L
/ н
\1 ^
/ т
//Г
if
/
РЫС. 81
134

Пример 1. Провести касательную к графику функции у = ех
в точке х = 1.
Решение. Напомним, что уравнение касательной к графику
функции у = f(x) в точке х = а имеет вид
у = f(a) + f(a)(x - а). (1)
Воспользуемся алгоритмом составления уравнения
касательной к графику функции, учитывая, что в данном примере f(x) = ех.
1)а = 1.
2) f(a) = /(1) = е.
3) f(x) = ех; f(a) = f (1) = е.
4) Подставим найденные числа а = 1, f(a) = e, f(a) = e в
формулу (1). Получим:
у = в + е(х - 1);
г/ = ex.
Ответ: у = ex.
Пример 2. Вычислить значение производной функции
у = е4х'12 в точке х = 3.
Решение. Воспользуемся правилом дифференцирования
функции у = f{kx + т), согласно которому у' = kf{kx + m), и тем,
что (е*)' = е*. Получим:
Ответ: 4.
Пример 3. Построить график функции у = \lx e 2.
Решение. Заметим сразу, что D(f) = [0; +оо) и что i/ = 0 только
при х = 0, а при остальных значениях jc функция принимает
положительные значения. Кроме того, заданная функция
непрерывна. Найдем ее производную:
у =
2
Производная обращается в нуль при х = 1, это точка
максимума, причем i/max = "F ~ 0,6. Чтобы правильно построить график
функции, обратим внимание еще на три обстоятельства: 1) в точке
х = 0 производная не существует, график функции касается оси
ординат; 2) при увеличении х и числитель и знаменатель дроби
135

0
1
\
\
л
1
°\
J
1
1
У
t
t
i-
:e2
—*
>
i
X
Рис. 82
Гх
— увеличиваются, но знамена-
тель растет несравненно быстрее,
значит, lim —- = 0, а потому
х->+оо -й
б2
у = о — горизонтальная
асимптота графика функции; 3) если х = 2,
то у ~ 0,5. График изображен на рис. 82 (масштабы на осях
различны).
Пример 4. Исследовать на экстремум и схематически изобразить
график функции у = х ех.
Решение. Имеем:
у' = (Х2ех)' = (х2)'ех + * V)' = 2хех + х2ех = хех (х + 2).
+ - + Эта производная существует при
всех значениях х, значит, критических
точек у функции нет. Производная
обращается в нуль в точках x = Ohjc = —2 —
это две стационарные точки. Отметим их
на числовой прямой. Знаки производной
на полученных промежутках меняются
так, как показано на рис. 83. Значит,
х = -2 — точка максимума функции,
причем
J/max = У(~2) = (-2)2 • е~2 = 4 - 0,54;
-2 0 х
Рис. 83
=
-—
-—
-2
1
е
1
2"
р
-
-/
/
/
/
и
1
РЫС. 84
x - 0 — точка минимума, причем
J/min = У(О) = О2 е° = 0.
Используя полученные точки экстремума, схематически изобразим
график функции (рис. 84). Ось абсцисс — горизонтальная асимптота графика
(при х —> -оо). В
2. Натуральные логарифмы. Функция у = In x,
ее свойства, график, дифференцирование
Мы рассматривали логарифмы с различными основаниями:
Iog2 3 — логарифм по основанию 2, logs 7 — логарифм по
основанию 5, lg 2 — логарифм по основанию 10 (десятичный логарифм)
и т. д. Если основанием логарифма служит число в, то говорят,
что задан натуральный логарифм.
Примеры натуральных логарифмов: loge 2, loge 5, \oge 0,2 и т. д.
Подобно тому как для десятичных логарифмов введено
специальное обозначение lg, введено специальное обозначение для
136

натуральных логарифмов In (1 —
логарифм, n — натуральный). Вместо loge 2
пишут In 2, вместо loge 5 пишут In 5 и т. д.
Используя известные соотношения для
логарифмов (см. § 16), запишем ряд
соотношений для натуральных логарифмов:
In 1 = 0; lne = 1;
In er = г; еЫх = х; loga x = j^-
•
f
/
1
•
у
/
/
.
//у
7
j
7
"7
О
1
I
2
7*
/
/
/
s
л
1
^_
/
у-
•
•
•
лГ
X
Мы знаем, что график логарифмиче- рыс g5
ской функции у = loga x симметричен
графику показательной функции у = ах относительно прямой у = х.
Значит, и график функции у = In x симметричен графику
функции у = ех относительно прямой у = х (рис. 85). Это экспонента,
отличающаяся от других экспонент (графиков логарифмических
функций с другими основаниями) тем, что угол между
касательной к графику в точке х = 1 и осью абсцисс равен 45°.
Свойства функции у = In x:
1) D(f) = (0; +сю);
2) не является ни четной, ни нечетной;
3) возрастает на (0; +оо);
4) не ограничена ни сверху, ни снизу;
5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6) непрерывна;
7) E(f) = (-оо; +сю);
8) выпукла вверх;
9) дифференцируема.
Вернемся к § 15: взгляните на имеющийся там перечень
свойств логарифмической функции у = loga х при а > 1. Вы
обнаружите те же свойства, кроме девятого — его мы тогда не
упомянули.
Выведем формулу для производной функции у = In x. Эта
функция является обратной по отношению к функции х = еу. Значит,
мы можем воспользоваться правилом дифференцирования
обратной функции (см. «Алгебра и начала анализа-10», § 42), согласно
которому, ух - —г- Получим:
у'х=(1пх)'= ± =
(еуУ еу х
137

Таким образом, мы установили, что для любого значения х > О
справедлива формула дифференцирования
Пример 5. Доказать, что функция у = In cos x удовлетворяет
соотношению 1 + (у*)2 = е~2у.
Решение. Воспользовавшись правилом дифференцирования
сложной функции, найдем производную функции у = In cos x:
у' = (In cos xY = • (cos хУ = • (-sin x) = -tg x.
COSJC COSJC
Значит, 1 + (y'f = 1 + tg2 x = —V--
COS JC
Теперь поработаем с правой частью проверяемого
соотношения: е~2у = 21поовх = ьд^д. = —~" Таким образом, соотношение
1 + (у)2 = е~2у Для заданной функции выполняется. ■
Пример 6. Из начала координат провести касательную
к графику функции у = In x.
Решение. Сначала составим уравнение касательной в общем
виде:
у = f(a) + Г(а)(х - а)9 (2)
здесь f(x) = In x9 a a — абсцисса точки касания, которая нам пока
неизвестна.
Имеем: f(a) = In a, f(x) = —» f(a) = -• Значит, равенство (2)
можно переписать так:
у = \па+ \{х-а). (3)
По условию прямая (3) проходит через начало координат.
Подставив в формулу (3) значения х = 0, у = 0, получим 0 = In a +
+ -(0 - а), т. е. In а - 1 = 0, откуда находим, что а = е. Осталось
подставить найденное значение е вместо а в формулу (3):
у = \пе + ~(х - е);
138

На рис. 86 изображен график функции
у = In х9 построена прямая у = —,
проходящая через начало координат. Чертеж
иллюстрирует полученный результат:
построенная прямая касается графика
функции у = In х в точке (е; 1).
Ответ: у = —.
У}
1
1
й
1
А
1
>
i
1
«г
PUC. 86
Пример 7. Исследовать на экстремум функцию у =
In х
Решение.
1-lnx
{ х ) х* х* хс •
Эта производная существует при всех значениях л; > 0, т. е. при
всех значениях х из области определения функции. Значит,
критических точек у функции нет. Приравняв производную нулю, получим:
1 - In х - 0, In х - 1, х - е.
Это единственная стационарная точка. Если х < е, то г/ > 0; если
х > е, то ]/ < 0. Значит, д: = е — точка максимума функции, причем
In e 1
е'
_ 1
ых- е-
Завершая параграф, получим формулы дифференцирования
любой показательной и любой логарифмической функции.
Пусть дана показательная функция у = ах. Воспользуемся тем,
что а = еЫа и, следовательно, ах = ехЫа. Тогда
i/max = У(е) =
Ответ: х = е — точка максимума;
(ах)' = (ехЫа)' = In a • exlnfl = In a • а*.
Итак,
(<**)' = a* In а.
Например, (2х/ = 2х In 2; (5х)' = 5х In 5 и т. д.
Пусть теперь дана логарифмическая функция у = loga
Имеем:
Inaj
In a
Итак,
139

первообразная
и интеграл
Pi i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i
ГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГГП
§ 20. Первообразная м неопределенным интеграл
1. Определение первообразной
В курсе алгебры и начал анализа 10-го класса мы,
руководствуясь различными формулами и правилами, находили
производную заданной функции и убедились в том, что производная
имеет многочисленные применения: производная — это скорость
движения, скорость протекания любого процесса (или, обобщая,
скорость изменения функции), производная — это угловой
коэффициент касательной к графику функции; с помощью
производной можно исследовать функцию на монотонность и экстремумы;
производная помогает решать задачи на оптимизацию.
Но в реальной жизни приходится решать и обратные задачи:
например, наряду с задачей об отыскании скорости по известному
закону движения встречается и задача о восстановлении закона
движения по известной скорости. Рассмотрим одну из таких
задач.
Пример 1. По прямой движется материальная точка,
скорость ее движения в момент времени t задается формулой v = gt.
Найти закон движения.
Решение. Пусть s = s(t) — искомый закон движения.
Известно, что s'(0 = v(t). Значит, для решения задачи нужно
подобрать функцию s = s(t), производная которой равна gt.
Нетрудно догадаться, что s(t) = -^-. В самом деле,
s it) =
Ответ: s =
^к~-
Сразу заметим, что пример решен верно, но неполно. Мы
получили, что s = -^~. На самом деле задача имеет бесконечно
140

st2
много решений: любая функция вида s = J^- + С, где С — произ-
вольная константа, может служить законом движения, поскольку
2 ^
Чтобы задача стала более определенной, нам надо было
зафиксировать исходную ситуацию: указать координату
движущейся точки в какой-либо момент времени, например при t = 0. Если,
скажем, s(0) = s0, то из равенства s(t) = Щг- + С получаем: s(0) =
= 0 + С, т. е. С = s0. Теперь закон движения определен однознач-
но: s = ^п~ + so»
В математике взаимно обратным операциям присваивают
разные названия, придумывают специальные обозначения:
например, возведение в квадрат (х2) и извлечение квадратного корня
[\[х), синус (sin x) и арксинус (arcsin x) и т. д. Процесс
отыскания производной по заданной функции называют
дифференцированием, а обратную операцию, т. е. процесс отыскания функции
по заданной производной, — интегрированием.
Сам термин «производная» можно обосновать «по-житейски»:
функция у = f(x) «производит на свет» новую функцию yf = f(x).
Функция у = f(x) выступает как бы в качестве «родителя», но
математики, естественно, не называют ее «родителем» или
«производителем», они говорят, что это, по отношению к функции
у' = f(x), первичный образ, или первообразная.
Определение 1. Функцию у = F(x) называют первообразной
для функции у = f(x) на заданном промежутке X, если для всех
х из X выполняется равенство F'(x) = f(x).
На практике промежуток (или объединение промежутков) X
обычно не указывают, но подразумевают (в качестве
естественной области определения функции).
Приведем примеры.
1) Функция у = х2 является первообразной для функции
у = 2х, поскольку для всех х справедливо равенство (х2)' = 2х.
2) Функция у = х3 является первообразной для функции
у = Зх2, поскольку для всех х справедливо равенство (х3)' = 3jc2.
3) Функция у - sin х является первообразной для функции
у = cos х, поскольку для всех х справедливо равенство (sin х)' = cos x.
141

4) Функция у = yfx является первообразной для функции
у = ТГТ" на промежутке (0; +оо), поскольку для всех х > 0 спра-
ZyJX
ведливо равенство (V#) = Т~гт
Вообще, зная формулы для отыскания производных, нетрудно
составить таблицу формул для отыскания первообразных:
Функция у = f(x)
0
1
х\ гф-1
X
sin*
cosx
1
sin2x
1
COS2X
ex
ax(a>0,a*l)
Первообразная у = F(x)
С
X
xr+1
r + 1
ln|x
-cosx
sinx
-ctgx
tgx
ex
ax
In a
Надеемся, вы поняли, как составлена эта таблица:
производная функции, которая записана во втором столбце, равна той
функции, которая записана в соответствующей строке первого
столбца (проверьте, не поленитесь, это очень полезно). Например, для
функции у = хь первообразной, как вы установите, служит функ-
X6
ция у = -g- (см. четвертую строку таблицы).
Особого разговора заслуживает лишь пятая строка таблицы,
в которой написано, что первообразной для — является 1п|л:|.
Рассмотрим два возможных случая: 1)jc>0;2)jc<0. Если х > 0,
то In |*| = In х и, следовательно, (In \х\)' = (In х)' = —• Если х < 0,
142

то In |jc| = In (-x) и, следовательно, (In \x\)' = (In (-#))' = — • (-1) =
= —- Итак, для любого х * О выполняется равенство (In |л;|)' = —»
X л>
т. е. первообразной для функции у = — является функция у = In | дг|.
Замечание 1. Ниже мы докажем теорему о том, что если у = F(x) —
первообразная для функции у = f(x), то у функции у = f(x) бесконечно
много первообразных и все они имеют вид у = F(x) + С. Поэтому
правильнее было бы во втором столбце таблицы всюду, начиная с третьей
строчки, добавить слагаемое С — произвольное действительное число.
Замечание 2. Ради краткости иногда вместо фразы «функция
у = F(x) является первообразной для функции у = /(х)» говорят: *F(x) —
первообразная для f(x)>.
2. Правила отыскания первообразных
При отыскании первообразных, как и при отыскании
производных, используются не только формулы (например те, что
указаны выше, в таблице), но и некоторые правила. Они
непосредственно связаны с соответствующими правилами вычисления
производных.
Мы знаем, что производная суммы равна сумме производных.
Это правило порождает соответствующее правило отыскания
первообразных.
ПРАВИЛО 1. Первообразная суммы равна сумме
первообразных.
Обращаем ваше внимание на некоторую «легковесность» этой
формулировки. На самом деле следовало бы сформулировать
теорему: если функции у = f(x) и у = g(x) имеют на промежутке X
первообразные соответственно у = F(x) и у - G(x), то и сумма
функций у = f(x) + g(x) имеет на промежутке X первообразную,
причем одной из этих первообразных является функция у = F(x) +
+ G(x). Но обычно, формулируя правила (а не теоремы),
оставляют только ключевые слова — так удобнее для применения
правила на практике.
Пример 2. Найти первообразную для функции у = 2х + cos x.
Решение. Первообразной для 2х служит х2;
первообразной для cos х служит sin х. Значит, первообразной для функции
у = 2х + cos х будет служить функция у = х2 + sin x (и вообще
любая функция вида у = х2 + sin x + С). ■
143

Мы знаем, что постоянный множитель можно вынести за знак
производной. Это правило порождает соответствующее правило
отыскания первообразных.
ПРАВИЛО 2. Если F(x) — первообразная для f(x), то kF(x) —
первообразная для kf(x).
Пример 3. Найти первообразные для заданных функций:
а) у = 5 sin х; б) у = -^р; в) у = 12л:3 + 8* - 1.
Решение, а) Первообразной для sin x служит -cos x;
значит, для функции у = 5 sin x первообразной будет функция
у = -5 cos х.
б) Первообразной для cos x служит sin x; значит, для
функции у = -~о cos х первообразной будет функция у = --~ sin x.
в) Первообразной для х3 служит -j-; первообразной для х
служит -=7г-; первообразной для функции у = 1 служит функция у = х.
Используя первое и второе правила отыскания первообразных,
получим, что первообразной для функции у = 12л:3 + 8л: - 1 служит
функция у = 12 • ^j- + 8 • ^— х, т. е. у = Зх4 + 4л:2 - х (и вообще
любая функция у = Зл:4 + 4л:2 - х + С). Ш
Замечание 3. Как известно, производная произведения не равна
произведению производных (правило дифференцирования произведения
более сложное) и производная частного не равна частному от
производных. Нет и правил для отыскания первообразной от произведения или
первообразной от частного двух функций. Будьте внимательны!
Получим еще одно правило отыскания первообразных. Мы
знаем, что производная функции у = f{kx + т) вычисляется по
формуле
(f(kx + т))' = kf(kx + m).
Это правило порождает соответствующее правило отыскания
первообразных.
ПРАВИЛО 3. Если у = ^(л:) — первообразная для функции
у = f(x), то первообразной для функции у - f(kx + m) служит
функция у = -g F(kx + m).
В самом деле,
(| j= feF(^+m) = F'ikx + т) = f(kx + т).
144

Это и означает, что у = ^-F(kx + т) является первообразной
к
для функции у = f(kx + m).
Смысл третьего правила заключается в следующем. Если вы
знаете, что первообразной для f(x) является F(x), а вам нужно
найти первообразную для f(kx + m), то действуйте так: берите ту
же самую функцию F, но вместо аргумента х подставьте
выражение kx + m; кроме того, не забудьте перед знаком функции
записать «поправочный множитель» -г.
Пример 4. Найти первообразные для заданных функций:
^У=5^Г&; б)у=е% + 1; в) у = 2***.
Решение, а) Первообразной для — является 1п|л:|, значит,
для заданной функции у = кх _ а первообразной будет функция
у=\\ъ\Ьх-Ъ\.
б) Первообразной для ех является ех, значит, для заданной
2* + 1 1 —+ 1
функции у = е3 первообразной будет функция у = — е3 ,
т. е. у = -£ е3 .
2х
в) Первообразной для 2х является у^» значит, для заданной
' т* е*
1 25"Зх
функции у = 25"3х первообразной будет функция у=^Ъ' \п2
25-Зх
У = "ЗЫ2- "
3. Неопределенный интеграл
Выше мы уже отмечали, что задача отыскания первообразной
для заданной функции у = f(x) имеет не одно решение. Обсудим
этот вопрос более детально.
Теорема. Если у = F(x) — первообразная для функции
У = f(x) на промежутке X, то у функции у = f(x) бесконечно
много первообразных и все они имеют вид у = F(x) + С.
Доказательство. 1. Пусть у = F(x) — первообразная для
функции у = f(x) на промежутке X. Это значит, что для всех х
145

из X выполняется равенство F'(x) = f(x). Найдем производную
любой функции вида у = F(x) + С:
(F(x) + CY = F'(x) + С = f(x) + 0 = /(*).
Итак, (F(x) + С)' = f(x). Это значит, что у = F(x) + С является
первообразной для функции у = f(x).
Таким образом, мы доказали, что если у функции у = f(x) есть
первообразная у = F(x), то у функции у = f(x) бесконечно много
первообразных: например, любая функция вида у - F(x) + С
является первообразной.
2. Докажем теперь, что указанным видом функций
исчерпывается все множество первообразных.
Пусть у = Fx(x) и у = F(x) — две первообразные для функции
у = f(x) на промежутке X. Это значит, что для всех х из X
выполняются соотношения F^(x) = f(x) и F'(jc) = f(x).
Рассмотрим функцию у = Н(х), где Щх) = Fx(x) - F(x), и
найдем ее производную:
(#(*))' = (F^x) - F(x)Y = Fx'(x) - F'{x) = f(x) - f(x) = 0.
Известно, что если производная функции у = Н(х) на
промежутке X тождественно равна нулю, то функция постоянна
на промежутке X. Значит, Щх) = С, т. е. Fx(x) - F(x) = С, Fx(x) =
= F(x) + С.
Теорема доказана.
Пример 5. Задан закон зависимости скорости от времени
v = -5 sin 2t. Найти закон движения s = s(£), если известно,
что в момент времени t = 0 координата точки равнялась числу 1,5
(т. е. s(0) = 1,5).
Решение. Так как скорость — производная координаты как
функции от времени, то нам прежде всего нужно найти
первообразную для скорости, т. е. первообразную для функции v = -5 sin 2t.
Одной из таких первообразных является функция s = -5 • -= • (-cos 2t),
т. е. s = 2,5 cos 2t9 а все первообразные имеют вид:
s = 2,5 cos 2t + С. (1)
Чтобы найти значение постоянной С, воспользуемся
начальными условиями, согласно которым s(0) =1,5. Подставив в
формулу (1) значения t = 0, s = 1,5, получим:
1,5 = 2,5cosO + С;
1,5 = 2,5 +С;
146

Подставив найденное значение С в формулу (1), получим
интересующий нас закон движения:
s = 2,5 cos 2t - 1. ■
Определение 2. Если функция у = f(x) имеет на промежутке
X первообразную у = F(x), то множество всех первообразных,
т. е. множество функций вида у = F(x) + С называют
неопределенным интегралом от функции у = f(x) и обозначают
(читают: неопределенный интеграл эф от икс дэ икс).
В следующем параграфе мы выясним, в чем состоит скрытый
смысл указанного обозначения.
Опираясь на имеющуюся в этом параграфе таблицу
первообразных, составим таблицу основных неопределенных интегралов:
s
s
da:
г +
COSJC =
dx
Ln2x
dx
COS2X
ax
In a
= jc + С
Y + С (г * -
In |x + С
-cos* + С
= sinjc + С
= tgx + С
= е- +С
■ (a > 0, a ;
-1)
Опираясь на приведенные выше три правила отыскания
первообразных, мы можем сформулировать соответствующие
правила интегрирования.
147

ПРАВИЛО 1. Интеграл от суммы функций равен сумме
интегралов этих функций:
$(/(*) + g(x))dx = \f(x)dx + \g(x)dx.
Формулировка весьма проста, но в ней заложен отнюдь не
тривиальный смысл. Ведь интеграл — это множество
первообразных. Если дословно прочитать формулу, то получается, что речь
идет об арифметических операциях над множествами. Какой же
в это вкладывается смысл? Смысл такой: если взять любую
первообразную из множества \f(x)dx и сложить ее с любой
первообразной из множества }g(x)dx9 то в сумме получится функция,
являющаяся элементом множества у/(л:) + g(x))dx.
ПРАВИЛО 2. Постоянный множитель можно вынести за
знак интеграла:
\hf(x)dx = h\f(x)dx.
ПРАВИЛО 3. Если \f(x)dx = F(x) + С, то
$/<** + m)dx = EV5LL& + с.
к
Пример 6. Найти неопределенные интегралы:
fe-|k б)
^ Х )
Решение, а) Воспользовавшись первым и вторым правилами
интегрирования, получим: \ -=• \dx = 3\--^ - 5\—-.
Теперь воспользуемся формулами интегрирования:
В итоге
148

б) Воспользовавшись третьим правилом интегрирования
С dx
и формулой \—-— = tgx + С, получим:
J СПЯ2 Т
dx
- ■* + с.
cos2
в) Для непосредственного нахождения заданного интеграла
у нас нет ни соответствующей формулы в таблице, ни
соответствующего правила. В подобных случаях иногда помогают
предварительно выполненные тождественные преобразования
выражения, содержащегося под знаком интеграла.
Воспользовавшись тригонометрической формулой понижения
1 - cos 2x
степени snr x =
получим:
= jj
1 ~ cos2x
dx = -|
= ±\dx - ±\cos2xdx = ±x - Цisin2jc) + С =
2*J 2*3 2 2 2
2V2
= — - -sin2* + C. ■
2 4 "
§ 21. Определенный интеграл
1. Задачи, приводящие к понятию
определенного интеграла
Задача 1(о вычислении площади криволинейной трапеции).
В декартовой прямоугольной системе координат хОу дана
фигура, ограниченная осью х, прямыми х = а, х = b (а < Ь) и
графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [а; Ь]
функции у = f(x); назовем эту фигуру
криволинейной трапецией (рис. 87).
Требуется вычислить площадь
криволинейной трапеции.
Решение. Геометрия дает нам
рецепты для вычисления площадей
многоугольников и некоторых частей круга
(сектора, сегмента). Используя геометрические
соображения, мы сумеем найти лишь
приближенное значение искомой площади,
рассуждая следующим образом. Рис. 87
yi
О
у
а
z
У
л
х, хп
$
\
X Хи X
b
—
X
149

Разобьем отрезок [а; Ь] (основание
криволинейной трапеции) на п равных
частей; это разбиение осуществим с
помощью точек #i, лг2, лг3, ..., xk, xk+u ...,
xn-i. Из этих точек восставим
перпендикуляры к оси х до пересечения с
графиком функции у = f(x). Тогда заданная
криволинейная трапеция разобьется на
п частей — на п узеньких столбиков.
Площадь всей трапеции равна сумме
площадей столбиков.
Рассмотрим отдельно k-й столбик,
т. е. криволинейную трапецию,
основанием которой служит отрезок [xk; xk+i].
Заменим его прямоугольником с тем
же основанием и высотой, равной f(xk)
(рис. 88). Площадь прямоугольника
равна f(xk)Axk, где Axk = xk + 1 - xk — длина
отрезка [xk; xk + i\; естественно считать
составленное произведение
приближенным значением площади k-то столбика.
Если теперь сделать то же самое со
всеми остальными столбиками, то
придем к следующему результату: площадь S заданной
криволинейной трапеции приближенно равна площади Sn ступенчатой
фигуры, составленной из п прямоугольников (рис. 89):
Sn = f(xo)Axo + f(x1)Axl + f(x2)Ax2 + ... +
+ f(xk)Axk +.mm + f(xn- JAXn _!.
Здесь ради единообразия обозначений мы считаем, что а = х0,
Ь - хп; Ах0 — длина отрезка [х0; лгх], Ахг — длина отрезка [хц х2]
и т. д.; при этом, как мы условились выше,
Ajco= A#i= Ax2= ... = Д#л-1.
Итак, S ~ Sn, причем это приближенное равенство тем точнее,
чем больше п.
Искомая площадь криволинейной трапеции равна пределу
последовательности (Sn):
т
о
s
<
X
1
k ^к + 1
Рис. 88
yi
Q
/
а
7
%
1
1
/
%
'А
с
if
У/,
%
%
%
Р
1
i
Рис. 89
limSn.
Л->оо
хп= а
-М-
= хп
ХгХ2
Рис. 90
Задача 2 (о вычислении массы
стержня).
Дан прямолинейный
неоднородный стержень [а; Ь\ (рис. 90),
150

плотность в точке х вычисляется по формуле р = р(х). Найти массу
стержня.
Решение. Масса т тела, как известно из курса физики, равна
произведению плотности р на объем V (вместо объема берут площадь,
если речь идет о плоской пластине; вместо объема берут длину,
если речь идет о прямолинейном стержне без учета его толщины).
Но этот закон действует только для однородных тел, т. е. в тех
случаях, когда плотность постоянна. Для неоднородного стержня
используется тот же метод, что был применен при решении задачи 1.
1) Разобьем отрезок [а; Ь] на п равных частей.
2) Рассмотрим k-й участок [xk; xk+l] и будем считать, что
плотность во всех точках этого участка постоянна, а именно такая,
как, например, в точке xk. Итак, мы считаем, что р = p(xk).
3) Найдем приближенное значение массы fc-го участка, это
приближенное значение обозначим тк:
rrik = p(xk)Axk9
где Axky как и в предыдущей задаче, — длина отрезка [xk; xk+l].
4) Найдем приближенное значение массы стержня:
т~ Sn,
где Sn = /По + тх + т2 + ... + mk + ... + тп_х = р(хо)Ахо + р{хх)Ахх +
+ р(х2)Ах2 + ... + р(хп _ JbXn _!.
5) Искомая масса равна пределу последовательности (Sn):
т = lim Sn.
п-*оо
Задача 3(о перемещении точки).
По прямой движется материальная точка. Зависимость
скорости от времени выражается формулой и = v(t). Найти
перемещение точки за промежуток времени [а; 6].
Решение. Бели бы движение было равномерным, то задача
решалась бы очень просто: s = ut, т. е. s = u(b - а). Для
неравномерного движения приходится использовать те же идеи, на
которых было основано решение двух предыдущих задач.
1) Разделим промежуток времени [а; Ь] на п равных частей.
2) Рассмотрим промежуток времени [tk; tk + l] и будем считать,
что в этот промежуток времени скорость была постоянной, такой,
как в момент времени tk. Итак, мы считаем, что v = v(tk).
3) Найдем приближенное значение перемещения точки за
промежуток времени [tk; £*+i], это приближенное значение
обозначим sk:
sk = v(tk)Atk.
151

4) Найдем приближенное значение перемещения s:
s = Sn,
где Sn = s0 + sx + s2 + ... + sk + ... + sn-l= v(to)Ato + i;(£1)A£1+ v(t2)At2
+ ... + vit
5) Искомое перемещение равно пределу последовательности
s = lim Sn.
Подведем итоги. Решение трех различных задач привело к
одной и той же математической модели. Многие задачи из
различных областей науки и техники приводят в процессе решения
к такой же модели. Значит, данную математическую модель надо
специально изучить, т. е.:
а) присвоить ей новый термин,
б) ввести для нее обозначение,
в) научиться с ней работать.
Этим и займемся.
2. Понятие определенного интеграла
Дадим математическое описание той модели, которая была
построена в трех рассмотренных задачах, для функции у = f(x),
определенной (но необязательно неотрицательной, как это
предполагалось в рассмотренных задачах) на отрезке [а; 6]:
1) разбивают отрезок [а; Ь\ на п равных частей;
2) составляют сумму:
Sn = f(xo)Axo+ f(xl)Axl + f(x2)Ax2 +
+ ... + f(xk)Axk+ ... + /(xn-i)A*n-i;
3) вычисляют lim Sn.
П -> CO
В курсе математического анализа доказано, что этот предел в
случае непрерывной или в случае кусочно-непрерывной функции
у = f(x) существует. Его называют определенным интегралом от
функции у = f(x) по отрезку [а; Ь] и обозначают так:
\rndx
а
(читают: интеграл от а до Ь эф от икс дэ икс). Числа а и Ь
называют пределами интегрирования (соответственно нижним и
верхним).
152

Замечание 1. Приведем правдоподобную версию
происхождения указанных обозначения и термина: \ — стилизованная буква S (summa);
f(x)dx — напоминание о слагаемых вида f(xk)Axk, из которых состоит
сумма Sn. Само слово интеграл происходит от английского слова integer —
«целый». Употребление этого термина вполне оправданно: вспомните,
какой смысл вкладывается в русском языке в слово интеграция —
восстановление, восполнение, воссоединение; подробнее — это процесс,
ведущий к состоянию связанности отдельных частей в целое. В
построенной математической модели речь фактически идет о воссоединении
целого по отдельным частям (например, о нахождении всей площади
по площадям столбиков, как было в задаче 1).
Вернемся к трем рассмотренным выше задачам. Определение
площади, данное в задаче 1, теперь можно переписать
следующим образом:
S= \f(x)dxy
здесь S — площадь криволинейной трапеции, изображенной на
рис. 87. В этом состоит геометрический смысл определенного
интеграла.
Определение массы т неоднородного стержня с плотностью
р(х) (рис. 90), данное в задаче 2, можно переписать так:
т = \p(x)dx.
В этом состоит физический смысл определенного интеграла.
Наконец, определение перемещения s точки, движущейся по
прямой со скоростью v = v(t)9 за промежуток времени от t = а до
t = ft, данное в задаче 3, можно переписать так:
s =
Это еще одно физическое истолкование определенного
интеграла.
3. Формула Ньютона — Лейбница
После внимательного изучения предыдущего параграфа у вас,
наверное, возник вопрос: почему в названии построенной
математической модели содержится слово «интеграл», ведь в § 20 это
слово ассоциировалось с термином «первообразная»
(неопределенный интеграл — множество первообразных)? Есть ли какая-либо
связь между определенным интегралом и первообразной?
153

Ключ к разгадке дает задача 3. С одной стороны,
перемещение s точки, движущейся по прямой со скоростью v - u(t), за
промежуток времени от t = а до t = b> вычисляется по формуле
s =
С другой стороны, координата движущейся точки есть
первообразная для скорости — обозначим ее s(t); значит,
перемещение s выражается формулой s = s(b) - s(a). В итоге получаем:
v(t)dt = s(b) - s(a),
где s(t) — первообразная для v(t).
Вернемся к задаче 1 — о вычислении площади
криволинейной трапеции (см. рис. 87). Мы установили, что
S= \f(x)dx. (1)
а
Сейчас мы покажем другое решение этой задачи, которое
приведет нас к формуле
S = F(b) - F(a),
где F(x) — первообразная для f(x). Будем считать для упрощения,
что у = f(x) — возрастающая функция на отрезке [а; 6].
Выберем между а и & на оси абсцисс
фиксированную точку х и рассмотрим
^_^ криволинейную трапецию аЛМх (рис. 91),
/ V^ обозначим ее площадь через S(x). Каждо-
w// ZZZ ZZ му х из отрезка [а; Ь] соответствует впол-
У///Л Mill не определенное значение S(x)9 т. е.
можно говорить о функции и = S(x). Эта
функция определена на отрезке [а; Ь],
она неотрицательна и возрастает (чем
больше jc, тем большую площадь имеет
криволинейная трапеция аЛМх).
Особо отметим значения функции на концах отрезка [а; 6]:
если х = а, то трапеция аЛМх «вырождается» в отрезок аА>
его площадь равна нулю, т. е. S(a) = 0;
если х = Ь, то трапеция аЛМх совпадает с трапецией аЛВЬ,
площадь S которой нам как раз и надо вычислить, т. е. S(b) = S.
Вся подготовительная работа закончена, приступим к
решению задачи о вычислении площади криволинейной трапеции
аЛВЬ. Осуществим это решение в два этапа.
Первый этап. Найдем производную функции и = S(x),
применив известный алгоритм.
Рыс. 91
154

1) Для фиксированного значения х
имеем: S(x) = SaAMx.
2) Дадим аргументу приращение Ал:
(пусть для определенности выполняется
неравенство Ах > 0). Для значения р =
= х + Ах имеем (рис. 92):
S(x + Ах) =
о
А
i
/Л
\
/
а
У
\
Ли
■ J
/
/
/
/
3) Аи = 5(л: + Ajc) - S(jc) = SxMp —
площадь узенького столбика хМРр на рис. 92. Рыс 92
4) Функция у = /(#) возрастает на отрезке [х; х + Ajc], значит,
f(x) — наименьшее значение функции на указанном отрезке, а
f(x + Ах) — наибольшее значение функции на указанном отрезке.
Но тогда f(x)Ax — площадь прямоугольника, лежащего внутри
столбика хМРр, а потому f(x)Ax < Аи; f(x + Ajc)Ajc — площадь
прямоугольника, содержащего внутри себя столбик хМРр, а
потому Аи < f(x + Ajc)(Ax).
Итак, f(x)Ax < Аи < f(x + At)Ajc. Учтя, что Ах > 0, получим:
f(x) <^
Ах
Ax).
(2)
5) Если Ах —> 0, то, в силу непрерывности функции у = f(x) в
точке х, f(x + Ах) —> f(x). Анализируя неравенство (2), логично
предположить, что тогда и lim—— = f(x) (в курсе математи-
Дх>0 Дд;
ческого анализа доказано, что это верно). Но, как известно,
lim—— = и' = S'(x). Таким образом,
S'(x) = f(x).
Иными словами, S(x) — первообразная для f(x).
Второй этап. Приступая к решению задачи, мы для f(x)
выбрали первообразную F(x). Значит, теперь у нас есть две
первообразные для f(x) — это F(x) и S(x). Они, как известно,
отличаются друг от друга на постоянную величину, т. е.
S(x) = F(x) + С.
Далее имеем:
S(a) = F(a) + С.
S(b) - S(a) = F(b) - F(a).
Но, как мы отметили выше, S(b) = S, S(a) = 0, значит,
S(b) - S(a) = S, т. e. S = F(b) - F(a).
155

Сопоставив этот результат с формулой (1), получим:
= F(b) - F(a).
В курсе математического анализа доказана следующая теорема.
Теорема. Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке
[а; Ь], то справедлива формула
f(x)dx = F(b) - F(a),
где F(x) — первообразная для f(x).
Приведенную формулу обычно называют формулой
Ньютона — Лейбница в честь английского физика Исаака Ньютона
(1643—1727) и немецкого философа Готфрида Лейбница (1646—
1716), получивших ее независимо друг от друга и практически
одновременно.
Замечание 2. Обратите внимание на то, что две разные
формализации геометрически очевидного понятия площади (одна — через
дискретные разбиения, другая — через первообразные) дали
одинаковый результат, привели к нетривиальной формуле Ньютона — Лейбница.
Замечание 3. В формулировке теоремы следовало бы добавить
условие существования первообразной F(x) для f(x). Но в курсе
математического анализа доказано, что у функции у = f(x), непрерывной на
промежутке X всегда есть первообразная. Поэтому указанное выше
условие мы в формулировку теоремы не включили.
На практике вместо записи F(b) - F(a) используют запись
ъ
F(x)
(ее называют иногда двойной подстановкой) и,
соответственно, переписывают формулу Ньютона — Лейбница так:
с
\f(x)dx =
J
Вычисляя определенный интеграл, сначала находят
первообразную подинтегральной функции у = f(x)9 а затем
осуществляют двойную подстановку.
3
Пример 1. Вычислить \x3dx.
1
X4
Решение. Первообразной для х3 служит -^-. Значит,
3
\ ХЧХ = ±г
3
156

Пример 2. Вычислить \ ^** + **
Х2
Решение. Сначала найдем неопределенный интеграл:
* + 2 + £
1 v3 г2 1
-*■ /-/-у» Q -L- | О <V» __ _1_ /"* —
I2" " Т 2 7 "
= д:3 + — + 2х - — + С.
Теперь вычислим определенный интеграл (при этом
константу С можно опустить):
Зх4 + х3 + 2х2 + 1
2 х J|i
2 2J (^ 2
= 13,5 - 2,5 = 11. ■
Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
у = tfx9 у = 0, х = 8.
Решение. Фигура, площадь которой требуется вычислить,
изображена на рис. 93. Имеем:
а а 1 -
1=4 •*
S = \^dx = \хЧх = f
(4 4\
83-03J = 4 •
4 4
Ответ: S = 12.
(16 - 0) = 12.
Пример 4. Вычислить площадь
фигуры, ограниченной прямыми у = 0, х = 1,
х = е и гиперболой # = — .
Решение. Речь идет о вычислении
площади криволинейной трапеции,
изображенной на рис. 94. Имеем:
S=V^= In*
= In e- In 1 = 1-0 = 1.
?,-
1"
^(
77 — *^
1-
!
РЫС 93
_(
V
\
-]
_1
Я"
Ответ: S = 1.
РЫС. 94
157

Опираясь на формулу Ньютона — Лейбница, нетрудно
обосновать некоторые свойства определенного интеграла.
Свойство J. Интеграл от суммы функций равен сумме
интегралов:
ь ъ ь
$(/(*) + g(x))dx = \f(x)dx + \g{x)dx.
Доказательство. Если F(x) — первообразная для f(x), a
G(x) — первообразная для g(x), то F(x) + G(x) — первообразная
для f(x) + g(x). Тогда
g(x))dx = (F(x) + G(x))
= (F(b) + G(b)) - (F(a) + G(a)) = (F(b) - F(a)) + (G{b) - G(a)) =
b b
Свойство 2. Постоянный множитель можно вынести за знак
интеграла:
{kf(x)dx = k\f(x)dx.
Свойство 3. Если а < с < Ь, то
\f(x)dx
+
(аддитивное свойство интеграла).
Доказательство.
Q
A
f
|
-a-
t
«/ = /(
■у
4-
С
s
us»
I
b
J,
т
X
- F(a)) + ((F(b) - F(c)) =
ь
= F(b)-F(a)= \f(x)dx.
Геометрический смысл аддитивного
свойства интеграла заключается в том,
что (см. рис. 95) площадь криволинейной
трапеции равна сумме площадей
криволинейных трапеций, из которых она
составлена:
РЫС. 95
&сСВЬ-
158

4. Вычисление площадей плоских фигур
с помощью определенного интеграла
С помощью интеграла можно вычислять площади не
только криволинейных трапеций того вида, который представлен на
рис. 95, но и плоских фигур более сложного вида, например
такого, который представлен на рис. 96. Фигура Р (рис. 96, а)
ограничена прямыми х = а, х = Ьи графиками непрерывных
функций у = f(x)9 у = g(x), причем на отрезке [а; Ь] выполняется
неравенство g(x) < f(x). Для вычисления площади такой фигуры
будем рассуждать следующим образом.
Выполним параллельный перенос фигуры Р на т единиц
вверх (т > 0) так, чтобы фигура Р оказалась расположенной в
координатной плоскости выше оси абсцисс (рис. 96, б). Теперь она
ограничена сверху и снизу графиками функций у = f(x) + m,
у = g(x) + m, причем обе функции непрерывны и неотрицательны
на отрезке [а; Ь]. Имеем:
ь ь
SP = Sabc» = SaDCb - SaMb = 5 (f(x) + m)dx - J (g(x) + m)dx =
a a
b b
= $((/(*) + m) - (g(x) + m))dx = \(f(x) - g(x))dx.
Уь
о
/
а
/л
Ж
У/<
%
Y
%
г
У/,
У/л
V/,
V'
г
Л
У
и
ь
Н
1 =
_
Ах)
g(x\
У1
о
у
D
/
А
а
|
/л
%
У/л
%
'А
f/0
У/л
f
i
I
i
i
i
f-»
в
^ -
Г"
1
= Дл:) -i- m
b
X
Рыс. 96
Итак, площадь S фигуры, ограниченной прямыми х = а, х = Ь
и графиками функций у = f(x), у = g(x), непрерывных на отрезке
[а; Ь] и таких, что для всех х из отрезка [а; Ь] выполняется
неравенство g(x) < f(x), вычисляется по формуле
S=
- g(x))dx.
(3)
159

У>
ч
о
5
1
/
-:
X
>
/
\
у
А
ч
Ч
ч
/
«А
к
V*
ч
РМС. 97
= (5л: - х2)
Пример 4. Вычислить площадь
фигуры, ограниченной линиями у = х, у — Ъ — х,
х = 1, х = 2.
Решение. Фигура, площадь которой
надо найти, изображена на рис. 97.
Воспользовавшись формулой (3), получим:
S = \((5 - х) - x)dx = \(5 - 2x)dx =
= (5 2 - 22) - (5 1 - I2) = 2.
Ответ: S = 2.
Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
прямой # = х - 2 и параболой у = х2 - 4х + 2.
Решение. Прямую i/ = д: - 2 можно построить по точкам
(2; 0) и (0; -2) (рис. 98). Абсциссу вершины параболы найдем из
условия у' = 0. Имеем:
у' = (х2 -4х + 2)' = 2х - 4;
2х - 4 = 0;
Если х = 2, то
= 22 - 4 2 + 2 = -2.
Значит, вершиной параболы служит точка (2; -2), а осью
параболы — прямая х = 2. Возьмем две пары точек, симметричных
относительно оси параболы: (1; -1) и (3; -1),
(0; 2) и (4; 2) — и построим параболу по
пяти точкам (рис. 98). Парабола и прямая
пересекаются в точках А и Б, для
отыскания абсцисс этих точек надо решить
уравнение:
х2 - 4х + 2 = х - 2.
Находим последовательно:
х2 - Ъх + 4 = 0;
Рыс. 98 *i = 1» *2 = 4.
\
\
\
\
г
<
м
II
н
2
5^
' А
/
-
V
/
X
160

Фигура, площадь которой надо найти, ограничена линиями
у = х2 - 4х + 2 (снизу) и у = х - 2 (сверху). Можно считать, что с
боков эта фигура ограничена прямыми х = 1 и х = 4. Значит, для
вычисления площади фигуры можно применить формулу (3):
4 4
S = ^ ((х - 2) - (х2 - Ах + 2))d* = ^ (5* - х2 - 4)dx =
Ответ: S = 4,5.
6 Алгебра и начала
анализа 11 кл.

I I I I I I I I I I I I
I I I I I I I I
fЭлементы теории вероятностей]
Г и математической статистики Г
fi i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i [
§ 22. Вероятность и геометрия
В 10-м классе вы познакомились с вероятностными задачами, в
которых множество всех возможных исходов можно тем или иным
способом подсчитать. Чаще всего вероятности случайных событий
вычисляют по классической вероятностной схеме. Напомним, что
использовать эту схему можно только в тех случаях, когда все
исходы некоторого опыта (испытания) равновозможны между собой.
Условие равновозможности позволяет работать с простейшей
вероятностной моделью того или иного испытания. Отметим, что подсчет
вероятностей без условия равновозможности приводит к более
сложным математическим моделям. Итак,
Классическая вероятностная схема
Для нахождения вероятности случайного события А
при проведении некоторого опыта следует:
1) найти число N всех возможных исходов данного
опыта;
2) найти количество N(A) тех исходов опыта, в
которых наступает событие А;
3) найти частное N \ оно и будет равно
вероятности события А.
Вероятность события А принято обозначать Р(А). Значит,
Р(А) =
ЩА)
N *
Довольно часто пункты 1)—3) приведенной
классической вероятностной схемы выражают одной достаточно
длинной фразой.
Классическое определение вероятности
Вероятностью события А при проведении некоторого
испытания называют отношение числа тех исходов, в результате которых
наступает событие А, к общему числу всех (равновозможных между
собой) исходов этого испытания.
162

Однако весьма часто встречаются испытания и с бесконечным
числом исходов. К ним классическая вероятностная схема
неприменима, и приходится действовать по-другому. Начнем с примеров.
Пример 1. Случайным образом выбирают одно из решений
неравенства \х - 5| < 5. Какова вероятность того, что оно
окажется и решением неравенства \х - 1| < 1?
Решение. Сначала решим каждое из неравенств. Вспомним
геометрический смысл модуля разности двух чисел а и Ъ: \а - Ь\ —
это расстояние между точками а и Ъ на числовой прямой.
Поэтому неравенство \х — 1| < 1 означает, что расстояние между
точками х и 1 не больше 1. Значит, [0; 2] — решение неравенства.
Отметим этот отрезок длины 2 штриховкой (рис. 99).
0 2 5 10 х
Рис. 99
В свою очередь, неравенство \х - 5| < 5 означает, что
расстояние между точками х и 5 не больше 5. Значит, [0; 10] — решение
неравенства. Отметим этот отрезок длиной 10 другой штриховкой
(рис. 100).
0 2 5 10
Рис. 100
Мы видим, что из всех решений неравенства \х - 5| < 5 только
одну пятую часть составляют решения неравенства \х - 1| < 1.
В таком случае искомую вероятность по определению принимают
равной -рУ или 0,2. I
Пример 2. Графический редактор, установленный на
компьютере, случайно отмечает одну точку на мониторе — квадрате
ABCD. Какова вероятность того, что эта точка будет ближе к
центру монитора, чем к вершине С?
Решение. Пусть а — длина стороны монитора. Площадь S
монитора равна а2. Соединим отрезком вершину С с центром О
монитора. К этому отрезку построим середин- R vg r
ный перпендикуляр т. Его точки
равноудалены от точек С и О. Точки, лежащие
выше т, находятся ближе к С, чем к центру О.
Пусть К-тг\ ВС, L = m n CD и М = т п ОС.
Тогда kKCL состоит из всех точек, которые
удалены от С на такое же или меньшее
расстояние, чем от центра монитора (рис. 101). л рыс. 101
б* 163

Имеем: МС = 0,5ОС = 0,25АС = 0,25aS; SKCL= 2SKMC = 2 0,5МС2 =
= МС2 = 0,252 • 2а2 = 0,125а2. Значит, вероятность выбора точки
из &KCL равна Щ^ = 0,125.
По условию нам следует найти вероятность события,
противоположного к попаданию точки в треугольник KCL. Получим
1 - 0,125 = 0,875.
Ответ: 0,875.
Сформулируем общее правило для нахождения
геометрических вероятностей.
Если площадь S(A) фигуры А разделить на площадь S(X)
фигуры X, которая целиком содержит фигуру А, то
получится вероятность того, что случайно выбранная точка
фигуры X окажется в фигуре А:
ад'
Обосновать это правило можно примерно следующим образом.
Допустим, что фигура X состоит из N одинаковых квадратиков, которые
могут иметь общие точки на границах, но не имеют общих точек
внутри квадратиков. Допустим также, что некоторое количество N(A) этих
квадратиков образует фигуру А. Заменим задачу о произвольном
выборе точки фигуры X на задачу о произвольном выборе одного из N
одинаковых квадратиков, составляющих эту фигуру. Предполагается, что
ни один из квадратиков не имеет никаких преимуществ перед
другими, т. е. что все исходы такого выбора равновозможны между собой.
Тогда применим классическую вероятностную схему и получим вероят-
N(A)
ность Р(А) = —тг— попадания точки в фигуру А. Если SQ — площадь
одного квадратика, то N • So = S(X) и N(A) • So = S(A). Значит,
S(A) N(A) • Sp N(A)
S(X) = N-So = ~ЛГ
Для перехода к фигурам X и А произвольного вида требуется весьма
тонкая математическая операция предельного перехода. Такие фигуры
следует приближать фигурами, составленными из квадратиков, и
уменьшать размеры квадратиков, устремляя эти размеры к нулю. Тогда коли-
N(A)
чества N и N(A) будут неограниченно возрастать, а их частное —^— все
S(A)
более точно будет приближаться к отношению ~gfv\ площадей фигур.
S(A)
В итоге такого предельного перехода как раз и получится, что Р(А)
164

к
г
и
О
у,
\
'/
\к
у,
'А
К
V*
гА
У/
\
\
У
X
0
•
>
X
i
у
1
2
1
Х-г у- J
L
X
Аналогично поступают и с множествами на прямой, и с
пространственными телами. Только в этом случае площади следует
заменить на длины линейных множеств или, соответственно, на
объемы пространственных тел.
Довольно часто по условию текстовой задачи на нахождение
вероятности сначала строят ту или иную геометрическую модель
и только потом вычисляют вероятность.
Пример 3. Отрезок единичной длины случайным образом
разрезают на три отрезка. Какова вероятность того, что из них
можно сложить треугольник?
Первый этап. Построение модели.
Пронумеруем отрезки слева
направо и обозначим их длины
соответственно х, у и г. Так как
Jt + l/ + 2=l, TO2 = l-Jt-l/>0.
Значит, х > 0, у > 0 и при этом
х + у < 1. В координатной
плоскости изобразим множество
решений системы трех неравенств:
[х > О,
\у> о,
[х + у < 1 (рис. 102).
Получим треугольник А с вершинами (0; 0), (1; 0), (0; 1) без
учета его сторон. Каждому способу деления заданного отрезка на
три части х9 у, z поставим в соответствие точку (х; у) из
треугольника. Разным способам деления соответствуют разные точки
треугольника, и при этом каждая точка (х; у) треугольника А
соответствует некоторому способу деления. Действительно, выбрав точку
(х; у) € А, мы однозначно зададим и разбиение заданного отрезка
единичной длины на три отрезка: первый отрезок — это [0; jc],
второй отрезок — это [х; х + у], ну а третий отрезок — это [х 4- у; 1].
Итак, вместо разбиения отрезка единичной длины на три
отрезка мы будем рассматривать точку треугольника А.
После построения модели мы имеем дело с корректно
поставленной математической задачей.
Второй этап. Работа с моделью.
Из трех отрезков длины х, у и г можно составить
треугольник, только если выполняются три неравенства треугольника:
\х+ у > z, \х+у>1-х-у, \х + у > 0,5,
\х+ z> у, \х+1-х-у>у9 \у< 0,5,
[у + z > х\ \у + \-х-у>хг9 [х < 0,5.
PUC. 102
165

N
s
\
yt
\
\
->
0
\
s
S
//
0,
\
//
A
//
s
y,
л
x = 0,5
s
N
\
У
I- 1 T
l 1 у
i
1 T
M
0,5
0,o
1
X
Рыс. 103
Получается треугольник Ai с
вершинами (0,5; 0), (0; 0,5), (0,5;
0,5) (рис. 103). Он подобен
треугольнику А с коэффициентом
подобия 0,5. Значит, его площадь
составляет четверть площади
треугольника А. Поэтому при
случайном выборе точки из
треугольника А вероятность того, что она
окажется в меньшем треугольни-
^д, 1
ке Ai, равна ~^~ - ^.
Ответ: 0,25.
Рассмотрим еще один пример, связанный с
предварительным построением геометрической модели исходной ситуации.
Пример 4. Случайным образом нарисовали треугольник.
Какова вероятность того, что он является остроугольным?
Первый этап. Построение модели.
Так как размеры треугольника не важны, можно работать
только с углами. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то
переформулируем задачу следующим образом: «Число 180
случайным образом представили в виде суммы трех положительных
слагаемых. Какова вероятность того, что все слагаемые меньше 90?»
Отличие от предыдущего примера состоит в том, что
слагаемые не упорядочены. Неясно, какой из углов первый, какой
второй, а какой третий. Разберемся сначала с треугольниками,
у которых нет двух равных углов.
Пусть 0<x<y<znx + y + z= 180, т. е. z = 180 - х - у.
В координатной плоскости изобразим множество решений системы
трех неравенств:
Г0 < ху Г0 < х9
\х < у, \х < у,
[у < 180 - х - у; [х + 2у < 180.
Получим треугольник с вершинами О(0; 0), А(0; 90), Б(60; 60)
без учета его сторон (рис. 104). Каждая его точка (х; у)
однозначно «отвечает» за треугольник с углами х, у, 180 - х - у градусов.
Итак, вместо разбиений числа 180 на три слагаемых мы будем
рассматривать точки треугольника ОАВ. В этом и состоит
построенная геометрическая модель. Заметим, что от добавления
стороны, соединяющей вершины (0; 0) и (60; 60), площадь не
изменится. Значит, можно считать, что случай х = у также учтен
166

в нашей модели. Аналогично
обстоит дело и со случаем у = 2,
т. е. со стороной, соединяющей
вершины (0; 90) и (60; 60).
После построения модели мы
имеем дело с корректно
поставленной математической задачей.
Второй этап. Работа с моделью.
Отметим в нашей модели
точки, соответствующие
остроугольным треугольникам. Для этого
следует решить систему неравенств:
х < у < 90,
у < 180 - х - у < 90;
ч,
Щ
ч.
90
60-
0
А
>?
14
'Л
У/
г
L
Si
у
в
К
i
i
i
30
/
/ = л
1
L80-
J
4si
180
X
РЫС. 104
I х < у < 90,
{х + 2у < 180,
| л: + у > 90.
Получается треугольник с вершинами А(0; 90), Б(60; 60),
С(45; 45) (рис. 105). Так как ОС — биссектриса равнобедренного
треугольника AOD> то ОС — и высота треугольника. Значит, АС ± ОВ.
Sabc _ 0,5 АС ВС _ ВС
ПОЭТОМУ S^ " 0,5 АС ОВ " OB*
Спроектируем точки Б и С на ось абсцисс. По теореме Фалеса
ВС 60-45 _ 15 _
ов - во - во - U>ZD#
Ответ: 0,25.
Ответ получился довольно неожиданным: оказалось, что
остроугольных треугольников «в три раза меньше», чем тупоугольных.
Завершим этот параграф широко известной в теории
вероятностей задачей о встрече.
У{
\
90
45-
О
А
|
у
L
s
&
г
п
1
is
i
1
4560
/
в
\
-
у
ч».
/
90s
J = Л
ч,
с + 2y = 180"
9(
J
4,
X
PUC. 105
167

А
У
О
-
т
1
1
1
X
i
В
X
Рис. 106
Пример 5. Два шпиона решили
встретиться у фонтана. Каждый из них может
гарантировать только то, что он появится у
фонтана с 12-00 до 13-00. По инструкции
шпион после прихода ждет встречи у
фонтана 15 минут и по их истечении (или ровно
в 13-00) уходит. Какова вероятность встречи?
Первый этап. Построение модели.
За единицу отсчета возьмем 1 час, а за
начало отсчета возьмем 12-00. Произвольно пронумеруем шпионов.
Пусть х — время прихода первого шпиона, а у — время прихода
второго шпиона. Тогда 0<jc<1,0<j/<1h точка (х; у) квадрата
с вершинами О(0; 0), А(0; 1), Б(1; 1), С(1; 0) будет
соответствовать времени прихода первого и второго шпионов. Итак, вместо
всевозможных вариантов времени прихода шпионов мы будем
рассматривать все точки квадрата О ABC (рис. 106).
После построения модели мы имеем дело с корректно
поставленной математической задачей.
Второй этап. Работа с моделью.
Встреча произойдет, только если время прихода первого
шпиона отличается от времени прихода второго не более чем на 15
минут, т. е. (в выбранной системе координат) не более, чем на 0,25.
Другими словами, интересующее нас событие произойдет,
только если \у - х\ < 0,25. Значит, следует решить систему неравенств:
О < х < 1,
О < у < 1,
\у - х\ < 0,25;
ГО < х < 1,
[0 < х < 1,
о<у<1,
-0,25 < у - х < 0,25;
[х - 0,25 < у < х + 0,25.
Получится часть квадрата ОАВС, лежащая между прямыми
у = х - 0,25 и у = х + 0,25 (заштрихованная фигура на рис. 107).
Незаштрихованная часть состоит из двух прямоугольных
треугольников, катеты которых равны 0,75. Площадь этой части
равна 0,752 = 0,5625. Значит, заштрихованная часть составляет по
площади 0,4375 от площади всего квадрата. Это и есть искомая
вероятность.
Ответ: 0,4375, или 43,75%.
168

-о
Л -
,2
&
0
i
*
**
J
$
а
0,
4
75
1
Ч),25
i
1
1
) 2
У
1
1
г
1
5
7
/
V
\
"Т
J
/
с
0
/
1
г
У=х-0,2Ъ
,7
5-
я;
РЫС. 107
Замечание. Одна и та же задача на нахождение вероятности может
иметь различные математические модели, соответственно могут
получиться различные ответы. Вернемся к примеру 4: «Случайным образом
нарисовали треугольник. Какова вероятность того, что он является
остроугольным?» Выше случайный выбор треугольника был сведен к
случайному выбору трех положительных слагаемых (углов треугольника), в
сумме дающих 180. Однако «случайно» нарисованный треугольник можно
трактовать и как выбор длины трех его сторон. Тогда можно рассуждать
следующим образом.
Так как размеры треугольника не важны, будем считать, что его
периметр равен 1. Пусть х, у, z — длины трех сторон треугольника. Тогда
г = 1 - х - у, и тот факт, что из отрезков длины х, у, 1 - х - у можно
составить треугольник, равносилен тому, что точка (х; у) координатной
плоскости принадлежит треугольнику Ai с вершинами (0,5; 0), (0; 0,5),
(0,5; 0,5), см. рис. 103 и решение примера 3.
Как же среди всех точек (х; у) треугольника Ах найти точки, которые
соответствуют остроугольным треугольникам? По теореме косинусов,
угол, лежащий против стороны z, будет острым тогда и только тогда,
когда х2 + у2 > z2. Получаем, что х2 + у2 > (1 - х - у)2, х2 + у2 > 1 4- х2 +
0 5 - х
у2 -2х-2у + 2ху, 2х + 2у - 2ху
у
Функция у =
0,5- х
является дробно-линейной. При 0 < х < 0,5 по-
1- х
лучится часть гиперболы, лежащая в треугольнике Ах выше прямой
х + у = 0,5 (рис. 108). Аналогичным образом,
+ (1 - х - у)2 > у2
-Х- yf
- 2(1 - х)у > 0,
У <
х <
у2 + (1 - у)2 - 2(1 - у)х > 0;
х2 + (1 - х)2
2(1 - х) '
"2 + (1 - У)2
2(1 - у)
169

\
0,
5
0
У
\
4
о,
ч
s
1
/
5
У
\
/
У
х2 + (1 - х)2
, 2(1 -х) -
1-х
N
Ч
п к
\
J/2 + (l-J/)2-
- 2(1-у) ~
s
\
\
1\
\
s
*х
ч
Система уравнений
_ х2 + (1 -
2(1 -
(1 - У)2
2(1 - У)
определит в треугольнике Ai еще
две кривые — части двух других
гипербол. Площадь части
треугольника Аь лежащей вне всех
трех гипербол, может быть
найдена с помощью определенных
интегралов (мы опускаем
подробные вычисления). Оказывается,
что она занимает
приблизительно 0,31 площади всего
треугольника Ах. Тем самым получится, что искомая вероятность составляет
более 30%, а не 25%, как это было выше в решении примера 4.
Итак, «случайный» выбор треугольника может иметь различные
математические модели, что приводит к принципиально разным
математическим задачам. Ответы, как мы видим, получаются тоже разными.
РЫС. 108
§ 23. независимые повторения испытаний
с двумя исходами
Отличительная особенность многих вероятностных задач
состоит в том, что испытание, в результате которого ожидается
наступление интересующего нас события, можно многократно
повторять. В каждом из таких повторений нас интересует вопрос,
произойдет или не произойдет это событие. А во всей серии
повторений важно знать, сколько именно раз может произойти или
не произойти это событие. Например, игральный кубик бросили
десять раз подряд. Какова вероятность того, что «четверка»
выпадет ровно три раза? Или же, какова вероятность того, что при
пяти бросаниях монеты «орел» выпадет ровно четыре раза?
Швейцарский математик начала XVIII века Якоб Бернулли объединил
примеры и вопросы такого типа в единую вероятностную схему,
ее принято называть схемой Бернулли.
Рассмотрим испытание, в котором вероятность наступления
случайного события А равна Р(А). Из курса 10-го класса вам
известна формула Р(А) + Р(А)_= 1, где А — событие, противоположное
событию А. Значит, Р(А) = 1 - Р(А). Будем рассматривать
исходное испытание как испытание только с двумя возможными
170

исходами: один состоит в том, что событие А произойдет, а
другой состоит в том, что событие А не произойдет, т. е. произойдет
событие А Для краткости назовем первый исход (наступление
события А) «успехом», а второй исход (наступление события А) —
«неудачей». Вероятность «успеха» обозначим Р(А) =р, а вероятность
«неудачи» обозначим q; q = P(A) = 1 - Р(А) = 1 - р.
Схема Бернулли
Рассматривают п независимых повторений одного
и того же испытания с двумя возможными исходами:
«успехом» и «неудачей». Вероятность «успеха» равна р,
а вероятность «неудачи» равна q, р + q = 1. Требуется
найти вероятность Pn(k) того, что в этих п повторениях
произойдет ровно k «успехов».
Про п независимых повторений одного и того же испытания
с двумя возможными исходами более кратко говорят, как об п
испытаниях Бернулли. Точный ответ на поставленный вопрос
дает следующая теорема.
Теорема 1 (теорема Бернулли). Вероятность Pn(k)
наступления ровно k «успехов» в п независимых повторениях одного
и того же испытания вычисляется по формуле
Pn(k)= Cknpkqn'\
где р — вероятность «успеха», a q = 1 — р — вероятность
«неудачи» в отдельном испытании.
Прежде чем говорить о доказательстве теоремы Бернулли,
приведем два примера ее использования.
Пример 1. Каждый из четырех приятелей выучил ровно
5 вопросов из 20 заданных к зачету. На зачете они отвечали
в разных аудиториях и получали вопросы независимо друг от
друга. Найти вероятность того, что:
а) каждому достался тот вопрос, который он выучил;
б) никому не достался вопрос, который он выучил;
в) только одному из приятелей достался тот вопрос, который
он не выучил;
г) хотя бы одному из приятелей достался тот вопрос, который
он выучил.
Решение. Если кому-то достался известный ему вопрос, то
это «успех». Вероятность «успеха» у каждого из приятелей,
готовившихся к зачету, одна и та же: она равна oq =0,25. Поэтому
171

можно считать, что мы имеем дело с п = 4 испытаниями Бернулли
с вероятностью «успеха» в отдельном испытании р = 0,25.
а) В этом случае k = п = 4 и поэтому
Р4(4) = C44pV"4 = 0,254 - 0,004.
б) В этом случае k = 0 и поэтому
Л(0) = С4°/>У ~° = 0,754 - 0,316.
в) Здесь & = 3 и поэтому
Р4(3) = C43pV"3 = 4 0,253 0,75 - 0,047.
г) Событие, противоположное заданному, состоит в том, что
никому из приятелей не достался известный ему вопрос, т. е. что
произошло k = 0 «успехов». Вероятность такой общей неудачи уже
посчитана в пункте б). Значит, нужная нам вероятность равна
1 - р4(0) = 1 - 0,752 = 0,684. ■
Пример 2. Проведены п испытаний Бернулли с
вероятностью р «успеха» в отдельном испытании, п > 1. Найти вероятность
того, что:
а) все испытания закончатся «успехом»;
б) все испытания закончатся «неудачей»;
в) «неудача» наступит ровно в двух случаях;
г) произойдет или ровно два «успеха», или ровно две «неудачи».
Решение.
а) В данном случае число k «успехов» равно числу п всех
испытаний. По теореме Бернулли получаем Рп(п) = C%pnqn
°
%pnqn~n
б) В данном случае число k «успехов» равно 0. Значит,
Рп(0) = C°npoqn-° = 1 • 1 • g* = g* = (1 " р)я.
в) В данном случае число «неудач» равно 2, а число k
«успехов» равно п - 2. Значит,
Л(п-2)=С„ р q = (n-2)121p q =
П(П- 1) „-2 2
= —2—Р Ч-
г) Если А — событие, состоящее в наступлении ровно двух
«успехов», а В — событие, состоящее в наступлении ровно двух
«неудач», то
Р(А)= ^W"2; P(B)=
Требуется найти вероятность Р(А + В) суммы А + В событий
Аи В. Если число п испытаний больше четырех, то события Аи В
172

не могут наступить одновременно. Напомним, что такие события
называют несовместными. В таком случае
Р(А + В) = Р(А) + Р(В) =
Если п = 4, то А = В: ведь если в четырех повторениях имеется
ровно два «успеха», то имеется и ровно две «неудачи». Значит,
А + В = А и Р(А + В) = Р(А) = 6p2q\
При п = 3 и п = 2 опять получаются несовместные события Аи В.
Поэтому искомые вероятности равны соответственно Sp2q + Spq2 =
= 3pq(p + q) = 3pq и р2 + q2 = (p + g)2 - 2pg = 1 - 2pq. ■
Мы ограничимся доказательством теоремы Бернулли на
конкретном примере (пример 3). В этом конкретном случае
доказательство теоремы Бернулли может быть сведено к использованию
правила умножения.
ПримерЗ. Найти вероятность того, что при десяти бросаниях
игрального кубика «четверка» выпадет ровно три раза.
Решение. Повторим, что, в отличие от предыдущих
примеров, мы будем доказывать формулу из теоремы Бернулли, а не
пользоваться этой формулой для конкретных вычислений. В
данном примере п = 10, k = 3, а «успех» состоит в выпадении «чет-
1 5
верки» при одном бросании, поэтому р = т*> q = т*.
Обозначим А123 событие, состоящее в том, что «четверка»
выпадет только при первом, втором и третьем бросаниях. Найдем
вероятность этого события: Р(А123) = —Jj^~' ^° правилу
умножения при 10 независимых бросаниях кубика имеется N = б10 рав-
новозможных исходов. Найдем N(A123), т. е. количество тех
исходов, в которых наступает событие А123. Для первых трех
бросаний имеется по одному возможному исходу, а для всех
остальных бросаний имеется ровно по пять исходов: может выпасть 1,
2, 3, 5 или 6. По правилу умножения получаем, что N(A123) =
= 1115 5... 5 = 57. Значит,
Обозначим А279 событие, состоящее в том, что «четверка»
выпала только при втором, седьмом и девятом бросаниях кубика.
Вероятность Р(А279) находится точно так же, как и вероятность
173

)- Такой же ответ получается и для событий А134, At58> А567, • ..,
и для любого события Axyz, состоящего в том, что «четверка»
выпала именно при бросаниях с номерами х, г/, 2. Все события
Аху2 между собой попарно несовместны. Вероятность Р(Аху2)
каждого из событий Аху2 равна p3q1'. Количество этих событий равно
количеству выборов трех номеров из 10 данных без учета порядка,
т. е. равно Cfo. По теореме суммы для нахождения вероятности
несовместных событий получаем:
Р(А) = р3д7
3д\
р3д\ =
Формулу из теоремы Бернулли можно объяснить и с помощью
дерева вариантов. Рассмотрим двоичное дерево, имеющее п
уровней, из каждого его узла выходят две ветви: левая и правая
(рис. 109). Поместим в верхний узел (нулевой уровень)
единичную массу и далее будем ее распределять между остальными
узлами следующим образом. Разделим единичную массу в
отношении р : q. В левый узел первого уровня поместим массу р, а в
правый узел первого уровня поместим массу q. Каждую из уже
распределенных масс снова разделим в отношении р : q и на
следующий уровень влево «отправим» р-ю часть, а вправо
«отправим» g-ю часть имеющейся в узле массы. Например, на втором
уровне единичная масса будет распределена так, как показано на
рис. 110, а на третьем уровне единичная масса будет распределена
так, как показано на рис. 111.
174

pV pq
•p q •pq *qp
Рис. 111
На п-м уровне у дерева будет 2Л узлов, по которым будет
распределена единичная масса (рис. 112). Масса в каждом узле
равна произведению п множителей, каждый из которых равен р или q.
Если в узел мы пришли, сделав k поворотов налево, то
остальные п - k поворотов были направо; значит, в таком узле будет
размещена масса pkqn~k. Выбрать k поворотов влево из п данных
можно ровно Сп способами. Поэтому масса pkqnk встретится
ровно в Сп узлах из всех 2Л узлов последнего, /1-го уровня. Значит,
общая масса, соответствующая всем возможностям сделать ровно
k поворотов влево, равна CnPkqn~k. Это и есть вероятность Pn(k)
появления ровно k «успехов» в п испытаниях Вернул ли.
Распределение всей единичной вероятности на п-м уровне
удобно описать после приведения подобных членов. Для этого
составим следующую таблицу из двух строк и (п + 1) столбцов.
В клетки первой строки поочередно впишем числа k = 0, 1, 2, ...,
п - 1, п, а в соответствующие клетки второй строки впишем числа
Cnpkqn~k. Получим таблицу распределения вероятностей числа
«успехов» в п испытаниях Бернулли.
0
q
1
npq"'1
2
Cnpq
n-1
n
p"
lib

Если сложить все числа Cknpkqn~k для k = О, 1, 2, ..., п - 1, пу
то в результате получится 1:
= C°nqn
Cknpkqn~
Но это равенство есть частный случай формулы бинома
Ньютона:
(q+p)n=C°nqn + C]j>qn-1 + ... + Cknpkqnk + ... + СГУ'
+ ... + СГУ'Ъ + Сппр\
По этой причине распределение числа «успехов» в испытаниях
Бернулли по вероятности их наступления, как правило, называют
биномиальным распределением.
Пример 4. Вероятность того, что стрелок поразит мишень
при одном выстреле, равна 0,4. Стрелок независимо производит
пять выстрелов.
а) Найти вероятность того, что стрелок ни разу не
промахнется.
б) Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень не
менее двух раз.
в) Найти наиболее вероятное число попаданий в мишень.
г) Составить таблицу распределения вероятностей числа
попаданий.
Решение. Выполним сначала задание пункта г), а затем на
основе составленной таблицы задания пунктов а)—в). По
условию,
п = 5, р = 0,4, q = 0,6, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5:
W = 0,65 - 0,078;
Р5(0) =
Р5(1) = Clpq4 = 5 0,4 0,64 - 0,259;
Р5(2) = C52pV = 10 0,42 0,63 - 0,346;
^5(3) = C5W = 10 0,43 0,62 - 0,23;
^5(4) = Clp4q = 5 0,44 0,6 - 0,077;
Р5(5) = C5W = 0,45 = 0,210 - 0,01.
Итак,
0
0,078
1
0,259
2
0,346
3
0,23
4
0,077
5
0,01
176

Теперь рассмотрим пункты а)—в).
а) «Ни разу не промахнется» — это значит, что стрелок
поразит мишень все пять раз, т. е. k = 5. Вероятность равна примерно
0,01 (см. таблицу).
б) «Поразит мишень не менее двух раз» — это значит, что
стрелок попадет 2, 3, 4 или 5 раз. Остается сложить нужные числа из
второй строки таблицы:
0,346 + 0,23 + 0,077 + 0,01 = 0,663.
Заметим, что проще было бы из 1 вычесть сумму 0,078 + 0,259.
в) Наибольшая вероятность получается при k = 2. Значит, 2 —
наиболее вероятное число попаданий в мишень при пяти
выстрелах этого стрелка. I
Сведения, собранные в таблице
примера 4, можно изобразить на
графике (рис. 113).
Ломаную, соединяющую
отмеченные на рис. 113 точки,
называют многоугольником
распределения. Формально полагалось бы
точно сказать, что именно
распределяется. Получится довольно
длинный словесный оборот:
«многоугольник распределения
вероятностей числа попаданий в
мишень стрелка при пяти выстрелах». Чаще всего его сокращают до
термина «многоугольник распределения»: как правило, в
конкретной ситуации ясно, о распределении чего именно идет речь.
Общий ответ про наиболее вероятное (наивероятнейшее)
число «успехов» при п испытаниях Бернулли, конечно же, зависит
от соотношения чисел пир. Оказывается, что последовательность
чисел Рл(0), Рп(1), Рл(2), ..., Pn(k), ..., Рп(п - 1), Рп(п) ведет себя
так: сначала она возрастает, а затем, приняв наибольшее
значение, убывает. Только в некоторых специальных случаях
наибольшее значение достигается не для одного, а для двух соседних
значений k (рис. 114).
о
ИЛИ
РЫС. 114
о
k k
111

Сравним вероятности Pn(k + 1) и Pn{k).
"W" -*> -
Знак всей разности совпадает со знаком последнего множителя,
упростим его:
р(п - k) - q(k + 1) = пр - k(p + q) - q = (np - q) - k.
Поэтому Pn(k) < Pn(k + 1) при 0< k < np - q и, наоборот, Pn{k) >
> Pn(k + 1) при np - q < k < п. Значит, наибольшее значение
вероятность Pn(k) принимает при значении k, равном ближайшему
к пр - q справа целому числу. Если же само число np - q целое,
то наибольшее значение вероятность Pn(k) принимает для двух
значений k: для k = пр - q и для k = np-q+l = np+p (рис. 115).
О
k = np- q — не целое
или
Рис. 115
k = np-q — целое
Пример 5. Найти наивероятнейшее число выпадений
решки при: а) 100 бросаниях монеты; б) 1001 бросании монеты.
Решение.
а) В данном случае п = 100, р = q = 0,5. Тогда число пр - q =
= 100 0,5 - 0,5 = 49,5 — не целое. Ближайшее к нему справа
целое число равно 50. Оно равно половине числа всех бросаний и
является наивероятнеишим числом выпадений решки.
б) В данном случае п = 1001, р = q = 0,5. Тогда число пр - q =
= 1001 • 0,5 - 0,5 = 500 — целое. Значит, вероятность Pn(k) числа
«успехов» принимает свое наибольшее значение при k = 500 и при
А; = 501. ■
Так как пр € [пр - q; np + р] и наивероятнейшее число
успехов k € [пр - q; пр + р]9 то можно считать, что k = пр.
Теорема 2. Наиболее вероятное число «успехов» в п
испытаниях Бернулли приближенно равно пр, где р — вероятность
«успеха» в отдельном испытании.
178

Например, если вероятность «успеха» в одном испытании равна
0,1, а вы провели 143 повторения этого испытания, то наиверо-
ятнейшее число «успехов» равно 143 0,1 = 14. При таком грубом
подсчете ошибка возможна, но ошибка эта невелика: можно
ошибиться максимум на 1. Сформулируем следующее правило.
Для того чтобы найти наивероятнейшее число kHaueep.
«успехов» в п испытаниях Бернулли с вероятностью
«успеха» равной р, следует:
1) вычислить число пр;
2) от числа пр на координатной прямой отложить q
влево и р вправо;
3) целое число, лежащее на отрезке [пр - q; пр + р]
единичной длины, и будет равно hHaueep; если таких целых
чисел два, то kHaueep, может равняться любому из них.
§ 24. Статистические методы обработки
информации
Данные заметного числа конкретных измерений имеют одно
довольно неприятное свойство. Оно состоит в том, что информация
получается очень большого объема. Так бывает, когда количество
самих данных весьма велико. Например, данные о размерах вкладов
населения в Сбербанке, сведения о дате рождения сотрудников
завода, балловые результаты Единого государственного экзамена
в конкретном городе, масса тела и рост солдат, начавших
прохождение военной службы, список цен всех покупок, совершенных в
большом универсаме в течение дня и т. д. Одна из основных задач
статистики состоит в надлежащей обработке информации. Конечно, у
статистики есть много других задач: сбор и хранение информации,
разработка различных прогнозов, оценка их достоверности и т. д.
Но ни одна из этих целей не достижима без обработки данных.
В простейшем виде порядок преобразований первоначально
полученной информации примерно таков:
1) данные измерений упорядочивают и группируют;
2) после группировки составляют таблицы распределения данных;
3) таблицы распределения позволяют построить графики
распределения данных;
4) составляют своего рода паспорт данных измерения, в
котором собрано небольшое количество основных числовых
характеристик полученной информации.
На практике реализация этих шагов проводится с помощью
той или иной компьютерной программы обработки и анализа
данных. Имеется широкий спектр различных специализированных
179

статистических программ: «Statistica», «MiniTab», «Tecplot» и т. д.
Статистические программы встроены и в более
математизированные пакеты «Maple», «Mathematica», «MatLab» и другие. Среди
стандартных программ «Microsoft Office» имеется и программа
«Microsoft Excel». Если вы уверенно работаете в этом редакторе,
то после введения данных измерения вы можете выбрать разные
режимы их наглядного представления и получить некоторые
числовые характеристики ряда данных.
Однако этот параграф — не руководство по использованию того
или иного пакета компьютерных программ. Наша цель —
познакомить вас с тем, что, собственно, происходит с информацией при
ее статистической обработке.
Для наглядности мы выберем одно конкретное измерение и
покажем, как реализуются шаги 1)—4) в этом конкретном
случае. В других измерениях может измениться объем информации,
сложность обработки, появятся всякие технические детали, но
принцип обработки информации останется тем же самым.
Измерение. У 50 выпускников школы независимо
попросили назвать любую цифру. Получили следующие данные:
2133553817
1575380473
3969169123
9870513139
6235925157
Шаг 1) весьма прост. Упорядочивание состоит в том, что все
данные выписывают последовательно в некотором порядке. В
большинстве случаев речь идет о порядке возрастания числовых данных,
т. е. следует начать с наименьшего встретившегося результата,
а закончить наибольшим результатом. При таком выписывании
автоматически произойдет и простейшая группировка
информации. А именно, мы увидим, сколько раз в этом измерении
встретилась каждая конкретная цифра. Тем самым все результаты
измерения разобьются на группы одинаковых результатов. Вот
что получится в данном случае:
3, ...,3, 4, 5,..., 5,
180

Полученный ряд чисел называют сгруппированным рядом
данных измерения.
Заметим, что ответ на задание «Назовите любую цифру»
нередко пытаются представить как некоторую психологическую
характеристику отвечающего. Довольно популярно мнение, что
«3» называют посредственности, «5» — возможные карьеристы,
«1» и «9» — выскочки и т. п. Конечно же, описание типа личности
по ответу на один-единственный вопрос является или шуткой,
или обманом. Составить сколько-нибудь точный психологический
портрет опрашиваемого можно только на основе нескольких
независимых тестов, состоящих из довольно длинных серий
разнообразных вопросов (не менее 10—20 вопросов в каждой серии).
Но вернемся к уже полученному сгруппированному ряду
данных измерения. Теперь все готово для проведения шага 2), т. е.
для получения таблицы данных. Она состоит из двух строчек.
В клетки первой строки выписывают поочередно все различные
значения, реально полученные в измерении. Каждое полученное
значение данных конкретного измерения называют вариантой
этого измерения. В нашем случае имеется десять вариант: 0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Во второй строке таблицы под каждой
вариантой из первой строки записывают кратность варианты —
число, показывающее, сколько раз эта варианта встретилась в
данном измерении. Вот что получается.
Варианты
Кратности
0
2
1
8
2
4
3
10
4
1
5
8
6
3
7
5
8
3
9
6
Всего: 10
Сумма: 50
По существу, составленная таблица — это тот же
сгруппированный ряд данных, который получен в шаге 1). Просто
изменилась форма записи: вместо строки данных мы получили таблицу.
Эту таблицу называют таблицей распределения кратностей
данных измерения или просто таблицей распределения. Последний
столбец приписывают для контроля. В его верхней клетке
указывают количество всех вариант, а в нижней клетке указывают
сумму всех кратностей всех вариант. Другими словами, в этой
клетке указывают общее количество данных измерения — объем
измерения.
Если кратность данной варианты разделить на объем
измерения, то получится частота варианты.
кратность варианты
Частота варианты = объем измерения
181

Это число показывает, какую часть (долю) среди всех данных
составляют данные, равные выбранной варианте. Разумеется,
частоту варианты можно измерять и в процентах.
Процентная частота варианты =
кратность варианты
объем измерения
100%
Зная таблицу распределения кратностей, нетрудно составить
таблицу распределения частот данных. Вот как это выглядит в
нашем измерении.
Варианты
Кратности
Частоты
Частоты
(%)
0
2
0,04
4
1
8
0,16
16
2
4
0,08
8
3
10
0,2
20
4
1
0,02
2
5
8
0,16
16
6
3
0,06
6
7
5
0,1
10
8
3
0,06
6
9
6
0,12
12
Всего: 10
Сумма: 50
Сумма: 1
Сумма:
100
Довольно часто вся таблица из четырех строк не нужна и
ограничиваются таблицей, состоящей, например, из первой и
третьей или первой и четвертой строк. Получатся — таблица
распределения частот и таблица распределения процентных частот.
Шаг 3) обработки данных измерения состоит в графическом,
визуальном изображении имеющейся информации. Хорошо
известен табличный способ задания функций. Таблицы мы уже
получили в шаге 2). Если их рассматривать как задание некоторых
функций, то можно построить и графики функций. Аргументами
этих функций являются варианты, а значениями функций — либо
Многоугольник распределения кратностей
23456789
Варианты
Кратности
0
2
1
8
2
4
3
10
4
1
5
8
6
3
7
5
8
3
9
6
Всего: 10
Сумма: 50
Рис. 116
182

кратности вариант, либо частоты, либо их процентные частоты,
в зависимости от того, какой именно график мы строим. Для
наглядности точки графиков соединяют отрезками. Будут получаться
ломаные, которые называют многоугольниками распределения. Как это
выглядит в разбираемом примере, показано на рис. 116, 117, 118.
Мы видим, что три вида графиков отличаются друг от друга
только линейными изменениями вдоль оси ординат. В
зависимости от конкретной ситуации выбирают один из графиков, по нему
легко можно восстановить два других графика.
Многоугольник распределения частот
О
123456789
Варианты
Частоты
0
0,04
1
0,16
2
0,08
3
0,2
4
0,02
5
0,16
6
0,06
7
0,1
8
0,06
9
0,12
Всего: 10
Сумма: 1
РЫС. 117
Многоугольник распределения процентных частот
20-
18-
16-
14-
12-
10-
8-
6-
4<
2-
О
t
Л
' К \ К
■ Л / \ Л
7\ / \ /\ #
7 \/ \ / \ л, /
7 v \ / \/\/
/ \ v w
1 \
V
i i i i i i i i i
123456789
л:
Варианты
Частоты (%)
0
4
1
16
2
8
3
20
4
2
5
16
6
6
7
10
8
6
9
12
Всего: 10
Сумма: 100
РЫС. 118
183

-0,50,5 1,5
8,5 9,5
При построении многоугольника распределения кратностей
мы последовательно соединили отрезками точки (0; 2), (1; 8), (2; 4),
(3; 10), (4; 1), (5; 8), (6; 3), (7; 5), (8; 3), (9; 6).
Есть и иной способ графического оформления. Каждую из
вариант 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 сделаем серединой отрезка
единичной длины, расположенного на оси абсцисс: 0 — середина
отрезка [-0,5; 0,5], 1 — середина отрезка [0,5; 1,5], 2 —
середина [1,5; 2,5], ..., 9 — середина [8,5; 9,5] (рис. 119). Построим
10 прямоугольников: их горизонтальными сторонами являются
построенные отрезки [-0,5; 0,5], [0,5; 1,5], ..., [8,5; 9,5], а высоты
равны кратностям соответствующих вариант (рис. 120). Другими
словами, вертикальные отрезки, ведущие в вершины
многоугольника распределения, мы «раздули» до прямоугольников
одинаковой (единичной) ширины, а высоты оставили прежними. Значит,
площадь каждого из прямоугольников равна кратности варианты,
попавшей в этот прямоугольник. Получилась ступенчатая фигура,
которую называют гистограммой распределения.
Как правило, гистограммы строят в тех случаях, когда
приходится первоначальную группировку данных проводить более
крупными «блоками». Это весьма типично, когда количество
вариант измерения велико. Например, если выписать цены всех
покупок в крупном продуктовом магазине за день, то
упорядоченная по возрастанию последовательность данных может
Гистограмма распределения кратностей
123456789
184

состоять из тысяч чисел. Тогда все цены условно делят на
группы (ценовые категории), например, «до 100 рублей», «до 200
рублей», ..., «свыше 2000 рублей». Тут будет 21 варианта, что,
конечно, значительно удобнее при обработке информации.
Продемонстрируем, как работает укрупнение группировки
данных на уже известном примере измерения. Напомним, что
простейшая группировка привела к такому ряду данных:
(U), 1™_1, 2L_12f 3, ..., 3, 4, 5^3
6, 6, 6, 7, ..., 7, 8, 8, 8, 9, ..., 9.
Этот ряд данных разобьем на группы, каждая из которых
содержит по две последовательные варианты, взятые с
соответствующей кратностью. Получится вот что:
0,0, 1, ...,1, 2,... 2, 3,..., 3, 4, 5,..., 5,
10 14 Т
6, б, б, 7,..., 7, 8, 8, 8, 9,.... 9.
Т
9
Для новой группировки составим новую таблицу
распределения кратностей.
Варианты
Кратности
0 или 1
10
2илиЗ
14
4 или 5
9
били 7
8
8 или 9
9
Всего: 5
Сумма: 50
Расположим на оси абсцисс пять отрезков длиной 2 каждый:
[-0,5; 1,5], [1,5; 3,5], ..., [7,5; 9,5].
Первый из этих отрезков содержит первую варианту «0 или
1», второй отрезок содержит вторую варианту «1 или 2» и т. д.
(рис. 121). Построим 5 прямоугольников. Их горизонтальными
сторонами являются построенные отрезки длины 2, а их высоты
таковы, что площадь равна кратности новой варианты, попавшей
в этот прямоугольник (рис. 122).
185
3 4 5 6 7 8 9

Гистограмма распределения кратностей
(удвоенная ширина столбцов)
Получилась новая ступенчатая фигура, являющаяся
гистограммой новой группировки данных. В этой гистограмме
некоторая первоначальная информация утеряна. Например, судя только
по этой ступенчатой фигуре, мы уже не можем точно
определить, какой была первоначальная кратность варианты 1 или
варианты 7. Зато новая гистограмма выглядит более просто, да и
само новое распределение более равномерно. Правда, с
равномерностью можно и переборщить. Если увеличивать ширину
столбиков гистограммы, то их количество будет уменьшаться и при
ширине 10 по оси абсцисс получится вообще один столбик (рис. 123).
Конечно, это самый простой вариант. Но в нем от
первоначальной информации уже почти ничего не остается. Так что тут
приходится искать равновесие между простотой изображения и
точностью его соответствия данным измерения. В учебной практике
шаг разбиения по оси абсцисс, как правило, сообщен при
постановке самой задачи. При самостоятельной работе решение о
выборе шага разбиения следует принимать самостоятельно.
Гистограмма распределения кратностей
(удесятиренная ширина столбцов)
О
123456789
РЫС. 123
186

Перейдем к заключительному шагу 4) обработки данных. Тут
от всей первоначальной информации останется всего несколько
чисел, своего рода краткий паспорт ряда данных. Подчеркнем,
что различие между конкретным рядом данных и его числовым
паспортом примерно такое же, как и различие между
конкретным человеком и его общегражданским паспортом. Однако при
оперировании массивами данных огромных объемов приходится
заменять эти массивы их краткими числовыми характеристиками.
Итак, пусть имеется упорядоченный по возрастанию ряд
данных, полученных в результате некоторого измерения:
Х1 < Х2 < XS < ... < Хп-г < Хп.
Количество п всех данных — это уже встречавшаяся нам
характеристика ряда, а именно, объем ряда данных измерения.
Разность хп - Xi называют размахом измерения. Другими словами,
размах равен разности между наибольшей вариантой и
наименьшей вариантой. На графике — это длина области определения
многоугольника распределения. Мода ряда данных — это
варианта, которая встречается в ряду чаще остальных вариант.
Другими словами, мода равна варианте, кратность которой является
наибольшей. На графике — это точка, в которой достигается
максимум многоугольника частот.
Медианой ряда из нечетного числа данных х1 < х2 < ... < x2k ^
< x2k + i называют число т = xk + u а медианой ряда из четного числа
данных х1 < х2 < ... < дг2/-1 < х21 называют число т = ^—t--
Геометрически медиана т ряда данных обладает тем свойством,
что открытые лучи (-оо; т) и (т; +оо) содержат одинаковое
количество данных этого ряда (рис. 124), т. е. медиана «делит
пополам» данные по их количеству.
т
Одинаковое количество результатов измерения
Рис. 124
Наиболее привычной и часто встречающейся числовой
характеристикой данных измерения является их среднее
арифметическое значение, или просто среднее значение М.
Для нахождения среднего значения следует:
1) найти сумму всех данных измерения;
2) полученную сумму разделить на количество данных.
_ Xi + Х2 + ... + Хп
187

Среднее значение данных измерения имеет наглядный
физический смысл. На оси абсцисс отметим точки, координаты
которых равны вариантам ряда данных. Единичную массу разделим
пропорционально кратностям этих вариант. Другими словами, в
первую точку поместим массу, равную частоте первой варианты;
во вторую точку поместим массу, равную частоте второй
варианты и т. д. Получится система материальных точек. Так вот ее
центр тяжести в точности совпадает со средним значением.
Вычислим перечисленные числовые характеристики для
заданного в начале параграфа ряда данных:
^U, 1, ..., 1, 2, ..., 2, 3, ..., 3, 4, 5, ..., 5,
"1Г 8 4 10 1 8
6, 6, 6, 7, ..., 7, 8, 8, 8, 9, ..., 9.
"~3~" 5 "~3~" 6
Объем равен 50 = 2 + 8 + 4 + 10 + 1 + 8 + 3 + 5 + 3 + 6.
Размах равен 9 (9 = 9 - 0). Мода равна 3: эта варианта
встретилась чаще других. Так как число данных четно, то для
нахождения медианы т отсчитаем половину чисел в упорядоченном ряду
данных, начиная с наименьшего (25 = 2 + 8 + 4 + 10 + 1), и
вычислим полусумму 25-го и 26-го чисел: —~— = 4,5. Значит,
т = 4,5, и слева и справа от этого числа лежит ровно по 25 данных
измерения. Среднее арифметическое удобно вычислять,
используя уже проведенную группировку ряда:
л/г 02 + 18+24+310+41 + 58 + 63+75 + 83 + 96
М= 50 =
= 0 0,04 + 1 0,16 + 2 0,08 + 3 0,2 + 4 0,02 + 5 0,16 +
+ 6 0,06 + 7 0,1 + 8 0,06 + 9 0,12 = 4,42.
Мы на конкретном примере объяснили следующее правило
нахождения среднего арифметического.
Для нахождения среднего значения данных можно:
1) каждую варианту умножить на ее частоту;
2) сложить все полученные произведения.
Это правило удобно в тех случаях, когда данные измерения
уже приведены вместе с частотами их распределения.
Теорема. (Свойства среднего значения.) 1) Если М — среднее
чисел Xiy х2у ..., хп> то аМ — среднее чисел ах19 ах2, ..., ахп.
2) Если М — среднее чисел хи х29 ..., хп9 то М + Ъ — среднее
чисел хх + Ъ, х2 + Ьу ..., хп + Ь.
188

3) Для того чтобы число с равнялось среднему чисел хъ
2, ..., хпУ необходимо и достаточно, чтобы сумма отклонений
t! - с) + 0*2 - с) + ... + (хп - с) равнялась нулю.
Доказательство.
ах\ + охо + ... + аХп Х\ + Хо + ... +
1) z = а
Ъ)
п
(х2
Ь)
(хп + Ь)
п
хх +
2)]
3) (л:! - с) + (х2 - с) + ... + (х„ - с) = 0;
- =аМ.
+ ... + Хп + ПЬ
п
с =
= М.
Теорема доказана.
Среднее, мода и медиана относятся к одному и тому же типу
числовых характеристик ряда данных. Иногда их называют
мерами центральной тенденции: каждое из этих чисел по-своему
описывает некоторое центральное значение ряда данных.
Например, при поиске нового места работы довольно
естественно спросить о средней зарплате на интересующем вас
предприятии. Однако может так случиться, что ответ о большом
значении М введет вас в заблуждение. Например, если медиана т
или мода размеров зарплаты много меньше, чем М, то это
означает, что на данном предприятии небольшое число работников
получает очень большую зарплату, а большинство работников
получает сравнительно маленькую зарплату (рис. 125).
В таком случае, видимо, стоит интересоваться средней
зарплатой не на всем предприятии, а в более узком секторе
должностей, одну из которых вы предполагаете занять.
Как следует из теоремы, среднее М ряда чисел хи х2, ..., хп
специально определяется так, чтобы сумма отклонений (хг - М) +
-I- (х2 - М) + ... + (хп - М) равнялась нулю. Другими словами,
если после получения п данных хи х2, ..., хп того или иного
измерения мы в ответе укажем только одно число — среднее М всех
Ук
Наиболее часто
встречающаяся
зарплата
Средняя Высокие,
зарплата но редко встречающиеся
зарплаты
РЫС. 125
180

данных, то алгебраическая сумма ошибок xt - М измерения
будет нулевой.
Последние числовые характеристики данных измерения, с
которыми мы познакомимся, будут учитывать уже квадраты
ошибок (xt - М)2. Характеристику, «отвечающую» за разброс
чисел хи х2у ..., хп вокруг их среднего значения М называют
дисперсией и обозначают D:
D=
- М)2 + (х2 - М)2
(хп - М)2
Итак, дисперсия D числовых данных равна среднему
арифметическому квадратов отклонений этих данных от их среднего
значения М. Значение квадратного корня из дисперсии называют
средним квадратическим отклонением и обозначают о: о = Vl).
Если дисперсия D или среднее квадратическое отклонение а
достаточно малы, то большинство из ошибок измерения xt — М
невелики по модулю. Это значит, что числа хи х2, ..., хп в
основной своей массе довольно тесно группируются вокруг М.
Другими словами, если D = 0, то хх = х2 = ... = хп = М, и, грубо говоря,
если D ~ 0, то xt ~ M (i = 1, 2, ..., п).
Подсчет дисперсии «вручную» — вещь довольно кропотливая.
Лучше использовать ту или иную компьютерную программу. Если
же проводить вычисления непосредственно, то во избежание
путаницы и для контроля возможных ошибок лучше собирать
результаты в таблицу.
В статистике существуют различные способы подсчета
дисперсии в виде таблицы. Мы ограничимся простейшим вариантом
и найдем дисперсию результатов уже хорошо знакомого
измерения пятидесяти случайным образом названных цифр (см. с. 180).
Используем подсчитанное выше среднее М = 4,42 результатов
измерения и продолжим таблицу распределения частот (рис. 117),
для удобства разместив ее вертикально.
Варианты
*i
0
1
2
3
4
Частоты
0,04
0,16
0,08
0,2
0,02
Отклонения
(Xi-M)
от среднего
-4,42
-3,42
-2,42
-1,42
-0,42
Квадраты
(х,-М)2
отклонений
19,5364
11,6964
5,8564
2,0164
0,1764
Произведения
v, -(x.-Mf
0,781456
1,871424
0,468512
0,40328
0,003528
190

Варианты
xi
5
6
7
8
9
Частоты
0,16
0,06
0,1
0,06
0,12
Отклонения
от среднего
0,58
1,58
2,58
3,58
4,58
Квадраты
(xt-Mf
отклонений
0,3364
2,4964
6,6564
12,8164
20,9764
Произведения
v, -(х-М)2
0,053824
0,149784
0,66564
0,768984
2,517168
Складывая все числа в последнем столбце, находим дисперсию
и среднее квадратическое отклонение: D = 0,781456 + 1,871424 +
+ ... + 0,768984 + 2,517168 = 7,6836, о = 41> « 2,772.
Мы видим, что рассмотренное нами измерение имеет довольно
большое среднее квадратическое отклонение о от среднего
значения М. Это означает, что результаты данного измерения заметно
«разбросаны» вокруг среднего значения. Дисперсия D и среднее
квадратическое отклонение о как раз и являются
количественными оценками такого разброса.
§ 25. Гауссова кривая. Закон больших чисел
В заключительном параграфе этой главы мы в определенном смысле
объединим основные результаты двух предыдущих параграфов.
Напомним, что в «статистическом» § 24 мы имели дело с данными каких-либо
конкретных измерений, проведенных в реальности, а в «вероятностном»
§ 23 вычисляли вероятности случайных событий, т. е. работали с той
или иной моделью реальности. Как же связаны между собой реальность и
модель реальности? Насколько точно наши теоретические представления
об окружающем мире соответствуют тому, что происходит на практике?
В основе объединения вероятности и статистики лежат два
замечательных факта. Один из них — явление статистической
устойчивости. Второй состоит в том, что во многих, различных по своей природе
статистических наблюдениях статистическая устойчивость может быть
описана с помощью одной-единственной функции. Эта функция введена
великим немецким математиком К.-Ф. Гауссом (1777—1855). Она
задается весьма сложной формулой
ф<*)=
График функции у = (p(jc) называют гауссовой кривой (рис. 126). Это
«колокол ообразная» кривая. Она имеет единственную точку максимума,
симметрична относительно оси ординат, площадь под этой кривой равна
единице. Она очень быстро асимптотически приближается к оси абсцисс:
191

Гауссова кривая
(кривая нормального распределения)
Ук
-3 -2 -1
Рис. 126
если оценить площадь под гауссовой кривой на отрезке [-3; 3], то
получится более 0,99, т. е. более 99% всей площади.
Удивительно, что в формуле для гауссовой функции одновременно
присутствуют два замечательных иррациональных числа: я и е, в
первоначальных определениях которых, казалось бы, нет ничего общего. Число я
возникло при нахождении длины окружностей и площади кругов, а число е
появляется в связи с введением показательных и логарифмических
функций (см. § 19). Оказывается, что эти столь различные числа вместе
используются при описании многих статистических и вероятностных явлений.
Расскажем, как гауссова кривая появляется при статистической
обработке данных. Как мы видели, гистограммы (столбчатые диаграммы)
распределения большого объема информации незаменимы в случаях, когда ряд
данных состоит из очень большого количества чисел, например, из сотен,
тысяч, ... и т. п. Если ширина вертикальных столбцов гистограммы
достаточно мала, а основания столбцов в объединении дают некоторый
промежуток, то сама гистограмма похожа на график некоторой непрерывной
функции, заданной на этом промежутке. Иногда такую функцию называют
выравнивающей функцией. Например, на рис. 127 представлена
гистограмма роста женщин, построенная по выборке, в которой было 1375 женщин.
200-
150
140145 150
155 160 165
Рост, см
РЫС. 127
170 175 180
192

Приведем пример из военного дела. Производилось 500 измерений
боковой ошибки при стрельбе с самолета. На графике (рис. 128) по оси
абсцисс отложены величины ошибок («левее или правее» цели), а по оси
ординат — частоты этих ошибок.
Приведем пример из биологии. Измерялся размер 12 000 бобов, и по
оси абсцисс откладывались величины отклонений от среднего размера
бобов, а по оси ординат — соответствующие частоты (рис. 129).
Примеры, как видите, взяты из совершенно различных областей,
а графики функций, выравнивающих гистограммы, похожи друг на друга.
Оказывается, что такому же закону подчиняется распределение и
горошин по весу, и новорожденных младенцев по весу, и частиц газа по
скорости движения, и множества других явлений окружающего нас мира.
Подобно тому как графики всех парабол получаются с помощью
линейных преобразований вдоль координатных осей из одной-единственной
параболы у = х2, все эти кривые распределения получаются из
одной-единственной кривой, а именно из гауссовой кривой. Ее очень часто
называют также кривой нормального распределения.
-4 -3 -2 -1 т* 1
Рис. 128
3 4
0,15 ■■
одо--
0,05-■
-10
-5
0
Рис. 129
10
7 Алгебра и начала
анализа 11 кл.
193

Для наглядной демонстрации действия
гауссова закона распределения иногда
используют специальное устройство — доску Гальтона
(по имени ее изобретателя). В нем сыплющиеся
сверху одинаковые шарики распределяются
по ходам между правильными
шестиугольниками и в результате попадают на
горизонтальную поверхность, образуя картинку, похожую
на «подграфик» гауссовой кривой (рис. 130).
В теории вероятностей гауссова кривая
возникает при попытках практического
использования формулы Бернулли (см. § 23).
Теорема Бернулли дает абсолютно точный
ответ для вероятности Pn{k) наступления k ♦
успехов» в п независимых повторениях одного и
ыс" того же испытания с двумя исходами: Pn(k) =
= Сп ' Ph qnh- И это хорошая новость для нас.
А вот и плохая новость — попробуйте по формуле из этой теоремы в
точности вычислить, например, число Р100(49):
Р100(49) = С£> (ОД)49 • (0,3)51 =
1001
49! 51!
(ОД)49 (0,3)5
Оказывается, абсолютная точность не упрощает, а усложняет
получение ответа в большинстве приложений! Но раз точные ответы
для вероятности Pn(k) вычислить сложно, то, может быть,
существуют те или иные способы приближенных вычислений? И опять
хорошая новость*, да, такие приближения действительно возможны!
Более того, удивительным образом оказалось, что в огромном числе
различных ситуаций все эти приближения могут быть произведены
с помощью одной-единственной функции — с помощью гауссовой
функции у = (р(х).
Доказал возможность такого использования функции у = (р(лс)
французский математик Пьер Симон Лаплас (1749—1827). Но теперь опять
плохая новость: гауссова функция у = (p(jt) задается, как мы отмечали
выше, с помощью очень сложной формулы ф(дс) =
>/2я
которая вряд
ли применима для непосредственных вычислений. Наконец, последняя
и самая хорошая с точки зрения приложений новость: для гауссовой
функции у = ф(дс) имеются подробные таблицы ее значений. Эти таблицы
составлены для значений аргумента х с шагом 0,01 (см. приложение).
Опишем способ использования гауссовой кривой для приближенных
вычислений в теореме Бернулли.
194

Алгоритм использования функции у = <р(дг)
в приближенных вычислениях
Для вычисления вероятности Pn(k) следует:
1) проверить справедливость неравенства npq > 10;
оч ^ k - пр.
2) вычислить хк по формуле хк = —, >
yjnpq
3) по таблице значений гауссовой функции вычислить cp(jcft);
4) предыдущий результат разделить на yjnpq.
р (k) в Ж^*),
yfnpq
Пример 1. Вероятность рождения мальчика примем равной 50%.
Найти вероятность того, что среди 200 новорожденных будет: а) 110
мальчиков; б) 80 мальчиков.
Решение. Будем действовать по предложенному алгоритму. В
нашем случае п = 200, р = q = 0,5. Значит, npq = 50 > 10 и yjnpq « 7,07. При
этом в пункте а) число «успехов» k равно 110, а в пункте б) k = 80.
k-np 110 - 100 10
■ -2
7,07 7,07 '
Используя таблицы, вычисляем ответы:
б) Р2Оо(8О) - аф« = 5Ш1тШ!*т o,ooi. ■
Вероятности Pn(k), как правило, весьма малы. Это вполне объяснимо
даже и без вычислений, на интуитивном уровне. Если монету бросить
1000 раз, то практически невероятно выпадение ровно 694 «орлов» или
именно 427 «решек» и т. п. Поэтому при большом числе п в схеме
Бернулли для числа k «успехов» устанавливают не одно точное значение, а
некоторые рамки, в пределах которых разрешено меняться числу k.
Например, найти вероятность того, что в 1000 бросаниях монеты «орел»
выпадет от. 500 до 600 раз, или вероятность того, что среди 200
новорожденных будет от 70 до 110 мальчиков. Вероятность того, что число
«успехов» k в п испытаниях Бернулли находится в пределах от hx до k2f
обозначают так: Pn(ki < k < k2).
Для вычисления вероятностей Pn{ki < k < k2) снова используют
гауссову функцию у = ф(лг). Удобнее только ввести сначала некоторую
дополнительную функцию Ф. Для этой функции также составлены таблицы
значений (см. приложение), а связана она с ф следующим образом. Если
аргумент х положителен, то Ф{х) равно площади под гауссовой кривой
7* 195

Ф(х) — площадь
заштрихованной фигуры
х>0
jc < О
на отрезке от 0 до х (рис. 131). Более точно, Ф(;с) = \<p(t)dt. Если х < О,
то Ф(х) = -Ф(-х). Наконец, Ф(0) = 0 (рис. 132). Значит, функция Ф нечетна,
а ее график симметричен относительно начала координат. Ясно также,
что эта функция возрастает на всей прямой. График функции у = Ф(х)
изображен на рис. 133.
Алгоритм использования функции у = Ф(х)
в приближенных вычислениях
Для вычисления вероятности Pn{ki < k <
1)
2)
3)
4)
проверить справедливость неравенства
вычислить Xi и х2 по формулам:
к\ — пр ho — пр
Хг = i , Х2 = ,
yjnpQ yjftPQ
по таблице вычислить значения Ф^)
найти разность Ф(;с2) ~ Ф(*1)-
Pn(ki < k < k2) ~ Ф(х2) - Ф
k2) следует:
npq > 10;
и Ф(*2);
196

Рассмотрим внимательнее неравенство npq > 10 из условия 1)
приведенного алгоритма. Так как q = 1 - ру то pq = р(1 - р) и наибольшее
значение этого квадратичного выражения (относительно р) достигается при
р = 0,5. Наибольшее значение равно 0,25. Значит,
0,25/г > npq > 10.
Поэтому из условия 1) следует, что п > 40. Это значит, что
указанный алгоритм дает хорошую точность приближения, когда испытание
с двумя исходами независимо повторяется как минимум несколько
десятков раз. На практике чаще всего рассматривают сотни повторений. При
меньшем числе повторений точность приближения резко ухудшается.
В общем случае для абсолютной погрешности такого приближения
верна следующая оценка.
\PJLkx <к<к2)- (Ф(*2) - Ф(Х1))\
где С = 0,7656. Ясно, что с возрастанием п эта абсолютная погрешность
стремится к нулю.
Пример 2. Политика П. поддерживает в среднем 40% населения.
Какова вероятность того, что из 1500 случайно опрошенных людей
политика П. поддерживают: а) от 570 до 630 человек; б) от 600 до 660 человек?
Решение. Считаем, что опрос 1500 человек происходит
независимо и что вероятность поддержки политика П. отдельным респондентом,
т. е. вероятность р «успеха», равна 0,4. Тогда
q = 1 - р = 0,6 и npq = 1500 0,4 0,6 = 360 > 10, Jnpq « 19.
Значит, мы имеем дело с частным случаем схемы Бернулли, в
которой число «успехов» к находится в пределах от 570 до 630 в пункте а), и
в пределах от 600 до 660 в пункте б).
лЛ v Ь-пР 570 - 1500 0,4 _ 30
а) хх = —, = ^ - -тттч = -1,58; х2 - 1,58.
yjnpq 19 19
Поэтому Pi5oo(57O < к < 630) = Ф(*2) - Ф(хг) = Ф(1,58) -
- Ф(-1,58) = 2Ф(1,58) = 2 0,4429 - 0,886.
6)Xl= bzH? = ™>-<*X> = o;X2= Ь-пр = 660-600 = ^ ,3,16.
Jnpq 19 yjnpq 19 19
Поэтому Pi5<x>(600 < к < 660; = Ф(д:2) - Ф^) = Ф(ЗД6) - Ф(0) = Ф(ЗД6) «
- 0,499.
Ответ: а) 0,866; б) 0,499.
По таблицам значений функции Ф видно, что при х > 3 значения
Ф(лг) практически совпадают с 0,5. Рассмотрим достаточно
показательный пример.
Пример 3. Известно, что 75 % учеников начальной школы не имеют
четвертных троек. Случайным образом выбрали 300 учеников. Какова
вероятность того, что:
а) «троечников» среди них будет более 99;
б) «троечников» будет от 60 до 90?
197

Решение. Мы считаем, что проводится 300 независимых
повторений одного и того же испытания: случайный выбор одного ученика и
проверка того, является он троечником или нет. При этом «успехом»
считается тот факт, что у выбранного ученика есть тройки. По условию,
п = 300, р = 0,25, q = 0,75, пр = 75, npq = 75 0,75 = 7,52, jnpq = 7,5.
В случае а) по условию 100 < k < 300. Значит,
h-np 100 - 75 _ 25
75
npq 7,5 7,5
k2- пр 300 - 75 ОЛ
Х2 — I — ^"Т = OU.
^npq 75
Значения функции Фив точке 3,333..., и в точке 30 практически
совпадают с 0,5. Поэтому искомая вероятность
РзооЦОО < k < 300) - Ф(*2) - Ф{Хг)
крайне невелика. С точностью до 0,1% она просто равна нулю.
В пункте б) по условию 60 < k < 90. Значит,
= Ф(2) - Ф(-2) = 2Ф(2) = 2 0,4772 = 0,9544.
Ответ: а) 0 (с точностью до одной тысячной); б) 0,9544.
Замечание. В примере 3, б) мы видели, что с вероятностью более
95% число успехов находится в пределах от 60 до 90, т. е. в среднем
находится «рядом» с числом 75 = пр. Этот эффект легко объяснить, если
вспомнить алгоритм использования функции (р:
Ря(к)~ -J- -cpfci-
yjnpq [ Jnpq
Так как функция ф принимает наибольшее значение при х = 0, то
вероятность Pn{k) принимает наибольшее значение при k = пру т. е. когда
числитель дроби обращается в нуль. Значит, число пр практически
совпадает с наивероятнейшим числом «успехов» в п испытаниях Бернулли.
Тем самым мы другим, «табличным», способом доказали теорему,
которой заканчивался § 23.
Завершим этот параграф описанием явления статистической
устойчивости. Допустим, что мы провели п независимых повторений
испытания с двумя исходами и пусть «успех» мы наблюдали ровно k раз. Тогда
число — естественно назвать частотой «успеха». Насколько же частота
«успеха» в п испытаниях Бернулли отличается от вероятности р «успеха»
в одном испытании? Использование функций ф и Ф позволяет доказать,
что при достаточно большом числе п повторений испытания с двумя
k
исходами числа - ир практически совпадут.
198

Пример 4. Известно, что 90% жителей некоторой страны ни разу
не ели авокадо. Случайным образом выбрали п жителей и выяснили
число k тех из них, которые не ели авокадо. Насколько большим
должно быть п, чтобы с вероятностью более 60% можно было утверждать,
k
что частота — отличается от 0,9 не более чем на 0,01?
Решение. По условию р = 0,9, q = 0,1, пр = 0,9/г, npq = 0,09/i,
= 0,3 >fn. В отличие от предыдущих задач неизвестным является
само число п независимых повторений испытания. Условие, что частота
k
-г отличается от 0,9 не более чем на 0,01, запишем неравенством
--0,9
п
0,01 ~ \k - 0,9/i| < 0,01л ~ 0,89/г < k < 0,91/г.
Для нахождения вероятности того, что последнее двойное
неравенство верно, используем функцию Ф:
По условию эта вероятность должна быть не менее чем 0,6. Значит,
2ФШ) > °'6 ~ фйю) > °'3~ф(о'84> =»
=> ^jj- > 0,84 => yfn > 25,2 => п > 635.
Приближение 0,3 « Ф(0,84) получено из таблиц значений функции Ф.
Ответ: следует опросить не менее чем 635 жителей.
Обратим специальное внимание на полученное в примере 4 равенство
р\\К _ 0,9 < 0,01 | = Pn(0,89/i <k <0,91/г) - 2ф(^-1
[\п ) { 30 /
Как мы уже заметили, значения Ф(х) функции Ф при х > 3 с
точностью до тысячных совпадают с 0,5. В данном случае это означает, что
если
■^jr > 3, т. е. п > 8100,
k
то с вероятностью 0,999 можно утверждать, что частота — «успеха» будет
отличаться от вероятности р = 0,9 «успеха» менее, чем на 0,01. При неогра-
199

ничейном увеличении числа п повторений испытания вероятность того, что
k
--0,9
< 0,01, стремится к единице. Довольно часто в таких случаях
п
говорят: «Практически достоверно, что частота наступления "успеха"
(с заданной степенью точности) совпадет с вероятностью появления
"успеха"». Мы на конкретном примере убедились в справедливости одного из
важнейших законов теории вероятностей — закона больших чисел.
Для каждого положительного числа г при неограниченном,
увеличении числа п независимых повторений испытания с
двумя исходами вероятность того, что частота ~ появления
«успеха» отличается менее чем на г от вероятности р «успеха»
в одном отдельном испытании, стремится к единице.
На самом деле правильнее было бы говорить, что мы познакомились
с одним из простейших вариантов многочисленных законов больших
чисел, которые применимы не только к испытаниям с двумя исходами,
но верны для куда более сложно устроенных серий независимых
испытаний. Подчеркнем, что закон больших чисел отличается от
утверждения о
I k
том, что lim р
П -> оо| Л
= 0, как это понимается в теории пределов
числовых последовательностей (см. § 38 учебника 10 класса). Никто не
гарантирует, что для любого г > 0 при всех достаточно больших п верно
k
п
пусть даже и очень больших п, верно противоположное неравенство
k
неравенство
77" Р
< г. Вполне может так случиться, что при каких-то,
п~Р
> г. В законе больших чисел утверждается лишь, что
вероятность такого сорта ошибки стремится к нулю. В математике в таких
случаях говорят, что имеет место «сходимость по вероятности».
Итак, использование гауссовых функций фиФ убедительно
подтверждает явление статистической устойчивости: при большом числе
независимых повторений одного и того же испытания в неизменных
условиях практически достоверно, что частота появления фиксированного
случайного события совпадает (с заданной степенью точности) с
некоторым постоянным числом. Это явление и называют статистической
устойчивостью, а такое число называют статистической вероятностью
события. Одной из форм явления статистической устойчивости
является приведенный выше закон больших чисел.
В частности, если нам неизвестна вероятность случайного события А,
которое может происходить или не происходить в результате некоторого
испытания, то мы можем многократно повторять это испытание и
вычислять частоту наступления этого события А. При большом числе
повторений практически несомненно, что таким образом найденная частота
приблизительно будет равна вероятности Р{А) этого случайного события.
200

I I
Г уравнения и неравенства..
Системы уравнении
м неравенств
Изучая курс алгебры, вы постоянно решали уравнения и
неравенства с одной переменной, системы уравнений с двумя
переменными, системы неравенств с одной переменной. В этой
главе, завершающей изучение школьного курса алгебры и начал
математического анализа, мы снова обращаемся к уравнениям и
неравенствам, чтобы рассмотреть их с самых общих позиций. Это
будет, с одной стороны, своеобразное подведение итогов и, с
другой стороны, некоторое расширение и углубление ваших знаний.
§ 26. Равносильность уравнений
В этом параграфе речь пойдет о принципиальных вопросах,
связанных с решением уравнений с одной переменной на
множестве действительных чисел: что такое равносильные уравнения;
какие преобразования уравнений являются равносильными,
а какие — нет; когда надо делать проверку найденных корней
и как ее делать. Эти вопросы мы обсуждали в курсе алгебры,
начиная с 8-го класса, да и в настоящем учебнике о них уже
шла речь, например, при решении показательных и
логарифмических уравнений. Почему мы снова к ним возвращаемся?
Потому что завершая изучение школьного курса алгебры и начал
анализа, целесообразно как бы заново переосмыслить общие идеи
и методы.
Определение 1. Два уравнения с одной переменной f(x) = g(x)
и р(х) = h(x) называют равносильными, если множества их
корней совпадают.
Иными словами, два уравнения называют равносильными,
если они имеют одинаковые корни или если оба уравнения не
имеют корней.
Например, уравнения х2 - 4 = 0 и (х + 2)(2Х - 4) = 0
равносильны, оба они имеют по два корня: 2 и -2. Равносильны и
уравнения х2 + 1 = 0 и у[х = -3, поскольку оба они не имеют корней.
201

Определение 2. Если каждый корень уравнения
fix) = g(x) (1)
является в то же время корнем уравнения
р(х) = h(x), (2)
то уравнение (2) называют следствием уравнения (1).
Например, уравнение х - 2 = 3 имеет корень х = 5, а
уравнение (х - 2)2 = 9 имеет два корня: Xi = 5, х2 = -1. Корень уравнения
х - 2 - 3 является одним из корней уравнения (х - 2)2 = 9.
Значит, уравнение (х - 2)2 = 9 — следствие уравнения х - 2 = 3.
Достаточно очевидным является следующее утверждение.
Два уравнения равносильны тогда и только тогда, когда
каждое из них является следствием другого.
Схему решения любого уравнения можно описать так:
заданное уравнение (1) преобразуют в уравнение (2), более простое, чем
уравнение (1); уравнение (2) преобразуют в уравнение (3), более
простое, чем уравнение (2), и т. д.: (1) -> (2) -> (3) -> (4) -> ... .
В конце концов получают достаточно простое уравнение и находят
его корни. В этот момент и возникает главный вопрос: совпадает
ли множество найденных корней последнего уравнения с
множеством корней исходного уравнения (1)? Если все
преобразования были равносильными, т. е. если были равносильны уравнения
(1) и (2), (2) и (3), (3) и (4) и т. д., то ответ на поставленный вопрос
положителен: да, совпадает. Это значит, что решив последнее
уравнение цепочки, мы тем самым решим и первое (исходное)
уравнение цепочки. Если же некоторые преобразования были
равносильными, а в некоторых мы не уверены, но точно знаем, что
переходили с их помощью к уравнениям-следствиям, то однозначного
ответа на поставленный вопрос мы не получим.
Чтобы ответ на вопрос был более определенным, нужно все
найденные корни последнего уравнения цепочки проверить^
подставив их поочередно в исходное уравнение (1). Если проверка
показывает, что найденный корень последнего уравнения
цепочки не удовлетворяет исходному уравнению, его называют
посторонним корнем и в ответ, естественно, не включают.
Вы, конечно, понимаете, что термин «более простое уравнение»,
вообще говоря, не поддается точному описанию. Обычно считают
одно уравнение более простым, чем другое, по внешним
признакам. Например, решая уравнение 2^2х+7 = 2х 3, получаем сначала
у12х + 1 = х - 3; это иррациональное уравнение проще заданного
«показательно-иррационального» уравнения. Далее, возведя обе
202

части иррационального уравнения в квадрат, получим 2х + 7 =
= (х - З)2; это рациональное уравнение проще, чем предыдущее
иррациональное уравнение.
В итоге можно сказать, что решение уравнения, как правило,
осуществляется в три этапа.
Первый этап — технический. На этом этапе осуществляют
преобразования по схеме (1) —> (2) —> (3) —> (4) —> ... и находят
корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.
Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя
проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были
равносильными.
Третий этап — проверка. Если анализ, проведенный на
втором этапе, показывает, что некоторые преобразования могли
привести к уравнению-следствию, то обязательна проверка всех
найденных корней их подстановкой в исходное уравнение.
Реализация этого плана связана с поисками ответов на четыре
вопроса.
1. Как узнать, является ли переход от одного уравнения к
другому равносильным преобразованием?
2. Какие преобразования могут перевести данное уравнение
в уравнение-следствие?
3. Если мы в конечном итоге решили уравнение-следствие, то
как сделать проверку в случае, когда она сопряжена со
значительными вычислительными трудностями?
4. В каких случаях при переходе от одного уравнения к
другому может произойти потеря корней и как этого не допустить?
Ответу на каждый из вопросов отведен отдельный пункт
данного параграфа.
1. Теоремы о равносильности уравнении
Решение уравнений, встречающихся в школьном курсе
алгебры, основано на шести теоремах о равносильности (все они в той
или иной мере вам известны). Первые три теоремы —
«спокойные», они гарантируют равносильность преобразований без каких-
либо дополнительных условий, их использование не причиняет
решающему никаких неприятностей.
Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из
одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то
получится уравнение, равносильное данному.
203

Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же
нечетную степень, то получится уравнение, равносильное
данному.
Теорема 3. Показательное уравнение ат = agix) (где а > О,
а * 1) равносильно уравнению f(x) = g(x).
Следующие три теоремы — «беспокойные», они работают
лишь при определенных условиях, а значит, могут доставить
некоторые неприятности при решении уравнений. Прежде чем
формулировать теоремы 4—6, напомним еще об одном понятии,
связанном с уравнениями.
Определение 3. Областью определения уравнения f(x) = g(x)
или областью допустимых значений переменной (ОДЗ)
называют множество тех значений переменной х, при которых
одновременно имеют смысл выражения f(x) и g(x).
Теорема 4. Если обе части уравнения f(x) = g(x) умножить
на одно и то же выражение h(x), которое:
а) имеет смысл всюду в области определения (в области
допустимых значений) уравнения f(x) = g(x);
б) нигде в этой области не обращается в О,
то получится уравнение f(x)h(x) = g(x)h(x)y равносильное
данному в его ОДЗ.
Следствием теоремы 4 является еще одно «спокойное»
утверждение: если обе части уравнения умножить или разделить на
одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение,
равносильное данному.
Теорема 5. Если обе части уравнения f(x) = g(x)
неотрицательны в ОДЗ уравнения, то после возведения обеих его
частей в одну и ту же четную степень п получится уравнение
(f(x))n = (g(x))n, равносильное данному в его ОДЗ.
Теорема 6. Пусть а>0иа*1,Х — решение системы
неравенств I ' Тогда уравнение loga f(x) = loga g(x)
равносильно на множестве X уравнению f(x) = g(x).
2. Преобразование данного уравнения в уравнение-следствие
В этом пункте мы ответим на второй вопрос: какие
преобразования переводят данное уравнение в уравнение-следствие?
Частично ответ на этот вопрос связан с тремя последними
теоремами. Можно сказать так: если в процессе решения уравнения мы
применили заключение одной из теорем 4, 5, 6, не проверив выпол-
204

нения ограничительных условий, заложенных в формулировках
теорем, то получится уравнение-следствие. Приведем примеры.
1) Уравнение х - 1 = 3 имеет один корень х = 4. Умножив обе
части уравнения на х - 2, получим уравнение (х - 1)(х - 2) =
= 3(х - 2), имеющее два корня: хх = 4 и х2 = 2. Второй корень
является посторонним для уравнения х - 1 = 3. Причина его
появления состоит в том, что мы умножили обе части уравнения на
одно и то же выражение, нарушив при этом условия теоремы 4.
В этой теореме содержится требование: выражение, на которое
мы умножаем обе части уравнения, нигде не должно обращаться
в 0. Мы же умножили обе части уравнения на выражение х - 2,
которое обращается в 0 при х = 2; именно это значение оказалось
посторонним корнем.
2) Возьмем то же самое уравнение х - 1 = 3 и возведем обе его
части в квадрат. Получим уравнение (х - I)2 = 9, имеющее два
корня: Xi = 4, х2 = -2. Второй корень является посторонним для
уравнения х — 1 = 3. Причина его появления состоит в том, что
мы возвели обе части уравнения в одну и ту же четную степень,
нарушив при этом условие теоремы 5. В этой теореме содержится
требование: обе части уравнения должны быть неотрицательны.
Про выражение х - 1 этого утверждать мы не можем.
3) Рассмотрим уравнение In (2х - 4) = In (Зх - 5). Потенцируя,
получим уравнение 2х - 4 = Зх - 5 с единственным корнем х = 1.
Но этот корень является посторонним для заданного
логарифмического уравнения, поскольку оба выражения под знаками
логарифмов при х = 1 принимают отрицательные значения. Причина
появления постороннего корня состоит в том, что мы,
потенцируя (т. е. «освобождаясь» от знаков логарифмов), нарушили
условия теоремы 6. В этой теореме содержится требование:
выражения под знаками логарифмов должны быть положительными;
о выражениях 2х - 4 и Зх - 5 этого утверждать мы не можем,
так как они при одних значениях х положительны, при других —
отрицательны.
В последнем примере переход от логарифмического уравнения
к уравнению 2х - 4 = Зх - 5 привел к расширению области
определения уравнения. Область определения логарифмического
уравнения задается системой неравенств
(2х - 4 > 0,
{Зх - 5 > 0,
решив которую находим х > 2. Область же определения
уравнения 2х - 4 = Зх - 5 есть множество всех действительных чисел.
По сравнению с логарифмическим уравнением она расширилась:
205

добавился луч (-оо; 2]. Именно в эту добавленную часть и
«проник» посторонний корень х = 1.
Перечислим наиболее часто встречающиеся причины
расширения области определения уравнения.
1. Освобождение в процессе решения уравнения от
знаменателей, содержащих переменную величину.
2. Освобождение в процессе решения уравнения от знаков
корней четной степени.
3. Освобождение в процессе решения уравнения от знаков
логарифмов.
Подведем итоги. Исходное уравнение преобразуется в процессе
решения в уравнение-следствие, а значит, обязательна проверка
всех найденных корней, если:
1) произошло расширение области определения уравнения;
2) осуществлялось возведение обеих частей уравнения в одну
и ту же четную степень;
3) выполнялось умножение обеих частей уравнения на одно и
то же выражение с переменной (разумеется, имеющее смысл во
всей области определения уравнения).
Пример 1. Решить уравнение л/2лГ+5 + л/блс-б = 5.
Решение. Первый этап — технический. На этом этапе, как
мы отмечали выше, осуществляют преобразования заданного
уравнения по схеме (1) —> (2) —> (3) —> (4) —> ... и находят корни
последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.
Последовательно получаем:
(л/5х-б)2 = (5-л/2х + 5)2;
Ъх - 6 = 25 - 10V2x + 5 + 2х + 5;
10 л/2х + 5 =36 - Зх;
(ю>/2л; + 5) = (36 - Зх)2;
100(2* + 5) = 1296 - 216л: + 9х2;
9х2 - 416* + 796 = 0;
Второй этап — анализ решения. На этом этапе, анализируя
проведенные преобразования, отвечают на вопрос, все ли они были
равносильными. Замечаем, что в процессе решения уравнения
206

дважды применялось неравносильное преобразование —
возведение в квадрат; кроме того, расширилась область определения
уравнения (были квадратные корни — были ограничения на
переменную, не стало квадратных корней — не стало ограничений).
Значит, решенное на последнем шаге первого этапа квадратное
уравнение является уравнением-следствием для заданного
уравнения. Проверка обязательна.
Третий этап — проверка. Подставим поочередно каждое из
найденных значений переменной в исходное уравнение.
Если х = 2, то получаем >/2 • 2 + 5 + >/5 • 2 - 6 = 5, т. е.
3 + 2 = 5 — верное равенство.
Если х = 44|, то получаем J2 44- + 5 + J5-44--6 = 5.
Это неверное равенство, поскольку уже первое подкоренное
выражение явно больше, чем 25, и потому корень из него больше,
чем 5, т. е. уже больше правой части равенства. Таким образом,
х = 441 — посторонний корень.
Ответ: 2.
3. О проверке корней
В этом пункте мы ответим на третий вопрос: как сделать
проверку, если проверка корней с помощью их подстановки в
исходное уравнение сопряжена со значительными вычислительными
трудностями? Видимо, в таких случаях надо искать обходные
пути проверки.
Вернемся к примеру 1. Подстановка значения хх = 2 в
заданное уравнение трудностей не представляла. Подстановку же вто-
рого значения х2 = 44 ^г мы фактически заменили прикидкой. Мы
прикинули, что х2 ~ 44, значит, ^2*2 + 5 > 5, и сразу стало ясно,
2
что х2 = 44 тг — посторонний корень. Такая прикидка — один из
у
обходных путей проверки.
2
Еще раз вернемся к примеру 1. Значение х2 = 44- можно было
проверить не по исходному уравнению, а по полученному в
процессе преобразований уравнению 10 v2x + 5 = 36 - Зх. По смыслу
207

этого уравнения должно выполняться неравенство 36 - Зх > О,
т. е. х < 12. Значение х2 = 44^ этому условию не удовлетворяет,
поэтому х2 — посторонний корень.
Как правило, самый легкий обходной путь проверки — по
области определения (ОДЗ) заданного уравнения.
Пример 2. Решить уравнение
In (х + 4) + In (2х + 3) = In (1 - 2х).
Решение. Первый этап. Воспользуемся правилом «сумма
логарифмов равна логарифму произведения». Оно позволяет заменить
выражение In (х + 4) + In (2х + 3) выражением In (х + 4)(2х + 3).
Тогда заданное уравнение можно переписать в виде:
In (х + 4)(2х + 3) = In (1 - 2х).
Потенцируя, получаем:
(х + 4)(2х + 3) = (1 - 2х);
2х2 + 8л: + Зх + 12 = 1 - 2х\
2х2 + 13* + 11 = 0;
хх = -1, х2 = -5,5.
Второй этап. В процессе решения произошло расширение ОДЗ
уравнения, значит, обязательна проверка.
Третий этап. Поскольку, кроме расширения ОДЗ уравнения,
никаких других неравносильных преобразований в процессе
решения уравнения не было, проверку можно выполнить по ОДЗ
исходного уравнения. Она задается системой неравенств
[
12х + 3 > 0,
[l-2x>0.
Значение х = -1 удовлетворяет этой системе неравенств, а
значение х = —5,5 не удовлетворяет уже первому неравенству, это
посторонний корень.
Ответ: -1.
Замечание 1. Каждый раз выделять при решении уравнения три
этапа — технический, анализ, проверку — необязательно. Но все это
нужно «держать в голове» и уж во всяком случае понимать следующее:
если анализ показал, что проверка обязательна, а вы ее не сделали, то
уравнение не может считаться решенным верно; тем более оно не может
считаться решенным верно, если вы не сделали сам анализ.
208

Пример 3. Решить уравнение
2х6 -
х2-1
3
Решение. Преобразуем заданное уравнение:
2х3-5х2 , 3 1
(х - IX* + 1) 2(* - 1) 2(* + 1)
4*3 - 10*2 + 3* + 3-*+1 =
2(* - IX* + 1)
= 0,
2х* -
*+ 2
(* - IX* + 1)
2*3 - 5*2 + * + 2 = 0.
Рассмотрим многочлен р(х) = 2*3 - Ъх2 + * + 2. Заметим, что
* = 1 — корень этого многочлена, поскольку р(1) = 2-5 + 1 + 2 = 0.
Значит, многочлен р(х) делится без остатка на двучлен * - 1 (см. § 1,
следствие из теоремы 3). Воспользуемся схемой Горнера (см. § 1):
1
2
2
-5
2 1-5 = -3
1
(-3) 1 + 1 = -2
2
(-2) 1 + 2 = 0
Значит, р(х) = (х - 1)(2*2 - 3* - 2). Квадратный трехчлен
2х2 - 3* - 2 имеет корни 2 и -0,5. Итак, корни уравнения р(х) = 0
мы нашли: 1, 2, -0,5.
Поскольку в процессе решения уравнения произошло
расширение области его определения — за счет освобождения от
знаменателей, — обязательна проверка.
Замечаем, что при х = 1 знаменатель (х - 1)(х + 1) обращается
в нуль; это значение не является корнем заданного уравнения,
т. е. * = 1 — посторонний корень.
При значениях х = 2 или * = -0,5 знаменатель (* - 1)(* + 1)
в нуль не обращается. Эти значения — корни исходного
уравнения.
Ответ: 2; -0,5.
Пример 4. Решить уравнение logx + 4(*2 - 1) = logx+4(5 - *).
Решение. Потенцируя, получаем:
х2 - 1 = 5 - *;
х2 + * - 6 = 0;
209

Для проверки выпишем условия, задающие ОДЗ:
х + 4 > О,
х + 4 Ф 1,
*2-1>0,
5-х >0.
Значение х = 2 удовлетворяет всем условиям этой системы, а
значение х = -3 не удовлетворяет второму условию; следовательно,
х = -3 — посторонний корень.
Ответ: 2.
Замечание 2. Не переоценивайте способ проверки по ОДЗ: он
является полноценным только в том случае, когда при решении уравнения
других причин нарушения равносильности, кроме расширения ОДЗ, не
было (это чаще всего бывает в логарифмических уравнениях). При
решении же иррациональных уравнений, где используется метод
возведения в четную степень, способ проверки найденных корней по ОДЗ не
выручит; лучше, если это возможно, делать проверку подстановкой.
4. О потере корней
В этом пункте мы ответим на четвертый вопрос: в каких
случаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти
потеря корней и как этого не допустить?
Укажем две причины потери корней при решении уравнений:
1) деление обеих частей уравнения на одно и то же
выражение h(x) (кроме тех случаев, когда точно известно, что всюду в
области определения уравнения выполняется условие h(x) Ф 0);
2) сужение ОДЗ в процессе решения уравнения.
С первой причиной бороться нетрудно: приучайте себя
переходить от уравнения Дх)А(х) = g(x)h(x) к уравнению Л(*ХЛ*) ~ Six)) = 0
(а не к уравнению f(x) = g(x)). Может быть, даже есть смысл вообще
запретить себе деление обеих частей уравнения на одно и то же
выражение.
Со второй причиной бороться сложнее. Рассмотрим, например,
уравнение lg x2 = 4 и решим его двумя способами.
Первый способ. Воспользовавшись определением логарифма,
находим: х2 = 104; хх = 100, х2 = -100.
Второй способ. Имеем: 21g х = 4; lg х = 2; х = 100.
Обратите внимание: при втором способе произошла потеря
корня — «потерялся» корень х = -100. Причина в том, что вместо
правильной формулы \g х2 = 21g|x| мы воспользовались непра-
210

вильной формулой lg х2 = 21g x, сужающей область определения
выражения: область определения выражения lg x2 задается
условием л: * 0 (т. е. х < 0, х > 0), тогда как область определения
выражения 21g х задается условием х > 0. Область определения
сузилась, из нее «выпал» открытый луч (-оо; 0), где как раз и
находится «потерявшийся» при втором способе решения корень
уравнения.
Вывод: применяя при решении уравнения какую-либо формулу
(особенно тригонометрическую), следите за тем, чтобы области
допустимых значений переменной для правой и левой частей
формулы были одинаковыми.
Есть еще одна причина, по которой может произойти потеря
корней, ее мы упомянем в начале § 27.
§ 27. Общие методы решения уравнений
В этом параграфе мы поговорим об общих идеях, на которых
основано решение уравнений, о наиболее общих методах,
используемых при решении уравнений любых видов.
1. Замена уравнения h(f\x)) = h(g(x))
уравнением f\x) = д(х)
Этот метод мы применяли:
— при решении показательных уравнений, когда переходили
от уравнения а!{х) = аАх) (а>0,а*1)к уравнению f(x) = g(x);
— при решении логарифмических уравнений, когда
переходили от уравнения loga f(x) = loga g(x) к уравнению f(x) = g(x);
— при решении иррациональных уравнений, когда переходили
от уравнения ф(х) = rfg(x) к уравнению f(x) = g(x).
Этот метод можно применять только в том случае, когда у =
= h(x) — монотонная функция (которая каждое свое значение
принимает по одному разу). Например, у = х7 — возрастающая
функция, поэтому от уравнения (2х + 2)7 = (5л: - 9)7 можно перейти
к уравнению 2х + 2 = Ъх - 9. Это равносильное преобразование
уравнения.
Если у = h(x) — немонотонная функция, то указанный метод
применять нельзя, поскольку возможна потеря корней. Нельзя,
например, заменить уравнение (2х + 2)4 = (5л: - 9)4 уравнением
2х + 2 = 5л: - 9. При этом переходе «потеряется» корень х = 1;
проверьте: значение х = 1 удовлетворяет уравнению (2л: + 2)4 =
= (5л: - 9)4 и не удовлетворяет уравнению 2л: + 2 = 5л: - 9. Причина
в том, что у = х4 — немонотонная функция, каждое свое положи-
211

тельное значение она принимает в двух точках. По той же
причине нельзя переходить от уравнения sin 2x = sin x к уравнению
2х = х с единственным корнем х = 0. На самом деле указанное
тригонометрическое уравнение имеет бесконечное множество
корней:
х = ял, х = ±— + 2пп; п € Z.
2. Метод разложения на множители
Суть этого метода заключается в следующем: уравнение
f(x)g(x)h(x) = 0 можно заменить совокупностью уравнений:
f(x) = O; g(x) = 0; h(x) = O.
Решив уравнения этой совокупности, нужно взять те их корни,
которые принадлежат области определения исходного уравнения,
а остальные отбросить как посторонние. Многочисленные примеры
применения метода разложения на множители вы видели в 10-м
классе при решении тригонометрических уравнений. Приведем
еще два примера.
Пример 1. Решить уравнение
(V* + 2 -3)(2*2 + Ьх + 5 -l)ln (х -8) = 0.
Решение. Задача сводится к решению совокупности трех
уравнений:
V* + 2 = 3; 2*2 + 6х + 5 = 1; In (х - 8) = 0.
Из первого уравнения находим: х + 2 = 9; хг = 7.
Из второго уравнения получаем: х2 + 6х + 5 = 0; х2 = -1, х3 = -5.
Из третьего уравнения находим: х - 8 = 1; х4 = 9.
Сделаем проверку. ОДЗ исходного уравнения задается
системой неравенств
f + 2>0,
х - 8 > 0.
Из найденных четырех корней хи х2, х3, х4 этой системе
неравенств удовлетворяет лишь х4 = 9. Значит, х = 9 — единственный
корень уравнения, а остальные являются посторонними для
данного уравнения.
Ответ: 9.
212

Пример 2. Решить уравнение х3 - 7х + 6 = 0.
Решение. Представив слагаемое 7х в виде х + 6х, получим
последовательно:
х3 - х - 6х + 6 = 0;
х(х2 - 1) - 6(х - 1) = 0;
х(х - 1)(* + 1) - 6(х - 1) = 0;
(х - 1)(х(х + 1) - 6) = 0;
(х - 1)(х2 + х - 6) = 0.
Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений:
* - 1 = 0; х2 + х - 6 = 0.
Из первого уравнения находим хх = 1, из второго — лг2 = 2,
*з = -3.
Поскольку все преобразования были равносильными,
найденные три значения являются корнями заданного уравнения.
Ответ: 1; 2; -3.
3. Метод введения новой переменной
Этим методом мы с вами часто пользовались при решении
уравнений. Суть метода проста: если уравнение f(x) = 0 удалось
преобразовать к виду p(g(x)) = 0, то нужно ввести новую
переменную и = g(x), решить уравнение р(и) = 0, а затем решить
совокупность уравнений:
g(x) = Uu g(x) = u2; ...; g(x) = ип, —
где Ui, u2, ..., ип — корни уравнения р(и) = 0.
Умение удачно ввести новую переменную приходит с опытом.
Удачный выбор новой переменной делает структуру уравнения
более прозрачной. Новая переменная иногда очевидна, иногда
несколько завуалирована, но «ощущается», а иногда «проявляется»
лишь в процессе преобразований. Примите совет: решая
уравнение, не торопитесь начинать преобразования, сначала
подумайте, нельзя ли записать уравнение проще, введя новую
переменную. И еще: если вы ввели новую переменную, то решите
полученное уравнение относительно новой переменной до конца, т. е.
вплоть до проверки корней (если это необходимо), и только
потом возвращайтесь к исходной переменной.
1 2 _ 7
Пример 3. Решить уравнение Х2 + Зх _ г + х2 + Зх + 1 " 5*
Решение. Введем новую переменную у = х2 + Зл:. Это
позволит переписать уравнение в более простом и приятном виде (что,
собственно говоря, и составляет цель введения новой переменной —
213

и запись упрощается, и структура уравнения становится более
ясной):
1 + 2 = 7
у - 3 у + 1 5'
Освободившись от знаменателей, получим: 7г/2 - 29у + 4 = 0;
Ух = 4, г/2 = -• Теперь для найденных корней надо проверить
выполнение условия 5(у - 3)(у + 1) * 0. Оба корня этому условию
удовлетворяют.
Осталось, возвращаясь к переменной х, решить два
уравнения:
х2 + 3* = 4; х2 + 3* = =•
Корнями первого уравнения являются числа 1 и -4, корнями
-21 ± V469
второго — числа tj .
—21 +
Ответ: 1; -4; -
14
Пример 4. Решить уравнение -—=-^ = —^j •
Решение. Так как 3*+1 = 3 3х, а 3х"2 = 3х : З2, то заданное
S S* + 1 4-9
уравнение можно переписать в виде —'—= = ~^~ . Введем
I О
новую переменную и = 3х; получим:
Зц + 1 36.
7 и '
Зи2 + и = 252;
Зи2 + и - 252 = 0;
Возвращаясь к исходной переменной, получаем совокупность
уравнений:
3х = 9; 3х = -у.
Из первого уравнения находим л: = 2, второе уравнение не имеет
корней.
Ответ: 2.
214

Пример 5. Решить уравнение cos 2х - 5 sin х - 3 = 0.
Решение. Есть смысл ввести новую переменную и = sin x,
понимая, что от cos 2x «добраться» до sin x сравнительно несложно:
cos 2x = cos2 х - sin2 x = (1 - sin2 x) - sin2 x = 1 - 2и2.
Подставим в заданное тригонометрическое уравнение и вместо
sin х и 1 - 2и2 вместо cos 2x:
(1 - 2и2) - Ъи - 3 = 0;
2и2 + Ъи + 2 = 0;
H! = -|, и2 = -2.
Возвращаясь к исходной переменной, получаем совокупность
уравнений:
sin л: = — ; sin x = -2.
Из первого уравнения находим: дг = (-1)л+1 ^ + ял; второе
уравнение не имеет корней.
Ответ: (-1)л+1 | + ял, л 6 Z.
Пример 6. Решить уравнение lg2 #3 -f Iog0,i IOjc -7 = 0.
Решение. Здесь новая переменная как бы «ощущается»:
и = lg х. Подготовимся к ее введению, для чего используем
свойства логарифмов:
lg2 х3 = (lg x2)2 = (3 lg xf = 9 lg2 *;
logo,i IOjc = log(oa)i(lO*)"1 = -log10 10* = -(lg 10 + lgx) =
(l l)
Перепишем заданное уравнение в виде 9 lg2 x - (1 + lg x) - 7 = 0
и введем новую переменную и = lg x:
9и2 - (1 + и) - 7 = 0;
9и2 - и - 8 = 0;
щ = 1, и2 = -д.
Возвращаясь к исходной переменной, получаем совокупность
уравнений:
Из первого уравнения находим хх = 10, из второго — х2 = 10 *.
8
Ответ: 10; 10~9.
215

Мы рассмотрели различные уравнения: рациональное,
показательное, тригонометрическое и логарифмическое. Как видите, тип
уравнения не так уж важен, идея решения по сути одна и та же.
В заключение рассмотрим более сложный пример, где новая
переменная «проявляется» только в процессе преобразований.
Пример 7. Решить уравнение х2 + — г§- = 40.
(У + X)
Решение. Заметив, что левая часть уравнения имеет
структуру А2 + В2, где А = х, В = Q , выделим в левой части полный
У i X
9х
квадрат, прибавив и отняв 2АВ, т. е. 2х • т>—-- Получим после-
*7 "г X
довательно:
(9 + х)2 9 + х I 9 + х
9 + х ) 9 +
_ 40 = 0.
Х2
Новая переменная «проявилась»: и = -г . Относительно этой
у ■+■ х
новой переменной мы получили квадратное уравнение и2 + 18и —
- 40 = 0. Находим его корни: щ = 2, и2 = -20.
Возвращаясь к исходной переменной, получаем совокупность
уравнений:
х2 х2
9Т^ = 2; 9Т^ = "20#
Из первого уравнения находим: xh2= 1 ±>Д9; второе
уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: 1 ±
4. Функционально-графический метод
Идея графического метода решения уравнения f(x) = g(x)
проста и понятна: нужно построить графики функций у = f(x)9 у = g(x)
и найти точки их пересечения. Корнями уравнения служат
абсциссы этих точек. Графическим методом вы не раз пользовались,
216

начиная с курса алгебры 7-го класса. Этот метод позволяет
определить число корней уравнения, угадать значение корня, найти
приближенные, а иногда и точные значения корней.
В некоторых случаях построение графиков функций можно
заменить ссылкой на какие-либо свойства функций (потому-то мы
говорим не о графическом, а о функционально-графическом методе
решения уравнений). Если, например, одна из функций у = f(x),
у = g(x) возрастает, а другая — убывает, то уравнение f(x) = g(x)
либо не имеет корней, либо имеет один корень (который иногда
можно угадать). Этим приемом мы уже не раз пользовались.
Упомянем еще одну довольно красивую разновидность
функционально-графического метода: если на множестве X
наибольшее значение одной из функций у = f(x), у = g(x) равно А и
наименьшее значение другой функции тоже равно А, то уравнение
f(x) = g(x) равносильно на множестве X системе уравнений
if(x) = A,
\g(x) = A.
Пример 8. Решить уравнение
Jx =|*-2|.
Решение. Графики функций
у= у[х иу = \х- 2\
изображены на рис. 134. Они
пересекаются в точках А(1; 1) и В(4; 2). Значит,
уравнение имеет два корня: хх = 1, х2 = 4.
Ответ: 1; 4.
Пример 9. Решить уравнение
хъ + Ъх - 42 = 0.
Решение. Заметим, что х = 2 — корень уравнения.
Докажем, что это единственный корень.
Преобразуем уравнение к виду хъ = 42 - Ъх. Функция у = хъ
возрастает, а функция у = 42 - Ъх убывает. Значит, уравнение
имеет только один корень.
Ответ: 2.
Пример 10. Решить уравнение 3х + 4х = 5\
Решение. Замечаем, что х = 2 — корень уравнения.
Докажем, что это единственный корень.
\
\
У>
1
-
L-:
***
/
Z-i
в
7
*-<
/
1
i
1
Г
>
РЫС. 134
217

Разделив обе части уравнения на 4*, преобразуем уравнение
4/ + 1 = \4/ ' Фу^1*11* ^ = \4/ + ^ Убывает, а функция
/5\
у = 1^1 возрастает. Значит, уравнение имеет только один корень.
Ответ: 2.
Пример 11. Решить уравнение cos 2пх = х2 - 2х + 2.
Решение. Рассмотрим функцию у = х2 - 2х + 2. Ее
графиком служит парабола, ветви которой направлены вверх. Значит,
в вершине параболы функция достигает своего наименьшего
значения. Абсциссу вершины параболы найдем из уравнения у' = 0.
Имеем:
у* = (х2 -2х + 2)' = 2х - 2;
2х - 2 = 0;
х = 1;
#(1) =12-2-1 + 2 = 1.
Итак, для функции у = х2 - 2х + 2 получили i/наим. = 1. В то же
время функция у = cos 2nx обладает свойством: уваиб, = 1. Значит,
задача сводится к решению системы уравнений
Jcos2rac = 1,
[я2 - 2х + 2 = 1.
Из второго уравнения системы получаем: х=1. Поскольку это
значение удовлетворяет и первому уравнению системы, оно
является единственным решением системы и, следовательно,
единственным корнем заданного уравнения.
Ответ: 1.
§ 28. Равносильность неравенств
Напомним, что решением неравенства f(x) > g(x) называют
всякое значение переменной ху которое обращает заданное
неравенство с переменной в верное числовое неравенство. Иногда
используют термин частное решение. Множество всех частных
решений неравенства называют общим решением или просто
решением неравенства. Таким образом, термин решение используют
в трех смыслах: как общее решение, как частное решение и как
процесс, но обычно по смыслу бывает ясно, о чем идет речь.
218

Определение 1. Два неравенства с одной переменной f(x) > g(x)
и р(х) > h(x) называют равносильными, если их решения (т. е.
множества частных решений) совпадают.
Вы, конечно, понимаете, что использование в определении
знака > непринципиально. Можно и в этом определении, и во всех
утверждениях, имеющихся в данном параграфе, использовать
любой другой знак неравенства — как строгого, так и нестрогого.
Определение 2. Если общее решение неравенства
№ > g(x) (1)
содержится в общем решении неравенства
Р(х) > Цх), (2)
то неравенство (2) называют следствием неравенства (1).
Например, неравенство х2 > 9 является следствием
неравенства 2х > 6. В самом деле, преобразовав первое неравенство к виду
х2 - 9 > 0 и далее к виду (х - 3)(# + 3) > 0 и применив метод
интервалов (рис. 135), получаем, что решением неравенства
служит объединение двух открытых лучей: (-оо; -3) и (3; +оо).
Решение второго неравенства 2х > 6 имеет вид х > 3, т. е.
представляет собой открытый луч (3; +оо). Решение второго неравенства
является частью решения первого неравенства, а потому первое
неравенство — следствие второго.
Интересно, что ситуация изменится радикальным образом,
если в обоих неравенствах изменить знак неравенства:
неравенство 2х < 6 будет следствием неравенства х2 < 9. В самом деле,
решением первого неравенства служит открытый луч (-оо; 3).
Решением второго неравенства служит интервал (-3; 3). Решение
второго неравенства является частью решения первого
неравенства, а потому первое неравенство — следствие второго.
При решении уравнений мы не очень опасались того, что в
результате некоторых преобразований можем получить
уравнение-следствие, поскольку посторонние корни мы всегда могли
отсеять с помощью проверки. В неравенствах, где решение чаще
всего представляет собой бесконечное множество чисел, доводить
дело до проверки нецелесообразно. Поэтому в неравенствах
стараются выполнять только равносильные преобразования.
Решение неравенств в школьном
курсе алгебры основано на шести теоремах о Т/йВйнш/ ~ luffiT
равносильности, в определенном смысле /MtfflfflL -JpUlb»
аналогичных соответствующим теоремам ~ *
о равносильности уравнений (см. § 26). Рыс. 135
219

Теорема 1. Если какой-либо член неравенства перенести из
одной части неравенства в другую с противоположным
знаком, оставив знак неравенства без изменения, то получится
неравенство, равносильное данному.
Теорема 2. Если обе части неравенства возвести в одну и
ту же нечетную степень, оставив знак неравенства без
изменения, то получится неравенство, равносильное данному.
Теорема 3. Показательное неравенство ат > ag(x) равносильно:
а) неравенству того же смысла f(x) > g(x), если а > 1;
б) неравенству противоположного смысла f(x) < g(x), если
О < а < 1.
Теорема 4. а) Если обе части неравенства f(x) > g(x)
умножить на одно и то же выражение h(x), положительное при
всех х из области определения (области допустимых
значений переменной) неравенства f(x) > g(x), оставив при этом
знак неравенства без изменения, то получится неравенство
f(x)h(x) > g(x)h(x), равносильное данному.
б) Если обе части неравенства f(x) > g(x) умножить на одно
и то же выражение h(x), отрицательное при всех х из
области определения неравенства f(x) > g(x), изменив при этом знак
неравенства на противоположный (> на <), то получится
неравенство f(x)h(x) < g(x)h(x), равносильное данному.
Теорема 5. Если обе части неравенства f(x) > g(x)
неотрицательны в области его определения (в ОДЗ)У то после
возведения обеих частей неравенства в одну и ту же четную
степень п получится неравенство того же смысла (f(x))n > (g(x))n,
равносильное данному в его ОДЗ.
\f(x) > О,
Теорема 6. Пусть X —решение системы неравенств <
Тогда логарифмическое неравенство \oga f(x) > \oga g(x)
равносильно на множестве X:
а) неравенству того же смысла f(x) > g(x), если а > 1;
б) неравенству противоположного смысла f(x) < g(x), если
О < а < 1.
Теоремами 1 и 4 вы активно пользовались в курсе алгебры
9-го класса, когда решали рациональные неравенства и их
системы. Теорему 3 мы использовали выше, в § 13, для решения
показательных неравенств. Теорему 6 мы использовали в § 18 для
решения логарифмических неравенств.
220

Докажем для примера теорему 4, а). Пусть дано неравенство
fix) > g(x); (3)
умножим обе его части на выражение h(x), положительное при
всех х из ОДЗ неравенства (3), и рассмотрим неравенство
ПхЩх) > g(x)h(x). (4)
Докажем, что неравенства (3) и (4) равносильны.
Пусть х = а — решение неравенства (3) (имеется в виду
частное решение). Тогда f(a) > g(a) — верное числовое неравенство.
По условию выражение h(x) положительно при всех х из ОДЗ
неравенства (3); это означает, в частности, что h(a) > 0. Если обе
части числового неравенства f(a) > g(a) умножить на
положительное число h(a), то знак неравенства следует сохранить; получим
f(a)h(a) > g(a)h(a) — верное неравенство, а потому х = а —
решение неравенства (4).
Пусть теперь х- а — решение неравенства (4). Тогда f(a)h(a) >
> g(a)h(a) — верное числовое неравенство. Но h(a) > 0, значит,
если обе части числового неравенства f(a)h(a) > g(a)h(a) разделить
на Ща)у то знак неравенства следует сохранить; получим f(a) > g{a) —
верное неравенство, а потому х = а — решение неравенства (3).
Итак, каждое частное решение неравенства (3) является в то
же время частным решением неравенства (4) и, обратно, каждое
частное решение неравенства (4) является в то же время частным
решением неравенства (3). Это значит, что множества частных
решений, т. е. решения обоих неравенств, совпадают.
Следовательно, неравенства (3) и (4) равносильны.
Решая различные неравенства, мы постоянно убеждались
в том, что в конечном счете все сводится к решению
рациональных неравенств. А рациональные неравенства удобно решать
методом интервалов. Напомним суть этого метода, причем для
иллюстрации возьмем пример, несколько более сложный по
сравнению с теми, которые встречались до сих пор.
л ту *2(3* + 4)3(* - 2)4
Пример 1. Решить неравенство -; 7&7Z ^ё~ ^ 0.
ух — о) уАх — ()
Решение. Отметим на числовой прямой корни числителя —
4
точки 0, —о9 2 — и корни знаменателя — точки 5 и 3,5 (рис. 136).
Учтем, что выражение
х2(3х + 4)3(jc - 2)4
(х - 5)5(2л: - 7)6
f(x) =
221

пиншинц
4 0 2 3,5 5 х
3
Рис. 136
принимает положительные значения при х > 5, а далее по
промежуткам знаки f(x) меняются так, как показано на рис. 136
(обратите внимание, что слева и справа от точек 0, 2 и 3,5 знаки
одинаковы, а слева и справа от точек —« и 5 — различны; это связано
с четностью или нечетностью соответствующих показателей).
Выделим промежутки, на которых f(x) > 0, а также точки, в
которых f(x) обращается в 0 (корни числителя). Полученная
геометрическая иллюстрация решения заданного неравенства позволяет
составить аналитическую запись:
х < -^; х = 0; х = 2; х > 5. ■
Определение 3. Говорят, что несколько неравенств с одной
переменной образуют систему неравенств, если ставится задача найти
все одинаковые частные решения заданных неравенств. Значение
переменной, при котором каждое из неравенств системы
обращается в верное числовое неравенство, называют частным решением
системы неравенств. Множество всех частных решений системы
неравенств называют решением системы неравенств.
Решение системы неравенств представляет собой пересечение
решений неравенств, образующих систему.
Определение 4. Говорят, что несколько неравенств с одной
переменной образуют совокупность неравенств, если ставится
задача найти все такие значения переменной, каждое из которых
является частным решением хотя бы одного из заданных
неравенств. Каждое такое значение переменной называют частным
решением совокупности неравенств. Множество всех частных
решений совокупности неравенств называют решением
совокупности неравенств.
Решение совокупности неравенств представляет собой
объединение решений неравенств, образующих совокупность.
Неравенства, образующие систему, объединяются фигурной
скобкой, а неравенства, образующие совокупность, —
квадратной скобкой. Впрочем, для неравенств, образующих
совокупность, вполне допустима запись в строчку через точку с запятой.
222

Например, решение неравенства sin2 х > -т сводится к решению
совокупности неравенств sin х > \\ sin х < -^.
Пример 2. Решить систему и совокупность неравенств:
\2х - 1 > 3, ^ \2х - 1 > 3,
а)1Я* 2>11- б) Ur ?>11
[од: — z ^ 11, |_ojc — z ^ 11.
Решение, а) Решая первое неравенство системы, получаем:
13
х > 2. Решая второе неравенство системы, получаем: х > -«-.
Отметим эти промежутки на одной координатной прямой,
использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для
второго — нижнюю (рис. 137). Решением системы неравенств будет
пересечение решений неравенств
системы. В рассматриваемом примере полу- % 1з1
чаем луч ■ —- ■ ■ 3
[fH-
б) Решением совокупности неравенств будет объединение
решений неравенств совокупности. В рассматриваемом примере
получаем (см. рис. 137) открытый луч (2; +оо) — промежуток, на
котором имеется хотя бы одна штриховка.
Ответ: а) х > Щ; б) х > 2.
Если в системе из нескольких неравенств одно является
следствием другого (или других), то неравенство-следствие можно
отбросить. Мы этим уже фактически пользовались. Рассмотрим еще
раз логарифмическое неравенство из § 18.
Пример 3. Решить неравенство log^ (16 + 4х - х2) < -4.
2
Решение. Представим число -4 в виде логарифма по осно-
1 /1Г4
ванию тг: -4 = logi (tj = log^ 16. Это позволит переписать задан-
^ 2 \*> 2
ное неравенство так:
1 (16 + 4х - х2) < logi 16.
2 2
223

Учитывая, что здесь основанием логарифмов служит число,
которое меньше 1, составляем, пользуясь теоремой 6, систему
неравенств, равносильную заданному логарифмическому
неравенству:
Если выполняется второе неравенство системы, то
автоматически выполняется и первое неравенство (если А > 16, то тем
более А > 0). Значит, первое неравенство — следствие второго и
его можно отбросить. Решая второе неравенство, находим:
х2 - 4х< 0;
х(х - 4) < 0;
0 < х < 4.
Ответ: 0 < х < 4.
Снова вернемся к § 18. Мы говорили, что при решении
логарифмических неравенств переходят от неравенства
loga f(x) > \oga g(x) (5)
при а > 1 к равносильной системе неравенств
[fix) > 0,
£(*)>0, (6)
[fix) > g(x),
а при 0 < а < 1 к равносильной системе неравенств
[fix) > 0,
]*(*)> 0, (7)
[fix) < g(x).
Первые два неравенства каждой из этих систем определяют
ОДЗ неравенства (5), а знак последнего неравенства каждой из
систем либо совпадает со знаком неравенства (5) — в случае, когда
а > 1, — либо противоположен знаку неравенства (5) — в случае,
когда 0 < а < 1.
А теперь обратим внимание на одно обстоятельство, которое
мы в общем виде не обсуждали в § 18. В каждой из составленных
систем есть по одному «лишнему» неравенству. В системе (6) имеем:
f(x) > g(x), g(x) > 0; отсюда по свойству транзитивности неравенств
можно сделать вывод, что f(x) > 0. Это значит, что первое
неравенство системы (6) является следствием второго и третьего
неравенств, а неравенство-следствие можно отбросить. Таким
224

образом, систему (6) можно заменить более простой системой
неравенств
Ых) > О,
\f(x) > g(x).
Аналогично можно установить, что систему (7) можно
заменить более простой системой неравенств
(/(*) > О,
[f(x) < g(x).
В примере 3 нам встретился типичный случай, когда
решение заданного неравенства сводится к решению системы
неравенств. Бывают и более сложные неравенства, сводящиеся к
модели «совокупность систем неравенств». Это значит, что надо найти
решения всех составленных систем неравенств, а затем эти
решения объединить.
Пример 4. Решить неравенство
log,-2 (2х - 3) > log,_ 2 (24 - 6х).
Решение. Рассмотрим два случая:
1)х- 2> 1; 2)0 < х- 2 < 1.
В первом случае, записав условия, определяющие ОДЗ: 2х -
-3>0и24-6д:>0, — мы можем «освободиться» от знаков
логарифмов, сохранив, согласно теореме 6, знак исходного
неравенства: 2х - 3 > 24 - 6х.
Во втором случае, записав условия, определяющие ОДЗ: 2х -
-3>0и24-6д:>0, — мы можем «освободиться» от знаков
логарифмов, изменив, согласно теореме 6, знак исходного
неравенства: 2х - 3 < 24 - 6х.
Это значит, что заданное логарифмическое неравенство
равносильно совокупности двух систем неравенств:
х - 2 > 1,
2х - 3 > 0,
24 - 6* > 0,
2х - 3 > 24 - 6х;
0 < х - 2 < 1,
2х - 3 > 0,
24 - 6* > 0,
2х - 3 < 24 - 6*.
27
Из первой системы неравенств находим: ^- < х < 4, из вто-
о
рой — 2 < х < 3.
Ответ: 2 < х < 3; з| < х < 4.
о
8 Алгебра и начала 225
анализа 11 кл.

Пример 5. Решить совокупность систем неравенств:
хъ - 6л:4 + 12л:3 - 8л:2 > О,
,4
2х - 9
[2лГ + Зх + 4
0;
х* >9,
*2>8,
Зх + 3
л: + 4
2.
Решение. Первый этап. Решим первую систему.
1) Решим первое неравенство первой системы:
х5 - 6х4 + 12л:3 - 8л:2 > 0;
л:2(л:3 - 6л:2 + 12л: - 8) > 0;
х\х - 2)3 > 0.
Отметим на числовой прямой точки 0
и 2 (рис. 138). Учтем, что выражение
f(x) = х\х - 2)3 принимает
положительные значения при х > 2, а далее по
промежуткам знаки f(x) меняются так, как
показано на рис. 138. Выделим промежуток, на котором f(x) > 0, —
открытый луч (2; +оо).
2) Решим второе неравенство:
ЪнннинншннннннГх
2
Рис. 138
I
7 х 7
0.
Воспользовавшись для решения последнего неравенства методом
интервалов, получим полуинтервал (0; 7] (рис. 139).
2л:-9
3) Решим неравенство о 2 , о ГТ ^ 0. Заметим, что квадратный
ZX + ох + 4
трехчлен 2л:2 + Зл: + 4 имеет отрицательный дискриминант и
положительный старший коэффициент,
значит, этот трехчлен положителен при
всех значениях ху а потому
неравенство можно преобразовать к более
простому виду 2л: - 9 > 0, откуда
находим х > 4,5, т. е. луч [4,5; +оо).
PUC. 139
4) Изобразим найденные решения трех неравенств на одной
числовой прямой и найдем их пересечение (рис. 140). Получим решение
первой системы неравенств — отрезок [4,5; 7].
Второй этап. Решим вторую систему. Сразу заметим, что если х2 > 9,
то тем более л:2 > 8, так что второе неравенство системы не содержит
4,5 7
PUC. 140
226

дополнительной информации о решении системы, оно является следствием
первого неравенства и его можно без ущерба отбросить.
1) Решим первое неравенство второй системы:
х2 > 9, х2 - 9 > 0, (х - 3)(х + 3) >0.
Воспользовавшись для решения последнего неравенства методом
интервалов, получим (рис. 141): х < -3; х > 3.
2) Решим третье неравенство второй системы:
3*+3 3*+3 Зх + 3 - 2х - 8 *-
*+4<2'*+4~2<0' * + 4 <0'* +
0.
Воспользовавшись для решения последнего неравенства методом
интервалов, получим (рис. 142): -4 < х < 5.
РЫС. 141
PUC 142
3) Изобразим найденные решения двух неравенств на одной числовой
прямой и найдем их пересечение (рис. 143). Получим решение второй
системы неравенств: (-4; -3) и (3; 5].
-4 -3
РЫС. 143
Третий этап. Чтобы найти решение совокупности систем, нужно
найденные решения систем изобразить на одной числовой прямой и
найти их объединение. Получим (рис. 144) интервал (-4; -3) и
полуинтервал (3; 7].
"ИГ
-4 -3
3 4,5
РЫС. 144
Ответ: -4 < х < -3; 3 < х < 7.
§ 29. Уравнения и неравенства с модулями
В курсе алгебры основной школы вам встречались простейшие
уравнения и неравенства с модулями. Для их решения мы
применяли геометрический метод, основанный на том, что \х - а\ —
227

это расстояние на числовой прямой между точками х и а: \х - а\ =
= р(х; а). Например, для решения уравнения \х - 3| = 2 нужно
найти на числовой прямой точки, удаленные от точки 3 на
расстояние 2. Таких точек две: хх = 1 и х2 = 5 (рис. 145). Решая
неравенство \2х + 7| < 9, сначала преобразуем его к виду \х + 3,51 <
< 4,5, а далее рассуждаем так: нужно найти на числовой прямой
точки ху которые удалены от точки -3,5 на расстояние, меньшее
4,5; все такие точки заполняют интервал (-8; 1) (рис. 146).
I о-
3 5
дшнниннннщ/ннинннншщ
-8 -3,5
Рмс 145 Рис. 146
Но основной способ решения уравнений и неравенств с
модулями связан с так называемым «раскрытием модуля по
определению»: если а > О, то \а\ = а; если а < О, то \а\ = -а. Как правило,
уравнение (неравенство) с модулями сводится к совокупности
уравнений (неравенств), не содержащих знак модуля.
Кроме указанного определения, используются следующие
утверждения:
1) Если с > О, то уравнение \f(x)\ = с равносильно
совокупности уравнений f(x) = с; f(x) = -с.
2) Если с > 0, то неравенство \f(x)\ < с равносильно двойному
неравенству -с < f(x) < с.
3) Если с > 0, то неравенство \f(x)\ > с равносильно
совокупности неравенств f(x) < -с; f(x) > с.
4) Если обе части неравенства f(x) < g(x) принимают только
неотрицательные значения, то оно равносильно неравенству
(f(x))2 < (g(x)f.
Пример 1. Решить уравнение х2 + 2\х - 1| - 6 = 0.
Решение. Если а: - 1 > 0, to|jc-1| = jc-1h заданное
уравнение принимает вид
х2 + 2(х - 1) - 6 = 0, т. е. х2 + 2х - 8 = 0.
Если же х - 1 < 0, то \х - 1| = -(х - 1) и заданное уравнение
принимает вид
х2 - 2(х - 1) - 6 = 0, т. е. х2 - 2х - 4 = 0.
Таким образом, заданное уравнение следует рассмотреть по
отдельности в каждом из двух указанных случаев.
1) Пусть х - 1 > 0, т. е. х > 1. Из уравнения х2 + 2х - 8 = 0
находим хг = 2, х2 = -4. Условию х > 1 удовлетворяет лишь
значение хх = 2.
228

2) Пусть х - 1 < 0, т. е. х < 1. Из уравнения х2 - 2х - 4 = О
находим х3 = 1 + л/б, лг4 = 1 - л/б. Условию л: < 1 удовлетворяет
лишь значение х4 = 1 - л/б.
Ответ: 2; 1 - л/5.
5л: — 9
Пример 2. Решить уравнение \х2 - 6л: + 7| = —«—•
Решение. Первый способ (раскрытие модуля по
определению). Рассуждая, как в примере 1, приходим к выводу, что
заданное уравнение нужно рассмотреть по отдельности при
выполнении двух условий: х2 - 6х + 7 > О или х2 - 6х + 7 < 0.
1) Если л:2 - 6* + 7 > 0, то \х2 - 6х + 7| = х2 - 6х + 7 и задан-
5дг — 9
ное уравнение принимает вид х2 - 6х + 7 = —q—> т. е. 3JC2 - 23л: +
4- 30 = 0. Решив это квадратное уравнение, получим: хх = 6, х2 = д«
Выясним, удовлетворяет ли значение хх = 6 условию я2 - 6л: +
+ 7 > 0. Для этого подставим указанное значение в квадратное
неравенство. Получим: б2 - 6 • 6 + 7 > 0, т. е. 7 > 0 — верное
неравенство. Значит, хх = 6 — корень заданного уравнения.
Выясним, удовлетворяет ли значение х2 = ъ условию х2 - 6х +
4- 7 > 0. Для этого подставим указанное значение в квадратное
неравенство. Получим: ^ - « • 6 + 7 > 0, т. е. -д"-3>0 —
неверное неравенство. Значит, х2 = т> не является корнем
заданного уравнения.
2) Если *2 - 6х + 7 < 0, то |*2 - 6* + 7| = -(*2 - 6х + 7) и
Ку __ Q
заданное уравнение принимает вид -(х2 - 6х + 7) = —о—> т. е.
Зд:2 - 13л: + 12 = 0. Решив это квадратное уравнение, получим:
х3 = 3, х4 = ^»
Значение л:3 = 3 удовлетворяет условию л:2 - 6л: 4- 7 < 0.
Значит, х3 = 3 — корень заданного уравнения.
Значение х4 = ^ не удовлетворяет условию л:2 - 6л: 4- 7 < 0.
4
Значит, л:4 = ■« не является корнем заданного уравнения.
Итак, заданное уравнение имеет два корня: х = 6, х = 3.
229

Второй способ. Если дано уравнение |/(дг)| = Цх), то при Щх) < О
оно не имеет решений, а при h(x) > О надо рассмотреть два
случая: f(x) = h(x); f(x) = -h(x) (совокупность уравнений). Для задан-
Ъх — 9
ного уравнения потребуем выполнения условия —о—
0 и
рассмотрим совокупность уравнений:
х2-6х + 7=5х~9- *
7 = -
Ьх -9
о > л ил -г f — о
Оба эти уравнения решены выше (при первом способе реше-
5 4
ния заданного уравнения), их корни таковы: 6, ^> 3, ^- Условию
бх- 9 ^ Л „ "
—о— > 0 из этих четырех значении удовлетворяют лишь два:
6 и 3. Значит, заданное уравнение имеет два корня: х = 6, х = 3.
Третий способ (графический).
1) Построим график функции у = \х2 - 6х + 7\. Сначала
построим параболу у = х2 - 6х + 7. Имеем х2 - 6х + 7 = (х - З)2 - 2.
График функции i/ = (д: - З)2 - 2 можно получить из графика
функции у = х2 сдвигом его на 3 единицы масштаба вправо (по оси х) и
на 2 единицы масштаба вниз (по оси у). Прямая х = 3 — ось
интересующей нас параболы. В качестве контрольных точек для
более точного построения графика удобно взять точку (3; -2) —
вершину параболы, точку (0; 7) и симметричную ей относительно
оси параболы точку (6; 7). Парабола изображена на рис. 147.
Чтобы построить теперь график функции у = \х2 - 6х + 7|,
нужно оставить без изменения те части построенной параболы,
которые лежат не ниже оси х9 а ту часть параболы, которая
лежит ниже оси х9 отобразить симметрично относительно оси х.
График изображен на рис. 147.
2) Построим график линейной функции
Ьх — 9
у = —q—• В качестве контрольных точек
удобно взять точки (0; -3) и (3; 2). Прямая,
служащая графиком указанной линейной
функции, изображена на том же рис. 147.
Существенно то, что точка jc = 1,8
пересечения прямой с осью абсцисс
располагается правее левой точки пересечения
параболы с осью абсцисс — это точка х = 3 - V2
Рыс. 147 (поскольку 3 - V2 < 1,8).
230

3) Судя по чертежу, графики пересекаются в двух точках —
Л(3; 2) и Б(6; 7). Подставив абсциссы этих точек х = 3 и х = 6
в заданное уравнение, убеждаемся, что и при том, и при другом
значении получается верное числовое равенство. Значит, наша
гипотеза подтвердилась — уравнение имеет два корня: х = 3 и х = 6.
Ответ: 3; 6.
Замечание. Вы, конечно, понимаете, что графический способ при
всем своем изяществе не очень надежен. В рассмотренном примере он
сработал только потому, что корни уравнения — целые числа. Тем не
менее в пользе этого метода мы с вами не раз убеждались.
Пример 3. Решить уравнение \2х - 4| + \х + 3| = 8.
Решение. Первый способ. Выражение 2х - 4 обращается в О
в точке х = 2, а выражение х + 3 — в точке х = -3. Эти две точки
разбивают числовую прямую на три промежутка: х < -3, -3 < х < 2,
х > 2 (рис. 148).
Рассмотрим первый промежуток — (-оо; -3). Если х < -3, то
2х-4<0ил; + 3<0. Значит, \2х - 4| = -{2х - 4), а \х + 3| = -(х + 3).
Таким образом, на рассматриваемом
промежутке заданное уравнение прини- Нт £ ^
мает вид -{2х - 4) - (х + 3) = 8. Решив рцс Hg
7
это уравнение, находим: х = —«. Это
значение не удовлетворяет условию х < -3 и поэтому не является
корнем заданного уравнения.
Рассмотрим второй промежуток — [-3; 2). Если -3 < х < 2,
то 2х - 4 < 0, а х + 3 > 0. Значит, 12х - 4| = -(2х - 4), а |х + 3| =
= (х + 3). Таким образом, на рассматриваемом промежутке
заданное уравнение принимает вид -{2х - 4) + (х + 3) = 8. Решив
это уравнение, находим: х = -1. Это значение принадлежит
рассматриваемому промежутку, а потому является корнем заданного
уравнения.
Рассмотрим третий промежуток — [2; +оо). Если х > 2, то
2л: -4> 0и* + 3>0. Значит, \2х - 4| = (2* - 4), \х + 3| =
= (х + 3). Таким образом, на рассматриваемом промежутке
заданное уравнение принимает вид {2х - 4) + (х + 3) = 8. Решив это
уравнение, находим: х = 3. Это значение принадлежит
рассматриваемому промежутку, а потому является корнем заданного уравнения.
Итак, хх = -1, х2 = 3.
231

Второй способ. Преобразуем уравнение к виду 2\х - 2| +
+ \х + 3| = 8. Переведем эту аналитическую модель на
геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой
такие точки М(х), которые удовлетворяют условию 2р(лг; 2) + р(х;
-3) = 8 или
МА + 2МБ = 8 (1)
(см. рис. 149; здесь А = А(-3), В = Б(2)).
Интересующая нас точка М не может находиться левее точки А,
поскольку в этом случае 2МБ > 10 и, следовательно, равенство (1)
выполняться не может.
А В Рассмотрим случай, когда точка
' • £"?! ^ Мх(х) лежит между А и Б (рис. 149).
Для такой точки равенство (1)
принимает вид
(х - (-3)) + 2(2 - х) = 8,
откуда находим: х = -1.
Рассмотрим случай, когда точка М2(х) лежит правее точки Б
(рис. 149). Для такой точки равенство (1) принимает вид
(х - (-3)) + 2(х - 2) = 8,
откуда находим: х = 3.
Ответ: -1; 3.
Пусть теперь требуется решить неравенство \f(x)\ < g(x).
Освободиться от знака модуля можно тремя способами.
Первый способ. Если f(x) > 0, то \f(x)\ = f(x) и заданное
неравенство принимает вид f(x) < g(x). Если f(x) < 0, то \f(x)\ = -f(x) и
заданное неравенство принимает вид -f(x) < g(x). Таким образом,
задача сводится к решению совокупности двух систем неравенств:
(/(*) > 0, [f{x) < 0,
[f(x) < *(*); [-fix) < g(x).
Второй способ. Перепишем заданное неравенство в виде g(x) >
> \f(x)\. Отсюда сразу следует, что g(x) > 0. Воспользуемся тем,
что при g(x) > 0 неравенство \f(x)\ < g(x) равносильно двойному
неравенству -g(x) < f(x) < g(x). Это позволит свести неравенство
|ДлО| < g(x) к системе неравенств
Ых) > 0,
\-g(x) < f(x)
232

или, подробнее, к системе неравенств
\g(x) > О,
\f(x)<g(x),
[fix) > -g(x).
Третий способ. Воспользуемся тем, что при g(x) > 0 обе части
неравенства \f(x)\ < g(x) неотрицательны, а потому их возведение
в квадрат есть равносильное преобразование неравенства. Учтем,
кроме того, что \а\2 = а2. Это позволит свести неравенство |/(л:)| <
< g(x) к системе неравенств
\g{x) > О,
1
Пример 4. Решить неравенство \х2 - Зх + 2| < 2х - х2.
Решение. Первый способ. Заданное неравенство сводится
к совокупности двух систем неравенств:
\х2 - Зх + 2 > О, IV - Зх + 2 < О,
[х2 - Зх + 2 < 2х - х2; |-(х2 - Зх + 2) < 2* - х2.
Решая первую систему, получаем:
\(х - 1)(х - 2) > О,
[2(х - 2)(х - 0,5) < 0,
откуда находим: 0,5 < х < 1 (рис. 150).
Решая вторую систему, получаем:
(х - 1)(х - 2) < 0,
х < 2,
откуда находим: 1 < х < 2 (рис. 151).
Л
шшшшшштш\тшшт *
0,5 1 2 12
Рыс. 150 Рыс. 151
Объединив найденные решения систем неравенств, получим:
0,5 < х < 2.
233

Второй способ. Заданное неравенство сводится к системе
неравенств
2х - х2 > О,
х2 - Зх + 2 < 2х - х2,
х2 - Зх + 2 > -(2х - х2).
Решая эту систему, получаем:
О 0,5 2
Рис. 152
Ых - 2) < 0,
Ых - 2Х* - 0,5) < О,
U<2,
откуда находим: 0,5 < х < 2 (рис. 152).
Третий способ. Заданное неравенство сводится к системе
неравенств
\2х - х2 > 0,
2 - Зх + 2)2 < (2* - *2)2.
Решая эту систему, получаем:
О 0,5 2
Рис. 153
х(х - 2) < О,
(х2 - Зх + 2)2 - (2х - х2)2 < 0;
Ых - 2) < О,
1((*2 - 3* + 2) - (2* - *2))((*2 - Зх + 2) + (2* - *2)) < 0;
ГО < х < 2, ГО < л; < 2, ГО < х < 2,
{(2*2 - 5* + 2)(* - 2) > 0; {(2* - 1)(* - 2)2 > 0; \х > 0,5.
Из последней системы находим: 0,5 < х < 2 (рис. 153).
Ответ: 0,5 < х < 2.
Пусть теперь требуется решить неравенство \f(x)\ > g(x).
Освободиться от знака модуля можно тремя способами.
Первый способ. Если f(x) > 0, то \f(x)\ = f(x) и заданное
неравенство принимает вид f(x) > g(x). Если f(x) < 0, то \f(x)\ = -f(x)
и заданное неравенство принимает вид -f(x) > g(x). Таким
образом, задача сводится к решению совокупности двух систем
неравенств:
234

f(x) > О, Шх) < О,
/(x) > g(x); \-f(x) > g{x).
Второй способ. Рассмотрим два случая: g(x) > О, g(x) < 0. Если
g(x) < 0, то неравенство \f(x)\ > g(x) выполняется для всех х из
области определения выражения f(x). Если g(x) > 0, то
воспользуемся тем, что, согласно утверждению 3) на с. 228, неравенство
| /(jc)| > g(x) равносильно совокупности неравенств f(x) < -g(x);
f(x) > g(x). Таким образом, заданное неравенство сводится к
совокупности трех систем:
\g(x) < 0, Ых) > 0, (g(x) > 0,
[х е D(f); [fix) < -g(x); [fix) > g(x).
Третий способ. Воспользуемся тем, что при g(x) > 0
неравенство \f(x)\ > g(x) равносильно неравенству (|/(л:)|)2 > (g(x))2. Это
позволит свести неравенство |/(#)| > g(x) K совокупности систем:
g(x) < 0, Ых) > 0,
х е Dif); [(f(x))2 > (g(x))2.
Пример 5. Решить неравенство \х2 - Зх + 2| > 2х - х2.
Решение. Первый способ. Задача сводится к решению
совокупности двух систем неравенств:
IV - Зх + 2 > 0, \х2 - Зх + 2 < 0,
[х2 - Зх + 2 > 2х - х2; \-(х2 - Зх + 2) > 2х - х2.
Решив первую систему, получим: х < 0,5, х > 2. Вторая система
не имеет решений.
Второй способ. Если 2х - х2 < 0, то заданное неравенство
выполняется (его левая часть неотрицательна, а правая —
неположительна). Если 2х - х2 > 0, то заданное неравенство
равносильно совокупности двух неравенств: х2 - Зх + 2 > 2х - х2; х2 - Зх +
+ 2 < -(2л; - х2). Таким образом, получаем совокупность
неравенства и двух систем неравенств:
\2х - х2 > 0, \2х - х2 > 0,
2х - х2 < 0; [х2 - Зх + 2 > 2х - х2; [х2 - Зх + 2< -{2х - х2).
Решив неравенство 2х - х2 < 0, получим: х < 0, х > 2. Решив
первую систему, получим: 0 < х < 0,5. Вторая система не имеет
решений.
В итоге получаем: х < 0,5, х > 2.
235

Третий способ. Если 2х - х2 < 0, то заданное неравенство
выполняется. Если 2х - х2 > О, то обе части заданного неравенства
можно возвести в квадрат. Таким образом, получаем совокупность
неравенства и системы неравенств:
\2х - х2 > О,
2х - х2 < 0; \(х2 - Зх + 2)2 > (2х - х2)2.
Решив неравенство 2х - х2 < 0, получим: х < 0, х > 2.
Решая систему, получаем последовательно:
х(х - 2) < 0,
(х2 - Зх + 2)2 - (2х - х2)2 > 0;
0 < х < 2,
((*2 - Зх + 2) - (2* - *2))((*2 - Зх + 2) + (2* - х2)) > 0;
0 < л; < 2,
(2х2 - Ъх + 2)(л: - 2) < 0;
0 < д: < 2,
- 2)2 < 0;
0 < х < 2,
л; < 0,5, х = 2;
0 < х < 0,5.
Объединив это решение с найденными выше решениями х < 0,
л; > 2, получаем: дс < 0,5, х > 2.
Ответ: х < 0,5; х > 2.
Пример 6. Решить неравенство |jc - 2| + |jc + 4| < 10.
Решение. Первый способ. Выражение х - 2 обращается
в нуль в точке 2, а выражение х + 4 обращается в нуль в точке -4.
Указанные две точки разбивают числовую прямую на три
промежутка: х < -4; -4 < х < 2; дс > 2.
На промежутке дс < -4 выражение дс - 2 принимает
отрицательные значения, равно как и выражение х + 4. Значит, на
указанном промежутке выполняются соотношения:
\х - 2| = -(х - 2); |* + 4| = -(х + 4).
Поэтому заданное неравенство принимает вид
-(х - 2) - (х + 4) < 10.
На промежутке -4 < х < 2 выражение х - 2 принимает
отрицательные значения, а выражение х + 4 — неотрицательные.
Значит, на указанном промежутке выполняются соотношения:
|* - 2| = -(* - 2); |* + 4| = х + 4.
236

Поэтому заданное неравенство принимает вид
-(х - 2) + (х + 4) < 10.
Наконец, на промежутке х > 2 выражение х - 2 принимает
неотрицательные значения, равно как и выражение х + 4.
Значит, на указанном промежутке выполняются соотношения:
\х - 2| = х - 2; |* + 4| = х + 4,
а потому заданное неравенство принимает вид (х - 2) + (х + 4) < 10.
В итоге получаем совокупность трех систем неравенств:
\х < -4, Г-4 < * < 2,
{-(х - 2) - (х + 4) < 10; {-(* - 2) + (х + 4) < 10;
х>2,
(х - 2) + (х + 4) < 10.
Из первой системы получаем: -6 < х < -4, из второй —
-4 < х < 2, из третьей — 2 < х < 4. Объединив найденные
решения, получаем: -6 < х < 4.
Второй способ. Переведем аналитическую модель |х - 2| +
+ |х + 4|<10на геометрический язык: нам нужно найти на
координатной прямой такие точки х, которые удовлетворяют условию
р(х; 2) + р(х; -4) < 10, т. е. сумма расстояний каждой из таких
точек от точек 2 и -4 меньше 10. Это точки, заключенные в
интервале от -6 до 4 (рис. 154).
Р(^2)
PUC. 154
Ответ: -6 < х < 4.
§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства
1. Иррациональные уравнения
Иррациональными называют уравнения, в которых
переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения
в дробную степень. Для таких уравнений ищут, как правило,
только действительные корни.
Основной метод решения иррациональных уравнений —
метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.
При этом следует иметь в виду, что возведение обеих частей
уравнения в одну и ту же нечетную степень есть равносильное
преобразование уравнения (см. теорему 2 из § 26), а в четную —
237

неравносильное (см. теорему 4 из § 26). Значит, основные принци/
пиальные трудности связаны с возведением обеих частей
уравнения в одну и ту же четную степень, когда из-за неравносильнб-
сти преобразования могут появиться посторонние корни, а потому
обязательна проверка всех найденных корней. О различных
способах проверки корней мы говорили в § 26 (см. пример 1 и пункт 3).
Пример 1. Решить уравнения: а) у/х2 - Ъх =
б) Цх4- 4*3 + Ъх2 + 6 = х - 1; в) $х2 + 2х = х;
г) (х2 + 2х)~3 = х.
Решение, а) Возведя обе части уравнения в шестую степень,
получим:
х2 - 5х = 2х - 6;
х2 - 7х + 6 = 0;
хх = 1, х2 = 6.
Проверка. «Хорошие» корни можно проверить
непосредственной подстановкой в исходное уравнение. При х = 1 заданное
уравнение принимает вид \/-4 = v-4, во множестве действительных
чисел такое «равенство» не имеет смысла. Значит, 1 —
посторонний корень, он появился по причине расширения ОДЗ уравнения
после возведения в шестую степень. При х = 6 заданное
уравнение принимает вид у/б = л/б — это верное равенство.
Итак, уравнение имеет единственный корень: х = 6.
б) Возведя обе части уравнения в четвертую степень, получим:
х4 - 4*3 + Ъх2 + 6 = (х - I)4. (1)
Воспользуемся формулой бинома Ньютона, известной вам из
курса алгебры и начал анализа 10-го класса:
(х + а)4 = х4 + С\хъа + С\х2а2 + С\хаъ + а4,
где, напомним, С* =
п\
k\(n-k)V
Из нее следует, что (х - I)4 = х4 - С\х3 + С2х2 - С\х + 1, т. е.
что
(х - I)4 = х4 - 4х3 + 6х2 - 4х + 1.
Воспользовавшись последним равенством, вернемся к
уравнению (1):
х4 - 4*3 + Ъх2 + 6 = х4 - 4х3 + б*2 - Ах + 1;
х2 - 4* - 5 = 0;
Xi = 5, х2 = -1.
238

\ Проверка. Здесь «не очень хочется» делать проверку
подстановкой, поскольку придется оперировать с достаточно
громоздкими выражениями. Поступим по-другому. Заметим, что по
смыслу уравнения должно выполняться неравенство х > 1. Поэтому
х = 5 — корень уравнения, а х = -1 — посторонний корень.
в) Возведя обе части уравнения в третью степень, получим:
х2 + 2х = х3;
х(х2 - х - 2) = 0;
Х\ = 0, х2 = 2, х3 = -1.
Поскольку возведение обеих частей уравнения в третью
степень — равносильное преобразование уравнения, проверка не
нужна. Найденные три значения — корни уравнения.
г) Это уравнение «почти» такое же, что было в пункте в). Но
(внимание!) под знаком возведения в дробную степень, по определению
(см. § 8), может содержаться только неотрицательное число. Из
найденных выше трех значений (хх = 0, х2 = 2, х3 = -1) лишь первое
и второе удовлетворяют указанному условию. Значит, уравнение
имеет два корня: 0 и 2, тогда как х = -1 — посторонний корень.
В чем причина появления постороннего корня? При переходе
1
от уравнения (х2 + 2х)3 = х к уравнению х2 + 2х = х3 произошло
расширение области определения: в первом уравнении область
определения задается неравенством х2 + 2х > 0, а во втором
уравнении область определения — вся числовая прямая.
Ответ: а) 6; б) 5; в) 0, 2, -1; г) 0, 2.
При решении иррациональных уравнений применяются как
общие методы решения уравнения, о которых мы говорили выше
в § 27, так и некоторые специфические приемы.
Пример 2. Решить уравнение
V*2 - х + 2 + V*2 - х + 7 = V2*2 - 2х + 21.
Решение. Введя новую переменную и = х2 - ху получим
существенно более простое иррациональное уравнение
Vh + 2 + Vu + 7 = у/2и + 21.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
{yju + 2 + \1и + 7) = {у/2и + 21) .
Далее последовательно получаем:
и + 2 + 2Vu + 2 л/и + 7 + и + 7 = 2и + 21;
(h + 2Хы + 7) = 6;
и2 + 9и + 14 = 36;
239

и2 + 9u - 22 = 0;
щ = 2, u2 = -11.
Проверка найденных значений их подстановкой в уравнение
л/п+2 + у/и + 7 = л/2и + 21 показывает, что щ = 2 — корень
уравнения, а м2 = -11 — посторонний корень.
Возвращаясь к исходной переменной х, получаем уравнение
х2 - х = 2, т. е. квадратное уравнение х2 - х - 2 = 0, решив
которое находим два корня: хх = 2, х2 = -1.
Ответ: 2; -1.
Пример 3. Решить уравнение
х2 + 3 - л/2*2 - 3* + 2 = 1,5(х + 4). (2)
Решение. Уединение корня и возведение обеих частей
уравнения (2) в квадрат привело бы к громоздкому уравнению. В то же
время, если проявить некоторую наблюдательность, можно заметить,
что уравнение (2) легко сводится к квадратному. Действительно,
умножим обе его части на 2:
2*2 + 6 - 2V2JC2 - Зх + 2 = Зх + 12;
2*2 - Зх + 2 - 2V2JC2 - 3* + 2 -8 = 0.
Введя новую переменную г/ = у/2х2 - Зх + 2, получим: у2 - 2у -
-8 = 0, откуда г/i = 4, г/2 = ~2. Значит, уравнение (2) равносильно
следующей совокупности уравнений:
л/2*2 - Зх + 2 = 4; V2*2 - 3* + 2 = -2.
Из первого уравнения этой совокупности находим: хх - 3,5,
х2 = -2. Второе уравнение корней не имеет.
Проверка. Так как совокупность уравнений равносильна
уравнению (2), причем второе уравнение этой совокупности корней не
имеет, то найденные корни можно проверить подстановкой в
уравнение V2JC2 - Зх + 2 = 4. Эта подстановка показывает, что оба
найденных значения х являются корнями этого уравнения, а
значит, и заданного уравнения (2).
Ответ: 3,5; -2.
Пример 4. Решить уравнение
2х - 5 + 2л/*2 - 5* + 2>/х -5 + 2л/^ = 48. (3)
Решение. Областью определения уравнения (3) является луч
[5; со). В этой области выражение vx2 - Ъх можно представить
240

следующим образом: у/х2 - 5х = yfxjx - 5. Теперь уравнение (3)
можно переписать так:
х + х - 5 + 2yfxy/x - 5 + 2 V* - 5 + 2>/* - 48 = 0;
{yfx) + 2y[xyjx - 5 + Ux - б)2 + 2(Vx - 5 + sfx) - 48 = 0;
(л/л: - 5 + V^c)2 + 2{yjx- 5 + Vjc) - 48 = 0.
Введя новую переменную у = yjx - 5 + >Ул, получим
квадратное уравнение у2 + 2у - 48 = 0, из которого находим: г/i = 6, у2 = -8.
Таким образом, задача свелась к решению совокупности
уравнений:
у/х - 5 + л/л; = 6; V* - 5 + Vx = -8.
Из первого уравнения совокупности находим х = ттт » вто-
рое уравнение совокупности решений явно не имеет.
(41 ?
Проверка. Нетрудно проверить (подстановкой), что д: = То
является корнем уравнения у/х - 5 + Vx = 6. Но это уравнение
Г 41?
равносильно уравнению (3), значит, х = \То \ является корнем и
уравнения (3).
Ответ: (^л
Иногда при решении иррациональных уравнений оказывается
удобным ввести две новые переменные.
Пример 5. Решить уравнение
^1 - х + ^15 + х = 2.
Решение. Введем новые переменные:
(4)
(5)
Тогда уравнение (4) примет вид и + v = 2. Но для нахождения
значений двух новых переменных одного уравнения недостаточно.
Возведя в четвертую степень обе части каждого из уравнений
системы (5), получим:
[и4 = 1 - х,
U4 = 15 + х.
241

Сложим уравнения последней системы: и4 + и4 = 16. Таким
образом, для нахождения и, v мы имеем следующую
симметрическую систему уравнений:
\и + v = 2,
[и4 + и4 = 16.
Решив ее (см. § 2), находим:
\щ = О, Гиа = 2,
= 2; [и2 = 0.
Таким образом, уравнение (4) свелось к следующей
совокупности систем уравнений:
\^Г^х = 0, JVT^ = 2,
{^15 + х = 2; [415 + х = 0.
Решив эту совокупность, находим: хх = 1, х2 = -15.
Проверка. Проще всего проверить найденные корни
непосредственной подстановкой в заданное уравнение. Проделав это,
убеждаемся, что оба значения являются корнями уравнения (4).
Ответ: 1; -15.
Пример 6. Решить уравнение
3/2*+ 1 + 3/6jc + 1 = 3/2* - 1.
Решение. Возведем обе части уравнения (6) в куб:
(6)
2х + 1 + 3^/(2* + I)2 • 3/6* + 1 +
+ Зл/2* + 1 ^(6* + I)2 + 6* + 1 = 2х - 1;
33/2* + 1 • 3/6* + 1 • (3/2*+ 1 + 3/6*71) = -6* - 3.
Воспользовавшись уравнением (6), заменим сумму
1/2* + 1 + 3/6* + 1 выражением 3/2* - 1:
33/2* + 1 3/6* + 1 3/2* - 1 = -6* - 3;
ЗД2* + 1X6* + 1X2* - 1) = -2* - 1.
Возведем обе части уравнения (7) в куб:
(2* + 1X6* + 1X2* - 1) = -(2* + I)3;
(2* + 1)((6* +1X2* - 1) + (2* + I)2) = 0;
(7)
242

16jc2(2jc + 1) = 0;
Xi = -0,5, x2 = 0.
Проверка. Подстановкой найденных значений х в заданное
уравнение (6) убеждаемся, что его корнем является только х = —0,5.
Ответ: -0,5.
Замечание. При возведении обеих частей уравнения (6) в куб мы
получили уравнение, равносильное уравнению (6). Однако дальнейшая
замена выражения yj2x + 1 + $1бх + 1 на выражение \/2х - 1 могла
привести (и, как показала проверка, привела) к появлению постороннего
корня.
Пример 7. Решить уравнение
у/2х2 + Зх + 5 + л/2х2 - 3jc + 5 = 3jc. (8)
Решение. Умножим обе части заданного уравнения на выражение
<р(х) = V2jc2 + 3jc + 5 - V2*2 - Зх + 5,
сопряженное выражению v2jc2 + Зх + 5 + >/2jc2 - 3jc + 5. Так как
(V2*2 + Зх + 5 + V2JC2 - Зх + 5XV2*8 + 3jc + 5 - V2^ - Зх + 5) =
= (2jc2 + 3jc + 5) - (2jc2 - 3jc + 5) = 6jc,
то уравнение (8) примет вид
т. е.
6х = Зх{у12х2 + Зх + 5 -
+ Зх + 5 - V2^ - 3jc + 5 - 2) = 0. (9)
Замечаем, что Х\ = 0 — один из корней уравнения (9).
Остается решить уравнение
V2jc2 + Зх + 5 - л/2*2 - 3jc + 5 = 2. (10)
Сложив уравнения (8) и (10), придем к уравнению-следствию
2л/2х2 + 3jc + 5 = 3jc + 2. (11)
Решая его методом возведения в квадрат, получим:
8jc2 + 12jc + 20 = 9jc2 + 12jc + 4
и далее
х2 = 16,
откуда х2 = 4, х3 = -4.
Проверка. Поочередно подставляя найденные значения хх = 0, jc2 = 4,
*з = ~4 в заданное уравнение, убеждаемся, что ему удовлетворяет только
значение х2 = 4. Таким образом, х = 4 — единственный корень заданного
Уравнения. И
243

Пример 8. Решить уравнение
Цх-1 + 2^/3* + 2 = 4 + л/3 - jc.
Решение. В данном случае никакой из указанных выше
способов к успеху не приводит. Попытаемся методом проб найти
какой-нибудь корень уравнения. ОДЗ уравнения определяется
системой неравенств
1х - 1 > О,
[3 - х > О,
откуда получаем 1 < х < 3. Значит, корни следует искать только в
этом промежутке. Испытывая целые значения из указанного
промежутка, находим, что х = 2 — корень заданного уравнения. Если
мы теперь докажем, что исходное уравнение не имеет других
корней, то тем самым решение уравнения будет закончено.
На отрезке [1; 3] функция у = \[х - 1 + 2л/3х + 2 является
возрастающей, в то время как функция у = 4 + >/3 - х —
убывающей. Но в этом случае, если уравнение f(x) = g(x) имеет корень,
то только один. Значит, х = 2 — единственный корень заданного
уравнения. И
2. Иррациональные неравенства
Рассмотрим иррациональное неравенство вида yjf(x) < g(x).
Ясно, что его решения должны удовлетворять условию f(x) > О
и условию g(x) > 0. Осталось лишь заметить, что при
одновременном выполнении указанных выше условий обе части заданного
иррационального неравенства неотрицательны, а потому их
возведение в квадрат представляет собой равносильное
преобразование неравенства.
Таким образом, иррациональное неравенство -^/(jc) <g(x)
равносильно системе неравенств
[f(x) < (g(x)f.
Пример 9. Решить неравенство л/х2 - х - 12 < х.
Решение. Данное неравенство равносильно системе
неравенств:
х2 - х - 12 > О,
х > О,
х2 - х - 12 < х2;
244

Ux - 4)(x + 3) > 0,
\x > 0,
\x > -12.
Получаем: x > 4 (рис. 155).
-12 -30
РЫС. 155
Ответ: х > 4.
Рассмотрим теперь неравенство вида Л//(л?) >
Ясно, во-первых, что его решения должны удовлетворять
условию f(x) > 0. Во-вторых, замечаем, что при g(x) < 0 (и при
отмеченном выше условии f(x) > 0) справедливость неравенства
y]f(x) > g(x) не вызывает сомнений. В-третьих, замечаем, что если
g(x) > 0, то можно возвести в квадрат обе части заданного
иррационального неравенства.
Таким образом, иррациональное неравенство ^f(x) > g(x)
равносильно совокупности систем неравенств:
lf{x) > 0,
Во второй системе первое неравенство является следствием
третьего, его можно опустить.
Пример 10. Решить неравенство yjx2 - х - 12 > х.
Решение. Данное неравенство равносильно совокупности
систем неравенств:
\х2 - х - 12 > О, [х > О,
\х < 0; [х2 - х - 12 > х2.
Имеем:
\(х - 4)(jc + 3) > 0, \х> О,
[х < 0; \х< -12.
Из первой системы находим:
х < -3 (рис. 156), вторая система
не имеет решений.
Ответ: х < -3. Рыс. 156
245

Пример 11. Решить неравенство
(х + 5)(jc - 2) + 3jx(x + 3) > 0.
Решение. Преобразуем неравенство к виду х2 + Зх - 10 +
+ 3VJC2 + Зх > 0 и введем новую переменную у = V*2 + Зх. Тогда
последнее неравенство примет вид у2 + Зу - 10 > 0, откуда
находим, что либо у < -5, либо у > 2.
Таким образом, задача сводится к решению совокупности двух
неравенств:
ylx2 + 3* < -5; yjx* + Зх > 2.
Первое неравенство не имеет решений, а из второго находим:
х2 + Зх > 4;
(х + 4)(* - 1) > 0;
jc < -4, jc > 1.
Ответ: х < -4; jc > 1.
§ 31. Доказательство неравенств
В настоящем параграфе речь идет о неравенствах,
справедливость которых требуется доказать на заданном множестве
значений переменных. Если такое множество не указано, то
подразумевается, что эти переменные могут принимать любые
действительные значения.
1. Доказательство неравенств с помощью определения
По определению считается, что А > В, если А - В —
положительное число. Поэтому для доказательства неравенства Да, Ь, ..., ft) >
> g(a, &,..., ft) на заданном множестве значений а, Ь, ..., ft
достаточно составить разность f(a, b, ..., ft) - g(a, b, ..., ft) и убедиться в
том, что она положительна при заданных значениях а, Ь, ..., ft.
Пример 1. Доказать, что если а > О, Ь > 0, то
> yfab (неравенство Коши). (1)
Доказательство. Составим разность — yfab и выяс-
2
тт а + Ъ гт а - 2yfab + b {4a - 4b)
ним ее знак. Имеем — 4аЪ = -^ = ——о ' .
А 2* &
Выражение 5 неотрицательно при любых неотрицатель-
246

ных значениях а и Ь. Значит, и разность — \[ab неотрица-
тельна, а это означает, что —-— > yfab. Отметим, что знак ра-
Li
а + b
2
венства имеет место лишь при а = Ь. Ш
Пример 2. Доказать, что если аЬ > О, то
Ъ + а > 2- (2)
Доказательство. Имеем:
£ + О _ 2 _ а2 + Ь2 - 2аЬ _ (а - Ь)2
Ь а ) ~ аЬ ~ аЬ
Так как аЬ > 0, то -—-г*- > 0, причем знак равенства имеет
(а Ь\
место лишь при а = Ь. Итак, разность \~ + ~ - 2 неотрицательна,
неравенство (2) доказано. И
Пример 3. Доказать, что
а2 + 4Ь2 + Зс2 + 14 > 2а + 12Ь + 6с. (3)
Доказательство. Рассмотрим разность
(а2 + 4Ь2 + Зс2 + 14) - (2а + 12Ь + 6с).
Перегруппировав члены этой разности, получим:
(а2 - 2а + 1) + (4Ь2 - 12Ь + 9) + (Зс2 - 6с + 3) + 1 =
= (а - I)2 + (2Ъ - З)2 + 3(с - I)2 + 1.
Последнее выражение положительно при любых значениях а,
6, с. Неравенство (3) доказано. И
Пример 4. Доказать, что если а + Ь + с > 0, то
а3 + Ь3 + с3 > ЗаЬс. (4)
Доказательство. Составим разность а3 + Ь3 + с3 - ЗаЬс
и сумму а3 + Ъ3 дополним до куба суммы:
а3 + Ь3 + с3 - ЗаЬс = а3 + За2Ь + ЗаЬ2 + Ь3 + с3 - За2Ь -
- ЗаЬ2 - ЗаЬс = (а + Ь)3 - ЗаЬ(а + Ь + с) + с3.
247

Разложив сумму кубов (а + Ь)3 + с3 на множители, получим:
(а + Ь)3 + с3 - ЗаЬ(а + Ь + с) = ((а + Ь) + с)((а + Ь)2 -
- (а + Ь)с + с2) - ЗаЬ(а + Ь + с) = (а + Ь + с)(а2 + 2аЬ +
+ Ь2 - ас - be + с2 - Sab) = (а + b + с)(а2 + Ь2 + с2 - аЬ -
- be - ас) = |(а + b + с)(2а2 + 2Ь2 + 2с2 - 2аЪ - 2Ъс - 2ас) =
= |(а + b + с)((а - Ь)2 + (а - с)2 + (Ь - с)2).
Так как по условию а + Ь + с>0, то полученное выражение
неотрицательно. Отсюда следует истинность неравенства (4).
Заметим, что знак равенства в неравенстве (4) имеет место
в случае, когда a + b + c = O, a также когда а = Ь = с. Ш
2. Синтетический метод доказательства неравенств
Суть этого метода заключается в том, что с помощью ряда
преобразований доказываемое неравенство выводят из некоторых
известных (опорных) неравенств. В качестве опорных могут
использоваться, например, такие неравенства:
а) а2 > 0;
б) —-— > л/аЬ, где а>0,Ь>0
(см. пример 1);
в) - + - > 2, где ab > 0 (см.
о а
пример 2);
г) |sinjc| < 1, |cosjc| < 1;
д) sin х < х < tg х, где 0 < х < -r
(рис. 157).
Пример 5. Доказать неравенство a sin2 a H—г~о— ^ 2л/аЬ,
^ ^ ^ sin а
если известно, что а > 0, b > 0, а Ф пп.
Доказательство. Воспользуемся неравенством Коши,
связывающим среднее арифметическое и среднее геометрическое
а\ + U2 ^
двух положительных чисел ах и а2:
Если считать, что a sin2 а = аи ——о— = п2, то
sin а
/
У1
1 _
У
/
/
о
/г1
7
-У'
2
/
■*•
/
= sin Jt
РЫС. 157
248

a sin2 а +
ав?а - 'asin2a b
2 V sin a
т. e. a sin2 a H——— ^ 2л/аЬ, что и требовалось доказать. ■
sin ос
Пример 6. Доказать, что если а > О, Ь > О, с > 0, d > 0, то
a+b+c+d ^
(5)
Доказательство. Возьмем в качестве опорного
неравенство Коши:
а + Ь с + d
с + d
2_ ^ \а + Ъ с + d
2 ^ V^ 2~*
а + & . /-г с + d
> jb
ш а + & . /-г с + d . /—т
Так как, в свою очередь, —-— > yjab и —w~ > yjca,
то
а + b с + d
Ь , c + d
Значит, —-—-—-— > у/abed, т. е. т > у/abed.
Проанализировав доказательство, приходим к выводу, что
знак равенства в неравенстве (5) имеет место тогда и только то-
, , а + Ь с + d , ,_
гда, когда а = Ь, с = d и —-— = —«—> т. е. когда а = Ь = с = d. ■
2 ^
Пример 7. Доказать, что —^— > пЪ гДе л ^ iV, n > 1.
Доказательство. Возьмем в качестве опорных следующие
неравенства Коши:
- 1) 2;
- 2) + 3 ^ /г- sr-5. . 2 + (п - 1)
(и - 2) • 3; ...; ^ *' >J2-{n- 1);
/1 • п.
249

Перемножив эти п неравенств, получим:
п + Г"
п ~ 1Хл - 2) ... 2 Щ 2 3 ...
Итак,
п + 1 1
—) >nl <6>
Так как по условию п Ф 1, то первое и последнее из опорных
неравенств Коши могут быть только строгими. Но тогда и после
перемножения опорных неравенств полученное неравенство (6)
должно быть строгим. Таким образом, —о— > п\, что и
требовалось доказать. ■
Пример 8. Доказать, что если а > О, Ь > 0, с > 0, то
> 9. (7)
Доказательство. Первый способ. Возьмем в качестве
опорных следующие неравенства:
b а с а с b
(эти неравенства становятся равенствами в случаях, когда
соответственно a-by а = с и b = с). Сложив их, получим:
— + — + — + — + — + — >6
b а с а с b ^ 9
или
Ь + с , а + с , а + b
т ;; i
a b с
Далее выполним ряд несложных преобразований:
а + Ь + с , а + Ь + с , а + Ь + с
г "г +
Ъ
Знак равенства имеет место лишь в случае, когда а = b = с.
250

Второй способ. Неравенство (7) можно доказать по
определению:
_ (а - bf (а - с)2 (Ь - с)2 ^ _
аЬ ас be
Значит, неравенство (7) справедливо.
Пример 9. Доказать неравенство
а —т- < sin а, (8)
где 0 < а < -и
2#
Доказательство. Выберем в качестве опорного неравенство
(X (X
77 < tg 77* Последовательно преобразуя его, получим:
а а
а cos 77 < 2 sin 77 >
а а Л . а а.
а cos 77 cos 77 < 2 sm 77 cos 77 >
a cos2 77 < sin a;
^ ) < sin a. (9)
* )
Воспользуемся еще одним опорным неравенством:
. a a
sm 77 < 77 •
Так как по условию 0 < a < tj» to sin 77 > 0 и 77 > 0, поэтому неравен-
. a a
ство sm 77 < 77 можно преобразовать и получить в результате следую-
. 2 a a2 . 2 a л a2
щее неравенство: sin2 77 < -т~> и далее 1 - sin2 77 > 1 - -7» откуда
all-^l^a-^, т.е.
(10)
251

Сопоставляя неравенства (9) и (10), получим:
а - ^- < а 1 - sin2 ^ ] < sin а,
откуда ос — -^- < sin а, что и требовалось доказать. В
3. Доказательство неравенств методом от противного
Пример 10. Доказать, что если а > 0, Ь > 0, с > 0, d > 0,
то
V(a + с)(Ь + d) > yfab + 4ы. (11)
Доказательство. Нам надо доказать, что для любых
неотрицательных значений a, b9 с, d выполняется неравенство (11).
Предположим противное, что существует набор
неотрицательных значений a, b9 с, d, для которого неравенство (11) неверно,
т. е. выполняется неравенство ^/(a + c)(b + d) < 4ab + -Jed. Так
как обе части этого неравенства неотрицательны, то можно
возвести их в квадрат: (а + c)(b + d) < ab + cd + 2^1 abed, откуда
be + ad
bc + ad< 2y[abcd, т. e. \ < J(bc) (ad).
Но это противоречит неравенству Коши. Значит, наше
предположение неверно, а потому справедливо неравенство (11). В
Пример 11. Доказать, что если а > 0, b > 0, с > 0, то
а + Ь+с \а2 + Ь2 + с2 9
3 < V 3 * (12)
Доказательство. Предположим противное, что
существует набор неотрицательных значений a, b, с, для которого
неравенство (12) неверно, т. е. выполняется неравенство о >
\а2 + Ь2 + с2
V 3 *
При возведении обеих его частей в квадрат получим:
(а + b + с)2 > 3(а2 + Ь2 4- с2);
3(а2 + Ь2 + с2) - (a + b 4- с)2 < 0;
3(а2 + Ь2 4- с2) - (а2 + Ь2 + с2 + 2а& + 2ас + 2&с) < 0;
2а2 + 2Ь2 + 2с2 - 2ab - 2ас - 2Ьс < 0;
(а - Ь)2 + (Ь- с)2 + (а - с)2 < 0.
Последнее неравенство не является верным, так как сумма
квадратов не может быть отрицательным числом. Значит, неверно
и наше предположение, а потому справедливо неравенство (12). ■
252

Замечание. Пусть даны п неотрицательных чисел аь а2, ..., а„.
Введем в рассмотрение следующие величины:
Нп = -= 5 = среднее гармоническое;
— + — + ...+ —
fll «2 On
Gn = tfai a2 ... an — среднее геометрическое;
. CL\ + Oz + ... + On
An = — среднее арифметическое;
la? + al + ... + al
Qn = J — среднее квадратическое чисел аи а2, ..., an.
Между этими величинами существует такая зависимость:
Нп К Gn К Ап ^ Qn.
Некоторые частные случаи этой зависимости нами уже доказаны:
в примере 1 — неравенство G2 < А2, в примере 6 — неравенство G4 < А4,
в примере 11 — неравенство А3 < Q3; из неравенства, доказанного в
примере 4, следует неравенство Gz < А3, а из неравенства, доказанного в
примере 8, — неравенство Я3 < А3. Ниже, в примере 17, мы докажем
соотношение Gn < Ап.
Пример 12. Доказать неравенство
о
cos t + 3 cos 3* 4- 6 cos 6* > -7 jq- (13)
Доказательство. Предположим противное, что при
некотором значении переменной t выполняется неравенство cos t +
+ 3 cos 3^ + 6 cos 6^ < ~7тт»« Выполним некоторые
преобразования этого неравенства:
о
cos t + 3 cos 3* 4- 6 cos 6t + 6 < -1 jq'>
cos * + 3 cos 3t + 12 cos2 3* < -1 тб>
314 cos2 3* + cos 3t + — I + cos t < -1;
16
i Л2
■ — + cos t < -1.
4 J
Последнее неравенство неверно, поскольку при любых
значениях t выполняются неравенства 3 cos3£ + — > 0 и cos t > -1,
253

а потому 3 cos 3t + — + cos t > -1. Полученное противоречие
означает, что сделанное нами предположение неверно, т. е.
справедливо неравенство (13). В
Пример 13. Доказать неравенство
cos 36° > tg 36°. (14)
Доказательство. Предположим, что cos 36° < tg 36°. Тогда:
cos2 36° < sin 36°;
1 + cos 72° < 2 sin 36°;
1 + sin 18° < 2 sin (30° + 6°);
1 + 2 sin 9° cos 9° < 2(sin 30° cos 6° + sin 6° cos 30°);
1 + 2 sin 9° cos 9° < cos 6° + 2 sin 6° cos 30°.
Последнее неравенство неверно, поскольку 1 > cos 6°, sin 9° > sin 6°,
cos 9° > cos 30° и, следовательно, 1 + 2 sin 9° cos 9° > cos 6° + 2 sin 6° cos 30°.
Полученное противоречие означает, что сделанное нами предположение
неверно, т. е. справедливо неравенство (14). I
4. Доказательство неравенств
методом математической индукции
Пример 14. Доказать, что если п 6 N, п > 3, то
2п > 2п + 1. (15)
Доказательство. При п = 3 неравенство (15) верно:
23 > 2 • 3 + 1. Предположим, что оно верно при п = k (k > 3), т. е.
2k > 2k + 1, и докажем, что тогда оно верно и при п = k + 1, т. е.
докажем, что 2k + 1 > 2(k + 1) + 1.
В самом деле, 2k + 1 = 2 2* > 2(2fc + 1) = 4fc + 2 = (2k + 3) +
+ (2k - 1). Итак, 2k + 1 > (2k + 3) + (2k - 1). Ho 2k - 1 > 0 при
любом натуральном значении k. Следовательно, 2k + 1 > 2k + 3.
Согласно принципу математической индукции, можно сделать
вывод о том, что неравенство (15) справедливо при всех п > 3. ■
Пример 15. Доказать, что для любых действительных
чисел аи #2» •••> ап справедливо неравенство
\ах + а2 4- ... + ап\ < |ai| + \а2\ + ... + \ап\. (16)
254

Доказательство. При п = 2 неравенство (16) принимает
вид \пг + а2\ < |fli| + \a2\. Это верное неравенство, оно было доказано
в § 5 учебника «Алгебра и начала анализа-10».
Предположим, что неравенство (16) верно при п = ft (ft > 2),
т. е.
\ах + а2 + ... + а*| < \аг\ + |а2| + ... + |а*|,
и докажем, что тогда оно верно и при п = ft + 1, т. е. докажем,
что
|«i + а2 + ... + а* + ак + 1\ < [а^ + |а2| + ... + |а*| + |a* + i|.
В самом деле, пусть аг + а2 + ... + ак =Ак. Тогда
\ах + а2 + ... + а* + аА + 1| = |(a2 + а2 + ... + afe) + ал + 1| =
= |Дк + ал + 1| < |Дк| + |ал + 1| = \ах + а2 + ... + а*| + |afe + i| < |ai| +
+ |а2| + ... + \ак\ + |afe + i|.
По принципу математической индукции неравенство (16) верно
для любых действительных чисел аи а2, ..., ап. Ш
Пример 16. Доказать неравенство
tgna> ntga, (17)
если 0 < a < -г, тг» п — натуральное число, п Ф 1.
4(71 - 1)
Доказательство. Проверим справедливость неравенства (17) при
п = 2, т. е. убедимся, что
tg2a>2tga, (18)
я
где 0 < a < -г*
2 tg a tg2 a
В самом деле, tg 2a - 2 tg a = -—7Ч 2 tg a = 2 tg a^—ГТ"'
1 — ц; a 1 — tg a
При 0 < a < -7 имеем tg a > 0, 1 - tg2 a > 0, а значит,
- tg a
Отсюда и следует, что неравенство (18) верно.
Предположим, что неравенство (17) выполняется при п = к (k > 1), т. е.
п
tg ka > k tg а, где 0 < a < цц _ -jy Докажем, что тогда неравенство (17)
выполняется при п = k + 1, т. е.
tg (k + l)a > (k + 1) tg a, (19)
я
где 0 < a < -тг*
гьь

В самом деле,
ч tgfax + tga
a)=
По условию 0 < a < -Туу значит, tg ka < tg -? = 1 и tg a < 1. Но тогда
fetga + tga
О < 1 - tg ka tg a < 1 и, следовательно, i _ tgfav tg >(& + !) tg a.
Неравенство (19) доказано.
По принципу математической индукции заключаем, что неравенство
(17) верно для любых натуральных п > 2. I
Пример 17. а) Доказать, что если положительные числа хи х29 ...,
хп таковы, что хух2 • ... • хп = 1, то ^ + *2 + ... + хп > п.
б) Доказать, что для любого натурального числа п > 2 справедливо
#1 + #2 + ... + On i
неравенство > Ща\а^ • ... • an, где все числа аи а2, ..., ап
положительны (среднее арифметическое п положительных чисел не
меньше их среднего геометрического — неравенство Коши).
Решение, а) Проверим выполнение утверждения для п = 2. Пусть
произведение двух положительных чисел хи х2 равно 1. Поскольку
Х\ + %2 I
2— ^ v*i*2> получаем, что хг + х2 > 2, что и требовалось
установить.
Предположим, что утверждение выполняется для п = k> т. е.
предположим, что если хгх2 • ... • хк = 1, где все множители —
положительные числа, то Xi + х2 + ... + хк > k. Докажем, что тогда из равенства
хгх2 ... • хк • xk + i = 1 следует неравенство хг + х2 + ... + хк + хк + 1> k + 1.
Если Xi = х2 = ... = хк = xk + i = 1, то Xi + х2 + ... + хк + *Л + 1 = Л + 1;
можно записать и так: хх + х2 + ... + :сЛ + *Л + 1 > Л + 1. Значит, в этом
тривиальном случае утверждение выполняется. Если в произведении
XiX2 • ... • xkxk + i не все множители равны 1, то найдется хотя бы одна пара
чисел таких, что одно больше 1, а другое меньше 1; обозначим эти числа
соответственно хк и хк + и а их произведение обозначим Хк.
Имеем ххх2 ... хк-ххкхк + 1 = 1, т. е. ххх2 ... xk-iXk = 1. Поскольку
произведение k положительных чисел равно 1, то по индукционному
предположению их сумма не меньше k:
■v-U-v-U 4--v 4-V>b
Лг\ i Л2 i ... i Лгк-1 i -Л-к ^ Л.
Докажем, что Хк < хк + хк + 1 - 1.
В самом деле, Хк - (хк + хк + 1 - 1) = 1 + *Л*Л + 1 - хк - хк + 1 =
= (хк - 1)(^л + 1 ~ !)• Выше мы отметили, что хк > 1, а хк + 1 < 1. Значит,
(*Л - 1)(** + 1 - 1) < 0, а потому Хк < хк + л:Л + 1 - 1.
А теперь рассмотрим интересующую нас сумму хх + *2 + ... + хк + 1.
Имеем: (хг + х2 + ... + **_!) + (л:А + л:Л+1) > (*,. + jc2 + ... + хк-х) + Хк +
+ 1 > k + 1.
256

По принципу математической индукции утверждение доказано для
любого натурального числа п > 2.
б) Введем обозначение: А = ^пхп2 ... ап. Справедливо равенство
~4~Т---"Т=1- Но тогда, согласно утверждению, доказанному
в пункте а), выполняется неравенство ~т + ~т + ... + -г- > л, т. е.
fl! -Ю2 + ... -Юп _
— ^ Л, что и требовалось доказать. ■
5. Функционально-графические методы
доказательства неравенств
Пример 18. Доказать, что
sin ft + sinfe + ... + sin fn
*8 11 < cos ft + cos ft + ...
если 0 < *! < ^ < ... < tn < |.
Доказательство. Так как в интервале 10; ^ функция
у = sin jc возрастает, а функция у = cos x убывает, то в этом
интервале выполняются следующие соотношения:
0 < sin ti < sin t2 < ... < sin tn>
cos tx > cos t2 > ... > cos tn > 0.
Но тогда
n sin ti < sin tx + sin t2 + ... + sin tn < n sin £л,
д cos tx > cos *! + cos t2 + ... + cos tn> n cos £л,
Aisinfi sinfi + sinfe + ... + sin 4 nsintn
а потому j- < 7^ г f" < г-»
^cosfi cos^i + cost2 + ... + cos 4 ncostn
sin^i -i- sinfe 4-... 4- sin 4
COB ft + 008/2 + .- + 008 fc < tg *л> ЧТ° И ТРеб°ВаЛ0СЬ
доказать. В
Пример 19. Доказать, что tgt-tgu<t-u> если 0 < t < и < т>«
Доказательство. Рассмотрим функцию у = tg х - х на
интервале | 0; — , найдем ее производную: у' = COS2X - 1. На ука-
2 )
9 Алгебра и начала 257
анализа 11 кл.

занном интервале выполняется неравенство у > О, значит,
функция возрастает. Но тогда для любых t и и из этого интервала,
таких, что t < и у выполняется неравенство tg t - t < tg и - и9
откуда и получается требуемое неравенство. ■
Пример 20, Доказать, что для любых значений х
выполняется неравенство Зх4 - вдс3 - 6х2 + 24* + 20 > 0.
Доказательство. Рассмотрим функцию у = f(x), где
f(x) = Зх4 - Sx3 - 6х2 + 24х + 20. Найдем ее производную: f (x) =
= 12*3 - 24х2 - 12* + 24 = 12*2(* - 2) - 12(* - 2) = Щх - 2)(* -
- 1)(х + 1). Эта производная существует при всех значениях х и
обращается в нуль в точках -1, 1, 2. Знаки производной
схематически указаны на рис. 158. Значит, jc = -1hjc = 2 — точки
-1
PUC. 158
1
о
л
1т/
1 9° '■
11
дг
If
±
_
Ff
f
J
Л
/
/
г.
-1
t
.1
о.
\
\
У
1 '.
к
/
=
>
/
4.
1 _
6
+
2
• +
2
0
Рис. 159
минимума, а х = 1 — точка
максимума функции.
Вычислим значения функции в
точках экстремума: /(-1) = 1,
/(1) = 33, /(2) = 28. На рис.
159 схематически (с разными
масштабами по осям
координат) представлен график
функции у = f(x). Замечаем,
что у^ = 1, т. е. для любых
значений х выполняется
неравенство f(x) > 1 и тем
более f(x) > 0, что и
требовалось доказать. ■
§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными
Напомним, что решением уравнения с двумя переменными
р(х; у) = 0 называют всякую пару чисел (х; у)> которая обращает
уравнение в верное числовое равенство. Например,
уравнение (2х - б)2 + (Зу + 12)4 = 0 имеет только одно решение — пару
(3; -4), поскольку сумма двух неотрицательных чисел может
равняться нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое
равно нулю. Но, как правило, решений у уравнения с двумя
переменными бесконечно много. Например, уравнению х2 + у2 = 9
258

удовлетворяет любая пара (х; у), такая, что точка координатной
плоскости М(х; у) принадлежит окружности радиусом 3 с
центром в начале координат (рис. 160). Переход к геометрической
модели — графику уравнения р(х; у) = 0 — является одним из
наиболее удобных приемов решения уравнения с двумя
переменными.
Если дано целое рациональное уравнение с несколькими
переменными и с целочисленными коэффициентами и если
поставлена задача найти целочисленные (или, в более общем случае,
рациональные) его решения, то говорят,
что задано диофантово уравнение (в честь
древнегреческого математика Диофанта).
В большинстве случаев решение дио-
фантовых уравнений сопряжено со
значительными трудностями. Иногда они
преодолеваются с помощью свойств делимости
целых чисел — так будет обстоять дело
в следующих ниже двух примерах. Рис. 160
Пример 1. Найти целочисленные решения уравнения Зх +
+ Ay = 19.
Решение. Выразив из заданного уравнения х> получим:
-3
/
ч
yt
3
О
-3
;2 + у* = 9
N
У
\
)
3
X
х =
19 -4у
Нас интересуют лишь целочисленные решения
уравнения, поэтому целое число 19 - 4у должно делиться без остатка на 3.
Для целого числа у имеются три возможности по отношению
к его делимости на число 3: 1) число у делится на 3, т. е. у = 3k;
2) число у при делении на 3 дает в остатке 1, т. е. у = 3k + 1;
3) число у при делении на 3 дает в остатке 2, т. е. у = 3k + 2.
Если у = 3k, то 19 - 4у = 19 - 12&; это число на 3 не делится
(12& делится на 3, а 19 — нет, значит, разность 19 - 12& не
делится на 3).
Если у = 3k + 1, то 19 - 4у = 19 - 4(3fc 4- 1) = 15 - 12fc =
= 3(5 - 4k); это число делится на 3.
Если у = 3k + 2, то 19 - 4у = 19 - 4(3fc + 2) = 11 - 12fc; это
число не делится на 3.
Итак, нас устраивает единственная возможность: у = 3k + 1;
19 - 4у 3(5 - 4k) е А, о
тогда х = —^—- = ——^—- = 5 - 4k. Значит, целочисленным
о о
решением уравнения служит любая пара вида (5 - 4k; 3k + 1), где
kez.
Чтобы вам был понятнее полученный результат, дадим
параметру k несколько конкретных целочисленных значений.
259

Пусть k = 0; тогда пара (5 - 4k; 3k + 1) превращается в (5; 1).
Подставив значения х = 5, у = 1 в уравнение Зх + 4у - 19,
получим 15 + 4 = 19 — верное равенство.
Пусть k = 1; тогда пара (5 - 4k; 3& + 1) превращается в (1; 4).
Подставив значения х = 1, у = 4 в уравнение Зд; + 4у = 19,
получим 3 + 16 = 19 — верное равенство.
Пусть k = -1; тогда пара (5 - 4k; 3k + 1) превращается в
(9; -2). Подставив значения х = 9, у = -2 в уравнение Зл; + 4у = 19,
получим 27-8=19 — верное равенство.
Так же обстоит дело со всеми остальными целочисленными
значениями параметра k.
Ответ: (5 - 4k; 3k + 1), где k € Z.
Пример 2. Найти целочисленные решения уравнения
9х2 - 4у2 = 17.
Решение. Перепишем уравнение в виде (Зх - 2у\3х + 2) = 17.
Левая часть уравнения представляет собой произведение двух
целых чисел. Это произведение может равняться 17 лишь в
четырех случаях: когда первый множитель равен 1, а второй 17;
когда первый множитель равен -1, а второй -17; когда первый
множитель равен 17, а второй 1; когда первый множитель равен
-17, а второй -1. Значит, задача сводится к решению
совокупности четырех систем уравнений:
[Зх - 2у = 1, {Зх - 2у = -1, 13х - 2у = 17, |3* - 2у = -17,
{Зх + 2у = 17; {Зх + 2у = -17; [Зх + 2у = 1; [Зх + 2у = -1.
Из первой системы находим х = 3, у = 4, из второй — х = -3,
у = -4, из третьей — х = 3, у = -4, из четвертой — х = -3, у = 4.
Ответ: (3; 4), (-3; -4), (3; -4), (-3; 4).
Пример 3. Купили несколько тетрадей в линейку по 8 р. и
в клетку по 13 р., затратив на всю покупку 150 р. Сколько
куплено тетрадей каждого вида?
Решение. Пусть х — число купленных тетрадей в линейку,
а у — число купленных тетрадей в клетку. Тогда математической
моделью задачи служит диофантово уравнение 8jc + 13у = 150.
По смыслу задачи х может принимать значения 1, 2, 3, ..., 18
(значение х = 19 уже не подходит, поскольку 8 19 > 150), а у
может принимать значения 1, 2, 3, ..., 11. Конечно, можно
решить уравнение подбором, но перебор возможных пар (х; у)
состоит из 18 • 11 = 198 вариантов. Некоторые рассуждения
помогут нам упростить этот процесс.
Во-первых, замечаем, что у не может быть нечетным числом,
поскольку при нечетном у левая часть уравнения — нечетное число,
260

150 никак не получится. Значит, для у оставляем такие
возможности: 2, 4, 6, 8, 10. Впрочем, удобнее представить у в виде 2л,
где л = 1, 2, 3, 4, 5.
Во-вторых, переписав уравнение в виде 8л: + 13 • 2л = 150,
т. е. 4л: + 13л = 75, замечаем, что л должно быть нечетным
числом, значит, для л оставляем три возможности: л = 1, 3, 5.
Теперь можно заняться вычислениями. Если л = 1, то из
уравнения 4л: + 13л = 75 находим, что х = 15,5; это нас не устраивает.
Если л = 3, то из уравнения 4л: + 13л = 75 находим, что х = 9; это
нас устраивает. Если л = 5, то из уравнения 4л: + 13л = 75
находим, что х = 2,5; это нас не устраивает.
Итак, х = 9 при л = 3, т. е. при у = 6. Таким образом,
уравнение имеет единственное решение (в натуральных числах): х = 9,
у = 6.
Ответ: куплено 9 тетрадей в линейку и 6 тетрадей в клетку.
Теперь поговорим о решении неравенств вида/К^; У) > 0 (р(х; у) <
< 0), где р(х; у) — алгебраическое выражение. Решением
неравенства р(х; у) > 0 называют всякую пару чисел (л:; у), которая
удовлетворяет этому неравенству, т. е. обращает неравенство
с переменными р(х; у) > 0 в верное числовое неравенство.
Например, пара (2; 1) является решением неравенства 2л: + Зу > 0 (2 • 2 +
4- 3 • 1 > 0 — верное числовое неравенство), а пара (0; -1) не
является решением этого неравенства.
Чтобы найти все решения неравенства с двумя переменными,
чаще всего опираются на график уравнения р(х; у) = 0. Как
рассуждают дальше, покажем на примерах.
Пример 4. Решить неравенство 2х + Зу > 0.
Решение. Графиком уравнения 2л: + Зу = 0 является
прямая, проходящая через начало координат (0; 0) и, например,
точку (3; -2) (координаты обеих точек
удовлетворяют уравнению 2х + 1Ш2х"+Зу = 0-Щ
+ Зу = 0). Эта прямая изображена ШиппнпшпшиА]
на рис. 161. Все решения заданного
неравенства геометрически
изображаются точками полуплоскости,
расположенной либо выше, либо ниже
построенной прямой. Чтобы
правильно выбрать нужную
полуплоскость, возьмем любую точку
одной из них и подставим координаты
такой контрольной точки в
заданное неравенство. Если получится Рыс. 161
261

верное числовое неравенство, то полуплоскость выбрана верно, если
нет, то неверно.
Возьмем в качестве контрольной точку (1; 1) из верхней
полуплоскости и подставим ее координаты в заданное неравенство.
Получим 2 • 1 + 3 • 1 > О — верное числовое неравенство.
Итак, геометрической моделью решений заданного
неравенства является полуплоскость, расположенная выше прямой
2х + Зу = 0 (рис. 161). ■
Пример 5. Решить неравенство ху < 2.
Решение. Если х = 0, то неравенство принимает вид 0 < 2,
это верное неравенство, значит, все точки оси у (прямая х = 0)
принадлежат множеству решений неравенства. Если х > 0, то
2
неравенство ху < 2 можно переписать в виде у < —• Значит, в
правой полуплоскости (при х > 0) следует
взять точки, лежащие ниже правой ветви
2
гиперболы у = — • Если х < 0, то неравенство
2
ху < 2 можно переписать в виде у > —.
Значит, в левой полуплоскости (при х < 0)
следует взять точки, лежащие выше левой ветви
гиперболы. Множество решений неравенства
ху < 2 изображено на рис. 162. ■
Рис. 162
Пример 6. Решить уравнение \у - х2\ = х2 - 2х.
Решение. Если у > х2, то \у - х2\ = у - х2 и заданное
уравнение принимает вид у - х2 = х2 - 2х, т. е. у = 2х2 - 2х. Если
у < х2, то \у - х2\ = -(у - х2) и заданное уравнение принимает вид
-(у - х2) = х2 - 2х9 т. е. у = 2х.
Неравенство у > х2 означает, что нас интересуют точки,
принадлежащие параболе у = х2 и расположенные выше нее (рис. 163).
При этом должно выполняться уравнение у = 2л:2 - 2л:, т. е.
интересующие нас точки должны лежать на параболе у = 2х2 - 2х.
Указанные две параболы пересекаются в точках (0; 0) и (2; 4).
Решения уравнения — точки, принадлежащие выделенной на
рис. 163 части параболы у = 2х2 - 2х.
Неравенство у < х2 означает, что нас интересуют точки,
расположенные ниже параболы у - х2 (рис. 164). При этом должно
выполняться уравнение у = 2х9 т. е. интересующие нас точки
должны лежать на прямой у = 2л:. Решения уравнения — точки,
принадлежащие выделенной на рис. 164 части прямой.
262

\l
I
\
w
i
У
4
4
и
\
>э
i
\
>
l>
/
(C
/
)
л
/
*
i
if/
r,
±
i
f
>
ь
РЫС. 163
PUC. 164
РЫС. 165
Решения заданного уравнения — точки графика уравнения,
представленного на рис. 165. В
Выше мы говорили о решении неравенств с двумя
переменными. Развивая эту линию, можно рассматривать и системы
неравенств с двумя переменными. Решить систему неравенств с
двумя переменными — это значит найти множество всех таких
точек координатной плоскости, координаты которых удовлетворяют
одновременно всем неравенствам системы, т. е. речь идет о
пересечении решений неравенств системы.
Пример 7. Решить систему неравенств
[у > х2 - Ах + 1,
[У < х - 3.
Решение. Надо найти пересечение
множества решений неравенства у > х2 - 4х + 1
(рис. 166) и неравенства у < х - 3 (рис. 167).
Искомое множество решений изображено
на рис. 168 — параболический сегмент. ■
РЫС. 166
|(/А
J 1
1 1^
т
1
Г
1
г
Г"
+
/
Я
/
1
X
A
Mi _
О А
J
/
\j
dill
lilt
iln i^
1
IT
Л ft
F
<f
il
i!
X
7
/
У
}
Q
3
•«
У
1
v
\
/
h
i
—
x2
1,
Л
1
I
4^ + 1
РЫС. 167
РЫС. 168
263

§ 33. Системы уравнений
В курсе алгебры 7—9-го классов вы неоднократно встречались
с системами двух рациональных уравнений с двумя переменными.
Для их решения использовали метод подстановки, метод
алгебраического сложения, метод введения новых переменных,
графический метод. В главе 3 нам встречались системы
показательных и логарифмических уравнений, и мы убедились, что
используются те же методы решения. В этом параграфе мы на ряде
примеров несколько расширим представление о решении систем
уравнений: познакомимся с новыми методами, рассмотрим ранее не
встречавшиеся классы систем уравнений, например
иррациональных и тригонометрических, рассмотрим системы уравнений не
только с двумя переменными.
Определение 1. Если поставлена задача — найти такие пары
значений (х; у), которые одновременно удовлетворяют уравнению
Р(х\ й = Ои уравнению q(x; у) = О, то говорят, что данные
уравнения образуют систему уравнений:
р(х;у) = О,
q(x;y) = 0.
Пару значений (х; у), которая одновременно является
решением и первого, и второго уравнения системы, называют
решением системы уравнений. Решить систему уравнений — значит
найти все ее решения или установить, что решений нет.
Можно говорить и о системе из трех уравнений с тремя
переменными:
Ых;у;г) = О,
\q(x;y;z) = О,
[r(x;y;z) = 0.
В этом случае речь идет об отыскании троек чисел (х; у; г),
удовлетворяющих одновременно всем уравнениям системы. Вообще
можно говорить о системе, содержащей любое число уравнений
с любым числом переменных.
Вы знаете, что основная идея решения уравнения состоит в
постепенном переходе от одного уравнения к другому, более простому,
но равносильному заданному. Если же осуществляется переход
к уравнению-следствию, то обязательна проверка найденных
корней, поскольку среди них могут оказаться посторонние для
заданного уравнения. Так же обстоит дело и при решении систем
уравнений.
264

Определение 2. Две системы уравнений называют
равносильными, если они имеют одни и те же решения или если обе
системы не имеют решений.
Метод подстановки, метод алгебраического сложения и метод
введения новых переменных, которые вы изучили ранее,
абсолютно корректны с точки зрения равносильности. Иными словами,
используя эти методы, мы заменяем одну систему уравнений
другой, более простой, но равносильной первоначальной системе.
Если же в процессе решения системы использовались
неравносильные преобразования (возведение в квадрат обеих частей
уравнения, умножение уравнений системы или преобразования,
которые привели к расширению области определения какого-либо
уравнения системы), то все найденные решения следует
проверить подстановкой в исходную систему.
Пример 1. Решить систему уравнений 3
ху + 24 = —.
У
Решение. Перемножив уравнения системы, получим:
(ху - 6)(ху + 24) = 3L- - y;
(ху - 6)(ху + 24) = х2у2.
Введем новую переменную z = ху. Получим: (z - 6)(z + 24) = z2;
z2 -6z + 242 - 144 = z2; lSz = 144; z = 8.
Итак, перемножив оба уравнения системы, мы получили
довольно простую зависимость между переменными: ху = 8. Это
уравнение рассмотрим совместно с одним из уравнений исходной
системы, например с первым:
Теперь можно воспользоваться методом подстановки.
Выразим из второго уравнения х через у и подставим полученное
выражение вместо х в первое уравнение системы
8 — 6=i/
\У)
265

После упрощений второе уравнение принимает вид уА = 16,
о
откуда получаем: ух = 2, у2 = -2. Используя соотношение х = —,
находим соответственно: хг = 4, х2 = -4.
Итак, получили два решения: (4; 2), (-4; -2). Но поскольку
в процессе решения системы использовался «ненадежный» (с точки
зрения равносильности) метод умножения уравнений системы,
найденные пары значений надо проверить подстановкой в
заданную систему.
Подставив х = 4, у = 2 в уравнения заданной системы, получим:
это два верных числовых равенства.
Подставив х = -4, у = -2 в уравнения заданной системы,
получим:
это тоже два верных числовых равенства.
Значит, обе найденные пары удовлетворяют заданной системе
уравнений.
Ответ: (4; 2); (-4; -2).
Пример 2. Решить систему уравнений
~2х~
[4у2 - 1 = Зу(х - 1).
Решение. Воспользуемся методом введения новой
переменной: z = J—Z—У-. Тогда первое уравнение системы примет вид
z + - = 2. Решим это уравнение:
z2 + 1 = 2z, z2 - 2z + 1 = 0, (z - I)2 = 0, г=1.
Возвращаясь к переменным х9 у, получаем уравнение
= 1.
266

Поработаем с этим уравнением:
^^ = I2, Зх-2у = 2х, х = 2у.
Итак, первое уравнение системы нам удалось заменить более
простым уравнением х = 2у. Рассмотрев его совместно со вторым
уравнением заданной системы, получим более простую систему
уравнений
\х = 2у,
[4у2 - 1 = Зу(х - 1),
для решения которой «напрашивается» метод подстановки,
поскольку уже имеется готовое выражение переменной х через
переменную у. Подставим его во второе уравнение:
4у2 - 1 = Зу(2у -1);
2у2 - Зу + 1 = 0;
#1=1, У2=\.
Поскольку х = 2у, то получаем соответственно: хг = 2, х2 = 1.
Итак, получили два решения: (2; 1), (l;-^). Но поскольку
в процессе решения системы использовался «ненадежный» (с
точки зрения равносильности) метод — возведение в квадрат обеих
частей одного из уравнений, — найденные пары значений надо
проверить подстановкой в заданную систему. Эта проверка показывает,
что посторонних решений нет.
Ответ: (2; 1); (l;i).
Пример 3. Решить систему уравнений
Jsin х sin у = 0,75,
[tgxtgy = 3.
Решение. Имеем:
[sin х sin у = 0,75,
\ sin х sin у _
[cos л: cos у
Применим метод деления: разделим левую часть первого
уравнения системы на левую часть второго уравнения, а правую — на
правую. Получим cos x cos у = ~i- Сразу заметим, что при этом
делении потери решений не произойдет, поскольку обе части
второго уравнения системы, которое мы использовали как бы в
качестве делителя, не могут одновременно обратиться в нуль. Мы
267

получаем более простую (хотя бы по внешнему виду) систему
тригонометрических уравнений
[sin х sin у - 0,75,
[cos л: cos у = 0,25.
Теперь воспользуемся методом алгебраического сложения.
Сложив оба уравнения системы, получим:
sin х sin у + cos x cos у = 1,
т. е. cos (х — у) = 1. Вычтя первое уравнение системы из второго,
получим:
cos х cos у - sin x sin у = 0,25 - 0,75,
т. е. cos (x + у) = -0,5.
Получили более простую систему уравнений:
Jcos (х - у) = 1,
[cos (x + у) = -0,5.
Из первого уравнения находим х - у = 2nk, k € Z, из второго —
х + у= ±-у + 2лд, n e Z.
Удобнее записать полученный результат в виде двух систем
уравнений относительно переменных х и у:
[х - у = 2кк, [х - у = 2nk,
у = —-
2тс
Сложив уравнения первой системы, получим: 2х = 2nk + -«г +
+ 2яд, откуда х = ^ -
Вычтя в первой системе первое уравнение из второго, получим:
2у = -2nk + -g- + 2лл, откуда # = ^ + л(л - k).
Сделав то же самое со второй системой уравнений, получим:
\х = -| + к(п + *),
Ответ:
= | + л(л -
3
k) х - --
*), х - з
где & € Z, n € Z.
268

Пример 4. Составить уравнение параболы у = ах2 + Ъх + с,
если известно, что она проходит через точки (1; 1), (2; 2)
и (-1; 11).
Решение. Речь идет об отыскании коэффициентов a, ft, с.
По условию парабола проходит через точку (1; 1). Подставив
в уравнение у = ах2 + Ьх + с значения х = 1, у = 1, получим:
1 = а • I2 + Ь • 1 + с, т. е.
а + Ь + с = 1.
По условию парабола проходит через точку (2; 2). Подставив
в уравнение у = ах2 + Ьх + с значения * = 2, # = 2, получим:
2 = а 22 + Ь • 2 + с; т. е.
4а + 2Ь + с = 2.
По условию парабола проходит через точку (-1; 11).
Подставив в уравнение у = ах2 + Ъх + с значения х = -1, у = 11, получим:
11 = а (-1)2 + Ь (-1) + с, т. е.
а - Ь 4- с = 11.
В итоге получаем систему из трех уравнений с тремя
переменными а, Ь9 с:
Га + Ь + с = 1,
4а + 2Ь + с = 2,
[а - Ъ + с = 11.
Выразим с из первого уравнения: с = 1 - а - Ь. Подставим
полученное выражение вместо с во второе и третье уравнения
системы:
4а + 2Ь + (1 - а - Ь) = 2;
За + Ь = 1;
и соответственно
а -Ь + (1 - а - Ь) = 11;
-2Ь = 10;
Ь = -5.
Фактически мы получили более простую систему уравнений:
[ = -5,
За+ 6 = 1,
[с = 1 - а - Ъ.
Подставив значение Ъ = -5 во второе уравнение, получим:
а = 2. Подставив найденные значения а = 2, Ь = -5 в третье
уравнение, получим с = 4. Остается подставить найденные значения
а = 2, Ь = -5, с = 4 в уравнение у = ах2 Л- Ьх Л- с.
Ответ: у = 2х2 - Ъх + 4.
269

Пример 5. Три трактора вспахивают поле. Чтобы вспахать
все поле, первому трактору требуется времени на 1 ч больше, чем
второму, и на 2 ч меньше, чем третьему. Первый и третий
тракторы при совместной работе вспашут все поле за 2 ч 24 мин.
Сколько времени уйдет на вспашку поля при совместной работе
трех тракторов?
Решение. Первый этап. Составление математической
модели.
Напомним, что если речь идет о выполнении некоторой работы,
не охарактеризованной в количественном плане, т. е. не сказано,
сколько деталей надо сделать, сколько гектаров земли вспахать
и т. д., то объем работы считают равным 1, а части работы
выражают в долях единицы.
Пусть х ч — время, необходимое первому трактору, чтобы
вспахать поле в одиночку;
у ч — время, необходимое второму трактору, чтобы вспахать
поле в одиночку;
2ч — время, необходимое третьему трактору, чтобы вспахать
поле в одиночку.
Тогда, согласно условиям задачи, х-у=19г-х = 2.
Если все поле (т. е. 1) первый трактор может вспахать за х ч,
то за 1 ч он вспашет часть поля, выражаемую дробью —:
— — часть поля, которую вспашет первый трактор за 1 ч.
Аналогично,
— — часть поля, которую вспашет второй трактор за 1 ч;
У
1 л
— — часть поля, которую вспашет третий трактор за 1 ч.
По условию, работая вместе, первый и третий тракторы вспа-
12
хали все поле за 2 ч 24 мин, т. е. за -=- ч. Это значит, что
о
5 \х 2) "А> *•*• х т z ~ 12'
В итоге получаем систему из трех уравнений с тремя
переменными:
х - у = 1,
2 - X = 2,
I + i = А.
U 2 12
270

Второй этап. Работа с составленной моделью.
Воспользуемся методом подстановки. Выразим г через х из
второго уравнения системы: г = х + 2. Подставим выражение х + 2
вместо z в третье уравнение системы: — + ——« = тт*. Решая это
рациональное уравнение, последовательно получаем:
1Щх+2> \ш _ 5*х+2>
х + х + 2 ~ 12 ;
12л: + 24 + 12* = 5л:2 + 10*;
5л:2 - 14* - 24 = 0;
у. -Л у __6
Х\ — ^»> Jv2 ^ "е" •
Оба найденных значения удовлетворяют условиям неравенства
нулю знаменателей алгебраических дробей: х + 2 Ф 0, л: * 0, — т. е.
являются корнями рационального уравнения.
Осталось найти соответствующие значения у и г. Для этого
воспользуемся уравнениями х-у=1иг-х = 2.
Если л: = 4, то из этих уравнений находим: у = 3, г = 6; если
л: = -f, то из тех же уравнений находим: i/ = — \-» z == 4-
о о о
Итак, составленная система уравнений имеет два решения:
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
Во-первых, по смыслу задачи отрицательные значения
переменных нас не устраивают, следовательно, оставляем только одну
тройку значений (4; 3; 6).
Во-вторых, нас спрашивают, сколько времени уйдет на вспашку
поля при совместной работе трех тракторов? Будем рассуждать так.
За 1 ч первый трактор вспашет -j часть поля, второй — ^,
третий — ^. Значит, при совместной работе они вспашут за 1 ч
часть поля, выражаемую суммой трех дробей, т- е- 4 + з + 6'
а за t ч — соответственно *h[ + ^ + 6'T#e' 4 " ^сли они вспа"
шут все поле, то —• = 1, откуда t = т>.
Осталось лишь уточнить, что ^ ч = 1 ч 20 мин.
Ответ: 1 ч 20 мин.
271

Пример 6. Найти четыре числа, удовлетворяющие
следующим условиям: первые три из них образуют конечную
геометрическую прогрессию, последние три образуют конечную
арифметическую прогрессию, сумма всех чисел равна 28, четвертое число
больше первого на 14.
Решение. Первый этап. Составление математической
модели.
Обозначим искомые числа буквами х9 у9 z9 t.
По условию числа х9 у9 z образуют конечную геометрическую
прогрессию. Согласно характеристическому свойству
геометрической прогрессии, это означает, что
У2 = Х2.
По условию числа у, z9 t образуют конечную арифметическую
прогрессию. Согласно характеристическому свойству
арифметической прогрессии, это означает, что
2г = у + t.
Кроме того, из условия следует, что x + y + z + t = 28, а
t - х = 14.
Таким образом, мы составили систему из четырех уравнений
с четырьмя переменными:
У2 = Х29
2z = у + t9
x + y + z + t = 289
t - х = 14.
Второй этап. Работа с составленной моделью.
Воспользуемся методом подстановки. Выразим t через х из
четвертого уравнения системы: t = х + 14. Подставим выражение
х + 14 вместо t во второе и третье уравнения системы. Получим:
У2 = xz9
2z = у + (х + 14),
х + у + z + (х + 14) = 28,
У2 = xz9
т. е.
2z = у + х + 14,
2х + у + z = 14.
Снова воспользуемся методом подстановки. Выразим z через
х и у из третьего уравнения системы: z = 14 - 2х - у. Подставим
выражение 14 - 2х - у вместо z в первое и второе уравнения
системы. Получим:
272

IV = x(14 - 2x - y),
[2(14 - 2x - у) = у + x + 14,
JV = x(14 - 2x - y),
т. e. i
[5x + Sy = 14.
В третий раз воспользуемся методом подстановки. Выразим у
14- 5*
через * из второго уравнения системы: у = —^—; подставим это
выражение вместо у в первое уравнение системы:
\ / \ /
(14 - 5*)2 = 9(14* - 2*2) - 3(14* - 5*2);
196 - 140* + 25*2 = 126* - 18*2 - 42* + 15*2;
28*2 - 224* + 196 = 0;
*2 - 8* + 7 = 0;
*! = 1, *2 = 7.
Если * = 1, то
_ 14-5* _ 14-5
г= 14-2х-у = 14 -2-3 = 9;
t = х + 14 = 1 + 14 = 15.
Если * = 7, то
14-5* 14-35
у = —з— = —з— = ~7;
г = 14 - 2* - у = 14 - 14 + 7 = 7;
t = х + 14 = 7 + 14 = 21.
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.
Мы нашли две четверки чисел: 1, 3, 9, 15 и 7, -7, 7, 21. Обе
удовлетворяют всем четырем условиям задачи.
Ответ: 1, 3, 9, 15 или 7, -7, 7, 21.
§ 34. Задачи с параметрами
Если дано уравнение f(x; a) = 0, которое надо решить
относительно переменной * и в котором буквой а обозначено
произвольное действительное число, то f(x; a) = 0 называют
уравнением с параметром а. Основная трудность, связанная с
решением уравнений (и тем более неравенств) с параметром,
состоит в следующем. При одних значениях параметра уравнение
273

не имеет корней, при других — имеет бесконечно много корней,
при третьих — оно решается по одним формулам, при четвертых —
по другим. Как все это учесть? Сразу скажем, что решению
уравнений и неравенств с параметрами посвящено большое количество
учебно-методической литературы. Наша задача весьма скромна:
завершая изучение курса алгебры и начал анализа, дать вам
некоторое представление о том, как рассуждают при решении
уравнений и неравенств с параметрами. Для этого рассмотрим ряд
примеров. В них всюду речь идет только о действительных
решениях уравнений и неравенств.
Пример 1. Решить относительно х:
а) уравнение 2а(а - 2)х = а - 2;
б) неравенство 2а(а - 2)х > а - 2.
Решение, а) Обычно корень уравнения вида Ъх - с мы
находим без труда: х = ^ , — поскольку в конкретном уравнении
коэффициент Ъ обычно отличен от нуля. В заданном уравнении
коэффициент при х равен 2а(а - 2). Значение параметра а нам
неизвестно, и, в принципе, оно может быть любым. Поэтому
следует подстраховаться, т. е. сначала предусмотреть возможность
обращения указанного коэффициента в нуль.
Рассмотрим следующие случаи:
1) а = 0; 2) а = 2; 3) а Ф 0, а * 2.
В первом случае (при а = 0) заданное уравнение принимает
вид 0 • х = -2; это уравнение не имеет корней.
Во втором случае (при а = 2) заданное уравнение принимает
вид 0 • х = 0; этому уравнению удовлетворяют любые значения
переменной х.
В третьем случае (при а * 0, а * 2) коэффициент при х отличен
от нуля и, следовательно, на этот коэффициент можно разделить
обе части уравнения. Получим х = 2а(а-2)9 т# е# х ~ ~2а'
б) Решая неравенство, нужно учитывать знак коэффициента
при х. Поэтому для решения заданного неравенства нужно
рассмотреть не три случая, как это было в пункте а), а пять:
1) а = 0; 2) а = 2; 3) а < 0; 4) 0 < а < 2; 5) а > 2.
В первом случае (при а = 0) заданное неравенство принимает
вид 0 • х > -2; этому неравенству удовлетворяют любые значения
переменной х.
Во втором случае (при а = 2) заданное неравенство принимает
вид 0 • х > 0; это неравенство не имеет решений.
274

В третьем случае (при а < 0) коэффициент 2а(а - 2)
положителен, значит, деля на него обе части заданного неравенства, знак
неравенства следует оставить таким, каким он был:
а-2 1
>
х>
2а(а - 2)
Сразу заметим, что так же будет обстоять дело и в пятом
случае (при а > 2). В этом случае, как и в третьем, коэффициент
2а(а - 2) положителен и, решая заданное неравенство, получим
Осталось рассмотреть четвертый случай, когда 0 < а < 2.
В этом случае коэффициент 2а(а - 2) отрицателен, значит, деля
на него обе части заданного неравенства, знак неравенства следует
изменить на противоположный:
а-2 1
х< 2а'(а^2)>'г'е-х< &•
Ответ: а) Если а = 0, то корней нет; если а = 2, то х — любое
действительное число; если а*0иа*2, тох= тр. б) Если а = 2,
то решений нет; если а - 0, то х — любое действительное число;
если а < 0 или а > 2, то х > -~-; если 0 < а < 2, то л: < у.
Пример 2. Решить уравнение
(а - 1)х2 + 2(2а + 1)х + (4а + 3) = 0.
Решение. По виду это уравнение представляется
квадратным. Но (внимание!) значение параметра а нам неизвестно,
и оно вполне может оказаться равным 1; в этом случае коэффициент
при х2 обращается в нуль и уравнение квадратным не является,
оно будет линейным. Квадратные и линейные уравнения решаются
по различным алгоритмам.
Итак, нам следует рассмотреть два случая: а = 1 и а * 1.
В первом случае (при а = 1) уравнение принимает следующий
вид: 0 • х2 + 2 Зх + 7 = 0, т. е. 6х + 7 = 0. Решив это линейное
уравнение, получим: х = -^.
Во втором случае (при а * 1) мы имеем квадратное уравнение
(а - 1)х2 + 2(2а + 1)х + (4а + 3) = 0.
Найдем его дискриминант:
D = (2(2а + I))2 - 4(а - 1)(4а + 3) = 4(4а2 + 4а + 1) -
- 4(4а2 - а - 3) = 20а + 16 = 4(5а + 4).
Итак, D = 4(5а + 4).
275

Дальнейшие рассуждения зависят от знака дискриминанта.
Если D < О, то квадратное уравнение не имеет действительных
корней; если D = 0, то уравнение имеет один корень; если D > О,
то уравнение имеет два действительных корня. Дискриминант
обращается в нуль при а = -•?, положителен при а > -^,
отрицателен при а < - ■=■. Именно эти три случая нам и предстоит
о
теперь рассмотреть.
Начнем со случая, когда а < -jr. В этом случае D < О и,
следовательно, квадратное уравнение не имеет корней.
Пусть теперь а > --f (но, напомним, а * 1). В этом случае D > О
о
и, следовательно, квадратное уравнение имеет два корня, которые
мы найдем по известной формуле корней квадратного уравнения:
_ -(2а + 1) ± У5а + 4
Xl2 5^
Осталось рассмотреть случай, когда а = --g-. Используя
написанную формулу для корней квадратного уравнения, получаем:
5 Х "5
7 4 1
Ответ: если а = 1, то jc = -^; если а = --£, то jc = -■« ; если
О О о
а < -$, то корней нет; если а > -■=■ (но а * 1), то
о о
-(2а + 1) ± У5а + 4
Xl«a" а-1
Пример 3. Решить уравнение у/х - а = 2а - х.
Решение. Сначала будем действовать по стандартной схеме —
возведем обе части заданного иррационального уравнения в
квадрат и решим полученное квадратное уравнение:
х - а = 4а2 - 4ал: + х2;
х2 - (4а + 1)х + 4а2 + а = 0.
Найдем дискриминант: D = (4а + I)2 - 4(4а2 + а) = 4а + 1.
Значит,
_ 4а + 1 ± >/4а + 1
276

При D < О, т. е. при а < -4, корней нет. Если D = О, т. е.
а = --г, получим: х = 0. Сразу замечаем, что в этом случае
исходное уравнение обращается в неверное равенство J— = —«.
Значит, в этом случае корней нет.
Рассмотрим случай D > 0, т. е. а > --г, когда квадратное
уравнение имеет два корня.
Надо выполнить проверку, подставляя поочередно каждый из
найденных выше корней в исходное уравнение. Эта проверка, как
нетрудно догадаться, будет весьма и весьма сложной. Мы выберем
другой путь: построим графики функций у = у/х-а и у = 2а - х и
найдем точки их пересечения. При этом целесообразно рассмотреть
три случая:
а = 0, -i < а < 0, а > 0.
В первом случае (при а = 0) заданное уравнение принимает вид
у[х = -х. Построив графики функций у = \[х, у = -х (рис. 169),
убеждаемся, что они имеют одну общую точку (0; 0), а потому
уравнение имеет только один корень х = 0.
Во втором случае (при - -т < а < 0)
графики функций у = 2а-хиу= \1х - а
не пересекаются (рис. 170); значит,
заданное уравнение не имеет корней.
В третьем случае (при а > 0) графики
функций у = 2а-хиу= yjx - а
пересекаются в одной точке (рис. 171); значит, заданное уравнение
имеет один корень. Следовательно, из двух полученных выше
корней один является посторонним. Какой? Ответ можно почерпнуть
V
\
о
\
1С
X
Рис. 169
я
1
г
Г
Уь
о
S
[зс
.—-
-—
а
X
\
У\
S
о
\
ч
У
1^1
^^
п
1
•>
1
1
s:
PUC. 170
РЫС. 171
277

из графической иллюстрации, представленной на рис. 171. Абсцисса
точки пересечения графиков меньше, чем 2а (2а — абсцисса точки
пересечения прямой у = 2а - х с осью х). Из двух найденных корней
I ;
1 2 2
чем 2а; чтобы в этом убедиться, достаточно переписать второй
корень в виде х2 = 2а +
-. Значит, #2 — посторонний
корень.
Итак, если а > О, то заданное уравнение имеет один корень:
х =
4а + 1 -
Ответ: если а < 0, то корней нет; если а = 0, то Jt = 0; если
4а + 1 - V4a + 1
а > 0, то jc =
Замечание. В только что решенном примере ответ можно записать
компактнее. Дело в том, что записанная при а > 0 формула корня
уравнения пригодна и для случая а = 0: если а = 0, то по указанной
формуле получаем х = 0. Поэтому ответ можно было записать так: если
а < 0, то корней нет; если а > 0, то х =
4а + 1 -
Пример 4. При каких значениях параметра а корни
уравнения 2ах2 - 2х - За - 2 = 0 меньше 1?
Решение. Если а = 0, то уравнение принимает вид -2х -
-2 = 0; корень этого уравнения х = -1 удовлетворяет заданному
условию, он меньше 1.
Если а Ф 0, то заданное уравнение является квадратным.
Графиком функции у = f(x), где f(x) = 2ах2 - 2х - За - 2, является
парабола с ветвями вверх, если 2а > 0, и ветвями вниз, если 2а < 0.
Поскольку корни уравнения, по условию, должны быть меньше 1,
упомянутая выше парабола должна располагаться в координатной
плоскости так, как изображено на рис. 172 (для случая 2а > 0)
или на рис. 173 (для случая 2а < 0).
\кУ
\\
\
\
К
К
>
1
-
/
I /
/
\ b
т /
/1
^1
г.
f = f(x)
(1
)
X
Vi
Q
i
T
к
\
\
/
Х\
ч
1
1
X
\!
Л
ч т
\ 7
(1
)-
(х
\л
X
PUC. 172
PUC. 173
278

Дадим аналитическое описание геометрической модели,
представленной на рис. 172. Во-первых, напомним, при 2а > О ветви
параболы направлены вверх. Во-вторых, парабола обязательно
пересекается с осью абсцисс (в крайнем случае касается ее),
иначе у квадратного уравнения не будет корней. Корни есть,
значит, дискриминант D неотрицателен, т. е. D > 0. В-третьих,
в точке х = 1 имеем /(1) > 0. В-четвертых, f (1) > 0, поскольку
касательная к параболе в точке х = 1 составляет с осью абсцисс
острый угол.
Итак, получаем систему неравенств — аналитическую модель,
дающую описание геометрической модели, представленной на
рис. 173:
2а > 0,
' /(1) > 0,
ГО) > о.
Аналогичные рассуждения позволяют составить вторую
систему неравенств — аналитическую модель, дающую описание
геометрической модели, представленной на рис. 174:
2а < 0,
Z)>0,
/d) < 0,
/'(1) < 0.
Решим первую систему неравенств. Составим выражение для
дискриминанта D квадратного трехчлена 2ах2 - 2х - За - 2:
D = 4 - 4 2а (-За - 2) = 24а2 + 16а + 4.
Составим выражение для /(1):
/(1) = 2а I2 - 2 1 - За - 2 = -а - 4.
Составим выражение для f(l):
f(x) = 2а 2х - 2 = 4а* - 2;
Г0) = 4а - 2.
Таким образом, первая система неравенств имеет следующий
вид:
2а > 0,
24д2 + 16а + 4 > 0,
-а - 4 > 0,
4а - 2 > 0.
279

Эта система не имеет решений, поскольку из первого ее
неравенства получаем а > О, а из третьего получаем а < -4,
что не может одновременно выполняться ни при каких
значениях а.
Вторая система неравенств имеет следующий вид:
2а < О,
24а2 + 16а + 4 > О,
-а - 4 < О,
4а - 2 < 0.
Сразу обратим внимание на то, что квадратный трехчлен
24а2 + 16а + 4 имеет отрицательный дискриминант (D = 162 -
- 4 • 4 • 24 < 0) и положительный старший коэффициент. Значит,
при всех значениях а выполняется неравенство 24а2 + 16а + 4 > 0,
а потому квадратное неравенство в данной системе неравенств
можно отбросить. Далее имеем:
а < 0,
а > -4,
•4
Решение этой системы достаточно очевидно: -4 < а < 0.
Итак, мы нашли все интересующие нас значения параметра а:
а = 0; -4 < а < 0.
Ответ: -4 < а < 0.

ПРИЛОЖЕНИЕ
Таблица значений функций ф и Ф
X
0,00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
0,10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
0,20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
0,30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
Ф(*)
0,3989
3989
3989
3988
3986
3984
3982
3980
3977
3973
0,3970
3965
3961
3956
3951
3945
3939
3932
3925
3918
0,3910
3902
3894
3885
3876
3867
3857
3847
3836
3825
0,3814
3802
3790
3778
3765
3752
3739
3726
3712
3697
Ф(х)
0,0000
0040
0080
0120
0160
0199
0239
0279
0319
0359
0,0398
0438
0478
0517
0557
0596
0636
0675
0714
0753
0,0793
0832
0871
0910
0948
0987
1026
1064
1103
1141
0,1179
1217
1255
1293
1331
1368
1406
1443
1480
1517
х
0,40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
0,50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
0,60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
0,70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
Ф(*)
0,3683
3668
3653
3637
3621
3605
3589
3572
3555
3538
0,3521
3503
3485
3467
3448
3429
3410
3391
3372
3352
0,3332
3312
3292
3271
3251
3230
3209
3187
3166
3144
0,3123
3101
3079
3056
3034
ЗОН
2989
2966
2943
2920
Ф(х)
0,1554
1591
1628
1664
1700
1736
1772
1808
1844
1879
0,1915
1950
1985
2019
2054
2088
2123
2157
2190
2224
0,2257
2291
2324
2357
2389
2422
2454
2486
2517
2549
0,2580
2611
2642
2673
2703
2734
2764
2794
2823
2852
х
0,80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
0,90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
1,00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
1,10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Ф(*)
0,2897
2874
2850
2827
2803
2780
2756
2732
2709
2685
0,2661
2637
2613
2589
2565
2541
2516
2492
2468
2444
0,2420
2396
2371
2347
2323
2299
2275
2251
2227
2203
0,2179
2155
2131
2107
2083
2059
2036
2012
1989
1965
Ф(х)
0,2881
2910
2939
2967
2995
3023
3051
3078
3106
3133
0,3159
3186
3212
3238
3264
3289
3315
3340
3365
3389
0,3413
3438
3461
3485
3508
3531
3554
3577
3599
3621
0,3643
3665
3686
3708
3729
3749
3770
3790
3810
3830
281

X
1,20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
1,30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
1,40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
1,50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
1,60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
Ф(*)
0,1942
1919
1895
1872
1849
1826
1804
1781
1758
1736
0,1714
1691
1669
1647
1626
1604
1582
1561
1539
1518
0,1497
1476
1456
1435
1415
1394
1374
1354
1334
1315
0,1295
1276
1257
1238
1219
1200
1182
1163
1145
1127
0,1109
1092
1074
1057
1040
1023
1006
0989
0973
0957
Ф(х)
0,3849
3869
3888
3907
3925
3944
3962
3980
3997
4015
0,4032
4049
4066
4082
4099
4115
4131
4147
4162
4177
0,4192
4207
4222
4236
4251
4265
4279
4292
4306
4319
0,4332
4345
4357
4370
4382
4394
4406
4418
4429
4441
0,4452
4463
4474
4484
4495
4505
4515
4525
4535
4545
X
1,70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
1,80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
1,90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
2,00
02
04
06
08
10
12
14
16
18
2,20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
Ф(*)
0,0940
0925
0909
0893
0878
0863
0848
0833
0818
0804
0,0790
0775
0761
0748
0734
0721
0707
0694
0681
0669
0,0656
0644
0632
0620
0608
0596
0584
0573
0562
0551
0,0540
0519
0498
0478
0459
0440
0422
0404
0387
0371
0,0355
0339
0325
0310
0297
0283
0270
0258
0246
0235
Ф{х)
0,4554
4564
4573
4582
4591
4599
4608
4616
4625
4633
0,4641
4649
4656
4664
4671
4678
4686
4693
4699
4706
0,4713
4719
4726
4732
4738
4744
4750
4756
4761
4767
0,4772
4783
4793
4803
4812
4821
4830
4838
4846
4854
0,4861
4868
4875
4881
4887
4893
4898
4904
4909
4913
Продолжение
х
2,40
42
44
46
48
50
52
54
56
58
2,60
62
64
66
68
70
72
74
76
78
2,80
82
84
86
88
90
92
94
96
98
3,00
3,10
3,20
3,30
3,40
3,50
3,60
3,70
3,80
3,90
4,00
4,50
5,00
Ф(*)
0,0224
0213
0203
0194
0184
0175
0167
0158
0151
0143
0,0136
0129
0122
0116
ОНО
0104
0099
0093
0088
0084
0,0079
0075
0071
0067
0063
0060
0056
0053
0050
0047
0,00443
00327
00238
00172
00123
00087
00061
00042
00029
00020
0,0001338
0000160
0000015
таблицы
Ф(х)
0,4918
4922
4927
4931
4934
4938
4941
4945
4948
4951
0,4953
4956
4959
4961
4963
4965
4967
4969
4971
4973
0,4974
4976
4977
4979
4980
4981
4982
4984
4985
4986
0,49865
49903
49931
49952
49966
49977
49984
49989
49993
49995
499968
499997
49999997

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгебраическая форма комплексного
числа 67
Алгоритм извлечения корня п-й
степени из комплексного числа 74
— использования функции у = cp(x)
в приближенных вычислениях 195
у = Ф(х) в приближенных
вычислениях 196
Аргумент комплексного числа 67
Биномиальное распределение 176
Варианта измерения 181
Вероятность 162
Внесение множителя под знак
радикала 47
Возведение корня в натуральную
степень 43
Возвратное уравнение 27
Вынесение множителя за знак
радикала 46
Выравнивающая функция 192
Гауссова кривая 191
Геометрический смысл определенного
интеграла 153
Горизонтальная асимптота 88
График логарифмической функции 106
— показательной функции 88
Геометрическая вероятность 164
Гистограмма распределения 184
Деление многочлена на многочлен 7
Десятичный логарифм 105
Диофантово уравнение 259
Дисперсия 190
Дифференцирование 141
— логарифмической функции 138,
139
— показательной функции 139
— степенной функции 59
Задача о вычислении массы стержня 150
площади криволинейной
трапеции 149
перемещении точки 151
Закон больших чисел 200
Интегрирование 141
Иррациональное выражение 46
Иррациональные неравенства 244
— уравнения 55, 237
Квадратный трехчлен 5
Классическая вероятностная схема
162
Комплексно-сопряженные числа 68
Корень многочлена 10
— п-й степени из комплексного
числа 71
— п-й степени из неотрицательного
числа 33
— п-й степени, свойства 40—44, 46
— нечетной степени п из
отрицательного числа 35
Кратность варианты 181
Кривая нормального распределения
193
Криволинейная трапеция 149
Логарифм 103
—, свойства логарифмов 112—119
Логарифмирование 104
283

Логарифмическая кривая 106
— функция 105
— функция, свойства 107—108
Логарифмические неравенства 127
— уравнения 121
Мантисса десятичного логарифма 117
Медиана ряда данных 187
Меры центральной тенденции 189
Методы решения логарифмических
уравнений 124
показательных уравнений 95
Многоугольник распределения 177,183
Мода ряда данных 187
Натуральный логарифм 136
Неопределенные коэффициенты
многочлена 6
Неопределенный интеграл 147
Неприведенный многочлен 5
Неравенства с модулями 232, 234
Неравенство Коши 246
Несовместные события 173
Область допустимых значений
переменной (область определения
уравнения) 204
Объем ряда данных измерения 187
Однородная система уравнений 20
Однородное уравнение 18
Однородный многочлен 18
Определенный интеграл 152
— —, вычисление площадей
плоских фигур 159—161
, геометрический смысл 153
, свойства 158
, физический смысл 153
Основная теорема алгебры 75
Первообразная 141
Площадь криволинейной трапеции 150,
153
Показательная функция 88
Показательные неравенства 99
— уравнения 93
Посторонний корень уравнения 202
Потенцирование 115
Правила отыскания первообразных 143
— интегрирования 148
Пределы интегрирования 152
Приведенный многочлен 5
Производная логарифмической
функции 138, 139
— показательной функции 139
— степенной функции 59
Процентная частота варианты 182
Равносильные неравенства 219
— системы уравнений 265
— уравнения 201
Размах измерения 187
Решение неравенства 218
с двумя переменными 261
— системы неравенств 222
— уравнения с двумя переменными
258
Свободный член многочлена 5
Симметрическая система уравнений
23
Симметрический многочлен 22
Симметрическое уравнение 23
Система двух уравнений с двумя
переменными 264
— неравенств 222
Следствие неравенства 219
— уравнения 202
Совокупность неравенств 222
— уравнений 24
Среднее арифметическое 253
данных измерения 187
— гармоническое 253
— геометрическое 253
— квадратическое отклонение 190
— квадратическое чисел 253
Стандартная тригонометрическая
форма комплексного числа 67
Стандартный вид многочлена 5
Старший член многочлена 5
Статистическая вероятность события
200
— устойчивость 200
Степенная функция с рациональным
показателем 56
, свойства 57—60
Степень многочлена 5
— с отрицательным дробным
показателем 53
284

— с положительным дробным
показателем 51
Схема Вернул ли 171
— Горнера 10
Таблица неопределенных интегралов
147
— первообразных 142
— распределения кратностей данных
измерения 181
частот 182
Теорема Бернулли 171
— о делении многочлена с остатком
(теорема Безу) 9
корнях кубического уравнения
77
первообразных функции 145
рациональном корне
приведенного уравнения с целыми
коэффициентами 25
тождественности двух
многочленов 6
целом корне многочлена с
целыми коэффициентами 13
Теоремы о равносильности неравенств
220
уравнений 203
— — разложении многочленов на
множители 15, 78—80
Тригонометрическая форма
комплексного числа 67
Уравнения с модулями 227—232
параметрами 273
Физический смысл определенного
интеграла 153
Формула Кардано 78
— Муавра 69
— корня л-й степени из
комплексного числа 71
— Ньютона — Лейбница 156
Характеристика десятичного
логарифма 117
Частота варианты 181
Число е 133
Экспонента 88

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие для учителя 3
Глава 1. Многочлены
§ 1. Многочлены от одной переменной 5
§ 2. Многочлены от нескольких переменных 15
§ 3. Уравнения высших степеней 24
Глава 2. Степени и корни. Степенные функции
§ 4. Понятие корня п-й степени из действительного числа 31
§ 5. Функции у = yfxf их свойства и графики 36
§ 6. Свойства корня п~й степени 40
§ 7. Преобразование иррациональных выражений 46
§ 8. Понятие степени с любым рациональным показателем 50
§ 9. Степенные функции, их свойства и графики 56
§ 10. Извлечение корней из комплексных чисел 67
Глава 3. Показательная и логарифмическая функции
§ 11. Показательная функция, ее свойства и график 81
§ 12. Показательные уравнения 93
§ 13. Показательные неравенства 99
§ 14. Понятие логарифма 102
§ 15. Логарифмическая функция, ее свойства и график 105
§ 16. Свойства логарифмов 112
§ 17. Логарифмические уравнения 121
§ 18. Логарифмические неравенства 127
§ 19. Дифференцирование показательной и логарифмической
функций 132
глава 4. Первообразная и интеграл
§ 20. Первообразная и неопределенный интеграл 140
§ 21. Определенный интеграл 149
Глава 5. Элементы теории вероятностей
и математической статистики
§ 22. Вероятность и геометрия 162
§ 23. Независимые повторения испытаний с двумя исходами .... 170
§ 24. Статистические методы обработки информации 179
§ 25. Гауссова кривая. Закон больших чисел 191
286

глава 6. Уравнения и неравенства.
Системы уравнений и неравенств
§ 26. Равносильность уравнений 201
§ 27. Общие методы решения уравнений 211
§ 28. Равносильность неравенств 218
§ 29. Уравнения и неравенства с модулями 227
§ 30. Иррациональные уравнения и неравенства 237
§ 31. Доказательство неравенств 246
§ 32. Уравнения и неравенства с двумя переменными 258
§ 33. Системы уравнений 264
§ 34. Задачи с параметрами 273
Приложение 281
Предметный указатель 283

Учебное издание
Мордкович Александр Григорьевич
Семенов Павел Владимирович
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
11 класс
В двух частях
Часть 1
УЧЕБНИК
для общеобразовательных учреждений
(профильный уровень)
Генеральный директор издательства М. И. Безвиконная
Главный редактор К, И, Куровский
Редактор С. Б. Бахтина
Оформление и художественное редактирование: Г. С. Богданова
Технический редактор И. Л. Ткаченко
Корректоры Л. С. Щербакова, Д. А. Ефремова
Компьютерная верстка: А. А. Горкин
Санитарно-эпидемиологическое заключение
№ 77.99.02.953.Д.000389.01.06 от 25.01.06.
Формат 60x90V16- Бумага офсетная № 1. Гарнитура «Школьная».
Печать офсетная. Усл. печ. л. 18,0. Тираж 10 000 экз. Заказ №6986
ИОЦ «Мнемозина». 105043, Москва, ул. 6-я Парковая, 29 6.
Тел.: (495) 367-54-18, 367-56-27, 367-67-81; факс: (495) 165-92-18.
E-mail: ioc@mnemozina.ru
Торговый дом «Мнемозина». Тел./факс: (495) 783-82-84, 783-82-85, 783-82-86.
E-mail: td@mnemozina.ru
Отпечатано в ОАО «ИПК "Ульяновский Дом печати"».
432980, г. Ульяновск, ул. Гончарова, 14.
Магазин «Мнемозина»
производит мелкооптовую и розничную продажу книг по адрес]
Москва, ул. 6-я Парковая, д. 29 б (м. «Первомайская»).
Телефон для справок: (495) 367-58-18

ПРЕДЛАГАЕТ
учебные и методические издания
ПО МАТЕМАТИКЕ
для 5 — П классов
МАТЕМАТИКА. УМК для 5, 6 классов
Учебник (Н. Я. Ъихенкин и др.), рабочая тетрадь, математические диктанты, контрольные
работы, математический тренажер, методические рекомендации.
Учебник (И. И. Зубарева, А. Г. Мордкович), рабочая тетрадь, тетрадь для контрольных работ,
самостоятельные работы, блицопрос, тесты, методическое пособие.
АЛГЕБРА. УМК для 7, В, 9 классов
Ч. 1 — учебник (А. Г. Мордкович), ч. 2 — задачник (А. Г. Мордкович и др.), рабочая тетрадь,
контрольные работы, самостоятельные работы, дополнительные параграфы к курсу алгебры
(«События. Вероятности. Статистическая обработка данных»), тесты, блицопрос, методическое пособие.
Углубленное изучение
Учебник (Ю. Н. Макарычев и др.) — 7,8,9 кл.; учебник (А. Г. Мордкович) — 8.9 кл.; задачник
(Л. И. Звавич, А Р. Рязановасий) — 8,9 кл.
АЛГЕБРА и НАЧАЛА АНАЛИЗА. УМК для 10 - 11 классов
Базовый уровень
Ч. 1 — учебник (А. Г. Мордкович), ч. 2 — задачник (А. Г. Мордкович и др.), контрольные работы,
самостоятельные работы, тематические тесты и злчеты, методическое пособие.
Учебник (Ю.М. Калягин и др.), дидактические материалы(М И. Шабушш и др.), методические
рекомендации (Н. Е. Федорова, М В. Ткачева).
Профильный уровень
Ч. 1 — учебник (А. Г. Мордкович, П. В. Семенов), ч. 2 — задачник (А. Г. Мордкович и др.),
контрольные работы, методическое пособие.
Углубленное изучение
Учебник «Алгебра и математический анализ» (Н. Я. Ъиленкин и др.).
МАТЕМАТИКА. УМК для 10-11 классов
Базовый уровень
Учебник (А. Г. Мордкович, И. At Смирнова), дидактические материалы, методическое пособие.
ГЕОМЕТРИЯ. УМКдпя 7-9 классов
Учебник (И. М. Смирнова, В. А. Смирнов), рабочая тетрадь, дидактические материалы, курсы
по выбору, учебное пособие «Нестандартные и исследовательские задачи по геометрии» (7 — 11 кл.),
методические рекомендации.
ГЕОМЕТРИЯ.УМКдпя 10- II классов
Базовый уровень
Учебник (И. М. Смирнова, В. А. Смирнов), рабочая тетрадь, дидактические материалы,
элективные курсы, методические рекомендации.
Профильный уровень
Учебник (И. М. Смирнова), дидактические материалы, методические рекомендации.
Учебное пособие «Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии» (В. С. Крамор).
[SBN 5-M6-00729-6
и
9785346Ю07296