Вятский государственный педагогический университет
Е.М. Вечтомов
ВВЕДЕНИЕ В ПОЛУКОЛЬЦА
Пособие для студентов и аспирантов
Киров
2000

БЕК 22.1
В 39
Печатается по решению редакционно-издательского совета Вятского
государственного педагогического университета
Научный редактор
E.ML Ковш та, кандидат физико-математических наук, доцент, декан
математического факультета Вятского госпедуниверситета
Рецензент
А.В. Михалев, доктор физико-математических наук, профессор ΜΓΎ
им. М.В. Ломоносова
В 39 Вечтомов Е.М. Введение в полукольца: Пособие для студентов
и аспирантов. - Киров: Изд-во Вятского гос. пел, ун-та, 2000. -44 с.
В пособии изложены начала теории полуколец. Оно содержит 90
упражнений и задач как обучающего, так и исследовательского характера.
Может быть использовано в научнонисследовательской работе студентов,
аспирантов и преподавателей математических факультетов.
Вечтомов ЕМ., 2000
Вятский государственный педагогический университет (ВГПУ),
2000

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 4
§ 1. Исходные понятия и примеры 5
Независимость аксиом
Присоединение единицы
Примеры
Полукольца с η < 3 элементам и
О конечных алгебраических системах
§2. Основные классы полуколец 10
Аддитивно сократимые полукольца
Аддитивно идем поте нтные полукольца
Дистрибутивные решетки
Полутела
§3. Идеалы 15
Решетка идеалов полукольца
§4. Конгруэнции 19
Решетка конгруэнции полукольца
§5. Структурные теоремы 24
Общая структурная теорема
Расширения полуколец
Ииль-радикал коммутативных антиколец
Циклические полукольца
Абелево-регулярные положительные полукольца
§6. Упорядоченные полукольца 29
Положительный конус упорядоченного кольца
Линейно упорядоченные полутела
§7. Полукольца непрерывных функций 34
Литература 39
3

Предисловие
Термин «полукольцо» произошел из наглядного представления о
полукольце как «половине кольца». Если взять линейно упорядоченное
кольцо (скажем, Z, Q или R) и «отрезать» множество отрицательных
элементов, то получим полукольцо (соответственно, Ζ+ = Ν0> Q+ или R*), в
нем нельзя вычитать большие элементы из меньших. Определение
полукольца отличается от определения (ассоциативного) кольца только
тем, что не требуется существование противоположных элементов, но
предполагается, что аддитивный нуль является и мультипликативным
нулем. Современное определение дано Вандовером в Г934 г., хотя еще
Дедекинд рассматривал алгебраическую структуру всех идеалов кольца
относительно операций сложения и умножения идеалов, образующую
полукольцо.
Класс полуколец включает в себя все кольца, все дистрибутивные
решетки с нулем, ряд числовых объектов. При исследовании пату колец
широко применяются кольцевые (и модульные), полугрупповые,
решеточные и универсально-алгебраические понятия и идеи, конструкции
и методы. В частности, важное значение имеют идеалы, но их (в отличие
от колец) недостаточно при изучении морфизмов и факторобьектов.
Необходимо рассмотрение конгруэнции на полукольцах, дающих
возможность строить фактор-полукольца.
Для успешного изучения полуколец надо накладывать на них те или
иные дополнительные условия, ограничения, выделяющие важные классы
более просто устроенных полуколец, на основе которых можно развивать
различные структурные теории, например, сводить полукольца к кольцам,
дистрибутивным решеткам, полутелам и т.п.
Активное исследование полуколец началось в 50-е гг. XX в.
Развитие теории полуколец в последние 15 лет связано с их применениями
в дискретной математике, компьютерной алгебре, теории кодирования,
идем поте нт ном анализе и теории оптимального управления [26, 51]. Как и
кольца, полукольца с единицей допускают хорошие функциональные
(пучковые) представления [42-49]. Это делает актуальным изучение
полуколец непрерывных функций, обобщающих и развивающих
классическую теорию колец непрерывных функций [8, 51, 54]
4

Полукольцам непрерывных функций посвящены кандидатские
диссертации [4, 29,38}
Несколько слов о самой работе. Пособие служит введением в
теорию полуколец. Излагаются основные понятия, примеры и избранные
результаты, причем как хорошо известные, так и сравнительно новые,
полученные участниками научного алгебраического семинара Вятского
госпедуниверситета, действующего с 1994 η (см. [1-7, 10-19, 25, 2741, 45-
49, 53]). Лишь некоторые результаты приводятся с доказательствами,
иллюстрирующими типичные рассуждения. Отметим, что основные
направления работы семинара -это полу кольца и кольца непрерывных
функций, общая теория полуколец, пучковые представления полуколец.
Во многом пособие строится как система упражнений и задач,
предполагающая познавательную активность читателя. Мы приводим
более 70 упражнений учебного характера и 18 исследовательских задач,
которые могут послужить темами курсовых и выпускных работ, а также
научных публикаций. Используются материалы спецкурсов, прочитанных
автором студентам-математикам IV и V курсов Вятского
госпедуниверситета и Глазовского г ос пединститута. В дальнейшем наша
работа может стать отправной точкой для спецкурсов о полукольцах и
полумодулях, для научно-исследовательской работы студентов и
аспирантов.
Мы предполагаем знакомство читателя с педвузовским курсом
алгебры. Рекомендуем следующие книги, так или иначе связанные с
излагаемым материалом: [20-24, 50, 51]. Книги {48, 52] посвящены теории
полуколец. Данная брошюра предназначена студентам старших курсов,
аспирантам и преподавателям математических факультетов.
§ 1. Исходные понятии и примеры
Полукольцом называется алгебра (S,+, ,0) с двумя бинарными
операциями сложения + и умножения и выделенным элементом нуль 0,
удовлетворяющими следующим 7 аксиомам:
5

1) (S9 КО) - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом О,
т.е. сложение в S коммутативно, ассоциативно и тождественно
χ + 0 =х (3 аксиом ыХ
2) (5, *) - полугруппа, т. е. умножение ассоциативно (I аксиома);
3) 0 - мультипликативный нуль, т.е. тождественно (br=JcO = 0
(1 аксиома^
4) умножение дистрибутивно относительно сложения с обеих
сторон, т. е. в S справедливы тождества (х + y)z — xz + yz и
xfy+z)=xy+xz (2 аксиомы).
Независимость аксиом
Для доказательства независимости данных 7 аксиом надо построить
7 примеров алгебраических систем (S, +, ·, 0), в которых соответственно не
выполнялась бы ровно 1 из 7 аксиом полукольца.
В примере {[0, \\min, ·, I) сложение - это операция min взятия
наименьшего из двух чисел, умножение - обычное, а нуль - это число!, не
являющееся мультипликативным нулем. Все остальные аксиомы
полукольца выполняются. Значит, аксиома 3) не зависит от (не выводится
из) других аксиом теории полуколец.
Рассмотрим множество всевозможных отображений Ν0->Ν0,
сохраняющих 0, со сложением max (поточечно) и умножением ° -
композицией функций. Нулем служит функция-константа 0. Здесь
выполняются первые 6 аксиом, но не выполняется второй закон
дистрибутивности.
Упражнение 1. Докажите независимость остальных 5 аксиом.
Полукольцо S называется полукольцом с единицей^ если его
мультипликативная полугруппа (Sy ·) обладает нейтральным элементом 1,
называемым единицей: в Sтождественно Ьх —хЛ =х.
Присоединение единицы
Для произвольного полукольца S возьмем прямое произведение
множеств 5χΝ с покоординатным сложением и умножением, заданным
формулой: (s, m)(t, η) = (pt+ns+mt, mn\ где ns - это сумма «элементов s.
Получаем полукольцо с единицей (0, \\ содержащее подполукольцо
6

S χ {0}, изоморфное S. Эта процедура имеет смысл идя полуколец S без
единицы. Итак, любое полукольцо можно вложить (с сохранением
операций) в полукольцо с единицей.
Упражнение 2. Дайте строгое обоснование этому построению.
Понятия подполу кольца й изоморфизма полуколец определяются
очевидным образом (приведите определения).
Упражнение 3. Будет ли любое подпалу кольцо произвольного
кольца его подкольцом?
Дальнейшие определения. Полукольцо с коммутативным
умножением называется коммутативным. Множество всех обратимых
элементов мультипликативной полугруппы любого полукольца с I
образует группу относительно умножения, называемую
мультипликативной группой данного полукольца. Бели
мультипликативная группа полукольца S с 1 совпадает (как множество) с
S\{0}, то S называется полукольцом с делением. Полукольцо с делением,
не являющееся кольцом, называется полутелом. Коммутативное полутело
называется полуполем. Полукольцо с 1 называется положительным, если
для любого его элемента s элемент s + 1 обратим.
Полукольцо с квазитождеством х+у=0=>х=0 назовем
антикольцом; в нем только 0 имеет противоположный элемент.
Полукольцо называется аддитивно идемпотентным (мультипликативно
идем поте нтным\ если оно удовлетворяет тождеству х + х=х
(соответственно, хх-х). Полукольцо S называется аддитивно сократимым
(мультипликативно сократимым), если χ +ζ -у +ζ г=> χ ~у для любых х,
у, ζ е S (xz =yz ^>х^у и zx-zy^>x=y для любых jc, у и ζ ^ 0 из S).
Предполагается, что гомоморфизмы полу колец сохраняют 0.
Примеры
1. Числовые полукольца. Относительно обычных операций
сложения и умножения чисел N0 = {0, 1, 2, ...} - коммутативное аддитивно
и мультипликативно сократимое полукольцо с единицей 1. Полукольцо
(N0, max, ·) аддитивно идемпотентно. Полу поля Q+ и R+ с обычными
операциями аддитивно сократимы, а если их рассматривать с операцией
max в качестве сложения, то получим аддитивно идем поте нтные полу поля.
7

2. Кольиа - это полукольца, в которых каждый элемент имеет
противоположный элемент.
3. Дистрибутивные решетки с нулем О - это коммутативные
полукольца, в которых справедливы законы поглощения: тождественно
х+ху=х и х(х+у)^х. Они аддитивно и мультипликативно
идем патентны. Действительно, при у=0 второй закон поглощения дает
тождество хх =х. Поэтому при у=х из первого закона поглощения
вытекает тождество х+х=л;. Конкретные примеры: ([0, l\ max, min);
{В(Х\ kj, п), те В(Х) - булеан множества X, т.е. множество всех
подмножеств в X; (N0, HOK, НОД). Подробнее о дистрибутивных решетках
будет сказано в §2.
4. Так называемое «минимаксное» полу поле {Ru {<»}, max, +),
являющееся основой идемпотентного анализа [26]. Нулем служит элемент
-оо, а единицей - число 0.
5. Пример Дедекинда. Пусть 1{К) - множество всех идеалов
произвольного кольца (или полукольца), рассматриваемое с обычными
операциями сложения и умножения идеалов. Нулевой идеал {0} в R играет
роль нуля. Бели R имеет 1, то несобственный идеал R служит единицей
полукольца Д/?)
6. Полукольца многочленов. Пусть S - полукольцо и χ -
неизвестное. Тогда S\x] ~ {5ηχη + .. .+£ι*+$0: s, € S} - полукольцо с
естественными операциями сложения и умножения многочленов
(элементы из S коммутируют с х\ Если S - полукольцо с 1, то считается
\х=х, S\x] является полукольцом с 1. Аналогично определяются
полукольца формальных степенных рядов Sflx]}. Можно рассматривать
подобные полукольца S\X] и ЗДЛ]] от любого непустого множества
неизвестных, коммутирующих (или нет) между собой, и коэффициентами
из£.
7. Полукольца матриц. Пусть MJS) - множество всех квадратных
матриц л-го порядка с элементами из полукольца S. Относительно
обычных операций сложения и умножения матриц Mn(S) становится
полукольцом.
8. Полукольца функций. Полукольцом является множество 5х
всех отображений непустого множества X в полукольцо S,
8

рассматриваемое с поточечно определенными операциями сложения и
умножения функций.
Полукаяыщ с η <3 элементами
С точностью до изоморфизма существуют: I одноэлементное
полукольцо - нулевое {0}; 4 двухэлементных полукольца; 6
трехэлементных полуколец с единицей 1. Перечислим их.
При η =2 имеем S = {0, а}. Возможны следующие случаи:
1) fl + α^Ο ий2^0- получаем кольцо характеристики 2 с нулевым
умножением;
2) а + а = 0, а2 = а -двухэлементное iKmeZ2 (fl= \\
3) а + а^а, а2~0 - аддитивно идемпотентное полукольцо с нулевым
умножением;
4) а +а = а, а2 =а -двухэлементная цепь D (μ = 1).
Пусть S - трехэлементное полукольцо с 1: S = {0, 1, а}. Получаем
следующие 6 попарно неизоморфных коммутативных полуколец.
L Полукольцо S аддитивно идем патентно, т. е. 1 + 1-1. Тогда:
(1) а + 1 =\,а2~а -получаем трехэлементную цепь S~ {0<α< 1};
(2) а + 1 = 1, а2 ·= 0 (случай а + 1 = 1, а2 - 1 невозможен);
(3)я + 1=а, а2-а - трехэлементная цепь S={0<I<a} (случаи
д + 1=А, д2==0 и α + 1=α, α2~1 невозможны)
Предположение α + 1 -0 противоречиво.
И- 1 + 1*1. Случай 1 + 1 =0 невозможен. Поэтому 1 + 1 -а.
Тогда:
(4) а + 1=0, откуда а2 = \ - получаем трехэлементное поле Ζ3
(α = 2*
(5) а + 1=1, откуда а2=а - получаем мультипликативно
идемпотентное полукольцо;
(6)а + 1~а, откуда а2 = а - мультипликативно идемпотентное
полукольцо.
Упражнение 4. Проверьте детально ситуацию с трехэлементными
полукольцам и с 1. Приведите таблицы Кэли этих полуколец.
Задача 1. Опишите с точностью до изоморфизма все
трехэлементные полукольца без единицы-
9

О конечных алгебраических системах
Изучение конечных алгебраических систем - важное направление в
современной алгебре и дискретной математике. Мощным инструментом их
описания служит компьютер. Еще в XIX в. выяснено строение конечных
полей и конечных абелевых групп. Привлекательной для исследований,
курсовых и выпускных работ является задача описания различных
алгебраических систем малого порядка: групп, полугрупп, колец, решеток,
полуколец и т. д.
Известно, что с точностью до изоморфизма существуют:
2 четырехэлементные группы, 2 шестиэлементные группы,
5 восьмиэлементных групп и по 1 группе каждого простого порядка;
5 двухэлементных полугрупп, 24 трехэлементные полугруппы,
188 четырехэлементных полугрупп; по 2 двухэлементных и
трехэлементных кольца, 11 четырехэлементных колец;
2 четырехэлементные решетки, 5 пятиэлементных решеток,
15 шестиэлементных решеток; 16 четырехэлементных и
63 пятиэлементных упорядоченных множеств; 8 четырехэлементных и
44 пятиэлементных линейно упорядоченных полуколец с наибольшим
элементом 1.
§ 2. Основные классы полуколец
Рассмотрим некоторые важнейшие классы полуколец.
Аддитивно сократимые полукольца
Кольцо R называется кольцам разностей полукольца S, если S есть
подполу кольцо в R и каждый элемент г е R является разностью некоторых
элементов s, t е S: r^s-t. Класс аддитивно сократимых полуколец
содержит все кольца.
Теорема 1. Для любого полукольца S эквивалентны следующие
условия:
1) S аддитивно сократимо;
2) S обладает кольцам разностей;
3) S вкладывается в некоторое кольцо.
10

Существенным является лишь доказательство импликации \)=>2).
Построение кольца разностей R аддитивно сократимого полукольца S (оно
единственно с точностью до изоморфизма над S) вполне аналогично
построению кольца Ζ целых чисел, исходя из системы N натуральных
чисел: элементы R определяются как классы эквивалентных пар (s, t)
элементов из S, интуитивно представляющих собой разностиs - t.
Задача 2, Как связаны между собой свойства аддитивно
сократимого полукольца и его кольца разностей: коммутативность,
наличие 1, отсутствие ненулевых нильпотентных элементов или делителей
нуля, мультипликативная идемпотентность или сократимость и т. а?
Упражнение 5. Приведите пример полу поля, не вложим ого в тело.
Лддштвио идем патентные полукольца
Сразу заметим, что любое аддитивно идем поте нтное полуколыр
является антикольцом. Действительно, в нем a + b=Q влечет
На произвольном аддитивно идемпотентном полукольце S
естественным образом вводится агношение порядка <:
а < b означает а +Ь ~Ь.
В результате получается упорядоченное полу кольцо (S, +, ·, 0, <) с
наименьшим элементом 0 (см. §6\
Упражнение 6. Докажите последнее утверждение.
Дистрибутивные решетки
Существуют алгебраическое и порядковое определения решетки.
Алгебраически решеткой называется алгебра (S, +, ·) с бинарными
операциями сложения + и умножения -, которые коммутативны,
ассоциативны и связаны законами поглощения; их идемпотентность
вытекает из остальных аксиом. При порядковом подходе решеткой
называется упорядоченное множество (S, <), любые два элемента которого
имеют точную верхнюю грань (sup) и точную нижнюю грань (ίηβ.
Бели в решетке (5, +, ·) задать бинарное отношение < правилом:
а<Ъ означает a + b=b (или ab^a\ то получим «порядковую» решетку
11

(S,<). Обратно, если в решетке (5, <) положить a+b=sup(a, b) и
ab ^infia, b\ то получим решетку (Л\ +, ·) в алгебраическом смысле.
Эти отображения устанавливают взаимно однозначное соответствие
между классами решеток в алгебраическом и порядковом смыслах.
Упражнение 7. Проверьте эквивалентность (равнообъемность)
двух данных определений.
Далее будем считать, что любая решетка S является алгебраической
системой (5, +. ·, <).
Решетка называется дистрибутивной, если в ней выполняется закон
дистрибутивности: (х +у^ =xz +yz. Примером дистрибутивной решетки
является всякая цепь -упорядоченное множество, в котором х<у шту<х
для любых элементов х, у. Решетка называется модулярной, если в ней
справедливо тождество (xz+y)z-xz+yz (более слабое, чем
дистрибутивность).
Упражнение 8. Докажите, что для любой решетки закон
дистрибутивности равносилен двойственному закону дистрибутивности:
xy+z =(x+z)(y+z).
Говорят, что решетка S есть решетка с нулем О, если в (S, <)
существует наименьший элемент 0. Алгебраически 0 можно определить
одним из тождеств 0+x=jc или 0x^=0. Бели решетка S имеет наибольший
элемент 1, то S называют решеткой с единицей 1: единица 1 может быть
определена одним из тождеств 1 +х = 1 или \х =х.
Дистрибутивная решетка S с нулем 0 и единицей 1^0 называется
булевой решеткой, если каждый элемент s e S имеет дополнение, т. е.
такой элемент / е S, что s+/ = l и st = 0. Дополнение / элемента s
единственно и обозначается s'. Поэтому булевы решетки можно
рассматривать как булевы алгебры, т.е. дистрибутивные решетки в
алгебраическом смысле с унарной операцией ' и с дополнительными
тождествами (аксиомами) χ +jc' = 1 ихс'^О. Примером булевой решетки
служит булеан (ДЛ), с) при любом непустом множестве^.
Упражнение 9. Докажите, что в любой дистрибутивной решетке с 0
и 1 каждый элемент имеет не более одного дополнения.
12

Упражнение 10. Докажете, что в любой булевой решетке
тождественно х" =х (закон двойного дополнения), (х + у/-= х'у' и
(хуУ = х' +/ (законы де Моргана\ а также
x<y<=>y/<x'<=>xy'=0c^>xf+y-l.
Приведем некоторые полукольцевые характеризации
дистрибутивных решеток с нулем.
Теорема 2. Для произвольного полукольца Sравносильны следующие
утверждения:
1)8- дистрибутивная решетка с нулем,
2) в S тождественно (х + у)(х + ζ) - χ + yz;
3) в S справедливы тождества (χ + у)х = jc = χ(χ + j^;
4) в S тождественно х+ху = х~х+ухих2=х.
Доказательство нетрудно провести по циклу
1) => 2) => 3) => 4) п> 1). В качестве иллюстрации докажем, что 4) => 1 \
Пусть полукольцо S обладает свойством 4). Тогда тождественно
(х +у)х =х2 +ух —х +ух=хух(х+у)—х+ху~х.
Значил, в S имеют место законы поглощения. Остается проверить
коммутативность умножения:
ху =ху +хух ^хуху +хух =ху(ху +х)=хух =
=(х +ух)ух =хух +ухух =хух +ух ~ух.
Упражнение 11. Докажите, что для полукольца с 1 эквивалентны
тождества: χ 4-1 = 1, χ +ху =л\ χ +ух —χ.
Упражнение 12. Проверьте, что для любого полукольца S с 1
равносильны условия: S - дистрибутивная решетка с 0 и 1; в S
тождественно х(х+у)~х; в S тождественно (х+>')г=х; в S выполняются
тождества χ + 1 = I их2 = х.
Более подробно с дистрибутивными решетками можно
познакомиться в [9, 20}
Полутела
Наряду с полу поля ми - вспомним числовые полу поля и
минимаксное полу поле из примеров 1 и 3 §1 - существуют
некоммутативные полутела. Пусть
13

/» = ! 1: a9b,ceR,a>0,c>0 или a ^b=c=0 l-
полу кольцо треугольных матриц с обычными операциями, являющееся
подполу кольцом в M2(R). Получаем некоммутативное полу тело Р.
Рассмотрим теперь некоторые структурные свойства полутел.
1. Любое полутело является антикольцом.
В самом деле, пусть S - полутело и а +Ь =0 для некоторых я, Ъ е S.
Бели я ^ 0, то любой элемент s e S имеет противоположный:
s +sbaA -saa1 +sbaA = 0,
что невозможно. Значит, а -0, и S - антикольцо.
Для произвольного полутела S в силу свойства 1 получаем алгебру
(S\ {0}, +, -), называемую нами полу телом без нуля.
2. С точностью до изоморфизма существует единственное
конечное полу тел о - двухэлементная цепь D = {0, 1}.
Докажем это. Пусть s =s}+ ...+sn - сумма всех ненулевых
элементов конечного полутела S. Полутела мультипликативно сократимы.
Поэтому для каждого / = 1, ..., η элементы SjSj, ..., snSi попарно различны и
образуют перестановку ненулевых элементов полутела. Следовательно,
причем s * 0 по свойству 1. Откуда s, = 1, nS= {0,1}.
3. Всякое полутел о либо аддитивно идем поте нтно, либо
содержит полуполе Q+ в качестве подполутела.
Доказательство этого свойства имеется в [52J
Упражнение 13. Попытайтесь самостоятельно доказать свойство 3.
4. Любой неединичный элемент мультипликативной группы
*фоизвапъного полу тела имеет бесконечный порядок.
Действительно, пусть S - полутело и а е S\ {0}. И пусть αη = 1 для
некоторого натурального числа п. Полагая с = апХ + ...+ а + 1 ^ 0 (по
свойству \\ получаем ас = α* + (μη~ι + ...+ а) = 1 + (апА + ... -hi) = су откуда
а = \.
5. Класс идемпотентных полутел без нуля совпадает с классом
решеточноупорядоченных групп (см. [16]).
6. Прямое произведение любого непустого семейства полутел
без нуля является полутелом без нуля.
14

Напомним, что в прямом произ ведении однотипных алгебр
операции выполняются покоординатно.
Свойство 6 позволяет строить новые полутела из данных полутел.
Пусть дано непустое семейство полутел без нуля S} \{0}, г € /, и пополним
его нулем. В результате получим полутело, которое назовем почти
прямым произведением данного семейства полутел.
7. Любой ненулевой гомоморфный образ произвольного полу тела
также является полутелом.
У1фажнений 14. Докажите свойства 6 и 7.
§3. Идеалы
Расмотрение идеалов на полукольцах - это кольцевой подход к
изучению полуколец.
Непустое подмножество I полукольца S называется иоеалом в S,
если a,bel влечет а ■+ Ъ, sa, as e / для любых a, b, s e S. Для
некоммутативных полуколец определяются понятия левого и правого
идеалов (как?). Наименьший идеал полукольца S, содержащий элемент
α ε S, называется главным идеалом\ порожденным а, и обозначается (а): он
является пересечением всех идеалов, содержащих элемент а. Заметим, что
само S и {0} служат идеалами полукольца S, называемыми соответственно
несобственным и нулевым. Каждый идеал в S содержит 0.
Упражнение 15. Докажите, что пересечение любого непустого
семейства идеалов полукольца является его идеалом.
Упражнение 16. Покажите, что для полукольца S и а е S
(a)={1Zsiat]+na :n e N0,i=l, ...ДДе N as^t, е S}.
Бели S - коммутативное полукольцо с 1 и а е 5, то (а)-aS- {as:
5GS}.
Суммой конечного семейства идеалов /ь ..., /п полукольца
называется множество/j + ... +/n = {#t + ... ап:ах е 1Ь ...» ап е /п}.
Упражнение 17. Проверьте, что сумма нескольких идеалов
полукольца является идеалом этого полукольца. Можно ли определить
сумму бесконечного семейства идеалов полукольца?
15

Произведением U идеалов / и J полукольца называется множество
всевозможных конечных сумм элементов вида aby где а € / и b e У. Снова
получаем идеал.
В частности, 4Zn6Z = 12Z, 4Z+6Z-2Z и 4Z-6Z-24Z. Легко
видеть, что для любых целых чисел а и Ь: аЪ слЪЪ = НОК(д, &Х
aZ +bZ = НОД(а, b)naZ-bZ = abZ.
Бели £ - кольцо с 1, то любой идеал в полукольце S является и
кольцевым идеалом, т.е. замкнут относительно операции вычитания. Но
для колец без единицы это, вообще говоря, неверно. Например, в кольце S
всех целых чисел с обычным сложением и нулевым умножением (ab^O
для всех ау b e S) N0 - полу кольцевой идеал, не являющийся кольцевым.
Упражнение 18. Найдите все полукольцевые идеалы обычного
кольца 2Z.
Идеал / полукольца S называется конечно-порожденным, если он
обладает конечной системой образуюгща д,, ..., ап: I ~ (а{) + ... + (дп).
Бели S ком мутативно и с 1, то
/= {sxax + ... +sna„:sb ...,sn e S}
Пример. В полукольце N0 любой идеал конечно-порожден (см. [48]),
Кроме того, пусть / - ненулевой идеал в N0 и г/ = НОД /. Тогда существует
такое ke Ν, что/η {*,* + 1Д + 2,...} - {*, k+d,k + 2d,...}.
В конечных дистрибутивных решетках все идеалы -главные.
Далее, идеал / полукольца 5 называется полу с трог им, если
α,α+bel z=> ό е/, и строгим, если a+bel =>a,^e/ (для любых
a,b e S). Нулевой идеал - полу строгий, а само S - строгий идеал. Строгие
идеалы являются полу строгим и. В кольцах с 1 все идеалы полустрогие. В
дистрибутивных решетках с 0 все идеалы строгие. Нулевой идеал
полукольца S - строгий <=> S - антикольцо.
Собственный идеал / полукольца S (f^S) называется:
максимальным, если в S нет собственных идеалов, строго содержащих /;
простым, если ab е / влечет а е I или b е / для любых а9 b e S;
полу простым у если а2 е / влечет а € / для любого ае/. Заметим, что
максимальность идеала I в S означает, что / есть максимальный элемент
упорядоченного множества всех собственных идеалов полукольца S
относительно отношения включения с. Очевидно, что пересечение любого
16

непустого множества простых идеалов произвольного полукольца является
полупростым идеалом этого полукольца.
Упражнение 19. Для гюлукольца N0 найдем все его строгие,
полустрогие, максимальные, простые и полупростые идеалы. Проверьте
следующие утверждения об идеалах в N0:
строгими являются только нулевой и несобственный идеалы;
полу строгие идеалы совпадают с главными;
Μ = Ν0\{1} - наибольший собственный идеал и, стало быть,
единственный максимальный идеал;
кроме нулевого идеала и Μ простыми идеалами являются в
точности главные идеалы/?Ν0, порожденные простыми числами р\
помимо нулевого идеала и Μ полу просты ми являются в точности
главные идеалы, порожденные натуральными числами, разложимыми в
произведение попарно различных простых чисел (т.е. свободными от
квадратов натуральным и числам и > \\
Ясно, что полукольцо с 1 - ненулевое <=> 1 φ 0.
Теорема 1. Любой собственный идеал произвольного полукольца с
1 ^ 0 содержится в некотором его максимальном идеале
Эта теорема вытекает из леммы Цорна, эквивалентной аксиоме
выбора - важном и необходимом инструменте современной математики.
Лемма Цорна. Если в упорядоченном множестве каждая цепь
ограничена сверху, то оно обладает хотя бы одним максимальным
элементом.
Упражнение 20. Выведите теорему 1 из леммы Цорна.
Вешетка идеалов полукольца
Пусть IdS - множество всех идеалов произвольного полукольца S.
Относительно операций сложения и пересечения идеалов или отношения
включения IdS является решеткой с наименьшим элементом {0} и
наибольшим элементом S. Эта решетка не обязана быть модулярной Щ
Пусть теперь S - аддитивно сократимое полукольцо и R - кольцо его
разностей. Заметим, что решетка идеалов кольца модулярна, но, вообще
говоря, не дистрибутивна. Между решетками идеалов IdS и IdR
существуют следующие связи. Для любого идеала / кольца R положим
a{I)=Jr\S - полу строгий идеал в S. А для любого идеала / полукольца S
17

положим β(/)=/-/ - так называемый разностный идеал кольца R. В
результате получаем пару отображений aildR —> Id S и β: Id S ~» Λ/Λ. Эти
соответствия в определенной мере позволяют сводить изучение идеалов
полукольца к идеалам кольца.
Задача 3. Каким и свойствами обладают отображения α и β? См. [6].
В оставшейся части параграфа предполагается, что S - произвольное
коммутативное полукольцо с 1 * 0.
Предложение I. Пусть I - идеал в S, не пересекающийся с
непустым подмножеством А в S, замкнутым относительно умножения.
Тогда любой идеал Ρ в S, максимальный среди всех идеалов J, таких, что
I с J и J η А = 0, является простым идеалом
Доказательство. Пусть Ρ - указанный в формулировке
предложения идеал полукольца S. Тогда Q г^А j±0 для любого идеала Q в
S, строго содержащего Ρ {PaQ\ Для доказательства простоты идеала Ρ
возьмем любые элементы а, Ъ е Si Ρ Имеем PaP + aS и PczP+bS.
Откуда/? + оу е Awq +bt е А для подходящих/?,q e Pns.t e S. Значит,
А з (р + as\q + bt) = (р<7 +/?& + tfs</) + abst
Поскольку элемент, заключеный в скобки в правой части равенства,
принадлежит РкР г\ А = 0, то ab φ Р. Предложение доказано.
Теорема 2. Любой максимальный идеал в S является простым
Данная теорема непосредственно вытекает из предложения 1, если
взять максимальный идеал / в S и А = {1}.
Следствием предложения 1 служит также (почему?)
Предложение 2. Каждый полу простой идеал полукольца S есть
пересечение всех простых идеалов, его содержащих.
Обозначим через radS пересечение всех простых идеалов
полукольца S. Получаем идеал, называемый простым радикалом (или
ниль-радикалом) полукольца S. Напомним, что элемент а полукольца
называется нильпотентным, если ап для некоторого натурального числа п.
Теорема 3. Простой радикал полукольца S совпадает с
множеством всех его нильпотентных элементов.
Доказательство. Легко видеть, что нильпотентные элементы
полукольца S содержатся в любом его простом идеале, т. е. лежат в radS.
С другой стороны, возьмем в S любой нильпотентный элемент а. Положим
18

Α ={α, α2, ..., дп}. При / = {0} лемма Цорна гарантирует существование
идеала Р, максимального среди идеалов в 6, не пересекающихся с А. По
предложению 1 Ρ - простой идеал, не содержащий а. Значит, а <£ rad S,
Теорема доказана.
Ясно, что полупростота нулевого идеала полукольца S эквивалентна
равенству Rad S = {0}.
Пересечение всех максимальных идеалов полукольца S называется
полу простым радикалом (по Джекобсону) RadS полукольца S. По
теореме 2 rad Sс rad S.
Для кольца S имеет место следующая характеризация идеала Rad S:
Предложение 3. Справедливо равенство
Rad S - {s e S элемент J - as обратим для всех а е SJ.
Упражнение 21. Докажите предыдущее предложение (см. [24]).
Предложение 4. Полукольцо S - положительное <=> все
максимальные идеалы в S - строгие
Упражнение 22. Докажите предложение 3.
Для произвольного элемента aeS множество Ann a ~ {s e S*
as=0} называется аннулятором а. Для любого простого идеала Ρ в S
положим
Op = {s e S: as = 0 для некоторого а е 67 Р}}~
Идеалы вида Ор играют важную роль в структурной теории и в пучковых
представлениях полуколец [16,48].
Упражнение 23- Проверьте, что Ann а и Ор - полустрогие идеалы
полукольца S.
§4. Конгруэнции
Как и в теории полугрупп или решеток, при исследовании строения
полуколец, конгруэнции играют более существенную роль, чем идеалы,
хотя некоторые известные конгруэнции строятся по идеалам полуколец.
Конгруэнцией на полукольце 6 называется отношение
эквивалентности ρ на 6, стабильное относительно операций:
apb и cpd влекут (а + с)рф + d) и (ac)p(bd) для любых д, byc^d e 6.
Упражнение 24. Докажите, что отношение эквивалентности ρ на
полукольце Sесть конгруэнция <^> для любых a,b,ce S:
19

apb влечет (a +c)p(6 +c), (ac)p(bc) и (ca)p(cb\
Пусть ρ - конгруэнция на полукольце S. Для каждого а с S положим
[д^ = {s е S: spa}. Очевидно, что [а\> = ВД <=> ярб. Множество Sip - {[а\>:
a pS} всех классов эквивалентности ρ с операциями
Н + [ЬЪ = &+Ь1и\а1Щ = \аЬЪ
является полукольцом, называемым фактор-палу кольцом полукольца 5* по
конгруэнции р. Существует канонический гомоморфизм π: S —> Sip,
π(α) = [α^ для всех a е S. Роль нуля в S/p играет класс [0^, являющийся
полу строг им идеалом в S.
Пусть β S -> Τ - произвольный гомоморфизм полуколец.
Отношение равнообразности pf отображения β арф означает βα) =βφ) для
любых а, Ъ е 5", является конгруэнцией на S.
Аналогичные построения проводятся для любых алгебр: групп,
колец, полугрупп, решеток и т. α В частности, и для полуколец имеет
место следующая теорема.
Теорема о гомоморфизмах. Для любого гомоморфизма β
полукольца S на полукольцо Τ существует единственный изоморфизм
gS/pf—> Τ, для которого goπ^β где π: S ~~> S/pf - канонический
гомоморфизм.
Именно, g[a^ = 1(a) при любом а е S.
Упражнение 25. Восстановите доказательство этой теоремы.
Замечание. Теорема о гомоморфизмах показывает, что понятия
гомоморфизма «на» (эпиморфизмах конгруэнции и фактор-полукольца
(для произвольного полукольца) - три лика одной и той же вещи. Первое
из них отождествляется с каноническим гомоморфизмом, второе - с
отношением равнообразности сответствующего гомоморфизма, третье - с
гомоморфным образом данного полукольца.
Рассмотрим пример [48]. На полукольце N0 каждая конгруэнция, не
являющаяся отношением равенства, имеет вид p(k,n) для некоторых
k е N0 и η е Ν:
ар(к, п)Ь означает, что а=Ь <к или а ~ b (mod n) при a>k<b.
Получаем φ актор-полу кольцо Ν(/ρ(£, η) = {{0}, ..., {£-1}, \k\ ..., [A+w-l]},
где [т]= {т+хп:х е Ν0} где т -к,...,к+п-\.
20

Упражнение 26. Найдите все идеалы и конгруэнции
шестиэлементной дистрибутивной решетки, изображенной на рисунке:
Для любого идеала / полукольца S определяется бинарное
отношение Берна р(/) на S:
ар(Г)Ь означает, что a +jc ^b +y для некоторых хуу е /.
Легко видеть, что р(У) - конгруэнция на S и Щ^) - наименьший
полу строгий идеал в S, содержащий /.
Рассмотрим несколько известных конгруэнции на произвольном
коммутативном полукольце S с 1^0. Во-первых, это отношение Берна
р((9Р) по идеалу Ογ для любого простого идеала Ρ в S. Во-вторых,
конгруэнция Q(P\ Ρ - простой идеал в S:
ад(Р)Ь <=>3seS\Pas=bs.
В-третьих, отношение Берна р(Аппа) по аннулятору любого элемента
a е S. Наконец, это «уравнитель» ~ данного элемента а е S: s~t о as=at
для всех syt е S. Заметим, что p(0P)cz 9(Р)и ρ(Αηη я) с; ~.
Упражнение 27. Рассмотрите подробнее предыдущие конгруэнции.
Предложение 1. Для произвольного идеала I полукольца S
эквивалентны следующие условия:
1)1- полустрогий идеал,
2) I = [0]р - класс нуля некоторой конгруэнции ρ на S;
Доказательство нетрудно провести по циклу \)=> 3)=^> 2)r^> 1)l
Упражнение 28. Докажите это предложение.
21

Предложение 2 (см. [51]). Коммутативное полукольцо с У имеет
ровно две конгруэнции <=> оно является полем или изоморфно
двухэлементной цепи
Упражнение 29. Какие еще полукольщ имеют ровно две
конгруэнции?
Полу поле R+ имеет ровно три конгруэнции: отношение равенства;
двухклассовую, порожденную разбиением {{0}, R+\{0}}; одноклассовую.
Любое бесконечное полутело имеет по крайней мере три (указанные)
конгруэнции.
Задача 4. Как устроены полутела, обладающие ровно тремя
конгруэнциями?
Вгшетка конгруэнции полукольца
Множество Con S всех конгруэнции полукольца S является
решеткой относительно включения конгруэнции:
ρςσ означает, что apb => a<jb для любых a,b e S.
Наименьшим элементом служит нулевая конгруутрля 0, представляющая
собой отношение равенства на Я, а наибольшим элементом - единичная
конгруэнция 1=р(0,1), «склеивающая» все элементы в S, т.е.
одноклассовая конгруэнция. Для любых ρ, σ е Con S имеем
infip,σ)=ρησ и sup(p,σ) = ρνσ, где α(ροa)b означает, что существует
цепочка элементов дь ..., αΏ е S, такая, что ατχαλτ2α2 ■■* #Λ+А где τΐ3 τ2,..-,
τη+ι -последовательность чередующихся конгруэнции ρ иа.
Упражнение 30. Найдите решетку конгруэнции некоммутативного
полутела матриц из §2. Нарисуйте ее диаграмму Хассе.
Упражнение 31. Докажите, что решетка Con S для любого полутела
Змодулярна.
Упражнение 32 [16]. Докажите, что решетка конгруэнции любого
аддитивно идемпотентного полутела дистрибутивна.
Задача 5. Что представляют собой полукольца S, для которых
существует естественное взаимно однозначное соответствие между Con S
и IdS7 Когда решетки Con SnldS изоморфны?
Задача 6. Дайте абстрактную характеризацию решеток
конгруэнции всех полуколец, полутел, конечных полуколец.
22

Пусть теперь S - аддитивно сократимое полукольцо с кольцом
разностей R. Установим соответствия между решетками Con S и Id R. Для
каждого идеала J кольца R обозначим через у(7)так называемую идеальную
конгруэнцию на Sy определенную следующим образом:
sy(f)t <=>s ~i eJ при всехs, t e S*
А для любой конгруэнции р на S определим идеал
δ(ρ) = {s - /: 5·, / e S и spt} кольца R.
В результате получаем отображения γ: Id R —> Con S и δ:
ConS-±IdR, устанавливающие полезные связи между конгруэнциями на
S и идеалами в R.
Упражнение 33. Проверьте, что γ(/) е Con S и б(р) е Id R.
Упражнение 34. Докажите, что конгруэнция ρ на аддитивно
сократимом полукольце S идеальна <=> (a+c)p(b+c) ^> apb при любых
я, &, с е S.
Задача 7. Каким и свойствами обладают соответствия γ и δ? См. [6}
Теорема. Для любых полуколец S и Τ с единицей 1 решетка
конгруэнции прямого произведения S хТизоморфна прямому произведению
решеток конгруэнции этих полуколец:
Con(S χ Τ) ~ Con S χ Con Т.
Доказательство, Для конгруэнции ρ на S и σ на Τ определим
бинарное отношение ρ χ σ на S χ Τ:
(s, /)ρχσ (s\ /0<=> sps' и tat' для любых s, s' <= S и t, t' e T.
Очевидно, что ρ χ σ есть конгруэнция на S χ Τ.
Обратно, пусть — произ вольная конгруэнция на S χ Т. Для любых
л·, л·' е S и /, f € Τ положим spsr и taf в том и только в том случае, когда
(у, 0)~(уг,0) и, соответственно, (0, /)~ (О,/'). Ясно, что ρ и σ - конгруэнции
на S и Г соответственно. Покажем, что -=ρχσ· Бели (у, /) ρχσ (у', f\ то
А если (у, /) ~ (у', f\ то, умножая это соотношение на элемент (1,0),
а затем это же соотношение на (0, 1), получим (у, О) - (уг, 0) и (0, /) - (0, f),
т. е. лрУ и Ш\ откуда (у, /)ρχσ (у', г*). Эти соответствия и устанавливают
изоморфизм между решеткам и Con(S χ 7) и Соя 5 χ Con Т.
23

Упражнение 35. Докажите, что решетка конгруэнции п-элементной
цепи является булевой решеткой, содержащей 2П' элементов.
Следствие. Решетка конгруэнции прямого произведения нескольких
конечных цепей - булева решетка
Например, шестиэлементная решетка из упражнения 26, будучи
прямым произведением двухэлементной цепи и трехэлементной цепи,
имеет булеву решетку конгруэнции, содержащую 2-4=8 элементов.
Заметим, что вообще решетка конгруэнции любой конечной
дистрибутивной решетки является булевой решеткой [20].
Предложение 3. Пусть S - полу те л о, ρ - конгруэнция на S и аЪ - Ъа
для ненулевых элементт a,beS. Тогда если anpbn для некоторого
натурального числа п, то apb.
Доказывается аналогично свойству 4 полутел из §2, если в нем в
качестве элемента а взять элемент ab'\ а вместо отношения равенства -р.
Упражнение 36. Восполните детали.
§ 5. Структурные теоремы
Что такое структурная теорема и теорема о строении в алгебре? В
широком смысле структурная теорема - это результат об абстрактных
алгебраических свойствах алгебраических объектов (групп, колец,
полуколец и т. д.). Обычно структурная теорема сводит изучение объектов
к более простым, лучше изученным объектам с помощью той или иной
конструкции (прямого произведения, расширения, радикала и т. п.).
Теорема о строении (в узком смысле) дает полное описание с точностью до
изоморфизма всех объектов из данного класса алгебраических структур.
Обшря структурная теорема
Пусть дано непустое семейство (р{: i € I) конгруэнции на
полукольце S. Рассмотрим прямое произведение соответствующих фактор-
полуколец Π^/pr Его элементы можно мыслить как «строки» fo) с z-й
координатой jcj е S/ρ, для каждого индекса i е /. Существует естественный
гомоморфизм
а: S~> Π S/p.\ a^^flski) для всех^ € S.
Его образ a(S) является подпрямым произведением полуколец 5/р{ (г е 1\
т.е. подполу кольцом в Π S/p-l9 таким, что каждый элемент х{ е S/pi при
24

любом i e I служит ί-й координатой некоторого элемента (строки) этого
подполу кольца. Действительно, jc, =|з^ для подходящего s e S, т. е. х, есть
i-я координата строки a(s\
Предположим, что η ρ, =0, т.е. пересечение всех конгруэнции р,
есть нулевая конгруэнция. Возьмем s, t е Sy для которых a(s) = a(f\ Тогда
\?\>\ - [φ пр*1 всех z G Ъ T-e- SPJ ^^ всех z G ^ Значит, 5·(οριΧ, sO/ И5=/.
Итак, получаем следующую теорему универсальной алгебры.
Теорема 1. Боли семейство конгруэнции ρ (i el) произвольном
полукольце S имеет нулевое пересечение, то полукольцо S изоморфно
подпрямому произведению фактор-полуколец S/p, (i e f).
Разумеется, для успешного применения этой теоремы необходимо,
чтобы фактор-полукольца S/p, были проще устроены, чем само полукольцо
S. Теорема 1 имеет многочисленные применения в теории колец и в теории
дистрибутивных решеток. Так, применяя теорему 1 к дистрибутивной
решетке из упражнения 26, мы видим, что она изоморфна прямому
произведению двухэлементной и трехэлементной цепей.
Расширения полуколец
Полукольцо S называется расширением полукольца А при помощи
полукольца В, если существует такая конгруэнция ρ на S, что Щ, = А и
S/p ~ В (расширение посредством кош руэнции р)
Например, если S = Ах В - прямое произведение полуколец А и Д
то посредством конгруэнции р: (а, Ь)р(а\ Ь') означает b = b* при любых
а, а' е А и /?, У е В, S есть расширение А при помощи В (а также В при
помощи Лу
Обозначим через g(S) множество всех элементов полукольца Sy
имеющих противоположный элемент. Легко видеть, что g(S) - строгий
идеал в S, являющийся кольцом.
Теорема 2 [13]. Любое полукольцо S является расширением
однозначно определенного с точностью до изоморфизма кольца при
помощи некоторого антикольца
Для доказательства рассмотрим конгруэнцию Берна ρ = p(g{SJ) no
идеалу g(S\ Тогда Щ> = g(S) и S/p - антикольцо. Действительно, если
25

[а\ + [b\ = Щ, для a, b e S, то а + b <= g(S), откуда а е g(S), т. е.
[«I =«<*) = ВД,
Чтобы проверить единственность кольца g(S) возьмем
произвольную конгруэнцию σ на S, для которой [а^ - кольцо и Sfo -
антикольцо. Ясно, что [0]^ с g(Sy Бели а е g(S\ то а+Ь^ 0 для
некоторого b e g(S% откуда [а\, + \Ь\, = [О^ и значит [а\, ^ [0^, т. е.
а е [0^. Поэтому [0J, =#(S>
Заметим, что в теореме 2 антикольцо определено не однозначно.
Пусть S = Ζ χ Ν0. Тогда g(S) ~ Ζ χ {0 }- простой строгий идеал в S.
Возьмем двухклассовую конгруэнцию σ на 5", порожденную разбиением
{g(S\ S\g(S)}. Для нее И, = g(S) и 5/σ = D = {0, 1}. Итак, S есть
расширение кольца Ζ = g(S) при помощи не изоморфных антиколец N0 и D.
Кроме того, полукольцо Ζ χ D также является расширением Ζ при помощи
D, но оно не изоморфно S.
Предложение [13]. Полукольцо S с I изоморфно прямому
произведению кольца и антикольца тогда и только тогда, когда идеал g(S)
имеет единичный элемент е, комму тиру κ>ημιϊι со всеми элементами из S.
Упражнение 37. Попытайтесь доказать данное предложение.
Сделаем несколько замечаний о классе антиколец Класс антиколец
замкнут относительно взятия подполу колец, прямых произведений,
расширений, но не гомоморфных образов. Антикольца образуют
квазимногообразие алгебр, не являющееся многообразием. Если ρ -
конгруэнция на полукольце S, то S/p есть антикольцо <=> Щ, - строгий
идеал в S.
Упражнение 58. Докажите эти простые утверждения.
Ниль-радикал коммутативных антиколец
Пусть S - коммутативное антикольцо. Как и для полуколец с 1 (см.
§3), обозначим через radS множество всех нильпотентных элементов в5и
будем называть radS ниль-радикалом полукольца S. Если a.b^radS и
s e S, то а™ = 0 и Ьп = 0 для некоторых натуральных чисел /и, я, откуда
(asf1 = amsm - 0 и по биному Ньютона
(а +ЬГ+п'{ =am+nl+Clm+nlam+n-2b + ... + C*m4tbkam+I,-k ]bk + bm+n~{ -0.
Значит, rad S - идеал полукольца S.
26

Пусть теперь a + b e fad S для некоторых элементов a,b e S, т. е.
(a + bf ^0 дяя подходящего натурального п. Имеем
ап + С\апАЬ +... + CW +... + bn = 0.
Поскольку 5 - антикольцр, то ап = £л =0, т. е. д, 6 е rad S. Следовательно,
raj 5 - строгий идеал в S.
Полукольцо S называется радикальным, если radS = 5", и
редуцированным, если га J 5 = {0}.
Теорема 3. Любое коммутативное антикольцо есть расширение
радикального коммутативного антикольца при помощи редуцированного
коммутативного антикольца
Доказательство. Пусть S - коммутативное антикольцо и
p^p(radS) - конгруэнция Берна на S. Тогда [0J, = radS - радикальное
коммутативное антикольцо. Фактор-полукольцо S/p есть коммутативное
антикольцо. Если [afp = [0^ при некоторых а е S и натуральном и, то [ап\
= Щу, я" е rad S и а е rad S> т. е. ]а\> = [0^. Значит, 5/р - редуцированное.
Упражнение 39. Докажите, что в теореме 3 радикальное
антикольцо определено однозначно с точностью до изоморфизма. Верно
ли это для редуцированного антикольца из теоремы 3?
Циклические полукольца
Полукольцо S с 1 ψ 0 назовем циклическим, если существует
элемент а е S, неотрицательные целые степени которого или целые
степени которого в случае обратимого элемента а исчерпывают все
ненулевые элементы в S, возможно, и 0. Циклические полукольца
коммутативны.
Опишем бесконечные циклические полукольца.
Лемма. Циклические кольца - это в точности конечные поля.
Упражнение 40. Докажите, что мультипликативная группа
бесконечного поля не может быть циклической.
Хорошо известно, что мультипликативная группа любого
конечного поля является циклической.
Упражнение 41. Докажите лемму.
Теорема 4. Каждое бесконечное циклическое полукольцо
изоморфно одному из следующих трех идем потентных числовых
полуколец:
27

1) папу кольцу {Τ: η е ЛУ и{0} со сложением max и обычным
умножением.
2) полукольцу {1/2"' η в NQ} и{0} со сложением max и обычным
умножением,
3) полу полю {2к' к е Z} и{0} со сложением max и обычным
умножением
Схема доказательства. Пусть S - бесконечное циклическое
полукольцо с мультипликативным образующим а. Предположим сначала,
что а необратим. Тогда
с попарно различными степенями элемента а, С помощью леммы нетрудно
показать, что S - антикольцо. Затем доказывается аддитивная
идемпотентность S; в противном случае мультипликативная полугруппа
£\{0} должна содержать подполугруппу, изоморфную
мультипликативной полугруппе N, не являющейся конечно-порожденной
полугруппой. Но (S\ {0}, ·) изоморфна аддитивной полугруппе N0, все
подполугруппы которой конечно-порожденные. Далее от противного
доказывается, что а + \=а или а + 1=1. Вспоминая, как на аддитивно
идемпотентном полукольце вводится порядок (см. §2\ в первом случае
получаем 0<1<α<α2<...αη<... и S изоморфно полукольцу \\ а во
втором случае 0<...<αη<...α2<α< IhS изоморфно полукольцу 2\
Пусть теперь элемент а обратим. Тогда
S={^,a-2V,0,l,a,a2,...}
с попарно различными элементами. Такое S является бесконечным
циклическим полукольцом с делением. По лемме S не является полем-
Поэтому S - полу поле. Аддитивная идемпотентность S следует из того, что
в противном случае по свойству 3 полутел S должно содержать копию
полуполя Q+, мультипликативная группа которого не является конечно-
порожденной, что невозможно в силу цикличности мультипликативной
группы полуполя S. Затем доказывается, что α + 1=α или α+ 1=1. В
обоих случаях получаем полу поле, изоморфное 3)
Следствие, Любое циклическое полукольцо с делением либо
является конечным полем, либо изоморфно двухэлементной цепи D, либо
изоморфно попу полю 3).
28

Задача 8. Опишите конечные циклические полукольца, не
являющиеся полями. Рассмотрите случаи аддитивно идемпотентных и не
аддитивно идемпотентных конечных циклических полуколец.
Аделево-рефлярные положительные полукольца
Кратко коснемся этого класса полуколец, структурная теория
которого развита в [16], см. также [53]. Полукольцо S с 1 φ О называется
абелево-регулярным, если для любого а е S существует такой b e 5, что
aba r а, и каждый его идемпотент е (р2=е) коммутирует со всеми
элементами из S.
Пусть S - одновременно абелево-регулярное и положительное
полукольцо. Обозначим через L(S) множество всех идем патентов в 5, a
через U(S) множество всех его обратимых элементов. Относительно
естественного отношения порядка: e<f <=> ef=-e, L(S) является
дистрибутивной решеткой с 0 и 1. Относительно операций сложения и
умножения в S множество U(S) образует полу тело без нуля. Для любого
е е L(S) на U(S) определяется конгруэнция: а~сЬ означает, что ае=Ье.
Отображение φ: L(S) -» Con U(S\ <p(e) = ~e, оказывается
антигомоморфизмом решеток, переводящим 0 в 1 и 1 в 0.
Получается тройка (L($\ U($X φ). Изучение абелево-регулярных
положительных полуколец ведется в терминах таких троек, сводится к их
изучению.
§ 6. Упорядочение полукольца
Полукольцо S с заданным на нем отношением порядка < называется
(положительно) упорядоченным пол укол ьгрш, если:
1)0- наименьший элемент в <£, <);
2) а<b влечета+с<Ь+с,ас<Ьсиса<сЬдля всехa,b,c e S.
Из определения следует, что а<а+Ь для любых a,b^S. Любое
упорядоченное полукольцо S является антикольирм: если a+b=Q в 5, то
д <я+£=0и0< д,т. е.а = 0.
Упражнение 42. Докажите, что в упорядоченных полукольцах
неравенства можно почленно складывать и умножать:
а < Ь, с < d => а + с < b + с, ас < be.
29

Полукольцо называется упорядочиваемым, если на нем существует
отношение порядка, превращающее его в упорядоченное полукольцо.
Замечание. От нашего определения определение упорядоченного
кольца отличается тем, что для упорядоченного кольца отсутствует
условие \\ а в условии 2) при умножении на элемент с требуется, чтобы
0<с.
На произвольном полукольце S определим конгруэнцию σ
следующим образом:
aab<=>а+х = ЬиЬ+у=а для некоторыхх,у е S.
Заметим, что p(g(S))c; σ.
Упражнение 43. Проверьте, что σ действительно является
конгруэнцией на S и [0\, = g(S).
Предложение 1* Полукольцо S упорядочиваемо тогда и только
тогда, когда σ = 0 е Con S.
Упражнение 44. Докажите предложение 1.
Теорема 1. Каждое полукольцо S есть расширение однозначно
определенного с точностью до изоморфизма кольца при помогай
некоторого упорядочиваемого полукольца
Доказательство. Вспоминая теорему 2 из §5 с учетом равенства в
упражнении 42, достаточно показать, что $/σ - упорядочиваемое
полукольцо. Пусть [tfk + [xk = [b\, и [ЬЬ + И, - [a\j для некоторых
a9b,x,yeS. Тогда (α +χ)σΖ? и ф+у)за, откуда а + (х+с)=^Ь и
bMy + d)=a для подходящих c,deS, т.е. aob. Поэтому [а]з = [Ь\,.
Остается применить предложение 1.
Отметим, что существуют неупорядочиваемые антикольца.
Рассмотрим пример: для неодноэлементного кольца R с нулем (У образуем
антикольцо S = Rkj {0} с аддитивным и мультипликативным нулем 0
(операции с R переносятся на S\ Тогда [О^ = {0} и [0'k = R. Значит, по
предложению 1, S не упорядочиваемо. Конгруэнция p(g(5)) строго
содержится в σ. Теорема 1 сильнее теоремы 2 из §5.
Упражнение 45. Однозначно ли определено упорядочиваемое
полукольцо в теореме!?
30

Упражнение 46. Докажите, что аддитивно идем патентные
полукольца упорядочиваемы единственным образом.
Упражнение 47. Покажите, что всякое аддитивно сократимое
антикольцо упорядочиваемо.
Задача 9. Любое ли полутело упорядочиваемо?
Замечай». Структурные теоремы 1 и 2 §5 верны и для
полу модуле и Коммутативная аддитивная полугруппа Μ с нейтральным
элементом 0 называется (левым) пшумодулем над полукольцом S, если
определено отображение SxM -> Μ, (s, a)->sa, удовлетворяющее
аксиомам (для любых s>te S и а,Ъ е М). s(ta) = (дф, s(a+b) — sa+sb,
(s+ήα = sa+ta, Oa = sO = 0. Определение упорядоченного полу моду ля
вполне аналогично определению упорядоченного полукольца.
Упражнение 48. Докажите для полумодулей аналоги теорем 1 и
2 §5. Предварительно дайте определения подполу моду ля, гомоморфизма
полу моду лей, конгруэнции на полу модуле, фактор-полу модуля,
расширения полу модулей, упорядоченного и упорядочиваемого
полу модуля. Все полу моду ли рассматриваются над фиксированным
полукольцом.
Положительный конус упорядоченною колыщ
Множество {х g R: 0<х) всех неотрицательных элементов
упорядоченного кольца R является упорядоченным аддитивно сократимым
полукольцом, называемым положительным конусом R. Упорядоченное
полукольцо (кольцо) называется региеточно упорядоченным, если
соответствующее упорядоченное множество является решеткой.
Упорядоченное полукольцо (кольцо) с линейным порядком называется
л инейно упорядоченным.
Предложение 2 βΟ]. Решеточно упорядоченное полукольцо S
является положительным конусом некоторого решеточно
упорядоченного кольца тогда и только тогда, когда для любых a,b e S с
условием а <Ь существует единственный элемент с eS такой, что
Ъ = а + с.
Упражнение 49. Найти необходимые и достаточные условия для
того, чтобы упорядоченное полукольцо было положительным конусом
31

некоторого упорядоченного кольца. То же самое для линейно
упорядоченного полукольца.
Линейно упорядоченные полу тела
Линейно упорядоченное полу тело S называется:
мультипликативно архимедовым, если для любых его элементов
а > 1 и b существует η е Ν, для которого ап > Ь;
аддитивно архимедовым, если для любых а ф о и b из S найдется
такое «eN, что па > Ь;
непрерывным, если любое его ограниченное сверху непустое
подмножество имеет точную верхнюю грань;
плотным, если для любых а < b в S существует элемент се5, для
которого а<с<Ъ\
рационально плотным, если оно содержит копию Q+, плотную в S:
для любых a,beS a<b влечет a<q<b для подходящего q e Q+.
Сформулируем ряд результатов, доказательство которых можно
найти в статье [33]. Попытайтесь доказать следующие предложения
самостоятельно.
Предложение 3. Любое мультипликативно архимедово линейно
упорядоченное полутело либо аддитивно архимедово, либо аддитивно
идем поте нтно.
Предложение 4. Для произвольного линейно упорядоченного
полутела не являющегося аддитивно идем поте нтным,
мультипликативная архимедовость равносильна рациональной
плотности.
Предложение 5, Всякое мультипликативно архимедово линейно
упорядоченное полутело, не являющееся аддитивно идем поте нтным,
аддитивно сократимо.
Упражнение 50. Докажите, что любое аддитивно архимедово
линейно упорядоченное полутело удовлетворяет квазитождеству х+у^
=>х=0.
Упражнение 51. Убедитесь, что всякое аддитивно сократимое
линейно упорядоченное полутело является плотным.
32

Теорема 2. Всякое мультипликативно архимедово линейно
упорядоченное полу тел о изоморфно некоторому подполу полю полу поля R+,
рассматриваемого с обычным сложением или с операцией сложения max.
Теорема 3 [17]. Каждое непрерывное линейно упорядоченное
полу тел о изоморфно одному из следующих линейно упорядоченных
полу полей.
1) двухэлементная цепь D;
2) {2к: к е Z} lj{0} с обычными умножением и порядком и со
сложением max;
3) R* с обычными операгщями и порядком,
4) R+ с обычными умножением и порядком и сложением max.
Примером аддитивно архимедова и аддитивно сократимого
линейно упорядоченного полуполя, не являющегося мультипликативно
архимедовым, служит почти прямое произведение линейно
упорядоченного полуполя R+ с самим собой, взятое с лексикографическим
порядком. Существуют также неплотные аддитивно архимедовы линейно
упорядоченные полуполя рЗ].
Упражнение 52. Приведите пример линейно упорядоченного
полуполя, не являющегося ни аддитивно сократимым, ни аддитивно
идемпотентным.
Упражнение 53. Покажите, что любая линейно упорядоченная
группа допускает идемпотентное сложение, превращающее ее в линейно
упорядоченное полутело без нуля.
Упражнение 54. Докажите, что бесконечная линейно
упорядоченная циклическая группа не допускает неидем потентное
сложение.
Сформулируем еще три задачи для исследования.
Задача 10. Найти необходимые и достаточные условия линейной
упорядочиваем ости произвольного полутела.
Задача 11. При каких условиях на линейно упорядоченной группе
существует неидем потентное сложение, превращающее ее в линейно
упорядоченное полутело без нуля?
33

Задача 12. Обобщить сформулированные результаты о линейно
упорядоченных полутелах на упорядоченные полутела. В частности
исследовать мультипликативно архимедовы упорядоченные полу тела.
§7. Полукольца непрерывных функций
Функциональные полукольца QJ(, S) образуют важный и
интересный специальный класс полуколец. Изложим некоторые
основополагающие результаты о них в обзорном порядке.
Пусть X - некоторое топологическое пространство, a S -
топологическое полукольцо, τ е. полукольцо и одновременно
топологическое пространство, в котором полу кольцевые операции
сложения и умножения непрерывны. Через С{Х, S) обозначается
множество всех непрерывных отображений (функций) топологического
пространства X в топологическое пространство S. фикции можно
поточечно складывать и умножать: если f, geC(X,S\ то
(f+g№=fi*)+g(x)H^)-fr}g<?)w всех* е X
Упражнение 55. Докажите, что эти функции/-^, ^g: X -> S также
непрерывны, т. е. принадлежат С(Х, S).
Тем самым на множестве CQC.S) заданы бинарные операции
сложения и умножения.
Упражнение 56. Покажите, что в результате получается
полукольцо QX, S) непрерывных функций.
Наиболее интересны и плодотворны случаи, когда S есть поле R
действительных чисел, полуполе R+ всех неотрицательных
действительных чисел или полуполе без нуля всех положительных
действительных чисел Р, которые берутся с их обычной (интервальной)
топологией. Существуют специальные обозначения: QX) - С(Х, R\
С(Х) = С(Х, К+)и U(X)~C(X, Ρ).
Упражнение 57. Проверьте, что относительно поточечных
операций сложения и умножения функции получаем коммутативное
кольцо С(Х) с 1, коммутативное полукольцо С*(Х) с 1 и полуполе без нуля
U(X).
Для простоты изложения будем рассматривать только компактные
хаусдорфовы пространства, т. е. компакты. По известной лемме Урысона
34

[50], дня любых двух непересекающихся непустых замкнутых
подмножеств А и В компакта X существует разделяющая их функция
/е CQCtf^Q на А и/- 1 на Я.
Пусть Л'- произвольный компакт и χ е X. Множество
Mx^{feC(Xy.fix) = Q}
является максимальным идеалом кольца С(Х\ Аналогичное множество
будет максимальным идеалом и в полукольце C*iJCy
Упражнение 58. Докажите эти факты.
Первая часть следующего результата служит частным случаем
знаменитой теоремы Гельфанда-Колмогорова [51].
Теорема 1. Для компакта X максимальные идеалы кольца С(Х) и
полукольца С\Х) совпадают с идеалами вида Мх (х е X).
Доказательство проведем для полукольца С*(Х). Сначала покажем,
что для произвольной фиксированной точки χ компакта X множество Мх
является максимальным идеалом в С*(Х). Очевидно, Мх - идеал. Пусть
ge C^QC%MX. Тогда g(x)>0. Требуется доказать равенство А/х ■+ gC*(X) ^
€*(Χ) или, что равносильно, т +gh = 1 для подходящих т е Мх и
h g С*(Х). Рассмотрим функцию k = min(g-gixj\ 1)е С*(Х). Легко видеть,
что к е gC*(X) (почему?) Имеем т - 1 -к е Мх. Значит, 1 =
m+k<=Mx+gC(X\
Пусть теперь А/ - произвольный максимальный идеал полукольца
С*(Ху Покажем, что MczMx для некоторой точки ^е! Предположим от
противного, что это не так, т. е. для любой точки χ е X существует
функция^ е М, принимающая в точке χ положительное значение. Тогда и
в некоторой открытой окрестности Ux точки χ функция fx будет
положительна. Открытые множества Ux, χ е Ху покрывают компакт X.
Поэтому найдется конечное множество точек ху у, .., ζ в X, такое, что
множества (7Х, f/y,..., Uz также будут покрывать пространствоX. фикция
в каждой точке пространства X принимает положительное значение.
Значит, / является обратимым элементом полукольца С*(Х\ что влечет
равенство Μ = С*(Ху Полученное противоречие завершает доказательство
теоремы.
35

Для любого непрерывного отображения φ: Υ -> X топологических
пространств зададим отображение а: С(Х)~~> С(У) формулой:
«{/Ху)=Хф(у)) прилюбых/е С(Х)пу е К
Упражнение 59. Убедитесь, что α является кольцевым
гомоморфизмом, сохраняющим константы.
Оказывается, верно и обратное утверждение:
Теорема 2. Для произвольных компактов X и Υ любой кольцевой
гомоморфизм а: С(Х) -+ С(У) сохраняющий I, порождается некоторым
однозначно определенным (как выше)непрерывным отображением К—» X.
Заметим, что упражнение 59 и теорема 2 справедливы и для
полуколец С*(Х). Они устанавливают двойственность между категорией
компактов X и их непрерывных отображений и категорией
соответствующих колец С(Х) (полуколец С^(Х)) и их гомоморфизмов,
сохраняющих 1. В частности, имеет место следующий результат.
Упражнение 60. Любой гомоморфизм a: C(X)-^R или а:
C+(Y)->R+, сохраняющий 1, является вычислением в некоторой точке
χ е X, т. е. a(f)=flx)ww всех/из С(Х)ти из С*(Х\ Докажите.
Доказательство теоремы 2 опирается на теорему 1. В самом деле,
берем точку у е У и рассматриваем прообраз а"1 (Л/у) максимального идеала
Л/у, совпадающий в силу теоремы 1 с идеалом Л/х для некоторой точки
χ еХ. Полагая <pfy)=x, получим требуемое отображение φ: У-» X.
Упражнение 6L Подробно докажите теорему 2.
Задача 13. Верна ли теорема 2 для полу полей без нуля ЦХ)?
Теорема 3. Любой простой идеал колыша С(Х) или полукольца C^QC)
содержится в единственном его максимальном идеале.
Упражнение 62. Докажите теорему 3 (см. [51}.
Для подмножества А в X определим бинарное отношение рА на
С*{Х) и на U(X) как равенство функций на А:
fpAg означает, что/^g на А.
Упражнение 63. Убедитесь, что отношение рА является
конгруэнцией как на полукольце С{Х\ так и на полуполе без нуля ЦХ).
Теорема 4 [6, 36, 38} Для компакта X все конгруэнции на полуполе
без нуля U(X) являются идеальными, а максимальные конгруэнции
с опадают с конгруэщиями рщ (х е X).
36

Упражнение 64. Покажите, что для полуколец С*(Х) теорема 4
неверна.
Однако теорема 4 справедлива для предмаксимальных конгруэнции
на полукольцах С*(Х). Конгруэнция на полукольце называется
предмаксималъной, если она , строго содержится ровно в двух
контруэнциях: единичной 1 и некоторой максимальной.
Теорема 5 [38]. Для компакта X предмаксимальные конгруэнции на
полукольце С*(Х)~ это в точности конгруэнции рм по различным χ ε Χ.
В качестве следствия теорем 2,4 и 5 получается следующая теорема
определяем ости для ком пактов.
Теорема 6 [6, 39]. Для любых компактов X и Υ эквивалентны
условия:
1) Xи Υгомеоморфны;
2) кольца С(Х) и C(Y) изоморфны,
3) полукольца С*(Х) и C*(Y) изоморфны;
4) полупаля без нуля U(X) и U(Y\
5) решетки идеалов колец С(Х) и C(Y) изоморфны,
6) решетки идеалов полуколец С(Х) и C(Y) изоморфны;
7) решетки конгруэнции полуколец С*(Х) и C*(Y) изоморфны,
8) решетки конгруэнции полуполей без нуля U(X) и U(Y)
изоморфны
Упражнение 65. Как это получается?
Конгруэнция ρ на полукольце С'(Х) (или на полуполе без нуля
U(X)) называется замкнутой, если замкнуто подмножество ρ в
пространстве C*(Xf, рассматриваемом в топологии поточечной
сходимости. Имеет место следующий результат.
Теорема 7 [28, 29]. Конгруэнция на (^(Х) или на U(X) замкнута <=>
она имеет вид рАу где А - замкнутое подмножество в X.
Упражнение 66. На основе теорем 4 и 7 опишите все замкнутые - в
топологии поточечной сходимости - идеалы кольца С(Х) для ком пакта X.
Задача 14. Влечет ли замкнутость классов конгруэнции на С*(Х)
зам кнутость самой конгруэнции? Для U(X) это так [28].
Наконец, коснемся темы подалгебр в полукольцах непрерывных
функций. Подполукольцо полукольца QX,S), замкнутое относительно
37

умножения (справа и слева) на элементы из S, называется подалгеброй в
С(Х, S\ Нас интересуют проблема определяем ости jaoooro компакта X
решеткой подалгебр соответствующего полукольца C(X,S) и строение
максим альных подалгебр.
Теорема 8 [12]. Произвольные компакты X и Υ гомеоморфны <=>
изоморфны решетки всех подалгебр колец С(Х) и C(Yy
Задача 15 (гипотеза). Доказать аналоги теоремы 8 для полуколец
С*(X) и полуполей без нуля U(X).
В кольт С(Х), где X - произвольный ком паю, изестны два типа
максимальных подалгебр -это максимальные идеалы Мх(сеА)и
Лх,у = {fe C{X):ffr)=fiy)} при фиксированных χ Фу из X.
Упражнение 67. Покажите, что Мх и Лх у действительно являются
максимальными подалгебрами в С(Х).
Задача Id Существуют ли в кольцах С(Х) для компактов X другие
максимальные подалгебры?
Заметим, что в случае дискретных тел S кольца C(X,S) не имеют
других максимальных подалгебр [14}
Теорема 9 [11} Для каждого максимального идеала Μ полукольца
С*(Х) и любого минимального простого идеала Ρ в С*(Х) не
содержащегося в М, множество А(М, Ρ) = Μ u(C*Qfy P) является
максимальной подалгеброй в С*(Х).
Упражнение 68. Проверьте, что Λ (А/, /^-подалгебра в С*(Х).
Упражнение 69. Докажите, что для конечного дискретного
пространства X все максимальные подалгебры в С*(Х) имеют вид А(М, Р).
Что в этом случае представляют собой подалгебры А(М, PJ?
Задача 17. Для компактов X выяснить строение максим альных
подалгебр в полукольцах С*(Х) и в полу полях без нуля ЩХ).
Упражнение 70. Укажите хотя бы одну максимальную подалгебру
BL/qp, 1&CM.P4J.
Задача 18. Каждая ли собственная подалгебра в С*(Х) или в U(X)
содержится в некоторой максимальной подалгебре?
В заключение укажем один тип максимальных подалгебр в
полуполях без нуля U(X). Он связан со следующим классическим
неравенством Гельдера-Мшковского:
38

для любых наборов положительных действительных чисел аь аъ
..,, ял и Ьъ Ъъ ..., Ьп и любых η положительных чисел г, sy ..., /, сумма
которых равна 1, имеем
Пусть даны конечное множество Υ = {х0, Хъ х2, ..., хп} точек
компакта X и конечное семейство η положительных чисел г, 5, ..., /, сумма
которых равна 1. Определим множество
A(Y;r,s, ...,/)={/-£ imfifJ-j&f--fc*Ufco))·
Аналогичное множество можно определить и в полукольце С+(Х).
Упражнение 71. Проверьте, что множество А(У; г, s, ..., ί) является
подалгеброй как в U(X\ так и в С*(Х).
Теорема 10 [34]. Любое множество А(У; г, s, ..., /) является
максимальной подалгеброй полу поля без нуля UQfy
Упражнение 72. Покажите, что дня полукольца С*(Х) замкнутая
подалгебра A(Y; г,s9...,/)не максимальна.
Заметим, что в р5] введен более широкий класс максимальных
подалгебр в U{X\ выраженных в интегральной форме.
Литература
1. Богдалов И.Ф. Обратимость теоремы Гильберта о базисе в классе
полу колеи// Тез. докл. науч. конф. «Проблемы современного
математического образования в педвузах и школах России». - Киров: Изд-
во Вятского гос. пед. ун-та, 1998. -С. 171-172.
2. Варанкин А.В. Конгруэнции на полукольцах непрерывных
неотрицательных функций, порожденные фильтрам и// Матем. вестник
педвузов Волго-Вятского региона. -2000. -Вып. 2. -С. 3-10.
3. Варанкина В.И. Максимальные идеалы в полукольцах непрерывных
функций// <^ндаментальная и прикладная матем. - 1995. - Т. 1, № 4. - С.
923-937.
39

4 Варанкина В.И. Максимальные идеалы и делимость в полукольцах
непрерывных функций: Дис. .. канд. физ.-матем. наук. - Киров: Вят. гос.
пед, ун-т, 19%.
5. Варанкина В.И. О свойствах делимости в полукольцах непрерывных
функций// Вестник Вятского гос. пед ун-та. Матем., инф., φ из. - 1996 -
Вып. 1.-С. 4-5.
6. Варанкина В.И., Вечтомов ЕМ., Семенова И.А. Полукольца
непрерывных неотрицательных функций: делимость, идеалы,
конгруэнции// Фундаментальная и прикладная матем. - 1998. - Т. 4, № 2. -
С. 493-510.
7. Варанкина В.И., Вечггомов ЕМ., Смирнова (Поддевских) М.Н.
Пространства первичных идеалов полуколец непрерывных функций//
Вестник Вятского гос. пед. ун-та. Матем., инф., φ из. - 1997. - Вып. 3. -С.
4-7.
8. Вечтомов ЕМ. Кольца непрерывных функций со значениями в
топологическом теле: Дис. ... д-ра физ.-матем. наук. - М.: Моск. пед. гос.
ун-т, 1993.
9. Вечтомов ЕМ. Теория решеток. -Киров: Киров, гос. пед. ин-т, 1995.
10. Вечтомов ЕМ. Дистрибутивные решетки, функционально
представимые цепями// Фундаментальная и прикладная матем. - 1996. -
Т.2,№1.-С.93-102.
П. Вечтомов ЕМ. Один класс максимальных подалгебр полуколец
непрерывных неотрицательных фушсций// Вестник Вятского гос. пед.
унта. Матем., инф., физ. -1997. -Выа 3. -С. 7-10.
12. Вечтомов ЕМ. Решетка подалгебр колец непрерывных функций и
хьюиттовские пространства// Матем. заметки. - 1997. - Т. 62, № 5. - С. 687-
693.
13. Вечтомов ЕМ. Полукольца как расширения колец при помощи
полуколец без противоположных элементов// Науч. вестник Кировского
филиала МГЭИ. -1998. -Выа 1. -С. 151-153.
14. Вечтомов ЕМ. О подалгебрах колец непрерывных функций со
значениями в дискретном теле// Вестник Вятского гос. пед. ун-та. - 1999. -
№1.-С. 19-20.
40

15. Вечтомов ЕМ. Функциональная характернаация стоуновых
решеток// Вестник Вятского гос. пед. ун-та. - 1999. -№ 2. -С. 9-11.
16. Вечтомов ЕМ., Михалев А.В., Чермных В.В. Абелево-регулярные
положительные полукольца// Труды семинара им. И.Г.Петровского. -
1997.-Т. 20.-С. 282-309.
17. Вечтомов ЕМ., Ряттель А.В. Непрерывные линейно упорядоченные
полутела// Науч. вестник Кировского филиала МГЭИ. - 1998. - Вып. 1. - С.
154-157.
18. Вечтомов ЕМ., Смирнова (Подлевских) М.Н. Одна двойственность
для топологических полуколец непрерывных функций// Успехи матем.
наук.-1996.-Т. 51,№3.-С. 187-188.
19. Вечтомов ЕМ., Чермных В.В. Условия симметричности в кольцах и
полукольцах// Вестник Вятского гос. пед. ун-та. Матем., инф., физ. - 19%. -
Выа1.-С.68.
20. Гретцер Г. Общая теория решеток. -М: Мир, 1982.
21. Клиффорд Α., Престон Г. Алгебраическая теория полугрупп: В2т.-
М.: Мир, 1972.
22. Кокорин А .И., Копытов В.М. Линейно упорядоченные группы. -М.:
Наука, 1972.
23. Кон П. Универсальная алгебра. -М.: Мир, 1968.
24. Ламбек И. Кольца и модули. -М.: Мир, 1971.
25. Лукиных (Пушкарева) ЕП Об упорядоченных полукольцах// Тез.
докл. VI Междунар. конф. женшин-матем. - Чебоксары: Чуваш, гос. ун-т,
1998.-С.
26. Маслов В Л., Колокольцов В.Н. Идем патентный анализ и его
применение в оптимальном управлении. -М.: Наука, 1994.
27. Подлевских М.Н. Решетка замкнутых конгруэнции на полукольцах
непрерывных функций// Вестник Вятского гос. пед, ун-та. - 1999. -№ 1. -
С. 101-102.
28. Подлевских М.Н. Замкнутые конгруэнции на полукольцах
непрерывных функций// ^ндаментальная и прикладная матем. - 1999. -
Т.5,№3.
41

29. Подлевских М.Н. Полукольца непрерывных функций с топологией
поточечной сходитмости: Дис. ... канд. физ.-матем. наук. -Киров· Вят гос.
пед. ун-т, 1999.
30. Подлевских М.Н. Решеточно упорядоченные полукольца// Науч.
вестник Кировского филиала МГЭИ. -1999. - Вып. 3. -С. 240-244.
31. Подлевских М.Н. Конгруэнции и идеалы в полукольцах
непрерывных функций//Матем. вестник педвузов Волго-Вятского региона.
-2000. -Вып. 2. -С. 70-74.
32. Пушкарева ЕГ. О строении конечных линейно упорядоченных
полуколец// Матем. вестник педвузов Волго-Вятского региона. - 2000. -
Выа2.-С.74-79.
33. Ржттель А.В. Об аддитивно архимедовых и мультипликативно
архимедовых линейно упорядоченных полу полях// Науч. вестник
Кировского филиала МГЭИ.-1998.-Вьш. 1.-С. 172-176.
34. Семенов А.Н. О подалгебрах полуколец непрерывных функций//
Матем. вестник педвузов Волг (ИВ яте кого региона. - 1998. - Вып. 1. - С. 83-
90.
35. Семенов А.Н. О подалгебрах полуколец непрерывных функций// Тез.
докл. Между нар. алгебр, конф. памяти А.Г. Куроша. - М.: Изд-во МГУ,
1998.-С. 208-209.
36. Семенова И. А. Главные конгруэнции на полу поле непрерывных
положительных функций// Вестник Вятского гос. пед. ун-та. Матем., инф.,
физ. -1996. -Вып. 1. -С. 14-16.
37. Семенова И.А. Конгруэнции на полуполе непрерывных
положительных функций и его строго выпуклые мультипликативные
подгруппы// Вестник Вятского гос. пед. ун-та. Матем., инф., физ. - 1997. -
Вып. 3.-С. 30-32.
38. Семенова И.А. Конгруэнции на полукольцах непрерывных функций:
Дис.... канд. физ.^атем. наук. -Киров: Вят. гос. пед. ун-т, 1998.
39. Семенова И.А. Определяем ость хьюиттовского пространства X
решеткой конгруэнции полуколец непрерывных неотрицательных
функций на XII Вестник Вятского гос. пед. ун-та. -1999. -Вып. 1. -С. 20-23.
42

40. Семенова ИЛ. Один алгебраический критерий псевдокомпактности
топологического пространства// Матем. вестник педвузов Волго-Вятского
региона. -2000. -Вьнг 2. -С. 8(Ш.
41. Смирнова (Подлевских) М.Н. Замкнутые идеалы в полукольцах
непрерывных функций с топологией поточечной сходимости// Вестник
Вятского гос пед. ун-та. Матем., инф., физ. -1996.-Вып. L-С. 16-18.
42. Чермных В.В. Представления положительных полуколец
сечениям и//Успехи матем. наук. - 1992. -Т. 47, № 5. -С. 193-194.
43. Чермных В.В. Пучковые представления полуколец// Успехи матем.
наук. -1993. -Т. 48, № 5. -С. 185486.
44. Чермных В.В. Пучковые представления полуколец: Дис. ... канд.
физ.-матем. наук. -М.: Моск. пед. гос. ун-т, 1993.
45. Чермных В.В. О полноте пучковых представлений полуколец//
Фундаментальная и прикладная матем. - 19%. -Т. 2, № 1. -С. 167-177.
46. Чермных В.В. Ламбековское представление полуколец// Вестник
Вятского гос. пед. ун-та. Матем., инф., физ.-19%. -Вып. 1. -С. 19-21.
47. Чермных В.В. О предпучке полуколец эндоморфизмов// Вестник
Вятского гос пед. ун-та. Матем., инф.., физ. ~ 1997. -Вып. 3. -С. 33-36.
48. Чермных В.В. Полукольца. -Киров: Изд-во Вят. гос. пед. ymra, 1997.
49. Чермных В.В. Аналог теоремы Стоуна-Вейершпграсса для
полуколеи// Науч. вестник Кировского филиала МГЭИ. - 1998. - Вып. 1. -
С. 193-1%.
50. Энгелъкинг Р. Общая топология. -М.: Мир, 1986.
51. Gillman L, J ens on M. Rings of continuous functhions. - N.Y.: Springer-
Verlag, 1976.
52. Golan J.S. The theory of scrnnings with applications in mathematics and
theoretical computer science. - Pitman monographs and surveys in pure and
applied mathematics. V. 54. -1992.
53. Mikhalev A.V., Vechtomov EM., Aitamonova LL, Cheimnykh V.V.,
Varankina VI Semirings: sheaves and continuous Junctions// Semigroups with
applications, including semigroup rings. -Sankt-Peteibuig, 1999. -P. 23-58.
54. Vechtomov EM. Rmgs of continuous fimctions with values in topological
division ring// J. Math. Sciences (USA> -19%. -V. 78, № 6. -P. 702-753.
43

Научное издание
Вечгомов Евгений Михайлович
Введение в гюлукольца
Лицензия ЛР№ 020507 от 4.08.1997 г.
Редактор Г. Попырита
Технический редактор И. Богданов
Подписано в печать 30.10.2000 г. Формат 60x84 1/16
Бумага типографская. Уел печ. л. 2,75
Тираж 100. Заказ 167
Вятский государственный педагогический университет,
г. Киров, ул. Ленина, 111
Отпечатано в тип. ЦЦООЩ г. Киров, ул. Ленина, 105

I '*-
Киров
2000