О. 3 А Р И С С К И Й, П. САМЮЭЛЬ
КОММУТАТИВНАЯ
АЛГЕБРА
Том I
Перевод с английского
О. Н. ВВЕДЕНСКОГО, С. П. ДЕМУШКИНА
и А. Н. ТЮРИНА
Под редакцией
а. и. узкова
ИЗДАТЕЛЬСТВО ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1963

ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Авторы в своем предисловии так подробно говорят о проис-
происхождении книги и о ее месте в литературе, что представляется
излишним делать к этому большие дополнения. Следует отметить
только, что с 1962 г. во Франции начала выходить отдельными
главами книга Бурбаки «Коммутативная алгебра», посвященная
тем же вопросам и, возможно, более полная. Однако и при на-
наличии монографии Бурбаки предлагаемая вниманию читателя книга
сохранит неоспоримое преимущество большей доступности: ее
вполне может читать студент второго (а может быть, и первого)
курса университета. Вместе с этим книга Зарисского и Самюэля
содержит обширный материал, доведенный до результатов самых
последних лет.
Перевод первого тома выполнен О. Н. Введенским (гл. V),
С. П. Демушкиным (гл. I; § 7-17 гл. II; § 10—15 гл. III)
и А. Н. Тюриным (§ 1-6 гл. II; § 1—9 гл. III и гл. IV).
А. И. Узкое

ПРЕДИСЛОВИЕ
Следователь: «Обвиняемый, поста-
постарайтесь быть кратким».
Обвиняемый: «Я постараюсь быть
понятным».
Ж. Куртелен
Эта книга — дитя неродившегося родителя. Несколько лет назад
старший из авторов начал готовить монографию по алгебраической
геометрии, и тогда он смело смотрел в лицо трудностям, связанным
с объединением в одном томе огромного чисто алгебраического мате-
материала, который необходим в абстрактной алгебраической геомет-
геометрии. Первоначальный план подразумевал включение алгебраиче-
алгебраических отступлений, в которых развивались бы по мере надобности
идеи и результаты коммутативной алгебры. Однако вскоре стало
очевидным, что такие вставленные мимоходом отступления чисто
алгебраического характера, скрывающие широкое поле приложений
коммутативной алгебры, ограничивали бы характер, глубину и сте-
степень общности возможного изложения. Как известно, абстрактная
алгебраическая геометрия в последнее время стала не только полем
приложений коммутативной алгебры, но и главным стимулом новых
исследований в этой области. Привлечение основ алгебры только
в строго утилитарном, вспомогательном и случайном плане тормо-
тормозило бы дальнейшее развитие как приложений алгебры к алгебраи-
алгебраической геометрии, так и общих алгебраических теорий, пришедших
из геометрии. Нам показалось сразу, что этот план слишком узок
и психологически несостоятелен, не говоря уже о неизбежном
отвлекающем действии повторяющихся алгебраических отступлений
на фоне центральной алгебро-геометрической темы. Таким образом,
идея отдельной книги по коммутативной алгебре родилась, и настоя-
настоящая книга, которая является первым из двух томов,— реализация
этой идеи. Это — дитя, родитель которого — трактат об алгебраи-
алгебраической геометрии —до сих пор не увидел света.

Предисловие
В последние двадцать лет коммутативная алгебра интенсивно
развивалась. Однако, насколько нам известно, с тех пор, как в 1935 г.
в серии «Ergebnisse» издана монография «Idealtheorie» Крулля,
систематический обзор по этой теме в виде книги не был опублико-
опубликован. Что касается этой монографии, то она оказала огромное влия-
влияние на исследования в последующие годы, но сжатый и набросочный
характер изложения (причиной которого является ограниченность
места в серии «Ergebnisse») сделали ее более ценной для специа-
специалиста, нежели для студента, желающего изучить эту тему. В настоя-
настоящей книге мы попытаемся дать систематический (мы можем даже
сказать, весьма подробный, чересчур подробный) обзор коммутатив-
коммутативной алгебры, включая некоторые вопросы более современного раз-
развития этой области. Мы не претендуем, однако, на энциклопедич-
ность изложенного материала. Мы предпочитаем написать самостоя-
самостоятельную книгу, которую можно было бы использовать в основном
курсе современной алгебры. Имея в виду студентов, мы старались
давать простые и подробные объяснения в доказательствах — мы не
разделяем традиции, по которой зрелые математики опускают при
изложении детали, ненужные им самим. Мы даже нашли, что поли-
политика жертвования пространства ради ясности и полноты доказа-
доказательств спасла нас, авторов, от некоторых ошибочных заключений
в более поздних частях книги.
Мы старались также, имея в виду и студентов, и зрелых мате-
математиков, давать многостороннее исследование нашей темы, не ко
леблясь, приводить различные доказательства одного и того же
результата, когда считали, что эти доказательства позволяют узнать
нечто, касающееся .методов.
Алгебро-геометрическое происхождение книги станет более
заметным во втором томе (который посвящен теории нормирований,
кольцам полиномов и степенных рядов и локальной алгебре; можно
сказать, что настоящий том является предисловием ко второму).
Но и в этом томе оно заметно. Здесь мы развиваем элементы комму-
коммутативной алгебры, которые считаем общими и основными. В главе I
мы развиваем вводные понятия, касающиеся групп, колец, полей,
полиномиальных колец и векторных пространств. Всеэто, за исклю-
исключением, может быть, некоторых деталей, касающихся колец част-
частных относительно мультипликативных систем, является тем мате-

Предисловие
риалом, который обычно дается в вводных алгебраических курсах
и более кратко пересказывается в начале курсов последующей ступени
трудности. Изложение теории полей, данное в главе II, является
довольно полным и в существенных чертах следует обычному совре-
современному изложению этой теории. Однако, как и следовало ожидать
от алгебраических геометров, мы делаем ударение на рассмотре-
рассмотрении трансцендентных расширений и специальных понятий сепара-
сепарабельности и линейной свободы (последнее восходит к А. Вейлю).
Изучение максимальных алгебр а ическлх подполей и регулярных
расширений отложено до второго тома (глава VII), так как это
изучение опирается на вопросы расширения основного поля
в полиномиальных кольцах.
Глава III содержит классический материал, касающийся идеа-
идеалов и модулей в произвольных коммутативных кольцах. Детально
изучаются разложения в прямую сумму. Последние два параграфа
посвящены соответственно тензорным произведениям колец и сво-
свободным композитам областей целостности. Здесь мы вводим понятие
квазилинейной свободы и доказываем некоторые результаты, кото-
которые касаются свободных композитов областей целостности и отно-
относительно которых трудно указать литературу.
С главы IV, посвященной нётеровым кольцам, мы вводим собст-
собственно коммутативную алгебру. За исключением вводного параг-
параграфа, посвященного теореме Гильберта о базисе, и отступления
о кольцах, удовлетворяющих условию обрыва убывающих цепей,
первая часть главы посвящена главным образом понятию примар-
ного представления идеала и приложениям этого понятия. Затем
мы детально изучаем понятие колец частных (обобщенное Шевалле
и Узковым). Конец главы содержит различные дополнения, наи-
наиболее важным из которых является теория Крулля, касающаяся
цепей простых идеалов в нётеровых кольцах. В добавлении обоб-
обобщаются некоторые свойства примарного представления на случай
нётеровых модулей.
Глава V начинается с изучения целой зависимости (темы, кото-
которая в наше время по существу необходима почти для всех разделов
коммутативной алгебры) и содержит так называемые теоремы
«спуска» и «подъема» Коэна — Зейденберга и теорему нормализа-
нормализации (вариации этих теорем можно будет найти во втором томе,

10 Предисловие
в главе о кольцах полиномов и степенных рядов). Затем мы
вслед за Матусита определяем дедекиндову область как область
целостности, в которой каждый идеал является произведением про-
простых идеалов, и получаем из этого определения обычное описание
дедекиндовых областей и их свойств. Важное место отводится изу-
изучению конечных алгебраических расширений поля частных деде-
киндовой области. Формула степени 2е{/{ = п получается при
обычных предположениях конечности, касающихся целого замы-
замыкания данной дедекиндовой области в расширении поля. Естест-
Естественным завершением этой темы являются тонкая и изящная теория
ветвления, построенная Гильбертом (§ 9 и 10), и свойства дифференты
и дискриминанта (§ 11). Глава заканчивается некоторыми класси-
классическими теоретико-числовыми приложениями и обобщением тео-
теоремы Куммера. Дедекиндовы области, естественно, представляют
удобный случай для введения понятия нормирования (по крайней
мере в дискретном случае). Но читатель заметит, что это понятие
вводится мимоходом и что язык нормирований не употребляется
в этой главе. Мы делаем это преднамеренно, ибо хотим подчеркнуть
тот хорошо известный факт, что, хотя идеалы и нормирования охва-
охватывают одни и те же основы в классическом случае (который с гео-
геометрической точки зрения является случаем размерности 1), лишь
в теории функциональных полей размерности большей чем 1, нор-
нормирования становятся действительно существенными.
Подготовка первого тома этой книги началась при сотрудниче-
сотрудничестве между старшим из авторов и нашим прежним учеником и дру-
другом, покойным Ирвингом Коэном. Мы с глубокой благодарностью
вспоминаем этого одаренного молодого математика.
Многими усовершенствованиями в этой книге мы обязаны Джону
Тэйту и Жану-Пьеру Серру. Мы хотим также сердечно поблагода-
поблагодарить м-ра Кноппа, который внимательно прочел рукопись и корре-
корректуры и чья конструктивная критика была чрезвычайно полезна.
Оскар Зарисский
Кембридж, Массачусетс
Пьер Самюэль
Шамальер, Франция

Глава I
ВВОДНЫЕ ПОНЯТИЯ
§ 1. Бинарные операции. Пусть G — произвольное множество
элементов а, Ь, с, .... Под бинарной операцией в G подразумевается
правило, по которому каждой упорядоченной паре (а, Ь) элементов
множества G однозначно ставится в соответствие некоторый элемент
с того же множества G. Бинарная операция поэтому может пред-
представляться как однозначная функция, которая определена на множе-
множестве всех упорядоченных пар (а, Ь) элементов множества G и обла-
областью значений которой является либо само G, либо некоторое под-
подмножество множества G. Отметим сразу же, что если аи 6 — раз-
различные элементы множества G, то элементы множества G, которые
ставятся в соответствие упорядоченным парам (а, Ь) и F, а), могут
быть различными.
В теории групп и в алгебре вообще элемент, который ставится
в соответствие паре (а, Ь) при данной бинарной операции, обычно
обозначается через a- b или аЬ. Элемент с = аЬ называется тогда
произведением, элементов а и Ь, а сама бинарная операция назы-
называется умножением. Когда для бинарной операции используется
термин «умножение», то при этом имеется в виду, что если a?G
(читается: а—элемент множества G) и b?G, то также ab?G.
Это свойство часто будет выражаться словами: G замкнуто относи-
относительно данного умножения.
Пусть G—множество, на котором задана бинарная операция,
записываемая как умножение. Операция называется ассоциатив-
ассоциативной, если (ab) с = a (be) для любых трех элементов а, Ь, с
множества G. Говорят, что два элемента а и b множества G коммути-
коммутируют, если ab = ba, и операция называется коммутативной, если
любые два элемента множества G коммутируют.
Мы предполагаем впредь, что операция, о которой идет речь,
ассоциативна. В этом случае нетрудно определить по индукции
степени элемента множества G и доказать обычные правила для
показателей степени. Именно, если a?G и п — положительное це-
целое число, то мы определяем а1= а; при п > 1 полагаем ап = ап~ха.

12 Гл. I. Вводные понятия
Тогда для любых положительных целых чисел тип выполня-
выполняются соотношения
атаа = ат+п; A)
(ат)п = атп. B)
Для фиксированного т можно применить индукцию по п, заме-
заметив, что эти правила для п = 1 выполняются по определению.
Кроме того, если а и Ъ — два коммутирующих элемента множе-
множества G, то любые степени элементов а и b тоже коммутируют и
(ab)n = anbn. C)
Единичный элемент в G есть такой элемент е G G, что еа = ае = а
для всех a?G. Если G содержит некоторую единицу е, то оно не
содержит никакой другой единицы, ибо если е тоже будет еди-
единицей, то е = ее' = е . Кроме того, мы можем определить теперь а0
как е. Тогда три предшествующих правила будут выполняться три-
тривиально для произвольных неотрицательных показателей степени.
Предположим теперь, что G содержит единицу е. Если a?G, то
обратным к элементу а называется такой элемент a' G G, что а'а=
= аа'= е. Если а" тоже будет обратным к элементу а, то а"= а"е =
= а"(аа') = (а"а) а'= еа'= а'. Таким образом элемент, обратный
к элементу а (если он вообще существует), определяется однозначно.
Если а имеет обратный элемент а , то можно определить также отри-
отрицательные степени элемента а; а именно, отметим, что
для всех неотрицательных т, и возьмем это равенство .как индук-
индуктивное определение для отрицательных т. Таким образом, ата=а*^
для всех т. Правило A) будет тогда верным для любого фиксирован-
фиксированного т (положительного или отрицательного), если п = 1; для
произвольного положительного п оно может быть доказано по индук-
индукции от п — 1 к п, а для отрицательного п — по индукции от п + 1
к п. Следовательно, так как ата~т = е = а~тат, элемент а™ имеет
в качестве обратного а'т, так что (ат)п определено для каж-
каждого п. Правило B) может быть теперь доказано при помощи двух
индукций, использованных для доказательства A). Из определения
мы имеем, что а'1 = а , и мы всегда будем использовать а'1 для обо-
обозначения обратного к а элемента (если он существует). Если а и b
оба имеют обратные элементы, то ab тоже имеет обратный элемент
и (ab)'1 = b~la~l. Кроме того, если а и b коммутируют, то любые
степени элементов а и b тоже коммутируют и равенство C) имеет
место для произвольного п.
Произведение п элементов аь а2, ..., ап множества G определяет-
определяется индуктивно следующим образом:
п п п—1
]\ ai = a1 при п= 1; \] а{ = ( f] аг)аЛ при п>\.
il il il

§ 2. Группы 13
Это произведение будет обозначаться также через а^а2 ... ап. Из ас-
ассоциативности умножения в G мы можем вывести следующий общий
ассоциативный закон, утверждающий, что значение произведения
не зависит от группировки сомножителей:
Пусть п0, «1, ..., пг—такие целые числа, что О = п0 <«!<...
... < пг = п. Тогда
п.
г 1 п
ду11+Л)=д«,
Это ясно для п = 1; следовательно, мы можем предположить это
равенство доказанным для п — 1 и доказать его для п множите-
множителей. Поскольку формула тривиальна для г = 1, мы можем пред-
предположить, что г> 1. Тогда
г
II ( П й,,) = (по определению) =
j=l h=n._1Jt-l
п. „ <
г—1 3 г
= [.П( П^ак)][( II a,4)aj = (по ассоциативности) =
r-l
»r-l
r
= ([П( П аь)] [ П a/t]ja(l = (no определению и ин-
j=l h^i^j+l h=nrJ+l
дуктивному предположению) =
п-1
= \\\ аг\ аЛ = (по определению) =
1
Это вычисление справедливо при пТ_хФ п — 1; изменения, необхо-
необходимые в противном случае, предоставляется провести читателю.
п
Если все at = a, то \\ at = an и равенства A) и B) следуют
г=1
(для положительных показателей степени) из общего ассоциативного
закона.
§ 2. Группы.
Определение. Некоторое множество G, замкнутое отно-
относительно данного умножения, называется группой, если выпол-
выполняются следующие условия (групповые аксиомы):
П. Множество G непусто.

14 Гл. I. Вводные понятия
Г2. Если a, b, c?G, то (ab) с = a (be) (ассоциативный закон).
ГЗ. В G существует такой элемент е, что:
A) для любого элемента a?G имеем еа = а;
B) для любого элемента a?G существует элемент а' g G,
такой, что а'а = е.
В силу аксиомы Г2 и общего ассоциативного закона, доказанного
выше, мы можем произведение любого (конечного) числа элементов
множества G записывать без расстановки скобок.
Покажем, что е будет единицей в G и что для каждого элемента а
существует обратный. Если а задано, то, в силу ГЗ B), существует
такой элемент а , что а а = е, и существует такой элемент а", что
а"а'= е. Тогда аа = е (аа) = (а"а') (аа ) = а"(а'а) а'= а"еа'= е;
это вместе с равенством а'а= е показывает, что а'—обратный к эле-
элементу а, когда е — единица. Но последнее получается немедленно,
потому что еа = а по ГЗ A) и ае = а (аа) = (аа) а = еа = а.
Так как е — единица в G и а — обратный элемент для а, то оба
они будут определены однозначно. Как упоминалось в предыдущем
параграфе, обратный к а элемент будет обозначаться через а~1.
Если а и b — элементы некоторой группы G, то каждое из
уравнений ах = b, xa = b имеет одно и только одно решение. Рас-
Рассмотрим, например, уравнение ах = Ь. Умножение слева на а~1
дает л: = а"х6 как единственное возможное решение, а прямая под-
подстановка показывает, что а~хЪ действительно является решением.
Подобным же образом можно убедиться в том, что х = ЬаГг является
единственным решением уравнения ха = Ь.
Очевидным следствием однозначности решения каждого из напи-
написанных выше уравнений является следующий (правый или левый)
закон сокращения: если ах = ах' (или если ха = х'а), то х = х .
Разрешимость обоих уравнений ах = Ъ, ха= b при выполнении
аксиом Г1 и Г2 эквивалентна аксиоме ГЗ. В самом деле, если мы
предположим разрешимость предшествующих уравнений и, кроме
того, справедливость Г1 и Г2, то мы можем доказать ГЗ следующим
образом.
Фиксируем некоторый элемент с б G и обозначим через е решение
уравнения хс = с. Если а — любой элемент множества G, то пусть
b будет решением уравнения сх = а. Тогда имеет место соотноше-
соотношение еа = е (cb) = (ее) b = cb = а, что дает аксиому ГЗ A). Что
касается аксиомы ГЗ B), то она немедленно следует из разре-
разрешимости уравнения ха = е.
При проверке выполнения групповых аксиом в заданном множе-
множестве G иногда встречаются случаи, когда разрешимость уравнений
ах = b и ха = Ъ более или менее прямо следует из природы рас-
рассматриваемой бинарной операции в G. Поэтому задача доказатель-
доказательства того, что G является группой, иногда может быть упрощена,

§ 3. Подгруппы 15
если использовать только что сформулированное условие разреши-
разрешимости, а не аксиому ГЗ.
Группа, содержащая лишь конечное число элементов, называет-
называется конечной группой. Под порядком конечной группы понимается
число элементов в этой группе.
Может случиться, что группа G состоит исключительно из эле-
элементов вида а", где а — некоторый фиксированный элемент группы
G и я~=0 — произвольное целое число. В этом случае G назы-
называется циклической группой, а про элемент а говорят, что он порож-
порождает G.
§ 3. Подгруппы. Для данных двух групп G и Я обозначим через
• и о групповые операции соответственно в G и в Я. Мы говорим,
что Я является подгруппой группы G, если A) Я — подмножество
множества G и B) a- b = a°b для любой пары элементов a,b?H.
Пусть Я — подгруппа группы G, е и е — единичные элементы
групп G и Я соответственно. Мы имеем е -е' = е'°е'= е ие'-е = е'.
Следовательно, е'-е'= е'-е, а поэтому, в силу закона сокращения,
который выполняется в G, е'= е. Таким образом, мы видим, что
единичный элемент некоторой группы G принадлежит любой под-
подгруппе Я группы. G (и будет обязательно также единицей группы Я).
Если Я является подгруппой группы G, то мы не будем исполь-
использовать разные символы (такие, как • и о) для обозначения группо-
групповых операций в G и Я. Обе операции будут обозначаться одним
и тем же символом, например • или о.
Для некоторой данной группы G и любого непустого подмноже-
подмножества Яо группы G существует очень простой критерий того, будет
ли Яо множеством элементов некоторой подгруппы в G, а именно, мы
имеем следующее необходимое и достаточное условие: если
a,b?H0, то ab~x?H0. Оно очевидным образом необходимо.
С другой стороны, если оно выполняется, то, прежде всего, Яо
содержит единицу е группы G (если а — любой элемент непу-
непустого множества Яо, то е = а-а~х?Н^. Отсюда следует, что
если а?Н0, то также а б Яо (а'1 — е-а~г? Яо), и если а, b?H0,
то a- b = а- (Ь~1)6 Но. Таким образом, Яо действительно будет
группой Я относительно групповой операции в G, и эта группа Н
является подгруппой группы G.
Пусть G — произвольная группа и Я — подгруппа группы G.
Если а — любой элемент группы G, то через На обозначим множе-
множество элементов из G, имеющих вид ha, где Л б Я. Это множество назы-
называется правым смежным классом по подгруппе Я. Подобным же обра-
образом можно определить левый смежный класс аН по подгруппе Я.
Если умножение в G коммутативно (§ 1), то любой правый смежный
класс будет также и левым смежным классом: На и аН совпадают
как множества.

16 Гл. I. Вводные понятия
Пусть На и НЬ — два правых смежных класса по подгруппе Н
группы G, и пусть эти два класса имеют какой-нибудь общий эле-
элемент с, т. е. с — h^a = h2b; hit h2?H. Тогда Ь = h'^hia, и для
любого элемента h?H мы имеем hb — (hh^h^a^Ha (так как Н
является подгруппой в G и, следовательно, hh~ hi^H). Таким обра-
образом, Hb a На; подобным же образом мы можем показать, что
НааНЬ. Поэтому На = НЬ.
Отсюда следует, что два правых смежных класса На и НЬ либо
не пересекаются (т. е. не имеют общих элементов), либо совпадают.
Подобный же результат имеет место для левых смежных классов.
Отметим, что а?На, так как Н содержит единицу группы G. Сле-
Следовательно, каждый элемент группы G принадлежит некоторому
правому (и некоторому левому) смежному классу.
Н называется нормальной (или инвариантной) подгруппой (или
нормальным делителем.— Ред.) группы G, если На — аН для
каждого a?G. Эквивалентным свойством является следующее: для
каждого а ? G и каждого h G Н элемент aTxha принадлежит Н.
Предположим теперь, что G — конечная группа порядка п
и что т — порядок подгруппы Н. Тогда каждый правый смеж-
смежный класс На по подгруппе Н содержит в точности т элементов
(если hi, /i2 G # и h^h2, то П\афЬ.2а). В силу того что каждый
элемент группы G принадлежит одному и только одному правому
смежному классу, отсюда следует, что т должен быть делителем
числа п и что п!т будет числом правых смежных классов по подгруппе
Н. Поэтому мы доказали, что если G — конечная группа, то порядок
т любой подгруппы Н группы G делит порядок п группы G. Частное
п/т называется индексом подгруппы Н в группе G.
Если а — произвольный элемент группы G, то элементы ап,
п%0 — любое целое число, очевидно, образуют подгруппу Н груп-
группы G. Мы называем Н циклической подгруппой, порожденной элемен-
элементом а. Если эта подгруппа Н конечна, например порядка т, то
т называется порядком элемента а; в противном случае про а гово-
говорят, что он бесконечного порядка.
Пусть а — элемент группы G, имеющий конечный порядок т.
Тогда существует такая пара различных целых чисел п, п ,
что а"— а"' (в противном случае циклическая группа, порожденная
элементом а, была бы бесконечной). Из равенства ап= а'1' следует, что
ап-п' __ ]; 0ТКуда вытекает существование такого положительного
целого числа v, что av = 1. Пусть ji — наименьшее из этих целых
чисел. Тогда 1, а, а2, . . . , а^1 будут различнымиэлементами, в то же
время если п — любое целое число и, например, я — </[i -j- n', 0 <;
--¦¦;- л' < A, то
fl"' = a"'. A)
Отсюда следует, что циклическая группа, порожденная элементом а,

§ 4. Абелевы группы . 17
состоит в точности из^, элементов 1, а, а2, ... , а^-1, следовательно,
р = т. Таким образом, порядок элемента а будет также наимень-
наименьшим положительным числом т, для которого ат = 1.
Из A) следует, что аа = 1 в том и только том случае, когда
п' = 0, т. е. в том и только том случае, когда п делится на т (= |х).
Ясно, что если G — конечная группа, то каждый элемент а
группы G имеет конечный порядок, и что порядок элемента а делит
порядок группы G.
§ 4. Абелевы группы. Пусть G — множество с ассоциативным
умножением. Как определено в § 1, умножение называется коммута-
коммутативным, если ab = Ьа для любых элементов а, Ь ? G. В таком случае
допустимо свободно изменять порядок множителей в произведении
a^a-i. . . ап. Другими словами, мы имеем общий закон коммутатив-
коммутативности, который может быть сформулирован следующим образом:
Пусть ф —любая перестановка целых чисел {1,2, ...,/г}.
Тогда
Доказательство проводится по индукции и может быть предо-
предоставлено читателю.
Группа G, в которой групповая операция коммутативна, назы-
называется коммутативной, или абелевой. Групповая операция в этом
случае часто записывается аддитивно, т. е. мы пишем а+Ь вместо
ab и 2 ai вместо }] а4. Элемент а + Ь называется суммой элементов
а и Ъ. Единичный элемент обозначается через 0 (нуль), а обратный
к а элемент — через —а. Соответственно этому пишут па вместо
ап, и правила для показателей степени принимают вид
та-\-па — {т-\-п)а, A)
т(па) — (тп)а, B)
n(a + b) = na + nb, C)
-(па) = (-п)а. D)
Последнее уравнение перефразирует утверждение (в мультипли-
мультипликативном обозначении), что обратным элементом к ап является а~п.
Уравнение ха = Ь, которое в абелевом случае эквивалентно урав-
уравнению ах = Ь, принимает тогда вид х + а = Ь. Единственное реше-
решение этого уравнения Ь + (— а) обозначается через Ь — аи назы-
называется разностью элементов Ъ и а. Бинарная операция, ставящая
в соответствие упорядоченной паре (а, Ь) разность Ъ — а, назы-
называется вычитанием.

18 Гл. I. Вводные понятия
§ 5. Кольца.
Определение. Множество R. в котором заданы две бинар-
бинарные операции + (сложение) и • (умножение), называется кольцом,
если выполняются следующие условия (аксиомы кольца):
Kl. R является абелевой группой относительно сложения.
К2. Если а, Ъ, c?R, то a (be) = (ab) с.
КЗ. Если a, b, c? R, то а (Ь + с) = ab + ас и (b + c) a =
= Ьа + са (законы дистрибутивности).
В соответствии с аддитивным обозначением для абелевых групп
(§ 4) единичный элемент кольца R (рассматриваемого как аддитив-
аддитивная группа) обозначается через 0, а (аддитивный) обратный к эле-
элементу а обозначается через —а. Поэтому в любом кольце R выпол-
выполняются следующие соотношения:
Абелева группа, образуемая множеством элементов кольца
относительно сложения (аксиома К1), называется аддитивной груп-
группой этого кольца.
Кольцо R называется коммутативным, если умножение в R
коммутативно: ab = ba для любых элементов a, b?R.
Законы дистрибутивности выполняются также для вычитания:
a(b — c) = ab — ac; (b — c)a = ba — ca., A)
Чтобы доказать, например, первое из этих соотношений, мы должны
показать, что а (Ь — с) + ас = ab. Это, однако, прямо следует
из первого закона дистрибутивности КЗ, так как (Ь — с)-\-с = Ь.
При b — с соотношение A) дает следующее важное свойство
элемента 0:
а-0 = 0-а = 0 B)
для всех a?R. Если положить в A) b = 0, то получим, что
а( — с)= — ас; ( — с)а= — са,
и если в первом из этих соотношений заменить а на — а, то
(— а) (—с) = — (—а) с = — (— ас), откуда
(~а)(-с) = ас. C)
Элемент а кольца R называется левым (или правым) делителем
нуля, если в R существует такой элемент Ь, отличный от нуля,

§ 6. Кольца с единицей 19
что ab = 0 (или Ьа = 0). В силу равенства B), элемент 0 всегда
является и левым, и правым делителем нуля, если только R содер-
содержит элементы, отличные от нуля. Удобно, однако, рассматривать 0
как делитель нуля также и в тривиальном случае, когда кольцо R
содержит лишь элемент нуль (нулевое кольцо). Под собственным
делителем^ нуля понимается делитель нуля, который отличен от 0.
Следовательно, кольцо R имеет собственные делители нуля в том
и только том случае, когда в R имеется соотношение ab =- 0, где
а и Ь одновременно отличны от нуля. В дальнейшем мы будем назы-
называть R кольцом без делителей нуля, если R не содержит собственных
делителей нуля. Элемент кольца R, не являющийся делителем нуля,
будет называться регулярным. В частности, элемент 0 не является
регулярным элементом.
§ 6. Кольца с единицей. Если в кольце R существует элемент,
который является единицей относительно умножения, то в силу
замечания, сделанного в § 1, этот элемент определяется однозначно.
При ненулевом кольце R мы будем говорить об этом элементе как
о единице кольца и обозначать его символом 1. В таком кольце
мультипликативные обратные будут называться просто обратными.
Следовательно, обратным к элементу а будет такой элемент а',
для которого а а = 1 и аа — 1; он, согласно § 1, единствен и будет
обозначаться через а'1.
Элемент 1 является своим собственным обратным. Из равен-
равенства C) следует, что —1 будет тоже своим обратным.
Элементы 0 и 1 являются различными элементами кольца R,
ибо мы условились, что R — ненулевое кольцо: если а Ф 0, то
аО = 0 и а\ — а Ф 0, откуда 0 Ф 1. Из этого следует, что элемент 0
не имеет обратного, так как а0 = 0а = 0 Ф 1 для любого элемен-
элемента a ?R. Следовательно, кольцо (не являющееся нулевым) никогда
не будет группой относительно умножения.
Элемент кольца R называется обратимым, если он имеет обрат-
обратный. Элементы 1 и —1 обратимы. Кольцо целых чисел является
простейшим примером коммутативного кольца, в котором 1 и —1
будут единственными обратимыми элементами. Если а и Ь обратимы,
то а~1а = аа~1= 1 и (b~la~1)ab = ab (b^a'1) = 1; это показывает, что
•а и ab тоже обратимы. Отсюда следует, что в кольце R с единицей
обратимые элементы образуют группу относительно умножения.
Если некоторый элемент а имеет обратный а'1, то из равенства
ab = 0 следует, что а~ЛаЬ = 0, 1 • b ~ 0, т. е. b = 0. Поэтому а
не является левым делителем нуля. Подобно этому можно пока-
показать, что а не будет и правым делителем нуля. Таким образом,
любой обратимый в R элемент не является делителем нуля.
Коммутативное кольцо с единицей, не имеющее собственных
делителей нуля, называется областью целостности.

20 Гл. /. Вводные понятия
§ 7. Степени и кратные. Если ' R — произвольное кольцо
и a?R, то степень ап определена для всех положительных чисел п
и справедливы соотношения A) и B) § 1. Если R коммутативно,
то выполняется также равенство C). Если R содержит элемент 1,
то определение из § 1 дает а0 = 1, а если также существует от1, то ап
определено для всех целых чисел п, причем A) и B) справедливы
для произвольных показателей степени. В случае коммутативного
кольца, если а и Ь имеют обратные, равенство C) выполняется для
любого целого числа п.
В силу того что R является группой относительно сложения,
кратные па определены для любого целого числа п и любого а? R.
В дополнение к правилам для кратных, данным в § 4, мы имеем
правила
n(ab) = (na)b = a(nb). A)
Они следуют из общих законов дистрибутивности
i=l i = l г=1 {=1
которые в свою очередь легко доказываются по индукции.
Укажем, что закон ассоциативности умножения не имеет ника-
никакого отношения к приведенному выше равенству A) и к равенству
B) из § 4; не имеют никакого отношения и законы дистрибутивности
к равенствам A) и C) из § 4. Отметим вообще, что символ па не сле-
следует рассматривать как произведение п и а. Такая интерпретация
символа па была бы не только плохо обоснованной (па было опреде-
определено как сумма п элементов, равных а), но и бессмысленной, так
как целое число п вообще не является даже элементом кольца R.
Тем не менее, если R имеет единицу, то, используя закон дистри-
дистрибутивности КЗ или просто равенство A), мы можем написать:
па=\а+1а+ ... + 1а(п раз) = A4- 1 + , .. + 1)а=--(п\)а,
и поэтому на этот раз па действительно будет произведением, а имен-
именно произведением элементов nl и а. Но и в этом случае множитель
п\ (который является элементом кольца R) не следует бесцеремонно
смешивать с целым числом /г,, так же как элемент 1 кольца R не
следует отождествлять с целым числом 1. Мы увидим в следующей
главе (гл. II, § 4), при каких условиях и в каком смысле допустимо
отождествление «/г-1 = /г».
В этой книге мы будем заниматься исключительно теорией
коммутативных колец. Так как никаких других колец
не будет рассматриваться, в дальнейшем термин «кольцо» будет
означать «коммутативное кольцо».

§ 9. Подкольца и подполя 21
§ 8. Поля.
Определение. Кольцо F называется полем, если выпол-
выполняются следующие условия (аксиомы поля):
Ш. F содержит по крайней мере два элемента.
П2. F содержит единицу.
ПЗ. Каждый элемент кольца F, отличный от нуля, имеет обрат-
обратный.
Эти три аксиомы можно заменить одной: элементы кольца F,
отличные от нуля, образуют группу относительно умножения. Эта
группа будет называться мультипликативной группой поля F.
В поле каждый элемент, отличный от нуля, обратим. Поэтому
оно не содержит собственных делителей нуля (§ 6) и является обла-
областью целостности (ввиду П2).
Если применить общие теоретико-групповые соображения из
§ 2 к мультипликативной группе поля F, особенно рассуждения
относительно уравнения ах — Ь, то мы увидим, что для любых двух
элементов а и Ь поля F, одновременно отличных от нуля, возможно
разделить Ь на а, т. е. образовать частное Ыа. Это частное является
единственным решением уравнения ах = Ъ. Отметим, однако, что
даже если Ь = 0, но а ф 0, соответствующее уравнение ах = О
все еще имеет единственное решение х = 0, так как а не будет дели-
делителем нуля. По этой причине мы определяем О/а = 0 (а Ф 0).
Следовательно, в поле всегда допустимо деление на любой элемент а,
отличный от нуля. С другой стороны, если а = 0, то получается
уравнение 0-х = Ь, которое либо не имеет решения (при Ь фО
частное Ь/0 не существует), либо удовлетворяется каждым элемен-
элементом поля F (при Ъ = 0 частное 0/0 не определено).
Кольцо обычных целых чисел — пример области целостности,
не являющейся полем. Примеры полей: (а) множество всех рацио-
рациональных чисел; (б) множество всех действительных чисел; (в)
множество комплексных чисел.
§ 9. Подкольца и подполя. Кольцо R' называется подкольцом
кольца R, если (a) R' является подмножеством множества R и (б)
кольцевые операции + и ¦ в R' совпадают с операциями, которые
индуцируются на множестве R' соответствующими кольцевыми
операциями + и • в R. Отсюда вытекает, что подкольцо R' кольца
R, рассматриваемое как аддитивная группа, должно быть подгруп-
подгруппой аддитивной группы кольца R. Поэтому R' должно быть непустым
множеством и удовлетворять следующему условию (§ 3):
(а) если a, b? R', то а — fe? R и, кроме того, R' должно быть
замкнуто относительно заданного в кольце R умножения;
(б) если a, b ? R', то ab?R'.
Условия (а) и (б) (вместе с тривиальным условием, что R' яв-
является непустым множеством) будут также и достаточны для того,

22 Гл. I. Вводные понятия
чтобы R' было подкольцом кольца R (ассоциативность, коммута-
коммутативность и законы дистрибутивности автоматически выполняются
в R', так как они выполняются в R).
Если R содержит единицу 1 и если элемент 1 принадлежит также
R', то 1 будет, конечно, единицей кольца R'. В этом случае мы будем
называть R' унитарным подкольцом кольца R (или R — унитарным
надкольцом кольца R'). Однако вполне может случиться, что в то
время как R содержит единицу, R' ее не имеет (например: R —
кольцо целых чисел, R'— кольцо четных чисел). Менее тривиаль-
тривиальными возможностями будут следующие: (a) R и R' оба имеют еди-
единицу, но единица кольца R не принадлежит R'\ (б) R' имеет еди-
единицу, a R нет (см. ниже пример 2). В обоих, случаях (а) и (б) единица
кольца R' необходимо является делителем нуля в R. В самом деле,
пусть Г— единица кольца R', и пусть нам известно, что Г не яв-
является единицей кольца R. Тогда в R существует такой элемент а,
что 1 'а = Ъ ф а. Мы имеем 1' Ь= A' • 1') а = 1 'а = Ь, т. е. У а =
= \'Ь, или \'{а — Ь) = 0. Так как а ф Ь, то отсюда следует, что
Г является делителем нуля в R.
Подполем некоторого поля F мы называем любое подмножество
F' множества F, которое является полем относительно данных опе-
операций поля (+ и •) в F. Из только что сделанного замечания отно-
относительно колец с единицей следует, что элемент 1 поля F необходимо
будет единицей поля F'. Это следует также из того, что мульти-
мультипликативная группа поля F' должна быть подгруппой мультипли-
мультипликативной группы поля F. Последнее условие вместе с условием,
что F'— подгруппа аддитивной группы поля F, является харак-
характеристическим для понятия подполя. Поэтому (§ 3) F' будет под-
подполем поля F тогда и только тогда, когда выполняются условия:
(а) если a, b? F', то а — Ь ? F'\
(б) если a, b ?F' и Ь фО, то ab~l^F'.
Примеры. A) Если а и Ъ — различные элементы поля F,
то мы можем определить новое сложение © и новое умножение 0
в F следующим образом:
х © У — х + У ~~ а> х 0 У = а + (х — а) (у — аI(Ь — а).
(В геометрических терминах: мы меняем начало координат и мас-
масштаб.) Легко видеть, что элементы множества F образуют также
поле и относительно этих новых операций. Мы обозначаем это новое
поле через F'. Ясно, что подмножество поля F, которое является
подкольцом поля F', не будет, вообще говоря, подкольцом поля F.
Отметим, что а и b будут соответственно нулем и единицей поля F'.
B) Пусть Л и В — два кольца и R — множество всех упорядо-
упорядоченных пар (а, Ь), где а ? А и b б В. Если мы определим в R сложение
и умножение, положив (а, Ь) + (а', Ь') = (а + а', b + b') и

§ 10. Преобразования и отображения 23
(a, b) (a',b') = (aa',bb'), то R станет кольцом и подмножество R'
множества R, состоящее из элементов (а, 0), будет подкольцом коль-
кольца R. Если А имеет единицу, например еА, то (еА, 0) будет единицей
кольца R'. Кольцо R имеет единицу в том и только том случае, когда
оба кольца А и В имеют единицы еА и ев, и тогда (еА, ев) будет
единицей кольца R. Поэтому в настоящем примере единицы колец
R и R' обязательно различны.
§ 10. Преобразования и отображения. Мы будем использовать
символ d для обозначения включения множеств. Таким образом,
если 5 и S' — какие-нибудь множества, то S'czS будет означать,
что S' является подмножеством множества 5. Если 5'cz5 и S' ^S,
то мы будем говорить, что S' является собственным подмножеством
множества 5, и писать S' < 5.
Пусть S я S — произвольные множества элементов. Под пре-
преобразованием множества S в 5 мы понимаем правило, которое каж-
каждому элементу а множества 5 ставит в соответствие некоторое под-
подмножество множества 5. Это подмножество, которое может быть
и пустым, будет обозначаться через аТ. Если а является элементом
подмножества аТ, то мы говорим, что а соответствует элементу а
(при данном преобразовании Т) или что а является Т-образом эле-
элемента а. Может случиться, что некоторым (или даже всем) элемен-
элементам множества S не соответствуют никакие элементы множества 5.
Если А — произвольное непустое подмножество в 5, то объ-
объединение всех Г-образов всех элементов из А будет называться.
Т-образом подмножества А и будет обозначаться через АТ. Мы имеем.
AT = [jaT, a?A, где символ (J означает теоретико-множественное
сложение (объединение множеств) и а меняется в А. Мы условимся,
что если А пусто, то символ АТ будет обозначать пустое множество.
Т является преобразованием множества 5 на S, если ST = S.
Пусть Т будет преобразованием множества S в S, я пусть S'—
некоторое подмножество множества 5. Тогда Т естественным обра-
образом индуцирует преобразование 7" множества S' в 5: если a?S',
то мы определяем аТ'= аТ. Преобразование 7" называется ограни-
ограничением преобразования Т на S'.
Если Т — преобразование множества 5 в 5 и 7"— преобразо-
преобразование множества 5 в некоторое другое множество S', то произведение
преобразований Т и 7" является преобразованием множества 5
в S', которое каждому элементу а из 5 ставит в соответствие под-
подмножество (аТ) 7" из S'. Это преобразование будет обозначаться
через ТТ'. Таким образом, по определению, а G*7") = (аТ) 7",
а отсюда следует, что для любого подмножества А множества 5

24 Гл. I. Вводные понятия
мы имеем: А (ТТ1) = (АТ) 7". Если 5Ь 52, S3, 54—некоторые
множества, аГ; (i = 1, 2, 3) является преобразованием множества
^ в St+1, то ясно, что G\Г2) Т3 = Т^Т2Т^.
Для преобразования Т множества 5 в 5 обратное преобразова-
преобразование Т'1 множества 5 в 5 определяется следующим образом: если
а? 5, то аТ'1 есть множество всех элементов в 5, которые имеют а
в качестве Т-образа; т. е. а ? аТ'1 в том и только том случае, когда
а?аТ. Ясно, что Т будет обратным к преобразованию Т'1.
Преобразование Т множества S в 5 называется отображе-
отображением множества S в S, если оно на S всюду определено и одно-
однозначно, т. е. если для каждого элемента а множества 5 множество
аТ содержит один и только один элемент. Этот элемент также будет
обозначаться через аТ. Как и любое преобразование, отображение
Т множества 5 в S называется отображением на S, если ST = S.
Отображение множества 5 в 5 унивалентно, если из аТ = ЪТ
следует а = Ь для любых аи b?S. Отображение множества S в S
будет называться взаимно однозначным, если оно является одновре-
одновременно отображением «на» и унивалентным. Ясно, что если Т —
отображение множества 5 в 5, то Т'1 будет отображением множе-
множества S в S тогда и только тогда, когда Т взаимно однозначно; в этом
случае Т'1 также будет взаимно однозначным.
Тождественное отображение I множества 5 определяется равен-
равенством а/ = а для всех a?S. Если S и S — два множества, / и / —
их соответствующие тождественные отображения, то преобразо-
преобразование Т множества 5 в 5 будет взаимно однозначным отображением
множества 5 в том и только том случае, когда существует такое
преобразование Т множества S в S, для которого ТТ = /, ТТ = /;
в этом случае Т = Т'1.
Если Т — отображение множества 5 в 5 и 7"—• отображение
множества 5 в 5', то произведение ТТ' само будет отображением
множества S в S'.
Отображение множества S в S является в действительности одно-
однозначной функцией / на 5 со значениями в 5, так как оно каждому
элементу множества 5 ставит в соответствие единственный элемент
множества 5. Чтобы обозначить элемент множества S, соответ-
соответствующий элементу а из 5, мы часто будем использовать функцио-
функциональное обозначение / (а). Если / — отображение из 5 в 5 и g —
отображение из 5 в S', то мы будем писать, как и обычно, g (/ (a))
для обозначения элемента множества S', соответствующего эле-
элементу а при произведении отображений / и g.

11. Гомоморфизмы групп 25
Отображение Т множества 5 в множество 5' обозначается иногда
а.-у Е (а), где Е (а) является формулой, дающей значение образа аТ
любого элемента а множества 5.
§11. Гомоморфизмы групп. Мы переходим теперь от предшест-
предшествующих общих теоретико-множественных определений к случаю,
когда данные множества будут группами. В этом случае интересны
отображения специфического типа. Пусть G и G — две произволь-
произвольные группы. Будем испрльзовать мультипликативную запись для
групповой операции в каждой группе. Под гомоморфизмом, или
гомоморфным отображением, группы G в (или на) G мы понимаем
отображение Т группы G в (или на) G, удовлетворяющее следующему
условию: если а и Ь — любые два элемента группы G, то
(ab)T = (aT)(bT).
Таким образом, гомоморфизм группы G в другую группу G является
отображением, которое характеризуется условием, что образ про-
произведения будет произведением образов: если элементу а соответ-
соответствует а и элементу Ь соответствует Ъ (a, b?G\ a,b?G), то произ-
произведению аЬ соответствует произведение аЪ, т. е. мы имеем ab = ab.
Если обе группы G, G абелевы и групповая операция в обеих
группах записана аддитивно, то предшествующее условие гомо-
гомоморфизма (ab) T = (аТ) (ЬТ) становится таким:
Унивалентное гомоморфное отображение группы G в (или на)
G называется изоморфизмом, или изоморфным отображением,
группы G в (или на) G. Ясно, что изоморфизм группы G на G будет
гомоморфизмом группы G в G, который в то же время является вза-
взаимно однозначным отображением.
Для данных двух групп G и G мы говорим, что G является гомо-
гомоморфным или изоморфным образом группы G в том случае, если
существует соответственно гомоморфизм или изоморфизм группы G
на G. Если Т — изоморфизм группы G на G, то ясно, что Т'1
будет изоморфизмом группы G на G. Следовательно, если G является
изоморфным образом группы G, то G тоже является изоморф-
изоморфным образом группы G. Мы говорим в этом случае, что G и G —
изоморфные группы. Гомоморфизм группы G в себя называется
эндоморфизмом группы G; изоморфизм группы G на себя называется
автоморфизмом группы G.
Если Т — гомоморфизм группы G в G и 7"— гомоморфизм груп-
группы G в группу G', то ТТ'— гомоморфизм группы G в G'. Если Т

26 Гл. I. Вводные понятия
и Т" оба будут гомоморфизмами на, то ТТ' тоже будет гомомор-
гомоморфизмом на (группы G на G'). Отсюда следует, что гомоморфный образ
гомоморфного образа группы G сам будет гомоморфным образом
группы G.
Если Т — гомоморфизм группы G в группу G, то ядром гомо-
гомоморфизма Т называется множество всех элементов группы G, ото-
отображающихся в единичный элемент группы G.
Теорема 1. Если Т — гомоморфизм группы G в группу G
и если е и е обозначают соответственно единичные элементы групп
G uG, тоеТ = е. Если a?G и аТ = а, то а'гТ = а'1. Множество
GT будет подгруппой группы G, а ядро Я гомоморфизма Т является
нормальным делителем в G.
Доказательство. Из ее = е следует {еТ) (еТ) = еТ,
а с другой стороны, мы имеем е {еТ) = еТ. Поэтому (еТ) (еТ) —
— е (еТ). В силу закона сокращения, выполняющегося в любой
группе, отсюда вытекает, что еТ = е.
Из аа'1 — е следует {аТ) {а'1Т) = еТ = е, откуда а'^Т = а,
где а = аТ.
Если а = аТ и Ъ = ЬТ — два любых элемента из GT (a, b? G),
то_ a (By1 = (аТ) {ЬТ)-1 = (аТ) (Ь^Т) = (аГ1) Т, а поэтому
а (Ь)'1 ? GT. Это показывает, что GT будет подгруппой группы G
(§4).
Ядро гомоморфизма Т является непустым подмножеством груп-
группы G, так как еТ — е, следовательно, е ? Я. Если a, b?H, т. е.
аТ = ЬТ =ё, то {ab'1) Т = (аТ) (ЬТУ1 = ё, следовательно, ab^ б Н.
Это показывает, что Н будет подгруппой группы G. Если а — любой
элемент ядра Я и х — любой элемент группы G, то (х'гах) Т —
= (хТ)'1 (аТ) (хТ) = е, а поэтому х~хах б Я. Это показывает, что Я
является нормальным делителем в G.
Следующая теорема очень часто используется, когда прове-
проверяют, не будет ли данный групповой гомоморфизм изоморфизмом:
Теорема 2. Гомоморфизм Т группы G в группу G является
изоморфизмом тогда и только тогда, когда ядро Н гомоморфизма Т
содержит лишь единицу е группы G.
Доказательство. Во-первых, очевидно, что если Т яв-
является изоморфизмом, а значит и унивалентным отображением,
то е будет единственным элементом группы G, отображаемым в еди-
единичный элемент е группы G. Обратно предположим, что ядро Я
гомоморфизма Т содержит лишь единицу е группы G, и пусть а и Ь —

§ 11. Гомоморфизмы групп 27
элементы группы G, имеющие одинаковый Т-образ: аТ = ЬТ. Тогда
(аГ1) Т = аТ- (ЬТ)'1 = ё, ab^^H, ab'1 = е, а = Ь. Следовательно,
Т будет унивалентным отображением, т. е. изоморфизмом.
Как было отмечено в теореме 1, ядро любого гомоморфизма
группы G будет нормальным делителем в G. Обратно, пусть те-
теперь Я — данный нормальный делитель в G. Правые смежные классы
подгруппы Я в G совпадают тогда с левыми смежными классами,
и мы можем следующим образом определить умножение этих клас-
классов: Ha-Hb = Hab (a, b?G). Произведение На-НЬ зависит лишь
от классов На, НЬ, а не от выбора представителей а и Ь. В самом
деле, если На' = На и НЬ' — НЬ, то мы имеем а' = h^a и b'= hzb,
где hi и /г2— элементы из Я. Следовательно, На' ¦ НЬ' = Hhi-ah2- Ъ =
= Hhi/ц-аЬ = Hab, где 1ц — ah2a~1? H. Сразу же видно, что смежные
классы подгруппы Я относительно этого определения их умножения
образуют группу, причем класс Я будет единицей этой группы,
и что отображение а -> На является гомоморфизмом с ядром Я
группы G на группу смежных классов. Группа смежных классов
нормального делителя Я называется факторгруппой группы G
относительно Я и обозначается через GIH. Отображение а -> На
называется каноническим или естественным гомоморфизмом группы
G на GIH.
В применениях часто встречается следующий случай: нам даны
группа G, множество G, в котором определена бинарная операция
(умножение), и отображение 71 группы G на G, которое имеет обыч-
обычное свойство гомоморфизма (ab) Т = (аТ) (ЬТ). Мы можем выразить
эти условия, сказав, что множество G является гомоморфным об-
образом группы G.
Лемма 1. Гомоморфный образ G группы G есть группа. Если G
коммутативна, то G тоже будет коммутативна.
Доказательство. Докажем сначала закон ассоциатив-
ассоциативности в G. Пусть а, Ъ, с будут произвольными элементами из G;
тогда они являются образами некоторых элементов а, Ь, с группы G,
так как Т отображает G на G. Мы имеем (ab) с = a (be). Имеем
также
{(ab) с]Т = [(аи) Т) сТ = [(аТ) (ЬТ)] сТ = (ab) с.
Подобным же образом находим, что [a (be)] T ='a (be), а следовательно,
(ab) с = a (be). Как и в доказательстве теоремы 1, теперь показы-
показывается, что G имеет единицу, а именно еТ, где е — единица группы G,
и что каждый элемент а из G имеет обратный: если а = аТ, то

28 Гл. I. Вводные понятия
а'1 = (а х) Т. Таким образом, Сбудет группой. Второе утверждение
леммы очевидно.
Другой случай, часто встречающийся в связи с групповыми
гомоморфизмами, следующий:
Нам даны две группы G и G и преобразование Т группы G в G.
Дано также, что
(А) для любого элемента а в G множество аТ непусто;
(Б) если а 6 аТ и Ъ ? ЬТ, то ~аЬ 6 (ab) Т.
Не дано a priori, что Т является отображением (т. е. однозначно).
Если бы это тоже было дано, то отсюда сразу следовало бы, что Т
является гомоморфизмом группы G в G. Следующая лемма сводит
проверку однозначности преобразования Т к проверке его одно-
однозначности в единичном элементе е группы G.
Лемма 2. Пусть Т будет таким преобразованием группы G
в группу G, что выполняются условия (А) и (Б). Если множество еТ
содержит только один элемент (е обозначает единицу группы G),
то Т будет отображением, а следовательно, гомоморфизмом груп-
группы G в G.
Доказательство. В силу условия (Б), мы имеем
еТ-еТ ? (е-е) Т = еТ; следовательно, еТ будет единицей е группы G.
Пусть а — любой элемент группы G, и пусть мы фиксировали
некоторый элемент b? (а) Т. Если а — любой элемент из аТ,
то мы имеем, в силу (Б), ab? (аа'1) Т = еТ = е, т. е. ab = е. Это
показывает, что аТ состоит из единственного элемента Ь'1, а это
и требовалось доказать.
§ 12. Гомоморфизмы колец. Отображение Т некоторого кольца R
в какое-нибудь кольцо R называется кольцевым гомоморфизмом, или
просто гомоморфизмом, или гомоморфным отображением, если Т
удовлетворяет следующим условиям:
Т, A)
(ab) T = (аТ) (ЬТ) B)
для любой пары элементов аи Ь в R. Условие A) означает, что Т
является гомоморфизмом аддитивной группы кольца R в аддитив-
аддитивную группу кольца R. Условие B) является аналогом условия A)
для умножения.
Кольцевой гомоморфизм, являющийся унивалентным отображе-
отображением, называется изоморфизмом.
Если Т — гомоморфизм или изоморфизм кольца R на R, то мы
говорим, что R является соответственно гомоморфным или изоморф-

§ 12. Гомоморфизмы колец 29
ным образом кольца R. Если R — изоморфный образ кольца Rt
то R также будет изоморфным образом кольца R (при отображении
Т'1), и про два кольца R, R говорят в этом случае, что они—изо-
они—изоморфные кольца, или что R изоморфно кольцу R.
Мы используем стандартное обозначение
R-1Z,
чтобы указать, что R является гомоморфным образом кольца R
(т. е. существует гомоморфизм кольца R на R), и пишем
T:R~R,
чтобы указать, что данное отображение Т кольца R на R будет
гомоморфизмом.
Соответствующие обозначения для изоморфных колец будут:
Те же самые обозначения используются и в теории групп для
групповых гомоморфизмов и групповых изоморфизмов.
Изоморфное отображение кольца R (или группы) на себя назы-
называется автоморфизмом. При автоморфизме Т : R = i? два кольца
(или группы), R, R совпадают (не только как множества, но и как
кольца или группы).
Под ядром гомоморфизма Т кольца R в кольцо R мы понимаем
множество элементов a?R, для которых аТ = 0, где 0 обозначает
нулевой элемент кольца R.
Теорема 3. Если Т является гомоморфизмом кольца R в коль-
кольцо R, то
(а) ОТ = 0 и (— а) Т = — (аТ) для любого элемента a?R;
(б) RT есть подкольцо кольца R;
(в) ядро N гомоморфизма Т есть подкольцо кольца R;
(г) если R содержит единичный элемент 1, то \Т — единичный
элемент кольца RT, и если существует а'1, то а~хТ — обратный
элемент к аТ в кольце RT.
Доказательство.
(а) Это следует из теоремы 1 из § 11, примененной к аддитивной
группе кольца R.
(б) Если a, b?RT, то а = аТ, Ь = ЬТ, где a,b?R и ab =
= (ab) T?RT. Следовательно, RT замкнуто относительно умноже-
умножения. Так как, в силу теоремы 1, RT является подгруппой аддитив-

30 Гл. I. Вводные понятия
ной группы кольца R, то отсюда следует (§ 9), что RT будет под-
кольцом кольца R.
Доказательства (в) и (г) так же просты и предоставляются чита-
читателю.
Следствие. Если Т является гомоморфизмом кольца R
на R и если R имеет единичный элемент 1, то R тоже имеет еди-
единичный элемент и этим элементом будет \Т.
Уже было указано, что ядро N гомоморфизма Т содержит по
крайней мере элемент 0 кольца R. Из теоремы 2 в § 11, применен-
примененной к аддитивной группе кольца R, следует, что гомоморфизм Т
кольца R в кольцо R будет изоморфизмом в том и только том случае,
когда ядро N гомоморфизма Т состоит лишь из элемента 0 кольца R.
При доказательстве теоремы 3 мы показали, что ядро N замк-
замкнуто относительно умножения. На самом деле N имеет следующее
более сильное свойство: если один из множителей а, Ь произведения
аЪ принадлежит N, то произведение само принадлежит N. Действи-
Действительно, если, например, а? JV, то (ab) Т = {аТ) (ЬТ) = 0 (ЬТ) = 0,
следовательно а Ь ?N, как и утверждалось. Это свойство ядра N
является основным в формулировке понятия идеала, и мы вернемся
к нему в гл. III.
С формально алгебраической точки зрения изоморфные кольца
не являются существенно различными кольцами, потому что ясно,
что изоморфное отображение кольца R сохраняет его алгебраиче-
алгебраические свойства (т. е. те свойства кольца R, которые могут быть фор-
формально выражены в терминах кольцевых операций + и •). Так,
например, изоморфный образ области целостности или поля опять
будет соответственно областью целостности или полем.
С другой стороны, гомоморфизм, не являющийся изоморфизмом,
может влиять на некоторые свойства кольца. Например, гомоморф-
гомоморфный образ области целостности не обязательно будет областью
целостности, а кольцо, не являющееся областью целостности, может
иметь область целостности в качестве гомоморфного образа (см.
гл. III, § 9).
Положение для групп, к которому относится лемма 1 предыду-
предыдущего параграфа, возникает также и для колец и приводит к подоб-
подобной же лемме. Предположим, что мы имеем кольцо R, множество R,
в котором определены две бинарные операции + и •, и отображение
Т кольца R на R, имеющее обычные свойства гомоморфизма:
(а + Ь) Т = аТ + ЬТ, (ab) Т = аТ¦ ЬТ. Мы выразим эти условия,
сказав, что R является гомоморфным образом кольца R.
Лемма. Гомоморфный образ кольца есть кольцо.
Доказательство подобно доказательству леммы 1 предыдущего
параграфа и может быть предоставлено читателю.

13. Отождествление колец 31
Что касается леммы 2 предыдущего параграфа, то она автомати-
автоматически применима к кольцам, если их рассматривать как аддитив-
аддитивные группы.
Следствие. Изоморфный образ области целостности ила
поля опять является соответственно областью целостности или
полем.
Если Т — гомоморфизм кольца R в кольцо R и Ro —подкольцо
кольца R, тогда ограничение То гомоморфизма Т на Ro будет гомо-
гомоморфизмом кольца Ro в R. Если Т —изоморфизм, то индуцирован-
индуцированный гомоморфизм То кольца Ro тоже будет изоморфизмом (но не
наоборот).
Важным частным случаем является следующий: пусть
Ro— общее подкольцо колец R и R, и пусть индуцированный гомо-
гомоморфизм То кольца Rn тождествен (т. е. определен равенством
аТ0 = а для всех a(zR0). В этом случае мы говорим, что Т яв-
является относительным гомоморфизмом кольца R над Ro или коротко,
Т есть Ro-гомоморфизм (или Re-изоморфизм, если Т — изоморфизм).
Например, автоморфизм а + ib -» а — ib поля комплексных чисел
(a, b действительны) является относительным автоморфизмом над
полем действительных чисел.
Когда Ro — общее подкольцо двух колец R и R, мы говорим,
что R является R^-гомоморфным образом кольца R, если существует
Ro-гомоморфизм кольца R на R\ R является R^-изоморфным обра-
образом кольца R (или R и R будут Ro-изоморфны), если существует
^„-изоморфизм кольца R на R.
Когда Т — гомоморфизм кольца R в кольцо R и 7\— гомомор-
гомоморфизм подкольца Ri кольца R в то же самое кольцо R, мы скажем,
что Т является расширением (или продолжением) гомоморфизма Ти
если 7\ будет ограничением гомоморфизма Т на Ry. Если даны лишь
R, R, Ri и Т\, то мы говорим, что Т* может быть продолжен до
гомоморфизма кольца R (в R), если существует такой гомоморфизм Т
кольца R в R, что 7\— его ограничение.
§ 13. Отождествление колец. В качестве применения понятия
продолжения изоморфизма мы обсудим теперь один стандартный
прием отождествления колец, который часто используется в ал-
алгебре.
Для двух данных колец R и S' мы говорим, что R может быть
вложено в S', если существует некоторое кольцо 5, содержащее R
в качестве подкольца (§ 9) и изоморфное S'. Ясно, что если R может
быть вложено в S', то S' должно содержать некоторое подкольцо,
являющееся изоморфным образом кольца R. Мы докажем сейчас,

32 Гл. I. Вводные понятия
что это условие будет также и достаточным. Проведем доказатель-
доказательство в несколько более сильной формулировке.
Лемма. Пусть R и S'—некоторые кольца и То — данный
¦изоморфизм кольца R на подкольцо R' кольца S'. Тогда существует
.кольцо S, которое содержит R в качестве подкольца и таково, что
То может быть продолжен до изоморфизма Т кольца S на S'.
Доказательство. Предположим сначала, что R и S'
не имеют общих элементов. Мы заменяем в S' каждый элемент /
кольца R' соответствующим элементом г'Т'ох кольца R. Результа-
Результатом будет множество S, которое является объединением двух непе-
непересекающихся множеств S' — R' и R, где S' — R' обозначает множе-
множество элементов из S', не лежащих в R' (дополнение к R' в 5').
Расширим взаимно однозначное отображение То кольца R на R'
до взаимно однозначного отображения Т множества 5 на S' следую-
следующим очевидным образом: аТ = аТ0 при а ? R; аТ = а при а ? 5 — R.
Отображение Т действительно будет взаимно однозначным, так
как S' —R' и R не пересекаются. Определим теперь в 5 сложение ©
иумножение0 таким образом: если a, b?S, то аф 6 = (аТ+ ЪТ) Т'1,
а0 Ъ = (аТ ¦ ЬТ)Т~1. При таком определении кольцевых операций
в 5 из леммы 1 § 12 прямо следует, что 5 является кольцом и что
Т будет изоморфизмом кольца S на S'. Так как То— изоморфизм
кольца R на R' и Т совпадает с То на R, то из самого определения
кольцевых операций в 5 следует, что если a, b?R,Toa®b — a + b
и a@fi = ab, где + и • обозначают кольцевые операции в R.
Следовательно, кольцо R является подкольцом кольца S. Кроме
того, Т, по определению, будет расширением изоморфизма То.
Это завершает доказательство в случае, когда R и S' не пересе-
пересекаются.
В случае когда R и S' имеют общие элементы, мы заменяем
сначала S' изоморфным кольцом S[, которое не пересекается с R.
Для этого мы используем следующий элементарный факт из теории
множеств: если S' и R — произвольные множества, то существуют
такие множество S[ и отображение Н множества S' на S[, что S[
не пересекается с R и Н взаимно однозначно. При помощи отображе-
отображения Н кольцевые операции с S' могут быть перенесены на S[ (как
они были перенесены в предыдущем абзаце с S' на S при помощи Т),
S\ становится кольцом, а Я — изоморфизмом кольца S' на S[. Если
R[ = R'H, то R[ — подкольцо кольца S[ и Т0Н определяет изомор-
изоморфизм кольца R на R[. В силу того что S[ и R не пересекаются, мы
можем применить эту лемму и получить кольцо 5, содержащее R,
и изоморфизм 7\ кольца 5 на S[, который совпадает с Т0Н на R.
Тогда TiH'1 — изоморфизм кольца S на S', совпадающий с То на R.
Тем самым лемма доказана.

§ 14. Области с однозначным разложением на множители 33
Типичным положением, которое часто будет встречаться в этой
книге и в котором мы неявно будем пользоваться предшествующей
леммой, является следующее: R — кольцо (как правило, поле),
которое фиксировано в ходе рассмотрения, в то время как S' может
быть любым кольцом из некоторого класса колец, но в каждом
из S' будет содержаться подкольцо R', изоморфное кольцу R. Так
как мы не будем интересоваться специфической природой элементов
кольца S', а будем лишь рассматривать S' как абстрактное кольцо,
то мы имеем право заменить S' изоморфным кольцом 5, содержа-
содержащим фиксированное кольцо R в качестве подкольца, согласно схе-
схеме, которая была указана в предыдущей лемме. В действительности
мы редко будем проводить явно эту обременительную подстановку
кольца 5 вместо S'. Как правило, мы будем говорить просто, что
мы отождествляем R' с нашим фиксированным кольцом R, и поэтому
будем без дальнейших оговорок рассматривать R как подкольцо
кольца S'.
§ 14. Области с однозначным разложением на множители.
Дадим сначала некоторые определения, относящиеся к понятиям
делимости в произвольном (коммутативном) кольце R с единицей.
Нулевой элемент из следующих ниже рассмотрений исключается.
Если а и b — элементы кольца R, то мы говорим, что Ъ делит а
(или Ь является делителем элемента а) и что а делится на Ь (или а
кратен элементу Ь), когда в R существует такой элемент с, что
а = be. Обозначение: b \ а или а = 0 (mod b). Ясно, что обратимыми
элементами в R будут те и только те элементы, которые являются
делителями 1.
Если а = be и е обратим, то а и b называются ассоциированными
элементами или просто ассоциированными. В этом случае спра-
справедливо равенство b = ае, а следовательно, не только b делит а,
но и а делит Ь. Обратно, если а и b —такие элементы кольца R,
что b |а и а\Ь, и если R является областью целостности, то а и b
будут ассоциированы. В самом деле, мы имеем а = be и 6= ас',
откуда а = ас'с, с'с = 1, т. е. с обратим.
Обратимый элементе делит любой элемент а кольца R : а =е-е~1а.
Ассоциированные с элементом а и обратимые элементы в R назы-
называются несобственными делителями элемента а.
Элемент а называется неразложимым, если он не является обра-
обратимым элементом и если каждый его делитель будет несобст-
несобственным.
Определение. Область целостности R называется о б-
ластью с однозначным разложением на мно-
множит е-л и (или кратко OOP), если она удовлетворяет следующим
условиям:

34 Гл. I. Вводные понятия
0Р1. Каждый необратимый элемент кольца R является конечным
произведением неразложимых делителей.
0Р2. Предшествующее разложение однозначно с точностью до
порядка сомножителей и до обратимых делителей.
Более точно ОР2 означает следующее: если а = pip2 .. . рт --=
= qiq2 ¦ ¦ ¦ qn, где pi и q^ неразложимы, то т = п, и после надлежа-
надлежащей перенумерации элементов q^ мы имеем, что рг и qi ассоцииро-
ассоциированы, i = 1,2, . .., т.
Примеры областей с однозначным разложением: (а) кольцо
целых чисел; (б) евклидовы области (см. § 15, теорема 5); (в) кольцо
полиномов от любого числа переменных с коэффициентами в неко-
некотором поле (см. § 17, теорема 10).
Теорема 4. Для областей целостности R, удовлетворяю-
удовлетворяющих условию ОР1, условие ОР2 эквивалентно следующему:
ОРЗ. Если р — неразложимый элемент в R и если р делит про-
произведение ab, то р делит хотя бы один из множителей а, Ь.
Доказательство. Пусть ab — рс, и пусть
а = \]р[, b = \\p'j, c = \]q,t
i } h
есть разложения элементов а, Ь и с на неразложимые множители
(ОР1). Мы имеем \\p\- \\р) = р-\\ qh, а следовательно, если пред-
г i h
положить, что выполняется ОР2, то р будет отличаться от одного
из множителей pi, p'j, только обратимым множителем. Это доказы-
доказывает ОРЗ.
Обратно, предположим, что R удовлетворяет условиям ОР1
и ОРЗ. Так как ОР2 очевидно для разложений неразложимых
элементов, то мы предположим, что ОР2 выполняется для любого
элемента кольца R, который может быть разложен на s неразложи-
неразложимых множителей, и докажем, что тогда ОР2 выполняется для любого
элемента а, разложимого на s -\- 1 неразложимых множителей.
Пусть
a=\\Pi=\\p'i A)
— два разложения элемента а на неразложимые множители, одно
из которых содержит в точности s + 1 множителей. Таким обра-
образом, Pi делит произведение элементов p'j, а следовательно, в силу
ОРЗ, pi должен делить один из элементов р\, р'2, . . . , р'с. Пусть,
например, р4 делит р[. Так как р[ неразложим, отсюда следует,
что pi и р\ ассоциированы. Тогда р[ = ерь где е обратим, и после

§ 15. Евклидовы области 35
сокращения на общий делитель pi формула A) дает
S+1 0
П Pi = «И pi B)
i=2 3=2
Слева имеется произведение s неразложимых множителей. Следо-
Следовательно, в силу предположения, два разложения в формуле B)
отличаются лишь порядком множителей и на обратимые множители.
Так как мы уже показали, что р[ отличается от р\ на обратимый
множитель, то все доказано.
В области с однозначным разложением любая пара элементов
a, b имеет общий наибольший делитель (ОНД), т. е. элемент d,
обозначаемый через (а, Ь), который определяется следующим обра-
образом: A) d является общим делителем а и Ь\ B) если с является общим
делителем а и Ь, то с делит d. ОНД элементов а и b определяется
однозначно с точностью до произвольного обратимого множителя.
Доказательства существования и единственности элемента (а, Ь)
проводятся непосредственно и могут быть предоставлены читателю.
Если (а, Ь) = 1, то элементы а и Ь называются взаимно просты-
простыми. Очевидными, но важными свойствами взаимно простых элемен-
элементов являются следующие:
A) если (а, Ь) = 1 и b делит произведение ас, то b делит с;
B) если (а, Ь) — 1 и если а \ с и Ь \ с, то ab \ с.
§ 15. Евклидовы области. Важным классом областей с одно-
однозначным разложением являются так называемые евклидовы области,
или кольца, допускающие алгоритм деления. Эти кольца опреде-
определяются следующим образом.
Определение. Евклидова область Е есть область целост-
целостности, в которой каждому элементу а поставлено в соответствие
определенное целое число <р (а), причем функция ср удовлетворяет
следующим условиям:
Е1. Если b делит а, то <р (Ь)<ф (аI).
Е2. Для любой пары элементов a, bQE, b фО, существуют
такие элементы q и г из Е, что а == bq -f- г, <р (г) <
(Ь)
Кольцо целых чисел — евклидово кольцо, если положить для
каждого целого числа п: ц> (п) = \п\ равно абсолютному значению
числа п. В таком случае для любых двух целых чисел а и b обыч-
обычный алгоритм деления дает целые числа q (частное) и г (остаток),
удовлетворяющие Е2. Подобно этому, кольцо F [X] полиномов
х) В этом условии элементы а и 6 автоматически отличны от нуля, так
как понятия делимости, введенные в предыдущем параграфе, относились
к элементам, отличным от нуля.

36 Гл. 1. Вводные понятия
от одной переменной X с коэффициентами в поле F (см. § 17, тео-
теорема 9, следствие 3) является евклидовым кольцом, если для любого
полинома / (X) в F [X] положить: ср (/) равно степени / при / ф О,
и ф @) = — 1.
Мы переходим к выводу ряда следствий из условий Е1 и Е2.
а. Если Ъ ф 0, то ср @) < ср (Ь). В самом деле, если в условии
Е2 элемент а —¦ нулевой элемент, то г = — bq. Если бы г был отли-
отличен от нуля, то мы имели бы b\r, а следовательно, в силу Е1,
ср {Ь) <<р (г), что противоречит Е2. Поэтому г = 0 и ср @) <
< ф (&), как и утверждалось. Отметим, что функция фх =<р —ф @)
также удовлетворяет условиям Е1 и Е2. Эта новая «нормализованная»
функция такова, чтоф1@) = 0 ИфХ(а) > 0 при а Ф 0. Поэтому при
желании такая нормализация функции ф может быть всегда пред-
предположена ab initio, но в доказательствах, приводимых ниже, это
не играет особенной роли. На самом деле мы могли сформулировать
определение евклидовых колец таким образом, что элемент 0 был бы
исключен совсем. Именно, было бы достаточно предположить, что
Ф определено лишь для элементов а, отличных от нуля, причем
требование ц>(г)<ц>(Ь) в Е2 заменяется альтернативой: либо
г = 0, либо ф (г) < ф (Ь).
б. Если а и Ь ассоциированы, то ф (а)—ц> (Ь). Это прямо сле-
следует из Е1.
в. Если а делит b n q> (b) — ф (а), то а и Ь ассоциированы.
При предположении ф (Ь) = ц> (а) условие Е2 дает: ф (г) < ф (а).
С другой стороны, если бы г было отлично от нуля, то из г = а — bq
и а | b вытекало бы, что а делит г, откуда ф (а)< ф (г), и мы полу-
получили бы противоречие. Следовательно, г = 0, т. е. b также делит а,
а поэтому а я b ассоциированы.
г. Если s обратим, то ф (е) = ф A), и наоборот. Прямое утверж-
утверждение следует из «б», а обратное — из «в».
Теорема 5. Евклиоова область является областью с одно-
однозначным разложением.
Доказательство. Мы покажем, что евклидова область Е
удовлетворяет ОР1 и ОРЗ (см. § 14, теорема 4).
Проверка ОР1. Пусть а — произвольный необратимый элемент.
Тогда ОР1 тривиальным образом справедливо для а, если ф(а) =
= ф A) (так как это равенство в действительности невозможно,
если а необратим). Следовательно, мы можем использовать индук-
индукцию по величине ф(а). Поэтому мы предположим, что ОР1 удов-
удовлетворяется для всех элементов а, для которых ф (а') < ф (а),
и покажем, что ОР1 выполняется также для данного элемента а.
Если а неразложим, то нечего доказывать. В противном случае
мы имеем а = be, где ни Ь, ни с не ассоциированы с а. Тогда
из Е1 и пункта «в» следует, что ср (Ь) < ц>(а) и ф(с) < ф (а). Поэ-

§ 16. Полиномы от одной неизвестной 37
тому, в силу индуктивного предположения, b и с оба являются
конечными произведениями неразложимых множителей, а следо-
следовательно, а тоже является таким произведением.
Проверка ОРЗ. Докажем сначала такую лемму:
Лемма. Любые два элемента а, b из Е (a, b Ф 0) имеют неко-
некоторый общий наибольший делитель d, и d является линейной ком-
комбинацией элементов а и Ь, т. е. d = аа + fib, а ? Е, р ? Е.
Пусть / обозначает множество всех элементов из Е, которые
являются линейными комбинациями Аа + ВЬ элементов а и Ъ
(А, В?Е). Среди элементов множества /, отличных от нуля, мы
выбираем элемент d, для которого ф (d) минимально. Мы имеем
d = aa + Pfr(a,pg?'), ас другой стороны, в силу Е2, мы можем
найти элементы s, t ? Е, для которых а = ds + t, ц> (t) < ф (d).
Мы имеем тогда t = а — ds = а A — as) -f b (— ps) ? / и ф (t) <
< ф (d). Следовательно, / = 0, т. е. d делит а. Подобно этому можно
показать, что d делит b и что, следовательно, d является общим
делителем а и Ь. Кроме того, так как d имеет вид аа + Р^, каждый
общий делитель элементов а и b будет также делителем d. Следо-
Следовательно, d является ОНД элементов а и Ь.
Проверка ОРЗ получается теперь сразу. В самом деле, пусть
неразложимый элемент р из Е делит произведение аЪ, и предполо-
предположим, что р не делит а. Тогда ОНД элементов р и а будет равно 1,
а следовательно, в силу леммы, мы можем написать 1 = аа -J- $р.
Поэтому b = b-\ — aab + рбр. Так как p\ab, отсюда следует, что
р | Ь. Это завершает доказательство теоремы.
§ 16. Полиномы от одной неизвестной. Для данного кольца R
рассмотрим последовательности
/ = {a0, fla, a2> ...}, а46#,
такие, что все члены а{, кроме конечного их числа, равны нулю.
Пусть S обозначает множество всех таких последовательностей.
Если /, g?S,
8={b0, h,bv ...},
то мы определяем
/ + g = {ao + V Oi + &i, a2 + b2, ...}, A)
fg = {aobo, а^^афд, ao62 + a161 + a2b0, ...} = {ch}, B)
где
ck = . S aibjtk = O, 1, 2,.... C)
Сразу же видно, что при таких определениях сложения и умноже-
умножения множество S становится кольцом. Элементы этого кольца S

38 Гл. I. Вводные понятия
будут называться полиномами над R, или полиномами с коэффи-
коэффициентами из R.
Нулевым элементом кольца S является последовательность
{О, 0, 0 ...} и
Если R имеет единицу 1, то S также имеет единицу Г =
= {1,0,0,...}. Обратное тоже верно, в чем можно убедиться,
написав {а, 0, 0, . . .} • Г = {а, 0, 0, . . .}, а? R (закончить доказа-
доказательство).
Если / = {а{} — ненулевой полином (т. е. если не все аг равны
нулю) и если п — наибольшее целое число, для которого апф 0
(я>0), то п называется степенью полинома /. Степень полинома /
будет обозначаться через df. Мы не приписываем никакой степени
нулевому полиному. Если df = п, то а0, alt . . ., а„ будут называться
коэффициентами полинома /, а ап — его старшим коэффициентом.
Если R имеет единицу и ап— 1, то полином /будет называться
приведенным.
Ясно, что если df-%dg, то д (/ -f g)<dg, причем при df < dg
имеет место равенство. Если df = п и dg = т, то из C) прямо
вытекает, что с„!+)г = а„6т и ch = 0 при k > m Jr п. Следовательно,
либо апЬтФ 0, причем в этом случае fg Ф 0, д (fg) = m -f n и стар-
старшим коэффициентом полинома fg будет anbm; либо anbm= 0 и тогда
UAufg = 0, или d (fg) < /я + «. Первое утверждение (т. е. апЬтф0),
несомненно, имеет место, если один из коэффициентов ап и Ъ1Л
не будет делителем пуля, в частности, если либо A) R имеет единицу
и один из полиномов /и ^приведенный, либо B) R является областью
целостности.
Естественное отображение а—> {а, 0, 0, . . .} является изоморфиз-
изоморфизмом кольца R на подкольцо R' кольца S. Следовательно, R может
быть вложено в S. Однако вместо того, чтобы заменять S некоторым
неконкретно определенным кольцом S', содержащим R в качестве
подкольца (см. § 13), мы в настоящем случае предпочитаем иметь
дело с самим кольцом 5, так как наше конкретное определение поли-
полинома как последовательности наиболее удобно. Следует подчерк-
подчеркнуть, что мы не можем рассматривать во всех случаях наше перво-
первоначальное кольцо R как подкольцо кольца S, так как при отсут-
отсутствии какой-либо информации о природе элементов кольца R нельзя
исключить того, что R n S — R' могут иметь общие элементы, т. е.
что некоторые элементы кольца R в действительности являются
конечными последовательностями других элементов кольца R.
Чтобы избежать всех необходимых усложнений в обозначениях,
мы условимся заменять R некоторым изоморфным кольцом, для
которого отмеченная выше теоретико-множественная трудность
не возникает, и поэтому рассматривать R как подкольцо кольца S.

§ 16. Полиномы от одной неизвестной 39
Суммируя, получаем следующую теорему:
Теорема 6. Полиномы с коэффициентами из R образуют коль-
кольцо S, в которое R может было вложено в качестве подкольца. S имеет
единицу тогда и только тогда, когда R имеет единицу; если это так,
то A, 0,0 ...) будет единицей кольца S A —единица кольца R).
Если fug — два ненулевых полинома из S, то либо fg = 0, либо
д (fg) < d/ + dg и мы имеем д (fg) = df + dg тогда и только тогда,
когда произведение anbm старших коэффициентов f и g не равно
нулю; если это так, то anbm будет старшим коэффициентом поли-
полинома fg. Если R является областью целостности, то S тоже будет
областью целостности и обратимые элементы кольца S возникают
из обратимых элементов кольца R при отображении а —> (а, 0,0,...).
Если, как и будет считаться далее, R рассматривается как
подкольцо кольца S, то элемент 1 ? R будет также единицей в S,
и если R является областью целостности, то обратимые элементы
кольца R будут единственными обратимыми элементами в S.
Мы предположим теперь, что R имеет единицу 1, и обозначим
через X полином @, 1, 0, . . .). Мы сразу же получаем, что если а? R
и т — неотрицательное целое число, то аХт= {cj, где ct= 0
при i Ф т, сто= а. Отсюда следует, что если / — \at) — полином
степени п, то
f = ao + a1X + aiX*+...+anXn, a^R, апф0, D)
что дает обычное выражение «полинома от А'». Мы будем называть X
неизвестной (или переменной) и говорить о полиномах из S как
о полиномах от одной неизвестной (над R). Само кольцо S будет
обозначаться через RIX], и мы будем говорить о нем как о кольце
полиномов от одной неизвестной (или переменной) над R.
Полиномы от одной неизвестной, которые мы определили пока
чисто формальным способом, имеют важное функциональное зна-
значение, которое мы объясним. Пусть А — произвольное унитарное
надкольцо кольца R, и пусть / = ао+ агХ + . . . -г апХа— про-
произвольный полином в R[X]. При t/g Д мы полагаем / (у) — ао +
-|- а\_у -f. . . + йпУн- Тогда / (у) g Д. Мы говорим, что f (у) является
результатом подстановки у вместо X в выражение f (X) полинома f.
В частности, мы имеем / (X) = f (беря в качестве Д само кольцо
R\X]). Если Д — унитарное надкольцо кольца R и у — некоторый
фиксированный элемент из Д , то отображение f—±f (у) есть i?-гомо-
i?-гомоморфизм кольца RIX] в Д. Это утверждение следует из сравнения
соотношений A), B), C) с легко доказываемыми формулами
2fli«/1 + 2Mi = 13(fli + &i)«/i. E)
)BМ')=^ад", где C/i= V а.Ь.. F)
i+j=k

40 Гл. I. Вводные понятия
Таким образом, если / (X) и g (X) — два полинома от X и если
мы положим
h(X) = f(X)±g{X), k(X) = f(X)g(X),
то
h{y) = f{y)±g{y), k(y)=f(y)g(y).
При фиксированном / преобразование у—>/ (у), уgА будет
отображением кольца А в себя, т. е. функцией, определенной на А
и принимающей значения в А. Мы обозначим эту функцию через /д.
Таким образом, каждому полиному / в R[X] и каждому кольцу А,
унитарному над R, мы ставим в соответствие некоторую функцию /д
на А со значениями в А. Если А — подкольцо другого кольца Аь
которое унитарно над А, то /Д1= /д на А. Поэтому очевидно,
что любой полином в R[X] может представляться как символ опре-
определенной операции, которую можно применить к любому элементу у
любого данного кольца А, унитарного над R, и которая, приме-
примененная таким образом, дает определенную функцию на А со зна-
значениями в А. Эта операция заключается в подстановке у вместо X
в данный полином /, или / (X). С этой точки зрения символ X дей-
действительно появляется как неизвестное, или «переменное», которое
может принимать значения в любом кольце, содержащем R.
Отметим, что для данного кольца А, содержащего R, вполне
может случиться, что различные полиномы из R[X] дают одну
и ту же функцию на А. Это эквивалентно тому, что может сущест-
существовать ненулевой полином/, такой, что f (у) = 0 для всех у6А, и
это непременно будет так, если Д = R и R содержит лишь конечное
число элементов, например cit с2, . .., сп, ибо тогда мы можем поло-
положить / = (X — Ci) (X — с2) ¦ • • (X — сп); очевидно, что / (у) = 0
для всех y?R. С другой стороны, существуют кольца А, содержа-
содержащие R, для которых /д=??д, если только f Ф g. Простейшим при-
примером такого кольца является само кольцо RIX], потому что мы
имеем f(X) = f^g = g(X). Любое кольцо S', содержащее R,
которое /^-изоморфно кольцу R[X] (см. § 12), и a fortiori любое
кольцо Д, содержащее такое кольцо 5' в качестве подкольца, раз-
разделит с R [X] упомянутое только что свойство.
Если / = a?R, то функция /д является константой /д(у) = а
для всех г/6Д. По этой причине элементы кольца R, рассматривае-
рассматриваемые как полиномы, будут называться константами. Ввиду ска-
сказанного в предыдущем абзаце вполне может случиться, что функция
/д постоянна и при f$R. Тем не менее только те полиномы,
которые лежат в R, будут называться константами.
§ 17. Кольца полиномов. Мы опять рассматриваем кольцо А,
унитарное над R и фиксируем некоторый элемент х?Д. Мы имеем

§ 17. Кольца полиномов 41
тогда отображение / -> / (х) кольца R [X] в Д ; мы видели, что это
отображение является гомоморфизмом. Если / — константа
/ = а? R, то / (х) = а и поэтому мы имеем дело с Я-гомоморфизмом
кольца R [X] (§ 12). Образ кольца R IX] при этом гомоморфизме
будет подкольцом кольца Д (теорема 3 б, §12). Мы обозначаем
это подкольцо через R [х]. Это подкольцо кольца А определяется
однозначно по R и х: оно состоит из всех элементов кольца А, имею-
имеющих вид ао + а4х + . . . + dnXn, ^^R. Его можно также рассма-
рассматривать как наименьшее подкольцо кольца А, содержащее х и все
элементы кольца R.
Определение. Мы скажем, что х алгебраичен над R,
если отображение f -* f (x) является собственным гомоморфизмом
(т. е. не изоморфизмом). Другими словами (§11, теорема 2), х алге-
алгебраичен над R в том и только том случае, когда существует нену-
ненулевой полином g (X), для которого g (х) = 0. Элемент х кольца Д
называется трансцендентным над R, если он не алгебраичен над R.
Отсюда следует, что если х трансцендентен над R, то R [х]
и R [X] являются i?-изоморфными кольцами, поскольку отображе-
отображение / (X) -* f (х) является ^-изоморфизмом кольца R [X] на R 1х].
Так как все кольца R 1х], где х трансцендентен над R, R-язо-
морфны кольцу R IX], то естественно называть все такие кольца
кольцами полиномов. Поэтому мы даем следующее
Определение. Пусть R — кольцо с единицей и S'— неко-
некоторое унитарное кольцо над R. S' называется кольцом полиномов
над R, если существует по крайней мере один R-изоморфизм кольца
R IX] на S'. Другими словами, S' будет кольцом полиномов над R,
если S' содержит по крайней мере один элемент х, который транс-
трансцендентен над R и таков, что S'= R [х].
Любой такой элемент х называется образующим элементом
кольца S' над R.
Если S'— кольцо полиномов над R я х — образующий элемент
кольца S' над R, то мы будем говорить также, что S' является коль-
кольцом полиномов над R от элемента х. Например, пусть R—поле ра-
рациональных чисел, Д —¦ поле действительных чисел и л—отношение
длины окружности к диаметру (или любое другое трансцендентное
действительное число). Тогда подкольцо R 1л ] кольца Д будет
кольцом полиномов над R от элемента л.
Из самого определения колец полиномов следует, что все кольца
полиномов над данным кольцом R .R-изоморфны. Обобщением этого
факта является следующая
Теорема 7. Пусть S'— кольцо полиномов над R от элемента
х, R — кольцо с единицей, А — унитарное надкольцо кольца R
и у — некоторый элемент кольца А. Если То является гомоморфиз-

42 Гл. I. Вводные понятия
мом кольца R на R, то То может быть продолжен одним и только
одним способом до гомоморфизма кольца S' на R \у], такого, что
хТ =¦ у. Т будет изоморфизмом в том и только том случае,
когда Го является изоморфизмом и элемент у трансцендентен
над R.
Доказательство. Отметим, что если такой Т существует,
то мы имеем
&ЩХ<) 7=2 (аЛ (хТу = 2 (а{Г0) у\ a^R,
так что 7 определено однозначно. Мы используем эту формулу для
определения 7. Так как х трансцендентен над R, то каждый эле-
элемент кольца S' может быть однозначно выражен в виде 2 а4хг(а* 6-R)'.
таким образом, 7 однозначно. Оно, несомненно, будет отображе-
отображением кольца S' на R [у], так как 70 является отображением на R.
Очевидно, что аТ = аТ0 для а? R и что хТ = у. То что 7 является
гомоморфизмом, следует из соотношений E) и F) из § 16, применен-
примененных к элементам колец R [х] и R [у].
Предположим, что 70—изоморфизм и что у трансцендентен над R .
Если B агхг) 7 = 0, то 2 (а^о) У1 = 0. Так как у трансцендентен
над R, каждое aiT0 равно нулю; так как То является изоморфиз-
изоморфизмом, то ai= 0. Таким образом, в этом случае Т будет изоморфизмом.
Обратное доказывается аналогично.
Следствие. Пусть S' и S — кольца полиномов над R от
элементов х и у. Тогда существует единственный R-изоморфизм
кольца S' на S, отображающий х в у.
Мы возвращаемся теперь к изучению фиксированного кольца
полиномов S от элемента х над кольцом R с единицей. Понятия
степени и старшего коэффициента полинома очевидным образом
переносятся из кольца R [Х\ в данное кольцо S. Таким образом,
если у — любой элемент кольца S, у фО, то у == / (х), где / = / (X)—
однозначно определенный ненулевой полином из R IX]. Степень
и старший коэффициент полинома f будут по определению степенью
и старшим коэффициентом элемента у, рассматриваемого как поли-
полином от х. Следует подчеркнуть, что степень и старший коэффи-
коэффициент любого данного элемента у кольца S не связаны внутренне
с у, а зависят также от выбора образующей х. Можно сформулиро-
сформулировать следующую теорему.
Теорема 8. Пусть R — область целостности и S — кольцо
полиномов от элемента х над R. Пусть х — ненулевой элемент
кольца S степени п > 0 относительно х (т. е. п—степень элемента
х , рассматриваемого как полином от х) и f (X) — произвольный
полином от неизвестного X степени т. Тогда f (x1) будет степени

17. Кольца полиномов 43
тп относительно х. Для того чтобы х был образующим элементом
кольца S над R, необходимо и достаточно, чтобы х был линеен
относительно х {т. е. чтобы было п = 1) и имел обратимый в R
старший коэффициент. В этом случае степень любого элемента
кольца S относительно х будет равна его степени относительно х.
Доказательство. Пусть х'= g (х), а а и Ь — старшие
коэффициенты полиномов g и /. Тогда старшим членом / (У) будет
Ьатхтп, откуда получаем первое утверждение теоремы. Если х
является образующим элементом кольца S над R, то х = f (x) для
подходящего /. Следовательно, тп = 1, Ьа = 1, так что х имеет
указанный вид. Обратно, если х имеет такой вид, то x?R be'],
а следовательно, S — R 1х' ].
Кроме того, если / {X) имеет степень т, f Ф 0, то / (х) также
будет степени т относительно х (так как п = 1), а следовательно,
/ (х) ф 0. Значит, х трансцендентен над R. Это завершает дока-
доказательство.
Следствие. Если Т является R-автоморфизмом кольца
полиномов R \x\ (R—область целостности), то хТ = ао+ агх,
где «! обратим в R. Обратно, если х =aQJra1x и а1 обратим в R,
то существует единственный R-автоморфизм Т кольца R [х], та-
такой, что хТ = х .
Первая часть следствия вытекает из того, что при сделанных
предположениях мы должны иметь R \х\ = R \хТ\.
Вторая часть прямо следует из доказанной теоремы и из след-
следствия теоремы 7.
Если R содержит делители нуля, то все еще верно, что элементы
х указанного вида будут образующими, однако другие утверждения
этой теоремы не обязательно верны. Действительно, возможно, что
<S будет кольцом полиномов от элемента х , степень которого отно-
относительно х больше 1. Например, пусть R — кольцо с единицей,
содержащее некоторый элемент а Ф 0, такой, что а2= 0. Тогда,
если х'= х + ах2, то мы имеем х —ах'2 = х, откуда R \х' ] =
= R Ы.
Особенно важны кольца полиномов над полем. Эти кольца, как
видно из следующей теоремы, являются евклидовыми областями.
Теорема 9. Пусть R — кольцо с единицей и R \х\ — кольцо
полиномов над R от х. Пусть f (х) и g (х) — два полинома из R \х]
соответственно степеней т и п; k = max {in — п -f 1, 0) и а —
старший коэффициент g (x). Тогда существуют такие полиномы
q (x) и г (х), что
akf(x) = q(x)g(x)-<rr(x),
и г (х) либо имеет степень, меньшую чем п, либо является нулевым

44 Гл. I, Вводные понятия
полиномом. Кроме того, если а регулярен в R, то- q (x) и г (х) опре-
определены однозначно.
Доказательство. Если т < п, то k = 0 и мы можем
взять q (х) = 0, г (х) = f (х). Если m > я — 1, то k = т — п -\- 1
и мы докажем первую часть теоремы по индукции относительно т,
заметив, что она верна при т = п — 1. Пусть т>«. Тогда поли-
полином af (х) — bxm~ng (х) имеет самое большее степень т — 1 (Ь —
старший коэффициент полинома /). По индуктивному предположе-
предположению существуют такие полиномы qi(x) и г^х), что
fl(m-1 )-„ +1 (а/ (Х) _ bxrn-ng (x)) e qi (x) g (х) + ^ (х);
где дгх<_п или rt= 0. Нам следует теперь лишь положить q (х) =
= bam-nxm~n+ qi(x), г (х) = r,(jc).
Предположим теперь, что а регулярен и что мы имеем также
а"/ = Ч'ё + г''. дг'<п. Тогда (<7 — q') g = г'— г. Если q — q' фО,
то левая часть имеет степень по крайней мере я, так как старший
коэффициент g (x) регулярен. Но это невозможно, так как
д (г'— г) < п. Поэтому q — q'— 0, г'— г = 0.
Следствие 1. Пусть f (x)?R [х] и a?R. Тогда f (а) = 0
в теш w только том случае, когда х — а является делителем f (x)
в R Ы.
Так как х — а имеет степень Г, существуют q (x)?R lx] и b^R,
такие, что / (х) = q (х) (х — а) + Ь; поэтому / (а) = Ъ, откуда
и получаем следствие.
Если X — неизвестное, то элемент а кольца R, для которого
/ (а) = 0, будет называться, как обычно, корнем полинома f (X).
Следствие 2. Пусть f (X) принадлежит кольцу полиномов
R [X] от одной неизвестной над областью целостности R. Если
ai,...,am — различные корни полинома f (X) в R, то полином
(X — ai)...(X— ат) делит f (X) в R IX). Если f {X) ф 0, то число
корней полинома f (х) в R не превосходит степени f (X).
Первое утверждение верно при т = \, поэтому предположим
его верным для т — 1 корней, так что / (X) = {X — а±) . . .
... (X — am_i) q {X). Тогда / (ат) — (am—ai)... {ат—ат^) q (am).
Так как в R нет делителей нуля, то q (ат) = 0, так что X — а
делит q (X). Отсюда получаем первое утверждение теоремы. Вто-
Второе утверждение следует из сравнения степеней.
Если R содержит делители нуля, то следствие 2 не обязательно
верно. Действительно, ненулевой полином может иметь бесконечно
много корней. Например, предположим, что элемент а из R, от-
отличный от нуля, является абсолютным делителем нуля, т. е. ab — 0
для всех b? R. Тогда каждый элемент кольца R будет корнем поли-
т

§ 17. Кольца полиномов ¦ 45
нома аХ, который имеет поэтому бесконечно много корней (если R
имеет бесконечно много элементов).
Другим примером (в котором R содержит единицу) является
следующий.
Пусть А и В — два кольца с единицами еА и ев, и пусть R —
кольцо упорядоченных пар (а, Ь), определенное в примере 2 § 9.
Если положить а = (еА, 0), то каждый элемент вида @, b), b?B,
будет корнем полинома аХ, который имеет поэтому бесконечно много
корней, если в качестве В взять бесконечное кольцо.
Следствие 3. Кольцо полиномов F [х] над полем F является
евклидовой областью. Каждый полином положительной степени
т
можно представить в виде а \] Д (х), где a ?F и Д (х) — приведен-
ный неразложимый полином; это разложение однозначно с точностью
до порядка множителей.
При f (x)^F lx] положим ср (/) = df, если / Ф 0; пусть ср @) =
= —1. Ясно, что условие ?1 определения евклидовой области
выполняется (§ 15); условие Е2 следует из теоремы. Поэтому F [х]
-будет областью с однозначным разложением. Так как каждый
полином из F [х] имеет ассоциированный с ним приведенный поли-
полином и так как ассоциированные полиномы могут отличаться лишь
на ненулевой множитель из F, получаем остальную часть след-
следствия.
Следующая теорема может рассматриваться как частичное обоб-
обобщение только что доказанного результата, так как любое поле
является тривиальным частным случаем области с однозначным
разложением.
Теорема 10. Если R является областью с однозначным раз-
разложением, то такой областью будет и кольцо полиномов от одной
неизвестной над R.
Доказательство. В ходе этого доказательства следует
иметь в виду различные утверждения теоремы 6 из § 16.
Мы называем полином примитивным, если его коэффициенты
не имеют общих делителей (отличных от обратимых элементов).
Отметим, что любой (ненулевой) полином / (х) кольца R [X ] воз-
возможно записать в виде / (х) = cft (х), где c?R и Д (х) примитивен:
именно, пусть с равен ОНД коэффициентов полинома / (х). Любой
элемент с, удовлетворяющий сформулированному условию, необ-
необходимо будет ОНД коэффициентов полинома f (x) и, следовательно,
определен с точностью до обратимого множителя. Множитель с
называется содержанием полинома / (х) и обозначается через с (/).
Отметим, что / (х) примитивен в том и только том случае, когда
элемент с (/) обратим в R.

46 Гл. I. Вводные понятия
Мы можем теперь доказать, что каждый элемент кольца R 1х]
разлагается на неразложимые множители. Ясно, что элемент
кольца R неразложим (или обратим) в R [х]в том и только том случае,
когда он неприводим (или обратим) в R. Отсюда следует (так как R
является областью с однозначным разложением), что каждый
полином кольца R [х] степени нуль разлагается на неразложимые
множители. Предположим, что / (jc) имеет положительную степень п
и что разложимость на неразложимые множители доказана для
полиномов более низкой степени. Запишем f (x) = cfi(x), где
c = c(/)?i? и fi(x) примитивен. Нам нужно лишь доказать, что
fx (x) будет произведением неразложимых множителей. Если Д (x)
неразложим, то нечего доказывать. В противном случае Д (jc) =
= g (x) h (х), где g (x), h (x)? R [х], и ни один из них не является
константой, так как Д (jc) примитивен. Следовательно, оба имеют
степень, меньшую чем п, и поэтому в силу предположения индукции
разлагаются на неразложимые полиномы. Следовательно, Д (х)
тоже разлагается на неразложимые множители.
Мы заканчиваем доказательство проверкой условия ОРЗ: если
р (х), f (jc), g (х) ? R [х], р (х) неразложим и р (х) делит f (x) g (x)r
то р (х) делит либо f (x), либо g (x). Доказательство следует раз-
разделить на два случая, зависящих от того, будет ли степень поли-
полинома р (jc) нулевая или положительная. Оба случая охватываются
следующими леммами:
Лемма 1 (лемма Гаусса). Если f (x), g (х) 6 R 1Х\,
то с (fg) = c(f) с (g). В частности, произведение двух примитивных
полиномов примитивно.
Доказательство. Если с = с (/), d = с (g), то / (х) =
= cfi{x), g (x) = dgi(x) и Д и gi примитивны. Так как / (g) =
= (cd) figi, нам следует лишь доказать, что полином Д^! примитивен,
т. е. достаточно доказать второе утверждение леммы. Если figi
не примитивен, то пусть р будет неразложимым элементом кольца R,
который делит все коэффициенты произведения Д^. Если Д(х) —
= 2ai*\ gi (х) = 2 bjx', ait bj g R, то пусть as, bt будут первыми
коэффициентами полиномов Д и git которые не делятся на р (они
существуют, так как Д и gi примитивны). Коэффициент при х"*1
в Д (х) gi (x) равен
Так как R является областью с однозначным разложением, то р
не делит asbt. Так как он делит все члены написанной выше суммы,
которые предшествуют и следуют за asbt, то он не делит саму сумму,
и мы получили противоречие. Следовательно, Д (х) g\ (x) примитивен,
как и утверждалось.

§ 18. Полиномы от нескольких неизвестных 47
Лемма 2. Если g (х) делит bf (х), где b? R ug(x) примитивен,
то g (x) делит f (х).
Доказательство. Мы имеем bf (x) = g (x) h (x), где
h (х) 6 R Ы. В силу леммы 1, Ь-с (/) = с (g)-c (h) = с (h). Таким
образом, b делит с (И) и, следовательно, также h (х), так что g (x)
делит / (л:).
Мы можем теперь доказать ОРЗ для R [х]. Предположим, что
р (х) делит / (х) g (x), где р (х) неразложим. Если степень полинома
р (х) равна нулю, так что р (х) = р ? R, то р делит с (fg) —- с (/) с (g),
следовательно (например), р|с(/) (в силу ОРЗ в R). Отсюда
p\f(x).
С другой стороны, если степень полинома р (х) положительна,
то мы поступаем следующим образом. Предположим, что р (х)
не делит / (х); мы покажем тогда, что он делит g (x). Рассмотрим х)
множество М всех полиномов А (х) р (х) + В (х) f (x), где А (х),
В (х) ?R lx]. Среди всех ненулевых полиномов множества М пусть
полином ср(х) наименьшей степени и пусть а — его старший коэф-
коэффициент. Согласно теореме 9, существуют такие неотрицательное
целое число k и полиномы h (х) и г (jc), что a!lf = ф/г -f- r, где либо
г = 0, либо дг < <Эф. Так как ф ?М, то ф = Ар + Bf, следова-
следовательно, r= d'f —ф/г = (— А К) р + (а'' — Bh) f, так что г ? М.
Значит неравенство дг < дц) невозможно. Поэтому г = 0, ahf = ф/г.
Напишем ф (х) =Сф1(х), где с = с(ф) и ц>1 примитивен. В силу
леммы 2, ф 1 делит /. Подобно этому ф 1 делит р. Так как р неразложим
и не делит / (х), то отсюда вытекает, чтофх будет обратим в R [х\.
Следовательно, ф принадлежит R, т. е. множество М содержит
константу ф Ф 0. Из ф = Ар + Bf мы получаем qg = Apg -j- Bfg,
так что р делит yg. Так как р неразложим и имеет положительную
степень, он будет примитивным и из леммы 2 следует, что р (х)
делит g (x).
Это завершает доказательство теоремы 10. Мы будем исполь-
использовать приведенные выше леммы и в различных других случаях.
§ 18. Полиномы от нескольких неизвестных. В § 16 мы опреде-
определили полиномы от одного неизвестного над данным кольцом R
и убедились в том> что каждый такой полином может быть выражен
в обычном виде 2 at^1- Под полиномом от п неизвестных мы пони-
понимаем конечную сумму
А. аЧ ¦ ¦ ¦ гпЛ1 • • • Лп >
') Отметим, что это доказательство очень похоже на доказательство
леммы из § 15 (стр. 37), причем изменения обусловлены тем, что наше
кольцо R [х] не евклидово, но «почти таково» (благодаря теореме 9).

48 Гл. I. Вводные понятия
где ij — неотрицательные целые числа и aix... ,„? R. Попробуем
формализовать это понятие. Отметим, что полином определен, если
известны его коэффициенты а^ ... in, т. е. когда каждой упорядо-
упорядоченной «-системе (in, . . ., in) неотрицательных целых чисел поставлен
в соответствие некоторый элемент а\х ... {п кольца R. Это и будет
в действительности нашим определением.
Пусть / — множество неотрицательных целых чисел, 1п— мно-
множество упорядоченных я-систем (i) = (ilt . . ., in) элементов множе-
множества / (т. е. каждый элемент множества 1п является последователь-
последовательностью « неотрицательных целых чисел). Если (/) = (/ь ...,/п)
принадлежит /„, то, по определению, получаем (i) -\- (j) = (ц+ ]\, . . .
¦¦ ¦, in+jn).
Определение. Пусть R — кольцо с единицей, п — положи-
положительное целое число. Полиномом от п неизвестных над R называется
отображение f множества 1п в R, для которого образы (i) f отличны
от нуля лишь для конечного числа п-систем (i). Если fug — два
таких полинома, то их сумма h = / -f g и произведение k = f-g
определяются равенствами
(i)A = (O/ + (Og.
U)+O'')(i)
При п — 1 мы имеем отображения множества / в R, т. е. после-
последовательности элементов из R. Таким образом, данное только что
определение согласуется с определением из § 16.
Если S обозначает множество всех полиномов над R от п неиз-
неизвестных, то легко видеть, что S является кольцом. Для каждого
элемента a?R мы определяем полином fa при помощи равенств
(t)/o = a приA) = @, ...,0),
(г)/ц = 0 в других случаях.
Непосредственно убеждаемся в том, что /0 будет нулем кольца S
и что, кроме того, S имеет единицу, которая дается полиномом /,
A ¦—единица кольца R). Легко проверяется, что
так что отображение а -> /о — изоморфизм кольца R на подкольцо
кольца S, состоящее из всех fa. Мы заменим каждое/о соответствую-
соответствующим элементом а, так что впредь будем рассматривать S как кольцо,
содержащее R в качестве подкольца.
Для фиксированного целого числа v между 1 и п пусть (/(v>)
обозначает «-систему, содержащую 1 на v-м месте, и 0 на других
местах. Мы определяем Xv как элемент кольца S, который п-си-
стеме (/(v>) ставит в соответствие единичный элемент кольца R,

§ 18. Полиномы от нескольких неизвестных 49
а каждой другой п-системе—нуль кольца R. Если а? R и tt) i2) .. .
... , tn — неотрицательные целые числа, то легко видеть, что
aX\iX\* . .. Xj™ будет элементом кольца 5, который ставит а в соот-
соответствие «-системе (i) = (iu i2, . . . , in) и 0 — каждой другой «-си-
«-системе. Таким образом, каждый элемент / кольца S является суммой
конечного числа специальных полиномов вида
а({,Хда ... Xj», A)
называемых одночленами, причем/—нулевой элемент кольца S в том
и только том случае, когда все коэффициенты a(i) равны нулю.
Здесь ti, t2, • •., in—любые неотрицательные целые числа и a(i) —
любой элемент кольца R. Кольцо S будет обозначаться через
R [Хь ...,ХД
Степенью одночлена A) называют сумму показателей степени
ii + 1'г + • ¦ • + V Под степенью df любого ненулевого полинома /
понимают максимум степеней одночленов, суммой которых является
/. Если все одночлены в этой сумме имеют одну и ту же степень,
то / называется однородным полиномом, или формой. Если fug-—
формы, то ясно, что fg будет либо нулем, либо формой степени
df + dg.
Полином / степени т можно однозначно представить в виде
где каждое /4 — либо нуль, либо форма степени i и fm фО. Отсюда
ясно, что если /, g?S и fg ф 0, то д (fg)<df + dg.
Мы можем теперь сформулировать следующую теорему.
Теорема 11. Пусть R — кольцо с единицей. Полиномы от п
неизвестных с коэффициентами в R образуют кольцо S, унитарное
над R. Если fug — ненулевые полиномы в S, то либо fg = 0, либо
д ifs) < df + dg. Если R является областью целостности, то S
тоже будет областью целостности и д (fg) = df + dg.
Доказательство. Все было доказано, кроме последнего
утверждения. Предположим, что fug — ненулевые полиномы
из S степеней р и q соответственно. Запишем
fv Ф 0, gq Ф О,
где Д и gt — либо нули, либо формы степеней i и / соответственно.
Далее,
P+Q
fg= l Ьк, hh= S fa;.
fc=0 i+j=h
Так как hh—либо нуль, либо форма степени-^, то последнее утвер-

50 Гл. I. Вводные понятия
ждение теоремы будет доказано, если мы покажем, что hp+Q= fpgq
не равно нулю. Другими словами, достаточно показать, что S будет
областью целостности.
Для этой цели мы упорядочиваем одночлены данной степени
v лексикографически: ХрХр . . . Xfy < Xfi Х{* . . . Х'п при is</.,,
если s будет наименьшим целым числом, l<s<«, для которого
is Ф\ц. Относительно этого упорядочения и для v = р пусть
aX%iX%2 .. . Х^п — первый из одночленов, который действительно
встречается ъ}р{афЬ). Подобно этому пусть ЬХ^Х^- ... Х^п —
первый одночлен степени q, который действительно встречается
в gq(b ф 0). Тогда сразу видно, что
— первый одночлен в произведении fpgr Так как ab Ф 0, отсюда
следует, что fpgq Ф 0.
Теоремы о полиномах от п неизвестных часто доказываются при
помощи индукции по п. Мы выясним теперь этот индуктивный
аспект построения колец полиномов.
Рассмотрим множество 5' тех полиномов f?RlXu Xz, . . ., Хп\,
в которые неизвестное Хп совсем не входит, или, как мы будем гово-
говорить, которые не зависят от Хп. Под такими полиномами мы имеем
в виду отображения / множества /„ в R, удовлетворяющие следую-
следующему условию: (t'i, t2, . . ., in) f = 0 при in ф 0. Ясно, что эти ото-
отображения взаимно однозначно соответствуют отображениям мно-
множества /„_! в R, потому что любое такое отображение однозначно
определяется своим действием на д-системы вида (гь с'2, . . ., in_i, 0).
Поэтому мы можем отождествить полиномы f?R [Хи Х2, . . ., Хп I,
не зависящие от Хп, с соответствующими полиномами из R \Xi, Xz, .. ¦
. . .,ХП_1]. Сразу видно, что кольцевые операции в S=R [Хь Х2, . . .
.. ., Хп] и St = R [Xlt X2> . .., Хп-1] согласуются с этим отождест-
отождествлением. Следовательно, мы можем (и будем) рассматривать
R [Xi, Х2, ¦ .., Хп1] как подкольцо кольца R [Xit Х2, . . ., Хп \.
Мы утверждаем, что это последнее кольцо S — кольцо полиномов от
Хп над кольцом Sl в смысле определения из § 17. В самом деле,
во-первых, каждое подкольцо кольца S, содержащее S4 и Хп,
содержит все одночлены аХ\^-Х\^ ... Xi^ и, следовательно, содер-
содержит S. Во-вторых, очевидно, что Хп транецендентен над 5t. Следо-
Следовательно, S = SJA'jJ.
Из этого факта и из теоремы 6 § 16 мы можем заключить, что S
является областью целостности, если R будет ею.
Многие из рассуждений § 16 и 17 могут быть распространены на
случай полиномов от п неизвестных.
Полиномы в R [Xi, ..., Хп ] могут быть построены как «функции
от п переменных». Пусть Д — произвольное унитарное кольцо
над R, хи ..., хп— элементы кольца А.

§ 18. Полиномы от нескольких неизвестных 51
Если
/=2а0)ХГ ...X"'1
— произвольный полином из S, то мы положим
f(xv ...,*„) = 2а@л*... хТ. B)
Тогда / (хь . . ., хп) лежит в Д и называется результатом подста-
подстановки Xi вместо Хи ..., хп вместо Хп в /. В частности, согласно
этому определению, / (Xi, . .., Хп) будет сам /.
Для фиксированных хи . . ., хп отображение /—>/ (*i, . . ., хп)
является ^-гомоморфизмом кольца R [Xit ...,Xn] в Д. Образ
в Д кольца R[Xi, . . ., Хп] обозначается через R [х4, . . ., хп]. Он
является подкольцом кольца Д и состоит из всех элементов
вида B); он может также быть описан как наименьшее подкольцо
кольца Д , содержащее xit . . ., хп и R.
Определение 1. Элементы х4, . . ., хп будут называться
алгебраически зависимыми над R, если ото-
отображение f—>f(xlt . . ., хп) является собственным гомоморфизмом,
В противном случае они будут называться алгебраически
независимыми над R.
Таким образом, хи . . ., хп алгебраически зависимы над R в том
и только том случае, когда существует такой ненулевой полином
g (X), что g (х) = 0.
Определение 2. Пусть R — кольцо с единицей и S'—
некоторое кольцо, унитарное над R. Тогда S' называется кольцом
полиномов над R, если существуют элементы Х\, . . ., хп в S', алге-
алгебраически независимые над R и такие, что S' = R[xi, ...,xn\.
Любое такое множество {хь .. ., хп] будет называться порождающим
множеством. Более определенно мы говорим, что S' яляется коль-
кольцом полиномов над R от хи . . ., хп.
Таким образом, S' будет кольцом полиномов над R в том
и только том случае, когда существует ^-изоморфизм кольца
R [Xit . . ., Хп] на S' для некоторого п. В частности, R [Хг, . . .
. . ., Хп ] при этом определении само будет кольцом полиномов.
Прежде чем доказать аналог теоремы 7 из § 17, мы сформулируем
следующую емму.
Лемма. Пусть R — кольцо с единицей, S' — унитарное над-
надкольцо, Xi, ...,хп— элементы кольца S' и п > 1. Пусть R± =
= R [Xi, . . ., хп_1]. S' будет кольцом полиномов над R от xit . . ,, хп
в том и только том случае, когда Ri — кольцо полиномов над R от
Хи . . ., хп_х wS'- кольцо полиномов над Ri от хп.
Эта лемма является по существу переформулировкой индук-
индуктивного свойства колец полиномов от п неизвестных, приведенного

52 Гл. I. Вводные понятия
ранее в этом параграфе. Доказательство может быть предоставлено
читателю.
Теорема 12. Пусть S'— кольцо полиномов от хи . .., хп
над кольцом R, R — кольцо с единицей цд ¦— унитарное надкольцо
кольца R; пусть уи ..., уп— некоторые элементы кольца А. Если
То является гомоморфизмом кольца R на R, то То может быть про-
продолжен одним и только одним способом до гомоморфизма Т кольца
S' на R [уи . . ., уп], такого, что х(Г = уи i = 1, ...,«. Т будет
изоморфизмом в том и только том случае, когда То — изоморфизм
и У и ¦ ¦ -, Уп алгебраически независимы над R.
Ввиду леммы, эта теорема следует из теоремы 7 § 17.
Следствие 1. Пусть S' и S — кольца полиномов над R
от %и • • •> хп и у и .. ., уп соответственно. Тогда существует един-
единственный R-изоморфизм Т кольца S' на S, для которого х{Г = yv
1 = 1, ...,«.
Следствие 2. Пусть S — кольцо полиномов над R от
хи . . ., хп и {hi, h2, ¦ ¦ ., hn) — перестановка целых чисел {1,2, ...
...,«}. Тогда существует единственный R-автоморфизм Т кольца S,
для которого х{Г = xi4, i = 1, . ¦., п.
Теорема 13. Если R является областью с однозначным раз-
разложением и S — кольцо полиномов над R от п элементов, то S
тоже является областью с однозначным разложением.
Это следует по индукции из леммы и теоремы 10 § 17.
Теорема 14. Пусть R —область целостности и f{Xit .. .
. .., Хп ] — ненулевой полином над R от п неизвестных. Пусть
Q — некоторое подмножество кольца R, содержащее бесконечно много
элементов. Тогда в Q существуют такие элементы аь ..., а„, что
/(а,, . ..,Оп)ф0.
Доказательство. Это верно при п = 1, в силу следствия
2 теоремы 9 из § 17. Предположив утверждение верным для п — 1,
запишем / (Хи . . ., Хп) = 2 А №> • • • > \n--d Хп, где Д (Х1у . . .
• • •, *п_х) 6 R 1Хи ..., Хп_[Т и fk (Xu .... Xn_J Ф 0. По пред-
предположению индукции существуют такие аи ..., аи_1 g Q, что
fk (аи • • •, ап_х) фО. Так как / (а!, ..., ап_х, Хп) фО, следствие,
на которое мы ссылались, гарантирует существование такого
OntQ, что / (flu ¦¦-, an-i, an) Ф 0.
Из этой теоремы следует, что если R имеет бесконечно много
элементов и / (flu . .., ап) — 0 для всех аи . .., а„ ? R, то f (Xit . ..

§ 18. Полиномы от нескольких неизвестных 53
. .., Хп) = 0. С другой стороны, очевидно, что это утверждение
не верно, если R имеет лишь конечное число элементов, как было
указано в конце § 16 в случае п = 1.
Мы возвращаемся теперь к изучению фиксированного кольца
полиномов S над R (от п элементов xi, ..., хп). Понятие степени
полинома в S переносится очевидным образом из кольца R [Хи . . .
.. ., Хп]. Как и в случае п = 1, мы подчеркиваем, что степень по-
полинома / 6 S зависит от выбора порождающих элементов xit ..., хп,
а не только от кольца S. Действительно, при п > 1 степень полинома
/ может быть на самом деле различной, если используются разные
множества неизвестных, даже если R является областью целост-
целостности (или даже полем; ср. § 17, теорема 8). Например, пусть
п = 2 и г/i =Xi, г/г = х2-^х\. Тогда ясно, что S будет также кольцом
полиномов от уи у2, но степень у2 как полинома от xit x2 равна
двум. Мы не будем пытаться определить все множества элементов
Уи ¦ ¦ ¦, Ут, относительно которых S является кольцом полиномов
над R. Однако мы покажем, что число неизвестных инвариантно.
Теорема 15. Пусть S—кольцо полиномов от элементов
хи . .., хп над кольцом R и уи ..., ут — такие элементы кольца S,
что S = R [уи ..., ут]. Тогда т^-п и равенство имеет место
лишь в случае, когда S является кольцом полиномов от уи .. ., Ут1).
Доказательство. Так как у- ? R [xit ..., хп], то мы
можем написать У^ — Ъ^Л-у], где у) — полином от х\, . . ., хп без
свободного члена и Ь.} б R. Имеем S = R [у[, . .., у'т] и у[, .. ., у'т
алгебраически независимы в том и только том случае, когда уи . . .
.. ¦, ут алгебраически независимы. Следовательно, достаточно дока-
доказать теорему для у) вместо yf, другими словами, мы можем пред-
предположить bj — 0. Тогда мы имеем
У, = Ьцхг + ¦ ¦ ¦ + bjnXn + Вр ] = 1, 2, . . ., т, C)
где bjlt . .., bjn?R и Bj является суммой одночленов от хь . . ., хп
степени > 2. Так как xt 6 R \уи . .., t/nJ. то
ут + Аг, /= 1, 2, ...,«, D)
где ai0, au, ..., aim ? R и А является суммой одночленов от уи . ..
...,ут степени >2. Подставляя в D) выражения для yj из C),
мы получаем
члены от xv . . ., xn степени > 2, i = 1, 2, . . ., п.
L) См. в гл. II, § 12, теорема 25, другое доказательство этой теоремы,
использующее понятие степени трансцендентности.

54 . Гл. I. Вводные понятия
Так как хи . . ., хи алгебраически независимы над R, то ai0 = 0 и
™ f 1, если i = k, .
> a- b , = i, /г= 1, 2, . . ., п. /5^
•г, '"" ( 0, если i^k; {D)
г
Если теперь предположить т<«, то каждый из определителей
«и • • ¦ аЬп 0 ... Оi \ bu . . . Ьы
ь„ч ¦ ¦ ¦ Ьтп
О ... О
п1 . . . апт 0 ... О"' ! О . . . О |
будет равен нулю. С другой стороны, в силу равенств E) правило
для умножения определителей дает, что произведение этих двух
определителей равно 1. Это противоречие показывает, что т>я.
Второе утверждение теперь очевидно.
Возможно также определить полиномы от бесконечного мно-
множества неизвестных. Если число неизвестных счетно, то мы можем
просто построить последовательность
где каждое из колец рассматривается как подкольцо следующего
за ним, как это было описано раньше. Теоретико-множественное
объединение этих колец, которое может быть превращено в кольцо
очевидным образом, можно назвать кольцом полиномов от после-
последовательности неизвестных Хь Хо, . . ., Хп, .... Чтобы получить
несчетное число неизвестных, мы можем применить трансфинитную
индукцию.
Лучше, однако, действовать по аналогии со случаем п перемен-
переменных. Чтобы построить кольцо полиномов, неизвестные которого
будут находиться во взаимно однозначном соответствии с элемен-
элементами данного множества Е, мы через 1е обозначаем совокупность
всех систем (i) = (ia), где а ?Е, ia — неотрицательное целое число,
равное нулю для почти всех а в Е, т. е. /^ будет совокупностью
всех отображений
(t): a->ia
множества Е в /, таких, что ia = 0 для всех, кроме конечного числа,
элементов а ? Е. (Таким образом, когда Е состоит из целых чисел
1, 2, ...,«, (О становится по существу упорядоченной «-системой
и /Е = /п.) Если (/) = (/«), то мы определяем (i) + (/) = (ia + ja).
Если R — данное кольцо с единицей, то пусть S будет множе-
множеством всех отображений / множества 1е в R, таких, что i (/) = О

§ 18. Полиномы от нескольких неизвестных 55
для всех, кроме конечного числа, (i)€Ae- При /g5 и ^65 пусть
h == f + g и k = fg определяются равенствами
W)fU')g]-
Легко видеть, что 5 — кольцо и что R можно очевидным образом
отождествить с подкольцом кольца S.
Если р — некоторый фиксированный элемент множества Е,
то пусть (]Щ обозначает то отображение множества Е в /, при кото-
котором Р—> 1 иа-^0 для а ф р . Мы можем сказать, что (/<3>) = (/а0>)
имеет 0 на каждом месте, кроме р-го, где стоит 1. Мы определяем
тогда Х$ как тот элемент кольца 5, который ставит в соответствие
единицу кольца R системе ЦЩ и нуль кольца R каждому другому
элементу множества 1Е. Если р ь . . ., |5 п — различные элементы мно-
множества Е, то рассмотрим подмножество /' множества 1Е, состоящее
из тех @, для которых ia = 0, если а не есть один из Pi,...,pn;
очевидным образом /' находится во взаимно однозначном соответ-
соответствии с /„. Рассмотрим теперь множество S' таких / в S, что (i) f — 0
для (I), не принадлежащих /'. Такие/ полностью определяются тем,
во что они переводят элементы (г) множества /', а поэтому находятся
во взаимно однозначном соответствии с элементами кольца полино-
полиномов над R от п неизвестных. Такое соответствие, как легко видеть,
является изоморфизмом. Это можно показать прямой проверкой.
Другой способ начинается с замечания, что элементы множества S'
будут конечными суммами элементов вида
где а 6 R и hi, .. ., hn — неотрицательные целые числа, так что
...,XPn]. F)
Теперь можно легко проверить, что XPl, . .., Х$п алгебраически
независимы над R, так что S' действительно изоморфно кольцу
полиномов над R от п переменных.
Если / — любой фиксированный полином в S, то (t) / = 0 для
всех (iN^?> кроме конечного числа. Для каждого такого (i) все ia,
кроме конечного числа, равны 0. Беря все (i), для которых (i) f Ф 0,
и для каждого такого (t) все a 6 Е, для которых ia Ф 0, мы получаем
конечное число элементов рь .. ., рп множества Е. Тогда / будет
находиться в кольце F). Таким образом, можно сказать, что каж-
каждый данный полином f?S будет на самом деле полиномом лишь
от конечного числа переменных и что S является объединением всех
своих подколец типа F).
Ввиду только что сделанного замечания многие свойства обыч-
обычных колец полиномов можно распространить на случай бесконеч-

56 Гл. I. Вводные понятия
ного числа переменных. Например, можно определить такие поня-
понятия, как степень и однородность, и доказать теоремы, аналогичные
теоремам 11 — 13.
§ 19. Поля частных и полные кольца частных. Пусть К — поле
и ^ — кольцо, содержащееся в К- Мы предполагаем, что R не яв-
является нулевым кольцом. Пересечение всех подполей поля К,
содержащих R, снова будет подполем поля К, содержащим R.
Это поле, которое мы будем обозначать через F, является поэтому
наименьшим подполем поля К, которое содержит R (не исключено,
что F совпадает с R). Если a, b?R и b Ф 0, то a, b?F, так как
RdF; кроме того, a/b?F, так как F является полем. Следователь-
Следовательно, F содержит все частные элементов кольца R. С другой стороны,
соотношения
а , с adzbbc ,..
Т ± 1~ bd ' A>
а с __ас „
b'd~bd' {Z>
° = т <4>
выполняются для любых элементов а, Ь, с, d поля К, если только
b Ф 0 и d Ф 0. Если мы возьмем эти элементы в R и воспользуемся
предположением о том, что R является кольцом, притом ненулевым,
то сразу получим, что множество всех частных alb, для которых
a, b?R, b Ф 0, всегда будет подполем поля К, содержащим R,
а поэтому совпадает с F. Мы будем называть F полем частных коль-
кольца R в К-
Предположим теперь, что кольцо R задано заранее. Тогда можно
спросить, возможно ли вообще вложить R в некоторое поле К-
Если R не является нулевым кольцом, то, очевидно, необходимым
условием будет то, что R не содержит собственных делителей нуля.
Мы увидим сейчас, что это условие также достаточно, т. е.
если мы предположим, что R не содержит собственных делите-
делителей нуля, то существуют поля К, содержащие R в качестве
подкольца. В каждом таком поле К данное кольцо имеет поле
частных F. Мы убедимся в том, что различные поля F, получаемые
таким образом, будут все R-изоморфны. Любое из этих /^-изоморф-
ных полей можно тогда назвать полем частных кольца R (см. данное
ниже определение).
На самом деле мы не будем ограничивать обсуждение кольцами,
которые свободны от собственных делителей нуля, а докажем ана-
аналогичные результаты для более широкого класса колец. Пусть
сначала R будет произвольным кольцом, однако ненулевым. В § 5

§ 19. Поля частных и полные кольца частных 57
(стр. 19) мы условились называть элемент из R, не являющийся
делителем нуля, регулярным элементом кольца R.
Пусть К — кольцо с единицей, содержащее R в качестве
подкольца. Никакой делитель нуля кольца R не может, конечно,
иметь обратного элемента в К- Если Ъ — регулярный элемент
кольца R, то Ъ может иметь обратный элемент в К- Если b имеет
обратный в К, то К содержит также частные alb, где а — любой
элемент из R. Мы предположим, что R содержит по крайней мере
один регулярный элемент, который имеет обратный элемент в К-
При этом предположении кольцо К будет содержать все частные
alb, для которых a, b?R и b обратим в К- Пусть F обозначает мно-
множество всех таких частных. Из того, что R содержит по крайней
мере один обратимый элемент кольца К, следует, что F содержит R
[см. D)]. Кроме того, так как произведение обратимых элементов
кольца К обратимо и соотношения A) — C) выполняются для лю-
любых элементов а, Ь, с, d кольца К, если только b и d обратимы в К,
то мы сразу получаем, что F будет кольцом (так как R является коль-
кольцом). Мы называем это кольцо F кольцом частных кольца R в К-
Отметим следующие свойства кольца F:
(а) F содержит единицу.
Ибо если b — элемент кольца R, который обратим в К, и 1 есть-
единица кольца К, то I = b/b? F.
(б) R является подкольцом кольца F.
(в) Если некоторый элемент кольца R имеет обратный в К, то
этот обратный элемент лежит в F.
Ибо если b?R и Ь~1?К, то b'1=bJb2eF.
(г) Каждый элемент кольца F имеет вид alb, где a, b?R и b
регулярен в R.
Таким образом, мы приходим к следующему определению.
Определение. Если R — кольцо, содержащее по крайней
мере один регулярный элемент, то полным кольцом частных кольца R
называется любое кольцо F, удовлетворяющее приведенным выше
условиям (а), (б), (г) и следующему, более сильному, чем (в), условию:
(в') Каждый регулярный элемент кольца R имеет обратный в F.
Прежде чем переходить к теоремам об однозначности (с точ-
точностью до /^-изоморфизма) и о существовании полного кольца част-
частных кольца R, приведем несколько следствий данного определе-
определения. Всюду предполагается, что R содержит по крайней мере один
регулярный элемент. В приводимых следствиях F обозначает пол-
полное кольцо частных кольца R. Буквы а, Ь, с, . . . обозначают элементы
кольца R, и любой элемент из R, который встречается в знаме-
знаменателе, предполагается регулярным элементом в R.

58 Гл. I. Вводные понятия
Следствие 1. Элемент alb кольца F регулярен в F в том
и только том случае, когда элемент а регулярен в R. Каждый регу-
регулярный элемент кольца F имеет обратный в F. В частности, если R
не содержит собственных делителей нуля, то F будет полем.
Если a/b регулярен в F, то очевидно, что а регулярен в R,
а поэтому b/a?F. Остающаяся часть доказательства очевидна.
Для колец R без собственных делителей нуля мы поэтому будем
употреблять термин «поле частных» вместо «полное кольцо частных».
Следствие 2. Если R имеет единицу и если каждый регу-
регулярный элемент кольца R обладает обратным в R,mo F = R. В част-
частности, полное кольцо частных любого кольца R всегда будет своим
собственным полным кольцом частных.
Первая часть этого следствия прямо вытекает из определения
полных колец частных. Вторая часть вытекает из следствия 1.
Следствие 3. Если К — любое кольцо, удовлетворяющее
условиям (а), (б) и (в') (с F, замененным на К), то кольцо частных
Fi кольца R в К будет полным кольцом частных кольца R и F^
является наименьшим подкольцом кольца К, которое удовлетворяет
условиям (а), (б) и (в')(с F, замененным на Fi). Кроме того, F4 будет
единственным подкольцом кольца К, которое является полным
кольцом частных кольца R [ввиду условия (г)].
Мы переходим теперь к двум основным теоремам об однознач-
однозначности и существовании полного кольца частных кольца R.
Теорема 16. Пусть R и R' — два изоморфных кольца,
каждое из которых содержит по крайней мере один регулярный
элемент, То — изоморфизм кольца R на R', и пусть F и F'—соответ-
F'—соответствующие полные кольца частных. Тогда То единственнным образом
может быть продолжен до изоморфизма Т кольца F на F'.
Доказательство. Предположим, что alb ? F, где а и b
лежат в R и b регулярен в R; таким образом, ЬТ0 регулярен в R',
так как То является изоморфизмом. Если вообще Г существует,
то из а = Ъ (alb) мы получаем аТ0 = аТ=ЬТ- [alb) T = bT0- (alb) T,
так что
Таким образом, Т определяется по То однозначно, если он вообще
существует. Мы докажем его существование, определяя его согласно
этой формуле.
По этой формуле Т не определен a priori как отображение
(т. е. как однозначное преобразование), потому что элемент кольца F
может иметь несколько представлений вида alb. Однако равенство

§ 19. Поля частных и полные кольца частных 59
E) определяет Т как преобразование кольца F в F', и легко прове-
проверить, что условия (А) и (Б), упомянутые в лемме 2 из § 11, выпол-
выполняются. Кроме того, если alb = 0, то а = 0, аТ0 = О, а следова-
следовательно, (alb) Т = 0. Поэтому из леммы 2 вытекает, что Т будет
гомоморфизмом кольца F на F'. Так как jT0 является отображением
на R' и так как F' является полным кольцом частных кольца R',
то мы получаем, что Т отображает F на F'. Если b регулярен в R
и а —любой элемент кольца R, то a = ablb, так что аТ =
= (ab) Т0/ЬТ0=аТ0- ЬТ0/ЬТ0 = аТ0, поэтому Т — продолжение изомор-
изоморфизма То. Наконец, если (а/Ь)Т = 0, то аТ0/ЬТ0 = 0, аГо = 0, сле-
следовательно, а = 0 (потому что То — изоморфизм) и а/6 = 0. Так как
лишь нуль кольца F отображается в нуль кольца F', то Т — изо-
изоморфизм [§11, теорема 2]. Это завершает доказательство теоремы.
Теорема 17. Если R является кольцом, содержащим по край-
крайней мере один регулярный элемент, то R обладает полным кольцом
частных, которое единственно с точностью до изоморфизма над R.
Доказательство. Единственность следует из предыду-
предыдущей теоремы, ибо если F и F' будут двумя полными кольцами част-
частных кольца R, то можно применить теорему к тождественному авто-
автоморфизму То кольца R.
Мы переходим теперь к доказательству существования при помо-
помощи построения полного кольца частных кольца R. Для этой цели
мы рассмотрим упорядоченные пары (а, Ь) элементов a, b кольца R,
в которых элемент b регулярен. Такая пара будет называться допу-
допустимой. В дальнейшем будут рассматриваться лишь допустимые
пары.
Мы скажем, что две (допустимые) пары (а, Ь) и (с, d) эквива-
эквивалентны [и мы будем'писать (а, Ь) = (с, d)\, если ad = cb. В част-
частности, (а, Ь) = (ас, be) для любой допустимой пары (а, Ь) и любого
регулярного элемента с из R. Очевидно, что соотношение = реф-
рефлексивно и симметрично, т. е. (а, Ь) = (а, Ь), и если (а, Ь) = (с, d),
то (с, d) = (а, Ь). Это соотношение также транзитивно, т. е. если
(а, Ь) = (с, d) и (с, d) = (е, /), то (а, Ь) =(е, /). Именно, мы имеем
по предположению, что ad = cb и cf ~ ed. Умножая первое соот-
соотношение на / и второе на Ъ, мы находим adf = cbf, cfb = edb,
откуда afd = ebd. Так как d не является делителем нуля, то af — eb,
т. е. (а, Ь) = (е, /).
Отсюда следует, что допустимые пары распределяются по вза-
взаимно непересекающимся классам эквивалентности, причем каждый
класс состоит из эквивалентных пар, и неэквивалентные пары при-
принадлежат различным классам. Мы обозначаем через {а, Ь} класс
эквивалентности, который содержит данную допустимую пару
(а, Ь), и мы имеем
{а, Ь] = {с, d) тогда и только тогда, когда ad = cb.

60 Гл. I. Вводные понятия
Пусть F' обозначает множество всех классов эквивалентности.
Сложение и умножение в F' определяется следующим образом:
{а, Ь} + {с, d} = {ad + cb, bd},
{a, b}{c, d]={ac, bd}.
Так как bud регулярны, то bd будет регулярным, так что правая
часть этих двух формул имеет смысл. Мы должны показать, что
классы эквивалентности {ad + cb, bd} и {ас, bd} зависят лишь
от классов {а, Ь}, {с, d}, a не от частных пар, использованных для
их представления. Пусть в таком случае (а, Ь) = (аи Ьх) и (с, d) =
= (сь di). И.заЬх—aib = cdx — c^d = 0вытекает, что (ad -(-cb) b^ —
— (aidi^rdbi) bd = (abi — a1b)ddiJr(cdi — Cid) bbi = O, а следо-
следовательно, (ad -\- cb, bd) = (aidiH- cj>u bidt), как и утверждалось.
Подобно этому (ас, bd) = (aicit bidi).
При таком определении сложения и умножения в F' непосред-
непосредственно проверяется, что будут выполняться законы коммутатив-
коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности.
Пусть Ьо будет некоторым фиксированным регулярным эле-
элементом кольца R. Мы видим тогда, что 0' = {0, Ьо} — нулевой
элемент множества F'\ кроме того, {с, d} = 0' в том и только том
случае, когда с = 0. Если {a, b}?F', то {а, Ь} + {—а, Ь} = 0.
Таким образом, доказано, что F' является кольцом. Ясно, что
1'= {А> ^о) есть единица кольца F'; кроме того, {с, d} = Г
в том и только том случае, когда с = d.
Легко проверить, что множество R' элементов вида {ab0, b0},
где а — произвольный элемент кольца R, образует подкольцо коль-
кольца F' и что отображение
T0:a~>{ab0, b0}
— изоморфизм кольца R на R'. Мы утверждаем, что F' является
полным кольцом частных кольца R'. Мы должны проверить условия
(в') и (г) определения. Что касается (в'), то пусть {ab0, b0} регуля-
регулярен в R'; тогда ясно, что а регулярен в R, так что упорядоченная
пара {Ьо, Ьоа} допустима и {Ьо, Ьоа} — обратный к {ab0, b0} эле-
элемент. Что касается (г), пусть {a, b} — произвольный элемент в F';
тогда
{a, b} = {ab0, bo}-{bo, bbo} = {abo, bo}/{bbo, b0}.
Таким образом, имеем: F' будет полным кольцом частных коль-
кольца R', а То — изоморфизмом кольца R на R'. В силу леммы из
§ 13 (стр. 32), существует кольцо F, содержащее R и такое, что То
может быть продолжено до изоморфизма кольца F на F'. Из этого
очевидным образом следует, что F — полное кольцо частных коль-
кольца R. Таким образом, доказательство полностью завершено.

§20 Кольца частных относительно мультипликативных систем 61
§ 20. Кольца частных относительно мультипликативных систем.
Пусть R — некоторое кольцо. Мультипликативная система в R
есть непустое подмножество М кольца R, которое не содержит
нуля кольца R и замкнуто относительно умножения, т. е.
если miG/W, m2?M, то т^т2^М. Наложим дополнительное тре-
требование, чтобы все элементы множества М были регулярны в R.
Таким образом, R содержит регулярные элементы и, следовательно,
имеет полное кольцо частных F. Так как М замкнуто относительно
умножения, множество всех частных aim, где a?R, m^M, является
подкольцом кольца F, содержащим R. Оно обозначается через RM
и называется кольцом частных кольца R относительно системы М.
Отметим следующие крайние случаи.
A) R содержит единицу и М есть множество всех обратимых
элементов кольца R. В этом случае RM = R.
B) М есть множество всех регулярных элементов кольца R.
Тогда RM = F.
Пусть 5 -- произвольное множество регулярных элементов
кольца R. Множество всех конечных произведений элементов из S
является мультипликативной системой М. Мы будем говорить, что
эта система М порождена множеством S; она является наимень-
наименьшей мультипликативной системой, содержащей 5. Доказательство
следующего утверждения непосредственно и может быть предостав-
предоставлено читателю: если Mt и М2 являются двумя мультипликативными
системами в R (обе состоят лишь из регулярных элементов) и если М
есть мультипликативная система в R, порожденная объединением
Mi\JM2, то RM будет наименьшим подкольцом кольца F, которое
содержит кольца RMx и Rm?-
Отметим, что М состоит из элементов Ми элементов М2 и про-
произведений т\т2 {тг ? Мг, i = 1, 2). Отметим также, что, вообще, наи-
наименьшее подкольцо кольца/7, которое содержит два данных подколь-
ца Ri и R2 кольца F, состоит из элементов колец Rit R2 и всех
конечных сумм J afii произведений элементов кольца Ri на эле-
элементы из RzfaiZRu bi?Rz).
Для данной мультипликативной системы М в R пусть М' будет
множеством всех элементов кольца R, обратимых в Rm- Ясно, что
М'— мультипликативная система, что каждый элемент множества
М' регулярен в R и что М является подмножеством множества М'.
Следовательно, RmCZRw- С другой стороны, если b' ZM' и a?R,
то alb'= a-l/b' (~Rm, так как Ъ' обратим в RM. Следовательно,
Rm-CZRm, и поэтому Rm = Rm'- Если Mi — любая мультипликатив-
мультипликативная система, для которой RM — Rmx, to элементы М\ обратимы в RM,
и поэтому MidM'. Таким образом, мы показали, что М' является
наибольшей мультипликативной системой в R, для которой
RR

62 Гл. I. Вводные понятия
Мультипликативная система М' может также быть охарактери-
охарактеризована следующим образом: М' есть множество элементов кольца R,
каждый из которых делит некоторый элемент из М: если Ъ'— любой
элемент множества /И', то Mb' ?Rm, т. е. Mb' —alb, где a?R, b?M,
и это показывает, что V— делитель Ь. Обратно, если элемент V
кольца R делит некоторый элемент b множества М, например
b = ab', a?R, то b' регулярен (в противном случае b был бы дели-
делителем нуля) и Mb'= alb? Rm; таким образом, Ь' обратим в R_\f
и, следовательно, Ь'?М'.
Заслуживает внимания следующий частный случай: R яв
ляется областью целостности и каждый необратимый элемент коль-
кольца R будет конечным произведением неразложимых элементов из R
(т. е. R удовлетворяет ОР1, § 14, стр. 34). Пусть S обозначает
множество всех неразложимых элементов кольца R, являющихся
делителями некоторых элементов из М. Для удобства последующих
рассмотрений будем считать ассоциированные элементы различ-
различными элементами множества 5. Пусть Мо— мультипликативная
система, порожденная S. Ясно, что Мо является подмножеством мно-
множества М'. Она может быть собственным подмножеством в М\
но так как каждый элемент множества М' ассоциирован с некото-
некоторым элементом из Мо, то Rm' = Rm0- Отметим, что S однозначно
определяется по М', так как S будет также множеством всех нераз-
неразложимых элементов кольца R, делящих некоторые элементы из М'.
Следовательно, S также однозначно определяется данным кольцом
частных Rm- С другой стороны, если дано произвольное множество S
неразложимых элементов кольца R, то 5 порождает мультиплика-
мультипликативную систему Мо и, таким образом, определяет кольцо частных
Rm0- Мы получаем, что существует взаимно однозначное соответст-
соответствие между кольцами частных кольца R (в F) относительно мульти-
мультипликативных систем в R и множествами неразложимых элементов
кольца R.
Укажем такое следствие: если R является областью с однознач-
однозначным разложением с полем частных F, то необходимым и достаточ-
достаточным условием для того, чтобы R и F были единственными кольцами
частных кольца R относительно мультипликативной системы в R,
будет то, чтобы любые два неразложимых элемента кольца R были
ассоциированы. Ибо если мы исключим тривиальный случай R = F,
то предположение о том, что множество всех колец частных Rm
кольца R содержит лишь два элемента (которые тогда необходимо
будут R и F), эквивалентно предположению о том, что множество
всех неразложимых элементов кольца R содержит лишь два раз-
различных подмножества (одно из которых будет пустым множеством;
это соотве1ствует случаю Rm = R)- Следовательно, существует
только один неразложимый элемент р в R (не считая ассоциирован-
ассоциированных с р элементов).

§ 20. Кольца частных относительно мультипликативных систем 63
Теорема 18. Если М — мультипликативная система в коль-
кольце R и М—мультипликативная система в кольце R = Rm, то R-^ —
кольцо частных кольца R относительно некоторой подходящей
мультипликативной системы в R {предполагается, что все рассма-
рассматриваемые мультипликативные системы содержат лишь регуляр-
регулярные элементы).
Доказательство. Мы можем предположить, что М яв-
является максимальной мультипликативной системой в R, относи-
относительно которой R имеет данное кольцо частных Rj{. Тогда М будет
содержать все обратимые элементы кольца R и поэтому MzjM.
Пусть Mi = M[~\R. Тогда УИ4 —мультипликативная система в R,
/7/Л
Mi IJM, и мы имеем RMl CZ Rjr С другой стороны, пусть а = —~г—
любой элемент кольца R-^, где а, а4 ? R, b, &i ?/И и aJbi?M. Мы
имеем ai = ai/bi-bl?Ai, так как ЬХ?М аМ и так как М является
мультипликативной системой. Следовательно, а&М^. Так как также
b^MdMi, отсюда следует, что a =abJaib?RM1- Это показывает,
что R
Пример 1. Пусть J — кольцо целых чисел и М — множе-
множество всех целых чисел, не делящихся на данное простое число р.
Тогда соответствующее кольцо частных, которые мы можем обо-
обозначить Jp, состоит из всех рациональных чисел вида а/b, где
а и Ь — целые числа и b^Q(p). Кольцо Jp имеет только один
неразложимый элемент (с точностью до ассоциированных), именно
число р. Следовательно, его единственным кольцом частных,
отличным от Jv, будет все поле рациональных чисел.
Согласно общим рассмотрениям, проведенным выше, каждое
кольцо частных кольца J может быть получено при помощи выбора
произвольного (конечного или бесконечного) множества 5 простых
чисел и рассмотрения всех рациональных чисел alb, для которых
все простые делители знаменателя b лежат в S. Кольцо R', получае-
получаемое таким образом, будет кольцом частных кольца </ относительно
мультипликативной системы, порожденной в / множеством 5. Легко
видеть, что простые числа, которые не принадлежат S,— единствен-
единственные неразложимые элементы кольца R' (не считая их ассоцииро-
ассоциированных в R'). Непосредственно проверяется, что R'—также об-
область с однозначным разложением.
Интересно отметить следующее: каждое промежуточное кольцо
между кольцом целых чисел J и полем рациональных чисел F будет
кольцом частных кольца J. В самом деле, пусть R' будет кольцом
между / и F, и пусть М обозначает множество всех целых чисел Ъ,

64 Гл. I. Вводные понятия
таких, что R' содержит какой-нибудь элемент вида alb, (a, b) = 1.
В силу того что (а, Ь) = 1, существуют целые числа % и |х, для
которых Яа + (х6= 1. Следовательно, если a/b?R', то также
Xjb^R', так как 1/6 = %а/Ь + р,. Из этого сразу вытекает, что М
будет мультипликативной системой в / и что R'= Jм, как и утверж-
утверждалось.
Ясно, что предшествующее доказательство справедливо для
любой евклидовой области R. Значит, мы имеем следующий резуль-
результат: любое промежуточное кольцо между евклидовой областью R
и полем частных области R будет кольцом частных кольца R отно-
относительно некоторой подходящей мультипликативной системы в R.
Пример 2. Пусть R = k [X] — кольцо полиномов от одной
неизвестной над полем k. Для любого элемента а ? k полиномы
/ (X), для которых / (а) Ф 0, образуют мультипликативную систе-
систему М и соответствующее кольцо частных Rm состоит из всех рацио-
рациональных функций g {X)lf (X), имеющих конечное значение при
х = а.
Как и в случае кольца целых чисел, каждое кольцо между
кольцом k [X] и его полем частных будет кольцом частных коль-
кольца k [X], так как k [X] является евклидовой областью.
Пример 3. R является кольцом полиномов k [Xi, X2, ...
..., Хп] от п неизвестных Xt над полем. Если G — произвольное
множество точек (ai, a2, ... , ап) в я-мерном пространстве над
k (a^k), то множество полиномов / (Хь Х2, ... , Хп), таких, что
/ (аь а2, ..-, ап) Ф 0 для всех точек {d)^G, будет мультипликатив-
мультипликативной системой М. Соответствующее кольцо частных RM состоит
из всех рациональных функций / {X), конечных в каждой точке
множества G.
§ 21. Векторные пространства.
Определение. Пусть F — поле. Множество V называется
векторным пространством над F, если
(а) V является коммутативной группой (групповая операция
записывается аддитивно) и
(б) каждой упорядоченной паре (a,x)(a?F,x?V) поставлен
в соответствие единственный элемент множества V, обозначаемый
через ах, такой, что для любых элементов a, b поля F и любых эле-
элементов х, у множества V выполняются следующие условия:
A)
B)
(ab)x = a(bx); C)
\-х = х. D)

§ 21. Векторные пространства 65
Элементы векторного пространства V называются иногда век-
векторами, поскольку хорошо известным примером векторного про-
пространства является трехмерное векторное пространство обычной
геометрии. Элемент ах называется иногда произведением а и х.
Как и в § 5, легко доказать, что аО = Ох — 0 (мы обозначаем
одним и тем же символом 0 нулевой элемент поля F и нулевой эле-
элемент группы V) и что (—\)х = —х. Отметим также, что соотношение
ах = 0 дает а = 0 или х = 0; действительно, если а Ф 0, то а
имеет обратный аГ1, откуда х = \х = (а'1а)х = а'1(ах) = 0.
Для данного векторного пространства V над полем F некоторое
подмножество W множества V называется подпространством, или
векторным подпространством в V, если из х, у ? W следует
х — y?W (W — подгруппа группы 10 и если из agf, x ? №
следует ах ? W. Подпространство W пространства V —• также век-
векторное пространство над F, если мы определим произведение эле-
элементов а ? F и х ? W как ах.
Ясно, что любое пересечение подпространств векторного про-
пространства V само будет подпространством. Таким образом, для
любого данного подмножества X пространства V существует наи-
наименьшее подпространство, содержащее X, именно пересечение всех
подпространств, содержащих X. Это подпространство называется
подпространством, порожденным X или натянутым на X, или
линейной оболочкой X. Мы будем обозначать его через s (X). Ясно,
п
что s(X) содержит все линейные комбинации 2аА. гДе {*i}~~
любая конечная совокупность элементов из X и {аг} — любая
конечная совокупность элементов из F. Обратно, мы непосред-
непосредственно видим, что эти линейные комбинации составляют подпро-
подпространство пространства V. Таким образом, s (X) будет множеством
всех линейных комбинаций элементов из X.
Мы докажем теперь пять свойств операции s, из которых могут
быть выведены все другие элементарные свойства векторного про-
пространства. Этот аксиоматический подход имеет то преимущество,
что он применяется также к изучению алгебраической зависимости
в теории полей (ср. гл. 11, § 12).
Теорема 19. Операция s является отображением множества
всех подмножеств пространства V в себя, которое имеет следующие
свойства:
E1) Если XdY, то s(X)ds(Y).
E2) Если х — элемент пространства V и X — некоторое под-
подмножество пространства V, для которого х ? s (X), то существует
конечное подмножество X' множества X, для которого х ? s (X').
E3) Для любого подмножества X пространства V мы имеем
X
Г) Чякяч ЛГ« К 1 '

66 Гл. I. Вводные понятия
(S4) Для любого подмножества X пространства V мы имеем
(X (X)
(()) )
(S5) Соотношения y?s(X, х) и y$s(X) дают x?s(X, у)
(«свойство замены»). [Здесь s(X, х) означает s(X \J {x}).]
Доказательство. Свойства (S1) и (S3) очевидны. Свой-
Свойство (S2) следует из того, что каждый элемент подпространства
s(X) является линейной комбинацией конечного числа элементов
из X. Так как линейной оболочкой подпространства W будет само
W, то выполняется (S4). Наконец, соотношение у0 6 s (X, х) озна-
означает, что существуют такие элементы at, Ьг поля F и xt из множества
X, что г/ = ах+2 bixi. Мы имеем афО, так как y$s(X).
г=1
п
Отсюда х = а~1у~ 2 cT1bixi, и поэтому x?s(X, у).
г=1
Далее мы будем рассматривать множество V с отображением s
множества всех его подмножеств в себя, которое удовлетворяет
условиям (SI), (S2), (S3), (S4), (S5). Подмножество X множества V
называется системой образующих для V, если s (X) = V. Подмно-
Подмножество X множества V называется свободным, если для каждого
х ? X, мы имеем х $ s {X — х), где X — х обозначает дополнение
множества {х} в X. Базис множества V есть подмножество X, кото-
которое одновременно свободно и является системой образующих. Отме-
Отметим, что если X — свободное множество, то каждое подмножество
в X будет свободно.
Случай векторных пространств. Система X
образующих векторного пространста V есть подмножество мно-
множества V, такое, что каждый элемент из V является линейной комби-
комбинацией элементов из X. Чтобы X было свободным подмножеством
пространства V, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
следующее условие:
п
A) Каждое соотношение 2 ^Л = 0 (at 6 F, хг ? X) означает, что
а-х = 0 для каждого i.
п
Действительно, если X свободно, то соотношение ~^\аг хг = ().
i=i
п
где, например, at ф 0 дает xt = — 2 «i «i^i. откуда xl 6 s {X — x,)
fc=2
вопреки предположению. Обратно, если A) выполняется, то соот-
соотношение х ? S (X — х) (х ? X) дает нетривиальное линейное соот-
соотношение между элементами множества X вопреки A).
Элементы свободного подмножества векторного пространства V
называются линейно независимыми; отметим, что они должны тогда

§21. Векторные пространства 67
быть все различны и все отличны от 0. Как частичное обращение
мы отметим, что если вектор х Ф 0, то подмножество {х} свободно
согласно A), так как ах = 0 (а ? F) дает а = 0.
Значит, базис X пространства V будет таким подмножеством
в V, что каждый элемент из V может быть выражен одним и только
одним способом в виде линейной комбинации элементов из X (утвер-
(утверждение об однозначности является прямым следствием предполо-
предположения о том, что X свободно).
Мы возвращаемся теперь к аксиоматической ситуации.
Теорема 20. Пусть X — подмножество в V. Следующие три
утверждения эквивалентны:
(а) X является минимальной системой образующих в V.
(б) X является максимальным свободным подмножеством в V.
(в) X является базисом в V.
Доказательство. Мы дадим циклическое доказатель-
доказательство. Докажем сначала, что из (а) следует (в). Мы должны пока-
показать, что X свободно. Предположим, что верно противоположное.
Тогда существует такой элемент х ? X, что х ? s(X — x). Т*ак как
мы имеем X — х CZ s (X — х) [в силу свойства (S3)], то отсюда сле-
следует, что X d s (X — х), и поэтому V = s (X) с s Is (X — x))
[в силу (SI)], что равно s(X— x) [в силу (S4)]. Таким образом
X —х — система образующих, вопреки предположению о том, что
никакое собственное подмножество в X не является системой обра-
образующих.
Докажем теперь, что из (в) следует (б). Мы знаем, что X сво-
свободно. Для каждого х ? V, х $ X, мы имеем х ? s(X), так как X
является системой образующих. Поэтому X [J {х} не может быть
свободно. Таким образом, никакое подмножество множества V,
строго содержащее X, не может быть свободно, что и доказывает (б).
Наконец, мы покажем, что из (б) следует (а). Покажем сначала,
что X будет системой образующих. Действительно, для каждого
х ? V, такого, что х $ X, подмножество X [] {х} не свободно,
откуда мы имеем либо х ? s (X), либо у 6 s (X — у, х) для некото-
некоторого у € X. Во втором случае предположение о том, что X свободно,
означает, что у (J s (X — у), откуда х ? s (X — у, у) — s{X) [в силу
(S5)]. Следовательно, в обоих случаях мы имеем х 6 s(X) для каж-
каждого х $ X, а также для каждого х$Х [в силу (S3)]. Поэтому
s(X) = V, и X является системой образующих. Если бы X было
неминимальной системой образующих, то существовал бы такой
х € X, что V = s (X — х), откуда х 6 s (X — х). Это противоречило бы
тому, что X свободно. Доказательство теоремы, таким образом,
закончено.
Замечание. В последней части доказательства мы показали,
что если X свободно и х ? s(X), то X (J {х} свободно.

68 Гл. I. Вводные понятия
Теор ема 21. Пусть L — свободное подмножество в V и S —
конечная система образующих множества V. Существует подмно-
подмножество S' множества S со следующими свойствами: L (J 5' является
базисом множества V и L [) S' пусто.
Доказательств р. Существуют такие подмножества S"
множества S, что L (J S" свободно и L f] 5" пусто (например, пус-
пустое множество). Таким образом, среди подмножеств S" множества S,
для которых L U S" свободно и L f| S" пусто, мы можем выбрать
максимальное 5' (например, с наибольшим возможным числом
элементов). Мы должны лишь показать, что V = s(L \J S'). В силу
(S4) это эквивалентно тому, что S С s (L [j S') или что для каждого
элемента х множества 5, такого, что х § S', x?s(L [j S'), мы
имеем х ? s(L (J S')- Это, однако, следует из того, что соотношение
х § s(L\JS') означало бы, что L\JS'\J{x} свободно, согласно
приведенному выше замечанию, а это противоречит максималь-
максимальности S'. Теорема доказана.
Следствие. Если V — допускает конечную систему S
образующих, то оно допускает базис В a S.
Действительно, в качестве L можно взять пустое множество.
Теорема 21 и ее следствие остаются справедливыми и в том слу-
случае, когда S не является конечным множеством. Именно, если S —
любая система образующих множества V, то для доказательства
существования максимального подмножества S' множества 5,
такого, что L\JS' свободно и Lf]S' пусто, используется лемма
Цорна. Мы обсудим общий случай в § 12 гл. II в связи с бесконеч-
бесконечными трансцендентными расширениями полей.
Теорема 22. Если V допускает конечный базис В из п эле-
элементов, то каждый базис В' множества V содержит точно п эле-
элементов.
Доказательство. Пусть т — число общих элементов
В и В'. Если т = п, т. е. В а В', то В = В', по теореме 20
(б), и теорема доказана. Предположим теперь, что т < п, и приме-
применим индукцию от т-\-1 к т. Пусть В {xit x2, . . ., хп}. Мы можем
предположить, что хи х2, . .., хп являются общими элементами мно-
множеств В и В'. Множество В — xm+i не может быть множеством
образующих для V, в силу теоремы 20 (а). Значит s (В —
— хт+\) ф V, в то время как s (В') = V. Это означает, что
В' (t s {B — xm+i), так как s{s(B —- xm+i)) = s{B — xm+i). Пусть
в таком случае у — элемент В', который не принадлежит
s(B —xm+i). В силу сделанного выше замечания множество Bi =
= (В — xm+l)U {у} свободно. Из y$s(B — xm+i) и у 6 s((В — хт+1),
) (=s(B) = V) следует по «свойству замены» (S5), что хт+1 ?

§ 21. Векторные пространства 69
6s(Bi). Следовательно, Bczs(Bi), V = s(fi) CZ s(Bt); это пока-
показывает, что Bt является системой образующих множества V. Таким
образом, Bi будет базой множества V. J3i тоже имеет п элементов,
но Bi и В' имеют общие т-\~ 1 элементов х^хг, . . ., хт, у. Следова-
Следовательно, в силу предположения индукции, В' имеет точно п эле-
элементов.
Случай векторных пространств. Пусть V —
векторное пространство над полем F. Если V допускает конечную
систему образующих, то V допускает и конечный базис, причем
любые два базиса пространства V имеют одно и то же число эле-
элементов. Это число называется размерностью пространства V над F
и обозначается через IV : F], или dim (У). Про векторное простран-
пространство, допускающее конечный базис, говорят, что оно конечномерно.
Если векторное пространство V не допускает никакого конечного
базиса, то мы говорим, что V бесконечномерно, и в этом случае по-
полагаем [ V : F ] = со.
Закончим этот параграф приведением некоторых полезных ре-
результатов относительно конечномерных векторных пространств.
Для двух данных векторных пространств V, W над одним и тем же
полем F мы говорим, что отображение Т пространства V в W
является гомоморфизмом (или линейным отображением), если
(х + у)Т = хТ + уТ для каждых х и у в V и (ах)Т = а(хТ) для
каждого х 6 V и каждого а ? F. Значит, Т будет, в частности,
гомоморфизмом аддитивной группы пространства V в аддитивную
группу пространства W (§ 11). Легко видеть, как и в теореме 1
из § 11, что ядро гомоморфизма Т будет векторным подпростран-
подпространством пространства V и что образ VT пространства V будет подпро-
подпространством пространства W. Гомоморфизм пространства V в W,
который унивалентен [т. е. ядро которого равно @)], называется
изоморфизмом пространства V в W. Гомоморфизм пространства V
в себя называется эндоморфизмом; эндоморфизм пространства V,
который унивалентен и является отображением на, называется
автоморфизмом пространства V.
Теорема 23. Пусть V — конечномерное векторное простран-
пространство над полем F и Т — гомоморфизм пространства V в некоторое
векторное пространство W. Тогда ядро К гомоморфизма Т и образ
VT пространства V будут конечномерными векторными простран-
пространствами, и мы имеем
Доказательство. Тот факт, что К конечномерно, выте-
вытекает из следующей леммы.

70 Гл. I. Вводные понятия
Лемма. Пусть V — конечномерное векторное пространство
и V' — некоторое подпространство пространства V. Тогда V"
конечномерно. Для любого базиса {xi, ..., хр) = В пространства V
существует базис (хг, ..., хр, хр+1, .. ., xq) пространства V, со-
содержащий В. (Отсюда следует, что если V будет собственным под-
подпространством в V, то dim V < dimV.)
Если бы V" было не конечномерным, то никакое конечное сво-
свободное подмножество в V не могло бы быть максимальным [тео-
[теорема 20 (б)]; мы могли бы тогда по индукции построить строго
возрастающую бесконечную последовательность Xt < Х2 < Х3 < . . .
свободных конечных подмножеств в V. Их объединение X было бы
очевидным образом свободно как в V, так и в У. Тогда теорема 21
обеспечивала бы существование базиса пространства V, содержа-
содержащего бесконечное множество X в противоречии с теоремой 22.
Таким образом, V конечномерно. Значит, базис В пространства V
будет свободным подмножеством в У и теорема 21 показывает, что
он может быть-включен в базис пространства V. Это доказывает
лемму.
Пусть в таком случае {хь .. ., хр} будет базисом пространства К\
расширим его до базиса {х1У ..., хр, хр+1, . .., xq] пространства V.
Мы утверждаем, что {хр+1Г, ...,xqT} является базисом в VT.
Действительно, каждый элемент образа VT может быть записан
в виде
i=l i=l J=P+1
так как хгТ = 0 при i= I, . . ., р. Таким образом, {хр+1Т, .. ., xqT}
будет системой образующих в VT. С другой стороны, эта система
свободна в VT, так как соотношение 2j aj (xjT) = 0 означает,
i=P+i
q Я V
ЧТО 2 CLjXj 6 К, Т. е. 2 aixj = 2 aiXi ДЛЯ ПОДХОДЯЩИХ
;=р+1 j=p+l t=l
элементов ai поля F. Линейная независимость векторов хх, х3
означает, что а-= 0 при / = р+1, ..., <?. Это доказывает, что
[VT : F) = q — р. Так как [V : F1 = q и [/С : F1 = р, то теоре-
теорема 23 доказана.
Следствие. Пусть V — конечномерное векторное простран-
пространство. Для того чтобы некоторый эндоморфизм Т пространства V
был унивалентным, необходимо и достаточно, чтобы он был отобра-
отображением на.
Действительно, утверждение о том, что Т унивалентно, означает,
что его ядро К равно @), т. е. что \К : F] = 0. Утверждение о том,
что Т является отображением на, означает, что VT = V, т. е. что
[VT : F] = [V:F], согласно лемме.

Глава II
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
§ 1. Расширения полей. Пусть k и К — два поля, такие, что
k — подполе К. Мы скажем тогда, что К есть расширение k. Если
хи х2, ¦ ¦., хп — фиксированные элементы К, то К содержит кольцо
k[xit х2, ..., хп] (наименьшее подкольцо К, которое содержит k
и элементы xit х2, ¦ -., хп\ см. гл. I, § 18, стр. 51). Это кольцо есть
область целостности (так как К — поле).
Если / (Хь Х2, . . ., Хп) и g (Xi, X2, ..., Хп) — два полинома
в k[Xu Х2, ¦ ¦ ., Хп] и если g (xit x2, . . ., хп) Ф 0 (а в силу этого
ng(XbX2, .. .,Хп) фО), то отношение f{xu х2> .,., xn)!g{xu x2, ...
. . ., хп) принадлежит К (так как К — поле) и множество всех та-
таких отношений образует поле. Действительно, это наименьшее под-
подполе поля К, которое содержит k и элементы xit x2, ...,хп. Это
поле, являющееся просто полем частных области целостности k lxit
х2, ...,хп] (гл. I, § 19), мы обозначим через k(xu x2, ...,хп).
Будем говорить, что поле порождено над k элементами хи х2, ...
. . ., хп или что поле получается присоединением к k элементов
Xi, Х2, . . ч Хп.
Расширение К поля k конечно порождено над k, если К =
= k(xi, хг, ..., хп), гдехг — некоторые элементы поля К. Мы гово-
говорим, что К — простое расширение k, если К может быть получено
из k присоединением единственного элемента х.
Если К и К' — два расширения k, то, согласно терминологии,
введенной в гл. I, § 12, поля К а К' А-изоморфны, или изоморфны
над k, или являются изоморфными расширениями k, если существует
&-изоморфизм о поля К на К'.
§ 2. Алгебраические величины. Пусть поле К есть расширение
k и х — элемент К, алгебраический над k (гл. I, § 17, стр. 41).
Пусть /(X) — полином в k[X\ наименьшей степени, такой, что
fix) = 0.
Теорема 1. Полином /(X) неразложим над k {т. е. /(X) —
неразложимый элемент k\X\; см. гл. I, § 14). Если g{X) есть неко-

72 Гл. //. Элементы теории полей
торый другой полином, такой, что g(x) = 0, то /(X) делит g(X)
(в klX]).
Доказательство. Предположим, что / (X) = Д (Х)/2 (X),
Д (X) G k [X]. Тогда /i (х)/2 (х) = 0, и так как К — поле (и, следо-
следовательно, не имеет собственных делителей нуля), то или Д(х) = О,
или Д (х) = 0. Пусть, скажем, Д (х) = 0. Так как дД<<Э/ и так
как / (X) есть полином наименьшей степени, такой, что / (х) = 0,
то должно иметь место равенство <ЭД = df. Следовательно, /2 —
полином степени 0, т. е. Д — делитель единицы в klX]. Это пока-
показывает, что /(X) неразложим.
Пусть g(X) — полином в k[X], такой, что g(x) = 0. Так как
klX]—евклидова область (гл. I, § 17, теорема 9), то, деля на
/(X) с остатком, получим g(X) = q{X)f(X) + r(X), где либо
г(Х) = 0, либо дг < df. Подставляя х вместо X, имеем g(x) = г(х)
и, значит, г(х) = 0. Поэтому дг не может быть меньше df и остается
г(Х) = 0, т. е. /(X) делит g{X). Это завершает доказательство.
Отсюда немедленно получаем такое
Следствие. Существует один и, с точностью до множителя
с ф 0, с ? k нулевой степени, только один неразложимый полином
f(X) в &[Х], такой, что f(x) = 0. Приведенный полином с таким
свойством существует только один.
Приведенный неразложимый полином в k[X], корнем которого
является х, будем называть минимальным полиномом для х в k\X]
или над k.
Теорема 2. Если х алгебраичен над k, то поле k(x) совпадает
с кольцом klx]. Кроме того, если минимальный полином для х
над k есть полином степени п, то любой элемент из k(x) однозначно
представим в виде CgX™ + CiXn~2 + .. . +cn_t, ct ? k.
Доказательство. Пусть /(X) — минимальный полином
для х над k, и пусть h(x)/g(x) — некоторый элемент из k(x). Так как
g(x) Ф 0, то/(Х) не делит ^(Х) и, следовательно, /(X) и^(Х) взаимно
просты (так как /(X) неразложим по теореме 1). Следовательно, 1
есть наибольший общий делитель /(X) и g(X), и мы имеем равенство
вида 1 = Л(Х)ДХ) + B(X)g{X), где А(Х) и В(Х) принадлежат
k[X]. Подставляя х вместо X, имеем 1 = B(x)g(x), т. е. g(x) —
делитель единицы в klx]. Отсюда следует, что h{x)lg(x) ? k[x].
Это доказывает первую часть теоремы.
Пусть теперь у = g(x) — некоторый элемент из k(x), g{X) ?
g k[X]. Используя алгоритм деления в k[X], мы найдем, как
и в доказательстве теоремы 1, что у~г(х) = с^1'1 + cixn~'i + . . .
• - • +сп_1, гдеп обозначает степень полинома / и ci принадлежат k.
Если Г((Х) —некоторый другой полином в k[X) степени < га— 1,

§ 2. Алгебраические величины 73
такой, что у = ri(x), то х является корнем полинома г(Х) —
и так как это полином степени < п, то он должен быть нулевым поли-
полиномом. Этим заканчивается доказательство.
Следствие. Если х алгебраичен над k, то поле k(x), рас-
рассматриваемое как векторное пространство над k, есть пространство
размерности п {см. гл. I, § 21), где п — степень минимального поли-
полинома для хнад k. Элементы 1, х, х2, . ...х™ составляют базис
k(x) над k.
Теорема 3. Пусть К и К' — два расширения поля k,
и пусть х и х' — элементы К и К' соответственно, которые алге-
браичны над k. Если х и х имеют один и тот же минимальный поли-
полином f(X) в klX], то существует k-изоморфизм k(x) на k(x'), перево-
переводящий х в х . Обратное тоже справедливо.
Доказательство. Предположим, что х и х — корни
одного и того же неразложимого полинома f(X) в klX]. По тео-
теореме 2 мы получим взаимно однозначное отображение k(x) на k(x'),
если поставим в соответствие каждому элементу с^'1 + с±хп~2 + . . ¦
¦ • • + сп_1из k (х) элемент cox"l~1-\rcix'n~1-l- ... +сп_1 из k{x). Обо-
Обозначим это отображение через а. Ясно, что а переводит каждый
элемент поля k в себя и что ха — х . Итак, остается показать, что
а — изоморфизм. Очевидно, что (? + r\)a = Ест + г]ст для любых
| и ц из поля k (х). Докажем теперь, что (|т|)ст = Ест -т]ст, и, тем самым,
получим доказательство основной части теоремы. Пусть \ = г (х),
т| = s(x) и lr\ = t(x), гдег(Х), s(X) и t (X) — полиномы в k[X\
степени <п— 1. Тогда имеем: |а = r(x'), r\o = s(x') и (|т])а =
= t{x').
Так как х есть корень полинома r(X)s(X) — t(X), должно
иметь место равенство r(X)s(X) — t{X) = A (X)f(X), где А (X) б
б k [X] (теорема 1). А так как f(x) = 0, то r(x')s(x') = t(x'), т. е.
Ьу-Щ — (ETl)cr5 что и утверждалось.
Обратно, если существует й-изоморфизм а поля k(x) на поле
k{x), такой, что хо = х', и если f(X) есть минимальный полином
элемента х над k, то имеем /(х)ст = 0, и так как /(л;)ст =/(х'), то,
следовательно, f{x') = 0. Рассмотрение ст показывает сразу,
не только что f{x) — 0, но и что f(X)—также минимальный поли-
полином элемента х над полем k.
Другое доказательство основной части теоремы таково:
Положим F(х) а — F (х') для любого F (X) из k[X]. Тогда ст есть
отображение (вообще говоря, не обязательно однозначное) k\x]
на k\x'\, которое удовлетворяет условиям гомоморфизма для сло-
сложения и умножения. Если F(х) = 0, то f(X) делит F(X) в k 1Х]У
а так как f(x') = 0, отсюда вытекает, что F {х) — 0, т. е. F {х)о = 0.
По лемме 2 гл. I, § 11, из этого следует, что ст — гомоморфизм.

74 Гл. II. Элементы теории полей
Те же рассуждения показывают, что о i — однозначное отобра-
отображение. Следовательно, о есть изоморфизм.
Определение. Два элемента х и у одного и того же расши-
расширения К поля k сопряжены над полем k, если они алгебраичны над по-
полем k и имеют над ним один и тот же минимальный полином.
Следствие. Если минимальный полином для х над полем k
имеет степень п, то число сопряженных с х над k элементов
в К не превосходит п. Кроме того, если х и у сопряжены, то поля
k(x) и k (tj) — изоморфные расширения поля k.
Первая часть следствия вытекает из того факта, что полином
/(X) в К [X] степени п не может иметь больше, чем п корней в К
(см., например, гл. I, § 17, теорема 9, следствие 2). Вторая часть
следствия вытекает из теоремы 3.
Теорема 3 показывает, что если k — поле и f(X) — неразложи-
неразложимый полином в k[X], то существует с точностью до й-изоморфизма
не более чем одно простое расширение k(x) поля k, такое, что х
есть корень f{X). Мы докажем теперь следующую теорему:
Теорема 3'. Если f(X) —неразложимый полином в k[X],
не являющийся константой, то существует простое расширение
k(x) поля k, такое, что х — корень f(X).
Доказательство. Достаточно доказать теорему для
приведенного полинома f{X). Пусть п> 1 — степень f(X). По тео-
теореме 2, если существует расширение k(x), такое, что х есть корень
f(X), то все элементы k(x) выражаются в виде c0x11'1-lrc1xn~2jr . . .
¦ - ¦ +си-1' ci 6 k. Это наталкивает на следующий путь доказа-
доказательства теоремы.
Рассмотрим подмножество А кольца klX], состоящее из нуля
и всех полиномов в k[X], степень которых меньше или равна
п — 1. Это подмножество есть подгруппа аддитивной группы
klX]. Она, однако, незамкнута относительно умножения в k[X].
Мы превратим аддитивную группу А в поле введением в Д нового
умножения, которое будем обозначать символом о, и покажем, что
полученное таким образом поле есть поле, существование которого
утверждается теоремой.
Пусть g{X), h(X)?A- Чтобы определить новое произведение
g(X)oh{X), мы умножаемg(X) на/г(Х) в k [X] и затем делим поли-
полином на / {X), получая в качестве остатка полином г {X), который будет
либо нулем, либо полиномом степени < п — 1:
g(X)h{X) = q(X)f(X) + r(X). A)
Полином г (X) принадлежит Д и однозначно определяется полино-
полиномами g(X) и h (X) (/ (X) фиксирован).

§ 2. Алгебраические величины 75
Мы положим
g{X)oh{X) = r{X). B)
Очевидно, что это умножение в Д ассоциативно, коммутативно
и дистрибутивно. Например, чтобы доказать ассоциативность
покажем, что любое из написанных произведений равно остатку
г' (X), полученному при делении g (X) h (X) I (X) на / (X). Покажем,
например, что
[g(X)oh(X)]ot(X) =
Из формулы A) видно, что g(X) h(X)—г (X) делится на/(Х). Следо-
Следовательно, g (X) h(X)l(X)—r(X) 1{X) также делится на/(Х). Так как и
g{X)h(X) I (X) —г'(Х) также делится на /(X) то и г (X) / (X) — г'(Х)
делится на / (X). Так как г'(Х) 6 Д [X ], то г' (X) — остаток от деле-
деления г{ХI (X) на /(X), и, значит, в соответствии с нашим опреде
лением умножения о, получаем г (X) о I (X) = г' (X), т. е.
[g(X)oh(X))ol(X) =
Таким образом, Д определено теперь как коммутативное кольцо.
Единица в k [X ] есть также единица в Д. Докажем теперь, что Д —
поле. Пусть g (X)—некоторый элемент Д, отличный от нуля. Так
как g(X) — полином степени, меньшей п, и /(X) неразложим, то
полиномы g(X) и /(X) взаимно просты. Следовательно, существует
полиномы h(X) и А(Х), такие, что h(X)g(X) + А (Х)/(Х)= 1.
В этом равенстве можно предполагать, что h (X) имеет степень
^п—1, так как можно написать h(X) = В (Х)/(Х) + /ii(X), где
/}fti<n — 1, и тогда мы получим hi {X)g(X) + Ai(X)f{X) = 1, где
Ai (X) = А (X) + В (X)g(X). Следовательно, h (X) принадлежит Д.
Если рассмотреть два полиномаg(X) и h(X), мы найдем, что A) вы-
выполняется при q(X)=—А (X) и г(Х) = 1 и, значит, Д—поле.
Если g (X) и h (X) — элементы Д, такие, что (старое) произведение
g (X) h (X) есть полином F (X) степени < п, то из нашего определения
умножения вД вытекает, что g(X)oh(X) = F(X). Следовательно,
если сб?ит<п — любое целое, то элемент сХт есть в дей-
действительности произведение соХоХо .. . оХ элемента с на т раз
повторенный множитель X. Так как сложение в Д такое же, как
в k [X], мы заключаем, что X порождает поле Д над k.
Сейчас нам будет удобно обозначать элемент X 6 k IX], когда
он рассматривается как элемент поля Д, какой-либо другой буквой,
например х. Тогда мы можем избавиться от символа о, используе-
используемого для обозначения умножения в полеД, не внося тем самым дву-
двусмысленности в наши обозначения. Мы будем писать, следовательно,
g (x) k (х) вместо g (X) о h (X). Наше последнее утверждение — тот

76 Гл. П. Элементы теории полей
факт, что X порождает поле Д над k,— может быть теперь выражено
следующим образом: Д = k (х).
Пусть теперь f (X) = Хп + f± (X), где fx (X) имеет степень < п — 1.
Поскольку Хп-1 .X=f(X)—fi {X), то хп = л:" .x = —fi(x) по
определению B). Следовательно, xn-\-fi (х) = О, т. е. f(x) = O. Это
завершает доказательство теоремы.
Следствие. Если k — поле и f (X) = а0Хп + а^Х™'1 + . . .
... +ап, а0 фО, — произвольный полином в поле k [X], не являю-
являющийся константой, то существует расширение К поля k, такое,
что f (X) полностью разлагается на линейные множители в KiX]:
f(X) = ao(X-x1)(X-x2)...(X-xn),xi^K. C)
Для /г=1 нечего доказывать. Мы используем индукцию по п.
Фиксируем неразложимый множитель ср (X) полинома f(X) и рас-
рассмотрим некоторое простое расширение ki = k (Xi) поля k, такое,
что ф (х^ = 0. Тогда f (xi) = 0 и, следовательно, / (X) делится
на X— xi в kilXh f{X) = {X — xJhiX), Л(Х)б kt[X]. Так как
полином /i (X) имеет степень п — 1, по индуктивному предположе-
предположению существует расширение К поля kit такое, что f±(X) =ao(X —
— х2) (X — лг3) • • • (X — хп), хг g К- Отсюда следует C).
§ 3. Алгебраические расширения.
Определение 1. Пусть К ZD k. Поле К называется
алгебраическим расширением поля k, если каждый элемент поля К
алгебраичен над k. Неалгебраические расширения называются транс-
трансцендентными.
Простейший пример алгебраического расширения есть поле k(x),
где х алгебраичен над полем k. Из последующей теоремы и из того
факта, что поле k(x) есть конечномерное векторное пространство
над k (§ 2, теорема 2, следствие), будет следовать, что не только х,
но и каждый элемент этого поля алгебраичен над k.
Теорема 4. Если К ID k и если размерность К (рассматри-
(рассматриваемого как векторное пространство над k) конечна, скажем п,
то К — алгебраическое расширение k и каждый элемент х ? К
удовлетворяет уравнению степени < п над k (следовательно, мини-
минимальный полином для х в k [X ] имеет степень < п; см. §2, теорема 1).
Доказательство. 1, х, хг,. . ., хп линейно зависимы над k.
Определение 2. Размерность п поля К над k называется
степенью поля К над k и обозначается символом IK'- k]. Положим
[К : k] — со, если К, рассматриваемое как векторное пространство
над k, бесконечномерно. Если \К '¦ k] конечно, говорят, что К —
конечное расширение k или что Klk — конечное расширение.

§ 3. Алгебраические расширения 77
Следствие. Если К — расширение k и х ? К, то х алгеб-
раичен над k тогда и только тогда, когда /г(х)есть конечное расши-
расширение k. В этом случае, если п = lk(x) : k\, то минимальный поли-
полином для х в k[X) имеет степень п.
Это немедленно следует из предыдущей теоремы и из теоремы 2 §2.
Пусть k, К и L — такие поля, что k CZ К CZ L, и пусть [К : k) =
= п, Ц:Ю = т.
Теорема А. Если со ь со 2, ¦ • • ,соп есть базис Klk и |4, ?2, • • •
..., Ъ,т — баЗис ЫК, то тп произведений
со^., i=l, 2, ...,п; /=1,2, ...,т, A)
составляют базис Llk.
Доказательство. Если ? — некоторый элемент из L,
то ?=S Ajlj, А,?К. Далее, имеем А,= % а1}(аи ai}?k. Следо-
3=1 г=1
п т
вательно, ^=2 S а1№Л]- Тем самым показано, что L, рассма-
триваемое как векторное пространство над k, порождается тп век-
векторами со ilr Остается показать, что эти тп векторов линейно
независимы над k.
п т п
Пусть 2 S cijft)i5; = 0, с^?1г. Положим С; = 2 ciiwi- Тогда-
i=l j=i г=1
2 СД;- = 0, Cj б /С, и так как ^ составляют базис L над К, то, сле-
п
довательно, С; = 0, / = 1, 2, . . . ,т. Из того, что 2 с1;)со4 = О,
г=1
и из линейной независимости coj над k заключаем, что все су-
сунули. Это завершает доказательство.
Непосредственным следствием предыдущей теоремы является
соотношение
[L:k] = [L:K]-[K:k]. B)
Теорема Б. Если xit x2, ¦ ¦ ¦ ,хп принадлежат расширению
К поля k и алгебраичны над k, то k{xux2, . ¦ ¦ ,хп) — алгебраическое
расширение конечной степени поля k.
Доказательство. ' Каждый xit будучи алгебраичным
над k, тем самым алгебраичен над k (xit x2,. ¦ ¦ ,хг^. Следовательно,
k (xi, x2, ••-, х{) есть простое алгебраическое расширение поля
k {xi7 x2, . . ., хг_г) и поэтому [k (хи х2, . . ., хг): k (хи хъ . . . ,хг_^] =
— тг — конечное целое число > 1 (по следствию теоремы 4). Тогда
из B) следует, что [k(xi, хг, . . ., хп): k] = ml-m2 . . . тп, и приме-
применима теорема 4.

Гл. II. Элементы теории полей
Следствие. Если К — расширение поля k, то элементы
поля К, алгебраичные над k, образуют поле.
Теорема В. Если К — алгебраическое расширение поля k
и L — алгебраическое расширение К, то L — алгебраическое рас-
расширение поля k.
Доказательство. Предположим сначала, что степень
УК : k] конечна. Пусть х—¦ некоторый элемент поля L. Так как
х алгебраичен над К, поле К (х) имеет конечную степень над К.
Следовательно, в силу B), К (х) имеет также конечную степень над k
и тем самым k (х) имеет конечную степень над k. Значит, х алгебраи-
алгебраичен над k. В общем случае пусть Хп-\- AiXa~1J\- . .. -\- Ап — неко-
некоторый полином в К [X], который имеет своим корнем х (например,
минимальный полином длялгнад К), и пусть К' = k(Ait А2, ..., Ап).
Тогда х алгебраичен над К', и так как К' конечно порождаемо
над k, относительная степень IK' : k] конечна по теореме Б. Утвер-
Утверждение, что х алгебраичен над k, следует теперь из предыдущего
случая.
Следствие. Пусть К — расширение поля k, и пусть k0 —
подполе поля К, состоящее из элементов К, алгебраичных над k
(см. следствие теоремы Б). Тогда каждый элемент К, алгебраичный
над k0, принадлежит k0.
Мы выразим это свойство поля kQ> сказав, что k алгебраически
замкнуто в поле К- Мы будем называть k0 алгебраическим замыка-
замыканием поля k в К.
§ 4. Характеристика поля. Пусть k — поле, и пусть е — еди-
единица поля k. Целые кратные пе элемента е (п Щ 0) составляют под-
кольцо Е поля k (ввиду соотношений (п ± т)е = пе^: те, (пт)е~
= пе-те; гл. I, § 4), а именно наименьшее подкольцо поля k,
содержащее е.
Пусть А ¦— поле частных для Е в k (гл. I, § 19). Любое подполе
поля k содержит кольцо Е и, следовательно, должно также содер-
содержать поле А. Значит, А есть наименьшее подполе поля k, а именно
пересечение всех подполей поля k.
Определение 1. Поле, не содержащее ни одного собствен-
собственного подполя, называется простым полем.
Из этого определения следует, что подполе А поля k — простое
поле. Так как каждое подполе поля k содержит А, то А есть един-
единственное простое подполе в k. Таким образом, каждое поле k содер-
содержит единственное простое поле.
Рассмотрим отображение
п- -пе A)

§ 4. Характеристика поля 79'
кольца J целых чисел на Е. Это отображение есть гомоморфизм
(ввиду приведенных выше соотношений). Возможны два случая:
(а) отображение A) — изоморфизм или (б) — это собственный
гомоморфизм.
Если A) — изоморфизм, мы говорим, что k имеет нулевую харак-
характеристику. В этом случае имеем пефО при п Ф О, и кольцо Е
есть бесконечное кольцо, изоморфное кольцу J целых чисел. Поле
частных А кольца Е изоморфно тогда полю рациональных
чисел, изоморфизм между ними задается выражением—е *—»-"-,
т Ф О (см. гл. I, § 19, теорема 16). Ясно, что если поле k имеет
нулевую характеристику, то каждое подполе поля k тоже имеет
нулевую характеристику, и что если хотя бы одно подполе поля k
имеет нулевую характеристику, то само поле тоже имеет нулевую
характеристику.
Подчеркнем еще раз, что (как только что было показано) простое
поле характеристики нуль изоморфно полю рациональных чисел.
Рассмотрим теперь случай, когда гомоморфное отображение A)
не является изоморфизмом. В этом случае ядро N отображения A),
т. е. множество всех п, таких, что пе = 0, содержит по крайней
мере одно целое число п, отличное от 0 (гл. I, §11, теорема 2).
Так как если пе = 0, то и—пе=0, ядро содержит некоторые
положительные целые числа. Пусть р — наименьшее положитель-
положительное число ядра N. Тогда имеем
ре = 0 B)
и
re Ф 0, 0 < г < р. C)
Так как N — подкольцо / (гл. I, § 12, теорема 3 с), то N содержит
также все кратные тр числа р. С другой стороны, для любого про-
произвольного целого числа п мы можем написать п = qp + г, где
0< г < р, и найдем отсюда,что пе = qpe + re = re, так как qpe — 0.
Поэтому имеем
пе = ге, 0<г<р D)
и, следовательно, ввиду C), пе фО, если п не делится на р (ибо
в этом случае 0 < г).
Ядро N гомоморфизма A) состоит, следовательно, из всех крат-
кратных числа р.
Так как 1-е = е Ф 0, то р больше 1. Мы утверждаем, что р
простое число. Действительно, если р = п^п2, то 0 = (nin2)e
= (nie)(n2e) и, следовательно, либо п^е = 0, либо п2е = 0 (так как
k — поле и не имеет собственных делителей нуля), т. е. либо п{,
либо п2 равно р. Простое число р называется характеристикой
поля k. Каждое поле k имеет, следовательно, вполне определенную

80 Гл. П. Элементы теории полей
характеристику р, которая либо равна нулю, либо есть простое
число (р > 1).
Рассмотрим- теперь случай р Ф 0. Соотношение D) показывает,
что кольцо Е конечно и состоит из элементов
0, е,2е, ..., (р-1)е.
Эти р элементов различны ввиду C).
Кольцо Е является полем. Действительно, пусть пе — некоторый
ненулевой элемент из Е. Так как п не делится на р, то п и р взаимно
просты и, значит, существуют целые ти q, такие, что тп — pq = 1.
Тогда имеем (те) (пе) = (тп) е — (qp) е -\- е = е, так что те — об-
обратный элемент для элемента пе. Тем самым доказано, что Е — поле.
(Заметим, что подобные рассуждения применялись в доказательстве
теоремы 2 § 2.)
Пусть k' — некоторое поле той же характеристики р фО, что
и поле k, и Е' — множество целых кратных пе единицы е поля k'.
Очевидно, что пе -* пе' есть изоморфное отображение Е на Е'. Мы
видим, таким образом, что из существования некоторого поля дан-
данной характеристики р Ф 0 следует существование простого поля
характеристики р, и любые два простых поля одной и той же харак-
характеристики изоморфны. Используя кольцо J целых чисел, мы можем
строить теперь поля любой характеристики р Ф 0. Построение
совершенно аналогично построению простых алгебраических рас-
расширений поля, приведенному в доказательстве теоремы 3' § 2.
Роль неразложимого полинома / (X) играет теперь простое число р.
Обозначим символом Jp множество целых чисел 0, 1, 2, . . ., р— 1.
Если т и п — элементы Jp, мы определим для них сложение @
и умножение о в Jp следующим образом: т@п есть остаток от деле-
деления /л + лнаритоп — остаток от деления тп на п. Используя
ту же аргументацию, что и в доказательстве теоремы 3' § 2, пока-
показываем, что Jp — поле. Так как каждый элемент Jp, очевидно,
¦есть целое кратное 1 (т. е. /я = 1 + 1 + ... + 1, m раз для всех т,
таких, что 1<т<р— 1), то Jp— простое поле. Так как Jp
содержит р элементов, то р есть характеристика поля Jp.
Следующие равенства верны в любом поле k характеристики р:
ра = 0, E)
(b±'cY = bv±cv, F)
где a, b и с — элементы поля k. Первое из этих соотношений сле-
следует из равенств ра == р (еа) = (ре) а. Второе получается из того
¦очевидного факта, что, так как р — простое число, все биномиаль-
биномиальные коэффициенты (а ± b)v, кроме первого и последнего, делятся
на р. Применяя E), получаем F ± с)р = Ьр + (± 1)рср. Если
р Ф 2, то р нечетное и выполняется F). Если р = 2, имеем (Ь — сJ =
= Ь2 + с2, но в то же время с2 = — с2, так как 2с2 = 0.

§ 5. Сепарабельные и несепарабельные алгебраические расширения 81
Равенство F) приводит к важным следствиям. Пусть k — поле
характеристики р, отличной от нуля. Обозначим символом kp
множество всех элементов поля k, имеющих видар, а ? k. В силу F),
множество k1' замкнуто относительно сложения и вычитания. Так
как для любых Ъ и с в поле k имеем Ьрср = (Ьс)р и, если с Ф О,
bvlcv = (b/c)p, то kp замкнуто также относительно умножения
и деления. Следовательно, kv есть подполе поля k. Рассмотрим
отображение
x-+xv, x?k. G)
Очевидно, имеем xy->xvyv. Это вместе с F) показывает, что отобра-
отображение G) — гомоморфизм. Так как равенство xv = О влечет х = О,
то отображение G) есть изоморфизм поля k на подполе kv.
Определение 2. Поле k называется совершенным, если
оно либо характеристики 0, либо характеристики р Ф 0 и совпа-
совпадает со своим подполем kv.
Поле k характеристики р Ф 0 совершенно тогда и только тогда,
когда для каждого элемента х поля k существует элемент у (Е k, та-
такой, что х= ур. Этот элемент у однозначно определяется элементом х,
так как отображение G) взаимно однозначно. Элемент у обозна-
обозначается \fx.
Если k — поле характеристики р Ф 0 и несовершенно, то в k
существуют элементы, которые не являются р-ми степенями эле-
элементов из k. Если х — такой элемент, условимся обозначать это его
свойство так: V)fx$k.
Примером совершенного поля характеристики р является про-
простое поле Jp. Мы докажем более общий результат.
Определение 3. Полем Галуа называется поле, содержа-
содержащее конечное число элементов.
Очевидно, что характеристика поля Галуа отлична от нуля, так
как любое поле характеристики нуль содержит (бесконечное) поле
рациональных чисел.
Предположим, что k — поле Галуа характеристики р. Так как
отображение G) — изоморфизм поля k на подполе kv, то эти два
поля имеют одно и то же (конечное) число элементов. Из того, что
kv cz k, следует, что k = kv. Мы доказали, таким образом, следую-
следующую теорему:
Теорема 5. Каждое поле Галуа совершенно.
§ 5. Сепарабельные и несепарабельные алгебраические расши-
расширения. Пусть k — поле и k[X] — полиномиальное кольцо от неиз-
6 Заказ N«617

82 Гл. II. Элементы теории полей
вестного X над k. Для произвольного полинома
/(Х) = а0Хп + а1Хп-1+ ... +ап, агек,а0Ф0
из k [X] степени п определим производную /' (X) обычным способом
па0Хп-1 + (п-1)агХ»-* + ... +an_v
Производная/' (X) —снова полином из k [X]. Если характеристика
поля k равна нулю, то коэффициенты (п — i) ах полинома /' (X)
(t = 0, 1, . .., п— 1) могут равняться нулю тогда и только тогда,
когда аг равны нулю. Следовательно, /' (X) Ф О, если п > 0.
Предположим теперь, что поле k имеет характеристику р Ф 0.
В этом случае (п — 1)аг равны нулю, если либо аг = 0, либо п — i
делится на р. В частности, так как а0 Ф 0, имеем па0 — 0 только
если п делится на р. Значит, /' {X) = 0 тогда итолько тогда, когда п
делится на р и все коэффициенты аь полинома f(X), для которых
п — i не делится на р, — нули. Когда это так, выражения агХ'1~г,
которые действительно входят в полином / (X), таковы, что степень
n — i делится на р. Это означает, что f {X) есть полином от Хр,
т. е. / (X) ? k [Xp]. Это необходимое и достаточное условие равенства
нулю производной /' (X).
Определение 1. Неразложимый полином f (X) ? k[ X] сепа-
рабелен, если f {X) ф 0, и несепарабелен, если f (X) = 0. Произ-
Произвольный полином f (X) в k [X] сепарабелен, если все его неразложимые
множители сепарабельны; в противном случае f (X) несепарабелен.
Если k — поле характеристики нуль, то каждый полином поло-
положительной степени из k [X] сепарабелен. Для полей характери-
характеристики р ф0 имеем следующую теорему:
Теорема 6. Поле k характеристики р Ф 0 совершенно
тогда и только тогда, когда каждый полином положительной сте-
степени из k [X] сепарабелен.
Доказательство. Предположим, что поле k совершенно.
В этом случае достаточно показать, что каждый неразложимый по-
полином положительной степени из k [X] сепарабелен. Если / (X) —
произвольный полином из k[X], такой, что/' (X) = 0, то / (X) ? k[Xp\,
т. е. имеем /(X) = 2 bjXpj = B PjX')", где р, = Р'Т} g k (посколь-
(поскольку k совершенно) и, следовательно, f (X) разложим.
Предположим теперь, что k несовершенно. Тогда в k существует
по крайней мере один элемент а, такой, что он не является р-й
степенью никакого элемента поля k. Пусть / (X) = Хр — а. Мы
имеем /' (X) = 0. Следовательно, доказательство будет закончено,
если мы покажем, что Xv — а неразложим в k[X]. Будем дока-
доказывать следующий более общий результат:

§ 5. Сепарабельные и несепарабельные алгебраические расширения 83
Теорема 7. Если a?k, ya^k и е>0 — целое число, то
полином Хре — а неразложим в k[X].
Доказательство. Теорема тривиальна, если е = О,
ибо тогда мы имеем Хре — а = X — а (условие \/~а (Е k в этом
случае несущественно). Воспользуемся теперь индукцией по е.
Пусть ф {X) — приведенный неразложимый множитель полинома
Хре — а в k [X] и [ф(Х)]'1 —наивысшая степень ф(Х), которая делит
1. A)
Беря производную от обеих частей]) и деля на [ф(Х)]'1, получаем
равенство
Аф'(*ЖХ) + Ф (*)!>'(*) = О
и, значит, г|) (X) делит произведение ф(Х)г|/(Х). Так как г?> (X)
и ф (X) взаимно просты, мы имеем г|/ (X) = 0, ибо в противном слу-
случае я|/ (X) был бы ненулевым полиномом меньшей степени, чем я|з (X),
и г|) (X) не мог бы делить г|/ (X). Таким образом, мы имеем одно-
одновременно /гф' (X) = 0, г|/ (X) = 0. Из второго соотношения следует,
что г|) (X) 6 k [Хр]. Пусть г|) (X) = % (Хр), где г|ч (X) 6 А: [X]. Из пер-
первого соотношения вытекает, что производная полинома [ф {X)]h равна
нулю, поэтому [ф(Х)]ЛеА:[Хр]. Пусть [ф (Х)]" = ф1 (Хр), ф1 (X) е
gA[X]. Тогда, в силу равенства A), мы имеем Хре — а —
-=4,{Xv)^dX-v), или, заменяя Хр на X, Л'рв-а = ф1(^)% (X).
Так как Хре — а неразложим в k [X] (в силу предположения
индукции) и так как полином ф! (X) имеет положительную
степень, то полином tyt (X) имеет степень 0 и, следовательно,
i|;i(X) = l, так как оба полинома ХрС х— а и ф4 (X) приведены.
Таким образом, Х25"" — а = ф! (X), Хре — а = [ф (Х)]Л. Если бы h
делилось на р, полином Хре 1 — а должен был бы быть степенью
полинома {ф(Х)]р, и так как коэффициенты полинома [ф (Х)]р при-
принадлежат kp, то коэффициенты полинома Хр'' — а также должны
были бы принадлежать k". Однако это противоречит нашему пред-
предположению, что \/а§ k. Следовательно, Дне может делиться на р.
Так как /гф' (X) = 0, то ф' (X) = 0, ф (X) б k [Xv\. Отсюда немедленно
следует, что h = 1, ибо в противном случае из соотношения
Х — а — [ф(Х)] вытекало бы, что полином Х^ — а разложим
в /г[Х]. Поэтому Хре-а = ф(Х).
г) Мы пользуемся здесь известным правилом вычисления производной
произведения. Это правило непосредственно следует из чисто формального
определения производной полинома.

84 Гл. II. Элементы теории полей
Более короткое доказательство предыдущей теоремы можно
получить, если воспользоваться существованием алгебраического
расширения k' поля k, такого, что полином <р (X) имеет корень а
в k' (см. теорему 3' § 2). Мы имеем а = аре, и, следовательно,
Хре — а=- (X — а)рв. Отсюда легко видеть, что Xv" — а обязательно
является степенью полинома ср (X). Предположим, что это не так
и г|) (X) — неразложимый множитель полинома Хре — а, такой, что
(ф (X), ip (X)) = 1. Тогда справедливо равенство вида А (X) ф (X) -f
+ В (X) г|) (X) = 1, где А(Х), В (X) б k [X]. Так как г|) (X) делит
{X — а)рв в k' [X] и а —корень полинома ty(X), то подстановка
X -> а в предыдущем равенстве приводит к противоречию @ = 1).
Так как ф (X) обязательно является степенью полинома X — а, то
Хре — а=[ф(Х)]р , Q>0, и поскольку yra$k, то q = 0.
Пусть / (X) - полином в k [X]. Если f{X)?k [Xv], то / (X) =
= fi(Xv) и степень полинома f (X) делится нар. Если, кроме того,
fi(X)ek{Xp), то f1(X) = f2(Xp), f (X) = f2Txp") и степень поли-
полинома / (X) делится на р2. Так как степень полинома /(X) —конеч-
—конечное число, то существует целое число е>0, такое, что
Пусть тогда / (X) =/0 (Хре), п — степень полинома /(X); п0 — сте-
степень полинома /0 (X). Здесь /0 (X) (J k [Xp] и
Определение 2. Целое число п0 называется приведенной
степенью полинома f (X) {или степенью сепарабельности f (X)),
а числа е и ре называются соответственно показателем несепара-
несепарабельности и степенью несепарабельности полинома f (X).
Ясно, что неразложимый полином /(X) сепарабелен тогда
и только тогда, когда п = п0.
Пусть К — расширение поля k, а х — элемент поля К, алгебраич-
ный над k.
Определение 3. Элемент х сепарабелен или несепарабелен
над полем k в зависимости от того, сепарабелен или несепарабелен
его минимальный полином /(X) в k [X].
Таким образом, если k — поле характеристики 0 или совершенное
поле характеристики р Ф 0, то каждый алгебраический над k
элемент обязательно сепарабелен.
Следствие 1. Если элемент х алгебраичен над k и f (X) —
минимальный полином элемента х (над k), то х несепарабелен над k
в том и только том случае, когда f (х) = 0. Если х несепарабелен

§ 5. Сепарабельные и несепарабельные алгебраические расширения 85
над k и g(X) —любой полином из k[X], такой, что g(x) = O, то
g' (х) = 0.
Действительно, если f (x) =f'(x) = 0 и / (X) неразложим, то
/' (X) = 0, так как /' (X) имеет меньшую степень, чем f(X), и, сле-
следовательно, х несепарабелен над k. Наоборот, если х несепарабелен
над k, то /' (X) = 0 и, следовательно, /' (л;) = 0. Если ^(д;) = 0, то
f(X) делит g(X), g(X) = A (X)f{X), g (х) = Л (*)/' (х), и, значит,
g' (x) --= 0, если х несепарабелен над k.
Пусть g{X)~любой полином из k[X], такой, что g(x) = 0.
Так как х?К и g(X) — полином также из К[Х], то полином
X —х должен делить g(X) в К[Х]. Путь (X — x)s — наибольшая
степень полинома X — х, на которую делится g(X) в К[Х\\
g(X) = (X-x)s gl(X), B)
где gi {X) ? К, [X] и gi (х) Ф 0. Так как х принадлежит также под-
полю k {x] поля К, аналогичные рассуждения применимы к полю
k(x) (вместо поля К), и, следовательно, если (X — л;^ — наиболь-
наибольшая степень полинома X — х, на которую делится g{X) в k (x) [X],
то g (X) = (Х- x)og2 (X), где ?2 (X) 6 k (х) [X] CZ К [X] и g2(x) ф 0.
Из равенства {X — x)s gi (X) = (X — x)eg2 {X) и соотношений^ (х) ф0,
g2 (х) ф 0 вытекает, что q = s, gt (X) =g2 (X). Следовательно, целое
число s зависит только от х и g (X) и не зависит от выбора расши-
расширения К поля k, содержащего элемент х. Это целое число s назы-
называется кратностью корня х полинома g (X). Мы будем говорить, что
л: —простой корень или кратный корень полинома g (X) в зависимости
от того, что имеет место: s = 1 или s > 1.
Дифференцируя обе части равенства B), находим, что если s= 1,
то g' (х) = gx (х) Ф 0, и если s > 1, то g' (x) = 0. Мы можем, таким
образом, переформулировать следствие 1 так:
Следствие 2. Если х алгебраичен над k и f (X) — минималь-
минимальный полином элемента х в k[X], то х несепарабелен над k в том.
и только том случае, когда х — кратный корень полинома [{X).
Если g(X) —любой полином в k[X], такой, что g (х) — 0, и если х
несепарабелен над k, то х есть кратный корень полинома g(X).
Определение 4. Расширение К поля k является сепара-
бельным расширением поля k, если каждый элемент поля К сепера-
белен над k. В противном случае К называется несепарабельным рас-
расширением k.
С этого момента мы будем предполагать, что характеристика р
поля k отлична от нуля.
Определение 5. Элемент х?К является чисто несепа-
несепарабельным элементом над k, если некоторая ре-я степень эле-
элемента х принадлежит полю k, е>0. (В частности, если е = 0,

86 Гл. II. Элементы теории полей
т. е. если x?k, то х является чисто несепарабельным элементом
над k.) Поле К. есть чисто несепарабельное расширение поля k,
если каждый элемент поля К чисто несепарабелен над k.
Следствие 3. Если К — конечное чисто несепарабельное
расширение поля k, то степень IK'k] является степенью числа р.
В силу формулы B) § 3 достаточно доказать следствие в пред-
предположении, что К — простое расширение поля k, скажем К — k (x).
Пусть е> 0 —наименьшее целое число, такое, что xpe?k, и пусть
хре = а. Тогда а не является р-й степенью элемента поля k и, сле-
следовательно, полином Хре — а неразложим в k [X] (теорема 7). Так
как х — корень этого полинома, то Хре — а —минимальный поли-
полином элемента х над k и, значит (теорема 2, следствие, § 2),
\k(x):k]=p°.
Лемма 1. Если элемент х одновременно сепарабелен и чисто
несепарабелен над k, то x?k.
Доказательство. Если е — наименьшее неотрицатель-
неотрицательное число, такое, что хре ?k, и если x"L = а, то доказательство
следствия 3 показывает, что полином X1'6 — а есть минимальный
полином элемента х в k[X]. Так как х сепарабелен над k, то
f (X) фО, но это возможно только, если е = 0, следовательно x?k,
что и утверждалось.
Лемма 2. Если К — сепарабельное алгебраическое расширение
поля k и L — любое поле между k и К(kciLaК), то К — сепа-
сепарабельное алгебраическое расширение поля L.
Доказательство. Пусть х — любой элемент поля К,
и пусть / (X) — минимальный полином элемента х в k [X]. Так как
х сепарабелен над k, то х является простым корнем полинома / (X),
в силу первой части следствия 2. Так как f(X) является полиномом
также из L(X), то из второй части следствия 2 вытекает, что х
сепарабелен и над L.
Если L — любое подмножество поля К, обозначим символом k (L)
подполе поля К, получающееся присоединением к полю k всех эле-
элементов L, т. е. k(L) есть множество всех элементов поля К
вида f(xu x2, ..., xn)/g(xu x2, ..., хп), где f(Xu X2, ..., Хп),
g(Xu Х2, ..., Хп) 6 k[Xu Х2, ..., Хп], *tgL(i=l, 2, ..., л),
g{xi, х2, .. ¦, хп) Ф 0 и п — произвольное целое число. Обозна-
Обозначим символом klL] кольцо, состоящее из всех полиномов
f (x,i, х2, ...,хп). Тогда k (L) — наименьшее подполе поля К,
содержащее k и L, a k[L]—наименьшее подкольцо поля К,
содержащее k и L, и k (L) является полем частных кольца k [L] в К.

§ 5. Сепарабельные и несепарабельные алгебраические расширения 87
Будем обозначать символом kL множество всех конечных сумм
произведений элементов поля k на элементы множества L. Это
множество, вообще говоря, не является кольцом, если L не является
кольцом. Если же L — кольцо, мы имеем kL — k[L].
Если L — поле и если каждый элемент поля L алгебраичен
над k, то k(L) = kL.
Действительно, в этом случае для любых элементов лгь х2, . . ., хп
поля L k(xi, хг, .. ., хп) = k\xu x2, ¦ ¦ ., хп) (теорема 2 § 2). Следо-
Следовательно, k (xi, х2, . ¦ ., хп) d k [L] = kL. Докажем следующий кри-
критерий сепарабельности алгебраических расширений:
Теорема 8. Если К — сепарабельное алгебраическое расши-
расширение поля k, то kKp — К- Наоборот, если К — конечное расшире-
расширение поля k и если kKp — К, то К — сепарабельное расширение поля k.
Доказательство. Из предыдущих рассмотрений сле-
следует, что kW — поле. Далее, каждый элемент поля К чисто несепа-
рабелен над kKp, ибо К1' CZ kKp- Если К — сепарабельное рас-
расширение поля k, то из включений k d kKv CZ К и из лемм 1 и 2
следует, что kKp — К- Это доказывает первую часть теоремы.
Предположим теперь, что kKv — К и что К — конечное (алгебраи-
(алгебраическое) расширение поля k. Пусть [К '. k] = п и (оь со2. . . ., <ил —
любые элементы поля К, линейно независимые над k. Мы утвер-
утверждаем, что а>Р, cof, . .., cog также линейно независимы над k. Для
доказательства этого дополним множество соь со2, • • •, % до базиса
п п
поля Klk. Тогда K=Yk^ Kp=T:kvwV, K =
il il
W.,, . ..,(й„
— kK" — 2 ka>f. Это показывает, что элементы wf, co^, . . ., шр
i=l
тоже образуют базис поля К над k. Пусть теперь х — любой эле-
элемент поля К, f (X) — его минимальный полином над k, a m — сте-
степень полинома / (X). Допустим, что х несепарабелен над k, и пусть
т0 — приведенная степень полинома / (X) (см. определение 2), так
что т0 < т. Тогда 1, х, х2, . . ., хт° линейно независимы над k, но
1, хре, x2v", ..., x'"ope линейно зависимы над k. Таким образом
получено противоречие и, следовательно, х сепарабелен над k.
Следствие. Если х сепарабелен над k, то k (х) = k {xp)
и, значит, k(x)—сепарабельное расширение поля k. Наоборот,
если k (х) = k (хр), то х сепарабелен над k.
Действительно, если мы положим К = k{x), то Кр = kp (хр)
и kKp = k (хр). Так как k (x) — конечное расширение поля k, то
в силу только что доказанной теоремы х сепарабелен над k, если
k(x) = k(xp). С другой стороны, если х сеперабелен над k, то х
одновременно сепарабелен (лемма 2) и чисто несейарабелен над k {xv)

88 Гл. //. Элементы теории полей
и, следовательно, х ? k (xp), k (x) a k (xv) dk(x), т. е. к (х) = k (xp).
Таким образом, К = kKv и К — сепарабельное расширение поля к.
Теорема 9. Если L — сепарабельное расширение поля k
и К — сепарабельное расширение поля L, то К — сепарабельное
расширение поля к.
Доказательство. Так как каждый элемент х поля К
сепарабелен и алгебраичен над k(L0), где Lo — некоторое конечное
подмножество поля L (зависящее от х), то достаточно доказать тео-
теорему для конечных расширений Llk, KIL. В силу теоремы 8 L =
= kLv, K = LKP = kD>Kv a kKp и, следовательно, К = кКр. Так
как Klk — конечное расширение, поле К сепарабельно над k
(вторая часть теоремы 8).
Теорема 10. Если Х\, х2, ..., хп — элементы поля К, сепа-
рабельные над k, то k (xi, х2, ..., хп) есть сепарабельное расширение
поля k.
Доказательство. Пусть Кг = k (xit x2, ¦ ¦ ., xt). Мы
знаем, что К\ — сепарабельное расширение поля k (теорема 8,
следствие). Предположим, что /Q —¦ сепарабельное расширение
поля k. Так как xi+1 сепарабелен над Kt (лемма 2), поле Ki+i
есть сепарабельное расширение поля Klt а значит, /Ct+i — также
сепарабельное расширение поля k (теорема 9). Это завершает
доказательство.
Пусть К — произвольное расширение поля k, k — алгебраи-
алгебраическое замыкание поля k в К (см. конец § 3, стр. 78) и Ао — мно-
множество всех элементов поля К, сепарабельных и алгебраических
над k. Тогда k^kodk и k0 — поле (теорема 10). Назовем поле
k0 максимальным сепарабельным расширением поля k в К- Будем
говорить, что k — сепарабельно замкнутое поле в К, если k — k0.
Пусть х — любой элемент поля k, f (X) — минимальный поли-
полином элемента х над k и р" — степень несепарабельности полинома
/ (X) (е = 0 тогда и только тогда, когда х ? k0). Тогда элемент хрС
сепарабелен над k и, значит, xv" ? k0. Следовательно, х чисто
несепарабелен над kQ. Это справедливо для любого элемента х
поля k. Поэтому поле k есть чисто несепарабельное расширение
поля k0. Таким образом, любое алгебраическое расширение k поля k
может быть получено в два шага: сепарабельное расширение
k—^k0 и затем чисто несепарабельное расширение ko—>k.
Пусть К — конечное алгебраическое расширение поля k. В этом
случаев = К- Положим п0 = lk0 : k]. Степень IK '¦ k0] есть сте-
степень числа р, так как К — чисто несепарабельное расширение поля
k0 (см. определение 5, следствие). Пусть \К '¦ k0] = pe. Тогда

6. Поля разложения и нормальные расширения
[К : k] = п = поре. Целые числа п0 яре называются соответственно'
множителем сепарабельности и множителем несепарабельности
степени 1К '¦ k], а также степенью сепарабельности или степенью
несепарабельности расширения К Ik. В символах:
no = [K:k]s, pe=[K:k]i, C)
откуда
[К:к] = [К:к}3-1К:к]г. D)
Рассмотрим теперь частный случай, когда К = k(x) — простое
алгебраическое расширение поля k. Пусть / (X) — минимальный
полином элемента х над k, п0 — приведенная степень / (X) и ре —
степень несепарабельности этого полинома, так что п = поре, где
п — степень / (X). Нетрудно видеть, что п0 и ре равны [k(x) : k]s
и lk{x) : k\i соответственно. Действительно, пусть у = х*'. Тогда
у сепарабелен над k и k (у) — сепарабельное расширение. Далее,
[k (у) : k\ = п0, так как минимальный полином элемента у над k
имеет степень пп. Элемент х чисто несепарабелен над k (у) и, сле-
следовательно, любой элемент k(x) чисто несепарабелен над k (у)
(из xve?k{y) следует zpR?k(y) для всех z?k(x)). Каждый элемент
поля k (x), сепарабельный над k (а значит, и над k (у), принадлежит
полю k (у) (лемма 1). Следовательно, k(y) = k0 и no=[k(x) : k]s.
Мы имеем поре — n = [k(х): k] = [k(x): k]s-[k {x): A]t = no-[k {x): k]{,
и тогда ре =[k(x) : k\, что и утверждалось.
§ 6. Поля разложения и нормальные расширения. В § 2 мы
показали, что если f (X) — произвольный полином из klX], то
существует расширение К поля k, такое, что / (X) полностью раз-
разлагается в К [X] на линейные множители:
f(X) = ao(X-x1)(X-xt) ... (Х-хп), XiGK, (D
где а0 — старший коэффициент полинома f{X). Если f(X) неразло-
неразложим в k [X], топ элементов хг различны (и, следовательно, каждый xi
есть простой корень полинома f(X)) в том и только том случае, когда
/ (X) является сепарабельным полиномом (см. § 5, определение 3,
следствие 2). Если f(X) разложим в k[X], то х-г различны в том
и только том случае, когда / (X) — сепарабельный полином и не имеет
кратных множителей в k[X]. Это следует из того, что два различных
неразложимых приведенных полинома в k[X] не могут иметь общего
корня ни в каком расширении поля k (величина х, алгебраичная
над k, имеет единственный минимальный полином в k[X]).
Теорема 11. Если f (X) — неразложимый несепарабельный
полином в klX] приведенной степени п0 и степени несепарабель-

90 Гл. П. Элементы теории полей
ности е, то каждый линейный множитель в разложение A) входит
ровно ре раз.
Доказательство. Имеем / {X) = ф (Хре), где ф {X) —
неразложимый сепарабельный полином в klX]. Каждый элемент
XVе есть корень полинома ф (X) и обязательно простой корень. Сле-
Следовательно, ф (X) = (X - iX)ve ф4 (X), где 9t (Х)?К1Х]н q>4 (xf) ф 0,
Тогда / (X) = {Х- xf* • /4 (X), где /4 (*4) = ф4 (*?') =? 0. Это показы-
показывает, что X — xi есть ровно ре-кратный множитель полинома / (X),
что и утверждалось.
Пусть К — расширение поля k, в котором f(X) полностью разла-
разлагается на линейные множители, и пусть A) — разложение полинома
f{X) в KlX]. Поле k(xi, х-2, ..., хп), очевидно, является наименьшим
нодполем поля К, содержащим k, в котором f(X) полностью разла-
разлагается на линейные множители.
Определение 1. Поле k (лгь х2, . . ., хп) называется полем
разложения полинома f (X) над полем k.
Таким образом, поле разложения полинома / (X) над k — это
такое расширение/, поля k, над которым f(X) полностью разлагается
на линейные множители и которое порождено над k корнями f(X),
лежащими в L.
В § 2 мы доказали (см. теорему 3), что если f(X) — неразло-
неразложимый полином в klX], a x и х — корни полинома f(X) соответ-
соответственно в некоторых расширениях К и К' поля k, то поля k(x)
и k(x) являются ^-изоморфными расширениями поля k. Следую-
Следующей нашей задачей является доказательство аналогичного резуль-
результата для полей разложения: если f(X) — произвольный полином
в k[X] (не обязательно неразложимый), то любые два поля разло-
разложения для f (X) над k являются k-изоморфными расширениями
поля k. Прежде всего мы получим результат теоремы 3 § 2 в более
общем виде:
Лемма 1. Пусть т — изоморфизм двух полей k и k и ф (X) =
= а0Хп + uiX"-'1 + .. . -)- ап—неразложимый полином в k[X].
Пусть, далее, ф (X) = [ф {Х)]т—соответствующий полином в k [X],
т. е. (f(X)—a0Xn + aiXn~1+...+an, где ai = alx. Тогда если
х ¦— корень полинома ц> (X) в некотором расширении поля k, a x —
корень полинома ф (X) в некотором расширении поля k, то изомор-
изоморфизм т может быть продолжен до изоморфизма q поля k {x) на поле
k(x), такого, что xq = x, и это продолжение единственно.
Если k = k и т — тождественное отображение, то лемма сов-
совпадает с теоремой 3 § 2. В общем случае доказательство леммы
аналогично доказательству теоремы 3 и может быть оставлено
читателю.

§ 6. Поля разложения и нормальные расширения 91
Теорема единственности для полей разложения, которую мы
хотим доказать, состоит в следующем.
Теорема 12. Пусть k, kvix имеют тот же смысл, что и в пре-
предыдущей лемме, f(X) — произвольный приведенный полином степени п
из k[X], J(X) = [/(Х)]х — соответствующий полином из k[X]
и k! и k' — поля разложения над k и k полиномов f (X) и f (X) соот-
соответственно. Тогда изоморфизм т может быть продолжен до изомор-
изоморфизма q поля k' на k', и любое такое продолжение q переводит каж-
каждый корень полинома f(X) из k' в корень полинома J{X) в k' \u анало-
аналогично q'1 переводит каждый корень полинома } (X) в корень полинома
Доказательство. Теорема тривиальна в случае, когда
п = 1. Поэтому мы воспользуемся индукцией по п. Пусть ф(Х) —
неразложимый множитель f{X) в klX] и ц>(Х) = [ц>(Х)] т — соот-
соответствующий неразложимый множитель полинома J(X) в k[X].
Тогда ц>(Х) и q>(X) имеют соответственно корни в k' и в k'. Фикси-
Фиксируем корень х± полинома ф(Х) в k' и корень xi полинома ц>(Х) в k'.
По лемме 1 существует изоморфизм т4 между k(xi) и k(xi), продол-
продолжающий изоморфизм т и переводящий Х\ в х4. Пусть / (X) =
- {X - *0 Д (X) и / (X) = {X - 'Xi) ft (X). Тогда f, (X) и][_{Х) - поли-
полиномы с коэффициентами соответственно из k(xi) и k{xi) и степени
п — 1. Ясно, что они соответствуют друг другу при изоморфизме Ti
между k (x^ и k (x)i. Поля k' и k' являются полями разложения
полинома fi{X) над k{x\) и полинома f^(X) нал k(xi). В силу
индуктивного предположения, изоморфизм т4 может быть продолжен
до изоморфизма q поля k' на k'. Тогда q есть продолжение т,
и, так как последнее утверждение в теореме само по себе очевидно,
доказательство закончено.
Следствие. Пусть k' — поле разложения над k полинома
1{Х), коэффициенты которого принадлежат некоторому подполю
k0 поля k. Тогда любой k0-изоморфизм поля k e k' может быть про-
продолжен до автоморфизма поля k'.
Действительно, в нашем случае изоморфное поле k содержится
в k', а полином J(X) совпадает с f(X). Следовательно, мы можем
взять в качестве k' само поле k'.
Предыдущая теорема имеет черзвычайно важные следствия.
Напомним (§ 2, стр. 74), что два алгебраических элемента х и у
расширения К поля k называются сопряженными над k, если они
являются корнями одного и того же неразложимого полинома

92 Гл. II. Элементы теории полей
в klX]. В этом параграфе показано, что если элемент х поля К
является корнем неразложимого полинома /{X) из k[X] приведен-
приведенной степени п0 и степени несепарабельности е, то х является
ре-кратным корнем полинома f{X). Следовательно, х имеет не более
п0 сопряженных элементов в К (включая сам х). Если число
сопряженных элементов элемента х, содержащихся в К, точно
равно п0 или, что то же самое, если / (X) разлагается в К [X] пол-
полностью на линейные множители, то мы можем сказать, что К
содержит все сопряженные к х над k элементы.
Определение 2. Расширение К поля k называется нор-
нормальным над k или нормальным расширением поля k, если К яв-
является алгебраическим расширением k и если каждый, неразложимый
полином f (X) в k [X], имеющий корень в К, разлагается на линейные
множители в К [X] или, что то же самое, если К содержит тогда
поле разложения полинома f (X) над k.
Очевидно, что это определение эквивалентно следующему:
поле К есть нормальное расширение поля k, если К —¦ алгебраиче-
алгебраическое расширение поля k, содержащее вместе с каждым элементом х
все сопряженные с ним над k элементы.
Следствие 1. Если К — конечное нормальное расширение
поля k, то К есть поле разложения некоторого полинома f (X) из k [X].
Действительно, пусть К = &(ai,cc2, ..., am) — конечное нор-
нормальное расширение поля k и Д (X) — минимальный полином эле-
элемента аг из k [X]. Так как К нормально над k, то оно содержит поле
разложения полинома Д (X) над k. Тогда К содержит также поле
разложения над k произведения / (X) т полиномов fi (X). Так как
К порождается над k корнями полинома / (X) (а именно аь а2, ...
. . ., ат), то К само —поле разложения полинома f (X) над k.
Следствие 2. Если К — конечное нормальное расширение
поля k и а и f> — любые два элемента из К, сопряженные над k,
то существует k-автоморфизм поля К, который переводит а в р.
Действительно, в силу следствия 1, К — поле разложения
некоторого полинома / (X) в k[X\. Тогда К является также полем
разложения полинома f(X) над k(a) и над k{§). Так как суще-
существует ^-изоморфизм поля k (a) на k(§), переводящий а в Р, то
наше следствие сразу вытекает из теоремы 12.
Следствие 3. Пусть К — конечное нормальное расширение
поля k. Если элемент а поля К остается на месте при всех k-aemo-
морфизмах поля К, то а чисто несепарабелен над k.
Действительно, а в этом случае должен совпадать со всеми
сопряженными с ним над k элементами в силу следствия 2. Таким

§ 6. Поля разложения и нормальные расширения 93
образом, минимальный полином элемента а в k [X] имеет приве-
приведенную степень 1.
Следствие 4. Если К — конечное нормальное расширение
поля k и если L — поле между k и К, то любой k-изоморфизм поля L
в К может быть продолжен до автоморфизма поля К.
Применяем следствие теоремы 12, беря в качестве k', k и k0
соответственно поля К, L и k.
Мы будем часто пользоваться следующей леммой:
Лемма 2. Пусть k ci L щ A cz К— конечные алгебраические
расширения поля k, где К — нормальное расширение поля k. Если
А допускает п L-изоморфизмов в К, то каждый k-изоморфизм поля L
в поле К имеет ровно п продолжений, являющихся изоморфизмами
поля А в К.
Доказательство. Пусть G — группа всех А-изомор-
физмов поля К, a G(L) (соответственно G (А)) — подгруппа группы
G, состоящая из автоморфизмов поля К, оставляющих на месте
каждый элемент поля L (соответственно поля А). Ясно, что G(A) —
подгруппа группы G(L). Пусть
G(I)-U G(A)<pif (I)
т
G=UG(L)^;. B)
i=s
— разложения группы G (L) в сумму правых смежных классов по
подгруппе G (А) и группы G — в сумму правых смежных классов
по подгруппе G(L). Тогда тп смежных классов по подгруппе G (А)
различны и
С=иО(Л)ф1^. C)
— разложение группы G на правые смежные классы по подгруппе
G(A).
Ясно, что т автоморфизмов г|^ имеют различные ограничения
на L и что ограничение любого элемента гр группы G на L совпадает
с ограничением одного из гру. Так как, в силу следствия 4 определе-
определения 2, каждый ^-изоморфизм поля L в К является ограничением
некоторого автоморфизма поля К, то L имеет ровно т А-изомор-
физмов в J( и все они задаются ограничениями отображений ipi,
v|>2, • • ., i|>m на L.
Точно таким же образом из C) следует, что А имеет ровно тп
/г-изоморфизмов в К и что все они задаются ограничениями тп
¦произведений ф^ на А. -Далее, так как каждое ц>г действует тож-

94 Гл. II. Элементы теории полей
дественно на L и так как г|)у и г|у имеют различные ограничения
на L, если / Ф /', то каждый ^-изоморфизм поля L в поле К, ска-
скажем изоморфизм, представляющий собой ограничение отображения
¦ф^., имеет ровно п продолжений на А, которые являются А-изомор-
физмами поля Д в К, а именно ограничениями отображения cp^v, ...
¦ ... фл^;- на А. В частности, тождественный изоморфизм поля L
в поле К также имеет п таких продолжений на А, т. е. А допускает
ровно п L-изоморфизмов в К- Это завершает доказательство леммы.
Мы докажем теперь утверждение, обратное следствию 1 опреде-
определения 2.
Теорема 13. Любое поле разложения над k полинома f (X)
из k [X] есть конечное нормальное расширение поля k.
Доказательство. Пусть К — поле разложения над k
полинома / (X) из k [X] и q>(X) — любой неразложимый полином
из k[X], имеющий корень а в поле К- Фиксируем поле разложения
К' полинома ф (X) над К- Пусть § —любой корень полинома ф (X)
в К ¦ Так как ф (X.) неразложим над k, то существует А-изоморфизм т
между k (а) и k ф), переводящий а в р\ Этот изоморфизм не меняет
f {X) (так как коэффициенты полинома / лежат в поле k), а с дру-
другой стороны, поля /С и /С(р) являются полями разложения поли-
полинома / (X) соответственно над k (а) и k ф) (так как k (а) щ К, k ф) d
CZ К ф) и К = k (xi, x2, . . ., хп)). Таким образом, в силу теоремы 12,
изоморфизм т поля k (а) на k ф) может быть продолжен до изомор-
изоморфизма q поля К на поле К ф). Мы получили изоморфизм q поля К
в поле, содержащее К, а именно К' ¦ Так как q является также
^-изоморфизмом и так как полином/(X) с коэффициентами из k
полностью разлагается на линейные множители в К\Х], то q дол-
должен преобразовывать множество корней полинома / (X) на себя
в поле К,- Поскольку корни полинома f{X) порождают поле К
над k, то отображение q должно быть автоморфизмом поля К.
Так как а ? К и ccq = р\ то р ? К. Таким образом, мы доказали,
что К содержит все корни полинома ф (X) из К.' (т. е. К совпадает
с К')- Отсюда следует, что К — нормальное расширение поля k,
и доказательство теоремы закончено.
Пусть К = k{a\, сс2, . . ., <zm) — конечное расширение поля k
и Д (X)—минимальный полином элемента аь в k[X]. Положим
/ (X) = /i (X) /2 (X)... fm{X) и рассмотрим поле разложения К' поли-
полинома / {X) над К- Так как поле /^-порождено над k корнями полинома
f{X) (а именно аьа2, ..., ат), то поле К' порождено над k (а не только
над К) корнями полинома / (X) и, значит, К тоже является полем
разложения полинома f(X) над k. В силу теоремы 13, поле К' —
нормальное расширение поля k. Таким образом, нами построено
надполе К' поля К, нормальное (и конечное) над k. Если Kt —

§ 6. Поля разложения и нормальные расширения 95-
любое поле между К и К', нормальное над k, то каждый из т поли-
полиномов /t (X) должен полностью разлагаться в Ki [X] на линейные
множители (так как fi {X) неразложим в k [X] и имеет корень в К\,
а именно ах). Это показывает, что К' совпадает с Ki. Следовательно,
К' — минимальное нормальное расширение поля k, содержащее
поле К в качестве подполя. Заметим, кроме того, что если К" —
любое нормальное расширение поля k, содержащее поле К в каче-
качестве подполя, то К" должно содержать поле разложения полинома
/ (X) над k (так как это должно иметь место для каждого неразложи-
неразложимого множителя /t (X) полинома f(X)), а последнее поле будет, ко-
конечно, содержать К- Тогда, в частности, если К" — наименьшее
нормальное расширение поля k, содержащее К в качестве под-
подполя, то К" должно быть само полем разложения полинома f{X)
над К, и, следовательно, К' и К" /С-изоморфны (теорема 12). Таким
образом, мы доказали следующую теорему:
Теорема 14. Если К — конечное расширение поля k, то
существует минимальное нормальное расширение, содержащее К,
и любые два таких расширения К-изоморфны.
Почти очевидным следствием этой теоремы и следствия 2 опре-
определения 2 является теорема, описывающая характерное свойство
конечных нормальных расширений.
Теорема 15. Конечное расширение К поля k является нор-
нормальным над k в том и только том случае, когда выполняется сле-
следующее условие: если К' — произвольное расширение поля /С, то
любой k-изоморфизм поля К в К' есть обязательно k-автоморфизм
поля К-
Доказательство. Очевидно, что любое (конечное или
бесконечное) нормальное расширение К поля k удовлетворяет
условию теоремы, так как А-изоморфизм поля К в К' переводит
любой элемент поля К в элемент, сопряженный ему над k. Наобо-
Наоборот, предположим, что конечное расширение К удовлетворяет этому
условию. Фиксируем конечное расширение К' поля К, нормальное
над k, например минимальное нормальное расширение поля k,
содержащее К (теорема 14). Если у — любой элемент поля К, то
поле К' содержит все сопряженные этому элементу над k. Пусть
\' — один из этих сопряженных элементов, тогда существует ^-авто-
^-автоморфизм q поля К', переводящий у в у' (определение 2, след-
следствие 2), который индуцирует А-изоморфизм поля К в К'.
В силу нашего предположения этот индуцированный А-изомор-
физм является обязательно ^-автоморфизмом поля К.- Следова-
Следовательно, у' = yq 6 К (так как у ? К)- Таким образом, мы доказали,
что К содержит все сопряженные элементу у над k. Поскольку у —

¦96 Гл. //. Элементы теории полей
произвольный элемент поля К, то К нормально над k, что и требо-
требовалось доказатьJ).
В качестве последнего приложения предыдущих результатов
исследуем такой вопрос: если К — конечное нормальное расширение
поля k, то сколько у него есть k-автоморфизмов? Мы объединим ответ
на этот вопрос со следующим, более общим результатом.
Теорема 16. Пусть L — конечное алгебраическое расшире-
расширение поля k, а К — расширение поля L, нормальное над k. Если п0 —
множитель сепарабельности степени [L : k], то существует точно
п0 различных k-изоморфизмов поля L в К.
Доказательство. Мы можем ограничиться случаем
когда К — конечное расширение поля k. В действительности можно
даже предположить, что /С — минимальное нормальное расширение,
поля k, содержащее L, ибо каждый ^-изоморфизм поля L в К обя-
обязательно отображает L в минимальное нормальное расширение
поля k, содержащее L и содержащееся в К-
Теорема очевидна в случае п0 = 1, ибо тогда каждый элемент
поля L является чисто несепарабельным над k и, следовательно,
не меняется ни при каком ^-изоморфизме поля L в К. (единственным
^-изоморфизмом поля L в К является тождественный). Теорема
очевидна также, если L — простое расширение поля k, скажем
L = k(a). Действительно, в этом случае п0 является также приве-
приведенной степенью минимального полинома элемента а в k [X] (конец
§ 5, стр. 89). Следовательно, а имеет ровно п0 сопряженных эле-
элементов в К (сопряженных над k). Если а1; а2, . . ., аПо — эти сопря-
сопряженные элементы {at = а), то существует единственный Л-изомор-
Л-изоморфизм хг поля k (а) на поле k (а,-), переводящий а в а;. Ясно, что п0
изоморфизмов т4 (т.4 — тождественный) будут исчерпывать все
/^-изоморфизмы поля k (а) в К, так как любой ^-изоморфизм поля
k (а) в К должен переводить а в сопряженный с ним элемент над k,
т. е. в один из элементов av
После этих предварительных замечаний проведем доказательство
теоремы с помощью индукции по п0. Именно, предположим, что
теорема верна для всех конечных алгебраических расширений поля
k, для которых пп меньше, чем данное число т. Пусть п0 = т для
данного поля L. Так как т > 1, в L существуют элементы, не лежа-
лежащие в k и сепарабельные над k. Мы фиксируем один такой элемент,
х) Очевидно (и следует непосредственно из доказательства), что теорема
15 остается справедливой, если в ее утверждении будет фигурировать только
конечное расширение К' поля К; в действительности теорема останется вер-
верной, если мы возьмем в качестве К' фиксированное нормальное расширение
поля k.

§ 6. Поля разложения и нормальные расширения 97
скажем а. Пусть s — степень [k (а) : k]. Так как а сепарабелен над
k, то максимальное сепарабельное расширение поля k в L совпадает
с максимальным сепарабельным расширением поля k (а) в L. Сле-
Следовательно, если мы обозначим через г множитель сепарабельности
степени [L : k(a)], то т = sx. Так как s>l, мы имеем г < т.
В силу нашего индуктивного предположения теорема справед-
справедлива для L, если мы заменим поле k полем k (а). Значит, существует
ровно г различных k (а)-изоморфизмов поля L в К (заметим, что К,
будучи нормальным над k, тем более нормально над k (а)). Пусть
т1; т2, ...,тг будут k (а)-изоморфизмами поля L в К. Так как К
нормально над к, то оно содержит все сопряженные элементу а
над k, скажем аь а2, . . ., as. Для каждого / = 1, 2, . . ., s зафикси-
зафиксируем ^-автоморфизм Oj поля К, переводящий а в с^ (определение 2,
следствие 2), и положим E4;- = т{сг;., i = 1,2, . . ., s, /= 1, 2, . . ., г.
Тогда каждое Qi; является ^-изоморфизмом поля L в К, и эти
m{=rs) изоморфизмов различны, ибо aqij = aa^. (так как а не изме-
изменяется при применении тг), и, следовательно, если qtj = д{<^, то
скт;- = оса,--, т. е. aj = cij<. Это влечет за собой равенство / = /',
и отсюда наконец вытекает, что хх = т.;- (так как а^ как автомор-
автоморфизм поля К является однозначным отображением). Поэтому i = i',
и утверждение, что т изоморфизмов Qi} различны, дока-
доказано.
Пусть теперь q — произвольный ^-изоморфизм поля L в К.
Элемент а переводится изоморфизмом q в один из сопряженных эле-
элементов аь а2, . . ., as, скажем ag = a;.. Тогда qo]1 есть /^-изоморфизм
поля L в К, оставляющий а на месте, т. е. k (а)-изоморфизм поля L
в К- Следовательно, Qaj1 совпадает с одним из изоморфизмов ть
т2, .. ., тг, скажем с хг. Поэтому q = х{а} = Qtj. Это зав'ершает
доказательство.
Следствие 1. Пусть L — конечное алгебраическое расшире-
расширение поля k и п0—множитель сепарабельности степени [L : k].
Тогда L допускает самое большее п0 k-автоморфизмов, и это макси-
максимальное число достигается тогда и только тогда, когда L — нор-
нормальное расширение поля k.
Первая часть следствия немедленно вытекает из теоремы 16
и из существования конечных расширений К поля L, нормальных
над k. Если L — нормальное расширение поля k, мы можем отож-
отождествить в теореме 16 поле К с L и получим тогда, что/, допускает
п0 ^-автоморфизмов. Наоборот, если L допускает п0 ^-автоморфиз-
^-автоморфизмов, то из предыдущей теоремы следует, что если К' — любое рас-
расширение поля L, то каждый ^-изоморфизм поля L в К' будет обяза-
обязательно автоморфизмом поля L. Следовательно, в силу теоремы 15,
L — нормальное расширение поля k.
7 Заказ № R17

98 Гл. II. Элементы теории полей
Следствие 2. Если k CZ L CZ A — последовательность ко-
конечных алгебраических расширений поля k, то
[Д : Л], = [Д :?.],•[?.:*]„ D)
[Д : *h = [Л :?U¦[?:%. E)
Достаточно доказать' равенство D), так как произведение правых
частей равенств D) и E) равно произведению левых частей ввиду
соотношения B) § 3 и соотношения D) § 5. Пусть т0 = [L : k]f,
п0 = [Д : L]s. Тогда п0 — число L-изоморфизмов поля Д в К,
где К — некоторое расширение поля А, нормальное над k (напри-
(например, минимальное нормальное расширение поля k, содержащее А).
и т0 — число ^-изоморфизмов поля L в К- В силу леммы 2 произве-
произведение топо —¦ это число &-изоморфизмов поля А в К, и, так как это
число равно [А : k]s, соотношение D) выполнено.
Другое доказательство равенства D) основывается на следую-
следующем свойстве конечных сепарабельных расширений Klk, установ-
установленном в ходе доказательства теоремы 8 § 5: если xt, x2, ¦.-, хп —
элементы поля К, линейно независимые над k, то для любого целого
е>0 элементы х\е, х^', ..., х%е линейно независимы над k. Пусть
Lo, Ао и А„ — максимальные сепарабельные расширения соответ-
соответственно поля k в L, поля L в А и поля НА. Мы имеем k СГ. Lo CI
CZ L a Ao CZ A, k CZ Lo d А„ CZ Ao CZ А и [A : k]s = [Д^ : k\ ---
= [A'o : Lo]- [Lo : k] = [A'o : Lo]- \L : k]s. Следовательно, для дока-
доказательства D) нам надо показать, что
IA'O:LO]-~[AO:L]. F)
Пусть «jci, x2, ... ,хп—элементы поля А^, линейно независимые
над Lo. Они лежат также в До. Мы утверждаем, что xt линейно неза-
независимы над L. Действительно, пусть ]?] иг xi = 0, ui ?L. Так как
L — чисто несепарабельное расширение поля Lo, то uVe ? Lo
для некоторого целого е>0, а также ^uf xf — Q. Из этих соот-
соотношений и сепарабельности расширения A'JLO следует, что Ш'е =
= 0, Ui = 0, и наше утверждение доказано. Таким образом, мы
показали, что [А„ : Lo]< [До : L]. С другой стороны, пусть хь
Хг, ¦¦¦, хп — элементы поля Ао, линейно независимые над L. Так
как Ао — чисто несепарабельное расширение поля А„, то сущест-
существует целое е>0, такое, что ре-я степень элемента хг принадлежит
полю А'о. Ввиду сепарабельности расширения AJL ре-е степени эле-
элементов хг также линейно независимы над L, а значит, и над подпо-
лем Lo поля L. Таким образом, мы нашли п линейно независимых
элементов поля А„ над Lo. Это показывает, что [Ао : L]< [А^ : Ln].
и устанавливает равенство F).

§ 7. Основная теорема теории Галуа 99
§ 7. Основная теорема теории Галуа. Если /С— произвольное
поле, то очевидно, что его автоморфизмы образуют группу (преоб-
(преобразований). Если К — содержит подполе k, то ^-автоморфизмы
поля К также образуют группу. Пусть К — конечное нормальное
расширение поля k. Тогда группа ^-автоморфизмов поля К назы-
называется группой Галуа поля К относительно к. Мы будем обозначать
эту группу через G (K/k). В силу теоремы 16 § 6,G(Klk) является
конечной группой.
Пусть К — конечное нормальное расширение поля k. Если Н —
произвольная подгруппа группы G(Klk), то легко видеть, что эле-
элементы поля К, инвариантные относительно всех автоморфизмов,
принадлежащих Н, образуют подполе поля К- Мы обозначаем это
подполе через F (Н) (поле, принадлежащее Н). С другой стороны,
если L — некоторое подполе поля К, такое, что k с L, то К будет
также нормальным расширением поля L и группа Галуа поля К
относительно L является, очевидно, подгруппой группы G(Klk)\
она состоит из тех автоморфизмов из G(Klk), которые оставляют
на месте каждый элемент поля L.
Основная теорема теории Галуа утверждает следующее:
Теорема 17. Если К — конечное нормальное сепарабель-
ное расширение поля k, то существует взаимно однозначное соответ-
соответствие между подгруппами Н группы G (K/k) и подполями L поля К,
содержащими k, причем соответствующие Hub таковы, что
L = F(H) и H = G(KIL).
Доказательство. Соответствие L—>G (K/L) определяет
отображение множества всех подполей L поля К, содержащих k,
в множество подгрупп группы G (K/k). Если L — заданное подполе
поля К, содержащее k, и H — G(KIL), то из сепарабельности и нор-
нормальности поля K/L и из следствия 3 определения 2 § 6 вытекает,
что L — F (Н). Таким образом, отображение L—>G(K/L) унива-
лентно. Чтобы завершить доказательство теоремы, остается пока-
показать, что это отображение является отображением на множество
всех подгрупп G(Klk). Пусть Н — произвольная подгруппа этой
группы и L = F(H). Мы покажем, что Н является группой Галуа
поля К относительно L. Доказательство этого утверждения и за-
завершит доказательство теоремы.
Ясно, что Н CZG (K/L). Пусть п обозначает порядок группы И,
Предположим, что уже доказано неравенство
[К:Ц<Сп. A)
Так как К — нормальное и сепарабельное расширение поля L,
получаем, согласно следствию теоремы 16, §6, что порядок G(KIL)
равен [К : L] и поэтому не превосходит п в силу A). С другой сто-
стороны, Я является подгруппой группы G(KIL) и имеет порядок п.
Отсюда сразу же следует, что Н = G (K/L), как и утверждалось.

100 Гл. П. Элементы теории полей
Остается доказать неравенство A). Пусть аь а2, ..., ап+1 —
произвольные п + 1 элементов поля К. Мы должны показать, что
они линейно зависимы над L. При доказательстве мы можем счи-
считать ни одно аг не равным нулю. Пусть ть t2, .. ., тп —элементы
группы Я. Мы находим п + 1 элементов cs в К (не все равные нулю),
для которых удовлетворяется следующая система п однородных
уравнений1):
п+1
2 с,-(а,Т() = 0, (=1,2, .... л. B)
Среди всех таких множеств {сь с2, ..., сп+1} мы выбираем одно с наи-
наименьшим числом ненулевых элементов. Предположим, что {сь
Сг.-.-.Cn+i} уже выбрано таким образом. Пусть, например, сь
с2, .. ., сг =? 0, с,.+1 = сг+2 = ... =с„+1 = 0. Тогда г > 2, ибо если
г = 1, то axti = 0, cti = 0 [так как {ть t2, .. ., т„) — непустое мно-
множество автоморфизмов поля /С (единица принадлежит этому мно-
множеству)]. В таком случае мы имеем
2c,(a t.) = 0, * = 1, 2, ...,п. C)
3=1
Беря, в частности, за tj единицу группы Я, получим
S cja, = 0. D)
i=l
Можно предположить, что с4 = 1. Мы утверждаем, что в этом
случае с2, ..., сТ принадлежат L, и поэтому из D) следует, что а1( ...
. . ., an+i действительно линейно зависимы над L.
Мы должны доказать, что с^ xi; = с;-, i = 1, 2, ... (так как L —
поле, принадлежащее группе Я). Покажем, например, 4Toc^tt = с;.
Если применить к равенству C) автоморфизм xt поля К, то получим
равенство |
S (cy Ti) (a,- TiTj) = 0, t = 1, 2, . .., п.
3=1
L) Мы предполагаем здесь известной теорию систем линейных однород-
однородных уравнений с коэффициентами в некотором поле К (см., например, книгу
В i г k h о f G. and MacLane S.,A Survey of Modern Algebra, ch. X).
Существование нетривиального решения (ct, c2,..., cntl) уравнений B) сле-
следует из теории векторных пространств, развитой в гл. 1, § 21 (множество всех
а-систем (хь х2, ..., *n). XidK, является л-мерным векторным пространством
над К, а, следовательно, я-}-1 векторов t;j = (ajTi, а,т2 ,..., а,тп) линейно
зависимы над /<). (См. также К у р о ш А. Г., Курс высшей алгебры. —
Прим, ред.)

§ 8. Поля Галуа 101
Эти п произведений хгх± опять дают все элементы конечной груп-
группы Н. Следовательно, мы имеем
2 (^t1)(aJt1) = 0, »=l, 2,..., п. E)
3=1
Вычитая E) из C) и принимая во внимание, что q = Citi = 1,
получаем
^ (^t1-cJ-)(a/ti) = 0, /=1,2, . ..,п.
Мы имеем здесь п соотношений, подобных B), но число членов
в каждом из этих соотношений меньше г. Следовательно, в силу
выбора множества {сь с2, ..., ст 0, 0, ..., 0}, должны быть справед-
справедливы равенства с,- т4 = с3-, / = 2, 3, ..., г. Подобным же образом
можно показать, что с,т4 = с3-, / = 2, 3, ..., г, t = l, 2, ..., п,
что и завершит доказательство теоремы.
Следствие. Если k a L а К, mo L будет нормальным рас-
расширением поля k в том и только том случае, когда G (K/L) является
нормальным делителем в G (K/k), и если это так, то группа Галуа
G (Llk) изоморфна факторгруппе G (Klk)IG (KIL).
Пусть Н = G (K/L). Если т — любой фиксированный элемент
группы G(K/k), то сразу же видно, что элементы вида хх, х ? L,
образуют подполе поля К, которое мы будем обозначать через Lx,
и что т Hx = G (KILx). Если L — нормальное расширение поля k,
то Lx = L (теорема 15 § 6), поэтому т. Нх — Н и Н будет нормаль-
нормальным делителем BG(K/k). Обратно, если Н — нормальный делитель
в G {K/k), то H = x^Hx = G{KlL), т. е. G{K/L) .= G{K/Lx). Сле-
Следовательно, по только что доказанной теореме L = Lx. Это имеет
место для всех элементов т группы Галуа G {K/k), поэтому L является
нормальным расширением поля k (см. сноску в конце доказатель-
доказательства теоремы 15). Кроме того, отображение элемента т в ограничение
т на L (т g G) является гомоморфизмом группы G{Klk) в G(L/k)
с ядром Н. Из следствия 4 определения 2 § 6 вытекает, что это
гомоморфизм на G{Llk). Таким образом, доказательство завершено.
§ 8. Поля Галуа. Пусть К — поле Галуа характеристики р
(см. определение 3 § 4) и Jp — простое поле, содержащееся в К
(§ 4). Из конечности поля К сразу следует, что К является конеч-
конечным алгебраическим расширением поля Jp (см., например, теорему 4
§ 3). Пусть п есть степень IK : JP ] и {xi, хг, ..., хп} — базис поля К
над Jp. Тогда каждый элемент поля К представим единственным
образом в виде atXi + а2х2+ ... -\-апхп, аг ? Jp. Так как каждый
элемент аг может независимо от других принимать р значений
(поскольку Jp является полем, содержащим в точности р элемен-

102 Гл. П. Элементы теории полей
тов), отсюда следует, что число элементов в К равно рп. Таким
образом, число элементов поля Галуа характеристики р всегда
является степенью р.
Отметим, что подобные рассуждения можно применить для полу-
получения следующего результата: если k — поле Галуа, состоящее
из т элементов, и К — конечное расширение поля k степени п,
то К состоит из тп элементов (и будет поэтому также полем
Галуа).
Элементы поля К, отличные от 0, образуют мультипликативную
группу порядка h = р11— 1. Поэтому х11 ~ 1 для всех элементов х
этой группы, а следовательно, хрп — х = 0 для всех элементов х
поля К (включая 0). Так как степень полинома Хрп— X равна
числу элементов поля К, мы получаем, что полином Х^п — Х
полностью разлагается на линейные множители в К\Х] и что
Х*п-Х= ff(*-ai). A)
г=1
где аь а2, . . ., арП — все элементы поля К. Отсюда следует также,
что К является полем разложения над Jp полинома Хрп ~ X
и будет поэтому нормальным расширением поля Jp (§ 6, теорема 13).
Следовательно, в силу теоремы 12 (§6), любые два поля Галуа с оди-
одинаковым числом элементов (а поэтому и одной и той же характерис-
характеристики р) изоморфны.
Поле Галуа, имеющее рп элементов, обозначается через GF (рп).
Существование полей GF (р") для любого простого числа р и любого
целого числа п следует из существования полей разложения (§ 6).
Именно, легко показать, что любое поле разложения полинома
ХрП — X над Jp будет на самом деле полем GF (рп). Доказательство
следующее:
Пусть К — некоторое поле разложения полинома ХрП — X
над Jp и A) — разложение полинома ХрП — X на линейные мно-
множители в К [X ]. Так как производная полинома ХрП — X равна — 1,
каждый аг будет простым корнем для ХрП — X (§ 5, определение 3,
следствия 1 и 2). Отсюда рп элементов at различны. Если at и а; —
любые два корня полинома ХрП — X в К, то (а4 — а^)рП =
= сц —щ =аг — а;, (а4 а;-) = сц а) =а4а;-, если, кроме того,
а;. ф 0, то справедливо также равенство (aj1)!5" = aj1. Другими
словами: ai — a3-, aL aj и (если а,- Ф 0) также aj1 являются
корнями полинома ХрП — X в К и поэтому принадлежат множеству
{аь а2, ..., арП). Следовательно, это множество будет подполем К'
поля К, и К' — поле Галуа из р™ элементов. Ясно, что Jp CZ К',
и тогда К' = JP (cti, a2, ..., aPn) = К, как и утверждалось.

§ 9. Теорема о примитивном элементе 103
Теорема 18. Мультипликативная группа поля Галуа
GF (рп) циклическая.
Доказательство. Пусть h = q\i qTi. . . qr™ — разло-
разложение на простые множители порядка h мультипликативной группы
поля GF(pn){h = pn-l), hi = h/qi. Полином Хн-\ имеет
не более чем hi корней в GF [рпH. Так как hi < h, то существуют
элементы, отличные от нуля, в GF (рп), которые не являются кор-
корнями этого полинома. Выбираем такой элемент pt для каждого
/ = 1,2, .. ., т и полагаем yi — $h/qi\ у = у±у2. . . ут. Мы имеем
г/**г=1, откуда вытекает, что порядок элемента г/{ — делитель
qr> (см. гл. I, § 3) и является поэтому степенью qaA, в4<;г4.
С другой стороны, yi1 = Pil ф 1. Следовательно, у% в точ-
точности порядка q\. Мы утверждаем, что h есть порядок элемен-
элемента у. Предположим, что это не так. Тогда порядок элемента у
будет собственным делителем h и поэтому делителем по крайней
мере одного из т чисел hlqit например hlqi. Тогда 1 = yh/^ =
= y\lqiy\lu-¦ ¦У^п4'1- Если теперь 2<t<m, то а\1 делит hlqu
а поэтому y'l/9l=\. Таким образом, у\1^—\. Это означает, что
порядок элемента у^ должен делить hlqit что невозможно, так как
порядок элемента ух равен q\^.
Циклическая подгруппа мультипликативной группы поля
GF (рч), порожденная элементом у, будет поэтому порядка h, рав-
равного порядку мультипликативной группы поля GF (р"). Следова-
Следовательно, у есть образующая этой последней группы. Это завершает
доказательство.
§ 9. Теорема о примитивном элементе. Пусть А — алгебраичес-
алгебраическое расширение поля k. Некоторый элемент а поля Д называется
примитивным элементом поля А/А, если А = k (a).
Теорема 19. Каждое конечное сепарабельное расширение А
поля k имеет примитивный элемент (а, следовательно, каждое
такое расширение является простым расширением).
Доказательство. Докажем здесь эту теорему «методом
введения неизвестных», принадлежащим Кронекеру. Мы проведем
доказательство лишь для того случая, когда k имеет бесконечно
много элементов: если k — конечное поле, то А также будет конеч-
конечным (см. § 8), а тогда, как мы знаем из предыдущего параграфа,
каждый ненулевой элемент поля А является степенью некоторого
единственного элемента Э. Этот элемент Э и будет тогда примитивным.

104 Гл. II. Элементы теории полей
Пусть А = к (сц, а2, ... ,Оп). Мы присоединяем к Д п + 1 «неиз-
«неизвестных» X, Xi, X2, ..., Хп, т. е. рассматриваем кольцо поли-
полиномов Д [X, Xi, . . ., Хп ] и его поле частных А {X, Xit . .. ,Хп). По-
Положим k* = k(XuX2, ..., Хп), Д* = Д(ХЬ Х2,...,Хп). Тогда
Д* = к* (сц, а2, .. ., а„), и А* будет конечным алгебраическим сепа-
рабельным расширением поля k*, так как аи будучи сепарабель-
ными над к, сепарабельны также и над к* (см. § 5, лемма 2). Рас-
Рассмотрим в А* элемент
а11. A)
Пусть F (X) — минимальный полином для а* в к* [X]. Коэффи-
Коэффициенты полинома F (А) являются рациональными функциями от Х±,
Х2, . .., Хп с коэффициентами из к. Если g (Xi, X2, ..., Хп) — общий
знаменатель этих функций, причем^(Хи Х2, -.., Хп) есть элемент
из k \Хи Х2, ...,Хп\, то g(Xit X2, ...,Xn) F(X)f(
Х2, ..-, Хп) g k[X, Xi, X2, ...Д„], и мы имеем
f{a*,XuXt,...,Xn) = 0. B)
Пусть
G(Xlt Х2 Xn) = f(X1a1 + Xia2+ . . . +Хпап, Х„ Х2, ..., Хп).
C)
Тогда G (Xi, Х2,. . ., Хп) — полином от Л"ь Х2, ..., Хпс коэффициен-
коэффициентами из Д и G (Хи Х2, ... ,Хп) = 0 в силу B). Поэтому все частные
производные dGldXi, i = \, 2, ...,п, также равны нулю. Из C)
мы имеем тогда
af (а*, Х1г Х2, ...,Хп) + /t (а*, Xlt Хй, . . ., Хп) = 0,
«=1,2 п, D)
где
f'fYYY Y \ df (X, Xj, Х2, ¦ ¦ ¦, Хп)
I (Л, Лх, Л2, . . . , Лп) — ^ ,
f /Y Y Y Y ^ ^f (X, X-i, X2, . . . , Хп)
/iVA,A1, Л 2, ...,Лп) — ^~ .
Левая часть в каждом из уравнений D) в силу A) будет полиномом
из А [Хи Х2, ..., Хп], а следовательно, является нулевым поли-
полиномом. Поэтому уравнения D) останутся справедливыми, если
вместо Хи Х2, ..., Хп подставить любые элементы поля к. С другой
стороны, f'{X, XiyX2,..., Xn)=g(Xi, X2,...,Xn)F' (X), а поэтому
f (a*, Xi, ..., Xn) =#=0, так как a* сепарабелен над к* и, следова-
следовательно, F' (а*) Ф 0. Значит, /' (а*, Хи Х2, ..., Хп) — ненулевой
полином из А [Хи Х2, . . ., Хп]. Так как Ас А и k — бесконечное
поле, можно найти такие элементы си с2, ..., сп в k, что (с и с%,..., сп)
не будет нулем этого полинома (гл. I, § 18, теорема 14). Имеем

§ 10. Характеристические полиномы поля. Нормы и следы
105
тогда, полагая
что
= с1а1 + е2а2+ ... + спап,
Г (а, сх, с2, ...,сп)ф0
E)
а4 /' (а, с17сг, . .., сп) + /i (а, съ с2, .. ., сп) = 0,
1 = 1,2, ..., п. F)
Уравнение F) и соотношение E) означают, что a^k (а), и, так как
а ? Д, отсюда следует, что Д = k (а). Это завершает доказатель-
доказательство теоремы.
Замечание. Теорема 16 (§6) является непосредственным
следствием доказанной выше теоремы о примитивном элементе, пос-
поскольку, как было отмечено в начале доказательства теоремы 16,
эта теорема очевидна, если L — простое расширение поля k.
§ 10. Характеристические полиномы поля. Нормы и следы.
Пусть К — конечное алгебраическое расширение поля k степени п
и х — любой элемент поля К- Если выбран базис со)( со2, ¦••< ^п
в Klk, то можно записать
Х(д; =
, i=\, 2, . .., п,
или в матричном обозначении
где А — матрица || atj || и Q — матрица из одного столбца
A)
A')
Элементы ai}, а следовательно, и матрица "'Л однозначно опреде-
определяются элементом х и базисом Q. Будем обозначать через | В \ опре-
определитель квадратной матрицы В. Тогда из A) следует, что
\xE-A =0,
B)
где Е — единичная матрица порядка п.
Полином \ХЕ —• А | приведенный, степени п и его коэффи-
коэффициенты принадлежат k. Уравнение B) означает, что х является кор-
корнем этого полинома. Нетрудно видеть, что для данного элемента х
поля К этот полином не зависит от выбора базиса {соь со2. ¦ ¦ -, }

106 Гл. П. Элементы теории полей
В самом деле, пусть {со^, со^ •••> шп} —некоторый другой базис
п п
поля Klk. Тогда имеем, что оц= 2 &ц aj> cot=2 Ь'ц coj,
3=1 3=1
i —¦ 1, 2, ..., л, где biy и fry —элементы поля k. Если Q' обозна-
обозначает матрицу из одного столбца
со,
со„
и В, В'—квадратные матрицы ||Ь^-|| и ||bij|| соответственно,
то приведенные выше соотношения можно в матричном виде запи-
записать следующим образом:
Q' = BQ, Q = B'Q'. C)
Из C) следует, что Q = СО, где С — матрица В'В. Так как эле-
элементы базиса Q линейно независимы над k, С обязательно будет
единичной матрицей Е, а поэтому В — невырожденная матрица
и В' = В'1. Далее, рассматривая базис {cOj, a'2, ..., (о'„}, получим
соотношения, подобные (Г): xQ' = A'U'. Следовательно, по C)
xBQ = A'BQ, или Вхп = А'Вп, а поэтому, в силу (Г), BAQ =
= A'BQ. Опять используя то, что coi, co2, •••, ®п линейно незави-
независимы над к, мы видим, что соотношение В АО. = А'ВО влечет
за собой ВА = А'В, т. е. А' = ВАВ~1. Поэтому матрица ХЕ — А',
аналогичная матрице ХЕ — А, относительно базиса Q' будет иметь
вид ХЕ — ВАВ'1. Так как ХЕ коммутирует с любой квадратной
п-матрицей, то ХЕ — А' = В^ХЕВ — ВАВ'1 = В(ХЕ — А)В~\
а следовательно,
\ХЕ-А'\ = \В\-\ХЕ-А\-\В-1\ = \ХЕ-А\,
что и доказывает наше утверждение.
Полином | ХЕ — А | называется характеристическим полино-
полиномом элемента х относительно k, или над k. Подчеркнем, что харак-
характеристический полином элемента х над k зависит не только от х,
но также от поля К. Эта зависимость видна уже из того, что степень
характеристического полинома всегда равна степени п поля Klk.
В частности, характеристический полином элемента х не обяза-
обязательно будет минимальным полиномом для х над k.
Отметим, что если К рассматривается как векторное простран-
пространство над k, то в терминах линейной алгебры характеристический
полином элемента х над k будет характеристическим полиномом
линейного преобразования, определяемого соответствием z -» zx,
?K

§ JO. Характеристические полиномы поля. Нормы и следы 107
Пусть
— характеристический полином элемента х над k. Раскрывая опре-
определитель | ХЕ — А |, находим
п
fli=-Sa«, D)
ап = (-1)*|Л|. E)
Положим
Норма K/hx = NK/h (х) = (- 1)" ап = \ А \, F)
П
След к/к х = TKJh (x) = — ах = 2 ан• G)
Индекс Klk часто будет опускаться, когда это не приводит к недо-
недоразумениям.
Нормы и следы подчиняются следующим законам:
а) N(xy) = N(x)-N(y).
б) Если х g k, то N (х) = Xй.
в) Т(* + у) = Т(*) + Т(у).
г) Т(сх) = сТ(х), c?k.
д) Если х ? А, то Т(л:) = /г*.
Доказательство. Если для данного базиса Q поля Klk
имеем xQ = ЛО и уп = ВО,, то (л: + г/)О = (A + B)Q и a:i/Q =
= В АО.. В силу определения следов и норм соотношения а) и в)
следуют отсюда непосредственно. Если х ? k, то А — диагональ-
диагональная матрица хЕп, что и дает соотношения б) и д). Свойство г) прямо
следует из D) и G).
Норма и след элемента х из К тоже зависят не только от х и А,
но и от поля /С.
Пусть А — конечное расширение поля К степени m и х — про-
произвольный элемент из К". Если считать х элементом поля А, то можно
рассмотреть след Тд/ь (х) и норму N^/h (x). Как было отмечено выше,
эти след и норма должны быть отличны от TK/h (x) и NK/h (x).
Мы докажем теперь следующие соотношения:
(8)
(9)
Для доказательства выбираем базис {со1; со2, ..., со„} поля
и базис {|i, 12, ..., lm} поля А/К- Тогда пгп произведений со,!^
образуют базис поля A/k (см. § 3, теорема А, стр. 77). Упорядо-
Упорядочим эти произведения следующим образом: со^ предшествует
Щ'1г, если / < /' или если / = /' и i < i'; обозначим эти произведе-

108 Гл. П. Элементы теории полей
ния в таком порядке через ?ь ?2, •••, ?лг, N = тп. Матрицы Q
и Z состоят из одного столбца и имеют в качестве элементов соь
а>2, . ¦ ¦, юп и ?i, ?2. • •. 1 ?n соответственно. Пусть xQ = Л Q и zZ =
= CZ, так что А и С — квадратные матрицы с элементами из k,
имеющие соответственно п и тп строк. Отметим, далее, что если
п п
Л=||а^||, откуда хаг = 2а^со;, то хв>г1а= J\ а^а>,-1а-
Л'
Следовательно, если со^а = ^ A < ц,< ./V), то *?ц = 2 cnv?v,
где c^v = atj, если n делит одновременно \х — i и v •— /и абсолют-
абсолютная величина разности |л — v будет меньше п (или, что эквивалентно,
если \л — i = v—/ = 0 (modn)), и с^ = 0 в остальных случаях.
Это означает, что С имеет следующий вид: она получается из еди-
единичной m-матрицы Ет заменой каждого диагонального элемента 1
на матрицу А и каждого другого элемента матрицы Ет на нуле-
нулевую n-матрицу; символически С = Ат). Отсюда сразу же следует,
что сумма диагональных элементов матрицы С равна т раз взятой
сумме диагональных элементов матрицы А и что \С\ = | А \т.
Это и дает (8) и (9).
Другое доказательство равенств (8) и (9) можно найти в конце
этого параграфа.
Пусть / {X) — характеристический полином элемента х над k,
когда х рассматривается как элемент поля К, и F(X) — характе-
характеристический полином элемента х над k, когда х рассматривается
как элемент поля Д. Из предыдущих рассуждений имеем, что
F(X) = \(XE — А)™ \(==\ХЕ — С\), а значит,
F(X) = lf(X))m. A0)
Как следствие равенства A0) можно доказать теперь такую теорему:
Теорема 20. Если g (X) — минимальный полином элемента х
над k, то / (X) будет степенью полинома g (X) и f (X) = g (X) в том
и только том случае, когда х — примитивный элемент поля К
над k (т. е. когда К = k(x); см. § 9).
"Доказательство. Пусть g {X) имеет степень s и gi(X) —
характеристический полином элемента х, когда он рассматривается
как элемент поля k (x). Так как [k (x) : &] = s, то отсюда следует,
что giPO тоже имеет степень s. Так как х является корнем gi(X),
a g{X) — минимальный полином элемента х, то (см. § 2, теорема 1)
g{X)=gl(X) (поскольку g и gi оба являются приведенными поли-
полиномами). Таким образом, мы показали, что если х рассматривается
как элемент поля k (x), то минимальный полином элемента х в k[X]
совпадает с характеристическим полиномом элемента х над k.
Это доказывает первую часть теоремы [нужно применить равен-

§ 10. Характеристические полиномы поля. Нормы и следы 109
ство A0), заменяя К на k (л:) и А на КА, а также достаточность второй
части теоремы. Равенство A0) и то, что g{X) является характери-
характеристическим полиномом элемента х над k, если х рассматривать как
элемент поля k(x), дают равенство / (X) = [g (X) ]m, где т =
= [К '¦ k {х) ]. Следовательно, если / {X) = g {X), то т = 1 и поэтому
К = &(л:). Необходимость, таким образом, доказана.
Характеристический полином f (X) элемента х над k(x?K)
можно интерпретировать как норму. Рассмотрим для этой цели
поле К {X) и отметим, что алгебраическое замыкание поля k (X)
в К(Х) содержит К (так как К — алгебраическое расширение поля k)
и X [так как X?k(X)], а следовательно, совпадает с К(Х).
Другими словами: К {X) является алгебраическим расширением
п
поля k(X). Более того, так как К= 2 k-wi = k(a>i,w2,..., a>n),
i=l
мы имеем К {X) = k (X) (со1; со2, ..., соп), а поэтому (см. § 2, теорема 2)
К (X) = k {Х)Ыи со2, .... <dJ = *(JQ/C= S A (X)-cOi. Это означает,
г=1
что coj, со2, ..., со„ будут также базисом и поля К (X) над ?(Л"),
если только показать, что элементы со линейно независимы над k (X).
Но это сразу же следует из линейной независимости элементов со
над k и из того, что X транецендентен над k (со^ со2, .. ., сол). Итак,
доказано, что К (X) — конечное алгебраическое расширение поля
k(X), что [К(Х) : k(X))=\K: k] = n и что {соь со2, ..., ©„} —
базис поля К{Х) над k(X). Далее, (X — х) п = XQ — AQ =
= (ХЕ — A)Q, где Q — матрица из одного столбца
со,
Отсюда следует, что Ыщхущх) (X — х) = | ХЕ — А \ = f (X), т. е.
характеристический полином элемента х над k, когда х рассматри-
рассматривается как элемент поля К, является нормой элемента X — х
над k(X), когда Х — х рассматривается как элемент поля К(Х).
Мы закончим этот параграф выводом выражения для следа
и нормы элемента х, содержащего сопряженные к х элементы (в неко-
некотором нормальном расширении поля k, содержащем К). В силу фор-
формул (8) и (9), достаточно разобрать случай, когда K = k(x). Пусть
/(X) = Xn + atXn+ . .. -\-ctn — минимальный полином элемента х
над k. Рассмотрим некоторое нормальное расширение К' поля k,
содержащее k (x) [например, наименьшее нормальное расширение,
-содержащее k(x)]. Пусть
f(X)= П(Х-хО,

ПО Гл. II. Элементы теории полей
где xi б К' (xi = x), откуда
п
«1= - 2 *i. A1)-
i = l
«,-(- 1)ПП V A2)
i = l
Так как мы уже знаем, что / (X) — также характеристический
полином элемента х над k (теорема 20), то, в силу формул F) и G),
N(x)=\]Xi, A3)
Если х сепарабелен над k, то лг1; х2, . . ., хп различны и, таким обра-
образом, норма и след элемента х равны соответственно произведению
и сумме сопряженных к х (в К')- Если х несепарабелен над k и я0,
и ре — соответственно сепарабельный и несепарабельный множи-
множители степени п полинома f(X), то (§ 6, теорема 11)
и х имеет лишь п различных сопряженных. Из A3) и A4) следует, что
N(x) = {]\x$\ A5)
7'(х) =р<-A' *4)-0. A6)
Следствие. Если К — конечное расширение поля k и х —
некоторый элемент поля К, несепарабельный над k, то TK/h (x) — 0.
Это сразу следует из соотношений A6) и (9).
Мы получим сейчас другое выражение для NK/k (x) и TK/k (x)
в случае, когда К — конечное алгебраическое расширение поля k
\\ х — элемент поля К. Пусть т — [К '¦ k], пг0 = [К : k]s, pf =
= \К '¦ k]it а п, п0 и ре — соответствующие степени для k [x) вместо
К. Пусть К* — наименьшее нормальное расширение поля k, содер-
содержащее К, {qv, i— I, 2, ..., т0} — множество ^-изоморфизмов
поля К в К* и {Xj; /=1,2, ..., п0} — множество различных сопря-
сопряженных к элементу х в К* (один из них, например xb есть сам х).
По лемме 2 (§ 6) каждый из п0 ^-изоморфизмов поля k (x) в К*
имеет в точности то/по продолжений среди ц>г. Следовательно,
каждый из сопряженных Xj элемента х встречается то1по раз во мно-

§ 10. Характеристические полиномы, поля. Нормы и следы 111
жестве {хщ, хц>2, ¦ • •, *срто}. Поэтому
то по
П х^ = ([\х^'п\ A7)
г=1 }=\
2 х<рг = т0/п0- Yi х\- О8)
г=1 i=l
Из (8) и (9), если К и Д заменить на & (д:) и К соответственно, полу-
получаем
TK/h (х) = mopf/nope ¦ THx)/h (x),
а следовательно, в силу равенств A5) и A6),
Nkih (х) = (I U<p/ , A9)
t=i
TK/h(x)^p' Г*Фг- B0)
i=l
Это и есть нужные выражения для нормы и следа элемента х; они
являются обобщениями выражений A5) и A6) со случая К = k (x)
на случай произвольного конечного алгебраического расширения
поля k.
Используя выражения A9) и B0), можно получить следующий
закон транзитивности для норм и следов: если k CZ L d A — no-
следовательные конечные алгебраические расширения поля k и х - -
некоторый элемент поля А, то
Nb!k(x) = NL/h(Nb,L(x)), B1)
). B2)
При доказательстве мы будем использовать обозначения, приня-
принятые при доказательстве леммы 2 из § 6. Можно предположить, что
я|), — тождественный автоморфизм поля К- Тогда, в силу A9) и B0).
NL/h (NA/L(x)) = ( П (ЛГд/l (дс) ^,))Р , рР = [L : *]t,
3=1
или
П ляр*Ч»у) • B3)
3=1 i=l

112 Гл. II. Элементы теории полей
Далее, мы знаем из доказательства леммы 2 § 6, что ограничение
произведений cpti|K- на А различны и дают все ^-изоморфизмы поля А
в К- Кроме того, из следствия 2 теоремы 16 § 6 нам известно, что
ра+р = [д : k\. Поэтому B1) вытекает из B3) ввиду выражения
нормы, полученного в A9) (и примененного к полю А вместо К)-
Доказательство равенства B2) полностью аналогично.
Отметим, что соотношения (8) и (9) можно получить как след-
следствия из B1) и B2). В (8) и (9) элемент х принадлежит конечному
алгебраическому расширению К поля k и А является конечным
алгебраическим расширением поля К степени т. Норма N А/К (х)
и след ТА/К (х) равны хт и тх соответственно, так как х принадле-
принадлежит К- Следовательно, NA/k (х) = NK/k (xm) = {NK/h (x))m и TA/h (x) =
= TK/h (тх) = mTKjh (х).
§ 11. Дискриминант. Пусть К— алгебраическое расширение
поля k степени п и {wu со2, • ¦ •, <»я} — базис поля Klk.
Определение. Определитель
d = |T(fl)i.a)}-)| A)
называется дискриминантом базиса {a>i, co2, ..., со„}.
Дискриминант некоторого базиса {соь со2, • - •, ^} поля
б d { }
р { }
будет обозначаться также через d {соь со2, ••¦> «п} или
d/h {©1,@2, . • -, «7i}-
Если {o)j, cog, ..., и>'п} — другой базис поля Klk, то
и
Т (со • • со j) = 2 aiaa^T (coa • сор).
а.р
Следовательно, если d' —дискриминант d {a>[, щ, ...,соп} нового
базиса, то имеем следующее соотношение (из правила умножения
определителей):
d' = d-\A\\ B)
Следствие. Если дискриминант одного базиса равен нулю, то
дискриминант каждого базиса равен нулю.
Поэтому выражение «.дискриминант поля Klk равен нулю
(не равен нулю)» имеет смысл. Здесь под дискриминантом поля
Klk понимается дискриминант любого базиса поля Klk. Ввиду B)
дискриминант поля Klk определен лишь с точностью до множителя,
который является квадратом произвольного ненулевого элемента
поля k (произвольного потому, что если а — любой элемент поля
k, а Ф 0, и если положить coj = асо,, он = со4, i = 2, 3, . . ., п,
то (?>[, cOj, . . ., со^ будет базисом поля Klk, и в этом случае | А | = а).

§ 11. Дискриминант 113
Теорема 21. Дискриминант поля Klk равен нулю в том
и только том случае, когда Т(|) = 0 для всех g из К-
Доказательство. Достаточность условия теоремы очевид-
очевидна. Предположим теп ерь, что d=0. Тогда можно найти такие пэлемен-
товС},с2, . .., сп, не равных одновременно нулю, что^с^Т (со^) = О
для i = 1, 2, . .., п. Положим г = 2 cj°y Тогда г^О и мы имеем
i
Т (cDjZ) = 0, i = 1, 2, . .., п. Отсюда следует, что Т (yz) = 0 для
всех у в К- Если |? К, то, положив y — \lz, мы получим Т(?) = 0,
что и требовалось доказать.
Следствие. Если дискриминант поля Klk равен нулю,
то k имеет характеристику р Ф 0 и п делится на р.
Результат очевиден, ибо Т A) = п.
Чтобы получить дальнейшие результаты о дискриминанте, мы
возвратимся к понятию характеристического полинома, введенному
в § 10. Пусть Ко — максимальное сепарабельное расширение поля k,
содержащееся в К (§ 5), и п = nQpe, где п0 = [Ко ¦ Щ- Для
любого элемента I поля Ко мы имеем ТК/ь. (?) = p"TKo/h (l) [см. (9)
§ 10]. Если К — несепарабельное расширение поля к, т. е.
если е>1, то это означает, что ТК/к (|) == 0 (??/@). Если | при-
принадлежит К, но не принадлежит Ко, то ? несепарабелен над k,
а следовательно, опять TK/fe (|) = 0в силу следствия на стр. ПО.
Таким образом, доказано, что если К — несепарабельное расшире-
расширение поля k, mo TK/k (|) = 0 для всех ? б /С; поэтому ввиду теоремы 21
дискриминант поля Klk равен нулю.
Рассмотрим теперь случай, когда К является сепарабельным
расширением поля k. Пусть Д — наименьшее нормальное расши-
расширение поля k, содержащее К (§ 6), ит4 (=1), т2, . . ., хп — различные
А-изоморфизмы поля К в Д (§ 6, теорема 16). Пусть х — произ-
произвольный элемент поля К и хг = хх{. Каждый элемент х% является
сопряженным к х над k, и каждый сопряженный элементу х в К
совпадает с одним из элементов хь (§ 6, теорема 15). Однако п
элементов х-х не обязательно различны. Если имеется v изоморфиз-
изоморфизмов хг, которые оставляют х инвариантным, то сам х, а также
и каждый сопряженный к х элемент встречается точно v раз во мно-
множестве {хи х2, ¦ ¦ ., хп}. Тогда х имеет лишь т различных сопряжен-
сопряженных над к, где т = n/v, и т будет также степенью минимального
полинома g (X) для х над k. Далее, если / (X) — характеристический
полином элемента х над k (здесь х рассматривается как элемент
поля К), то, как мы знаем из § 10, формула A0), / (X) = \g(X)]v.
Отсюда следует, что
.n

114
Гл. //. Элементы теории полей
Из этого разложения сразу получаем, что
п
Тк/h Iх) — Zj xi i
i=l
n
NK/h{x)= Ц xt.
C)
D)
Эти формулы подобны формулам A3) и A4) из § 10, которые были
получены в частном случае К = k (x).
Используем теперь формулу C) следующим образом.
Пусть {соь со2, . . . ,со„} —некоторый базис поля Klk и ш[а> ---
п
= оо{т;а, а = 1, 2, . . ., п. Тогда Т(со4со.) = 2 Ца)ш<а). Отсюда
a=l
при помощи правила умножения определителей получаем следую-
следующее выражение для d (cd1( ш2, ¦ ¦ ¦ ,«7i)-"
щ
со:
A) '
со
<п)
Так как /С сепарабельно над ^, то для Klk существует примитивный
элемент (§ 9). Пусть это будет л:. Тогда 1, х, х2, . . . ,л:'"х являются
базисом поля Klk, и формула E) дает
d{\, х,
1
1
1
хг
х2
хп
х2
Х1 ¦
х\ ¦
xl .
.. х™ 1
П-1
• • An
F)
где Art = ххг. Определитель Вандермонда в правой части равен-
равенства F) отличен от нуля, так как лгь х2, . . . ,хп — различные эле-
элементы (поскольку х сепарабелен над k и п — степень поля k (x)
над k). Следовательно,
d{\, х, х\ ..., Xя'1) ФО.
Нами доказана, таким образом, следующая
Теорема 22. Дискриминант поля Klk равен нулю в том
и только том случае, когда К — несепарабельное расширение поля k.
Следствие. К является сепарабельным расширением по-
поля k в том и только том случае, когда существует такой элемент х
в К, для которого TK/k (x) Ф 0.
Это непосредственно следует из теорем 21 и 22.

§ 12. Трансцендентные расширения 115
Замечание. Если, как и выше, х — примитивный элемент
сепарабельного расширения KIk степени п и g (X) — минимальный
п
полином элемента х над k, то g (X) = JJ (Х — хг), g' (хг) =
= П {Xi — Xj) и N (g'(x)) = ]J J] (л^—л^J. Следовательно, вычис-
ляя определитель Вандермонда F), получаем
d{\,x,x\ ...,x^) = [\ [I {Xi-x.y = N(g'{x)). G)
§ 12. Трансцендентные расширения. Расширение К поля &
называется трансцендентным, если оно не алгебраично, т. е. если
К содержит элементы, трансцендентные над k. Примером транс-
трансцендентного расширения поля k является поле рациональных функ-
функций от п неизвестных над k, т. е. поле частных &(ХЬ Х2, . . ., Хп)
кольца полиномов k\X\, Х2, . . ., Хп ] от п неизвестных (п>1)
над k, или также любой ^-изоморфный образ k(Xi, x2, ¦ ¦ ¦, хп) поля
k (Xi, X2, • - ., Хп), гдедгь х2,. . ., хп алгебраически независимы над k
и k[Xi,Xi, . . .,хп] является кольцом полиномов над k (гл. I, § 18).
Ясно, что любое расширение некоторого трансцендентного рас-
расширения поля k само будет трансцендентным расширением k.
Определение алгебраической независимости над k, данное
в гл. I, § 18, можно распространить на бесконечные множества
элементов. Если К — некоторое расширение поля k и L ¦— под-
подмножество в К, то элементы из L называются алгебраически неза-
независимыми (а. н.) над k, если каждое конечное подмножество в L
состоит из элементов, которые алгебраически независимы над k.
Такое множество L будет называться трансцендентным множест-
множеством (над k).
Мы будем использовать терминологию и обозначения, введен-
введенные в гл. II, § 1 и 5. Если К можно получить из k присоединением
элементов некоторого трансцендентного множества L, то про К
говорят, что оно является чисто трансцендентным расширением
поля k. Примером чисто трансцендентного расширения поля k
может служить поле k (Xit X2, . . ., Хп) рациональных функций от п
переменных над k. Для данного целого п любые два поля, которые
можно получить из k присоединением п алгебраически независимых
элементов (и которые будут поэтому чисто трансцендентными рас-
расширениями поля k), ^-изоморфны (см. гл. I, § 18, теорема 12,
следствие 1; гл. I, § 19, теорема 16).
Пусть L — трансцендентное множество в KIk, x — элемент
поля К, не принадлежащий L, a L' состоит из а: и элементов L.
Лемма. L' будет трансцендентным множеством в том
и только том случае, когда х трансцендентен над k(L).

116 Гл. П. Элементы теории полей
Доказательство. Предположим, что х трансцендентен
над k (L), и пусть Xi, х2, ¦.., Хп — любые элементы из L'. Если все xi
принадлежат L, то они а. н. над k. Предположим, что хп = х,
и пусть f(Xit Х2, ..., Хп) — полином с коэффициентами из к, для
которого f(xi,x2,...,xn) = 0. Тогда х будет корнем полинома
f(xi,x2, ...,Xn-i,X) в k(xbx2,.. .,xn-i)[X]. Этот полином должен
быть равен нулю, так как х трансцендентен над k (L). Следовательно,
если / (Х1г Х2, ..., Хп) = А 0 {Xlt Xt, ..., Xn_t) Xg+...+Ag (Xt,
X2, ... ,Xn_i), то справедливы равенства Аг(хих2, ¦ ¦ ¦, *n-i) = О,
i = 0, 1, .. ., g. Так как хи х2, ..., *n-i а. н. над к, то полиномы
А^ (Хи Х2, . . . ,Xn-i) должны быть нулевыми. Это означает, что
f(Xi, Х2, ..., Хп) также будет нулевым полиномом. Обратно, пред-
предположим, что L' — трансцендентное множество. Пусть F (X) —
такой полином в k(L)[X], для которого F (х) — 0. Так как число
коэффициентов полинома F (X) конечно, то существует такое под-
подмножество Li множества L, что эти коэффициенты принадлежат
уже k (Li). Пусть хи х2, . . ., хп — элементы из Li. Если F (X) =
= а0Х°-J-aiX9'1 -j- • • • +ag, то можно записать ai в виде отношений
полиномов из k[Xi, x2, ..., хп] с общим знаменателем,
„ А\ КХ\> Х2> ¦ ¦ ¦ 1 хп) j /-11
D (Xi, X%, . . . , Хп)
Если положить
f{XvXv ...,Хп,Х) = А0(Х1,Х2> ...,Хп)Х° +
+ А1 (Xlt Х2, ..., XJ Х°~1+ ...+Ag (Xv X2) ..., Хп),
то / будет полиномом с коэффициентами из k, и из того, что F (х) = 0,
следует, что f(xu х2, .. .,хп, х) = 0. Так как V — трансцендентное
множество, элементы хи х2, .. ., хп, х будут а. н. над k, а следова-
следовательно, f(Xu Х2, . .., Хп, X) = 0. Это означает, что А^Хи Х2, . . .
..., Хп) = 0, i = 0, 1, ..., g, откуда также ai = 0, i = 0, 1, ..., g,
т. е. F (X) = 0. Доказано, таким образом, что х трансцендентен
над k(L), что и завершает доказательство леммы.
Определение 1. Трансцендентное множество L в К
называется базисом трансцендентности поля KIk, если оно макси-
максимально, т. е. если L не является собственным подмножеством
никакого другого трансцендентного множества.
Из предыдущих рассмотрений сразу следует, что трансцендент-
трансцендентное множество L будет базисом трансцендентности поля KIk в том
и только том случае, когда К является алгебраическим расширением
поля k (L).
Начиная отсюда, мы включим наши дальнейшие рассмотрения,
касающиеся алгебраической зависимости, в общую аксиоматическую
трактовку зависимости, как это было развито в гл. I, § 21. Это воз-

§ 12. Трансцендентные расширения Ш
можно, так как мы можем определить теперь «оболочку» s (X) под-
подмножества X поля К как алгебраическое замыкание поля k (X)
в К. Тогда сразу же видно, что условия SI — S5 теоремы 19 гл. I,
§ 21, выполняются. Действительно, ясно, что
51. Если XciY, то s(X)(Zs(Y).
52. Если х ? s(X), то существует такое конечное подмножество
Y множества X, что х ? s (Y).
53. X a s (X) для всех подмножеств X поля К-
54. s (s (X)) = s (X) (это просто выражает транзитивность алгеб-
алгебраической зависимости).
Проверим теперь условие S5:
55. Из соотношений у ? s (X, х) и у (J s (X) следует л: 6 s (X, у).
По условию ^2 существует такое конечное множество элементов
xitx2,.. .,хп в X, что у алгебраичен над k (хих2,.. .,хп,х). В этом
случае существует полином f(Xu Х2, .. ., Хп, Z, Y) с коэффициен-
коэффициентами из k, такой, что f{xu х2, Л ., хп, х, У)фО и f(xu х2, ..., Хп,
х, у) = 0. Положим / (Х4, Х2, ..., Хп, Z, У) = ij At (Х„ Л2, ...
i=0
..., Хп, Y)Zl. Заметим, что среди g+ 1 полиномов Ai{Xl, Х2, . ..
.. ., Хп, Y) не все нулевые, так как / (Хх, Х2, ..., Хп, Z, Y) —не-
—ненулевой полином. Поскольку y$s(X) [г. е. так как у транс-
цендентен над k(X),] то не все элементы Ai{xi, x2, ..., хп, у)
поля k(xi, x2, ..., хп, у) равны нулю. Поэтому f{xux2,...,xn,
Z, у) Ф 0, итак KaKf(xi,x2,.. .,хп, х, у) = 0, то х алгебраичен над
k(xi,x2,. ..,Xn,y),r. e.x?s(X, у), что и утверждалось.
Обобщим теперь теоремы 21 и 22 из гл. I, § 21, на случай мно-
множеств V, не обязательно допускающих конечную систему образую-
образующих. Напомним (гл. I, § 21), что предполагается заданным отобра-
отображение s множества всех подмножеств множества V в себя и что это
отображение удовлетворяет условиям S4 — S5. Напомним также
следующие факты: множество X называется порождающей систе-
системой множества V, если s (X) = V; X — свободное множество, если
для любого х ? X имеем х (? s{X — л:), и X — базис V, если оно
одновременно является порождающей системой множества V
и свободным множеством. В случае расширения К поля k множество
X будет порождающей системой поля Я", если К.— алгебраическое
расширение поля k(X), и свободным множеством, если оно будет
трансцендентным множеством (ввиду доказанной выше леммы).
Оно будет базисом поля K/k, если является базисом трансцендент-
трансцендентности.
В целях обобщения теорем 21 и 22 из гл. I, § 21, мы должны дать
несколько определений, относящихся к частично упорядоченным
множествам.

118 Гл. П. Элементы теории полей
Множество S называется частично упорядоченным, если в S
задано бинарное отношение -<, определенное для некоторых (не обя-
обязательно для всех) пар (а, Ь) элементов множества S и удовлетво-
удовлетворяющее следующим условиям: A) а -< а для любого элемента а
множества S; B) если а -< Ъ и b -< а, то а = Ь; C) если а < Ь
и b -< с то а -< с. Подмножество S4 множества S линейно упорядо-
упорядочено, если для любых двух данных элементов a, b из Si имеет место
по крайней мере одно из соотношений а -< b или b -<. а.
Пусть Si — подмножество частично упорядоченного множества
S. Элемент с множества S называется верхней гранью для St, если
а -< с для всех а ? St. Элемент а0 множества S максимален в S,
если из а0 -< а следует а0 = а.
Частично упорядоченное множество 5 называется индуктив-
индуктивным, если каждое линейно упорядоченное подмножество множества
S имеет верхнюю грань в S.
Лемма Цорна. Если частично упорядоченное множество S
индуктивно, то в S существуют максимальные элементы1).
Начнем теперь со следующего обобщения теоремы 21 из гл. I,
§21.
Теорема 23. Пусть L — свободное подмножество множества
V и S — система образующих для V. Существует такое подмно-
подмножество S' множества S, что L {J S' является базисом для V и
L Г) S' пусто.
Доказательство. Частично упорядочим при помощи
теоретико-множественного включения множество М всех таких
подмножеств Sa d S, для которых L f) Sa пусто, a L \J Sa есть
свободное множество. Множество М непусто, так как пустое
подмножество из S принадлежит М. Ясно, что М — индуктивное
множество [так как из свойства S2 следует, что любая возрастаю-
возрастающая последовательность свободных множеств имеет предел (объеди-
(объединение), который тоже будет свободным]. Пусть S' ¦— максимальный
элемент множества М. Тогда L f~) S' пусто и L \J S' — сво-
свободное множество. Мы покажем, что L jj S' является порождаю-
порождающей системой V и, следовательно, его базисом, что и будет завер-
завершать доказательство теоремы. Так как s(S) = V, то достаточно
показать, что Sds(L[jS') ввиду условий S1 и S4. Пусть х —
любой элемент множества S. Если х ? L \J S', то х ? s(L LJ S')
в силу S3. Предположим, что x$L\J S', и пусть (S1, х) = S".
Тогда L П S" пусто. Так как S' — собственное подмножество в S",
х) Доказательство леммы Цорна см., например, в книге Келли (К е 11 е у
J. L., General Topology, p. 33, University series in Higher Mathematics, van
Nostrand Co., Inc , Princeton, N. J., 1955). (См. также: Курош А. Г.
Лекции по общей алгебре, Физматгиз, 1962, стр. 27.— Прим. ред.)

§ 12. Трансцендентные расширения 119
то из максимальности S' следует, что L (J S", а поэтому и (L (J S', х)
не будет свободным множеством. Так как L (J S'—свободное
множество, отсюда вытекает, что x€.s(L{JS') (см. замечание
в конце доказательства теоремы 20 гл. I, § 21). Это завершает
доказательство.
Следствие 1. Если L — трансцендентное множество в K/k
и S — подмножество в К, такое, что К является алгебраическим
расширением поля k (S), то существует такое подмножество S' мно-
множества S, что L П S' пусто и L (J S' — базис трансцендентности
поля K/k.
Следствие 2. Любое подмножество S в К, такое, что К
является алгебраическим расширением поля k(S), содержит базис
трансцендентности поля K/k.
Нужно лишь применить следствие 1 к случаю, когда L — пустое
множество.
Следствие 3. Существуют базисы трансцендентности
поля K/k.
Для доказательства применяется следствие 2 при S = К.
Замечание. В случае векторного пространства V над полем
k теорема 23 гарантирует существование базиса (или векторного
базиса) пространства V над k.
Следующая теорема является обобщением теоремы 22 из гл. I,
§21.
Теорема 24. Любые два базиса множества V имеют одина-
одинаковые кардинальные числа.
Доказательство. Эта теорема была доказана в гл. I,
§ 21, в предположении, что существует по крайней мере один
конечный базис множества V. Будем поэтому теперь предполагать,
что каждый базис множества V бесконечен.
Пусть В — некоторый базис множества V и х — любой элемент
из V. По условию S2, существуют конечные подмножества Е мно-
множества В, такие, что x?s(E). Мы утверждаем, что существует
наименьшее конечное подмножество Ех множества В, для кото-
которого х g s (Ех) (и такое, что любое другое подмножество Е мно-
множества В со свойством x?s{E) содержит Ех). Чтобы убедиться
в этом, достаточно доказать следующее: если Е' и Е" — два под-
подмножества множества В, такие, что х ? s (?") |~] s (?"'), и если x$s (El)
для каждого собственного подмножества Е[ множества Е', то
Е' а Е". Предположим противное; пусть у — элемент множества Е',
не принадлежащий Е", и пусть Е'х обозначает множество Е' — у.
Получаем, что x^s(E[) и x?s(E[, у). Следовательно, по условиюS5,

120 Гл. П. Элементы теории полей
мы имеем включение у ? s (Е[, х). Так как x?s (?"'), то отсюда
следует, что у ? s(E[ (J ?"'). Это противоречит тому, что у§ Е[ (J Е"
и что Е[ (J ?"' [J {</} CZ В — свободное множество.
Пусть теперь В' — другой базис множества V. Рассмотрим
отображение х ->- Ех (х ? В', ЕхаВ), где ?х— конечное под-
подмножество множества В, определенное выше. Из теории множеств
известно, что кардинальное число множества В' не меньше карди-
кардинального числа множества (J Ех (так как каждое множество Ех
х е в'
конечно). С другой стороны, мы имеем В = [j Ex, так как
х ? В'
B'czs(\JEx),V=s(B') = s(\JEx),апоэтому подмножество {] Ех мно-
х? В'
жества В должно совпадать с базисом В. Следовательно, кардиналь-
кардинальное число множества В' не меньше кардинального числа множества В.
Меняя роли множеств В и В', мы получаем, что В я В' имеют оди-
одинаковые кардинальные числа. Это и требовалось доказать.
В качестве следствия получается такой результат:
Теорема 25. Любые два базиса трансцендентности поля Klk
имеют одинаковые кардинальные числа.
Замечание. В случае векторного пространства V над по-
полем k теорема 24 приводит к понятию размерности пространства V
над k как общего кардинального числа всех векторных базисов
для Vlk.
Определение 2. Общее кардинальное число различных
базисов трансцендентности поля Klk называется степенью транс-
трансцендентности поля Klk (сокращенно: ст. тр. Klk).
Ясно, что К является алгебраическим расширением поля k
в том и только том случае, когда ст. тр. Klk = 0.
Теорема 26. Пусть k cz К d A — последовательные рас-
расширения поля k. Тогда ст. тр. Alk = ст. тр. Д/К 4- ст. тр. Klk.
Доказательство. Пусть L и М — базисы трансцендент-
трансцендентности полей Klk и Д//С соответственно. Достаточно доказать,
что L U М будет базисом трансцендентности поля A/k. — Пусть
{Xi, х2, ¦ ¦ ¦, хт, у и у г, ¦ ¦ ¦ , Уп} — любое конечное подмножество
множества L \J М, где элементы хг лежат в L и у. в М. Пусть
/({X}, {Y}) =/(Хь Х2,..., Хт, Ylt Y2 Yn) -полином отт + п
переменных с коэффициентами из ky для которого f({x}, {y}) — 0-
Полином/({л:}, {Y}) от п переменных К}. с коэффициентами из К
должен быть нулевым, так как элементы у. а. н. над К. Поскольку
элементы xi а. н. над k, то отсюда следует, что f({X], {Y}), рас-
рассматриваемый как полином от {Y} с коэффициентами из k[{X}],
должен быть нулевым. Следовательно, f{{X], {Y}) = 0, и это пока-
показывает, что L [J M является трансцендентным множеством.

§ 12. Трансцендентные расширения 12 Г.
По предположению, К — алгебраическое расширение поляй(Ь).
Поэтому К (М) будет алгебраическим расширением поля k{L)(M)=
= k(L\J М). Но Д—алгебраическое расширение поля К(М).
Следовательно, Д будет алгебраическим расширением поля k {L \JM).
Это показывает, что L (J М является трансцендентным базисом
поля A/k.
Теорема 27. Пусть К и К' — два расширения поля k, содер-
содержащихся в некотором большем поле Q, и (К, К') — наименьшее подполе
поля Q, содержащее оба поля К и К'. Тогда ст. тр. (К, К')/К<.ст.
тр. K'lk и ст. тр. (К, Л")//г<ст. тр. %/k + ст. тр. К'Ik.
Доказательство. Пусть V — базис трансцендентности
поля К Ik. Мы имеем равенство (К, К') = К (К1). Так как каждый
элемент поля К' алгебраичен над k (L'), то (К, К') будет алгебраично
над i<"(L')- Поэтому, согласно теореме 24, L' содержит базис трансцен-
трансцендентности поля (К, К'IК- В таком случае имеем: ст. тр. (К, К'IК<
< ст. тр. К'Ik. Из предыдущей теоремы получаем: ст. тр. (К, K')lk =
=ст. тр. (К, К'IК + ст. тр. Klk. Это равенство вместе с написанным
выше неравенством и дает теорему.
Мы будем использовать термин «степень трансцендентности»
также и в случае областей целостности (не обязательно полей),
содержащих k. Если R — область целостности, R ZD k, и К —
поле частных кольца R, то полагаем ст. тр. R/k = ст. тр. Klk.
Отметим, что так как K — k(R), то существуют базисы трансцен-
трансцендентности поля Klk, которые являются подмножествами кольца R
(см. теорему 24, следствие). О таких базисах трансцендентности
поля Klk в дальнейшем будет говориться как о базисах трансцен-
трансцендентности' кольца R/k.
Две /fe-изоморфные области R и R'(kciR, k CZ R') имеют,
естественно, одну и ту же ст. тр. над k. Особенно важны в прило-
приложениях две теоремы, доказываемые ниже. ч'
Теорема 28. Пусть R и R' — области целостности, содер-
содержащие k. Если R' является k-гомоморфным образом кольца R, то
ст. тр. /?'/&<ст. тр. R/k.
Доказательство. Предположим, что существует А-го-
моморфизм х кольца R на R', и рассмотрим базис трансцендент-
трансцендентности V кольца R'/k. Для каждого элемента х' множества L' вы-
выберем такой элемент х в R, что х = хх1), и обозначим через L
г) Если L' — бесконечное множество, то при этом используется аксиома
выбора. Это рассуждение можно легко заменить другим, которое основано
исключительно на лемме Цорна и которое показывало бы существование
такого подмножестваL кольца R, что: A) т (L) = L'; B) отображение мно-
множества L на L', индуцированное т, взаимно однозначно. Это может быть
предоставлено читателю.

122 Гл. П. Элементы теории полей
множество всех элементов х, полученных таким образом. Из того,
что L' — трансцендентное множество, сразу следует, что L тоже
будет трансцендентным множеством. По теореме 23, L содержится
в некотором базисе трансцендентности М кольца Rlk. Кардиналь-
Кардинальные числа множеств V и L одинаковы, так как для каждого х
в V имеется лишь один элемент х в L, для которого х = хх, и так
как соответствие х' ->х взаимно однозначно. Поскольку L — под-
подмножество множества М, доказательство окончено.
Теорема 29. Если ст. тр. Rlk — ст. тр. R'lk = п (п конечно),
то любой k-гомоморфизм т кольца Rlk на кольцо R'lk является
изоморфизмом.
Доказательство. Используем обозначения доказатель-
доказательства предыдущей теоремы. Пусть V = {х[, х'2, ..., х'п] — базис
трансцендентности кольца R'lk и L = {хи х2, ...,хп}, где х'\ —
— x(t. На этот раз L будет не только трансцендентным множеством,
но « также базисом трансцендентности кольца Rlk, так как ст.
тр. Rlk = n. Далее, пусть u?R, и Ф 0. Так как и алгебраи-
чен над k (xu х2, ..., хп), имеется некоторое соотношение вида
..+Ag{x) = 0, g>\, A)
где
Ai(X) = Ai(X1,X2, ...,
и А0{х)ф0. Предположим, что g — наименьшее из возможных.
Тогда Ag{x) т^О, ибо в противном случае можно разделить A)
на и (так как и Ф 0) и получить соотношение для и степени мень-
меньшей g. Применяя к A) гомоморфизм т, получим
А0(х')и'е+ А1{х')и'^+ ... + Ав(х') = 0, B)
где и =их. Так как Ag (x) Ф 0, полином Ag(X) ненулевой, а сле-
следовательно, Ag (х')фО, так как^, х'г, ..., х'п а. н. над k. Поэтому,
из формулыД2) мы имеем и Ф0, что и показывает, что х — изомор-
изоморфизм.
Замечание. Если R — поле, то теорема 29 тривиальна
и справедлива без всяких условий на степени трансцендентности,
так как поле не имеет собственных гомоморфизмов (т. е. гомомор-
гомоморфизмов, не являющихся изоморфизмами).
§ 13. Сепарабельно порождаемые поля алгебраических функций.
Пусть k — поле и К — его расширение.
Определение \. К есть поле алгебраических функций от г
независимых переменных над k, если К конечно порождаемо над k
и ст. тр. Klk = г.

§ 13. Сепарабельно порождаемые поля алгебраических функций 123
Определение 2. Базис трансцендентности {гь z2, . .., zT}
поля KIk алгебраических функций от г независимых переменных
называется сепарирующим трансцендентным базисом поля К/k, если
К — сепарабельное (алгебраическое) расширение поля k (zlt z2, . .., zr).
Про поле К говорят, что оно сепарабельно порождаемо над k,
если существует сепарирующий базис трансцендентности для KIk.
Пример. Пусть /•= 1, К = k(x, у), где х трансцендентен,
и Yp — хг = 0 — минимальный полином элемента у над k(x),
где р — характеристика поля К(р ф2). Тогда К будет несепара-
бельным расширением поля k(x). Тем не менее К сепарабельно
порождаемо над k, так как К будет сепарабельным расширением
поля k (у) (откуда у будет сепарирующим элементом поля KIk,
т. е. множество {у}, состоящее из единственного элемента у, яв-
является сепарирующим базисом трансцендентности поля KIk).
Мы начнем с двух простых лемм, которые будут использоваться
в этом параграфе.
Лемма 1. Пусть R — область с однозначным разложением
на множители и К — поле частных кольца R. Пусть X — неизвест-
неизвестное над К-
A) Если полином f (X) из R [X] положительной степени нераз-
неразложим в R [X], то он будет также неразложим в К [X].
B) Если примитивный полином f (X) из R[X] (см. гл. I, § 17)
неразложим в К IX], то он будет также неразложим в R [X].
C) Если f(X) и g(X) — полиномы из R [X], такие, что g(X)
делит /(X) в К IX], и если g(X) приведен, то g(X) будет делить
f(X) также и в R IX].
Доказательство.
A) Пусть Fi (X) —полином из К [X], не являющийся констан-
константой и делящий f(X) в этом поле:/ (Х) = Fi{X) F2 (X), Fi(X)qKiX],
dFi (X) > 0. Тогда F, (X) = Д (X)/at, где Д (X) g R IX ] и a, € R,
и справедливо равенство a^a-J{X) = fi{X)f2(X). Так как f(X) не-
неразложим в R IX], отсюда следует, что / (X) должен делить в R [X]
один из двух полиномов /j (X), а поэтому должно быть либо df<dft,
либо df<df2. С другой стороны, df = <ЭД + df2, и, по предположе-
предположению, <ЭД > 0 (так как полином Ft [X) не константа и поэтому имеет
положительную степень). Следовательно, df2 = 0 и F2 (X) — кон-
константа в К IX]. Так как f (X) имеет положительную степень, он
не будет константой в К [X]. Отсюда вытекает, что / (X) — нераз-
неразложимый элемент в К [X].
B) Предположим, что / (X) = Д (Х)/2 (X), где Д (X) и /2 (X) —
полиномы mR[X]. Так как/(X) неразложим в К IX], один из поли-
полиномов Д (X) должен быть нулевой степени. Пусть, например, дД = 0t
откуда Д (X) = a?R. Из соотношения /(X) = af2(X) получаем'

124 Гл. П. Элементы теории полей
что а делит в R содержание полинома /(X), а следовательно, а
обратим в R, так как / (X) примитивен. Это показывает, что / (X) —
неразложимый элемент кольца R [X].
C) По предположению, / (X) = g(X)-h (X)la, где h (X) 6 R [X]
и a?R. Поэтому g(X) делит af (X) в R [X]. Так как g(X) прими-
примитивен, то из леммы 2 гл. I, § 17, следует, что g(X) делит f (X)
в R[X].
Это завершает доказательство леммы.
Лемма 2. Пусть xit х2, ¦. ¦, хп, хп+1 — элементы из расшире-
расширения К поля k, и пусть эти п + 1 элементов хг алгебраически зави-
зависимы над k, но п элементов Хи х2, ..., хп алгебраически независимы
над k. Тогда множество А полиномов g(Xu Х2, ..., Хп, Хл+1)
из k [Хь Х2, ..., Хп, Xn+i] с тем свойством, что g{xu x2, ...
..., хп, xn+i) — 0, содержит такой полином f (Xit X2, ..., Хп, Xn+i),
что любой другой из этого множества будет его кратным в кольце
k[Xi, Х2, ..., Хп, Xn+i].
Доказательство. Так как п + 1 элементов хг алгебраи-
алгебраически зависимы над k, множество А содержит полиномы, отличные
от нуля. Пусть f{Xu Х2, ..., Хп, Хп+1) — ненулевой полином в А
наименьшей возможной степени q относительно Хп+1. Пусть
f = A0(X1, Xa, ..., X?l)Xa+1 + A(X,, X2, ..., Хп)Х?? +
+ ...+Aq(X1,X2, ...,Xn),
где Аг (Х4, Х2, ..., Хп) g k [Хи Х2, ..., Хп ]. Так как хи х2, ¦ ¦ ., хп
алгебраически независимы над k, Xn+1 должен на самом деле вхо-
входить в /, т. е. q > 0. Если g (X) — любой полином из множества А,
то по теореме 9 гл. I, § 17, мы можем написать Asog = Qf + R,
гдеяХЗ —целоечисло, Q и R — полиномы из k [Хь Х2, ..., Хп,
Xn+i] и R либо будет иметь степень от Хп+и меньшую чем q, либо
будет нулевым полиномом. Ясно, что R (xit х2, ¦ ¦., хп, хп+1) = 0,
т. е. полином R принадлежитмножеству Л. Следовательно, в силу
выбора /, должно быть R = 0, что и завершает доказательство
леммы.
Очевидно, что полином / (X) неразложим над k и что он одно-
однозначно определен с точностью до произвольного ненулевого мно-
множителя из k; более того, во множестве А полином / (X) характери-
характеризуется условием, что он неразложим. Если элементы хи х2 ..., хп,
хп+1 удовлетворяют сформулированным в лемме условиям, то мы
будем говорить о соотношении f(хи х2, ..., хп, xn+i) = 0 как
о неразложимом алгебраическом соотношении между элементами х{
над k.
Теорема 30 (Мак-Л ейн). Пусть {хи х2, ..., х^} — множе-
множество образующих поля Klk, K=k (Xi, x2, ..., хп). Если К сепарабельно

# 13 Сепарабельно порождаемые поля алгебраических функций 125
порождаемо над k, то уже множество хи х2, ..., хп содержит сепа-
сепарирующий базис трансцендентности поля Klk.t
Доказательство. Мы докажем сначала теорему в слу-
случае г =1. По предположению; в К существует сепарирующий транс-
трансцендентный элемент г. Так как z трансцендентен, то z§k(zp).
Следовательно, по теореме 7 § 5 полином Хр — zp неразложим
над k (zp). Так как z — корень этого полинома, то z несепарабелен
над k (zp). Так как z ? k (xi, x2, ..., хп), мы получаем по теореме 10
§ 5, что по крайней мере один из п элементов хг должен быть несе-
парабельным над k (zp). Пусть, например, Xi несепарабелен над k (zp).
Мы докажем теперь, что Xi будет сепарирующим трансцендентным
элементом для Klk.
Пусть f(X, Z)— неразложимый полином из k [Я, Z], такой,
что f(xu z) = Q. Из леммы 1 следует, что f(X, Z) неразложим
в k (Z) [X] (так как f(X, Z) должен быть положительной степени
от X). Так как z трансцендентен над k, отсюда следует, что полином
/ {X, z) тоже неразложим над k B) и отличается поэтому от минималь-
минимального полинома элемента Х\ в k (z) [X] на множитель, являющийся
элементом кольца k [z]. Так как z — сепарирующий элемент, то
мы имеем соотношение f'xi {xu z) Ф 0. Полином / (X, Z) не зависит
от Z в том и только том случае, когда Xi алгебраичен над k, и если
бы это было так-, то мы имели бы равенства / (X, Z) = ср (X) и ср' (х^) =
= f'xi (xi, z) Ф 0. Это означало бы, что Xi сепарабелен над к, а сле-
следовательно, a fortiori также и над k (zp) (лемма 2 § 5), вопреки нашему
предположению об х±. Следовательно, Х\ трансцендентен над k
и f(X, Z) зависит от Z.
Поэтому можно утверждать теперь, что z алгебраичен над k(x1)
и что / (xlt Z) отличается от минимального полинома элемента z
в k {xi)[Z\ лишь на множитель, который является элементом кольца
?UJ. Мы утверждаем также, что z сепарабелен над k(xi).
Действительно, предположим противное. Тогда мы должны иметь
включение f(X, Z)?k[X, Zp]. Пусть f{X, Z) = cp(X, Zp). Из соот-
соотношения ц>'Х1 (Xi, zp) = f'Xl (xit z) Ф 0 следовало бы тогда, что xt
сепарабелен над k(zp) в противоречие с нашим предположением 06x1.
Так как z сепарабелен над k (x\) и так как все xi сепарабельны
над k (г), то отсюда следует (теорема 9 § 5), что Xt — сепарирующий
элемент.
Для завершения доказательства теоремы мы применим теперь
индукцию по г. Предположим, что теорема верна для полей алге-
алгебраических функций от г — 1 независимых переменных.
Пусть {zi, z2, ..., zr} —сепарирующий базис трансцендентности
поля Klk. Если положить kt = k (zi), то К можно рассматривать
как поле алгебраических функций от г — 1 независимых перемен-
переменных над ki. Более того, К — kt (xit x2, . .., хп) и {z2, z3, ..., zr}

126 Гл. II. Элементы теории полей
будет сепарирующим базисом трансцендентности поля KlkY. По пред-
предположению индукции, г — 1 из элементов хг будут образовывать
сепарирующий базис трансцендентности поля Kl'kx. Пусть, напри-
например, {xi, х2, ...;хтЛ}—сепарирующий базис трансцендентности
поля K/ki. Если положить k! = k (xi, х2у .. ., хг_1), то К = k' (л',,,
хг+1, . .., Хп), и К будет полем алгебраических функций от одной
переменной над k'. Более того, zt— сепарирующий элемент для Klk'.
Следовательно(как в случае г=1), один из элементов хг, хт+1, . .., хп
тоже будет сепарирующим элементом для Klk'. Если, например,
хг — такой элемент, то г элементов хи х2, . .., хт_х, хг образуют
сепарирующий базис трансцендентности поля Klk. Это завершает
доказательство теоремы.
Следующая лемма нужна для применения к случаю, когда основ-
основное поле совершенно.
Лемма 3. Если поле К = k (хх, х2, ..., хп) степени трансцен-
трансцендентности г над k сепарабельно не порождаемо над k, то при под-
подходящей замене номеров элементов xt поле k (xit x2, ..., хг+1) имеет
степень трансцендентности г над k и будет сепарабельно не поро-
порождаемо над k.
Доказательство. При п = г + 1 доказывать нечего.
Предположим, что п > г + 1 и что теорема верна для п — 1. Можно
предположить, что Х\ алгебраически зависит от х2, х3, ..., хп (над k),
а следовательно, поле k (x2, х3, ..., хп) имеет степень трансцендент-
трансцендентности г над k. Если это поле сепарабельно не порождаемо над /г,
то утверждение леммы следует из предположения индукции. Пусть
теперь k(x2, x3, ..., хп) сепарабельно порождаемо над k. По преды-
предыдущей теореме можно предположить, что х2, х3, ..., хг+1 образуют
сепарирующий базис трансцендентности поля k(x2, x3, ...,xn)lk.
В этом случае поле К — сепарабельное расширение поля k(xi, x2, ¦¦¦
...,хТ+Л), а поэтому это последнее поле удовлетворяет условиям,
сформулированным в лемме.
Следующая теорема является непосредственным применением
доказанной леммы к совершенным полям:
Теорема 31 (Ф. К. Шмидт). Если k — совершенное поле,
то поле K=k(xux2, ...,xn) всегда сепарабельно порождаемо надk.
Доказательство. По предыдущей лемме, достаточно
доказать теорему в случае п = г+ 1, где г = ст. тр. Klk. В этом
случае мы имеем неразложимое соотношение/ (хи х2,..., х,, хг+1) = О
между г+ 1 элементами хг (см. лемму 2). Если хх, х%, ..., хг не обра-
образуют сепарирующего базиса трансцендентности, то f{X)?k{X\,
Хг,..., Хп, X?+i ]. Если никакие г из элементов *4 не образуют сепа-
сепарирующего базиса трансцендентности, то f(X)?k [Х\°, Х\, ...,X?+t].

§ 14 Алгебраически замкнутые поля 12/
Но в таком случае / (X) будет р-й степенью полинома из k[X],
так как k совершенно, и мы получили противоречие.
§ 14. Алгебраически замкнутые поля.
Определение 1. Поле k называется алгебраически замкну-
замкнутым, если оно не имеет собственного алгебраического расширения
(т. е. если каждое алгебраическое расширение поля k совпадает с k).
Нетрудно видеть, что следующие свойства поля k эквивалентны:
(а) k алгебраически замкнуто.
(б) Каждый неразложимый полином из k[X] имеет степень 1.
(в) Каждый полином положительной степени из k[X] полностью
разлагается в k[X] на полиномы степени 1.
(г) Каждый полином положительной степени из k[X] имеет
по крайней мере один корень в k.
Действительно, если / (X) — неразложимый полином из k [X\
степени л>1, то мы знаем, что существует алгебраическое рас-
расширение К поля k относительной степени п над k (теорема 3' § 2).
Если k алгебраически замкнуто, то К = k, откуда п = 1. Таким
образом, (а) влечет за собой (б).
Ясно, что (б), (в) и (г) эквивалентны. Наконец, если К — любое
алгебраическое расширение поля k и х — произвольный элемент
поля К, то минимальный полином элемента х над k неразложим
и имеет поэтому степень 1, если выполняется (б). Поэтому х 6 k,
К = k, т. е. (б) влечет за собой (а).
Следствие. Если k — подполе алгебраически замкнутого
поля К, то алгебраическое замыкание k' поля k в К. будет алгебраи-
алгебраически замкнутым полем.
Действительно, если /(X) —любой полином из k'[X], то / (X)
должен иметь корень а в К; этот корень будет алгебраическим
над k (по свойству транзитивности алгебраической зависимости)
и поэтому принадлежит k'.
Определение 2. Если k — подполе поля К, то про К
говорят, что оно является алгебраическим замыканием поля k, если
1) К — алгебраическое расширение поля k и 2) К — алгебраически
замкнутое поле.
Следствие. Если алгебраическое расширение К поля k обла-
обладает тем свойством, что каждый полином t {X) из k[X] полностью
разлагается на линейные множители в КIX], то К будет алгебраи-
алгебраическим замыканием поля k.
Действительно, если К' — любое алгебраическое расширение
поля К и х — некоторый элемент поля К', то для минимального
полинома / (X) элемента х над k имеется полное разложение

J28 Гл. II. Элементы теории полей
/ (X) = П (X — xt), хг ? К- Так как / (л:) = 0, то х = xi для неко-
некоторого I, откуда х ? К, а поэтому К' = К-
Следующая теорема гарантирует существование и фактически
.единственность алгебраического замыкания данного поля k:
Теорема 32. Для любого поля k существует его алгебраичес-
алгебраическое замыкание, и любые два алгебраических замыкания поля k будут
k-изоморфными полями.
Доказательство. Пусть N — множество всех упоря-
упорядоченных пар (f (X), п), где/(Х) ? k[X] ил — любое неотрицатель-
неотрицательное целое число. Условимся отождествлять любой элемент с поля k
с парой (X — с, 0). Рассмотрим множество S всех таких полей 2,
что (а) элементы поля 2 образуют некоторое подмножество Е мно-
множества N; (б) k — подполе поля 2; (в) если z — (f(X), n) ? 2,
то /(г) = 0. Множество S непусто, так как k ? S. Отметим, что
если А обозначает множество всех таких упорядоченных троек
(Zj, г2, z3) элементов поля 2, что г3 = г1+ г2, и если М — мно-
множество всех таких упорядоченных троек (г/,, у2: ys) элементов поля 2,
что у3 = угу%, то поле 2 однозначно определяется упорядоченной
тройкой (Ё, А, М) и может быть с ней отождествлено. Так как Е —
подмножество из N, в то время как А и М — соответствующие
подмножества произведения множества N X N X N, множество S
полей 2 определено корректно с точки зрения теории множеств.
Частично упорядочим множество S, полагая 2 -< 2', если 2 —
подполе поля 2' B, 2' ? S). Ясно, что S будет индуктивным мно-
множеством. Существует, согласно лемме Цорна, максимальный эле-
элемент К множества S. Покажем, что К является алгебраическим
расширением поля k. Но свойство (в), выполняющееся для любого
поля 2 из S, и означает, что 2 —алгебраическое расширение поля k.
Следовательно, К будет алгебраическим расширением поля k.
Покажем, что предположение о том, что К имеет собственное алгеб-
алгебраическое расширение, противоречит максимальности поля К
в S. Допустим, что существует собственное алгебраическое расши-
расширение К' поля К. Определим теперь взаимно однозначное отобра-
отображение ф поля К' в Л'. При х ? К полагаем ф (х) — х. При х ? К',
х $ К, рассмотрим его минимальный полином / (X) над k; обозначим
через Zu z2, ¦ ¦ ¦, zh корни полинома / (X) в К (h > 0) и через хи х2, ...
..., xg— его корни, лежащие в К', но не в K{g> I; Xi = x). Выбе-
Выберем g различных неотрицательных целых чисел nir п2, . ¦ ., ng,
таких, что z{ Ф (f{X), n}) (i = l, 2, ..., h; /=1,2,..., g), и поло-
положим фЦ) = (f(X), n.j),j = 1,2,... ,g. Ясно тогда, что ф — взаимно
однозначное отображение поля К' в TV и что ф тождественно на К-
Пусть ?0 = ср (/('). Мы переносим структуру поля К' на множество
Ео посредством отображения ф и получаем таким образом поле Ко.
Из определения ф сразу же следует, что Ко ? S. Так как К —

§ 14. Алгебраически замкнутые поля 129
собственное подполе поля Я', оно будет также собственным под-
полем поля Ко, что противоречит максимальности поля Я.
Вторая часть теоремы содержится в следующем, более сильном
результате:
Теорема 33. Пусть К' — алгебраически замкнутое поле
и К — алгебраическое расширение поля k. Если ср — изоморфизм
поля k в К', то ф может.быть продолжен до изоморфизма поля Я
в К'.
Доказательство. Покажем сначала, что из теоремы 33
следует вторая часть теоремы 32. Если Я" и Я"' — два алгебраических
замыкания поля k, то, применяя теорему 33 к тождественному
отображению ц> поля k в К', получаем, что существует некоторый
/^-изоморфизм ip поля К в К'. Так как Я— алгебраическое замы-
замыкание поля k, то я|>(Ю тоже будет алгебраическим замыканием
поля k, а поэтому яр (А) = К', так как К' —алгебраическое рас-
расширение поля яр (К)- Таким образом, яр будет k-изоморфизмом поля Я
на К'.
Приступаем теперь к доказательству теоремы 33. Пусть М
есть множество всех упорядоченных троек (L, L', ip), где L — любое
поле между k и Я, L' — поле между ф (k) и К' и я|) — изоморфизм
поля L на L', такой, что г|з = ф на k. Множество М непусто, так
как (k, q>{k), ф)?М. Частично упорядочим М, полагая (L, L', т|з)-<
-< (Lu L[, i|3i), если L — подполе поля Li и xpi = 'Ф на I. Если
N = {(La, La, г|за)} — линейно упорядоченное подмножество множе-
множества М и если положить L = ULra, Z/ = U^'a, то L и L' будут
соответственно полями между k и Я" и между ср (/г) и К'. Отображе-
Отображения г|за однозначно определяют изоморфизм г|з поля L на 1', такой,
что я|> = я|)а на La. Таким образом, (L, L', г|з) — элемент множе-
множества М, который является верхней гранью множества Л/. Этим
показано, что М индуктивно. Пусть (Lo, L'o, г|з0) — некоторый
максимальный элемент множества М. Покажем, что Lo = Я, что
и будет завершать доказательство теоремы.
Пусть х — произвольный элемент поля Я и / (X) — минималь-
минимальный полином элемента х над La. Пусть f (X) есть г|50-образ полинома
f(X). Тогда /'(X) ? L'0[X] CZ К"'[Х], и так как К алгебраически
замкнуто, то полином f'{X) имеет корень х' в Я'. По лемме 1 § 6
отображение я|H может быть продолжено до изоморфизма i|>i поля
Lo (х) на L'a (х1), такого, что г|з0 (х) = х . Тогда (Lo, Ц, г)з0) -< (L0(x),
L'o (x'), a|)i) ? М, а следовательно, из максимальности элемента
(Lo, Lo, я|H) вытекает, что (Lo, L^, ip0) = (Lo (x), (L; (x'), ih),
Lo = Lo (x), x g Lo. Таким образом, показано, что Lo = К.
Пусть k — поле, а К — алгебраически замкнутое поле, содер-
содержащее k. Если характеристика р поля k отлична от 0, то те элементы
х поля Я, для которых хр ? к, образуют поле, содержащее k. Это

130 Гл. II. Элементы теории полей
поле будет обозначаться через kp~x. Так как К алгебраически зам-
замкнуто, оно содержит корень каждого полинома вида Хр — а,
a?k. Поэтому kv состоит из корней степени р из элементов поля k
и мы имеем равенство k = (kp'1)p. Очевидно также, что поля kP'1,
полученные при помощи различных алгебраических замыканий
поля k, всегда будут ^-изоморфны друг другу.
Подобным же образом можно определить поля kp~n для п =
= 1, 2, .... Эти поля образуют возрастающую последовательность
k d kf'1 a kp~ CZ ..., и их объединение будет полем между k и К,
которое мы иногда будем обозначать через kp~co; это есть наименьшее
совершенное поле, содержащее k, и поэтому мы будем говорить о нем
как о совершенном замыкании поля k. Если k само совершенно, то
А"0 = k.
Если характеристика р поля k равна нулю, то полагаем kp =
= ?р-°° = k.
§ 15. Линейная свобода и сепарабельность. Пусть S — кольцо,
содержащее поле k и такое, что единица 1 поля k будет также
единицей кольца S. Тогда S является векторным пространством
над k, и именно в этом смысле мы говорим ниже о подпространствах
кольца S.
Определение 1. Два подпространства L и L' кольца S
называются линейно свободными над k, если выполняется следую-
следующее условие: всякий раз, когда хи х2, . ¦. ,хп — элементы из L, ли-
линейно независимые над k, и х[, х'г, ¦. .', х'т — элементы из V, линейно
независимые над k, mn произведений хгх] тоже линейно независимы
над k.
Линейная свобода L и L', очевидно, является симметрическим
отношением между двумя пространствами и задается относительно
определенного основного поля к. Следующее свойство эквивалентно
линейной свободе и будет наиболее часто использоваться в даль-
дальнейшем:
(ЛС). Всякий раз, когда элементы xiy х2, ..., хп из L линейно
независимы над k, они также линейно независимы над L'.
Действительно, предположим, что L и V линейно свободны
над k, и пусть u[Xi + щх2 + . . ¦ + и'пхп — 0, где и[ принадлежат
L' и Xi, x2, ..., хп — элементы из L, линейно независимые над k.
Пусть {х[, х'г,...,хт } —базис векторного пространства ku'x-\-
+ ku'2-\- .. . + ku'n над k я щ= '^jaijx'j, где аг^к. Тогда
з
^ a%ixx\ = 0, а следовательно, из линейной свободы пространств
L 'и L' над k вытекает, что все aVj равны нулю и, таким образом,
все и[ равны нулю. Это показывает, что условие (ЛС) выполняется.

§ 15. Линейная свобода и сепарабельность 131
Обратно, предположим, что выполняется свойство (ЛС), и пусть
два множества {хи х2, . . ., хп] и {х[, х'2, . . ., х'т} будут такими, как
это требуется в данном выше определении. Предположим, что
имеется соотношение 2аг,л:гл:; = 0, ai( ? k. Так как для каж-
i, i '
дого i сумма 2 ацх'з принадлежит L', то из (ЛС) следует равенство
i
^ а^я} = 0 для всех 1, а значит, все а^- равны нулю, так как
элементы х\ линейно независимы над k. Поэтому L и L' линейно
свободны над k.
Между понятием линейной свободы и понятиями сепарабельных
или несепарабельных расширений имеется тесная связь. В этом
параграфе она будет изучаться. Мы начнем с доказательства
теоремы, которая по существу является переформулировкой тео-
теоремы 8 (§ 5) в терминах линейной свободы:
Теорема 34. Пусть поле К является алгебраическим рас-
расширением поля k. Для того чтобы К было сепарабельным алгебраичес-
алгебраическим расширением поля k, необходимо и достаточно, чтобы К и kpl
были линейно свободны над k. (k^1 предполагается подполем алгеб-
алгебраического замыкания поля К.)
Доказательство. Предположим, что К — сепарабельное
алгебраическое расширение поля k. Нам нужно показать, что если
ии и2, ..., ug — элементы поля К, линейно независимые над k,
то они будут также линейно независимы над kP \ или —эквива-
—эквивалентно — что uf, Щ, . . ., uPg линейно независимы над k. Рассмот-
Рассмотрим поле К\ = k(ui, и2, . .., ug) и дополним множество {ии и2, ...
. . ., ug} до базиса {ии и2, . . ., ит\ поля KJk. По теореме 8 (§ 5)
имеем, что Ki = kK\, откуда
т
Кг = |>?.
Следовательно, элементы uf, Щ, ..., uvm тоже образуют базис поля
KJk и поэтому линейно независимы над k.
Предположим теперь, что К и ЬР линейно свободны над k.
Пусть х — любой элемент поля К, f (X) — его минимальный полином
в k [X] и т — степень f(X). Если h — любое целое число, не пре-
превосходящее т, то 1, х, х2, . . ., xh'x линейно независимы над k.
Следовательно, ввиду линейной свободы полей К и kP~x над k,
р-е степени этих элементов тоже линейно независимы над k. Это
означает, что/(Х) $ k[Xp], т. е. х сепарабелен над k. Это и требо-
требовалось доказать.

132 Гл. П. Элементы теории полей
Нам понадобится далее следующая
Лемма. Пусть L и L' — подпространства кольца S/k, а {иа}
и {ыр} — базисы (конечные или бесконечные) Llk и L'lk соответственно.
Для того чтобы L и V были линейно свободны над k, необходимо
и достаточно, чтобы произведения иаи$ были линейно независимы
над k. Эквивалентным условием является линейная независимость
элементов иа над L'. В частности, если размерности пространств
L и L' обе конечны, то L и L' будут линейно свободны над k в том
и только том случае, когда dim LL'/k = dim Llk- dim L'lk; LL' обо-
обозначает здесь пространство, натянутое на произведения ии ,
u?L, и ?L'.
Доказательство. Прямо из определения линейной сво-
свободы следует, что если L и L' линейно свободны над k, то произве-
произведения иаи{$ линейно независимы над k. Ясно также, что линейная
независимость произведений иаи$ над k эквивалентна линейной
независимости элементов иа над V. Предположим, теперь, что
произведения иаи{$ линейно независимы над k. Рассмотрим сначала
случай, когда L и L' имеют конечную размерность, например
s= dim Llk, t — dim L'Ik. Так как st произведений иаи$ порождают
пространство LL', то dim LL'Ik = st. Далее, если xit х2, ...,xn —
элементы из L, линейно независимые над k, и х[, х'г, . . . ,х'т— эле-
элементы из L', линейно независимые над k, то расширим множества
{хих2, . . -,хп},{х'1,х'2, . . .,хт}добазисов{д;ь^2, • . -,xs}, {х[,х'%,. . . х\)
пространств Llk и L'lk соответственно, и заметим, что st произве-
произведений хах'$ должны быть линейно независимы над k, так как они
порождают LL'lk и так как dim LL'Ik — st. В частности, линейно
независимы над k также тп произведений x^'j (i — l, 2, . . ., п;
/=1,2, .. ., т), что доказывает линейную свободу пространств L
и L' над k. Это дает в то же время вторую часть леммы.
В общем случае всегда можно найти конечное подмножество
{Uj, м2, . . .,us} множества {иа}, такое, что элементы xt, х2, . . .,хп
принадлежат конечномерному пространству Lo, натянутому на
иъ м2, • • •. иа- Подобно этому существует такое целое число t,
что х',- g L'o = ku'x + ku'2+ ... +ku't, j ~ 1, 2, .. ., т. Так как
Lo и L'o линейно свободны над k в силу доказанного, то произведе-
произведения хгх'] линейно независимы над k. Это завершает доказательство
леммы.
Следствие 1. Пусть k, К и S — поля, такие, что k cz
d К a S. Если X — (конечное или бесконечное) множество алгебраи-
алгебраически независимых элементов поля S над К, то подполя К и k (X)
поля S линейно свободны над k.
Ясно, что К и k (X) линейно свободны над k в том и только том
случае, когда К и k\X] линейно свободны над k. Далее, множество

§ 15. Линейная свобода и сепарабельность 133
всех одночленов а'*1**2. . .jej™, ха ? X, образует базис кольца klX]
над k. Так как, по предположению, эти одночлены линейно незави-
независимы также над К, следствие вытекает из леммы.
Следствие 2. Если поле К является чисто трансцендентным
расширением поля k, то К и kP~ линейно свободны над к.
Действительно, если К = k(X), где X — какой-нибудь базис
трансцендентности поля Klk, то элементы из X, будучи алгебра-
алгебраически независимы над k, алгебраически независимы также над
kp'1. Поэтому, согласно предыдущему следствию, К и kv'x линей-
линейно свободны над k.
Для расширений К поля k, не являющихся алгебраическими
над k, не существует полной эквивалентности между понятием
сепарабельной порождаемости и понятием линейной свободы
(с kP ). Тем не менее имеется следующая теорема:
Теорема 35. Пусть К — расширение поля k. Для того
чтобы К было сепарабельно порождаемо над k, необходимо, чтобы К
и kP1 были линейно свободны над k. Если К конечно порождаемо
над k, то это условие будет также достаточным.
Доказательство. Предположим, что К сепарабельно
порождаемо над k, и пусть В — сепарирующий базис трансцен-
трансцендентности поля Klk. По следствию 2 леммы 1, поля k (В) и kv
линейно свободны над k. Пусть, далее, ыь и2, . . ., ug —элементы
поля ?р~\ линейно независимые над k. В таком случае они будут
также линейно независимы над k (В). Так как К — сепарабельное
расширение поля k (В), из теоремы 34 следует, что ии и2, . . ., ug
линейно независимы также над К- Это показывает, что К и /гр~]
линейно свободны над k.
Предположим теперь, что К конечно порождаемо над k, например
K = k(xi, x2, ...,хп), и пусть К и к?'1 линейно свободны над k.
Пусть г — степень трансцендентности поля Klk, откуда п > г.
При п — г нечего доказывать. Следующим рассмотрим случай п =
= г + 1. Тогда пусть/ (X) — неразложимый полином из k [Xlt X2, .. .
..., Xrtl], такой, что / (х) = 0 (§ 13, лемма 2). Мы утверждаем, что
f(X)$k[Xf, X\, ...,Х?+1]. Действительно, предположим про-
противное, и пусть / (X) = g (Xf, XI . ..,Xf+1), meg(XuX2, . . . Дг+1)€
? k[X]. Если й>ь со2, . . ., com — одночлены от хи х2, . . ., яг+1,
которые на самом деле встречаются в выражении g (xiy x2, ¦ .., хг+1),
то элементы со линейно независимы над k (так как степень этих
одночленов меньше степени f(X)), в то время как cof, ю?, .. ., ю^
линейно зависимы над k, так как g (xf, x\, . .., х^+1) = 0. Это про-
противоречит линейной свободе полей К и kp~* над k. Противоречие

134 Гл. II. Элементы теории полей
показывает, что в действительности f (X) § k [Xp, Xp, ...,Xf+1].
Поэтому можно предположить, что одна из г+1 переменных Хи
пусть это будет Хг+], действительно входящая в /(X), входит
в некоторый член полинома / {X) с показателем, не делящимся на р.
Элементы хи х2, ...,хТ обязательно будут тогда алгебраически
независимы над k, а кроме того, xrtl сепарабельно алгебраичен
над k (xi, x2, .. ., х,). Следовательно, {х1у х2, . . ., хг} —сепарирую-
—сепарирующий базис трансцендентности поля Klk.
При п > г+1 используем индукцию по п. Из линейной сво-
свободы полей k (хи х2, ¦ ¦ ¦, хп) и №'1 следует линейная свобода полей
k (xi, x2, . . ., xn-i) и kP'x над k. Следовательно, по предположению
индукции, k(xi, х2, . . ., xn-i) сепарабельно порождаемо над k. Пусть
{zi, z2, ..., zm) — сепарирующий базис трансцендентности поля
k (xi, x2, ... ,xn-i) над k. Тогда m равно либо г — 1, либо г. Поле
k (xit x2, ¦ ¦ ¦, хп) является сепарабельным алгебраическим расшире-
расширением поля Ki=k{zi, z2, ...,zm, xn), и теперь нужно лишь пока-
показать, что /Ci сепарабельно порождаемо над k. Поле Kjk имеет ту же
степень трансцендентности, г, что и Klk, и порождается над k самое
большее г+1 элементами (так как пг^г). Кроме того, так как
/Ci CZ К, Ki и kP'1 также линейно свободны над k. Следовательно,
согласно случаю, когда п< г+1, К\ действительно сепарабельно
порождаемо над k. Это завершает доказательство теоремы.
Предыдущая теорема и рассуждения, использованные при ее
доказательстве, позволяютнам дать второе доказательство теоремы 30
(§ 13), т. е. утверждения о том, что если K = k(xu x2, ...,хп) —
сепарабельное и конечно порождаемое расширение поля k, то уже
множество образующих xi содержит сепарирующий базис трансцен-
трансцендентности поля Klk. При п = г доказывать нечего. Случай п = г + 1
был разобран в ходе предыдущего доказательства (так как К и kP'1
линейно свободны над k согласно первой части теоремы 35). При
л > г+ 1 мы опять используем индукцию по л и повторяем послед-
последнюю часть предыдущего доказательства, отмечая, что на этот раз
предположение индукции позволяет нам найти сепарирующий базис
трансцендентности {zlf z2, . .., zm} поля k {xu x2, . . ., xn-i)lk среди
множества образующих [xit x2, ...,xn-i\. В таком случае /и+1
образующих поля Kjk будут принадлежать множеству {х\,х2,. . . ,'хп},
и теорема 30 следует теперь из доказанного в случае п = г + 1.
Теорема 31 (§ 13) тоже может быть получена как непосредствен-
непосредственное следствие теоремы 35, ибо если k — совершенное поле, т. е.
если kv~x = k, то К и kP^ линейно свободны над k.
Определение 2. Пусть К — расширение поля k характе-
характеристики р. Тогда К называется сепарабельным расширением поля k,
если К и kv линейно свободны над k.

§ 16. Порядок несепарабельности поля алгебраических функций 135
В силу теоремы 34, для алгебраических расширений К поля k
сепарабельность в смысле этого определения эквивалентна сепа-
сепарабельности, определенной в § 5. Аналогично для конечно порож-
порождаемых расширений К поля k справедливо утверждение о том, что
K/k будет сепарабельным расширением в том и только том случае,
когда К сепарабельно порождаемо над k (теорема 35). Однако если
К конечно не порождаемо над /г, то оно вполне может быть сепара-
сепарабельным над k, не будучи сепарабельно порождаемым над k. Напри-
Например, если k — совершенное поле, то каждое расширение К поля k
сепарабельно над k. Однако если х трансцендентно над k, то, как
легко видеть, поле K = k (x, xilv, xl''pi, . . ., xi/pn, . . .) сепарабельно
не порождаемо над k.
Отметим, что следствие 2 доказанной в этом параграфе леммы
можно теперь сформулировать следующим образом: если К — чис-
чисто трансцендентное расширение поля k, то К сепарабельно над k.
Транзитивность сепарабельности, доказанная в § 5 (теорема 9)
для алгебраических расширений, распространяется на произволь-
произвольные расширения. А именно, мы имеем следующую теорему:
Теорема 36. Если К' сепарабельно над k и К" сепарабельно
над К', то К" сепарабельно над k.
Доказательство. Если дано множество F элементов
из kp, линейно независимых над k, то элементы из F будут также
линейно независимы над К', так как К' сепарабельно над k. Сле-
Следовательно, элементы из F линейно независимы также над К", так
как К" сепарабельно над К' и FczK'pl- Таким образом, К"
и kp'x линейно свободны над k.
§ 16. Порядок несепарабельности поля алгебраических функций.
В этом параграфе мы будем рассматривать конечно порождаемые
расширения поля k, т. е. поля алгебраических функций над k
(см. определение 1 в § 13). Мы определим для таких полей числовую
характеристику, называемую порядком несепарабельности поля
(относительно /г); она обобщает понятие степени несепарабельности
конечных алгебраических расширений и играет важную роль
в абстрактной алгебраической геометрии. Будут приведены также
некоторые результаты относительно поведения порядка несепара-
несепарабельности при расширениях основного поля k.
В дальнейшем р обозначает характеристику рассматриваемых
полей. При р = 0 все степени ре от р нужно заменить на 1. Если А
и В — подполя некоторого поля S, то через (А, В) обозначается
композит этих полей (наименьшее подполе поля S, содержащее А
и В). Предполагается, что все рассматриваемые ниже поля являются
под полями некоторого алгебраически замкнутого поля S.

136 Гл. II. Элементы теории полей
Лемма 1. Если L, К и k' — поля и К — конечное расшире-
расширение поля L, то
[(K,k'):(L,k')]<[K:L), A)
l(K,k'):(L,k')]s<[K:L)s, B)
[{К, k'):(L, k'H^lKiLb. C)
Если поля К и k' линейно свободны над некоторым общим подполем
k полей L и k', то в A), B) и C) имеют место равенства.
Доказательство. Пусть {uit и2, ...,«„} — базие поля
К над L. Так как элементы поля К алгебраичны над полем (L, k'),
то (К, k')=(L, k')[K] = (L, k') %Lu = 2 (L, k')uq, что дока-
9=1 g=l
зывает неравенство A).
Пусть Ко — максимальное сепарабельное расширение поля L
в К- Из сепарабельности расширения Ko/L вытекает сепарабель-
сепарабельность расширения (Ко, k')/(L, k'), в то же время из того, что К чисто
несепарабельно над Ко, следует, что (К, к') чисто несепарабельно
над (Ко, k'). Поэтому (Ко, k') будет максимальным сепарабельным
расширением поля (L, k') в (К, k'). Отсюда справедливы равенства
[(К, k') : (L, k')l = l(K0, k') : (L, k')\ и l(K, k') : (L, k')^ =
= l(K, k') : (Ko, k')]. Поэтому B) получается из A) после замены К
на Ко, а C) — L на Ко.
Предположим теперь, что К и k' линейно свободны над некото-
некоторым общим подполем k полей L и k'. Достаточно показать, что ра-
равенство выполняется в A), ибо тогда будет следовать, что равенства
выполняются также в B) и C) в силу неравенств B) и C) и формулы E)
из § 6. Чтобы показать, что в A) имеет место равенство, мы должны
доказать линейную независимость элементов uq над (L, &'). Но эле-
элементы uq линейно независимы над L. Поэтому мы должны показать^
что поля К и (L, k') линейно свободны над L. К доказательству этого
мы сейчас и приступаем.
Пусть {а4} — конечное множество элементов поля (L, k'),
которые линейно независимы над L. Элементы оц можно представить
в виде аг = fjfo, где /0 и fi принадлежат k'lL]. Числители этих
дробей линейно независимы над L, и мы должны доказать, что они
также линейно независимы над К- Другими словами, достаточна
показать линейную свободу К и k'[L] над L. Но кольцо k'\L\,
рассматриваемое как векторное пространство над L, порождается
полем k'. Следовательно, можно найти базис В кольца k' [L] над L,
такой, что Bdk'. Элементы из В линейно независимы над L,
а следовательно, a fortiori также над k. Отсюда вытекает, что эле-
элементы из В будут также линейно независимы над К, так как kr
и К линейно свободны над k. Мы показали, таким образом, что век-
векторное пространство k'[L]/L имеет L-базис В, элементы которого

§ 16. Порядок несепарабельности поля алгебраических функций 137
линейно независимы над К- Линейная свобода k'[L] и К над L
следует теперь из леммы, доказанной в § 15.
Следствие 1. Пусть k' — конечное алгебраическое расши-
расширение поля k и В — (конечное или бесконечное) множество элемен-
элементов (большего поля S), алгебраически независимых над k'. Тогда
[k'(B):k(B)]s = [k':k]s, D)
=\Ь':К\г. E)
По следствию 1 леммы из § 15 поля k (В) и k' линейно свободны
над k. Следовательно, утверждение получается из предшествую-
предшествующей леммы, если положить L = k, К = k' и k' = k(B).
Следствие 2. Пусть k' — конечное алгебраическое расши-
расширение поля k и k' (х) = k' (хг, х2, ..., хп) — конечно порождаемое
расширение поля k'. Тогда W : &]j> W (х) : к{х)]и или, что экви-
эквивалентно (так как обе части этого неравенства являются степе-
степенями р):
[k':k]i = ps[k'(x):k(x)]i, F)
где s — неотрицательное целое число. Кроме того, если {z} =
= {zb z2, ..., zT) — любой базис трансцендентности поля k (x)lk,
то
[k(x):k(z)]i = ps[k'(x):k'(z)]l. G)
Первая часть этого следствия получается из неравенства A)
леммы 1, если заменить L, К и k' соответственно на k, k' и k (x).
Чтобы получить вторую часть следствия, заметим, что, в силу соот-
соотношений E) из § 6, мы имеем
W (х) : k (z))t = [k' (x) : k (*)U Ik (x) : k (z))u
а также
Ik' (x): k (z)U = [k' (x): k' (z)]t [k' (z) : k (z)\ t.
Сравнивая эти два выражения для Ik' (x): k (z)]{, мы видим, что G)
следует из соотношений E) (где В = {z}) и F).
Определение 1. Если k (х) — конечно порождаемое расши-
расширение поля k, то порядком несепарабельности поля k (x)lk (или рас-
расширения k (x) поля k) называется наименьшая величина степени
несепарабельности \k(x) : к(г)]г для всех возможных выборов базиса
трансцендентности {г} = {zit zz, ..., zr} поля k(x)lk.
Будем обозначать порядок несепарабельности поля k (x)lk через
[k (x) : k\. В специальном случае, когда k (x) — алгебраическое
расширение поля k, {z} будет пустым множеством k (z) = k, а сле-
следовательно, порядок несепарабельности поля k {x)lk есть степень

138 Гл. II. Элементы теории полей __
несепарабельности поля k(x) над k. Таким образом, обозначение
[k (х) : k]% согласуется в этом случае с обозначением, которое уже
использовалось для алгебраических расширений.
Теорема 37. Если обозначения те же, что и в предшествую-
предшествующем определении, то уже множество образующих хи х2, ..., хп
содержит базис трансцендентности {z}, такой, что
Доказательство. Пусть k — алгебраическое замыкание
поля k в некотором алгебраическом замыкании поля k(x). Так
как k — совершенное поле, k (x) сепарабельно порождаемо над k
(теорема 31 § 13). Согласно теореме 30 § 13, множество образующих
\хи х2, ..., хп} содержит некоторый сепарирующий базис трансцен-
трансцендентности поля k (x)lk. Пусть {xi, X2, . .., хг] будет таким базисом.
Тогда элементы хх алгебраичны и сепарабельны над k (xit х2, . . ., хТ),
i = 1, 2, . .., п. Если через k' обозначить поле, получающееся
присоединением к k коэффициентов минимальных полиномов
/r+i W. /г+2 (^). • ¦-, fn(X) элементов хг+1, хтЛ, . . ., хп над k, то
k' будет конечным алгебраическим расширением поля k. Ясно,
что {xi, х2, ..., хТ} — тоже сепарирующий базис трансцендентности
для k' (x)/k' (так как Д (X) — сепарабельные полиномы). Пусть s —
целое число, определяемое равенством F). Если отождествить
множество {zi, z2, . . ., zT) с {xit x2, .. ., хТ}, товсилу равенства G),
lk(x) : k (xi, xz, .. ., xr)\i = ps, в то же время если {z} — любой
другой базис трансцендентности поля k (x)/k, то опять, в силу F),
Ik (x) : k(z)]i'>p\ Это и дает доказательство теоремы.
Предшествующая теорема утверждает, что если {z} пробегает
множество всех базисов трансцендентности, которые можно извлечь
из множества образующих Хи хг, ..., хп, то [k (x) : k\i ==
= min {[k (x) : k (z)]4}. Теорема поэтому является обобщением
теоремы 30 § 13, ибо если k (x) сепарабельно порождаемо над k,
то lk(x) : k\ = 1.
Рассмотрим теперь некоторый класс расширений основного
поля k—> К (внутри большего поля S) и получим свойства порядка
несепарабельности [k(x) : k]t для таких расширений.
Докажем сначала следующую лемму.
Лемма 2. Пусть К — алгебраическое расширение поля k
и {z} — базис трансцендентности поля k (x)lk. Если Ik' (x): k! (z) ]г =
= [k(x) : &(z)li для всех полей k' между k и К, конечных над k,
то также 1К(х) : К(г))г = lk(x) : k{z)\.
Доказательство. Для любого поля k' между k и К
обозначим через L (k1) максимальное сепарабельное расширение

§ 16. Порядок несепарабельности поля алгебраических функций 139
поля k' (z) в k' (х). Пусть {?i, l2, . . ., ?m} — базис поля k (х) над L (k)
(откуда m= lk{x) : k(z)]i). Сразу же видно, что k! (х) = L (&') |j 4-
+ L (k') |2 + • • • + L (k') ?m- По предположению, элементы |L должны
быть линейно независимы над L (&'), если &' — конечное расшире-
расширение поля k. Так как каждое конечное множество элементов из L (К)
содержится в некотором L (&'), где k' — конечное расширение поля
k, то элементы ?г будут также линейно независимы над L (К), что
и доказывает лемму.
Расширения k—>K, с которыми мы будем иметь дело в остав-
оставшейся части этого параграфа, будут так называемыми свободными-
расширениями поля k относительно k(x). Мы примем следующее
определение:
Определение 2. Для данных двух подколец R и R' области
целостности S, содержащих k, мы скажем, что они свободны
над k, если выполняется следующее условие', если {хи х2, ...,хг}
и {х[, х'2, ..., x's} — конечные подмножества в R и R' соответственно,
такие, что элементы каждого из них алгебраически независимы
над k, то r-\-s элементов х\, х2, ¦.., хг, х[, х'2, . .., x's алгебраи-
алгебраически независимы над k.
Отсюда сразу же следует, что если R или R' алгебраичны над k,
то R и R' свободны над k.
Отметим, что если каждая из областей целостности R и R' имеет
конечную степень трансцендентности над k (см. гл. II, § 12, стр. 121),
то определение 2 эквивалентно следующему: R и R' свободны над k
в том и только том случае, когда
ст. тр. [R, R']/k = ст. тр. R/k + ст. тр. R'/k, (8)
где [R, R'] обозначает, как обычно, наименьшее подкольцо S,
содержащее одновременно R и R'. Действительно, ясно, что если
{хи хг, . . ., хт} и {х[, х'2, ..., х'п] — базисы трансцендентности
колец Rlk и R'/k соответственно, то каждый элемент кольца [R, R' ]
алгебраичен над полем k {хи х2, ¦ . ¦, хт, х[, х'2, .. ., х'п) (это поле
следует представлять себе подполем поля частных кольца 5). Сле-
Следовательно, если R и R' свободны над k, то т + п элементов хи
x'j различны и образуют базис трансцендентности кольца [R, R']/k.
Обратно, если выполняется равенство (8) и {лгь х2, ¦ . ¦, хг}
и {х[, х'2, .. ., x's} — конечные трансцендентные множества в Rlk
и R'/k соответственно, то мы дополним эти множества до базисов
трансцендентности {хи х2, .. ., хг, хг+1, ..., хт} и {х[, х2, . . . , x's,
x's+i, .. ., х'п} колец Rlk и R'/k (см. гл. II, § 12, стр. 121). Преды-
Предыдущее рассуждение показывает, что множество из т + п элемен-
элементов xi, x'j содержит базис трансцендентности кольца [R, R']/k,
а следовательно, если выполняется равенство (8), то т + п эле-
элементов xL, x'j (а поэтому также и данные/' -f- sэлементовхх, х„, ...

140 Гл. II. Элементы теории полей
..., хТ, х[, х'„, .. ., x's) должны быть алгебраически независимы
над k.
Отметим, что эквивалентной записью равенства (8) будет сле-
следующая :
ст. тр. [R, #']/# = ст. тр. R'/k, (9)
ибо ст. тр. [R, R'VR + ст. тр. Rlk = ст. тр. [R, R'Vk.
Предыдущее доказательство можно распространить на общий
случай областей целостности R и R', имеющих произвольную сте-
степень трансцендентности над k. Оно приводит к заключению, что
если В — базис трансцендентности кольца Rlk я В' — базис транс-
трансцендентности кольца R'/k, то R и R' свободны над k в том и только
том случае, когда В и В' не имеют общих элементов и элементы мно-
множества В \JB' алгебраически независимы над k (отсюда В\}В'—
базис трансцендентности кольца [R, R'Mk).
В применениях часто используется следующая эквивалентная
(но не симметричная) формулировка понятия свободных областей
целостности над k: области целостности R и R' свободны над k
в том и только том случае, когда любое множество алгебраически
независимых элементов кольца R над k будет таким же над R'.
Эквивалентность этого нашему первоначальному определению
следует сразу же из предыдущих рассмотрений.
Теорема 38. Если k (x) — конечно порождаемое расширение
поля k и К — такое расширение поля k, что К и k (x) свободны
над k, то для любого базиса трансцендентности {z} поля k (x)lk
[К (х) : К (z)U/[k (х): k (г% = [К (х): K]J[k (x) : k]t. A0)
В частности, если К —• конечное алгебраическое расширение поля
k, то общее значение обеих частей равенства A0) равно
Доказательство. Если К — конечное расширение по-
поля k, то формулы F) и G) показывают, что значение отношения
в левой части равенства A0) не зависит от выбора базиса трансцен-
трансцендентности {z} и равно [/С: Иг1[К{х) : k{x)\. Если теперь заста-
заставить {z} пробегать множество всех базисов трансцендентности поля
k (x)lk, которые могут быть извлечены из множества {х} образую-
образующих, то из теоремы 37 мы получим сразу же, что последнее отноше-
отношение равно отношению 1К(х) : K\l[k{x) : k\.
Рассмотрим теперь случай, когда К — произвольное алгебраиче-
алгебраическое расширение поля k. Выберем некоторый базис трансцендент-
трансцендентности {и} поля k (x) над k. Для любых двух полей kt и kz между k
и К, таких, что ki d kz, справедливо равенство [ki(x) : &1(и)]4>
> [k2 (x) : &2 («)]{, в силу B). Можно поэтому найти поле k' между k
и К, такое, что k' — конечное расширение поля kn Ik" (x): k" (и)]г =

§ 16. Порядок несепарабельности поля алгебраических функций 141
= Ik' {х): k' (w)]4 для любого поля k" между k! и К, являющегося
конечным расширением поля Ы'. Согласно рассмотренному в преды-
предыдущей части доказательства, мы получаем тогда, что lk"(x): k"(z)]i =
= Ik' (х) : k' (г)]г для любого базиса трансцендентности {z} поля
k' (x)lk и любого поля k" между k и К, такого, что k" является
конечным расширением поля k!. Из леммы 2 тогда вытекает, что
\К{х): K{z)\ = W (х) : k'{z)]t для любого базиса трансцендент-
трансцендентности {z} поля k' (x)/kr. Следовательно, [К (х) : /С1, — [&' (х) : k']t.
Но для любого базиса трансцендентности {z} поля k (x)lk мы имеем
[k (x): k (Z)]t = f [k' (х) : k' (z)]t = ps [К (х): К (z)]i:
где
ps = [k (x) : k]J[k' (x): й']{ = [k (x) : ft]t/[^ (x) : K]t,
что и доказывает теорему в случае когда К — алгебраическое рас-
расширение поля k.
В общем случае рассмотрим некоторый базис трансцендентности
В поля Klk. Так как К и k(x) свободны над k, то элементы множе-
множества В алгебраически независимы над k(x). Тогда, по следствию 1
леммы 1, имеем равенство
[k(B,x):k(B,z)]l = lk(x):k(z)]i A1)
для любого базиса трансцендентности {z} поля k(x)lk. Следова-
Следовательно,
[k(B,x):k(B)]i = [k(x):k)i. A2)
Так как К — алгебраическое расширение поля k(B), мы имеем,
согласно предыдущему случаю,
[k(B,x):k(B,z)]i = p*[K(x):K(z)]i,
где
ps[k(B, x):k(B)]i/[K(x):K]i, .
а отсюда следует утверждение теоремы ввиду равенств A1) и A2).
Следствие 1. Если k — алгебраически замкнутое поле,
задаваемое алгебраическим замыканием поля k в S, то
[k (х) : k (z)U = [k (x) : &h [ft (x) : k{z)\ A3)
5ля любого базиса трансцендентности {z} поля k(x)lk.
Действительно, поскольку k — совершенное поле, порядок
несепарабельности поля k(x) над k равен 1.
Следствие 2. Если предположения те же, что и в первой
•части теоремы 38, и если, кроме того, предположить, что либо

142 Гл. II. Элементы теории полей
(а) К и к(х)линейно свободны над к, либо(б) К сепарабельно порождаемо
над k, то
В случае (а) следствие сразу же получается из равенства A0)
и леммы 1, примененной к случаю L = k(z), К = k(x) и k = К-
Если К — конечное сепарабельное расширение поля k, то оно
тотчас же вытекает из равенства A0) и второй части теоремы 38.
Если К — чисто трансцендентное расширение поля k, то К и k(x)
линейно свободны над k, согласно следствию 1 леммы из § 15 (так
как К и k (x) свободны над k) и мы имеем тогда случай (а). Общий
случай при выполнении (б) получается теперь сразу, если взять
сначала чисто трансцендентное расширение поля k, а затем сепара-
сепарабельное алгебраическое расширение и применить лемму 2.
§ 17. Дифференцирования.
Определение. Пусть S — некоторое кольцо и R — под-
кольцо из S. Отображение D кольца R в S называется дифференци-
дифференцированием в кольце R (со значениями в S), если для каждых х, у ? R
оно удовлетворяет следующим условиям:
A)
B)
Замечание. Понятие дифференцирования в кольце R можно обоб-
обобщить на случай, когда S заменяется некоторым ^-модулем (см. гл. III, § 1).
Тогда произведения xD(y) и yD(x) в правой части равенства B) будут про-
произведениями элемента кольца R и элемента ^-модуля S, а следовательно,
элементами модуля S; таким образом, формула B) имеет смысл.
Последовательное применение формулы B) показывает, что для
каждого х из R и каждого целого числа п > 1 мы имеем D (хп) =
= nxll~1D (x). В частности, если 5 имеет единичный элемент е,
лежащий в R, то D (е) = D (е2) = 2eD (е) = 2D (е), откуда D (е) = 0.
Из B) следует, что ядро аддитивного гомоморфизма D (т. е. множе-
множество всех элементов л; из R, для которых D (х) = 0) будет подкольцом
кольца R; далее, соотношение D (е) = 0 показывает, что это под-
кольцо содержит единичный элемент е, а следовательно, также все
целые кратные пе {п ? /).
Про дифференцирование D кольца R, такое, что D (х) = 0 для
каждого элемента х некоторого подкольца R' из R, говорят, что оно
тривиально на R' или что оно является R'-дифференцированием
кольца R.
Лемма. Пусть R — область целостности и D —дифференци-
—дифференцирование кольца R со значениями в некотором поле К', содержащем R.
Тогда D можно продолжить, притом единственным образом, до-

§ 17. Дифференцирования 143
дифференцирования D' поля частных К кольца R. Для xly ? К
(х, у g R, у ф 0) мы имеем равенство
D'(x/y) = (yD(x)-xD(y))ly\ C)
Доказательство. Из соотношений D (х) =-- D' (у- {xly)) =
= yD' (xly) -r (x>y)D(y) следует, что равенство C) выполняется
для каждого дифференцирования D' поля К, продолжающего D.
Это доказывает единственность D'. Что касается существования
дифференцирования D', то мы сначала покажем, что формула C)
действительно определяет отображение поля К, т. е. что если
xly = х'/у', то (yD (х) — xD (у))/у2 = (y'D (х1) — x'D (y'))ly'z, при-
причем это достаточно показать в случае, когда х = zx, у' = zy,
z g R. Тогда мы имеем, что y'D (х) = zy (zD (x) -\- xD (г)), x'D (у1) =
= zx (zD (у) + yD (z)), откуда y'D (x')-x'D (у) = z2 (yD (x)-xD (y)),
что доказывает приведенное выше равенство. Прямое вычисление,
которое может быть предоставлено читателю, показывает, что ото-
отображение D' удовлетворяет условиям A) и B), а следовательно,
является дифференцированием.
Примеры дифференцирований
Пример 1. Пусть R — некоторое кольцо, D — дифферен-
дифференцирование кольца R и А — кольцо полиномов R [Хь . . . ,Хп].
Каждому полиному
поставим в соответствие полином
2D(aq q )
полученный из / дифференцированием коэффициентов, и обозначим
его через fD (Хх, . . . , Хп). Непосредственно проверяется, что ото-
отображение f—>fD будет дифференцированием кольца,Л. Очевидно,
что это дифференцирование является продолжением дифферен-
дифференцирования D.
Пример 2. Пусть R' — кольцо и R — кольцо полиномов
R' [Xi, ... , Хп]. Формально можно определить частную произ-
производную fxx(Xu . . . , Хп) (относительно XL) полиномов / из R сле-
следующим образом: если / (Хи . . . , Хп) = 2 ач\ «„-^i1 • • • ^п™> то
/ix (Хи ..., Хп)= 2 аЧ1 ^q^r'Xf . . . Х«». Отображение/-./^
обозначается через Dt или через д1дХ\. Прямое вычисление пока-
показывает, что Di является /^'-дифференцированием кольца полино-
полиномов R (оно даже тривиально на R' 1Х2, ... , Хп ]). Мы будем назы-
называть это дифференцирование кольца R частным дифференцирова-
дифференцированием относительно Хь Таким же образом определяются частные

144 Гл. II. Элементы, теории полей
дифференцирования Бг для i = 2, . . ., п. Согласно предыдущей
лемме, если R' — поле, то эти дифференцирования можно про-
продолжить, притом единственным образом, до дифференцирования
поля рациональных функций K = R' (Хъ ..., Хп); продолженные
дифференцирования имеют то же самое название и обозначаются
так же, как их ограничения на кольце полиномов R. Формулы A)
и B) показывают, что дифференцирования Dt A < /< п) однозначно
определяются тем условием, что они тривиальны на R' и удовле-
удовлетворяют следующим соотношениям:
D4(Xf) = l, Я* (Ху) = О для 1Ф\. D)
Пример 3. Предыдущий пример можно обобщить на случай
колец полиномов R — R'l{Xa}] от бесконечного числа переменных
Ха, занумерованных множеством А = {а}. Для любого а ? А
обозначим через Sa множество переменных Х$, р Ф а, и через
Ra —кольцо полиномов R' [Sa]. Тогда R = Ra [Xa] будет коль-
кольцом полиномов от одной переменной Ха над кольцом Ra, а поэтому
существует единственное дифференцирование Da кольца R, кото-
которое тривиально на Ra и для которого Da (Xa) = 1. Обозначим это
дифференцирование через д1дХа. В таком случае мы имеем Da(X р) = О
при а Ф р\ Если R' — поле, то дифференцирование д/дХа можно
продолжить, притом единственным образом, на поле частных
R' ({Ха}).
Пусть К — поле и L —¦ расширение поля К- Мы приступаем
к изучению множества всех дифференцирований поля К со значения-
значениями в L. Если D и D' —два таких дифференцирования, то отображе-
отображение D + D', определенное равенством (D +?>') (х) = D(x) + D' (х),
тоже будет дифференцированием поля К со значениями в L: дей-
действительно, формулы A) и B) «линейны noD». Аналогично мы видим,
что если D —дифференцирование поля К и а — некоторый эле-
элемент поля L, то отображение aD, определенное равенством (aD)(x) --
= aD(x), тоже будет дифференцированием поля К. Таким образом,
дифференцирования поля К со значениями в L образуют векторное
пространство над L, которое мы будем обозначать через ,У)К или
St>K {Ц- Если К' — подполе поля К, то дифференцирования поля
К, тривиальные на К', образуют векторное подпространство в про-
пространстве У)к, которое мы обозначим через З
Замечание, Если О|и D' — два дифференцирования поля К, со
значениями в L, то составные отображения DD' и D'D не будут, вообще
говоря, дифференцированиями. Тем не менее отображение D'D — DD'
[определенное равенством (D'D — DD')(x) = D'(D(x))—D[D'(x))] будет диф-
дифференцированием поля К. Действительно, формула A) очевидна для D'D —
— DD'. С другой стороны,
(D'D-DD1) (xy) = D'(xD(y) + yD(x)) ~ D(xD'(y) -- i/D'(*)) =
= x-(D'D —DD'){y) + <J-{D'D — DD')(x),

17. Дифференцирования 145
так как члены D'(x)D(y) и D'(y)D(x) сокращаются; таким образом, D'D —
— DD' удовлетворяют условию B). Дифференцирование D'D — DD' иногда
обозначается через [D, D'] и называется скобкой дифференцирований D и D'.
Формулы [D, D] = О, [D,D'] = — [?>', D] очевидны. Кроме того, непо-
непосредственно проверяется «тождество Якоби»
[[D,D'}, D"] + HD', D"], D] + {[D", D], D'] = О
между тремя дифференцированиями D, D', D" поля К. Эти свойства скобки
[D, D'] выражают словами, что S5K является алгеброй Ли над L. Аналогично
-^к/К' тоже будет алгеброй Ли над L.
Пример 4. Пусть k — поле и К = k {Хи . . ., Хп) — поле
рациональных функций от п переменных над k. Докажем, что
частные дифференцирования Di (г = 1, ...,п) образуют базис
векторного пространства У>к/и ^-дифференцирований поля К
(со значениями в любом расширении L поля К)- Действительно,
пусть D G ??,'я/и. Если положить D' = ^]D (Хг) Diy то D' будет
^-дифференцированием поля К, которое совпадает с D на элементах
Xi, . .., Хп, а следовательно, D' совпадает с D на кольце полиномов
k \Хи . . ., Хп], так как ядро дифференцирования D'—D является
кольцом. Следовательно, D'=D на поле частных К, согласно фор-
формуле C) (лемма); это показывает, что D{ порождают ^K/h. Докажем
теперь, что дифференцирования D4 линейно независимы (над L).
Действительно, если У_ aji^ — 0 (а4 6 L), то 0 = (^ а^г) {X}) = aj
для у = 1, . . ., п.
Теорема 39. Пусть К — поле, F = К (хи .. ., хп) — ко-
конечно порождаемое расширение К, D — дифференцирование поля К
со значениями в некотором расширении L поля F и {u\, . . ., ип} —
множество из п элементов поля L. Для того чтобы существовало
дифференцирование D' поля F, продолжающее D и такое, что
D'(xj) ™ ui для i = 1, .. ., п, необходимо и достаточно, чтобы для
каждого полинома f (Хи ..., Хп) в К [Xi, .. ., Хп\, такого, что
f(xi, . . ., хп) = 0, имело место равенство
= О,
E)
причем если это условие выполняется, то дифференцирование D'
определяется однозначно. Кроме того, если {/,-} — множество таких
полиномов, что каждый /? К [Хг, ..., Хп ], для которого f (хи . ..
.. . ,хп) = 0, может быть записан в виде f = 2 e-,fj, sdegj G K[XU . . .
3
. .., Xn] (другими словами, если {fj} — «базис идеала алгебраиче-
алгебраических соотношений для хи ..., хп над К»), то для существования диф-
дифференцирования D' необходимо и достаточно, чтобы /^ удовлетво-
10 Заказ № 617

146 Гл. II. Элементы теории полей
ряли равенству E), т. е. чтобы мы имели
ff (Xl, ...,*„)+ Д"* (D^ (*i. -••,*„) = о F)
для каждого /.
Доказательство. Отметим сначала, что если D'— любое
дифференцирование поля F, продолжающее D, то мы имеем для
каждого полинома g^ К [Xiy ••• , Хп] соотношение
D' (g (хъ ..., хп)) = g° (Xl, . .., хп) + S iP' (Xi)) (Dig) {xx, ..., xn).
G)
Действительно, формула B) дифференцирования произведения
показывает, что равенство G) выполняется, когда g есть одночлен
aXl1 .. . X^n(ag К); поэтому равенство G) выполняется для любо-
любого полинома g ввиду линейности. Из него вытекает, так как
D'@) = 0, что соотношение D) необходимо, а также что существует
самое большее лишь одно дифференцирование D' кольца Khi, . . .
. . ., хп], а следовательно, также самое большее одно дифференци-
дифференцирование D' поля частных F, которое будет продолжением дифферен-
дифференцирования D и для которого 1>'(^) = щ, i = 1, 2, ..., п. Обратно,
если E) выполняется для любого полинома / над К, для которого
f (xi, . . ., Хп) = 0, то определим D' равенством
D'(g (xu ...,xn))= gD (xt Хп) + 2 Щ (Dig) (хъ ...,хп).
Тогда D' будет отображением, ибо величина D'(g (xlt . .., хп))
зависит лишь от элемента g (xlt . . ., хп) поля F, а не от полинома g
[так как при g (xi, ..., хп) = h (xi, .. ., хп) можно применить E)
к полиному g — h и получить, что D'(g (хи . .., хп)) = D'(h (хи .. .
...,хп))]. Ясно, что D'—аддитивный гомоморфизм [т. е. D' удо-
удовлетворяет A)]. С другой стороны, мы имеем D (х{) = иг. Наконец,
условие B) выполняется для D', так как отображения g—> gD и
g- -^UiDig являются дифференцированиями кольца /С[А"Ь .. ., Хп 1
(примеры 1 и 2, стр. 143). Таким образом, условие E) достаточно,
так как дифференцирование D' кольца К \хи .. ., хп ] можно рас-
распространить на поле частных F (лемма). Остается показать, что
условие F) влечет за собой E) для любого полинома /, для которого
/ {хи ...,хп) = 0. Так как / = 2 g}fj, то
i
fD {Xx , Хп) = 2 ff (•*!. • • • . Хп) gj (Xt , Хп) +
XV ¦¦¦,Хп) gf (*lt . . . , Xn) =
(*i. • • •. xn) gj (xl7 ...,xn),

17. Дифференцирования 147
поскольку fj (xit . . ., хп) = 0 для каждого /. Таким же образом мы
убеждаемся в том, что
{DJ) {хъ . .., хп) = 2 gj (xlt ...,хп)- (DJ,) (xv .... хп).
i
Тогда мы получим E), если умножить каждое из соотношений F)
на gj(Xi,..., хп) и полученные соотношения сложить.
Применим теперь теорему 39 к различным важным классам рас-
расширений полей.
Следствие 1. Пусть К — поле и F = К{х) — простое
трансцендентное расширение поля К- Если D — дифференцирова-
дифференцирование К со значениями в некотором поле L, содержащем F, а и — любой
элемент из.Ь, то существует одно и только одно дифференцирова-
дифференцирование D' поля F, продолжающее D и такое, что D'(x) = и.
Действительно, 0 является единственным полиномом / в К1Х],
для которого / (х) = 0.
Следствие 1'. Пусть К — поле и F = К (S) — чисто
трансцендентное расширение К', S здесь обозначает множество
образующих поля F/K, алгебраически независимых над К- Пусть
х—>ик—отображение множества S в некоторое поле L, содержа-
содержащее F. Если D — любое дифференцирование поля К со значениями
в L, то существует одно и только одно дифференцирование D'
поля F, продолжающее D и такое, что D'(x) = их для всех х из S.
Ясно, что если D' существует, то оно однозначно определяется
на /CIS], а поэтому также на F. Чтобы показать существование
дифференцирования D', воспользуемся леммой Цорна. Пусть
/ — множество всех подмножеств Sa в S с тем свойством, что D
имеет продолжение Da на Fa= K(Sa), для которого Dax = и,
для всех х из Sa. Множество / непусто, так как пустое множество
принадлежит /. Если 5acz5p, то Dp является продолжением диф-
дифференцирования Da. Отсюда сразу следует, что множество /, ча-
частично упорядоченное посредством теоретико-множественного вклю-
включения, индуктивно. Согласно лемме Цорна, существует некоторый
максимальный элемент 5' в /. Пусть F'= K(S') и D'—дифферен-
D'—дифференцирование поля F', продолжающее D и такое, что D'(x) = и,
для всех х6 5'. Если S'=fcS, то существует некоторый элемент у
в 5, не принадлежащий 5', и, по следствию 1, дифференцирование
D" поля F'(y) = К (S' \J{y}), которое является продолжением
дифференцирования D' и для которого D"y = uy. Это противоречит
максимальности множества S' в /. Следовательно, 5'= 5, что и до-
доказывает утверждение.
Следствие 2. Пусть К — поле и F = К(х) — простое
сепарабельное алгебраическое расширение поля К. Тогда каждое
in*

148 Гл. II. Элементы теории полей
дифференцирование D поля К можно продолжить, притом единст-
единственным образом, до дифференцирования поля F.
Действительно, каждый полином g?K\X\, для которого
g(x) = 0, будет делиться на минимальный полином / элемента х
над К- Таким образом, множество соотношений F) сводится к един-
единственному соотношению fD {х) + uf'x {х) = 0. Так как х сепарабелен
над К, то f'x (x) =/=0, а следовательно, соотношение fD (x) + и fx (x) = 0
выполняется для одного и только одного значения и. Если и0 есть
именно это значением, то продолжение D' дифференцирования D
на F, для которого D'(x) = и0, и будет единственным продолже-
продолжением дифференцирования D на F.
Следствие 2'. Следствие 2 остается справедливым, если
F ¦— произвольное сепарабельное алгебраическое расширение поля К.
Доказательство, подобное доказательству следствия Г и даже
более простое, является прямым применением леммы Цорна и может
быть предоставлено читателю.
Следствие 3. Если поле F — сепарабельно порождаемое
расширение поля К, то каждое дифференцирование D поля К
можно продолжить до дифференцирования поля F.
Это прямо вытекает из следствий 1 и 2.
Следствие 4. Пусть К — поле характеристики р ф 0
и F = К (х) (F ф К) — простое чисто несепарабельное расширение
поля К- Предположим, что е — наименьшее целое число (е>1),
для которого у = хр"^ К. Тогда дифференцирование D поля К имеет
продолжение D' на F в том и только том случае, когда D (у) = 0,
и если D — такое дифференцирование К (со значениями в некотором
поле L, содержащем F), то в качестве D'(x) можно взять произ-
произвольный элемент из L.
Минимальным полиномом элемента х над К будет Хре— у
(теорема 7 из § 5). Следовательно, соотношение F) приводится к
виду D (у) = 0.
Следствие 4'. Пусть К — поле характеристики р Ф 0
и F — чисто несепарабельное расширение поля К, такое, что FJJaK.
Если S — множество образующих поля FIK и D — дифференцирова-
дифференцирование поля К, такое, что D{xv) = 0 для каждого элемента х из S,
то D можно продолжить на F.
Рассмотрим множество / всех пар (F',Dr), составленных из
поля F', такого, что Kd.F'czK(S), и дифференцирования D' поля
F', продолжающего D. Положим (F', D') -< {F", D"), если F'dF"

§ 17. Дифференцирования 149
и D" продолжает D'. Это отношение будет отношением упорядо-
упорядоченности, для которого /, очевидно, индуктивно. Согласно лемме
Цорна, существует некоторый максимальный элемент (/•", D')
в /. Если F' Ф К (S), то существует такой элемент х в 5, что х $ F'\
тогда xp?F' и Ь'(л:р) = 0, а поэтому D' можно продолжить на
K(S)(x), согласно следствию 4. Так как это противоречит макси-
максимальности элемента (F',D')t то F'=K{S), что и требовалось
доказать.
Следствие 5. Пусть К — поле характеристики р ф О
и F — чисто несепарабельное расширение поля К, для которого
.FpaK- Если [F : К] конечно, скажем [F : К] = ps, то векторное
пространство О) р/кК-дифференцирований поля F имеет размер-
размерность s. Существует множество {хи ..., xs) из s элементов поля F
и базис {Di, D2, . . .,DS} пространства SLfik со следующими свой-
свойствами: F = К (хи . .., xs), х} § К (xi, .. ., xhl) для j = 1, . .., s
и Di(Xi) = 1, DiiXj) --= 0 для i Ф j.
Построим по индукции последовательность хи . . ., x<, ... эле-
элементов поля F, для которой XjfyK (xi, .. ., Xj_j). "Так как
x^K(xu ..., *м), то IK {xit ..., х^:К(хи ..., xj_1)] = p. Так
как [F : К] конечно, то эта последовательность должна иметь ко-
конечное число членов, например s, и тогда [F : К\ = р'- Для каж-
каждого / = 1, . .., s, согласно следствию 4, существует некоторое
К (xi, . . ., ^-..-^-дифференцирование D) поля К (х±, ..., х-), для
которого D'j(Xj) — \. Продолжим D'j до дифференцирования D.}
поля F = K (xi, ..., xs), налагая на D} условия Di(x;+1)=.. .
... =Dj (xs) = 0; это возможно, как вытекает из последовательного
применения следствия 4, поскольку xf б К для i = / + 1, . . ., s.
Таким образом, мы имеем s дифференцирований Dlt ...,DsnonnF
над К, для которых Dj Ц-) = 1 и D- (xt) = 0 при t=/= /. Они линейно
независимы: действительно, если2а1О1 = 0, то а: = (Уа1О1) (x.j) = 0
г г
для каждого /. Наконец, если D— любое /^-дифференцирование
поля F, то отображение Dr =D — ^D (xJDj будет дифференци-
г
рованием поля F, принимающим значение 0 на К и на множестве
{xi, . . .,xs}. Следовательно, D' принимает значение 0 на K[Xi, . . .
. . ., xs] = F; это доказывает, что дифференцирования Dit . . ., Ds
порождают D F/K.
Замечание. Формула D(xP)=pxv~i показывает, что при характе-
характеристике р ф 0 каждое дифференцирование поля L тривиально на подполе Z.P.
В частности, совершенное поле характеристики рфО не имеет нетривиаль-
нетривиальных дифференцирований. Следствия 4 и 4' показывают, что Lp есть в точ-
точности множество всех элементов х из L, для которых D(x) = 0 при каждом
дифференцировании D поля L. Если К — некоторое подполе поля L, то мы

150 Гл. II. Элементы теории полей
видим аналогично предыдущему, что K{LP) — это множество всех элемен-
элементов х из L, для которых D(x) = 0 при каждом Л'-дифференцировании поля L.
Теорема 40. Пусть К — поле и F = К (xit ..., хп) —
конечно порождаемое расширение К- Для того чтобы F было сепара-
сепарабельно алгебраично над К, необходимо и достаточно, чтобы 0 был
единственным К-дифференцированием поля F.
Доказательство. Необходимость вытекает из следствия
2' теоремы 39. Что касается достаточности, то пусть / — наи-
наибольший индекс, для которого F не сепарабельно алгебраично
над К (xi, .. ., х^). Тогда поле К (хи ¦ ¦ •, *3+1) либо чисто транс-
цендентно, либо алгебраично, но не сепарабельно над К (х±, ...
. . ., Xj). Во всяком случае, существует нетривиальное дифферен-
дифференцирование D поля К (xi, . .., xjtl), тривиальное на К {хи . . ., Xj)
(следствия 1 и 4 теоремы 39). Так как F сепарабельно алгебраично
над К (xi, . . ., Xjtl), D может быть продолжено на F (следствие 2
теоремы 39). Это противоречит предположению и доказывает доста-
достаточность условия теоремы.
Следствие. Пусть К — поле, {xit ..., хп} — конечное мно-
множество из п элементов некоторого расширения F поля К и {Д, ...
¦ ¦ •) fn}— конечное множество из п элементов кольца К\Хи ..., Хп ],
для которых fi(xit ..., хп) = 0 при i = 1, ..., п. Если
det f -J— (xi, ..., Хп) )ф0, то K{xiy ...,хп) сепарабельноалгебраич-
V OAj J
но над К- Обратно, если К {xi, .. ., хп) сепарабельно алгебраично над
К, то существуют полиномы Д, ..., fn в K[Xit ..., Хп], такие,
что fi (xi, ..., хп) = 0 при t= 1, 2, ..., п, и для которых написанный
выше определитель отличен от нуля.
Действительно, пусть D — некоторое К-дифференцирование поля
К {хи ..., Хп). Так как D (/4 (х1г ..., хп)) = 0, то 2 (dfi/dXj) (xlt . ..
. . ., xn)-D (Xj) = 0 для i = 1, 2, . .., п. Таким образом, мы имеем
систему из п однородных линейных уравнений для D (xi), . . .
. .., D (Хп) с определителем, не равным нулю. Следовательно,
D (xi) =...=?> (хп) = 0, а поэтому D — тривиальное дифференци-
дифференцирование.
Предположим теперь, что К {xi, . . ., хп) сепарабельно алгеб-
алгебраично над К- В таком случае не существует нетривиальных
К-Дифференцирований поля К {х\, . ¦ ., хп). Рассмотрим систему одно-
п
родных уравнений 2 ^(Dj/) (xi, .. ., хп) = 0, полученную варьиро-
варьированием / во множестве всех полиномов из KlXiy ..., Хп], для
которых /(*!, . . ., хп) = 0. Из теоремы 39 [формула E)] следует,
что эта система уравнений имеет лишь тривиальное решение Ui = . ..

§ 17. Дифференцирования 151
... = ип = 0. Следовательно, эта система должна содержать неко-
некоторое множество из п уравнений с определителем, не равным нулю,
что и завершает доказательство следствия.
Теорема 41. Пусть К — поле и F = К (хи .. •, хп) —
конечно порождаемое расширение К. Размерность s пространства
3)р/к равна наименьшему числу элементов ыь ..., и, поля F, таких,
что F сепарабельно алгебраично над К («ь ..., ut). Если К имеет
характеристику рфО, то ps=[F: К (Fp)]. Соотношение s =
= ст. тр. F/K характеризует сепарабельно порождаемые расширения.
Доказательство. Кодифференцирование D поля F' —
= К («1, •••,«() однозначно определяется значениями D (ui), . ..
...,D(ut); следовательно, размерность пространства Зр'/к не
превосходит t. Если F сепарабельно алгебраично над F', то каждое
дифференцирование поля F' имеет единственное продолжение на F
(следствие 2' теоремы 39), откуда s < t. Для доказательства первого
утверждения теоремы нам нужно показать, что существуют s эле-
элементов ии ..., us поля F, таких, что F сепарабельно алгебраично
над К {и-и ¦ ¦ ¦, us). Это ясно при р = 0, потому что в этом случае s
будет степенью трансцендентности поля F/K (см. следствие 2'
теоремы 39 и пример перед теоремой 39). Если р =/= 0, то заметим,
что каждое Кодифференцирование поля F тривиально на К (Fp)
и что F чисто несепарабельно над К (Fv). Поэтому, применяя след-
следствие 5 теоремы 39, получаем, что существуют s элементов иь . ..
. .., us поля F и s линейно независимых К-Дифференцирований
Db ...,DS поля F, таких, что О{{иг) = \, Dt{Uj) = 0 для i ф].
Если дифференцирование D поля F тривиально на К ("ь . -., us),
toD = 0, так как можно написать D = 2 а^г. откуда 0 = D (и^=
= а3- для каждого /. Следовательно, F сепарабельно алгебраично
над К («ь ..., us) по теореме 40. Это доказывает первую часть
теоремы. Второе утверждение является частью следствия 5 теоремы
39. Третье следует из первого. Таким образом, теорема доказана.
Теорема 42. Пусть К — поле характеристики р Ф 0
и F — расширение К. Для сепарабельности F над К (§ 15) необхо-
необходимо и достаточно, чтобы каждое дифференцирование поля К было
продолжаемо на F.
Доказательство. Предположим сначала, что F сепа-
сепарабельно над К, т. е. что/7 и Кр~1 линейно свободны над К- Тогда,
так как х-+хр является изоморфизмом, поля Fp и К будут линейно
свободны над Кр- Пусть {иа} — базис (конечный или бесконечный)
Fp, рассматриваемого как векторное пространство над Кр; мы имеем
«таблицу умножения» иа«р= S caPYuY(capY6 Кр). В таком случае

152 Гл. II. Элементы теории полей
{иа}, очевидно, будет базисом кольца KIFP], рассматриваемого
как векторное пространство над К- Пусть D — дифференцирование
поля К. Каждый элемент х кольца K\FP\ можно записать, притом
единственным образом, в виде х — ^хаиа (ха € К, ха — 0, за
исключением конечного числа индексов). Следовательно, если
положить D' (х) = 2D (ха)иа, то D' будет отображением кольца
а
K[FP] в некоторое расширение поля F. Это отображение, очевидно,
удовлетворяет условию D'(x + у) = D'(x) + D'(y). Чтобы пока-
показать, что D'— дифференцирование, рассмотрим любые два элемента
х = 2 хаиа и у = 2 Уаия кольца KiFp]. Мы имеем соотношения
о р
D'(xy)=D'(
2
а, Р, V
г/р + ^aD (t/p))
так как D (capY) = 0 для сару?Кр- Но дифференцирование D'
кольца K[FP] (которое продолжаете, так как один из элементов
иа можно взять равным 1) можно продолжить до дифференцирования
D" поля частных K{FP) (лемма). Наконец, так как F чисто несепа-
рабельно над К (Fp) и D" принимает значение 0 на Fp, согласно
построению (если ^ хаиа 6 Fp, то элементы ха принадлежат К1'
и, таким образом, D (ха) = 0), то следствие 4' теоремы 39 показы-
показывает, что D" можно продолжить на F. Необходимость условия теоре-
теоремы доказана.
Обратно, предположим, что каждое дифференцирование поля
К можно продолжить на F. Докажем, что если ли, . . ., х,— элементы
поля F, линейно независимые над К, то их р-е степени тоже линейно
независимы над К (условие, которое эквивалентно сепарабельности;
см. § 15). Предположив, что это не так, выберем среди нетривиаль-
нетривиальных линейных соотношений с коэффициентами в К, которые выпол-
выполняются для элементов xV, одно с наименьшим числом не обращаю-
обращающихся в нуль членов. Беря в случае необходимости другую нуме-
нумерацию, можно записать это соотношение в виде a^f + . . . +апхР = 0
(a{ g К, агФ0). Можно предположить также, что ai = l. Далее,
для любого данного дифференцирования D поля К мы продолжаем
его на f и продолженное дифференцирование обозначаем опять
через D. Так как D (xf) — 0 и D (а±) =?> A) = 0, предыдущее соот-
соотношение после дифференцирования дает равенство D (a2)х%+ .. .
. . . + D (ап)х% = 0. Так как оно содержит лишь и—1 членов,
то все его коэффициенты обращаются в нуль, откуда D (аг) -- О
для всех i и всех D. Так как ai аннулируется каждым дифференци-

17. Дифференцирования 153
рованием поля К, ai принадлежит Кр (см. замечание после след-
следствия 5 теоремы 39), откуда аг—Ьр с bt?K, bx ФО. Таким обра-
образом, соотношение ^atXi = 0 дает ^ Ьрхр~ B Ьгхг)р = 0, откуда
2 bixi = 0, что противоречит линейной независимости элементов
xit ..., xt над К- Теорема доказана.
Мы закончим этот параграф кратким рассмотрением р-базисов
полей характеристики р ф 0. В дальнейшем F обозначает некото-
некоторое фиксированное поле характеристики р Ф 0.
Про данную конечную совокупность элементов хи х2, . . ., хп
поля F говорят, что они р-независимы, если пр одночленов ;ф;ф. . . л:*™
@< iq < р) линейно независимы над Fp. Множество {хи х2, . . ., хп\
называется тогда р-независимым множеством. Произвольное (конеч-
(конечное или бесконечное) подмножество 5 поля F называется р-незави-
р-независимым множеством, если каждое конечное подмножество из 5
р-независимо.
Подмножество S поля F называется р-базисом, если оно является
р-независимым множеством и в то же время системой образующих
поля F/Fp, т. е. если F = Fp (S).
Часть рассмотрений р-независимости и р-базисов будет про-
проведена здесь с применением общего аксиоматического понятия
зависимости, развитого в связи с векторными пространствами
(гл. I, § 21) и трансцендентными расширениями (§ 12). Именно,
введем следующее отношение ф между подмножествами поля F:
если А —любое подмножество из F, то ф (А) = F1' (А). Это от-
отношение ф удовлетворяет пяти аксиомам, приведенным в гл. I,
§ 21. Справедливость первых четырех из этих аксиом очевидна,
поэтому мы проверим лишь последнюю («принцип замены»): если
А — подмножество из F, а х, у — его элементы, такие, что y$Fp (A)
и (/6Р (Л, х), то x?Fv(A,y). Так как Fp (А, х) = Fp (А) [х]
и xp?Fp, то можно записать у в виде у = а^х9'1 + а^хр~г -|- ...
... + ар_2х-т-ар_ъ где аь принадлежат FP(A). Так как y§Fp(A),
коэффициенты а0, аь ..., ар__„ не все равны нулю. Отсюда следует,
что х одновременносепарабелен и чисто несепарабелен над Fv (А, у),
а следовательно, принадлежит Fp(A,y), что доказывает принцип
замены.
Покажем теперь, что конечное множество {xi: х2, . . ., хп) поля F
свободно (относительно отношения ф; см. гл. I, § 21) в том и только
том случае, когда оно будет р-независимым множеством. Чтобы
показать, что элементы xt р-независимы, воспользуемся индукцией
по п, так как случай п = 0 тривиален. Пусть / (Хи Х2, . ¦ ¦, Хп) —
ненулевой полином с коэффициентами из Fp и степени меньшей,
чем р, по каждой из переменных Хг. Мы должны показать, что
/ (xi, х2, . ¦ ., хп) ф 0. Можно допустить, что Хп на самом деле вхо-
входит в /. По предположению индукции, полином }{хи х2, . ¦ ., хпЛ, X)

154 Гл. 11. Элементы теории полей
из Fp (xi, х2, • • ., х,г-\)[Х] отличен от нуля. Так как этот полином
имеет степень меньше, чем р, по X, то он сепарабелен. Так как хп
чисто несепарабелен над Fp и не принадлежит Fp {хи х2, .. ., x«-i)
(поскольку множество {хи х2, ..., хп} свободно), отсюда следует,
что элемент хп не может быть корнем этого полинома, что и доказы-
доказывает р-независимость элементов хи х2, ¦ ¦ ¦, хп.
Обратно, если элементы Х\, х2, .. ., хп не образуют свободного
множества, то можно допустить, что хп ? Fp (xiy x2, .. ., Xn-i)- Так
как xV?Fp, Хп можно записать в виде xn~g(xi, х2, . .., хп-\), где
g — полином с коэффициентами из Fv, имеющий степень меньше,
чем р, по каждому из аргументов. В таком случае соотношение
g (xi, х2, ...,*„_[)—хп = 0 будет соотношением линейной зави-
зависимости (над Fp) между одночленом хп и (п — 1)р одночленами
х\т-х\г . . . xjjXi1 @< iq < р), а это показывает, что элементы Х\, х2, .. .
. . ., хп не р-независимы.
Используя общие результаты, полученные в гл. I, § 21, мы выво-
выводим следующие результаты:
A) Подмножество S поля F будет р-базисом поля F в том и только
том случае, когда оно будет базисом F относительно отношения <р,
или, другими словами, в том и только том случае, когда S — мини-
минимальная система образующих поля F над Fp.
B) Существуют р-базисы поля F, и любые два р-базиса поля F
имеют одинаковые кардинальные числа.
Следующая теорема, частично обобщающая следствие 5 тео-
теоремы 39, дает связь между р-независимостью и /^-дифференциро-
/^-дифференцированиями поля F.
Теорема 43. Подмножество S поля F будет р-независимым
в томи только том случае, когда для каждого элемента х из S суще-
существует дифференцирование Dx поля FlFp, такое, что Dx (x) = 1
и Dx(y) = 0 для каждого элемента у из S, отличного от х.
Доказательство. Предположим, что 5 — некоторое
р-независимое множество. Пусть / — множество всех подмножеств
в S, имеющих следующее свойство: если Л — любое множество
из совокупности /, то для каждого элемента х из А существует
дифференцирование DT) А поля Fp {А), такое, что ?>*, А (х) = 1
и DXtA(y) = 0 для всех элементов у из А, которые отличны от х.
Частично упорядочим / при помощи теоретико-множественного
включения и покажем, что / индуктивно. Пусть /'—линейно упо-
упорядоченное подмножество множества /. Если А, В ? /' и если, напри-
например, A'd В, то ясно, что для каждого элемента х из А дифферен-
дифференцирование Дс; в будет продолжением дифференцирования DXjA.
Отсюда следует, что если С — объединение всех множеств А, при-

§ 17. Дифференцирования 155
надлежащих /', то для каждого элемента х из С различные диффе-
дифференцирования Dx, а (я 6 Л ? /') имеют общее продолжение Dx> c
на Fp (С), такое, что DT, с (х) = 1 и DA с (у) = 0 для всех элемен-
элементов у в С, отличных от х. Следовательно, С ? /. Это показывает, что
/ индуктивно. Согласно лемме Цорна, пусть 5' —некоторый макси-
максимальный элемент множества /. Если бы 5' было собственным под-
подмножеством множества S, то мы могли бы найти элемент z в S, кото-
который не принадлежал бы 5', а поэтому, согласно следствию 4 тео-
теоремы 39, существовало бы дифференцирование D поля Fp (S', z),
тривиальное на FP(S'), для которого D (z)=l (так как z§Fp(S')
ввиду р-независимости элементов из S). Это противоречило бы
максимальности элемента 5'. Следовательно, S' = S. Но каждое
из дифференцирований Dx,s, x^S, можно продолжить до дифферен-
дифференцирования Dx поля F, согласно следствию 4' теоремы 39. Эти Dx
удовлетворяют условиям, сформулированным в теореме.
Обратно, предположим, что для каждого элемента х из 5 суще-
существует дифференцирование Dx поля FIFP, удовлетворяющее сфор-
сформулированным в теореме условиям. Если хи лг2, . .., хп — произ-
произвольные элементы из 5, то дифференцирования Dx. (l<i<n)
тривиальны на Fp (xi, х2, ¦ ¦., лсг_1, xi+1, ...,xn), в то время
как Dx. (хг)=\. Следовательно, хг не принадлежит полю
Fp (xi, х2, ¦ .., *{_!, #i+1, ...,xn). Это показывает, что множество
{xiy х2, .. ., хп} свободно (относительно отношения <р), а следова-
следовательно, и р-независимо. Теорема доказана.
Отметим, что если F — конечно порождаемое расширение Fp
и 5—р-базис поля F, то дифференцирования Dx, x? S, образуют базис
пространства ?SF/Fp. Это в действительности является содержанием
следствия 5 теоремы 39.

Глава III
ИДЕАЛЫ И МОДУЛИ
§ 1. Идеалы и модули. В гл. I мы определили понятие гомомор-
гомоморфизма колец (гл. I, § 12) и показали, что ядро играет важную роль.
Мы доказали в гл. I, § 12, что ядро является не только подкольцом,
но и идеалом в соответствии со следующим определением:
Определение 1. Пусть R — кольцо. Его идеал — это
непустое множество 21 из R, такое, что
(а) если аи а2?21, то а4 — а2?Ш,
(б) если а ?21 и b?R, то аЬ^Ъ..
(Напомним, что в гл. I, § 7, мы условились, что слово «кольцо»
всегда обозначает коммутативное кольцо.) Условие (а) в нашем
определении означает просто, что 21 есть подгруппа аддитивной
группы кольца R. Из условий (б) и (а) следует, что 21 — подкольцо R.
Но не каждое подкольцо является идеалом. Например, в кольце
рациональных чисел множество целых чисел является подкольцом,
но не идеалом; если же Р [х] — кольцо полиномов над некоторым
полем, то в нем F [х2] — подкольцо, но не идеал.
Если R — произвольное кольцо и а — любой его элемент, то
множество всех элементов видаха, x?R, очевидно, является идеалом.
Он называется главным идеалом, порождаемым элементом а, и обо-
обозначается Ra. Ясно, что в кольце R с единицей идеал Ra является
наименьшим идеалом, содержащим а. В общем случае наименьшим
идеалом, содержащим а, является множество всех элементов из R
вида га + па, где г ?R и п — целое число. Это множество обозна-
обозначается символом (а). Если R имеет единицу, то (а) = Ra. Можно
получить другой пример идеала, если в качестве R взять кольцо
полиномов от п переменных Хи Х2, . . ., Хп над кольцом Ro. Пусть
аи а2, . . ., ап— фиксированные элементы Ro, тогда множество всех
полиномов/{Хи Хг, . . ., Хп) из R, таких, что/(а1; а2, . . ., а^) — О,
является идеалом.
Каждое кольцо R (отличное от нулевого) имеет по крайней мере
два идеала: все кольцо R и множество @), состоящее из одного 0. Пос-
Последний совпадаете главным идеалом R0. Если/?содержит единицу,

§ 1. Идеалы и модули 157
то первый идеал есть R1. Идеал кольца R, отличный от @) и R,
называется собственным идеалом.
Если R имеет единицу и если идеал 21 из R содержит обратимый
элемент и, то 21 = R, ибо 21 содержит Ьи'хи, для каждого b?R.
Если R — поле, то существует только два (несобственных) идеала
@) и R\, ибо если 21 — идеал в R и 21 Ф @), то 21 содержит элемент
а Ф 0 и, следовательно, ему принадлежит аа'1 = 1. Таким образом,
он совпадает с R. Обратно, если R — кольцо с единицей и имеет
только два идеала, то R — поле, ибо если а ? R, а Ф 0, то Ra Ф RQ,
откуда Ra= R, 1 ? Ra, и, таким образом, 1 = ха для некоторого
x?R.
Пример. Если G — произвольная абелева (аддитивная) груп-
группа, то ее можно сделать коммутативным кольцом, полагая аЬ — 0
для всех а и b из G. Это кольцо не имеет мультипликативной еди-
единицы. Каждая подгруппа группы G является идеалом в кольце G.
Если мы возьмем в качестве G конечную группу простого порядка,
то мы получим пример кольца, которое не имеет собственных идеалов,
но, однако, не является полем.
Предыдущий пример является наиболее общим в своем роде,
так как мы легко можем доказать следующий результат: если
кольцо R не имеет собственных идеалов и не является полем, то адди-
аддитивная группа R есть циклическая группа простого порядка uab = 0
для любых а и b из R. Для доказательства мы рассмотрим множество
21 всех элементов а из R, таких, что Ra — нулевой идеал. Иначе
говоря, Ш есть множество всех абсолютных делителей нуля кольца R.
Так как мы предположили, что R не является полем, то существует
элемент а в R, отличный от нуля и такой, что Ra Ф R. Для любого
такого элемента а мы имели бы тогда Ra = @), ибо R не имеет
собственных идеалов. Таким образом, множество 21 содержит эле-
элементы, отличные от нуля. С другой стороны, очевидно, что 21 —
идеал. Тогда 21 = R и, следовательно, ab = 0 для всех a, b?R.
Каждая подгруппа аддитивной группы кольца R является идеа-
идеалом в R, поэтому аддитивная группа кольца R должна быть конеч-
конечной и простого порядка, так как все ее подгруппы исчерпываются
@) и R.
Понятие идеала допускает непосредственное обобщение.
Определение 2. Пусть S — кольцо и R — его подкольцо.
R-м одуль в S — это непустое подмножество 21 кольца S, такое,
что
(а) если аи а2?Ш, то ai — a2(-'&,
(б) еслиа^й и b?R, то Ьа^'й.
Любой идеал из S, очевидно, является /^-модулем. В частности,
идеалы кольца R — это все подмножества кольца R, которые

158 Гл. III. Идеалы и модули
являются /^-модулями. Мы заметим, что в определении понятия
модуля для элементов кольца S участвуют только операция сложе-
сложения. Умножение осуществляется только между некоторым элемен-
элементом из R и некоторым элементом из S. Это дает возможность сделать
следующее (и последнее) обобщение. Мы подходим к понятию
абстрактного модуля, которое будет основополагающим для боль-
большинства последующих рассмотрений этой книги.
Определение 3. Пусть R —^ кольцо. Множество М назы-
называется модулем над R (или /^-модулем), если
(а) М — коммутативная группа (групповая операция будет
записываться аддитивно).
(б) Каждой упорядоченной паре (а, х), где a?R, x?M, поставлен
в соответствие определенный элемент из М, обозначаемый ах,
такой, что выполнены следующие соотношения:
а(х + у)=ах-\-ау, A)
(a+b)x = ax+bx, B)
(ab)x = a(bx), C)
где a, b — любые элементы кольца R, а х, у — элементы М. Эле-
Элемент ах иногда мы будем называть произведением а и х.
Данное выше определение /^-модуля в надкольце S кольца R
является частным случаем настоящего определения. Элемент из М,
сопоставляемый с парой (а, х), есть просто произведение а и х
как элементов кольца S. В данном частном случае уравнения A),
B), C) соответствуют аксиомам кольца.
Если R имеет единицу и
\х = х для всех х?М, D)
то /^-модуль М называется унитарным.
Если R — кольцо с единицей и S — кольцо, содержащее R,
то очевидно, что S является унитарным надкольцом кольца R тогда
и только тогда, когда S унитарно как модуль над R.
Хорошо известными примерами модулей являются векторные
пространства. В терминах модулей определение векторного про-
пространства, данное в гл. I, § 21, означает, что векторное пространство
есть унитарный модуль над полем. Мы увидим в конце этой главы
(§ 12), что элементарные свойства векторных пространств, которые
мы установили в гл. I, § 21 (свойства носящиеся к размерности,
линейной зависимости и др.), следуют из общих теорем о модулях.
Нужно отметить особо тот факт, что если М — коммутативная
группа (записанная аддитивно), а ^ — кольцо, то М может быть
снабжена структурой /^-модуля не единственным способом, т. е.
при данных a?R их?М произведение их может быть определено

§ 1. Идеалы и модули 159
не единственным образом, причем соотношения A), B), C) сохраня-
сохраняются. (Всегда существует по крайней мере один способ: мы можем
взять в качестве ах нуль группы М для Bcexa^R илг?М; в этом
случае М называется тривиальным /^-модулем.) Если мы имеем два
различных способа построения произведения ах, то получаются
два различных ^-модуля, хотя основная группа М одна и та же.
Если R — подкольцо кольца S, то, вообще говоря, S можно снаб-
снабдить структурой ^-модуля различными способами. Однако в этой
книге всякий раз, когда мы рассматриваем S как ^-модуль, мы бу-
будем понимать это в смысле, упомянутом выше (т. е. для a?R и x?S
под ах понимаем произведение а и х как элементов кольца S), если
противное не оговорено.
В качестве последнего примера приведем следующий: пусть
М — произвольная (записанная аддитивно) коммутативная группа.
Тогда М можно рассматривать как /-модуль, где /—кольцо целых
чисел. А именно, если ге?/ их?М,то пх имеет обычный смысл (как
и в гл. I, § 4). Ясно, что М унитарен. Так как М можно снабдить
структурой /-модуля, то любое утверждение относительно модулей
влечет за собой аналогичное утверждение относительно произволь-
произвольных коммутативных групп.
Вернемся к общему случаю: пусть М — некоторый ^-модуль.
Каждому элементу a?R мы можем поставить в соответствие отобра-
отображение Та модуля М в себя, определенное по формуле
хТа = ах, х ? М.
Соотношение A) показывает, что Та является эндоморфизмом
модуля М, рассматриваемого как группа. Следовательно, если
О — нулевой элемент модуля М, то аО = О для всех a?R.
Аналогично если 0 — нулевой элемент кольца R, то Ол: равен
нулю модуля М, ибо Ох — @ + 0) х = 0л: + Ох. Из этого сразу
следует, что — (ах) = (— а) х = а (—х) для любых a?R и х?М.
Мы будем использовать один и тот же символ для нулей модуля М
и кольца R, так как появление недоразумения маловероятно.
Как только что было замечено, всякому элементу a?R может
быть поставлен в соответствие некоторый эндоморфизм, или, как
его иногда называют, оператор Та модуля М {М рассматривается
как группа). Иногда сами элементы R именуются операторами.
Модуль М часто называется группой с кольцом операторов R.
Понятие группы с операторами может быть обобщено в двух
направлениях.
В первую очередь следует отметить, что свойства кольца R,
в частности соотношения B) и C), не будут играть существенной
роли до § 5. Большинство рассуждений до § 5 может быть повторено
без изменения в предположении, что R есть множество, каждому
элементу которого поставлен в соответствие эндоморфизм группы М.

160 Гл. Ill. Идеалы и модули
Другими словами, каждой паре a?R и х?М поставлен в соответст-
соответствие элемент ах модуля М, так что выполнено A), и больше ничего
не требуется. Мы не имеем возможности, однако, пользоваться
этой более общей формулировкой.
Второе обобщение заключается в отбрасывании условия комму-
коммутативности группы М. Последующие доказательства не переносятся
без некоторых изменений на некоммутативный случай. Изложение
этого общего случая можно найти в книге Джекобсона (Jacob-
son N., Lectures in Abstract Algebra, v. 1, ch. 5).1)
§ 2. Операции над подмодулями.
Определение. Пусть R кольцо и М — R-модуль. Его
R-подмодуль (или просто подмодуль)—это непустое подмножество N
модуля М, такое, что
(а) если Хи x2?N, то х1 — x2?N,
(б) если a?R и х? N, то ax^N.
Первое условие (если N непусто) означает, что N есть подгруппа
М. Если N — подмодуль модуля М, то он будет также /^-модулем,
если для а ? R и х? М положить произведение а и х равным эле-
элементу ах, который уже определен, так как М есть /^-модуль.
Если М — векторное пространство над полем F, то любой
F-подмодуль называется подпространством и сам является вектор-
векторным пространством над F.
Произвольное кольцо R можно рассматривать как модуль над
самим собой; его подмодулями являются его идеалы. Поэтому
любое утверждение относительно подмодулей этого модуля выте-
вытекает из аналогичного утверждения относительно идеалов кольца.
Всякий модуль М имеет в качестве подмодуля множество, со-
состоящее лишь из нуля, обозначаемое символом @), а также сам
модуль М. Любой другой подмодуль называется собственным.
Если А и В — непустые подмножества ^-модуля М, то суммой
А и В, обозначаемой A -f- В, называется множество всех элементов
вида х + у, где х?А, у?В. Множество всех элементов —х, где
х?А, называется множеством, обратным к множеству А, и обозна-
обозначается — А. Если А состоит из одного элемента х, то А + В обо-
обозначается символом х + В.
Легко проверить, что операция сложения коммутативна и ассо-
ассоциативна и что множество, состоящее только из 0 (обозначаемое
обычно @)), является нулевым элементом для этого сложения.
Но подмножества М не образуют группу относительно этого сложе-
сложения, так как А + (— А) Ф @), если только А не состоит из одного
') См. также цитированную на стр. 118 книгу А. Г. Куроша.—Прим. ред.

§ 2. Операции над подмодулями 161
элемента. Множество А + (— В), которое, очевидно, состоит из
всех элементов х — у, где х?А, у?В, будем обозначать символом
Л —В.
В основном понятие сложения применяется к подмодулям. Легко
проверить, что сумма двух подмодулей есть также подмодуль. В част-
частности, сумма двух идеалов кольца R есть тоже идеал. Более того,
если L и N — подмодули модуля М, то L + N— наименьший
подмодуль модуля М, содержащий L и А/", в том смысле, что L + N
содержит L и N, и любой другой подмодуль, содержащий L и N,
должен содержать L+ N. Если iVb ..., Nh— подмодули модуля М,
то из ассоциативности сложения следует, что сумма JVi-f- . . . + Nh
h
определена. Обозначим ее через ^ JVt. Ясно, что она состоит из всех
г=1
сумм вида ^ х%, где xi ? Nt. Из этого следует, что если {Na} — неко-
i = l
торая совокупность (конечная или бесконечная) подмодулей моду-
модуля М, где индекс а меняется на некотором множестве А, то мы мо-
можем определить 2 Na как множество, состоящее из всех сумм
а
вида У ха, где ха ? Na, xa = 0, для всех, кроме конечного числа,
a
индексов а. Очевидно, что 2 Na — наименьший подмодуль модуля
М, содержащий все Na.
Вторая операция над подмодулями — это операция теоретико-
множественного пересечения. Если L и N — подмодули М, то
Lf]N тоже подмодуль (состоящий из элементов модуля М, общих
для L и N). Конечно, эта операция тоже коммутативна и ассоциа-
ассоциативна, а сам модуль М ведет себя как единица, так как Mf\N = N
для любого подмодуля N. Если Miy ..., Мг — подмодули модуля
М, то Mi\~\ . . . [)МГ—тоже подмодуль, обозначаемый через П^г-
Операции сложения и пересечения связаны между собой очень
важным равенством, восходящим к Дедекинду (так называемым
модулярным законом), относительно трех подмодулей К, L, N моду-
модуля М:
если KZJL, то КП(^ + Ю = Ь + (КГ\Ю- E)
Легко видеть, что правая часть равенства содержится в левой.
С другой стороны, если х содержится в левой части, то, так как
x?L + N, мы имеем х = у-\- z при г/? L, z?N. Далее, z = x — у? К,
так как х?К и y^LdK. Таким образом, z?K[)N и x^L-r
Пусть R — кольцо и М — ^-модуль; пусть А и L—непустые
подмножества множеств R и М соответственно. Произведением А

162 Гл. III. Идеалы и модули
и L, обозначаемым AL, называется множество всех сумм ^aLx{,
i—l
где аг?А, хг?Ь, а п— произвольное положительное целое число.
Легко проверить, что если А — идеал кольца R или если L —
подмодуль модуля М, то AL — подмодуль модуля М. Ясно, что
AL замкнуто относительно вычитания. Если b?R n'^aixi^AL,
то Ь 2ai*i= 1] (^at) xi — Т ai(bXi). Из первой или второй суммы,
в зависимости от того, является ли А идеалом или же L является
подмодулем, имеем включение Ь^агхг^АЬ. Теперь два условия,
при которых непустое подмножество L модуля М является подмоду-
подмодулем, можно выразить следующим образом: L — LciL, RLczL-
Если L состоит из одного элемента х и А замкнуто относительно
сложения, то AL состоит из всех элементов ах, где а ? А, и обозна-
обозначается Ах.
Если А состоит из единственного элемента а и L замкнуто отно-
относительно сложения, то AL состоит из всех элементов вида ах,
где х ? L, и обозначается aL.
Если R — кольцо, то мы знаем уже, что его можно рассматри-
рассматривать как /^-модуль. Применяя указанное выше определение про-
произведения в этом частном случае, мы получим произведение двух
непустых подмножеств А я В множества R. А именно, АВ состоит
п
из всех сумм ^ агЬг, аг?А, Ь^В, п — произвольное. В частности.
г=1
произведение двух идеалов кольца R—снова идеал. ОбозначениеRa,
введенное в § 1 (стр. ]5б) для главного идеала, порождаемого эле-
элементом а, согласуется с нашими настоящими определениями.
• Можно ввести также операцию деления модуля на модуль,
но мы сделаем это только для идеалов (см. § 7, стр. 172).
§ 3. Операторные гомоморфизмы и фактормодули. В гл. 1,
§ 11, мы определили гомоморфизм групп. Это определение можно
применить, в частности, к модулям. Но оно является слишком общим
так как использует только групповой характер модуля М и не ис-
использует того факта, что М допускает в качестве операторов эле
менты кольца R.
Определение. Пусть R — кольцо иМ и М'—дваR-модуля.
R-гомоморфизмом М в М' называется отображение Т модуля М
в М', такое, что
Т, х, у?М, A)
(ах)Т = а(хТ), х?М, a?R. B)
Соотношение A) указывает на то, что Т является гомоморфиз-
гомоморфизмом группы М в группу М', когда каждый из модулей рассматри-

§ 3. Операторные гомоморфизмы и фактормидули 163
вается как группа. Пусть Та и Т'а — эндоморфизмы модулей М
и М' соответственно, определенные элементом а; тогда B) означает,
что TJ = ТТ'а.
Если М и М'— векторные пространства над полем F, то F-гомо-
морфизм модуля М в М' называется линейным отображением М
вМ' (см. гл. I, §21, стр. 69).
Если мы не хотим подчеркивать специфику кольца R, то можем
обратиться к понятию операторного гомоморфизма вместо R-го-
моморфизма. Выражения R-гомоморфизм на, R-изоморфизм,
R-эндоморфизм, R-автоморфизм теперь понятны сами собой (гл. I,
§ 11). Если М, М', М"—некоторые /^-модули, а Т и 7"—R-то-
моморфизмы модуля М в М' и М' в М" соответственно, то ТТ'
является ^-гомоморфизмом М в М".
Теорема 1. Пусть М и М'— модули над кольцом R и Т —
некоторый R-гомоморфизм модуля М в М'. Тогда ОТ есть нуль
модуля М' и (—х)Т= —(хТ) для любого х?М. Если А и L —
непустые подмножества кольца R и модуля М соответственно, то
(AL) TCzA (LT). Ядро R-гомоморфизма Т является R-подмодулем
модуля М. Гомоморфизм Т есть изоморфизм тогда и только тогда,
когда его ядро совпадает с @). Если L и L'— два R-подмодуля модулей
М и М' соответственно, то LT и Ь'Т'1 являются R-подмодулями
М' и М соответственно.
Доказательство. Первое утверждение следует из тео-
теоремы 1 гл. I, § 11. Еслиа^Л и x^L, i— I, 2, ..., п, то BаА)^=
= Y (аА) 7=2 ai(*i^) € A (LT), откуда и следует второе утверж-
утверждение. Пусть N — ядро Т. В силу общего определения, данного
' в гл. I, § 11 (стр. 26), N состоит из всех х?М, таких, что х7 = 0.
По теореме 1 гл. I, § 11, N является, очевидно, подгруппой группы
М. N— подмодуль, так как (RN) TdR (NT)CZ R0= @), поэтому
RNczN. Вторая часть третьего утверждения следует из теоремы 2
гл. I, § П. Докажем теперь, что L'T'1 является /^-подмодулем моду-
модуля М. Если х, y^L'T'1, то хТ, yT?L', следовательно, (х — у) Т =
= хТ — уТ б L' и х - у € L'T-K Если а ? R, то (ах) Т = а (хТ) 6 V,
поэтому axG L'T'1. Аналогичное доказательство и для LT.
Если R — кольцо, то нужно четко различать R-гомоморфизмы
кольца R (рассматриваемого как ^-модуль) и его гомоморфизмы
как кольца. В первом случае гомоморфизм Т должен удовлетворять
условию (ах) Т = а (хТ) для любого а и х из R, в то время как
во втором случае Т удовлетворяет условию (ах) Т = (аТ) (хТ).
Например, всякому элементу eg R мы можем поставить в соответ-
соответствие /^-эндоморфизм Тс, определенный равенством хТс = сх для
х е R. Очевидно, (х + у)Тс = хТс + уТс и (ах) Тс = с (ах) = а (сх) =
= а (хТс), таким образом, Тс действительно является .R-гомомор-

164 Гл. Ill. Идеалы и модули
физмом. Но Тс не является, в общем случае, гомоморфизмом кольца,
так как иначе требовалось бы выполнение равенства (ах) Тс =
= (аТс) (хТс) = (са) (сх) и мы имели бы равенство сах — сгах для
всех а и х из R. Однако, например, если R не имеет делителей
нуля, то это возможно лишь при с = 0 или с = 1.
Можно отметить, что если R имеет единицу, то всякий .R-зндо-
морфизм Т кольца R представим в виде Тс, где с = IT, ибо если
х б R, то хТ = (*1) Г = х (IT) = с* = хТс.
Так как ядро ^-гомоморфизма /^-модуля является ^-подмодулем
модуля М, естественно возникает вопрос, является ли всякий
/^-подмодуль /^-модуля М ядром некоторого /^-гомоморфизма М.
Мы покажем, что на этот вопрос дается утвердительный ответ.
Действительно, пусть N — некоторый .R-подмодуль модуля М.
Так как М — абелева группа, то всякая подгруппа М является
нормальным делителем и порождает факторгруппу. Пусть М —
факторгруппа М по подгруппе N. Так как мы для обозначения груп-
групповой операции в М пользуемся аддивной записью, мы должны
обозначить факторгруппу М через М — N (вместо M/N; см. гл. I,
§ 11). Пусть Т — канонический гомоморфизм М на М. Чтобы по-
построить /^-модуль М, мы определим произведение элемента a?R
и элемента х + N ? М как элемент ах + N1).
Чтобы показать, что это определение корректно, мы должны
убедиться, что если х + N = у + N (т. е. х — у g N), то ах + N ~
= ау + N. Но это следует из соотношения ах — ау = а (х — у) ?iV,
которое в свою очередь вытекает из того факта, что JV является
подмодулем (а не только подгруппой) модуля М. Ясно также, что
Т — R-гомоморфизм. Таким образом, мы имеем:
Теорема 2. Если N — подмодуль R-модуля М, то группу
смежных классов х -\- N можно превратить в R-модуль М, который
является образом модуля М при некотором R-гомоморфизме с ядром N.
Для всякого /^-подмодуля N модуля М только что построенный
/^-модуль М называется фактормодулем модуля М по подмодулю N
и обозначается символом М — N2). Отображение х ->- х + N
называется каноническим, или естественным, гомоморфизмом М
на М — N.
Если N = @), то естественный гомоморфизм является изомор-
изоморфизмом.
г) Это, вообще говоря, не то же самое, что множество а(х + N), опре-
определенное в § 2.
2) Хотя это обозначение противоречит обозначению А — В для множе-
множества разностей, введенному в § 2, но из контекста всегда ясно, какое из них
имеет место.

§ 4. Теоремы об изоморфизме 165
Теорема 3. Если М'— образ модуля М при некотором
R-гомоморфизме с ядром N, то существует взаимно однозначное
соответствие между элементами М' и М — N, и это соответствие
является R-изоморфизмом.
Доказательство. Пусть Т — естественный /?-гомомор-
физм М на М — N и 5 — данный /^-гомоморфизм М на М'.
Рассмотрим отображение s = 5-1Т модуля М' на М — N. Если
х', у' —два произвольных элемента из М' и если х ? x's, y?y's, то
х = хТ и у = уТ, где х и у — подходящие элементы из x'S'1
и y'S'1 соответственно. Так как х + у = (х + у) Т и х'-\-у'=
= (х + у) S, то, следовательно, х + у? (х' + у') s. Более того, если
О'—нуль М', то O's состоит только из нуля модуля М — N, так
как S пТ имеют одно и то же ядро. По лемме 2, гл. I, § 11, s являет-
является гомоморфизмом. По тем же соображениям определено отображе-
отображение s (так как в приведенных выше рассуждениях М' и М — ./V
можно поменять местами). Следовательно, s—изоморфизм. Покажем
теперь, что s является /^-изоморфизмом. Пусть х'—произвольный
элемент из М' и a?R. Если x^x'S'1, то х' =fxS и x — x's =
= хТ — x + N. Так как ах' == (ах) S и ах = ах + N = (ах) Т, то
a (x's) = (ax) s, и поэтому s является /^-изоморфизмом.
Мы будем пользоваться записью М ~ М' для обозначения того
факта, что модуль М /^-гомоморфен М', а запись М^М' будет
означать, что М и М' /^-изоморфны.
§ 4. Теоремы об изоморфизме. Обе теоремы этого параграфа
называются обычно теоремами Дедекинда — Нётер об изоморфизме.
Теорема 4. Пусть Т — R-гомоморфизм модуля М на модуль
М' с ядром N. Тогда существует взаимно однозначное и сохраняю-
сохраняющее включение соответствие между подмодулями L' модуля М'
и подмодулями L модуля М, содержащими N, такое, что если L
соответствует L', то LT = L', L'Tl — L. Если L соответст-
соответствует L', то Т индуцирует R-гомоморфизм подмодуля L на L',
модули L — N и V изоморфны и модули М — L и М'— L' тоже
изоморфны.
Доказательство. Если L — подмодуль модуля М, со-
содержащий N, то L'= LT является /^-подмодулем М' по теореме 1.
Различные модули L дают различные U, так как (LT) Т~г= L.
Для доказательства этой формулы заметим прежде всего, что Ld
d(LT) T'1. Это тривиально. С другой стороны, если x?(LT) T'\
то xT?LT YlxT = уТ, где у 6 L; следовательно, х — у? NaL и x?L,

166 Гл. III. Идеалы и модули
что и требовалось доказать. Остается показать, что всякий подмо-
подмодуль L' модуля М' действительно можно получить таким путем.
Это следует из таких соображений: L'T'1 — подмодуль модуля М
(теорема 1), NdL'T'1 (очевидно) и (Ь'Т'1) Т = L' (так как Т есть
отображение на). Таким образом, первое утверждение доказано.
Изоморфизм L — N^L' вытекает Из теоремы 3, так как Т индуци-
индуцирует R-гомоморфизм L на V с ядром N. Для доказательства соот-
соотношения М—L^M'—L' заметим, что Т является /?-гомомор-
физмом модуля М на модуль М' (по условию) и что х'-> х'+ V
является R-гомоморфизмом М' на М'—L' (естественный гомо-
гомоморфизм). Произведение двух последних /^-гомоморфизмов является
R-гомоморфизмом М на М'—L'. Если х принадлежит его ядру,
то хТ + L'= L', т. е. xT?L', х^Ь'Т~1 = Ь; и, наоборот, L со-
содержится в этом ядре. Таким образом, изоморфизм следует из
теоремы 3.
Следствие. Пусть N и L — подмодули некоторого R-модуля
М, причем N d L. Тогда L — N является подмодулем модуля М — ./V
Доказательство следует из теоремы при М'= М — N, L'= L — N.
Теорема 5. Если N uL — подмодули некоторого R-модуля М,
то
A)
Доказател ьство. Если Т — естественный гомоморфизм
L + N на (L + N) — N, то Т порождает /^-гомоморфизм подмодуля
L в (L + N) — N (даже если L не содержит N). Утверждается, что
Т отображает L на (L + N) — N. Если -х + N — произвольный
элемент подмодуля (L + N) — N, где x?L + N, то х = у + z,
rp,ey?L,z?N, n x + N = y + N — yT?LT. Поэтому Т порождает
/^-гомоморфизм подмодуля L на (L -j- N) — N. Так как ядро этого
гомоморфизма, очевидно, есть пересечение L[}N, то утверждение
следует из теоремы 3.
Каждый элемент из левой части A) имеет вид х + N, где х 6 L + N,
а каждый элемент из правой части имеет вид у + (L[]N), y?L.
Два элемента соответствуют при /^-изоморфизме A) тогда и только
тогда, когда х — у ? N.
§ 5. Гомоморфизмы кольца и факторкольца. В начале этой
главы было замечено, что при гомоморфизме одного кольца на
другое ядро является идеалом. Теперь будет доказано, что всякий
идеал кольца является ядром некоторого гомоморфизма кольца.
Так как мы интересуемся R как кольцом, а не как модулем, наши

§ 5. Гомоморфизмы кольца и факторкольца 167
настоящие рассмотрения не являются частными случаями рассмот-
рассмотрений § 3, хотя некоторые результаты могут быть перенесены на них.
Сначала выведем несложные следствия из предложений преды-
предыдущих параграфов относительно совсем произвольной коммутатив-
коммутативной (записанной аддитивно) группы М. Мы можем рассматривать М
как /-модуль, как это описано в § 1. В этом случае всякая подгруп-
подгруппа группы М является, очевидно, /-подмодулем и всякий гомомор-
гомоморфизм М в другую группу (которая тоже рассматривается как
/- модуль) есть обязательно /-гомоморфизм. Следовательно, резуль-
результаты § 1—4 переносятся на случай произвольных коммутативных
групп, их подгрупп и их гомоморфизмов. Точнее, теоремы 1—5
имеют место, если вместо модуля, подмодуля, R-гомоморфизма мы
напишем соответственно коммутативная группа, подгруппа, гомо-
гомоморфизм.
Пусть Т — гомоморфизм кольца R на кольцо R', и пусть N —
ядро, т. е. N — идеал. В частности, отображение Т является гомо-
гомоморфизмом аддитивной группы R на аддитивную группу R'. Из ре-
результатов § 3 следует, что элементы R' находятся во взаимно одно-
однозначном соответствии со смежными классами а + N, a?R.
В настоящих исследованиях удобно понятие сравнения. Если
jV — произвольный идеал кольца R и a, b?R, то а и Ь называются
сравнимыми по модулю N, если а — b?N. Этот факт выражается
записью
a=b(N).
Очевидно, а = Ь (N) означает, что а и Ъ определяют один и тот же
смежный класс, т. е. а + ./V = b -f- N. Ясно, что соотношение срав-
сравнения рефлексивно, симметрично и транзитивно. Более того, оно
сохраняется при сложении и умножении, т. е. если
a = b(N), c^d(N),
то
ac~bd(N).,
Для примера докажем последнее: ас — bd — (а — Ь) с +
+ b (с — d)? N. Следовательно, если а ~ b (N) и если / (X) —
полином над R, то / (а) = / (b) (N).
В теории чисел обычно пишут а = b (mod m), если разность целых
чисел а и b делится на целое т. Это эквивалентно в нашей записи
соотношению а = b (Jm), где / — кольцо целых чисел.
Если Т — гомоморфизм R на R' с ядром N, то, как легко ви-
видеть, аТ = ЬТ тогда и только тогда, когда а = b (N).
Предыдущее рассуждение наводит на мысль, как и в § 3, что
если мы задались идеалом N в кольце R и хотим построить гомоморф-
гомоморфный образ R с ядром N, то мы должны взять в качестве R множество
смежных классов по N. Сложение смежных классов было опреде-

168 Гл. III. Идеалы и модули
лено в § 3, и мы знаем, что R — группа. Определим умножение
по формуле
(a + N){b + N) = ab + N1). A)
Мы должны показать, что это произведение не зависит от выбора
элементов а и & из соответствующих классов, т. е. если а = а± (N)
и b=bi(N), то ab =ai&i (iV). Но это было только что доказано.
Таким образом, R является множеством с двумя операциями, и ото-
отображение Т, определяемое равенством
является отображением R на R. Из A) следует, что (ab) T =
= (аТ) {ЬТ); а равенство (а + Ь) Т = аТ + ЬТ вытекает из § 3.
Из леммы гл. I, § 12, следует, что R — кольцо, Т — гомоморфизм
R на R и N — его ядро. Следовательно, мы имеем:
Теорема 6. Если N — идеал кольца R, то множество смеж-
смежных классов а + N можно превратить в кольцо R, причем так, что
отображение a-* a -f N является гомоморфизмом R на R с ядром
N. Если R'— гомоморфный образ R с ядром N, то элементы R'
находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами R
и это соответствие — изоморфизм.
Первое утверждение было доказано. Доказательство второго
утверждения подобно доказательству теоремы 3 (§ 3).
Если N — идеал кольца, то смежные классы а + N обычно
называются классами вычетов, а кольцо R — факторкольцом, или
кольцом вычетов, кольца R по N н обозначается символом R/N.
Гомоморфизм а -> а + N, отображающий R на R/N, называется
естественным гомоморфизмом кольца R на факторкольцо R/N.
Теорема 7. Пусть Т — гомоморфизм кольца R на кольцо R'
с ядром N. Тогда существует взаимно однозначное и сохраняющее
включение соответствие между идеалами 21' кольца R' и идеалами
21 кольца R, содержащими N, такое, что если 91 соответствует 91',
то
Если 21 соответствует 21', то Т индуцирует гомоморфизм идеала
91 на 21' и
1) Нужно отметить, что ab + N, вообще говоря, не состоит из сумм
произведений элементов из а -\- N и Ь + Л\ т. е. это понятие произведения
отличается от введенного в конце § 2. Возьмем, например, R=J, a=b — Q,
N = 2J.

§ 6. Порядок подмножества модуля 169
Доказательство. Доказательство этой теоремы парал-
параллельно доказательству теоремы 4 (хотя и не является следствием
из нее), поэтому мы не будем останавливаться на деталях. Докажем,
например, что Щ'Т'1 — идеал кольца R. Если а, Ь?Ш'Т~Х, то аТ,
ЪТ б 1'; следовательно, (а — Ь) Т = аТ — ЬТ ? 21', т. е. а — Ь ? 91'Т.
Еслиаб Sl'T и с 6 Я, тоаТб21, сТ б/?'; поэтому (са) Т = (сГ) (аГ) б 91',
т. е. саб Sl'T. Это и доказывает, что Щ'Т —¦ идеал.
Следствие. Пусть N и Ш —идеалы кольца R, причем iVcz2f.
Тогда 4R./N — идеал в R/N и
По аналогии с теоремой 5 (§ 4) мы имеем следующую:
Теорема 8. Если L — подкольцо кольца R и N — идеал R,
то факторкольцо L/L [) N изоморфно подкольцу (L + N)/N фактор-
кольца R/N.
Доказательство. Достаточно доказать, что естествен-
естественный гомоморфизм кольца R на R/N порождает гомоморфизм под-
кольца L на подкольцо L'= (L + N)/N факторкольца R/N и что
ядром этого гомоморфизма является Ll~)N. Следовательно,
'L/LN
§ 6. Порядок подмножества модуля.
Определение. Пусть М — модуль над кольцом R и N —
произвольное подмножество М. Совокупность всех элементов a?R,
таких, что aN = @), называется порядком (или аннулятором)
подмножества N.
Ясно, что порядок является идеалом в R. Интересны случаи,
когда N — либо подмодуль, либо единственный элемент. Порядок
нуля модуля М есть, очевидно, само R.
Если М — коммутативная группа, рассматриваемая как /-мо-
/-модуль, то порядок произвольного элемента х?М является идеалом
?1 в J. Мы знаем, что 21 (как и любой идеал из/) состоит из всех чисел,
кратных однозначно определенному целому числу п (см. гл. II,
§ 4, где показано, что этим свойством обладает ядро любого гомо-
гомоморфизма /). Если п > 0, то, оно, очевидно, является наименьшим
из всех положительных целых чисел т, таких, что тх = 0, и эле-
элемент х имеет порядок п в обычном смысле теории групп. Если п = 0,
т. е. порядок х совпадает с @), то в терминах элементарной теории
групп х имеет бесконечный порядок х).
х) Предостережение. Если М — обычная конечная группа, скажем,
порядка п, то порядок М в только что определенном смысле не обязан сов-
совпадать с идеалом Jn. Например, порядок аддитивной группы произвольного
поля Галуа характеристики р является степенью р (см. гл. II, § 8), но поря-
порядок этой группы (или аннулятор) в / всегда совпадает с главным идеалом Jp.

170 Гл. Ill. Идеалы и модула
Возвратимся к общему случаю модуля М над кольцом R. Пусть
91 — некоторый идеал, содержащийся в порядке М. Важным момен-
моментом в теории модулей является построение М как модуля над коль-
кольцом R = R/Ш. Если с ? R, то можно определить сх для любого х ? М.
Поскольку с —это образ некоторого элемента c?R, то мы положим
сх = сх. Это однозначно определяет сх, так как если с есть также
образ c4?.R, то с^—с G 91 и, значит, схх — сх = (сх—с) х = 0.
(Так как каждый элемент c?R является классом вычетов с + 91,
то наше определение равносильно соотношению сх = (с + 91) х.
причем последнее произведение понимается в смысле § 3: (с+ 91 ) х
состоит только из одного элемента модуля М, так как Шх = @).)
Легко проверить, что таким образом М превращается в /^-модуль.
Любой /^-подмодуль модуля М будет ^-подмодулем, и наоборот.
Изучение М как ^-модуля, таким образом, эквивалентно изучению
его как ^-модуля. Изучать ^-модуль часто бывает легче, так как
R имеет более простую (в некотором смысле) структуру, чем R.
Мы можем сказать, что кольцо операторов R «слишком широко»
и что «более естественно» использовать на качестве кольца опера-
операторов RI9L, где 91 — порядок М. Этот частный случай, когда 91
является порядком М, а не просто идеалом, содержащимся
в порядке, особенно часто встречается на практике. Тогда порядок
модуля М, рассматриваемого как i^-модуль, очевидно, совпа-
совпадает с @).
Эти рассуждения позволяют ясно понять различие между фак-
фактор-кольцом R/Ш и фактормодулем R—91, где R — кольцо, а 91 —
идеал в R. Если мы рассматриваем R как /^-модуль, то 91
является подмодулем, и мы можем определить новый ^-модуль
R — 91, как описано в § 3. В этом случае элементы модуля R — 91
являются, подобно элементам -R/21, смежными классами по подмо-
подмодулю 91, т. е. R/Ш. и R — 91 эквивалентны как множества. Более
того, в каждом из них имеется сложение, и эта операция — одна
и та же для обоих множеств. Следовательно, R/41 и R — 91 эквива-
эквивалентны как группы.
Так как R/Ш — кольцо, то для его элементов определено умноже-
умножение. В самом деле, если с и х—элементы из R/41, тосх является смеж-
смежным классомсл:+91, гдес\\х —элементы классов сих соответственно.
Факторкольцо R/УХ, как и любое кольцо, может быть рассмотрено
как модуль над самим собой.
Далее, порядок /^-модуля R — 91 обязательно содержит 91
(но может быть существенно больше; например, если R — кольцо
четных целых чисел и 91 — множество целых чисел, делящихся на 4,
то порядок модуля R — 91 совпадает со всем кольцом R). Следова-
Следовательно, мы можем рассматривать R — 91 как .R/91-модуль. Это озна-

§ 7. Операции над идеалами 171
чает, что для данного элемента с?#/21 и элемента x?R—21 опреде-
определено произведение; мы обозначим его с-х. Согласно определению,
данному ранее в этом параграфе, с-х — сх, где с — элемент из класса
смежности с. По определению § 3(стр. 164), произведение сх (которое
имеет смысл, так как R — 21 является /^-модулем) совпадает со смеж-
смежным классом сх + Ч{, где х принадлежит смежному классу х. Таким
образом, мы доказали, что с-х = сх.
Это означает, что R — 21 и Rl'u эквивалентны не только как
множества и как аддитивные группы, но и как .R/21-модули. Другими
словами, отображение .R/21-модуля R — 21 на .R/21-модуль RI4X
является .R/21-гомоморфизмом.
Поэтому обычно нет необходимости делать различие между
этими модулями, хотя иногда в тонких рассуждениях нужно пом-
помнить, что они, строго говоря, не одно и то же.
§ 7. Операции над идеалами. Пусть R — кольцо. Мы присту-
приступаем к определению пяти основных операций над идеалами кольца R.
Так как R в то же время является /^-модулем, то определения
суммы подмножеств модуля (§2) применимы к подмножествам коль-
кольца/?. Таким образом, если А иВ — подмножества/?, то А ± Б состоит
из всех a±b, a?A, b?B.
Сумма 21 + S3 двух идеалов ЗД и 33 является тоже идеалом.
Таким образом, множество идеалов замкнуто относительно комму-
коммутативной и ассоциативной операции сложения.
Вторая операция, как и в случае подмодулей,— это взятие пере-
пересечения или общей части. Если 21 и $8 — два идеала, то 21 (~) S3—
тоже идеал. Эта операция также коммутативна и ассоциативна.
Так же, как в случае подмодулей, имеет место модулярный закон,
связывающий понятия суммы и пересечения:
если 91ZD 33, то 91 f) (93 + S) = S3 + (?t П ®)> (')
где 91, S3, S — произвольные идеалы кольца R.
* Если Л и Б — непустые подмножества кольца R, то произве-
произведение АВ определяется так же, как в § 2. А именно, АВ состоит
п
из всех сумм 2at^i> гДе п — произвольное положительне целое
1
число, аг?А, Ьг ? В. Эта операция коммутативна и ассоциативна.
Если Аи Аг, . . ., Ат — подмножества R, то произведение А^Аг . . . Аг
г
(обозначаемое []Л4) состоит из всех сумм произведений вида
а^а2. . . аг, где аг G Л4, i = 1, 2, . . ., г. В частности, Аг состоит из
г
всех сумм произведений \\аг, гдеа4?Л. Если Л или Б — идеал,

172 Гл. III. Идеалы и модули
то АВ — тоже идеал. Таким образом, множество идеалов замкнуто
относительно операции умножения. Эта операция связана с опера-
операцией сложения легко доказываемым законом дистрибутивности
я(дз + е) = адз + ш, B)
где 21, 33, S — идеалы кольца R. Более того, для любых двух идеа-
идеалов 91, 93 справедливо включение
ШЗ аШП 23- C)
Четвертой операцией в теории идеалов является операция деле-
деления.
Определение 1. Если 21 и 23 — идеалы кольца R, то част-
частное 91:83 состоит из всех элементов c?R, таких, что c33d2(.
Легко видеть, что 91 : 33 — идеал, содержащий 91. В частности,
9l:i?ZD9l, но если R— кольцо с единицей, то 21 : R = 91. Если
6—такой идеал, что 623 d 91, то ©d91:93, и наоборот. Если
2ldJ3, то 91: 93= R; при условии, что R—кольцо с единицей,
верно и обратное.
Легко проверить следующие соотношения, связывающие опе-
операцию деления с первыми тремя операциями:
(П «г):23=П (%:Щ, D)
91: iSi^n, («:»!), E)
Я : 83© = (ЗД :©):(?. F)
Докажем, например, F). Пусть ¦?) и (? обозначают соответствен-
соответственно левую и правую части F). Тогда, по определению, ©C3S)d9{,
(®S)93ci9l и, значит, ®Й CI91 : 23, ® d (91: S3) :© = (?. Ана-
Аналогично gSd9l : S3, ((Sii) 93 d 91, G d9I : 235 == 1).
Четыре операции, определенные выше, бинарны; последняя
операция, которую мы сейчас введем, унарна, т. е. в этой операции
участвует только один идеал.
Определение 2. Если 91 — идеал кольца R, то радикал
идеала 91, обозначаемый У^., состоит из всех элементов b?R, неко-
некоторые степени которых содержатся в 91.
Теорема 9. Радикал идеала 91 есть идеал, содержащий 21.
Он удовлетворяет следующим законам:

7. Операции над идеалами 173
Если 21'' CZ 93 для некоторого положительного числа k,
тоУшаУ®; ¦ G)
уЩ = УЩ\$ = У к П У яз; (8)
'93; (9)
A0)
Доказательство. Утверждение, что 21 CZ У1, очевидно.
Покажем, что У" 21— идеал. Пусть Ь, с?.У%, следовательно,
Ьт ? 21, с п? 21 для некоторых целых т, п. В разложении по формуле
бинома (Ь — c)m+n~i каждый член содержит множитель b с\ где
j+/ = m + ra— 1. Поэтому либо I > т, либо / > п; следователь-
следовательно, либо Ьг, либо с' принадлежит 21 и, значит, (Ь — с)™*" ? 2(
и b—с ? ]/ 2(. Если b ? у 9( и dg-R, то frm?2l для некоторого т;
Следовательно, (db)m б 91 и db g у 2Т. Таким образом, J/ 91—действи-
91—действительно идеал.
Предположим 21'' CZ 93. Если с б j/21, то cm g 21 для некоторого /п,
ст¦'' ? 21''' CZ аЗ и поэтому с б У 93.
Так как 2133 d 21П 33 и 21 f) 93 содержится в 21 и 93, мы имеем
в силу G) (при k= 1), V 2ts-8ci У'21,^93 СГУ"91П 1^93- Далее, если
с^У^&[]УЩ, то существуют целые числа т, п, такие, что ст б21,
c"g 93. Следовательно, стсп? 2193 и eg j/9193. Тем самым соотношение
(8) доказано.
Равенство A0) очевидно. Так как 21 + 33 CZ У91 + У'ЭЗ, то
Из условия У 21 + |/ 93 С уЛ21 + 93 следует, что )/ У% + У 48 CZ
С \/ГуъПр® = 1/2Г+~93.
Это и доказывает формулу (9).
Если 91 = @), то У% состоит из всех нильпотентных элементов,
т. е. таких элементов, некоторые степени которых равны нулевому
элементу. Этот идеал часто называют радикалом кольца R.
Рассмотрим теперь влияние гомоморфизма на пять операций,
определенных выше. Пусть R и R'—кольца, а Т — гомоморфизм
R на R' с ядром N. Если 21 и 93 — идеалы кольца R, то
21CZ93 влечет 2ГТС93Г; A1)
A2)
A3)

174 Гл. III. Идеалы и модули
равенство имеет место при ?lDiV или 93Z)iV; A4)
равенство имеет место при Ъ.^Ы; A5).
CZ У"ЭД7\ равенство имеет место при "JttlDiV. A6)
Если 21' и 33' — идеалы кольца R', то
2TCZ93' влечет WT^d^'T'1; A7)
(91' + 23'):Г1 = 31Т-1 + 93Т-1; A8)
(ЗГЗЗ') Т Z3 (WT-1) (93 "Г1),
равенство имеет место при (WT-l){^'T'l)ZDN; A9)
(%' П 33') Т = 31Т П ЗЗ'^; B0)
Cl':33')T-1 = 9tT-1:93T-1; • B1)
YWT-1 ¦= YWr1. B2)
Большинство из утверждений A1) — A6) тривиально. Дока-
Докажем, например, A5). Если с ? B1: 33) Т, то с'= сТ, где с ? 91: 33
и с93С121, (сТ) (ЗЗТ) (Ц 217, cTfuT : 23Т. С другой стороны, пусть
с' gSCT : ЗЗТ, тогда с' (93T)d3tT. Так как Г отображает Я на /?',
то существует элемент c?.R, такой, чтос' = сТ. Далее, (сЩ TCZSIT,
с93 С (ШГ) Г, и если 1U JV, то (ЦТ) Т'1 == St; отсюда сЪ CI 3(,
с gSl : 93, с'= c7GBl : 33) Т.
Докажем A7) — B2). Пусть 21 = 2ГТ~\ 93 = ЭЗ'Т; следо-
следовательно, 21'= 21Т, 33'= ЗЗТ и 21 и 93 содержат N. Для примера
докажем A9). Заметим, что21'93' = BШ)Т, BГ35') 7^=(BШ) 7O^:3
Z32193, и если 2133 ZDiV, то в формуле A9) имеет место равенство.
Для доказательства B1) заметим, что в силу равенства A5) и так
как 2J Z) N, имеем ?Г : 33'- B1: 33) Г. Таким образом, B1': 33') Т'1
= ((91 : 5У) Т) Т == 21 : 93, так как 21 : 23 ID 21ZD Л'. Другие соот-
соотношения доказываются аналогично.
§ 8. Простые и максимальные идеалы. До сих пор мы изучали
произвольные идеалы. Рассмотрим теперь два важных типа идеалов.
Определение. Пусть 21 — идеал кольца R. 21 называется
простым идеалом, если вместе с произведением двух элементов из
R в идеале 21 содержится по крайней мере один из сомножителей.
Идеал 41 называется максимальным, если 21 Ф R и не
существует идеала между 21 и R.
Таким образом, 21—простой идеал, если условие b, c?R, Ьс?Ш,
влечет за собой ?>?21 или с?У1. В частности, само кольцо R — всегда

§ 8. Простые и максимальные идеалы 175
простой идеал; @) является простым идеалом тогда и только тогда,
когда R не имеет делителей нуля.
Проиллюстрируем это определение несколькими примерами.
1) Если J—кольцо целых чисел и n?j, п>\, то главный
идеал (п) является простым тогда и только тогда, когда п — про-
простое число. Это следует из двух соображений: A) если п простое
число, то из условия «ab делится на п» вытекает, что либо а,
либо Ь делится на п; B) если п не простое число, то, по определе-
определению, существуют целые числа а и Ь, такие, что ab = п, 0 < а < п,
0 < Ь < п.
2) Предыдущее рассуждение можно без изменения повторить
для произвольной области R с однозначным разложением и дока-
доказать тем самым, что если w?R, то главный идеал (w) является
простым тогда и только тогда, когда w либо обратим, либо нераз-
неразложим (см. гл. I, § 14, теорема 4).
3) Пусть R = F [xt, х2, . . ., хп] — кольцо полиномов от п пере-
переменных хг над полем F. Если аь а2, ¦ . ., ап—элементы, принадле-
принадлежащие/7, то элементы g (хи х2, ¦ ¦ ., хп) G R, такие, что g(ai, а2, . . .
. . ., ап) = 0, образуют простой идеал р в R. Так как R является
также кольцом полиномов от Х\_—а±, х2—я-г, . . ., хп—ап, то всякий
полином f(x)?R можно записать в виде b + ^Д (x)(xt—а{), где
b?F nfi(x) ?R. Далее, f(a) = 0, т. е. f(x) 6р тогда и только тогда,
когда Ъ = 0 и, следовательно, п полиномов xt—аг образуют базис в р.
С другой стороны, если / (х)(?р, то b Ф0 и всякий идеал кольца R,
содержащий идеал р и элемент / (х), содержит Ь, а следовательно.
и 1 (= b- b'1). Значит, этот идеал совпадает со всем кольцом и р —
максимальный идеал. Очевидно, что при каноническом отображении
кольца R на R/p поле F отображается на все кольцо R/p (так как
каждый полином / (x)?R сравним по mod p с элементом b?F), и этот
гомоморфизм поля F на R/p является изоморфизмом (так как его
ядро F П Р содержит только нуль). Таким образом, R/p является
полем, изоморфным полю F.
С другой стороны, если (аь а2, ¦ ¦ ¦, ап) и {Ьи Ь2, ¦ . ., Ьп) — два
различных упорядоченных набора из п элементов, принадлежащих
F, то элементыg{xlf xz, ¦ ¦ ., хп) ? R, такие, что g (аь а2, . . ., ап) =[()
и g (bi, bo, . . ., bn) = 0, не образуют простого идеала [рассмотрим,
например, произведение (xt—щ) (хг — bt), предполагая ахфЬг}.
4) В кольце целых чисел J каждый простой идеал Jp (p — про-
простое число) является максимальным, ибо если mfyJp, то (т, р) = 1
и, следовательно, am -j- bp = 1 для соответствующих целых чисел
а и Ь. Это показывает, что каждый идеал, содержащий Jp в каче-
качестве собственного подмножества, содержит также 1 и, значит,
совпадает со всем кольцом J. Это рассуждение без изменения
переносится на случай произвольной евклидовой области, в част-

176 Гл. III. Идеалы и модули
ности, и на случай кольца R в примере 3 при п = 1. С другой сто-
стороны, если п > 1, то главный идеал Rxi является простым (так как
Xi — неразложимый элемент и R — область с однозначным разло-
разложением), но Rxi < Rxi + Rx2, и идеал Rxi + Rx2 содержит только
полиномы без постоянных членов и, значит, не совпадает со всем
кольцом R. Следовательно, уже в кольце полиномов F [хи х2]
от двух переменных не всякий простой идеал является максималь-
максимальным.
Если 21 — простой идеал и произведение двух идеалов S3 и ©
содержится в 21, то один из сомножителей лежит в 21. Ибо если пред-
предположить противное, то мы получим противоречие, так как 33 и й
содержат соответственно элементы b и с, не лежащие в 21. Поскольку
идеал21 простой, то6с(?21, значит, Ъ'&СрШ. Вчастности, если 23"С12(
для некоторого п > 0, то 33CI2I. Следовательно, если 21 —простой
идеал, то 21 совпадает со своим радикалом.
С другой стороны, если 21 — не простой идеал, то тогда существуют
идеалы S3, К, такие, что
21<ЭЗ, %< 6, 936 d21.
Действительно существуют элементы Ь, с, такие, что b, c(J2l,
ll. Возьмем S3 = (b) + 21, а 6 = (с) -|- Щ.
Теорема 10. Идеал 21, отличный от R, является простым
тогда и только тогда, когда кольцо Rlsll не имеет делителей нуля.
Если R обладает единицей, то 21 является максимальным идеалом
тогда и только тогда, когда Rill — поле. (Следовательно, в кольце
с единицей любой максимальный идеал прост.)
Доказательство. Пусть Т — естественный гомоморфизм R
на JR/2L Элемент be ?21 тогда и только тогда, когда (ЬТ) (сТ) = 0.
Из этого критерия немедленно следует, что ?! — простой идеал.
Из теоремы 7 § 5 мы видим, что 21 максимален тогда и только
тогда, когда R/Ш не имеет других идеалов, кроме его самого и @).
Так как R — кольцо с единицей, то JR/21 тоже обладает единицей.
Было показано в § 1, что кольцо с единицей является полем в том
и только том случае, когда оно имеет только два идеала. Это и до-
доказывает второе утверждение теоремы. Третье утверждение следует
из первых двух.
В кольцах без единицы максимальный идеал не обязан быть
простым (см. пример в § 1, стр. 157). Как показывает упомянутый
выше пример, простые идеалы не обязательно максимальны. Позже
(гл. IV, § 2) мы изучим важный класс колец, каждый простой идеал
которых, отличный от R, максимален. В гл. V мы изучим теорети-
теоретически важный класс областей целостности, в которых каждый соб-
собственный простой идеал является максимальным.

§ 8. Простые и максимальные идеалы 177
Теорема 11. Пусть 7 — гомоморфизм кольца R на кольцо R'
с ядром N. Если 21 — идеал кольца R, содержащий N, то 21 прост
или максимален соответственно тогда и только тогда, когда 217
прост или максимален. Если 91'— идеал кольца R', то 9Г прост
или максимален соответственно тогда и только тогда, когда 21' Т'1
прост или максимален.
Доказательство. Можно считать, что 21 Ф R, так как
21 = R тогда и только тогда, когда 217 = R'. Для того чтобы 21
(или 217) был простым, необходимо, чтобы R/Ш (или R'/'uT) не имел
делителей нуля. Так как (по теореме 7) jR/2tSJR'/2l7, то 21 прост
тогда и только тогда, когда 217 прост.
Поскольку соответствие между идеалами кольца R' и идеалами
кольца R, содержащими N, сохраняет включение, то если не суще-
существует идеалов между R и Щ, то их не существует и между R' и 217,
и наоборот.
Так как 21'Т'1 содержит JV и B1'7) 7 = 21', то второе утвержде-
утверждение следует из первого.
Замечание 1. Если кольцо R содержит единичный эле-
элемент 1, то множество 2/ всех идеалов кольца R, содержащих данный
идеал, отличный от R, непусто и индуктивно в смысле частичной
упорядоченности по теоретико-множественному включению (так
как 1 находится вне каждого идеала из У и так как теоретико-мно-
теоретико-множественное объединение всех идеалов, принадлежащих линейно-
упорядоченному множеству идеалов, само является идеалом). Сле-
Следовательно, по лемме Цорна, У содержит максимальные элементы.
Таким образом, мы показали, что в кольце с единицей всякий идеал,
отличный от R, содержится в максимальном идеале.
Замечание 2. Лемма Цорна необходима также в доказа-
доказательстве следующего общего результата: в любом кольце R пересече-
пересечение всех простых идеалов кольца R является радикалом нулевого
идеала (т. е. множеством всех нильпотентных элементов). Так как
каждый идеал содержит 0, то очевидно, что каждый нильпотентный
элемент содержится в каждом простом идеале. Следовательно,
основным пунктом нашего доказательства является утверждение:
если элемент u? R не нильпотентный, то существует простой идеал,
не содержащий и. Для доказательства этого утверждения рассмот-
рассмотрим множество J.lJ всех идеалов кольца R, не содержащих степени и.
Так как и не нильпотентен, нулевой идеал принадлежит 2/"и, зна-
значит, 2J не пусто. Очевидно, что У индуктивно. Пусть, по лемме
Цорна р— максимальный элемент множества 2/. Тогда и$р.
Утверждаем, что \) — простой идеал. Действительно, пусть х
ну — элементы кольца/?, не принадлежащие р. Тогда р + (х) > р
и, следовательно, некоторая степень ит принадлежит р + (х).
12 Заказ № 617

178 Гл. III. Идеалы и модули
Аналогично некоторая степень ип принадлежит идеалу р + (у).
Значит, ит+п принадлежит р + (ху), и так как ит+п$р, будет ху§\),
что и доказывает, что р — простой идеал.
§ 9. Примарные идеалы. Общее понятие простого идеала соот-
соответствует понятию простого числа в обычной арифметике. Примар-
Примарные идеалы, которые мы сейчас введем, соответствуют в этом смысле
степеням простых чисел. Если р — простое число и т — положи-
положительное целое число, то п = рт имеет следующее свойство: если
произведение аЬ двух целых чисел а и b делится на п и если а не
делится на п, то некоторая степень b делится на п. Наоборот,
произвольное целое число п с этим свойством обязательно является
степенью простого числа.
Определение. Пусть R — произвольное кольцо и D —
идеал этого кольца. Тогда О, называется примарным, если из усло-
условий a, b?R, ab?D,, а§ О следует существование такого целогочисла т,
что Ьт ? &.
Целое число п является степенью простого числа тогда и только
тогда, когда главный идеал Jn примарен.
Очевидно, что всякий простой идеал примарен (т — 1). В пред-
предшествующем параграфе простой идеал $ характеризовался тем
условием, что в кольце классов вычетов Rl% единственным делите-
делителем нуля является нуль. Аналогично идеал О примарен тогда и толь-
только тогда, когда каждый делитель нуля в кольце R/D, является ниль-
потентным.
Теорема 12. Пусть О — примарный идеал кольца R. Если
$—радикал О, то $—простой идеал. Более того, если ab?D,
и а $ О, то b ? $. Аналогично если 1 и 23 — такие идеалы, что 9Щ CZ О.
Шф: п, тоЧдаЩ-
Доказательство. Второе утверждение очевидно, а тре-
третье из него следует. Чтобы доказать, что ^ — простой идеал, пред-
предположим аб?$, а$$. Так как ab принадлежит радикалу О, то
ambm = (ab)m ? О, для некоторого т. Так как а $ %, ат (J О,. Посколь-
Поскольку Q примарен, то F'")п?Одля некоторого п, следовательно, б? %.
Ьсли О — примарный идеал, то его радикал % называется
ассоциированным простым идеалом идеала О,, и говорят, что О, —
примарный идеал, принадлежащий простому идеалу %, или просто,
что Q примарен для *$. Может случиться, что существует такое
целое число т, что $™сВ. (Так будет всегда, если кольцо нётерово;
см. гл. IV, § 1, пример 2, стр. 230.) Тогда О. называется строго
примарным, а наименьшее т, для которого справедливо включе-
включение $"'Cl?l,— степенью примарного идеала О. Степень примарного
идеала равна 1 тогда и только тогда, когда он прост.

§ 9. Примарные идеалы 179
Следующая теорема часто полезна для доказательства примар-
примарности идеала и одновременно нахождения его радикала.
Теорема 13. Пусть Q и $ — идеалы кольца R. Идеал Q
примарен и ty — его радикал тогда и только тогда, когда выполнены
следующие условия:
(а) QC^.
(б) Если b^ty, то Ьт? О для некоторого т (т может зависеть от Ь).
(в) Если ab??), и а$?1, то
Доказательство. Пусть (а), (б) и (в) выполнены. То
что & —¦ примарный идеал, следует из (в) и (б). Из (б) мы заключаем,
что$(И]/~0. Для доказательства включения ]/ОС1^ предполо-
предположим, что &?]/О, т. е. Ьт ? О. Пусть т — наименьший показатель,
такой, что bm? Q. Если т -= 1, то frg&CZ $, а если т > 1, то
Ът~х ¦ Ъ б В и bm~l ^ О; следовательно, по свойству (в), b ? *р. Доказа-
Доказательство обратного утверждения очевидно.
Условию (в) эквивалентно следующее:
, и Ь^, то а?С
Следствие 1. Пусть R — кольцо с единицей и О и $ —
его идеалы, такие, что
(а') п(^%.
(б) Если b(- $, /no bmgO Эля некоторого т.
(в') ^р является максимальным идеалом.
Тогда О примарен и% — его радикал.
Мы должны проверить только (в) в условиях предыдущей тео-
теоремы. Предположим, moab^O,, b§S$. Далее, ^ + Rb содержит Ь,
так как R обладает единицей. Поэтому Щ + Rb строго содержит S$,
и так как % — максимальный идеал, то $ + Rb = R. Следователь-
Следовательно, существуют элементы с, d, такие, что
\ = c + db, ce$, d?R. A)
Согласно (б'), ст?& для некоторогот. Возводя A).в т-ю степень
по формуле бинома, мы получаем
\^cm + d'b, d'?R.
Следовательно,
a-acmjr d' (ab)?Q,,
что и требовалось доказать.
Следствие 2. В кольце с единицей максимальный идеал р
прост, и его степени примарны для р.
Теперьмырассмотримнесколько примеров. Пусть R = F [x, у]—
кольцо полиномов от двух переменных над произвольным полем F.
12*

180 Гл. Ill. Идеалы и модули
Как было показано в § 8 (пример 3, стр. 175), идеал % = Rx + Ry
максимален. Идеал Q == Rx + Ry2 примарен, согласно следствию 1,
так как $2(Z?lc:$. (To, что ^2CZ&, следует из равенства
Ч?2 = Rx2 + Rxy + Ry2.) Но О не является степенью $ или
какого-либо простого идеала. Для доказательства этого предпо-
предположим, что Q= ffi, где !|Si — простой идеал. Так как ^ =
= Ос $, Ф2С1Ос: $i и так как $ и <&— простые идеалы, необ-
необходимо, чтобы 53 = ^4 и, значит, Q,= $ft. Так как у ? $ и у ? О,
$ Ф О, то &> 1. Итак, Ос S32, но это тоже невозможно, так как
х?О,, xfy^2. Таким образом, мы доказали, что примарный идеал
н е обязан быть степенью простого идеала.
Кроме того, верно утверждение: степени простых идеалов не
обязаны быть примарными идеалами. (Таким образом, следствие 2
неверно, если слово «максимальный» заменить словом «простой»).
Рассмотрим один пример. Пусть FIX, Y, Z] — кольцо полиномов
от трех неизвестных над полем F, и пусть R — кольцо классов выче-
вычетов FIX, Y, Z]/(XY — Z2). Обозначим через х, у и z классы выче-
вычетов элементов X, Y и Z соответственно. Идеал, порожденный
элементами X и Z в нашем кольце полиномов, прост и содержит
ядро XY — Z2 канонического гомоморфизма кольца FIX, Y, Z]
на R. Следовательно, соответствующий идеал $ = Rx + Rz, при-
принадлежащий R, тоже прост. Мы имеем ху = z2??p2, элемент х не
принадлежит %* (так как никакой полином вида X + А (X, Y, Z) X2 +
+ В(Х, Y, Z)XZ + C(X, Y, Z)Zi не может делиться на XY-Z*)
и никакая степень у не принадлежит $р2 (никакая степень у не при-
принадлежит даже самому простому идеалу '$, так как очевидно, что
</(?$). Следовательно, $2 —не примарный идеал.
Приведенный пример показывает также, что идеал 91, радикал
которого прост, не обязан быть примарным идеалом. Пример, ил-
иллюстрирующий это, можно найти и в кольце полиномов F[X, Y]
от двух неизвестных. Пусть 21 — идеал, порожденный элементами
X2 и XY. Легко видеть, что ]/Я простой (главный) идеал (X).
Но XY^ty, Х?% и никакая степень Y не принадлежит 31. Это и до-
доказывает, что 31 — не примарный идеал.
Некоторые операции над примарными идеалами приводят к при-
примарным идеалам. Это резюмирует следующая теорема:
Теорема 14. Пересечение конечного числа примарных идеа-
идеалов, каждый из которых принадлежит одному и тому же простому
идеалу^, — снова примарный идеалдля%. Если ^3 —максимален, это
верно для конечных сумм и произведений. Если $ — примарный
идеал для % и 21 — идеал, не содержащийся в В, то идеал Q, : 31
примарен для ф. Если Т — гомоморфизм кольца R на кольцо R'
с ядром N, то идеал О, содержащий N, является примарным в R
тогда и только тогда, когда О,Т примарен в R'; когда это выпол-

§ 10. Условия конечности 181
нено, ассоциированный простой идеал идеала пТ совпадает с идеа-
идеалом фТ, где ф —ассоциированный простой идеал идеала ?1.
Эти утверждения легко доказать, воспользовавшись теоремами
12 и 13. Например, чтобы показать, что О : 91 — примарен для S$,
мы заметим, что (D:I)tlcQ и 91ф:В, следовательно, Q,:2fCZ$.
Так как к тому же пс 0:91, то условия (а) и (б) теоремы 13 про-
проверены. Чтобы проверить условие (в), предположим, чтоаб?В:21,
bfyty; тогда мы должны показать, что а? Б: 91. Мы имеем b (a9l)CZ &,
и так как Ь^ и а'йщ Q, то a g О : 91.
Замечание. Если R — область с однозначным разложением,
а я — неразложимый элемент, принадлежащий R, то Яя — про-
простой идеал и 7?яп(п>1)— примарный идеал с радикалом Rn
(если я" делит произведениеаЬ и не делит а, то я™ делит некоторую
степень Ь). Наоборот, каждый примарный идеал <\ с радикалом
Rn имеет вид Rnn, л>1, ибо если п — такое целое число, что
qczRn71, qtfzRnn+1 и элемент x?q представим в виде г/я", y?Rn,
то обязательно я"?<1 и, следовательно, q = ^я".
§ 10. Условия конечности. Элементарная теория векторных
пространств занимается пространствами конечной размерности;
в таких пространствах не существует бесконечного строго возрас-
возрастающего или строго убывающего ряда подпространств. Подобно
этому элементарная теория групп занимается конечными группами
или, во всяком случае, группами, которые не «слишком бесконечны»
в некотором смысле. Целью этого параграфа является обсуждение
различных условий конечности, которые могут быть наложены
на модуль.
Определение. Говорят, что модуль М над кольцом R
удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей, если каждый
строго возрастающий ряд подмодулей
МХ<М2<... A)
конечен.
Очевидно, эквивалентной формулировкой будет следующая:
если
есть бесконечная возрастающая последовательность подмодулей, то
существует такое целое число п, что
Mi = Afn для i = n+l, n+2, ....
Обращением знаков включения и заменой слова «возрастающая»
на «убывающая» можно подобным же образом определить условие
обрыва убывающих цепей. Мы используем сокращения у. о. в. ц.

182 Гл. III. Идеалы и модули
и у. о. у. ц. соответственно для условий обрыва возрастающих
и убывающих цепей.
Ясно, что если некоторая группа конечна, то она (рассматри-
(рассматриваемая как У-модуль) удовлетворяет обоим условиям обрыва.
Аддитивная группа целых чисел является примером группы (У-мо-
дуля), удовлетворяющей условию обрыва возрастающих цепей
и не удовлетворяющей условию обрыва убывающих цепей. С другой
стороны, рассмотрим поле/*" рациональных чисел и кольцочастных Jp,
образованное дробями alb, где a, b g J и b не делится на дан-
данное простое число р. Легко доказать (как в гл. I, § 20), что каждая
собственная аддитивная подгруппа поля F, которая содержит Jp,
будет иметь вид p~nJP. Таким образом, факторгруппа F — Jp удов-
удовлетворяет у. о. у. ц., но не у. о. в. ц.
Говорят, что некоторый модуль удовлетворяет условию макси-
максимальности, если каждая непустая совокупность подмодулей С
имеет максимальный элемент, т. е. если в С существует подмодуль,
который не содержится ни в каком другом подмодуле из множества С.
Условие минимальности определяется подобным же образом.
Теорема 15. Некоторый модуль М удовлетворяет условию
обрыва возрастающих (убывающих) цепей в том и только том слу-
случае, когда он удовлетворяет условию максимальности (минималь-
(минимальности).
Доказательство. Если М не удовлетворяет у. о. в. ц.,
то существует бесконечная, строго возрастающая последователь-
последовательность {Мг} подмодулей, и ясно, что совокупность всех Мг не имеет
максимального элемента. С другой стороны, предположим, что М
удовлетворяет у. о. в. ц., и пусть С —любая непустая совокупность
подмодулей. Так как С непусто, то в С имеется некоторый подмо-
подмодуль Mi. Если Mi не максимален в С, то в С существует М2, который
строго содержит Мj. Если М2 не максимален в С, то в С имеется М3,
строго содержащий М2, и т. д. Так как М удовлетворяет условию
обрыва возрастающих цепей, то этот процесс должен прекратиться
на каком-то шаге, и таким образом будет получен максимальный
элемент множества С.
Эквивалентность условия обрыва убывающих цепей с условием
минимальности доказывается аналогично.
Ввиду эквивалентности условий обрыва с условиями максималь-
максимальности или минимальности они будут использоваться попеременно
в зависимости от того, какое из них более удобно в данном месте.
Следующая теорема является основой для определения того, как
некоторые операции влияют на условия обрыва.
Теорема 16. Пусть М — модуль и N ¦— некоторый под-
подмодуль. Тогда условие обрыва возрастающих (убывающих) цепей

§ 10. Условия конечности 183
выполняется в М в том и только том случае, когда оно выполняется
одновременно в N и М — N.
Доказательство. Если у. о. в. ц. выполняется в М,
то оно очевидным образом выполняется в N, и в силу соответствия
между подмодулями М — N и подмодулями М, содержащими N,
оно выполняется подобным же образом в М — N.
Обратно, предположим, что N я М — N одновременно удовле-
удовлетворяют у. о. в. ц. Чтобы доказать, что М тоже удовлетворяет этому
условию, отметим сначала, что если L и L' — два подмодуля в М,
такие, что
LCZL',
то L = V. А именно L = V П (L' + N) = L' f] (L + N) =
= L + (L' f] N) = [по модулярному закону E), § 2, стр. 161 ] =
— L + (L р| N) = L. Предположим теперь, что {Lt} — некоторая
возрастающая последовательность подмодулей в М. Для того чтобы
показать, что эта последовательность обязательно стабилизируется,
достаточно показать, в силу только что сделанного замечания, что
каждая из возрастающих последовательностей {Lt + JV}, {L4 f] N}
стабилизируется. Для второй это вытекает из у. о. в. ц. в N. Для
первой — из у. о. в. ц. в М — N, в силу соответствия между подмо-
подмодулями М — N и подмодулями М, содержащими N.
Таким образом, теорема доказана для у. о. в. ц. Аналогично
разбирается у. о. у. с.
Следствие. Пусть Ми М2, ¦ ¦ ¦, Мп — такие подмодули
модуля М, что УИ = Mi + M2+ ... -\-Мп. Если каждое Мг удов-
удовлетворяет условию обрыва возрастающих (убывающих) цепей, то М
тоже ему удовлетворяет.
По индукции можно ограничиться случаем п = 2. В силу тео-
теоремы, достаточно показать, что М—УИ4 удовлетворяет тому из
условий обрыва, о котором идет речь. Что это так, следует из
равенств
так как последний модуль удовлетворяет этому условию по теореме.
Пусть R — кольцо и М — некоторый jR-модуль. Базисом моду-
модуля М называется множество {ха} элементов из М, таких, что ника-
никакой собственный подмодуль модуля М не содержит всех ха. Про
модуль М мы говорим, что он имеет конечный базис или является
конечным R-модулем, если у него имеется базис, состоящий из конеч-
конечного числа элементов. Модуль называется циклическим, если он
имеет базис, состоящий из единственного элемента.
Если {ха} — любое множество элементов из М, то наименьший
подмодуль модуля М, содержащий все ха, состоит из тех элемен-

184 Гл. III. Идеалы и модули
тов модуля М, которые могут быть записаны в виде конечной суммы
агхп1 + а2хп2 + ... + апхап + т1х„1 + тгх„, + . .. + тпхап,
где а{ принадлежат R и mi — целые числа. Этот модуль будет
обозначаться символом {{ха}) или (хь х2, ¦ ¦ ., xs), если {ха}
является конечным множеством {хь х2, ¦ . ., xs}. Если {ха} является
базисом модуля М, то каждый элемент из М будет конечной суммой
указанного выше вида. В частности, если М цикличен и базис
его {х}, то каждый элемент модуля М будет вида ах+тх, где а ? R
и т — некоторое целое число.
Если R имеет единицу и М является унитарным ^-модулем
с базисом {ха}, то в выражении элементов модуля М через ха
целые кратные таха можно опустить, так как любое целое крат-
кратное тх некоторого элемента х модуля М само будет представляться
в виде Ьх, Ь ? R, а именно тх = (т ¦ 1)х.
Следовательно, в этом случае М является суммой модулей Rxa.
В частности, если М цикличен и имеет базис {х}, то мы можем
написать М = Rx. Это показывает, что абелева группа, рассматри-
рассматриваемая как J-модуль, как описано в § 1 (стр. 159), будет цикличе-
циклическим модулем в том и только том случае, когда она является цикли-
циклической группой в обычном смысле. Если некоторое кольцо R с еди-
единицей рассматривается как модуль над самим собой, то его цикли-
циклическими подмодулями будут его главные идеалы (§ 1, стр. 156).
Теорема 17. Пусть М — модуль над некоторым кольцом R.
Тогда М удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей в том
и только том случае, когда каждый подмодуль модуля М имеет
конечный базис.
Доказательство. Предположим, что каждый подмодуль
модуля М имеет конечный базис. Если {Л^} является некоторой
возрастающей последовательностью подмодулей модуля М, то ясно,
что объединение N (в теоретико-множественном смысле) всех Мг
будет подмодулем модуля М. По предположению, JV имеет конечный
базис, например N = (хь х2, . ¦ -, xh). Так как каждое Xj лежит в N,
оно лежит в некотором N,L. Следовательно, существует такое целое
число п, что Xj ? Nn, j = 1, . . ., h. Таким образом, N a Nn,
так что Ыг = Nn для I > п. Итак, у. о. в. ц. доказано.
Обратно, предположим, что выполняется у. о. в. ц. Если JV —
произвольный (но фиксированный) подмодуль модуля М, то в сово-
совокупности всех подмодулей из N, имеющих конечный базис [такие
существуют, например @)], будет содержаться максимальный
элемент N' (теорема 15). Если х — любой элемент из N, то N' + (х)
имеет конечный базис, так как N' его имеет. Из максимальности N'
следует, что JV" + (х) = JV", так что х? N'. Таким образом, N = N'
и N имеет конечный базис, что и требовалось доказать.

§ 11. Композиционные ряды 185
До сих пор свойства кольца R не имели существенного значения.
Мы докажем теперь теорему, которая связывает условия обрыва
в некотором ^-модуле М с условиями обрыва в R. Так как кольцо R
можно рассматривать как ^-модуль, то условия обрыва в R имеют
смысл; они просто означают, что строго возрастающая (убываю-
(убывающая) последовательность идеалов в R должна быть конечной.
Теорема 18. Пусть R — кольцо с единицей иМ — некоторый
унитарный модуль над R, имеющий конечный базис. Тогда если R
удовлетворяет условию обрыва возрастающих (убывающих) цепей, то
М тоже ему удовлетворяет.
Доказательство. Если {хи . . ., хп} является конечным
базисом в М, то М = Rxi~\-... -\-Rxn. Для доказательства теоремы
достаточно, в силу следствия теоремы 16, рассмотреть частный
случай, когда М является циклическим модулем Rx. Предположим
тогда, что {JVj} — возрастающая последовательность подмодулей
модуля М. Для каждого i пусть 91{ будет множеством всех таких
элементов а кольца R, что ах ? Nt. Тогда SS.i, как легко видеть,
является идеалом в R и JVt = %iX, так как каждый элемент модуля М
(а следовательно, подмодуля JV{ в частности) имеет вид ах, а ? R.
Кроме того, ясно, что последовательность идеалов {21{} возрастаю-
возрастающая. Так как у. о. в. ц. предполагается выполненным в R, то суще-
существует такое п, что 914 = %п для i > п. Так как Ыг = Шгх, то JV( = JVn
для i > п и у. о. в. ц. доказано в М. Доказательство для у. о. у. ц.
аналогично.
§ 11. Композиционные ряды. В предыдущем параграфе мы рас-
рассматривали условия, которые делали каждую убывающую или
возрастающую последовательность модулей конечной. В этом пара-
параграфе мы рассмотрим более точно, сколько модулей может встре-
встретиться в таких последовательностях.
Пусть М — некоторый jR-модуль. Нормальным рядом в М
называется убывающий (но не обязательно строго убывающий)
конечный ряд подмодулей
M = M0^M1ZDM2ZD...ZDMr = @), (I)
начинающийся с М и кончающийся @); целое число г называется
длиной нормального ряда.
Отметим еще раз, что включения в A) не обязательно должны быть
строгими, т. е. может быть равенство Мг_г = Мг для некоторого
или всех i. Если, однако, все включения строгие, т. е. если
М = М0>М1>М2> ... >Мг = @), B)
то этот нормальный ряд называется рядом без повторений.

186 Гл. Ill. Идеалы и модули
Уплотнение нормального ряда A) есть нормальный ряд, полу-
полученный вставлением дополнительных членов в ряд A). В частности,
если дополнительные члены не вставлены, то мы говорим о несобст-
несобственном уплотнении.
Определение 1. Композиционным рядом
модуля М называется нормальный ряд без повторений, для кото-
которого каждое собственное уплотнение имеет повторения.
Ясно, что для того, чтобы нормальный ряд B) без повторений
был композиционным рядом, необходимо и достаточно, чтобы не су-
существовало ^-подмодулей между Ми1 и Мг, i—\, . . ., г. Другими
словами, в силу теоремы 4 § 4 для этого необходимо и достаточно,
чтобы каждый фактормодуль Мг_г — Mt (i = 1,2, . . ., г) был
простым, причем /^-модуль называется простым (или неприводимым),
если он имеет в точности два подмодуля. Ими должны быть обязательно
сам модуль и @); модуль @) не будет простым согласно этому опре-
определению. Простой модуль может быть описан как модуль, имею-
имеющий композиционный ряд длины один.
Не каждый модуль имеет композиционный ряд. Например, адди-
аддитивная группа целых чисел им не обладает.
Следующая теорема о композиционных рядах является основной.
Теорема 19 (Ж орда н). Если некоторый R-моду ль М
имеет один композиционный ряд длины г, то каждый компози-
композиционный ряд модуля М имеет длину г и каждый нормальный ряд
без повторений может быть уплотнен до композиционного ряда.
Доказательство. Теорема тривиальна для г = 1. Сле-
Следовательно, можно проводить доказательство по индукции, пред-
предполагая теорему верной для модулей, имеющих композиционный
ряд длины, меньшей чем г. Для модуля М мы имеем некоторый ком-
композиционный ряд
УИ = М0>М1>М2> ...>Мг = @). C)
По предположению индукции, М не может иметь композиционного
ряда длины, меньшей чем г. Поэтому первое утверждение теоремы
будет доказано, если мы сможем показать, что каждый нормальный ряд
M=NQ>N1>Na>...>Nl = @) D)
без повторений имеет длину, не большую г. Это будет также дока-
доказывать второе утверждение, так как если D) уже не является ком-
композиционным рядом, то мы можем включить в него некоторый допол-
дополнительный подмодуль без повторения какого-нибудь Nj\ этот
процесс должен привести к композиционному ряду в точности через
г — s шагов, если отмеченное выше утверждение верно.

§ И. Композиционные ряды 187
Для доказательства этого утверждения мы должны показать, что
Отметим, что из C) следует существование в Mi компози-
композиционного ряда длины г — 1. Если JVj = Ми то из D) мы получаем
нормальный ряд для УИ4 без повторений и длины s— 1; по пред-
предположению индукции s— 1</— 1, s<r. Если Nt = Ми то D)
дает нормальный ряд для М^ без повторений и длины s; опять по
по предположению индукции, мы имеем s</ — 1 и a fortiori s<r.
Таким образом, мы можем ограничиться случаем, когда JV4
вообще не содержится в Mi. Так как между М\ и М не существует
подмодулей, то отсюда следует, что Mi + Nt = М. Далее, по тео-
теореме 5 § 4,
М - Mi = (Mi + Ni) - Mi SJV4 - (Mi f\Ni).
Так как М — Mi прост, то таким же будет и Nt — (Mif\Ni).
Следовательно, не существует подмодулей между JV4 и Л^ПЛ^
Рассмотрим диаграмму
Так как Mi имеет композиционный ряд длины г—1 h.MiP|./V1<./W1,
то каждый нормальный ряд без повторений модуля Mif]Nt
имеет самое большее длину г — 2. Следовательно, Mif]Ni имеет
композиционный ряд не более чем этой же длины. Так как не суще-
существует подмодулей между JVi и Mif]Nu то Л^ имеет компози-
композиционный ряд, длина которого не превышает г — 1. По предположе-
предположению индукции, s—1-^г—1, s<r. Это завершает доказательство
теоремы.
Итак, мы видим, что, если jR-модуль М вообще имеет некоторый
композиционный ряд, то все его композиционные ряды имеют
ту же самую длину. Эта общая длина будет называться длиной
модуля М и обозначаться через I (M). Таким образом, простой
модуль имеет длину один и модуль @) имеет длину нуль. Если М
не имеет композиционного ряда, то мы полагаем / (М) = оо; в этом
случае существуют нормальные ряды без повторений сколь угодно
большой длины. Нами может быть теперь сформулирована
Теорема 20. Если N является некоторым подмодулем R-mo-
дуля М, то
(Это равенство означает, в частности, что если одна часть беско-
бесконечна, то другая тоже бесконечна.)
Доказательство. Пусть
N = N0>N,> ... >JV( = (O) E)

188 Гл. III. Идеалы и модули
будет произвольным нормальным рядом без повторений подмодуля^.
Так как по теореме 4 § 4 и ее следствию каждый подмодуль модуля
М — N имеет вид L — N, где L — некоторый подмодуль модуля М,
содержащий N, то отсюда следует, что любой нормальный ряд
модуля М — JV без повторений имеет вид
M-N=L0-N>L1-N> ... >LS-JV = (O),
Lj_1>L},j=\,...,s. F)
Таким образом, мы получаем для М нормальный ряд
M = LO>LX> ... >LS>NX> ... >Nt = @) G)
без повторений и длины s -f- t. Следовательно, если либо l(N),
либо l(M — N) бесконечна, то либо t, либо s может быть сделано
сколь угодно большим, а поэтому 1(М) = оо. С другой стороны,
если обе эти длины конечны, то мы можем предположить, что E)
и F) являются композиционными рядами. Тогда отсюда будет
следовать, что G) является композиционным рядом модуля М,
откуда получаем теорему.
Следствие. Если L и N — некоторые подмодули модуля М,
то
l(L) + l(N) = l(L + N) + l(L[}N). (8)
Мы используем соотношение
и очевидный факт, что ^-изоморфные модули имеют одинаковую
длину. Если либо t(L), либо I (N) бесконечна, то l(L + JV) тоже
бесконечна и равенство (8) тривиально. Если они обе конечны, то
правая часть равенства (9) имеет конечную длину, а поэтому и левая
часть имеет конечную длину. Следовательно, L + N тоже имеет,
в силу теоремы, конечную длину. Равенство (8) следует теперь
из теоремы.
До сих пор мы говорили о композиционном ряде и отмечали, что
модуль может не иметь его. Ясно, что любая конечная (коммутатив-
(коммутативная) группа, рассматриваемая как ./-модуль, имеет композицион-
композиционный ряд. Вообще справедлива
Теорема 21. Для того чтобы некоторый модуль М имел ком-
композиционный ряд, необходимо и достаточно, чтобы он удовлетворял
обоим условиям обрыва.
Доказательство. Если М имеет композиционный ряд
длины г, то ясно, что каждый строго возрастающий или убывающий
ряд имеет самое большее г + 1 элементов. Обратно, предположим,
что М удовлетворяет обоим условиям обрыва. Пусть Мо = М.

§ П. Композиционные ряды 189
Если Мо ф @), то пусть Mi будет максимальным в совокупности
подмодулей, строго содержащихся в Мо; если Mi Ф @), то М2
определяется аналогично и т. д. Мы таким образом получаем строго
убывающий ряд
такой, что никакой дополнительный подмодуль не может быть встав-
вставлен между двумя последовательными членами ряда. Так как этот
ряд не может быть бесконечным, то Мг — @) для некоторого г,
и мы получаем композиционный ряд.
Композиционные ряды будут играть большую роль в дальнейшем
изложении. Для большинства применений достаточны три преды-
предыдущие теоремы, но изредка будет нужен и более сильный резуль-
результат, содержащийся в теореме Жордана — Гёльдера. Введем сначала
следующую терминологию: если
M = MozdM1ZD ... ZDMr = @) A0)
есть некоторый нормальный ряд модуля М, то фактормодули
УИ4_! — Мг (i = 1, 2 . . . , г) называются нормальными факторами
ряда. Если A0) является композиционным рядом, то эти фактормодули
называются композиционными факторами. Два нормальных ряда
называются эквивалентными, если факторы одного можно так сопо-
сопоставить с факторами другого, что сопоставленные факторы будут
/^-изоморфными.
Эквивалентные нормальные ряды имеют одинаковую длину,
и это соотношение эквивалентности транзитивно.
Теорема 22 (Гёльдера). Если модуль имеет компози-
композиционный ряд, то любые два композиционных ряда эквивалентны.
Доказательство. Согласно теореме 19, любые два ком-
композиционных ряда имеют одинаковую длину. Пусть ими будут
М=М0>Мг> ... >/Иг = @), A1)
M=N0>N1> ... >iVr = @). A2)
Доказательство будет проводиться по индукции относительно длины
модуля М. Так как теорема тривиальна при длине 1, то можно пред-
предположить ее верной для всех модулей длины, меньшей чем г. Если
в написанных выше рядах УИi = JVb то мы имеем два композицион-
композиционных ряда для Mi и по предположению индукции они эквивалентны.
Так как М — Mi — М — Niy то будут эквивалентными и данные
ряды для М.
Пусть теперь Mi Ф Nu так что М = Mi + JV4. Взяв фиксиро-
фиксированный композиционный ряд для Mif]Nu мы получаем два ком-

190 Гл. III. Идеалы и модули
позиционных ряда для М:
M = M1 + N1>Ml>M1f]N1> ... >@), A3)
> ... >@). A4)
То, что они действительно являются композиционными рядами,
следует из R- изоморфизмов
M-M1^N1- (УИЬП Nj), M-Nls*M1- (Мх ПNx)
и из того, что М — Mi и М — Ni просты. Из тех же самых изомор-
изоморфизмов следует, что композиционные ряды A3) и A4) эквивалентны.
Так как A1) и A3) имеют общий член УИЬ то из предыдущего абзаца
следует, что они эквивалентны. По аналогичным причинам экви-
эквивалентны A2) и A4), откуда вытекает, что A1) и A2) тоже будут
эквивалентны.
Итак, согласно этой теореме, композиционные факторы опре-
определяются однозначно с точностью до ^-изоморфизма.
Следствие. Если М имеет конечную длину и N является
некоторым подмодулем модуля М, то композиционные факторы
модуля М исчерпываются композиционными факторами модулей
N и М — N, взятых вместе.
Предположим, что E) и F) являются композиционными рядами
для N и М — N, откуда G) будет композиционным рядом для М.
Факторами для М являются N^ — JV3- (/ = 1, . . . , t) и Ьг_х — Ьг
(»" = 1, . . ., s). Так как LU1 — Lt ^ {Ьи1 — N) — (Lt — N)
и последние являются факторами для М — N, то следствие
доказано.
В теории колец часто бывает полезно следующее обобщение
понятия композиционного ряда.
Определение 2. Пусть N будет подмодулем некоторого
R-модуля М. Нормальным рядом между М и N назы-
называется ряд
M = MOUM1U ... ZJMT = N.
Он называется композиционным рядом между М и N',
если в нем нет повторений и если не существует подмодуля между
М^Л и Mi, i = 1, 2, ..., г.
Очевидно, что нормальный (или композиционный) ряд между М
и JV приводит к подобному же ряду для М —• N, и наоборот. Следова-
Следовательно, если существует композиционный ряд между М и N, то все
такие композиционные ряды имеют одинаковую длину и любой
нормальный ряд между М и N, который не имеет повторений, может
быть уплотнен до композиционного ряда между М и N.

§ 12. Прямые суммы 191
§ 12. Прямые суммы. В этом параграфе мы рассматриваем раз-
разложения некоторого модуля на более простые компоненты.
Определение 1. Пусть R — кольцо, М — заданный R-мо-
R-моду ль и Ми М2, ¦ . ., МТ— некоторые подмодули модуля М. Подмо-
Подмодули Ми . . ., Мг называются независимыми, если
Mir\(M1+...+Mi_1 + MUl+...+MT) = @), i=l,2, ..., г.
Сразу же видно, что это условие эквивалентно утверждению, что
если
то хг = О, i = 1, 2, ..., г. Этот критерий часто бывает легче приме-
применять, чем определение.
Определение 2. R-модуль М называется прямой
суммой подмодулей УИЬ ..., Мг, если он является суммой этих
подмодулей и если эти подмодули независимы. В этом случае мы
пишем
М=М1@ ... @МГ.
Легко проверить, что М будет прямой суммой подмодулей
Ми .. ., МТ в том и только том случае, когда каждый элемент х
из М может быть однозначно представлен в виде
х = хг+ ... +хг, х^Мг.
Очевидно, что если Ми ...,МГ—любые подмодули модуля М.
то Mi~\- . . . -\-Мт будет прямой суммой подмодулей Mi в том и только
том случае, когда Мг независимы. Поэтому мы часто используем
выражение «сумма УИ4+ . . . -\~МГ прямая» для обозначения того,
что Мг независимы.
Если М = Mi@ . . . @МГ и каждое Мг само является прямой
суммой
то легко доказать при помощи критерия, следующего из опреде-
определения независимости, что М будет прямой суммой всех Mijy взя-
взятых вместе. Обратно, если М является прямой суммой некоторых
подмодулей .Mi3- и если мы положим
то эта сумма сама будет прямой и М является прямой суммой под-
подмодулей М{. Модулярный закон [см. формулу E) § 2] выполняется
также и для прямых сумм:
если

192 Гл. III. Идеалы и модули
Это можно интерпретировать так, что если сумма слева является
прямой, то такой будет и сумма справа, и обратно.
Утверждение, что М является прямой суммой двух подмодулей
Mt и М2, очевидным образом эквивалентно двум утверждениям:
Отсюда и из теоремы 5 § 4 следует, что
если УИ = УИ1@УИ2, то М% будет R-изоморфен М — Мг.
Из следствия теоремы 20 § 11 мы получаем, что / (М) = / (Mi) +
-\-1(М2}, и по индукции имеем равенство
В частности, если каждый Мг имеет конечную длину, то их прямая
сумма тоже будет иметь конечную длину.
Прямые суммы имеют большое значение, так как модуль опре-
определяется с точностью до jR-изоморфизма своими прямыми слагае-
слагаемыми, как установлено в следствии к теореме:
Теорема 23. Пусть М и N — R-модули. Для i = 1, . . ., г
пусть Мг и Ni — подмодули модулей М и N соответственно
и Тг — R-изоморфизм модуля Mi в Nt. Наконец, предположим, что
М = М1@...®МТ, B)
N = Nt+ ... +УУГ. C)
Тогда существует один и только один R-изоморфизм Т модуля
М в N, который совпадает с Тг на Мг. Если каждый Тг есть отобра-
отображение на, то таким же будет и Т. Если каждый Ti является
изоморфизмом и сумма C) прямая, то Т будет изоморфизмом.
Доказательство. Если х ? М, то мы можем написать
x = xt+ ... +хг, хг?Мг, D)
Следовательно, если требуемое Т вообще существует, то мы должны
иметь
хТ=х1Т1+...+хгТт, E)
а поэтому Т единствен. Для доказательства того, что Т существует,
мы определим его при помощи E); так как представление D) един-
единственно, то хТ будет определен однозначно. Легко проверить, что
Т является ^-гомоморфизмом. Если каждый Ti есть отображение на,
то таким же будет и Т, так как MT ZD MiT=MiTi = Nit а поэтому
МТ = N. Предположим теперь, что каждый Tt будет изоморфиз-
изоморфизмом и что сумма C) прямая. Тогда если хТ = 0, то отсюда вытекает,
что 2xi^t = 0- Так как сумма C) прямая, то хг7\ = 0. Следова-

§ 12. Прямые суммы 193
тельно, каждый хг = О и х — 0. Таким образом, Т является изо-
изоморфизмом.
Следствие. Если М = Mi © ... ©Mr, JV-=Arj© ... Q>Nr
и Мг R-изоморфен Ni (i = 1, ...,r), mo Л1 u iV будут R-изоморфны.
Несмотря на это следствие, строение модуля М нельзя в общем
случае прямо получить из свойств подмодулей Mv Например,
подмодули модуля М не определяются, вообще говоря, только
заданием подмодулей модулей Мг. Наше незнание подмодулей
лишь очень незначительно уменьшается по рассмотрении следую-
следующей теоремы.
Теорема 24. Пусть М = М1 @ ... © Мг, Л^ — некоторый
подмодуль модуля М-г (i — 1, . .., г) и
Тогда эта сумма будет прямой и М — iV является прямой суммой
подмодулей, R-изоморфных фактормодулям Mi — N{.
Доказательство. Очевидно, что Nt независимы, т. е.
что сумма прямая. Пусть 7 — естественный гомоморфизм модуля М
на М — N. Тогда ясно, что
М — N = М{Г + .. . + МТТ.
Чтобы показать, что эта сумма прямая, предположим, что 0 =
г г
= х{Г -f . . . 4- хг Т, где xi ? Mv Так как B -*ч) 7=0, то 2хг?-^ —
= Ni-{- ...-{- Nr. Следовательно, xi^Nid N', так что х%Т = 0,
что и нужно было доказать. Остается показать, что МгТ ^Мг — Nv
Это следует из того, что 7, действующий на Mit имеет в качестве
ядраЛ^, так как M{f]N = Ni.
Следующая теорема, полезная в теории колец, связывает поня-
понятие прямой суммы с понятием, которое можно было бы обозначить
как «прямое пересечение».
Теорема 25. Предположим, что R-модуль М является пря-
прямой суммой подмодулей Mit . . ., Мг, так что
М = МХ+ .. . -\-Мг, F)
Mif\(M1-\- . . . + Mi_1-\-Mi+1-\- . . . 4-Mr) = 0, / = 1, . . ., г. G)
Если мы положим
Nt = УИ14-. • . + Мг_л + Mj+i+ ... + МГ, 1 = 1, ..., г, (8)

194 Гл. III. Идеалы и модули
то
(9)
> i = i,...,r, (Ю)
i = l, ...,r. A1)
Обратно, если нам даны подмодули Nu ..., NT модуля М, удовлет-
удовлетворяющие условиям (9) и A0), и если определить Мг посредством
A1), то будут выполняться равенства F)— (8).
[Заметим, что равенства (9) — A1) двойственны по отношению
к равенствам F) — (8) в том смысле, что они получаются из послед-
последних заменой суммы на пересечение, М — на @) и Мх — на Nt. 1
Доказател ьство. Предварительно отметим тот очевид-
очевидный факт, что
Mi + N^M, Aftn^i = (O). A2)
Это будет верным независимо от того, заданы ли нам Mt и затем
определены через них Nt или vice verca.
Предположим сначала, что нам дано М = Мг © ... © Мг, и опре-
определим JVj при помощи (8). Тогда A1) можно доказать повторным
' применением модулярного закона, но проще получить это равен-
равенство простым вычислением. Итак, предположим, что х& П N.
ш }
и запишем х — хх-\-• •'-\-xr, xh?Mh. Так как x?Nj (J'¦¦ ф i),
то х^ = 0 в силу (8). Следовательно, х — хг^Мх. То, чтоМ4С1 ПА^,,
Зфг
очевидно. Таким образом, A1) доказано. Что касается (9), то мы
имеем соотношения
вд... № = ВД(ВД • • • ПЛМ = ад^ = @),
в силу G). Равенство A0) следует из A2).
Предположим теперь, что нам даны Nif удовлетворяющие (9)
и A0), и определим Мг посредством A1). Так как Mi + Мг = М, то
мы можем написать для любого х из М
Тогда для любого / между 1 и г
г
.х- 2Ч = (х-х,)- 2 Ч j
i = l i=jtj
так как х — х, = г/;- 6 N} и хг 6 Мг d N} для i Ф j. Таким обра-
образом, х—2*i6nW,-=@), так чтод;=2^ и М = МХ+...+МГ,
т. е. выполняется F). Из соотношений

§ 12. Прямые суммы 195
следует выполнение условия G) (т. е. сумма прямая). Остается дока-
доказать лишь (8). То, что NiZD^jMj, очевидно; в самом деле, мы
уже использовали этот факт. Из модулярного закона получаем, что
Это завершает доказательство теоремы.
Определение 3. Если М — заданный R-модуль и N —
некоторый его подмодуль, то дополнением подмодуля
N называется такой подмодуль N' модуля М, что
N@N' = M.
Если каждый подмодуль модуля М имеет дополнение, то М назы-
называется вполне приводимым.
Подмодули М и @) имеют @) и М соответственно в качестве
единственных дополнений. Вообще же дополнения (когда они суще-
существуют) не обязательно единственны. В этом можно убедиться
на примере векторных пространств (которые мы вскоре будем изу-
изучать детально), где каждое подпространство имеет дополнение
(см. гл. I, § 21) (так что они вполне приводимы) и где, как хорошо
известно, дополнения всегда не единственны, за исключением М
и @). Но ясно, что все дополнения подмодуля JV ^-изоморфны,
так как каждое из них 7?-изоморфно М — N. Кроме того, если
одно дополнение подмодуля N содержит другое, то они совпадают.
Действительно, предположим, что N' и N" — дополнения подмо-
подмодуля JV и N' ZD N"; тогда
= N" + (N' Г\Ю = N" + @) = N".
Как было уже отмечено, векторные пространства вполне при-
приводимы. Примером модуля, который не вполне приводим, является
аддитивная группа целых чисел. Здесь существуют собственные
подгруппы, и пересечение любых двух из них опять будет собствен-
собственной подгруппой, так что никакая сумма не может быть прямой.
Теорема 26. Если М вполне приводим, то каждый под-
подмодуль тоже вполне приводим. Если L и N — такие подмодули,
что L a N, то каждое дополнение подмодуля N содержится в не-
некотором дополнении подмодуля L и каждое дополнение подмодуля L
содержит некоторое дополнение подмодуля N.
Доказательство. Для доказательства того, что под-
подмодуль N вполне приводим, мы должны найти некоторое допол-
дополнение подмодуля L в N. Но L имеет дополнение V в М:
L@L' = M.
13*

196 Гл. III. Идеалы и модули
В таком случае
так что L имеет jVf|L' в качестве дополнения в N.
Пусть N' — произвольное дополнение подмодуля N; если L" —
дополнение подмодуля L в N, то N' + L" будет дополнением под-
подмодуля L (в М). С другой стороны, пусть L' будет любым дополне-
дополнением подмодуля L; если N' является дополнением подмодуля
Nf[L' в V:
(Nr\L')®N' = L', A3)
то N' будет дополнением подмодуля N (в М), ибо, в силу A3), N+N'
содержит L'; конечно, оно содержит и L, так что N + N' ZD L +
-f- V = М. Но, кроме того,
в силу A3). Таким образом, М = N @ N'.
Следствие. Если вполне приводимый модуль удовлетворяет
одному из условий обрыва, то он удовлетворяет другому, а следова-
следовательно, имеет конечную длину.
В самом деле, строго возрастающий ряд подмодулей привел бы
к строго убывающему ряду их дополнений, и обратно.
Теорема 27. Необходимым и достаточным условием того,
чтобы R-модуль М был вполне приводимым и имел конечную дли-
длину, является то, чтобы он был суммой конечного числа простых
подмодулей. Если это так, то М будет в действительности прямой
суммой простых подмодулей, прямые слагаемые определяются одно-
однозначно с точностью до R-изоморфизма, и их число равно 1{М).
Доказательство. Мы рассматриваем @) как прямую
сумму пустой совокупности подмодулей.
Предположим сначала, что М вполне приводим и имеет конечную
длину, т. е. что М удовлетворяет обоим условиям обрыва. Мы утвер-
утверждаем, что каждый подмодуль модуля М является прямой суммой
простых подмодулей. В самом деле, если это не так, то пусть N
будет одним из минимальных элементов во множестве подмодулей,
которые не удовлетворяют этому условию. Мы знаем, что N Ф @)
и не может также сам быть простым. Итак, Л' содержит такой под-
подмодуль N', что @) < Л'' < N. Так как М вполне приводим, то
таким же будет и N. Следовательно, существует такой подмодуль
N", что
А"@ЛГ=Л/. A4)
Так как @) < N', то Л"' < N. Так как N' и Л^" являются собствен-
собственными подмодулями модуля N, то из свойства минимальности N

§ 12. Прямые суммы 197
следует, что N' и N" оба будут прямыми суммами конечного числа
простых подмодулей. В таком случае A4) означает, что N тоже
будет такой прямой суммой, откуда получаем противоречие. Сле-
Следовательно, каждый подмодуль модуля М является прямой суммой
простых подмодулей, что и утверждалось.
Предположим теперь, что
М=М1+...+Мг, A5)
где каждый Мг прост. Мы покажем сначала, что М вполне приво-
приводим. Пусть N — произвольный собственный подмодуль модуля М,
и пусть Мг1 — первый из модулей Мг, . .., Мт, который не содер-
содержится в N. Так как Mix прост, то NflM^ = @), так что сумма
N + Мгх прямая. Если ./V ® М^ = М, то М\х является дополне-
дополнением N; в противном случае пусть М\% будет первым из Мг, не со-
содержащимся в N @ МгГ Тогда, как и выше, получаем, что сумма
(N @ М1г) + М1г будет прямой. Продолжая этот процесс, мы полу-
получим такие целые числа iu ... ,ia, что
N®Mh@Mi2@... @Mis = M.
Таким образом, N имеет дополнение, а следовательно, М вполне
приводим. Кроме того, мы показали, что N имеет дополнение,
которое является прямой суммой некоторых Mt, входящих в A5).
В частности, @) имеет такое дополнение, так что
@... @Nt,
где Nj — некоторые из Mt. Таким образом, М является прямой
суммой простых подмодулей и / (М) — t, так как l(N}) равно 1.
Остается показать, что Nj определяется однозначно с точно-
точностью до ^-изоморфизма. Мы утверждаем, что М = Nt@ N2 ©...
. . .®Nt > N2@ ... ®Nt >... > Nt > @) является композицион-
композиционным рядом. В самом деле, он, несомненно, является нормальным
рядом, и /-й нормальный фактор равен
что 7?-изоморфно N у Так как каждое JV;- просто, то написанный
выше ряд действительно будет композиционным. Кроме того, было
показано, что Nj изоморфны композиционным факторам, которые
по теореме Гёльдера (теорема 22 § 11) определяются однозначно
с точностью до R-изоморфизма.
Мы приведем теперь теорему разложения для модулей, которые
не обязательно вполне приводимы.
Определение. R-модуль называется неразложимым,
если он не является прямой суммой каких-либо двух собственных
подмодулей.

198 Гл. III. Идеалы и модули
Например, аддитивная группа целых чисел неразложима.
Отличный от 0 модуль, одновременно неразложимый и вполне
приводимый, очевидным образом будет простым.
Теорема 28. R-модуль М, удовлетворяющий условию обрыва
убывающих цепей, является прямой суммой конечного числа нераз-
неразложимых подмодулей.
Доказательство. Мы докажем, что каждый подмодуль
будет такой прямой суммой. Если это не так, то пусть N будет ми-
минимальным во множестве всех подмодулей, не являющихся суммами
такого типа. Тогда N ф @) и .V не может быть неразложимым, т. е.
N = N' 0 N". Доказательство завершается теперь, как первая
часть доказательства теоремы 27.
При помощи понятия прямой суммы мы можем не только раскла-
раскладывать модули на более простые, но и строить большие модули
из маленьких.
Теорема 29. Пусть М[, ..., М'г — некоторые модули над
кольцом R. Тогда существует модуль М, являющийся прямой сум-
суммой подмодулей М1г ..., Мг, таких, что Мг R-изоморфен М{. Кроме
того, М определяется однозначно с точностью до R-изоморфизма.
Доказательство. Однозначность вытекает из следствия
теоремы 23. Для доказательства существования определим М как
совокупность всех упорядоченных я-строк
х = (х1, x.z, . . ., xr), XiZM'i.
Если у — (у и у г, •¦¦ ,уТ) — другой элемент множества М и а б R, то
определим
ах — (aXj, ах.2, .. ., ахт).
Ясно, что тогда М становится 7?-модулем. Мы определяем М{ как
совокупность всех таких (хь ..., хп), что Xj = 0 для / Ф i. Оче-
Очевидно, что
и что
будет R-изоморфизмом модуля М[ на Мг.
На основе результатов этого параграфа мы можем очень быстро
получить элементарные свойства векторных пространств. В § 1
мы отмечали, что векторное пространство М над полем F является
унитарным F-модулем. Подмодули М будут в этом случае его под-

§ 12. Прямые суммы 199
пространствами. Если N—подпространство пространства М
и N Ф @), то порядком N (как определено в § 6) будет @); эквива-
эквивалентным утверждением является, что если ах == 0 (где а ? F
и х 6 М), то либо а = 0, либо х = 0. Если TV является простым
векторным пространством, т. е. если N не имеет собственных под-
подпространств, то для любого х ? N, х Ф 0, должно быть Fx = N.
Обратно, если х Ф 0 лежит в векторном пространстве, to Fx будет
простым подпространством.
Пусть xit ..., хТ — элементы пространства М. Напомним, что
они называются линейно независимыми над F, если соотношение
означает, что а4 = ... =аг = 0, и что они образуют (конечный)
базис пространства М, если они линейно независимы и каждый
элемент из М имеет вид 2 аЛ > ai^P1)- Эквивалентной формули-
формулировкой этих определений в нашей терминологии будет следующая:
элементы хи .. ., хт линейно независимы в том и только том случае,
когда каждый хг отличен от 0 и подпространства Fxi, ..., Fxr неза-
независимы (в смысле определения 1, данного в начале этого параграфа);
они образуют конечный базис для М в том и только том случае,
когда каждый хг отличен от 0 и
M = Fx1@...@FxT.
Как мы отмечали выше, каждое Fx% просто, а следовательно,
длины 1, так что если xt, ..., хт образуют базис М, то / (М) = г.
Таким образом, число базисных элементов всегда одно и то же.
В обычной теории векторных пространств это число называется
размерностью векторного пространства; мы, таким образом, дока-
доказали, что размерность совпадает с длиной.
Из того, что было сказано, и из теоремы 27 следует, что век-
векторное пространство с конечным базисом удовлетворяет обоим
условиям обрыва и вполне приводимо. Рассмотрим теперь следую-
следующие четыре свойства векторных пространств:
(а) существование конечного (векторного) базиса;
(б) конечная длина;
(в) условие обрыва возрастающих цепей;
(г) условие обрыва убывающих цепей.
Мы утверждаем, что все они эквивалентны. В самом деле, мы толь-
только что доказали, что из (а) следует (б), а из (б), конечно, вытекают (в)
х) Следует заметить, что в то время как любой базис векторного про-
пространства М будет также модульным базисом М над F, обратное неверно,
потому что дополнительное условие линейной независимости, которое мы
наложили на элементы векторного базиса, не обязательно выполняется.

200 Гл. III. Идеалы и модули
и (г). Чтобы показать, что (в) влечет за собой (а), отметим, что (в)
означает, во всяком случае, существование в М конечного модуль-
модульного базиса над F, Так как каждый главный модуль Fx является
в данном случае простым модулем, то М будет конечной суммой
простых модулей. Следовательно, в силу теоремы 27, М является
конечной прямой суммой простых модулей, т. е. выполняется (а).
Мы докажем теперь, что из (г) следует (в), т. е. что из у. о. у. ц. сле-
следует у. о. в. ц. А именно, если у. о. в. ц. не выполняется, то оче-
очевидно, что будет существовать бесконечная последовательность
векторов
в М, такая, что каждое конечное подмножество линейно независимо.
Если мы определим Mi как совокупность всех конечных линей- *
ных комбинаций
jj, a,, 6 F, j> i,
а в остальном / произвольно, то ясно, что
М1 > М2 > М3 > . . .
и нарушается у. о. у. ц. Таким образом, мы доказали эквивалент-
эквивалентность (а) и (г), так что в векторном пространстве каждое из усло-
условий обрыва влечет другое и, следовательно, также конечность раз-
размерности и полную приводимость.
В § 3 мы определили линейное преобразование одного вектор-
векторного пространства в другое как F-гомоморфизм одного в другое.
Если х и у — вектора в двух векторных пространствах и х Ф 0,
то отображение
ах —> ay (a ? F)
очевидным образом будет линейным преобразованием Fx на Fy.
Из этого замечания и теоремы 23 следует, что если дгь . .., хп обра-
образуют базис для пространства М и если yit ..., уп — элементы про-
пространства L, то существует одно и только одно линейное преобра-
преобразование М в L, для которого х{Г = yv i = 1, ..., п.
Мы увидим различные другие примеры, когда свойства вектор-
векторных пространств могут быть выведены из теорем о модулях.
§ 12'. Бесконечные прямые суммы. Пусть А — произвольное
(конечное или бесконечное) множество элементов и (р — некоторое
отображение множества А во множество, элементами которого
являются группы. Для любого элемента а из А мы будем обозна-
обозначать через Ga группу <р(а). В таком случае мы скажем, что имеется
множество групп {Ga}, которое занумеровано множеством А. Мы
не предполагаем, что ф унивалентно; поэтому для двух различных
индексов а и b вполне может случиться, что Ga = Gb.

§ 12'. Бесконечные прямые суммы 201
Теоретико-множественным произведением множества групп {Ga},
занумерованных множеством А, будет, по определению, множество
всех функций / на А, таких, что для любого элемента а множества А
значение f (а) функции / является элементом ха группы Ga. Мы будем
отождествлять любую такую функцию / с «вектором» х = {ха},
где а меняется в Л, и называть ха компонентой х в Ga (термин «век-
«вектор» используется здесь в более широком смысле, чем это было
в гл. I, § 21). Теоретико-множественное произведение групп Ga
можно поэтому представлять как множество всех векторов
Ю-
Групповая структура грунп Ga позволяет нам следующим обра-
образом определить умножение в теоретико-множественном произведе-
произведении групп Ga: если х = {ха} и у = {уа}, то xt/ = {хауа}
(ха> Уа € Ga). В этом случае немедленно убеждаемся в том, что
теоретико-множественное произведение групп Ga становится груп-
группой. Эта группа будет обозначаться через Ц Ga и называться
а?А
полным прямым произведением групп Ga. Единицей полного пря-
прямого произведения является вектор {еа}, где еа — единица группы
Ga, а обратным к любому элементу \ха} будет элемент {хп1}.
Следующие утверждения получаются непосредственно, и их
доказательства могут быть предоставлены читателю.
A) Если {На} — такое множество групп, занумерованных
множеством А, что для каждого а группа На является подгруппой
группы Ga, то полное прямое произведение групп На будет под-
подгруппой полного прямого произведения групп Ga, и оно будет
нормальным делителем, если каждое На является нормальным дели-
делителем в Ga.
B) Если В — некоторое подмножество А я С обозначает допол-
дополнение В в А, то полное прямое произведение \\ Gb изоморфно
нормальному делителю [] На группы [] Ga, где Ha — Ga при а?В
а?А а?А
и н* = (О ПРИ а 6 С.
Если каждое Ga является коммутативной группой, то полное
прямое произведение групп Ga тоже будет коммутативно. В этом
случае, если для групповой операции в каждом Ga принято адди-
аддитивное обозначение, то же самое обозначение будет использоваться
для полного прямого произведения групп Ga и последнее будет
упоминаться как полная прямая сумма групп Ga и обозначаться
через 2 Ga.
а?А,
Если все Ga являются модулями над одним и тем же кольцом
R, то полная прямая сумма групп Ga может быть превращена в ^-мо-
^-модуль при помощи равенства а-{ха] = {а-ха} (а ? R, xa?Ga).

202 Гл. III. Идеалы и модули
Если каждоеGa является модулем над кольцом ,Ra, которое зависит
от« (так что множество колец {Ra} само занумеровано множеством
А), то полная прямая сумма групп Ga может быть превращена
в модуль над полной прямой суммой колец Ra при помощи
равенства {иа}- {ха} = {иа-ха} (ua?Ra, xa б Ga). При этом
подразумевается, что полная прямая сумма колец Ra рассматри-
рассматривается как кольцо согласно следующему определению умножения:
КУЮ = {uavj.
Мы редко будем иметь случай использовать полные прямые про-
произведения и полные прямые суммы. Более важным для наших целей
будет понятие слабого прямого произведения, или просто прямого
произведения (или прямой суммы в коммутативном случае). Мы пере-
переходим к его определению.
Пусть G — группа и {Ga} — некоторое множество подгрупп
группы G, занумерованных множеством А. Назовем G слабым пря-
прямым произведением подгрупп Ga, если выполняются следующие
условия: (а) для афЬ каждый элемент из Ga коммутируете каж-
каждым элементом из Gb; (б) для каждого элемента х группы G сущест-
существует один и только один элемент {ха} полного прямого произведе-
произведения групп Go, такой, что ха = еа для всех а в А, за исключением
конечного числа индексов аи а2, . ¦¦¦, ап, и х = хахха% ... ха„. Эле-
Элемент ха называется в этом случае компонентой элемента х в группе
Ga. Мы пишем G = [] Ga для обозначения того, что G является
а?А
слабым прямым произведением подгрупп G,,. Мы, как правило,
будем опускать слово «слабый» и говорить о G просто как q прямом
произведении подгрупп Ga. В аддитивном (коммутативном) случае
мы будем использовать термин слабая прямая сумма (или, просто,
прямая сумма).
Доказательства следующих утверждений непосредственны и мо-
могут быть предоставлены читателю.
1) Если G является прямым произведением подгрупп Ga, то G
изоморфно некоторой подгруппе полного прямого произведения
групп Ga, отличной от f| Ga, если А —бесконечное множество.
а?А
Упомянутый изоморфизм получается, если каждому элементу х
группы G сопоставить элемент {ха} из j[ Ga, где ха — компонента
а?А
элемента х в Ga. *
2) Если G является прямым произведением подгрупп Ga и если
G^ обозначает подгруппу группы G, порожденную подгруппами
Gb, b фа, то
(а) каждая Ga будет нормальным делителем в G;
(б) G порождается группами Go;
. (в) Ga (~| Go = (е), где е — единица группы G.

§ 13. Ко максимальные идеалы и прямые суммы идеалов 203
3) Обратно, если {Ga} является множеством подгрупп группы G,
удовлетворяющих условиям (а), (б) и (в), то G будет прямым про-
произведением групп Ga.
4) Пусть {Go} — множество групп, занумерованных множест-
множеством А, и Я—подгруппа в \\ Ga, состоящая из таких элементов
{ха}, что ха = еа для всех а в А, за исключением конечного числа
индексов. Пусть Яо — подгруппа группы Я, состоящая из таких
элементов {хь}, что хь = еъ для b ф а. Тогда На и Ga являются
изоморфными группами и Я будет прямым произведением групп На.
В случае 7?-модулей Ga группа Я, определенная в 4), как легко
видеть, будет подмодулем полной прямой суммы модулей Ga.
Сразу же видно, что в случае групп (или модулей), занумеро-
занумерованных конечным множеством, наши теперешние определения
совпадают с теми, которые были даны в предыдущем параграфе.
§ 13. Комаксимальные идеалы и прямые суммы идеалов. Мы
применим теперь результаты § 12 к теории колец. Пусть R будет
произвольным кольцом. Если мы рассматриваем R как Я-модуль,
то применимы определения § 12 и имеет смысл говорить о прямых
суммах подмодулей R, т. е. идеалов кольца R. Ввиду его важности
мы отдельно даем определение для этого частного случая.
Определение 1. Кольцо R представляется в виде прямой
суммы идеалов Ru Ri, ..., R^, если
(а) Я = Яг + #2+...+Яп,
(б) R.f](R1+...+R._l + Rul+...+Rn) = @), i = l, ...,л.
Мы пишем, как и прежде,
Я = Я1©Я2©---©Яп- A)
Отметим, что, когда выполняется A), идеалы взаимно аннули-
аннулируют друг друга, т. е.
#i#, = @) для 1ф\.
Это следует из того, что R^j С^П Rj = (°) при i ф ]'¦ Как
результат этого, идеал из #4 (Ri рассматривается как кольцо) будет
также идеалом в R.
Чтобы использовать кольцевую структуру R, мы должны нало-
наложить на него некоторое ограничение. Поэтому в оставшейся части
этого параграфа мы предположим, что R имеет единичный элемент,
который, как обычно, обозначается 1.
Т е о р е м а 30. Пусть R —кольцо с единицей и Ru R2, ..., Rn —
некоторые подкольца в R, такие, что
R = Rl + Ri+...+Rn, ДгЯ, = @) для 1Ф\. B)

204 Гл. Ill. Идеалы и модули
Тогда каждое Rt является идеалом и сумма B) прямая. Все элементы
из Ri являются делителями нуля, если только не выполняется ра-
равенство Rj = @) для всех / ф i. Еслиаг, bi 6 Ri для i = 1, 2, ...,«,
то
..+ bn) = (a1+b1)+ ...+ (an+ bn), „
...+bn) = a1b1+...+anbn. K '
Существуют однозначно определенные элементы еи такие, что
l=ei+...+en, e^Rt, D)
и отсюда следует, что
е\ = еи eiej = 0 для 1ф\, Ri = Rei, E)
и что ei является единицей в Ri.
Если 91 является идеалом в R, то существует разложение
91 = 91г+...+91П, «4-идеал в Rt; F)
это разложение единственно и на самом деле
814 = /?481. ¦ G)
Факторкольцо Rl% является прямой суммой колец, изоморфных
{как кольца) кольцам RJ'&i. Идеал 91 будет максимальным, или про-
простым, или примарным идеалом в том и только том случае, когда
все, кроме одного, из ЭД4 совпадают с соответствующим R{ и остав-
оставшийся 914 будет соответственно максимальным, простым или при-
примарным в Яг.
Доказательство. Из B) и того, что R{ является коль-
кольцом, следует, что RRt = R\ d .Ri, так что Rt — идеал. Если
с б Ru то, в силу B), Re = Ric; если также с ? R2 + ... -f- Rn,
то Re = Ric = 0, следовательно, с = 0. Таким образом,
и п — 1 других соотношений этого же рода вместе означают, что
сумма B) прямая. Равенство RiRj = @) показывает, что каждый
элемент из Rt будет делителем нуля, если не все Rj = @) для / Ф i.
Соотношения C) очевидны, так же как и существование однозначно
определенных еи удовлетворяющих D) и таких, что е4е;- = 0 для
i Ф]. Умножая D) на ei, получим е\ = ег. Если eg Rt, то D)
дает с = cei, а следовательно, также Ri = Ret.
Предположим, что 91 является идеалом в R. Если разложение F)
существует, то 7^91 = 7?г91г = 91^ откуда получаем G). Существова-
Существование разложения следует из равенства B), если умножить его на 91:
будет идеалом в Ru так как Ri (${Ш) = Rfu =

§ 13. Ко'максимальные идеалы и прямые суммы идеалов 205
Если Т — естественный гомоморфизм кольца R на кольцо
R/41, то легко доказать, что R/41 является прямой суммой идеалов
R,T и что RiT изоморфно R^i (ср. доказательство теоремы 24
из § 12).
Теперь последнее утверждение: предположим, что 21 примарен
в R, 21 ^R- Тогда не каждое R{T может быть @); пусть, например,
R{T Ф @). Так как никакая степень элемента е{Г не может быть
нулем, то он не может быть делителем нуля в R/'u (так как 21 при-
примарен); следовательно, RtT = @) для t> 1. Таким образом, если
Ш примарен, то R^T = 0 для i > 1, и в i?i/9t± (=RiT = RT) каждый
делитель нуля нильпотентен, так что 2Ii = i?.- для t> 1 и 2li при-
примарен в Rг, обратное очевидно. Аналогично (и даже более просто)
обстоит дело, если 21 прост или максимален.
Элемент е некоторого кольца, для которого е2 = е, называется
идемпошеншом; два идемпотента е и е называются ортогональными,
если ее = 0. Таким образом, прямому разложению кольца R мы
поставили в соответствие разложение
1 = е1 + ... + еп
единицы кольца R на ортогональные идемпотенты. Обратно, если
даны такие ортогональные идемпотенты, то легко видеть, что R
будет прямой суммой идеалов Reu ..., Ren.
Укажем, что если S — некоторое кольцо и 5 = 54ф. . .@Sn,
где Ri= 5t, то R ~ S (ср. доказательство теоремы 23 из § 12).
Также если R'v ..., Rn~ произвольные кольца, то существует
одно и (с точностью до изоморфизма) только одно кольцо R, кото-
которое является прямой суммой идеалов Rit изоморфных R\. Кольцо R
может быть определено (ср. теорему 29 из § 12) как множество всех
(аь ...,ап), a^R'i, причем сложение определяется очевидным
образом, а умножение — равенством
(alt ...,an) (blt ...,&„)=- («!&,, . . ., anbn).
Определение 2. Пусть R — кольцо с единицей. Некото-
Некоторое множество идеалов 21 ь . . ., 21„ в R называется попарно ко-
максимальным, если каждое 914 Ф R и
214 + %j = R
для 1ф]. Если п = 2, мы говорим просто, что %^ и 2Ь комакси-
мальны.
Определение, конечно, означает, что % ф'й) для i Ф]\ а также,
что ЩФ @). Это понятие позволяет нам дать нечто вроде дуального
по отношению к прямой сумме разложения и в более сильной форме,
чем в теореме 25 § 12.
Теорема 31. Пусть R — кольцо с единицей и 2li, . . ., 21„ —
идеалы в R. Идеалы. 21 * попарно комаксимальны в том .и только том

206 Гл. III. Идеалы и модули
случае, когда такими будут их радикалы. Если некоторый идеал
95 комаксимален с каждым ЭД 4, то он будет комаксимален с 211 П .. .
... ГрЯя и с 2li... ЭД„. ?аи 91Ь ..., 91„ попарно комаксимальны, то
811П...ПЯп = 811...81п; (8)
/сроже того, если Ь1( ..., Ьп —некоторые элементы из R, то суще-
существует такой элемент b в R, что
Ь = Ьг{Щ, »=1,...,п. (9)
Доказательство. Если %.i и 912 комаксимальны, то оче-
очевидно, что Y^-i и 1^21 г будут комаксимальны. Обратно, предполо-
предположим, что l/2ti+y'912 = -R- Тогда по формулам относительно ради-
радикалов (теорема 9 из § 7, стр. 172)
так как лишь R имеет R в качестве радикала (поскольку 1??!), то
9li + 9l2 = -R- (Или прямо: из i? = V"91i + "K2l2 мы получаем, что
1 = с4 + с2, q б |^91{, с?g9lt, ^ — целое число; так как в разло-
разложении по формуле бинома для 1 = (cj + с2ук~1 каждый член
имеет множитель с\с\, где i > k или / > k и, следовательно, лежит
в Sit или 912, то отсюда вытекает, что 1 ? 'ЙЭД)
Если Ъ комаксимален с каждым 214, то
п
Чтобы доказать, что 95 комаксимален с IJ^i> a следовательно,
1
п
a fortiori и с (~) 91» , отметим, что
1
Здесь мы использовали факт, что умножение идеалов дистрибутивно
относительно сложения [ср. § 7, соотношение B)].
Предположим, что 214 попарно комаксимальны. Если п = 2, то
(% п ад = («!+ад («! п я 2) = aii № п ад +
«! п ад с= «
Предположив, что (8) верно для п — 1 множителей, и заметив,,
что ЭД„ комаксимально с 3ltfl... fl^n-i, мы получим, что

§ 13. Комаксимальные идеалы и прямые суммы идеалов 207
Предположим дополнительно, что заданы элементы Ъг. Если л = 2,
то 1 = а4 + а2, аг ? Уч, так что
Если положить Ь = &ta2 + b2au то
6 = 6^81,). »=Ь 2-
Предполагая последнее утверждение теоремы верным для п — 1,
мы получим такой элемент Ь', что
), t= 1 л—1. A0)
Так как ЭД„ и 9lif~] • • • fl^U-i комаксимальны, то существует такой
элемент Ь, что
ft = b'(«in...n«»-1). & = *»(«»)¦. (И)
Из A0) и A1) следует, что Ь= ЬСШг), i=\, ...,n—\.
Последнее утверждение теоремы 31 является обобщением хорошо
известного факта о том, что если ти ..., тп — целые числа, попарно
взаимно простые, и bi, ... ^„ — произвольные целые числа, то
система сравнений
х = Ьг (mod ггц), i = 1, ..., п,
имеет решение.
Теорема 32. Пусть R — кольцо с единицей. Пусть 21Ь ...
..., 91П — такие идеалы, что
(О) = «Г1П...П«П, Щ + ^ = Я для1Ф\. A2)
Если положить
то
R = ?i© • • • © Яп. #i = Я/Sli, (И)
Я? = Я1+...+Я|_1 + Я1+1+...+/?„. A5)
Обратно, если R является прямой суммой идеалов Ru ..., Rn и если
мыопределим ЭД4 посредством A5), то соотношения A2) и A3) будут
верны.
Доказательство. Предположим, что даны Щ, удовлет-
удовлетворяющие A2). Из предыдущей теоремы следует, что t&i+ f] k^ — R,
так что можно применить вторую часть теоремы 25 (§ 12) для полу-
получения первой части A4), а также A5); здесь Шг играют роль N{.
Ввиду A4),

208 Гл. III. Идеалы и модула
Отображение a—>aei очевидным образом является гомоморфизмом
кольца R Hai?i, и элементы кольца^ на самом деле не изменяются
при этом отображении. Ядро состоит из тех а, для которых aet =
п
= 0, т. е. а= У!ае*> следовательно, ядром будет %1 и /?i = i?/3li.
Аналогично ^ ^ i?/2l{ для t == 2, ..., п.
Если 7? является прямой суммой идеалов i?t и ЭД4 определены
посредством A5), то мы применяем первую часть теоремы 25, заме-
заменяя Мг идеалами Яг. Тогда отсюда следует A3) и первая часть A2).
Из A5) и A4) вытекает, что R = .Rj + SKi и, значит, a fortiori
I? = 21, +li Для / фг.
§ 14. Тензорные произведения колец. Все кольца, рассматри-
рассматриваемые в этом параграфе, предполагаются содержащими некоторое
данное поле k в качестве подкольца. Кроме того, предполагается,
что элемент 1 поля k является также единичным элементом каждого
из колец. Мы будем иногда говорить о наших кольцах как об алгеб-
алгебрах над k.
Если А и В — подкольца кольца С, то через [А, В ] обозначается
наименьшее подкольцо кольца С, которое содержит оба кольца
А и В.
Пусть А и В будут двумя данными алгебрами над k.
Определение 1. Под произведением колец А и В {над k)
мы понимаем составной объект (С, ф, i|?), состоящий из алгебры С
над k, k-изоморфизма ср кольца А в С и k-изоморфизма "ф кольца В
в С, таких, что С = [Л<р, ]
Определение 2. Два произведения (С, ф, -ф) и (С, ф', \р')
колец А и В называются эквивалентными, если существует такой
изоморфизм f алгебры С на С, что ф' = ф/ на А и т|/ = г|>/ на 5.
Ясно, что это отношение эквивалентности рефлексивно, симмет-
симметрично и транзитивно и что, таким образом, мы можем говорить
о классах эквивалентности произведений колец А и В. Ясно также,
что если вообще отмеченный выше изоморфизм / существует, то он
определяется однозначно, потому что С порождается Ац> и Bi\\
и должны выполняться равенства / = ф"гф' на Лф и / = tir1^'
на Bty.
Определение 3. Произведение (С, (f, of) колед Л и В
называется тензорным произведением колец А и В (над k), если
кольца Ац> и В\[) линейно свободны над k (см. гл. II, § 15).
Теорема 33. Существуют тензорные произведения колец Аи В.
Доказательство. Пусть {ха} — векторный базис кольца А
над k и {ур} — векторный базис В над k. Рассмотрим множество

§ 14. Тензорные произведения колец 209
всех упорядоченных пар (ха, у$) и множество С всех формальных
конечных сумм 2сар(*а, у$) с коэффициентами сар из k. Тогда С
будет, естественно, векторным пространством над k, причем мно-
множество всех упорядоченных пар (ха, г/р) (т. е. теоретико-множест-
теоретико-множественное произведение двух базисов {ха} и {у&} кольца А над k
и кольца В над k соответственно) будет векторным базисом С над k.
Нам удобно использовать следующее обозначение: если х = 2 ааха
и (/= 2 ^pf/p — некоторые элементы колец А я В соответственно
(аа, bpgfe), то *ог/ будет обозначать элемент 22 аа^3 (Ха'#р)
векторного пространства С. В частности, ха°ур=; (ха, у$). Ясно,
что хо(/ = 0 в том и только том случае, когда х = 0 или у = 0.
Следующие соотношения очевидны:
у (х,х'еА;уеВ), A)
(хбЛ;у'€В), B)
с{хоу) — схоу = хосу [х?А; у?В; c?k). C)
Мы теперь определим умножение в С. Достаточно будет определить
произведения (ха о у р) • (ху о уь) любых двух базисных элементов
из С, потому что тогда произведение любых двух элементов из С
определится по линейности, т. е. требованием, чтобы умножение бы-
было ДИСТрИбуТИВНО И ЧТОбЫ С (Ха о 1/р) • d (Ху о уь) = cd ((Xa °Уц) (Ху о г/5)).
Мы полагаем
(Ха ° Уf,) ¦ (Ху ° Уь) = ХаХу о у^у6. D)
Очевидно, что умножение, определенное таким образом, коммута-
коммутативно и дистрибутивно. Для проверки закона ассоциативности
необходимо лишь убедиться в справедливости следующих соотно-
соотношений
Эти соотношения вытекают, однако, из законов ассоциативности в А
и в В, потому что сразу же видно, что обе части в соотношении E)
равны хаХуХа' °у$уьу?,'. Отметим, что данное выше определение
означает [ввиду A)— C)], что справедливо равенство (хо у)- (х' °у') —
= хх о уу' для любых элементов х, х кольца А и любых элементов у,
у' кольца В.
Отображение <р : а —>а о 1, а ? А, очевидно, является гомомор-
гомоморфизмом кольца Л в С [заметим, что аа о 1 = (а о 1) (а'о 1)для любых
двух элементов а и а' в Л]. Так как aol^O при афО, то ф будет
изоморфизмом. Подобно этому, отображение ty : b—>\ob, b? В,
будет изоморфизмом кольца В в С. Два отображения ф и "ф совпа-
совпадают на k, потому что если с ? k, то с° 1 =с A о 1) = 1 о с. Мы
будем отождествлять с с со\ для любого с в k. Тогда (С, ф, гр)
14 Заказ № 617

210 Гл. III. Идеалы и модули
становится произведением колец А и В над k в смысле определе-
определения 1, так как (ха°#|з) — (*а° 1) 0°#р) и> следовательно, С =
= L4cp, 5i|5]. Два подкольца Л' = ЛфиВ' = 5i|5 кольца С являются
алгебрами над k и ^-изоморфны А и В соответственно.
Мы докажем теперь, что А' и В' линейно свободны над k. Элемен-
Элементы ха° 1 образуют базис А' над & и, подобно этому, элементы 1 ° z/p
образуют базис В' над Л. Поскольку (xa° 1) 0 °#р) = *а°#Р> то
произведения (ха° 1) A° f/p) линейно независимы над k. Линейная
свобода колец А' и В' следует теперь из гл. II, § 15 (лемма 1).
На этом доказательство теоремы завершается.
Теорема 34 (Универсальное свойство тензорных произведе-
произведений при отображениях). Для того чтобы произведение (С, <р, г|>)
колец А и В (над k) было тензорным произведение этих колец, необ-
необходимо и достаточно, чтобы для любых двух данных k-гомоморфиз-
мов gun колец А и В соответственно в кольцо R существовал такой
гомоморфизм f кольца С в R, что f = qT1 g на Ац> и f = ty~lh на Bty.
Доказательство. Каждый элемент | кольца С имеет
представление вида ? = 2 Ф (ai)'vl'(^i)> ГДе а% б А и Ьг^В. Мы
полагаем/ (?) = 2 § (ai) h iPd- Тогда / будет преобразованием кольца
г
С в R (возможно, неоднозначным), которое удовлетворяет следую-
следующим двум условиям: а) для любого | в С множество / (?) непусто;
б) если «?/(?) и v ? / (п), то и -{• v € / (g + л) и ww g / (|ti). Из леммы 2
гл. I, § 11, следует, что / будет однозначным (а следовательно,
является гомоморфизмом), если только множество / @) содержит
лишь нуль кольца JR. Мы покажем сейчас, что это последнее условие
действительно удовлетворяется, если (С, ф, г|з) будет тензорным
произведением колец А и В. Это и будет доказывать необходимость
условия теоремы, так как / = ф^ на Лф и / = \\>~yh на Bty.
Пусть 0 = 2 ф (а4) "ф (bt) — выражение нуля в С. Фиксируем
некоторый базис {ха} векторного пространства 2 &ч(над k) и неко-
некоторый базис {i/p} векторного пространства ^kb{ и выразим эле-
элементы а-х и &{ через эти базисные элементы: а{ = 2c»a^a. bt =
а
2 Из написанного выражения для 0 и из линей-
2 рр
а
ной свободы колец Лф и Втр над k следует, что
2^0^C = 0 для всех а и р. F)
Мы имеем равенства g (аг) = ^ ciag (ха) и h (Ьг) = 2 д.ф (г/р).
a 3
Следовательно, 2ff fe) Л F4) = 2 B Сг<Др)?(*а (А)«/р), что будет
i 3 i
a,

§ 14. Тензорные произведения колец 211
нулем, в силу F). Это завершает доказательство необходимости
условия теоремы.
Обратно, предположим, что произведение (С, <р, г|>) удовлетво-
удовлетворяет условию, сформулированному в теореме. Фиксируем некото-
некоторое тензорное произведение (С, ф', г|/) колец Л и В и покажем, что
два произведения (С, <р, -ф) и (С, <р', -ф') будут эквивалентны. Это
завершит доказательство теоремы.
По предположению, существует такой гомоморфизм / кольца С
в С, что / = фф' на Лф и / = "ф^' на В"ф. Так как С' является
тензорным произведением, то из первой части доказательства сле-
следует, что существует также такой гомоморфизм /' кольца С в С,
что /' = ф' ф на Лф' и /' = -ф'^ на B-ф'. Тогда //' будет гомомор-
гомоморфизмом кольца С в себя, который тождествен одновременно на Лф
и на Bt|). Так как С = [Лф, Вгр], то отсюда следует, что //' тождест-
тождествен на С. Аналогично /'/ тождествен на С. Следовательно, /
является изоморфизмом кольца С на С, и так как / = Ф-1ф' на Лф
и / = -ф'Ч}/ на B-ф, то два произведения (С, ф,г|з) и (С, ф', V) экви-
эквивалентны, как и утверждалось.
Следствие 1. Любые два тензорных произведения колец А
и В эквивалентны.
Это было получено во второй части доказательства теоремы.
Следствие 2. Если данное произведение (С, ф, т|>) колец
А и В допускает гомоморфизм f в тензорное произведение (С, ф',
г|/) колец А и В, такой, что f = ф^ф' на Лф и f — ijTM}/ на В-ф, то
(С, ф, *ф) гало будет тензорным произведением колец А и В и f
является изоморфизмом кольца С на С.
Это также было получено во второй части доказательства теоремы.
Мы введем теперь некоторую каноническую модель для тензор-
тензорного произведения-двух колец Л и В, конструкция которой по су-
существу связана с этими кольцами (конструкция в доказательстве
теоремы 33 использует базисы колец Л и В и поэтому связана
не только с их внутренними свойствами).
Рассмотрим теоретико-множественное произведение Л X В, т. е.
множество всех упорядоченных пар (а, Ь), а ? A, b ? В. Обозна-
Обозначим через М совокупность всех формальных конечных линейных
комбинаций 2 е! (ai, t>i) элементов из Л X В с коэффициентами ci
из k. Мы превращаем М в векторное пространство над k, взяв Л X В
в качестве базиса и определив сложение и умножение на скаляр
очевидным образом:
14*

212 Гл. III. Идеалы и модули
где ci, di и d — элементы поля k. Мы введем теперь в М умножение,
определив его сначала для любых двух элементов (а, Ь) и (а', Ь')
из Л X В следующим образом:
(a, b){a',b') = {aa',bb')
и затем продолжив по линейности на всем М. Сразу же видно, что
при таком определении умножения М становится алгеброй над k
(однако заметим, что поле k не содержится в М).
Пусть 31 обозначает идеал, порожденный в М всеми элементами
следующего вида:
(а + а1, Ь)-(а, Ь)-(а', Ь), (ш, Ь)-с(а, Ь), 1
{а,Ь + Ь')-(а, Ь)-(а, Ь'), (а, сЬ)- с (а, Ь), } ( '
где а, а 6 А; Ь, У ? В; с ? k. Пусть Т — кольцо классов выче-
вычетов М/%1 и q — канонический гомоморфизм кольца М на Т. Для
любых двух элементов а из А и b из В обозначим через а ® 6
5^-вычет элемента (а, Ь). Наконец, мы через g обозначаем отобра-
отображение а -> а & 1 кольца Л в Г и через h — отображение b -> 1 ® 6
кольца В в Т. Сразу же видно, что? и h являются кольцевыми гомо-
гомоморфизмами. Мы имеем q (с (а, &)) = Q((ra, b)) = ca (g> b, и так как
каждый элемент кольца М является суммой членов вида с(а, Ъ),
где с из k, а из А и b из В, отсюда следует, что каждый элемент
из Т будет суммой элементов вида a (g> b. С другой стороны,
(а, Ь) = (а, 1) A, Ь), откуда а ® b= (a ?g) 1)A ® 6). Это показывает,
что каждый элемент кольца Т является конечной суммой произве-
произведений элементов а 0 1 кольца Ag и элементов 1 <Э b кольца Bh.
Другими словами,
T=[Ag,Bh). (8)
Фиксируем теперь некоторое тензорное произведение (С, <р, г|>)
колец А и В (над k). Отображение
будет кольцевым гомоморфизмом кольца М на С. Соотношения
<p(a + a')i}) (b) = ф (а)"ф (&) + ф(а'I}) (Ь) показывают, что элементы
кольца УИ вида (а + а', Ь) — (а, Ь) — (а, Ь) принадлежат
ядру о. Аналогично все элементы вида G) принадлежат ядру о,
т. е. ядро гомоморфизма а содержит ядро гомоморфизма Q. Следова-
Следовательно, о = от, где т — некоторый гомоморфизм кольца Т на С.
Для любого а из А мы имеем соотношения ф(а) = о((а, I)) =
= х(а ® 1) = (gt)(a). Так как ф — изоморфизм, отсюда следует,
что g — изоморфизм кольца А на Ag и что ограничение гомомор-
гомоморфизма т на Ag — это изоморфизм кольца Ag на Aw. Аналогично
получаем, что \р = hx на В, что h — изоморфизм В на Bh и что

§ 14. Тензорные произведения колец 213
ограничение т на Bh будет изоморфизмом кольца Bh на #ф. Заме-
Заметим, что g = h на k и что, следовательно, мы можем отождествить
любой элемент с поля k с соответствующим элементом g(c) = с <Э 1 =
= /г(с) = 1 ® с. При таком отождествлении g я h становятся
^-изоморфизмами колец А и В соответственно в Т. Следовательно,
в силу (8), Т является произведением колец А и В над k. Ввиду
существования гомоморфизма кольца Г в С со свойствами, описан-
описанными выше, отсюда вытекает, согласно следствию 2 теоремы 34,
что (Т, g, h) — тензорное произведение колец А и В. Это канонически
построенное тензорное произведение колец А и В будет обозначаться
через А ® В, или просто А ® В.
k
Легко проверяются следующие соотношения: А ® В ^ В <Э А,
(А <Э В) ® С ^ А <Э (В 0 С). Доказательства могут быть предо-
предоставлены читателю.
Во всех дальнейших рассуждениях мы будем рассматривать А
и В как подкольца тензорного произведения А ® В. Более точно,
мы отождествим каждый элемент а кольца А с соответствующим
элементом g(a) = а ® 1 и каждый элемент Ь кольца В с соответ-
соответствующим элементом 1 ® Ь. При таком отождествлении тензор-
тензорное произведение А ® В = (Т, g, К) будет иметь вид (Т, 1, 1),
где 1 обозначает одновременно тождественное отображение кольца А
и тождественное отображение кольца В.
В предыдущих рассмотрениях нулевое кольцо было исключено,
потому что мы всегда предполагали, что наши кольца содержат
элемент 1. Однако это не играет никакой роли в определении А <Э В,
и это кольцо, очевидно, будет нулевым, если либо А, либо В является
нулевым кольцом.
Примеры.
1) Если А — поле, то А ® В является кольцом, содержащим
поле А. Любой базис {у$} кольца В над k будет также базисом
A (g) В над А. В частности, k ?g) В = В.
2) EcnnA = klX](=klXl,Xz, ..., Xn])viB = k[Y]( = k[Yi, Y2,...
. .., Ym]) — полиномиальные кольца or n я т неизвестных соответ-
соответственно, то полиноминальное кольцо С = k[X, Y] от п + т неиз-
неизвестных порождается А я В, я ясно, что А я В линейно свободны
над k в С. Следовательно, k[X, Y] ^ k[X] (g) k[Y].
Аналогичный результат имеет место для полиномиальных колец
от бесконечного числа переменных.
Пусть 91 —некоторый идеал из Л и S3 — некоторый идеал из В.
Обозначим через (91, $8) наименьший идеал в А ® В, содержащий 91
и S3. Другими словами, (91, S3) является идеалом в А <Э В, кото-
который порождается элементами идеалов 91 и S3. Пусть а, р и h — кано-
канонические гомоморфизмы А на Л/91, В на В/Ч8 и А®В на Л®5/(91, ИЗ)
соответственно. Так как ядро ограничения гомоморфизма h

214 Гл. III. Идеалы и модули
на А содержит 21, то h = cup на А, где ф — некоторый &-гомоморфизм
кольца Л/21. Подобноэтому, h= |3яр на В, гдеяр — некоторый ^-гомо-
^-гомоморфизм кольца В/33. Кроме того, так как Л ® В порождается А
и В, то Л ® 5/(91, 33) порождается (Л/21) <р и (В/33) яр.
Теорема 35. Кольца Л/21 ® В/33 и (Л ® В)/B1, 33) являются
k-изоморфными. Более тсчно: гомоморфизмы ф и яр являются изомор-
изоморфизмами и ((A (gi fi)/B1, S3), ф, яр)— тензорное произведение колец
Л/21 и В/33.
Доказательство. Если либо 21, либо 33 — единичный
идеал, то оба кольца совпадают с нулевым кольцом. Мы поэтому
предположим, что 21 Ф А и 33 Ф В. При этом условии мы сначала
покажем, что B1, 33) П А = 31 и (Я, 33) П В = 33 и что, следова-
следовательно, ф и яр являются изоморфизмами. В силу теоремы 34, при-
примененной к кольцам С = А ® В и JR = Л/21 (g) В/33, существует
такой гомоморфизм g кольца Л ® В в Л/21 ?g> В/33, что g = а
на Л и ? = E на В. Ядро гомоморфизма g содержит 21 и 33, а значит,
и B1, 33). Поэтому Лр]B1, 33) С Л (~|Кег? = 21, что показывает,
что B1, 33)П^ = Я. Подобно этому, B1, 33)П^ = S3.
Так как ядро гомоморфизма g содержит B1, S3), то g = /г/, где
/ — некоторый гомоморфизм кольца Л ® В/B1, S3) в тензорное
произведение Л/21 (g) В/33- Так как g = а на Л, в то время как
А = аф на Л, то ф/ тождественно на Л/21, или — что эквивалентно —
/= ф на (Л/21) ф. Подобно этому, / = яр~х на (В/33) яр. В силу
следствия 2 теоремы 34, это завершает доказательство теоремы.
Мы приведем теперь некоторые результаты относительно дели-
делителей нуля в данных кольцах и их тензорных произведениях.
Во-первых, справедлив следующий результат:
Лемма. Если некоторый элемент а кольца А не является дели-
делителем нуля в А, то он не будет делителем нуля в A (g) В.
Доказательство получается сразу же. В самом деле, если а|=0,
где ? ? А <Э В, то мы можем записать % в виде % = 2аг^ь ГДе
г
ai лежат в Л и bt — элементы кольца В, которые линейно незави-
независимы над k {а следовательно, также над А). Из равенства ^ (aai)bi=0
вытекает тогда, что ааь — 0, ai — 0, а следовательно, \ = 0.
Следствие. Полное кольцо частных К кольца A <g> В содер-
содержит полные кольца частных колец А и В. Более точно: кольцо
частных для А в К является полным кольцом частных для А и ана-
аналогично для В. Кроме того, эти полные кольца частных колец А
и В будут линейно свободны над k (как подкольца К).
Каждый регулярный элемент кольца Л имеет обратный в К
(так как каждый регулярный элемент кольца Л будет также регу-
регулярным элементом кольца К, в силу леммы). Следовательно, мы

§ 14. Тензорные произведения колец 215
можем говорить о кольце частных кольца А в К, и это кольцо част-
частных будет полным кольцом частных для А (гл. I, § 19, следствие 3,
стр. 58). Если {btlb} — некоторое множество элементов кольца част-
частных кольца В (b, b{ 6 В, Ъ регулярен в В) и если эти элементы ли-
линейно независимы над k, то bi тоже будут линейно независимы
над k и, следовательно, также над А. Отсюда сразу же вытекает, что
частные b-Jb тоже будут линейно независимы над кольцом частных
кольца А.
Следующая теорема включает предыдущую лемму в качестве
частного случая.
Теорема 36. Пусть А' и В' — подкольца и подалгебры колец А
и В соответственно. Если ни один элемент кольца А', отличный
от нуля, не является делителем нуля в А и если также ни один
элемент кольца В', отличный от нуля, не является делителем нуля
в В, то каждый элемент кольца А' 0 В', являющийся делителем
нуля в А ® В, будет делителем нуля уже в А' (g> В''. (Заметим, что
A' (g) В' канонически отождествляется с подкольцом из А ® В.)
Доказательство. Пусть х — элемент кольца А' ® В',
который не является делителем нуля в А' ® В', и предположим,
что x'z = О для некоторого элемента z кольца А ® В. Запишем z
в виде z = 2ai^i> где аг?А и bt? В, и выберем из множества
i
{а{} максимальное подмножество {ит} элементов ит, которые
линейно независимы над А'. Подобным же образом мы выбираем
из множества {6J максимальное подмножество {vn} элементов vn,
которые линейно независимы над В'. Заметим, что из наших пред-
предположений следует, что А' я В' оба являются областями целост-
целостности. Следовательно, существуют элементы а' и р' в А' и В', оба
отличные от нуля, такие, что а'ах = ^а1тит, $'Ьг = 2 Hnvn,
т п
где aim принадлежат А' и Ь\п принадлежат В'. Поэтому мы имеем
следующие соотношения:
a'P'z= 2 {2a'imb'in)umvn (9)
0 = х'а'р'г= 2 {x' ^\a\mb{n)umvn. A0)
т, п х
Положим
Утп = X' 2 a'imb'i». A1)
i
Так как у'тп б [А', В'], мы можем записать эти элементы в виде
Утп= Zj CmnPQaP^9'
Р, 9

216 Гл. Ill. Идеалы и модули
где cmnpq лежат в k, а'р — элементы кольца А', которые линейно
независимы над k, и b'q —элементы кольца В', которые линейно
независимы над k. Из линейной независимости элементов vn над В'
и из линейной независимости элементов b'q над k легко следует,
что произведения bqvn (элементы кольца В) будут линейно неза-
независимы над k. Аналогично получаем, что произведения а'рит будут
линейно независимы над k. Поэтому линейная свобода колец А
и В над k означает, что произведения umvna'pb'g линейно независимы
над k. Далее, соотношения A0) — A2) дают равенство
Y. cmnvqumvna'vb'q = 0.
Следовательно, элементы cmnpq все будут нулями, а тогда все эле-
элементы утп тоже будут нулями. Так как х не является делителем
нуля в A' (g) В', то из A1) вытекает, что 2а1тЬг;,г = 0, а следова-
тельно, в силу соотношения (9), а'Р'г = 0. Так как 0 Ф а' ? А',
из предыдущей леммы вытекает, что а' не является делителем нуля
в A (g) В. Следовательно, P'z = O. Аналогично, так как 0ф$'?В',
получаем, что г = 0. Это показывает, что х не является дели-
делителем нуля в А® В, и завершает доказательство теоремы.
Следствие. Пусть К и К' — поля, содержащие k, и В —
некоторое трансцендентное множество в К {например, базис транс-
трансцендентности). Тогда в тензорном произведении К (g) К' элементы
k
множества В будут также алгебраически независимы над К',
каждый элемент полиномиального кольца К'[В], отличный от нуля,
будет регулярен в К <g) К', и полное кольцо частных кольца К <g) К'
h h
содержит тензорное произведение К® К'(В).
ЦБ)
Любое конечное множество различных одночленов х^х\1 . . .х%п,
xL ? Б, является множеством линейно независимых элементов
над k. Следовательно, эти одночлены будут также линейно незави-
независимы над К', что доказывает первое утверждение следствия. Коль-
Кольца k[B] и К' линейно свободны над k (в К <g) К) и порождают
h
К'IB]. Следовательно, К'[В] = k[B] 0 К'. Так как мы сейчас
всюду имеем дело с областями целостности, предыдущая теорема
показывает, что каждый ненулевой элемент полиномиального
кольца К'[В] будет регулярен в К <g> К'¦ Поэтому полное кольцо
k
частных кольца К <g) К' содержит поле К'(В). Мы утверж-
h
даем, что К и К'{В) линейно свободны над k{B). Так как К'{В)
является полем частных кольца k(B)-K' (это последнее кольцо
является кольцом частных кольца К'1В] относительно мультипли-
мультипликативной системы ненулевых элементов кольца k [Б]), то достаточно

§ 15. Свободные композиты областей целостности (или полей) 217
показать, что К и k(B)-K' будут линейно свободны над k(B). Это,
однако, сразу же вытекает из линейной свободы полей К и К' над k
и из того факта, что векторное пространство k(B)-K' над k(B)
имеет базис, состоящий из элементов поля К'. Элементы такого
базиса будут a fortiori линейно независимы над k и, следовательно,
также над К, и линейная свобода полей К и К'(В) над k(B) следует
теперь из леммы гл. II, § 15. Кольцо, порожденное К и К'(В)
в полном кольце частных кольца К ® К', будет поэтому изоморфно
К® К' (В).
§ 15. Свободные композиты областей целостности (или полей).
Нашей целью в этом параграфе будет применить понятие тензорных
произведений к определению, всех возможных способов, которыми
две абстрактные области целостности над k (или два поля над k)
могут быть свободно вложены (в смысле, который будет точно опре-
определен ниже) в некоторое большее поле. Мы приступаем к подготовке
основания для этого применения.
Пусть R и R' — области целостности, содержащие данное поле k
в качестве подполя.
Определение 1. Под свободным композитом двух обла-
областей целостности R!k и R'/k (относительно k) мы подразумеваем
составной объект (Q, т, т'), состоящий из области целостно-
целостности Q, содержащей k, k-изоморфизма х кольца R в Q и k-изомор-
физмах' кольца R'в Q, таких, что выполняются следующие усло-
условия: A) п = [Rx, R'x'); B) подкольца Rx и R'x' кольца Q свободны
над k (см. гл. II, § 16, определение 2).
Аналогичное определение можно дать для случая полей, а именно
следующим образом.
Определение 2. Под свободным композитом двух расши-
расширений K/k и К'Ik поля k мы подразумеваем составной объект (F,
х, х'), состоящий из поля F, содержащего k, k-изоморфизма х поля
К в F и k-изоморфизма х' поля К' в F, таких, что выполняются
следующие условия: A) F является композитом (Кх, К'х') двух полей
Кх, К'х', т. е. никакое собственное подполе поля F не содержит
обоих полей Кх и К'х'\ B) Кх и К'х;' свободны над k.
Заметим в случае полей К и К', что если условие A) определе-
определения 2 выполняется и если мы обозначим через S подкольцо
[Кх, К'х' ] поля F, то (F, х, х') будет свободным композитом полей К
и К' в том и только том случае, когда (S, х, т') является свободным
композитом областей целостности К, К' в смысле определения 1.
С другой стороны, если (Q, х, т') является свободным композитом
двух областей целостности Rlk и R'/k и если К, К' и F обозначают
поля частных колец R, R' и ?1 соответственно, то х и х' можно кано-

218 Гл. III. Идеалы и модули
нически продолжить до изоморфизмов Tj и х[ полей К я К' соответ-
соответственно в F, и в таком случае сразу же видно, что (F, ть т{) будет
свободным композитом полей К и К' над k. Таким образом, опре-
определения 1 и 2 по существу взаимозаменяемы. С точки зрения тен-
тензорных произведений более удобно использовать определение 1
свободного композита даже в случае полей K/k и К'Ik, несмотря
на то, что свободный композит в смысле определения 1 сам не обя-
обязательно будет полем.
Существование свободных композитов колец Rlk и R'/k можно
показать следующим образом.
Мы фиксируем базис трансцендентности В = {хг} кольца Rlk
и базис трансцендентности В' = {x'j} кольца R'lk. Рассмотрим
затем чисто трансцендентное расширение к({уг}, {у)}) поля k, где
уг и у) являются «неизвестными» и множества {уг} и {у)} имеют те же
самые кардинальные числа, что В и В'соответственно. Пусть 2 —
некоторое алгебраическое замыкание поля k ({r/J, {у]})- Существует
такой ^-изоморфизм т0 поля к({х{}) на к({уг}), что xix0 = yi. Так
как поле частных колец R является алгебраическим расширением
поля к({х{}) и 2 алгебраически замкнуто, т0 может быть продолжен
до изоморфизма т кольца R на некоторое подкольцо L поля 2
(см. гл. II, § 14, теорема 33). Аналогично существует изоморфизм т'
кольца R' на некоторое подкольцо L' поля 2, такой, что каждый
элемент поля k отображается в себя и каждый x'j отображается
в у). Пусть fi= [L, L']. Тогда сразу же видно, что (Q, т, т') будет
свободным композитом колец R и R'.
Пусть (Q, х, х') и (Q*, т*, т'*) — два свободных композита колец
Rlk и R'/k. Положим
L = Rx, L' = R'%';L* = R%*, L'* = R'x'*.
Тогда х~*х* — ^-изоморфизм кольца L на L* и, аналогично этому,
т'"Ч'* — ^-изоморфизм L' на L'*.
Определение 3. Два свободных композита (Q, т, т')
и (Q*, х*, т'*) колец Rlk и R'lk называются эквивалентными, если
существует k-изоморфизм я|з кольца Q наО.*, такой, что он совпадает
с х'Н* на Rx и с x'"V* на R'x'.
Заметим, что если существует изоморфизм я|з, удовлетворяющий
приведенным условиям, то он определяется однозначно, потому что
Q порождается Rx и R'x'.
Чтобы найти все классы эквивалентности свободных композитов
колец Rlk и R'/k, рассмотрим тензорное произведение R (g) R'.
Так как при изучении свободных композитов колец Rlk и R'lk
допустимо заменять эти кольца произвольными ^-изоморфными
кольцами, мы отождествляем R и R' с соответствующими подколь-
цами кольца R ® R'. Поэтому мы теперь имеем R ® R' — [R, R'],
и R, R' линейно свободны над k.

§ 15. Свободные композиты областей целостности (или полей) 219
Пусть (Й, т, т') — некоторый свободный композит колец
Rlk и R'/k. В силу теоремы 34 (§ 14), существует такой гомомор-
"физм / кольца R (g) R' в Q, что / = т на R и / = т/ на 7?'. Так
как Й = [7?т, R'x'], то / является отображением кольца R ® /?'
на fi и однозначно определяется приведенными условиями. Мы будем
называть / каноническим гомоморфизмом кольца R ® R' на (Q,
т, т').
Теорема 37. Ядро канонического гомоморфизма f кольца
R ® R' на некоторый свободный композит (Q, х, х') колец R и R'
над k является простым идеалом $, все элементы которого — делите-
делители нуля в R ® R'. Если /i — канонический гомоморфизм кольца
R ® R' на другой свободный композит (Qlt т4, х'г) колец R и R'
над k, то (Q,x, т') и (Qu ть т^) —эквивалентные свободные композиты
колец R и R' в том и только том случае, когда f и /j имеют одно
и то же ядро. Кроме того, если р — любой простой идеал в R ?§ R',
все элементы которого являются делителями нуля R (g> R', и если ц>,
(р' — ограничения на R и R' соответственно канонического гомо-
гомоморфизма кольца R ® R' на R <g) R'/p, то (R (g) R'/p, <p, ф')
будет свободным композитом колец R и R' над k.
Доказательство. Пусть В — базис трансцендентности
Rlk и аналогично В' — базис трансцендентности R'/k. Кольца R
и R' содержат полиномиальные кольца k[B\, k[B'], и так как R
и R' линейно свободны над k, то Б [~] В' — пустое множество
и элементы множества В {J В' алгебраически независимы над k.
Таким образом, R® R' содержит полиномиальное кольцо k[B, В']
(=Ш] ® k[B'\; см. пример 2, § 14, стр. 213). Так как R, R'
и k[B, В'] являются областями целостности, то из теоремы 36 § 14
следует, что никакой элемент кольца k\B, В'], отличный от нуля,
не будет делителем нуля в R (g) R'. Таким образом, полное кольцо
частных кольца R ® R' содержит в качестве подкольца поле част-
частных k(B, В') кольца k[B, В']. Так как каждый элемент кольца R
алгебраически зависим над k (В) и каждый элемент кольца R'
алгебраически зависим над k (В'), то каждый элемент х кольца
R <g> R'{= [R, R']) будет алгебраическим над k(B,B'), т.[е. будет
удовлетворять уравнению вида
аохп + axxn-i +...+ ап_хх + ап = 0, щ 6 k [В, В'). A)
Доказательство этого утверждения такое же, как и доказательство
аналогичного утверждения в теории полей (см. гл. II, § 3, стр. 78).
Тот факт, что полное кольцо частных кольца R (g) R' не обязательно
будет полем, не вносит каких-либо изменений в доказательство;
существенно, что мы все еще имеем дело с алгебраической зави-
зависимостью относительно поля, а именно относительно поля k(B, В').

220 Гл. III. Идеалы и модули
Все сводится к тому, чтобы доказать, что если х, у ¦— элементы
кольца R <Э R', алгебраичные над k(B, В'), то каждый элемент
кольца klx, у] будет также алгебраичен над k(B, В'). Если х удовле-
удовлетворяет алгебраическому уравнению степени п над k, а у удовлетво-
удовлетворяет алгебраическому уравнению степени т, то сразу же видно, что
k\x, у] будет конечномерным векторным пространством над k,
натянутым на одночлены хгу3, 0<г<п, 0</ < т. Это показы-
показывает, что степени 1, г, z2, ..., zmn любого элемента z кольца klx, yl
линейно зависимы над k.
Пусть х — элемент из ядра р канонического гомоморфизма /
кольца R ® R' на (Q, т, т'). Рассмотрим уравнение A) наименьшей
степени п, которому удовлетворяет х над k[В, В']. Тогда а„бРП
f] k[B, В']. Далее, так как (Q, т, т') является свободным компози-
композитом Rlk и R'Ik, то Вх П В'х' = 0 и элементы множества Вх \J
У В'х' алгебраически независимы над k. Следовательно, ограничение
гомоморфизма / на k [В, В'] будет изоморфизмом, т. е. р [) klB, B'] =
— @). Таким образом, а„ = 0. С другой стороны, по нашему
выбору соотношения A), айхп'х + а^хп~2 -+- . . . + ап_х фО. Поэтому х
будет делителем нуля.
Предположим, что (Q, т, х') и (?21( хи х[) — два свободных ком-
композита колец Rlk и R'/k, и пусть # и pi — ядра канонических
гомоморфизмов / и /i кольца R 0 R' на Q и Q4 соответственно.
Если два свободных композита (Q, х, т'), (Qit ть т^) эквивалентны,
то пусть я|> есть А-изоморфизм кольца Q на Qu такой, что я|з = х'Нг
на Rx и ip = t'j fia i?V. Тогда /г|; будет таким гомоморфным
отображением кольца R (g> R' на (Qb ть т^), что /г|) = Tj на 7?
ufip = x[ на 7?'. Следовательно, /' = f\p. Так как ф является изомор-
изоморфизмом, отсюда следует, что ядра гомоморфизмов / и /' совпадают.
Обратно, если Кег/ = Кег/', то ясно, что если положить г|з = f'lf,
то ip будет изоморфным отображением кольца Q на Qit таким, что
г|з = тт1^ на 7?т и г|; = t'j на R'x'. Поэтому (Q, т, t') и (?2Ь т^ т^)
будут эквивалентными свободными композитами соответственно
колец R и R' над А.
Наконец, если р — произвольный простой идеал в R ® 7?',
состоящий полностью из делителей нуля, то по лемме, доказанной
в § 14, мы знаем, что р Q R = р Г\ R' = @). Но мы отмечали
выше, что среди элементов k[B, B'\ лишь нуль является делителем
нуля в R <g) R', откуда р (~| k[B, В'] = @). Отсюда вытекает, что
канонический гомоморфизм g кольца R ?§ к' на (R 0 R')/p инду-
индуцирует изоморфизмы колец R, R' и А[В, В' ]. Отсюда сразу же следует
(после отождествления kg с k), что кольца Rg и 7?'^ будут свободны
над k (в G? <Э 7?')/р). Это завершает доказательство теоремы.
Следствие 1. ?сл# Эеа простых идеала р и pi e R ® R'
состоят полностью из делителей нуля и pZD pi, то р = р^

§ 15. Свободные композиты областей целостности (или полей) %1\
В самом деле, пусть х — любой элемент кольца R ?§ R', кото-
который не лежит в pit и пусть
будет сравнением наименьшей степени т по модулю pi с коэффи-
коэффициентами из klB, В' ], которому удовлетворяет* (такое сравнение су-
существует, так как л: удовлетворяет даже точному уравнению типа A).
Тогда Ьт фО, ибо в противном случае мы могли бы разделить срав-
сравнение на х (так как-x^pi), а поэтому Ьт$р (так как pf] k[B, В'] =
= @)). Итак, х$р, ибо Ьохт + Ь,хп^-\-...+Ьт?р^р. Это
показывает, что р = pi.
Следствие 2. Если нулевой идеал в R ® R' примарен (или
. эквивалентно: если каждый делитель нуля в R <§) R' нильпотентен),
то любые два свободных композита колец Rlk и R'Jk эквивалентны.
Действительно, в этом случае радикал идеала @) будет простым
идеалом р, содержащим все делители нуля кольца R <§) R', и лю-
любой другой простой идеал в R ?§ R' должен содержать р.
Теорема 37 дает нам необходимое и, достаточное условие для
единственности свободного композита колец Rlk и R'/k (с точностью
до эквивалентности); оно заключается в том, чтобы R <g) R' содер-
содержало лишь один простой идеал, полностью состоящий из делителей
нуля.
Мы получим ниже другое важное необходимое и достаточное
условие для единственности свободного композита. Введем сначала
понятие квазилинейной свободы.
Определение 4. Если S — некоторое унитарное над-
надкольцо поля k характеристики р, то два подпространства L и L'
из S называются квазилинейно свободными над k, когда выполняется
следующее условие: всякий раз, когда элементы х±, х2, ¦ ¦ ¦ , хп из L
и элементы х[, х'2, ..., х'т из V таковы, что для любого целого числа
е > 0 ре-е степени элементов xt линейно независимы над k и ре-е сте-
степени элементов х', линейно независимы над k, mn произведений
xtx'j также будут линейно независимы над к.
Ясно, что квазилинейная свобода является симметричным соот-
соотношением между подпространствами L и L' и задается относительно
предписанного основного поля. При нулевой характеристике квази-
квазилинейная свобода совпадает с линейной свободой, если положить
в этом случае р — 1.
Следующее свойство эквивалентно квазилинейной свободе и чаще
всего будет использоваться в дальнейшем.
(КЛС). Всякий раз, когда хи х2, ..., хп — такие элементы из L,
что для любого целого числа е > 0 ре-е степени элементов xi линейно
независимы над k, тогда хи х2, .. ¦, хп линейно независимы над L'.

222 Гл. III. Идеалы и модули
Действительно, предположим, что L и V квазилинейно свободны
над k, и пусть имеется соотношение вида ^и\хг — 0, где щ лежат
в U и хг удовлетворяют условию, сформулированному в (КЛС).
Обозначим через Ме подпространство ~^]ku'iP из 5 (е>0). Ясно,
г
что dim.Me>dim.Me+1. Пусть s — такое целое число, что dimMs =
= dimMe для весх e>s. Мы хотим доказать, что все uj —нули.
В доказательстве мы можем заменить элементы хг их ps-mh сте-
степенями уг, потому что у-г удовлетворяют сформулированному
в (КЛС) условию и так как yi также удовлетворяют соотношению
2 {и'г)Р Уг = 0. Поэтому мы можем предположить, не уменьшая
г
общности, что s = 0, т. е. что пространства Ме все имеют одинако-
одинаковую размерность, например т. Пусть {х[, х'2, ..., х'т} — базис Ма
над k и u'i = 2aij^'. ГДе Uij принадлежат k. Для любого целого
числа е р"-е степени элементов х] порождают пространство Ме
и поэтому будут независимы над к. Тогда, в силу квазилинейной
свободы, L и V над k произведения xtx'j также будут линейно неза-
независимы над k. Так как соотношение ^и[хг = 0 дает равенство
г
^ = 0, то отсюда вытекает, что все ai} будут нулями и что,
^j ai}
г.)
следовательно, все и{ — тоже нули.
Доказательство обратного, т. е. того, что (КЛС) означает квази:
линейную свободу, проводится непосредственно (и аналогично дока-
доказательству,' данному в гл. II, § 15, в случае линейной свободы).
Теорема 38. Пусть (Q, т, т') — свободный композит двух
областей целостности R/k и R'/k. Необходимым и достаточным
условием того, чтобы каждый свободный композит колец R/k и R'/k
был эквивалентен (Q, х,х'), является квазилинейная свобода колец Rx
и R'x' над k.
Доказательство.. Предположим, что Rx и R'x' квази-
квазилинейно свободны над k. Достаточно показать, что ядро р канони-
канонического гомоморфизма / кольца R (g> R' на Q состоит полностью1
из нильпотентных элементов, потому что из этого вытекает, что каж-
каждый простой идеал кольца R ® R' содержит р и что, следовательно,
р — единственный простой идеал в R ?g> R', состоящий из дели-
делителей нуля (следствие 1 теоремы 37). Пусть z — элемент идеала р.
т
Мы записываем z в виде z = 2 *ч4, где x^R и х\ ?R', и выби-
раем это выражение для г таким образом, чтобы число членов
хгх[ было минимальным. Обозначим через X(z) это минимальное

§ 15. Свободные композиты областей целостности (или полей) 223
число т. Аналогичным образом определим X(zpe) для любого целого
числа е > 0. Мы полагаем К (z) = 0 при 2 = 0. Так как zpB — ^\xf х[р\
то Я,(гре)< % (г) и вообще X.(zpe)>X.(.zpQ) при е< Q. Мы выбираем
такое целое число q, что A.(zp0)< A,(zpe) для всех е. Покажем, что
zpQ = 0, и наше утверждение будет доказано. Предположив про-
h
тивное, получим соотношение zvQ — ^ и^[, где h = X(zpy) =/=0,
h
и-i^R, u'i?R'. Так как z?p, то ^] (г^т) («it') = 0. Далее,
i=l
поскольку т является изоморфизмом кольца R и так как ни один
из Mj не равен нулю, то написанное выше соотношение означает,
что и\х' линейно зависимы над Rx. Из квазилинейной свободы колец
Rx и R'x' над k следует, что существует целое число е, такое, что
«ipV линейно зависимы над k. Тогда элементы u'ipe будут тоже
линейно зависимы над k, а это, очевидно, означает, что X (zpQ+e) <
<X(zvQ) вопреки нашему выбору числа q.
Для доказательства необходимости будет удобно перейти к полям
частных К и К! колец Rx и R'x' в поле частных F кольца Q. Наше
предположение сводится теперь к тому, что каждый свободный
композит (F*, ф, ф') полей К и К' над k эквивалентен (F, т, т'),
т. е. что существует такой изоморфизм я|з поля F на F*, что ty = ф
на К и г|з = ф' на К!. Мы должны доказать, что К и К' будут ква-
квазилинейно свободны над k. Доказательство будет разделено на не-
несколько частей. Через 2 мы обозначим некоторое алгебраическое
замыкание поля F.
1. Предположим сначала, что К является конечным сепарабель-
ным расширением поля k. Пусть [К '¦ k] = п и w — примитивный
элемент поля Klk. Мы докажем, что в этом случае К и К' будут
не только квазилинейно свободными, но и даже линейно свобод-
свободными над k. Для доказательства этого достаточно показать, ввиду
леммы из гл. II, § 15, что 1, ш, ш2, . .., wn~l линейно независимы
над К'¦ Другими словами, мы должны показать, что минимальный
полином / (X) для w в k[X] остается неразложимым в К' [X]. Пусть
wlt ш2, . . ., wn — корни полинома f (X) в 2(ie>i = w) и ц>г —такой
й-изоморфизм поля k(wi) (=К) на к(шг), что <pi(wl) = wi. Если
F* = K'iWf), то (F*, (fit 1) (где 1 означает тождественное отображе-
отображение поля К') будет свободным композитом полей Klk и К'Ik (так
как К является алгебраическим расширением поля k). Поскольку,
в силу предположения, все свободные композиты полей Klk и К'Ik
эквивалентны, то отсюда вытекает, что ф( может быть продолжено
до некоторого К'-изоморфизма поля K'(w^) на K'{w^). Это означает,
что п корней шг полинома / (X) будут сопряжены также над К' и что,

224 Гл. III. Идеалы и модули
следовательно, f (X) неразложим над К', как и утвержда-
утверждалось.
2. Следующее утверждение очевидно: если каждое поле L между k
и К, конечно порождаемое над k, обладает тем свойством, что L
и К' квазилинейно свободны {соответственно линейно свободны)
над k, то К и К' будут также квазилинейно свободны (соответственно
линейно свободны) над k. С другой стороны, мы утверждаем сле-
следующее: если все свободные композиты полей K/k и К Ik эквива-
эквивалентны и L — любое поле между k и К, такое, что К является его
алгебраическим расширением, то все свободные композиты полей
Llk и К'Ik также будут эквивалентны. Действительно, пусть (L*,
Ф, ф') — свободный композит полей Llk и К'Ik, и пусть А — неко-
некоторое алгебраическое замыкание поля L*. Так как К является
алгебраическим расширением поля L, изоморфизм ф поля L может
быть продолжен до изоморфизма q>t поля К в А. Если тогда F*
обозначает композит полей Ktyi и К'ц>' в А, то (F*, фь ф') будет
свободным композитом K/k и K'lk. Следовательно, существует
изоморфизм г|з поля (К, К') на F*, такой, что я|з = ф4 на К и i|; = ф'
на К'- Ограничение изоморфизма г|з на (L, К') отображает изо-
изоморфно (L, К') на L* и равно ф на L. Это показывает, что (L*, ф, ф')
эквивалентно ((L, К'), 1, 1).
3. Из частей 1 и 2 сразу же следует, что теорема имеет место
в случае, когда К является (конечным или бесконечным) сепарабель-
ным алгебраическим расширением поля k, и что в этом случае К
и К' линейно свободны над k. Пусть теперь К — произвольное
алгебраическое расширение поля k и L — максимальное сепара-
бельное расширение k в К- Согласно части 2, все свободные ком-
композиты полей Llk и К Ik эквивалентны, а следовательно, L и К'
линейно свободны над k. Это очевидным образом означает, что
/С и /С' квазилинейно свободны над k. (Если х{, х'.,_, . . ., х'т — такие
элементы поля К', что для любого целого числа е>0 ре-е степени
этих элементов линейно независимы над k, то р('-е степени этих
элементов также линейно независимы над L для всех е>0, а по-
поэтому х[, х'2, .. ., х'т линейно независимы над К, так как если
си с2, ...,сп—элементы поля К, то cf, c"f, . .., сТ? лежат в!
для некоторого е>0.) Таким образом, мы доказали теорему в слу-
случае, когда К является алгебраическим расширением поля k.
Рассмотрим теперь общий случай. Пусть Ко — поле между k
и К, такое, что Ко является чисто трансцендентным расширением
поля k и К является алгебраическим расширением поля Кп. Обо-
Обозначим через К'о композит (Ко, К') в F и рассмотрим К и К'о как
расширения поля Ко. Мы утверждаем, что все свободные композиты
полей К/Ко и K'JK0 эквивалентны. Пусть (F*, а, а') будет некото-
некоторым свободным композитом полей К1К0 и K'JKQ. Мы должны пока-
показать, что существует такой изоморфизм г|з поля F на Р, что г|) = а

§ 15 Свободные композиты областей целостности (или полей) 225
на К и г|5 = ст' на К'а. Пусть о'х — ограничение изоморфизма ст'
на /С'. Поле К'0о' будет композитом полей /СО(==^СОСГ') и К'а[ (=К'а)-
Следовательно, F* — композит полей Ко и К'о'0 (так как Ко d Ко).
Так как К я К' свободны над k, то /С„ и К' тоже будут свободны
над k. Поэтому свободными над k оказываются Ко и К'о'0 [так как
о' является ^-изоморфизмом поля (Ко, К') на (Ко, К'о[)]. Так как
К — алгебраическое расширение поля Ко, отсюда сразу следует,
что Ко и К'о[ свободны над k. Таким образом, (F*, ст, о[) является
свободным композитом полей KIk и К'Ik. По нашему предположению,
должен существовать такой изоморфизм ty поля F на F*, что т|з = о
на К и op = (jj на /С'. Тогда ч|> = ст' на К'„ (так как ст и ст' оба тождест-
тождественны на Ко и ст' = ст{ на /С'). Это доказывает наше утверждение.
Теперь из части 3 доказательства следует, что К и К'„ квазили-
квазилинейно свободны над Ко- Пусть хи х2, ..., хт — элементы поля К',
такие, что xf, xf, ..., х^ линейно независимы над k для всех е > 0.
Тогда для всех е > 0 элементы *?", xf, . . ., х1^ будут линейно неза-
независимы также и над Ко, так как Ко и К' линейно свободны над k
(см. лемму, следствие 1, гл. II, § 15). Так как xi принадлежит К'о,
и К и]/С'„ квазилинейно свободны над Ко, то лгь х2, ..., хт также ли-
линейно независимы над К, а отсюда К и К' квазилинейно свободны
над k.
Доказательство теоремы на этом завершается.
Следствие 1. Если KIk и К' Ik — два абстрактных рас-
расширения поля k и если Къ и /С'т' квазилинейно свободны над k для
одного частного свободного композита (F, т, т') полей KIk и К'Ik,
то все свободные композиты полей KIk и К'Ik эквивалентны.
Ввиду этого следствия мы можем теперь определить линейную
или квазилинейную свободу двух абстрактных полей KIk и К'Ik
следующим образом: мы говорим, что К и К' линейно или квазили-
квазилинейно свободны над k (как абстрактные поля), если для одного част-
частного свободного композита (F, т, т') полей KIk и К'Ik поля Kt и K't'
линейно или квазилинейно свободны над k (как подполя поля F).
Наша лемма гарантирует, что это определение не зависит от выбора
свободного композита полей KIk и К'Ik (заметим, что линейная
свобода влечет квазилинейную свободу). Имея дело с абстрактными
полями К и К', которые квазилинейно свободны над некоторым общим
подполем k, мы часто будем отождествлять их с их изоморфными
образами /Ст и /С'т' в свободном композите полей KIk и К'Ik. Поэтому
мы часто будем без дальнейших упоминаний рассматривать К и К'
как подполя большего поля F, такого, что F является композитом
полей К и /С', а К, К' (как подполя поля F) свободны над k. Наша
лемма обеспечивает корректность этого отождествления, потому
что при наличии квазилинейной свободы свободный композит F
определяется однозначно с точностью до эквивалентности.
15 Заказ № 617

226 Гл. III. Идеалы и модули
Следствие 2. Необходимым и достаточным условием того,
чтобы все свободные композиты двух областей целостности Rlk
и R'lk были эквивалентны друг другу, является примарность нуле-
нулевого идеала кольца R (g) R''.
Достаточность была уже доказана (следствие 2 теоремы 37).
С другой стороны, если все свободные композиты колец Rlk и R'/k
эквивалентны друг другу, то для данного свободного композита
(Q, т, т') колец Rlk и R'/k кольца Rx и R'x' будут квазилинейно
свободны над k. Но тогда, в силу первой части доказательства тео-
теоремы 38, каждый делитель нуля кольца R ® R' нильпотентен.
Теорема 39. Если два расширения К и К' поля k таковы,
что одно из этих двух полей является сепарабельным расширением
поля k, то тензорное произведение К ® К' не имеет нильпотентных
элементов {отличных от нуля).
Доказательство. Пусть, например, К — сепарабельное
расширение поля k. Так как каждый элемент кольца К ® К' содер-
содержится в тензорном произведении/Ci <g> К', где К\ — подполе поля К,
конечно порождаемое над k, то можно предположить, что К конечно
порождаемо над k. Тогда К будет сепарабельно порождаемым над k
(гл. II, § 15, теорема 35). Пусть Б будет сепарирующим базисом
трансцендентности поля Klk. В силу следствия теоремы 36 (§ 14),
элементы из Б алгебраически независимы над К' и полное кольцо
частных кольца К® К' содержит тензорное произведение К ® К'(В).
k k(B)
Следовательно, достаточно показать, что каждый делитель нуля
кольца К ® К (В) нильпотентен. На этот раз поле К является
ft (В)
сепарабельным алгебраическим расширением основного поля k(B).
Поэтому мы получили редукцию к случаю, когда К является
сепарабельным алгебраическим расширением поля k.
Ясно, что любой делитель нуля ъ К ® К' будет делителем нуля
уже в некотором подкольце К\ ® К[ кольца К ® К', где Кх
и К[ — подполя полей К и К', конечно порождаемые над k. Следо-
Следовательно, мы можем теперь предположить, что К является конеч-
конечным сепарабельным расширением поля k.
Пусть х — примитивный элемент поля Klk и / (X) — минималь-
минимальный полином элемента х над k. Так как К = k[X]/(f (X)) и k[X] (g)
® К' = К' IX ], то из теоремы 35 следует, что K®K'^K'lX ]/(f(X)).
Поскольку / {X) является сепарабельным полиномом, .он будет
произведением различных неразложимых полиномов в К\Х].
Следовательно, К ® К — прямая сумма полей и, таким образом,
К <Е> К' не имеет нильпотентных элементов.
Следствие. Если k — совершенное поле, то К ® К' не имеет
k
нильпотентных элементов {отличных от нуля).

§ 15. Свободные композиты областей целостности (или полей) 227
Когда k является подполем некоторого поля К, то мы говорим,
что k квазимаксимально алгебраично (к. м. а.) в К, если каждый
элемент поля К, который сепарабельно алгебраичен над k, содер-
содержится в k. Мы говорим, что k максимально алгебраично (м. а.) в К,
если k совпадает со своим алгебраическим замыканием в К-
Нам потребуется следующая лемма, в которой используются
некоторые элементарные результаты из гл. V, § 1 — 3.
Лемма. Если k м. а. {или к. м. а.) в поле К и если К' = К (Б)
является чисто трансцендентным расширением поля К и при этом
множество В есть одновременно множество образующих и базис
трансцендентности поля К'1К, то k {В) будет также м. а.
(или к. м. а.) в К.
Доказательство. Ясно, что достаточно доказать лемму
в случае, когда Б является конечным множеством. В этом случае,
используя индукцию по числу элементов Б, мы можем предполо-
предположить, что В состоит из единственного элемента, скажем t.
Пусть а — некоторый элемент поля K(t), который алгебраичен
над k (t). Существует полином d (Г) в k[T] (T — неизвестное), такой,
что ad(t) является целым над kit], а поэтому и над Kit]. Так как
Kit] целозамкнуто в K(t), отсюда следует, что ad(t) — некоторый
элемент q>(t) кольца Kit]. Получаем соотношение целой зависи-
зависимости для ф(/) над kit]
[ф(О]<г + а,.1(О[ф(ОГ1+-..+ао(О = О, ai(t)?klt]. B)
Поскольку t трансцендентен над К, то B) должно быть «тождеством»
по /. Если мы подставим вместо t любую алгебраическую величину |
над k, то B) показывает, что ф(|) алгебраично над k. Таким обра-
образом, полином ф (Т) в KIT] таков, что для любого значения неиз-
неизвестного Г в алгебраическом замыкании k соответствующее значение
полинома ф (Т) также принадлежит &. Так как k содержит бесконечно
много элементов, то любая формула, выражающая коэффициенты
полинома ф (Г) степени q через значения этого полинома при q + 1
различных значениях неизвестной Т (например, интерполяционная
формула Лагранжа), показывает, что коэффициенты полинома ф (Т)
будут алгебраичны над k. Так как эти коэффициенты лежат в К,
то предположение о том, что k м.а. в К, означает, что коэффициенты
полинома ф (Т) принадлежат k и что поэтому а= q>(t)ld(t)?k(t).
Это показывает, что k (t) м. а. в К (t). Если мы предположим только,
что k к. м. а. в К, то коэффициенты полинома ф (Т) будут чисто несе-
парабельны над k. Поэтому существует степень ps характеристики р,
такая, что [ф {t)]pS?klT], откуда aT*?k(t). Отсюда следует, что
k (t) к. м. а. в К @- Лемма доказана.
Используя предыдущую лемму, докажем теперь следующий
результат.

228 Гл. III. Идеалы и модули
Теорема 40. Если К и К' — два расширения поля k и k
к. м. а. в одном из этих двух полей, то К и К' будут квазилинейно
свободны над k.
Доказательство. Мы отождествляем К и К! с подполями
поля F, которое является композитом полей К и К и в кото-
котором К и К' свободны над k. Предположим, что k к. м. а. в К- Мы
должны показать, что К и К' квазилинейно свободны над k.
Пусть В' — базис трансцендентности поля К'Ik. Так как эле-
элементы множества В' алгебраически независимы над К, то легко
видеть, что для доказательства квазилинейной свободы К и К' над k
достаточно показать, что К(В') и К' будут квазилинейно свободными
над полем k(B'). Далее, К' является алгебраическим расширением
поля k (В'), и, по предыдущей лемме, k (В') к. м. а. в К{В'). Поэтому
мы получили редукцию к случаю, когда k к. м. а. в К и К' — алгеб-
алгебраическое расширение поля k. Пусть теперь х[, х'2, . .., х'п ¦— эле-
элементы поля К', такие, что для любого целого числа е>0 их рп-е
степени линейно независимы над k. Мы должны показать, что х\
линейно независимы над К- Достаточно будет показать, что для неко-
некоторого е>0 ре-е степени элементов х[ будут линейно независимы
над К- Так как ре-е степени элементов х[ сепарабельно алгебраичны
над k для некоторого е>0, то мы можем предположить, что х[
сепарабельно алгебраичны над k. Пусть w — примитивный элемент
поля k (х[, х\, .. ., х'п) над k и g (X) — минимальный полином для w
над k (степень т). Чтобы показать, что х\ линейно независимы над К,
достаточно показать, что 1, w, w2, ..., w1'1 будут линейно незави-
независимы над К, т. е. что g(X) остается неразложимым над К- Далее,
если gi(X)—некоторый неразложимый делитель полинома g (X)
в К1Х], то коэффициенты g± принадлежат полю разложения поли-
полинома g (X) над k, а следовательно, сепарабельно алгебраичны над k
(так как w сепарабельно алгебраичен над k). Поскольку k к. м. а.
в К, то отсюда следует, что коэффициенты полинома gi(X) лежат
в И, откуда gi (X) = g(X). Это завершает доказательство теоремы.
Следствие 1. Если k — алгебраически замкнутое поле и К,
К' — любые расширения поля k, то К ® К является областью
целостности.
В силу предыдущей теоремы и следствия 2 теоремы 38, каждый
делитель нуля в К ® К' нильпотентен. С другой стороны, согласно
следствию теоремы 39, К ® К' не имеет нильпотентных элементов,
отличных от нуля.
Следствие 2. Если k к. м. а. в К и К' является сепарабель-
ным расширением, поля k, то К & К' будет областью целостности.
h
Доказательство очевидно.

Глава IV
НЁТЕРОВЫ КОЛЬЦА
§ 1. Определения. Теорема Гильберта о базисе. Пусть R —
кольцо (напомним, что под словом «кольцо» мы всегда подразуме-
подразумеваем коммутативное кольцо). Если рассматривать R как модуль
над самим собой, то все подмодули можно отождествить с его идеа-
идеалами. Таким образом, следующие «условия конечности» эквива-
эквивалентны, как это немедленно следует из теорем 15 и 17 § 10 гл. III.
а) (Условие обрыва возрастающих цепей, или у. о. в. ц.). Каждая
строго возрастающая цепь 214 < 2t2 < 213 < • • -идеалов в R конечна.
Или иначе: для данной возрастающей цепи 2li CZ ЭДгС 2l3 d.. . идеалов
кольца R существует некоторое целое п, такое, что 91„ =
»+2
б) (Условие максимальности.) В каждой непустой совокупности
идеалов R существует, максимальный элемент, т. е. такой идеал,
который не содержится ни в каком другом идеале этой совокуп-
совокупности. (Разумеется, такой максимальный элемент не обязан быть
максимальным идеалом кольца R.)
Из условия максимальности следует, что каждый идеал 21 ф R
содержится „ в максимальном идеале кольца. Это легко увидеть,
рассматривая совокупность всех идеалов, отличных от R и содер-
содержащих 912).
в) (Условие конечности базиса.) Каждый идеал 21 в R имеет
конечный базис, т. е., согласно § 10 гл. III, содержит конечное
множество элементов а{, . .., ап, таких, что 21 = Rai +. .. + Ran +
+ Jai +... -f Jan, где J — множество целых чисел (такое множество
а, называется базисом или множеством образующих 21). Если R со-
содержит единицу, то 21 = Rat -f. .. + Ran.
Кольца, удовлетворяющие условиям (а), (б), (в), играют в этой
книге первостепенную роль. Так как эти кольца впервые изуча-
изучались Эмми Нёттер, мы дадим следующее определение:
Определение 1. Кольцо называется нётеровым, если оно
обладает единицей и удовлетворяет эквивалентным условиям (а),
1) Этот факт имеет место в любом кольце с единицей (см. гл. III, § 8,
замечание 1, стр. 177).

230 Гл. IV. Нётеровы кольца
(б) и (в). Нётерова область — это нётерово кольцо без делителей
нуля.
Дадим типичные примеры рассуждений, относящихся к нётеро-
вым кольцам:
1. Каждый гомоморфный образ R' нётерова кольца R есть нёте-
нётерово кольцо.
Мы используем здесь условие конечности базиса: прообраз
идеала ЗГ из R' —это идеал 91 в R. Образ в R' конечного множества
образующих идеала 31 составляет конечное множество образующих
идеала 91'.
2. В нётеровом кольце R каждый идеал 91 содержит степень
своего радикала [/St.
Мы снова воспользуемся условием конечности базиса. Если
{сь .... ch} — конечный базис радикала У'й, то существует целое k,
такое, что с\ d 91, где i = 1, ..., h. Пусть т = h(k — 1) + 1. Базис
идеала (|Л>1)т состоит из произведений степеней \\ ссл, где 2 е% = т-
г г
Так как т > h(k — 1), то по крайней мере одна из степеней ег не
меньше k, и это показывает, что все такие произведения принад-
принадлежат 91. Следовательно, 91 содержит (У&)т-
3. Каждый необратимый элемент а нётерова кольца R есть
произведение неразложимых элементов (см. гл. I, § 14, стр. 33).
Мы дважды воспользуемся здесь у. о. в. ц. Сначала определим
индукцией по п последовательность {ап} элементов, удовлетворяю-
удовлетворяющих следующим условиям: 1) а4 = а, 2) ап — собственный дели-
делитель On-i.
Идеалы Ran образуют строго возрастающую последовательность,
поэтому она должна быть конечной и ее последний элемент — нераз-
неразложимым. Мы показали, таким образом, что каждый необратимый
элемент в R имеет неразложимый делитель. Этот факт дает нам воз-
возможность рассмотреть новую последовательность, определенную
следующим образом: 64 = a, bn-i = bnpn, где рп неразложим. Как
и предыдущая, эта последовательность конечна, и ее последний
элемент Ьт неразложим, следовательно, а — р2 ... pmbm — произ-
произведение неразложимых элементов1).
4. Каждый идеал ЭД нётерова кольца R содержит произведение
простых идеалов2).
Мы воспользуемся здесь условием максимальности. Предполо-
Предположим, что совокупность (F) идеалов R, которые не содержат никаких
произведений простых идеалов, непуста. Тогда (F) имеет максималь-
х) Вообще это разложение не единственно.
2) Заметим, что так как R само есть простой идеал, то каждый простой
идеал р есть произведение простых идеалов (именно p — Rp).

§ 1. Определения., Теорема Гильберта о базисе 231
ный элемент 91. Идеал 91 не может быть простым, так как 91 6 {F).
Следовательно, существуют идеалы S3 и ©, строго содержащие 91
и такие, что 93©d2l (гл. III, § 8, стр. 176). Так как 91 — макси-
максимальный элемент из (F), то 93 и © не входят в (F) и поэтому содер-
содержат произведения простых идеалов. Следовательно, 93©, а тем
самым и 91 содержит произведение простых идеалов. Это противоре-
противоречие показывает, что (F) пусто. Заметим, в частности, что идеал @)
в нётеровом кольце есть произведение простых идеалов.
Нижеследующая теорема — знаменитая теорема Гильберта
о базисе — вместе со своими следствиями показывает, что нётеровы
кольца существуют и что класс этих колец весьма обширен. Эта
теорема фактически не будет использована в настоящей главе,
за исключением построения примеров. Она является, однако, фун-
фундаментальной теоремой теории полиномиальных идеалов (том II,
гл. VII).
Теорема 1. Если R — нётерово кольцо, то кольцо полиномов
от конечного числа переменных над R также нётерово.
Мы даем два доказательства этой теоремы. Одно использует
условие максимальности, другое — условие конечности базиса.
Второе доказательство по существу было дано Гильбертом, доказав-
доказавшим теорему в случае, когда R — поле или кольцо целых чисел.
Заметим, что, в силу возможности индукции, достаточно рассмотреть
случай кольца полиномов S от одного переменного х над R. Для
первого доказательства нам необходима следующая лемма:
Лемма. Пусть 91 — идеал кольца S и i > 0 — целое число.
Обозначим через Lt (91) множество элементов R, состоящее из 0
и коэффициентов при х1 в элементах идеала 91, которые имеют
степень i. Тогда {/^(91)}— возрастающая последовательность
идеалов кольца R. Если 93 — какой-нибудь другой идеал', кольца S,
такой, что 3t CZ 23 и Ьг (91) = Lt (93) для1 = 0, 1,2, .../то 91 = 93.
Доказательство леммы. Если / (л:) 6 $, g (х) ? 81
и а 6 R, то / (x)-\-g(x), af (х) и xf (х) принадлежат 91. Следовательно,
Ьх (91) — идеал и содержится в Li+1 (91). Пусть теперь g(x) — элемент 93
степени i. Так как Lt (91) = L{ B3), то существует в 91 элемент Д (л:)
степени i, такой, что^(л:) — /{ (л:) имеет степень не больше, чем i — 1.
Воспользовавшись тем, что 91 содержится в 93, заметим, что ^(л:) —
— Д (л:) также содержится в Ъ, и, значит, мы можем определить
индукцией по/ последовательность {/i+j;(*)} (/ = 0, 1, 2, ...) эле-
элементов 91, таких, что fi+j (х) — это или 0, или элемент степени i — /
и такой, что полином g(x) — (Д (х) + /i+i (*)+ .. . +Д+,- (*)) имеет
степень не больше, чем i —/ — 1. Этот последний полином обяза-
обязательно равен 0 при / = i, и, следовательно, ^(л:) 6 91. Это завершает
доказательство леммы.

232 Гл. IV. Нётеровы кольца
ГГе рвое доказательство теоремы. Пусть
{(9ls), s = 0, I, 2, ...} — возрастающая последовательность идеалов
кольца 5. Рассмотрим двойную последовательность {Lj B1;)} идеа-
идеалов из R. Если мы фиксируем i или /, то соответствующая простая
последовательность {Lt Bt3)} будет возрастающей. Пусть Lp Cla) —
максимальный элемент этой двойной последовательности. Тогда
LPDHq) = Li (91;), если i>p и-/><7, и, следовательно, Ьг Bla) =
= Li (81,) для i > р и / > <7- С другой стороны, если мы фиксируем /,
в силу у. о. в. ц., существует целоеп (i), такое, что Ц (91^) = Lt Bln(i))
для каждого j>n(i). Как мы видели, для i>p можно положить
n(i) = q. Поэтому целые п (i) ограничены и существует щ, такое,
что ^ Bl;) = Lj(9Ino) для каждого i и для каждого/>«0. Отсюда,
по лемме, 21, = 8L0 для каждого }>п0, что и завершает доказа-
доказательство теоремы.
Второе доказательство теоремы. Пусть 31 —
идеал в S. Обозначим через S множество элементов кольца R,
состоящее из 0 и коэффициентов при старших степенях всех эле-
элементов идеала 91. Тогда S —идеал в R, так как он является
объединением идеалов Li B1), определенных в предыдущей
лемме.
[Это можно доказать прямо: если а, Ь 6 ~, то в 81 существуют
элементы f(x), g(x), имеющие в качестве старших членов ахТ и bxs
соответственно. Если, например, r>s, то полином f (х) —xr'sg(x)
принадлежит 91 и (если а фЬ) имеет (а — Ь)хг своим старшим чле-
членом, т. е. а — Ь € 8; если с € R, то с/ (х) ? 91 и са € S. ] Так как
R — нётерово кольцо, идеал 8 имеет конечный базис {аи ..., а„}.
Пусть fi(x), .. .,fn (x) — элементы из 81 с аъ ..., ап в качестве коэффи-
коэффициентов при старших степенях соответственно; эти элементы поро-
порождают идеал 2l'd9I.
Пусть q — наибольшая среди степеней полиномов /4 (л:), a g {x) —
элемент идеала 21, имеющий степень > q. Обозначим через axs его
старший член. Так как а ? 18, запишем а в виде а = 2 Q ax (ct 6 R)
i
и рассмотрим элемент gt (л:) = 2 ci /t (*) *s~di идеала 21' Ыг — сте-
i
пень fi(x)]. Полином g{x) — gi (х)-~элемент из 21 степени, не пре-
превосходящей s—1. Повторяя этот процесс, мы получим последо-
последовательность {gj(x)} (/ = 1. 2, ...) элементов идеала 21', имеющих
строго убывающие степени и таких, что полином g(x)— [^(л:)+...
¦ ¦¦Jrgr (х)] имеет степень не более чем s — г. Его степень не превос-
превосходит q — 1, как только г = s — q + 1.
Теперь обратимся к элементам идеала 91, степени которых меньше,
чем q. Они образуют подмодуль Aq 7?-модуля, порожденного систе-
системой {1, х, ..., л:4}. Так как R — нётерово, то Aq конечно поро-

§ 2. Кольца с условием обрыва убывающих цепей . 233>
ждаем (гл. III, § 10, теоремы 17 и 18). Доказанное выше означает^
что 21 = 2Г + 21,Г Следовательно, идеал 21 конечно порождаем.
Можно, однако, закончить доказательство и без использования
результатов гл. III. Идеал Ьг (91), определенный в лемме, имеет конеч-
конечный базис {aij} (J = 1, ... ,п @). Пусть /i;- (х) — элемент из 21, имею-
имеющий aiy xl в качестве старшего члена. Докажем, что идеал 21 поро-
порождается элементами fk (x) (k = 1, ..., п) и /4j- (х) [для 0< t < q — 1
и 1</<я@Ь Действительно, возьмем какой-нибудь элемент
g(x) степени < д— 1 из 21. Мы можем понизить его степень, склады-
складывая его с линейной комбинацией элементов ftj (x). Самое большее
через q шагов этого процесса мы получим элемент из 21 степени О,
который является, следовательно, линейной комбинацией элемен-
элементов fOj (х). Это заканчивает доказательство.
Следствие 1. Кольцо полиномов от конечного числа неиз-
неизвестных над произвольным полем или над кольцом целых чисел
нётерово.
Следствие 2. Пусть R —нётерово, S — унитарное кольцо
над R, содержащее элементы уи ..., уп, такие, что S = R[yu ...
...,уп]. Тогда S также нётерово.
Это немедленно следует из теоремы 1 и того факта, что S — гомо-
гомоморфный образ кольца полиномов от S неизвестных над R (гл. I,
§ 18, теорема 12). Можно заметить также, что доказательство самой
теоремы годится для доказательства следствия 2, если в нем сделать
незначительные изменения.
§ 2. Кольца с условием обрыва убывающих цепей. Значитель-
Значительная часть теории идеалов имеет дело с кольцами, удовлетворяю-
удовлетворяющими условию обрыва возрастающих цепей. Для многих целей
условие обрыва убывающих цепей (у. о. у. ц.) является слишком,
стеснительным. Например, из областей целостности только поля
удовлетворяют условию обрыва убывающих цепей. Действительно,
если а —• ненулевой элемент в такой области целостности R, то,
применяя у. о. у. ц. к убывающей последовательности идеалов
{Ran}, находим, что существует степень п, такая, что Ran = Ran*x.
Следовательно, в кольце R существует такой элемент Ь, что ап = Ьап*х
или ап A — Ьа) = 0. Так как ап Ф 0, то Ьа = 1, т. е. а имеет обрат-
обратный элемент, и R — поле.
Из доказанного вытекает, что если R удовлетворяет у. о. у. ц.,.
то каждый простой идеал $ кольца R, $ ^R, максимален; действи-
действительно, область целостности R/ty также удовлетворяет у. о. у. ц.
и поэтому является полем. Следовательно, 5Ц — максимальный идеал
из R. Любое конечное кольцо, в частности кольцо классов вычетов
кольца J целых чисел по модулю любого целого числа, отличного
от нуля, удовлетворяет у. о. у. ц. Для модулей и групп, как мы

234 Гл. IV. Нётерови кольца
¦отмечали, ни одно из условий обрыва цепей не влечет другого.
Однако для колец из у. о. у. ц. следует у. о. в. ц.
Теорема 2. Пусть R — кольцо с единицей. Для того чтобы
R удовлетворяло у. о. у. ц., необходимо и достаточно, чтобы оно
удовлетворяло у. о. в. ц. и чтобы каждый простой идеал кольца R,
отличный от R, был максимальным.
Доказательство. Покажем, во-первых, что если идеал @)
есть произведение максимальных идеалов, @)=i$i.. .Щп, то одно
условие обрыва цепей влечет за собой другое. Рассмотрим последо-
последовательность RZD^iZD $i$2=3 ... ID $i$2 ...$„ = @) идеалов
¦кольца R. Докажем, что если выполняется одно из условий обрыва
цепей, то последовательность может быть уплотнена до компози-
композиционного ряда, и, следовательно, R удовлетворяет обоим условиям
обрыва цепей (гл. III, § 11, теорема 21). Фактормодуль $t... ${_! —
—¦ $i... $i_i$t> очевидно, аннулируется идеалом $4. Тогда его
можно рассматривать как модуль над полем R/^i (гл. III, § 6,
стр. 170), т.е. как векторное пространство над этим полем. Наши
утверждения следуют непосредственно из того факта, что в вектор-
векторных пространствах из каждого условия обрыва цепей следует
конечность размерности и, следовательно, существование компо-
композиционного ряда (гл. III, § 12, стр. 199).
Предположим, что R удовлетворяет у. о. в. ц. и что каждый про-
простой идеал кольца R, отличный от R, является максимальным.
В § 1 (стр. 230) мы доказали, что каждый идеал кольца R содержит
произведение простых идеалов. В частности, @) есть произведение
простых, а значит, и максимальных идеалов. Поэтому R удовле-
удовлетворяет у. о. у. ц.
Обратно, предположим, что R удовлетворяет у. о. у. ц. Мы уже
видели, что каждый простой идеал 5Ц кольца R, отличный от R,
¦является максимальным идеалом. Остается показать, что @) есть
произведение максимальных (или простых) идеалов. Пусть Ф —
минимальный элемент множества таких идеалов, которые являются
произведениями простых идеалов. Мы предположим, ^что Ф ф @),
и придем к противоречию. Положим 21 = @) : Ф. Так как ® ф @)
и R содержит единицу, то 31 Ф R. Следовательно, совокупность
идеалов кольца R, строго включающих 21, не пуста. Пусть 93 —
минимальный элемент этой совокупности. Идеал % = 21: S3 содер-
содержит 21. Мы утверждаем, что он прост. Действительно, если с (J %
и d $ $, то с93+ 21 = d93 + 21 = 93, так как идеалы с93 + 91
и d23 + 2l оба содержат 21, содержатся в 93 и отличны от 21. Таким
образом, аШ + 21 = с (d93 + 21) + 21 = с93 + 21 = 93, cd23(?2l ис^5р.
Последнее показывает, что идеал $ простой. Так как
$Bd2l, то ®$93 = @) и @) : Щ и 93 > 21 = @) : Ф. Это дока-
доказывает, что Ф$<ф вопреки свойству минимальности ®.

§ 3. Примарные кольца 235
В последней части доказательства в действительности оыло показано,
что в кольце с у. о. у. ц. (здесь RIW) аннулирующий идеал собствен-
собственного минимального идеала является простым (и тем самым макси-
максимальным).
. § 3. Примарные кольца. В этом параграфе мы изучим довольно
специальный класс колец и докажем, что каждое кольцо с у. о. у. ц.
есть прямая сумма колец этого типа.
Определение. Примарное кольцо R — это кольцо с еди-
единицей, содержащее не более одного простого идеала, отличного от R.
Из существования хотя бы одного максимального идеала в коль-
кольце с единицей мы заключаем, что примарное кольцо R имеет точно
один простой идеал ЯК Ф R и что этот идеал максимален.
Любое поле есть примарное кольцо. Более общо, если ?1 —
примарный идеал произвольного кольца R, имеющий максималь-
максимальный идеал Ш ассоциированным простым идеалом, то кольцо R/D,
примарно. Действительно, если $Ш — простой идеал в этом кольце,
отличный от jR/Cl, то $ — простой идеал в R, содержащий Q.
^5 содержит также радикал Ш идеала Q. Из этого следует, что
Ш = $, так как ЯК—максимальный идеал. Таким образом, ЯЛ/О
есть единственный простой идеал в RlD,, отличный от RlQ,. В част-
частности, кольцо классов вычетов по модулю степени простого числа
будет примарным.
Если мы ограничимся нётеровыми кольцами, предыдущее свой-
свойство допускает обращение: в примарном нётеровом кольце R идеал
@) является примарным и принадлежит единственному простому
идеалу $ кольца R. Действительно, @) есть произведение простых
идеалов (§ 1, стр. 231), а поэтому является степенью $. В этом слу-
случае мы заметим также, что R удовлетворяет у. о. у. ц., так как
каждый простой идеал кольца R максимален (§ 2, теорема 2).
Будет полезна следующая лемма.
Лемма. В кольце R, имеющем только один максимальный
идеал ЯК, каждый идемпотент е есть или 0, или 1.
Если е Ф 0, е ф\, то из соотношения е2 = е (эквивалентного
равенству е A — е) = 0) вытекает, что е и 1 — е являются делите-
делителями нуля и, следовательно, не могут быть обратимы в R. Таким
образом, идеалы Re и R(l — е) являются собственными в кольце R.
Так как они содержатся в максимальных идеалах, то оба они лежат
в ЯЛ. Следовательно, eg ЯЛ, 1 — е ? ЯЛ и 1 = е + A — е) 6ЯЛ вопреки
условию.
Теорема 3. Кольцо R с единицей, удовлетворяющее у. о. у. ц.,
есть прямая сумма нётеровых примарных колец. Такое представление
в виде прямой суммы единственно.

236 Гл. IV. Нётеровы кольца
Доказательство. Мы видели в § 2, что @) — произве-
произведение степеней У$\^\.. ^(") максимальных идеалов $4, которые
можно считать различными. Для i Ф] идеалы *($iW и tyfli\
согласно теореме 31, гл. III, § 13, комаксимальны (т. е. таковы,
что их сумма есть R). Эта теорема показывает, также, что @) =
?аП B)П ¦ • ¦ П ?«(п>- Обозначим через #4 пересечение f 0
Из теоремы 32, гл. III, § 13, следует, что R — прямая сумма идеа-
идеалов Ri (l<t<n) и что кольцо Ri изоморфно Rl$ll). Это послед-
последнее, как было замечено выше, примарно (и нётерово). Тем самым
существование представления в виде прямой суммы дока-
доказано.
Для доказательства единственности мы заметим, что разложению
в прямую сумму R-= Ri@R2@- • -®Rn соответствует разложение
единицы в сумму 1 = ei + ... + еп ортогональных идемпотентов
(т. е. таких элементов, что eiej = 0 для / Ф}), и обратно.
Если S — какое-нибудь примарное кольцо, то в нем не суще-
существует двух собственных комаксимальных идеалов и, следовательно
(гл. III, § 13, теорема 32), S не является прямой суммой идеалов.
Иначе говоря, элемент 1 кольца S не является суммой двух идемпо-
идемпотентов /, g, отличных от 0 и 1. Применяя эти замечания к кольцам
Rit видим, что если слагаемые &г примарны, то ег не является
суммой двух идемпотентов е4/, е^, отличных от 0 и г(. Поэтому
если мы имеем два разложения 1 = 2ei = 2/j B сумму ортогональ-
i 1
пых идемпотентов, то из соотношения et = 2 eifj заключаем, что
е4 равно одному из ejv,-, скажем e, = eifjW; аналогично /, =/;е4о>.
Таким образом, ^i~^iU^)~eifi(i)eiUwy Отсюда следует, что
i = i [j (гI, так как идемпотенты г4 ортогональны и отличны от 0.
Следовательно, et и ^находятся во взаимно однозначном соответ-
соответствии, а соотношения ei = ej^ (г-), /;-(г) =/;-(»> ei показывают, что они
отличаются только нумерацией.
Заметим, что идеалами $ь ..., ">$п исчерпываются простые идеа-
идеалы R. Действительно, каждый простой идеал $ кольца R содержит
@) = П^> г)> а значит, и некоторый ^54. Поэтому $ = $4. Это
показывает, что R имеет только конечное число простых идеалов.
Последний факт также непосредственно следует из у. о. у. ц.:
предположим, что мы имеем бесконечную последовательность {$4}
различных простых идеалов кольца R. Тогда последовательность
произведений {Щ= $i... $4) убывает и Щп = Шп+1 для достаточно
большого п. Из равенства $i... $„ = ^1... $n*pn+1 мы получаем,
что $„+1 содержит произведение ^Si... $п и, следовательно, содержит
некоторый ф,; для i < п. Это — противоречие, так как все простые
идеалы кольца R максимальны.

$ 3'. Другой метод изучения колец с у. о. у. ц. 237
§ 3'. Другой метод изучения колец с у. о. у. ц. Пусть R — коль-
кольцо с единицей, удовлетворяющее у. о. у. ц. В § 2 (стр. 234) было пока-
показано, что каждый простой идеал кольца R максимален. Обозначим
через j пересечение всех максимальных идеалов кольца R. Так как
R удовлетворяет у. о. у. ц., то ? — уже конечное пересечение таких
п
идеалов из R. Положим j = f| mt. Мы утверждаем, что идеалами
ть т2, ..., тп исчерпываются все простые идеалы кольца R. Пред*
положим, что существует простой идеал р в R, отличный от пц.
Так как тг максимален, то т;(/1? и в т; существует элемент
xt, такой, что Xi$p. Так как идеал р простой, то у — хх ... хп$р.
С другой стороны, из того, что y^xni для 1<г<я, заключаем, что
вопреки тому, что р содержит j. Следовательно, имеет место
Лемма 1. Кольцо R с единицей, удовлетворяющее у. о. у. ц.,
имеет только конечное число простых идеалов тп1( ..., тЛ. Все эти
идеалы максимальны.
Как можно заметить, мы доказали выше также, что ни один
из идеалов тг не содержит пересечения других. Здесь, однако, мы
имеем дело со следующим общим свойством максимальных идеа-
идеалов, имеющим место в любом кольце и в точности совпадающим
с доказанным выше: если mlt т2, ..., ntrt — максимальные идеалы
некоторого кольца R, то только они являются простыми идеалами
этого кольца, содержащими пересечение ГОхПяцП • • • ПНа-
ПНаследующий результат имеет место в произвольном кольце с еди-*
ницей (он важен также и в некоммутативном случае).
Лемма 2. Пусть R — кольцо с единицей. Пересечение j всех
максимальных идеалов кольца R есть множество таких элементов а
из R, для которых 1 +ха обратим при любом х из R.
Доказательство. Рассмотрим сначала элемент а из %
и главный идеал A +ха), порожденный 1 +ха. Если бы этот идеал
содержался в максимальном идеале т, мы бы имели включения
1 + ха € т, а ? т, так как a g j; тогда 1 6 nt, а это невозможно, так как
т ф R. Следовательно, (\+ха) = R1) и элемент 1+ха обратим.
Пусть теперь 1 + ха обратим для каждого х. Предположим, что а
не содержится в каком-нибудь максимальном идеале т. Тогда
m + (a) = R и существует такой элемент х из R, что 1-f-ragm.
Это противоречие. Следовательно, а принадлежит всем максималь-
максимальным идеалам.
*) Мы используем здесь тот факт, что в кольце R с единицей каждый
идеал, отличный от R, содержится в максимальном идеале (гл. III, § 8. заме-
замечание 1, стр. 177).

238 Гл. IV. Нётеровы кольца
Лемма 3. Пусть R — кольцо с единицей, удовлетворяющее
у. о, у. ц. Пересечение г. всех максимальных идеалов кольца R совпа-
совпадает с множеством всех нильпотентных элементов кольца R, т. е.
с радикалом идеала1).
Доказательство. Пусть а — нильпотентный элемент
кольца. R: ah = 0. Так как ah принадлежит каждому идеалу кольца
R, то а принадлежит каждому простому идеалу из R. Следователь-
Следовательно, а ??, обратно, если аб?, то, применяя у. о. у. ц. к убывающей
последовательности главных идеалов (а™), получаем, что существует
целое число h и элемент х из R, такие, что ar = xah*1, т. е.
A — ха) ah = 0. Элемент 1—ха по лемме 2 обратим, так как
a 6 2, поэтому ah = 0. Докажем, что j — нильпотентный идеалТ
т. е. что некоторая степень js идеала % есть @). Более общо:
Лемма 4. В кольце R, удовлетворяющем у. о. у. ц., каждый
идеал а, все элементы которого нильпотентны, сам нильпо-
тентен.
Доказательство. У. о. у. ц., примененное к убываю-
убывающей последовательности {ап}, показывает, что существует такой
показатель h, что Ь = ah = ah+1 = .. . . Предположим, что Ь ф @),
и рассмотрим совокупность (F) всех идеалов № кольца R, таких,
что Ькофф). Так как Ь2 = ЬФ@), b?(F). Поэтому (F) не пуста.
Из у. о. у. ц. выводим, что (F) содержит по крайней мере один
минимальный элемент. Пусть в —такой элемент. Так как Ыф@),
существует такой элемент с в в, что Ьс Ф @). Таким образом,
x>U(c)€(F), где (с) означает идеал Rc-\-Jc (наименьший идеал,
содержащий с). Поэтому х> = (с), так как v — минимальный идеал
из (F). С другой стороны, Ъ-Ъс= Ъ2с = ЪсФ @), а поэтому bcg(F);
отсюда следует, что Ъс = (с), так как (с) —минимальный идеал
из (F). В частности, мы получаем, что с = Ьс, где б?Ь. Отсюда
с = Ьс = Ь2с ==...= bhc= ... . Так как элемент b нильпотентен,.
отсюда следует, что с = 0 вопреки соотношению Ьсф @). Поэтому
должно быть Ь = @), т. е. a — нильпотентный идеал.
Мы в состоянии теперь доказать теорему о строении колец,
удовлетворяющих у. о. у. ц. (теорему 3 из § 3). Действительно,
так как идеал j является конечным пересечением тп1П---Птп
максимальных идеалов ти он будет также произведением идеа-
идеалов rtij (гл. III, § 13, теорема 31). Из равенства ? = @) (лемма 4) мы
заключаем, что @) = tnfm|... m^, а значит, @) = mf Пт^П ¦ • • Птп
(опять по теореме 31 из гл. III, § 13). Остальная часть доказа-
доказательства проводится, как и в § 3.
!) Более общий вариант леммы 3 был доказан в гл. III, § 8, замечание 2,
стр. 177.

§ 4. Теорема Л аскера—Не тер о разложении 239
Замечание 1. Для доказательства единственности разложе-
разложения R = R^ @... @ Rn кольца R в сумму примарных колец можно-
заметить, что такое разложение задает в то же время представление
@) пересечением р|A)П ... Г\#%п) степеней максимальных идеалов
(гл. III, § 13, теорема 32) и представление тс = рх[]... (~|Р„ ради-
радикала j идеала @) пересечением максимальных идеалов. По лемме 1
это последнее представление единственно, причем идеалы $г исчер-
исчерпывают все максимальные идеалы кольца R. Что касается первого
представления, то можно заметить, что p?(i) = ^*>+1 = .. . . Иначе
говоря, s(i) есть наименьший показатель, при котором последова-
последовательность Щ} перестает убывать, и этим pfl) определяется одно-
однозначно.
Замечание 2. Центром второй части доказательства тео-
теоремы 2 из § 2 (т. е. доказательства того, что у. о. у. ц. влечет за собою
выполнение у. о. в. ц. и максимальность простых идеалов) является
доказательство представимости 0 произведением максимальных иде-
идеалов. В этом параграфе дано другое доказательство этого и тем
самым еще одно доказательство теоремы 2.
§ 4. Теорема Ласкера — Нётер о разложении. Теорема, которую
мы докажем в этом параграфе, устанавливает, что в нётеровом коль-
кольце каждый идеал есть конечное пересечение примарных идеалов.
Во многих отношениях эта теорема сводит изучение произвольных
идеалов к изучению примарных. Она не распространяется на ненё-
теровы кольца, даже если допустить бесконечные пересечения.
Теорема была впервые доказана в случае колец полиномов знаме-
знаменитым шахматистом Эмануилом Ласкером, который ввел понятие
примарного идеала. Его доказательство сложно и носит вычисли-
вычислительный характер. Эмми Нётер принадлежит открытие того, что
теорема следует из условия обрыва возрастающих цепей. Доказа-
Доказательство, приводимое здесь, по существу принадлежит ей.
Теорема немедленно следует из двух лемм. Назовем неприводи-
неприводимым идеал, который не является конечным пересечением идеалов,
строго содержащих его. Заметим, что простой идеал неприводим,
но примарный идеал не обязан быть неприводимым. Например,
в кольце полиномов R = k [х, у] от двух неизвестных хну над
полем k идеал т=(х, у) максимальный, поэтому его квадрат
(х2, ху, у2) — примарный идеал. Но т2 есть пересечение двух идеа-
идеалов m2 + R-x и m2 + Ry.
Лемма 1. В кольце R с условием обрыва возрастающих цепей
каждый идеал есть конечное пересечение неприводимых идеалов.
Доказательство. Предположим, что существует идеал,
для которого утверждение леммы неверно. Тогда совокупность (F)

240 Гл. IV. Нётеровы кольца
всех идеалов из R, не являющихся конечными пересечениями
неприводимых идеалов, непуста и, по условию максимальности,
содержит максимальный элемент а. Так как а не может быть
неприводимым, он является пересечением Ь|~]с двух идеалов,
строго содержащих а. Из максимальности а в (F) следует, что
Ь и с —конечные пересечения неприводимых идеалов, а значит,
таким будет и а вопреки предположению.
Лемма 2. В кольце с условием обрыва возрастающих цепей
каждый неприводимый идеал примарен.
Доказательство. Пусть q — идеал в R. Предположим,
что он не примарен, т. е. что существуют элементы Ь, с в R, не содер-
содержащиеся вр такие, что be ? q, а никакая степень b не лежит в q.
Идеалы {с\ : Fs)} образуют возрастающую последовательность.
По условию обрыва возрастающих цепей существует такой пока-
показатель п, что q : (bn) = <\ : Fn+1). Мы утверждаем, что
Я"с)). A)
Ясно, что идеал в правой части A) содержит q. Обратно, если х —
элемент этого идеала, то x — u + ybn=v-\-zc + mc (u,v gq, у,
z?R, m — целое число). Так как fcgq, то Ьх?<\ и тем самым
ybn*l?(\. Из равенства q : (bn) = <\ : (frn+1) заключаем, что ybn?<\,
xgq, а это и доказывает равенство A). Соотношение A) вместе
с предположениями относительно бис доказывает, что <\ не непри-
неприводим: q+ (с) > с\, так как c$q, и q + Rb11 > q, так как 6n+1g Rbr\
Мы могли бы доказать теорему о разложении, но мы предпочи-
предпочитаем дать несколько более сильную формулировку этой теоремы.
Для этого нужно следующее определение: говорят, что представле-
представление а= П^г идеала а пересечением прймарных идеалов q,- (или
г
кратко: примарное представление а) несократимо, если оно удов-
удовлетворяет следующим условиям:
(а) Ни один из идеалов <^ не содержит никакого пересечения
других.
(б) Примарные идеалы qt принадлежат различным простым
идеалам.
Если задано представление а= ["]<*» идеала о пересечением
i
прймарных идеалов, то мы можем получить несократимое пред-
представление следующим образом: во-первых, мы сгруппируем все
qt, которые принадлежат одному и тому же простому идеалу pjt
и возьмем их пересечение q}, являющееся примарным идеалом,
принадлежащим р,- (гл. III, §9, теорема 14). Тогда о=П<1/-
Если какой-либо из ^ содержит пересечение других, то мы отбро-

§ 5. Теоремы единственности 24J
сим его. Продолжая этот процесс, добьемся того, что условие (а)
будет выполнено. Тем самым мы доказали (ввиду лемм 1 и 2) сле-
следующую теорему:
Теорема 4. В кольце R с условием обрыва возрастающих
цепей каждый идеал допускает несократимое представление конеч-
конечным пересечением примарных идеалов.
Теперь охарактеризуем идеалы, совпадающие со своими ради-
радикалами.
Теорема 5. Пусть R — кольцо и а — идеал в R, допускаю-
допускающий несократимое примарное представление а= Пйг- Для того
i
чтобы а был своим собственным радикалом, необходимо и достаточно,
чтобы все q4 были простыми идеалами.
Доказательство. Если q4 простые, то из хп?а за-
заключаем, что хп?цг, х?ц{, т. е. х?а и а — УШ. Обратно, пусть
а = У^а. Обозначим через р4 радикал идеала q4, а через х — какой-
нибудь элемент из П р4. Тогда достаточно большая степень хп эле-
элемента х лежит в каждом q4, а значит, ива. Это показывает, что
х?а и что а=(~)р4. Последнее представление а несократимо, так
г
как в противном случае мы имели бы для некоторого / a =
= П Pi ^> П Йг 13 а, откуда a = f) с|4 вопреки несократимости дан-
гф) *Ф) И=}
ного примарного представления Qq4. Далее, если г/€:р4, то суще-
существует элемент z? f) Pj- такой, что z^pit и мы имеем включения
yz?acz<\%. Следовательно, y€ii и сц = ?4. Это завершает доказа-
доказательство.
Следующие простые свойства будут полезны:
А) Если простой идеал р содержит конечное пересечение P|q.,
то он содержит некоторый q4 (гл. III, §8, стр. 176); если идеалы q4
примарны, то р содержит простой идеал р4, принадлежащий одному
из них.
Б) Если простой идеал р совпадает с конечным пересечением
f|Pi простых идеалов, то ввиду А), он содержит один из р4 и, сле-
следовательно, совпадает с последним. Другие идеалы fy содержат
тогда этот р4.
§ 5. Теоремы единственности. Доказав существование примар-
примарного разложения, естественно приходим к вопросу о его единствен-
единственности. Можно показать на примерах, что примарные идеалы q4
несократимого представления a = (~) ^ не обязаны однозначно
16 Заказ № 617

242 Гл. IV. Нётеровы кольца
определяться идеалом а. Например, если а — идеал {X2, XY)
в кольце полиномов k [X, Y] (k —• поле), то для каждого элемента
с из k имеется соответствующее несократимое разложение ЯгГИг, с
идеала а, где qx=(X) и q2i C = (Y — сХ, X2) (см. теорему 22,
приводимую ниже в § 11). Мы докажем, однако, что принадлежа-
принадлежащие им простые идеалы определены однозначно (теорема 6) и, что
«наиболее важно», среди самих qt есть также однозначно опреде-
определенные идеалы (теорема 8). Мы достигнем этого, дав внутреннее
описание этих идеалов в терминах самого а.
Теорема 6. Пусть R — произвольное кольцо, а — идеал
кольца R, допускающий несократимое примарное представление
П^г и & = уЛси. Для того чтобы простой идеал р кольца R сов-
i
падал с некоторым pit необходимо и достаточно, чтобы существовал
элемент с из R, не принадлежащий а и такой, чтобы идеал а : (с)
был р-примарным. Поэтому простые идеалы pt определяются идеа-
идеалом а однозначно.
Доказательство. Так как наше представление несокра-
несократимо, для любого заданного индекса i найдется элемент с, удовле-
удовлетворяющий условиям с ? П ЧрС^Йг- При таком с идеал а : (с), оче-
видно, содержит <\г и содержится в p,L. С другой стороны, если
ху?а:(с) и х$р{, то хус ? а С с^, откуда, ввиду условия х$рг,
следует, что ус?с\г. Так как г/с G (c)d П <!,•> из предыдущего выте-
}фг
кает включение ус ? а. Это показывает, что у? а : (с). По теореме 13
§ 9 гл. III отсюда следует, что идеал а : (с) примарен и при-
принадлежит р{. Предположим, обратно, что для некоторого элемента с,
не принадлежащего а, идеал а: (с) примарен и принадлежит задан-
заданному простому идеалу р. Записывая равенство а : (с) = |~] {с\г : (с)}
г
и беря радикалы, получим р= f\Y<\i'-(c) ¦ Первая часть дока-
доказательства, примененная к случаю а = С|ь показывает, что |/"с|4: (с)
совпадает с pt, кроме случая с?<^, когда этот радикал есть R.
Таким образом, р — это пересечение некоторых рг и, следователь-
следовательно, совпадает с одним из них ((Б) в § 4, стр. 241). Но это и требо-
требовалось доказать.
Определенные единственным образом простые идеалы, принад-
принадлежащие встречающимся в несократимом примарном представле-
представлении идеала а примарным идеалам, называются ассоциированными
простыми идеалами идеала а или простыми идеалами, принадлежа-
принадлежащими идеалу а, или, короче, простыми идеалами идеала а. Эта тер-
терминология согласуется с употребляющейся для примарных идеалов.
Минимальный элемент в совокупности принадлежащих идеалу

§ 5. Теоремы единственности 243
а простых идеалов (т. е. принадлежащий идеалу а простой идеал,
который не содержит других таких идеалов) называется изолиро-
изолированным простым идеалом идеала а. Простой идеал идеала а, не явля-
являющийся изолированным, называется вложенным. Принадлежащие
идеалу а изолированные простые идеалы допускают следующее
очень простое описание:
Теорема 7. Пусть R — произвольное кольцо, а — идеал R,
допускающий конечное несократимое примарное представление
а= f|<U " :Pi = V^i- Для того чтобы простой идеал р кольца R
i
содержал о, необходимо и достаточно, чтобы р содержал некото-
некоторый pi. Изолированные простые идеалы идеала а являются минималь-
минимальными элементами совокупности простых идеалов кольца R, содержат
щих а.
Доказательство. Второе утверждение следует из пер-
первого. Ясно, что если р содержит некоторый pt, то он содержит о.
Обратно, если р содержит а= f]<U. то он содержит некоторый pit
i
согласно замечанию А) из § 4.
Если а = Q сц — несократимое примарное представление идеа-
г
ла а, говорят, что идеалы <^ будут примарными компонентами
идеала а (в данном представлении); компонента <\{ называется
изолированной или вложенной в соответствии с тем, будет ли при-
принадлежащий ей простой идеал рг изолированным или вложенным.
Охарактеризуем сейчас изолированные примарные компоненты
идеала а в терминах, связанных с самим идеалом а.
Теорема 8. Пусть R — произвольное кольцо, а — идеал
в R, допускающий конечное несократимое примарное представление
а=П<!г. и Pi—принадлежащие идеалам q4 простые идеалы.
Множество (\[ элементов х кольца R, для которых а: (х) (?{>;,
есть идеал кольца R, содержащийся в сц- Если qt — изолированная
примарная компонента идеала а, то <\г совпадает с c\'i, Следова-
Следовательно, изолированные примарные компоненты однозначно опреде-
определяются самим идеалом а.
Доказательство. Третье утверждение следует из вто-
второго и единственности изолированных простых идеалов идеала a
(теорема 6 или теорема 7). Ясно, что если х ? ql, то ух ? ql для всех у
из R. Если х1 и х2 лежат в <\\, то существуют элементы пг, л2 вне
pi, такие, что я^ба и я2^гбй. Тогда nxn2 (xt — х2) € а и я1я2^{
(так как я^рь n2$pi и pt прост). Следовательно, х1 — х2?сн. Это
доказывает, что сн— идеал. Еслихёсн, то хя g a для некоторого я,
не принадлежащего р{. Мы получаем тогда, что хя^сц, я$|)ь
16*

244 Гл. IV. Нётеровы кольца
откуда х?<\г. Это доказывает первое утверждение теоремы. Теперь
пусть идеал <^ изолированный. Для ] Ф i имеем fycjzpj, и суще-
существует такой элемент &>€?,•, что Ь^р». Пусть s(j) — такой пока-
показатель, для которого 6>0>€йг Положим 6= \\ bf1}. Так как идеал
р4 простой, то b§pt. Но Для любого х из q4 мы имеем Ьх 6 а, т. е.
*?cii. Таким образом, <}гС<н, что и требовалось.
Замечание. Элемент Ь, построенный выше (когда q,
изолированный), удовлетворяет условиям Ь$рг и а : (Ь) = сц.
Используя этот элемент 6, мы видим, что если q содержит аир,
примарен, то q должен содержать qi; ибо qZD&qit а значит, qlDci;,
так как Ь(?р4.
Единственность изолированных примарных компонент идеала а
является частным случаем более общего факта. Пусть а = Р) <U —
i
неприводимое примарное разложение a, pt — простые идеалы,
принадлежащие соответствующим <};, и М — совокупность всех pt.
Говорят, что подмножество L множества М является изолированной
системой простых идеалов идеала а, если вместе с любым pt в L
входят все принадлежащие а простые идеалы, содержащиеся в р4.
Система L, состоящая из одного изолированного простого идеала,
есть изолированная система. Если задана изолированная система L
простых идеалов pi идеала а, то пересечение (~]сь соответствую-
щих примарных компонент обозначается через ul и называется
изолированной компонентой идеала а (относительно а = Q q;).
г
Мы докажем, что ul однозначно определяется идеалом а и изолиро-
изолированной системой L и не зависит от заданного несократимого при-
марного представления идеала а. Если выбран максимальный эле-
элемент рг множества L, то множество Lr всех идеалов р3- из L, содер-
содержащихся в рг, очевидно, является изолированной системой. Так
как L конечно, то оно является объединением всех Lr. Поэтому
uL = р| ul , и мы свели доказательство к доказательству единствен-
единственности идеалов aL ¦ Как и в теореме 8, можно доказать существова-
существование элемента 6(Jpr, который лежит в пересечении всех таких qr
что принадлежащие им простые идеалы р^ не содержатся в LT.
В этом случае Ьаь С й. Пусть qj обозначает, как и в теореме 8,
множество всех таких х, что а : (*)<?:&. Так как baLrda и Ь$рТ,
отсюда следует, что az. C2q'r. С другой стороны, если р}- — какой-
нибудь идеал из Lr, Toq^CZq;' (так как р}(Црг), а поэтому в силу
первого утверждения теоремы 8 имеем включение q'rCZ Ц^ ¦ Таким
образом, q'rCZ йь , а, значит, q^. = а^. Это равенство характери-

§ 5. Теоремы единственности 245
зует ul в терминах, связанных только с идеалом а и множеством
LT, и показывает тем самым единственность oL .
В кольце R, в котором каждый собственный простой идеал яв-
является максимальным, вложенных компонент не существует, так
как даже если @) и является простым идеалом, он может принадле-
принадлежать только самому себе. Отсюда вытекает.
Теорема 9. Пусть R — нётерово кольцо, в котором каждый
собственный простой идеал максимален. Тогда каждый идеал а
кольца R однозначно представим конечным несократимым пересе-
пересечением примарных идеалов, а также однозначно представим про-
произведением примарных идеалов, принадлежащих различным простым.
Доказательство. Первое утверждение очевидно. Пусть
теперь а = f"Li —несократимое примарное представление идеала
г
а, и пусть pi ="jA)i. Если некоторый рг не максимален, то pt =
— c\i = @), откуда следует, что о = @) прост. В этом случае
наше утверждение тривиально. Если каждый рь максимален, то
a = Il4i (см- ГЛ- Ш> § 13, теорема 31, соотношение (8)). Если
а = IJ Цз — Другое представление идеала о произведением примар-
з
ных идеалов q^ , таких, что принадлежащие им простые идеалы
являются различными максимальными идеалами, то снова по тео-
теореме 31 § 13 гл. III имеем а = Q а'-, причем это примарное пред-
j
ставление идеала а несократимо в силу свойства А), установленного
в конце § 4 (так как р3- различны и максимальны). Поэтому q'.
совпадают с q4 с точностью до порядка.
Замечание о переходе к факторкольцам.
Пусть R — кольцо, а и Ъ — два его идеала, Ь CZ а. Свойство простоты
(или примарности) а есть свойство факторкольца Rla, означающее,
что Rla — область целостности (или что каждый делитель нуля
в Rla нильпотентен). Таким образом, если а —простой (или примар-
ный) идеал в R, идеал а/Ъ кольца Rib будет также простым (или
примарным). Поэтому радикал идеала а/Ь совпадет с ~\f alb. Следо-
Следовательно, если а= Qqj —несократимое примарное представление
идеала а и если рг = |Ли> то а^ — П(Ч^Ь) — несократимое
примарное представление идеала о/Б, a pj'b — простые идеалы,
принадлежащие идеалу а/Ь. Далее, изолированным (или вложен-
вложенным) простым идеалам и компонентам идеала а соответствуют изоли-
изолированные (или вложенные) простые идеалы и компоненты идеала а/Ъ.

246 Гл. IV. Нётеровы кольца
§ 6. Приложения: делители нуля и нильпотентные элементы.
Теорема 10. Пусть R — кольцо и а — идеал в R, допускающий
конечное несократимое примарное представление а = (~) q{. Ради-
i
кал идеала а является пересечением изолированных простых идеалов
идеала а.
Доказательство. Поскольку радикал пересечения ко-
конечного числа идеалов совпадает с пересечением их радикалов,
радикал а будет пересечением всех простых идеалов pi; принадлежа-
принадлежащих идеалу а. В этом пересечении мы можем опустить вложенные
простые идеалы.
Следствие. В нётеровом кольце R множество нильпотент-
ных элементов есть пересечение изолированных простых идеалов
идеала @) (т. е. минимальных простых идеалов кольца R; ср. по-
последнюю часть теоремы 7).
Отметим еще такое следствие теоремы 10: У а является простым
идеалом тогда и только тогда, когда а имеет единственный изоли-
изолированный простой идеал. Впоследствии будет доказано (см. § 11,
теорему 21), что в нётеровой области всегда существует идеал, имею-
имеющий предписанное (конечное) множество принадлежащих ему
простых идеалов, отличных от @). Отсюда следует, что У а может
быть простым и в том случае, когда а не является примарным.
Следующий пример может служить простой иллюстрацией этого:
в кольце полиномов k lx, у] над полем k возьмем рг = (х), р2 = (х, у),
а = Pi П Рг- Тогда идеалы рх и р2 просты, р22 примарен, но а
не примарен (так как piQPa—несократимое примарное представ-
представление а) и У а = рх.
Теорема 11. Пусть R — нётерово кольцо, аиЪ — два идеала
в R, причем а Ф R. Тогда равенство а = а : Ь выполняется в том
и только том случае, когда Ь не содержится ни в одном простом идеа-
идеале, принадлежащем а.
Доказательство. Мы используем свойства частного
идеалов, приведенные в гл. III, § 7. Пусть а = f] (\г — несократи-
несократимое примарное представление а, и пусть р4 = Уц{. Если Ь не со-
содержится ни в одном из pi; то из включения (а:Ь) fcdad<U мы
выводим, что а : bdfo и, следовательно, а : Ь = а, так как частное
а : Ъ, очевидно, содержит а. Обратно, если а : Ъ = а, то а : Ь3 = а для
всех s. Если вопреки нашему предположению Ь содержится в неко-
некотором pi, скажем Ьdpi, то существует показатель s, при котором
bs d pf d <h (так как pt имеет конечный базис), и мы имеем цх: V = R.
Отсюда следует, что а= а: ЬЧ=П (<h'-Ь?) = П (q;-: Ь3) Z) ПЙ;-d)а

§ 6. Приложения: делители нуля и нильпотентные элементы 247
и поэтому а = П <h, что противоречит несократимости представ-
ления.
Следствие 1. Для того чтобы идеал Ь нётерова кольца
R содержался в некотором простом идеале, принадлежащем а,
необходимо и достаточно, чтобы а : Ь Ф а.
Это переформулировка теоремы 11. Заметим, что это следствие
показывает однозначную определенность максимальных простых
идеалов, принадлежащих идеалу а.
Следствие2. Для того чтобы элемент х нётерова кольца R
лежал в некотором простом идеале, принадлежащем идеалу
а кольца R, необходимо и достаточно, чтобы существовал элемент
у$а> для которого ху?а.
Применяем следствие 1 к идеалу Ъ = (х).
Следствие 3. В нётеровом кольце R множество всех дели-
делителей нуля есть объединение всех простых идеалов {изолированных
и вложенных), принадлежащих идеалу @).
Применяем следствие 2 к идеалу а = @).
Замечание. Идеал нётерова кольца R целиком состоит
из делителей нуля тогда и только тогда, когда он содержится в не-
некотором простом идеале, принадлежащем идеалу @). Это вытекает
из следствия 3 и из следующего факта, который иногда полезен: если
идеал а содержится в конечном объединении [j р4 простых идеалов,
г
то он содержится в одном из них. Действительно, мы можем пред-
предположить, что для i Ф j имеем piQ^pf, в противном случае ни усло-
условия, ни утверждение не пострадают, если идеал р{ опустить. Пред-
Предположим теперь, что а не содержится ни в одном из р4. Тогда для
любого i имеет место тот факт, что идеал а|~) Пр;- не содержится в р,
i?-i
[см. свойство А) в конце § 4, стр. 241 ]. Если а{ — элемент, принад-
принадлежащий этому идеалу, но не рь то элемент 2аг принадлежит а
г
и не лежит ни в каком р4 вопреки условию am [jpi- Последний
г
результат показывает также, что конечное объединение у р4 про-
i
стых идеалов никогда не будет идеалом, за исключением тривиаль-
тривиального случая, когда все pt содержатся в одном из них. В противо-
противоположность этому нетривиальное конечное объединение идеалов
может быть идеалом, если объединяемые идеалы не просты. Напри-
Например, если R — какая-нибудь конечная аддитивная не цикличе-
циклическая группа и если мы положим ху = 0 для всех х, у из R, то
(х) Ф R для всех х в R, но U {х) — единичный идеал. Точно так же
R

248 Гл. IV. Нётеровы кольца
если k — конечное поле и R— факторкольцо k [X, Y]I(X2, XY,
Y2) = k [x, у] (где x и у — классы вычетов, соответствующие X
и Y), то конечное объединение JJ {ах + by) есть идеал (х, у).
а, Ь?к
§ 7. Приложение: пересечение степеней идеала. Для доказатель-
доказательства основной теоремы этого параграфа нам потребуются две леммы:
Лемма 1. Пусть R — нётерово кольцо, а и m — два идеала
кольца R. Тогда существуют целое число s и идеал а' кольца R,
такие, что та = а[~\а' и а' ZJms.
Доказательство. Пусть {<^} ({aj}) — множество при-
марных компонент идеала та, простые идеалы которых содержат
(соответственно не содержат) идеал т. Положим а' = (~| q\,
i
а"= f~] q"j. Тогда та = а'(~|а", причем существует такое целое
i
число s, чтот5 ci я'. С другой стороны, если мы фиксируем элемент
</,-?т, не содержащийся в У<{], то мы имеем для любого х из а
включение i/;a:Gтаdqj. Отсюда xgo'f и, следовательно, аCZ а". Так
как macia, то ma = maPja = а'Р)а"Па= a'cza, и лемма доказана.
Лемма 2. Пусть R — произвольное кольцо с единицей, а и
т — два таких идеала кольца R, что а имеет конечный базис
{xi, ..., хп) и а = am. Тогда существует элемент z из т, удовлетво-
удовлетворяющий условию A — z) a = @).
Доказательство. Обозначим через сц идеал (xt, . . ., хп)
(так что fli = а) и положим an+1= @). Мы докажем индукцией по i
существование элемента zt идеала т, для которого A—zt) аС1а4;
тогда zn+i будет нужным нам элементом z. Для i = 1 достаточно
взять 2i = 0. Из условия A —гг) acz аг и включения aczma выводим;
что A—zt) adnt(l—zt) aczmaj-, в частности, мы имеем равен-
ство A — Zj) Xi — Y. zijxj, гДе zij €m- Следовательно, A— г4 —
— zu)Xi б ai+i, и мы можем взять 1—zi+1 = (l—24)A—гг — zH).
Более изящное доказательство леммы 2 может быть получено,
если мы используем определители, теория которых может быть
развита в любом коммутативном кольце так же хорошо, как и в поле.
п
Так как a = ma, мы имеем соотношения х% = 2 У\)х^ гДе Уг^т^
или 2(Sij—Hij) Xj = 0, гдеб|^ есть 0 или 1 в зависимости от того,
различны i и / или одинаковы. Если через d обозначить определи-
определитель |8^— yi}\, то обычное рассуждение, приводящее к правилу

§ 7. Приложение: пересечение степеней идеала 249-
Крамера, показывает, что dxj = 0 для всех /, т. е. da = @). Раскры-
Раскрытие же определителя дает, что d = 1 — z, 2gm.
Теорема 12 (К р у л л ь). Пусть R — нётерово кольцо,
оо
m — идеал в R. Для выполнения равенства f] m11 = @) необходимо
и достаточно, чтобы ни один элемент из 1 — т1) не был бы делите-
делителем нуля в кольце R.
Доказательство. Если элемент 1 — z из 1 — m
является делителем нуля, например A—z)y — 0, уфО, то у =
= zy = z2y = . . . =zny. Поэтому у принадлежит fJmU- Обратно,
п
предположим, что ни один элемент из 1 — m не является в кольце R
делителем нуля. Пусть а = Пт"- Согласно лемме 1, имеем соотно-
аЗаПпг5 = а и, следовательно, та= а. Отсюда, по лемме 2,
вытекает существование элемента z?m, для которого A — z)a =
= @). Так как 1 — г не является делителем нуля, то а = @).
Заметим, что в предыдущем доказательстве мы использовали
лемму 1 (которая будет особенно полезна для нас в гл. VIII о локаль-
локальной алгебре) для установления равенства та = а. Это равенство
может быть также доказано следующим, несколько более простым
способом.
Пусть am = f] qt—несократимое примарное представление
г
идеала am. Так как omen, для доказательства равенства am=a
следует показать лишь, что acz^i Для всех i. Но amCKU. Тогда
если тсТ^Рь то непременно должно быть a CZHi- Если же mczpi,
то для некоторого показателя п будет иметь место включение mtcjj,
следовательно, ac;mncZcii.
Следствие 1. Если R — нётерова область и если т —
идеал в R, отличный от R, то f\mn = @).
п
Это следствие показывает, что если m Ф @) (и R — нётерова
область), то mvфтч для р ф q, так как в противном случае мы
имели бы, например при р < q, что тр = mp+1. Умножая на т,
приходим к равенству тр+2 = тр+1 = тр, а далее индукцией по п
получаем, что mp+fl = mp при всех п. Отсюда следовало бы проти-
противоречивое равенство тр = @).
Следствие 2. Если R — нётерово кольцо, в котором не-
необратимые элементы образуют идеал т (т. е. если R — «локальное
кольцо», см. § 11, стр. 263), то Пт™= @)-
х) Под 1—т подразумевается множество элементов вида 1—л, где

250 Гл. IV. Нётеровы кольца
Действительно, так как элемент 1 — тп не входит в т, то каждый
элемент 1 — m обратим и поэтому не может быть делителем нуля.
В силу следствия 3 теоремы 11 § 6, множество делителей нуля
в нётеровом кольце R есть объединение (J рг простых идеалов,
г
принадлежащих идеалу @). Поэтому условие теоремы 12 может
быть записано так: A —тп)Пр1 = 0 Для каждого i (это равно-
равносильно тому, что m + Pi ф R Для любого I). Таким образом, при
переходе к факторкольцу R/a (см. замечание в конце § 5) теорема 12
дает следующий результат:
Теорема 12'. Пусть R — нётерово кольцо, и пусть т и а —
два идеала в R. Для справедливости равенства |~| (а + mn) = а
п
необходимо и достаточно, чтобы т -f pt Ф R для каждого простого
идеала pt, принадлежащего идеалу а.
Пусть задан идеал m кольца R. Тогда идеал а этого кольца назы-
называется замкнутым (относительно тп), если П (а + mU) = а-
п
Действительно, мы можем определить в кольце R топологию,
взяв степени {т"} в качестве системы окрестностей нуля, а в каче-
качестве окрестностей произвольного х из R ¦— классы вычетов {х+т"}.
Легко проверить, что таким образом R становится топологиче-
топологическим кольцом. Равенство f]m!' = @) означает, что пространство
п
R хаусдорфово, а равенство П (а + m") = a показывает замк-
п
нутость идеала а. „,
Можно поставить вопрос о полноте R относительно этой тополо-
топологии. Этот вопрос играет очень важную роль в теории локальных
и полулокальных колец, развиваемой в гл. VIII. Следующая лемма
является в сущности хорошо известным топологическим фактом:
Лемма 3. Если задано кольцо R, идеал т из R и совокупность
{а>„} идеалов кольца R, замкнутых относительно т, то пересечение
П а>, замкнуто.
х
Это следует из очевидного включения (Па0 + ntuczD(ax +ntn)
и из ассоциативности пересечения.
Мы теперь определим «замыкание» идеала.
Теорема 13. Пусть задано нётерово кольцо R и два идеала
т. и а из R. Пересечение (~| (а + т") есть пересечение тех примарных
п
компонент цг идеала о, радикалы рг которых удовлетворяют соот-
соотношению т + pt Ф R.
Доказательство. Пусть Ь = f|с\г. Так как каждый qt
г
замкнут (теорема 12'), то идеал Ь также замкнут (лемма 3), и имеет

§ 8. Расширенные и сокращенные идеалы 251
место равенство Ь= [)(Ь + mn). Пусть теперь {^}—другие
примарные компоненты а и {pj} — их радикалы. Так как m
= R, то m комаксимален с каждым из $, а поэтому и с каждым
(^у, следовательно, то комаксимален также с пересечением Ь' идеа-
идеалов (\'j, поэтому идеал та также комаксимален с Б' (гл. III, § 13,
теорема 31). Другими словами, Ь'-\- тп= R для всех п. Значит
Ь = (Ь'+ wi") Ь = Ь'Ь + m?l6cza + ш" для всех п (на топологиче-
топологическом языке это означает, что а плотен в 6). Из условий aCZb,
Ь = П (Ь + т") выводим, что Ь = f](a + т"), а ЭТ0 и нужно.
п
Следствие. Если задан идеал т в нётеровом кольце R,
то [)тп-—пересечение тех примарных компонент q, идеала @),
п
радикалы рг которых удовлетворяют соотношению m + р{ Ф R.
Достаточно взять в теореме 13 о = @).
§ 8. Расширенные и сокращенные идеалы. Мы видели, что суще-
существует достаточно простая связь между идеалами кольца и идеа-
идеалами его факторкольца (см. гл. III, § 4, 5, в частности теорему 7
в § 5). Связь между идеалами становится гораздо более сложной,
если мы рассмотрим кольцо S и егоподкольцо/?. Проблема устано-
установления связи между идеалами в этом случае не многим проще, чем в
следующей, существенно более общей ситуации, которую мы и будем
изучать: пусть заданы два кольца R и S с единицами и гомоморфизм
/ кольца R в S, для которого / A) = 1; постараемся усмотреть связь
между идеалами колец R и S. Идеалы кольца R будем обозначать
малыми готическими буквами (а, 6, . . .), а идеалы кольца S —
большими готическими (ЭД, 33, . . .). Кольца R и S в наших рассмо-
рассмотрениях не предполагаются обязательно нётеровыми, так как из
этого предположения вытекает очень мало дополнительных резуль-
результатов. Случай, когда R есть подкольцо кольца S, включается в наши
рассмотрения, если взять в качестве / тождественное отображение
кольца R в S.
Определение. Если St — идеал кольца S, то идеал
91° = /~1(Я) назовем сокращенным идеалом или сокращением идеала Я.
Если а — идеал кольца R, то идеал ae~Sf(a), порожденный
множеством f (a) в кольце S, назовем расширенным идеалом или
расширением идеала а.
Если R — подкольцо кольца S, то идеал 91° есть пересечение
он содержит каждый идеал кольца R, содержащийся в 91,
и является наибольшим идеалом кольца R, содержащимся в 91.
Аналогично идеал а6 в этом случае порождается множеством a
в кольце S; он содержится в каждом идеале кольца S, содержащем а,
и является наименьшим идеалом кольца S, содержащим множе-

252 Гл. IV. Нётеровы кольца
ство а. Этот идеал состоит из всех элементов кольца S, представимых
в форме sLai + s2a2 + ... + snan, где п — произвольное положитель-
положительное целое число, s, 6 S, а^ ? a, i = 1, 2, ..., п.
Понятно, что SC = R, Re = S, (R0)e = SO и что (S0)c — ядро
гомоморфизма /.
Легко проверить следующие соотношения:
Если 21С S3, то 2TczS3c, если ааЪ, то aeczbe, A)
9FCSI; aeczia, B)
2tcec = 2tc; aece = oe C)
(по B) имеем включение 2lceCZ2l, следовательно, по A) SlCBCCZ2tc;
с другой стороны, в силу B), 8Icec=(Slc)ecZD 21е. Аналогично для дру-
другой формулы.)
ае + Ь% D)
(Si n S3)c = 2ic П ssc; (аПЬ)ес:аепье, E)
BШ)й:з9гас; (аЬ)е = ае6е, F)
(81: Я3)с d 9СС: SBe; (о : tN(Zae: Ь«. G)
[Вторая из формул G) следует из равенства (а : Ь)еЬе =
— {(а : b)b)eCZae, которое справедливо согласно F).]
(Vu)e = VW;(V*)ec:V~?- (8)
В A) мы не можем утверждать ни того, что 91е < 23е, если 81 < S3,
ни того, что а" < Ье, если a < Ь. Например, если R — область целост-
целостности, а S — ее поле частных, то при а ф @) будет ае = Re = S,
даже если а ф R. В B) — (8) ни одно из включений в общем слу-
случае нельзя заменить на равенство.
Заметим, что ввиду C) включения B) переходят в равенство,
если B1) — расширенный идеал, а a — сокращенный идеал. Однако
в общем случае идеал кольца S не обязательно является расширен-
расширенным и тем самым не обязан быть расширением своего сокращения.
Мы можем, следовательно, иметь неравенство 21се < 21. Идеал коль-
кольца R также не обязан быть сокращенным идеалом и тем самым
сокращением своего расширения. Следовательно, может иметь
место неравенство аес>а. Можно лишь сказать, используя C), что
если идеал кольца S является расширенным, то он есть расширение
своего сокращения. Аналогично сокращенный идеал кольца R является
сокращением своего расширения.
Иначе говоря, если мы обозначим через (Е) множество всех
расширенных идеалов из S, а через (С) — множество всех сокращен-

§ 8. Расширенные и сокращенные идеалы 253
ных идеалов кольца R, то отображения 91 -» 9Г и а -» ае являются
взаимно однозначными и взаимно обратными отображениями (?)
на (С) и (С) на (Я). Конечно, это не исключает такой возможности
что члены множества (Е) могут быть также расширениями идеалов,
не содержащихся в (С), а члены (С) — сокращениями идеалов, не
принадлежащих (?).
Взаимно однозначное соответствие между идеалами в (С) и (Е)
является изоморфизмом по отношению к основным операциям тео-
теории идеалов (взятие суммы, произведения, пересечения, частного,
радикала), если только эти операции не приводят к идеалам, не
принадлежащим множествам (С) или (Е).
Случаи, когда это условие выполняется, даются равенствами
в формулах D) — F) и (8). Эти формулы показывают, что множе-
множество (Е) замкнуто по отношению к сложению и умножению, а множе-
множество (С) замкнуто относительно пересечения и образования радика-
радикалов. Мы сейчас покажем, что (С) замкнуто также относительно
деления.
Доказательство. Пусть а и Ь — сокращенные идеалы
в R. Имеем 91 = ае, S3 = Ьв. Следовательно, а = 81е и Б = 33е.
Наше утверждение, что а: Б ? (С) будет доказано, если доказать
следующее, более общее: (*) если 91 — произвольный идеал из S и
23б(?), то 21е: 23е = (91 : Щс. В силу G), достаточно доказать,
что 9Г: 23е CZ (91 : 23)с. Имеем (81е: 23с)е23 = B1е: 23е)8 23ее, что в свою
очередь, в силу включения S3 G (?), равно ((91е : 23е) 23е)е С 8Г С %
следовательно, (91е : 23c)eCl9l : 23 и (91е : 23е)d (91е : 23°)ecCZ(9t : S3)e,
как и утверждалось. Этим доказано, что (С) замкнуто относительно
деления.
Предыдущие рассуждения обнаруживают, что если о, Ь?(С),
то не только а : Ъ содержится в (С), но имеет место также равен-
равенство а : Ь — (ае : Ъе)с по (*).
Если $ — простой идеал кольца S, а О является %-примарным
идеалом в S, то тривиально проверяется, что $е прост и О? прима-
рен и принадлежит простому идеалу $е. Если 91 — идеал кольца S,
имеющий примарное представление 91 = f) Dt, то поведение пересе-
пересечений при взятии прообразов показывает, что 91е = |~| Q? — при-
примарное представление идеала %с. Но это представление не обязано
быть несократимым при несократимости исходного представления
для 91. Поведение простых и примарных идеалов кольца R при рас-
расширениях менее просто; р может быть простым в R, тогда
как рв не будет простым в S. Исследование строения идеала ре яв-
является в действительности одной из центральных проблем теории
идеалов.
Мы изучим частные случаи этой проблемы в следующем пара-
параграфе и в следующей главе.

254 Гл. IV. Нётеровы кольца
Если заданы три кольца R, S, Т и два гомоморфизма / кольца
/ е
R в S и g кольца S в Т {R -» S -» Т), то для любого идеала а коль-
кольца R справедливо следующее утверждение: расширение (при гомо-
гомоморфизме g) расширения (при гомоморфизме /) идеала а совпадает
с расширением (в Т) идеала а (при гомоморфизме fg). Аналогичное
свойство имеет место для сокращений. В частности, если мы имеем
коммутативную диаграмму колец и гомоморфизмов
(т. е. если гомоморфизм fh кольца R в S' совпадает с гомоморфиз-
гомоморфизмом g/'). то, взяв для заданного идеала а последовательно расшире-
расширение при гомоморфизме / и расширение при гомоморфизме h, полу-
получим тот же идеал кольца S', что и при последовательном взятии
расширений при гомоморфизмах gup; аналогично для сокращений.
Важный частный случай этой ситуации: R и S являются подколь-
цами колец R' и S', а / и /'— тождественными отображениями.
В этом случае g — ограничение гомоморфизма L на кольце R.
§ 9. Кольца частных. Пусть R — кольцо с единицей (не обяза-
обязательно нётерово). Мы видели (в гл. I, § 19), что R имеет полное
кольцо частных F, т. е. кольцо F, содержащее R в качестве своего
подкольца и такое, в котором каждый регулярный элемент из R
(т. е. элемент из R, не являющийся делителем нуля) будет обрати-
обратимым. При этом каждый элемент из F может быть записан в форме
alb (a, b?R, b регулярен в R). В гл. I, § 20, мы определили
мультипликативную систему в кольце R как непустое подмноже-
подмножество MdR, не содержащее нуля и замкнутое относительно умноже-
умножения. Если все элементы М регулярны (в этом случае говорят, что
мультипликативная система М регулярна), мы определили кольцо
частных Rm кольца R относительно М как множество всех дро-
дробей aim, где а ? R, т?М. Оно является подкольцом полного кольца
частных F кольца R.
Если в R задана мультипликативная система М, содержащая
делители нуля, кольцо частных Rm не может быть определено так
непосредственно. Действительно, будущее кольцо частных RM
в регулярном случае должно обладать тем свойством, что элементы
множества М становятся обратимыми в RM, а делитель нуля никогда
не может быть обратимым. Мы сейчас несколько обобщим понятие
кольца частных. Рассмотрим гомоморфизм / кольца R в кольцо 5,
такой, что элемент f{m) обратим в S для любого т?М, где М —
заданная мультипликативная система в R. Если х — элемент из R,

§ 9. Кольца частных 255
для которого тх = 0 при некотором т из М, то О = / (хт) —
= f (x) f (т)- Но так как / (/л) обратим в S, это влечет равенство
/ (х) = 0. Другими словами, ядро гомоморфизма / должно содер-
содержать множество п всех элементов х из R, для которых существует
элемент т из М, удовлетворяющий равенству тх = 0. Так как
множество М мультипликативно замкнуто, множество п является,
как легко проверить, идеалом кольца R. Ввиду условий 0§М имеем
1$пип^=^. Поэтому образ / {R) кольца R в S изоморфен фактор-
кольцу кольца Rln, и / определяет гомоморфизм /' кольца Rln в S.
Канонический образ М = (М + п)/п множества М в кольце Rln,
очевидно, замкнут относительно умножения. Кроме того, М не
содержит делителей нуля: если х-т = 0 {x?R!n; т?М), а х, т —
представители классов х и т из R и из М, то хт ? п, хтт' = 0
для подходящего элемента т из М, и так как тт'?М, то x?tt
и х = 0. Таким образом, М — регулярная мультипликативная
система в кольце Rln, и мы можем поэтому построить обычное
кольцо частных (R/n)Ti. Так как каждый элемент из /' (М) (= / (М))
обратим в S, гомоморфизм /' может быть расширен до гомоморфиз-
гомоморфизма (по-прежнему обозначаемого /') кольца {Rln)^ в кольцо S, если
положить /' (х/т) = f (x)lf (m) (то, что отображение /' однозначно
и является гомоморфизмом, легко доказывается, как и в теореме 16
гл. I, § 19). Кольцо (R/n)^ называется кольцом частных кольца R
относительно мультипликативной системы М и обозначается RM-
Заметим, что если система М регулярна, то п = @), R/n = R,
М = М, так что новая терминология и обозначения совпадают
со старыми. Кольцо частных RM имеет следующее свойство:
Существует гомоморфизм h кольца R в RM, такой, что:
1) Ядро п гомоморфизма h является множеством всех элементов х
из R, для которых существует такой т из М, что выполняется
равенство хт = 0.
2) Элементы из h (M) обратимы в RM.
3) Каждый элемент из RM может быть записан в виде дроби
h(x)/h (/л) (*€Я, т?М).
Один из таких гомоморфизмов h есть произведение «рф, где
Ф — канонический гомоморфизм R на Rln, а гр — канонический
изоморфизм Rln в (Rln)jj.
Предыдущие рассмотрения легко обнаруживают по существу
единственность кольца RM и гомоморфизма h, удовлетворяющего
условиям 1), 2) и 3). Именно, если h — такой гомоморфизм (т. с.
h = фг|)), S — какое-нибудь кольцо, a f — гомоморфизм кольца R
в S, удовлетворяющий условиям 1), 2) и 3), когда в них h и RM заме-
заменяются соответственно на f и S, то существует такой изоморфизм
f кольца RM на S, что f = hf.

256 Гл. IV. Нётеровы кольца
Действительно, при этих условиях ядро / совпадает с ядром h.
Поэтому определяемый гомоморфизмом / гомоморфизм /' кольца
?/it (= h(R)) в кольцо 5 является изоморфизмом. Следовательно,
изоморфизмом будет и продолжение/' на кольцо RM (это продолже-
продолжение мы будем обозначать также /'). С другой стороны, так как мы
предположили, что каждый элемент из 5 представляется в виде
f(x)lf(m) (x?R, т?М), то /'•—обязательно изоморфизм на 5, и из
определения /' видно, что / = hf.
Указанный выше специальный гомоморфизм h = срт]; кольца R
в RM называется каноническим (или естественным). В процессе
предыдущих рассмотрений мы доказали также следующее «универ-
«универсальное свойство» кольца RM:
Теорема 14. Пусть М — мультипликативная система
в кольце R с единицей и h — канонический гомоморфизм этого коль-
кольца в кольцо частных RM- Для каждого гомоморфизма f кольца R
в кольцо S, при котором каждый элемент из f (M) обратим, суще-
существует гомоморфизм f кольца RM в S, такой, что f = hf.
Замечание. Если М и М'—две мультипликативные си-
системы в кольце R, причем МаМ' и каждый элемент из М' является
произведением элемента из М и обратимого элемента из R, то
Rm = Rm'-
Это очевидно, если система М, а значит, и М' регулярна. В об-
общем случае мы замечаем, что наши предположения влекут за собой
то, что множество п элементов х из R, для которых существует
элемент т из М, удовлетворяющий соотношению хт = О, совпа-
совпадает с множеством элементов х из R, для которых существует
элемент т из ЛГ, такой, что хт'= 0. Это показывает, что RM'=
= G?/n)jjj,, где М' = (ЛГ + п)/п. С другой стороны, мы имеем
Лм= (#/n)jjj, где М = (М + п)/п. Теперь мы знаем, что М —
регулярная мультипликативная система, и ясно, что МаМ' и что
каждый элемент из М' есть произведение элемента из М и обратимого
элемента из R/n. Следовательно, (R/n)-^, = (R/n)-^, т. е. RM, = RM,
как и утверждалось.
§ 10. Связь между идеалами кольца В и идеалами из Им- Мы
изучим связь между идеалами из R (обозначаемыми о, Ь, . . .)
и идеалами из RM (обозначаемыми о', Ъ', . . .). Расширения и сокра-
сокращения берутся относительно канонического гомоморфизма h (§ 9).
Удобна следующая терминология: говорят, что элемент х коль-
кольца R прост с идеалом а из R, если а : (х) = а (т. е. если его класс
вычетов по модулю а не является делителем нуля в R/a). Подмноже-
Подмножество Е из R просто с а, если каждый из его элементов прост с о.

§ 10. Связь между идеалами кольца R и идеалами из Ry[ 257
Если а — конечное пересечение примарных идеалов, подмноже-
подмножество Е из R просто с а тогда и только тогда, когда оно не пересе-
пересекается с объединением простых идеалов, принадлежащих идеалу а
(§ 6, теорема 11).
Теорема 15. Пусть М — мультипликативная система
в кольце R с единицей и RM — кольцо частных для R относительно М.
(а) Если а — идеал кольца R, то аес состоит из всех элементов
b? R, таких, что Ьт?а для некоторого т из М.
(б) Идеал а в R является сокращенным (т. с. а = аес) тогда
и только тогда, когда М просто с а.
(в) Каждый идеал кольца RM является расширенным (т. е.
а'= а'се).
(г) Отображение а —> ае является взаимно однозначным отображе-
отображением множества (С) сокращенных идеалов кольца R на множество
всех идеалов из RM. Это отображение является изоморфизмом по
отношению к операциям образования пересечения, деления и взятия
радикала.
Доказательство, (а) любой элемент b из аес таков,
что h (b) ? ое. По свойству C) кольца RM, указанному в § 9, стр. 255,
любой элемент из ае может быть записан в форме 2 (h (xj/h (т{)) h (а4)
г
(xi?R, т^М, аг?а). Так как М замкнута относительно умножения,
приведение к общему знаменателю т = [] тг 6 М показывает,
что любой элемент из а" может быть записан в форме' h (a)lh (m)
{а?а,т?М). Таким образом, утверждение Ь6аес эквивалентно
тому, что существуют элементы а?о и т?М, такие, что h (b) =
= h (a)lh (m). Но это все равно, что существуют элементы
ago и т?М, для которых h(bm — a)— 0". Приведенное выше опи-
описание ядра п гомоморфизма h показывает, что это условие эквива-
эквивалентно следующему: существуют элементы а?а, т, т'?М, для
которых (Ьт — а) т'= 0, и это влечет существование элемента
т"( = mm') из М, такого, что Ът"?. а. Обратно, существование такого
элемента т" ? М влечет за собой включение h (b) h (m") ? h (a).
Отсюда следует, что h (Ь)?ае(так как h (m") обратим в #м), т. е.
Ь?аес. Это доказывает (а); (б) следует из (а) и из смысла выражения
«М просто с о».
Докажем (в). Если о'— идеал кольца RM, то каждый элемент
х из а' может быть записан в форме
x' = h(x)/h(m) (x?R, m?M).
Поэтому h (х) ? а', х? а'с и х ? а'се. Таким образом,"a cz й'се. Так
как обратное включение очевидно [ср. с B) из § 8], то (в) доказано.
Теперь (г) непосредственно следует из (в) и из рассмотрений § 8,

258 Гл. IV. Нётеровы кольца
если учесть тот тривиальный факт, что множество всех идеалов
в RM замкнуто относительно операций теории идеалов.
Следствие 1. Если R нётерово, то RM также нётерово.
Используем взаимно однозначное отображение, определенное
в (г), и условие максимальности. Можно также воспользоваться (в)
и свойством конечности базиса.
Следствие 2. Соотношение а" =/= RM выполняется тогда
и только тогда, когда uf\M = 0.
Заметим, что равенство ae = RM эквивалентно тому, что 1 ? аес,
и воспользуемся утверждением (а).
Мы изучим теперь поведение простых и примарных идеалов
кольца R при расширении.
Теорема 16. Пусть q — примарныи идеал из R, не пере-
пересекающийся с М, и пусть р — его (простой) радикал. Тогда
(а) р не пересекается с М, р и q являются сокращенными идеалами
и оба содержат ядро п гомоморфизма h\ (б) qe примарен и ре —
принадлежащий ему простой идеал.
Доказательство. Если х — произвольный элемент из р,
то некоторая степень х содержится в q, а если х — элемент из М,
то любая степень х принадлежит М. Это показывает, что если q
не пересекается с М, то р также не пересекается с М. Пустота
пересечения р и М влечет простоту М с обоими идеалами р и q,
и поэтому второе утверждение пункта (а) следует из теоремы 15 (б).
Последнее утверждение из (а), очевидно, следует из второго утверж-
утверждения. Для доказательства (б) мы заметим сначала, что ре содер-
содержится в радикале идеала qe[(8), § 8]. Пусть теперь х , у'—эле-
у'—элементы кольца RM, такие, что х (J ре и х у 6 of. Мы можем написать
x'=h(x)Ih{m) (х$р, m?M), y'= h (y)lh {m) (y?R, m'?M),
х'у = h (z)lh (m") (z6 q, m" 6 М) и поэтому h (xym"— mm'г) --= 0.
Это значит, что элемент mt из М существует и такой, что mt (xym"—
— mm'z) = 0. Поэтому т^хут"— элемент из q. Так как М не пере-
пересекается с р и х$р, то т^хт"§.р, а значит, у ?q, у' ?qe.
В частном случае, когда q = р, это показывает, что идеал ре
прост. В общем случае доказанное свидетельствует о выполнении
условий, характеризующих примарныи идеал и его простой радикал.
Тем самым (б) доказано.
Следствие 1. Отображение р —-> ре является взаимно одно-
однозначным отображением множества всех сокращенных простых идеа-
идеалов кольца R (или, что то же самое, множества всех простых
идеалов кольца R, не пересекающихся с М) на множество всех про-
простых идеалов кольца RM-

§ 10. Связь между идеалами кольца R и идеалами из R^ 259
Это вытекает из теоремы 16 и следующего замечания: каждый
идеал (и, в частности, каждый простой идеал) р' кольца RM яв-
является расширением своего сокращения [теорема 15 (в), причем
сокращение простого идеала является простым идеалом (§8, стр.253).
Следствие 2. Если задан сокращенный простой идеал р
из кольца R, то отображение q—>qe является взаимно однозначным
отображением множества всех р-примарных идеалов кольца R
на множество всех ре-примарных идеалов кольца RM. Это отображе-
отображение есть изоморфизм относительно операций деления и пересечения.
Первое утверждение следует из теоремы 16, как и в следствии 1.
Что касается второго утверждения, то достаточно заметить, что
если qt и q2 оба р-примарны, то qifl^ и qL: q2 тоже
р-примарны (исключение составляет тривиальный случай q2(ZC|i,
когда qt: q2 = R; тогда мы также имеем cfed qf и qj: q'j =RM= R")-
Обратимся теперь к поведению примарных представлений при
расширении.
Теорема 17. Пусть а — идеал из R, допускающий несокра-
п
тимое примарное представление а= |~] qt. Предположим, что для
i=i
l<i<r мы имеем ciif]M = 0, а для г + 1 --4 / < п — равенство
г
q. р) М Ф 0. Тогда соотношение ае = [} q| дает несократимое
г=1
г
примарное представление идеала а", причем аес= f]qit т. е. аес —
i=i
пересечение примарных компонент идеала а, не пересекающихся с М.
г
Доказательство. То, что идеал ае содержится в а'= flqf.
г=1
следует из формулы E) § 8. Обратно, по теореме 15 (г) каждый эле-
элемент х идеала а' может быть записан в виде х'= h (x)lh (m), где
lfli' так как идеалы q{ при 1 < i< r являются сокращенными.
г=1
С другой стороны, ввиду замкнутости М относительно умножения,
п
в М[)( П Ч;) найдется некоторый элемент т. Поэтому т'х?а
i=r+i
и х'= h (m'x)lh (m'm)?ae. Последнее доказывает равенство а" = а'
и все утверждение относительно а", так как несократимость примар-
г
ного представления П q? очевидна (достаточно перейти к сокраще-
г=1
ниям). Утверждение относительно аес также получается переходом
к сокращениям.

260 Гл. IV. Нётеровы кольца
Закончим этот параграф рассмотрением ядра п канонического
гомоморфизма h кольца R в RM в нётеровом случае.
Теорема 18. Пусть R — нётерово кольцо, М — мульти-
мультипликативная система в R, тогда следующие идеалы совпадают:
1) Ядро п канонического гомоморфизма R в RM ipi. e. множество
всех элементов х из R, для которых существует элемент т?М,
такой, что тх = 0).
2) Пересечение п' всех примарных идеалов кольца R, не пересе-
пересекающихся с М.
3) Пересечение п" всех примарных компонент идеала @) кольца R,
не пересекающихся с М.
Доказательство. Включение шцп'следует из теоремы 16 (а).
Включение tt'czn" очевидно. Так как М замкнута относительно
умножения, в ней существует элемент, который принадлежит всем
примарным компонентам идеала @), пересекающимся с М. Если
т — такой элемент, то мы имеем для каждого j: из it" равенство
тх = 0. Это показывает, что n" CI п. Теорема доказана.
Приведем еще некоторые свойства транзитивности и переста-
перестановочности. Пусть М и М'— две мультипликативные системы в
кольце R, MdM', и пусть п, Ь! обозначают канонические гомомор-
гомоморфизмы кольца R в RM и RM- соответственно. Так как гомоморфизм
К таков, что все элементы из h'(M) обратимы, то существует гомо-
гомоморфизм h кольца RM в Rm>, удовлетворяющий условию h'= пЪ
(§ 9, теорема 14).
Заметим, .что: (a) h (ЛГ) — мультипликативная система в кольце
Rm'\ (б) ядро гомоморфизма h есть множество всех элементов вида
h (x)/h (т) (т?М), для которых т'х = 0 при некотором т' ?М'\
другими словами, ядро — это множество всех x'?RM, таких, что
у'х'= 0 для некоторого у' ?h (/И'); (в) все элементы из h (h (M'))
(=h'(M')) обратимы и (г) каждый элемент из Rm' может быть
записан в виде Ъ (x')lh (у1) (х ?RM, У ?h (M')). Отсюда мы заклю-
заключаем (ср. с характеристикой колец частных в §9), что Rm' изоморфно
кольцу частных (Rm)ii(M'). Кроме того, если через г(з обозначить ка-
канонический гомоморфизм RM в (Rm)hm'), to существует изоморфизм f
кольца {RM)h(M-) на RM-, удовлетворяющий соотношению h = if/.
Мы получаем, что h'= htyf, а из предыдущих замечаний относи-
относительно транзитивности последовательных расширений (§ 8, стр. 254)
выводим непосредственно такое следствие: если обозначить верх-
верхними индексами вне' расширения идеалов кольца R соответст-
соответственно в кольцах RM h Rm', верхним индексом е — расширение
идеалов кольца RM в кольце (RM)hW)> то Для любого идеала а
из R идеал а1" соответствует при изоморфизме / идеалу (ае)е. Заме-

§ 10. Связь между идеалами кольца R и идеалами из R^ 261
тим, что каждый идеал кольца Rw есть расширение некоторого
идеала а кольца R и что, следовательно, соотношение / (ае') = (ае)е
полностью описывает взаимно однозначное соответствие между
идеалами из RM' и идеалами из (Ям)л(м-), индуцируемое изомор-
изоморфизмом /.
Пусть М — мультипликативная система в кольце R, и пусть
о — идеал в R, который не имеет элементов, общих с М. Рассмо-
Рассмотрим факторкольцо Rla кольца R и обозначим через f, /' и h соот-
соответственно канонические гомоморфизмы R на R/a, RM на RMl&e
и R в RM. Так как ас аео, h определяет, посредством перехода к
классам вычетов, гомоморфизм h кольца R/a в RM/ae, удовлетворяю-
удовлетворяющий соотношению hf = fh. Множество / (М) (= (М + а)/а), оче-
очевидно, замкнуто относительно умножения, и так как мы предполо-
предположили, что М[~]а= 0, то ясно, что нуль кольца R/a не принадле-
принадлежит / (М). Следовательно, / (М) — мультипликативная система
в R/a. Покажем, что кольцо Лм/ае и гомоморфизм h кольца Rla
в RMlo.e удовлетворяют трем условиям, характеризующим «одно-
«однозначно по существу» кольцо частных (R/a)f^M) и канонический гомо-
гомоморфизм h' кольца R/a в это кольцо частных (эти условия были
сформулированы в § 9, стр. 255). Во-первых, ядро /' равно ое.
Поэтому ядро hf есть прообраз ае при гомоморфизме h, т. е.
идеал оес. Так как hf — fh, отсюда следует, что ядром h является
аес1а. Пусть теперь х — любой элемент из R/a ax — представитель
класса х в кольце R. Тогда х принадлежит ядру предыдущего кано-
канонического гомоморфизма h в том и только том случае, когда хт = О
для некоторого элемента m?/ (M), т. е. тогда и только тогда, когда
хт ? а для некоторого т?М. Но последнее имеет место тогда и только
тогда, когда xg aec (теорема 15 (а)), т. е. при л:6 аес/а. Тем самым дока-
доказано, что h и канонический гомоморфизм Ъ' имеют одно и то же ядро.
Образ h (f (М)) множества / (М) в RM'ae состоит из обратимых эле-
элементов, так как мы имеем равенство h (/ (М)) — f(h (M)), и h (M)
состоит из обратимых элементов. Наконец, очевидно, что каждый
элемент из 7?м/ае может быть записан в виде h (x)/h (m), где x?R/a
и /л?/ (М) (= (М + а)/а). Мы доказали, следовательно, переста-
перестановочность образования факторкольца и кольца частных
RM/ae^(R/u)(M+a}/a (Mf>=0). A)
Доказано также существование специального изоморфизма A),
скажем т)), такого, что toj) = /i', где, повторяем, h есть гомоморфизм
кольца R/a в RMlae, определенный каноническим гомоморфизмом h
кольца R в RM, тогда как Ъ'— канонический гомоморфизм Rla
в кольцо частных (#/)

262 Гл. IV. Нётеровы кольца
§11. Примеры и приложения колец частных. Наиболее важными
примерами мультипликативных систем, а значит, и колец частных
являются следующие:
1) М —¦ дополнение в R простого идеала р кольца R. Этот
пример будет детально рассмотрен в настоящем параграфе.
2) М —дополнение объединения Upt простых идеалов кольца
R. В этом случае обратимыми элементами кольца RM являются
элементы дополнения к (_)$• Когда объединение []рг конечно,
мы можем предположить, что рг ф fy при i Ф /, так как если рг CZ fy»
то мы можем вычеркнуть рг без изменения М. При этом piCJzpj для
I Ф /, идеалы р\ являются максимальными идеалами кольца RM,
и это единственные максимальные идеалы в кольце RM, так как
каждый элемент дополнения к [jpt обратим в RM. Частным слу-
случаем описанного является положение, когда R — нётерово кольцо,
a pi—простые идеалы, принадлежащие идеалу @). Тогда М —
множество регулярных элементов кольца R (§ 6, теорема 11, след-
следствие 3), a RM является полным кольцом частных кольца R.
3) М — множество всех степеней ненильпотентного элемента а
из R.
4) М — множество всех элементов подкольца 5 кольца R, не
содержащихся в некотором простом идеале р кольца R. В част-
частности, в кольце полиномов F [Хи . . ., Хп] над полем F можно взять
в качестве М множество всех отличных от нуля полиномов от пер-
первых г неизвестных (г<л).
5) М — множество всех элементов х? R, сравнимых с единицей
по модулю некоторого идеала о кольца R, отличного от R.
Рассмотрим более детально случай, когда М является дополне-
дополнением некоторого простого идеала р кольца R. В этом случае кольцо
частных RM называется кольцом частных относительно простого
идеала р и обозначается R* (так как идеал р содержит нуль и по-
поэтому не является мультипликативной системой, внешне противоре-
противоречивые обозначения RM и Rp в этой ситуации не могут привести к недо-
недоразумениям). Ввиду важности рассматриваемого случая дадим
применительно к нему частичное резюме теорем 15—17 и их след-
следствий.
Теорема 19. Пусть р — простой идеал кольца R. Если
а — идеал в R, то его расширение ае отлично от Rp тогда и только
тогда, когда а содержится в р. Отображение а—> ае устанавливает
взаимно однозначное соответствие между множеством простых
(примарных) идеалов кольца R, содержащихся в р, и множеством
всех простых (примарных) идеалов кольца Rp. Идеал рс является
максимальным идеалом в R^ и содержит все необратимые элементы

§ 11. Примеры и приложения колец частных 263
из Rp, а значит, и все собственные идеалы этого кольца. Если а —
идеал кольца R, представимый конечным пересечением примарных
идеалов, то аес есть пересечение всех примарных компонент идеала о,
содержащихся в р. Если кольцо R — нётерово, то ядро п канони-
канонического гомоморфизма R в Rp является пересечением всех примар-
примарных компонент идеала @) (или всех примарных идеалов в R), содер-
содержащихся в р.
Утверждение, что рв есть «наибольший» собственный идеал
Rp, следует из того, что сказано выше в примере 2) или из того,
что р есть наибольший собственный сокращенный идеал (первое
утверждение теоремы 19).
Наиболее важным свойством Rp является то, что его необратимые
элементы образуют идеал. Это свойство, вообще говоря, не имеет
места для произвольных колец (например, оно не имеет места в коль-
кольце целых чисел). Нё'теровы кольца, обладающие этим свойством,
называются локальными кольцами и будут изучаться в гл. VIII.
Локальные кольца играют важную роль при изучении геометрии
алгебраических многообразий в окрестности точки, иначе говоря,
в изучении локальных свойств таких многообразий.
Если р—простой идеал в R, то переход к кольцу частных Rp
в некотором смысле «превращает» р в максимальный идеал ре.
Можно сказать также, что любой простой идеал и даже любой идеал
а кольца R, не содержащийся в р, «пропадает», или «теряется»,
в Ru, так как в этом случае ае — Rp. Техника перехода к кольцам
частных бывает полезной для упрощения доказательств в связи с тем,
что иногда легче доказать теорему для максимального идеала, чем
для произвольного простого идеала. Например, каждый идеал,
имеющий максимальный идеал своим радикалом, примарен (гл. III,
§ 9, теорема 13, следствие 1), но это, вообще говоря, неверно для
идеалов с простыми радикалами (гл. III, § 9, стр. 180). Приведем
пример использования такой техники.
Теорема 20. Пусть R — нётерово кольцо up — простой
идеал в R. Пересечение а всех р-примарных идеалов кольца R равно
пересечению Ъ тех примарных компонент идеала @), которые содер-
содержатся в р.
Доказательство. По теореме Крулля (§ 7, теорема 12,
со
следствие 2) имеем равенство П (ре)" = @) в Rb. С другой сто-
71=1 "
роны, идеалы (ре)" все рв-примарны, причем каждый ре-примарный
идеал в Rp содержит некоторую степень (ре)п. Так как сокращение
отображает множество всех ре-примарных идеалов на множество
всех р-примарных идеалов кольца R (теорема 19) и сохраняет

264 Гл. IV. Нётеровы кольца
пересечения (конечные и бесконечные), то пересечение всех р-при-
марных идеалов кольца R равно @)с, т. е. будет ядром канониче-
канонического гомоморфизма R в R^. По теореме 19 это ядро — идеал Ь,
что и требуется доказать.
Следствие. В нётеровой области пересечение всех примар-
ных идеалов, принадлежащих данному простому идеалу р, равно @).
Замечание. В доказательстве предыдущей теоремы (а зна-
значит, и ее следствия) мы пользовались теоремой 12 (теоремой Крулля).
Интересно, что следствие 1 теоремы 12 (гласящее, что (~}тп—@),
п.
если R — нётерова область) может быть получено из предыдущего
следствия теоремы 20 так: поскольку каждый идеал m содержится
в некотором простом идеале, достаточно доказать требуемое соот-
соотношение (~lmu = @), предполагая, что тп— простой идеал, но для
п
простых идеалов m это соотношение непосредственно вытекает
из предыдущего следствия теоремы 20, так как каждый примарный
идеал, принадлежащий tn, содержит некоторую степень т. В слу-
случае произвольного нётерова кольца эти рассуждения показывают,
что пересечение степеней простого идеала р содержится в пересе-
пересечении всех примарных идеалов, принадлежащих р (и равно ему,
когда р максимален). Это подтверждается сравнением следствия
теоремы 13 с теоремой 20: первое пересечение является пересече-
пересечением тех примарных компонент qt идеала @), радикалы pt кото-
которых удовлетворяют соотношению рг-\-р фН. Второе — пересече-
пересечение тех примарных компонент <j;- идеала @), радикалы р;- которых
удовлетворяют соотношению р,- d р. Но включение р3- CZ р влечет
за собой pj -г р = р ф R и показывает, что первое пересечение
содержится во втором. В случае, когда р максимален, соотноше-
соотношения pjCZp и р;- + р ф R эквивалентны, так что эти два пересечения
совпадают.
Можно применить теорему 20, чтобы несколько осветить вопрос
о примарных представлениях в нётеровых кольцах. Докажем прежде
всего следующую теорему:
Теорема 21. Пусть R — нётерово кольцо и пусть pit ...
..., рп —его простые идеалы, среди которых нет изолированных
простых идеалов нулевого идеала (в области целостности рг могут
быть произвольными собственными простыми идеалами). Тогда
существует идеал а кольца R, такой, что принадлежащие ему про-
простые идеалы есть в точности рь . . ., рп.
Доказательство. Мы проведем индукцию по п. В слу-
случае п = 1 все просто (возьмем а = pi). Мы можем предположить,,
что рп — максимальный среди данных идеалов. Предположим также,

§ 11. Примеры и приложения колец частных 265
что существует идеал Ь с несократимым примарным представле-
п-1
нием Ь= П <U> гДе 9i принадлежат рг. Пересечение всех при-
п=1
марных идеалов кольца R, принадлежащих р„, не может содержать
идеала Ъ, так как в противном случае Ъ содержался бы в некотором
изолированном простом идеале р идеала @) (теорема 20), а это
повлекло бы за собой совпадение р с каким-нибудь р\ (К г< п — 1)
вопреки нашим предположениям относительно pt. Таким образом,
существует примарный идеал qn, принадлежащий рп и такой, что
п
идеал о= f) <и = 6П<Ь отличен от Ь. Остается доказать несократи-
г=1
п
мость примарного представления а— (~| <и- Это следует из того,
г=1
что С|„ не содержит пересечения других qit а если, например,
п п—{
<ji содержит П qu то c|i будет содержать П 1,- (так как <1«
i=2 i=2
не содержится в pt ввиду предполагаемой максимальности р„),
п-1
и это противоречит несократимости представления Ь = (~| qt.
г=1
Доказательство завершено.
В частности, теорема 21 доказывает существование идеалов а
в R, имеющих вложенные компоненты, конечно, при условии, что
R содержит хотя бы два различных простых идеала, не являю-
являющихся изолированными простыми идеалами идеала @) и таких,
что один из них содержится в другом. В случае когда R — область
целостности, это последнее условие подчеркивает, что собственные
простые идеалы R не все максимальны. Оно не выполняется (и вло-
вложенные компоненты отсутствуют) в кольце целых чисел, кольцах
целых алгебраических чисел, в кольцах полиномов от одного неиз-
неизвестного над полями. С другой стороны, это условие выполнено
и вложенные компоненты существуют в кольце полиномов от мно-
многих неизвестных.
Мы доказали (§ 5, теорема 8), что изолированные компоненты
идеала а определяются единственным образом. Но это не так для
вложенных компонент идеала а, которые никогда не определены
однозначно, а допускают даже бесконечные вариации. Более точно:
Теорема 22. Если идеалу а нётерова кольца R принадлежит
вложенный простой идеал р, то идеал а имеет бесконечно много
несократимых примарных представлений, отличающихся лишь
в примарных компонентах, принадлежащих р.
Доказательство. По предположению идеалу о принад-
принадлежит также простой идеал Ь, строго содержащийся в р. Поэтому
достаточно доказать следующее утверждение.

266 Гл. IV. Нётеровы кольца
Лемма. Пусть в нётеровом кольце R заданы примарные
идеалы и и q, принадлежащие простым идеалам Ь и р, удовлетворяю-
удовлетворяющим' условиям Ь <рф R. Тогда существует р-примарный идеал
q', такой, что q' < q, q'nu = qDu.
Доказательство леммы. Переходя к факторкольцу
Rlqf)u, можем предположить, что qf|u=(O) (см. замечание
в конце § 5, стр. 245). Тогда пересечением всех примарных идеалов,
принадлежащих р, будет @) (теорема 20). Так как q не содержится
в Ь, то q ф @) и существует р-примарный идеал q", такой, что
<\" Zt> Ц. Если мы теперь положим q'--q|~|q", то получим вклю-
включение q' < q, и, так как q' является р-примарным, лемма доказана.
Замечание. В § 10 мы сформулировали свойство транзи-
транзитивности образования колец частных (см. стр. 260). В специальном
случае колец частных относительно простых идеалов более полезна
следующая, несколько измененная формулировка свойства тран-
транзитивности:
Пусть М — мультипликативная система в R up' — простой
идеал в R, не пересекающийся с М. Если е обозначает расширение
идеалов кольца R в RM, то кольца частных Ry и (RM)p>e изоморфны.
Это утверждейие отличается от нашей первой формулировки
свойства транзитивности, утверждающей, что если мы положим
М' = R — р' и если h — канонический гомоморфизм R в RM,
то два кольца Rp' и {RM)h(M') изоморфны. Тем не менее две мульти-
мультипликативные системы h(M') и RM — Р'е (не тождественные) свя-
связаны одна с другой следующим образом: A) h (M')d Rm — Р'е>
так как р' и М не пересекаются и, кроме того, р'ес = р' (§ 10,
теорема 16 а); B) каждый элемент RM — р'е является произведе-
произведением элемента из h(M') и обратимого элемента кольца RM (вида
\lh (m), т?М). Поэтому, согласно замечанию в конце § 9 (стр. 256),
кольца {Rm)h(M') и {RM)p'e тождественны. Следовательно, кольца
Rp> и (RM)p>e изоморфны, что и утверждалось.
В частности, если М = R — р, где р — простой идеал коль-
кольца R, то утверждение, что М и р' не пересекаются, означает, что
р'сир. В этом случае кольца частных R^> и (i?t,Ve ИЗОМОРФНЫ-
Кроме того, если значком е обозначать расширение идеалов коль-
кольца R в R*', то для любого идеала а кольца R идеал ае' в R соот-
соответствует расширению идеала ае в (Rp)p'e.
§ 12. Символические степени. Если заданы кольцо R и примар-
ный идеал q в R, то п-я степень qn идеала q не обязана быть при-
марным идеалом (см. гл. III, § 9, стр. 180). Тем не менее мы можем
идеалу q" поставить в соответствие некоторый примарный идеал.

§ 12. Символические степени 267
Определение. Пусть R — кольцо с единицей, р — про-
простой идеал в R^R), q— примарный идеал, принадлежащий р,
и п — целое положительное число. Идеал (qn)ec (расширения и сокра-
сокращения производятся относительно кольца частных Rv) называется
п-символической степенью идеала q и обозначается q(n).
Свойства символических степеней мы сведем в следующей теореме
Теорема 23. Пусть q — примарный идеал, принадлежа-
принадлежащий простому идеалу р.
1) Символическая степень q(n> есть примарный идеал, при-
принадлежащий р; он является множеством всех таких элементов х
из R, для которых существует элемент d$p, удовлетворяющий
условию dx?qn. Если qn примарен (в частности, если идеал р
максимальный), то q<n) = q".
2) Если q'1 — конечное пересечение примарных идеалов, то р
является единственным изолированным простым идеалом, a q!'" —
примарная компонента, соответствующая р.
3) Если идеал р имеет конечный базис, то каждый примарный
идеал, принадлежащий р, содержит некоторую символическую
со '
степень р. Если R — нётерово, то f] р(п> является пересечением
71 = 1
примарных компонент идеала @), содержащихся в р. Если R —
со
нётерова область, то f| p<n> = @) и р(п) образуют строго цбываю-
щую последовательность идеалов.
4) Если R — нётерово, то р является единственным изолиро-
изолированным простым идеалом идеала qCn)-q(tn), а соответствующая
примарная компонента этого идеала есть q<n+m>.
Доказательство 1). Первое утверждение вытекает из
того, что qe — примарный идеал, принадлежащий максимальному
идеалу ре кольца R, и что, следовательно, идеал (qn)e (= (qe)")
тоже примарный и принадлежит Rp. Второе утверждение — это
частный случай теоремы 15 а, § 10, а третье следует из вто-
второго.
Доказательство 2). Это частный случай теоремы 17
(§ Ю).
Доказательство 3). Если р имеет конечный базис,
то каждый примарный идеал q, принадлежащий р, содержит неко-
некоторую степень р" идеала р. Следовательно, если x?p(n) и если d$p
таков, что dx?pn (а такой элемент х существует по 1)), то dx?q,
откуда xGq, так как q — примарный идеал, принадлежащий р,
и поэтому p(n)CZq. Второе утверждение следует из первого и

268 Гл. IV. Нётеровы кольца
теоремы 20, § 11; третье вытекает из второго (ср. замечание к след-
следствию 1 теоремы 12 § 7).
Доказательство 4). Так как р, очевидно, есть радикал
q(n).q(m); то он является единственным изолированным простым
идеалом идеала q<n>.q<m) (теорема 10, § 6). Используя характери-
характеристику неприводимого разложения аес в терминах разложения самого
а, данную в теореме 19 § 11, видим, что для полного доказательства 4)
надо только показать, что (q(n)-q(m))ec = (qn+m)ec. Но это очевидно,
так как q(n>e = (q")e (расширенный идеал (qn)e будет также рас-
расширением своего сокращения q(n)), q(m'e = (qm)e, откуда (q(n) • q(m))e =
= (<f tm)e.
Замечание. Мы можем обобщить символическую степень
а<п> на идеал а, который допускает примарное представление без
вложенных компонент. Вместо кольца частных Rp мы рассмотрим
кольцо частных RM, где М—дополнение объединения простых
идеалов, принадлежащих о, и положим а<п> = (ап)ес. Идеал а<п> —
это множество всех элементов х из R, для которых существует эле-
элемент тязМ, такой, что тх? ап. Идеалу а<п> принадлежат те же про-
простые идеалы, что и идеалу а. Все эти идеалы изолированные.
§ 13. Длина идеала. В §11 гл. III (содержание которого суще-
существенно для чтения этого параграфа) мы определили длину I модуля
над кольцом R. Эта длина может быть конечной или бесконечной.
Так как идеал о кольца R является ^-модулем, то его длина / (а)
определена, но представляет не очень большой интерес, ибо / (а)
в большинстве интересных случаев бесконечна (например, / (а)
бесконечна, если а — собственный идеал, содержащий регулярный
элемент х; в этом случае а > Rx > Rx2 > Rx3 > ... — бесконеч-
бесконечная, строго убывающая цепь). Более обоснованным было бы опре-
определение длины о как длины I (R — о) фактормодуля R — а.
Однако и эта длина бесконечна во многих важных случаях, напри-
например когда а — простой, но не максимальный идеал. Поэтому
нужно более тонкое определение.
Определение. Пусть R — кольцо с единицей, а — идеал
в R, имеющий примарное представление без вложенных компонент.
Обозначим через М дополнение к объединению простых идеалов,
принадлежащих а, и рассмотрим кольцо частных RM- Длина
4Rm—u6) R-фактормодуля RM—ue называется длиной идеала а
и обозначается К (а).
Замечание. Мы будем иногда пользоваться просто словом
«длина» вместо более точного термина «длина идеала». Опасности
недоразумений здесь нет, так как характер взятой длины мы наме-

§ 13. Длина идеала 269
е
рены всегда указывать: в одном случае будет применяться выраже-
выражение «длина а» и обозначение X (а), а в другом ¦— выражение «длина
i^-модуля л» и обозначение / (а). Отметим, что длина идеала а не опре-
определена для идеалов, не обладающих примарными представлениями,
а также для идеалов, имеющих в примарных представлениях вло-
вложенные компоненты. Правда, на последний случай определение
X (а) может быть распространено.
Основной чертой введенного понятия длины является то, что
X (а) конечна в следующем важном случае:
Теорема 24. Пусть R — нётерово кольцо, а — идеал в R
без вложенных компонент. Тогда длина X (а) идеала а конечна.
Доказательство. Пусть М — дополнение объедине-
объединения {Jpi простых идеалов, принадлежащих а. Как мы видели в § 11,
пример 2, стр. 262, идеалы р\ являются максимальными идеалами
кольца RM- Так как принадлежащие идеалу ае простые идеалы
исчерпываются этими р\ (теорема 17 § 10), то идеалами р\ будут
исчерпываться все простые идеалы кольца RM, содержащие а
(теорема 7 § 5). Иначе говоря, все простые идеалы кольца RMlue
максимальны. С другой стороны, факторкольцо Rm/u" нётерово.
Поэтому оно удовлетворяет обоим условиям обрыва цепей (теоре-
(теорема 2 § 2) и имеет композиционный ряд. Следовательно, его длина
I {Rm/u"), т. е. длина Я-фактормодуля RM — ое, конечна1).
Следующий результат сводит изучение длины идеалов к изуче-
изучению длины примарных идеалов:
Теорема 25. Пусть R — кольцо с единицей, пусть а —
идеал в R, имеющий несократимое примарное представление а = (~) q4
без вложенных компонент. Тогда X (а) = ~^Х (цг).
г
Доказательство. Обозначим через р{ радикал идеала
qit а через М —дополнение множества \JPi- Пусть верхние индек-
индексы е и с обозначают расширение и сокращение идеалов относи-
относительно пары колец R и RM. Длина X (а) равна длине кольца RM/ae.
По теореме 32, гл. III, § 13, RMl&e изоморфно прямой сумме колец
Rm/qI, так как ае = Пч* и так как простые идеалы р! идеалов qf
являются максимальными в RM (см. пример 2, § 11, стр. 262).
Заметим, что ввиду отсутствия у идеала а вложенных компонент
имеем соотношение рг ф: ty при i Ф /. Следовательно, / (RM/ae) —
= 2 I (Ria/(\ei), и остается показать, что
/(/?Af/qf) = X(qt). A)
х) Заметим, что множество подмодулей R-модуля RM — ае совпадает
с множеством идеалов кольца RM/ae, так как ае аннулирует фактормодуль
Ra<<

270 Гл. IV. Нётеровы кольца
Фиксируем индекс i и обозначим верхними индексами е', с
(е", с") расширение и сокращение идеалов относительно пары колец
R, Rpi (RM, {RM)p0- Для доказательства A) достаточно показать,
что
= Rpi/ql'. B)
Перестановочность образования факторколец и колец частных
(§ 10, формула A)) показывает, что кольцо частных (RMlae) р?/пе
изоморфно кольцу (RM) р\К°-еТ ¦ С Другой стороны, транзитивность
образования колец частных (см. замечание в конце § 11, стр. 266)
показывает, что (RM) pi изоморфно Rpt и что идеалы (ае)е"и qi' (=ае')
соответствуют один другому при изоморфизме, определенном в § 11.
Поэтому
ЯрУа'^ЯМЩ'- C)
Но ядро канонического гомоморфизма кольца RM/ae в его кольцо
частных (RmIae) pl/ae есть q|/ae (см. § 10, теорема 18; заметим,
что [}ц11&е — несократимое примарнсе представление нулевого
идеала в Rm/o6, причем это представление не имеет вложенных
компонент), и (i?Af/ae)/(q|/ae) есть кольцо, в котором необратимые
элементы образуют идеал (а именно идеал (pi/ae)/(qj/ae)). Следова-
Следовательно, кольцо частных (RM/ae) рупе совпадает с каноническим
образом (RMJae)/(qi/ae) кольца RM/ae в его кольце частных. По-
Поэтому
(RM/ae) руае ^ (ЯM/ae)/(q|/af) ^ RM/q\,
а это вместе с C) устанавливает B).
Следствие. Пусть а ¦— идеал в R, допускающий несократи-
несократимое примарное представление a = f]<U &ез вложенных компонент.
г
Длина X (а) идеала а конечна тогда и только тогда, когда все длины
конечны.
Охарактеризуем теперь длину примарного идеала.
Теорема 26. Пусть q — примарный идеал, принадлежащий
простому идеалу ф кольца R. Рассмотрим строго убывающую после-
последовательность р= qi > q2 > ... > qr = q принадлежащих р при-
марных идеалов, «соединяющую» р с q. Число г членов в такой
цепи удовлетворяет неравенству г < К (q), где %(q)—длина идеала q.
Если длина %(q) конечна, то существует такая цепь, содержа-
содержащая % (q) членов, причем каждая другая цепь может быть уплотнена
до цепи такой длины.
Доказательство. Так как идеал р° максимален в Rp,
то каждый собственный идеал кольца Rp, содержащий qe, является

§ 13. Длина идеала 271
примарным идеалом, принадлежащим р". С другой стороны, суще-
существует взаимно однозначное соответствие между множеством при-
марных идеалов, принадлежащих \) и содержащих q, и множеством
содержащих идеал qe примарных идеалов кольца Rp, принадлежа-
принадлежащих ре (теорема 16, следствие 2, § 10). Теорема следует теперь
из теоремы Жордана (гл. III, § 11, теорема 12), примененной к мо-
модулю Rp — qe.
Замечания. 1) Отметим, что композиционные ряды модуля
Rp — qe содержат на один член больше, чем соответствующая цепь
примарных идеалов для q (а именно на Rp—qe)- Поэтому г в нашем
случае равно Я,(q), a Hel(q) — 1.
2) Если р не максимальный идеал, то идеалы между р и cf
не обязательно являются принадлежащими р примарными идеа-
идеалами. Поэтому K(q) не имеет отношения к длинам I (R — q)
и / (р — ц) фактормодулей R — q и р — q (последние будут в общем
случае бесконечны).
Следствие. Если q — примарный идеал кольца R и М —
мультипликативная система, не пересекающаяся с q, mo"k(q) =
= 4qe)(qeaRM).
Применяем теорему 16 из § 10.
Теорема 27. Пусть а — идеал в R, фактормодуль R — а
по которому имеет конечную длину I (R — а). Тогда а обладает
примарным разложением без вложенных компонент, длина %(а)
идеала а конечна и равна I (R — а).
Доказательство. По теореме 2 (§ 2) кольцо R/a нёте-
рово, и каждый простой идеал этого кольца максимален. Это обес-
обеспечивает наличие примарного представления без вложенных ком-
компонент для идеала @) в кольце R/a, а значит, и для идеала а в коль-
кольце R (см. замечание в конце §5, стр. 245). Так как принадлежащие
идеалу а простые идеалы максимальны, то кольцо R/a является
своим собственным кольцом частных (R/u)M', где М'—дополнение
к объединению простых идеалов кольца R, принадлежащих идеалу
@) (т. е. М'—это множество всех обратимых элементов из R/a).
В силу перестановочности образования кольца частных и фактор-
кольца [§ 10, формула A)], кольцо (Rla)M> изоморфно RMlae, где
М обозначает дополнение к объединению простых идеалов коль-
кольца R, принадлежащих идеалу а. Кроме того, кольцо Rla изоморфно
RM/o-e- Теорема доказана.
Следствие. Если R — кольцо конечной длины I (R) и а —
идеал в R, то длина Я,(а) идеала а определена, конечна и удовлетво-

272 Гл. IV. Нётеровы кольца
ряет соотношению
Замечания. 1) Перестановочность образования кольца
частных и факторкольца показывает (это было видно и в нескольких
частных примерах), что длина А,(а) идеала а выражает свойство
факторкольца R/a. Более точно: А. (а) равна длине идеала @) в коль-
кольце R/a.
2) Если два идеала а и Б в R, имеющие примарные представле-
представления без вложенных компонент, имеют одинаковые принадлежащие
им простые идеалы и удовлетворяют соотношениям а(ЦЬ и Я, (а) ==
= К(Ь), то они совпадают. (Заметим, что они оба являются сокраще-
сокращениями идеалов кольца RM, где М — дополнение объединения про-
простых идеалов, принадлежащих а (или Ь).)
При вычислении длины идеала важно знать, допускает ли убы-
убывающая последовательность идеалов (или примарных идеалов)
дальнейшее уплотнение. Следующая теорема проливает некоторый
свет на этот вопрос.
Теорема 28. Пусть R —кольцо с единицей, и пусть N —
унитарный R-моду ль, отличный от @). Для того чтобы N был
простым, необходимо и достаточно, чтобы он порождался одним
элементом (т. е. чтобы N был циклическим) и чтобы существовал
максимальный идеал р кольца R, удовлетворяющий условию pN = @).
В этом случае р есть порядок модуля N, а сам N R-изоморфен
R-модулю R — р.
Доказательство. Если N простой, то Rx = N для
всех х Ф 0 из N (так как Rx — подмодуль N п Rx Ф 0); следова-
следовательно, модуль N циклический. Теперь заметим, что каждый цикли-
циклический модуль Rx изоморфен ^-модулю R — а, где а — идеал из R.
Действительно, отображение а -» ах (a g R) есть гомоморфизм ^-мо-
^-модуля R на N, и мы можем взять в качестве а ядро этого гомоморфиз-
гомоморфизма. Заметим также, что ввиду коммутативности R а является поряд-
порядком модуля N. Подмодули ^-модуля R — а соответствуют идеа-
идеалам кольца R, содержащим о; следовательно, R — а прост тогда
и только тогда, когда а — максимальный идеал. Это доказывает
теорему.
Следствие 1. Пусть а и Ъ — идеалы в R, Ь < о. Необхо-
Необходимым и достаточным условием отсутствия промежуточных идеа-
идеалов между а и Ь является следующее: существует максимальный
идеал р кольца R и элемент х?а, удовлетворяющие условиям pa.CZ Ь
и а = Ъ + Rx. Если это выполнено, то Ъ содержится в р.
Первое утверждение следует из теоремы 28, примененной
к /^-модулю а—Ь. Если b ф: р, то максимальность р влечет за собой

§ 14. Простые идеалы в нётеровых кольцах 273
равенство R — р + Ь, а значит, а = R (а = ba + pad b) вопреки
условию.
Следствие 2. Пусть q, q'— примарные идеалы, принад-
принадлежащие максимальному идеалу р и такие, что q<q'. Необхо-
Необходимое и достаточное условие для того, чтобы между q и q' не было
промежуточных идеалов, состоит в том, что Щ' a q и существует
такой x?q', что q' = q + Rx.
§ 14. Простые идеалы в нётеровых кольцах. Так как каждый идеал
в нётеровом кольце имеет конечный базис, мы можем грубо оценить
«величину» идеала а числом элементов, необходимых для образо-
образования его базиса. В этом смысле главные идеалы являются «малыми».
В этом параграфе мы намерены придать более точный смысл этой
расплывчатой идее, по крайней мере для простых идеалов. Первым
шагом в этом направлении является следующее замечание: если
главный идеал т = Rx в нётеровой области прост и отличен от R,
то он не содержит других собственных простых идеалов, так как
если простой идеал р Ф @) таков, что р < Rx, то р = ха, где
a — собственный идеал. Но отсюда следует, что a = p (так как
р прости х $ р), и мы приходим к противоречию р = л:р = х2р= . . .
. . . CZ П nt' = @) (см. § 7, теорема 12, следствие 1).
t
Заметим, что предыдущее противоречие остается, если мы отбро-
отбросим предположение, что R нётерово, но предположим взамен,
что R — область с однозначным разложением. В этом случае соот-
соотношение р = дг'р для всех i влечет за собой то, что любой элемент
идеала р делится на любую степень х, а это невозможно, если р ф @)
и х необратим.
Следующая теорема является далеко идущим обобщением этого
факта.
Определение. Простой идеал области целостности назы-
называется минимальным, если он является собственным и не содержит
простых идеалов, кроме @).
Как замечено только что, в нётеровой области каждый простой
главный идеал, отличный от единичного, минимален. В области
с однозначным разложением все минимальные простые идеалы яв-
являются главными и порождаются неразложимыми элементами,
ибо, как показано в гл. III, § 8 (стр. 175), в области с однозначным
разложением собственный главный идеал прост тогда и только
тогда, когда он порождается неразложимым элементом, и мы уже
видели, что в области с однозначным разложением каждый простой
собственный главный идеал минимален. С другой стороны, ясно,
что в области с однозначным разложением каждый простой идеал
а, отличный от единичного идеала, содержит неразложимые эле-
18 Заказ N° 617

274 Гл. IV. Нётеровы кольца
менты. (Возьмем необратимый элемент х и разложим его на нераз-
неразложимые множители.) Совсем не очевидно, что минимальные про-
простые идеалы существуют в любой области целостности. В действи-
действительности в некоторых ненётеровых областях их может и не быть.
Следующая теорема доказывает их существование и проливает свет
на их свойства в случае нётеровых областей:
Теорема 29 (теорема о главном идеале).
В нётеровой области R каждый изолированный простой идеал р
собственного главного идеала Ra является мит мальным простым
идеалом. Обратно, каждый минимальный простой идеал р кольца R
является изолированным простым идеалом некоторого собственного
главного идеала Ra.
Доказательство. Второе утверждение следует из свойств
изолированных простых идеалов (теорема 7, § 5): достаточно взять
в качестве а какой-нибудь отличный от нуля элемент из р.
Перейдем к менее тривиальному первому утверждению. Переходя
к кольцу частных Rp (теорема 19 § 11), можно предположить, что
р — максимальный идеал и что каждый элемент вне р обратим в R.
Допустим, что существует собственный простой идеал b кольца R,
такой, что Ь < р. Рассмотрим бесконечную, строго убывающую
последовательность q( > q2 > q3 > - . • примарных идеалов, принад-
принадлежащих Ь, где qn = Ь'п> (см. теорему 23 § 12). Тогда последова-
последовательность qn + Ra является убывающей последовательностью идеа-
идеалов, содержащих Ra. Но так как единственный максимальный идеал
р из R является изолированным простым идеалом идеала Ra, то
Ra — примарный идеал, принадлежащий р, и р является единст-
единственным простым идеалом, содержащим Ra. Иначе говоря, RIRa —
примарное кольцое (§ 3), и поэтому оно удовлетворяет условию
обрыва убывающих цепей (теорема 2 § 2). Следовательно, существует
индекс п, такой, что qn + Ra = qn+i -f Ra — . . . .
В частности, мы имеем включение qn CZ q,l+1 + Ra, и каждый
элемент х из qn может быть записан в виде х = y + za, где y?qn+i
и z?R. Имеем тогда равенство za = х — y€qn- С другой стороны,
элемент а не может принадлежать радикалу b идеала qn, так как
\fRa — р и Ъ < р. Следовательно, z?qn и qndqn+i + qna- Так
как обратное включение очевидно, мы имеем
<\,i = q«+i + qna. A)
В этом месте мы перейдем к факторкольцу R'= R/qn+l и обо-
обозначим через а' класс вычетов элемента а, а через q' — идеал qn/qn + i
(который отличен от @)). Равенство A) дает q'= q'a'. Приме-
Применяя лемму, предшествующую теореме Крулля (лемма 2 § 7),
видим, что существует элемент х 6 R', удовлетворяющий условию
A —х'а) q'= @). Но согласно предположению относительно

§ 14. Простые идеалы в нётеровых кольцах 275
кольца R, кольцо R' содержит единственный максимальный идеал,
причем а' содержится в этом идеале. Поэтому элемент 1 — х'а'
обратим в R', и мы имеем равенство q'= @), что невозможно.
Замечание. В последней части доказательства (после ра-
равенства A)) мы избежали вычислений с определителями, обычных
в таких случаях. Другой метод заключается в следующем. Если
{хи ... , xs} — конечный базис идеала qn, то равенство A) влечет
существование элементов yt?qn+l и z^ 6 R, таких, что для каждого i
к s
будет хг = Hi + ^aZijXj. Иначе говоря, 2 (\j — azij)xj
для каждого i. Если обозначим через d определитель | 6i3- —az^ |, то
классические выкладки, приводящие к правилу Крамера, показы-
показывают, что dXj 6 qn + i для каждого /', т. е. dqn d qn+i- Но вычисление d
показывает, что он является элементом вида 1 — ba(b?R),T. e. обра-
обратим в R. Следовательно, qra Cqrt+1 вопреки построению.
Следствие 1.5 нётеровой области каждый собственный
простой идеал to содержит минимальный простой идеал.
Действительно, возьмем отличный от нуля элемент х?р. Тогда,
в силу теоремы 7 § 5, очевидно, что некоторый изолированный про-
простой идеал идеала Rx будет содержаться в to.
Следствие 2. Пусть R — нётерово кольцо (не обязательно
область), и пусть Ra—главный идеал в R, отличный от R. Если
to — изолированный простой идеал идеала Ra, то не может суще-
существовать двух простых идеалов to' и to", удовлетворяющих условиям
to" < й'< to. Любой простой идеал, строго содержащийся в to, является
изолированным простым идеалом идеала @).
Предположим, что два таких простых идеала to' и to" существуют.
В силу возможности перехода к Rip" можно предположить, что
to" = @) и что R — область. Это противоречит теореме 29. Второе
утверждение следует из первого, если принять во внимание тот факт,
что каждый простой идеал в R содержит изолированный простой
идеал идеала @).
В связи с теоремой 29 заметим, что вложенные простые идеалы
главного идеала не являются, конечно, минимальными. Можно
показать на примерах, что существуют вложенные простые идеалы
главных идеалов (существуют даже такие области целостности, где
это выполняется для всех собственных главных идеалов). В гл. V
мы докажем, что в важном классе нётеровых областей (в так назы-
называемых «целозамкнутых» областях) каждый собственный главный
идеал имеет только изолированные компоненты.
Имея доказательство существования минимальных простых идеа-
идеалов в нётеровых областях, мы можем поставить вопрос о возмож-

276 Гл. IV. Нётеровы кольца
ности доказательства более сильного утверждения о том, что про-
простые идеалы удовлетворяют условию обрыва убывающих цепей.
Мы докажем еще более сильный результат (см. следствие теоремы 30
ниже).
Определение. Пусть R — произвольное кольцо с едини-
единицей. Говорят, что собственный простой идеал р имеет высоту h
{соответственно глубину d), если существует хотя бы одна цепь
Ро < Pi < • • • < Ph-i < Рп = Р {соответственно р = pd< pd_t < .. .
.. . < pi< р0 < R), где р{ —простые идеалы, и если не существует
такой цепи, содержащей более h + 1 {соответственно d + 1) идеа-
идеалов. (Обозначим высоту {глубину) простого идеала р через h (р) {соот-
{соответственно d (р)).
Отметим, что в определении высоты допустимо равенство р0 = @)
(при условии, конечно, что этот идеал прост), в то время как в опре-
определении глубины равенство р0 = R исключено. Простые идеалы глу-
глубины 0 — это максимальные идеалы. Простые идеалы высоты 0
есть простые идеалы, которые не содержат строго других простых
идеалов: в нётеровом кольце они являются изолированными про-
простыми идеалами идеала @) (теорема 7 § 5). В области целостности
идеал @) является единственным простым идеалом высоты 0. Одна
из возможных формулировок теоремы о главном идеале или, вер-
вернее, ее второго следствия (следствие 2 теоремы 29) состоит в том, что
в нётеровом кольце изолированные простые идеалы главных идеа-
идеалов (отличных от R) имеют высоту 0 или 1 и что в нётеровой области
изолированные простые идеалы собственных главных идеалов имеют
высоту 1. Если простые идеалы р и р' таковы, что р' < р, то
h (р') < h (р) и d (р') > d (p). Если для заданного простого идеала
р существует цепь простых идеалов р0 < pi< . . . < рп_г < р с произ-
произвольно большим п, то говорят, что р имеет бесконечную высоту.
Аналогичное определение бесконечной глубины можно дать для
простых идеалов.
Теорема 30. Пусть а — идеал нётерова кольца R, отличный
от R. Если а имеет базис из г элементов, то каждый изолированный
простой идеал р идеала а удовлетворяет неравенству h (р) < г
{т. е. р имеет высоту, не превосходящую г).
Сначала докажем лемму.
Лемма. Пусть р0 > pi > ... > рт— цепь простых идеалов
в нётеровом кольце Ru и пусть Ь„ — конечное семейство простых идеа-
идеалов кольца R, ни один из которых не содержит р0. Тогда существует
цепь р0 > р^ > . .. > р'т-1> рт простых идеалов кольца R с теми же
граничными членами и с тем же числом членов, что и данная,
и такая, что ни один из идеалов р] A < /-% m — 1) не содержится
ни в каком Ь{.

§ 14. Простые идеалы в нётеровых кольцах 277
Доказательство. Учитывая возможность повторных
применений, достаточно доказать лемму в частном случае т = 2
для цепи ро> pi> р2. Так как ни один из Ь4 не содержит р0, объе-
объединение p2U U Ь4 также не может содержать р0 (см. замечание после
г
следствия 3 теоремы 11 § 6); следовательно, существует элемент
х 6 р0, не лежащий ни в одном из идеалов Ьи а также в р2. Возьмем
в качестве р^ изолированный простой идеал идеала р2+ Я*, содер-
содержащийся в р0 (такой идеал существует по теореме 7 § 5). Тогда pj
не содержится ни в одном из Ь4 по построению. Имеем строгое
включение р{ > р2) так как х не лежит в р2. С другой стороны,
р| < р0 по теореме о главном идеале (теорема 29), примененной
к главному идеалу (р2 + Rx)/p2 кольца R/p2 (очевидно, что ро/р2
не является минимальным простым идеалом этого кольца, так как
po/p2>pi/p2> @)). Лемма доказана.
Докажем теперь теорему 30 индукцией по г. При г = 0 идеал @)
является единственным идеалом, порождаемым пустой системой
элементов, и его изолированные простые идеалы имеют высоту
нуль. Пусть теперь в общем случае а — идеал кольца R, имеющий
базис {xi, ..., хТ} изгэлементов, и пусть р0— один из изолирован-
изолированных простых идеалов идеала а. Рассмотрим идеал Ь, порожденный
системой {xi, ..., хг_х}. Если р0 оказывается также изолированным
простым идеалом идеала Ь, то, в силу предположения индукции,
его высота не превосходит г— 1, а значит, и г. Предположим те-
теперь, что р0 не встречается среди изолированных простых идеалов
идеала Ь. В таком случае он не будет содержаться ни в одном из изо-
изолированных простых идеалов Ьг идеала Б. Если р0 имеет высоту т,
то лемма доказывает существование такой цепи ро> р4> р2 > ...
. . . > рт-1 > рт простых идеалов кольца R, что идеал рт-1 не содер-
содержится ни в одном из bj. Так как р0 не является изолированным про-
простым идеалом идеала Ь, то простой идеал ро/Ь кольца Rib имеет
высоту 1, ибо он является изолированным простым идеалом главного
идеала, порождаемого вычетом элемента хТ по модулю Ь (следствие 2
теоремы 29). Но так как ро/Ь содержит (рт_г + Ь)/Ь, а этот последний
идеал не содержится ни в одном изолированном простом идеале
идеала @) кольца Rib (ввиду того, что рт_г не содержится ни в од-
одном из bi), то ро/Ь является изолированным простым идеалом для
(¦Pm-i + Ь)/Ь (теорема 7 § 5). Поэтому р0 — изолированный простой
идеал для pm_i + b, a po/pm_.i — изолированный простой идеал для
(Pm-i + Ь)/рт_х. Так как последний идеал в кольце Rlpm^i порождает-
порождается г—1 элементами, то, по предположению индукции, po/pm_i яв-
является простым идеалом высоты, не превышающей г— 1. Отсюда
мы получаем, что т— 1<г— 1, т. е. m<r, и высота простого
идеала а не превышает г. Теорема доказана.

278 Гл. IV. Нётеровы кольца
Следствие. В нетеровом кольце каждый простой идеал
имеет конечную высоту, и множество простых идеалов удовлетворяет
условию обрыва убывающих цепей.
Замечания. 1) Простой идеал р нётерова кольца вполне
может иметь бесконечную глубину. Если это имеет место, то длины
начинающихся с р возрастающих цепей простых идеалов, являю-
являющиеся, ввиду условия обрыва возрастающих цепей, конечными, не
ограничены в совокупности (в силу теоремы 30 множество членов
этих цепей должно содержать бесконечно много максимальных
идеалов кольца). В нётеровых кольцах с конечным числом макси-
максимальных идеалов глубина любого простого идеала конечна.
2) Предположим, что р — простой идеал высоты п, так что
найдется цепь р0 < р4 < ... < рк_х < pk = р простых идеалов. Тогда
ни один новый простой идеал не может быть вставлен в эту цепь,
и легко видеть, что каждый из pt имеет высоту i @ <, i < h). Положим
теперь, что имеется цепь р0 < р( < . . . < ph_x < ph простых идеалов,
в которую не может быть вставлен ни один новый простой идеал.
Тогда ph имеет высоту, не меньшую h, и может возникнуть пред-
предположение, что высота идеала ph равна h, т. е. что любая возрастаю-
возрастающая цепь простых идеалов, оканчивающаяся идеалом ph, имеет
не более h членов. Эквивалентным предположением является следую-
следующее: если простые идеалы р и р' таковы, что р < р' и между ними
не существует промежуточных простых идеалов, то высоты идеалов
р и р' отличаются на единицу. Недавно было доказано, что эти пред-
предположения для произвольных нётеровых областей неверны 1).
Однако они могут быть доказаны для важного класса колец, вклю-
включающего кольца полиномов над полями.
Теорема 30 показывает, что простой идеал высоты h может быть
изолированным простым идеалом только для идеала, порожденного
не менее чем h элементами. В следующей теореме, которую можно
рассматривать как обращение теоремы 30, доказывается, что каж-
каждый такой идеал является изолированным простым идеалом неко-
некоторого идеала, порождаемого точно h элементами. Так как эта
теэрема элементарнее, чем теорема 30, последняя не используется
в ее доказательстве.
Теорема 31. Если р — простой идеал высоты h в нетеровом
кольце R, то существует идеал а в R, порожденный h элементами
и имеющий р своим изолированным простым идеалом.
Доказательство. Применяя индукцию по /, мы построим
h элементов аь ... , ait ... , ah из р, таких, что при любом i каждый
-1) N a g a t а М., On the chain problem of prime ideals, Nagoya Math.
J., 10 A956), 51—64.

§ 15. Кольца главных идеалов 279
изолированный простой идеал pj идеала Ra1-\- ...-(- /?а{ удовлетво-
удовлетворяет условию h \ру) > i (по теореме 30 его высота в этом случае
равна i, но мы не будем пользоваться этим фактом). Случай i = 0
тривиален, и нам нужно только перейти от i к i + 1 для i < h.
Те из Pj, которые имеют высоты i, не содержат р. Поэтому их объе-
объединение также не содержит р (см. замечание после следствия 3
теоремы 11 § 6). Возьмем в качестве ai+i какой-нибудь элемент
из р, лежащий вне этого объединения. Тогда каждый изолированный
простой идеал b идеала Ra^- ... + Rat-{- RaL+i содержит некото-
некоторый pj (теорема 7 § 5), и если этот р} имеет высоту i, то b > pj,
так как ai+i $ ру, во всяком случае, b имеет высоту по крайней
мере i + 1.
Если Rai +... + Rah построен таким образом, то р содержит
некоторый изолированный простой идеал р' этого идеала. При этом
/г(р')>/г по построению и h (p) = h по предположению. Отсюда
заключаем, что р = р'.
§ 15. Кольца главных идеалов. Кольцо главных идеалов — это
кольцо с единицей, в котором каждый идеал главный; область
главных идеалов — область целостности, в которой каждый идеал
главный, т. е. кольцо главных идеалов без собственных делителей
нуля. Любое кольцо главных идеалов, очевидно, нётерово, так
что кольца главных идеалов можно рассматривать как простейший
тип нётеровых колец. Для их изучения нужно лишь очень немного
сведений из общей теории.
Примерами областей главных идеалов являются кольцо целых
чисел и кольца полиномов от одной неизвестной над полями. Более
общо: любая евклидова область R есть область главных идеалов
(см. лемму в гл. I, § 15, стр. 37). Действительно, если a — собствен-
собственный идеал из R, выберем среди отличных от нуля элементов идеала
а элемент х, для которого значение ср (х) достигает минимума.
Тогда, если г/?а, пишем у = xq + r, q, r?R и ср (г) < ср (х). Отсюда
видно, что г = 0, так как г (= у — xq) принадлежит а, и ср (г) <
< ф (х). Поэтому yiRx.
Если R — кольцо главных идеалов и a — собственный идеал
в R, то R/a, очевидно, также кольцо главных идеалов. Это соображе-
соображение дает примеры колец главных идеалов с делителями нуля.
Сначала изучим области главных идеалов.
Теорема 32. Пусть R — область главных идеалов. Тогда
собственные простые идеалы в R порождаются неразложимыми эле-
элементами и все они максимальны. Кольцо R есть область с однознач-
однозначным разложением на множители. Любые два отличных от нуля эле-
элемента а и b из R имеют наибольший общий делитель d, причем
Rd=Ra-{-Rb. Если a — собственный идеал кольца R, то Rla
удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей.

280 Гл. IV. Нётеровы кольца
Доказательство. Докажем сначала утверждение о наи-
наибольшем общем делителе (Н. О. Д.) элементов а и Ь. Так как идеал
Ra + Rb главный, он представим в виде Rd {d?R) и d = аи -j-
-+- bv (и, v?R). Так как а и b лежат в Rd, то они делятся на d.
Обратно, любой общий делитель а и b делит элемент d = аи + bv.
Теперь обратимся к утверждению о простых идеалах в R. Ска-
Сказать, что главный идеал Rp прост,— это все равно, что сказать:
если р делит произведение ху, то он делит один из множителей.
Поэтому если Rp — собственный простой идеал, то элемент р не-
неразложим. Обратно, если р — неразложимый элемент кольца R
и если р делит произведение ху, не деля х, то Н. О. Д. элементов
х и р равен 1 и мы имеем равенство 1 = их + vp (и, v?R). Поэтому
у = иху + vyp делится на р, что и доказывает простоту Rp. Rp яв-
является также максимальным идеалом, так как каждый идеал, строго
содержащий Rp, представим в виде Rd, где d — делитель р, а р не
является делителем d. Следовательно, d — обратимый эле-
элемент.
Докажем теперь, что R — область с однозначным разложением
(см. гл. I, § 14, 34). Мы сразу видим, что условие ОРЗ выполнено.
Остается доказать, что условие ОР1 из гл. I, § 14, также выполнено,
т. е. что каждый элемент х Ф 0 из R является конечным произве-
произведением неразложимых элементов. Это доказано в § 1, но для пол-
полноты мы дадим несколько другое доказательство. Если бы ОР1
было неверно, то среди идеалов Rx, порождаемых элементами х,
не являющимися произведением неразложимых- элементов, суще-
существовал бы хотя бы один максимальный, скажем Ra. Так как а
не может быть неразложимым, то а является произведением be
элементов бис, таких, что Ra < Rb и Ra < Re. Из максимальности
Ra следует, что бис оба являются конечными произведениями
неразложимых элементов, а следовательно, и элемент а будет таким
произведением. Получили противоречие.
Заметим, что это рассуждение относительно справедливости ОР1
действует в любой нётеровой области.
Наконец, рассмотрим факторкольцо R/a, где а — собственный
идеал области R. Идеалы из R/a соответствуют идеалам из R, содер-
содержащим а. Положим а = Rx. Тот факт, что R—область главных идеа-
идеалов, показывает, что эти идеалы соответствуют классам ассоцииро-
ассоциированных делителей элемента х. Из теоремы об однозначном разло-
разложении на множители следует, что этих классов конечное число.
Следовательно, в кольце R/a число идеалов конечно, что и завер-
завершает доказательство.
Следствие 1. Любая область с однозначным разложением,
в которой каждый собственный простой идеал максимален (и поэтому
также минимален), есть область главных идеалов, и обратно.

§ 15. Кольца главных идеалов 281-
Вторая часть следствия («обратно») содержится в первых двух
утверждениях теоремы 32. Первая доказывается следующим образом.
В § 14 (стр. 273) было отмечено, что в области с однозначным
разложением каждый минимальный простой идеал — главный.
Следовательно, в настоящем случае мы имеем дело с областью R,
в которой каждый простой идеал — главный. Пусть теперь 91 —
любой собственный идеал в R. Рассмотрим множество всех собствен-
собственных главных идеалов, содержащих 91 (это множество непусто, так
как 91 содержится по крайней мере в одном собственном простом
идеале). Так как R — область с однозначным разложением, то R
не может содержать бесконечной, строго убывающей цепи главных
идеалов. Следовательно, существует наименьший главный идеал
Ry, содержащий 91. Из включения %aRy следует, что 91 = г/91ь
где 911— идеал, не равный @). Если бы 914 был собственным идеалом,
то мы имели бы 214 CZ Rz, где z — отличный от нуля необратимый
элемент. Тогда было бы 9t a Ryz < Ry — противоречие. Поэтому
91 i = R, 91 = Ry, и следствие доказано.
Следствие 2. Необходимым и достаточным условием того,
чтобы область R была областью главных идеалов, является сущест-
существование функции /, принимающей при х 6 R, х ф 0, неотрицатель-
неотрицательные целые значения f(x) и такой, что:
(а) Если а делит Ъ, то f (а) <; / (Ь), причем равенство имеет место
только если а. и Ъ ассоциированы.
(б) Если а и Ь — отличные от нуля элементы, не делящие друг
друга, то существуют элементы р, q, г 6 R, такие, что г = ра -г
+ qb и / (г) < min (f(a), /(&)).
Если R — область главных идеалов, то возьмем в качестве f(x)
число неразложимых множителей в разложении х. Тогда (а) три-
тривиально, а в (б) можно взять в качестве г наибольший общий дели-
делитель а и Ь. Обратно, если / дана и если 91 — собственный идеал
кольца R, возьмем из отличных от нуля элементов 91 такой элемент х,
для которого f(x) минимально. Покажем, что 91 = Rx. Допустим,
что у — элемент %, не кратный х. Тогда, ввиду (а), х не может быть
делителем у, так как /(*)</(#); следовательно, пользуясь (б),
мы получаем противоречие с тем, что в 91 существует элемент г,
для которого / (г) < min (/ (х), f (у)) = / (х).
Из следствия 2 можно еще раз вывести, что евклидова область
является областью главных идеалов. Естественно спросить, каждая
ли область главных идеалов евклидова. Этот вопрос имеет отрица-
отрицательный ответ. Так, кольцо главных идеалов, получаемое присоеди-
присоединением У- — 19 к кольцу целых чисел, не допускает никакого алго-
алгоритма Евклида.
Определим теперь еще один тип колец главных идеалов, который
вместе с областями главных идеалов дает возможность построить

282 Гл. IV. Нётеровы кольца
вообще все кольца главных идеалов (см. теорему 33 ниже). Кольцо
главных идеалов называется специальным, если оно имеет только
один простой идеал р Ф R и если р нильпотентен, т. е. если рп =
= @) для некоторого целого п > 0.
Пример. Если R — область главных идеалов, ар — нераз-
неразложимый элемент из R, то RlRpn — специальное кольцо главных
идеалов, Rp/Rp'1 — его единственный простой идеал.
Если «индекс нильпотентности» п равен 1, то специальное кольцо
главных идеалов будет нулевым. Во всех остальных случаях спе-
специальное кольцо главных идеалов содержит делители нуля. Идеал
р всегда максимален. Если положим р = Rp и обозначим через т
наименьшее целое число, для которого рт = 0, то каждый отлич-
отличный от нуля элемент х из R можно, очевидно, записать в виде
х = ер', гдеО<&<т—1 и где е § Rp, ибо х либо обратим,
и тогда х § Rp и k — 0, либо не обратим; в этом случае х должен
содержаться в единственном максимальном идеале Rp кольца R.
Если k— наивысшая степень р, делящая х, уох = epk, где &< m— 1
(так как х Ф 0) и е (t Rp.
Мы видим, что целое число k в представлении х = eph един-
единственным образом определяется элементом х, так как из ер ; = e'pk'
nO^ck<k'<m следует, что ph'~h = 0, а это противоречит опре-
определению т. Можно убедиться таким же образом, что обратимый
элемент е однозначно определен по модулю Rpm~h. Следовательно,
все идеалы кольца R исчерпываются идеалами Rpn @<.A<m),
причем последние все различны. Обратно, легко доказывается, что
кольцо R, содержащее такой нильпотентньш элемент р, что каждый х
из R может быть записан в форме х = ер1, где е обратим, является
специальным кольцом главных идеалов.
Дадим, наконец, теорему о структуре кольца главных идеалов.
Теорема 33. Прямая сумма колец главных идеалов есть также
кольцо главных идеалов. Каждое кольцо главных идеалов является
прямой суммой областей главных идеалов и специальных колец глав-
главных идеалов.
Доказательство. Предположим, что R = Ri@ ... @Rn,
где каждое R, — кольцо главных идеалов. Если а — идеал в R,
то а = Ra = Ria-{- ... +Rna. HoR^a—идеал в ^4 и, следовательно,
Ria — Rixi (xi € Rd- Ясно, что в таком случае а = R {xi+ ... + хп),
и первое утверждение доказано. Для доказательства второго нам
понадобится такая
Лемма. Пусть R — кольцо главных идеалов. Если pup' —
простые идеалы, удовлетворяющие условию р' < р < R, то р
не содержит других простых идеалов, кроме р и р', а каждый при-
марный идеал, содержащийся в р, содержит р'. Немаксимальный

§ 15. Кольца главных идеалов 283
простой идеал кольца R не имеет других примарных идеалов, кроме
самого себл. Два простых идеала кольца R либо комаксимальны, либо
один из них содержится в другом.
Так как R — кольцо главных идеалов, то можно написать
р = Rp, р' = Rp'. Из р'ср выводим, что р' = rp (r g R).
Так как идеал Rp' прост и так как р § Rp', то г 6 Rp', т. е. г =
= sp'(s?R), и, следовательно, р' = spp'. Пусть q' •—какой-
нибудь примарный идеал кольца R, содержащийся в р. Так как
(Г— sp)p' = 0 6 q', а 1 — sp не принадлежит ни Rp, ни a for-
fortiori радикалу идеала q', то будет верно включение р 6 q'.
Идеал Rp сам является примарным идеалом, содержащимся в р.
Поэтому р' есть пересечение всех примарных идеалов, содержа-
содержащихся в р. Это показывает, во-первых, что р' однозначно опре-
определяется идеалом р и содержится в каждом примарном идеале,
содержащемся в р. Тем самым доказано первое утверждение.
Во-вторых, это показывает также, что каждый примарный идеал,
принадлежащий идеалу р', содержит р' и, следовательно,
является сам идеалом р', т. е. доказано второе утверждение. Нако-
Наконец, если pi и р2 — различные простые идеалы кольца R, которые
не комаксимальны, то они содержатся в некотором собственном
простом идеале р. В силу доказанного, pi и р2 не могут оба строго
содержаться в р. Поэтому один из них совпадает с р, а другой
строго содержится в р. Это и завершает доказательство.
Теперь закончим доказательство теоремы 33. Так как кольцо
R нётерово, то идеал @) имеет несократимое примарное пред-
представление @)=Q<U- Пусть pi = V <\i- Идеалы pt попарно комакси-
г
мальны, ибо если бы р4 и р,- (t Ф /') не были комаксимальны, то
было бы, например, справедливо включение рг < р^ (лемма). Но
тогда мы имели бы соотношение p; = q;C<1j (лемма), что противо-
противоречит несократимости представления. Поэтому идеалы qt также
попарно комаксимальны. Следовательно, по теореме 32 гл. III, § 13,
R есть прямая сумма колец, изоморфных кольцам Rl^. Но каждое
из колец R/<\i — кольцо главных идеалов. Если идеал р4 максима-
максимален, то q4 не содержится ни в каком другом простом идеале, кроме
р{, т. е. R/<\i имеет только один простой идеал, а именно р4/<^,
и является поэтому специальным кольцом главных идеалов. Если
pi не максимален, то &=<^ (лемма), a i?/pj—область главных
идеалов. Этим доказательство закончено.
Заключим этот параграф двумя полезными леммами, касающи-
касающимися конечных модулей над кольцами главных идеалов.
Лемма 1. Если модуль М над кольцом главных идеалов R
имеет базис из п элементов, то каждый подмодуль N CZ М также
имеет базис из п элементов.

284 Гл. IV. Нётеровы кольца
Доказательство. Если п = 1, то М = Rx, и ясно, что
N = 91а;, где 91 — идеал из R. Так как R — кольцо главных идеа-.
лов, то 91 = Rt и N = Ry, где у = tx, а это и доказывает лемму,
когда п = 1. В общем случае применим индукцию по п. Предполо-
Предположим, что лемма верна для ^-модулей, порождающихся п — 1 эле-
элементами. Пусть М = Rxi + Rx2+ . ¦ . + Rxn, Mi = Rx2 + Rx3-{- . . .
. . . -\-Rxn и Nx = N f\ Mi. Обозначим через N' фактормодуль
N — Nt. По индуктивному предположению Nt имеет базис из п — 1
элементов, скажем {у2, у3, ¦ ¦ ¦, Уп}- По второй теореме об изомор-
изоморфизме (гл. III, § 4, теорема 5) имеем, что N' изоморфен фактормо-
дулю (N + Mi) — Mi. Этот последний является подмодулем фактор-
модуля М — Mit являющегося «главным модулем» (порожденным
одним элементом Xi -\- Mi). Отсюда (случай п = 1) следует, что N'
имеет базис из одного элемента. Если мы обозначим через yt эле-
элемент подмодуля N, такой, что смежный класс у[ = г/i + Ni поро-
порождает N' над R, то {уи у2, . . ., уп} есть базис подмодуля N. Но это
и нужно.
Лемма 2. Если R — область главных идеалов и М — некото-
некоторый R-моду ль, имеющий базис из п элементов, линейно независимых
над R, то каждый подмодуль N модуля М имеет базис, содержащий
не более чем п элементов, также линейно независимых над R.
Доказательство. Воспользуемся обозначениями из до-
доказательства предыдущей леммы и снова рассмотрим случай п = 1.
Если iV = @), то нечего доказывать. Если N Ф @) и если ау = 0,
a a?R, то atx = 0 и, следовательно, at = 0, так как х независим
над R. Так как мы предположили, что R — область целостности
и так как t Ф 0 (ведь у Ф 0), то а = 0, и это доказывает лемму,
когда п = 1. В общем случае мы снова применяем индукцию по п.
По индуктивному предположению модуль iVj имеет базис, состоя-
состоящий из л — 1 или меньшего числа элементов, линейно независимых
над R. Пусть {z2, z3, . . ., zm} — такой базис (/и<п). Тогда {уи z2,
z3, . . ., 2m} —базис подмодуля Л^и нам остается показать, что если
jV ф Ni, то г/i, z.,, z3, . . ., zm линейно независимы над R. Предпо-
Предположим, что имеется соотношение fliJ/rf a2z2 I- a3z3 -f- •..-¦- amzm = 0.
at 6 R. Пусть уi = biXi + b2xz + . . . Arbnxn, bj g R. Так как
Gi#i 6 Ni a Mi = Rx2 + Rx3 + . . . + Rxn, то из линейной неза-
независимости элементов xj над R следует, что fli&i = 0. Но в силу того,
что N Ф Ni, элемент г/i не принадлежит N: и, следовательно, &4 Ф 0.
Таким образом, а( = 0, а поэтому и а2 = а3 = . . . = ап = 0. Это
завершает доказательство леммы.
§ 16. Неприводимые идеалы. При доказательстве теоремы Лас-
кера — Нётер о разложении (§ 4) мы видим, что в нётеровом кольце
R каждый неприводимый идеал примарен (лемма 2 § 4). С другой

§ 16. Неприводимые идеалы 285
стороны, если примарный идеал q, принадлежащий простому идеа-
идеалу р, приводим, скажем q = а [) Ь, где а и Ь отличны от q, то легко
видеть, что для q имеется также нетривиальное представление
в виде q = q' П 4"> гДе Q' и <\" — подходящие примарные идеалы,
принадлежащие р и отличные от q. Чтобы усмотреть это, обозначим
через q' примарную компоненту идеала а, принадлежащую р, если
такая существует (иначе говоря, если р — простой идеал идеала а);
в противном случае положим q' = A). Таким же образом опреде-
определяем q", беря идеал Ь вместо а. Из равенства q = а |~) Ь и из теорем
однозначности для несократимых разложений идеала на примарные
компоненты следует сразу, что q = q'fW- Ясно, что ни q', ни q"
не может быть единичным идеалом: если, например, q" — единич-
единичный идеал, то мы имели бы q' = q, q ID а и, следовательно, q = a
вопреки нашим предположениям. Таким образом, оба идеала q'
и q" — примарные идеалы, принадлежащие р и оба отличны от q,
как и утверждалось. Отсюда вытекает, что при исследовании непри-
неприводимости примарного идеала q можно ограничиться представле-
представлениями q -— а[)Ь, в которых а и Ь — примарные идеалы, принадле-
принадлежащие радикалу идеала q. Говоря другими словами и переходя
к кольцу частных ?> (теорема 19 § 11), мы сводим наш вопрос
к следующему: дано локальное кольцо; охарактеризовать неприво-
неприводимые примарные идеалы, принадлежащие его максимальному
идеалу.
Теорема 34. Пусть R — локальное кольцо и q — его при-
примарный идеал, принадлежащий максимальному идеалу т. Следую-
Следующие условия эквивалентны:
1) q неприводим;
2) векторное пространство (q : m)/q (над Rim) одномерно;
3) множество всех идеалов кольца R, строго содержащих о,
содержит единственный наименьший элемент {в этом случае ука-
указанным наименьшим идеалом является q : m);
4) для каждого идеала а, содержащего q, существует другой
идеал a ZJ q, такой, что а = q : a'.
Доказательство. Мы дадим «циклическое» доказатель-
доказательство: 1) влечет 2); 2) влечет 3); 3) влечет 4) и 4) влечет 1). Докажем
сначала, что из 1) следует 2). Действительно, так как q m-примарен,
то q : т > q. Из включения m (q : m) CZ q выводим, что (q : m)/q —
векторное пространство над полем Rim (см. гл. III, § 6, стр. 170).
Здесь мы должны отметить только, что если (q : m)/q рассматривать
как ^-модуль, то соотношение (q : m) m CZ q показывает, что идеал
га. содержится в порядке этого .R-модуля. Поэтому (q : m)/q может
быть рассмотрен как ^/m-модуль, и так как Rim—поле, то (q : m)/q—
векторное пространство над Rim. Подпространства этого вектор-
векторного пространства соответствуют идеалам из R, содержащимся

286 Гл. IV. Нётеровы кольца
между q : т и q. Если бы это векторное пространство имело размер-
размерность больше 1, то его нулевой элемент был бы пересечением двух
нетривиальных подпространств и q был бы приводимым.
Теперь докажем, что 2) влечет за собой 3). Заметим, во-первых,
что вообще любой идеал а, строго содержащий q, имеет пересече-
пересечение с q : m, отличное от q, ибо наименьшая степень s, такая, что
a-msdq, больше или равна единице, и мы имеем соотношение
q^tt'ttt'^C^ :m)fja- Теперь, если (q : m)/q — одномерное вектор-
векторное пространство, то не существует идеалов между q и q : т. Это
следует из того, что каждый идеал а в R, который строго содержит q,
содержит и q : т (так как пересечение а с q : m отлично от q). Иначе
говоря, условие 3) выполнено.
Мы укажем на то, что утверждение «2) влечет 3)» может быть
также получено из следствия 1 теоремы 28 (§ 13). -Согласно этому
следствию, мы имеем, что если a — минимальный собственный
надидеал Ь в кольце R, то должен существовать максимальный идеал
р в R, такой, что ар d Ь. Если мы применим этот результат к нашему
локальному кольцу R (в котором единственным максимальным идеа-
идеалом является пт), то увидим, что если a — какой-нибудь минималь-
минимальный собственный надидеал идеала q, то am d q. Следовательно,
q < aczq : m. Теперь, если 2) выполнено, то мы можем отсюда
заключить, что a = q : m, где q : т — единственный минимальный
собственный надидеал для q. Так как любой идеал, строго содер-
содержащий q, содержит некоторый минимальный собственный надидеал
для q (R/q будет кольцом, удовлетворяющим условию обрыва убы-
убывающих цепей; см. теорему 2 § 2), то q : т — наименьший идеал,
строго содержащий q, что доказывает условие 3).
Теперь предположим, что условие 3) выполнено. Тогда, так как
нетривиальное векторное пространство, которое допускает наимень-
наименьшее ненулевое подпространство, должно быть одномерным, (q : m)/q
одномерно, и q : m — наименьший собственный надидеал q, как
было доказано выше. Для доказательств 4) теперь нам необходимы
две следующие леммы:
¦ Лемма 1. Если 3) выполнено и если а — минимальный над-
надидеал идеала Ь, содержащий q, то q : Б — или минимальный надидеал
идеала q : а, или совпадает с ним.
Доказательство. По нашему предположению, касаю-
касающемуся идеала а, и по вышеупомянутому следствию 1 теоремы 28
am d b и, значит, а/Ь—одномерное векторное пространство
над R/m. Иначе говоря, существует элемент t из а, такой, что
a = b -f Rt, tm а Ь. Так как am CZ Ь, то (q : b)ma d (q : Ь) bciq,
т. е. (ц : Ь) m d q : a. Поэтому (q : b)l(q : a) — тоже векторное
пространство над R/m. Определим теперь следующее отображе-
отображение / идеала q : Ь в (q:m)/q: / (х) равен смежному классу xt mod q (x ?

§ 16. Неприводимые идеалы 287
6 <\ : Б; заметим, что tm'CZ от. CZ 6, откуда xtm С хЪ CZ <\, это пока-
показывает, что xt 6 (q : tn) и, следовательно, / — действительно отобра-
отображение на (q : m)/q). Отсюда сразу видно, что ядро / — это идеал
<\ : а. Следовательно, / определяет отображение / идеала (q : b)/(q : a)
в (q:m)/q: a именно если х?ц: Б их обозначает класс смежности
л;mod (q : а), то мы положим / (х) — f(x), Далее, оба (q : b)/(q : a)
и (q : m)/q — векторные пространства над R/m, и очевидно по опре-
определению /, что / — линейное отображение с нулевым ядром. По-
Поэтому (q : b)/(q : а) изоморфно векторному подпространству (q :m)/q,
и так как (q : m)/q одномерно, доказательство леммы закончено.
Лемма 2. Если 3) выполнено и если а — надидеал q, то длины
идеалов a, q: а и q удовлетворяют следующему соотношению:
Доказательство. Рассмотрим композиционный ряд {сц}
идеалов, соединяющих R с q и содержащих а. Пусть а = а;-, q = as.
По лемме 1 нормальный ряд {q : as_t} не допускает уплотнения
(гл. III, § 11, стр. 186). Поэтому по теореме Жордана (гл. III,
§ 11, теорема 22) его члены все различны, и их число равно s. Сле-
Следовательно, длины а и q : а равны jus — / соответственно, и лемма
доказана.
Доказательство того, что из 3) вытекает 4) теперь очевидно.
По лемме 2 два идеала а и q : (q : а) имеют одинаковую длину,
равную К (q) —к (q : а), а так как первый содержится в последнем,
то идеалы совпадают и 4) выполняется.
Наконец, покажем, что 4) влечет 1). Предположим, что мы имеем
представление q = uf]a'. Мы можем написать, согласно 4), что
a = <\ : Б, а' = q : Ь', где Ь и Б' — идеалы, содержащие q. Имеем
тогда соотношение q = (q : Ь)П(ч : !>') = q : (Ь + Б'), и это вле-
влечет Б + Ъ' = R, так как мы уже имеем q :m Ф q. Так как m —
единственный максимальный идеал в R, соотношение Б + Б' = R
означает, что или Б, или Б' совпадает с R, т. е. что или а, или а'
совпадает с q. Иначе говоря, представление q = a[}a' тривиально
и q — неприводимый идеал. Теорема 34 теперь полностью доказана.
Сохранив обозначения теоремы 34, предположим, что идеал q
неприводим. Тогда отображение a —> а' = q : а есть отображение
множества (S) всех надидеалов идеала q на себя. В доказательстве
того, что 3) влечет 4), мы видели, что a = a" = q : (<\: а), иначе
говоря, отображение оказывается инволюцией и является взаимно
однозначным. Общие формулы
q : (a + Ь) = (q : а) П (q : Ь), q : (ah) = (q": а): Ь = (<*: Ь): о
(гл. III, § 7, стр. 112) показывают, что при отображении а-^ а'
множества (S) в себя сумма идеалов переходит в пересечение, а про-

88 Га. IV. Нгтеровы кольца
изведение — в частное. Короче, имеем формулы
= а' + Ь', (а + Ь)' = а'Г)Ь', A)
(о':Ь) = (Ь':а), (о:Ь)' = Ь-о'. B)
{Первая из двух формул A) следует из второй после замены а и Ь
на а' и Ъ' в силу инволютивных свойств нашего отображения.)
Теорема 35. Для того чтобы идеал а из E) был неприводим,
необходимо и достаточно, чтобы а = q : а был главным mod q.
Доказательство. Соотношения A) показывают, что
идеал с в (S) неприводим тогда и только тогда, когда с' не является
нетривиальной суммой идеалов в (S), т. е. тогда и только тогда,
когда с'не представляется в форме а-г D, где q с я фс' uq [}b фс'.
Ибо если с' = а + Ъ, где а и Ь из E), то с = с" = (а + Ь)' = ct'fj Б',
и если с неприводим, то или а.'— с, или Ь' = с, откуда или
а=а" = с', или Б = Ъ" = с'. Обратно, если с приводим, скажем
с = а(~|Ь, а > с и Ь > с, то с' = (of] Ь)' = а' + Ь', и ввиду того,
что отображение а —> а' множества (S) в себя взаимно одно-
однозначно, получаем, что оба а' и Ь' отличны от с', так как а Ф с,
Ь =/= с и так как а, Ь ? (S). Это доказывает наше утверждение.
Теперь пусть а — какой-нибудь неприводимый идеал в E) и пусть
{хи хг, .. ., хп} — базис а'. Имеем а' = (Rx± + q) + (^^2 + q) +.. -
. . . + (^xn + q), и так как каждый член Rxb -г й принадлежит E),
то, по доказанному, по крайней мере один идеал Нхг + q должен
совпадать с а'. Иначе говоря, а'— главный идеал modq. Обратно,
предположим, что а — идеал из E), такой, что а' — главный modq.
Для того чтобы доказать неприводимость а, нам нужно только дока-
доказать, что а'/(\ не представим в виде нетривиальной суммы идеалов
в R/q. Для этого было бы достаточно показать следующее: нетри-
нетривиальная сумма главных идеалов в R/q не может быть главным идеа-
идеалом. Иначеговоря, если идеал R'x-'rR'y — главный идеал R'z (R' =
= R/q), то или г = их, или г = иу, где и обратим в R'. Мы имеем,
согласно утверждению, z = ax -f by, x = cz, у = dz, a, b, с, d ? R',
следовательно, z{\ — ас — bd) = 0. Если оба ас и bd необратимы
в R', то 1 — ас — bd обратим в R' (так как 7^' — локальное кольцо
с m/q в качестве идеала из необратимых элементов) и мы имеем
z = х = у = 0. В этом случае наше утверждение верно. Иначе,
ас (либо bd) обратим в R' и тогда с (либо d) обратим в R', когда
2 == с~хх (или г = гГ1//), что и требовалось доказать.
Рассмотрим теперь примарный идеал q в нётеровом кольце R,
и пусть р — принадлежащий ему простой идеал. Идеалы {q : рп}
(для п = 0, .. . ,е — \,е — наименьшая степень п, такая, что p"cz q,
т.е. е — степень идеала q; см. гл. III, § 9, стр. 178) всепримарны
для р (гл. III, § 9, теорема 14) и образуют возрастающую последо-

Добавление. Нётеровы модули. 289
вательность идеалов. Эта последовательность называется верхним
рядом Леей идеала q. Его факторы (q : pn)/(q : р") есть модули над
Rip. В случае, когда р—максимальный идеал, фактор (q : p")/(q : р")
есть векторное пространство над полем Rip, его размерность (кото-
(которая конечна, так как R удовлетворяет условию обрыва возрастаю-
возрастающих цепей) называется п-м верхним инвариантом Леей идеала q.
Сумма этих инвариантов, очевидно, равна длине q.
Если р — максимальный идеал, то ясно, что q : р ¦—• наибольший
надидеал а идеала q, такой, что a/q естественным образом является
векторным пространством над Rip. (Условие этого — чтобы р содер-
содержался в порядке ^-модуля a/q, т. е. ap CZ q или а щ q : р.) Ясно
видно, что это означает представление (q : p)/q в виде суммы мини-
минимальных идеалов из Rlq. Видно также, что по теореме 34, 2) необ-
необходимым и достаточным условием того, чтобы q был неприводим,
является равенство единице первых верхних инвариантов Лёви.
Добавление. Примарные представления в нётеровых модулях. Мы наме-
намерены обобщить на случай модулей некоторые из результатов, доказанных
выше для идеалов.
Пусть Н — коммутативное кольцо, М — некоторый /?-модуль и JV —
подмодуль модуля М. Определим радикал подмодуля /V как множество г
всех элементов a ? R, некоторая я-я степень каждого из которых удовлетворяет
соотношению an-MczN. Ясно, что это множество—идеал. Это доказывается
так же, как и в гл. III, § 7 (стр. 173). Можно заметить также, что множе-
множество 6 всех элементов b ? R, удовлетворяющих условию bMC_N, тоже является
идеалом кольца R. Он будет порядком или аннулятором фактормодуля
М — N, а г — радикалом идеала Ь. Правила, касающиеся радикалов сумм
и пересечений (гл. III, § 7, теорема 9), сохраняются и для радикалов подмоду-
подмодулей (доказываются прямой проверкой).
Подмодуль N модуля М называется примарным, если из включения
ах ? N {а ? R, х ? М) следует, что х ? А' или а ? г (N) (г (N) означает радикал
подмодуля N). Нетрудно видеть, что если N — примарный подмодуль модуля
М, то аннулятор Ь идеала М — N — это примарный идеал кольца R.
Доказательство. Если ab ? Ъ, то abM CI А'. Если, далее, a (J г(Л')
(т. е. если никакая степень элемента а не принадлежит идеалу Ь), то ЬМ CZ N
или, иначе, Ь ? Ь, что и нужно. (Обратное неверно: в счетной прямой сумме
J-\-J-\-... -\-J-\-... =уИ подмодуль N = J-\-2J-\-...-\-n]-<r-... таков, что
Ь = @). Следовательно, идеал Ь примарен; однако элемент @, 1,0,...
. . . 0, . . .) =х удовлетворяет условиям 2х g N, х ^ .V, 2 (| г (N).) Таким обра-
образом, если подмодуль N примарен, то его радикал — простой идеал. Мы знаем,
что обратное неверно уже в случае идеалов. Однако подмодуль, радикал
которого есть максимальный идеал, примарен.
Доказательство. Пусть х (;V) максимален. Тогда из условий
ax?N и a^x(N) выводим, что R = aR + t(/V), откуда 1 = ba + с, где
с t г (Л'). Возводя в достаточно высокую степень, мы получим равенство
\=Ь'а-\-с', где с' принадлежит аннулятору фактормодуля М — Л*. Следо-
Следовательно, х= Ь'а-х + с'-х ? Л/'.
Пары (примарный подмодуль, радикал) характеризуются так же, как
в случае идеалов (гл. III, § 9, теорема 13); пусть р — идеал кольца R, и пусть

290 Гл. IV. Нётеровы кольца
Е — подмодуль ^-модуля М. Подмодуль Е примарен и имеет р своим ради-
радикалом тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:
(а) р содержит аннулятор фактормодуля М — Е; (б) если Ь?р, то b"l-Mc E
для некоторого т (зависящего от Ь); (в) если ах ? Е и х § Е, то а?р.
Доказательство. Очевидно, что условия (а), (б) и (в) выпол-
выполняются, если Е примарен, ар — его радикал. Теперь предположим, что усло-
условия (а), (б) и (в) выполнены. Условие (б) означает, что р содержится в ради-
радикале г (?) модуля Е. Следовательно, условия (б) и (в) влекут за собой при-
примарность Е. Пусть a — элемент из г (?), а я — наинизший показатель, при
котором ап аннулирует фактормодуль М — Е (т. е. апМ С Е). Если я=1,
то а?р, по (а); в противном случае существует такой элемент х ? М, что
y^dn-i-x ? Е, а так как а-у ? Е, то из (в) следует включение а ? р. Мы дока-
доказали, что I (?) d р, значит, р есть радикал подмодуля Е.
Легко видеть также, что конечное пересечение примарных подмоду-
подмодулей Ei с общим радикалом р является примерным подмодулем, также имею-
имеющим р своим радикалом.
Модуль М над кольцом R с единицей называется нётеровым, если он
унитарен и удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей. Имеем сле-
следующую теорему: в нетеровом модуле М каждый подмодуль N является
конечным пересечением примарных подмодулей.
Доказательство проводится так же, как в § 4. Первая лемма показы-
показывает, что N— конечное пересечение неприводимых модулей. Ее доказатель-
доказательство совпадает с доказательством леммы 1 § 4 (эта лемма по существу от-
относится к теории частично упорядоченных множеств). Вторая лемма пока-
показывает, что каждый неприводимый подмодуль из Е примарен. Доказатель-
Доказательство от противного: если бы Е не был примерным, то существовали бы
элементы а ? R и х ? М, такие, что ах^Е, х (| Е, апМ c\z E при любом п. Рас-
Рассмотрим возрастающую последовательность подмодулей Е : Ran (E : Ran
обозначает множество всех элементов у?М, для которых ап-у?Е). Ясно,
что по условию обрыва возрастающих цепей существует показатель s,
при котором Е : Ras = Е : Ra3*1. Как и в лемме 2 из § 4, отсюда сле-
следует равенство Е = (Е -\- R-x) Г) (Е + as-M), противоречащее неприводи-
неприводимости подмодуля Е. Несократимые примарные представления определяются,
как и в § 4, причем существование таких представлений очевидно.
Радикалы pi подмодулей ?j, входящих в несократимое примарное
представление W = Г) ^г подмодуля N, характеризуются следующими
свойствами: это простые идеалы р кольца R, для каждого из которых най-
найдется элемент х?М, х (f N, такой, что идеал /V : Rx (т. е. множество всех
элементов b ? R, удовлетворяющих условию b-x ? N) будет р-примарным идеа-
идеалом (см. теоремы 6 § 5). Это доказывает единственность простых идеалов р;.
Доказательство. Чтобы показать, что каждый pi обладает
указанным выше свойством, возьмем х? [] Ej , х & Е^ Тогда N : Rx содер-
3=r-i
жит аннулятор фактормодуля М — Ei, являющийся, как мы видели
выше, р;-примарным идеалом. Далее, доказательство того, что N : Rx при-
примарен и принадлежит pi, как и доказательство обращения, проводится тем
же способом, что и в теореме 6 § 5.
Терминология, введенная в § 5, может быть без оговорок распростра-
распространена на случай подмодулей. Минимальные элементы совокупности всех про-
простых идеалов pit принадлежащих подмодулю N модуля М, являются
также минимальными элементами в совокупности всех простых идеалов р,
содержащих аннулятор М — N.

Добавление. Нётеровы модули 291
Доказательство. Заметим, что если обозначить через qj анну-
лятор фактормодуля М — Ег , то идеал q; будет pj-примарным, а аннуля-
тор а модуля М — N является пересечением всех q4. Следовательно, а =
= Hqj — примарное представление (не обязательно несократимое) идеа-
г
ла а. Утверждение следует теперь из теоремы 7 § 5.
Пусть iV=n?i — несократимое примарное представление подмодуля
г
N модуля М, и пусть J)j — простые идеалы, принадлежащие подмодулям ?V
Множество Е'х всех элементов х ? М, для которых существует а (Jj pit удовлет-
удовлетворяющий условию a-x?N, есть, очевидно, подмодуль модуля М. Он содер-
содержится в ?,. Если pi — изолированный простой идеал, принадлежащий N,
то Е'х = ?j. Это доказывает однозначную определенность изолированных
компонент подмодуля N. (Доказательство, как в теореме 8 § 5. Во второй
части доказательства соотношение Щ(J' ? q,- заменяется соотношением
В качестве приложения предыдущей теории дадим обобщение теоремы
Крулля (теорема 12 § 7) на случай модулей. Прежде всего докажем следую-
следующее обобщение леммы 1 § 5, полезное в локальной алгебре.
Пусть Е —не те ров модуль над кольцом R, т — идеал кольца R, и пусть
F—подмодуль модуля Е. Тогда существует целое число s и подмодуль F' а Е,
такие, что tnF = F f]F' и F' эш!?.
Доказательство Как и в лемме 1 § 7, рассматриваются при-
марные компоненты F\ (Fj) подмодуля mF, такие, что принадлежащие им
простые идеалы содержат (не содержат) идеал т, и доказывается, что пере-
пересечение F'=f]Fi содержит некоторый подмодуль ms? и что F" = f]Fj
i 3
содержит F.
Обобщение теоремы Крулля формулируется так:
Пусть Е — нётеров R-модуль, и пусть т — идеал кольца R, такой, что
из соотношений т ? tn, x?E, (I-(-/n)-% = 0 следует равенство х = 0. Тогда
П тпЕ = @). (Заметим, что условия на m автоматически выполнены, когда
п=1
каждый элемент вида 1 + т, т?т, обратим в кольце R.)
Доказательство. Положим /?= П тпЕ. По предыдущей лемме
имеем равенство F~mF. Выберем тогда конечный базис подмодуля F и выра-
выразим соотношение F = mF с помощью этого базиса. Отсюда, пользуясь (как
и в лемме 2 § 7) соображениями о детерминанте, заключаем, что / = 0.
Оставляем читателю обобщение следствий теоремы Крулля.

Глава V
ДЕДЕКИНДОВЫ ОБЛАСТИ.
КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
В этой главе рассматриваются только кольца, содержащие еди-
единицу. При рассмотрении двух колец, одно из которых является под-
кольцом другого, всегда предполагается, что единица большего
кольца принадлежит также подкольцу (и является поэтому едини-
единицей под кольца).
§ 1. Целые элементы. Пусть А — кольцо, В — надкольцо А
их — элемент из В. Элементхназывается целым над А (или целоза-
висящим от А), если он удовлетворяет следующему условию:
(с) Существует конечное множество {а0, .-. ., On-i} элементов
кольца А, такое, что
xn + an-i*n~1+...+a0 = 0. A)
Другими словами, х цел над А, если он является корнем приве-
приведенного уравнения A) с коэффициентами из А. Уравнение A) назы-
называется уравнением целой зависимости над А, которому удовлетво-
удовлетворяет х. Отметим, что всякий целый над Л элемент ал гебраичен над Л,
а также что каждый элемент а кольца А цел над А (а — корень
полинома X — а).
Приведем условия, эквивалентные (с):
(с') Кольцо А [х] является конечным А-модулем.
(с") Кольцо А[х] содержится в подкольце R кольца В, которое
является конечным А-модулем.
(с'") В кольце В существует конечный А-моду ль М со следую-
следующими свойствами:
1) хМ CZM-.
2) нуль является единственным элементом у кольца А[х\,
таким, что yz = 0 для всех z из М.
Доказательство. Дадим циклическое доказательство.
Условие (с) влечет (с'), так как уравнение A) означает, что
п— 1 п—Х п—1
*п€ 2 Ах\ откуда xn+i? J, Ах{+"\ таким образом, xn+i? 2 Axi
i=0 i=0 i=0

§ 1. Целые элементы 293
(индукцией по q), и поэтому {1, х, . .., хп х} — конечный базис А [х]
над А. Очевидно, что (с') влечет (с")- Далее, из (с") следует (с'"):
возьмем М = R; тогда 1) выполнено, так как R — кольцо, а 2) —
так как 1 ? R. Докажем теперь, что (с'") влечет (с). Это вытекает
из следующей более содержательной леммы:
Лемма. Пусть А — кольцо, q — идеал в А, М — конечный
А-модуль, содержащийся в надкольце R кольца А, и х — элемент
из R, такой, что
V) xMdMq;
2) нуль является единственным элементом у кольца А[х], таким,
что уг = 0 для всех z из М.
Тогда х удовлетворяет уравнению целой зависимости вида
где все <^i@<i<" — 1) принадлежит с\.
Доказательство леммы. Пусть М = 2 Ami- Тогда
хМ d 2 Amtq = ^qm^ В частности, в q существуют элементы
i г
qj{, такие, что хт^ = 2<7jimi- Эт° система п линейных одно-
г
родных уравнений относительно тг, и мы можем записать ее в виде
где б;Ч—символы Кронекера. Пусть d ~ det (б;.,-л;—q^). Тогда
drrii — 0 для каждого i, откуда dM = @), d = 0 по условию 2').
Раскрывая определитель, легко видеть, что условие det {Ь^х— qji)=O
является уравнением целой зависимости требуемого вида. Лемма
доказана.
Замечание 1. Условие 2) в (с'") автоматически выполняется,
если В —¦ область целостности и Мф@) или если 1 ?М. Более общо, усло-
условие 2') в лемме 1 автоматически удовлетворяется, если 1 ?УИ, в частности
если М является надкольцом А.
Если А — нётерово кольцо, то ясно, что условие (с') эквивалентно
следующему:
(с^) Кольцо А[х] содержится в конечном А-модуле.
Замечание 2. Если А ненётерово, то на примерах можно пока-
показать, что условие (с^) слабее, чем (с'). Например, в качестве А можно взять
кольцо нормирования V с неархимедовой группой значений (т. е. группой
ранга больше 1; см. VI, § 10). Тогда если а и Р — такие элементы из Д, что
а > яр > 0 для всех положительных целых п и если х и d — элементы поля
частных кольца А, для которых соответственно v (х) = —Р, v (d) = а, то
А [х] содержится в конечном Л-модуле Ad'1, в то время как х не является
целым над А.

294 Гл. V. Дедекиндовы области. Классическая теория идеалов
Замечание 3. Если А, В и С —такие кольца, что AaBczC, В —
конечный Л-модуль, а С — конечный В-модуль, то очевидно, что С — конеч-
конечный Л-модуль.
Теорема 1. Пусть А — кольцо, В — надкольцо и хи .. ., хп —
элементы В. Если каждый из элементов хг цел над А, то кольцо
А \хи . .., хп ] является конечным А-модулем.
Доказательство. Для п = 1 теорема справедлива
в силу (с'). По индукции мы можем предположить, что кольцо В' =
= A [xi, . . ., xn-i] является конечным Л-модулем. С другой стороны,
согласно случаю п = 1, кольцо A lxit ..., хп} — В' [хп ] является
конечным В'-модулем, так как хп, будучи целым над А, тем более
цел над В'. Отсюда по замечанию 3 кольцо А [хи . . ., хп ] является
конечным Л-модулем.
Следствие. Пусть А — кольцо и В — надкольцо А. Те эле-
элементы из В, которые являются целыми над А, образуют кольцо,
содержащее А.
В самом деле, если х и у — целые над Л элементы из В, то по тео-
теореме 1 А [х, у ] — конечный Л-модуль, откуда х — у и ху тоже целы
над Л, в силу условия (с"). С другой стороны, каждый элемент из Л
цел над А.
Кольцо всех целых над Л элементов надкольца В называется
целым замыканием А в В. Если целое замыкание Л в В есть само Л,
то говорят, что А цслозамкнуто в В; это означает, что каждый целый
над Л элемент из В лежит в А. Если каждый элемент из В является
целым над Л, то говорят, что В цело над А (или цело зависит от А).
Теорема 2 (транзитивность целой зависи-
зависимости). Пусть А—кольцо, В — надкольцо, целое над А, и С — над-
надкольцо В, целое над В. Тогда С цело над А.
Доказательство. Пусть х — элемент из С, и пусть
есть уравнение целой зависимости для х над В. Тогда кольцо В' =
= А [Ьо, . . ., bn-i] является конечным Л-модулем (теорема 1). Так
как х цел над В', то В' 1х] — конечный В'-модуль и поэтому конеч-
конечный Л-модуль. Следовательно, х цел над А в силу условия (с')-
Введенные выше понятия целого замыкания и целозамкнутого
кольца — относительные понятия, т. е. относятся к данному над-
надкольцу В кольца Л; употребление слов «в В» необходимо, чтобы
избежать неясности. Мы, однако, условимся считать, что выраже-
выражения «целое замыкание Л», «Л целозамкнуто» (без указания, в каком
кольце) означают соответственно «целое замыкание А в его полном
кольце частных», «Л целозамкнуто в своем полном кольце частных»

2. Целозависимые кольца ¦ 295
(гл. I, § 19); роль В выполняет в этом случае полное кольцо частных
кольца Л. Наиболее важен случай, когда Л является областью
целостности, тогда полное кольцо частных является его полем
частных. Когда мы имеем дело с целозамкнутой областью целост-
целостности А (т. е. с областью целостности, являющейся целозамкнутой
в своем поле частных), мы будем, как правило, опускать слово «цело-
«целостность» и говорить об А как о целозамкнутой области.
§ 2. Целозависимые кольца. Пусть А — кольцо, А' —надкольцо
А, целозависимое от А. Докажем прежде всего, что эта зависимость
между А и А' сохраняется при переходе к факторкольцу и к кольцу
частных.
Более точно:
Лемма 1. Пусть А' — целое над А и 3' — идеал в А'. Тогда
Л 73' — целое над Л/З'ГМ
Доказательство. Заметим, что кольцо Л/3' ГМ кано-
канонически отождествляется с подкольцом кольца Л73' (гл. III,
§ 5, теорема 8). Остается лишь привести уравнение целой зависи-
зависимости над А по модулю 3' Для каждого х из А'.
Лемма 2. Пусть А' — целое над А, и пусть S — мультипли-
мультипликативно замкнутое множество ненулевых элементов из А. Тогда
A's — целое над As-
Доказательство. Пусть п' — идеал, состоящий из эле-
элементов кольца Л', аннулирующихся хотя бы одним элементом из S.
Так как А'$ и As — обычные кольца частных колец Л'/п' и Л/п' Г] А
соответственно (гл. IV, § 9), то по лемме 1 мы сводим все к слу-
случаю, когда А я А' являются подкольцами колец As и A's- Пусть
в этом случае x/s (х 6 Л', s ? S) — элемент из A's. Из уравнения
целой зависимости
для х над Л, деля на sn, получаем, что
т. е. уравнение целой зависимости x/s над А*.
Теорема 3. Пусть А — кольцо, А' — надкольцо А, целое
над А, и р — простой идеал в А. Тогда в А' существует простой
идеал у', такой, что \)'[}А — р {т. е. р'с = р).
Доказательство. Покажем сначала, что доказательство
теоремы можно свести к случаю, когда р — единственный макси-

296 Гл. V. Дедекиндовы области. Классическая теория идеалов
мальный идеал из А. Для этой цели обозначим через 5 дополнение
идеала р в А (которое мультипликативно замкнуто) и рассмотрим
кольца частных As и As- Идеал pAs — единственный максимальный
идеал в As (гл. IV, § 11, теорема 19), и A's —надкольцо As, цело-
зависящее от As (лемма 2). Предположим, что в A's существует
простой идеал т', такой, что m'H^s = pAs- Тогда прообраз р'
идеала т'вА' (т. е. идеал т'с; см. определение в гл. IV, § 8, стр. 251)
является простым в А' (гл. IV, § 8, стр. 253). Очевидно, чтор'ПЛ
содержит р. Наоборот, если х?р'[)А, то класс вычетов л:элемента
х по модулю ядра п гомоморфизма А—> As лежит в m'f] As, т. е.
в pAs\ таким образом, х?р (гл. IV, §11, теорема 19).
Предположим, теперь, что р — единственный максимальный
идеал в А. Если мы докажем, что расширенный идеал А'р отличен
от А', то теорема будет доказана. Действительно, если А'р ф А',
то А'р содержится в некотором максимальном идеале кольца А'.
Если р' — такой максимальный идеал, то идеал р'П^ отличен
от Л и содержит р, откуда р' р] А = р, так как идеал р максимален.
Таким образом, мы должны доказать, что А'р не содержит еди-
единицы. Так как условие 1 ? А'р может быть записано как равенство
2 a'iPi = l(a'i?A', Pi?p), в котором участвует лишь конеч-
г
ное число элементов из А', тем самым доказательство последнего
утверждения можно свести к случаю, когда А' порождается над А
конечным числом элементов. Индукцией по числу этих элементов
мы сведем все к случаю, когда А' = А [х]. Пусть тогда
хп = ап_1хп-1+...+а1х + а0 (а^А) A)
есть уравнение целой зависимости наименьшей возможной степени
для х над А. Если 1 ? А'р, то получим соотношение
\ = Po + p1x+... + pqx'1 (Рг€р). B)
Используя уравнение A), можно предположить, что g<n — 1.
Далее, так как элемент 1 — р0 не содержится в единственном мак-
максимальном идеале р кольца А, то он обратим и мы можем разделить B)
на 1 — р0 и, таким образом, предположить, что р0 равно нулю
1 =р1х+...+^9 (Pi?P, q<n-\). B')
Это соотношение показывает, что х является обратимым элементом
в А' и, следовательно, не является делителем нуля в кольце А'.
Заменим теперь а0 в A) на а0 (ptx+. .. +pqxq).Mbi получим равенство
хп = an_lXn'1 +...+alX + aox(Pl+...+ p^1). (Г)
Сокращая на х, выводим уравнение целой зависимости для х над А,
степень которого не превосходит п— 1. Это противоречие. Таким

§ 2. Целозависимые кольца 297
образом, рЛЫ — собственный идеал кольца А[х], а это доказы-
доказывает теорему 3.
Дадим другое ее доказательство. Пусть р — произвольный про-
простой идеал в R. (Сведение к случаю, когда р является единственным
максимальным идеалом в А, не используется вэтом доказательстве.)
Множество идеалов а из А', таких, что a'f]Aczp, непусто (ему
принадлежит, например, нулевой идеал) и, очевидно, индуктивно.
Следовательно, по лемме Цорна существует максимальный эле-
элемент р' этого множества. Мы хотим доказать, что р' f) A = р и что
р' — простой идеал.
Покажем, что предположение р'П^ Ф р приводит к противо-
противоречию. При этом предположении р'ГИ < Р- Пусть х— элемент
из р, не принадлежащий р'. Тогда р' + А'х > р', и отсюда по вы-
выбору р' получаем соотношение (р'+ А'х) f^\ А ф. р. Это озна-
означает, что существует элемент г' из Л' и элемент у из А, но не из р,
такие, что z'x — у принадлежит р'. Пусть z'n -\- ax z'n'1+ .. .
. .. -fan-i2' -\-an = 0 есть уравнение целой зависимости для z
над А(аг?А). Умножая это соотношение на хп и используя то
обстоятельство, что z'x = у (mod p'), мы находим следующее срав-
сравнение:
Это противоречит тому, что х?р, у$р.
Для того чтобы показать, что р' — простой идеал, рассмотрим
произвольную пару идеалов а' и Ъ' из А', такую, что а' > р' и Ь' > р',
и докажем, что а'Ь' > р'. Пусть а = а'(~]Л, Ь = Ь'[)А. По выбору
р' и из равенства р'[\А = р заключаем, что а > р и Ь > р. Так
как р — простой идеал, то аЪ > р. Наконец, выражение а'Ь'(~]Аи
ZD ah > р показывает, что а'Ь' > р'. Это завершает доказательство.
Идеал р' в А', для которого р' f) A = р, называется лежащим
над р. Приведем следствие из теоремы 3.
Следствие. Пусть А — кольцо, р и q — два простых идеала
из А, таких, что р d q, A' ¦—надкольцо А, целое над A, up' —про-
—простой идеал из А', лежащий над р. Тогда существует простой идеал
С)' в А', содержащий р' и лежащий над q.
Кольцо вычетов А'/р' цело над Alp (лемма 1), и следствие выте-
вытекает из теоремы 3, примененной к простому идеалу q/p кольца Alp.
Дадим теперь два дополнения к теореме 3.
1) Два простых идеала р' и q' кольца А', таких, что р' < q',
не могут лежать над одним и тем же простым идеалом кольца А.
Переходя к А'/р', мы можем предположить, что р'=0 и Л' —
область целостности. Покажем тогда, что никакой отличный от нуля
идеал а' в Л' не сокращается до нулевого идеала из А. Фиксируем
элемент х Ф 0 в а'. Для х существует уравнение целой зависимости.

298 Гл. V. Дедекиндовы области. Классическая теория идеалов
над А: хп + an_ixn~l +.. .+ а0 = 0, где а0 Ф О, так как иначе
мы могли бы разделить на х. Это уравнение показывает, что а0 ?
?хА'Г\Ааа'[)А. Отсюда. a'ftA ф @).
2) Для того чтобы простой идеал р' из А', лежащий над р, был
максимальным, необходимо и достаточно, чтобы р был максималь-
максимальным идеалом в А.
Действительно, если р' не максимален, то он содержится в мак-
максимальном идеале а' и соотношение q' f]A > р= р' f]A, в силу
дополнения 1, показывает, что р также не максимален. Обратно, пред-
предположим, что р не максимален. Тогда р содержится в максимальном
идеале q; используя следствие, находим, чтор' также не максимален.
Замечание. Переходя к A' jp', можно представить только что полу-
полученный результат, как частный случай 1), а именно когда р' — 0, пусть
А' — область целостности, целая над А; для того чтобы А' была полем,
необходимо и достаточно, чтобы А была полем. Другими словами, область
целостности, целозависящая от собственной области целостности (т. е. от
области, не являющейся полем), сама собственная. Заметим, однако, что
этот результат значительно более элементарен, чем теорема 2, и может
быть доказан очень просто и прямо следующим образом:
Если А' — поле и х? А, хфО, то \/х?А', откуда существует соотно-
соотношение вида
IV
х J
Поэтому равенство 1 = — х (ах + а«х + ... + а,,*"), — ? А, показывает,
что А также является полем.
Обратно, если А — поле и х ? А', хфО, то А(х) = А [х], так как х алге-
браичен над А. Отсюда справедливо включение —?А[х]сА', показываю-
показывающее, что А' является полем.
§ 3. Целозамкнутые кольца. Пусть А—область целостности,
К — ее поле частных и I — надполе К- Если элемент х из L цел
над А, то он тем более алгебраичен над К по условию (с) (§ 1,
¦стр. 292). Пусть п — степень минимального полинома / (X) для х
над К, и через {xt, . . ., хп] обозначено полное множество элементов,
сопряженных с х над К, т. е. множество из п элементов алгебраи-
алгебраического замыкания, таких, что / (X) — \\ (X — хг) (каждый сопря-
i
женный х повторяется ре раз, где ре — степень несепарабельности
f (X) над К; см. гл. II, определение 2, стр. 84). Так как все
сопряженные с х над К элементы х-г удовлетворяют уравнению целой
зависимости для х над А, то коэффициенты минимального полинома
/ (X) = \\ (X — х{) являются целыми над А (§ 1, следствие из тео-
г
ремы 1). Мы доказали, таким образом, следующий результат:

§ 3. Целозамкнутые кольца 299
Теорема 4. Пусть А — область целостности, К — ее поле
частных, х — элемент некоторого расширения поля К- Предположим,
что х цел над А. Тогда х алгебраичсн над К и коэффициенты мини-
минимального полинома f(X) для х над К являются целыми над А элемен-
элементами поля К (в частности, таковы норма и след). Если А целозам-
кнуто, то эти коэффициенты лежат в А и поэтому минимальный
полином f (X) дает уравнение целой зависимости f (х) = 0 для х
над А.
Незначительная модификация рассуждений о сопряженных эле-
элементах ведет к следующему результату:
Теорема 5. Пусть А — целозамкнутая область и К—ее
поле частных. Если f (X) ug(X) — приведенные полиномы в КIX],
такие, что произведение h(X) = f(X)g(X) лежите А [X], то f(X)
и g(X) сами лежат в А[Х\ (т. е. их коэффициенты из А).
Доказательство. Пусть (х4), (г/3) — два множества
элементов из алгебраического замыкания поля К, таких, что f (X) =
[J (X - xt), g (X) = Ij (X - У]). Так как h (X) = IJ (X - х4) •
¦ [] (X — yj) лежит в А [X ], то соотношения h (xt) = 0иА (г/у) = 0
являются уравнениями целой зависимости для всех xi и г/; над А,
и эти элементы, таким образом, являются целыми над А. Поэтому
коэффициенты полиномов / (X) и g(X), которые являются суммами
произведений соответственно xt и yjt целы над А (§ 1, следствие
из теоремы 1); отсюда вытекает, что они являются элементами из А,
так как А целозамкнута.
Замечание. В гл. II (§ 2, стр. 72) мы определили минималь-
минимальный полином над полем К элемента х из некоторого расширения L
поля К-
Более общо, если х — элемент надкольца поля К, причем это
надкольцо не предполагается полем, то множество всех полиномов
f(X) б К[Х], таких, что / (х) = 0, есть главный идеал в К1Х).
Приведенный полином т (X), порождающий этот идеал, называется
минимальным полиномом для х над К (шивК1Х]). Если хне является
элементом некоторого надполя поля К, то минимальный полином
т (X) не обязан быть неразложимым. Часть теоремы 4 может быть
обобщена на этот случай: пусть А — целозамкнутая область, К —
ее поле частных их — элемент, целый над А, из некоторого надколь-
надкольца, содержащего К- Тогда минимальный полином. т(Х) для х над К
обладает тем свойством, что все его коэффициенты лежат в А; дру-
другими словами, соотношение т (х) = 0 есть уравнение целой зависи-
зависимости для х над А.

300 Гл. V- Дедекиндовы области. Классическая теория идеалов
Доказательство. Если /(х) — 0 (/(X) — приведенный
полином из Л [А"]) является уравнением целой зависимости для х
над Л, то мы можем записать / (X) = т{Х) h (X), где h (X) — при-
приведенный полином из KiX ]. Тогда теорема 5 показывает, что т (X) ?
Заметим, что если Л — область целостности и если В — над-
надкольцо Л (но не обязательно надкольцо поля частных К области Л),
такое, что никакой ненулевой элемент А не является делителем
нуля в В, то применимы предыдущие рассмотрения. Действительно,
если мы обозначим через М множество всех ненулевых элементов
из Л, то кольцо частных В м содержит и В и поле частных К области Л.
Примеры целозамкнутых колец.
1) Любая область А с однозначным разложением на множители
целозамкнута. Действительно, пусть х/у (х? Л, у?А) цело над Л;
мы можем предположить, что х и у взаимно просты. Из уравнения
целой зависимости
получаем
Отсюда видно, что хп кратен у. Если бы у не был обратим, то мы
получили бы противоречие с предположением о том, что х и у вза-
взаимно просты, так как любой неразложимый делитель у делил бы
и х. Значит, у обратим и х/у принадлежит Л. В частности, кольцо
J целых рациональных чисел и кольцо полиномов k[Xit . . ., Хп]
над полем k целозамкнуты.
2) Если R — целозамкнутая область и если S — мультипли-
мультипликативно замкнутое множество ненулевых элементов из R, то кольцо
частных Rs целозамкнуто. Действительно, если элемент х из общего
поля частных колец R и Rs является целыми над Rs, то уравнение
целой зависимости имеет вид
так как конечное число элементов из Rs имеет общий знаменатель s
в S. Умножая на s", мы видим, что элемент sx цел над R, откуда
sx б R, так как R целозамкнуто. Если мы положим sx = z ? R,
то получим х =z/s?Rs, что и доказывает целозамкнутость Rs-
¦ 3) Если R — целозамкнутая область и р — простой идеал в R,
то кольцо классов вычетов R/p не обязательно целозамкнуто. В част-
частности, конечная область целостности &[хь Хг, . . ., хп] над полем k

§ 3. Целозамкнутые кольца 301
является областью вида Rip, где R — кольцо полиномов
k[Xi, . .., Хп], но конечные области целостности, вообще говоря, не
целозамкнуты. Для случая п = 2 простейшим примером является
такой, когда р— главный идеал (Х\— Х\). В этом случае x1/xi
не принадлежит кольцу k\xi, x2], но элемент хх/х2 цел над этим
кольцом, так как (х1/х2J = х2-
Сейчас мы докажем результат, тесно связанный со следствием
из теоремы 3 (§2):
Теорема 6. Пусть А — целозамкнутая область, А' — над-
надкольцо А, целое над А и такое, что никакой ненулевой элемент из А
не является делителем нуля в А'. Если р и q — простые идеалы в А,
такие, что q а р, и если р' — простой идеал из А', лежащий над р,
то существует простой идеал <\ в А', содержащийся в р' и лежащий
над q.
Доказательство. Пусть 5 — мультипликативно замк-
замкнутое подмножество, состоящее из элементов кольца А', которые
можно записать в виде аЬ', где а?А, a$q, b' б A', b'$p'.
Множество S не содержит нуля, так как никакой элемент а $ q,
а 6 А, не может быть делителем нуля в А'. Поскольку А и А' обла-
обладают единицей, то S содержит дополнение идеала р' в А' и дополне-
дополнение идеала q в А. Перейдем к рассмотрению кольца частных A's.
Предположим, что мы уже доказали, что идеал C|j4s, порожден-
порожденный образом q в A's, есть собственный идеал в A's. Тогда он содер-
содержится в простом идеале Ш из A's, например в одном из максималь-
максимальных. Сокращенный идеал q' = ЭДГ идеала 5Ш в А' есть простой
идеал, не пересекающий 5 (гл. IV, § 10, следствие 1 к теореме 16)
и поэтому содержащийся в р'. Идеал q' f]A, очевидно, прост и вклю-
включает q; но так как S содержит дополнение q в А и так как q' не пере-
пересекает S, то отсюда следует, что q'(~)A = q, а это доказывает
теорему.
Докажем теперь, что образ q порождает собственный идеал
в A's, или, что то же самое, что идеал цА' не пересекает S. По лемме 1
(§ 1) каждый элемент х из qA' удовлетворяет уравнению целой
зависимости вида
Предположим, что х принадлежит S, и запишем х = ab' (а ? А,
a&q, b'?A', b'§р'). Так как f (х) = 0, то полином f (X) есть
произведение минимального полинома g (X) элемента х над полем
частных К области А и другого приведенного полинома h(X). Тео-
Теорема 5 доказывает, чтоg(X) и h(X) таковы, что все их коэффициенты
лежат в А. Обозначим через /, g и h полиномы, полученные из f,

302 Гл. V. Дедекиндовы области. Классическая теория идеалов
g и h редукцией их коэффициентов по модулю q. Поскольку [(X) ==
=Хп, g(X) = Хг + . .., h(X) = Xn~r+ ... и Alq — область целост-
целостности, то мы заключаем (после рассмотрения членов наименьшей
степени), что g(X) = Xr и h(X) = Хп~Т. Другими словами, g{x) =
= хг + &т_\_хт~1 + ... +dix + d0 = 0 (dj6q). С другой стороны,
минимальный полином элемента Ь' над К также обладает тем свой-
свойством, что все его коэффициенты лежат в А (по замечанию, следую-
следующему за теоремой 5). Пусть этот полином есть
Так как х — аЬ' при а б А, то йг = егаг~1 для i = 0, ..., г — 1.
Из того, что dt?c\ и a$q, выводим включение e^q, поскольку
q прост. Условие m(b') = 0 показывает, что b'r d A'q CZp', откуда
fe'gp', так как р' прост. Это противоречит предположению отно-
относительно Ь'. Утверждение доказано.
Можно показать на примерах, что три условия: «Л целозамкнуто»,
«Л' цело над Л» и «никакой ненулевой элемент Л не является делителем нуля
в Л'« — существенны для справедливости теоремы 6 [см. Cohen — Seiden-
b е г g, Prime Ideals and Integral Dependence, Bull. Amer. Math. Soc,
52 A946), 252—261].
Замечание. Более простое доказательство теоремы 6 может
быть дано в случае, когда А' нётерово. Мы сначала докажем,1 что
если А' нётерово, то каждый изолированный простой идеал из A'q
сокращается до q в А. В самом деле, если даны изолированный
простой идеал q' идеала A'q и некоторый элемент х из q', то сущест-
существуют показатель s и элемент у из А' (у не лежит в q'), такие, что
х*у 6 А'ц. Для доказательства берем у из пересечения примарных
компонент y4'q, радикал которых не есть q', a s достаточно большим,
чтобы хч лежало в примарной компоненте A'q относительно q'
(см. гл. IV, § 5). Из леммы 1 § 1 следует, что xsy удовлетворяет
соотношению вида
f(x«y) = (x*y)n + qn_1(xsy)n-1+ ... +<7„ = 0 (ft 6 q),
и, как в последней части доказательства теоремы 6, можно пред-
предположить, что f(X) — минимальный полином для х^у над К- Если
мы допустим далее, что х лежит в Л, то сравнение f(X) с минималь-
минимальным полиномом Хп + an_iX'1'1 +. .. +а0 (at б А) для у над К пока-
показывает, что ft = aixsm~n для i = 0, ..., п — 1. Из х $ q мы
выводим, что at 6q для i = 0, . . . ,п — 1, так как q прост, откуда
у1'^ A'qdq'', поскольку q' прост, это повлечет за собой включение
у 6 q' в противоречие с предположением, что у§(\. Отсюда x?q
и, так как включение q d q' П Л очевидно, исходное предположе-
предположение доказано.

§ 4. Теоремы конечности 303
Для завершения доказательства теоремы 6 в этом случае доста-
достаточно заметить, что из соотношения р' Z3 A'q следует, что р' содер-
содержит некоторый изолированный простой идеал q' идеала А'ц (гл. IV,
§ 5, теорема 7).
§ 4. Теоремы конечности.
Теорема 7. Пусть А — целозамкнутая область, К —ее поле
частных, F — конечное сепарабельное алгебраическое расширение К
и А' — целое замыкание А в F. Тогда существует базис {х4, ..., хп}
поля F над К, такой, что А' содержится в А-модуле ^Ахг.
i
Доказательство. Заметим сначала, что если мы обозна-
обозначим через А* множество ненулевых элементов кольца А, то F = А'а*,
т. е. для данного элемента x?F существует ненулевой элемент
s? А, такой, что sx? А'. В самом деле, если Хп + сп_хХп~1-\- . . .
. . . -\- с0 — минимальный полином для х над К {с% б К) и если мы
возьмем общий знаменатель s ф 0 в А, такой, что sci = ai б А,
то мы получим равенство {sx)n + an_i(sx)n~1 + . . . + sn'1ag = 0,
и sx цел над А. Из этого рассмотрения следует, что существует
базис {ии ... , ип} поля F над К, такой, что и^А' для всех i1).
Возьмем некоторый элемент х из А' и запишем х = 2 Ьгщ, где
г
Ьг 6 К- Так как FIK. сепарабельно, то существует в точности
n(=[F : КЬ /С-изоморфизмов s} (j = 1,... , п) поля F в наимень-
наименьшем нормальном расширении поля К, содержащем F (гл. II, § 6,
теорема 16). Дискриминант d базиса {и{, ...,«„} отличен от нуля
и d = det (Sj (uj)J (гл. II, §11, стр. 114). Мы можем положить
УЗ. = det (SjiuJ). Сопряженные с х над К элементы удовлетворяют
условиям
s} (х) = 2! b^j (щ) (/= 1, ...,л). A)
г
Так как х и все щ целы над Л, s;. (x) и s^ (ы4) также целы над А. Раз-
Разрешая линейную систему уравнений A) относительно bi по правилу
Крамера, получаем соотношения
УЗ Ь, = 2 dijSj (х); db, = ^Vd diiSj (x),
i i
где d{j- — полиномы от s- (u%) с обычными целыми числами в каче-
качестве коэффициентов. Отсюда dbi wyiibi целы над Л. Но так как
d б К (гл. И, § 11, стр. 112) и Л целозамкнуто, то А.Ьг^А. Отсю-
Отсюда если мы возьмем х1—-4-,тоА' содержится в Л-модуле 2 ^xi-
*) Эта часть доказательства и, следовательно, также и заключение
относительно существования базиса {ии . . . ,ип} не зависят от предположе-
предположения сепарабельности F/K.

304 Гл. V. Дедекиндовы области. Классическая теория идеалов
Замечание. Читатели, знакомые с линейной алгеброй, могут
предпочесть следующее доказательство: пусть {«ь . . ., ип} —базис
F над К, содержащийся в Л'. Билинейная функция (х, у)-* Т(ху)
невырождена, так как F сепарабельно над К- Поэтому она опреде-
определяет изоморфизм поля F, рассматриваемого как векторное про-
пространство над К, на его дуальное пространство. Пусть {vit ..., vn} —
элементы из F, соответствующие элементам дуального базиса {«(>...
..., ип), т. е. элементы поля F, удовлетворяющие условиям Т{игю}) =
= bi} для всех i, j. Если элемент х = ^ x^v^ (х} б К) лежит в А',
3
то хиг?А' для каждого I, откуда Т (хиг) ? Л (§ 3, теорема 4).
Поскольку Т (хщ) = ^XjT (UiVj) = xt, мы получаем A' d^ Av-.
з i
Те же соображения будут снова употреблены в § 11 (см. доказа-
доказательство теоремы 30 и замечание 2, стр. 351 в § 11).
Следствие 1. При тех же предположениях, что и в теоре-
теореме 7, допустим, что А — нётерово кольцо. Тогда А' — конечный
А-модуль и является нётеровым кольцом.
В самом деле, Л' — подмодуль конечного Л-модуля 2 Axt
г
и, следовательно, является конечным Л-модулем. Таким образом,
Л' удовлетворяет у.о.в.ц. как Л-модуль (гл. III, § 10, теорема 18)
и тем более удовлетворяет у.о.в.ц. как Л'-модуль, т. е. Л' — нёте-
нётерово кольцо.
Следствие 2. При тех же предположениях, что и в теореме 7,
допустим, что А — область главных идеалов. Тогда существует
базис {уг} поля F над К, такой, что А' = ^Ауг.
г
Только что было показано, что Л' содержится в Л-модуле 2 ^*г>
порожденном /г элементами хг. Отсюда, согласно гл. IV, § 15.
лемма 1, Л' также имеет базис, состоящий из п элементов yit ..., уп.
Так как F = А'А*, то множество {у{} необходимо является также
базисом F над К-
Следствие 2 имеет особое значение для случая, когда либо А
является кольцом J целых рациональных чисел, a F — полем алгеб-
алгебраических чисел, либо А — кольцо полиномов klX] от одной пере-
переменной над полем k, a F — поле алгебраических функций от одной
переменной. В первом случае элементы из F, целые над J, назы-
называются целыми алгебраическими числами числового поля F; во вто-
втором случае элементы из F, целые над &[Х], называются целыми
функциями поля функций F (по отношению к элементу X). След-
Следствие 2 показывает, что эти алгебраические целые числа (или целые
функции) являются линейными комбинациями с обыкновенными
целыми коэффициентами (или с коэффициентами из k[X\),

§ 4. Теоремы конечности 305
п (= [F : К]) линейно независимых алгебраических целых элементов
уг. Такой базис {уг} поля F над рациональным полем (или над
полем рациональных функций k{X)) называется целым базисом.
Пример. Пусть х — неизвестное над полем k характеристи-
характеристики, не равной 2, и j — алгебраический элемент над К = k{x),
определенный уравнением у1 — Р{х), где Р — неразложимый поли-
полином над k. Поле функций F = K(y) — k(x, у) допускает {1, у)
в качестве целого базиса (по отношению к х). В самом деле, во-пер-
во-первых, 1 и у целы над А = k\x\. Далее, пусть z является целым над А
элементом поля F. Запишем z = а(х) + Ь(х)у (а(х), b(x) ? k(x)).
По теореме 4, следствие 2, а(х) и норма а(хJ — Ь{хJР{х) элемента z
над k(x) принадлежат klx], откуда следует, что а(х) и Ь(х) — поли-
полиномы, так как иначе Р(х) делился бы на квадрат знаменателя Ь(х).
Следовательно, целое замыкание А' кольца k[x] в F = k(x, у)
есть кольцо k[x, у].
Замечание. Пусть А — целозамкнутая область, К — ее
поле частных и F — конечное сепарабельное алгебраическое рас-
расширение К- Мы предположим, что целое замыкание А' кольца А
в F допускает целый базис {уг} (т. е. базис F над К, такой, что А' =
= 2^ Уг)-Тогда для любого базиса {хг} поля F над К, образован-
i
ного из элементов кольца А', дискриминант d (xu . ¦ ., хп) является
элементом из А (по теореме 4) и кратным (в А) элементу d (г/ь . . ., уп)
[гл. II, § 11, формула B)]. В частности, любые два целых базиса А'
над А имеют дискриминанты, различающиеся на обратимый мно-
множитель из А; другими словами, эти дискриминанты порождают
один и тот же главный идеал в А. Этот главный идеал или канони-
канонически выбранная образующая его (например, положительное целое
число в случае Л = / или приведенный полином в случае А = k[X])
называется дискриминантом F над К (по отношению к области
целостности А). Обобщение см. в § 11.
В примере, данном выше, дискриминант k (x, у) над k (x) есть
Р(х).
Сейчас мы перейдем к изучению областей целостности, которые
порождаются над полем k конечным числом элементов,— другими
словами, облас ей целостности вида k\x\, ¦ . ., хп]; такие области
называются конечными областями целостности.
Теорема 8 (нормализационная лемма).
Пусть А = k[xi, .. ., хп]—конечная область целостности над бес-
бесконечным полем k, и пусть d — степень трансцендентности поля
k(Xi,..., Хп) над k. Тогдасуществуют d линейных комбинаций у i, ...,yd
от х-х с коэффициентами из k, таких, что А цело над Mwi, ..., yd]
(у i, . . ., yd тогда обязательно алгебраически независимы над k

306 Гл. V. Дедекиндовы области. Классическая теория идеалов
и k[yit. . ., yd] есть кольцо полиномов). Если k (хи ..., хп)сепарабельно
порождаемо над k, то у,- могут быть выбраны таким образом, что
k {xi, ..., хп) —сепарабельное расширение k (уи ..., yd) ({уи .. .,yd}
является тогда сепарирующим базисом трансцендентности поля
k(xit ..., хп) над k).
Доказательство. Если п — d, мы положим г/;- = х}
и доказывать нечего. Мы будем доказывать индукцией по п, п > d.
Благодаря тому что целая зависимость и сепарабельность транзи-
тивны (§ 1, теорема 2, и гл. II, §5, теорема 9, соответственно), мы
должны лишь доказать следующий результат (где для упрощения
обозначений п заменено на п+ 1): если klxt, ...,xn+t]— конеч-
конечная область целостности степени трансцендентности d<n, то
существуютп линейных комбинаций zit . . ., zn отх4, таких, что k\x\
цело над k\z\ (и таких, что k (х) сепарабельно над k(z), если k(x)
сепарабельно порождаемо над к). Изменив нумерацию хг, если это
необходимо, мы можем предположить, что базис трансцендентности
k(x) над k может быть найден среди {хи . . ., хп} (гл. II, § 12, тео-
теорема 23, следствие 2) и что этот базис является сепарирующим бази-
базисом трансцендентности в сепарабельном случае (гл. II, § 13, тео-
теорема 30). Мы положим тогда u = xn+i и обозначим через Р (U, хи ¦. ¦
.. .,хп) минимальный полином для и над k(xit ...,xn). Предположим,
что коэффициенты Р {U, xiy . . ., хп) лежат в k\xu . . ., хп], так что
Р (U,Xi, . . .,хп) на самом деле есть результат подстановки хи . ¦ .,хп
вместо Xi, . . ., Хп в ненулевой полином Р (U, Хи . . ., Хп) от л+ 1
неизвестных U, Хи . . ., Хп с коэффициентами из k.
Мы намерены взять zi — хг — аги (i = 1, . . ., п) с подходящим
образом выбранным ах из k. Так как хг = zt + atu, то достаточно
доказать, что и цел (и сепарабелен в сепарабельном случае) над k[z\.
Рассмотрим уравнение
F(u, z) = P(u, z1 + a1u, ..., 2n + onu) = 0.
Его член наивысшей степени относительно и есть uQf(l,ai, . . .,ап),
где/ (t/, Xit. . ., Хп) обозначает форму высшей степени в Р (U, Xlt...
...,Хп), a q — ее степень. Мы хотим теперь получить уравнение
целой зависимости для и над k\z\, если /A, аи . . ., ап) Ф 0.
В сепарабельном случае мы можем считать, что и — простой ко-
корень F (U, z) или, другими словами, что F'u (и, z) = Р'и (и, z) +
+ а^Р'Х1 (и, г) +. . .+апР'Хп(и, г) отлично от нуля. Но это выра-
выражение есть линейная функция от а4, не являющаяся тождественным
нулем, так как при ct\ = . . . = ап = 0 она принимает значение
Р'и{и,х)ф0 (ведь и сепарабелен над k{xu .. .,*„))• Строки {щ, ..., ап\
гобразуют /г-мерное векторное пространство кп над k, а векторы
аи . . ., ап}, ах б k, для которых Р'и + а{Рхг + . ¦ . + апР'Хп = 0,
образуют линейное многообразие L в kn, отличное от kn. Так как

§ 4. Теоремы конечности 307
поле k бесконечно, мы можем найти вектор {at} ? kn, удовлетворя-
удовлетворяющий условию / A, аи . . ., ап) =?0 и не лежащий в L. Но это и тре-
требовалось доказать.
Теорема 9. Пусть А = k\x\, . . ., хп\— конечная область
целостности над полем k, F — конечное алгебраическое расширение
поля частных k{xu ¦ ¦ -,хп) области А. Тогда целое замыкание А'
области А в F есть конечная область целостности над k, являющаяся
конечным А-модулем.
Доказательство. Сначала мы редуцируем все к случаю,
когда F — поле частных для А. Для этой цели заметим, что сущест-
существует базис {уи . . .,yq} поля F над k (хи . . ., хп], состоящий из эле-
элементов, целых над А (см. доказательство теоремы 7). Тогда кольцо
А0 = А\у\, . . ., yq] — конечная область целостности над k, являю-
являющаяся целой над А и имеющая F своим полем частных. Этим дости-
достигается желаемая редукция, так как А', очевидно, целое замыкание
кольца А0.
Мы докажем теперь теорему 9 при дополнительных предположе-
предположениях: k бесконечно и F = k(xi, ...,xn) сепарабельно порождаемо
над k. При этих допущениях по теореме 8 существуют d линейных
комбинаций zit ..., zd элементов xit таких, что подкольцо В =
= klzi, . . ., zd\ кольца А есть кольцо полиномов, над которым А
цело и сепарабельно. Вследствие транзитивности целой зависи-
зависимости (§ 1, теорема 2), А' —целое замыкание В в F. Так как В
целозамкнуто и нётерово, следствие 1 из теоремы 7 показывает,
что А'—конечный В-модуль. Следовательно, a fortiori А' есть конеч-
конечный Л-модуль и конечная область целостности над k.
В общем случае рассмотрим k(xi,..., хп) как подполе его алгебраи-
алгебраического замыкания, которое содержит алгебраическое замыкание k
поля k. Так как k бесконечно и k (х,..., хп) сепарабельно порождаемо
над k (гл. II, § 13, теорема 31), то мы можем найти d линейных ком-
п
бинаций zt = 2 aijxj (aij €^)> таких, что k[xu . . ., хп] цело
3=1
и сепарабельно над k\zu . . ., zd]. Пусть Р, (xJt г4, . . ., zd) = 0 —
сепарабельноеуравнение целой зависимости для xj над klz\, . ¦ ., zd]
(например, уравнение, полученное из минимального полинома для
Xj над k(zl zd); см. теорему 3 в § 3). Если через k' обозначим
конечное алгебраическое расширение k, порожденное коэффициен-
коэффициентами a,j и коэффициентами полиномов Р;-, то вторая часть доказа-
доказательства показывает, что целое замыкание для k'[xu ¦ ¦ ¦, хп] в еп>
ноле частных—это конечная область целостности k'iiji, . . ., yq\
над k'.
Теперь по теореме 1 (§ 1) k'[yu . .., yq] — конечный модуль
над k'[xi, . . ., хп]. С другой стороны, k'[xit . . ., хп] — конечный

308 Гл. V. Дедекиндовы области. Классическая теория идеалов
модуль над А = k\xi, . . ., хп\, конечным базисом предпоследнего
модуля над последним является, например, линейный базис k'
над k. Отсюда k'[yi, .. ., yq] — конечный Л-модуль. Так как целое
замыкание А' кольца A bF есть подмодуль Л-модуля k'lt/t, . . ., у ]
(оно равно F f]k'[yi, . . ., yq]) и так как А нётерово, то А'—также
конечный Л-модуль и a fortiori конечная область целостности,
что и требовалось доказать.
§ 5. Кондуктор целого замыкания. Мы только что рассмотрели
важный случай, когда целое замыкание А' области А в поле частных
является конечным Л-модулем Л' = 2 Ащ. Элементы щ имеют
г
тогда общий знаменатель d Ф 0 в Л: ut = vjd, где vi ? Л. Отсюда
dA' с Л.
Вообще пусть Л — область целостности. А' —¦ целое замыкание
в поле частных F области Л. Множество \ элементов z из Л, таких,
что zAd А называется кондуктором Л в А' или кондуктором целого
замыкания области Л.
Легко проверяется, что f —идеал и в Л и в Л'. Далее, если Ь —
идеал из Л, являющийся также идеалом в А', то ЬЛ' CZ Ь d Л,
откуда 6 С f. Следовательно, f — наибольший идеал в Л, являю-
являющийся также идеалом в Л'. Заметим, что А' = А тогда и только
тогда, когда кондуктор } — единичный идеал.
Лемма. Пусть А — область целостности. А' — ее целое
замыкание, \ — кондуктор А в А' и S — мультипликативная сис-
система в Л. Тогда A's является целым замыканием As и для того, чтобы
As было целозамкнутым, достаточно, чтобы \ Q S Ф 0. палее,
если А', конечный А-модуль, то кондуктор As в A's равен \As, и если,
более того, As целозамкнуто, то \ f] S непусто.
Доказательство. Кольцо A's целозамкнуто (§ 3, при-
пример 2). Отсюда A's есть целое замыкание As (§ 2, лемма 2). Если
f П 5 непусто, то существует s 6 5 [~| j и мы имеем включение
А' С (Us)A CZ As, откуда As = As, и Л8 целозамкнуто.
Из того, что d 6 f, мы получаем соотношение di' с ^, откуда
dA's d As- Это доказывает, что \AS содержится в кондукторе А8
в A's. Наоборот, если элемент d/s (d 6 Л, s б S) из Л8 таков, что
(d/s) A'sCI As, то с(Л'С1Лй. Так как Л'—конечный Л-модуль,
по предположению, и S — мультипликативная система, то сущест-
существует общий знаменатель s'bS, такой, что d4'd(l/sM. Отсюда
ds' 6 1" и — = -^V 6 jAs. Следовательно, \-As — кондуктор As в Лд.
Таким образом, доказано последнее утверждение леммы, так
как из целозамкнутости As следует, что его кондуктор \-As есть
единичный идеал.

§ 6. Характеристики дедекиндовых областей 309
Следствие. Если А' — конечный А-модуль, то простые
идеалы р в А, такие, что Ар не целозамкнуто, содержат кондуктор f.
Замечание. Можно показать на примерах, что А'р не дол-
должен быть простым идеалом, даже если р-не содержит кондуктор \.
Однако если ргф> f, то А'р содержится в простом идеале р' = рАр f]A'
(так как А' содержится в целозамкнутом кольце Ар) и р' является
единственным простым идеалом в А', лежащим над р. В самом деле,
если а' — идеал в А', такой, что а' |~) А = р, возьмем d, лежащий
в ), но не в р, и получим, что da' с a' f] А = р, откуда a' d рАр
и о' с ))'• Однако, если бы а' был простым и строго содержался бы
в р', мы получили бы а' [~] А < р' |~| А = р, (§ 2, дополнение 1
к теореме 3). В том случае, когда А' — нётерово кольцо, идеал р'
равен примарной компоненте А'р; и в самом деле, так как Ар>-=
= Ар, то р'= рАр П А'= (рА') Ар, [} А' (см. гл. IV, §10, тео-
теорема 17).
§ 6. Характеристики дедекиндовых областей. Мы видели (гл. IV,
§ 1, стр. 230), чтов нётеровом кольце R каждый идеал а содержит
произведение f[|)™(l) простых идеалов. Естественно изучать кольца,
г
в которых идеал есть в точности произведение простых идеалов.
Дополнительная причина для изучения этих колец, которая, воз-
возможно, более важна и с исторической и с идейной точки зрения
одновременно, состоит в том, что в первой половине XIX в. было
замечено, что кольца целых алгебраических чисел (§ 4), вообще
говоря, не являются областями с однозначным разложением
на множители, но обладают свойством однозначного разложения
идеалов на простые идеалы; более точно, понятие идеала было вве-
введено Куммером, Дедекиндом и Кронекером с целью восстановить
свойство однозначного разложения.
В этой связи можно вспомнить также теорему 9 из гл. IV, § 5,
о том, что если каждый собственный простой идеал нетерова кольца
R максимален, то каждый идеал в R является однозначно опреде-
определенным произведением примарных идеалов, принадлежащих раз-
различным простым идеалам. Мы увидим в этом параграфе, что если
в области R каждый идеал есть произведение простых идеалов, то
каждый собственный простой идеал R максимален. Максимальность
каждого простого идеала в области R не позволяет, однако, сама
по себе обеспечить возможность разложения каждого идеала из R
на простые, ибо хотя справедливо, что степени максимальных идеа-
идеалов примарны, но, вообще говоря, не каждый примарный идеал,
принадлежащий максимальному идеалу р, является степенью р.
Определение 1. Кольцо R называется дедекиндовой об-
областью (или дедекиндовым кольцом), если оно является областью

310 Гл. V. Дедекиндовы области. Классическая теория идеалов
целостности и если каждый идеал в R является произведением про-
простых идеалов.
Наша первая цель — доказать, что в дедекиндовой области раз-
разложение идеалов на простые идеалы однозначно. Шаги, направлен-
направленные к доказательству этого результата, приведут нас к другим важ-
важным характеристикам дедекиндовых областей.
Примеры дедекиндовых областей.
1) Область главных идеалов является дедекиндовой областью
(гл. IV, § 15, теорема 32).
2) Кольцо частных RM дедекиндовой области R по отношению
к мультипликативной системе М является дедекиндовой областью.
В самом деле, каждый идеал в RM — расширенный идеал ае (гл. IV,
§ 10, теорема 15); так как а = ]} р?(г) (pt — простой идеал), то ае =
г
= Ij($r(i) (гл. IV, § 8, стр. 252), и идеалы $— либо простые
идеалы, либо равны RM (гл. IV, § 10, теорема 15, следствие 2,
и теорема 10).
3) Мы докажем в § 8, что если R — дедекиндова область и L —
конечное алгебраическое расширение ее поля частных, то целое
замыкание R в L (§ 1)—также дедекиндова область. В частности,
так как кольцо J целых рациональных чисел и кольцо полиномов
k[X] от одной переменной являются дедекиндовыми областями
(пример 1), то кольцо целых алгебраических чисел и кольцо целых
функций поля алгебраических функций от одной переменной—также
дедекиндовы области.
Мы введем полезное понятие дробного идеала. Для данной области
целостности R и ее поля частных К ^-подмодуль Ь поля К назы-
называется дробным идеалом R, если элементы Ь допускают общий зна-
знаменатель d ф 0 в R или, точнее, если существует d ф 0 в R, такой,
что Ь CZ ! —г j R- Тогда Ь = ( —-г- J а, где а — обыкновенный идеал
в R. Обыкновенные идеалы кольца R называются целыми идеа-
идеалами. Пример дробного идеала — главный дробный идеал: если
х = -.-(а, b ? R, b Ф 0) — элемент поля К, то множество Rx
является дробным идеалом, так как оно ^-модуль и имеет b в каче-
качестве общего знаменателя; он называется главным дробным идеалом,
порожденным х.
Операции +, • ,ГЬ: наД идеалами определены и для дробных
идеалов. Операции+, • ,|~] уже определены для подмодулей или
аддитивных подгрупп, и если ba(-j-)Rvib'ci\ jrj R, то оче-
очевидно, что Ь + b'ci(-^r)/?, Ь-Ь' С (^г) Я и что ЬПЬ'С

§ 6. Характеристики дедекиндовых областей 311
- Множество (Ь : Ь') определяется как совокупность всех
х из К, таких, что хЪ' d Ь; это множество, очевидно, является
/^-модулем и (если Ъ' ф @)) допускает da в качестве общего знаме-
знаменателя, где а и d — два ненулевых элемента из R, таких, что
d( —г- ) R и agb'. Эти операции над дробными идеалами обла-
дают теми же свойствами, что и соответствующие операции в слу-
случае целых идеалов.
Множество 0 всех дробных идеалов кольца R есть частично
упорядоченное множество (по включению); a + Ь и a (~| Ь являются
Н. О. Д. и Н. О. К. а и Ь; умножение «согласовано» с этим отно-
отношением порядка, т. е. отношение а а а' влечет а-Ъ d a'-b. Кольце
R само является дробным идеалом и служит единичным элементом
J относительно умножения идеалов.
Естественно заинтересоваться обратимыми идеалами из J, т. е.
дробными идеалами а области ./?, для которых существует обратный
дробный идеал а', такой, что а-а = R. Главный дробный идеал
Rx {х Ф 0, х 6 X) обратим, так как допускает Rx'1 в качестве
обратного.
Мы начнем наше изучение дедекиндовых областей доказатель-
доказательством простых лемм, рассматривающих обратимые дробные идеалы.
В этих леммах R обозначает область целостности, К — ее поле
частных, J —множество всех дробных идеалов и маленькие готи-
готические буквы (а, Ъ, f, ...) — элементы из J.
Лемма 1. Если а обратим, то а имеет единственный обрат-
обратный; последний равен R : а. Следовательно, необходимое и достаточ-
достаточное условие обратимости идеала а — это равенство a-(R : о) = R.
Доказательство. Если а-а' = R, то a' d (R : а).
С другой стороны, a(R : a) d R. Следовательно, если а' — обрат-
обратный идеал к а, то {R : а) = a'- a- (R : a) d a'-R = а', что и тре-
требовалось доказать.
Лемма 2. Если каждый идеал в R, отличный от @), обратим,
то J — группа по умножению.
Доказательство. Каждый дробный идеал а может быть
записан в виде ( —з-) Ь, где Ь — целый идеал, а d — ненулевойэле-
мент R. Если Ь имеет обратный If1, то а допускает db'1 в качестве
обратного. Так как умножение идеалов ассоциативно и каждый
элемент J обладает обратным, то j — группа.
Лемма 3. Обратимый идеал а, рассматриваемый как
R-модуль, имеет конечный базис.

312 Гл. V. Дедекиндовы области. Классическая теория идеалов
Доказательство. Так как а-а'1 = R, существуют два
конечных множества {xt}, {x'i} (i = 1, ..., п) элементов а и а,
таких, что 2 XiXi — 1. Для каждого х из а имеем включение хх[ б R,
откуда х= 2 xxtx'i б 2 Rxi'> {xi} является конечным базисом для а.
г
Лемма 4. Если конечное множество {сц} целых идеалов тако-
таково, что произведение Ь = Дсц обратимо, то каждый а{ обратим.
В частности, если произведение {] о4 целых идеалов есть главный
г
идеал, то каждый сц обратим.
Доказательство. Из b~1{]ai = 7? получаем, что
V (b Г] uj) = Rj Ь- [] а} — обратный к сц.
Лемма 5. Для произведений целых обратимых простых идеа-
идеалов разложение на простые идеалы однозначно.
Доказательство. Пусть a = [] р4 — произведение обра-
г
тимых простых идеалов. Предположим ¦ также, что a = [Jq.j, ГДе
q3- — простые идеалы. Выберем минимальный элемент из множе-
множества {pt}, скажем pv Так как IJq;- содержится в ри то некоторый.
j
q3-, скажем qb содержится в ри Точно так же, поскольку \\рь
содержится в qi, некоторый pit скажем рг, содержится в qt. Отсюда
prdq-iCZpi. Из минимальности pi следует, что pr = q1 = p1. Умно-
Умножая соотношение П;р1 = П% на РГ1' получаем равенство [] рг =
= П Q;- Теперь лемма следует по индукции (по п); случай п=\
тривиален.
Теорема 10. В дедекиндовой области R каждый собственный
простой идеал обратим и максимален.
Доказательство. Мы покажем сначала, что в R каждый
обратимый собственный простой идеал р максимален. Рассмотрим
элемент а из R, не лежащий в р, и идеалы р + Ra, p + Ra2. Так
п
как R—дедекиндова область, то р + Ra — \\ рг; p + Ra? =
т
— j] q,-, где pv q3- — простые идеалы. Пусть R— кольцо классов
3— 1

§ 6. Характеристики дедекиндовых областей 313-
вычетов Rip па — класс элемента а по модулю р. Имеем равенства
_ п _ т
#а= [] (р4/р), R-a2 = [\ (q/p), где идеалы pt/p и q-/p просты.
i=i ;=l
По лемме 4 эти простые идеалы обратимы. Тогда, так как R-a2=
п
= CR-aJ=n (Pi/pJ, лемма 5 показывает, что идеалы q,-/p —
i=l
это идеалы pjp, повторенные каждый два раза; более точно: т = 2л,.
и мы можем перенумеровать q^ таким образом, чтобы q2i/p ==
=q2i-i/p = PJP- Значит, q2i = q2i^ = рг и (р + .RaJ = р + Яа2.
Это влечет соотношение р С (р + RaJ CZ р2 + Ra. Таким образом,
каждый элемент х из р может быть записан в виде х = у + га,
У 6 Р2, z 6 Я- Следовательно, га 6 р, откуда z 6 р, так как а$р^.
другими словами, р содержится в р2 + ра. Поскольку включение
pZDp2 + pa очевидно, то получаем равенства р = р2 + pa = P(P + Ra)-
Так как р обратим по предположению, то мы умножим это равен-
равенство на р и получим, что R — р + Ra. Но а — произвольный
элемент дополнения р в R, и тем самым максимальность р доказана.
Коль скоро это так, то для доказательства теоремы мы должны-
лишь показать, что каждый простой идеал р CZ R обратим. Возьмем
ненулевой элемент b CZ р и запишем Rb = fjpi» гДе Pi — простые-
г
идеалы. Так как р содержит Др4, то он содержит некоторый рг.
г
Но, по лемме 4, каждый рг обратим. Следовательно, каждый р{
максимален по первой части доказательства. Так как идеал р содер-
содержит один из р{, скажем рх, то р = рь так что и р обратим и мак-
максимален.
Следствие. В дедекиндовой области разложение любого
идеала на простые идеалы однозначно.
Это непосредственно следует из теоремы 10 и леммы 5.
Мы можем установить более общий и более точный результат,,
чем теорема 10:
Теорема 11. Пусть R — дедекиндова область. Каждый
дробный идеал а Ф @) в R обратим и может быть записан единствен-
единственным образом в виде
«= II Л(а), A)
р простые
где Пр (а) — целые числа {положительные, отрицательные или нули),
такие, что для данного а чисел Пр{а), отличных от нуля, конечное
число. Чтобы acz Ь, необходимо и достаточно, чтобы п^ (а)>л^ (Ь)

¦314 Гл. V. Дедекиндовы области. Классическая теория идеалов
¦для каждого р. Имеют место соотношения
= min(np(a), пр(Ъ)), B)
р тах(пр(а), пр(Ь)), C)
пр(а-Ь)-^пр(а) + пр(Ъ). D)
Идеалы а : Ь и а-Ь'1 равны, причем
пр (о : Ь) = пр (а¦ Г1) = пр (а) - пр (Ь). E)
Доказательство. Так как дробный идеал а может быть
записан в виде Ъ-С1, где Ь и с—целые идеалы (например, если
а = (_LЛ Ь, d ? R и Ь d .R, возьмем с = .Rd), и так как, по опреде-
V d J
лению, Ь и с можно выразить в виде произведений простых идеалов,
теорема 10 показывает, что мы можем записать а— 0-Pi * Г1 Я71»
i 3
где pi и q, — простые идеалы в .R. Таким образом, а обратим по тео-
теореме 10. Мы можем, очевидно, предположить, что рь фц, для всех
i, /. Если мы обладаем другим разложением а, скажем а =
= ] I Ps IT Cf'F1, ps^=qJ Для всех sh t, то соотношение Прг11ч*=
si it
= П^'П^- и однозначность разложения целых идеалов (следствие
из теоремы 10) показывают, что J J pt = Ц P's', П Ч? = П Чг Это дока-
i s ( з
зывает однозначность разложения для дробных идеалов и также
формулу A).
Так как Ъ обратим, условие а щ Ъ эквивалентно включению
a-b~1cz Ь-Ь, т. е. а-Ъ'1 d R- Это, в свою очередь, эквивалентно
неравенству n^(a-b~1)>0 для всех простых идеалов р из R, так
как целые идеалы с — это те, которые характеризуются условием
«р(с)>0 для всех р. Другими словами, условие a щ Ь равносиль-
равносильно тому, что Пр (а) — tip (Ъ) > 0, т. е. п^ (а) > п^ (Ь) для всех р.
Эта характеристика включения показывает непосредственно, что
{] pv (Р), гдеу (р) = min (tip (а), п* (Ь)), является наименьшим идеалом,
содержащим а и Ь, и что Пр^^» где |л (р) =тах(/г^(а), Пр(Ь)) —
Р
наибольший идеал, содержащийся в а и в Ь. Это доказывает фор-
формулы B) и C). Формула D) тривиальна.
Наконец, так как Ь'1 = (R : Ь) (лемма 1), то а-Ь'1 = a-(R : Ь)с
d a : Ь. С другой стороны, i? = (i? : Ь) Ь, откуда имеем a : Ь =
= (а : Ь) Ь (i? : b) CZ а• (jR : Ь). Следовательно, a-(R : Ъ) = а : Ъ. Это

§ 6. Характеристики дедекиндовых областей 315
доказывает утверждение относительно а : Ь, и формула E) следует
отсюда непосредственно.
Если для любого, отличного от нуля элемента х из К мы обозначим
через v (х) число п (Rx), то получим равенство и (xy\ = vi. (x) -\-vb (у) [по
¦формуле D)] и с» (* + </) S^min (и (x), v й (</)) [по формуле B)], так как
идеал R(x + у) содержится в fo+ Ry. В следующей главе мы увидим,
что это означает, что гл есть нормирование поля Я.
Теорема 12. Пусть R — область целостности. Для того
чтобы R было дедекиндовой областью, необходимо и достаточно,
чтобы множество J дробных идеалов R было группой по умножению
(т. е. что бы каждый идеал в R был обратим).
Доказательство. Необходимость очевидна, так как
каждый дробный идеал дедекиндовой области обратим по теореме 11.
Наоборот, если J — группа, то каждый идеал в R имеет конечный
базис (лемма 3) и R нётерово. Используя нётеровость R, мы можем
теперь доказать (доказательство от противного), что каждый собст-
собственный целый идеал из R есть произведение максимальных идеалов,
и это завершит доказательство теоремы. Предполагая противное,
получаем, что среди идеалов (отличных от нуля), не являющихся
произведением максимальных идеалов, существует максимальный,
скажем а (так как R нётерово); а не является максимальным идеа-
идеалом в R по предположению. Следовательно, он строго содержится
в некотором максимальном идеале т. Идеал т'1а существует (так
как J — группа) и является целым идеалом, строго содержащим
о; в самом деле, из а = т~1а мы получили бы та = а, что про-
противоречит лемме 2 из гл. IV, § 7. Следовательно, т~1а — произведе-
произведение максимальных идеалов (по выбору а) и а = т-т'^-а — также
произведение максимальных идеалов. Это противоречит предполо-
предположению и доказывает теорему 12.
Следующая характеристика дедекиндовых областей часто дает
простейший метод проверки того факта, что данная область целост-
целостности является дедекиндовой.
Теорема 13. Пусть R — область целостности. Для того
чтобы R была дедекиндовой областью, необходимо и достаточно,
чтобы она удовлетворяла следующим условиям:
1) Область R нётерова.
2) Каждый собственный простой идеал R максимален.
3) R целозамкнута.
Доказательство. Необходимость 1) следует из теоремы 11
и леммы 3; необходимость 2) — из теоремы 10. Что касается 3), то
рассмотрим элемент х поля частных К области R, являющийся

316 Гл. V. Дедекиндовы области. Классическая теория идеалов
целым над R. Существует общий знаменатель d фО в R, такой,
что dxn?R для каждого п>0. Значит, для каждого простого
идеала р С R имеет место равенство Vp (dxn)= Vp (d) + tiVp (x)>0
для всех п. Так как Vp (d) и Vp(x) — целые числа, то это влечет
Vp(x)>0, т. e. Vp(Rx)>0 для каждого простого идеала р, и
х ? R- Следовательно, область R целозамкнута.
Чтобы показать обратное, заметим сначала, что в доказательстве
теоремы 12 предположение о том, что каждый идеал в R обратим,
использовалось только для того, чтобы установить нётеровость,
в то время как остальная часть доказательства основывалась исклю-
исключительно на установленном факте нетеровости R и предположении,
что каждый собственный простой идеал обратим; на самом деле
при доказательстве мы нуждались только в том, что максимальный
идеал обратим. Так как в настоящем случае нам дано, что R нёте-
рово, то для доказательства дедекиндовости R мы должны лишь
показать, что каждый собственный простой идеал р в R обратим.
Заметим, что если у — некоторый ненулевой элемент из р, то р
должен содержать какой-то простой идеал главного идеала Ry
и отсюда р сам должен быть простым идеалом идеала Ry, так как
все собственные простые идеалы в R максимальны. Доказательство
теоремы 13 будет завершено, если мы докажем следующую лемму:
Лемма 6. Пусть R—нётерова целозамкнутая область, и пусть
р ф @) — максимальный идеал в R. Если р—простой идеал главного
идеала Ry, то р обратим.
Доказательство. По предположению, Ry : р Ф Ry
(гл. IV, § 6, теорема 11). Если тогда х — некоторый элемент из
Ry : р, не лежащий в Ry, то (х/у) p(Z.R; x/y (? R. Следовательно, мы
показали, что R : р Ф R. Предположим теперь, что р необратим.
Тогда pdp (R : р) < R, и так как р максимален, то р — p(R : р).
Далее, р Ф @) и р — конечный ^-модуль, поскольку R нётерово;
наконец, R — область целостности. Поэтому отсюда вытекает,
что при p(R : V)CZP ввиду условия (с'") § 1, стр. 292 (см. также
замечание после доказательства леммы 1 в § 1) каждый элемент
R : р цел над R и, следовательно, принадлежит R, так как R цело-
замкнуто. Другими словами, R : р CZ R вопреки неравенству
R : р Ф R, доказанному выше.
Замечание. Из доказательства леммы 6 следует, что пред-
предположение о том, что р — простой идеал главного идеала, может
быть заменено предположением R : р Ф R.
Лемма 6 может быть использована для доказательства следую-
следующего результата о нётеровых целозамкнутых областях, который
важен сам по себе.

$ 6. Характеристики дедекиндовых областей 317
Теорема 14.В целозамкнутой нётеровой области R простые
идеалы любого собственного главного идеала Ra (а Ф О и необратим)
суть минимальные простые идеалы в R (следовательно, главный идеал
не имеет вложенных компонент).
Доказательство. Пусть р — простой идеал для Ra.
Если R' обозначает кольцо частных Rp, то очевидно, что максималь-
максимальный идеал р' = R'p в R' является простым идеалом в R'a (гл. IV,
§ 10, теорема 17) и что р минимален в R тогда и только тогда,
когда р' минимален в R' (гл. IV, § 11, теорема 19). Так как R'
также нётерово и целозамкнуто, то отсюда следует, что в доказа-
доказательстве мы можем предположить, что р — максимальный идеал.
При этом предположении лемма 6 показывает, что р обратим. Мы
утверждаем, что каждый идеал q Ф 0, содержащийся в р, допускает
р в качестве ассоциированного простого идеала. Чтобы показать
это, заметим, что q (R : р) р d <Ь откуда q {R : р) d q : р. С другой
стороны, (q : р) pczq, и, так как р обратим, отсюда вытекает, что
q : р = (q : p) pf1dqp~1 = q {R : р). Следовательно, q : р =
= a {R : р) = q ¦ р~1. Идеал q • р отличен от q, так как иначе было бы
q = q-p, а такое равенство невозможно в нашей нётеровой области,
ибо q Ф @) и р Ф R (гл. IV, § 7, лемма 2). Из соотношения <\ : р Ф
Ф <\ следует, что q допускает р в качестве ассоциированного про-
простого идеала (гл. IV, § 6, теорема 11), как это и утверждалось.
В частности, р не может содержать никакого простого идеала,
отличного от р, и, следовательно, является минимальным.
Следствие. Пусть R — целозамкнутая нётерова область.
Если р — минимальный простой идеал в R, то единственные при-
марные идеалы, принадлежащие р, суть его символические сте-
степени рт).
В самом деле, кольцо частных R' = Ru нётерово, целозамк-
целозамкнуто и содержит единственный собственный простой идеал, именно
максимальный идеал р' = R'p. Отсюда по теореме 13 R' — деде-
киндова область и каждый собственный идеал в R' есть степень р'
и является примарным идеалом, принадлежащим р', так как р'
максимален. Но примарные идеалы в R!, принадлежащие р', состоят
во взаимно однозначном соответствии с примарными идеалами
кольца R, принадлежащими р, и следствие вытекает из определения
•символических степеней (гл. IV, § 12, стр. 267).
Теорема 15. Пусть R — целозамкнутая нётерова область,
имеющая единственный максимальный идеал т (т. е. R — локаль-
локальное кольцо). Если дробный идеал (R : т) отличен от R, тот. является
главным идеалом Rm\ каждый ненулевой элемент х из R может быть
.записан однозначно в виде х = emk, где е — обратимый элемент;

318 Гл. V. Дедекиндовы области. Классическая теория идеалов
единственными собственными идеалами кольца R являются идеалы'
вида Rmk.
Доказательство. Из замечания, следующего за леммой 6,
мы заключаем, что m обратим. Тогда доказательство теоремы 14
показывает, что m является минимальным простым идеалом в R,
откуда m —¦ единственный собственный простой идеал R, так как он
является единственным максимальным идеалом в R. Таким образом,
R — дедекиндова область (теорема 13), и каждый собственный идеал
R является степенью т. Остается показать, что m — главный
идеал. Чтобы доказать это, заметим, что так как т- (R : т) = R, то
существуют конечные наборы {mt}, {m\} элементов из m и (R : т),
такие, что ^>\т1т\ = \\ поскольку все произведения тхт\ лежат
г
в Rt и не могут все одновременно лежать в т, одно из них, ска-
скажем mim[, лежит вне m и является поэтому обратимым; другими
словами, существуют элементы т ? m, m ? (R : т), такие, что-
mm = 1. Следовательно, для каждого х ? m будет х = (хт')т ?
? Rm, и это доказывает, что т = Rm.
В следующей главе мы увидим, что R — кольцо дискретного
нормирования. Так как кольца дискретного нормирования будут
часто встречаться в настоящей главе, то мы временно определим
их как дедекиндовы области с единственным собственным простым
идеалом (определение, эквивалентное одному из тех, которые будут
даны в гл. VI). Теорема 15, таким образом, является теоремой
о кольцах дискретного нормирования. Заметим также, что если А ¦—
дедекиндова область и р— собственный простой идеал в Л, то кольцо-
частных Ли является кольцом дискретного нормирования.
§ 7. Дальнейшие свойства дедекиндовых областей.
Теорема 16. Дедекиндова область R с конечным числом соб-
собственных простых идеалов (pi) (z=l, ..., п) является областью-
главных идеалов.
Доказательство. Достаточно показать, что каждый
Pi — главный, а для этого мы должны лишь показать, что суще-
существует элемент р{ в р1г такой, что р{$р! и pifypj для / Ф i, так
как в этом случае разложение Rpt на простые идеалы может быть
только Rp{ = pi. Так как R — нётерова область, то р\ < рг
(гл. IV, § 7, стр. 249), и поэтому существует элемент а4?р{,
не лежащий в р|. В качестве элемента pi мы можем взять решение
системы п сравнений х= а-, (р|), х= 1 (р;) (/ Ф I). Так как идеалы
р|, р,- попарно комаксимальны, эта система имеет решение по тео-
теореме 31 гл. III, § 13.

§ 7. Дальнейшие свойства дедекиндовых областей 319*
Следствие 1. Кольцо классов вычетов R/a двдекиндовой
области R по собственному идеалу а есть кольцо глазных идеалов.
Пусть а = f] р™<1) — разложение а на простые идеалы и М —
г
дополнение множества []рг в R. Кольцо R/a есть прямая сумма
г
колец, изоморфных R/$M- Множество М является мультиплика-
мультипликативной системой в R, и кольцо частных RM, следовательно, есть
дедекиндова область (пример 2, § 6). Единственные простые идеалы
RM суть идеалы р\ (гл. IV, § 11), откуда RM — область главных,
идеалов (теорема 16). Отсюда также RmIo." — кольцо главных идеа-
идеалов. Ввиду перестановочности взятия кольца классов вычетов
и образования кольца частных [гл. IV, § 10, формула A)], RMI^
изоморфно (R/a)(M+a)/a, и это последнее кольцо совпадает с R/ay
так как каждый элемент из М обратим по модулю а. (Если х?М,
то Rx + а не содержится ни в одном собственном простом идеале
R; следовательно, это единичный идеал.) Это доказывает след-
следствие.
Следующее альтернативное доказательство следствия 1 более
непосредственно и не зависит от теоремы 16.
Так как а — пересечение (произведение) попарно комаксималь-
ных степеней простых идеалов, кольцо R/a является прямой суммой
колец типа R/pn, где р — простой идеал из R. Поэтому доста-
достаточно рассмотреть случай, когда а есть степень рп. Тогда фикси-
фиксируем элемент t в р, не лежащий в р2. Поэтому для s= 1, 2, .. ., п
будет ps = Rts + pn. Отсюда следует, что идеалы р/рп, р2/рп, ...
..., \)п~г/рн — главные идеалы в R/pn, и так как ими исчерпываются
все собственные идеалы из R/pn, то следствие доказано.
Следствие 2. В дедекиндовой области R каждый собствен-
собственный идеал а имеет базис, состоящий из двух элементов.
Выберем ненулевой элемент а в о. Так как R/Ra — кольцо
главных идеалов (следствие 1), то идеал a/Ra — главный. Пусть
Ь — элемент из а, класс вычетов которого по модулю Ra порождает
a/Ra. Очевидно, что тогда {а, Ь) — базис о.
В доказательстве теоремы 16 мы встретились с простым случаем
задачи о решении конечной системы сравнений. Следующая теоре-
теорема рассматривает общий случай этой задачи:
Теорема 17 (китайская теорема об остат-
к а х).г) Дедекиндова область R обладает следующим свойством:
г) Правило решения системы линейных сравнений, по существу экви-
эквивалентное теореме 17 в случае кольца J целых чисел, было найдено китай-
китайскими составителями календарей между четвертым и седьмым столетием-
нашей эры. Оно употреблялось для нахождения общих периодов нескольких,
циклов астрономических явлений.

320 Гл. V. Дедекиндовы области. Классическая теория идеалов
(КТО) Для данного конечного числа идеалов сц и элементов хг
¦области R (?= 1, ..., п) система сравнений х = х-х (mod сц) имеет
решение х в R тогда и только тогда, когда хг = Xj (mod at -\- a})
для i ф].
Доказательство. Свойство (КТО) связано с дистрибу-
дистрибутивностью операций f] и + относительно друг друга во множестве
идеалов дедекиндовой области R; если даны три идеала о, Ь,
b'czfl, то
В случае дедекиндовой области R эти соотношения дистрибутив-
дистрибутивности легко проверяются использованием теоремы 11: они эквива-
эквивалентны равенствам
тах{пр(а), min(np{b), пр{Ь'))} =
= min{max(np(a), пр{Ь)), та\{пр{й), пр(Ь'))};
тт{пр(й), тах(пр(Ь), пр(Ъ'))} =
= max{min(np(ft), пр{Ь)), тт{пр{а), пр{Ь'))}
(для каждого простого идеала р из R); эти соотношения в свою
очередь прямо следуют из того, что во множестве обыкновенных
целых чисел каждая из операций min и max дистрибутивна относи-
относительно другой — факт, проверяемый непосредственно.
Коль скоро это так, то теорема 17 вытекает из следующей теоремы:
Теорема 18. Для данного кольца R свойство (КТО) эквива-
эквивалентно дистрибутивности каждой из операций + и f) относительно
другой во множестве всех идеалов кольца R.
Доказательство. Заметим, что в (КТО) часть «только
тогда», очевидно, справедлива в любом кольце; поэтому мы будем
игнорировать ее как не относящуюся к доказательству.
Рассмотрим сначала случай п = 2. Если xt= x2 (mod (ах+ а2)),
то xi — х2 = ai — а2; at ? сц. Мы можем тогда взять х = xi —
— ui = х2 — Й2 в качестве решения сравнений х = xt (mod о4),
х = х2 (modo2). Таким образом, (КТО) получается без оговорок
для п = 2.
Докажем теперь, что условия дистрибутивности влекут (КТО)
для любого числа п сравнений. Используя индукцию по п, мы должны
лишь проконтролировать шаг от п ¦— \ к п. Нам нужно разрешить
п сравнений ^si; (mod сц), таких, что xi = x^mod (сц + а-)), зная,
что любая система из (п ¦— 1) попарно совместных сравнений раз-
разрешима. Мы знаем решение х' системы первых (п — 1) сравнений:

§ 7. Дальнейшие свойства дедекиндовых областей 321
х = xi (mod at) (i = 1, .. ., n — 1). Тогда данная система п срав-
сравнений эквивалентна х = х' (mod сц) (i = 1, ..., п ¦— 1), х = xn(mod an);
другими словами, она эквивалентна системе из двух сравнений
71-1
х = х (mod П ai)> x = xn (mod an). Как доказано выше, эта система
г=1
разрешима, если х = х„ (mod (an + |~j ai))- Допустим, что закон
г
дистрибутивности
имеет место для идеалов из 7?. Тогда наше условие разрешимости
может быть записано следующим образом:
п-1
x' = xn(mod П K + ai)),
г=1
а это условие действительно выполняется, так как х = xi (moda4)
и по предположению xt = xn (mod ot + on), i—\,...,n — 1.
Условие разрешимости, таким образом, выполняется, и данная
система п сравнений имеет решение. Поэтому закон дистрибутив-
дистрибутивности (ДО влечет выполнение (КТО).
Наоборот, докажем, что оба закона дистрибутивности следуют
из справедливости (КТО) для п = 3. Что касается (ДО, то левая
часть, очевидно, содержится в правой части, и отсюда достаточно
доказать, что любой элемент d из (о + Ъ) (~| (о + Ь') принадлежит
a + (Ь П Ь'). По предположению d = а + b = а' + b'\ a, а'
из а, Ь из Ь, Ь' из Ъ'. Теперь мы попытаемся записать d в виде х + у,
где х лежит во, а г/ — вЬ f] Ь'. Это эквивалентно тому, чтобы найти
такой элемент х в о, что х — d ? Ь |~) Ь', т. е. найти решение трех
сравнений х = 0(modo); x= d(modb); x = d(modb'). Так как
d — O = d?a + b, d — O = dgo + b', d — d=O?b + b', то
эти сравнения попарно совместны, и решениех существует по (КТО)
Поэтому (ДО доказано.
Из того, что доказано выше, мы непосредственно заключаем,
что (КТО) имеет место Для любого п.
Для доказательства другого закона дистрибутивности
(Д.)
заметим снова, что правая сторона содержится в левой, и, таким обра-
образом, достаточно доказать, что любой элемент d из о fj (Ь + Ь')
является элементом из (а [~| Ь) + (а П &')• Запись d в виде
х + У, *?a[~jb, i/ ? а П Ь' эквивалентна решению системы
четырех сравнений х = 0(mod a), x = O(mod Б); х = d (mod a);
х = d (mod Ь'). Так как шесть условий совместности 0 б а + Ъ,
d?a+a, dgo + b', d 6 a + Ь, dgb + b', 0 g о + Ь' вы-
выполнены, система имеет по (КТО) решение х.

322 Гл. V. Дедекиндовы области. Классическая теория идеалов
Замечания.
1) На самом деле, мы доказали, что закон дистрибутивности (Лг) влечет
закон дистрибутивности (Д2) и что (КТО) для п = 3 влечет (КТО) для лю-
любого п.
2) Примеры, в которых (Дх) или (Д2) не выполняются, могут быть
сконструированы уже в кольце полиномов k[X, У] от двух неизвестных над
некоторым полем.
§ 8. Расширение дедекиндовых областей.
Теорема 19. Пусть R — дедекиндова область и L — конеч-
конечное алгебраическое расширение поля частных К области R. Тогда
целое замыкание R' области R в L (т. е. множество элементов L,
целых над R) является дедекиндовой областью.
Доказательство. Сначала мы изучим случай, когда L
сепарабельно над К, используя характеристику дедекиндовых обла-
областей, данную в теореме 13 § 6. В этом случае R' — нётерово, соглас-
согласно следствию 1 теоремы 7 из § 4. Каждый собственный простой идеал
R' максимален по дополнению 2) к теореме 3 §2, и R' целозамкнуто
по построению. Поэтому R' — дедекиндова область.
В общем случае пусть L — чисто несепарабельное расширение
сепарабельного расширения Ls поля К (гл. II, § 5, стр. 88). Если
мы обозначим через Rs целое замыкание R в Ls, то Rs — дедекин-
дедекиндова область и R' является целым замыканием Rs в L. Другими
словами, можно предположить, что L — чисто несепарабельное рас-
расширение поля К- Тогда минимальное уравнение для элемента х
из R' над К имеет вид хрв — а = 0, где р — характеристика поля L,
а а — элемент из К. Но так как R целозамкнута, то это уравнение
целой зависимости (теорема 4 § 3), и поэтому а? R. Так как L —
конечное расширение /С, то показатели е ограничены и существует
такая степень q числа р, что R' есть множество всех элементов х
из L, q-e степени которых принадлежат R.
Введем поле М, состоящее из всех q-x корней элементов поля К,
т. е. М = К9'1, и подкольцо S поля М, состоящее из всех элемен-
элементов х ? М, таких, что xq 6 R- Так как отображение х —> xq есть
изоморфизм М на К (гл. II, § 4, стр. 81), то он является изомор-
изоморфизмом S на R. Таким образом, S — дедекиндова область.
Для того чтобы показать, что R' является дедекиндовым кольцом,
достаточно показать, что каждый собственный идеал 21 в R' обратим
(теорема 12 § 6). Так как S — дедекиндово кольцо, то идеал S2I
обратим; поэтому существуют элементы st в S : SI и элементы
аъ в 81, такие, что 2aisi = *• ^ак как Ч ~ степень характеристики,
то 2aisi = l> Si€KaL. Запишем это соотношение в виде
2<vai-1sf — !• Элементы fti = a?~1-Si лежат в L. С другой сто-
стороны, biWdWsHciS, так KaKSlSjCS. Поэтому b^tSftL = R',

§ 8. Расширение дедекиндовых областей 323
т. е. b^R1 : 81, и так как 2 Mi = 1. то Э1(#' ¦ 81) = Я', что
и показывает обратимость 81.
В чисто несепарабельном случае, который рассматривался в пос-
последней части приведенного выше доказательства, мы установили
следующий результат: Если М — чисто несепарабельное расширение
поля L и если существует степень q характеристики поля L, та-
такая, что Mq d L, то каждое дедекиндово кольцо S, содержащееся
в М, обладает тем свойством, что элементы его, возведенные в q-ю
степень, дают дедекиндово кольцо в L. Этот результат может быть
обобщен следующим образом:
Лемма. Пусть L — поле и М — конечное нормальное и сепа-
рабельное расширение чисто несепарабельного расширения М' поля
L. Предположим, что существует степень q характеристики L,
такая, что M'q d L. Если S — дедекиндова область, содержащаяся
в М и целая над R' = S f) L, то R' — также дедекиндова область.
Доказательство. Лемма уже была доказана в случае
М = М'. Поэтому достаточно доказать, что S [) М' —дедекин-
—дедекиндова область. Другими словами, мы можем предположить, что
М' = L. При этом предположении возьмем собственный идеал а
в R' и докажем, что он обратим. Так как идеал Sa обратим, то сущест-
существуют элементы ai в о и xi в М, такие, что 2аЛ = 1 и xta a S.
г
Обозначим через х\]) сопряженные к хг над L и рассмотрим соот-
соотношение ПBаг-^;)) = 1- Обозначая через п степень \М : L],
3 i
мы можем записать это соотношение следующим образом:
Цт(а)Рт(хР) = 1, A)
m
где т (а) — одночлены степени п от аг и Рт(х1})) — симметричные
функции и однородные полиномы степени п от x\j) с целыми коэф-
коэффициентами. По теории Галуа (гл. II, § 7) Pm(x[j)) является эле-
элементом L. В каждом одночлене т(а) выделим в виде отдельного
сомножителя некоторый at\ соотношение A) может быть тогда
записано в виде 2ai^i = 1» гДе ^i — суммы произведений одно-
одночленов степени п — 1 от а^ на симметрические функции Рт(х[3))
и являются, следовательно, элементами из L. С другой стороны,
из того, что хга CZ S, заключаем, что хр'о CZ S, так как о содер-
содержится в L и так как S, являющаяся целым замыканием R' в М,
инвариантна относительно любого L-автоморфизма М. Отсюда
&iaClS/>mD;))or'-aCZS и, таким образом,
т
Это доказывает обратимость а, и лемма доказана.

324 Гл. V. Дедекиндовы области. Классическая теория идеалов
Теорема 19 допускает обращение:
Теорема 20. Пусть R — дедекиндова область и L — под-
подполе поля частных К области R, над которым К является конечным
алгебраическим расширением. Тогда если R цела над Т = L [) R,
mo T — также дедекиндова область.
Доказательство. Теорема 20 непосредственно следует
из леммы, если К — нормальное расширение L, так как К является
тогда нормальным и сепарабельным расширением чисто несепара-
бельного расширения конечной степени поля L (т. е. множества эле-
элементов, инвариантных относительно всех L-автоморфизмов поля К).
Общий случай может быть сведен к этому заменой К на наимень-
наименьшее нормальное расширение К' поля L, содержащее К, и R — на его
целое замыкание R' в К'\ очевидно, Т = L fl R' и R' —дедекин-
—дедекиндова область по теореме 19.
В следующей главе, используя теорию нормирований, мы будем в сос-
состоянии доказать теорему 19 без ссылки на сепарабельность или несепарабель-
несепарабельность и не делать три шага (вверх, вверх, вниз) в несепарабельном случае
(см. гл. VI, § 13, теорема 30 с).
Наиболее важными случаями применения теоремы 19 являются
следующие: 1) R — кольцо целых чисел, 2) R — кольцо полиномов
от одной переменной над полем. В первом случае теорема 19 пока-
показывает, что алгебраические целые числа в поле алгебраических
чисел конечной степени образуют дедекиндово кольцо (но не всегда
область главных идеалов); это отвечает на классический вопрос об
однозначном разложении алгебраических чисел. Во втором случае
теорема 19 показывает, что целые функции F от одной переменной
х образуют дедекиндово кольцо. Это важно при] изучении нор-
нормальных аффинных кривых.
Все дедекиндовы области, возникающие в теории чисел и алгебраиче-
алгебраической геометрии, могут быть получены из областей главных идеалов приме-
применением процесса, описанного в доказательстве теоремы 19, т. е. как целое
замыкание некоторой такой области R в конечном алгебраическом расши-
расширении поля частных для R. Неизвестно, получаются ли все дедекиндовы
области этим путем. Для произвольной дедекиндовой области R, не являю-
являющейся полем, кольцо R[X] не является, вообще говоря, дедекиндовой обла-
областью; в самом деле, оно содержит собственные простые идеалы, не являю-
являющиеся максимальными, например R[X]p, где р — собственный простой
идеал в R.
§ 9. Разложение простых идеалов в расширениях дедекиндовых
областей. Пусть R — дедекиндова область, L — конечное алгебраи-
алгебраическое расширение степени п поля частных К области R и R' —
целое замыкание R в L; по теореме 19 R' — дедекиндова область.
Будем обозначать идеалы кольца R маленькими готическими бук-

§ 9. Разложение простых идеалов в расширениях дедекиндоеых областей 325
вами (а, Ь, р, ...), а идеалы R'—большими готическими буквами
(91, 83, $, • • •)• Пусть р — собственный простой идеал в R. Так как
R' — дедекиндова область, то идеал ре = R'p является произве-
произведением простых идеалов; запишем
где $4 — различные простые идеалы. Справедливо равенство
$тП R = $1 = Р. так как Р — максимальный идеал. Целое число
ег называется редуцированным показателем (индексом) ветвленияг)
tyi над р.
Так как ^4 |~| R — р, то поле вычетов R/p может быть отождест-
отождествлено с подполем поля вычетов R'/^t. Поле R'/tyi является конеч-
конечным алгебраическим расширением R/p, как это вытекает из следую-
следующего, более общего результата:
Лемма 1. Пусть R—дедекиндова область, L — конечное
алгебраическое расширение поля частных К области R, р — собствен-
собственный простой идеал из R, R' — надкольцо-R, содержащееся в L, и 91 —
идеал в R', такой, что 91 П R = Р- Тогда размерность R'/'u как
векторного пространства над R/p не превосходит [L : /(].
Доказательство. Обозначим через М дополнение р
в R. Так как элементы М обратимы по модулю р и, следовательно,
по модулю 9(, то перестановочность построения кольца классов
вычетов и образования кольца частных [гл. IV, § 10, формула A)]
показывает, что R/p изоморфно Rm^PRm и R'/'u изоморфно R'm/WRm.
С другой стороны, &R'm П Rm = PRm', в самом деле, если z — любой
элемент из WRm Г) Rm, to z = а/т(а ? 9(, т б М), а также
z = г/т'(г ? R, т 6 М); тогда am = rm ¦— элемент из 91 f)^ = Pi
откуда а/т = ат'/т'т б pRM- Поскольку RM — дедекиндова
область (§ 6, пример 2, стр. 310), мы можем заменить R, R', р
и 31 на Rm, Rm, PRm и VLR'm соответственно. По теореме 16 Дм
есть область главных идеалов. Поэтому мы можем доказать лемму 1
при дополнительном предположении о том, что идеал р главный,
скажем р = Rp. Поскольку это так, рассмотрим конечный набор
{х4} элементов из R'/'u, линейно независимых над R/p, и обозначим
через хг представителей классов вычетов хг в R'. Если бы сущест-
существовало нетривиальное линейное соотношение 2 aixi — 0, где
i
ai б К, мы могли бы предположить, что все at принадлежат R
(так как К — поле частных для R), и, более того, можно предполо-
предположить, что не все аг лежат в р, так как в противном случае можно
*) Индекс ветвления $j над р будет определен позже как произведе-
произведение ег на множитель несепарабельности степени [R'/ty R/]

326 Гл. V. Дедекиндовы области. Классическая теория идеалов
разделить соотношение на подходящую степень р. Поэтому, при-
приводя соотношение по модулю 81, мы получили бы нетривиальное
линейное соотношение 2аЛ = 0, гДе o-t^Rlp, что противоречит
предположению о линейной независимости {хг} над R/p. Поэтому
элементы х линейно независимы над К, и их число, или, что то же,
число xit не превосходит [L : /С1- Это доказывает лемму 1.
Возвращаясь к ситуации, описанной перед леммой 1 (т. е. R'
теперь целое замыкание R в L), назовем степень [7?7^ : R/p]
относительной степенью ${ над р и обозначим ее через Д. Будет
молчаливо предполагаться, что $4 изменяется во множестве всех
простых идеалов R', которые входят в разложение расширенного
идеала ре. Обозначения ei и Д —классические и будут употребляться
в этом параграфе без дальнейшего пояснения.
Теорема 21. Число 2 et/t равно размерности кольца R'/pe,
г
рассматриваемого как векторное пространство над R/p. Справед-
Справедливо неравенство 2егЛ<[^ '¦ К), причем знак равенства имеет
место тогда и только тогда, когда Rm является конечным RM-мо-
RM-модулем, где М обозначает дополнение р в R.
Доказательство. Теорема 21 является простым след-
следствием такой более общей леммы:
Лемма 2. Пусть R — дедекиндова область, К — ее поле
частных, р — собственный простой идеал в R, L — конечное алгеб-
алгебраическое расширение К и R' — нётерово надкольцо R, содержащееся
в L. Пусть ре = 0,1П • ¦ • П &g — несократимое разложение ре = R' (р)
на примарные компоненты; пусть ^{—радикал Qb ei — длина
Qi (гл. IV, § 13) и Д —степень [fl'/$Pi : R/pl Тогда число З^Д
г
равно размерности кольца R'/p2, рассматриваемого как векторное
пространство над R/p. Если L — поле частных R', то справедливо
неравенство 2 ^Д < IL : К\\ равенство имеет место тогда и только
г
тогда, когда R'M является конечным Rnf-модулем (М обозначает
дополнение р в R).
Покажем сначала, как можно вывести теорему 21 из леммы 2.
При условиях теоремы 21 примарные компоненты О4 идеала ре
е.
суть степени простых идеалов tyf, и нам остается доказать, что
е{ — длина $il; но это следует из того, что единственные примар-
примарные идеалы, принадлежащие ^{ — это его степени, так как R' —
дедекиндово кольцо.
е

§ 9. Разложение простых идеалов в расширениях дедекиндовых областей 327
Доказательство леммы. Заметим сначала, что так
как р максимален, то $5 П^ — PT\R = Р'> поэтому R/p может быть
отождествлено с подполями полей R'ltyi и кольца R'/pe. По лемме 1
размерности векторных пространств R'/^i и R'/pe над R/p конечны.
В частности, по замечанию, сделанному в конце § 2 (стр. 298),
T^V^j — поле, так как оно есть область целостности, являющаяся
конечным модулем над R/p и, следовательно, целозависящая от R/p.
Отсюда 5Pi — максимальный идеал в R'. Таким образом, утвержде-
утверждение леммы 2 имеет смысл.
Пусть d —¦ размерность кольца R'/pe, рассматриваемого как
векторное пространство над R/p. Неравенство d< [L : 7<1 следует
непосредственно из леммы 1. Докажем теперь, что d — 26гД-
г
Согласно теореме 32, гл. III, § 13, векторное пространство R'/pe
над R/p изоморфно прямой сумме пространств 7?7й,4 (последние
рассматриваются сами как векторные пространства над R/p).
Но R'f&i, рассматриваемое как 7?'-модуль, имеет композиционный
ряд длины еь последовательные фактормодули которого являются
одномерными векторными пространствами над 7?79(^ (гл. IV, § 13,
теорема 28). Так как [7?7$4 : R/p] = Д, отсюда легко следует, что
размерность 7?7Qi над 7?Ар равна е4Д. Поэтому R'/pe имеет размер-
размерность 2 ei/{ наД
г
Предположим теперь, что 2 e%fi = t^ : ^Ь и докажем, что
является конечным /?м-модулем. Согласно гл. IV, § 10 (стр. 259),
ни одно из условий леммы 2, ни числа et, Д, d\L : K\ не изменятся,
если мы заменим R на RM, р — на pRMnR' — на R'm- Другими сло-
словами, мы можем предположить, как и в лемме 1, что R есть область
главных идеалов срв качестве единственного собственного простого
идеала; запишем р = Rp. Из доказательства леммы 1 следует, что
если {Xj} — множество элементов R', классы вычетов которых по мо-
модулю р образуют базис векторного пространства R' 1ре над Rip, то
элементы х- линейно независимы над К- Так как по предположению
L имеет над К ту же размерность, что и R'/pe над R/p, то элементы
Xj образуют базис L над К- Докажем теперь, что R' — ^ RXj.
г
В самом деле, возьмем элемент х из R'. Так как {х^} — базис L
над К, то мы можем написать х=2аЛ> гдеа^/С Если эле-
3
менты а3- не все принадлежат R, то существует целое п > 0, такое,
что все элементы рпа^ принадлежат R, но не все принадлежат Rp=p;
тогда, приводя по модулю pe = R'p равенство рпх = 2 (р"а3-) х^,
3
мы получим нетривиальное линейное соотношение 2^;^у = 0

328 Гл. V. Дедекиндовы области. Классическая теория идеалов
с коэффициентами bj?R/p, а это противоречит тому, что х3-
линейно независимы над R/p. Таким образом, наше утверждение
доказано.
Наоборот, предположим, что R'M — конечный Ям-модуль. Так
как RM есть область главных идеалов и так как L — поле частных
Rm, to Rm может быть порождено точно n(=[L : К]) элементами Xj
(см. следствие 2 из теоремы 7, § 4, стр. 304), и эти элементы ли-
линейно независимы над К. Тогда (обозначая снова через р образую-
образующую главного идеала pRM) из соотношения Rm = ]S Rm%j мы
i
заключаем, что pR'm = 2 (pRm)Xj- Так как элементы Xj линейно
независимы над К, то R'mIpR'm изоморфен л-кратному произведе-
произведению RmIpRm на себя. Поэтому размерность R'mIpR'm, рассматри-
рассматриваемого как векторное пространство над RM/pRia, равна п. Так как
(см. доказательство леммы 1) R'mIpR'm изоморфен R'lpe и RmIpRm
изоморфен Rip, то размерность R'lpe над Rip равна п, а эта послед-
последняя есть 2eiA> как видно из начала доказательства. Это завершает
доказательство леммы 2 и, следовательно, теоремы 21.
Заметим, что предположение нётеровости R' автоматически выполнено,
если L сепарабельно над К и R' цело над R (следствие 1 к теореме 7 § 4)
или если R — конечная область целостности и R' цело над R (теорема 9 § 4).
Следствие. Пусть предположения и обозначения те же,
что и в теореме 21. Предположим, что L сепарабельно над К или
что R —конечная область целостности. Тогда 2eift = [L \ К\.
V
В самом деле, тогда Rm есть конечный 7?м-модуль по следствию 1
к теореме 7 § 4 или теореме 9 § 4.
Пример. Целые гауссовы числа. Возьмем в качестве R кольцо J
целых рациональных чисел, а в качестве L — квадратичное поле,
полученное присоединением 1 = У — 1 к полю К рациональных
чисел. Любой элемент г поля L может быть записан, и притом един-
единственным образом, в виде z = х + iy, где х и у из К- Для того
чтобы 2 был целым над R — J, необходимо и достаточно, чтобы
его след 2х и норма х2 + у2 были рациональными целыми числами
(§ 3); тогда х = а/2 и у2 = DЬ — а2)/4, где а и Ь — элементы J,
откуда у = с/2, c?j; это означает, что 46 = а2 + с2, а это воз-
возможно лишь в том случае, когда а и с оба четны, так как сумма
квадратов двух нечетных чисел сравнима с 2 по модулю 4. Таким
образом, х и у —• целые рациональные числа, а целое замыкание R'
кольца J в L есть кольцо

§ 9. Разложение простых идеалов в расширениях дедекиндовых областей 329
называемое кольцом целых гауссовых чисел. Оно является деде-
киндовой областью (теорема 19).
Для данного простого числа р соотношение 2 eifi ~ 2 (след-
г
ствие из теоремы 21) показывает, что разложение R'p на простые
идеалы есть либо R'p = $i-$2 (R'l^i = R'tyz = Л(р))> либо
R'p = «Р ([/?'/$: Л(р)] = 2) или #'р = $а (#7$р = Лр). Про-
Простое число р называется разложимым в первом случае, инертным —
во втором и ветвящимся — в третьем {по отношению к квадратич-
квадратичному полю L). Заметим, что эта классификация на три случая может
быть получена для любого квадратичного поля.
Из равенств R' = J + J-i и $ifV = (р) (или $2fV = (р)»
или $|"V = (р)) следует, что /?7$i порождается над 7/(р) $?-выче-
том г, т. е. корнем полинома X2 + 1 в некотором расширении
поля //(р). Остается определить, когда X2 + 1 имеет, а когда не имеет
корней в Л{р), т. е. когда — 1 есть квадрат по модулю р. Если р = 2,
то — 1 есть квадрат по модулю 2. Если р — нечетное простое число,
то мультипликативная группа Л(р) является циклической группой
порядка р — 1 (гл. II, § 8, теорема 18); если мы обозначим через х
образующую этой группы, то получим — 1 = л^р-1)/2, так как
(— IJ = 1 и — 1 Ф 1 в Лр. Таким образом, —1 является квадратом
по модулю р, когда (р — 1)/2 четно, т. е. когда р = 4п + 1,
и не является квадратом, когда (р — 1)/2 нечетно, т. е. когда р =
= 4п — 1. Поэтому нечетные инертные простые числа суть
простые числа вида 4п — 1. Любое такое простое число является
неразложимым элементом в R'.
Используем теперь хорошо известный факт, что R' — евклидова
область (гл. I, § 15), следовательно, область главных идеалов.
В самом деле, в обозначениях гл. I, § 15, возьмем в качестве функ-
функции ф функцию ф (z) = ф (х + г/0 = х2 + у2. В качестве частного q
от деления z на г' мы можем взять любое из целых гауссовых чисел
а + bi, расстояние которого от zlz на комплексной плоскости
меньше 1 (такие целые гауссовы числа существуют, так как в ком-
комплексной плоскости целые гауссовы числа являются вершинами
решетки из квадратов со стороной, равной единице). Из мульти-
мультипликативности нормы и из формулы (а + bi)'1 = (а — bi)IN (a -f- bi)
следует, что обратимыми в R' являются только те целые гауссовы
числа а + bi, норма которых а2 + Ь2 равна 1 или —1; другими сло-
словами, это 1, —1, i, —i. Для простого р = 4п + 1 рассмотрим раз-
разложение R'p = ^Pi-^2 и обозначим через а + bi образующую $4.
Так как х + yi -> х — yi — автоморфизм L, то идеал R'{a — Ы) —
также простой идеал, лежащий над (р). Последний отличен от tyi,
так как иначе (а + bi)/(a —• bi) было бы одним из чисел 1, —1, i или
—i. Оно не может быть 1 или — 1, так как в противном случае либо
а, либо b было бы нулем, т. е. идеал (а + Ы) был бы порожден целым

330 Гл. V. Дедекиндовы области. Классическая теория идеалов
рациональным числом, откуда в свою очередь следовало бы $i =
= R'p, что невозможно. Оно не может быть также равным i или —i,
так как из этого следовало бы, что а + Ы — целое кратное 1 + i
или 1 — t, т. е. что оно равно ± A + i) или + A — i) ввиду нераз-
неразложимости а + bi, но тогда так как —i{\ + iJ = i(l — О2 = 2,
то 2 € ^Pi = (р), что противоречит предположению о нечетности р.
Поэтому $j = (а + bi), $2 = {а — bi), $i Ф $2- Следовательно,
все простые числа р = An + 1 разложимы. Далее, R'p = R'{a2 + b2),
и так как 1, — 1, / и — / — единственные обратимые в R', то р = а2 +
+ Ь2. Другими словами, простые числа вида An + 1 являются
суммой двух квадратов.
Прямо получаем, что 7?'-2 = $2, где $ = R' A + i)- Отсюда
следует, что 2 — единственное ветвящееся простое число.
Замечания.
1) В общем случае квадратичного поля, порождаемого]/^ , где d — целое
рациональное число, не делящееся на квадрат какого-либо целого числа,
отличного от ^1, вопрос о разложимости, инертности или разветвленное™
простого числа р можно аналогичными соображениями свести к задаче пред-
представления d в виде квадрата по модулю р или в обычной теоретико-числовой
терминологии к вопросу, «является ли d квадратичным вычетом или невыче-
невычетом» (см. § 12). Этот вопрос — один из основных в теории чисел. Мы дока-
докажем, что ветвящихся простых чисел конечное число (§ 11). Напротив, мно-
множества инертных и разложимых простых чисел оба бесконечны; можно дока-
доказать, что они имеют одну и ту же «асимптотическую плотность» или, более
точно, что число разложимых или инертных простых чисел, не превосходя-
превосходящих п, асимптотически приближается к /г/2 log п. Обобщения на другие поля
алгебраических чисел также важны в теории чисел. [По этим вопросам
см. В е й л ь Г., Алгебраическая теория чисел, ИЛ, 1947.]
2) Мы доказали «теорему о двух квадратах» («каждое простое число
вида 4/г + 1 является суммой двух квадратов») исследованием свойств
деления в кольце R' = J + U целых гауссовых чисел. Аналогичным мето-
методом можно получить «теорему о четырех квадратах» («каждое простое являет-
является суммой четырех квадратов»); в этом случае изучаются свойства делимости
{не коммутативного) кольца кватернионов a\bi -f- c\ + dk. См. Har-
Hardy—Wright, Theory of Numbers, Oxford, 1938, Chap. 20.
В том случае, когда L — нормальное расширение К, теорема 21
может быть существенно дополнена.
Теорема 22. Пусть R — целозамкнутая область и R'—
целое замыкание R в конечном нормальном расширении L поля част-
частных К области R. Если р — простой идеал в R, то простые идеалы
*Р4 из R', лежащие над р, являются сопряженными. Если, более того,
R — дедекиндова область, то ^г — простые множители R'p, целые
числа et {или Д) все равны одному и тому же числу е {или /) и, обозна-
обозначая через g число простых идеалов ^и получаем efg^cn = \L : К\.
Если L — сепарабельное расширение К, то efg = п.

§ 10. Группа разложения, группа инерции и группа ветвления 331
Доказательство. По теореме 3 из § 2 существует про-
простой идеал tysR', лежащий над р. Мы обозначим через ty(i) A < / < q)
сопряженные к $, т. е. идеалы вида s($p), где s — некоторый
/С-автоморфизм L. Так как R'— целое замыкание подкольца поля К,
то s (Rr) = R' для любого К-автоморфизма s поля L. Поэтому мно-
множество sEE) также является простым идеалом в R', лежащим над р.
Предположим, что существует простой идеал D. из R', лежащий над р
и отличный от идеалов $3). Тогда Q не может содержаться ни в од-
одном ^<J), согласно дополнению 1 к теореме 3 § 2, и существует
элемент х из О, не содержащийся ни в одном из Щ^ (см. гл. IV,
§ 6, замечание в конце главы, стр. 247). Но тогда ни один из сопря-
сопряженных с х элементов не лежит в *$; поэтому то же самое имеет
место и для любой степени их произведения. Но некоторая степень
их произведения, однако, лежит в К, следовательно, также и в R
(так как R целозамкнуто), а значит, и в р = Of]^- Поскольку р
содержится в $, то это — противоречие, и наше первое утверждение
доказано.
В случае дедекиндовой области R очевидно, что ^t — простые
множители pR'. Равенство индексов ветвления еи с одной стороны,
и относительных степеней Д, с другой стороны, очевидно, в силу
свойств автоморфизмов. Тогда неравенство ?/?< л следует из тео-
теоремы 21, а равенство efg = п в сепарабельном случае вытекает из
следствия теоремы 21.
§ 10. Группа разложения, группа инерции и группа ветвления.
В этом параграфе R означает дедекиндову область, R'— целое замы-
замыкание R в конечном, нормальном и сепарабельном расширении L
поля частных К области R, a G —группу Галуа L над К
(гл. II, § 7). Обозначения те же, что в теореме 22. Для дан-
данного собственного простого идеала р в R и простого идеала
^ в R', лежащего над р, автоморфизмы s?G, такие, что s($) = $,
образуют подгруппу Gz группы G; эта подгруппа называется груп-
группой разложения идеала 5(?. По теореме 22 порядок Gz равен порядку
G, деленному на g, т. е. ef. Для любого другого простого идеала $'
в R , лежащего над р, по теореме 22 получаем равенство $' = t ($),
где t?G, и группа разложения ^', очевидно, есть t'l-Gz-t, т. е.
является сопряженной к Gz подгруппой группы G.
Если G — абелева (в этом случае говорят, что L — абелево расшире-
расширение К), то все группы разложения простых идеалов R', лежащих над р,
совпадают. Тогда говорят, что Gz есть группа разложения р.
Поле неподвижных элементов Kz подгруппы Gz называется
полем разложения для 5^. Kz является расширением К, содержащимся
в L, и по теории Галуа (гл. II, § 7) L нормально и сепарабельно

332 Гл. V. Дедекиндоеы области. Классическая теория идеалов
над Kz и имеет группу Галуа Gz. Отсюда
[Kz:K] = g, [L:Kz] = ef. A)
Если Gz — инвариантная подгруппа группы G (в частности, если L —
абелево расширение К), то Kz нормально и сепарабельно над К и имеет
G/Gz своей группой Галуа.
Теорема 23. Пусть Kz — поле разложения простого идеала %
в R', Rz — целое замыкание R в Kz и $z — сокращенный идеал ^^]RZ.
Тогда ty является единственным простым идеалом в R', лежащим
над tyz\ его относительная степень есть f, а редуцированный индекс
ветвления есть е: R"$z = $е- Если группа разложения Gz идеала %
является нормальным делителем в G, то Kz — нормальное и сепара-
бельное расширение К, и разложение идеала Rzp в Rz состоит из
g различных и сопряженных между собой простых множителей,
каждый из которых имеет относительную степень 1.
Доказательство. По определению Gz множество сопря-
сопряженных с ty над Kz простых идеалов состоит лишь из одного ty.
Отсюда по теореме 22 ф является единственным простым идеалом
в R', лежащим над tyz- (Заметим, что Rz целозамкнуто и что, следо-
следовательно, теорема 22 применима к паре колец Rz, R'-) Поэтому
R"$z есть степень %e(Z) идеала «р. Так как Rlp(Z.RztyzClR'l%
то относительная степень /(Z) идеала $ над 5EZ является делителем/.
С другой стороны, рассмотрим разложение Rzp = $z- Г.1 &i<;>
идеала Rz\> в Rz. Так как расширение идеалов сохраняет произ-
ведение (гл. IV, §8), разложения R"$z ~ $e(Z), #'&, = Htyd ' Дают
разложение
3 г=1
Так как $ имеет показатель е в разложении R'p, то qe (Z)<e.
По теореме 22, примененной к 5Ez, мы имеем соотношениеe(Z)/(Z)=
= [L : Kz] = ef, и это вместе с неравенствами ^e(Z)<e и /(Z)</
дает e(Z) = e, f(Z) = f, q = 1; таким образом, наше первое утверж-
утверждение доказано. Отсюда мы заключаем, что 1 есть показатель tyz
в разложении Rzp и что R/p = Rz/tyz, т. е. относительная степень
tyz над р есть 1. Утверждение, относящееся к случаю, когда Gz
является нормальным делителем в G, сразу следует из этого и из
теоремы 22, если принять во внимание соотношение [Kz'-K\ — g-
Другими словами, если Kz нормально над К, то вложение К в Kz влечет
за'собой лишь разложение \> на различные простые множители без ветвле-

§ 10. Группа разложения, группа инерции и группа ветвления 333
ния и без увеличения поля вычетов; это является основанием для употреб-
употребления терминов «группа разложения» и «поле разложения». Индекс 2 обще-
общеупотребителен и является начальной буквой немецкого слова Zerlegung —
«разложение».
Покажем теперь, что «расширение поля вычетов» может быть
выделено в отдельный шаг расширения поля. Для данного простого
идеала ^5 в /?', лежащего над р, автоморфизмы s?G, такие, что
s (х) =: х (modty) для каждого x?R', образуют, очевидно, под-
подгруппу группы G; эта подгруппа называется группой инерции
идеала ty и обозначается GT. Для х из ty и s из Gt имеем s (х) ? х + ty,
т. е. s (*)?$; это показывает, что s (*р)СИ?р, откуда s (?р) = ф (так
как по тем же соображениям s"x(^)cz^i т. е. 5E d s 0]3)). Поэтому
группа инерции GT идеала ty является подгруппой его группы раз-
разложения Gz- Далее, для s из GT, t из Gz и для любого х из R' имеем
Г1 (х) 6 R', откуда st~l (х) — Г1 (х) б $ и tst1 (х) — х = t (st1 (x) —
— Г1 (х)) ? t (9E) = ty; поэтому tst'^Gj, и группа инерции является
нормальным делителем группы разложения Gz- Поле неподвижных
элементов группы GT называется полем инерции идеала ty и обо-
обозначается Кт- Имеем КCZ Kzd КтdL. По теории Галуа (гл. II,
§ 7) L есть нормальное и сепарабельное расширение поля Кт,
имеющее GT группой Галуа, а Кт — нормальное и сепарабельное
расширение Kz, имеющее GzIGt группой Галуа. (Индекс Т является
начальной буквой немецкого слова Tragheit — «инерция»).
Теорема 24. Пусть Kz и Кт — поля разложения и инерции
простого идеала 9E, Rz и Rt— целые замыкания R в Kz и Кт, tyz
и $т—сокращенные идеалы ^5 fj Rz « $ П Rt- Тогда R'/Ifi — нормаль-
нормальное расширение R/p и его группа Галуа изоморфна GzIGt- Если
f = fop\ где /0 — степень над R/p максимального сепарабельного
расширения R/р в поле R'/?$ (гл. II, § 5, стр. 88), ар — характе-
характеристика Rip, то Кт—нормальное и сепарабельное расширение
поля Kz степени /0 и 9Eт является единственным простым идеалом
из RT, лежащим над ^; его относительная степень равна /0, а ре-
редуцированный индекс ветвления равен 1: ^zRt = ^t- Мы имеем
Rip = Rzltyz и Rt/^t — максимальное сепарабельное расширение
R/p в R'/$. Поле L является нормальным и сепарабельным расшире-
расширением Кт степени eps и 9E является единственным простым идеалом
в. R', лежащим над $т; его относительная степень (над Щт) равна
ps, а редуцированный индекс ветвления равен е: ^R' Ф'
Доказательство. Пусть s — элемент из Gz- Так как
s (Rr) = J^' и s(|) = 5E, то элемент s определяет автоморфизм s
поля R'/ty над Rip. По определению GT s будет тождественным тогда
и только тогда, когда s принадлежит GT. Таким образом, GZIGT
может быть отождествлена с группой автоморфизмов R /*$ над

334 Гл. V. Дедекиндовы области. Классическая теория идеалов
R/p. Мы хотим теперь определить, когда расширение R'/ty поля
R/p нормально и когда Gz/Gt является его полной группой Галуа.
Рассмотрим некоторый элемент х из R'/ty и представитель
х? R' класса вычетов х. Коэффициенты минимального полинома для
х над К, скажем Xq+aq_1Xq'1+... + а0, лежат в R (теорема 4 § 3).
Так как L нормально над К, этот полином разлагается на линейные
множители в R':
где х = хх (гл. II, § 6). Если мы обзначим классы вычетов по мо-
модулю р черточкой сверху, то коэффициенты полинома Хч +
+ ag_1X'2~1+ ... + a0 принадлежат R/p и он разлагается на ли-
линейные множители \\ (X — хг) в R'/ty. Так как этот полином имеет
своим корнем х, то он является кратным минимального полинома
для х над Rip; таким образом, все корни этого минимального поли-
полинома принадлежат R'/ty. Другими словами, все сопряженные к х
над R/p лежат в R'/ty. Поэтому R'/ty является нормальным расши-
расширением R/p.
Для того чтобы доказать, что GZIGT есть группа Галуа для
R'/ty (над R/p), достаточно доказать, что она является группой
Галуа максимального сепарабельного расширения S поля R/p
в R'/tfi, т. е. что каждый автоморфизм s' поля S над R/p индуцирует-
индуцируется некоторым элементом s из Gz- Если мы возьмем примитивный эле-
элемент х из S над R/p (гл. II, § 9, теорема 19), то автоморфизм s'
полностью определен, если известно, какой из сопряженных к х
элементов равен s'(x). Но предыдущие рассуждения (примененные
к Kz, Rz, %z вместо К, R, р) совместно с равенством Rzf$z=R/p,
установленным в доказательстве предыдущей теоремы, показывают,
что если мы обозначим через х элемент из R', класс ^-вычетов кото-
которого есть х, и через xt сопряженные к нему над Кг, то сопряженные
к х над R/p находятся среди ^-вычетов xi элементов хг. Таким обра-
образом, существует индекс /, такой, что s' (x) = х}. Так как xf является-
сопряженным к х над Kz, то существует такое s в Gz, что Xj = s (x).
Так как автоморфизм s в R'/Sfi, определенный посредством s, таков,
что s (х) = s' (x), s и s' совпадают на S. Отсюда также s = s' на
R /ty, поскольку R'/ty — чисто несепарабельное расширение S.
Поэтому GZ/GT есть группа Галуа для R'/ty над R/p.
Из этого мы заключаем сначала, что порядок Gz/Gj равен сте-
степени /0 поля 5 над R/p (гл. II, § 7), и отсюда \Кт '¦ Kz]= /0- Кроме
того, получаем, применяя этот результат к Кт (вместо К) в каче-
качестве основного поля (в этом случае Gz = GT = G), что R'/^ —

§ 10. Группа разложения, группа инерции и группа ветвления 335
чисто несепарабельное расширение поля RjI^t и что S = Rt/^t-
Таким образом, относительная степень 5j5T над 5J3Z есть /0 =
= [S : Rzltyz], и теорема 21 показывает, что его редуцированный
индекс ветвления равен 1.
С другой стороны, из [L : Кг\ = ef = efops и из [Кт '¦ Kz\ = /0
мы заключаем, что [L : /Ст1 = eps. Так как Ят/$т = S, то отно-
относительная степень $ над 5рт равна ps. Следовательно, его редуциро-
редуцированный индекс ветвления равен е по теореме 21. Это завершает
доказательство теоремы 24.
Следствие. В предположениях и обозначениях теоремы 24
допустим, что R7$ — сепарабельное расширение R/p. Тогда
R'/^ = RT/^T, [L : Кт\ = е и относительная степень 5E над $т
равна единице.
Доказательство следствия очевидно.
Заключения теоремы 24 могут быть подытожены в табл. 1.
Таблица 1
ер**
Поля
Степени
Простые идеалы
Относительные степени
Редуцированные индексы
К
g
Р
1
ветвления 1
Kz
/о
/о
1
Если R'/ty сепарабельно над R/p, то полагаем в этой таблице
/0 = /ир5=1.
На примерах можно показать, что R'lty не обязательно сепарабельно
над R/p. Но это условие сепарабельности выполняется в важных случаях
колец целых алгебраических чисел и колец целых функций от одной пере-
переменной над конечным основным полем. В самом деле, в этих случаях поля
вычетов конечны и, следовательно, совершенны (гл. II, § 4, теорема 5).
Целые числа /0 и eps называются соответственно редуцирован-
редуцированной относительной степенью и индексом ветвления ^ над р. Простой
идеал $ из R', индекс ветвления которго больше 1, называется
ветвящимся.
Мы можем пойти далее определения группы инерции GT. Для
каждого целого п > 1 множество всех автоморфизмов s из G, таких,
что s (х) = х (mod *$п) для каждого х из R', очевидно, является'
подгруппой GT; эта подгруппа называется n-й группой ветвления
5Р над р и обозначается через GVn. Очевидно, что GVl = GT. (Индекс
V общеупотребителен. Он является начальной буквой немецкого
слова Verzweigung — «ветвление».) Очевидно, что подгруппы GVn
образуют убывающую последовательность подгрупп группы G.
со
Так как ["] $п= @), то их пересечение сводится к единице.Таким
71=0
образом, ввиду того что G — конечная группа, существует лишь

336 Гл. V. Дедекиндовы области. Классическая теория идеалов
конечное число различных Gvn, и QVn сводится к единице для доста-
достаточно больших п. Индексы п (в конечном числе), для которых
GVn+1 < GVn, называются числами ветвления для *>$ над р.
Для произвольного sgGyn, произвольного t = Gz и произ-
произвольного x?R' мы имеем включение t'1(x)^R', откуда st'l(x) —
— Г1 (х) g %п. Так как t (Щ) = Щ и t ($п) = $а, то из этого вытекает,
что tst'1 (х) — х = t (st'1 (x) — t'1 (x)) б *Р'\ Поэтому мы имеем соот-
соотношение tst'1 ? Gvn и. следовательно, GVn является инвариантной
подгруппой группы Gz-
Возьмем теперь s, лежащее в Gv , и t?Gy , и изучим коммутатор
sts'^t'1. Рассмотрим сначала s(y) — у для у из $г и докажем, что
s (у) — У б SP9*7". Достаточно рассмотреть случай, когда у =
= xi-x2 ... xr, Xj из ^5, так как каждый элемент идеала $г является
конечной суммой таких произведений. Тогда элемент s (у) — у =
^() .. s(Xj_i) is^.)-^]-^, ... xr
является элементом $9+r~\ поскольку six^aty, xh^^ и
s (x}) — ^ e^SQ. Точно так же t (г) — zg^4" для z из ^q. Уста-
Установив это, возьмем произвольный x?R' и положим у = t (х)—х,
г = s (х) — х. Так как у 6 $Г и z 6 $9, мы имеем формулы
t(z)-z = ts (x) -t(x)-s(x) + x? «P9*1"-1,
откуда, вычитая, получаем включение s/ (х) — ts (x) 6 ^<2+г.
Заменяя х на s!1^), получаем sts^t'1 (x) — xg^9*1'. Мы дока-
доказали, таким образом:
Лемма 1. Коммутатор sts'^t'1 элементов s из Gv и t из Gv
принадлежит Gvq+r_1- В частности (в случае q = г = /г), отсюда
следует, что факторгруппы GVn/GVin_i абелевы и что, наконец,
также группы GVn/Gv для п > 2 абелевы.
О структуре этих последних факторгрупп могут быть даны более
точные результаты.
Теорема 25. Группы Gt = GT/GV2, Gn — GVnlGv , n >2,
содержат нормальные делители G[ и Gn, порядки которых являются
степенями характеристики р поля R/p. Факторгруппа GJG[ изо-
изоморфна мультипликативной подгруппе поля R 1^ и поэтому
циклична. Факторгруппы GjG'n, n > 2, изоморфны аддитивным
подгруппам поля R'7$. Подгруппы G[,G'n сводятся к единичным,
если R'/Щ сепарабельно над R/p.
Доказательство. Мы можем заменить R и R' на кольца
частных RM и Ям (М — дополнение р в R) без изменения рассмат-

§ 10. Группа разложения, группа инерции и группа ветвления 337
риваемых групп. Другими словами, мы можем предположить,
что $ — главный идеал (теорема 16 § 7). Пусть и — порождающий
элемент этого идеала.
Для s?GT мы имеем включение s(«N^; далее, s (и)§?$2, так
как в противном случае и = s~1(s (и)) лежал бы в Щ2. Мы можем,
таким образом, написать $(и) = xsu, где xs?R', xs не принадлежит
$. Для t?GT мы имеем соотношение st (и) — s (xtu) = s(x,)xsu, откуда
хн = s(xt)xs. Так как s лежит в GT, то s (xt) = xt (mod <?), откуда •
xsl = xtxs (mod $($) и, переходя к классам вычетов по mod Щ,
находим, что хн = xtxs. Поэтому отображение s-+xs есть гомомор-
гомоморфизм группы GT в мультипликативную подгруппу поля R'/^. Его
ядро — это группа Я4 всех автоморфизмов s из GT, таких, что
х, = 1 (mod <g), т. е. таких, что s (и) — «6$2.
Точно так же для s из GVn (п > 2) мы имеем включение s (и) —
— «6$п, и мы .можем записать, что s («) — « = ysun, где ys?R'.
Для t?GVn мы имеем ysiun= st (и) — и = s (ytun + и) — и =
--= s (yt) s (ип) + s («) — « = s (yt) {и + г/8цп)п + уаип. Деля на
«и, получаем равенство yst = s (г/,) A + у^'1)^ + г/5, так как
п > 2. Поскольку s (yt) ss г/, (mod $") и все члены разложения
A + ysU"I1, за исключением первого, лежат в ^, то yst = ys+
4-г/, (mod$). Переходя к классам вычетов по <р, мы получаем,
таким образом, что ун = ys-ryt, и отображение s—»г/5 есть гомо-
гомоморфизм Gvn в аддитивную группу R'/^. Его ядро Нп — это мно-
множество всех s из Gvn, таких, что ys = 0 (mod $), т. е. таких, что
s (и) - и g ^ft+1.
Ядра Я1( Я„ содержат соответственно Gv-2 и Gru+1, и мы намере-
намереваемся сравнивать эти группы. Предположим, что s — элемент
Gvn(n>l), такой,' что s (и) - и 6 W1. Тогда s (z) — г 6 ^n+1 для
всех z6^5; в самом деле, мы имеем равенство z = au(a?R'), откуда
s (z) — z = s {аи) — au = {s (a) — a) u + s (a) (s (и) — и); здесь s (a) —
-а?^п (так как s?GVll), и?Щ и s (и) — и g *jS"+1, и наше утвержде-
утверждение доказано. Возьмем теперь любой х из R' (не обязательно лежа-
лежащий в $) и запишем sp (х) — jc = sp^x (s (x) — х) + sp~2 (s (x) — х) + . . .
. . . -f s {s (x) — x) + (s (x) — x). Здесь s (x) — x есть элемент г
из ^п и тем более из $. Из доказанного выше мы знаем, что z срав-
сравним по модулю $"+1 с s (г), откуда z сравним по модулю ^"+1
с любым из членов s2 (г), . . ., s" (г) приведенной выше суммы
sp (х) — х. Отсюда sp (х) — х ~ pz (mod ^n+1). Мы имеем р • 1 6 $
в R', так как р —характеристика #'/$, и мы имеем также z?tyn.
Поэтому sv{x) — x6^"+1, откуда spgGvn+1. Другими словами,
в факторгруппе GVnlGv,M (n> 1) все элементы подгруппы G; =
= HJQvn^ имеют порядок р. Таким образом, порядок G'n является
степенью р. Как мы видели, факторгруппа GT/H'1( = GVJH'1) изо-
изоморфна мультипликативной подгруппе поля #7$, а факторгруппа

338 Гл. V, Дедекиндовы области. Классическая теория идеалов
GynjHn (п > 2) — аддитивной подгруппе поля R'/^. Это доказы-
доказывает наше утверждение в общем случае.
В том случае, когда R'/^ сепарабельно над R/ф, остается пока-
показать, что для каждого я>1 мы имеем равенство Hn = GVva, т. е.
условие s?Hn влечет s (х) — х? ^n+1 для каждого x?R'. Мы уже
знаем, что это верно, когда х лежит в ?$. Но в сепарабельном слу-
случае поля R'/ty и Rt/^t равны (следствие из теоремы 24). Поэтому
каждый элемент х из R' может быть записан в виде х = у + г,
где г/? Rt и z? ^. Тогда s (х) — х = s (у) — у + s (г) — z лежит
в^>1+1, таккакя (у) = у ^принадлежит Gt) и так как s(z) — z(f^r'Tl.
Это завершает доказательство.
Следствие. Если R'/^ — поле характеристики О, то GVu
сводится к единице для /г>2.
В самом деле, мы имеем сепарабельныи случай> откуда Gyn сво-
сводится к единице. Так как @) — единственная конечная адди-
аддитивная подгруппа поля R'/^, то Grn = Gv,Ui> и отсюда вытекает
следствие, ибо пересечение групп Gvn+g сводится к единице.
Замечания.
1) В несепарабельном случае р-группы G'n абелевы при я>2.
так как они являются подгруппами абелевой группы Gv,JGVll+l.
Докажем теперь, что G, также абелева. Каждый элемент из GJ
есть (G[/2)-Bbi4eT элемента s из GT, такого, что s (и) — «6^2- В до-
доказательстве теоремы 25 мы показали, что тогда s (z) — z ? ffi для
каждого г из $($. Далее, так как каждый элемент у из $2 может быть
записан в виде y = zz', где г и г' из $, и так как s (у) —у ¦--
= s (z) (s (г') — г') -г z (s (г) — г), то s {y) — y?W для каждого у
из $Р2. Рассмотрим теперь два элемента s и I из Gt, такие, что s (ц) — и
и ? (и) — и лежат в ^2. Тогда для любого г из $ разность st (z) —
— ts (z) является разностью двух элементов s (t (z) — z) —
— (t (z) — z) и t (s (z) — z) — (s (z) — z); поскольку у = t (z) — г
лежит в $Р2, первый элемент s (у) — у лежит в ^3 и точно так же
второй. Таким образом, st (г) — ts (г) 6 W для всех z из $, откуда
s^s Г1 (z) — zc<$s для всех г из 1$. Обозначим через с комму-
коммутатор sts Г1. Нам нужно лишь доказать, что с лежит в Gy2, т. е.
что с (х) — х? *Р2 для каждого х из R'. Это справедливо для х, лежа-
лежащих в 5JJ. Если х не лежит в $р, то он является обратимым bR'. (На-
(Напомним, что мы заменили R' на кольцо частных, имеющее лишь
один простой идеал.) Мы можем записать х = z'/z, z' и г из ^5, но не
из $2. Тогда с(х) —х равно (z (с (г') — г') — г'(с (z) — z))/zc (г). Чис-
Числитель лежит в SJ34, а знаменатель — в $2, но не в 9|33. Поэтому
с (х) — х лежит в *р2 и утверждение доказано 2).
1) На примерах можно показать, что GT'GVt:~ Gt не обязательно
абелева.

§ П. Дифферента и дискриминант 339
2) Гомоморфизм s—>jcs группы Gt в мультипликативную группу
поля R'/Щ, определенный в доказательстве теоремы 25, не зависит
от выбора образующей и вЦ5. В самом деле, любая другая образую-
образующая и' идеала ^ может быть записана в виде и'=аи, где а.—
обратим в -R'. Если мы положим s (и) = xsu и s («') = x'su', то про-
простое вычисление показывает, что x's = xs-s (а)-а. Так как s_(a)-—
— а ? $, то s (а) а = 1 (mod $), откуда х« ^ *., (mod $) и х = Xg-
3) Напротив, гомоморфизм s—>ys группы Gv?l(«>2) в адди-
аддитивную группу Я'Лр определен лишь с точностью до умножения
в R'lty, если изменить образующую к у $. В самом деле, возьмем
другую образующую и'= аи идеала $ (а обратим) и положим
s (и) — и =-- уяип и s (и) — и = у'м'п; простое вычисление пока-
показывает, что
y's = (s (a) — а) ¦«-(«-') -+- г/я ¦ s (a) ¦ а'".
Первый член лежит в *$, так как s (а) — а?^п. Таким образом,
y's = b-y8, где 6 есть ^-вычет элемента s (а) а~п, т. е. а-*"*, так как
s(a) ~
§ 11. Дифферента и дискриминант. Пусть R — целозамкнутое
кольцо, К — его поле частных, К'—конечное алгебраическое
сепарабельное расширение поля К и R'— целое расширение R,
допускающее К' в качестве поля частных.
Обозначим через Т или через Ткгк отображение поля К' в К,
определяемое следом (гл. II, § 10). Множество % всех z из К', таких,
что Т (zR')aR, является, очевидно, ./^'-модулем. Он называется
дополнительным модулем для R' по отношению к R. Так как R цело-
замкнуто, то след элемента из R' лежит в R (§ 3, теорема 4), и до-
дополнительный модуль 'ё содержит R'.
Теорема 26. Дополнительный модуль % для R' по отноше-
отношению к R является дробным идеалом кольца R'.
Доказательство. По определению дробного идеала
(§ 6, стр. 310) мы должны лишь показать, что 'ё содержится в ко-
конечном /^'-модуле, а для этого достаточно показать, что он содер-
содержится в конечном /^-модуле. Так как К' = Rk (см. доказательство
теоремы 7 § 4), то существует базис {еи ...,еп} поля К' над К,
все элементы которого лежат в R'. Возьмем элемент z из 'ё и запишем
г= 2 aiei> ai 6 К. Имеем Т (ze{) = 2 аТ (ejed б R Для i = 1, . . .
. . ., п. Так как К' сепарабельно над К, определитель d = det (Г(е;е4))
отличен от нуля (гл. II, § 11). По правилу Крамера и потому, что
Т(etei)^R, получаем^; 6 Rдля 1= 1, . . ., п, откуда гёa Sf^r )^'
что и нужно.

340 Гл. V. Дедекиндовы области. Классическая теория идеалов
Дифферента R' над R есть множество всех элементов х?К',
таких, что zx g R', когда Т (zR1) d R. Другими словами, дифферента
есть идеал (R1: %). Так как % — дробный идеал, содержащий R',
то получаем
Следствие. Дифферента кольца R' над R есть идеал,
отличный от @), содержащийся в R'.
Дифферента R' над R обозначается через ф или Фд7д (илиФк'/к,
когда из контекста очевидно, какие кольца играют роль R и R ).
В том случае, когда R дедекиндова область и когда в качестве
R' берется целое замыкание кольца R в К', R'— также дедекиндова
область и Фд'/д может быть разложена на простые идеалы
imW. A)
Показатель т (?$) называется дифферентным показателем идеала
$ над R. Он положителен или равен нулю. Простых идеалов ^,
для которых т (?$) Ф 0, конечное число. Мы покажем, что диф-
дифферента Фд'/д определяется локально; более точно:
Теорема 27. Пусть R — дедекиндова область и R'— ее
целое замыкание в конечном алгебраическом сепарабельном расшире-
расширении К' поля частных К области R. Пусть р — собственный простой
идеал в R, М — дополнение для р в R, ^ — простой идеал в R',
лежащий над р, т (?$) — его дифферентный показатель. Тогда
дифферентный показатель ^R'm над RM есть т (^5).
Доказательство. Наше утверждение равносильно тому,
что дифферента R'M над RM есть идеал [| %Т ^л/ (где %к
обозначают простые идеалы в R', лежащие над р), т. е. идеал %w;r R'm.
Возьмем произвольный элемент х из %r>/rR'm'- х — — , где х ?Ъ
и т?М. Если z — элемент дополнительного модуля для R'M (по
отношению к RM), то Т (zRm)CZRm', в частности, для любого г'
из R' элемент Т {zr) может быть записан в виде rim', г из R и m
из М, откуда Т (m!zr') = г, так как Т (m'zr') = m'T (zr'), если
m 6 К- Поскольку R'—конечный /^-модуль (следствие 1 из теоремы 7
§ 4), в М может быть найден общий знаменатель от'для всех элемен-
элементов Т (zr') (r' ?R'), и если m'g — такой общий знаменатель, то
Т (m'ozR')CZR- Поэтому m'oz есть элемент из дополнительного к R'
модуля, откуда x'm'oz?R', так как х'б®. Таким образом,
Х2 = ХЛЬ^?]^'М^ и это доказывает, что х принадлежит дифференте
для Дм над RM. Другими словами, Фд'/д R'mCZ ®д-м/rm¦

§ 11. Дифферента и дискриминант 341
Покажем, наоборот, что каждый элемент х из 2)„' ,_ лежит
в ®r'/r R'm- Возьмем элемент г, такой, что Т (zR1) (Z R, и изучим
zx. Так как М содержится в К, то Т (zRm)CZRm, и z лежит в до-
дополнительном к R'm модуле. Таким образом, по определению диф-
дифференты Фн' /н имеем, что zx?R'M, и существует элемент m (г)
в М, такой, что zm (z)x?R для каждого z из дополнительного модуля
'<? в R'. Так как т? — конечный ^-модуль, то мы можем предполо-
предположить, что m (z) есть элемент m из М, не зависящий от г. Тогда из
включения z (пгх) g R' для каждого z из Чё мы выводим, что пгх б Фн'/н»
откуда x6®rvr/?m, что и требовалось доказать.
Прежде чем доказать важное соотношение между редуцирован-
редуцированным показателем ветвления и дифферентным показателем, докажем
часто используемую формулу относительно следов.
Лемма 1. Пусть R — дедекиндова область, К — ее поле
частньас, К'— конечное алгебраическое сепарабельное расширение К
и R'—целое замыкание R в К'¦ Пусть р— собственный простой
идеал в R и {$,•} — конечное семейство простых идеалов в R', лежа-
лежащих над р. Обозначим через е{ редуцированный показатель ветвления
%г над р, через k — поле вычетов Rip, через h — канонический гомо-
гомоморфизм R на k, через ki — поле вычетов /?'Л& и через hi — канониче-
канонический гомоморфизм R' на k{. Тогда для х из R' будет
Доказательство. Пусть / (X) — характеристический
полином для х относительно К (см. гл. II, § 10, стр. 106)
Так как х цел над R, a R целозамкнуто в К, то коэффициенты
минимального полинома элемента х над К принадлежат R (§ 3).
Но f (X) является степенью минимального полинома (см. гл. II,
§ 10, соотношение A0)), так что отсюда следует, что at также при-
принадлежат R. Пусть ~а{ = h (aj); f(X) = Хп + 'alXn~l+ . .. +On-
Мы имеем равенства ТК'/к(х) = —аи NK'/K(x) = (—\)пап,
и, следовательно,
h{TK'/K (x))= -а1,
А (#*-/*(*)) = (-1L.-
Пусть Д (X)—характеристический полином /ц (х) относитель-
относительно k{, где hi (x) рассматривается как элемент kt. Чтобы доказать

342 Гл. V. Дедекиндовы области. Классическая теория идеалов
лемму, мы докажем следующий более сильный результат:
Напомним определение характеристического полинома / (X).
Отображение М: z—>zx, z?K', К' в себя является /("-линейным
аддитивным преобразованием. Если К' рассматривается как век-
векторное пространство над К, то М — также линейное преобразо-
преобразование К'/К в себя и характеристический полином f (Х)есть харак-
характеристический полином для М.
Кольцо R'/R'p является векторным пространством над полем
k = Rip (размерности п = 2eiiV. см. теорему 21 § 9). Переход
от R' к R'/R'p приводит от М к ^-линейному преобразованию
М векторного пространства R'/R'p, определенному следующим
образом: если z есть R'p-вычет элемента z из R', то М (z) есть
/^'р-вычет М (z) (заметим, что так как x?R', элемент М (z) = zx
принадлежит R', если z принадлежит R'). Если х есть ^'р-вычет х,
то для любого элемента z из R'/R'p будет М (z) = zx. В доказатель-
доказательстве можно заменить R на Rp~, если это сделано, R' будет иметь
/?-базис, состоящий в точности из п элементов (следствие 2, стр. 304).
Если {zu Zi, . . ., zn) есть i^-базис для R', то {zu . . . , zn} — век-
векторный базис K'lK, и если zv обозначает .^'р-вычет от zv, то
{гь z2, .. ¦, zn] — векторный базис R'IR'p. Если M(zv) —
= 2cvm,Zjj,; Cp.v(f/(, то cVii принадлежат R (так как М (R')dR' =
= 2 Rzv) и мы имеем равенство / (X) = \6vllX — cVM,|. С другой
стороны, также М (zv) = 2 cvn2p., где cVM равно р-вычету элемента
cVM, (равно /^'^-вычету от cyfX) и /(X) = |6VAX—cV(i|. Отсюда
следует, что /(X) есть характеристический полином линейного
преобразования М, и лемма будет доказана, если мы покажем, что
характеристический полином М равен степени произведения
характеристических полиномов элементов ht (x).
Векторное пространство R'/R'p является прямой суммой
Si + S24" • • • +5„ подпространств St = ( f| ^5/)/^'p, и каждое из
Зфг
этих подпространств S4 является инвариантным относительно М
(так как каждый простой идеал ^4 инвариантен относительно М).
Следовательно, если Mt обозначает ограничение М на Sit то М —

§ 11. Дифферента и дискриминант 343
прямая сумма Mi+ ... +Mg линейных преобразований М{,
и характеристический полином для М есть произведение характери-
характеристических полиномов Мг. Таким образом, для доказательства лем-
леммы достаточно показать, что характеристический полином Mt
Р ¦ —
равен ег-й степени (/г(Х)) г характеристического полинома Д(Х)
для ht (x).
Если Xi + x2+ . . . +х& —прямое разложение х (х есть R'p-
вычет от х; xt 6 5;), то очевидно, что для любого zt из S4 мы имеем
равенство Мг (гг) = г{хг (так как Мг (zt) = М (z4) = ZjX = z^).
Заменим теперь кольцо 54 канонически изоморфным L4 = /?'/*Р,г.
Канонический изоморфизм <р4 кольца 54 на L{ таков: если г =
= Zi + z2+ . .. +zg, ZjgSj, есть /?')з-вычет элемента г из /?', то
Ф4 (Zi) есть ^i'-вычет от г (см. гл. II, § 13, теорема 32, соотноше-
соотношение A4)). Li — также векторное пространство над k = R/p, и изо-
изоморфизм q>i является ^-линейным. Мы можем теперь заменить Мг на
линейное преобразование М\ пространства L{ в себя, где
Mi = (fi1 Mt ср;, так что Мг и М[ имеют один и тот же характери-
характеристический полином. Очевидно, что М[ есть преобразование, пере-
переводящее каждый элемент Z, из R'/tyS в элемент t,x, где х означает
Ц51г-вычет для х.
Обозначим через Li;- подпространство ^'/^гг, 0</^ei( про-
пространства Lj (Li0 = Li). Они являются инвариантными подпростран-
подпространствами Ml, образующими убывающую цепь Lt — Li0 > Lit > .. .
... >Lj;(,. = O. Для каждого / линейное преобразование Mi опре-
определяет естественным образом линейное преобразование М'ц в фактор-
пространстве Lij/Lij+i, 0</<ei_1, а именно M[j переводит
каждый смежный класс и + Li, j+i > м 6 Li;i, в смежный класс Щ (и) ^-
f Lil]4i. Если мы выберем в качестве базиса L4 множество элемен-
элементов uhq-, / = 0, 1, . ..,е4_г, <7, = 1,2, ..., dim Li3-/Lilj+b таких,
что для каждого / смежные классы «^ + Li)j+1 образуют базис
для Li]ILi>j+1 и используем этот базис для нахождения характери-
характеристического полинома преобразования М[, то мы сразу заметим, что
этот полином равен произведению характеристических полиномов
ег линейных преобразований М'ц>, М'ц, ..., М[,е.-\. Мы завершим
доказательство леммы, показав, что характеристический полином
каждого М'ц равен характеристическому полиному элемента п{ (х).
Факторпространство LtjiLitj^ канонически изоморфно %\1%3^\
и мы можем отождествить М'ц с линейным преобразованием в
ls/^i+1, которое переводит каждый элемент и этого кольца в эле-

344 Гл. V. Дедекиндовы области. Классическая теория идеалов
мент их}, где х обозначает ^М+1 -вычет от х. С другой стороны, век-
векторное пространство ^/^+1 (над k) изоморфно R'lty^ и изомор-
изоморфизм г|) между ними может быть получен следующим образом.
Зафиксируем элемент ы0 в $, но не в 5$+1. Тогда ^{+l < $f и -г
-г R'u0 = <gj, и отсюда Щ\+1 + R'u0 — *$ (так как не существует
идеалов между tyl и ^l+i). Наконец, если ц? tyi, то мы можем напи-
написать и = и'«0 (mod ^5i+1), «' 6 /?', и очевидно, что элемент и однознач-
однозначно определен по mod^j элементом и. Отображение г|э ^5^+1-вычета
и в $Гвычет и' является 6-линейным изоморфизмом ^ИЛрГ'1 на
•K'/^V, ^-трансформация гр ТИ^гр от М'ц является линейным пре-
преобразованием в R'ityi, задаваемым умножением г' —>z'hi (x). Нако-
Наконец, характеристический полином ty~l М[$, а поэтому также и М\:,
есть в точности характеристический полином элемента пг (х) поля
кг = R'/tyi относительно основного поля k = R/p. Это завершает
доказательство леммы.
Теорема 28. В обозначениях и предположениях теоремы 27
пусть е (Щ) —редуцированный показатель ветвления *($ над р, тогда
справедливо неравенство т (Щ > е (ф) — 1. Равенство в этой фор-
формуле имеет место тогда и только тогда, когда
а) е(Щ) не является кратным характеристики, поля R/p, и
б) ??'/ф сепарабельно над R/p.
Доказательство. По теореме 27 мы можем предполо-
предположить, что р — единственный собственный простой идеал в R.
Тогда р является главным идеалом р = Ru и R' имеет только
конечное число собственных простых идеалов ^ь лежащих над р;
положим $ = 45), mi = m E|84). Так как дополнительный модуль '(
для 7?' есть ]"J $Г"Ч неравенство т{>е; — 1 будет доказано, если
мы покажем, что fj %i г CZ %¦ Пусть z — некоторый элемент из
г
II 5|5г г- Так как /?'ы = Ц^{г, то мы имеем гибП^, откуда
г i г
г«бФг Для всех i. Из этого вывода, состоящего в том, что zu при-
принадлежит всем простым идеалам, лежащим над р, следует, что то
же заключение остается справедливым, если заменить К' на наи-
наименьшее нормальное расширение поля К, содержащее К', и zu заме-
заменить на любой из его сопряженных над К- Поэтому ТК'/к (га),
который является суммой таких сопряженных, будет элементом
из р, и Т (z) = T (zu) ? Ru, откуда Т (г) ? R. Так как это справедливо
для каждого элемента z из [|^i *> т0 мы имеем также включе-

//. Дифферента и дискриминант 34S
ние Т (zR')dR для каждого z из JJ $t e* (так какЦ^4 е* яв-
i i
ляется /^-модулем). Отсюда включение [\Щг id<e доказано.
г
Если а) и б) удовлетворены, то существует (по б)) элемент у
в R'/ty, след которого в R/p отличен от нуля. Так как идеалы
^*(г>2), $г попарно комаксимальны, то существует представи-
представитель у класса у (из R'), такой, что у ? Щ* для i > 2. Тогда по лемме 1
р-вычет от Тк'/к (у) равен е(^)-Г(н//^)(/н/р) (г/); он отличен от нуля
по а) и по выбору у. Поэтому элемент у/и, который принадлежит
ty~e , имеет след Т(у)/и, не лежащий в R. Таким образом, у/и (J %
и пг(Щ = е(Щ — L
Наоборот, предположим, что либо а), либо б) не выполнены.
Возьмем любой элемент z из дробного идеала 33' =^-в(ЧЪ [] 5р, '.
Элемент zu лежит в $4 для 1Ф\. Тогда по лемме 1 р-вычет
следа zu есть е (?$)-T,R,/m)/(R/h) {zu). При любой из гипотез этот
р-вычет равен нулю: тривиально, если не выполняется а), и по
следствию из теоремы 20 гл. II, § 10, если не выполнено б).
Тогда иТ (г) = Т (иг) есть элемент идеала Ru (= р) и," следова-
следовательно, Т (z) лежит в R. Так как это имеет место для каждого г
из /^'-модуля 33', то отсюда вытекает включение 93' CZ 'ё и, следо-
следовательно, т(^)>е(^5), что и требовалось доказать.
Следствие. Ветвящиеся простые идеалы в R' суть идеалы,
делящие дифференту Фн'/д.
В самом деле, если $ делит дифференту, то т (Щ> 1. Отсюда
следует, что е (У$) > 1 и, таким образом, *($ — ветвящийся, если
только либо а), либо б) не выполнено. В первом случае е ($) —
кратное характеристики поля R/p и поэтому больше 1. Во втором
случае R'/ty несепарабельно над R/p, и мы условимся считать ty
ветвящимся в этом случае. Наоборот, если *>$ ветвится, то мы имеем
либо е ОР) > 1, либо R'/ty несепарабельно над R/p; в любом случае
это влечет неравенство т ($) > 1.
Ветвящихся простых идеалов в R' поэтому конечное число.
Теорема 29. Пусть R — дедекиндова область, К — ее поле
частных, К'— конечное алгебраическое и сепарабельное расширение К
и R'— целое замыкание R в К'. Пусть у —такой элемент из R',
что К' = К (у), и пусть F (X) — минимальный полином для у над К
Тогда производная F' (у) принадлежит дифференте Фд'/д, и мь
имеем равенство Ъц'/r = R'F' (у) тогда и только тогда, когда

346 Гл. V. Дедекиндовы области. Классическая теория идеалов
R' -- R [у], т. е. когда множество {1, у, . . . , уп J} {где п=\К': К])
является базисом R' над R.
Доказательство. Пусть г — любой элемент из К'.
Так как {1, у, ... , у11'1} — базис К' над К, то z = g (у), где g (X) —
полином степени <.п— 1 над К", однозначно определенный эле-
элементом z. Обозначим через yi (i = 1, . . . , п) сопряженные к у над К.
Мы имеем интерполяционную формулу Лагранжа
g (X) = S ? («/4) F (X)/f' («/,) (X - r/i). B)
Правая часть есть полином степени <л — 1, так как F (X)
кратен X — yi. Его коэффициенты лежат в К", в силу теории Галуа,
и для X = уг его значение сводится к одному члену — именно
к результату подстановки X — yt в g (yJF (X)IF' (уг) (X — yt),
но легкое вычисление показывает, что F'(yi)= И {у,- — У,), т. е.
что F'iyj) есть значение полинома F (Х)/(Х—уг) для X = yi.
Отсюда значение правой части для X = yt есть g (уг). Это доказы-
доказывает формулу B). Если мы определим след полинома как полином,
коэффициенты которого являются следами коэффициентов данного
полинома, то B) может быть записана в виде
g (X) = Тк./К (zF (X)/F {у) (X ~ у)). C)
Возьмем некоторый элемент z из дополнительного модуля гё,
и в качестве z возьмем z'F' (у). В силу алгоритма деления все коэф-
коэффициенты F (Х)/(Х — у) лежат в R' и точно так же все коэффициенты
g (X) лежат в R, в силу определения г<? и выбора z. Таким образом,
F' (y)-z'= z = g{y) принадлежит R'. Так как это справедливо для
любого z из %, то F' (у) ? Фд'/в по определению дифференты.
Предположим теперь, что Ъц'/r — R'F' (у). Так как каждый
дробный идеал дедекиндовой области R' обратим, то % = R' -F' (у)'1-
Таким образом, для каждого z из R' элемент zlF'{y) лежит в %.
Так как F (Х)/(Х — у) является полиномом с коэффициентами
из R', формула C) показывает, что коэффициенты полинома g(X)
принадлежат R. Другими словами, z (== g (у)) лежит в /^-модуле,
порожденном 1, у, . . ., у'1'1. Поэтому R' = R + Ry -\- ... -t- Ryn~l =
= R\y\-
Наоборот, предположим, что {1, у, . . ., уп 1} — базис R' над R.
Так как коэффициентом при X" в C), очевидно, является
Т (zIF' (г/)), то T(zlF' (у)) g R для каждого z из R', в том числе и для
z = g (у), где g (X) — полином с коэффициентами из R. Другими
словами, MF' (у) принадлежит дополнительному модулю 6. Так
как F' (у) лежит в дифференте ), то он является общим знаменателем

§ 11. Дифферента и дискриминант 347
для элементов 4S. Поэтому *& —{ р,, \)R' и ^ — Р'(у)Я', что
и требовалось доказать.
Замечание: дифферента и кондуктор. Пусть
R — целозамкнутая область, К — ее поле частных, К'— конечное
алгебраическое и сепарабельное расширение К, R'— надкольцо R,
целое над R и имеющее К' своим полем частных; R"-— целое замы-
замыкание R в К' ¦ Каждый элемент z из R" содержится в дополнительном
модуле ^r'/r, так как для любого элемента х из R', очевидно,
zx будет целым над R, и отсюда T(zx)?R. Поэтому мы получаем
Qk'/r-R"CZ R'; другими словами, дифферента R' над R содержится
в кондукторе Щ целого замыкания R'. В частности, Щ Ф @) в этом
случае, так как дифферента R' над R отлична от 0 (теорема 26,
следствие). Первая часть доказательства теоремы 29 применима
также и к случаю, когда R не является дедекиндовой областью
(но целозамкнута), и показывает, что F'(y) принадлежит Щ.
С другой стороны, так как включение T(zR") CZ R влечет за
собой T(zR')czR, то Йн'7йС^н'/й. Отсюда по определению диффе-
дифференты следует, что Фд'/иСГФя'/к- (Отметим, что из того, что диф-
дифферента ®r'/h содержится в кондукторе %, не следует, что она
является идеалом в R".)
Пусть снова R—дедекиндова область, К — ее поле частных,
К'— алгебраическое и сепарабельное расширение К, R'— целое
замыкание R в К'. Для каждого собственного простого идеала ^
кольца R' обозначим через /ОР), е(^3), /иОЮ соответственно его
относительную степень, редуцированный индекс ветвления и диф-
ферентный показатель. Если дан идеал §1 кольца R', мы разложим его
П5|Ъ D)
Идеал а = П0$П?О \ который вполне определен, так как
лишь конечное число показателей nffl) отлично от нуля, назы-
называется нормой идеала 21 (по отношению к R) и обозначается
через NK'/k (91) или просто NDH).
Имеют место следующие формулы:
N (ШЩ = N(%)-N C3); если И d ЯЗ, то N(%)aN (93). E)
Nk'/k (Nk-ik' (Щ) = Nkvk (Я), если KdK'd К". F)
NK4K (R'a) = an (a - идеал в R, n = \K' : K])- G)
В самом деле, E) очевидна. Формула F) следует из мультипликатив-
мультипликативности относительных степеней. Наконец, G) достаточно доказать
для простого идеала р из R; в этом случае ^'p = f|^e , и G)

348 Гл. V. Дедекиндовы области. Классическая теория идеалов
следует из формул 2е OP) RW) = п (следствие из теоремы 21
§9).
Лемма 2. Если *?#', то N(R'x) = R-N(x).
Доказательство. Предположим сначала, что К,' нор-
нормально над К- Пусть /?'* = []$ *\ а G — группа Галуа К'
над К". Мы имеем соотношение v ($; iV (х)) = 2 и ($'• s W) =
s?G
= S u (s~l($)'. *)• Обозначаем через $,, .. ., $„ различные сопря-
женные к $ (т. е. простые идеалы из R', лежащие над $!")#)• каж"
дый tyi появляется е ($) f (Щ) раз среди s'1 ($) (теорема 22 § 9).
Таким образом, (u(«J5); N (х)) = e($)/($)B0 №il ^))- Если мы
обозначим через р идеал ^РП^. то показатель и (р; yv (x)) в разло-
разложении R-N(x) будет равен 2 и №". *) / (^)> а показатель р
в Я (/?'х) по определению равен этому числу. Это доказывает наше
утверждение в нормальном случае.
В общем случае введем наименьшее нормальное расширение К"
поля К, содержащее К', R" — целое замыкание R (или R') в /С".
Так так К" нормально и над К и над К', то для любого х из R"
мы получаем, что NK»,K (R"x) = R ¦ Nic/k (х) и NK"/K' (R"x) =
= R'NK.,K' (x). Если х 6 Я", то (/?'*)' = NK~/K' (R''x), где </ = [К" : К' I
по G). Тогда имеем (^7К (R'x)f = Nk-/k (R'xq) = (по E)) =
= NK'iK {Nk-ik' (R"x)) = NKVK (R"x) = (no F)) = R ¦ NKVK (x) =
= RNk'/k (NK"/k- (*)) = R-Nk'/k (xq) = (R ¦ NK-/K (*))« (гл. II, § 10).
Сравнивая крайние члены этих равенств, заключаем, что NK'/K(R'x)=
= R-NK"K (x), ввиду однозначности разложения идеалов в R.
Лемма 3. Идеал N B1) порожден нормами элементов идеала 91.
Доказательство. По лемме 2 и формуле E) для любого а
из 21 мы имеем R-N (а) = N {R'a)d Af C1). Остается показать суще-
существование для каждого простого идеала р в R элемента а из 21, такого,
что показатель р в разложении R-N(a) равен показателю р в
N (91). Если 91 = П ^п(Щ, то показатель р в N B1) равен 2
По китайской теореме об остатках (теорема 17 § 7) существует
элемент а из 21, не содержащийся ни в одном из ^"(^)+1 г где ty лежит
над р: в самом деле, для каждого s$, лежащего над р, суще-
существует элемент хт в 91, который не лежит в щп<-#)+^ и Сравне.
ния x = x$(mod$"(*)+1) (для <рр|Я = р) и х =0 (mod 91), оче-

§ 11. Дифферента и дискриминант 349
видно, совместны. Таким образом, показатель *>$ в R'a есть п (?$)
для $, лежащего над р, откуда показатель р в R-N(a) — это
/ ($Ю п (*Р) по лемме 2, что и требовалось доказать.
При тех же предположениях и обозначениях норма дифференты 1)
является идеалом в R. Она называется дискриминантом R' над R
и обозначается через Ьн</д или просто через Ь. Показатель р
в Ь равен 2 / СЮ m СЮ- По следствию из теоремы 28 простые
идеалы р кольца /?, ветвящиеся в R (т. е. те, для которых существует
ветвящийся простой идеал Щ из R', такой, что ^$П'# = Р)> СУТЬ
те и только те, которые содержат дискриминант Ья-уя". поэтому
их число конечно. Дискриминант Ьн-/д тесно связан с дискрими-
дискриминантами базисов К' над К (гл. II, § 11); более точно:
Теорема 30. Для каждого базиса {«ь ..., ип} поля К'
над К, содержащегося в R', элемент d (и) (дискриминант базиса
{«ь ...,«„}) содержится в идеале Ьдуд — дискриминанте R'
над R. Идеал Ьд'/r порожден элементами вида d (и). Для того
чтобы было bR'/R = R-d (и), необходимо и достаточно, чтобы
{«1, . . ., ип} был базисом R' над R.
Доказательство. По определению дискриминанта и ана-
аналогичному свойству дифференты дискриминант определяется ло-
локально. Точнее, если мы обозначим через М дополнение простого
идеала р в R, то дискриминант Ьм области R'M над RM равен
bRM- В частности, показатели р в b и pRM в Ъм оба равны
P
Так как RM— область главных идеалов, то R'M имеет базис
{«1, . .., ип] над RM (следствие 2 из теоремы 7 §4). Рассмотрим п
элементов vit . . ., vn поля К' и уравнения Т (щи^ —- 6^ Fi;- — сим-
символы Кронекера). Если Vj = ^\ajsus (ajs 6 К), то эта система уравне-
S
ний принимает вид 2ajs^4"ius) = 6i;-, и для фиксированного j
s
мы получаем и линейных уравнений относительно п элементов ajs.
Если К' сепарабельно, то детерминант det (T (иги8)) этой системы
отличен от 0 (гл. II, §11) и приведенная выше система имеет
единственное решение {ajs} в К. Другими словами, существует
одна и только одна система элементов иь ..., vn в К', которая удо-
удовлетворяет соотношениям Т (u^-) = 6i7-. Мы покажем, что если
{«1, ...,«„} — базис R'M над RM, то {vit ..., vn} является базисом
дополнительного модуля %м для R'M. В самом деле, имеем
2 Т («{«,-) и;- = S («i"j) a,'s"e = "i- В частности, {vu . .., vn} -

350 Гл. V. Дедекиндовы области. Классическая теория идеалов
базис К' над К- Для того чтобы элемент z = ^ a-v^ (а3- ? К) принад-
э
лежал %м, необходимо и достаточно, чтобы было T(zx)?RM Для
каждого х из R'M, т. е. чтобы Т (Bjajui)-B ^i"i)) б Ям Для
всех систем {Ьи . . ., Ьп] из п элементов кольца RM. Но так как
Т (ujUj) = 6tj, то это условие может быть записано в виде 2 ajbj ?RM
для каждой системы {bly . . ., Ьп} из п элементов кольца RM-
Если мы положим й;-= 1 и ftj' = 0 для /' Ф /, то отсюда следует, что
Q-j?Rm', и, наоборот, если а} ?RM Для каждого /, то наше условие,
очевидно, выполнено. Это доказывает, что {иь . . ., vn} —базис Чём-
Отметим теперь два простых факта, которые будут использованы
позже в доказательстве.
(а) Если {и\,...,и'п} и {«1, ..., и'п} —два базиса поля К'
над К, таких, что каждый и\ лежит в /^-модуле (или /^-модуле),
порожденном и), то соотношение d (и") ?R- d (и) или d (и") б RMd (и )
сохраняется для их дискриминантов. Это непосредственно вытекает
из формулы B) гл. II, § 11, относящейся к дискриминантам двух
базисов К' над К-
(б) В частности, если оба указанных базиса порождают один
и тот же /^-модуль (или /?м-модуль), то частное d (u')ld (и") является
обратимым элементом в R (или в RM), т. е. d (и1) и d (и") порождают
один и тот же главный дробный идеал.
Поскольку это так, то дополнительный модуль ЧоМ является
главным дробным идеалом, так как Rm — область главных идеалов.
Если сбм = R'yiy, то {yui, . . ., уип} —базис 1SM над RM. Исполь-
Используя выражение дискриминанта базиса через квадрат детерминанта,
данное в гл. II, § 11, формула E), получаем, что дискриминант
этого базиса равен (N(y)Jd(u). Таким образом, согласно (б),
(N (у)J d (u)/d {v) — обратимый элемент в RM. Но только что
доказанная формула щ = У, Т (иги}) v- показывает (формула B)
гл. II, §11), что d («) = (detr (иги}))Ы (v), т. е. что d (и) d (v) = 1,
так как det (Т (и4и;-)) = d (и). Отсюда (N (у) d (ы)J, а также N(y)d(u)
обратим в RM. По лемме 3 и определению дискриминанта N (г/)'1
порождает Ьм. Таким образом, Ьм = Лм^(и).
Пусть теперь {и[, .. ., и'п} — базис поля К' над К, состоящий
из элементов кольца R'. По (а) его дискриминант d (и) является
#м-кратным d (и), откуда d (и1) б Ьм для каждого простого идеала р.
Таким образом, показатель р в Rd (и') по меньшей мере равен пока-
показателю р в Ь. Это доказывает, что d (и')?Ъ.
Базис {«1, ...,«„} кольца R'M над RM может быть выбран (после
умножения на обратимый элемент из RM) таким образом, что ы{6^'
для всех L. Если мы выберем по одному такому базису для каждого р,
дискриминанты этих базисов породят идеал Ъ в R. Он содержится

П. Дифферента и дискриминант 351
в Ь, как мы только что видели. С другой стороны, показатель р
в Ь не превосходит показателя р в Rd (и), т. е. показателя р в Ь.
Поэтому b = b и наше второе утверждение доказано.
Допустим, что нам дан базис {ць ..., ип} кольца R' над R.
Тогда он является базисом R'u над RM, и мы имеем равенство
RM d (и) = Ьм, как было доказано выше. Так как это имеет место
для каждого простого идеала р, мы заключаем, что R-d(u) = b.
Предположим, наоборот, что нам дан базис {и[, . .., и'п} поля
К' над К, содержащийся в R' и такой, что Rd (м') = Ь. Тогда
если {ць . .., ип} — базис R'M над RM, то элементы d (и) и d (и)
порождают один и тот же идеал Ьм в RM- Если мы положим и[ =
= 2 at;«i (а»,- 6 Ям), формула d (и') = (det (a^.)J d (а) (гл. II, § 11 B))
показывает, что (det (ai;j)J обратим в RM. Таким образом, det (a^)
также обратим в RM, и формулы Крамера показывают, что каж-
каждый «t принадлежит .fiV-модулю, порожденному Ы/. Другими
словами, {и[, ..., и'п} является базисом R'm над Rm- Так как это
имеет место для каждого простого идеала р, {и[, ..., и'п} является
базисом R' нал R: в самом деле, если для х из R' мы напишем
х = 2 Я;Иь то Oj G -^м для каждого р, поскольку х ? R'M; таким обра-
образом, показатель р в а^, очевидно, больше или равен 0 для каждого
р и, следовательно, ai G R. Доказательство теоремы 30 завершено.
Замечания.
1) Предположим, что {ии ¦¦¦, ип} — базис R' над R. Тогда
он является базисом R'm над /?м для каждого р; поэтому базис
{vi, . . ., vn} поля /С' над К, построенный в доказательстве теоремы
30, является базисом дополнительного модуля Чзм модуля R'm Для
каждогор. Так как дополнительный модуль ^определяется локально,
то мы видим, как и в конце доказательства теоремы 30, что
{vt< . . ., vn} есть базис % над R.
2) Предположение о сепарабельности в теореме 30, т. е. предпо-
предположение о том, что det (Т (и{ы,-)) ф 0 для каждого базиса К' над К\
означает, что билинейная форма Т (ху) на поле К', рассматриваемом
как векторное пространство над К, невырождена. Она устанавли-
устанавливает поэтому двойственность векторного пространства К' с самим
собой, т. е. изоморфизм между К' и его дуальным векторным про-
пространством. Базис {Vi, ..., vn], построенный в доказательстве
теоремы 30, является дуальным к базису {uit ..., ип}.
3) Дискриминант d базиса {\',у, ....г/™} (у — примитивный
элемент К' над К) равен Af (F' (у)), где F — минимальный полином
для у над К": это следует из формулы F) гл. II, §11, которая полу-
получается разложением определителя Вандермонда
d = II (Уг - У}) = W ((у, - у2) ..,(«/, - yj) = N (F' (у,)) = N (F' (у)).

352 Гл. V. Дедекиндоеы области. Классическая теория идеалов
Это устанавливает связь между теоремами 29 и 30.
Теорема 31 (формула транзитивност и).
Пусть R — дедекиндова область, К' и К"— два конечных алгебраи-
алгебраических и сепарабельных расширения поля частных К области R,
таких, что К' CZ К", R' и R"— целые замыкания R в К' и К". Тогда
/R') ¦ (Ья'/д)
Доказательство. Докажем сначала формулу для диф-
дифферент или, вернее, формулу относительно их дополнительных
модулей: ^н"/д = ^д-/д' • (R'"@r'/r)- Для г из R" следующие соотноше-
соотношения эквивалентны: z? ^д-'/д, Tk~/k(zR") CR, Tk-/k {Tk-/k' (zR")) ClR,
Тк'/к {Тк"/К' (zR") -R')CZR (если умножить элемент из К" на х ? R',
то его след TKVK> умножаетсй на х), Тк«/К> {zR") с ^/д, (^д'/д)Х
X Ткчк- (zR") = Фл'/я • Гй"/к- (zR") = 7-х-/х. • (г • ®Н7Н/?') CZ /?',
•г®д7дС1 ^д/д5 2б^н/д^д/д-
Таким образом, формула для дифферент доказана. Чтобы полу-
получить формулу для дискриминантов, возьмем норму NK»/K от обеих
частей формулы для дифферент. Получаем
Ьд»/д = N/rvic С®Д7Н' (-^"®Д7д)) = [по формуле E)] =
= NK"/k' (?>R"/R')-nk"/k (R"$>R'/r) = [п° формуле F)] =
= NK4K (Ьн'/д-) • Wjc'/js: (^к"ЛС (^"Фд-/д)) = 1П0 формуле G)] -
= Nk-ik (Ьд»/Д') ¦ Л^х'/
где /г = [/С":/С'] по формуле E), что и требовалось доказать.
В том случае когда К'—¦ нормальное и сепарабельное расширение
К, дифферентный показатель tn(ty) простого идеала *>$ из R' может
быть вычислен, как только известны порядки групп ветвления %.
Как и в § 10, мы обозначим через Gz, Gt, GVi группы разложения,
инерции и 1-ю группу ветвления (GVl = Gt), а через Kz, Кт, Къ—
соответствующие подполя К'; пусть щ—степень [/(':/CJ, т. е.
порядок Gt. Предположим, что R'/4$ сепарабельно над/?Ар(}) =
= R№)- Тогда lKz:K]=g, lKT:Kz]=f, IK': Кт] = е = щ.
Для любых двух расширений L и U поля К, таких, что
Кd L CZ L' С /С', обозначим через m (L', L) дифферентный показа-
показатель над L простого идеала ^L', являющегося сокращением 4$
в целом замыканий RL- области R в L'.
Для любого i > 1 поле вычетов i?Kt/$Ki равно /?'/^S, и $ является
единственным простым идеалом в R', лежащим над ^Ki (следствие
из теоремы 24 § 10). По «локализации» можно предположить, что

§ 11. Дифферента и дискриминант 353
RKi имеет лишь один простой идеал %кь который является тогда
главным; тогда $—единственный простой идеал в 7?',он является
главным идеалом, скажем $ = R'u, и справедливо равенство R"$ki =
= %ГЧ .Для любого х из К' мы обозначим через v(x) показатель идеала
$ = /?'« в разложении R'x. Мы утверждаем, что {1, «,..., гА}
образует базис R' над RKi.
Это вытекает из следующей леммы.
- Лемма 4. Пусть R — кольцо дискретного нормирования
и R'— целое замыкание R в конечном алгебраическом и сепарабель-
ном расширении К' поля частных К кольца R. Предположим, что
простой идеал р из R полностью разветвляется в R', т. е. что суще-
существует только один простой идеал ^ в R', лежащий над р и такой,
что R'/Щ = R/p. Тогда если и обозначает образующую Щ и п —
степень К' над К, то {1, и, . .., ц™} является базисом R' над R.
Доказательство. По следствию из теоремы 21 § 9
R'p = *$п. Поскольку Щ является единственным простым идеалом
R', то ^ — главный идеал R'u (теорема 15 § 6). Для любого х
из К' обозначим через v (х) показатель $ в разложении R'x. Тогда
если а лежит в К, то v (а) является кратным п, так как если мы обо-
обозначим через s показатель р в Ra, то получим R'a = R'ps = ^ns.
Для того чтобы доказать, что элементы {1, и, . . ., w'1} образуют
базис R' над R, докажем сначала, что они линейно независимы.
В самом деле, если нам дано нетривиальное линейное соотношение
О = ао+ «!«+ ... +а„_1«п (а;- 6 К), то целые числа v(ajU}') =
= / + v (uj) все различны, так как v (a;-) являются кратными п.
Таким образом, если v(aquq) = r — наименьшее, то сумма
остальных членов лежит в ^r+1, вопреки тому, что она равна
— auq. Поэтому {I, и, ....w™} является базисом поля К'
71-1
над К- Представим любое х из R' в виде 2 ^j";. гДе Ь} — эле-
элементы К- Как и выше, все целые числа v (Ь}и') различны. Таким
образом, если г обозначает наименьшее из них, сумма У. Ь}и' при-
принадлежит ^г, но не $г+1. Так как х лежит в /?',тог>0, откуда
j -\-v (bj) = v {bjUj) > 0 для / = 1, . . ., п — 1. Поскольку целые числа
v{b) являются кратными п, то отсюда следует иF-)>0, поэтому
b^R.
Это доказывает лемму.
Таким образом, мы можем использовать теорему 29 для нахож-
нахождения дифференты R' над RKi: это идеал R'F' (и). Но F' (и) =
= [] (ц — Uj), где Uj— сопряженные с и, отличные от и. Так как
К'— нормальное и сепарабельное расширение К{ с GVi в качестве

354 Гл. V. Дедекиндовы области. Классическая теория идеалов
группы Галуа, то F'(u)= [] (и—s(«)). Таким образом, диф-
ферентный показатель т(К', Ki) равен 2 v(u—s("))- Поэ-
тому m(K',Ki_i) — m (К', Кг)= 2 v(u-s(u)). Но по-
?GG
скольку R'/Щ сепарабельно над R/p, то, как мы видели в дока-
доказательстве теоремы 25 из § 10, для элемента s из GVi.lt не лежа-
лежащего в Gvi, справедливо равенство v (и — s(u)) = i — 1. Поэтому
т (К', /Ct-i) — т(К\ Кг) = (i — 1) (nul — щ). Но формула транзи-
транзитивности для дифферент (теорема 31) показывает (повторным при-
применением), что
т(К\ Кт) = («1 - п2) + 2 (na- /tj) + ...+/ (п; - п;Ч1) +
Сумма эта имеет лишь конечное число ненулевых членов, так как
п^= 1, т. е. Gv.= 1 для достаточно больших /. Далее, простой
идеал р в R не ветвится в поле инерции Кт (следствие из теоремы 24).
Отсюда дифферентный показатель ш(Кт, К) равен нулю по тео-
теореме 28. Поэтому формула транзитивности для дифферент дает
следующее соотношение, называемое формулой Гильберта
(°)
••• +/(«, -">¦!)+••¦ •
Теперь мы можем вычислить показатель р в дискриминанте
'/д- Как видно из предшествующего, он равен 2
Но простые идеалы $ из R', лежащие над р , сопряжены между
собой; поэтому все их дифферентные показатели т(^) равны, как
и их относительные степени fC$). Так как g = nlef (e = /г4), то
показатель р в Ьд"д есть gf-mC^) = пё~хт (ty), и поэтому равен
§ 12. Приложения к квадратичным полям и полям деления круга.
Квадратичное поле К является расширением степени 2 поля Q
рациональных чисел. Решение квадратных уравнений, известное
из школьного курса, показывает, что К порождается над Q квад-
квадратным корнем из рационального числа. Поделив или умножив это
рациональное число на квадрат подходящего целого, мы можем
предположить, что он является «свободным от квадратов» целым
числом т, т. е. целым числом, не содержащим квадратов целых
чисел в своем разложении. Пусть К = Q(e), где е2 = т. Любой
элемент х из К имеет вид х = а + be, где а и b из Q. Отображение
с + be —> a— be является автоморфизмом К над Q. Таким образом,

§ 12. Приложения к квадратичным, полям и полям деления круга 355
К — нормальное расширение Q (с циклической группой порядка 2
в качестве группы Галуа). Для того чтобы х = а + be был алгеб-
алгебраическим целым числом, необходимо и достаточно, чтобы его след
2а и его норма а2— mb2 были обыкновенными целыми числами из J.
Отсюда следует, что а = -у а' (а'—целое) и что B6Jт—целое.
Так как т свободно от квадратов, 26 должно быть целым, откуда
6 = ^6', где Ъ' целое. Наше условие сводится к тому, что
a'2 — mb'2 = 0 (mod 4). Если т сравнимо с 2 илиЗ по модулю 4, то
простая проверка обоих случаях показывает, что это условие
выполняется в том и только том случае, когда а' и Ь' оба четны.
Еслит сравнимо с 1 по модулю 4, то оно выполнено тогда и только
тогда, когда а' и Ь' оба четны или нечетны одновременно. Отметим,
что не может быть, чтобы т = О (mod 4), так как т свободно
от квадратов.
Резюмируем: кольцо R целых алгебраических чисел имеет
следующие базисы над кольцом J целых рациональных чисел:
т = 2 или 3 (mod 4); базис = {1, е)
т = 1 (mod 4); базис = j 1, -i A + е)\
По теоремам 29 и 30 дифферента и дискриминант R над J
суть идеалы
т = 2 или 3 (mod 4); дифферента =2eR, дискриминант ~\mi,
m=l (mod 4); дифферента =eR, дискриминант =mJ.
Обобщая терминологию, введенную в §9, стр. 229, для гауссовых
целых чисел, мы видим, во-первых, что ветвящиеся простые числа
р суть те, которые делят дискриминант. В частности, простое число 2
всегда ветвится, если т = 2 или 3 (mod 4), и не ветвится в осталь-
остальных случаях.
Среди неветвящихся нечетных простых чисел некоторые раз-
разложимы, а некоторые инертны. Как и в случае целых гауссовых
чисел, мы видим, что идеал р разложим, если т является квадратом
по модулю р, и инертен, если т им не является. Введем символ
Лежандра (s/p) для каждого целого s, не являющегося крат-
кратным р: по определению он равен +1, если р-вычет s является квад-
квадратом в //(/?), и — 1, если р-вычет s не является квадратом в Jl(p).
Так как мультипликативная группа поля J/(p) является цикли-
циклической группой порядка р— 1 (гл. II, §9), то соотношение (s/p) = 1
эквивалентно сравнению s^1)'2 = 1 (mod р), а соотношение (s/p) = — 1
эквивалентно сравнению s 2 ss — 1 (mod p). Отсюда следует, что
(s/p) (tip) = (st/p).

356 Гл. V. Дедекиндовы области. Классическая теория идеалов
Остается исследовать случай, когда 2 не разветвляется, т. е.
случай т = 1 (mod 4), когда простое число 2 инертно или разло-
разложимо.
Так как j 1, -^ A + е)| — базис R над /, то вычеты по модулю 2R
этих элементов образуют базис кольца R/2R над //B). Поскольку
минимальный полином числа ^ A + е) над Q есть X2 — X — т
4 '
то мы должны исследовать, когда этот полином неразложим (либо
разложим) над //B). Очевидно, что он разложим над //B) тогда
и только тогда, когда —-. четное.
Резюмируем:
Теорема 32. В квадратичном, поле К = Q(Vт) (т — св0~
бодное от квадратов целое число)
а) ветвящиеся простые числа суть нечетные простые делители
т, а также 2, если т == 2 или 3 (mod 4); •
б) инертные простые числа суть нечетные простые р, не делящие
т и такие, что (т/р) = — 1; 2 также является инертным, если
т= 5 (mod 8);
в) разложимые простые числа суть нечетные простые р, не деля-
делящие т и такие, что (т/р) — 1; 2 также является разложимым,
если т= 1 (mod 8).
Обычно полагают (т/2) = 1, если т = 1, 7 (mod 8), и (т/2) = — 1,
если m = 3,5 (mod 8). Другими словами, для нечетного т (т/2)=
1712-1
= (-1рг-.
Исследуем теперь для нечетного простого р «поле деления круга
на р частей», т. е. поле разложения полинома Zp— 1 над полем Q
рациональных чисел. Корни этого уравнения образуют группу по
умножению простого порядка р. Следовательно, если z — отлич-
отличный от 1 корень для Zp — 1, то остальные его корни суть г2, г3, ...
..., гр~х; гр= 1. Тогда поле деления круга на р частей является
простым расширением Q (г) поля Q. Для вычисления степени
[Q(z):Q] заметим сначала, что г, г1, ..., zp~x являются корнями
полинома F (Z) = Zp~y -f ... -f Z + 1, откуда F (Z) = (Z — z) X
X (Z — г2) ... (Z — 2P1). Пусть R'— кольцо алгебраических це-
целых в Q (z); очевидно, zZR'. Для г = 2,3, ... ,р— 1 элемент
A — zr)/(l — г) лежит в R', так как он равен 1 + г + ... + г'.
Его обратный A — z)/(l — zr) также принадлежит /?', так как
если обозначить через г' целое число, такое, что rr'= I (mod p),
то z = (zr)r', откуда A -г)/A — гг) = 1 + zr + z2r+ .. . +г<г'-1>г.
Поэтому число A — zr)/(\ — г) является обратимым в R'. Исходя
из этого, по формуле р = F A) = A — z) A — z2) .. . A — z9'1)
получаем, что идеал R'p равен #'A—zY'1. Формула 2егД =

§ 12. Приложения к квадратичным полям и полям деления круга 357
= [Q (z) : Q] (следствие из теормы 21 § 9) о разложении R'p в R',
таким образом, показывает, что р — 1< [Q (г) : Q]. Так как
г является корнем полинома F (Z) степени р — 1, то степень
[Q (z) : Q] равна р — 1. Следовательно, полином F (Z) = ZP~1 + ...
. . . + Z + 1 неразложим. Точно так же формулы е (р) f (p) g (p) =
= р — 1 (§9, теорема 22) и R'p = R'(l — z)p~x показывают, что
е (р) = Р — 11 / (р) = ё (р) — 1 (говорят, что р вполне раз-
разветвлено в R') и что R'(l — z) — простой идеал.
Так как Q (г) — нормальное расширение степени р — 1 поля Q,
то для z существуют р — 1 сопряженных над Q и эти сопряженные,
очевидно, z, г2, ... , гр"х. Группа Галуа Q (г) над Q, элементы кото-
которой Sj определяются равенствами Sj(z) = z' для /= 1, ... , р — 1
и, очевидно, удовлетворяют соотношениям S{Sj = sft, если k =
= t/ (mod p), изоморфна поэтому мультипликативной группе Л(р)\
следовательно, она является циклической группой порядка р — 1.
Вычислим теперь дискриминант R' над /. Мы имеем равенство
(Z — 1) F (Z) = Zp- 1, и отсюда F'{z) = pzp~4(z — 1). Так как
z лежит в R', то число pzp~1/(z— 1) содержится в дифференте
R' над / (теорема 29). Поскольку минимальный полином z — 1
над Q равен (Х+ I)" + ... + (X + 1) + 1, норма N (z — 1)
равна р; так как N (z) = I, то N (F'(z)) = pp"Vp = рр.
Таким образом, дискриминант /?' над / делит рр~2, и р является
единственным простым числом, которое может ветвиться в R'.
С другой стороны, мы видели, что р вполне разветвлено в R'
и что R'(\ — z) является единственным простым делителем идеала
R'p ё R'. Лемма 4 (§ 11) показывает, что степени A —z)j (/ =
= 0, 1, ... , р —2), а значит, и степени z' образуют базис /?R'(i-Z)
над /(р). Таким образом, по теореме 30 дискриминант #r'(i-2) над
/(р) является дискриминантом этого базиса, т. е. равен рр~2, как
это было вычислено выше. Ввиду того что р — единственное про-
простое число, ветвящееся в R', рр~2 является также дискриминантом
R' над /, и {1,2,..., zp~2} — целый базис R' (теорема 30).
Так как р нечетно, то группа Галуа поля Q (z), являющаяся
циклической группой порядка р — 1, содержит одну и только одну
подгруппу индекса 2. Этой подгруппе соответствует квадратичное
подполе К поля Q (z), однозначно определенное числом р. По фор-
формуле транзитивности для дискриминантов (теорема 31) дискрими-
дискриминант кольца R целых алгебраических чисел поля К над / делит
рр~2. Поэтому по формуле для дискриминантов квадратичного поля
получаем, что К = Q (Vр), если р = 1 (mod 4), и K — Q{V —p) ,
если ps3 (mod 4); во всяком случае дискриминант R над / равен р.
Изучим теперь разложение простого числа q Ф р в Q (z). Пусть
g — число его простых множителей и / — их общая относительная
степень (теорема 22, § 9). Имеет место равенство fg = р — 1, так
как q не разветвлено. Если О — какой-то простой идеал в R',

358 Гл. V. Дедекиндовы области. Классическая теория идеалов
лежащий над (q), то #7& получается присоединением к J/(q)
корней р-й степени из единицы. Отсюда следует, что / — наимень-
наименьшее положительное целое число, для которого qf = 1 (mod р).
В самом деле, если корень р-й степени z из единицы принадле-
принадлежит полю из qf элементов, то zqi~l = 1, так что р делит qf — 1;
наоборот, если qf' = I (mod р) для /' < /, то любой корень р-й
степени из единицы z над J/(q) удовлетворяет условию zq1 ~l = 1
и, следовательно, принадлежит полю из qf элементов. Поле раз-
разложение L числа q имеет степень g — (р — 1)// над Q. Так как
Q (г) — абелево расширение Q, то все простые идеалы R', лежащие
над (q), имеют одну и ту же группу разложения и одно и то же поле
разложения; мы можем говорить, таким образом, о группе разло-
разложения и поле разложения (q) или q по замечанию, сделанному
в начале § 10. Так как квадратичное поле К имеет в качестве соб-
собственного подполя лишь Q, то либо K[~}L = Q, либо K\~\L = К,
т. е. KdL. Если q инертно в К, то К не может содержаться в L,
что легко видеть из рассмотрения полей вычетов; таким образом,
в этом случае КГ\Ь = Q. Наоборот, если KP\L = Q, то композит
L (К) является квадратичным расширением L; если О — простой
идеал в L, лежащий над (q), то О инертен в L (К), так как он не
может быть ни разложимым, ни ветвящимся (теорема 24 § 10);
если мы обозначим через Q' единственный простой идеал в L (К),
лежащий над О, через О"—простой идеал О'Р|/С и через kQ, k, k',
k"—поля вычетов, соответствующие простым идеалам (q), О, ?1',
?>,", то k = k0, \k': k] = 2 и k' является композитом k и k"; поэ-
поэтому k"= k', и q инертно в К. Если простое число q разлагается
на два простых идеала <\', q" в квадратичном поле К, то q' и q"
сопряжены над Q; таким образом, они разлагаются на некоторое
число простых идеалов в Q (z), и это число g должно быть четным.
Наоборот, если g четно, то группа разложения q является подгруп-
подгруппой четного индекса в циклической группе Галуа G поля Q (z)
над Q. Поэтому она должна содержаться в единственной подгруппе
индекса 2 в G; другими словами, поле разложения L содержит квад-
квадратичное поле К, и простое число q разложимо в К-
Сравним эти результаты с результатами теоремы 32. В обозна-
чениях этой теоремы мы имеем равенство т = (— l)^ p.
р-1
Если q разложимо в К, то ((—1) 2 plq—\); с другой стороны, g
четно, откуда q 2 = (q1J = 1 (mod р), и поэтому (qlp) = 1,
как это непосредственно следует из определения символа Лежандра.
р-1
Если q инертно в К, то ((— 1) 2 plq) = — 1; с другой стороны, по-
поскольку g нечетно, ар — 1 четно, то / должно быть четным, откуда

§ 12. Приложения к квадратичным полям и полям деления круга 359
q 2 _ (^2 )g- н0 по данной выше характеристике для / имеем
соотношение q*i2 ~ — 1 (mod р), откуда q 2 s — l(mod p), так как
g нечетно и (q/p) = — 1. Мы почти доказали следующую теорему:
Теорема 33 («квадратичный закон взаим-
взаимно с т и»). Если р и q — различные нечетные простые числа, то
Если р нечетное простое, то B/р) = ( —1) 8 .
Доказательство. Непосредственно перед формулиров-
формулировкой теоремы 33 мы видели, что
р-1
для простого q и нечетного простого р. Отсюда
Если q также нечетно, то перестановкой р и q получаем
Положив р = 3 и сравнивая эти равенства, получаем
q-l 9-1 g-1
Поэтому
и первая формула доказана.
С другой стороны, для q = 2 имеем равенство
m»-l
Так как по определению (-^ J = (— 1) 8 для любого нечет-

360 Гл. V. Дедекиндовы области. Классическая теория идеалов
р-1
ного числа т и, так как т = (— 1) 2 р в интересующем нас случае, то
т2 — 1 = р2 — 1, откуда I — ) = ( — 1) н , что и требовалось
доказать.
§13. Теорема Куммера. В предыдущем параграфе мы видели,
что и в случае квадратичного поля и, в случае поля деления круга
кольца целых алгебраических чисел допускают целые базисы вида
{1, у, .. . , у71'1} над кольцом /целых рациональных чисел. Мыв со-
состоянии также получить информацию о разложении простых чисел
в этих полях. Мы докажем сейчас теорему, которая показывает,
что некоторая информация о разложении на простые идеалы может
быть получена из существования целого базиса указанного выше
вида.
Теорема 34 (Куммер). Пусть R — целозамкнутая об-
область, К — ее поле частных, К'— конечное алгебраическое расши-
расширение К и R'— целое замыкание R в К'¦ Предположим, что суще-
существует элемент у в R', такой, что R' = R 4- Ry + ¦ ¦ ¦ + Ry11
(п=[К': К]) (следовательно, у является примитивным элементом
поля К' над К)- Пусть F (Y) — минимальный полином для у над К
(коэффициенты F (Y) принадлежат R по теореме 4, § 3). Пусть
р—максимальный идеал в R; для каждого полинома G (X) над R
обозначим через G (X) полином над R/p, коэффициенты которого
являются р-вычетами соответствующих коэффициенте G. Пусть
_ # . _
/7(X)=]f (/\(Х))(<-г) — разложение F (X) на различные неразложи-
неразложимые множители Д (X) над R/p; для i = 1, . . . , g обозначим через
Ft(X) такой полином над R, что F{ (Х) = Д (X). Тогда кольцо R'
имеет ровно g максимальных идеалов фь лежащих над р, и
Более того
где
Qt = /?> + /?'• (Ft (i/))e<i).
Доказательство. Обозначим поле R/p через k. Рас-
Рассмотрим гомоморфизмы
R[X]-*k[X]->k[X]/(ft(X))
(первый гомоморфизм есть отображение G (X) -> G (X)). Ядро
композиции гомоморфизмов равно (pR IX], Ft (X)) и, очевидно,

§ 13. Теорема Куммера 361
содержит F(X). Переходя к кольцам классов вычетов, мы получаем
таким образом гомоморфизм Л{ кольца jR'= R[y] = RlXVF(X)
на кольцо k [Х]/(/4(Х)); последнее является полем, так как
/4 (X) неразложим над k. Ядро ${ гомоморфизма ht является
поэтому максимальным идеалом в R'. Так как $4 содержит р и так
как р максимален, то ф4П^ = р. Поскольку все g неразложи-
неразложимых полиномов fi(X) различны, то поля k [X]/(jft(X)) также разт
личны; то же имеет место и для g максимальных идеалов *р4. Ядро
$?, очевидно, равно R'p + Fiiy) R'.
Когда коэффициенты произведения g полиномов (Ft (X))e^
приводятся по модулю р, результат приведения будет равен F (X).
Так как F (у) = 0, то отсюда следует, что произведение h элемен-
элементов (Ft (y))e(i) принадлежит R'p. Следовательно, произведение
?V?}2--- Ь, содержится в R'p, если положить Ьц — к'р +
+ R'(Fi (у))еA). С другой стороны, пересечение ?ц\~\ D,2 П • • • П Ц? со-
содержит R'p. Чтобы доказать наше второе утверждение, достаточно
показать, что пересечение и произведение Й4 совпадают, а для этого
достаточно доказать, что ?}{ и ?^- комаксимальны, если i ф /.
Но в этом случае имеется тождество вида ai (X) (ft {X))eM +
+ а, (X) (fj (Х))еф = 1, где аг {X) и а^Х) — полиномы над k. Отсюда
если At(X) и А,;(Х) — полиномы над R, такие, что Аг(Х) = а%(Х)
и А}{Х) = а,-(Х), то
fi)r0)
сравним с 1 по модулю R'p. Но это (при X — у) элемент из Eli + Eij.
Так как R'p содержится в &; + &,-, то Qi+Qy = R', и поэтому
наше второе утверждение доказано.
Каждый максимальный идеал f в ]?', который сокращается
до р, содержит R'p. Таким образом, он должен содержать один
из идеалов &4. Но так как $4(г) <ц Gf, то $ должен также содержать
$;. Поскольку ^t суть максимальные идеалы, Щ должен быть од-
одним из них. Это завершает доказательство теоремы 34.
Примеры.
1) Случай дедекиндова кольца. Степень / (i) полинома fi(X)
является, очевидно, относительной степенью идеала *р{. Так как
$4(г)С:0ь то е (t')>e'(i), где e'(i) — редуцированный показатель
ветвления ${. Но R'—конечный ^-модуль, и поэтому 2е'@/@ = п
г
(теорема'21 § 9); так как, очевидно, 2 е @/@ = п> то отсюда
г
мы заключаем, что е (i) является редуцированным показателем
ветвления для ${.
2) Случай квадратичного поля Q(]/m)(/n = 2 или 3 (mod 4)).
Известно, что {1, е} (е2 — т) является целым базисом этого поля.

362 Гл. V. Дедекиндовы области. Классическая теория идеалов
Отсюда F (Х) = Хг — т, и остается изучить его разложение в Л(р)
(р — простое). Единственными случаями, когда он является квад-
квадратом, будутр = 2 (так как//B) совершенно) и р\т. Во всех осталь-
остальных случаях (р — нечетное простое, условие р \ т не выполняется)
полином Х% — т разлагается на два различных множителя над Л(р)
или неразложим над ним в соответствии с тем, является ли т квад-
квадратом по модулю р или нет.
3) Случай квадратичного поля Q (У~т) (т = 1 (mod 4)). Изве-
Известно, что -I 1, y A + е) г (е2 = т) является целым базисом этого
поля. Отсюда F(X) — X2 — X — ^-j— • Для того чтобы F (X)
был квадратом в (Л(р)) [X], необходимо и достаточно, чтобы един-
единственный корень s его производной F'(X) = 2Х — 1 был корнем
/ (X); отсюда следует, что р Ф 2, и в этом случае должно быть
4F(s) = 2Bs) — (т — 1) = — m = О, откуда р \ т; другими сло-
словами, ветвящиеся простые числа суть делители т. Чтобы решить
относительно любого другого простого числа р, к какому виду —
инертным или разложимым — его отнести, нужно разрешить вопрос
о неразложимости или разложимости (соответственно) полинома
X2 — X j— над//(р). В случае р — 2 он разложим тогда и только
т— 1 „
тогда, когда—j— четно. Еслир нечетно, то школьный метод реше-
решения квадратных уравнений сводит вопрос о неразложимости поли-
полинома X2 — X 2— к вопросу о неразложимости полинома
вида Z2— т. Таким образом, число р инертно тогда и только тогда,
когда т является квадратом по модулю р.
4) Случай поля деления круга Q (z) (гр= 1, z Ф 1I. Чтобы сде-
сделать метод более элементарным, мы без использования теории диф-
дифферент и дискриминанта докажем, что {1, z, . . . , zp~2} есть целый
базис. Положим F (Z) = Zp~1 + . . . + Z + 1 = (Z- z) . . . (Z-z^1).
Мы видим сразу, что число р = F A) кратно 1 — г в кольце R'
целых алгебраических чисел поля Q (г) и что оно равно N A — г).
Таким образом, 1 — г не может быть обратимым в R', и идеал
R'{1 — г) сокращается в кольце J до (р). Теперь если x?R', то число
(здесь хг — число, сопряженное с х, определяющееся из условия
Si(jc) = хь где Sj —такой автоморфизм поля Q (г), для которого
si{z) = zl) принадлежит пересечению R'(z—l)f}J~ и поэтому яв-
является кратным р. Наконец, если мы запишем любое х из R' в виде
х = ao + aiZ + . . . + ap_2zv~2, то простое вычисление, использую-
использующее равенства Т (г) = Т (г2) = ... = Т (z»'1) = — 1 и Т A) =
= р — 1, показывает, что Т {{г — 1) х) = — ра0, где а0 —целое

$ 13. Теорема Куммера Ж?
рациональное число. Заменяя х на xz2, ... , *zp~\ которые также
являются целыми алгебраическими числами, мы видим, что ар_2,
ар_3, ... , а4 — также целые рациональные числа. Таким образом,
{1, г, г2, ... , zp~2} — базис кольца R' над Л
Чтобы теперь изучить разложение числа q в R', мы должны изу-
изучить разложение на множители полинома Xv~l + ... + X + 1
над полем J/(q) или, что тривиально сводится к предыдущему,
разложение полинома Хр— 1. Единственный случай, когда этот
полином имеет кратный множитель (т. е. когда он не взаимно
прост со своей производной рХр~1), — это случай, когда q — р;
для q Ф р корни р-й степени из единицы над Jl(q) лежат в поле
из qf элементов, где / — наименьшее положительное целое число,
такое, что </ = 1 (mod p) (доказательство такое же, как и в § 12,
стр. 358). В этом случае полином Х*1'1 + ... + X + 1 разлагается
над J/(q) на (р — 1)// различных неразложимых множителей сте-
степени /. Остальная часть исследования такая же, как и в § 12.

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ!)
а~1 — обратный к а I, 2, 14
S'CIS —включение I, 10, 23
S' < S—строгое включение I, 10, 23
G/H—факторгруппа I, 11, -27
гомоморфизм I, 12, 29
ss — изоморфизм I, 12, 29
(а,~ Ь) — наибольший общий делитель а и Ъ (Н. О. Д.) I, 14, 35
df — степень полинома f I, 16, 38; I, 18, 49
R [X]— кольцо полиномов от одной переменной над R I, 16, 39
R [х]— кольцо, порожденное х над R I, 17, 41
/— множество неотрицательных целых чисел I, 18, 48
Хп]— кольцо полиномов от п переменных над R I, 18, 49
R [xj, ..., хп\ — кольцо, порожденное Х\, ..., хп над R I, 18, 51
J — кольцо целых чисел I, 20. 63
Ям—кольцо частных для R относительно мультипликативной
системы М I, 20, 61; IV, 9, 221
[V:F] — размерность векторного простоанства V над полем F
I, 21, 69
dim К—размерность векторного пространства V I, 21, 69
k (xit ..., хп) — поле, порожденное хь ..., хп над k II, 1, 71
k(x) — поле, порожденное х над k (иногда х обозначает конеч-
конечное множество элементов) II, 1, 71
[К : k] — степень поля К над подполем k II, 3, 76
Jp — простое поле характеристики р = 0 II, 4, 80
k>> — n, 4, 81
Ух—U, 4, 81
f'l(X) — производная полинома f (X) II, 5, 82
k{L), k[L] — U, 5, 86
[К : k]s — множитель сепарабельности степени [К : к] II, 5, 89
[К : k\i — множитель иесепарабельности степени [К'¦ к] II, 5, 89
G(Klk) — группа Галуа поля К над ft II, 7, 99
GF (рп) — поле Галуа с рп элементами II, 8, 102
NK/h(x) — норма х из К над k II, 10, 107
ТК1к(х) — сле.А х из К над k II, 10, 107
с1к/к{а>ь ..., соп} — дискриминант базиса {(О), ..., ю„} поля К над k II, 11, 112
ст. тр. K/k — степень трансцендентности II, 12, 120
kp~\ kp~h, &р~°°—II, и, 130
(А, В) — подполе, порожденное Л и В II, 16, 135
[k \x) : k] — порядок несепарабельности k (x) над k II, 16, 137
!) Цифры указывают главу, параграф и страницу книги соответственно:
так, I, 4417 означает гл. I, § 4, стр. 17. —Прим. ред.

Указатель обозначений 365
[R, R'] — подкольцо, порожденное R и R' И, 16, 139
[D, D'] — скобка дифференцирований D и D' II, 17, 145
«^.к. 3>к (Pi — векторное пространство дифференцирований поля К
со значениями в L II, 17, 144
-8 к/К1 — векторное пространство дифференцирований поля К, три-
тривиальных на К' II, 17, 144
(а) — наименьший идеал, содержащий а III, 1, 156
Л!. —произведение подмножества Л кольца R и подмножества
L Я-модуля М III, 2, 162
УИ — ./V—фактормодуль III, 3, 164
а = 6 (./V)— сравнение по модулю Л' III, 5, 167
R/N—факторкольцо III, 5, 168
Ш:®—частное III, 7, 172
Y%—радикал идеала III, 7, 172
/(М) — длина модуля М III, 11, 187
ф—прямая сумма III, 12, 191
ГГ Ga—полное прямое произведение групп Ga III, 12', 201
а?А
2 Ga—полная прямая сумма групп Ga Ш, 12', 201
а?А
П (?а—слабое прямое произведение групп Ga III, 12', 202
ЛхВ—теоретико-множественное произведение (картезианское)
Аи В III, 14, 211
Л (g) В, Л®?—тензорное произведение алгебр Л и В над k III, 14, 213
ае—расширение идеала а IV, 8, 251
Шс—сокращение идеала 3( IV, 8, 251
Rp — кольцо частных кольца R относительно простого идеала р
IV, 11, 262
X (а)—длина идеала а IV, 13, 268
>r'/R—дифферента R' над Я V, 11, 340
K(%) — норма идеала Ш V, 11, 347
^R'/R—дискриминант R' над R V, 11, 349
(s/p) — символ Лежандра для квадратичных вычетов V, 12, 355

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абелева группа I, 4, 17
Абелево расширение (поля) V, 10,
331
Абсолютный делитель нуля I, 17, 44
Автоморфизм I, 11, 25
— векторных пространств I, 21, 69
Алгебра (над полем) III, 14, 208
Алгебраически зависимые элементы
I, 18, 51
— замкнутое поле II, 14, 127
— независимые элементы I, 18, 51
Алгебраические целые числа V, 4,
304
Алгебраический элемент (над коль-
кольцом) I, 17, 41
Алгебраическое замыкание (k в К)
II, 3, 78
поля II, 14, 127
— расширение II, 3, 76
Аннуляторы (подмножества модуля)
III, 6, 169
Ассоциативность (бинарной опера-
операции) I, 1, 11
Ассоциированный простой идеал
идеала в нётеровом кольце IV,
5, 242
— — — примарного идеала III, 9,
178
— элемент (в кольце) I, 14, 33
Базис векторного пространства I,
21, 66
— модуля III, 10, 183
— трансцендентности II, 12, 116
Бинарная операция I, 1, 11
Вектор I, 21, 65
Векторное подпространство I, 21, 65
— пространство I, 21, 64
Векторный базис III, 12, 199
Верхний ряд Лёви IV, 16, 289
Верхняя грань II, 12, 118
Ветвящееся простое число V, 9, 329
Ветвящийся простой идеал V, 10,
335
Взаимно однозначное преобразова-
преобразование I, 10, 24
Взаимно простые элементы I, 14, 35
Вложенная примарная компонента
(идеала) IV, 5, 243
Вложенный простой идеал IV, 5, 243
Вполне приводимый модуль III, 12,
195
— разветвленное простое число V,
12, 357
— разветвленный простой идеал V,
11, 353
Высота (простого идеала) IV, 14, 276
Вычитание I, 4, 17
Гаусса (лемма) I, 17, 46
Гауссовы целые числа V, 9, 328
Главный идеал III, 1, 156
Глубина (простого идеала) IV, 14,
276
Гомоморфизм (векторных про-
пространств) I, 21, 69
— (групп) I, 11, 25
— (колец) I, 12, 28
— (модулей) III, 3, 162
Группа I, 2, 13
— ветвления V, 10, 335
— Галуа (К над k) II, 7, 99
— инерции V, 10, 333
— разложения V, 10, 331
— с кольцом операторов III, 1, 159
Дедекиндова область V, 6, ЗС9
Дедекиндово кольцо V, 6, 309
Деление I, 8, 21
Делимость I, 8, 21
Делитель I, 14, 33
— нуля I, 5, 18
Дискриминант базиса II, 11, 112

Предметный указатель
367
Дискриминант как идеал V, 4, 305;
V, 11, 349
— поля II, 11, 112
Дифферента (R' над R) V, 11, 340
Дифферентами показатель V, 11, 340
Дифференцирование II, 17, 142
Длина идеала IV, 13, 268
— модуля III, 11, 187
— нормального ряда III, 11, 185
Дополнение подмодуля III, 12, 195
Дополнительный модуль V, 11, 389
Дробный идеал V, 6, 310
Дуальный базис V, 4, 304
Евклидова область I, 15, 35
Единица (кольца) I, 6, 19
Единичный элемент I, 1, 12
Естественный гомоморфизм группы
на факторгруппу I, 11, 27
(колец) III, 5, 168
— — (кольца в кольцо частных)
IV, 9, 256
(модулей) III, 3, 164
Закон дистрибутивности I, 5, 18
Закон сокращения I, 2, 14
Закон транзитивности для норм
и следов II, 10, 111
Замкнутый идеал IV, 7, 250
Идеал III, 1, 156
Идемпотент III, 13, 205
Изолированная компонента идеала
IV, 5, 244
— примарная компонента IV, 5,
243
— система простых идеалов IV, 5,
244
Изолированный простой идеал IV,
5, 243
Изоморфизм (векторных пространств)
I, 21, 69
— (групп) I, 11, 25
— (модулей) III, 3, 163
Изоморфные расширения (над k)
Инвариантная подгруппа I, 3, 16
Индекс ветвления V, 9, 325; V, 10,
335
Индекс нильпотентности IV, 15,
282
Индуктивное множество II, 12, 118
Инертное простое число V, 9, 329
Канонический гомоморфизм (группы
в факторгруппу) I, 11, 27
— — (для модулей) III, 3, 164
— — (для колец) III, 5, 168
— — (кольца в кольцо частных)
IV, 9, 256
Квадратичный закон взаимности V,
12, 359
Квадратичное поле V, 12, 354
Квазилинейная свобода III, 15, 221
Квазимаксимально алгебраичное под-
подполе III, 15, 227
Китайская теорема об остатке V,
7, 319
Классы вычетов III, 5, 168
Кольцо I, 5, 18
— главных идеалов IV, 15, 279
— дискретного нормирования V, 6,
318
— операторов III, 1, 159
— полиномов I, 17, 41
— частных относительно мульти-
мультипликативной системы I, 20, 61;
IV, 9, 255
— частных относительно простого
идеала IV, 11, 262
Комаксимальные идеалы III, 13, 205
Коммутативная группа I, 4, 17
Коммутативное кольцо I, 5, 18
Коммутативность (бинарной опера-
операции) I, 1, 11
Композиционный ряд III, 11, 186
между М и N III, 11, 190
Композиционные факторы III, 11,
189
Компонента (элемента в произве-
произведении) III, 12', 201 B02)
Кондуктор V, 5, 308
Конечная группа I, 2, 15
Конечная область целостности (над
полем) V, 4, 305
Конечно порожденное расширение
поля II, 1, 71
Конечное расширение II, 3, 76
Конечный базис III, 10, 183
— модуль III, 10, 183
Константы I, 16, 40
Корни полинома I, 17, 44
Коэффициент (полинома) I, 16, 38
Кратное I, 14, 33
Кратный корень II, 5, 85
Лемма Цорна II, 12, 118
Линейная комбинация I, 21, 55
— оболочка I, 21, 65

368
Предметный указатель
Линейная свобода II, 15, 130
Линейно независимые элементы I,
21, 66
— упорядоченное множество II, 12,
118
Линейное преобразование I, 21, 69;
III, 3, 163
Линейный полином I, 17, 43
Локальное кольцо IV, 11, 263
Максимально алгебраичное подполе
III, 15, 227
Максимальное сепарабельное рас-
расширение II, 5, 88
Максимальный идеал III, 8, 174
— идеал (области целостности) IV,
14, 273
— элемент II, 12, 118
Минимальный полином И, 2, 72
Множество образующих идеала IV,
I, 229
Множитель несепарабельности сте-
степени [К : k] II, 5, 89
— сепарабельности степени [К : k]
II, 5, 89
Модуль в кольце III, 1, 157
— над кольцом III, 1, 158
Модулярный закон III, 7, 171
Мультипликативная система I, 20,
61
На (преобразование на) I, 10, 24
Надкольцо I, 9, 22
Наибольший общий делитель I, 14,
35
Независимость подмодулей III, 12,
191
— полинома от некоторой перемен-
переменной I, 18, 50
Неизвестное I, 16, 39
Неприводимый идеал IV, 4, 239
— модуль III, 11, 186
Неразложимый модуль III, 12, 197
— элемент (кольца) I, 14-, 33
Несепарабельное расширение поля
II, 5, 85
Несепарабельный полином (над k)
II, 5, 82
— элемент (над k), II, 5, 84
Несобственное уплотнение нормаль-
нормального ряда III, 11, 186
Несобственный делитель I, 14, 33
Несократимое примарное предста-
представление IV, 4, 240
Нётеров модуль IV, добавление, 290
Нётерово кольцо (или область) IV,
1, 229
Нильпотентный идеал IV, 3', 238
— элемент III, 7, 173
Норма идеала V, 11, 347
— элемента II, 10, 107
Нормальная подгруппа I, 3, 16
Нормальное расширение II, 6, 92
Нормальный делитель I, 3, 16
— ряд III, 11, 185
— ряд между модулем и подмоду-
подмодулем III, 11, 190
— фактор III, 11, 189
Нормирование (поля) V, 6, 315
Нулевое кольцо I, 5, 19
Нумерация множеством А III, 12',
200
n-ый верхний инвариант Лёви IV,
16, 289
Область главных идеалов IV, 15, 279
— с однозначным разложением I,
14, 33
Область (целостности) I, 6, 19
Образ I, 10, 23
Образующая (кольца полиномов) I,
17, 41
Обратимый идеал V, 6, 311
Обратное преобразование I, 10, 24
Обратный элемент I, 1, 12
Ограничение преобразования I, 10, 23
Однозначное преобразование I, 10,
24
Однородный полином I, 18, 49
Одночлен I, 18, 49
Оператор III, 1, 159
Операторный гомоморфизм III, 3,
163
Определитель Вандермонда II, 11,
114
Ортогональные идемпотенты III, 13,
205
Относительная степень (простого
идеала над другим) V, 9, 326
Относительный гомоморфизм I, 12, 31
Отображение I, 10, 24
Отождествление I, 13, 33
Подгруппа I, 3, 15
Подкольцо I, 9, 21
Подмодуль III, 2, 160
Подполе I, 9, 22
Подпространство I, 21, 65

Предметный указатель
369
Подстановка (в полином) I, 16, 39
Показатель несепарабельности II, 5
84
Поле I, 8, 21
— алгебраических функций II, 13,
122
— ветвления V, 10, 335
— Галуа II, 4, 81
— инерции V, 10, 333
— принадлежащее группе автомор-
автоморфизмов II, 7, 99
— разложения V, 10, 331
— рациональных функций от п
неизвестных II, 12, 115
— характеристики 0 или р II, 4, 79
— частных I, 19, 56
Полином от многих неизвестных I,
18, 48
одного неизвестного I, 16, 39
Полная прямая сумма II, 12', 201
Полное кольцо частных I, 19, 57
— прямое произведение III, 12', 205
Попарно комаксимальныеидеалы III,
13, 205
— совместные сравнения V, 7, 320
Порождающее множество I, 18, 51
Порядок конечной группы I, 2,
15
— несепарабельности II, 16, 137
— подмножества модуля III, 6, 169
— элемента в группе I, 3, 16
Преобразование I, 10, 23
Приведенная степень II, 5, 84
Приведенный полином I, 16, 38
Примарное кольцо IV, 3, 235
— представление идеала IV, 4, 240
Примарный идеал III, 9, 178
— — принадлежащий простому
идеалу III, 9, 178
— подмодуль IV, добавление, 289
Примитивный полином I, 17, 45
— элемент II, 9, 103
Присоединение (элементов к полю)
И, 1, 71
Произведение I, 1, 11
— (в модуле) III, 1, 158
— двух алгебр III, 14, 208
— идеалов в кольце III, 7, 171
— множество III, 12', 201
— подмножеств кольца и модуля III,
2, 162
— преобразований I, 10, 23
Производная (полинома) II, 5, 82
Простое поле II, 4, 78
— расширение II, 1, 71
Простой идеал III, 8, 175
Простой идеал, ассоциированный с
примарным идеалом III, 9, 178
— — ассоциированный с примар-
примарным идеалом (в нётеровом кольце)
IV, 5, 242
— корень II, 5, 85
— модуль III, 11, 186
Простота элемента (или подмноже-
подмножества) с идеалом IV, 10, 256 B57)
Прямая сумма III, 12', 202
идеалов III, 13, 203
модулей III, 12, 191
Прямое произведение III, 12', 202
р-базис II, 17, 153
р-независимое множество II, 17. 153
Радикал идеала III, 7, 172
— кольца III, 7, 173
— подмодуля IV, добавление, 289
Разложение на простые множители
V, 1, 357
Размерность (векторного простран-
пространства) I, 21, 69
Разность I, 4, 17
Расширение идеала IV, 8, 251
Расширение поля II, 1, 71
Расширенный идеал IV, 8, 251
Регулярный элемент кольца I, 5, 19
Редуцированная относительная сте-
степень ветвления V, 10, 335
Редуцированный индекс ветвления
V, 9, 325
— показатель ветвления V, 9, 325
Свобода (колец над полем) II, 16, 139
Свободный композит двух полей III,
15, 217
— — областей целостности III, 15,
217
Свободное подмножество в вектор-
векторном пространстве I, 21, 66
— расширение II, 16, 139
Свойство замены I, 21, 66
Сепарабельно замкнутое поле (k в
К) II, 5, 88
— порождаемое расширение II, 13,
123
Сепарабельное расширение поля II,
5, 85
Сепарабельный полином II, 5, 82
— элемент II, 5, 84
Сепарирующий базис трансцедент-
ности П, 13, 123
Сепарирующий элемент II, 13, 123

370
Предметный указатель
Символ Лежандра V, 12, 355
Символические степени примерного
идеала IV, 12, 267
Система образующих в векторном
пространстве I, 21, 66
Слабая прямая сумма III, 12', 202
Слабое прямое произведение III,
12', 202
След II, 10, 107
Смежный класс 1,3, 15
Собственное подмножество I, 10, 23
Собственный делитель нуля I, 5, 19
— идеал III, 1, 157
— подмодуль III, 2, 160
Совершенное замыкание поля II,
14, 130
Совершенные поля II, 4, 81
Содержание (полинома) I, 17, 45
Сокращение идеала IV, 8, 251
Сокращенный идеал IV, 8, 251
Сопряженные элементы II, 2, 74
Специальное кольцо главных идеа-
идеалов IV, 15, 282
Сравнение, сравнение по модулю
III, 5, 167
Старший коэффициент (полинома
от одного неизвестного) I, 16, 38
Степень несепарабельности полино-
полинома II, 5, 84
— несепарабельности расширения
поля II, 5, 89
— одночлена I, 18, 49
— полинома от многих неизвест-
неизвестных I, 18, 49
— — от одного неизвестного I, 16,
38
— поля К над надполем k II, 3, 76
— сепарабельности полинома II,
5, 84
— — расширения поля II, 5, 89
— трансцедентности области цело-
целостности II, 12, 121
поля II, 12, 120
Строго примарный идеал III, 9, 178
Сумма I, 4, 17
— идеалов в кольце III, 7, 171
— подмодулей III, 2, 161
Тензорное произведение двух алгебр
III, 14, 208
Теорема Гильберта о базисе IV, 1, 231
Теорема Жордана III, 11, 186
Теорема Ласкера — Нётер о разло-
разложении IV, 4, 241
Теорема Мак-Лейна II, 13, 124
Теоремы об изоморфизме Дедекин-
да — Нётер III, 4, 165 A66)
Теоретико-множественное произ-
произведение III, 12', 201
Тождественное отображение I, 10, 24
Тождество Дедекинда III, 2, 161
Трансцедентное множество II, 12,
115
— расширение II, 12, 115
Трансцендентный элемент (над коль-
кольцом) I, 17, 41
Тривиальное дифференцирование II,
17, 142
Тривиальный модуль III, 1, 159
Умножение I, 1, 11
Унивалентное отображение I, 10, 24
Универсальное свойство отображе-
отображений колец частных IV, 9, 256
Универсальное свойство отображе-
отображений тензорного произведения III,
14, 210
Унитарное надкольцо I, 9, 22
Унитарное подкольцо I, 9, 22
Унитарный модуль III, 1, 158
Уплотнение нормального ряда III,
11, 186
Упорядоченное множество II, 12, 118
Уравнение целой зависимости V, 1,
292
Условие максимальности III, 10, 182
— минимальности III, 10, 182
— конечности базиса IV, 1, 229
— обрыва возрастающих цепей III,
10, 181
— — убывающих цепей III, 10, 181
Факторгруппа I, 11, 27
Факторкольцо III, 5, 160
Фактормодуль III, 3, 164
Форма I, 18, 49
Характеристика р (поля) II, 4, 79
Характеристика нуль (поля) II, 4,
Характеристический полином II, 10,
106
Целая зависимость элементов V, 1,
292
— функция (в функциональном по-
поле) V, 4, 304

Предметный указатель
371
Целый базис V, 4, 305
— идеал V, 6, 310
— элемент V, 1, 292
Целое замыкание V, 1, 294
Целозамкнутая область V, 1, 295
Циклическая группа I, 2, 15
Циклический модуль III, 10, 183
Частично упорядоченное множество
II, 12, 118
Частная производная II, 17, 143
Частное I, 8, 21
— дифференцирование II, 17, 143
— идеалов в кольце III, 7, 172
Число ветвления V, 10, 336
Чисто несепарабельное расширение
II, 5, 86
Чисто несепарабельный элемент II,
5, 85
— трансцендентное расширение II,
12, 115
Эквивалентные нормальные ряды III,
11, 189
Эквивалентные произведения двух
алгебр III, 14, 208
Эквивалентные свободные компози-
композиты III, 15, 218
Эндоморфизм (векторного простран-
пространства) I, 21, 69
Эндоморфизм (группы) I, 11, 25
Эндоморфизм (модуля) III, 3, 163
Ядро (гомоморфизма) I, 11, 26

ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода 5
Предисловие 7
Глава I. Вводные понятия 11
§ 1. Бинарные операции 11
§ 2. Группы 13
§ 3. Подгруппы 15
§ 4. Абелевы группы 17
§ 5. Кольца 18
§ 6. Кольца с единицей 19
§ 7. Степени и кратные 20
§ 8. Поля 21
§ 9. Подкольца и подполя 21
§ 10. Преобразования и отображения 23
§ 11. Гомоморфизмы групп 25
§ 12. Гомоморфизмы колец 28
§ 13. Отождествление колец 31
§ 14. Области с однозначным разложением на множители ... 33
§ 15. Евклидовы области 35
§ 16. Полиномы от одной неизвестной 37
§ 17. Кольца полиномов 40
§ 18. Полиномы от нескольких неизвестных 47
§ 19. Поля частных и полные кольца частных 56
§ 20. Кольца частных относительно мультипликативных систем 61
§ 21. Векторные пространства 64
Глава II. Элементы теории полей 71
§ 1. Расширения полей 71
§ 2. Алгебраические величины 71
§ 3. Алгебраические расширения 76
§ 4. Характеристика поля 78
§ 5. Сепарабельные и несепарабельные алгебраические расши-
расширения 81
§ 6. Поля разложения и нормальные расширения 89
§ 7. Основная теорема теории Галуа 99
§ 8. Поля Галуа 101
§ 9. Теорема о примитивном элементе 103
§ 10. Характеристические полиномы поля. Нормы и следы 105
§ 11. Дискриминант 112
§ 12. Трансцендентные расширения 115
§ 13. Сепарабельно порождаемые поля алгебраических функций 122
§ 14. Алгебраически замкнутые поля 127
§ 15. Линейная свобода и сепарабельность 130
§ 16. Порядок несепарабельности поля алгебраических функций 135
§ 17. Дифференцирования 142

Оглавление 373
Глава III. Идеалы и модули 156
§ 1. Идеалы и модули . . . . 156
§ 2. Операции над подмодулями 160
§ 3. Операторные гомоморфизмы и фактормодули 162
§ 4. Теоремы об изоморфизме 165
§ 5. Гомоморфизмы кольца и факторкольца 166
§ 6. Порядок подмножества модуля 169
§ 7. Операции над идеалами 171
§ 8. Простые и максимальные идеалы 174
§ 9. Примарные идеалы 178
§ 10. Условия конечности 181
§ 11. Композиционные ряды 185
§ 12. Прямые суммы 191
§ 12'. Бесконечные прямые суммы 200
§ 13. Комаксимальные идеалы и прямые суммы идеалов . . . 203
§ 14. Тензорные произведения колец 208
§ 15. Свободные композиты областей целостности (или полей) 217
Глава IV. Нётеровы кольца 229
§ 1. Определения. Теорема Гильберта о базисе 229
§ 2. Кольца с условием обрыва убывающих цепей 233
§ 3. Примарные кольца 235
§ 3'. Другой метод изучения колец с у. о. у. ц 237
§ 4. Теорема Ласкера — Нётер о разложении 239
§ 5. Теоремы единственности 241
§ 6. Приложение: делители нуля и нильпотентные элементы 246
§ 7. Приложение: пересечение степеней идеала 248
§ 8. Расширенные и сокращенные идеалы 251
§ 9. Кольца частных 254
§ 10. Связь между идеалами кольца R и идеалами из R^ . . . 256
§ 11. Примеры и приложения колец частных 262
§ 12. Символические степени 266
§ 13. Длина идеала 268
§ 14. Простые идеалы в нётеровых кольцах 273
§ 15. Кольца главных идеалов ¦ 279
§ 16. Неприводимые идеалы 284
Добавление. Примарные представления в нётеровых модулях 289
Глава V. Дедекиндовы области. Классическая теория идеалов . . . 292
§ 1. Целые элементы 292
§ 2. Целозависимые кольца 295
§ 3. Целозамкнутые кольца 298
§ 4. Теоремы конечности 303
§ 5. Кондуктор целого замыкания 308
§ 6. Характеристики дедекиндовых областей 309
§ 7. Дальнейшие свойства дедекиндовых областей 318
§ 8. Расширение дедекиндовых областей 322
§ 9. Разложение простых идеалов в расширениях дедекиндовых
областей 324
§ 10. Группа разложения, группа инерции и группа
ветвления 331
§ 11. Дифферента и дискриминант 339
§ 12. Приложения к квадратичным полям и полям деления
круга 354
§ 13. Теорема Куммера 360
Указатель обозначений 364
Предметный указатель 366