УДК 635 -528(075.8)
Прикладная оптика /Дубовик А. С, Апенко М. И., Дурейко Г. В. н др.:
Учебное пособие для вузов. М., Недра, 1982. 612 с.
Приведены основные законы и понятия геометрической оптики
применительно к проектированию оптических приборов. Описаны материалы, применяемые
при изготовлении оптических деталей, и их основные постоянные. Изложены
вопросы хроматических аберраций первого и высшего порядков, монохроматических
аберраций первого, третьего н пятого порядков и волновых аберраций.
Рассмотрена теория оптических систем различного типа, приведены основные
характеристики систем.
Описаны требования к различным оптическим системам, основные этапы
разработки и расчета.
Для студентов оптических специальностей геодезических и других вузов.
Может быть полезна для научных и инженерно-технических работников.
Табл. 7, ил. 286, список лит. — 10 иазв.
Авторы:
.4. С. Дубовик, М. И. Апенко, Г. В. Дурейко, А. М. Жилкин.
1. А. Запрягаева. II. А Романов, И С. Свешникова
Рецензенты:
д-р техн. наук, проф. Н. П. Заказное (МВТУ); д-ра техн. наук А. П. Грим-
матин, И. В. Пейсахсон (ГОИ).
п 1902020000 — 254 „, _ „„ ©Издательство «Недра», 1982
043(01)-82

ПРЕДИСЛОВИЕ
Оптическое приборостроение является неотъемлемой частью
научно-технического прогресса. Нет практически такой области
науки и техники, где бы ни применялись оптические и оптико-
электронные приборы как средства познания фундаментальных
законов природы, средства определения параметров
физико-химических явлений, измерения и контроля разнообразных величин,
средства автоматического управления технологическими
процессами и отдельными явлениями.
Курс «Прикладная оптика», который является одним из
основных при подготовке специалистов в области оптического
приборостроения, состоит из ряда разделов, охватывающих комплекс
знаний, необходимых для современного инженера-специалиста в
области расчета и конструирования оптических и
оптико-электронных приборов.
Курс построен на основе последних достижений в области
геометрической оптики, теории аберраций, вычислительной оптики,
в том числе машинных методов расчета оптических систем, теории
образования изображений и методов измерений.
Введение написано д-ром техн. наук, проф. А. С. Дубовиком,
главы 1—6, 9—11 — канд. техн. наук, доц. М. И. Апенко, главы
7, 8—канд. техн. наук М. И. Апенко и проф. Д. А. Романовым,
глава 12 — проф. Д. А. Романовым, главы 13, 14, 17, 22 — канд.
техн. наук Г. В. Дурейко, главы 15, 16, 18, 19—21—д-ром техн.
наук А. С. Дубовиком, главы 23—26 — канд. техн. наук Л. А. За-
прягаевой и канд. техн. наук И. С. Свешниковой, глава 27 —
канд. техн. наук А. М. Жилкиным.
Авторы выражают благодарность канд. техн. наук В. А. Гу-
рикову за предоставление материалов для написания введения.

ВВЕДЕНИЕ
Прикладная оптика в настоящее время выросла в
самостоятельную науку, являющуюся основой для расчета и
проектирования оптических систем и приборов. Она состоит из ряда важных
разделов: геометрической оптики, теории аберраций, теории
оптических систем, методов расчета оптических систем и методов
измерения параметров оптических систем.
В своем развитии прикладная оптика прошла ряд периодов.
I период (до начала XVII века). Характерным является
использование оптики в деятельности человека.
Первым прибором, построенным человеком, было
увеличительное стекло, или лупа. Об этом можно судить по отдельным
указаниям, приведенным в произведениях античных ученых и
писателей. Основные законы оптических явлений — прямолинейное
распространение света, отражение от зеркальной поверхности и
преломление света на границе двух прозрачных сред — были
установлены опытным путем еще Евклидом и Аристотелем в III—
IV веках до нашей эры.
Значительный шаг в развитии оптики был сделан в X веке н. э.
арабским ученым Альгазеном. Однако в Европе его труд по
оптике был опубликован только в 1572 году. В этот период оптика
развивалась как «чистая наука» и не было взаимосвязи науки
и практики. Только в начале XVI века в работах Леонардо да
Винчи наблюдается связь науки с практикой. Он рассматривает
устройство камеры-обскуры, глаза, занимается построением хода
лучей в линзах. С Леонардо да Винчи связано развитие
фотометрии как науки, разработка проектов станков для обработки линз
и т. п. Таким образом, Леонардо да Винчи впервые делает
попытку переноса естественнонаучного знания в оптике в
прикладную область.
Большие экспериментальные успехи в оптике в начале XVII
века дают начало развитию оптического приборостроения. В это
время в Нидерландах появилась первая зрительная труба;
которая была изготовлена очковым мастером. Весть об этом дошла
до Галилея, и он, опираясь на учение о преломлении света,
создал зрительную трубу на научной основе. Труба Галилея
позволила сделать в астрономии весьма важные открытия,
благодаря которым возросло значение оптических приборов. Вслед за
трубой Галилея (1609 г.) появляется астрономический телескоп
Кеплера (1611 г.) с двумя двояковыпуклыми линзами, что дало
возможность применить сетку нитей, а также окулярный
микрометр (У. Гаскоинь, 1638 г.), который мог служить для измерения
малых угловых расстояний при астрономических наблюдениях.
4

К началу XVII столетия относится также появление простого и
сложного микроскопа.
Характеризуя рассматриваемый период в целом, можно отме-
тить, что он явился переломной эпохой в истории прикладной
оптики. Получили широкое распространение очковые линзы,
лупы, призмы, выпуклые и вогнутые зеркала, камера-обскура и
проекционный фонарь и, наконец, телескоп и микроскоп.
II период (с начала XVII века до 40-х годов XIX века)
представляет собой зарождение прикладной оптики как науки.
Первая теория оптических приборов (зрительной трубы,
микроскопа и глаза) была создана Иоганном Кеплером
(«Диоптрика», 1611 г.), что знаменует собой продолжение процесса перехода
от естественно-научного знания в оптике к техническому.
И. Кеплер не нашел точной формулировки закона
преломления и остановился на законе пропорциональности между углом
преломления и углом падения, однако он сделал из него
правильные следствия и впервые указал, как найти изображения,
даваемые линзами. Он также объяснил работу окуляра в
зрительной трубе и микроскопе, понял роль хрусталика и сетчатки
глаза, обнаружил явления аккомодации и адаптации глаза. По
сути дела, именно с «Диоптрики» И. Кеплера начинается
подлинная история прикладной оптики как науки.
Однако теория аберраций оптических систем могла быть
основана только на строгой формулировке закона преломления, она
была дана В. Снеллиусом, а затем Р. Декартом независимо друг
от друга в начале XVII в. В своем произведении «Рассуждение
о методе с приложениями. Диоптрика, метеоры, геометрия»
(1637 г.) Декарт затрагивает многие вопросы, связанные с
созданием и развитием теории построения и расчета оптических систем.
Геометрическая оптика после Декарта превращается в отдел
геометрии. Ею заинтересовался И. Ньютон (1642—1727 гг.). Ему
принадлежат основные формулы параксиальной оптики, он же
нашел формулы для вычисления сферической аберрации и
способ построения фокусов бесконечно тонких астигматических
пучков. Главной заслугой Ньютона является открытие дисперсии. Им
было показано, что именно дисперсия вызывает нерезкость в
изображениях, даваемых объективами астрономических труб,
которую ранее приписывали сферической аберрации (Декарт).
Ньютоном была вычислена также хроматическая аберрация линз.
Однако создание ахроматических оптических систем он считал
невозможным.
Современником И. Ньютона X. Гюйгенсом в 1678 г. была
предложена волновая теория света. Однако, как ни велико было
значение этой теории, она не могла пока еще оказать
существенное влияние на дальнейшее развитие прикладной оптики, она
не повлияла также на успехи приборостроения.
Теория геометрической оптики, которая после И. Кеплера,
Р. Декарта и И. Ньютона стала быстро развиваться и
углубляться, наоборот, создала переворот в конструировании оптиче-
5

ских приборов, и связь между теорией и практикой становилась
все теснее и теснее.
В 1695 г. Давид Грегори, рассматривая человеческий глаз,
где двояковыпуклый хрусталик соприкасается с
вогнуто-выпуклым стекловидным телом (две линзы с различными
показателями преломления), предложил на этом принципе строить
ахроматические оптические системы. Эта идея впоследствии была
независимо развита Леонардом Эйлером (1747 г.) и осуществлена
практически Джоном Доллондом в 1758 г. путем сочетания
двояковыпуклой линзы из крона с вогнутой линзой из флинта.
В 1784 г., уже после смерти Л. Эйлера, профессором
Петербургской академии наук Ф. У. Эпинусом был изготовлен первый в
мире ахроматический микроскоп.
Вопросы прикладной оптики и особенно конструирование и
изготовление различных оптических приборов и инструментов
занимали важное место в творческой деятельности великого
русского ученого М. В. Ломоносова. Ломоносов был первым ученым,
применившим микроскоп в России для решения большого круга
научных задач.
Из «Химических и оптических записок» М. В. Ломоносова
ясно, что им были сконструированы многие оптические
инструменты: «горизонтоскоп» (перископ), «батоскоп» (инструмент для
подводных наблюдений), фотометр, ночная зрительная труба,
прожектор. В общей сложности М. В. Ломоносов построил более
десяти принципиально новых оптических приборов. По объему и
оригинальности своей деятельности в области технической оптики
Ломоносов, по словам академика С. И. Вавилова, был «одним из
самых передовых оптиков своего времени и безусловно первым
русским творческим оптотехником».
Значительны также заслуги русского механика-самоучки
И. П. Кулибина в производстве оптических приборов. Им
разработаны новые способы шлифовки стекол для изготовления
микроскопов, телескопов и др.
Благодаря трудам таких русских ученых, как Л. Эйлер,
М. В. Ломоносов, И. Фусс. Ф. У. Эпинус и др., Россия оказалась
на передовом рубеже оптической науки и техники XVIII в.
Именно русскими учеными в этот период была разработана и
осуществлена первая в мире конструкция ахроматического
микроскопа, а создание Леонардом Эйлером в его
фундаментальной «Диоптрике» теории аберрации оптических систем
послужило основой для дальнейшего развития оптики в XIX в. во
всем мире.
Таким образом, начальный этап формирования технических
знаний в области оптики связан с целым рядом факторов,
важнейшим из которых является необходимость создания общей
теории оптических систем, позволяющей конструировать и
создавать новые оптические приборы на научной основе.
Прикладная оптика с самого начала своего развития обрела
статус самостоятельности.
в

Ill период (с 40-х годов XIX в. до 40-х годов XX в.)
характеризуется развитием теории и практики построения оптического
изображения, а также расширением областей применения
прикладной оптики.
Начало XIX в. связано с новым направлением в
геометрической оптике: с изучением действия оптических систем1- вблизи их
оптической оси. Развитие этого направления привело к созданию
параксиальной оптики. Благодаря своей простоте и наглядности
законы параксиальной оптики позволяли представить оптические
системы в виде простейших схем, с помощью которых решалась
задача нахождения изображения и габаритов оптической системы.
Кроме того, эти законы определяли свойства идеальных
оптических систем, теория которых была развита К. Гауссом (1841 г.).
Однако теория идеальной оптической системы не давала
возможность оценить качество изображения, даваемого оптическим
инструментом, а главное не позволяла решить вопрос о влиянии
конструктивных элементов линз на величину аберраций, даваемых
оптическими приборами. Совершенствование модели идеальной
оптической системы привело к разработке общей теории
аберраций оптических систем.
Теория аберраций оптических систем для общего случая была
разработана в конце 50-х годов XIX в. в трудах Зейделя и Пеи-
валя. Разложение аберраций в ряд на основании теории эйканала
(для аберраций третьего порядка) было выполнено К. Шварц-
шпльдом в 1905 г.
Разработка теории аберраций не являлась самоцелью, а была
вызвана практической необходимостью. Середина и вторая
половила XIX в. ознаменовались бурным развитием фотографической
оптики. На повестке дня стояла задача расчета фотографических
объективов с высокой светосилой и большой разрешающей
способностью.
Вследствие повышения требований к качеству изображения,
даваемого фотообъективом, использование совокупности только
двух линз оказалось недостаточным. Появились оптические
системы из трех линз и более. Крупным событием в истории
прикладной оптики явилось создание в 1840 г. портретного
объектива Пепвалем. Обьектив Пецваля имел большое относительное
отверстие (1-3,2), у этого объектива впервые было достигнуто
одновременное исправление сферической аберрации, комы и
астигматизма при удовлетворительной величине хроматических
аберраций.
Значительно позже, в 1865 г. А. Штейнгелем был создан
симметричный объектив-апланат, уступающий, однако, по своей
светосиле объективу Пецваля.
В 1891 г. сотрудником фирмы «Карл Цейсе» П. Рудольфом
была сделана первая попытка создания объектива-анастигмата
с большой апертурой (объектив «Протар»). В 1892 г. появилась
конструкция симметричного анастигмата «Дагор», имеющего
хорошую коррекцию астигматизма и малую дисторсию изображения.
7

К началу XX в. фотографическая оптика уже насчитывала
довольно большое число разнообразных конструкций
фотообъективов. Кроме двойных анастигматов она пополнилась трехлинзовым
анастигматом типа «триплет», разработанным в 1893 г. Тейлором;
в 1900 г. Геетом был создан широкоугольный объектив «Гипер-
гон» с углом поля зрения 135°; в 1902 г. П. Рудольф создал
известный четырехлинзовый объектив «Тессар».
Параллельно с теорией аберраций оптических систем развива?
лась теория и практика построения оптического изображения.
Со времен И. Кеплера и Р. Декарта существовало мнение, что
разрешающая способность идеального оптического прибора
бесконечна. Качественно новым этапом в развитии теории
оптических приборов явилась теория Э. Аббе и Д. Рэлея (70-е — 80-е
годы XIX в.). Аббе и Рэлей показали, что волновая природа света
ограничивает предел разрешающей способности оптических
систем и что подобие между предметом и его изображением
нарушается в пределах дифракционного изображения точки. Данные
физической оптики послужили основой для создания теории
оптического изображения.
Таким образом, в рассматриваемый период произошли
структурные изменения в прикладной оптике. По мере того, как
расширялась область применения оптических систем и возникала
настоятельная потребность в создании оптических систем с
высоким качеством изображения, знание законов только
геометрической оптики оказалось недостаточным и возникла необходимость
использования законов физической оптики. Дальнейшее развитие
теории образования изображения связано с работой Л. И.
Мандельштама (1911 г.) и Д. С. Рождественского (1940 г.).
В начале XX столетия в России возродился интерес к оптико-
механическому производству. Налаживается изготовление
геодезических инструментов. В Межевом институте в Москве Н. М.
Кислое с 1902 года читает курс «Теория оптических инструментов» и
в 1915 году издает книгу под этим же заглавием. В своих работах
Н. М. Кислое впервые связывает точность визирования с
разрешающей способностью оптической системы и этим закладывает
метрологические основы при расчете оптических систем.
Практически его книга была одним из первых трудов по оптике на
русском языке.
В качестве обязательного курса А. И. Тудоровский в
Петрограде читает морским артиллерийским офицерам «Теорию
оптических приборов». В 1916 году на фарфоровом заводе в
Петрограде начинается производство оптического стекла и создается
первое в России вычислительное бюро и физическая лаборатория
по исследованию стекла, в работах которого принимают участие
А. И. Тудоровский, А. Л. Гершун и В. С. Игнаговский. В эти же
годы в Петрограде организуется оптико-механический завод,
развившийся в настоящее время в Ленинградское оптико-механиче-
пкое объединение. После Великой Октябрьской социалистической
революции по инициативе Д. С. Рождественского и по указанию
8

B. И. Ленина создается Государственный оптический институт и
в его составе вычислительное бюро, возглавляемое А. И. Тудо-
ровским.
В 20-е годы в Ленинграде организуется Оптико-механический
техникум, а в 1930 году он преобразуется в Институт точной
механики и оптики. Одновременно факультеты оптического
приборостроения организуются в МВТУ им. Н. Э. Баумана и
Московском институте инженеров геодезии, аэрофотосъемки и
картографии (МИИГАиК). Достойным продолжателем дела Н. М. Кисло-
ва в МИИГАиКе стал Б. В. Фефилов, который создал теорию
зрительных труб, в том числе с внутренней фокусирующей
линзой. Его учебное пособие «Прикладная оптика» являлось
настольной книгой многих поколений оптиков и имело практическое
значение для расчета оптических систем.
В выборе принципиально правильного направления в развитии
вычислительной оптики, являющейся основой прикладной оптики
как науки, важную роль сыграли А. И. Тудоровский, Е. Г.
Яхонтов и Г. Г. Слюсарев. Развитию способствовали крупные
монографии: «Теория оптических приборов» А. И. Тудоровского, «Методы
Г. П. Кравец и др., позволил организовать новые лаборатории
расчета оптических систем» Г. Г. Слюсарева, «Методы расчета
сложных фотографических систем» Д. С. Волосова.
Характерной чертой этого периода является расширение
областей применения прикладной оптики за счет практического
использования явлений природы, связанных с электромагнитным
излучением в широком диапазоне длин волн. Появляются новые
области науки и техники: инфракрасная техника, затем и новая
область приборостроения — оптико-электронные приборы. Таким
образом, к концу третьего периода в развитии прикладной оптики
намечаются новые направления, на основе которых в дальнейшем
возникли новые технические науки. Этому способствовала
деятельность Государственного оптического института (ГОИ),
который занимался фундаментальными вопросами в оптике и
одновременно держал тесную связь с оптико-механической
промышленностью, что позволяло быстро внедрять достижения науки в
практику приборостроения.
Несомненно, что приход в ГОИ таких крупных ученых, как
C. И. Вавилов, А. Н. Теренин, В. П. Линник, Д. Д. Максутов,
Г. П. Кравец и др., позволил организовать новые лаборатории
и начать решение фундаментальных вопросов в области
спектрального анализа, строения вещества, люминесценции, научной
фотографии и других разделов физической оптики, которые
вызвали к жизни работы по созданию приборов, т. е. способствовали
развитию прикладной оптики.
IV период (с 40-х годов XX в.) характеризуется переходом
прикладной оптики в комплексную техническую науку.
Начало нового периода совпало в Великой Отечественной
войной.
в

Большую роль в развитии прикладной оптики этого периода
сыграло создание оптико-электронного преобразователя как
принципиально нового элемента оптических систем, телевидения,
разработка в конце 50-х — начале 60-х годов XX в. оптических
квантовых генераторов и методов голографии, что привело к
взаимному проникновению электроники и оптики.
Не менее важной особенностью рассматриваемого периода
является процесс дифференциации прикладной оптики как
технической науки, проявляющийся в возникновении и формировании
целого ряда новых технических наук: вычислительной оптики,
фотографической оптики, оптики микроскопов, волоконной
оптики, когерентной оптики, интегральной оптики, прикладной
нелинейной оптики, голографии и др., а также самостоятельных
новых разделов оптического и оптико-электронного
приборостроения: спектральных приборов, приборов высокоскоростной
фотографии и кинематографии, микрофильмирования,
оптико-электронных приборов обнаружения, сопровождения и связи,
геодезического приборостроения, фотограмметрических приборов,
аэрокосмической фотоаппаратуры и т. п.
В развитии этих новых областей и направлений сыграли
большую роль работы таких известных отечественных оптиков как
Н. Г. Басова, А. М. Прохорова, Ю. Н. Денисюка, В. Н. Чурилов-
ского, Д. С. Волосова, М. М. Русинова, И. А. Турыгина, А. В. Луи-
зова, А. П. Мороза, А. Н. Захарьевского, А. Г. Ащеулова,
В. К. Прокофьева и др.
Новые направления в оптическом приборостроении связаны
с работами М. М. Мирошникова (иконика и обработка
изображения), Н. А. Валюса (растровые системы), В. Б. Вейнберга и
Д. К. Саттарова (оптика световодов), Л. П. Лазарева и
Ю. Г. Якушенкова (оптико-электронные приборы), А. С.
Дубовика (оптика приборов высокоскоростной фотографии), И. А.
Черного (сенситометры), В. А. Панова и Л. Н. Андреева (оптика
микроскопов) и др.
Работы в области прикладной оптики в последние
десятилетия настолько обширны, что для их описания понадобилась бы
отдельная книга. Из самых важных работ надо указать на
развитие вычислительной оптики. Автоматизация расчетов и
моделирование свойств оптических систем с помощью ЭВМ ознаменовали
собой новый этап развития вычислительной оптики. В последнее
время силами известных оптиков Г. Г. Слюсарева, Д. Ю. Гальпер-
на и других удалось создать алгоритмы и разработать
программы для полуавтоматического расчета сложных оптических
систем.
Использование высокопроизводительных машин сделало
возможным математическое моделирование ряда свойств оптических
систем, которые ранее выявлялись только после изготовления
опытных образцов. К этим свойствам относятся распределение
освещенности в изображении точки, функция передачи модуляции,
влияние рассеянного света и т. п.
10

Основными задачами в этой ооласти являются: а;
установление непосредственного контакта разработчика оптической системы
с ЭВМ через дисплей; б) автоматическая выдача с помощью ЭВМ
технической документации, содержащей конструктивные
параметры системы, сводки и графики остаточных аберраций, допуски на
изготовление деталей и т. п.; в) разработка ускоренных
автоматических методов контроля качества оптических поверхностей в
процессе их изготовления; г) создание автоматических методов
и аппаратуры для оценки качества изображения при
использовании различных приемников изображений; д) дальнейшее
развитие теории образования изображения, методов голографии и
когерентной оптики.
Из сказанного выше следует, что прикладная оптика
становится комплексной технической наукой. В этом проявляется одна
из характерных особенностей современной научно-технической
революции. Происходит и обратный процесс — интеграция
технических знаний с естественнонаучными и становление единой
системы знания в оптике.

часть i.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
Глава 1.
ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ
и понятия геометрической оптики
§ 1. Связь геометрической оптики с волновой
Раздел физики, изучающий природу света, его
распространение и взаимодействие с веществом, называется физической
оптикой. Ранее светом называли тот вид излучений, который вызывал
зрительное ощущение. В настоящее время в понятие свет
включают также и невидимые глазом излучения, как рентгеновское,
ультрафиолетовое и инфракрасное, т. е. излучения в диапазоне
длин волн от 0,1 нм до 1 мм.
Свет, по современным воззрениям, представляет единство, по
своей сущности, двух процессов — волнового и квантового. Такие
явления, как интерференция, дифракция и поляризация, могут
быть объяснены только волновой природой света, а
фотоэлектрический эффект, излучение и поглощение — квантовой теорией.
Отражение, преломление и давление света легко объясняются как
волновой, так и квантовой теориями.
Как известно, процесс распространения световой энергии в
свободном пространстве представляет собой электромагнитные
волны, которые характеризуются колебаниями двух величин:
электрической и магнитной напряженностей, обозначаемых векторами.
Если распространение света происходит в направлении оси Z,
которая направлена слева направо и совпадает с плоскостью
чертежа, то вектор электрической напряженности находится в
вертикальной плоскости, а вектор магнитной напряженности в
горизонтальной плоскости, т. е. оба вектора находятся во взяимно
перпендикулярных плоскостях и изменяются периодически.
Отсюда следует, что электромагнитные волны являются поперечными
волнами.
Физиологическое, фотохимическое, фотоэлектрическое и другие
действия света вызываются вектором электрической
напряженности, поэтому этот вектор называют также световым вектором.
В общем случае под поверхностью волны понимают
геометрическое место точек, где фаза волны постоянна по всей
поверхности.
12

Длина волны, т. е. расстояние, на которое распространяется
волна за время одного периода колебаний Т, равна
X = vT = Х0/я,
где п — абсолютный показатель преломления среды, Хо— длина
волны в вакууме.
п = civ = с1Ъ = |/ф (1.1)
есть отношение скорости распространения света в вакууме к
скорости света в данной среде; е и |л. — диэлектрическая и магнитная
проницаемости среды. Для подавляющего большинства прозрачных
сред |л. *= 1 и п — ]/е. Абсолютный показатель преломления
характеризует оптическую плотность среды по отношению к вакууму.
Квантовая (фотонная) теория рассматривает свет как поток
световых частиц — квантов (фотонов). Связь волновой
характеристики света (длины волны X) и его квантовой характеристики
(массы фотона tri) описывается равенством
» _с_ h_
м те*
где h — постоянная Планка. Следовательно, движению фотона
соответствует волновой процесс с частотой v. Скорость движения
квантов в вакууме такая же, как скорость распространения
электромагнитных волн, и составляет 299 792,5 км/с.
Направление движения энергии электромагнитной волны
определяется направлением вектора Умова-Пойтинга,
перпендикулярного к вектору электрической напряженности — световому
вектору и вектору магнитной напряженности. В изотропных средах
направление вектора Умова-Пойтинга совпадает с нормалью к
волновой поверхности и принимается за направление
распространения пучков лучей света.
При распространении света происходит его усиление в одних
точках пространства и ослабление в других, в результате
наложение двух или нескольких волн, а также отклонение его от
прямолинейного пути, когда свет, огибая препятствия, заходит в
область геометрической тени, т. е. имеют место интерференция и
дифракция.
Однако многие оптические явления, в частности действие
большого числа оптических приборов, можно рассматривать исходя из
представления о световых лучах как направлениях
распространения энергии, которые являются нормалями к волновой
поверхности. Раздел оптики, базирующийся на этом представлении,
называется геометрической (лучевой) оптикой.
Понятие о световом луче при малых отверстиях, через которые
проходят волны вследствие дифракции, неприемлемо. Но если
диаметр светового фронта D значительно больше длины волны X,, то
при выполнении условия
D»X о (1.2)
можно говорить о лучах как нормалях к волновой поверхности.
Действительно, угол отклонения лучей ф, вызванный дифракцией,
13

зависит от многих факторов и для круглого отверстия выражается
формулой
Ф ss 1.22X/D
и при длине волны к = 0,00055 мм и диаметре отверстия
(диаметре волнового фронта 40 мм угол отклонения лучей составляет
всего 4". С таким отклонением в геометрической оптике можно
не считаться. В случае расходящихся волн (лучей) условие (1.2)
выполняется. Но если мы имеем дело со сходящимися волнами,
то фронт их должен превратиться в точку, что невозможно, так
как изображение точки получается в виде дифракционного пятна,
в центре которого (кружка Эри) сосредоточено примерно 84%
всей энергии и понятие о луче теряет смысл и должно
пониматься в условном смысле. В точках изображения радиус кривизны
волны становится равным нулю, а затем меняет знак. Поэтому
вторым условием применимости лучей является
>■»*. 0-3)
т. е. радиус кривизны волны должен быть значительно больше
длины волны.
Условий (1.2) и (1.3) достаточно для описания
распространения света в однородных средах при помощи понятия о световом
луче. Таким образом, геометрическую оптику можно
рассматривать как предельный случай физической (волновой) оптики,
когда Я -^ 0.
§ 2. Основные законы геометрической оптики
Теория геометрической оптики основывается на следующих
законах: а) прямолинейного распространения света; б)
независимости распространения света; в) законе отражения; г) законе
преломления; д) обратимости хода лучей (принцип обратимости);
е) законе сохранения энергии.
Закон прямолинейного распространения света гласит, что свет
между двумя точками в однородной и изотропной среде (в среде,
оптические свойства которой не зависят от положения точек и
направления) распространяется по прямой, соединяющей эти
точки, называемой лучом. Закон прямолинейного распространения
света нарушается, если среда является неоднородной, а также,
как уже указывалось, вследствие дифракции.
Закон независимого распространения света утверждает, что
отдельные лучи не влияют друг на друга и распространяются
так, как будто других лучей не существует. Этот закон
справедлив для лучей, выходящих из различных центров излучения. Но
если лучи, выходящие из одного общего центра излучения
(разность фаз равна нулю), приходят в одну точку различными
путями, то обнаруживается явление интерференции. Закон
независимости перестает соблюдаться также при интенсивностях
света, достигаемых с помощью мощных лазеров.
14

Законы отражения и преломления света. Для преобразования
пучков лучей света в оптических системах используются закон
отражения от полированных зеркальных поверхностей и закон
преломления света на границе прозрачных сред.
Закон отражения формулируется следующим образом (рис. 1):
а) падающий луч АО, нормаль N0 к отражающей поверхности РР
в точке падения О, луч отраженный О А' находятся в одной плос-
/ Р
Рис. 1. Закон отражения света
Рис. 2. Закон преломления
света nsiru = rc'sins'
кости; б) угол падения е равен углу отражения г' по
абсолютной величине, но противоположен ему по знаку. Углы падения и
отражения отсчитываются от нормали N0. Если направление
отсчета совпадает с ходом часовой стрелки, то угол считается
положительным, в противном случае — отрицательным. В оптических
приборах в качестве деталей применяются зеркала и
отражательные призмы, действие которых основано на законе отражения.
Согласно закону преломления в однородных средах, не
имеющих двойного лучепреломления (рис. 2): а) луч падающий АО,
нормаль к поверхности РР в точке раздела сред N0 и луч
преломленный О А' находятся в одной плоскости; б) отношение синуса
угла падения е к синусу угла преломления г' не зависит от
величины этих углов, а зависит только от свойств двух
соприкасающихся сред и есть величина постоянная для данных двух сред:
-7 = П\-2 =COnSt.
Величина «и называется относительным показателем
преломления второй среды относительно первой.
Относительный показатель преломления можно на основании (1.1) представить
в виде
-'1 с v
«12 = — =
V-2 V2 С
с/у2
7717

rill
(1.5)
Следовательно, относительный показатель преломления двух сред
рав н отношению их абсолютных показателей преломления.
15

/
1
_
—
, , ^_
, 4
2/
~т~-— /?^\
/— ;<§>«
■у^^-^
§M^§
N
:
N —
_. ,
/?'
3
—*
JTZj>ZL~Z.
Z^ZJZZ
„
. —
Рис. 3. Явление полного внутреннего
отражения
Заменив в (1.4) пм через (1.5), для закона преломления получим
я sin е = n'sine'. (1.6)
Произведение показателя преломления среды на синус угла между
нормалью и лучом называется оптическим инвариантом.
Если углы падения и преломления малы, то формулу (1.6)
можно напивать в виде
гае=сп'е'. (1.7)
Отражение света можно
рассматривать как частный случай
преломления, так как
отраженные от поверхности лучи
распространяются в той же среде,
что и падающие. В этом
случае скорость распространения
света сохраняет свое
абсолютное значение, но меняет знак,
поэтому согласно (1.1) можно
принять, что п' = —п. Тогда
из закона преломления
получим закон отражения—е=а'.
Абсолютный показатель преломления сред, который в
дальнейшем будем называть просто показателем преломления,
определяется относительно воздуха, так как определение его
относительно вакуума — задача довольно сложная. Показатель
преломления воздуха при нормальном давлении и температуре 20 °С
равен 1,000274. При расчете оптических систем в большинстве
случаев показатель преломления воздуха принимается
равным единице.
Всякое преломление света сопровождается отражением части
лучей от поверхности, разделяющей две среды с различными
показателями преломления. Весьма важное значение в практике
имеет случай, когда весь падающий пучок лучей полностью
отражается от границы раздела двух сред. Это явление имеет место
в том случае, когда показатель преломления первой среды п больше
показателя преломления второй среды п', т. е. при переходе света
из более плотной среды в менее плотную (рис. 3). В этом случае
согласно (1.6) угол преломления е' будет больше угла падения е.
При постепенном увеличении угла е наступит момент, когда
sin е' = 1 (е' = 90°), т. е. преломленный луч будет скользить по
поверхности раздела. Предельное значение синуса угла падения,
когда sins' = 1, будет равно
sinem = ^-. (1.8)
Когда свет переходит из среды с показателем преломления п.
в воздух, то
sinem = —. (1.9)
16

Если продолжать увеличивать угол падения так, что е > ет,
то уравнение (1.6) теряет смысл, так как для sins' получается
значение больше единицы. В этом случае преломления не
происходит и свет полностью отражается, не переходя из первой среды
во вторую.
Это явление называется полным внутренним
отражением, а угол sm носит название предельного угла
полного внутреннего отражения. Для стекла при «=1,5>
sm = 42°; это значит, что лучи, падающие на поверхность раздела
стекло — воздух под углами, большими 42°, не испытывают
преломления, а полностью отражаются обратно в стекло. Явление
полного внутреннего отражения находит широкое применение в
оптических приборах. Например, действие большинства призм и
призменных систем, а также освещение различного рода
индикаторных шкал и сеток основаны на явлении полного внутреннего*
отражения. Этот же принцип используется в новой области
прикладной оптики — волоконной оптике.
Принцип обратимости. Согласно принципу обратимости лучи
света могут проходить по одному и тому же пути независимо от
направления. Действительно, если не учитывать потерь вследствие
поглощения, рассеяния и отражения, то все явления, связанные
с распространением света, обратимы. Если свет в прямом ходе
распространяется вдоль определенной траектории, например при
отражении и преломлении, то очевидно, что в обратном ходе он
пройдет по той же траектории. Однако если рассматривать более
общие законы распространения пучков лучей с точки зрения
физической оптики, то вопрос обратимости значительно усложняется.
Например, необратимо явление рассеяния света независимо от
того, чем оно вызвано: дифракцией от краев диафрагмы,
отражением от матовой поверхности и т. д. Таким образом, принцип
обратимости основывается только на геометрических законах
распространения света.
Закон сохранения энергии в геометрической оптике
учитывается, когда рассматривается прохождение световой энергии через
оптические среды.
Принцип Ферма. В основу геометрической оптики может быть
положен принцип Ферма, первоначальная формулировка
которого гласила: распространение света из одной точки в другую
происходит по такому пути, прохождение которого требует меньше
времени, чем любые другие пути между теми же точками. Этот
принцип называют также принципом наименьшего времени
(рис. 4).
Для прохождения элементарного участка пути ds в
неоднородной среде требуется время
где v — скорость света на отрезке пути ds. Так как v ~ с!п, то
dt = — nds.
с
17

Время для прохождения пути, например, от точки А ло точки
А' будет равно
t = -A[nds. (1.10)
с X
Произведение элементарного отрезка пути ds на показатель
преломления среды л на этом отрезке называется оптической
длиной хода светового луча в данной среде или оптиче-
Рис. 4. Принцип Ферма:
А'
■и — оптическая длина пути света в неоднородной среде — L *=* \ nda\ 6 — оптическая длина
А
пути света в однородных средах —L = ),iip,
ской длиной пути. Оптическая длина пути от точки А до Л',
обозначаемая через L, составит
L^lnds (1.11)
с
В однородной среде оптическая длина пути равна геометрическому
пути s, умноженному на показатель преломления п, т.е.
L = ns.
Если свет проходит путь от точки Л до Л' через k однородных
сред с показателями преломления п\, п-г, ..., rik, то оптическая
длина пути составит
L ~ rilS] + tliS2 -г ... + tiksk
или
Время на прохождение этой оптической длины пути
t = ± у n„s, = - L
(112)
(1.13)
18

Математическое выражение принципа Ферма имеет вид
А' А'
и = Ь ("^ = 0; 8L = 8 f/ufc = 0, (1.14)
А А
т. е. вариация интеграла, которым определяется время
распространения света, и вариация интеграла, определяющего оптический
путь, должны обращаться в нуль. Из (1.14) вытекает, что время,
которое требуется свету для прохождения вдоль действительного
пути, отличается от времени, которое требовалось бы свету для
прохождения вдоль любого соседнего пути, только на величины
второго порядка малости и что для действительного пути
вариация оптической длины пути равна нулю. Кроме того, условие
б/=0 является условием экстремума — минимума, максимума или
стационарности. Следовательно, оптическая длина пути между
двумя точками может быть не только минимальной, но и
максимальной, а также стационарной — одинаковой для всех
возможных путей. Стационарность приводит к тому, что если даны две
фиксированные волновые поверхности, то оптическая длина пути
для всех лучей, идущих между этими поверхностями, должна
быть постоянной независимо от направления распространения:
А'
Vns = const. 0-15)
А
Стационарность оптического пути вытекает также из теоремы
Малюса — Дюпина: совокупность лучей, перпендикулярных к
волновому фронту, остается перпендикулярной к волновому фронту
после любого числа преломлений или отражений.
Оптическая длина пути стационарна при отражении лучей от
внутренней поверхности эллипсоида, при прохождении лучей
через оптическую систему и т. д.
Из принципа Ферма вытекают прямолинейность
распространения лучей, законы отражения и преломления, а также принцип
обратимости, т. е. основные законы геометрической оптики.
§ 3. Гомоцентрический и астигматический пучки лучей
Совокупность световых лучей, являющихся нормалями к
волновой поверхности и заполняющих некоторый участок этой
поверхности, носит название пучка лучей. От светящейся точки
свет распространяется в пространстве, образуя сферические
волновые поверхности. Совокупность лучей, выходящих из светящейся
точки и заполняющих все окружающее эту точку пространство,
образует так называемый неограниченный пучок лучей.
Если же на пути лучей, на некотором расстоянии от источника
света поставить непрозрачную диафрагму с отверстием, то за
диафрагмой образуется ограниченный пучок лучей, т. е.
пучок в виде конуса, вершиной которого является источник
света, а основанием отверстие диафрагмы.
19

ii у чип., в>_с лучи китириги пересекаются в одной точке,
называется гомоцентрическим пучком, а точка пересечения
всех лучей — центром этого пучка. Если лучи пучка расходятся
из его центра — светящейся точки, то такой пучок носит
название расходящегося гомоцентрического пучка; если
же лучи пучка идут по направлению к его центру, т. е.
пересекаются в одной точке, то пучок называется сходящимся го-
Рис. 5. Астигматический пучок лучей
моцентрическим пучком. В случае когда точка
схождения пучка лучей находится в бесконечности, то гомоцентрический
пучок называется параллельным.
Сходящемуся и расходящемуся гомоцентрическим пучкам
соответствуют волновые поверхности сферической формы, а
параллельному— плоские волны; нормали к этим поверхностям
являются лучами гомоцентрического пучка.
Существуют также пучки, лучи которого ве пересекаются в
одной точке, т. е. не являются гомоцентрическими. Возьмем
элементарную поверхность, на которую от точечного источника света,
расположенного в бесконечности, падает бесконечно узкий
параллельный пучок лучей (рис. 5). Допустим, что в вертикальной
плоскости (сечение М\ОМг) радиус кривизны преломляющей
поверхности больше, чем в горизонтальной плоскости (сечение Q1OQ2).
После преломления лучи пучка, падающие на поверхность в
точках Q\ и (?2, пересекутся в точке Ft, а лучи, падающие в
точках М\ и М.2, — в точке F\. Лучи пучка, близкие к сечению
QiOQ2(N\Pi, N2P2), пересекутся в точках, близких к Fi, и
расположатся по линии F2F2F2, а лучи пучка, близкие к сечению
MiOM2(N\N2, Р1Р2), расположатся по линии F\F\F\. Таким
образом, узкий параллельный пучок лучей после преломления
поверхностью N\P\P2N2 дает два изображения точечного источника
света в виде элементарных отрезков, расположенных
перпендикулярно друг к другу и находящихся на разных расстояниях от
преломляющей поверхности. Пучок лучей, образующий такого вида
изображения точки, называется астигматическим.
Если элементарный гомоцентрический пучок падает на
сферическую поверхность так, что ось этого пучка совпадает с нормалью
20

к поверхности, т. е. кривизна этой поверхности одинакова в
любых направлениях, то после преломления этот пучок будет также
гомоцентрическим.
§ 4. Оптическая система
Оптической системой называется совокупность оптических
деталей (линз, призм, зеркал и их комбинаций), установленных друг
относительно друга в определенном порядке в соответствии с
расчетом. Назначение любой оптической системы состоит в том,
чтобы падающие на нее гомоцентрические пучки оставались бы
гомоцентрическими (или почти гомоцентрическими) и после
выхода их из системы.
Каждая оптическая деталь, входящая в систему, ограничена
преломляющими или отражающими поверхностями, которые
могут быть плоскими, сферическими, цилиндрическими, коническими,
торическими и асферическими. К асферическим поверхностям
относятся эллиптические, параболические, гиперболические, а
также поверхности, ограниченные кривыми высших порядков.
Пучки лучей, выходящие из различных точек, расположенных
впереди системы, проходя через различные ее части,
преломляются и отражаются в соответствии с законами геометрической
оптики. Каждая преломляющая поверхность системы является
границей раздела между двумя средами с различными показателями
преломления.
Конструктивными параметрами или элементами оптической
системы, если она состоит из сферических преломляющих и
отражающих поверхностей, являются радиусы кривизны г\, гг, ..., rfe,
поверхностей, расстояния между поверхностями d\, d.2, . . ., dk-\
и показатели преломления сред п\, n<i, .. ., Пк, составляющих
систему (рис. 6).
Оптические системы разделяются на центрированные и децент-
рированные. Центрированными называются системы, все
поверхности которых, преломляющие и отражающие, являются
поверхностями вращения, имеющими общую нормаль (ось
вращения), называемую оптической осью. Если
центрированная оптическая система состоит из сферических преломляющих
и отражающих поверхностей, то оптической осью называется
прямая, на которой располагаются центры кривизны этих
поверхностей. Децентриров энными являются системы, не
имеющие общей оси симметрии.
Большинство оптических систем относятся к центрированным,
поэтому в дальнейшем будут рассматриваться только эти сист.емы.
Любая плоскость, содержащая оптическую ось системы,
называется меридиональной плоскостью. (В дальнейшем
будем считать, что меридиональной плоскостью является плоскость
рисунка).
Допустим, что из точки В, расположенной вне оптической оси,
выходит узкий пучок лучей, образующий с оптической осью
21

..^..u.^r*»., j.^.... ^iui iijtuiv лучсп пазываил наклиННЫМ ПуЧКОМ.
Осью этого пучка является луч BN (см. рис. 6). Плоскость,
перпендикулярная к меридиональной и проходящая через ось
наклонного пучка лучей, называется с агиттальной плоскостью.
Рис. 6. Центрированная оптическая система и ее конструктивные элементы
§ 5. Предмет и изображение
Допустим, из точки А выходит расходящийся гомоцентрический
пучок лучей (рис. 7). После прохождения оптической системы L
этот пучок сходится в одну точку А'. Центры пучков, т. е. точки
А и А' называются соответственно предметом (объектом) и
изображением. Предмет (точка А) и его изображение
(точка А') являются центрами расходящихся и сходящихся
сферических волн.
Любой протяженный предмет (отрезок прямой, плоскость и т. п.)
состоит из совокупности отдельных точек, из которых выходят
гомоцентрические пучки лучей. Поэтому, если система совершенная
(свободная от искажений), изображение также будет состоять из
совокупности точек, где сходятся гомоцентрические пучки лучей.
(На рис. 7 показаны крайние точки предмета В\ и В2, а точки
В \ и Д2ЯВЛЯЮТСЯ изображениями этих точек).
Совокупность точек пространства, в котором располагаются
предметы и оптическая система, называется пространством
предметов. Совокупность изображений точек пространства
предметов, определенных по законам геометрической оптики,
называется пространством изображений. Пространство
изображений также заполняет все пространство, в котором
располагается оптическая система. В частном случае, когда предмет
находится впереди оптической системы, то пространство, в
котором он располагается, а также пучки лучей, падающие на
оптическую систему, называются пространством предметов. В этом
случае то пространство, в котором располагаются изображение и
22

пучки лучей, вышедшие из оптической системы, называют
пространством изображений.
Если пучки лучей после прохождения системы сохраняют гомо-
центричность, то каждая точка пространства предметов
изображается только одной точкой в пространстве изображений. Такие
Рис. 7. Точечные предметы A, Blt Рис. 8. Мнимое изображе-
В2, отрезок ВХВ2 и их изображения ние Л' действительной точ-
— А', В[, В'2 и В\гВ'2 ки А
изображения называются точечными, или
стигматическими.
Можно представить себе на основании принципа обратимости,
что пучки лучей выходят из точки А' (см. рис. 7), т. е. точка А'
является предметом, тогда оптическая система L даст
изображение ее в точке А. Такие две точки, одна из которых является
изображением другой, называются сопряженными точками
относительно оптической системы. Соответственно отрезки прямой,
один из которых является изображением другого, носят название
сопряженных отрезков и т. д. Таким образом, каждому
лучу в пространстве предметов будет соответствовать
определенный луч в пространстве изображений и, следовательно, каждому
гомоцентрическому пучку лучей в пространстве предметов
соответствует гомоцентрический пучок в пространстве изображений.
Такие лучи и пучки лучей также называются сопряженными.
Если лучи гомоцентрического пучка после выхода из
оптической системы действительно пересекаются в их геометрическом
центре, то эта точка называется действительной точкой, или
действительным изображением (на рис. 7 точка А' является
действительным изображением точки А, а отрезок В\ g'2
действительным изображением отрезка В\В2). Если же лучи пучка не
проходят через эту точку, а в ней пересекаются лишь
продолжения лучей пучка, вышедшего из оптической системы L, то
изображение точки называется мнимой точкой, или мнимым
изображением (рис. 8). Действительное изображение может
быть.принято на экран, фотографическую пленку или какой-либо другой
приемник световой энергии, мнимое изображение не может быть
получено на экране.
Основной задачей геометрической оптики является определение
простыми математическими средствами характера
распространения света в оптических системах и разработка методов их расчета.
23

§ 6. Правила знаков
Направление
распространения
света
-е
Рис. 9. Правило знаков для отрезков
и углов
В геометрической оптике, чтобы формулы были пригодны для
всех возможных случаев построений и расположений элементов
оптической системы, устанавливаются определенные правила
знаков для отрезков и углов.
Правила знаков для отрезков (рис. 9). Отрезки, отсчитываемые
вдоль оптической оси, считаются положительными, если их
направление совпадает с направлением распространения света, и
отрицательными, если их
направление противоположно
направлению распространения света.
Обычно в геометрической
оптике принимается, что свет
распространяется слева направо;
это направление считается
положительным. Отрезки s, s' и
радиус кривизны
преломляющей поверхности г отсчитыва-
ются от вершины
поверхности 0. (На рис. 9 отрезок s —
отрицательный, а отрезок s' и
радиус кривизны г —
положительные).
Расстояния, измеряемые вдоль лучей, составляющих с
оптической осью определенные углы, отсчитываются от точки
пересечения лучей с преломляющей или отражающей поверхностью.
Если отрезки, перпендикулярные к оптической оси, направлены
вверх от нее, то они считаются положительными, если же вниз—
отрицательными.
Правила знаков для углов. Для углов о, о' и ср за начальную
ось, от которой они отсчитываются, принимается оптическая ось
системы, а для углов падения е и преломления е' — нормаль к
преломляющей поверхности. Для сферической поверхности
нормалью является радиус кривизны ее. Углы о, о' и ср считаются
положительными, если они образуются вращением оптической оси
по ходу часовой стрелки, и отрицательными, если ось нужно
вращать против хода часовой стрелки. Углы е и е' между лучами
и нормалью считаются положительными, если для совмещения
нормали с лучом ее нужно вращать также по ходу часовой
стрелки, и отрицательными—если против хода часовой стрелки (на
рис. 9 углы a, s и е' —отрицательные, а ср и а' —положительные).
Все величины, относящиеся к пространству предметов,
обозначаются без индексов (s, о, е) или с индексами внизу (s\, оь ei),
а все величины, относящиеся к пространству изображений,—со
штрихами вверху (s\ а', г или S\, а\, г\).

Глава 2.
ОПТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ
Для изготовления оптических деталей применяются
следующие материалы: оптическое бесцветное стекло, цветное оптическое
стекло, кварцевое оптическое стекло, оптические ситаллы, стекла
светорассеивающие, фотохромные стекла, органическое стекло,
оптические кристаллы и керамики.
§ 7. Оптические стекла
Стекло оптическое бесцветное (ГОСТ 3514—76). Оптическое
стекло — это материал, идущий на изготовление деталей
оптических систем приборов, отличающихся высокими показателями
качества по однородности и повторяемости по всему объему.
Для производства оптического стекла используется около 80%
химических элементов, известных в настоящее время. В качестве
основных компонентов используются следующие материалы: окись
кремнезема Si02, являющаяся основным стеклообразующим
материалом, количество которой колеблется от 20 до 80%; борный
ангидрит В,Ом окись алюминия А1203> окись свинца РЬО, окись цинка
ZnO, окись кальция СаО, окись натрия Na20, окись мышьяка As20,
окись сурьмы Sb203, окись бария
ВаО, окись магния MgO, окись „
калия К20 и др. 2ftx
Оптическое бесцветное стекло, в
зависимости от химического состава
и физических свойств, изготовляется 7,8
следующих типов: легкий кран —
ЛК; фосфатный крон — ФК;
тяжелый фосфатный крон — ТФК;
крон — К; баритовый крон — БК;
тяжелый крон — ТК; сверхтяжелый
крон — СТК; особый крон — ОК;
кронфлинт — КФ; баритовый
флинт—БФ; тяжелый баритовый
флинт—ТБФ; легкий флинт —
ЛФ; флинт— Ф; тяжелый флинт —
ТФ; сверхтяжелый флинт — СТФ; особый флинт — ОФ.
Расположение групп оптических етекол, в зависимости от
показателя преломления па и коэффициента дисперсии ve,
показано на диаграмме рис. 10. Стекла типов ОК и ОФ могут нахо-
25
7,е
7Jt
ТФ(1
?к
m
СТК
/пу
дЕАи
| КФ
/ Т6Ф
Б У /|
-"л*?
/СТФ
'VP
_ф
90
7(1
SO
JO
Рио. Ю. Группы оптических стекол
(диаграмма пе, ve)

диться на любом из участков полей диаграммы, занимаемых с(-
ответственно кронами и флинтами.
Оптические стекла изготовляются двух серий: обычные — с ну
мерацией марок от 1 до 99; серии 100 — малотемнеющие пол
воздействием ионизирующих излучений, с нумерациег
марок 100—199.
К оптическим постоянным оптического стекла относятся
показатель преломления, средняя дисперсия, коэффициенты дисперсик
относительные частные дисперсии и термооптические постоянные
Показатели преломления даются для следующих длин воль
23-х спектральных линий химических элементов.
X, им
312,6
334,1
365,0
404,36
435,83
479,99
486,13
546,07
587,56
589,29
043,85
656.27
706,52

Символ
—
(
h
8
F'
F
е
d
D
С
С
г
Элемент
Hg \
Hg
Hg J
Hg
Hg )
Cd
н J
Hg
He 1
Na }
Cd )
H
He j
Область
спектра

Ультрафиолетовая
Фиолетовая
Синяя
Зеленая
Красная
J
X, нм
768,2
852,1
1013,9
1128,6
1395,1
1529,6
1813,1
1970,1
2249,3
2325,4
СИМ-
НОЛ
—
—
—
—
—
—
—
—
—
Элемент
К
Cs
Hg
нй
Hgi
Hg
Hg
Hg
Hg
Hg
спектра
Инфракрас
ная
Показатель преломления пе для длины волны 546,07 нм,
расположенной вблизи максимума чувствительности глаза человека,
называется основным показателем преломления. Разностг
показателей преломления для линий F' и С, т.е. пр>—пс, назь-
вается основной средней дисперсией. Кроме того,
оптические стекла характеризуют также следующими средними дисперсии
ми: rii — rig, пр—пс; пг~П\о[зУ, «1013,9 — «2249,з; коэффициентам!
дисперсии
"О-' п\ьт,ц— '
vd = -——; *1»29.б=- zrs •
Пр— П0 "1013,9 "2249,3
Коэффициент основной средней дисперсии v„ называется также
числом Аббе.
Разность показателей преломления Дп = Пх, — п^ для любы:
других линий называется частной дисперсией, а отношена
частной дисперсии Дп к основной средней дисперсии пр—Пс яр
ляется относительной частной дисперсией, например
n<—nF «g - nF. _ г.р. — пе ^ г.е—пв, и т
ПР.— ПС.' Пр- -~ П6. ' Пр. — Пс,' Пр, — пс.
26

Показатель преломления для любой длины волны в интеррале
от 365,0 до 1013,9 нм может быть вычислен по дисперсионной
формуле
nt=Ai+A2\2 + A3T2 + Ai)ri+Asl~6 + AeX-8.
Константы А\, .. ., Ав приводятся в каталоге для каждой марки
стекла, а X берется в мкм.
Показатели преломления оптических стекол зависят от
температуры окружающей среды и обычно возрастают с ее увеличением,
поэтому стекла характеризуют следующими термооптическими
постоянными:
а) температурный коэффициент или изменение абсолютного
показателя преломления стекла при повышении температуры на 1 °С
для длины волны X
Рабс.а = ДПабсдМ*;
б) термооптическая постоянная
т/ Ротн.ЛХ
в) термооптическая постоянная
^ЛХ = Рабс,ЛХ + а/(/гх —1).
В приведенных формулах: пх — показатель преломления для длины
волны X; £!отн,/,х—температурный коэффициент относительного
показателя преломления (к воздуху при давлении 1010 ГПа); at —
коэффициент теплового линейного расширения стекол; t — средняя
температура интервалов измерений. Термооптические постоянные даются
для длин волн X = 479,99 нм (/"), X = 546,07 нм (е) и X == 643,85 нм
(С), в интервалах температур от 60°С до 20°С (средняя
температура—20° С) и от 20°С до 120°С (средняя температура 70° С).
Оптическое стекло разделяется на категории и классы по
следующим показателям качества: допустимым отклонениям показателя
пе и основной средней дисперсии п?—пс от значений,
установленных для всех марок, однородности партии заготовок по показателю
преломления и основной средней дисперсии, оптической
однородности, двойному лучепреломлению, бессвильности, пузырности,
пропусканию.
Механические свойства оптического стекла характеризуются
прочностью, твердостью, хрупкостью и упругостью. К тепловым
свойствам стекла относятся удельная теплоемкость,
теплопроводность, тепловое расширение, которое характеризуется
коэффициентом линейного расширения, термостойкость, температура
спекания. Химические свойства стекла: устойчивость к действию
влажной атмосферы и устойчивость к действию реагентов. Данные по
всем указанным выше свойствам оптического стекла приводятся
в каталоге.
Оптические стекла с особыми свойствами. К этим стеклам
относятся цветные оптические стекла; кварцевое стекло; ситаллы;
27

инфракрасные бескислородные стекла; люминесцирующие стекла^
фотохромные; светорассеивающие стекла; органическое стекло.
Цветные оптические стекла применяются для
изготовления светофильтров, ограничивающих или ослабляющих
пропускание света заданного спектрального состава. ГОСТ 9411—75
на стекло оптическое цветное содержит следующие стекла:
ультрафиолетовое — УФС, фиолетовое — ФС, синее — СС,
сине-зеленое — СЗС; зеленое — ЗС; желто-зеленое — ЖЗС; желтое — ЖС,
оранжевое — ОС; красное — КС; инфракрасное — ИКС;
пурпурное — ПС, нейтральное — НС; темное — ТС, бесцветное
(ультрафиолетовое, инфракрасное)—БС. В каждый тип стекла входит
несколько марок, которые обозначаются, например, ЖЗС5 —
желто-зеленое стекло пятое.
Основными характеристиками цветного стекла являются
показатель преломления, коэффициент пропускания для различных
длин волн и оптическая плотность, определяемая густотой
окрашенности, также для различных длин волн.
Стекло оптическое кварцевое (ГОСТ 15130—79).
Это стекло имеет ряд очень ценных физико-химических свойств:
прозрачность в широком диапазоне длин волн; высокую
термостойкость; малый коэффициент линейного расширения; химическую и
радиационную устойчивость. В зависимости от. основной области
пропускания оптические кварцевые стекла выпускаются
следующих марок: КУ-1, КУ-2 — прозрачные в ультрафиолетовой области
спектра; KB, КВ-Р — прозрачные в видимой области спектра;
КИ — прозрачные в инфракрасной области спектра. Применяются
для изготовления уголковых отражателей, призм спектральных
приборов, оболочек источников света и других оптических деталей,
подвергающихся резким изменениям температуры.
Оптические ситаллы имеют особо тонкозернистую
структуру с кристаллами размером, составляющим примерно
половину длины волны видимого участка спектра. Показатели
преломления кристаллов и стеклообразного вещества, в котором они
равномерно распределены, одинаковы или близки между собой, что
исключает светорассеяние на границе раздела кристалл-стекло.
Ситаллы имеют повышенную по рравнению со стеклом термостой-
кость, механическую прочность и твердость, коэффициент
линейного расширения близок к нулю. Изготовляются следующие марки
ситаллов: СО-115 (астроситалл)—термостойкий ситалл с малым
или близким к нулю коэффициентом линейного расширения; СО-156
имеет повышенную црозрачность в видимой области спектра,
но меньшую термостойкость; СО-21—ситалл с отрицательным
коэффициентом линейного расширения в пределах 0—350 °С, что
обеспечивает высокую термостойкость. Ситаллы применяются для
изготовления астрозеркал, пробных стекол, обтекателей, защитных
экранов и т. д.
Инфракрасные бескислородные стекла (ИКС)
отличаются от обычных стекол тем, что в их составе отсутствуют
химические соединения, содержащие кислород. Прозрачны
28

в инфракрасной области спектра в диапазоне от 1 до 17 мкм,
имеют высокую химическую стойкость, механическую и термическую»
прочность.
Люминесцирующие стекла содержат неодим,
имеют узкие полосы люминесценции, причем на полосу 1060 нм
приходится до 80% всей энергии люминесценции. Стекла
обозначают индексом ГЛС (генерирующее люминесцирующее стекло)
и используются для изготовления активных элементов
твердотельных лазеров направленного излучения с длинами волн 900, 1060,
1300 нм.
Фотохромные стекла (ФХС) обратимо изменяют свою
прозрачность в зависимости от величины освещенности и
длительности облучения. Основными характеристиками фотохромного
стекла являются коэффициент фотохромности Кф— величина,
характеризующая уменьшение оптической плотности за 30°С, и
чувствительность Бф—величина, обратная количеству освещения,
необходимого для получения добавочной плотности, равной 0,2.
Например, стекло марки ФХСЗ имеет Кф = 0,5-*-0,7; вф= (2-5-5) • 10~&
(лк-с)-1. Применяется для изготовления светофильтров и
светозащитных очков.
Светорассеивающие стекла (молочные — М.С) —
диффузно рассеивающие проходящий или отраженный свет
благодаря введению в состав их соединений фтора, кремнефтористого
натрия и других соединений.
Органическое стекло —бесцветная или окрашенная
пластмасса. В качестве органического стекла, со свойствами
близкими к кроновым стеклам, используется метилметакрилат
(плексиглас марок СОЛ и СТ 1) и целлулоид, а со свойствами
флинта— полистирол и полидихростирол. Органическое стекло
является дешевым материалом, легко обрабатывается, формуется,
склеивается, обладает высокой прозрачностью для
ультрафиолетового и видимого участков спектра, но обладает рядом
существенных недостатков: малой механической и химической
устойчивостью, имеет большой коэффициент линейного расширения.
Поэтому это стекло применяется для изготовления
неответственных оптических деталей.
§ 8. Оптические кристаллы и керамики
Для изготовления оптических деталей используются
естественные и искусственные кристаллы, имеющие ряд свойств,
отсутствующих у оптического стекла. К положительным свойствам
кристаллов относятся пропускание излучения в ультрафиолетовой и
инфракрасной областях спектра, значительная величина
коэффициента основной средней дисперсии при малом показателе
преломления. Оптические кристаллы обладают и рядом
отрицательных свойств, затрудняющих их применение: оптическая и
механическая неоднородность в различных направлениях, двойное
29

лучепреломление, малая твердость некоторых кристаллов,
гигроскопичность, растворимость и т. д.
Хлористый натрий (NaCl)—мягкий природный
кристалл— каменная соль. Показатель преломления для ^=2000 нм
равен 1,52. Прозрачен в области спектра от 250 до 3000 нм,
гигроскопичен, растворим в воде и глицерине. Применяется в
основном для изготовления спектральных призм в ИК диапазоне.
Бромистый калнй (КВг) — очень мягкий, однородный
дешевый кристалл, п=1,54 при Х=2000 нм, прозрачен в области
210—27 000 нм, гигроскопичен, растворим в воде и глицерине.
Используется для изготовления призм ИК диапазона.
Хлористый калнй (КС1) — природный сильвин, мягкий,
достаточно однородный, гигроскопичный, хорошо растворимый в
воде, щелочах, эфире, глицерине кристалл. Интервал пропускания
330—21 000 нм. Применяется для конденсоров микроскопов в УФ
диапазоне, призм в ИК диапазоне.
Фтористый кальций (CaF2)—природный флюорит,
твердый, очень хрупкий, дорогостоящий кристалл. При Х,=2000нм
л = 1,42, прозрачен в области 180—10 000 нм, негигроскопичен
и практически нерастворим в воде. Применяется для
изготовления деталей микроскопов и призм спектроскопов, работающих
в УФ и ИК диапазонах.
Фтористый литий (LiF)—кристалл средней твердости,
однородный, негигроскопичен, практически нерастворим в воде.
Кристалл прозрачен в области спектра 180—6000 нм, показатель
преломления при )>,=2000 нм составляет 1,38. Используется для
изготовления деталей в УФ и ИК диапазонах.
Германий (Ge) — хрупкий синтетический кристалл,
непрозрачный в видимой области спектра, но хорошо пропускающий
излучение от 2000 до 15 000 нм и от 40 000 до 60 000 нм. Из-за
большого показателя преломления (« = 4,12 при Х,=2000 нм)
детали имеют большие потери на отражение при преломлении,
поэтому требуют просветления. Применяется для изготовления
деталей, работающих в ИК области спектра.
Кремний (Si) — синтетический кристалл, довольно хрупкий,
нерастворимый в воде, непрозрачный в видимой области спектра,
хорошо пропускает излучение от 15 000 до 22 000 нм. Показатель
преломления при X = 2000 нм составляет 3,46. Область
применения аналогична кристаллам германия.
Кварц кристаллический (Si02)—синтетический
кристалл, природный, известен под названием горный хрусталь. Он
имеет слабо выраженное двойное лучепреломление. Прозрачен в
области 180—10 000 нм, показатель преломления для
обыкновенного луча при )v=2000 нм составляет 1,52. В воде не
растворяется, используется для изготовления деталей спектральных и
поляризационных приборов.
Кальцит (СаСОз) — синтетический кристалл, природный
исландский шпат, очень хрупкий и нетермостойкий.
Характеризуется сильно выраженным двойным лучепреломлением. Хорошо
30

пропускает видимую и ближнюю ИК области, показатель
преломления для обыкновенного луча при Х,=560 нм—1,66.
Применяется для изготовления деталей поляризационных приборов.
Фтористый магний (MgF2) — природный селлаит,
кристалл средней твердости, достаточно однородный, не растворим в
воде. Хорошо пропускает излучение в области спектра от 100 до
1000 нм, показатель преломления п=1,38 при Х = 400—700 нм.
Используется, для деталей спектроскопических вакуумных приборов
в ультрафиолетовой области, интерференционных и
интерференционно-поляризационных фильтров.
Лейкосапфир — искусственный кристалл, беспримесный
корунд (А^Оз), изготовляется следующих марок: Л-У—для
ультрафиолетовой, Л-В — видимой и Л-И— инфракрасной областей
спектра. Природный корунд—сапфир — очень твердый,
термостойкий кристалл, устойчив практически против всех химикатов.
Корунд с добавкой 0,05% хрома представляет собой рубин,
применяемый для изготовления активных тел лазеров.
Оптическая керамика — поликристаллический
материал, изготовляемый методом горячего прессования под большим
давлением в вакууме, обладает высокой механической прочностью
и высокой термостойкостью. Изготовляется нескольких марок,
прозрачных для Х== 1000—20 000 нм (К04) и для А,= 1000—
8000 нм(К05). Благодаря нерастворимости в воде, хорошей
обрабатываемости и высокой устойчивости к тепловым ударам
керамики используются для изготовления окон и обтекателей ИК
приборов, подложек интерференционных фильтров и других
деталей оптических систем ряда ИК приборов.

Глава 3.
ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ОПТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
§ 9. Идеальная оптическая система
Идеальной называется оптическая система, которая дает
стигматические изображения точек пространства предметов с помощью
широких гомоцентрических пучков. В основу теории идеальной
оптической системы положены чисто геометрические соотношения
между отрезками и плоскостями.
Теория идеальной оптической системы базируется на
следующих основных положениях:
а) каждой точке пространства предметов соответствует одна
и только одна точка в пространстве изображений; такие две
точки называются сопряженными точками обоих пространств;
б) каждой прямой, линии, пространства предметов
соответствует одна и только одна прямая в пространстве изображений;
эти линии называются сопряженными прямыми.
Так как две пересекающиеся прямые однозначно определяют
положение плоскости в пространстве, то из первых двух
положений получается как следствие третье положение:
в) всякой плоскости пространства предметов соответствует
всегда одна и только одна плоскость в пространстве изображений;
такие две плоскости называются сопряженными плоскостями.
Из этих положений следует, что в идеальной оптической
системе всякому гомоцентрическому пучку лучей в пространстве
предметов соответствует сопряженный с ним гомоцентрический пучок
лучей в пространстве изображений, т. е. любая точка, а также
любая группа точек пространства предметов отображается
стигматически.
Из свойств идеальной системы вытекает также, что
меридиональной плоскости пространства предметов соответствует
сопряженная с ней меридиональная плоскость пространства
изображений, т. е. меридиональная плоскость сопряжена сама с собой.
Если луч в пространстве предметов располагается в
меридиональной плоскости, то при прохождении его через оптическую
систему, он всегда будет находиться в меридиональной
плоскости. (Это положение вытекает также из законов отражения и
преломления). Поскольку мы рассматриваем только
центрированные оптические системы, то очевидно, что если меридиональную
плоскость в пространстве предметов повернуть на некоторый угол
вокруг оптической оси, то сопряженная с ней плоскость в
пространстве изображений также повернется на тот же угол.
32

Оптических систем, которые давали бы стигматические изоо-
ражения независимо от поперечных размеров предметов и
положения их относительно системы, не существует, за исключением
плоских зеркал. Однако для создания реальных систем, которые
давали бы изображения, свободные от искажений в довольно
широкой области, необходимо знать, каким требованиям должны
удовлетворять такие системы. Поэтому и вводится понятие об
идеальной системе, свободной от всех недостатков реальных систем.
Введение такого понятия позволяет построить довольно
продетую общую теорию для приближенного решения различных
задач прикладной оптики. Идеальные оптические системы,
обладающие указанными выше свойствами, дают возможность
установить критерий для оценки качества реальных систем, или вернее,
к чему нужно стремиться при расчете оптических систем.
Идеальная оптическая система является как бы своего рода «эталоном»
рля реальных систем. Хотя эта теория является приближенной,
практически вопрос об идеальных оптических системах не ставится
довольно жестко, т. е. от реальных систем не требуется, чтобы
они давали строго стигматические изображения. Например,
системы, служащие для работы совместно с глазом, могут давать
такие погрешности в изображении, которые не замечает наш
глаз, и т. д.
Теорию идеальной оптической системы разработал Гаусс
(1841), поэтому ее часто называют оптикой Гаусса, а
изображения, даваемые такими системами, — гауссовыми изображениями.
§ 10. Линейное увеличение
Возьмем в предметной плоскости, перпендикулярной к
оптической оси системы 0\Ок, линейный отрезок А\В\=у\ (рис. II). Из
свойств идеальной системы вытекает, что в пространстве изображений
отрезку у\ будет соответствовать сопряженный отрезок A\Bi=y\-
Напишем отношение
y'ihi=hi. (3-1)
Это отношение называется л и-
нейным увеличением
идеальной системы. Для данной
пары сопряженных плоскостей
линейное увеличение (301 есть ве- рис_ Ц, Линейное увеличение идеаль-
личина постоянная, т. е. не зави- ной системы
сящая от величины отрезка у\.
Если взять другую пару сопряженных плоскостей, в которых
располагаются отрезки Л2Вг = г/2 и Л252 = (/2, то линейное увели
чение будет другим:
#2/#2 = ,302. (зл)
33

Линейное увеличение в сопряженных плоскостях,
перпендикулярных к оси, показывает, во сколько раз изображение больше
или меньше предмета, т. е. представляет собой масштаб изображения.
§ 11. Кардинальные точки, главные и фокальные плоскости
и фокусные расстояния
Пусть 0\0к является идеальной оптической системой, т. е.
системой, удовлетворяющей положениям, приведенным выше (рис. 12).
Оптическую ось системы 0\0ц обозначим через АА'.
Если в пространстве
предметов провести луч
BQ, параллельный
оптической оси, то, не
рассматривая действительный ход
луча в системе и ее
устройство, можно
утверждать, что в пространстве
изображений этому лучу
будет соответствовать
сопряженный ему
единственный луч. Этот луч
может пойти только
двумя путями: или будет
пересекать оптическую ось
в какой-либо точке F\ или
пойдет параллельно
оптической оси.
Рассмотрим первый случай. Если направление луча BQ
продолжить до пересечения его с лучом Q'B', вышедшим из системы,
то получим точку К'. Проведем через точку К' плоскость,
перпендикулярную к оптической оси. Точку пересечения этой плоскости
с осью обозначим через Н'. Луч АО\, идущий вдоль оптической
оси, проходит систему без преломления (оптическая ось является
нормалью ко всем поверхностям системы). Лучи BQ и Q'B', а
также АО\ и О^А' являются сопряженными лучами, поэтому
точке пересечения F' лучей Q'B' и Ok А' должна соответствовать
точка в пространстве прелметов на пересечении лучей BQ и ЛО[.
Так как лучи BQ и АО] параллельны между собой, то точка
пересечения их будет находиться на бесконечно большом
расстоянии влево от системы ОхОк-
Точка Ff, являющаяся изображением бесконечно удаленной
точки, расположенной на продолжении оптической оси, называется
задним фокусом вистемы. Плоскость, перпендикулярная коси
и содержащая отрезок К'Н', носит название задней главной
плосковти, а точка Н'—задней главной точки.
Если провести луч B\Q\, идущий справа налево, параллельно
оптической оси и на том же расстоянии от нее, что и луч BQ, то,
повторив предыдущие раасуждения, увтановим существование пе-
34
Рис. 12. Главные плоскости, главные точки Н,
Н', фокусы F, F' и фокусные расстояния
положительной оптической системы

реднего фокуса системы г, передней главной
плоскости КН и передней главной точки Я.
Точки К и К' являются сопряженными точками, так как
каждая из них является пересечением пары лучей, сопряженных с другой
парой. Если лучу Q\B\ дать обратное направление от В\ к Q\, то
он пройдет путь через оптическую систему в обратной
последовательности и, выйдя из системы, будет иметь направление Q\B\.
Поэтому точку К, являющуюся точкой пересечения лучей BQ и FQ\,
падающих на систему, можно рассматривать как предмет (вершина
1учка лучей, падающего на систему), а точку К'— ее изображением,
так как она является точкой пересечения пары лучей Q]B\ и QF ,
сопряженной с первой парой, т. е. BQ и FQ\. Отрезок КН будет
предметом, а отрезок/('Я' — его изображением, т. е. отрезки К.Н
и К'Н' являются сопряженными, а следовательно, и точки Я и Я'
будут также являться сопряженными точками. Главные плоскости,
в которых лежат отрезки КН и К'Н', также являются
сопряженными плоскостями. Из рис. 12 видно, что ординаты точек К и К'
равны между собой и имеют одинаковые знаки (КН = К'Н'— Л),
поэтому линейное увеличение в сопряженных плоскостях равно
единице:
Рои = +1- (3.2)
Таким образом, оптическая система имеет две сопряженные
плоскости, перпендикулярные к оптической оси, в которых
линейное увеличение равно единице, т. е. всякий отрезок в одной из
этих плоскостей изображается равным и одинаково
расположенным отрезком в другой плоскости.
Расстояние HF, отсчитываемое от точки Н, называется
передним фокусным р а ест о я ни ем. Расстояние H'F', отсчитываемое
от точки Я', называется задним фокусным
расстоянием. Переднее фокусное расстояние обозначается через f, а заднее —
через f (на рис. 12 /<0, а /'>0). Плоскости Е и Е',
перпендикулярные к оптической оси и проходящие через точки фокусов F
и F', называются соответственно перед ней и задней
фокальными плоскостями.
Если ординату (высоту) точки К обозначить через А, а угол,
образованный лучом K'F' с оптической осью,— через а', то можно
написать
г - »£г- <3-3>
Аналогично для переднего фокусного расстояния получим
Главные точки и точки фокусов носят название
кардинальных (основных) точек оптической системы.
К кардинальным точкам относятся также узловые точки, о которых
будет сказано ниже.
2* 35

-..,.^,~.,_,. ч^^яга, ivuiu^me дают мнимое изображение, т. е.
пучки лучей, вышедшие из системы, в действительности не
пересекаются с оптической осью, а пересекаются их продолжения.
Поэтому точке предмета, расположенной в бесконечности,
соответствует мнимая точка в пространстве изображений, которая
является задним фокусом системы Р. Соответственно точка
переднего фокуса F также является мнимой точкой (рис. 13). Точка
Рис. 13. Главные плоскости, главные точки Н, Н', фокусы F, F1 я фокусные
расстояния отрицательной оптической системы
заднего фокуса Р располагается впереди задней главной точки
//', а точка переднего фокуса F—позади передней главной точки
Н. Передняя и задняя фокальные плоскости также являются
мнимыми плоскостями. В дальнейшем системы, задний фокус
которых является действительной точкой, будем называть
положительными, или собирательными, а системы, задний
фокус которых является мнимой точкой,— отрицательными,
или рассеивающими. В сравнительно простых
положительных системах /'>0, а в отрицательных /'<0.
По определению, данному выше, задний фокус Р есть точка,
сопряженная с бесконечно удаленной точкой в пространстве
предметов, расположенной на продолжении оптической оси. Очевидно,
что задней фокальной плоскости соответствует сопряженная
плоскость, находящаяся в бесконечности. Иными словами,
гомоцентрическому пучку лучей с вершиной в любой точке задней
фокальной плоскости соответствует пучок параллельных между собой
лучей в пространстве предметов. Поэтому можно сказать, что
задняя фокальная плоскость является геометрическим местом
точек, в которой пересекаются пучки параллельных между собой
лучей (или их продолжения) пространства предметов,
образующих углы наклона ш/у с оптической осью (рис. 14, а). Если от
какой-то либо точки бесконечно удаленного предмета,
расположенной вне оси, провести луч к передней главной точке Я,
образе

зующей угол <*>//, то этот луч выйдет из системы через заднюю
главную точку И', образуя с осью угол и>'#'. Изображение
бесконечно удаленного предмета будет находиться в задней фокаль-
иой плоскости. Среди лучей наклонного пучка всегда можно
найти луч, проходящий через передний фокус F, следовательно, в
Рис. 14. Задняя (а) и передняя (б) фокальные плоскости
пространстве изображений идущий параллельно оптической оси.
Из рис. 14, а для величины изображения имеем
#' = /tg«>H = — /'tgco'H,. (3.5)
То же самое можно сказать и о передней фокальной плоскости,
,т. е. она является геометрическим местом точек, где собираются
пучки параллельных между собой лучей пространства изображений,
различных углов наклона ши> (рис. 14, б). Для величины предмета
имеем выражение
У = —!Ч<1>н = f ig")//% (3.6)
Если —f = f, то
тн = оздг,; (3.7)
у'=-Г g«o//, (3.8)
т. е. в этом случае всякий луч, входящий в систему через
переднюю главную точку под некоторым углом, по выходе из системы
проходит через заднюю главную точку под тем же углом.
§ 12. Построение изображений
Свойство кардинальных точек системы используется для
графического построения изображения. Если известно положение
главных точек системы и положение фокусов относительно их,
т. е. фокусные расстояния, то графическим построением можно
найти изображения точки, прямой (отрезка) и плоскости,
сопряженных с заданной точкой, прямой и плоскостью.
Графическое нахождение изображения точки А, расположенной
на оптической оси, производится следующим путам (рис. 15, а). По
37

положению главных точек строятся главные плоскости, затем
проводится луч АМ\, составляющий с оптической осью произвольный
угол. Через точку F проводится линия FB, перпендикулярная
к оптической оси. Из точки В проводится луч ВМ2, параллельный
оптической оси, до пересечения его с задней главной плоскостью
(точка М2). Луч М2В , сопряженный с лучом ВМ2, должен пройти
через задний фокус системы F'. Так как точка В лежит в перед-
Рис. 15. Графическое построение изображений точки А через положитетьпую
(а) и отрицательную (б) системы
ней фокальной плоскости, то сопряженная с ней точка (ее
изображение) должна находиться в бесконечности на продолжении луча
М2В . Поэтому для нахождения луча, сопряженного с лучом ВМЬ
а следовательно, и с лучом AM ь из точки М\ проводится луч М \А',
параллельный лучу М2В . Точка А пересечения луча М\А
септической осью будет являться изображением точки Л. Так как в
главных плоскостях (Зоя = 1> то при построении принимается, что
М\Н = М\Н и М2Н = М2Н . Точка А' является действительной
точкой.
Найдем изображение точки А в отрицательной системе (рис. 15, б).
Проведем из точки А произвольный луч АМ\ и продолжим его до
пересечения с передней фокальной плоскостью в точке В. В
пространстве предметов возьмем луч В\М2, параллельный оптической
оси, продолжение которого проходит через точку В. Луч MjB\
после выхода из системы должен пройти через задний фокус /•".
Точка В является мнимой точкой, так как в ней пересекаются
продолжение падающих на систему лучей АМ\ и В\М2, располагается
в передней фокальной плоскости, поэтому ее изображение будет
находиться в бесконечности на продолжении луча М2Вь Проводя
из точки М\ луч, параллельный лучу М2В\, найдем луч M[Q,
сопряженный с лучом АМ\. Точка пересечения этого луча с
оптической осьюдаст точку А', являющуюся изображением точки Л. Точка
А' — мнимая точка, так как она образована пересечением
продолжения луча M\Q g оптической осью.
38

Построение отрезков (предметов), перпендикулярных к оси,
производится следующим образом (рис. 16).
а. Из крайней точки предмета В, расположенной вне оптической
оси, проводятся два луча: луч ВМ\, параллельный оптической
оси, и луч ВМ.2, проходящий через передний фокус системы F;
Рис. 16. Графическое построение изображения отрезка АВ. Координаты,
определяющие положение сопряженных точек и отрезков системы
после преломления в оптической системе первый луч в пространстве
изображений (MiB) должен пройти через задний фокус системы
F', а второй луч (М2В) — параллельно оптической оси. Точка В'
пересечения этих лучей даст изображение крайней точки
предмета В. ^
б. Проведя через полученную точку В'прямую,
перпендикулярную к оптической оси, получим точку А' пересечения этой прямой
с осью, которая является изображением точки А, а следовательно,
отрезок А'В' будет являться изображением отрезка АВ.
Приведенный прием построения изображения предмета
справедлив для всевозможных случаев расположения предметов
относительно системы, а также и для отрицательных систем. Чтобы
не перегружать чертеж, все вспомогательные построения обычно
производятся пунктиром.
§ 13. Основные формулы для сопряженных точек.
Формулы Ньютона и Гаусса
Положение сопряженных точек на оптической оси, а также
сопряженных отрезков, т. е. предмета и изображения, аналитически
определяется: а) относительно фокусов системы, б) относительно
главных точек системы.
Определим положение сопряженных точек Л и А' отрезками AF
и F'A' (см. рис. 16). Отрезки AF и ?'А' отсчитываются от
соответствующих фокусов F и Р. Они считаются положительными,
если движение от фокусов F и F' к точкам А и А' совпадает
с направлением распространения света, и отрицательными в
противном случае. Введем следующие обозначения: AF=—z, F'A'*=z'.
39

f
4-
V'
=E
г
f
г'
Из прямоугольных треугольников ABF и FHMi и M\F'H'
и F'A'B' находим
(3.9)
(3.10)
Приравнивая (3.9) и (3.10), будем иметь
*/ = //'. (3.11)
Выражение (3.11) носит название формулы Ньютона. Она
устанавливает зависимость между расстояниями от переднего фокуса до
предмета (z) и от заднего фокуса до изображения {г') и передним
и задним фокусными расстояниями системы.
При —/ = /' формула (3.11) примет вид
zz' = —p. (3.12)
Для линейного увеличения на основании (3.9) и (ЗЛО) получим
P° = T = -T = -f- (ЗЛЗ)
Если 2=f, то и z'=f, в этом случае Ро=—1, т. е. в сопряженных
точках и плоскостях, расположенных на двойных фокусных
расстояниях от главных плоскостей, изображение равно предмету по
абсолютной величине и обратно по знаку.
Во втором случае положение сопряженных точек А и А'
определяется расстоянием от главных точек системы И и //'. Эти
расстояния отсчитываются от точек Н и Н'. Введем обозначения
АН=—а и Н А' = а' (см. рис. 16), тогда
a = z+f; a' = z' + f', (3.14)
отсюда
2 = a—f; z' = a' — ff. (3.15)
Подставляя (3.15) в (3.11), будем иметь
(a-f)(a'-f') = fr
или
af + a'f = аа'.
Разделив обе части этого выражения на аа', найдем
4- + -=1. (3.16)
Выражение (3.16) называется формулой Гаусса или
формулой в отрезках вдоль оптической оси. Она позволяет оп-
40

ределить положение изображения (координату а'), если известны
положение предмета (координата а) и фокусные расстояния системы.
Если —/ = /', то
7—7—Г <3'17)
Формулы Ньютона и Гаусса являются основными уравнениями
идеальной системы.
Напишем уравнение (3.11) в виде
z-i г, .
Прибавим к обеим частям этого равенства по /' и, учитывая
(3.14), найдем
iL — iL
а - f '
Так как z'If = f'/z, поэтому
/ _/ ft
ir-T-T- <ЗЛ8)
Из (3.13) и (3.18) линейное увеличение можно выразить через
отрезки а я а':
у' f а'
о = —= -77-—- (3.19)
При -f = r
На основании (3.17) и (3.20) для отрезков а и а' найдем
выражения
а-Г 1^1*.; (3.21)
а' = ГО-Ро)- (3-22)
Из (3.21) и (3.22) имеем
Г-т^-^т^: (3.23)
Формулы (3.21) и (3.22) могут служить для определения
отрезков а и а', если известны f и j3n или /' при известных а или а/
и Ро-
§ 14. Формула и инвариант Лагранжа — Гельмгольца
Из точки А, расположенной на оптической оси, проведем луч
AM, составляющий с осью конечный угол а (рис. 17). Сопряженный
с ним луч М'А' образует с оптической осью также конечный угол
а'. Из рис. 17 получим
h = a tga — a' tga',
41

«о а = z + f и a' = z' + f, поэтому
(z+/)tga=.(z' + /')tg«'.
В соответствии с (3.13) у' _
г'
f
(3.24)
отсюда
-ff^^-M-r.
Подставляя значения z и г' в (3.24), будем иметь
yftga^-y't'tga'. (3.24')
Выражение (3.24), которое называют формулой тангенсов
или теоремой Лагранжа —Гельмгольца, показывает,
что для получения идеального изображения необходимо, чтобы
произведение из величины предмета, фокусного расстояния и
тангенса угла луча с оптической
осью в пространстве предметов
было бы равно произведению
соответствующих величин в
пространстве изображений с обратным
знаком.
Связь между фокусными
расстояниями и показателями
преломления характеризуется
выражением
Рис. 17. Ход лучей, образующих ко- J_ J^_
иечные углы с оптической осью f п
(3.25)
Учитывая (3.25) для (3.24), получим
ntftga-nytga'. (3.26)
Уравнение (3.26) является инвариантом Лагранжа —
Гельмгольца для идеальной системы. Если —/ = /'. то 0tga = у' fga'.
§ 15. Линейное, угловое и продольное увеличения
идеальной системы. Узловые точки. Видимое увеличение
Линейное увеличение. Для линейного увеличения были получены
формулы (3.13) и (3.19), т.е.
а у' f - г'■
fi0 = _»-T_--r,
Угловое увеличение и узловые точки. Под угловым увеличением
идеальной системы понимают отношение тангенса угла а',
образованного лучом с оптической осью в пространстве изображений,
к тангенсу угла а, образованного сопряженным лучом в
пространстве предметов, т. е.
R = У'
(3.27)
42

Так как (см. рис. 17)
tg а = hi а и tg а = Л/а',
то
То = ■£• (3.28>
Принимая во внимание (3.18), получим
To = 7- = f = f (3.29)
Из формулы (3.29) видно, что увеличение у0 не зависит от
углов а и а', поэтому для данной пары сопряженных точек оно имеет
постоянное значение для любых величин этих углов. Перемножая
почленно (3.19) и (3.29), будем иметь
ТоРо = — у или -уо= — J-J-. (3.30)
Положение главных плоскостей определяется, если в формуле
(3.13) принять р0 = 1; тогда z = —/ и г' = —/'. Для главных
плоскостей в этом случае уо = —///'. это значит, что луч, идущий из
точки В в точку Н над углом о>я, после преломления должен
пройти через главную точку Н' и выйти из системы под углом ся'я'»
причем «я Ф («я- (см. рис. 17). Указанный ход лучей вытекает из
того, что точки Н и #', с одной стороны, и В и В', с другой,
являются двумя парами сопряженных точек.-
Определим положение сопряженных точек и плоскостей, для
которых угловое увеличение у0 равно единице. Чтобы то=1. как
это видно из (3.29), необходимо выполнить условие
г = Г, -z'^-f. (3.31)
Сопряженные точки, для которых выполняется условие (3.31),
называются узловыми точками (рис. 18). Плоскости,
проведенные через узловые точки перпендикулярно к оптической оси,
называются узловыми плоскостями. Передняя узловая точка N
лежит правее переднего фокуса F на расстоянии, равном заднему
фокусному расстоянию /'; задняя узловая точка N' расположена
левее фокуса F' на расстоянии, равном переднему фокусному
расстоянию.
Естественно, что расстояние между узловыми точками равно
расстоянию между главными точками системы. Так как -уо = Ь то
tg «>лг = tg u),v и «>лг = содг, и, следовательно, сопряженные лучи,
проходящие через узловые точки, параллельны друг другу. При —f=
==f, т. е. когда система находится в однородной среде, например
в воздухе, узловые точки совпадают с главными точками.
Свойствами узловых точек пользуются для построения изображений
через оптические системы. Для этого проводят третий луч BN,
проходящий через пеоеднюю узловую точку; сопряженный с ним
43

луч N'B' должен выйти из системы через заднюю узловую точку
под тем же углом. (Для системы в однородной среде лучи
проводятся через главные точки).
Продольное увеличение. Сопряженными являются не только
отрезки, но также и пространственные предметы и их
изображения. Прямолинейный отрезок, расположенный вдоль оптической
оси, изображается в виде отрезка, расположенного также вдоль
z=f'
-z'=-f
Рис. 18. Узловые точки N и N' идеальной оптической системы
оси. Если обозначить через dz и dz' малые отрезки оптической
оси между сопряженными плоскостями, то отношение dz' к dz
называется продольным увеличением или увеличением вдоль
оптической оси (рис. 19), т. е.
«о = 15- (3-32)
Для определения величины <х0 продифференцируем формулу
Ньютона (3.11) по переменным г и г', тогда
zdz' -г z'dz = О,
откуда
dz'
dz
од ;
г
г
(3.33)
Умножим и разделим
правую часть уравнения
(3.33) на ff и напишем
его в следующем виде:
г' Г Г_
<хо = Г"*" f '
Заменяя отношения г'If и f/z через р0* получим
Рис. 19. Продольное увеличение идеальной си
стемы
<х0 = —■
L
/
(3.34)
Из (3.34) видно, что для предмета, имеющего протяженность вдоль
оси системы, изображение не подобно предмету, так как он
изображается отрезком, пропорциональным квадрату линейного увели-
44

чения. Изображение будет подобно предмету только в том случае, когда
Ро = —1 и —/ = /'. Если отрезки вдоль оси йг и dz' имеют
конечные размеры Дг — z2 — Z\ и kz' = г'г — z\, то, применяя дважды
уравнения (3.13) к каждой паре сопряженных плоскостей, получим
а0 = -^-=— J-^01^02, (3.35)
где р01 и р02 — линейное увеличение в сопряженных плоскостях,
определяемых координатами Z\, z\ и гг, %.
Связь между увеличениями Ро, То и ао- Сопоставляя выражения
(3.13), (3.30) и (3.35), получим следующие зависимости:
Торо = -///', (3.36)
<*оГо = Ро- (3.37)
При -/ = /'
ТоРо = 1 или То == 1/Ро, (3.38)
а0 = Ро2, (3.39)
т. е. угловое увеличение есть величина, обратная линейному, а
продольное увеличение равно квадрату линейного в той же паре
сопряженных точек.
Увеличения Ро. то и ао в фокальных плоскостях. Для предмета,
расположенного в передней фокальной плоскости, координата z =
= 0. В этом случае формула Ньютона дает величину z', равную
бесконечности, и увеличения р0, то и а0 в передней фокальной
плоскости будут иметь
следующие значения:
Ро = — //Z = — //0=оо;
То = г//' = 0//' = С,!
ао = —z'lz = —оо/0 =со.
(3.40)
Для задней фокальной
плоскости г' =0 и г = — оо.
Поэтому
p0==_z'//' = -0/f = 0;
To = //Z' = f/0 = a>;
ао = — z'lz = — 0/оо =0.
(3.41)
Видимое увеличение. Кроме приведенных выше трех
увеличений для систем вводится понятие о видимом увеличении.
Видимым увеличением называется отношение тангенса угла, под
которым глаз наблюдателя видит изображение, образованное
оптической системой, к тангенсу угла, под которым видим предмет
невооруженным глазом (рис. 20). Обозначая видимое увеличение
через Г, будем иметь
Г = -££-. (3.42)
45
Рис. 20. Видимое увеличение системы

Из рис. 20 имеем
tg<x = —yip, iga' = —y'/p',
поэтому
Кроме того,
Г —У--Е- — рп Р
У = — a tg (в, у' = —a' tg ш',
тогда
T=*pL*-±.. (3.42')
Видимое увеличение, как будет показано ниже, для разного
типа систем имеет различный вид.
§ 16. Расчет хода луча через идеальную систему
При расчете идеальных систем расстояние между главными
плоскостями не принимается во внимание, т. е. передняя и задняя
главные плоскости совмещаются в одну плоскость. Такое долу*-
щение не влияет на ход лучей, так как линейное увеличение в
главных плоскостях равно единице. Системы, в которых
расстояние НИ' принимается равным нулю, называются бесконечно
тонкими или просто тонкими системами. В дальнейшем
отдельную систему, представляющую собой комбинацию из
нескольких склеенных или близко друг к другу расположенных линз,
будем называть компонентом.
Возьмем две произвольные тонкие системы — два тонких
компонента i и 1+1» расстояние между которыми dt,(+i и фокусные
расстояния которых известны (рис. 21). Проведем из точки At луч
A (Mi, который пересекает компонент /, на произвольной высоте he.
Этот луч после прохождения компонента i пересекает оптическую
ось в точке А'(. Положение точки А\ можно определить, исходя из
формулы Гаусса (3.16), которое для компонента i напишем в виде
-+ + А=1, (3.43)
at а
откуда
« = т=г- (3-44>
Точка Л j является предметом для компонента 1+1, так как
пространство изображений для компонента / одновременно является
пространством предметов для компонента i+l. Переход к
компоненту /+ 1, согласно рис. 21, производится по формуле
af+i=a'i — 'dit(+i. (3.45)
46

Далее, применяя формулу Гаусса для компонента i+ 1, найдем
координату а,+1, т. е.
*+• - aai+lftV • <346>
В результате расчета хода луча находятся отрезки а и а' для
каждого компонента.
1+1
Рис. 21. Ход луча через систему из двух тонких компонентов
В практике используются формулы, по которым вычисляются не
значения координат а, а углы а и высоты h. Из рис. 21 имеем
tg <xj = hdau tg a't = tg af+i = hi/ Щ.
Умножая (3.43) на Л, и учитывая (3.47), получим
/■'*ga<+i + Atgai = A£,
(3.47)
откуда
tga(+i = г tgaf+-7
'i ~ fi
(3.48)
Переход к компоненту j+ I, как это видно из рис. 21,
производится по формуле
Применяя (3.48) для компонента i+ 1, найдем
tgcu+i
tt+\
^■tga(+1+-^
U.
t+1
Ч+\ 'i+i
Отрезки at и a'i+i определяются из выражений
Щ = A(/tga(+i, af+i = A(+i/tgat+i.
47
(3.49)
(3.50)

ai = hi/ar,
t..._, v~.^;— \y.w) для упрощения написания
обозначения tg опускаются и они записываются в виде
\
ft i А< .
«i+l = r«i'+ -7"»
/ii+i = /и— d;.£+iaj+f,
«i+i — —a'+i -r p—,]
^+ I '(+1
(3.51)
ai+i ~ hi+v к«-н- )
В (3.51) отношение фокусных расстояний можно заменить
отношением показателей преломления, и если ввести оптические силы
Oi = ni+i/f't и Фс+i =«(+i/Д'+1,то получим
at ~ h,lat;
п, ft,-
<**+) =
'<+i
■а,+
r'i+i
■Ф*;
hi+ \~hi — dlti+1 а j+1 ;
nH-i
«i+i = —7— а< + 1
"f+i
а^+i = h[+\l <x;+i
i+i
Ф
"*+i
/+i;
(3.52)
Если тонкие компоненты находятся в воздухе, то щ = n,+i = п^+)
= 1 и формулы (3.51) и (3.52) значительно упрощаются:
ас = hilm;
ai+i = а/ + А/Ф/,'
/ij+i = ft, — d(,,+ ia,-+i;
аг+1 = al+i + fti+|0,-+i;
Щ+\ = hi+\/ а,+|.
(3.53)
В формулах (3.53) высота h выбирается произвольно,
следовательно, произвольными будут и значения а, но их величины не
оказывают влияния на отрезки а, поэтому (3.53) называют также
формулами произвольных тангенсов.
§ 17. Оптическая система из двух компонентов
Рассмотрим оптическую систему, состоящую из двух
компонентов, фокусные расстояния которых и их взаимное расположение
друг относительно друга известны. Такая система имеет большое
применение в практике расчета оптических систем.
Для определения системы, которая по своему действию
эквивалентна двум заданным компонентам, нужно определить поло-
48

жеиие фокусов и главных плоскостей этой системы, а также ее
фокусные расстояния.
Известно, что задний фокус системы есть точка, сопряженная
с бесконечно удаленной точкой в пространстве предметов, т. е.
луч, параллельный оптической оси в пространстве предметов
(ai = 0), пересекает оптическую ось в пространстве изображений
в точке заднего фокуса F'. Поэтому для определения положения
Рис. 22. Оптическая система, состоящая из двух компонентов
заднего фокуса F' и величины фокусного расстояния f
рассчитаем ход луча, параллельного оси, через систему из двух
компонентов (рис. 22). Для первого компонента при а;=0 и
произвольном значении h\, исходя из формул (3.52), имеем
<*i
<*2
= Ai
h\ — da2 — h\\\ —d
«2
Для второго компонента
a2 = аз
■0.2
-l-fc-r-
ф,ф2
■Л~^
м^ + ^-<*
или
а3
т = <I'i + Ф2 — d
*2"3
Ф1Ф2
49

— ь». < \*bt.\J\*
t-oi.k.iuMHHc эквивалентной системы
/' = fli/аз,
тогда
л3//' = Ф1 + Ф2 — d
«2
(3.54)
Отношение n3/f является оптической силой Ф всей системы
поэтому
Ф = Ф, +ф2_й!^^1. (3.55)
Отрезок ар-, определяющий положение заднего фокуса системы
относительно второго компонента, называемый задним
фокальным отрезком, равен
аз
Н^Ь
Л,Ф
-/-(.-<■£
(3.56)
Расстояние от второго компонента до задней главной плоскости
системы
ан> = aF' — f .
Переднее фокусное расстояние, положение переднего фокуса —
передний фокальный отрезок и передней главной плоскости
эквивалентной системы — определяются расчетом хода луча в
обратном направлении, т. е. справа налево. Тогда в соответствии
с формулами (3.53) получим
Ф,Ф2
гЯ=Ф=-ф14-Фг — d
aF==f[\-d-±); aH = aF-f.
(3.57)
Если система находится в однородной среде, например в
воздухе, то
ф = _-1 = -1- = ф1 + ф2_ c№r$2;
ap = f{\ — d<Si); dF.~*f{\—d®x); (3-57')
ан = ap — f; flff = flp« — f ■
Применяя для расчета хода луча в прямом и обратном
направлениях формулы (3.51), найдем
/ = ■
f\-~h~d
■; /'
f'x-h-d'
*-ч'—£)• "'--' (1_7Г);
ан^ир — i — i -г-,
'2
= f 7-; aH' = ap' — t = — [ y.
(3.58)
60

Положение второго компонента относительно первого может быть
определено расстоянием между точками фокусов F\ и F% (отрезок
F\Fz = Д < 0 на рис. 22). Это расстояние называется
оптическим интервалом и обозначается Д. Из рис. 22для оптического
интервала получим
Д = —(fi —fr —d). (3.59)
Тогда для фокусных расстояний системы получим выражения
/--тт.' f—тг- (3-60)
В этом случае положение (Фокусов F и /*" и главных плоскостей
Н и Н' эквивалентной системы определяется отрезками Zf/, z'h-
И 2^?, н'
Точки F-i и /*\ а также F\ н F являются сопряженными
точками для первого и второго компонентов. (Точка /■" является
предметом, а точка /^ — ее изображением для первого компонента,
соответственно для второго компонента точка F\ — предмет, а/*" —
изображение). Поэтому для первого компонента г = гр и —z' = —Д,
а для второго компонента z ——Д и г =—Zf. Применяя формулу
Ньютона (3.11) для указанных компонентов, найдем
ZF = —' Zf= — —. (3.61)
Для отрезков гн и Zh' будем иметь
zh ~ f I ~ 1\ д •
Zh' = zf' — J —h-
(3.62)
о = --=-— (3.63)
Д
Найдем формулы для линейного увеличения эквивалентной
системы. На основании (3.13) можно написать
г ~ I' '
где / и /'—фокусные расстояния системы, состоящей из двух
компонентов; z и г' — координаты, определяющие положение предмета
и изображения относительно фокусов системы F и F'.
Координаты гиг' могут быть выражены через координаты- z\,
zF и 22, z'f' (рис. 23):
Z~Z\ — Zf\ Z = Z2—2f'.
Заменив zf и zf' их значениями из (3.61), получим
Ы\ *iA-/i/'i
z = zx — — = s ;
z =г2+ —= s
51

Подставляя (3.60) в (3.63), найдем
о /j/a /2/2 + *2А
„/ г ,
-^ г-,—. (3.65)
Линейное увеличение может быть определено также по
следующей формуле:
в У У2 VI У2 ч д
(3.66)
lL_M*i)
\-«г-Уг
i
Рис. 23. Ход л^чей через два тонких компонента и координаты, определяющие
положение предмета и изображения
Для системы, состоящей из двух компонентов, расположенных
в воздухе (—/ = /i, —/2 = /2). имеем следующие формулы:
Л'/а f|/s .
-J?-/'
/',+/2-^'
Ф = -р- = ф, + ф2 — G№i<t>2;
а, = /(1 - е№2) = -Г /1 - jr\ - /1 (l + 4");
'2
aw ^aF' — f = —/ ^ = /2j;
'■ г '2 .
*f =—д-> *' = — >
ffx + t'i ■ f-й+А.
zH =. —fx —-—, zH' = h —д— i
Д
f'xfi
52
(3.67)

§ 18. Частные случаи системы, состоящей из двух компонентов
Рассмотрим основные частные случаи системы, состоящей из двух
компонентов, получивших наибольшее распространение.
Система из двух компонентов, когда d = 0. Если расстояние
между компонентами равно нулю, то оптический интервал при—/i =
д=-(Л-м«=-(/;+/2)
формулы (3.67) примут вид
Ф = Ф, -\-Ф2;
aF = — f, aF< = f;
аИ = а'Н' = 0;
К . ;_ _
Zp f\+fV~r
Zh = f\\ Zh1 =—f2",
Г/,
Po /',2-2i(/;+/2)
f'2
fx+t*'
(4(fi+f2)+ff
\ fa
(3.68)
На рис. 24 показан ход луча, параллельного оси в прямом и
обратном направлениях, при f\ > ° и /г >0, а на рис. 25—при f\ >
>ои/;<о.
Телеобъектив. Система, в которой длина, т. е. расстояние от
первого компонента до задней фокальной плоскости, меньше
фокусного расстояния, называется телеобъективом (рис. 26, f\ > 0, f2 <
<0).
Отношение фокусного расстояния к длине объектива называется
коэффициентом укорочения,
Г =
Г
Отношение фокусного расстояния системы к заднему
фокальному отрезку называется телеувеличением,
Г =
-С-
dp/
Формулы (3.67) для телеобъектива имеют тот же вид.
Телескопическая, или афокальная система. В случае равенства
нулю оптического интервала задний фокус первого компонента
53

Рис. 24. Система
из двух тонких
компонентов при
d = 0, /[ > О,
/г>0
Рис. 25. Система
из двух тонких
компонентов при
d = 0, f'i>0,
?'2<0
совпадает с передним фокусом "второго компонента (рис. 27, а).
При Л=0 для (3.67) имеем
Ф = 0; а/г = clf" — со; а я = а/г = °о;
2/г = //г' = Zh — Zh' = с°;
(3.69)
Системы, в которых оптический интервал Д = 0, называются
телескопическими, или афокальными,
54

Рис. 26. Оптическая схема телеобъектива: f\ > 0, f2 < О, Д > О
А, В
h
CCfO
i *
1
^
1
х
d
аг
У/
i
^
,
1
«^7
4.^frfAf/.
*».
*r
Рис. 27.
-телескопическая система из двух положительных, компокееттов — система Кеплера;
о — телескопическая система из положительного и отрицательного комлоне втов —
система Галилея
55

На рис. 27, а показан ход двух пучков лучей: параллельного
оптической оси (<xi = 0) и образующего с оптической осью угол ш.
Пучок лучей, параллельный оптической оси в пространстве
предметов, после прохождения первого компонента #i#i соберется в
заднем фокусе его F\, а следовательно, и в переднем фокусе второго
компонента и после выхода из него будет также параллелен
оптической оси. Всякой точке на луче QM\ соответствует сопряженная
точка на луче M2Q', вследствие чего отношение ординат, а
следовательно, и линейное увеличение остается постоянным для любых
сопряженных плоскостей. Отрезок h, лежащий в передней
фокальной плоскости компонента #i#i, изображается отрезком—h',
лежащим в задней фокальной плоскости компонента #г#2.
Следовательно, передняя фокальная плоскость первого компонента и задняя
фокальная плоскость второго компонента являются сопряженными
плоскостями.
Наклонный пучок лучей выходит из точки предмета,
расположенной вне оптической оси в бесконечности. Для системы в
воздухе осевой луч наклонного пучка В\Н\, проходящий через
переднюю главную точку Н\, выйдет из задней главной точки Н\ подтем
же углом «о и пересечет второй компонент в точке Мз. Все лучи
наклонного пучка после выхода из компонента Н\Н\ соберутся в
точке В\ (В2), расположенной в задней фокальной плоскости его. Так
как точка Bi находится в передней фокальной плоскости
компонента #2#2, то изображение ее будет находиться в бесконечности,
следовательно, лучи наклонного пучка после выхода из #2#2 будут
параллельны между собой и образуют с оптической осью угол ш'.
Таким образом, любые пучки параллельных между собой лучей,
падающие на телескопическую систему, после выхода из нее будут
также параллельными пучками.
Система Н\Н\ или первый компонент называется объективом,
а #2#2 о к у ля ром. Основное назначение объектива — построить
изображение предмета, расположенного в бесконечности или на
значительном расстоянии от телескопической системы. Это
изображение является уменьшенным и обратным. Окуляр служит для
рассматривания изображения, построенного объективом, и дает
изображение в бесконечности, так как предмет (изображение у',
даваемое объективом) располагается в передней фокальной плоскости
его. Телескопическая система с положительным окуляром (см.
рис.27,а) называется системой Кеплера или астрономической
зрительной трубой. Телескопическая система с отрицательным
окуляром (рис. 27, б) не имеет действительного промежуточного
изображения (изображения, даваемого объективом), дает прямое
изображение и называется системой Галилея или земной зрительной трубой.
Оптическая система микроскопа. Если изображение,
построенное первым компонентом Н\Н\ — объективом, располагается в пе-
56

редней фокальной плоскости второго компонента #2#2 — окуляог
и оптический интервал не равен нулю, то такая система носит на
звание оптической системы микроскопа (рис. 28). В оптическое
системе микроскопа оптический интервал равен
А = г\ = -^ = —~ и d = /', + /2 + А.
\
tf
^±й.
\ </'
Г
Г
h^
"^С
Г*,
,
^
V
- ~°Р
'- ан
"*■
1<
1
КЧ
^•ч^
г- —^
*
Л'
ч^
^
<=*
4=Z,'
«г\
\У
«~-^ ,
,
F^2
-У'
ж ^',
1
""
"/ /£
Z,
ч' .
/
pV
/ /V
/ / /
/ //ccj
' ^//^
d ^
-"
// afr
F'~J
=0
-f
а и'
н
Рис. 28. Оптическая система микроскопа
В этом случае для (3.67) будем иметь
Ф = 1- = ф, + ф2 — ЙФ,Ф2 = - Ф1Ф2А = ^4i;
с, d ' cr d
a„ = f -r\ а,г=-Гу-;
'о l\
Zit zp, —
■zi;
> (3.70
г—(,+1;г"'=-г'(1+{)т--г4;
Po = 00.
Так как /j и /2 > 0, a z\ < 0, то / > 0 и /' < 0, поэтому передни!
фокус сивтемы F располагается позади передней главной плоско
сти Н, а задний фокус F' — перед Я'. Точки фокусов F и г
57

являются действительными точками. Равенство zf = zi показывает,
что в оптической системе микроскопа предмет должен располагаться
в передней фокальной плоскости ее. Первый компонент — объектив
дает увеличенное и перевернутое изображение. Линейное
увеличение объектива
r —У — ' А
(3.71)
Изображение после окуляра будет находиться в бесконечности,
так как отрезок у', являющийся предметом для окуляра,
располагается в передней фокальной плоскости его.
Из свойств телескопической системы и оптической системы
микроскопа вытекает, что изображение с помощью таких систем
не может быть спроецировано на экран, так как оно находится в
бесконечности. Поэтому для получения действительного
изображения позади окуляра должна быть установлена оптическая
система с конечным фокусным расстоянием. Такой системой
обычно является глаз наблюдателя, зрачок которого располагается
вблизи заднего фокуса окуляра (в точке Р').
§ 19. Оптическая система из трех компонентов и более
Если оптическая система состоит из трех компонентов и более
с конечными расстояниями между ними, т. е. является сложной,
то определение фокусных расстояний, положения кардинальных
точек ее (эквивалентной системы) и положения изображения
производится путем расчета хода лучей.
Допустим, дана оптическая система, состоящая из р тонких
компонентов, фокусные расстояния которых известны, а также
известны расстояния между компонентами. Для определения
фокусных расстояний, фокальных отрезков и отрезков,
определяющих положение главных точек системы, рассчитывается ход луча,
параллельного оптической оси (ai=0, щ——со), в прямом и
обратном направлениях (рис. 29). Применяя последовательно к
каждому компоненту формулы (3.51) и (3.52), получим: at =
= О, h\ — произвольно,
<Х2 = rati -\ г = — ai -\ Ф] = — Фь*
f, f, П2 "2 «2
а3 = ■
hi — h\ —d\a.2\
(у IXn Tin fin
- <X2 + —r = —■ a2 + — <&2
о /, П3 4
hp = /ijp^.1 — dp_i ap\
°-v+' = aP
i
a„
+
)'
68
"p+i
(3.72)

Если система расположена в идни^идпин «-*>vw, ■- -i -...* —
= л3 = ... =пр+\ и формулы (3.72) примут вид: ai=o А. _
произвольно,
<х2 = ai + Л1Ф1 = А1//1;
Л2 — Ai —fl?ia2;
аз = аг + Л2Ф2;
>
hp = /lp_i — dp_iap;
a.p+i == a„ + ЛрФр.
°7=*
-/•
1
i_* j
Л^*""
Hj ti
1
* a» *
h2
«У
2
i
«I
1
dz
«3
\
a?.
P
. dp-,
■—.
1 \p
H' /fy
ч
-ap
-а-'н!,.
-«? .
hp «^>^£"
'' >
Рис. 29. Ход луча, параллельного оптической оси, через систему из р tohki..
компс '°НТОВ
Задний фокальный отрезок
%-И
Заднее фокусное расстояние
f =—•
VH
(3.74
Положение задней главной точки относительно компонента р
ан- = ctF- — f.
Для определения ар, f и ан рассчитывается ход луча в обрат
ном направлении, для этого система поворачивается на 180е. В
результате расчета имеем
aF — _ qp,;
/=—f; aH=ap — f.
59

Оптическая сила системы может быть определена также по
следующим формулам:
«1=0;
a2 = -ai+ -d>i= — А,ф,;
Пл llro "о
аз = ■£ «2 + -■ ®i = ^-(AiOi + А2Ф2);
iLn it's (to 1
Так как
то
или
Vh = -J—(M>, + Л2Ф2 + ... + /грФр).
= j-(Ml+A2®2+ ... +АРФР)
Ф
Ф = ^|1Л(Ф, (3.75)
Если же расчет хода луча произведен по формулам Гаусса в
отрезках, то будут известны аи аг, «г, «з, .. ., ар, ар = ар'. В этом
случае фокусное расстояние системы не может быть определено по
формуле (3.74), так как неизвестны высота h\ и угол ар+\.
Выразить фокусное расстояние как функцию отрезков а\, Ог а'р
можно следующим образом. Напишем (3.74) в виде
о, h\ h\ «2 аъ %
Но
поэтому
или
hi = ацх2, а^/аз = аг/аг, ..., ap/ap+i = ajap,
ах -а2-а3- ... ар
а2 • а3 ... а.
= -ПЙ . (3-76)

Для определения положения и величины изображения
рассчитывается ход луча из осевой точки предмета по формулам (3.52)
или (3.53) (рис. 30). При этом высоте hi придается также
произвольное значение. В результате расчета получают hp и а' =ар+ь
Расстояние от компонента р до изображения
аР+\
По известным а\ и <xp+i
определяется линейное "г*
увеличение. На основании
(3.30) для линейного
увеличения имеем
Р°- Гто*
Но
VH
Рис. 30. Ход луча из осевой точки предмета "
через систему из р тонких компонентов
поэтому
Напишем (3.77) в виде
Г VH
(3.77)
/ «I
Заменяя отношения углов а/а' че;°з отношения отрезков а'1а,
найдем
•°~ 1'аха2
При -/ = /'
'-Ш
ИЛИ
_ а1
ш
(3.78)
(3.77')
(3.78')
Формула (3.78) используется, если известны отрезки а и а', т. е.
в том случае, когда луч рассчитан по формулам Гаусса в
отрезках. Величина изображения
У' = ф. (3.79)
§ 20. Изображение наклонных предметов
Рассмотрим изображение, даваемое тонким компонентом, если
предмет в меридиональной плоскости образует угол 90°—ф7 с
оптический осью (рис. 31,а). Построение изображения плоского
61

предмета UxtS2 производится следующим ооразом. продолжил
плоскость предметов до пересечения с передней главной плоска
стью. Так как система тонкая, то точки пересечения луча с
главными плоскостями Т и Т будут совпадать. Проведем из точки ?*■
которая располагается в передней фокальной плоскости системь
НН', луч, параллельный оптической оси. Этот луч в пространстве
изображений пройдет через задний фокус F'. Изображение точке
<Г
т.
~^/С
<#. Mi
А
°1/
в2
УА
№■
20
/т
I
^5^
35
^-2г
F И
-у ^
-а
Ч
X/'
h<^-
' /"
■<
^
W,
-*ц
\в:
а'
*'г
*/
.^
А'
W
"^^~^к
А',
-У'п
U-'li
1>
N
Р/
М
\
X
~*-
с
-^
<-i^/
л
?L_
L
-f
т
N
;
^^^/'
т'
t -^' -
и
/V7^
^- г2
<
-?/ -
"
у
л"
У
Рис. 31.
— пакленные плоокевти предмета и изображения; Ь — развертка наклонного предмета
виде квадрата и его изображение
М находится в бесконечности, поэтому луч Т'А', сопряженный
лучом AT, выйдет из системы-параллельно лучу M\F'.
Связь между двугранными углами срг и срг определяется и.
равенства
я',
tg<pT. =-tgcpr.
62

Учитывая (3.19),
tgtp'r == — [-' potgtpr, (3.80)
где Po — линейное увеличение в плоскостях, перпендикулярных к
оптической оси и проходящих через точки А и А'. Линейное
увеличение в любой точке предмета B\Bi и его изображения BiBl
может быть найдено по формуле
й - * ~ г'2
Так как
zi = г\ + z0 = — г- + У sin tpr;
Po
zi = z\ + z0 *= — f Po + у sin <pV',
то
P»-' f-^^r -Po-f sta^. (3.81)
В (3.81) точки, линейное увеличение которых необходимо
определить, берутся на отрезках у и у', отсчитываемых от точек А и А'.
Наибольшее линейное увеличение будет иметь место в точках Bi
и Вг, наименьшее—в точках В\ и В\.
Связь между углами а и а' осущесть.'яется равенством
На рис. 31,6 показана развертка плоскостей предмета и
изображения. Квадрат NCDM в плоскости предметов
преобразовывается оптической системой в трапецию N'M'D'C. Такая
развертка дает возможность определить координаты любой точки плоского
предмета, пользуясь формулами идеальной системы, для
меридиональной плоскости. В этом случае
/"=—, /' = —,. (3.83)
* cos а' ' cos <r v '

Глава 4
ОБРАЗОВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ
ПРЕЛОМЛЯЮЩИМИ И ОТРАЖАЮЩИМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ
§ 21. Условия образования идеального изображения
преломляющей поверхностью
Реальные оптические системы состоят из совокупности
оптических деталей, ограниченных преломляющими и отражающими
поверхностями различной формы. Каждая преломляющая
поверхность разделяет среды с различными показателями преломления.
Отражающие поверхности делят пространство на части, имеющие
один и тот же показатель преломления.
Отдельные лучи пучка, выходящие из различных точек
предмета, преломляются и отражаются на каждой поверхности
системы в соответствии с законами геометрической оптики. Поэтому
преломляющую или отражающую поверхность можно считать
элементарной оптической системой или простейшим элементом
любой оптической системы. Чтобы реальные оптические системы
отображали отдельные точки пространства предметов
стигматически, т. е. являлись бы идеальными, необходимо выполнение
положений, приведенных в § 9. Эти положения будут выполняться,
если каждая преломляющая поверхность системы будет
отображать любую точку и любой отрезок независимо от их положения,
также стигматически.
Идеальное изображение точки. Анабер рационные
преломляющие поверхности. Рассмотрим, какого типа должна быть
преломляющая поверхность, обеспечивающая стигматическое
изображение точки, расположенной на оптической оси.
Из принципа Ферма вытекает, что любая точка будет
отображаться стигматически, если оптические длины путей лучей света,
гроходящих через среды, будут постоянны для всех лучей,
выходящих из предметной точки, т. е.
А'
X ns = const, (4.1)
А
причем по каждому из оптических путей луч света проходит в
соответствии с законом преломления.
Допустим, поверхность вращения произвольной формы
разделяет две среды с показателями преломления п и п' (рис. 32).
Найдем уравнение поверхности, образующей идеальное
изображение точки Л, расположенной на оптической оси. Возьмем два
луча, выходящих из точки А и являющихся крайними лучами
64

плоского пучка: луч АО, идущий вдоль оптической оси, и луч
AM, образующий с оптической осью конечный угол а. Луч AM
в дальнейшем будем называть действительным лучом.
Луч АО при переходе из первой среды во вторую не будет
испытывать преломления, так как совпадает с нормалью к поверхности
в вершине ее О. Действительный луч AM претерпит преломление
в точке М, и если гс'>гс, то в соответствии с законом преломления
(е'<е) пересечет оптическую ось в точке А'. Точка А' является
действительным изображением точки А, так как она образуется
пересечением лучей МА' и ОА', сопряженных с лучами AM и АО.
(Для действительного луча координаты точек А и А' вцоль
оптической оси будем обозначать через s и s'. Выберем начало
координат совпадающим с вершиной преломляющей поверхности.
Координатами точки М пересечения луча с преломляющей
поверхностью будут г и у. Согласно (4.1) должно соблюдаться
равенство оптических путей АМА' и АОА', т. е.
—nt + n't' = —ns + n's'.
Из треугольников АММ0 и М0МА' имеем
* = ^+(s-z)2;
/' = К^ + (5'-г)2,
поэтому
~ J. ~ 2_ «■ -
п' ft/2 + (s' _ г)2] г _ „ [{/2 + (s_ г)2] г в „ v — ns. (4.2)
Выражение (4.2) является уравнением так называемой анабер-
рационной поверхности вращения, т. е- поверхности, образующей
совершенное (стигматическое) изображение точки. Уравнение
(4.2) представляет собой кривую сечения поверхности четвертого
порядка. Такие поверхности называются овалами Декарта.
Следовательно, стигматическое изображение точки предмета,
расположенной на оптической оси и на конечном расстоянии от
поверхности, с помощью широких гомоцентрических пучков лучей
может дать поверхность четвертого порядка. Такого типа
поверхность (овалы Декарта) довольно сложны в изготовлении, поэтому
не получили практического применения.
Допустим, предмет находится в бесконечности, т. е. s =—<х>
(о = 0) (рио. 33). При s = —оо должно соблюдаться равенство
оптических длин путей К.М.А' и ОА':
nz+n't' = n's'
или
пг + n'l' — n's* = 0.
3 1-446 65

Подставляя значение /', после несложных преобразований
будем иметь
\2
у*-й[1-Ъ]*+[(*)-\
(4.3)
Рис. 32. Ход действительного луча Рис 33. Анаберрационная преломля-
через преломляющую поверхность ющая поверхность при Si = — °о
Формула (4.3) представляет собой общее уравнение кривых второго
порядка (конических сечений) с началом координат в вершине
поверхности вида
y* = 2pz + qz\ (4.4)
где
Из (4.4) видно, что при s =—со анаберрационными
преломляющими поверхностями являются эллиптическая (q < 0, п < я') и
гиперболическая (<7>0, п>я')- Анаберрационная преломляющая
v поверхность параболичес-
п м- ■ - кой формы существовать
не может, так как при
<7=0, п = п' и пучки
лучей не будут преломляться.
Идеальное изображение
отрезка прямой. Любой
отрезок прямой можно
рассматривать как
совокупность большого числа
точек, каждая из которых
изображается
преломляющей поверхностью в виде
точки. Возьмем в пространстве предметов два луча Л Mi и ВМг
(рис. 34). Этим лучам в пространстве изображений будут
соответствовать сопряженные лучи Mi А' и М-гВ'. Расстояние между
произвольными точками А и В на лучах А\М\ и ВМг обозначим через
dy. В пространстве изображений этим точкам будут соответствовать
66
Рис.
34. Изображение элементарного отрезка,
расположенного вне оптической оси

сопряженные точки А' и В' и расстояние^'. Проведем через точки
В я В' поверхности Е и £', ортогональные к лучам AMlt ВМ2 и
М\А'', MiB', которые можно считать сферическими волновыми
поверхностями. Так как, согласно (4.1), оптическая длина пути вдоль
любого луча от одного фронта волновой поверхности до любого
другого должна быть постоянной, то из рис. 34 следует
пВМ.7 + п'М2В' = n~QM\ + п'М ,Q' = const.
Для получения идеального стигматического изображения точек
А и В необходимо, чтобы разность оптических путей вдоль любых
лучей, выходящих из точек А и В, была бы постоянной величиной.
Если оптический путь между точками В и В' обозначить через
L\, а между точками А и А' — через Lt, то
Ц — L\ = (пАлГх + n'MiA') — (nBMi + п'Жв') = const = о.
Из рис. 34 имеем
(пАС + пЩ + Щ — п'ТТ' — п'ТУС?) —
— {riBMi + п'МаВ') = U —Li=c. (4.5)
Но
riBMi + п'М В' = QQ'.
Поэтому, учитывая, что
AC = dy cos С и Л7С7 = — d/cosC',
для (4.5) получим
nd у cos С + n'dy' cos С' + «CQ — n''CTQ! = о. (4.6)
Уравнение (4.6) справедливо для вычисления разности оптических
длин путей для случая, когда отрезки dy и dy' имеют конечные
величины, так как никаких ограничений на расстояния между
лучами АМ\ и ВМч не накладывалось. При бесконечно малых
значениях dy и dy' разностью nCQ — n'C'Q' можно пренебречь,
тогда в пределе будем иметь
ndy cos С + n'dy' cos £' = с. (4.7)
Уравнение (4.7) носит название закона косинусов. Таким
образом, если точки А и В будут отображаться преломляющей
поверхностью в виде точек А' и В', то и бесконечно малый отрезок
dy будет изображаться в виде идеального отрезка dy'. Для этого
необходимо и достаточно выполнить закон косинусов (4.7). Чтобы
элементарная площадка изображалась в виде идеальной
элементарной площадки, необходимо выполнение закона косинусов для
двух каких-либо отрезков, расположенных в одной плоскости.
3* 67

8 ее. уравнения лагранжа— Гельмгольца и Гершеля
для преломляющих поверхностей
Рассмотрим два частных случая закона косинусов. Напишем
уравнение (4.7) для лучей, образующих с отрезками dy и dy',
перпендикулярными к оптической оси, углы С, Со и С , Со (рис. 35, а):
tidy cos С + n'dy' cos С' = с; |
ndy cos Со + n'dy' cos Co = c.J ^ ' '
a
Рис. 35. Изображение элементарного отрезка преломляющей поверхностью:
а—перпендикулярного к оптической оси; б — расположенного вдоль оптичеокой оси
Так как с является постоянной величиной, то для исключения ее
возьмем разность уравнений (4.8), тогда
ndy (cos С — cos Со) ~ п dy (cos С — cos Со). (4.9)
Из рис. 35, а видно, что углы С и С , а также Си и Со дополняют
углы о, о! и со, ai- до 90°, поэтому, переходя к углам о, из (4.9)
следует
ndy (sin о — sin oD) = п dy (sin о — sin ви). (4-10)
В таком виде уравнение (4.10) не применяется. Чтобы исключить
один из лучей, выберем начальные условия такими, при которых
\гпы о0 и ос равны нулю, т. е. луч АМ\ совпадает с оптической
осью. В этом случае уравнение (4.10) упрощается и принимает вид
ndу s'm а — n'dy'sin а. (4.11)
68

Следовательно, если точки А и А' отрезков dy и dy' лежат на
оптической оси и для этих точек выполнено условие точечного
изображения, то для получения стигматических изображений вне-
осевых точек В и В' отрезков АВ и А'В', а следовательно,
идеального изображения dy' отрезка dy необходимо выполнить уравнение
(4.11). Для этого нужно проследить ход только одного луча, обра
зующего конечный угол о с оптической осью.
Рис. 36. Ход действительного луча через систему из К преломляющих
поверхностей
Второй частный случай закона косинусов относится к отрезкам
dy и dy', расположенным вдоль оптической оси, что равноценно
смещению отрезков, перпендикулярных к оптической оси, на
величины dz я dz' (рис. 35, б). Принимая dy = dz, 'y'*=dz' и учитывая,
что Со = °о — 0» Со = о0 = 0 и С = о, —С = о , из (4.9) получим
ndz(l — cos а) = n'dz' (1 — cos о')
или
ndzs'm'2 — = n'dz'sin-' ^. M. 12)
Уравнения (4.7), (4.11) и (4.12) получены для одной преломляющей
поверхности, но они справедливы также для любой оптической
системы, состоящей из k преломляющих поверхностей (рис. 36).
Напишем (4.11) для первой преломляющей поверхности
ti\dy\ sin ai = ti\dy\ sin о*. (4.1 Г)
Подобное уравнение можно написать и для второй поверхности
tiidyi sin 02 — tiidy, sin o[, (4.11")
и для третьей поверхности
n.sdyx sin 03 = n%dy% sin 03 (4.1 Г")
и т. д. и, наконец, для k-ft поверхности
nkdy« sin ah = tikdyl sin о'. (4.11*)
Известно, что пространство изображений для первой преломляющей
поверхности является пространством предметов для второй, поэтому
отрезок dy\ равен dy%, угол о" раве>; а^ и показатель преломления
69

п{ равен «2. Подобные равенства имеют место и для других
поверхностей, поэтому можно написать:
йу2 = (1уз; П2 = Пъ\ 02 — аз', I (4.13)
dyk--\ = dyk', «*—i — п-k', °k-\ — о*.,
Учитывая (4.13) для (4.1 Г)— (4.1 \k), имеем
ti\dy\ sin oi = titdyi sin 02 = ... =
= tikdijk sin ak = nkdyk sin aft. (4.14)
Формула (4.14) называется уравнением Лагранжа — Гельмгольца
для пучков лучей, образующих конечные углы о с оптической осью.
Для системы, состоящей из k преломляющих поверхностей,
линейным увеличением является отношение величины изображения
dyk к величине предмета dy\. Обозначая линейное увеличение для
действительных лучей через ф, будем иметь
Принимая во внимание (4.14), найдем
~ йуъ п, sin о,
P = f-* = 4—4. (4.15)
Так как ndys'ma должно быть постоянной величиной как для одной
преломляющей поверхности, так и для системы, состоящей из k
поверхностей, то
- йцъ п, sin о,
В = _** = 4 1 = const, (4.16)
dyt n*sinat
т. е., чтобы изображение элементарного отрезка, перпендикулярного
к оптической оси, было бы идеальным, необходимо постоянство
линейного увеличения для любых точек предмета. Другими словами,
линейное увеличение не должно зависеть от величины угла в\.
Уравнение (4.16) известно как условие синусов или закон
синусов Аббе.
Аналогично, исходя из (4.12), для системы из k преломляющих
поверхностей найдем
в
ti\dz\ sin*~ = n2cfe?sin2y = ... = n[dzlsm2—. (4-17)
Уравнение (4.17) носит название условия Гершеля.
Таким образом, чтобы оптическая система, состоящая из k
преломляющих поверхностей, давала бы идеальное изображение
элементарных отрезков, необходимо выполнить условия: во-первых,
70

точка А отрезка, расположенная на оптической оси, должна
отображаться стигматически и, во-вторых, для отрезка,
перпендикулярного к оси, должно выполняться уравнение (4.14), а для отрезка,
расположенного вдоль оси, — уравнение (4.17) для пучков лучей
с конечными углами о.
Уравнения (4.14) и (4.17) одновременно не могут быть
выполнены, если даже и удовлетворяется (4.14), поэтому нельзя получить
идеальное изображение объемного предмета. Эти уравнения
выполняются одновременно лишь в случае, когда—oi = oe. Тогда
р = -^ = _! = _-4. (4.18)
Если среды однородны, то п\ = nk и р = — 1.
Уравнения (4.14) и (4.17) остаются неизменными после любого
числа преломлений и не связаны с конкретным типом системы, гак
как в них не входят конструктивные элементы (радиусы кривизны
г, расстояния d), поэтому являются полными инвариантами,
характеризующими общие свойства световых пучков.
Напишем инвариант (4.14) в виде
n\dy sin oi = nkdy sin о*. •■>
В § 14 для идеальной системы был приведен инвариант
rtiJ/tgai —Пьу tga*.
Эти инварианты, если даже принять, что йу = у, dye — у', о. = он
и Ok = а*, несовместимы, так как синусы не равны тангенсам для
конечных углов луча g оптической осью. Отсюда следует, что в
общем случае система, состоящая из преломляю их поверхностей,
не может дать идеальное изображение предметов, перпендикулярных
к оптической оси, если они образуются пучками лучей, имеющих
конечные углы а.
§ 23. Увеличение для системы преломляющих поверхностей
Линейное увеличение определяется формулой (4.15), т. е.
в = ^* = .'г,ч(по'
dy{ 'tfrSinoj
Угловое увеличение, как и для идеальной системы,
определяется по формуле
Т = р-А (4.19)
I tga, v
Заменяя тангенсы синусами и косинусами и учитывая (4.15),
получим
71

Продольное увеличение (рис. 37). Под продольным
увеличением понимают отношение изображения бесконечно малого
отрезка, расположенного вдоль оптической оси, к величине самого
отрезка:
«-£• (4-2°)
Рис. 37. Продольное увеличение для действительного луча
Из треугольников А\В\Ач и А\АчВ\
dyx ■ *!"'•
tgo)! =— , tgcoi =
rf*i
или
dy\
dz.
dy)
Sin Mi ==—— COS (Oi, Sintei =—; COS СО].
az\ dz]
Для сопряженных точек Л2 и Дг уравнение (4.14) имеет вид
п.\йуч sin ев) = n\dyi sin oi.
Заменяя sinu>i и sin и», найдем
dy\ • ' dy\
ri\uyi — cos tei = n\dtji —- cos a>i.
de,
dz.
Откуда для продольного увеличения преломляющей поверхности
"■ dzi /ij coso)| dyydy^ rtj coso>j ~~
ai = —= — — = P1P2»
dt\ n} coso), dyt dy2 n, coso>|
где Pi — линейное увеличение в сопряженных плоскостях AiB\ и
А\В\, а ^2 — линейное увеличение в сопряженных плоскостях АгВч
и Афъ. В связи с тем, что отрезки <te\ и dz\ бесконечно малы, то
можно принять Pi — ^2» тогда
ai =
«lCOSW, ~2
Pi.
я, cosu>( г
72

Для системы, состоящей из k преломляющих поверхностей, будем
иметь
~ ~ nk cos wk г»
a-ai .as • • • a* - ^ cos „,, ? •
Связь между увеличениями характеризуется выражением
~ ~ ~ cos aj cos o)ft
cos aft cos (0,
Считая в (4.21) углы w\ и со* малыми, будем иметь
~ "к й 2
a = — Р э
откуда
я1 ~
Из условия Гершеля (4.17) для продольного увеличения
(4.21)
(4.22)
(4.23)
(4.23')
имеем
1
- dz\ «,sil,2T
a:
= _'i
UZi Пь . о О,
'* • 2 "ft
й sin -2
2
(4.24)
Для линейного увеличения отрезков, расположенных вдоль
оптической оси, учитывая (4.23), (4.24), получим
. 2°1
П,\2 Sln J
nh . о О
или
2 °*
sin _
. °1
sin —
= ±^-Д. (4.25)
^sinl*
2
Сопоставляя (4.25) с (4.15), приходим к выводу, что они
одновременно не могут быть удовлетворены, поэтому, как уже указывалось,
оптическая система не может дать совершенное изображение
объемного предмета.
§ 24. Преломление лучей сферической поверхностью
Уравнение действительного луча. Найдем уравнение
действительного луча для сферической преломляющей поверхности и покажем,
может ли она удовлетворять требованиям идеальной системы (рис. 38).
73

**w.iiu.mcnnc пуелимленниго луча, а следовательно, и точки Л'будет
определено, если известны отрезок s' и угол а'. Из рис. 38 имеем
о = е -j- tp; а = е' -\- у,
откуда
о' = а — s + е';
ф = о — £ = а — г',
Из треугольников АМС и СМ.Л' следует
(4.26)
-s + r
sin (im° + ei <in(—«)'
,» sin (—e') sins"
отсюда
sin г = ^-i sin o; (4.27)
Рис 38. Преломление луча сферичес
кой поверхностью
slne'-'-y-isino'. (4.28)
Связь между (4.27) и (4.28) осуществляется законом преломления
(4.29)
п sin е = п sin г .
Для координаты s из (4.28) имеем
"", sine' sin а'—.sine'
S =Г—Г- , = Г : ; ,
sin о sin а
или, учитывая (4.27) и (4.29),
", / "С п sin о
S =г — (г — s)-r—.—;•
v ' п' sin о
(4.30)
(4.31)
Из (4.31) легко получить выражение в инвариантном виде
Но
поэтому
г — j . / / —• i . ,
п sin а = п sin о .
sin о = hit; sin о' = /i/f,
я(л —s) п' (г — i'i
-Qs
(4.32)
tr t'r
Формула (4.32) является инвариантом преломления Аббе
для действительного луча. Инвариант Q, справедлив только для одной
преломляющей поверхности. При переходе ко второй поверхности
он изменяет свою величину, т. е. не является полным инвариантом.
74

Для вычисления координат т и г могут служить следующие
формулы, полученные по теореме косинусов из треугольников АМС
и А'МС:
Р = (г — sf + г2 — 2л (г — s) cos ср;
Г2 - (г — ?)' + г2 — 2г (г — ?) cos ср.
Представим уравнение (4.31) в несколько другом виде. На
основании (4.27) и (4.28) можно написать
Г sin а Г sin а'
~~ sin о — sine' ~ sin о'—sine'"
s s
Умножим первое уравнение на п/г, а второе—на п'/r, тогда
п п <in о п' ft' sin о'
~~" ''(sine — sine) ' ~ г (tin о'—sin «О*
s s*
Вычитая nls из n'ls', получим
п' п п' sin а' л sin я
~ - г (sin а' — sin г') г (sin п — sin е)
■>' •>
После преобразования этого выражения найдем
--- = -7- + « -z- т+^ Г (4-34)
■> -i \ rs j \ cos—2— /
Формула (4.34) является уравнением действительного
луча в меридиональной плоскости сферической преломляющей
поверхности.
Уравнение (4.34) показывает, что при заданном положении точки
А, служащей вершиной гомоцентрического пучка лучей и
пространстве предметов, сопряженный пучок в пространстве изображений
не будет гомоцентрическим, т. е. лучи пучка не будут пересекаться
в одной точке А', так как при изменении угла о координата s' будет
переменной величиной. Оптические длины пути для осевого и
действительного лучей не равны друг другу:
n's* — ns=£ n't' — nt.
Пучок лучей с вер гни ной в точке А для угла о, изменяющегося
от нуля до некоторого значения атах, после преломления дает
картину, изображенную на рис. 39. В преломленном пучке лучей
наблюдается определенная закономерность: лучи пучка, составляющие
с оптической осью большие углы, после преломления пересекают
ось ближе к вершине О преломляющей поверхности. В плоскости,
проведенной через точку А' перпендикулярной к оси, где
пересекаются лучи, образующие с осью углы omux, изображение точки А
75
(4.33)

получается в виде кружка рассеяния радиуса А 'В'. Это явление
носит название сферической аберрации. Продольная сферическая
аберрация характеризуется отрезком
bs'=s' — s'.
Кроме того, при преломлении
имеет место дисперсия, вследствие
чего изображение представляет
собой сумму большого числа
монохроматических изображений.
Возникает окрашивание изображений.
Эти явления подробно изучаются
в теории аберраций оптических
систем.
Фокусные расстояния
преломляющей поверхности. Возьмем два
бесконечно узких элементарных
пучка лучей, параллельных
оптической оси: один пучок вдоль оптической оси, а другой — на
конечной высоте h, осевой луч которого является действительным
лучом (рис. 40). Лучи элементарного пучка, идущего вдоль опти-
Рис. 39. Преломление лучей
сферической поверхностью, образующих
различные углы сг с оптической осью
*^шшШт.
Ряс. 40. Фокусные расстояния сферической преломляющей поверхности
ческой оси, пересекаются в точке F', а лучи элементарного пучка,
падающего на преломляющую поверхность на высоте h, пересекаются
в точке F' на оптической оси, которая расположена ближе к
вершине поверхности О. Очевидно, что точки F' и F' являются
задними фокусами указанных элементарных пучков. Осевые лучи
пучков, падающих на поверхность и преломленных поверхностью,
пересекаются в точках О и М, расположенных на преломляющей
поверхности. Эти точки должны принадлежать задней главной
плоскости. Если же взять элементарные пучки, падающие на дру-
76

гих высотах, то их осевые лучи также будут пересекаться на
преломляющей поверхности. Отсюда видно, что главная плоскость
поверхности вырождается в поверхность того же радиуса, что и сама
поверхность. Следовательно, можно утверждать, что преломляющая
поверхность не имеет задней главной плоскости. Задними главными
плоскостями можно считать элементарные отрезки, касательные к
точкам О и М. Если мы возьмем элементарные пучки лучей,
идущих на разных высотах в обратном направлении, то осевые лучи
этих пучков будут пересекаться на поверхности. Отсюда следует,
что передняя главная плоскость также вырождается в сферу того
же радиуса, что и преломляющая поверхность. Очевидно, точки О
и М являются одновременно передней и задней главными точками
элементарных пучков лучей. Известно, что фокусные расстояния
отсчитываются от главных точек, поэтому заднее фокусное
расстояние для действительного луча (ось пучка) А\М будет равно
р = МА'=-Л-,. (4.35)
' sins' v '
Для действительных лучей заднее фокусное расстояние будет
изменяться с изменением высоты h и угла а', аля осевого луча
или луча, идущего параллельно оптической оси на бесконечно малой
высоте ho, согласно (4.30) имеем
Так как в этом случае углы е и а0 будут бесконечно малыми, то
f'=r—r-f. (4.36)
Апланатические точки. Для того чтобы гомоцентрический пучок
лучей, выходящий из точки А, после преломления остался бы
гомоцентрическим, т. е. чтобы координата s' в (4.30) была бы
постоянной и не зависела от изменений угла о или ср, необходимо
соблюдение условия
(4-37)
или
COS
2
sin
sin
е
а'
cos —
Е
7' =
const
cos 2
+ «'
: COnSt.
Условие (4.37) выполняется в трех случаях.
1. Если для сферической поверхности а = е, то согласно (4.37),
Т. е. а— е = а' — е',
77

В этом случае в соответствии с (4.27) и (4.28)
~ sin <J — sine
S = г Ш~а ;
~ sin а' — sine'
s ~ r si п о'
координаты s и s' будут равны
s = s'=0. (4.39)
Рио. 41. Апланатические точки Л и Л* преломляющей поверхности
Нормаль к поверхности совпадает с оптической осью и точка
предмета А и точка изображения А' совпадают с вершиной
преломляющей поверхности О (рис. 41, а). Гомоцентрический пучок
лучей а центром в вершине преломляющей поверхности после
преломления остается гомоцентрическим. Форма преломляющей
поверхности не играет роли, так как лучи пучка пересекают ее в
одной точке. Углы оно' связаны законом преломления
«sin а = n'sin а',
поэтому уравнение (4.15) будет
р= 44^Л = 1 = const, (4.40)
т. е. линейное увеличение остается постоянным для любых значений
о. Этот случай самостоятельного значения не имеет.
78
(4.38)

2. Если s = е' — О, то а = а' — луч совпадает с нормалью к
преломляющей поверхности (рис. 41,6). В этом случае из (4.38)
вытекает, что
s = s' = г. (4.41)
Лучи гомоцентрического пучка, выходящие из центра сферической
поверхности С или сходящиеся в этой точке, проходят ее по
направлению нормалей (по радиусам) и поэтому не преломляются (не
изменяют своего направления). Изображение — точка А' совпадает
с предметом — точкой Л. Так как а —а', то линейное увеличение
для сопряженных точек
р = 44^ = ^,= const, (4.42)
г п' sin а' п ' у '
т. е. выполняется условие (4.38) независимо от величины углов с.
3. Если е=—о', то в этом случае в соответствии с (4.26) г'—
=—а (рис. 41, б). По закону преломления можно ЬаПисать
nsins=—n'sinc, —nsina'= n'sin е'.
Подставляя значения sine и sine' в (4.38), найдем
s = г
sin а'
Из (4.43) вытекает, что
sin о
sin я'
+
п
п
sin О
п
+ п'
Sin a
sin a'
(4.43)
ns — n's' =r(r, + n').
Гомоцентрический пучок лучей, вышедший из точки А, после
преломления остается гомоцентрическим, так как координата s' не
зависит от углов о. Изображение получается мнимым. По закону
преломления при s = —а' и е' = —о имеем
sin о я
sin а1 я'
поэтому линейное увеличение
Таким образом, для сферической преломляющей поверхности
имеем три пары сопряженных точек, определяемых формулами (4.4 )),
(4.42) и (4.44), для которых она является анаберрациониой
поверхностью Для этих точек выполняется также уравнение (4.16)
независимо от величины углов о. Такие точки называются аплана-
тнческими точками.
79

s m. 11)д.лшчлспис элементарных наклонных пучков лучей
Рассмотрим преломление узких — элементарных плоских пучков
лучей в меридиональной и сагиттальной плоскостях.
Элементарный меридиональный пучок, ось которого АМ\
образует угол о с оптической осью, после преломления сферической
поверхностью собирается в точке А'т, и ось его М\Ат образует с
Рис. 42. Преломление элементарного меридионального пучка лучей
оптической осью также конечный угол о'. Расстояние от точки
преломления М\ оси пучка AMi и М[А обозначим через tm и t'm.
Отрезки tm и tm отсчитываются от точки Mi.
Найдем зависимость между координатами tm и tm.
Дифференцируя оптический инвариант (1.6) по переменным е и г', найдем
ncosede = rt'cose'de'. (4.45)
Согласно рис. 42
МХМ2
е = а — ср; de = da— dep; dtp =
e'= а' — ср; йг' = йа' — dtp;
мЖ . . щб2
da
'i^i
; da' =
Поэтому
ЛЬ£>| = M1M2COSS = bcose; М1Д2 = bcose'.
. b cost , , b cos«'
da = — ; da = —-.—
ds = £>
; de' = 6
80
(4.46)

подставляя значения as и as' из ^ло) в \ч.чо), после пре-
образования найдем
(4.47)
п COS е n' cos«' — п COS е
С '»
Формула (4.47) является уравнением элементарного пучка
Юнга — Аббе в меридиональной плоскости.
Рис. 43. Преломление элементарного сагиттального пучка лучей
Найдем уравнение для плоского элементарного пучка лучей,
идущего в сагиттальной плоскости, т. е. плоскости,
перпендикулярной к меридиональной и проходящей через луч АМ\ (рис. 43).
Положение точки УИг преломления сагиттального луча на
преломляющей поверхности легко найти, если меридиональную плоскость
повернуть на угол dty вокруг оптической оси. Введем обозначения
AM\ = ts, M\A's^t'a. Из треугольников АМ\С и М\А'$С по теореме
синусов напишем
г sin a г sin а'
^ sin ср ' {' sin <р *
Умножим первое равенство на п\г, а второе — на п'\г и
вычтем из второго первое, тогда
j£_ _п_ I
t.
[п' sine' —nsina].
is h 'sin?'
Так как o = s—<p и o' = e'—cp и учитывая оптический
инвариант, найдем
п' п п' cos г' —■ п cos t / . .д
~7 Т ~" г ' \ ' . >
s
Формула (4.48) представляет собой уравнение элементарного
пучка Юнга — Аббе в сагиттальной плоскости. Из (4.47) и (4.48)
легко получить
ncos.ri-^Wcos.'!"!-^
«["•-^-"'[^-f]
(4.49)
81

Уравнения (4.49) являются меридиональным и сагиттальным
инвариантами элементарных пучков лучей. Из (4.47) и (4.48) видно,
что при конечных углах о и о', а следовательно, и при конечных
углах е и е' координаты t'„, и <' Для одной преломляющей
поверхности имеют разные величины. Разность ts—tm называется
астигматической разностью вдоль оси элементарных пучков или
астигматизмом, а сами пучки — астигматическими пучками.
Для плоских астигматических пучков лучей точка А
изображается в виде, точек Ат и Аъ (которые в общем случае
располагаются вне оптической оси). Если же астигматический пучок
лучей представляет собой элементарный телесный угол с вершиной
в точке А, то изображение ее, образованное меридиональными
лучами, представляет собой элементарный отрезок прямой,
проходящей через точку А'т, перпендикулярный к меридиональной
плоскости: изображение, образованное лучами, идущими в
сагиттальной плоскости, также представляет собой элементарный
отрезок прямой, проходящей через точку А', и лежащий в
меридиональной плоскости.
Если tm = ts = — со, то в этом случае tm = fm> t = /s и
согласно (4.49)
f п Г COS* Е
' т
П COS £ —
п'г
п' cos е — п cose
(4.50)
где fm и /i, представляют собой фокусные расстояния астигматиче*
ского пучка лучей. Фокусами являются элементарные отрезки,
называемые фокальными линиями. Таким образом, наклонные
элементарные пучки лучей, образующие конечные углы с
оптической осью, не дают стигматических изображений точки.
§ 26. Преломление лучей плоскими поверхностями
Плоскую преломляющую поверхность можно считать частным
случаем сферической, когда радиус кривизны ее равен
бесконечности. Кроме того, для плоской поверхности е = а и е' = о' (рис. 44).
Уравнение действительного луча для плоской преломляющей
поверхности, исходя из (4.34), при г —со, <з = а и е'= о' будет
иметь вид
п COS я — COS о
(4.51)
отсюда для координаты s имеем
„, п соя а'
S = S
п cos а
82

Разделив числитель и знаменатель (4.52) на sin a sins' и при-
1яв во внимание, что
sin е' s:n о' п
sine sin ст п' '
(4.53)
получим
s'=s к
tQ s'
(4.54)
Лз (4.54) видно, что отрезок s'
зависит от угла а, поэтому гомоцентричс-
•кий пучок лучей после преломления *'
ла плоской поверхности перестает быть
гомоцентрическим, т. е. преломляющая
поверхность не может дать
стигматического изображения точки.
Линейное увеличение для плоской рис. 44. Преломление луча
тоеломляющей поверхности согласно плоской преломляющей поверх-
4.15) и (4.53)
ностью
Л sin а
= I = const
(4.55)
ie зависит от величины угла о. Изображение равно предмету
10 абсолютной величине и знаку (изображение мнимое).
зЦвг)
♦
№)
-о,-
■«—
Л/
*1
-
4 s''
i;
~h
в2 -e,J и,
А'г f 0,
Щ=пг
'/' '/<*7^г .
'-Ц '/< А
'/■ '/' '//
,/, >/, ■/>
'/, '/' '/'
•А '/' •/.
~Sl
^-^-£
"г t
°z
I Фъ
Рис. 45. Преломление луча плоекопаряллелыюй пластинкой
Рассмотрим преломление лучей при прохождении их через
синему из двух плоских параллельных между собой поверхностей,
"""экого вида система называется плоскопараллельной
:ластинкой (рис. 45). Применяя (4.54) последовательно
с двум плоским поверхностям, найдем
Sl =5|
tg"?
*2 — Si
ts°3
83

Отрезки S2 и si связаны уравнением
s2 = s\ — d,
поэтому
s2 = ( si — о) 7— = s\ i d -,—-.
2 K 7tg4o 'tgo, tg0„'
Заменяя тангенсы углов через синусы и косинусы их и
учитывая, что
sin о.
п, sin о.
Sin а
будем иметь
1 п3
Пч COS а.
V
rtg V-Ub Уо Яо COS Со
S2 =S! d ,
П, COS а, n, COS о,
(4.56)
Найдем положение точки А2 относительно А\, определяемое
отрезком As', характеризующим продольное смещение луча,
вышедшего из пластинки.
Из рис. 45 имеем
As' = s2 — s\ + d.
Учитывая (4.56)
As' = s\
"зcos аз . "з cos °з ~ , .
d s\ + а
Я, COS а, /J, COS о, ' '
и после преобразования
As' =d
1
Wo COS Co
W2 COS a 2
-Si
Wo COS a,
n, cos 0,
(4.57)
Отрезок As' изменяется с изменением угла а\, следовательно,
плоскопараллельная пластинка также не может дать
стигматического изображения точки. Линейное увеличение
d£ =f/_ __ »i sin о |
dy у пг sin o3
= const
(4.58)
не зависит от величины угла а\. Поперечное смещение луча г'
равно
z' = As'sina,. (4.59)
Если пластинка располагается в однородной среде, тогда «i= «3,
<ji = 03 и луч, вышедший из пластинки, будет параллелен
падающему лучу. В этом случае (4.56), (4.57) и (4.59) примут вид
84

S2 =Si
Д? = d
?=d
-g°2
*g°2
= Si —fi(-
n, COS a,
1
Sin(a, —o2)
= d
= d
1
Wi COS a.
1 —
n0 COS o,
cos =2
P =1 s= COnst.
Для пластинки в воздухе п\ = пз = 1, пч — п и
S2 = Si
rfsin(al-g2).
sin ч| sin <j2 '
sinoj;
tgo2 ~ d cos a,
■flrr- = Si
tg<
n cos o2'
As' = d
1
Я COS So
= d
1
}/>}2 — sin2a,
2'=fi(
1
COS o,
Уп*~ Sin2 a.
При малых углах oj
sin oi.
s2 = s,--;
(4.60)
(4.61)
(4.62)
§ 27. Отражение лучей от поверхностей
. Отражение лучей от зеркальных поверхностей подчиняется
закону отражения в' = —е. Для отражающих поверхностей
принимается п' = —п; расстояние между поверхностями после
отражения d» также будет иметь знак, противоположный знаку
расстояния до отражения g?v-i.
Правила знаков для отрезков s, s\ радиусов кривизны г, высот h
и углов о, а', е, е' и <р остаются прежними.
Анаберрационные отражающие поверхности. Для отражающих
поверхностей при «' = —« уравнение (4.2) имеет вид
[у2 + (s'~ г)2]2 + [г/2 + (s — zff* =s' + s.
После преобразования получим
9 л ^ 5
У =4~ г-
^S5^ z2. (4.63)
s' + s (s' s)2
Формула (4.63) является уравнением кривых второго порядка,
в котором
о ss
s' -f- S
(S' + S)
2 •
85

Если ^<0, поверхность будет элиптической, а это возможно
в том случае, когда координаты s и s' имеют одинаковые знаки,
т. е. когда отражающая поверхность является вогнутой. Если же
координаты s и s' будут иметь различные знаки, тогда q > 0 и
поверхность будет гиперболической. Осевые точки предмета и их
Рис. 46. Отражение
лучей вогнутой (а) и
выпуклой (б) сферическими
поверхностями
изображения располагаются в геометрических фокусах
эллиптической и гиперболической поверхностей. Коэффициент q будет
равен нулю только в том случае, когда s = —оо; отражающая
поверхность представляет собой параболическую поверхность.
Таким образом, эллипсоид и гиперболоид вращения являются
анаберрационными поверхностями для их геометрических
фокусов, а параболоид вращения — для предметной точки,
расположенной в бесконечности. Линейное увеличение согласно (4.15).
sin о
(4.64)
изменяется с изменением угла о, поэтому анаберраиионные точки
отражающих поверхностей не являются апланатическими точками,
и отрезки, перпендикулярные к оптической оси, не будут
изображаться в виде совершенных отрезков.
Отражение лучей от cqjepunecKux поверхностей (рис. 46).
Формулы для сферической преломляющей поверхности могут быть
использованы и для сферической отражающей поверхности. Урав-
86

нение действительного луча (4.34) при п' = — п и е'
равно
е будет
«' s \ rs
i+e
■ cos •
cos-
Уравнения (4.30) и (4.31) будут иметь вид
sin о' + sin » , / "X sin а
Г г-Ц ^r + lr—s)-
Sin <r
(4.65)
Из (4.64) и (4.65) видно, что коор-
Рис. 47. Отражение лучей плоской
поверхностью
дината s изменяется с изменением
угла о, поэтому гомоцентричность
пучка лучей после отражения его
от сферической поверхности
нарушается .
Изображение точки,
расположенной на оптической оси, при
отражении широкого пучка лучей, как
и в случае преломляющих
поверхностей, получается в виде кружка рассеяния.
Отражение лучей от плоской поверхности (плоского зеркала)
(рис. 47). Для плоской отражающей поверхности г=со, а = е и
а'== е', поэтому на основании (4.51)
1 1 1 COS а — coso'
~ ~г ~ ~ - COS а
Так как &' = —е, а' =—о, cos(—а) = coso = coso', тогда
откуда
s" =—s.
Линейное увеличение
= 1 = const.
(4.66)
(4.67)
Выражения (4.66) и (4.67) показывают, что плоская отражающая
поверхность отображает предмет в натуральную величину и не
деформирует падающий на нее гомоцентрический пучок лучей, т. е.
плоское зеркало отвечает всем положениям идеальной оптической
системы.
Построение изображения через плоскую отражающую
поверхность может быть выполнено следующим образом (см. рис. 47).
87

Допустим, что на плоскую поверхность РР из точки А падает
расходящийся пучок лучей АМО. Луч АО падает
перпендикулярно к поверхности, поэтому угол падения равен нулю и
отраженный луч пойдет обратно по направлению ОА. Луч AM после
отражения пойдет по направлению МА". Продолжив лучи А "М и АО до их
пересечения, найдем точку А', являющуюся изображением точки А.
Это изображение будет мнимым, и для наблюдателя,
расположенного в направлении отраженных лучей, кажется, что лучи выходят
из точки А'.

Глава 5.
ОПТИКА ПАРАКСИАЛЬНЫХ ЛУЧЕЙ
§ 28. Параксиальные лучи.
Уравнения для параксиальных лучей
Выше было показано, что сферические и плоские
преломляющие поверхности, а также сферические отражающие поверхности,
за исключением частных случаев, а следовательно, и оптические
системы, состоящие из такого рода поверхностей, не дают
стигматических изображений, т. е. не удовлетворяют основным
положениям идеальной оптической системы. Вместо точечных
изображений реальные системы дают кружки рассеяния конечных
размеров.
Для получения стигматических изображений точек,
расположенных на оптической оси, с помощью реальных систем
необходимо, чтобы в уравнениях действительных лучей (4.34), (4.51)
и (4.64) соблюдались условия
а ~\- е
0'+ £<
COS
соь
2 "
— cos —
о' + в'
cos 2
COS а — COS о'
COS
a -f- е
2 "
а
cos-
а'
а
' — г'
2
— е'
2
= const;
= const.
(5.1)
Эти условия выполняются во всех случаях, когда углы о и е
бесконечно малы. Тогда можно принять
t = s = s, t' =s' =s', sin 0 = 0, cos 0=1.
В этом случае
— ns + n's' = — nt + n't',
(5.2}
т. е. оптический путь осевого луча равен оптическому пути
любого другого луча, образующего с оптической осью бесконечно
малый угол о.
При бесконечно малых углах о, е, а следовательно, и о', е'
правые части уравнений (5.1) равны нулю и для (4.34), (4.51) и
(4.64) получим выражения:
89

для сферической преломляющей поверхности
7~ ~ Т } '
для плоской преломляющей поверхности
п' п
(5.3)
, , 0; (5.4)
для отражающей сферической поверхности
Как видно из (5.3) — (5.5), координата s' остается
постоянной для данной величины s, т. е. все лучи, выходящие из точки
А под любыми, но малыми углами, после преломления
пересекаются в одной точке — точке изображения А', Следовательно,
гомоцентричность пучка не нарушается и точка предмета,
расположенная на оптической оси, отображается стигматически.
Лучи, образующие малые углы а и о' с оптической осью и
малые углы е и е' с нормалью к преломляющей поверхности
называются параксиальными лучами, а область вокруг оси,
внутри которой распространяются эти лучи,—
параксиальной областью. Углы о и о' для параксиальной области в
дальнейшем будем обозначать через а и а', как и для идеальной
системы.
Формулы (5.3) — (5.5) называются уравнениями
параксиальных лучей в отрезках вдоль оси и могут быть
использованы для расчета хода лучей через преломляющие поверхности.
Таким образом, для параксиальной области имеем sinassa = a.
Эту область нельзя определить однозначно. Все зависит от
величины s' и от ошибки, с какой она должна быть определена.
§ 29. Фокусные расстояния преломляющей поверхности
Уравнение (5.3) для параксиальных лучей позволяет найти
фокусные расстояния преломляющей поверхности.
Возьмем преломляющую поверхность радиуса г,
разделяющую две среды с показателями преломления п и п' (рис. 48). Из
точки А, расположенной на оптической оси, проведем лучи АМ2;
после преломления сопряженный ему луч в пространстве
изображений MiA' пересечет оптическую ось в точке А . Если точку А
перемещать вдоль оптической оси по направлению к вершине
преломляющей поверхности О, го сопряженная точка А' будет
удаляться от поверхности. При определенном положении точки А
изображение ее будет находиться на бесконечно большом
расстоянии от поверхности, т. е. луч пойдет параллельно оптической осн.
Очевидно, что точка на оси, изображение которой находится в
бесконечности, будет являться передним фокусом преломляющей
поверхности F.
Если точка 4 находится на бесконечно большом расстоянии от
точки О, то луч A Ah, выходящий из этой точки, после преломле-
90

ния пересечет оптическую ось в точке F', являющейся задним
фокусом преломляющей поверхности. Так как точки М\ и Мг
являются общими точками для падающих и преломленных лучей, то
точка М\ должна лежать в задней главной плоскости, а точка
Мч—в передней главной плоскости преломляющей поверхности.
В параксиальной области эти точки находятся на бесконечно
малом расстоянии друг от друга и от вершины О, поэтому можно
Рис. 48. Фокусные расстояния преломляющей поверхности
считать, что обе главные плоскости совпадают и лежат в плоскости,
касательной к сфере в ее вершине О, т. е. можно считать, что
OF=>~f и OF' =/'.
Из (5.3) при s' = со следует
Так как в этом случае s = f, то
/ = JSL_. (5.6)
Полагая s=—оо (s' = /'), получим выражение для заднего
фокусного расстояния
Г
(5.7)
п — п
Из (5.6) и (5.7) видно, что фокусные расстояния сферической
преломляющей поверхности зависят от ее радиуса кривизны г и
показателей преломления п и п' обеих сред.
Взяв отношение (5.6) к (5.7), получим весьма важное выражение
у- = - £ . (5.8)
т. е. отношение фокусных расстоянии равно отношению
показателей преломления сред, взятому с обратным знаком.
Напишем (5.6) и (5.7) в виде
где Ф —оптическая сила преломляющей поверхности.
91
(5.9)

§ 30. Инварианты для параксиальной области
Сгруппировав в (5.3) все члены, относящиеся к пространству
предметов, в правой части, а относящиеся к пространству
изображений — в левой части, получим
^ = "(т-4)="'(^-7)- (5.10)
Эта формула носит название инварианта Аббе для сферической
преломляющей поверхности в параксиальной области.
Инвариант Qs может быть получен также из инварианта Аббе
(4.32) для действительных лучей, если положить t = s = s и
*' = s'=s'.
Инвариант Qs для двух сопряженных точек, находящихся на
оптической оси, есть величина постоянная, не зависящая от углов
а и а'. С изменением положения сопряженных точек на оси
величина Qs будет изменяться. Qs изменяется также при переходе от
одной преломляющей поверхности к другой, поэтому не является
полным инвариантом.
Оптический инвариант или закон преломления (1.6) для
параксиальной области будет равен
т = п'г. (5.11)
Напишем (5.11) для двух поверхностей:
первая поверхность
П\Ы = П\&\,
вторая поверхность
Величины п\ и «2» как уже указывалось, относятся к одной и
той же среде, поэтому п\ =п%, но г\ф£г и знака равенства между
инвариантами для первой и второй поверхности поставить нельзя.
Произведение пе сохраняет численное значение только при
переходе через одну поверхность, т. е. также не является полным
инвариантом.
Принимая sinai=ai=ai и sin о/> = ак — а.и для инварианта
(4.14), получим
/ = n^dyi) = rikdy'tk. (5.12)
Выражение (5.12) является инвариантом Лагранжа — Гельмголь-
ца в параксиальной области для системы, состоящей из k
преломляющих поверхностей.
Инвариант (5.12) является полным инвариантом; он
показывает, что отрезок прямой или часть площадки, перпендикулярных
к оптической оси, при прохождении лучей через систему
преломляющих поверхностей, может изображаться в виде
совершенного (идеального) отрезка ила плошадки.

При изложении теории идеальной системы была получена
формула Лагранжа — Гельмгольца (3.25), т. е.
/Vtga = -fytga'. (5.13)
Уравнение (5.13) справедливо для любых углов а и а' и при
каких угодно значениях у и у', следовательно, оно будет
справедливо и при малых величинах а, а' и у, у', т. е. ив
параксиальной области, поэтому можно написать
fdyoL^-f'dy'a'. (5.14)
При выводе формулы Лагранжа—Гельмгольца не ставилось каких-
либо ограничений относительно типа оптической системы и ее
устройства, поэтому можно считать, что она справедлива для
любой оптической системы.
Напишем (5.14) в следующем виде:
fdya. \= — f'dy'a.'k, (5.15)
где / и /' являются передним и задним фокусными расстояниями
системы. Сопоставляя (5.12) и (5.15), приходим к отношению
jr = -^. (5.16)
Ранее такое отношение было получено применительно к одной
преломляющей поверхности. Теперь мы видим, что (5.15)
справедливо для любой оптической системы.
Если пространство предметов и пространство изображений
системы представляют собой однородные среды, тогда П\ — п\ и
-/ = /', (5.17)
т. е. фокусные расстояния оптической системы равны друг другу
по абсолютной величине, но противоположны по знаку. Случаи,
когда п\ фпк, встречаются сравнительно редко. Примером
неравенства показателей преломления может служить подводная
фотография, иммерсионные объективы микроскопов {п.\ Ф 1, Пк=^\), а
также оптическая система глаза («1 = 1, п* Ф 1).
Используя отношение (5.16), из (5.13) найдем
«ij/tgai =nfei/'tga'(,. (5.18)
Формула (5.18) является уравнением тангенсов или
инвариантом Лагранжа — Гельмгольца для идеальной системы.
Реальные оптические системы, как было показано выше,
могут дать совершенное изображение отрезков малой величины нри
выполнении уравнения (4.14)
tixdys'm о\ — n'udy'smo . (5.19)
Инварианты (5.18) и (5.19) совместимы только в том случае, когда
углы 01 =<*! и ф.. =■■=-■ а', бесконечно малы (tga =* sin о = а) и
величины предмета и изображения также малы.
93

Таким образом, можно сказать, что идеальная оптическая
система осуществляется только в параксиальной области реальных
систем. Следовательно, все положения и формулы идеальной
системы справедливы для параксиальной области. Поэтому для
идеальной системы и параксиальной области углы лучей с
оптической осью обозначаются одинаково — через а и а'. Однако
уравнение (5.18) имеет большое практическое значение, так как оно
выражает собой требования, которым должна удовлетворять
оптическая система, строящая изображение широкими
гомоцентрическими пучками лучей.
§ 31. Вспомогательные параксиальные лучи
При решении ряда практических задач прикладной оптики
возникает необходимость производить расчет хода лучей через
оптическую систему, состоящую из преломляющих и отражающих
поверхностей, при конечных значениях углов а и величине
предметов, считая систему идеальной. Формулы (3.44) —• (3.46) и (3.52),
полученные для расчета хода лучей через идеальную, систему,
непригодны для этих целей, так как она задается главными
плоскостями и радиусы кривизны в них отсутствуют. Непригодны для
этих целей и формулы для параксиальных лучей из-за малых
углов и высот, образованных этими лучами. Поэтому вводят
понятия о вспомогательных параксиальных лучах.
Возьмем на оптической оси преломляющей поверхности две
пары сопряженных точек — /4„ 4V и Р„ Р» (рис. 49). Расстояния
от преломляющей поверхности до сопряженных точек Pv и Р\
обозначим соответственно через s^, и Sp',. Тогда А-, и А', связаны
уравнением параксиальных лучей (5.3)
Аналогичное уравнение можно написать и для сопряженных точек
Л и Р\х
i--^ = ^p-. (5.20)
Очевидно, что отрезки sv, s, и s/-„ sps на рис. 49 — это отрезки
параксиальных лучей.
Обычно в практике вычи;лений используются два луча, поэтому
возьмем две точки М\ и М?, лежащие на касательной к вершине
преломляющей поверхности, которая является продолжением
главных плоскостей в параксиальной области. Эти точки находятся на
конечных расстояниях (высотах) h, и ц-. от оптической оси. Точку
М\ соединим прямыми с точками Л„ и Л», а точку Mi — с
точками /\ и Pi Продолжение прямой МгР* до пересечения ее с
перпендикуляром к оптической пен, проведенным через точку Л»,
»4

даст точку В,. Отрезок АМ*=у будет являться предметом, г
сопряженный с ним отрезок ЛЖ=—у'— изображением.
Полученные таким образом ломаные линии А,М\А, и В^МъР
называются вспомогательными параксиальными
лучами. Эти лучи называют также нулевыми лучами.
Рис. 49. Первый (ЛуД1,) и второй (BVM3) параксиальные лучи преломляюше;
поверхности
Вспомогательные параксиальные лучи это фиктивные лучи
они в действительности не могуг существовать в оптических"
системах потому, что преломляются не на поверхности, а в точка;
М] и М2, расположенных в фиктивной главной плоскости прелом
ляющей поверхности. Таким образом, преломляющие поверхносп
заменяются фиктивными главными плоскостями; этим самым or-
тическая система, состоящая, допустим, из k преломляющих п<-
верхностей, заменяется идеальной системой, состоящей из того ж^
количества поверхностей.
Несмотря на фиктивность вспомогательных лучей, они оказь
ваются практически очень удобными благодаря следующим ceoi.
ствам: а) они отрезают на оптической оси отрезки s» и s», а такж^
sP, и sp/,, соответствующие параксиальным лучам; б) углы а„ ау
Р„ pv и высоты А» и г/, обычно не намного отличаются от углов i
высот реальных (действительных) лучей, проходящих через опт*-
ческую систему; в) формулы для расчета хода вспомогательны;-
иараксиальных лучей значительно проще аналогичных форму/
(фигонометрических и в векторной форме) для действительных
лучей. Указанные особенности вспомогательных параксиальных
лучей дают возможность просто и быстро проводить аналитическое
исследование оптических систем.
В дальнейшем луч А-,Ми проходящий через точку предмета
А„ ^расположенную на оптической оси, и образующий с
оптической осью конечный угол а», будем называть первым
вспомогательным параксиальным лучом или просто первым
параксиальным лучом, а луч В,Мч, идущий из точки предмета,
расположенной вне оптической оси, проходящий через точку Р, и
95

образующий с оптической осью конечный угол (3„, — вторым
вспомогательным параксиальным лучом или вторым
параксиальным лучом.
Уравнением первого параксиального луча в отрезках вдоль
оптической оси является формула (5.3), а для второго
параксиального луча— формула (5.20).
Инварианты Аббе и Лагранжа — Гельмгольца: первый
параксиальный луч
Q, = nv
= П; —г
J = niyxi = n'kt/'а'ь;
второй параксиальный луч
/-> Г 1 11 'Г '
J = nimipi =n'ijrii#'k-
(5.21)
(5.22)
§ 32. Формулы для расчета хода первого и второго
параксиальных лучей
Уравнения первого и второго параксиальных лучей (5.3) и (5.20)
для произвольной поверхности v имеют вид (рис. 50)
; (5.23)
(5.24)
r'v+l
М-г
Vm
М-г
Отсюда для координат s» и s,,'» получим
геу-Нг»
V + 1
»v — _ „
/ ч , ПчГч
("V+1-"V)+^.V
V
""'' (nv+1-n,)+^l
=
я,+ 1 —«, я/
г, + S,
' 4.1 — Л, Я»
'.. ' V
(5.25)
(5.26)
Переход к поверхности v + 1 производится по формулам
sv+i =-s — dv; (5.27)
sp,+ i = sB.„ — d„. (5.28)
В результате расчета хода лучей находят отрезки s' и s'„
определяющие положение изображений после каждой поверхности.
Как и в случае идеальной системы, в практике вычислений
используются формулы, в которые входят углы я,р и высоты h и у.
Из рис. 50 следует
h h
V V
av ■-= — , av+, = —г
fjv =
?»+!=•
V,
(5.29)
В (5.29) величины аир представляют собой тангенсы углов.

Помножив каждый член (5.23) на конечную величину К, а
24) на конечную величину у-,, учитывая (5.29), найдем
nv+i<xv+i— яЛ = /г,—1± ?; (5.30)
rtv+lpv+l П$ч = Уч
(5.31)
\/-fi
\^-Uv\
ft r<
i
1 >
\A>
~fyi>
Рис. 50. Ход первого и второго параксиальных лучей через поверхности v и v -J- 1
отсюда
a„+i = ^a, + hv±±l^; (5.32)
*v + l
п..
"v+l'v
= n h + & П ,r
"v+1 "v+l'v
»+l = n P""1"^ n ,r ' (5-33)
"v+1 "v+l'v
Для определения высоты /zv+i и yv+i> необходимы переходные
формулы.
Из рис. 50 легко найти
Л,+1 = ftv — rf,a,+i; (5.34)
г/»+1 = */,— d,p»+i. (5.35)
Если оптическая система состоит из k преломляющих
поверхностей, то на основании (5.32) и (5.34) для первого параксиального
луча можно написать следующую систему уравнений:
ai = /г i /s t; }
"i , П2~п
a? •-- — а, 4- «i
п0 п./.
Л, = Л
dia2;
/г.", ~ hk—\ — dt—\o.k\
Ч , , n'k-
(5.36)
V*
А* = h;Ja.,.
У?

Из расчета хода первого параксиального луча можно определить
линейное увеличение в сопряженных точках А\ и A'k. Обозначая
линейное увеличение для параксиальной области через Ро, на
основании (4.15) будем иметь
Л,а,
ро = -44 . (5.37)
Напишем (5.37) в виде
,1как
Так как
тогда
. — *2
а3
М *1»2
»ls2
п
(5.38)
(5.39)
Формула (5.39) используется в том случае, когда луч рассчитан
по уравнениям (5.25) и (5.27).
Для углового и продольного увеличений в соответствии с (4.19')
и (4.23) для параксиальных лучей найдем
То =^4; (5.40)
nk Ро
\2
«0
._*Р2
(5.41)
Формулы (5.40) и (5.41) могут быть получены из (3.30) и(3.34),
если в последних отношение фокусных расстояний заменить
отношением показателей преломления по (4.16). Отсюда также
видно, что между идеальной системой и параксиальной областью
имеется полное соответствие. Уравнения (5.37) и (5.40) могут
быть получены также из инварианта Лагранжа — Гельмгольца.
Если рассчитать ход первого параксиального луча при si =—со,
то можно определить положение заднего фокуса системы
относительно последней поверхности и заднее фокусное расстояние ее
(рис. 51). Расчет хода луча производится по формулам:
а, =0;
Л,"2'
п,Г]
h] — dm;
hk = Л*—i — dk—\ak\
«,,
(5.42)
а, = -г (ti, -I- hit
п
k'k
Sk-
Sf ~ hklak
98

Заднее фокусное расстояние системы
f = h\Uk и sh> = sf— f.
/читывая (4.38) и выражение h\=s\^, найдем
М»2
ъ2ь3
sk
(5.43)
^ис 51. Заднее фокусное расстояние Г и задний фокальный отрезок sF, системы
из К преломляющих поверхностей
Для нахождения переднего фокусного расстояния и положения
"[среднего фокуса системы необходимо рассчитать ход параксиаль-
юго луча в обратном направлении.
Система формул для расчета хода второго параксиального луча
шеет вид:
pi = yi/sp;
г/г = y\ — d$2;
П9Г]
Ук = ук-\ —dk-i^kl
в: = — ^ + Ук-
nffi<
(5.44)
V = Ук1}'к.
Линейное увеличение в сопряженных точках Pi и Р\
3|3р ==
"ft?.- nk Ук sf
99
(5.45)

Если система состоит из плоских поверхностей, то расчет хода
лучей производится по формулам:
первый параксиальный луч
ai = h\ls\, ац — — оц;
"2
h2 = h\ — dia2;
hk = hk^i — dk—\a-k',
n* • и 1 '
ak = —r a*» St = rtfc/afe;
«* i
второй параксиальный луч
"2
t/fc = t/fe_i — й*_)Р*;
Pfe = — Pfe. V = yk/$k.
nk
Расчет хода параксиальных лучей может быть выполнен
также по формулам (4.58) — (4.62), если в них синусы углов заменить
углами.
§ 33. Уравнения параксиальных лучей,
отнесенных к произвольной паре сопряженных точек
Из приведенных выше формул (5.25) и (5.32) видно, что при
изменении координаты s\ каждый раз нужно производить расчет
хода первого параксиального луча через всю систему для
определения координаты si и линейного увеличения (Зо. Поэтому найдем
выражения, позволяющие на основании данных расчета только
одного произвольно взятого параксиального луча определить
необходимые величины для любого другого параксиального луча. Для
этого установим сначала связь между высотами h и у, углами a
и р и координатами s и s?.
На основании инварианта Лагранжа — Гельмгольца (5.21) для
первого параксиального луча можем написать
I в, туа.1 = п'ку'л'к. (5.48)
Из рис. 52 имеем:
y=(s„-s,)p,;> J (549)
100
(5.46)
(5.47)

но
поэтому
у1
h
°p~-f,' Sx~~,'sp'==~,s''~
9k , h
k
A
У_
Pi"
ffk
(5.50)
Рис. 52. Ход первого и второго параксиального лучей через систему из k
преломляющих поверхностей
Умножая все члены первого выражения (5.50) на a$i, а
второго— на a.$k, получим
С учетом (5.51) инвариант (5.48) будет равен
I ~П[ (у\а.\ — fl]$\) =nk{ykZ; —h$'k).
Если из (5.52) исключить углы а и J3, то
г , '1\У\ • t • '\ hk4k
I = ЛI (S„ — Si) —— = tlk (Sp- — S*) -7-7- ,
(5.51)
(5.52)
или
1 = л, (T — —\hxyx =n'k(- Ah«ijk.
Для высот Аг и г/2 имеем
А2 = Ai— dia2;
{/2 = yi — dip2.
Исключим из (5.55) угол (Ъ с помощью (5.52).
10!
(5.53)
(5.54)
(5.55)

Для первой поверхности (5.52) может быть написана в виде
J = и, (/лап — AjPi) ~Пг(у\И2 — /tip2). (5.56)
Из (5.56) можно получить выражения для углов pi и |32 в
зависимости ОТ в(| И Я*.'
*1 !
(5.57)
(5.58)
Подставив в (5.55) вместо ^ его значение из (5.58), найдем
г/2 = г/i — й\
-1-0.2 —
я2Л]
или
Щ
(* = £(*,_*.,) +
(5.59)
(6.60)
Формула (5.60) может служить для определения высоты, на
которой второй параксиальный луч пересекает вторую
преломляющую поверхность.
Принимая во внимание (5.54), будем иметь
У-тЬ + и*-^. (5.61)
Аналогичным путем для высоты уз на третьей преломляющей
поверхности можем написать
уз = ,77 ^з + 1Лз
Для yk на k-и поверхности
+
n2hxh2 n3h2h3 •
Ук = j h + lh
Напишем (5.63) в виде
d, d2
**-1
n2ft[ft2 "з^з
4hk-ihk
ft* fti 2j «A_ift,
(5.62)
(5.63)
(5.64)
Введем обозначение
lA-\h-
тогда
_.__.+IS,
102
(5.65)
(5.66)

Формула связи между углами al и §\ на основании (5.58) будет
равна
или, учитывая (5.66),
Ук .
_
i
i
аь ;
(5.67)
(6.68)
Уравнения (5.66) и (5.68) позволяют вычислить координаты у/,
и фк второго параксиального луча, не прибегая к расчету хода
его через систему.
Из (5.53) имеем
nkhkVk
J_ _l_
Так как на основании (5.66)
ь J
1 + 1
и принимая во внимание, что
для (5.69) получим
/. \ 9 1-
1
1 «* hk
1 n,U,
+ nihiSs
или
I 1 "l/'MV
4 v ч \hK
Из (6.71) легко получить
I
1 1
S| ~splT ">"l°*
+ «,A?SS
Mnft
или
>l »„
1 I
_L _L
L 4 4'
** v
s> *P ^Y-,.«?-74—W
„; l /«,
M"l ■-
*A V
(5.69)
(5.70)
(5.71)
(5.72)
— n,h'S, (5.73)
(5.74)
103

Уравнения (5.71) и (5.73) служат для определения координат sp
или Sp- второго параксиального луча по результатам расчета хода
первого параксиального луча.
Выражения, связывающие инварианты преломления Аббе для
первого и второго параксиального лучей с инвариантом Лаг-
ранжа — Гельмгольца, можно получить следующим путем.
Согласно (5.21) и (5.22) имеем
Q.-Q* =*({--$• (5-75)
В соответствии с (5.53)
I=nv(i_i)A*
и
Qp*-Qs, = —-. (5.76)
Порядок определения координат второго параксиального луча
может быть рекомендован следующий. Из расчета хода
произвольного первого параксиального луча по формулам (5.25) и (5.27)
будут известны координаты si, s2, s2, ... ,sk. По найденным
значениям s вычисляют высоты h2, Лз, .. ., /г*, по формуле
hk = А*_, А- , (5.77)
предварительно приняв любое значение hi. Затем определяют
величину Ss по формуле (5.65). Задавшись произвольным значением у\,
вычисляют величину уь по (5.66), предварительно определив I по
(5.53) по заданной координате sp. Координата s'p> вычисляется по
(5.71) или (5.72). По уравнению (5.73) решается обратная задача.
Если расчет хода первого параксиального луча выполнен по
формулам (5 36), то значение всех высот h будет известно и
определение координат второго параксиального луча начинается с
формул (5.65) и (5.66).
§ 34. Формулы для определения фокусных расстояний
и положения кардинальных точек линзы конечной толщины
Для получения изображений одиночные сферические
поверхности, за исключением отражающих, практически не применяются.
Самые простые системы обычно состоят из трех прозрачных сред,
которые разделены двумя сферическими или одной сферической и
плоской поверхностями. В большинстве случаев первая и третья
среды имеют одинаковые показатели преломления. Такие
системы называются линзами. Линзу можно рассматривать как
сложную систему, состоящую из двух простых — двух сферических
поверхностей (рис. 53).
104

Для определения фокусного расстояния и положения
кардинальных точек линзы применим формулы (5.42) для первого
параксиального луча:
«1=0;
а-2 = h\
h2 = h\— da2 = h, — dh\ '2 "'
= Ai
r'2'l
1-d-
Ло^-Л,
Hr\
a3 = — а2 + Л2 ■
лз
г'3'2
(5.78),
-} (5-79)
(5.80)
с£,=0
/=■
"1
-5F
~f
-«
i
Ml
Or
/<^J
c"
"i-
ssX
A/ /fc
V
5//
>-
/=/7i
Дн
-S„r
f
oz
■^
Ct?*^
\
s'F;
f'
F'
Рис. 53. Ход первого параксиального луча при aj = 0 через линзу конечной толщины
Подставляя (5.78) и (5.79) в (5.80), найдем
аз
Л,
Из рис. 53 имеем
' Ч - "l , "3 - "2 d (п2 - П\) ("3 — «2)1
а3 =
/' *
Приравнивая (5.81) и (5.82), получим
Г
По — л,
"34
(п2 — "О ("з — "г)
ПоГ<
откуда
/' =
'3'2
ЧНГ\Г2
Чпгг\гч
п2г2 (пг — п,) + «„/-, (п3 — п2) - d (п.г — я,)(я, — /г2)
Переходя к оптической силе линзы, будем иметь
Ф =
По "l
"3 — "2 _ ^ j»2 —"l)("3 —n2)
"г'Уг
(5.81)
(5.82)
(5.83)
(5.84)
(5.85)
Расстояние от второй поверхности до заднего фокуса линзы —
задний фокальный отрезок
SF- =-—
a3
l2'l
"з — «2 ("2— "i)("3~ "г)'
"3r2 ~" ЧЧГ\Г1
ПоГ
3'1
105

После преобразования с учетом (5.84) найдем
п2 — пх d
SF"=r
1
(5.86)
п2 r,j
Расстояние от второй поверхности линзы до задней главной
точки ее
"2 — "l d
sH, = sf> — /' = —/'
(5.87)
"l n2~ *1 , "3-"2 d ("2 — "l)("3~"2).
n2rxr2
Рассчитав ход первого параксиального луча в обратном
направлении, найдем
' п2г2(п2 — пх)-\-п2г^{пг~ л2) — d(n2 — ii)(n3 — "2)' V ' '
(5.89)
(5.90)
(5.91)
(5.92)
S/, = /
"3—"2 d
_ _, f дз — "2 d
SH - SF I— I n? r2'
Расстояние между главными точками линзы
НН' =&.H~d — sH + s'H, = d
Из (5.85) и (5.89) видно, что
1-Г
г*2'2
/'
По — П,
'2'1
f f, *.
Если линза находится в воздухе, т. е. п\ = из = 1 и «2 = я. то
дау2
-/-Г
[я-1]{л(г2-г,) +(*(»-!)]•
1
Ф=у = [П-1]
Г 1 П , (л - l)2 d
[±_±1
= -/'[! + — ^]
4=/'
л—1 d
Z±±\
s„.
г, /г — 1 d
„ п — 1 d
. /г — 1 I , , л — 1 d £Л ,
л' л [ га г(/-2 ' J
(5.93)
106

Произведение sFs'F, дает следующую простую формулу:
(5.94)
которая может служить для определения одной из величин sF или>
s'F,, если известна другая. Единицей оптической силы Ф линзы
является диоптрия (дптр), которая равна оптической силе линзы,
в воздухе с фокусным расстоянием, равным 1 м.
§ 35. Бесконечно тонкие линзы.
Системы из бесконечно тонких линз
Бесконечно тонкой или просто тонкой линзой называется такая
линза, толщина которой очень мала по сравнению с радиусами
кривизны преломляющих поверхностей.
Принлмая для гонких линз в воздухе d = 0, из выражений (5.93)
получим
-/ = /' =
'1'2
Ф =
<-#
(л-1)(г2-г,)'
~ = {п
= 0;
Д// = 0.
sfl — 0, sH,
(5.95)
Так как тонкие линзы задаются главными плоскостями, то для
двух тонких линз, расположенных на расстоянии d друг от друга,
будут справедливы формулы (3.67):
—f — F — А^2
Ф = ф, + ф2 — ЙФ,Ф2.
Расстояние от второй тонкой линзы до заднего фокуса — задний
фокальный отрезок системы из двух линз
I — йФ.
Когда тонкие линзы находятся в соприкосновении, то d = 0 а
Ф, -f- Фа = Ф;
4- = Г.
Если система состоит из е тонких линз, то оптическая сила ее
определяется выражением
107

Формулы для оптической силы Ф называют также уравнения*
ми масштаба, так как от них зависят величина (масштаб)
изображения и габариты системы.
При увеличении расстояний между тонкими положительными
линзами величина Ф может быть положительной при мнимых
точках F и F', равной нулю (—/—/' = оо) и отрицательной при
действительных фокусах F и F'. Таким образом, комбинация из двух
тонких линз может быть положительной, отрицательной и афо-
кальной.
Расчет хода лучей через систему из I тонких линз, если заданы
их фокусные расстояния и воздушные промежутки, производится
по формулам (3.53), которым придают вид: первый
параксиальный луч
oil = h\la\\
a2 = ai +А1Ф1;
h> = h\ —aia2,"
a* = a* + h^k;
a* = hkhkl Po = ai/a*J
второй параксиальный луч
Pi = У\1ар\
yi = г/i — a$2;
• ■■•••*«
p* = P*. —г/*Ф*;
dp> = jk/p'ft, Pop = Pi/P*.
§ 36. Сферические зеркала
Уравнение первого параксиального луча для сферической
отражающей поверхности, т. е. сферического зеркала, согласно (5.5)
имеет вид
J. j__L _ 1.
s' + s ~ г ■
Для определения фокусных расстояний сферического зеркала
воспользуемся уравнениями для сферической преломляющей
поверхности (5.6) и (5.7), т, е.
г nr р п'г
I ~~ п' — п' ' ~ п' — п'
Полагая п' = —п (рис. 54), будем иметь
/ = /'=|л (5.96)
108

в отрез-
7 + Т-Т- (5-97)
В^ сферическом зеркале оба фокусных расстояния равны между
собой; оба фокуса совпадают и находятся на середине между
центром сферы и ее вершиной. Обе главные плоскости также
совпадают и проходят через вершину отражающей поверхности. При
соблюдении указанного выше правила знаков фокусное,
расстояние вогнутого зеркала будет отрицательным, а выпуклого —
положительным.
Так как л = 2/', то
уравнение первого
параксиального луча
ках будет равно
1 , ]___ _1_
s Г
Аналогичное уравнение
можно написать и для
второго параксиального
луча:
у + •, г
Умножая (5.97) на h,
а (5.98) на у, найдем
уравнения для первого и
второго параксиальных рис g4 0траЯ№вяе первого я вТорого парак.
лучей, выраженные через сиальных лучей от сферического зеркала
углы
<х2 + а, = hlf
■ = -jr. (5.98)
p2 + p,=0//\ (5.99)
Формула Гаусса (3.16) для сферического зеркала с учетом (5.96)
i + j-f <5Л00>
Для сферической отражающей поверхности a=s и a'—s', поэтому
формула Гаусса и уравнение для первого параксиального луча
имеют одинаковый вид.
Уравнения Лагранжа —Гельмгольца для первого и второго
параксиальных лучей
ул, = —у'а.2, Щ\ = —m'fc.
Линейное увеличение
(30 = —оч/аг, pop = — Pi/?2-
§ 37. Переход от бесконечных тонких линз
к линзам конечной толщины
Оптическая система, состоящая из бесконечно тонких линз,
является только первым приближением при расчете оптических
систем. Для нахождения конструктивных элементов реальной
109

оптической системы необходимо перейти к линзам конечной
толщины.
При переходе к реальной системе наиболее целесообразным
является сохранение углов а с осью первого параксиального луча
и значений ординат h. При таком способе перехода сохраняются
без изменения фокусные расстояния отдельных простых систем
и их групп, а также
масштаб изображения.
Рассмотрим
преобразование одиночной линзы.
Допустим, что первый
параксиальный луч
образует с оптической осью
углы аь (Х2 и а3, а
ординаты точек пересечения
этого луча с главными
плоскостями равны h,
причем высота h
соответствует высоте падения
луча на тонкую линзу-
(рис. 55). Будем считать,
что высоты h{ и /г2 мало
отличаются от высот точек
преломления луча на
первой и второй
поверхностях.
Рис. 55. Переход от тонкой линзы к линзе
конечной толщины
Из рис. 55 имеем
a + SH
h_
а'
откуда
h. sH
— = t 4- —
h ' ^ a '
Аналогично для отношения высоты Лг/Л, найдем
h2 __ . . %■
h — ' "г а! •
(5.101)
(5.102)
Величины s/; и s'fr для линзы в воздухе могут быть определены
по формулам (5.93), т. е.
_d_
Радиусы кривизны г\ и гч для линзы конечной толщины неизвестны.
Для решения задачи в первом приближении эти радиусы можно
заменить их значениями для тонкой линзы (л01 и Л02).
Уравнения первого параксиального луча (5.36) для тонкой линзы
в воздухе примут вид
па.2— а, = h ;
МО

аз — лаг = —h
п — \
Откуда
го! =Л-
Л02 = Л
/г—1
п— 1
(5.103)
Подставляя (5.103) в (5.93), получим
so// = T(a3-"a2)lT;
*о/у = т(а1-"Я2)7Г-
Из формулы (3.52) для тонкой линзы можем написать
поэтому
*з = Л] -т jr,
h
(5.104)
Заменяя в (5.104) отношение f'lh через (5.105), получим
_ d °з'
_ d а1_ "я2
Злы/ — ~^"
*оя'
(5.105)
(5.106)
n o3 — a.
Величины sOH и SqH, в (5.106) соответствуют положению главных
точек при условии, что линза конечной толщины имеет радиусы
кривизны тонкой линзы.
Для линзы конечной толщины можем написать формулы первого
параксиального луча, аналогичные тонкой линзе
тг —ai —hi —-—;
аз — па.2
-Ы
л —1
отсюда для радиусов кривизны найдем выражения
я —1
ri = Ai
r% = h2
па.2 — ct|
Возьмем отношения (5.107) к (5.103), тогда
Г\ =Г(>1 -г\
Г2 = Г02 —'
(5.107)
(5.108)
ill

f\ = r0\
Гч = Л02
;1+^];
)+%\
Заменяя отношение высот из (5.101) и (5.102), принимая s„
so // и V = s'oh" найдем
(5.109)
Значения s0/i и s'0/y, в (5.109) определяются по формулам (5.106),
а значения отрезков а и а' берутся из результатов расчета системы,
состоящей из тонких линз. Для определения sQH и s'0H, необходимо
предварительно рассчитать ход первого параксиального луча под
заданным углом сч, принимая ri = roi и лг — Л02, и выбрать толщину
линзы d.
Координаты л и sj будут равны
si^a + s0H, s', =a' + s;„,.
Переход к линзам конечной толщины может быть осуществлен
следующим образом. После определения толщин линз, зная а,
радиусы кривизны линз конечной толщины вычисляются по формулам
(5.107), в которых A, =D/2 и A2 = Ai—cfo, затем по (5.93)
вычисляют sH и s'H,.
Первая линза конечной толщины устанавливается в
оптической системе так, чтобы ее передняя главная точка совпала с
тонкой линзой, после чего ее последующие линзы, если
преобразование производится по формулам (5.109), отодвигаются от их
первоначального положения на расстояние, равное расстоянию
между главными точками. При переходе от тонких линз к
линзам конечной толщины делается ошибка, состоящая в том, что
при вычислениии положения главных точек линзы конечной
толщины берутся радиусы кривизны тонкой линзы. Но эта ошибка
обычно невелика и не имеет значения.
Иногда приходится решать обратную задачу преобразования
системы линз конечной толщины в систему из тонких линз.
Такое преобразование выполняется по формулам (5.109), при этом
для вычисления sn и s'h' пользуются выражением (5.93).
При изменении входного отверстия системы встает задача
преобразования данной системы конечной толщины в другую
систему также конечной толщины. Решение этой задачи
производится следующим образом: преобразуют данную систему линз
сначала в эквивалентную ей систему тонких линз, а затем эту
систему преобразуют в систему линз требуемой новой толщины. ,

Глава в.
ОГРАНИЧЕНИЕ ПУЧКОВ ЛУЧЕЙ В ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
§ 38. Диафрагмы и их значение
При рассмотрении теории идеальной системы ее поперечные
размеры не принимались во внимание.
Отдельные части реальной оптической системы, например,
линзы, зеркала и призмы, всегда имеют определенные
поперечные размеры, которые ограничивают ширину пучков лучей,
проходящих через оптическую систему. Кроме того, в оптических
системах приходится ставить специальные преграды в виде
светонепроницаемых деталей с отверстиями, центрированными
относительно оптической оси. Все части оптической системы
(специальные преграды, оправы линз и других деталей),
ограничивающие размеры пучков лучей, проходящих через оптическую
систему, называются диафрагмами. Диафрагмы могут
быть круглыми, полукруглыми, квадратными, прямоугольными"
и т, д. Форма диафрагмы зависит от назначения системы. В
большинстве случаев они имеют круглую форму. Диафрагмы круглой
формы в некоторых системах имеют переменный диаметр (в
фотообъективах).
Диафрагмы, устанавливаемые в оптических системах,
предназначаются для:
1) ограничения пучков лучей, выходящих из точек предмета,
расположенной на оптической оси;
2) ограничения пучков лучей, выходящих из точек предмета,
расположенных вне оптической оси;
3) ограничения изображаемого оптической системой
пространства;
4) уменьшения количества вредного (рассеянного) света;
5) специальных целей.
В качестве специальных могут быть диафрагмы, срезающие
часть пучков лучей, имеющих большие аберрации, т. е. диафрагмы
для улучшения качества изображения, вращающиеся диафрагмы,
прерывисто пропускающие свет на приемник энергии, и. т. д.
Ограничение пучков лучей, проходящих через оптическую
систему, имеет важные последствия не только геометрического, но
и физического характера:
1. Диафрагмы определяют количество световой энергии,
проходящей через систему.
2. Ограничение пучков лучей вызывает дифракцию, которая
определяет предел разрешения оптической системы, т. е. тот пре-
113

дел, когда близко расположенные точки предметной плоскости
изображаются раздельно.
Если оптическая система работает совместно с глазом, то
его 'зрачок играет роль одной из диафрагм, положение и размер
которой следует принимать во внимание. При рассмотрении
ограничения пучков лучей в оптических системах считают, что эти
системы являются идеальными.
§ 39. Апертурная диафрагма. Входной и выходной зрачки
Рассмотрим ограничение пучков лучей, выходящих из осевой
точки предмета — осевых пучков. На рис. 56 показана оптичес-
Рис. 56. Ограничение пучков лучей в компоненте
кая система, представляющая собой тонкий компонент или
одиночную линзу в круглой оправе. Из осевой точки предмета через
компонент пройдет пучок лучей, заключенных в конусе,
основанием которого является диаметр оправы компонента, а вершиной
точка А. Оправа компонента, являющаяся диафрагмой,
ограничивает, как падающий на компонент, так и выходящий из него
пучок лучей. Плоский угол раскрытия пучка в пространстве
предметов составляет 2ол = £VV а в пространстве изображений 2з'д, =
— DaIu', где DA—диаметр оправы компонента.
Диафрагма, ограничивающая пучок лучей, выходящих из
осевой точки предмета, называется апертурной
диафрагмой. (На рис. 56 апертурной диафрагмой является оправа
компонента).
Допустим, впереди компонента L на расстоянии ар помещена
диафрагма Q1Q2, центр которой расположен на оптической оси
(рис. 57, а). Из точки Л через диафрагму QiQ2 пройдет пучок лучей
с угловым отверстием 2aA=DA/(ap — а). Этот пучок, пройдя
диафрагму QiQ2, попадет затем на компонент L. Чтобы пучок лучей
прошел через компонент без ограничения, необходимо выполнить
условие DL~>2aaA, где Dl—диаметр оправы компонента. Если это
условие выполняется, то диафрагмой, ограничивающей пучок лучей
как в пространстве предметов, так и в пространстве изображений,
т. е. апертурной диафрагмой, является диафрагма Q1Q2. Однако если
в пространстве предметов осевой пучок лучей ограничивает непо-
114

средствснно диафрагма Q1Q2, то в пространстве изображений егс
ограничивает изображение QiQ2, построенное компонентом L.
Если же материальная диафрагма Я\о^.2, ограничивающая пучо;
лучей, установлена между компонентом L и изображением Л' точю
А и диаметр ее Da <С Dl, то она будет ограничивать пучок лучек
Рис. 57. Ограничение осевого пучка лучей:
о — диафрагмой QtQt, расположенной впереди компонент, Л—диафрагмой Q\<^2> распол^
женной позади компонента
проходящих через компонент L (рис. 57, б). Следовательно, диаа-
рагма Q\Q'i будет апертурной. Однако при таком расположена
диафрагмы следует обратить внимание на следующую особенность
Диафрагма Q1Q2 расположена в пространстве изображений комт-
нента L, поэтому ее следует считать действительным изображением
расположенным на расстоянии а'р, от компонента L. Если в прос*
ранстве изображений ограничивает осевой пучок лучей диафрагм;
Q Q2,to в пространстве предметов его ограничивает изображение
QiQi,построенное компонентом L. Это изображение относится \
пространству предметов и представляет собой мнимый предмет.
Если на приведенных выше рисунках, сначала в точках /■"
установить точечные источники света, а наблюдения вести и:
115

-очек А', а затем источники света перенести в точки А' и
наблюдать из точек А, то будут видны светлые кружки, называемые
-. р а ч к а м и. Рассмотренные выше случаи расположения
апертурной диафрагмы, наиболее часто встречающиеся в практике
штического приборостроения, дают основания сформулировать
:ледующие определения для зрачков.
Выходной зрачок
d
I q» П2 Qj | I Входной зрачок
^ис. 58. Ограничение осеного пучка лучей в системе из двух компонентов:
QiQi — входной зрачок; Q\Qi— апертурная диафрагма: Q) Qq — выходной зрачок
Параксиальное изображение апертурной диафрагмы в
пространстве предметов, или апертурная диафрагма,
расположения в пространстве предметов, называется входным зрач-
;ом системы.
Параксиальное изображение апертурной диафрагмы в
пространстве изображений, или апертурная диафрагма,
расположенная в пространстве изображений, называется выходным
:рачком системы.
В соответствии с этими определениями на рис. 56 апертурной
диафрагмой, входным и выходным зрачками является диаметр оп-
эавы компонента; на рис 57, а входным зрачком является апер-
-урная диафрагма QiQ2, а выходным зрачком — ее изображение
)\Q'2; на рис. 57, б входным зрачком будет изображение QiQ? апер-
-урной диафрагмы Qi Q2, а выходным зрачком — сама апертурная
диафрагма QiQ^
Рассмотрим систему, состоящую из двух тонких компонентов L\
a L2, расположенных на расстоянии d друг от друга (рис. 58). Эта
система обобщает рассмотренные выше случаи.
lie

Допустим, между компонентами установлена диафрагма Q]Q'2>
диаметр которой D^ значительно меньше диаметров компонентов L\
и 1,1, т. е. является апертурной диафрагмой. Пучок лучей,
вышедших из осевой точки предметами ограничивается диаметром оправы
первого компонента L\. Однако после прохождения первого
компонента часть пучка будет срезаться диафрагмой Q\Q2 и через второй
компонент он пройдет без ограничений, так как Da <СА.2. Со
стороны пространства предметов, т. е. точки А\, представляется, что
пучок лучей, проходящих через систему, ограничивается не самой
диафрагмой Q\Q'2, а ее изображением, построенным первым
компонентом в обратном ходе лучей. Это изображение располагается на
расстоянии ар от первого компонента и является мнимым
предметом. Со стороны пространства изображений, т. е. точки А2,
ограничение осевого пучка лучей производится также не самой
диафрагмой Q\Q2, а ее изображением Q]Q2, построенным вторым
компонентом. Таким образом, изображение Q\Q2 апертурной диафрагмы
Q1Q2, построенное первым компонентом, относится к пространству
предметов системы и является входным зрачком системы;
изображение QiQ2 апертурной диафрагмы Q\Q2, построенное вторым
компонентом, относится к пространству изображений и является
выходным зрачком системы.
Обычно положение апертурной диафрагмы задается относительно
первого компонента или передней части системы координатой аА.
Для определения положения входного зрачка нужно найти
изображение апертурной диафрагмы через часть оптической системы,
расположенной перед ней (см. рис. 58). В данном случае аА—а'
поэтому, исходя из формулы Гаусса, расстояние от первого
компонента до плоскости входного зрачка будет равно
а - aph
Up — р—•
f\ — ap
Расстояние от апертурной диафрагмы до второго компонента
ар> = ар — d.
Для определения положения выходного зрачка необходимо найти
изображение апертурной диафрагмы через часть системы,
расположенной позади нее. Из формулы Гаусса для второго компонента
имеем
а.-.. аР4'*
'2 + V
Апертурная диафрагма, входной и выходной зрачки взаимно
сопряжены: входной зрачок и апертурная диафрагма — через первый
компонент (переднюю часть системы); выходной зрачок и
апертурная диафрагма — через второй компонент; входной и выходной зрачки
сопряжены друг с другом относительно всей системы. Следователь-
117

но, выходной зрачок QiQ2 является изображением входного зрачка
Q[Qu и наоборот.
Линейное увеличение во входном зрачке
РвР.--^. (6-1)
линейное увеличение в выходном зрачке
?оР, = -£. (6.2)
В (6.1) диаметр апертуриой диафрагмы есть одновременно диаметр
действительного изображения, а в (6.2)—действительного предмета.
Линейное увеличение в зрачках
hP = ,3,1^2 = -^-. (6.3)
Луч, выходящий из осевой точки предмета и проходящий
через край входного зрачка или продолжение которого проходит
через край входного зрачка и, соответственно, через край
апертуриой диафрагмы, называется апертурным лучом
пространства предметов. Луч, проходящий через край
выходного зрачка или продолжение которого проходит через край
выходного зрачка и, соответственно, через край апертуриой
диафрагмы и осевую точку изображения, называется
апертурным лучом пространства изображений. (На рис.
58 AiQi — апертурный луч пространства предметов, a Ч.\А-'г
— апертурный луч пространства изображений).
Угол од между оптической осью и апертурным лучом
называется апертурным углом в пространстве
предметов. Угол а'А, между оптической осью и апертурным лучом
называется апертурным углом в пространстве
изображений.
На рис. 58 имеем
D D . D' _ D'
°а- 2р -2(а,-ар)' °а»~ 2р' ~ Ца'2-а'р,)'
где р—расстояние от центра входного зрачка до осевой точки
предмета, р' — расстояние от центра выходного зрачка до осевой точки
изображения. Апертурные углы аА и а'А, связаны зависимостью
"1 1
Абсолютное значение отношения диаметра входного зрачка к
заднему фокусному расстоянию системы называется относительным
отверстием, т. е.
D//'=-f. (6.4)
Величина, обратная относительному отверстию, называется д и а-
фрагменным числом
K = f'/D. (6 5)
118

Произведение показателя преломления на абсолютное значение
синуса апертурного угла
A = ni|sinaAj (6.6)
называется числовой апертурой в пространстве предметов.
Соответственно
A'=n;|sinv| (6.7)
являются числовой апертурой в пространстве изображений.
Обычно положение и диаметр апертурной диафрагмы
устанавливаются оптиком-конструктором при разработке системы в
зависимости от ее назначения. В этом случае определение
положения и диаметров зрачков не представляет трудностей. Однако
в практике могут встретиться случаи, когда система имеет
несколько диафрагм, а какая из них является апертурной,
неизвестно. Из рассмотренных выше случаев расположения
апертурной диафрагмы видно, что из всех диафрагм или их
изображений диафрагма (или изображение какой-либо диафрагмы),
являющаяся входным зрачком, видна из осевой точки предмета
под наименьшим углом. Соответственно диафрагма (или
изображение диафрагмы), являющаяся выходным зрачком, будет
видна из осевой точки изображения также под наименьшим углом.
Поэтому для определения входного зрачка необходимо построить
изображения всех оправ линз и диафрагм через ту часть
системы, которая расположена перед этими диафрагмами. Все
полученные изображения относятся к пространству предметов. Для
нахождения выходного зрачка необходимо найти положение и
величины изображений всех диафрагм через часть оптической
системы, расположенную позади диафрагмы; эти изображения
относятся к пространству изображений.
Та из диафрагм (или изображение диафрагмы), которая
видна из осевой точки предмета под наименьшим углом, будет
входным зрачком, а та из диафрагм (или изображение диафрагмы),
которая видна из осевой точки изображения под наименьшим
углом, будет выходным зрачком системы. Материальная
диафрагма, изображение которой в пространстве предметов является
входным зрачком, а в пространстве изображений выходным
зрачком, будет апертурной диафрагмой.
Апертурная диафрагма, а следовательно, входной и выходной
зрачки ограничивают не только осевые пучки лучей, но и пучки
лучей, выходящие из внеосевых точек предмета, т. е. наклонные
пучки лучей (рис. 59).
Лучи, выходящие из внеосевой точки предмета Si, сначала идут
по направлению к входному зрачку QiQ2, затем, проходя первый
компонент L\, апертурную диафрагму QiQ2 и второй компонент L2,
собираются в точке В2, как бы выходя из выходного зрачка QiQ2.
Такой ход лучей вытекает из того, что точки Q\ и Q\ и,
соответственно, точки Q2 и Q2 являются сопряженными точками относительно
первого компонента, а также Q\ и Q\ и, соответственно, точки фг
И9

и Q2 — относительно второго компонента. Поэтому луч В\Р, прох(-
дящий в пространстве предметов через точку Р — центр входной
зрачка, после преломления первым компонентом должен пройт!-
через точку Q — центр апертурной диафрагмы и после преломление
в компоненте L2 идти таким образом, что как будто он выхолит и:
точки Р' — центра выходного зрачка.
Рис. 59. Ограничение внеосевого пучка лучей в системе из двух компоненте)!
Пучок лучей, выходящих из внеосевой точки В2 предметное
плоскости и опирающихся на входной зрачок, не весь пройде-
через систему: часть пучка будет ограничиваться оправой первоп
компонента.
Лучи, выходящие из крайних внеосевых точек предмета и
преходящие через центр апертурной диафрагмы, а следовательно, \
через центры входного и выходного зрачков, называются г л а ь
ными лучами. На рис. 59 луч В\Р является главные
лучом пространства предметов, а луч Р'В'ъ—глаь
ным лучом пространства изображений. Лучи BtQi г
S1Q2 называются соответственно верхним и нижним лу
ч а м и.
Если система задана главными плоскостями или преломляю
щими поверхностями, то при определении положения и диамет
ров зрачков используются формулы для первого и второго парак
сиальных лучей. В этом случае второй параксиальный луч — эт<
луч, проходящий через центр входного зрачка. Первому параксь
альному лучу в реальных системах, если он проходит через кра1
входного зрачка, будет соответствовать апертурный луч, а вто
рому параксиальному лучу, если он выходит из крайней точи
предмета, — главный луч.
Представляет интерес случай, когда апертурная диафрагма
располагается в фокальных плоскостях системы. Если
апертурная диафрагма помещена в задней фокальной плоскости
оптической системы, то она будет являться и выходным зрачком
120

(рис. 60, а). Входной зрачок в пространстве предметов будет
находиться в бесконечности. Главные лучи б пространстве изоб-
ражеиий проходят через центр апертурной диафрагмы, т. е.
через задний фокус F' системы, а главные лучи в пространстве
предметов идут параллельно оптической оси. Такой ход главных
лучей носит название телецентрического со
стороны предмета. Если в плоскости изображения поместить
Рис. 60. Телецентрический ход главных лучей: а — в пространстве предметов;
б — в пространстве изображений
измерительную шкалу, то независимо от смещения предмета
вдоль оптической оси измеренная величина изображения будет
одинаковой. Поэтому телецентрический ход лучей со стороны
предмета находит широкое применение в отсчетных микроскопах,
шкаловых микроскопах и микроскоп-микрометрах, которыми
снабжены различного рода измерительные приборы.
Если апертурную диафрагму, а следовательно, и входной
зрачок поместить в передней фокальной плоскости, то выходной
зрачок будет находиться в бесконечности пространства
изображений (рис. 60, б).
Ход главных лучей в этом случае называется теле
центрическим со стороны пространства
изображений, который используется в оптических системах с дальномер-
ными устройствами.
§ 40. Формула Гаусса, отнесенная к зрачкам
Найдем формулу Гаусса для зрачков, т. е. для отрезков р и
р', определяющих положения зрачков относительно предмета и
изображения (рис. 61).
Линсйноэ увеличение в сопряженных точках Л\ и Лк равно
Положение сопряженных точек Р. и Р' относительно фокусов F
и F' системы 0\Ок определяется координатами z,; и z'p>, поэтому
для линейного увеличения в зрачках можем написать
^—^Т^—Г- (6,8)
121

Формула Ньютона для точек А] и Ак:
где
ftft-//'» 1-П,
г\ = р + zp, z* = р' + zp>.
Входной выходной
зрачок "71 {зрачок
Рис. 61. Ход первого (Atf() и второго (ВхР) параксиальных луче1
Из (6.8) для zp и z'p' имеем
zp
тогда
zi = p + —4—, zk = p' — /'Pop
ЯА Pop
и для формулы (6.9) о учетом (6.10) после преобразования получил
Pop I "1 I
= -4-_I_, Zp> = —f'$op,
nk РОр
P nb
VOp
J_
(6.11
Выражение (6.11) является формулой Гаусса, отнесенной к
зрачкам.
Если п\~п,ц и рол. = 1. тогда
г- =-v=-f = f.
Это значит, что центры зрачков Р и Р' вовпадают g главным*
точками Н и Я' {р = а и // = а') и уравнение (6.11) переходи^
в формулу Гаусса для главных точек.
Уравнение Лагранжа — Гельмгольца для зрачков имеет вид
n\m§\ ^=n'km$'k,
(6.12
где Ш\ и trik—выготы пересечения первого параксиального лучг
« плоскостями входного и выходного зрачков.
122

§ 41. Полевая диафрагма
Любая оптическая система отображает определенную часть
пространства, расположенного вокруг оптической оси, которое
называется полем системы. Ограничение поля
оптической системы производится с помощью специальных диафрагм.
Рис. 62. Поле системы:
й — линейное поле в пространстве предметов 2у и в пространстве изображений 29'! б — ур-
noRoe поле и пространстве предметов Эш н r пространстве изображении ^о>'
Диафрагма, расположенная в плоскости предмета или в
одной из плоскостей, с ней сопряженных, и ограничивающая
размер линейного поля оптической системы в пространстве
изображении, называется полевой диафрагмой.
Поле оптической системы для предмета, расположенного на
конечном расстояниии, характеризуется линейной величиной, а
для предмета в бесконечности — угловой величиной.
Наибольший размер изображаемой части плоскости предмета,
расположенной на конечном расстоянии, называется линейным
полем оптической системы в пространстве
предметов 2 у (рис. 62, а).
Наибольший размер изображения, лежащего на конечном
расстоянии, называется линейным полем оптической
системы в пространстве изображений 2 //'.
Если полевая диафрагма расположена в члоекг.сти предмета,
то ее размеры определяют линейное поле в пространстве
предметов, а если она расположена в плоскости изображения, го
линейное поле в iipocipiiHCTBe изображений. Связь между линей-
123

ньгми полями системы осуществляется через линейное
увеличение.
Угловым полем оптической системы в
пространстве предметов называется абсолютное значение
удвоенного угла между оптической осью и лучом в
пространстве предметов, проходящего через центр входного зрачка (центр
апертурной диафрагмы) и край полевой диафрагмы (рис. 62, б).
Угловым полем оптической системы в
пространстве изображений называется абсолютное значение
удвоенного угла между оптической осью и лучом в пространстве
изображений, проходящим через центр выходного зрачка (центр
апертурной диафрагмы) и край полевой диафрагмы. Угловое поле
обозначается: в пространстве предметов — 2w; в пространстве
изображений— 2а/. Так как лучи, проходящие через края предмета
и изображения и центры зрачков, являются главными лучами, то
угловое поле 2w представляет собой угол между главными
лучами в пространстве предметов, а угловое поле 2а/ — угол
между главными лучами в пространстве изображений. Связь между
углами 2w и 2о/ характеризуется угловым увеличением в
зрачках
То.=т£. (6-13)
Угловое увеличение в зрачках связано с линейным увеличением
выражением
/1 _ "i 1
' ?ор пк ?ор
Так как
_ /ц f _ D'
то
То, =гр/Г и tg«o'=-£-tgm, (6.14)
ПрИ П\ —1lk
Тор = l/3op.
Угловому полю в пространстве изображений 2«/ соответствует
линейное поле 2ц'. Величина изображения
//=-p'tg«o'. (6.15)
Если рассчитать ход главного луча при s\ = —со по формулам
для второго параксиального луча, то получим
</=-/'tg(o. (6.16)
Диаметр полевой диафрагмы
0„ = 2|£/'|- (б-17)
Формула (6.16) справедлива для любой системы независимо от
положения входного зрачка.
124

Определение положения и диаметра полевой диафрагмы
производится одновременно с определением положения и диаметров
входного и выходного зрачков системы. Для этого
рассчитывается ход апертурного и главного лучей. Ход апертуриого луча
определяют диаметры зрачков и положение апертурной
диафрагмы, а ход главного луча—положение зрачков и диаметр
полевой диафрагмы. Расчет этих лучей, как уже указывалось,
производится по формулам для первого и второго параксиальных
лучей, при этом принимается <м = tgo^, Pi = tgi».
§ 42. Виньетирование. Виньетирующая диафрагма
Рассмотрим ограничение пучков лучей, выходящих из точек
предмета, расположенных вне оптической оси, или так
называемых внеосевых пучков лучей (рис. 63). Пучки лучей, идущих
Рис. 63. Виньетирование внеосевых пучков лучей
из точек вне оси, расположенных между точками Л и В\,
крайние лучи которых проходят через края входного зрачка,
полностью проходят через систему OiOk. Пучки лучей, выходящие из
точек предмета, расположенных между точками В2В3, не могут
полностью перекрыть входной зрачок, гак как часть их
срезается диафрагмой М|Л1г. Пучок лучей, выходящих из точки В2, за-
полнит примерно половину входного зрачка, а из точки В% через
входной зрачок проходит только бесконечно тонкий пучок лучей.
Явление частичного срезания внеосевых пучков лучей носит
название виньетирования. В результате виньетирования
происходит ослабление освещенности изображения от центра к краю;
освещенность в центральной части поля (в зоне радиуса А\В'{)
будет наибольшей и практически постоянной, в точке В'2 будет
примерно в два раза меньше, а в точке В'ъ практически равна нулю.
Любая диафрагма, кроме апертурной и полевой, которая
ограничивает пучки лучей, выходящих нз точек предмета,
лежащих вне оптической оси, называется виньетирующей
диафрагмой. (На рис. 63 М\М2—виньетирующая диафрагма).
125

В реальных системах в большинстве случаев виньетирование
допускается по следующим причинам: наличие виньетирования
особенно в системах с большими угловыми полями, позволяе-
уменьшить поперечные габариты прибора; виньетирование позво
ляет повысить резкость изображения на краях поля, так как уз
кие наклонные пучки дают лучшее качество изображения. че\
широкие.
I—Выходное
I окно
-к
п, I Виньетирующая диафрагка-
"l I -входное окно
Полевая
дискррагмс.
Рис. 64 Виньетиропшше при ka = 0,5 и расположении входного зрачкя иерет
системой
Виньетирующие диафрагмы устанавливаются в разных мес
тах в зависимости от положения входного зрачка и от того, ка
кую часть его должны перекрывать внеосевые пучки лучей. Есль
например, в системе, перед которой установлена апертурная
диафрагма, являющаяся входным зрачком, необходимо ограничив
внеосевые пучки лучей так, чтобы они перекрывали только цен>
ральную часть входного зрачка, то виньетирующую диафрагм1
М\Мч необходимо установить на пересечении апертурного луч;
AQi и верхнего луча B\Mt (рис. 64). В этом случае осями вне
осевых пучков лучей являются главные лучи В^Р и В2Р.
Внеосевые пучки лучей, вышедшие из системы, будут
ограничиваться не самой виньетирующей диафрагмой, а ее изображением У.
Л?,.
Параксиальное изображение виньетирующей диафрагмы г
пространстве предметов или виньетирующая диафрагма, распс-
ложгннпя в пространстве предметов, называется в х о д и ы \
окно м.
126

Параксиальное изображение виньетирующей диафрагмы в
пространстве изображений или сама виньетирующая диафрагма,
расположенная в пространстве изображений, называется в ы-
ходным окном. Из этих определений вытекает, что входное
и выходное окна сопряжены друг с другом относительно всей
системы, если она состоит из нескольких частей. На рис. 64
виньетирующая диафрагма одновременно является и входным окном,
а выходным окном — изображение М\М'2 виньетирующей
диафрагмы.
Для оценки виньетирования вводятся коэффициенты:
1) линейного виньетирования
*- = -§г. (6-18)
где 2ть — ширина наклонного пучка лучей в меридиональной
плоскости; 2h — ширина осевого пучка лучей в том же сечении, причем
отрезки 2ть и 2/г берутся в направлении, перпендикулярном к
оптической оси; если отрезки 2ть и 2Л берутся в плоскости входного
зрачка, тогда
ka = DJD, (6.19)
где Dm — диаметр наклонного пучка лучей;
2) коэффициент геометрического виньетирования
kA = AJAP, (6.20)
где Am—площадь сечения наклонного пучка лучей,
перпендикулярного к оптической оси, Ар — площадь осевого пучка лучей в том
же сечении. На рис. 63 коэффициент линейного виньетирования
km = 2mt/2h = DJD = 0,5,
коэффициент геометрического виньетирования
йд = Аш/Лр=О*/О2 = 0,25.
Это значит, что в элементарные площадки, расположенные в точках
В\ и В'ъ, поступит световой энергии вследствие виньешрования
в четыре раза меньше, чем на площадку, расположенную в точке
на оси А'.
Положение аъ и диаметр виньетирующей диафрагмы D&, если
она расположена в пространстве предметов, как это показано на
рис. 63, определяются выражениями
aim — тЛ -4- va„
°» = °-^|. (6-22)
где т = D/2, пц = kam.
Положение выходного окна (координата аь) определяется по
формуле Гаусса
а/
127

Диаметр выходного окна
я*=ади. (6.23)
где j}0u> — линейное увеличение в окнах,
ро«. = D'tlDb = ai/a». (6.24)
Виньетирующей диафрагмой в большинстве фотообъективов
является оправа первой линзы и коэффициент линейного
виньетирования достигает ~ 0,5.
§ 43. Диафрагмы для уменьшения вредного (рассеянного) света
Под вредным (рассеянным) светом понимают часть световой
энергии, которая проходит через оптическую систему, но не
участвует в построении изображения. Он возникает в результате
рассеяния света при отражении его от внутренних стенок корпуса
прибора и от поверхностей оптических деталей, а также от
рассеяния в массе стекла, содержащем в себе пузыри и другие
инородные включения. Рассеянный свет, попадая на изображение,
уменьшает его контрастность и тем самым снижает
эксплуатационные качества прибора. Особенно сильно он влияет на
изображение малоконтрастных предметов.
Различают рассеянный свет первого, второго и высших
порядков. К первому порядку относятся рассеянный свет, который
претерпевает только одно отражение от стенок корпуса, оправ,
полированных оптических поверхностей системы п от других
поверхностей, дающих рассеянный свет, и затем попадает на
изображение или пересекает плоскость выходного зрачка или
проходит вблизи него в пределах полевого угла системы. Вредный
(рассеянный) свет второго и высших порядков — это свет, который
претерпевает два отражения и более.
Определить расчетным путем количество вредного света
невозможно, поэтому допустимая величина коэффициента
светорассеяния не может быть установлена заранее. Допустимая величина
рассеянного света устанавливается на основании измерения в
лабораторных условиях коэффициента светорассеяния для каждого
данного прибора.
Полностью устранить рассеянный свет в реальных оптических
приборах невозможно; его можно только уменьшить. Уменьшение
вредного света может быть достигнуто в результате
осуществления следующих мероприятий: рационального диафрагмирования
пучков лучей; обработки внутренних поверхностей с последующим
чернением; просветления и тщательной чистки поверхностей
оптических деталей; установки дополнительных насадок, так
называемых бленд, и т. д.
Если перед входным зрачком системы нет никаких
материальных диафрагм, то угол засветки в меридиональной плоскости
составляет 2я. В этом случае на внутренние нерабочие поверхности
128

прибора попадает большое количество световой энергии, не
участвующей в построении изображения. Чтобы уменьшить величину
зредного света, проникающего вовнутрь прибора, нужно
уменьшить угол прямой засветки. Этот угол не может быть меньше по-
1евого угла 2ш. Угол засветки будет равен полевому углу в том
случае, когда в плоскости предметов помещена материальная диаф-
эагма, свободное отверстие которой равно линейному полю систе-
*ы. Однако для большого числа оптических систем плоскость
оедмета находится на довольно большом расстоянии от нее.
Рис. 65. Цилиндрическая бленда с диафрагмами
..ля уменьшения угла прямей засветки бленды имеют цилинд-
жческую или коническую форму. Внутри бленды помещаются
диафрагмы, расставленные таким образом, чтобы любой луч
пряной засветки после первого отражения от внутренних стенок
корпуса бленды или от поверхностей ее диафрагм не попал во вход-
юй зрачок системы (рис. 65). Края диафрагмы должны быть
расположены вдоль линий AiCi и А2С2, так как в этом случае
пучи, отраженные от краев диафрагм бленды, не проходят во вход-
дой зрачок системы. Геометрические размеры бленды определя-
отся из следующих соотношений:
о
L =
tgCO, — tg со '
диаметр входного отверстия бленды
; со, + g<»
Dx =D
~де D — диаметр входного зрачка, со— половина углового поля
-.истемы, toi — максимальный угол между лучом прямой засвет-
<и, проходящим через край входного зрачка системы, и ее
оптической осью. Число и расположение диафрагм, находящихся
между входным отверстием бленды и входным зрачком системы, мо-
•кет быть найдено графическим способом, причем края диафрагм
чужно делать острыми. Вредный свет первого порядка в
телескопических системах может быть практически полностью устранен.
Для этого при разработке прибора надо обеспечить, чтобы лучи
прямой засветки после первого отражения от нерабочих поверх-
'■ 1-446 129

ностей (стенки корпуса, оправы линз, боковые цилиндрические
поверхности линз, матированные грани призм и т. п.) не
проходили через область выходного зрачка под углами к оптической
оси, меньшими угла И).
Для систем, дающих изображение на светочувствительном
слое (фотообъективы) или на экране, вредным считается свет,
падающий в пространстве изображений на плоскость полевой
диафрагмы в пределах ее свободного отверстия. В этом случае
устранение рассеянного света, возникающего от стенок корпуса и
боковых поверхностей линз, осуществляется диафрагмами.
Рассеянный свет второго и высших порядков, попадающий в
выходной зрачок телескопических систем или на плоскость
полевой диафрагмы в фотографических и других типах систем, после
отражения от рабочих полированных поверхностей и стенок
диафрагм может оказаться достаточно ярким, если не принять меры
для его ослабления. К мероприятиям, ослабляющим вредный
свет второго порядка, относятся просветление преломляющих и
отражающих поверхностей, соприкасающихся с воздухом;
чернение стенок корпуса, диафрагм, неработающих поверхностей
оптических деталей и их оправ; применение бленд, устанавливаемых
перед системой; увеличение полных диаметров линз.

Глава 7
ПРОХОЖДЕНИЕ СВЕТА ЧЕРЕЗ ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
§ 44. Поток излучения. Энергетические величины
Спектр электромагнитных излучений занимает очень широкую
область: в него входят колебания с длиной волн от Ю-3 нм до
103 км. Из общего спектра излучений в прикладной оптике
рассматриваются излучения, которые включают диапазон волн от
0,1 нм до 1 мм. Эта область излучения называется
оптическим излучением, или светом. Излучение в диапазоне
длин волн от 380 до 770 нм, которое воспринимается
человеческим глазом, называется видимым.
Мощность оптического излучения называется потоком
излучения (лучистым потоком), который обозначается Фе.
Поток излучения, состоящий из однородных излучений только одной
длины волны "к, называется монохроматическим. Если
же в потоке содержатся излучения различных длин волн, такой
поток называется сложным.
Потоки излучения, распространяющиеся в окружающем нас
пространстве, создают поле оптических излучений, которое
характеризуется пространственной плотностью и направлением.
Для изучения закономерностей распространения оптического
излучения и количественной его характеристики устанавливаются
определенные величины и единицы. Раздел оптики, занимающийся
энергетическими характеристиками оптического излучения и
способами их измерения, называется фотометрией. В более
узком смысле под фотометрией понимают совокупность методов,
позволяющих характеризовать видимое излучение в соответствии
с его действием на глаз человека.
Если источник световой энергии, т. е. энергии оптического
излучения, за время dt значительно превышающей период
колебания, излучает энергию dQe, то значение потока излучения будет
равно
Среднее значение потока излучения характеризуется выражением
Поток излучения, как и любая мощность, измеряется в ваттах
(Вт) (1 Вт = 1 Дж . с-1). Полный поток излучения определяется
как сумма отдельных монохроматических потоков излучений
5*
131

Пространственная плотность потока излучения называется силой
излучения 1е, которая равна отношению потока излучения йФе
к телесному углу dQ, в пределах которого заключен и равномерно
распределен поток излучения йФе'-
Рис. 66. Элементарный телесный угол Рис. 67. Излучение в телесном угле Q
dQ. и элементарная площадка йХ
При равномерном распределении потока излучения в пределах
данного телесного угла 2 можно написать
Телесный угол представляет собой часть пространства,
ограниченного конической поверхностью с вершиной в точке расположения
источника излучения (рис. 66). Телесный угол определяется
отношением площади сферической поверхности, заключенной внутри
конуса телесного угла с вершиной в центре сферы, к квадрату
радиуса этой сферы
а = 4^-. (7.4)
Единицей телесного угла является стерадиан (ср).
Стерадиан равен телесному углу с вершиной в центре сферы,
вырезающему на поверхности сферы площадь, равную площади квадрата
со стороной, равной радиусу сферы. Максимальный телесный
угол, соответствующий телесному углу всего пространства
вокруг точки, равен
Q==:J^L=i|l = 4r= 12,56 ср.
Таким образом, единицей измерения энергетической силы света
является Вт . ср-1.
Каждому телесному углу 2 соответствует определенный плоск\ш
угол а. Если в телесном углу 2 выделить бесконечно малый угол
dQ, высекающий на сфере бесконечно узкий кольцевой участок, то
площадь этого участка будет равна (рис. 67)
аГА= 2-luih,
132

где h — расстояние от оси конуса до узкого кольца dh. Так как
h = г sin а и dh — rda, то
dA = 2тсг2 sin ado,
откуда
d2 = i£. = 2ir sin ada. (7.5)
Телесный угол, соответствующий плоскому углу о
А»
"Л о.
2= J 2Trsinoda = 2Tr(l —cosaA) = 4irsin2-^-^irsin2aA. (7.5')
о
Понятие силы излучения применимо только к точечным
источникам, причем точечность определяется не линейными размерами
излучающего тела, а их отношением к расстоянию до той точки
поля, в которой оценивается действие излучателя. Излучатели,
применяемые на практике, не имеют равномерного
распределения потоков излучения в пространстве. Поэтому для каждой
величины силы излучения указывается направление, а
распределение потока в пространстве характеризуется кривой силы света.
Каждый источник излучения обладает конечной поверхностью,
с которой поток излучения распространяется в пространстве. Для
характеристики равномерности и интенсивности самосветящихся
источников излучения (первичных исгочников), а также
поверхностей, которые пропускают или отражают падающий на них
поток излучения (вторичные источники), вводится понятие
плотности потока излучения по поверхности излучателя, называемой
энергетической светимостью (нзлучательностью) Ме:
где dA.— площадь излучающей поверхности. Отношение
Меср=-^ (7.6')
характеризует среднюю плотность излучения поверхности конечных
размеров.
Плотность падающего потока на облучаемой поверхности
называется энергетической освещенностью (облученностью),
которая определяется отношением потока излучения d<I>,, падающего
на элемент поверхности dA. и равномерно распределившегося по ней:
Е = -zriBT>M"2]- (7-7)
Средняя энергетическая освещенность равна
ф.
Энергетическая освещенность, создаваемая точечным источником
света с заданным распределением силы излучения в зависимости от
133

расстояния до облучаемой поверхности, определяется по формуле
Ee=~dQ =\cosb, (7.8)
где 1е — сила излучения по направлению к элементу облучаемой
поверхности; Э — угол между нормалью к поверхности и осью
телесного угла. Формула (7.8), как известно, носит название
закона квадрата расстояния.
Понятие плотности потока излучения никак не связано с
направлением излучения, поэтому эта величина служит для
характеристики равноярких излучателей по любому направлению.
Отношение силы излучения таких излучателей в любом направлении
к проекции на плоскость, перпендикулярному к данному
направлению, постоянно.
Сила излучения с единицы площади проекции поверхности
излучающего тела на плоскость, перпендикулярную к направлению
излучения, называется энерг етической яркостью
поверхности излучателя. Энергетическая яркость Le в заданном
направлении Э характеризуется равенством
или, учитывая (7.2) и (7.7),
с12Ф dE
L. = ю ' . = ,0 ' н [Вт • ср~' ■ м-2]. (7.9')
<12dA cos 6 dS cos в l v ' >
Излучение большинства применяемых на практике излучателей
близко по своим характеристикам к равнояркому излучению по
различным направлениям. Для таких излучателей энергетическая
яркость
U = i-. (7.10)
где 1е — сила излучения в направлении 0; Ав— площадь проекции
излучающей поверхности на плоскость, перпендикулярную к оси
• телесного угла. Для равноярких излучателей соотношение между
силой излучения и плотностью потока излучения постоянно. На
основании (7.9) сила излучения участка dA. поверхности излучения
по направлению в равна
(Не = LprfAcosO,
Согласно (7.2) и (7.5)
йФ, = hdQ = 2rcle sin ado
и
и
Фе = 2тс J le sin orfo.
о
Пользуясь этими выражениями, можно определить поток излучения
с№е, излучаемый участком поверхности dA равнояркого излучателя.
Принимая 8 = о и что а изменяется от нуля до W2. получим
с№г =; 2TcLedA С sinaeosodo = i:LedA. (7.11)
о '
134

Для равнояркой поверхности конечных размеров площадью А
Фе^гХЛ. (7.12)
Из (7.11) и (7.12) следует: для элементарных поверхностей
<№, М,
1>=1Ж=-1Г> (7ЛЗ)
для поверхностей конечных размеров
ф М
Таким образом, для оценки равномерности излучения по
поверхности равнояркого излучателя можно применять как
энергетическую светимость, так и энергетическую яркость. Для нерав-
ноярких излучателей характеристикой распределения излучения
по поверхности и в пространстве может являться только яркость.
Общее количество энергии излучения, падающей за некоторое
время на единицу поверхности, характеризуется энергетической
экспозицией, которая определяется выражением
Не = [ЕЖ (7.14)
где Eet — мгновенное значение энергетической освещенности. При
Eet ~ const
Не = ЕЛ. (7.14')
§ 45. Видимая область спектра. Световые величины
Приемники потока излучения можно разделить на две
основные группы: селективные'(избирательные) и неселективные (не
избирательные). У неселектпвных приемников излучения
спектральная чувствительность не зависит от длины волны излучения.
Селективными приемниками излучения являются фотопленки,
фотоэлементы и особенно глаз человека, играющий исключительно
важную роль и при повседневном восприятии света, и как
приемник излучения. В оптических приборах, работающих совместно
с глазом, приходится иметь дело с видимой областью спектра в
интервале длин волн 380—770 им. Совместное действие излучений
видимой области спектра на сетчатку глаза воспринимается как
белый свет; излучение, содержащее длину волны Х + АК
(монохроматическое), воспринимается как цветное.
Наиболее сильное воздействие на глаз, при дневных условиях
освещения (дневное зрение), оказывает излучение желто-зеленого
цвета с длинами волн 550—570 нм. Воздействие потока
излучения с длиной волны Х=555 нм условно принимают за единицу;
действие излучения на глаз других длин волн, в видимом
участке спектра, по сравнению с излучением А,=555 нм оценивается
относительной спектральной световой эффекгивностью
излучения v{k). Для ночного зрения максимальная чувствительность
135

глаза имеет место при Я,=510 им. (На рис. 68 показаны кривые
относительной спектральной световой эффективности излучения).
Для характеристики и количественной оценки действия
источников излучения в видимом участке спектра используется
система световых единиц.
Световой поток. Световым потоком Ф0 называется величина,
пропорциональная потоку излучения, оцененному с учетом
относительной спектральной световой эффективности монохроматического
излучения. Световой поток сложного
излучения
<B0 = Km$V(X)<MX)dX, (7.15)
где Фех(Х)с/Х—поток излучения в
спектральном интервале X, Х + ^Х; V(k) —
относительная спектральная световая
эффективность монохроматического из
Ш 500 600 700 К лучения; Km — коэффициент,
характерно 68. Кривые относительно ризующий максимальное значение спек-
вшшости: тральной световой эффективности.
/ — для дневного зрения, 2 — для СвеТОВОЙ ПОТОК МОНОХроМЭТИчесКО-
ночного зрения го излучеиия с дащной В0ЛИЫ X
Ф0.Х = КшФ.лУ(Х). (7.16)
За единицу светового потока принят люмен (лм), численно
равный световому потоку, излучаемому в единичном телесном угле
(стерадиан) равномерным точечным источником с силой света в
одну канделу. Многократными измерениями установлено, что 1 Вт
потока монохроматического излучения с длиной волны X = 555 нм
примерно равен 680 лм светового потока, т. е. коэффициент Km --
= 680 лм Вт-1. Поэтому для (7.15) и (7.16) можно написать
Фо = 680УУ(Л)ФА(Х)А;
ФоЛ = 680ФсД1/(Х).
Для связи светового потока с мощностью источника излучения
вводится понятие «световая отдача» — отношение светового потока
Ф к мощности Q, потребляемой источником света,
4 = «VQ. (7.17)
Световая отдача характеризуется числом люменов на один ватт
(лм. Вт-1).
Сила света. Пространственная плотность светового потока в
заданном направлении называется силой света. Сила света
определяется отношением светового потока, исходящего от источника
и распространяющегося внутри элементарного телесного угла,
содержащего заданное направление, к этому элементарному углу:
1.=-^. (7.18)
136

При равномерном распределении светового потока внутри телесного
угла
1. = 4г (7.18')
За направление силы света принимается ось телесного угла dQ
или а.
В соответствии с системой СИ за единицу силы света
принята кандела (кд). Кандела равна силе света, излучаемого
в перпендикулярном направлении 1/600 000 квадратного метра
поверхности черного тела при температуре затвердевания платины
и давлении 101 325 ньютонов на квадратный метр. Кандела
является исходной фотометрической единицей.
Для источников света, имеющего световой поток одинаковой
плотности во всех направлениях, т. е. для светящейся точки,
lv = <bj\r.. (7.19)
При неравномерном распределении светового потока в
пространстве выражение (7.19) представляет собой среднюю сферическую
силу света.
Освещенность. Плотность светового потока по освещаемой
поверхности называется освещенностью. Освещенность Ev равна отношению
светового потока, падающего на рассматриваемый малый участок
поверхности, к площади этого участка:
E.-st. (7.20)
При равномерной плотности светового потока по освещаемой
поверхности конечных размеров
Е, =- ^-. (7.200
Единицей освещенности является люкс (лк). Люкс—освещенность,
создаваемая световым потоком 1 люмен, равномерно распределенным
на поверхности, площадь которой равна одному квадратному
метру (лм . м-2).
Поверхностная плотность световой энергии падающего излучения
называется экспозицией
н =* -ж = J Ei»dt (лк • сь (7-21)
'1
при Etv = const
H = EJ. (7.21')
Светимость. Плотность излучаемого (отражаемого) светового'
потока по площади поверхности излучаемого (отражающего)
источника излучения называется светимостью. Светимость М0
равна отношению светового потока, исходящего от
рассматриваемого малого участка поверхности, к площади этого участка:
<1Ф
Mv = -~ [лм • м-2]. (7.22)
137

Средняя светимость характеризуется отношением
Ф
(7.22')
Яркость. Величина, характеризующая уровень светового
ощущения или видимость элементов поверхности, называется яркостью
Lv, которая равна отношению светового потока, проходящего в
рассматриваемом направлении в пределах малого телесного угла dS
через участок поверхности
dA, к произведению этого
телесного угла, площади
участка и косинуса угла между
рассматриваемым
направлением и нормалью к участку
dA:
**Р,г{£
d\.
Рис,
d<b .
69,
поглощенный
Отраженный d$pv,
рассеянный d<b ри прошедший ЙФт
световые потоки
dQ.dk. cos О
dE
dA cos 6
[кд . м-2]. (7.23)
du cos О
Для плоской поверхности,
имеющей одинаковую яркость во всех направлениях, можно
написать
Ао
1„
откуда
A cos в
hv = In
= const,
,cosO,
(7.24)
(7.25)
т. е. плоская поверхность, равнояркая во всех направлениях,
излучает по закону косинуса. Это положение известно как закон
Ламберта.
§ 46. Коэффициенты отражения, поглощения, рассеяния
и пропускания
Световой поток, падающий на оптическую систему, не весь
проходит через нее. Часть светового потока отражается от
поверхностей (dfl>fV), часть поглощается (с1Фы) и рассеивается (dOpv)
средами и только оставшаяся часть d$>xv проходит через оптическую
систему (рис. 69).
Согласно закону сохранения энергии
d$>v = йФ90 + d$>*v + d<bu0 + d$>zv. (7.26)
Для количественной оценки пользуются коэффициентами
отражения р, поглощения а, рассеяния р и пропускания t:
ас
ЛФ
р =
ръ
d<!>„
х = ■
£2«
d<S>„
(7.27)
138

Все коэффициенты связаны равенством
Р-Ь ь + Р + * = 1. (7.28)
Каждый из световых потоков (отраженный, поглощенный,
рассеянный и прошедший) зависит от спектрального состава
излучения, падающего на оптическую систему, и физических свойств
материала, из которого изготовлены детали системы.
Отраженный, поглощенный и рассеянный световые потоки
характеризуют собой потери световой энергии в оптических системах.
Практически очень трудно разделить потери света на поглощение
и рассеяние, поэтому их рассматривают совместно и для оптических
материалов характеризуют спектральным коэффициентом
внутреннего (чистого) пропускания та.
Коэффициент тд равен отношению вышедшего светового потока
Фай к входящему 4>a<w
та = £-. (7.29)
При этом потери на отражение от поверхности исключаются. В этом
случае коэффициент внутреннего поглощения (включая рассеяние)
будет равен
ад = I — та. (7.30)
В зависимости от свойств поверхностей материалов и
внутренней их структуры распределения отраженного и прошедшего
световых потоков резко отличаются. По характеру отраженного
и преломленного световых потоков принято различать:
1) направленное (зеркальное) отражение и направленное
пропускание (рис. 70, а);
2) направленно-рассеянное отражение и пропускание (рис.
70, б);
3) диффузное отражение и пропускание (рис. 70, в).
Направленное отражение от поверхностей и направленное
преломление (пропускание) имеют место в тех случаях, когда
неровности поверхностей малы по сравнению с длиной волны
падающего излучения, и подчиняются известным законам
отражения и преломления. Направленно-рассеянное отражение имеют
матированные поверхности прозрачных и непрозрачных
материалов. Направленно-рассеянным пропусканием обладают прозрачные
материалы, одна или обе поверхности которых матированы.
Диффузное отражение и пропускание имеет место в тех случаях,
когда материалы имеют неоднородности в своей толще, соизмеримые
с длиной волны.
Яркость поверхностей при диффузном отражении и диффузной*
пропускании постоянна по всем направлениям и не зависит от
направления падающего света, т. е, такие поверхности полностью
подчиняются закону Ламберта. Для диффузно-отражающей
поверхности освещенность равна
_^Е
А
F — ■ °
139

■а светимость
Ф
Из этих равенств имеем
Л1о = ^Г=Рф»'
Mv = р£0.
а
\J^~-^Y
Рис. 70. Виды отраженных и преломленных пучков лучей:
а— направленное отражение и пропускание, б — направленно-рассеянное отражение и пр<-
пускание, в — диффузное отражение н пропускание
Отраженный световой поток для таких поверхностей
Ф90 = М0А = р-ЕрА.
С другой стороны, согласно (7.12)
Фри = rL„A,
поэтому
?Е0
Для диффузно-пропускающих поверхностей
L -^
L.v — —— .
(7.31
(7.32
В природе не существует идеальных диффузно-отражающи;
и диффузно-пропускающих свет материалов. Поэтому для характе
ристики яркости в различных направлениях при отражении и
пропускании принято пользоваться величиной, которая представляв"
140

собой отношение яркости поверхности в заданном направлении Le0
к яркости равномерно освещенной диффузной поверхности Lv,
имеющей коэффициент отражения, равный единице. Эта величина
называется коэффициентом яркости
Так как при р = 1
то
re = L%v/Lv.
L>v —: ^o/^i
r.L.
re =
(7.33)
Для диффузно-отражающих поверхностей re = р, а для
направленно-рассеянных коэффициент яркости может быть значительно
больше р. Для поверхностей диффузно-пропускающих гд = т.
§ 47. Яркость отраженных и преломленных пучков лучей.
Световые трубки
Рассмотрим отражение и преломление элементарных пучков
лучей, образующих некоторую трубку, через боковую поверхность
которой свет не выходит. Такой пучок лучей принято называть
Рис. 71. Элементарная световая трубка
световой трубкой (рис. 71). Если световая трубка имеет
бесконечно малые поперечные размеры по сравнению с длиной, то она
представляет собой физический луч. Ось физического луча
является световым лучом в понимании геометрической оптики.
Если нормали OiiVi и O2N2 к элементарным площадкам dAi
и йК-2 образуют с осью световой трубки Oi02 углы 6i и 02 и
расстояние между центрами площадок равно г, то для телесных углов
rf2i и dQz имеем (см. рис. 71)
dQi =
dA2 cos 62
dA,cose,
dQ* = —^—.
откуда
dk \dQ\ cos 61 = dA2dQ2 cos 02.
141
(7.34)
(7.35)

Уравнение (7.35) выражает свойство элементарной световой трубки
в однородной среде, т. е. произведение площади нормального
сечения световой трубки (dAcosG) и элементарного телесного угла d9.,
имеющего вершину в точке этого сечения, есть величина постоянная
для любого сечения этой трубки. Следовательно, уравнение (7.35)
является инвариантом световой трубки для однородной среды.
Элементарный гомоцентрический пучок можно рассматривать как
элементарную световую трубку с телесным углом dQ.
Рис. 72:
о — отражение и преломление элементарных телесных трубок — элементарных
гомоцентрических пучков о вершиной в точке о; б — преломление световой трубки, опирающейся на
элементарную площадку <ЛЛ„
Световые потоки, проходящие через сечения dk.\ и dA2, в
соответствии с (7.9) равны
сРФ\(, = L\odAid^\ cos 6i;
сРФ2о = L?vdA2d(22 cos 82.
Учитывая (7.35), имеем
Lit, = L2(,== Lv = const. (7.36)
Таким образом, при отсутствии потерь на поглощение яркость
элементарной световой трубки в любом сечении постоянна.
Рассмотрим отражение и преломление элементарного
гомоцентрического пучка лучей (рис. 72, а). Для элементарных телесных углов
на основании (7.5) можем написать
сШ = 2ir sin sde; \
dQ' = 2* sin s'ds''] (7.37)
dQ" = 2« sin e"de".]
Согласно закону отражения |e| = |e'|, поэтому ds. = d& и
dQ=dS'. (7.38)
142

По закону преломления
«sin е »= «'sin е' (а)
и
п cos sds = «' cose'ds". (б)
Перемножая (а) и (б) и учитывая (7.37), найдем
n2 cos sd2 = «'2 cos eW, (7.39)
откуда
d2"= n'COSi„dQ. (7.40)
Я z COS £
Из (7.38) видно, что при отражении элементарной световой
трубки телесный угол ее не изменяется; телесный угол преломленной
трубки, как это показывает (7.40), зависит от показателей
преломления сред и косинусов углов падения и преломления.
Уравнение (7.39) представляет собой обобщение закона преломления
для случаев бесконечно тонкого пучка лучей — световой трубки.
Световой поток, падающий на элементарную площадку dA0,
й'2Фа = LadAdQcose,
отраженный от площадки световой поток равен
^2Фр« = ?d<bv = pLvdA cos s.
Согласно закону отражения этот поток может быть представлен
равенством
а!2ФРс = L9VdAdQ' cos е.
Решая эти уравнения, учитывая (7.40), получим
Lpt, = PL„. (7.41)
Из (7.41) видно, что коэффициент отражения р характеризует потери
яркости пучка лучей при отражении.
Преломленная часть светового потока
с12Фи = LvdAdQ cos е".
В соответствии с законом сохранения энергии при отсутствии
потерь на поглощение
d'd\ = d\v -f d2<I>l
или
L4Q cos e = Let4Q' cos e' + L"d£" cos e\
Так как |e| = |s'|, dQ = dQ' и Lpv — pL ., то
Учитывая (7.39), получим
-£ = (1-P)(4)2. (7.43)
0
143

Из (7.43) видно, что при переходе светового пучка из одной
прозрачной среды в другую его яркость меняется. Коэффициент (1 — р)
является коэффициентом пропускания, учитывающим только потери
на отражение, т. е.
'tp = (1 — р)>
тогда
Т- = М— • (7-44)
Если в системе отсутствуют потери, то т = 1 и
•2
v =•_- L0v = const. (7.45)
n -
Отношение LJn2 носит название редуцированной (приведенной)
яркости пучка лучей. При п = п', Lv — LV)T.e. если
показатели преломления сред одинаковы, то яркости пучков также будут
одинаковыми, что соответствует формуле (7.36).
В действительности коэффициент пропускания всегда меньше
единицы, поэтому и яркость пучка, допустим, после выхода из
системы (в пространстве изображений), при п — п' всегда будет меньше
яркости пучка, падающего на систему (пространства предметов).
Яркость Lv будет больше яркости Lv только в том случае, когда
п" > п. Так, например, при t = 0,8, п = 1 и п' = 1,8 Lv = 2,6LV.
При прохождении светового потока через однородную среду
всегда имеют место потери на поглощение, вследствие чего
яркость пучка уменьшается. Яркость пучка при прохождении его
пути, равного одному сантиметру, характеризуется выражением
Lav = Lv(l— a) =Lt,xa. (7.46)
Найдем зависимость между телесными углами dQ\ и (№,%,
опирающимися на элементарную площадку dA0, расположенную на
границе раздела двух сред (рис. 72, б).
Умножая (7.39) на dAu и учитывая, что n = ni и п' =п,2,
получим
ntdA.0dQ cos е = nldA0dQ' cos s .
Для телесных углов d-2 и dQ' можно написать
dA, cos 0, . dA0 cos В9
dii - ' , ' ; dQ' = ——2—-,
г, 4
тогда
Так как
.2
dA0cose „ dA0coss'
п 1 dA | cos 61 5— = п2^Аг cos 6
A
dA0 cos s dA0 cos %'
aQ\ = 5—, dQ,2 = з—!
144

поэтому
n\dk\ cos 9id2| = n\dk2 cos 0?dQ2. (7.47)
Формула (7.47) является основным инвариантом световой трубки
(гомоцентрического пучка), который гласит: произведение квадрата
показателя преломления, площади нормального сечения (dAcosG)
и элементарного телесного угла, имеющего вершину в точке этого
сечения и определяющего световую трубку, остается неизменным
(инвариантным) при преломлении трубки во второй среде. Если
световая трубка претерпевает ряд преломлений, то величина (7.47)
остается инвариантной от 1 до k-й преломляющей поверхности, т. е.
п24М cos 0id<2i = n'idA'keos 8>Л. (7.48)
Если площадки dAi и dA2 нормальны к оси трубки, то
cosOi =cos8fe = 1
и
n,dA,d9i = n'kdA.'kd9.'k. (7.48')
Уравнение (7.48') называется теоремой или инвариантом
Штраубеля. Применение (7.48') к однородной среде приводит
к (7.35), т. е. формула (7.35) является частным случаем Солее
общего инварианта.
Инвариант (7.48) справедлив также и для случая, когда
элементарные площадки dAi и dAk являются сопряженными, т. е. когда
dAi является предметом, a dAk ее совершенным изображением. Для -
этого на место dAQ нужно поместить диафрагму dAp, которая будет
входным зрачком оптической системы. Построив световую трубку
сначала для сечений dA0 и dAp с телесными углами di2\ и d%,
а затем, продолжив построение таким же образом до среды с
номером k, для которой элементарными площадками будут являться
dAp- и dAk, получим инвариант (7.48).
Элементарные световые трубки не имеют практического
значения, так как световая энергия, проходящая через них,
бесконечно мала.
Полезное значение элементарных световых трубок состоит в
том, что их свойство можно перенести на световые трубки
конечных размеров.
Если сечения трубок AAi и AAft являются оптически
сопряженными, то световую трубку конечных размеров можно рассматривать
как оптическую систему (рис. 73). В такой световой трубке
поперечные размеры ее ограничиваются входным и выходным зрачками.
В пространстве предметов световая трубка ограничена
линейчатой поверхностью, которая образуется, если каждую точку
площадки Ь.А\ соединить с каждой точкой поверхности' входного
зрачка. В пространстве изображений получим соответствующую
сопряженную световую трубку. Каждую световую трубку конечных
размеров можно рассматривать как трубку, состоящую из бесконечно
145

большого числа элементарных трубок. Возьмем элементарную световую
трубку сечения dAi с телесным углом dQ, ось которого составляет
с оптической осью угол 8|, в пространстве изображений будем иметь
сопряженную элементарную трубку сечений dA.'k с телесным
углом dQ'k-
Согласно инварианту (7.48) для оптически сопряженных
площадок можно написать
d2I = п2оГА,с(2, cos0, = n?dA.'kQ'kcosi'k. (7.49)
Рис. 73. Световая трубка конечных размеров
Следует отметить, что элементарные площадки являются функциями
только координат точек А| и А* на площадках АА| и ДАА, тогда
как телесные углы dQ\ и dQk являются функциями не только
координат, но и направлений, определяемых углами Oi и О*.
Для определения световой трубки конечных размеров, состоящей
из совокупности элементарных трубок, необходимо функцию d2l
интегрировать по всей поверхности площадок А5| и ASt, т. е.
dl = п\ I dk\ [ dQi cos 6, = n'k J dA.'k [ dQ'k cos 8*. (7.50)
ДЛ1 Щ да' о'
Формулу (7.50) можно рассматривать как инвариант Штраубеля для
световой трубки конечных размеров.
Если площадки ДА) и ДА* довольно малы по сравнению с
длиной световой трубки —оптической системой, то формулу (7.50) можно
написать в виде
dl = П1ДА1J dQi cos Oi = п'»2ДА'* J dQ'k cos b'k. (7.50')
4
Выражая телесные углы через плоские в соответствии с (7.50')
и интегрируя полученное уравнение в пределах изменения углов
0 от 0 = 0 до 6 = о, получим
«iAAisin2ai = n*2AAfeSin20ft. (7.51)
Заменяя сопряженные площадки AAi и ДА* соответствующими
отрезками Дг/ и Д/Д будем иметь
я2Дг/ sin а, =пкА.у sin о*.
146

Извлекая корень из обеих частей этого равенства, приходим
к инварианту Лагранжа — Гельмгольца для пучков лучей конечной
апертуры
П\Ьу sin oi = п'кЬу sin в*. (7.52)
Следовательно, инвариант Лагранжа — Гельмгольца является
частным случаем более общего инварианта Штраубеля.
Рис. 74. Яркость пучков лучей первой (£J) и к-й (L'£ поверхностей оптической
системы
§ 48. Потери световой энергии в оптических системах
Потери световой энергии в оптических системах зависят от
коэффициента отражения р, коэффициента поглощения а или
коэффициента внутреннего пропускания zt = 1—а и коэффициента
отражения от зеркальных поверхностей R. Кроме того, в системах
могут быть детали, поверхности которых имеют светоделительные
поверхности. Все эти потери характеризуются коэффициентом
пропускания системы х.
Для определения коэффициента пропускания оптической
системы необходимо знать:
1) коэффициенты отражения от преломляющих поверхностей;
2) число преломляющих поверхностей системы, граничащих с
воздухом и другими средами;
3) коэффициенты внутреннего пропускания оптических стекол
и других материалов, из которых изготовлены оптические детали
системы;
4) коэффициенты отражения для отражающих покрытий, если
в системе имеются призмы и зеркала;
5) длину хода луча вдоль оптической оси в каждой оптической
детали, входящей в систему;
6) типы светоделительных покрытий, если таковые имеются в
системе.
Допустим, система состоит из k преломляющих поверхностей;
по формуле (7.43) яркость пучка лучей после преломления на
первой поверхности будет равна (рис. 74)
L\v = L)V(\ — ?i)^—J .
147

По формуле (7.46) в конце первого пути d\ яркость пучка составит
L2v = Llv (1 - а,)"1 = L ,0 (1 - pi) (1 - а,) (-^J .
Аналогичным путем можно найти яркость пучка лучей после
второй, третьей и т. д. поверхностей. Яркость пучка после &-й
поверхности, т. е. после прохождения светового потока через всю систему,
учитывая, что (1 — а,) = *,-», определится выражением
$ П (1 _ р.) П (*,)?'■ (7.53)
Для системы в воздухе (п\ *=n'k= 1)
Lkv = £iot р"«, (7.53')
где тр—коэффициент пропускания системы, учитывающий только
потери на отражение,
тр=П(1_Р,), (7.54)
v=l
та — коэффициент пропускания, учитывающий только потери на
внутреннее поглощение (с учетом коэффициента рассеяния),
та - П (1 - av)d* = П (т,)*', (7.55)
где d,— длина хода луча в каждой среде, выраженная в
сантиметрах. При наличии в системе зеркал коэффициент пропускания будет
равен коэффициенту отражения отражающего покрытия
*Л = П tf„ (7.56)
v=l
/—число зеркально-отражающих поверхностей.
Если в системе имеются детали со светоделительньши
покрытиями, то световой поток будет проходить по двум каналам: по
одному каналу он проходит через покрытие, а по другому
отражается. Для проходящего светового потока
i
хп = П та, (7.57)
где та — коэффициент пропускания светоделительного покрытия. Для
отраженного потока
то = П R0, (7.57')
v=l
где Ro — коэффициент отражения светоделительного покрытия.
Сумма тп + -о < 1. так как всегда имеют место потери на поглощение
в металлическом покрытии.
148
Lkv — -Ми

В том случае, когда в системе установлены светофильтры, то
пропускание их
хФ = П 4> (7.58)
где /С, — кратность светофильтра.
Поверхности склейки и отражающие поверхности призм, при
наличии полного внутреннего отражения, при определении х не
принимаются во внимание, так как потери в этом случае очень малы.
Таким образом, общий коэффициент пропускания будет равен
х = хр . ха . тЛ • хп • Тф. (7.59)
Коэффициент пропускания г зависит от длины волны и для
систем, работающих в видимом участке спектра, в большинстве
случаев, определяется для Х = 546,] нм (линия спектра е).
Коэффициент отражения р от полированных поверхностей может
быть вычислен по формуле Френеля
sin2(г-О , tg2(S-e')
1
Р= 2
sin* (г + О ' tgT(s + e')
При малых углах е и е', пользуясь законом преломления пв =
= п'г', получим
На границе раздела воздух — стекло или стекло—воздух
При углах падения от 0 до 45° коэффициент р изменяется в
небольших пределах и его можно вычислять по формуле (7.60'). При
определении х для преломляющих поверхностей на границе воздух—
стекло при я< 1,57 коэффициент р принимается в среднем равным
4%, а при п> 1,57—5%.
Потери световой энергии вследствие отражения при
преломлении, особенно в сложных системах, могут достигать больших
величин (до 70—80%). В настоящее время эти потери значительно
уменьшаются путем просветления оптических деталей. Сущность
просветления состоит в том, что на поверхности оптических
деталей наносятся многослойные интерференционные покрытия. Так,
например, при однослойном просветлении pst; 2%, при двухслойном
р«1% и при трехслойном pssO.5%.
Коэффициент внутреннего пропускания х; для большинства
марок оптических стекол при X = 540 нм составляет 0,994—0,996 на
один сантиметр хода луча. Только для некоторых марок стекол
(ЛК7, КФ7, ТФ4, ТФ10) коэффициент п колеблется в пределах
0,987—0,991. Для длины волны X = 480 нм, что соответствует ~
149

линии F', коэффициент z{ несколько уменьшается и составляет
0,983—0,99*.
Для отражающих покрытий можно принять: серебряное
покрытие R г^94%, алюминированное— R es 85%. При наличии деталей
со светоделительными покрытиями следует руководствоваться
нормалями.
Если, например, оптическая система состоит из преломляющих
и отражающих поверхностей с непросветленными и просветленными
поверхностями, то коэффициент пропускания системы можно
определить по формуле
х = 0,96"< . 0,95^ . 0,98"» . 0,99^ . 0,995*» . 0,995" х
X 0,94v" • 0,85*4 (7.61)
где N \, N2 — число непросветленных поверхностей воздух — стекло
при п< 1,57 и воздух—стекло при п > 1,57; N%, NA, N5 — число
однослойно, двухслойно и трехслойно просветленных поверхностей;
d— суммарная длина хода луча в стекле вдоль оптической оси,
выраженная в сантиметрах; Nc, Na — число поверхностей с
серебряным и алюминированным отражающими покрытиями.
§ 49. Световой поток, проходящий через оптическую систему
Найдем величину светового потока <№„, поступающего в
оптическую систему, имеющую входной зрачок конечных размеров (QiQ2=
= D, рис. 75). От каждой точки элемента dA, расположенного
перпендикулярно к оптической оси, на систему падает конус лучей,
опирающийся на входной зрачок.
Элементарный световой поток йФ„, посылаемый элементом dA
и поступающий в систему через некоторый бесконечно малый
элемент MM\NN\ входного зрачка, определяется формулой
d^B^LedAdQcose.
Элементарный телесный угол равен
dQ=MMl М^ ^ МРц м = р2${пщМ =sjn
Р* Р2 Р
тогда
d4v = L„dA cos 0 s i п ЬйЩ. (7.62)
Если допустить, что яркость Lv одинакова по всей поверхности
элемента dA, то для нахождения полного светового потока, излу-
. чаемого элементом dA и заполняющего весь входной зрачок,
необходимо выполнить интегрирование с учетом пределов изменения
* Для стекол из исключительно химически чистых материалов коэ<[)фициент
внутреннего пропускания может быть т, > 0,999. Такие стекла применяются
в волоконной оптике.
150

угла 0 от нуля до вА и угла <|» от нуля до 2тс (предполагается, что
входной зрачок имеет форму круга), т. е.
2* ЬА
</Ф„ = Ivdk I difl sin 8 cos Od0. (7.62')
о n
После интегрирования будем иметь
йФп --=r.Lvdk sin2 од. (7.63)
*V~X
Рис. 75. Световой поток, проходящий через оптическую систему
Аналогичным путем можно найти выражение для светового
потока йФр, вышедшего из оптической системы через выходной зрачок
q;q:2 = d\
dtiv = r.L'vdA-' sin'W. (7.64)
Связь между яркостями Lv и Lv характеризуется формулой (7.45'):
где •: — общий коэффициент пропускания оптической системы. Тогда
йФ,
Vni/
dA sin <ja'.
(7.65)
Определим световой поток, выходящий из элемента dA\,
расположенного в точке Bi вне оптической оси (рис. 76). Допустим, что
элементарная площадка dA\ имеет одинаковую яркость во всех
точках, причем L\v = Lv и dA.i=dA. Для телесных углов dQ и е1Яш
можно написать
d9 = ^Hd2„ = %-,
р р\
где dAp — площадка на входном зрачке, dApai— проекция площадки
dAp на плоскость, перпендикулярную к оси ВР = р\ телесного угла
dQ*. Так как
dApm = dAp cos ш и р = р\ cos ш,
151

то
Но
поэтому
dA
оГ2ш =.- —/■ cos3 со.
dAp = p2sinQdbdty,
dQm = sin %dty cos3 u>.
Обозначая проекцию dAj = dA на плоскость, перпендикулярную
к оси телесного угла dQ, через
dA2, будем иметь
dA2 = dA cos о).
Для элементарного светового
потока, исходящего из площадки
dA\ и заключенного внутри
телесного угла dQm, можно написать
ЙФ„> = LBdA cos 6 cos wdQa —
s= LvdA cos4 to cos 0 sin ЫЫЬ.
Интегрируя это выражение в
тех же пределах, что и (7.62),
найдем
Рис. 76. Световой поток, падающий
на входной зрачок из элементарной
площадки вне оси
^Фш = r.LvdA sin2 оЛ cos4 u>. (7.66)
Беря отношение выражений (7.66) и (7.63), получим
d<J>e=<№ecos4u>. (7.67)
Таким образом, световой поток, выходящий из какой-либо
элементарной площадки, находящейся в плоскости, перпендикулярной
к оптической оси, и расположенной вне оптической оси,
пропорционален четвертой степени косинуса угла ш (половине углового
поля). При этом предполагается, что телесный угол опирается на
всю площадь входного зрачка.
§ 50. Освещенность изображения. Светосила
Освещенность элементарной площадки dA', расположенной на
ештической оси, определяется отношением
£„ =
dA'
Подставив вместо d'Po его значение из (7.65), найдем
\2
Ev =T.xLv\ — ) sin оА
152
(7.68)

Если d<bv заменить -.d'bv, то
Ev =-- -r.xLvs'm2 ga
dA.'
Ho
поэтому
dA/dA' = I/pjj и Lvfn2 = L
ov>
. 2 1
Ev = -zL v (n sin CTA) —о
о Po
(7.69)
Произведение n sin <sA — А
представляет собой числовую
апертуру пространства предметов, и
£;=*xL0H2ir- (7-69)
Рис. 77. Апергурньгй пучок лучей в
пространстве изображений
Выражая sin оа- через диаметр
входного зрачка D, линейное
увеличение Ро и линейное увеличение в зрачках $0р (рис. 77), найдем
(7.70)
Тогда
*in2 ' ' (2-Y Pop
sln °-= т И (V^-
£"t> —• "t'Z'zLv
nkYfD\2
r
?0p
и i ■ (7-71)
M / \' / ^ Hop —Po / l '
Если первая и последняя среды одинаковы (например воздух),
ТО П\= tlk и
Из формулы (7.72) видно, что освещенность в изображении
элементарной площадки на оптической оси зависит от линейного уве
личения, т. е. для различных расстояний до предмета освещенность
будет иметь разные значения. Все величины в формуле (7.71), за
исключением яркости предмета Lv и линейного увеличения (Зо,
относятся к оптической системе (/', D, р0р, t). Освещенность
изображения, как это видно из (7.71), пропорциональна квадрату отно
сителыго отверстия:
//г =
D
;Г1 ■ (7-73)
Величина Иг называется геометрической светосилой системы.
Фактическая светосила зависит от коэффициента пропускания, поэтому
произведение хН? называют физической светосилой системы /Уф, т.е.
>2
я*
*•-*$)'
(7.74)
153

Физическая светосила представляет собой численную меру,
характеризующую влияние конструкции системы на освещенность
изображения.
Если предмет находится в бесконечности, то ро = О и
E'v = ±™L0(f-)\ (7.75)
При Ро = —1,0, т.е. когда предмет и изображение расположены
на двойных фокусных расстояниях,
*-т«ЧЯ" (*&•)'• ("6>
Если, кроме того, $oP = U 0, тогда
1 / D V2
Ev = -^v:xLv\jrj . . (7.77)
В случае когда изображение находится на большом расстоянии
от оптической системы (случай освещения прожектором), то с
достаточной точностью можно принять, что
D'2 А ,
Sin Од, = —т = -4j,
4/7 ' Я/7 ^
где Ар,— площадь выходного зрачка системы; р'— расстояние от
выходного зрачка до изображения. Тогда на основании (7.68) при
ti\ = tik получим
Ev = xLv-^-, (7.78)
Выражение (7.78) носит название формулы Чиколева — Маижена.
Освещенность в какой-либо элементарной площадке,
расположенной вне оптической оси, при отсутствии в системе
виньетирования на основании (7.67) будет равна
£1 = £^саЛ»\ (7.79)
В реальных системах, особенно онетоиильных и широкоугольных,
виньетирования не удается избежать, поэтому
£ш = kAE'v cos ш , (7.80)
где /?л — коэффициент геометрического виньетирования.
Формула (7.79) являетея приближенной; она дает хорошие
результаты при относительных отверстиях, не превышающих 1:3,5,
и удовлетворительные (о ошибкой 5—6%) при относительных
отверстиях 1:2.

Глава 8
РАСЧЕТ ХОДА ЛУЧЕЙ ЧЕРЕЗ ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
§ 51. Расчет хода первого и второго параксиальных лучей
В настоящее время расчет хода лучей через оптические системы
различной сложности производится с помощью электронных
вычислительных машин (ЭВМ) по специальным программам. Однако
во многих случаях, при предварительном расчете оптических
систем, приходится выполнять расчет хода параксиальных и
действительных — меридиональных лучей ручным способом, используя
для этих целей микрокалькуляторы различного типа с
тригонометрическими функциями.
Если система состоит из / тонких линз в воздухе, то
параксиальные лучи рассчитываются по формулам (3-53): первый
параксиальный луч
второй параксиальный луч
р11 = ^-1 + ^-|Ф11-|;|
^ = ^-1—^-1^. I
где и. = 2, 3, ..., I.
Для системы, состоящей из k преломляющих или отражающих
поверхностей, используются формулы (5.36), (5.42) и (5.44), которые
приводятся к виду: первый параксиальный луч
(8.i;
(8-2)
а,
__ ",_)*,-) + fty-i ("у - • v-i) Pv-i;
h., = л,_1 — dy_ i ач,
второй параксиальный луч
D __ "у- |Р,-1 + t/,-1 («t - И,_)) Pv_|
(8.3)
(8.4)
г/, = y„_j —rfy_ l^y,
где v = 2, 3, .. ., k, р,_, = l/r,_i.
Начальными-данными при равчете хода первого параксиального
луча для предмета на конечном расстоянии являются:
координата Si или а\, высота hi выбирается произвольно или D/2, при
si=«i= — со, ai = 0, hi — произвольно или D/2. При расчете
155

хода второго параксиального луча задается sp или ар, а угол fji
принимается равным tgu>i, y\—sp§\ или у\ — ар$\.
В результате расчета лучей находятся следующие величины: при
а\ == S\ ф — оо расстояние^ = hihi или Sk = Л/е/а*, линейное
увеличение системы ро = n\3.\lnkzit\ при а\ = si = — ооар- = /г^/а;', s/?- = /г^/а*,
f — hilai, f = h\/a.k', положение выходного зрачка dp- — yi/$'i, sp>=
= yk/fik и линейное увеличение в зрачках р0р = "ipi/«/$*, величина
изображения у ={ар—щ) р/ или у = (sp-— Sk) р*. Для
определения о/? или S/? рассчитывается ход первого параксиального луча
в обратном направлении. Если луч рассчитывается через
телескопическую систему (ой = О, <х£ = 0), то определяется видимое
увеличение Гт = h\lhk.
§ 52. Расчет хода действительных лучей
в меридиональной плоскости
Расчет хода действительных лучей в меридиональной плоскости
ручным способом производится по формулам (4.26)—(4.30), которые
при последовательном их применении к каждой преломляющей
поверхности имеют вид:
Si ф — оо, ai ф 0, h\ —задается;
Г1— 1 — Sv-1 _.
Sin £»_1 =8
»—1
■sino»_i; sin sv_i
"v-l
■ sin s,_i;
sins,,
sin a,
(8.5)
ov = o,_i + e»_i — e,_i, sv_i « r»_i — r,_i
s, =s'v_, — d»_i,
где v = 2, 3, .... k.
При s = — oo, oi = 0, h\ — задается sin ev_i == — A„_i/r»_i.
Если для какой-либо поверхности г = оо, то s = о,
е' = о', sin о =»-p-smo, s'=s1|y.
В результате расчета при s\ Ф — со определяются координата
s и линейное увеличение по формуле
~ Л| sin о,
rtbSina,,
я при si = — со, s,' = s^,., фокусное расстояние
/ = Л|/ sin ой.
156

Расчет хода главного луча производится по формулам (8.5),
в которых угол а заменяется углом о>. В результате расчета
определяется координата s'P', линейное увеличение в зрачках
и
величина
изобр
эжения
У
£> =
= (Sp.
"1
Ч
SID с»!
SiniOj '
Sk) tg Щ.
(8.6)
§ 53. Расчет хода элементарных астигматических
пучков лучей
В § 25 было показано, что при прохождении через систему
элементарных наклонных пучков лучей внеосевая точка предметной
плоскости изображается в виде двух элементарных отрезков,
расстояния до которых определяются координатами tm и t's по
формулам (4.47) и (4.48), т. е.
_1 = ("у-1 COS2 S_i)//mtV_! + Ру_1 ("у cos s^_, - rav cos sv_i) _
C.,-i "vCOs2e;_,
_1 ",-iAs.t-i + P,-i К cos s'v_, — nv_, gos ev_,)
C-I я»
где v = 2, 3 ... k.
Прежде чем приступить к определению координат t'm и U, по
формулам (8.5) рассчитывается ход главного луча по заданным
координатам sp и и>1. В результате расчета получают величины углов
е, е', о), ш' и ср для каждой преломляющей поверхности. Затем
вычисляются высоты у падения луча на каждую поверхность по
формуле
у, = г, sin cpv = rv sin (ш, — £v) = /•» sin (u>v — sv).
Переход от поверхности v—1 к поверхности v производится по
формулам (рис. 78)
^т.у ~ 'т.у—1 Wy—iJ
*s,y ~ bs.v—I —wy—],
где d ,_i — косая толщина или толщина линзы (воздушный
промежуток), вэятая по главному лучу, равна
7 J/,_i — ",
«in ш,
157

В^ результате расчета хода меридионального и сагиттального пучка
лучей через систему из k преломляющих поверхностей находятся
Рис. 78. Ход главного
луча через поверхности
v — 1 и v
координаты tm,>,, tSik (рис. 79). Астигматическая разность вдоль
главного луча равна 4.* — (т.к. Астигматическая разность вдоль
оптической оси ts'fi—t'mM где
t m.k = tm,k cos щ -f- eu\
t %,k — U,k cos и)» + ek.
Рис. 79. Координаты,
определяющие
положение астигматических
изображений
Сь
Ун
\$
-^
-~/
/
/
~з±
S р'
■«
-*
^ь^.
w^
^^'н
р> /
tm.ft
*s,k
S'h
\
B'mSsA
^^,
Ут
zs~zm
i
4'
■>
-^—
^
,
-4
fk
>-
Щ
4
Координаты ym и y„ определяющие высоты от оптической оси до
точек Вт и В„ меридионального и сагиттального изображений
точки, равны
у'т = (V — / m.k) tg 0)А;
y's = (S'„, — * s,*)tg 0)ft.
158

Уравнения для меридионального и сагиттального элементарных
пучков лучей при расчете их с помощью ЭВМ записываются в виде
где
*тл—I — "
v<?v_l
A*v_i +
\_i<7v— l
"J 'm,i — *т,ч—1 — Ui—[J
m,v—1
ts,t—\ =
M>->+!
V—1
") fs,v — ^S,V 1 Wv 1*
S,v 1
<7„_i = coss„_b gv_i = cos£v_i, M,_i =(ftv<7v-«v_i<7v—i)p»
берутся из расчета хода главного луча.
(8.7)
§ 54. Внемеридиональный луч и его координаты.
Формулы для расчета хода внемеридиональных лучей
Выше рассматривался ход действительного луча только в
меридиональной плоскости. В общем случае лучи, выходящие из
различных точек предметной плокости, не лежат в меридиональной
плоскости, а пересекают ее под различными углами. Такие лучи
носят название внемеридиональных или косых лучей.
Положение внемеридионального луча B\N\ (рис. 80, а) в
пространстве предметов определяется следующими координатами:
расстоянием от предметной плоскости до плоскости входного зрачка
(sp — si), величиной предмета у и координатами пересечения луча
с плоскостью входного зрачка т\ и М\. Координата т.\
расположена в меридиональной, а М\ — в сагиттальной плоскостях.
Вместо координаты у может быть использован угол щ; tgw\ = у/(sp —
— si]). Зная эти координаты, можно найти направляющие косинусы
Хь и,[ и vi, характеризующие направление внемеридионального
луча B\N\ (см. рис. 80, а):
Xi =
|Х, =
V) =
" (*!-*.,)
У(ч
Уь
-»p)2 + l«.-v)S+Af2
т\ —у>
-»D)2 + (»»|-V)2+«i
■V/,
V(h-^f + (nh-uf +
(8.8)
где \[ — косинуо угла между лучом BiNf и осью AXZ\\ р—
косинус угла между лучом B\N\ и (х-ъю A\Y\ V[ —косинус угла между
лучом B[N\ и осью А\Х. Как известно из аналитической геометрии.
м + н-1
v?=l.
159

В пространстве изображений, если система дает совершенно!
(идеальное) изображение А\в\ предмета А\В\, то координатами вяь-
меридионального луча NkBk являются (рис. 80, б): расстояние о~
Рис. 80. Координаты, определяющие положение внемеридионалыюго луч^
о — в пространстве предметов; б — в пространстве изображений
плоскости выходного зрачка до плоскости параксиального изоорг-
>кения (s'p> — Ss), величина изображения tgw'k = у' /s'p—sL ко
ординаты пересечения луча с плоскостью выходного зрачка т'к \
M.'k- Однако вследствие того, что реальная оптическая система at
удовлетворяет всем положениям идеальной, внемеридиональный лу1
NkBk пересекает плоскость параксиального изображения не в точк^
Bk, а в точке Bk. Положение луча NkBk вполне определится, есл!
наряду с координатами точки Nk(mk, Мк) будут известны коорди
паты точки Bk- Расстояние между точками В,, и Вк характеризуем
несовершенство реальной оптической системы и носит название п<-
160

поперечной аберрации (погрешности) внемеридиональноголучи. пели
отрезок BkBk разложить по осям координат, то получим две
составляющие kgk и AGk. Координатой точки Bk в меридиональной
плоскости является у'= у' -\-&gk, а в сагиттальной плоскости х' =
= Ши. Таким образом, координатами внемеридионального луча
NiBk в пространстве изображений являются: —{s'p—si), rrik, Mk,
у' = у' + Ag-/!, и х' = AG'k.
Направление внемеридионального луча в пространстве
изображений можно характеризовать также направляющими косинусами
(рис. 80, б).
*.*-
V* =
П*-
V (,;-
- v)8
-v)
+ (Ч-
тк-
m'k
- у')2 +
-у
-?у +
-лс/к
К-
(К-
о*
-ла'„у
(8.9)
V
(*■» - v)" + -Ч - *у + (л^ -д^)
Координаты внемеридииналыюго луча в пространстве
изображений, как известно, являются функцией координат луча в
пространстве предметов и конструктивных элементов системы,
поэтому определяются расчетом хода лучей.
Расчет хода внемеридиального луча на ЭВМ производится по
формулам Федера, которые имеют ряд преимуществ перед
тригонометрическими формулами. К этим преимуществам относятся:
отсутствие тригонометрических функций, благодаря чему
значительно сокращается машинное время, необходимое для расчета;
минимальное число квадратных корней; отсутствие переменных,
обращающихся в бесконечность (s, 5'); отсутствие формул,
приводящих к потере точности; плоские поверхности не требуют
специальных схем. Направление луча в формулах Федера до и после
преломления определяется с помощью единичных векторов Q и Т
(рис. 81). Начало координат располагается на вершине первой
поверхности. После расчета хода через первую поверхность начало
координат переносится на вершину второй поверхности и т. д.
Ниже будут приведены формулы для расчета хода лучей
только через центрированные системы, состоящие из сферических и
плоских поверхностей.
Для предмета на конечном расстоянии положение луча в
пространстве предметов определяется координатами su sp, у, х; tti\\
Mi (рис. 82, а).
6 1-448 '61

Если предмет находится в бесконечности, то положение луча в
пространстве предметов задается координатами sD, т\, Mi,
направляющими косинусами |м. vi (рис. 82, б).
Следы ссреричсспий
/юверх/юсти
Рис. 81. Ход внемеридионального луча через поверхности v — 1 и ч и его
координаты:
О (г. ч- )у | —единичный вектор, определяющий направление луча W„ j! Q' (2. 1/. «К —
единичный вектор, определяющий направление луча после преломления иа поверхности v—!;
к (х, у, 2)v | —вектор из вершины поверхности v — 1, направленный в точку пересечения
луча /Vv \N, с этой поверхностью; Т (г, у, л), |—вектор из вершины поверхности,
направленный п точку пересечения лучя /V„ |/VV с данной поверхностью
Рис. 82. Координаты внемеридионального луча:
а — для предмет:, на конечном расстоянии, о — для предмета в бесконечности
Для расчета хода внемеридиональных лучей через
центрированную оптическую систему, состоящую из сферических
преломляющих поверхностей, формулы Федера применяются и следующей
последовательности .
Предмет на конечном расстоянии si Ф — го, координаты
предметной плоскости: ги = 0, уо = у, х», <U = — м.
162

Направляющие косинусы:
"(Si-V)
V(St - V)2 + ('"!- V)2 + (M , - r„)2
м\-*о
(8.10)
В том случае, когда предмет располагается в меридиональной
плоскости, х0 = 0. Предмет в бесконечности:
z0 = 0; у0 = wi; х<> = М1('
Xi=cosoi; [j,i= —sin 01; vj = 0; d0 =— sp.
(8.11)
Преломление луча на v-й поверхности определяется по формулам
1. e,_i = —[(zv-i — d,_i)Xv + «/,_![*,+ jc,_ivv];
2. av = e,_iX, + (z»_i—d,_i);
3. A' = (2»_i — d,_i)2 + г/v-i + ATv-i — <?v_i;
4. Рч = p,A* —2a»;
5. q*~V)-v — pv^v = cose»;
■6. cu, =e,_,-r ^ + ^ ;
8. g„=g„ — -—?v,
"v+l
9. 2» = (2v_i — d„_i)-f Л_|Х,;
10. t/„ = f/v—i + dv_i^«;
11. jcv = x»_i + d„_iv„;
cose,
12. Xv+. =
13. (J.v+ = -
14. v,+ i =•
■I
r,v+l
— ^v — s'v (^pv — 1 );
Vv —fivXvP,.
162
(8.12)

Проверка правильности вычислений после каждой поверхности
производится по формулам:
Л„_1 + (А,—1 "Г Vv_l= I,
(zv~ip,~i — l)" + (г/v-ipv-i)2 + (**?*-1)- = 1
(8.13)
В результате вычислений определяются координаты пересечения
внемсридионального луча с плоскостью параксиального
изображения (см. рис. 81):
у' = у и = vi. + [А..Ч-1, Д#* = У' — у'\
Xk+1 = -U -г -j ;—vft+i, ДС/; = Х/,+ |.
^-f l
(8.14)
В том случае, когда луч проходит в меридиональной плоскости
хь = 0, vi =0. Для предмета на конечном расстоянии:
!
X, =
'"i - ч
Vfs, -,у + (,„,-цу
dn = —S].
(8.15)
d0 = — sp.
(8.16)
Предмет в бесконечности:
Xi = cosoi; zo = 0;
(*i = — sin or, г/о = mi;
Формулы для расчета хода меридионального луча при
преломлении на v-й поверхности имеют вид:
1. <?„_i = — |(г„_, — uf»_i)XvH- t/,_i(Avl; >
2. ov = <?„_ iX» -f (z,._i — d,_.|);
3. /J* = (zv_,— A_i)24- Vv2-i — eLi;
4. Pv = Pv/l» —?av;
5. p, = к Xv — p»P, = cos e„;
p
6. d„_, = ev_, +
K + 7. '
7. <?v = l/ I -/A_Y(1 _^)=cossv;
8. &v = <?«
■-.+
9. г, = (z,_i— uf„ ,)-L</v_iX,:
164
(8.17)

10. г/, = г/,_| -;d,_,av;
12 U.,+ | -= p.v gv//»?v
Формулы для проверки правильности вычислений:
Av_, -г p.v_i = 1;
f2„_jpv„, —I)2 -f (#v_,pv_,)2 =
По результатам расчета хода меридионального луча координата
пересечения его с плоскостью параксиального изображения
определяется по формулам
(8.18)
У — Цк+ | = ilk -I-
: avj
Sk = -
- Ifk 1" Zk.
r*4 I
(8.19)
Если луч рассчитан для предмета в бесконечности, то /'= — hj\>.k+i.
Приведенные формулы могут быть использованы также для расчета
хода лучей через несложные системы о помощью
микрокалькуляторов.

Часть II.
ТЕОРИЯ АБЕРРАЦИЙ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В геометрической оптике было показано, что оптическая
система может дать идеальное изображение элементарного отрезка,
перпендикулярного к оптической оси, только в том случае, когда
выполняются условия (4.2) и (4.14) для всей системы. Однако
эти условия, за исключением некоторых частных случаев, не
выполняются. Поэтому гомоцентрические пучки лучей пространства
предметов после выхода их из системы перестают быть гомоцетри-
ческими.
Реальные оптические системы должны давать изображения
сравнительно больших участков пространства предметов, т. е. иметь
значительные угловые или линейные поля, и обладать входными
зрачками конечных размеров. Для получения более или менее
идеальных изображений такого рода системами необходимо
выполнение многих более сложных условий, чем указанные выше.
Нарушение гомоцентричности пучков лучей оптическими
системами, а также несоответствие положения точек реального
изображения законам идеальной системы называется
погрешностями или аберрациями.
Аберрации оптических систем могут быть получены
сравнением координат- изображения (линейных или угловых),
вычисленных по формулам для действительных лучей, со значением
тех же координат, полученным по формулам для параксиальных
лучей.
Наряду с этим точным способом для определения аберраций
используются также приближенные формулы, которые будут
рассмотрены ниже.
Аберрации оптических систем разделяются на
хроматические и монохроматические. Пучки лучей естественного
света, с помошью которых образуется изображение,
представляет собой совокупность пучков с различными длинами волн. Так
как показатель преломления является функцией длины волны, то
он изменяется в одной и той же среде при переходе от одной
длины к другой, а вместе с тем изменяется и направление
преломленных пучков лучей. В результате этого явления (дисперсии)
изображение предмета представляет собой совокупность большого
числа монохроматических изображений, не совпадающих между
собой как по положению, гак и по величине; изображение
становится окрашенным. Окрашивание изображения носит
название хроматизма или хроматических аберраций.
166

Монохроматические аберрации характеризуют
отступление реальных координат изображения систем от
идеальных для лучей определенной длины волны, которую называют
основной.
Процесс устранения как хроматических, так и
монохроматических аберраций называется корригированием
оптической системы. Полностью устранить аберрации в оптических
системах невозможно. Удается только уменьшить их до такой
степени, что глаз или какой-либо другой приемник световой энергии,
вследствие ограниченной разрешающей способности, практически
не воспринимает аберраций.

Глава 9.
ХРОМАТИЧЕСКИЕ АБЕРРАЦИИ
§ 55, Классификация хроматических аберраций
Хроматические аберрации могут быть разделены на группы в
зависимости от той области, к которой относятся пучки лучей,
образующих изображение. К первой группе относятся основные
хроматические аберрации, которые проявляются уже в параксиальной
области. Как известно, в этой области изображение определяется
двумя координатами: расстоянием по оптической оси до
изображения si и величиной изображения у' или углом второго
параксиального луча с оптической осью (3*. В соответствии с этим к
хроматическим аберрациям первой группы относятся хроматическая
аберрация положения изображения или просто
хроматизм положения и хроматическая аберрация
величины изображения или хроматизм увеличения.
Ниже будет показано, что невозможно устранить аберрации для
пучков лучей всех длин волн. Эти аберрации устраняются только
для каких-либо двух длин волн, выбор которых определяется
назначением системы. Поэтому в системе всегда имеет место остаточный
хроматизм для других длин волн, называемый вторичным
спектром.
Хроматические аберрации второй группы относятся к
конечным апертурным углам и к конечным углам поля, т. е. к
действительным лучам. Хроматические аберрации первой группы
называются также хроматизмом первого порядка, а
хроматические аберрация действительных лучей — хроматизмом
высшего порядка.
§ 56. Хроматическая аберрация положения изображения —
хроматизм положения
Общее понятие о хроматизме положения. На рис. 83 показан
ход параксиального пучка лучей естественного света A\NM.
Вследствие дисперсии этот пучок после преломления в оптической системе
0,0ц разлагается на цветные пучки. Преломленный пучок,
например, для красного цвета линии С (X = 643,8 нм) дает изображения
точки Л, в точке А..., для зеленого цвета линии е (X = 546,1 нм)
в точке Л», а для синего цвета линии F'(к ~ 480,6 нм) в точке
Ар~\ пучки лучей других цветов дают изображения в точках, рас-
168

положенных вблизи точек А'с., Д'е и A'F.. Положение точек А\>, А
и Ар- относительно системы определяется отрезками 0'kA'c-=s-
OkAe = se и ОкАр- = sp,. Вышедшие из оптической системы пучю
лучей NC'Ac>M'C', Ы'еА'еМ'е и Np-Ap'MF- являются
гомоцентрическими, так как рассматривается ход лучей в параксиальной облястр.
Рис. 83. Хроматическая аберрация положения изображения — хроматизм
положения
Если поместить экран в плоскости, проходящей через точю
А'с-, перпендикулярно к оптической оси, то на экране будет видж
не точечное изображение точки А\, а кружок рассеяния, в цент
ре которого располагается красная точка, а по краям — синее коло-
цо. При перемещении экрана в точку Л/ диаметр кружка рассея
ния уменьшается, имеет почти бесцветную окраску и в центре еп
располагается зеленая точка; при дальнейшем смещении экрана ра>
меры кружка увеличиваются и при совмещении с точкой А г
в центре кружка будет довольно резкое изображение синей точкг
на оси, а по краям красное кольцо. Для получения резкого изоб
ражепия точки на оси необходимо совместить изображения хоте
бы двух цветов, при этом произойдет более или менее полное сме
шение лучей всех цветов и получится практически бесцветное
изображение, при этом в плоскости параксиального изображение
для третьего цвета будет иметь место, хотя и небольшой, кружо!
рассеяния.
Разность отрезков Sf и sc- называется продольной
хроматической аберрацией положения изображения, ил»
сокращенно, хроматизмом п о ложен и я. Обозначая хроматизл
положения через hs'p'c', получим
Asf-c = s'p- — sc-. (9.1
169

В общем случае хроматизм положения записывается в виде
•sx,
(9.2)
Asx,x„ = sx, ■
где Xi < Х2.
Началом отсчета хроматизма положения служит точка А'с,(А[у,
аберрация считается отрицательной, если точка Ас-(А[) лежит
правее точки /4^л(/Ь.,), и положительной при обратном
расположении этих точек. Систему, имеющую аберрацию Asa,a8<0, назы-
пЧ П*2
% пкг
Рис. 84. Ход параксиальных лучей при наличии хроматизма положения
вают недоисправленной в хроматическом отношении
или недокорригированной, когда Asx,x2 > 0, говорят, что
система переисправлена или перекорригирована. Если
Лз^ц = 0, то систему считают исправленной или
ахроматизированной для заданных длин волн.
Формулы для вычисления хроматизма положения первого порядка.
При расчете оптических систем обычно пользуются формулами,
полученными аналитическим путем. При изменении длины волны
изменяются показатели преломления п и п' и отрезки s и s'.
Приращения, которые получают при этом отрезки s и s', являются
хроматизмом положения As и As' (рис. 84). Для определения
величин As и As' воспользуемся инвариантом преломления Аббе,
связывающем координаты точек Ак, и А'к, т. е.
i 1\ ... / 1 1
Qv = "х,
(9.3)
Дифференцируя (9.3) по переменным п, п', s и s' и опуская
индекс X, найдем
Напишем это выражение в виде
n'ds"
(9.4)
n'ds'
iilIs
=*dn' U. — ±\ — dn
170
(9.5)

Умножая все члены выражения (9.5) на № и учитывая, что
his --= а и his — а', получим
n'a'ds' — n*i2ds = h /я' — -I dn'
■—\dn
Из уравнения для первого параксиального луча имеем
/t я'а' — на
Л л' — /;
Подставляя (9.7) в (9.6), после несложных преобразований найдем
dn' dn'
n'a'ds' — na2ds — h]
Введем обозначение
(9.6)
(9.7)
1Йдем
(9.8)
dn'
1Г
dn
п
тогда
п'а'ds' — na?ds = hC.
(9.9)
(9.8')
Уравнение (9.8') характеризует собой связь координат изображения
при переходе от длины волны Xi к длине волны Х2. Так как раЗ»-
ность показателей преломления при переходе от Xi к Х2, например
от цвета F' к цвету С", довольно мала, а следовательно, и отрезки
s' будут также изменяться на малую величину, то дифференциалы
ds, db, dn и dn' можно заменить приращениями, т. е. принять
rfs = As, dn = Дп = fix, — nxE;
В этом случае
ds' = As', dn' = Arc' = nx, — «х*.
п'а'V — na2As = AC,
где
С =
Да'
/г'
Дл1
п
6а
„ 1
„ An
0 —
л
(9.10)
(9.9')
Величина С играет важную роль в теории хроматизма, поэтому
носит название хроматического параметра. Хроматический
параметр может быть представлен в другом виде. Пользуясь
формулой для коэффициента дисперсии, можно написать
%■
__ л—1
Дл
Д". ' v
пК - 1 п' — 1
Дл'
Дл*
откуда
Дл п — 1 1 Дл' п'
п п ч ' п'
171

тогда
С =
n — V
(9.9")
Формула (9.10) является уравнением хроматизма положения
одной преломляющей поверхности, где As представляет собой
хроматизм положения в пространстве предметов, a As' — хроматизм
положения в пространстве изображений.
Для системы, состоящей из k преломляющих поверхностей,
можно написать:
первая поверхность п\а.\ Asi — «i^TAsi = h\C\,
вторая поверхность п^2 As2— n-,^-\s: — h>Cz,
k-n поверхность м*аЛ As^ — n^As,, = hkCk.
Суммируя эти выражения почленно и принимая во внимание,
что /z, = n.J+i, av — av+!. As, = As.+i, после сокращения найдем
. ;* . ., к ~
n,;iit As., — fiia]ASi -- У h.,C,
(9.11)
Из (9.11) для хроматизма положения As* получим
\sk = Hi (-"iVAsi + -^ v /!vCv. (9.12)
Если предмет не имеет хроматизма положения, т. е. As, — 0,
тогда
As. =A.Sx,,„
1
V Л,С,
П. а,, v=l
Выражение под знаком с^ммы обозначается через Sixp,
S,M, = V Л,С, == V Л,
?3 К /Д«\
й -
11
тогда
ч, =
"*и*
-s
1 N Р »
(9.13)
(9.14).
(9.15)
Сумма 5гхр называется первой хроматической суммой. Из
(9.15) видно, что для устранения хроматизма положения в системе
необходимо положить
S,xp = V А,С, = 0.
(9.16)
Формула (9.16) называется уравнением устранения хроматизма
положения — уравнением ахроматизации системы.
172

§ 57. Хроматическая аберрация величины изображения —
хроматизм увеличения
Если в системе устранен хрлматихл положения, то этим еще не
обеспечивается отсутствие окраски в изображении. Кроме
хроматизма положения, зависимого от координаты s'. имеет место, как
уже указывалось, и аберрация, относящаяся к ординате и'.
Ординаты у' для различных длин волн будут разными, так как
линейное увеличение, определяемое формулой
Ро = 4-П(1) = 4-%-, (9.17)
является функцией показателей преломления, которые для
различных длин волн имеют разные величины. Для длин волн. )., и Х2
формула (9.17) даст два разных значения линейного увеличения —
$о\, и рох„ поэтому
У>; =//?ох,, </>'.> = f/IW (9.18)
Изменение величины изображения з зависимости от длины волны
носит название хроматической аберрации величины
изображения или хроматизма увеличения. Хроматизм
увеличения определяется как разность величин нзображений~для
выбранных длин волн
%Л = </*,-№,. (9'9>
При наличии в системе хроматизма положения для длин волн
).i и Х2 отрезки y'Xl и у[г располагаются в разных плоскостях
(рис. 85, а). В случае когда Asl,/., = 0, отрезки уХ[ и ^находятся
в одной плоскости (рис. 85,6). В обоих случаях хроматизм
увеличения определяется формулой (9.19). Известно, что любая
оптическая система имеет одну плоскость изображения, за которую в
большинстве случаев принимают плоскость параксиального
изображения для основной длины волны Х0. (За основную принимают
длину волны, для которой исправляются монохроматические
аберрации). Поэтому нас интересует хроматизм увеличения, который
будет иметь система в этой плоскости" изображения. Если
обозначить проекцию отрезков гд, и гд, на плоскость параксиального изоб
ражения для длины волны Хп через (г/х,)х,, и (ух„)х0, то хроматизм
увеличения (Дгд,х2)х„ будет равен
(<W,k = (у'Ок—UAX- (9-2°)
Причем хроматизм увеличения (Дгд,х2)х„ будет отличаться, как это
видно из рис. 85,6, от хроматизма увеличения Дг/х,х,-
Величины изображений г/, отнесенные к плоскости
параксиального изображения для длины волны Хо, будут равны:
173

при As>.lXj Ф О
(уОч = у,, ~ U'k„ — sAJ Si,;
(уО'-о = 1/х, — (-4- \.);-,',;
rt Вх.зр.
Рис. 85. Хроматическая аберрация величины изображения — хромятизм
увеличения:
о — хроматизм увеличения при As)v ^ + 0; & — хроматизм увеличения при As^ х — 0
при Asx,a, = О
(г/х1)к„ = у'ъ, + (s),0 —s',,^) ^,;
(j/x,)x. = Ух, + (sXo — sKkl) p[t.
Формулы для хроматизма увеличения первого порядка. Найдем
формулы, с помощью которых можно определить хроматизм
увеличения, не прибегая к расчету хода лучей в системах,
конструктивные элементы которых известны и которые могут служить для
ахроматизации вновь рассчитываемых систем.
174

Величина изображения в параксиальной области, как известно,
определяется формулой
У'=У%. (9.21)
Логарифмируя и дифференцируя (9.21) по всем переменным,
найдем
dy' __ dy d?o (9.22)
/ ~ и + Э„ • Х '
Для d30/Po на основании (9.17) получим
df)0 dnx dnk ds, t ds2 ds'k ds^ ds2 dsk
Pn n) n'k s\ ' s'Q s'k si «2 ' ' ' s*'
или
b
JO A» A*» At- Af- ГЛл At. "
(9.23)
к "i < s; si vf^
После преобразования (9.23) и введения координат второго
параксиального луча найдем
rf80 dni dnk ds) ds
Po "i nfr so~~ si
f r _„ ; r- + — 2j X I л»*'а» — "vdSv«v I.
(9.24)"
Учитывая (9.8') и подставляя (9.24) в (9.22), будем иметь
dy . dnx dnk ds, d% , 1 V ы Г
7+^ ^ + T^T^ ' + T Zj У"ь- (9.25)
dtf__dy ,^}_^k_,_^} ^
Заменив дифференциалы приращениями для хроматизма
увеличения, получим
Чх,_А* | Дге- Аге* | As' А^\ +±V,j.c: (9.26)
Д-S, Д*Х
■| «д, 5Р sl "О' "* ,= |
где A.L/ — хроматизм увеличения, a Asi— хроматизм положения в
пространстве предметов; Asx,x2 — хроматизм положения в
пространстве изображений. Если предмет безаберрационный, т. е.
не имеет хроматизма положения и хроматизма увеличения, и
система находится в однородной среде, тогда
Aj, = 0, ^s\ = 0, п.) = n'k, Ami = кп'н
и
-^■'=--^7 + 4Vw,C». (9.27)
Из (9.27) видно, что хроматизм увеличения Дгд,хг зависит от
хроматизма положения Asx.x,, поэтому, как уже указывалось, если
175

Asx,x2 Ф 0, то изображения yl, и у\г лежат в разных плоскостях. Если
даже и будет достигнута ахроматизация, т.е. y\t—y\t, то
проекция этих отрезков на плоскость параксиального изображения для
длины волны Хо даст разные величины для у' и на краях
изображения появится окрашивание. Поэтому при наличии в системе
хроматизма положения Asx,x„ чтобы устранить хроматизм увеличения
Рис. 86. Хроматизм увеличения, отнесенный к плоскости параксиального
изображения для основной длины волны
в плоскости параксиального изображения для Х0, необходимо ввести
хроматизм увеличения Дгл,х2 такой величины, чтобы проекции
изображений у[, и у'н из центров выходных зрачков /\, и /\:, на
плоскость изображения £х„ были бы равны между собой (рис. 86).
Из рис. 86 имеем
(<А,)х„= Ух, — (sx„ — «>.,) ?х„
Хроматизм увеличения в плоскости £х„
(Аух?Х = &.К - (у'^Х = у1 - &. -s^ & ~ у'ь + &° - ^ &•
Углы ?л, и fa, мало отличаются друг от друга и от рх„ поэтому
можно принять
Кроме того
К = h, = Pv
д^х1х.= «/х, — Ух„ ^sXlx, = Sx„ рох0 - ^ _,/^ '
поэтому
(ЛумХ _ д-"м
As-
*А.
Ух„
+
'Х,х,
<У - s*)x„'
176

Опуская во второй части этого уравнения индекс Х0, можно
написать
(Vx,X2X„ ^Х,Х2 , ASA,AP
— "Т '
Ух0 у V - sk
отсюда
(9.28>
у УЧ s, •
Приравнивая (9.27) и (9.28), найдем
(Д»М.Х. = ' v yvcv. (9.29)
Хроматизм увеличения определяется, а также устраняется только
для плоскости параксиального изображения £\„, поэтому в
дальнейшем для простоты написания формула (9.29) будет
представляться в виде
Д*М. = -££*£. (9-30)
Введем обозначение
•S.ixp = > у,С„ (9.31).
4=1
тогда
Сумма Snxp носит название второй хроматической суммы.
Представим вторую хроматическую сумму в несколько другом
виде. Связь между координатами первого и второго параксиальных
лучей для произвольной поверхности v определяется урашлшем
(5.66), т. е.
£ = -£+15,, (9-32)
где
ч
s = V dm~[ (9-зз)
£•> nmhm_xhm
т=1
Умножая (9.32) на КС,, получим
y,Cv = -г- КС, + ISsh,Cv
"1
Суммируем это выражение по всем поверхностям от 1 до k
v=l ' v~l v"^l
177

тогда
S,1Xp =- V i,,C, -j^VW. + I^ $Л,С*. (9.34)
* ~ Ы\ к - k
ч
Хроматизм увеличения
Так как £ /zvCv = Srxp и
^f £ AV<5V + J SSA,C, j. (9.35)
1 v=i v=l J
S,xp = V SXCU k = Л- (9.36)
то
A£i1u = ^ 5„»p - ^ £ */,C, = ц' (ftS,,, + Swp.l. (9.37)
Для устранения хроматизма увеличения в системе необходимо
выполнить условие
Siixp = £ У*С, = 0, (9.38)
v=l
«ли
kSUp + Ssxp = 0. (9.39)
Ssxp является хроматической суммой, зависящей от толщины и
расстояний между компонентами. Инвариант Лагранжа — Гельмгольца
для первого параксиального луча может быть представлен в виде
/ = п\уац = fti(Sp —Si)Pi-^ = n\(sp — s\)-^-.
si S\SP
Тогда коэффициент k
"iAi(sP-si)
Для предмета в бесконечности при h\ — 1 и п\ = 1
к = sp,
и условие устранения хроматизма увеличения
— SpSUp + S„p= 0 (9.40)
Формула (9.40) является уравнением устранения хроматизма
увеличения.
§ 58. Вторичный спектр положения и увеличения
Система, ахроматизированная для параксиальных лучей длин
волн \\ и Х-2, еще не дает вполне бесцветное изображение как точки
на оси, так и точек вне оси. Изображения, образованные другими
178

длинами волн, будут располагаться на различных расстояниях и
будут иметь разную величину. Имеет место так называемый
вторичный спектр. Вторичный спектр для точки на оси обычно
характеризуют отрезком Asxx0, равным расстоянию от
изображения для основной длины волны Х0 до изображения, которое
ахроматизировано для длин волн Х\ и Хо, а для точки вне оси
отрезком Аг/хх, от Хо до Xi).2 (рис. 87). Вторичный спектр для точки на
Рис. 87. Вторичный ^Л/Лг ^\Кп
оси по существу является остаточным хроматизмом положения, а
вторичный спектр для точки вне оси — остаточным хроматизмом
увеличения, оказывающими иногда весьма заметное влияние на
качество изображения (системы с большими фокусными
расстояниями, с большими полями и др.).
В дальнейшем вторичный спектр для точки на оси будем
называть вторичным спектром положения, а для точки вне
оси — вторичным спектром увеличения.
Мерой вторичного спектра положения является величина
AsPc = Asx,x„ = si,)., — sle (9.41)
при условии, что
Asx,x„ = s>„ — Sx, = О,
или в общем виде
Aspc = Asu„ = sx — sx0) (9.41')
при том же условии, где X — длина волны для любого цвета.
Для вторичного спектра увеличения имеем
Aylc = Д«М. = 4М, — yl, (9-42)
при условии, что
Дг/х.л, = Ух,— Ух, = О,
или в общем виде
Ajfa. = дУхл„ = yl — yl,. (9.42')
179

Обозначим показатели претомления сред для длин волн ).), Хп и Х2
в пространстве предметов через «,,, и,.,, и лм а разности пк>—ti\2
и /г,., — «,.о—через Ля и Л/г, т. е
Л/г -•. /г,., — /г,.г, Д/г
"х„
где Л/7, будем считать средней дисперсией (/?/ «с), а Л/г — частной
дисперсией (я/.-—/г,, /г„ — /г;.--, /г.— пс> и т. д.). Относительная
частная дисперсия в этом случае будет равна
Ли
(9.43)
Соответствующие- выражения можно написать и для пространства
пзоГ ражений.
Хромзтшм положения и увеличения для длин волн X] и Хг
определяется выражениями (9.15) и (9.20). Аналогичные выражения
при As>,>.2 = \у\,к. = 0 можно написать и для вторичного спектра
положения и увеличения:
As.' = As'
Д;/ = Л//' . ----, £- V п.. . ,
oi . A,<i \
1 "i . -Hi \
07 П-
Введем обозначения
или, учитывая (9.43),
тогда
As'
7, Ьа „ Д/i
й —
о —
1 * 1
1 v /, Г . '
, ,г % "vWc — , ,2
"Л v '■ ' Пка„
./ *
>J|bci
Д'4. ^= -у v yvcHC = j- Siibc,
(9.44)
(9.45)
(9.46)
1'де 5irC и S\\n. — первая и вторая хроматические суммы для
вторичного спектра.
Для одновременного устранения хроматизма положения и
вторичного спектра положения, а также хроматизма увеличения и
вторичного спектра увеличения, т. е. чтобы
AsllX, = AsTC = 0; Ay[txt = Дг/В0 = О,
180

необходимо выполнить условия
V Л,С,= V /г,С,с -О,
V- I
А
у у,С, = J] £/vCHC = 0.
(9 47)
Оптические системы, у которых исправлен и вторичный спектр,
называются а п о х р о м а т и ч е с к и м и или апохроматами;
если же вторичный спектр исправлен только частично, то системы
называют и о л у а п о х р о м а т и ч е с к и м и или н о л у а п о х р о-
м а т а м и.
§ 59. Зависимость хроматических аберраций
от положения входного зрачка
Хроматизм положения оптических систем согласно (9.15)
к
А.<
I
"Л "А
/7, a. v=l
не -;авнспт от кгсрдиьаты sp, т. е. от положения ехг^нсго зр'ачка.
Хрсматизм увеличения, определяемы! уравнением
1-У\,).. ~ '— <5>пхр = у' \kSiXp -',- Ssxp] — у' Yj 5[Хр ~\- S^p
зависит от положения входного зрачка, так как в него входит
координата tj\. Для устранения хроматизма увеличения необходимо
выполнить условие
А- ~
Snxp = Yi У"С>= °
пли
kS
Ixp '
Js хр— "•
Ьслп в системе устранен хроматизм положения, т.е. S\xr. -■= О,
то хрсматизм увеличения, определяемый формулой
Д/Л,х, = y'S, хр, (9.48)
не зависит от положения входного зрачка. При Sixp Ф 0 хроматизм
увеличения устраняется при
А<А,х, = У' [kSixP -f Ss хР] = О,
откуда
ч
s хр
Л = —
'IXI,
(9.49)
При известном А по (9.49) можно определить координату sp,
при которой хроматизм увеличения будет равен нулю:
sL =
A"/If
181

Для предмета в бесконечности
sp = — kh\.
Если же принять h\ = \, то k = —sp и
sp = ^. (9.50)
Ixp
Таким образом, при Sixp М= 0 хроматизм увеличения может быть
исправлен выбором положения входного зрачка.
Для одновременного устранения хроматизма положения и
хроматизма увеличения необходимо, чтобы
SiXp = V Л,С, = 0;
v=l
КО Ixp ~Т~ "bsxp == >->sxp == "•
Из (9.51) видно, что устранение хроматизма достигается независимо
от положения входного зрачка, так как в (9.51) не входит
координата Sp НЛП lj\.
При наличии в системе хроматизма положения хроматизм
увеличения лучше вычислять по формуле
иг и'
4,l — т 5iixp = т £ ^vCv'
так как она дает более простое выражение в развернутом виде.
Если же As*,».,:-~ 0, то предпочтительнее формула Аг/Х,х2 — y'-Ssxp.
§ 60. Условия нормирования для первого и второго
параксиальных лучей
Для вычисления хроматических аберраций первого порядка,
как это видно из формул (9.15), (9.37), (9.45), (9.46), необходимо
рассчитать ход первого и второго параксиальных лучей. Ниже
будет показано, что данные этих расчетов необходимы и для
определения монохроматических аберраций. Поэтому при расчете
оптических систем, чтобы можно было бы сравнивать отдельные
варианты и различные типы систем, а также для упрощения расчетов
вычисление хода первого и второго параксиальных лучей
производится при одних и тех же начальных значениях. Выбор исходных
данных для этих лучей носит название нормировок (рис. 88).
Если предмет находится на конечном расстоянии, то для
первого параксиального луча принимаются: а* = 1,0 и в соответствии
с (5.37)
«. =-Ро,
высота падения луча
пк
П\ *=5]<Х| = — PoSi,
(9.51)
182

инвариант Лагранжа—Гельмгольца
I = ti\ij%\ = ti\o.\{sp— si) Pi =n$o(Sp — Si)?i-
Для второго параксиального луча
Pi = 1,0, следовательно, г/i = sp.
Если система находится в воздухе, то п\ = я* = 1 и
ai = Ро, <** = 1.0, /г, = PoSi; )
Pi = 1, у\ =sp, l = po(sp — Si), f
(9.52)
Рис. 88. Ход первого и
второго параксиальных
лучей
Для предмета на конечном расстоянии применяются также
следующие условия нормировки:
ai = 1,0, ak = — *- = то> hi = aiSi =si;
"ft Po
Pi — 1,0, y\=sp, I = fii(s„ —Si).
(9.53)
В том случае, когда a, h, p и у вычислены при какой угодно
системе возможного выбора их единиц, можно соответствующим
делением этих величин привести их к нормировке
(9.54)
«1 = 1,0, ft, = 1,0;
Pi = 1,0, у, = 1,0.
Если предмет находится в бесконечности, то принимается а^= 1
и высота падения h\ = 1, тогда /'= й,/а* = 1, угол второго
параксиального луча В| = 1, но так как /' = 1, то у\ =spn, где sp„ =
~splf'\ #i — приведенная эысота падения второго параксиального
луча на первой поверхности.
Инвариант Лагранжа — Гельмгольца раскрывается следующим
образом:
1 = п,уя, =rt|8i— (sp— si)= «jPiAii
183
■-- —«i.

Следовательно, для предмета в бесконечности имеем
а,=0, а*= 1,0, /I, =f = 1;
1 = 1, г/1 = -f), 1 = — пи
(9.55)
при «1 = 1, I = — 1.
Для тонкого компонента и системы из тонких компонентов
координата s\ может быть заменена координатой а\.
С учетом нормировок для первого и второго параксиальных
лучей приведенные выше формулы для хроматических аберраций
примут вид:
предмет на конечном расстоянии [нормировка (9.52)]: si ф — со
k
4 = 1
k
A#Lx. = i
Sibn =
^X2-po(5p_s.^"xp
4c
S y^>
?0('V-5l)vll
(9.56)
предмет в бесконечности [нормировка (9.55)]: si = — со
ЧТх2 = /'Sup = Г i WV,
Чс=/'5Г,= = Г £^вс;
v=l I
ft - I
Л*С = - y'smP = - У' S ^C/,
(9.57)
v=l
§ 61. Хроматизм систем из тонких компонентов.
Основной хроматический параметр
Хуоуитизм положения и увеличения. Для тонкого компонента
ил.еем
h\ = hi= . . . = hk = hi\\
yi = г/2 = .-. = у* = г/«; I (9.58)
Ed = di =,d2 = . ..£/*_, =0. J
Для каждой тонкой линзы, входящей в компонент /,
хроматический параметр С в соответствии с (9.9') будет равен
v=l
184

где
С,=
С2 =
'1 .
«з
Дп2 Д«|
Д/% Д«^
Если линза находится в воздухе, то /Zi=/i3 = l, п2 = п, Ащ
■■ Д«3 = 0, Д/г2 = Д п и
Ci =— (<х2 — ai)^^, С2 == — (а3 — «•>) ^-j ,
С = С] + С2 = — (аз — ai) ^j-j .
Так как a3 — at = М>, Дга/(га—-1) = 1/ч,
то
Для тонкого компонента, состоящего из / тонких линз,
(9.59)
С( = - Ы
^ +
Ф
'2 ,
Ф/
= -Л.2*. (9.60)
"2 "з ч
Умножим и разделим (9.60) па оптическую силу компонента
Ф< = <I>i -г Фг -г ... + Ф/,
тогда
г.—**.2J;v
Введем обозначения
_ _Ф
-1т
(9.61)
(9.62)
(9.63)
где <р— приведенная оптическая сила тонких линз, входящих в
компонент. Подставляя (9.62) и (9.63) в (9.61), найдем
Ct = htQtCt.
(9.64)
Для тонкого компонента
Ф, = у (ai - а,),
185

поэтому
Ct = (at — o.i)Ct. (9.65)
Учитывая, что для тонкого компонента ^d —- 0, все величины
Ss будут равны нулю, т. е.
Sis = S2s= ••• =S„ = 0. (9.66)
Формулы (9.64) и (9.66) позволяют упростить уравнения для
первой и второй хроматических сумм. На основании (9.14), (9.31) с
учетом (9.64) и (9.65) для тонкого компонента получим
Sixp = h~C i = hi (a'j — a,-) Ct = А?Ф,С,-;
Siixp = t/iCi = уi (at — a,-) Ci = hiy^iCi
(9.67)
Для хроматизма положения и увеличения тонкого компонента
согласно (9.15) и (9.32) будем иметь
As:
x,xs
——г 5ixp = -t~j Л?Ф,-С,-;
n,a, n,a.
ЬУ;
\Ч
1
(9.68)
. = -у 5iixP = -j fitt/t^tCt.
Учитывая условия нормировки для первого и второго
параксиальных лучей, для компонента в воздухе:
Si ф — оо (а.( = ро, а/ = О
Asx,x, = Po?i(l— ?о)С,
И.,
Si
Д(/
"'
,,Х2
у'
— со (а< =
As^x, =
~ $prS->i =
-С
—
SP~S!
а, =
>
SpnbS^K,
рч
1)
= —
(9.69)
(9.70)
Из (9.63) следует, что коэффициент Ct зависит от приведенных
оптических сил линз, входящих в компонент, и от коэффициентов
дисперсий, т. е. от марок стекол. От коэффициента с, зависят как
первая, так и вторая хроматические суммы, а следовательно,
хроматизм положения и увеличения. Поэтому коэффициент Ct можно
назвать основным хроматическим параметром.
Коэффициент Ci следует считать хроматическим параметром для
предмета на конечном расстоянии. Действительно, при а,= 0 и о'( = 1
в соответствии с (9.65) Ct = Ct. Формулы (9.70) показывают, что
для тонкого компонента основной хроматический параметр С, равен
хроматизму положения для предмета в бесконечности при /'--.- 1,0.
В этом состоит геометрический смысл основного хроматического
параметра.
186

Первая и вторая хроматические суммы для системы, состоящей
из р тонких компонентов, учитывая (9.67), будут равны
р f
SixP = £ hi(al—a.l)Ci\
Sllxp — Yj У1 'a< — a«/ Ci-
Выражения (9.71) можно представить также в следующем виде:
(9.71)
Slxp = <I>p£ h'j9iCr,
f=i
р
Snxp = ФР V, hit/if id,
(9.72)
где Фр — оптическая сила системы, состоящей из р тонких
компонентов; <fj—приведенная оптическая сила компонентов, входящих
в систему, равная
Ф,
Ь= ф- •
Для хроматияма положения и увеличения системы из р тонких
компонентов имеем
^:
1
А,1Х?
■j Фр £ А?*£<;
Ду
lii> ' Ф„£ Л^А.
i-=l
(9.73)
Если система состоит из / тонких линз, расположенных на
конечном расстоянии друг от друга, то
^1 „ 1 V <„ (а'г- а,) С, = - 1 Ф, V hlUi 1'.
(9.74)
Для тонких линз в соприкосновении
As'm. = -^7 (<*< - а<) lC' +-С» + • • . + С,} =
■ца;
Л,Ф.■ i
?2
+ •..
A"V,.'.. I / , \,Г , о ,
■ ;— = -г- у, (а - at) [С i — О-» -- . ,
187
С.| =
(9.75)

Из требования устранения хроматических аберраций в тонком
компоненте вытекает, что должны выполняться условия
S,xp = ftl<l>,C, =0;
-S1(Xp = %AC,! = 0.j (976>
В общем случае эти условия одновременно выполняются при
Ih = 0; 1
C.__Vx=0. (9-77)
i v )
fit = 0 означает, что плоскость предмета и плоскость изображения
совпадают с тонким компонентом; этот случай не имеет
практического значения. Условие С,• = 0 является весьма важным, так как
при выполнении его тонкий компонент будет свободен от
хроматизма положения и увеличения. Чтобы устранить хроматические
аберрации системы, состоящей из тонких компоненте в, как это
видно из (9.73), также необходимо равенство нулю основного
хроматического параметра Q для каждого компонента. Таким образом,
если С( = 0, то коррекция хроматизма будет стабильной, т.е. не
будет зависеть от положения предмета.
Вторичный спектр положения и увеличения. Для тонкой линзы
согласно (9.44) можно написать
Так как
где
то
CDC = Cue + Сгвс — — (а-з — ai) „_ i
Дя = уДд,
Дп = лх, — пч
\п = Пх, — Пх0,
Сас =— (ад — <*|)-^гт т = ~~(аз ~а|)"7•
или
Если компонент gogtoht из / тонких линз,
.• /
Введем обозначение
I
188

тогда
Ct вс • Л|Ф|'С( вс — \1( а!7 С/ пс
(9.81)
Коэффициент Сгва является основным хроматическим
параметром для вторичного спектра.
Первая и вторая хроматические суммы для вторичного спектра
компонента
Si вс = lb Wi — <*() С-. ,„ = Л.ТФ,С- „с;
Si? вс = ^< (*' — а<) С ■■• = hti/A^Ci вс. J
Соответственно вторичный спектр положения и увеличения
Д5В0 = —т-7Т2 S\ m = —r-TTjIli^iCi вс,"
(9.82)
4*1
ДУпс
— 5ц во = -jhiyfiiCi Е0.
(9.83)
Из (9.82) и (9.83) видно, что формулы для вторичного спектра
аналогичны формулам хроматизма с той только разницей, что в
последних С,- нужно заменить на d „0. Для устранения вторичного
спектра в тонком компоненте или в системе из тонких компонентов
при одновременном устранении хроматизма положения и увеличения
необходимо выполнить условия
с,„-=-£-!-т = о.
(9.84)
§ 62. Хроматизм линз конечной толщины
и бесконечно тонких линз
Для линзы конечной толщины имеем, (рис. 89)
I
Д&(]
г«ЗаЗ
"Si хр;
Дух.,. = ■£- S
И хр,
где
Si xt. = S Л,С, = AiCi + А2Ся;
i
Sn хр = 2j У'С* -' и,С\ + учСч.
(9.85)
(9.86)
1Ь9

Если линза находится в воздухе, то п\ = пз == 1, -п2 — п, Д«| =
= Ллз — 0, Дпг = Дп. и хроматические параметры для первой и
второй поверхности будут равны
С,-
С
2
1
"2
«3
—
—
а1
J
"1
я2
По п..
Дп2 Дл,
Дп.1 Дл,
.,-., \ (9-87)
-L ВыХ
зр.
в,
1
У
*' А,
L-
Nv
Вэс.зр.
п,-го 1'
iLV_p
--s>
>К;'
-^U-
nz=n
d
—. S- **-
' ■—^.
02
-*г
U, ■*'
4
S'z l
Рис. 89. Ход первого и второго параксиальных лучей через линзу конечной
толщины
Учитывая (9.87) для хроматических сумм (9.86), получим
Si хр = — -\h\{^ — °Ч)+ Мял — а2)];
Sn хр :
- ll/i (а- — а-,) Ч- 1/2 (аз — а2)].
(9.88)
Так как
то
hi ~ h\ — da2, t/i=s„Pi, у? = r/i — d£2 = ^3i — сф2,
Si Xl. = /гi (а. — ai)— da2(a3— аг)]',
Si, „. ==- i.|*£j3i(a,-a;)- ф (a., — aa)J. |
Хроматизм положении и хроматш.и ii^H4eiiHN
Asia, = У— Г^11 (оы — а,- - da? (аз — а*)]',
Д#Ы = — 17 1*'.?- (а- - * >— dfc (аз — as)].
190
(9.89)
(9.90)

Чтобы Asx,x, = 0 и Дгд.х, = 0, необходимо выполнять условия
hi (аз — си) — ^а2(аз — а2) = 0;
SpPi(a3-ai)-dp2(a3-a2) = 0.J (9"91>
Для предмета в бесконечности ai = 0, поэтому
A,a.,-da2(a3-aa)=0; |
Spfiiaa — ф(а3 — a2) = O.J ^ ' *
Из уравнения
Ai (аз — ai).— Йа2(аз — a2) = 0
видно, что хроматизм положения может быть устранен в следующих
случаях:
а) hi =0 и d = 0, т.е. когда линза является тонкой и предмет
и изображение совпадают с тонкой линзой. Такая линза не имеет
практического значения;
б) для линзы конечной толщины при /гi = 0 имеем
rfa2(a3 — a2) = 0. (9.93)
Это уравнение имеет решение при а2 = аз. Из уравнения для
первого параксиального луча легко получить, что
d=h2/aj, = —г2. (9.94)
Предметная точка, расположенная на оптической оси, совпадает
с вершиной первой поверхности, которая является центром
кривизны второй преломляющей поверхности, и луч совпадает с
нормалью к ней, т. е. проходит вторую поверхность без преломления
(рис. 90,а). Линейное увеличение
Р" = ■£--£-«• <9-95>
так как на основании закона преломления ai = na2. Радиус первой
поверхности может быть любым и в зависимости от величины
фокусного расстояния и г2 == d определяется формулой
Г' сЦп—1)
Г] = —
п d — (л — 1) /' '
Положение входного зрачка, при котором в линзе будет
отсутствовать хроматизм увеличения, характеризуется уравнением
_ А^(', —яо)
s""~ Pl(a.i — <*l)'
По условию a2 = аз, поэтому sp = 0; входной зрачок должен
совпадать с первой поверхностью линзы;
в) при а2 = 0 имеем
Ai(as — ai) = 0. (9.96)
Это уравнение удовлетворяется в том случае, когда ai = а.,. Так
как при а-, =0 hi — h\ (рис. 90,5), то уравнение дли первого
параксиального луча показывает, что г, =/-.,.
191

Фокусное расстояние линзы будет равно
f'= „
Линейное увеличение линзы
г\ п
(n-\f
Ро L = 1,0.
«з
а
+
-ос^
А
А'7
4\
2=п
d
Я.-Ъ\
-?2
,"*'.
п3=1
-oCz
oz\
n,=1
Pz =/7
Рис. 90. Ахроматические
ЛИНЗЫ!
а — при ft, = 0 и о2 = а3|
б — а2 = 0; е —
отрицательны]'1 мениск Д. Д. Максутова
Из уравнения (9.91) видно, что для устранения хроматизма
увеличения необходимо выполнить условие
drp-,a, = 0.
В этом уравнении d, $2 и а3 не могут быть равны нулю, поэтому
хроматнчм увеличения неустраним.
Хроматизм увеличения при St хр = 0 определяется формулой
(9.48)
д^8 = y's:
s хр»
где
S, хр = £ 5s/jsCv =, SuftiCi + S2ih;C2 = Ai [SbCi + S2lC2],
192

но
Su
Ci~
= 0,
яз
ky\,>
S*
— a2
V
^
d
яй,й.
a3
V
ai d
У nh] ^
rf
оЛ2
=
тогда
г) для предмета в бесконечности уравнение устранения
хроматизма положения имеет вид
Л(зу — da^as — a2) = 0. (9.97)
При a, = 0 a^ = /i|//' = А|Ф, поэтому
й?Ф — das (/г,Ф — а2) = 0,
откуда
А?
<х2 — /цФа, + -^-Ф =0
и
о» = уА.ф[»±/1—57]. (9.98)
Это уравнение имеет решение при
d > Ф,
Выполнение первого условия приводит к линзе очень большой
толщины. В случае /' < 0 лин^а представляет собой отрицательный
мениск (рис. 90, в) При А, = 1, а., =—1, /' =—1
а/
~Н'*/'+*].
где dn является приведенной толщиной (d„=d/f).
Уравнение ахроматизма мениска может быть представлено
также в виде
Aiaj — (Ai — А2)(а3 — а2) = 0,
отсюда
л, — л,
аз= \ да. (9.99)
Хроматизм увеличения в линзе неустраним и будет равен
аз— "-Ч 'Ч*
AjA„, =—У "... d- -'
nftiv " (го,у
В уравнения (9.93), (9.96) и (9.97) не входит коэффициент
дисперсии v, поэтому будет исправлен хроматизм для широкой области
1 1-440 193

спектра, т.е. эти линзы будут не только ахроматическими, но и
апохроматически.мн
Для бесконечно тонкой линзы d = 0, поэтому
»i, V. \
Дзх.Л, = п~ (<*3 — t*l),
3 (9.100)
Дг/U = —У' -J7 №' (аз — «i)J-
Учитывая, что
а3 — а] = А|Ф; sD = aP; Ь.\1из = а'',
ф\=У\1ав; у — (а,,—а)ф\\ ax~hda; I = л^а, = h\y\ 1^——],
получим
Д^д, = —а
/г*.
, ааЛ Ф
Для предмета в бесконечности (а = —co)a'=f' и
Д*м. = — —;
Д«м. = у% — =у Чг-
(9.101)
(9.102)
Формулу для хроматизма положения можно представить также
в виде
As^k, == —(1 — ро)2 -т".
Если fr> = — 1 (а' = 2/'), то
Хроматизм положения тонкой линзы при ро = —1 в четыре раза
больше, чем при а\ =—оо.
§ 63. Хроматизм плоскопараллельной пластинки
В оптических системах широкое применение находят
плоскопараллельные пластинки и отражательные призмы, которые, в свою
очередь, развертываются в пластинки. Поэтому рассмотрим
хроматические аберрации пластинок (рис. 91).
Хроматизм положения и хроматизм увеличения определяются
уравнениями
Д«х,х, = з- ^! *р»
"заз
144

где
Si хр = /г tCi + /г2С2, Snxp = j/)Ct + г/^С2;
С, =
г а2 — о, -I Г Дп2 Д"| 1 Гаг~^
_!_—_L [ n2 "'j [ "г — «i
Г a3 — "2 ]
[ n2 - "3 J
[П1ДП2— tii^tl]];
'2 "1
g3~a2
n3 n2 -
Дя3 Дя2
[п2Дп3 — п3Дп2].
7 An3=0
Рис. 91. Ход первого и второго параксиальных лучей через плоскопараллельную
пластинку
Для пластинки в воздухе m=n3 = l, п2 = п, Дп|=Дп3 = 0,
Дп2 = Дя, а3 = ai, тогда
Дя
—С\ = С2 = (a2— ai) „_ J =(а2 — ai)—;
Sixp = —(Ai — /22) (a2 — ai)—;
5n xP = — (#i — #2)(a2 — ai)— •
(9.103)
Так как
a2— ai
ns.
hi —hi = da.2
dh.
■+=d-
ч
195
= ai
n—1

yx — y3 = dp» = rf-r- = d — = Pi —,
V "
тогда
_ 2 n—! d.
с о n~ ' d
in xp = aiPi—— V
n v
Инвариант Лагранжа— Гельмгольца при rti = п.з = I
1 = aiy = <цу',
откуда у =y', поэтому для хроматизма положения и увеличения
получим
1 л (9.105)
А' о" 1 « О А '
В уравнения (9.105) не входит координата si, следовательно,
хроматизм положения и увеличения пластинки не зависят от положения
предмета. Формулы (9.104) показывают, что при si =—оо (ai = 0)
Si хр = Sit хр = 0;
т. е. при установке плоскопараллельной пластинки или
отражательной призмы в параллельном ходе лучей они не вносят
хроматических аберраций. Плоскопараллельная пластинка имеет
хроматизм положения со знаком плюс. Это обстоятельство
благоприятно влияет на аберрации систем, состоящих из призменных и
линзовых элементов, так как последние в большинстве случаев
обладают хроматизмом положения со знаком минус.
§ 64. Хроматические преломляющие поверхности
Для устранения хроматизма системы, в которой произведена
коррекция монохроматических аберраций, в нее вводят одну или
две так называемые хроматические поверхности. Такой прием
оказывается весьма полезным при расчете сложных оптических систем.
Хроматические поверхности вводятся следующим путем. Если
какая-либо линза оптической системы обладает достаточной
толщиной, го она разбивается на две линзы введением поверхности
склейки. Показатели преломления стекол линз подбираются так,
чтобы они были одинаковы для основного цвета, а их дисперсии
имели бы максимальную разность. Поэтому поверхность
склейки — хроматическая поверхность не будет оказывать влияния на
ход лучей основного цвета и, естественно, не будет изменять моно-
196
(9.104)

хроматических аберраций. Но для других длин волн эта
поверхность разделяет среды с различными показателями преломления и
поэтому по-разному отклоняет их. Изменяя радиус кривизны
хроматической поверхности, можно воздействовать на хроматические
аберрации системы.
Допустим, линза конечной толщины, входящая в сложную
систему, разделена хроматической
поверхностью склейки на две лин- и~? ^ ^+1
зы, для которых Л»+1 = rt,,Vv+i=£ v,
(рис. 92). Первый параксиальный ^ь^- h / : \"v , а0
луч для основного цвета не пре- 'f-ccV4
ломляется на хроматической по- -
верхности, поэтому av = a,+i.
Высоты на поверхностях v и v + 1 nv.f \ли / n^j nv+2
будут равны
К = Л„_1 — d,_ia„; (9.106)
ftv-f-1 = "v — dvot, =
= Ач_! — (d,+t + d*) а,. (9.107)
Для величин S„ И Ss.v+, на Рис' и- Хроматическая поверхность v
основании (9.33) можно написать
Os.v == <->s,»—I Т
V/
1
4-1
V
ov о
yv hi/d
dy-1 dv
d
-*
—>-
w
V*-/
«Jl
v"v-l".
>Js,v4-I — ^s
nvftvftv+1
= 5S,,_1 -f
лч—\
"A_,/i,
",Mv+i
(9.108)
Учитывая (9.106) и (9.107), после преобразования найдем
Ss,v+i — S,.»_i + —г—т .
(9.109)
Из (9.109) видно, что координаты поверхности еклейки в ней
отсутствуют, т. е. как будто ее не существует.
Заменяя в (9.108) dv_i через (Av-i/zv)/a» и умножая обе части
уравнения на А», будем иметь
A1S,-A,[s^1-^^] + 1i--M. + ^:. (ЭЛЮ)
Пользуясь (9.14) для первой хроматической еуммы, можно
написать
к _ V—1 ,, _ к „,
^>l хр = ,2j ^vCrv = ^j /Z/r,Cm -f- A2VGV ~Ь Zj ftm^mi
v=l
'TC^V+I
откуда
/zvC
[V—1 _ * „
= л5
(9.112)
197

Уравнение устранения хроматизма увеличения при Sixp = 0
согласно (9.36) имеет вид
ft v— 1 ft
о . хр = JJj bsmhmS-im = 2j ^sm'^m^-'m ~т~ Osv/ZvCv "Т" 2j ^sm^m^m-
m=l m=l m=v-t-l
Отсюда
г»—i - *
S„ftvG, = S
SV/ivV^V *->S Xp "
frt=v-t-l
= Лз. (9.113)
Учитывая (9.110), будем'иметь
Ssvh,C,
Mi +
-Ucv=A3
"va»J
или
Лз=АЛС, + -1-С,. (9.114)
Принимая во внимание (9.112),
/43=^4^2+^5,. (9.115)
Из (9.115) для С, найдем
Сч = п^[Аъ — АхА2\. (9.116)
Подставляя (9.116) в (9.112), для высоты h, получим
*-м.|Д »■»,)• (9-"7)
После определения высоты /i, по (9.117) находится величина
Л,_1—Л.
dv_i =
(9.118)
т. е. положение хроматической поверхности относительно первой
поверхности линзы.
Радиуо кривизны хроматической поверхности, исходя из формулы
для первого параксиального луча о учетом (9.9") и (9.115),
определяется из уравнения
^^['-^Т^Из-^)]. (9.119)
Коэффициенты Л|, Л2 и Лз вычисляются по формулам (9.111), (9.112)
и (9.115). В системе, в которую вводится хроматическая
поверхность, величины &sx,x, и ^у!,^ известны, поэтому легко можно найти
Sixp и SSKp, входящие в выражения (9.112) и (9.115).
Соглаоно (9.15) и (9.37) для системы в воздухе
(9.120)
(9.121)
Si хр = a* Asx,),,;
55хр = -^Дг/1,).. — kS\
198
xpi

где
(±-
Если в системе необходимо устранить только хроматизм
положения, то можно поступить следующим образом. Так как
хроматизм увеличения мало зависит от толщины линзы, то можно
воспользоваться формулами для тонкого компонента.
В соответствии с (9.67)
Si хр - Л;_.Ф<С, = _/,?_,ф,( JL. + --+'
V+I
откуда
-^ + .1М±=_ ' 5lxp, (9.122)
где Ф^ — оптическая сила линзы, в которую вводится хроматическая
поверхность.
Приведенная оптическая сила линзы, в которую необходимо
ввести хроматическую поверхность, равна
*, + 9н-1 = 1. (9.123)
Решая (9.122) и (9.123), найдем
* = -^^№-^ + 'Л«р]^
(9.124)
Все величины, входящие в (9.124), в том числе и Si хр, известны.
Хроматическая поверхность вводится после исправления
монохроматических аберраций, поэтому радиусы кривизны линзы /-,._, и г*+\
известны и не могут быть изменены. Для тонких линз имеем
¥* = ("» — l)(p,_i —р„);
T»+i --■ («s+i — l)(pv — pv+i).
В этих уравнениях все величины, кроме р„, известны, поэтому
Pv= — = pv_i —т- =-—:^rr-,,-p,+i. (9.125;
Полученные значения <pv, <pv+! и г, являются приведенными
величинами, т. е. при t' = 1,0.
При введении хроматических поверхностей может оказаться,
что величина d,—i будет отрицательной или превосходить
толщину линзы, в которую вводится хроматическая поверхность. В
таком случае следует ввести в систему две хроматические
поверхности, распределив между ними хроматизм положения и
хроматизм увеличения. Наиболее благоприятными парами стекол для
получения хроматического радиуса, например, являются: ТК8—Ф1,
ТК8-Ф6.
199

§ 65. Хроматизм действительных лучей —
хроматизм высшего порядка
Рассмотренные выше хроматические аберрации относятся к
аберрациям первого порядка, т. е. к аберрациям в параксиальной
области. Хроматические аберрации второй группы относятся к
конечным апертурным и полевым углам. Эти аберрации также
зависят от длин волн и дают окрашивание изображений. Возникают
так называемые хроматические разности монохроматических
аберраций. Все эти аберрации носят название хроматических
аберраций высших порядков.
Наличие большого числа хроматических аберраций
действительных лучей приводит к гому, что исправляют те из них, которые
особенно вредны для данного типа системы и в пределах той области
спектра, в которой система будет работать. Так, например, в
светосильных системах, телеобъективах зрительных труб
геодезических приборов и объективах микроскопов высокой апертуры
большое внимание уделяют исправлению сферохроматической
аберрации.
Для хроматизма положения действительных лучей на некоторой
зоне входного зрачка можно написать
AsU-Ai.x.+ MAi.O. (9-126)
где Д(Д^,ц.)— хроматизм положения высших порядков — сферохро-
матическая аберрация.
Из (9.126) имеем
Д (Д^л.) = Д^л, — Д^ь, = (sx, — sx,)ft3 — (&, — sxX =
= [«.)», - Ю*.] - [Ю*. ~ «.)*.]• (9Л27)
Так как
(■<,)*.—«,)*, = Ч,'
то
д(Чл«) = Ч-Ч.
т. е. сферохроматическая аберрация равна разности сферических
аберраций ks[ и As^ для данных длин волн.
Когда хроматизм положения в параксиальной области исправлен,
то ^s[ - = О,
200

В широкоугольных системах приходится считаться о
хроматической разностью увеличений высших порядков
д(д^,) = д^,-д<ц-
(9.128)
где А#х,лг — хроматизм увеличения действительных лучей
При расчете оптических систем хроматические аберрации
первого порядка определяются для предмета на конечном
расстоянии по формулам (9.56), а для предмета в бесконечности — по
формулам (9.57). При анализе
систем из тонких компонентов
используются формулы (9.68)
и (9.73), которые для
удобства вычислений развертываются
в определенные схемы-
Определение остаточных
хроматических аберраций
первого порядка рассчитанных
оптических систем производится
расчетом хода первого и
второго параксиальных лучей для
заданных длин волн по
формулам (8.3) и (8.4). В результате
расчета хода первого
параксиального луча определяются
отрезки
s'k = hkla.k+\
и хроматизм положения
Из расчета хода второго параксиального луча вычисляются отрезки
Рио. 93. Хроматические аберрации
объектива Индустар-22:
а — график хрематизма положения; 3 —
график хроматизма увеличемия
= у*/р
Н-1.
величины изображений
4L = 0U„-<.)ft.
и хроматизм увеличения
У\,\* ~~ У\, У\?
или в относительной мере
Д(/
х,х.
«\' — У\,
"к
100%.
По приведенным выше формулам хроматические аберрации
определяются как ручным способом, так и с помощью ЭВМ.
201

Хроматические аберрации действительных лучей для различных
зон входного зрачка и полевого угла ручным способом вычисляются
обычно по формулам (8.5), а с помощью ЭВМ — по формулам Федера
(8.17) одновременно с вычислением монохроматических аберраций.
Разность координат s^ и s'x дает величину хроматизма
положения действительных лучей
а разность координат у[ и у[ —хроматизм увеличения
А0м, = Уи - У'х,,
где
у'х. = (s^, - sx„) (§ «\ > У[, = (v, - \) *Е Ч,
и в относительной мере
i^k = Arzlh.. юо%.
Ух„ Ух.
Хроматические аберрации обычно изображаются графически. При
изображении хроматизма положения по оси ординат откладываются
длины волн X, а по оси ординат—отрезки s' и s' или величины Asx,x,
и Asx х (рис. 93, а), а при изображении хроматизма увеличения по
оси ординат полевые углы ш, а по оси абсцисс Дг/^ х (рис. 93, б).

Глава 10.
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
ТЕОРИИ МОНОХРОМАТИЧЕСКИХ АБЕРРАЦИИ
§ 66. Общие уравнения для меридиональной
и сагиттальной составляющих
Положение внемеридионального луча B\N\ (рис. 94) в
пространстве предметов определяется, как известно, следующими
координатами: расстоянием от плоскости предмета до плоскости входного
зрачка (sp — si), величиной предмета у и координатами пересечения
луча с плоскостью входного зрачка т\ и М\. Координата mi
расположена в меридиональной, а М\ — в сагиттальной плоскостях.
Положения плоскости изображения относительно последней
поверхности системы 0\Ok определяется координатой s'k.
Допустим, что точка Ви. есть идеальное изображение точки В\.
Это возможно только в том случае, когда реальная система 0\Ok
обладает свойствами идеальной при конечных значениях координат
у, mi и Mi. В этом случае луч N kB'k будет сопряжен с лучом В\N\.
Координатами луча NkB'k являются (s'p—si), у', ml и Mk. Однако
вследствие того, что реальная система не дает стигматических
изображений, т. е. нарушает гомоцентричность падающих на нее пучков
лучей, луч NkB'k, сопряженный с лучом B\Ni, не пройдет через
точку Bk, а пересечет плоскость изображения в точке Ви.
Положение луча NkBk вполне определится, если наряду с координатами
точки Nk (ml, М'ь) будут известны координаты точки Bk. Расстояние
между точками Bk и Вк называется поперечной погрешностью или
аберрацией луча. Если поперечную аберрацию луча ВкВи
разложить по осям координату' и X', то получим две составляющие
kgk и AG*. Составляющая поперечной аберрации луча Ag*,
расположенная в меридиональной плоскости, называется
меридиональной составляющей, a AG/,, расположенная в
сагиттальной плоскости, — сагиттальной составляющей.
Координатой точки Bk в меридиональной плоскости (по оси у') является у =
—У'+ &gk, а в сагиттальной плоскости (по оси X') — AG*.
203

Таким образом, отклонение точки В\ пересечения действителг-
ного луча с плоскостью изображения от точки Bk пересечения
параксиального луча с теми же координатами в пространстве предмете!
характеризуется меридиональной и сагиттальной составляюшимк
поперечной аберрации луча Д^* и AG*.
Рис. 94. Ход внемеридионального луча и составляющие поперечной аберрацщ.
луча bgl и AGk
Меридиональная и сагиттальная составляющие аберрации луч;
зависят от положения предметной точки, координат лучей и конс^
руктивных элементов системы, т. е.
Agk = F{[si, sp, у, ти Ми г, d, п];
AG'b = Fi[Si, sp, у, т\, М\, г, d, п\.
При заданном положении плоскостей предмета и входного зрачкг
(s\ = const, s, = const), если система известна, то меридиональная
и сагиттальная составляющие являются функциями координат пе
дающего луча у, т\ и М\\
Ь^ = Р\[У, ти А*,];1 ,
Wk = F2[y, ти М,].| UU-^
Так как мы рассматриваем системы, симметричные относительж
оптической оси, то с переменой знака у первоначальных координа-
изменяются знаки всех координат в пространстве изображений и i
функции F\ и Ft, при разложении их в ряд, не будут входитг
204

члены четных порядков, т.е. таких, как т\у, М\, т\М\, т\ и т.д.
Другими словами, удовлетворяется условие нечетности
F\[—y, —mi, —M\]=—F\[y, ти Mi],
Fzl—y, —mu —M\]=—Fi\yu mu Mi].
В разложении будут члены вида Л/, у1, m?, М] и сумма
показателей степеней при у, т, и Mi должна быть равна нечетному
числу, т. е.
а + р + т = /С=1, 3, 5, 7 и т.д.
Если K==h то говорят об аберрациях первого порядка, К = 3 —
третьего порядка, К = 5 — пятого порядка, К = 7 — седьмого
порядка и т. д. Коэффициенты А/, зависящие только от конструктивных
элементов системы, положения предмета и входного зрачка,
являются коэффициентами аберраций.
Теория аберраций показывает, что число независимых аберраций
К-го порядка может быть определено по формуле
t=^[K + 3]\K+b]-\=l-[K+l][K + 7], (10.3)
где К — порядковый номер нечетной степени. Число аберраций в
зависимости от К будет равно:
Порядок К \ 3 5 7 9 II 13
Число
аберраций ... 2 5 9 14 20 27 35
М ... . 3 4 5 6 7 8
При К = 1 t = 2, т.е. будем иметь две аберрации первого порядка.
Для третьего порядка (К. = 3) число независимых аберраций равно
пяти, для пятого порядка / = 9, седьмого порядка <=14.
Исходя из формулы (10.2), меридиональную и сагиттальную
составляющие поперечной аберрации можно представить в виде
уравнений:
bgl = Д&1 + Agm + Agv + Agvn + ...;•! / ю 4ч
AG'k = AGi + ДС„, + AGV + AGvn + .. . J
где Agi, ACj —составляющие поперечной аберрации первого порядка,
Д^ш, ДСщ — составляющие поперечной аберрации третьего порядка,
bgv, AGV— составляющие поперечной аберрации пятого порядка
и т.д.
Меридиональная и сагиттальная составляющие Ag* и AGji
относятся к произвольной плоскости, расположенной вблизи плоскости
параксиального изображения. Связь между составляющими Ag*, AG^
2ПЗ

и Д^, AG!, отнесенными к плоскости параксиального -изображения
(рис. 95), определяется выражениями
&gk = Д#* + -
д5; = ag; +
4(sp-s\)h
■mr,
M,.
(10.5)
Плоскость
параксиального
изображения
Рис. 95. Меридиональная и сагиттальная составляющие аберрации в плоскости
параксиального изображения и в плоскости, смещенной на величину Д (плоскости
анализа изображения)
Формулы (10.5) дают возможность определить, в какой плоскости,
смещенной от плоскости параксиального изображения на величину
Л, меридиональная Ag* и сагиттальная AG* составляющие имеют
наименьшие значения, а следовательно, будут наименьшими и
фигуры рассеяния, являющиеся изображениями точек, расположенных
в плоскости предметов.
Плоскость, в которой фигуры рассеяния и соответственно
монохроматические аберрации имеют наименьшие величины, называется
плоскостью установки. Произвольное смещение плоскости
изображения относительно плоскости параксиального изображения
называют дефокусировкой.
§ 67. Аберрации первого порядка
Аберрации первого порядка могут быть получены следующим
путем. В параксиальной области любая точка предмета
изображается стигматически, поэтому в плоскости параксиального
изображения монохроматические аберрации отсутствуют, т. е.
д^; = ag; = 0.
206

Тогда для параксиальной области, которая является областью
первого порядка, получим
Ad = \Gk = ■
nk(s
l)?o
n, Д
n*(*p-"s>)po
■mi;
Л*.
Так как
m, = ■
и Mi =
J0p
TO
Д#1=-
«jA
n*(s-~s0^V
/"*;
AG, =
Ml
(10.6)
(10.7)
(10.8)
n*(sP-*i)Mop
где ^op — линейное увеличение в зрачках.
В формулах (10.8) отсутствует координата у, это значит, что
меридиональная и сагиттальная составляющие первого порядка
имеют место как для точки на оси, так и для точек вне оси.
Радиус кружка рассеяния в плоскости изображения будет равен
г = Vbg? + AG?. (10.9)
Выражение (10.9) является уравнением окружности, центр которой
совпадает с началом координат. Для точки на оси началом
координат будет являться точка А и — пересечения плоскости
изображения с оптической осью, а для точки вне оси точка В/,— пересечения
второго параксиального луча с плоскостью изображения (рис. 96).
Выразим mi, М\, mh и М\ через полярные координаты р, р' и <J>
в плоскостях входного и выходного зрачков (рис 97);
ГП[
рС05ф= _С05ф
р'
Mi = р sin у = ~ = -jf- sin <|),
hP Pop
(10.10)
тогда
n
bgl=~r
l p cos у
"ft
"1
Я*
"1
(SP
(s*
—■ i
з sin
—■ u
f-
)?o
Ф
l)fc)
Д _
Д ■
Л
_^i_
**
"i
(v
(e*
p'
p'
COS i|/
■ *l) Mop
sin у
si)Moc
P'
«А (я*»-»1)?о 4 {sv~si)hV
A;
Д
Д.
Op
(10.11)
(10.12)
207

Радиус кружка рассеяния пропорционален радиусу окружности
в плоскости выходного, а следовательно, и входного зрачков.
Потому если в выходном зрачке нанести окружности, обпазуюшж
Плоскость
параксиального
изображения
Рис. 96. АСерраиии первого порялк* положения изображения Д = AS,» величинь
изображения Ayt = у'—у
арифметическую прогрессию, то в плоскости изображения им буду
соответствовать окружности, пропорциональные о'. Эти кружки рас
сеяния как для точки на оси, так и для
течек вне оси имеют одинаковые размеры, та;
как определяются одним уравнением.
Креме того, при наличии дефокусировки изме-
няется координата у' пересечения второй
параксиального луча g плоскостью
изображения. Поэтому в соответствии с (10.3) можш
говорить о двух аберрациях первого пе-
рядка. К этим аберрациям относятся (ск
рис. 96): аберрация положения,
характеризуемая продольной величиной Ask, равно!
Рис. 97. Координаты лу величине дефокусировки Д,
ча в плоскости входного « т j г .
зрачке
Д8) = Д == sji — в*.
аберрация величины изображения, равная
btf = и' -
208

Если в системе отсутствует дефокусировка 'Д = 0), то в
параксиальной области отсутствуют отклонения от координаты s/, (s* = s*)
и координаты у', т. е.
д^; = дс; == о. (1о.1з>
§ 68. Меридиональная и сагиттальная составляющие
третьего порядка
На основании вышесказанного меридиональную и сагиттальную
составляющие, отнесенные к плоскости параксиального
изображения, можно написать в виде
Д£* = Atfin + Д£у + • • •; 1 .
AG; =AO'i„ + AGv+ •••■}
Если в разложении функций Л и F-г уравнений (10.1) оставить
только члены третьего порядка, то для меридиональной и
сагиттальной составляющих поперечной аберрации можно получить
Ь& = bg'm =• /яi [/и? + МЦА i + [Зя? + Л*?] уЛ2 + л
+ т^А3 + у*А5; (10.15)
AG^ = AG'„, = Mi [mi + Alf] Л, + 2m\M\yA3 + М]У2АА,)
где /h, . . ., Аь— коэффициенты аберраций, зависящие только от
конструктивных элементов системы, положения предмета и положения
входного зрачка. Меридиональная и сагиттальная составляющие
(10.15) могут быть выражены также через координаты в плоскости
выходного зрачка mk и М'к через формулы (10.7).
Теория аберраций третьего порядка впервые была разработана
астрономом Л. Зейделем (1856 г.), поэтому носит название зейделевой
теории изображения, а область, в пределах которой она может быть
применена, —областью Зейделя. (Для области Зейделя координаты
s, s', sB и sp< будут обозначаться без тильды наверху).
Выражая коэффициенты А у, ..., /4 к в (10.15) через углы а
и высоты h первого и углы [3 и высоты у второго параксиальных
лучей, для меридиональной и сагиттальной составляющих поперечной
аберрации третьего порядка центрированной системы и
безаберрационного предмета, получим следующие уравнения:
toikbgnm / 'J (y-) Si——^ -i-X
*№№«+<&Щ)'* »(,o,e>
209

2nkbGmo.k =
Mi \m\ + M\\
1 \3~ 2m, Л1,
(s.-s./
X
(*p-si)
> (10.16)
где Si, Sn, Sm, SiV и Sv — коэффициенты аберраций третьего
порядка или суммы Зейделя. Каждый из коэффициентов определяет
одну из пяти аберраций третьего порядка.
Формулы (10.16) дают возможность вычислить, не прибегая к
расчету хода виемеридиональных лучей, координаты Д^ш и AGni с
погрешностями, не превышающими значений членов пятого порядка.
Аберрации пятого, седьмого и т. д. порядков принято называть
аберрациями высших порядков.
В уравнениях. (10.16) левая часть (п^Д^ща*, ПйДб'ша*)
представляет собой инвариант Лагранжа-Гельмгольца I, поэтому индекс k
может быть заменен любым другим, что дает возможность относить
меридиональную и сагиттальную составляющие к любой среде и к
любой части оптической системы.
В (10.16) линейные координаты легко могут быть заменены
угловыми, отнесенными к плоскостям входного и выходного зрачков.
Для этого выразим сначала координаты т\, М\, у, sp и s\ через
углы am = ai, as и щ. Из рис 98,а для области аберраций третьего
порядка при конечной величине ш, можно написать
м,
«1 = в)П = ■
,з, = -
, tglUt =——;
(10.17)
С учетом (10.17) уравнения (10.16) будут иметь вид
-2n'k\g'ui*l = a„, (a,2„ + a?) (-i-)3 S, -f (Зс£ + о2) (^г)^) X
XtgoiiSn -i- a.„ tg2u)j
1 \ / I
[3Sm + I2Siv] +
tg3U>|
?\
3 ~
Sv;
(10.18)
—2/г^ДGini'k = a<(4,+ аЛ(—) 5i + 2amastga)1(—j (j-
X Si, + a, tg* Ш1 Ш Ш' [Sm + I2SIV].
Для плоскости выходного зрачка (рис. 98, б) имеем
ml . Ml
X
Oft = 3m = ■
(10.19)
210

(10.20).
Инвариант Лаграижа — Гельмгольиа, отнесенный к зрачкам, даег
следующие соотношения:
rtjmjpj = nkm'i$'k] 1
rtiMiP, = nkM'k%-\
Углы второго параксиального с оптической осью равны
h=T~T- & = ^-^-- (10-21>
-У
~^2V""J
^*Л?<
~Sy
><
'Wf
*!
s&y
<4
p
Рис. 98. Угловые координаты:
a — в плоскости входного зрачка; б — в плоскости ныходного зрачка
Подставляя значения р из (10.21) в (10.20), получим
я,/и,у n'km'ky пхМху ^n'kMky
(10.22)
Разделим каждое из уравнений (10.22) на инвариант Лагранжа—
Гельмгольца для первого параксиального луча ti\ya.\ = nkya'k, найдем
т, 1 Щ \ ■
sp-si ai Vs*' а*
Сопоставляя (10.19) и (10.23), найдем
sP-si ai ~~ «i «i
(10.23)
%.. (10.24)
Подставляя (10.24) в (10.16) и вводя вместо у выражение у
= (s„ —si)tgi»i, приходим к следующим формулам:
-2n'kbg'iuo.'k = ат (о2 + о?) (XJ S, + (3sm2 + а? ) tg u>i X
1 V/ 1
211

-MgV J- 5V;
3 ~
-2nftAGiiial = os (o„ + os'2) (-И Si -f 2о'тз' tg (»i (—) x [
x(^)s„+-;tg.ei(4)(1frJ[sI„-f-i«fiV].
Воспользовавшись выражениями (10.23), выразим
меридиональную и сагиттальную составляющие (10.16) через координаты m.k
и М\ в плоскости выходного зрачка (см. рис. 98, б).
В этом случае будем иметь
, тк(тк*+Мк*)( i \з~ (Зт^МС)/ 1 у 1
2n*Agiuaft = —тг- т^~ \—г\ Si— Ц-; ^-г-' | — I X '
X
('p—''k)3 U
' 2
(v—Э3 V-.
]!г)^»+т?^Штг [a5l,,+I,s,v]"
р
2 ~
(v-4)3 VPi
3 ~
5у;
2n'^G'luo.'k =
K(m'k+M?)( 1 V? 2mX / , у
(v-s*)3 U
-И 5
(»;—-ir'V-;
»н- x
(10.26)
Многие оптические системы (фотообъективы, объективы
телескопических систем и др.) рассчитываются для предмета в
бесконечности. В этом случае S] =—со (щ = 0) и приведенные выше
формулы для меридиональной и сагиттальной составляющих
непригодны. При s\ -*■ —со выражение
1
— 1, h\la.k — f.
sp~s\ spls\~x
Принимая это во внимание и учитывая, что lfa\=s\/hi, у =
= (sp — si) tgo>i, для (10.16) найдем
«l(«l + A«?)/_I_Vj..1.3m?+Al?/,\S4 \
О "Л ,х , . .//.1С», --l+Mf ( 1 V
X (-1-) tg<D,Sn + -^ tg2"», ^rV^jWn + I2SIV] +
+ tg3(Bl^35v;
-2nAAGniaA = 1-7з L[ — si + -72—tg0»'*
X
f'3
212
да^т^Ш*^"1 I
(10.27)

где sr, Su, Sni и Sv — коэффициенты аберраций для предмета
в бесконечности. Коэффициент SJV, как будет показано ниже, от
координаты S\ не зависит.
В телескопических системах а.\ = 0, а* = 0 и f = оо; поперечные
аберрации Д^ш и Дб'т становятся бесконечно большими и
приведенные выше формулы также становятся непригодными. Поэтом}
Д^'ш и AGin принято выражать в угловой мере. Обозначая угловые
аберрация через Дш'ш и Д2ць считая углы м*. и 2*. малыми, будем
иметь
—Дшш =
д§1
п
—Д2
ДО
III
III
В этом случае левая часть уравнений (10.16) будет равна
' ' ' • &8ш ' '
ZntAgiuai, = 2«*—г-А* = — 2лйДа>шй*:
. ДО,,,
2«ftAGinaft = 2n,—JU-
А* = —2rtftA2i,,Aft.
A| . Л.
Для телескопических систем r0 = Гт = -г— или Aft= —-, поэтому
и
2яАДОи1а* = — 2/tftA2I'n -^
(10.28)
Подставляя (10.28) в (10.16) и учитывая, что
Sl/(sp — Si)-»- — 1, y = (sp — Sl)tg(B,,
найдем
—2я*Д(0[11 fr- =
A, m,(mf+Alf) ~ Зя? + Л? , ,
ST + -
щ
i-k)
tgcoiSfi +
,2 ~
m, / t \* ~ /i\3~
tg»i(-pj-)sri +
-2п'^[11^^Щ*Л!!>5?+Ят^
h]
*?
Af, / 1 \2 ~
(10.29)
Коэффициенты аберраций, входящие в (10.29), вычисляются при
°Ч = 0 и а* = 0.
В большинстве случаев при расчете телескопических систем
их разбивают на две части или более, и расчет каждой части
выполняется самостоятельно. В этом случае для расчета объектива
213

пользуются формулами (10.27) в прямом ходе лучей, а для расчета
окуляра — этими же формулами в обратном ходе лучей. В конечной
стадии расчета производится суммирование аберраций и добиваются
минимальных значений остаточных аберраций. Формулы (10.29)
обычно используются при расчете систем Галилея с малым
увеличением, когда разделение на части нерационально.
Учитывая условия нормировки (9.52) при si ф —оо в системы
в воздухе (он = р0, а*=1, h\ = p0si, Рi = 1, I = po(sp — S\), для
(10.16), (10.25) и (10.26) получим:
3m2-f М\
2 ~
+
2ag;„
ЩУ
4-1 [35«п+ I2S,v]
(s/»-siy
(SP-S0
t,sl
+
A*,r'
(SP~S
уШ'5
2m,Af,
in +l2SivI;
Sy",
,2~
i) 5"+
(10.16')
-2A^in = <% [(om + as ) Si + (3am -f os ) tgunSn +
+ a;tg2u,1[3SI„+FS,v]— tg3u,,5v;
—2AGln = a, (om + os ) Si + 2ama, tgunSn +
+ a;tg2m1[S„I + I25,v];
^gin — —-j— чз~ ^' T~- -43-i/on +
(10.25')
0
p'
;>3
(v—a8
v
(v-o
77, [3S,„ + IaS,v] ■
(sp--s*);
тгд Sv;
2ДСп
61 — 7-7 —3гЛп +
1
(V—Дя
(v—aa
<</2
ттз [S,„ + PS1V].
(10.26')
(v-**)
Коэффициенты аберраций, входящие в (10.16'), (10.25') и (10.26'),
вычисляются при тех же условиях нормировки, что и Д^щ и ДОць
Для предмета в бесконечности, учитывая (9.55) (<xi = 0, aft = l,
pi = 1, ti\=n'k = \, I = —1) для (10.27), найдем
214

- 2bgn
m,(/^-fMf) ~м 3mp-M]
s~ + -
tgiu^r
(10.27')
+ m, tga ш, [3S3°° + Siv] + /' tg3m,Sv ;
," Af, (m?+M?) -«, 2m,M,
_2AG1U = lV ;; '; S,~ + -jr-1 tg mSu +
+ Mitg*<»i[Sm + Si4].
Коэффициенты аберраций Sr ... Sv вычисляются при /j|=mi =
= /' = 1, т. е. все исходные данные должны быть приведены к
С = 1,0 (разделены на /'-системы). При вычислении \gm и AGm эти
коэффициенты, чтобы сохранить размерность, необходимо умножить
на /', поэтому в (10.27') по сравнению с (10.27) степень при f
понизилась на единицу.
§ 69. Коэффициенты аберраций третьего порядка
или суммы Зейделя
Коэффициенты аберраций третьего порядка — суммы Зейделя
S]—Shi, 5iv и Sv, входящие в формулы (10.16), (10.18), (10.25) —
(10.27), (10.29), для системы из k преломляющих поверхностей
имеют вид:
_ к
S, = Ц А, (/>, + £,)!
v=l v=l
v~-1 v—1 v=l
n к
(10.30)
215

где
Pv =
№v:
nv =
" a'v — a, "
1 1
1 1
2
"av nv"
n[ n
(Л V
v_
r-
Гга1
1
5 я
8a
h
-
2
?!
V
11
V
a
n
a
n
i
V
•(»)■
(10.31)
в. = ь. №-"*;? =ь
t„ — n„
(«', — nv) =
« - nv)2
I = П\уа.\ = я$г/ a* = const,
ft», yv — высоты падения первого и второго параксиальных лучей;
6V — коэффициент, характеризующий деформацию сферической
поверхности или отступление поверхности от сферичности
(асферическая поверхность), для кривых второго порядка £>, =■= —е2.
Коэффициент Siv, как это видно из (10.30), не зависит от. деформации
преломляющих поверхностей.
Коэффициенты аберраций Si — Sv зависят от величин /\, W„ П»
и В„, которые называются параметрами.
От параметров №„, 5» и величин I и (/, легко перейти к
переменным Р„ ftv, a„ р, и £>„. Связь между инвариантами Qsv, Q„, и I
определяется выражением (5.83), т. е.
Q„v-&v = %A. (10.32)
Инварианты Q,v и Qw» можно представить в виде
Тогда из (10.32) получим
216
(10.33)

Подставляя (10.33) и значения В» и Ww в (10.30), после
преобразований для коэффициентов аберраций найдем следующие
выражения:
Si = £ К
Si, = S А,
■°v+^
'"Л (8")?
Sin = 2j Л,
л(8У + *,^'Ьяр,;
5а
> I
2п
1»п),
*-2*"-Е*Й.!
5-2([№(g)>pi4(S).+
(10.34)
где
8а = av — а», 8(3 = J3» — Pv!
8/гд = /г,а, — я„а„;
Ъп$ = /г$ — п„р„;
8я = /г^— п,.
(10.35)
Формулы (10.34) используются в основном для вычисления
аберраций систем, конструктивные элементы которых известны.
В уравнениях (10.30) коэффициенты аберраций Su, SUi и Sv
зависят от высот #» второго параксиального луча на преломляющих
поверхностях, т. е. в конечном итоге от координаты у\ (sp),
определяющей положение входного зрачка. Поэтому выразим указанные
коэффициенты в зависимости от начальной координаты во входном
зрачке уи Согласно (9.32)
где
^ = ^ + IS
*-X;fes;<*-.o>.
(10.36)
,=2
217

Заменяя в уравнениях (10.30) отношения yjh., через (10.36),
получим:
S,= £ А,(Р, + Д„):
v=l
Sr, = £• S А, (Я, + Sv) + I S [А, (Я. + Bv) 5, - Г Л;
4 v=l
,2 л
к
Sm =(JJj S| Av(Pv + Sv)+2I^£ fЛv(^\ + £v)Ss--U^'v] +
^Л2|;j|AЛPv+iMSs-2rлSs+l8f-ijJ;
Sv = fej E( A, (Л + fi.) + 31 fe)2 S (А, (Л + fi,) Ss - Г,} +
v=l
x£ ^n4 + is£ j[A^ + £4)ss-3rvjs*+;f|33(-i) +
+ n.
Ss h?8U2
(10.37)
Напишем (10.37^ в следующем виде:
Si = Soi;
Sn = у Sn = Son + kSoi)
Sru = ~2 Sni == Soiu + 2^Son 4- &2Soi;
S]V = SoivJ
Sv = -g Sv = Sov + k (3Soiu 4- Soiv) +
+ 3£*Son + k3Sau
(10.38)
где
k^y±
Vi
(10.39)
218

Soi = 2 AV(P, + BV);
k
Son. = Ц [A, (P, + Я.) Ss - 2BM Ss + r- 8
* 1
Soiv = 2j 7T^v'
Sov=S [Av (P, + Я») Ss — 3U7V]S2S +
+
38
+ П,
1
(10.40)
Если y\ = 0 (sp = 0), то k = 0, т. е. когда центр входного
зрачка совпадает с вершиной первой поверхности системы, коэффи-
циенты аберраций Sn, Shi и Sv переходят в коэффициенты Son,
Soui и Sov-
Уравнения (10.38) позволяют установить возможность или
невозможность использования положения входного зрачка для
исправления аберраций системы. Из (10.38) видно, что при Soi = Si = 0
коэффициент аберрации Sn не зависит от положения входного
зрачка; при Soi и Son = 0 коэффициент Sm не зависит от координаты
s„; коэффициент Siv не зависит от положения входного зрачка;
аналогично, если Soi = Son = Som = Soiv = 0, то коэффициент Sv
также не зависит от положения входного зрачка. Так как
коэффициенты аберраций Si ... Sy определяют пять монохроматических
аберраций третьего порядка, то из (10.38) вытекает следующая
важная теорема: если в системе исправлено t аберраций третьего
порядка, то аберрация t + \ не зависит от положения входного
зрачка.
Из уравнений (10.38) также вытекает, что для исправления всех
пяти монохроматических аберраций третьего порядка, т. е. для
выполнения условия
Si = Sii=Sm = Siv = Sv=*0 (10.41)
достаточно выполнить условие
Soi = Son = Soni = Soiv — Sov = 0« (10.42)
При этом коррекция всех аберраций достигается независимо
от положения входного зрачка
219

Для вычисления коэффициентов аберраций оптической системы,
конструктивные элементы которой известны, необходимо
рассчитать ход первого и второго параксиальных лучей по формулам
(8.3) и (8.4).
В пределах точности формул аберраций третьего порядка
кривые асферических поверхностей неотличимы от кривых второго
порядка, поэтому коэффициент деформации 6, будет равен •
fcv = — е2= ± 4---1-
от
Поскольку тип асферической поверхности известен, то будут
известны и полуоси а и b кривой, а следовательно, будет известен и
коэффициент 6V. По известным а,, я, и 6, определяются параметры
Р„ W„ П, и В,. Кроме того, для системы будут известны высоты
К, у.,, положение предмета s\, положение входного зрачка sp и
величина предмета у, поэтому легко могут быть вычислены
коэффициенты аберраций, а также меридиональная Д^ш и сагиттальная
AG'ni составляющие аберраций третьего порядка для любой зоны
входного зрачка.
Коэффициенты аберраций третьего порядка, как это видно из
приведенных выше формул, зависят от конструктивных элементов
системы г, d, п, которые входят в них в неявном виде посредством
параметров Р,, U7,, И» и 5». Это позволяет при заданных
значениях Д^'ш и ДСш, а следовательно, и S\, ..., Sy определить
конструктивные элементы системы.
Формулы (10.30), (10.34), (10.37) и (10.40) пригодны для
систем, состоящих из сферических, асферических и плоских
преломляющих и отражающих поверхностей. Если в системе отсутствуют
асферические поверхности, что имеет место в большинстве случаев,
то параметр В, = 0 и формулы для коэффициентов аберраций
значительно упрощаются. (В дальнейшем коэффициенты аберраций
для систем из сферических поверхностей будут обозначаться без
тильды наверху).
Коэффициенты аберраций третьего порядка для зрачков.
В сложных оптических системах, как, например, светосильных
широкоугольных объективах, необходимо принимать во внимание
аберрации в зрачках. Формулы для составляющих аберраций и
коэффициентов аберраций в плоскости выходного зрачка
аналогичны приведенным выше, только в них необходимо произвести
следующие замены:
Agin -»- Д/п,||. ДСш, -+ ДМ',],, Sp-»-si, Si->sp;
у -»-mi, иг, -*■ у, S]-*S]V; Sji -*■ Sub'',
S,n-> Sni/u'. Si*-*■ Sfvp'i Sv -*■ SVp', P,-*PP', W,-*-Wc
П, г-v Пр., ft, -+ г/„, y„ -> ';„ a, -*■ 3„;
220
p
(10.43)

В этом случае плоскости входного и выходного зрачков
рассматриваются как плоскости предмета и изображения, а плоскости
предмета и изображения — как плоскости зрачков. Произведя
замены в соответствии с (10.43), для плоскости выходного зрачка
вместо (10.30) при Б» = 0 найдем:
*
о ]р' = 2а У~>*р'у>
v=l v=l
Sivy — 2j ~y~ *V*'»
v=l v= 1 v—I
: (10.44)
+
где
+ :
Рр'ч =
wv,=
IU =
«X—n,P, BC»P),
= г- , I = «i/raiPi = nkm$k = const.
(10.45)
Аналогичным путем можно получить уравнения типа (10.44),
(10.37), (10.40) и т. д.
§ 70. Геометрическое представление
аберраций третьего порядка
Общие положения. Уравнения (10.16), (10.18), (10.25), (10.26)
и (10.27) для меридиональной и сагиттальной составляющих
поперечной аберрации третьего порядка дают возможность опреде-
221

лить точку пересечения с плоскостью изображения каждого
отдельного луча из числа лучей, образующих пучок. Если из всего
пучка рассматривать только совокупность лучей, выходящих из
какой-либо точки предмета и проходящих через плоскость
входного зрачка, свободного от аберраций, по окружности с центром на
оптической оси, то в плоскости параксиального изображения
получим кривую, образующую фигуру рассеяния сложной формы
Рис. 99. Аберрационная кривая, образованная простой линзой
(рис. 99). Эта кривая, называемая аберрационной кривой,
включает в себя все монохроматические аберрации третьего порядка.
Для упрощения задачи обычно рассматриваются кривые, которые
образуются только одной из аберраций, полагая при этом осталь-
■ ные аберрации равными нулю. В действительности довольно редки
случаи, когда система обладает только одной аберрацией,
однако нередки случаи, когда в системе требуется устранить только
две или три аберрации. Поэтому необходимо знать, что
представляет собой каждая из пяти монохроматических аберраций
третьего порядка и какими уравнениями она характеризуется.
Сферическая аберрация третьего порядка. Если коэффициенты
аберраций Su = Sm = Siv = Sv = 0, a Si ф 0, то уравнения (10.16)
будут иметь вид:
Ag'in = mi(mi + M?Mi;
AG'ui^M{(m2i + M\)Au
Переходя к полярным координатам, в соответствии с (10.10)
получим
(1043)
3 3 / 1 \3
Д#,п = р соэфЛ] =р' cos Mi и- j .
Дб'ш = р sin ЦА i = </ sin tyA i U-
(10.47)
222

где
'■ 1 —* ''/ \Ч Ч *•
2«*«»(*p-si) «I
Возведем (10.47) в квадрат и сложим их, тогда
Гоф = V Д#ш + AGm = р3Л i = р'3Л i L-\ .
Рис 100. Фигуры рассеяния, образованные сферической аберрацией, лля точк?
на оси и для точки вне оси
Уравнение (10.48) является уравнением окружности, центр
копрой совпадает с началом координат. Следовательно, если коэффр-
циент аберрации Si ф0, то в плоскости параксиального изображ*-
ния вместо точки образуется фигура рассеяния в виде окружность
радиус которой пропорционален кубу радиуса окружности в плое-
кости входного или выходного зрачка, причем каждой точке нг
выходном зрачке, расположенной в меридиональной плоскость
соответствует точка в плоскости изображения, находящейся в toi
же меридиональной плоскости.
Нарушение гомоцентричности широкого пучка лучей, прошел
шего через оптическую систему, при сохранении симметрии его
относительно оси пучка называется сферической аберра
имей.
Из (10.46) видно, что в них отсутствует координата у, опредс
ляюшая положение точки в предметной плоскости. Это значит, чтг
сферическая аберрация третьего порядка существует в одинаково!
мере для всех точек предметной плоскости (рис. 100).
223

Между окружностями в плоскости выходного зрачка и в
плоскости параксиального изображения имеет место своеобразное
подобие. Если в плоскости выходного зрачка нанести окружности
с радиусами, образующими арифметическую прогрессию 02; 04;
0,6; 0,8; 1,0, то в плоскости изображения им будут соответствовать
окружности, пропорциональные р'3, т. е. соотношения между
радиусами кружков рассеяния будут составлять 0,008; 0,064; 0,21; 0,512;
1. В центральном (наименьшем) кружке сосредоточивается 34%
всех лучей, заполняющих выходной зрачок, тогда как площадь его
составляет всего 4% от площади наибольшего кружка. Во втором
кольце сосредоточено 20% лучей; в третьем — 17%, в четвертом —
!5% и в последнем — 14%. Из этих данных видно, что в
пределах площади кружка рассеяния, соответствующей радиусу 0,6 от
максимального, находится около 70% всех лучей, т. е. около 70%
всей энергии сосредоточено на площади, равной 36% от площади
максимального кружка. Кружок рассеяния в плоскости
параксиального изображения и представляет собой изображение точки,
расположенной в предметной плоскости.
Радиус кружка рассеяния, определяемый формулой (10.48),
представляет собой поперечную сферическую аберрацию, которую
обозначим через Дг/iп- Для меридиональной плоскости ф=5 0, а для
сагиттальной ф = 90°, поэтому согласно (10.46)
Agi,, = AG',,, = Дг/п, = Р3Л, =гсф. (10.49)
Сферическая аберрация третьего порядка для точки на оси или
любой точки вне оси, расположенной в меридиональной плоскости
(УИ|=0, з, =0), на основании (10.16) и (10.25) принимая ат = ак>
будет разна
Ау'„. = Двш = -U ——Лр\ S, = --4-т(-] Si. (10.50)
Продольная сферическая, аберрация третьего порядка для точки
на оси (см. рис. 100)
As,11== Jji1 = rTjoiS,. (10.51)
•* 2«„e, '
Для предмета на конечном расстоянии в области аберраций
третьего порядка можно принять, что а* = hjsk, тогда
Asi„= i_AVs,. (10.52)
2nka \ *,}
Если предмет находится в бесконечности (s, ==—оо, о, = 0),
то oj = h\lf = mjf и
Asm= L-(^lXsT. (10.53)
2"Л \' У
224

Учитывая условия нормировки (9.52) и (9.55), получим
Д5ц, = — _ —Sltf'=l).
(10.52')
(10.53')
Из (10.51) — (10.53) видно, что сферическая аберрация третьего
порядка зависит от коэффициента Su поэтому его называют мерой
сферической аберрации. Чтобы в системе была устранена
сферическая аберрация, необходимо выполнить условие
Si = X й,/\=0.
^9ш=^Утпр
(10.54)
Рис. 101 Положение кружка наименьшего рассеяния
Размеры кружка рассеяния, образованного сферической
аберрацией третьего порядка, зависят от положения плоскости установки
(рис. 101). Плоскость наименьшего кружка рассеяния располагается
слева от плоскости параксиального изображения в месте, где
пересекаются лучи, выходящие из системы под углом окр и 1/2о,<р,
причем это расстояние равно
3
(10.55)
(10.56)
Д'л = "4" ASlIlKpi
а радиус кружка наименьшего рассеяния
'min = -4-ГсФ = J Д£/1П = "J Д5||1Крад..
Приведенные выше формулы для сферической аберрации третье-
го порядка могут быть использованы для предварительного анализа
системы. Они дают хорошее приближение только для систем^ с
малым относительным отверстием Точное значение сферической
аберрации можн■> получить только с учетом аберраций высшего поряд-
225

са. Для этого необходимо произвести расчет хода параксиального
1 действительных лучей. Разность координат точек Л* и Л^, равная
as;=~s;_s;, (ю.57)
аает величину продотьной сферической аберрации для точки на оси
рис. 102). Продольная сферическая аберрация считается
положительной, если точка А\ лежит правее точки А к, и отрицательной при
>боатном расположении этих точек.
:. 102. Продольная сферическая аберрация bs'k для точки на оптической оси
Поперечная сферическая аберрация
Угловая сферическая аберрация
A0;==_^ = _^tgo;. (10.59)
Фигуры рассеяния, образованные сферической аберрацией, имеют
зазную структуру п зависимости от положения плоскости изобра-
кения. В плоскости Яо некоррпгированной системы кружок рассея-
1ия имеет радиус Аук (см. рив. 102, положение /). Если плоскость
z'n переместить в положение 2, то внутри кружка рассеяния
появляется маленький светлый диск; в положении 3 возникает по краям
т.ркое кольцо; в положении 4 центральный диск исчезает, но остается
тркое кольцо и, наконец, в положении 5 исчезает яркий край и
lCBcmenHocTh внутри кружка снова становится равномерной.
Симметричность кружка рассеяния объясняется тем., что лучи, падаго-
226

щие на систему под одинаковыми углами <зь имеют равные углы
падения.
Сферическая аберрация третьего порядка в зрачках. Если в
(10.50) заменить координаты в плоскости входного и выходного
зрачков координатами в предметной плоскости и плоскости
изображения, то для поперечной сферической аберрации в выходном
зрачке Дшн| в меридиональной плоскости
Дт'ш = , ,, - / Гз(гУ Sv =- Ар№) Svb (Ю.60)
где
к
Svi = Sip- = 2j УчРп'ч',
"■-$}№
(10.61)
Продольная сферическая аберрация в выходном зрачке
Asm,/ = —4-= r-^»*Svi. (10.62)
Коэффициент сферической аберрации SVi вычисляется при
следующих условиях нормировки для первого и второго
параксиальных лучей:
«1 = 1; Л] = 1;|
В, = 1; „ = !.) (10-63)
При этих условиях координата, определяющая положение входного
зрачка, sp = yi/fh = 1, поэтому для сохранения размерности
формулу (10.62) необходимо умножить на реальное значение sp, т. е.
Asini.- = Ц-Га »I2Sv1Pt=i). (10.64)
Учитывая (10.63), для |V-. будем иметь
о "1?) ,!i 1
Р0*. =-гр =
откуда
тогда
а*
п'ф'к n'k Р'*'
h = - —
nlhP''
.3
Asiiip- = — —4 VopSpw'k Svi(Sp=i). (10.65)
2.'' i
227

Для системы в воздухе
или, принимая во внимание, что щ = и>\/$ор,
Asuip' = — 2-PopSp(Bi5vi(Sj;)=.i). (10.66)
Сферохроматическая аберрация третьего порядка. Для сферо-
хроматической аберрации можно написать
A(Asx,x2) = Asx, —As'x,,
где As'x,—сферическая аберрация для Xi; As!,— сферическая
аберрация для Х2.
При z'k—l на основании (10.51) имеем
AsJ]|.х, = ■—(—, о* Si ) , Авпг.л, = —(—rot Si] ,
2пь /х. \2«* д8
тогда сферохроматическая аберрация третьего порядка
A (Asin)x1x! = (Л a'^SA —(-La'k'S
\2nk Д, \2",
Считая, что «fe и аи для длин волн Xi и Хэ мало отличаются друг
от друга и от Х„ для сферохроматической яберрации будем иметь
A(As'iii)x,x, = -WScx, (10.67)
где
Sex^Su.-Su,. (10.68)
SGX называется коэффициентом сферохроматической аберрапии или
сферохроматической суммой.
Кома третьего порядка. Условие, синусов и условие изоп.тна-
тизма Если в системе Si =• Sn, = SiV = Sy = 0, то для
меридиональной и сагиттальной составляющих будем иметь
Д-^п =(3mi + M^)yA1 = (2 + cos'^)?ayA3',\
, (10.69)
AGm=2miiMi^2 = sin2(j.p!'4,/li<1 J
Напшием (10.69) в виде
A^m -- ?р*уАь = gos2^p>42;
AGui = sin 2фо2уЛ2.

Возведя эти выражения в квадрат и сложив их, получим
(Ag'ui -292уА2У + AGlu = (pV2)2 = г\. П0.70)
Выражение (10.70) представляет собой уравнение окружности
с радиусом
Гк = 92уА2, (а)
центр которой смещен на величину
2гк = 2р2уА2. (б)
Из этих выражений видно, что как радиус окружности, так и
смещение ее центра пропорциональны квадрату радиуса р входного
зрачка и, следовательно, квадрату радиуса о' выходного зрачка.
Учитывая (а), уравнения (10.69) будут равны
Affin =(2 + cos2^)/-¥, ДО,',, =» sin 2.J»/-*. (10.71)
Для главного луча координаты mi=Afi=p = 0 {m'k = Mk =
— р' = 0), поэтому Д^ш = AGui = 0. Это значит, что главный луч
пересекает плоскость параксиального изображения в точке Вк,
расположенной в меридиональной плоскости и соответствующей
точке параксиального изображения. Таким образом, начало
координат будет находиться в точке Вк.
Для того чтобы установить фигуру рассеяния, образованную
меридиональной и сагиттальной составляющими AgU\ и AGnr, в
плоскости параксиального изображения возьмем в кольцевой зоне
входного, а следовательно, и выходного зрачков 8 лучей, углы между
которыми составляют 45° (рис. 103).
Лучи, проходящие через точки / и 5, являющиеся верхними и
нижними лучами в меридиональной плоскости, образуют с
последней углы 0 и 180Q. Для верхнего и нижнего лучей
ш\в =—т.\н(ткп => — niku) и т]в =mill(mkB — т^ ).
Из (10.71)видно, чтокак для верхнего, так и нижнего лучей
меридиональные составляющие имеют одинаковые значения, равные
Зг/t, а сагиттальная составляющая равна нулю, т. е.
Agin = (2 -г eos 2ф)г/, = Зг*;
AG,и ~ sin 20/-/, = 0.
Это значит, что меридиональная составляющая представляет собой
прямую, м верхний и нижний лучи пересекаются в одной точке, ко
торая отстоит от точки Б% на величину, равную Ъгк.
Для сагиттальной плоскости, т. е. лучей, проходящих через
точки Я и 7 выходного зрачка, углы 6 составляют 90Q и 270v it
координаты mi=/ib{ = 0, поэтому
Afifin = (2 +cos 2ф)/-* =....(
AGni = sin2'^/-,, — 0, J
т. е. сагиттальные лучи пересекаются в одной точке
меридиональной плоскости, отстоящей от точки Bit на величину г к.
229
(10.72)

Уравнения (10.72) и (10.73) показывают, что сагиттальная
составляющая равна нулю как для лучей, расположенных в мер*-
дионалыюй, так и для лучей, расположенных в сагиттально!
плоскостях.
Для точек во входном зрачке с координатами т.\ и Mi, не раь
иыми нулю, т. е. для внемеридиональных лучей, например, длу
лучей, проходящих через точки 2 и 6, углы ф равны 45 и 225° i
Agin =(2 + cos2^)rk = 2rk; )
AGju =sin2^* = rk. J
Рис. 103. Меридиональная кома Km, меридиональная составляющая комы дл.-
сагиттальной плоскости Klu т, меридиональная составляющая комы для инемер!
диональных лучей /(,,, вп, сагиттальная кома Kuis
Соответственно для лучей, проходящих через точки 4 и 6, дл>
которых (jj равно 135° и 315°,
Agin =(2 + cos2.i.)r* =2r*;l
AG1U = sin 2^* = — гк. J
Уравнения (10.74) и (10.74') показывают, что лучи, проходяще
через точки 2 н о, пересекаются в одной точке, координаты кок-
рой составляют 2л* и />, а лучи, проходящие через точки 4 и I
также пересекаются в одной точке о координатами 2а и —п, (и.
рис 103).
Таким образом, лучи, проходящие по окружности чере;* точк1
/, ..., S входного зрачка с радиусом р (через точки 1 S вы
230

ходного зрачка 6 радиусом р'), образуют в плоскости
параксиального изображения окружность радиуса л*. = (/р'/Ь, центр которой
расположен в меридиональной плоскости на расстоянии 2гк от
точки Bk- Если же входной зрачок разбит на ряд зон с помощью кон
центрических окружностей, то каждой зоне при постоянном значе
нии у в плоскости параксиального
изображения будет соответствовать своя
окружность, являющаяся внешним
контуром пятна рассеяния. Следовательно,
изображение точки, расположенной вне
оптической оси, представляет собой
совокупность окружностей, диаметры которых
пропорциональны квадрату диаметра зон
входного зрачка. Центры кружков
находятся на прямой BkAk, расположенной
в меридиональной плоскости (рис. 104).
Все окружности имеют общие касательные
BkT\ и В'кТ^, проходящие через точку
Bk и образующие с меридиональной
плоскостью (линией АкВк) угол, равный 30°.
В этом легко убедиться, рассматривая
треугольники BkCT\ и BkCTs; расстояние
от точки Б* до С равно 2/> = 2(/р2Л2, а
радиусы окружности CTi=CT2=/4=t/p Л2,
поэтому синусы углов T\BkC и TiB'kG
равны 0;5, а углы 30Q. На рис. 104 окружности расположены выше
точки Bk) это имеет место в том случае, когда коэффициент Ач >0.
Если же Лг<0, точка Вк лежит выше центров окружностей.
Таким образом, изображение точки, расположенной вне оптической
оси, представляет собой фигуру рассеяния в виде яркого пятна
с постепенно расширяющимся «хвостом», напоминающим хвост
кометы, симметричную относительно меридиональной плоскости.
Распределение энергии в фигуре рассеяния несимметрично; вся энергия
сосредоточена в пределах угла в 60\ при этом освещенность
убывает в направлении от вершины угла В,, примерно обратно
пропорционально расстоянию от вершины угла Bk.
Нарушение симметрии широкого пучка лучей, вышедшего из
точки предмета, расположенной вне оптической оси, называется
аберрацией кома. Несимметрия широкого плоского !\;еридио
нального пучка лучей называется меридиональной комой
(рис. 105).
Введем следующие обозначения:
Рнс. 104. Фигура рассеяния,
создаваемая комой третьего
порядка (внешняя кома)
Кш = Д#п) =3/>;1
Kill т — A.^in = Гк\ )
{10.75}
231

(10.75)
tfuiBn = Agm =2rk;\
Кш ч = AGui = /"*,)
гДе K\\] — меридиональная кома; Кш m— меридиональная
составляющая комы для сагиттальной плоскости; Кш нн—
меридиональная составляющая комы внемеридиональных лучей; Кип —
сагиттальная составляющая комы для внемеридиональных лучей —
сагиттальная кома.
Рис. 105. Меридиональная кома третьего порядка
Для меридиональной комы третьего порядка (М\ = 0) согласно
(10.69)
*„,-Зг»=4 ..f« „flYfeW (Ю.76)
2 nWk(Sfi-sxf \«l) [hj
Переходя к угловым координатам в плоскости выходного зрачка,
(10.77)
Km = — у-г-Тз0* (o-^tgmi5ii.
Заменяя ок через hkhk, будем иметь
/,II1=_|-L,AVtg(B,^5lI.
Пка1 \ ^
(10.78)
В соответствии с (10.75) меридиональная составляющая комы
для сагиттплыюй плоскости будет иметь вид
или
2пка.
Km т = — ^-гТг°к tgu>ihj-)Sn.
(10.79)
232

Меридиональная и сагиттальная составляющие комы для вне-
меридиональных лучей согласно (10.75) равны
А ИI вн = ^k
2n'kak(Sp-S\)
■ш*-
к+°2
А'ш s = fk —
(10.80)
"*«*(sp-si)3 VaV \pi
= ^ytgco, 1 Sn. (10.81)
"*»* V1/
Сравнивая А'ш, Киш, Kuim и /(пь, устанавливаем, что
меридиональная кома в три раза больше меридиональной
составляющей комы для сагиттальной плоскости и в полтора и три
раза больше меридиональной и сагиттальной составляющих комы
для внемеридиональных лучей. Это обстоятельство дает
возможность при анализе систем в области аберрации третьего порядка
ограничиваться вычислением только меридиональной комы.
Учитывая условия нормировки (9.52) и (9.55) для системы в
воздухе, для (10.77) получим
s,^-oo Kui=—j(^YtgmSu; (10.82)
2
si—— со КТи = — yttg<oiSn<F=i). (10.83)
В системе будет отсутствовать кома третьего порядка, если
коэффициент аберрации 5ц будет равен нулю или малой величине.
Поэтому коэффициент Sn называют мерой комы третьего порядка.
Оптические системы, у которых исправлены сферическая
аберрация и кома, называются апланатическими.
Теория аберраций третьего порядка ограничивается областью
малых апертур и небольших полевых углов. Если же апертура
пучков велика, то даже точки предмета, расположенные вблизи
оси, не изображаются стигматически, а в плоскости
параксиального изображения дают кружки рассеяния, которые не
соответствуют кружкам, определенным по формулам для комы третьего
порядка.
В геометрической оптике было установлено, что элементарный
отрезок dy будет изображаться совершенным отрезком dy', если в
системе инвариант Лагранжа — Гельмгольца для любых значений
углов а будет постоянной величиной, т. е.
I = n\dys\no\ = nkdy sinak = const. (10.84)
233

При этом точка элементарного отрезка, расположенная на
оптической оси, должна отображаться стигматически, т. е.
сферическая аберрация для нее должна быть равна нулю-
Напишем (10.84) в виде
~ rlu' «> Sin <3|
p^^^J !=р0 = const. (10.85)
аУ nksmak
Уравнение (10.85), как уже указывалось, носит название
условия синусов. Так как в большинстве случаев (10.85) не
выполняется, то отступление от условия синусов может быть написано
в виде
а до о о «isino, _ /2,sina,
'iui
пь Sin <sb
ИЛИ
Дз1п=йг = —г— = -г-—т- 1. (10.86)
Для предмета в бесконечности условие (10.85) имеет вид
—L = } = f = const, (J 0.87)
sin oft '
и отступление от условия синусов
или
As°ln = ¥ = -r^7-1- 0°-88)
В реальных оптических системах сферическая аберрация для
точки на оси может быть исправлена только для одной и редко
для двух высот в плоскости входного зрачка. Для остальных
высот система имеет неустранимую сферическую аберрацию. Если
поставить требования, чтобы кружки рассеяния для внеосевых
точек предмета были бы такого же размера как и кружок
рассеяния для осевой точки предмета, образованный сферической
аберрацией, то качество изображения по всему полю будет одинаковым.
В этом случае изображения элементов предметной плоскости
называют изопла н этическим и, т. е. имеющими одинаковые
недостатки или погрешности.
Допустим, что диаметры кружков рассеяния 2Дг/0 и 2АуК]) в
плоскости параксиального изображения равны между собой (рис. 106).
Считая dy' мало отличающимся от dy', можно написать
d£ = "i si"ai
dy n'ksin<s'k'
234

из рис. 1UD имеем
V + Ass
= 1
дз:
Учитывая, что dy' = dy$o, и заменяя ку'/Ау' его значением, найдем
Asin =
ДР
Уравнение (10.89) носит название
условия нзопланатичма
Штебле — Л и готского и
является обобщением условия
синусов на случай, когда
оптическая система не дает вполне
совершенных изображений
элементов плоскости вследствие
остаточной сферической аберрации. Если
Asin = As* = 0, то (10.89)
переходит в (10.85).
Отступление от условия изо-
планатизма в обобщенном виде
обозначается у и записывается
в виде
д*;
— 1
Рис. 106. Условие изопланатизма
Д?
7J =
(-0 s* — sp. г
Для предмета в бесконечности
ДГ .
др
+
Д5ь
ч
V
(10.90)
(10.91)
Если выходной зрачок совпадает с системой (sp> —0, Sk = f), то
Я-=1(Д/'-Д*;). (10.91')
Связь между отступлением от условия синусов сферической
аберрации и коэффициентом аберрации Sn характеризуется
уравнением
Po
sp'-sk
2ni(sP-si)laiMPi
(10.92)
Для безаберрационного предмета Asi = 0, поэтому
др_
Ро
&sk
1
V — sk
2nl(sp-,l)\*l)L)S"-
As,
* 1 ..
,— or on.
~sk Л
235
(10.93)

Из (10.76) имеем
6 Щу
Тогда (
Так
то
откуда
10.93) будет
как
л?
Ро
(
равно
ДЧ -1 ' /С,,,"*"* ^р_5Л2а?
4-siY_/M2 v* i
, «1 / W ' п\а\У у"
Др. Asfe . 1 ,,
Ро - sp,-s'k]*SK^
(10.94)
Выражение в скобках представляет собой отступление от условия
изопланатизма (10.90), поэтому
Кш = Зу\. (10.95)
Для предмета в бесконечности
tfm=3z/Y\ (10.96)
Астигматизм и кривизна поля изображения третьего порядка.
Полагая в (10.16) 5i=Sn = Sv = 0 для меридиональной и
сагиттальной составляющих, получим
Agin = т\уАг = р cos<|>02i43;
AG,'n =М\у2А4 = 9 sin ^y2At,\
где
3Sin + 1 sIV
(10.97)
A3 =•
Л4 =
2"Aa*(sP-si)3«iPi '
SIII + 1 SIV
Из уравнений (10.97) имеем
\9УАъ) \9yAi
После сложения этих выражений
Дйш12+гдо' -2
III I ,1 "UII_I
Lp^4
236
= 1. (10.98)

Формула (10.98) представляет собой уравнение эллипса е осим*
2а = 2ру2А3 и 2й = 2р//2Л4. Окружностям в плоскости входного ^
соответственно в плоскости выходного зрачков в плоскости параи
спального изображения соответствуют эллипсы, оси которых
пропорциональны радиусам р в первой степени и величине предмета t
во второй степени. Если радиусы р изменяются по закону арифме
тической прогрессии, то в плоскости параксиального изображение
Рис. 107. Фигура рассеяния в плоскости параксиального изображения прр
S,„ и SIV =И=0
им соответствуют эллипсы, подобные между собой, центры которы:
совпадают с точкой Вь пересечения главного луча с плоскостью Е
(рис. 107).
Таким образом, изображению точки, расположенной вне опть
ческой оси, при SUi и Si\ ф 0 соответствует фигура рассеяние
в виде эллипса, причем распределение энергии в этой фигуре
равномерно, так как площадь эллипсов (шЬ) возрастает пропорции
нально площади кругов (яр2) на входном зрачке (полуоси а и г
пропорциональны р).
Рассмотрим, как изменяется фигура рассеяния при смещенш
плоскости параксиального изображения Е' на величину А (сь.
рис. 107). Составляющие поперечной аберрации при смещенаt
237

плоскости Е' определяются уравнениями (10.5), которые для
данного случая будут иметь вид
Agin =bgu\ +
М"ч
nk(sp-si)?o
A = Agm +
AGm =Ag'in
n,M,
■ Д =AGni +
«*(sP-si)Po
Учитывая (Ю.97), получим
Agni = (угЛ3—сД)р cos ф;
AGni = (£/2Л4 — cA)psin<Ji,,
n'k(sp — s\)h
«]P sin 41
A;
A.
(10.99)
(10.100)
где
с =
+(^,-
"fc(sp-si)Po '
Выражения (10.100) также приводят к уравнению эллипса
А_£т
а
с полуосями
a = (t/2A3 —сД)р;|
6 =(i/Vl4—сЛ)р.
При перемещении плоскости £' к системе фигура рассеяния
остается в виде эллипса, но ось его 26 быстро уменьшается.
Допустим, что в плоскости, расположенной на некотором
расстоянии Д = zs, ось эллипса 1Ь = 0.
В этом случае из (10.100) и (10.102) находим
(10.101)
(10.102)
AG;,, =а = (^Л3-сД) = //М^з-Л4)р..
(10.103)
Меридиональная составляющая Agm в этой плоскости будет
равна
Agl'„ =a = (i/A3 — сД) = /(Л3 — Л4)р,
т. е. фигура рассеяния эллиптической формы вырождается в
линию, перпендикулярную к оси и лежащую в меридиональной
плоскости; длина этой линии
2bg'lu=2ys(Aa—At)P.
238
(10.104)

Эго значит, что изображение внеосевой точки предмета,
расположенной в меридиональной плоскости, пучком лучей, опирающимся
на входной зрачок, в области аберраций третьего порядка
представляет собой прямую линию.
При дальнейшем перемещении плоскости Е' она может занять
положение Д = гт, при котором ось эллипса 2а — 0. Для этого
случая, исходя из (10.100) и (10.102), получим
Д = zm = — ifА3; }
(10.105)
Agm = асоэф = 0.J
Сагиттальная составляющая в этой плоскости будет равна
AG!,, =b = (y2A4 — сА)=у2(А4—Л3)р.
Изображение точки Bi имеет также вид прямой, проходящей
через точку Вт, но лежащей в сагиттальной плоскости.
Длина линии
2Д(?ш=2£/2С44— А3)Р. (10.106)
Выберем положение плоскости Е' между двумя предыдущими,
когда 1а = 2Ь, т. е. при
Д = 4 = -^^ = 4{/2(^з+Л4). (10.107)
В этом случае согласно (10.101) будем иметь
Д^.'п + AG,',, = (р£/2Л3)2 = (pi/Al). (10.108)
Выражение (10.108) представляет уравнение окружности, т. е.
фигура рассеяния в этой плоскости имеет вид окружности, радиус
которой равен
п = Ру2Ая = 91/А<. (10.109)
Таким образом, каждая внеосевая точка плоскости предмета Е,
перпендикулярной к оптической оси, изображается в виде двух
взаимно перпендикулярных линий, расположенных на разных
расстояниях от плоскости параксиального изображения Е',
называемых фокальными линиями. Эта аберрация носит название
астигматизма (отсутствие точечного изображения даже при
узких пучках лучей).
Астигматизм возникает потому, что лучи наклонного пучка
лучей, расположенные в меридиональной и сагиттальной
плоскостях, имеют различные точки сходимости — точки астигматических
фокусов.
Расстояние между точками Вт и Bs, отсчитываемое от точки Вт
(отрезок В%Вт), называется астигматической разностью
239

вдоль главного луча. Проекция отрезка В[В.„ на оптическую
ось является астигматической разностью вдоль
оптической оси. Если астигматическая разность будет равна нулю,
то астигматический пучок лучей превращается в гомоцентрический
(точки Вт и Bs совпадут и фокальные линии исчезнут).
Координаты zm и z.„ характеризующие отстояние от плоскости
параксиального изображения проекций астигматических фокусов
Рйс. 108.
а — изображение прямой линии астигматическими пучками: Л!А' — изображение, даваемое
меридиональными пучками, 2>А' —сагиттальными пучками; б— изображение прямой линии
в плоскости параксиального изображения: А'М —меридиональными, a A'S — сагиттальными
пучками
Вт и Bs на оптическую ось, на основании (10.103) и (10.105) с
учетом значений А3 и АА и с будут равны
г„ = —
Zs = -
У%
2"ia*(V
y*h
i)2«iP
[3Sn, + I2Siv];
,[Siii + I2Siv].
(10.110)
2П1«й(«р-^)2а,р2
Учитывая, что |30 == П\а.\1пьа.ь и y = (sp — si)tg<Di, найдем
4 = —2 *е2<°1 (т)[35ш + I25'v];
2п'ьа* \?l
z. —■
4kak
1
2nkak
Tjtg'oM l±) [S,„-|-P5,v].
(10.111)
Из (10.110) и (10.111) видно, что координаты zm и ъ.
пропорциональны квадрату величины предмета z/(tg2wi), поэтому при
изменении {/(an) астигматические изображения Вт и Бч внеосевой
точки предмета А\В\, расположенного в меридиональной плоскости,
будут находиться на кривых М я S, касающихся друг друга в
точке A'k на оптической оси (рис. 108, а). При этом каждая точка
предмета А\В\ изобразится меридиональными пучками в виде от-
240

резкое, длина которых возрастает пропорционально у2,
расположенных в сагиттальных плоскостях; каждая точка предмета А\В\
изобразится сагиттальными пучками в виде отрезков, расположен
ных в меридиональной плоскости, которые, накладываясь друг на
Друга, дадут резкое изображение предмета А\В\ (рис. 108,6).
Если же точки В| располагаются в различных местах плоскости
предмета, то их изображения Bs и Вт будут находиться на чаше-
а 5 в
Рис. 109.
а — изображение радиусов и окружностей плоско/1 фигуры при отсутствии в системе
кривизны поля изображения: 6 — при совмещении экрана с плоскостью, содержащей фокальные
линии элементарных меридиональных пучков; в — при совмещении экрана о плоскостью
фокальных линий элементарных сагиттальных иучкон
образных поверхностях, называемых меридиональной и
сагиттальной поверхностями изображений, которые также будут
касаться плоскости параксиального изображения в точке A'k. Из
(10.111) видно, что выражения для г'т и г\ представляют собой
уравнения парабол.
Отсюда следует, что меридиональная и сагиттальная
поверхности изображения являются параболоидами вращения и
представляют собой изображения предметной плоскости.
Между меридиональной и сагиттальной поверхностями
изображения, как это видно из (10.108), находится поверхность, где
фигуры рассеяния представляют собой окружности. Координатой
этой поверхности вдоль оптической оси является
<Р = "Чг^ = 1—2 tg2a,, (l)2[2Sm + I25iV]. (ЮЛ12)
2nkak У 1/
Эта поверхность называется поверхностью изображения средней
кривизны.
На рис. 109 показаны изображения плоской фигуры
астигматическими пучками.
Таким образом, при наличии в системе только астигматизма
и кривизны поля изображения третьего порядка предметная
плоскость изображается двумя поверхностями: меридиональной и
сагиттальной поверхностями изображения. Хотя астигматизм и
кривизна поля изображения имеют общую физическую природу,
241

но эти аберрации по своей величине независимы друг от другг.
Астигматическая разность вдоль оптической оси,
характеризующая астигматизм системы, будет равна
(10.113
nha. \^1
1 \2
tg2-! г Si.
Отсюда видно, что мерой астигматизма является коэффициен-
аберрации 5ш (при ^ш = 0, 2, — z'm = 0).
Меридиональную и сагиттальную поверхности изображения xt-
рактеризуют также радиусами кривизны R'm и Rs. Пои малы:
Рис. ПО Ход астигматических пучков лучей в меридиональной и сагитгальггоГ
плоскостях:
астигматизм третьего порядка zs — гт; Цт — радиус кривизны меридиональной, /<, —. р„
днуо кривизны сагиттальной поверхностей изображения
углах Ш1 можно считать, что эти поверхности являются сферами
a zm и zs—стрелками прогиба сферических поверхностей (рис. 11 (У,
Для хорд 2у'т и 2y's, пренебрегая Zm и z[ , имеем
tym = KmZm',
,2 , ,
2t/, = Rszs.
Откуда, учитывая, что
ут ^ y's ^ у' = у$0 = (30 (Sp — Si) tg 0>U
242

получим
jf" = rW tg2»i (jr)*f ^i" + I25, v];
(10.114
Из этих уравнений видно, что мерой кривизны меридиональ
ной поверхности изображения является коэффициент [35т —
Рис. 111. Поперхность и радиус кривизны Пецваля
-f I2Srv], а мерой кривизны сагиттальной поверхности изображу
ния — |Sm + I2-Siv]-
Если в системе устранен астигматизм (5ш=0), то обе ni-
верхности изображения сольются в одну и ,
ZP = *n
Z. = ■
■—TTT^^ii]
2nkak \\
1 \2
PS
IV.
Rr.
R„
. ,2,2 №*\ (вт)2125^-
(10.115
(10.116
Коэффициент Siv носит название коэффициента или cyiv-
мы Пецваля. Коэффициент Пенваля характеризует кривизн'
поверхности изображения при отсутствии в системе астигматизма
поэтому и поверхность, кривизна которой определяется радиусо\
Rp, называется поверхностью Пецваля (рис. 111). Пр1
243

zm — zs Аъ—As, и уравнение эллипса (10.101) переходит в
уравнение окружности
Д*ш + Дбш «= (р^Лз)2 = ri
т. е. в плоскости параксиального изображения фигура рассеяние
представляет собой окружность радиуса ги.
Таким образом, чтобы точки предметной плоскости, распол(>
женные вне оптической оси, изображались бы в плоскости параксг-
ального изображения с помощью астигматических пучков в вид^-
точек, необходимо выполнить два условия: условие точечного изог.
ражения Sm = 0 (отсутствие астигматизма); условие плоского из<.
бражения Siv = 0 или Rp = оо (отсутствие кривизны
изображения), т. е.
Sm = Siv — 0.
Системы, у которых устранен астигматизм и поле изображение
является плоским, называются анастигматическими ил1-
анастигматами.
Учитывая условия нормировки для системы в воздухе, найден
ные выше формулы будут иметь вид:
si Ф — оо [ai =Ро, <*/* = Ь Pi = 1. I = Po(sp —si)];
< == —-i- tga"i, [5ni + l25iV];
<p =—4-*вя«»1 I2S,ii -h I»Sivl;
z'p = — Ytg2(oiI25iV;
Zs—Zm — tg2u)iSni;
4- = - -J,- tg2o3! [35,„ + I'Sivl;
«™ •
4- = Jj-tg*a>, [Sin + I'Siv];
-r = —-J tg2u>iI2Siv = — Siv;
Sl == — со [ai =s 0, a* = 1, fti =/' = 1,
z;°°=_i/'tg2a),[3sri, + s,v];
гГ=—5-rtg2«)i[Srii + S,v]j
г1Г=—g-/,tg2">il2Srii + SIV];
244
(10.117
= 1, I 1]; 1
(10.118

гг°°—~ 2-/'tg2o)|5IV, (z\— z'm)°° =*/' tg2(DiSfn;
Rm — —
35ni + 5iv
, *;■
sni + sn
(10.118)
/'
R" ==~sT.-
>iv
Дисторсия третьего порядка. Полагая в (10.16) S\—Su =
= Sjn = Siv = 0, a Sv ¥= 0, получим
Agiii=yMB, AG„,=0, (10.119)
где
Л5=-
v
2"ie'ft(sP-si)8Pi '
Из (10.119) видно, что при Sv Ф 0 имеет место только
меридиональная составляющая, причем она не зависит от координат
пересечения луча с плоскостью входного зрачка mi и Mi и,
следовательно, все лучи от точки предметной плоскости, расположенной
вне оси, собираются в одну точку в плоскости параксиального
<Ш *ШП
Рис. 112. Дисторсия третьего порядка
изображения В\, но эта точка не совпадает с идеальным
изображением B'k (рис. 112).
Меридиональная составляющая Д/ш пропорциональна кубу у>
поэтому изображения, расположенные на большом удалении от
оптической оси, будут отличаться от идеальных на значительные
величины.
245

Отрезок у пространства предметов будет изображаться отрезком
{/' = {/' + Ag-п i = */Ро + &g\n-
Величина Ag\u имеет разные значения для различных величин у,
поэтому при наличии в системе Agm масштаб изображения не
является постоянным
^1 = У-±р11 = ?0+"£П1. (10.120)
В идеальной системе линейное увеличение Ро является
постоянной величиной, что обеспечивает подобие изображения предмету
для любой пары сопряженных точек, расположенных в
плоскостях, перпендикулярных к оптической оси. Из (10.120) видно, что
в области аберраций третьего порядка линейное увеличение р
не остается постоянным, а изменяется в зависимости от величины
у или величины полевого угла &\.
Вследствие этого изображение не будет подобно предмету.
Аберрация, выражающаяся в том, что нарушается подобие
между предметом и изображением, называется дисторсией. В
отличие от других аберраций дисторсия не нарушает резкости
изображения. Так как величина изображения у '.определяется ходом
главного луча, то часто говорят, что дисторсия является
аберрацией главного луча.
Обозначая дисторсию третьего порядка через Дг/'пши принимая
во внимание, что y — (sp — sj) tgcej, для (10.119) найдем
Л?/пш= bg'iu =-A-r tg3«)i (Л3 Sv. (Ю. 121)
Дисторсия AyuiD пропорциональна коэффициенту аберрации 5у.
Чтобы Ai/iiid = 0, необходимо выполнить условие
5V = 0,
поэтому коэффициент аберрации Sv называют мерой дисторсии.
Системы, у которых исправлена дисторсия, называются ортоско-
пическими.
Из (10.120) для относительной дисторсии получим
ш
^пш
= §- —1. (10.122)
Если р уменьшается при удалении от оптической оси, то р < р0
и Vni <С 0- В этом случае говорят, что система имеет
отрицательную или бочкообразную дисторсию. Если р увеличивается при
удалении от оси, то р >р0 и Vщ >0 и система будет иметь
положительную или подушкообразную дисторсию (рис. 113).
246

Учитывая условия нормировки для днсторсии третьего
порядка, получим
s\ ф — со Дг/шо = — -к- tg3(ui5v;
Si = — со Aynw =
7'tg3u),Sv.
(10.123)
(10.124)
В
т
Рис. ИЗ.
а — изображение квадрата при наличии в системе дисторсии; б—отрицательная или
бочкообразная дисторсия Д У2 = у' —у' < 0, ji < f)0; « — положительная или подушкообразная дистор-
сия tn)D = </' — г/' > 0. fi > 3»
Искажение прямой линии, вызываемое дисторсией третьего по
рядка, может быть вычислено по следующим формулам (см.
рис. 112):
Af/niD == А^'ш = B\B'k = /у3Л5 = (y'/$oYA5;
C\C'i ^^sec^Hs;
D\d\ =t/3sec3<|)2^5.
В результате вместо прямой в предметной плоскости в плоскости
параксиального изображения получим кривую B),D\. Кривая может
быть построена по точкам и иметь вид, показанный на рис. 112,
если дисторсия положительная.
§ 71. Аберрации высших порядков
В практике расчета оптических систем знание аберраций
третьего порядка оказывается недостаточным, особенно в
оптических системах с высокими относительными отверстиями и
большими полями. Уже в начальных стадиях расчета оптических
систем (при определении конструктивных элементов из условия
устранения аберрации) необходимо вводить либо коэффициенты
аберраций пятого порядка, либо в уравнения аберраций третьего
порядка вводить члены, учитывающие влияние аберраций высших
порядков.
247

При разложении в ряд функций Ft и F2 число членов
разложения пятого порядка определяется числом возможных
сочетаний у, Щ\ и М\. В плоскости параксиального изображения для
предмета в меридиональной плоскости уравнения для
меридиональной и сагиттальной составляющих поперечных аберраций
пятого порядка как функций у. Ш\ и М\ имеют вид
Ag'v = 6m, (mi -}- M3i)Bi + 4m? (m? + M?) г/2В2 + (m? +
+ M\) (5m? + M?) г/5з + (3m? + М?) //54 -]- 2mi (2m? +
+ Mi),/B5 + 2tniy4(B6 + B7) + 3m2ii?B8 + ySB9; ,,{Q
AG'y = 6Af, (m? + M?)2S, + Ш, (m? + Af?)i/2fi2 +
+ 4 (m? + Л1?) MiirnyBs + 2tnlMlyiBi +
+ 2m?Aflf/2£5 + 2M,i/4fi6,
где Sb ..., S9 — коэффициенты аберраций, зависящие от
конструктивных элементов системы, положения предмета и положения
входного зрачка. Коэффициенты аберраций не могут быть
получены таким простым способом, как для аберраций третьего
порядка, поэтому в практике вычислений ими не пользуются.
Для характеристики аберраций пятого порядка поступают
таким же образом, как и для аберраций третьего порядка:
приравнивают последовательно все коэффициенты, кроме одного, нулю
и изучают расположение точек пересечения лучей с плоскостью
параксиального изображения. Другими словами, рассматривают
чистые аберрации. Для этой цели более целесообразны полярные
координаты (mi = pcos<|i, М — рsin ф).
Аберрации пятого порядка родственны аберрациям третьего
порядка, что отражается, как увидим ниже, в их названии, но
встречаются и новые аберрации, которые отсутствуют в третьих
порядках.
Первая сферическая аберрация пятого порядка. Положив в
выражениях (10.125) все коэффициенты, кроме Si, равными нулю,
получим
Ag'v = 6m, (m? -|- M?)2S, = 6p5 cos <•>£,; j
AGv = 6M,(m? + M?)2£i =6p5sin<ji£,,j
отсюда находим
rv = y&gv+ AGy = 6р5Я|. (10.127)
Выражение (10.127) является уравнением окружности радиуса
rv- Окружностям радиуса р в плоскости входного зрачка
соответствуют окружности радиуса rv в плоскости параксиального
изображения. Следовательно, изображение точки в предметной
плоскости представляет собой кружок рассеяния радиуса 6р5£,.
Размеры кружков рассеяния возрастают очень быстро, так как они
пропорциональны пятой степени р и не зависят от полевого угла,
248

что приводит к очень быстрому падению освещенности от центра
к краям кружка рассеяния. Центром кружков для точки на
оптической оси является точка A'k, а для точек вне оси — точка В/,
пересечения главных лучей с плоскостью параксиального
изображения.
Вторая или полевая (боковая) сферическая аберрация. Если все
коэффициенты аберраций в (10.125) за исключением В2 равны
пулю, то будем иметь
Ag'v = 4тi (т\ + М]) у2В2 = Vy2 cos уВ2; 1 /]Q 12g\
AG'V= 4M, (m! + M\) i/B, = 4p3i/2sin ЦВ2. J
Радиус кружка рассеяния будет равен
rv = Vbg'v + AGv = 4?уя2. (10.129)
Кружок рассеяния представляет собой систему окружностей,
радиусы которых rv пропорциональны кубу радиуса окружности
в плоскости входного зрачка и квадрату величины предмета- Эта
аберрация в отличие от сферической аберрации третьего порядка
и первой сферической аберрации пятого порядка отсутствует в
точке на оптической оси системы, так как при у = 0
Ag'v = AG'v = 0,
т. е. имеет место только для точек вне оси.
Первая кома или Kn.va пятого порядка по отверстию. При
В\ — В-2 = 0 и В4, ■ - ■. Вр = 0 имеем
Afi'v = (т\ + Mi) (5mi -,'- Mi) уВг = р4(3 -f 2cos2^)(/53;
AG'V= 4т\Мх (т\ + М?) уВ3 = 2р4 sin 2<\>уВя.
Из (10.130) видно, что кома пятого порядка по отверстию
пропорциональна четвертой степени радиуса р окружности в плоскости
входного зрачка (четвертой степени апертуры) и первой степени
величины предмета (первой степени полевою угла).
Напишем (10.130) в виде
Agv-39<yB3^2o*ycos26B3; } (ш 13])
AG'v = 2p"i/sin2^B3, I
отсюда
(Ag'v - 3ohjB,y + AG'v = (2P^fi3)2 = r\. (10.132)
Фигура рассеяния при коме пятого порядка по отверстию, как
и при коме третьего порядка, представляет собой ряд
окружностей, радиусы которых Гу = 2р4уВл пропорциональны четвертой
степени радиуса р (апертуры), при этом центры окружностей
расположены на расстоянии Зр4уВз = 1,5гу от точки В: (параксиаль
ного изображения внеосевой точки), и располагаются эти центры
в меридиональной плоскости. Касательными ко веем окружностям,
образующим фигуру рассеяния, являются, как и в коме третьего
порядка, две при уме, образующие с меридиональной плоскостью
249
(10.130)

углы в 4Г48'37,Г. Вся энергия сосредоточена в пределах угла
83°37'14,2", при этом наибольшая ее часть находится в маленьком
ярком пятне около точки Вь и очень малая часть — в быстро
расширяющемся хвосте.
Вторая или полевая (боковая) кома пятого порядка. При В\, ...,
В3 — 0 и В5, . . ., Ва = 0 на основании (10.125) будем иметь
Ag'v = (3m^+M?)y;,S4 = p2(2 + cos2t)y3S4; |
\G'v = 2miM]y*B4 = f>ysin2fB4. J
Сравнивая (10.133) с уравнениями для комы третьего порядка
(10.69), видно, что фигура рассеяния, образованная полевой комой,
остается такой же, отличие состоит в размерах окружности.
Составляющие аберрации Agv и AGV пропорциональны кубу
величины предмета (у3), а не первой степени, как это имеет место в
коме третьего порядка. Это видно из уравнения
(Agv - 2PVB4)2 + AGy = (рУ£4)2 = r%,
т. е. радиусы г\ окружностей в плоскости параксиального
изображения возрастают пропорционально кубу у, при этом центры
окружностей смещены от точки Б* на величину 2гу = 2p2t,3S4 и
касательные к окружностям, образующим фигуру рассеяния,
составляют с меридиональной плоскостью углы ±30°. Вторая
(полевая) кома пятого порядка добавляет свои эффект к коме
третьего порядка, не меняя вида и распределения кривых, а меняя
только размеры.
Птера или крыловидная (крылообразная) аберрация. Эгу
аберрацию называют также кривизной высшего порядка. При Ви ...,
S4 = 0 и ВЧ) . . ., Во, = 0 из (10.125) получим
Agv = 2/7Z, (2mi + Mi) t/Вц = 2Ру cos ф (] + cos*$)В5;
kG[. = 2m\Mxy2B-n = 2Ру cos2<> sin <|>B5.
Эта аберрация, как и вторая сферическая, пропорциональна
квадрату величины предмета (полевому углу). Для
меридиональной плоскости (М\ =0) имеет место только меридиональная
составляющая Ag'Vl а для сагиттальной плоскости (т\ =0) Agv — AGV =
= 0, т. е. все лучи сагиттальной плоскости пересекают плоскость
параксиального изображения в одной точке В„. При изменении
угла ф (т\ и М\ Ф 0) от 0 до 2тс фигура рассеяния представляет
собой семейетво крылоподобных кривых, опиеываемых точкой
пересечения луча с плоскостью параксиального изображения. При
В-. >0 луч пробегает кривую по верхней петле, затем описывает
зеркальное отражение петли ниже горизонтальной оси (оси AGV)
(рис. 114, а). При изменении р получаетвя семейство подобных
фигур, имеющих пару общих касательных, проходящих через
точку В1 и образующих с меридиональной плоскостью углы,
равные sin а == 1/3, а = 19°28'16,4". Угол 2а заполнен светом вверх и
250
(10.134)

вниз от точки B'h, но неравномерно; свет быстро рассеивается по
мере удаления от центра фигуры, так как Ag'v и AGV
пропорциональны р3. Эта аберрация не имеет себе аналогов среди аберраций
третьего порядка.
Астигматизм и кривизна поля изображения пятого порядка.
Если все коэффициенты аберраций, кроме 5Н и В7, равны нулю,
тогда
Ag'v = 2m,у4 (Srt + В7) --= 2Ру* cos ф (fi6 + В7); \ /10 13б\
AGv = 2Mly*Be, = ?.oy4sm<!s,B&. ' V ' '
Из уравнений (10.135) имеем
2?у4 (В, + В-,)
+
ДО,
2?уАВв
= 1.
(10.136)
Фигура рассеяния, как и в случае
астигматизма и кривизны поля
изображения третьего порядка,
представляет собой семейство эллипсов
с осями
2а = %« {В6 + В7);
2~Ь = 4pt/4£6,
пропорциональными четвертой
степени у. Коэффициент Bi является
коэффициентом астигматизма пятого
порядка, так как при В7— 0 2а = 2Ь
и фигура рассеяния будет
представлять собой окружность.
Сагитта или стреловидная
{штриховая) аберрация. Эта
аберрация называется также дисторсией пятого порядка по отверстию.
Если только коэффициент Вц не равен нулю, то в соответствии
g (10.125) будем иметь
Д^ = Зт\у3Вь = ЗрУ cos2<|»fl-; |
AG'V = 0.
Эта аберрация не зависит от координаты Ms и
пропорциональна квадрату т\. Фигура рассеяния представляет собой прямую
линию, длина которой (Agy) очень сильно возрастает по мере
удаления от оптической оси, так как пропорциональна кубу у
(рис. 114,6). Один «онеи линии совпадает с точкой
параксиального изображения В^ и располагается в меридиональной плоскости.
Эта аберрация также не имеет аналогов среди аберраций третьего
порядка.
251
Рис. 114. Фигурм рассеяния
аберраций пятого порядка,
отсутствующих п третьих
порядках:
а — итера или крыловидная аборра
ция; б — еагитта или стреловидная
аберрация
(10.137)

Дисторсия пятого порядка по наклону (боковая). Эта аберрация
определяется коэффициентом В9, если другие коэффициенты будут
равны нулю, т. е.
А^ = №) (10.138)
Дисторсия пятого порядка не зависит от координат т.\ и М\
и пропорциональна пятой степени величины предмета у, поэтому
является аберрацией главного луча. Как и в случае аберраций
третьего порядка, изображение точки будет точечным, но
смещается в меридиональной плоскости на величину Agv от
параксиального изображения Bk.
Все перечисленные выше аберрации пятого порядка в чистом
виде не встречаются. В действительности имеют место
аберрации третьего, пятого и более высоких порядков, которые более
или менее искажают своим влиянием аберрации третьего и
пятого порядка. Истинные фигуры рассеяния в плоскости
изображения имеют довольно сложный вид, о которых нельзя судить
по кривым для отдельных аберраций; они быстро меняются с
изменением положения точки в предметной плоскости у и
отверстия системы э.
Таким образом, в области аберраций третьего порядка
существует по одной аберрации пяти различных гипов. В области
аберраций пятого порядка имеются две сферические и две комы
и появляются две новые аберрации — птера и сагитта. В седьмых
порядках обнаруживаются еще две новые аберрации. Одна из них
представляется выражением
Ag'vu =pV[3 + 2cos^]cos2^i3; j (ю.139)
AGVii = 2p4y3sin^ cos3^Si3. J
Эта аберрация представляет собой однолопастную кривую,
растянутую в меридиональной плоскости и имеющую острие в
точке Bk (рис. 115,а), и носит название моноптеры.
Вторая новая .аберрация седьмого порядка представляет
отрезок, расположенный в меридиональной плоскости, средняя
точка которого совпадает с точкой Bk. Эта аберрация называется
б и с а 1 ч т т о й (рис. 115,6). Она определяется уравнениями
Agvu = 4?У eos3^5u; | (10.140)
В более высоких порядках новых аберраций не появляется.
Следовательно, имеется всего девять типов различных аберраций.
В кажяом порядке '.-тлеется однч сферическая аберрация, не :<а-
висящяя от величины предмета. Остальные сферические
аберрации зависят от четных степеней у и нечетных степеней ?, т. е.
они им нот место только для предметных точек, расположенных
вне оси. В каждом порядке, начиная с треньего, имеекя по одной
252

Ad'm
4
аберрации типа астигматизма и кривизны поля изображения,
которые зависят от первой степени р (апертуры). Во всех порядках
имеется по одной дисторсии, не зависящей от апертуры. Начиная
с аберраций седьмого порядка, в них имеются все девять типов
аберраций.
Коэффициенты Ви ..., В$ аберраций пятого порядка, не говоря
уже об аберрациях более высоких порядков, имеют очень
сложный вид, поэтому нет смысла их
вычислять. Следует учитывать
также, что в тех случаях, когда
аберрации пятого порядка довольно
велики, будут велики и аберрации
более высокого порядка,
вычисление которых по формулам
разложения практически невозможно.
Поэтому знание только
коэффициентов аберраций пятого порядка
мало принесет пользы.
Из рассмотренных так
называемых «чистых» аберраций можно
сделать следующие выводы.
Оптическая система, обладающая
только аберрациями третьего порядка,
дает совершенное изображение
предметной плоскости,
перпендикулярной к оптической оси, при
условии, ЧТО все ПЯТЬ коэффициентов рис. Ц5. Фигуры рассеяния
аберраций равны нулю или имеют аберраций седьмого порядка,
малые величины, т. е. отсутствующих в третьих и ня-
S,=sO, 5„,«0,
Su-0, S,v«0,
При этом система будет апланатической, анастигматической и
ортоскопичсской. Для изображения точки, расположенной на
оптической оси, имеет значение только сферическая аберрация;
чтобы изображение точек, расположенных на сравнительно
небольшом расстоянии от оптической оси, было резким, необходимо
устранить сферическую аберрацию и кому, следовательно, .S'issO
и Sn^-'O; для точек расположенных на значительном расстоянии
от оптической оси резкость изображения зависит от сферической
аберрации, комы, астигматизма и кривизны поля, поэтому
коэффициенты 5|, .Si,, Sui и Siv должны иметь малые значения. Если,
кроме того, система должна быть ортоскопической, го и
коэффициент аберрации Sv должен иметь малую величину.
§ 72. Вычисление аберраций
Сферическая аберрации Для вычисления сферической
аберрации для точки на оси необходимо рассчитать ход первого
параксиального луча и ряд действительных лучей. В результате расчет?)
253
Sv^O.
тых порядках:
а — моноптера; о — бисагипа

ЮгЦ6'к
определяются координаты si и s», разность которых даст
продольную сферическую аберрацию
ks'k = %—Sk.
Сферическая аберрация вычисляется для следующих координат
во входном зрачке: при малых относительных отверстиях
mU2= VV2DI2, /пкр=--£>/2;
при средних относительных отверстиях
/И|/з = J/173D/2, /и2/з = VffiO/2, mKP = D/2;
или
mi/2 = VT72D/2, /пз/4 = K374D/2, mKp = D/2;
при больших относительных отверстиях
m,/4 = KI74D/2, m,/2 = KI72D/2,
т3/4 = 1/3740/2, mKp = D/2.
Ход лучей рассчитывается для заданных
длин волн Xi, Х0, Хг. По результатам расчета
определяется для заданных зон и края
входного зрачка сферическая аберрация, которая
представляется в сводках и графиках. При
графическом представлении по оси ординат
откладываются высоты т\, или величины
lOMge^ а по оси абсцисс — величины hs'k (рис. 116). На этотгпяЛик
наносятся также кривые для Xi и Хг, поэтому его называют гоа-
rtiHRo.M 1:ше]|')Аримя-1 ичи-шш *>и-риаиии. гасчет лида лучей ручным
епошбим (т помощь^ микрокалькуляторов типа «Электроника»)
производится по формулам (8.5) и на ЭВМ по формулам Федера (8.17).
Если известно значение сферической аберрации третьего
порядка, то разность As* и As/n дает величины сферической
аберрации высшего порядка для точки на оси
AsB„ = bs'k — Sin.
В Asan входят все сферичеекие аберрации для точки на оси,
начиная с пятого порядка.
Одновременно с вычислением продольной сферической
аберрации определяется отступление от условия синусов и изопланл-
тизма по формулам (10.86), (10.88), (10.90), (КШ).
Если вычислены сферические аберрации для различных зон
и края входного зрачка, то легко определить для этих же зон
и края сферическую аберрацию третьего, пятого, седьмого и
девятого порядков, т. е. установить влияние аберраций высших
порядков для данного типа системы.
254
Рис. 116. График
сферической аберрации

Допустим, определены сферические аберрации для зоны [/1/2 D/2
и края зрачка, тогда по формулам для зоны
bs'ni 1/2 = 2Asi/2 — -j bsKP;
Asv 1/2 = — Asi/2 + -j as'kP
и края
As'niKp = 4Д«;/2 — AskP;
Asvkp = — 4Asi'/2 + 2As«p
легко вычисляются сферические аберрации третьего и пятого
порядков.
Если же рассчитаны три луча для зон У1/2, \/"Щ\ и края, то
можно вычислить аберрации третьего, пятого и седьмого
порядков; при расчете лучей для зон J/1/4, У 1/2, J/3/4 и края абер
рации вычисляются вплоть до девятого порядка.
Аберрации главных лучей и бесконечно тонких пучков. Имеется
группа аберраций, зависящих от полевого угла. К этим
аберрациям относятся астигматизм бесконечно тонких пучков и кривизна
поля изображения, дисторсия и хроматизм увеличения, о которых
говорилось выше. Для определения положения меридионального
и сагиттального изображения используются уравнения (8.6) для
узкого астигматического пучка лучей.
В результате расчета определяются координаты г'т и z[ и
астигматизм вдоль оптической оси
(Zs'— Zm).
Астигматизм и кривизна поля
изображения определяются для
разных значений полевого угла им.
При графическом представлении
астигматизма и кривизны поля по
оси абвцисо откладываются
координаты zm и Zs, а по оси
ординат - полевые углы ом (рио.117, а).
Координаты гт и г. для
аберраций третьего порядка
определяются по формулам (10.123) или
(10.124).
Так как конструктивные эле-
ментвг внетемы известны, то не
представит труда вычислить координаты г,
и найти разнобти
aZm = Zm Z.-nlllf
ff
I
\ 1
Y
1
*>/
25"
20"
15°
to"
5°
У'-а'.
2,0 z's -w 0 1,0
у
7 100%
Рие. 117. График:
о — астигматизма; б — диотороии
и zs третьего порядка
Дг. = г< — г<
а также
а-
Zm)
III,
- - (г —■ z.„)in
255

i тем самым определить влияние аберраций высших порядков и
"ОЛЩИН линз.
Если, например, подставить в формулы для аберраций третьего
торядка значения zm м z's , то можно определить коэффициенты
-чи и Siv и, сопоставив их с коэффициентами, вычисленными по
Dopмулам аберраций третьего порядка, установить, насколько они
•оответствуют заданным значениям Sin и Siv для тонкой системы.
/>'_
■'/
-ч
Jl
Srg
*Ls^-~-^
^пГ—р
*J^Z—^t
УН'"-'
Or
-т,
~sp
-Spr
-*1
L^- . : .>.
BL
7 \^^7^L
- -"~~~
°к\
_— "
\ /
Л-ш^У в'в
1 / А'
SjH
-* ^-
Е'
i
1
ч-
'Ji< .
-4
*г~
1
*(Г
.
Рис. 118. Ход широкого наклонного пучка лучей через систему
дисторсия из расчета хода лучей определяется как разность
coopдипат
Ajto~?-J^«*-^100(%),
ще у' — величина изображения по главному лучу, равная у' =
~(sP'—Sfc) tg сод.; у'— величина параксиального изображения.
При графическом представлении динторсии по оси ординат or»
сладываются углы u)j, а по оси абсциеи — Дг/о или Дг/о/г/' в %
рис. 117,6).
Вычислив дистореию третьего порядка по (10.123) или (10.124)
i взяв разность
Дг/Овп = Дг/о — Дг/пю,
4айдем влияние дисторсии высшего порядка.
Аберрации для точки вне оси. Дли характеристики аберраций,
образованных широкими пучками лучей выходящими из точки,
расположенной вне оптической оси, поступают следующим
образом (рис. 118), Расечишааегся ход лучей для тех же координат
зо входном зрачке, что и для сферической аберрации, и для раз-
2at>

ных значений ooi. Например, при малых относительных
отверстиях рассчитываются лучи для координат:
ткр = D/2;
тт =V\j2D/2;
т0 =0;
mi/2= —T/T/2D/2;
т.
■D/2
(Bl/2 :
икр
/1/2(0.;
: (01,
в меридиональной плоскости. По результатам расчета хода
лучей определяются величины изображений у' для верхнего
главного и нижнего лучей в
плоскости параксиального изображения
у'в = (s'B — Sk) tg (ов;
y'v — {s't — sk) tg (Or;
У a = (SH —SK)tg(D„.
По значениям у' находятся
величины At/', характеризующие
отклонения точек пересечения
верхнего и нижнего лучей
относительно главного луча,
П7Л
си,'0°20'
W2Atqu)'h
\W,=0%6'
OflZ-OfiA 0,0/002 Ay' -0.02-0,0)\ 10,0)0,02 Ay'
ДУв = Ув
■Уг
Д£/н — уи — Уг-
Расчет хода лучей произво- Рис И9 Графическое представление
дится для основной длины волны аберраций широкого наклонного пуч-
Х0 и длин волн Xi и Хг. Сумма ка лучей
отрезков Дг/В и Aj/H дает прямую
рассеяния в меридиональной плоскости, причем эта прямая
включает в себя все аберрации широкого наклонного пучка. Другими
словами, она включает в себя все аберрации третьего, пятого и
более высоких порядков наклонного пучка лучей. Величины Ау'
представляют собой не что иное, как меридиональные
составляющие для верхнего и нижнего лучей, т. е.
Аг/в = Д#в, Аг/Н = AgH\
При графическом представлении аберраций наклонного пучка
лучей по оси ординат откладывают величины 102Atg«)' или т\, а
по оси абсцисе — At/' (рис. 119).
Рассчитывается также ход лучей из точки вне оси в
сагиттальной плоскости (чаще всего для систем с большими относитель-
9 M4S 257

ными отверстиями и большими полями) для координат М во вход*
ном зрачке, причем принимается
М0 = 0; ь
MKp = D/2 ) в«-ш™«-
Координаты М\ со знаком мину!, не берутся, так как лучи в
сагиттальной плоскости идут симметрично относительно главного
луча (углы падения на поверхность одинаковы по абсолютной
величине).
В результате расчета хода лучей в сагиттальной плоскости
определяются координаты Ду' = Д£* = у'— у', х'= &Gk, причем
координата — bGk = b.Gk. Известно, что в области аберрации
третьего порядка для сагиттальной плоскости при т\ = 0 имеет место
только меридиональная составляющая, a AG* = 0, однако влияние
аберраций высшего порядка (в частности, сферической аберрации,
астигматизма и кривизны и др.) приводит к тому, что будет иметь
место и сагиттальная составляющая. При расчете хода лучей с
помощью ЭВМ обычно плоскость входного зрачка делится на кольца
одинаковой площади. Из центра Р проводится несколько прямых,
образующих между собой равные углы, например 15, 30 или 45°.
Через точки пересечения окружностей и прямых рассчитываются
лучи, выходящие из точки предмета вне оси. В результате
расчета получают Agk и AGk для каждого луча, по которым строят
кривые, характеризующие фигуры рассеяния. Такое графическое
представление требует расчета большого числа лучей, но оно
весьма желательно для изучения качества изображения точек,
близких к краю поля, в системах с большими апертурными
углами.
§ 73. Волновые аберрации
Большинство оптических систем, имеющих практическое
применение, обладают остаточными аберрациями. Наличие в системе
аберраций приводит к тому, что любая точка предметной
плоскости изображается не в виде точки, а в виде пятна рассеяния
определенного диаметра. Размеры кружков рассеяния дают
некоторое представление о качестве изображения, так как по их
величине можно судить о разрешении системы.
Для более полной характеристики качества изображения,
кроме геометрических аберраций, необходимо знать функцию
передачи контраста и во многих случаях распределение освещенности
в пятне рассеяния, которые зависят от волновых аберраций. Кроме
того, качество изображений многих систем, имеющих
сравнительно малые относительные отверстия и небольшие полевые углы,
258

может быть оценено с достаточной достоверностью волновыми
аберрациями.
Если система является идеальной, т. е. свободной от
аберраций, то волновая поверхность в пространстве изображений имеет
сферическую форму. При наличии в системе аберраций волновая
поверхность деформируется. Отступление деформированной
волновой поверхности от
сферической называется волновой
аберрацией^ (рис. 120).
Связь между волновой
аберрацией и геометрическими
аберрациями характеризуется
приближенной формулой
N -
R'
Mt
J bgkdmk + J bG,4Mk
о о
(10.141)
где R' — радиус кривизны
сферической волновой поверхности
(сферы сравнения), который может
быть принят равным р' = — (s'p—
— Sk) — расстоянию от плоскости
выходного зрачка до изображения.
Рис. 120. Связь еоставляющих
аберрации Д£^ и дб^ о волновой
аберрацией М
е 0 — сферическая волновая поверх
ность — офера сравнения; •' —
деформированная — реальная ввлнввая поверхность
CNi," — нормаль к идеальной волновоП
поверхности —аферы сравнения
Волновая аберрация третьего
порядка, исходя из формул (10.26), для меридиональной и
сагиттальной составляющих будет равна
Wni= — k\\ {mt+ MkfSi — (m'+ Mk)m'kySn +
+ lm;V(35,u+I2SIV) + lAi;V(5iii+I25iv)-m;^5vl (10.142)
где
fe =
2»; (v - >'kYR\'
После введения полярных координат (m'k = p'cos<|/, M* = p'sin(|j)
будем иметь
/Vu,= — k |p'4S,-P'Vcos4)Sn + lp'Vcos2<})(3Sm + I25Iv) +
+ i-p'Vsin24.(5II1+P5IV)-py€os(})Sv]. (10.143)
В уравнениях (10.142) и (10.143) принято а*=1, Pi = 1, I =
= ti\<j.\(sp — s{), h\=ms\.
Волновые аберрации для точки на оси. Волновая аберрация
наиболее провто определяется для точки на оптической оси. Для
меридиональной плоскости
dNr
■■ £7 Agtdmfe.
259

Считая, что ось if совпадает с плоскостью выходного зрачка,
dNm = ^gkdy'. (10.144)
Для точки на оси, согласно рис. 121, принимая, что Л^Лб~
s^ N'kBk = R' и a'k = а'к, имеем
у' — Ag'k = R' sin о* ss R'ak;
y' = R'a'k + A^i;
dtf = R'dol
тогда dNm^= bgldv'k-
Рис. 121. Волновая
аберрация для точки на оси
!=-л„>
lzm~AyL
Переходя к продольной сферической аберрации, получим
dNm = Asfto^rfoft
Nm = У As'fecjftdcjft.
(10.145)
Продольная сферическая аберрация может быть представлена
в виде ряда:
As;=-^ = aoft +6о* +со* +do* + .... (10.146)
°*
где a, ft, е и d—коэффициенты аберраций третьего, пятого,
седьмого и девятого порядков. Подставляя (10.146) в (10.145), будем
иметь
Nm — J (аа?+ bal -f c<3k + da'k + .. .) o'kdo/, =
= | {dot + bot+ cat + da'k -f- ...) rfe*. (10.147)
260

Интегрируя (10.147), получим
Nm = -^ao'k +-^ba'k -т-^Cal+j^dal + (10.148)
Обычно плоскость, в которой качество изображения является
наилучшим, не совпадает с плоскостью параксиального
изображения. Такая плоскость, как уже указывалось, носит название
плоскости установки. Допустим, плоскость установки смещена
6
,
<*нр
/V/A
% / N/X
в
/.
о ^Л
Рис. 122.
а — продольная сферическая аберрация в положение плоскости уетанввкв! б — определение
волновых аберраций для плоокозтн установки ОВ
относительно плоскости параксиального изображения на
величину Д (рис. 122, а), тогда
As* = As* + Д. bs'k = As* — А,
где As* — продольная сферическая аберрация системы относительно
плоскости установки.
Волновая аберрация в плоскости установки в соответствии с
(10.145)
Nm = У Шс'к = I (As; — A) do'k = Яот — J Да* . (10.149)
о о
Добавочный член Да*/2 в (10.149), вызываемый смещением плоскости
изображения (дефокусировкой), имеет большое значение. Выбором
величины А можно добиться перераепределения как
геометрических, так и волновых аберраций и тем еамым улучшить
распределение энергии в пятне расееяния и повысить качество
изображения.
Волновые аберрации для точки вне ови. Исходя из (10.142) и
(10.143) для волновой комы третьего порядка, имеем
Nm =*k'mk{m'k+Mk)ySn = k'9'у cos tySu. (10.150)
261
a
Плоскость
установки ---^
<?К^,
* ч
-As'h
-J
-Js'h '
-« *•

Волновой астигматизм и кривизна поля изображения
Win =-у *Y [m;2(3Slu +12S,v) + M;2(Si,, + I25,v)l -
= - j *Vlcos^ (3S„, + I2S1V) + sin2^ (Sin + I25,v)]. (10.151)
Волновая кривизна Пецваля (Sai — 0)
Nu, =- ± k'y* (ть + M'k2)VSw = —j k'P'2y*PSlv. (10.152)
Волновая дисторсия третьего порядка
Л/,„ = k'm'kytSv = Л'рУ cos«|»Sv, (10.153)
где
л' = i/i2/?'(v-s;)4rt;i.
Волновая аберрация для внемеридиональных лучей может быть
вычислена с помощью ЭВМ одновременно с рачетом хода лучей.
Волновая аберрация может быть представлена как разность
оптических путей между двумя сферами сравнения: одной в
пространстве предметов и другой в пространстве изображений для разных
лучей. Как известно, оптический путь есть функция координат
луча, выходящего из точки вне оптической оси. Если из
оптических путей, соответствующих различным лучам, вычесть оптический
путь для любого другого луча, например для главного, то получим
волновую аберрацию для этих лучей, т. е.
N=Lk — U, (10.154)
где Li, — оптический путь для любого луча, L0 — оптический путь
для главного луча. (Обычно координата точки B'k, равная у',
вычисляется для главного луча). При этом выбор сферы сравнения
в пространстве изображения влияет на результаты вычислений, и
она должна располагаться в бесконечности (/?' = оо).
При бевконечно большом значении R' оптический путь для
любого луча может быть вычислен по формуле
— яЛ^+'Д^ + vB+iAGl), (10.155)
где X, р и v — направляющие косинусы, dk—расстояние между
преломляющими поверхностями k и k+\; г* —стрелка прогиба
(абсцисса точки перееечения луча е поверхностью). При этом
dn = — s\, dp = Sk-
По формуле, аналогичной (10.155), вычисляется путь Ln, только
все значения берутся для главного луча.
Вычисление волновых аберраций. Вычисление волновых
аберраций в помощью микрокалькуляторов для внемеридиональных лучей
262

представляет определенную сложность, поэтому в большинстве
случаев для предварительной оценки системы они определяются
для точки на оси, т. е. по известным значениям продольной
сферической аберрации для различных зон входного зрачка.
Допустим, требуется определить волновые аберрации системь^
включая третьи и пятые порядки. Для этого необходимо рассчи'
тать ход лучей для зоны тл = гпцъ = У 1/2-^— и края mKP=D/2
входного зрачка. Уравнения для сферической аберрации зоны и
края отверстия имеют вид
Asi/2 =ао|/2+ ba\i2 = Asm 1/2 + AsVi/2,
,2 .4
As„p = аакр + Ьакр = AsinKp + Asvxp.
Учитывая, что mi/2 :m„p = j/l/2: 1 = о'1/2:акр и a\/2 = УЩакр,
получим
Asi/2 = у аокр -f- -j boKp;
AsKP
/2 -4
aoKP + baKp.
Из расчета хода лучей известны &.s\r/, As*p и а'кр, поэтому
могут быть найдены коэффициенты а и Ь, а также As'ini/2, As'vi/2,
As'ihkp и ^s'vkp по формулам
Asm i/2 = 2Asi/2 — y As«pJ
Asv i/2 = — Asi/2 + y As'Kp;
As'm кр « 4Asi/2 — As'Kp;
AsvkP = —4As'i/2 + 2AskP.
Для волновых аберраций зоны и края входного зрачка на
основании (10.148) можно написать
Лч/2 = -j a°W2 +
-6-ooi/8=»[-g'As,'?—SAs,4»
1 '2
01/2'»
Л^кр = -г- аокр -f -5- Ьалр = J -g- As'i/i
[-■
jo "Vp | икр-
Выражачя а\/2 через окр и волновые аберрации в длинах волн,
найдем
,2
(10.15В.
263

Если же рассчитать три луча [тi/з ==V"l/3-^; /Я2/з = V 2/3-^-;
ткр = —V то найдем аналогичным путем волновые аберрации с
точностью до седьмого порядка
л
tfi/зЛ = [0,694AS;P — 3,472As'2 з + 13,194As,'/3] -^;
,2
W 2/3Л = [0,556As2/s + 22,222As',/3] -yg;
iVKp/X = [6,250AS;P+ 18,750Asi/3-f 18,750Asi/s] A^-.
(10.157)
В том случае, когда лучи рассчитаны для зон ^1/2 и ^3/4:
<2 )
NU2fk = [4,167AS;P— 16,667As3/4 + 29,167As'W2| -^> •
10 A-
iV
/2
8/4Л = [3,516As'kp-9,375AS3/4 + 35,156Дс'„2] -^-; j (l0-158)
JVKPA = [8,333As'Kp + 33,333As',/2] -^-.
В том случае, когда рассчитан ход четырех лучей, волновая
аберрация вычисляется с точностью до девятых порядков по
формулам:
л
NU4/l = f—0,330As'Kp + l,840As3/4 —4,583As'i/2+ Il,2I5Asi,4l -^-;
.2
N{/2/\ = [—0,139AskP + 0,556As3/4 + 3,333As'i/2+ 17,222AsiM] -^-;
.2
Л^з/^Л = [—0,469AS;P + 6,562As3/4 +1 l,250As'i/2 + 15,938Asi'/4] -^-;
1U A
/2
W Kp/X = [—3,889As;p + 17,778As3/4 + 6,667As',/2 + l7>778As',/4]-^-.
10 A, J
(10.159
Волновые аберрации, вычивленные по формулам (10.156)—
10.159), относятоя к плоакости параксиального изображения дл$
(основной длины волны Х9. Волновые аберрации, отнесенные к плос
коати уатановки, вычиоляютая по (10.149), т. е.
N Л/ I,
264
(10.160

Для определения N предварительно необходимо найти
величину А, характеризующую положение плоскости установки
относительно плоскости параксиального изображения. При выборе
плоскости установки обычно пользуются графическим методом. После
вычисления волновых аберраций строится график зависимости Nfk
от аргумента з' (рис. 122, б) Через начало координат проводят
прямую так, чтобы отклонение кривой от нее, измеряемое в
направлении оси абсцисс, было бы наименьшим по абсолютной
величине. Эти отклонения дают значения волновых аберраций при
новой сфере сравнения, смещение центра которой относительно
плоскости параксиального изображения определяется направлением
прямой. С графика снимается величина отрезка /, который в
масштабе N/X соответствует изменению волновой аберрации для
крайнего луча при смещении плоскости установки.
Из. рис. 122, б имеем
-^Е. = -! + *• (10.161)
Сравнивая (10.161) с (10.160), найдем величину смещения плоскости
установки
Затем вычисляются волновые аберрации для зон и края входного
зрачка по формуле (10.160) и строится новый график волновых
аберраций. При вычислении волновых аберраций As' и К
берутся в мм.
В тех случаях, когда координаты точек пересечения g
плоскостью входного зрачка не соответствуют принятым для равчета
правилам и приведенным выше формулам, чертят график As^, как
функции о' и снимают о него нужные значения As'.

Глава 11.
МОНОХРОМАТИЧЕСКИЕ АБЕРРАЦИИ СИСТЕМ
ИЗ ТОНКИХ КОМПОНЕНТОВ И ПРОСТЫХ СИСТЕМ
§ 74. Коэффициенты аберраций третьего порядка
системы из тонких компонентов
Оптические системы состоят из отдельных частей, число
которых может колебаться в довольно широких пределах.
Практически для большого класса систем части ее можно считать
бесконечно тонкими компонентами. Замена реальных частей системь
бесконечно тонкими компонентами представляет большие
удобства, так как позволяет в значительной степени упростить расчет
большинства оптических систем.
Для тонкого компонента в воздухе выражения, входящие г
уравнения (10.36), можно представить в виде
ь
1
v = l
где
(ил)
(11.2)
Учитывая (11.1) для коэффициентов аберраций (10.36) системы,
состоящей из р тонких компонентов в воздухе при 5V = 0, т. е. для
сферических и плоских поверхностей, получим уравнения
S, = 2 Л,Л, Su - I ytPt — I Г We,
P
i—1
<-=i
(П.З]
266

^ 3 v 1 p
i=l
где
(11.3)
Pi
^■"Zj TX)»(-).
Zj
*
*
\^ \1 / 5a \ / a \ I
_ V D V
(11.4)
Zj'
vp'
= 1
\i / Ц у /p
I
Для тонкого компонента в воздухе fti = Лг = ... = /it, у\ «= #? =
— • • • — f/d поэтому
Si = htPh Su =y,Pt — Wt;
Ус
Sm = ~ Pi -21f-W( + РФ,, SIV = Ф№;
*?
SV
5v-^Pl-31^.+i.l^(3 + «<);
«5vi — y^Pip'-
(11.5)
Уравнения (П.З) и (11.5) являются основными для равчета опти
ческих систем, состоящих из бесконечно тонких компонентов и
бесконечно тонких линз.
Если предмет находится на конечном расстоянии, то, учитывая
условия нормировки (9.52),
Si = PoSiPc; '
Su=sDPi — $o{sP — sl)Wi;
о '"Ре
OlV =
iti, it( = V —;
Posi j n
5v. = P,
(^si):
^Л._3(^)[^] ^4-^—'
«n—Sl
"4'P-1)'
267
I
st(l _p0)(3+*,).-
(11.6)

Для предмета в бесконечности в соответствии с (9.55)
Shi = slPT -f- 2s„Wr + 1, S,v = *,
Sv = slPT -f 35Р2ГГ + sP (3 + «f);
>vi
'P'(sp=l,0)-
(11.7)
В частном случае, когда плоскость входного зрачка совпадает с
компонентом (sp — 0, у{ — 0), уравнения (11.6) и (11.7) нашшутся
в виде
S\ Ф
S, = poSiP/, Su=VoSiWr,
Sv = 0, Svi = 0;
I Q
Po(1 — Po)si, 5iV= й - m;
Posi
(11.8)
si =
STn =1.0; Siv=rc<;
'5V =0; Svi =0.
(11.9)
Из приведенных формул видно, что коэффициенты аберраций
третьего порядка зависят от параметров Pi, Wi и%i, так как при
заданном положении предмета и входного зрачка h\ и у\ являются
постоянными величинами, оптическая сила компонента также
постоянна.
§ 75. Аберрации третьего порядка тонкого компонента
Сферическая аберрация. Для тонкого компонента в воздухе при
si =И= — с° сферическая аберрация определяется уравнением (10.52),
т. е.
где
Asm
S, = htPit Pi =
■№«•
(11.10)
(ii.ii)
Так как для тонкого компонента при сц = 1 hi — atSk = а»07 =
= а'(, то
Si = s'kPi = щРг,
asm 5- —- /» — ^- —7- r i.
268

В (П-12) величина s\ или а], если использовать формулу Гаусса,
может быть выражена через f. Известно, что
а; — ai = hilf = aiO.ilf ,
откуда
at = f {
Учитывая условия нормировки (оц = р0, °ч = О,
flI=f(l-Po),
поэтому
4*,,Я,-Т7ЙР'- <1U3>
Для предмета в бесконечности (а\ — f и Зо = 0)
2 2
Д5ш=-|^-РГ=-|^РГ. (11-14)
Сферическая аберрация в выходном зрачке. Для тонкого
компонента в воздухе согласно (10.83) имеем
Asuip' = —к Рор»>* Svi = —к Pop —; г- ) Svi =
* 2 \v-s*/
- 5 й4 / у'\2 я (11.15)
— тМт") Svi'
где
Svi = yiPip-, Pip- =
шт.
Коэффициент аберрации Svl вычисляется при нормировке (10.82)
Pi = 1, у = 1, sp = 1, поэтому
As;.,p. = —^pU(-f)2^- (П.16)
Сферохроматичеекая аберрация определяется
уравнением (10.85)
^■■-■s^t)'*--^. (1М7)
где
SCx = Suj — <Sut, 5д, = hiPa0 Sat = /г,Рд4.
269

Для тонкого компонента в воздухе при si Ф — от
' 5СХ = A,(/>a,--Pftl) = sl(Pix,-PiXl), (11.18)
Д(Д5')11,=^4(Ра,-Р,-х1);
2"s
при S| = — со
1 Ь? />ч™ n„s I «I
Меридиональная кома. Для тонкого компонента в воздухе
и si "И= —счз в соответствии с (10.98)
^u=-|-^Vtgu»1S„=-4fej2tgu,1S„, (11.20)
где
5ц =ytPt — lW( = spPt — Po(sp — s,)№,.
Еели предмет находится в бесконечности, то
«о 3 OTf 00 1
K„i = —у—tgu),5„;l (112i)
Когда входной зрачок совпадает с компонентом (sp = 0),
5,=^— со Su«PoSi^i;
Кш=-ЪТ$-Ъ»№'1
(11.22)
S) = — со Su — W?,
Am =■ —j-^-tgwiHPf '
Для устранения меридиональной комы при sp = 0 необходимо
выполнить условие Su = 0. Это условие выполняется только в том
случае, когда устранена сферическая аберрация (Pt = 0) и
параметр Wt = 0. Однако еели сферическая аберрация устранена не
полностью, то можно выбрать такое положение входного зрачка,
при котором будет отсутствовать меридиональная кома. Полагая
•Su = 0, найдем
i*0s J*'*
si Ф — со sP = р _р w; (11.24)
s, = — со sp = — —^-.. (11.25)
w
Таким образом, при наличии в тонком компоненте «ферической
аберрации такой величины, которая не сильно ухудшает качество
. 270

изображения, подбором координаты s„ можно получить изоплана-
тическую коррекцию. Меридиональная кома не зависит от
величины сферической аберрации, если входной зрачок совпадает о
компонентом. Тонкий компонент будет апланатическим, если Si=Sn=0.
Астигматизм и кривизна поля изображения. Координаты гт,
z's, определяющие меридиональную и сагиттальную кривизны
изображения, астигматизм {г, — г'т) и радиусы кривизны поверхностей
изображения определяются с учетом нормировок уравнениями
(10.123) и (10.124):
s, ф — со гт = — ~ tg2o>, [3Sni + fo(sP — si)25IV];
i = - у tg2<oi [Sm + foisp — SifSiv];
Zs — zm = tgVSjn;
\IRn
2o2
(*Р-чУЧ
l/Rs =
\202
MRP = —Siv,
[3Siu + $(sp-Sl)'Slv];
[Sm + fo{Sp-SifSlv];
(11.26)
где
Sm = -^Pt-2(sp~sl)5LW{ + fo(sP-siy
« — Po
5tv
Ki, «<= 2j №;
#n
s, = — oo z;„" = — у /'tg2u>, [3SFn + SIV];
b"«-T/'tg2«i [Sn, + SIV];
(z,—-zm)"° =/ tg u)iS,Y,;
= - /'/ [aSm + Srvl, ЯГ = - /'/ [S"n + s,v],
r>"™ ' /
Rp — —f I Siv,
(11.27)
где
S"ii = 5рЯГ + 2spWT + 1, SIV = ice
Если входной зрачок совпадает с компонентом (sp = 0), тогда
коэффициенты аберраций будут равны
s,^_ со Sm = 1»Ф* -= siPo (1 — Ро);'
I g
Siv = Фач — ——- тс<;
siPo
б,^_со STu = 1,0; 5iV = tcj.
271
(11.28)
(11.29)

Из (11.28) и (11.29) видно, что при конечном расстоянии до
предмета астигматизм и кривизна поля зависят от s\ и [Зо, а для
предмета в бесконечности — принимают постоянные вначения и никакими
средствами не могут быть устранены.
Параметр -к, для тонкого компонента, линзы которого
изготовлены из оптического стекла, равен примерно 0,62, поэтому
уравнения (11.27) при sp = 0 будут иметь вид:
(11.30)
гт = - у /' tg' on [3 + 0,62] = - 1,81/' tg* щ;
гГ = -1" Г tg* mi (1 + 0,62] = - 0,81/' tg* щ;
(Zs—Zm)°° =/'tg2(i)i;
Rm = - 0,28/'; R7 = - 0,62/';
Л?7=_1,61/'.
Эти выражения показывают, что астигматизм и кривизна поля при
sp = 0 не зависят от конструктивных элементов компонента, а
зависят только от фокусного расстояния и полевого угла компонента.
Если S\n положить равным нулю, тогда
WT 1
Sp + 2-
poo
Sn =■
wt ±{w'i°°—prj
(11.31)
Уравнение (11.31) имеет два корня, и, следовательно, может быть
два положения входного зрачка, при которых может быть устранен
астигматизм, если Р? и WT Ф 0.
Астигматизм в системе из тонких компонентов может быть
исправлен также при одновременном исправлении сферической аберрации
и комы, если Sim одного компонента компенсировать другим
компонентом.
Кривизна Иецьаля определяется коэффициентом S1Vi равным
•IV
Ф«тс,
Ф,Ух
ZJ п
(11.32)
Из (11.32) следует, что 5iv зависит от приведенных оптических
сил линз, показателей преломления линз и оптической силы
компонента и не зависит от формы линз. Условием плоского
изображения будет равенство нулю коэффициента Srv, а для этого
необходимо, чтобы
i
т
-Li-".
272

Напишем выражение для тс* в виде
"' П-2 пз ' ni '
Показатель преломления щ марок оптических стекол (Гост
3514—76) изменяется от 1,4721 до 1,8138, поэтому параметр r.t
лежит в пределах 0,679—0,551 и в среднем может быть принят
равным 0,62, тогда
•(<Р1 + ?2+ • • . + <Р');
0,62 (11.33)
ср ср
и коэффициент Siv примет значение
Siv = 0,624),= 0,621Г =£0.
Это значит, что в тонком компоненте кривизна Пецваля не может
быть устранена. Параметр тс,, а следовательно, и SjV могут быть
уменьшены в два раза, если, например, компонент будет состоять
из линз, изготовленных из германия и кремния, для которых при
X = 2,0 мкм пч = 4,109 и пъ = 3,458.
Дисторсия. Для тонкого компонента в воздухе в соответствии
с (10.129) и (11.10), (11.11) имеем:
Si Ф — оо Aj/uiD = — -gtg3(Bi5V,
(11.34?
где
Sv — '/в - \о Pi
SD~S1
(1 —Po)(3 + ici),
si = — со Дг/шо = — -2 / tg^iSy;
Sv = 8*РРГ + &Ж + sP (3 + «,).
(И.85>
Относительная дисторсия {у' = —/'tgwt)
Vm=byuw\y~= ytg2u),Sv.
Если входной зрачок совпадает с компонентом, то Sv и Sv
равны нулю и дисторсия автоматически уничтожается. При sp=jtO
дисторсия может быть устранена выбором положения входного
зрачка.
Так, например, при si = — со
„ WT 3 + тс,
s£+3-^sp + ~^=0
Й7-
Sn —
2 р-
•п1
273
t(3 + *t)_
9Й72»
РГ
(11.36)

Дисторсия может быть устранена выбором положения входного
зрачка только в том случае, когда Pi и Wi=h 0, т. е. если
компонент имеет сферическую аберрацию и кому. В случае когда Pi =
= Wt = 0 и Р~ = W? = О,
Sv-p(t-eo)(^)2(3 + 1,);j .(П37)
Sv=sp(3 + *<). J
дисторсия устраняется только при sp = 0.
§ 76. Основные параметры тонкого компонента
Из приведенных уравнений (11.3) для системы из тонких
компонентов и (11.5) для тонкого компонента при В( = 0 видно, что
коэффициенты аберраций являются функцией следующих переменных:
Si = f,(A<1 Pi); \
Su = h{yuPi,Wi); SIV = M©<, «,); (11.38)
•5,п =/з(А|, #, Фь Л, U7i); Sv=f5(hf, yt, Ф/, P/, U7/, «,).J
Переменные, входящие в коэффициенты аберраций, можно
разделить на две группы: к первой группе ртносятся hi, yi и Ф/, а ко
ВТОРОЙ Pi, Wt И 1Г(.
Переменные первой группы (hi, yt, Ф1) являются внешними
переменными, так как они связаны только с фокусными
расстояниями отдельных компонентов, входящих в систему, их взаимного
расположения, положения предмета и входного зрачка. Если эти
элементы заданы (Ф, d, s\, sp), то можно, рассчитав ход первого
и второго параксиальных лучей, по формулам (8.3) и (8.4), получить
последовательно для каждого компонента hi и yt. Для некоторых
систем, например телескопических, внешние элементы определяются
заранее, поэтому непригодны как переменные, с помощью которых
можно исправлять аберрации.
Ко второй группе переменных или параметров относятся Pi и W{,
являющиеся функциями углов а и п. В свою очередь, углы а
зависят от радиусов кривизны поверхностей системы, показателей
преломления и положения предмета, определяемого координатой
s\, связанной углом <xi(<xi = hjs\). Это хорошо видно из формулы
для первого параксиального луча
ht
rtv-t-iav+i = «yd» -f- —-(rtv+i — «,);
V
hi I \
rtv+2<*v+2 = rtv + l<*v + I + ~ (l»-f2 — nv + \) —
, u /Я. + 1-Я, ", + 2-"» + l
= я„<х„ -r hi 1
ni+\at+] =niat+ ft(2j-r--
274

Таким образом, величины Л и Wt зависят от так называемых
внутренних конструктивных элементов системы — радиусов
кривизны, показателей преломления и от положения предмета.
Зависимость Р, и Wior координаты si(^i) в значительной степени
затрудняет изучение свойств системы, состоящей из тонких компонентов,
а следовательно, и расчет систем, так как координата s\ является
дополнительной переменной, влияющей на Pi и Wi. Известно, что
многие типы систем (объективы и оборачивающие компоненты
телескопических систем, фотообъективы, киносъемочные объективы,
большинство проекционных объективов) работают при Si=—оо,
поэтому они должны и рассчитываться при этих же условиях. С целью
упрощения анализа и расчета целесообразно переменную Si
исключить и получить параметры Л и Wt ъ виде функций от параметров
РТ и WT, соответствующих предмету в бесконечности, и гг<, т. е.
pi==f][p~t иг,", „,].
(11.39)
fy'O
Параметр it* = J^ ^ зависит от показателей преломления и
приведенных оптических сил линз, входящих в компонент, и
практически мало изменяется, поэтому для тонкого компонента может
считаться постоянной величиной.
Переменные hi, yi и Ф, зависят от углов щ и <х;+), которые
являются внешними углами компонента, а радиусы кривизны г
зависят от внутренних углов <х, т. е. от углов, расположенных
внутри тонких линз компонента, и показателей преломления. В
уравнения для первого
параксиального луча входят также и
внешние углы а, но они уже получили
определенные значения при
определении /г, и tfi. Приведенные ^
оптические силы линз, входящих
в компонент, также являются
функцией внешних углов <х. Поэтому
в конечном итоге можно сказать,
что коэффициенты аберраций Рис. 123. Углы первого параксиаль-
третьего порядка зависят от пере- , того луча:
МеННЫХ ДВУХ ВИДОВ: ВНеШНИХ И <Ч- «/—для предмета на конечном раегто-
ВНуТреННИХ УГЛОВ ПерВОГО ПЭраК- Я11Ив:~(. ~'{ _ для „редмет* в бесконе».
спального луча и показателей ноати
преломления.
Зависимость (11.39) может быть получена следующим путем.
Если написать уравнения Pi и Wt для предмета на конечном
расстоянии, куда будут входить углы а и уравнения для РТ и WT для
предмета в бесконечности, в которые входят углы а (рис. 123), то
275

(11.40)
можно установить связь между углами <х и а и параметрами Рс, Wtn
Р?, №Г, которая выражается уравнениями
Р, = {а'( — оцУР? + 4а« (а', — atf W7+an{a't — at) X
X [2я,(2 + к<) —al];
Wt = {*t - at,)2 W7 + a, {*'i - a,) (2 + W/).
Из этих уравнений для Pf и ft7" имеем
1 V {Р( - AntWt + a, (a, - w) [2a,- (2 + K,) -fa',]} ;
1 ^[Wt — al(a't~ai)(2+Kt)].
РГ=-т
4 — ai
WT =
(11.41)
Уравнения связи между Pi, Wi и PT, ft7" позволяют выразить
коэффициенты аберраций третьего порядка через Р~ и ft7" и тем
самым исключить из этих коэффициентов параметры Pi и Wi,
зависящие от положения предмета. Если, например, для тонкого
компонента известны параметры Pi и ft7;, то, используя условия
нормировки для s\ ф—со, можно найти уравнения для Р" и ft7"
в виде
/5Г = (Г^)3{Р£-4РоЙ7< + Ро(1-?о)[2р0(2 + ге<)+1]};
W? = (г=Т0)8 W-Po(l -Ро)(2 + «*)]•
При Р» = ft7* bs 0 найдем
(11.42)
Г =(Т~р^[2Ро(2+ *,)+!];
РГ =
WT='
l-P,
(2 + ^)-
(11.43)
В более общем случае, когда гц и п,- не равны, формулы для Pi
и W{ принимают вид
n't Pi = (rtfotf — П;<Х()3 РГ + 4гг>гца; (n'^ai — njaf) ft7F +
+ ntn'ai {mat — nint) [2ntoLi (2 + n'tT.i) — n'&'t];
■ m Wt — {n'tm — tiim)2 WT + тты (nm — nt<n) l— + гЛ.
(11.44)
Впервые параметры PT, ft7" и r>t были получены профессором
Г. Г. Слюсаревым и называются основными параметрами
тонкого компонента.
Приведенные выше формулы связи параметров и основных
параметров справедливы только для одного тонкого компонента.
276

Таким образом, основные параметры Р~, WT, зависящие только
от внутренних элементов тонкого компонента (г, п) и г.(, являются
параметрами, полностью определяющими коэффициенты аберраций,
а следовательно, и аберрации третьего порядка при любом
положении предмета и входного зрачка. Основные параметры
определяют не только аберрации третьего порядка, но в значительной
мере и аберрации высшего порядка.
Зависимость аберраций третьего порядка от трех основных
параметров характерна только для тонкого компонента любой
сложности. Для системы с линзами конечной толщины аберрации
зависят от коэффициентов Si, . .., Sy. не зависящих друг от друга.
В тонком компоненте пять аберраций зависят только от трех
величин, т. е. если три аберрации заданы, то остальные две по
произволу не могут быть изменены. Наличие в системе нескольких
компонентов с конечными воздушными промежутками дает
возможность использовать величины К и yt для исправления
аберраций, если их можно изменять в достаточно больших пределах.
При переходе к линзам конечной толщины нарушаются
свойства бесконечно тонкой системы, но не сразу, а постепенно. При
больших толщинах коэффициенты аберраций и сами аберрации не
зависят друг от друга.
Одним из свойств бесконечно тонких компонентов является
возможность определить сравнительно простым способом аберрации
системы при обращении хода луча, т. е. при повороте компонента
на 180°.
Рис. 124. Ход первого параксиального луча:
а — прямой ход; б — ход при повороте компонента на 180°
При обращении хода луча величины параметров Р°° и W? не
совпадают. Для нахождения новых значений РТ и W? обычно
поступают следующим образом. Оставим систему в прежнем
положении, но изменим ход луча, т. е. рассмотрим луч, проходящий
через передний фокус и выходящий из тонкого компонента
параллельно оптической оси (рис. 124, а). В этом случае, принимая во
внимание принятые условия нормировки а^= 1 и a'i = 0, для (11.40)
получим
277

Если компонент повернут на 180е (рис. 124, б), то- параметры Р<
и W( будут иметь те же величины, но с обратными знаками.
Обозначая основные параметры для перевернутой системы через
РТ = — РГи WT = — W~ , будем иметь
- PT-P7-W7+ * + *<;\ (п
WT = -W7+2 + «t. J
Из (11.46) видно, что в компоненте не будут изменяться аберрации
третьего порядка при .повороте его на 180° только в том случае,
когда соблюдаются условия
РГ==/>Г; ) (11.47)
w? = wr.)
Для выполнения условий (11.47) необходимо, чтобы в системе
имело место равенство
2W7 — 2,
из которого вытекает
' 4*7=1+2-'. (11.48)
Что касается параметра />Г. то он может быть любым, т. е.
величина Р? не играет никакой роли при переворачивании системы.
Все тонкие компоненты не изменяют своих аберраций при
повороте их на 180°, если удовлетворяется условие (11.48). Так как
для большинства' оптических систем .из тонких компонентов это
условие не выполняется, то при их повороте на 180° все
аберрации, за исключением сферической, будут изменяться. Только в
простых тонких симметричных системах условие (11.48)
выполняется, т. е. К = Р7, W7 = W7.
Из (11.48) также следует, что если в системах основной
параметр W7 равен величине l+s-', то при Р* = 0 (сферическая
аберрация равна нулю) они не могут быть апланатическими.
§ 77. Основные параметры и аберрации линз
Линза является неотъемлемой частью любой оптической
системы, поэтому рассмотрим свойство тонких линз и линз конечной
толщины.
Для тонкой линзы в воздухе (рис. 125)
fti == h-j = h; d = 0; So = S,-2 = 0;
щ = яз = 1,0; n2 — n.
278

Оптическая сила линзы
«з —ai. Ф ,.
ф=__; «р = $-1;
основной хроматический параметр
d = — -±- = — —.
/7? = П
Рис. 125. Координаты
первого параксиального
луча в тонкой линзе
Для параметров Pi и №( имее\
*аЧ2^]=Р, + Р2;
-2(г1)1,Ш.-Г1+г-
г,
(11.49)
где
Pi = /—~ТТ5 (а2 ~"*а1)2 (а2 — nai);
Рг = j_ г (аз — а2)2 («аз — а2);
W-г ■= _ . (аз — аг) (паз — <*2).
Подставив значения Р\, Рг, Wi и Wi в (11.49), найдем
d /"\2Г/з 3\ 2л+1/2 2\ , Л + 2 / Ч 21 1
** ~ \^~\) \аз~~ai' п~ ^з —оч)а2Н ^— (аз — ai)a2|;
^-(ггт)Н—?>-^ (-—о 4
(11.50)
279

Параметр г.{ для тонкой линзы
* =-! = -
' п п'
(11.51)
Для предмета на конечном расстоянии с учетом нормировок
(9.52), «1 = ро, «з=1):
Л =
п—\
(1-Р3о)-^(1-^«2 + ^-2(1-Ро)
Wt =
л—1
"+1
(1_^)_Ш(1_ро)я2
(11.52)
Основные параметры в соответствии с (9.55) (<xj = 0, <х3 = 1):
v 2 г
РТ
Л— 1
1 ?rt+J п+2 2
1 п + '„
1 — (12
Л —I
(11.53)
Из (11.53) видно, что основные параметры зависят только от угла
<Х2 первого параксиального луча в линзе и показателя
преломления п.
Чтобы в тонкой линзе отсутствовала сферическая аберрация,
необходимо Pi — 0. Напишем уравнение (11.50) для Р£ в общем
виде в такой форме: ■
\2
2я+1
л + 2 2
Приравнивая это выражение нулю, получим
<*2 — в I 2 0*3 + <м)<*2 + ^тгй(аз + °ч + ачаз) = 0. (11.54)
Решая (11.54) для угла <хг, найдем
а2 = 20ГТ2)[(2"+1)(аз + а,) ±
+ (2«2+1) oia3 —4(п—1)(а|+а?)!. (11.55)
Уравнение (11.55) имеет вещественные корни при условии
2(2«2 + l)a,as>(4n— l)(a^ + af). (11.56)
Если ai = 0 (предмет в бесконечности) или когда аз = 0
(изображение в бесконечности), подкоренное выражение становится
отрицательным и уравнение (11.55) не имеет решения. Это
уравнение не имеет решения и в случае, когда си < 0 и аз > 0
(предмет на конечном расстоянии, изображение действительное)
Следовательно, для указанных случаев в тонкой линзе не может быть
устранена сферическая аберрация.
280

Вещественное решение имеет место только в том случае, когда
ой и аз имеют одинаковые знаки, т. е. для мнимых изображений
или мнимых предметов. Напишем (11.56) в виде
g3+«i 2(2^+1)
При ai = Ро и аз = 1
1*3 4л — I
' + Н . г(г.'н-|)
Из (11.57) видно, что ffo является функцией показателя
преломления. Так, например, для оптического стекла К8 (пе— 1,5183)
Ро лежит в пределах
0,634 <р0< 1,578;
для ТФ 10 (л« = 1,8138),
0,527 <(30< 1,896;
оптической керамики К04 (п\ = 2,447, X = 2,0 мкч)
0,390 < ро < 2,563;
германия (я* = 4,116, X = 2,0 мкм)
0,234 < ро < 4,278.
Если Ро для указанных п лежит не в этих пределах, то устранить
сферическую аберрацию невозможно.
Таким образом, как для предмета на конечном расстоянии, так
и для предмета в бесконечности сферическая аберрация в тонкой
линзе не может быть устранена в случае действительного
изображения. Поэтому - рассмотрим, при каких условиях сферическая
аберрация может принимать минимальное значение. Из (11.52) для
Р, имеем
*- (^^»-Й)-^?0-М).. + ^(1-Р.)«1.
(11.58)
Функция от Pi будет иметь минимальное значение в том
случае, когда
дР, д2Р,
r-'-О и Тт>0.
да2 За*
Первая производная, равная нулю, дает
2(rt + 2)a2-(2n+l)(l + p0)=:0. (11.59)
Вторая производная
2(п + 2)>0.
Следовательно, функция от Р{ в соответствии • (11.59) имеет
минимальное значение при а.2, равном
281

_ (2» + !)(! + Ро)
a?mm 2(n+ 2)
Подставляя (11.60) в (11.52), найдем
^-ta-(^I)'[(i-pS)-^±^(i-pS)(l+Po)];l
** imin =
* — Pg
(11.60)
(11.61)
2 (п + 2)-
Для предмета в бесконечности Ро-> 0 и
2n + I
2 (п + 2) '
(4л — 1)п
«211
^ min =
" imin —
4(п+2)(п-1)г
I
(11.62)
2 (n + 2)'
Из (11.62) видно, что минимальное значение основных параметров
тонкой линзы зависит только от показателей преломления.
Найдем уравнение связи между РТ, РГпцв и WT • Из формулы
для WT имеем
0.2 =
-у ГГ.
n-f I п-\-
Подставляя <хг в (11.53) для РТ, найдем
Deo
(4п — 1) ft
п(л+2)
г;
1
4(п+2){п — 1)*- <я+1)!
Учитывая (11.62),
РТ = Ршп + a[W7- WTmJ\
2(n+2)
(11.63)
где
а =
я (п + 2)
Т > ^imin =
1
2 (п + 2)
(п+1)"
Коэффициент а и параметр tt^Tmin для оптических стекол
изменяются незначительно и могут быть в среднем приняты равными:
а = 0,864, W7*to= 0,134.
При BPJmin = 0,134 основной параметр Р* принимает мини,
малыюе значение, которое всегда положительно. Форма кривой4
выражающей зависимость РТ и WT, как это видно из рис. 126,
не зависит от показателя преломления; все кривые имеют минимум
вблизи №" = 0,13. Параметр P/min для оптических стекол лежит
в пределах 2,325—1,123. Для кристаллов показатель преломления
изменяется от 1,32 до 4,2, поэтому в каждом конкретном случае
нужно определять коэффициент а, параметр Wrmw,a также РГ„|„.
Так, например, для оптической керамики К04 (X = 1000 нм, п\ =
2S2

= 2,485) Я,тш = 0,562, a = 0,918, И^,п = 0,111; для германия
(X = 2000 нм, nk = 4,116) Ршп*= 0,268, a = 0,962, H^min = 0,082.
Основные параметры тонкой линзы в зависимости от формы
линзы изменяются в довольно широких пределах (рис. 127).
Минимальное значение Р? имеет при /' /п„ = 1,68, причем он всегда
больше нуля. Параметр WT при- р^
нимает нулевое значение при
firm = 1,65, причем его изменение
носит линейный характер.
Практически можно считать, что
нулевому значению Ч7Г соответствует
минимальная величина РТ.
Сферическая аберрация тонкой
линзы принимает минимальное
значение в том случае, когда Р.
и РТ будут минимальны, т. е.
1 т\
"5ц Imln = "Я ~ "imln!
2 s*
А.«;
1 т\
_ J LP"
Illmln ~~ 2 f *™">'
(11.64)
Рис. 126. Кривые зависимости Р~
от W°° для различных значений п
(11.65)
Апланатические и изопланатические линзы. Для получения ап-
ланатической коррекции необходимо, чтобы
Sj=htPt = 0, Sn=ytPt — lWt<=0.
Эти условия приводят к тому, что дл5#^гонкой линзы должны быть
равны нулю параметры Я, и №,-. П&сле преобразований (11.50)
найдем
Р( = гг (аз + а,а3 + а?) — (2п + 1)(аз + а])а2 + (п + 2) а! = 0;|
Wi = n(a3 + <n) — (n+ 1)а2 = 0. ]
Из второго уравнения (11.65) для <хг получим
а2 = ЙТ7(а| + аз)'
тогда после подстановки <х2 в первое уравнение (11.65) найдем
(а* + 4) п — (п2+ 1)^^3 = 0. (1-1.66)
Для предмета на конечном расстоянии ai =(39 и аз = 1, поэтому
(]+f0)n — («2+i)p0==o. (11.66')
При р0 = 0 и ро < 0 уравнение (11.66) не имеет решения, так как
показатель преломления не может быть равен нулю и не может
иметь отрицательное значение. Из (11.66) для р0 имеем
Р2-
п2+\
■Po+l
283
0.

Решая это уравнение, получим
1 п2+\
?о =
Из (11.67) видно, что оно имеет два корня — р<п = п и Рог = 1/п.
Так, например, для марки стекла К8(пе =* 1,5183) j30i = 1,518.
Ро2 = 0,659; ТФ10 (пе = 1,8038) ?о1 = 1,814, р02 = 0,551; оптической
керамики (пх = 2,447) p0i == 2,447, р02 = 0,409; германия (пх =
= 4,116)^01 = 4,116, р02 = 0,242. Сравнивая р0 для апланатических
пе=1,5183
Рис. I27. Зависимость
основных параметров Р°?
и W™ от формы тонких
линз (г1л — приведенное
значение первого радиуса
кривизны)
линз g Ро, при которых в тонкой линзе отсутствует сферическая
аберрация, приходим к выводу, что они практически лежат в тех
же пределах. Таким образом, если в тонкой линзе отсутствует
сферическая аберрация, то она будет свободна также и от комы.
Для тонких апланатических линз Pi = Wt = 0, поэтому
астигматизм и кривизна поля не будут зависеть от положения зрачка и,
как видно из формул (115),
S,„ = РФ;, Siv = Ф*к< = 0.62Ф,-
(11.68)
являются постоянными величинами. Дисторсия апланатического
мениска согласно (11.5)
S4=%m, (3 + *,) = 3,62£ №,
(11.69)
устраняется только в том елучае, когда входной зрачок совпадает
в линзой (л,- = 0).
Рассмотрим, при каких условиях можно получить апланатичес-
кие линзы конечной толщины. Для сферической преломляющей
284

поверхности коэффициенты аберраций S, и Su согласно (10.49)
и (10.31) равны
'2
1
1
Su=yP\ — Wi =
г
I —I
щ
(11.70)
Коэффициенты аберраций (11.70) будут равны нулю при
следующих условиях: если а2— сц = 0, то <л\ = а2 и $о = niai/n2a2 = П\1п2\
из уравнения для первого параксиального луча в этом случае
получим
S\ —Г\, si =si = r2,
центр кривизны преломляющей поверхности является местом пред-
а2 а\ 1 1
мета и изображения; при
а2 а1
Я2 Я|
или
«2s!
tliS
a
i»i
(nisi = n2si= 0); присоединяя к этому условию уравнение для
первого параксиального луча, найдем
si = ri-
ii + па
si =n
«j+ П2
отсюда
nisi = n2sj = r\ {n\ -f n2);
в этом случае ai/аг = niM2, поэтому р0 = {n\lntf; условие nisi—
— n2si = 0 соблюдается также при s\ = s\ = 0, fJ0 = n\a\/ti2^2 = 1.
Таким образом, для сферической преломляющей поверхности имеем
три пары сопряженных точек, в которых отсутствуют сферическая
аберрация и кома:
Sl = si = 0; ро = 1; (1))
s\ — s\ = r\\ |Зв = п\1п2\ (2)
rcjsi = rt2s'i = r\ (rti + "2), Ро = (niln2f. (3),
(11.71)
Аналогичные условия для апланатических точек преломляющей
поверхности были получены в § 24 из уравнений для отрезков
s и s' действительного луча. Это говорит о том, что решение
задачи в области аберрации третьего порядка привело к устранению
аберраций высшего порядка.
Уравнения (11.71) дают возможность получить несколько
апланатических линз конечной толщины, но не все они имеют
практическое применение. Так, например, приложение условия (1)
к первой и второй преломляющим поверхностям линзы не имеег
смысла,
285

Ия условий (1) и (2) для линзы в воздухе получим
s\ = s\ = 0; s2 = s2 = r2; d = — s2 = — r2; | л j 72)
?o = P01P02 = \п2/пъ = n. I
Эта линза является не только апланатической, ной ахроматической
(см. § 62).
Условия (1) и (3) дают (рис. 128, а):
а
",
4
пг*п
s
--1
-о.
А,
л\
?
sz
РЪ\
'/.
'}
-*
V4
d
>.
\ ~
Ol
в
п,=1
п3-1
Рис, 128. Апланатические лвкзьн
в—пловкоеыпуклая; б — положительный мениск; в — отрицательный мениск
Si = si = 0; s2 = — d; s2 = — S2 = — nd;
пз
«2 + «3 n — I ' у nBy
(11.73)
В линзах (11.72) и (11.73) первый радиус может быть любым и
определяется, исходя из заданного фокусного расстояния. При
П = со обе линзы являются фронтальными апланатическими линзами.
Комбинация условий (2) и (3) дает линзу со следующими
конструктивными данными (рис. 128, б):
г\ = S] — si, 52 = si — d — s\ — d;
fe«r2JiL!2»e/l(Sl_d);
286

Л, / Л2\2
Ро = Р01р02 = - - =Я
/'=_
s, — d
= S].
(11.74)
п— 1 d+ r«|
Эта линза является положительным апланатическим мениском.
Приложения условия (3) к первой поверхности, а условия (2)
ко второй поверхности приводит к отрицательному апланатиче-
скому мениску (рис. 128. в):
S2 = si
1 -с' ,, п\ 1
п+1 п2 '
л '
л, + п2
= si — d=-si " = -—"I r2 = S2 = d;
/ ni\2 n2 1
s2 = s2 = r2; po = S01P02 = ^—j — = - ;
/'==
1
■nd
n s, — d (n+ 1)
■Si.
(11.75)
Приложение условия (2) к первой и второй поверхностям
дает линзу конечной толщины с концентрическими к осевой точке
предмета поверхностями; если для первой и второй поверхностей
выполняется условие (3), то получается биапланэтический
отрицательный мениск, дающий параллельное смещение падающему
пучку лучей.
Из апланатических линз наибольшее применение получили
фронтальные линзы, положительный и отрицательный мениски
(объективы микроскопов, осветительные системы — конденсоры
и др). Однако соединением апланатических линз нельзя
получить действительное изображение предмета, расположенного на
конечном расстоянии, поэтому они применяются в сочетании с
неапланатическими линзами, значительно уменьшая апертурный
угол последующей части системы, уменьшая тем самым осевые
аберрации.
Апланатичность линз исчезает, если параметр Я^О или одна
из поверхностей является неапланатической. Однако, как уже
указывалось, при определенном положении входного зрачка (апер-
турной диафрагмы) такая линза может быть изопланатической,
т. е. линзой, в которой при наличии сферической аберрации
небольшой величины кома будет отсутствовать. Положение входного
зрачка определяется по формулам (11.24) и (11.25).
Если, допустим, первая поверхность является апланатической
то Pi = Wi=0 и параметры Pi и Wi будут определяться
параметрами на второй поверхности Я< = Р\ -f Р2 = Рч и Wi=Wi +
+ W2 = Wi.
Изопланатическое изображение о помощью линзы конечной тол
щины можно получить также следующим путем. Допустим, первая
287

поверхность центричиа к осевой точке предмета, т. е. r\ — si.
В этом случае щ = <х2, Р\ = Wi =0иповерхность является аплана-
тической. Если апертурная диафрагма, являющаяся входным
зрачком, расположена так, что ее изображение, даваемое первой
поверхностью, находится в плоскости, проходящей через центр
кривизны второй поверхности, тогда Si—/z2P2, &р2 = рз— р2 = 0 и
5ц = h-iPi (Sp/Sa) = 0. Следовательно,
вторая поверхность будет свободна
от комы. Расстояние от второй
поверхности до изображения входного
зрачка (предмета для второй
поверхности) s'f,< = r2 + d. Из уравнения для
второго параксиального луча
координата, определяющая положение
входного зрачка, будет равна (рис. 129)
с , - , _ n's'('2 + <Q
s°" Sp~ s,«2-(«2-n,)(r2 + d)-
При П\ = Пз = 1 и п2 = п
(11.76)
Рис. 129. Изогтлянатическая линза
Если для первой поверхности
Sn =
Sl (r2 + d)
ns[ — (n — l)(/-2-t-d)"
(11.76')
U-2 Un
«, n,~ '
то Si =s Sn = 0 и должно выполняться условие rtiSi = n2Si, т. е.
первая поверхность будет апланатической. Из условия nisi = n3s'i
уравнение первого параксиального луча
г\ =
_ 'Ма1
"2а;
п1 "Ь л2 п\ "Ь л2
Для второй поверхности
Коэффициент «5ц будет равен нулю также только в том случае,
когда изображение входного зрачка, образуемого первой
поверхностью, совпадает с плоскостью, проходящей через центр
кривизны второй поверхности (S32 = р3 —Рэ = 0). Тогда s'p, = r2-fd и
"isi {r2 + d)
Sol — Sn
Для линзы в воздухе
sp = -
П|Л2«|-(п|—nf)(/-2 + d)
|('2+<Q
(11.77)
(11.77')
П5, _(n2-l)(r2+d)'
Если предмет находится в бесконечности, то оба рассмотрен-»
ных выше случая приводят к плосковыпуклой линзе, плоская по-
288

верхность которой обращена к предмету, с апертурной
диафрагмой, расположенной перед плоской поверхностью,
r2+d
П = со, Sp = —- .
Следует отметить разницу в применении апланатических и
изопланатических линз. Апланатическая линза, или система из
апланатических линз, остается апланатической и в том случае,
когда предмет и изображение меняются местами. Изопланатичес-
кая система при такой перестановке не остается изопланатической
для любого отверстия потому, что те поверхности, которые были
апланатичны к первоначальному положению предмета, не будут
теперь свободны от аберрации по отношению к пучку лучей,
падающему с другой стороны. Изопланатичность, при перестановке
предмета и изображения, сохраняется в какой-то мере для линз
с малой толщиной в области аберраций третьего порядка.
§ 78. Коэффициенты аберраций
и аберрации третьего порядка плоскопараллельной пластинки
Для преломляющей поверхности согласно (10.31) параметры Pv,
Wv и IIV равны:
П2
W* =
«v-
1
--■''- ™_
п.
«V-
«V
1
" ■ —
"»
"а„
1l
= — г-7 г- (av — <xv) (п,а,
("у - "v)
■ я>«у);
-Яуа,);
nv =
Уравнение для первого параксиального луча плоской
поверхности имеет вид
rtv<x„ — rtv<xv = 0,
откуда
' 1.,
Вычитая из правой и левой части уравнения (а) а,, получим
«„ — л„
(<xv— av)"
Выражение п,<х
/2vav —
Ю 1-44Л
nvav с учетом (а) будет равно
/ '2 2'
I *t-y — »*„ 1 I д„ — п
/Zvav — av [
(б)
(в)
(0
289

Учитывая (а), (в) и (г), для параметров /\, W* и П„ найдем
«'2 „2
Р — 3 "у ~ nv
ц„ = о.
wt = —a;
пч — n„
Для плоскопараллельной пластинки в воздухе (/ii = Яз — 1, п2 -
п, а\ = аз) будем иметь: первая поверхность
d з л — 1
Pi = — а, —
IP, =— a
2Л'-1
П, =0,
.,2 '
вторая поверхность с учетом, что <хг = а,/п,
з -' — I .
P2=at
№2 = а?
2 «' — I
П2 = 0.
Из этих выражений видно, что параметры Р и W для поверхносте
пластинки равны по абсолютной величине и обратны по знаку, т. е
_Я,=Р2 и _Г, = W?.
Для определения коэффициентов аберраций третьего порядк
воспользуемся формулами (10.34) при В* — 0, так как они не тре
буют длительных преобразований:
Si = V ^/>v = A,Pl + /i2P2;
е., — !
Si, = У! /г,Р, -^1 =/г,Я,^-А + /1,Р,
Рз — ^2
=Ч3 — h
Sl|1 - У A,P.№f -Л./». (^ЧЧ A.-f*(—
* Ьа
2 ,
.78
2У0

На основании (б) имеем
п—\
/ \ п~ 1 .
ЛЗ 0-2= («2 °Ч) ~ а1 ~ »
h2 = h\—da.2, hi—fi2=da.2 = at—.
(11.79)
Аналогичные выражения можно получить и для второго
параксиального луча:
о п о я —i
?2 —PI
рз —р2 = р,
я—1
(11.80)
Учитывая (11.79) и (11.80) для коэффициентов аберраций (11.78),
получим
oi = —а | т—а;
оц = —ахр 1 г-
■d;
(11.81)
С _ ,2Q2 я1* —1 ^,
от ==—aipi s—а,
5iv = 0,
О £)3 «2 — 1 ,
Оу = «lPl 5 «•
Монохроматические аберрации третьего порядка плоскопарал-
лельноп пластинки в соответствии q (11.81) и учитывая, что а2 =
= oi, выражаются формулами:
■ 1 .«2 — 1 2
is & j П~ — 1 2 ,
/Cm = ir a =—oi tgu>,;
■* я
г,п = -^ d -—^- lcv u>
I J ,.■'-«
г. =yd _3
2j— г„: = — d
П-' — !
n
tg' со i; i
3—tg^a»;
г,, = 0;
i яг \
(11.82)
10*
231

Если предмет находится в бесконечности, то cti = 0 и все
коэффициенты аберраций будут равны нулю, т.е. при установке
плоскопараллельных пластинок и отражающих призм в параллельном
ходе лучей она не будет вносить в систему монохроматических
аберраций. Плоскопаоаллельные пластинки обладают
положительной ссЬеоическои аоеррациеи, тогда как у иильшинстьа систем
эти аберрации обычно отрицательны. Плоскопараллельные
пластинки, как правило, действуют благоприятно на все аберрации
оптической системы.
§ 79. Суммирование аберраций
При разработке оптической системы нередко возникает
необходимость оценить, хотя бы приблизительно, какими остаточными
аберрациями может обладать проектируемая система. Для этого
необходимо знать коррекционные возможности компонентов,
составляющих систему (объективов, оборачивающих линз,
окуляров и т. д.). В этом случае нетрудно будет установить, какими
остаточными аберрациями компоненты будут обладать и в каких
пределах их можно изменять. Кроме того, аберрационный расчет
в большинстве случаев ведется по компонентам, т. е. компоненты,
входящие в систему, рассчитываются самостоятельно. Поэтому,
выбрав все компоненты системы и установив примерные
величины их аберраций, производят суммирование аберраций отдельных
компонентов. Правила сложения аберраций, которые будут
рассмотрены ниже, справедливы не только для аберрации
третьего порядка, но могут быть использованы и для
суммирования аберраций высшего порядка. Продольные аберрации, к
которым относятся хроматизм положения, продольная сферическая
аберрация, астигматизм и кривизна поля изображения,
переносятся из пространства предметов в пространство изображений
посредством умножения их на продольное увеличение. Обозначая
суммарную продольную аберрацию через As', для двух
компонентов в воздухе получим следующее выражение:
As' = a02Asi + As2 = $mAs\ + As'2,
для трех компонентов:
As' = (P02AS)' + As2) Роз + As3 и т. д.,
для системы из р компонентов:
Asp = $1$ор-\ ... Р02ДSi' + Pop-lPop-2 • • . P02AS2 +
+ poBAsp_i + Asp«
или
As? = As[ П f0 + As2 П $ + . .. + Asp_iPto + Asp.
2 3
292
(11.83)

Поперечные аберрации (хроматизм увеличения, кома, дистор-
сия) переносятся из пространства предметов в пространство
изображений посредством умножения их на линейное увеличение.
Для системы из компонентов суммарная аберрация будет равна
Д& = A#i П Ро + А£2 П ?0 + • •. + Д&-1РоР + Д&. (11 -84)
Суммирование аберраций должно производиться по ходу
одного луча, проходящего через всю систему. Если суммирование
аберраций производится в области аберраций третьего порядка, то
суммарная продольная аберрация определяется по ходу первого
параксиального луча, а поперечная — по ходу второго
параксиального луча.
В случае обращения системы на 180° продольная аберрация
в изображении обратится в предметную Asi, изменив только знак
на обратный, т. е.
Asi = —Asi.
Продольная аберрация в изображении в обратном ходе при'
отсутствии аберрации в предмете будет равна
А? = 4r As',
(11.85)
где Ро берется в прямом ходе лучей. Если, например, первая
система работает в обратном ходе, а вторая в прямом, то суммарная
аберрация будет равна
А? = p022Asi + ^2=102^- + A~S2 =1o2^oi Ali + A~S2. (11.86)
Poi
Fw
-As,
■*—
t
-ft
1
"J
\
—^-
i«%=#,
hz
"г
-*
OCj
\
fi
л
~AS'Z
§'
.—:*■•
Рис. 130. Суммирование аберраций оборачивающей системы
В случае когда между компонентами системы имеется
параллельный ход лучей, приведенные выше формулы суммирования
—*
теряют омысл, так как p0i->oo. В этом случае аберрации
компонента, после которого имеется параллельный ход лучей, раесчнты
ваются в обратном ходе.
293

Рассмотрим суммирование аберраций в оборачивающей системе,
состоящей из двух компонентов (рис. 130). Суммируя продольные
и поперечные аберрации, получим
As~ =Wo22Asi + Да; | (1
Так как p0i = °° и рог = 0, то неопределенность произведения
•рофог можно раскрыть следующим образом.
Инвариант Лагранжа —Гельмгольца I для системы равен
П\у<ц = пзу'аз-
Для системы в воздухе
Ро1^02 =
v -И
где
Я| =
Так как h\ = А2, то
р01р02
И аз =
"7Г
Тогда формулы (11.87) примут вид
,2
As' =
Ag'
При /i = /'г
Asi + As2;
^-|аЬ + Д^2.
As' = As) + As*;
(11.88)
(11.89)
т.е. суммарная продольная аберрация системы равна сумме
аберрации компонентов, а суммарная поперечная аберрация — раз-
кости аберраций компонентов.
В телескопических системах суммарные аберрации выражают
в угловой мере. Аберрации объектива вычисляются в прямом
\оде, а окуляра — в обратном. Суммарная аберрация
As' = iw -| aV„, l±g' = Ag„6 + Ago ■ : 1 i .90)
Для перехола к аберрации в угловой мере продольные яберра-
шш нужно перспести ? кружки рассеянчя А// в передней
фокальной ило1 кости окуляра; тогда угловые аберрации
294

Да' = 206 265 -^-, Др' = 206 265 -^-, (11.91)
где Да' и Др' в с.
Продольные аберрации телескопических систем выражают также
в диоптрийной мере
L = — ks', (11.92)
где ks' и /" в мм.

Глава 12.
ТЕРМООПТИЧЕСКИЕ АБЕРРАЦИИ
§ 80. Влияние температурных изменений среды
на оптические системы
Многие оптические приборы работают в условиях переменной
температуры окружающей среды (геодезические инструменты,
аэрофотоаппараты и т. д.). Между оптическим прибором и
окружающей средой возникает тепловой обмен, происходит
нагревание или охлаждение механических и оптических деталей прибора.
Ввиду различной теплоемкости деталей изменение их
температуры во времени происходит неравномерно. В частности, в
оптических деталях, имеющих малую теплопроводность, в процессе
нагревания или охлаждения возникает температурный градиент,
характеристику которого весьма трудно определить. Поэтому
обычно перед началом эксплуатации прибора приходится
некоторое время его выдерживать в рабочей среде до стабилизации
температуры всех деталей. В случаях когда по условиям работы нет
возможности выдержать прибор до выравнивания температуры,
необходимо обеспечить его надежной термоизоляцией.
С повышением температуры увеличиваются геометрические
размеры деталей, т. е. увеличиваются толщины и раднусы
кривизны поверхностей. Температурные изменения показателя
преломления оптического стекла и других оптических материалов,
кроме того, зависят от длины световой волны.
Приближенные значения линейных размеров и показателя
преломления при температуре t вычисляются по формулам:
d, = rf0[l + a,(f—20°)]; (12.1)
r, = r0[\+a,{t — 20е)]; (12.2)
я*=»л<> +P/(f —20°), (12.3)
где а/. — коэффициент линейного расширения стекла; $t—
температурное приращение показателя преломления. Номинальные
значения d0, го и п0 определяются при температуре ^ = 20°С.
Температурное приращение показателя преломления рг является функцией
длины волны, поэтому формула (12.3) имеет вид
/7л = п,, + рА(/ —20°).
Из (12.2) видно, что во избежание расклейки склеенных
оптических ле!алей марки стекла, из которых они изготовляются,
должны иметь близкие значения коэффициента линейного
расширения.
296

Возникающие при изменении температуры вариации п, d и г
вызывают изменение фокусного расстояния системы, положения
и величины изображения, масштаба изображения; изменяются
также и величины аберраций. Кроме того, при фиксированном
положении плоскости изображения на резкость его еще влияют
температурные изменения корпуса прибора.
Температурные изменения положения и величины изображения
называются термооптическими аберрациями.
Смещение плоскости изображения в зависимости от температуры
носит название термооптической аберрации
положения изображения, а изменение величины
изображения— т е р м о о п т и ч е с ко й аберрации увеличения.
На термооптическую аберрацию положения изображения
необходимо обращать внимание при расчете длиннофокусных систем.
Термооптическая аберрация увеличения должна учитываться при
разработке высокоортоскопических и высокоразрешающих
объективов. Ниже будут приведены уравнения для термооптических
аберраций первого порядка (параксиальной области).
§ 81. Термооптическая аберрация положения изображения
Уравнение для первого параксиального луча в линейных
координатах имеет вид
4--= П'~П. (12.4)
s s г \ /
В этом уравнении все величины являются функциями температуры
t, поэтому после дифференцирования и преобразования получим
n'ds' nds
s'7dt ~~ s*dt
= Г_„ (1 _ 1)(± М- _ 1 *LV
[ [г s)[n' dt п dt j
, я— 1 dr
"I 2 IT'
Переходя к углам первого параксиального луча а = his и а.' —
— his', найдем
n'a'2ds' = no.4s + h^Tb^-+h^dr. (12.5)
При переходе от поверхности v — 1 к поверхности v необходимо
учитывать, что
s» = s,'_i — fifv-i, (12.6)
где fifv_i также зависит от температуры. В этом случае для v-й
поверхности (12.5) будет иметь вид
n'oL'Us'. = n^ds^ + hJ-^A b№f\ +£^-dr,-n^dd^x. (12.7)
Если написать уравнение (12.7) для системы из k преломляющих
поверхностей, затем сложить правые и левые части, то после
сокращения можно получить
297

П.1,0.
откуда
(12.8)"
Я, /а, \2
8 —
п
(12.9)
Переходя от дифференциалов к приращениям dst = As, = Ast,
ds'k = As'k = д^, dr, = Дг„, dn = Дм, rfd,_i = Adv_i и обозначив
ftv \2 / ! 8a „ An
ri=~S(^)(i^r8T+8^)+Si'Zva^-"(12J0)
v—2
получим
As, = — — is(- ' T,,
(12.11)
где As< — термооптическая аберрация положения в пространстве
предметов; As) — термооптическая аберрация в пространстве
изображений (рис. 131). Сумма или коэффициент 7*1 называется ко-
U-
f20
E'zo
А'го
ds't
—н
4
4
Рис. 131. Термооптическая аберрация Рис. 132. Элементарная конструкция
положения изображения AS' = St—SL фиксации положения двух соседних
линз оптической системы
эффициентом термооптичеокой аберрации
положения изображения или первым коэффициентом
термооптической аберрации.
- Имея в виду, что h\ = s>ai и продольное увеличение
п
<*и = —
298

уравнение (12.11) можно написать в виде
Д*; = а0Д8, —a0-!-7V (12.12)
п
В частных случаях, когда предмет не имеет термооптической
аберрации положения (As* = 0),
Д* = _a0-L Г,. (12.13)
п
Для бесконечно удаленного предмета
lim (a0si) = lim (-^- $Щ = A-f2, поэтому
As'< = — Xf'TT. (12.14)
Если Ti вычисляется при f = 1 и «i = nk = I, то
Д»"=—/ТГ. (12.15)
Температурные изменения воздушных промежутков в
оптической системе зависят от коэффициента линейного расширения
корпуса, от способа крепления линз в оправе, от крепления самих
оправ в корпусе и от коэффициента линейного расширения
стекла. Рассмотрим типичную конструкцию, когда воздушный
промежуток устанавливается с помощью кольца (рис. 132). В этом
случае
d = L + el—e2. (12.16)
Коэффициент линейного расширения отдельных материалов
имеет различное значение, поэтому величина температурного
приращения воздушного промежутка будет равна
Adt = \(d — e\ + е2) ат + е\аи — e2a2t] dt, (12.17)
где <xm — коэффициент линейного расширения материала кольца.
В конструкциях оптических приборов встречаются самые
разнообразные способы крепления линз в оправах и оправ линз в
корпусе, поэтому в каждом конкретном случае необходимо получить
свое выражение для Acf/.
Принимая во внимание (12.1), (12.2), (12.3) и (12.17), для (12.10)
можно получить
Т __ (' — 20°)
ft?
4=1 \ П /,_ ц=1
(12.18)
где d — толщина линзы; <Хр. — угол первого параксиального луча
в стекле; п^ — показатель преломления стекла линзы; а^. — коэф-
299

чрициент расширения стекла линзы. Второй член правой части
уравнения (12.18) равен
А:Г'=Т2-£ ««А*. (12Л9)
"1 t=>\
где /—индекс, определяющий текущий номер воздушного
промежутка; а.1 — угол параксиального луча в воздушном промежутке;
Mi — изменение величины воздушного промежутка. В простейшем
случае Ad определяется по формуле (12.17) при /' = 1, если ai = 0.
В таких системах, как зрительные трубы и любительские
фото-, кинокамеры, термооптическая аберрация положения
компенсируется фокусировкой.
§ 82. Коэффициент термооптической аберрации
положения системы,
состоящей из тонких линз, в воздухе
Оптическая сила тонкой линзы в воздухе определяется формулой
Учитывая (12.20) для коэффициента термооптической аберрации
положения (12.18) системы из / тонких линз, после преобразования
найдем
Г1=(/-20°)2(^)2ф(1(т=Т-а')(1 + Л7,ь (]2-21)
где
ATi = IF S *^Ч-1- О2-22)
"1 ц=1
В (12.22) суммирование распространяется по всем воздушным
промежуткам между линзами системы. Для предмета в бесконечности
с учетом условий нормировок (оч = 0, ak = 1, hi = /' = 1) для (12.21)
получим
77=(*-20°) £ A^J-A--.,) + ДГ,. (12.21')
(1=1 \ П — I /ц
Введем обозначение
F/x=7^T-a/. (12.23)
Величина Vti называется термооптической постоянной,
значение которой приводится в каталоге на оптическое стекло.
300

С учетом (12.23) для коэффициента термооптической аберрации
положения (12.21) и (12.21') найдем
>mKv«+2-
jap.Adjj.-i;
(12.24^
(12.25)
T1=(t — 20°
- л~* \ »i/ —■ ».
p=l (i=2
Термооптическая постоянная Fx< дается как среднее в пределах
изменения температуры от —60 до 20° С и от 20 до 120 С для
линий спектра F', е и С. Для этих же значений температур и
линий спектра дается и значение рд. Термооптическая постоянная
V(k может быть как положительной, так и отрицательной и
изменяется в пределах —18,6 • 10~s< Vft< 12,4 . I0-6. У некоторых
марок стекол Vt\ близка к нулю, что дает возможность рассчитать
систему с не зависящим от температуры фокусным расстоянием.
§ 83. Термооптическая аберрация увеличения
При рассмотрении термооптической аберрации увеличения
целесообразно изменение линейных размеров изображения относить
к плоскости приемника изображений (рис. 133). Разность ординат
Рис. 133. Термооптическая аберрация увеличения kyt = у, —(/2р'
7. '
др/—термооптическое смещение центра выходиогэ зрачка; Да^ —термическое ишепение
размеров механического устройства, связывающего оптическую системы с фиксируемой
плоскостью приемника, Дв' — термическое смещение плоскости изображения относительно
плоскости приемника
Ay, = yt — г/20 является термооптической аберрацией увеличения
в плоскости изображения при температуре 20°С. Из рис. 133
видно, что температурное смещение плоскости изображения
относительно фиксирующей плоскости приемника, вызванное
термооптической аберрацией положения изображения As'< = s't — s2q и терми-
301

ческим изменением Да' размеров механического устройства,
Бающего оптическую систему с плоскостью приемника,
Д6' = As',—Да'.
Полагая, что ш/ = ш2о = to , найдем
&y't =* \Н — (/20 = y'i + Д6' tg (в' — у2'0 = Ay't.+ АУ tg to'.
Термооптическая аберрация в относительной мере
АУ(
У20
Ду*
У20
Так как
Aft' tg ю'
У20
Ш — y't — У20 = y$ot — г/ро2о = У ($ot — Р020) = г/Др/,
то
"20
_Д^
Ро20
ДЬ' tg m'
Линейное увеличение, связывающее показатели прело
и отрезки s и s', определяются формулой (9.17), т. е.
к
При изменении температуры изменяются показатели прело
я и координаты s и s', поэтому, используя уравнения (9.24) i
и переходя к приращениям, после преобразования получим
где
ДЭ, ^
ht
к
Дп.
Дпь
+ ■
As,
As,
,— s.
■Тп,
-г
8a » Дп
hb-
Дг„
+ 2j(sp-s)v
Коэффициент Гц называется коэффициентом термо
ческой аберрации увеличения или вторым ко.
циентом термооптической аберрации.
В частном случае, когда предмет не имеет термоопти
аберрации (as< = 0) и система находится в однородной среде,
др, As',
—^—т-^Тп.
Pot sp, — sk 1
Подставляя в (12.30) значение да из (12.13), находим
Д?,
hi
"0s!
ni(V-s*)
302
7Y
ir,,.
(12.31)

Если термооптическая аберрация положения исправлена (As/ =
trr 0), тогда
д?г
fo/
—1-г,,
(12.32)
Подставляя (12.32) в (12.27), получим
Ду<
■■—т-щт г Гц.
#20 Х
(12.33)
Для предмета в бесконечности с учетом нормировок (а\ = 0, ак — 1,
Л| = /' = 1, Pi = 1, I = —1) будем иметь
Ду Aft' +„ / L г
#20 ^20
(12.34)
При S] ——со имеет место равенство Др/ро = M'lf, поэтому
температурное приращение фокусного расстояния можно выразить еле
дующим образом:
ДГ,
АР<
-г-*,- <НЛ6>
Кроме того, в параксиальной области имеет место равенство
V —si = —ПРо, —Ро) (12-36)
и при si = —оо р0 ->■ 0. поэтому
s;—s'k==—§Qpr (12.37)
и
I = — ti\hly\—.
(12.38)
После подстановки в (12.31) выражении (12.35), (12.37) и (12.38)
найдем относительную величину температурного изменения
фокусного расстояния системы:
д/; _
f ТТ + —%— Т"
я*Ро
Я|А,у,
(12.39)
Пользуясь формулами (12.1) —(12.3) для (12.29), найдем
Г,,=-((-20ГЬ,
■8 -jp \ + 8nsa,a/
+ ДГ„, (12.40)
где
303

Формулу для коэффициента термооптической аберрации
увеличения для системы из тонких линз в воздухе можно получить из
уравнения (12.4) с помощью равенства (12.20)
7„ = (*-20)° £ Л^фЛ-г=Т-«') +А7Ч О2-41)
где
i
11=2
Вводя в (12.41) основную термооптическую постоянную (12.33), имеем
7п= ('-20°) Е Л^аФ^х/Ч- S а^,Д^-ь (12.42).
li=l [1=2 .
§ 84. Термооптические аберрации для системы,
состоящей из тонких компонентов
Для тонкого компонента, состоящего из I тонких линз в
соответствии с (12.24) и (12.42), учитывая, что h\ — /г2 = /г& = А,- и г/i =
= t/2 = ук = г/г, и переходя к приведенным оптическим силам (<? =
= Ф/Ф,), будем иметь
7„ = (*-20°)Ф,Е 4tVu + bTu; (12.43)
TiU = (t-20°) fuy&tZ fiVu+bTui- (12.44)
Выражение ZfiVxi называется основным
термооптическим параметром тонкого компонента, т.е.
i
Uи = £ 9tVu. (12.45)
Тогда для тонкого компонента будем иметь
Гн = (/-20°)Ф((Л« + ДГп; (12.46)
7ш = (* —20°)^Ф,-1Ги+Д7,ш. (12.47)
Для системы из р тонких компонентов
7, = (t-20°)± у hhiUu + ДГ,; (12.48)
7„ = (/-20°)}] A##,t/W + ДГ,. - (12.49)
t'=l
Учитывая, что
а, — а,
ф, = -1 L
304

для коэффициентов термооптических аберраций будем иметь
Гн = (/-20°)^| Л,(а;-а,)*ЛН-Д7-1; (12.50)
Tut = (t — 2(f)t yc(*'i — oii) Uu + ЬТ„. (12.51)
i—i
§ 85. Исправление термооптических аберраций
Для устранения термооптической аберрации положения
необходимо выполнить условие As* = Т\ = 0.
Термооптическая аберрация увеличения будет отсутствовать
в том случае, когда
% = A&'tgo/— -^°-Г„ = 0.
Допустим, что плоскость приемника, на которой фиксируется
изображение, должна оставаться неизменной при изменении
температуры от 20° С до температуры t. Температурное смещение
плоскости изображения относительно плоскости приемника
вызывается двумя причинами: наличием термооптической аберрации
положения изображения и термическим изменением механического
устройства, связывающего оптическую систему с плоскостью
приемника Да'.
Для устранения температурного смещения плоскости
изображения относительно приемника необходимо выполнить условие
Дб' = list— Да'=*0, (12.52)
отсюда
hs't — Да'.
Равенство (12.52) является общим условием нерасстраиваемости
оптического прибора в отношении температурной дефокусировки
изображения относительно приемника. Если, например, достигнуто,
что Да' = 0, то необходимо, чтобы и As/ = 0.
Условие нерасстраиваемости оптического прибора в отношении
температурного изменения размеров изображения на фиксирующей
поверхности приемника определяется из (12.27)
by't — y't — г/20 = 0.
Из (12.27) и (12.30) при Д6' = 0 следует
отсюда
д</<
ы
Гц»
Да' 1
V - s'k 1
305
(12.53)

При S] = —со с учетом нормировок
Гп = , Да> , . (12.5Г)
Для выполнения условия Тц необходимо, чтобы Да' = 0.
Устранение термооптических аберраций оптических систем
производится одновременно с коррекцией хроматических и
монохроматических аберраций.
§ 86. Термобарическая дефокусировка изображения
Рассмотренные выше термооптические аберрации относятся к
нормальному давлению и постоянному значению показателя
преломления воздуха. При изменении давления и температуры
изменяется показатель преломления воздуха, поэтому происходит
смещение изображения, называемое барической
дефокусировкой изображения.
Номинальное значение абсолютного показателя преломления
воздуха при температуре /=0°С и давлении Рп = 1,01 . 10Б Па
равно «бо = 1,0002919. Абсолютный показатель преломления воздуха
при других значениях / и Р определяется по формуле
где $ь = 1/273; t и Р — температура и давление воздуха в
межлинзовых промежутках оптической системы.
При определении / и Р возникают большие трудности, так как
они зависят от герметизации и термоизоляции системы,
влияющих на скорость процесса уравнивания температуры системы,
и давления окружающей атмосферы. Относительный показатель
преломления воздуха (nb)fp в межлинзовых промежутках при
изменении давления Р воздуха определяется выражением
"йо ~ ' Р
1 +
м--—4£А <12-55>
При Р1Рп=\ относительный показатель преломления воздуха
(nb)t = 1 при всех температурах /, потому что в каталоге
оптических стекол даются величины относительных показателей
преломления.
Напишем (12.54) в виде
где Т = М- 273 и Т0 = 273.
306

Изменение показателя преломления в зависимости от Р и Т из
(12.56) будет равно
дпЬ _ ("to-') Т0 дпь _ (пьо -1) р
дР ~ Р0 Т ' dT т2 ро
(12.57)
Из (12.54) изменение пь составит
dnh dnh
dnb = ~dP + ^fdT.
Учитывая (12.57), будем иметь
dnb= ""р""' (dP-^rdT]^-. (12.58)
Термобарическая дефокусировка изображения зависит от
показателей преломления в межлинзовых промежутках и
пропорциональна изменению показателей преломления drib. Сопоставим
величины барических дефокусировок при одинаковом изменении
давления воздуха, температуре Т и температуре То=293 К
(t=20°C). Приняв в формуле (12.58) dT = 0, отношение
барических дефокусировок будет определяться выражением
*»г-м8 _ (я*о-')Маазро) _ Т. n9(yft
ts'T ~ ("бо-1)МГРо) ~293' [ '
Если вычислить изменение показателя преломления при
изменении давления от Ро до Р по (12.55), а затем величину As' для
одной какой-либо температуры, например t = 20° С (или Т = 293 К),
то для любой другой температуры Т величина барической
дефокусировки ksr определяется из (12.59).
Допустим, в (12.58) dP=6, тогда отношение термобарических
дефокусировок можно представить выражением
(12.60)
Asp
As'p
"so Р
Т2 ' Ро
пьо~1
т2
р
Ро
Из (12.60) вытекает, что, вычислив дефокусировку, вызванную
изменением температуры dT воздуха в межлинзовых
промежутках системы при нормальном давлении Р0, можно определить
дефокусировку изображения, вызванную тем же изменением
температуры, но при давлении Р. Соотношения (12.59) и (12.60)
используются при разработке нерасстраивающихся систем.

Часть III
ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Глава 13
ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Оптической системой называется совокупность оптических
деталей (линз, призм, зеркал, пластинок, светофильтров и их
комбинаций), расположенных относительно друг друга в
определенном порядке в соответствии с расчетом и техническими условиями.
Как правило, оптические детали, входящие в систему, имеют
общую ось симметрии. Такие системы называются
центрированными.
Представляется удобным классифицировать оптические
системы по положению предмета и изображения:
а) предмет и изображение располагаются в бесконечности.
К этой группе относятся телескопические системы
(астрономические телескопы, зрительные трубы, прицелы, стереотрубы,
системы для формирования излучения ОКГ и др.);
б) предмет на конечном расстоянии, а его изображение в
бесконечности. К таким системам следует отнести оптические
системы микроскопов различного назначения и лупы;
в) предмет в бесконечности, а изображение на конечном
расстоянии — фотографические объективы различного назначения;
г) предмет и изображение находятся на конечном
расстоянии — проекционные и осветительные системы.
Каждая группа систем имеет свои специфические особенности,
но общими их характеристиками будут увеличение (масштаб
изображения), угловое или линейное поле, светосила и
освещенность изображения, разрешающая способность и
частотно-контрастная характеристика.
§ 87. Увеличение (масштаб изображения)
Масштаб изображения для систем, в которых предмет и
изображение находятся на конечном расстоянии, определяется
линейным увеличением р0, равным (рис. 134)
fc~f — т —f' (13Л)
308

Линейным увеличением характеризуется масштаб
изображения проекционных объективов. Как следует из (13.1), линейное
увеличение зависит от фокусного расстояния системы.
Когда предмет находится на довольно значительном (по
сравнению с П расстоянии, например для фотографических
объективов, масштаб изображения определяется фокусным расстоянием.
Рис. 134. Координаты, определяющие положение сопряженных точек системы
При постоянном положении предмета относительно системы
линейное увеличение будет тем больше, чем больше фокусное
расстояние объектива.
Обычно при фотографировании получают снимки в
уменьшенном масштабе, а при микрофотографии—в увеличенном.
Расстояние от задней фокальной плоскости объектива до плоскости
изображения обычно невелико и составляет доли фокусного
расстояния объектива. Величину z' называют оптической длиной камеры
и обозначают Ак. Поэтому масштаб изображения можно
представить формулой
Ро = —^-. (13.2)
В аэрофотосъемочных аппаратах (АФА) плоскость
изображения располагается в задней фокальной плоскости объектива, а
масштаб изображения определяется отношением фокусного
расстояния к расстоянию до предмета съемки
m = -f. (13.3)
Масштаб изображения обозначается как 1:5000; 1:10 000; 1:25 000
и т. д. Формулой (13.3) можно также характеризовать масштаб
изображения малоформатных камер.
Масштаб изображения зрительных труб (телескопических
систем) определяется видимым увеличением
tgco
D
D'
4б
'ПК
(.13.4)
где и, ш —половина углового поля в пространствах предметов
и изображения; D, D' — диаметры входного и выходного зрачков;
/об, /ок — фокусные расстояния объектива и окуляра.
309

Иногда для зрительных труб вводится понятие полезного
увеличения Гп, которое необходимо для полного использования
разрешающей способности глаза наблюдателя (прифгл =■ 60"),
Г - AiL _ _60"D-=-5- 03 51
U-—~ 120» 2 , vIOi>J
• тр
ty"Tp = —-^ разрешающая способность объектива зрительной тру.
бы; D — диаметр входного зрачка в мм.
В оптической системе микроскопа предмет расположен на
конечном расстоянии, а его изображение — в бесконечности. Видимое
увеличение микроскопа Г вычисляется по формуле
=; 250 Д 250 _R р mfix
1 = —т— = р г,— =Р0об1ок, \1ЛЛ)
'м 'об 'ок
/„ — заднее эквивалентное фокусное расстояние микроскопа;^ А —
оптический интервал, определяющий расстояние между задней
фокальной плоскостью объектива и передней фокальной плоскостью
окуляра; (30об— линейное увеличение объектива; Д>б, /ок— задние
фокусные расстояния объектива и окуляра; Гок=—; видимое
'ок
увеличение окуляра.
§ 88. Поле системы
Полем системы в пространстве предметов называется часть
пространства, которая изображается данной оптической системой.
Поле оптической системы принято обозначать в угловой мере,
если предметы расположены на значительных расстояниях
(телескопические системы, фотографические объективы), и в линейной
мере, если предметы находятся вблизи от системы (микроскопы).
Поле оптической системы ограничивается полевой диафрагмой,
которая устанавливается в плоскости предмета или в одной из
плоскостей, с ней сопряженной. В зависимости от назначения
системы ее поле может иметь форму круга, квадрата,
прямоугольника.
§ 89. Светосила. Освещенность изображения
Геометрическая светосила определяется квадратом
относительного отверстия 1-р-1 или величиной, обратной квадрату диафраг-
менного числа 1-^-1 , где К —-jr. Физическая светосила —
произведение геометрической светосилы на коэффициент пропускания
оптической системы. "Ч-р- представляет собой численную меру.
Г
310

характеризующую освещенность изображения точки на оси Е' или
элементарной площадки, перпендикулярной к оптической оси,
Ро — линейное увеличение системы; рр—линейное увеличение
в зрачках; L — яркость предмета.
Из (13.7) следует, что освещенность изображения зависит от
линейного увеличения Ро и для различных расстояний до предмета
Е' будет иметь разные значения. Если предмет находится" в
бесконечности Ро = 0, то
E'-^(i)'. (,3.8)
В прожекторных системах, когда изображение находится далеко
от системы, освещенность определяется по формуле
Е'
£№■)■ ^
—^ площадь выходного зрачка; s —расстояние от системы до
изображения; т — коэффициент пропускания оптической системы.
Освещенность изображения внеосевых точек будет равна
E'v=*k«E' cos4 ш', (13.10)
ka — коэффициент виньетирования.
§ 90. Разрешающая способность.
Частотно-контрастная характеристика (ЧКХ)
Для опенки изображения, даваемого оптической системой,
необходимо характеризовать его как с количественной, так и с
качественной стороны. Наиболее распространенным критерием
количественной оценки качества изображения системы является
разрешающая способность. Исходя из теории дифракции, освещенность
£' в точке А', удаленной от центра пятна рассеяния А0 на
расстояние г', выражается зависимостью
(У)
■f 2/, С
(13Л1)
где у = ~-nKaKr ; h(y)— функция Бесселя 1-го рода.
Радиус центрального пятна дифракционной картины светящейся
точки для круглого отверстия, выраженный в линейной мере, будет
Г' = п ,1у , »—*£_ (13.12)
2шк sin ок 2wiKa,
у — расстояние от центра дифракционного пятна; X — длина волны.
Из выражения (13.12) следует, что
у= -j-n:iaKr'. (13.13)
зп

Произведение п'каУ представляет собой инвариант Лагранжа —
Гельмгольца / для пространства изображений. Переходя к
пространству предметов, получим
у = JLri\a\ г или г =
ty
■ш^- (13Л4>
На рис. 135 представлены радиус г центрального пятна
дифракционного изображения и оптическая система, заданная входным
зрачком D и положением предмета sp. Из рис. 135 можно написать
D . . D
о, ==■
Г — —tySp = —<|) ■
(13.15)
2sp ■ ' " ' 2а, •
Сравнивая формулы (13.14) и (13.16) для системы в воздухе,
опуская знак минус, получим
(13.16)
Формула (13.16) позволяет определить угловое расстояние ар,
которое соответствует радиусу центрального дифракционного
пятна (кружка Эри) в пространстве предметов для светящегося
точечного объекта.
При наблюдении оптической системой двух близко
расположенных светящихся точек их дифракционные изображения в
определенных условиях могут частично наложиться друг на друга.
Освещенность в каждой точке дифракционной картины
суммируется, а распределение энергии будет характеризоваться кривой,
представленной на рис. 136.
Оптическая система позволяет раздельно наблюдать две
светящиеся точки, если в пространстве изображения их
дифракционные картины смещены на величину радиуса центрального светло-
Е'>
I
i ,
W
1
г
i
\ 1
А.
г
1
Рис. 135. Ёывод формулы разрешаю- Рис. 136. График распределения осне-
щей способности оптической системы щешюсги в дифракционном
изображении двух светящихся точек
го пятна г. В этом случае суммарная кривая интенсивности Е'
будет иметь два максимума и один минимум.
Для различения двух точек в такого рода дифракционной
картине необходимо, чтобы разность между максимальной и
минимальной освещенностями достигала некоторой определенной
312

величины. При отношении минимальной и максимальной ее
освещенности порядка 0,8 глаз уверенно различает оба максимума
^-"<0,8. (13.17)
max
Полагая в формуле (13.16) у = 3,8317, получим
ф = Цг. (13.18)
Для X = 0,55 мкм
^"=^?", (13.19)
D—диаметр входного зрачка в мм. Пользуясь формулой
(13.19) для определения теоретической разрешающей способности
оптической системы в угловой мере, следует иметь в виду, что
контраст освещенности между максимумом и минимумом
составит 26%.
Однако глаз способен различать и значительно меньшие
контрасты. Так, при контрасте в 5%, когда расстояние между
максимумами освещенностей дифракционных картин двух точек
составит 0,85г, угловая разрешающая способность определяется по
формуле
Ф'=^. (13.20)
Разрешающая способность объективов зрительных труб
обычно выражается в угловой мере, фотографических объективов —
в линиях на 1 мм, а объективов микроскопов — в микрометрах
(мкм).
Однако разрешающая способность систем, обладающих
значительными остаточными аберрациями, недостаточно характеризует
качество изображения. Определение разрешающей способности
осложняется рядом обстоятельств, зависящих от выбора
испытательной таблицы (миры), ее освещенности, контраста, и
содержит субъективные ошибки при ее расшифровке. Как показывает
опыт, оптические системы с одинаковой разрешающей
способностью, но различными остаточными аберрациями отличаются
качеством изображения.
Поскольку разрешающая способность далеко не полно
характеризует качество изображения оптической системы, были
проведены исследования по объективной оценке качества изображения.
Так, Релей установил критерий, который состоит в том, что для
получения практически идеального изображения остаточная
волновая аберрация (отступление волновой поверхности от сферы
сравнения) не должна превышать четверти длины волны,
Л'<4-Х.
313

Д С. Рождественский доказал, что для астрономических
объективов
/V <■!>,. (13.21)
Однако ни критерий Релея, ни критерий Д. С.
Рождественского не учитывают передачу контраста оптической системой
(см. гл. 27)
D D Е*' __ С*'
*= ятаХ^ят'П или /С'= -#2 SiS.. (13.22)
Оценка качества изображения может быть также произведена,
исходя из критерия Штреля, когда сравнивается освещенность в
центре дифракционного пятна Е' реальной оптической системы
с освещенностью £», создаваемой идеальной системой. Отношение
обеих освещенностей s называют определительной яркостью или
числом Штреля
s = fi. (13.23)
При значительных волновых аберрациях, сравнимых с длиной
волны %, пользоваться формулой (13.23) нельзя, так как
распределение освещенности не имеет выраженного максимума. Для
хорошо корригированных оптических систем критерий Штреля
находится по среднеквадратическому отклонению волновой
поверхности от сферы.
Качество* изображения существенно ухудшается, когда
волновая аберрация превышает предел Релея или число Штреля
становится меньше 0,8. Критерии Релея и Штреля устанавливают
пределы значения волновой аберрации, при которой изображение
принимается совершенным.
В последние годы для оценки качества изображения
используется частотно-контрастная характеристика (ЧКХ), которую
называют функцией передачи модуляции F(N0) (см. гл. 27),
/4AM = f, (13.24)
где К' — контраст в изображении решетки с синусоидальным
распределением освещенности; /(-—контраст решетки; /V0 —
период решетки. Контраст можно определить по формуле (13.22).
ЧКХ расчетным путем определяется для 200—300 точек,
расположенных по четырем направлениям координатных осей и под
углами 45" к ним Вычисление Е' производите» по волновым
аберрациям либо на основе геометрических аберраций без учета
слияния дифракции, что возможно о случаях, когда волновые i6ep-
рапии не превышают (2—3) К.
Часготпо-контрасгпая характеристика по-толяе! быстро и
ючно предсказать, как будет изображаться предмет аериодиче-
314

ской структуры, и определить падение контраста в изображении
этих структур. Поскольку изменение ЧКХ имеет плавный
характер, она может быть представлена простыми аппроксимирующими
функциями, зависящими от малого числа параметров. Если
известны ЧКХ оптических систем, последовательно передающих
изображение, нли отдельно приемного слоя и системы, то простым
умножением этих характеристик можно получить функции
контраста.
Экспериментально ЧКХ получают на специальных установках,
снабженных синусоидальными мирами, сканирующими
устройствами и фотоэлектрическими приемниками, позволяющими
автоматически получать функции контраста изображения.
В последующих главах будут рассмотрены принципиальные
оптические схемы различных приборов, нх характеристики,
ограничения пучков лучей и другие вопросы.
На практике часто приходится рассчитывать и создавать
установки, представляющие комбинации приборов различного
назначения, например, осветительная система — микроскоп;
микроскоп— фотографическая система; осветительная система —
коллиматор— объектив — микроскоп и т. д. В этих случаях
необходимо обращать особое внимание на согласование апертур,
зрачков и окон систем. Так, в системе осветитель — микроскоп выход-
пая апертура осветителя должна быть равна или несколько
превышать входную апертуру объектива микроскопа, выходной
зрачок осветителя должен совпадать с входным зрачком
микроскопа. Размеры зрачков, апертурных углов, окон и полей
(угловых, линейных) предыдущих и последующих систем следует
согласовывать как по нх положению, так и по размерам.

Глава 14
ОПТИЧЕСКИЕ ДЕТАЛИ
В качестве оптических деталей оптико-механических и
оптико-электронных приборов используются детали, изготовленные из
оптического стекла, кристаллов, пластмасс и других оптически
прозрачных материалов с соблюдением необходимых допусков и
требований — линзы, призмы, плоскопараллельные пластинки,
оптические клинья, светофильтры, зеркала, сетки, шкалы н т. п.
Оптические детали, расположенные в соответствии с
техническими условиями, образуют оптическую систему.
§ 91. Линзы
Линза—деталь из оптически прозрачного материала,
ограниченная двумя преломляющими поверхностями, из которых по
крайней мере одна является поверхностью тела вращения. Эти
поверхности могут быть сферическими, плоскими (одна) или
асферическими второго и более высоких порядков.
На рис. 137 представлены основные типы линз:
положительные (собирательные) Ф>0 и отрицательные (рассеивающие)
Ф< 0 и их кардинальные элементы / , sf>, Sh\ f, sf, $h-
В положительных (собирательных) линзах задний фокус F'
расположен справа от задней главной точки линзы Я'. Такая линза
отклоняет луч к оптической оси относительно его первоначального
положения.
В отрицательных (рассеивающих) линзах задний фокус F'
находится левее задней главной точки линзы Я'. Отрицательная
линза отклоняет луч от оптической оси относительно его
первоначального направления.
Рассмотрим сферические линзы, приведенные на рис. 137.
1. Двояковыпуклая линза. Линза положительная (Г>0),
радиусы кривизны преломляющих поверхностей противоположны
по знаку; первый радиуе—положительный, второй —
отрицательный. Главные точки Я и Н' расположены между вершинами
поверхностей (sh'<0; sh>0).
2. Положительный мениск. Линза положительная (f >
>0). Радиусы кривизны поверхноетей одинаковы по знаку.
Толщина линзы по оси больше, чем ее толщина по краю. Если
радиусы линзы отрицательные, то главные точки Я и Я'
располагаются справа от линзы (sM- > 0, sH > 0). При повороте линзы на
180° радиусы линзы станут положительными, а главные точки
будут находиться слева (s/r < 0, «я<0)- Естественно, что при этом
ее фокусные расстояния f и / сохранят свою величину и знак.
316

3. П л ос к о-вы пуклая линза (вып у к ло-пл оск а я).
Линза положительная (/' > 0). Одна из преломляющих поверхностей
будет плоской. Если первая поверхность плоская, то задняя
главная точка совпадает с вершиной второй (сферической) поверхности
(s'jj- = 0). При повороте лннзы на 180" (сфера—плоскость) с
вершиной первой поверхности совпадает передняя главная точка
(sh = 0). Фокусное расстояние такой линзы не зависит от ее
толщины.
4. Двояковогнутая линза. Первый ее радиус
отрицательный, а второй — положительный. Линза отрицательная (/'< 0).
Главные точки Я и Я' расположены между вершинами
поверхностей (sh' < 0, sH > 0).
5. Плоско-вогнутая линза (вогнуто-плоская). Линза
отрицательная (/' < 0). Одна из преломляющих поверхностей
плоская. Главные точки располагаются между вершинами поверхностей,
а одна из них совпадает с вершиной сферической преломляющей
поверхности. В плоско-вогнутой sh' = 0, в вогнуто-плоской sh ~ 0.
Фокусное расстояние такой линзы не зависит от ее толщины.
6. Отрицательный мениск. Линза отрицательная (/'<0).
Радиусы кривизны преломляющих поверхностей одинаковы по
знаку (п > 0 и г2 > 0 или г\ < 0 и Г2 < 0). Толщина линзы по осн
меньше, чем толщина по краю. Главные точки Я и Я' лежат вне
линзы. Если радиусы отрицательного мениска поло'жительны, то
Sh' > 0, sh > 0 и главные точки находятся справа; при
отрицательных радиусах sh' и sh — отрицательные и главные точки
располагаются слева от линзы.
7. Концентрическаялинза. Линза отрицательная (/' < 0),
радиусы кривизны преломляющих поверхностей одинаковы по
знаку. Центры кривизны С\ и С2 совпадают. Главные точки линзы
Я и Я' совпадают с центрами кривизны. Если г\ и г2
положительные, то sh- и Sh также положительные. При повороте линзы на
180" радиусы Г\ и г? станут отрицательными, а главные точки Я
и Я' будут находиться слева (sh' < 0, s#<0). Толщина лннзы
определяется разностью значений радиусов кривизны.
8. Концентрическая линза. Радиусы кривизны
преломляющих поверхностей противоположны по знаку. Толщина линзы
равна сумме абсолютных значений радиусов кривизны ее
поверхностей. Линза положительная (/'>0). Передняя и задняя главные
точки линзы совпадают с центром кривизны поверхностей. При ра
венстве радиусов кривизны по модулю г\ = —г2 получим так
называемую линзу — шар (d — 2r).
9. Линза с обращенными главными точками,
когда но ходу луча вначале расположена задняя главная точка
Н', а затем передняя главная точка Я. Это двояковыпуклая линза,
имеющая значительную толщину, радиусы кривизны этой
двояковыпуклой линзы противоположиы по знаку.
317

10. Отрицательная линза с обращенными
главными точками. Радиусы кривизны одинаковы по
знаку. Линза представляет собой отрицательный мениск. Для
получения положительной или отрицательной линзы с обращенными
главными плоскостями необходимо проводить специальный расчет.
11 и 12. Телескопические (афокальлые) линзы.
Оптическая сила линзы Ф—О или заднее фокусное расстояние
f =о°. Для получения такой линзы необходимо, чтобы задний
фокус F \ первой преломляющей поверхности совпадал с
передним фокусом F2 второй преломляющей поверхности.
Параллельность падающего пучка сохраняется и после преломления. Линза
может строить как прямое, так и перевернутое изображение.
U—
s* '2iTU-'^_j
П\
- Л- --/у i ,
И1 f
— -г_
in
.-«j
//'
F
t-
\JUC. i6l- UCliOUHl.lt: 1ИЛ:.
318

Главные точки телескопических линз расположены в
бесконечности.
Все положительные линзы имеют большую толщину по оси,
чем по краю; отрицательные — наоборот.
Ниже приведены формулы для вычисления оптической силы,
положения фокальных и главных точек линзы в воздухе:
Ф
-+-<»-'>ft-y
(п-~\уа.\
г2! ' ПГ]Г.;
f, п — 1 ,
s„ — —/ а;
К ' пг..
■-П1 +
Я —
' — Р "~~' А-
SH' ' ~^~ "'
*•' = f (l
п — \
(14.1)
^~f~^-
и их кардии^и.ньк- э-чемшты
319

где Ф — оптическая сила линзы; п — показатель преломления
материала, из которого изготовлена линза; п, ^ — радиусы кривизны
первой и второй преломляющей поверхности; d — толщина линзы
(по оптической оси); stl — положение передней главной точки
относительно вершины первой преломляющей поверхности; s'H, —
положение задней главной точки относительно вершины второй
преломляющей поверхности; sF — передний фокальный отрезок; s'F.—
задний фокальный отрезок.
В бесконечно тонких линзах d == О
Ф = (п-1){±--^; 8н-5'нг==0; sF = /; v = /\ (14.2)
В ряде оптических приборов применяют поверхности с двумя
плоскостями симметрии — цилиндрические и торнческие, которые
комбинируют в различных сочетаниях между собой и со
сферическими поверхностями. Цилиндрические и сфероцилиндрические
линзы широко используют для получения анаморфозных (с
различными линейными увеличениями в двух сечениях) изображений
в автоматических регистрирующих приборах, технике связи,
широкоэкранном кино, полиграфии, вычислительной технике н
других областях. В некоторых случаях применяют телескопические
линзы Ф = 0 и линзы с концентрическими поверхностями, в
которых центры кривизны поверхностей совпадают.
§ 92. Линзы Френеля. Аксиконы
Линза Френеля — оптическая деталь ступенчатого
профиля, состоящая из определенного числа элементов,
расположенных симметрично или асимметрично по отношению к
центральному (рис. 138). Число элементов в профиле зависит от назначения
линзы, способа ее изготовления и точности. Каждый из элементов
профиля френелевской линзы имеет рабочую поверхность в виде
части окружности,
представляющей собой сечение сферы с
соответствующим этому элементу
центром и радиусом кривизны,
выбранным таким образом, чтобы
лучи, падающие на этот элемент,
после преломления выходили
параллельно оптической оси или
Рис 138. Сечгнио линзы Френеля собирались в одной точке.
Стеклянные линзы Френеля
применяются в маячных и прожекторных устройствах, а пластмассовые
прессованные—в качестве конденсоров, луп, обеспечивая их
малые габариты.
А к с и к о н ы — оптические системы, обладающие очень
большой сферической (сферические аксиконы) или хроматической
аберрацией (хроматические аксиконы). Они были созданы с целью
320

устранения погрешности, возникающей при перефокусировке
вследствие колебания визирной оси. В результате значительных
аберраций точечные источники света изображаются в виде
осевого отрезка большой длины, что позволяет при пользовании
зрительной трубой с аксиконом вместо объектива не производить
перефокусировку.
Первый аксикон представлял собой тело вращения в виде
оптической детали, имеющей одну плоскую, а вторую — коническую
поверхность. Существуют также аксиконы в виде положительного
мениска, конического зеркала и др.
§ 93. Плоские, сферические и асферические зеркала
Плоское зеркало — простейшая оптическая система, которая
изображает пространство в масштабе 1:1. В зеркальном
изображении одно из направлений всегда изменено на противоположное.
Система из нечетного числа плоских зеркал строит зеркальное
изображение, а система с четным числом — прямое. При повороте
зеркала на угол а отраженный луч поворачивается на угол 2а.
Назначение плоских зеркал — изменение направления оптической
оси, направления линии визирования, необходимое оборачивание
изображения, подсветка и др.
Плоские зеркала бывают двух видов: с внешним (рис. 139, а)
и внутренним (рис. 139,6) отражающим покрытием. В первом
случае покрытие наносится на внешнюю плоскость зеркала, и
ошибки изготовления зеркал, такие как клиновидность, не влияют
на качество изображения.
Рис. 139. Плоские и сферические зеркала о внешним и внутренним покрытием
Зеркала с внутренним покрытием (см. рис. 139, 6"), если при
их изготовлении была допущена клиновидность, установленные в
сходящихся (расходящихся) пучках, вызывают двоение
изображения, астигматизм и асимметрию пучка. Такие зеркала
применяются в неответственных узлах приборов. Для изготовления зеркал
с внешним покрытием, входящих в оптическую систему прибора,
И 1-446 321

применяется оптическое стекло К.8, ЛК5, МКР-1 и плавленный
кварц. В неответственных случаях — зеркальное стекло.
Размеры зеркал зависят от диаметра падающего и отраженного
пучков лучей, а толщина d—от его назначения. В особо точных
зеркалах (зеркала интерферометров, концевые отражатели
дальномеров и т. п.) d = (-г-*-у) h в точных зеркалах (зеркала
визуальных наблюдательных приборов) cf == {-g- -i- j^J /; в низкоточных
зеркалах— d = (т5"*"25г» где ^—наибольший размер зеркала.
Два плоских зеркала, расположенных под углом 90° друг к
другу, образуют так называемую «крышу» и позволяют
производить оборачивание изображения в плоскости, перпендикулярной
к главному сечению.
Сферическим (асферическим) зеркалом (рис.
139, в, г) называется оптическая деталь, в которой на сферической
(асферической) поверхности нанесено отражающее покрытие. Оп«
тическая сила сферического зеркала Ф=^0, следовательно, его дей<
ствие эквивалентно действию линзы.
Сферические зеркала, по сравнению с линзами, имеют ряд
преимуществ (отсутствие хроматизма, меньшая масса, габариты
и т. д.) и применяются в фотографических, проекционных,
телескопических, осветительных и других оптических системах.
Недостатки зеркал: требуется повышенная точность
изготовления отражающих поверхностей, экранирование в двухзеркаль-
ных системах вторым зеркалом центральной части входного
зрачка, вследствие чего зрачок имеет форму кольца.
§ 94. Плоскопараялельная пластинка
Плоскопараллельная пластинка — оптическая
деталь, ограниченная двумя плоскими параллельными гранями,
поверхности которых могут быть прозрачными, полупрозрачными
или матовыми.
Назначение плоскопараллельных пластинок в оптических
приборах различное: компенсаторы в интерферометрах н микрометрах,
светофильтры, сетки, шкалы, защитные стекла, основания зеркал,
предметные и покровные стекла и т. д. Плоскопараллельная
пластинка устанавливается в параллельных и в сходящихся
(расходящихся) пучках лучей (в последнем случае, как правило,
перпендикулярно к оптической оси). Принцип действия пластинки
иллюстрирует рис. 140: А — продольное смещение луча, г —
поперечное смещение луча.
Пластинка строит мнимое изображение А' действительного
предмета А. Если предмет мнимый, как на рис. 140, то
изображение будет действительным.
322

Смещение изображения вдоль оптической оси вычисляют по
формуле
COS г,
b = dll
Поперечное смещение
г = ds\n &i
Для малых углов падения
п— 1
Vn2
■ sin2 *i
cos e,
К re2 —sin2 et
(14.3)
Zo =
n — 1
d;
rf«i.
(14.4)
Рис. 140. Принцип дейсгвия
плоскопараллельной пластинки
Пластинка всегда смещает
изображение на величину А (До) по
ходу падающего луча.
Плоскопараллельная пластинка
характеризуется геометрическими
размерами, маркой стекла и
качеством изготовления N, AiV, 6 (N—
число интерференционных колец
(полос), ДЛГ — их деформация, 0—клиновидность).
Толщина пластинки обусловливается величиной деформации и
возможностью точного изготовления плоскостей.
В точных пластинках d = ( —_i_ —J£), где D — диаметр
пластинки (или размер диагонали при прямоугольной форме).
В пластинках средней точности d = (т^-5- j^jD. Пластинки
обычно изготовляются из оптического стекла марки К8, ЛК.5, ситалла
или кварцевого стекла.
Помещенная в параллельных или слабо сходящихся
(расходящихся) пучках пластинка практически не влияет на качество
изображения.
Однако расчет широкоугольных и светосильных систем выпол-
няется с учетом аберрационного влияния пластинок. Наклон
пластинок в сходящихся пучках не должен превышать 5—10', так
как в противном случае будет нарушена симметрия строения
пучков лучей, появится кома для точки предмета на оптической
оси, а по полю — неодинаковое качество изображения и
несимметричное распределение разрешающей способности.
При га-баритных расчетах сложных оптических систем,
содержащих наряду с линзовыми компонентами призмы и
плоскопараллельные пластинки, удобно призмы представить эквивалентными
пластинками (толщины которых равны длине хода луча в призме),
а. пластинки редуцировать, т. е. привести к воздуху.
11'
323

Рис. 141 поясняет прием редуцирования, т. е. переход от
обычной пластинки к пластинке, приведенной к воздуху. Ль h2 —
высоты падения луча на гранях реальной плоскопараллельной
пластинки, h\p, h2p — высоты того же луча на гранях редуцированной
пластинки; dp — d— До — редуцированная толщина,
d
dp =
(14.5)
hi = hip, h2 = hip, т. е. высоты
падения луча равны. Луч A Mi не
испытывает преломления при
прохождении через редуцированную
пластинку, а это существенно
облегчает габаритный расчет,
который завершается переходом от
Рис. 141. Редуцирование плоскопарал- редуцированной пластинки к ре-
лельнои пластинки
альнои с учетом смещения.
§ 95. Отражательные призмы
Призмой называется оптическая деталь, ограниченная
преломляющими (не менее двух) и отражающими плоскостями,
расположенными под углом друг к другу. По своему действию
призмы бывают преломляющими и отражательными. В отражательных
призмах углы падения луча на входной грани и преломления
того же луча на выходной грани равны. Преломляющие
(спектральные) призмы характерны тем, что в них эти углы могут быть
различными. Отдельную группу призм составляют так называемые
призмы двойного лучепреломления (поляризационные).
Отражательные призмы в оптических приборах применяются
для следующих целей: 1) изменения направления линии
визирования (качающиеся призмы, расположенные перед объективом);
2) изменения направления оптической оси («ломаные» трубы);
3) оборачивания изображения (призменные оборачивающие
системы); 4) разделения поля.
Действие отражательных призм аналогично действию плоских
зеркал, однако призмы имеют ряд преимуществ, поскольку они
конструктивно устойчивее зеркал, не вносят двоения изображения,
а на призменных отражающих гранях при использовании полного
внутреннего отражения нет необходимости наносить зеркальные
покрытия. Кроме того, некоторые призмы могут работать в
условиях, неприемлемых для зеркал, когда луч направлен параллельно
отражающей поверхности.
Отражательные призмы бывают одинарные (изготовленные
из одного куска стекла) и составные. Каждая призма условно
обозначается двумя буквами и числом через знак тире. Первая
буква указывает на число отражений в призме, вторая — на ее
конструкцию. Число показывает угол отклонения осевого луча
324

призмой. Если на одной из граней нанесена «крыша», то она
считается одним отражением, а у первой буквы появляется
индекс «К». При отклонении осевого луча внутри призмы в двух
плоскостях цифры условного обозначения указывают на эти
отклонения. Приняты следующие обозначения: первая буква А — одно
отражение, Б — два отражения, В — три отражения (при наличии
«крыши» — А„, Бк, Вк).
Вторая буква характеризует конструкцию призмы: Р —
равнобедренная, П — пента, У — полупента, С — ромбическая, Л —
Лемана, М — призма дальномерного типа. Таким образом, имеем:
АР — 90° — прямоугольная призма, БП—90° — пентапризма,
ВКЛ — 0° — призма Лемана с «крышей».
Каждую составную призму обозначают начальной буквой ее
названия и числом градусов, на которое отклоняется осевой луч:
А_0о_ призма Аббе, П—0° — призма Пехана,
Б„—90°—башмачная призма с «крышей», К—0° — куб-призма (рис. 142).
При конструировании приборов следует учитывать, что призма
должна наиболее простым способом решать задачу, поставленную
техническими условиями, иметь наименьшее число отражающих
поверхностей и простую конфигурацию, облегчающую процесс
ее изготовления. К призмам, в которых приходится наносить
отражающее покрытие, следует прибегать лишь в крайнем случае,
так как с течением времени коэффициент отражения покрытия
уменьшается. Призмы с четным числом отражающих
поверхностей дают прямое изображение, с нечетным — зеркальное.
Установленная в параллельных пучках лучей отражательная призма
не вносит хроматизм, следовательно, ее действие эквивалентно
действию плоскопараллельной пластинки.
Призма должна иметь минимальные габариты и массу,
поэтому ее следует устанавливать вблизи наименьшего сечения световой
трубки.
Необходимо использовать явление полного внутреннего отраже
ния, при котором отсутствуют световые потери, т. е. выполнять
условие, когда | е | > | екр |, где sin екр = £ , Если призма находится
1
в воздухе, то sin екр = .
В ряде оптических приборов применяют различные призмен-
ные системы (Порро I рода, Порро И рода, а также системы,
состоящие из прямоугольных призм, и призмы Дове: АР—90° —
АР—0°—АКР—90°) для необходимого оборачивания изображения
и оптические шарниры, позволяющие изменять углы между
оптическими осями различных ветвей прибора.
При габаритных расчетах отражательных призм, связанных
с определением их размеров, зависящих от диаметров пучков
лучей, проходящих через призмы, удобно выпрямить ход лучей.
Этот прием называется разверткой призмы и выполняется
следующим образом. Последовательно, по ходу осевого луча, в каждой
отражающей поверхности строится изображение призмы и отра*
325

т
К
^
'°
и
^
АР-ЭО°
L\ АО
tec
$<гс
<г
Г
V
ВЛ-D
ВР-^5°
БкУ-^°
/7-0°
ЛГ
/%5° ■ п.0о
Рис. 142. Основные типы отражательных призм
826

женного луча (рис. 143). Таким образом, отражательная призма-
разворачивается в эквивалентную плоскопараллельную пластинку,
толщина которой равна длине хода луча в призме, а входная
и выходная грани — перпендикулярны к осевому лучу. В
некоторых случаях устанавливается оптический клин, дополняющий
развертку до плоскопараллельной пластинки (в башмачной приа-
Рис. 'A3. Развертка призм АР—90° БП—90?
ме). Затем для упрощения расчетов эквивалентную плоскопарал-
лельную пластинку редуцируют, т. е. приводят к воздуху, «р=-^-
Определив световые диаметры на входной и выходной гранях
редуцированной пластинки, решают обратную задачу — переходят к
эквивалентной пластинке, а от нее — к призме.
Призмы могут использоваться в виде отражателей,
возвращающих падающий луч по тому же направлению. Таким
отражателем может быть призма БР—180° (прямоугольная
равнобедренная) или уголковая (триппельпризма). Их достоинство в том, что
нет необходимости строго устанавливать входную грань
перпендикулярно к падающему потоку, так как в любом случае луч будет
возвращен параллельно падающему лучу.
Отдельные призмы или призменные системы разделяют
(собирают) падающие световые потоки или срезают определенную часть
потока.
Следует учитывать, что в призмах геометрическая длина хода
луча / пропорциональна диаметру D цилиндрического пучка,
проходящего через призму, и во всех призмах (кроме Дове и куб-
призмы) не зависит от показателя преломления п стекла, из
которого изготовлена призма, 1—kD. Коэффициент k зависит от
конструкции призмы.
§ 96. Оптические клинья. Компенсаторы. Бипризма
Оптический клин — преломляющая призма с малым
углом преломления. Применяется в оптических устройствах для
измерения малых линейных или угловых смещений изображений
путем перемещения его вдоль оптической оси или вращения
перпендикулярно к оси.
На рис. 144, а представлен ход луча в оптическом клине,
расположенном в воздухе.
327

ei — угол падения луча, 6 — угол клина, 8— угол отклонения
луча, п — показатель преломления.
При конечных значениях угла падения si угол отклонения 8
определяется по формуле
[it COS е', \
При малых углах падения si
можно пользоваться
приближенной формулой, полученной путем
разложения cossi и в ряд,
COS £ 1
(14.7)
Рис. 144. Ход луча в оптическом клине Если луч падает нормаЛьно
на входную грань клина, когда
ei = 0, его отклоняющее действие 8 будет равно
8 = 6(я — 1). (14.8)
Эту формулу обычно называют формулой клина. Оптический
клин всегда отклоняет луч в сторону своего основания.
Тонкий клин омещает изображение (рие. 144, б)
перпендикулярно к оси на величину
М = аЬ = аЬ(п— 1). (14.9)
Одиночный клин в воздухе вносит окрашивание изображения.
Величина хроматической аберрации, полученная путем
дифференцирования формулы (14.8) и последующего перехода к конечным
приращениям, будет равна
Д8 = еДп, (14.10)
Д5 = 8/?>— 8,,— хроматизм положения в угловой мере; Дп. = пр- —
—пс- — средняя дисперсия.
Если хроматизм клина окажется недопустимо большим, то его
ахроматизуют, т. е. делают составным из двух клиньев, и так
рассчитывают углы 6] и 62, чтобы отклонения ЬР> и Ьс> были равны.
Ниже приведены для этого случая расчетные формулы
91 " («>-lKv,-v2); 92 = ->2-l)(Vv,-v2) • (ИЛ1)
Здесь 6i, 62 — преломляющие углы клиньев, образующих
ахроматический клин; 8 — угол отклонения пучка одиночным неахроматн-
п,— I
зованным клином; v= коэффициент дисперсии.
1%.. • "^ Я^»
328

Величина вторичного спектра в ахроматизированном клине
где ф
V
8.—8,. = ^zrv^i — 'b2)'
■коэффициент частной дисперсии.
(14.12)
Компенсаторы в оптических приборах применяются для
измерения или устранения малых линейных смещений или угловых
отклонений. Для этой цели
используются вращающиеся клинья
(одиночные и парные) или
перемещающиеся вдоль оси. Кроме
клиньев роль компенсаторов
могут выполнять
плоскопараллельные пластинки, зеркала и линзы.
Бипризма — разделительное Рис. 145. Разделение лучей бипризмой
устройство, представляющее со- и окуляром
бой по существу два одинаковых
оптических клина, склеенных основаниями (рис. 145). При
падении на бипризму осевого луча (для простоты вывода формулы)
нижний клин бипризмы отклоняет его к своему основанию на
угол (—б), а верхний — к своему на угол б. После прохождения
последующей системы оба луча будут смещены на величину а:
а = 28/' = 2/'в(п—1). (14.13)
Бипризма устанавливается как в фокальной плоскости, так и
вне ее. При работе с бипризмой в приборе обязательно примеия»
ется диафрагма, отсекающая часть изображения.
Если необходимо сместить изображение выходных зрачков
трубы Кеплера на половину их диаметра, то при этом угол клина,
установленного в передней фокальной плоскости окуляра,
вычисляется по формуле
D'
D
или —г = 49 (я — 1),
(14.14)
D'— диаметр выходного зрачка;
Г
■ относительное отверстие.
При смещении выходных зрачков на величину их диаметра ТУ
D
-^-=20(п-1).
'об
§ 97. Светофильтры
(14,15)
Светофильтр представляет собой плоскопараллельную
пластинку, изготовленную из материала, обладающего
избирательным пропусканием света.
Эта деталь может быть выполнена из цветного стекла,
желатины, окрашенных пластмасс. Светофильтры бывают жидкие,
газовые, поляризационные и интерференционные. Они изменяют
329

яркостные, цветовые соотношения между объектами и уменьшают
.хроматическую аберрацию.
Материалом для светофильтров является оптическое цветное
стекло (ГОСТ 9411—75), различные марки которого определяются
специальными свойствами: УФС — ультрафиолетовые стекла,
ФС— фиолетовые, СС — синие, СЗС— сине-зеленые, ЗС —
зеленые, ЖЗС — желто-зеленые, ОС — оранжевые, КС — красные,
ИКС — инфракрасные, ПС — пурпурные, НС — нейтральные,
ТС— темные, БС — бесцветные. Название цветного стекла
соответствует спектральному участку с наибольшим коэффициентом
пропускания.
Светофильтры используются при неблагоприятных условиях
(дымка, туман, малая контрастность объектов).
В фотографии они применяются для правильного
воспроизведения на снимках соотношений визуальных яркостей объекта или
изменения их контраста. Чаще всего применяются желтые и
оранжевые светофильтры. Светофильтры характеризуются цветом и
кратностью. Кратность показывает, во сколько раз надо увеличить
время экспонирования (выдержку) при съемке с данным
светофильтром по сравнению со съемкой без светофильтра.
Спектральная характеристика светофильтра определяется
показателем поглощения kK для различных длин волн, спектральными
кривыми оптической плотности £>х и коэффициента пропускания х\\
Dx = -lgtx = M, (Н.16)
где d — толщина светофильтра.
При вычислении оптической плотности следует учитывать потери
на поглощение в стекле и потери на отражение. С учетом потерь
на отражение коэффициент пропускания равен
т; = (1-рУЧ, (14.17)
где р—коэффициент Френеля, характеризующий потери на
отражение при преломлении.
Оптическая плотность, учитывая потери на отражение, составит
D'K = -lg4 = Dx + De> (14.18)
где Dp — поправка на отражение, Dp =—21g(l—р).
Для каждой марки цветного стекла определенной толщины
приводятся спектральные кривые оптической плотности Dx и
коэффициента пропускания хл. На спектральной кривой х\ можно
определить предельную длину волны Хпр, для которой коэффициент
пропускания в 2 раза меньше хтах. Эта длина волны является
границей пропускания светофильтра.
Недостатком фильтров из цветного стекла является
невозможность выделения излучения узкой спектральной области с
высоким коэффициентом пропускания. Эту задачу решают
интерференционные фильтры, действие которых основано на интерференции
света в тонких пленках, нанесенных на прозрачные
плоскопараллельные пластинки. .
330

§ 98. Светопроводы и волоконная оптика
Стекло типа Крон
Стекло типа Фминт
Стекло типа Флинт
Стенло типа Иран
Рис. 146. Цилиндрический и
конический световод
Под волоконной оптикой понимают совокупность методов н
средств передачи оптического излучения с помощью сверхтонких
оптически изолированных волокон, изготовленных из прозрачных
для этих излучений материалов.
Передача оптического
излучения вдоль волокна происходит
за счет полного внутреннего
отражения от его стенок.
Собранные в жгут волокна передают
оптическое излучение независимо
друг от друга.
Если диаметр волокна
существенно превосходит длину волны
излучения, то передача этого
излучения происходит на основе
полного внутреннего отражения
лучей от его боковой полированной
поверхности по законам
геометрической оптики.
Волоконно-оптические
устройства сами изображения не формируют, они его лишь переносят.
Поэтому для ввода изображения на входной торец и снятия его
с выходного необходимы оптические устройства типа
проекционных объективов.
В настоящее время промышленность выпускает волокно
оптическое (стеклянное и органическое), одножильные световоды
(стеклянные и кварцевые), многожильные световоды, жгуты
осветительные, преобразователи формы, разветвители, волоконные
пластины, волоконные линзы, фоконы, анаморфоты.
На рис. 146, а, б представлен ход луча в отдельном
стекловолокне цилиндрической и конической формы. Оболочка из стекла типа
крон («кР= 1,52) предназначена для уменьшения потерь света при
отражении, а сердечник, изготовленный из стекла типа флинт (лфЛ =
— 1,82), передает световую энергию или изображение.
Апертурный угол а определяется зависимостью
Sin о =1/ ЯфЛ — Лкр.
Принимая «фл = 1,75, якр =» 1,52, получим о = 60".
Если волокно имеет форму фокона, при котором уменьшается
или увеличивается диаметр выходного торца по сравнению с
входным, то апертурный угол о' находят по формуле sin о' = =~ sin о.
вых
Для передачи изображения или световой энергии отдельные
волокна собирают в пучок (жгут) заданных размеров. Волокна
в пучке могут быть уложены в виде квадрата, шестиугольника,
331

цилиндра, либо иметь какую-либо другую форму с плавно
меняющимся сечением для изменения масштаба изображения.
Светопропускание волокон заметно падает при радиусах изгиба,
равных примерно 20 диаметрам волокна, когда часть света
проходит через боковые поверхности и рассеивается.
Светопроводы сами свободны от аберраций и при изменении
формы выходного торца могут исправить дисторсию и кривизну
поля оптической системы, совместно с которой они применяются.
Разрешающая способность светопровода зависит от диаметра
волокна, расстояния между ними и определяется в линиях на
миллиметр.
Жгуты с произвольным расположением волокон, разрезанные
на две части, можно использовать при кодировании и
декодировании световой информации.
Волоконная оптика применяется для передачи изображения с
изменением масштаба (фоконы, афоконы), в приборах
медицинской диагностики для изучения внутренних органов человека, в
различных системах наблюдения, в ЭВМ, приборах скоростной
фотосъемки и для других целей.
Недостатки волоконной оптики: сложная технология
изготовления высококачественных тонких волокон, значительные свето-
потери в длинных волокнах из существующих материалов,
необходимость применения специальных устройств ввода и снятия
информации и некоторые другие.

Глава IS
ГЛАЗ КАК ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
И ПРИЕМНИК ИЗЛУЧЕНИЯ
Зрение — способность видеть — дает человеку возможность
познавать окружающий нас мир и осуществляется посредством
сложной оптической и физиологической системы — глаза.
С помощью глаза человек получает более 80% всей информа*
ции. Глаз — прибор весьма чувствительный; диапазон изменения
яркостей, воспринимаемых глазом, составляет 1012. Глаз
различает до 25 тысяч оттенков в солнечном свете и может воспринять
вспышку света длительностью менее миллисекунды.
Глаз человека часто действует вместе с оптическими
инструментами, поэтому при разработке наиболее оптимальных
конструкций оптических приборов необходимо учитывать оптические и
физиологические свойства глаза.
§ 99. Устройство глаза
Глаз человека представляет собой своеобразный оптический
прибор (рис. 147). Передняя, несколько выпуклая, часть оболочки
глаза прозрачна и называется роговицей.?, в остальной части
глаз покрыт непрозрачной белковой
оболочкой — склерой 10.
Наружный покров роговицы переходит в
конъюнктиву 7, прикрепленную
к векам. За роговицей располагается
передняя камера 5,
наполненная прозрачной жидкостью, так
называемой водянистой влагой.
Заднюю стенку камеры образует р а-
дужная оболочка 2 с
отверстием посредине — зрачком.
Диаметр зрачка меняется от.2 до
8 мм в зависимости от величины
светового потока, поступающего в глаз.
За зрачком располагается
хрусталик 4, который отделяет переднюю камеру 5 от задней
камеры /. Хрусталик представляет собой двояковыпуклую
эластичную линзу, на которую действуют кольцевая мышца 6,
при этом изменяются кривизны поверхностей хрусталика, что
позволяет фокусировать изображение предметов.
333
1 п
Рис. 147. Строение глаза

Внутренняя полость глаза, расположенная за хрусталиком,
заполнена студенистым прозрачным веществом, называемым
стекловидным телом.
Радужная оболочка переходит в более тонкую сосудистую
оболочку 8, покрывающую внутреннюю полость склеры 10
и состоящую из сети кровеносных сосудов.
Внутренняя поверхность задней камеры покрыта сетчатой
оболочкой 11 (ретиной).
Сетчатая оболочка является приемником световой энергии,
поступающей в глаз, и имеет весьма сложное строение. Она
состоит из десяти слоев. Первый слой образуется из отдельных волокон
зрительного нерва, непосредственно соприкасающихся со
стекловидным телом. Последующие семь слоев состоят из окончаний
нервных волокон — нейронов. Световоспринимающими
элементами сетчатой оболочки являются окончания волокон зрительного
нерва, которые располагаются в девятом слое и разделяются на
два вида: колбочки и палочки. Колбочки (около 7
миллионов) имеют длину порядка 35 мкм и толщину 5—6 мкм. Палочки
(около 130 миллионов) имеют длину 63—81 мкм и диаметр
около 1,8 мкм.
Колбочки и палочки состоят из веществ, сильно поглощающих
свет. Поглощение света сопровождается химической реакцией
разложения вещества, составляющей основу зрительного
раздражения, которое передается в мозг по нервным волокнам. Колбочки
и палочки распределены по сетчатой оболочке неравномерно.
Колбочки располагаются главным образом в центральной части
сетчатой оболочки, где находится желтое пятно 12. В
центральной ямке желтого пятна, площадью около 0,5 мм2,
находятся исключительно колбочки. Это место сетчатой оболочки
является местом наибольшей разрешающей способности глаза.
Линия 9, проходящая через центр желтого пятна и заднюю
узловую точку глаза, называется зрительной осью. Она
отклонена от оптической оси 14 глаза на угол 5°. По мере
удаления от желтого пятна все больше преобладают палочки, а на
краях сетчатой оболочки находятся только палочки. Зрительный
нерв входит в глаз в стороне от желтого пятна. В этом месте 13
сетчатка не содержит световоспринимающих элементов и
называется слепым пятном. Диаметр центральной ямки
приблизительно соответствует 2,5° поля зрения.
Расстояние между центрами зрачков глаз — глазной базис —
у взрослого человека лежит в пределах от 56 до 74 мм. Среднее
значение глазного базиса составляет 65. мм.
Глазное яблоко посредством мышц может вращаться в
пределах углов 45—50°. При наблюдении близко расположенных
предметов глаза поворачиваются так, что их зрительные оси составляют
некоторый угол — угол конвергенции, имеющий наибольшую
величину, равную 32°.
334

§ 100. Основные параметры глаза как оптической системы
Глаз представляет собой центрированную оптическую систем?,
состоящую из двух линз: роговицы и хрусталика, между которым}
находится передняя камера, заполненная водянистой влагой. Пе
редняя поверхность роговицы граничит с воздухом, между
хрусталиком и сетчаткой находится стекловидное тело. Оптические т-
стоянные глаза для разных лиц колеблются в широких пределах
поэтому были установлень
средние значения для все;
постоянных глаза. Глаз с
указанными постоянными
называется схематич*
с ким. На рис. 148 показа
ны основные постоянные
глаза (по Гульстранду} i
222
Апномодация даю
2b,J8
Аккомодация на д~лижнюк? тачку
Рнс. 148. Параметры схематического глаза Рис. 149. Параметры
приведенного глаза
округленном виде при фокусировании на бесконечность и на
ближнюю точку. Роль апертуриой диафрагмы в глазу выполняет
зрачок глаза.
Для еще большего упрощения расчетов была разработана
модель глаза, называемого приведенным или
редуцированным глазом. При выборе постоянных редуцированного глаза
принимались во внимание следующие условия: преломляющие
поверхности глаза заменяются одной эквивалентной преломляющей
поверхностью, разделяющей две среды — воздух и стекловидное тело;
расстояние между главными точками схематического глаза мало,
поэтому их можно считать совпадающими. Постоянные
приведенного (редуцированного) глаза (по Гульстранду) приведены на
рис. 149.
§ 101. Аккомодация и рефракция глаза
Оптическая система глаза имеет постоянный задний отрезок;
фокусировка изображений предметов, находящихся на различных
расстояниях, производится при помощи кольцевой мышцы, которая
333

яомсплс! кривизну хрусталика глаза. Этот процесс называется
аккомодацией. Изменение кривизны хрусталика может
изменять его оптическую силу до 20%. Расстояние, в пределах которого
глаз может резко видеть предметы, называется об.ластью
аккомодации. Наиболее удаленную точку, которую глаз может
ясно видеть при совершенно расслабленной мышце, называют
дальней точкой глаза. Точка, которую можно видеть при
наибольшем для данного глаза напряжении мышцы, называется
ближней точкой глаза.
Однако глаз быстро утомляется при аккомодации на ближнюю
точку и обычно рассматривание близких предметов производится
с расстояния удобного зрения, которое для нормального глаза
принимается р0 = 250 мм. Расстояние от вершины роговой оболочки
глаза до дальней точки глаза обозначим буквой sK, до ближней
точки — S6," тогда величины, обратные sfl и se, будут
вершинными рефракциями (сходимостями) для дальней и ближней
точек глаза, т. е. l/sfl= Яд—рефракция для дальней точки и Use —
= Кб—рефракция для ближней точки.
Рефракция выражается в диоптриях. Рефракция при расстоянии
дальней точки, равном 1 м, равна одной диоптрии. Разность обеих
рефракций называют шириной аккомодации (или силой
аккомодации),
Л=/?б — /?д. (15.1)
При проектировании оптических приборов следует иметь в виду,
что при длительном наблюдении близких предметов глаз быстро
утомляется, поэтому пучки лучей, идущие от отдельных точек
предметов, наблюдаемых глазом, должны преобразовываться
оптическим прибором в пучки параллельных лучей.
Аберрации оптической системы глаза. Глаз как прибор
удовлетворяет ряду противоречивых требований: он имеет высокую
разрешающую способность, большое поле зрения и весьма высокую
чувствительность. Это достигается за счет большой подвижности
глаза, которая позволяет рассматривать предметы по частям,
фокусируя все время наиболее интересующую часть поля на желтое
пятно. Благодаря этой особенности устройства глаза даже весьма
существенные его недостатки ие влияют на качество видения.
Глаз не является ахроматической системой. Величина
хроматизма положения его для крайних участков видимой части
спектра равна примерно 2 диоптрии. Однако избирательная
спектральная чувствительность глаза, а также малая величина зрачка
практически исключают хроматизм.
Кома оптической системы глаза и децентрировка ее элементов
невелики и качество изображения не ухудшают. Влияние кривизны
изображения и дисторсии мало, поскольку изображение строится
на сферической поверхности сетчатки.
Глаз не свободен от сферической аберрации, однако для
малых размеров зрачка влияние ее незначительно. Влияние
сферической аберрации глаза сказывается только в сумерках, когда
336

размеры зрачка велики, при этом изображения предметов не
только малоконтрастны, но >акже и нерезки.
Таким образом, хотя оптическая система глаза и не является
идеальной, величины монохроматических аберраций в поле
зрения, ограниченном желтым пятном, т. е. в области прямого
зрения, настолько малы, что не ухудшают качество изображения и
не влияют на разрешающую способность глаза.
§ 102. Разрешающая способность и поле глаза
Под разрешающей способностью глаза
(остротой зрения) понимают способность глаза видеть
раздельно два близких предмета. Мерой разрешающей способности глаза
считается величина, обратная наименьшему угловому расстоянию
между двумя точками, когда глаз еще видит промежуток между
этими точками. Условно считается, что разрешающая способность-
равна единице, если наименьший угол между двумя точками, при
котором они видны раздельными, равен одной минуте (т. е.
разрешающая способность будет равна единице при of>rjI == 1', двум
при г|7гл = 0,5' и половине при г^л^й'). Разрешающая способность
эмметропического (нормального) глаза достигает 1,25-М,5
условной единицы.
Разрешающая способность определяется строением сетчатой
оболочки, которая напоминает сетку с шестигранными ячейками.
В каждой ячейке находится одна колбочка, которая может
воспринимать одновременно лишь одно зрительное впечатление, т. е.
если свет попал на часть ячейки, то реагирует вся ячейка
(колбочка). Колбочки в желтом пятне соединены с окончанием
зрительных нервов так, что на одну-две колбочки приходится один
нерв. Таким образом, разрешающая способность глаза в желтом
пятне определяется размером колбочки (0,005 мм) и в угловой
мере для среднего глаза составляет 1'. Такую же величину можна
получить, исходя из условий дифракции лучей при построении
изображения в глазу, по формуле
<!»„,= 1,22Х/А.Л. (15.2)
При зрачке глаза DTn = 2 мм г|^л=1'- При увеличении зрачка
свыше 3,5 мм разрешающая способность падает из-за аберрации
его оптической системы. При уменьшении зрачка до 1 мм
разрешающая способность подчиняется формуле (15.2), а затем резко
падает вследствие влияния дифракции. По мере перемещения к
периферии сетчатки с окончанием одного нерва становятся
связанными несколько колбочек и палочек, поэтому разрешение
сильно падает.
Если изображения предметов попадают на светочувствительные
элементы так, что они находятся почти на одной линия в одном
направлении, но разнесены в другом, например, в случае
наблюдений двух штрихов нониуса, то разрешающая способность
337

повышается до 10", поскольку в этом случае изображения
штрихов передаются различными нервным» окончаниями.
Полем глаза называется то пространство, в пределах
■которого возможно различение предметов при неподвижном
положении глаза. В среднем можно принять, что в горизонтальном
направлении угол поля глаза от оптической оси в сторону виска
достигает 92-г-100°, в сторону носа — 60-ь65°. В вертикальном
сечении: вверх 60°, вниз 70°. При наблюдении двумя глазами поле
глаза по горизонту составляет 184^-200°, а по вертикали—130°.
Видимость предметов в разных участках поля различна. Зона
наиболее четкого видения ограничивается желтым пятном и
составляет около 2°. Эта зона носит название центральной.
Далее идет зона ясного видения (30° по горизонтали и 22°
по вертикали), в пределах которой при неподвижном положении
глаза возможно распознание предметов без различения мелких
деталей. Третьей зоной является зона периферического
зрения, в .пределах которой невозможно опознавание
предметов, но она имеет большое значение для ориентировки в
окружающем пространстве. В этой зоне в особенности хорошо заметны
движущиеся предметы. Ограниченность резко наблюдаемого поля
компенсируется подвижностью глаза.
§ 103. Адаптация. Контрастная чувствительность глаза
Адаптацией называется способность глаза приспосабливаться
к различным яркостям наблюдаемого пространства. Глаз
способен работать в весьма широком диапазоне яркостей: от Ю-7 до
105 кд/м2; при этом перепад яркостей составляет 1:1012.
Различают: а) темновую адаптацию глаза — при
переходе наблюдателя из светлого помещения в темное, она по
времени длится 30—40 минут; б) световую адаптацию
глаза — при переходе наблюдателя из темного помещения в светлое.
Световая адаптация происходит быстрее. Чувствительность
снижается и достигает постоянной величины через 5—8 мин.
Наименьшая освещенность, которую еще способен воспринимать глаз
(пороговая освещенность), составляет Ю-9 лк. При яркостях
свыше 1,6 ■ 105 кд/м2 происходит ослепление глаза.
Глаз весьма чувствителен к контрасту яркостей предметов
наблюдаемого пространства. Контраст яркостей предмета и фона, на
котором он различается, определяется величиной
* = Ц^*. (15.3)
где L — яркость предмета; L$—яркость фона. Минимальная
разность яркостей предмета и фона, при которой глаз может
различать объект,
Д£т1п = (I— £ф)т!п (15.4)
338

называется пороговой разностью яркости, а отношение
Д£т1П
—j пороговым контрастом. Величина, обратная
пороговому контрасту L/ALmin, является мерой контрастной
чувствительности глаза.
§ 104. Субъективная яркость изображения
при наблюдении невооруженным глазом
Субъективной или видимой яркостью
называется степень раздражения, вызываемая светом, попадающим в глаз.
Различают два случая наблюдения невооруженным глазом:
наблюдение точечного источника света и источника света конечных
размеров.
Все наблюдаемые предметы или их детали, изображения
которых не превышают площади одного светочувствительного
элемента (Г), считаются точечными.
Субъективная яркость при наблюдении точечных предметов
определяется световым потоком и зависит от расстояния до
предмета:
аФ = ^1, (15.5>
где / — сила света; /—расстояние до предмета.
При наблюдении источников света или предметов конечных:
размеров субъективная яркость определяется освещенностью
изображения на сетчатке и не зависит от расстояния до предмета:
E'o-$tLfe)a, (15.6)
где L — яркость предмета; т — коэффициент пропускания глаза.
§ 105. Спектральная чувствительность глаза.
Цветовое зрение
Глаз реагирует на поток излучения в диапазоне длин волн от
380 до 750 нм; его спектральная чу ветви те ль но сть .
определяется выражением
vx — р- лм/Вт, (15.7)
где ф —световой поток в люменах; Ws — энергетическая
мощность излучения в ваттах.
Наиболее чувствителен глаз к желто-зеленому
монохроматическому излучению Я = 555 нм (колбочковое зрение). Причем
энергетическая мощность излучения, равная 1 Вт, вызывает
световое ощущение, соответствующее световому потоку, равному
680 лм, т. е. в этом случае спектральная чувствительность
V0 = VX=55S нм = 680 ЛМ/ВТ.
339

При яркостях 0,003 кл/м2 (палочковое зрение) максимум
чувствительности приходится для /. = 510 нм, т. е. находится в
сине-голубой части спектра.
Весьма важной оптической характеристикой глаза является
относительная спектральная чувствительность
tfx = vx/v0. (15.8)
Тогда спектральная чувствительность глаза для лоб: го
монохроматического излучения будет
vx = vo/G, = 680/Сх лм/Вт. (15.9)
Цветовое зрение. Глаз различает цвет в основном только при
помощи колбочкового аппарата зрения и получает ощущение
белого цвета в том случае, если излучение, которое он
воспринимает, имеет непрерывный спектр с распределением, близким к
солнечному (цветовая температура 5000—6000°К).
Различают ахроматические и хроматические цвета. К
ахроматическим относятся черный, белый и все оттенки серого цвета.
К хроматическим относятся все остальные наблюдаемые цвета.
Хроматические цвета различаются между собой цветовым тоном,
яркостью и насыщенностью. Цветовой тон определяется
длиной волны того монохроматического излучения, смесь которого
с белым дает данный цвет. Насыщенность (чистота цвета)
определяется долей монохроматического излучения в смеси с белым
светом. Два хроматических световых пучка при смешении дают
ахроматический цвет — белый или серый. Такой способ смешения
цветовых пучков называется аддитивным (суммирование),
а цвета — дополнительными. Совсем другие результаты
получаются при смешении красок. Свет, отраженный от смеси
двух красителей, содержит в себе результат двукратного
вычитания из состава падающего белого излучения тех его компонентов,
которые поглощаются смешиваемыми красителями. Этот способ
смешения цветов называется субстрактивным (вычитание).
Наиболее распространенной теорией цветового зрения
является теория трехцветного зрения. Эта теория предполагает наличие
в глазу трех цветочувствительных аппаратов с тремя веществами,
разлагающимися под действием монохроматического излучения в
различной степени. Видимый глазом цвет излучения зависит от
интенсивности различных составляющих данного излучения,
которые воспринимаются соответствующими цветочувствительными
элементами и синтезируются в мозгу человека в единый
результирующий цвет рассеянного предмета.
§ 106. Недостатки глаза и их исправления
Глаз считается нормальным, или эмметропиче-
с к и м, если дальняя точка глаза находится в бесконечности. В этом
случае изображение располагается в задней фокальной плоскости,
которая совпадает с сетчаткой. Глаз, не удовлетворяющий этому
340

условию, называется аметропическим. Если дальняя точка
находится перед глазом на конечном расстоянии, то глаз
называется близоруким, или миопическим (рис. 150, а). Если
дальняя точка находится сзади глаза (рис. 150,6), то глаз
называется дальнозорким, или гиперметропическим.
Аметропия глаза вызывается ненормальной длиной глаза,
неправильным положением хрусталика, а также ненормальными
а 5
Рис. 150:
а — близорукий (мистический) глаз; б - дальнозоркий (гиперметропический) глаз
значениями кривизны преломляющих поверхностей и их
несимметричностью относительно оси глаза. В частности, бывают случаи
когда аметропия глаза различна в двух меридиональных
сечениях; такой глаз называется астигматическим.
Меридиональные плоскости наибольшей и наименьшей аметропии в этом
случае называются главными сечениями глаза. Причиной
астигматизма глаза является обычно несферическая форма роговой
оболочки или хрусталика.
Одним из условий высокой остроты зрения и хорошей
контрастной чувствительности глаза является наличие на сетчатой
оболочке резких изображений внешних объектов. Неисправленные
аметропия и астигматизм глаза значительно портят изображение
Коррекция аметропии и астигматизма глаза производится
очковыми линзами, которые должны обеспечить резкость
изображения удаленных предметов на сетчатке при покое аккомодации
Достигается это тем, что задний фокус очковой линзы
установленной перед глазом, совмещается с ДаНнёГточюйТйаза
^""случае близорукого- Тлаза~-Д7пг этшг~тгелтг-Д071Жн-Г"бйК--тшттенена
отрицательная линза (рис. 151, а), для
дальнозоркого-положительная (рис. 151,6).
Оптическая сила системы «линза + глаз» может быть
вычислена по формуле
£>,.о =£>, + D0 — dDiDo, (15.10)
где D,—оптическая сила корригирующей линзы в диоптриях-
и0 — оптическая сила глаза в диоптриях, d — расстояние между
задней главной точкой линзы и передней главной точкой глаза
Чтобы величина изображения корригируемого глаза соответст-
341

вовала величине изображения нормального глаза, необходимо
выполнить условие
d = — /гл.
Для редуцированного глаза й==/гл = —17,1 мм; это значит, что
линзу следует установить так, чтобы задняя главная точка ее
совпадала с передним фокусом глаза.
pU М J _1_
о
Рис.
а — исправление близорукости посредством отрицательной очковой линзы; 6 — исправление
дальнозоркости посредством положительной очковой лииэы
С возрастом уменьшаются пределы аккомодации глаза, при
этом ближняя точка глаза отодвигается и глаз вынужден
рассматривать ближние предметы с большого расстояния. Поскольку
в этом случае угловые размеры мелких деталей предметов
значительно уменьшаются, разрешение глаза падает. Этот недостаток
глаза, который носит название возрастной
дальнозоркости или прессбиопии, исправляется посредством
корригирующей положительной линзы, т. е. аметропический глаз
должен быть вооружен в этом случае двумя видами очков: для дали
и для разглядывания близких предметов (чтения). Иногда для
этого применяют двойные, бифокальные (нижнее и верхнее)
стекла для очков.
Исправление астигматизма производится, если рефракции
глаза для двух главных сечений различаются на 0,25 диоптрии.
Для исправления астигматизма применяется простая
цилиндрическая линза, которая представляет собой тело, ограниченное
цилиндрической поверхностью и плоскостью, а также торические
(бочкообразные) линзы, которые могут быть плоско-торическими,
сферо-торическими и торо-торическими (когда обе поверхности
линзы торические).

Глава 16
ФОТОГРАФИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Фотографические системы получили в настоящее время весьма
широкое применение в различных областях науки и техники.
Основным элементом системы является фотографический
объектив, который служит для получения действительных изображений
предметов на светочувствительном материале, фотокатоде
телевизионного приемника или электронно-оптического
преобразователя и т. п.
§ 107. Основные характеристики фотообъективов
Основными оптическими характеристиками фотографического
объектива являются фокусное расстояние f, относительное
отверстие 1 : К, угловое поле 2<п. Дополнительными характеристиками
являются освещенность изображения по полю, разрешающая
способность, резкость изображения, определяемая пограничной
кривой, частотно-контрастная характеристика, а также величина
заднего отрезка, спектральный и интегральный коэффициенты
пропускания, коэффициент геометрического виньетирования,
коэффициент светорассеяния, ортоскопичность и т. п.
Фокусное расстояние объ е к ти в а определяет масштаб
изображения на снимке. Масштаб изображения, как известно,
определяется линейным увеличением, т. е.
в _ У' - f - *'
По формуле Ньютона имеем
г2 fu
*-t-J=? ОМ)
где а — расстояние от передней главной точки объектива до
предмета; f — фокусное расстояние объектива. Когда а достаточно
велико по сравнению с /, то
Г3
г'--Ь, (16.2)
Ро<*£. (16.3)
Формула (16.3) служит для определения масштаба в случае
удаленного предмета.
Фотографический объектив имеет специальную диафрагму
переменного диаметра, которая является апертурной.
343

Относительное отверстие объектива определяет освещенность
изображения. Освещенность изображения (в люксах) равна
р'_ * jj D Y—iL_
h ~TLz{T) (Pp-Po)2'
где -с — коэффициент пропускания фотообъектива; L — яркость
предмета в кд/м2; Dlf— относительное отверстие объектива; рр
—линейное увеличение в зрачках объектива; Ро — линейное увеличение
(масштаб изображения).
При фотосъемке предмета, освещенного несколькими
источниками света, яркость предмета мажет быть выражена по формуле
L = P%, (16.4)
где р — коэффициент отражения поверхности предмета; Епр —
освещенность предмета в люксах (лк), она может быть найдена по
формуле
£Пр= V -pcoss*, (16.5)
*=i
где Jk — сила света отдельного источника в канделах (кд); lk —
расстояние от источника до предмета в метрах (м); е*. — угол
между нормалью к поверхности предмета и направлением оси пучка
лучей от источника света.
Для удаленного предмета (s-*co, z-> со, р0 -> 0) формула
освещенности изображения будет
£^.«^-ь(5)2; (16.6)
для репродукционной съемки, если можно принять РР=1, •,
£'реп=|^(|-)2(-Г4у, (16.7)
В приведенных формулах величина {Dlf')2 называется
геометрической светосилой фотообъектива. Эта величина обычно
записывается в виде (Dlf)2 = (11 К)2, где величина К называется
диафрагменным числом. Величина (D/f)2x = (l/Кф)2
называется физической светосилой.
Поле фотообъектива определяется той частью
плоскости изображения, в которой находится изображение
удовлетворительного качества. Поле указывается либо размерами сторон
кино- или фотокадра (7,45X10,05 мм, 16X22 мм, 24x36 мм, 6Х
Хб см, 9X12 см, 13X18 см и т. д.), либо в угловой мере.
Классификация объективов производится по четырем
основным признакам:
А. По оптическим схемам объективы различаются по числу и
форме входящих в них лкнз и компонентов. Для удобства
обозначения типа объектива ему присваивается условное
наименование. Например: 1) четырехлинзовые трехкомпонентные нормаль-
344

ные анастигматы имеют наименование «Индустар», 2) шестилин-
зовые четырехкомпонентные светосильные объективы — «Гелиос»,
3) семилинзовые пятикомпонентные светосильные широкоугольные
анастигматы — «Урал» и т. п.
Б. По оптическим характеристикам — относительному отверстию
1 : К, углу поля 2ш и фокусному расстоянию /' — различают
объективы: светосильные, у которых относительное отверстие
превышает величину 1:2,8 (1//С> 1/2,8); широкоугольные, у
которых угловое поле превышает 60°(2ш >60°);
длиннофокусные, у которых фокусные расстояния превышают трехкратную
величину линейных полей в пространстве изображений (/'>ЗГ, где
/'—диагональ поля изображения); нор м а льные (универсальные),
у которых все три характеристики (1//С; 2и>; /') не достигают
указанных значений.
В. По назначению, т. е. по областям применения различают
объективы: фотографические, киносъемочные, аэрофотосъемоч-
ные, телевизионные, репродукционные, эпи-, диа- и
кинопроекционные, флюорографические, астрофотографические и т. п.
Г. По принципу геометрического устройства объективы можно
также разделить на следующие группы:
1. Нормальные объективы — объективы, у которых
фокусное расстояние больше вершинного фокусного расстояния
и меньше расстояния от первой поверхности до плоскости
изображения.
2. Телеобъективы — линзовые объективы, у которых
фокусное расстояние равно или больше расстояния от первой
поверхности до плоскости изображения.
3. Реверсивные телеобъективы — линзовые
объективы, у которых фокусное расстояние равно или меньше заднего
вершинного фокусного расстояния.
4. Зеркальные объективы — объективы, состоящие
только из отражающих зеркальных поверхностей.
5. Зеркально-линзовые объективы — это
объективы, состоящие из зеркальных и линзовых элементов.
6. Объективы с переменным фокусным
расстоянием — это объективы, которые имеют ряд дискретных
значений фокусных расстояний.
7. Панкратические объективы — объективы, у
которых можно изменять фокусное расстояние непрерывно в
определенных пределах.
§ 108. Ограничение пучков лучей в фотообъективах
В большинстве случаев апертурная диафрагма объектива
располагается между его линзами. При этом (рис. 152) входным
зрачком является ее мнимое изображение, даваемое частью
объектива стоящей впереди диафрагмы, а выходным зрачком —
мнимое изображение, даваемое частью объектива, расположенной
позади диафрагмы.
345

Если на фотообъектив падает пучок лучей, параллельный
оптической оси или под небольшими углами к ней, то выходящий
конус лучей, образующий изображение в точке А', опирается на
полный диаметр выходного зрачка, т. е. в этом случае пучок
лучей, проходящий через оптическую систему фотообъектива,
ограничивает апертурная диафрагма. Пучки лучей, падающие па
объектив под углом, начинают ограничиваться оправами линз,
Вых.зр.
I Вхщ
Qoaa
Рис. 152. Ограничение
пучков лучей в фотообъек-
поэтому конусы лучей, образующие изображения на краях^снимка
(точки В' и С"), опираются не на полный диаметр выходного
зрачка, а только на часть его. Происходит виньетирование све-
товых пучков, увеличивающееся к краю снимка.
Однако освещенность изображения на краю поля понижается
не только из-за ограничения пучков оправами линз, но также из-
за наклона пучков, идущих от точек предмета, находящихся на
краю поля и опирающихся на полный размер апертурной
диафрагмы, т. е. с учетом виньетирования получаем
£\1 = /U£ocosV, (16.8)
где Кш — коэффициент виньетирования; Е0 — освещенность
изображения в центре поля.
В объективах с нормальным полем (40—65°) коэффициент
виньетирования допускается до 20+30%. Особенно большое
падение освещенности на краю поля происходит в широкоугольных
объективах. Для увеличения освещенности на краю поля в этих
обьективах коэффициент виньетирования делают большим
единицы (объективы типа «Руссар»). При этом используется явление
аберрационного виньетирования, позволяющего увеличить
ширину наклонных пучков лучей по отношению к осевому пучку.
§ 109. Глубина изображаемого пространства
и глубина резкости
Фотографические объекты обычно располагаются не в одной
плоскости, а имеют некоторую пространственную протяженность.
В пространстве предметов имеется так называемая плоскость
наведения, а в пространстве изображений — сопряженная с ней
плоскость изображения. Точки предмета, не
совпадающие с плоскостью наведения, изображаются в плоскости изобра-
346

жения в виде кружков рассеяния, размеры которых
зависят от расстояния точек предмета от плоскости наведения. Для
того чтобы изображения точек, находящихся вне плоскости
наведения, казались точками, диаметры кружков рассеяния не должны
превосходить величин, соответствующих разрешающей
способности глаза (Г), т. е.
2у' = фгл/, (16.9)
где 2у' — диаметр кружка рассеяния в плоскости изображения;
фгл — разрешающая способность глаза в угловой мере (радианах);
/ — расстояние, с которого рассматривается снимок. Расстояние
между двумя крайними плоскостями пространства, для которых
точки пространства изображаются в виде кружков рассеяния,
отвечающих формуле (16.9), называется г л у б и н о й резко
изображаемого пространства. Величина его определяется по
формуле
Д = -4Х (16.10)
Здесь 2у'— величина изображения, р — расстояние от предмета до
входного зрачка, D — диаметр входного зрачка, ро — линейное
увеличение; с учетом (16.9) получим
Д = -??г. (16.11)
Из формул (16.10) и (16.11) видно, что глубина
изображаемого пространства увеличивается с уменьшением диаметра
входного зрачка и увеличением расстояния до предмета.
В пространстве изображений глубина изображаемого
пространства -соответствует глубине резкости — это расстояние
вдоль оптической оси между точками пространства изображений,
которые изображаются в виде кружков рассеяния, не
превышающих по величине 2у, определяемое по формуле (16.9).
На рис. 153 из выходного зрачка D' фотообъектива выходит
пучок лучей и в плоскости изображения образует изображение в
точке А, Ближе и дальше плоскости М на расстояниях Д) и Дг
точка изображается в виде кружков рассеяния.
Из рис. 153 следует, что Д#| = Дг, и глубина в пространстве
изображений будет Д =2Д|, причем
д; = ^. (16.12)
В точке О на расстоянии I от плоскости В2С2 находится глаз
наблюдателя, который в пределах своей разрешающей силы
воспринимает кружок рассеяния диаметром 2у' в виде точки.
По формуле (16.9) 2у' —tyrj. Подставив это выражение в
предыдущее, получим
Д1'=рф"^7. (16.13)
347

Отсюда уравнение глубины в пространстве изображений будет
д'= 2/»'<l>r»W>'- ( }
„ m „' __ у г есть расстояние
$п О
Рис, 153. Глубина
резкости изображения
Если изображение фотографируется, то 2/ определяется из
предела разре^ющей способности в линиях на миллиметр, т. е.
2j,' = -, где Л/-в лин/мм, тогда при объекте в бесконечности
p'~?'N'
Al-2/g;. О6-16)
или имея в виду все сказанное выше, при рР= 1
а;-4. (16Л7)
где К-аиафрагменное число объектива. Глубина резкости будет
(16.18)
А' — 2 —
§ НО. Передача перспективы
пектин пооепирует в плоскость изображений не только
ipZ^^S^^™^ ГйДКПГк°осТтаиКЖ|ти К
мРетЫ, расположив™ ближе й W*g«^ п^ю^^ в
ражения ««^"^^Р^™^^ выходного зрачка фото-
странстве изображений явЛ*^я "™ р пои их рассматривании
объектива, поэтому получаемые сним^ки приир ]Р м
могут дать правильное представление J J«S помещенным
случае, когда они Рассматриваются ™«™™*™*в общем слу.
в центр выходного зрачка относительно g°™BaeMoro с11имкуа,
^^S^%SS^SriS^^^ плоскость, выхо.
ного зрачка, может быть определено как
р' — Г + г'.
348

Для удаленных предметов z'-*0, и тогда р' = /', однако это
величины могут быть не равны расстоянию наилучшего видения
для нормального глаза, т. е.
р' = /' Ф 250 мм.
Введем некоторое увеличение, при котором р' = 250 мм, тогда
р' = 250 = роГ- (16.19)
Отсюда получаем формулу для увеличения, при котором
следует рассматривать данный снимок, чтобы сохранить перспективу
пространства объектов,
ро=^. (16.20)
Объектив, фокусное расстояние которого удовлетворяет
условию естественной перспективы при принятых средних размерах
фотокопии, называется штатным. Так, например, если принять
для малоформатных фотоаппаратов (24x36) наиболее
распространенную фотокопию размером 13X18 см, то получим штатный
объектив
/' = Щ = 50 мм.
Поскольку имеется необходимость в фотоснимках и других
размеров, кроме штатного в комплект фотоаппарата могут
входить сменные объективы различного фокусного расстояния,
причем выбор фокусного расстояния объектива зависит также и от
необходимого углового поля.
§ 111. Определение выдержки при фотографировании
Фотографическое изображение получается при воздействии
света на фоточувствительный слой в течение времени
экспонирования, которое называется выдержкой.
После химической обработки светочувствительный слой
отображает оптическое изображение в виде некоторого распределения
оптической плотности D, которая определяется выражением
£ = Ig$, (16-21)
где Фо — упавший на негатив световой поток; Ф — световой поток,
прошедший через негатив.
Оптическая плотность D зависит от экспозиции Н, причем
И = E't, лк.с, (16.22)
где Е' — освещенность изображения, at — выдержка в секундах.
Зависимость оптической плотности D от экспозиции для
данного светочувствительного слоя выражается характеристической
кривой, которая представлена на рис. 154.
На рис. 154 Do — оптическая плотность химически
обработанного светочувствительного слоя, не подвергаемого воздействию
света, называемая оптической плотностью вуали.
349

Светочувствительность слоя определяется в единицах ГОСТа
по формуле
5d-TT—- . (16.23)
лО=-Ов+0,85
Таким образом, светочувствительность слоя есть величина,
обратная экспозиции Н, при которой оптическая плотность
фотографического изображения
превышает плотность вуали Do на 0,85
(точка Б на характеристической
кривой).
Участок АБ
характеристической кривой называется
областью недодержек, БГ —
прямолияейный участок
характеристической кривой, участок
ГД является областью
передержек.
Тангенс угла наклона q>
прямолинейного участка характери-
154. Характеристическая кривая стической кривой называется
фотопленки коэффициентом
контрастности у.
tg/fe ig/y=igf£
Рис
Из
рис.
154
Do-D,
Формула (16.24) служит для определения или необходимой
выдержки t или освещенности изображения Е' при заданной
оптической плотности Ог того или иного участка изображения. При
этом величина D{ принимается равной £)0 + 0,85, величина Hi
определяется по формуле (16.23), величина -[ известна из
каталожных данных фотоматериала.
Тогда на основании формулы (16.24) получим
IgHs-lgE't*
D2^Dl
lgtfl
(16.25)
определяется, как
В этой формуле значение D2 выбирается в зависимости от
поставленной при фотографировании задачи. Можно, например,
принять Du равное некоторому среднему значению на прямолинейном
участке характеристической кривой.
Величина освещенности изображения Е'
известно, по формуле
4 V) {K-hT
где
где r,— коэффициент яркости поверхности
(16.26)
правление съемки); Е — освещенность поверхности предмета.
350

Коэффициент яркости определяется как
r9 = L,/L, (16.27)
где L — яркость идеально рассеивгющей поверхности.
Коэффициент яркости зависит от свойств отражающей
поверхности. Для диффузно отражающих поверхностей коэффициент
яркости равен коэффициенту отражения
/> = Р. (16.28)
Для расчета освещенности воспользуемся формулой (16.24).
Для объекта в бесконечности член тв—тта — 1."тогда, принимая
во внимание (16.26) и (16.28), получим
*'-(тУ'рт. (16-29>
где Е'— освещенность изображения в люксах; [jr-\ —физическая
светосила фотообъектива (камеры); Е — освещенность предмета в
люксах; р — коэффициент отражения материала предмета.
§ 112. Оценка качества изображения фотообъектива
Качество Изображения зависит от остаточных аберраций
фотообъектива. К исправлению аберраций фотообъектива
предъявляются весьма высокие требования, поскольку современные
фотообъективы должны, обладать большим угловым полем при
значительном относительном отверстии и строить на
светочувствительном слое резкое изображение, подобное предмету.
Влияние отдельных аберраций на качество изображений
рассмотрено в главах 9—12.
По степени коррекции объективы подразделяются на
следующие группы: ахроматы, апохроматы, апланаты, анастигматы и ор-
тоскопические. _,
Ранее было дано определение и приведены формулы
разрешающей способности совершенной оптической системы в угловой-
мере (см. § 90). Однако в фотообъективах в качестве
количественной оценки качества изображения принимается разрешающая
способность Ы в штрихах (линиях) на 1 мм, определенная путем
фотографирования тестовой таблицы (миры штриховой или
радиальной) абсолютного контраста. Штриховая мира (рис. 155, а)
состоит из 16 или 25 квадратов; в каждом квадрате имеется
4 малых квадрата со штрихами различного направления; ширина
черных штрихов и белых промежутков одинакова. Ширина
штриха (линии) в (рис. 155, б) равна сумме ширины черной полосы и
белого промежутка.
Если фотообъектив имеет фокусное расстояние f, то
разрешаемое расстояние будет
A'Wtgt, (16.30)
351

чде ф —угол, разрешаемый фотообъективом; подставляя значение
1 нз формулы (13.19) и учитывая, что углы ip малы, получим для
1ентоа поля
лентра поля
N0 = ~, (16.31)
I
4-t
Рис. 155. Штриховая мира
~. е. разрешающая способность фотообъектива зависит от его
относительного отверстия. В точках вне центра поля зрения разре-
лающая способность падает в зависимости от удаления от центра
•.нимка.
Разрешающая способность, определяемая уравнением (16.31),
шеет место при визуальном наблюдении изображения,
образованного фотообъективом. Однако фотографическая разрешающая спо-
•обность зависит не только от оптической системы, но также и
jt разрешающей способности фотографического материала и может
)ыть вычислена по приближенной формуле:
"ф "об лфм
де Л^ф — суммарная фотографическая разрешающая способность
системы «объектив -+- фотоматериал»; N0e— визуальная
фотографическая способность объектива; №фм — разрешающая способность
ъоиматериала.
352

Формулы (16.31) и (16.32) для определения фотографической
разрешающей способности являются весьма приближенными да и
сама разрешающая способность фотообъектива не может полностью
характеризовать качество фотографического изображения, так как
кроме способности системы разрешать отдельные элементы снимка',
влияет также контраст получаемого изображения.
Среди критериев определения качества изображения в
настоящее время особое значение приобрела (см. гл. 27)
частотно-контрастная характеристика (ЧКХ).
Частотно-контрастной характеристикой F(Nn) называют
отношение контраста К' в изображении решетки с синусоидальным
распределением освещенности с частотой N0 периодов на 1 мм
(линий) к контрасту самой решетки К, имеющей период ЛУВ0,
где j30 — линейное увеличение:
Контрасты К и К' определяются выражениями
Если контраст
/С = 1, то
max ^min
К'
F' р'
max mln
■ЛЕ-
(16.33)
(16.34)
max т ^-tnin
решетки (миры) является абсолютным, т. е.
F {No) = К' = Етах Емп
Е'
4-Е'
max т^ *- m
(16.35)
FW
ЧКХ может быть определена расчетным путем на ЭВМ по
специальной программе. Затем определяется разрешающая способность
No и строится график, по оси ординат которого откладывается
контраст К.', а по оси абсцисс—
N0 (рис. 156). ЧКХ может быть
также определена
экспериментальным путем на специальных
установках. Разрешающая
способность на фотоснимке Мф может
быть определена по точке
пересечения ЧКХ объектива F(N0) и
ЧКХ фотослоя W(No).
Как указывалось ранее, фото- _
графический объектив характери- р ^д 5#%(лин/мм)
зуется рядом дополнительных
факторов, от которых зависит
освещенность изображения по полю,
а также качество изображения.
Коэффициент пропускания света определяется отно
шением светового потока Ф', прошедшего через объектив, к свето
вому потоку Ф, падающему на него, т = Ф'/Ф
Коэффициент светорассеяния определяется
нием светового потока, прошедшего через объектив, от
12 i-44t> 353
Рис. I5G. Частотно-контрастные
характеристики фотообъектива и фотослоя
отноше-
черного

предмета (черный бархат с р = 0,02), расположенного на
равномерном ярком фоне (белая матовая краска с р = 0,9), к световому
потоку от этого фона.
Коэффициент спектрального пропускания
определяется отношением светового потока определенной длины волны
Фх, прошедшего через объектив, к световому потоку Ф% той же
длины волны, падающему на объектив",
Ортоскопичность объектива должна соответствовать
условиям эксплуатации. Наиболее строгие требования по дистор-
сии предъявляются к аэросъемочным картографическим
объективам: 6/' допускается в пределах 0,005^-0,01 мм. Для
кинематографических объективов дисторсия допускается до 2—3%, для
фотолюбительских 3—4%.
Ахроматизация объектива должна соответствовать
спектральной характеристике светочувствительного слоя или
приемника изображения. Обычно для черно-белых негативных
фотоматериалов ахроматизацию выполняют для линий спектра D и С/
и такую коррекцию называют фотографической. В последнее
время фотообъективы различного назначения должны обеспечить
получение цветных изображений. Поэтому хроматическая аберрация
исправляется для линий спектра от h (1 = 404,7 нм) до С (\ =
= 656,3 нм), т. е. фотообъективы должны быть апохроматами.

Глава 17.
ТЕЛЕСКОПИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Оптические системы, в которых задний фокус первого
компонента совпадает с передним фокусом второго компонента,
составляют обширную группу так называемых афокальных или т е -
лескопических оптических систем. Они предназначены для
наблюдения удаленных предметов (геодезические, астрономические
и стереоскопические приборы, оптические дальномеры, прицелы,
панорамы, перископы, бинокли и т. д.), для дискретного
изменения увеличения системы (вращающиеся телескопические насадки),
для формирования излучения лазеров и других целей.
§ 113. Теория телескопической системы. Основные характеристики
Если па телескопическую систему падает параллельный пучок
лучей, то его параллельность на выходе сохраняется.
Принципиальная схема такой системы представлена на рис. 157. Первый
(объектив) и второй (окуляр) компоненты расположены таким
Рис. 157. Принципиальная схема телескопической системы
образом, что оптический интервал А равен нулю, т. е. точки
фокусов F; и F2 совпадают. Следовательно, заднее эквивалентное
фокусное расстояние /' = г-1 , как и его переднее
эквивалентное фокусное расстояние f — -—, равны бесконечности, так как
А = — (/i -|- f2— d) = U. На piK 157 обозначено; D —входной
12* 355

зрачок; D'—выходной зрачок; fu f2—задние фокусные расстояния
компонентов; ар, а'Р—удаления входного и выходного зрачков; ш,
(о' — угловые поля в пространстве предметов и изображений; d —
расстояние между тонкими компонентами.
Телескопическая система характеризуется видимым увеличением
Гт, угловым полем 2(о, диаметром выходного зрачка £>', угловой
разрешающей способностью i|>" и удалением выходного зрачка а',.
Изображения, построенные системой, наблюдаются из центра
выходного зрачка под значительно большими углами, чем при
рассматривании предметов невооруженным глазом нз центра
входного зрачка, а это обстоятельство приводит к искажению
перспективы. Все предметы представляются приближенными к
наблюдателю, а само пространство-—сжатым в осевом направлении.
В телескопической системе линейное увеличение р0> угловое
увеличение у, продольное увеличение в сопряженных точках на
оптической оси <х, видимое увеличение Гт и угловое увеличение
в зрачках ?р постоянны и не зависят от положения предмета:
ро = —-?;
/I
т = .
а= -
h
(17.1)
г _ tg со' _
/i
Здесь формулы увеличений приведены для системы в воздухе
(/; = -/,; г; = -/,).
Угловое поле 2оо определяет угловую величину резко
изображаемого пространства. Ограничение поля п телескопических
системах с положительным окуляром Д> > 0 происходит при помощи
полевой диафрагмы, устанавливаемой в его передней фокальной
плоскости. Наибольшая величина углового поля системы зависит
от угла поля окуляра (2ш') и равна
Щ «'.пах = -^~
(17.2)
Применяя сверхширокоугольные окуляры, в которых 2ш' =
= 100°, получим
tg(0m..,=^. (17.3)
356

Размер выходного зрачка D' и его положение зависят от
видимого увеличения системы, размера и положения входного зрачка:
£>' = £. (17.4)
В визуальных приборах диаметр D' составляет 1,5—5,0 мм,
а его удаление от последней поверхности окуляра — s'p> > 5 мм.
Разрешающая способность объектива телескопической системы
^"определяется для пространства предметов в угловой мере:
f =
120"
D
(17.5)
§ 114. Простые зрительные трубы
Простая зрительная труба состоит из объектива (первый
компонент телескопической системы) и окуляра (второй компонент).
Наблюдатель располагается за окуляром таким образом, чтобы
зрачок его глаза совпадал с плоскостью выходного зрачка
зрительной трубы (возможен и такой случай, когда центр вращения
глазного яблока совпадает с центром выходного зрачка).
Как следует из (17.1), видимое увеличение телескопической
системы может быть как положительной (Гт>0), так и
отрицательной величиной (Гт<0). В первом случае система строит
прямое, а во втором — перевернутое изображение.
Если в качестве зрительной трубы применена телескопическая
система с положительным видимым увеличением, то такая труба
называется голландской трубой, а сама система — с ист е-
Рис. 158.
Телескопическая система Галилея
мой Галилея (рис. 158). Это достигается при помощи
положительного объектива и окуляра с отрицательным задним
фокусным расстоянием. Положение и размер выходного зрачка D'
определяются зрачком глаза, который является апертурной
диафрагмой в системе труба — глаз. Поскольку в трубе Галилея пет
действительного промежуточного изображения, построенною
357

объективом, то в ней отсутствует полевая диафрагма (сетка) и
такие трубы не применяются для визирования, дальномерных
определений и т. п. целей. Труба Галилея используется только для
наблюдения (театральные бинокли). Большой диаметр выходного
зрачка (до 8 мм) позволяет наблюдать в плохих условиях
освещенности.
Рис. 159. Телескопическая система Кеплера
Достоинством трубы Галилея является простота конструкции,
меньшая общая длина по сравнению с аналогичными трубами при
Гт<0, прямое изображение. К недостаткам следует отнести
отсутствие визирного устройства, непостоянство положения и размера
входного зрачка. Из-за виньетирования наклонных пучков трубы
Галилея имеют небольшое увеличение и малое поле.
Зрительная труба Кеплера (рис. 159) состоит из
положительного объектива и положительного окуляра и строит
перевернутое изображение (Гт<0). Действительное изображение
наблюдаемого объекта находится в задней фокальной плоскости
объектива, совпадающей с передней фокальной плоскостью
окуляра. Здесь же располагается визирное устройство (сетка), оправа
которого является полевой диафрагмой (ИД). При помощи
зрительных труб Кеплера можно измерять малые линейные и угловые
смещения, визировать на удаленные объекты, производить даль-
номерное определение расстояний, находить превышение
различных точек и т. д.
Из рис. 159 следует, что по известному фокусному расстоянию
окуляра f-2 и углу поля 2и/ вычисляется диаметр полевой диа-
фрагмы Dn.n. = 2/s tgи/, а затем по фокусному расстоянию
объектива определяется угловое поле зрительной трубы
tgd) i
п.д
2'-;
Трубы Кеплера широко применяются при астрономических
и геодезических наблюдениях. Недостатками труб Кеплера
являются перевернутые изображения и несколько большая но сравне-
358

нию с трубами Галилея длина, равная сумме фокусных расстояний
объектива и окуляра: L=d= /1 + /2; , положительный фактор —
визирное устройство (сетка) и отсутствие виньетирования.
Сравнивая ограничение пучков в системах Кеплера и Галилея,
отметим, что в системе Кеплера апертурной диафрагмой АД
является оправа первого компонента, входной зрачок D совпадает с
апертурной диафрагмой, выходной зрачок D' расположен на
небольшом расстоянии (0,1—2 мм) позади заднего фокуса окуляра.
Полевая диафрагма (ПД) находится в передней фокальной
плоскости окуляра, совпадая с плоскостью действительного
изображения первого компонента (объектива).
В некоторых случаях в телескопической системе Кеплера апер-
турная диафрагма может располагаться и перед объективом.
В системе Галилея оправа объектива является виньетирующей
диафрагмой (ВД), а зрачок глаза — апертурной диафрагмой.
В этом случае для вычисления углового поля необходимо знать
положение и размер входного (выходного) окна, а также
положение входного и выходного зрачка.
Для корригирования недостатков зрения окуляр имеет
перемещение в пределах ±5 диоптрий.
§ 115. Зрительные трубы
с призменными и линзовыми оборачивающими системами
Если возникает необходимость иметь в зрительной трубе
Кеплера прямое (Г>0) изображение, то это достигается применением
оборачивающей системы (прицелы, аэрофотовизиры, впзир-лупы
киноаппаратов и т. д.). Оборачивающие системы позволяют
создавать трубы значительной длины (перископы, цистоскопы,
смотровые трубки и т. д.).
Для необходимого оборачивания, изображения используются
как линзовые, так и призменные оборачивающие системы.
Линзовые системы увеличивают длину трубы, а призменные —
сокращают ее.
Применяя призменные оборачивающие системы, необходимо
учитывать вносимые ими сферическую аберрацию и хроматизм
положения. Влияние призм на остальные аберрации настолько
мало, что им практически можно пренебречь. Призмы позволяют
несколько компенсировать астигматизм, хроматическую разность
увеличения объектива и дисторсию окуляра. Призменными
оборачивающими системами снабжены бинокли, стереотрубы,
артиллерийские панорамы и др.
В простейшем случае линзовая оборачивающая система может
иметь вид сложного объектива симметричной конструкции, если
оборачивание действительного изображения выполняется в
масштабе &0 = _], или конструкцию, близкую к симметричной при
'си--— (0,5; 1,5; 2,0 и т. д.). Линзовые оборачивающие системы
бывают однокомпонентными и двухкомпонентными с
параллельным ходом лучей между компонентами. На рис. 160 представлена
359

оптическая схема зрительной трубы с однокомпонентной
оборачивающей системой, видимое увеличение которой
• '2
гт
А.д.
W
т)
м/
Л'
Уг
н2х
-az
l»f
ь >ь®
*/
-ь
/
М{
Рис. 160. Зрительная труба с однокомпонентной оборачивающей системой
где
На рис. 161—зрительная труба с двух компонентной
оборачивающей системой. Второй и третий компоненты образуют оборачи-
Л.Э.
[
(Ю
9^
■л;
Ё
fi
r\Fz ftl
~fz
L
W d
Yj^/M.
//
г"Л»
^—»~-
w
Рис 161. Зрительная труба с двухкомпонентной оборачивающей системой
Бающую систему с параллельным ходом лучей между ними гр0 =а
Если имеется несколько оборачивающих систем, то видимое
увеличение определяется по формуле
Гт =а ——-" р(),Ро, • •. рок.
(17.6)
360

где f0r,, /ок — фокусные расстояния объектива и окуляра, р©,, Ро, ...
Рок — линейные увеличения оборачивающих систем.
В отдельных случаях с целью уменьшения диаметров
последующих компонентов вводятся так называемые коллективные литы,
которые устанавливаются с плоскостях действительного изобра--
АР-РО0
АР-90°
5НП-Э0°
Рис. 162. Призметшые оборачивающие системы
жени я (фокальных плоскостях) таким образом, что, не изменяя
оптической силы системы, наклоняют полевой пучок к оптической
оси (положительные коллективы).
На рис. 162 представлены некоторые приз.менные
оборачивающие системы наблюдательных приборов, состоящие из различных
комбинаций призм. Для оборачивания изображения в плоскости,
перпендикулярной к главному сечению призмы, вводятся призмы с
«крышей».
§ 116. Телескопические системы переменного увеличения
К телескопическим системам переменного увеличения
относятся такие системы, которые позволяют изменять масштаб
изображения. Например, для быстрейшего обнаружения объекта
необходимо иметь трубу небольшого увеличения (до 10s), но
широкоугольную (2со>15°), а для подробного изучения обнаруженного
объекта она должна обладать значительным увеличением (30—
—50х) при небольшом поле (2w = 2—5°). При этом изменение
увеличения следует совершать просто, быстро, надежно.
Из формулы (17.6) следует, что изменение видимого
увеличения, а следовательно, и углового поля можно достичь при помощи
сменных объективов и окуляров различного фокусного расстояния
или изменения увеличения оборачивающих систем.
361

^Наиболее простым способом изменения увеличения зритель
ной трубы является способ сменных окуляров, которые можш
укрепить во вращающейся револьверной головке. В геодезически::
и астрономических приборах такой способ изменения увеличения
широко применяется. Так, некоторые теодолиты снабжаются
сменными окулярами с фокусным расстоянием 8, 10, 13,5, 16,7 и 20 mn.
Рис. 163. Зрительная труба с оборачивающей системой, перемещающейся вдоЛг
оптической оси
Следует иметь в виду, что замена окуляра вызывает измене
ние углового поля и диаметра выходного зрачка.
Способ сменных объективов используется в некоторых
конструкциях перископов и прицелов, но широкого распространения
он не получил, так как при этом значительно изменяется общая
длина прибора.
Наличие линзовой оборачивающей системы позволяет путе?..
перемещения ее вдоль оси или при помощи сменных
включающихся объективов изменять видимое увеличение зрительной тр^-
бы. На рис. 163 даиа принципиальная схема трубы переменной
увеличения с линзовой оборачивающей системой, способной
двигаться вдоль оптической оси. 1 — объектив, 2 — коллектив, 3i —
первое, <?2 (пунктиром) — второе положение оборачивающей сие
темы, 4 — полевая диафрагма, 5 — окуляр.
Если оборачивающая система находится в положении Зь те
общее видимое увеличение зрительной трубы
Р 'об 0 I об а3,
Гт. =-гр,=--р- — .
' ОК ' Ок °1
(17.7
Переместив компонент ближе к окуляру в <?2, изменим
видимое увеличение
rrt = _^p0,=,-^ jt. ' (17.8
'OK 'ок 3*
По абсолютному значению \а3, \ — \а$г\\ |аз,| = |аз,|. Нетрудш
убедиться в том, что Эо. = g—.
В первом случае видимое увеличение зрительной трубы буде"
больше, диаметр выходного зрачка меньше, угловое поле меньше
362

чем во втором случае. Отношение — = К. называется кратностью
изменения увеличения. При других промежуточных положениях
оборачивающего компонента изображения на сетке не будет.
Объективы оборачивающей системы для изменения
увеличения конструктивно могут быть выполнены в виде включающихся ц
выключающихся компонентов в основную оптическую схему трубы.
Рис. 164. Вращающаяся телескопическая насадка для изменения увеличения
В отдельных приборах смена увеличения достигается
вращающейся телескопической системой Галилея, расположенной перед
объективом зрительной трубы. Такая насадка может иметь три
фиксированных положения, каждому из которых соответствует
определенное значение видимого увеличения.
На рис. 164: / и 2 — объектив и окуляр телескопической
насадки Галилея; 3 — объектив зрительной трубы; 4— полевая
диафрагма (сетка); 5 — окуляр.
Обозначив видимое увеличение вращающейся насадки Гн, найг
дем, что на рис. 164, а оно будет равно ГНа = \, а для положе-
ния 164,6 Гнб = 7, причем Г„ „ =-f—; отношение ~ — Коп-
г\ "в ч
363

ределяет кратность изменения увеличения вращающейся насадки.
При выключенной насадке (рис. 164, в) видимое увеличение
определяется только отношением фокусных расстояний объектива и
окуляра (/з и /5) трубы. Применяя телескопическую насадку,
следует обратить особое внимание на согласование выходного зрачка
насадки со входным зрачком зрительной трубы.
§ 117. Панкратические зрительные трубы
Недостатком зрительных труб с дискретным изменением
увеличения является то обстоятельство, что при смене увеличения
наблюдатель временно теряет из виду объект. Для непрерывного
(плавного) изменения видимого увеличения применяют так
называемые панкратические зрительные трубы. Плавное изменение
масштаба изображения в такой трубе достигается применением
панкратического объектива, в котором эквивалентное фокусное
расстояние может принять любое значение в пределах от/^, до
/max, либо панкратической оборачивающей системы с непрерывным
изменением увеличения от f3mi„ до f3max, либо панкратического
окуляра с аналогичным изменением окулярного увеличения, а
следовательно, и фокусного расстояния от Г0„ min до Г0ктах.
Наибольшее распространение в наблюдательных приборах
получили панкратические оборачивающие системы с плавным
изменением расстояния между компонентами по определенному закону.
Рис. 165. Принципиальная схема панкратической оборачивающей системы
Рассмотрим элементарную теорию двухкомпонентной
панкратической системы (рис. 165). Оба компонента положительные.
Оптические силы <Di, Ф^; расстояние d\ между ними может плавно
изменяться.
Линейное увеличение первого компонента fa, второго — fa, а
всей системы — Ро = ро^о,-
364

Ниже приведены формулы, позволяющие рассчитывать панкра-
тическую оборачивающую систему*:
/;
об ,
Гт = -^?; р0 =1-^,(1),-
мж
ф ==Ф, + Ф2 —^1Ф,Ф2; а2 =
•а2Ф;
1 —
ро-
■<*,Ф,
ф,-г-ф2
■dflfli'
UF
1— <*[Ф2
1 — <г,Ф,
2 = Й| •
ф
Ро
х =
2
2
гФ
Ро=-р =
-2'Ф;то=г- = гФ = Ф(й,-
г' = до — Д/=-; г» = а'ф + ] —diu>2;
$0 = (ар' — а'2)Ф;
■aF);
а\
fo — 1 + ^Ф2
Ф, + Ф2
— fli+di -|-а2;
сг,Ф,Ф2 •
dx =
±/l«-
L(/'i+/2) +
?0
/;/2
(17.9)
где p0—увеличение панкратической оборачивающей системы; f'o6,
f —фокусное расстояние объектива и окуляра (на рис. J65 не
показаны); Ф= 1//' —оптическая сила панкратической оборачиваю
щей системы (величина переменная, зависящая от изменения d\);
Ф[ = 1//'1;Ф2= 1//2 — оптические силы отдельных компонентов; cif—
передний фокальный отрезок; dF, — задний фокальный отрезок;
г' —расстояние от заднего фокуса до осевой точки изображения;
z—расстояние от переднего фокуса до осевой точки предмета; а'2 —
расстояние от второго компонента до изображения; а,\ — расстояние
от первого компонента до предмета; d\ — расстояние между
компонентами оборачивающей системы; 70 — угловое увеличение
оборачивающей системы; L — расстояние между предметом и изображением
панкратической оборачивающей системы (постоянное).
На основании расчетов составляется график движения линз
панкратической системы и проектируется механизм их
перемещения.
Конструктивным недостатком двухкомпонентной панкратической
оборачивающей системы является перемещение одного из
компонентов по криволинейному закону. В более сложных панкратиче-
ских системах можно перемещать компоненты по прямолинейному
закону.
* Турыгин И. А. Прикладная оптика. М., Машиностроение, 1965.
365

Следует отметить, что панкратические объективы делят на два
вида: вариобъективы и трансфокаторы. Вариобъектив —
объектив, в котором изменение фокусного расстояния осуществляется за
счет непрерывного перемещения одного или нескольких
компонентов вдоль оптической оси. Трансфокатор — совокупность афо-
калыюй панкратической насадки, угловое увеличение которой
может непрерывно изменяться в заданных пределах, и объектива с
постоянным фокусным расстоянием, расположенного за насадкой.
§ 118. Зрительные трубы с внутренней фокусировкой
Наиболее широкое распространение зрительные трубы с
внутренней фокусировкой нашли в современных геодезических
приборах (теодолиты, нивелиры и др.). Объективом такой трубы чаще
всего является двух компонентный телеобъектив (рис. 166),
состоящий из положительного и отрицательного (фокусирующего)
компонентов. Особенность телеобъектива состоит в том, что f > L, /' >
> aF> (в обычных линзовых объективах /' = ар- ~ L). Двухкомпо-
нентный телеобъектив позволяет при малых габаритах получить
большое эквивалентное фокусное расстояние, следовательно, и
большое видимое увеличение. При расчете телеобъективов вводится
понятие его телесокращения (коэффициента телесокращения),
равного m~Y> гДе I—длина телеобъектива, /' — эквивалентное
фокусное расстояние.
В линзовых телеобъективах m > 0,6, в зеркально-линзовых
m > 0,2—ОД в зеркальных т>0,1. В линзовых телеобъективах
Рис. 166. Ход лучей в
двухкомпонентном
телеобъективе
из-за значительных остаточных аберраций коэффициент
телесокращения менее 0,6 практически не бывает.
Чем меньше т, тем короче система, тем с большим линейным
увеличением (Зг действует фокусирующий компонент, тем сложнее
"при аберрационных расчетах конструкция первого компонента, тем
труднее исправить в системе аберрации.
366

К достоинствам геодезических труб с двухкомпонентным
телеобъективом следует отнести малые габариты, достаточную
герметичность, постоянство длины при изменении фокусировки. К
недостаткам таких труб относятся изменение эквивалентного фокусного
расстояния при перефокусировке, изменение видимого увеличения
для различных расстояний визирования, малый диапазон визирных
* я
Я-7=-оо
R^^l
1 «2*
г d
W
,п.е.
'Из
Щ
Рис. 167. Перефокусировка зрительной трубы с Двухкомпонентным телеобъективом
расстояний, ошибки вследствие неправильного перемещения
фокусирующего компонента.
Изменение эквивалентного фокусного расстояния определено
самой конструкцией телеобъектива. В самом деле, для наблюдения
объектов, расположенных на конечном расстоянии, необходимо
фокусирующую линзу приблизить к окуляру, если труба
предварительно была установлена на бесконечность (рис. 167), на величину
Ad. В этом случае эквивалентное фокусное расстояние
телеобъектива, определяемое формулой Д' = -; ~ , изменится.
f\ + h — ds
Так, в теодолите ТБ-1 при визировании на бесконечность /' =
= 250 мм, а при визировании на 1,2 м fs = 140 мм.
Перемещение фокусирующей линзы вычисляется по формуле
ds = ^ [(L + а\) — У(а\ — L) (а\ — L + 4/2) \, (17.10)
где а\
<V;
!'l
<*i + f\
L — длина телеобъектива; f{, f'2 — фокусные
расстояния первого и второго (фокусирующего) компонентов; а\ —
расстояние визирования (задается).
Теоретически невозможно создать двухкомпонентную систему с
постоянным фокусным расстоянием при перефокусировке.
Оптическая сила такой системы Ф =/г(ф: 4-/ьФ2.
Дифференцируя по переменной h-, я переходя к конечным
приращениям, получим, что ДФ = Ф2Д/12. Условие создания системы с
367

постоянным фокусным расстоянием ДФ = 0 выполнить нельзя (так
как Фг¥= 0; Д/г2 ф 0, ибо, меняя фокусировку, мы изменяем
приращение высоты A/t2).
Постоянное эквивалентное фокусное расстояние можно
получить в трехкомпонентных телеобъективах при выполнении
определенных условий (трубы постоянного увеличения В. А. Белицина).
Изучению влияния колебания визирной оси зрительной трубы
и созданию труб с постоянной линией визирования уделяли
внимание как зарубежные, так и советские ученые. Существующие
н вновь разрабатываемые визирные средства для исключения
погрешностей визирования из-за перефокусирования могут быть
условно разделены на следующие: 1. Визирные трубы с
фокусирующими несиловыми элементами Ф = 0 (призмами), создающими
прямую визирную линию. 2. Трубы двойного изображения. 3.
Системы типа аксиконов. 4. Системы, построенные на использовании
явления интерференции и дифракции.
К телескопическим системам следует также отнести и
зрительные трубы для наблюдения за небесными объектами, так
называемые астрономические телескопы, которые бывают трех видов:
диоптрические (рефракторы), катоптрические (рефлекторы) и ка-
тодиоптрические (зеркально-линзовые).
Автоколлимационные зрительные трубы, представляющие собой
комбинацию обычного объектива (одно- или двухкомпонентного)
и автоколлимационного окуляра, являются также
телескопическими системами. Они находят широкое распространение в
различного рода контрольно-юстировочных и измерительных приборах.
§ 119. Объективы и окуляры телескопических систем
Объективы телескопических систем предназначены для
получения действительного изображения, которое рассматривается
глазом через окуляр.
Объектив телескопической системы характеризуется
следующими параметрами: фокусным расстоянием /', относительным
отверстием D/f, угловым полем в пространстве предметов 2<а,
разрешающей способностью в центре и на краю поля </',
конструктивными особенностями и остаточными аберрациями.
Угловое поле объективов обычно небольшое. Оно определяется
угловым полем окуляра и видимым увеличением трубы. В
геодезических трубах при увеличении 25—30х 2со составляет 1—2°, в
других телескопических системах — редко превышает 10—15°.
Фокусное расстояние порядка 250—500 мм, а иногда и больше,
относительное отверстие — Vs—Vio-
В зрительных трубах большого увеличения (свыше 20 х)
сечение пучков, проходящих через объектив, велико, а углы этих
пучков с оптической осью малы, поэтому в объективах нет
необходимости исправлять аберрации полевых пучков, а достаточно
исправить сферическую аберрацию, меридиональную кому (условие
синусов), хроматизм положения и, по возможности, вторичный спектр.
368

В трубах малого увеличения возникает необходимость
исправления и полевых аберраций. Остаточные аберрации зрительных
труб принято выражать в угловой мере, и чтобы они не вызывали
значительного ухудшения изображения, их величина не должна
превышать 1—2'.
Наиболее распространенными объективами телескопических
систем являются двухлинзовые склеенные объективы двух видов:
«крон впереди» и «флинт впереди». Первый даст хорошее
изображение при угловом поле до 6°, а второй позволяет получить поле
до 15° при небольшом относительном отверстии и при
дополнительной компенсации аберраций другими компонентами системы.
Двухлинзовый несклеепный объектив имеет практически такие
же характеристики, как и склеенный, однако позволяет получить
точно заданное фокусное расстояние путем изменения в небольших
пределах воздушного промежутка между линзами, что очень
важно в таких системах, как внутрибазные дальномеры,
коллиматоры и др.
Применяются также и трехлинзовые объективы из двух
положительных компонентов и четырехлинзовые объективы. Такие
системы имеют повышенные оптические характеристики и лучшую
аберрационную коррекцию.
В качестве объективов зрительных труб используются двух.- и
трехкомпонентные телеобъективы, а также зеркально-линзовые
объективы.
На рис. 168 представлены некоторые конструктивные схемы
объективов телескопических систем:
1. Двухлинзовый склеенный объектив «крон впереди». Первая
линза изготовлена из стекла марки «крон», вторая — из стекла
марки «флинт».
2. Двухлинзовый склеенный объектив «флинт впереди». Первая
линза отрицательная из флинтового стекла, вторая — из
кронового. Оба двухлипзовых склеенных объктива просты по конструкции
и недороги в изготовлении.
3,4. Двухлинзовые несклеенные объективы «крон впереди» и
«флинт впреди». Позволяют получить лучшую коррекцию по
сравнению со склеенными объективами и большее относительное
отверстие, а также и точно заданное фокусное расстояние путем изменения
в небольших пределах воздушного промежутка между линзами.
5. Трехлинзовый объектив. Вторая и третья линзы склеенные.
Возможна и такая конструкция, когда склеенными будут первая
н вторая линзы.
6. Трехлинзовый несклеепный объектив. Между линзами
имеется воздушный промежуток.
Наличие в трехлинзовых объективах большого количества
свободных параметров (марки стекол, радиусы, толщины и
воздушные промежутки) позволяет существенно улучшить их
аберрационную коррекцию по сравнению с двухлинзовыми.
7. Четырехлинзовый объектив из двух одинаковых двухлинзо-
вых склеенных объективов. Позволяет повысить относительное
369

отверстие до Vs и увеличить поле до 32° при хорошей коррекции
аберраций высших порядков.
8. Четырехлинзовый объектив. В качестве широкоугольного
объектива в трубах небольшого увеличения возможно применить
симметричный окуляр с большим фокусным расстоянием.
Относительное отверстие 'Д. угловое поле 40°.
Рис. 168. Основные типы
9. Двухкомпонентный телеобъектив. Положительный компонент
представляет собой двухлинзовый склеенный объектив, а
отрицательный (фокусирующий) компонент — одиночную отрицательную
линзу.
10. Двухкомпонентный телеобъектив. Конструкция этого
телеобъектива по сравнению с предыдущим более сложная. Первый
370

компонент —трехлипзовый, а второй — двухлинзовый.
Усложнение конструкции позволяет получить систему с улучшенными
аберрационными характеристиками.
11. Трехкомпонентаый телеобъектив. Первый компонент
положительный, двухлинзовый склеенный (иногда бывает и трехлин-
зовым), второй компонент—отрицательный одно- или
двухлинзовый. Оба эти компонента расположены таким образом один отно-
об ъективов зрительных труб
сительно другого, что образуют телескопическую систему Галилея
Третий компонент (фокусирующий) — двухлинзовый склеенный
(или несклеенный). Основное достоинство такого трехкомпонентно-
го телеобъектива в том, что при изменении расстояния
визирования его эквивалентное фокусное расстояние остается постоянным
(/'= const). Телесокращение таких систем порядка 1,0—0,9.
371

12. Зеркально-линзовые объективы. В таких объективах удачно
сочетаются коррекционные возможности отражающих и
преломляющих поверхностей, что позволяет получить высокое качество
изображения при значительном сокращении габаритов трубы. На
рисунке представлена зеркально-линзовая система Д. Д.
Максутова, состоящая из ахроматического мениска и двух сферических
зеркал. Вторичное зеркало нанесено на задней поверхности
мениска. Входной (выходной) зрачок имеет форму кольца.
Окуляр — оптическая система, расположенная
непосредственно перед глазом и предназначенная для рассматривания
изображения, построенного предыдущей системой (объективом или
объективом и оборачивающей системой).
0<уляр характеризуется фокусным расстоянием f'0K (обычно
Ю-4-40 мм) или окулярным увеличением Гок =-^, относительным
'ок
отверстием _^"(т~^"Т5|' пеРеДним фокальным отрезком sf,
удалением выходного зрачка sp>, углом поля 2и>', конструкцией и
остаточными аберрациями.
Удаление выходного зрачка s'p> колеблется в пределах (0,4-=-
-f-0,5)/OK. Если-т->1, то такие окуляры называются окулярами
'ок
с удаленным зрачком. В зависимости от угла поля 2и/ окуляры
бывают следующих типов: а) с нормальным полем 2ш' < 55° (в
геодезических приборах 2«>' ss 40°); б) с увеличенным полем 2«>' =
= 55-4-70°; в) широкоугольные 2и>' > 70°.
В телескопической системе Галилея используются окуляры g
отрицательным фокусным расстоянием, которые, как правило,
рассчитываются совместно с объективом. Для труб Кеплера окуляр
обычно подбирается из каталогов или рассчитывается таким
образом, чтобы его аберрации компенсировали аберрации
предыдущей системы.
На рис. 169 показаны основные тины окуляров, применяемых
в зрительных трубах различного назначения, измерительных
приборах и микроскопах.
1. Окуляр Рамсдена. Состоит из двух плоско-выпуклых линз,
обращенных сферическими поверхностями друг к другу. Первая
линза — коллективная, вторая — глазная. Хромаги.ш не исправлен.
Полевые абефрации исправлены для угла 2ш' = 30-4-40°. Удаление
выходного зрачка sp> = (у-*-"4) f°K- Применяется в простейших
геодезических приборах.
2. Окуляр Гюйгенса. Сферические поверхности двух
плосковыпуклых линз, из которых состоит окуляр, обращены к
объективу. Полевая диафрагма (сетка) находится между линзами. Поле
окуляра до 50°. Удаление выходного зрачка sp-£s у/0к-
Применяется в визирных микроскопах.
372

3. Окуляр Кельнера. Представляет собой усовершенствованную
конструкцию окуляра Рамсдена. Второй компонент (глазная
линза)— двухлинзовый склеенный. Это позволяет улучшить
аберрационную коррекцию окуляра 2(о' = 40—50°, передний фокальный
Рис. 169. Оптические схемы окуляров
отрезок SF^z — ffoK.; удаление выходного зрачка s,/«y/oK. До
последнего времени окуляр Кельнера широко применяется в
биноклях, зрительных трубах и других оптических приборах.
4. Симметричный окуляр. Состоит из одинаковых двухлинзовых
склеенных компонентов, обращенных друг к другу положительных
373

линя и разделенных небольшим (0,1—0,5 мм) воздушным
промежутком. В пределах угла ноля 2и/ = 40° хорошо исправлены
аберрации. Передний фокальный отрезок sf примерно равен удалению
' 3 '
выходного зрачка sp- и составляет -гЛж- Симметричный окуляр
широко применяется в различных телескопических приборах.
5. Ортоскопический окуляр. Окуляр с хорошо исправленными
аберрациями, особенно дисторсией (4 ч-10%). Глазная линза такого
окуляра одиночная, иногда плоско-выпуклая. Первый компонент —
трехлинзовый склеенный. Угловое поле 2ш' = 40°, передний фо-
I /
кальныи отрезок Sf — 5—/оК; удаление выходного зрачка v з=;
3 '
ss-j-Дж- Используется преимущественно в измерительных
приборах и отсчетных микроскопах.
6. Широкоугольный окуляр Эрфле первого типа имеет такие
характеристики: угловое поле, в пределах которого исправлены
полевые аберрации, 2ш'= 65°, передний фокальный отрезок sf =
= — -g- /ок. удаление выходного зрачка v=2"/ok- В окуляре этого
типа коллективная линза одиночная, а глазная — двухком-
понентная, каждый компонент состоит из двух склеенных линз.
7. Широкоугольный окуляр Эрфле второго типа. Как и
предыдущий окуляр, он состоит из пяти линз. Первый и третий
компоненты— двухлинзовые склеенные, а второй компонент — однолинзо-
вый. Угловое поле окуляра Эрфле второго типа 2и/ = 60—65°,
передний фокальный отрезок sf = — -=• /ок, удаление выходного
зрачка sP'= |-g--b-T-)/oK, дисторсия на краю поля 10%. Применяется
в наблюдательных приборах.
8. Окуляр с удаленным зрачком. Это пятилинзовый окуляр.
Первый и второй компоненты склеены из двух линз. Угловое поле
2ш' = 45°, удаление выходного зрачка v = f0K, передний
фокальный отрезок $р = —д-/ок- Применяется при наблюдении в
защитных очках.
К специальным окулярам следует отнести
сверхширокоугольные окуляры (2©' =70—120°), окуляры с внутренней фокусировкой,
которые применяются в герметичных приборах, окуляры для
высокоточных геодезических приборов, рассчитанные ГОИ, окуляры с
асферическими поверхностями и автоколлимационные окуляры.
Автоколлимационпые окуляры отличаются от обычных
наличием приспособления (призма, плоскопараллельная пластинка или
др.) для подсветки сетки *. Зрительная труба, снабженная
автоколлимационным окуляром, называется автоколлиматором.
* Справочник конструктора оптико-механических приборов. Под редакцией
М. Я- Кругсра и В. А. Паноил Л., Машиностроение, 1967.
374

Глава 18.
ЛУПА И ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА МИКРОСКОПА
Оптические системы лупы и микроскопа служат для
наблюдения малых предметов и микропроцессов, а также для
микрофотографии и кинематографии. Лупа и микроскоп позволяют
увеличить угловые размеры малых предметов, расположенных на
близких расстояниях от глаза, до размеров, соответствующих
разрешающей способности глаза.
§ 120. Лупа и ее оптические характеристики
Лупой называется положительная линза или система линз,
предназначенная для визуального наблюдения за предметом,
расположенным близ передней фокальной плоскости этой линзы или
системы линз. Оптическими характеристиками лупы являются
видимое увеличение Г и линейное поле 2г/.
На рис. 170 представлен ход лучей в лупе. Объект у
расположен близ переднего F, при этом наблюдатель, входной зрачок
глаза которого находится за задним фокусом F', видит прямое
мнимое увеличенное изображение.
Под видимым увеличением лупы понимают отношение тангенса
угла о/, под которым видно изображение через лупу (рис. 170, а),
к тангенсу угла о>, под которым виден предмет, помещенный на
расстояние лучшего зрения Li = 250 мм (рис. 170,6), т.е.
Г = ^. (18Л)
Из рис. 170
tgU)' = —f, (18.2)
по формуле увеличения у' — —^-, где z\ -^2 + ггл. тогда
л
В (л , г™
tgco' -^. 1+тП (18.3)
У
Кроме того, tgo) = — j—, где L1==250 мм, тогда
tgffl' Ll I, . г„'
r-S—rl1+^> <а4)
375

Практически условия применения лупы могут быть различными.
Пели ггл = 0, т. е. зрачок глаза расположен в. заднем фокусе, то
Го 41- (18-5)
/.■I
Если Li= с», т. е. предмет помещен в переднем фокусе,
изображение лежит в бесконечности, глаз работает без аккомодации,
ю получаем также формулу
(18.5). Поскольку Li = 250 мм,
увеличение лупы
^9*
~ 250
Го = у.
'л
(18.6)
Если глаз при работе с
лупой аккомодирован па
расстояние L-> = L\ = 250 мм и
расположен рядом с линзой, т. е.
—г'гл = /л т0 Формула (J8.3) бу-
дет иметь вид
Г = Го + 1. (18.7)
Рис. 170. Ход лучей п лупе
Из формул (18.6) и (18.7)
следует, что увеличение лупы
обратно пропорционально ее фокусному расстоянию.
Вопрос о поле лупы и об ограничении пучков в ней решается
при рассмотрении действия лупы совместно с глазом. Поле лупы
увеличивается при увеличении диаметра оправы лупы и
уменьшении расстояния между глазом и лупой.
§ 121. Типы луп
Наиболее часто в качестве лупы используется простая
неахроматическая линза, причем лучшее качество изображения даст
плоско-выпуклая линза, обращенная к глазу плоской стороной.
Лупы из простых линз оформляются в виде складных луп
различного увеличения (2,5—20х), штативных луп, служащих для
рассмотрения фотоснимков и карт мелкого масштаба, часовых лун
со специальной оправой для установки возле глаза, а также
бинокулярных луп.
При Г> 15х применяются апланатические лупы, которые
состоят из трех склеенных линз. В качестве луп могут также
применяться окуляры Рамсдепа и Кельнера.
§ 122. Теория оптической системы микроскопа
Оптическая система микроскопа состоит из двух сложных
систем: объектива и окуляра. На рис. 171 схематически представлен
ход лучей в микроскопе.
376

Объектив 0{ строит увеличенное действительное изображение
объекта АВ (рис. 171, а) вблизи передней фокальной плоскости
окуляра. Это изображение (А'В') рассматривается глазом через
окуляр Ог, причем в зависимости от положения промежуточного
изображения относительно фокуса F2 изображение проектируется
либо на бесконечность (если А'В' совпадает с F2, либо на
расстояние наилучшего зрения наблюдателя (если А'В' находится за
Рис. 171. Ход лучей в микроскопе
фокусом F2). Величина Д (рис. 171, б) называется оптическим
интервалом микроскопа или оптической длиной тубуса
микроскопа. По формулам (3.60) для системы из двух компонентов для
заднего фокусного расстояния микроскопа
f'=—tfal\, (18.8)
для переднего фокусного расстояния микроскопа
/-Л/г/Д. (18.9)
Положение фокусов / и f микроскопа может быть определено по
формулам
zF=fift/b, z>< = —/2/',/Л.
Если изображение А'В' лежит в плоскости F2, т. е. на
расстоянии А от заднего фокуса объектива F', (z, = Л), получим
р„ = -Д/Д. (18.10)
377

При рассмотрении изображения АВ окуляром принимаем по
формуле (18.7)
Го = 250//5. (18. И)
Общее увеличение всего микроскопа
=- „ ■= 250 • Д .
Г = р0Г0 = -Г-Г-. (18.12)
Имея в виду формулу (18.10), получим
Г = 250//', (18,13)
где /' — фокусное расстояние всего микроскопа. Кроме того,
согласно закону синусов, который должен быть соблюден в системе
микроскопа, получим
t. — г — "sin J
у ~~ ~ п' sin а'
Поскольку п' = 1 и угол о' мал, а также принимая во внимание,
что я sin а = Л есть числовая апертура, получим
Г-s-A/j'. (18.14)
Из рис. 171, если принять, что глаз аккомодирован на
бесконечность и промежуточное изображение находится в первой
фокальной плоскости окуляра Fi, получим
2f'2'
где D' — диаметр выходного зрачка микроскопа. Принимая во
внимание (18.11), окончательно получим
Г = -^. (18.15)
§ 123. Ограничение пучков,
глубина изображения и перспектива
Для микроскопов с простыми объективами входным и
выходными зрачками, а также апертурной диафрагмой является оправа
объектива. Для сложных объективов апертурной диафрагмой
служит одна из последних линз объектива или специальная
диафрагма, установленная между последней линзой и задним фокусом
объектива (см. рис. 171). Входным зрачком объектива и
микроскопа в этом случае будет мнимое изображение диафрагмы (или
оправы), даваемое объективом. Выходной зрачок объектива
является входным зрачком окуляра. Выходным зрачком окуляра, а
следовательно, и выходным зрачком всего микроскопа будет
служить изображение апертурной диафрагмы, даваемое окуляром
(см. рис. 171).
Выходной зрачок микроскопа расположен близко к заднему
фокусу микроскопа и наблюдается в виде светлого кружка, с ко-
378

~D' F'
Рис.
торым совмещается зрачок глаза при наблюдении в микроскоп,
причем выходной зрачок микроскопа для микроскопа большого
увеличения обычно бывает меньше зрачка глаза наблюдателя,
поэтому последний не оказывает влияния на ограничение пучков в
микроскопе- Для микроскопов малого увеличения размеры зрачка
глаза могут быть равны и меньше размеров выходного зрачка
микроскопа. В этом случае глаз оказывает влияние на ограничение
пучков в микроскопе.
Если диаметр выходного
зрачка микроскопа равен
диаметру зрачка глаза
наблюдателя, то субъективная яркость
изображения в глазу при этом
будет наибольшей. Видимое
увеличение в этом случае
называется нормальным
увеличением микроскопа, и
согласно (18.15) получим
Г„ = -5^. (18.16,
г л
В плоскости действительного промежуточного изображения
микроскопа устанавливается полевая диафрагма. Изображение этой
диафрагмы, даваемое объективом, находится в плоскости объекта.
При фокусировке микроскопа на некоторую плоскость резко
изображается не только эта плоскость, но и пространство перед
ней и за ней. Расстояние между двумя крайними положениями
плоскостей впереди и сзади плоскости наведения, для которых
изображения могут считаться удовлетворительными, называется
глубиной изображаемого пространства. На рис. 172 пучок лучей,
опирающийся на выходной зрачок, дает кружок рассеяния 2у'.Нз
рис. 172 следует
2(/' = 2d2'tga',
где
♦ > D'
172. Глубина изображения в
микроскопе
2(z' + Jz'+zv)
Пренебрегая dz и гр как малыми величинами, получим
2г/ = ^.
(18.17)
Диаметр кружка рассеяния 2у' виден глазом из центра
выходного зрачка под углом <р,-„, тогда
2(/ = (zp — z ) 6ГЛ ^ — z ф, л,
откуда по формуле (18.17) получим
dz' = ~^r-. (18.18)
п'
379

Переходя к пространству объектов и учитывая, что продольное
увеличение
ао = 57 = —р2о/'//,
а также формулы
zz' = ff- Г If = —л 7л; D' = —2/'«sin а = —/'А
и формулу Г = 250//', получим
2dz = ^—. (18.19)
ГА v '
Здесь 2dz—глубина изображаемого пространства, /г —
показатель преломления иммерсионной жидкости. При этом предполагается,
что плоскость Q' может занимать положение по обе стороны от
плоскости изображения.
§ 124. Разрешающая способность
и полезное увеличение микроскопа
Разрешающая способность зрительной трубы, как было
показано ранее, определяется дифракционными явлениями во входном
зрачке объектива трубы. При построении изображения в
микроскопе его входной зрачок находится на бесконечности и апертур-
ный угол обычно велик, поэтому дифракционные явления во
входном зрачке микроскопа не влияют на его разрешающую
способность. Однако микрообъект, рассматриваемый в микроскоп,
дифрагирует свет, освещающий его, и действует как дифракционная
решетка, действие которой применительно к микроскопической
системе рассмотрел Аббс. На рис. 173 дифракционная решетка
освещается наклонным параллельным пучком лучей. Свет,
дифрагированный решеткой в точке М, распадается на ряд
параллельных пучков лучей. Пучок, прошедший прямо (МА0), называется
нулевым; отклоненные в обе стороны пучки называются лучами
1, 2, 3, ... и —1, —2, —3 и т. д. порядков. Из физической оптики
известно, что
sin a, — smok^kllnd, (18.20)
где k — порядок дифрагированного пучка; п — показатель
преломления среды, в которой находится решетка; d — период решетки;
X — длина волны света.
Если рассмотреть работу микроскопа совместно с
осветительной системой, то оказывается, что изображение источника света
получается около апертурной диафрагмы микроскопа, причем из-за
дифракции, вызываемой решеткой (предметом), образуется не одно,
а ряд изображений источника света, которые разложены в
спектры и имеют вид, представленный на рис. 174: А> — изображение,
соответствующее нулевому порядку; Л!э Л2, а также А-и А-2 ~~
380

изображения, соответствующие порядкам 1, 2 и т. д. и —1, —2
и т. д.
Дифракционная картина, возникающая у апертурной
диафрагмы, называется первичным изображением предмета и не похожа
на него, но несет в себе информацию о предмете. В дальнейшем
свет от источников Аи А^ и т. д. интерферирует в плоскости лоле-
Рис. 173. Схема действия дифракци- Рис. 174. Схема расположения пер-
онной решетки вичных изображений в микроскопе
вой диафрагмы и создает окончательное вторичное изображение
предмета, которое рассматривается через окуляр.
Если обратиться к формуле (18.20), то из нее следует, что при
уменьшении периода решетки d, или, что то же самое, при
уменьшении структуры объекта, углы дифрагированных лучей
увеличиваются и может создаться такое положение, что первичное
изображение источника света, который служит для освещения
рассматриваемого предмета, выйдет за пределы апертурной диафрагмы
микроскопа и вместо вторичного изображения предмета,
передающего его структуру, будет видна поверхность, равномерно
освещенная лучами нулевого порядка источника света. Этот случай
соответствует пределу разрешения системы микроскопа.
Следует рассмотреть два возможных случая хода лучей,
освещающих предмет: прямое и косое освещение. При прямом
освещении (рис. 175, а) изображение источника в пучке нулевого порядка
возникает в центре апертурной диафрагмы (правая часть рис. 175, а).
При пределе разрешения у краев апертурной диафрагмы находятся
половины спектров первого и минус первого порядка. При этом
угол а_| для дифрагирования пучка минус первого порядка должен
быть равен апертурному углу микроскопа а, т. е. в этом случае
с0 — 0, k=—1, o_i == а, и формула (18.20) приобретает вид
sma^llnd, (18.21)
откуда период решетки, находящейся на пределе разрешения,
d = X/A. (18.22)
При косом освещении угол наклона лучен о» равен апертурному
углу микроскопа а. Изображение источника света в нулевом пучке
381

находится на краю апертурной диафрагмы, а изображение первого
порядка по условию предела разрешения —на другом краю
апертурной диафрагмы (рис. 175, б, справа), поэтому угол а\ = — а
и в формуле (18.20) а0 = а, k = 1 и <л = —а. Тогда
2 sin а = l/nd,
откуда период решетки, находящейся на пределе разрешения, будет
d = )J2A. (18.23)
a ff
^ /TV4-* /W' ^ /TV^U /щ,^
Рис. 175. Разрешающая способность в микроскопе:
а — прямое освещение; б — косое освещение; Л — апертурная диафрагма
Поскольку предмет освещается как прямыми, так и косыми
пучками лучей, для определения разрешающей способности
микроскопа применяем формулу (18.23).
В пространстве изображений получим
сГ = Щ2Л. (18.24)
Чтобы отрезок d' был резко виден, его величина должна
соответствовать углу удобной различимости 6ГЛ, который принимают
равным от 2 до 4'. При этом, если изображение рассматривается
глазом на расстоянии удобного видения (250 мм), то линейная
величина, соответствующая углу удобной различимости, будет равна
2 . 250iin Г и 4. 250 sin Г. Таким образом, может быть написано
неравенство
2. 250 sin Г <-^-< 4. 250 sin Г.
Принимая X = 550 нм, получим, что увеличение Гп и апертура
микроскопа связаны неравенством
500А < Ги. „ < 10Q0A. (18.25)
Увеличение Гп, удовлетворяющее равенству (18.25), называется
полезным увеличением микроскопа.
Формула (18.25) не относится к микропроекции и
микрофотографии, госкольку при рассмотрении изображений на экране
зрачок глаза не ограничивается выходным зрачком микроскопа и раз-
3S2

решающая способность глаза может быть принята равной 1',
а. для измерительных (отсчетных) микроскопов даже 30". Тогда
ГП<250Л. (18.26)
В коротковолновой области полезное увеличение микроскопа
возрастает.
§ 125. Оптические части микроскопов
Оптические системы микроскопов состоят из следующих
частей: объективов и окуляров, которые дают возможность получить
увеличенное изображение предмета и конденсоров и коллекторов,
образующих осветительную систему микроскопа.
Микроскоп имеет постоянную часть — т у б у с, в который
монтируются объектив и окуляр. Механической длиной
тубуса называется расстояние между опорными плоскостями оправ
объектива и окуляра. Механическая длина тубуса принята равной
160 мм для микроскопов, действующих в проходящем через
предмет свете, и 190 мм для микроскопов, действующих в отраженном
от предмета свете. Постоянная длина тубуса позволяет иметь
комплект взаимозаменяемых объективов и окуляров для
получения систем с различным увеличением.
Объективы микроскопов. Основными характеристиками
объективов микроскопов являются увеличение и числовая апертура.
Наиболее применяемые объективы микроскопов имеют увеличение
от 3 до 90х и числовую апертуру от 0,01 до 1,40.
Объективы микроскопов классифицируются по особенностям
оптического устройства и коррекции аберраций: различаются
ахроматы, апохроматы, планахроматы, планапохроматы,
телецентрические объективы, монохроматы, зеркальные и зеркально-линзовые
системы, объективы с применением флюорита и т. п. Кроме того,
объективы классифицируются по свойствам иммерсий: сухие
системы (без иммерсии), с водной иммерсией, масляной или
однородной иммерсией, глицериновой иммерсией, (для
ультрафиолетовой области). Объективы ахроматы (рис. 176, а и б)
изготавливаются с увеличениями в широком диапазоне, однако имеют
большой вторичный спектр. Слабый ахроматический объектив
представляет собой двухлинзовыи склеенный компонент. Объективы
с числовой апертурой 0,2 состоят из двухлинзовых компонентов.
Объективы средних и больших увеличений содержат фронтальную
линзу и несколько склеенных компонентов. Вторичный спектр
значительно снижается при изготовлении части линз из
флюорита (рис. 176, в).
На "рис. 176, г представлена схема апохромата. У этого
объектива значительно лучше исправлены хроматические аберрации
и в особенности вторичный спектр и сферохроматическая аберрация.
Некоторые линзы в апохроматах изготавливаются из
кристаллов (каменная соль, кварц, флюорит). Лучшими объективами для
микроскопов считаются планахроматы (рис. 176, д) и планапохро-
383

маты; кроме хорошей хроматической коррекции они имеют плоское
поле. Планахроматы не содержат линз из флюорита, который
может иметь внутренние натяжения и поэтому не пригоден для
объективов поляризационных микроскопов. Особенностью планапо-
хроматов является высокая степень коррекции аберраций в
пределах всего поля зрения для спектрального интервала от 434 до
656 им. По сравнению с планахроматами плананохроматы имеют
--SV S'S S, S;0 -s, s/.
F
№§
s,
F' F
T" " —
Sis
s.
Рис. 176. Оптические схемы объективов микроскопов
большее поле и поэтому, кроме проведения визуальных
исследований, пригодны для микрофотографии, в том числе и цветной.
Окуляры микроскопов. В микроскопах применяются окуляры,
описанные в главе 17. Эти окуляры относятся к визуальным,
служащим для наблюдения
изображения глазом. Визуальные
окуляры отличаются тем, что
дают неискаженное
изображение по всему полю зрения.
Допускается некоторая кривизна
поля изображения ввиду того,
что глаз может аккомодировать
на различную глубину. Кроме
того, имеются окуляры,-
применяемые в микрофотографии
и микропроекционных
устройствах. Фотографические и
проекционные окуляры должны
давать плоскую поверхность
изображения, так как оно
или экране.
и проекционные о к у л я-
Рис. 177. Оптические схемы
специальных окуляров для микроскопов:
а — АМК-13; 6 — Гомал-А; б — Гомал-Б;
ПД — полевая диафрагма
строится на плоском фотослое
Положительные фото-
р ы (рис. 177) используются для проекции изображения на экране
или фотопленке, расположенных на конечном расстоянии. Для
этой цели служат окуляры Гюйгенса (рис. 177, й) с глазной лин-
384

зой, склеенной из трех линз, что улучшает коррекцию системы.
При этом для проекции и фотографии применяются объективы
планахроматы и планапохроматы. Для наводки на резкость
изображения глазная линза окуляра делается подвижной.
Отрицательные фото- и проекционные
окуляры, называемые г о м а л ы, применяются в том случае, когда
в микроскопе применяются объективы ахроматы и апохроматы
и имеет место кривизна изображения. Эти окуляры (рис. 177, б
и в) компенсируют кривизну поля объективов и дают плоское
поле изображения.
Панкратический окуляр служит для плавного
изменения увеличения в 5—10 раз без перефокусировки объективом.
Этот окуляр состоит из панкратической системы с подвижными
линзами и окуляра Гюйгенса или компенсационного.
§ 126. Осветительные устройства микроскопов
Исследуемый посредством микроскопа объект должен быть
освещен равномерно и в достаточной степени контрастно. Это
достигается специальными осветительными устройствами, которые
в микроскопе играют важную роль. В зависимости от характера
исследуемого объекта осветительные устройства подразделяются
на устройства для проходящего света, применяемые при
исследовании прозрачных объектов, и устройства отраженного света,
применяемые при исследовании непрозрачных объектов.
Осветители для наблюдения прозрачных предметов в
проходящем свете. Наиболее рациональным является метод Кёлера.
Осветительная система по Кёлеру (рис. 178) позволяет осуществить
концентрацию света от источника на поверхность предмета. Нить
лампы посредством линзы Л проецируется на ирисовую
диафрагму Д2, находящуюся в фокальной плоскости конденсора К.
Из конденсора К через объект П проходит система
параллельных лучей разного наклона (поскольку источник С имеет
конечные размеры). Близ линзы Л находятся ирисовая диафрагма Ди
которая является полевой диафрагмой, и ее изображение
строится конденсором в плоскости объекта П (Об и Ок — объектив
и окуляр микроскопа).
В микроскопе применяется два способа освещения.
Освещение на светлом п о л е, когда световой поток большой и
заполняет всю апертурную диафрагму конденсора. При этом менее
прозрачные детали наблюдаются в виде темных участков на
светлом поле.
Освещение на темном поле, когда световой поток в
объектив микроскопа и конденсора попадает только от неоднород-
ностей предмета, рассеивающих свет. При этом глаз наблюдателя
адаптирован на темноту и на темном поле видны светлые
неоднородности предмета.
Освещение на темпом поле применяется при наблюдении
ультрамикроскопических предметов, когда их размеры значительно мень-
13 1-440 385

Шч, м^ппш иилны света, а этом случае изображение самих неодно*
родностей значительно больше самих неоднородностей.
Осветительные устройства для непрозрачных предметов (опак-
иллюминатор). В этом случае освещение предмета производится
через объектив микроскопа. Для этого между объективом и
окуляром микроскопа устанавливается наклонная пластина с
полупрозрачной поверхностью. Лучи от источника света, расположен-
Рио. 178. Оптическая схема осветительного устройства микроскопа
ного в стороне от вертикальной оптической оси микроскопа, через
систему конденсора попадают на пластину и, отражаясь от ее
поверхности, проходят через объектив микроскопа, освещая
предмет. Свет, рассеянный предметом, снова попадает в объектив
микроскопа, который вместе с окуляром строит увеличенное
изображение предмета. Однако при этом имеет место снижение
контраста изображения из-за большой части рассеянного линзами
объектива света. Этот недостаток устранен в устройстве
ультраопак. Здесь-лучи света, освещающие предмет, проходят вне
объектива микроскопа. Для освещения вместо полупрозрачной
пластины применяется наклонное зеркало с отверстием в средней части
для прохода света от объекта через объектив микроскопа.
§ 127. Микроскопы геодезических и измерительных приборов
Микроскопы этого типа состоят из двух основных частей:
объектива и окуляра. К особенностям микроскопов геодезических и
измерительных приборов относится необходимость помещения между
объективом и окуляром измерительной части — приспособления
для отсчета линейной или угловой величины. Различают
следующие задачи, которые решаются отсчетными микроскопами:
оценка десятых долей интервала, оценка совпадений (совмещения)
двух штрихов и оценка биссектрированием.
Из рис. 171, б увеличение объектов микроскопа
Ров~-£ (18.27)
По формуле в отрезках
/„в = -?£'-.. (18.28)
а,—а.
386

На рис. 171, б
ai = L + au (18.29)
Принимая во внимание (18.27), имеем
—poefli = L + fli. (18.30)
Из формул (18.27) и (18.30) получим
-fl' = fuTi; <18-31>
а\ - рЬ^. (18.32)
Подставляя последние значения в формулу (18.28), получим
/o6S=(§o6°-Mf <18-33)
Ввиду технологических условий расчетная величина (30б не
выдерживается и действительная цена деления отсчетного
приспособления отличается от рассчитанной, т. е. появляется необходимость
в определении (Зоб и введения поправок. Необходимым условием
для работы отсчетного микроскопа является
Ь' = М» (18.34)
где S—малая часть окружности на лимбе, которая принимается
за прямолинейный отрезок и равна
6 = ^-', (18.35)
где г—радиус лимба; а" — отсчет по лимбу в секундах;
р"—величина 1 секунды в радианах.
Величина 8' (в плоскости промежуточного изображения и
отсчетного устройства) будет равна
Ь' = ^. (18.36)
Из формулы (18.36) видно, что для сохранения равенства (18.34)
при постоянных В и 5' остается изменение |3об.
Из формулы (18.33) видно, что при изменении ?0б должны
измениться либо L, либо fo6. В соответствии о этим в современных
геодезических приборах встречаются два типа микроскопов, в которых
изменяют L или }„й.
Первый тип — микроскоп с переменным L. При этом
изображения различных частей лимбов не сводятся в один отсчетный
микроскоп (старые конструкции приборов).
Второй тип — микроскоп с переменным f06- Здесь
изображения различных частей лимбов сведены в один микроскоп
(современные приборы). Изменение фокусного расстояния объектива
Ы* 38?

в этом случае достигается посредством изменения расстояния
между двумя компонентами объектива в соответствии с формулой
f\ + f'2-d'
/- = ТХ7~. (18.37)
где /i и /2 — фокусные расстояния первого и второго компонентов
объектива; d—расстояние между их главными плоскостями.
Однако после установления необходимого фокусного расстояния
объектива микроскопа с известной точностью могут существовать
несоответствия 8' действительного с расчетным.
Для микроскопов с винтовым микрометром эта величина
несоответствия Д8' носит название «руь» («пробег»). Это та избыточная
величина, на которую барабан микрометра «пробежит», если $0б
установлено не в соответствии с существующим расчетом.
Существуют установленные нормы на допустимый «рун» для приборов
различного назначения.
Что касается других параметров отсчетных микроскопов, то они
рассчитываются на основании общей теории микроскопов и, в
частности, теории видимого и полезного увеличения. Возвращаясь,
однако, к фунциям отсчетных микроскопов, указанным выше,
можно дать следующие рекомендации: при оценке десятых долей
интервала увеличение Г должно быть таким, чтобы видимая величина
интервала была равна 1,0—2,0 мм. Видимая величина штриха
должна быть равна 0,1 интервала. Так как технологическая
толщина штриха получается в пределах 2 мкм, то увеличение
оптической системы микроскопа не должно быть больше 80—100х.
При оценке совпадения (совмещения) двух штрихов и оценке
биссектрирования (т. е. установления штриха между линиями бис-
сектора) видимое увеличение выбирается в зависимости от
допустимой ошибки отсчета.

Глава 19.
ПРОЕКЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ
Проекционным прибором называется оптическое устройство,
служащее для получения на плоскости увеличенного
изображения предмета. Проекционные приборы имеют весьма широкое
применение в самых различных областях науки, техники и культуры.
Это всевозможные проекторы: театральные, телевизионные,
измерительные, фотограмметрические, промышленные для контроля
изделий, любительские, а также различного типа
кинопроекционные аппараты. Основной частью этих приборов является
оптическая система.
§ 128. Методы оптической проекции.
Основные требования к изображению и экрану.
Источники света для проекционных систем
Проекционные приборы состоят из двух основных частей:
осветительной, которая собирает лучи от источника света на предмет,
и проекционной, образующей изображение на экране.
Существуют две группы проекционных приборов:
диаскопические, когда предмет проецируется в проходящем свете
(кинофильмы, фотодиапозитивы), и эпископические, когда производится
проекция непрозрачного предмета в отраженном свете. Основными
требованиями к изображению предмета на экране являются
необходимый масштаб изображения, допустимый угол поля
изображения и достаточная для рассмотрения яркость. Масштаб
изображения должен быть таким, чтобы угловые размеры наименьших
деталей изображения предмета при рассматривании их на экране
соответствовали угловому разрешению глаза (одна угловая
минута).
Пусть среднее расстояние зрителя от экрана будет г, а
наименьшая величина детали диапозитива Д. Величина Д может быть
принята как Д = 1/Af (N — разрешающая способность в линиях на
1 мм, полученная на диапозитиве). Эта величина на экране будет
Д' = Др0, тогда
Д&
° Й-Ф. <19Л>
где р0— линейное увеличение при проекции; <J>— угловое
разрешение глаза (ф = Г = 1/3438),
Р° = ЗШ = Д3438- (19'2^
389

С другой стороны,
Ро«=—£*. (19.3)
/об
где fo6 — заднее фокусное расстояние проекционного объектива
г0б—расстояние от переднего фокуса проекционного объектива до
экрана.
Если размеры проецируемого предмета (размеры кадра) а и Ь;
а размеры экрана а' и Ь', то увеличение проецируемой системы
будет
*•—-?• ОМ
При этом размеры экрана будут: ширина а' = аро и высота Ъ' =
= Що, а площадь экрана S = аЩ\.
Положение первого ряда зрителей относительно экрана
определяется возможностью свободного движения глаз (около 40°), при
этом
2i s 1,5а', (19.5)
где а' — ширина экрана. При этом величины дефектов экрана и
киноизображения не должны превышать в угловой мере
разрешающей силы глаза (1 ').
Положение последнего ряда зрителей определяется
требованиями к различению наименьших деталей изображения по
формуле (19.2). Угол, под которым видна при этом ширина экрана,
составляет 7—10°.
Изображение на экране должно быть достаточно ярким и
контрастным. Яркость изображения зависит от мощности
осветительной системы, оптической плотности диапозитива при диапроекции
или отражающей способности поверхности предмета при эпипроек-
ции, а также отражающих свойств экрана. Яркость экрана в
центре при проекции без диапозитива согласно принятым нормам
составляет от 25 до 50 кд/м2 и при эпипроекции от 1 до 5 кд/м2.
Яркость экрана определяется по формуле
L = p4, (19.6)
где Е — освещенность экрана; р — коэффициент отражения экрана
(о = 0,8—0,9 и зависит от типа экрана).
Экран должен быть равномерно освещен. Коэффициент
равномерности освещения экрана составляет 0,65; при широких экранах
этот коэффициент допускается до 0,5. Экран должен обеспечивать
достаточные углы рассеяния в горизонтальной и вертикальной
плоскостях. От углов рассеяния зависит зона расположения
зрителей. При этом для краев зоны допускается уменьшение яркости
до 50% от яркости центра экрана.
390

Качество изображения предмета на экране определяется
качеством диапозитива и свойствами проекционной системы, однако
существенное влияние также оказывает посторонняя засветка
экрана, которая влечет за собой уменьшение контраста
изображения. Способность наблюдателя различать предметы различной
яркости определяется контрастной чувствительностью глаза,
которая выражается как L/ALmin, где L — яркость изображения
предмета на экране, a ALmln = (L—Ьф) min; здесь Ьф — яркость фона
на экране, образуемого посторонней засветкой. Величина
контрастной чувствительности глаза достигает 50—70 и увеличивается с
ростом яркости изображения.
Светоотражающие экраны применяются как диффузные (бело-
матовые), так и направленного действия. Бело-матовые экраны
имеют постоянную яркость во всех направлениях, однако, при
этом часть светового потока (до 60%) не используется, так как
рассеивается в направлениях, в которых зрителей нет. Эти экраны
характеризуются коэффициентом отражения р.
Экраны направленного действия позволяют концентрировать
световую энергию в ограниченном телесном угле, в котором
располагаются зрители. При этом яркость изображения в данном
направлении увеличивается. Характеризуются эти экраны
коэффициентом яркости, который определяется по формуле
-Ь.
Га — т >
где Ьа— яркость в данном направлении, a L0 — яркость абсолютно
белой поверхности (при р = 1), а также полезным углом рассеяния
2ап, т. е. углом, в пределах которого коэффициент яркости не
падает ниже определенного условного значения.
Освещенность экрана для края поля может быть определена
как (см. § 54)
£,! = /(„, cos" о>'£', (19.7)
где /(„, — коэффициент виньетирования проекционной системы; о/—
угол поля для края экрана; £" — освещенность в центре экрана.
Для небольших углов проекционных систем (2u/ зг 30°) можно
пренебречь виньетированием (/(<■> = 1) и влиянием угла о/, тогда
световой поток, падающий на экран, будет
F'^E'.S', (19.8)
где Е' — освещенность экрана в лк, S' — площадь экрана в м2.
Если учесть, что коэффициент использования светового потока
в проекционной системе составляет от 0,025 до 0,13, то световой
поток, излучаемый лампой, может быть Фл = от Ф' до 40Ф'. Более
точно световой поток может быть определен по формуле
Ф'^хЯ^)2-!-, (19.9)
где L — яркость источника света; т — коэффициент пропускания
всей осветительно-проекционной системы; 5 — площадь кадрового
391

окна; j — 1 — геометрическая светосила проекционного объектива;
(Зо — масштаб изображения. Здесь
Т = Т1Т2Т3Т4, (19.10)
где xi — коэффициент пропускания осветительной системы; т2 —
коэффициент пропускания обтюратора (в случае кинопроекции);
х3 — коэффициент пропускания проекционного объектива; х4 —
коэффициент пропускания за счет потерь на теплофильтрах, в кадровом
окне и т. п.
Следует разъяснить значение коэффициента пропускания
обтюратора, который открывает объектив проектора периодически. При
этом (по ?акону Тальбота) «кажущаяся» яркость L экрана будет
определяться по формуле L = LtolT, где L — истинная яркость
экрана, t0/T—коэффициент пропускания обтюратора (t0 — время
открытия объектива, Т — междукадровое время).
Световые потоки, необходимые при проекции (~ 103 лм),
обеспечиваются кинопроекционными лампами накаливания,
электрическими и пламенными дугами и газоразрядными лампами
высокого давления.
Электрические лампы накаливания. Температура нити лампы
составляет 3200 К, при этом световой поток различных
кинопроекционных ламп накаливания составляет от 500 до 2-104лм и выше.
Важнейшей характеристикой кинопроекционной лампы
накаливания является габаритная яркость тела накала. Габаритной
яркостью называется отношение силы света к площади всего тела
накала, включая несветящиеся промежутки между витками
спирали и между спиралями. Габаритная яркость входит в
светотехнические расчеты проекторов. Форма тела накала должна быть
близка к форме кадрового окна. Электрические лампы
накаливания применяются в основном в любительских и передвижных
кинопроекторах и проекторах.
Электрическая пламенная дуга. Представляет собой дуговой
разряд через воздушный промежуток между угольными
электродами. При разряде развивается температура до 3800 К; при этом
электроды, состоящие из графита, сажи, кокса или их смеси,
испаряются и их раскаленные частицы вместе с газами дают
яркое свечение. Средняя яркость центральной зоны свечения
составляет от 2-104 до 9-Ю4 кд/м2. Электрические пламенные дуги
применяются в мощных стационарных кинопроекторах.
Газоразрядные лампы высокого давления являются
источниками света, в которых используется излучение
электролюминесценции газов или паров металлов, возникающее под действием
проходящего через них электрического тока. В качестве источников
света применяются ртутные и ксеноновые лампы сверхвысокого
давления типа СВДШ:
а. Ртутные шаровые лампы сверхвысокого давления
представляют собой шаровую кварцевую колбу с толстыми стеклами,
в которую впаяны два вольфрамовых электрода. Лампы напол»
392

няются ртутью и инертными газами таким образом, что после
зажигания и испарения ртути давление внутри лампы составляло
для ламп различной мощности от 10 до 70 ат. Лампы питаются
от сети с напряжением 220 и 127 В и ниже. Максимальная
яркость в центральной части разряда составляет от 1,5-104 до
J О5 кд/м2.
б. Ксеноновые дуговые лампы сверхвысокого давления
представляют собой электрическую дугу в среде ксенона между двумя
вольфрамовыми электродами, впаянными в прочную кварцевую
колбу шаровой формы. Ксеноновые лампы малоинерционны при
зажигании и имеют непрерывный спектр излучения, совпадающий
со спектрами дневного света. Яркость ксеноновых ламп
колеблется от 7-Ю3 до 2-Ю5 кд/м2. Благодаря указанным свойствам
эти лампы широко применяются в проекционных системах.
§ 129. Диаскопические проекционные системы
Диаскопическая проекционная система состоит из источника
света, осветительной системы, кадрового окна для установки
диапозитива и проекционного объектива. Проекционная система
должна направлять через каждую точку проецируемого диапозитива
пучки света примерно равной апертуры, заполняющие входной
зрачок проекционного объектива.
Существуют две оптические схемы диапроекции. В первой
схеме осветительная система образует изображение источника света
во входном зрачке проекционного объектива или вблизи него.
Во второй — осветительная система образует изображение
источника света в плоскости кадрового окна или вблизи него.
Последняя схема требует применения источника света со сплошным све-
Л
ист.
Рис. 179. Диаскопическая проекция. Осветительная система образует изображение
источника света во входном зрачке проекционного объектива
чением (ленточная лампа или угольная дуга), поскольку
структура источника изображается в плоскости предмета.
На рис. 179 изображена оптическая схема проекционной системы
в первом варианте. Источник света Л (диаметром DHCT)
осветительной системой (конденсором) К изображается в плоскости входного
393

зрачка (диаметром Dax) проекционного объектива О. Предмет
высотой у находится в кадровом окне КО вблизи от конденсора К
и проецируется объективом О на экран. Из рис. 179 на основе
закона синусов получим
£>
D..
—г-, sin з* = —
где Рок — увеличение осветителя; сохв — апертурный угол осветителя
со стороны источника света; ai —апертурный угол осветителя со
Рис. 180. Диаскопическая проекция. Осветительная система образует
изображение источника света в плоскости кадрового окна
стороны объектива; у —половина диагонали кадра; р — расстояние
от диапозитива до входного зрачка.
Имея в виду, что р ss fo6 и
Д.
= -J7-, получим
D„
fo6
- sin оохв = —УД", (J9.ll)
где К — величина, обратная относительному отверстию
проекционного объектива (диафрагменное число).
Формула (19.11) евязывает основные геометрические и
оптические параметры источника света DauT, осветительной системы sin30XB>
кадрового окна у и проекционного объектива К-
На рис. 180 представлена оптическая схема проекционной
системы во втором варианте. В этом случае источник света Л
диаметром £>ист осветительной системой (конденсором) К строится
в плоскости кадрового окна КО. Так же, как и прежде, предмет
с высотой у находится в кадровом окне КО и его изображение
посредством проекционного объектива О строится на экране.
Из рис. 180 на основании условия синусов увеличение
конденсора
Рк=-
sin о
об
394

где Соб — апертурный угол объектива со стороны кадрового окна;
остальные обозначения прежние, причем при ps/oe,
slnooe£«-^- = —1/2Я,
2/об
из последних выражений снова получаем формулу (19.11).
Таким образом, в этом случае формула (19.11) также
связывает основные оптические и геометрические параметры
проекционной системы.
Освещенность изображения на основании (7.72) при рр = 1 и
Ро > 1 определяется как
*-*и&Н- <19Л2)
где L — габаритная яркость источника света; х — коэффициент
пропускания проекционной системы [см. формулу (19.10)].
Из формулы (19.12) получим
Е'^0,75-^.. (19.13)
К Ро
Формула (19.13) связывает требуемую освещенность
изображения на экране с яркостью источника света и физической
светосилой проекционной системы. Формулы (19.11) и (19.13) могут
служить для расчета проекционной системы.
Увеличение поля проекционной системы приводит к
виньетированию изображения на краю поля; этого можно избежать путем
увеличения поперечных размеров (светосилы) осветительной
системы и проекционного объектива, а также посредством
применения промежуточных диоптрических систем, которые оптически
сопрягают выходной зрачок конденсора с плоскостью входного
зрачка проекционного объектива либо с плоскостью кадрового
окна.
Осветительные системы для диаскопической проекции.
Осветительные системы служат для равномерного освещения
проецируемого предмета и бывают линзовые (конденсоры), зеркальные и
зеркально-линзовые.
Конденсоры. Основными параметрами конденсоров являются
угол охвата аохви линейное увеличение (Зк> принятое для
построения источника света. Конденсоры обладают значительными
сферической и хроматической аберрациями, зависящими от угля
охвата; увеличение аберраций приводит к неравномерной
освещенности экрана, поэтому угол охвата и увеличение конденсора
должны соответствовать его типу. В зависимости от угла охвата
применяются однолинзовые, двухлинзовые, трехлинзовые, четырехлин-
зовые и даже пятилинзовые конденсоры. Простейший однолинзо-
вый конденсор, представляющий линзу, рассчитанную на минимум
сферической аберрации, может иметь угол охвата до 15—20°
(рис. 181, а). При углах более 20° значительно возрастают абер-
395

уацпп. переход к двухлинзовым системам позволяет повысить
углы охвата до 50—60° при пониженных требованиях к
концентрации лучей кондесорной системой. Дальнейшее увеличение угла
охвата приводит либо к использованию трехлинзовых
конденсоров, либо к применению двухлинзовых систем с одной
асферической поверхностью.
Рис. 181. Осветительные системы различных типов:
а — однолинзовый конденсор; б — конденсор из двух илоско-ныпуклых линз; в — дпухлин~
зовый из линз, рассчитанных на минимум сферической аберрации; г — двухлитровый с ап-
ланатической линзой; д — трехлинзовый из лннз, рассчитанных на минимум сферической
аберрации; е— трехлинзовый в аилаиатической линзой; ж — четырехлинзовый с двумя апла-
ьагическими линзами; з— четырехлинзовый конденсор; и — конденсор с дополнительным
зеркалом
В зависимости от увеличения конденсора оказывается
рациональным применять следующие системы:
1. Конденсор из двух плоско-выпуклых линз (рис. 181,6). Такая
система конденсора наиболее рациональна для увеличений рок ==
»=—I-; 3 пои углах охвата до 2зохв == 50 -i-60Q.
396

2. Двухлинзовый конденсор из линз, рассчитанных на минимум
сферической аберрации (рис. 181,в). Такой тип конденсора
рационален для увеличений Вк = —4-; 10 и углов охвата до 2аОХв =
= 50 ч-60°.
3. Конденсор из апланатического мениска и линзы, рассчитанной
на минимум сферической аберрации, применяется при больших
увеличениях (Зк =—10-= 15 и углах охвата до 2аОХв=60о (рис. 181, г).
4. Для увеличения угла охвата до 70—75° применяют трехлии-
зовые конденсорные системы, состоящие либо из линз,
рассчитанных на минимум сферической аберрации (рис. 181, д), либо из
двух плоско-выпуклых линз и апланатического мениска
(рис. 181 е). Апланатическая линза позволяет увеличить угол
охвата до 75°, не внося при этом сферической аберрации и комы.
Линейное увеличение таких конденсоров лежит в пределах от
—1,5 до —4,5.
При повышенных требованиях к концентрации пучков лучей
конденсорной системой для достижения углов охвата до 90°
применяют четырехлинзовую систему с двумя апланатическими
менисками, которая имеет увеличение в пределах от —2 до —6
(рис. 181, ж). Однако конденсоры такого типа имеют малое
рабочее расстояние s\, и поэтому если согласно энергетическим
расчетам требуется угол охвата порядка 90°, рациональнее применять
четырехлинзовую систему (рис. 181, з).
Иногда в осветительных диоптрических системах применяют
добавочное сферическое зеркало, в центре кривизны которого
располагают нить накала источника света (рис. 181, и). В такой
системе изображения отдельных секций светящегося тела
оказываются расположенными между соответствующими секциями
источника света. Это обеспечивает увеличение габаритной яркости
на 20—25% в (зависимости от структуры светящегося поля).
§ 130. Габаритный и светотехнический расчет
диаскопической проекции
Габаритный расчет оптической системы при диаскопической
проекции состоит в определении оптических параметров
осветительной и проекционной систем и выборе источника света.
Исходными данными для расчета являются формат диапозитива а~Хв,
освещенность экрана (в люксах), расстояние от экрана до
проекционного аппарата.
Порядок расчета
1. Определим увеличение проекционной системы, исходя из
разрешающей способности глаза наблюдателя и размеров
зрительного зала по формуле (19.1)
В == г — zN
Р° Д3438 ~~ 3438
(размерами наименьшей величины предмета Д или разрешающей
способности N лин/мм задаемся на основании данных диапозитива^
397

2. На основании (19.3) находим размеры экрана
а' = аро; Ь' = Ьр0.
3. Определяем фокусное расстояние проекционного объектива
по формуле (19.3) /об = z'/po- При малых увеличениях (;i0<10)
формула (19.3) имеет вид
f' - г'
4. Выбираем по каталогу проекционный объектив с фокусным
расстоянием /0б и максимально возможной светосилой.
5. На основании выбранного объектива (величина /С), заданных
размеров диапозитива (величина у) и принятых размеров источника
света Dhct определяем аохв осветительной системы.
6. На основании требуемого угла охвата (аокв)* выбираем тип
осветительной системы конденсора и определяем его увеличение
по формулам: а) для случая, когда источник света изображается
в плоскости входного зрачка объектива, рк = -^—; б) для случая,
ист
когда источник света изображается в плоскости диапозитива,
рк = г/Шист-
7. Производим расчет осветительной системы.
8. Зная требуемую освещенность экрана Е'*, а также
коэффициент пропускания проекционной системы х, светосилу
проекционного объектива К, и линейное -увеличение проекционного
объектива Ро» определяем габаритную яркость источника света
L — 0,75 ■ х •
9. По величине DacT и L подбираем источник света.
§ 131. Эпископические проекционные системы.
Эпидиаскопы
Принципиальная схема эпископической проекционной системы
представлена на рис. 182 . Предмет П освещается источниками
света /i и /г и посредством зеркала 3 и проекционного объектива
О его изображение строится на экране Q. Увеличение при
проекции будет
h-y'ly, (19.14)
где у' — требуемая величина изображения и экрана; у—величина
проецируемого объекта.
* Для расчетов этих величин удобно воспользоваться номограммами, при*
веденными я монографии М. М. Апенко, А. С. Дубовика «Прикладная оптика»»
М., Наука, 1971, с. 298.
398

Фокусное расстояние проекционного объектива может быть
определено по формуле
где s' — расстояние от объектива до экрана.
Необходимое угловое поле проекционного объектива
определяется по формуле
tgo>'--^/^Tb"2, (19.16)'
где р'— расстояние от
выходного зрачка объектива до
изображения, а и b — размеры
диапозитива (предмета).
Освещенность в середине
предмета
k=m
-2
h cos lk
(19.17)
fe=i
EQ — суммарная освещенность Рис. 182. Принципиальная схема эпи-
предмета (лк); Jk — сила света скопической проекции
источника (кд); ik— угол между
нормалью к предмету и направлением от его центра на источник
света; lk — расстояние от центра предмета до источника света (м).
Яркость предмета при коэффициенте отражения р, не
изменяющемся для всей площади предмета, находится как (7.32)
Lo — p-
(19.18)
Освещенность на экране Е' может быть определена по формуле
(19.12)
з |,есь х = рзт0б — коэффициент пропускания проекционной системы;
рз — коэффициент отражения зеркала; т0б — коэффициент
пропускания объектива; р' — расстояние от выходного зрачка объектива до
экрана; D' — диаметр выходного зрачка объектива.
При расчете эпископической проекционной системы по
формулам (19.14) -5- (19.16) следует выбирать наиболее светосильный
объектив, а затем, задаваясь освещенностью изображения на
экране, на основании формул (19.17) ■*■ (19.19) находить необходимую
освещенность предмета, силу света и количество осветительных
ламп, имея в виду, что если лампы одинаковые и располагаются
симметрично относительно предмета, т. е. I и t одинаковы для
399

всех ламп, то суммарная сила света, равная Jm (где т — число
ламп), может быть найдена из (19.17) как
Jm=iJL-Eo. (19.20)
COS I '
Выбрав осветительную лампу с определенной силой света,
находим необходимое количество таких ламп.
Существуют проекционные приборы, в которых соединены
диаскопическая и эпископическая проекции в одном общем корпусе,
такие приборы называются эпидиаскопами.
§ 132. Проекционные объективы
Качество проекции в большой i.'.epe зависит от свойств
проекционного объектива, который должен обеспечивать:
а. Распределение освещенности изображения на экране
соответственно распределению яркости на диапозитиве (т. е. объектив
не должен иметь виньетирования) ;
б. Четкое изображение проецируемой картины и ее деталей, а
также правильную передачу контраста;
в. Сохранение геометрического подобия проецируемой
картины при проекции на экран.
Проекционные объективы можно классифицировать по области
применения:
а. Объективы для кинопроекции любительских
8-миллиметровых кинофильмов (анастигматы Н-1 и Н-2 и панкратический
объектив ПФ-1);
б. Объективы для кинопроекции 16-миллиметровых килофиль-
мов типа PO-10I-I; PO-I02-1; РО-109-1; РО-111-1 и типа ОКП-1-
-50-1, ОКП-2-50-1 и др.;
в. Объективы для кинопроекции 35-миллиметровых
кинофильмов типа П-4, П-5 и П-6, а также РО-106, РО-107, РО-108 и др.;
г. Объективы для кинопроекции 70-миллиметровых
(широкоформатных) фильмов типа ОКП-2-70, ОКП-2-75, ОКП-2-80, ОКП-
-3-90, ОКП-2-100, ОКП-2-110, ОКП-2-120;
д. Объективы для проекции анаморфированных
(широкоэкранных) фильмов типа РО-501, РО-502, РО-503, РО-505, РО-506,
а также Ж-32, Ж-33, Ж-34 и др.
Для диаскопической и эпископической проекции применяются
фотографические объективы с большим полем, достигающим
20X20 см (типа Индустар-51, Уран-12, Уран-9, Сатурн-2, РО-116,
РО-117, Орион-18и др.).

Глава 20
СТЕРЕОСКОПИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Оба глаза человека видят одновременно одни и те же предметы
внешнего мира, что позволяет чувствовать глубину
воспринимаемого зрением пространства. Эта способность называется
стереоскопическим или пространственным видением или
стереоскопическим эффектом. Стереоскопическое видение и стереоскопическая
фотография позволяют получить пространственную картину
окружающих нас предметов и явлений и произвести измерения их
отдельных элементов в трех пространственных координатах. Они
широко применяются в различных областях науки и техники:
при картографировании, в архитектуре, археологии, геологии,
медицине и т. п.
§ 133. Стереоскопическое видение
Важной особенностью стереоскопического (бинокулярного)
видения является то, что при рассматривании одновременно
двумя глазами, находящимися на расстоянии базиса, изображения,
видимые правым и левым глазом, сливаются в одно
пространственное изображение. Однако при этом должны быть выполнены
определенные геометрические условия.
При визировании на какую-либо точку (например, точку А на
рис. 183) мы поворачиваем оба глаза так, что линии прямого
видения пересекутся в наблюдаемой точке; при этом оба изображения
точки окажутся в центральных ямках желтого пятна. На рис. 183
точкой фиксации является точка Л; Л] и Л2 — центры желтых
пятен. Угол 0\АС>2 называется стереоскопическим параллаксом или
углом конвергенции (tj). В зависимости от удаления точки фиксации
А от базиса величина стереоскопического параллакса изменяется
от нуля, когда точка А лежит в бесконечности, до 15°, когда она
находится на расстоянии 250 мм.
Кроме точки А, возьмем в пространстве ряд точек В, С, D, Е,
F. Опыт показывает, что при рассмотрении точек Е и F,
находящихся внутри угла -ц или внутри соответствующего ему
вертикального угла, мы видим их двойными. Точки В, С и D, находящиеся"
вне угла ти, мы видим как одиночные. Заметим, что изображения
точек £ и У7 на сетчатках глаз £i и Еч лежат по разные стороны
от точек А\ и Лг. Изображения же точек В, С и D на сетчатках,
т. е. Б| и Бг, С\ и Сг, D\ и D2, лежат по одну сторону от
центральных ямок. Эти точки, которые воспринимаются как одна
401

точка, называются соответственными точками сетчатой
оболочки. Соответственные точки сетчатки глаз так связаны
между собой посредством нервных путей, что зрительное раздражение
в них соединяется в одно зрительное восприятие. Геометрическое
месте точек пространства, которые мы видим одновременно
одиночными, называется гороптером. Благодаря большой
подвижности глаз точки фиксации непрерывно меняются, и мы не
замечаем, что часть точек
пространства при данной фиксации
видим двойными.
На рис 183 окружность,
проведенная через точки А, 0\ и 02,
является геометрическим местом
точек с одинаковым
стереоскопическим параллаксом, равным i).
Поскольку базис b мал по
сравнению с расстоянием R до точки
Л, то
•q-b/R. (20.1)
Примем, что дуги А\В\ аА2В2
положительны, если точки В\
и В2 расположены вправо от точек
А\ и А2) и отрицательные, если
они расположены влево от точек
А\ и А2. Рассмотрим точки С и D
(см. рис. 183), расположенные
ближе и дальше точки А. Для
точки С, лежащей ближе к
базису, разность параллаксов Д/?2 =
=Т| — ~Ч2 < 0 измеряется разностью
дуг С\А[ — С2А2<0. Для точки
D, более удаленной от базиса, разности параллаксов Afti = т)— iji> 0
и разность дуг D [л! — D2A2 > 0. Глаза обладают способностью
воспринимать разность дуг D\A\—D2A2, благодаря чему наблюдатель
чувствует положение точек по глубине. Точки, имеющие
положительную разность параллаксов (Дт]1>0 для точки D), кажутся
более удаленными, а точки, имеющие отрицательную разность
параллаксов (Дт)2 < 0 для точки С), кажутся менее удаленными.
Способность глаза воспринимать такие разности в положении точек
пространства по глубине называется остротой
стереоскопического видения. Острота стереоскопического видения
определяется наименьшей разностью параллаксов Дт), которая еще может
быть ощутима глазами. Она принимается равной от 10 до 30". Если
принять Дк] = 10" и b = 65 мм, то по формуле (20.1)
р _ b __ 65 • 206265
A max
Рнс. 183. Получение
стереоскопического эффекта:
о.
Во
и Oj — центры вращения глаз, 0\
и С2, В2 — сетчатки глаз, О, Ot —
гллзной базис
At,
10
402
1340 м.

Эта величина называется радиусом стереоскопиче>
ского видения. Точки пространства, находящиеся на
расстоянии, большем Rmax, представляются лежащими в одной
плоскости.
Острота стереоскопического видения зависит от расстояния до
рассматриваемых точек. После дифференцирования формулы (20.1)
получим
ДЯ = ^R2/b. (20.2)
Принимая Atj = 10" и Ь = 65 мм для различных расстояний (м),.
получим значение ДУ? (м).
я
дя
!
0,0007
5
0,019
10
0,074
50
1,85
100
7,4
§ 134. Общие принципы действия стереоскопических приборов
<:>
<:
:>
fr Я, .3j 3if.
&'G
Стереоскопический эффект зависит от угла зрительного охвата
рассматриваемого предмета. Угол охвата можно увеличить или
при помощи телескопической системы, или увеличивая базис
рассматривания. Базис, с которого рассматривается^ предмет, можно-
увеличить, применив простейший прибор — стереоскоп (рис. 184).
Лучи от предмета при помощи зеркал 3\ и Зг, а также Зг и 3$
направляются в оба глаза наблюдателя т\ и т^. Стереоскопическим
базисом рассмотрения при этом является расстояние М\Мг = В,
которое может быть выбрано
значительно большим, чем глазной
базис т\т,2 = Ь, так что B=qb,
где q > 1. Увеличение базиса, как
это видно из формул (20.1) и
(20.2), приводит к увеличению
радиуса и остроты
стереоскопического видения в q раз. Величина
В
q — -г- называется удельной
пластикой прибора.
Если описанный выше
стереоскоп снабдить телескопическими
системами в каждой ветви так,
как это показано на рис. 184 пунктиром, то мы получим систему
телестереоскопа. Аналогичная система имеет место в призменном
бинокле. Она увеличивает углы в пространстве изображений в yi>
раз (у0 — угловое увеличение). Поэтому предельная острота
стереоскопического видения Дт)т будет уменьшена в у0 раз, т. е. A-rjT = Д^/то-
403
кт2
Рис. 184. Система телестереоскопа

Подставив в формулу (20.1) значение увеличенного базиса В
и новое значение остроты стереоскопического видения Д^, получим
Я-^То-^, (20.3)
т.е. изменение радиуса стереоскопического видения происходит
прямо пропорционально изменению увеличения зрительного
прибора и изменению базиса рассматривания. Общее увеличение
радиуса стереоскопического видения пропорционально произведению
Q = <77<b (20.4)
которое называется полной пластикой. Искусственное
усиление стереоскопического эффекта называется
гиперстереоскопией. Указанная система применяется в приборах для
стереоскопического рассматривания удаленных предметов
(стереотрубах, стереодальномерах и т. п.).
§ 135. Стереоскопическая фотография.
Пластика при рассматривании стереоснимков в стереоскопе
Стереоскопическая фотография основана на использовании
стереоскопического видения. Стереоскопический эффект возникает
не только при рассматривании двумя глазами точек
действительного пространства, но также при рассматривании двумя глазами
двух фотографических изображений этого пространства.
На рис. 185 изображены две фотокамеры с объективами 0\
и Оъ и фокальными плоскостями Q\ и Qz, в которых расположены
фотопластинки. O1O2 = В — базис съемки, А—точка фиксации. Из
подобия треугольников 0\АОг и А\ААч получаем
-У[+В + у2 R + f'K
В ~ R '
откуда
№-». = Р--^. (20-5)
Разность г/2—у\ = р называется стереоскопической
разностью, или параллаксом.
Из рис. 185 видно, что для плоскости N величина р остается
постоянной. Для точек, находящихся в бесконечности (R = со),
/? = 0. После превращения снимков в позитивные изображения
рассмотрим их двумя глазами через две лупы, которые образуют
стереоскоп (рис. 186). Из рис. 186
_А]а"2 __ Ь + f/i—у2 r — f'n
ь ~ ь ~ г '
откуда
Уг — У\ = р = —.
(20.6)
404

Приравнивая правые части (20.5) и (20.6), найдем положение
точки п' при рассматривании в"стереоскоп
(20.7)
Дифференцируем формулу (20.7) по переменным г и R и
заменим дифференциалы приращениями, тогда
3 К
(20.8)
Рис. 185. Получение
стереоскопических снимков
Рис. 1S6. Принципиальная схема
стереоскопа
Если рассматривать стереоснимки в лупу с фокусным
расстоянием, равным фокусным расстояниям фотокамер при базисе съемки,
равном глазному базису (т. е. /л — [к; Ь — В), то Дг = AR, т. е.
рассматриваемое в стереоскоп изображение будет геометрически
подобно действительному пространству. Из формулы (20.2) может
быть выражена острота стереоскопического зрения
A, = -^f. (20.9)
При рассматривании в стереоскоп kR = Дг, R = г; тогда остро
та стереоскопического зрения при рассматривании в стереоскоп
Дт;' с учетом (20.7) будет
^•-Ф- (голо,
405

Возьмем отношение Д-rj' к Дл]*.
Дт' " <'
Здесь Blkq— удельная пластика прибора, fjf'„ = 70 — угловое
увеличение телескопической системы, состоящей из объектива
фотокамеры и лупы, т. е.
^ = ?То (20.11)
есть полная пластика прибора.
Таким образом, полная пластика прибора есть отношение
оптической остроты стереоскопического видения при рассматривании
фотоизображения действительного пространства в стереоскоп к
остроте стереоскопического видения при рассматривании
пространства невооруженными глазами.
Из рис. 186 следует, что когда глаз рассматривает
стереоскопический образ А', то он конвергирует на конечное расстояние г.
При этом, однако, глаз должен быть аккомодирован на
бесконечность, так как стереоскопическому образу А' соответствует
оптическое изображение А2 , которое получается при построении
хрусталиком глаза точки Аъ, находящейся в передней фокальной
плоскости лупы т2. Таким образом, имеет место расхождение
конвергенции и аккомодации, допустимая его величина составляет
одну диоптрию. При устранении указанного расхождения среднее
расстояние г0 до стереоскопического образа выбирается по
формуле
4- = l/2(l/rmln-l/rraax), (20.12)
о
где rmax и rmin—расстояния до наиболее далекой и наиболее
близкой точек стереоскопического образа.
§ 136. Стереоскопический эффект в микроскопии
Использование стереоскопического эффекта при
рассматривании мелких предметов значительно повышает разрешающую силу
системы и дешифрируемость изображения.
Существует несколько схем стереоскопического видения в
микроскопии: бинокулярные лупы, бинокулярные микроскопы,
стереоскопические насадки для микроскопов и др.
На рис. 187 представлена схема бинокулярной лупы, которая
состоит из двух частей, вырезанных из одной линзы большого
диаметра. При рассматривании в такую систему предмета двумя
глазами мнимое изображение предмета оказывается в точке ЛГ.
Если предмет имеет глубину Аг, то в пространстве изображений
406

эта глубина изобразится как Az', причем отношение этих
отрезков, как известно, равно продольному увеличению системы, т. е.
Д2'
Кг
= а0 = Ро
(20.13)
Пластика для этой схемы определится по формуле (20.11), в
которой
ЬАг
Дт)
L2
(20.14)
где b — глазной базис, L0 = 250 мм
(расстояние наилучшего видения). Из рис. 187
*|'~тг. (20-15)
где г' — расстояние от зрачков глаз до
изображения. Опуская дальнейшие выкладки,
окончательно запишем в конечном виде:
<Э = Г2, (20.16)
т. е. полная пластика бинокулярной лупы
равна квадрату ее видимого увеличения
(r = 250/f/). Существует три вида
стереоскопических микроскопов: микроскоп Грену с
двумя объктивами, оси которых образуют
угол и, = 15°, микроскоп однообъективный с
устройством для перемены увеличения и
микроскоп однообъективный со стереонасадкой
по Аббе. Пластика указанных приборов
значительно меньше пластики
стереоскопической лупы и определяется формулой
<2™Х = Г. (20.17)
Рис. 187. Стереоэффект при
рассматривании
предмета в луну
§ 137. Способы рассматривания стереопар
Зрительное восприятие бинокулярной стереоскопической
картины возможно только при сепарации правого и левого
изображения стереопары для соответствующих глаз наблюдателя.
Выше был рассмотрен один из способов зрительного
восприятия пространства при помощи стереоскопа; рассмотрим некоторые
другие методы, имеющие практическое значение.
Видение стереоскопической картины невооруженными глазами
возможно при некоторой натренированности наблюдателя. Если
снимки стереопары располагаются на расстоянии, равном
глазному базису, и оси глаз устанавливаются параллельно, то в поле
зрения видны три.изображения, причем среднее представляет
собой пространственную картину. От двух боковых изображений
можно избавиться, установив между глазами перегородку.
Эклипсная сепарация стереоскопических изображений. Удобна
при демонстрации стереоскопического киноизображения и состоит
в том, что правое и левое изображения появляются на экране
407

попеременно и соответственно с этим открываются затворы на пра-
пом и левом глазу наблюдателя. При этом важно выдержать
критическую частоту смены кадров, при которой не бывает заметно
мерцание.
Эта частота определяется по формуле
v = 9,6U(]g£ +2,314),
где | — коэффициент мерцания (при условии кажущегося
отсутствия мерцания); Е — освещенность экрана в люксах.
Цветные анаглифы могут осуществляться
субстрактявным методом: стереоскопическая пара изображений,
окрашенных в различные цвета (красный и синий) и смещенных с
необходимым параллаксом, рассматриваются через цветные очки
так, чтобы правый глаз, например, смотрел через синий фильтр
и видел только изображение, окрашенное в красный цвет, а
левый глаз — наоборот. При этом происходит сепарация изображений
и возникает стереоэффект. Такая пара изображений может быть
также создана на кинопленке и спроецирована на экран одним
кинопроектором, что позволяет создать анаглифический
кинофильм. Аддитивный метод цветных анаглифов
осуществляется, когда производится проекция на экран двух сопряженных
изображений стереопары цветными лучами через два проектора.
При этом для получения нейтрально серой окраски
стереоскопического изображения необходимо применять дополнительные цвета.
Рассматривание на экране изображений производится через очки
подобно предыдущему.
Поляризационные системы сепарации стереоскопических
изображений. Аддитивный метод — правое и левое изображение
стереопары проецируется на экране посредством двух
кинопроекторов через поляризационные фильтры. Плоскости поляризации
фильтров устанавливаются перпендикулярно друг к другу.
Изображения на экране рассматриваются через поляризационные очки
так, чтобы правый глаз видел правый снимок, а левый глаз —
левый снимок. Способ имеет преимущество перед методом
цветных анаглифов, поскольку позволяет сохранить цвет
изображения. Для проекции применяются металлизированные экраны,
не деполяризующие свет. Субстрактивный метод
осуществляется при помощи вектографов. Вектографом
называется поляризационный плоский фильтр (фотопластинка) с
изображением. Все элементы пластинки поляризованы в одном
направлении, однако степень поляризации зависит от контраста
изображения, т. е. пластинка сама служит фильтром и определяет
контраст отдельных элементов изображения. Если сложить два
вектографа, на которых имеются правый и левый снимки
стереопары, так, чтобы оси поляризации были расположены друг к
другу под 90°, и рассматривать изображение через поляроидные
очки, то происходит сепарация изображений и возникает
стереоэффект.
Растровая сепарация стереоскопических изображений.
Растровые системы позволяют свободно, без очков, наблюдать простран-
408

ственное изображение одновременно многим зрителям при большом
угле поля (так называемая автостереоскопия). Механизм
действия растровых систем состоит в том, что изображение
разбивается на ряд чередующихся для правого и левого глаза
элементов. Растр, который представляет собой решетку, загораживает
левые элементы изображения для правого глаза и наоборот; при
этом осуществляется сепарация изображений для левого и правого
глаза и возникает пространственное видение. Сепарация может
быть произведена как при помощи специальных
автостереоскопических пластинок, которые представляют собой обычные
фотопластинки, совмещенные с растровыми решетками, так и
посредством проектирования изображений для левого и правого глаза
на растровые экраны. Существует много конструкций растровых
экранов, применяемых для безочкового стереоскопического
видения.
Голографические системы позволяют получить
пространственное изображение при восстановлении изображения
опорным пучком, причем в настоящее время уже существуют
экспериментальные голографические кинопроекционные установки,
позволяющие проецировать цветное пространственное киноизображение,
отличающееся от обычных методов стереоскопического кино
эффектом кругового обзора объекта, т. е. способностью
рассматривать объект с тыловой его стороны.

Глава 21.
ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ДВОЯКОЙ СИММЕТРИИ
Предмет
X
-«—»-
CD
V
У
ч
CD
11
Л
-* ^
Рис. 188
Види
трансформированных изображений
В приборах для научных исследований, кинотехнике,
полиграфии и многих других областях имеют широкое распространение
оптические системы, которые позволяют получать изображения с
различным масштабом в двух
взаимно перпендикулярных
направлениях: трансформированные
или анаморфбзные.
Трансформированное
изображение приобретает расширенный,
суженный или наклонный вид
(рис. 188), и трансформирование
соответственно разделяют на три
вида: расширение, сужение и
наклон.
Процесс трансформирования
изображений может быть осуществлен
посредством обычных оптических
систем (оптический и ракурсный
методы), но главным образом при помощи специальных
оптических устройств, к которым могут быть отнесены системы с
цилиндрическими или торическими зеркалами и линзами, а также
специальные призменные системы.
Системы для трансформирования успешно применяются в
полиграфии для создания новых шрифтов, в широкоэкранном кино,
в качестве осветителей, а также в приборах для регистрации ко*
лебательных процессов — светолучевых осциллографах,
гравиметрах, сейсмографах, магнитометрах, звукозаписывающих и
звуковоспроизводящих аппаратах.
§ 138. Характеристики трансформированного изображения
Основной характеристикой трансформированного изображения
является отношение высоты изображения Bt к его ширине Ш;
(см. рис. 188).
Однако высота и ширина изображения могут изменяться
не пропорционально друг другу. Поэтому введен коэффициент
трансформирования для высоты и ширины изображения.
Отношение высоты трансформированного изображения к
высоте предмета
В,
/Св
(21.1)
410

называется коэффициентом трансформирования
высоты.
Отношение ширины трансформированного изображения к
ширине предмета
Кш = ^- (21.2)
называется коэффициентом трансформирования
ширины
Отношение коэффициентов трансформирования ширины и
высоты ,
АК = ^- (21.3)
называется коэффициентом анаморфозы или
коэффициентом анаморфирования.
Если осевая вертикальная линия предмета на изображении
составляет с линией основания угол, отличный от 90°, то
образуется наклонное изображение. Изображение может быть
наклонено влево или вправо, причем при этом может происходить
сужение или расширение изображения по сравнению с
предметом. Наклон изображения получается при соответствующем
наклоне предмета.
§ 139. Методы образования трансформированных изображений
Метод преломляющей цилиндрической поверхности (рис. 189, а).
В этом случае в меридиональной плоскости линза действует как
сферическая, а в сагиттальной — как плоскопараллельпая
пластинка.
Метод отражающей цилиндрической поверхности (рис. 189, б).
В меридиональной плоскости зеркало действует как сферическое,
а в сагиттальной — как плоское.
Метод цилиндрического объектива (рис. 189, в). Объектив
состоит из двух цилиндрических линз, расположенных на
расстоянии друг от друга; оси линз скрещены под углом 90°.
Метод цилиндрической афокальной насадки (рис. 189, г).
Насадка представляет собой трубу Галилея, состоящую из
цилиндрических компонентов, оси которых параллельны.
В одном сечении, в котором действует кривизна поверхностей
линз, масштаб изображения изменяется в соответствии с
видимым увеличением трубы Галилея, а в другом сечении насадка
не изменяет масштаб изображения.
Призменный метод (рис. 189, д). Анаморфозная система
представляет собой два клина, которые в меридиональной и
сагиттальной плоскостях расположены различным способом. В
меридиональной плоскости система действует как
плоскопараллельная пластинка и изменение размеров изображения по сравнению
с предметом не происходит. В сагиттальной плоскости происходит
изменение масштаба изображения.
411

Теневой метод (рис. 189, е). Предмет, который представляет
собой прозрачный транспарант, освещается параллельным пучком
света. Анаморфозное изображение образуется на экране,
наклоненном под углом к оптической оси системы осветителя.
Оптический метод (двухэтапный) (рис. 189, ж). Двухэтапный
метод производится при двукратной фотосъемке. Вначале
создается трапециевидное изображение. При этом выполняется условие
Чапского (см. § 20). Фотоснимок с этим изображением или само
"г>»1
OS I л
I
У'
№1>М1
^xprib^-f
Jr^tM=£^
fef^rn^'
А^М
хи?
*!<*/
рзш эе
^£
06
(
£ХТ ■■* /
\1_
/</'
^у
Рис. 189. Методы образования трансформированных изображений:
а — метод преломляющей цилиндрической поверхности, б — метод отражающей
цилиндрической поверхности, в — метод цилиндрического объектива, г — метод цилиндрической афс-
кальной насадки, д — призмеиный метод, е— теневой метод, ж — оптический метод
(двухэтапный), з — ракурсный метод (двухэтапный)
изображение становится предметом для второго этапа съемки.
В результате получается анаморфозное изображение предмета,
имеющее различный масштаб в двух взаимно перпендикулярных
направлениях.
Ракурсный метод (рис. 189, з). При этом методе также
применяется двухэтапная съемка, однако при этом условие Чапского
не выполняется. Изображение строится на плоскости,
перпендикулярной к оптической оси системы.
§ 140. Цилиндрический объектив — анаморфот
Объектив-анаморфот представляет собой оптическую систему,
которая образует изображение, оптически сопряженное с
предметом и имеющее различный масштаб в двух взаимно перпендику-
412

лярных направлениях. Система объектива-анаморфота образуется
из цилиндрических или торических линз либо из комбинации
сферических линз с цилиндрическими или торическими.
Простейшей системой является объектив-анаморфот, который
представляет собой линзу, ограниченную цилиндрическими поверхностями,
образующие поверхности которых взаимно перпендикулярны.
Более^ сложной системой является двухкомпонентный
цилиндрический объектив-анаморфот, состоящий из двух положительных
цилиндрических линз с фокусными расстояниями f't и \\ ,
причем образующие цилиндрических поверхностей этих линз
взаимно перпендикулярны (рис. 190).
А,
4
Л.
~az
аг
4
-af
Рис. 190. Двухкомпонентный объектив-анаморфот
Если предмет расположен в бесконечности, то в двух взаимна
перпендикулярных сечениях фокусные . расстояния компонентов
должны быть различными, т. е. коэффициент анаморфозы будет
/Г
(21.4)
Если предмет расположен на конечном расстоянии, то в этих
сечениях должны быть различные линейные увеличения, т. е.
коэффициент анаморфозы в этом случае будет
А = р,/?2. (21.5)
Эта система (см. рис. 190) может быть рассчитана путем
решения трех уравнений
«1 «2 + а2
1
1 »
1
Ч ->. u2 )2
L — —a\ + d> + a2.
413
(21.6)
J

В случае если предмет расположен в бесконечности, задние
фокусы обеих систем должны совпадать, тогда
dj = /i —/a — dstoa. (21-7)
Аберрационный расчет компонентов ведется в зависимости
от требований к качеству изображения, так же как и при расчете
соответствующих сферических систем.
Применяются также сферо-цилиндрические объективы,
которые образуются сочетанием цилиндрических и сферических линз.
Возможны различные варианты размещения сферического
объектива и цилиндрических компонентов. Например, в сферо-цилинд-
рическом объективе-анаморфоте обе цилиндрические линзы могут
быть размещены по одну сторону или по обе стороны от
сферического объектива, причем цилиндрические компоненты могут быть
как положительными, так и отрицательными.
§ 141. Цилиндрическая афокальная насадка
Разновидностью объектива-анаморфота, когда предмет и
изображение находятся в бесконечности, является афокальная
линзовая цилиндрическая насадка. Эта система состоит из двух
цилиндрических линз с образующими, которые параллельны друг
другу, причем задний фокус первого компонента совпадает
с передним фокусом второго. Таким образом, афокальная насадка
представляет собой телескопическую систему, которая может
быть выполнена в виде трубы Кеплера или Галилея. Афокальные
цилиндрические насадки широко применяются в кинематографии
для- съемки, кинопроекции и репродукции при создании
широкоэкранных кинофильмов. Основными оптическими
характеристиками цилиндрических нгсадок являются коэффициент
анаморфозы, диаметр выходного зрачка, угловое поле и длина насадки.
Афокальная насадка имеет два различных сечения. В одном
сечении (например, меридиональном) насадка действует как
обычная телескопическая система из сферических компонентов,
в другом, перпендикулярном к нему,— как система
плоскопараллельных пластин. Таким образом, в меридиональном сечении
масштаб изображения определяется в соответствии с видимым
увеличением, в другом сечении насадка не является
фокусирующей и на масштаб изображения не действует. Коэффициент
анаморфозы насадки равен отношению абсолютных значений фокус-
пых расстояний ее компонентов:
А = Ш. • (21.8)
Цилиндрическая насадка применяется вместе со сферическим
объективом, и они образуют действительное изображение,
которое может быть рассмотрено на экране, а также можно получить
его фотографическое изображение. Фокусировка насадки вместе
с объективом производится большей частью посредством
изменения расстояния между компонентами насадки при одновременном
перемещении сферического объектива.
414

§ 142. Оптические системы фототрансформаторов
Фотографический метод находит самое широкое
распространение в различных отраслях современной науки и техники, причем
в этом случае широко применяются методы трансформирования
изображений.
В фотограмметрии и картографии с целью компенсации
перспективных искажений на аэроснимках, возникающих из-за
наклона аэрофотокамеры в момент фотографирования,
применяются фототрансформаторы.
На рис. 191 плоскость предмета ВС, плоскость изображений
В'С и главная плоскость объектива, который представлен на
чертеже как тонкая система,
пересекаются на одной линии,
проходящей через точку М,
кроме того точки пересечения
оптической оси объектива с
плоскостями предмета А и изображении
А' оптически сопряжены. В этом
случае плоскости предмета и
изображения будут также оптически рис_ 19Ь Оптический метод трансфор-
сопряжены, т. е. наклонный пред- мирования изображений
мет будет иметь резкое
наклонное изображение. При этом наклонные плоскости предмета и
изображения образуют с главной плоскостью объектива углы ср
и ф', между которыми существует простая зависимость (первое
условие трансформирования или условие Чапского)
tg?'=—Potg*. (21.9)
Линейное увеличение р\> относится к точкам А и А', лежащим
на оптической оси, в которых пересекаются плоскости предмета и
изображения. В других точках изображения значения линейного
увеличения изменяются от минимального в точке С до
максимального в точке В'. При этом по линиям, перпендикулярным к
плоскости рисунка, линейное увеличение постоянное. К.ак указывалось,
этот метод трансформирования называется оптическим (см.
рис. 191). На основе рассмотренной оптической системы построены
трансформаторы для исправления аэрофотоснимков. Если
необходимо произвести анаморфирование предмета, то следует дважды
трансформировать снимок. Сначала при первом трансформировании
получают трапецию, и это изображение фотографируют. Затем
фотографическое изображение трансформируют вторично тем же
оптическим способом и получают анаморфированное изображение с
определенным коэффициентом анаморфозы.

Глава 22.
ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННЫХ ПРИБОРОВ
И ЛАЗЕРОВ
Оптические системы, применяемые в оптико-электронных
приборах и лазерах, обеспечивают поступление необходимой световой
энергии в приемник излучения, размер и качество изображения,
■отсекают излучение фона и помех, играют роль коллимирующей
системы или системы, концентрирующей излучение, и т. д.
§ 143. Оптические системы
с электронно-оптическими преобразователями (ЭОПами)
Применяя зрительные трубы с электронно-оптическими
преобразователями, когда для наблюдения используется ИК диапазон
-спектра (А, = 0,7—1,3 мкм), можно существенно улучшить качество
Рис. 192. Зрительная труба с электронно-оптическим преобразователем
изображения объектов в условиях плохой видимости (туман,
дымка), а также ночью по тепловому излучению, так как ЭОПы
позволяют не только повысить освещенность изображения, но и
увеличить его контраст.
На рис. 192 представлена принципиальная схема такой
оптической системы. Объектив 1 строит изображение удаленного
объекта 2у' на фотокатоде преобразователя 2, расположенного
в его задней фокальной плоскости. ЭОП преобразует оптическое
изображение, не видимое глазом, в промежуточное электронное,
а затем из электронного в видимое на экране (2у"), которое
и рассматривается глазом через окуляр 3.
Основными оптическими характеристиками такой системы
416

будут видимое увеличение Г, угловое поле в пространстве
предметов 2ш, диаметр входного зрачка D и общая длина L.
При габаритных и энергетических расчетах следует учитывать
такие характеристики электронно-оптического преобразователя,
как
1) коэффициент преобразования (т\)
к
где Фэ — световой поток, излучаемый экраном, Фк — поток,
пришедший на фотокатод;
2) коэффициент яркости (f\L)
■Чи = У-, (22.2)
где Мэ—светимость экрана; Ек — облученность фотокатода;
3) увеличение электронно-оптического преобразователя (|39);
4) диаметр фотокатода (DK), диаметр экрана (D3);
5) разрешающую способность фотокатода (N в лин/мм);
6) спектральную чувствительность фотокатода (S\)
* - "J? (22.3)
где di—реакция фототока (или изменение напряжения в цепи
приемника); йФ\ — величина потока излучения.
Зрительные трубы с ЭОПами, как правило, имеют прямое
изображение. Видимое увеличение такой системы определяется формулой
Г = —ff-K (22.4)
'о к
где /об, /ок — фокусные расстояния объектива и окуляра; рэ —
линейное увеличение преобразователя.
Разрешающая способность наблюдательной системы с
электронно-оптическим преобразователем при расположении
фотокатода в задней фокальной плоскости объектива равна
V-T^r. (22-5)
где N — разрешающая способность в линиях на 1 мм фотокатода
(до 40 лин/мм в центре).
Из рис. 192 можно определить фокусное расстояние объектива
/об, окуляра /о,< и угловое поле окуляра 2ш':
^-afer: ^--т?-: *в •'«-£-. (22-6)
где D-i — диаметр фотокатода (до 50 мм); Ц—диаметр экрана
(15—40 мм); р3 —увеличение ЭОПа (0,5—0,8).
14 1-446 417

В чрительных трубах ночного видения могут применяться
оборачивающие системы, позволяющие изменять видимое увеличение
Г = —
?эГо фо 2
(22.7)
где ро i[3o2 • • • Роа — линейное увеличение оборачивающих систем.
Разрешающая способность трубы с ЭОПом (22.5) не зависит от
видимого увеличения Г Чтобы видимое увеличение соответствовало
разрешающей способности глаза наблюдателя необходимо, чгсбы
(22.8)
где 60" — величина, равная разрешающей способности глаза;
ф " — разрешающая способность объектива совместно с ЭОПом
(выражена в секундах).
§ 144. Оптические системы
для уменьшения угла расходимости пучка лазера
Когерентное излучение лазера формируется в виде светового
пучка, диаметр которого значительно превышает длину волны.
Оно отличается от плоской волны неоднородностью
распределения интенсивности, кривизной
фазового фронта и расширением
пучка при его распространении.
Пучки лучей, выходящие из
лазера, характеризуются наличием
перетяжки, наименьший диаметр
которой меньше выходного
отверстия. Обычно в перетяжке
волновой фронт принимается за
плоский, а наименьший диаметр
рассматривается как выходной
зрачок лазера (рис. 193).
Энергия излучения лазера
с резонатором из двух сферических зеркал или из плоского и
сферического зеркала распространяется в свободном пространстве
по криволинейным лучам. Образующие такого пучка являются
гиперболическими асимптотами, наклоненными к оси под углом 0.
По мере удаления от плоскости перетяжки (плоскости сравнения)
кривизна фронта вначале увеличивается, а затем уменьшается.
Ниже приведены расчетные формулы, позволяющие определить
положение плоскости перетяжки относительно зеркал
резонатора *:
Риа. 193. Вил пучка лазера
21 Ь/7|+^-2Й1.4'2'
Z2 = L
.(1-й)
ч\ л- % - ^A^l
(22.9)
* Ю. М. Климков. Основы расчета оптико-электронных приборов с
лазерами. М., Советское радио, 1978.
418

где L — расстояние между зеркалами; g\, g2 — обобщенные
параметры, характеризующие конфигурацию резонатора:
gl = l—L.;g2=\-±.% (22.10)
где г\ и гг — радиусы зеркал резонатора.
Радиус пятна ш0 основной моды в плоскости перетяжки равен
= V'-ё-, (22.П)
где R3 — так называемый конфокальный параметр резонатора,
R^2LJmf-f2). (22.12)
Расходимость пучка лазера для основной моды во
Величина во представляет собой расходимость пучка в одну
сторону от оси по уровню снижения интенсивности в е2 раз от
максимального значения. В многомодовом режиме угловая
расходимость значительно превышает величину, определяемую по
формуле (22.12), и достигает нескольких угловых минут.
По известной величине конфокального параметра R3 и
положению плоскости перетяжки можно определить параметры пучка
в любом сечении, отстоящем от плоскости перетяжки на
расстоянии s,
u>s = V4(l-£2), (22.14)
2s
где I = -= относительная координата сечения пучка.
В произвольном сечении пучка радиус волнового фронта R
будет равен
Я = -Ц^-#э. (22.15)
В большинстве случаев при использовании лазера требуется
минимальная угловая расходимость его излучения. Для
изменения расходимости лазерного пучка лучей применяется
формирующая оптическая система с необходимым угловым увеличением.
Получение постоянного угла расходимости обеспечивается
телескопической системой Галилея, преимущество которой по
сравнению с системой Кеплера определяется тем, что в ней нет точки
фокусирования лучей и, следовательно, исключается
концентрация большой энергии в малом объеме. Кроме того, система
Галилея имеет меньшие размеры. Изменяя фокусировку отрицатель
ного компонента, можно плавно изменять расходимость лазерного
излучения.
На рис. 194 представлена оптическая схема линзовой системы
для коллимирования излучения лазера.
Н* 419

Принимая в перетяжке волновой фронт плоским, будем
рассматривать ее как выходной зрачок лазера. Из каждой точки
выходного зрачка выходят лучи с наибольшими углами
расходимости, образуя как осевые, так и наклонные параллельные
пучки.
Оптические характеристики лазера определяют параметры се
афокальной насадки: диаметр и положение выходного зрачка,
угловое поле изображения, видимое увеличение, длину оптической
системы, длину волны или спектральный диапазон.
Вых. зр.
Вх.зр.
Рис. 194. Оптическая система для коллимирования лазерного излучения
Афокальная насадка (линзовая или зеркальная) для
формирования излучения разрабатывается применительно к
конкретному лазеру. По известному диаметру выходного зрачка
(перетяжки) (Z)=2(o0), его удалению (—а.\) и углу расходимости (2(d),
заданному значению угла расходимости на выходе насадки
(2й)') находят видимое увеличение
т, <ею'
tg<D
или по малости углов
Гт =
со'
(й
(22.16)
Диаметр апертурного пучка лучей, выходящих из насадки, будет
D'=~. (22.17)
Габаритный расчет афокальной насадки выполняется
обычными способами с вычислением коэффициента виньетирования
системы.
§ 145. Оптические системы
для фокусировки лазерного излучения
При помощи положительной оптической системы излучение
лазера можно сконцентрировать в пятне малого размера. В этом
случае необходимо рассматривать перетяжку, диаметр которой 2ш0,
420

в качестве светящегося объекта, расположенного на расстоянии
—а. Изображение 2си0, построенное оптической системой, будет
находиться справа, а его положение определяется координатой а'
(рис. 195). Радиус со0 вычисляется по формуле (22.11) и зависит от
конфокального параметра резонатора R3.
Если лазерный пучок пройдет через топкую линзу, то в
параксиальной области центр кривизны волнового фронта R
отобразится в точке R'
1
R'
_1_
R
R, R' — радиус падающей и
преломленной волны; /' — фокусное
расстояние линзы.
Преломленный лазерный пучок
будет характеризоваться новым
значением конфокального
параметра /?э и положением перетяжки а':
К,
1 +
f
+
(22.19)
(22.18)
Рис. 195. Преобразование пучка
лазера тонкой положительной линзой
! + ■
1— — = '
1 f, -
» + f) +
№
(22.20)
За положительной линзой образуется новая перетяжка, радиус
которой
ш'° = У ~2Г-
(22.21)
Для реализации перетяжки с малым размером шо следует
получить минимальную величину конфокального параметра R3.
Фокусирующая система, концентрирующая лазерное излучение,
должна быть положительной с небольшим фокусным расстоянием.
Чем меньше f, тем меньший размер будет иметь пятно. Однако
при этом точка концентрации излучения располагается вблизи
лазера, вызывая ряд неудобств эксплуатационного характера.
Поэтому применяют комбинированные системы, состоящие из
афокальной (телескопической) насадки и дополнительного
объектива (рис. 196).
Эквивалентное фокусное расстояние такой системы должно
быть небольшим:
'•1
(22.22)
421

Размер пятна фокусируемого излучения состарит
5 = 2f'M tg «,
(22.23)
где и — угловая расходимость лазерного излучения.
Минимальный размер пятна, ограниченный дифракцией, равен
Smin =
l,22lf3V
D
(22.24)
где D — диаметр входного зрачка.
R
окг■
/>'
^ 1
-//
-<
1
V
, ^.
|2
} * /
\ \
уз
■
У,
1
-^fc
■/-/
^э'к
trt
—-—^^_ эк
/э'к»
»■
W
/>
Рис. 196 Фокусировка излучения лазера
В существующих лазерах угол расходимости 2ш значительно
превышает угол, характеризующий разрешающую способность
безаберрационного объектива [ф" = „ \. Поэтому пятно фокусировки
излучения будет существенно отличаться от теоретического 8min,
определяемого формулой (22.24). В оптических системах,
применяемых с лазерами, следует тщательно исправлять
сферическую аберрацию, а иногда и хроматическую аберрацию, если
лазер работает в режиме дискретного спектрального диапазона.
Во всех этих случаях конструкция оптической системы
усложняется.
§ 146. Согласование пучка лазера
с последующей оптической системой
Если лазерное излучение пропускается через пассивный
резонатор (рис. 197), то его правильная работа возможна лишь при
согласовании таких их параметров, как совпадение осей,
конфокальных параметров, сечений перетяжек, волновых поверхностей
и размеров пятен.
Такое согласование достигается при помощи оптической системы.
Если даны щ и А?э лазерного пучка и u>0, R3 пассивного
резонатора, то минимальное фокусное расстояние согласующей тонкой
линзы равно
imin —
ДЦ)»Ю0 1
X 2
422
УЙЛ.
(22.25)

Формула (22.25) применяется в случае, если габариты установки
S
(22.26)
не ограничены.
Для максимального размера установки L
/п
yL>+.fZin{J-*)-2L
где
! —4
со0 а)0
о) = —г -\ .
Из (22.25) и (22.26) следует,
что для согласования фокусное
расстояние должно отвечать
условию fm\n <f< /Wx> а положение
линзы относительно перетяжек
определяется формулами
Зеркала пассивного
резонатора
-a=f> + ^-Vf'2-f
min>
Г "Г— К ' 'min.
(22.27)
Рис. 197. Согласование пучка лазера
с пассивным резонатором
§ 147. Оптические системы
для обработки фотографической информации
когерентными методами
В основе когерентных методов обработки фотоизображений
лежит явление дифракции света на пространственных структурах,
описывающих фотоизображения, и способность оптических систем
преобразовывать информацию, содержащуюся в пространственно-
модулированном световом поле.
Оптические методы обработки фотоизображений по сравнению
с традиционными цифровыми методами обладают следующими,
преимуществами:
простотой технической реализации устройств, реализующих
интегральные операции;
высокой скоростью выполнения математических операций
(равной скорости распространения сиета);
большой информационной емкостью светового поля как
передатчика информации;
возможностью параллельной обработки двумерных массивав
информации.
Рассмотрим физические основы выполнения оптической
системой математических преобразований над исходными
фотоизображениями: спектральные преобразования, пространственная
фильтрация, вычисление свертки и корреляционной функции с помощью
когерентного оптического коррелятора (ОК) (рис. 198).
423

Когерентный OK состоит из лазера, коллиматора, двух
обрабатываемых аэроснимков, имеющих распределение плотности
почернения, описываемое функция ми 5j (*, у) и S2 (х, у), трех преобразующих
объективов (или одиночных линз), фильтров пространственных частот
$1 и Фг, фотоприемника и устройства для перемещения одного из
фотоизображений. В таком устройстве свет от лазера формируется
в широкий пучок с помощью коллиматора и освещает участок
фотоснимка, размещенного в передней фокальной плоскости линзы. При
S,(x,ij)
Ф,
Sz(x.y)
Ф-,
F, О, FJ,FZ 0Z FlFj О3 Fj
-Л
f!
-л
ч
^
-f.7
fj
блок пер см г-
щения /то X
<РП
Рис. 1&8. Схема когерентного оптического коррелятора
этом часть света дифрагирует на элементах фотоснимка, причем
угол дифракции 8 однозначно связан с размером элемента
фотоснимка d3n:
sin 0 ==-
(22.28)
Распределение освещенности в задней фокальной плоскости
линзы будет представлять амплитудно-частотный спектр
фотоизображения— интерференционную картину дифракции света на элементах
фотоснимка. Причем в точке задней фокальной плоскости, лежащей
на оптической оси, будет собираться непродифрагировавшая часть
света, характеризующая среднее пропускание фотоснимка. Если
установить в плоскости F\ фильтр пространственных частот
(например, непрозрачные кружок), то в F-2 объектив 02 восстановит
перевернутое изображение исходного фотоснимка 51 (х, у), образованное
только продифрагировавшими лучами. Таким образом, изменяя вид
фильтра пространственных частот в спектральной плоскости F\,
можно получать изображение Si (х, у) в плоскости F2, т. е.
осуществлять пространственную фильтрацию спектра фотоизображения
Sx (х, у). Если в плоскости F'2 установить второй фотоснимок, то в
ней произойдет перемножение изображений 5i (х, у) и S2(x, у) и
объектив Оа сформирует в задней фокальной плоскости ^з
распределение освещенности, пропорциональное коэффициенту взаимной
корреляционной функции фотоизображений S^ (х, у) и 52 (х, у),
424

Если переместить одно из фотоизображений, то сигнал на выходе
фстоприемника будет пропорционален функции взаимной
корреляции фотоизображений, а максимальное его значение будет
соответствовать такому взаимному расположению участков фотоснимков,
при котором на оптической оси будут находиться идентичные участки
фотоизображений. Такие устройства могут применяться для
автоматического опознавания образов.
Методика расчета оптических систем когерентной обработки
фотоизображений. В последнее время в связи с широким
применением когерентных источников света стали разрабатываться методы
расчета когерентных оптических систем, учитывающие
особенность формирования изображения в системах оптической
обработки изображений. Известны работы, в которых проводится
расчет функции качества объектива когерентных систем с помощью
ЭЦВМ. Однако практическая значимость расчетов, выполненных
на ЭЦВМ, в настоящее время все еще ограничена ввиду
высокой сложности программ, требующих большого количества
вычислительных операций и значительного объема памяти
ЭЦВМ.
Поэтому для упрощения расчета оптических систем
когерентных устройств обработки рекомендуется преобразующие
объективы выбирать в виде одиночных линз с малым относительным
отверстием.
Одновременно при этом предъявляются самые жесткие
требования к качеству оптических поверхностей и материалу
компонентов.
Поскольку отработанной методики расчета когерентных
оптических систем нет, можно предложить следующий порядок расчета:
производится расчет параметров (/', D) преобразующих объективов
по величине допустимых ошибок преобразований при выполнении
оптическими системами математических операций; по рассчитанным
параметрам переходят к аберрационному расчету по формулам
прикладной оптики части оптической системы, в которой
происходит процесс преобразования и восстановления действительного изоб-
1,22Х 'об
ражения, с учетом выполнения заданного значения AS <—^ '*
об
полученные в результате расчета параметры используются при
проведении машинного расчета распределения освещенности в
выходной плоскости оптического устройства обработки с применением
алгоритмов быстрого преобразования Фурье.
Рассмотрим методику расчета когерентной оптической системы
обработки на примере схемы когерентного оптического коррелятора
(см. рис. 198).
1. Определяются исходные данные для расчета: длина волны
излучения лазера X; показатель преломления стекла оптических
деталей л>,; размеры обрабатываемого фрагмента изображения Лф X
хВф; размер минимального элемента фотоизображения на входе
коррелятора R; расстояние от входной плоскости до объектива d; до-
425

пустимая ошибка проведения оптического Фурье-преобразования:
частотная Д/; амплитудная Дй и фазовая Дер.
2. Осуществляется расчет параметров объектива для выполнения
Фурье-преобразования, исходя из допустимых погрешностей
спектрального преобразования. Для этого определяются:
величина отношения
^Р- = >./тах, (22.29)
№ ртах— максимальный радиус рабочей апертуры в частотной
плоскости; f — фокусное расстояние преобразующей линзы;
/тах—максимальная пространственная частота изображения.
Размер рабочей апертуры в частотной плоскости и фокусное
расстояние линзы определяются по величине допустимой фазовой
ошибки из выражения
№L.<* \Ог*™^п$' (22-30)
откуда
1
2arccos-
, 1 + A'f.
/min — , „ \4 < (22.31)
R
Г
Рта* ~ J ^/тах*
3. Проводится контроль правильности /' — выбранного
фокусного расстояния преобразующей линзы по величине амплитудной
ошибки преобразования:
"^тах == с/ it' _|_ jji (22.32)
где г— радиус рабочей апертуры во входной плоскости (для данного
случая г = VA* + В%
В результате контрольного просчета, если Дйшах < Да, то
параметры выбраны верно, если это условие не соблюдается,
необходимо увеличить фокусное расстояние линзы /'.
4. Определяются величина светового диаметра DCB и относительное
Ось
отверстие ——:
^-rm^ + d[^p-\ (22.33)
5 На основе исходных данных Д., и /0б из условия минимума
tdP\
сферической аберрации \~^\ определяются конструктивные
параметры объектива. Поскольку относительное отверстие объектива
мало (■«-< 1 -*- 20J, для схемы устройства, выбранной таким образом,
что между первым и вторым объективами ход лучей является
параллельным, в качестве объектива можно выбрать плоско-выпуклую
426

линзу с первой выпуклой поверхностью (в этом случае линза имеет
Asmm) и радиус крививны определяется из уравнения (5.93).
" - ■• аберрационный расчеты части
h[Msi]
6. Выполняются габаритный и
оптической системы коррелятора,
служащей для сопряжения
плоскости Рх с плоскостью Ра (см.
рис. 198), и строятся графики
зависимости величины поперечной
сферической аберрации от
величины размера анализируемого
участка (рис. 199). К волновым
аберрациям можно перейти от
рассчитанных сферических аберраций,
используя известные ф^мулы [1].
Исходя из полученных графиков,
с учетом величины Asfl0n.
находится величина А х В,
определяющая максимальный ррзмер участка
изображения во входной плоскости
системы обработки
7. Выполняется расчет допусков на установку элементов
оптической системы коррелятора путем проведения аберрационного
расчета для разъюстированной системы.
8. По полученным в результате аберрационного расчета
данным выполняется расчет распределения энергии в выходной
плоскости устройства обработки методом БПФ на ЭЦВМ. БЭСМ-4.
8;0
ер
гр
О 0.00 h- 0,008 0,0ГZ 0,OWJs'fMMl
Рис. 194. Графики для определения
диаметра преобразующего объектива
по заданной величине поперечной
сферической аберрации
У
&
'^
г'ш
f'=500
f'JOU

Часть IV
РАСЧЕТ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ
ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Глава 23
ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ РАСЧЕТА ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
§ 148. Требования, предъявляемые к оптическим системам
Любая оптическая система в зависимости от назначения
должна удовлетворять ряду различных ее требований. Можно выделить
несколько основных групп требований — общих для всех
оптических систем. К первой группе относятся требования,
предъявляемые к основным оптическим характеристикам: светосиле,
величине входного и выходного зрачков и их положению,
линейному и угловому полю, увеличению системы, ее фокусному
расстоянию и т. д.
Ко второй группе относятся требования к габаритам системы,
т. е. к ее внешним размерам и форме. При проектировании
оптических систем специального назначения эти требования имеют
большое значение. Третья группа включает требования,
относящиеся к качеству изображения. Требования этой группы весьма
разнообразны и зависят от назначения системы. Например, в
таких оптических системах, как бинокли, прицельные трубы,
зрительные трубы геодезических приборов, хорошее качество
изображения должно быть в центре поля, а на краях допускаются
значительные искажения, так как изображение рассматриваемого
предмета всегда можно привести в центр поля. Для
фотографических, в том числе и для аэрофотографических объективов,
предназначенных для точных съемок, требуется хорошее качество
изображения по всему полю. Четвертая группа требований относится
к условиям эксплуатации оптического прибора (теплостойкость,
морозостойкость, допустимые вибрации и ударные нагрузки,
радиационные воздействия и т. д.).
Перед расчетом оптической системы должны быть выбраны
исходные данные для расчета. При выборе исходных данных следует
исходить из технической и физической осуществимости прибора.
Так, наряду о общими для всех оптических систем требованиями,
существует и много специфических. Например, для микроскопа
существует понятие предельного полезного увеличения_Гп,
получаемого из условия предельного разрешения 500А < Гп < 1000А
428

(см. § 122). Зная предельное разрешение N,_ находят числовую
апертуру А, а затем и полезное увеличение — Г„.
Дальнейшее увеличение Гп не приводит к разрешению более
мелких объектов. Известно, что физически осуществить предельное
полезное увеличение можно только в микроскопах с объективами
высокой апертуры.
Для зрительных труб разрешающая способность телескопической
системы совместно с глазом определяется, с одной стороны,
дифракцией света, а с другой стороны — разрешающей способностью
и свойствами глаза. Чтобы глаз мог полностью использовать
разрешающую способность трубы, ее увеличение должно быть Гт==
Требования, предъявляемые к оптическим системам, часто
бывают противоречивыми, поэтому их надо тщательно
анализировать. Особенно надо обращать внимание на соотношение между
полем и относительным отверстием. Например, при
проектировании фотообъективов, чтобы не было противоречий между этими
величинами, следует учитывать инвариант Волосова, который был
получен в результате анализа параметров большого числа
фотообъективов:
1 '2
где Сот = 0,22—0,26—критерий добротности объектива. Для
практических расчетов Ст^0,24. Если С < Ст < 0,24, то расчет сисг
тем затруднений не вызывает. Если С > Ст > 0,24, то качество
изображения в рассчитываемой системе будет плохим. Подобного
инварианта для других систем пока не существует. Однако
величина Ст не остается постоянной, а постепенно возрастает в связи
с появлением новых стекол, с совершенствованием методов расчета
и технологии изготовления оптических деталей, сборки и
юстировки систем.
Из-за многообразия оптических систем общего метода их
расчета не существует. Г. Г. Слюсаревым разработаны практически
пригодная теория и метод расчета оптических систем, состоящих
из тонких компонентов,— метод разделения переменных. При
наличии в системе достаточно «толстых» линз, т. е. линз, толщины
которых сравнимы с радиусами поверхностей, этот метод теряет
смысл. Теорию и метод расчета сложных фотографических систем
с линзами конечной толщины, разработал Д. С. Волосов.
И, наконец, встречаются еще трудно поддающиеся
классификации требования, например, требования, относящиеся к так
называемой «бриллиантности» изображения, т. е. отсутствию фона,
уменьшающему контраст изображения.
429

§ 149. Этапы разработки и расчета оптических систем
Проектирование и расчет оптических систем по заданным
техническим условиям можно разделить на четыре основных этапа:
габаритный расчет, расчет исходного варианта, аберрационный
анализ исходного варианта и коррекция аберраций, оценка
качества изображения рассчитанной системы.
Охарактеризуем каждый этап расчета в отдельности.
1 этап. На этом этапе проектирования разрабатывается
принципиальная оптическая схема прибора, отвечающая требованиям
технического задания, а именно: требуемого увеличения,
линейного или углового поля, светосилы, конфигурации, определенных
размеров. Поэтому этот этап расчета принято называть
габаритным расчетом. Он выполняется на основании формул
идеальной оптической системы. В результате габаритного расчета
производят выбор конструкции отдельных компонентов или узлов
системы, разрабатывается эскизный проект прибора, а именно
рассчитываются кинематическая и электрические схемы, а также
конструкция отдельных узлов прибора в целом.
2 этап. На этом этапе проектирования, существенно не меняя
величин, полученных при габаритном расчете, вычисляют
внутренние и внешние параметры отдельных компонентов, например,
используя теорию аберраций третьего порядка. В задачу этого
этапа входит определение конструктивных элементов системы
(радиусов кривизны поверхностей, толщин линз и воздушных
промежутков, показателей преломления и коэффициентов дисперсии),
т. е. параметров, удовлетворяющих требованиям в отношении
качества изображения, и основных характеристик в параксиальной
области, таких как фокусное расстояние, задние отрезки,
увеличение и т. д. Поэтому этот этап носит название расчет
исходного варианта системы.
3 этап. В системе с исходными конструктивными параметрами
производят аберрационный анализ, выполняют коррекцию
системы в отношении аберраций. К расчету прилагается сводка
остаточных аберраций, а также графики аберраций, по которым судят
о качестве изображения.
4 этап. На этом, заключительном этапе проектирования
выполняется оценка качества изображения в откорригированной
системе. Первоначальная, предварительная оценка качества
изображения оптической системы выполняется по величине пятен
рассеивания. Размер этих пятен даст первое представление о качестве
изображения (разрешающая способность системы N=\l2\y\ где
2Аг/' — средний размер диаметров пятен рассеивания). Но такая
оценка является достаточной лишь для малоответственных систем
(например, осветительных систем конденсоров) и совершенно
неудовлетворительной для ответственных оптических систем,
предназначенных для получения максимально полной информации о
наблюдаемых предметах. Известно (глава 27), что для опенки
качества изображения в настоящее время широко применяется
функция модуляции амплитуды или частотно-контрастная характери-
430

стика (ЧКХ), которая: а) позволяет легко предсказать свойства
изображений объектов сравнительно простой структуры (две
рядом стоящие точки, периодические структуры типа мир Фуко или
синусоидального распределения яркости и т. д.); б) дает
возможность предсказать качество изображения не только самой
оптической системы, но также в комбинации ее с приемником
(глазом или любым другим светочувствительным слоем); в) имеет
простой вид, характеризуемый малым числом величин. Поэтому
на этапе оценка качества изображения вычисляют
ЧКХ, определяют допуски на конструктивные элементы системы
г, d, п и воздушные промежутки, составляют оптические выпуски,
вносят соответствующие поправки и приступают к разработке
рабочих чертежей.

Глава 24.
ГАБАРИТНЫЙ РАСЧЕТ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
§ 150. Задачи габаритного расчета
В процессе габаритного расчета необходимо получить
оптическую систему, которая бы удовлетворяла трем основным
требованиям: полностью соответствовала техническим условиям на
прибор, т. е. обеспечивала бы заданные характеристики системы,
определяемые ее назначением (требуемое увеличение, фокусное
расстояние, относительное отверстие, точность визирования и т. д.);
обеспечивала физическую осуществимость прибора, т. е.
удовлетворяла бы законам образования изображения; обеспечивала
техническую осуществимость прибора (создание оптической системы
в рамках существующих технических возможностей), т. е.
предусматривала бы доступную технологию изготовления, реальные
величины допусков, получение необходимого качества
изображения, приемлемую стоимость.
Из габаритного расчета должны быть получены исходные
данные для детальной разработки механической части прибора и
расчета отдельных оптических деталей.
В начале расчета конструктор разрабатывает принципиальную
оптическую схему прибора, отвечающую поставленным в
технических условиях требованиям. Правильный выбор оптической схемы
при разработке оптического прибора имеет решающее значение для
успешного решения поставленной задачи. Особое значение
приобретает логически обоснованный выбор схемы соответственно
заданным оптическим характеристикам при применении
автоматизированных методов коррекции на ЭВМ. Машинный расчет
позволяет получить удовлетворительное решение, если в основу
расчета будет положена удачная начальная оптическая система.
Очевидно, что роль оптика-расчетчика и разработчика становится при
этом особенно ответственной — теоретическая подготовка,
интуиция и опыт в области расчетов оптических систем приобретает
особое значение. В большинстве случаев схема выбирается на
основании личного опыта расчетчика или на основании анализа
систем подобного типа.
В задачу габаритного расчета входит:
1) согласование технических условий, т. е. согласование
требований к увеличениям, линейным или угловым полям,
положениям и величинам зрачков, светосилы, размеров системы;
2) определение составляющих систему элементов и их
основных параметров, а именно: определение числа компонентов, из
432

которых должна состоять оптическая система; определение
величин фокусных расстояний отдельных компонентов; величин апер-
турных углов и углов поля; определение расстояний между
компонентами; определение световых и полных диаметров
компонентов; места расположения диафрагм, а также положения и размеры
зрачков всей системы и каждого компонента; определение
размеров и положений зеркал, призм, пластин, если таковые имеются
в оптической системе; подготовка исходных данных к
аберрационному расчету отдельных элементов системы;
3) анализ взаимодействия как отдельных элементов
оптической системы (выявление возможного исправления аберраций)»
так и возможностей всей системы.
При габаритном расчете полагают систему идеальной и
применяют соотношения параксиальной оптики. По полученным
значениям фокусного расстояния, относительного отверстия, апертур-
ных углов, угла поля подбирают типы отдельных компонентов:
окуляры, объективы и т. д. по аналогии с существующими
оптическими приборами.
При расчете может оказаться, что какой-либо оптический узел
или компонент по своим оптическим характеристикам резко
отличается от существующих на практике. В этом случае требуется
длительная вычислительная работа или же практическое
осуществление схемы может оказаться невозможным.
На этапе габаритного расчета целесообразно также
анализировать коррекционные возможности отдельных элементов системы.
Если этого не делать, то можно прийти к тому, что невозможно
будет получить удовлетворительное качество изображения при
выбранных габаритах. Тогда после аберрационного расчета
придется вновь рассчитывать систему, меняя некоторые габаритные
соотношения или усложняя ее.
После габаритного расчета на основе оптической схемы
рассчитываются кинематическая и электрическая системы прибора,
разрабатывается эскизный проект и конструкция отдельных узлоа
прибора.
§ 151. Различные конструкции систем из тонких компонентов-
Для облегчения расчетов некоторых типов оптических систем
их разбивают на ряд тонких компонентов. Такое разделение дает
возможность построить сравнительно простую теорию расчета как
в отношении внешних, так и в отношении внутренних параметров.
Характерной особенностью тонкого компонента является то
обстоятельство, что при переходе от «нулевых» к «конечным»
толщинам аберрации изменяются незначительно, т. е. толщины
компонентов и отдельных линз не являются параметрами, которые
следует использовать для коррекции аберраций. Они выбираются
из технологических соображений.
Перечислим системы, которые можно считать состоящими из
бесконечно тонких компонентов. К таким системам относятся
оптические системы, состоящие из объектива и окуляра (считая
433

последний за один компонент, хотя обычно окуляры состоят из двух
компонентов и более); это — астрономические, геодезические
трубы, визиры, бинокли Галилея, микроскопы малого увеличения;
оптические системы, состоящие из объектива, окуляра и призмен-
«ой оборачивающей системы (призменные бинокли, стереотрубы,
дальномеры, системы с качающимися и вращающимися
призмами, панорамы и т. д.); оптические системы с линзовыми
оборачивающими системами, зрительные трубы прямого видения,
перископы, прицельные трубки и т. д. Расчет указанных выше систем
можно разделить на независимые стадии.
Однако имеется большая группа приборов, компоненты
которых нельзя считать бесконечно тонкими. Это фотографические
объективы, объективы микроскопов большой апертуры,
широкоугольные телескопические системы. Для таких систем габаритный
расчет имеет второстепенное значение. Размеры системы
являются результатом решения задачи получения изображения
требуемого качества при заданном относительном отверстии и угловом
поле.
Рассмотрим габаритный расчет некоторых оптических систем,
состоящих из тонких компонентов.
§ 152. Габаритный расчет простых зрительных труб
Если прибор служит для наблюдения за удаленными на
большое расстояние предметами, то он относится к группе
телескопических систем. Основное свойство таких систем состоит в том, что
пучок параллельных лучей, поступающих во входной зрачок
системы, выходит из выходного зрачка также пучком параллельных
лучей. Видимое, линейное, угловое увеличения являются
постоянными величинами для таких систем и связаны между собой
зависимостью
г __ 1 D __ tgw' /об
1 т - То - - j - D. - ~^— = — у--
Н0 * 'ок
Продольное увеличение определяется по формуле
<*0 — ро = Г '
т
при условии, что п = п'.
В технических условиях на проектирование телескопических
систем задают следующие основные оптические характеристики:
Гт—видимое увеличение зрительной трубы; ty" — разрешающую
способность; L — длину оптической системы; 2о> — угловое поле в
пространстве предметов; D'—диаметр выходного зрачка;
sp—удаление выходного зрачка.
Иногда задается конфигурация прибора, которая определяется
использованием в конструкции зеркал и отражающих призм.
В телескопических системах из двух компонентов основным
требованием является необходимость разрешать две точки или два
434

объекта определенного вида, находящихся друг от друга на
некотором заданном линейном или угловом расстоянии.
Известно, что разрешающая способность телескопической системы
хорошего качества изображения при работе совместно с глазом
120"
определяется, с одной стороны, дифракцией света б"=—=р, а с
60"
другой стороны, свойствами глаза </* =~ (при D' = 2 мм).
.^.Э. (В)
Вх.зр.
х.зр.
in')
Рис 200. Габаритный расчет зрительной трубы Кеплера
Габаритный расчет следует начинать, исходя из согласования
приведенных выше соотношений. Из формул видно, что для
полного использования глазом разрешающей способности трубы ее
полезное увеличение должно определяться как
_ 60" 60" D 1 _. ,0. ..
V
Из этого следует, что при заданном значении увеличения Гт
диаметр входного зрачка должен иметь размер, определяемый
формулой
D = 2ГТ, (24.2)
с тем, чтобы обеспечить требуемую разрешающую способность. Кз
(24.1) также следует, что дальнейшее увеличение Гт при сохранении
диаметра входного зрачка не будет способствовать увеличению ее
разрешающей способности. Чтобы полностью использовать <Ь",
необходимо также, чтобы выходной зрачок имел размер
D' =
D
(24.3)
Оптическая схема трубы Кеплера в виде тонких компонентов
представлена на рис. 200. Для определения фокусных расстояний
объектива и окуляра можно воспользоваться следующими уравнениями:
. L = U + U, (24.4)
435

1т = ~Г
(24.5)
Решая совместно (24.4) и (24.5), получают соотношения для
определения /0б и /ок телескопической системы
1 (24.6)
/ ок
/об =
1-Гт.
_£zL
-i-v
(24.7)
Вых. за.
Рис. 201. Оптическая схема зрительной трубы Кеплера
Угловое поле окуляра определяют из соотношения
tgu/ = rTtgw.
Значение /ок уточняют и выбирают ближайшее из каталога
(имея в виду использование готового окуляра), исходя из
найденных значений /ок и 2о>'-
При выбранном /ок уточняют f^, используя формулу
/об == 1 т/ок"
Если задается вынос выходного зрачка, то для окончательного
определения величины фокусного расстояния объектива необходимо
уточнить /ок с учетом заданного удаления выходного зрачка sp\
Для этого определяют отрезки г'р< и s'f- (рис. 201)
гП' = -,•
(24.8)
где zp—координата, определяющая положение выходного зрачка
относительно заднего фокуса окуляра; zp — координата, определяю.
436

щая положение входного зрачка относительно переднего фокуса
объектива (положение входного зрачка выбирается конструктивно).
Часто входной зрачок совпадает с оправой объектива, тогда
Zp *= /об-
Если учесть аберрации в зрачках прибора, то отрезок гР' будет
меньше на величину Дг', которая при больших углах поля 2w может
достигать порядка 2—3 мм, поэтому (24.8) запишем в виде
V=-^--A2r'- (24.9)
т
Зная удаление выходного зрачка v> определяют отрезок ^> —
расстояние от последней поверхности окуляра до заднего фокуса
по формуле
&Р- =s'p>~ -£- + №. 24.10)
т
По найденным значениям диаметра входного зрачка и величине
фокусного расстояния вычисляют относительное отверстие объектива
и по параметрам Д>б, D/fo6, 2w выбирают тип объектива. Хорошее
качество изображения получается, если относительное отверстие
объектива не превышает 1 :4.
Тип окуляра выбирают в соответствии с заданным угловым полем
2ш' и удалением зрачка. Следует иметь в виду, что окуляры
исправляются на аберрации для некоторого определенного положения
выходного зрачка, поэтому у выбранного окуляра расстояние гр-
должно иметь то же значение, на которое рассчитывался окуляр.
Для большинства окуляров значение zp- лежит в пределах от z'P'=0
ДО Zp' = 0,3/ок.
После определения значений /об и f0K определяют световые
диаметры линз объектива, окуляра, сетки. Для этого выбирают
величину сечения наклонного пучка лучей в зависимости от
возможности коррекции оптической системы. Если 2ш— угловое поле мало,
относительное отверстие объектива невелико, то 2mo^D. При
большом относительном отверстии и большом поле 2m<=*0,5D.
Световой диаметр объектива определяют по формуле
Di = — 2aptg(o + 2m, (24.11)
если входной зрачок совпадает с диаметром объектива, то D\=D.
Диаметр полевой диафрагмы, которая устанавливается в фокальной
плоскости объектива телескопической системы, равен
Dn = -2Uigm. (24.12)
Световой диаметр линз окуляра определяют из расчета полевого
пучка лучей (нижнего полевого, главного, верхнего полевого луча)
по формулам:
437

yi+\ =-yi — d$t>
где
P< = tgu>,-, p, = tgU>f.
Удвоенная высота, максимальная из трех высот, определяет
световой диаметр окуляра. Из рис. 201 видно, что высота нижнего
полевого луча определяет световой диаметр окуляра. Ее вычисляют
по следующим формулам:
D
г/1 = -Т;
где
y2 = yi — d$i,
d\ — /об — Лж>
DM = 2y2.
(24.13)
Изображение
о&ъектива
Вх.зр.
Рис. 202. Оптическая схема зрительной трубы Галилея
Так выполняется габаритный расчет простой зрительной
трубы Кеплера, которая применяется главным образом в
геодезических и астрономических приборах.
В отличие от трубы Кеплера зрительная труба Галилея имеет
отрицательный окуляр, дает прямое изображение предмета,
имеет конструкцию намного проще, чем труба Кеплера. Оптическая
схема трубы представлена на рис. 202. В качестве окуляра
обычно используют простую отрицательную линзу, передний фокус
которой совмещен с задним фокусом объектива. Применяют
систему Галилея главным образом в наблюдательных системах,
например, театральных биноклях, в визирах фотоаппаратов или в
438

качестве составной части сложного, например, перископического
прибора. Формулы (24.6) и (24.7) справедливы и при габаритном
расчете трубы Галилея. Однако, как было показано (глава 17,
§ 114) выходным зрачком трубы является зрачок глаза, поэтому
при габаритном расчете следует рассматривать систему Галилея
совместно с глазом.
Если отрезок Ср = с определяет положение входного зрачка
относительно объектива, а сопряженный с ним отрезок с' —
положение выходного зрачка относительно изображения объектива, то
их отношение будет равно продольному увеличению или
квадрату обратной величины видимого увеличения, т. е.
ар = с = сТ? = (Гта'р. -f L) Гт. (24.14)
Так как увеличение трубы всегда положительное Гт> 0, то
отрезок ар также всегда положительный и, следовательно, входной
зрачок всегда лежит за объективом и является мнимым. Итак, имеем
D'=Dr„, D = DMrT.
Оправа объектива является Еиньетирующей диафрагмой и угловое
поле зависит от его светового диаметра. В зависимости от степени
виньетирования можно определить углы поля. Так, если
виньетирование отсутствует, то угловое поле минимальное и определяется
как
*--«^ту <24,5>
если виньетирование составляет 50%, то
если 100% виньетирования, то угловое поле максимальное и
*«-г$£Ь- <24-17>
Именно из-за виньетирования наклонных пучков трубы
Галилея имеют небольшое увеличение и малое угловое поле.
§ 153. Расчет зрительных труб с оборачивающими системами
В том случае, когда необходимо получить прямое изображений
предмета, а труба Галилея использована быть не может, в схему
зрительной трубы Кеплера вводят оборачивающие системы.
Оборачивающие системы устанавливаются между объективом
и окуляром и могут быть линзовыми и призменными.
Габаритный расчет зрительной трубы с линзовыми
оборачивающими системами.
На рис. 203 и рис. 204 представлены оптические схемы
зрительной трубы Кеплера с одиокомпонентпой и двухкомпонентной
оборачивающими системами. Для оборачивающей системы задняя
439

фокальная плоскость объектива и передняя фокальная плоскости
окуляра являются сопряженными. Вопрос о выборе увеличение
оборачивающей системы решается отдельно в каждом конкретное
случае габаритного расчета. Однако лучше задавать увеличение
Одора ч и бающая
система
Рис. 203. Оптическая схема зрительной трубы Кеплера с однокомпонентнои оо<-
рачивающей системой
близкое к единице, тогда при двухкомпонептной системе оба ко>
понента будут одинаковыми, что намного облегчит аберрационньп
расчет системы и система будет дешевле. Поэтому если ^об.с =—I
система
Рис. 204. Оптическая схема зрительной трубы Кеплера с двухкомпоиентной
оборачивающей системой
то систему следует поместить от точки фокуса объектива на pat
стоянии, равном ее двойному фокусному расстоянию, в остальны:
случаях увеличение будет определяться как
Роб.о = 4. (24-18
440

где отрезки а, а' определяют положение оборачивающей системы
относительно точек фокусов объектива и окуляра зрительной трубы.
Зная длину трубы LT и определив по формулам (24.6) и (24.7)
фокусное расстояние объектива и окуляра, для однокомпонентной
оборачивающей системы в соответствии с рис. 203 можно записать
Lr = fo6-a + a' + fOK. (24.19)
Из (24.19) находим
Ьов.с = — а + а' = LT — /об — /ок. (24.20)
Зная увеличение оборачивающей системы ^об.с и определив по
формуле (24.20) длину оборачивающей системы, можно вычислить
отрезки а и а'. Для этого совместно решают два уравнения (24.18)
и (24.20):
^об.о = —О. -f" а >
Роб.о = —.
Из решения уравнений получают
L
и, д
Роб.с~
Зная отрезки а и а', определяют фокусное расстояние линзы
оборачивающей системы по формуле
J L = _J_
а' а \' ' .
'об.с
Габаритный расчет зрительной трубы с двухкомпонентной
оборачивающей системой. Наибольшее распространение получили
оборачивающие системы из двух компонентов, обычно склеенных
из двух линз (рис. 204, 205).
Между компонентами оборачивающей системы лучи идут
параллельно, поэтому передний фокус первой линзы оборачивающей
системы совмещен с задним фокусом объектива, а задний фокус второй
линзы совмещен с передним фокусом окуляра. Так как пучок
параллельных лучей, вошедших в объектив, после первой
оборачивающей системы остается параллельным, то эту систему можно
рассматривать как телескопическую с увеличением Гт,. Второй
компонент оборачивающей системы и окуляр образуют телескопическую
систему с увеличением ГТг. Таким образом, зрительную трубу с
двухкомпонентной оборачивающей системой можно рассматривать как
совокупность двух телескопических систем, стоящих одна за другой
с увеличениями Гт, и Гт, Тогда общее увеличение
Г, = ГТ1Гх> или Гт = - 4*-Ров.с
'ок
(24.21)
(24.22)
441

Чтобы избежать диафрагмирования пучка лучей оправой
одного из компонентов или неполного заполнения светового
диаметра компонента, необходимо, чтобы изображение входного зрачка
находилось примерно посредине между компонентами
оборачивающей системы (точка Рз^Ра). Чтобы получить такой ход
главного луча, необходимо в фокальной плоскости объектива
поставить коллектив, что позволит, не меняя размеры изображения,
вых.зр.
Рис 205 Габаритный расчет зрительной трубы Кеплера в двухкомпоненпюй
оборачивающей системой
создаваемые объективом, уменьшить диаметры линз
оборачивающей системы. Фокусное расстояние коллектива выбирают в
зависимости от того, какое направление относительно оборачивающей
линзы должен иметь главный луч. В том случае, когда
необходимо получить требуемое удаление выходного зрачка, коллектив
вводят и в переднюю фокальную плоскость окуляра и это также
необходимо учитывать при габаритном расчете системы.
442

Так как оборачивающая система симметрична, то фокусные
расстояния равны между собой, т.е. /i =/г- Для того чтобы упростить
процесс определения фокусного расстояния компонентов
оборачивающей системы, можно, задать ограничивающее условие — световой
диаметр компонентов определить из расчета хода апертурного луча,
т.е. Di=D2 = 2/i3, тогда из подобия треугольников М\НоъНк
и МзНкН\ (см. рис. 205, а) можно записать:
_0|_
D
А.
fo6
(24.23)
D\f*
Л'=/'=-^1. (24.24)
Расстояние d между компонентами оборачивающей системы можно
определить, рассмотрев подобные треугольники HKNiHi и N3M3M4
(рис. 205,6):
D„ D,—2m4
^- = "4-L. (24-25)
где 2m4 = KMD\ — ширина меридионального пучка лучей между
компонентами оборачивающей системы; /Сш— допустимое значение
коэффициента виньетирования; DK — световой диаметр коллектива.
Тогда
rf =
g^Vi ('-*«)
D„
(24.26)
Коллектив расположен в задней фокальной плоскости
объектива, и его фокусное расстояние должно быть таким, чтобы центр
входного зрачка изобразился системой «объектив + коллектив+ пер-
ная оборачивающая линза» в точке Pi, расположенной на
расстоянии — от первой линзы оборачивающей системы. На
основании сказанного для определения фокусного расстояния коллектива
необходимо рассчитать ход главного луча. Из рис. 205, б видно,
что
у\=ар$и Pi = tgu>i;
Pa = pi+yi//oe;
Уг
—/об? 1;
об
4И--=-04- J1?
h =
Ч<2 — УЪ
(24.27)
Однако известно, что [Ь = р2 + г/г//к, тогда
/.'-=
yj_
Р. -
443
(24.28)

После определения значений U, f'K, f\ = f2, f'OK вычисляют световы?-
диаметры компонентов по формулам:
а) диаметр объектива D06 — 2ар tgwj + 2/rai;
б) диаметр коллектива DK = —2/^tgwi;
в) диаметр оборачивающих линз D\ =D2 = -\-Е>\
г) диаметр окуляра D0K = 2ap'4g ш6 + 2m6, где 2т6 = K<„D'.
§ 154. Габаритный расчет зрительной трубы
с лризменной оборачивающей системой
Выполним габаритный расчет зрительной трубы призменногг
бинокля, оптическая схема которого представлена на рис. 206, и
Рис. 206. Оптическая схема бк
нокля:
а) с оборачивающими призмами
б) с редуцированными призмами
Вх.зр.
А.д
-&
ff'oS
к
/
п ■/ >/
//> V' '/'
n' ^г-^
-7-^?
;< 'A 'A
~>' -H'
db
fQb
^— ■ _
Л
n~ *
X X X
X^_1l
S3
\ ,
V. -Js t
*. ^ л
T ^
L
J<P
11.0.
it
* F'ab~ ^ок
t
0
"ok
~^0K
»-
1
Фокусные расстояния объектива, окуляра, коллектива, их свете-
вые и полные диаметры вычисляют по методике и формулам, npi-
веденным в разделе «Габаритный расчет простых зрительны;
444

труб». Затем определяют размеры призм оборачивающей
системы, которые зависят от величины угла падающих на них пучков
лучей и от положения призм относительно вершины пучка.
Кроме того, отражательные призмы при габаритном расчете
заменяют эквивалентными плоскопараллельными пластинками
(производят развертку призм) и, чтобы не рассматривать преломления
на поверхностях эквивалентных пластинок, их редуцируют
(приводят к воздуху).
Пусть в рассчитываемой схеме обе призмы изготовлены из
одной марки стекла с показателем преломления п. Расстояние db
между призмами известно. Оптическая схема бинокля с
редуцированными призмами представлена на рис. 206, б.
Если соединить края светового отверстия объектива с краями
полевой диафрагмы П. д., то получим усеченный конус, внутри
полости которого проходят все лучи. Половину угла осевого сечения
конуса можно определить по формуле
D — D„
tg<p—^г^2-- (24-29)
Введение в оптическую систему призм, развернутых в
плоскопараллельные пластины и приведенных к воздуху, не изменяет
высоты лучей на компонентах окуляра. Обозначим световые диаметры
на гранях призм через D\, D2, £>з, 04. Будем считать также, что
призмы не вносят виньетирования. Известно, что выходную грань
второй призмы целесообразно устанавливать близко к полевой диа
,2
фрагме, но не ближе расстояния, определяемого как 0,01/№, по-
,2
этому отрезок I = 0,01/ок. Расчет световых диаметров призм
выполним по методике, изложенной в главе 14 (см. § 95). Согласно этой
методике определяют
D4 = 2/ + 2/tgcp,
где 2у' — Dn. Вычисляют
+« п
^ = -2Г'
где k — коэффициент призмы (см. § 95).
По формуле или графически находят D3:
£>4 sin 7 cos 9
3 sin (4 — <f0 '
Длину хода луча к призме определяют как di = &D3, тогда
редуцированная толщина составляет
Аналогичным образом определяют размеры первой призмы, для
которой
U = / + d*2 + dB,
D2 = 2y' + 2lltg<?.
445

Если тип призмы тот же, то tg? имеет такое же значение, если
нет, то tg-p вычисляют как
Далее определяют:
£>2sinfcoscp
Di = sin(T[-<f) '
d, =kDu
Расстояние от главной плоскости объектива до входной граня
первой призмы составляет
'о = /об — dB — / —d\ —di.
Окончательно размеры призм выбираются большими с учетом
припуска на оправу, поэтому полные размеры гипотенузных граней
.призм будут
ai=2D, + 8;
а2 = 2D3 + 8,
где 8—припуск на оправу.
В практике расчета оптических систем иногда задают
положение входной грани призмы относительно объектива, т. е. размер
1о- Тогда Di вычисляют по формуле
Di =*D — 21otg<p,
затем определяют
di =kDu
D2 = Dl-2^-tgtP и т.д.
Если в результате расчета окажется, что призмы по размерам
мало отличаются друг от друга, то целесообразно их сделать
одинаковыми, взяв за основу размеры большей призмы.
Если же допустить некоторое виньетирование на краю поля,
то размеры призм можно несколько уменьшить. Задавшись
допустимым для данной системы виньетированием (для биноклей
допустимо 25-процентное виньетирование) и выбрав для расчета
лучей в призме, например, ход верхнего луча, падающего на
входной зрачок на высоте тх, определяют размеры призм:
/"1=гл = -^ 2 ' ; pi = tga>i;
у 2 = in —'о? 2;
446

D, =2z/2 и т. д.;
d\ =d2 = kD\,
где Km — коэффициент виньетирования.
Призменная оборачивающая система увеличивает длину хода лучз>
Ход луча в двух призмах составит d — 2й?2, тогда удлинение будет
равно
и п
На эту величину необходимо в конструкции прибора увеличить
расстояние между объектом и полевой диафрагмой.
§ 155. Расчет отсчетных микроскопов
При расчете отсчетных микроскопов следует исходить из
требуемой точности отсчета. Исходными данными являются точность
отсчета о, линейное поле 2у
(рис. 207).
Известно, что разрешающая
способность микроскопа зависит
от числовой апертуры объектива
микроскопа, длины волны и
способа освещения.
Для косого освещения
разрешающая способность определяется
соотношением С = тгд- и для
прямого освещения £ = -j-. Для
выходного зрачка микроскопа W =
= 1 мм точность отсчета по нониусу, часто применяемому в
отсчетных микроскопах, равна
а = -g- = -тк-г- (при косом освещении).
Отсюда можно определить апертуру объектива микроскопа
X
Рис. 207. Оптическая схема отсчетного
микроскопа
А =
12ч
При определенном диаметре выходного зрачка можно определить
полезное увеличение микроскопа
500А
г =
D'
По величине апертуры объектива можно выбрать его из каталога
объективов с тем линейным увеличением, которое указано в
каталоге.
Видимое увеличение микроскопа
447

При известном (30б выбирают видимое увеличение окуляра
1 ок — Т
Фокусное расстояние окуляра
/ ок ==
?об
250
В отсчетном микроскопе для уменьшения влияния параллакса
на точность отсчета применяется телецентрический ход лучей
со стороны пространства предметов, и апертурная диафрагма
устанавливается в задней фокальной плоскости объектива.
Рис. 208. Габаритный расчет отсчетного микроскопа
Диаметр апертурной диафрагмы определяется соотношением:
причем
sin о' =
Роб
Роль полевой диафрагмы микроскопа выполняет оправа сетки,
в плоскости которой образуется изображение. Диаметр сетки
D0 = 2у$о6 = 2/ок • tg (оок.
Предметное расстояние—расстояние от предмета до первой
поверхности объектива определяется из каталога объективов для
выбранного объектива.
Выбрав объектив и окуляр микроскопа, можно вычислить
величину L (рио. 208)—расстояние от предметной плоскости до
выходного зрачка микроскопа:
L — s\ + ^об + Л + do* + sp>.
§ 156. Расчет объектива зрительной трубы
с внутренней фокусировкой
В настоящее время преимущественно применяются зрительные
трубы с внутренней фокусировкой. Как известно (см. § J 22), они
имеют ряд преимуществ перед трубами с внешней фокусировкой:
448

постоянство длины, малые размеры, герметичность и возможность
создания аналлатических труб, большее постоянство линии
визирования.
В трубах с внутренней фокусировкой объектив состоит из
первого положительного компонента и второго фокусирующего
отрицательного компонента, расположенного на конечном
расстоянии от первого (рис. 209).
В результате подобной компоновки задняя главная плоскость
вынесена вперед, что позволяет значительно сократить
продольные габариты трубы. В процессе
фокусировки второй компонент
изменяет положение
относительно первого компонента, при этом
меняется и эквивалентное
фокусное расстояние
телеобъектива.
Одной из основных
характеристик телеобъектива является
коэффициент укорочения,
представляющий собой отношение п ппп „ „,„ „„ Лп
„ ,. , Рис. 209. Оптическая схема бесконеч-
оптическои длины объектива L но тонкой c„CTeMb, телеобъектива
к фокусному расстоянию f:
L
т — -у-
Обычно для линзовых телеобъективов т=0,6—0,8, уменьшение
величины т приводит к увеличению относительного отверстия
первого компонента, а это влечет за собой необходимость усложнения
конструкции компонента.
Увеличение второго компонента обычно |3 = 1,5-*- 2,2.
Дальнейшее увеличение Рг нецелесообразно, так как вызывает
значительное возрастание аберраций и предъявляет более жесткие
требования к коррекции аберраций первого компонента.
Расчет основных габаритных параметров зрительной трубы
производится известным образом (см. § 152). Особенностью
расчета является габаритный расчет телеобъектива.
Методика его расчета во многом зависит от исходных условий.
Чаще всего могут представиться два случая: а) труба должна
быть аналлатической, следовательно, должно быть задано
условие аналлатичности; б) задано минимальное расстояние
визирования, т. е. расстояние, на которое можно сфокусировать
зрительную трубу при максимальном перемещении отрицательного
компонента. ""'-'
1-й случай. В аналлатической зрительной трубе расстояние б
от первого компонента до проекции оси вращения прибора на
оптическую ось
8 = -!/, + (15-^-25) мм.
В этом случае при использовании трубы в качестве
дальномера аддитивный член в уравнении дальномера получает минималь-
15 1-446 . 449

ные изменения при перемещении фокусирующей линзы и
пренебрежимо мал:
s = kl -f cs,
где с, — аддитивный член; k — коэффициент дальномера (обычно
6=100); /—отсчет по рейке; s — расстояние до предмета.
Такая труба называется квазианаллатической. Если с,,=0, то
труба является строго аналлатической.
Условие аналлатичности было выведено проф. Б. В. Фефиловым
и имеет вид
—Ц_ -do + /' 0 -do?.) = 0.
fi + T
Исходными данными для расчета аналлатической трубы являются:
1) относительное отверстие объектива -р-> 2) фокусное расстояние
объектива f'\ 3) коэффициент укорочения т или оптическая длина
L; 4) величина аналлатичности 8; 5) угловое поле 2ш.
Расчет целесообразно проводить в приведенных величинах, при
условии, что/'= 1 Необходимо определить фокусное расстояние
компонентов /i и ft, расстояние между компонентами do и
поперечные размеры компонентов.
Для определения трех неизвестных f\, /2 и d0 надо составить
три уравнения:
1. Уравнение аналлатичности.
2. Уравнение эквивалентной системы
?! + ?2 — d(><Pl?2 = I.
3. Уравнение оптической длины телеобъектива
L =du + а2.
Уравнение (3) легко получить из рис. 209, откуда видно, что
I' ~ А. ~ t[ '
следовательно,
а? = /'(1 — do?]).
При /' = 1
L=d0(l-c?,)+l.
2-й случай. Задано минимальное расстояние визирования а,„,-т
(вместо условия аналлатичности, остальные данные ге же)
В соответствии с конструкцией телеобъектива расстоянию ат1п
соответствует в пространстве изображений aj.,.* < L, так как при
фокусировании на самые ближние предметы фокусирующий
компонент перемещается в крайнее правое положение-
/ — (lo-f. 15; мм ,'
fll.nax = ; — L-
450

Используя формулу Гаусса, получим
alminaimax almin^
t
a,ml„ — a
lmin almax «lmin — ^»
При f = 1
f'=J^L = fa ИЛИ Р;,=:<р,.
"2
Расстояние между бесконечно тонкими компонентами можно
определить из уравнения оптической длины (3)
f'\(\-L)
da =
l-fi
Фокусное расстояние второго—фокусирующего компонента
определяется из уравнения эквивалентной системы (2)
12 = ■
/,-1
Диаметр первого компонента легко вычислить, зная
относительное отверстие объектива,
£>i =D + 2aIJtgm.
Диаметр второго компонента определяется из расчета апертур-
ного и полевого лучей по формулам параксиальной оптики.
Следует помнить, что при фокусировании на ближнее
расстояние второй компонент перемещается к сетке, и в этом случае
высота полевых лучей увеличивается.
Расстояние между компонентами при Si Ф — со рассчитывается
по формуле
d. = j (а\ + L) - У(а\ -L)(a]-L + 4$.
В настоящее время для получения высокого качества
изображения используются трех- и четырехкомпонентные телеобъективы. Их
расчет проводится аналогичным образом, только используются
некоторые дополнительные условия.
Для контроля вычислений /ь /v и d„ можно рекомендовать расчет
па, аксиального луча через бесконечно тонкую систему и
определение величин ^ и /о.
15*
451

Глава 25
РАСЧЕТ ИСХОДНОГО ВАРИАНТА ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
§ 157. Общие принципы расчета исходного варианта
Целью расчета исходного варианта является определение
конструктивных элементов-радиусов кривизны или профиля
оптических поверхностей, толщины линз и расстояния между отдельными
компонентами.
В настоящее время известны два основных метода расчета:
метод проб и алгебраический метод или метод разделения
переменных. Выбор метода зависит от характеристик оптической системы
и наличия вычислительных средств.
Почти вплоть до XIX века применялись эмпирические методы
изготовления оптических систем. Первый объектив — ахромат
появился лишь в XVIII веке, когда Ньютоном уже была открыта
дисперсия света.
В 1840 г. Пецваль впервые вывел выражения для аберраций
третьего и пятого порядков и пришел к выводу о невозможности
их практического применения из-за их сложности и создал так
называемый метод проб.
Метод проб основан на изучении связи между аберрациями
системы, полученными посредством расчета хода лучей, и
конструктивными элементами. Пецваль рассчитал этим методом первый
светосильный фотографический объектив, известный под
названием объектива Пецваля.
В 1856 г. Зейдель опубликовал формулы коэффициентов
аберраций третьего порядка. Практическое применение формулы Зей-
деля нашли в начале XX века, когда впервые с их помощью был
рассчитан двухлинзовый объектив с малым угловым полем.
Полученные расчетные соотношения оказались простыми и удобными
для практического применения.
В результате развития теории аберраций третьего порядка и
первых попыток ее использования появился алгебраический
метод или метод разделения переменных, широко применяемый и в
наше время.
Метод дает хорошие результаты при расчете систем,
компоненты которых можно принять бесконечно тонкими ( р-<0,10), т. е.
систем с небольшими относительными отверстиями и малыми
угловыми полями. К таким системам относятся, в частности,
объективы геодезических приборов.
452

В основу метода разделения переменных положено свойство
бесконечно тонкой линзы, заключающееся в независимости
хроматической аберрации от прогиба линзы, т. е. внутреннего угла а
первого параксиального луча с оптической осью.
В условия устраненчч хроматической аберрации положения
и увеличения, в условие Пецваля и различные конструктивные
условия не входят углы а, образованные первым
параксиальным лучом с оптической осью внутри линз,— внутренние
параметры.
Это дает возможность разделить все параметры системы на две
группы: внешние и внутренние. Внешними параметрами
являются углы а первого параксионалыюго луча в воздухе и высоты h.
Внешними параметрами определяются оптические силы линз и
расстояния между ними, и их вычисляют на первом этапе расчета.
Внутренние параметры определяются на втором этапе расчета
из условий устранения монохроматических аберраций.
После определения всех неизвестных параметров вычисляются
конструктивные элементы бесконечно тонкой системы и делается
переход к системе линз конечной толщины. Затем производится
аберрационный анализ системы и при необходимости — коррекция.
С появлением ЭВМ и автоматических методов расчета
значительно облегчилась работа конструктора, однако его участие в
расчете все еще остается главным.
Весьма очевидной при развитии машинных методов явилась
необходимость использования теории аберраций третьего порядка.
При расчете на ЭВМ успех расчета во многом зависит от того,
насколько исходная система близка к оптимальной. Известно, что
ЭВМ не всегда дает положительное решение, даже если оно и
существует. При неудачном выборе исходной системы приходится
от нее отказаться и заново рассчитать систему. Ясно, что система,
свободная от аберраций третьего порядка, более близка к
искомой, чем произвольно выбранная. Кроме того, расчет
коэффициентов аберраций третьего порядка занимает примерно в три раза
меньше времени, чем расчет минимально необходимого числа
лучей. Это дает возможность с минимальными затратами
машинного времени провести исследование большого числа систем.
При использовании некоторых методов коррекции на ЭВМ,
например, метода Цено, необязательно иметь исходный вариант,
свободный от аберраций третьего порядка. Но и в этом случае
расчетчику может помочь расчет методом разделения переменных,
так как он дает ответ на вопрос: существует или не существует
решение при выбранной оптической схеме.
Кроме того, среди рассчитываемых систем часто встречаются
системы со сравнительно небольшими полями и малой апертурой,
которые с успехом рассчитываются на основании теории
аберраций третьего порядка.
Умение рассчитывать исходный вариант методом разделения
переменных и проводить коррекцию описанным ниже методом
(§ 172) позволяет лучше изучить аберрационные свойства
системы и правильно выбирать направление коррекции при последующих
453

расчетах на ЭВМ. Это особенно важно для начинающих
расчетчиков.
Чрезмерное увлечение методом проб при расчетах на ЭВМ не
всегда быстро приводит к желаемым результатам по уже
упомянутым причинам. Он особенно эффективен при расчетах сложных
объективов. Вследствие этого в книге уделяется внимание
расчету исходных вариантов объективов различных конструкций
методом разделения переменных. Эти объективы имеют малое
угловое поле и сравнительно небольшое относительное отверстие,
когда применение теории аберраций третьего порядка достаточно
эффективно.
Приводимые расчетные соотношения просты и удобны, и их
можно использовать для программирования расчетов исходных
вариантов на мини-ЭВМ.
§ 158. Выбор аберраций, подлежащих исправлению
Вопрос выбора аберраций, которые необходимо исправить в
системе, является одним из наиболее важных. Следует помнить,
что увеличение числа аберраций, подлежащих исправлению, а
также уменьшение их допустимых значений обычно приводит к
усложнению конструкции и увеличению числа линз.
Отдельные аберрации третьего порядка относятся к трудно
исправимым: это кривизна поля, иногда дисторсия и астигматизм.
Особенно трудно устраним вторичный спектр, требующий
применения в системе стекол или других оптических материалов с
пропорциональным спектром.
Требование исправления некоторых аберраций третьего
порядка приводит к необходимости усложнения системы и применения
специальных материалов. При разработке системы конструктор
может использовать в качестве материала все марки оптических
стекол, изготовляемых оптическими заводами, и ограниченное
число кристаллов и других новых материалов.
Выбор формы и расположения поверхностей также ограничен.
Система должна быть центрированной, так как разработанная
теория расчета предполагает это условие. Поверхности должны
быть сферическими, а сферические поверхности используются
очень редко в связи с технологическими трудностями изготовления
и контроля и высокой стоимостью.
Наиболее правильной тенденцией при разработке конструкции
является выбор наиболее простых марок стекол, имеющих
хорошие физико-механические свойства, и стремление к простоте
конструкции. Увеличение числа линз неизбежно приводит к
увеличению массы, удорожанию и повышает чувствительность
системы к внешним воздействиям.
Выбор числа исправляемых аберраций зависит от назначения
системы, ее относительного отверстия, требуемого качества
изображения и производится на основе анализа исходных данных.
В системе с небольшим углом поля, например в объективе аст-
454

пономической трубы большого увеличения, надо исправить
сферическую аберрацию и хроматизм положения.
В объективах зрительных труб средних увеличений, к которым
относятся объективы труб геодезических приборов, следует
исправить сферическую аберрацию, меридиональную кому и хроматизм
положения. Это объясняется тем, что в системах с малым углом
поля астигматизм, кривизна поля, дисторсия и хроматизм
увеличения имеют малые значения и практически не влияют на
качество изображения.
В системах малой апертуры и больших углов поля (очковые
линзы) целесообразно исправить астигматизм, в основном
ухудшающий качество изображений.
В фотографических объективах следует исправить полевые
аберрации (астигматизм, кому, кривизну поля, дисторсию).
В объективах оптико-электронных приборов чаще всего
необходимо исправить сферическую аберрацию, меридиональную кому
и хроматизм положения, но в некоторых случаях надо провести
коррекцию астигматизма, кривизны поля и дисторсии.
Особое внимание следует обращать на условия работы
прибора. В ряде систем большое поле требуется только для
обнаружения объекта, измерение параметров которого производится в
центре поля. В этом случае нет необходимости тщательного
исправления полевых аберраций.
При выборе исправляемых аберраций необходимо хорошо знать
свойства коэффициентов аберрации третьего порядка в частных
случаях. Необходимо помнить, что астигматизм бесконечно тонкого
компонента не зависит от его .конструктивных элементов, когда
входной зрачок совпадает с компонентом s,, = 0, поскольку STu = 1,
а коэффициент Пецваля к =* 0,7. Дисторсия третьего порядка
отсутствует в бесконечно тонком компоненте, если входной зрачок
совпадает с компонентом, Sy = 0. Кривизну Пецваля нельзя
непосредственно исправить даже введением асферической поверхности.
§ 159. Составление и решение аберрационных уравнений
После выбора аберраций, которые следует исправить, составляют
аберрационные уравнения. Все уравнения разделяются на две группы.
В первую группу входят уравнения, зависящие от внешних
параметров:
1 Уравнение масштаба <р= 1, где <р—приведенная оптическая
сила системы при f = 1. В уравнение масштаба входят оптические
с или линз, из которых состоит система.
'£■ Уравнение исправления хроматизма положения Si хр = 0.
3. Уравнение исправления хроматизма увеличения Snxp = 0
4. Уравнение исправления вторичного спектра Si вт.еп = 0.
5. Уравнение исправления кривизны Пецваля Stv = 0-
6. Уравнение, выполняющее конструктивное условие или другое
дополнительное уравнение.
455

Из решения уравнений первой группы определяются внешние
параметры системы и оптические силы линз, воздушные
промежутки, выбираются марки стекол. Все уравнения составляются
при определенной нормировке первого и второго параксиальных
лучей для приведенного фокусного расстояния (f'=l).
Во вторую группу входят уравнения, зависящие от внутренних
параметров — внутренних углов первого параксиального луча,
определяющих форму линз, поскольку внешние параметры
определены из уравнений первой группы:
1. Уравнение исправления сферической аберрации Si = 0.
2. Уравнение исправления меридиональной комы Sn=0.
3. Уравнение исправления астигматизма Sm=0.
4. Уравнение исправления дисторсии Sjv = 0.
Из решения уравнений (1—4) определяют внутренние
параметры системы.
При расчете новой ранее неизвестной системы суммы Зейделя
приходится приравнивать нулю. Для уже рассчитанных ранее
систем часто известно число, к которому следует приравнять ту
или другую сумму для компенсации аберрации высших порядков
или аберраций, которые появляются при переходе к линзам
конечной толщины.
Например, для двухлинзового склеенного объектива Si=(10-r-
-i-20)1-^-1 , где т = —, что необходимо для компенсации
сферической аберрации высших порядков. Для компенсации сферохрома-
тизма принимают St хр = 0,1 1-^-1 , где т = 0,7-2".
Для решения полученных алгебраических уравнений
необходимо, чтобы число свободных параметров (радиусов кривизны)
соответствовало числу исправляемых аберраций и конструктивных
условий, т. е. числу составленных уравнений. Если число
уравнений больше числа свободных параметров, то в качестве
свободного параметра можно использовать комбинации марок
стекол (оптические постоянные стекол) или иногда оказывается
возможным пренебречь исправлением одной из аберраций.
Если число уравнений меньше числа свободных параметров,
т. е. имеется лишний параметр, то надо принимать
дополнительное условие. Можно составить уравнение для исправления какой-
либо аберрации в целях улучшения качества изображения или
использовать уравнение для улучшения конструкции. Например,
для трехлинзовых объективов с небольшим углом поля в
качестве дополнительного уравнения принимают равенство одной из
оптических сил определенному значению, позволяющему уменьшить
аберрации высших порядков, и т. п. Можно также упростить
конструкцию.
Добавляя новые условия, надо иметь в виду их
осуществимость и целесообразность. Например, нельзя написать в качестве
дополнительного условия 5j у= 0.
456

§ 160. Особенности расчета исходного варианта систем
с небольшим углом поля
В данном параграфе в основном рассматривается расчет
компонентов с небольшим углом поля и относительным отверстием
до 1 : 3 *, когда для расчета достаточно эффективно можно
использовать теорию аберраций третьего порядка систем с бесконечно
тонкими компонентами. Такие оптические компоненты встречаются
при разработке зрительных труб, некоторых типов
фотообъективов, оптико-электронных приборов, контрольно-измерительных
приборов, микроскопов с небольшой апертурой.
В начале расчета компоненты можно принять бесконечно
тонкими и применить к ним теорию аберраций третьего порядка.
Исходный вариант, рассчитанный алгебраическим методом, в
большинстве случаев весьма близок к оптимальному. Незначительная
коррекция позволяет получить систему с хорошим качеством
изображения.
В системах с небольшим углом поля расчет исходного варианта
ведется из условий исправления хроматизма положения,
сферической аберрации и меридиональной комы. Остальные аберрации
практически не влияют на качество изображения.
В результате составляют четыре уравнения: уравнение
масштаба и три уравнения исправления аберраций:
1. Уравнение масштаба tp=l.
2. Уравнение исправления хроматизма положения
*
Si хр = 2j ЛчС„ = 0.
3. Уравнение исправления сферической аберрации
к
Si = £ ЛЧЯ, = а.
4. Уравнение исправления меридиональной комы
k к
Six = £ y-.P-.-l S W4 = Q,
V=I v=l
где v — номер поверхности. Как уже отмечалось, уравнения (2—4)
приравнивают к нулю или небольшой величине для компенсации
аберраций высших порядков. Расчет проводится при приведенном
фокусном расстоянии (f = 1).
Из уравнений (1—2) определяются оптические силы линз
компонента и, следовательно, внешние параметры системы, из (3) и
(4) — внутренние параметры системы — углы а первого
параксиального луча с осью в стекле.
Для подавляющего большинства рассматриваемых систем
уравнение (4) является линейным относительно внутренних параметров,
* Слюсарев Г. Г. Методы расчета оптических систем. М.,
Машиностроение, 1969.
457

а (3) — квадратным. Из двух решений уравнения (4) выбирается
меньшее положительное с целью получения более благоприятной
формы линз и меньших аберраций высших порядков.
Отрицательные значения внутренних параметров, например угол а% в первой
линзе компонента, определяющий ее форму, приводят к менее
благоприятной менискообразной форме линз. Уменьшение величины
внутренних углов а, вызывает увеличение радиусов кривизны, что
ведет к уменьшению углов падения лучей на поверхностях,
следовательно, к уменьшению аберраций высших порядков.
Для случая бесконечно удаленного предмета для компонента из
нескольких линз с бесконечно малыми расстояниями между линзам»
уравнения (2—4) с учетом нормировки первого параксиального луча
(«I = 0, h\ — f — 1, а* —1, / = —1, h\ = hi = ... = hk)
преобразуются к виду
<pi + 92+ • • .?< = 1; (25-0
>1 хр
Е-Г5 (252)
Sr = £ P. = P- =a; (25.3)
v=l
k k
Su = ]£ У*Р* + £ tt^ = 0. (25.4)
Если входной зрачок совпадает с бесконечно тонким
компонентом, что характерно для объективов зрительных труб, то (25.4)
принимает вид
k
Su =S W*=*W-=0. (25.5)
В этом случае в соответствии с нормировкой второго
параксиального луча
pi = l, yi~aD=0, г/, = г/2 = ... = ук = 0.
В случае предмета на конечном расстоянии необходимо учесть
нормировку первого параксиального луча и соответствующим
образом преобразовать аберрационные уравнения. Можно сделать
переход от параметров Р, W к основным параметрам Р°°, W" и
расчет производить для объектива, работающего с конечного
расстояния.
Расчет исходного варианта в учебной практике можно
производить с программированием на малых электронно-цифровых
машинах типа «Наири», «Электроника» или в случае расчета
отдельных вариантов на калькуляторах. Для контроля правильности
(решения и составления аберрационных уравнений рекомендуется
вычислить значения сумм Зейделя Si и S2, используя полученные
значения углов а из решения уравнений, и проверить их равенство
заданным численным значениям.
458

Определение радиусов кривизны бесконечно тонкого
компонента. Из решения уравнений (25.1) — (25.5) определяются все
неизвестные параметры — углы а, что дает возможность вычислить
радиусы кривизны бесконечно тонкой системы при фокусном
расстоянии /'=1.
Для контроля правильности определения радиусов кривизны
целесообразно рассчитать ход параксиального луча с расстояния
S] = —со и вычислить фокусное расстояние по формуле
В случае предмета на конечном расстоянии также
рекомендуется рассчитать параксиальный луч с конечного расстояния и
определить линейное увеличение
*-rif-A.
Если расчет проводится для двух решений уравнений, то
выбирается вариант системы с максимальными значениями радиусов
кривизны, что приводит к уменьшению углов падения лучей на
поверхностях системы. Для этого варианта проводится контроль
вычислений.
§ 161. Переход к линзам конечной толщины
Полученные радиусы кривизны поверхностей обеспечивают
заданные значения оптических характеристик системы (увеличение,
фокусное расстояние, поле, длину прибора и т, п.) только для
бесконечно тонкой системы.
Переход к системе линз конечной толщины производится при
условии сохранения значений фокусных расстояний всех
компонентов и углов первого параксиального луча с оптической осью.
Кроме того, расстояние между задней главной точкой каждого
компонента и передней главной точкой следующего компонента
остается равным расстоянию между двумя бесконечно тонкими
компонентами.
Расстояние от входного зрачка до передней главной плоскости
первого компонента принимается равным расстоянию входного
зрачка до первого бесконечно тонкого компонента.
Благодаря этому оптические характеристики системы остаются
неизменными.
При таком переходе сохраняется неизменность значений
основных параметров Р°°, W ~", зависящих только от углов а и
показателей преломления п сред. Однако суммы Зейделя не остаются
без изменения, так как для реальной системы высоты h и у обоих
параксиальных лучей изменяются- Для рассматриваемых систем
эти изменения несущественны.
459

Последовательность перехода к реальным линзам такова:
1. Определяются световые и полные диаметры линз.
2. Вычисляются толщины линз и величины воздушных
промежутков.
3. Рассчитываются ьысоты первого параксиального луча для
системы с заданным фокусным расстоянием.
4. Определяются радиусы кривизны поверхностей линз
конечной толщины и проводится конт-
-~~j роль вычислений.
5. Определяются расстояния
между вершинами поверхностей
компонентов, расположенных на
конечном расстоянии друг от
друга.
Определение световых и
полных диаметров компонентов. Для
,„ „ определения световых диаметров
Рис. 210. Определение световых диа- компонентов в общем случае
неметров компонентов оптических систем , ^ J „
обходимо рассчитать апертурньги
и полевые лучи — верхний,
главный и нижний через бесконечную тонкую систему. Максимальная
высота падения какого-либо из лучей на каждый компонент и
определит световой диаметр.
В случае бесконечно удаленного предмета световой диаметр
компонента £>св (рис. 210) определяется следующим образом:
DCB~D + 2аР tg со,
где D — диаметр входного зрачка; ар— положение входного зрачка
относительно бесконечно тонкого компонента; ш—половина угла
поля.
В случае предмета на конечном расстоянии и ничтожно малом
поле
Dc„ = 2oitgoA = ;D-f 2а„ -\goA,
где сд — величина апертурного угла в пространстве предметов.
Для малых апертур sin од — tgaA = Л, поэтому Dcp = 2a\A.
В общем случае для предмета на конечном расстоянии при
линейном поле 1у световой диаметр DCb определяется следующим
образом:
Dcn =.- D + 2ft,
где, как видно из рис. 210
—а.
-а, + ав
D
+ У
<)■
тогда
Dc
D
а„ (D + 2у)
-а, + а,
460

Если входной зрачок совпадает с компонентом, то ар = О, DCB —
z=D. Полный диаметр линзы
Dn = DCB + Ь,
где i _ припуск на закрепление линзы в оправе.
Рекомендуемые величины 8 в зависимости от светового диаметра
приведены'в табл.1(ОСТ 3-490-71).
Таблица 1
#CB
свыше
6
10
18
до
6
10
18
30
а
закаткой
0,6
0,8
1,0
1,2
1
КОЛЬЦОМ
1,0
1,5
1,8
^св 1
свыше
30
50
80
120
ДО
50
80
120
180
закаткой
1,5
2,0
кольцом
2,0
2,5
3,0
4,0
Примечание. Табличные размеры следует увеличивать до ближайшего нормального
диаметра. В исключительных случаях для линз диаметром свыше IS мм допускается уменьшение
табличного размера до ближайшего нормального диаметра, но не больше, чем на 0,5 мм.
Определение толщин линз и воздушных промежутков.
Вначале необходимо определить радиусы кривизны бесконечно тонкой
системы при заданном фокусном расстоянии, для чего надо
умножить полученные ранее радиусы кривизны бесконечно тонкой
системы при приведенном фокусном расстоянии на реальное
фокусное расстояние:
гг=гч/.
По этим значениям радиусов кривизны можно определить
толщины линз.
Толщина линз определяется с учетом конструктивных
особенностей. Она должна обеспечивать в наиболее тонком месте
линзы — на краю отверстия для положительной линзы и в центре — для
отрицательной (рис. 211) значение не менее dmln, что необходимо
для достаточной прочности линзы. Слишком тонкие линзы при
полировании прогибаются, что делает невозможным получение
точных поверхностей и центрировку.
Величина dmm зависит от диаметра линзы и отчасти от условий
применения. Для отрицательных линз толщина по оси
принимается равной
d = dml„ =(0,1-*-0,l2)Du.
ОСТ рекомендует значения dmm для отрицательных линз
(табл. 2) и для положительных линз (табл. 3).
Толщину положительных линз следует вычислять, принимая во
внимание рекомендуемое значение dm-m по краю линзы.
Обозначим через ^стрелки прогиба поверхностей линзы (рис. 212),
тогда толщина линзы d, как видно из рисунка,
d = k\ +dmin — k2;
стрелки прогиба /г, следует подставлять со своими знаками.
461

Диаметр
линзы
DIP мм
До 50
Свыше 50
Та
блица 2
Наименьшая толщина линзы но оси
при допуске ДЛ? (местные ошибки)
до 0,5
полосы
0,12
0.1
свыше 0.5 J свыше
до 2 полос J 2 полос
0,1
0,08
0,08
0,06
dxr\rrd
рис. 211. Расчет толщин линз
Стрелку прогиба поверхности легко
определить из чисто геометрических
соображений. Как видно из рис. 213,
k = 0M=r — МС,
где
МС
-V-
4
Таблица 3
Диаметр линзы
Dn мм
До 6
Свыше 6 до 10
Свыше 10 До 18
Свыше 18 до 30
Наименьшая тол-
по краю, мм
1,0
1,2
1,5
1.8
Диаметр линзы
1 Dn, ни
Свыше 30 до 50
Свыше 50 до 80
Свыше 80 до 120
Свыше 120 до 180
Наименьшая
толщина линзы
по краю, Л|М
2,0
2,5
3,0
4,0
Для положительных радиусов кривизны стрелка прогиба
* = г-.|Л8—?-•
для отрицательных радиусов кривизны
k
= '+/'
4
Если г > Dn, то стрелку прогиба можно вычислить по
приближенной формуле:
*-£
R 8л '
Следует помнить, что нормы, приведенные в таблицах, не
всегда обеспечивают достаточной прочности линзы. При больших
радиусах кривизны линза по форме напоминает
плоскопараллельную пластинку, и в этом случае необходимо учесть дополнительное
условие:
d = (0,lH-0,12)Dn.
462

Опредеienue воздушных промежутков между линзами. Во многих
компонентах воздушные промежутки в начале расчета принимаются
бесконечно малыми. При переходе к реальной системе важно
правильно выбрать величину воздушного промежутка.
В зависимости от конструкции линз могут представиться два
случая: «касание» линз по центру или по краю, Это означает, что
при максимальном приближении друг к другу линзы соприкоснутся
или краем поверхности, или вершинами (центром).
Рис. 212. Опреде- Рис. 213. Расчет стрелки Рис. 214. Определение
ление толщины по- прогиба сферической поверх- воздушного промежутка
ложителыюй линзы ности между линзами
В случае «касания по центру»(рис. 214, а) воздушный промежуток
следует выбирать возможно меньшим (dB.np = 0,l—0,2 мм), чтобы
как можно меньше нарушить исходное предположение о бесконечно
малом расстоянии.
При «касании по краю» (рис. 214, б) необходимо рассчитать
толщину образовавшейся положительной воздушной линзы, принимая
dmin = 0,1 —0,3 MM.
Расчет высот первого параксиального луча. Расчет проводится
при условии, что первая высота равна реальному фокусному
расстоянию: h\—f, а\ = 0, ад=1. Остальные высоты определяются
и.-вестным образом:
/iv-и = я,—d»av_(-i.
Значения углов а первого параксиального луча определены из
решения аберрационных уравнений.
Определение радиусов кривизны линз конечной толщины. Для
сохранения фокусного расстояния системы при вычислении радиусов
кривизны сохраняются углы первого параксиального луча с
оптической осью:
М", —",)
где h, — высоты первого параксиального луча, вычисленные в
предыдущем пункте. Для контроля вычислений рассчитывается
463

ход параксиального луча из бесконечности н определяется
параксиальное фокусное расстояние.
Для систем, действующих с предметом, расположенным на
конечном расстоянии, необходимо определить расстояние
st—положение предмета относительно первой поверхности системы: Si=
= ai+s„.
Положение передней главной плоскости определяется из
расчета параксиального луча из бесконечности в обратном ходе.
Затем с расстояния S[ рассчитывается ход параксиального луча и
определяется линейное увеличение системы, которое должно быть
равно заданному.
Приведенный метод перехода к реальной системе одинаково
применим к системам при si = — со и в\Ф —со в предположении, что
при si Ф —со система рассчитывается при вычисленных значениях
Р~ и W°°, т. е. фактически равноценна по параметрам системе при
S\ = —со.
Для предмета на конечном расстоянии возможно использовать
и другой способ, который достаточно эффективен при простой
конструкции компонента. Особенности перехода заключаются в
следующем:
после определения радиусов кривизны бесконечно тонкой
системы при приведенном фокусном расстоянии рассчитывается ход
параксиального луча с конечного расстояния и вычисляются углы
первого параксиального луча:
av = —, «i =aipo,
av
где ai==^o в соответствии с нормировкой 1-го параксиального луча.
После известного определения светового и полных диаметров
и толщин линз определяется расстояние s\ — а\ + s„.
Для этого рассчитывается в обратном ходе параксиальный луч
из бесконечности, причем радиусы кривизны принимают равными
/•„ = r»mH,/' и берут во внимание вычисленные толщины линз.
Из расчета в обратном ходе определяют
S„' — sF' — / , S„' — — sH-
Затем вычисляют высоты первого параксиального луча,
принимая, что h\ = sjpo. и наконец определяют известным образом радиусы
кривизны поверхностей реальной системы. Контроль вычислений
проводят расчетом хода параксиального луча из бесконечности для
контроля фокусного расстояния и с конечного расстояния для
проверки линейного увеличения.
Определение расстояния между компонентами, расположенныли
на конечном расстоянии. В ряде случаев оптическая система сое
тоит из нескольких многолинзовых компонентов, расположенные
на конечном расстоянии друг от друга. Расчет подобных систем
проводится по Компонентам.
464

Для сохранения фокусного расстояния всей системы
необходимо определить расстояние между компонентами, считая, что
расстояние между задней главной точкой первого компонента и
передней главной точкой второго компонента равна расстоянию между
двумя бесконечно тонкими компонентами (рис. 215).
Особые случаи перехода к реальным линзам. Иногда при
расчете линз необходимо учитывать
конструктивные условия.
Например, равенство радиусов кривизны,
определенные соотношения между
ними, одна из поверхностей
является плоской и т. п. Тогда при
переходе к линзе конечной толщины
для сохранения конструктивных
условий рекомендуется использовать
уравнение оптической силы линзы
Г = ф=(«-1)(
г2 П
Рис. 215. Определение расстояния
между компонентами телеобъектива
Радиусы кривизны реальной линзы определяют из решения
данного уравнения при известной толщине линзы и ее фокусном
расстоянии.
§ 162. Отдельная линза как оптическая система
Применение однокомпонентньос систем. Было показано (§ 77),
что однолинзовые компоненты обладают большими значениями
основных параметров Р|Г и W™ и поэтому имеют ограниченное
применение. Простую одиночную линзу можно использовать в качестве
оптической системы только в тех случаях, когда вследствие
особенностей системы или крайне низких оптических характеристиках
(малое относительное отверстие, малое поле) одиночная линза дает
удовлетворительное качество изображения.
Известно, что если простую линзу расположить в плоскости
изображения, создаваемого предшествующей системой, или в
непосредственной близости к этой плоскости (si =-- 0), то все аберрации
третьего порядка, вносимые линзой, будут равны нулю, за
исключением кривизны поля и дкеторсии. Кривизна поля, обусловленная
тем, что Siv = —рф0, и дисторсия, величина которой определяется
формулой \у'„ —-^-У-г \ (- ), имеют, как правила неболь-
2. t {Туп г2 nspj
шие значения*. Такая отдельная линза называется коллективом
* Применение более сложных оптических систем не приводит к
пенному улучшению качества изображения.
сущест-
465

и служит для концентрации расходящихся наклонных пучков
(глава 17, § 115). С помощью такой линзы можно также переносить
изображение выходного зрачка предшествующей оптической системы
в плоскость входного зрачка оптической системы, стоящей за
коллективом. Обычно коллективом служит положительная линза. Однако
введение положительных коллективов в сложные оптические
системы, которые сами по себе вносят заметную величину отрицательной
кривизны изображения, усиливает величину последней.
Английский оптик Пиацци Смит остроумно использовал
свойства коллектива для коррекции кривизны поля изображения,
создаваемого фотографическими объективами. Присоединив к
портретному фотографическому объективу Пецваля соответственно
рассчитанную отрицательную линзу и поставив ее вблизи
плоскости изображения, Смит устранил основной недостаток объектива
Пецваля — большую кривизну изображения.
В настоящее время линза Смита с большим эффектом
применяется в зеркальных и зеркально-линзовых объективах и позволяет
существенно увеличить их полезное поле. Так как зеркальные
объективы с нечетным числом отражающих поверхностей
обладают положительной кривизной изображения, то для ее
компенсации требуется положительная линза Смита. Кривизна поверхности
линзы определяется из условия Siyofi =0.
Простые линзы дают хорошее качество изображения при
относительных отверстиях порядка 1:15—1:30 и меньше. Аберрации
таких линз малы вследствие малого значения выходного апертур-
ного угла. Такие линзы можно использовать в качестве
объективов длиннофокусных коллиматоров, действующих в
монохроматическом свете, или в качестве менисков дешевых фотообъективов.
Одиночные линзы можно также использовать в качестве
компонентов в окулярах, где посредством правильного их
расположения можно исправить кому, астигматизм, дисторсию,
хроматическую разность увеличений (окуляры типа Рамсдсна и Гюйгенса).
Одиночная, специально рассчитанная линза, может служить
компенсатором монохроматических аберраций зеркальных систем. На
рис. 21G представлена оптическая схема зеркального объектива с
компенсатором Д. Д. Максутова (мениск Максутова), который
позволяет исправить в системе сферическую аберрацию и кому.
На рис. 217 изображена оптическая схема зеркального
объектива с асферическим зеркалом. В таких системах, имеющих
асферические поверхности, сферическая аберрация отсутствует, однако
меридиональная кома имеет значительную положительную
величину, что существенно ограничивает полезное поле таких систем.
Для исправления комы используют компенсатор комы В. Н. Чури-
ловского, представляющий одиночную линзу с равными радиусами
кривизны. Линза свободна от хроматизма положения и
сферической аберрации.
И, наконец, одиночную линзу используют в качестве
конденсора, с помощью которого можно либо спроектировать источник
света во входной зрачок приемной системы, или передать изобра-
466

жение выходного зрачка в плоскость приемника лучистой энергии
(линза Фабри).
Для первоначальной оценки величины продольной сферической
аберрации простой линзы можно пользоваться формулами:
а) для предмета на конечном расстоянии — Asm = — у-р-Ртт,
"" 1 Щ оо
б) для предмета в бесконечности — Asm = —-j-р-Р т\п-
Хроматизм положения удобно вычислять по формулам:
а) для предмета на конечном расстоянии — ksi^^—а" ъ
Г
,2 1
б) для предмета в бесконечности —As^x, = — -
tx,=0
Рис. 216. Зеркальный объектив с ком- Рис. 217. Зеркальный объектив с
компенсатором Д. Д. Максутова пенсатором комы В. Н. Чуриловского
Расчет однокомпонентнык систем на минимум сферической
аберрации. Оптические параметры простой линзы, как и всякой
оптической системы, можно разделить на внутренние и внешние. К
внешним параметрам относятся углы первого параксиального луча с
оптической осью в воздухе, т. е. углы а] и аз. Эти параметры
определяют фокусное расстояние линзы /', расстояние до предмета
s\, линейное увеличение (30.
К внутренним параметрам относятся угол <х2, определяющий
форму линзы (ее прогиб), и показатель преломления п. Эти
параметры определяют конструктивные элементы системы.
Свойства бесконечно тонкой линзы и ее основные параметры
были рассмотрены в § 77. Анализ формул (11.50), (11.52) показал,
что параметр W™ линейно зависит от угла а2 и может принимать
любые значения. При значении а2 = г- параметр W^ обращается
в нуль. Параметр же Р|Г является функцией квадрата угла а2. Он
может изменяться в широких пределах, однако имеет некоторый
минимум. Было показано, что для получения Р^т\ъ необходимо
467

dp;
найти первую производную ~— приравнять ее к нулю и
определить значение угла а2тт-
Расчет одиночной линзы на минимум сферической аберрации
выполним для двух случаев:
1. Предмет в бесконечности Si — —со (рис. 218).
Исходными данными для расчета являются /' — фокусное
расстояние линзы; j, относительное отверстие; 2ш — угол поля.
Рис. 218. Ход первого параксиального Рис. 219. Ход первого параксизль-
луча в одиночной линзе (Sj = — оо) ного луча в одиночной линзе (s^—о°)
Расчет выполняют при нормировке: ai = 0, а3 = 1, /' = 1,
полагая линзу бесконечно тонкой: d\ = 0, h\ = h2 = h = f = 1.
Значение угла a^min, обеспечивающего форму линзы с минимумом
сферической аберрации третьего порядка, вычисляют по формуле (11.62)
2п+ 1
a2min = 2(n-f 2) •
По известным значениям углов первого параксиального луча аь
яг, аз определяют конструктивные параметры бесконечно тонкой
линзы (ее радиусы кривизны, используя формулу расчета хода
первого параксиального луча
fivav — rtvav
h; К" nv)
тогда
Птн
t"2rn —
п
П1
— 1
1С '
^in in
1 — п
d<=-0, f' = l.
*2min
2. Предмет на конечном расстоянии — s\ Ф—оо
(рис. 219).
Если предмет расположен на конечном расстоянии от линзы, то
исходными данными для расчета являются: si — расстояние от
вершины первой поверхности до предмета, или L — расстояние от
468

предмета до изображения; р0 — линейное увеличение; Чу — линейное
поле.
При расчете линзу принимают бесконечно тонкой — d\ = О, h\ =
== h2 = h, а ее фокусное расстояние определяют из решения двух
уравнений:
а
3о
а.
Ч
тогда
J_ = J l_
f'\ a'i °i '
Принимают следующую нормировку первого параксиального луча:
сч = Р<ь аз = 1/ Л = ainpHB^i = а1привЗо
(так как расчет выполняется при /; = 1, то все значения ci и d
а, \
должны быть приведены к I, поэтому ainpHB = —, . Значение угла
hi
a2min определяют по формуле (11.60) a2min = -—2(п+2) тогда,
с учетом принятой нормировки, конструктивные параметры
бесконечно тонкой линзы определятся по формулам
о п — I
Г[тн — flliipHB^O ~~Z Б~>
rea2min~P0
г2тн = ainpHB^o -, — ; d\ = 0.
1 "" ""2171 in
Переход к линзам конечной толщины при найденных значениях
радиусов бесконечно тонких линз осуществляется по методике,
изложенной в § 161.
§ 163. Расчет конденсоров осветительных систем
Конденсоры являются осветительной частью проекционной
системы и служат для передачи и концентрации световой энергии
от источника света. Обычно конденсоры применяются для двух
целей:
1. Для образования изображения поверхности источника в
заданной плоскости (плоскости входного зрачка проекционной
системы в плоскости щели, экрана и т. д.). В этом случае апертура
конденсора 2aoxn определяется энергетическим расчетом, а
увеличение ^о — как отношение размеров освещаемой поверхности и
поверхности источника света.
2. Для передачи изображения выходного зрачка объектива в
плоскость приемника лучистой энергии. В этом случае апертура
должна быть равна выходной апертуре объектива, а увеличение
469

должно определяться как отношение размеров чувствительной
площадки приемника к диаметру выходного зрачка объектива.
Обзор существующих типов осветительных систем дан в § 135.
Здесь мы дадим расчет некоторых типов диоптрических
осветительных систем.
Рациональность применения того или иного типа конденсора
определяется требуемым углом охвата 20ОХв и увеличением р0.
Диоптрические осветительные системы (конденсоры), как
правило, имеют максимальный угол охвата не более 90°. Катадиоптри-
ческие системы и катоптрические системы сложного профиля
могут иметь угол охвата до 130—140°.
Остановимся на рассмотрении и расчете только диоптрических
систем-конденсоров. Конденсор должен создавать достаточно
хорошее изображение источника света, обычно расположенного
вблизи оптической оси, что прежде всего требует исправления
сферической аберрации AS' и отступления от условия синусов Др\-.Требо-
вание к исправлению аберраций должно быть соблюдено тем
строже, чем больше угол охвата конденсора (2ст0хв). Стремление
повысить угол охвата естественно, так как этот угол определяет
размеры телесного угла, в пределах которого от источника
распространяется полезно используемый световой поток, угол 2аохв
определяет КПД осветителя. Однако увеличение угла охвата ведет к
усложнению конструкции конденсатора, что связано с
возможностью исправления аберраций.
В зависимости от назначения конденсора и конструкции
прибора для его расчета принимаются следующие исходные данные;
линейное увеличение р0, угол охвата 2бохв, расстояние от первой
поверхности линзы конденсора до тела накала s\, размеры
источника света 2хХ2у.
Марки стекол задаются или выбираются в зависимости от
условий, в которых работает конденсор.
на
Расчет конденсорных систем
минимум сферической аберрации
Конденсор из двух линз (рис. 220). В конденсоре из двух тонких
линз неизвестными являются углы первого параксиального луча
с оптической осью а2, а3, а4. Углы ai и а5 по условию нормировки
задаются равными ац = (30, а5 = 1. Условие минимума сферической
аберрации для системы из двух бесконечно тонких линз можно
записать в виде
а)
jJPi±P£)_
da,
*2
б) -±JJ—1> = 0;
(25.6)
470

Из условия (25.6, а) в § 77 получено выражение для угла a2min
обеспечивающего форму первой линзы с минимумом сферичгско*
аберрации. Определим значение угла азшш из условия (25.6,6). Уго/
а3 относится к воздушному промежутку между линзами. Этот пр<-
межуток можно рассматривать как воздушную бесконечно тонкук
линзу с «з = 1, окруженную средами с показателями преломления
«2 и «4. Параметры Р2 и Р3 запишем в виде
Р2 =
(п3-\у
;(аз— а2)2 (п-27.3 — z2).
Рз =
К-'):
;(а4 — а3)2(а4 —-Л4а3).
Рис. 220. Ход первого параксиального луча в Двухлинзовом конденсоре (^э* —
Суммируя эти выражения, после соответствующих преобразо
ваний получим
Р2 + Рз =
ге2 \2
п2 — 1
п4-\
а3
■ —i _ia4 азЧ-
«4-1
"2(2га2+1)
("2-02
"2("2+2) 2 «4(ге4+2) 2
~ — 0.2 тг а4
(n2-Xf („«-I)»
а2'
а3 —
К-») ("4-1)'
а4.
d(P.2-\-P3)
Найдем первую производную -i—-j -, приравняем ее нулю
и определим значение угла азт|П:
^(Р2+Р3) г/ »- N2 ' "■ Ч2П
da.
(,-Ж^.ГР-2
ге2(2п2+ ')
L(«2->)2
а2 —
га4(2га4+ I)
- 3- *4
("4-1)2 'J
л2(ге2+2) 2 га4(га4 + 2)
(«4-1)2
гм
■2- ')
471
= 0. (25.7

Уравнение (25.7) представим в виде
аа3 — баз + с — О,
где
а = 3
Ь-2
П2 \2
га.>— 1
п4 VI
«<-1
я2(2я2+1) п4(2в4+1)
'--■ - ■.. /?п — ——______*_____
•Я2
а4
(«2-1)2 К'О2
п2(я2+2) 2 л4(л4+2) 2
В коэффициенты а, 6, с входят значения углов а2 и а4 и
показателей преломления п2 и я4. Если к материалу первой линзы не
предъявляются особые требования в отношении воздействия
температуры, то в большинстве случаев обе линзы изготавливают из
одной марки стекла. Тогда при условии, что пг = ni = п,
коэффициенты а, Ь, с будут равны
а = 0;
С учетом (25.8) (25.7) запишется в виде
(25.8)
2п(2п + 1), , . п(п + 2)/ 2 2\ Л
- -±-^ (., - .4) аз + —-г (а2 - ««) _ 0.
Тогда
«3min —
П+2Я2+ а4
2/1+1 2 *
Аналогичным образом найдем значение a^min для второй линзы
конденсора. Для этого определим
Рз = ; ^—а (а4 — «з)2 (л4 — П4аз),
(л4 — 1)
^4=7 гт(я5 — а4)2(л4а5— я4).
\П4 — 1)
После суммирования и соответствующих алгебраических
преобразований получим
Рз + Pi = г (as — a3) f —г-' (а5 — a3j а4 +
\n4 —V (л4 — 1^
, "4 («4 + 2)/ v 2
+ 7£^~f (а8"~а8)в4'
472

Найдем
rf(P3+P4) «4(2«4+1)/ 2 24 , 2«4(п4 + 2)
~^г- = - -j^nf " "к3>7~(а5"аз) аА
<^з+Р4) ~
и из условия минимума -i—з ~ 0 определим значение угла
34Л11П-
то
2л4+ I ак+ °Ч
«ЧтШ - я +2 —§ ТЙК КЭК "2 - «4 = Л>
_ 2/1 + 1 а5 + а3
a4min — "Х+2 2 •
Рис. 221. Ход первого параксиального луча в трехлинэовом конденсоре (s^ — «д
С учетом принятой нормировки углы первого параксиального луча
с оптической осью для системы линз, рассчитанных на минимум
сферической аберрации, будут равны:
а2 =
аз
04
2/t+l аз + ai,
я + 2 2 '
n+2a2+g4. .
2n + 1 2 '
2n -f 1 as +■ «я
(25.9)
га-}-2 2
Конденсор из трех линз (рис. 221). Для трехлинзового
конденсора неизвестными являются углы а2, «з, «4, «s. <*s первого
параксиального луча. Значения углов Я] и а7 по условию нормировки
принимают равными оц = [Зо, <Х7 = I. При расчете конденсор считают
бесконечно тонким:
di = di = d3 == d4 = cfe = 0;
/l) = h.2 = ЙЗ = ^4 = As ■= Ae = h = ainpHB»! — «InpHB ' Po-
473

Значения углов а2, ..., as определяют из условий минимума
сферической аберрации, которые запишутся-
*(Р»+Ра)_.0.
dan
ЧР2+Р3)_п.
. —. и,
da.
^4+^)
da.
0;
ЦРь+Ръ)
daR
= 0.
(25.10)
Выражения для углов <х2, аз, а4 уже определили при расчете двух-
линзоього конденсора. Аналогичным образом найдем выражения для
углов а5 и а6. Для трехлинвовой системы при условии, что все
линзы выполнены из одной марки стекла, т. е. п? = П4 = п6 = п,
получают следующую систему уравнений:
а]
а?
аз =
as =
2/t+l аз+ °1.
п+ 2 2 '
л 4- 2а2+ а4.
2я -f 1 2 '
2я + 1 аз + ";>.
п+2 2 *
аб
а7
2л 4- 1
2га + 1а7
«4-2 2
1.
(25.11)
Проанализируем формулы (25.9) и (25.11). В формулах (25.9) имеется
три уравнения с тремя неизвестными — а?, аз, а4; в формулах (25.11)—
пять неизвестных аи, а3, *4. аэ. «о. При решении уравнений (25.9)
и (25.11) все промежуточные значения углов а„ выражают через
известные величины углов ai и а* и после соответствующих
преобразований с учетом-нормировки получают:
Для двухлиизового
конденсора:
at = Ро
2п л. 1 3?0 + I
Для трехлинчовсго
конденсора:
а, — р0;
2га + 1 ь$п + ',
га + 2 6 '
a 2
474

2?о + 2 Ро+1 4?0+2 2?0 + 1
аз ~~ ;— ~ —^—: ач ~ — = — •
4 2 ' 3 6 3 '
2га + 1 ?о + 3 __ 2п+ 1 3f<0+ 3
4 ~" «+2 4 • Я4*~Т+2 6~;
«s=l. 2f)0 + 4 ^0 -Ь 2
а5 =
а«
6 ~ 3
2я + 1 Р0 + 5.
я+2 6 '
а7= 1.
Анализ вышеприведенных формул позволяет составить общее
выражение для вычисления углов а систем, состоящих из / тонких
линз. Если обозначить через i порядковый номер угла а, то для
четных углов (внутренних параметров) запишем
2В+цы-<'-1)]Зо + е-1) ,
где i = 2, 4, 6 21.
Для нечетных углов (внешних параметров):
[2/-<*-1)1 р0+ </-!)
o.i= 2Г '
где i = l, 3, 5, ..., (21—1).
Поэтому для четырехлинзового конденсора, линзы которого
изготовлены из одной марки стекла («2 = «4 = п{> = пА = п), можно
записать:
«1 = ро;
2я+ 1 7р0+ 1
1Х2
«3
сц
о-ъ
0&
0.7
а8
я
=
=
=
=
=
=
ге + 2
6?0 + 2
8
2га + I 5
га + 2
4?п + 4
8
8 *
330 + 1
4 '
^0+3
8 '
2 *
2ге +■ 1 3,В0 + 5_
п + 2 8 '
2(J0+G
8
2га + 1 Р(
п+2
1.
Ро + 3.
4 '
) + 7
8 '
Зная значения углов <х„ радиусы бесконечно тонких линз
конденсора определяют по формуле
fry ("> ~ "у)
7\тн —
re а
475

и так как при расчете линзы принимались тонкими, то
h\ = иг = Лз =■- - • • = hk = а1привОЧ = а1привро
Пти = а1привРопа2_?о d( = 0(
_ q 1 —п
г2тн - оiniWo аз _ na2 ^ = 0(
_ 1-я *-J = °-
Finn — ^1привР0 I
Для предмета в бесконечности (s\ — — <х>)— а\ = О,
а* = 1 формулы (25.12) примут вид:
а) для внутренних углова; =-j^-jj-^-;
'-' (25.13)
б) для внешних углов а< = -27~- j
Применяя формулы (25.13) для вышерассмотренных систем,
найдем: для одиночной линзы:
оч =0;
2/i+ 1
для двухлинзовой
для трехлинз овой
-*_2(п + 2)'
а3 = 1,
системы:
оч =0;
2/1+1
012 4(п + 2)*
1
аз =у;
_ 3 /2ii+lV
"4 4U + 2/'
Я5 = 1.
системы:
си =0;
1 2я + 1
2 6 « + 2'
1
*4 2 я+ 2*
476

а5 = т,
5 2n-f 1
0-7 = 1.
а радиусы бесконечно тонких линз вычислим по формуле
/*VTH — ' '
так как ftj = h2 = Лз
<5"
.. =А* = Л = ] при /' = 1.
«:,=£>,
Рис. 222. Ход первого паргксиального луча
в двух- и трехлинзовом конденсорах из лииз,
рассчитанных на минимум сферической
аберрации (Sx = — оо)
Рис. 223. Оптическая схема
четырехлинзового конденсора,
состоящего из линз,
рассчитанных на минимум сферической
аберрации {st = — °°)
На рис. 222, 223 представлены оптические схемы двух-, трех-,
четырехлинзовых конденсоров, работающих при s\ = —оо и
выполненных из одной марки стекла.
С тем чтобы рационально выбрать марку стекла линз
конденсора, можно воспользоваться условием минимума сферической
аберрации. А именно, надо значения углов а=/(п) подставить в вы-
ражение для \^ .Pmin = \^ (-АЛ \^-г\ и вычислить значение по-
Zj
№?*'
казателя преломления, соответствующее SPmin = О-
Расчет двухлинзовых конденсоров
различных конструкций
Двухлинзовые конденсоры из двух плосковыпуклых линз.
Оптическая схема конденсора представлена на рис. 224.
Известно, что одиночная плосковыпуклая линза имеет минимум
сферической аберрации тогда, когда она выпуклой поверхностью обращена
к бесконечности. Поэтому конденсор из двух плосковыпуклых линз
рассчитывается из условия того, что между линзами, обращенными
ДРУГ' к другу выпуклыми сторонами, идет параллельный пучок
лучей. Оптическая сила такого конденсора равна оптической силе
477

однолинзового конденсора, однако аберрации такой конструкции
е несколько раз меньше, чем в однолинзовом конденсоре.
Чтобы между линзами проходил параллельный пучок лучей,
необходимо, чтобы ai =fl, й2 = (2. Так как линейное увеличение
в параксиальной области р0 = —/а//!, то f'% = — ?o/i. Известно та» же
что сра = Л = (п — 1) (pt ~ Р») + (" ~ ° ^PvP» тогда для
плосковыпуклой бесконечно тонкой линзы запишем:
1
cpj = —; =(п — 1)(—pi), так как р! = — = О,
<р2 = —; = (п — 1)р2> так как Рг = —
fs 4
/?7=/
0.
Рис. 224. Расчет исходного варианта двухлинзового конденсора из двух
плосковыпуклых лииз
Зная марки стекол линз конденсора, для бесконечно тонких линз
получим значения радиусов:
Г\ = со
Г2 = — Л (Я— 0
гз = Ып —1)
Г 4 = со
«1 = 1
d,=0 гс3 = 1
d3=0 гс4 = п
«5 = Ь
Двухлинчовые конденсоры из апланатического мениска и линзы,
рагочитанной на минимум сферической аберрации. В конденсорах
большой апертуры (2*охв до 75°) для уменьшения сферической абер-
478

рации последующих линз в качестве первых линз используются
апланатические мениски. Известно (§ 81), что апланатические т
ниски свободны от сферической аберрации для любых значени£
апертурных углов и в них выполняется условие синусов. Из апль
натических менисков в конденсорных системах больше всего подхо
дят положительные мениски, в центре кривизны первой поверхнос™
которых располагают тело накала источника.
»-с --4Л—лв^—. 1—
Рис. 225. Расчет исходного варианта двухлинзового конденсора, состоящею и:-
апланатического мениска, и линзы, рассчитанной иа минимум сферической абег-
рации
Оптическая схема конденсора представлена на рис. 225. Так каь
источник расположен в центре кривизны первой поверхности, тс
П =sj =S]' и луч проходит чту поверхность без преломления.
Вторая поверхность апланатичца при условии, что n2s2 = n2s2. Для ci-
стемы, расположенной в воздухе, п2 — I, n2s2 = s2 и %\ =/г2. Аплг-
иатическая поверхность должна удовлетворять равенству (4.43):
"+«2
s2 = r2—-—;
S2= гг-
откуда
г? =
>2«2 (si-al)"2
Значение радиуса второй поверхности мениска и его толщин^
можно определить из решения двух уравнений, предварительж
определив диаметр мениска и стрелку прогиба на первом радиусе
k) =Г) +
|А-(¥)'•
479

гДе kx — стрелка прогиба,
£>пол = £>св + 5 = 2/-| sin аохв + 8,
d\. = k\ + ^min— k2.
Запишем эти уравнения:
£2 = /-2+l/ г!-[°пол
г2
V
\Sl—d\)n2
(25.14)
п2+ .
Решая совместно уравнения (25.14), получают квадратное
уравнение относительно г2. Из решения уравнения получают два корня
(r2)i и (г2)2. Из двух значений оставляют отрицательное значение,
а если оба корня отрицательные, то оставляют большее значение
по абсолютной величине. Вычисляют стрелку прогиба на втором
радиусе кч, толщину мениска d\\ затем толщину округляют и при
новой округленной толщине пересчитывают радиус второй
поверхности мениска по формуле
s\—dx
После определения конструктивных параметров апланатического
мениска переходят к расчету второй линзы. Ее рассчитывают иа
минимум сферической аберрации. Для этого определяют линейное
увеличение второй линзы по формуле j3o2 = iVf*oi. Затем из расчета
параксиального луча через первую линзу определяют отрезок S2.
Задавшись расстоянием d2 между первой и второй линзами,
определяют отрезок аз = S2 — d2. Значение угла а2 = аз вычисляют из
sina,
условия 8о! = 7 = «2- Итак, для расчета второй линзы на мини-
sin з2
мум сферической аберрации получили исходные данные — отрезок аз
и ее увеличение. Расчет второй линзы выполняют при следующей
нормировке: ои — j3o2. <Х5 = 1. h% — a$$2. Значение угла а.
4m in ВЫ"
числяют из условия минимума сферической аберрации линзы
_(2"4+')(Ро2+')
<X4m!n— 2(2+Я4)
По известным значениям углов первого вспомогательного луча
вычисляют радиусы бесконечно тонкой второй линзы конденсора:
п4 — п3 пА — 1
ГЗтн = ОзРо2 „ г, . _ „.,.. = а^02 I
'3*3 ,14а4~^02
1 —П.
г4тн = азро? — —— = ДзРо21 —-
ляа5 — п4а4 ' 1 — пАаА
" d%\&2<=U2—(ifi)2] — расстояние от второй поверхности апланатического
мениска до передней главной плоскости второй линзы.
480

Переход к линзам конечной толщины осуществляют по
методике, изложенной в § 161.
§ 164. Формулы расчета продольной и поперечной
сферической аберрации третьего порядка.
Определение диаметра наименьшего кружка рассеивания
Для всех рассмотренных выше типов конденсоров на основании
формул теории аберраций третьего порядка можно определить
величину сферической аберрации и диаметр наименьшего кружка
рассеивания.
Для однолинзового конденсора, рассчитанного на минимум
сферической аберрации, продольная сферическая аберрация Asm может
быть определена по формуле
2
^Slll = —y-g—Pmin = —-jj-tflPota) Pmin»
где
p»in = gt я, = (^rf)2 (i — Po) [(i ~ /0 P? +
+ (l_2K)po+ (!-*)]. K = -£rfA-
Поперечная сферическая аберрация в плоскости Гаусса
определяется как
|2Д^ш| =2AS['[[a2 = #lPo(.<32) Pmln =*ai p^min-
В плоскости наименьшего кружка рассеивания, смещенной от-
3 *
носительно гауссовой плоскости на величину -^-Asm, диаметр
наименьшего кружка рассеивания в 4 раза меньше, чем в плоскости
Гаусса, а именно:
з
2Д6""пл.н.у=Та1Р°(а2' Pmln =Та'Р min-
"о
Для двухлинзового конденсора из двух плосковыпуклых линз
сферическая аберрация будет равна
Asui = Asint р| 4- Asa ,
где Asm, = —~f~?P* — продольная сферическая аберрация первой
1 т2*-
1 т2-*
линзы, рассчитанная в обратном ходе лучей; Д?ш, = — -н--;^2'
1 к
продольная сферическая аберрация второй линзы.
16 1.446 481

Для плосковыпуклой линзы в воздухе при s\ ——со со стороны
м3 9и^ —I- 9
выпуклой поверхности Р —
-J—, и так как Н\
'2
2Дг/п, = т292Р [1 + Ро] °\ = яг3<р|Р [1 + Ро];
р,=Р2 = Р, то
2Ду
ш
1 ~.3 2
пл.н.у
■>1?|Р (1 + Ро)
Рис. 226. Графический способ
определения положения плоскости наилучшей
установки
= |flia?<p?P(l + pg).
Для конденсора из аплана-
_о , тического мениска и линзы,
S| Js(?"rf рассчитанной на минимум
сферической аберрации,
продольная сферическая аберрация
определяется только второй
линзой, так как первая
линза — апланат и поэтому не
вносит сферической аберрации и
комы. Тогда
Asin = — -ja3$02O4 Pmin,
|Де
Лит = (я-^j)2(1 - Poj)[(1 -*)Р§2 + (1 -2К)роа + (1 -К)];
<2n+l)2 .
к =
4п (2 -t- п) '
2Дг/ш = азРог {?*) Рты = г? азр
min-
02
Часто бывает целесообразным вычислять величины продольной
и поперечной сферической аберрации точным тригонометрическим
путем. В этом случае рассчитывается ход параксиального и
действительного лучей на зоне (0,7aj) и крае (at) отверстия.
Из расчета лучей получают:
AsKp = sKp — s\ by = ks'KVtga'KJ>;
ДЯэон = Ssoh — S , Д</ = Дваои tg a4oni
а положение плоскости наименьшего кружка рассеивания и его
величину определяют графически. Для этого по оси абсцисс
откладывают значения продольной сферической аберрации для зоны и края
отверстия (точки А\ и А2), а по оси ординат откладывают значения
482

кружков рассеивания в плоскости Гаусса (точки В\ и В\, 5г и В?)
соответственно.
Точки Ль В\ и А\, В\,а также точки А%, В2 и Л2, В2 соединяют
прямыми линиями, находят точки их пересечения точки С и С".
Через точки С и С проводят линию. Отрезок ОК соответствует
сферической аберрации в плоскости наилучшей установки, CCf —
величина кружка рассеивания в этой плоскости (рис. 226).
§ 165. Расчет линзовых объективов
с небольшими угловыми полями
Линзовые объективы с небольшим угловым полем
При проектировании оптических систем одним из самых
сложных и важных вопросов является правильный выбор конструкции
всей системы и отдельных компонентов, имеющих заданные
значения оптических характеристик: фокусного расстояния,
относительного отверстия, углового поля. Для этого надо хорошо знать
аберрационные возможности объективов разных конструкций и
предельные значения их оптических характеристик.
В оптических системах с небольшим угловым полем часто
применяются компоненты, состоящие из небольшого числа линз, так
как они обеспечивают вполне удовлетворительное качество
изображения. Эти объективы различного назначения, коллективы,
оборачивающие системы. Сложные многолинзовые системы
встречаются чаще всего в фотографических объективах, объективах
микроскопов и в широкоугольных окулярах.
При выборе конструкции объектива надо принимать во
внимание и экономическую сторону вопроса. Теоретически всегда можно
рассчитать сложную систему, включающую асферические
поверхности, и тем самым получить хорошее качество изображения при
больших относительных отверстиях и углах поля. Однако такие
системы чаще всего не имеют практической ценности из-за трудности
их изготовления, сборки и дороговизны.
При расчете систем также необходимо обращать внимание на
обоснованный выбор оптических материалов и лишь в
исключительных случаях применять дорогостоящие марки стекол и
оптические материалы.
Для того чтобы рассчитать сложную оптическую систему,
необходимо хорошо знать свойства отдельных составляющих ее
простых компонентов, наиболее часто используемых в оптических
системах разного назначения. Особое внимание обратим на
рассмотрение компонентов, применяемых в зрительных трубах
геодезических приборов.
Двухлинзовый склеенный компонент. Двухлинзовый
склеенный компонент (рис. 227, а) применяется в качестве объектива
зрительной трубы, микроскопа, в оборачивающей системе,
окулярах, фотообъективах,

При возможности выбора марок стекол компонент имеет
достаточное число параметров (3 радиуса кривизны и оптические
постоянные стекол), позволяющих исправить любые аберрации треть
его порядка, кроме кривизны поля и иногда астигматизма.
Астигматизм нельзя исправить в системе, если входной зрачо*
совпадает с оправой бесконечно тонкого компонента.
Рис. 227. Оптические схемы объективов телескопических систем
Для двухлинзового склеенного компонента кривизна поля
определяется коэффициентом Пецваля %:
Ь , Ъ
но в соответствии о условием масштаба
тогда
% — cpi
\"1 "2/ "2
Для существенного изменения тг необходимо, чтобы ср2 было
очень большим, поскольку / ) < 0,05, а это приведет к
большим кривизнам.
В большинстве систем кривизну поля надо исправлять при
одновременном исправлении сферической аберрации и хроматизма
положения.
В этом случае, если
?i > 0, я2>«, и 9,(±_±)>0
<pi < 0, п2 < я, и tpi U- — ^j > 0.
484
и если

Поэтому в ахроматизованном двухлинзовом склеенном
компоненте коэффициент Пецваля я>0,65, обычно принимают я^0,70.
Чаще всего в компоненте исправляют сферическую аберрацию,
меридиональную кому и хроматизм положения.
При заданных марках стекол в компоненте возможно
исправить только две аберрации — сферическую и хроматизм
положения.
Двухлинзовые компоненты с различными фокусными
расстояниями целесообразно применять при следующих относительных
отверстиях:
Г D
Г
150 мм не выше 1 :4
до 300 мм 1:5
до 500 мм 1:6
до 1000 мм 1 : 10
Дальнейшему увеличению относительного отверстия
препятствуют быстро растущие аберрации высших порядков, особенно
заметно проявляющиеся на радиусе склейки, имеющем большую
кривизну.
Поле компонента не более 10-*-12° при малых фокусных
расстояниях, 7 ч-10° — при больших.
Трехлинзовый склеенный компонент имеет лишний параметр
по сравнению с двухлинзовым склеенным, что позволяет получить
более высокое относительное отверстие. До настоящего времени
аберрационные свойства этих компонентов недостаточно изучены.
Трехлинзовые склеенные компоненты находят применение в
окулярах.
Двухлинзовый несклеенный компонент. Двухлинзовый нескле-
енный компонент (рис. 227, б) имеет один лишний параметр по
сравнению с двухлинзовым склеенным, что дает возможность лучше
исправить сферическую аберрацию и меридиональную кому, не
прибегая к подбору марок стекла. Несклеенный компонент имеет
меньшие аберрации высших порядков, чем склеенный. Правда,
стабильность центрировки у него меньше, чем у склеенного. При
удачном назначении марок стекол можно получить хорошее
исправление сферической аберрации при относительном отверстии до 1:3.
Это позволяет сократить габариты трубы прибора по сравнению
со схемой с двухлинзовым склеенным компонентом, используемым
в качестве объектива. Дальнейшему увеличению апертуры
препятствует большая сферохроматическая аберрация.
Двухлинзовые несклеенные компоненты широко используются
в качестве объективов астрономических и геодезических
зрительных труб, объективов биноклей и т. д.
Двойные четырехлинзовые объективы, состоящие из двух
одинаковых двухлинзовых компонентов, разделенных бесконечно малым
воздушным промежутком. Двухлинзовые объективы нельзя
применять, когда требуется большое относительное отверстие, В этом
485

случае их можно заменить системой из двух одинаковых двухлин-
зовых компонентов (рис. 227, е, ж) разделенных воздушным
промежутком.
Каждый компонент объектива имеет в два раза большее
фокусное расстояние, чем весь объектив, поэтому отдельный
компонент имеет и в два раза меньшее относительное отверстие.
Следовательно, радиусы кривизны поверхностей компонента примерно
в два раза больше, чем в двухлинзовом объективе с теми же
параметрами. Вследствие этого уменьшаются углы падения и
преломления на каждой поверхности, поэтому уменьшаются и аберрации
высших порядков. Это дает возможность увеличить относительное
отверстие до 1:2,5-4-1:3 в объективе, состоящем из двухлинзовых
склеенных компонентов, и до 1:2-^-1:1,5 в объективе из
двухлинзовых несклеенных компонентов при фокусных расстояниях от 40
до 150 мм.
Конструкция объектива благоприятна в экономическом и
технологическом отношении. Изготовление одинаковых линз обходится
значительно дешевле, так как уменьшается необходимый набор
инструментов и приспособлений. Вследствие увеличения радиусов
кривизны в двойном объективе почти в два раза увеличивается
число линз, размещаемых на одном приспособлении.
Следует помнить, что в наклонных пучках объектив не имеет
преимуществ перед простым, ибо кривизна поля, астигматизм и
дисторсия остаются неустранимыми.
Трехлинзовые объективы, состоящие из склеенного компонента
и отдельной линзы. Для повышения относительного отверстия по
сравнению с двухлинзовым склеенным объективом до 1:2—1:3
целесообразно применять трехлинзовые объективы, полученные
присоединением отдельной линзы к двухлинзовому склеенному
компоненту (рис. 227, в). Известны две конструкции трехлинзо-
вых объективов подобного типа. При добавлении к склеенному
компоненту положительной линзы его относительное отверстие
оказывается меньше, чем у всего объектива, и, следовательно,
аберрации высших порядков склеенного компонента меньше, чем
у склеенного объектива с такими же оптическими
характеристиками, как у трехлинзового объектива. Объектив теперь состоит из двух
положительных компонентов. Но для исправления хроматической
аберрации объектива приходится компенсировать хроматизм
отдельной линзы хроматизмом склеенного компонента,
переисправляя его. Это вызывает уменьшение радиуса склейки и небольшое
возрастание аберраций высших порядков.
В объективах геодезических труб нашел применение трехлин-
зовый объектив, состоящий из отдельной линзы и склеенного
компонента (рис. 227, г). Практика расчета показала преимущества
объектива данной конструкции, позволяющего получить
относительное отверстие до 1:2,5 при условии апохроматической
коррекции.
Такой положительный компонент применяется в
телеобъективах в целом ряде отечественных и зарубежных теодолитов и ниве-
486

лиров, например, теодолите ТБ-1 (СССР), Theo-ОЮ (ГДР),
нивелирах ТЗ (СССР,) INA-65 (ФРГ) и др.
Трехлинзовый несклеенный объектив. Двухлинзовые несклеен-
ные объективы в большинстве случаев позволяют получить
относительное отверстие не выше 1:4 при использовании обычных
марок стекол, и только при особо удачном выборе марок стекол
удается его повысить до 1:3 и даже до 1:2,5. Для повышения
относительного отверстия до 1:2ч-1:3 следует использовать трехлинзовую
несклеенную систему, состоящую из двух положительных и одной
отрицательной линзы (рис. 227, д).
Отрицательная линза необходима для коррекции сферической
аберрации и хроматизма, а две положительные вместо одной
применяются для уменьшения относительного отверстия каждой из
них, что приводит к уменьшению кривизны линз и вследствие
этого к уменьшению аберраций высших порядков.
Благодаря некоторому усложнению конструкции и увеличению
числа свободных параметров удается уменьшить аберрации
высших порядков и тем самым увеличить относительное отверстие.
В таком объективе удается исправить сферохроматическую
аберрацию при удачном выборе марок стекол.
Опыт расчета показал целесообразность использования кронов
с высоким показателем преломления и малой дисперсией и'флинта
с высоким показателем преломления и большой дисперсией.
Благодаря этому оптические силы линз получаются небольшими, что
способствует увеличению радиусов кривизны и уменьшению
аберраций высших порядков.
Иногда рекомендуется применять положительные линзы
одинаковой оптической силы.
Телеобъективы зрительных труб геодезических приборов.
Как указывалось, в современных геодезических приборах
применяются зрительные трубы с внутренней фокусировкой, в которых
наведение на разноудаленные предметы осуществляется
перемещением отрицательного фокусирующего компонента. Длина трубы
при этом остается постоянной.
К зрительным трубам предъявляются высокие требования, так
как от качества изображения трубы зависит не только точность
визирования, но и степень утомляемости наблюдателя и
продолжительность периода, пригодного для работы с прибором. Например,
большинство труб не рассчитано для наблюдений в условиях
сумеречного видения.
Диаметры объективов труб геодезических приборов в
зависимости от точности прибора и его назначения колеблются от 20 до
65 мм, иногда достигают 100 мм. Фокусные расстояния объективов
могут меняться от 100 до 700 мм, относительные отверстия лежат
в пределах от 1:9 до 1:6. Коэффициент укорочения пг, как известно,
в линзовых телеобъективах не удается получить менее 0,8—0,6.
С уменьшением величины коэффициента укорочения возрастает
относительное отверстие первого положительного компонента, что
приводит к усложнению его конструкции. Действительно, с умень-
487

шением коэффициента телесокращения сокращается длина трубы
и уменьшается величина фокусного расстояния первого
компонента, поэтому возрастает его относительное отверстие. Для
получения хорошего качества изображения при возросшем D/^'
необходимо увеличить число линз компонента. Обычно относительное
отверстие первого компонента меньше или равно 1:3.
Рис. 228. Оптические схемы телеобъективов телескопических систем геодезических
инструментов
а о
Рис 229. Оптические схемы телеобъективов телескопических систем геодезических
инструментов
Фокусирующий отрицательный компонент представляет собой
отдельную линзу или чаще двухлинзовый склеенный компонент
для уменьшения аберраций системы.
Оптические схемы телеобъективов зрительных труб
представлены на рис. 228—230, а в табл. 4 приведены оптические
характеристики компонентов телеобъективов труб некоторых
геодезических приборов, включая последние разработки.
488

Таблица 4
Оптические характеристики телеобъективов
Н8ИМ1НОНИНИС
прибора
Нивелир
технический
Нивелир
высокоточный
Теодолит опт.
точный ТЗО
Теодолит опт.
точный Т2
Теодолиты точные
унифицированные
серии 2Т
Теодолит
высокоточный Т1
Теодолит
высокоточный Т05
i.
m=jc
0,78
0,75
0,74
0,59
0,60
0,72
0,59
D
ы
55
27
35
38,5
55
64
/'
314
410
156,78
250
218,65
347
500
t
h
206
282
97,81
119,87
110,94
231,6
222.22
,
fll
—223
—281
—78,03
—47,97
-41,24
—112,48
-138,78
Pli
1,52
51,45
1,60
2,08
41,97
1,50
2,25
о
V
l i 9,2
1 :7,5
1 j 5,8
1 :7,1
1 :5,6
1 : 6,2
1 :7,8
D
t[
1 :6.
1 :5,i
1 :3.r
1 :2.t
1 3.4"
1 : 4.2
1 : 3,4'
!-r\
l-*'r
i ч
It
fUI
I'll
il
vk\
На рис. 228 и 229 приведены оптические системы, построенные
по традиционной двухкомпонентной схеме. На рис. 230 предстаь-
лены оптические системы
телеобъективов, построенные по новой
схеме и нашедшие применение в ряде
точных и высокоточных теодолитов.
Новые ахроматические и апо-
хроматические телеобъективы
зрительных труб. При разработке
новых геодезических приборов одним
из необходимых условий,
обусловленных особенностями
эксплуатации, является уменьшение длины
трубы по сравнению с
существующими приборами.
До 50-х годов в нашей стране
и за границей уменьшали длину
трубы без принципиального
изменения оптической схемы. Это
приводило к увеличению оптической
силы положительного компонента
телеобъектива и к возрастанию его
относительного отверстия. Превышение предела относительной
отверстия для компонента привело к большой сферохроматичес
кой аберрации и увеличению вторичного спектра, что неизбежж
снижало точность визирования.
Другим недостатком известных зрительных труб является болг
шой коэффициент светорассеяния, в некоторых трубах
достигающий величины 0,2—0,3. Это было следствием того, что внутренние
489
т
Рис. 230. Оптические схемы апо-
хроматического и ахроматической
телеобъектиров, построенных m
новой схеме

диаметр корпуса мало отличался от диаметра пучков лучей,
строящих изображение. В результате исключается возможность
размещения внутри трубы диафрагм, позволяющих уменьшить
рассеянный свет.
На основе теоретических исследований, проведенных в СССР,
были разработаны новые способы исправления вторичного
спектра и сферохроматической аберрации и созданы объективы новых
конструкций, отличающихся от известных отечественных и
зарубежных систем.
Вторичный спектр и сферохроматическая"аберрация относятся
к трудно исправимым. Вторичный спектр в телеобъективах не
зависит от количества линз и их формы, а зависит только от длины
телеобъектива. Чем меньше коэффициент укорочения и длина
телеобъектива, тем больше вторичный спектр. Поэтому
единственным способом уменьшения вторичного спектра является
использование особых стекол и правильный выбор оптических сил линз.
Сферохроматическая аберрация в большинстве случаев
пропорциональна квадрату относительного отверстия и ограничивает
его величину. Одним из способов исправления сферохроматизма
является введение конечного воздушного промежутка между
компонентами.
Апохроматический трехкомпонентный телеобъектив. Апохрома-
тический телеобъектив построен по новой трехкомпонентной схеме
(см. рис. 230, а), что привело к уменьшению величины
относительного отверстия и несколько упростило конструкцию.
Положительная часть телеобъектива состоит из двух двухлнн-
зовых склеенных компонентов, расположенных на значительном
расстоянии друг от друга, что способствует уменьшению
сферохроматизма. Апохроматическая коррекция достигнута за счет
применения стекла ТФ12, частная относительная дисперсия которого
больше, чем для обычных стекол, особенно в сине-фиолетовой
части спектра. Это было вызвано необходимостью повышения качества
изображения для работы в сумеречное время суток, что особенно
важно при проведении высокоточных измерений. (В соответствии
с эффектом Пуркинье кривая чувствительности глаза с
уменьшением освещенности смещается в сторону более коротких длин
волн).
Исследования показали, что для исправления вторичного
спектра оптическая сила линзы из стекла ТФ12 должна быть
положительной и примерно в 5—6 раз превышать оптическую силу всей
первой положительной части телеобъектива.
При расчете апохромата линзу из особого стекла склеивали с
линзой из обычного стекла. Показатель преломления По стекла
обеих линз примерно одинаков, вследствие чего склеенный
компонент для лучей линии D эквивалентен отдельной линзе. Оптическая
сила линзы из обычного стекла выбрана так, чтобы общая
оптическая сила компонента была невелика. Коэффициент средней
дисперсии у обоих стекол также близок, поэтому большая
кривизна склеиваемой поверхности являющаяся следствием большой оп-
490

тической силы, мало сказывается на сферохроматической
аберрации.
В рассмотренном пятилинзовом объективе значительно
уменьшены вторичный спектр, сферохроматическая аберрация и
хроматизм увеличения.
Увеличение расстояния между компонентами существенно не
удлиняет трубу.
• По сравнению с известным пятилинзовым объективом,
построенным по классической двухкомпонентной схеме (см. рис. 229, а),
например ТБ-1, сферохроматизм уменьшен почти в два раза и не
превышают 0,35 %. Вторичный спектр в апохромате для видимой
части примерно в 2,5 раза меньше, а для сине-фиолетовой части
спектра — в 8—10 раз меньше, чем у объектива трубы ТБ-1.
Вследствие применения стекла ТФ12 иоле трубы имеет слегка
желтоватый фон.
Новые объективы находят применение в точных и высокоточных
теодолитах. Опыт применения зрительной трубы в теодолите Т05
показал, что, несмотря на некоторое уменьшение относительного
отверстия, возможная продолжительность наблюдений при
визировании на большие расстояния в сумеречное время на 30—40
мин в сутки больше, чем позволяли трубы старых конструкций.
В некоторых геодезических приборах из-за малых их
размеров нельзя устанавливать трубы с апохроматическими
объективами. В них применяются трубы с новыми ахроматическими
телеобъективами.
Ахроматический четырех компонентный телеобъектив. В этом
ахроматическом телеобъективе (см. рис. 230, б) первая часть
телеобъектива с положительной оптической силой состоит из двух
одиночных линз, разделенных значительным воздушным промежутком
(0,1 ч-0,2) f, и склеенного апланатического мениска. Увеличение
мениска 0,4—0,8. Исправление сферохроматической аберрации
достигается благодаря большому воздушному промежутку между
линзами. Мениск повышает относительное отверстие первой части
телеобъектива, тем самым уменьшая длину системы.
Фокусирующий компонент выполнен в виде отдельной отрицательной линзы.
Относительное отверстие положительной части телеобъектива
составляет около 1:3, а относительное отверстие всего телеобъектива
сравнительно невелико—-примерно 1:6.
В объективе сферохроматическая аберрация устранена без
большого усложнения системы по сравнению с объективами
серийных труб с неисправленным хроматизмом. Длина системы
примерно 0,6 f.
При уменьшении относительного отверстия первой части
объектива до 1:5,5, а длины системы до 0,7 конструкцию можно
упростить, устранив апланатический мениск- Все аберрации в таком
объективе исправлены удовлетворительно, а сферохроматическая
аберрация практически ничтожна.
В зрительных трубах с этими объективами также используются
новые окуляры: либо симметричные с уменьшенным хроматизмом
491

увеличения, либо пятилинзовый окуляр с уменьшенной кривизной
изображения и хроматизмом.
Однако эти телеобъективы имеют и серьезные недостатки.
Основной из них — это большая чувствительность системы к
изменению оптических постоянных стекол, что приводит к необходимости
для каждой новой плавки стекла производить перерасчет
параметров объектива и изготавливать заново технологическую
оснастку. Кроме того, воздушные промежутки необходимо
рассчитывать для каждого комплекта и выдерживать с точностью до 0,01 мм
путем протачивания опраз. Даже при такой тщательности
изготовления и сборки объективов при проверке качества изображения
зрительных труб по дифракционному изображению точки
приходится проводить дополнительные операции, разворачивать линзы
друг относительно друга и фиксировать в этом положении, чтобы
добиться наилучшего качества изображения.
В новых трубах благодаря установке специальных диафрагм,
соответствующему выбору полных диаметров линз и специальной
конструкции оправы фокусирующей линзы коэффициент
светорассеяния удалось уменьшить до 0,06.
Основные данные
для расчета исходного варианта
оптической системы
Данные для расчета исходного варианта обычно бывают
известны из габаритного расчета. Нередко конструктор должен их
выбирать, учитывая назначение системы, требования к качеству
изображения, аберрационные свойства различных конструкций.
Как указывалось, основными оптическими характеристиками
системы являются фокусное расстояние /', относительное отверстие
if или апертура А, поле 2и> или 2у, увеличение р0.
Для многих оптических систем относительное отверстие
определяется из энергетических соображений. Например, в оптико-
электронных приборах основные оптические характеристики
оптической системы определяются по заданной чувствительности
приемника и интенсивности излучения, в отсчетных микроскопах — по
заданной точности отсчета, в зрительных трубах — по заданной
точности визирования и т. д.
Основные данные для расчета исходного варианта при Si= — ooi
Фокусное расстояние — f
D
Относительное отверстие — -р
Угловое поле—2о)
Положение входного зрачка—sp
Спектральный диапазон — Xj-f-X2
Основная длина волны — Х0
Марки стекол (или другие оптические
материалы) задаются или выбираются
492

Основные данные для расчета исходного варианта при $(Ф — ©о!
Расстояние до предмета—sj (или
оптическая длина L)
Числовая апертура — А
Линейное увеличение — р0
Линейное поле — 2у
Положение входного зрачка—sp
Спектральный диапазон — Xj-r-X2
Основная длина волны — Х0
Марки стекол (или другие оптические
материалы) также задаются или
выбираются
Требуется исправить хроматизм положения, сферическую
аберрацию и меридиональную кому.
Для рассматриваемых систем с небольшим угловым полем н
невысоким относительным отверстием целесообразно применять
для расчета исходного варианта теорию аберраций третьего
порядка.
Расчет двухлинзового склеенного объектива
Для расчета двухлинзовых склеенных объективов может быть
использована методика, разработанная проф. Г. Г. Слюсаревым.
Задача расчета объектива сводится к aZKj
определению конструктивных эле- и'*°
ментов двух бесконечно тонких
линз, имеющих заданные
значения параметров P'.W" и С.
Комбинации этих трех параметров
определяют все аберрации
третьего порядка и некоторые аберра-Рис 23,. дВуХЛИН30вый склеенный
Ции высших порядков. объектив с ходом первого парэксиаль-
При заданных марках стекол ного луча
двухлинзовый склеенный объектив
(рис. 231) имеет три свободных параметра, что позволяет исправить
две аберрации: хроматизм положения и сферическую аберрацию,
т. е. удовлетворить заданным значениям Р°° и С. Только подбором
марок стекол можно получить желаемые значения трех параметров
Р~, W°° и С.
Для расчета принимаем известную нормировку первого
параксиального луча, считая объектив бесконечно тонким:
а, =0, «««I, Л, =/' = 1, rfi=rf2 = 0.
Удобно выразить неизвестные внутренние параметры системы a2
и аз через инвариант склейки Q2 и оптическую силу цервой
линзы <рь
Инвариант Аббе для поверхности склейки имеет вид
Q2 = Q = «2/J J_\ = «/-! Ц (25.15)
493

или
Q = «2(p2 — <т2) = «з(р2 — «а). (25.16)
Умножим (25.16) почленно на Л и учтем, что Ла2 s= а2, Ла2 = а3:
/zQ = rt2(^p£ — а2); (25.17)
hQ = n3{h?2 — а3). (25.18)
Найдем разность (25.17) и (25.18):
^(^-^) = аз-а2> (25.19)
откуда
Q = я3_„2"2"з. принимая /i = l. (25.20)
3 2
Из уравнения параксиального луча определим кривизны р:
л,я,
Р'=^Г; (25-21)
Р2= п3-п2 ' (25-22)
Р»«Т^Г' (25.23)
Оптическая сила первой бесконечно тонкой линзы объектива
«pi =(«2— l)(pi—р2)= пХ_п [а2п2(п3— 1)—я3"з(«г— 1)]. (25.24)
Подставив в (25.24) Р1р2 из (25.21) и (25.20) и используя (25.20),
получим:
■■»=-(!—)« + ?« (25-25)
a3 = (l--^)Q + <Pi- (25.26)
Подставив (25.25) и (25.26) в (25.21)—(25.23), получим:
Р' = <2 + 7^ГТ?1 (25.27)
P2 = Q + ?i; (25.28)
W = Q + -5^T<Pi--^!rr- (25-29)
Параметры />°°, №™ для двухлинзового склеенного объектива
имеют вид:
V =3 v=*3
(25.30)

v=3
v=3
w°
V* W, =
Va=3 V=»3
-I/ ^_\l^-^]; (25.31)
Дл. Дл„
1/ °*~
"iri^F-^- <25'32)
Подставив в (25.30) и (25.31) си =0, <х2, а3, а4 = 1, rti — я4 = 1. п2
и яз> получим после преобразований
Р- = aQ2 + bQ + с;
а+1 л , 1-Ti-*
где
а= 1 +
П7- =
2У. 2('-У1).
Л, ' «1 '
2-Q+ 3
(25.33)
(25.34)
^^гг^-т^О-^-з + г,,;
л
2 3
Тд?>
(л2-1)2" ' (л3-1)
Для параметра С имеем
+ 7r^0-^ + ^TC-rt'
(25.35)
_С = — + — = — + (1~у')
vl v2 vl ^2
Дифференцируя (25.33) по Q, получим
dP"
dQ
= 2aQ0 + b.
Приравнивая (25.37) нулю, представим его в виде
Подставив в Р" (25.33) из (25.38), выразим Р0
из (25.38)
из (25.39)
*-«-;„-.
6 = —2aQ0,
* = Л> + -^
Подставляя в (25.41) из (25.40), имеем
495
(25.36)
(25.37)
(25.38)
(25.39)
(25.40)
(25.41)
(25.42)

Подставим в (25.33) «й» из (25.40) и «с» из (25.42):
P-=P0 + a(Q-Q0)2.
Из (25.34) получим W0:
vv о = 2— ^° ' 3 '
Из (25.44) найдем
'-»•-'-_.у0 +.2+1^
3 ■" и ' 2
Подставляя в (25.34) из (25.45), имеем
Из (25.46) определим Q — Qo'-
Q-Qo = --^j(w-w0).
Подставим в (25.43) из (25.47):
откуда
Из (25.47)
из (25.43)
(а+ 1г
Р*-рт--£фФШ-*#-
Q = Q°—£t(w--w0),
(25.43)
(25.44)
(25.45)
(25.46)
(25.47)
(25.48)
(25.49)
(25.50)
/:
Р"-Р0
Q = Qo±y —5-^. (25.51)
Для большинства марок стекол значение а = 2,31—2,35,
принимают а = 2,35. Тогда (25.49), (25.50), (25,51) примут вид:
Рп = />- — 0,85(№°° — WQf; (25.49')
Q = Qo г^у-А ГовР = 0,14; (25.50')
Q = <?о ± |/ Р°°2|з5Р° • (25-51')
Г. Г Слюсарев рекомендуетвыбиратькомбинацию«крон впереди»,
если W7" < 0,8, тогда W" =0,1. Если W™ > 0,8, то следует выбирать
комбинацию «флинт впереди», W0 = 0,2.
В приводимом выводе основных соотношений /><>» Wo и Q0—
параметры, соответствующие минимальному значению сферической абер-
dP°°
рации, поскольку они определялись при условии, что -^- = 0.
496

Из соотношения (25.49') видно, что в двухлинзовом объективе
величины Р- и W°° не являются независимыми, а значение «а»
в (25.35) зависит от <pi и п2, «з. Поэтому, если заданы марки стекол
и соблюдено условие ахроматизации (т. е. «pi определено), то остается
один свободный параметр.
Для расчета объектива необходимо знать значения параметров
Слюсарева Р" и С, а для этого надо предварительно иметь сведения
о высших порядках сферической и хроматической аберраций.
Аберрация комы высшего порядка обычно мала и ею можно пренебречь.
Продольная сферическая аберрация для луча на высоте h может
быть представлена приближенной зависимостью, учитывающей
аберрации до седьмого порядка:
2/ Т f* ^ ,'8
Коэффициенты Ь и с зависят только от конструкции объектива,
мало зависят от показателей преломления стекол и не зависят от
фокусного расстояния и относительного отверстия.
Величина коэффициента b меняется от 0 до 30, а с-—от 0 до
1500 в зависимости от параметров Р" и W°° (табл. 5).
Та бли ца 5
Крон впереди
ц?°° =0
w°° = — 2
Рос
b
с
ь
с
—2
25
1000
30
800
— ]
17
500
25
700
0 | 1
9
200
17
600
2
100
12
500
2
0
50
8
300
Флинт впереди
W" ~ °
1Г-= 2
рао
ь
0
Ь
в
—2
30
1500
33
1500
—1
20
800
28
1000
0 1
10
250
18
800
4
100
12
400
2
1
00
6
100
Коэффициент b можно вычислить по формуле
h - ± q6 (- -\
40 q + ь [4 4f
Для небольших относительных отверстий можно воспользоваться
соотношением
ДР»=(15н-20)(^р^)2.
497

Для компенсации сферохроматической аберрации можно принять
С = —0,1
"зон
f
где та.» = (0,7-5-0,85)-£
Расчет двухлинзового объектива по заданным маркам стекол. При
заданных марках стекол расчет двухлинзового склеенного объектива
производится следующим образом.
Из условия исправления хроматизма положения и уравнения
штаба определяют оптические силы линз:
*'e^72(1+Cv*);
(25.52)
92 = —^—^—(1 + Cvi)= 1 — <pi.
Затем вычисляют коэффициенты а, Ь и с по формулам (25.35),
знак которые определяют Р0 (25.49), Qq (25.38) и Q (25.51). Для
выбора одного из двух значений Q определяют
№~ = Гп+ 1/ Р°°-Р°
= Wo ± J/^-
где
4а
р =
(«+ \?
Из двух значений W°° выбирают то, которое ближе к заданному
W°°. При полученном значении W°° определяют Q по соотношению
(25.50).
Наконец, из двух значений Q (25.51) выбирают ближайшее
значение к полученному из (25.50).
Затем вычисляют кривизны поверхностей бесконечно тонких
линз, используя (25.27)—(25.29). Проведя контроль вычислений,
расчетом значений параметров Р", W°°, С производят переход к
линзам конечной толщины (см. § 161).
Расчет двухлинзового объектива, если марки стекол не заданы.
На основании приведенной методики расчета проф. Г. Г. Слюсаре-
вым разработаны таблицы, с помощью которых можно определить
марки стекол, позволяющие одновременно получить заданные
значения трех параметров — Р°°, W°° и С. Таблицы составлены для
комбинаций «крон впереди» и «флинт впереди».
В таблицах в зависимости от параметра С, меняющегося от
0,0025 до — 0,0050, для 142 комбинаций марок стекол приведены
значения Р0, фкрона и Qo. с помощью которых расчет
конструктивных элементов выполняется по простым формулам, приведенным
выше. Ро меняется при этом от 7,5 до —23.
Расчет объектива по таблицам позволяет получить ахроматический
и апланатический объектив при si =—оо. Следует помнить, что
таблицы составлены для визуальной ахроматизации (F — С), основной
498

длиной волны Х0 является линия D. Однако для расчета объектива
для других длин волн Х0 и для перехода к другому типу ахроматиза-
ции вводятся поправки, позволяющие определить Р'о, Qo и С.
Величину поправок можно определить по графикам и соотношениям,
приводимым в книге Г. Г. Слюсарева «Расчет оптических систем».
Если надо рассчитать объектив для предмета на конечном
расстоянии, достаточно сделать переход от параметров Р, W к основным
параметрам Р°°, W°°.
Несмотря на широкое применение ЭВМ для расчета
оптических систем, таблицы оказывают большую помощь. Этим
объясняется разработка в различных вычислительных бюро таблиц,
представляющих собой усовершенствование и развитие таблиц
Слюсарева.
В ряде случаев, например, при расчете объективов с
небольшим относительным отверстием применение таблиц позволяет
быстро получить исходный вариант, не требующий коррекции.
Применение ЭВМ в этих случаях не дает существенного
выигрыша во времени, поскольку надо учитывать не только счет на ЭВМ,
но и время на подготовку исходных данных для их ввода.
Правда, известны специализированные программы для расчета
ахроматических и апохроматических двухлинзовых склеенных
объективов, при использовании которых ЭВМ перебирает
ограниченное количество марок стекол, выбирая пары марок,
удовлетворяющие заданным значениям Р ~°, W~° и С.
Расчет двухлинзового несклеенного объектива
Объектив (рис. 232) имеет 4 свободных параметра (4 радиуса
кривизны), что позволяет при заданных марках стекол исправить
•три аберрации (см. § 159):
хроматизм положения, сферическую а.,-о ^fy?1'
аберрацию и меридиональную
кому.
В 40-х годах Д. Д. Максутов
разработал эмпирический метод
расчета двухлинзового
несклеенного объектива с комбинацией
марок стекол К8 — Ф2, наибо- Рис. 232. Ход первого параксиаль-
лее часто применяемых для рас- ного лУча в двухлинзовом несклеен-
чета ахроматов. ном объективе
На основании исследований
были выведены эмпирические формулы для расчета апланатов
в зависимости от относительного отверстия, все конструктивные
элементы системы выражались в долях диаметра. Достаточно
точные результаты получались для относительных отверстий
от 1:3,5 до 1:6.
В книге Г. Г. Слюсарева «Расчет оптических систем» приведены
графики, позволяющие рассчитать объектив по заданным
значениям Р°°, W* и С для наиболее употребительных марок стекол
499

и быстро получить значения радиусов кривизны с точностью до
трех знаков, что вполне достаточно для практики.
Там же приведены таблицы, позволяющие ввести поправки на
кривизны с учетом введения толщин линз. В таблицах даны
значения частных производных от Р°°, W°°, С по всем
конструктивным элементам, что делает их полезными при пересчете систем
на плавки стекол и на пробные стекла.
Для практического использования удобны формулы для
расчета исходного варианта, разработанные на кафедре прикладной
оптики МИИГАиК.
Принимая объектив бесконечно тонким (di = £?2 = £?з = О, И\ =
= /z2 = /J3 = u4) и известную нормировку первого параксиального
л>ча 04=0, as = 1, hi = /' = 1, применяем метод разделения
переменных.
Вначале из условия масштаба и уравнения ахроматизации
определяют оптические силы линз (25.52) cpi и срг-
При принятой нормировке угол аз = ?i. Внутренние углы а2 и а4
определяются из условий исправления монохроматических аберраций.
Известно, что для бесконечно тонкого объектива с бесконечно
малым расстоянием между линзами суммы ST, Sfi и Sixp полностью
определяются значением параметров соответственно Р°°, W°° и С.
Подставим в выражения для этих параметров все углы а и
показатели преломления, учитывая, что п\ = пз = п5 — 1, так как
система находится в воздухе. После преобразования получим
v=4 2аз(1 + 2т2) А(2 + т2) & (2т, + 1\(1 — аЛ
,Г| («2-1)2 («2-1) («4-1)
+ а4 -—. ,.2 h 7 J7F + 7 Г^; (25.53)
(т4-1)2 (т2-\у («4-1)
Г-_ VV -а ЯЗ(1+^) | а С+«4)(1-«з)
+ ili !!_, (25.54)
~ m4 — 1 m3 — 1 ч '
где
1
т = —;
Угол аз можно определить также из (25.55): •
Дя„
С
— п.
а3 =
Д«2 Д«4
1 — п2
500

Как видно из (25.53)—(25.54), функция W°° — линейная
относительно внутренних углов а2 и а4, а Р°° — квадратичная относительно
тех же углов.
Из (25.54) выразим угол а4:
<ц=Аа2 + В, (25.56)
где
я3Ма+2)
А = a(b + 2j(«.. -I)1
й- а№+2)(1-а8) *а"~«2 ' «4
Подставив (25.56) в (25.53), имеем
Dal + Ea2 + F = 0, (25.57)
где
D = а3Ь2(2а + 3) + (1 - a3)a2(26 + 3)Л2;
Е = 2ЛВ(2Ь + 3)а2(1 - as)- a|62(a + 3) + Aa\b + 3) (4 - 0;
F = В2(26 + 3)а2(1 - а3) + Ва2{Ь + 3) (а! - 1) + а§ (б2 - а2) +
+ а2 —а2&2Р°°.
Задача расчета исходного варианта сводится к решению
уравнений (25.56) и (25.57). Из двух решений выбирается меньшее
положительное, обеспечивающее возможно максимальные радиусы
кривизны поверхностей.
Переход к линзам конечной толщины производится в обычном
порядке (см. § 161).
Для компенсации сферической аберрации высших порядков и
сферохроматической аберрации параметры Р °° и С приравнивают
к некоторым значениям.
В книге Г. Г. Слюсарева приводятся графики и таблицы,
полученные в результате исследования более сотни несклеенных
объективов и позволяющие определить коэффициенты сферической
аберрации пятого порядка и коэффициент сферохроматической
аберрации и, исходя из этого, правильно выбрать значения параметров
Р~* и С, позволяющие компенсировать аберрации высших
порядков.
Сферохроматическую аберрацию можно представить в виде
разложения в ряд:
h2 h* t,s
f f'3 г
В длиннофокусных системах небольших и средних апертур сфе-
рохроматическая аберрация является одной из наиболее заметных,
поэтому для определения значения параметра С необходимо хотя
бы приближенно знать значение сферохроматизма. Этому
помогают таблицы, приведенные в книге Г. Г. Слюсарева, которые позво-
501

ляют определить коэффициент А сферохроматической аберрации
для разных комбинаций марок стекол, при условии, что вторая
линза выполнена из Ф1 или ТФЗ, и для разных значений
параметров Слюсарева.
Исследования показали, что при изменении параметров Р°° и
f- в положительную сторону коэффициент А уменьшается. С
увеличением параметра С коэффициент А увеличивается, так как при
этом возрастают оптические силы линз, следовательно, и кривизны
поверхностей.
При использовании тяжелых флинтов коэффициент А
существенно уменьшается. Это еще раз подтверждает условие выбора
марок стекол, следующее из (25.52). Целесообразно выбирать пары
стекол с большей разностью коэффициентов средней дисперсии v.
Действительно, чем больше разность (\>х—v2) (25.52), тем
меньше оптические силы срх и ср2, следовательно, больше радиусы
кривизны и меньше аберрации высших порядков.
Для учета аберраций высших порядков при небольших
относительных отверстиях во многих случаях хорошие результаты дают
уже приводимые эмпирические соотношения:
P^(15^20)(^)2,W = f;
C = -0,l(^)2, /«зон = 0,7-f-.
Расчет трехлинзового объектива,
состоящего из двухлинзового склеенного компонента
и отдельной линзы
Объектив (рис. 233) имеет 5 свободных параметров при
заданных марках стекол. Для исправления трех аберраций один
параметр является избыточным.
Обычно его используют для
компенсации сферической аберрации
высших порядков. Практика
расчетов показала, что для этого
удобно принимать a4 = (Pi = 0,o.
Для бесконечно тонкого объ-
Рис. 233. Ход первого параксиаль- ектива В соответствии с
принятого луча в трехлинзовом объективе, той нормировкой первого парак-
состоящем из склеенного компонента сиального луча ui=0, a4=tpi,
и отдельной линзы а&=1 неизвестными являются
внутренние углы аг, аз и as.
Оптические силы линз определяются на первом этапе расчета из
условия ахроматизации, уравнения масштаба и дополнительного
условия cpj = К-
В результате из двух уравнений исправления монохроматических
аберраций необходимо определить 3 неизвестных угла — a2, а3 и аз.
Поэтому необходимо использовать свойства склеенного компонента
502

и связать значения а2 и а3. Их можно выразить через инвариант
склейки и первую оптическую силу или выразить один из углов
в зависимости от другого и ерь Тогда
а2=Аа3+В, (25.58)
где
А = пЛп2~1).
я2(я8 —1) '
?1 (га3 — «2>
в =
^("з-1)
Подставив значения всех углов av и показателей преломления
«v в выражения для параметров Р°° и W°°, получим после
преобразований:
Р-= £ P, = al(A-l)2a + a3(A — l)(2aB+d)+F4 +
+ Ка5 + dB + aB2 + (<pi + ?2)3£ + L; (25.59)
v=5
Г~ = S W* = a3G(A - 1) + Ma5 + GB + H, (25.60)
где
a = («i + ?г)
2/
1 1
?1
1 1
У1 + У2
b»(t-it)
\ «3 «2 /
G = —/(epi + 92);
D =
Kl
«2- * \<Pl + <P2/ «3— 1 \?I + ?2/ <fl + ?2'
|2
?2
2?!»
,,_ g(yt + y2)2
a . _
£ =
«3
У2
+
"3У2
(n2-l)2y?, + ?2y (n3-1)2\fl + <f2/ ^ (Яз-1)(?1 + ?2)2'
У2
Я =(cpi -f <p2):
2 У1 + У2
-£>
(yi + y2)2-i
— 1
503

к =
4
К-')
n2
[(cp,+cp2)2-l](2 + ^
{4 -i)2
,31-
2
F =
(«5 "I)2
Тз1+'
Из (25.60) имеем
где
+ ?2 = 1 — k =<f>i = а4
t G(l-A).
1 ~ Л •
(25.61)
1 =
GB+H — W
W°° —GB —Н
М М
Подставив (25.61) в (25.59), после преобразований получим
квадратное уравнение
где
таз + их3 + q = 0,
(25.62)
т = (А- l)2a + Ft2;
и = (А — 1)(2аВ + d) + 2Flt + Kt;
q = aB2 + dB + (yi + cp2)3 E + L + FP + Kl — P -.
Из решения (25.62) выбирают меньшее положительное значение аз,
затем из (25.61) и (25.58) определяют а2 и а5.
Расчет трехлинзового объектива,
состоящего из отдельной линзы
и двухлинзового склеенного компонента
сС, О
&,Kj<Xit К $
Рис. 234. Ход первого параксиаль
ного луча в трех линзовом объективе'
состоящем из отдельной линзы и двух
линзового склеенного компонента
Расчет объектива (рис. 234) во
многом аналогичен расчету ранее
рассмотренного. Объектив также
имеет пять свободных параметров,
один избыточный параметр
используем для компенсации сферической
аберрации высших порядков,
принимая, что а3 = К<р = <pi.
Для бесконечно тонкого
объектива в соответствии с
нормировкой первого параксиального луча
= 1.
оч = 0, аз=<р1> аб = Ь А| =/'
Неизвестными являются углы а2, а4 и as.
Оптические силы линз ср:,, <р3 определяются из уравнений
масштаба и ахроматизации и дополнительного условия epi = /Сер.
504

По аналогии g вышерассмотренным объективом можно связать
зависимостью внутренние углы склеенного компонента а4 и а5:
ой =Ла5 + В,
где
_ п- (п4~\)
пА(п6-1)'
R _("5—га4)(аЗ + У2)
п4(п5~\) ■
Или принимая во внимание, что инвариант склейки
<?4=Q =
-п4п5,
и используя уравнение оптической силы ср2 второй линзы объектива,
получим
_ "4 ("б - "4) ("з + Уг) - Q (п5 - "4)
а4
*Б
ft,ft.
+ сц
Подставив все значения в уравнения для основных параметров
W°° и Р°°, получим соответственно линейное уравнение относительно
«2» а5 (»2, Q) и квадратное уравнение. Для положительных линз
часто используют стекло одной марки.
Расчет трехлинзового объектива,
состоящего из трех отдельных линз
Трехлинзовый несклеенный объектив (рис. 235) имеет 6 свободных
параметров, из которых два являются избыточными, поэтому
необходимо принять два
дополнительных условия.
Можно положить, что
оптические силы положительных линз
одинаковы, или принять cpi = ky.
Для использования еще одного
параметра можно рассчитать пер-
cc.-nf^f-Xsrte
Рис. 235. Ход первого параксиального
луча в трехлинзовом объективе из трёх
отдельных линз
вую положительную линзу на
минимум сферической аберрации.
При использовании ЭВМ
выбор «2 можно производить из
условий минимизации аберраций.
При выбранной нормировке первого параксиального луча ч.\ = О,
/г, =/' = 1, а7 = 1.
При расчете первой линзы на минимум сферической аберрации
угол
_ (2га+ ')*з
a2min 2(л + 2) *
Б05

Подставив все значения <xv и nv в выражение S" = Р°° и Su =*
= W°°, получим:
g^(2m2-4- 1)<»з — а2 (2 + m2) а3 + "I
р" - (щ-iy +
, a24(2w4+l)(«5-a3)+a4(^4+2)(4-a5)+«53-«i
+ ' (m4 —1У ' +
, aJ(2w6+ !)(» -а5) + аб(2 + т6) (,| - 1) + 1 -а35
Н (т6-1)2 > (/о.М)
W» _ a2(1+W2)g3—а3 , a4(w4+ Q(g5— аз)+«3 — «I
^" ~ т2— 1 + т4 — 1 +
afi(mfi+ ПО — «>Л+ ак — 1
+ „ -1 ' (25.64)
1
т = —.
я
Из уравнения исправления меридиональной комы получим
а6 = ba4 + d, (25.65)
где
h В А А
Д_ (т4+0(а5-"з).
т4 — 1 '
с_ (me+Q(l-«g)
/и6—1
Подставив (25.65) в уравнение исправления сферической
аберрации, получим
Da24 + Е*4 + F = 0, (25.66)
где
_ (2т4+1)(а5-аз) ■ Ь2(2т6+ 1)(1 - аб)
(т4-1)2 + (JH^Yf '
_ («4+2) (»g-«g) , 26d(2me+ 1)(1 —q5) Ь(2 + т6)(с.52-1)
(т4_1)* + (т6-\у + (тв-1)> '
q|(2m2+Qa3-a2(2 + m2) q§ + q| < qg-qg |
(«2- О2 +(т4-02
^(2m6+0(l-a5) + d(2+m6)(a^-Q+l-ai D,
+ (^~=П)2
Из решений уравнений (25.66) и (25.65) определим неизвестные
внутренние параметры системы а4 и ав.
506

Рис. 236. Ход первого
параксиального луча в четырехлинзовом
объективе, состоящем из двух
одинаковых двухлинзовых склеенных
компонентов
Расчет двойных четырехлинзовых объективов,
состоящих из двух одинаковых двухлинзовых компонентов
Компоненты объектива (рис. 236) имеют одинаковые радиусы
кривизны, поэтому при заданных марках стекол объектив имеет
не 6, а три свободных параметра. Вследствие этого меридиональную
кому можно исправить только подбором марок стекол, как и в
двухлинзовом склеенном компоненте.
Для расчета необходимо определить параметры Р", W°° и С
одного компонента и затем произво- , „'
г „■ _-/? ос;=о,ь
дить его расчет. Ki и
В соответствии с нормировкой
первого и второго параксиальных
лучей
<»i = 0, а.\\ = 0,5, ац = 1, h\ =
*= / =1, ар = у\ = 0, Pi = 1,
/ = —1.
Кроме того, п\ = п4 = п7 = 1.
Суммы Зейделя ST и Su можно записать в следующем виде:
Sf - Р- = Р, + Рп, s,"i = W = Г, + Г„.
Индексы относятся к компонентам объектива.
Можно выразить параметры Р°°, W°° объектива через основные
параметры каждого компонента, применив формулы перехода от
неосновных к основным параметрам:
Pt = (ад - at)3 РГ + А*с (а.: - сц)2 WT + а, (а, - а,) [2а, (2 + я/) - а,];
И^| = («I - а,)2 1*7 + сц («J - а,) (2 + «,).
Принимая, что коэффициент Пецваля с«0,7 и подставив
значения углов для компонентов, имеем:
Рг = 0,125РГ; Г,=0(25ГГ;
Р„ = 0.125РП + 0,5Н7Г, + 0,425; Wu = 0,25Г,~ + 0,675;
Р°° =Pt + Р„ «= 0.125РГ + 0.125РП + 0.5ГП + 0,425 = 0;
W- = Wt + Wtl= 0,25WT + 0,25«7Г] + 0,675 = 0-
По условию конструкции можно записать
Р» = РП = Р°°, U7f = Wu = W.
Тогда получим
0,250Р~ + 0.5Г- + 0,425 = 0; 0.50Г- + 0,675 = 0.
Из решения системы уравнений имеем Р~ = 1,0; W°° = —1.35.
При положительных значениях Р" и W~ => — 1,3 аберрации
высших порядков значительно уменьшаются, коэффициенты b не имеют
небольшие значения: 6 =6-г-7; с = 120-;-150.
507

Для выбора марок стекол удобно воспользоваться таблицами
Слюсарева. Хроматический параметр С при больших относительных
отверстиях рекомендуется брать от —0,0010 до —0,0020.
При расчете следует помнить, что фокусное расстояние каждого
компонента в два раза больше фокусного расстояния всего
объектива, /' = 2/об.
Рассмотренная методика расчета применима практически ко
всем объективам, состоящим из
вещ ,"}•&
двух одинаковых
(рис. 237).
компонентов
Расчет телеобъектива
телескопических систем
Расчет телеобъектива с фо-
п„„ озч у». „^„~~~ „„„„„„„ кцсирцющим компонентом в ви-
Рис. 237. лод первого параксиального ^ я " D
луча в четырехлинзовом объективе, <-'е отбельной линзы. Расчет теле-
состоящем из двух одинаковых двух- объектива с фокусирующим ком-
линзовых несклеенных компонентов понентом в виде отдельной
линзы ведется из условия
компенсации аберраций. Конструктивные элементы первого
положительного компонента определяются из условия компенсаций аберраций
второго фокусирующего компонента.
Фокусные расстояния компонентов и расстояние между ними
известны из габаритного расчета системы. В исходных условиях
часто задаются условия, заранее определяющие форму
отрицательной линзы: г5 = —гв, гв =оо и т. п. В подобных случаях можно
определить параметры
Слюсарева для второго компонента.
Предположим, что
телеобъектив состоит из положительного
иссклеенного компонента и
отдельной линзы, для которой
r5=—гв (рис. 238).
Принимая оба компонента
бесконечно тонкими и известные Рнл 238> Ход первог0 параксиаЛьного
условия нормировки первого па- луча в трехлинзовом двухкомпонент-
раксиального луча, имеем: h\ = ном телеобъективе
= Лг = А? = hA = h i = /' — 1, ha —
= he = hui <xi = 0, <X7 = ], тогда <xs=at=cp(.
Внутренний угол as 1-го параксиального луча для второго
компонента определим из условия Гь = —гв:
oCfO
CQcCsOCq.
Гъ
Гв
_ h{4~ о
tt6a6 — a5
_ М1 — "б)
1 — П6а. ~~
/гп("б-»).
чч—ч '
/?и(1 — «б)
I — Папа
508

откуда
ав —
2п5 2п6
В результате для второго компонента имеем: a5 = <jpi» «6
J + fi
2"6 '
Wu
и-7 — i
Pu =
a6(w
t
«*(2me+l)(l-
1б+1)(1-я5) +
m6—1
■ as) + '
(ть-
.?-!
*e(m6 +
1)2
; Сц =
M4-
v6
0
=
-s.
»
9l-l
Условие ахроматизации двух бесконечно тонких компонентов,
расположенных на конечном расстоянии, имеет вид
—5ixP = fiCi + Ац<рцСц = О,
откуда
>2
С =
hu4ucu
fl
Из условия исправления сферической аберрации третьего
порядка
2
5Г = Е htPi = hiPi + hnPn = 0
имеем
Pi=—ЛцЯц,
тогда
'3 3 '
а, <Р!
D°° L
Pl ==—~ з
Условие исправления меридиональной комы при ар = у\ = О
имеет вид
откуда
й?1 = -г/пРц-№,ь
Из расчета второго параксиального луча, при нормировке ар =
= г/i = 0, pi = 1 получим:
#и =у\ —d0$u =—d0.
С учетом этого имеем
Wi^doPn-Wu.
509

Сделав переход от неосновного параметра к основному, имеем
При известных значениях Р", W°°, С для первого положительного
компонента производится его расчет по известной методике.
Особенности расчета телеобъективов разных конструкций. В
ряде конструкций телеобъективов (см. рис. 226 и 227)
фокусирующий компонент является двухлинзовым склеенным, и расчет
телеобъектива производится по компонентам, с исправлением
аберраций в каждом компоненте.
Первый положительный компонент рассчитывается при
известных значениях фокусного расстояния, относительного отверстия и
поля, которые определены в габаритном расчете.
Второй отрицательный компонент рассчитывается при известных
значениях фокусного расстояния, положений предмета, линейном
увеличении Ро, апертуре.
Особенности расчета объективов малых увеличений и небольших
апертур. В оптических системах часто применяются объективы
простой конструкции, для которых предмет расположен на конечном
расстоянии. Примером таких систем являются объективы отсчет-
ных микроскопов геодезических приборов, фокусирующие
компоненты телеобъективов и т. п.
Полагая объектив бесконечно тонким, при условии Sixp = 0,
Si=0, определяют параметры Слюсарева Р, W и С и производят
переход к основным параметрам Слюсарева Р °°, W°°, после чего
расчет ведется по известной методике.
Если в системе установлена призма или плоскопараллельная
пластинка, то призма развертывается в эквивалентную
плоскопараллельную пластинку и расчет объектива производится с учетом
аберраций плоскопараллелыюй пластинки. Тогда условия
исправлений аберраций записываются следующим образом:
"JIxp == •-Мхр.об ~г '-Mxp.nnn == U;
Si = Si06 + Sinnn = 0;
Sn = SiioP + Slinnn = 0.
где Sixp.nnn. Sinnnt Sum™ — суммы Зейделя для плоскопараллелыюй
пластинки.
§ 166. Расчет зеркальных и зеркально-линзовых систем
В последнее время в оптико-электронных приборах, в связи с
расширением диапазона длин волн в инфракрасной и
ультрафиолетовой областях спектра, большое развитие получила группа
зеркальных и зеркально-линзовых систем. В этих системах
главная роль в образовании изображения отводится отражающим
поверхностям, не вносящим, как известно, хроматических аберраций.
510

Особенности зеркальных и зеркально-линзовых систем.
Преимущества и недостатки этих систем
по сравнению с линзовыми
Зеркальные и зеркально-линзовые системы находят самое
широкое применение, поскольку обладают рядом существенных
преимуществ перед линзовыми. Это, прежде всего, высокая светосила и
разрешающая способность, отсутствие хроматических аберраций
у зеркал, высокий коэффициент светопропускания. При
сравнительно несложной конструкции зеркально-линзовых и зеркальных
систем можно получить достаточно совершенную коррекцию
сферической аберрации. Чисто зеркальные системы не содержат
преломляющих поверхностей и поэтому удобны для использования в
инфракрасной и ультрафиолетовой областях спектра. Кроме того,
при одних и тех же значениях фокусных расстояний продольные
габариты системы меньше, чем у линзовых систем. Это позволяет
сделать систему компактной и удобно разместить оптические
элементы конструкции. Требования к стеклу, из которого может быть
изготовлена подложка для зеркал (подложка может быть и
металлической), значительно ниже, чем требования к стеклу,
предъявляемые для изготовления линзовых систем.
Однако, наряду с положительными свойствами, зеркальные и
зеркально-линзовые системы имеют и недостатки, ограничивающие
их применение. Это прежде всего сложность изготовления и
контроля асферических поверхностей зеркал, сложность юстировки
зеркальных систем, экранирование (зрачок имеет кольцевую форму),
вызывающее перераспределение освещенности в дифракционном
изображении точки. Кроме того, зеркальные системы, как правило,
имеют большую кому, что уменьшает полезное поле системы. В
некоторых случаях зеркальные и зеркально-линзовые системы
требуют применения защитных стекол для герметизации.
Обоснование выбора исходных данных
для расчета зеркальных и зеркально-линзовых систем
Исходными данными для расчета зеркальных и
зеркально-линзовых объективов являются:
а) для предмета в бесконечности б) для предмета на конечном
(Si = — со): расстоянии (Si ф — со):
1. Фокусное расстояние —/об, 1- Линейное увеличение-ft,,
0 .- D 2. Числовая апертура—А,
2. Относительное отверстие - т% 3. Линейное поле-2у,
3. Угол поля — 2ю,
4. Вынос изображения — 5,
5. Коэффициент экранирования — k,
6. Положение входного зрачка — sp,
7. Требуемое качество изображения,
8. Общие конструктивные требования.
511

Исходные данные выбирают из следующих соображений:
относительное отверстие объектива (или его апертуру) определяют из
условия требуемого качества изображения, причем фокусное
расстояние объектива / '^ должно обеспечивать необходимую
точность измерения, отвечать габаритным и конструктивным
требованиям. Размер входного зрачка и коэффициент экранирования
определяются из энергетического расчета, а угол поля (или
линейный размер поля) должен обеспечивать необходимое поле обзора,
быстродействие системы, ее помехозащищенность, требуемое
качество изображения. В некоторых случаях угол поля определяется
размерами чувствительной площадки выбранного приемника.
Рабочий спектральный интервал Xi, h>, %2 определился спектральными
характеристиками излучения объекта, фона, среды, фильтров,
приемников лучистой энергии. Необходимое качество изображения,
которое в общем случае можно охарактеризовать распределением
энергии в пятнах рассеивания по всему полю, определяется
точностью измерения и выбранным типом анализатора.
Основные схемы зеркальных и зеркально - линзовых объективов
Простые зеркальные объективы. 1. Одиночное зеркало.
Простейшей зеркальной системой является одиночное вогнутое
зеркало (рис. 239). Изображение,
абсолютно свободное от хроматизма,
5?3Р- образуется в фокальной плоскости
зеркала. Если зеркало
параболическое, то оно свободно от сферической
аберрации.
2. Система Ньютона. Если
необходимо вынести изображение
в сторону, за пределы трубы,
можно применить систему Ньютона
(рис. 240). Изображение выносится
с помощью наклонного зеркала (рис.
Рис. 239. Простые зеркальные 240, а) или с помощью призмы пол-
оГ.ъсктивы. Одиночное сферичес- цого внутреннего отражения (рис.
кое зеркало 240, б). Непосредственно за фокусом
объектива располагается окуляр.
Система, изображенная на рис. 240, а, имеет преимущества перед
системой, изображенной на рис. 240, б. Во-первых, плоское
зеркало не вносит аберраций, тогда как призма приводит к
сферической и хроматической аберрации, во-вторых, зеркало может быть
изготовлено по форме пучка лучей, оно меньше экранирует этот
пучок и вызывает меньшие дифракционные помехи, в-третьих,
зеркало проще в изготовлении и его плоская поверхность может
быть выполнена с допусками в полтора раза большими, чем
допуски на гипотенузную призму. Однако призмы хороши тем, что
их светопропускание не изменяется с течением времени и
коэффициент пропускания т^90%.
512

В случае визуального наблюдения объектов предельная
величина выноса Smin фокальной плоскости в сторону с помощью зеркала
при минимальном экранировании определяется формулой
°min — ■
4,2
2 + 7JT
Рис. 240. Система Ньютона:
о — с плоским наклонным зеркалом; 6 — о призмой полного внутреннего отражения
Потери на экранирование в этом случае могут быть определены
по формуле
1Рэкр]т1п "—
0?4 + wl(D! + 4,2)
D,
Df [2D,+ 4,2]2
100%.
3. Кольцевой объектив. С помощью плоского зеркала
можно вынести фокус сферического зеркала F\ за его поверхность
через отверстие в теле зеркала (рис. 241). В такой схеме при
заданном относительном отверстии объектив имеет меньшую длину,
однако имеет место значительное экранирование, приводящее к
снижению качества дифракционного изображения. Уже при
экранировании порядка одной трети светового диаметра, что вызывает
потери равные примерно 11%, качество дифракционного
изображения заметно ухудшается по сравнению с качеством изображения
при незаэкранированном отверстии объектива. По этой причине в
оптических системах не следует допускать экранирования,
превышающего 10—12% площади действующего отверстия объектива.
4. Система Гершеля. Можно осуществить конструкцию
объектива, состоящего только из одного вогнутого зеркала, а
поэтому не имеющего никаких экранирующих элементов (рис. 242).
Объектив такого типа носит название системы Гершеля.
Объектив Гершеля можно трактовать по-разному, и в каждом
конкретном случае получать своеобразную систему, имеющую лишь
внешнее сходство с системой Гершеля, А именно;
17 1-446 513

а) зеркало может быть сферическим, наклоненным на
некоторый угол ф к падающему пучку лучей. Такое зеркало вносит кому,
астигматизм, кривизну поля и сферическую аберрацию;
б) зеркало может быть частью, выкроенной из большой сферы
MON (см. рнс. 242). Система может считаться центрированной
относительно оси OF', а поэтому для точки F' изображение будет
свободным от аберрации наклонных пучков: комы, астигматизма,
кривизны поля. Однако сферическая аберрация, увеличивающаяся
Рис. 241. Кольцевой объектив Рис. 242. Система Гершеля
пропорционально кубу относительного отверстия, будет очень
велика. Кроме того, наблюдается не вся картина сферической
аберрации, так как зеркало выкроено эксцентрично из большого
зеркала, поэтому аберрационная картина будет несимметричной,
ничем не отличающейся от картины, создаваемой схемой
рассмотренной в пункте а;
в) зеркало может быть параболоидом вращения вокруг оси
тп с вершиной в точке т. Параболоид получается наклоненным на
некоторый угол <р к пучку лучей. Сферическая аберрация в такой
системе отсутствует, а аберрации наклонных пучков будут такие же,
как и в первом случае (пункт а). Качество изображения, если и
улучшится, то в очень малой степени;
г) зеркало может иметь торическую форму. Тогда в систему
вводится некоторый собственный астигматизм, способный
скомпенсировать астигматизм наклонных пучков для угла ср. В этом случае
для центра поля (точка F') астигматизм окажется исправленным,
кома же практически не изменится, и если она вообще мала, то
система дает вполне удовлетворительное изображение вблизи
точки Р. Такой вид поверхности предложили Данжон и Куде;
д) зеркало можно рассматривать как часть, выкроенную из
большого параболического зеркала аов с вершиной в точке О и
осью OF' (см. рис. 242). Система оказывается центрированной,
изображение в точке на оси безупречное, однако оно заметно
портится по мере приближения к краям поля (большая кома, астигма-
514

-изм, кривизна). Система является наиболее совершенной в
оптическом отношении, но ее трудно изготовить.
Сложные зеркальные и зеркально-линзовые объективы. Если
система содержит два или большее число неплоских зеркал, то та-
.[Vio систему называют сложной. Будем рассматривать системы,
1
Рис. 243. Оптические схемы предфокальных зеркальных объективов;
о — удлиняющая система; б — укорачивающая виотема
.остоящие только из двух неплоских зеркал. Большое вогнутое
зеркало, определяющее действующее отверстие сложной системы,
называют главным зеркалом, меньшее зеркало, преобразующее
сходимость пучков, называют вторичным зеркалом. Все
многообразие объективов можно свести к четырем характерным типам:
лредфокальные системы — удлиняющие и укорачивающие и за-
тюкальные системы — удлиняющие и укорачивающие.
4
1
« SZ «,
■С .. 1. -
S',
-//
-d,
S.2
V г
^
.—щ.
^
г
s'z
- s2 _
-*—wm
^^
"-\
-*'=-//
-С>7
4
b
■■ >'
\
Рис. 244. Оптические ехемы зафокальных зеркальных объективов!
а — удлиняющая енгтема; 6 — укерачиваклнаи система
В схемах, представленных на рис. 243, а, б, вторичное зеркало
- расположено перед фокусом главного зеркала / F \ , и поэтому
*ти схемы называют предфокальными в отличие от схем зафокаль-
шх (рис. 244, а, б), где зеркало 2 расположено за фокусом
зеркала / F' . В схемах на рис. 243, а, 244, а вторичное зеркало
уменьшает сходимость отраженного пучка, т. е, удлиняет общее фокусное
7* 615

расстояние. Такие системы называются удлиняющими или
зеркальными телеобъективами.
В схемах, представленных на рис. 243, б, 244, б, происходит
укорочение общего фокусного расстояния, такие системы
называются укорачивающими или зеркальными дуплетами.
Рис. 245. Оптическая схема обращен- Рис. 246. Оптическая схема классн-
ного телеобъектива ческого объектива Кассегреиа:
/ — главное зеркало — параболоид
вращения! 2 — вторичное зеркало — гиперболоид
вращения
Если вогнутое вторичное зеркало 2 значительно превосходит
по диаметру выпуклое главное зеркало /, то такие системы
называются обращенными телеобъективами (рис. 245). И, наконец,
если в схемах (:м. рис. 241, а, 242, а) точка F'0e удалена в
бесконечность, то через отверстие в зеркале выйдут параллельные пучки
лучей и система будет телескопической.
Рис. 247. Оптическая схема классиче- Рис. 248. Оптическая схема класси-
ского объектива Грегори: ческой тетескопической системы Мер-
1 — главное зеркало—парабелоид вращения; сена:
i - вторичное зеркало - эллипсоид праще- , _ глаШ1ое зеркало - параболоид враще-
"ия ния; 2 — вторичное зеркало — параболопл
ъращения
В классической системе Кассегрена (рис. 246) главное зеркало
/ —параболоид, вторичное зеркало 2— гиперболоид. В системе
Грегори (рис. 247) главное зеркало 1— параболоид, а вторичное
зеркало 2 — эллипсоид. Отличие схем еще и в том, что н системе
Грегори имеется промежуточное изображение предмета. В
системе Мерсена (рис. 248) главное 1 и вторичное зеркало 2— парабо-
516

лоиды, фокус F' лежит в бесконечности и система работает как
телескопическая.
В том случае, если оптические схемы объективов будут
состоять из двух сферических зеркал, то в дальнейшем такие объективы
будем называть в соответствии со схемой: системы типа Кассегре-
на, типа Грегори и типа Мерсена.
Однако, как бы ни сложна была форма зеркал, объективы не
могут быть исправлены в отношении астигматизма и комы,
поэтому угол поля в этих системах не превышает 2—3° *.
Для компенсации монохроматических аберраций зеркальных
систем применяются линзовые компенсаторы. (Основные схемы
объективов с линзовыми компенсаторами представлены на рис. 254,
256—258, 263, 266—270).
Теория и расчет компенсаторов, а также расчет зеркальных
и зеркально-линзовых объективов с компенсаторами приведены
п§ 167—§171.
Расчет простых зеркальных объективов
Оптические схемы простых зеркальных объективов
представлены на рис. 239, 241. Экранирующее зеркало (контротражатель)
уменьшает габариты системы, позволяет рационально разместить
приемник лучистой энергии. Однако в этой схеме имеет место
экранирование (зрачок имеет кольцевую форму), площадь
которой определяется выражением
где SBX.3P = -f \р\ — Щ=*1—,
d = Vd\-d\ = D, УТ^Т>,
D\ —световой диаметр сферического зеркала; Di — световой диаметр-
контротражателя; k = коэффициент экранирования.
Тогда эффективное относительное отверстие еЭф определится как
Эффективное относительное отверстие необходимо учитывать при
расчете дальности действия, определении коэффициента полезного
действия и оценке качества изображения системы.
* Крегьен предложил апланатическую удлиняющую предфокальную
систему, аналогичную схеме Кассегрена. Главное зеркало имело форму
гиперболоида. Система не свободна от астигматизма и кривизны поля, которая в 6,8
раза меньше, чем оптическая сила всей системы. Ричи первым изготовил такой
объектив, поэтому эту систему часто называют системой Ричи — Кретьена.
Такую схему часто используют в современных телескопах.
617

Запишем выражения сумм Зейделя, характеризующие аберрации
одиночного зеркала:
Sn =yiPi-Wi;
«Sii i
£1р,_21^и7, + 12Ф;
Siv =
San
hitiri
У1,
Sv = APl-SI^Wl+2P^t.
(25.67)
Bx. зр.
где параметры P\,W\, я для
одиночного зеркала в воздухе, когда
п\ = 1, «2 = — 1, I = — 1,
определяются выражениями
Pi =
1
(<х2 — <xi)2(a2 + ai);
'У,'и
W\ = —(a2 — ai).
Рис. 249. Ход первого и второго
параксиальных лучей в простом
зеркальном объективе (предмет на конечном
расстоянии)
п = 1X2 + ai
(25.68)
Если предмет в бесконечности
(Si = — со), то с учетом
нормировки первого параксиального
луча ai = 0, <х2 = — I, /' = —J,
h\ = 1 и при условии, что
входной зрачок совпадает с вершиной
зеркала (sp = 0), выражения (25.68) примут вид: Р\ = -\—г,
W\
-г-, в = —1,0, а суммы Зейделя запишутся как
Sr = -f-f, STi = +-j, 5П. = + 1, S,v=-1, Sv=0. (25.67')
Если предмет расположен на конечном расстоянии (si ф — со),
то при нормировке ai = ^о» а2 = — 1, /zi=Siai, I = -fj3o(sp — Sj)
параметры Pi и W\ по (25.68) примут вид (рис. 249)
Рх = \(У + Ы{\-Н ^i-i(i-^n),
а суммы Зейделя в случае, когда входной зрачок совпадает о
вершиной зеркала (sp = 0), запишутся в виде:
- 4-s,p0(l + Po)»(l-Po);
Sn = 4" sipo (1 - Р*о);
Sin =Sip0(l-Po);
SiV = — Фь
5V = 0.
518
(25.67")

Величину сферической аберрации в линейной (AsnI), в угловой
мере (До'), радиус кружка рассеивания в плоскости Гаусса (Ду ),
а также величину волновой аберрации (JV), вносимые одиночным
вогнутым зеркалом в области аберраций третьего порядка, можно
вычислить по формулам
a) Asln =
б) До' =
в) £±у' =
8/об
™3
яг,
Св
яг,
8/оо
«?
4',
«?
'Г
т\
2,?'
т\
32/й
4л?
(25.69)
Из (25.69,а) следует, что сферическая аберрация, вносимая
сферическим зеркалом, оказывается в восемь раз меньше поодольной
сферической аберрации линзы, рассчитанной на минимум
Сферической аберрации, для которой при ге=1,5 Pmin = 2,14, As' = —
т%
/об
Из формул (25.67') также следует, что при любом положении
предмета относительно зеркала (за исключением случая, когда s\ — г,
Ро = —1) сферическая аберрация остается неисправленной, однако
если N <С-^, то такое зеркало практически не отличается от
идеального, параболического. В этом случае распределение
освещенности в дифракционном изображении точки будет аналогично
распределению освещенности для идеальной системы.
Исходя из условия JVmax < -j- и приняв X = 0,555 нм, Д. Д.
Максутов вывел условие сферического зеркала, практически
заменяющего параболоид:
Dmax = 0,2847с3,
где Dmax — максимальный световой диаметр зеркала; К = f'oe/D —
величина, обратная относительному отверстию.
В табл. 6 приведены значения относительных отверстий и
допустимые свэтовые диаметры зеркала, при которых оно дает
практически идеальное изображение:
Чб
Dmax> мм
1 » 1
0,284
1 : 1,4
0,779
I : 2
2,27
1 ! 2,5
4,44
1 1 3,5
12,2
1 15
35,5
1 • 7
97,4
Та
1 ! 10
284
блица 6
1 : 14
779
1 ! 20
2270
519

или
, если K=\,b23VD при N = -(X = 0,555нм), будем иметь:
Таблица 7
мм
Ud
70
6,26
100
7,05
140
7,90
200
8,89
250
9,57
350
10,7
500
12,1
700
13,5
1000
15,2
2500
20,6
5000
26
Вх.зр
Рис. 250. Ход первого и второго параксиальных лучей в простом зеркальном
объективе (предмет в бесконечности):
<j — входной зрачок расположен в центре кривизны сферического зеркала; б — центр зрачка
совмещен в вершиной сферического зеркала
Из табл. 6, 7 видно, что при световом диаметре D\ = 100 мм
сферическое зеркало практически равноценно параболическому, если
—г- не превышает 1:7; при D —1000 мм относительное отверстие
'ofi
должно быть 1:15 и т.д.
На величину полевых аберраций, как показывают формулы (25.67),
оказывает влияние положение входного зрачка. Так, если s\ =—со,
a sp = 2/i = г\, т. е. входной зрачок расположен в центре кривизны
зеркала, то S7 = РГ —-^> Sn=0, Sui=0, SiV = — 1. Sv = 0
(рис. 250, а). Если же центр входного зрачка совпадает с вершиной
-со ST=P7 =
Sir = -?р Sni =
зеркала sp = и, то при s\ — __ „,_.,,_
= 1, 5,v = —1; Sv=0 (рис. 250,6).
Отдельное зеркало свободно от сферической аберрации, если оно
имеет форму параболоида. Однако хогя у параболического зеркала
As' = 0, кома и астигматизм такие же, что и у сферического
зеркала, в том случае, когда входной зрачок совпадает с оправой
зеркала. Приведем соотношения для полезного углового поля, когда
кома практически не влияет на качество изображения (зеркало
параболическое),
520

0,00362 [f'/Dl
D~,
0,00362/f2
и формулу определения полезного углового поля, для которого
астигматизм не влияет на качество изображения,
= 0,0333
V-k
Делаем вывод, что если одиночное сферическое зеркало
использовать в качестве оптической системы (например объектива
или конденсора), то необходимо устранить сферическую
аберрацию асферизацией поверхности или применением компенсаторов.
Габаритный и аберрационный расчет
двух зеркальных объективов
Расчет зеркального объектива типа Кассегрена. Оптическая схема
зеркального объектива типа Кассегрена представлена на рис. 251.
сСг=0
лйсв £'.-—--"^-^г\^~~~
.
1
<
(
j
•f'ri
1
i
^
-d,
7
t
|
« »■
S2
L
>_
Рис. 251. Габаритный расчет зеркального объектива типа Кассегрена
Пусть входной зрачок совпадает с вершиной поверхности первого
зеркала (sp == 0). Габаритный расчет выполняется при следующей
нормировке: ai =0, a3 = I, /об = Ai = l, ij\ — sp = 0, $\ =■■ +l. Если
система расположена в воздухе, то п\ = «з = I. п2 = — 1.
Расстояние между зеркалами определяется из условия равенства
h2
угла аз=1. Тогда, как следует из рис. 251, аз = _d + g, тогда
h2 = — d\ + 8. Так как Ы = А, то di = 8 — А.
Угол а2 —угол первого параксиального луча с оптической осью
определяют из соотношения
,_* (25.70)
<Х2 :
h{—h2
— ft
где А = -~ — коэффициент экранирования.
521

Вычислив углы первого параксиального луча с оптической осью,
радиусы кривизны зеркал объектива определяют по формулам
расчета хода первого параксиального луча, а именно:
Ai(n2-"i)_ 2 .
г\ =
Г2 =
/l2a2 — rtj а j а2
Мпз—пг)__ 2ft
пЗаЗ — л2а2 * + а2
(25.71)
Из формул (25.71) видно, что чем меньше значение угла а2,
тем больше радиусы кривизны зеркал, а следовательно, и
меньше аберрации высших порядков. Значение же угла а2, как следует
из формулы (25.70), определяется величиной б — выносом
изображения, так как коэффициент экранирования в зеркальных
системах порядка 0,4—0,5. Чем больше вынос изображения б, тем
больше угол 1аг1 и тем больше кривизна поверхностей зеркал. Самым
оптимальным вариантом является система с 6=0. Изображение
находится в вершине поверхности главного зеркала, хотя такая
конструкция объектива не всегда бывает удобной.
Выполним аберрационный расчет системы типа Кассегрена,
вычислив первую и вторую суммы Зейделя:
2
Si = S KP, = Px + kP2;
v=l
Si, = S г/vPv - I S 1P, = yiPi + У2Р2 + W1 + W,.
v=l v=1
Так как Sp = 0, то y\ = 0 и Su = У2Р2 + W\ + W2. Параметры
Pi, Рг, Wi, W? будут соответственно вычисляться по формулам
4_ 93. п ._ ('-'2)4'+"») __(l-4pf)(l-2P])
i- 2pt;
Ро =
4
а
2 1 „2 i_4n?
2 о 2.
Wi = V—2pf; W
1-а2 1-4р
1
где pi = —.
Тогда о учетом того, что y2=d\, выражения для Si и 5ц
примут вид
s,- °23(*-'>-*(°2 + °2-0. (25<72)
2 + rf,(l — «2)^(1 + "2)
4
(25.73)
Анализ формул (25.72) и (25.73) также показывает, что значения
сумм Зейдэля Si и Su для системы из двух зеркал, расположенных
на расстоянии d\ друг от друга, зависят от угла а2 и от
расстояния di.
522

Габаритный расчет зеркального объектива типа Грегори. Оптк
ческая схема зеркального объектива типа Грегори представлена н^
ркс. 252. Пусть входной зрачок совпадает с вершиной первой
поверхности главного зеркала (sp = 0). Расчет выполняется при
следующей нсрмировке: сц = 0, а3 = ~1, /г, = ~f'o6 = 1, /^ = _i ...-
= sp = 0, Pi = 1, 1 = —1. Как видно из рис. 252,
= А = А = А.
«I f\ r* '
аз = —т— = — 1.
ct,*0
Рис. 252. Габаритный расчет зеркального объектива типа Грегорр
Из (25.74) следует, что h2 = — s2 — — (S— d\), тогда
di = h2 + 8.
По формуле перехода от одной поверхности к другой запишем
h2 = h\ — di<x2, тогда
а2 =
I—А
Г = i- = 2(Л2+8)
а2 I — Л2
Радиус кривизны при вершине второго зеркала определим m
формуле
_ ^("з — "г) _ 2Л2
/"2 =
/г3о3 —п2а2
я, — I
Подставив значение угла а2 в выражение для г2, с учетом того
что h2 — —k, получим
2 I -J- 2Ar — S *
523

Итак, конструктивные параметры зеркального объектива
запишутся в виде
2 (5 — к) .
г, = \ + k - я, = 1
d\ — b — k «2 = — 1 /об = — 1.
—2k(b — k) .
Габаритный расчет системы типа Мерсена. Система типа Мер-
сена, оптическая схема которой представлена на рис. 253, относится
к телескопическим системам. Роль
окуляра выполняет второе зер-
I ^г^Л'1 кал0- Габаритный расчет системы
выполняется при следующей
нормировке первого параксиального
луча: aj «= аз = 0; для системы
в воздухе «1 = «з = 1. «2 = —1.
Исходными данными для расчета
Рис. 253. Габаритный расчет зеркаль- являются угловое увеличение то
ной телескопической системы типа „ '
пои 1CwiC^u Мерсена и расстояние между вершинами
зеркал d\.
Известно, что угловое увеличение можно определить как
2 f2 г2
Вычислим радиусы кривизны поверхностей зеркал,
воспользовавшись формулами расчета хода первого параксиального луча:
а) для первой поверхности: п:«? — пп — Лп2~п\) так
ftiai = 0, то
2ft,
a2 =
•l
г,
(25.75)
б) для второй поверхности «Зад — п-&г — 2'"3 "2J
так как
'2
яз«з = 0, то
а2 ==■
Щ
' 'I
(25.76)
Приравняв правые части уравнений (25.75), (25.76), получим
ra л.
Так как hi = h\—d\a2, то
и — 1
*1 *Г
524

или с учетом (25.75) получим
h
_^ = 1_^]_
Заменив отношение -г— через —, определим
Г\
То
2^iTq
тогда
Г2 = —
2d,
То То -1
Анализ формул (25.72) и (25.73) показывает, что чисто
зеркальные системы, состоящие из сферических отражающих зеркал, при
&>0,1Дб имеют значительные аберрации, для компенсации которых
в системы вводят специально рассчитанные компенсаторы.
§ 167. Компенсаторы монохроматических аберраций
зеркальных систем
Первые компенсаторы стали появляться в XVIII веке после
изобретения ахроматических объективов. Идея применения афо-
кальных компенсаторов для исправления сферической аберрации
Рис. 254. Оптическая схема зеркаль- Рис. 255. Оптическая схема объектива
иого объектива с компенсатором Росса; М. В. Ломоносова:
I — параболическое черкало; 2 — компен- / — параболическое зеркало; 2 — плоское
сатор Росса зеркало; 3 — линзовый компенсатвр; 4 —
окуляр
и комы возникла в 1876 г., а впервые такие компенсаторы были
применены Россом в 1913 г. (рис. 254). Однако хотя афокаль-
ный компенсатор 2 и устранял кому параболического зеркала /,
он в несколько раз увеличивал астигматизм. Поэтому введение
такого компенсатора увеличивало угол поля лишь незначительно
по сравнению с зеркалом. Угол поля составлял не более 15'.
Создателем первого зеркально-линзового объектива является М. В.
Ломоносов. Объектив М. В. Ломоносова, оптическая схема которого
приведена на рис. 255, состоит из большого параболического
525

зеркала /, наклоненного относительно оси падающего пучка лучей.
Вблизи фокальной плоскости зеркала поставлено плоское
зеркало 2, направляющее ось отраженного пучка параллельно оси
входящего пучка. За фокальной плоскостью зеркала расположен
линзовый компенсатор 3. Изображение рассматривается с помощью
окуляра 4. Компенсатор и окуляр имеют значительно меньшие
размеры по сравнению с зеркалами.
В настоящее время все компенсаторы монохроматических
аберраций, применяемые в зеркальных системах, можно разделить
на три группы:
I. Афокальные ахроматические компенсаторы. В эту группу
входят:
1. Коррекционная пластинка Шмидта.
2. Двухлинзовые афокальные компенсаторы: а) работающие
в параллельных пучках лучей; б) устанавливающиеся в
сходящихся пучках лучей; в) работающие одновременно и в
сходящихся и параллельных пучках.
3. Компенсатор комы В. Н. Чуриловского.
II. Менисковые компенсаторы.
III. Компенсаторы, оптическая сила которых отличается от нуля.
IV. Компенсаторы кривизны поля.
Афокальные ахроматические компенсаторы
1. Коррекционная пластинка Шмидта. Оптическая схема
зеркального объектива с коррекционной пластинкой Шмидта
представлена на рис. 256. Оригинальная по простоте и осуществлению
эта зеркальная система, предложенная Шмидтом в 1931 г.,
произвела сенсацию в научном мире. Известные в то время двухзер-
кальные системы имели небольшие углы поля (несколько минут)
и малое относительное отверстие. Предложенная же система
обеспечивала относительное отверстие 1:1, имела угол поля 40° и
состояла из одного зеркала / и пластинки 2, расположенной в
центре кривизны (точка С) зеркала /. Пластинка являлась входным
зрачком системы, поэтому главный луч падал на зеркало по
нормали к поверхности и безаберрационно возвращался в центр
кривизны. Это обеспечивало автоматическое исправление полевых
аберраций: комы, астигматизма, дисторсии. Сферическая
аберрация зеркала исправлялась планоидной поверхностью пластинки
(благодаря соответствующему выбору формы планоидной
поверхности максимальное отступление планоидной поверхности от
плоскости составляет 0,1 мм).
К недостаткам системы можно отнести ее большую длину,
в два раза превышающую фокусное расстояние системы, большой
диаметр коррекционной пластинки, труднодоступное положение
изображения. Так как использовался лишь один линзовый
компонент, то он вносил хроматические аберрапии, которые, однако, были
незначительны. И, наконец, в системе не была исправлена
кривизна поля, величина которой равна фокусному расстоянию,
однако кривизну поля можно исправить, если вблизи плоскости изобра-
526

жения поставить линзу Смита. Но эти недостатки не играют
решающей роли по сравнению со многими достоинствами. Система
Шмидта и ее модификации получили самое широкое
распространение. Одной из разновидностей системы Шмидта является
объектив Райта, оптическая схема которого представлена на рис. 257.
Вогнутое зеркало имеет форму сплюснутого сфероида, длина
системы почти вдвое короче системы Шмидта. В объективе хорошо
исправлена кривизна поля, но нарушен принцип симметрии
Шмидта, поэтому камера Райта имеет астигматизм, а это уменьшает
полезное поле системы и относительное отверстие по сравнению
с системой Шмидта.
Рис. 256. Оптическая схема простого Рис. 257. Объектив Райта
зеркального объектива с корреционной
пластинкой Шмидта
Объектив Бейкера — Шмидта представлен на рис. 258. Он
состоит из двух сферических зеркал 2, 3 и коррекционной пластинки /.
Объектив свободен от сферической аберрации, комы, астигматизма
и кривизны поля.
Интересной является система «Супер Шмидт», представленная
на рис. 259. Два мениска / и 3 концентричны сферическому
зеркалу 4, в центре кривизны которого располагается ахроматическая
коррекционная пластинка 2. Для устранения хроматической
аберрации пластинка 2 изготавливается из двух марок стекла,
внутренняя поверхность пластинки —асферическая. Объектив имеет
относительное отверстие —т— =1:1 и угол поля 2ш = 30°. Расчет дефор-
мированной поверхности пластинки ведется из условия исправления
сферической аберрации зеркал.
2. Двухлинзовые ахроматические афокальные компенсаторы. Двух-
линзовые компенсаторы, устанавливающиеся в зеркальных
объективах, должны обладать апохроматической коррекцией в широком
спектральном диапазоне. Для ахроматизации компенсатора
необходимо выполнить условие S(xp. = 0, т.е. — + — = 0. Так как ком-
пенсатор афокальный <pi -f- <р2 = 0, то одновременно выполнить эти
Два условия (условие афокальности и ахроматизации) возможно толь-
527

ко в том случае, если обе линзы компенсатора будут выполнены из
одной марки стекла (vi = vl>). При переходе от бесконечно тонких
линз к линзам конечной толщины ахроматизация практически не
нарушается. Однако может оказаться, что при расчете систем с
большим относительным отверстием хроматизм положения все-таки
будет кметь значительную величину, что является следствием прояв-
Рис. 258. Объектив Бейкера—Шмидта Рис. 259. Объектив «Суиер Шмидт»
ления сферохро.матической аберрации в системе. Так как
компенсатор не меняет оптической силы объектива и не вносит хроматизма,
то его целесообразно использовать для компенсации сферической
аберрации и меридиональной комы зеркальной части объектива.
С точки зрения исправления аберраций афокальные
компенсаторы нз одной марки стекла обладают двумя степенями свободы, т. е.
этим компенсаторам можно придать любую, заранее фиксированную,
пару значений />ком и ltf\0M (за исключением W = 0, Р ф 0).
Величина тс — третий основной параметр
nz п^ для бесконечно тонких афокальных си-
nS~' сс5-0 стем равен нулю. Следует также отме-
cCif. тить, что число коррекционных
параметров в афокальных двухлинзовых
компенсаторах равно трем, т. е. на
единицу меньше, чем число
конструктивных элементов(четыре радиуса
кривизны при выполнении условия афо-
кальности). Поэтому один из
конструктивных параметров, например,
оптическая сила (<pi = аз), является
параметром, не влияющим на аберрации
третьего порядка, но оказывающим
влияние на аберрации высшего
порядка.
Афокальный компенсатор в параллельных
пучках лучей. Двухлинзовый афокальный ахроматический
компенсатор, устанавливающийся в параллельных пучках лучей,
разработан в Государственном оптическом институте (рис. 260).
Компенсатор имеет четыре свободных параметра — четыре
радиуса кривизны: один — для выполнения условия афокалыюсти,
два — для исправления сферической аберрации и комы, один —
Рис. 260. Ход первого
параксиального луча в авухлинзовом
афокальном ахроматическом
компенсаторе, устанавливающемся
в параллельном пучке лучей
528

для выбора удобной формы линзы и формы линз с уменьшенным
значением сферической аберрации высшего порядка.
Так как компенсатор должен исправлять аберрации
зеркальной части объектива, то
I зер>
5цзеР; ПрИ 1)\ = 0.
v=i
При расчете компенсатор принимают за бесконечно тонкий
компонент (d\ =d2=d3 = 0, h\ = h2 = h3 = h4 = hK0M). С учетом
нормировки первого параксиального луча (сч = а5 = 0) и при условии,
что система расположена в воздухе (п\ — пз = п5 = 1, а п4 = п2= п),
выражения для Рком и WK0U после соответствующих преобразований
примут вид
Рком = (т=тУ °«(«2 - а<) [& + «и) (1 + !■) - ад (2 + |)]; (25.77)
Из (25.78) найдем
^ком = п_ I а3 (<*4 — *?)■
а4 — а2
Из (25.77) определим
(Я —1) Гко.
(я+1) «з
0-4 + <*2 =
2+п
»ч)—1^
(а4 —а2)а3
Решая совместно (25.79) и (25.80), получим
2а2 =
ia4
1
2+п
п
W
ком
1 "ком
1 — К
Л+1
+
п i+a3(2n+l)
1
в8(я+1)
(25.78)
(25.79)
(25.80)
; (25.81)
2+ п
(2п+1)а3 + ^ '-/]. (25.82)
w ком " J
В бесконечно тонком компенсаторе при условии, что ЛКОм—h\~~
= /об = 1. угол аз = cpi и служит для исправления аберраций
высшего порядка.
Для выбора оптимального значения аз целесообразно вычислить
углы а2 и а4 при различных аз и в первом приближении выбрать
то значение аз, при котором все поверхности компенсаторч будут
иметь достаточно малую кривизну. Далее необходимо определить
суммы Зейделя на всех поверхностях и более точный выбор аз.
529

Pl~=
провести на основании значений этих сумм, особенно обращая
внимание на те аберрации, которые надо исправлять.
Величину угла аз можно также определить из условия минимума
сферической аберрации первой линзы компенсатора. Так как
Я2 Г 3 0 2.2 1 2 . 0 2 1 1
-j а3 — ^а2аз + а2а3 — — а2аз + 2а2а3 — ,
(п — 1) L ™ п J
dPs 2а2(2+п)
то, приравняв -^- = 0, получают аз = 2 ' ^—. Из опыта
расчета обычно значение аз рекомендуется брать в пределах от 0,5 до
1. Однако надо помнить, что многое зависит от значений Яком
и Whom, которые определяются из расчета Slaep и Su зер зеркальной
части объектива. В светосильных зеркально-линзовых системах
допустимы значения Рком, не превышающие величин 1ч- + 1,
a Whom не должно превышать величин 0,2-f-0,5. Одновременное
требование малого значения WK0M (меньше 0,2 ч-0,1) и даже не
очень большого Рл0„ приводит к большим кривизнам поверхностей
компенсатора, так как в выражения для а2 и а4 [формулы (25.81)
и (25.82)] входит отношение *ом .
w ком
В том случае, если при аберрационном расчете зеркальной части
объектива окажется, что />Ком и WK0M имеют большие значения
порядка (4—6), то радиусы поверхностей компенсатора будут малыми,
а это вызовет появление аберраций высших порядков. В подобных
случаях целесообразно ставить второй компенсатор, который, не
вводя дополнительных коррекционных параметров, позволит
распределить значения Рком и WK04 на два компенсатора и тем самым
уменьшить кривизну поверхностей (но не в два раза), а
следовательно, уменьшить аберрации высших порядков. В этом случае
также необходим умелый подбор угла аз.
Определив из условия минимума сферической аберрации и комы
третьего порядка углы а2 и оц, вычисляют по методике, изложенной
в § 166, конструктивные параметры афокального компенсатора.
Однако поскольку конструктивные параметры рассчитываются из
условия минимума аберраций третьего порядка, то при
тригонометрическом анализе системы (ее исходного варианта) компенсация
может оказаться неполной из-за появления аберраций высших
порядков. Для их компенсации изменяют углы а2 или а4 или же
заново рассчитывают компенсатор при других значениях угла аз.
Системы, содержащие компенсаторы в параллельных пучках, не
могут быть применены в системах объективов диаметром более 50—
70 мм из-за трудности получения однородных заготовок стекла
больших размеров, кроме того, велика масса этих компенсаторов.
Афокальные компенсаторы в сходящихся пучках
лучей (рис. 261). Компенсатор, устанавливаемый в сходящихся
пучках лучей, предложен в 1934 г. Н. В. Чуриловским и состоит
из двух линз, имеющих форму менисков. Афокальный компенсатор
в сходящихся пучках лучей имеет три свободных параметра: два
530

внутренних — углы с*2 и а4 для исправления сферической аберрации
и комы и один внешний угол аз для компенсации аберраций
высших порядков.
Рекомендуется выбирать значение угла аз с учетом исправления
аберрации высшего порядка:
1. Если в компенсаторе положительная линза впереди, то аз =
= 1,5-4-2,0;
2. Если в компенсаторе отрицательная линза впереди, то аз =■
п2 П3'1Г% л$°1
= 0,5-ь 0,3.
Для выбора приемлемого
значения аз в каждом конкретном
случае необходимо из решения
уравнений Ркои и WK0U определить
углы а2 и а4, вычислить
конструктивные параметры и окончательный
выбор значения аз сделать по
максимальным радиусам кривизны.
С учетом принятой
нормировки, считая, что компенсатор
устанавливается в сходящихся пучках
лучей ai=a5 = l» полагая
компенсатор бесконечно тонким (Ai = Аг = А3 = А4 = АКОм. d\ —d2 =
= с?з = 0), с учетом того, что ti\ = д3 = Пь = 1. Щ = п4 — п,
выражения для Рко„ к. WK0M примут вид
Рком = (п11)я^аа~а*)^3 ~ J)Ka2 + ^4)(2 + п)-(1 + 2п)(1 + а3)];
(25.83)
(25.84)
Из (25.84) находят
Рис. 261. Ход первого параксиального
луча в двухлинзовом афокальном
ахроматическом компенсаторе,
устанавливающемся в сходящемся пучке
лучей
№ком = „„J (а2 — а4)(1 — а3).
аг — а4
Л-1 ^ко
n + 1 1 — «з
(25.85)
Из (25.83) определяют
аг + а4
2+/1
(1-пГ
(«,—4)(«,-ij + 0 + 2")0 + «4 (25.86)
Если положить в формулах (25.83) и (25.84) а3 = 1, то РКОм =
— W^kom = 0 и компенсатор не будет выполнять своего назначения.
Решая совместно (25.85) и (25.86), находят
*■"•"-; (25.87)
О 2ft + ' /- _U 1\ "2 — 1 Рком
2п+1
2а*=8-2+Г(аз+1)~Т(2 +
/1+1(0.3-1)
1 ком , Я — 1 ^крм /ОС ООЧ
«)1^Г+ «+1 («3-1)-(25-88)
По известным значениям углов аг, аз, а4 вычисляются
конструктивные параметры компенсатора: радиусы кривизны
поверхностей линз, толщины линз и воздушный промежуток.
531

В случае, если одним компенсатором не удастся исправить
аберрации зеркальной части объектива, то в системе
устанавливают два компенсатора (один — в параллельных пучках, другой —
в сходящихся пучках). Свободных параметров в двух
компенсаторах достаточно для исправления всех аберраций третьего
порядка.
3. Компенсатор комы В. Н. Чуриловского. В классических
зеркальных системах, имеющих асферические поверхности (системы
Ньютона, Грегори, Кассегрена), сферическая аберрация
отсутствует, однако меридиональная кома имеет значительную
положительную величину, что ограничивает полезное поле этих систем.
Рис. 262. Ход первого параксиального луча в компенсаторе комы
В. Н. Чуриловский предложил использовать для компенсации комы
в таких системах линзу, которая вызывает незначительное
центральное экранирование. Компенсатор комы представляет собой
мениск с равными радиусами кривизны, внутри которого луч идет
параллельно оптической оси (рис. 262). Мениск свободен от
хроматизма положения (Sixp) и сферической аберрации (Si=0).
Хроматизм увеличения небольшой и не влияет на качество
изображения.
Толщина мениска обычно получается незначительной, но в
некоторых случаях, при малом относительном отверстии и большом
фокусном расстоянии, толщина мениска может оказаться
большой. В этом случае целесообразно заменить мениск двумя
линзами, как бы вводя в него ограниченный плоскими поверхностями
воздушный промежуток (рис. 262, б).
На рис. 262, а показаны ход первого параксиального луча и
углы луча с оптической осью. Запишем формулы расчета хода
первого параксиального луча через мениск:
ttv+i<*v+1 — «л = rtv (n»+1 — «») p»;
Так как я„ = яч+2 = 1» av = av+2=l, av+i=0, то «»= лу+],
p„ = pv+i — мениск имеет равные кривизны. Покажем, что такой
532

компенсатор не вносит хроматизм положения и сферическую
аберрацию. Для этого вычислим Si Xpi Si.
*v+l
\ «v+2 rtv+l /
С учетом того, что Дя» = Дя,+2 = О, Д«у+1 = д"> "v+i = п, получим
о . л Дл , , п I Ап\ .
Si Хр - -Ьт=И ПГ + Л'+' Т=.Г I—TtJ = °-
Вычислим Sf.
»+i
Si = 2j "v-P, = «v°v + "v+lPv+b
где
>—(т^
'--(тЫ-
тсгда Si = 0.
Определим величину Suxp;
V rtv+2 П,+| /
t An . An с, . An , ч
= >Ч/» ТГ^П" ~ "v+l//v+l 7TZTT' ^Hxp^rtv-^TTV^-^^1)-
С учетом того, что £/,+i — у, =—d$~,+u получим
Sn хр = ~j M,p,+i. (25.89)
Из (25.89) следует, что мениск вносит хроматизм увеличения.
Толщина компенсатора в системе определяется из условия
исправления комы всего объектива
v + l v+I
где
Г.-т^г. Л — (т^г)'.
533

тогда
или
Sll ком = \ !_n j (#v+l — f/v)
>JII ком —
1-я
d,p
v + 1.
М/'О.п,"! /СкЛ <Хз,Пз*1
Рис. 263. Зеркальный объектив с ахроматическим компенсатором Д. Д. Максу
това
Зная численное значение Snsep. определяют толщину мениск;
п\
+ 1
Один и тот же компенсатор можно использовать в различны;
системах, правильно его располагая. А именно, мениск надо pai
положить так, чтобы задний фокус зеркальной системы совпадал
с гауссовым передним фокусом вогнутой поверхности мениски
Менисковья компенсаторы. Менисковый компенсатор Ма.ссутовс
Ахроматический компенсатор Д. Д. Максутова представляет co6oi
отрицательный мениск небольшой толщины, конструктивные napt
(рис. 263,а, б.
-2_
метры которого связаны соотношением —-;—- = —т-
"1 пг
Мениск позволяет осуществить хорошую коррекцию сферическое
аберрации и успешно применяется в астрономических система:
с /об = ЮОО — 2000 мм при относительных отверстиях — = 1:2.-г- 1:С
Оптическая схема объектива с компенсатором Максутова предстар-
лена на рис. 263. Поскольку мениск имеет один свободный napt
метр, то он применяется только для компенсации сферической абег-
рации зеркала. Благодаря соответствующему выбору расстояния и:
между мениском и зеркалом удается исправить и кому.
Компенсирующее действие мениска основано на том свойстве, что он да
афокален и по своему действию близок к пластине Шмидта. Oct-
534

бенность расчета заключается в том, что при расчете компенсатор
не принимают за бесконечно тонкий, т. е. d\ ф О, Н\фк2ф h3. Из
условия ахроматизации Si хр — 0 определяют углы а2 и а3 первого
параксиального луча с оптической осью:
А"2 _ 4"Л
п2 «1 '
Так как система расположена в воздухе, то п\ = «з — 1. п4 = —1,
п2 — я, Д«1 = О, Д«2 = Д«. Д«з == 0, и
>1 хр
= /.!-
-Д« + Л2_^-
-(-Д").
откуда
аз
ft2-ft,
(25.91)
Формула (25.91) есть условие ахроматизации мениска. Из (25.91)
видно, что мениск может быть ахромагизован в любом спектральном
диапазоне, так как в выражение для аз не входит значение
показателя преломления стекла, из которого сделан компенсатор.
Конструктивные параметры мениска Д. Д. Максутова определяют
из условий исправления сферической аберрации системы «мениск +
-f- зеркало».
По условию нормировки aj = 0, а4 = — 1, h\= —/0б = 1(
з
Si = 2 fts/\ = Pi + h2P2 + hP3, (25.92)
где
Pi =
(Я-1)
P2 =
(«
з
2 „2
2fn
(n-l)2
аз —-
1
(25,93)
J
Рз = ^(1+аз)2(1-а3).
Высоты первого параксиального луча вычисляют . по формулам
hi = —/об = 1, hi — 1 — di%2, h3 — h2 — d2x3, тогда (25.92) запишется
в виде
с " 3 i (\ л ч Г(аз — а2)2(a3« — а2) "
Si*=- -2-а2 + (1 — dia2) i ^ >—
(ft — \у
(п - \У
+
+ [ (1 -dia2-d2a3)|(l-a32)(l +а3)].
(25.94)
535

Из (25.94) видно, что на величину Asm влияют не только параметры
мениска — углы а2 и а3, но и расстояние d2. Толщину мениска d\
можно определить как d\ = 0,ШПОЛ.
Нахождение наиболее рационального варианта системы, с точки
зрения получения наилучшей и удобной коррекции, выполняется
следующим образом:
1. Задаются значениями угла а2(а.2 и а2).
2. По значениям а?, и а2 по (25.91) вычисляют соответствующие
значения углов а3 и аз.
3. По формулам (25.93) определяют значения параметров Р\, Р2,
Рз и Р], Р2, Ръ соответственно.
4. Находят высоты первого параксиального луча из условия
S, = О
Ая =
ftlP, + fc2P2
ь
расстояние
- /г2 — 7г3
а2 = —=
„ f ^i + V.
Р3
= ft2—13
И Й2 = = .
Из двух рассчитанных вариантов выбирают наиболее приемлемый
в конструктивном отношении.
Расчеты показывают, что наиболее совершенная коррекция
получается тогда, когда d2 = (1,2-г-1,5)/об-
Так как мениск ахроматичен, то в фокальной плоскости
системы образуется ахроматическое изображение. Если сферическая
аберрация мениска такова, что компенсирует сферическую
аберрацию зеркала, то в фокальной плоскости образуется
стигматическое изображение. Наконец, если правильно выбран промежуток
d2, оказывается исправленной кома и система становится аплана-
тической.
Мениск можно повернуть на 180° (см. рис. 263, б), при этом
система остается в первом приближении ахроматической и
стигматической, однако перестает быть апланатической, так как для
перевернутого мениска величина промежутка d2, при котором
исправлена кома, оказывается другой. Первая ориентировка
мениска (см. рис. 263, а) выгоднее второй, так как при ней прибор
оказывается более чем в два раза меньшим по длине.
Тригонометрические расчеты показывают, что фокальная поверхность
является не плоскостью, а имеет форму выпуклой сферы умеренной
кривизны (выпуклость направлена в сторону зеркала). Кривизна
поля является наименее вредной аберрацией, поскольку с ней
можно бороться.
Если для мениска выбрать стекло марки К8, то можно
воспользоваться при расчете эмпирическими формулами, полученны-
536

ми Д. Д. Максутовым, приводящими к наивыгоднейшему испрая-
лению аберраций в визуальной системе:
\ 0,660
/об
D
г, :D =— 0,5991-^-1 '. d\=0,W;
r2:D=-
D
i f' \0'660 / ;
0,599(-^r| +0,0559+0,007^4
~W
;d2:D=l,095(-^-
об
0,984
\ 1,1'
r3:D =-2,1051^
Формулами можно пользоваться и в том случае, если марк£
стекла компенсатора по показателю близка к К.8.
Компенсаторы, оптическая сила которых отлична от нуля
К таким компенсаторам можно отнести линзу Манжена (зеркг-
ло Манжена), представляющую собой линзу-мениск, выпуклая
поверхность которого покрыта отражающим слоем (рис. 264, а, б)
Поверхности линзы сферические.
Рис. 264. Определение конструктивных параметров зеркала Манжена:
а — предмет в бесконечности; б — предмет на конечном расстоянии
Сферическую аберрацию в линзовом отражателе можно уменг
шить за счет взаимной компенсации сферической аберрации отрс-
жающей и преломляющей поверхностей. Хроматические аберрации
у линзы Манжена не устраняются.
Определим конструктивные параметры линзы Манжена для
двух случаев:
1) когда s\ =—оо (рис. 264, а);
2) когда s\ ф — оо (рис. 264, б).
1-й случай (s\ =—оо). Определение параметров производится и:
решения уравнения масштаба и условия исправления сферическое
аберрации при следующей нормировке первого параксиального луча
537

си = 0, а4 = —1, /' = —1, Л=1. При расчете линзу принимают
бесконечно тонкой: d\ = —d2 = 0; h\ — h2 = Л3 =Л. Оптическая сила
з
линзы Манжена <р = У, (п„ — nv) р, при условии, что pi = рз> «i =»
= —«4 = 1,0 (система расположена в воздухе) и п2 =—Пз = п,
будет равна <р = 2я (р,.—р2)—2pt.
Условие исправления сферической аберрации записывается в виде
v=3
Si = £ fi,Pv = h(Pl + P2 + P3) = 0, (25.95)
где Pi, Рг, Рз — параметры поверхностей зеркала Манжена,
соответственно равны
rtot-9
^1—тг-Ч
з I
р2 =
(1-я)'
(аз — 4)(аз — ai)n
~ 4 *
*8~-£31)*(1+«*)»(« +«в).
(25.96)
Из (25.96) видно, что Si является функцией углов а2 и а3.
Значение угла аз можно выразить через угол а2, используя условие
равенства т\ = лз.
Так как г. _ n~ *
гз—П =-^ГТ1' то "а2 = "аз + 1.
тогда
а3=а2 — -J-- (25.97)
Подставив значения Pi, Р2, Рг в (25.96) о учетом (25.97), после
соответствующих преобразований получим
аа + Aal + Ba2+C = 0, (25.98)
где
Л = А(л2 + 2л-3);
о 5 3, 3
5 = ^F-^+"-T>
р 3 3 1 . п
~ 4ft2 8ft3 + 8п ■*" 2
Для решения кубического уравнения (25.98)
менную
У = а2 + Т'
тогда (25.98) примет вид
г/3 + Зру + 2q = 0,
538
-1.
введем новую пере-
(25.99)
(25.100)

где
Зр = В — 1 Л2;
2^ = 1,^-1^5 + 0.
Исследование уравнения (25.100) показывает, что оно имеет один
действительный корень, равный
y=U + V, (25.101)
где
U = V-q+Vq2 + p3, V^V-q-Yqi + p*.
Вычислив значения U, V, вычисляют переменную у, а по (25.97)
и (25.99) — углы первого параксиального луча с осью. По значениям
углов 7.2, аз при условии, что h\ = h2 = А3 —h = 1, вычисляют
радиусы бесконечно тонких линз
_ "— 1.
Г1 тн — ~~r~ I
т* d} = о,
fi тн
ТЪ тн :
«3 + а2 '
П— 1
Па3 + 1 '
0.
(25.102)
2-й случай (si =£ оо). Расчет выполняется при следующей
нормировке первого параксиального луча: оц = —j30, а4 = 1,0, h\ = —aiai==
= — atPo- Линзу принимают бесконечно тонкой (d\ — —d2 = 0, A| —
= А2 = Лз = /г). Параметры зеркального отражателя определяют из
уравнения масштаба и условия исправления сферической аберрации:
Si =■ Ё ftvP» = A(Pi + Р2 + Pa) = 0,
где
Я,=
(я-1)
-(*2 + Ро)!(«» + лРо);
^2 = j п (аз — я2)2 (а3 -f «2);
Яз=-
(я - 1)'
(1 —а3)2 (аз —п).
Выражают угол аз через угол а2, используя условие равенства г\ =
~п. Так как
(25.103)
Птн
1"2 тн
/"Зтн
—
=
=
п(я-1).
na2 + р9 '
2л
а3 + а2'
h (п - 1)
ла3 — 1 >
539

то, приравняв т\ тв
Гъ тн» получают яа2 + р0
: яаз — 1 и
аз - а2 + '" я • (25.104)
Подставляя значение аз из (25.104) в уравнение исправления
сферической аберрации, получают
<х2 -f- Ао.г + Ваг -f- С ■
0,
где
Л =
[(B + J)(h_1)+ifis±ii]i
В
1 + 2п
Г ——
С~ 2
р!_&±^±£ + [з_,(л_1)8](^+п +
2'
1 —
Ро+М2^о+»
«)-|(»-о=(^Г+4
Кубическое уравнение решают способом, изложенным выше, путем
А
а2 + -.
введения новой переменной у ■■
Из решения уравнения определяют угол а2, а затем по
формуле (25.104) вычисляют угол аз. По известным значениям углов
находят радиусы бесконечно тонкой линзы Манжена по
формулам (25. 103).
При вычислении конструктивных параметров отражателя
конечной толщины оказывается, что тхФгг. Чтобы определить, какое
значение радиуса кривизны надо оставить, следует исходить из
следующих соображений, а именно: при полученных значениях
углов а2 и аз для каждого случая определить параметры Р на
каждой поверхности, а затем определить влияние каждой
поверхности на аберрационные свойства системы. Выбрать то значение
радиуса кривизны преломляющей поверхности, которая
наибольшим образом оказывает влияние на аберрационные свойства.
Например, если из вычислений получили (случай 1-й: ai = 0, a2=0,33,
a3=0,99, a4= — 1, при этом значения Pi, Р2, Рз соответственно
равны: Pi = 0,225, Р2= — 0,225, Р3=0, то, сравнив значения Pi
и Рз, устанавливают, что Pi>P$,
поэтому принимают значение г$
равным значению г\.
Компенсатор кривизны
поля — линза Смита
Компенсатор кривизны поля
(линза Смита) устанавливается
вблизи плоскости изображения и
является фактически
коллективом (рис. 265). Рассмотрим
работу компенсатора в зеркально-
линзовом объективе типа Кас-
540
Рио. 265. Зеркнльно-линзовый
объектив типа Кассегрена с компенсатором
кривизны ноля

сегрена. Радиусы кривизны линзы определяются из условия
5iv =0, характеризующего кривизну поля третьего порядка всей
сиетемы:
8
Siv = -S7r(§l)v = 0. (25Л05>
Из уравнения (25.105) получают значение радиуса кривизны линзы
Смита (при условии, что г&= оо);
п— 1
где гь и Гб — радиусы кривизны главного и вторичного зеркал
объектива, определяемые при габаритном расчете.
§ 168. Расчет зеркально-линзового объектива типа Кассегрена
с афокальным компенсатором в параллельных пучках лучей
Для компенсации аберраций зеркальной системы применим
афокальный ахроматический компенсатор, расположенный в
параллельных пучках лучей. При этом оптическая схема объектива
может быть двух видов:
Рис. 266. Оптическая схема зеркально-линзового объектива типа Кассегреиа>
с афокальным ахроматическим компенсатором в параллельных пучках лучей
а) компенсатор расположен на некотором расстоянии от
зеркального объектива (рис. 266, а);
б) вторичное зеркало нанесено на последней поверхности
компенсатора (рис. 266, б).
Выполним расчет исходного варианта объектива первого вида,
и как частный случай объектива второго вида.
1. При расчете компенсатор принимают за бесконечно тонкий
(рис. 267): d\ = d2 — d3 = 0, hi = h2 — h = h4 ~ ftK0M, yi = у-2 = уз =
= у4 — г/квм, Pi = ^5. Для системы в воздухе П\ = пз — Пъ = Пт = I,
«6 = —1. Из габаритного расчета зеркальной части объектива
определяют радиусы кривизны зеркал гь, г& и расстояние между ними йъ.
541

г в —
2k
1 + «е
-; ds — В — А; ае
1 —*
Затем вычисляют аберрации третьего порядка, вносимые
зеркальной частью объектива. При условии, что входной зрачок
совпадает с вершиной первой поверхности компенсатора (sp = 0), и
принятой нормировке первого и второго параксиальных лучей: ai = 0,
2 fiapat<c.Mf4j_ c^rOi cCg~Q
S
Рис. 267. Ход первого и второго параксиальных лучей в зеркально-линзовом
объективе типа Кассегрена в компенсатором в параллельных пучках
<х5 = 0, а? = 1, Кш = h5 = /об = 1, г/ком = 0 (sp = 0), I = — I, Pi =
==р5 = +1> формулы для Sisep и Su зеР примут вид:
где
Si зер = Ё А,Л == РБ + £/>6;
у»5
В
у=5
6
I
v=>5
Sn зер = S ^Л - I S l^v= */5/>5 + уьРв +W5 + W6,
Ph — _ _i = _2p3.
^■-.O-'DC-'e)., Q-4P52)P-2PS). } (25.107)
U75 = 4=2p52( We =
«6 n 2 ™ J ~ a6 ' — 4Ps
5>
г/я и #6—высоты второго параксиального луча. Их определяют
(25.106)
луча, их опре(
из расчета хода второго параксиального луча (см. рис. 267):
i/5 = гуком — af-iPs»
642

так как
то
y5 = -d4; (25.108)
Зб — rt5?5 = —"^ >
?6=1ГР5+—— - ,
У5 ("6 - "б) ^5 + rf4(1-fe).
г/б = г/5 — d5p6 = db — dAk. (25.109)
С учетом (25.107)—(25.109) (25.106) запишется в виде
с _ дз , (1-4р|)(1-2Р5)_
oi зер = —^Рб "Г « 4 ''
5ll зер =-^4^5 + (</б — <*4*)Рв + 2р1 + -—*-.
Чтобы определить конструктивные параметры компенсатора,
необходимо вычислить Si ком и 5цКом из условий исправления
сферической аберрации и комы, записанных для всего объектива Si 0б =»
= 0, Su об = 0
6 4
Si сб = Е ЛЛ = 2 Л^Я, + Р5 + кРъ = 0;
6 в 4
SUo6 = S f/v^v-lS Г, = г/5Р5 + г/бРб+£ Г,+ Г5 + Гб = 0,
тогда
4
Si ком == 2j "v"» = JI зер» "ком ~ —Si 3epJ
4
Su ком == 2j •* v = —Su зер, Vv ком = —Sn зер.
По известным значениям РКом = — Si зер. ^ком = — Su 3ep по
формулам (25.81), (25.82) вычисляют углы первого параксиального
луча <х2, а4. При выборе значения угла аз придерживаются
рекомендаций, данных в § 167. По значениям углов вычисляют л„тн
компенсатора.
2. Если г\ = /"а (см. рис. 266,6)—вторичное зеркало нанесена
на последней поверхности компенсатора, угол первого
параксиального луча а4 определяют, исходя из этого конструктивного условия.
Так как as = 0 (компенсатор афокальный), то, воспользовавшись
формулой расчета хода первого параксиального луча п-0аъ — я4а4 =*
- М"5-"4)
, полагая г4
= re зер» получают
п— I
а4 = .
"О зер
(25.110)
543

Тогда из (25.79) можно найти значение угла а2:
a2 = a4-(^i)i^L. (25.111)
Подставив в (25.77) из (25.111), после соответствующих
преобразований получают
(2п + 1) а! - [^- ^-+ 2(я + 2) а4] а3 + (п + 2) (^|) Гком= 0.
(25.112)
Обозначив
А = 2я + 1;
*-"'«' ^ +Цп + 2)а,,
ком
C = (" + 2)(-^)WK0M.
Уравнение (25.112) представим в виде
Аа\ — 5а3 + С = 0.
Из решения квадратного уравнения определяют угол а3. Из двух
значений угла аз надо выбрать положительное, а если оба корня
положительные, то следует взять меньший. Величину угла а3
подставляют в (25.111) и вычисляют значение угла а2. По известным
значениям углов первого параксиального луча радиусы бесконечно
тонких линз компенсатора определяют по формуле
Г'тн
Однако следует помнить, что г4=г«, поэтому при переходе от
радиусов бесконечно тонких линз к линзам конечной толщины с тем,
чтобы обеспечить /0б = /об.зад. следует определить новое расстояние
между зеркалами — dp, = d4.
Известно, что
М*5-У) =М*-'> (25113)
Мп7-пб)=2^_
«7а7 — «6а6 1 + Ч '
где
Ai =/вб; h2 — hi — d)a2; 1
Лз =hi — di-аз; Л4 = h3 — с1зл4; \ (25.115)
/z5=/z4; h&—fi4 — dsaa J
— высоты первого параксиального луча, d\, d2, А — толщины линз
компенсатора и воздушный промежуток между линзами.
544

Так как r6—r4, то из (25.113) и (25.114) находят
Ав = -
Lr4 И d-a = ■
А« — Л«
Частный случай (л4 = то). Система типа Кассегрена превращается
в зеркально-линзовый объектив с контротражателем в виде плоского
зеркала и ахроматическим афокальным компенсатором в
параллельных пучках лучей (рис. 268, а, б). Так как г4 = со, а компенсатор
(Г,:[)П, = 7 Д f-T- -, a?5
Рис. 268. Оптическая схема зеркально-линзовиго объектна с афокальным
ахроматическим компенсатором в параллельных пччь.лх (г4 = оо)
афокальный, то сц = я4 == «5 == 0. Из рис. 268, б видно, что rs =
= 2/об, 2аг« = г4 = со. Из подобия треугольников N5F'o60b и NUF0&P
можно записать, что
/;
«О
''об ~~ d4
тогда
, г' ft(/o6
"4 = /об уг—•
При условии нормировки hz~fo6~^,hly — k, d4 — 1 — k.
Определим значения Si3ep и 5i)aep. Так как контротражатель представляет
собой плоское зеркало, то Рв — 0, 1^6 = 0.
5, = V h р «p^—Il
°[,зер
18 1-440
= v «,р, — i S »'v = w5P5+^5 = -d4 4- + i = J^i;
545

Яком = -S,Bep= -0,25;
№ком = -5i,3ep = -0,25г/5 - 0,5 = 0,25d4 - 0,5.
С учетом того, что <xi = а4 = я5 = 0. уравнения (25.77), (25.78)
будут иметь вид
Яком = а3°2" Ы« + 2) - а3 (2п + 1)]; (25.116)
(п — 1) ч
^ком = ~^л2а3. (25.117)
I Ц7
Из (25.117) определяют а2 = —— и подставляют в выраже-
ние (25.116). После преобразований получают
(1 + Щ at - f-^1-1) ^ а3 + (п + 2) -~| U7K0M == 0. (25.118)
Обозначая через
5 =
А = 1 + 2/г;
___П _ Г КОМ ,
С = (« + 2)-^| №ком,
+
уравнение (25.118) запишем как Ла| -f- Ва3 + С = 0. Из решения
квадратного уравнения определяют угол аз. Дальнейший порядок
расчета такой же, что и для второго вида системы.
§ 169. Расчет зеркально-линзовой системы типа Кассегрена
с компенсатором в сходящихся пучках лучей
Оптическая схема зеркального объектива типа Кассегрена
с компенсатором в сходящихся пучках лучей представлена на
рис. 269, а, б.
Формально, если исходить из числа свободных параметров,
действующих на аберрации, то система с афокальным
компенсатором внутри может показаться более выгодной, чем зеркально-
линзовая система с афокальным компенсатором в параллельных
пучках, так как появляется лишний свободный параметр —
положение афокального компенсатора. Однако это преимущество
пропадает вследствие того, что фактически положение афокального
компонента определяется однозначно. Если афокальный
компенсатор поставить близко ко второму зеркалу, то лучи будут
проходить компенсатор дважды. Как показывают расчеты
афокального компенсатора при двукратном прохождении лучей, параметр
WKom становится близким к нулю и коррекционные возможности
системы уменьшаются вдвое. Если же помесить компенсатор
близко к фокальной плоскости объектива, то он практически будет
546

влиять только на дисторсию. Поэтому рациональнее ставить кок
пенсатор посредине между вторым зеркалом и фокальной пло<.
костью. Это приводит к максимально возможной величине Лком
а следовательно, к максимально возможному значению (7iP)Kom
действующему на сферическую аберрацию и кому. Так как высотг
первого параксиального луча на компенсаторе имеет все-таки м&
лое значение, то Рком и U?KOm для систем с разными значениями
Рис. 269. Оптическая схема зеркально-линзового объектива о афокальным axpi
матическим компенсатором в сходящихся пучках лучей
выноса изображения б, а следовательно, и расстоянием междл
зеркалами du почти всегда имеют положительные значения.
Чтобы расширить коррекционные возможности компенсатора, целе
сообразно его применять в случае асферизации главного
зеркала (для исправления сферической аберрации).
Делались попытки применить два афокальных компенсаторе
в сходящемся пучке: первый, расположенный ближе к малому зег
калу, использовался для исправления сферической аберрации
(AS') и комы (к), второй компенсатор располагался недалеко о"
плоскости изображения и использовался для исправления астигмь
тизма и дисторсии. Однако такие системы для исправление
18* 547

сферической аберрации главного зеркала требуют больших
значений Рном и Wkom, что влечет за собой появление больших
аберраций высших порядков. Поэтому приходим в выводу, что
применять афокальный компенсатор в сходящихся пучках лучей имеет
смысл тогда, когда сферическая аберрация сферического зеркала
частично или совсем исправлена применением асферической
поверхности.
Афокальный компенсатор в сходящихся пучках имеет три
свободных параметра — углы а4 и <хв для исправления сферической
аберрации и комы и внешний угол as для компенсации аберраций высших
порядков. Рекомендации по выбору угла as приведены в § 167.
Из габаритного расчета зеркальной части объектива получают
г\ =—-, гч = -р- , <х2 = -г г. d\ — b — /е.
Определяют первую и вторую суммы Зейделя зеркальной части
объектива при условии, что входной зрачок совпадает с оправой
главного зеркала (см. рис. 269, б) при следующей нормировке
первого и второго параксиальных лучей: ai = 0, аз = а7 = 1, h\ = /об =
= 1, ^i = sp = 0, 1 = —1, 3, = + 1.
Для системы в воздухе п\ — пъ = п.-, = п7 = 1; п2 = — 1; п^ —
= пв — п;
\т . —а0 4- k (а, — а, — ^о+ 1)
5,зер = £ Л,/\ =:Р, + £Р, = 2+ * г -^—^-■;
Ч^ г. •Л d, ( 1 — Ct J) (1 Я „^ f
5r3ep = S 0,Л - I S W* = ^ + Wi + W* = — ir " + /•
Чтобы определить конструктивные параметры компенсатора,
необходимо найти значения Рком и W«0M. Для их определения
составим уравнения исправления сферической аберрации и комы для
всего объектива
Че = £ А,Р, = S, +^ОИРКОМ==0, (25.119)
5
Р _ "*эеР.
' ком — /? »
WO\i
тогда
^ком = —^Пде, — J/koh^kom- (25- '20)
Значения высот первого и второго параксиального луча на
бесконечно тонком компенсаторе определяют по формулам расчета хода
этих лучей, а именно:
hKmt = Лз = Л2 — <&<хз = & — d2, d2 = ^ ^;
//kov == #з = уз — difa.
Определим значение высоты у2 и угла Рз. Так как у\ = 0, Pi =
= + 1, то (32 = —1,
648
(25.121)

рз = —i—, уз = «l — «2 —-—; г/з = г/ком.
(25.122)
С учетом (25.121), (25.122) формулы (25.120), (25.119) запишутся
в виде
р
* ком —
'зер
Wkom = —5п = „„ — d
rf, + I
'зер \ ' ■* &
Зная численные значения параметров Рком и WK0M, по формулам
(25.82), (25.83) определяют углы а4 и а6 и вычисляют радиусы
бесконечно тонких линз компенсатора
г->™ ~
яком ("у — Л,)
§ 170. Расчет зеркально-линзового объектива
из сферического зеркала
и двухлинзового афокальпого компенсатора
Компенсатор применяют для коррекции сферической аберрации
и комы, вносимых одиночным сферическим зеркалом (рис. 270). Дли
этой цели используют два
свободных параметра компенсатора —
углы аз и <Х5, третий свободный
параметр — угол <х4 предназначен
для коррекции сферической
аберрации высших порядков,
астигматизма или дисторсии. Степень
влияния свободных параметров на
коррекцию аберраций зависит
также и от положения компенсатора
относительно вершины поверхности
зеркала — расстояния d\. Расчет
оптической системы «сферическое
зеркало + компенсатор»
выполняют из условия исправления сферической аберрации и комы всей
системы. При расчете компенсатор принимают за бесконечно гонкий
компонент: ^2=^^3=^4 = 0, hi = h-A — hi ==hn =fti,„«. г/2 ~ уз = г/4--
= уь = укоы. Тогда условия исправления выше указанных аберраций
записывают в следующем виде:
5, == £ Л,Я, = h,Р, + Аквм (Р2 +Р^+Р4 + Рь) = 0;
Рис. 270. Зеркальный объектив с
компенсатором в сходящихся пучках
лучей
5.1 = j] yvPv - I 2 IP, = y\Pl + У**»Р**., + ^1 + ^ком = 0.
v—\
(25.123)
549

В том случае, когда входной зрачок совпадает с вершиной
поверхности зеркала (sp = 0), а также при принятых условиях
нормировки первого и второго параксиальных лучей: оц = 0, »г = —1,
<*б = «г = —1, fo6 = — 1. h\ = 1, yi = sp = 0, pi = 1, i = —l (система
расположена в воздухе, п\ = 1, п2 = я4 — п6 = —1) уравнения (25.123)
примут вид
Si = Р i + hKOUPKOU = 0; |
S„ = (/ком/'ком +WT + W ком = 0,| (25Л24)
где /Т»' WT— основные параметры одиночного зеркала.
Из (25.124) с учетом того, что РТ = 0,25, а Й?П =0,5, получают, что
0 25
■^—, где ЛКом = fti — di<x2 = 1 + d\;
■•КОМ ~"
№ком = — уком .0,25, —0,5, где #ком = #i — dip2 = di.
Определив численные значения параметров компенсатора Ркою
W'kom. производят вычисление углов первого параксиального луча яз.
(*б по формулам (25.87), (25.88) соответственно. При выборе значения
угла ом следует пользоваться рекомендациями, данными в § 172.1.
При расчете подобного рода объективов рекомендуется выбирать
расстояние d\ максимально возможным.
§ 171. Расчет оптической системы
«сферическое зеркало с концентрическим мениском»
Для защиты зеркала от внешних воздействий применяются
стекла с плоскими или сферическими поверхностями. Иногда для
увеличения поля обзора сфери-
Вх.эр.
ческое зеркало внутри прибора
может качаться, тогда защитное
стекло имеет форму
концентрического мениска, а точка качания
зеркала совпадает с центром
кривизны мениска. Оптическая схема
объектива «сферическое зеркало
с концентрическим мениском»
представлена на рис. 271. Обычно
конструктивные параметры
мениска определяются
конструкцией прибора и в широких
пределах изменяться не могут. Будем
считать, что конструктивные
параметры мениска заданы, а
именно, известны: г\, т%, d\, п2.
Фокусное расстояние концентрического мениска можно
определить по формуле
Рио. 271. Оптическая система
«сферическое зеркало -(- концентрический
мениск»
/м = -
"2'1'2
("2-1)'
650

причем
Углы первого параксиального луча вычисляют при условии, что
oi = 0, <х4 = 1, h\ =/';
_ "2 ~ ' f' _ f' r* •
/' dl°<2 'i
аз = -j- = —; аз — as = — аз.
M
Определяют высоты первого параксиального луча:
Лз = Лг — ^аз.
Входной зрачок в таких системах удобно располагать в центре
кривизны мениска (точка С), тогда мениск не вносит кому, астигматизм,
дисторсию и хроматизм увеличения. В этом случае для второго
параксиального луча можно записать: j3i = {Зг = рз — 1» у\ — П> у2 =
= Гг, уз — —е(е = di — r2), I = —/'. Задаваясь различными значениями
расстояния di (положением зеркала относительно концентрического
мениска), определяют параметры a*,, hk, по ним вычисляют f)*, tjk
и 5i, 5ц, Shi, Siv» Sv и, следовательно, все аберрации третьего
порядка. Варьируя конструктивными параметрами r\, d\, d.2, удается
исследовать эту систему в области аберраций третьего порядка.
Если d,2 = г2 + (—гз), то центры кривизны поверхностей мениска
и зеркала совпадут и оптическая система в целом будет свободна от
аберраций комы, астигматизма, дисторсии и хроматизма увеличения,

Глава 26.
КОРРЕКЦИЯ АБЕРРАЦИЙ.
РАСЧЕТ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
НА ЭвЛ!
§ 172. Методы коррекции аберраций.
Виды коррекционных параметров
Конструктивные элементы исходного варианта определяют одни.м
из известных методов, после чего производят аберрационный анализ
системы. Для этого на ЭВМ рассчитывают ход действительных и
параксиальных лучей для длин волн Х0, ц и Хг на высотах т -— 0,5 X
ч, D Л -7 D D
X -g-, m~\J,7-g, m = -к- и определяют значения хроматической,
сферической, сферохроматической аберраций, вычисляют
отступление от условия синусов и условия изопланатизма в случае
систем с малым угловым полем. При значительных углах поля
необходимо вычислить значения полевых аберраций.
Для систем с малым угловым полем (2да>5°) нет
необходимости рассчитывать широкий наклонный пучок, поскольку
меридиональную кому с достаточной степенью приближения можно
вычислить через отступление от условия синусов или
изопланатизма
В случае систем с невысоким относительным отверстием и
малым угловым полем алгебраический метод позволяет получить
исходный вариант, не требующий коррекции аберраций. В
остальных случаях приходится проводить исправление или коррекцию
аберраций.
Под коррекцией аберраций понимают их уменьшение до
определенных допустимых величин (см. § 184), зависящих от типа
оптической системы и ее назначения.
Известны два основных метода коррекции. Один из них является
продолжением метода разделения переменных. В осноге его
применения лежит предположение о том, что при небольших изменениях
основных параметров влияние аберраций высших порядков и тол-
шин остается практически неизменным, изменяются лишь
аберрации третьего порядка. При использовании этого метода определяют
разность между требуемым значением аберрации и полученным
—ААц'к, где Agi, = f (т, М, u>)Sft, Sk — соответствующая сумма Зей-
деля. Дифференцируя эту формулу и заменяя дифференциалы
конечными приращениями, находят все изменения ASk сумм Si-f-Sv
и хроматических сумм S\ и Sn . С учетом вычисленных значений
AS, определяют основные параметры Р~, W°° и при новых их зна-
552

чениях вновь определяют конструктивные элементы системы, т. е.
фактически повторяют расчет исходного варианта. Зто является
недостатком метода.
Второй метод коррекции — это метод проб. В его основе лежит
последовательное изменение коррекционных параметров системы
и определение тех значений параметров, при которых система
удовлетворяет заданным условиям, т. е. дает требуемое качество
изображения. В некоторых случаях приходится сделать вывод
о практической непригодности рассчитываемой системы и выби
рать другой исходный вариант.
Для коррекции системы вначале выбирают параметры,
оказывающие существенное влияние на исправляемые аберрации и
требующие минимальной дополнительной работы по расчету хода
лучей через систему с измененными параметрами. Для этого в
вычислительных бюро широко применяют таблицу влияния
изменения параметров на аберрации, в которой представлены
последовательные вариации разных параметров и соответствующие им
изменения аберраций. Па основе анализа этой таблицы
изменением соответствующих параметров получают оптимальный вариант.
Не представляется возможным дать общие рекомендации по
выбору этих параметров, поскольку каждый раз необходим особый
подход. Здесь немаловажную роль играют опыт, хорошее владение
теорией аберраций и даже интуиция.
Параметры или переменные изменение которых позволяет
воздействовать на определенные аберрации, называют коррекционны-
ми. В качестве коррекционных параметров можно назвать
радиусы кривизны, воздушные промежутки, марки стекол и толщины
линз в случае их значительной величины.
При использовании метода проб предполагается линейный
характер изменения аберраций при изменении параметров, что
справедливо при небольших вариациях параметров. Для большинства
систем эта зависимость явно нелинейная, причем нелинейность
заметнее сказывается при больших порядках аберраций. Вследствие
этого приходится применять метод последовательных
приближений, в процессе которого параметры меняются на небольшую
величину.
Кроме описанных двух основных методов известно
применение комбинированного метода. При его использовании переменные
делят на две группы. К первой относят параметры, имеющие
простую аналитическую связь с аберрациями, и для систем с
конечными толщинами. Примером этого может служить, например,
оптическая сила линзы ф, которая влияет на хроматические аберрации.
Ко второй группе принадлежат параметры, выбор которых
зависит от вида системы и изучения таблицы влияния изменения
параметров.
При использовании любого из описанных методов коррекции
для получения оптимального варианта приходится несколько раз
изменять параметры, каждый раз пересчитывая конструктивные
элементы и вычисляя заново аберрации системы. Сравнивая абер-
553

рации системы при разных значениях параметров и проводя
линейную интерполяцию, определяют окончательный оптимальный
вариант системы.
В отдельных случаях приходится рассчитывать большое число
промежуточных вариантов, что особо характерно для сложных
систем и систем со значительными аберрациями высших
порядков.
Рассмотренные методы коррекции используют на практике при
неавтоматической и автоматической коррекции аберраций на
ЭВМ.
Для систем с невысокими оптическими характеристиками,
которые рассматриваются в данном учебнике, можно дать
рекомендации по выбору коррекционных параметров. В качестве этих
параметров принимают углы первого параксиального луча с оптической
осью, т. е. внутренние и внешние параметры системы, при
изменении которых меняется форма линз или их оптические силы, тем
самым оказывается влияние на монохроматические и
хроматические аберрации.
В учебной практике и начинающим расчетчикам целесообразно
изучить влияние параметров av системы на аберрации системы,
используя ЭВМ для расчета хода лучей и пересчета
конструктивных элементов системы. Рассмотрим метод проб применительно
к системам, расчет исходных вариантов которых рассмотрен в
настоящем учебнике.
§ 173. Коррекция аберраций методом проб
Метод проб можно точнее назвать методом линейной
интерполяции или экстраполяции и последовательных приближений.
В случае получения исходного варианта алгебраическим методом
обеспечивается исправление аберраций третьего порядка. Тогда
метод проб дает быстрый положительный результат в системах,
имеющих небольшие аберрации высших порядков и поэтому
требующих незначительных изменений углов а-,. В этом случае
можно предположить линейный характер изменения аберраций при
изменении углов.
Коррекция хроматической аберрации положения. Из условия
ахроматизации следует, что для коррекции хроматизма можно
поменять марки стекол, если это возможно, или изменить
оптические силы отдельных компонентов, сохраняя их сумму.
В несклеенных компонентах можно изменить внешние параметры—
угол аз = «pi в двухлинзовом несклеенном (см. рис. 232) и углы а3 =
= 9i и as =5 «pi + <?2 в трехлинзовом несклеенном компоненте (см.
рис. 235).
В двухлинзовом склеенном компоненте (см. рис. 231)
рекомендуется изменить угол аз, что вызывает перераспределение оптических
сил линз, но сохраняет их сумму.
Вначале, когда неизвестен характер изменения аберрации в
зависимости от аз, можно взять Даз = ± (0,05-т-0,1)азисх. При этом
554

изменяются высота Лз первого параксиального луча и радиусы кри-
зизны г2, г3:
Лз = Н2 — Й2<*3> Г2
Я,а, — П0а2
Гз =
"За3 — "2"z а4 —" пЗаЗ
Через Лз. аз, гг, 7з обозначены новые значения этих величин
з отличие от полученных в исходном варианте. Через систему с
новыми конструктивными элементами рассчитывается ход
действительных лучей для длин волн Xi и Хг.
а
>-ct я
и/
Ab'oF>-cr*0
эис. 272. Влияние коррекции хрома-
"изма положения в параксиальной
юласти и на зоне отверстия т = 0,7
ia распределение сферохроматической
аберрации по зрачку
А/Л/
d**t
Рис. 273. Графики зависимости
хроматизма положения в двухлинзовом
объективе от угла первого
параксиального луча
Коррекция хроматической аберрации положения проводится для
высоты т = 0,7 -у, что необходимо для получения более
благоприятного распределения сферохроматической аберрации по зрачку
:истемы (рис. 272, б). При коррекции хроматизма положения в
параксиальной области, например, сферохроматическая аберрация на
фаю отверстия значительно возрастает (рис. 272, а).
Линейной интерполяцией определяют угол а", которому соответ-
:твует хроматизм положения, близкий к нулю. Для этого
рекомендуется составить тройную пропорцию:
азиох соответствует Д^,х,;
аз соответствует Asx,xj;
)ткуда
а3исх — а3
аз —а3
аз соответствует
—■ т2-5-, аз =
0-д-$х.х,
555
0,00,
"З^Х.Х, - аЗисх^Х,Х|
XtXj Х4Х»

Но найденное значение аз не всегда дает минимальное значение
As).,^. Причиной этого может быть нелинейная зависимость Д&.,>.,, от
аз при больших значениях Даз, поэтому одновременно
рекомендуется представить графически эту зависимость для трех значений
«з: а3исх, азисх + Даз, язисх — Д^з, (рис. 273, а, б). Вследствие
нелинейности процесс определения оптимального угла аз приходится
повторять несколько раз методом последовательных приближений.
В двухлинзовых склеенных объективах при не вполне удачном
выборе марок стекол график Д5х,хг-ьяз может не пересекать ось
ординат (см. рпс. 273, б). Ясно, что хроматизм положения менее
значения, равного Asx,x.,mJn в данном случае получить нельзя,
единственный способ — это изменить марки стекол.
Кроме того, рекомендуется одновременно на графике нанести
кривую зависимости хроматизма положения от аз на краю
отверстия. В некоторых случаях приходится принимать компромиссное
решение с тем, чтобы не увеличить в значительной степени
хроматизм на краю отверстия при его тщательном исправлении на зоне
отверстия. Рекомендуется недоисправить хроматизм, т. е.
получить его отрицательное значение.
После получения допустимого значения хроматизма
проводится коррекция сферической аберрации и меридиональной комы.
Коррекция сферической аберрации и меридиональной комы.
Сферическая аберрация и меридиональная кома в значительной
степени зависят от формы (прогиба) линзы, поэтому их
коррекция проводится изменением внутренних углов а,. Следует
помнить, что для уменьшения аберраций высших порядков в
соответствии с эмпирическим правилом Берека надо стремиться
к тому, чтобы углы падения лучей на поверхностях были
небольшими.
При коррекции аберраций в двухлинзовом и трехлинзовом
несклеенных компонентах можно менять значения углов аг и gu
(см. рис. 232) в двухлинзовом и аг, «4 и а6 (см. рис. 235) в
трехлинзовом компонентах. При изменении угла аг надо вновь
рассчитать все высоты h-, первого параксиального луча, начиная
со второй, и все радиусы кривизны.
Коррекция сферической аберрации в двухлинзовом склеенном
компоненте имеет свои особенности. Действительно, при
изменении а2 одновременно меняются радиусы Т\ и г2, по так какг2
принадлежит и второй линзе, то это вызовет изменение оптической
силы фг, следовательно, и хроматизма положения, который уже
исправлен.
Для сохранения неизменности коррекции хроматизма положения
необходимо выполнить условие, гарантирующее постоянство
оптических сил. С этой целью для системы с исправленным хроматизмом
надо вычислить вспомогательную величину 80 (в случае s\ = — оо,
80 =c?i):
So=(^Z0j3-("3-')72
п2 — п3 v >
556

где
При новом значении а^ вычисляется 72 и из (26.1) определяет
ся р:
' I "2- ! /
откуда
Тз = (11^Г)0о-(-^Т
Тз
Первоначально значение a 2 можно выбрать следующим образом:
а-2 = а2исх ± 0,1а2исх-
При новых *ч, аз вычисляют Л2. h3, r\, r<i, гг и определяют
значения Asx0 и А/ .
Затем, так же как и при коррекции хроматизма, определяют
оптимальное а°, которому соответствуют допустимые значения Asx0
Для двухлинзового склеенного компонента одновременное
выполнение этих условий возможно лишь при удачном выборе марок
стекол.
При коррекции этих аберраций в двухлинзовом, трехлинзовом
несклеенных компонентах и других подобных конструкциях можно
одновременно и независимо менять углы а% си, Об, предварительно
выявив их влияние на аберрации.
Особенности коррекции аберрации в системах, состоящих из
двух компонентов, разделенных конечным воздушным
промежутком. Эти особенности можно рассмотреть на примере коррекции
аберраций телеобъектива, расчет исходного варианта которого
приведен в случае, когда фокусирующий компонент является
отдельной линзой, коррекция аберраций проводится за счет изменения
параметров первого положительного компонента. При небольших
аберрациях высших порядков коррекцию можно проводить,
используя правило сложения аберраций и выделяя аберрации
фокусирующего компонента. Например, продольный хроматизм
телеобъектива можно представить так:
Asxtxa = (Asi,x.)i??i + (*V,)ii, (26.2)
где (Asx,x,)i— хроматизм положения первого компонента; (Asx,x,)n —
хроматизм положения второго отрицательного компонента.
Отсюда определяется (Asx,x,)n:
(Asx.xjn = Asx.x, — (Asx.xji Pii-
Затем из (26.2) определяется (As^x.i) при условии, что Asx,x2=0:
(A^,x:)i
_K,A,)||
, z
557

Следует помнить, что при пересчете конструктивных элементов
системы необходимо каждый раз вычислять s',: s ■ —s —/о, и уточ-
нять расстояние между компонентами (см. рис. 215) по формуле
dp=d0+sH--sHn.
Если фокусирующий компонент представляет собой двухлинзо-
вый склеенный компонент или имеет более сложную
конструкцию, то коррекция проводится по компонентам и при
необходимости при стыковке компонентов проводится незначительная
коррекция, позволяющая компенсировать аберрации высших
порядков, неизбежно появляющиеся в подобных системах.
§ 174. Пересчет объективов на плавки стекол
При расчете оптических систем используют оптические
постоянные стекол или других оптических материалов, взятые из нормалей
или ГОСТ. Однако каждая плавка стекла в зависимости от
категорий стекла по отклонению от основного показателя Апе и по
отклонению от средней дисперсии Д (nF, — пс,) имеет оптические
постоянные, отличающиеся от расчетных, взятых из ГОСТ.
Обычно после расчета оптической системы определяются
допуски на конструктивные элементы и выбирается категория стекла по
Дп<. и Д (nF, — пс,у и этого оказывается достаточным для получения
допустимого качества изображения.
В отдельных случаях системы бывают очень чувствительны к
изменениям оптических постоянных, и небольшие вариации пе и nF.—
— пс, снижают качество изображения. К таким системам можно
отнести, например, фотообъективы, часто имеющие малые допуски на
конструктивные элементы, а также длиннофокусные системы,
например объективы коллиматоров.
При расчете таких систем применяется так называемая
«коррекция на плавки стекол». При известных оптических постоянных
стекла, из которого будут изготовлены линзы объектива,
проводится коррекция аберраций, в процессе которой изменяются
конструктивные элементы объектива. Чаще всего применяется
метод проб.
§ 175. Пересчет оптических систем
на другое фокусное расстояние
При расчете многих оптических систем часто нецелесообразно
рассчитывать заново отдельные компоненты, а достаточно
выбирать их из имеющихся каталогов или «архива», который
образуют системы, ранее рассчитанные. Если фокусное расстояние
объектива из каталога незначительно отличается от требуемого
558

при том же относительном отверстии, то надо провести пересчет
объектива, т. е. провести так называемое масштабирование.
Для этого надо определить коэффициент масштабирования,
представляющий собой отношение фокусных расстояний
соответственно рассчитываемого объектива к фокусному расстоянию
объектива из каталога. Затем надо умножить радиусы кривизны,
толщины линз и воздушные промежутки на коэффициент
масштабирования. Так же изменится и диаметр объектива.
Следует осторожно относиться к пересчету на другие
фокусные расстояния и помнить, что при значительном увеличении
фокусного расстояния надо снижать относительное отверстие для
сохранения качества изображения (см., например, § 165). При
разности фокусных расстояний, не превышающих 5-н 10% f, при /'=
=50-г-300 мм чаще всего качество изображения при той же
светосиле остается удовлетворительным, но при необходимости
иногда приходится проводить дополнительную коррекцию
аберраций.
Системы, имеющие жесткие допуски на конструктивные
элементы, нецелесообразно пересчитывать на другие фокусные
расстояния, так как они неизбежно потребуют коррекции аберраций
или придется снизить относительное отверстие.
§ 176. Расчет оптических систем на ЭВМ
Автоматизация расчетов и моделирование свойств оптических
систем с помощью ЭВМ ознаменовали собой новый этап развития
вычислительной оптики, главная задача которой заключена в
разработке конструкций оптических систем и в определении
численных значений их параметров, исходя из заданных свойств.
Решение этой задачи — процесс творческий, который и в настоящее
время, и в ближайшем будущем пока не может быть полностью
передан машинам, поскольку состояние теории разработки
конструкций и расчета оптических систем позволяет алгоритмировать
лишь отдельные этапы работы, имеющей в целом эвристический
характер и основанной на личном опыте и интуиции. ЭВМ не
может активно участвовать в разработке конструкций оптических
систем из-за отстутствия в большинстве случаев аналитической
или эмпирической связи между качеством изображения и
аберрациями, с одной стороны, и конструкцией системы и ее
основными характеристиками (относительным отверстием угловым или
линейным полем, фокусным расстоянием), с другой. Такие связи
получены в последние годы лишь для некоторых частных случаев
концентрических систем. В настоящее время роль ЭВМ в процессе
создания оптической системы сводится как бы к ответам на
вопрос, может ли выбранная конструкция обеспечить требуемое
качество изображения при заданных основных характеристиках.
Разработчиков в достаточной мере удовлетворяют универсальные
программы, охватывающие почти все встречающиеся на практике
случаи расчетов. Эти программы используются в течение всего
559

времени эксплуатации ЭВМ данного типа. Однако ввиду быстрого
совершенствования техники происходит моральное старение ЭВМ,
сто приводит к необходимости заново составлять программы.
;1 каждый раз программы совершенствуются за счет больших
возможностей современной техники, а также за счет того, что
яри разработке учитывается опыт эксплуатации старых программ.
Например, в любой программе предусмотрен расчет через
определенное количество поверхностей, предельное число которых опре-
;еляется объемом оперативной памяти машины. При переходе
на работу на ЭВМ с большим объемом памяти появляется
возможность увеличивать предельное количество поверхностей
системы. Кроме того, увеличивается быстродействие машины. Так,
если ЭВМ «Урал-1» выполняла расчет хода любого луча через
гговерхность, включая внемеридиональный, примерно за три
секунды (пара тригонометристов, выполняющая расчет вручную
с помощью таблиц логарифмов, тратила порядка 3—4 минут),
го современные машины, например ЭВ.М БЭСМ-6, выполняет
расчет хода луча через поверхность приблизительно за 0,001 с.
На ЭВМ «Урал-1» была впервые предпринята попытка создания
программы для автоматизированного расчета оптических систем,
т. е. для автоматического исправления аберраций исходной
оптической системы путем изменения машиной некоторых
конструктивных параметров. И сразу же выяснилось, что скорость работы
машины и объем оперативной памяти совершенно недостаточны
для выполнения расчетов систем, содержащих большое количество
коррекционных параметров. Однако, несмотря на это, на этой
машине в течение 1961 —1962 гг. были выполнены автоматические
расчеты ряда оптических систем.
В последующие годы были разработаны более совершенные
машины «Урал-2», «Минск-1». В конце шестидесятых годов
получили широкое применение машины БЭСМ-4, «Минск-22»,
«Минск-32». Большинство оптических систем в СССР
рассчитывается сейчас на машинах этих типов.
Однако проведение автоматизированной коррекции сложных,
например панкратических, систем на этих машинах, несмотря на
высокую скорость вычислений, требует значительных затрат
времени (десятки минут и даже часы). Поэтому в последние годы
стали использовать ЭВМ БЭСМ-6, у которых скорость составляет
порядка 800 000 операций в секунду.
Самой быстродействующей электронно-вычислительной
машиной совместного производства явилась ЕС-1060 — новая модель
ЕС ЭВМ второй очереди. Минимальная емкость оперативной
памяти составляет 2 Мбайт, максимальная 8 Мбайт. Скорость
передачи данных составляет 100—670 кбайт/с в зависимости
от режима работы.
Использование высокопроизводительных машин сделало
возможным и целесообразным математическим моделирование ряда
свойстз оптических систем, которые ранее выявлялись лишь при
изготовлении опытных образцов. К числу таких свойств можно
560

отнести распределение освещенности в изображении точки,
частотно-контрастные характеристики, влияние погрешностей
изготовления и рассеянного света на качество изображения и т. п. Наличие
высокопроизводительных ЭВМ и программ автоматизированной
коррекции дает возможность рассчитывать системы, содержащие
асферические поверхности. Однако в связи с технологическими
трудностями, обусловленными изготовлением и контролем таких
поверхностей, необходимость применения асферических
поверхностей в каждом конкретном случае должна быть достаточно
обоснована.
Внедрение устройств графической выдачи информации,
осуществленное в последние годы, позволило наряду с цифровой
информацией получать чертеж оптической системы, ход лучей в ней,
а также графики аберраций, что обеспечивает быструю оценку
соответствия оптических деталей нормам в отношении толщины,
выявления возможностей виньетирования с целью устранения
аберрации, определение положения плоскости наилучшей
установки, оценку величины аберраций высших порядков и многое
другое.
§ 177. Основные особенности ЭВМ
Высокая скорость работы современных
электронно-вычислительных машин достигается за счет: 1) малого времени,
затрачиваемого на выполнение арифметических операций. Так; например,
умножение двух десятичных чисел на ЭВМ БЭСМ-4 выполняется
за 0,001 с; 2) работа машины по программе, которая представляет
собой последовательность команд, определяющих действие
машины в течение некоторого времени; 3) наличия
быстродействующей, так называемой оперативной памяти, предназначенной для
хранения программы, числового материала и промежуточных
результатов вычислений.
В зависимости от полученных промежуточных результатов
можно изменять вычислительный процесс, что позволяет не только
ускорить, но и автоматизировать выполнение сложных расчетов.
Программа для работы на ЭВМ состоит из отдельных
команд — закодированных указаний о выполнении тех или иных
операций. Система кодирования определяется типом машины.
Вот почему для решения одной и той же задачи на разных ЭВМ
необходимо составлять различные программы.
Составление программы в кодах машины — процесс весьма
кропотливый и трудоемкий. После составления программу
отлаживают, т. е. тщательно ее проверяют путем выполнения расчетов,
результаты которых, в том числе и промежуточные, заранее
известны. Цель отладки — устранить допущенные в программе
ошибки. Для унифицирования и ускорения процесса
программирования созданы вспомогательные языки программирования, из
которых наиболее распространенными являются «алгол» и
561

«ф о р т р а н». Программа, составленная на каком-либо языке,
пригодна для использования па всех типах машин, для которых
составлены соответствующие программы-трансляторы, с помощью
которых можно осуществить перевод программ, записанных
на вспомогательном языке, в коды машин. Вспомогательные языки
дают возможность расчетчикам, не знакомым с системой команд
конкретной машины, осуществить программирование.
Программирование на вспомогательных языках особенно эффективно при
решении одноразовых задач. В том случае, когда предполагается
введение большого количества расчетов, использование языков
не всегда достаточно эффективно, поскольку программы,
составленные с помощью трансляторов, имеют более сложную структуру
и решают задачи за время большее, чем программы,
составленные программистом непосредственно в кодах машины.
Помимо оперативного запоминающего устройства ЭВМ имеют
полуоперативные запоминающие устройства, предназначенные для
записи, хранения и считывания информации. В качестве таких
устройств используются магнитные барабаны и магнитные диски
для хранения часто используемых программ и больших массивов
чисел. Объем полуоперативной памяти современных ЭВМ
достигает миллиона чисел и команд.
Носителями информации во внешних запоминающих
устройствах являются:
1. Перфокарты или перфоленты, на которых информация
кодируется в виде отверстий, выбиваемых специальными устройствами-
перфораторами. Считывание информации с перфокарт (перфолент)
и запись ее в машину осуществляются в специальном устройстве
ввода. Скорость ввода достигает 100 чисел в минуту. На
перфокартах (перфолентах) хранится числовой материал, подлежащий
расчету, а также составленные программы.
2. Магнитные ленты, используемые для хранения программ,
архивных данных и больших массивов чисел. Объем информации,
хранящейся на одной ленте, достигает миллиона чисел. Запись
на магнитную ленту осуществляется только через ЭВМ, причем
время записи-считывания довольно велико и достигает десятков
Секунд.
Устройствами выдачи информации являются:
1. Цифропечатающие устройства. Результаты расчета
выдаются в виде цифр на бумажную ленту шириной 60—100 мм.
Скорость выдачи результатов достигает 25 чисел в секунду.
2. Алфавитно-цифровые печатающие устройства. Результаты
выдаются в виде цифр и букв на бумажную ленту шириной
порядка 400 мм. Результаты расчета могут быть выданы в виде
таблиц, снабженных заголовками в виде текста, или в виде
буквенных обозначений. Возможна выдача текстового материала.
3. Графопостроитель. Результаты расчетов выдаются в виде
графиков, рисунков, чертежей.
4. Устройства наглядной выдачи, в которых информация в виде
чисел, графиков, рисунков выдается на экран телевизионной
562

трубки. Может быть предусмотрена обратная связь с машиной —
возможность ввода информации в машину с телевизионной
трубки с помощью специального светового пера (дисплей).
§ 178. Особенности программ,
составленных для расчета оптических систем
Характерной особенностью программ является
целесообразность отделения числового материала, представляющего задание
на расчет, от самой программы. Числовой материал
записывается на специальных бланках задания. Содержание бланка
определяется типом машины и программы. Например, для расчета
хода лучей на бланке задания записываются конструктивные
элементы оптической системы (г, d, /г), начальные данные для
расчета лучей (S, А, р,, у, х, у, z) и некоторые вспомогательные
величины (количество поверхностей р, количество длин волн»
количество лучей). Числовой материал вводится в ЭВМ с
перфокарты или перфоленты. Предварительно в оперативную память
машины переписывается программа, которая хранится в виде
записи на магнитной ленте или барабане.
Наивысшая производительность ЭВМ достигается в том
случае, если по одной и той же программе решается ряд задач,
машиной управляет оператор, конструктор не имеет возможности
непосредственно общаться с машиной и вносить какие-либо
изменения в задание с пульта машины. Если же ЭВМ обслуживает
небольшое количество расчетчиков, то целесообразнее, когда
расчетчик сам выполняет роль оператора и в зависимости от
полученных результатов имеет возможность вносить изменения
в задание.
§ 179. Общие принципы построения программ
для расчета оптических систем
Поскольку программы для расчетов являются программами
массового пользования, то при их составлении необходимо, как
показал многолетний опыт, соблюдать следующие основные
положения:
1. На бланке задания должен записываться минимум
информации. Это, во-первых, уменьшает время, затрачиваемое на его
заполнение, перфорацию и ввод в машину, а во-вторых, уменьшает
вероятность появления ошибок.
2. Форма выдачи результатов должна быть удобной и
наглядной. В самом идеальном случае ЭВМ должна выдавать
результаты в форме, не требующей дальнейшей обработки, т. е. в виде
таблиц, графиков, схем.
3. При составлении программы следует также учесть
разделение труда, а именно: бланк задания не должен содержать
данных, для записи которых нужны специальные знания в
области программирования. Разработчик оптической системы дол-
563

жен знать только вычислительную оптику и правила заполнения
бланка задания. В то же время математик-программист,
составляющий программу, не должен проверять правильность заполнения
бланка задания.
4. Следует предусмотреть автоматический контроль
правильности заполнения бланка задания. Программа должна быть
составлена таким образом, чтобы перед расчетом системы ЭВМ
выполняла бы контроль задания с целью проверки — выявления
наличия несоответствия, нарушений правил заполнения бланка
и т. д. Автоматический контроль избавляет программистов от
необходимости поиска ошибок в заданиях, помогает разработчику
оптической системы найти ошибку.
5. Следует четко классифицировать задачи вычислительной
оптики.
Программы для расчета оптических систем могут быть
разделены на три группы:
1. Программы для решения прямых задач,
т. е. задач по определению некоторых свойств оптической системы
по заданным конструктивным параметрам. Это программы: а) для
определения геометрических аберраций путем расчета хода
лучей; б) для определения влияния изменения конструктивных
параметров на аберрации; в) для расчета влияния децентрировки
на аберрации и т. д.
Математический аппарат для решения прямых задач хорошо
разработан, хотя время, затрачиваемое машиной, может быть
довольно велико как это, например имеет место при расчете
распределения освещенности в дифракционном пятне.
2. Программы для решения обратных задач,
т. е. задач по определению конструктивных параметров систем
по заданным свойствам (по параксиальным характеристикам
и аберрациям). Решение этих задач вызывает большие
трудности, поскольку зависимость конструктивных параметров от
аберрации чрезвычайно сложна и в большинстве случаев выразить ее
в явном виде бывает не всегда возможно. И, кроме того,
обратные задачи могут иметь множество решений. Например,
одинаковыми аберрациями могут обладать различные линзы и
конструкции оптических систем.
3. Программы для решения вспомогательных
задач. Эти программы предназначены для рассчетов массы
оптических деталей, для расчета показателей преломления
оптических материалов для длин волн, отсутствующих в
соответствующих стандартах. Решение вспомогательных задач не
встречает принципиальных трудностей.
§ 180. Расчет хода лучей на ЭВМ.
Запись исходных данных для расчета хода лучей
Расчет хода лучей через оптическую систему выполняется
главным образом для определения геометрических аберраций
и параксиальных характеристик системы (фокусного расстояния
564

или увеличения, положения плоскости Гаусса относительно
последний поверхности положения входного и выходного
зрачков, увеличения в зрачках). На основе расчета хода лучей
определяют световые диаметры на поверхностях системы, степень
виньетирования внеосевых пучков. В том случае, когда
выполняется расчет качества изображения, попутно определяются
волновые аберрации, т. е. отступление деформированного фронта
от идеального сферического.
Рис. 274. Расчет хода луча через
оптическую систему
Рис. 275. Определение координат луча
при расчете его через оптическую
систему
При расчете хода лучей через оптические системы на ЭВМ
в СССР принята система прямоугольных координат, в которых
ось OZ совпадает с оптической осью системы. В основу
программы для расчета хода лучей в пространстве положены формулы
Федера (см. § 5). Начало координат (точка О) в соответствии
с формулами Федера располагается в вершине первой
поверхности оптической системы. После расчета хода луча через первую
поверхность начало координат переносится в вершину второй
поверхности и т. д. (рис. 274).
Способы задания положения луча света в пространстве.
Па практике наиболее употребительными являются два способа
задания положения луча света в пространстве:
1. Луч задается координатами двух точек, через которые он
проходит. Одна точка лежит в плоскости предмета — точка В,
а другая — в плоскости входного зрачка — точка Л'. На рис. 274
положение предметной плоскости УА\Х задается ординатой
пересечения этой плоскости с оптической осью Z=—S\. Координаты
точки В пересечения луча с плоскостью предметов принято
обозначать через х и у. Плоскость тРМ является плоскостью
входного зрачка, положение которой относительно первой поверхности
оптической системы определяется отрезком —sp, а координаты
точки Л' пересечения луча с плоскостью входного зрачка принято
обозначать через т и М. И гак, положение луча в пространстве
565

определяется величинами su sp, у, х, т, М. Если Si =— оо или
sp=—со, то применяют другой способ задания положения луча.
2. Положение луча задается координатами точки, через
которую он проходит, и направлением. Координата точки определяется
либо в плоскости предмета, либо в плоскости входного зрачка.
Направление луча характеризуется "направляющими косинусами
(косинусами углов, образованных осями координат с прямой,
параллельной лучу и проходящей через начало координат),
На рис. 275 положение луча ЛШ определяется координатами
точки N пересечения луча с плоскостью входного зрачка (т, М)
и направляющими косинусами углов:
cos (< TOZ) = X,
cos(< 7W) = fi,
cos(<roX) = v.
Из аналитической геометрии известно, что X2 + }i2 + v2= 1. Поэтому
достаточно знать направляющие косинусы р и у, а направляющий
косинус X можно определить как X = У 1 — (у.2 + v2).
Направляющий косинус принимается положительным, когда направление
проекции луча на соответствующую ось совпадает с направлением
оси. В противоположном случае направляющий косинус имеет знак
«минус».
Итак, положение луча в пространстве определяется координатами
sp, т, М, р, v или s\, у> х, р, v. Между направляющими косинусами
и апертурными углами существует зависимость, определяемая
формулами
ЩСмер.пл = 5Г ' лГ\ g Hf' Гё6саг.пл. л/- „•
У \ — ц-4 — ч* у 1 — -V
Для получения компактной записи начальных данных лучи
объединяются в пучки. Пучок — это совокупность лучей, исходящих из
одной точки предмета, если s\ Ф — оо, то для лучей пучка
сохраняются постоянными координаты у и х. Если s\ Ф— оо, то пучок
лучей характеризуется постоянными значениями направляющих
косинусов (J. и v.
Итак, если:
1. s\ Ф — со, sp Ф — оо — плоскости предметов и входного зрачка
расположены на конечном расстоянии. Допускается два способа
задания лучей через:
а) si, sp, у, х, т, М;
б) spj т, М, p., v или si, у, х, [a, v.
2. л = — со, sp ф — со —плоскость предметов расположена в
бесконечности, плоскость входного зрачка — на конечном расстоянии.
Лучи можно задавать только через sp, т, М, \х, v.
3. s\ Ф со, sp — — со — плоскость предметов расположена на
конечном расстоянии, входной зрачок —в бесконечности. Лучи можно
задавать только через s\, у, х, ц, v. Поскольку ЭВМ оперируют
с числами, заключенными по абсолютному значению внутри вполне
566

определенного диапазона, то задавать машине значения s\ = — го
или sp = — со нельзя. Имеются две возможности задания ЭВМ
значений si = — со или sp — — со:
1) можно задать значение s\ или sp достаточно большими, но
такими, чтобы отличие от бесконечности не сказывалось на
результатах расчета, но меньшими предельно допустимого числа, с
которым оперирует машина;
2) можно задавать положение плоскости предмета или входного
зрачка через координаты первого (ai, h\) или второго (£ь yi)
параксиального луча соответственно. Если:
а. s\ = — со, то ai = 0, поскольку s\ = h\la.\\
б. sp --= — со, то Pi = 0, поскольку sp = г/i/Pi.
Второй способ задания положения плоскостей предмета и входного
зрачка является более строгим и чаще используется при расчете
на электронно-вычислительных машинах.
Пример записи начальных данных для расчета хода лучей
Вх. эр.
Осевой пичок
1-й пример. Пусть требуется рассчитать ход лучей через
объектив зрительной трубы (рис. 276). Апертурная диафрагма совпадает
с оправой объектива (sp = 0),
предмет расположен в бесконечности
(s\ = — со). Все лучи внеосевых
пучков лучей виньетируются при
прохождении через последующую
часть зрительной трубы.
Обозначим через K.mt и KSl
коэффициенты виньетирования для 1-го
пучка лучей в меридиональном и
сагиттальном сечениях
соответственно. Так как s\ = — со, sp = 0, то
начальные данные для расчета
запишутся —ai = 0, h\ = 1 (h\
может быть и произвольной
величиной), (3i = 1, #i = 0.
Ограничимся расчетом хода лучей для трех
точек поля (трех пучков):
1. Осевой пучок — m — 0; М = 0 (осевая точка поля);
2. Первый внеосевой пучок — }j.max = — sin u>max, v = 0;
3. Второй внеосевой пучок —-[а30ц = — ]Л),5 sin и>тях, v = 0.
Диаметр осевого пучка лучей равен 2mmax. Ширина пучка лучей,
идущего под углом u)max, в меридиональном сечении составляет 2т =
= 2ттах-Кт- Ширина пучка лучей, синус угла которого с осью
равен—[J.maxV^0,5, в меридиональном сечении составляет 2т —
*= 2ттяхКт,, а в направлении оси ОХ — 2М === 2МтахК5г.
В осевом пучке ограничимся расчетом двух лучей: луча,
проходящего через край апертурной диафрагмы, ткр = ттах, М = 0,
567
Рис. 276. Расчет хода лучей через
объектив зрительной трубы

и луча, проходящего через точку апсртурной диафрагмы с
координатами т3он = К^0,5/Птах'
В каждом из внеосевых пучков рассчитаем по семь лучей —
пять в меридиональной плоскости и два внсмеридиональных луча.
Для внеосевых пучков запишем:
1. Для первого внеосевого пучка (а = — sin u>max. v = 0):
а) главный луч в пучке: т. = 0, М ■— 0,
б) верхний крайний полевой луч: ткр = tnmaxKm,> М — 0,
в) верхний зональный полевой луч: m30„ = |/0,5/«пыхЛ',;,|, М — 0,
г) нижний зональный полевой луч: тяоп = —V0,5mmaxKm,< М =0,
д) нижний крайний полевой луч: /пкр = — tnmaxKm,, М---0,
е) первый внемеридиональпый луч: т = 0, М = MmilXKs,'
ж) второй внемеридиональпый луч: m = 0, М = )/0,5Mmax/<'S];
2. Для второго внеосевого пучка (и. = — |/~0,5 sin o>maX. v — 0):
а) главный луч в пучке: m = 0, Л1 — 0,
б) верхний крайний полевой луч: тчр --= ттлхКт^ М — 0,
в) верхний зональный полевой луч: mlon = |^0,5тт;,х/(,«г, Л4 =0,
Г) НИЖНИЙ ЗОПаЛЬНЫЙ 1ЮЛЗВОЙ Луч: Шжн = —К0,5г>>тахКт2> М — 0,
д) нижний крайний полевой луч: /тгкр = —mm&yJ{mi, М — 0,
е) первой впсмеридиональнкй луч: т — 0, М = Mma?;/(S2,
ж) второй внемеридиональный луч: т = 0, /И = |/"0,5Мтях/(.„.
2-й пример. Пусть требуется рассчитать ход лучей через
объектив измерительного микроскопа (рис. 277). Для устранения влияния
перемещения плоскости предмета
в пределах глубины резкости на
масштаб изображения входной
зрачок системы расположен в
бесконечности. Это достигнуто с
помощью апертурной диафрагмы,
расположенной в задней фокальной
плоскости объектива. Числовая
апертура объектива равна А —
— П\ sin а\ = sin amax. Количество
пучков лучей и число лучей в
каждом из пучков возьмем таким же, как и в первом примере.
Виньетирование в объективе отсутствует.
Начальные данные для расчета: а4 = 1, ai = j30, h\ = \ (может
быть произвольной).
1. Осевой пучок (у = 0, х = 0):
а) первый луч в осевом пучке: и.мах = — sinamax, v = 0,
б) второй луч в осевом пучке: и. = — ]A),5fAmaX) v = 0;
2. Первый внеосевой пучок (у — —утях, х = 0):
а) главный луч в пучке: р = 0, •* = 0,
б) верхний крайний луч: а = u,ma)t, v = 0,
в) верхний зональный луч: и. = ]/ 0,5umax, v = 0,
г\ нижний зональный луч: а = — ]/0,5u,max, v = 0,
568
Рис. 277. Расчет хода лучей черев
объекта» измерительного микроскопа

д) нижний крайний луч: а = —amax. v = О,
е) первый внемеридиональный луч: р. — О, v = amax,
ж) второй внемеридиональный луч: р. = О, v = ]/0.5u,max;
3. Второй внеосевой пучок (у = — V^0>5z/max, х —- 0):
а) главный луч в пучке: [* = 0, v = О,
б) верхний крайний луч: р = u,max, у _ О,
в) верхний зональный луч: и. = ]/"0,5umax, v = О,
г) нижний зональный луч: у. = — [/'0,5u,max, v = О,
д) нижний крайний луч: р = — u.max, v = О,
е) первый внемеридиональный луч: v = u,max^fj, = О,
ж) второй внемеридиональный луч: v = ]/0,5|i.niax> и- = 0.
Такой способ задания начальных данных для расчета хода
лучей прост и дает возможность конструктору оптической системы
максимальные возможности, но бланк задания в этом случае
содержит слишком много информации. Уменьшить задание
помогает введение в программу регламентированного набора лучей.
Известны три варианта:
1. В программе предусмотрен фиксированный набор лучей,
которые и рассчитываются в любой системе. Однако в этом
случае программа может быть пеоптималыюй для ряда систем,
поскольку в некоторых случаях будет рассчитываться избыточное
число лучей.
2. В программе предусмотрен фиксированный набор лучей,
но конструктор может выбрать произвольные лучи из этого
набора.
3. В программе предусмотрено несколько вариантов наборов
лучей, из которых конструктор выбирает оптимальный.
Практика расчетов, выполняемых на ЭВМ, показала, что
наиболее удобны способы задания лучей набором,
предусматривающие возможность расчета пяти пучков лучей:
а) осевого пучка, в котором могут быть рассчитаны лучи с
ординатами в плоскости входного зрачка: т\ = ттах, т2 = у jmmaK,
ПЦ = "КСПэттах. «4 = 0,5'Лтах.
б) четырех внеосевых пучков, вершины которых в плоскости
предмета имеют следующие ординаты: у\ = утах, у2 = у j^/ma)l, у3 =
= У0,5утах, У А = 0,5(/тах — ССЛИ Si =£ — со, И еСЛИ Si = — со, ТО
задается jj,max = — sini», а набор строится как:
[XI
H-maxi \>-2 = У -^^maxi f*3 = K0,5umaX) |i4 = 0,5[An
Таким образом, при задании лучей наборами на бланке задания
записывают:
1. КСЛН S| = — СО, TO Umax И /7Zmax.
2. 1£СЛИ 4'1 Ф — С°, TO (Amuv lmm„) И у max..
569

Задаются коэффициентами виньетирования Kmi и Кн и
записывают условные номера набора или условные номера лучей. Такой
способ задания лучей в настоящее время имеет самое
распространенное применение.
Способы задания
конструктивных параметров оптических систем
Конструктивные параметры исходного варианта оптической
системы — радиусы кривизны сферических поверхностей г,
расстояние между вершинами поверхностей d (толщины и воздушные
промежутки) задаются в обычном виде с учетом правила знаков.
Исключение составляют плоские поверхности, когда г— со .
Поскольку машине нельзя задавать значение г= со, то в программе
принято условно записывать г=0. Для асферических поверхностей
уравнения поверхностей могут быть записаны в виде
by2 + сх2 + axz -f a2z2 + a3z3 +...+ anzn = 0 (26.3)
или
г = ax {у2 + x2) + a-> (у2 + x2f +...+ an (у2 + x2)". (26.4)
С помощью уравнения (26. 3) могут быть записаны виды
поверхностей, имеющих ось симметрии, совпадающую с осью OZ
(параболоид, эллипсоид, конус). Уравнение (26.4) используется при
задании поверхностей, имеющих точку перегиба (например, пла-
ноидные поверхности), однако с его помощью может быть
записана и параболоидная поверхность.
При наличии в оптической системе отражающих поверхностей
при записи на ЭВМ, как и при расчете с помощью
тригонометрических формул и таблиц, следует изменить знак у показателей
преломления и расстояний между вершинами поверхностей,
расположенных после отражающей поверхности.
Показатели преломления оптических сред можно задавать
либо непосредственно, либо в виде кодов марок стекол и длин волн,
для которых необходимо вести расчет. В последнем случае в
запоминающем устройстве машины должны храниться показатели
преломления для всей номенклатуры стекол для наиболее
распространенных на практике длин волн. В этом случае в программе
должен быть предусмотрен поиск показателей преломления по
заданному коду оптического материала и по заданной длине волны.
Есть программа, разработанная С. Р. Родионовым, где
предусмотрен расчет показателей преломления практически для любой
длины волны света. При составлении такой программы
использовались интерполяционные формулы, позволяющие с высокой
точностью определять показатель преломления для любого
значения А, по известным показателям преломления для четырех длин
волн.
Пример. Пусть требуется рассчитать ход лучей через двухлин-
зовый склеенный объектив, линчы которого выполнены из марок
670

стекол 1Чб и 1Ф1, для спектрального интервала л0 = о<*о,и/ нм,
Xi = 643,85 нм, Хз = 479,99 нм, соответствующего спектральным
линиям в, С, F'. Если в программе предусмотрено задание
показателей преломления непосредственно, то по ГОСТ 13659-68
отыскивают и записывают следующие показатели преломления:
\ 1 1
1,518294 1,614292 1,522408
1.652188 1,642950 1.662347
1 1 1
Если в программе предусмотрена возможность записи марок
сдекол и длин волн в кодированном виде, то задание будет
выглядеть следующим образом:
1 (код воздуха) 7 (код спектральной линии е) *
1008 (код стекла марки К8) 4 (код спектральной линии С")
2101 (код стекла марки ТФ1) 6 (код спектральной линии F')
1 (код воздуха)
Выдача результатов расчета
Известны два способа выдачи результатов расчета хода лучей:
1. После расчета хода каждого из предусмотренных лучей на
печать выдаются все данные. Так, после расчета, например,
осевого луча выдаются: тангенс угла вышедшего из системы луча с
осью tgoft, продольная сферическая аберрация As', поперечная
сферическая аберрация Д#', отступление от условия изопланатизма -д и
т. д. и после некоторого интервала печатаются те же величины
для второго луча и т. д.
2. На печать выдаются результаты расчета для всех лучей,
сгруппированные в таблицы. Например, после расчета осевого пучка
выдаются tga'kx , tgo*x., tg^g и т. д. после некоторого интервала Ls\\,
Asx'j, Asx, и т. д. для всех лучей и после интервала &ylt, byl-t, hyl-t и
т. д. Такая форма выдачи результатов является наглядной и,
следовательно, предпочтительной. Разрезая бумажную ленту, на которой
печатаются результаты расчета, по линиям интервалов и наклеивая
на лист, можно составить таблицы результатов. Возможна выдача
результатов в виде графиков аберраций с помощью графопостроителей.
И, наконец, перед началом расчета на ленте должны быть отпечатаны
все данные, записанные на бланке задания. Это позволяет, с
одной стороны, проверить правильность перфорации и ввода задания,
а с другой стороны, дает полную информацию о том, какая система
рассчитывалась.
* Коды условные и приведены для примера.
571

§ 181. Автоматизированная коррекция
простейших оптических систем
Автоматизированная коррекция помогает с помощью ЭВМ и
при активном участии разработчика определить конструктивные
параметры оптической системы, обладающей заданными
характеристиками в параксиальной области (/', р0) и заданными
значениями аберраций.
В настоящее время для решения этой задачи используются
универсальные программы, предназначенные для
коррекции систем любых типов и любой степени сложности, и с п е-
анализированные программы, предназначенные для
расчета определенных типов систем, состоящих из бесконечно
тонких компонентов. Специализированные программы
разработаны на применении формул теории аберраций третьего порядка.
Они составлены только для простейших, наиболее часто
встречающихся типов оптических систем или их компонентов. Это
объясняется, во-первых, тем, что теория аберраций третьего порядка
позволяет решать обратную задачу определения конструктивных
параметров оптической системы по заданным аберрациям путем
решения уравнений исправления аберраций, как это было
показано в § 157. Если оптическая система простая, то уравнения
получаются не выше второго порядка, в то время как для сложных
систем уравнения имеют высокий порядок и их решение
представляет сложную проблему. Кроме того, для каждого типа
оптической системы приходится составлять свою программу, так как
вид уравнений, количество уравнений определяется типом
рассчитываемой системы. Поэтому затраты на составление таких
программ могут окупаться лишь при многократном их использовании.
Самое широкое распространение получили две
специализированные программы:
1. Программа для расчета двухлинзовых склеенных
компонентов.
2. Программа для расчета двухкомпонентных систем, каждая
из которых может быть простой или склеенной.
Программа для расчета двухлинзовых склеенных компонентов
составлена по широко известной методике Г. Г. Слюсаревым и
реализована на БЭСМ-4. Методика расчета двухлинзовых
склеенных объективов приведена в §165. Программа составлена
следующим образом. По заданной величине параметра С (диапазон
значений параметра С произволен) машина осуществляет расчет
параметра Ртщ сначала для первой комбинации стекол,
указанного конструктором набора, затем для второй и т. д. и сравнивает
полученные значения (Ят|П)Выч с заданными значениями (РщтЬад-
Выбор комбинаций пар марок стекол осуществляется машиной до
тех пор, пока (РщчОвыч не окажется близким к (Ртш)зад-
Сказанное можно пояснить рис. 278, на котором точка А
соответствует значениям Pn,in и С. Выбранные таким образом две
комбинации, например, К8-ТФ1, К8-Ф1 используются для дальнейших
672

расчетов. Для найденных комбинаций программой
осуществляется расчет конструктивных параметров: сначала определяются
углы сх2 и аз, а по ним — радиусы кривизны бесконечно тонких
линз по заданному значению фокусного расстояния.
Производится расчет толщины линз, при этом толщина отрицательной линзы
задается конструктором, а толщина положительной линзы
определяется, исходя из толщины линзы по краю и заданного
светового диаметра объектива. После р
расчета толщины осуществляется А ггнг
расчет радиусов кривизны линз
конечной толщины.
Поиск комбинаций марок
стекол и дальнейший расчет
выполняются дважды: один раз для
комбинации «крон впереди», а
второй раз — для комбинации
«флинт впереди». Поэтому ЭВМ
в общем случае выдает четыре
варианта решения. Если при
машинном подборе пар стекол
окажется, например, что точка В
будет лежать так, что для всех Рис. 278. График для выбора ко.мби-
комбипаций пар марок стекол нации марок стекол по заданным зна-
Ртт либо меньше заданного зна- чепиям параметров Pmln и С
чения, либо больше, то ЭВМ
выдает решения, соответствующие ближайшей комбинации (на рис.
278 это комбинация К8-ЛФ 10).
Программа для расчета двухкомпонентных систем. На рис. 279
представлены четыре типа оптических двухкомпонентных систем,
которые могут быть рассчитаны с помощью второй
специализированной программы*.
Комбинация стекол выбирается конструктором. При расчете
задаются углы первого параксиального луча х(, ak и высота этого луча
на первой поверхности fti. Система первого типа (см. рис. 279, а)
имеет три свободных параметра — а2, а3, оц и поэтому можно
выполнить три условия исправления аберраций (S\xp = 0, S\ = 0, Sn = 0)
При расчете систем II и III типов количество свободных параметров
возрастает до четырех: а?, аз, <ч, а5, поэтому один из углов должен
быть задан конструктором. О рациональном выборе угла а3 для
систем II типа и угла «4 для систем III типа смотри § 165. При
расчете систем IV типа количество свободных параметров возрастает до
пяти: <х2, а.», си, а5, аб. В этом случае следует задавать еще одну
величину. В качестве такой величины в программе принято
распределение параметра С между компонентами, т. е. полагают, что С =
= Gi + С?, где С\ —основной хроматический параметр I компонента;
С; — основной хроматический параметр II компонента.
* Разработана М, Д. Серегиной под руководством Д. 10. Гальперна,
573

*j «u.m.Muivi no mcidijjca случаев решение сводится к решению
квадратного уравнения, и если под корнем оказывается
отрицательная величина, то машина печатает особый признак. Если
подкоренное выражение положительное, то ЭВМ выдает два
решения. В программе предусмотрен переход к линзам конечной
толщины. Формулы, по которым выполняется машинный расчет
исходного варианта системы 1,11, III и IV типа, приведены в § 165.
Первый этап расчета заканчивается на определении
конструктивных параметров исходного варианта.
Рио. 279. Виды оптических двухкомпонентных систем, для расчета которых
составлены специализированные программы
В программе предусмотрена также возможность выполнения
второго этапа расчета, заключающаяся в автоматическом получении
заданных значений трех аберраций для осевой точки предмета:
продольной сферической аберрации для заданного луча Asx„, отступления
от условия изопланатизма -q для того же луча, продольной
хроматической аберрации Asx.x,. На этом же этапе происходит сравнение
полученных аберраций с заданными. Если абсолютные значения
разностей между полученными и заданными аберрациями больше
допустимых (значения допусков задаются разработчиком оптической
системы), то в программе предусмотрено вычисление поправок для
основных параметров Р" и W°°, С, Для расчета поправок ДР, АН7, ДО
задают значения коэффициентов k\, k^, kz, h, связывающих
изменения аберраций а изменениями основных параметров,
574

тогда
8 (Ч).
л/> =
к\
Kg я3
После определения поправок АР, AW, АС повторяется первый этап
расчета, причем заданными основными параметрами уже будут/5"+
+ ЛЯ, Ц7°° + AU7, С + АС. Расчет в изложенной последовательности
продолжается до тех пор, пока значения всех трех аберраций не
достигнут заданных интервалов значений. В программе
предусмотрен контроль сходимости этого процесса. Если процесс расходится,
то расчет прекращается и печатается особый признак.
§ 182. Универсальные методы для автоматического расчета
Универсальные методы для автоматического расчета и
коррекции основываются на методе проб, суть которого заключается
в следующем. Если в исходную оптическую систему с известными
конструктивными параметрами вносить последовательно
изменения некоторых параметров, то в результате можно найти такие
их значения, при которых рассчитываемая система либо будет
иметь требуемое качество изображения, либо будет доказано, что
данный тип системы непригоден для решения задачи.
Универсальные методы расчета оптических систем можно разбить на две
группы:
1. Методы, в которых рассчитываемая система
характеризуется несколькими величинами. Задача считается решенной, если
все величины получат заданные значения с заданными
допусками.
2. Методы, в которых для упрощения решения задачи система
характеризуется оценочной функцией F:
/• = £ а,(Ф,-Ф,у,
/"■1
где F — оценочная функция; а.\ — некоторые весовые коэффициенты;
Ф) — значения некоторых величин, характеризующих оптическую
систему; Ф/ — заданные значения тех же аберраций.
Задача автоматического расчета сводится к нахождению
конструктивных параметров системы, при которых функция F имеет
575

минимальное значение. Введение оценочной функции, которая в
некоторых случаях может в какой-то мере охарактеризовать
качество изображения, упрощает вычисления и позволяет оперировать
одной единственной величиной.
Пусть некоторая исходная оптическая система обладаете
параметрами (в качестве параметров примем радиусы оптических
поверхностей /\, расстояние между вершинами поверхностей d,, оптические
постоянные стекол). Параметры, которые в процессе расчета будут
меняться, назовем коррскционными и обозначим их через ри р2,
Рз, ..., pt, а их число обозначим через t. Какие параметры будут
коррекционными, решает конструктор.
Оптическая система характеризуется k функциями — Ф\, Ф2, . . .,
«I'ft. В качестветаких функций могут быть величины, характеризующие
систему в параксиальной области (фокусное расстояние или увелкчеЛ":.\
положение изображения относительно последней поверхности),
аберрации системы, найденные из расчета хода лучей, коэффициенты
аберраций третьего порядка и т. п. Задача автоматической коррекции
сводится к тому, чтобы отыскать такие значения коррекционных параметров,
при которых либо все рассматриваемые функции будут иметь
значения, заключенные внутри интервалов <I>i + ЗФь Ф2 + ЗФ2, . .., Фк -~
± йФь либо оценочная функция будет иметь минимальное значение,
где Ф|, Ф2 ..• Ф*— заданные значения корригируемых функций;
8Фь ЬФ-2, .. ., 8Ф* — допустимые отклонения корригируемых
функций от заданных значений.
Конструктор-расчетчик выбирает тип исходной оптической
системы, значение ее конструктивных параметров, осуществляет
выбор корригируемых функций и коррекционных параметров. К
исходной системе предъявляется единственное требование—все
корригируемые функции для этой системы должны быть
определены, т. е. лучи, по которым определяются корригируемые
аберрации, должны проходить через систему, не испытывая полного
внутреннего отражения, пересекаясь со всеми поверхностями.
Пусть некоторая исходная оптическая система имеет коррек-
ционные параметры ри р2> Pm-->0Pt и корригируемые функции
Фь Ф2)... Ф/t. Соотношения между количеством коррекционных
параметров t и количеством корригируемых функций k может быть
различным. Этим соотношением и определяется метод
автоматизированной коррекции. Между корригируемыми функциями и
коррскционными параметрами существует весьма сложная
нелинейная зависимость, установить которую в явном виде не
представляется возможным. Поэтому с математической точки зрения задача
автоматической коррекции оптической системы аналогична
решению системы нелинейных уравнений с неизвестными
коэффициентами, причем по заданным значениям параметра /V однозначно
определяются значения функции Ф,. В настоящее время такие задачи
решают методом последовательных приближений, предполагая, что
при малых изменениях коррекционных параметров связь между
корригирующими функциями и коррекционными параметрами
57Ь

Практическое применение нашли следующие методы
автоматического расчета оптических систем.
/. Метод Ньютона. Применяется в том случае, когда
количество корригируемых функций k равно числу коррекционных
параметров t.
2. Метод наименьших квадратов. Применяется в том случае,
когда количество корригируемых функций k превышает
количество коррекционных параметров t.
<i. Градиентный метод. Используется при любом соотношении
между количеством коррекционных параметров и количеством
корригируемых функций. В этом методе задача автоматического
расчета сводится к определению коррекционных параметров pi, при
которых вспомогательная оценочная функция Ft имеет
минимальное значение.
4. Комбинированный метод. Суть этого метода заключается
в том, что в одной и той же программе используются все три
первых метода. Так, если k<£t, то используется модифицированный
метод Ньютона, если k>t, то используется модифицированный
метод наименьших квадратов, а градиентный метод используется
в тех случаях, когда скорость сходимости одного из двух методов
очень мала. Подробно методы автоматизированного расчета
оптических систем рассмотрены в монографии Г. Г. Слюсарева
«Расчет оптических систем».
Итак, в программах автоматизированной коррекции
применяется математический аппарат итерационного поиска минимума
оценочной функции. Этот математический аппарат в начале 70-х
годов был усовершенствован за счет автоматического перехода
в процессе расчета от одного метода поиска к другому, например
от метода наименьших квадратов к градиентному, а также за
счет накопленного в процессе итераций опыта для дальнейшего
уменьшения оценочной функции. Применяя такие приемы, можно,
как показала практика расчетов, во многих случаях перейти от
нсоптимального локального минимума оценочной функции к более
оптимальному. Однако, к сожалению, используемый в настоящее
время математический аппарат позволяет в процессе решения
одного задания найти только один минимум, расположенный
поблизости от исходной точки, что не дает оснований для получения
исчерпывающего ответа на вопрос об оптимальном качестве
изображения в выбранной конструктором оптической системе.
Поэтому разработчик должен варьировать как численными значениями
конструктивных параметров, так и видом оценочной функции и
обращаться к машине многократно.
§ 183. Перспективы развития автоматизации расчетов
Универсальные методы автоматизированной коррекции
оптических систем, основанные на методе постепенных приближений,
имеют ряд принципиальных недостатков, и это прежде всего:
19 1.44В 577

1) зависимость результатов расчета от выбора начального
приближения исходной системы;
2) при одном и том же первом приближении невозможно найти
более одного решения;
3) отсутствие информации о причинах, которые не позволили
найти решение;
4) отсутствие методов, позволяющих определить тип исходного
варианта системы и значение ее конструктивных параметров с
помощью электронно-вычислительной машины.
Дальнейшее совершенствование методов автоматического
расчета оптических систем ведется по различным направлениям.
Наибольший эффект следует ожидать от разработки методик
расчета, основывающихся на теоретических исследованиях свойств
оптической системы и учитывающих эти свойства в процессе
расчета. Целесообразна также разработка и применение для
автоматических расчетов общематематических методов, пригодных для
решения не только оптических задач. К числу таких методов
можно отнести метод упорядоченного изменения значений
конструктивных параметров, который хотя и требует больших затрат, но
в связи со значительным увеличением скорости современных ЭВМ
может стать рациональным.
Положительный эффект, ускоряющий разработку оптических
систем, достигается при обеспечении непосредственного контакта
вычислителя с ЭВМ. В распоряжении конструктора-расчетчика
должен находиться комплекс устройств: телетайп или пишущая
машинка для алфавитно-цифровой печати, электронно-лучевая
трубка для получения результатов в виде графиков и чертежей,
графопостроитель для фиксации результатов, а также устройство
для ввода в ЭВМ графической информации. Для выбора исходной
оптической системы и значений ее конструктивных параметров
целесообразно использование общего архива оптических систем,
хранящихся в памяти машины. Из этого архива по запросу
необходимо умело выбрать исходную систему, обладающую заданными
характеристиками. Кроме общего архива необходимо иметь и
личные архивы конструктора, содержащие данные о системах,
разрабатываемых в настоящее время.
Проведение в жизнь всех этих первоочередных мероприятий
позволит резко сократить время разработки простых систем, а
также и систем средней сложности. Создание же оптических
систем, обладающих принципиальной новизной, ускорится лишь
незначительно, поскольку основные затраты времени в этом случае
будут приходиться на обдумывание результатов и путей
дальнейшего поиска решений. Сокращение сроков разработки систем такого
типа возможно лишь при условии выбора конструкции оптической
системы, которая могла бы удовлетворить поставленным
требованиям. Поэтому задачей ближайшего будущего является задача
развития научных методов, обеспечивающих целесообразный
выбор конструкции. Для решения поставленной задачи необходимо
установить теоретические или эмпирические зависимости между
578

основными характеристиками оптических систем конкретного
типа и качеством изображения, которое при этом может быть
достигнуто. Знание таких зависимостей поможет в значительной
степени облегчить выбор оптимальной конструкции,
обеспечивающей требуемое качество изображения.
Для оптических систем высокого качества изображения и
систем, выпускаемых крупными сериями, особое значение
приобретает чувствительность к погрешностям изготовления. Поэтому
необходимо развивать методы конструирования и расчета систем,
у которых технологические погрешности не приводили бы к
существенному ухудшению качества изображения. Решение всех этих
задач приведет к качественно новому уровню расчета оптических
систем.
§ 184. Заключительный этап расчета оптических систем
При выборе конструкции оптической системы расчетчик,
используя свой опыт, интуицию, литературные данные, заранее оценивает
аберрационные возможности системы при заданных оптических
характеристиках и условиях ее работы. После аберрационной
коррекции исходного варианта, проводимого известными методами,
вычислитель получает вариант с допустимыми значениями
аберраций.
Допустимые значения остаточных аберраций в оптических
системах. Вопрос о допустимых значениях остаточных аберраций до
настоящего времени является достаточно сложным. Наиболее
эффективной можно считать оценку качества изображения по
определенным критериям, однако большинство из них можно с
уверенностью применять только к определенным типам систем. Общего
критерия оценки качества изображения не существует в связи
с разнообразием оптических систем и условий их работы.
Как известно из геометрической оптики, полного исправления
аберраций в оптической системе получить нельзя. Но есть
возможность получить систему практически идеальную, в которой
остаточные аберрации малы и сравнимы с критерием Релея \N < -А
I Е'
или критерием Штреля —т-> 0,8). В действительности это не всегда
\Е0
необходимо, иногда недостаточно, часто неосуществимо.
Для каждого типа оптических приборов можно установить лишь
компромисс между качеством изображения и приемлемой
сложностью оптической системы. Практически удобно оценивать
качество изображения систем по значениям остаточных
геометрических аберраций. Для этого надо использовать данные, полученные
из испытаний систем различного назначения как отечественного,
так и зарубежного производства.
Для визуальных телескопических систем (геодезические
зрительные трубы, призменные бинокли и т. п.) аберрации могут
быть не замечены, если они не превышают аберраций глаза, кото-
19* 579

рый является приемником изображения. Сферическая аберрация,
выраженная в угловой мере, не должна превышать 1—2',
хроматические аберрации —2—3'. С увеличением фокусного расстояния
объективов систем аберрации в центре поля растут.
Объектив телескопической системы
f'=300MM, 1:3, 2и>=2°
Исправлен для лучей с длиной волны А= 5ч-6,1'нм(е)
Ахроматизация Выполнена для диапазона спектра от
ЬЗЬ,1 нм (G') до 656, Знм(С)
F'
32L,2
Конструктивные элементы
Г / = о69, 9
г г =-181,81
г 3 =-508,2
У it "155,2
г5 = 300,6
Марна
стекла
пв % Неб $п
Ксв
Кп
d,=12,0 ТК1Н 1,6155 ЬЩШ 103,5 1,87
dj =10,2
d^S,2 Т№ 1,6155mm W/>5 }7S
' '100 103,5 ^18
(w№) (поДр)
2,00
7,ч8
2,6b
8,31
Ш
Id=38,6
fj "299,1 SrF'=285,6
Sp°0, центр апертурной диа/ррагмы совпадает с
вершиной первой поверхности
Рис. 280. Оптический выпуск, таблицы и графики аберраций для объектива
Высококачественные объективы зрительных труб,
коллиматоров и других оптических систем с малым углом поля (2ш<2°),
с фокусным расстоянием порядка 300 мм, небольшим
относительным отверстием ( р- <1:6) должны иметь сферохроматическую
продольную аберрацию не более 0,3 мм и меридиональную кому
не более 0, 02 мм, что соответствует волновым аберрациям в
плоскости наилучшей установки не более -г-. К таким системам можно
применять критерий Релея. Кривизна поля, астигматизм, дистор-
580

■ия таких объективов незначительны вследствие малости углов
юля.
В окулярах надо исправить аберрации наклонных пучков —
-сому, астигматизм, хроматизм увеличения. Сферическая и хрома-
Айеррации точи и на оси
т
о
25
35
50
б
ПгЦб'
О
8,385
11,716
15,938,
S'
285,566
,536
,528
,573
As'
О
-0,030
-0,038
0,013
&f
О
0,055
0,118
0,285
п%
О
0,028
0,052
0,091
У
О
-0,0025
-{70046
0,0021
С
Л'S"с
0,k23
0,352
0,302
0,251*
У
0
0,029
0,036
ООН
в'
AS'g'
0,1<t6
0,206
0,288
0538
У
О
0,017
0,03k
0,091
As'g'-c
~0,277
-0.1W
0,01*
о,гт+
10 г
"l
4
<\
4
I
19*'
I I ! I |
S&1
-1 U-
■V 0,1O2O,3O!tOl5As'[tm]
ОЧаб'
■ft,у
|
/
■■№
1
I
с е
00 0,08 y'CiHj
■8
12
16
h[HM]
700^
285,5285,1 285,3286,1S' С ml
| I , I 'Щ
0,02 0,05 0,10 7%
ниоольшим углом ПОЛЯ
ическая аберрации положения в окулярах незначительны вслед-
■твие малости фокусного расстояния и небольшого отноеитель-
■юго отверстия. Дисторсия в окулярах достигает б—7% для поля
_'ш = 45° и доходит до 12% для 2да = 70°.
В зрительных трубах объектив и окуляр часто рассчитывают
фи условии взаимной компенсации аберраций, причем кривизна
юля и дисторсия определяются в основном аберрациями окуляра.
В микроскопах угловые аберрации по выходе из системы мо-
^ут быть больше, чем в телескопических системах. В центре поля
581

сферическая и хроматическая аберрации могут достигать 10'
и больше. Продольные аберрации объективов микроскопов
больших увеличений (60—90X) могут доходить до нескольких
миллиметров, однако поперечные аберрации будут вполне допустимы
вследствие малой апертуры пространства изображений. Для
правильности суждения о допустимых значениях аберраций надо
вычислить волновые аберрации в плоскости наилучшей
установки.
Для объективов микроскопов с большой апертурой, например,
надо применять критерий акад. Д. С. Рождественского, в
соответствии с которым волновые аберрации должны быть не более г^.
Это условие вполне реально, а поскольку поле таких объективов
мало, достаточно хорошо исправить сферическую аберрацию,
хроматическую аберрацию положения и выполнить условие синусов
для получения хорошего качества изображения. Отступление от
условия синусов должно быть не более 0,1—0,2%, хроматическая
разность сферической аберрации — в несколько раз меньше
сферической аберрации для основного цвета.
Даже прн оценке качества фотографических систем часто
вполне достаточно знать значения продольных и поперечных аберраций.
Для получения более полной информации о работе объектива
необходимо вычислять ЧК.Х.
Определение конструктивных элементов окончательного
варианта оптической системы и его оформление. Исходный вариант
системы дает удовлетворительное качество изображения только
при очень малых углах поля и низких относительных отве^тиях,
когда аберрации высших порядков практически отсутствуют.
Исправление аберраций производится методами, описанными в § 187.
В отдельных случаях приходится рассчитывать большое число
промежуточных вариантов. Большую роль здесь играет опыт
расчетчика, умение выделять влияние отдельных параметров и
комбинировать их изменения.
Для системы, давшей допустимые значения аберраций,
проводят аберрационный анализ, составляют сводки аберраций и
приводят их графики. Для системы с небольшим углом поля
достаточно представить аберрации для точки на оси (рис. 280). Для
систем со значительными углами поля приводятся таблицы
аберраций точки на оси и точки вне оси широкого наклонного
пучка в меридиональном сечении, аберрации в сагиттальном
сечении и графики для всех аберраций.

Глава 27.
МЕТОДЫ ОЦЕНОК КАЧЕСТВА
ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Качество оптических систем характеризуется степенью
соответствия фотометрических и геометрических параметров,
сформированных ими изображений и отображаемых объектов. Наиболее
высокое качество имеет оптическая система, которая преобразует
и позволяет зарегистрировать максимальное количество
информации, снимаемой с объекта. Кроме этого, необходимо, чтобы
основные параметры информации изображения: контраст составляющих
элементов, их количество в определенном угловом поле оптической
системы и взаимное расположение — были зарегистрированы
анализаторами (глаз наблюдателя, фотопленка, фотоприемник и т. д.)
в плоскости изображения оптической системы с минимальными
искажениями.
Указанная степень соответствия может оцениваться
различными характеристиками качества оптических систем на стадии их
проектирования, экспериментальных исследований, сборки,
юстировки и эксплуатации. Одной из важнейших классических
характеристик является разрешающая способность, под которой
понимается способность анализатора различать изображения наиболее
мелких объектов, формируемых оптической системой. Несмотря
на простоту и очевидность этой характеристики, она обладает
существенными недостатками: ее численная оценка зависит от
параметров анализатора и не несет информации о качестве
формирования элементов, имеющих размеры больше минимальных.
Современные представления об оптических системах позволяют
использовать более универсальную характеристику, описывающую
формирование элементов объекта с различными размерами от
максимальных, соответствующих средней освещенности
изображения, до минимальных, контраст которых близок к нулю. Такая
характеристика по аналогии с передаточной функцией линейных
радиотехнических элементов названа оптической передаточной
функцией (ОПФ). Для оценки качества оптических систем она
стала применяться около 30 лет назад, а ее теоретические основы
и методы экспериментальных исследований совершенствуются
и в настоящее время. ОПФ позволяет одновременно оценить два
основных информативных параметра изображения, формируемого
оптической системой: количество сформированных элементов
с соответствующим контрастом (что дает возможность определить
количество фотометрических градаций каждого элемента) и
583

качественное соответствие геометрического положения
элементов изображения по отношению к объекту. Первый параметр
определяется частотно-контрастной характеристикой (ЧКХ), второй
— частотно-фазовой (ЧФХ). Обе эти характеристики могут быть
получены из ОПФ.
§ 185. Развитие методов исследования
качества оптических систем
Основой для развития объективных методов оценки качества
оптических систем послужил сформулированный Релеем в 1879 г.
первый критерий разрешающей способности оптической системы
при формировании изображений точечных источников света. Этот
критерий базируется на волновой теории света, его основой было
распределение энергии в идеальном дифракционном изображении
точечного источника света, которое было получено в 1834 г. Эри
на основе принципа Гюйгенса — Френеля (1815 г.). Отметим, что
методами геометрической оптики не могут быть проанализированы
такие процессы формирования изображений, так как в них
основную роль играет дифракция света в зрачках оптической
системы.
Развитием работ Релея является предложенный Штрелем
в 1895 г. критерий, согласно которому реальная оптическая
система может считаться совершенной, если нулевой максимум
изображения точки, сформированной этой системой, составляет
не менее 80% (коэффициент Штреля) от максимума аналогичного
изображения в случае отсутствия дефектов оптической системы.
При снижении коэффициента Штреля до 60^-50% оптическую
систему можно считать удовлетворительной.
Второй критерий Релея также касается оценки качества
оптических систем. Согласно этому критерию, совершенной можно
считать оптическую систему, если ее волновые аберрации не
превышают четверти рабочей (средней) длины волны света.
Сравнительный анализ двух последних критериев показывает,
что второму критерию Релея соответствует приблизительно
коэффициент Штреля, равный 80°/о.
Дальнейшие исследования качества оптических систем также
базировались на изучении распределения энергии в изображении
точечного источника света. При расчете оптических систем
и контроле при их юстировке основным показателем качества
являлось максимальное количество энергии в центре изображения.
Переход энергии из центра в периферийные кольца
свидетельствовал о наличии остаточных аберраций (типа сферической)
оптической системы. Децептрировка линз, их деформация, наличие
пеоднородностей приводят к асимметричному расположению
колец. Таким способом контроля качества пользуются до
настоящего времени, однако он не позволяет производить
количественных оценок для широкопольных оптических систем. Объясняется
это тем, что между распределением энергии в изображении точеч-
584

ного источника света и качеством изображения по полю оптиче
ской системы пока не найдены общие функциональные
зависимости.
Рассмотренные способы оценки качества успешно применяются
только для узкопольпых оптических систем (телескопов,
зрительных труб и т. д., имеющих углы поля ~1°),в которых можно
обеспечить качество изображений, близкое к идеальному.
Широкопольные оптические системы получили широкое
распространение в начале XX века для формирования изображений,
регистрируемых фотографическими материалами, а затем и
фотоэлектрическими устройствами. Остаточные аберрации в таких
системах не позволяют обеспечить качество изображения, близкое
к идеальному, по всему полю, поэтому критериям Релея и Штреля
такие системы в большинстве случаев не удовлетворяют. С другой
стороны, несмотря на низкое качество изображений, формируемых
такими системами, за счет широких угловых нолей (до ~ 170°)
по количеству регистрируемой информации они значительно
превосходят узкопольные системы.
Следующий этап развития связан с созданием объективных
критериев качества широкопольных оптических систем. Основной
задачей здесь является разработка количественных критериев
качества изображения, формируемого оптической системой. В
зависимости от способа последующей обработки изображений могут
существенным образом измениться и требования к его качеству.
Например, художественные фотографии могут иметь наилучшее
психофизическое восприятие (экспертная оценка) и при этом на
низком уровне разрешать мелкие элементы. При обработке
изображений на ЭВМ отсутствие мелких элементов может, наоборот,
снизить эффективность запланированных операций
(дешифрирования, отождествления и т. д.). Следствием указанных
сложностей этого явилось отсутствие до 50-х годов единых объективных
критериев оценки качества широкопольных оптических систем.
Наиболее прогрессивными методами отмеченного периода
следует считать контроль качества по разрешающей способности
с помощью радиальных и штриховых мир Фуко и метод
пограничного градиента (пограничной кривой).
Критерий разрешающей способности характеризуется
предельным количеством разрешенных элементов на единицу длины в
масштабе изображения. Мира Фуко представляет собой группы
штрихов с абсолютным контрастом с последовательным
увеличением их количества на единицу длины в каждой группе. Поскольку
изображения реальных объектов имеют различный контраст, то
разрешающая способность оптической системы, измеренная
по мире, в общем случае не соответствует реальной разрешающей
способности.
Метод пограничного градиента заключается в анализе
изображения прямолинейной границы, разделяющей яркую и темную
области объекта. Анализ распределения освещенности в
изображении этой границы позволяет пассчитать аналогичные раенреде-
20 1-4 40 585

ления в изображениях точечного источника света и линий
различной толщины. Этот метод является достаточно универсальным
по сравнению с использованием мир Фуко и другими
рассмотренными методами, однако также не позволяет дать полной оценки
качества оптических систем.
Наиболее полная характеристика качества оптических систем
может быть описана оптической передаточной функцией (ОПФ),
теоретические основы которой заложены Аббе в 1878 г. в
фундаментальных работах по дифракционной теории формирования
изображения в микроскопах. Согласно этой теории качество
изображений объектов определяется параметрами промежуточных
дифракционных изображений этих объектов, образуемых в задней
фокальной плоскости микрообъективов. Эти дифракционные
изображения являются действительными изображениями источника
света осветителя (близкого по размерам к точечному) или апер-
турной диафрагмы конденсора. При отсутствии наблюдаемого
объекта такое изображение будет состоять из одного максимума
освещенности.
Установка в предметной плоскости объекта, например
дифракционной решетки, вызовет дифракцию параллельных световых
пучков, сформированных осветителем, в результате чего появятся
дополнительные изображения источника света. Количество и
расположения этих изображений соответствуют количеству
ненулевых дифракционных максимумов, дифрагированных на решетке
световых пучков, прошедших через микрообъектив. При
дифракции световых пучков на объектах, имеющих произвольное
распределение плотности, дифракционное изображение будет
неупорядоченным. Действительное изображение наблюдаемых объектов
формируется микрообъективом благодаря интерференции световых
пучков, идущих от дифракционного изображения в каждую точку
действительного изображения объекта и нулевого максимума.
Анализ дифракционного изображения позволил установить
предельный линейный размер разрешаемых объектов d= —, ,
r r г П sind0
где X — длина волны света, <ю — половина апертурного угла
микрообъектива в пространстве предметов, п — показатель
преломления среды между фронтальной линзой микрообъектива
и объективом. Это условие соответствует попаданию в объектив
первых дифракционных максимумов, образованных в результате
дифракции «а объектах с минимальными размерами d. При
наклоне пучков осветителя на угол а можно сдвинуть положение
нулевого максимума в плоскости дифракционного изображения
таким образом, чтобы в объектив попали вторые максимумы, тог-
да предел разрешения уменьшается до величины а= . , , д.
Таким образом, был установлен важнейший критерий
предельной разрешающей способности, определяемой числовой апертурой
объектива микроскопа /l=nsina. Аббе также установил
качественное влияние дифракционного изображения на действительное.
586

Впоследствии плоскость локализации дифракционного
изображения была названа частотной. Для описания этого изображения
в 1946 г. Дюфье применил математический аппарат
преобразования Фурье, который применялся при анализе линейных фильтров
в радиотехнике. В 1948 г. Шадэ по аналогии с передаточной
функцией линейных радиотехнических фильтров и оптических систем
предложил для оценки качества оптических систем
использовать ОПФ.
Эта удачная попытка получила дальнейшее развитие в трудах
советских ученых Л. И. Мандельштама и Г. С. Горелика, что
позволило существенно обогатить методы оценки качества
оптических систем.
§ 186. Формирование светящейся точки
и линии идеальной оптической системой
В качестве идеальной оптической системы рассмотрим
корригированный объектив, не имеющий аберраций. Исходя иэ представле-
Рис. 281. Формирование изображения дифракционной точки
ний геометрической оптики, такая система будет формировать
изображение точечного источника света гомоцентрическим пучком
лучей. Однако ограниченные размеры выходного зрачка системы
приводят к дифракции сферических волновых фронтов, вследствие чего
изображение точки формируется в виде пятна с определенным
распределением световой энергии (кружок Эри). В известных
монографиях по геометрической оптике выводится выражение освещенности
в кружке Эри (рис. 281, а, кривая /):
"'.(•Of
4£п
(27.1)
где Е0— освещенность в центре кружка (в точке А') (рис. 281, б),
ei — вспомогательная безразмерная величина, называемая оптической
единицей,
2я
6)
• П С4'Х ,
(27.2)
20-
687

где X—длина волны излучения; п' — показатель преломления
среды в пространстве изображений; аА> — апертурный угол в
пространстве изображений; х'—координата в плоскости изображения
;см. рис. 281, б). Отметим, что произведение п <за-х—инвариант Лагран-
жа — Гельмгольца в пространстве изображений, поэтому ei
сохраняет свою величину во всех плоскостях промежуточных
изображений. /i(ei) — функция Бесселя первого рода первого порядка,
определяется выражением
/■(.D-S'-'V)
_. (27.3)
,i=0 л! (я + 1)!
Эта функция является осциллирующей, вследствие деления ее
на ei [формула (27.1)], величины максимумов быстро убывают при
увеличении ei, а минимумы соответствуют значениям si,iK = 3,8317
(первое темное кольцо), si,2K = 7,0156 (второе кольцо), si,3K = 10,1735
(третье кольцо) и т. д. При этом центральное пятно содержит 83,78 %
световой энергии пятна, первое кольцо—7,22%, второе — 2,77%
и остальные—6,23%. Максимум освещенности первого кольца
составляет 1,75% от нулевого максимума при e'i,lM = 5,1356, второго —
0,42%при ei,2M = 8,4172 и третьего — 0,16% при е!,з„ = 11,62.
Для определения радиуса /?э центрального пятна кружка Эри
подставим в формулу (27.2) значение si = 3,8317 и при п' = 1 (для
воздуха) определим
^ = 3.8317Х _0,61Х
Чгл'е'А. о'„, ' ' '
В случае расположения светящейся точки в бесконечности счи-
D*
таем аА. ^ 2J7, тогда
*' = ЯЭ^Ь|Д, (27.5)
где D\, f —диаметр выходного зрачка и заднее фокусное
расстояние объектива.
В указанных приближениях определим радиус кружка Эри в
угловой мере:
фэ-~ Р ~ -рг- -р, (27.6)
где Р"» 206 000".
Рассмотренное распределение световой энергии в изображении
светящейся точки относится к монохроматическому излучению.
Полихроматическое излучение вследствие зависимости ei =/().)
[формула (27.2)] приводит к окрашиванию колеи различными цветами.
Проведем анализ распределения освещенности в изображении
линейного источника света бесконечно малой толщины. Результаты
688

расчета этого распределения в поперечном сечении на основе прш-
ципа Гюйгенса—Френеля показаны на рис. 281,а (кривая 2).
Первый минимум находится на расстоянии 0,953si,]K с освещер-
ностью 3,2 % от нулевого максимума (абсолютно темное кольцо и^
наблюдается), а второй минимум — на расстоянии 1,780е[,2и с о^<-
сительной освещенностью 1,08%. Максимумы оказываются т°-
сдвинуты относительно максимумов изображения точки. П-
отстоит от оптической оси на величину l,224ei,iM, имея отн--
ную освещенность 4,43%, а второй — отстоит на 2,075г1 •
относительную освещенность 1,48%.
0,5
0,25
-
..
1
говэ
1
'2*3
1
I
1
' -L
о,Щ
C.BR
Рис. 282. Формирование изображения периодической струк
Сравнивая рассмотренные результаты, можно заключить, i
ширина центральной полосы дифракционного изображения
несколько меньше кружка Эри, дифракционные минимумы осыг
щешюсти не равны нулю, а максимумы освещенности в
изображении линии больше, чем в изображении точки.
Рассмотрим влияние на распределение освещенностей
изображений ширины линейных источников света. На рис. 282, а сплои.'
ными линиями показаны распределения яркости источников свегг
различной ширины, выраженной в величинах Ra: 1—0,3Ra
2—0,4ЯЭ, 3—0,5ЯЭ, 4—0,7R->, 5—1,0#э, 6-10R,. Высота все;
прямоугольников соответствует максимальной яркости (100 %,
Реальное распределение освещенностей в изображениях этих ли
ний показано пунктирными кривыми. При увеличении ширинь
линии увеличивается нулевой максимум освещенности изображе
ния, например, при ширине линии, равной Ra, максимум увеличь
вается до 77%. Дальнейшее увеличение ширины линии приводи-
к приближению максимума к 100%, как, например, при ширина
линии, равной 10 /?э. Отметим также, что относительные высоты
589

точек пересечений распределений энергии в реальном изображении
с увеличением ширины линий увеличиваются от 25% (ширина
линии / = 0,3 Ra) до 48% (/ = 10 R3). Идеальное изображение
границы светлого и темного с ее изображением (пограничная
кривая) пересекается на высоте 50%.
§ 187. Разрешающая способность оптической системы
Под разрешающей способностью оптической системы
понимается величина, обратная минимальному расстоянию между
центрами изображений двух одинаковых объектов, которые могут быть
а
си'уг k-У'Л'
1
4i
1
н
1 /
' \
V?
V
\ 2
4
у
'
\
\
'|
'8
1
/Е(х',У'л:п')
,1В(Х.йЬЧ) лЕ(х',у',£*1')
30 МММ"
тЖ>1>
т,ШУ
Рис. 283.
о — комтравт изображения; б — координаты, используемые для описания формирования
изображения; в — представление предмета и изображения в импульсном методе; г — / — ЧК.Х,
2 — ФЧХ
зарегистрированы раздельно. В этом случае разрешающая
способность выражается в линиях на 1 мм. Кроме этого, разрешающая
способность может выражаться в угловой мере или линейной.
Обычно первым способом разрешающая способность определяется
для фотообъективов, вторым — для объективов телескопических
систем и третьим — для объективов микроскопов.
Рассмотрим изображения двух точечных источников 1 и 2
(рис. 283, о), распределения освещенности в которых показаны
сплошными линиями. Пунктирной линией показано
результирующее распределение энергии (источники некогерентные).
Приуменьшении расстояния Ал: между ними разница энергии Ет&х — £ш1п
также будет уменьшаться до равенства ее нулю.
590

Согласно первому критерию Рслея разрешающей
способностью безаберрационной системы является условие
Яэ = А*, (27.7)
т. е. совпадение нулевого максимума одного изображения с первым
минимумом другого.
В этом случае контраст результирующего изображения
К' = '^ax~^min = У- = 0,26, (27.8)
а разрешающая способность, согласно (27.5),
-^ (ЯЛ)
при бесконечно удаленном источнике (объекте) и X = 0,55 мкм в
угловой мере
Щ^-ТГ- (27.10)
Известно, что глаз человека хорошо различает изображения
двух точек -до К' ~ 0,05. В этом случае
и, соответственно, в угловой мере
*-о.о5 = 0.85*э «7Я (27.11)
120' ,_„ ,„4
у+,к=о,05= -рт-. (27.12)
При /С' = 0, т. е. при равенстве освещенности максимумов и
промежутка,
_ ^=о = 0.8*э-да; (27.13)
109" ,_„ , ,v
У+. /с=о.05 = -дг. (27.14)
Разрешающую способность, полученную по формулам (27.13)
и (27.14), можно считать ее верхним пределом. При о<ил=0
освещенность промежутка будет больше освещенности централь*
ных максимумов изображений и результирующее изображение
будет иметь овальную форму.
Для разрешения изображений двух источников неодинаковой
яркости, т. е. при EmaXi i > необходимо, чтобы
Б отличие от некогерентных при наложении изображений
когерентных источников складываются, амплитуды их световых полей.
В результате этого разрешающая способность при использовании
когерентных источников
V =±
1,0
591

Разрешающая способность для частично когерентных источников
~v
n зависимости от степени когерентности.
Как уже отмечалось выше, определение разрешающей
способности по изображениям точечных источников имеет в основном
применение для узкопольных оптических систем.
Определение разрешающей способности широкопольных
оптических систем измеряют с помощью мир Фуко путем визуальной
или фотографической регистрации. Следует учесть, что
результаты измерений разрешающей способности с помощью миры
и точечных источников оказываются весьма близкими, если
расстояние между центрами двух соседних светлых или темных полос
будут равны расстоянию между точечными источниками. Поэтому
формулы для разрешающей способности оптических систем
(27.9) — (27.14) могут быть использованы без изменений.
В последние десятилетия пользуются понятием предельной
пространственной частоты, являющейся мерой разрешающей
способности:
N'x. y,v = ~ [мм-1], (27.15)
где vx д — разрешающая способность по осям X и Y; при Х =
= 0,55' мкм и К' = 0,26
#;*..= 14801£, (27.16)
при К = 0,05
С „=18005-'. (27.17)
Введем понятия текущей пространственной частоты
N'x, „=-}-, (27.18)
х, у
где/>*,£,— размеры изображения элемента объекта (не предельно
разрешаемого!) по осям X и Y соответственно, в случае
периодической структуры Р'х,у — период, связанный круговой
пространственной частотой следующим образом:
«>;.„ = -?=-. (27.19)
х. v
Критерии, связанные с пространственной частотой,
используются в виде аргумента в частотно-контрастной характеристике
(рис. 282, б), которая также называется функцией передачи
контраста (ФПК).
592

§ 188. Частотно-контрастная характеристика
В предыдущих параграфах главы 27 было установлено, что
основным недостатком критерия качества оптических систем в виде
разрешающей способности является ее зависимость от
возможности анализатора различать изображения объектов при
минимальном контрасте (27.9) — (27.14). Это качество анализаторов зависит
в основном от их чувствительности. В случае использования
промежуточных преобразователей, например, фотопленки,
телевизионного канала для последующей передачи зафиксированного
на ней изображения или анализатора в виде устройства ввода
в ЭВМ, каждый преобразователь вносит неизбежно свои шумы
в информацию исходного изображения. Вследствие этого
минимальный контраст, позволяющий различить отдельно изображения,
повышается, а разрешающая способность уменьшается. Таким
образом, разрешающая способность не является обособленной
характеристикой оптической системы.
Другим недостатком рассматриваемого критерия качества
является неучет передачи контраста оптической системой
промежуточных пространственных частот: от нулевой до предельной.
Рассмотрим особенности более объективной оценки качества
оптических систем — ЧКХ при формировании изображений
линейных объектов с прямоугольным распределением яркости.
Отметим, что ЧКХ, по определению, позволяет определить передачу
контраста яркости объекта с ее синусоидальным распределением,
поэтому рассмотренные ниже особенности имеют качественный
характер.
Обратимся вновь к рис. 282, о. Представим, что каждая из
линий различной ширины представлена в виде периодической
структуры, состоящей из линий соответствующей толщины и
промежутка, такой же, как в мире Фуко. Вычислим контраст для
каждой из структур. При исходных данных, использованных
для расчета распределений освещенности изображений линий
(?v=0,55 мкм), контраст для структуры с половиной периода,
равной 0,3 R3, оказывается отрицательным (освещенность
промежутков выше освещенности максимумов). При увеличении периода
структуры достигается верхний предел разрешающей способности,
аналогичный описанному формулой (27.13). Согласно этой
формуле верхний предел должен быть достигнут при ширине линии
0,4 /?D, однако он достигается при ширине ~0,38 R3, что
согласуется с нашими сопоставлениями распределения освещенности
в изображениях точки и линии (см. рис. 281, а). При толщине
линии 0,4 Ra К'>0. Для линий с большей толщиной К'
увеличивается приблизительно пропорционально толщине линий.
Гипотетической линии весьма большой ширины (а значит, и такой же
структуры) будет соответствовать К'=1, что можно легко
получить по формуле (27.8).
На графике рис. 282, б по оси абсцисс отложим величины
текущих пространственных частот согласно формуле (27.38) с учетом
593

промежутков между яркими линиями равными толщине каждой
линии М'х,у = ~^-(К = 0,3; 0,4; 0,5; 0,7; 1,0; 10,0), а по оси
ординат — текущие значения К' (27.8), соответствующие
периодическим структурам при указанных параметрах.
Полученная характеристика отображает передачу контраста
оптической системой в зависимости от пространственной частоты
и является характеристикой, близкой к ЧКХ, которая, по
определению, является характеристикой оптической системы (или
любого другого оптического преобразователя: фотопленки,
телевизионного передатчика, фотометра и т. д.) и представляет собой
функцию отношения контрастов синусоидальных распределений
яркости тест-объекта к контрасту освещенностей его изображения,
формируемой этой системой в зависимости от пространственной
частоты тест-объекта. Математически ЧКХ выражается
следующим образом:
£=/(ЛГ), (27.20)
где К' определяется по формуле (27.8), а
К = ^Bax~^min, (27.21)
где Lmax. i-min — максимальная и минимальная яркость элементов
тест-объекта; N— пространственная частота тест-объекта.
При /С=1, что соответствует рассмотренному выше случаю,
ЧКХ выражается
K'=f{N). (27.22)
Сформулируем предварительно основные свойства ЧКХ:
1. ЧКХ не зависит от пороговых характеристик анализаторов,
она является характеристикой одного или нескольких
последовательно включенных преобразователей изображения.
2. Последовательно включенные преобразователи имеют ЧКХ,
равную произведению характеристик отдельных
преобразователей.
3. Разрешающая способность определяется одной точкой на
ЧКХ, ордината которой соответствует пороговому контрасту
анализатора, установленному в плоскости изображения оптической
системы, а абсцисса — предельно разрешаемой пространственной
частоте.
§ 189. Оптическая передаточная функция
и импульсный отклик оптической системы
ЧКХ устанавливает связь между параметрами предмета и
изображения, формируемого оптической системой. Согласно формулам
(27.8) и (27.21) (см. рис. 282, а)
К' = §#; К = ^, (27.23)
594

где La — амплитуда синусоидального распределения яркости объекта;
L — средняя яркость.
Данная характеристика имеет аналог в радиотехнике в виде
амплитудно-частотной характеристики (АЧХ), которая
применяется для описания линейных электрических цепей с постоянными
характеристиками. .
Такие цепи содержат сопротивления и емкости, в результате
чего электрический сигнал на выходе частично интегрируется,
дифференцируется или изменяется по фазе (на интегрирующих
и инерционных звеньях соответственно). Так же как и при
формировании изображения, электрический сигнал при прохождении
через линейную цепь не сохраняет свою амплитуду на всех
частотах; она, как правило, уменьшается с повышением частоты.
Увеличение или уменьшение сигнала на постоянную величину на входе
линейной цепи приводит к пропорциональному изменению
параметров на выходе. Соответственно суммирование сигналов на
входе не изменяет параметров каждого сигнала на выходе линейной
цепи, что позволяет при анализе линейных цепей представлять
сигнал на входе в виде суммы составляющих гармоник или
интеграла Фурье (принцип суперпозиции).
Рассмотрим основные параметры линейной цепи. Если на вход
линейной цепи подается синусоидальный сигнал
а(/)=* Л sin («>/ + ?„), (27.24)
где А — амплитуда сигнала, т — круговая частота, I — время, <?„—
фаза сигнала, со = 2л/ ^ , где / — — частота, то на выходе
сигнал описывается следующим выражением:
Ъ (t) = В sin (о/ + <р*). (27.25)
Связь между этими сигналами определяется комплексной
функцией переменной и>, называемой комплексной (передаточной)
характеристикой цепи #(/и>):
B(to)=*H(lw)A(iw). (27.26)
Здесь сигналы a(t) и b{t) представлены в комплексном виде.
Характеристика #(/«>) может быть представлена в виде
Н(ш) = \Н(ш)\еЫ"К (27.27)
Тогда АЧХ цепи
//(•)-!//(*») |=|$ (27^8)
выражает отношение вещественных амплитуд выходного и входного
сигналов.
Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) определяет разность фаз
между выходным и входным сигналами:
<р(о)) = <Р*(о))-<?„(о)). (27.29)
Основная особенность линейных цепей — возможность
представлять сигнал на входе в виде суммы составляющих и получать
595

их на выходе независимо друг от друга, в классической оптике
используется представление предмета в виде отдельных точек при
габаритных и аберрационных расчетах. Так же как и на выходе
линейной цепи, в плоскости изображения суммируются
освещенности (квадраты амплитуд световых полей) изображений
отдельных точек (при некогерентном освещении объектов) или
амплитуды световых полей (при когерентном освещении). Последний
случай является точной аналогией оптической системы и
линейной электрической цепи.
На основе качественного анализа ЧКХ можно установить, что
Y —f (N) зависит от текущей пространственной частоты
периодической структуры предмета и параметров оптической системы.
В частности, уменьшение относительного отверстия или
увеличение аберраций (например сферической) приводит к размытию
изображений линий п поперечном направлении и к уменьшению
величины К'. При этом изменение яркости тест-объекта (или
освещенности) не влияет на ЧКХ. В линейных электрических цепях
приблизительными аналогами относительного отверстия и
аберраций по действию на сигналы являются режекторные фильтры.
В соответствии с установленными аналогиями будем считать,
что пространственные оптические параметры соответствуют
временным радиотехническим, обозначим это соответствие знаком:
х -у t\ N\, N< -> f\ (о*, со*» -> со;
Е'К'-уВ; K-L-+ А;^-->Н(ы) = \Н(ш)\.
В дальнейшем для простоты изложения будем рассматривать
зависимость оптических параметров только от одной координаты.
Отметим одно важное обстоятельство. При перемещении тест-
объекта, например точечного источника света, по полю оптической
системы, обладающей полевыми аберрациями, распределение
освещенности в изображении будет изменяться, что свидетельствует
об неинвариантности оптических систем к угловому полю. Поэтому
радиотехнические аналогии для оптических систем можно
применять только для изопланатичных. оптических систем [формула
(27.20)] или для систем с малой величиной углового поля.
Для систем, имеющих полевые аберрации, выражение (27.20)
перепишем следующим образом:
" £V0 =№.,), (27.31)
где щ — текущая координата углового поля оптической системы в
пространстве изображений, при этом угловое поле, в котором
производятся измерения или расчет ЧКХ, должно быть выбрано таким,
чтобы внутри его система была изопланатичной. В этом поле
необходимо использовать отдельные координаты в плоскостях
предметов и изображений, для малых угловых полей (е, т) и е', tj'
соответственно), как показано на рис. 283, б.
596
(27.30)

Рассмотрим по аналогии с (27.24) и учетом (27.30) формирование
тест-объекта в виде синусоидальной решетки.
Распределение яркости на тест-объекте будет выражаться
L(x) = LKs\n(mxx + <fx), (27.32)
распределение освещенности в плоскости изображения
Е (х) = Е'К'sin (шх,х + ?,.). (27.33)
По аналогии с (27.27) запишем выражение для ОПФ с учетом
(27.28), (27.32) и (27.33):
Н(ш) = ^е'<ш'*'\ (27.34)
Е' , „
j- = const, что вытекает из свойства линейности оптической систе-
Е'
мы, а при измерениях т-= I, что достигается нормировкой свето-
К'
вого потока. Поэтому ^-, согласно (27.30) является ЧКХ, а аргумент
<? («>*') — ФЧХ, смысл которой определяется выражением (27.29).
Определим физический смысл ОПФ. Представим для этого L(x)
в виде составляющих, каждая из которых представляет собой
синусоидальное распределение яркости с пространственной частотой,
весьма близкой друг к другу. Этот метод представления L (х)
называется спектральным. Определим спектральную плотность L(x),
применив прямое преобразование Фурье:
+~
L («>«)= У L(x)e-u"xXdx. (27.35)
— во
Произведение L{u>x) • Н(т) определяет спектральную плотность
распределения освещенности в плоскости изображения Е'(х')в
соответствии с (27.26) и (27.30):
Е' (»;.) = Н {ш) . L (<■>,). (27.36)
Применим к произведению Ь(шх) • Н(tco) обратное
преобразование Фурье, в результате чего получим распределение
освещенности изображения
Е' (х') = 1 I L (»,). Н (ш) e"°*xdx. (27.37)
Обратное преобразование Фурье L (тх) позволяет выразить
распределение яркости объекта
L(x) = i; f /,(»,) e'^da. (27.38)
Сравнительный анализ выражений (27.37) и (27.38) показывает,
что распределение освещенности изображения может быть получено
597

суммированием спектра L пространственных частот L (и>х) с весом
//(/со), т. е. ОПФ является весовой функцией, определяющей
относительный вклад различных составляющих спектра L (шх) в
распределение освещенности изображения Е' (х').
Вместо разложения L (х) на гармонические составляющие (по
пространственным частотам ш*) представим распределение яркости
объекта в виде отдельных точек, яркость каждой из которых
соответствует распределению L* (импульсный метод). Как уже
отмечалось выше, такое представление обьекта типично для
геометрической оптики. Указанное разложение выразим в следующем виде,
используя фильтрующее свойство 8 функции Дирака:
+°°
L(x)= J L(z)h(x~ e)de, (27.39)
где е — координата, отсчитываемая от произвольной точки
плоскости предмета, имеющего координату х (см. рис. 283, б).
Этот интеграл описывает L(x) в виде бесконечной суммы
смещенных 8-функций с весами L (г). Оптическая система формирует
изображение каждой 8-функции (точечного источника) независимо друг
от друга, а в результате сложения освещенностей изображения
каждой точки образуется изображение объекта (см. рис. 283, в).
Формирование же изображения точечного источника оптической
системой рассмотрено в § 186. Обозначим такое действие
оптической системы оператором D, включающим как минимум действие
основных параметров оптической системы: относительного отверстия
и остаточных аберраций. Тогда распределение освещенности
изображения выразится следующим образом:
£'(*')= DM L(b)8(x — е)л|. (27.40)
Воспользовавшись линейными свойствами оптической системы,
подействуем оператором D на 8-функцию, для чего внесем его под
знак интеграла:
+»
£'(*') = J L(e)D{8(*-e)}de. (27.41)
Это выражение показывает, что Е'(х') есть сумма изображений
точечных источников с весами L (е). Функция
D(8(x — е)}=Л(х'-е) (27.42)
называется импульсным откликом оптической системы [функция
рассеяния точки (ФРТ)].
Подставим (27.42) в (27.41):
+»
£'(*')= I L(t)h{x! — z)d*. (27.43)
—ее
598

Это выражение является интегралом свертки, который может
иметь краткое обозначение
E'(x') = L(s)h(x'). (27.44)
Функция h(x') имеет такое же фундаментальное значение для
импульсного метода, как и H(ia>) для спектрального метода
анализа оптических систем.
Согласно известной теореме, свертка двух функций в
пространственней области, описываемой в плоскостях объектов и изображений
с помощью координат, выраженных в линейной мере, равносильна
перемножению их Фурье-образов (что обозначает результат действия
на функцию оператора F—Фурье-преобразования) в частотных
плоскостях, в которых локализуются спектры круговых
пространственных частот объектов и изображений. Применив эту теорему,
получаем
E'M = F{h(x')\LM. (27.45)
Заменяя координату s на х, обнаруживаем, что это равенство
равносильно равенству (27.36) при
F{h(x')} =Н(ш). (27.46)
Отсюда можно сделать вывод, что ОПФ является результатом
Фурье-преобразования импульсного отклика, что, с другой стороны,
позволяет установить идентичность спектрального и импульсного
методов анализа оптических систем.
Рассмотрим на основе полученных соотношений формирование
изображения точечного источника света оптической системой.
Не приводя примеров Фурье-преобразований функций,
используемых в оптике для описания различных элементарных видов
предметов и изображений (эти преобразования приведены в учебных
пособиях по математике и Фурье-оптике), отметим, что
F{b(x)} = l. (27.47)
Это означает, что спектральная плотность точечного источника
света равна 1 по пространственным частотам от «v = 0 до о>*< = оо.
В случае формирования изображения такого объекта оптической
системой h(x') = b(x) без учета влияния дифракции спектр его
изображения также будет бесконечным. Тогда, согласно выражениям
(27.46) и (27.47), Н (ш) == 1. Исходя из (27.36), это можно записать
в виде выражения
£Ии>;,) = 1(и>,)= 1, (27.48)
что обозначает передачу идеальной оптической системой всего
спектра пространственных частот предмета без искажений.
Реальная оптическая система формирует изображение
точечного источника, которое всегда отличается по форме от предмета,
599

следовательно, и их спектры, различны. Применив преобразование
Фурье к выражению (27.46) s получаем
А(х') = й f H{iw)e'a**dx. (27.49)
Анализ этого выражения показывает, что спектр круговых
пространственных частот изображения предмета с бесконечным
спектром равен ОПФ. Таким образом, ОПФ может рассматриваться как
огибающая спектра изображения. Поэтому оптическая система,
формирующая изображение, может быть отождествлена с
радиотехническим фильтром низких час-от. Рассмотренные особенности ОПФ—
//(Ли), в основном, определялись поведением ее модуля —ЧКХ.
Проанализируем аргумент С*ПФ — ФЧХ, представленной
выражением (27.34) в показательной форме. Воспользуемся для этого
формулой Эйлера:
е'» 7= cos ев -f i sin ср. (27.50)
pi
Учитывая, что — = 1, получаем
(27.51)
Н (т) = ^ [c^)s ср («v) -f i sin ср («v)]
К
— выражение ОПФ в тригонометрической форме, где ФЧХ —ее
аргумент;
?(»;.)«(р(.«;.)«,+ 2/r,*(ffi = о,+1, ±2...), ?(»;.).
который удовлетворяет уравнению
sin<f(cv)
tg у К') =
!?К')'
(27.52)
Определим ОПФ систему, состоящей из п последовательных
оптических систем, формирующих изображение когерентным светом.
Используем для этого теорему о модуле и аргументе функции
комплексного переменного, согласно которой модуль произведения двух
комплексных чисел равен произведению их модулей, а аргумент
произведения равен сумме api-ументов сомножителей.
В общем виде ОПФ системы выражается
#(;ш);.; = П Н(ыу (27.53}
При представлении ОПФ v показательной форме
И И* = П (£), ехр 1% ср (•;), (27.54)
Lv 1 -1 v=l
и при представлении в тригонометрической
Л(/»Ъ-П(£) [м*^ М.+ < sin Y ?(••). . (27.55)
600

В елучае использования одинаковых оптических
преобразователей с учетом формулы Муавра
Я(/ш)ц = ({£)" [cosn? (ш'х.) + i sin п? (ш'х-)]. (27.56)
Анализ полученных выражений показывает, что для получения
общей ОПФ ряда последовательных оптических систем
необходимо перемножить ЧКХ каждой системы и просуммировать ФЧХ.
Отметим, что ФЧХ является периодической функцией (с
периодом 2л).
ФЧХ зависит, в основном, от полевых аберраций, ее
проявление выражается несимметричностью ФРТ или ФРЛ. Если такие
явления отсутствуют (например в узкопольных оптических
системах), то
tf(toW>=o = ^T- (27.57)
Рассмотренный анализ показывает, что ОПФ является
наиболее полной характеристикой оптической системы независимо от
параметров анализатора или любого другого преобразователя
информации изображения (фотопленки, фотометра,
оптико-механической сканирующей системы, телевизионных передатчиков и
приемников и т. д.). Знание ОПФ каждого оптического и
электронного преобразователя сложных систем отображения или
информационно-измерительных систем позволяет сравнительно легко
определить ОПФ всей системы.
Расчет ОПФ проводится с использованием формул (27.45),
(27.51) и (27. 53) численными методами на ЭВМ. Эффективным
способом расчета ОПФ является перерасчет аберраций
оптических систем в волновые в выходном зрачке с последующим
вычислением автокорреляционной функции.
На рис. 283,г показаны рассчитанные на ЭЦВМ ЧКХ — (У)
ФЧХ—(2) оптической системы для ш, = 0. В таком виде обе
характеристики дают возможность полностью оценить качество
оптической сист.'мл для выбранной зоны поля плоскости изображения.
При расчете ОПФ для плоскости, смещенной относительно плоско-
сти изображения или другого значения ш,-> могут быть рассчитаны
также соответствующие характеристики. Таким образом, полная
ОПФ для оптической системы может быть описана большим
количеством ЧКХ и ФЧХ.
С целью упрощения описания ОПФ меньшим количеством па-
раметров в последние десятилетия было предложено ЧКХ оцеии-
к'
вать не непрерывными значениями величины тт-, а одним числом.
Исследователь Шаде предложил заменить ЧКХ одним числом
А'э (эквивалентной полосой пропускания). Это число соответствует
ширине прямоугольника (от Nx = 0 до Nx = fts) по оси абсцисс, вы-
К'
сота которого jt- =1, а площадь равняется площади под ЧКХ.
601

Такая оценка ЧКХ имеет те же недостатки, что и разрешающая
способность.
Было также предложено для конкретных оптических систем
пользоваться не всеми значениями р- (uv)> а только определенной
■полосой пространственных частот, в пределах которой анализатор
воспринимает изображение. После выбранной полосы должно опре-
К'
деляться среднее значение^-, которое является оценочным числом.
Этот способ оценки ЧКХ имеет также общий недостаток с
разрешающей способностью: зависимость оценки качества оптической
системы от параметров анализатора.
Следующей аналогичной оценкой является критерий критической
пространственной частоты NKp. Величина NKp соответствует прост-
к'
ранственной частоте, при которой -= уменьшается в е раз. При
к'
Nx = NKp р- = 0,368. Этот способ оценки ЧКХ принципиально
ничем не отличается от разрешающей способности. Например, по
к'
критерию Релея при Nx = Л/ра3р jt — 0,26 или предельной, при NK =
кг
= Л^ред ~- = 0, что соответствует расстоянию между центрами ФРТ,
равному 0,8R3.
Рассмотренные оценки могут применяться только для
сравнения качества оптических систем, имеющих подобные по форме ЧКХ.
Представляется, что наиболее перспективными оценками ЧКХ
•с помощью одного числа могут быть такие, которые могут
однозначно определить количество информации об объекте,
преобразованное оптической системой. Например, для одномерного случая
.(одна «строка») количество информации будет равно
+Т
f= I #,log £-(*) dx. (27.58)
2*
K'
Для обеспечения такой оценки ордината ЧКХ -g {х) должна
представляться логарифмической шкалой.
§ 190. Способы измерения ОПФ
Наряду с расчетными методами в нашей стране и за
рубежом разработано большое количество методов измерения ОПФ.
Не останавливаясь на рассмотрении конкретных схем построения
установок для измерения ЧКХ и ФЧХ, рассмотрим обобщенные
схемы измерений.
Рассмотрим три основных метода измерения ОПФ. Первые два
метода построены по принципам, лежащим в основе анализа
оптических систем: спектрального и импульсного. Третий метод пост-
602

роен также на основе импульсного анализа. Однако в
отличие от первых двух, в которых основные вычислительные
операции выполняются с помощью электронных блоков, в третьем
методе операции выполняются с помощью оптических элементов,
формирующих когерентное излучение.
На рис. 284 показана обобщенная схема измерения ОПФ,
построенная по аналогии со спектральным методом анализа
оптических систем. Излучение источника света / проходит через
конденсор 2 и концентрируется на периодической линейчатой
структуре 3 с переменным шагом (решетке). Далее излучение попадает
Рис. 284. Частотный метод измерения ОПФ
на объектив коллиматора 4, после которого в виде параллельного
светового пучка — на измеряемую оптическую систему
(объектив) 5. Этот объектив расположен на поворотной платформе 6,
ось вращения которой проходит через заднюю главную точку
объектива. Изображение решетки проецируется на щелевую
диафрагму 7, ширина которой приблизительно на порядок меньше
изображения наименьшего периода изображения. Перед
периодической структурой часть излучения источника света ответвляется
полупрозрачным зеркалом 9 и на вспомогательный
фотоприемник 10. Основной фотоприемник 8 установлен за щелевой
диафрагмой.
При работе установки решетка перемещается с помощью
привода // с постоянной линейной скоростью
возвратно-поступательно. Такая решетка может быть нанесена и на барабане. В этом
случае он должен вращаться с постоянной скоростью. В плоскости
щелевой диафрагмы 7 последовательно перемещаются
изображения светлых линий с разной шириной. При контрасте полос
решетки К=\ их изображения будут иметь контраст К'<\, причем
K'—f(Nx). Электрический сигнал, пропорциональный К',
снимаемый с фотоприемника 8, усиливается усилителем 12 и делится
в блоке 14 на сигнал, снимаемый с опорного фотоприемника 10
и усиленный усилителем 13. Такая нормировка необходима для
обеспечения стабильности результатов измерения ЧКХ
[выражение (27.34)]. Для измерения ФЧХ с привода // снимаются опор-
боз

ные сигналы, фаза которых сравнивается с измерительными
сигналами на регистраторе 15. В качестве регистратора может
использоваться самописец или осциллограф. Изменение угла поля, в
котором измеряется ОПФ оптической системы, осуществляется
поворотом платформы 6 на требуемый угол. Недостатком
описанного метода является использование прецизионных решеток.
На рис. 285 показана схема устройства, построенная по
второму методу. На этой установке может измеряться ОПФ по
способу, описанному уравнением (27.49). Измерения производятся
следующим образом. Источник света / проецируется
конденсором 2 на точечную или щелевую диафрагму 3. После объектива 4
рронт светового излучения становится плоским (в определенном
Ось качания
Рис. 285. Импульсный метод измерения ОПФ
приближении). Испытуемая оптическая система 5 установлена на
такой же платформе 6, как и в описанной выше схеме установки.
Импульсный отклик образуется в фокальной плоскости оптической
системы 5, его изображение в увеличенном виде проецируется
микрообъективом 7 на щелевую диафрагму 8, которая с помощью
тривода 10 сканирует изображение импульсного отклика. ОПФ
регистрируется на анализаторе 13. С выхода фотоприемника 9
снимаются сигналы с изменяемой частотой и подаются на усилитель
//, полоса пропускания которого управляется этой частотой.
Наиболее низкая частота сигнала, которую должен пропускать
усилитель //, должна ориентировочно равняться частоте
сканирования диафрагмы 8. По более высоким частотам, соответствующим
высшим гармоникам пространственных частот изображения
импульсного отклика, происходят разложения в ряд Фурье (в
пределе— интеграл Фурье). С привода 10 снимается
синхронизирующий импульс, соответствующий началу фотометрирования
изображения импульсного отклика измеряемой оптической системы,
и направляется на синхронизатор 12. На экране анализатора 13
высвечивается ЧК.Х, по положению которой можно судить о ФЧХ.
Нормировка j- осуществляется подбором коэффициента
усиления усилителя //. Описанная схема может иметь большую неста-
604

бильность параметров по сравнению с предыдущей (см. рис.284),
поэтому измерения этим методом лучше проводить относительно
эталонных оптических систем.
В отличие от описанной схемы, на рис. 286 показана схема
измерения ОПФ, с использованием когерентного излучения, в
которой спектр пространственных частот импульсного отклика
осуществляется самим испытуемым объективом 4, установленным на
платформе 5. Так же как и в предыдущих схемах, объектив
коллиматора 3 формирует плоский волновой фронт, но в отличие от них
ось качания
I 11
Рис. 286. Когерентно-оптический метод измерения ОПФ
здесь используется когерентное излучение лазера /, которое
расширяется объективом 2 (составляющим с объективом 3
телескопическую систему). Объектив 4 формирует спектр точечной или
щелевой диафрагмы // в его передней фокальной плоскости. ЧКХ
является огибающей этого спектра. Роль сканирующей диафрагмы
6 сводится к фотометрированию энергии спектра в задней
фокальной плоскости объектива 4. Снимаемый с фотоприемника 7 сиг-
к'
нал пропорционален -^, а положение сканирующей
диафрагмы 6 пропорционально wx. Сигналы, пропорциональные смещению
диафрагмы, снимаются с привода 8 и направляются на регистратор
10 (например двухкоординатный самописец). Сюда же
направляются усиленные усилителем 9 сигналы с фотоприемника 7.
Поскольку в настоящее время получили широкое распространение
лазеры с перестраиваемой длиной волны излучения, описанная
схема является достаточно перспективной.

Список литературы
1. Апенко М. И., Дубовик А. С. Прикладная оптика. М., Наука, 1971.
2. Бегунов Б. Н., Заказное Н. П., Кирюшин С. И., Кузичев В. И. Теория
оптических систем. М., Машиностроение, 1981.
3. Волосов Д. С. Фотографическая оптика. М., Искусство, 1978.
4. Русинов М. М. Техническая оптика. Л., Машиностроение, 1979.
5. Слюсарев Г. Г. Методы расчета оптических систем. Л., Машиностроение,
1969.
6. Слюсарев Г. Г. Расчет оптических систем. Л., Машиностроение, 1975.
7. Турыгин И. А. Прикладная оптика. М., Машиностроение, ч. I, 1965, ч. П.
1966.
8. Фефилов Б. В. Прикладная оптика. М., Геодезиздат, 1947.
9. Чуриловский В. Н. Теория оптических приборов. Л., Машиностроение, 1966.
10. Чуриловский В. Н. Теория хроматизма и аберраций третьего порядка. Л.,
Машиностроение, 1968.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие 3
Введение 4
ЧАСТЬ I. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА 12
Глава 1. Основные законы и понятия геометрической оптики .... 12
§ 1. Связь геометрической оптики с волновой 12
§ 2. Основные законы геометрической оптики 14
§ 3. Гомоцентрический и астигматический пучки лучей 19
§ 4. Оптическая система 21
§ 5. Предмет и изображение 22
§ 6. Правила знаков 24
Глава 2. Оптические материалы 25
§ 7. Оптические стекла 25
§ 8. Оптические кристаллы и керамики 29
Глава 3. Теория идеальной оптической системы 32
§ 9. Идеальная оптическая система 32
§ 10. Линейное увеличение 33
§ 11. Кардинальные точки, главные и фокальные плоскости и фокусные
расстояния 34
§ 12. Построение изображений 37
§ 13. Основные формулы для сопряженных точек. Формулы Ньютона
и Гаусса ., 39
§ 14. Формула и инвариант Лагранжа—Гельмгольца 41
§ 15. Линейное, угловое и продольное увеличения идеальной системы.
Узловые точки. Видимое увеличение 42
§ 16. Расчет хода луча через идеальную систему ........ 46
§ 17. Оптическая система из двух компонентов 48
§ 18. Частные случаи системы, состоящей из Двух компонентов ... 53
§ 19. Оптическая система из трех компонентов и более 58
§ 20. Изображение наклонных предметов 61
Глава 4. Образование изображений преломляющими и отражающими
поверхностями 64
§ 21. Условия образования идеального изображения преломляющей
поверхностью 64
§ 22. Уравнения Лагранжа — Гельмгольца н Гершеля для преломляющих
поверхностей 68
§ 23. Увеличения для системы преломляющих поверхностей .... 71
§ 24. Преломление лучей сферической поверхностью 73
§ 25. Преломление элементарных наклонных пучков лучей 80
§ 26. Преломление лучей плоскими поверхностями 82
§ 27. Отражение лучей от поверхностей 85
607

Глава 5. Оптика параксиальных лучей 89
§ 28. Параксиальные лучи. Уравнения для параксиальных лучей . . . 89
§ 29. Фокусные расстояния преломляющей поверхности 90
§ 30. Инварианты для параксиальной области 92
§ 31. Вспомогательные параксиальные лучи 94
§ 32. Формулы для расчета хода первого и второго параксиальных лучей 96
§ 33. Уравнения параксиальных лучей, отнесенных к произвольной паре
сопряженных точек 100
§ 34. Формулы для определения фокусных расстояний и положения кар- .
динальных точек линзы конечной толщины 104
§ 35. Бесконечно тонкие линзы. Системы из бесконечно тонких линз . . 107
§ 36. Сферические зеркала 108
§ 37. Переход от бесконечно тонких линз к линзам конечной толщины 109
Глава 6. Ограничение пучков лучей в оптических системах .... 113
§ 38. Диафрагмы и их значение 113
§ 39. Апертурная диафрагма. Входной и выходной зрачки 114
§ 40. Формула Гаусса, отнесенная к зрачкам 121
§ 41. Полевая диафрагма 123
§ 42. Виньетирование. Виньетирующая диафрагма 125
§ 43. Диафрагмы для уменьшения вредного (рассеянного) света .... 128
Глава 7. Прохождение света через оптические системы 131
§ 44. Поток излучения. Энергетические величины 131
§ 45. Видимая область спектра. Световые величины 135
§ 46. Коэффициенты отражения, поглощения, рассеяния и пропускания 138
§ 47. Яркость отраженных и преломленных пучков лучей. Световые
трубки 141
§ 48. Потери световой энергии в оптических системах 147
§ 49. Световой поток, проходящий через оптическую систему .... 150
§ 50. Освещенность изображения. Светосила 152
Глава 8. Расчет хода лучей через оптические системы 155
§ 51. Расчет хода первого и второго параксиальных лучей 155
§ 52. Расчет хода действительных лучей в меридиональной плоскости. . 156
§ 53. Расчет хода элементарных астигматических пучков лучей .... 157
§ 54. Внемеридиональиый луч и его координаты. Формулы для расчета
хода внемеридиональных лучей 159
ЧАСТЬ II. ТЕОРИЯ АБЕРРАЦИЙ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ .... 166
Глава 9. Хроматические аберрации 168
§ 55. Классификация хроматических аберраций 168
§ 56. Хроматическая аберрация положения изображения — хроматизм
положения 168
§ 57. Хроматическая аберрация величины изображения — хроматизм
увеличения 173
§ 58. Вторичный спектр положения и увеличения 178
§ 59. Зависимость хроматических аберраций от положения входного зрачка 181
§ 60. Условия нормирования для первого и второго параксиальных лучей 182
§ 61. Хроматизм систем из тонких компонентов. Основной
хроматический параметр 184
§ 62. Хроматизм линз конечной толщины и бесконечно тонких линз . . 189
§ 63. Хроматизм плоскопараллельной пластинки 194
§ 64. Хроматические преломляющие поверхности 196
§ 65. Хроматизм действительных лучей — хроматизм высшего порядка 200
608

Глава 10. Основные формулы теории монохроматических аберраций . . 203
§ 66. Общие уравнения для меридиональной и сагиттальной
составляющих 203
§ 67. Аберрации первого порядка 206
§ 68. Меридиональная и сагиттальная составляющие третьего порядка 209
§ 69. Коэффициенты аберраций третьего порядка или суммы Зейделя . . 215
§ 70. Геометрическое представление аберраций третьего порядка . . . 221
§ 71. Аберрации высших порядков 247
§ 72. Вычисление аберраций 253
§ 73. Волновые аберрации 258
Глава 11. Монохроматические аберрации систем из тонких компонентов
и простых систем ... 266
§ 74. Коэффициенты аберраций третьего порядка системы из тонких
компонентов 266
§ 75. Аберрации третьего порядка тонкого компонента 268
§ 76. Основные параметры тонкого компонента 274
§ 77. Основные параметры и аберрации линз 278
§ 78. Коэффициенты аберраций и аберрации третьего порядка
плоскопараллельной пластинки 289
§ 79. Суммирование аберраций 292
Глава 12. Термооптические аберрации 296
§ 80. Влияние температурных изменений среды на оптические системы 290
§ 81. Термооптическая аберрация положения изображения . . . . . 297
§ 82. Коэффициент термооптической аберрации положения системы,
состоящей из тонких линз, в воздухе 300
§ 83. Термооптическая аберрация увеличения 301
§ 84. Термооптические аберрации для системы, состоящей из гонких
компонентов 304
§ 85. Исправление термооптических аберраций 305
§ 86. Термобарическая дефокусировка изображения 306
ЧАСТЬ III. ТЕОРИЯ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ 308
Глава 13. Основные характеристики оптических систем 308
§ 87. Увеличение (масштаб изображения) 308
§ 88. Поле системы 310
§ 89. Светосила. Освещенность изображения 310
§ 90. Разрешающая способность. Частотно-контрастная характеристика
(ЧКХ) 311
Глава 14. Оптические детали 316
§ 91. Линзы 316
§ 92. Линзы Френеля. Аксиконы 320
§ 93. Плоские, сферические и асферические зеркала 321
§ 94. Плоскопараллельная пластинка 322
§ 95. Отражательные призмы 324
§ 96. Оптические клинья. Компенсаторы. Бипризма 327
§ 97. Светофильтры . . 329
§ 98. Светопроводы и волоконная оптика 331
Глава 15. Глаз как оптическая система и приемник излучения . . 333
§ 99. Устройство глаза 333
§ 100. Основные параметры глаза как оптической системы 335
§ 101. Аккомодация и рефракция глаза .... . 335
§ 102. Разрешающая способность и поле глаза 337
§ 103. Адаптация. Контрастная чувствительность глаза 338
§ 104. Субъективная яркость изображения при наблюдении невооруженным
глазом ........... 339
609

§ 105. Спектральная чувствительность глаза. Цветовое зрение .... 339
§ 106. Недостатки глаза и их исправления 340
Глава 16. Фотографические системы . 343
§ 107. Основные характеристики фотообъективов 343
§ 108. Ограничение пучков лучей в фотообъективах 345
§ 109. Глубина изображаемого пространства и глубина резкости . . . 346
§ 110. Передача перспективы 348
§ 111. Определение выдержки при фотографировании 349
§ 112. Оценка качества изображения фотообъектива 351
Глава 17. Телескопические системы 355
§ 113. Теория телескопической системы. Основные характеристики . . . 355
§ 114. Простые зрительные трубы 357
§ 115. Зрительные трубы с призменными и линзовыми оборачивающими
системами 359
§ 116. Телескопические системы переменного увеличения .... 361
§ 117. Панкратические зрительные трубы 364
§ 118. Зрительные трубы с внутренней фокусировкой 366
§ 119. Объективы и окуляры телескопических систем 368
Глава 18. Лупа и оптическая система микроскопа 375
§ 120. Лупа и ее оптические характеристики 375
§ 121. Типы луп . 376
§ 122. Теория оптической системы микроскопа 376
§ 123. Ограничение пучков, глубина изображения и перспектива . . . 378
§ 124. Разрешающая способность и полезное увеличение микроскопа . . 380
§ 125. Оптические части микроскопов 383
§ 126. Осветительные устройства микроскопов 385
§ 127. Микроскопы геодезических и измерительных приборов 386
Глава 19. Проекционные системы 389
§ 123. Методы оптической проекции. Основные требования к изображению
и экрану. Источники света для проекционных систем 389
§ 129. Диаскопические проекционные системы 393
§ 130. Габаритный и светотехнический расчет диаскопической проекции 397
§ 131. Эпископические проекционные системы. Эпидиаскопы 398
§ 132. Проекционные объективы 400
Глава 20. Стереоскопические системы 401
§ 133. Стереоскопическое видение 401
§ 134. Общие принципы действия стереоскопических приборов .... 403
§ 135. Стереоскопическая фотография. Пластика при рассматривании сте-
реоснимков в стереоскопе 404
§ 136. Стереоскопический эффект в микроскопии . 406
§ 137. Способы рассматривания стереопар 407
Глава 21. Оптические системы двоякой симметрии 410
§ 138. Характеристики транаформированного изображения 410
§ 139. Методы образования траноформированнах изображений . . . . 411
§ 140. Цилиндрический обьектив — анаморфот .... 412
§ 141. Цилиндрическая афокальная насадка 414
§ 142. Оптические системы фототрансформаторов 415
610

Глава 22. Оптические системы оптико-электронных приборов и лазеров 416
§ 143. Оптические системы с электронно-оптическими преобразователями
(ЭОПами) 416
§ 144. Оптические системы Для уменьшения угла расходимости пучка
лазера 418
§ 145. Оптические системы для фокусировки лазерного излучения . . . 420
§ 146. Согласование пучка лазера с последующей оптической системой. . 422
§ 147. Оптические системы для обработки фотографической информации
когерентными методами 423
ЧАСТЬ IV. РАСЧЕТ И ПРОЕКТИРОВАНИЕ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ . . 428
Глава 23. Основные этапы расчета оптических систем 428
§ 148. Требования, предъявляемые к оптическим системам 428
§ 149. Этапы разработки и расчета оптических систем 430
Глава 24. Габаритный расчет оптических систем ........ 432
§ 150. Задачи габаритного расчета 432
§ 151. Различные конструкции систем из тонких компонентов 433
§ 152. Габаритный расчет простых зрительных труб 434
§ 153. Расчет зрительных труб с оборачивающими системами 439
§ 154. Габаритный расчет зрительной трубы с призменной оборачивающей
системой 444
§ 155. Расчет отсчетных микроскопов 447
§ 156. Расчет объектива зрительной трубы с внутренней фокусировкой 448
Глава 25. Расчет исходного варианта оптических систем 452
§ 157. Общие принципы расчета исходного варианта 452
§ 158. Выбор аберраций, подлежащих исправлению 454
§ 159. Составление и решение аберрационных уравнений 455
§ 160. Особенности расчета исходного варианта систем с небольшим углом
поля 457
§ 161. Переход к линзам конечной толщины 459
§ 162. Отдельная линза как оптическая система . 465
§ 163. Расчет конденсоров осветительных систем 469
§ 164. Формулы расчета продольной и поперечной сферической аберрации
третьего порядка. Определение Диаметра нянменьшего кружка
рассеивания 481
§ 165. Расчет линзовых объективов с небольшими угловыми полями . . 483
§ 166. Расчет зеркальных и зеркально-линзовых систем 510
§ 167. Компенсаторы монохроматических аберраций зеркальных систем . , 525
§ 168. Расчет зеркально-линзового объектива типа Кассегрена с афокаль-
ным компенсатором в параллельных пучках лучей 541
§ 169. Расчет зеркально-линзовой системы типа Кассегрена о
компенсатором в сходящихея пучках лучей . 546
§ 170. Расчет зеркально-линзового объектива из сферического зеркгла
и двухлинзового афокального компенсатора 549
§ 171. Расчет оптической системы «сферическое зеркало с концентрическим
мениском» . . 550
Глава 26. Коррекция аберраций. Расчет оптических систем на ЭВМ . . 552
§ 172. Методы коррекции аберраций. Виды коррекционных параметров . , 552
§ 173. Коррекция аберраций методом проб 554
§ 174. Пересчет объективов на плавки стекол 558
611

§ 175. Пересчет оптических систем на другое фокусное расстояние . . . 558
§ 176. Расчет оптических систем на ЭВМ ... 559
§ 177. Основные особенности ЭВМ 561
§ 178. Особенности программ, составленных для расчета оптических систем 563
§ 179. Общие принципы построения программ для расчета оптических
систем 563
§ 180. Расчет хода лучей на ЭВМ. Запись исходных данных для расчета
хода лучей 564
§ 181. Автоматизированная коррекция простейших оптических систем . . 572
§ 182. Универсальные методы для автоматического расчета 575
§ 183. Перспективы развития автоматизации расчетов 577
§ 184. Заключительный этап расчета оптических систем 579
Глава 27. Методы оценок качества оптических систем 583
§ 185. Развитие методов исследования качества оптических систем . . . 584
§ 186. Формирование светящейся точки и линии идеальной оптической
системой 587
§ 187. Разрешающая способность оптической системы 590
§ 188. Частотно-контрастная характеристика .... 593
§ 189. Оптическая передаточная функция и импульсный отклик оптической
системы 594
§ 190. Способы измерения ОПФ 602
Список литературы 606

Александр Семенович ДуОовик, Михаил Иванович А пен ко,
Георгий Васильевич Дурейко, Александр Михайлович Жилкин,
Людмила Алексеевна Запрягаева, Дмитрий Алексеевич Романов,
Инна Сергеевна Свешникова
ПРИКЛАДНАЯ ОПТИКА
Редактор издательства Н, Т. Куприна
Переплет художника В. П. Христианина
Художественный редактор Е. Л. Юрковская
Технический редактор Е. С Сычева
Корректор Т. Ю. Шульц
ИБ .№ 3160
Сдано в набор 02.12.81. Подписано в печать 22.06.82. Т-09778. Формат 60x90/i6. Бумага
типографская № 2. Гарнитура «Литературная». Печать высокая. Усл. печ. л. 38.5
Усл. кр.-отт. 3S.5. Уч.-изд. л. 39,0. Тираж 3700 зкз Заказ 1-446/7495—15. Цеиа 1 р. 70 к
Ордена «Знак Почета» издательство «Недра». 103633. Москва, К-12, Третьяковокпй
проезъ 1/19
Харьковская книжная фабрика «Коммунист». 310012, Харьиов-12, Энгельса, 11