High-Velocity Impact Phenomena

Edited by Ray Kinslow

Academic Press New York and London 1970
ВЫСОКОСКОРОСТНЫЕ

УДАРНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Под редакцией

Р. Кинслоу

Мир
1973

ОТ РЕДАКТОРА РУССКОГО ИЗДАНИЯ

Коллективная монография «Высокоскоростные ударные яв-
ления» представляет собой весьма подробный обзор современ-
ного состояния науки о соударениях твердых тел. Тематика эта
была актуальна всегда, но ныне она приобрела новое звучание
в связи с исследованиями космоса и успехами техники высоких
скоростей метаемых снарядов. Само собой разумеется, что проб-
лема удара имеет разные аспекты — и чисто технические, и ма-
тематические, но в основном она является проблемой механики.
Для успешного ее решения важны учет динамических свойств
материалов, развития теорий разрушения твердых тел, газовой
динамики, дислокаций и взрыва и, наконец, создание эффектив-
ных программ счета на ЭВМ. Во всех технически передовых
странах мира многие ученые и крупные коллективы инженеров-
исследователей принимают самое деятельное участие в разви-
тии этой интереснейшей области механики. Этим объясняется
коллективное авторство монографии, так как ни одному специа-
листу не под силу успеть написать книгу по столь многоплановой
тематике, чтобы она не устарела к моменту выхода из печати.
В условиях все убыстряющихся темпов развития научно-техни-
ческой революции на современном этапе задачи, которые стоят
перед авторами обзорных работ по молодым отраслям науки и
техники, неизмеримо усложняются.

Внимательный читатель без труда заметит определенную не-
эквивалентность разных глав по содержанию и стилю, некото-
рую непоследовательность в использовании символики, небреж-
ность в оформлении графического материала. Кое-где нам уда-
лось устранить подобные недостатки.

В главе 1 описаны современные устройства для разгона ме-
таемых снарядов (ударников)—довольно дорогостоящего обо-
рудования. Обилие и разнообразие типов подобных установок
объясняется как многочисленностью проектирующих организа-
ций и фирм, так и необходимостью обеспечения целого спектра
скоростей разгона, равномерно покрывающего весь диапазон,
чего нельзя добиться посредством лишь одного из подобных уст-
ройств. К созданию таких сооружений привлекаются лучшие ин-
женерные силы.
Следующая глава посвящена краткому изложению теории
распространения волн в твердых телах. Нам она -представляется
написанной наименее удачно. На самом деле ее автор (Хиккер-
сон) ограничился элементарными сведениями из теории упру-
гости, тогда как, скажем, теория пластичности, необходимая для
изучения проблемы удара, вообще выпала из рассмотрения.

В главе 3 излагаются общие принципы теории удара совме-
стно с методом числового счета. В расчетах используется гидро-
динамическое описание соударяющихся тел, которое проще всех
других возможных способов, но справедливо только тогда, когда
давления значительно превосходят прочностные характеристики
среды. Выделен важнейший случай автомодельных решений и
изложены результаты числового счета. Самое интересное в на-
стоящей главе — данный ее авторами (Дайнесом и Уолшем) ана-
лиз движения на его поздних стадиях.

Главы 4 и 9 написаны в инженерном духе — из них можно
узнать, что важно практически для экспериментов (гл. 4) и для
конструирования стенок космических кораблей (гл. 9) в отноше-
нии обеспечения защиты от удара метеоритных тел. Здесь любо-
пытны также фактические данные о кратерах, образующихся
при ударе вследствие деформирования мишени и выброса части
ее материала.

В главе 5 изложены результаты числовых расчетов удара
снаряда (ударника) по мишени (пластине), а также даваемые
механикой прогнозы пробивания мишени. Практически ценны
расчеты слоистых мишеней и данные об эффекте варьирования
формы и массы ударника.

Очередная (шестая) глава тесно примыкает по сути дела
к главе 3. В ней в обзорном, но подробном плане аналитически
исследуется задача об ударе по свободной поверхности мате-
риала, математически моделируемого идеальным газом или же
жидкостью с реальным уравнением состояния. Вновь тщательно
обсуждается как постановка задачи, так и принцип эквивалент-
ности движения на поздней стадии.

Известные специалисты Макуинн, Марш, Тейлор и др. изла-
гают в главе 7 современное состояние интерпретации данных по
ударным волнам в целях нахождения уравнения состояния веще-
ства в областях чрезвычайно высоких давлений и температур.
Здесь более всего интересны подробные конкретные сведения
об ударных адиабатах пористых веществ, а также данные для це-
лых групп материалов. Вместе с тем метод расчета ударных волн
в смесях дан в весьма сложной форме и вне связи с современ-
ными представлениями о механике гетерогенных сред. Впрочем,
такое изложение отражает отсутствие единой точки зрения в на-
учной литературе на перспективный метод ударного сжатия
смесей.
Наконец, в главе 8 даны подробные экспериментальные ме-
таллофизические сведения о характере деформаций соударяю-
щихся тел, о роли микроструктуры, а также о распределении
энергии.

В отечественной научно-технической литературе пока еще нет
книг, в которых были бы изложены теоретические исследования
и результаты экспериментальных работ по ударному разруше-
нию твердых тел и уравнениям состояния вещества. Разработки
различных аспектов проблемы рассеяны по многим журналам,
книгам, тематическим сборникам и трудам специальных конфе-
ренций. Поэтому надо надеяться, что настоящая монография
принесет большую пользу ученым и инженерам нашей страны.

Нельзя не отметить и то, что среди материалов, публикуе-
мых в данной книге, достойное место занимает изложение ра-
бот ряда советских ученых.

Книгу перевели кандидаты физико-математических наук Ва-
сильев В. А. (гл. 1, 4, 5), Калмыков А. А. (гл. 8, 9), Коря-
вов В. П. (гл. 7) >и Шефтер Г. М. (гл. 2, 3, 6).

Следуя установившейся в практике издательства «Мир» цен-
ной традиции, помещаем список дополнительной литературы по
проблемам высокоскоростного удара.

В. Н. Николаевский
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

МОНОГРАФИИ

Баум Ф. А., Каплан С. А., Станюкович К. П., Введение в космическую газо-
динамику, Физматгиз, 1958.

Взрывные кратеры на Земле и планетах, «Мир», 1968.

Гольдсмит В., Удар, Изд-во литературы по строительству, М., 1965.

Динамические исследования твердых тел при высоких давлениях, «Мир», 1965.

Жарков В. Н., Калинин В. А., Уравнения состояния твердых тел при высоких
давлениях и температурах, «Наука», 1968.

Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Проблемы гидродинамики и их математиче-
ские модели, «Наука», М., 1973.

Рахматулин X. А., Демьянов Ю. А., Прочность при интенсивных кратковре-
менных нагрузках, Физматгиз, 1961.

Райнхарт Дж., Пирсон Дж., Взрывная обработка металлов, «Мир», 1966.

Физика быстропротекающих процессов, тт. 1—3, «Мир», 1971.

Андрианкин Э. И., Соударение двух пластин с большой скоростью, ПМТФ,
№ 4 (1963).

СТАТЬИ

Андрианкин Э. И., Степанов Ю. С., О глубине пробивания при ударе метеор-
ных частиц, Искусственные спутники Земли, вып. 15, 1963.

Андрианкин Э. И., Реактивный импульс при больших скоростях удара, ПМТФ,
№ 1, 88 (1965).

Андрианкин Э. И., О пробивании преград метеоритами, Космические исследо-
вания, 4(2), 280 (1966).

Витман Ф. Ф., Златин Н. А., О процессе соударения деформируемых тел и
его моделировании, ЖТФ, 33(8), 982 (1963).

Златин Н. А., К теории высокоскоростного соударения металлических тел,
ЖТФ, 31(8), 982 (1961).

Лаврентьев М. А., Кумулятивный заряд и принципы его работы, Успехи ма-
тематических наук, 12(4), 76 (1957).

Лаврентьев М. А., Проблема пробивания при космических скоростях, Искус-
ственные спутники Земли, вып. 3, 1959, стр. 65.

Ленский В. С., Взаимодействие тел с высокими скоростями, Материалы Все-
союзного симпозиума по распространению упруго-пластических волн
в сплошных средах, Изд-во АН Азерб. ССР, Баку, 1966.

Кукуджанов В. Н., Распространение упруго-пластических волн в стержне
с учетом влияния скорости деформации, ВЦ АН СССР, М., 1967.

Мухамеджанов А. И., О структуре лунных кратеров и кратерных полей, Астро-
ном. вестник, 1(3), 158 (1967).

Мухамеджанов А. И., О пробитии тонкой преграды, Космические исследова-
ния, № 2, 291 (1966).

Назарова Т. Н., Комиссаров Г. Д., Васюкова 3. В., О регистрации метеорных
частиц пьезодатчиками, Космические исследования, 6(5), 797 (1968).
Назарова Т. Н., Метеорное вещество в окрестности Земли, Космические ис-
следования, 8(1), 154 (1970).

Пряхин Г. В., Титов В. М., Исследование удара тела с высокой скоростью
в легкий пористый материал, ПМТФ, № 5 (1969).

Сагомонян А. Я., К вопросу о взаимодействии струи с неограниченным пото-
ком при больших скоростях на бесконечности, Вестник МГУ, Сер. I, № 4,
99 (1967).

Сагомонян А. Я., Некоторые современные задачи теории соударения сплош-
ных сред, Вестник МГУ, Сер. I, № 2, 115 (1970).

Соколовский В. В., Распространение упруго-вязко-пластических волн в стерж-
нях, ПММ, 12(3), (1948).

Титов В. М., Фадеенко Ю. И., Титова Н. С., Разгон твердых частиц кумуля-
тивным взрывом, ДАН СССР, 180(5), 1051 (1968).

Титов В. М., Фадеенко Ю. И., Швецов Г. А., Удар тела с высокой скоростью
по горным породам, ДАН СССР, 191(2), 298 (1970).

Шапиро Г. С., О распространении волн в вязко-упругих пластических средах,
Материалы Всесоюзного симпозиума по распространению упруго-пластиче-
ских волн в сплошных средах, Изд-во АН Азерб. СССР, 1966.

Glass I. I., Research Frontiers at Hypervelocities, Canad. Aeron. Space J.,
13 (8—9), (1967).
ПРЕДИСЛОВИЕ

Вот уже свыше двух столетий баллистика остается предме-
том теоретических исследований. Интерес к таким исследованиям
объяснялся главным образом нуждами военных во все более
высокоскоростных снарядах и во все более прочной броне.
Проявляемый же в настоящее время интерес к высокоскорост-
ному удару обусловлен прежде всего потребностью в сведениях
относительно той опасности, которую создают для космических
кораблей метеоритные тела. Скорости межпланетных частиц бо-
лее чем на целый порядок превосходят скорости соударения,
обычные в традиционной баллистике, а механика процесса со-
ударения носит совершенно иной характер.

За последнее десятилетие много усилий тратится как в целях
накопления экспериментальных данных, так и для формулировки
реалистических теорий, объясняющих поведение материалов под
воздействием динамического нагружения и многих сопутствую-
щих ему явлений.

Реакция материалов на весьма высокие давления, возникаю-
щие при высокоскоростном ударе, имеет фундаментальное зна-
чение для физиков. Природа сильных ударных волн, порождае-
мых подобными соударениями, делает эту тему интересной и для
сейсмологов. Такие чрезвычайно высокие давления и мощные
ударные волны можно использовать для упрочнения и формо-
вания металлов или соединения разнородных материалов. Ин-
женер сумеет найти им применение и во многих других отраслях
техники, не говоря уже о проектировании космических кораблей.

Книга охватывает широкий диапазон вопросов, связанных
с возникающими при ударе явлениями. Ученые и инженеры, еще
не знакомые с динамикой импульсного нагружения, могут вос-
пользоваться настоящей книгой как источником фундаменталь-
ных сведений в данной области и как руководством при выборе
путей дальнейших исследований. Специалисты же по упоминав-
шимся здесь вопросам могут расширить свои представления,
ознакомившись с дополнительными сведениями по другим ас-
пектам проблемы. Книга особенно ценна для инженеров-конст-
рукторов, поскольку в ней обсуждаются практические стороны,
связанные с такими специальными задачами, как защита косми-
ческих кораблей, проблема их возвращения, разработка косми-
ческих радиаторов, солнечных батарей и емкостей высокого дав-
ления. В ней приводятся сведения об использовании слоистых
элементов, композитных материалов, сотовых конструкций и за-
полнителей наряду с такими специальными характеристиками
конструкционных материалов, как коэффициенты адиабаты Гю-
гонио и изоэнтроп для 55 материалов.

Авторы глав подбирались с учетом их выдающихся исследо-
ваний в соответствующих областях и способности к изложению
надлежащей темы в ясной и доступной пониманию форме.

1

УСКОРИТЕЛИ ДЛЯ МЕТАНИЯ
СО СВЕРХВЫСОКИМИ СКОРОСТЯМИ

А. Кейбл

1. ВВЕДЕНИЕ

Для изучения возникающих при высокоскоростном ударе яв-
лений необходимо прежде всего разработать методы разгона
ударников с интересующими параметрами до высоких скоро-
стей. Использующиеся для этих целей устройства, называемые
высокоскоростными ускорителями, можно разбить на две основ-
ные обширные группы — пушечные и взрывные.

К пушечным ускорителям относятся такие устройства, в ко-
торых движение ударника направляется в течение всего процесса
ускорения, в то время как во взрывных ускорителях ударник
практически не управляется.

,2. ПУШЕЧНЫЕ УСКОРИТЕЛИ

ДВУХСТУПЕНЧАТЫЕ ЛЕГКОГАЗОВЫЕ ПУШКИ

Для разгона ударников до высоких скоростей чаще всего
используются двухступенчатые легкогазовые пушки, первый об-
разец которых был разработан в 1948 г. Крозье и Хьюмом [1],
у которых в дальнейшем появилось много последователей [2—
19]. Схематическое устройство такого ускорителя показано на
фиг. 1.1. Сгорание горючего состава в пороховой камере разры-
вает диафрагму, заставляя поршень двигаться в нагнетательной
трубе и сжимать легкий газ (обычно водород). При заранее
определенном давлении разрывается диафрагма, отделяющая
трубу разгона от нагнетательной трубы, благодаря чему сжатый
легкий газ разгоняет ударник в трубе разгона. В некоторых ва-
риантах сжигаемое вещество находится в пороховой камере
в среде легкого газа (водорода или гелия). В одном из вариан-
тов пороховая камера представляет собой часть нагнетательной
трубы, что позволяет обходиться одной диафрагмой и без лег-
кого газа.

Кроме того, пушечные ускорители различаются по профилю
перехода от нагнетательной трубы к трубе разгона. В некоторых
ускорителях этот переход делают резким [7—10, 12—14]. В дру-
гих случаях используются конфузорные переходы с выдавлива-
нием поршня («ускорители с разгоняющимся резервуаром») [11,
16]. На фиг. 1.2 воспроизведена фотография двухступенчатой
легкогазовой пушки полудюймового калибра1), которую можно
считать типичным образцом пушек малого калибра, использую-

Фиг. 1.1. Схема двухступенчатой легкогазовой пушки.

щихся для исследования ударных явлений. На фиг. 1.3 нанесены
значения полного разгоняемого веса в зависимости от скорости

Фиг. 1.2. Типичная двухступенчатая легкогазовая пушка малого (полудюй-
мового) калибра.

разгона для двухступенчатых легкогазовых пушек [20]. На этом
графике сплошной линией указаны вероятные предельные ско-
рости и разгоняемые веса по состоянию к концу 1966 г. Диапа-

° Калибр — внутренний диаметр ствола.
зон приведенных на этом графике значений простирается от
0,044 гс, разгоняемых до 11,3 км/с, до 2500 гс при 4,7 км/с.

Полный разгоняемый вес в стволе состоит из веса испыты-
ваемой модели и веса обоймы, с помощью которой модуль подго-
няется к стволу пушки и доставляется неповрежденной до дуль-
ного среза. На дульном срезе обойма отделяется от ударника
механическим или аэродинамическим способом. В большинстве

Фиг. 1.3. Максимальные значения скорости разгона и веса для двухступен-
чаты^ легкогазовых пушек.

случаев обойма изготавливается из пластика (чаще всего из по-
ликарбоната). Обоймы изменяются по конструкции от простого
цилиндра с лункой для модели на переднем торце до сложных
обойм из нескольких соединяющихся между собой частей,
полностью окружающих модель. Во многих простых ускорителях
обходятся без обойм, что повышает вероятность повреждения
ударника в процессе разгона и снижает точность получаемых
данных.

Теория двухступенчатых легкогазовых пушек. К настоящему
времени теорию легкогазовых пушек удалось хорошо разрабо-
тать. Начало такой разработки было положено трудами Стефен-
сона [8, 12]. В этой теории считается, что ударник в трубе
разгона ускоряется расширяющимся газом, истекающим из ре-
зервуара с постоянным давлением, равным максимальному зна-
чению в секции высокого давления. Для установления связи
между движением поршня и движением ударника вводятся эмпи-
рические коэффициенты. Этим способом удалось после проведе-
ния пробных выстрелов точно предсказывать скорость разгона.
В последующем Вилениус [21] на основе работы Станюковича [22]
и Смит [23] независимо предложили теории легкогазовой пушки
с «постоянным базовым давлением». Считается, что ударник
в такой пушке разгоняется постоянным базовым давлением. Это
не только упрощает теорию, но и позволяет определить наимень-
шее значение максимального ускорения, испытываемого ударни-
ком. К сожалению, такой режим невозможно осуществить на
практике, хотя, по сообщению Кейбла [24], максимальное уско-
рение лишь на 24% превышает величину, даваемую теорией по-
стоянного базового давления. Некоторые уточнения теории уско-
рителя с постоянным базовым давлением были предложены
Кёртисом [25] и Вилениусом [26].

В 1963 г. Пьячези [27] и Баэр [28] независимо разработали
теории расчета по методу искусственной вязкости Неймана—
Рихтмайера [29], когда соблюдения условия постоянства базо-
вого давления уже не требуется. Такая теория ускорителя поз-
воляет предсказывать как ускорение ударника, так и скорость
разгона, как это было показано Де-Виттом [30].

Усовершенствование двухступенчатых легкогазовых пушек.
В связи с тем что в существующих легкогазовых пушках ка-
либров от 12,7 мм (полудюймового) до 5,6 мм достижимые ско-
рости имеют величину порядка 10—11 км/с, предпринимались
попытки повысить такие скорости различными способами. Эккер-
ман [17] и Свифт [19] нагревали с помощью электрического
разряда разгоняющий газ в нагнетательной трубе, а Хауэлл
[31] делал то же самое с трубой разгона. Другой способ состоял
в использовании «движущегося резервуара» [32]: часть поршня
увлекалась собственным импульсом вдоль трубы разгона, сооб-
щая ударнику дополнительное ускорение. В способе «дульной
струи» [33] предусматривается, что импульс обоймы продавли-
вает ее сквозь сужение на дульном срезе, повышая скорость
ударника.

Кули [34] назвал свой способ, сходный со способом дульной
струи, «разгоном ударносжатой плазмой». В этом способе уско-
ритель, представляющий собой трубку из пластика (нейлона,
полипропилена или поликарбоната), помещается в канале пу-
шечного ствола вблизи дульного среза (фиг. 1.4). Его внутрен-
ний диаметр несколько меньше калибра пушки, но больше диа-
метра шарика, транспортируемого обоймой. Когда обойма
ударяет по ускорителю, его вещество подвергается ударному ежа-
тию и схлопывается к оси пушки, образуя кумулятивную струю,
разгоняющую ударник. В 220-мм пушке Свифта скорость удава-
лось повышать от 2,7 до 4,6 км/с. В одном выстреле из двухсту-
пенчатой легкогазовой пушки полудюймового калибра скорость
повышали от 6,4 до 7,5 км/с, причем перед сферической моделью
летели частицы пластика. То же самое наблюдалось и при раз-
гоне металлических шариков дульной струей.

Все эти приемы позволяют повышать скорость на дульном
срезе в тех случаях, когда первоначальная - скорость мала, но

Фиг. 1.4. Сечение дополнительного ускорителя с разгоном ударносжатой
плазмой.

ни один из них не способен дать надежного разгона, обеспечи-
ваемого неусовершенствованными двухступенчатыми легкогазо-
выми пушками с наивысшими показателями по скорости.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПУШКИ

Было построено несколько электромагнитных пушек [35—
41], но они не получили такого широкого распространения, как
легкогазовые пушки. Пушка с индукционной катушкой по прин-
ципу действия аналогична электродвигателю с линейной индук-
цией. Ударник, являющийся проводником, помещают в длинную
спиральную катушку и центрируют внутри нее (фиг. 1.5). Изме-
няя либо частоту тока, текущего по обмоткам, либо промежуток
между витками обмотки, можно разгонять ударник за счет вза-
имодействия индуцируемых в нем вихревых токов с движущимся
магнитным потоком. Главное для такой пушки — обеспечение
мощности многофазного импульса порядка 106 кВт и возмож-
ность изменения частоты от нескольких герц до нескольких сотен
килогерц. Подобную пушку с четырьмя катушками построил
Солсбери [36], подававший на каждую катушку отдельный
импульс. В этой пушке ударник массой 2,4 г разгоняли до
0,35 км/с. Попытки добиться более высоких скоростей приводили
к разрушению катушек и ударников. Гаррис [37] давал на ана-
логичной установке скорость 0,20 км/с ударника массой 4,5 г.

К другому типу электромагнитных пушек относится пушка
с параллельными рельсами (пушка постоянного тока) [35], в ко-
торой ударник при включении тока скользит с разгоном по двум
рельсам (фиг. 1.6). Для сокращения чрезмерного расхода энер-

Ф и г. 1.5. Принцип действия пушки с индукционной катушкой.

гии такие электромагнитные пушки приходится помещать в ва-
куумированные камеры, но тогда возникают трудности, связан-
ные с явлением дугового разряда на контактах. Браст и Сол [38]
доложили о рельсовой пушке, в которой нейлоновые шарики
массой по 0,0024 г разгонялись до 6,0 км/с. Еще одну модифи-
кацию рельсовой пушки сконструировал Розен [39], который по-

Выключатель

Фиг. 1.6. Электрическая пушка с параллельными рельсами.

пытался преодолеть ограничение скорости, создаваемое джоуле-
вым нагреванием ударника, путем наложения внешнего магнит-
ного поля. На этой пушке скорость алюминиевой модели массой
5,2 мг удалось довести до 2,9 км/с, что существенно ниже соот-
ветствующего показателя для рельсовой пушки без внешнего
магнитного поля. Чепмен и др. [40] довели до 9,5 км/с скорость
ударников массой 0,010 г, однако последние при этом разруша-
лись. Эти исследователи прибегли к взрывному сжатию магнит-
ного поля для значительного повышения его напряженности
(2-102 Т при давлении ~1,70-104 МПа* 1)). Об аналогичной ме-
тодике сообщили Чепмен и др. [41], согласно которой, «когерент-
ное светящееся облако» разгонялось до 10,5 км/с.

ПУШКИ С ПРИМЕНЕНИЕМ ВЗРЫВЧАТЫХ ВЕЩЕСТВ

Было построено несколько пушек, в которых ударник в про-
цессе своего разгона в пушечном стволе получает дополнитель-
ную энергию от взрывчатого вещества (ВВ). В «пушке с движу-
щимся зарядом» [42] ударник несет в себе собственное топливо
и разгоняется как ракета в длинной направляющей трубе. Таким
пушкам присущи два следующих основных преимущества:
1) ударник испытывает небольшое, почти постоянное ускорение,
что предотвращает разрушение ударников; 2) если отвлечься
ют релятивистских соображений, то теоретически нет верхнего
предела достижимых скоростей. Их недостатками надо считать
•следующие: 1) очень большую длину требующихся пушечных
стволов; 2) необходимость пользования топливами с очень вы-
сокой скоростью горения, на три порядка превышающей такие
скорости для обычных топлив; 3) опасность возможной детона-
ции топлив из-за их высокой скорости горения. Несмотря на оче-
видную привлекательность пушек подобного рода из-за большого
веса конструкции, необходимого для поддержания высокого дав-
ления в зоне горения, пока не удается получить высокое мас-
совое число (отношение полного веса к весу конструкции), тре-
буемое для достижения высоких скоростей.

В одном сообщении сотрудников Франкфордского арсенала
[43] описывается ускоритель, в котором постепенный разгон
ударника достигается последовательными импульсами от взрыва
зарядов мощного ВВ. Ударник проходит через очередную взрыв-
ную стадию с инициированием через подходящий промежуток
времени. В пушке с двумя взрывными секциями скорости удар-
ников массой 7,4 г удавалось доводить до 2,6 км/с, но при этом
возникли трудности с контролем подрыва ВВ.

Для разгона в легкогазовых пушках пробовали пользоваться
в качестве ВВ гидридом лития, дающим при детонации газ с мо-
лекулярным весом, близким к весу гелия. Однако в опытах, опи-
санных Бенгсоном и др. [44], скорость ударника массой 4,5 г
достигала лишь 0,37 км/с.

Сообщалось [45—47] о более многообещающей методике раз-
гона до сверхвысоких скоростей. Заряд мощного ВВ, окружаю-
щий металлическую оболочку, инициируется с одного конца для

° Паскаль (Па) —единица измерения давления, которое создает сила 1 Н,
равномерно распределенная по поверхности площадью 1 м2 (1 МПа = 10 бар;

1 кгс/см*=980 665 Па; таблицы пересчета см. стр. 530).
создания кумулятивного эффекта. Однако угол конической схло-
пывающейся оболочки оказался недостаточным для образования
металлической кумулятивной струи, но содержавшийся в обо-

Детонатор

Вещество, ослабляющее
ударную волну

Металлическая оболочка

..	— ая Газ (обычно водород

М”** вВ ши «мий)

Дцафравма

------— Ось

Металлическая труба

Фронт детонации

аворвавшаяся
диафрагма

Фиг. 1.7. Пушка с кумулятивным зарядом и схлопывающейся металлической
оболочкой.

а — схема; б — расположение оболочки через промежуток времени й после подрыва;
в — расположение оболочки через промежуток времени t2 после подрыва; г — располо-
жение оболочки через промежуток времени t3 после подрыва.

лочке газ (водород или гелий) создавал струю. Как сообщалось,
скорости газа при этом достигали 140 км/с. Схема действия
такой пушки со схлопывающейся конической оболочкой показана
на фиг. 1.7 [46]. При Использовании цилиндрической оболочки
были достигнуты скорости 8,0 км/с для ударника массой 0,1 г
и 5,8 км/с для ударника массой 102 г [46].

ПУШКИ СО ВЗРЫВАЮЩИМИСЯ ПРОВОЛОЧКАМИ

В ускорителях со взрывающимися проволочками для разгона
ударника используется энергия взрыва тонкой проволоки при

Фиг. 1.8. Высокоскоростной ускоритель с взрывающимися проволочками.

быстром разряде через нее высоковольтной емкости. Ускоритель
со взрывающимися проволочками описан в работе Шеррера [48].

Пластиковая диафрагма

Фиг. 1.9. Ускоритель с взрывающейся фольгой и короткозамкнутым витком.

В качестве среды, передающей давление, использовалась вода
в надлежащем сосуде, как это показано на фиг. 1.8. Тонкая
диафрагма из пластика защищает вакуумированную трубу раз-
гона от попадания в нее воды. При разряде с энергией 500 Дж
через алюминиевую фольгу толщиной 6 мкм ударник массой
0,128 г приобретал скорость 2,5 км/с.

Другой вариант, ускоритель с взрывающейся фольгой и ко-
роткозамкнутым витком, описан Кларком (фиг. 1.9) [49]. В этом
ускорителе текущий в короткозамкнутом витке ток создает маг-
нитное поле, выталкивающее образующуюся при взрыве фольги
плазму. Этим достигается разгон плазмы и ударника, представ-
ляющего собой осколок пластиковой диафрагмы. Массу удар-
ника определяли путем измерения импульса легкой мишени, со-
стоящей из тонких листочков алюминия, разделенных более
толстым слоем пенопласта. На этом ускорителе была зарегистри-
рована максимальная скорость 10,7 км/с для массы 0,8 мг.
К недостаткам ускорителей подобного рода относятся труд-
ности с определением массы и формы ударника, а также необ-
ходимость ограничиваться разгоном тонких дисков из пла-
стика.

3.	ВЗРЫВНЫЕ УСКОРИТЕЛИ

В высокоскоростных ускорителях другого основного класса
разгон ударника осуществляется взрывным методом, причем
единственное средство управления движением ударника состоит
в подборе его расположения во взрывном устройстве. Ниже рас-
сматриваются подобные устройства трех разновидностей: ускори-
тели с мощными ВВ и кумулятивными зарядами, устройства
с плазменным ускорением и электростатические ускорители.

УСКОРИТЕЛИ С МОЩНЫМИ ВВ И ЗАРЯДАМИ
СПЕЦИАЛЬНОЙ ФОРМЫ

Паултер [50] и Уиллиг [51] описали методы разгона удар-
ников, располагаемых на поверхности заряда или заделываемых
в поверхностный слой ВВ, как это показано на фиг. 1.10. Для
предотвращения повреждения мишени взрывной волной можно
пользоваться отражателями или придавать торцу заряда спе-
циальную форму. В этом методе разгона возможно разрушение
ударника. Для уменьшения повреждений сферические ударники
заделывают во взрывчатое вещество или же ставят инертные
прокладки между ударником и зарядом ВВ. При использовании
ударников в виде металлических пластинок приходится счи-
таться с возможностью выпучивания. Кристиан [52] сообщает
о разгоне пластинки до 9,1 км/с. В работах Кларка и др. [53]
и Кинеке [54] описан взрывной ускоритель с воздушной поло-
стью, использующийся для разгона дисков (фиг. 1.11). В уско-
рителях этого класса алюминиевые диски массой 8 г разгоня-
лись до 4,75 км/с [53], а ударники массой 0,18 г — до 5,01 км/с

Мишень

Ударник в виде
металлической

Обтекатели для ослабления
взрывного повреждения

Фиг. 1.10. Взрывные ускорители разных типов.

Крейенхаген и др. [55] описали устройство для метания плас-
тинок, известное под названием «ускоритель плоской мишени».

в котором пластинка-ми-
шень ускоряется по направ-
лению к неподвижному
ударнику. Пластинка при-
кладывается к заряду ВВ,
инициируемому плоской
линзой, и разгоняется, «раз-
вертываясь» с заряда, как
показано на фиг. 1.12. Этим
способом алюминиевую пла-
стинку разгоняли до 3,5 км/с.
Данной методике отдают
предпочтение в тех случаях,
когда материал ударника
слишком легко распадается
на осколки, чтобы противо-
стоять ускорению при разго-
не. Поскольку пластинку-

Ф и г. 1.11. Взрывной ускоритель с воз-
душной полостью для разгона дисков.

мишень нельзя восстановить, диаметр образующейся при соуда-
рении пробоины приходится определять посредством рентгенов-
ской съемки. Пластинки должны иметь малую толщину, чтобы
обеспечить сквозное пробивание.
Одним из наиболее широко используемых взрывных метатель-
ных устройств остается ускоритель с кумулятивным зарядом
(фиг. 1.13). Ударник образуется при кумулятивном схлопывании

Фиг. 1.12. Ускоритель пластинок-мишеней.

а — устройство для метания пластинок; б — «разворот» разгоняемой пластинки

конической оболочки. В струе, образующейся в процессе куму-
ляции, создается градиент скорости. В итоге в процессе полета
струя растягивается и разрывается на отдельные частицы, кото-

Твтриловая

Детонатор

хМощное ВВ
Коническая оболочка

Фиг. 1.13. Кумулятивный взрывной ускоритель.

Эксцентричный
подрыв для разброса
фрагментов струи

рые разлетаются в поперечном направлении благодаря эксцент-
ричному подрыву заряда, устраиваемому для нанесения раз-
дельных ударов по мишени. Поскольку первоначальное разру-
шение струи происходит более или менее случайным способом,
то перед ударом необходимо определять скорость, массу, форму
и ориентацию отдельных фрагментов. Эти измерения чаще всего
Заряд ВВ

Пластиковый экран

Металлическая
оболочка

Полуколъцевой
заряд для
отсечки

проводятся посредством ортогональной рентгеновской теневой
съемки. Вещество фрагментов определяется материалом обо-
лочки, а скорость изменяется в зависимости от угла кони-
ческой выемки кумулятивного заряда (скорость тем больше, чем
меньше угол). Обычно в этих устройствах используются специ-
альные взрывчатые вещества (состав В (ТГ60/40), НМХ 9404
ERS-9 и Kel-F). Крейенхаген [55]

Сообщает О СКОРОСТЯХ СВЫШе	Шашка-боевик

10 км/с, достигаемых с помощью
кумулятивных зарядов, по типу
аналогичных изображенному на
фиг. 1.13.

В кумулятивном ускорителе
с отсечкой (фиг. 1.14) для отсеч-
ки всех фрагментов от первого
самого большого фрагмента
струи ставят пластиковый экран.
К тому же оставшиеся части
струи и экрана, не допуская их
попадания на мишень, отбрасы-
вает и полукольцевой отсекаю-
щий заряд. Кумулятивный заряд
с отсечкой детально описан Ге-
рингом и Венцелем [56, 57]. Вен-

цель сообщает О достижении бе- Фиг. 1.14. Кумулятивный ускори-
риллиевым ударником массой	тель с отсечкой.

0,08 г скорости 16,5 км/с.

С помощью кумулятивного ускорителя можно получать очень
высокие скорости металлических ударников. Их основной недо-
статок обусловлен ненадежностью определения массы и формы
разгоняемых частиц.

УСТРОЙСТВА С ПЛАЗМЕННЫМ УСКОРЕНИЕМ

Разгонять ударники до больших скоростей можно посредст-
вом их увлечения высокоскоростным потоком плазмы. Один ва-
риант подобных ускорителей показан на фиг. 1.15. При разряде"
большой высоковольтной батареи конденсаторов через литие-
вую проволоку образуется высокоскоростная плазма, разрываю-
щая диафрагму с расположенными на ней моделями и ускоряю-
щая их в трубе разгона до большой скорости. Одним вы-
стрелом можно разогнать 10000 мелких (диаметром 50 мкм)
стеклянных шариков. Экраны и электромагнитный затвор

Гексоген.— Прим, перев.
отсекают уклоняющиеся от осевого направления и более медлен-
ные частицы до того, как первые несколько шариков ударят по
мишени. Детально разработка такого ускорителя описана Скалли
и Поузвером [58—60].Максимальная достигнутая на этом уско-
рителе скорость стеклянных шариков массой по 1,46* 10~7 соста-
вила 20 км/с.

Фиг. 1.15. Ускоритель с разгоном в плазменной струе [57].

Для этого ускорителя существует ограничение по материалу
разгоняемых частиц, который должен быть прозрачен для излу-
чения высокотемпературной плазмы, чтобы избежать абляции
частиц. Кроме того, приходится ограничиваться частицами сфе-
рической формы в связи с особенностями оптической методики,

Фиг. 1.16. Ускоритель с разгоном в плазменной струе [59].

используемой для определения в полете целостности моделей.
В конкретной установке, описанной Скалли и Поузвером [58—
60], приходится ограничиваться шариками, диаметр которых не
превышает 50 мкм.

Другой ускоритель с разгоном в потоке плазмы описан Блок-
сомом [61] и Карлсоном [62] (фиг. 1.16). В этом варианте кон-
денсаторная батарея разряжается через дуговую камеру с водо-
родом, а водородная плазма, расширяясь в коническом диффу-
зоре, разгоняет ударники. По сообщению Карлсона [62], с помо-
щью этого ускорителя стеклянные шарики диаметром 35 мкм
и массой 5,9* 10-8 г разгонялись до скорости 30 км/с.

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ УСКОРИТЕЛИ

В электростатическом ускорителе, показанном на фиг. 1.17
и описанном Фрихтенихтом [63], под электростатическим напря-
жением 100 кВ очень мелкие частицы диаметром 1,5 мкм кар-

Вакуумное
уплотнение

Высоковольтный
колпак

К истопнику
напряжения на 100 кВ

Инжектор
и электрод
разрядника
(+15 кВ)

Вакуумная система

Фиг. 1.17. Электростатический ускоритель.

Детектор
скорости
координат
и заряда

Стеклянная
изолирующая
колонка

бонила железа разгоняются до скоростей порядка 1,7 км/с.
По мишени ударяет множество частиц, причем параметры воро-
нок посредством статистических методов связываются с парамет-
рами ударяющих частиц. Для определения скорости и заряда
частиц используется детектор с двумя ортогональными систе-
мами пластин, что позволяет измерить параметры траектории
частицы.

В более позднем варианте этого ускорителя [64] используется
генератор ван де Граафа на 2МВ для наложения ускоряющего
напряжения. Фрихтенихт и др. [64] приводят для очень мелких
(0,2 мкм) частиц железа скорости 28 км/с. Поскольку размеры
образуемых этими мелкими частицами воронок также очень
малы, для определения параметров кратеров пришлось разрабо-
тать специальную методику.
4.	ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Все высокоскоростные ускорители для изучения соударений,
имевшиеся в США, Канаде и Великобритании к июню 1964 г.,
перечислены в обзоре [65]. Перечень включает 151 действую-
щий ускоритель, из которых 83 (55%) относятся к двухступен-
чатым легкогазовым пушкам. Легкогазовые пушки, несмотря на
ограничение по скорости (величиной порядка 10 км/с), разме-
рам, весу, материалу и форме разгоняемых в них ударников огра-
ничены менее, чем высокоскоростные ускорители других классов.
Их главное преимущество состоит в том, что вес и размеры удар-
ника можно точно определить, а скорость метания поддается
точному прогнозу.

Попытки повысить скорость в легкогазовых пушках за счет
электрической энергии или энергии взрыва оказываются успеш-
ными лишь для сравнительно несовершенных пушек и дают ма-
лую или нулевую добавку к скорости, достигаемой посредством
пушек высокого качества.

Кумулятивный взрывной ускоритель способен давать более
высокие скорости (16,5 км/с), чем легкогазовые пушки, но при
этом ему присущи ограничения в отношении формы и материала
разгоняемого ударника. Поскольку масса и форма ударника
должны определяться косвенным путем после взрыва, точность
этих измерений меньше, чем в случае ударников, разгоняемых
в легкогазовых пушках.

Наивысшие скорости разгона (30 и 20 км/с) были достиг-
нуты на ускорителях с разгоном в плазменном потоке, но в ка-
честве ударников в них пригодны лишь очень мелкие стеклянные
шарики (массой около 10“7 г), целостность которых при наивыс-
ших скоростях представляется сомнительной.

Электростатический генератор .тоже может обеспечить очень
высокий разгон (до 28 км/с), но размер разгоняемых частиц при
этом очень мал (0,2 мкм), что создает трудности с определением
параметров ударника и кратеров и порождает больше ошибок,
чем, скажем, в случае легкогазовых пушек.
2

РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН НАПРЯЖЕНИЯ
В ТВЕРДЫХ ТЕЛАХ

Н. Хиккерсон

1.	ВВЕДЕНИЕ

Удар движущегося с высокой скоростью снаряда по твердой
мишени приводит к крайне сложной картине. Полное описание
этого явления потребовало бы привлечения всех разделов тео-
ретической механики сплошной среды. В начальной стадии
удара, характеризующейся высокими давлениями, материал ве-
дет себя по существу как идеальная (невязкая) сжимаемая жид-
кость, так как такие давления велики по сравнению с макси-
мальными касательными напряжениями, которые могут возни-
кать в материале. Образуется воронка, которая какое-то время
быстро расширяется, излучая со своей поверхности ударную
волну. Затем следует область пластического деформирования,
которая, по-видимому, быстро исчезает, переходя в упругую сфе-
рическую волну, распространяющуюся по всей мишени [1]. Как
отметил Рае [2], полная теория, способная описать высокоско-
ростной удар, должна охватывать не только упоминавшиеся ста-
дии, но и другие возможные ситуации, такие, как плавление и
затвердевание, испарение и конденсация, а также кинетику фа-
зовых переходов.

Для различных стадий высокоскоростного удара было пред-
ложено несколько моделей. Бьорк [3—5], Уолш и др. [6—8],
а также Рини и Хейда [9—II] пользовались моделью идеальной
сжимаемой жидкости. Барон и др. [12] предложили численный
метод для решения задач, подобных задаче о гидродинамичес-
кой стадии высокоскоростного удара. Распространение сфери-
ческих упруго-пластических волн изучали разные авторы, в том
числе Фридман и др. [13], а затем Гарг [14]. Среди других ли-
нейно-упругую модель использовал Кинслоу [15].

В настоящей главе рассматривается классическая теория
распространения волн напряжения в твердой сплошной среде,
так как именно эта теория лежит в большинстве случаев в ос-
нове моделей, используемых для предсказания поведения твер-
дой мишени при ударе по ней летящего с высокой скоростью
снаряда. Сначала излагается теория распространения волн на-
пряжения в бесконечной упругой среде. Затем исследуется отра-
жение волн напряжения от поверхностей при различных гранич-
ных условиях. В конце главы обсуждается распространение волн
в слоистых материалах.
2.	РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН НАПРЯЖЕНИЯ
В БЕСКОНЕЧНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЕ

Теория распространения волн напряжения в упругих твердых
телах имеет сравнительно долгую историю. Эта задача рассмат-
ривалась в XIX веке несколькими выдающимися исследовате-
лями в области механики и математической физики того вре-
мени, среди которых были Релей [16] и Пуассон [17]. В начале
текущего столетия распространением упругих волн среди прочих
занимались Ляв [18] и Лэмб [19]. Позже приложения этой тео-
рии в электронике возбудили повышенный интерес к изучению
высокочастотных упругих волн. Эта сторона задачи была под-
робно развита /Чиндлином [20].

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Уравнения движения применительно к упругой среде можно
вывести с физической точки зрения путем распространения вто-
рого закона движения Ньютона на напряжения в малом конеч-
ном элементе среды. Принимая, что значения т на фиг. 2.1 пред-
ставляют собой средние значения напряжений на поверхностях
элемента в форме прямоугольного параллелепипеда, результи-
рующую силу в направлении Xi можно представить в виде

-Т1 ! (△х1 Дх2 Дх3) + (Т! ! —|—ДТ| 0 (ДХ! Дх2 Дх3) —

—Т12 (ДХ| Дх2 ДХзЖ^ г+Д’! 2) (д-*1 Д*2 Ах3)-
— Tt 3(ДХ! Дх2 Дх3) + (г! 3-1- Д-t! з) (Дхг Дх2 Дх3).

Если пренебречь массовыми силами, то из второго закона дви-
жения Ньютона следует, что эта величина равна р (A%iAx2Ax3) Ui,
где р есть массовая плотность материала, a Ui — ускорение в на-
правлении %1. Разделив все члены этого уравнения на объем
элемента AxiAx2Ax3 и устремив приращения Axi, Ах2 и Ахз
к нулю, находим, что средние напряжения в пределе переходят
в напряжения в точке, а само уравнение преобразуется к виду

dxi 1/^X1+<?т12/^х2-|-^1з/<?Хз=р«1.	(2.1)

Рассматривая подобным же образом силы, действующие в на-
правлениях х2 и %з, можно вывести уравнения

бк2 i/^Xi+^T22/^X24-^T2 3/^X3= р^2	(2.2)

дт3 \1дхг 2/^X2 Н~^тзз/^хз=Р^з-	(2.3)
Воспользовавшись обычными индексными обозначениями,
можно эти уравнения записать компактнее в форме

^,у=РИ/.	(2.4)

Если среда изотропна, то, воспользовавшись постоянными
Ламе % и ц, можно следующим образом связать напряжения
с деформациями:

Tz у=Х8. j3kk + 2ez у	(2.5)

Фиг. 2.1. Напряжения в малом элементе среды.

(6ij — дельта-символы Кронекера). Тогда уравнения движения
принимают вид

(2-6)

Объединив эти уравнения с уравнениями, выражающими дефор-
мации через перемещения, т. е.

получим следующую систему уравнений движения для изотроп-
ной упругой среды в перемещениях:

(Х+у.) «/я иц—pUi,	(2.7)

которую иначе можно записать в виде

(Х+|х) W • u + |iV2u=pii.	(2.8)
При изучении законов распространения волн удобно опре-
делить дилатацию (изменение объема) Д выражением
(V-и) =ец+82 2+8зз. Эта величина характеризует изменение
объема единичного куба. Другим полезным оператором служит
вращение © = '/21V X и].

Произведя над обеими частями векторного уравнения (2.8)
операцию V, получим уравнение

(X4-2(1) ?2Д=РД,	(2.9)

а исключив дилатацию применением к обеим частям того же
самого уравнения оператора VX, найдем

(i,V2©=p©,	(2.10)

Как отметил Ляв [18], уравнения (2.9) и (2.10) можно запи-
сать в общем виде следующим образом:

c2V2<p=<p.	(2.И)

Это есть гиперболическое дифференциальное уравнение в част-
ных производных, известное под названием волнового уравнения.
В этом уравнении с представляет собой скорость распростране-
ния волны.

Из уравнения (2.9) легко видеть, что объемные (дилатацион-
ные) волны распространяются в ереде со скоростью [ (Х+2ц)/р]'/2.
Аналогично из уравнения (2.10) следует, что волны искажения
(формоизменения) распространяются со скоростью (ц/р)1'2.
Волны изменения объема и формы часто называют еще соответ-
ственно безвихревыми и эквиволюминальными волнами. Как по-
казал Кольский [21], в случае объемных волн движение (частиц
среды) происходит вдоль направления распространения волны,
а в волне искажения — параллельно фронту волны.

СВОЙСТВА ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ

Полезно изучить свойства волнового уравнения в том случае,
когда решение представляет собой функцию только одной коор-
динаты и времени. При этом уравнение для <р(х, t\ упрощается
и преобразуется к виду

C2t?,xx=f,tf

Если произвести преобразование

$=х — ct

q — x-i-ct,
то в новой системе координат преобразованное уравнение запи-
шется в виде

<Р,ЕЧ=О.

Интегрирование этого уравнения непосредственно дает

где fi есть функция только переменной %, а — только пере-
менной т). Если теперь вернуться к исходным координатам, то
решение приобретет форму

<р (х, t)=Fi (х — cf)-\-F2 (x-\-ct).	(2.12)

Фиг. 2.2. Распространение начального возмущения.

Ляв [18] и Кольский [21] отмечают, что это решение представ-
ляет собой плоскую волну, распространяющуюся со скоростыр с.
Слагаемые /ч и F2 суть произвольные функции, которые можно
определить из начальных условий <р(х, 0) и фДх, 0)л Если
ф(х, 0)=Л(х) и фд(х, 0)=В(х), то решение (2.12) можно вы-
разить через эти начальные условия в виде

<?(х, ^)=-L[A(x-cO+A(x+cOH"5-C f B(a)rfa. (2.13)

X — Ct

Решение волнового уравнения в такой форме известно под наз-
ванием формулы Даламбера. На фиг. 2.2 показано, как можно
представить следствия формулы Даламбера в случае <р,<(х, 0) =
= 0. Начальное значение <р(х, 0)=А(х) дает плоскую волну
7гА(х — с/), распространяющуюся со скоростью с в положи-
тельном направлении оси х, и плоскую волну V2A(x+c/), дви-
жущуюся в противоположном направлении.
Семейства линий x+ct = const и х — ct = const представляют
собой характеристические кривые уравнения с?<р,хх=<₽,«• Эти
кривые определяют законы распространения волн в среде. Как
показано на фиг. 2.2, такие характеристики задают «направле-
ние» распространения волны в плоскости х, t.

Фиг. 2.3. Область зависимости решения в точке Р(х, t).

Смысл этих характеристик можно уяснить глубже, рассмот-
рев решение волнового уравнения в точке Р(х, t) [22]. Из урав-
нения (2.13) видно, что qp(x, t) зависит от начальных данных
на отрезке оси х между точками х — ct и x+ct (фиг. 2.3). Об-

Фиг. 2.4. Область влияния участка начальной линии

ласть D, ограниченная парой характеристик, проходящих через
точку Р(х, t), и участком кривой начальных данных между точ-
ками, в которых эти характеристики пересекают линию t=D,
называется областью зависимости решения qp в точке Р. Реше-
ние в любой точке внутри D определяется данными на этом уча-
стке начальной кривой. Область влияния R отрезка xi^x^x2
(фиг. 2.4) можно во всех точках х в любой момент времени t
определить следующим образом:

(Xj — ct) х (х2-|-с/).
Начальные данные на отрезке начальной линии между точками
и Х2 влияют на решение (р во всех точках /?, но не всегда
определяют это решение полностью.

В тех случаях, когда число независимых переменных больше
двух, характеристики можно трактовать аналогично тому, как
это было сделано для одномерного волнового уравнения. Напри-
мер, если <р=<р(х, у, t), то волновое уравнение преобразуется
в уравнение цилиндрических волн

С2(?,хх+<Р,УУ) = <?,«-

Характеристики этого дифференциального уравнения в частных
производных представляют собой конические поверхности [23].

Фиг. 2.5. Область зависимости для уравнения цилиндрических волн.

На фиг. 2.5 показано, каким образом на этот случай можно рас-
пространить понятие области зависимости. Решение в точке
Р(х, у, t) зависит от данных в области пересечения характе-
ристического конуса с начальной плоскостью х, у.

В случае сферических волн волновое уравнение принимает
форму

с2(?.хх+?,уу+<Р,«)=?,«•	(2.14)

Подстановка r2=x2+y2+z2, где г есть радиус-вектор, проведен-
ный из той точки среды, из которой исходит возмущение, приво-
дит к следующим заменам:

х2 .	1 Г2 — Х2

Т.хх г2 ф,гг~Г r г2

у2	1 г2 — №

?,УУ r2 ?.rr ~Н г г2 'Р.г.

z2 . 1 г2 —г2
Теперь уравнение (2.14) преобразуется к виду

с2 [<Ьг+(2/г) <?,/•]=?,« или c2(r<f),rr=(r<f),tt.

Это уравнение, имеющее такую же форму, как и одномерное
волновое уравнение, описывает сферические волны, порождаемые
возмущением в некоторой точке среды. Его решение, аналогич-
ное решению уравнения (2.12), можно записать следующим об-
разом:

?(Г, 0=-J-[^i(r-e/)+F2(r+c0b

3. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН НАПРЯЖЕНИЯ
В УПРУГОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

Как уже говорилось, в бесконечной упругой среде могут рас-
пространяться волны двух возможных видов: объемные волны
и волны искажения. Если еще ввести «плоскую границу, то пред-
ставляет интерес изучить отражение этих волн от граничной'по-
верхности, когда на поверхности задаются различные условия.

Если среда ограничена той или иной поверхностью, то воз-
можно волновое движение еще и третьего вида. В таком случае
могут возникнуть плоские поверхностные волны, которые рас-
пространяются вдоль границы и влияние которых ощущается
лишь на малом удалении от поверхности. Эти волны называются
релеевскими поверхностными волнами по имени Релея, который
первым изучал их [24].

ВЛИЯНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ

Влияние различных граничных условий на отражение волн
напряжения было детально рассмотрено Миндлином [25]. Как
уже было показано, объемные волны (давления, или Р-волны)
распространяются со скоростью сР = [(X + 2ц) /р]1/2, а волны иска-
жения (сдвига, или S-волны)—со скоростью Cs=(p/p),/2.
P-волны движутся с большей скоростью, чем S-волны, благодаря
чему их иногда называют первичными, а S-волны — вторичными.

Рассмотрим теперь волны, удовлетворяющие выражению

ср—A cos 2ir/Z (п • г — ct\	(2.15)

где и означает волновую нормаль в произвольном направлении,
а г — радиус-вектор, равный е^ + егХг+езХз. Эта функция ха-
рактеризует бесконечную последовательность («цуг») плоских
синусоидальных волн. Как показано на фиг. 2.6, А есть ампли-
туда волн, a L — их длина. Волновое число 2л/А удобно обозна-
чить через а, а естественную круговую частоту ас— через со.
Р-волна, падающая на свободную от напряжений границу.
Рассмотрим объемные волны, падающие, как показано на
фиг. 2.7, на свободную от напряжений поверхность хз = 0 с вол-
новой нормалью, которая образует с осью х3 угол у. Взяв форму
волны, отвечающую уравнению (2.15), можно перемещения в на-
правлении волновой нормали представить в виде

u=Adcosa(n • г — ci),

Фиг. 2.6. Бесконечная последовательность плоских синусоидальных волн.

где d есть вектор в направлении перемещения, равный в данном
случае вектору п. Для показанного на фиг. 2.7 направления вол-
новой нормали имеем

n=eisin-]f — e3cosy и в • r=X]Sin7—x3cos7.

Ф и г. 2.7. P-волна, падающая на свободную от напряжения поверхность.

Компоненты перемещения для указанного конкретного волнового
движения следующим образом выражаются через косинусои-
дальную функцию в экспоненциальной форме:

«1=Д sin -[ exp [Za (%! sin у — x3 cos 7 — <?/)],

«2 = 0,

u3= — A cos 7 exp |/a(Xj sin 7 — x3cos7 — ct)].	(2.16)

Напряжения на поверхности Хз=0 можно в таком случае запи-
сать следующим образом:

т31=р. (ди1]дх3-\-ди31дх1)=— 2/ap.Asin 7 cos7 exp [w(xt sin7 — c/)|,

тз2=!л (ди21дх3-\-ди31дх2)=0,	(2.17)

T33=''V • и+2р.((?и3/<?х3)= ZaA (k-|-2p.cos27)exp [ta(x, sin7 — c/)].
Если обозначить амплитуду отраженной волны через AR,
а угол, который она образует с осью хз,— через уд, то вектор п
выразится суммой ei sin уд + езсоэ уд, а соответствующие переме-
щения преобразуются к виду

«1Л=>1₽ sin ехр (х, sin fR — х3 cos — с/1)],

м2Л=0,

«зя=Л?со5т₽ехр [Za^^sin^^ — x3cos-f₽ — c/)b	(2.18)

Напряжения на поверхности х3=0, создаваемые отраженной
волной, удовлетворяют следующим соотношениям:

Т31Л=2й₽(1ДЛ Sin cos -[₽ exp [iaR (х} sin — ct-\-a)\,

Х3 2Я—О,

тЗЗЛ=/аЛД₽(Х+2р.С052т₽)ехр [Za₽(x,sin7₽ —cZ + a)]. (2.19)

Здесь а есть возможный сдвиг фазы при отражении.

Ясно, что на поверхности х3 = 0 напряжения, создаваемые
падающей и отраженной волнами, нельзя объединить таким об-
разом, чтобы удовлетворить условию обращения в нуль на гра-
нице обоих напряжений — нормального и касательного. Как
было показано Миндлином [25] и Кольским [21], отсюда можно
сделать вывод о том, что P-волна не может отразиться от сво-
бодной поверхности в виде простой P-волны. Нормальное напря-
жение для всех значений Xi и t обращается на поверхности хз =
= 0 в нуль, когда aR = a, уд = у, AR =—А и а = 0 или при ЛЙ = Л
и а = л. Касательное же напряжение на границе при этих усло-
виях не может быть равным нулю.

Можно показать, что при отражении от свободной поверхно-
сти P-волны возникает еще отраженная волна сдвига с переме-
щениями в плоскости Xi, Хз (SV-волна). Как показано на фиг. 2.7,
в этом случае вектор перемещения d5 перпендикулярен волновой
нормали. В таком случае справедливы соотношения

dy= —et cos 8 е3 sin В и ns=e! sin &4~e3 cos 8.

Как показано там же, волновая нормаль образует с осью хз
угол б. Перемещения в этой волне представляются в виде

us=4sd5exp [Za5(ns • г —c5Z)l,

где индекс S относится к волне сдвига. Компоненты перемеще-
ний, возникающих при отражении SV-волны, определяются вы-
ражениями

uxs=— As cos 8 exp [Zas	sin 8 4-x3 cos 8 — rsZ)],

#2S = 0,

tf3S=24$sin8exp [Zas(x1sin84-x3cos8 —rsZ)]. (2.20)
Соответствующие напряжения в плоскости хз = 0 удовлетворяют
соотношениям

тз is= —(cos2 В — sin2 В) • exp [ias (xi sin В — с$/)|,

т3 25 = 0,

T3 35=2p-^a5^5sinScosB exp [/as(x! sin 8 —£$/)].	(2.21)

Сложение напряжений при хз = 0 приводит к формуле ас =
= aRc = ascS- Следовательно, aR = a и

a/a5=cs/c=([i/p)1/2/[(X4-2p.)/p]1/2, т. е cslc= [р./(Х-4-2р.)] ,'/2

В общем случае произведение ас совпадает с круговой часто-
той со, так что при отражении частота не меняется.

Из уравнений для напряжений вытекает также равенство
asiny = assin б. Таким образом, sin y/sin б =as/a = c/cs. По-
скольку величина с больше cs (объемные волны распространя-
ются быстрее волн сдвига), siny также больше, чем sin б.

Чтобы установить взаимосвязь между амплитудами падаю-
щей и отраженных волн, можно сложить напряжения на гра-
нице и приравнять результирующие напряжения нулю. Суперпо-
зиция касательных напряжений при хз = 0 приводит к уравне-
нию

—2 sin 7 cos 7 4-2 (АЛ/А) sin 7 cos 7 — [(X -j- 2p-)/p.]1/2 (А$/А) X

X(cos28 —sin28)=O,	(2.22)

тогда как сложение соответствующих нормальных напряжений
дает

(К 4- 2р. cos2 7) (14-АЛ/А)4-2[1 [(X 4- 2[л)/|1] ’/2(AS/A)sin 8 cos 8=0.

(2.23)

Упростив уравнения (2.22) и (2.23) и обозначив [ (Л + 2ц) /ц]1/*
через /п, получим следующую систему двух уравнений для
AR/A и As/А'.

sin 2у (1 — А #/А) 4- (mA si А) cos 28=0,
m2 cos 28 (1 ARIA)-\-(mAsIA)sin 28=0.

Решив эти уравнения, найдем

Ad sin 27 sin 2Ь— m2 cos2 2b
"35“ sin 27 sin 2b + m2 cos2 2b ’
-4$________2m sin 27 sin 2b

A sin 27 sin 2b + m2 cos2 2b ’

Надо отметить, что в случае нормального падения (у=0)
отраженной волны сдвига не возникает. Для определенных
материалов и при определенных углах падения P-волны воз-
можна полная конверсия, т. е. такой случай, когда отражается
только волна сдвига, а отраженной P-волны не возникает.

Р- и SK-волны, падающие на поверхность со смешанными
граничными условиями. При анализе уравнений (2.16) — (2.19)
уже было показано, что P-волна отражается как простая Р-волна
при следующих граничных условиях:

«з=0 и 1=0 на плоскости х3=0,
или

«1=0 и х33==0 на плоскости х3=0.

Такое отражение иллюстрируется на фиг. 2.8. Если удовлетво-
рена первая система условий, то амплитуда А должна быть

Фиг. 2.8. Отражение P-волны от поверхности со смешанными граничными
условиями.

равна Ar, a a = aR и y=Y«- Подобным же образом вторая си-
стема условий удовлетворяется в том случае, когда А =—AR.
В падающей SV-волне перемещения определяются зависимостью

us=Asdsexp |/as(ns • г —cs/)],
где

ds=eIcos8-(-e3sin8 и n5=eIsinB — e3cos8.

Компоненты перемещения для этой волны суть

м15=Д5 cos 8 exp [Zas (х! sin 8 — х3 cos 8 — с5/)],

и25=0,

«3S=Assin 8 exp [Za^XjSinB —x3cos8 —csZ)]. (2.24)
Соответствующие напряжения на поверхности *з = 0 будут
т3 ls=p.ZasA5 (cos2 8 — sin2 8) exp [ms (xj sin 8 — cs/)],
T3 2S=0>
t33s=—2|iZasAssin8cos8exp [Zas(x1sin8 — £$/)]•	(2.25)

Комбинируя эти перемещения с соответствующими перемеще-
ниями для отраженной волны сдвига, задаваемыми уравнениями

Фиг. 2.9. Отражение SV-волны от границы со смешанными граничными
условиями.

(2.20) и (2.21), можно удовлетворить условиям «1=0 и т3з = 0,
когда для отраженной волны отличается по знаку от /1s для*
падающей волны и из = 0 и тз1 = 0, если амплитуды падаю-
щей и отраженной волн одинаковы. Это означает, что при таких

Фиг. 2.10. Отражение SV-волны от свободной поверхности.

условиях SV-волна, как показано на фиг. 2.9, отразится от гра-
ницы как простая SV-волна.

«УИ-волна, падающая на свободную границу. Как показано
на фиг. 2.10, падение SV-волны на свободную поверхность при-
водит в общем случае к возникновению как отраженной SV-
волны, так и отраженной P-волны. Анализ уравнений (2.21) и
(2.25) соответственно для отраженной и падающей SV-волн по-
казывает, что с помощью только этих двух волн нельзя удов-
летворить условию обращения в нуль всех напряжений на по-
верхности х3 = 0. Можно просуммировать выражения для соот-
ветствующих компонент напряжений при хз = 0, задаваемых
уравнениями (2.19), (2.21) и (2.25), и затем, приравняв резуль-
таты сложения к нулю, получить систему двух уравнений с не-
известными Asr/As и Ar/As. Здесь ASr есть амплитуда отражен-
ной SV-волны, Ar — амплитуда отраженной P-волны, a As —
амплитуда падающей SV-волны. Получаемые таким образом
уравнения сводятся к виду

cos 2В (1 + AS#IA s)m — (A#IAS) sin 2у=0,	(2.26)

sin25(1 -^s₽Ms)+H/?Ms)(l//n)(k+2|xcos27)/|i=0. (2.27)

Фиг. 2.11. Отражение S/f-волны от свободной поверхности.

Решение данной системы уравнений дает следующие зависи-
мости:

____________т sin 45_________

/и2 cos2 25 4-sin 25 sin 27 ’

ASq _____ sin 2В cos 25 — m2 cos2 25

/и2 cos2 25 + sin 25 sin 27

(2.28)

(2.29)

Из уравнения (2.28) следует, что если падающая SV-волна обра-
зует с осью х3 угол 45°, то при отражении P-волны не возникает.
При этом из уравнения (2.29) получается, что AsrIAs = — 1, т. е.
амплитуда отраженной SV-волны отличается от амплитуды па-
дающей SV-волны только по знаку.

Волны сдвига с движением в плоскости Хз, *з (S/Z-волны).
Возможно распространение волн сдвига, перемещение частиц
среды в которых параллельно оси х2, а волновая нормаль лежит
в плоскости х2, хз (S/f-волны). Волновая нормаль для падаю-
щей S/f-волны равна ns = eisin6—езсоэб, а направление пе-
ремещения d = e2. Как и в предыдущих случаях, перемещение
запишется в общем виде следующим образом:

и=Дс1ехр [/а(п • г — •&/)].

В рассматриваемом здесь случае компоненты Ui и и3 обраща-
ются в нуль, а «2 удовлетворяет соотношению

а2=Д5Я exp [iaSH (xj sin 8 — х3 cos 8 — <$/)].

Соответствующие напряжения на поверхности х3=0 будут

тз1=0>

т3 2=—рь/а5ЯДSH cos 8 exp	(Xt sin 8 — x3 cos 8 — cs/)],

тзз=0«

Для отраженной волны получим ns=eisin 6+e3cos 6 и «2 =
=Ash exp [iagH (xi sin 6 +x3 cos 6 — CsOL В отраженной волне,
так же как и в падающей, напряжения т31 и т33 равны нулю,
а для т3 г на границе х3=0 справедливо соотношение

Т3 2== pia.SHASH exp [iaSH	sin 8 -j-x3cos 8 — cs0] •

Условие отсутствия напряжений на границе удовлетворяется при
равенстве параметров ASh и aSH у падающей и отраженной
S/f-волн. Отражение таких волн иллюстрируется на фиг. 2.11.

РЕЛЕЕВСКИЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ

Как уже отмечалось, в изотропном упругом полупространстве
с граничной поверхностью, свободной от напряжений, возможна
еще одна форма упругого волнового движения, когда возмуще-
ния распространяются от границы лишь на небольшое расстоя-
ние. Рассмотрим задачу о распространении плоских волн в на-
правлении оси Xi, причем пусть ось х3 направлена внутрь
среды, а перемещения в направлении оси Хг отсутствуют. Урав-
нениям движения удовлетворяют решения, убывающие с ростом
Хз по экспоненциальному закону.

Перемещения и полезно выразить вслед за Гельмгольцем
[25] следующим образом:

U=VF+VXG, V • 0=0,	(2.30)

где F и G — потенциальные функции. Вспомнив, что уравнение
движения выражается через перемещение в виде

XV2u + (k+|i) V V • u = pu,

и подставив в него выражение для и из формулы (2.30), по-
лучим

V П(Х+2|Х)/Р] V2F-F} + V X 1(н/р) V2O-6]=о.
Последнему уравнению можно удовлетворить следующими соот-
ношениями [21]:

c^F=Ft	(2.31)

csV2G=6.	(2.32)

Это свидетельствует о том, что функция F есть потенциал объ-
емных волн, a G — потенциал волн искажения. Уравнение (2.30)
дает в проекциях на оси координат соотношения

«!=dF/dXi 4- дС3/дх2 — dG2[dx3,
«2—dF[dx2 4- дО1]дх3 — дО31дхг,
u3=dFldx3-srdG2ldxi — dGlldx2.	(2.33)

В рассматриваемом случае существуют компоненты перемеще-
ния ut и из и нет компоненты иг. Уравнение (2.32) принимает
вид

csV2O2=G2,	(2.34)

а спроектированные на оси координат соотношения (2.33) сво-
дятся к следующим двум уравнениям:

=dF[dXi — дО2/дх3,

u3=dFldx3-\-dG2ldx}	(2.35)

(б1 = Сз'=0). Если взять объемную потенциальную функцию
F=/(*з) exp [Za (xj — с/)]

и потенциал искажения

G2=g(x3) exp [й (Xi — с/)]

и подставить их в уравнения (2.31) и (2.34), то получим сле-
дующие обыкновенные дифференциальные уравнения, которые
должны удовлетворяться функциями /(хз) и §(хз):

d‘fldxl-o?f,= -(Xlc‘) f.

Определив р2 в виде а2[1— (1/с)2] и qz в виде а2[1 — (1/cs)2],
можно предыдущие уравнения переписать следующим образом:

rf2//d2x3—/?2/=0,

d2glcPx3 — q2g—0.

Общее решение этих уравнений имеет вид

/(хз)=Д1е-₽х’4-Д2ерХз,
g(x3)=fi1e-’x’4-B#X3.
Поскольку волновое движение не может нарастать с увеличе-
нием хз, коэффициенты Л2 и В2 должны быть равны нулю. Таким
образом, решение принимает вид

/(х3)=А1е-₽Л

g(x3)=B1e-?x’.

В свою очередь потенциальные функции F и Сг выражаются
зависимостями

F=At exp [—pxz-\-ia.(xl — cf)\,

[—^x34-w(xi —csOb

Перемещения можно выразить через эти функции с помощью
уравнений (2.30). После этого, зная перемещения, можно найти
напряжения. Кольский [21] показал, что рассмотренные здесь
поверхностные волны распространяются со скоростью, немного
меньшей скорости волн искажения.

4.	УПРУГИЕ ВОЛНЫ В СЛОИСТЫХ СРЕДАХ

Для приложений, связанных с высокоскоростным ударом,
значительный интерес представляет использование слоистых ма-
териалов. Многократное отражение упругих волн при их прохож-
дении через слоистый материал было исследовано Кинслоу [1].
Ниже излагается теория преломления и отражения упругих волн
на границе между двумя средами.

Волна, будь то объемная или же волна искажения, при паде-
нии на границу раздела двух сред порождает, как было пока-
зано в предыдущих примерах, две отраженные волны и еще две
преломленные волны, проникающие в соседнюю среду. Как по-
яснил Кольский, проникновение преломленной волны в другую*
среду наблюдается даже в том случае, когда такой средой слу-
жит воздух. Поэтому рассмотренные в предыдущем разделе
примеры строго корректны только при отражении от границы
с вакуумом, где не может быть преломленных волн.

Соответствующие условия, которые должны быть выполнены
на границе между двумя средами, можно в обобщенном виде
выразить следующим образом:

и

Та = Ч>>

где а и Ь относятся к двум рассматриваемым средам. Чтобы вы-
вести зависимости между амплитудами падающей и отраженных
волн, надо учесть вклад в условия на поверхности падающей и
каждой из отраженных и преломленных волн. Рассмотрим плос-
кую Ртволну, распространяющуюся в плоскости Xi, хз и падаю-
щую на поверхность хз = 0 (фиг. 2.12). На фиг. 2.12 падающая
волна проходит сначала в среде с плотностью ра, а преломлен-
ные волны распространяются в среде с плотностью р&. Гранич-
ные условия удовлетворяются [21] в том случае, когда между
углами падения, отражения и преломления, показанными на
фиг. 2.12, и скоростями распространения волн в двух средах
выполняются следующие соотношения:

sin Ti/Cj=sin T2/ci=sin ^lc2=sin 73/c3=sin f2lc4.

Фиг. 2.12. P-волна, падающая на плоскую поверхность раздела между двумя
средами.

Скорости ci и с3 — это скорости распространения объемных
волн в двух средах, а С2 и — скорости распространения волн
искажения.

Произведение рс обычно называют характеристическим им-
педансом среды. Им пользовался Кинслоу [1] для описания
поведения импульса давления, выходящего на границу между
двумя средами. Если Ро, Pt и Рг суть соответственно начальное,
переданное и отраженное давления, то можно вывести следую-
щие уравнения «несогласованности импеданса»:

Л==[2р^з/(р^3+раС1)] Ро,

Рг= 1(р^з—РаС1)/(Р^з+ Pa^i)] Ро-

Отсюда следует, что Р(/Рг = 2рьСз/(рьСз — poci). Эти соотношения
выведены в предположении, что характеристический импеданс
остается постоянным. На основе такой информации можно раз-
работать метод определения закономерностей распространения
волн давления в слоистых средах.

5.	ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей главе предпринята попытка изложить некото-
рые результаты, достигнутые при изучении законов распростра-
нения упругих волн в различных средах. В большинстве теорий,
применяемых в настоящее время для предсказания поведения
материала при ударе по нему летящего с большой скоростью
снаряда, эти результаты используются на той или иной стадии
анализа. Конечно, задача о распространении волны, являющаяся
частью общей проблемы высокоскоростного удара, гораздо слож-
нее задачи, решаемой в чисто упругой постановке. При полном
описании явления необходимо также учитывать и пластические
волны. Исследование пластических волн как с аналитической,
так и с экспериментальной точек зрения находится по сравне-
нию с теорией распространения упругих волн еще на более ран-
ней стадии развития. Следуя Гаргу [14], можно изучать рас-
пространение упруго-пластических волн в бесконечном простран-
стве, разбивая его на четыре изменяющиеся во времени зоны.
Перечислим их: 1) невозмущенная зона, 2) зона упругого пред-
вестника, который предшествует пластической зоне и ограничен
упругим фронтом, 3) пластическая зона и 4) зона упругой раз-
грузки. Полная теория распространения волн при высокоскорост-
нОхМ ударе должна учитывать отражение всех таких волн от раз-
личных граничных поверхностей, их преломление, а также другие
упоминавшиеся выше явления.
3

ТЕОРИЯ УДАРА:

НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ
И МЕТОД РАСЧЕТА В ЭЙЛЕРОВЫХ

КООРДИНАТАХ

Дж. Динс, Дж. Уолш

Настоящая глава представляет собой прежде всего обзор
исследований, выполненных авторами и их сотрудниками
в 1962—1967 гг., причем эти материалы по большей части пуб-
ликовались сначала в виде тематических отчетов. Работа де-
лится на две части. В первой из них на совместной основе тео-
ретических соображений и гидродинамических программ расче-
тов для задачи о высокоскоростном ударе сформулированы
некоторые общие принципы. Вторая часть охватывает ряд усо-
вершенствований существующих гидродинамических программ
расчета, которые позволили получить более общие, точные
и рациональные численные решения конкретных задач об ударе.
Общий обзор исследований в данном направлении изложен
в разд. 3.1.

В разд. 3.2 говорится о проявлениях влияния формы удар-
ника, его скорости и плотности в свете теории об эквивалент-
ности на поздней стадии, устанавливающей, какие условия не-
обходимо выполнить для того, чтобы при больших временах два
ударника приводили к одним и тем же эффектам. Идеи эквива-
лентности на поздней стадии, анализа размерностей, автомодель-
ности и линейного моделирования изучаются в разд. 3.3, где
к тому же рассматриваются и некоторые автомодельные ре-
шения.

Предмет остальной части главы — гидродинамические прог-
раммы, используемые для развития упоминавшихся представ-
лений. Непрерывная эйлерова программа с кодовым названием
OIL кратко обсуждается в разд. 3.4. Она учитывает главные
особенности сжимаемого невязкого течения материала, в том
числе и обеих его фаз — газообразной и конденсированной. Од-
нако непосредственно рассчитать с помощью этой программы
заключительные стадии процесса кратерообразования нельзя,
так как она не учитывает влияния прочности материала. В пос-
леднем разделе рассматривается метод, обобщающий программу
OIL и позволяющий учесть прочность при сдвиге. Изложены ре-
зультаты расчетов кратеров, образующихся при ударе алюми-
ниевых шариков как о мягкую, так и о твердую алюминиевую
поверхность. Чтобы показать, что эта программа действительно
позволяет приемлемым образом учесть прочность материала,
проводится сравнение результатов расчета с экспериментом.
И наконец, путем сравнения двух расчетов доказывается, что
два эквивалентных по поздней стадии ударника на самом деле
приводят к образованию подобных кратеров.

1.	ВВЕДЕНИЕ

В связи с крайне сильным формоизменением как ударника,
так и мишени при высокоскоростном ударе важно рассмотреть
уравнения движения в самом общем виде, позволяющем полно-
стью описать весь процесс. Типичное взаимодействие подобного
рода схематически иллюстрируется на фиг. 3.1. Наиболее при-
мечательная особенность состоит в том, что по мере внедрения
в мишень ударник все больше приобретает форму тонкого полу-
месяца. Предполагая, что материал сферического ударника рав-
номерно распределяется по поверхности кратера полусферичес-
кой формы, увидим, что окончательная толщина ударника со-
ставляет меньше 1 % радиуса кратера. Таким образом, теория
должна реалистично описывать очень большие деформации. По-
мимо геометрических осложнений, соответствующая система
уравнений существенно нелинейна также вследствие конвектив-
ных членов, заметных изменений плотности, сложности уравне-
ния состояния, описывающего как газообразное, так и конден-
сированное состояния материала, и, наконец, нелинейного ха-
рактера зависимости между напряжениями и деформациями
в пластической области. Следовательно, напрашивающиеся сами
собой различные упрощения, например предположение о сфери-
ческой симметрии и жесткости ударника или об использовании
уравнения состояния идеального газа, представляются слишком
далекими от реальности, чтобы давать пригодную картину про-
цесса.

В свете подобных теоретических затруднений понятно то
внимание, которое уделялось экспериментам с целью накопления
сведений об ударе. Хотя много полезных данных было получено
в лабораториях, все же максимальная надежно контролируемая
скорость ударника ограничена уровнем ~9 км/с. Однако труд-
ности измерения необычайно высоких давлений и больших де-
формаций в ударнике и в области его непосредственного воз-
действия на мишень даже при более низких скоростях соударе-
ния крайне ограничивают извлекаемые при опытах сведения
о динамике удара.

Таким образом, существуют серьезные мотивы, заставляю-
щие исследовать удар путем расчетов с помощью гидродина-
мических программ. Этот метод предполагает использование
вычислительных машин общего назначения для численного
интегрирования уравнений движения, чему не препятствует даже
их нелинейность. Точность результатов ограничена лишь разре-
шающей способностью конечно-разностной аппроксимации и на-
шими знаниями свойств материала. Ряд статей, посвященных
различным программам расчетов, опубликован в сборнике [1].

В лагранжевых программах [2] следят за движением фикси-
рованных элементов массы, предполагая, что конечно-разност-

Ф и г. 3.1. Деформация алюминиевого сферического ударника при соударении
с твердой алюминиевой мишенью со скоростью 7,35 км/с в моменты времени t
после удара 0 мкс (а), 0,69 мкс (б), 1,89 мкс (в) и 13,3 мкс (г) (через 13,3 мкс
после удара движение практически закончилось).

ная сетка как бы жестко связана с материалом. Лагранжевы
программы очень просты по концепции и позволяют легко удов-
летворять граничным условиям на свободных поверхностях и
границах раздела между различными материалами. Их недо-
статком надо считать недостаточную точность численных при-
ближений в том случае, когда форма ячеек существенно иска-
жается (деформации превышают 100%)? Встречаются трудности
и более специального характера, когда в результате наложения
ячеек друг на друга возникают отрицательные массы и связан-
ные с этим патологические особенности.

В эйлеровых программах сетка фиксируется в пространстве,
.причем сплошная среда проходит через нее. Материал можно
представлять либо дискретными точками, обладающими массой,
как в методе частиц в ячейках [3], либо непрерывным образом,
как в программе OIL [4]. Эйлеровы программы позволяют удов-
летворительно описывать течения с большими формоизменени-
ями, но они ограничены не очень высокой точностью при расче-
тах движения свободной поверхности или условий на границах
раздела материалов. В описанной здесь работе использовались
эйлеровы программы, рассмотрению которых посвящены
разд. 3.4 и 3.5.

Программы расчетов позволяют дать почти полное описание
удара с помощью таблиц или графиков изменения скорости, дав-
ления, плотности и внутренней энергии в зависимости от вре-
мени для всего потока. В типичной задаче на печать выводится
десяток миллионов единиц информации, а стоимость машинного
времени может выражаться тысячами долларов.

Важная особенность машинных решений заключается в воз-
можности исследования идеализированных ситуаций, например
движения материала с политропным уравнением состояния (об-
суждаемого в разд. 3.3) или поведения мишеней, не обладаю-
щих прочностью (рассматриваемого в разд. 3.2). К тому же
довольно просто определить чувствительность результатов к из-
менениям отдельных параметров среды (прочности, плотности,
скорости звука).

Принципиальное ограничение методов расчета с помощью
гидродинамических программ связано с трудностью обобщения
результатов в случае нескольких определяющих задачу пере-
менных. Например, едва ли удастся обобщить при числовом рас-
чете функциональную зависимость

Р2 _ [(Зт —1)/(т + 1)] (Р1/Ро)-(7-1)/(у + 1)

Pi	1(7— 0/(7 -h 1)] (/>1/Л)) + 1

для отношения давления за ударной волной, отраженной от
твердой стенки, к давлению в падающей ударной волне [5,
стр. 153] от величины у. В некоторых случаях это ограничение
можно частично устранить посредством анализа размерностей.
Еще одно обстоятельство ограничивает ценность решений, полу-
ченных численными методами расчета на основе гидродинами-
ческих программ: они не всегда дают физическое представле-
ние о явлении, хотя подробный анализ целого ряда смежных
задач может оказаться довольно поучительным. Несмотря на
перечисленные ограничения, гидродинамические программы
представляют собой очень полезное средство исследования задач
о соударениях, не поддающихся решению экспериментальным пу-
тем. Они заслуживают особого внимания при исследованиях за-
дач об ударе в связи с дополнительными возможностями, созда-
ваемыми ускоренным прогрессом в области вычислительной
техники и разработки методов численного интегрирования.

В самых первых приложениях гидродинамических программ
к задачам соударения [6, 7, 13] для расчета удара в осесиммет-
ричном случае использовался метод частиц в ячейках. (В этом
методе жидкость изображается в виде многих дискретных час-
тиц в ячейках, которые зафиксированы в пространстве. Каждая
частица движется независимо со скоростью, приписываемой той
ячейке, в которой она находится в данный момент.) В одном
из первых расчетов задачи об ударе [13] было показано, что
два удара в одинаковом материале с разными начальными ско-
ростями приводят к одинаковому течению на поздней стадии,
если ударники характеризуются одинаковыми значениями про-
изведения где через L обозначен характерный размер
ударника, уо — скорость соударения, а а имеет значение, близ-
кое к 0,58. Было установлено также, что при высоких начальных
скоростях течение на поздней стадии никак не зависит от плот-
ности ударника и особенностей его формы, если только они не
сказываются на массе ударника (при условии что ни отношение
плотностей ударника и мишени, ни изменения формы ударника
не выходят за обычные пределы). Все эти выводы можно обоб-
щить в следующем утверждении: при высоких скоростях соуда-
рения все влияние ударника на течение при больших временах
проявляется через единственный параметр и не зависит
никак иначе ни от деталей формы ударника, ни от его плотности,
ни от начальной скорости. Эквивалентность на поздней стадии
составляет предмет подробного обсуждения в разд. 3.2, а родст-
венные вопросы, связанные с автомодельными течениями в тео-
рии удара, рассматриваются в разд. 3.3.

Методом частиц в ячейках были с успехом рассчитаны тече-
ния, характеризующиеся большими степенями сжатия и высо-
кой внутренней энергией, но в сравнительно поздние времена
(когда давление не превосходит примерно миллиона атмосфер);
результаты, как оказывается, подвержены значительным коле-
баниям, обусловленным дискретным изменением числа частиц
(обычно 9—49) в ячейке при переходе частицы через границу
ячейки. Изменение числа частиц служит причиной изменения
плотности в ячейке и приводит к колебаниям давления. Это
затруднение обусловило появление программы OIL [4], в кото-
рой масса распределена непрерывным образом. Такая схема
позволяет с хорошей точностью исследовать течения, в которых
давление на фронте ударной волны снижается до 1 ГПа, а рас-
четы, проведенные на ее основе, дополнительно подтверждают
выводы об эквивалентности на поздней стадии. Сама программа
обсуждается в разд. 3.4, а проведенные на ее основе расчеты —
в разд. 3.2 и 3.3.

И наконец, прочностные эффекты были введены в модифици-
рованный вариант программы OIL, известный под кодовым
названием OIL—RPM1). Как следует из самого названия, для
представления деформации используется жестко-пластическая
аппроксимация из теории пластичности [8]. Справедливость та-
кой аппроксимации подтверждается тем, что искажения, пред-
ставляющие интерес в задаче об ударе, обычно влекут за собой
деформации, превосходящие 1%, тогда как материал ведет себя
при сдвиге упруго лишь в том случае, когда сдвиговые де-
формации не превышают 0,5%. При расчетах касательных на-
пряжений в данном приближении упругое искажение не учиты-
вается

Программа, учитывающая прочность, была использована
в двух расчетах, результаты которых можно сравнивать непо-
средственно с экспериментальными данными о кратерах, обра-
зующихся при ударе алюминия по алюминию со скоростью
7,3 км/с. Расчеты согласуются с экспериментом с точностью
до 10% по глубине кратера как для мягкой, так и для твердой
мишеней. Примерно такую же 10%-ную точность по глубине
кратера дает сравнение результатов повторных опытов. Наряду
с этим было проведено сравнение расчетных значений давления
на фронте ударной волны с экспериментальными данными [9].
При давлениях выше 1,5 ГПа такие данные согласуются с точ-
ностью до 20%, но, как оказалось, в диапазоне давлений 0,1 —
1,5 ГПа расхождение возрастает до 50%. Подробнее этот вопрос
рассмотрен в разд. 3.5.

Выполненные с помощью этой программы расчеты тоже под-
твердили прогнозы, составленные исходя из предположения об
эквивалентности на поздней стадии, согласно которым, если ско-
рость и размер ударника изменяются таким образом, что произ-
ведение Lu®>58 остается фиксированным, то не будут изменяться
и размеры кратера.

2.	ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ НА ПОЗДНЕЙ СТАДИИ:
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ДЛЯ БОЛЬШИХ ВРЕМЕН

В теории сильного взрыва заряд взрывчатого вещества естест-
венно характеризовать единственным параметром — его энер-
гией, предполагая при этом, что размер, продолжительность

RPM (rigid-plastic material) — жестко-пластический материал.
детонации, асимметрия и другие детали процесса выделения
энергии не оказывают существенного влияния на течение в срав-
нительно поздние моменты времени. В частности, такие предпо-
ложения легли р основу теории Тейлора [10]. Можно было ду-
мать, что аналогичная ситуация должна наблюдаться и в случае
высокоскоростного удара, как это представляли себе сначала
Станюкович [11] и Уиппл [12]; однако предположение о решаю-
щей роли энергии не позволяет удовлетворительно объяснить
само собой напрашивающийся вывод о том, что импульс удар-
ника тоже должен оказывать определенное влиянйе на окон-
чательную картину после соударения. В частности, интуитивно
представляется, что с убыванием импульса ударника при сохра-
нении его энергии общее воздействие ударника на мишень тоже
должно как-то ослабевать. В действительности некоторые ав-
торы [6] даже высказывали мысль о том, что главным парамет-
ром при ударе надо считать импульс ударника. В излагаемой
ниже трактовке ударника он характеризуется единственным па-
раметром, который не совпадает ни с импульсом, ни с энергией,
а зависит от обеих этих величин.

В настоящее время существует ряд гидродинамических прог-
рамм, позволяющих рассчитать гидродинамическую фазу про-
цесса соударения. Одна из них, так называемая программа OIL,
рассматривается в разд. 3.4. По этой программе был проведен
ряд расчетов задач об ударе, которые затем были систематизи-
рованы в четырех сериях. Расчеты первой серии показали, что
течение на поздней стадии не меняется, если размер ударника
L и его скорость ио варьировать таким образом, чтобы произве-
дение Lv% оставалось постоянным. Точнее говоря, было установ-
лено, что параметр а в выражении Lvf можно определить таким
образом, что при больших временах после удара профили скоро-
сти, давления и плотности как в осевом, так и в радиальном
направлениях окажутся асимптотически одинаковыми для любых
пар ударников, характеризующихся одинаковым значением про-
изведения Lv*. Было определено значение а, которое оказалось
равным 0,58±0,01 для широкого диапазона изменения скоростей
соударения и выбора материалов. (Если бы течение зависело
только от энергии ударника, показатель степени а равнялся бы
2/з, а если бы основным параметром был импульс ударника, ток
он должен был бы быть равным 4/з.) Во второй серии расчетов
производилось сравнение, подтвердившее эквивалентность взаи-
модействия для разных материалов. В последних двух сериях
расчетов масса и скорость ударника сохранялись постоянными,
в то время как варьировали форму (третья серия) и плотность
(четвертая серия) ударника. Ниже подробнее излагаются все
эти расчеты и сопоставления.
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ НА ПОЗДНЕЙ СТАДИИ
ПРИ ВАРЬИРОВАНИИ СКОРОСТИ

Были проведены расчеты разных случаев соударения ударни-
ков с мишенями из одинаковых материалов для железа, алюми-
ния, свинца и полиэтилена. В каждой серии, состоящей из шести
задач, скорость соударения изменяли от 1,24со до 8Осо, где
Со=(др/др)Ч*—: «скорость звука» в материале. Таким образом
были охвачены скорости в широком диапазоне — от эксперимен-
тально достижимых до скоростей, значительно превышающих
предельные скорости падения метеоров. Исходная геометрия
в каждом случае была одинаковой: прямой круговой цилиндр
с одинаковыми высотой и диаметром взаимодействовал с тол-
стой плоской мишенью из того же материала. Параметры, ха-
рактеризующие все упомянутые случаи приведены в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Скорости соударения и параметры задачи для серии расчетов удара
цилиндрическим ударником

Серия	Скорости (см. фиг. 3.4)	Железо, км/с	Свинец, км/с	Алюми- ний, км/с	Полиэтилен (пластик), км/с	Vq/Cq
А	^Низкие	5	2,5	6,5	3,5	1,24
В		10	5,0	13	7	2,48
А	}средние	20	10	26	14	4,96
В		40	20	52	28	9,92
А	j Высокие	160	80	210	114	40
В		320	160	420	228	80

Для каждого материала задачи ставились и анализировались
попарно: (1,24 и 2,48) с0, (4,96 и 9,92) с0, (40 и 80) Со- При этом
преследовалась цель обеспечить при больших временах сравни-
мую разрешимость по пространству, чтобы можно было прове-
рить эквивалентность обоих течений на поздней стадии без си-
стематической ошибки из-за неодинаковой разрешимости по про-
странству. Двукратное повышение скорости соударения для
каждой пары ударников компенсировалось уменьшением размера
одного из них до 2/3 прежней величины. Таким образом, задачи
ставились на некоторой средней основе между задачей, опираю-
щейся на условие постоянства энергии ударника, и задачей,
отвечающей постоянству импульса. Точнее говоря, подобное
изменение скоростей и размеров соответствует значению а = 0,585.
Поэтому наблюдающееся в дальнейшем хорошее согласие ме-

Ф и г. 3.2. Сходимость двух ударных течений к течению, эквивалентному им
на поздней стадии, по данным о зависимости давления от расстояния для трех
моментов времени t после удара [через — 0,4 мкс («), ~ 2,6 мкс (б) и
— 4,6 мкс (в)] свинцового ударника о свинцовую мишень со скоростями 80 км/с
(△) и 160 км/с (О).

Расстояние измерялось от центра соударения на поверхности мишени вдоль линии под
углом 45° к оси симметрии.

жду поставленными таким образом задачами (еще до изменения
относительных размеров в двух задачах путем моделирования)
соответствует значениям а, очень близким к 0,585.
Тщательное попарное сравнение поздних стадий взаимодей-
ствия при средних и высоких скоростях соударения свидетельст-
вует об очень хорошем согласии как графиков давления, плот-
ности и скорости для отдельных ячеек, так и кривых интеграль-
ного импульса. Типичные результаты такого сопоставления
приведены на фиг. 3.2—3.4.

Для самых низких из рассмотренных скоростей (от 5 до.
10 км/с в железе, от 2,5 до 5 км/с в свинце и т. д.) эквивалент-
ность на поздней стадии выражается менее явно. Кривые для

Фиг. 3.3. Сопоставление данных о давлении на оси симметрии для удара?
железного ударника о железную мишень со скоростями 20 км/с (О) и
40 км/с (△), подтверждающее сходимость на поздней стадии.

радиальной и осевой составляющих импульса снова хорошо при-,
водятся в соответствие с помощью единственного значения а,
но вплоть до больших времен для более высоких скоростей со-
ударения сохраняется некоторая тенденция к более интенсив-
ному, но менее продолжительному импульсу. Так, в случае же-
леза ударная волна, соответствующая начальной скорости удара
10 км/с, ослабла до 25 ГПа, в то время как при более низкой
начальной скорости на том же расстоянии соответствующая ин-
тенсивность составляла 20 ГПа; аналогичное сравнение для
свинца дает значения 9 и 7 ГПа. По-видимому, невозможность
добиться полной эквивалентности характерна для низких скоро-
стей соударения, причем эта особенность проявляется все замет-,
нее по мере дальнейшего снижения начальной скорости.
Чтобы найти значения а, сопоставляли различные решения
при масштабном изменении характерных размеров, пока не уда-
валось добиться наилучшего соответствия между каждой парой
решений. (Наиболее точные масштабные коэффициенты соот-
ветствуют требованию о попарном совпадении осевых и ради-
альных составляющих импульса.) Затем значение а вычисляли

О Ю 20	30	40	50	80	0	10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Время, мкс	Время, мкс

Фиг. 3.4. Сопоставление радиальных и осевых составляющих импульса при
соударениях с разными скоростями (классификация скоростей дана в табл. 3.1;»
данные для более низкой из двух скоростей при каждом из четырех сопостав-
лений изображаются кружками).

а — соударения алюминий — алюминий с высокими скоростями; б — соударения желе-
зо-железо с высокими скоростями; в —соударения пластик — пластик со средними
скоростями; г — соударения свинец — свинец с низкими скоростями.

из равенства LiV^^LzV^ где Li и Л 2—моделируемые харак-
терные линейные размеры, a vi и V2— скорости соударения.
Такие результаты свидетельствуют о замечательной особенно-
сти— постоянстве а для всех 12 сопоставлений. Отдельные зна-
чения а для 8 пар с более высокими начальными скоростями
укладываются в интервал 0,56—0,59, а сопоставления при низ-
ких скоростях дают значения а, очень близкие к 0,60. Точность
определения отдельных значений обычно составляла 3—4%.
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ

Для любой пары перечисленных в табл. 3.1 задач можно про-
вести сопоставление в целях установления эквивалентности
ударных взаимодействий разных материалов (железа, свинца,
алюминия и пластика). Для всех возможных сопоставлений были
построены безразмерные графики кривых изменения импульса и
профили характерного давления. Типичные результаты воспро-
изведены на фиг. 3.5 и 3.6. Легко видеть, что наблюдается очень
хорошее соответствие результатов. Можно разве что отметить,

Ф и г. 3.5. Сопоставление на поздней стадии профилей давления на оси сим-
метрии в безразмерных переменных для соударений в случаях полиэтилена при
28 км/с (О)» алюминия при 52 км/с (А) и свинца при 20 км/с (□) с равными
значениями отношения о0/с0.

что результаты для полиэтилена согласуются с общей зависи-
мостью несколько хуже, чем данные для металлов, но здесь
нельзя усмотреть ничего неожиданного, если учесть несоответ-
ствие между уравнениями состояния полиэтилена и металлов
[13]. Аналогичные результаты были получены и для ударов
с более низкими скоростями.

ВЛИЯНИЕ ФОРМЫ УДАРНИКА

В целях исследования влияния формы ударника были про-
ведены расчеты но ударному взаимодействию в 12 случаях при
трех скоростях соударения для ударников следующих четырех
форм: 1) прямой круговой цилиндр с равными высотой и диа-
метром основания; 2) сфера; 3) стержень с длиной, в три раза
большей диаметра, и 4) диск с диаметром, равным утроенной
Фиг. 3.6. Сопоставление данных об изменении осевой (а) и радиальной (6)
составляющих безразмерного импульса в зависимости от безразмерного вре-
мени т для соударений в случаях полиэтилена при 3,5 км/с (О), алюминия
при 6,5 км/с (А) и свинца при 2,5 км/с (□) с равными значениями отно-
шения Vq/Cq.
толщине. Соударения производились со скоростями 1,24 со,
4,96 со и 40 Со (соответственно трем скоростям цилиндрических
ударников, указанным в табл. 3.1) при одинаковой массе удар-
ников. Расчеты проводились для свинца, хотя в силу уже уста-
новленной эквивалентности материалов их результаты справед-
ливы и для других твердых тел.

При анализе результатов расчетов особое внимание уделя-
лось решению вопроса о наступлении для ударников разной
формы эквивалентности на поздней стадии и оценке сравнитель-
ной эффективности ударников разной формы.

Самые простые и наиболее конкретные результаты дало срав-
нение сферических ударников с цилиндрическими. При каждой

Ф и г. 3.7. Сравнение распределений потоков массы в случаях ударников
сферической, стержневой и дискообразной форм одинаковой массы при скоро-
сти 10 км/с через 59,7 мкс (а), 64 мкс (б) и 58 мкс (в) после удара.

из трех скоростей соударения для ударников этих форм были
получены практически одинаковые результаты как в отношении
осевой и радиальной составляющих полного импульса, так и
б отношении мгновенных значений давления, плотности и ско-
рости. И только в самые ранние моменты времени, пока ударник
внедряется в мишень, наблюдаются существенные различия.
Наконец, относительная масштабность двух течений позволяет
сделать вывод об эквивалентности ударников двух этих форм
в пересчете на одинаковую массу.

Эквивалентность на поздней стадии выражена несколько ме-
нее явно для ударников в виде диска и стержня. Но как только
глубина проникновения ударной волны намного превзойдет на-
чальные размеры ударника, течения при двух более высоких
скоростях обнаруживают достаточно хорошее совпадение. Это
подтверждается картинами векторного поля при скорости удара
4,96fo (Ю км/с для свинца), приведенными на фиг. 3.7. Однако
тщательное сопоставление таких результатов свидетельствует
о том, что даже на самых поздних стадиях возмущение от удара
стержнем имеет несколько более вытянутую в осевом направле-
нии форму, чем при ударе дискообразным или сферическим
ударником. Если же отвлечься от этой особенности удара стер-
жнем, то в остальном при сравнении соударений с высокими
скоростями (10 и 80 км/с) обнаруживается вполне удовлетвори-
тельное взаимное соответствие результатов на поздних стадиях.
Точное сравнение кривых изменения импульса и сопряженных
масштабных коэффициентов показывает, что удар стержнем
эквивалентен удару сферическим или цилиндрическим ударни-
ком одинаковой массы. В отношении удара диск менее эффекти-
вен, хотя и не намного. Чтобы ударник в форме диска был столь
же эффективен при обеих скоростях, его массу пришлось бы
увеличить приблизительно на 15%.

Отношения сторон ударников в форме стержня и диска были
преднамеренно выбраны сравнительно небольшими с тем, чтобы
проверить пределы справедливости эквивалентности на поздней
стадии. Существенно большие отношения явно должны при-
вести к качественному изменению характера течения, которое
будет сохраняться на протяжении всего гидродинамического ре-
жима. Такое отличие течения фактически уже выявилось и для
выбранного в наших расчетах отношения сторон при самых низ-
ких (из рассмотренных) скоростях течения (2,5 км/с). Например,
возмущения в мишени, вызванные ударом стержня, оказались
сконцентрированными около оси гораздо больше, чем для диска,
причем можно ожидать, что такое различие ударных конфигу-
раций должно сохраняться неопределенно долго.

Можно привести аналитические результаты и для предельных
случаев геометрической формы ударников — тонкого диска и
длинного стержня. Ударник в форме диска с достаточно экстре-
мальным отношением характерных размеров приводит при ударе
к картине, практически эквивалентной плоским волнам. Иссле-
дование удара пластиной для идеального газа при у =1,5, рас-
сматриваемое в разд. 3.3, свидетельствует об эквивалентности
на некоторой средней основе между эквивалентностью на базе
одинаковой энергии и эквивалентностью, опирающейся на усло-
вие совпадения импульсов ударников. В силу подобия уравнений
состояния данный вывод должен быть справедлив и для твердых
тел при достаточно высоких скоростях соударения и достаточно
экстремальных отношениях размеров ударника. Не исключено,
что относительная неэффективность диска с отношением разме-
ров 1 : 3 свидетельствует о том, что в данном случае показатель
степени а должен уменьшиться примерно до 0,51.

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ПЛОТНОСТИ

В большинстве приложений ударник и мишень изготовля-
ются из разных материалов, что делает целесообразным расши-
рение рамок рассматриваемых исследований. Анализ размерно-
стей показывает, что для описания соударений ударника с ми-
шенью из разных материалов в дополнение к параметрам ми-
шени необходимо ввести по крайней мере еще два новых пара-
метра, а именно плотность материала ударника и скорость звука
в нем. Однако вполне разумно предположить, что изменения
плотности ударника гораздо важнее вариаций скорости звука
в нем, благодаря чему изучение соударения в случае различных
материалов обычно сводится к исследованию влияния плот-
ности.

Чтобы оценить возможные последствия изменения плотности
ударника, были проведены следующие сопоставления:

1.	Были произведены расчеты для трех случаев соударе-
ний идеального газа с у = 1,5, в которых начальная плотность
ударника была в (1,5)3, т. е. в 3,375 раз больше плотности
мишени, равна ей и в (1,5)“3 раз меньше. Начальная масса
ударников во всех трех задачах оставалась одинаковой. Задачи
решались с помощью непрерывной эйлеровой программы рас-
чета. Расчеты доводились до момента времени, примерно
в 125 раз превышающего время, необходимое для погружения
самого ударника в тело мишени, причем проводилось детальное
сопоставление течений, чтобы оценить эквивалентность на позд-
ней стадии и относительную эффективность трех указанных
плотностей. Этим исследованием удалось установить, что при
изменении плотности ударника в 11,4 раза течения очень хорошо
согласуются друг с другом. Глубины проникновения ударной
волны при больших временах согласуются друг с другом с точ-
ностью до 10%, причем максимальное расхождение наблюдается
вдоль оси симметрии. Осевые составляющие импульса во всех
трех случаях совпадают с точностью до 5%, а разброс значений
радиальных составляющих импульса при больших временах со-
ставляет 20% • Направленность этих расхождений свидетельст-
вует о том, что чем плотнее ударник, тем он эффективнее, хотя
сами эти эффекты пренебрежимо малы.

2.	Чтобы исследовать возможное влияние плотности ударника
при соударении металлов со скоростями порядка 10 км/с были
проведены два расчета с использованием уравнений состояния
специального вида. Мишень считалась сделанной из обычного
свинца, а ударник — из свинца с модифицированным уравнением
состояния и плотностью соответственно в (1,5)3 раз больше и
в (1,5)-3 раз меньше плотности обычного свинца. Такой подход
диктовался стремлением обеспечить возможность сравнения
в тех случаях, когда единственной причиной изменения уравне-
ния состояния было разное отношение плотностей мишени и
ударника. Расчеты проводились по программе, опирающейся на
метод частиц в ячейке, причем для упрощения сравнения пара-
метров в ячейках использовалась программа с относительно
высоким разрешением по массе (36 частиц в ячейке). При поста-
новке обеих задач начальные массы ударников считались рав-
ными. Прежние замечания о соударениях в газе можно почти
слово в слово повторить и в рассматриваемом случае. Осевые
составляющие импульса обнаруживают хорошее совпадение,
тогда как общий разброс радиальных составляющих импульса
при больших временах не превышает 25%. Влияние изменения
плотности в 11,4 раза при условии сохранения постоянной массы
ударника весьма незначительно; в пределах 20%-ного изменения
массы два ударника оказываются эквивалентными и отвечаю-
щими какому-то одному значению массы.

3.	Были рассчитаны еще три случая соударений, когда удар-
ники из вольфрама, железа и бериллия взаимодействовали с ми-
шениями из железа при скорости удара 40 км/с. Для расчетов
использовался метод частиц в ячейках; и опять при условии
совпадения начальных масс ударников взаимодействие для
больших времен было во всех трех случаях примерно эквива-
лентным.

Время от времени публикуются сообщения о значительном
влиянии плотности ударника, основанные на эмпирическом сопо-
ставлении [14, 15] экспериментальных данных по удару. Однако
рассматриваемая задача предварительному теоретическому ана-
лизу не подвергалась, и, как можно полагать, описанных выше
результатов достаточно, чтобы показать, что при скоростях
соударения не ниже 10 км/с подобное влияние уже не прояв-
ляется.

ОБЩИЕ ЭФФЕКТЫ СОУДАРЕНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬЮ НА ПОЗДНЕЙ СТАДИИ

Формула проникания. Хорошее согласие двух ударных тече-
ний на протяжении гидродинамической фазы взаимодействия
особенно полезно тогда, когда и на последующей стадии, опре-
деляемой прочностными свойствами материала, картины удар-
ного взаимодействия также оказываются одинаковыми. Отсюда
следует, что кратеры в обоих случаях должны совпадать и
по форме, и по размеру. Этот результат и изложенные выше
рассуждения об эквивалентности можно обобщить единой фор-
мулой проникания

где р представляет собой глубину или какой-либо иной харак-
терный размер кратера; d — диаметр шара с массой, равной
массе ударника; и Со — плотность материала мишени и ско-
рость звука в нем; рр и va — плотность ударника и скорость
соударения; К — постоянная, которую предстоит определить из
единственного ударного эксперимента. Постоянный коэффици-
ент К зависит от прочности материала мишени.

Из изложенных выше рассуждений можно заключить, что
формула проникания справедлива в случае соударения твердых
тел при выполнении следующих условий: I) скорость соударе-
ния превышает удвоенную скорость звука в мишени; 2) отно-
шение характерных размеров ударника не превосходит трех и
3) плотность ударника не более чем в 3 раза больше плотности
мишени. Дополнительные расчеты могли бы показать, что эти
результаты дают несколько завышенный размер кратера.

Возрастание импульса. Важная особенность высокоскорост-
ного удара состоит в том, что конечное значение импульса, пе-
реданного мишени, может во много раз превосходить импульс
налетающего ударника. Это возрастание объясняется выбросом
материала мишени в сторону, обратную направлению движения
ударника. Обратное движение материала можно наблюдать
у края кратера на графиках изменения скорости, подобных при-
веденному на фиг. 3.7, или перемещения, как на фиг. 3.1.

Зависимость импульса, сообщенного мишени, от скорости
удара можно определить, вспомнив, что на поздней стадии им-
пульс I зависит только от произведения Л1и^а, а не от парамет-
ров М или vo, взятых в отдельности. Изложенное утверждение
выражается функциональной зависимостью

7=/(Ж^).

С другой стороны, простое линейное изменение масштаба пока-
зывает, что импульс должен быть прямо пропорционален массе
ударника, так что указанная функциональная зависимость дол-
жна иметь вид

I=kMv%.

И наконец, возрастание импульса гь определяемое как отноше-
ние полного импульса мишени к начальному импульсу ударника,
подчиняется условию

г/=///0=А7И4а/М'Ц0=^а-1.

Следовательно, если выбрать значение а=0,58, то возрастание
импульса пропорционально скорости соударения в степени 0,74.

Влияние твердости мишени. Если при некоторых средних
значениях времени, прошедшего после момента соударения, ко-
гда течение остается еще гидродинамическим, картины течения
в двух случаях по существу идентичны, то можно ожидать, что
течения и в последующие моменты времени тоже будут одина-
ковыми. Следовательно, характеристики мишени, которые
влияют на течение при очень больших временах или при низких
давлениях, не должны отражаться на эквивалентности двух
ударов. Прочность мишени относится именно к таким характе-
ристикам. Отсюда можно сделать вывод о том, что она должна
играть одинаковую роль для всех ударников с одинаковым зна-
чением произведения Alu*»74. Следовательно, влияние прочности
мишени будет сказываться только при очень высоких ско-
ростях.

В экспериментах, проведенных Кинеке и Ричардсом [16]
с ударниками из алюминия и бериллия, были достигнуты макси-
мальные скорости соответственно 9,7 и 15,5 км/с, причем в каж-
дом случае производились удары по мишеням из мягкого и
твердого алюминия.

Как оказалось, отношение объемов кратеров в двух мишенях
(для одного и того же ударника) сохраняется постоянным и
равным ~3 для всех скоростей соударения в диапазоне от зна-
чения немного больше 1 км/с до уже упоминавшихся максималь-
ных значений. Таким образом, прочность мишени сохраняет свое
влияние на размеры кратера вплоть до самых высоких из до-
стигнутых скоростей соударения.

Главные выводы. Эквивалентность на поздней стадии позво-
ляет сделать следующие основные выводы:

1.	Размеры кратера возрастают пропорционально скорости
соударения в степени 0,58.

2.	Изменение плотности ударника при сохранении постоян-
ной его массы не изменяет общего воздействия на мишень.

3.	Сферические и цилиндрические (с равным единице отно-
шением сторон) ударники одинаковой массы оказывают экви-
валентное ударное воздействие на всех стадиях, кроме самых
начальных. Отношение сторон ударника, достигающее 3, не ска-
зывается на соударениях со скоростью, не менее чем в 5 раз пре-
восходящих скорость звука в мишени.

4.	Прочность мишени оказывает существенное влияние на
предельные размеры кратера даже для самых высоких скоро-
стей соударения. Отношение размеров кратеров в мягкой и твер-
дой мишенях не зависит от скорости соударения.

5.	Отношение полного импульса мишени к импульсу налетаю-
щего ударника пропорционально скорости соударения в сте-
пени 0,74.

Первый, чертвертый и пятый пункты справедливы для соуда-
рений со скоростями, превосходящими удвоенную скорость звука,
тогда как второе утверждение относится к ударам со скорос-
тями, примерно в 5 раз и более превосходящими скорость звука
в мишени.
3. АНАЛИЗ РАЗМЕРНОСТЕЙ, АВТОМОДЕЛЬНОСТЬ
И ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ НА ПОЗДНЕЙ СТАДИИ

Общая математическая задача определения течения при
ударе по мишени налетающего на нее с большой скоростью удар-
ника не поддается аналитическому решению. Однако можно су-
щественно упростить вид функций, определяющих профили ско-
рости, давления и плотности путем использования принципов,
позволяющих сгруппировать независимые переменные. По-
скольку в задаче о перпендикулярном ударе течение остается осе-
симметричным, можно высказать три упрощающих положения.
К четвертому упрощению приводит предположение о сферической
симметрии, которое немедленно сводит задачу к решению одного
обыкновенного дифференциального уравнения, но предположе-
ние о сферической симметрии нами не вводится.

Линейное изменение масштаба справедливо до тех пор, пока
несущественны диссипативные эффекты. Предполагая, что так
оно и есть, перечислим определяющие параметры материала:
плотность р, скорость звука с и коэффициент Грюнайзена G.
Скорость изменения радиуса г и глубины z под свободной по-
верхностью можно представить в общей форме следующим об-
разом:

a=F(z, г, t, -г»о, Со, Ро, Go, Ci, рь Ц),
где через Lo обозначен характерный размер ударника, а Уо есть
скорость соударения. Нуль в качестве индекса означает пара-
метры ударника, а единица — параметры мишени. Аналогичные
функциональные зависимости выполняются для давления, плот-
ности и внутренней энергии. Поскольку для многих лар материа-
лов отношение скоростей звука близко к единице, а коэффициент
Грюнайзена заметно от 1,5 не отклоняется, выражение для ско-
рости можно приближенно представить в упрощенном виде

u—F(z, г, t, v0, Со, Ро, рь Lo).

Для дальнейшего упрощения полученного выражения можно
воспользоваться анализом размерностей. Безразмерные коорди-
наты определяются соотношениями

^o==^'ILq, ^o=rlL0.

Остальные безразмерные переменные можно выбрать в виде

?=-по/Со, ^=Ро/Рь т=/-и0/2.0.

Тогда выражение для скорости можно преобразовать к форме
a=-0oF(C0, So, т, р, ч).
Последнее соотношение удовлетворяет требованию допустимости
линейного изменения масштабов, так как оно не изменяется при
преобразовании переменных

Lq-^'KLq,	r-^Xr,	'по-*Х'0о,

которое математическим образом выражает требование, состоя-
щее в том, что ударник В, по своим размерам в X раз превосхо-
дящий ударник А, вызывает течение, поле которого в момент М
можно найти растяжением в % раз поля течения, отвечающего
в момент t ударнику А. Если включить в анализ вязкость или
другие диссипативные факторы, то линейное изменение масшта-
бов в такой постановке перестает быть допустимым.

В качестве рабочей гипотезы можно принять еще и предпо-
ложение о том, что ударник характеризуется единственным па-
раметром— произведением где значение показателя сте-
пени а должно быть определено дополнительно. (Значение а = 7з
свидетельствует о том, что главным параметром надо считать
импульс ОроВ^Уо, а значение а=2/з говорит, что аналогичная роль
теперь принадлежит энергии 6poL3ofl2o/2. Здесь 6L3 обозначает
объем ударника.) Переменные координаты и время можно в по-
добном случае объединить в две такие комбинации, которые
позволяют написать следующее выражение для скорости:

u=vo(Lolz)l/aF(cS+1/<	ра+’/г0, v).

Если плотность ударника меняется, то, как показало проведен-
ное в предыдущем разделе обсуждение вопроса об эквивалент-
ности на поздней стадии, основную роль играет его масса и соот-
ветственно ро может входить в функциональные зависимости
только в комбинации ро£„. Поэтому если ввести параметр L =
= Lq (po/pi),/’=v,/’Lo, а £, £ и т определить через соотношения
t=zlL, % = r/L, V=uot/L, то множитель v из функциональных за-
висимостей исключается. Тогда

«=^0(A/z)1/aF(r+1/< С+7< ?“+1л),

v=v0(Llz)1/aO(f+ll^, С“+1/< р'+’/Д
^=Ро^(Л/г)2/а tf($a+7< С+,/< р“+7т),
Р=Р</($а+1/<	?а+'Л).

Форму этих зависимостей для соударений конденсированных
материалов упростить дальше не удается.
При очень высоких скоростях соударения уравнение состоя-
ния на самых начальных стадиях можно представить с помощью
аппроксимации, соответствующей высоким давлениям:

р—ОЕ^,

где Е— внутренняя энергия, отнесенная к единичной массе,
a G — коэффициент Грюнайзена. При G=y—1 последнее соот-
ношение становится уравнением состояния идеального газа. Это
уравнение состояния было обосновано Тиллотсоном [17], кото-
рый для давлений выше 1 ГПа привел значение G, близкое
к 0,5. При таких условиях малое изменение скорости звука со
в рассматриваемой задаче может не учитываться (0 — боль-
шой параметр); отсюда

«='n0(£/z)I/aF($a+1/< С+1/т“).

n=z>0(£/z)1/aG(r+,/< с+1/г),

р =	(Z/z)2/“ Н (!•'+’/< С+1/г’),

р=ро/(?“+7< с“+7О.

Последние выражения автомодельны. Это означает, что ре-
шение в момент времени W можно построить из решения в мо-
мент времени t с помощью следующих преобразований пере-
менных:

г_^Ха/(а + 1)г> z —	+

p-»pl^+'\ p-^p.

Хотя число независимых переменных и сократилось до двух,
течение все равно продолжает описываться системой диффе-
ренциальных уравнений в частных производных, которая не под-
дается аналитическому решению без дополнительных упрощений.
Однако уже сама форма автомодельного решения на поздней
стадии позволяет сделать следующие выводы:

1)	Протяженность возмущений возрастает пропорционально
/а/(а+1).

2)	Давления в соответствующих точках относятся друг
к другу пропорционально (£1/£г)(~2/а), где gi/^г есть отношение
линейных координат в два разных момента времени. В частно-
сти, давление на фронте ударной волны убывает пропорцио-
нально g~2/a. Скорости в соответствующих точках находятся
в отношении (gi/^)”1/a, так что скорость ударной волны и массо-
вая скорость частиц убывают пропорционально g~1/a.

3)	Полные положительные осевая и радиальная составляю-
щие импульса возрастают со временем пропорционально
^3a-i)/(a+i) Этот вывод следует из того, что характерные расстоя-
ния растут со временем по закону ^a/(a+1), следовательно, захва-
ченная масса увеличивается пропорционально /3a/(a+1), а скорости
убывают пропорционально /-Ma+i), так что импульс соответст-

Ф и г. 3.8. Векторные поля скорости (слева) и потока массы (справа) в слу-
чае осесимметричной задачи в газе (стрелками указаны длины векторов) че-
рез 9,75 мкс (а и б) и 29 мкс (в и г) после удара.

вующих элементов объема изменяется пропорционально
$3a-l)/(l+a).

Для исследования задачи об ударе прямым круговым ци-
линдром с отношением сторон, равным единице, по полубеско-
нечной мишени численными методами была использована эйле-
рова программа расчета. Значение у было выбрано равным 2/г,
так как ударные адиабаты и кривые изэнтропического расшире-
ния твердых тел при очень высоких давлениях в ударной волне
С>100 ТПа) аппроксимируются соответствующими кривыми
для идеального газа при у = 3/г. Для завершения постановки
задачи были выбраны значения ио=1О км/с, ро= 1 г/см3 и диа-
метр ударника, равный 3,6 см.

Найденное в результате расчетов решение вызывает особен-
ный интерес с той точки зрения, стремится ли соответствующее

Фиг. 3.9. Изменение радиальной и осевой составляющих импульса для
удара в случае идеального газа с у =1,5.

ему течение стать автомодельным, как это следует из предполо-
жения об эквивалентности на поздней стадии; вслед за самой
ранней фазой (в 2—3 раза более продолжительной, чем время,
необходимое для того, чтобы ударник продвинулся на собствен-
ную начальную длину) течение по мере своего развития стре-
мится принять геометрическую конфигурацию, которая на самом
деле остается автомодельной.

В подобной конфигурации на поздней стадии фронт ударной
волны хорошо аппроксимируется поверхностью сферической
формы (с перемещающимся) центром, расположенным при-
мерно на расстоянии, равном 1/з глубины проникновения удар-
ной волны. Материал мишени, захваченный ударной волной,
сильно сжат и располагается в виде тонкого слоя вблизи удар-
ного фронта. Представление о последовательных стадиях
такого течения помогают составить графики изменения скорости
и потока массы, воспроизведенные на фиг. 3.8.

С помощью графиков изменения составляющих интеграль-
ного импульса и затухания фронта ударной волны можно прове-
рить другие свойства течения, характерные для автомодельного
решения, а также определить а. Так как при условии справед-
ливости предположения об эквивалентности на поздней стадии
составляющие импульса должны изменяться пропорционально
/(3a-i)/(a+i)? исследование логарифмических графиков изменения
радиальной и осевой составляющих интегрального импульса

Фиг. 3.10. Изменение глубины проникновения (/) ударной волны и ее ин-
тенсивности (2) в зависимости от времени для удара в случае идеального
газа при у = 1,5.

в зависимости от времени позволяет, во-первых, проверить, ста-
новятся ли указанные графики при больших временах линей-
ными, во-вторых, сравнить, совпадают ли при больших временах
наклоны графиков обеих составляющих импульса и, в-третьих,
определить по этим наклонам значения а. Графики изменения
составляющих импульса приведены на фиг. 3.9, где видно, что
оба они при больших временах почти линейны и что значение
(За—1)/(а+1) для тангенса угла наклона хорошо согласуется
с обеими кривыми, если а выбрать равным 0,59 (в целях срав-
нения на этом же графике показаны углы наклона для значе-
ний а, равных Уз и 2/3). На фиг. 3.10 приведены логарифмичес-
кие графики изменения глубины проникновения ударной волны
и ее интенсивности вдоль оси симметрии в зависимости от вре-
мени. Тангенсы углов наклона указанных кривых при больших
значениях времени хорошо согласуются со значениями соответ-
ственно а/(а+1) и —1/(а+1) при условии а = 0,59. (Результа-
там расчетов, относящимся к последним двум параметрам,
лучше отвечало бы немного меньшее значение а, приблизительно
равное 0,55, но значение а, найденное по кривым изменения им-
пульса, гораздо точнее.)

И наконец, чтобы проверить, остается ли течение автомо-
дельным, можно сравнить профили скоростей, плоскостей и дав-

Фиг. 3.11. Изменение скорости в зависимости от расстояния вдоль линии
под углом 45° к оси симметрии для двух моментов времени (приведенная
кривая построена по данным для более ранних времен, пересчитанным с по-
мощью соотношений подобия).

лений в различные моменты времени. На фиг. 3.11 показаны ха-
рактерные результаты сравнения распределения скоростей, на-
правленных под углом 45° к оси симметрии для двух моментов
времени, различающихся в 3 раза. Как легко видеть, если кри-
вую для раннего момента времени привести с помощью соотно-
шений подобия Z~/-Ma+i) и	к позднему времени, то

совпадение окажется достаточно хорошим (сравнение приве-
дено для а'=0,59).

Результаты всех сопоставлений согласуются с предположе-
нием о том, что течение стремится принять автомодельную
форму, вытекающую из эквивалентности на поздней стадии. Ин-
тересно также отметить, что значение а = 0,59 хорошо согла-
суется со значениями, полученными для конденсированных мате-
риалов, несмотря на значительные различия в уравнениях
состояния и формальные отличия в методах обработки числен-
ных результатов.

Используя предположение об автомодельности течения, Рае
и Кирчнер [18] добились некоторых успехов на пути аналити-
ческого исследования задачи об осесимметричном ударе в иде-
альном газе. Рассматривая уравнения течения в осесимметрич-
ном случае и потребовав, чтобы решение гладким образом про-
ходило через особую точку дифференциальных уравнений, они
установили, что показатель степени N в автомодельной пере-
менной r/tN можно найти с высокой точностью Ч Были получены
значения Af = 0,37 4-0,39, которые сравнимы с Af = 0,40 для сфе-
рической задачи о взрыве.

С другой стороны, из концепции эквивалентности на позд-
ней стадии следует зависимость между а и показателем подо-
бия АЛ В частности, сравнение с введенной выше безразмерной
переменной Za+i/ra показывает, что М = а/(а+1). Используя
полученную формулу, находим, что при а = 0,59 значение N =
= 0,37. Рае приводит для W значение 0,375 при у = 3 и значение
0,367 при у = 2. Отсюда значение N при у = 3/г, найденное путем
экстраполяции, составляет 0,363.

Рассмотренное согласие, надо признать, разумеется, вполне
удовлетворительным. Численное интегрирование и аналитичес-
кое исследование Рае и Кирчнера [18] основаны на совершенно
разных предположениях, так что это согласие служит важным
подтверждением обоих результатов.

ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ НА ПОЗДНЕЙ СТАДИИ ПРИ ОДНОМЕРНОМ
УДАРЕ

Течение, возникающее при ударе пластины по полубесконеч-
ной мишени, обладает некоторыми существенными особеннос-
тями осесимметричной задачи об ударе, но в то же время под-
дается сравнительно простому аналитическому исследованию,
если пластина и мишень подчиняются политропному уравнению
состояния и находятся поначалу в холодном состоянии. В дан-
ной задаче об ударе понятие эквивалентности на поздней стадии
помогает интерпретации автомодельного решения, которое в про-
тивном случае обладало бы странными свойствами. В частности,
автомодельное решение, рассматриваемое в конце настоящего
раздела, дает бесконечное значение кинетической энергии, а так-
же нулевой импульс. Поэтому чтобы дать удовлетворительную

Основные допущения, помимо предположения об автомодельности, со-
стоят в следующем: ударная волна в мишени считается полусферической, на
основе чего производится оценка величины d2p/d& в особой точке. Малое из-
менение показателя степени N объясняется как последним предположением,
так и тем, что, как оказывается, V слабо зависит от у.
интерпретацию такому течению, необходимо привлечь специаль-
ные физические идеи. Хотя математическое решение известно
уже сравнительно давно [19], надлежащей интерпретации, кото-
рая позволила бы связать такое решение с конкретным ударом,
не существовало до тех пор, пока не было осознано, что задачи
об ударе характеризуются параметром Lv* и что а не выража-
ется по отдельности ни через энергию, ни через импульс. Как
показано дальше, граничное условие, состоящее в том, что дав-
ление на свободной поверхности обращается в нуль, определяет
показатель степени а, который, таким образом, может рассматри-
ваться как собственное значение.

Преобразование уравнений течения методами подобия. Для
описания течения используются лагранжевы уравнения движе-
ния с независимыми переменными х (начальное расстояние час-
тицы от свободной поверхности) и t (время, истекшее с момента
удара), а также зависимые переменные — давление р, скорость
и и удельный объем V, Законы сохранения массы и импульса
и условие изэнтропичности расширения за ударной волной при-
водят к трем уравнениям с тремя переменными. Таким образом,
уравнения движения материала с начальным удельным объемом
Vi записываются следующим образом:
сохранение массы

v=v^Xi	(3.1)

сохранение импульса

«= V\Px,	(3.2)

изэнтропичность расширения

р1/т=/(х).

(3.3)

Граничные условия на фронте ударной волны выражаются
соотношениями Ренкина — Гюгонио между давлением на фронте
р8, массовой скоростью us, скоростью фронта ударной волны v8
и удельным объемом за фронтом сильной ударной волны,
распространяющейся по материалу с уравнением состояния со-
вершенного газа и нулевой внутренней энергией:

Л=[2/(т+1)](^/^1),	(3.4)

^=[(T-1)/G+1)] V,.	(3.5)

^=Кт+1)/2] us.	(3.6)

Выражение зависимых переменных через произведения двух
членов может привести к замене уравнений течения системой
обыкновенных дифференциальных уравнений. Этот процесс обос-
нован, если он приводит к решению, удовлетворяющему уравне-
ниям течения и граничным условиям (3.1) — (3.6). Дополнитель-
ное условие в задаче об ударе в отличие от задачи о взрыве
заключается в том, что давление на свободной поверхности дол-
жно обращаться в нуль. Естественный путь приведения пере-
менных к безразмерному виду состоит в нормализации их с по-
мощью тех значений, которые они принимают на фронте удар-
ной волны. При этом можно считать, что уравнения течения
путем представления переменных в виде произведений двух час-
тей сводятся к системе обыкновенных дифференциальных урав-
нений, если зависимые переменные (безразмерные) зависят
только от одной независимой переменной т], которая в свою оче-
редь может быть функцией и х, и t. Ценная особенность мето-
дов подобия заключается в том, что если течение при ударе
зависит только от одного безразмерного параметра Lu® и не за-
висит по отдельности ни от толщины пластины L, ни от ее ско-
рости ио, то единственной независимой безразмерной перемен-
ной, которую можно построить, является комбинация

или некоторая функция этого отношения. Удобно произвести та-
кой выбор, чтобы пространственная переменная измерялась
в единицах расстояния, пройденного фронтом ударной волны,
т. е.

(3.7)

где

ЛД/)=0(£^Г)1/(а+1’	(3.8)

характеризует положение фронта ударной волны в момент вре-
мени t\ 0 и а суть неопределенные сначала параметры. Давле-
ние, скорость и удельный объем можно записать в виде произве-
дения размерной, зависящей от времени части, и безразмерной
части, которая зависит только от q

(3.9)

Дополнительные соображения, связанные с анализом размерно-
стей, определяют зависимость переменных на фронте ударной
волны от времени в виде

а / /™а \2а	/	\v«

А=4 7Ж ’	<31°)

v 1 \ xs V/ /	\ xs V/ /
Безразмерные параметры 0Ь 02 и 0з в зависимости от 0 можно
вычислить с помощью условий на фронте ударной волны (3.4) —
(3.6) в форме

2	/ а \2д2(1+а)/а	а	2	+

(3.11)

и соотношения между координатой фронта и его скоростью



(3-12)

Подстановка соотношений (3.9) в уравнения (3.1) — (3.3) позво-
ляет разделить переменные и приводит к следующей системе
дифференциальных уравнений, в. которых штрихом обозначено
дифференцирование по переменной ri:

й'+[(т-1)/2] VS1=O,	(3.13)

т)/и' 4-«/а=р',	(3.14)

р Г77)2/а = 1.	(3.15)

Для этих уравнений логично выбрать следующие граничные ус-
ловия; на фронте ударной волны

р(1)=«(1)=Й(1)=1	(3.16)

и на свободной поверхности

р(0)=0.	(3.17)

Решение в случае у=7/б- Решение уравнений (3.13) — (3.15)
с граничными условиями (3.16) и (3.17) для произвольных
значений у в замкнутой форме неизвестно. Однако для у=7/5
существует весьма простое решение, впервые отмеченное Хёфеле
[19]. Если предположить, что р = г], то уравнение (3.14) дает

«=а+(1 — а)/т],/в.

Однако уравнения (3.13) и (3.15) вместе приводят к решению

"--4- .-г/t,2-,)
Эти выражения для и согласуются друг с другом только в том
случае, если у и а принимают специальные значения y=7/s и
а = 3/2. Тогда

«=(3 - 7)-г/з)/2.	(3.18)

Координата частицы у(х, t), измеряемая от свободной поверх-
ности, находится посредством интегрирования в виде

У (*. 0= [(5 - <"3)/4] xs (t).

Начальное положение частицы при у = 0 находится подстанов-
кой значения т]= (Vs)3/2 = 0,0896. При этом безразмерная массо-
вая скорость и равна —1. Следовательно, за свободной поверх-
ностью в любой момент движется только ~9% захваченного
материала, но импульсом и энергией этого материала никоим
образом пренебрегать нельзя.

Полный импульс материала, захваченного ударной волной,
равен нулю, а кинетическая энергия его бесконечна. Таким обра-
зом, ни энергия, ни импульс не могут служить основой для кри-
терия, который позволил бы конкретной задаче об ударе поста-
вить в соответствие автомодельное решение. Эту трудность
можно устранить с помощью принципа эквивалентности на позд-
ней стадии следующим образом.

Полная энергия течения справа от х выражается интегралом

J (т+А)^’	(ЗЛ9)

а импульс справа от х — интегралом

xs

/= J udxjV.	(3.20)

X

Подстановка решения, соответствующего y=7/s, показывает, что
для малых значений х, или, эквивалентно, для малых значе-
ний Т),

Е----I-u^x-'^IVl

Эта энергия, как уже отмечалось, с приближением х к нулю
стремится к бесконечности, а импульс

/ ~ -у usxsx,il V1
стремится к нулю пропорционально корню кубическому из х.
Отсюда

При рассматриваемом предельном переходе это произведение
конечно и не зависит от х. Если принять в качестве гипотезы,
что произведение 'EI для течения совпадает с произведением Еа/о
для ударяющей пластины, то тогда величина 0 определяется
подстановкой значений из уравнений (3.8) и (3.10), как это
показано ниже:

г 2
рг 9 ,„3 2.. 7	9	7 2 / т 7 2 Р Т _ ^0^0	0^0

E/=-jg- UsXsl Vi	/ V 1=Е0/0=—у---2УТ" •

Отсюда

Н4Г

Используя соотношения (3.11), получим полную систему кон-
стант

•.-Н4-Г ’>-(-!-)'•	<3-21’

Хотя в проведенном выше расчете произведение EI имеет ко-
нечное значение, не было обнаружено никаких возможностей
для аналитического доказательства того, что оно должно быть
равным EqIq, т. е. произведению энергии на импульс ударяющей
пластины. Такое доказательство потребовало бы проведенного
определенным образом перехода от течения на ранних стадиях,
для которого можно построить решение, поскольку течение ха-
рактеризуется простыми волнами, а интенсивность ударной
волны остается постоянной, к течению на более поздних стадиях,
где для задачи об ударе конечной пластиной аналитического ре-
шения нет. Но, как показано дальше, предположение о равен-
стве произведений EI и EqIq приводит в задачах об ударе конеч-
ной пластиной к точным численным результатам. Произведение
EI можно рассматривать как инвариантную интегральную вели-
чину потока. Подобную трактовку можно подкрепить, рассмот-
рев энергию Е+ и импульс /+ (которые неинвариантны!) той ча-
сти маетриала, которая движется в направлении, совпадающем
с первоначальным направлением движения пластины. Как ока-
залось, Е+ убывает пропорционально t~\ а /+ возрастает про-
порционально /1/5, т. е. произведение Е+/+ остается постоянным.
Трудоемкое, но прямое интегрирование показывает, что это про-
изведение составляет 0,5132 произведения, вычисленного для
всего потока.
Чтобы проверить гипотезу о равенстве значений произведения
EI для пластины и асимптотического автомодельного течения,
была численно решена при помощи программы с кодовым назва-
нием SPUTTER задача об ударе конечной пластиной. Материал
мишени был подобран так, что его плотность была равна 1 г/см3,
скорость ударника составляла 10 км/с, а масса ударника, прихо-
дящаяся на единицу площади, равнялась 1,2 г/см2. Давление на
фронте ударной волны в момент удара составляло 30 ГПа.

Фиг. 3.12. Сравнительные данные о давлении (□, △, О) в задачах об
ударе конечной пластиной с аналитическим автомодельным решением (сплош-
ные линии) при y=7/s для трех моментов времени (глубина х измерена от
свободной поверхности).

На фиг. 3.12—3.14 приведены данные по давлению, скорости
и плотности, полученные из численного решения, которые срав-
ниваются на графике с результатами аналитического решения
в соответствующие моменты времени. На этих графиках время
в решении для конечной пластины отсчитывалось от момента
соприкосновения. Значение /, используемое для получения ана-
литического решения, можно найти, вычитая из заданных зна-
чений величину 0,08 мкс. Такой выбор начала отсчета времени
для аналитического решения был сделан с учетом того, чтобы
как в задаче об ударе конечной пластиной, так и в автомодель-
ном решении масса материала на единицу площади между удар-
ным фронтом и свободной поверхностью составляла через 2 мкс
2,4 г/см2. Здесь показаны все точки, полученные в численном
Фиг. 3.13. Сравнительные данные о скорости (□, △, О) в задаче об ударе
конечной пластиной с аналитическим автомодельным решением (сплошные
линии) при y = 7/s для трех моментов времени (глубина х измерена от свобод-
ной поверхности).

Фиг. 3.14. Сравнительные данные о плотности (□, △, О) в задаче об ударе
конечной пластиной е аналитическим автомодельным решением (сплошные
линии) при y = 7/s для трех моментов времени (глубина х измерена от свобод-
ной поверхности).
(3.22)

(3.23)

(3.24)

(3.25)

(3.25).

решении по программе SPUTTER у фронта ударной волны. Од-
нако там, где вблизи ударного фронта обнаруживались затухаю-
щие колебания, приведены только характерные точки. Этот при-
мер подтверждает, что при больших временах решение задачи
об ударе конечной пластиной действительно стремится к автомо-
дельному решению.

Приведение к уравнению первого порядка и сравнение со
взрывными волнами. Уравнения (3.13) — (3.15) можно свести
к единственному дифференциальному уравнению первого по-
рядка. Для этого надо выразить из них логарифмические про-
изводные от р, V и и:

dp _____2_ dr] 1 + [7/(7 —1)1 z

р а 7) 1-[27'(7-1)1 (*/» ’

6/7^1	2 dr] 1 + 2/у

V а 7 —1 Ч 1— [2747 — 1)1 Му) ’

du _____1 dr]_______1 + 2/у_____

и ~	~ 1 —[27/(7 —1)1 (^/У) ’

где

y=u7]lpf

Если взять логарифмические производные от выражений

то это приводит к уравнению первого порядка относительно но-
вых переменных у и z

dz = z 2+ (1 +а) У — [2/(7 —1)1 (г— 2 —у) г
dy у 2—(1+«)У—[27/(7 —1)] (у —а)г ’

Аналогичные уравнения были выведены Хёфеле [19] и Адамским
[20]. Наш выбор переменных приводит к более простому урав-
нению, которое позволяет найти приближенное решение вблизи
свободной поверхности, а также в окрестности нового начала
координат (у=г = 0), где массовая скорость меняет знак. Здесь
нами рассматривается только приближенное решение вблизи сво-
бодной поверхности.) Соответствующее граничное условие для
уравнения (3.26) состоит в том, что на ударном фронте

у=1, z=l.	(3.27)

Одно решение данного уравнения с граничным условием
(3.27) известно: а именно решение задачи о взрывной волне,
образующейся при взрыве распределенного по плоскости заряда.
Полное решение этой задачи дано Седовым [21] в параметри-
ческой форме, причем оно было получено иным способом. Здесь
же дается такой вывод, который выявляет связь между зада-
чами об Ударе и о взрыве. В случае взрыва с заданной энергией,
т. ё. при решении задачи, в которой полный импульс не играет
никакой роли, решение не зависит от энергии, по-видимому,
только тогда, когда а = 2. Ниже показано, что для любых значе-
ний у решение в переменных у и z имеет вид

а=2, z=l/(2 —у).	(3.28)

Из этого решения вытекает, что в начальной точке скорость
обращается в нуль, а давление отлично от нуля, как того и тре-
буют условия симметрии.

Решение, выражаемое соотношениями (3.28), можно найти
также, отметив, что для автомодельного решения с конечной
полной энергией между началом и плоскостью, соответствующей
постоянной доле X расстояния до распространяющейся вправо
ударной волны, будет содержаться одна и та же часть полной
энергии. Расстояние до указанной плоскости будет

X=\xs,	(3.29)

где X означает расстояние от начала, а Л — эйлерову автомо-
дельную переменную. Скорость перемещения плоскости, отве-
чающей постоянному значению Л, которое ограничивает область

с постоянной долей энергии, равна Kxs. Материал внутри данной
области совершает работу puAt над материалом вне области,
которая в точности компенсируется обратным потоком матери-

ала p(Xxs — и) с полной энергией на единичную массу Е + и2/2.
Тогда

ри AZ=p (\xs — u) (Е-[-и212)М.

Для совершенного газа E = pV/(y—1); взяв соотношения (3.9),
получим

Ъ\7= и* [(7 + 1)/2р-к
Р	7«-1(т + 1)/2]Х

Чтобы преобразовать последнее уравнение к лагранжевым
переменным, необходимо установить зависимость между X и т).
Продифференцировав равенство (3.29) с учетом, что Л зависит
только от т], т. е. Х = Л(т]), а также использовав условие (3.6),
найдем, что

Х-т)Х'=[2/(Т+1)] и.

Объединив это соотношение с уравнением неразрывности (3.13)
и проинтегрировав, получим

(3.31)
Этот результат, взятый вместе с интегралом энергии (3.30), по-
зволяет отыскать решение задачи о взрыве распределенного по
плоскости заряда в виде (3.28). Полное решение, приведенное
ниже в параметрической форме, оказывается эквивалентным ре-
шению Седова, хотя в этом решении у не играет роли параметра,
каким он служит в нижеследующих соотношениях:

7]=(2 - у)т/<т -21 /(2т - °	-1,

p=(^-y)v^~2}Yx~2\

(3.32)

(3.33)

Безразмерное расстояние до фронта ударной волны тг|

Фиг. 3.15. Сравнение профилей давления при взрыве и ударе в случае
y=7/s и а=3/2.

-=y(i-D/(2T-1) Г2_1(	(3 34)

V=y-1/(21-1) (2 —у)-2/<2-1> У3,	(3.35)

х=уа-1)/(21-1) у2-7(2т+1 _7у)/(т+1).	(3.36)

Здесь

у. р (2Т-1)-3(7-1) У j(5f-4)/3 (7-2) (27-1)

На фиг. 3.15 показаны результаты сравнения профилей давле-
ния в задачах об ударе и взрыве при у=7/б.

Доказательство конечности произведения £/х ПРИ ударе для
произвольных значений у. Особенности течения у свободной по-
верхности в задаче об ударе можно установить путем исследо-
вания дифференциального уравнения (3.26) для больших зна-
чений у, когда оно принимает вид

dz _____г 1 ц-я + [2/(7 — 1)] г

dy	у 1 4-я + [27/(7 —1)]г *

Последнее уравнение можно проинтегрировать методом разде-
ления переменных, что дает

yz(l+a-H2/(T-l)]z)7-I=*,

где k — произвольная постоянная.

Единственное нетривиальное решение для больших значении
у имеет вид

г=_[(1 + а)/2](т-1)	(3.38>

и выражает асимптотическое значение г. Это решение, справед-
ливое вблизи свободной поверхности, можно использовать для
доказательства конечности произведения при любом значе-
нии у, хотя полная кинетическая энергия охваченного ударной
волной материала бесконечна, а импульс / = 0. Найдем для
этого асимптотические значения давления, удельного объема и
скорости вблизи свободной поверхности, подставив полученное
выше выражение в уравнения (3.22) — (3.24):

^~А'г]1(1+в) 7-21/11,	(3.39)

V ~ ВтГ ,	(3.40)

(3.41)

Здесь А, В и С суть неопределенные постоянные. Энергия и им-
пульс материала, находящегося справа от точки с координатой
х, которая полагается малой, приближенно выражаются следую-
щим образом:

<3-42>

xs

т__ f ,,	Ся us	/Ч

* J у а__________1	’	(3.43)

Следовательно, произведение Е1К имеет конечную величину, если
выполнено условие

Х=(2 —a)/(a —1).

(3.44)
Величина Е1К не зависит ни от т), ни от t, а явным образом зави-
сит только от постоянной С, начального значения удельного
объема Vi и а, поскольку

. С2+х / *

2(2/а —1) У} + Х \ » —1 .

(3.45)

Обсуждение решения для произвольных значений т. С воз-
растанием у до бесконечности z стремится к асимптотическому

Фиг. 3.16. Кривые в плоскости г, у, соответствующие решениям в случаях
взрыва и удара при y=7/s-

значению, выражаемому формулой (3.38). В плоскости z, у, по-
казанной для случая y=7/s на фиг. 3.16, кривая, соответствую-
щая полученному решению, располагается при больших зйаче-
ниях у выше изоклины уравнения (3.26) с нулевым наклоном,
определяемой соотношением

~ _ 7 —1 2 + (14-д)у
1—Л 2	—2 —у
но стремится к ней асимптотически. Та же кривая при больших у
лежит ниже изоклины направлений с бесконечным угловым ко-
эффициентом

_ 7-1	2~(1+а)у

^2— 27	У — а

Поскольку эти две изоклины Zi и гч пересекаются в седловой
точке [у = —2, z =—(у—1)/у], постольку и кривая, соответст-
вующая решению, также должна проходить через эту особую
точку, ибо иначе она имела бы в какой-то точке бесконечный
наклон и вблизи этой точки функция z была бы двузначной.
(Как показал Хёфеле [19], в точках с бесконечным наклоном
течение становится неустойчивым.) Подобные топологические
рассуждения приобретают большую наглядность при обращении
к диаграмме, подобно показанной на фиг. 3.16. По той же при-
чине решение должно проходить через начало системы коорди-
нат, которое тоже представляет собой седловую точку. Следова-
тельно, условие на свободной поверхности можно заменить тре-
бованием, чтобы кривая, соответствующая решению, проходила
через седловые точки; это требование позволяет в принципе
определить а. Такой метод удобен для отыскания численного ре-
шения без обращения к самой свободной поверхности. Прагер
и Ходж [26] в своих исследованиях преследовали цель опреде-
ления показателя степени п в выражении xs(t) =AtN, удовлет-
воряющего последнему условию. Их результаты можно исполь-
зовать для установления связи между а и у, так как из прямого
сопоставления с зависимостью (3.8) следует, что

а=п/(1 — п).

Наиболее полная таблица значений п в зависимости от у при-
ведена Рае и Кирчнером [18]. На основе их результатов постро-
ена кривая на фиг. 3.17, показывающая, как с ростом у увеличи-
вается а.

Итоги исследований в случае плоских волн. Анализ уравне-
ний гидродинамики в случае одномерного удара показывает, что
течение характеризуется величиной Lvfi, которая является чем-то
средним между энергий и импульсом. Показатель степени а за-
висит от уравнения состояния материала мишени и изменяется
в пределах от 1 до 1,79, причем последнее значение соответст-
вует мишени с уравнением состояния идеального газа. Решения
во многих отношениях напоминают картину течения при взрыве
с а = 2, но граничное условие отсутствия давления на свободной
поверхности в задаче об ударе приводит к более быстрому зату-
ханию ударной волны, чем наблюдается в случае взрывной
волны. В задаче о волне взрыва давление на фронте ударной
волны спадает обратно пропорционально расстоянию, проходи-
мому волной в мишени, тогда как в задаче об ударе давление
на фронте убывает обратно пропорционально расстоянию от
точки контакта в степени 2/а, где 2/а изменяется от 1,12 при
у = оо до 2 при у = 1.

На конкретном примере показано, что течение, возникающее
при ударе пластиной ограниченного размера с конечными зна-
чениями энергии и импульса, стремится при больших временах
к автомодельному течению с бесконечной энергией и нулевым
импульсом. Различия между решением для удара конечной плас-

Ф и г. 3.17. Изменение параметра удара а в зависимости от отношения удель-
ных теплоемкостей у в одномерном случае.

тиной и автомодельным решением при больших временах сосре-
доточены в малой области у свободной поверхности и совер-
шенно не ощущаются в большей части потока. В автомодельном
решении бесконечной энергией обладает только та часть мате-
риала, которая находится у свободной поверхности, и если ука-
занной областью можно пренебречь, то автомодельное решение
физически осуществимо.

Хотя в автомодельном течении энергия Е бесконечна, а им-
пульс / = 0, произведение £/(2-а)/(а-1) конечно при любых значе-
ниях у. Когда у=7/5> известно точное решение; в этом случае
а'=3/2, Е/ = (2~а)/(а~1)=Е/ и если приравнять эту величину соответ-
ствующему произведению энергии и импульса для ударяющей
пластины, то получается точное численное решение. Правомер-
ность такого подхода при любых значениях у пока не доказана,
а само это равенство должно пока рассматриваться как возмож-
ная гипотеза. Предположение об истинности этой гипотезы озна-
чает, что течения с конечными значениями энергии и импульса
могут стремиться к автомодельному течению с бесконечной энер-
гией и нулевым импульсом при условии сохранения произведе-
ния £7Х постоянным.

4.	OIL —ЭЙЛЕРОВА ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ
ПРОГРАММА

Задачи о неустановившемся осесимметричном течении можно
решать численно с помощью расчетной программы с кодовым
названием OIL, которая производит численное интегрирование
уравнений движения Эйлера. Эта программа была разработана
Джонсоном [4] путем видоизменения метода частиц в ячейках,
первоначально развитого Эвансом и Харлоу [3]. В исходной
программе, в которой был использован метод частиц в ячейках,
область интегрирования разбивалась на ячейки перпендикуляр-
ными поперечными сечениями, неподвижными в пространстве.
При каждом шаге по времени частицы передвигались и некото-
рые из них пересекали границы ячеек. По мере того как частицы
переходили из ячейки в ячейку, они переносили с собой соот-
ветствующие количества массы, импульса и энергии. Такая схема
с успехом описывает течения, охватывающие несколько мате-
риалов, пока плотность остается достаточно высокой. Однако ди-
скретные изменения плотности в ячейке, происходящие тогда,
когда частицы пересекают ее границы, служат причиной флук-
туаций давления, которые обычно составляют несколько сотен
тысяч атмосфер. Таким образом, метод частиц в ячейках не го-
дится для расчетов задач об ударе и взрыве, которые должны
быть доведены до таких времен, когда давления становятся по
величине меньше указанных значений.

В непрерывной эйлеровой программе произвольно малые
массы могут пересекать границы ячеек. Флуктуации, наблюдаю-
щиеся при расчете методом частиц в ячейках, по существу ис-
ключаются. Однако это происходит в ущерб простоте, которая
присуща методу частиц в ячейках при решении задач о движе-
нии среды, состоящей из нескольких материалов, вследствие
чего программа OIL используется преимущественно для расче-
тов в случае одного материала. (Сейчас этим методом решают
также задачи и для более сложных сред, но идейную простоту
метода частиц в ячейках при этом сохранить, видимо, не
удастся.)
Программа OIL состоит из двух основных подпрограмм, или
фаз. Фаза I учитывает влияние градиента давления, а фаза II —
перенос материала из ячейки в ячейку. Ниже эти фазы рассмат-
риваются по отдельности. Другие специальные подпрограммы
определяют шаг по времени (кодовое обозначение CDT), рас-
считывают уравнение состояния (EOS), устанавливают началь-
ную конфигурацию (SETUP), переопределяют ячейки, когда воз-
мущения достигают границ решетки (REZONE), выдают на
периодическую печать результаты, представляющие собой пара-
метры течения (EDIT), и выполняют другие разнообразные
функции (INPUT, CARDS, ERROR, MAIN).

Уравнения движения в осесимметричном случае можно за-
писать в форме законов сохранения

-т-=-г 4 ir ^-р -	- 4

24L=4 -1Г (С/’+р*’2).

-^г-=4'4_ аг1 —£-1(р+?£)ъ1,

/>=/(Р, /), £ = Z+4-p(tt2 + ^).

В этих уравнениях р — плотность, и и v — радиальная и осевая
составляющие скорости, I — внутренняя энергия, приходящая на
единичную массу, Е — полная удельная энергия, приходящаяся
на единичную массу, а р — давление. Выражения в правых час-
тях этих уравнений можно разбить на члены, связанные с дав-
лением (фаза I), и члены, характеризующие перенос (фаза II),
что и делается ниже. Чтобы придать уравнениям подходящую
для расчетов форму, их удобно проинтегрировать по конечному
объему (ячейки) и выделить в явном виде массу, заключенную
в ячейке, а также потоки массы, импульса и энергии через ее
границы. Если выполнить перечисленные операции, то получим

^-(М«)=4-(ЛТи)1+4-(Л1И)1ь
4- (МЕ~>=-гг <.МЕЪ+-згtME-'-

Фиг. 3.18. Форма элементарного объема V, соответствующего эйлеровым ко-
нечно-разностным уравнениям в цилиндрических координатах.

Номер поверхности	Компоненты п = (пи пг, л3), параллельные		
	г	6	Z
1	-1	0	0
2	1	0	0
3	0	— 1	0
4	0	1	0
5	0	0	—1
6	0	0	1

В фазе I вычисляются приращения массы, импульса и энергии:
Aj (Л4)=0,

Д1(Жа)=-М|^Л

(МЕ)=-риА |f M -pvA |s Д t.

Поверхности, на которых определяется площадь А, показаны
на фиг. 3.18. Внутренняя энергия, входящая в уравнение состоя-
ния и используемая в некоторых частях программы для про-
верки, задается формулой

/=B-^-(u2-v2).
Масса и плотность связаны друг с другом соотношением

Л/=рте (г2 - г?) (г6 - г5),

а площади определяются следующими выражениями (фиг. 3.18):
А1=2пг1(г6 — z5),

A2=2irr2(z6—z5),
А6=А5=и(г2 —г2).

(Обозначения Аз и А сохранены для площади поперечного се-
чения тора.)

В фазе II приращения вследствие переноса вычисляются из
следующих соотношений:

Д2(Л/)=_р«Д|2 M-pvA |56Д/,

Д2 (Ми)= —ри2А |? А/ — puvA |56 А/,

Д2 (ЛГт>)= —puvA |? А/ — pv2A |® А/,
Д2(МЕ)=-рЕиА $M-pEvA$M.

УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ

Давление вычисляют из уравнения состояния, близкого по
форме к уравнению состояния Ми—Грюнайзена и подробно опи-
санного Тиллотсоном [17]. В его отчете приведены ударные адиа-
баты и изэнтропы для девяти металлов. В последующих отчетах
сообщаются добавочные данные для горных пород и пластиков
[22, 23]. Уравнение для давления в конденсированном материале
задается в виде

р-fU, р)1р+А?-+Вр?,
где

Р = р/Ро—1
и

/(Л р)=а+ (///0) (Ро/Р)2 + 1 •

В машинной программе это уравнение видоизменяется при низ-
ких значениях плотности и высокой внутренней энергии, с тем
чтобы переход к уравнению состояния идеального газа р = а/р
происходил непрерывным образом. При определенных условиях
давление может стать отрицательным. Это, вообще говоря, до-
пустимо, но можно установить минимальное значение плотно-
сти, ниже которого давление считается равным нулю. Такое зна-
чение плотности соответствует расширению материала до воз-
никновения кавитации или до давления откола.
СРАВНЕНИЕ С ТЕОРИЕЙ ВЗРЫВА ТЕЙЛОРА

Точность схемы интегрирования можно определить путем
сравнения расчета с аналитическими решениями. В этих целях
более всего подходит теория взрыва, предложенная Тейлором
[10] и подробно развитая1) Седовым [21]. Это решение отно-
сится к взрыву точечного источника, когда передний край воз-

Ф и г. 3.19. Давление при взрыве заряда силой 52 МДж (0,1 МДж/г, радиус
сферы 5 см, р=1 г/см3), даваемое расчетами по программе OIL, в сравнении
с решением Тейлора.

мущений представляет собой сильную ударную волну. Симмет-
рия решения служит хорошей основой для проверки точности
схемы интегрирования. На фиг. 3.19 профили давления в раз-
ные моменты времени сравниваются с теоретическим решением,

Как известно, исследования Дж. Тейлора и Л. И. Седова выполнялись
независимо, причем исчерпывающая работа Л. И. Седова была опубликована
значительно раньше (в 1946 г.).— Прим. ред.
протабулированным Седовым. На начальной стадии, когда ра-
диус ударной волны всего лишь в несколько раз превышает
радиус /?0 начальной сферы, заполненной горячим газом, реше-
ние еще не стало автомодельным, так что ожидать совпадения
расчетов с асимптотической теорией Тейлора еще нельзя. Когда
же радиус ударной волны в 10 раз превзойдет /?0 (5 см), давле-
ние на фронте составит 60% значения, соответствующего реше-
нию Тейлора, и, следовательно, решения сходятся. Расчетное
положение фронта ударной волны совпадает с решением Тей-
лора, начиная с очень ранних времен. Давление в центре со-
ставляет 43% давления на фронте по сравнению с 46% в реше-
нии Тейлора, а отношение кинетической и внутренней энергий
равно 0,26 по сравнению с цифрой 0,28, приведенной Седовым.

Подобный расчет представляет собой серьезную проверку
программы, так как теоретически плотность должна убывать от
6 г/см3 на фронте ударной волны до 0,9 г/см3 при значении ра-
диуса, составляющем 90% расстояния, пройденного фронтом.
На такой базе обычно умещаются четыре ячейки. И хотя для
областей с резкими изменениями параметров высокая точность
недоступна, думается, что интегральные значения во всем по-
токе вычислены достаточно надежно.

5.	RPM: ПРОГРАММА OIL С УЧЕТОМ ПРОЧНОСТИ

Если среда выдерживает значительные касательные напря-
жения, то необходимо давление, входящее в уравнения импульса
и энергии, заменить более общим тензором напряжений
Уравнения движения в этом более общем случае запишутся
в цилиндрической системе координат следующим образом:

др _ dt	1 д (pur)			d(pv) dz ’	(3.46)
	г		dr		
д(рц) _  dt —	1 г	д dr	-(r7\xn	 i	r	(3.47)
d(pv) 	  dt	1 г	d dr			(3.48>
d(₽£) _ dt	1 г	d dr	-{fan-	pE)a-H3f»| ПН—эг	{*1 зН-^зз-Р^Ь
					(3.49)
Здесь				pu^Uj.	(3.50)

Эти уравнения можно перегруппировать таким образом, чтобы
все они, кроме дополнительных членов, совпадали с уравнени-
ями, использованными в программе OIL. В рассматриваемые
уравнения входит девиатор напряжений Sij, который определя-
ется вычитанием из общего тензора напряжений его изотропного
компонента; следовательно,

(3.51)

Дополнительные члены в правых частях, связанные с девиато-
ром напряжений (и отмечаемые в дальнейшем индексом 3),
просто выразятся в следующем виде:

= 4	(г5> >)+4-	з) - 4- Ъ * <3-52)

44^ = 44~	з)+4- <5з з).	(3.53)

= -4 4н (Si 1«+ S31-fl Н +4-	3«+S3 3^)• (3.54)

КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Чтобы найти приращения скорости и внутренней энергии за
один шаг по времени, можно уравнения (3.52) — (3.54) проинте-
грировать по конечному объему, показанному на фиг. 3.18. Это
дает дополнительные члены в виде:

△3 (Mu)=S1 tA I? it - S2 2.A4	3A |s Д/,	(3.55)

Д3 (Жг>)=53 Л 1? Д/+$33А |з Д/.	(3.56)

Д3 (МЕ)=(S, 1и+51 Зт>) А |? △/ +(5, Зй - S3 3v) А (Ц Д/. (3.57)

Напряжения на каждой поверхности ячейки вычисляют так,
чтобы они симметричным образом входили в выражения для ско-
ростей на обеих сторонах поверхности раздела. Импульс и энер-
гия переходят из одной ячейки в другую, так что с точностью
до округления строго выполняются законы сохранения энергии
и импульса.

Напряжения, входящие в последние уравнения, нужно выра-
зить через деформации и скорости деформации (точнее говоря,
девиатор тензора напряжений определяется через девиатор тен-
зора деформаций) с помощью определяющего уравнения, кото-
рое описывает свойства материала при сдвиге. Определяющее
уравнение представляется в довольно общей форме:

(3-58)

где ец — компоненты девиатора скоростей деформации, а и b —
скалярные функции,"зависящие от инвариантов тензоров напря-
жений, деформаций и скоростей деформаций, а через Ац
обозначены те дополнительные члены, которые могут потребо-
ваться для того, чтобы удовлетворить критериям инвариантности.

Компоненты тензора скоростей деформации ё^- можно выразить
через градиенты составляющих скорости

/)	(3.59)

и использовать для определения девиатора скоростей деформа-
ции с помощью соотношения

---1"	(3.60)

Следовательно, по определению, имеем

^=abZ=-(l/p)Dp/ZX	(3.61)

Вообще говоря, девиатор скоростей деформации не зависит от
давления и описывает по существу проявления сдвига. Опреде-
ляющие уравнения подробно обсуждались Хиллом [8], Трусдел-
лом и Ноллом [24], Эрингеном [25], а также Прагером и Ход-
жем [26].

Чтобы пояснить, как надо пользоваться предлагаемым спосо-
бом расчета, сделаем несколько замечаний общего характера
относительно упоминавшегося определяющего уравнения. Два
классических типа сплошных сред — упругая и вязкая — пред-
ставляют собой частные случаи. Линейную упругость можно опи-
сать, положив

a=V2lx и 6=0,	(3.62)

где ц— модуль сдвига материала. (Другим упругим коэффици-
ентом, объемным модулем, служит коэффициент Л, входящий
в уравнение состояния.) Линейная вязкость соответствует усло-
виям

а=0 и 6 = !/2pv,	(3.63)

где через v обозначена кинематическая вязкость материала. Если
же ни а, ни Ь в нуль не обращаются, а принимают указанные
выше конечные значения, то рассматриваемое уравнение описы-
вает поведение материала третьего важного типа, который в та-
ком случае называется вязко-упругим.

Полагая, как и в теории упругости, что а принимает значение
V2M, и считая к тому же, что напряжения удовлетворяют усло-
вию текучести Мизеса



(3.64)
можно описать поведение упруго-пластических сред. Принятое
условие пластичности вместе с определяющим уравнением поз-
воляет найти значение b в виде

b=Sljeljl(.2Y2yi\	(3.65)

В результате получаются известные уравнения Прандтля—
Рейсса, которые подробно обсуждаются в книге Хилла [8].

В тех случаях, когда коэффициент а в нуль не обращается,
а представляет собой модуль сдвига, введение компонент Ац
необходимо для учета влияния поворотов элементов среды. Ука-
занные величины определяются с помощью соображений об ин-
вариантности соответствующих уравнений и обсуждаются в ру-
ководствах по механике сплошных сред, часть которых нами уже
была упомянута. Существование этих величин и фактически их
точные значения можно объяснить следующим образом. Тензор
напряжений можно представить в форме

$и=31аиал,	(3.66)

где через S1 обозначены главные напряжения, а аи — направ-
ляющие косинусы главных осей относительно неподвижной си-
стр мы координат. (Этот вопрос подробно рассмотрен Сокольни-
ковым [27].) Дифференцируя последнее выражение, находим
производную

которую можно отнести ко вращающимся осям. Данное выра-
жение можно переписать в виде

Si j=Si j mikS jk — tojkSik,	(3.67)

где

^ik——anakb	(3.68)

и использованы условия ортогональности

(3.69)

Следовательно, под А^ в уравнении (3.58) можно понимать
—a((.OikSjk + tojkSik). Таким образом, в скорости изменения на-
пряжений Sij, найденные путем дифференцирования компонент
тензора напряжений в неподвижных осях, нужно внести по-
правки, учитывающие поворот материала, в котором закреплены
главные оси. Подобная коррекция проводится во многих лагран-
жевых гидродинамических программах, в том числе и в прог-
рамме, описанной Уилкинсом [2].
Физическим обоснованием линейной комбинации тензоров
направлений и скоростей деформации в уравнении (3.58) служит
то, что при этом для малых деформаций тензоры напряжений и
деформаций коаксиальны (закон Гука), тогда как при больших
деформациях влияние первоначальных искажений на поведение
материала несущественно и тензору напряжений становится
коаксиальным тензор скоростей деформации. Форма этого урав-
нения такова, что, когда напряженное состояние материала
вблизи точки текучести, направление тензора напряжений изме-
няется непрерывным образом между направлениями тензоров
деформаций и скоростей деформации.

В важном случае жестко-пластической модели, когда р стре-
мится к бесконечности, определяющее уравнение существенно
упрощается:

etj=bSir

С учетом критерия текучести Мизеса (3.64) последнему выраже-
нию можно придать форму

(370)

которая позволяет вычислять напряжения непосредственно по
скоростям деформации. В итоге в памяти машины необязательно
хранить сами напряжения, что было бы необходимо, если бы
расчеты производились на основе полных уравнений Прандтля—
Рейсса, но их можно в каждый момент времени вычислить за-
ново. Это приближение хорошо описывает течения с большими
деформациями, т. е. такие течения, в которых деформации сдвига
сопоставимы с деформацией сдвига, соответствующей достиже-
нию предела текучести. Чтобы проиллюстрировать данное поло-
жение, отметим, что при достижении предела текучести дефор-
мация обычно лежит в пределах 0,001—0,01, тогда как дефор-
мация вблизи кратера может быть сколь угодно большой и, как
видно, например, из фиг. 3.23, убывает до 0,1 при удалении от
эпицентра в два радиуса кратера и до 0,01 на шести радиусах.
Таким образом, всюду, кроме удаленных областей, жестко-
пластическое приближение остается вполне удовлетворительным.
Для дальнейшего ознакомления с теорией можно обратиться
к книге Хилла [8].

В связи с тем что в задаче об определении кратера упругий
режим особой роли не играет, в принятом методе расчета упру-
гость не учитывается. Хотя принципиально можно учесть и упру-
гость, это значительно усложняет жестко-пластическую модель
и требует существенного расширения памяти и увеличения необ-
ходимого для расчета времени, так как в памяти машины при-
дется хранить весь тензор напряжений и вычислять к тому же
скорости изменения напряжений и скорости вращения cofj. Более
того, еще никем не доказано, что использование полных уравне-
ний Прандтля—Рейсса обеспечивает точное описание пластичес-
кого течения. С точки зрения вычислительных трудностей и
неопределенности физического процесса представляется обосно-
ванным ограничиться наиболее простыми определяющими соот-
ношениями.

ВЫЧИСЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ДЕФОРМАЦИИ

В изложенном общем обзоре были приведены обоснования
в пользу расчета касательных напряжений по уравнению (3.70).
Необходимые для этого деформации определяются через скоро-
сти с помощью соотношений (3.59), так что матрицу скоростей
деформации для осесимметричного течения можно теперь пред-
ставить в виде

(«г	о	4'^+'°Л

0 и/г 0	.	(3.71)

4-(Иг + ^)	0	/

Девиатор скоростей деформации находят вычитанием шарового
тензора (скорости сжатия): ег; = ег;-—б^е^/З. Тензорные опе-
рации приводят затем к следующему удобному выражению для
второго инварианта:

=	---з"	(3.72)

Скорости деформации на поверхностях раздела вычисляют непо-
средственно, учитывая при этом симметричным образом (при-
веденные к центрам) скорости в соседних ячейках. Приращение
внутренней энергии вычисляют по формуле

Д3(М/)=21СД/ {гДг^М+Дгга^, |?)-(Л1/2) {(«+Д3«)2-

-«2+(-»+Д3^)2--»2),	(3.73)

которая выражает его как разность приращений полной и кине-
тической энергий, причем последняя определяется уравнениями
импульса.

Полная работа, совершенная пластическими напряжениями,
определяется сложением на каждом шаге по времени элементар-
ных работ в каждой ячейке, а эта суммарная величина выво-
дится наряду с другими параметрами через соответствующие
интервалы времени на печать.
ИЗМЕНЕНИЯ ПРЕДЕЛА ТЕКУЧЕСТИ

Напряжение текучести определяют как напряжение, при
котором материал из упругого состояния мгновенно переходит
в пластическое. Для целей, поставленных в настоящей главе, по-
нятие «напряжение течения» больше подходит для описания
влияния пластичности на процесс деформирования, чем «напря-
жение текучести», хотя эти понятия в некотором отношении
взаимозаменяемы. Напряжение течения нельзя считать опреде-
ленной величиной, поскольку оно зависит от термодинамического
состояния материала (скажем, от давления и температуры),
скорости деформирования, а также от истории нагружения (уп-
рочнения). Но так как фактической информации о характере
этой общей зависимости от давления, температуры и скорости
деформации нет, то для простоты предлагается считать,
что эту общую зависимость можно выразить в виде произве-
дения

r==F0/i (Р)/2(е. Г)/3(е),	(3.74)

в котором Уо — номинальное напряжение текучести при исходных
условиях, е — деформация, fi (р) — функция зависимости от дав-

ления, fz(e, Т) —функция зависимости от скорости деформации
и температуры, а /з(е)—функция зависимости от деформации
(упрочнение).

Зависимость пластической прочности от давления была экс-
периментально установлена Бриджменом [28] и несколько позже
его результаты, полученные для металлов, были обобщены То-
масом [29] для железа, Верещагиным [34] для ряда металлов
и Робертсоном [30] для горных пород. Простейшим является
предположение о линейной зависимости предела пластичности
от давления

Г=Г04-ар,	(3.75)

где а обычно равно 0,6 для металлов и 1,0 для горных пород.

Выражение для fz(e, Т) можно вывести на основе представ-
лений об энергии активации, как это было сделано, например,
Журковым [35]. Такое выражение для напряжения текучести
получается путем решения уравнения

<?=vexp [(ТГ-

Здесь k — постоянная Больцмана, v — частота, близкая к час-
тоте колебаний атомов, U3— энергия сублимации материала,
у — эмпирическая постоянная. Важность данного выражения
состоит в том, что оно позволяет нам оценить влияние скорости
деформирования, которым в том случае, когда принято предпо-
ложение о справедливости линейного моделирования, могут быть
обусловлены небольшие ошибки. Это влияние не было учтено
при численном решении задачи об ударе, но представляется бо-
лее целесообразным учитывать влияние скорости деформирова-
ния, нежели наделять твердый материал вязкостью, как это
предполагается в некоторых моделях. Если разрешить последнее
уравнение относительно Y и положить для теплоемкости твер-
дого тела Cv=3kNQ/m9 то получим

r=Ko[l-(Ct,r/3^o)ln(v/e)].

При нулевой температуре скорость деформирования не оказы-
вает влияния; подобным же образом ее влияние пропадает и
при высоких скоростях деформации. Однако в условиях, близких
к нормальным, соответствующие параметры принимают для алю-
миния следующие значения: е«1 с1, v«1013 с-1, Т~300 К, Eq^
~ 1,5-104 Дж/г, Сг~0,93 Дж/г, а величина в круглых скобках
приблизительно равна 0,58. Таким образом, напряжение теку-
чести при нулевой температуре примерно на 72% превышает
значение, полученное в условиях нормальных испытаний, при-
чем подобное изменение напряжения может быть обусловлено
высокими скоростями деформирования. Данные, приведенные
Журковым, относятся к чистому алюминию, в котором, как из-
вестно, проявляется влияние скорости деформирования, но мо-
жет оказаться, что сплавы не подчиняются столь простой мо-
дели.

При наших расчетах просто предполагалось, что пластичес-
кая прочность сходит на нет при температуре плавления как
линейная функция внутренней энергии.

ПРОГРАММА ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАЧАЛЬНОЙ КОНФИГУРАЦИИ
В ЗАДАЧЕ О КРАТЕРЕ

Для проверки пригодности расчетного метода проще всего
выбрать удар алюминиевого шарика по алюминиевой мишени,
так как для удара алюминия по алюминию со скоростями в диа-
пазоне 2—10 км/с накоплено много экспериментальных дан-
ных. Одна серия результатов схематично описана Халперсо-
ном [31].

Из свойств алюминия необходимо знать при расчетах только
постоянные, входящие в уравнение состояния (при вычислении
давления), и сдвиговую прочность (для определения касатель-
ных напряжений). Ниже проводятся постоянные (в системе
единиц СГС), фигурирующие в уравнении состояния, которое
было рассмотрено Тиллотсоном [17]:

а	Ь	А	В	Pj	/о

0,5	1,63	7,5- 1011	6,5- 10“	2,7	5 • Ю™

Сдвиговая прочность алюминия выражается зависимостью

К=(Ко+Л64-К262)(1 -///,),	(3.76)

где 0 = р/р0—1, Уо — сдвиговое напряжение текучести при нуле-
вом давлении, а постоянные Yi и У2 были найдены из экспери-
ментов Эркмана и Кристенсена [32] с плоскими волнами посред-
ством анализа упругой волны разгрузки. Их результаты (в си-
стеме СГС) приводят к следующим значениям напряжения теку-
чести в условиях плоской деформации:

У1=4,2 • 1010 и Г2=7,2 • 1010.

Девиатор напряжений при простом сдвиге подучается умноже-
нием значения напряжения при плоской деформации на |3/2.
Член /1 означает внутреннюю энергию алюминия при темпера-
туре плавления.

Чтобы охарактеризовать в рассматриваемой задаче сферичес-
кий ударник, каждой ячейке, пересекаемой этой сферой, ста-
вится в соответствие масса пересекаемого объема. Следова-
тельно, для свободной поверхности сферы разрешение не может
превосходить размера ячейки. Диаметр сферы, использовав-
шейся в экспериментах, составлял 0,48 см. Размер ячеек в рас-
чете был выбран равным 0,04 см, так что на диаметре сферы ук-
ладывалось ровно 12 ячеек.

СРАВНЕНИЕ С ЭКСПЕРИМЕНТОМ

Были проведены два расчета при одних и тех же начальных
условиях и одинаковых значениях всех параметров, кроме Ко
(нормального предела текучести алюминия). Исходные данные
для расчетов были подобраны таким образом, чтобы можно
было сопоставить результаты с двумя экспериментами, также
идентичными во всем, кроме материала мишени. В качестве ма-
териала для мишени сначала был выбран мягкий алюминий
1100-F1), а скорость удара составляла 7,39 км/с. В случае твер-

п Технический алюминий чистотой не ниже 99%, по химическому составу
[не более 1% (Si + Fe), 0,20% Си, 0,05% Мп, 0,10% Zn, 0,15% прочих (макси-
мально трех) примесей] и свойствам родственный отечественному алюминию»
марки АД. F — в состоянии поставки. — Прим. ред.
дого алюминиевого сплава 2014-Т61) соударение производилось
со скоростью 7,35 км/с. В расчетах принималось, что этим метал-
лам отвечают значения Уо, равные 75 и 239 кПа и соответствую-
щие взятым из справочников значениям предела текучести при
простом растяжении 13 и 41 МПа. В обоих расчетах скорость
соударения считалась равной 7,35 км/с.

Шаги по времени выбирали равными приблизительно 0,02 мкс.
Через 5 мкс после удара кратер имел глубину 0,9 см как в твер-
дом, так и в мягком алюминии и достигал уже своих оконча-

Ф и г. 3.20. Сравнение теоретических и экспериментальных кратеров, образую-
щихся при ударе алюминиевого сферического ударника по мишени из твер-
дого алюминиевого сплава со скоростью 7,35 км/с (прочность при сдвиге алю-
миниевого сплава 2014-Т6 считалась равной 239 МПа).

тельных размеров и формы. К этому времени прочность начи-
нала играть важную роль в расчете. Работа, произведенная
пластическими напряжениями, достигала 19% полной энергии
в твердом алюминии и 12% полной энергии в мягком алюминии.

Окончательная расчетная глубина кратера в твердом алю-
миниевом сплаве (2014-Т6) составила 1,12 см по сравнению
с экспериментальным значением 1,00 см. Для мягкого алюминия
(1100-F) расчетная глубина оказалась равной 1,48 см, что очень
хорошо согласуется с экспериментальным значением 1,46 см.

1> Дисперсионнотвердеющий сплав системы А1—Си (4,4%)—Si (0,8%) —
Мп (0,8%) —Mg (0,4%), по химическому составу близкий к дуралюминовому
заклепочному сплаву повышенной прочности В65. Тб означает термообработку
сплава после естественнрго старения (Т4) по режиму остаривавия на макси-
мальную прочность (8—12 ч при ~ 168—174° С; скорость охлаждения суще-
ственной роли не играет).— Прим. ред.
Но, несмотря на хорошее согласие, ни в одном случае предел
текучести отдельных подвергавшихся испытаниям образцов не
был известен с такой точностью, чтобы считать погрешность рас-

Радиус, см

Фиг. 3.21. Сравнение теоретических и экспериментальных кратеров, обра-
зующихся при ударе алюминиевого сферического ударника по мишени из мяг-
кого алюминия со скоростью 7,35 км/с (прочность при сдвиге алюминия 1100-F
считалась равной 75 МПа).

Фиг. 3 22. Глубина кратера в зависимости от времени для ударов по твер-
дому и мягкому алюминию (сравнение окончательных значений глубины с экс-
периментальными данными).
четов равной 5%. (Временно принимая, что объем кратера из-
меняется обратно пропорционально прочности, можно видеть,
что 15%-ный разброс значений предела прочности соответст-
вует разбросу значений глубины кратера в 5%.)

Фиг. 3.23. Деформация мишени при ударе в зависимости от времени.
а — до удара (/=0); б, в, г — соответственно через 4, 8 и 12 мкс после удара.

На фиг. 3.20 и 3.21 показана форма кратеров для мишеней
из твердого и мягкого алюминия. Наилучшую оценку радиуса
дает предположение о том, что форма кратера близка к полу-
сферической с почти одинаковыми радиусом и глубиной. Как
оказалось, это предположение согласуется с формой кратеров,
наблюдавшихся в экспериментах при ударе компактным удар-
ником из одинакового с мишенью материала. (При расчете воз-
никает затруднение, состоящее в том, что материал вблизи края
кратера может двигаться с высокими скоростями даже тогда,
когда его глубина перестает возрастать. Таким образом, к рас-
четной глубине можно относиться с большим доверием, чем
к расчетному радиусу.)

Фиг. 3.24. Сравнение экспериментальных (□) и рассчитанных на машине
(О) значений скоростей частиц на фронте ударной волны, возникающей при
ударе шарика диаметром 0,487 см по мягкому алюминию.

На фиг. 3.22 показано, как для алюминия двух сортов уве-
личиваются кратеры в зависимости от времени. Время, необхо-
димое для достижения кратером 90% своей окончательной
глубины, в мягком алюминии (16 мкс) в 2 раза больше, чем в твер-
дом, где оно составляет лишь 8 мкс. Хотя по графику получа-
ется, что кратер все еще продолжает увеличиваться, скорость
частиц на дне кратера снижается до 10 м/с. Таким образом,
если бы дальнейшего замедления даже не было, то за последую-
щие 10 мкс глубина кратера возросла бы всего лишь на 0,01 см.
Четыре фазы деформации мишени через одинаковые проме-
жутки времени показаны на фиг. 3.23.

Чарест [9] экспериментально изучал затухание скоростей
частиц на фронте в зависимости от расстояния, проходимого
ударной волной в мишени. В его экспериментах шарики такого
же размера, как и рассмотренные выше, выстреливались в ми-
шени из алюминия 1100-0 со скоростями ~7,3 км/с. На фиг. 3.24
сопоставляются результаты этих экспериментов с расчетными
данными для алюминия 1100-0. Чтобы внести поправку на коле-
бания истинной скорости удара (в диапазоне 7,03—7,62 км/с),
измеряемые скорости делили на малый поправочный коэффици-
ент ио/7,3. Экспериментальные и расчетные значения скоростей,
превышающих 0,1 км/с, согласуются друг с другом с точностью
до 20%, но для более низких скоростей согласие ухудшается.
Так как при больших временах в расчетных данных обнаружи-
вается некоторая неустойчивость, а приведенные на последнем
графике точки, соответствующие самым низким эксперименталь-
ным скоростям, представляются аномальными, хорошее совпаде-
ние между расчетными и экспериментальными значениями ско-
ростей на расстоянии 8 см (16 диаметров ударника) вглубь ми-
шени, вероятно, не играет важной роли.

МОДЕЛИРОВАНИЕ СКОРОСТИ

Согласно формуле проникания

p/d=K(^o)\	(3.77)

приводимой рядом авторов и рассмотренной в разд. 3.2, глубина
кратера р должна возрастать пропорционально скорости соуда-
рения ио в степени а. Здесь d — диаметр сферического ударника,
со — скорость звука, а К — безразмерная постоянная. Эйхельбер-
гер и Геринг [33] при подгонке экспериментальных данных
к теоретическому соотношению выбрали значение а = 2/з. Они
были одними из тех немногих исследователей, кто пытался учесть
через коэффициент влияние твердости материала. [Если их
формулу переписать в форме соотношения (3.77), то окажется,
что К = 9,22* 10-4 роС2/В, где В — твердость по Бринеллю, а ро —
плотность ударника.]

Согласно результатам, приведенным в разд. 3.2 для скорос-
тей выше 10 км/с, показатель а равен 0,58. Хотя закон эквива-
лентности на поздней стадии обоснован чисто гидродинамически
и, строго говоря, применим к соударениям со скоростями выше
10 км/с, надо полагать, что показатель степени 0,58 будет при-
ближенным значением и при более низких скоростях, даже если

См. сноску на стр. 102. О — отожженный. — Прим. ред.
прочность воздействует на течение еще до того, как устанавли-
вается точная эквивалентность на поздней стадии. Однако даже
в условиях отсутствия прочности при двух ударах со скоростями
5 и 10 км/с, но с одинаковыми значениями Lu®*58, добиться сов-

Расстояние от края сетки, см

Фиг. 3.25. Сравнение профилей скорости, возникающих при ударах сфери-
ческих ударников с отношением диаметров 1 :2, но с одним и тем же значе-
нием Lv0Q'56.

Параметры удара с низкой скоростью были приведены на предыдущих графиках
(7,35 км/с). Высокая скорость составляла 24,28 км/с, а время, прошедшее с момента
удара, во всех случаях было равно 5 мкс. Удару по мягкому алюминию со скоростью
7,35 км/с соответствует пунктирная кривая.

1 — удар с низкой скоростью по твердому алюминию: 2 — эквивалентный удар с высо-
кой скоростью по твердому алюминию; 3 — удар с низкой скоростью по мягкому
алюминию.

падения профилей давления лучше 20% не удается. Значит,
при скоростях порядка 10 км/с не следует ожидать, что эквива-
лентность должна быть столь же точной, как это наблюдается
при более высоких скоростях.
Чтобы проверить пригодность показателя степени а=0,58
при более низких скоростях, были проведены два расчета для
ударов с одним и тем же значением Lv®»58, но для двух сфери-

2,2

2Д

1,8

1,6

7,4

1,2

О 7,0

® 0,8
з

S
§ 0,6
Q
*4

Q4

0

-0,2

-0,4

-0,6

Расстояние от края сетки, см

Фиг. 3.26. Сравнение профилей давления, возникающих при ударах сфери-
ческих ударников с отношением диаметров 1:2, но с одним и тем же зна-
чением Li>00’58.

Параметры удара с низкой скоростью были приведены на предыдущих графиках
(7,35 км/с). Высокая скорость составляла 24,28 км/с, а время, прошедшее с момента
удара, во всех случаях было равно 5 мкс. Удару по мягкому алюминию со скоростью
7,35 км/с соответствует пунктирная кривая.

1 — удар с низкой скоростью по твердому алюминию; 2 — эквивалентный удар с высо-
кой скоростью по твердому алюминию; 3 — удар с низкой скоростью по мягкому алю-
минию.

ческих ударников с диаметрами один в два раза больше другого.
Чтобы значение Lt»®-58 оставалось таким же, как и для расчета,
приведенного выше, ударник меньшего диаметра должен был
обладать скоростью 24,28 км/с. Разбиение на ячейки в задаче
об ударе со скоростью 24,28 км/с было проведена таким образом,
чтобы после переразбиения размер ячеек, границы сетки и сво-
бодные границы были идентичны более слабому удару. Распре-
деления скоростей и давлений для двух этих задач через 5 мкс
после удара приведены на фиг. 3.25 и 3.26. Расхождение между
двумя профилями достигает 7% для положения фронта удар-
ной волны (волна от более быстрого ударника продвинута впе-
ред) и 7% для значений скорости и давления на фронте. Это
соответствие может быть еще несколько улучшено путем подбора
такой пары значений времени, при которых в пределах возмож-

Ф и г. 3.27. Нарастание глубины кратера в зависимости от времени для двух
ударов по твердому алюминию е одним и тем же значением Lv00,58 (обеспе-
чивающим эквивалентность на поздней стадии).

Параметры удара с низкой скоростью были приведены на предыдущих графиках,
В случае высокоскоростного удара сферический ударник имел вдвое меньший диаметр,
а скорость составляла 24,28 км/с.

ного достигается наивысшая степень подобия обоих распреде-
лений.

Сравнение на одних и тех же графиках профилей давления
в твердом и мягком алюминии свидетельствует о том, что при
таких скоростях прочность материала влияет на распределение
давлений и скоростей. Разность давлений на фронте ударной
волны достигает в указанных материалах 150МПа (что
очень близко к разнице их сдвиговых прочностей), а в по-
ложении фронта ударной волны никаких отличий не наблю-
дается.

На фиг. 3.27 показано, как изменяется глубина кратера в за-
висимости от времени для ударов с большей и меньшей скорое-
тями. Конечная глубина кратера составила 1,14 см в случае
более быстрого ударника и 1,10 см для более медленного. Таким
образом, в пределах точности расчетов остается справедливым
предсказание о том, что обоим ударникам должны соответство-
вать эквивалентные кратеры. Если бы было правильным модели-
рование по энергии (а=2/з), то это дало бы расчетную глубину
кратера для ударника с более высокой скоростью на 14%
больше, т. е. 1,25 см.
4

ТЕОРИЯ СОУДАРЕНИЯ
С ТОНКИМИ МИШЕНЯМИ
И ЭКРАНАМИ В СОПОСТАВЛЕНИИ
С ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ

Дж. Геринг

1.	ВВЕДЕНИЕ

Приведены результаты проведения программы теоретических
и экспериментальных исследований, посвященной изучению воз-
можных повреждений ракет, спутников и космических кораблей
высокоскоростными метеорными частицами.

В данной главе рассматриваются явления, связанные исклю-
чительно с ударом частицы по простой двухлистовой конструк-
ции, которая состоит из основного заднего листа, защищенного
тонким экраном. Теоретический анализ задачи сводился к изу-
чению волнового движения в ударяющей частице и в экране
с учетом тепловых эффектов.

Теоретическое исследование проблемы проведено в двух при-
ближениях. Первое из них состоит в одномерном анализе вол-
нового движения, тогда как во втором приближении проводится
двумерное рассмотрение в гидродинамической постановке. Как
показывают результаты анализа на обеих стадиях при сопостав-
лении с экспериментальными данными, при решении задачи не-
обходимо учитывать такие механизмы повреждения, как дроб-
ление и диспергирование ударника п осколков экрана,-движу-
щихся с большими скоростями, а также разрывное разрушение
в условиях больших деформаций и откольное разрушение защи-
щаемого листа. Большие деформации и разрывное разрушение
рассматривались в рамках модели взрывного нагружения тонко-
стенной оболочки, а откольные явления — на модели двумерного
движения упруго-пластической среды.

При ударе о тонкий лист в частице (ударнике) в зависимо-
сти от условий соударения возникают различные процессы.
К таким условиям относятся скорость частицы, ее материал и
состав, угол соударения, прочностные свойства, а также толщина
тонкого листа (под тонким листом здесь по определению пони-
мается лист, толщина которого меньше или равна диаметру
ударника). Частица может быть заторможена листом, может
пройти сквозь лист практически неповрежденной или же ока-
заться после прохождения через него в раздробленном, рас-
плавленном или испаренном состояниях. Последние два случая
интересны с точки зрения бомбардировки мелкими метеорит-
ными осколками, поскольку их скорости достаточны для того,
чтобы они расплавились или испарились.

Если тонкий лист пробивается, то осколки ударника и экрана,
пройдя зазор между листами, ударяются о задний лист. При та-
ком ударе в заднем листе возникает и начинает распростра-
няться поперечная ударная волна. В зависимости от интенсив-
ности и структуры этой ударной волны в листе возможен внут-
ренний разрыв или откол, приводящий в некоторых случаях
к полному отрыву части вещества с задней поверхности листа.

Кроме того, при ударе осколков ударника и экрана задний
лист подвергается действию импульсной нагрузки. Она действует
в течение очень короткого времени (несколько микросекунд) и
сообщает второму листу некоторую скорость. Под влиянием этой
нагрузки лист может затем разрушиться в результате действия
растягивающих или сдвиговых напряжений.

Перечисленные явления будут детально изучены в настоящей
главе.

2.	ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ: ОДНОМЕРНЫЙ АНАЛИЗ

Рассмотрим прямой круговой цилиндр, длина которого равна
его диаметру. Цилиндр ударяется о тонкий экран с большой ско-
ростью. Приблизительная волновая картина вскоре после соуда-
рения схематически иллюстрируется на фиг. 4.1. От границы
раздела I в противоположных направлениях распространяются
ударные волны Si и 5г, причем в связи с ограниченностью диа-
метра ударника по направлению к оси симметрии движутся
волны разрежения и R2. Кроме того, образование этих волн
разрежения приводит к выбросу вещества ударника и экрана
в обратном направлении. Рассмотрим теперь картину движения
вскоре после отражения ударной волны S2 от нижней поверх-
ности экрана (фиг. 4.1,6). Согласно граничному условию нуле-
вого давления на свободной границе, необходимо, чтобы после
отражения ударной волны по веществу пошла волна разреже-
ния /?з. Результирующее распределение массовой скорости за
фронтом R3 таково, что профиль нижней поверхности экрана при-
обретает показанный на графике вид. По мере развития такого
процесса размеры выпучивания растут благодаря вовлечению
дополнительной массы вещества экрана и ударника.

С физической точки зрения образовавшиеся в связи с опре-
деленными граничными условиями волны разрежения Ri, R2,
Rs и Ri можно рассматривать как волны растяжения. Следова-
тельно, при этом может возникнуть трещина, если полное растя-
гивающее напряжение в какой-то точке ударника или экрана
превысит прочность на разрыв. Кроме того, возникшие, согласно
граничным условиям на новых границах трещины, волны
разрежения способны привести к дальнейшему образованию тре-
щин. Таким образом, весь процесс дробления ударника и тон-
кого экрана можно трактовать как многочисленные откольные
явления, инициируемые свободными границами. Следовательно,
значение экрана состоит в том, что он способствует дроблению

Фиг. 4.1. Приблизительная волновая картина в ударнике и экране вскоре
после удара (а) и отражения ударной волны от нижней поверхности
экрана (б).

ударника, разлету осколков в радиальном направлении и су-
щественному уменьшению скорости многих осколков до значе-
ний, меньших первоначальной скорости ударника.

ЭФФЕКТЫ УДАРНОГО НАГРЕВАНИЯ

Из фиг. 4.1 видно, что в процессе удара каждый элемент
ударника или экрана первоначально подвергается ударному
сжатию до некоторого давления и затем разгружается до дав-
ления окружающей среды в волнах разрежения. Этот процесс
схематически представлен в координатах давление — объем на
фиг. 4.2. Каждый элемент вещества с первоначальной плотно-
стью ро сжимается ударной волной до некоторого давления Рг
на кривой Гюгонио (между точками 1 и 2). Затем вещество
адиабатически разгружается до окружающих условий (точки
2—3) в волне разрежения. Первоначальный процесс ударного
сжатия неизоэнтропичен, в то время как процесс разгрузки про-
текает при постоянной энтропии. Таким образом, энтропия веще-
ства в процессе удара возрастает. Иными словами, элемент ве-
щества в конечном состоянии оказывается нагретым. Удельная
внутренняя энергия ег ударносжатого вещества равна площади
треугольника Pr(Vo—Уг)/2 (под штриховой линией на фиг.4.2),
а переходящая в работу расширения энергия вещества соответ-
ствует площади под адиабатой. Эта последняя площадь меньше
площади треугольника, а разность этих двух площадей пропор-
циональна остаточному нагреву элемента вещества. Ударные

Фиг. 4.2. Зависимость давления от объема.

волны малой интенсивности нагревают вещество, но оставляют
его в твердом состоянии. С ростом амплитуды ударной волны
приращение энтропии резко возрастает, что может привести
к плавлению вещества, перегреванию жидкости, испарению или
образованию перегретого пара в конечном состоянии.

Более полный анализ этих явлений провели Олшейкер и
Бьорк [1], а также Мак-Куин и Марш [2]. Эти исследователи
вычислили для ряда материалов значения давления в ударной
волне, необходимые для начала плавления, полного расплавле-
ния и испарения при разгрузке вещества до атмосферного дав-
ления. В табл. 4.1 приведены оценочные значения этих давлений
для рассматриваемых в данной работе материалов. Отметим,
что во многих случаях давления, достаточные для упоминав-
шихся переходов, не были достигнуты. К тому же сопутствующие
удар5' тепловые эффекты должны при малых скоростях усили-
ваться из-за действия вязкости.
Таблица 4.1

Эффекты ударного нагревания

Вещество	Температура, °C		Давление, ГПа		
	плавления	испарения	начала плавления	полного расплавления	испарения
Алюминий	660	2057	60	90	—
Железо	1535	3000	—	200	—
Золото	1063	2600	150	160	—
Кадмий	321	767	40	46	80
Магний	651	1107	—	—	—
Медь	1083	2336	140	>180	—
Никель	1445	2900	>150	—	—
Свинец	327	1620	30	35	100
Титан	1800	>3000	>100	—	—

Считается, что подобные тепловые эффекты существенны при
определении величины осколков в области выпучивания. Если
осколки остаются на конечной стадии в твердом состоянии, то
размер откольных кусков будет уменьшаться с ростом темпера-
туры из-за снижения прочности на разрыв. Если вещество рас-
плавилось, то для образования капель необходимо преодолеть
только силы поверхностного натяжения; эти силы, а значит, и
размеры капель будут уменьшаться при повышении температуры
жидкости. Наконец, при достаточно большом остаточном нагреве
разлетающееся вещество превратится в пар.

МАКСИМАЛЬНОЕ ДАВЛЕНИЕ ПРИ УДАРЕ

Течение между фронтами ударных волн Si и S2 остается од-
номерным вплоть до прихода волн разгрузки Ri и /?2. Состояние
материалов в этой области одномерности сразу после удара по-
казано на фиг. 4.3. На этом графике все скорости определяются
по отношению к системе координат, связанной с экраном. Ис-
пользуются следующие обозначения:

vq — скорость удара;

vi — массовая скорость между ударными фронтами;

Ut — скорость ударной волны Si в ударнике;

t/2 — скорость ударной волны S2 в экране;

Pi — давление в области между ударными фронтами;

ро — начальная плотность вещества ударника;

pi — плотность вещества ударника при давлении Р4;
qo — начальная плотность вещества экрана;

qt — плотность вещества экрана при давлении Рь

Можно показать, что использование законов сохранения по
нормали к фронту для каждой ударной волны и соотношений
неразрывности на контактном разрыве приводит к следующим
уравнениям:

р P°V° fl I Г РоО~(?о,?1>)
1 i-(₽o/pi) l 9°(1-(ро/₽,))



(4.1)

go(l —(PozPi))
Ро(1 — (?0/?1))

vp—(Pi'Po) t'i
(Pi/Po) — I

(4.2)

(4.3)



U — v<
2 •

(4.4)

Фиг. 4.3. Одномерная картина движения сразу после удара по экрану.

Для определения параметров в том или ином конкретном
случае необходимо знать уравнение ударной адиабаты для ма-
териалов ударника и экрана. Такие уравнения были найдены
экспериментально американскими [2, 3] и советскими исследо-
вателями [4, 5] для ряда материалов вплоть до давлений по-
рядка 200—500 ГПа. Для более высоких давлений можно вос-
пользоваться теоретическими соотношениями Уолша и Тиллот-
сона [6].

ВЛИЯНИЕ ТОЛЩИНЫ ЭКРАНА

На фиг. 4.1, б показаны условия, существующие после отра-
жения ударной волны и возникновения в экране волны разреже-
ния /?з. Течение в объеме, не охваченном волнами разрежения
Ra и /?2, остается одномерным и может быть представлено
в координатах время — расстояние (фиг. 4.4). Надо полагать,
что после отражения ударной волны S2 от нижней поверхности
экрана возникает центрированная волна разрежения /?з. Перед-
ний край этой волны разрежения движется со скоростью cqx
относительно вещества экрана (движущегося со скоростью Ui),
где есть адиабатическая скорость звука в веществе экрана
при давлении P,i. Кроме того, после прихода разгрузки на по-
верхность раздела образуются отраженная и проходящая волны.
Проходящая волна есть волна разрежения /?4, передний край ко-
торой движется со скоростью гР1 относительно вещества удар-

Ф иг. 4.4. Диаграмма в координатах время t — расстояние х, иллюстрирую-
щая взаимодействие волны разрежения от задней поверхности экрана с удар-
ным фронтом Si в ударнике.

ника, движущегося со скоростью vi. Здесь вновь гР1 означает
адиабатическую скорость звука в материале ударника при дав-
лении Pi. Можно заметить, что если ударник и экран сделаны
из одного и того же материала, то отраженной волны не обра-
зуется.

Если экран достаточно тонок, волна разрежения /?4 может
догнать и ослабить ударную волну в ударнике. Можно показать,
что передний край волны разрежения догоняет ударный фронт
в точке ударника, задаваемой соотношением

4-==

Cqt 4~ U2	vj	+ Vp

cb-u'~vl % и*

(4.5)

где I измеряется от передней поверхности несжатого ударника
(имеющего длину L), a W = (вес экрана на единицу пло-
щади)/(вес ударника на единицу площади).
Для определения отношения 1/L по уравнению (4.5) необ-
ходимо знать соответствующие значения адиабатической ско-
рости звука ср и cq в обоих материалах. Если известны урав-
нения состояния материалов, то скорость звука можно найти
по соотношению с2= (дР1др)ь, где индекс S означает дифферен-
цирование при постоянной энтропии. К сожалению, даже для
многих материалов с известными адиабатами Гюгонио уравне-
ния состояния не получены. Тем не менее советские исследова-
тели [7] измерили значения с для ряда материалов и показали,
что в металлах до 500 ГПа хорошее приближение для адиаба-
тической скорости звука за фронтом ударной волны с давле-
нием Р выражается формулой

cP=D {0,49+ [(£> - -и)/.О]2)'/г,	(4.6)

где D есть скорость ударной волны, соответствующая давле-
нию Р, a и— массовая скорость за ударным фронтом. В этом
уравнении все скорости должны измеряться относительно ис-
ходного материала, считающегося неподвижным. Так, в коорди-
натах фиг. 4.3 £> = 4/2, v = vi для вещества экрана, a D = Ui + v^
и и = Ро — Vi для вещества ударника.

Если в том или ином конкретном случае из уравнения (4.5)
следует, что I оказывается меньше длины ударника L, то волна
разрежения /?4 ослабляет ударный фронт в ударнике. Для слу-
чая соударения близких по свойствам материалов в одномерном
приближении Фаулс [8] предложил метод, который годится
для определения ослабления ударной волны Si центрированной
волной разрежения /?3. В этом методе материалы считаются
идеальными сжимаемыми жидкостями, а энтропия принимается
постоянной по всему веществу, включая ударный переход. Это
рассмотрение справедливо вдоль оси симметрии лишь до мо-
мента догона ударного фронта Si цилиндрической волной разре-
жения Ri (фиг. 4.1). Можно показать, что это происходит
в точке ударника с координатой Zi = 0,72d, где Zi измеряется от
переднего торца первоначально несжатого ударника, a d— диа-
метр ударника. Для ударника с L/d=l ошибка при подобном
одномерном анализе должна быть, по-видимому, незначитель-
ной.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ

Чтобы подтвердить изложенный выше теоретический анализ,
в лабораториях фирмы «Дженерал моторе» был проведен для
проверки теории ряд опытов на легкогазовых пушках. Резуль-
таты этих экспериментов излагаются ниже с показом того, в ка-
ком объеме они подтверждают или опровергают теоретический
анализ.
Роль эффектов ударного нагревания. В качестве материалов
для экрана были выбраны кадмий, медь и никель, так как они
имеют почти одинаковую плотность, но сильно различаются по
тепловым свойствам. Во всех случаях в качестве защищаемой
мишени брались пластинки (из алюминиевого сплава 2024-Т31})
толщиной 6,35 мм, располагавшиеся на расстоянии 50,8 мм за

Фиг. 4.5. Влияние температуры плавления экрана.

Вид мишеней спереди. Толщина экранов 1,016 мм; промежуток 50,8 мм; задний лист
толщиной 6,35 мм из алюминиевого сплава 2024-ТЗ.

экраном. Толщина экрана была во всех испытаниях постоянной
и равной 1,016 мм.

Первая серия испытаний была проведена с алюминиевыми
шариками диаметром 6,35 мм, метаемыми со скоростью 4,16 км/с.
Снимки мишеней после этих испытаний помещены на фиг. 4,5

Сплав системы А1—Си (45%)—Mg (1,5%)—Мп (0,6%), по свойствам
близкий к дуралюмину Д1. ТЗ означает состояние после естественного ста-
рения.— Прим. ред.
и 4.6. Приведенные в табл. 4.1 и 4.2 данные помогают осмыслить
эти результаты. Фронтальное повреждение мишеней убывает
в следующем порядке: никель, медь, кадмий. Это показывает,
что максимальное давление при скорости 4,16 км/с оказывается
достаточным лишь для расплавления осколков экрана из кад-
мия, а медные и никелевые осколки не расплавляются. Благо-

Никель	Медъ	Кадмий

Ф и г. 4.6. Влияние температуры плавления экрана.

Вид мишеней сзади. Толщина экранов 1,016 мм; промежуток 50,8 мм; задний лист
толщиной 6,35 мм из алюминиевого сплава 2024-ТЗ.

даря этому фронтальное повреждение мишени с кадмиевым эк-
раном существенно меньше. Это обусловлено крайне малыми
размерами расплавленных частиц кадмия, в то время как в слу-
чае медных и никелевых экранов более крупные твердые ос-
колки приводят к значительному фронтальному повреждению
мишеней. Приведенные на фиг. 4.7 рентгеновские фотографии
иллюстрируют осколочный характер разбрасываемого вещества
медного и никелевого экранов. Безусловно, во всех испытаниях
осколки алюминиевого ударника также повреждали заднюю
мишень; однако значения давления при ударе для этих трех ма-
териалов экрана таковы, что наименьшего повреждения следо-
вало ожидать от никеля, затем от меди и наибольшего — от
кадмия. Таким образом, разный характер повреждений мише-
ней (фиг: 4.5 и 4.6) следует приписать непосредственно измене-
нию состояния осколков экрана.

Фиг. 4.7. Рентгеновские фотографии соударений алюминиевого и стального
шариков с экранами толщиной 1,016 мм из никеля, меди и кадмия.

Таблица 4.2

Характеристики удара для кадмия, меди и никеля

Материал ударника	Скорость, км/с	Материал экрана	Давление, ГПа
Алюминий	4,2	Кадмий	67
		Медь	72
		Никель	75
	7,3	Кадмий	150
		Медь	157
		Никель	167
Сталь	7,1	Кадмий	260
		Медь	290
		Никель	305
Во второй серии опытов алюминиевые шарики диаметром
6,35 мм метали со скоростью 7,31 км/с. Как показывает табл. 4.2,.
достигавшиеся в этих испытаниях максимальные давления со-
ударения достаточны для полного расплавления осколков алю-
миниевого ударника. Более того, они достаточны для испарения
кадмия и могут вызвать начальное плавление меди. Мишени
(вторые ряды на фиг. 4.5 и 4.6), по-видимому, подтверждают эти
теоретические предсказания. Например, «брызги» алюминия мо-
жно видеть на всех трех мишенях. Кроме того, фронтальное
повреждение мишени с кадмиевым экраном почти пренебре-
жимо мало, в то время как наличие выбоин на мишени с нике-
левым экраном заставляет предположить, что осколки никеля
при ударе не расплавились. Рентгеновская фотография кадмие-
вого экрана (фиг. 4.7) убедительно показала, что разбрасывае-
мое вещество находится в иных состояниях, чем твердые ос-
колки.

В опытах третьей серии максимальные давления при ударе
(табл. 4.2) были даже больше, чем в первых двух сериях. В этих
опытах стальные шарики диаметром 3,20 мм разгонялись до
скорости 7,06 км/с. Фотографии мишеней помещены в нижних
рядах на фиг. 4.5 и 4.6, а соответствующие рентгеновские
снимки — в нижнем ряду на фиг. 4.7. Опять кадмиевый экран
оказался наилучшим, но в данном случае и медь сжимается до
давления, обеспечивающего расплавление осколков, так что
кадмиевый и медный экраны обнаружили почти одинаковую эф-
фективность. Вместе с тем вид мишени и рентгеновская фото-
графия в случае никелевого экрана свидетельствуют о том, что
осколки экрана все еще остаются в твердом состоянии. По рент-
геновскому снимку в случае кадмиевого экрана трудно разли-
чить какие-либо отдельные частицы в разлетающемся веществе.

Надо подчеркнуть два интересных момента в результатах
этих всех опытов. Во-первых, осколки как ударника, так и эк-
рана вызывают повреждение расположенной сзади мишени.
Осколки экрана могут быть особенно опасны, поскольку значи-
тельная их доля летит со скоростью, близкой к первоначальной
скорости соударения. В связи с этим большое значение для опре-
деления глубины проникновения в мишень имеет физическое со-
стояние осколков экрана. Во-вторых, как можно судить по виду
задней поверхности мишеней (фиг. 4.6), приводящая к отколу
нагрузка почти не зависит от физического состояния разбрасы-
ваемого вещества.

Размер пробоины в экране. Во всех опытах, выполненных
в данной работе, приводились измерения диаметра пробоины
в экране. Наиболее показательные результаты были получены
в серии опытов по исследованию влияния скорости. Результаты
этой серии опытов представлены на фиг. 4.8.
Из этого графика видно, что для экрана заданной толщины
диаметр пробоины D приближенно представляется линейной
функцией скорости. Как показали дальнейшие исследования, со-
отношение

D/d=0,45i>(/fM)2/3+0,90,	(4.7)

где v — скорость соударения (км/с), D — диаметр пробоины и
d — диаметр ударника, обеспечивает очень хорошее согласие
экспериментальных данных с прогнозируемыми результатами,
как это видно из фиг. 4.8.

Фиг. 4.8. Размеры пробоины в экране для алюминиевых ударников и экранов.

Экспериментальные точки для алюминиевых шариков диаметром 3,2 мм и экранов из
алюминиевого сплава 2024-ТЗ; сплошные линии построены по теоретическому соотно-
шению (4.7).

Оказалось, что соотношение (4.7) очень хорошо согласуется
с экспериментальными данными по размерам пробоин, получен-
ными в опытах с разными материалами экрана и ударника. Эти
опыты в соответствии с соотношением (4.7) показали, что диа-
метр пробоины при заданной скорости практически не зависит
от материала экрана и зависит приблизительно только от тол-
щины экрана.

3.	ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ: ДВУМЕРНЫЙ
АНАЛИЗ

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ УДАРНИКА С ЭКРАНОМ

В предшествующем разделе был проведен упрощенный одно-
мерный анализ взаимодействия ударника с экраном. В ходе
этого анализа, так же как и в работе Сэндорфа [9], были рас-
смотрены соударение прямого кругового цилиндра с тонким ли-
стом и одномерная ударноволновая структура, которая возни-
кает вдоль линии, соединяющей центры ударника и экрана. Как
оказалось, волны разрежения от наружной поверхности цилин-
дра догоняют ударный фронт в цилиндре на расстоянии от гра-
ницы раздела, равном 0,72 диаметра. Ударная волна отражается
от задней поверхности экрана в виде волны разрежения и в за-
висимости от толщины экрана может догнать ударный фронт
в ударнике. Оба рассмотрения приводят к выводу, что в резуль-
тате снятия высокого давления происходит разрушение удар-
ника.

Одномерный анализ позволяет также определить оптималь-
ную толщину экрана на основе требования, о том чтобы ампли-
туда ударной волны на центральной линии оказалась достаточ-
ной для расплавления или испарения материала ударника после
разгрузки. Этот критерий оптимальной толщины экрана обеспе-
чивает минимальное повреждение второго листа. Кроме того,
по этому критерию, толщину экрана надо уменьшать с увели-
чением скорости соударения.

Сэндорф [9] предложил критерий для определения опти-
мальной толщины экрана, основанный на требовании, чтобы
волна разрежения от задней поверхности экрана не могла до-
гнать ударный фронт на всей длине ударника. Этот критерий
приводит к необходимости делать экран тем толще, чем выше
скорость.

Оба эти критерия основаны на несколько искусственном тре-
бовании, чтобы проникающие сквозь экран осколки находились
в каком-либо определенном состоянии, и ничего не говорят о рас-
пределении осколков. Сэндорф требует, чтобы ударник подвер-
гался максимально возможному ударному сжатию, тогда как
по второму критерию требуется лишь ударное сжатие, доста-
точное для расплавления или испарения ударника. Ни один из
этих двух критериев не может точно предсказать поведение
второго листа: они обеспечивают лишь минимальное его по-
вреждение.

Аккуратная оценка эффективности экрана должна учитывать
дробление и деформационное разрушение второго листа. Оче-
видно, чтобы экран был эффективен, он должен по меньшей
мере либо обеспечить дробление ударяющей частицы на мелкие
осколки, либо привести к ее расплавлению или испарению,
чтобы предотвратить, существенное повреждение второго
листа.

Для точного описания состояния осколков, проникающих
сквозь экран, необходимо знать полную картину изменения во
времени давления в ударнике и экране. Этого можно достигнуть
лишь с помощью конечно-разностного расчета на быстродейст-
вующих вычислительных машинах. Высокоскоростной удар по
тонким листам рассматривался в этом плане Бьорком [10], Рини
и Хейдой [11], а также Уолшем и Джонсоном [12]. Бьорк, Рини
и Хейда следовали расчетной схеме «частицы в ячейках», а Уолш
и Джонсон проводили расчет в эйлеровых координатах. Послед-
ние представляли результаты расчета в виде зависимости плот-
ности, скорости и импульса на оси от профилей по углу раз-
лета. Как показывают результаты, с утолщением листа угол
разлета осколков возрастает, а импульс в единичном фиксиро-
ванном угле убывает.

В этих гидродинамических по своей природе рассмотрениях
никак не учитывается прочность материала экрана. В случае
тонких листов такое рассмотрение надо считать достаточно точ-
ным для изучавшихся материалов (например, в случае оскол-
ков, проникающих на большой скорости сквозь экран), которые
подвергаются воздействию давления, во много раз превышаю-
щего их прочность. При соударениях в диапазоне метеоритных
скоростей можно ожидать, что осколки окажутся расплавлен-
ными или испаренными. В этом случае прочность экрана сущест-
венно влияет на размеры образующейся пробоины. Ударная
волна в экране вне области контакта с ударником очень быстро
затухает из-за близкого расположения свободных поверхностей
экрана, причем из этой области с существенной скоростью выбра-
сывается очень малое количество вещества. Поэтому гидродина-
мический подход может обеспечить хорошее описание горячих
осколков, ударяющихся с большой скоростью по второму листу,
а небольшое число летящих с малой скоростью разрозненных
осколков экрана можно, вообще говоря, не учитывать.

Таким образом, необходимо было охарактеризовать состоя-
ние осколков, проникающих сквозь экран, через распределение
импульса и профилей плотности и скоростей. С этой целью была
использована разработанная Тиллотсоном двумерная гидроди-
намическая схема CAMEO. Это численная схема в эйлеровых
координатах, подобная использовавшейся Уолшем и Джонсоном
[12]. В этой схеме система сеток или ячеек фиксируется в про-
странстве и сквозь нее непрерывно течет рассматриваемое ве-
щество. Поскольку рассматриваются задачи о нормальном со-
ударении осесимметричных частиц, то наиболее подходящими
являются цилиндрические координаты. Ячейки имеют тороидаль-
ную форму с прямоугольным поперечным сечением, причем
объем ячейки тем больше, чем дальше она отстоит от оси сим-
метрии. Эта схема описана Уолшем и Джонсоном [12].

Такое рассмотрение имеет некоторые ограничения. Поскольку
вещество движется непрерывным образом, невозможно следить
за положением границы раздела между ударником и экраном.
В связи с этим можно рассматривать лишь соударение в случае
одинаковых материалов.
Вместе с тем проявляется тенденция к «размазыванию» или
распылению материала и к усреднению плотности, скоростей и
внутренней энергии. Окончание счета устанавливалось произ-
вольным образом после того, как импульс прошедшего сквозь
экран вещества достигал максимума и кинетическая энергия ста-
новилась пиковой. К этому времени разлетающееся вещество
представляло собой «систему» с очень низким давлением и
больше неизменяющимся во времени распределением импульса.

Результаты расчета по схеме CAMEO имеют прямую мас-
штабность, т. е. одинаковые изменения масштаба линейных раз-
меров и времени не изменяют результатов [12]. Но, как оказа-

Ф и г. 4.9. Рассчитанное изменение компонент импульса во времени для алю-
миниевого цилиндра массой 0,045 г при скорости 7,2 км/с и отношении
fs/d = 0,30.

о CAMEO 5; □ CAMEO 6.

лось, если задача с самого начала ставится для малых масс,
то круговая (суммарная) ошибка расчета на ЭВМ приводит к от-
носительно большим ошибкам по массе, импульсу и энергии.
Чтобы избежать ошибок подобного рода расчет проводился для
ударников и экранов увеличенного масштаба. Таким образом,
расчет проводился для алюминиевых цилиндров и шариков мас-
сой около 45 г, алюминиевых стержней массой 205 г и кадмие-
вых шариков массой 146 г. При таких значениях массы ошибка
в величине энергии была порядка 1%.

При проверочных расчетах по схеме CAMEO, проводившихся
для минимизации ошибок вышеуказанного типа и определения
влияния размера ячеек на результаты расчета, было установ-
лено, что уменьшение размеров ячеек, т. е. более мелкое разбие-
ние, уменьшает величину ошибок. Более крупное разбиение при-
водит к утрате деталей движения, но более крупные явления
характеризуются теми же значениями параметров. На фиг. 4.9
приведены зависимости от времени полного осевого и полного
радиального импульсов осколков для задач CAMEO 5 и 6.
В задаче CAMEO 6 разбиение было в 3 раза более мелким, чем
в CAMEO 5, т. е. ударник в задаче 6 содержал в 9 раз больше
ячеек, чем в САМЁО 5, а экран в CAMEO 6 имел 9 ячеек в тол-
щину, а в САМЕО 5 — соответственно 3 ячейки. Как видно из
этого графика, первоначально значения импульсов различаются,
но затем очень быстро сближаются, хотя, возможно, со сдвигом
во времени.

Значения суммарной кинетической энергии, как это видно на
фиг. 4.10, тоже быстро сближаются и опять с задержкой во вре-

Времл, мкс

Фиг. 4.10. Рассчитанное изменение энергии разлетающегося вещества во вре-
мени для алюминиевого цилиндра массой 0,045 г при скорости 7,2 км/с и отно-
шении /3/*/=О,ЗО.

О САМЕО 5; □ САМЕО 6.

мени. Результаты этих пробных расчетов позволили сделать вы-
вод о том, что хотя крупное разбиение и ухудшает точность по
времени, но оно практически не влияет на суммарные крупно-
масштабные эффекты.

На основе этих пробных расчетов было решено проводить
начальную по времени стадию расчета при как можно более
мелком разбиении. Это решение находилось в противоречии с ог-
раниченностью числа ячеек в связи с недостаточным объемом
внутренней машинной памяти, а возможности привлечь вспомо-
гательную систему памяти не было. Данную трудность можно
было преодолеть двояким путем: либо проведением вторичного
разбиения на некоторой стадии расчета (например, свернуть п2
ячеек в п ячеек), либо увеличением размера ячеек при увели-
чении расстояния от области соударения.
Было решено, что из-за большой степени расширения разле-
тающегося вещества и малого взаимодействия осколков в пред-
ставляющих интерес случаях, а также в связи с возникающими
при повторном разбиении трудностями в совместном выполнении
условий сохранения импульса и энергии предпочтительнее уве-
личивать размер ячеек с увеличением расстояния от точки со-
ударения. Типичная процедура разбиения подобного рода отра-
жена на фиг. 4.11. Как видно из этого графика, ячейки одина-
ковы по объему в области, окружающей точку соударения, и
к тому же имеют квадратное сечение. На больших расстояниях
от области соударения ячейки увеличиваются в размерах и ста-

Ударник

новятся прямоугольными в сечении. Показанная на фиг. 4.11
процедура разбиения использовалась в задачах CAMEO 7—10.
Сходные схемы применялись также и во всех других расчетах
CAMEO.

Ряд расчетов CAMEO сравнивали с экспериментом для про-
верки точности результатов вычислений. Результаты расчетов
для задач CAMEO 4 и 19 наряду с экспериментальными дан-
ными о зависимости суммарного осевого импульса от тангенса
полуугла разлета представлены на фиг. 4.12 и 4.13. Эксперимен-
тальные точки были получены с помощью двойного баллистиче-
ского памятника, показанного на фиг. 4.14. Экран укрепляли на
системе подвески маятников, а второй лист, разделенный на две
части, размещали на двух маятниках. Осколки ударника и эк-
рана ударяли по второму листу и передавали свой импульс маят-
никам. Движение маятников отмечалось неоновыми лампочками,
укрепленными на маятниках. Эти лампочки вспыхивали с опре-
деленной постоянной частотой и экспонировали пленку
в стационарном фоторегистраторе. Получаемая таким образом
запись позволяет определить отклонение маятника в зависимости

Ф и г. 4.12. Данные об изменении импульса в зависимости от полуугла разлета
(удар алюминий—алюминий) для алюминиевых шариков диаметром 3.18 мм
и экрана из алюминия 1100-0 при скорости и=7,2 км/с и отношении fs/d=0,2.

О CAMEO 4* 1,32; □ эксперимент; △ CAMEO 4.

Фиг. 4.13. Данные об изменении импульса в зависимости от полуугла разлета
(удар кадмий—кадмий) для кадмиевых шариков диаметром 3,18 мм и экрана
из кадмия при отношении /s/d = 0,2.

О эксперимент при и=5,61 км/с; □ CAMEO 19 • 1,25; △ CAMEO 19 • 1,31 мкс.

от времени. Типичная запись для опытов с двойным маятником
приведена на фиг. 4.15 вместе с разделенным вторым листом.
Фиг. 4.14. Фотография (а) и схема (б) двойного баллистического маятника.
Внутренний сегмент

Внешний ее&мент

Внутр в ш ши мая тиин

Фиг. 4.15. Разделенная мишень (а) и фоторегистрация движения маятни-
ков (б).
Важно отметить, что импульс, измеряемый с помощью бал-
листического маятника, представляет собой импульс, передан-
ный листу при ударе осколками, а не импульс самих осколков.
При расчете CAMEO определяется импульс осколков, а полный
осевой импульс приблизительно равен первоначальному им-
пульсу ударника. Осколки могут отражаться после удара по
второму листу, что приведет к увеличению импульса, приобре-
таемого вторым листом. Если осколки полностью испарены и
претерпевают чисто упругое соударение со вторым листом, то
он приобретает импульс, вдвое больший импульса осколков. Экс-
перименты со скоростями соударения до 8 км/с показали увели-
чение импульса до 1,5 раза по сравнению с импульсом ударника.

Таким образом, проведенное на фиг. 4.12 и 4.13 сравнение
нуждается в поправке на прирост импульса при отражении от
маятника. На фиг. 4.12 приведены результаты расчета CAMEO
(треугольники) вместе с результатами расчета, умноженными
на экспериментально определенный поправочный коэффициент
(кружки). Согласие теории с экспериментом надо признать до-
вольно хорошим, так как две экспериментальные точки откло-
няются менее чем на 15% от расчетных, а точка при малом
угле — менее чем на 25%. Соответствующая самому малому
углу экспериментальная точка хуже всего определена по вели-
чине угла, вследствие чего здесь можно ожидать самой боль-
шой ошибки. Не исключено, что значение импульса в этой точке
занижено.

На фиг. 4.13 приведены результаты сравнения распределений
импульса для соударения кадмий — кадмий. Кадмий, обладаю-
щий сравнительно низкими температурами плавления и паро-
образования (320 и 767° С) и имеющий малую скорость звука
и низкую прочность лучше описывается гидродинамическим рас-
четом по схеме CAMEO, чем алюминий при осуществлявшихся
в эксперименте скоростях соударения. При таких условиях со-
ударения все осколки должны быть в испаренном состоянии. На
этом графике расчетное распределение импульса подогнано
к экспериментально определенному полному импульсу, так что
значения при а = 2 совпадают. Точки при меньших же значениях
а согласуются довольно хорошо.

Дальнейшая проверка расчетов по схеме CAMEO проводи-
лась путем изучения удара стержнями. Объектом сравнения
служила предсказанная величина разрушившейся, или «исполь-
зованной», части стержня при его прохождении сквозь тонкий
лист. Поскольку гидродинамический расчет не учитывает проч-
ностные эффекты и явление разрушения материала, то пред-
стояло установить критерий для определения текучести и разру-
шения. В качестве такого критерия было выбрано «пороговое»
давление: считалось, что материал под действием запорогового
давления должен разрушиться. Такое приближение пренебре-
гает формой профиля давления, которая может оказывать су-
щественное влияние на разрушение. В случае соударения стер-
жня с тонким листом можно ожидать, однако, что ударный про-
филь, или импульс давления, будет достаточно острым (корот-
ким по времени) и в стержне, и в тонком листе из-за близости
свободных поверхностей. Ударные волны отражаются от этих
свободных поверхностей в виде волн разрежения, которые бы-
стро догоняют ушедший вперед ударный фронт.

Рассматривались два случая: 1) соударение (со скоростью
5 км/с) стержня длиной, равной трем его диаметрам, с тонким
листом, толщина которого равна половине диаметра стержня;
2) соударение (со скоростью 5 км/с) стержня длиной, равной
10 диаметрам, с листом, толщина которого составляла 0,76 диа-
метра стержня.

Считалось, что стержни и листы состоят из алюминиевого
сплава 2024-ТЗ. Первый шаг состоял в использовании диаметра
пробоины, образующейся в листе с ts/d = 0,5 для определения
«срезающего» давления. На основе изучения вида ячеек на гра-
нице пробоины в экране было принято, что величина «срезаю-
щего» давления лежит между 4,0 и 5,5 ГПа. С использованием
этих значений давления для определения величины разрушен-
ного стержня по результатам расчета САМЕО предсказывалась
длина стержня, оставшегося после соударения. Согласно рас-
чету, остаточной длины стержня Lr к его первоначальной длине
L должно составлять 0,536—0,584. Экспериментальная величина
этого отношения, найденная с помощью рентгеновской импульс-
ной съемки, оказалась равной 0,54.

Во втором случае предсказанное по расчету САМЕО отноше-
ние диаметра пробоины D к диаметру стержня d заключалось
между 2,66 и 2,84 при действительном его значении 2,75. Рас-
четные значения отношения Lr/L лежали в данном случае в ин-
тервале от 0,857 до 0,865, а экспериментально найденное отно-
шение было равно 0,84.

Отличная согласованность предсказываемых по результатам
расчета САМЕО величин с экспериментально определенными
значениями параметров для соударения стержней с тонкими ли-
стами, а также результаты сравнения величин импульса свиде-
тельствуют о высокой степени надежности при использовании
схемы СА/МЕО для расчета соударений с тонкими листами.

Прежде чем приступать к выполнению расчетов на основе
экспериментальных данных, предстояло удостовериться в том,
что окончание расчета по достижении максимальных значений
осевой компоненты импульса и кинетической энергии не приво-
дит к недостаточной определенности движения в более поздние
времена. Изучение характера распределения осевой компоненты
импульса разбрасываемого вещества в разные моменты вре-
мени показало, что после такого окончания расчета мало что ме-
няется.

В завершение был исследован вопрос об эквивалентности
соударений с цилиндрами и шарами. Были проведены расчеты
для алюминиевых сферических ударников, по массе равных ци-
линдрическим ударникам. Сферические ударники не имели точ-
ной сферической формы, а были результатом ее аппроксимации
упоминавшимися раньше тороидальными ячейками. Шары имели
существенно больший характерный диаметр, чем цилиндры той
же массы.

Фиг. 4.16. Изменение внутренней энергии разлетающегося вещества в зави-
симости от времени для цилиндра и шара.

Ударники из алюминия массой 0,045 г, ударяющие со скоростью 7,2 км/с по алюминиевым
экранам толщиной 0,83 мм.

Фиг. 4.16 характеризует соударения с алюминиевыми цилин-
дром и шаром одинаковой массы по изменению полной внутрен-
ней энергии разлетающегося вещества, проникшего сквозь эк-
ран, в зависимости от времени. Легко видеть, что проникшая
сквозь экран внутренняя энергия в случае цилиндра в любой
момент времени больше, чем для сферы. Изменение во времени
значений внутренней энергии имеет сходный характер, но в слу-
чае шара кривая проходит с запаздыванием по времени около
0,055 мкс по сравнению с кривой для цилиндра. На фиг. 4.17
приведены кривые распределения кинетической энергии для тех
же соударений, имеющие такой же характер, как и в случае
внутренней энергии, и с тем же сдвигом во времени. Приблизи-
тельно через 0,15 мкс отношение внутренней энергии к кинетиче-
ской становится постоянным, что свидетельствует о неизменности
состояния прошедшего сквозь экран разлетающегося вещества
с этого момента времени.

Распределение импульса для соударений с цилиндром и ша-
ром равной массы при скорости 30 км/с (фиг. 4.18) свидетель-
ствует о том, что на довольно поздней стадии разница между
ними очень мала. Сравнение кинетической и внутренней энергии
разлетающегося вещества показывает, что к этому времени
значения кинетической энергии различаются не более чем на 1%,
а внутренняя энергия для шара на 9% больше, чем для ци-
линдра. Масса разлетающегося вещества в случае шара тоже
больше приблизительно на 9%. Отсюда следует, что при соуда-

Ф и г. 4.17. Изменение кинетической энергии разлетающегося вещества в за-
висимости от времени для цилиндра и шара.

Ударники из алюминия массой 0,045 г, ударяющие со скоростью 7,2 км/с по алюминиевым
экранам толщиной 0,83 мм.

рении с шаром выбрасывается больше вещества экрана, но его
энергия является преимущественно внутренней. На фиг. 4.19 при-
ведены распределения вдоль оси плотности и скорости. По-
скольку вывод на печать результатов расчета производится не
на каждом цикле вычислений, то времена и расстояния пролета
от задней поверхности экрана не совпадают. Отметим, что кривые
распределения плотности и скорости имеют в основных чертах
одинаковую форму для большей части разлетающегося веще-
ства. Когда вещество, разлетающееся при ударе шара, дости-
гает той же точки, что и вещество в случае цилиндра, их макси-
мальные плотности почти одинаковы из-за дальнейшего расши-
рения разлетающегося вещества. (Этот вывод сделан на основе
анализа более поздних выводов на печать и интерполяции.) По-
скольку именно импульс определяет степень повреждения вто-
рого листа, по-видимому, безразлично, какую форму имеет удар-
ник (сферическую или цилиндрическую).

Фиг. 4.18. Изменение импульса в зависимости от а при ударе цилиндра
(□ , /=0,414 мкс, /s/d = 0,20) и шара (О, /=0,413 мкс, /s/t/=0,228) из алю-
миния массой 0,045 г со скоростью 30 км/с по алюминиевому экрану.

Фиг. 4.19. Распределение вдоль оси плотности и скорости разлетающегося
вещества при ударе цилиндра (а) и шара (б) из алюминия массой 0.045 г со
скоростью 30 км/с по алюминиевому экрану толщиной 0,635 мм.

а — CAMEO 8, /=0,485 мкс; б — CAMEO 17, /=0,414 мкс.

Были проведены расчеты для трех случаев соударения:

1) алюминиевого цилиндра с одним и тем же экраном при
разных скоростях; 2) алюминиевого цилиндра с экранами разной
толщины при одной и той же скорости; 3) кадмиевых шаров
с кадмиевыми экранами разной толщины при одной и той же
скорости.

Результаты расчетов для первого случая показывают, что
импульс проявляет тенденцию к сосредоточению в области боль-
ших полууглов при скоростях до 22,5 км/с. При более высоких
скоростях для заданной толщины экрана импульс снова начи-
нает сосредоточиваться у оси. С ростом скорости соударения осе-
вая составляющая скорости разлетающегося вещества прямо
связана со скоростью соударения, в то время как для радиаль-
ной скорости прямой связи нет. В итоге вещество больше кон-
центрируется в области меньших полууглов. Ни в одном из рас-
сматривавшихся случаев выхода заметной части импульса за
пределы а = 1 (0 = 45°) не отмечалось.

В расчетах для второго случая рассматривались соударения
алюминий—алюминий на скорости 30 км/с при толщине эк-
ранов, изменявшейся в пределах от 0,1 lid до l,000d (d—диа-
метр ударника). Как оказалось, полная величина импульса воз-
растает с утолщением экрана, причем такое превышение дости-
гает 44% для максимальной толщины экрана. Это нарастание
импульса разлетающегося вещества обусловлено уносом веще-
ства с передней поверхности экрана, а количество захватывае-
мого вещества связано с толщиной экрана или размером про-
боины в экране. С утолщением экрана полная осевая составляю-
щая импульса возрастает, а плотность импульса у оси (при
малых углах) убывает. В итоге импульсная нагрузка на единичную
площадь снижается. Импульсная нагрузка при tsld = Q$ явля-
ется почти однородной до а^0,7, а при /s/d= 1,0 концентрация
нагрузки вблизи а = 0,7 выше, чем в центре нагружаемой обла-
сти. И опять почти весь импульс содержится внутри полуугла
45° (а =1,0).

На фиг. 4.20 показаны распределения вдоль оси плотности и
скорости разлетающегося вещества при ударах цилиндрических
ударников о экраны двух толщин (t8/d равны 0,111 и 1,0). Даже
если допустить возможность дальнейшего расширения разбра-
сываемого вещества при соударении с тонким экраном, то
все же максимальная плотность остается почти в 10 раз выше,
чем в случае толстого экрана. Конечный результат сводится
к тому, что в случае тонкого экрана на второй лист действует
более мощный и кратковременный импульс давления от разле-
тающегося вещества.

В заключение были рассмотрены соударения кадмий—кадмий
на скорости 6 км/с. При этом снова варьировали толщину эк-
рана. Полученные в ходе этих расчетов данные о распределении
осевой компоненты импульса оказались в общих чертах такими
же, как и при высокоскоростных соударениях ударников и ми-
шеней из алюминия. С утолщением экрана импульс более эффею
тивно распределяется на большие полууглы.

Эти расчеты позволяют выдвинуть ряд соображений о реак-
ции второго листа тонкослойной конструкции. Результаты рас-
чета соударений алюминий — алюминий были использованы для
оценки сопротивления таких конструкций бомбардировке ме-
теоритными частицами. Как уже отмечалось, ожидаемая плот-
ность метеорита имеет порядок 0,5 г/см3. Удары частиц малой
плотности из пластика и алюминия рассматривались Уолшем и

Ф II г. 4.20. Распределение вдоль оси плотности и скорости разлетающегося
вещества при ударе алюминиевых цилиндров массой 0,045 г со скоростью
30 км/с по экранам двух толщин

a — tJd=\,O, САМЕО 14, Г-1,11 мкс; б — Г/d-O.lll, САМЕО 11, / = 0,498 мкс

Джонсоном [12], а также Вагнером и др. [13]. Их результаты
свидетельствуют о гораздо более высоком нагреве ударника
для малых плотностей и более низких давлений во всех случаях.

Приведенные здесь результаты расчета соударений алюминия
с алюминием показывают, что разлетающееся вещество оказы-
вается полностью испаренным при скорости соударения 30 км/с
и выше. Один расчет соударения был проведен для ударника
пониженной плотности (расширившиеся пары алюминия с плот-
ностью 0,483 г/см3, равной 0,179 нормальной плотности алюми-
ния). Рассматривалось соударение такого ударника на скорости
30 км/с с экраном толщиной 0,635 мм. Ударник имел такуф же
массу, как уже рассматривавшиеся алюминиевые цилиндры нор-
мальной плотности. Изменена же была лишь плотность удар-
ника. Первое различие результатов состоит в том, что
максимальное давление соударения в случае пониженной плот-
ности составляет 0,2 ТПа по сравнению с 1,0 ТПа для ударника
нормальной плотности. Приблизительно через 0,4 мкс кинетиче-
ская энергия разлетающегося вещества сравнима со случаем ма-
лой плотности, когда кинетическая энергия составляет около 90%
соответствующего значения для соударения с ударником нор-
мальной плотности. Внутренняя энергия, однако, оказывается
в разлетающемся веществе при соударении с ударником малой
плотности в три раза большей. На фиг. 4.21 сопоставляются

Фиг. 4.21. Изменение импульса в зависимости от а для соударений алюми-
ний—алюминий при разных плотностях ударника (алюминиевый цилиндр
налетает со скоростью 30 км/с на алюминиевый экран толщиной 0,635 мм).

Оро=2,70 г/см3, /=0,413 мкс; О ро=О,483 г/см3, /=0,423 мкс.

кривые распределения импульса к этому моменту времени. Не-
смотря на то, что масса разлетающегося вещества в случае
ударника малой плотности в 1,4 раза больше, чем для ударника
нормальной плотности, по полной осевой компоненте импульса
эти ударники почти не отличаются друг от друга. Это означает,
что осевая скорость разлетающегося вещества в случае удар-
ника малой плотности меньше, чем для ударника нормальной
плотности. В обоих случаях разлетающееся вещество должно
состоять преимущественно из паров.

РАЗРУШЕНИЕ ВТОРОГО ЛИСТА ПРИ БОЛЬШИХ ДЕФОРМАЦИЯХ

На фиг. 4.22 приведены результаты покадровой съемки раз-
рушения тонколистовой мишени высокоскоростным фоторегист-

1 ТПа (терапаскаль) = 1012 Па.
ратором. Задний лист (из сплава 7075-Т6А)) получает дополни-
тельную скорость и вскоре после приложения нагрузки начи-
нает деформироваться. Для показанного случая разрывное раз-
рушение происходит через несколько десятков микросекунд.

На фиг. 4.23 показана рентгеновская импульсная фотография
разрушения заднего листа. Легко видеть, что в средней части ли-
ста возникло разрывное разрушение и что по листу начали рас-
пространяться отдельные трещины. Отметим, что лист разру-
шился под действием растяжения, причем никакого откола не
возникло.

При теоретическом анализе этой проблемы необходимо пре-
жде всего определить такие показатели, как амплитуда, закон
распределения и длительность нагрузки, приложенной к мишени.
Затем нужно провести расчет динамической реакции мишени
в условиях больших деформаций с учетом упругих и пластиче-
ских характеристик мишени.

Распределение нагрузки известно из гидродинамических рас-
четов. Такие данные были использованы для определения реак-
ции мишени. Применявшаяся методика будет описана в хроно-
логическом порядке в целях как можно большей ясности.

Перечислим отправные предположения:

1)	нагрузка равномерно распределяется внутри окружности
с диаметром, равным половине промежутка между листами;

2)	нагрузка прилагается очень быстро, так что нагружаемая
область практически сразу приобретает исходное приращение
скорости;

3)	переданный веществу в области нагружения импульс ра-
вен удвоенному начальному импульсу частицы.

Обоснованность первых двух предположений подтвержда-
ется прежде всего фотографиями, приведенными на фиг. 4.22.
Что же касается удвоения импульса, то это предположение вы-
двинуто по следующим причинам. Поскольку приложенная к ми-
шени импульсная нагрузка возрастает с ростом скорости соуда-
рения, внутренняя оболочка космического корабля должна вы-
держивать бомбардировку метеоритными телами с максималь-
ной ожидаемой скоростью 30 км/с. При этой скорости большая
часть вещества, прошедшего сквозь экран, будет находиться
в газовой фазе. Следовательно, если считать, что импульс разле-
тающегося вещества равен импульсу первоначальной частицы и
что между каждым атомом газа и мишенью происходит чисто
упругое столкновение, то коэффициент усиления импульса дол-
жен быть равен 2.

После определения нагрузки следующая часть задачи со-
стоит в нахождении реакции мишени (рассматриваемой как тон-

Высокопрочный коррозионностойкий сплав системы А1—Zn (5,5%) —
IAg (2,5%)—Си (1,5%)—Сг (0,3%).— Прим. ред.
кая оболочка). В общем случае задача определения динамиче-
ских деформаций и напряжений в тонких оболочках приводит,
однако, к сложной системе нелинейных дифференциальных урав-
нений. Для таких задач, которые приводят к большим смеще-
ниям и пластическим эффектам, численный метод разработали
Уитмер и др. [14]. Их метод основан на конечно-разностной ап-
проксимации исходных дифференциальных уравнений. Конечно-

Энран

Задний лист

иткольное разрушение

Фиг. 4 22 Фоторегистрация повеления тонких листов через 3,0 с (а), И с
по экрану из алюминия 1100-0 толщиной 0,53 мм со скоростью 8,07 км/с с
50,8

Разлетающееся
вещество
ударника и
< экрана






разностные уравнения используются затем для описания экви-
валентной модели со ступенчатым изменением параметров. Для
численного анализа с последовательными шагами по времени оп-

Разрывное разрушение

(б), 27 с (в) и 66 с (г) после удара алюминиевого шара диаметром 3,2 мм
задним листом из сплава 7075-Т6 толщиной 0,81 мм при зазоре между листами
мм.
ределяются приращения равнодействующих напряжений и пар
напряжений путем идеализированного разбиения оболочки по
толщине на п концентрических слоев (во всех проведенных в ра-
боте [14] расчетах брали по шесть слоев). Использовавшиеся
для нахождения вышеуказанных приращений определяющие
уравнения могли описывать упругость с идеальной пластично-

Ф и г. 4.23. Рентгенограмма разрушения тонкого листа в случае удара кадмие-
вого шарика диаметром 2,56 мм со скоростью 6,49 км/с по экрану из кадмия
толщиной 0,48 мм (а) с задним листом из сплава 7075-Т6 толщиной 0,46 мм (в)
при зазоре между листами 50,8 мм (б) через 55 мкс после удара по экрану.

стью, упругость с деформационным упрочнением или упругость
с деформационным упрочнением и с зависимостью от скорости
деформации.

Эффективность описанной методики продемонстрирована
Уитмером и др. [14] путем сравнения теории с экспериментом по
взрывному нагружению полосы.

На фиг. 4.24 показана конфигурация, первоначально исследо-
ванная для определения движения и напряжений в нижнем ли-
сте [14]. В этом приближении рассматривается полоса матери-
ала, проходящая через центр области нагружения. В качестве
материала заднего листа был взят сплав 7075-Т6. Считалось,
что этот материал ведет себя под нагрузкой упруго и идеально
пластично с пределом текучести Оо=467 МПа и максимальным
удлинением до разрушения 11%. Первый шаг состоит в вычис-
лении начальной скорости Ui, сообщаемой центральной части

Ф и г. 4.24. Аппроксимация по-
лосой.

Фиг. 4.25. Зависимость смещения
на оси от времени в случае удара
алюминиевого шарика диаметром
3,2 мм со скоростью 7,02 км/с
в задний лист из сплава 7075-Т6
толщиной 0,8 мм при зазоре
50,8 мм и коэффициенте усиления
импульса 2.

полосы. Согласно исходным предположениям, ее можно предста-
вить в виде

(4.8)

где Мр и Vp — масса и скорость ударяющей частицы, S — зазор
между листами, р& и tb — плотность и толщина защищаемого
листа. Для первоначальных расчетов были взяты следующие
значения параметров: Мр = 0,045 г и /ь = 0,8 мм.

Результаты расчета представлены на фиг. 4.25 и 4.26. На этих
графиках показано изменение смещения на оси, деформации
растяжения на краю нагружаемой области и в ее центре. На
фиг. 4.25 приведена также экспериментальная кривая осевого
смещения, определенная по снимкам фоторегистратора
(фиг. 4.22). Это сравнение свидетельствует о хорошем согласии-
между теорией для упругого идеально пластичного тела (кри-
вая 2) и экспериментом (кривая /). Отметим, что на фиг. 4.26
деформация на краю нагруженной области первоначально до-
стигает разрушающего уровня приблизительно через 7 мкс. По-
сле этого момента решение теряет практический смысл. На
фиг. 4.22 можно заметить некоторые признаки откола, но на
данном этапе такие первоначальные волновые эффекты не учи-
тывались.

Такие же расчеты были проведены для заднего листа тол-
щиной 1,6 мм. Результаты показали, что максимальная дефор-
мация приходится на центр листа и что лист не должен разру-
шиться. Эксперимент показал лишь незначительное пробивание
откольного характера.

Ф и г. 4.26. Зависимость деформации на оси и на краю нагружаемой области
от времени в случае удара алюминиевого шарика диаметром 3,2 мм со ско-
ростью 7,62 км/с в задний лист из сплава 7075-Т6 толщиной 0,8 мм при зазоре
50,8 мм и коэффициенте усиления импульса 2.

С учетом упоминавшегося удовлетворительного согласия тео-
рии с экспериментом было решено продолжить расчеты на ос-
нове аппроксимации полосой. Поскольку необходимо иметь ре-
шение для эффективно бесконечного заднего листа, возникла
необходимость определения длины полосы, которую можно счи-
тать эффективно бесконечной для практически интересных вре-
мен в данной задаче. С этой целью первоначальный расчет
(длина полосы 25,4 см) был повторен для длины 50,8 см. Как
показали результаты, вплоть до 100 мкс не обнаруживается раз-
личий в изменениях смещения на оси и деформаций на краю
или в центре для этих двух случаев. Поскольку в большинстве
представляющих интерес ситуаций либо максимальная, либо
разрушающая деформация достигается до истечения 100 мкс,
было решено считать во всех последующих расчетах полосу ши-
риной 50,8 см листом практически бесконечной протяженности.

Аппроксимация полосой была использована для определения
реакции защищаемых листов разной толщины при ударе частиц

Фиг. 4.27. Зависимость осевого смещения от толщины заднего листа из сплава
7075-Т6 через 200 мкс в случае удара алюминиевого шарика диаметром 3,2 мм
со скоростью 7,62 км/с при зазоре 50,8 мм и коэффициенте усиления импульса 2.

размером 3,2 мм со скоростями 7,62, 15,2, 22,8 и 30,4 км/с. Ре-
зультаты расчета для скорости 7,62 км/с (фиг. 4.27—4.29) пока-
зывают, что существует большое различие между толщиной ли-

Ф и г. 4.28. Зависимость максимальной деформации на оси от толщины
заднего листа из сплава 7075-Т6 в случае удара алюминиевого шарика диа-
метром 3,2 мм со скоростью 7,62 км/с при зазоре 50,8 мм и коэффициенте
усиления импульса 2.

ста, при которой происходит непластическое разрушение (макси-
мальная деформация менее 0,7%), и его толщиной, при которой
происходит нехрупкое разрушение (максимальная деформация
менее 11%). Кроме того, можно видеть, что при толщине листа
больше ~Д,6 мм максимальная деформация возникает на краю
нагруженной области. Решения, подобные показанным на
фиг. 4.27—4.29, были получены и для трех других скоростей.

На фиг. 4.30 приведены результирующие кривые зависимо-
сти толщины листа от скорости соударения для критерия пласти-
ческого разрушения, в качестве которого выбирался предел те-
кучести (максимальные деформации 2, 4 и 6%) и для хрупкого
разрушения. Примечательная особенность этого графика со-
стоит в почти линейной зависимости толщины пластины tu от

Фиг. 4.29. Зависимости максимальной деформации на краю нагруженной
области от толщины заднего листа из сплава 7075-Т6 в случае удара алюми-
ниевого шарика диаметром 3,2 мм со скоростью 7,62 км/с при зазоре 50,8 мм
и коэффициенте усиления импульса 2.

скорости для каждого критерия рузрушения, хотя фундамен-
тальные механизмы в этих двух случаях имеют нелинейный ха-
рактер. Из этого графика видно также, что при максимальной
деформации выше ~4% для заданной скорости малое уменьше-
ние толщины приводит к значительному приросту деформации.
Таким образом, при разумном проектировании максимальную
деформацию разумно задавать не выше нескольких процентов.

На фиг. 4.31 приведены результаты, аналогичные представ-
ленным на фиг. 4.30 данным, но для алюминиевых шариков диа-
метром 1,02 мм. О результатах для таких ударников надо ска-
зать то же самое, что и в случае шариков диаметром 3,2 мм.
Можно отметить, что наклоны прямых постоянной максимальной
деформации при уменьшении размера ударников сближаются.

На основе фиг. 4.30 и 4.31 можно построить кривые измене-
ния толщины заднего листа по критериям пластического и хруп-
кого разрушений в зависимости от диаметра шариков при неко-
торых значениях скорости. Такие данные показывают, что для

Ф п г. 4.30. Зависимости толщины задней пластины из сплава 7075-Т6 от ско-
рости (сплошные кривые — аппроксимация полосой, пунктирные — аппрокси-
мация пластиной, кружок — измеренное распределение при аппроксимации
пластиной) в случае удара алюминиевого шарика диаметром 3,2 мм при зазоре
50,8 мм и коэффициенте усиления импульса 2.

Фиг. 4.31. Зависимости толщины задней пластины из сплава 7075-Т6 от ско-
рости (сплошные кривые — аппроксимация полосой, пунктирные — аппрокси-
мация пластиной) в случае удара алюминиевого шарика диаметром 1,02 мм
при зазоре 50,8 мм и коэффициенте усиления импульса 2.

обоих критериев толщина tb примерно пропорциональна кубу
диаметра ударника. Следовательно, при таких условиях из
соотношения (4.8) вытекает, что начальная скорость Vi нагру-
женной области должна быть приблизительно постоянной.

Был проведен анализ влияния зазора между листами для
значений 25,4, 50,8 и 101,6 мм в случае ударников, считающихся
в проекте «Аполлон» стандартными и (диаметром 1,02 мм), при
скорости соударения 30,4 км/с. Результаты по критериям пла-
стического и хрупкого разрушений показывают, что в обоих слу-
чаях необходимая толщина уменьшается приблизительно об-
ратно пропорционально квадрату зазора между листами. Этот
вывод вместе с данными, изложенными в предшествующих раз-

Ф иг. 4.32. Изменение осевого смещения во времени в случае удара алюминие-
вого шарика диаметром 1,02 мм со скоростью 30,4 км/с в предварительно рас-
тянутый задний лист из сплава 7075-16.

делах, дает для толщины заднего листа из сплава 7075-Т6 при-
мерное соотношение

tb—C(MpVpIS2),	(4.9)

где С равно 415± 140 и 82±14 соответственно для пластического
и хрупкого разрушений, a tu измерено в миллиметрах, Мр—
в граммах, VP— в километрах за секунду, aS — в сантиметрах.
(Поскольку точные решения для Vi по уравнению (4.8) не обя-
зательно должны быть строго постоянными, коэффициент С при
заданной максимальной деформации не имеет постоянного зна-
чения.)

Во многих космических приложениях защищаемые конструк-
ции представляют собой изготовленные штамповкой топливные
баки. В связи с этим было решено изучить влияние предвари-
тельного растяжения (только в одном направлении) заднего
листа. При программировании можно учесть такое предвари-
тельное растяжение аппроксимирующей полосы. Были получены
решения для удара частицы диаметром 1,04 мм со скоростью»
30,4 км/с при предварительных напряжениях 25, 50, 75 и 100%
статического предела текучести. Осевые смещения в зависимо-
сти от времени приведены на фиг. 4.32.

Эти результаты показывают, что значения толщины, опреде-
ляемые по критерию текучести, не очень чувствительны к пред-
варительному напряжению: предел текучести возрастает менее
чем на 10% по сравнению с соответствующим значением в нуле

Фиг. 4.33. Изменение толщины заднего листа в зависимости от предваритель-
ного растяжения при коэффициенте усиления импульса 2.

(фиг. 4.33). Толщина же, определяемая по критерию хрупкого
разрушения, чувствительна к степени предварительного напря-
жения при его увеличении свыше 60% предела текучести.

Как оказалось, аппроксимация полосой хорошо согласуется
с экспериментальными результатами. Тем не менее необходимо
полное решение для центрально нагруженной круглой пластины.
Расчет для такого случая был проведен по предложенному
Уитмером и др. [14] численному методу. Результаты этого рас-
чета хорошо согласовывались с данными, полученными при ап-
проксимации полосой (фиг. 4.30 и 4.31). Более полно схемы ре-
шения для полосы и пластины описаны Мейденом и Макмилла-
ном [15], а также Макмилланом [16].

На основе решения для пластины было исследовано измене-
ние деформации в зависимости от толщины заднего листа для
ряда толщин экрана. Для определения толщины заднего листа,
необходимой для предотвращения хрупкого разрушения, было
использовано гидродинамическое распределение импульса.

Суммарная толщина экрана и защищаемого листа определяет
полную толщину конструкции. Требующуюся полную толщину
(ts + tb) можно нанести на график в зависимости от отношения
толщины экрана к диаметру ударника (ts/d), как это сделано
на фиг. 4.34.

Далее был рассмотрен вопрос о возможности масштабного пе-
реноса результатов численного решения задачи о пластине для

Фиг. 4.34. Изменение полной толщины ts + tb в зависимости от отношения
t$/d при ударе алюминиевых шариков массой 0,045 г со скоростью 30 км/с
по алюминиевому экрану с задним листом из сплава 7075-Т6 при зазоре между
ними 50,8 мм (расчет распределения импульса по схеме САМЕО).

ударника одной массы и определенного промежутка между ли-
стами на случаи ударников другой массы и других промежутков.
Отсутствие подобной возможности потребовало бы новых ма-
шинных расчетов во всех представляющих интерес случаях. Чис-
ленным расчетом была найдена зависимость деформации от
толщины для разных условий соударения. В целях такого сопо-
ставления были определены «входные приведенные» точки пу-
тем масштабного изменения входного распределения импульса
применительно к расчету пластины пропорционально массе уда-
ряющей частицы. Исходные результаты расчета были изменены
в прямой зависимости от массы частицы для получения «выход-
ных приведенных» точек. Как оказалось, между этими резуль-
татами практически нет различия. Отсюда был сделан вывод
о прямой пропорциональности толщины заднего листа массе
ударяющей частицы для заданных значений ts/d и промежутка
между листами.

Влияние промежутка в случае распределений импульса в рас-
четах CAMEO рассматривалось так же, как и влияние массы
ударника. Исходные результаты были отложены в масштабе, об-
ратно пропорциональном квадрату промежутка. При этом опять
существенной разницы между «входными приведенными» и «вы-
ходными приведенными» результатами не обнаружилось. Был
сделан вывод о возможности переноса результатов при измене-
нии толщины защищаемого листа обратно пропорционально
квадрату промежутка. Совокупность этих результатов приводит
к заключению о том, что толщина заднего листа при заданном
отношении ts/d прямо пропорциональна массе ударника, делен-
ной на квадрат зазора между листами.

Изложенные результаты основаны на предположении о том,
что разлетающееся вещество, ударяющее по второму листу, на-
ходится в жидком или парообразном состоянии с плотностью,
гораздо меньшей плотностей ударяющей частицы или экрана.
Это условие не выполняется, если промежуток между листами
мал по сравнению с размером частиц. Этот случай соответствует
расчетам CAMEO для ранних стадий движения, когда разле-
тающееся вещество еще не образовало «систему». Если же раз-
летающееся вещество находится в устойчивой форме, то на зад-
нем листе образуется кратер. Далее было сделано предположе-
ние о том, что векторы скорости всех частиц разлетающегося
вещества пересекают центральную линию соударения точно на
задней поверхности экрана. Это не соответствует результатам
расчета САхМЕО, согласно которым вещество представляется
исходящим из точек на центральной оси внутри экрана или ча-
стицы. Таким образом, вещество разлетается менее резко, чем
считалось согласно этому предположению. Результаты в при-
веденном здесь виде не приложимы к соударениям больших ча-
стиц с экранами при малом расстоянии до заднего листа
(меньше 8 диаметров частицы) или к очень большим проме-
жуткам.

Результаты исследования масштабного эффекта позволяют
следующим образом выразить необходимую для предотвращения
разрушения толщину при ударе со скоростью 30 км/с в функции
толщины экрана, размера частиц и зазора:

( -*в8 У Г 0’0102 _ I q луд]	(л 1лу

V- 0,045 \ S / L (*s/d)2

Здесь Мр есть масса частицы (г), S — зазор (см), ts — толщина
экрана (см) и if — соответствующая хрупкому разрушению тол-
щина заднего листа (см).
Уравнение (4.10) показывает, что доминирующими факто-
рами, от которых зависит толщина, необходимая для предотвра-
щения хрупкого разрушения, являются масса ударника и за-
зора, а отношение толщины экрана к диаметру ударника начи-
нает играть существенную роль только тогда, когда оно мало.
Применимость соотношения (4.10) ограничивается ударами со
скоростью 30 км/с, когда промежуток достаточно велик (больше
Я диаметров ударника), разлетающееся вещество имеет пони-
женную плотность и находится в расплавленном или испарен-
ном состоянии, а относительная толщина экрана находится
в приблизительном интервале 0,1 —1,0.

Фиг. 4.35. Данные о зависимости толщины заднего листа от отношения fs/d
при ударе кадмиевых шариков диаметром 3,18 мм по экрану из кадмия
с задним листом из сплава 7075-Т6 при зазоре между ними 50,8 мм.

Этот результат применим к соударениям алюминий—алю-
миний с задним листом из сплава 7075-Т6. Эта формула при-
менима для оценки сопротивления разрушению заднего листа
двухслойной конструкции с отношением ts/d, вычисленным для
алюминиевой частицы эквивалентной массы. Нецелесообразно,
однако, рассчитывать двухслойную конструкцию только просто
на сопротивление хрупкому разрушению из-за чувствительности
максимальной деформации в окрестности точки хрупкого раз-
рушения.

Комбинация гидродинамического расчета по схеме CAMEO
и расчета движения пластины была применена для соударений
типа кадмий—кадмий, чтобы получить данные для сравнения
с экспериментом. В этих расчетах коэффициент усиления им-
пульса считался равным 1,4.

Это значение было найдено экспериментально. Были прове-
дены расчеты для четырех значений толщины экрана при ско-
роста соударения 6 км/с. Зависимость соответствующей хруп-
кому разрушению толщины листа от относительной толщины
экрана приведена на фиг. 4.35 наряду с экспериментальными
значениями толщины хрупкого разрушения. Во всех случаях
экспериментально найденные значения толщины хрупкого раз-
рушения оказались существенно меньше расчетных.

Надо полагать, что это расхождение объясняется, вероятно,
особенностями передачи заднему листу импульса разлетаю-
щимся веществом. Коэффициент передачи импульса, равный
1,4, был определен экспериментально. Было сделано предполо-
жение, что разлетающееся вещество сообщает заднему листу
импульс с коэффициентом 1,4 независимо от величины полуугла
разлета вещества. Концентрация вещества выше при малых уг-
лах разлета, а на полученных с помощью фоторегистратора
снимках (фиг. 4.36) видно, что передний край разлетающегося
вещества отражается после соударения с задним листом. На
этих кадрах можно заметить отраженный фронт после удара
разлетающегося вещества по заднему листу. Вещество движется
назад к экрану, частично проникает сквозь пробоину и догоняет
осколки, выброшенные экраном, что приводит к отсечке под-
светки (последние два кадра). Надо полагать, что обратное
прохождение фронта разлетающегося вещества сквозь его хво-
стовую часть ослабляет передачу импульса. Поскольку подобное
взаимодействие должно быть больше всего в местах максималь-
ной плотности разлетающегося вещества, сильнее всего оно дол-
жно сказаться при малых полууглах разлета. Реакция нагру-
женной пластины сильно зависит от нагрузки при малых полу-
углах разлета, вследствие чего такое взаимодействие является,
вероятно, причиной низких экспериментальных значений коэф-
фициента передачи импульса. Иными словами, коэффициент
усиления импульса, по-видимому, есть функция полуугла раз-
лета.

Было проведено несколько модельных экспериментов па
соударениям кадмий—кадмий. При уменьшении вдвое массы

Таблица 4.3

Соударения кадмий—кадмий при скорости 6,7 км/с

•sld	t j (мм) при зазоре (мм)			
	50,8	102	25,4	
0,1  0,2 0,385	2,28—3,18  0,64—0,81  0,64—0,81	0,41—0,46  0,46—0,64  0,25—0,38		2,54—3,18
Фиг. 4.36. Результаты фоторегистрации удара кадмиевого шарика диаметром
с задним листом из сплава 7075-Т6 толщи

ударника при относительной толщине экрана 0,2 соответствую-
щая хрупкому разрушению толщина уменьшалась от 0,64—0,81
до 0,46—0,64 мм. В табл. 4.3 приведены данные об изменении
этой толщины в зависимости от промежутка. Эти результаты хо-
рошо согласуются с расчетными изменениями при вариации
массы и зазора между листами.

ОТКОЛЬНОЕ РАЗРУШЕНИЕ

Удар разлетающегося вещества ударника и экрана по зад-
нему листу порождает в нем ударную волну, которая при отра-
жении может вызвать хрупкое разрушение или откол на нижней
3,18 мм со скоростью 6,49 км/с по кадмиевому экрану толщиной 0,33 мм
ной 4,75 мм при зазоре между ними 50,8 мм.

границе. Решение этой задачи требует учета прочности заднего
листа. Задача решалась на основе двумерной упруго-пластиче-
ской модели [16, 17]. Полученные в расчетах CAMEO данные
о распределении разлетающегося вещества были использованы
в качестве входных данных для расчета откола. При описании
состояния заднего листа учитывались прочностные эффекты, в то
время как налетающее облако вещества трактовалось чисто гид-
родинамически.

Результаты расчета CAMEO были использованы для того,
чтобы выяснить, не является ли определенное выше разрушение
при больших деформациях откольным. В расчете CAMEO
рассматривался удар алюминиевого шарика массой 0,045 г по
алюминиевому листу толщиной 0,635 мм. Задний лист из сплава
7075-Т6 располагался на расстоянии 50,8 мм от экранирующего
листа. Толщина заднего листа считалась равной 3,18 мм. Расчет
показал, что в заднем листе возникают сжимающие напряжения
около 7 ГПа. Длительность импульса была очень велика, так
что в листе происходили многократные отражения. Максималь-
ное растягивающее напряжение оказалось равным приблизи-
тельно 0,7 ГПа. Сплав 7075-Т6 должен претерпевать откольное
разрушение под действием растягивающих напряжений около
1,3 ГПа.

Эти результаты показывают, что форма и длительность при-
ложенного к листу импульса давления играют первостепенную
роль при решении вопроса о вероятности откола. Импульс дав-
ления определяется ударом облака разлетающегося вещества
по пластине. По расчетам при таком ударе вероятность откола
тем больше: 1) чем меньше зазор; 2) чем больше масса удар-
ника; 3) чем тоньше экран (чем меньше t8/d)\ 4) чем больше
плотность ударника.

Под отколом здесь понимается внутреннее разрушение мате-
риала, не предполагающее, однако, его отрыв от поверхности.
Такая оговорка обеспечивает страховочную оценку вероятности
откольного повреждения.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ О ВЗАИМОДЕЙСТВИИ
РАЗЛЕТАЮЩЕГОСЯ ВЕЩЕСТВА С ЭКРАНИРОВАННОЙ МИШЕНЬЮ

Экспериментальные исследования в подтверждение изложен-
ных теоретических результатов проводились на легкогазовой
пушке со скоростями разгона до 8 км/с. Ниже описываются не-
которые результаты этих экспериментов. Первичные данные по
всем экспериментам были приведены Макмилланом [16].

Усиление импульса. Для определения передачи импульса
заднему листу в зависимости от параметров удара были прове-
дены многочисленные опыты с баллистическим маятником. В пер-
воначальных опытах измеряли импульс, сообщаемый заэкрани-
рованной мишени при изменении толщины экрана и скорости
удара типа алюминий—алюминий. Результаты этих опытов
обобщены на фиг. 4.36. Тонкие экраны (0,305, 0,635 и 1,02 мм)
дают довольно одинаковые результаты. Отношение измеренного
значения импульса, сообщенного заднему листу, к первоначаль-
ному импульсу ударника возрастает с повышением скорости до
5 км/с, после чего остается постоянным в пределах изменения
скорости в этих опытах. При более толстом экране (£s/d=0,5)
коэффициент усиления импульса непрерывно возрастает во всем
диапазоне эксперимента. Поскольку было доказано, что коэффи-
циент усиления импульса при ударе по тонкому листу имеет
верхний предел 2,0, а при ударе по полупространству верхнего
предела не существует [12], для более толстых мишеней надо
ожидать увеличения коэффициента усиления импульса.

Интервал изменения коэффициента усиления импульса на
фиг. 4.37 перекрывает область существования твердых осколков
и частично заходит в область полностью расплавленного веще-

Ф и г. 4.37. Данные о зависимости коэффициента усиления импульса от ско-
рости при ударе алюминиевых шариков диаметром 3,2 мм по экрану из алю-
миния 1100-0 с задним листом из сплава 7075-Т6 при зазоре между ними
50,8 мм для разных значений отношения tsId'.QJd (О); 0,3 (△); 0,2 (□);

ОД (V).

что соответствует началу плавления при соударениях алюминий—
алюминий.

Были проведены опыты, в которых в качестве материала вто-
рого листа использовался алюминий 1100-0 вместо сплава
7075-Т6, применявшегося во всех остальных случаях. Отличий
в усилении импульса обнаружено не было.

Для проверки влияния величины зазора между листами на
коэффициент усиления импульса были проведены эксперименты
с его значениями меньше 50,8 мм (зазор в прежних опытах).
Определенные в этих опытах значения коэффициента усиления
импульса совпадали с точностью до ±4% погрешности измере-
ний со значениями, найденными в экспериментах с зазором
50,8 мм. Отсюда был сделан вывод, что зазор не влияет на пе-
редачу импульса, если он не менее чем в 8 раз превосходит диа-
метр ударника.

Значение коэффициента усиления импульса при соударениях
алюминий—алюминий было в случае тонких листов для трех са-
мых тонких экранов много меньше 2,0 (это значение было пред-
положительно выбрано в качестве верхнего предела). Соударе-
ние алюминий—алюминий представляло собой в этих опытах
удар разлетающегося вещества в жидком состоянии. Предпола-
галось, что при ударе превратившегося в пар разлетающегося
вещества коэффициент усиления импульса должен быть ближе
к значению 2,0. Были проведены опыты с ударниками и экра-
нами из кадмия и свинца, в которых задний лист испытывал
удар разлетающегося вещества в парообразном состоянии. Ре-
зультаты этих опытов приведены в табл. 4.4. И на этот раз зна-
чения коэффициента усиления импульса опять были много
меньше 2,0.

В экспериментах с кадмиевыми экранами толщиной 0,64 мм
был представлен переход от жидкого разлетающегося вещества,
ударяющего по второму листу (опыт со скоростью 3,18 км/с),
к парообразному веществу. Коэффициент усиления импульса до-
стигает 1,4 при 5,38 км/с и остается затем неизменным во всем
экспериментальном диапазоне. Опыты с кадмиевыми экранами
толщиной 0,33 мм перекрывают переход от твердых осколков
к жидкому разлетающемуся веществу. При этом наивысшее
достигнутое значение снова намного меньше 2,0. В опытах с кад-
миевыми экранами толщиной 1,22 мм и в опытах со свинцом
происходило соударение с парообразным разлетающимся веще-
ством. И в данном случае усиление импульса было намного
меньше 2,0.

Ударники малой плотности. Были проведены четыре серии
экспериментов с ударниками из материалов малой плотности.
Для опытов первой серии ударники были сделаны из инлита.
Это полимерный материал, наполненный крохотными полыми
стеклянными шариками. Его объемная плотность равна
0,73 г/см3. Значения коэффициента усиления импульса в этой
серии (табл. 4.5) получились приблизительно такими же, как и
при соударениях алюминий—алюминий. Осмотр защищаемых
листов обнаружил осколочные повреждения (возможно, кусоч-
ками экрана) без каких бы то ни было признаков расплавления
алюминия.

Ударники для опытов второй серии были изготовлены из губ-
чатого никеля и губчатой меди с плотностью приблизительно
вдвое меньше обычной. И для таких ударников коэффициенты
усиления импульса были почти такими же, как и при соударе-
ниях алюминий—алюминий. На защищаемых мишенях были
Таблица 4.4

Данные опытов по ударам кадмий—кадмий и свинец—свинец

Номер опыта	Толщина экрана, мм	Скорость удара, км/с	Коэффициент усиления импульса
Кадмиевые шарики диаметром 3,18 мм, зазор 50,8 мм,			кадмиевый экран
1230		3,60	1,26
1453		5,18	1,28
1019	0,33	5,61	1,34
1889		6,83	1,42
1884	0,48	7,01	1,39
1046		3,18	1,21
1324		5,38	1,41
1326	0,64	5,70	1,40
1327		5,76	1,38
1045		6,40	1,41
1454		6,40	1,39
1580		3,69	1,39
1581	1,22	5,18	1,48
1888		6,89	1,52
1883		7,01	1,48
Кадмиевые шарики диаметром 2,57 мм, зазор 50,8 мм,			кадмиевый экран
1891		4,91	I	1,31
	|	0,48		
1890		6,89	1	1,39
Свинцовые шарики диаметром 3,18 мм, зазор 50,8 мм,			свинцовый экран
1820		4,51	1,43
	|	1,78		
1819		4,85	1,48
1822	1	Л QQ	4,18	1,24
1821	?	и,оУ	4,36	1,24

обнаружены следы расплавившегося алюминиевого экрана и
небольшие выбоины. Нельзя надеяться на то, что пеноматериал
с наличием многих внутренних полостей будет хорошо проводить
ударную волну; это приводит к неполному разрушению ударника
при очень тонких листах. В случае экранов толщиной 1,02 мм по-
добный эффект был выражен менее заметно, чем для экранов
толщиной 0,64 мм.
Ударники в экспериментах последней серии были изготов-
лены из найлона с нормальной плотностью 1,18 г/см3. В противо-
положность опытам с инлитом или медью и никелем пониженной
плотности усиление импульса в данном случае получилось до-
вольно большим (табл. 4.5). На задних листах были обнаружены
повреждения, похожие на следы воздействия ударников из ин-
лита, со множеством мелких выбоин, по-видимому, от осколков
экрана. Следы расплавленного алюминия отсутствуют. Сходство
повреждений заднего листа под воздействием ударников из
найлона и инлита дает основания полагать, что объяснение не-
одинаковой передачи импульса нужно усматривать в какой-то
особенности свойств ударника.

Таблица 4.5

Данные опытов с ударниками малой плотности

Номер опыта	Материал ударника	Плотность, г/см3	Диаметр ударника, мм	Толщина экрана, мм	Скорость удара, км/с	Коэффи- циент усиления импульса
1391	Инлит	0,64	4,90	0,64	4,69	1,20
1394				0,64	7,91	1,24
1393				0,305	4,68	1,25
1575	Найлон	1,18	4,19	0,64	4,11	1,45
1561				0,64	7,50	1,52
1349				1,02	6,31	1,55
1371				1,02	7,13	1,51
1653	Медная губка	4,88	2,62	0,64	5,99	1,36
1344				1,02	3,29	1,46
1345				1,02	5,15	1,24
1652				1,02	6,61	1,39
1650	Губчатый никель	4,88	2,62	0,64	6,50	1,43
1346				1,02	5,03	1,35

Во всех опытах по измерению усиления импульса с проме-
жутком между листами не меньше 8 диаметров ударника ни
разу не удалось достичь усиления больше 1,55, тогда как при
промежутке около 4 диаметров было зафиксировано усиление
импульса около 1,7. Коэффициент усиления импульса ни разу
не удалось приблизить к предельному значению 2,0. Это, ви-
димо, надо объяснить неполной упругостью удара парообраз-
ного вещества о задний лист, а также внутренним взаимодейст-
вием частиц в облаке разлетающегося вещества в процессе та-
кого удара.

4. ОБСУЖДЕНИЕ

На основе результатов проведенного в данной главе анализа
можно предложить следующий порядок расчета космического
корабля простого устройства, состоящего из противометеорного
экрана и основного корпуса. Учету подлежат два механизма по-
вреждения.

Прежде всего это сквозной пробой конструкции твердыми
осколками, более опасный при малых скоростях удара. Подоб-
ных повреждений можно избежать путем расчета оптимальной
толщины защиты для самой малой ожидаемой скорости метеор-
ных частиц. Этот расчет проще всего провести, предположив, что
экран сделан из того же материала, что и метеорит. Это пред-
полагает необходимость оценки характеристик метеоритного ма-
териала. Такая расчетная толщина защиты может быть затем
пересчитана на основе равенства веса на эквивалентную толщину
для любого другого, более подходящего материала экрана. Та-
кой порядок расчета гарантирует исключительную малость и про-
бойную слабость осколков, ударяющих по основному корпусу.
При более высоких скоростях соударения такая защита будет
еще надежнее благодаря расплавлению и испарению осколков
метеоритного тела и экрана.

Другой механизм повреждения состоит в импульсном разру-
шении корпуса под совокупным ударным действием частиц раз-
летающегося вещества, проникшего сквозь экран. Подобное
разрушение охватывает откол и хрупкое разрушение заднего ли-
ста или основного корпуса.

Была предпринята попытка критически проанализировать
теоретические пути решения задач об ударе по тонким листам и
проверить такие решения посредством лабораторных экспери-
ментов. Весь анализ и приведенные результаты относятся лишь
к случаю простой двухлистовой конструкции. Не делалось попы-
ток рассмотреть ни возможность использования наполнителей
между листами, многослойных экранов или сотовых конструк-
ций, ни условий косого удара, ни многих других проблемных
областей конструирования. Такие вопросы рассматриваются
в гл. 9 настоящей книги. В ней же кратко говорится об инже-
нерном подходе к такому расчету двухслойных конструкций, ко-
торый позволяет провести быстрый учет упоминавшихся проблем-
ных моментов при конструировании корпуса космического ко-
рабля.
5

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЯВЛЕНИЙ
ПРИ ВЫСОКОСКОРОСТНОМ УДАРЕ

Т. Рини

1.	ВВЕДЕНИЕ

В последнее время для решения сложных уравнений, модели-
рующих поведение материалов под воздействием импульсных
нагрузок, широко используются численные методы и быстродей-
ствующие вычислительные машины. Примером служит хотя бы
изучение явлений при высокоскоростном ударе. В данной главе
обсуждается вопрос о выборе подходящих численных схем для
разных фаз процесса ударной деформации, но без детального
описания самих численных методов. Поэтому большая часть
статьи посвящена анализу и сопоставлению численных результа-
тов, полученных по программам для ЭВМ на основе таких схем.

Излагаемые результаты расчета удара относятся к осесим-
метричным конфигурациям ударник — мишень трех классов.

1.	В пяти задачах рассматриваются тонколистовые мишени,
составленные из двух листов разных материалов, для опреде-
ления влияния неоднородности свойств материала по толщине на
разрушение ударника и последующий разлет осколков в конусе
дробления.

2.	В восьми задачах рассматривается соударение полых ци-
линдрических и сферических ударников с тонкими пластинами
и изучались механизмы фокусировки ударной волны, образова-
ния струи и рассеяния возникающего конуса дробления.

3.	В семи задачах анализируется соударение ударников ма-
лой плотности, моделирующих метеоритные частицы, с толстыми
мишенями для определения влияния пористости на окончатель-
ные размеры кратера.

Расчеты для всех этих задач подробно описаны в отдельных
публикациях [1—3].

2.	РЕЖИМЫ ПОВЕДЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

СТАДИИ РЕЖИМОВ ПОВЕДЕНИЯ

При рассмотрении удара по тонким мишеням часто проводят
различие между ранней стадией, на которой материал ведет себя
как сжимаемая жидкость, и поздней стадией, когда уже нельзя
пренебрегать влиянием прочности. Однако деление на отдельные
режимы более очевидно в случае удара по мишеням конечной
толщины, например по системе метеорной защиты, показанной
на фиг. 5.1. Идею об использовании тонкой наружной оболочки
для разрушения ударяющей частицы и разброса осколков, пре-
жде чем они долетят до основной конструкции, первым выдвинул
Уиппл [4].

В процессе соударения в ударнике и защитной системе обра-
зуются ударные волны, распространяющиеся от движущейся

Ударный фронт

Ударнин

в защитной
пластине

Откол

Основная конструкция

Фиг. 5 1. Схема удара по тонкой экранирующей пластинке (а), пробива-
ния (б), дальнейшего образования конуса разлета (в) и нагрузки, передавае-
мой разлетающимся веществом основной конструкции.

контактной поверхности (фиг. 5.1, б). Импульс давления, содер-
жащийся между ударными фронтами, ослабляется извне вол-
нами разрежения, которые возникают на периферии поверхности
контакта, приводя к обратному выбросу вдавливаемого веще-
ства. Когда ударный фронт достигнет противоположной свобод-
ной поверхности экрана, импульс давления ослабляется, что при-
водит к резкому расширению сжатого вещества, сопровождаю-
щемуся уменьшением внутренней энергии и соответствующим
увеличением кинетической энергии. Центральная область
конфигурации ударник—экран отрывается от экрана и утрачи-
вает связь с пробитой пластиной (фиг. 5.1, в).

Это отделение осколков от экрана позволяет раздельно рас-
сматривать последующую деформацию экрана и дальнейший
разброс осколков по ходу их движения. Поведение мишени под
нагрузкой, создаваемой осколками, представляет собой еще один
режим, который также может рассматриваться отдельно.

Взаимодействие ударника с мишенью, в процессе которого
ударник и центральная часть пластины подвергаются ударному
сжатию и разгрузке в волне разрежения, хорошо описывается
в рамках гидродинамической модели, если вещество переходит
после ударного сжатия в жидкое или парообразное состояние.

В определенный момент времени и на определенном расстоя-
нии за экраном (фиг. 5.1, г) единичный объем конуса разброса,
при условии что разбрасываемое вещество находится в жидком
состоянии, содержит радиальную и осевую компоненты импульса

Мг=ри и ТИ2 = р‘и,	(5.1)

где р — местное значение плотности, а и и v суть соответственно
радиальная и осевая компоненты скорости разлетающегося ве-
щества. Радиальная компонента импульса приводит к расшире-
нию конуса разлета, и только осевая компонента импульса дает
вклад в нагрузку, испытываемую основной конструкцией при
торможении осколков (фиг. 5.1,г).

Плотность осевой компоненты импульса Мг представляет со-
бой импульс, сообщаемый единицей объема осколков поверхно-
сти, которая занимает определенное положение в пространстве
и времени. Поток осевой компоненты импульса

Mf=vMZi
или

Mf = Mf(r, z,	(5.2)

представляет собой импульс, сообщаемый единице площади по-
верхности в единицу времени.

Хотя нагрузка, испытываемая основной конструкцией при
торможении конуса разброса, очень велика, действует она все
же чрезвычайно кратковременно. На поверхности основной кон-
струкции возникает ударная волна, распространяющаяся по тол-
щине листа. Если проходящая по конструкции ударная волна
имеет достаточно большую амплитуду, то на противоположной
свободной поверхности возникнет откол. Разрушение подобного
рода, наблюдавшееся Мейденом и др. [5], тоже может сопро-
вождаться растрескиванием или дроблением основной конструк-
ции. При достаточно большом удалении от экрана интенсивность
действующей на основную конструкцию нагрузки может ока-
заться недостаточной, чтобы привести к индуцированному им-
пульсом давления откольному разрушению. В таком случае
вторая пластина все же может разрушиться от больших дефор-
маций, возникающих под действием импульсного нагружения
конструкции осколками. Наблюдалось также разрывное разру-
шение [5], которое может быть превалирующим видом разру-
шения в случае защитных систем с умеренным зазором между
листами при бомбардировке с метеоритными скоростями.

Распространяющаяся в радиальном направлении ударная
волна в пробитом экране быстро затухает под действием волн
разрежения, исходящих от боковых свободных поверхностей
экрана. Течение гидродинамического характера в центральной
части конфигурации ударник — экран сменяется режимом, в ко-
тором давление ослабляется до такого уровня, когда сущест-
венную роль начинает играть прочность экрана, а обратное пла-
стическое течение материала экрана прекращается и когда уста-
навливаются окончательные размеры пробоины. Как оказалось,
конечный диаметр пробоины растет приблизительно линейно
с увеличением скорости удара. Мейден и Макмиллан [6] предло-
жили следующее эмпирическое соотношение, связывающее ко-
нечный диаметр отверстия DH с параметрами удара:

D„/Ds=O,45^o (hxIDsyl3+0,90,	(5.3)

где Ds — диаметр ударника, a hi — толщина экрана.

Численный расчет поздней стадии деформирования пробитого
экрана до сих пор отсутствует, но в работе Хейды [7] проведено
эффективное аналитическое рассмотрение задачи о распростра-
нении волн напряжения с использованием метода характеристик.
Этот метод позволяет легко рассчитать напряжения и массовые
скорости в упругой и упруго-пластической зонах пробитой пла-
стины при использовании условия пластичности Треска в при-
ближении плоского напряженного состояния.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Если сформулировать основные определяющие соотношения,
управляющего поведением материала, который рассматривается
как сплошная среда, под действием интенсивного нагружения
в виде законов сохранения массы, импульса и энергии, то полу-
чим систему дифференциальных уравнений с частными произ-
водными. Решение этих уравнений для реалистической геометрии
и граничных условий можно получить лишь с помощью программ
крупномасштабных численных расчетов. Из всех возможных
численных схем в задачах подобного рода применяются три
основные процедуры. В схемах, основанных на лагранжевом опи-
сании, система координат или сетка вписывается в изучаемую
конфигурацию. Деформация и течение конфигурации удар-
ник — мишень в дальнейшем рассматриваются по отношению
к этой деформированной сетке. В численных схемах, основанных
на эйлеровом представлении, система координат не связана
с конфигурацией, а, напротив, фиксирована в пространстве, и
вычисления проводятся для вещества, находящегося в данный
момент в данной ячейке. Третий тип численных схем основан
на методе частиц в ячейках, представляющем собой комбинацию
двух предыдущих, поскольку в каждом цикле вычислений ис-
пользуются как эйлерова, так и лагранжева системы координат.
Лагранжево представление, тем не менее, является аппроксими-
рующим для схемы частиц в ячейках, поскольку в ней контроли-
руется положение частиц дискретной массы, а не деформация
координатной сетки. Каждая меченая частица несет определен-
ную долю массы, энергии и импульса ячейки для данного цикла
по времени при своем движении сквозь фиксированную сетку.

Каждой из этих численных схем присущи свои достоинства
и недостатки. В лагранжевых схемах непосредственно рассчиты-
вается положение границ раздела в материале и свободных по-
верхностей, имеется также возможность использования опреде-
ляющих соотношений для вещества, в которых учитывается путь
деформирования для каждой частицы. Однако эти схемы чувст-
вительны к искажению исследуемого поля течения и, если свя-
занные с веществом ячейки подвергаются слишком большой
деформации, то может возникнуть неустойчивость счета. Лагран-
жево описание непригодно для изучения образования и расши-
рения конуса разбрасываемого вещества, поскольку оно подвер-
гается большим изменениям формы, но годится для исследования
поведения основной конструкции под действием нагрузки от
разлетающегося вещества.

В случае эйлеровых схем большие искажения формы не пред-
ставляют собой проблемы, но возникают трудности при рассмот-
рении более чем одного вещества, а свободные поверхности не
могут рассчитываться без введения некоторых искусственных
ограничений на характер течения1). Такая необходимость объяс-
няется тем, что вещество, входящее в ячейку фиксированной
эйлеровой сетки, считается сразу же равномерно распределен-
ным по всему объему ячейки. Возможность рассмотрения разных

1) Существенное усовершенствование ранних эйлеровых схем было достиг-
нуто путем введения «меченых частиц» для слежения за свободными грани-
цами и поверхностями раздела между разными веществами при их движении
сквозь фиксированную сетку. Такой прием в лагранжевом духе использовался
в численной схеме HELP, применявшейся для расчета гидродинамического и
упруго-пластического течения конструкции из пяти разных веществ. Эта схема
была разработана после написания настоящей главы Хейджманом и Уолшем
(L. J. Hageman, J. М. Walsh).
материалов и ударников специальной формы с меняющимися
свободными поверхностями необходима для решения многих
дальнейших задач. Более того, на расширение конуса разлетаю-
щегося вещества будут оказывать влияние искусственные огра-
ничения, вводимые для устранения псевдодиффузии, присущей
эйлеровым схемам. Эйлерово рассмотрение более подходит для
изучения кратерообразования в толстых мишениях.

Сочетание эйлеровой системы координат с лагранжевой в схе-
ме частиц в ячейках позволяет рассматривать большие изменения
формы и композитные материалы. Представление материалов
частицами, положение которых контролируется на каждой ста-
дии вычислений, позволяет локализовать свободные поверхности
и избежать псевдодиффузии. Хотя схема частиц в ячейках и не
позволяет учитывать путь деформирования индивидуальных час-
тиц вещества, это не имеет значения при расчете движения ко-
нуса разлетающегося вещества, рассматриваемого в рамках мо-
дели сжимаемой жидкости. По этим причинам для изучения дви-
жения конуса разлетающегося вещества в задачах метеоритной
защиты логично выбрать схему частиц в ячейках.

В Лаборатории космических исследований (ЛКИ) исполь-
зуются программы, основанные на всех трех схемах (эйлеровой,
лагранжевой и частиц в ячейках), чтобы добиться наилучших ре-
зультатов при расчете разных стадий процесса соударения
(табл. 5.1). Все эти программы, кроме DEPROSS, были разра-
ботаны в ЛКИ. DEPROSS разработал Балмер [8] для изучения
динамического поведения конструкций. Программы VISTA и
CRAM основаны на численных схемах, предложенных соответ-
ственно Харлоу [9] и Уилкинсом [10]. Единственное существен-
ное отличие эйлеровой схемы в программе PICWICK III от
схемы частиц в ячейках заключается в иной трактовке переноса
массы на каждом шаге по времени. В программе PICWICK III
используется аппроксимация уравнения неразрывности для опре-
деления переноса массы, импульса и энергии через фиксирован-
ные границы ячеек. Эта схема сходна со схемой OIL, независимо
разработанной Джонсоном [11].

Программа VISTA, речь о которой пойдет дальше, позволяет
получить картину изменения плотности и скорости частиц в ко-
нусе разлета за экраном (фиг. 5.1,г). Эту информацию можно
записать на магнитную ленту и затем использовать в качестве
данных, определяющих условия нагружения основной конструк-
ции разлетающимся веществом. Такое объединение схемы частиц
в ячейках с лагранжевой программой уже было успешно осущест-
влено [12]. Если интенсивность нагружения велика, так что су-
щественными оказываются волновые эффекты, то для расчета
движения основной конструкции следует применять программу
VISTA—CRAM. Для менее интенсивного нагружения, когда
Таблица 5.1

Рассматриваемые программы численного решения двумерных задач
с зависящими от времени переменными

Программа	Краткое описание
VISTA	Программа частиц в ячейках третьего поколения (преемница программ PICWICK I и PIC-  WICK П)
PICWICK III	Эйлерова программа
CRAM	Лагранжева континуальная программа
DEPROSS	Лагранжева структурная программа
VISTA—CRAM	Объединенная программа для изучения систем ме- теоритной защиты, в которых предполагается откольное разрушение второго листа
VISTA—DEPROSS	Объединенная программа для изучения систем ме- теоритной защиты, в которых ожидается раз- рывное разрушение основной структуры
VISTA—PICWICK III	Объединенная программа для исследования тол- стых мишеней

разрывное разрушение более вероятно, чем откольное, основной
лист можно считать несжимаемым, что позволяет пользоваться
объединенной программой VISTA—DEPROSS.

Еще об одном применении объединенных численных схем для
изучения процессов при ударе говорится в разд. 5.6. Сочетание
VISTA—PICWICK III использовалось для предсказания оконча-
тельных размеров уже не имеют большого значения.

3.	ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Упрощающее предположение о том, что вещество при ударе
ведет себя подобно идеальной сжимаемой жидкости, справедли-
вое для ранних стадий процесса соударения, приводит к следую-
щей системе уравнений при наличии осевой симметрии:

Р=/(Р, /),	(5.4)

d?ldt-{-udpldr-\-vdpldz-\-p div «=0,	(5.5)

р (du/dt-\- и du.jdr-\-v dujdz)= —др/дг,	(5.6)

р (dv]dt-\-u dvldr-\-vdvldz)——dp/dz,	(5.7)

p(d/ldt-[-u d!ldr-[-vd/ldz)=—p div и.	(5.8)
Здесь р, р, u=(u, 0, v) и I суть соответственно плотность, дав-
ление, скорость и внутренняя энергия, приходящиеся на единич-
ную массу.

Зависимость давления от плотности и внутренней энергии
в виде уравнения (5.4) можно вывести из теоретических сообра-
жений и на основе экспериментального исследования одномер-
ных ударных волн, возникающих при соударении пластинок.
В данной работе используется следующее конкретное соотноше-
ние (предложенное Осборном из Лос-Аламосской исследователь-
ской лаборатории):

Р=[1/(б+?о)] {С(а1+а2К)+е[6о+С(&1+ад+/(со+^)])>
е=р0/, t=(p/po) — 1.	(5.9)

Значения характеризующих вещество констант ро, a,i, аг, &о,
Й2, со, ci и фо, использованных в уравнении (5.9), приведены
в табл. 5.2 для тех материалов, для которых они известны.

Уравнение (5.9) адекватно описывает поведение материалов
при сильном сжатии. Но, как оказалось, оно совершенно не при-
годно для представления состояний, далеких от кривой Гюгонио
вещества нормальной плотности, что проявилось в несопостави-
мости с экспериментальными данными, полученными при удар-
ном нагружении пористых материалов. Следовательно, уравне-
ние (5.9) не может дать удовлетворительного описания поведе-
ния алюминиевого ударника пониженной плотности (типа 6)
в расчетах соударений по схеме VISTA, обсуждаемых в разд. 5.6.

Теоретически корректное уравнение состояния алюминия, ос-
нованное на более полном учете представлений физики твердого
тела, термодинамики и некоторых квантовомеханических расче-
тов, было разработано Кормером и др. [13], Макклоски [14],
Бьорком и др. [15]. Уравнение корректно в том смысле, что оно
наилучшим образом соответствует современной физической тео-
рии и формулируется так, чтобы удовлетворять имеющимся дан-
ным по ударному сжатию как сплошного, так и пористого алюми-
ния. Уравнение состояния, однако, представляется в виде таблиц
и получается как итог сложных численных расчетов, вследствие
чего оно не годится для расчетов по схеме VISTA.

Эмпирическое уравнение состояния, предложенное Хейдой и
описанное в работе Рини и Хейды [3], основано на модификации
модели пористого материала в виде пластинок и зазоров; оно
применяется для описания ударника пониженной плотности
в расчетах по схеме VISTA. Эта простая модель с учетом данных
для вещества нормальной плотности ро приводит к очень точному
предсказанию ударного сжатия этого вещества с первоначально
Таблица 5.2

Характеризующие вещество константы, фигурирующие в лос-аламосском уравнении состояния
(в системе единиц грамм—сантиметр—микросекунда по данным Осборна)

Материал	Ро		а2	ь0	bi	&2	^0	Су	
Алюминий	2,702	1,1867	0,7630	3,4448	1,5451	0,96430	0,43382	0,54873	1,5000
Бериллий	1,845	0,9512	0,3453	0,9269	2,9484	0,5080	0,5644	0,6204	0,800
Бор	2,34	1,8212	4,3509	0,3764	0,3287	1,0801	0,5531	0,6346	0,250
Вода	1,00	0,000384	0,001759	0,01312	0,06265	0,21330	0,5132	0,6761	0,020
Графит	2,25	1,1608	0,1619	0,8866	0,5140	1,4377	0,5398	0,5960	0,500
Железо	7,86	7,78	31,18	9,591	15,676	4,634	0,3984	0,5306	9,00
Магний	1,735	0,5665	0,3343	2,2178	0,8710	0,4814	0,4163	0,5390	1,500
Медь	8,90	4,9578	3,6884	7,4727	11,591	5,5251	0,39493	0,52883	3,6000
Микарта	1,39	0,016164	0,02579	0,34261	0,15107	0,43434	0,0540	0,0612	0,150
Плексиглас	1,18	0,006199	0,015491	0,14759	0,05619	0,50504	0,5575	0,6151	0,100
Полистирол	1,04	0,038807	0,043646	0,77420	0,03610	0,46048	0,5443	0,6071	0,500
Полиэтилен	0,913	0,007841	0,00976	0,19257	0,10257	0,31592	0,5748	0,6230	0,100
Силастик	1,43	0,001794	0,04684	0,33969	0,02377	0,50767	0,4925	0,5721	0,300
Титан	4,51	1,9428	0,6591	1,8090	2,6115	1,7984	0,4003	0,5182	1,800
пониженной плотностью ро. Уравнение состояния в форме (5.4)
имеет вид

р=р0(2« - (27)'/г) [Д+В(2и-(27)'Л)],	(5.10)

где

ц__ /Д -Л + (В/2) [3 (2/)'^ + ЗЯ-Д (2/)'^ ((>)-!Ут;)]	-

2В [2-В(0)-D'vj)]	’

Д=[А+(5/2)	1)/'/1)-3(2/),Л}]2+4АВ(2/),Л.

(5Л2)

Для алюминия зависимость А и В от т) = р0/р дается форму-
лами

А (т])=0,34524-0,1276т] см/мкс,

В (7])=! ,8237 -0,2933т].	(5.13)

4.	СЛОИСТАЯ ПРОТИВОМЕТЕОРИТНАЯ ЗАЩИТА

ОБЗОР

Одно из первых систематических экспериментальных иссле-
дований эффективности метеорной защиты с целью ослабления
полного повреждения, наносимого высокоскоростным ударником,
принадлежит Хьюму и др. [16]. Хотя эти опыты были ограничены
максимальной скоростью Уо = О,41 см/мкс, изучение все же со
всей определенностью показало, что разрушенное вещество эф-
фективно разбрасывается и что повреждение от высокоскорост-
ных ударников можно существенно ослабить использованием
правильно выбранного защитного экрана.

Мейден и Макмиллан [6] изучали пробивание тонких пластин
ударниками со скоростями и0 до 0,8 см/мкс. Эти эксперименты
продемонстрировали влияние термодинамического состояния
разлетающегося вещества на степень повреждения основной
конструкции. Остаточный нагрев в ударных волнах, проходящих
по ударнику и разрушающемуся веществу мишени, должен быть
достаточен для полного расплавления вещества, поскольку в про-
тивном случае крупные твердые осколки способны серьезно
повредить оболочку. При заданных значениях скорости соударе-
ния и других параметров экраны равной массы одинаково эф-
фективны с точки зрения их способности разрушать ударник и
распылять осколки. Более поздние эксперименты Хьюма [17] при
скоростях vo до 0,6 см/мкс также показывают, что полное про-
бойное повреждение есть функция прежде всего массы единич-
ной площади защитного экрана Mt. Материал защитного экрана,
видимо, имеет значение лишь с точки зрения степени однородно-
сти нагрузки, прикладываемой к основной конструкции.

В случае тонких пластинок и высоких скоростей модель иде-
альной несжимаемой жидкости позволяет правильно описать
разрушение ударника и центральной части экрана и последую-
щего разлета разрушившегося вещества. В данном разделе
излагаются результаты численного решения по схеме частицы
в ячейках пяти задач о бомбардировке тонколистовых мишеней
из двух слоев разных материалов. Назначение таких расчетов
состоит в определении влияния несплошности материала на эф-
фективность пластин в качестве метеорной защиты. Реакция ос-
новной конструкции на воздействие разлетающегося вещества не
рассматривается.

УСЛОВИЯ СОУДАРЕНИЯ

Условия соударения в расчетах по схеме VISTA выбирались
так, чтобы разрушение ударника и центральной части тонкой
пластины и последующий разлет разрушившегося вещества опи-
сывались в рамках модели сжимаемой жидкости. Во всех пяти
рассмотренных задачах ударник представлял собой алюминиевый
цилиндр с высотой, равной диаметру, скорость соударения счи-
талась равной 1,5 см/мкс, полная толщина пластины — радиусу
ударника, а оба слоя составной пластины принимались имею-
щими одинаковую толщину (фиг. 5.2). В четырех задачах в ка-
честве материала второго слоя был взят алюминий, а материал
первого слоя варьировался в следующем порядке: задача А —
свинец, задача В — бериллий, задача С — плексиглас, задача D —
алюминий. В пятой задаче (Сх) условия соударения были такими
же, как и в задаче С, но с перестановкой плексигласового и алю-
миниевого листов в обратном порядке. Эти пять задач обеспе-
чивают широкие возможности варьирования факторов, которые
способны повлиять на эффективность противометеоритного
экрана.

Объединив соотношения, выражающие законы сохранения
потоков массы и импульса поперек ударного фронта, можно
получить хорошо известную зависимость

p=?QUu	(5.14)

между давлением р, начальной плотностью ро, скоростью удар-
ной волны U и массовой скоростью и. В особом случае предельно
слабой волны скорость их распространения есть константа дан-
ного вещества (U = c). Тогда коэффициент ро1/ = рос в уравнении
(5.14) точно определен и известен под названием «акустический
импеданс» материала.
Давление и массовая скорость, должны быть непрерывны даже
на поверхностях раздела между разными веществами. Поэтому
множитель р0(/ должен сохраняться для каждого значения дав-
ления, если применима простая волновая модель, на которой ос-
новано соотношение (5.14). Однако иначе обстоит дело в случае
двух разных материалов, поскольку приходящая волна всегда
расщепляется на преломленную и отраженную компоненты. Рас-
хождение значений акустического импеданса для этих двух ма-
териалов позволяет грубо оценить ожидаемый распад разрыва

i

Фиг. 5.2. Мишень в виде двухслойной пластины (/=0,3097 см, 2L//=1, h/1=0,5,
h\lh2—\, vQ= 15 км/с).

Задача	Материал	
	первого слоя	второго слоя
А	Свинец	Алюминий
В	Бериллий	
С	Плексиглас	
D	Алюминий	
С'		Плексиглас

при отражении ударной волны от границы раздела. В табл. 5.3
приведены значения отношения акустических импедансов на гра-
нице раздела в пластине для пяти рассматриваемых задач.

При расчете приведенных на фиг. 5.3 ударных поляр для каж-
дого из четырех материалов соотношения, выражающие сохра-
нение потоков массы, энергии и импульса при переходе через
ударный фронт, брали в сочетании с уравнением состояния
(5.9). Сплошные кривые, характеризующие зависимость давле-
ния от массовой скорости, графически выражают уравнение
(5.14) для исследованных материалов. Отклонение этих кривых
от линейности отражает изменение pot/ для соответствующего
Таблица 5.3

Отношение акустических импедансов, давление при ударе,
давление в вошедшей волне и масса единичной площади для двухслойных
пластинчатых мишеней

Задача	(P0C)i  (Ро^)г	Sp = Sif ТПа	S2, ТПа	г/см2	си см/мкс
А	1,49	0,50	0,306	1,080	0,207
В	0,93	0,27	0,31	0,348	0,798
С	0,19	0,185	0,29	0,297	0,259
D	1	0,31	0,31	0,413	0,585
С'	5,16	0,31	0,185	0,297	0,585

Фиг. 5.3. Ударные поляры распространяющихся вправо и влево волн для
четырех материалов.

вещества. Точки пересечения ударных поляр для распространяю-
щихся вправо и влево ударных волн на фиг. 5.3 определяют
начальные значения давления, возникающего в соответствующих
веществах при ударе со скоростью vo = 15 км/с. Амплитуды удар-
ной волны SP, распространяющейся по веществу ударника от
контактной поверхности, и Si, бегущей от этой поверхности по
первому слою, приведены для каждой из пяти рассматриваемых
задач в табл. 5.3.

Кроме того, с помощью диаграмм фиг. 5.3 можно провести
оценку распада ударной волны Si на отраженную волну Rl0 и
волну S2, проходящую во второй слой мишени. На фиг. 5.4 схе-
матически изображена одномерная идеализированная картина
распада разрыва с показом на диаграмме порядка проведения
оценки начальной стадии взаимодействия на границе раздела
слоев плексигласа с алюминием в задаче С. Первоначальная

Массовая скорость, см/мкс

Ф II г. 5.4. Схема определения приближенных значений давления на границе
раздела плексиглас—алюминий r задаче С.

ударная волна Si, возникающая в плексигласе при ударе алюми-
ниевого снаряда, обозначена на этом графике как точка 1. После
достижения границы между слоями по первому слою распро-
страняется бегущая влево отраженная волна Rw. Поскольку дав-
ление п массовая скорость должны при переходе через границу
раздела двух слоев сохраняться, пересечение проходящей через
точку 1 и соответствующей бегущим влево волнам ударной по-
ляры плексигласа с ударной полярой алюминия, проходящей
через начало координат и соответствующей бегущим вправо вол-
нам, определяет точку 2, что соответствует волнам S2 и Rw. В этом
случае S2 = Si + /?w~0,29 ТПа, так что Rw есть ударная волна
с амплитудой — 0,1 ТПа.

Аналогично можно рассмотреть задачу В. Степень точности
для задач А и С' меньше, поскольку Rw в этих случаях есть
волна разрежения, а для определения точки 2 по точке 1 исполь-
зуется ударная поляра. Поскольку в задаче D отсутствует гра-
ница раздела между разными веществами, то Rw = 0 и Si = 5г.
Эти оценки для 5г приведены в табл. 5.3.

В табл. 5.3 приведены также значения массы на единичную
площадь для обеих двухслойных пластин. Кроме того, для
оценки значения передачи энергии в боковом направлении.во
время пробивания первого слоя пластины приведены соответст-
вующие максимальные скорости с\ для всех пяти задач.

В центральной части пары ударник — экран сохраняется не-
которая остаточная внутренняя энергия, наличие которой есть
следствие неизоэнтропического ударного сжатия, сопровождаю-
щегося изоэнтропическим снижением давления в волнах разре-
жения. В случае алюминия и свинца необходимые для полного
расплавления вещества после разгрузки значения давления
в ударной волне по проведенной Урлиным [18] оценке оказались
равными соответственно около 0,1 и 0,4 ТПа. Сравнение со зна-
чениями Sp, приведенными в табл. 5.3, показывает, что алюми-
ниевый ударник полностью расплавляется во всех пяти случаях.
По амплитудам Si и S2 ясно также, что расплавятся и централь-
ные участки алюминиевых и свинцовых компонентов мишеней.
Хотя соответствующие оценки отсутствуют, необходимое для
расплавления плексигласа давление должно быть меньше, по-
тому что эти компоненты в задачах С и С' можно считать остаю-
щимися в жидком состоянии. Если даже в случае бериллия
в задаче В плавление не наступает, то значительная хрупкость
бериллия приводит к распылению разрушенного вещества в виде
мельчайших частиц.

РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА

Очень широко использовалась возможность в программе
VISTA графического отображения процесса соударения на лю-
бой стадии расчета с помощью устройства SC-4020. Были полу-
чены как распределения частиц, обрисовывающие конфигура-
цию ударник—мишень, так и распределения скоростей, описы-
вающие текущее поле скоростей. На фиг. 5.5, а—з представлены
типичные расчетные распределения на четырех стадиях процесса
в задаче С'. Частицы, представляющие первый алюминиевый
слой экранной мишени, обозначены знаками плюс. Другими знач-
ками (звездочками и точками) помечены частицы, представляю-
щие второй плексигласовый слой экрана и алюминиевый удар-
ник. Четко обрисовывается прохождение ударных волн по тол-
щине экрана и вверх по ударнику.

Такие поля течения вместе с распределениями частиц очень
ясно характеризуют весь процесс соударения и пробивания. Со-
четание в этом случае малой толщины пластины и высокой ско-
рости удара приводит к быстрому выбиванию участка пластины
с диаметром, приблизительно вдвое превышающим начальный
диаметр ударника. На задней поверхности мишени появляется
область сильно сжатого вещества, которое дальше по ходу рас-
ширяется и распыляется. Поскольку центральный участок пары
ударник — мишень полностью отрывается от мишени, то он
в дальнейшем с пробитой пластиной не взаимодействует.

Для сравнения эффективности разных экранов в отношении
разрушения ударника и разброса его вещества при дальнейшем
движении представляло интерес вычислить полный осевой им-
пульс летящего вперед вещества и полный радиальный импульс
разлетающегося от оси вещества для всей системы

z+=2^(‘D+)b/?+=2^ («+)'•	<5-15)

G j	i, J

Здесь знак плюс означает, что суммирование распространяется
только на положительные значения и и v. Сумма Z+ дает грубую
оценку полной импульсной нагрузки, приложенной ко второму
листу, а /?+ характеризует радиальное расширение полной на-
грузки.

На фиг. 5.6 показано, как вычисленные значения Z+ и /?+ из-
меняются от момента удара до полного проникновения для всех
пяти задач. В каждом случае полный осевой импульс летящего
вперед вещества монотонно возрастает от величины, начально
сообщенной ударником. Асимптотические значения, достигаемые
после завершения проникновения, для задач В, С, D и С' почти
одинаковы. Лишь для задачи А значение Z+ получилось на 10%
выше. С другой стороны, асимптотическое значение полного ра-
диального импульса разлетающегося от оси вещества в задаче А
приблизительно вдвое превосходит соответствующие значения
/?+ для других задач. Много более значительный боковой разлет
разрушившегося вещества ударника и мишени в задаче А дол-
жен, как можно ожидать, с избытком перекрыть эффект от не-
сколько большего полного импульса летящего вперед ве-
щества.

Полная энергия системы ударник—мишень постоянна во всех
пяти задачах. В задаче А, однако, доля внутренней энергии су-
щественно больше, а доля кинетической энергии соответственно
меньше, чем в остальных четырех задачах. Эта особенность ил-
люстрируется на фиг. 5.7. Суммарная внутренняя энергия

Фиг. 5.5. Конфигурация ударник—мишень и поле скоростей в задаче С7 через
определенные промежутки времени после удара.

а, 6 — 0,05 мкс; в, г —0,10 мкс; д, е — 0,15 мкс; ж, 3 — 0,27 мке.
начинает быстро убывать от максимального значения того мо-
мента времени, когда ударный фронт в мишени достигнет проти-
воположной свободной поверхности. Переход внутренней энергии
в кинетическую при уменьшении полного импульса давления
иллюстрируется возрастанием массовой скорости у свободной
поверхности мишени, как это можно видеть при сравнении
фиг. 5.5, б с 5.5, е.

Кроме того, проводилось вычисление энергии и импульса, со-
держащихся только в веществе ударника, в зависимости от вре-

Ф иг. 5.6. Полный осевой импульс летящего вперед вещества Z+ и полный
радиальный импульс разлетающегося от оси вещества R+ для задач об ударе
по слоистой пластине.

мени. Здесь снова к моменту завершения процесса проникнове-
ния достигались асимптотические значения в каждой задаче. Как
оказалось, защитная конфигурация в задаче А намного эффек-
тивнее с точки зрения поглощения энергии и импульса ударника,
чем остальные четыре конфигурации.

Второй слой мишени участия в процессе не принимает до тех
пор, пока возникающая на поверхности контакта ударная волна
не доходит до поверхности раздела в момент времени



(5.16)
где Rh — скорость ударной волны в мишени. Для соударений

алюминий — алюминий при скорости 1,5 см/мкс Rh = 1,51 см/мкс;
следовательно, результаты вычислений в задачах D и С' долж-
ны быть одинаковы до момента времени /=0,051 мкс. Интересно
отметить, что приведенные на фиг. 5.6 и 5.7 результаты для за-
дачи С' на самом деле совпадают с результатами для задачи 1>
до времен, больших / = 0,051 мкс, после чего кривые постепенно*

Фиг. 5.7. Полная внутренняя энергия для задач об ударе по слоистой пла-
стине.

приближаются к асимптотическим значениям, очень близким
к результатам для задачи С.

Отношение остаточного полного радиального импульса раз-
летающегося от оси вещества к остаточному полному осевому
импульсу летящего вперед вещества в конусе разлета, равное

lim (/?+/Z+),	(5.17)

t -> со

может служить показателем эффективности экрана в отношении
разброса разрушенного вещества. Приближённые значения этого
отношения были найдены из фиг. 5.6; как оказалось, из всех
приведенных в табл. 5.3 параметров только масса единицы пло-
щади мишени коррелирует с этим показателем (фиг. 5.9).

Фиг. 5.8. Отношение остаточного радиального импульса в конусе разлета
к остаточному осевому импульсу в зависимости от массы защитной пластины
единичной площади.

Кроме того, можно определить также значения остаточного
осевого импульса и остаточной полной энергии, содержащихся
только в веществе ударника. Эти значения, характеризующие

Фиг. 5.9. Остаточные осевой импульс и полная энергия ударника (в системе
единиц сантиметр—грамм—микросекунда) в зависимости от массы защитной
пластины единичной площади.

относительную эффективность пяти конфигураций защиты с точ-
ки зрения противодействия ударнику, как оказалось, тоже кор-
релируют только с массой единицы площади мишени (фиг. 5.9).
Можно сделать вывод о том, что доминирующим фактором
с точки зрения противодействия метеоритной защиты ударнику
и разброса разрушенного вещества надо считать массу единич-
ной площади защитного экрана. Максимальные давления соуда-
рения в ударнике и защитном экране, отношение импедансов на
границе слоев мишени и скорость ударной волны в веществе
мишени оказывали лишь второстепенное влияние при изучав-
шихся условиях соударения. Этот вывод основывается на пред-
положении о том, что максимальные давления, реализующиеся
в центральной части конфигурации ударник—мишень, доста-
точно велики для того, чтобы разрушенное вещество в конусе
разлета было в расплавленном состоянии из-за остаточного
нагрева после ударного нагружения.

Эти выводы в общем согласуются с экспериментальными ре-
зультатами для мишеней из одинакового материала, опублико-
ванными Мейденом и др. [5]. В случае более толстых составных
слоевых мишеней и меньших скоростей соударения, однако,
экспериментальное исследование свидетельствует о неправомер-
ности пренебрежения «вторичными» эффектами.

5.	ПОЛЫЕ УДАРНИКИ

ИЗУЧАВШИЕСЯ КОНФИГУРАЦИИ

В данном разделе излагаются результаты теоретического рас-
чета, описывающего высокоскоростной удар и пробивание мише-
ней (тонких пластинок) ударниками в виде полых шариков, по-
лых цилиндров, полых цилиндров с центральным диском и ци-
линдров с конической выемкой, высверленной на ударяющем
торце. Цель этого исследования состояла в получении количест-
венной характеристики влияния геометрии ударника на меха-
низм пробивания. Важность этих эффектов экспериментально по-
казали Варнике и Кристмен [19], которые привели результаты
сравнения пробивания тонкой пластинки ударниками разной
формы — диском, сплошным шариком, стержнем и полым ша-
риком.

Во всех восьми рассмотренных в данном разделе задачах
фигурировали алюминиевые ударники и мишени. Расчеты про-
водились для двух скоростей соударения (7,6 и 15 км/с). Как
уже отмечалось, по оценке Урлина [18] алюминий, подвергнутый
ударному сжатию до давления свыше 100 ГПа, должен после
разгрузки оказаться расплавленным, благодаря чему при скоро-
сти соударения 15 км/с центральная часть конфигурации удар-
ник— мишень должна оказаться в жидком состоянии. При
= 7,6 км/с максимальное давление равно 108 ГПа, а разрушен-
ное вещество в выбитой центральной части представляет собой
смесь твердых и жидких частиц. Предположение о том, что ве-
щество ведет себя подобно сжимаемой жидкости представляет
смесь твердых и жидких частиц. Предположение о том, что ве-
щество ведет себя подобно сжимаемой жидкости, является, ко-
нечно, обоснованным для рассматриваемых здесь условий. Для
изучения сложного течения, возникающего при соударениях с та-
кими полыми ударниками, применим лишь метод частиц в ячей-
ках; для решения уравнений сжимаемой жидкости использова-
лась схема VISTA.

Фиг. 5.10. Полые цилиндрические ударники и мишени из алюминия (LilLQ —
= 0,5).

Задача	Размеры				ZZ0, км/с
	Zo, см	Zz7Zo	2£0/^о	£/£0	
Е	0,3057	0	1	1	15
F	0,3057	0	1	1	7,6
G	0,3057	0	1	1,5	15
Т	0,3057	0,25	1	1	15
К	0,6114	0	0,5	1	15

Полное описание восьми рассматривавшихся задач дается на
фиг. 5.10—5.12. В трех задачах Е, F и G, относящихся к изуче-
нию соударения с полыми алюминиевыми цилиндрами (фиг.5.10),
были взяты ударники одинаковых наружных размеров /о = 2£о =
= 4£г =0,3057 см. Центральное отверстие уменьшает массу до
0,0453 г, что соответствует массе сплошного алюминиевого ша-
рика диаметром 3,175 мм. В задаче Е, считаемой в целях срав-
нения стандартной, толщина алюминиевой пластины равна внут-
реннему диаметру ударника ft = 2Lj, а скорость соударения и0 =
= 15 км/с. В задаче F скорость соударения была снижена до
£>о = 7,6 км/с, а в задаче G толщина пластины увеличена до
ft = 3Lt*. Задача J по условиям идентична задаче Е, но в ней
предусмотрен дополнительный центральный диск. Длина полого
цилиндра в задаче К вдвое больше, чем в задаче Е.

Фиг. 5.11. Алюминиевые цилиндрический ударник с высверленной конической
полостью и мишень.

Задача	Размеры				v0, км/с
	/0, см	Lc^	2£0/Z0	А/£о	
L	0,6114	0,5	0,5	1	15

Фиг. 5.12. Алюминиевые полые сферические ударники и мишени (/г=0,153 см,
Яг/Яо=О,5).

Кроме того, вычисления были проведены для алюминиевого
ударника с полостью, высверленной на ударяющем торце,
в форме обращенного конуса (фиг. 5.11). Скорость соударения
Ц01 ТПа


Фиг. 5.13. Конфигурация ударник—мишень и поле скоростей в задаче Е через определенные
промежутки времени после удара.

а, 6 — 0,05 мкс; в, г —0,10 мкс; 6, е — 0.15 мкс; ж, з — 0,32 мкс.
и длина ударника в этой задаче L такие же, как и в задаче К.
Размеры полых сферических ударников в задачах Н и I
(фиг. 5.12) были взяты такими, чтобы их масса совпадала с мас-
сой полых цилиндров в задачах Е, F и G. Толщина мишеней
была такой же, как и в задачах Е и F, а расчеты проводились
для тех же двух скоростей соударения — 7,6 км/с (задача Н) и
15 км/с (задача I).

МЕХАНИКА СОУДАРЕНИЯ

Устройство SC-4020 было использовано для графического
изображения результатов расчета по схеме VISTA для всех
восьми задач. На фиг. 5.13 показаны расчетные конфигурации
и поля скоростей на четырех стадиях процесса для задачи Е.
С момента удара волны разрежения создают радиальные гра-
диенты давления во внутренней и внешней окрестностях кольце-
вой поверхности контакта, что приводит к возникновению
направленных внутрь и наружу потоков (фиг. 5.13, а и б). Давле-
ние в направленном наружу потоке уменьшается из-за геометри-
ческого эффекта расширения. Текущее внутрь вещество, однако,
занимает все меньший объем по мере его приближения к оси
симметрии. Эта по существу цилиндрическая фокусировка удар-
ной волны приводит к повышению давления до максимального
значения рМакс~1,01 ТПа по сравнению со значением при ударе
рн = 0,31 ТПа. Место и время возникновения максимального дав-
ления указаны на фиг. 5.13, г. Последующее расширение веще-
ства из этой области высокого сжатия усиливает струю обрат-
ного течения и порождает направленную вперед центральную
струю, как это показано на фиг. 5.13, д—з.

Частицы, которые представляют выброшенное вверх по тече-
нию вещество, прослеживаются лишь до момента, когда они до-
стигают границы конечно-разностной сетки. В дальнейшем эти
частицы в расчете не учитываются, но момент их выхода из
сетки отмечается на диаграмме движения частиц для определе-
ния количества вещества, покидающего ячейки. Это приводит
к скоплению точек вдоль верхней границы сетки (фиг. 5.13, з).

Наибольшая расчетная скорость частиц в летящей вперед
струе была равна 20 км/с. Эти немногие частицы, как видно на
фиг. 5.13, ж, отрываются от основной струи, движущейся со ско-
ростью 15—19 км/с. Основная часть направленной назад струи
движется против потока со скоростью 0,7—0,9 см/мкс.

Интересно отметить, что механизмы, действующие в процессе
удара и пробивания, очень сходны с механизмом образования
кумулятивной струи. В последнем случае радиальная фокуси-
ровка, приводящая к возникновению высоких давлений в метал-
лической оболочке, производится детонационной волной в окру-
жающем взрывчатом веществе, а не давлениями, возникающими
при соударении с полым цилиндром.

При более низкой скорости соударения в задаче F получа-
ются результаты, очень сходные с результатами задачи Е. Удар-
ная фокусировка дает максимальное давление рМакс~0,35 ТПа
через / = 0,15 мкс по сравнению с рц = 0,108 ТПа. Налицо не

Фиг. 5.14. Конфигурация ударник—мишень в задаче К через 0,28 мкс (а)
и 0,41 мкс (б) после удара.

только одинаковая по положению фокусировка, но и аналогич-
ная по форме конфигурация после схлопывания.

В задаче G мишень вдвое тоньше, чем в задаче Е. Большее
расстояние до противоположной поверхности от точки достиже-
ния Рмакс позволяет тороидальной ударной волне в мишени при-
обрести к моменту прихода волны на эту поверхность форму,
очень близкую к эллипсоидальной. Из-за более плоского фронта
волны, приходящей на заднюю поверхность, и удаления свобод-
ной поверхности от области максимального давления ударная

Фиг. 5.15. Конфигурация ударник—мишень и поле скоростей в задаче L через 0,10 мкс (а), 0,28 мкс
(б) и 0,80 мкс (в и г) после удара.

В а и б вершина ударника входит в конечно-разностную сетку.
фокусировка менее эффективна с точки зрения образования ле-
тящей вперед струи. Максимальная расчетная скорость частиц
в движущейся вперед центральной области в задаче G получи-
лась равной 1,40 см/мкс.

По условиям соударения задача J идентична задаче Е, если
не считать дополнительного центрального диска в ударнике
(фиг. 5.10). Диск предназначается для уменьшения оттока в ле-
тящей назад струе от поверхности соударения. Через 0,11 мкс
после удара достигается максимальное давление рМакс~ 1,14 ТПа.
Это больше максимального давления 1,01 ТПа в задаче Е из-за
ослабления направленной назад струи центральным диском.
Сравнение картин течения в задачах J и Е в соответствующие
моменты времени показывает, что наличие центрального диска
не оказывает существенного влияния на образование и характе-
ристики передней струи. В то же время диск эффективно задер-
живает заднюю струю, уменьшая скорость основной массы
вещества приблизительно от Vo/2 в задаче Е до v0/5 в за-
даче J.

Условия соударения в задачах К и Е идентичны, если не счи-
тать удвоения длины ударника в задаче К. Сравнение фиг. 5.14, а
с 5.13, ж показывает, что удвоение длины ударника мало сказы-
вается на характере процесса вплоть до момента / = 0,28 мкс
Вскоре после этого поток достигает границы конечно-разностной
сетки, и осуществляется новое разбиение границ ячеек. Картина
течения при /=0,41 мкс в измененной сетке приведена на
фиг. 5.14,6. Ударник приблизительно на полудлине остается не-
поврежденным.

Внешние размеры ударника и скорость соударения в задаче
L были такими же, как и в задаче К. Коническая полость, вы-
сверленная с ударяющего торца ударника, заставляет ударную
волну в мишени схлопываться вдоль оси симметрии, а сплошная
часть в верхней половине ударника полностью тормозит обрат-
ную струю (фиг. 5.15). В момент времени /, несколько больший
0,32 мкс, поток достигает границы конечно-разностной сетки.
Для лучшего описания дальнейшего процесса производится но-
вое разбиение сетки путем автоматического слияния четырех
ячеек в одну и, следовательно, удвоения линейных размеров
ячеек (фиг. 5.15,в). Максимальное давление рМакс«1,Ю ТПа
достигается через / = 0,17 мкс после удара, а движущееся вперед
вещество за пластиной достигает максимальной скорости
2,0 см/мкс.

Эффективность полого цилиндра с точки зрения образования
струи сильно зависит от положения его оси в момент удара.
Такой проблемы не возникает, однако, в случае полых сферичес-
ких ударников.
Фиг. 5.16. Конфигурация ударник—мишень и поле скоростей в задаче I через 0,13 мкс (а), 0,25 мкс
(б) и 0,31 мкс (в и г) после удара.
Картины течения, возникающего при соударении с полыми
шариками в задачах Н и I имеют совершенно иной вид, чем
в случае полых цилиндров. В обеих задачах нет фокусировки
ударной волны. Графические представления течения на разных
стадиях процесса деформирования в задаче I приведены на
фиг. 5.16. Направленное внутрь радиальное течение, необходи-
мое для фокусировки ударной волны, отсутствует. Вещество, вы-
летающее с внутренней поверхности ударника напротив центра
соударения (фиг. 5.16, а), достигает диаметрально противопо-
ложного участка внутренней поверхности к моменту времени
/ = 0,25 мкс (фиг. 5.16,6). Это приводит к возникновению давле-
ния в верхней части сферы, что в свою очередь обусловливает
появление радиального оттока из этой области. Ударник быстро
разрывается, а область разрушения быстро расширяется при
своем движении вниз. Аналогичный механизм разрушения на-
блюдается и в задаче Н.

ЧИСЛЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Образование центральной струи благодаря фокусировке
ударной волны, если оно происходит, сокращает разброс разру-
шенного вещества. Поскольку импульс, переносимый разрушен-
ным веществом ударника и мишени, может воздействовать на
вторую мишень вниз, интересно провести здесь расчет для этих
конфигураций полного осевого импульса летящего вперед веще-
ства Z+ и полного радиального импульса разлетающегося от оси
вещества R+. Были вычислены значения Z+ и R+ в зависимости от
времени для всех восьми задач.

На фиг. 5.17 показано, как Z+ и R+ изменяются во времени
начиная с момента удара в задачах Е, G и I. С окончанием про-
цесса пробивания кривые все больше отклоняются к горизонта-
лям, приближаясь со временем к асимптотическим значениям.
Еще отчетливее это видно на фиг. 5.18, где построены времен-
ные зависимости Z+ и /?+ и для задач J, К и L в сравнении с за-
дачей Е. В этих задачах вычисления проводились гораздо дольше
после достижения асимптотических значений. В табл. 5.4 приве-
дены также приблизительные предельные значения к моменту
окончания расчета и для восьми задач. Отношение
Z™!R™ представляет собой грубый показатель эффективности
ударника в сведении всего разлетающегося разрушенного веще-
ства к центральному потоку, который может воздействовать на
расположенную ниже вторую мишень. Большее значение этого
показателя соответствует большей концентрации переносимого
ко второй мишени распределенного импульса летящего вперед
вещества.
Фиг. 5.17. Полный осевой импульс летящего вперед вещества Z+ и полный
радиальный импульс разлетающегося от оси вещества /?+ для задач Е, G и I.

Фиг. 5.18. Полный осевой импульс летящего вперед вещества Z+ и полный
радиальный импульс разлетающегося от оси вещества R+ для задач Е, J, К и L.
Таблица 5.4

Начальный и конечный осевые импульсы ударника,
а также предельные значения Z+, R+ и Z+/R+
(в системе единиц грамм-сантиметр—микросекунда)

Задача	Ударник		Ударник—мишень		
	z0	zf	8 + N	*+	
Е	0,068	0,035	0,083	0,048	1,73
F	0,034	0,018	0,047	0,027	1,74
G	0,068	0,021	0,093	0,077	1,21
Н	0,034	0,016	0,046	0,033	1,39
I	0,068	0,030	0,092	0,060	1,53
J	0,074	0,037	0,096	0,058	1,66
К	0,136	0,102	0,157	0,058	2,71
L	0,150	0,106	0,169	0,080	2,11

Интересно также последить отдельно за изменением во вре-
мени осевого импульса вещества ударника. В каждом случае
импульс уменьшается от значения при ударе Zo до предельного
значения Z/. Значения Z/ для всех задач приведены в табл. 5.4.

Обобщенные в табл. 5.4 результаты расчетов обнаруживают
следующие особенности:

1.	Эффективность фокусировки ударной волны в образовании
передней струи сильно зависит от толщины пластины. С утолще-
нием пластин уменьшается скорость струи, а передняя поверх-
ность конуса разлета становится более плоской.

2.	Форма передней струи и отношение ее скорости к скорости
удара относительно нечувствительны к изменению скорости со-
ударения. Аналогичные результаты были получены при скоро-
стях удара 7,6 и 15 км/с.

3.	Тот факт, что при использовании сферических ударников
для рассмотренных условий соударения не было получено фоку-
сировки ударной волны, свидетельствует о более существенном
разбросе разрушенного вещества, чем для соответствующих ус-
ловий соударения в случае полых цилиндрических ударников.

4.	Вычисления для случая полых цилиндрических ударников
со сплошной центральной частью показывают, что вещество
в центральной части эффективно затрудняет образование обрат-
ной струи из материала мишени. При этом передняя струя по-
прежнему образуется, а разрушенное вещество эффективнее
сосредоточивается у оси соударения.
5.	Удвоение отношения длины полого цилиндрического удар-
ника к его диаметру не оказывает большого влияния на его
взаимодействие с пластиной. Около половины длины ударника
остается к моменту возможного удара по расположенной ниже
второй мишени почти неповрежденной, а общее диспергирование
разрушенного вещества таким образом резко сокращается.

6.	предсказание размеров кратера
ДЛЯ ТОЛСТЫХ МИШЕНЕЙ

КРИТЕРИИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОНТУРОВ КРАТЕРА

Для исследования влияния, которое может оказывать умень-
шенная плотность метеоритных частиц на их проникающую спо-
собность, был проведен численный расчет для толстой мишени
из алюминиевого сплава 2024-Т6 под воздействием ударников,
моделирующих каменные метеориты. Расчет проводился для
сплошного ударника с нормальной плотностью 2,7 г/см3, двух
гетерогенных конфигураций с распределенными зернами веще-
ства нормальной плотности при средней суммарной плотности
0,5 г/см3 и гомогенного ударника с пониженной плотностью, рав-
ной 0,5 г/см3. Эти четыре конфигурации (ударники а, р, у и б)
имели одинаковую массу, равную массе шарика диаметром
3,175 мм (фиг. 5.19). Результаты семи задач обобщены
в табл. 5.5.

Таблица 5.5

Результаты расчета размеров кратера в семи задачах
(в системе единиц сантиметр—грамм—микросекунда)

Задача	Удар- ник		Pel1	Рс/1	рс/рс	рс	Рс	vc		pd М'/ь
1	а	0,735	2,4	2,2	1,09	0,66	0,61	0,52	3,49	1,87
2	а	2,0	4,4	4,0	1,10	1,22	1,11	3,15	3,30	3,43
3	?	2,0	2,1	2,4	0,87	1,03	1,17	2,95	3,20	2,89
4	7	2,0	2,3	2,5	0,92	1,12	1,22	3,50	3,38	3,15
5	6	2,0	2,4	2,7	0,89	1,17	1,32	4,27	3,61	3,28
6		0,735	1,0	1,2	0,83	0,49	0,59	0,35	3,07	1,38
7		5,0	3,9	4,3	0,91	1,91	2,10	17,6	3,15	5,36

Ударники считались алюминиевыми, потому что ударная
адиабата алюминия близка к кривым Гюгонио для горных пород.
Численная схема, выбранная для решения уравнений осесим-
метричного течения сжимаемой жидкости, представляет собой
схему частиц в ячейках (VISTA). Выбор этой схемы для расче-
тов начальных стадий процесса диктовался желанием подробно

Y	8

Фиг. 5.19. Осевые сечения, иллюстрирующие распределение массы (0,04525 г)

В четырех рассмотренных конфигурациях ударников (р0 и р0 суть локальная
и средняя плотности).

Ударник	1 — D, см	р0, г/см3	Ро. г/см3
а	0,2774	2,7	2,7
₽	0,4886	2,7 или 0	0,5
7	0,4886	2,7 или 0	0,5
б	0,4886	0,5	0,5

проследить за изменением формы ударников разных конфигура-
ций. После передачи ударником своей энергии и импульса ми-
шени расчетные данные записываются на магнитную ленту
в форме, пригодной для продолжения расчета по эйлеровой рас-
четной программе PICWICK III. Поскольку/ в расчетах по объе-
диненной программе VISTA—PICWICK III используется мо-
дель сжимаемой жидкости, необходимо выбрать зависящий от
прочности критерий для предсказания окончательных контуров
кратера. При этом необходимо использовать косвенные методы
оценки, поскольку существующие численные схемы не могут опи-
сать все возможные режимы течения, а процесс образования
кратера поддается разбиению на отдельные режимы хуже, чем
последовательность деформирования метеорной защиты.

Рассматривались два критерия для предсказания окончатель-
ной глубины кратера в толстых мишенях под действием высоко-
скоростного удара. Один из них основан на концепции эквива-
лентности двух полей течения на поздних стадиях, а другой —
на сравнении динамического давления в поле течения с преде-
лом текучести материала мишени.

Принцип эквивалентности на поздних стадиях не позволяет
прямо прогнозировать окончательные размеры кратера, обеспе-
чивая прежде всего основу сопоставления полей течения (Уолш
и Тиллотсон [20]). Поскольку приложенный к мишени импульс
давления служит основным источником образования кратера,
возникшие при соударении с двумя разными ударниками поля
течения в мишенях из заданного материала сопоставляются при
временах, когда ударные фронты в мишенях находятся на оди-
наковой глубине от поверхности мишени. Для эквивалентности
необходимо, чтобы в эти сопоставляющиеся моменты времени
значения полного осевого импульса летящего вперед вещества
Z+, полного радиального импульса разлетающегося от оси веще-
ства /?+ и амплитуды импульса давления стали равными до на-
чала влияния прочности и скорости деформации [21].

Если два набора условий соударения обеспечивают эквива-
лентность полей скоростей в мишени, то окончательные кратеры
считаются идентичными. Если же между полем течения при ин-
тересующих нас условиях соударения и полем течения с извест-
ным окончательным кратером эквивалентность на поздних ста-
диях не реализуется, то этот критерий не может служить основой
для предсказания параметров кратера. Он не применим в случае
гетерогенных ударников, которые прежде всего интересуют нас
в данной работе.

Критерий динамического давления при прогнозировании окон-
чательных размеров кратера основывается на детальном анализе
поля течения, возникающего в мишени при ударе [15]. К тому
времени, когда ударник полностью разрушается, а процесс кра-
терообразования еще идет, поле течения можно разбить на две
основные области, поскольку ударная волна в мишени распрост-
раняется с большей скоростью, чем скорость разрастания кра-
тера. Это деление на две области означает, что начиная с неко-
торого момента ударная волна уже не оказывает прямого
влияния на процесс образования кратера. Окончательные пара-
метры кратера зависят от импульса вещества в окрестности об-
разующегося кратера и от его взаимодействия с остаточной проч-
ностью материала, подвергнутого сжатию в уже прошедшей
ударной волне.

В данной точке поля течения вокруг образующегося кратера
вектор скорости имеет величину и направление, определяемые
формулами

^/i=(^2+^2),/2, ig^ = ulv.

Локальный поток массы выражается в виде
АГ/=р'Ул=р(м2+т»2)'/2.

Давление за ударной волной рн, ГПа

Фиг. 5.20. Предел текучести алюми-
ниевого сплава 2024 после прохожде-
ния ударной волны.

Предположение о том, что со-
держащийся в этом потоке им-
пульс полностью поглощается
поверхностью, нормальной к
вектору скорости, приводит
к следующему выражению для
динамического давления, дей-
ствующего на эту поверхность
в данной точке:

Аин=4‘ Р^п=-гР («2+^2)-

(5.18)

При определении положе-
ния конечной поверхности кра-
тера считается, что действую-
щее там динамическое давле-
ние должно равняться пределу
текучести материала мишени

Au.„=M7’).	(5-19)

Материал мишени после ударного сжатия имеет остаточную тем-
пературу Т, и его предел текучести, следовательно, имеет мень-
шую величину.

Выражаемый соотношением (5.19) критерий представляет со-
бой результат распространения на расчеты высокоскоростного
соударения прежнего критерия, использовавшегося для нахож-
дения глубины кратера, который образуется в мишени под дей-
ствием металлической струи от кумулятивного заряда [22]. Тео-
рия струйного пробивания является, однако, стационарной и од-
номерной, так что уравнение Бернулли может применяться
с большим основанием.
В настоящем рассмотрении распределение динамического
давления в области мишени вокруг образующегося кратера счи-
тается изменяющимся во времени и, следовательно, соотношение
(5.19) не определяет единственную поверхность. Тем не менее
проведенные в настоящей работе расчеты показывают, что опре-
деленная таким образом поверхность в течение длительного вре-
мени остается почти стационарной, а соотношение (5.19) дейст-
вительно определяет поверхность, которая трактуется как иско-
мая окончательная поверхность кратера.

Прежде чем перейти к конкретным результатам для а-удар-
ников с нормальной плотностью, следует описать способ опре-
деления температурной зависимости предела текучести оу. За-
данной амплитуде ударного сжатия, которому подвергается алю-
миний, соответствует остаточная температура, которой обладает
вещество после разгрузки до нулевого давления. Ее можно вы-
числить по уравнению состояния, используя термодинамические
данные. Температурное изменение предела текучести алюминие-
вого сплава 2024-ТЗ приведено в справочниках для конструкто-
ров. Исключение температуры из этих двух соотношений дает
единую кривую, выражающую зависимость предела текучести
сплава 2024-ТЗ после прохождения ударной волны с амплитудой
Рн (фиг. 5.20). Можно считать, что эта зависимость справедлива
также и для сплава 2024-Т6.

УДАРНИКИ НОРМАЛЬНОЙ плотности

Рассматривалось соударение а-ударника из алюминия нор-
мальной плотности с толстой мишенью из алюминиевого сплава
2024 при скоростях 7,35 км/с (задача 1) и 20 км/с (задача 2)
(табл. 5.5). Результаты расчета задачи 1 по схеме VISTA—
PICWICK Ш позволяют провести сравнение расчетных значе-
ний глубины кратера, предсказанной на основе критерия (5.19),
с экспериментальными данными. Результаты для задачи 2
позволяют проверить процедуру прогнозирования в области
метеоритных скоростей. Достоверность предсказания в послед-
нем случае можно проверить по критерию эквивалентности на
поздних стадиях полей течения, рассчитанных для за-
дач 1 и 2.

Полученные с помощью SC-4020 типичные графические изо-
бражения конфигурации ударник — мишень и поля скоростей
для расчетов по схеме VISTA в случае задачи 1 приведены на
фиг. 5.21. При / = 0,434 мкс результаты расчета по схеме VISTA
были выведены на магнитную ленту и затем расчет продолжен
по схеме PICWICK III. Типичные распределения потока массы
(ри, ра)г/ для задачи 1, приведенные на фиг. 5.22, показывают
разделение поля течения в мишени на две основные области,
Фиг. 5.21. Задача 1: а-ударник при скорости ио=О,735 см/мкс.

Графические изображения конфигурации ударник—мишень (а) и поля скоростей (б) через
0,452 мкс (а) и 0,415 мкс (б) после удара.
Фиг. 5.22. Задача 1: а-ударник при скорости и0=0,735 см/мкс.

Графические изображения распределений потока массы через 1,623 мкс (а) и 2,297 мкс (б)
после удара.
в которых поток массы и, следовательно, динамическое давле-
ние достигают максимальных значений. Одна область связана
с расходящимся ударным фронтом, а вторая — с веществом, ок-
ружающим формирующийся кратер. Между моментами, отобра-
женными на фиг. 5.21 и 5.22, необходимо было изменить разбие-
ние конечно-разностной сетки путем объединения четырех ячеек
в одну для того, чтобы сетка покрывала все поле течения.

Фиг. 5.23. Задача 1: а-ударник при скорости t>0=0,735 см/мкс.

Прогнозирование размеров кратера по критерию динамического давления.

Во время проведения расчета по схеме PICWICK III в каж-
дой ячейке конечно-разностной схемы вычислялось динамическое
давление. Между двумя областями максимальных значений, одна
из которых связана с ударной волной в мишени, а вторая —
с окружающим кратер веществом, были получены намного мень-
шие значения. Следовательно, изучение результатов расчета по
схеме PICWICK III позволяет для данного цикла по времени
определить глубину в мишени, на которой динамическое давле-
ние в окружающем кратер веществе принимает заданное значе-
ние. На фиг. 5.23 нанесены минимальные значения глубины
в каждой колонке конечно-разностной сетки для двух разных
моментов времени в задаче 1. Точками на фиг. 5.23 обозначены
глубины, на которых рдин равно 0,34 ГПа при / = 1,62 мкс,
а штрихи показывают этот графический критерий при 1 =
= 2,30 мкс после удара. За такой довольно большой промежуток
времени глубины изменились совершенно незначительно, а по
точкам проведена гладкая поверхность, приближенно выражаю-
щая огибающую для таких глубин.

В процессе расчета определялись также максимальные зна-
чения давления рмакс на оси, достигавшиеся на разных расстоя-
ниях в мишени. Сочетая эти данные с кривой на фиг. 5.20, можно
было оценить остаточный предел текучести оу(Т) для вещества
мишени на разных глубинах за ударной волной, в которой веще-
ство на данной глубине подверглось ударному сжатию. Эти зна-
чения Оу (Г) тоже нанесены на фиг. 5.23. Поскольку кривая
с Рдин = 0,34 ГПа соответствует на оси значению оу(Т) =
= 0,34 ГПа, то эту поверхность можно считать конечной поверх-
ностью кратера по критерию (5.19). Следовательно, предсказан-
ные на этой основе окончательные глубины Рс и радиус /?с кра-
тера принимают значения

Р,//=2,4, 0=2,2, адс=1,09,

Р.=0,66 см, /?с=0,61 см.	(5.20)

Аналогичные результаты, полученные в задаче 2, представ-
лены на фиг. 5.24. Верхние точки и штрихи на фиг. 5.24 озна-
чают глубины вокруг формирующегося кратера, на которых
Рдин=0,34 ГПа соответственно при / = 1,69 мкс и при / = 2,70 мкс
после удара. Штриховая кривая приближенно представляет оги-
бающую этих точек, и ее можно было бы считать представле-
нием окончательного вида кратера, если бы не было уменьшения
предела текучести в ударносжатом материале на этой поверхно-
сти. На оси поверхность Рдин==0,34 ГПа соответствует пределу
текучести 0,10 ГПа и, следовательно, не удовлетворяет критерию
(5.19). Сплошная кривая на фиг. 5.24 представляет собой при-
ближенную огибающую глубин, соответствующих рдин=0,20 ГПа.
Поскольку она соответствует оу(Т) =0,20 ГПа ударносжатого
материала, то она представляет искомую поверхность кратера
по критерию (5.19)

Рс//=4,4, /?с//=4, РС!ИС=\Д,

Рс=1,22 см, /?С=1,П см.	(5.21)

Интересно определить показатель степени а в зависимости
глубины пробивания от скорости по данным (5.20) и (5.21),
выражающейся в виде

(2,0/0,735)“=4,4/2,4;
отсюда

a=lgl,83/lg 2,72=0,60.

(5.22)

Значение а=0,67 соответствует чисто энергетическому подобию,
а а=0,33 соответствует подобию по импульсу для влияния ско-
рости на глубину пробивания. Чувствительность оценки для а

Фиг. 5.24. Задача 2: а-ударник при скорости о0=2,0 см/мкс.

Прогнозирование размеров кратера по критерию динамического давления.

можно выяснить, если учесть, что изменение Рс/1 в (5.21) до 4,3
дает оценку для а=0,58; если одновременно уменьшить и вели-
чину Рс/1 в (5.20) до 2,3, то получим значение а=0,54.

ПРОВЕРКА ПРОГНОЗОВ

Предсказанные значения в задаче 1 (5.20) можно проверить
путем сравнения с имеющимися экспериментальными данными.
Как показывает обзор литературных данных, есть шесть экспе-
риментальных точек для условий соударения, очень близких
к принятым в данном расчете [23—25]. Две толстые мишени
были изготовлены из алюминиевого сплава 2024-Т6 и четыре —
из 2014-Т6. Эти данные приведены в табл. 5.6. Для обеспечения
возможности прямого сравнения с данными расчета (5.20) необ-
ходимо было приспособить данные к небольшим вариациям раз-
мера ударника и скорости; кроме того, потребовалось допустить,
что образующийся при соударении с шариком кратер не отлича-
ется от кратера, возникающего при соударении с цилиндром рав-
ной массы, высота которого равна диаметру. В табл. 5.6 приве-
дены также небольшие поправки, сделанные на основе предпо-
ложения об энергетическом подобии. Предсказанное значение
Рс=0,66 см [см. (520)] представляет собой среднее по обрабо-
танным результатам экспериментальных наблюдений.

Таблица 5.6

Экспериментальные значения глубины кратеров, возникающих при соударении
алюминиевых сферических ударников с толстыми мишенями
из алюминиевых сплавов

Источ- ник	Номер опыта	Материал мишени	Vo, см/мкс	Dst см	Pcl^c	V 0 , см/мкс	{pdDsy	(W	р'с, см
[23]	—	2014—Тб	0,695	0,635	2,02	0,735	2,09	2,39	0,663
[24]	5—268	2014—Тб	0,775	0,4763	2,06	0,735	2,14	2,45	0,680
[24]	5—281	2014—Тб	0,735	0,4763	2,00	0,735	2,00	2,29	0,636
[24]	5—283	2014—Тб	0,697	0,4763	2,01	0,735	2,08	2,38	0,660
[25]	D—906	2024—Тб	0,753	0,3175	2,11	0,735	2,21	2,53	0,702
[25]	D—898	2024—Тб	0,789	0,3175	2,08	0,735	2,14	2,45	0,680
Примечание. Штрихи означают данные с размеров и скорости для сравнения с результатами						поправкой на малые изменения расчета в задаче.			

Интересно также сопоставить расчеты полей течения в зада-
чах 1 и 2 на основе принципа эквивалентности на поздних ста-
диях. Поскольку уравнения гидродинамики можно выразить
в безразмерном виде, результаты расчета применимы в действи-
тельности для любых геометрически подобных ударных конфи-
гураций алюминий — алюминий при соответствующей скорости.
Результаты расчета задачи 1 сопоставляются с результатами
задачи 2 на основе равенства энергий:

т>о=2,О см/мкс, /=Ь=0,27736 см,

///=/'//= d7d=(^0/^)2/’=(2,721),/3=1,949,	(5.23)

Масса'/Масса=(/’//)3=(®0М)2=7,404,

00=0,735 см/мкс, I =£>’=0,5406 см.
, г*см/мкс

Фиг. 5.25. Проверка эквивалентности для задачи 1 после пересчета в целях
сравнения с задачей 2 по энергетической эквивалентности (в системе едиццц
сантиметр—грамм—микросекунда).

а —полный положительный импульс Z+ или R+; б — амплитуда осевого давления Рмакс,

Глубина в мишени, см
6
Расчетные расстояния и времена в задаче 1 умножаются, та-
ким образом, на 1,9494; значения полного осевого импульса ле-
тящего вперед вещества Z+ и полного радиального импульса,
разлетающегося от оси вещества /?+, содержащихся в системе
в любой момент времени, умножаются на 7,404. Пересчитанная
задача 1 обозначается как задача 1'.

На фит. 5.25 сопоставляются временные зависимости Z+ и R+
для задач lz и 2. Кроме того, были построены траектории фронта
ударных волн в мишенях для каждого из двух случаев с равной
энергией. Эти кривые показывают, что ударный фронт, генери-
руемый более тяжелым, но менее быстрым ударником (задача г),
отстает от ударного фронта в случае маленького высокоскорост-
ного ударника (задача 2 с разрывом по времени А/—0,4 мкс).
Исправленные таким способом результаты, что соответствовало
сдвигу по времени кривых R+ и Z+ для задачи Г, также пока-
заны на фиг. 5.25, а.

На фиг. 5.25,6 нанесены расчетные значения максимального
давления, реализующегося в задачах 1 и 2 на различной глубине
в мишени. Полученные значения очень близки для глубин более
1,5 см, что соответствует давлениям, меньшим 11 ГПа.

Как можно видеть из фиг. 5.25, критерий эквивалентности на
поздних стадиях почти точно удовлетворяется путем пересчета
скорости по энергии. Отсюда следует, что показатель степени а
в зависимости Pc~vf очень близок к 0,67. В действительности
значения R+ и Z+ с поправками для задачи 1 лежат несколько
выше соответствующих кривых для задачи 2, а несколько мень-
шее значение а не выходит за рамки точности вычислений. При-
менение критерия эквивалентности на поздних стадиях приводит,
таким образом, к результатам, согласующимся со значением
'«’ = 0,60, которое было найдено прямым использованием крите-
рия динамического давления к задачам 1 и 2 (5.22).

ПРЕДСКАЗАНИЯ ДЛЯ УДАРНИКОВ МАЛОЙ ПЛОТНОСТИ

Рассматривались ударники типов 0, у и б, каждый со сред-
ней плотностью 0,5 г/см3, при одной и той же скорости соударе-
ния Vo = 20 км/с (табл. 5.5). Задачи 3—5 были поставлены для
изучения эффекта распределения массы внутри ударника. Кроме
того, 0-ударник рассматривался также при скоростях соударения
7,35 и 50 км/с. Соответствующие этим двум скоростям задачи 6
и 7 вместе с задачей 3 были решены для определения влияния
скорости соударения в случае гетерогенных ударников.

Типичные графические изображения течения в задаче 3 при-
ведены на фиг. 5.26 и 5.27. Первоначальный вид 0-ударника и
деформированная конфигурация ударник — мишень, даваемая
расчетом по схеме VISTA показаны на фиг. 5.26. Форма
ударного фронта в мишени становится более регулярной по мере
его распространения, и к моменту перехода на программу
PICWICK Ш (t=0,703 мкс) большие искажения ааметны лишь

Фиг. 5.26. Задача 3: 0-ударник при скорости уо=2,О см/мкс.

Графическое изображение конфигурации ударник—мишень через 0,004 мкс (а) и
0,€62 мкс (о).

у поверхности формирующегося кратера. К этому времени рас-
пределение энергии и импульса между ударником и мишенью
слабо изменяется со временем. Доля радиального импульса
в ударнике становится меньше 10%, а доля осевого импульса ока-
зывается даже отрицательной. Большая доля (25%) суммарной
энергии, переносимой веществом ударника, приходится на обрат-
ный выброс вещества ударника (фиг. 5.26,6). Данные о рас-
пределении потока массы в последующих расчетах по схеме

Фиг. 5.27. Задача 3: 0-ударник при скорости удара 2 см/мкс.

Графическое изображение распределений потока массы через 1,121 мкс (а) и 2,719 мкс (6).

PICWICK (фиг. 5.27) свидетельствуют о сравнительно гладком
поле течения, разделенном на две зоны максимального динами-
ческого давления.
Как уже говорилось об ударниках нормальной плотности,
анализ данных расчета по схеме PICWICK III на данном цикле
по времени позволяет определить глубину в мишени, на которой
динамическое давление в области около формирующегося кра-
тера принимает заданное значение. На фиг. 5.28 верхние точки
означают глубины, на которых Рдин = 0,34 ГПа при f=l,85 мкс,
а верхние штрихи показывают выполнение критерия для / =

Фиг. 5.28. Задача 3: Р-ударник при скорости соударения 2 см/мкс.
Прогнозирование размеров кратера по критерию динамического давления.

= 3,17 мкс после удара. Штриховая кривая, образующая при-
близительную огибающую этих точек, представляла бы оконча-
тельную форму кратера, если бы предел текучести оу(Т) ударно-
сжатого вещества не уменьшался. На оси, однако, поверхности
с Рдин = 0,34 ГПа соответствует предел текучести оу(Т) =
= 0,03 ГПа, и, следовательно, условие (5.19) не выполняется.
Сплошная кривая на фиг. 5.28 представляет собой приблизитель-
ную огибающую глубин, соответствующих РдПн = 0,18 ГПа. По-
скольку она отвечает остаточному пределу текучести примерно
той же величины, то по условию (5.19) эта кривая представляет
искомую поверхность кратера:

Рс//=2,1, /?с//=2,4, адс=0,87,

Рг=1,03 см, /<=1,17 см.	(5.24)

Единственное различие между задачами 2 и 3 заключается
в разном распределении массы в ударниках а и ₽. Сравнение
результатов (5.21) и (5.24) показывает, что меньшая средняя
плотность ударника в задаче 3 приводит к уменьшению глубины
кратера ~ на 20%, но увеличивает радиус кратера ~ на 6%.
Было проведено сравнение временных зависимостей Z+ и R+ для
этих двух задач. Как оказалось, даже при внесении поправки на
запаздывание по времени А/ соответствующие значения /?+ и Z+
сильно различаются. Таким образом, для этих двух задач не
выполняется эквивалентность на поздних стадиях, хотя импульсы
и энергии ударников одинаковы. Этот отрицательный результат
находится в соответствии с предсказаниями параметров кратера
по критерию динамического давления, так как если бы была
установлена эквивалентность на поздних стадиях, то окончатель-
ная форма и размеры кратеров в задачах 2 и 3 оказались бы
одинаковыми.

Результаты в задаче 4 для у-ударника при скорости соударе-
ния 20 км/с получились такими же, как и для задачи 3. Гетеро-
генность ударника приводит к возникновению нерегулярного
поля течения на ранних стадиях, которое сглаживается со вре-
менем.

Совершенно иной характер имеет процесс соударения на ран-
ней стадии в случае гомогенного б-ударника с пониженной
плотностью при ио = 2О км/с. Ударник пониженной плотности
ро = О,5 г/см3 генерирует при ударе давление, меньшее 7з давле-
ния для ударника нормальной плотности (табл. 5.7). В данном
случае (задача 5) ударник не претерпевает резкого разрыва
направленными внутрь и вовне радиальными течениями и под-
вергается почти одноосному сжатию до тех пор, пока отражен-
ная волна не достигнет задней поверхности ударника (фиг. 5.29).
На границе раздела между ударником и мишенью давления
равны рн = 0,1498 ГПа, но плотность вещества мишени остается
больше, чем у сжатого' вещества ударника. Удельная внутренняя
энергия вещества ударника соответственно выше, чем у вещества
мишени. Распространяющаяся от задней поверхности ударника
волна разрежения содержит малоплотное вещество с очень высо-
кой остаточной внутренней энергией, что приводит к быстрому
выбросу вещества ударника (фиг. 5.29, б). Ко времени перехода
на программу PICWICK Ш t = 0,7117 мкс) только 5% радиаль-
ного п полного осевого импульсов остается в веществе ударника,
Ф и г. 5.29. Задача 5: d-ударник при скорости соударения 2 см/мкс.

Графическое изображение конфигурации ударник—мишень через 0,238 мкс (а) и
0,418 мкс (б) после удара.
Таблица 5.7

Давление, скорость ударных волн и сжатие в ударнике
и мишени при ударе

Параметр	При скорости удара vQ, км/с		
	7,35	20	50
Ударник и мишень из алюминия нормальной плотности			
РН	1,032	4,904	24,0
	1,039	1,810	3,550
Ря/Ро	1,547	2,242	3,390
Мишень нормальной плотности, а ударник пониженной плотности (0,5 г/см3)			
Рн	0,238	1,498	8,408
Rh (мишень)	0,712	1,174	2,248
Rh (ударник)	0,777	1,961	4,649
ря/?о (мишень)	1,210	1,672	2,601
ря/ро (ударник)	0,869	0,838	0,833
Примечания. Параметры вычислялись по уравнениям состоя- ния (5 9) и (5.10) для алюминия соответственно нормальной и понижен- ной плотностей. Данные приведены в системе единиц сантиметр- грамм—микросекунда.			

причем более 25% оставшейся энергии содержится в веществе
ударника, выброшенном из образующегося кратера.

В табл. 5.5 приведены предсказываемые окончательные раз-
меры кратера, найденные по критерию динамического давления,
вместе с результатами трех рассмотренных задач. Здесь же при-
ведены предсказываемые данные, полученные при аналогичном
рассмотрении (J-ударника при ио = 7,35 км/с (задача 6) и при
ио = 50 км/с (задача 7).

ВЛИЯНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МАССЫ В УДАРНИКЕ

В табл. 5.5 приводятся также приближенные значения объема
кратеров, вычисленные по формуле

(5.25)

Эти значения, деленные на энергию ударника, характеризуют
эффективность образования кратера. Поскольку 5%-ная неопре-
деленность линейных размеров Рс и /?с приводит к 15%-ной неоп-
ределенности величин VJE, то в табл. 5.5 даются значения
Приведенные значения предсказываемых глубин кра-
тера, нормированные путем деления на корень кубический из
массы ударника, представлены графически на фиг. 5.30, а. Ре-
зультаты показывают, что распределение массы в ударнике,

р0, г/см3
6

Ф и г. 5.30. Изменение предсказываемой глубины кратера, поделенной на ко-
рень кубический из массы ударника, в зависимости от скорости соударения (а)
н плотности ударника (б).

сталкивающемся с мишенью из алюминиевого сплава 2024-Т6,
характеризуется следующими особенностями.

1.	При vq = 0,735 см/мкс гетерогенный (J-ударник со средней
плотностью 0,5 г/см3 образует кратер, глубина которого состав-
ляет ~75°/о глубины для а-ударника нормальной плотности
(р0 = 2,7 г/см3) той же массы.

2.	При (?о = 2,О см/мкс гетерогенные ударники типов 0 и у
и гомогенный d-ударник со средней плотностью 0,5 г/см3 каж-
дый образуют кратеры глубиной от 85% (для 0) до 95% (для
б) глубины для а-ударника с нормальной плотностью.

3.	При t>o = 5,O см/мкс гетерогенный 0-ударник образует кра-
тер глубиной около 90% экстраполированной глубины кратера
для а-ударника с нормальной плотностью.

4.	Глубина кратера в случае а-ударника нормальной плотно-
сти превышает его радиус ~ на 10% (табл. 5.5). Для ударников
же пониженной плотности (0, у и $) справедливо обратное: глу-
бина составляет от 83 до 92% радиуса.

5.	Приводимый в табл. 5.5 параметр (Vc/E)^ характеризует
объем кратера, отнесенный к энергии ударника. При заданной
геометрии ударника этот параметр плавно уменьшается с уве-
личением скорости соударения. При ио = 2О км/с гомогенный
б-ударник приводит к выбросу большего количества мишени,
чем три ударника других конфигураций.

Изложенные здесь результаты допускают сопоставление в об-
ласти перекрывающихся значений с данными Бьорка и др. [15].
Эти исследователи пользовались критерием динамического дав-
ления в расчетах по схеме частиц в ячейках для соударения го-
могенных ударников пониженной плотности с толстыми сталь-
ными и алюминиевыми мишенями. Ими исследовалось соударе-
ние гомогенных алюминиевых ударников с плотностями 0,44 и
2,7 г/см3 с алюминиевыми мишенями (из сплава 2024-ТЗ) при
vQ, равных 20, 72 км/с. Эти четыре оценки размеров кратера
вместе с настоящими результатами представлены на фиг. 5.30, б,
где штриховые линии соединяют точки, соответствующие гомо-
генным ударникам нормальной и пониженной плотностей для
одной и той же скорости удара. Наклоны штриховых линий очень
малы, так же как и наклон сплошной линии, соединяющей точки
для ударников типов б и а при ио = 2,О см/мкс в задачах 2 и 5
настоящей работы. Хотя наблюдается согласие в выводе о нечув-
ствительности пробивания гомогенными ударниками в диапазоне
скоростей соударения 2>2,О см/мкс, все же данная работа при
совпадающих условиях соударения представляет глубины крате-
ров приблизительно на 15% больше.
6

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
РАСПРОСТРАНЕНИЯ УДАРНЫХ ВОЛН,
ПОРОЖДЕННЫХ УДАРОМ

(обзор и новые результаты)

У. Рае

1.	ВВЕДЕНИЕ

Движение заполненного конденсированной средой полупрост-
ранства, которое вызывается ударом налетающего с высокой ско-
ростью снаряда или детонацией взрывчатого вещества, располо-
женного на поверхности полупространства, изучалось многими
авторами. Имеющиеся данные представляют собой по большей
части результаты опытов или расчетов с помощью вычислитель-
ных машин. Цель настоящей главы состоит в том, чтобы собрать
воедино все сведения, основанные на аналитических свойствах
соответствующих дифференциальных уравнений.

В некоторых теоретических работах по распространению
ударных волн происходящие явления отображаются крайне упро-
щенной моделью, в рамках которой решение выписывается без
каких-либо затруднений. О статьях подобного рода, которые
Эйхельбергер в своем обзоре 1963 г. [I] назвал «квазитеоретиче-
скими», в настоящей главе даются только краткие упоминания.
Главное же внимание уделяется теоретическим исследованиям,
в которых сначала полностью формулируется задача, а затем
путе$1 последовательных предположений осуществляется переход
к более простой системе уравнений, решение которой допускает
ясное истолкование применительно к исходной задаче.

При столкновениях твердых тел со скоростями в несколько
километров в секунду возникают давления порядка мегабар.
Поскольку такие давления во много раз превышают прочность
материалов, последней можно пренебречь и рассматривать твер-
дое тело как идеальную (невязкую) сжимаемую жидкость.
В разд. 6.2 показывается, как последовательно проводится та-
кая аппроксимация, и рассматривается получающаяся при этом
система дифференциальных уравнений. Все содержание осталь-
ных разделов настоящей работы сводится к решению этих урав-
нений при различных дополнительных предположениях. Таким
образом, рассматриваемые здесь решения применимы только
к таким ударным процессам, когда можно пренебречь прочно-
стью материала. Само собой разумеется, что при всяком ударе
давление в конечном итоге спадет, и прочность материала опять
станет главным фактором, определяющим окончательную конфи-
гурацию материала, к какой он придет в состоянии покоя. При-
водимые в настоящей работе невязкие решения не дают прямых
сведений об указанной конечной конфигурации. В некоторых
случаях на их основе составляются прогнозы об окончательных
деформациях, но нельзя не видеть существенного различия ме-
жду тем, что невязкое решение дает в области его применимо-
сти, и теми выводами, которые делаются для последующего по-
ведения твердого тела, определяемого прочностными характерис-
тиками.

Современные представления о распространении сильных
ударных волн в газах во многом обязаны методам подо-
бия. Пожалуй, самым известным примером такого подхода слу-
жит задача о точечном взрыве, рассмотренная Нейманом (см.
[2]), Седовым [3], Тейлором [4] и другими. В поисках решений
задачи об ударе естественно обратиться опять-таки к методу по-
добия. К сожалению, две особенности данной задачи не позво-
ляют воспользоваться этим методом с тем же успехом, какой до
этого он обеспечил применительно к задаче о взрыве. Первая
особенность состоит в том, что течение зависит от двух прост-
ранственных переменных, и, таким образом, даже при условии
соблюдения подобия оно описывается системой дифференциаль-
ных уравнений с частными производными. Вторая особенность
связана с тем, что интенсивность возникших при ударе ударных
волн обычно бывает слишком мала, чтобы удовлетворить пред-
положению о подобии; течения подобного рода принципиально
не могут быть автомодельными. Полная система требований,
накладываемых автомодельностью, рассматривается в разд. 6.3.

В том случае, когда в качестве уравнения состояния мишени
выбрано уравнение состояния совершенного газа, можно считать,
что задача автомодельна. Численно такая задача была решена
Уолшем и др. [5]. Результаты этих расчетов были использованы
здесь для построения полного решения двумерной автомодельной
задачи. Это решение, описываемое в разд. 6.4, дает много сведе-
ний о свойствах двумерного поля течения в автомодельном
случае.

В разд. 6.5 анализируются особенности, связанные с невыпол-
нением условий подобия. Отсутствие подобия можно объяснить
особенностями уравнения состояния, применяемого для твердого
тела. Поэтому данный раздел начинается с обзора различных
выражений для уравнения состояния. Затем рассматриваются
точные решения. Показано, что подобие типа «эквивалентности
на поздней стадии», открытое Уолшем [5—7], соблюдается при
очень общих условиях и опирается на строгую аналитическую
базу. Рассматриваются полезные особенности решения и обсуж-
даются некоторые приближенные подходы к решению задачи
при несоблюдении условий подобия.
Заключительные замечания (разд. 6.6) представляют собой
сводку современных представлений о распространении ударных
волн при соударениях, некоторые пояснения, как применять по-
добные знания для прогнозирования размеров кратера, и пере-
чень ряда наиболее важных пока еще нерешенных задач.

Многие из приводимых ниже результатов излагаются здесь
впервые, в частности это относится к функциям автомодельного
поля течения и соответствующим траекториям частиц (разд. 6.4),
аналитическому решению для области вблизи точки пересечения
фронта ударной волны со свободной поверхностью (разд. 6.4),
а также к выводу общих свойств подобия из основных диффе-
ренциальных уравнений (разд. 6.5).

Обозначения

а — скорость звука;

а, b — постоянные, связанные с историей нагруже-
ния в плоской волне [уравнение (6.67)];

А2— квадрат нормализованной скорости звука
[уравнение (6.185)];

А — постоянная в степенном законе для траек-
тории ударной волны;

В — амплитудный коэффициент [уравнение
(6.65)];

Д1, Az — постоянные в асимптотическом решении для
плоской волны в совершенном газе при боль-
ших отрицательных значениях

Bi, В2— постоянные в решении вблизи точки пересе-
чения ударной волны со свободной поверх-
ностью;

с — скорость слабой волны в линейном соотно-
шении между скоростями фронта и частиц;

Ср — удельная теплоемкость при постоянном дав-
лении;

D(iM; s, 6)—функция, определяемая уравнением (6.160);
е — внутренняя энергия, приходящаяся на еди-
ничную массу;

ез — единичный вектор, перпендикулярный плос-
кости z, у\

Е — кинетическая энергия ударника в осесиммет-
ричном случае;

S — кинетическая энергия, приходящаяся на еди-
ничную площадь в случае плоской волны;

f — нормализованное давление (p/poz^);
F (у) —амплитуда в степенном законе для траекто-
рии ударной волны в осесимметричном слу-
чае;

Г(р, Р) —функциональная форма уравнения состояния;

F(z, У, 0 —функция, линия нулей которой определяет
ударную волну;

Fi, F2, F3, F\— безразмерные функции подобия, определяе-
мые уравнениями (6.164) — (6.166);

fens (..., ..., ...) — функциональные зависимости от перечис-
ленных аргументов;

g— нормализованная внутренняя энергия (е/^0);

G(y)—функция, определяемая уравнением (6.62);
^(...) —функция нагружения [уравнение (6.66)];

Я (у)—функция, определяемая уравнением (П.21);
/(у) —интеграл, определяемый уравнением (6.141);
ki, k2, k3 — постоянные в выражении для формы фронта
ударной волны;

К — постоянная в приближенном распределении
давления вдали от оси [уравнение (6.135)];
— постоянная, используемая при определении
границы отбрасываемой массы (приложе-
ние) ;

I — координата, выражающая расстояние от
точки пересечения фронта ударной волны
со свободной поверхностью;

е^о — характерная длина в осесимметричном слу-
чае [уравнение (6.29)];

— характерная длина в случае плоской волны
[уравнение (6.64)];

Lo — характерный размер ударника (Л4/ро)1/з; тол-
щина ударяющей пластины в случае плос-
кой волны;

Li — начальная глубина плоскости, образованной
частицами, траектории которых определены
в разд. 6.6;

то — масса, которой пренебрегают;

М— масса ударника;

Ms — число Маха ударной волны (qs/c)-,

Мьо — число Маха ударной волны на оси симмет-
рии (гзоМ);

М — число Маха ударной волны в момент, когда
ее фронт проходит через частицу с заданной
энтропией;
N--характеристический показатель в степенном
законе для траектории ударной волны; ком-
понента вектора псевдоскорости, перпенди-
кулярная линии р = const;

р — давление;

pL(i) —функция нагружения [уравнение (6.66)];

Р — импульс ударника (осесимметричный слу-
чай);

Рмакс — амплитуда функции нагружения [уравнение
(6.66)];

— импульс, приходящийся на единицу площади
(случай плоской волны);

q — скорость частиц;

qs — скорость ударной волны;

г — координата в сферически симметричном слу-
чае;

R = ylU\

Ro— характерная длина для сферически симмет-
ричного взрыва [ уравнение (6.187)];

Rs — координата ударной волны в сферически
симметричном случае;

s — угловой коэффициент в линейном соотноше-
нии между скоростями ударной волны и ча-
стиц;

t — время;

ts — момент времени, когда фронт ударной волны
проходит через данную частицу;

Л — момент, времени, когда zso становится рав-
ным Li;

Т — компонента вектора псевдоскорости, каса-
тельная к линиям р= const;

Т’макс — время действия функции нагружения [урав-
нение (6.66)];

и — компонента скорости частиц вдоль оси z;

U — скорость ударника перед столкновением
с мишенью;

v — компонента скорости частиц вдоль оси у;
V=(du/dv)a=0;

х — параметр в уравнении состояния Энига
[уравнение (6.155)];

у — цилиндрическая координата; расстояние от
оси симметрии;

z — осевая координата;

zso— расстояние от начала координат до фронта
ударной волны вдоль оси симметрии;
Zeo — скорость фронта ударной волны вдоль оси
симметрии;

Z=z/L0;

а — параметр подобия;

а — коэффициент объемного расширения;

₽ — угол, измеряемый от свободной поверхности;
у — отношение удельных теплоемкостей;

Г — коэффициент Грюнайзена;

б=рСр/осрос2 [уравнение (6.161)];

А(р)—функция, определяемая уравнением (6.148);
£ — нормализованная осевая координата (z/zso);
т] — нормализованное расстояние от центра сим-
метрии (r/zso);

0 — полярный угол в сферических координатах;

Л — параметр подобия; связь между Л и N уста-
навливается для плоского или осесимметрич-
ного случаев в уравнениях (6.68) и (6.87)
соответственно;

р — массовая плотность;

о — нормализованное расстояние от оси симмет-
рии (i/Zzoo);

Oi — значение о в точке пересечения ударной
волны со свободной поверхностью;

^ици

<р — нормализованная осевая компонента скоро-
сти частиц (u/zso);

Ф(ЧГ)—функция, определяемая уравнениями
(6.153) —(6.155);

ф(р)—общая зависимость уравнения состояния от
плотности, допускающая автомодельные ре-
шения [уравнение (6.24)];

ф — нормализованная плотность (р/ро);

Т — функция, определяемая уравнениями
(6.153) —(6.155);

со — нормализованная радиальная компонента
скорости частиц (v/zso);

Индексы

с — вклад сцепления;

И — значения на ударной адиабате;

вп — верхний предел интегрирования;

кп — условия на контрольной поверхности;

R— передний фронт пучка волн разрежения;
sO — условия на фронте ударной волны на оси
симметрии;

s — условия в произвольной точке на фронте
ударной волны;

О, 1 —условия перед фронтом ударной волны и за
ним;

(0), (1), ... — номера коэффициентов в разложении по сте-
пеням /.

2.	ФОРМУЛИРОВКА ЗАДАЧИ

ОГРАНИЧЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ С ОСЕСИММЕТРИЧНОСТЬЮ ТЕЧЕНИЯ

В настоящей работе рассматривается единственный случай,
когда мишенью служит полупространство, а ударник движется
перпендикулярно исходной поверхности мишени. Предполага-
ется, что ударник имеет ось симметрии, совпадающую с направ-
лением его движения. Таким образом, течение, возникающее по-
сле начального контакта, осесимметрично. Это ограничение на-
лагается в целях упрощения математического анализа задачи.
Кроме того, экспериментально установлено, что кратер, возни-
кающий при косом ударе, имеет такую же форму, как и при нор-
мальном ударе, пока угол наклона не достигнет некоторого мак-
симального значения, которое зависит от ряда факторов [8]. По-
этому рассмотренные здесь результаты можно распространить
и на случаи косого падения, хотя подобие окончательной формы
кратеров нельзя считать достаточно строгим доказательством
того, что и история распространения ударной волны должна быть
в обоих случаях одинаковой.

Более того, в настоящей работе чаще всего принимается, что
ударник представляет собой точечный источник энергии и им-
пульса. Таким образом, изложенные здесь решения применимы
при фактическом соударении только тогда, когда основная удар-
ная волна проникла на глубину, значительно превышающую ха-
рактерный размер ударника.

ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Общая сила, действующая на малый элемент материала ми-
шени, составляется из градиентов нормального и касательного
напряжений. Относительные величины этих двух составляющих
можно оценить путем сравнения типичного нормального напря-
жения с типичным напряжением сдвига, так как градиенты этих
напряжений в любых двух перпендикулярных направлениях оди-
наковы по порядку величины.
Порядок величины нормального напряжения определяется
давлением в ударной волне, которое сначала имеет порядок
pot/2, а затем по мере распространения ударной волны вглубь
мишени убывает. Прочность материала мишени при растяжении,
по-видимому, определяет порядок величины касательного напря-
жения. Сравнение этих двух величин для соударения типичных
твердых тел со скоростями порядка нескольких километров в се-
кунду подтверждает, что влияние прочности материалов в не-
сколько десятков раз меньше вклада нормального напряжения.
Таким образом, существует режим, когда для описания поведе-
ния мишени годятся широко известные уравнения течения иде-
альной (невязкой) сжимаемой жидкости Ч выражающие законы
сохранения массы, импульса и энергии.

Хотя это приближение используется уже более 10 лет, всегда
осознавалась его неправомерность при достаточно низких дав-
лениях [9, 10]. В последние годы были достигнуты существен-
ные успехи в определении того уровня давления, при котором
важную роль начинают играть эффекты, связанные с прочно-
стью, так же как и в создании методов, пригодных для описания
этих эффектов [11]. Однако в настоящей работе все внимание
уделяется только тем результатам, которые получены в предпо-
ложении отсутствия прочности.

В уравнении энергии не учитываются изменения энергии,
обусловленные вязкой диссипацией и теплопроводностью; это
соответствует предположению о том, что указанные эффекты ис-
ключены и из уравнения импульса. Не учитывается также пере-
нос энергии вследствие излучения.

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Введем цилиндрическую систему координат, ось которой со-
впадает с направлением движения ударника (фиг. 6.1). В этих
координатах уравнения движения имеют вид

d^dt-^ud^dz-^v d?ldy-\-?(duldz-\-vly-\-dvldy)=Ot	(6.1)

duldt-^uduldz-\-vduldy-^(ll^) dpldz=0,	(6.2)

dvldt-\-udvldz-\-vdvldy-\-(ll?)dp[dy=O,	(6.3)

deldt-[- и de\dz-\-v dejdy — (pl?2)	d?ldz-{-

4-^dp/(?y)=0,	(6.4)

e=F(p, p).	(6.5)

1} Данное приближение часто называют гидродинамической моделью.
В настоящей работе мы стараемся избегать этого термина из-за того, что
во многих работах его относят к течениям несжимаемой жидкости.
Конкретная функциональная зависимость, входящая в уравнение
состояния, остается пока произвольной. Использование уравне-
ния состояния предполагает термодинамическое равновесие; та-
ким образом, кинетические процессы, например конденсация
или фазовые переходы, из рассмотрения исключаются.

ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ

На фронте ударной волны выполняются условия Ренкина—
Гюгонио. Для малого плоского элемента ударной волны, движу-
щегося по покоящейся среде со скоростью qs, эти условия вы-
ражаются в следующем виде (фиг. 6.2):

P/’f/«er^p^Po./WO; q0= О

Фиг. 6.2. Обозначения на фронте ударной волны.

Po<7s=Pi(^ —<7i).	(6-6)

А-Ро=Ро^ь	(6.7)

е. - е0=<'/,) (ро+рО (1 /Ро -1 /Р1).	(6.8)

Второе граничное условие гласит, что давление на краю сул-
тана, образованного вытесненной из мишени жидкостью, долж-
но быть равно статическому давлению в пространстве на гра-
нице с мишенью (обычно это давление принимается равным
нулю). Удовлетворить сформулированным граничным условиям
очень трудно, так как местоположение и форма ударной волны,
равно как и границы султана, зависят от времени, т. е. не могут
быть определены заранее.

3.	ТРЕБОВАНИЯ ПОДОБИЯ

ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

При изучении столь сложной задачи, как задача об ударе,
полезно выяснить, нет ли какого-либо подобия, которое помогло
бы провести сопоставление решений при различных условиях со-
ударения. В задачу настоящего раздела входит обсуждение ус-
ловий, обеспечивающих существование подобия.

Подобие в своей самой общей форме означает, что как для
зависимых (давление, плотность, скорость частиц), так и для не-
зависимых (две пространственные координаты и время) перемен-
ных существуют такие масштабные множители, что при различ-
ных соударениях распределение безразмерного давления, напри-
мер, будет описываться одной и той же функцией безразмерных
пространственных координат при условии одинакового выбора
в обоих случаях значения безразмерного времени. В более позд'
ний момент безразмерного времени два распределения безраз-
мерного давления будут опять идентичны друг другу, хотя и бу-
дут отличаться от распределений, существовавших ранее.

Иногда встречается и более простой случай подобия, когда
распределения безразмерных параметров одинаковы для всех
значений безразмерного времени; решения такого рода называ-
ются автомодельными. Как показано далее, если уравнение
состояния мишени аппроксимируется уравнением состояния со-
вершенного газа, то решение задачи может быть найдено в ав-
томодельном виде. Если же для твердого тела используется бо-
лее реальное уравнение состояния, то решение неавтомодельно,
но, как можно показать, существует более сложное подобие.

НОРМАЛИЗАЦИЯ

В качестве первого шага при изучении особенностей решения,
связанных с подобием, полезно нормализовать пространствен-
ные координаты, отнеся их к расстоянию zso(O, на которое удар-
ная волна продвинулась вдоль оси симметрии; в этом случае

(0. °=У/^о (0-	(6.9)

После замены временной переменной числом Маха для ударной
волны вдоль оси симметрии получим

М,о(0=^.	(6.10)
Здесь с — скорость распространения малых возмущений в невоз-
мущенной среде, а точкой обозначается полная производная
dtdt. Зависимые переменные переопределяются следующим об-
разом:

u{z, y, /)=2i0(0'?(C> <3, Mi0),	(6.П)
v(z, y, /)=ZiO(O«>(C, <3, Ms0),	(6.1$
p(z, y, O=po [zjo(O)2/G. °. Mi0),	(6.13)
p(2> У. О=РоФ(С, ”, Mi0),	(6.14)
e(z, У, O=ko(O]2gG> °, Ms0).	(6.15)

При написании функциональных зависимостей в правых частях
этих уравнений предполагалось, что источник имеет точечный
характер. Если не сделать такого предположения, то пришлось
бы добавить отдельную зависимость от масштаба ударника
Lq/Z8q(1) .

Уравнения движения в новых переменных принимают вид

(т-ЧА+(„_а)2к + + (4 + ^ + ^)=,

d In zs0 дф

d In zs0 d In Mi0 ’

(6.16)

_ dlnzso d<f
d In zsQ d In Mi0 ’

«>+(<? - C) _^_+(u) _ o)
tizs0	dC 1 v ' da 1

।	1	df ___ d In zs0 dco

'	ф	da	dlnzyo	dlnM50	’

2 4rinf s+(-f - 0 >+(—»)	{(T - 0 -^4



rflnz^ J dg
I dlnM50

f I

|2 dlnMi0 J
Условия Ренкина—Гюгонио выразятся теперь в форме

Ф1(1	(6.20)

\	zs0 /

/1—^-=-^-4^-,	(6.21)

PqZsO	^<s0 2s0

gx----(1	РофЖо. (6.22)

zs0	Рог$о M	/

ТРЕБОВАНИЯ В СЛУЧАЕ АВТОМОДЕЛЬНОСТИ

Чтобы течение было автомодельным, оно должно давать одни
и те же распределения нормализованных переменных при всех
значениях времени. Необходимые для этого условия можно уста-
новить с помощью приведенных уравнений.

Первое ограничение состоит в предположении о точечности
источника, т. е. о том, что отношением LQ/zso(t) можно прене-
бречь. Это предположение нами уже было сделано. Вторым идет
требование о сохранении производной d \nzso/d lnzs0 постоянного
значения; оно удовлетворяется в том случае, когда координата
ударной волны увеличивается со временем по степенному за-
кону

z^=AtN.	(6.23)

Время входит в решение также через граничные условия на
фронте ударной волны, которые таким образом образуют тре-
тий, четвертый и пятый источники зависимости решения от вре-
мени. Третье ограничение на решение связано с функцией

qslzSQ\ течение может быть автомодельным только в том случае,
когда это отношение не зависит от времени. Следовательно,
ударная волна по мере своего расширения должна сохранять
одну и ту же форму. По четвертому условию существования авто-
модельности давление перед ударной волной должно быть пре-
небрежимо мало по сравнению с произведением pozs2o, которое
по порядку величины совпадает с давлением за фронтом удар-
ной волны и велико по сравнению с ро в тех случаях, когда
справедливо гидродинамическое приближение. Пятая возмож-
ность зависимости от времени связана с уравнением состояния.
Как установили Кинч [12] и Седов [Чч3], автомодельные решения
возможны в том случае, когда уравнение состояния имеет форму
где ф(р)—любая функция плотности. Если уравнение состоя-
ния имеет подобный вид и к тому же член po/poz^ пренебрежимо
мал, а форма ударной волны не меняется, то можно решить тре-
тье из условий Ренкина—Гюгонио и найти отношение плотно-
стей при переходе через ударный фронт фь которое остается по-
стоянным:

2ро? (Р0Ф1) ~ 1 +1/^=0.	(6.25)

Уравнение состояния совершенного газа

e=pl(i-V?	(6.26)

представляет собой частный случай уравнения (6.24). Таким об-
разом, в совершенном газе отклонения от автомодельности воз-
никают из-за члена ро/ро-г^, связанного с противодавлением. При
распространении ударной волны в твердом теле ситуация меня-
ется. Здесь противодавление пренебрежимо мало, но предста-
вить уравнение состояния в надлежащей форме не удается нигде,
кроме предельной области крайне высоких давлений. Условиям
автомодельности в твердом теле удовлетворяет только самая
начальная стадия удара с чрезвычайно высокой скоростью. Сле-
довательно, распространение в твердом теле ударной волны, вы-
званной соударением, по существу неавтомодельно.

Если удовлетворить всем условиям автомодельности, то тогда
функции f, ф, g, ф и со зависят только от двух безразмерных ко-
ординат £ и о1}:

PlfioZsGt Р/Ро»

ulzsQi ^50=/cns (С, а).	(6.27)

Однако из самого факта теоретического существования та-
кого подобия еще не очень много пользы, пока не будет установ-
лен вид действительной зависимости f и других функций от £
и о, а постоянная А и показатель степени W в законе движения
ударной волны (6.23) не будут связаны с энергией и импульсом
ударника. Анализом размерностей можно воспользоваться для
того, чтобы выразить характерные длину и время через Е и Р.
В эту формулировку удобно включить также ро и с. В итоге при-
ходим к степенному закону для траектории ударной волны в сле-
дующей форме:

^/^0=^(1) (ctl^0)N,	(6.28)

Они зависят также от любой постоянной, входящей в уравнение со-
стояния, например у в случае совершенного газа.
где характерная длина определяется в виде

( р ( р \(2-5ЛГ)/(4ЛГ-1И(4Л-О/3 (I-./V)

•^-Ы-йг)	}	 <6-29’

Уолш и др. [5, 7] рассматривали автомодельное решение
с несколько иной точки зрения. Проведя сначала анализ размер-
ностей задачи, характеризующейся начальной плотностью ро,
характерным размером ударника Lo, скоростью соударения U
и отношением удельных теплоемкостей у» они затем показали,
что решение должно иметь форму

р/Ро<Л р/ро, vlU=fcns(zlLQ, уЩ, Ut/L^ Т).	(6.30)

Затем они показали, что можно установить более простые за-
коны подобия, если ввести предположение об «эквивалентности
на поздней стадии». По этому предположению, решения для двух
различных соударений после того, как начальные недолговре-
менные различия исчезают, будут идентичны друг другу при ус-
ловии, что произведение в обоих случаях одинаково, а по-
казатель степени а остается постоянным. Ограничение относи-
тельно «поздней стадии» в данном утверждении эквивалентно
предположению о точечности источника, т. е. оно просто требует,
чтобы характерный размер ударной волны был гораздо больше
размера ударника. Требование о том, что величина LdJ* дол-
жна быть постоянной, эквивалентно утверждению о совпадении
в обоих случаях характерной длины если ПРИ этом а и N
связаны друг с другом соотношением

a=2V/(l-2V).	(6.31)

Таким образом, для совершенного газа эквивалентность на позд-
ней стадии означает то же, что и автомодельность.

Функциональные зависимости, выбранные Уолшем и др. [5,
7] имеют вид

pZ2/a Р uZ1/a vZ1/a , I Z1+a	flI + a	\ QO4

“fc/2"’ V’ -U~‘	(6.32)

где

x=UtlL0, Z=zlL0, R=ylLQ.	(6.33)

В разд. 6.4 показывается, что решение в такой форме идентично
упоминавшемуся выше автомодельному решению.

ПОДОБИЕ для конечной СКОРОСТИ УДАРНОЙ волны

Уравнение состояния совершенного газа пригодно для описа-
ния поведения твердого тела только при очень больших давле-
ниях. Таким образом, можно ожидать, что описанная выше
автомодельность имеет место в твердом теле лишь при предель-
ном условии очень большой интенсивности ударной волны (Afso->
->оо). Когда же число Mso конечно, уравнение состояния больше
не аппроксимируется уравнением состояния совершенного газа,
а течение становится неавтомодельным. (В частности, не удов-
летворяются второе, третье и пятое из перечисленных выше требо-
ваний.) Однако при этом должен быть учтен только один новый
параметр Mso1*; производная d In zsold In zs0, форма ударной
волны и граничные значения на фронте ударной волны зависят
только от Mso. Следовательно, решение можно записать в виде

р1Р(^м, р/ро. Фа, ф'а, t>/2j0=/cns (С, в ,Mj0> ...), (6.34)

а траектория ударной волны выразится в форме

Zal-^o,	(6.35)

Здесь многоточие заменяет различные постоянные из уравнения
состояния.

Важная особенность этих результатов заключается в том,
что даже тогда, когда Mso становится конечным, в задаче не по-
является новых характерных параметров с размерностью длины.
Характерная длина которая восходит к предельному автомо-
дельному течению, остается приближенным параметром подобия
во всей неавтомодельной части потока. В частности, параметр N
(или эквивалентно а) в формуле для определяется только
уравнением состояния в предельном случае высокого давления.

Подобие, отвечающее соотношениям (6.34) и (6.35), впервые
было отмечено Уолшем и др. [6], назвавшими его «эквивалент-
ностью на поздней стадии». Эти авторы установили, что анализ
размерностей приводит к следующей форме решения:

р/ро, ^=/cns(z/£0, У/Ль U/c). (6.36)

Они численно показали, что при двух соударениях, для которых
принимает одинаковые значения (здесь а — та же постоян-
ная, которая приводит к автомодельности в предельном случае
совершенного газа), решение в обоих случаях представляется
одной и той же функцией времени. Конечно, это общее решение
в разные моменты времени различно, так как течение неавтомо-

Кроме того, в уравнение состояния входят наряду с у и другие пара-
метры. Рассматриваемое здесь подобие может быть в принципе использовано
при сопоставлении решений для данного материала. На самом же деле, как
следует из доказательства, приведенного в разд. 6.5, разница между неоди-
наковыми материалами сравнительно невелика, по крайней мере в осесиммет-
ричном случае.
дельно. Они сумели показать, что существование такого подобия
позволяет переписать решение в форме

pZ2la	р	«г1/а	
Pot/2	’ Ро ’	и ’	и
=/cns I	' Z'x + 1 а > т	7У‘ + 1 а > т	(Ц/С)а+' т

(6.37)

Связь между данными соотношениями и зависимостями (6.34)
и (6.35) обсуждается в разд. 6.5.

Вместо того чтобы пользоваться одним и тем же понятием
(эквивалентностью на поздней стадии) для автомодельной и не-
автомодельной частей потока, представляется более целесооб-
разным говорить об обеих этих эквивалентностях как о «подо-
бии в случае точечного источника», отмечая при этом, что такое
подобие в пределе при Mso->oo приводит к автомодельно-
сти. Эта условность выдерживается повсюду в настоящей ра-
боте.

Надо отметить, что предположение о точечности источника
не связано ни с какими предположениями, затрагивающими
уравнение состояния. Для всех рассматриваемых в настоящей
работе решений применяется точечная модель источника, но
в разных разделах берутся разные формы уравнения со-
стояния.

4.	СЛУЧАЙ СОВЕРШЕННОГО ГАЗА

В задачу настоящего раздела входит составление полной
картины двумерного характера течения в том случае, когда
имеет место автомодельность. Она возможна при уравнении со-
стояния любой формы, ограниченной единственно соотношением
(6.24). Случаю совершенного газа особое внимание уделяется
потому, что его уравнение состояния в области высоких давле-
ний аппроксимирует уравнение состояния многих твердых тел.

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

В условиях автомодельного режима координата фронта удар-
ной волны изменяется со временем по степенному закону; сле-
довательно,

</1пг50

1 — W
Если подставить это соотношение в уравнения (6.16) — (6.19) и
приравнять нулю все правые части этих уравнений, то в резуль-
тате получим следующие соотношения:

(? -Q ^ + (— ) £+<+т+тМ <6 М>'
(О0>'

—<6Л1>

-2-^/+(?-4^+(»-c)-g—

(6-«)

Можно показать, что в зависимости от того, какой знак имеет
выражение

(? - С)2+ (Ш - а)2 - Т//Ф о,	(6.43)

выписанные соотношения относятся к уравнениям либо эллипти-
ческого, либо же гиперболического типа. Причину того, почему
возникают уравнения смешанного математического характера,
можно понять, рассмотрев на фиг. 6.3, а следующий путь фронта
малого возмущения, возникающего в точке А. Фронт этой сла-
бой волны движется со скоростью, равной векторной сумме
местной скорости звука и скорости частиц, располагаясь в после-
дующие моменты времени так, как это показано на фиг. 6.3.
Данный график схематически иллюстрирует ситуацию, когда
возмущения возникают в точке, вокруг которой векторная сумма
скоростей такова, что эти возмущения могут догнать фронт удар-
ной волны и затем отразиться от него. В конечном итоге подоб-
ные явления возможны во всех точках области, ограниченной
фронтом ударной волны. Если теперь каждый момент времени
на рассматриваемом графике привести к одному и тому же мас-
штабу и если потребовать, чтобы решение в этих безразмерных
координатах все время оставалось одинаковым, то дифференци-
альные уравнения движения должны, разумеется, обладать тем
свойством, что решение в точке А влияет на решение во всех
точках по пути распространения возмущения. Взаимная зависи-
мость точек в некоторой части поля течения указывает на ча-
стично эллиптический тип уравнений (6.39) — (6.42).

Если же возмущение возникает в точке В (фиг. 6.3, б),
а фронт слабой волны не отражается от фронта ударной волны,
то тогда возмущение обладает только конечной зоной влияния.
Если эти схематические ситуации отобразить на плоскость ав-
томодельных переменных, то конечные размеры зоны зависимо-
сти подтверждаются частично гиперболической природой реше-
ния.

И наконец, поскольку возмущения, возникшие в эллиптиче-
ской области, в конце концов достигнут области гиперболично-
сти, ясно, что решения в обеих зонах должны сопрягаться вдоль
их общей границы. Дальше будет показано, что сопряжения мо-
жно добиться надлежащим выбором параметра N.

Граничные условия на фронте ударной волны имеют вид

(6-44)

•	1	i Г 1 \ ZgQ J ZSQ » Г 1 Ztf)

Фиг. 6.3. Распространение фронтов возмущений.

Две компоненты <pi и a>i можно найти, разложив qi/zso на состав-
ляющие по направлениям £ и а:

Ч1Яо=Т1С+«>1а.	(6.45)

(Знак ~ означает единичный вектор.) Но определить эти ком-
поненты не представляется возможным, пока не будет уточнена
форма фронта ударной волны.

Ко времени написания настоящей работы ни разу не было
получено численного решения уравнений (6.39) — (6.42). Это объ-
ясняется их смешанной эллиптико-гиперболической природой,
а также тем, что значение N и местоположение фронта ударной
волны и границы султана остаются неизвестными. Дополнитель-
ные трудности возникают также при попытке удовлетворить за-
конам сохранения полной энергии и импульса. В силу исключи-
тельной важности этот вопрос подробно рассматривается в сле-
дующем разделе.
СОХРАНЕНИЕ ЭНЕРГИИ И ИМПУЛЬСА
Осесимметричный случай. Полная энергия и импульс си-
стемы выражаются интегралами
г50(‘)’’вп<г’ <>

Е=с1ъ J J	[е—е0-[-4г (м24-,о2)] pydydz (6.46)

Z = — оо у=0

И
*S0 УВП <* '>

Р=2л У У puydydz.	(6.47)

г ——оо у = 0

Верхним пределом интегрирования по у (фиг. 6.4) служат по-
верхность фронта ударной волны при г>0 и граница султана
при z<0.

Фиг. 6.4. Пределы интегрирования.

Выбор в качестве нижнего предела значения z =—оо требует
некоторого пояснения. В действительности под действием удар-
ника с ненулевыми размерами частицы, находившиеся сначала
на свободной поверхности, окажутся в тот или иной конечный
момент времени после соударения на конечном расстоянии z от
начальной поверхности. Можно найти верхний предел такого
расстояния, предположив, что в момент / = 0 частицы мгновенно
начинают двигаться налево с полной скоростью истечения, кото-
рая для совершенного газа имеет значение

Здесь pi и pi — соответственно давление и плотность в точке со-
ударения. Эта оценка выражает верхний предел удаления ча-
стиц от начального положения свободной поверхности. И только
позже скорость этих частиц изменяет направление и асимптоти-
чески стремится к скорости истечения в направлении —г. Если
сделать предположение о точечности источника, то ударник с ис-
чезающе малыми размерами должен все же нести ненулевые ко-
личества энергии и импульса. Чтобы добиться этого, скорость
ударника нужно считать бесконечно большой. Следовательно, и
давление, возникающее при соударении, и скорость фронта исте-
чения также должны быть бесконечно большими. По этой при-
чине за нижний предел в приведенных интегралах берется зна-
чение z =—оо.

Если теперь в соотношения (6.46) и (6.47) ввести автомо-
дельные функции, то получим

1 авп

£=2кРо^о J j [//(7-1)ф+1/2(?2+‘«2)]^^Л (6.49)
—оо О

и

1 ’вп«>

P=2irp0zi0Z?o J J tftysdad^.	(6.50)

—оо О

Ясно, что с помощью единственного значения W нельзя оба этих
выражения сделать не зависящими от времени. Постоянство
энергии требует равенства W=2/s, тогда как сохранение им-
пульса предполагает, что М = */4. Решение этой дилеммы для од-
номерного случая было предложено Зельдовичем [14]. Впослед-
ствии оно было распространено на осесимметричный случай Рай-
зером [15] и Рае [16]. Ниже приводится решение Зельдо-
вича.

Одномерный случай. Если предположить, что ударником
служит бесконечно протяженная вдоль оси у пластина или что
возмущение возникает при взрыве бесконечно протяженного
вдоль оси у плоского заряда взрывчатого вещества, то можно
считать, что поведение мишени характеризуется функциями
только двух переменных z и t. Решение данной задачи обсуж-
далось в ряде работ [14, 16—22]. Исчерпывающий обзор соста-
вил Майрлз [23]. Остановимся еще раз на важных для нашего
случая особенностях.

Уравнениями движения при сделанных предположениях слу-
жат уравнения (6.1), (6.2) и (6.4), в которых опущены произ-
водные по у, а в уравнении неразрывности к тому же отсутст-
вует член v/y. Автомодельная форма этих уравнений устанав-
ливается путем отбрасывания правых частей, что дает следую-
щие соотношения:

условие неразрывности

(<Р-Q <|»'+ф<?'=0,	(6.51)

сохранение импульса

- [(1 —	?+(?-£) <р'+/7ф=0,	(6.52)

сохранение энергии

—2 [(1 -^Ж]/+(<р-С)/'-(т//ф) (Т -Q ф'=0. (6.53)
Здесь штрих обозначает d/dt, а граничные условия принимают
вид

Ф(1) = Сг+1)/(Т-1)> ?(1)=/(1)=2/(т+1).	(6.54)

Как при ударе, так и при взрыве плоского заряда мишень при-
обретает ненулевые энергию и импульс. В случае удара значе-
ния этих величин можно связать с энергией и импульсом удар-
ника. При взрыве энергия и импульс, переданные мишени, за-
висят от особенностей истории нагружения на поверхности.

Условия сохранения энергии и импульса (на единицу пло-
щади плоской поверхности мишени) следующим образом выра-
жаются с помощью интегралов:

1

[//(7-1)+Фф2/2]<	(6.55)

— ОО

1

<^=Р<Логл J	(6.56)

— ОО

В качестве нижних пределов в этих интегралах выбрано значе-
ние —оо, так как предполагается, что ударник или плоский
заряд имеет исчезающе малую толщину. Заметим, что в одно-
мерной задаче возникает та же дилемма относительно выбора
значения N: интеграл энергии требует М=2/з, тогда как для ин-
теграла импульса надо считать -V = Va-

Однако есть одно более важное соображение относительно
выбора показателя N: уравнения (6.51) — (6.53) имеют приемле-
мое решение только при одном значении N. В этом можно убе-
диться, решив указанные уравнения относительно производных

1-ЛГ 2//ф —у(у —С)
W (?-С)2-т//ф ’

1-дг (у-рфу-г/

N (?-С) [(<р-С)2-т/Ж

, ГР-2(<Р-С)
ЛГ J ((р_С)2_7//ф •

Данные уравнения становятся сингулярными в точке, где выра-
жение (<р — £)2— yf/ip меняет знак. Эта точка разделяет в пло-
скости безразмерных переменных зоны, в которых малые возму-
щения могут пройти или не пройти все расстояние до ударной
волны. При данном значении у уравнения (6.57) — (6.59) обла-
дают несингулярными решениями только при единственном зна-
чении N. При этом значении все числители уравнений обраща-
ются в особой точке тоже в нуль; раскрывая неопределенность,

(6.57)

(6.58)

(6.59)
находим наклон решения, гладко проходящего через особен-
ность. В табл. 6.1 приведены значения W(y), которые ведут к ре-
гулярным решениям. На фиг. 6.5 графически представлены рас-
пределения плотности, давления и скорости, найденные для слу-
чая у = 1,4, когда имеется замкнутое решение [17, 18] в форме

ф=6(5 — 4С)-'/г, <р=5/6(2С—1), /=5/6(5-(6.60)

Таблица 6.1

W(y) для одномерных взрывных волн

		Источник
1,0	0,5	123]
1,1	0,56888	
1,4	0,6	
5/3	0,61073	
2,8	0,626704	
оо	0,6416	
1,001	0,5106	(16]
1,1	0,5683	
1,2	0,5843	
1,3	0,5935	
1,4	0,6000	
1,8	0,6143	
2,0	0,6182	
2,5	0,6244	
3,0	0,6279	
4,0	0,6321	
5,0	0,6341	
7,0	0,6365	
10,0	0,6385	
100,0	0,6412	
1000,0	0,6416	

Не должно быть сомнений в том, что несингулярные решения
представляют собой единственно приемлемые решения.
Но если N выбрать таким образом, чтобы обеспечить гладкое
пересечение особенности, то тогда невозможно удовлетворить
либо уравнению (6.55), либо уравнению (6.56). Проблема вы-
бора значения W не связана просто с тем, что должен выпол-
няться закон сохранения второй величины (импульса). Даже
если бы полный импульс был равен нулю, то значение М = 2/3,
обеспечивающее сохранение энергии, еще не приводило бы к фи-

зически приемлемому решению.

Возможность разрешенич ука-
занной трудности была предложена
Зельдовичем [14]; данный вопрос
обсуждается также в последней кни-
ге Зельдовича и Райзера [24]. Они
предположили, что при вычислении
полной энергии и импульса можно
не учитывать некоторую малую до-
лю массы. Эта масса вначале нахо-
дится на свободной поверхности и
в первоначальной стадии удара или
взрыва подвергается сильному сжа-
тию. В процессе сжатия она приоб-
ретает определенную энтропию, ко-
торая впоследствии сохраняется,
так как течение в частице изэнтроп-
но. Однако энтропия, приобретенная
на начальной стадии, вообще гово-
ря, отлична от той, какой ей пола-
галось бы быть согласно автомо-
дельному решению. Это решение за-
висит только от условий на фронте
ударной волны и от свойств автомо-
дельных дифференциальных уравне-
ний; оно не содержит никаких сведе-

Ф и г. 6.5. Решение для авто- НИЙ 0 ТОМ, как возникла ударная
модельной плоской волны (со- волна. Некоторое небольшое коли-

вершенный газ, у=1,4).

чество массы, прошедшей через ран-
нюю фазу сжатия, всегда будет

нести на себе отпечаток этой фазы и никогда не будет точно опи-
сываться автомодельным решением. По доводам Зельдовича,
при отыскании автомодельного решения учету подлежит только
та масса, движение которой, как можно ожидать, правильно опи-
сывается таким решением.

В последние годы в аналогичной трактовке была решена и
задача о гиперзвуковом обтекании затупленного тонкого тела
(см., например, работы Майрлза [23], Якуры [25] и Гиро [26]) Ч

Автор весьма признателен своему коллеге д-ру Т. Р. Сундараму за то,
что тот обратил его внимание на упомянутую аналогию, и за интересные дис-
куссии относительно ее приложения к задаче об ударе.
Далеко вниз по потоку от носика течение вблизи ударной волны
может быть автомодельным, если перпендикулярные направле-
нию свободного потока координаты тела и ударной волны увели-
чиваются с координатой, направленной вдоль потока, по степен-
ному закону. Однако слои жидкости, протекающей около тела,
проникают за затупленный участок косой ударной волны; здесь
в них устанавливается некоторое распределение приобретенной
энтропии, которое отражает особенности формы ударной волны
у носика. Это распределение, вообще говоря, отлично от распре-
деления, задаваемого автомодельным решением.

Чтобы правильно учесть влияние энтропийного слоя, необхо-
димо провести раздельный анализ для обеих областей — высоко-
энтропийной и автомодельной,— а затем объединить полученные
результаты, например методом парных асимптотических разло-
жений [27].

Если бы для рассматриваемой задачи удалось провести по-
добный анализ, то можно было бы вывести формулу траектории
ударной волны, которая при больших значениях времени имела
бы вид zso = AtN. Показатель W задавался бы несингулярным ре-
шением автомодельных уравнений, тогда как амплитуда А от-
ражала бы детали процесса образования ударной волны, т. е. она
должна была бы зависеть от количества пренебрегаемой массы.
Зельдович в своей оригинальной статье описал этот подход в об-
щих чертах, порекомендовав определять амплитуду А путем
сопряжения в некоторый неопределенный момент времени авто-
модельного решения с численным решением полной неавтомо-
дельной системы дифференциальных уравнений в частных про-
изводных. Со времени появления статьи Зельдовича метод пар-
ных асимптотических разложений получил значительное раз-
витие, и теперь им можно пользоваться при выводе формулы
явной зависимости амплитудного коэффициента от истории на-
гружения на поверхности мишени. Насколько известно автору,
такой анализ рассматриваемой задачи проведен еще не во всех
деталях.

Результат Зельдовича можно представить в следующем виде
(см. приложение):



₽^2 г/2

3
то

(6.61)

Здесь неопределенная характерная длина выражена через коли-
чество пренебрегаемой массы то. Как установили Рае и Кирч-
нер, определенные результаты можно также получить, слегка
видоизменив анализ Зельдовича. Этот вывод был изложен ими
в статье [16], в которой авторы ошибочно утверждали, будто
их результаты представляют собой точное решение задачи,
эквивалентное решению, которое получается методом парных
асимптотических разложений. В дальнейшем выяснилась оши-
бочность данного утверждения; однако полученные таким обра-
зом результаты, как оказалось, представляют собой очень точ-
ное и простое приближение и заслуживают упоминания.

Если характерную длину определить упоминавшимся спосо-
бом, то в случае удара пластиной решение примет вид (подроб-
ности см. в приложении)

2s0 №=0	[ <^3/p0g2 ] •	(6-62)

В это уравнение можно следующим образом ввести характер-
ную длину .3? i:

(7)	(6.63)

где

g / е7> \(2 —ЗЛГ)/(2ЛГ—(2ЛГ—1)/(1 —ЛГ)

W J

(6.64)

Для у =1,4 постоянная G(y) приобретает значение (128/9)75.

Точность этой формулы можно оценить, сравнивая получае-
мые на ее основе сведения с численными результатами Жукова
и Каждана [21]. Эти авторы рассчитали поведение занятого
газом полупространства под действием на его поверхности волны
давления, имеющей прямоугольную форму. Их решение при

Фиг. 6.6. Функция нагружения на поверхности.

больших значениях времени ведет себя таким же образом, как
и автомодельное решение, благодаря чему авторы определяли
амплитудный коэффициент на основе результатов своих расче-
тов. В выражении для давления на фронте ударной волны Жу-
ков и Каждая обозначили эту амплитуду буквой В; тогда

Р'=ВРтт [( Гмакс/^) (Рмакс/Ро)'/г]2	°(6.65)

Здесь Рмакс и Умакс представляют собой параметры, характери-
зующие нагружение. В общем случае рассматривается свобод-
ная поверхность, которая в момент времени t=0 подвергается
действию резко нарастающей волны давления pL (t) с макси-
мальным значением РМакс и продолжительностью 7маКс (фиг. 6.6):

PiA*) $ (tlTu&KC).	(б.бб>

Импульс и энергия, передаваемые мишени за время действия
такой нагрузки, представляются в виде

1

^=аРшксТшкс, а= ( # (//Гмакс) d
0

ё = *7'макс(Рмакс/рО/г)>

1

b=j WrMaKC) «Д	(6.67)

0

Здесь через uL обозначена скорость нагружаемой поверхности.
В частности, для волны прямоугольной формы а = 1 и b =
= [2/(у+1)]‘\ Подстановка этих значений в уравнение (6.62)
приводит к значению В = 1,657. Истинное значение, найденное
Жуковым и Кажданом, равно 1,8224 4 Итак, предложенная
выше аппроксимация дает ошибку порядка 10% по давлению
или 5% по положению фронта ударной волны.

Другое доказательство точности этого решения можно найти
в численных расчетах Динса [22], а также Чу и Бёрнса [28].
Вид траектории ударной волны в этих расчетах с большой точ-
ностью выражается уравнением (6.62)4

Расчеты Динса были проведены для случая нулевого началь-
ного давления в мишени с начальной плотностью 1,0 г/см3 и
для пластины, произведение толщины на плотность которой со-
ставляло 1,2 г/см* 2, а начальная скорость достигала 10е см/с.
Не только положение ударной волны точно задается выраже-
нием (6.62), но и даваемые расчетами распределения давления,
плотности и скорости частиц соответствуют формулам (6.60).

Расчеты, изложенные Чу и Бёрнсом, были выполнены мето-
дом характеристик для шести различных начальных условий со-
ударения. В случае, заслуживающем особого внимания, бралась
пластина толщиной 3,319 см, двигавшаяся сначала со скоростью

и Амплитудный коэффициент В зависит, как это следует из выражений
для постоянных а и bt только от формы функции нагружения. Таким образом,
он будет иметь одно и то же постоянное значение для пластины с любой тол-
щиной и скоростью и другое постоянное значение для любой нагрузки пря-
моугольной формы.

2) В случае расчетов Динса соответствие несколько ухудшается из-за того,
что он в теоретическом решении ввел небольшое изменение начала отсчета
времени так, чтобы совместить положения ударной волны, получаемые при
аналитическом решении и при числовых расчетах, в момент /=2,0 мкс. Соот-
ветствие остается все же очень хорошим, даже если не вводить такого сдвига.
9,144 км/с. За начальное давление в мишени было выбрано ат-
мосферное, благодаря чему при очень больших значениях вре-
мени из-за эффекта противодавления решение становится не-
автомодельным. Однако существует достаточно продолжитель-
ный интервал времени после окончания начальной фазы удара
и до появления эффектов, не подчиняющихся законам подобия,
на протяжении которого расчеты Чу и Бёрнса (сплошные кри-
вые) хорошо согласуются с соотношением (6.62). Степень со-
гласия иллюстрируется на фиг. 6.7, где можно видеть, что при

Фиг. 6.7. Безразмерные функции для плоской ударной волны.

определении положения фронта ударной волны ошибка не пре-
вышает 5%.

Динс [22] установил, что рассматривавшееся приближенное
решение можно было бы получить, предполагая, что автомодель-
ное решение соответствует не величинам $ или по отдельно-
сти, а что оно описывает течение с таким же значением произве-
дения как и при ударе пластиной, причем X определяется
зависимостью

Х= (2 - 32V )/(2/V-1).	(6.68)

Он также сравнивал это решение со своими численными резуль-
татами, но, подобно автору настоящей работы, не учел того,
что если пользоваться им в точном смысле по Зельдовичу, то
надо немного изменить амплитуду.

Чтобы подвести итог этим рассуждениям о сохранении энер-
гии и импульса, следует повторить, что при больших значениях
времени после начала нагружения поверхности занятого газом
полупространства и до появления эффектов, связанных с проти-
водавлением, поле течения хорошо описывается несингулярным
автомодельным решением, если не считать тех участков поля,
которые приходят в движение в процессе нагружения и некото-
рое время спустя. Степенная зависимость решения и связь его
с параметрами ро, S и выражается соотношением (6.63).
Появляющийся в решении амплитудный коэффициент зависит
от у, а также от особенностей процесса нагружения во времени.

Изложенные рассуждения для одномерного случая можно
распространить и на случай двух пространственных переменных.
Удар в осесимметричном случае был рассмотрен автором [16],
тогда как Райзер [15] исследовал одновременно удар и взрыв
как точечного, так и линейного источников. В этих случаях ре-
шение для большей части поля течения в поздние моменты вре-
мени также имеет автомодельный степенной характер. Критерий
выбора показателя степени состоит в том, что он должен при-
нимать такое значение, которое допускает гладкий переход ме-
жду гиперболической и эллиптической областями. Ниже пока-
зано, как проводится масштабный пересчет через полную энер-
гию и импульс, а также начальную плотность. Одновременное
сохранение энергии и импульса достигается путем пренебреже-
ния малой долей массы, затронутой в процессе возникновения
течения (точнее посредством отыскания точного решения для
этой части потока и последующего сопряжения его методом пар-
ных асимптотических разложений с автомодельной частью те-
чения). Амплитудный коэффициент в выражении траектории
ударной волны зависит от отношения удельных теплоемкостей у,
а также от особенностей истории нагружения.

ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ

Непосредственное решение автомодельных уравнений в осе-
симметричном случае крайне трудно из-за смешанной гиперболи-
ческо-эллиптической природы задачи, неизвестного значения N,
а также неизвестной формы ударной волны и границы султана.
Ко времени написания настоящей главы никаких сообщений
о непосредственном решении таких уравнений не было опубли-
ковано.

Однако Уолш и др. [5, 7] опубликовали решение исходных,
зависящих от времени уравнений движения для удара прямого
кругового цилиндра о полупространство, занятое совершенным
газом с у =1,5, нулевым начальным давлением и плотностью
1,0 г/см3. Как уже отмечалось, они изучали развитие автомодель-
ного решения и указали, какую функциональную форму такое
решение может принять. Однако о действительных распределе-
ниях автомодельных функций ими ничего сообщено не было.
Уолш ознакомил автора с полным численным решением этой
задачи; найденные ими автомодельные распределения описыва-
ются ниже.

Форма волны. Вычисления Уолша были проведены на основе
расчетной схемы [29], представляющей собой усовершенствова-
ние метода частиц в ячейках, в котором распределение массы
характеризуется непрерывным образом, а не набором дискрет-
ных частиц. Был выбран ударник с длиной и диаметром по 36 см
при начальной скорости 10 км/с. После перехода течения в авто-
модельный режим вычисление безразмерных функций можно
проводить в любой момент времени. Нами был выбран самый
поздний момент, для которого Уолш приводит результаты

Фиг. 6.8. Распределение давления в ячейках вблизи оси симметрии.

(5,40-10-3 с). В этой точке при расчетах размеры ячейки в осе-
вом и радиальном направлениях составляли по 8 см. Чтобы вы-
делить ударную волну, был построен график зависимости дав-
ления от расстояния в предположении, что давлением в каждой
ячейке можно считать давление в ее средней точке. На фиг. 6.8
показаны результаты для ряда ячеек, лежащих ближе других
к оси симметрии. Для подобных численных расчетов характерно
то, что фронт ударной волны размазывается на несколько ячеек.
Обычно полагают, что ударный фронт располагается между вто-
рой и третьей точками в передней части профиля давления. За-
тем точки, которые характеризуют местоположение ударной
волны и которые находят по подобным кривым (р в зависимо-
сти от z для у180 см и р в зависимости от у для 2^236 см),
наносят на общий график и проводят через них кривую; такая
кривая хорошо аппроксимируется эллипсом (фиг. 6.9)

(^гУ+Ш-1=0	<6-м>
со значениями 2«о=321 см, 21=96 см и i/o = 241 см. В безразмер-
ных координатах последнее выражение преобразуется к виду

(6.70>
где

ftJ=zI/z^=0,2991, Л2= 1-^=0,7009, Л3=уо/^=О,75О8. (6.71>

Независимо от численных результатов можно найти угол ме-
жду ударной волной и свободной поверхностью в точке их пере-
сечения. В основу такого решения положены идеи, изложенные
в ряде статей советских авторов [30—35], обзоры которых со-
ставили Коллинз [36], а также Коллинз и Холт [37]. Главная
идея состоит в том, что если решение автомодельно, то ударная

Фиг. 6.9. Обозначения, используемые в формуле для формы ударной волны.

волна должна пересекаться со свободной поверхностью под та-
ким углом, чтобы система возникающих за ударным фронтом
волн не приводила к изменениям формы самого фронта. Это
условие удовлетворяется в том случае, когда скорость вступле-
ния волны разрежения за ударной волной в точности соответст-
вует скорости движения точки пересечения ударной волны со
свободной поверхностью, чем обеспечивается выполнение усло-
вия так называемого «критического отражения».

Скорость произвольной точки фронта волны разрежения
равна векторной сумме скорости звука (перпендикулярной
фронту) и скорости частиц, причем как скорость звука, так и
скорость частиц определяются при условиях непосредственна
перед продвигающимся фронтом. Элементарная волна разреже-
ния, которая в момент времени t возникает в данной точке сво-
бодной поверхности, представляется в момент t+&t геометри-
ческим местом точек, переместившихся нормально к фронту на

° См. также статью Б. Д. Христофорова «Взаимодействие ударной волны
в воде со свободной поверхностью» [ПМТФ, № 1, 30 (1961)].— Прим. ред.
расстояния, пропорциональные местному значению суммарной
векторной скорости. В частности, малая дуга фронта волны
вблизи свободной поверхности распространяется со скоростью,
равной векторной сумме взятых за ударной волной скорости ча-
стиц и скорости звука по нормали к фронту волны. Таким обра-
зом, эта малая дуга может рассматриваться как часть окружно-
сти, которую находят построением, показанным на фиг. 6.10 [38].

Подобное построение не означает, что частица на поверхно-
сти, к которой в момент времени t подошла ударная волна,
в действительности пройдет путь, показанный на фиг. 6.10 в виде
отрезка qikt. Это также не означает, что вся элементарная
волна разрежения сохраняет круговую форму. В действительно-
сти траектория любой частицы, находящейся на свободной по-
верхности, зависит от ее собственного движения, а форма эле-
ментарной волны определяется распределением скорости звука
и скорости частиц в окрестности волны. Рассматриваемое по-
строение полезно только в том отношении, что оно облегчает век-
торное сложение скоростей и позволяет установить ориентацию
фронта волны вблизи свободной поверхности.

Из фиг. 6.10 вытекает формула

sin р,= [2 (?,Ю - (<7,/<7,)2+W<7S)T2-	(6.72)

Для ударной волны бесконечной интенсивности эта формула
преобразуется в случае совершенного газа к виду

81п^=[(т+1)/2-г]'\	(6.73)

Если у= 1,5, то ps = 65,9°. Соответствующее значение из уравне-
ния (6.70) составляет 63,2°. Разность между этими двумя значе-
ниями лежит в пределах точности осреднения численных дан-
ных Ч

В статьях Коллинза [36], а также Коллинза и Холта [37]
фигурирует иная формула для 0S. Вместо векторного сложения
компонентов скорости qi и at, как это сделано на фиг. 6.10, упо-
минавшиеся авторы приравнивают сумму абсолютных значений
этих компонент скорости перемещения точки пересечения фронта
ударной волны со свободной поверхностью (см. уравнение
(3.20) в [36, 37]). Их формула для угла ударной волны в на-
ших обозначениях выражается следующим образом:

sin0JK-x=--------—-------ч—.	(6.74)

X 2+ [27(7 — 1)]’/»	v 7

п Автор не был уверен в формуле для ps до тех пор, пока не было по-
лучено уравнение (6.70). Конечно, можно было бы так подобрать значения
постоянных, чтобы в точности удовлетворить формуле (6.73), но здесь этого
не делается.
При y= 1,5 эта формула дает ps = 50,8°, что значительно отли-
чается от данных Уолша. Коллинз и Холт в частном сообщении
отметили, что они считают обе формулы — свою и приведен-
ную в настоящей работе — приближенными. По их мнению, на-
личие пучка волн разрежения позволяет точно найти скорость
частиц с тем, чтобы использовать ее при определении ps. Автор
согласен с тем, что в пучке волн разрежения скорость частиц
будет меняться, но он придерживается той точки зрения, что ско-
рость частиц, соответствующая переднему краю пучка, единст-
венным образом определяется ее значением за фронтом ударной
волны.

Фиг. 6.10. Определение угла пересечения между фронтом ударной волны
и свободной поверхностью.

Распределение скоростей ударной волны, соответствующее
уравнению (6.69), было найдено обычным методом [39]; само
же это уравнение представляется в форме

F(z, у, /)=0.	(6.75}

Выражение для dFIdt можно записать в виде
qsz dF\dz+qsy dFldy-[-dFldt=O;	(6.76}

где компоненты скорости ударной волны определяются из соот-
ношения

Чз=Яз£+<1зуУ-

(6.77}

Вдоль линий, перпендикулярных фронту ударной волны, отно-
шение компонент его скорости удовлетворяет условию
Следовательно, уравнения (6.76) и (6.78) можно преобразовать
к виду

п	(dF/dt)/(dF/dz)	,R _

l + [(dF/dy)/(dF/dz)]2

и

q_qs h_(_^m2r'’=------------------(ад

4sz [	\ dF/dz } \	[(dF/dy)2+ (dF/dz)2] v ’

Распределение скорости фронта ударной волны в безразмерных
координатах опишется теперь соотношением

1.	№>«С-»|№) + <«Мз)2	(fiRn

Сами же компоненты выразятся следующим образом:

I 9sz I _____________{(^—^l)/4 a/'kl}______ /6 82ч

U, ’	4s)	[(1/^)((С-й1)/*2)2 + (1/^)(’/*з)2],/2 ‘	’

Используя эти выражения для скоростей, можно определить
значения остальных безразмерных функций на ударном фронте
в виде

2

1— 7 + 1

(6.83)

Повсюду в поле течения, кроме ударного фронта, безразмер-
ные функции были найдены из уравнений (6.11) — (6.14), причем
для нормализации использовались следующие значения:

3,0=2,20 • 104 см/с и ро3^о=48,4 МПа.

Значение zso было найдено из соотношения

Zs0= (Л7//) 3,0

(6.84)

при М = 0,37, / = 5,40 • 10-3 с, zs0 = 321 см.

Эти числа можно также использовать для оценки постоян-
ных, входящих в выражение траектории фронта ударной волны.
Аналогично зависимости (6.62) соответствующая формула в осе-
симметричном случае принимает вид

(М5>
Из приведенных данных получается, что Г(1,5) = 1,6415. Как и
для плоской волны, этот амплитудный коэффициент зависит
также от особенностей процесса возникновения ударной волны.
Данное число относится к прямому круговому цилиндру с от-
ношением высоты к диаметру, равным единице. Расчеты Уолша
и др. [5, 7] свидетельствуют о том, что этот коэффициент дол-
жен быть почти одинаков для сферы и цилиндра с отношением
высоты к диаметру в пределах между 7з и 3.

Фиг. 6.11. Линии постоянных значений отношения плотностей (4> = р/ро»
у=1,5).

Формулу (6.85)
длины в виде

можно переписать с учетом характерной

(т) (ctl^0)N,	(6.86)

где

« _[_е_(_Р_УГМ1+Х)	2~5ЛГ

Рос2 \ po<J I ’	4W-1 ’
Безразмерные функции. Графические зависимости, пред-
ставляющие распределения функций ф, ф и © в плоскости
о, были построены на основе численных данных. Эти результаты
показаны на фиг. 6.11—6.14.

Профили плотности обнаруживают сходство с соответствую-
щими графиками для сферически симметричной взрывной волны
[2, 4]. Плотность очень быстро убывает с расстоянием в перпен-

Ф и г. 6.12. Линии постоянных значений давления (f=p/po^^o» Y= 1,5)-

дикулярном ударной волне направлении, но слабо зависит от
углового положения.

Линии постоянного давления выявляют более сильную зави-
симость давления от угла. При этом также проявляется общая
со сферически симметричной задачей о взрыве особенность, за-
ключающаяся в том, что давление резко снижается у фронта,
но вскоре выходит на почти постоянный уровень.

Обе компоненты скорости ведут себя как линейные функции
для значений £ выше —-0,6; их распределения становятся более
сложными при меньших значениях £, когда появляется область,
в которой радиальная составляющая направлена к оси.

Численный метод приводит к ненулевым значениям всех за-
висимых переменных вдоль свободной поверхности снаружи
мишени. Ниже будет показано, что решение около точки пересе-
чения фронта ударной волны со свободной поверхностью должно

Фиг. 6.13. Линии постоянных значений осевой составляющей скорости (<р =
= u!zSb y=1,5).

походить на центрированную волну, а граница султана, вдоль
которой давление и плотность убывают до нуля, не должна со-
впадать при у= 1,5 со свободной поверхностью. Центрированно-
волновая природа решения частично маскируется влиянием не-
нулевых размеров сетки.

Граница между эллиптической и гиперболической областями,
найденная на основе численных данных, графически представ-
лена на фиг. 6.12. Эта граница должна проходить через точку
пересечения фронта ударной волны со свободной поверхностью.
Невозможность удовлетворить этому условию лишний раз свиде-
тельствует о том, что численный метод не может охватить неко-
торые детали центрированноволновой структуры течения в дан-
ной области.

Надо подчеркнуть, что при обработке данных Уолша было
проведено много осреднений и сглаживаний и что дальнейшие ис-

Ф и г. 6.14. Линии постоянных значений радиальной составляющей скорости
((o = u/z8O, у =1,5).

следования, без сомнения, приведут к некоторому уточнению по-
ложения рассматриваемых профилей. Оценить их точность на ос-
нове имеющихся данных не представляется возможным.

Траектории частиц. Для рассматриваемого здесь автомодель-
ного невязкого течения можно определить траекторию любой ча-
стицы после прохождения через нее фронта ударной волны. Это
можно сделать на основе того, что энтропия в частице остается
постоянной и равной тому ее значению, которое приобретается
частицей в ударной волне1). Так как энтропия зависит только
от отношения p/pv, можно написать

Plp^Pjp],	(6.88)

где нижний индекс указывает на условия сразу же после прохож-
дения фронта ударной волны. Перейдя в этом соотношении к без-
размерным функциям,получим

=	(6.89)

\ zsW /

Здесь г«02 обозначает скорость ударной волны в текущий момент
времени, когда рассматриваемая частица имеет безразмерные
давление и плотность f и -ф (без индексов), а z«oi относится к бо-
лее раннему моменту времени ts, в который ударная волна по-
дошла к этой частице. Последнее уравнение можно преобразо-
вать к виду

t _(	Г/г(1-Л0

I /1/[(7 + D/(7-ПР |

На оси симметрии одного этого уравнения достаточно для того,
чтобы можно было определить отношение t/ts для любого значе-
ния £, так как сама ось тоже служит траекторией частицы. В точ-
ках, не лежащих на оси симметрии, траектория частицы должна
быть найдена в явном виде. За промежуток времени dt положе-
ние частицы изменяется на dy = vdt и dz = udt\ если перейти
к безразмерным функциям, то эти приращения примут вид

dy=a dzs0 zs0 da—<nzsQ di=it> dzsQ,

dz=t, dzga+z^ d(.=<fZs0 dt=<? dzs0.	(6.91)

Таким образом, в плоскости безразмерных переменных переме-
щения происходят со скоростью, пропорциональной псевдоскоро-
сти с компонентами <о — о и <р — £; действительно,

rf3=(w — a) dlnz^, rfC=(<p — Qrflnzj0.	(6,92)

а траектории частиц образуют семейство линий, удовлетворяю-
щих условию

da/d^^-a)!^-^.	(6.93)

Предполагается, что, кроме главной ударной волны, других ударных
волн нет.
Решения этих уравнений, найденные методом изоклин, показаны
на фиг. 6.15 пунктирными линиями, а вдоль кривых, изображен-
ных сплошными линиями, отношение t/ts остается постоянным.
В табл. 6.2 указаны условия в тех точках, в которых частицы по-
падают в ударную волну.

Начальные условия для траекторий частиц

Таблица 6.2

Компо-	Номер частицы								
ненты	1	2	3	4	5	6	7	8	9
С,	1,о	0,984	0,930	0,832	0,709	0,567	0,418	0,245	0,040
	0	0,160	0,330	0,488	0,612	0,697	0,742	0,751	0,700
Рассмотрение фиг. 6.15 позволяет установить несколько инте-
ресных особенностей. Первая из них — это закон движения
во времени по своей траектории частицы, которая до момента
времени t=ts, когда через нее проходит фронт ударной волны,
находилась на оси симметрии на расстоянии Li от свободной по-
верхности. Сама частица следует с убывающей скоростью
за фронтом до тех пор, пока время t/ts не достигнет значения
24,5, при котором такая скорость меняет знак. Это происходит
(фиг. 6.13) при £=0,585; таким образом, частица достигает мак-
симального расстояния от свободной поверхности, удовлетворяю-
щего соотношению

^иакс. = _Jm£!££—^(0 = о 585 (24,5)°-37= 1,91.	(6.94)

*1	<so(0 ZS0 (Ъ)	'	’	'

Затем она начинает двигаться в обратном направлении, к сво-
бодной поверхности, и проходит через нее при t/ts=125. Для
сравнения укажем, что в точном решении одномерной задачи при
у=1,4 максимальная глубина проникновения 2,60Li достигается
при t/ts=15,6, а частица проходит через первоначальное поло-
жение свободной поверхности при ///s=55,9.

Вторая интересная особенность выявится, если проследить
за движением слоя частиц, которые первоначально находились
в плоскости, отстоящей на расстоянии Lt от свободной поверхно-
сти. Обозначим через Л момент времени, когда центральная
точка фронта ударной волны достигает глубины z = Li (при за-
данном значении Lt можно, воспользовавшись соотношением
(6.85), связать Л с массой и скоростью ударника для любого ча-
стного случая). Несколько позже достигнет глубины Lt точка
ударного фронта, в которой начинается траектория частицы
с номером 2 (5=0,984, <т=0,160); это означает, что в данный мо-
мент времени безразмерная координата ударной волны вдоль
оси составляет

zs0 (/J)/Z.1 = l/0>984=l,018.

Таким образом, координата у этой точки равна

Ул__ Ул г$0 (<л) _ 0,160 р.

Л *ло(*л) Lt 0,984 и’*ио-

Рассматриваемая частица сталкивается с ударной волной в мо-
мент времени, определенный из соотношения

<л. = Г г’лп(^л) 11 /лг _ Г Ц(<л)11 /лл = (1 о18)’10,37= 1,049.

6 L -г'ло (Л) J L Z-i J '	’
Теперь можно определить местоположение этой частицы в лю-
бой последующий момент времени. Например, если более позд-
ний момент времени t определить таким образом, чтобы
Zso(0/Li = 5 (т. е. ///i=p1/0’37 = 77), то тогда время после прохо-
ждения фронта ударной волны через эту частицу составит

00=77/1,049=73,5.

Ее местоположение можно найти из фиг. 6.15, где £ = 0,25 и о =
= 0,08, что дает z/Li = 1,25 и y/Li=0,40.

Подобные расчеты были проведены для всех девяти траекто-
рий частиц и для таких моментов времени, что отношение
zso(t)ILi равнялось 2, 3, 4 и 5 (соответствующие времена tfts =
= 6,5, 19,5, 42,2 и 77). Результаты таких расчетов иллюстри-
руются на фиг. 6.16. На первых порах слой частиц движется
внутрь мишени. Позже частицы, находящиеся достаточно далёко
от оси, приобретают значительную по величине радиальную со-
ставляющую скорости, а частицы с очень большими значениями
ys/Li уже самой ударной волной уносятся к свободной поверхно-
сти. В это более позднее время частицы, находившиеся сначала
близко к оси, изменяют направление своего движения и начи-
нают перемещаться в сторону свободной поверхности.

Такое движение напоминает деформацию того типа, какая на-
блюдалась Фрезиером и Карповым [40] в мишени, состоящей
из чередующихся светлых и темных слоев воска. За некоторое
время до того, как под влиянием прочности материала движе-
ние прекращалось, лежащие близко к оси частицы оказывались
перемещенными вниз, тогда как частицы, находившиеся вдали
от оси, были сдвинуты так, что образовывался волновой профиль.
Эти результаты обнаруживают (по крайней мере качественно)
особенности такого же типа, хотя и совершенно очевидно, что они
никак количественно не связаны с экспериментами в воске (в ко-
торых проявляются как отсутствие подобия, так и влияние проч-
ности). Однако интересно отметить, что при невязкой постановке
задачи выявляется механизм возникновения подобной деформа-
ции. Вопрос о том, как отсутствие подобия и прочность матери-
ала нарушают и в конечном счете совсем останавливают такое
развитие, представляет собой предмет дальнейших исследований.

Решение вблизи точки пересечения фронта ударной волны
со свободной поверхностью. Можно найти точное решение, опи-
сывающее свойства течения в окрестности той точки, где ударная
волна пересекает свободную поверхность. Ниже это решение вы-
водится аналогично тому, как это сделали Курант и Фрид-
рихе [41].

Дифференциальные уравнения. Уравнения автомодельного
движения записываются в системе координат, начало которой на-
ходится в точке пересечения фронта ударной волны со свобод-
ной поверхностью (фиг. 6.17); следовательно,

C=/sin р,

Фиг. 6.16. Положение частиц, находившихся вначале на плоскости г=Ц.
a-t = tx (ze0=Lj); 6-t=6,5/j (zs^2LxY, e-/=19,5tj Us0=3Lj); г - f=42,2fj (zsQ=\LxY,

Все зависимые переменные разлагаются в ряды по степеням /,
например

f (A ₽)=f(0) (?)+*PW	(?)+ • • • •	(6.96)
Если теперь подставить эти разложения в полные уравнения для
автомодельных переменных [уравнения (6.39) — (6.42)], то
можно найти, что главные члены (коэффициенты при Z-1) запи-
шутся в следующем виде (штрих обозначает производную did#) -.
условие неразрывности

(<р<0) cos р — (<оо — aj Sin р] <р(0)+ф(0) [?(0) COS р — (Оо sin р] =0, (6.97)

сохранение осевой составляющей импульса

[<Р(0) COS Р — (<о(0) — at) sin Р] ?’0)

Фиг. 6.17. Система коорди-
нат в области вблизи точки
пересечения фронта ударной
волны со свободной поверх-
ностью.

парамет-

Фиг. 6.18. Значение
ров N иТ.

сохранение радиальной составляющей импульса

[<р<0) cos р — (a)(0) — 31) sin р] о>(О) —-^-sinP=O, (6.99)

40)

сохранение энергии

[?(0)COSp- (a)(0)-<J1) sin Р]

тЛо) (Ь' 1 п

-Т— ф(0) —о.

40)

(6.100)

Так как последние уравнения однородны относительно производ-
ных, они будут иметь нетривиальное решение только при условии
обращения в нуль детерминанта, составленного из коэффициен-
тов. Это условие запишется в виде

^(0) [Л^(0) - Т/(О)/Ф(о)] =0,	(6.101)

где

Mo) = ?(о) COS Р — (а>(0) — а!) SiП р.	(6.102)

Принятые обозначения подсказаны тем фактом, что выражение,
находящееся в правой части соотношения (6.102), представляет
собой как раз перпендикулярную линии р= const составляющую
нулевого порядка вектора с компонентами <р — £ и со— а [Т —
касательная составляющая (фиг. 6.18)]; действительно,

N= (<Р — С) COS Р — (а) — a) Sin р,

т= (<р - С) sin Р+(О) - а) COS р.	(6.103)

Чтобы детерминант, составленный из коэффициентов, обратился
в нуль, достаточно удовлетворить условию

N (0),	(6.104)

представляющему собой частный случай обычного соотношения
Прандтля—Майера, согласно которому, нормальная к лучам со-
ставляющая скорости в точности равна скорости звука [42].

Поскольку значение вообще говоря, отлично от нуля,
уравнение сохранения энергии можно записать в виде

/(0) — (т/(о)/Ф(о)) ф(0)=0.	(6.105)

Решением данного уравнения служит условие изэнтропичности

/(0) == const ф?0).	(6.106)

Уравнение неразрывности можно записать в форме

Мо)Ф(О)/Фо+(-^ (О)+7’(о))=О.	(6.107)

Появляющееся здесь отношение ‘Ч’,(О/‘Ф(О) определяется из уравне-
ний (6.104) и (6.106), что дает

Ыф(о)= [2/(7 -1)] (M'oj/Mo)).	(6.108)

Таким образом, уравнение неразрывности преобразуется к виду
^<о)=-[(7-1)/(т+1)1 Ло).	(6.Ю9)

Складывая уравнение осевой составляющей импульса, умножен-
ное на sinp, с уравнением радиальной составляющей импульса,
умноженным на cos р, можно вывести второе соотношение между
7V(0) и 7(о) в виде

Ло)=Мо).	(6.110)

Последнее равенство совпадает с условием безвихревого тече-
ния, т. е.

rot q=e3 fe0/fej0) {(0(0)COS Р+<р(о) sin p} -j- О (/°).	(6.111)
Объединив уравнения (6.109) и (6.110), получим

^oj+Kt- 1)/(t+D] Ло)=О.	(6.112)

Таким образом,

Т^=В, sin (^Ly/Jp+B2 cos (-^г)'/г	(6.113)

Mo)= T'w=(-^T-)'/2 {*: COS (-f^r),/2 ? -

-^sinf-^lpp).	(6.114)

Граничные условия. Чтобы определить Bi и Вг, надо знать
граничные условия для N(oy и 7\о) при некотором значении р.
Сразу за фронтом ударной волны, где Р=Р« и составляющая ско-
рости ударной волны вдоль поверхности равна Oizso, зависимые
переменные принимают следующие значения [см. соотношения
(6.83)]:

Ф(о) = (т+1)/(т-1),	(6.П5)

А»=[2/(т+1)] («tSin₽J2=a?/L	(6.И6)

?(0)= — [2ai/(l+1)] sinpscos-(eJv) [(т-l)/(t+ 1)]4l,

(6.117)

®(o)= [2<3i/(74-1)] sin2 ps=<Jj/7.	(6.118)

В области между ударной волной и головной частью волны раз-
режения, т. е. при Р«<Р<Ря, величины ф, f, q> и to сохраняют по-
стоянные значения. Поэтому в данной области 7V(0) и Т(о> зависят
от р следующим образом:

Мо)=°1[—J-(-y^t)/2cosP-(^— l)sinp],	(6.119)

Ло)=»1 [-y(-7Tt),/2sM+(t~ 1)cos?] •	(6Л20)

Значение ря можно найти на фиг. 6.10 как угол, образуемый ка-
сательной к окружности волны разрежения со свободной поверх-
ностью, т. е.

sin рЛ = (1 - cos р.ур,

cospR=—^-cospj.

(6.121)
Для ударной волны бесконечной интенсивности в совершенном
газе это дает

sin^=(f- 1)'/7т, cosfo>=- 1/f.	(6.122)

Таким образом, начальные условия имеют вид

Мо>(?Л)=°. Кт- 1)/(т+1)Г/2.	(6.123)

После определения постоянных Bi и Вг в соответствии с этими
граничными условиями решение можно записать в форме

7’(0)=О181п{К7-1)/(т+1)Г/г(?-^)К	(6.124)

Мо)=®.Кт-1)/(т+1)Г/гсо8{[(Т-1)/(Т+1)]'/г(?-М}. (6-125)

Свойства решения. Из последних соотношений можно теперь
определить обе компоненты скорости частицы. Чтобы найти плот-
ность и давление, надо из условий при вычислить входящую
в формулу (6.106) постоянную

а? / Y — 1 V

/(0)=^-(т+г) tfo).	(6.126)

Воспользовавшись затем зависимостью (6.104), найдем плотность

Давление же находят по формуле (6.126).

Значение 0, при котором плотность и давление падают до
нуля, можно определить, полагая Nq} равным нулю, т. е.

1(1-1)/(т+1)Г/г(?-0Л)=^/2.	(6.128)

Таким образом, граница «вакуума» определяется из условия
?вак=Р₽+К-г+1)/(Т- 1)]'/2W2).	(6.129)

Общее изменение 0 от начала пучка разрежения до границы
с вакуумом составляет [(у+1)/(у— 1 )]1/2(jt/2), что в точности со-
ответствует изменению полного угла Маха для установившегося
течения Прандтля—Майера [43].

Как 0s, 0Д и 0вак изменяются в зависимости от у, показано
на фиг. 6.19. Интересно отметить, что граница вакуума пересе-
кается со свободной поверхностью при значениях у, меньших
~ 1,37, и лежит выше нее при значениях у, превышающих 1,37.

Найденное решение дает угол, под которым различные кон-
туры на фиг. 6.11—6.14 входят в точку пересечения фронта удар-
ной волны со свободной поверхностью. Такие значения угла удо-
влетворительно согласуются с результатами, вытекающими из
решения Уолша, повсюду, кроме, как уже отмечалось, области вне
мишени. Из этого решения следует, что особая характеристика,
отделяющая эллиптическую область от гиперболической, распо-
лагается вдоль р=₽в- Как уже отмечалось при обсуждении
фиг. 6.12, получить с хорошей точностью такие сведения из чис-
ленных данных не удается.

Фиг. 6.19. Угловое положение ударной волны (s), фронта волны разреже-
ния (7?) и поверхности нулевого давления (вак).

Было бы интересно найти следующие члены разложения этого
решения по степеням /, как это было сделано Йоханнессеном и
Мейером [44] для установившегося изэнтропического течения
и Хаккиненом [45, 46] для течений с градиентами энтропии1)

Д-р Сундарам отметил интересную возможность, заключающуюся в том,
что решение такого порядка может допускать существование краевой ударной
волны, которая, как известно, встречается в установившемся сверхзвуковом
потоке, когда сильно завихренная область внезапно расширяется.
и разрывами кривизны линий тока. Решение такого порядка мо-
жет потребоваться в том случае, когда понадобится установить
особенности траекторий свободной поверхности.

ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ

Многие авторы пытались разобраться в некоторых особенно-
стях решения для совершенного газа с помощью различных при-
ближений. Наиболее важной из таких попыток представляется
работа Райзера [15], в которой установлена аналогия с одномер-
ным случаем и разработаны дальше соображения Зельдовича
[14] относительно одновременного сохранения энергии и им-
пульса. Райзер построил осесимметричное решение в предполо-
жении, что (в принятых здесь обозначениях) ср и о суть линей-
ные функции соответственно £ и о. Это предположение приводит
к постоянному значению (в безразмерных координатах) дивер-
генции поля скоростей, т. е. к условию, которое Райзер предло-
жил в качестве соответствующего обобщения установленного
в плоском случае факта примерного постоянства производной
dyldtt (которая строго постоянна при у= 1,4). Чтобы выявить де-
тали решения, он сформулировал весьма приближенное предпо-
ложение о форме волны и сумел найти пару значений N и у.
Рассмотренному им случаю точечного удара соответствуют Af=
= 0,386 при у = 1,205.

Найденные им профили различных функций умышленно оста-
влены недоопределенными, но они во многих отношениях схожи
с численным решением, рассмотренным несколько выше. Напри-
мер, отношение плотностей ф в плоскости £=0 составляет 0,0187;
обращение к фиг. 6.11 показывает, что это значение надо при-
знать приемлемым.

Райзер дает схематический эскиз формы ударной волны, кото-
рая напоминает волну, найденную Уолшем, но не приводит для
нее никаких численных обоснований.

Наконец, следует упомянуть о том, что Райзер исследовал
также случай удара вдоль линии. По его данным, закон движе-
ния ударной волны опять очень близок к решению в случае по-
стоянства энергии. В связи с задачей об ударе вдоль линии надо
также вспомнить об экспериментальных данных Дерибаса и По-
хожаева [48], которые помещали детонационный шнур на стенку
бака с водой. Они вкратце обсудили некоторые теоретические
представления, связанные с моделированием, и отметили, что их
результаты свидетельствуют о подобии по импульсу, приобретен-
ному жидкостью. Однако в более поздних экспериментах Ми-
нина [49] было обнаружено, что в данных Дерибаса и Похожа-
ева существенно проявляется влияние силы тяжести. Резуль-
таты Минина показали, что даже тогда, когда исключается такое
влияние, все равно скорость роста кратера или султана [по су-
щетсву azso(t)] подчиняется степенному закону с показателем
степени 0,47, который как раз несколько меньше значения 0,5, со-
ответствующего автомодельному решению при постоянной энер-
гии. Кроме того, в том случае, когда детонационный шнур сво-
рачивался в плоское кольцо, что по существу соответствовало
точечному источнику, Минин наблюдал скорость роста, пропор-
циональную f0-38.

Другое приближенное исследование задачи о точечном источ-
нике в случае совершенного газа было проведено автором на-
стоящей работы [16]. Безразмерные уравнения были записаны
им вдоль оси симметрии *> в следующем виде:

(Т—Q	(ср'4-2 V)=0,	(6.130)

-[(1 -N)IN]	<р'+/7ф=о,	(6.131У

-2 [(1 — ЛГ)/ЛГ] /+(<? -Q f - (т//ф) (ср -С) <|»'=0.	(6.132)

Здесь штрихом обозначена производная d/dt,, а функция V опре-
деляется в виде

У=(<?<о/<3а)0_0.	(6.133)

Если теперь мы располагаем сведениями относительно функции
V, то решение вблизи оси симметрии можно найти совершенно
аналогично тому, как это было сделано в одномерном случае.
В частности, уравнения (6.130) — (6.132) становятся сингуляр-
ными в точке, где (<р — ?)2=У^Ф> которая, разумеется, есть ме-
сто пересечения границы между эллиптической и гиперболиче-
ской зонами с осью симметрии.

Чтобы найти функцию V, продифференцируем уравнение ра-
диальной составляющей импульса; это дает

--ЧЛ v'+It-Q	и-1> vh-tHtH.»-0- <6Л34>

Распределение давления вне оси аппроксимируется выражением
(<W°2h=0=/7C-(W) (1 -0/,	(6.135)

в котором параметр К определяется скоростью убывания давле-
ния с удалением от оси. В случае затупления тела этот параметр
непосредственно связан с формой волны; в рассматриваемой за-
даче оценить его гораздо труднее. Конкретный вид такой аппрок-

0 Такой выбор диктовался тем, что аналогичные методы с успехом при-
менялись при исследовании гиперзвукового течения около затупленного тела
[50].
симации в сферической системе координат соответствует зависи-
мости (фиг. 6.20)

^<(1 —	(6.136)

где система координат определяется соотношениями

^=г/^(/),	(6.137)

C=^cos0,	(6.138)

a=7]sin0.	(6.139)

Множитель т) в уравнении (6.136) выбран с таким расчетом,
чтобы при т]’=1 вторая производная d2f/<362 обращалась в нуль,
так как Рае и Кирчнер [16] уже высказали предположение о том,

Фиг. 6.20. Сферические полярные координаты.

что ударная волна представляется полусферой с центром, находя-
щимся в точке соударения на свободной поверхности.

Установлено, что для значений у от 2,0 до 6,0 и параметра К,
равного 1,0 и 10,0, показатель степени Л', обеспечивающий глад-
кий переход через особую точку уравнений (6.130) — (6.132),
всегда лежит между 0,367 и 0,4. Эти результаты хорошо согласу-
ются с приближенным решением Райзера и расчетами Уолша.
Значения 2V, найденные во всех этих трех работах, близки, но
все-таки немного меньше величины 2/5, отвечающей решению
в симметричном случае при условии сохранения энергии.

Провести прямое сопоставление значений функции V, полу-
ченных в рассматриваемом приближении и на основе решения
Уолша, трудно отчасти из-за предположения о полусферической
форме ударной волны и отчасти из-за ухудшения точности при
дифференцировании численных данных. Однако распределения V
по общей форме и порядку величины полностью согласуются.

Из-за высокой плотности на фронте ударной волны большая
часть прошедшей через него массы сосредоточивается в тонком
слое, прилегающем к скачку. Это обстоятельство вместе с близо-
стью приближенных значений N к 0,4 позволяет предполагать,
что течение можно было бы аппроксимировать половиной сфе-
рически симметричного решения, соответствующего условию
постоянства энергии *>, причем такое приближение обосновано
Рае и Кирчнером [16].

Чтобы рассчитать в указанном приближении траекторию
ударного фронта, предполагается, что вся кинетическая энергия
ударника переходит в течение за полусферической ударной вол-
ной. В таком случае баланс энергии дает

(т),	(6.140)

где радиус ударной волны (равный z«o на оси симметрии) обо-
значен через Rs (t) и к тому же

/(t)==J[//(t —1) Ф+4"?2)^^’ ri = rI^At)- (6.141)

Чтобы взять последний интеграл, надо знать вид функций f, ф
и ф. Численное решение для этих величин получил Тейлор [4],
а решение в замкнутой форме нашли Нейман [2] и Седов [3].
(Решение в замкнутой форме было несколько позже получено
также Тейлором [51], Леттером [52] и Сакураи [53].) Значения
/(у), основанные на результатах этих работ, были вычислены
Рае [54] в диапазоне 1,2^у^100.

Решение уравнения (6.140) для траектории ударной волны
представляется в виде

(6Л42)

Взяв значение 7(1,5) =0,335 и обозначив массу и скорость удар-
ника через Ми U, получим

K.w	.	(6.143)

Для сравнения укажем, что из данных Уолша [см. уравнение
(6.85)] следует

^(0|, = ,.s-1.270	(6.144)

Таким образом, аппроксимация симметричным решением приво-
дит к завышению глубины проникновения ударной волны всюду,
кроме области крайне малых значений t.

Первыми симметричное решение распространили на задачу
об ударе Дэвиде и др. [55, 56]. Ко времени написания этих работ

) Отметим еще и то, что распределения функций f, ф и <р на оси сим-
метрии довольно хорошо согласуются с аналогичными распределениями, сле-
дующими из симметричного решения.
еще не была выяснена связь симметричной модели с истинным
решением, и, следовательно, не было надлежащей основы для вы-
бора параметра N. В результате основные усилия авторов работ
[55, 56] были направлены на отыскание решений для М#=0,4. Од-
нако оказалось, что единственное несингулярное решение сим-
метричной задачи отвечает значению А=0,4.

5. СЛУЧАЙ РЕАЛЬНОГО ГАЗА

Возникающие в твердом теле при соударениях ударные волны
редко распространяются с достаточно большими скоростями, до-
пускающими такую идеализацию материала, при которой мате-
риал термодинамически можно уподобить совершенному газу.
В широком диапазоне условий все еще остается годной модель
невязкой жидкости, но при этом необходимо воспользоваться бо-
лее близким к действительности уравнением состояния. В настоя-
щем разделе рассматриваются некоторые уравнения состояния,
которые точнее описывают поведение сжатого твердого тела. За-
тем обсуждаются точные численные решения с особым упором
на возможность моделирования. Наконец, излагаются некоторые
приближенные методы решения.

УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ

В диапазоне термодинамических условий, встречающихся при
высокоскоростном соударении, приемлемое описание обеспечи-
вается уравнением состояния Ми—Грюнайзена (см., например,
статью Райса и др. [57]). Разработаны достаточно сложные вы-
ражения для этого уравнения состояния, особенно в случае ме-
таллов (см., например, уравнения, использованные Бьорком [58],
Тиллотсоном [59] и Рини [60], а также сравнительный анализ
этих уравнений, проведенный Рае [54]). В наших целях можно
ограничиться несколько более простым выражением.

Общая форма. Уравнение Ми—Грюнайзена обычно представ-
ляется в виде [57]

е(р, р)-Мр)=1Р-л(р)]/рГ(р),	(6.145)

где индексом с отмечены члены, связанные со сцеплением,
а Г (р) — коэффициент Грюнайзена, который слабо зависит
от плотности р.

Вдоль ударной адиабаты уравнение (6.145) принимает форму

«н (р) ~ес (р)=[рн (р) ~Рс (Р)]/Рг (Р).	(6.146)
где индексом Н помечены значения на ударной адиабате. Вычи-
тая левую и правую части последнего уравнения из соответст-
вующих частей уравнения (6.145), получаем

е=/’/рГ(р)-Д(р),	(6.147)

где

А (Р) =Рн (Р)/?Г (Р)-ен (Р)=Л(Р)/РГ (Р)-ес (р). (6.148)

Наличие второго члена в правой части уравнения (6.147) делает
решение неавтомодельным всюду, кроме предельного случая, со-
ответствующего крайне высоким значениям давления, когда при-
ращение А (р) становится пренебрежимо малой величиной
по сравнению с первым членом.

Подстановка этого уравнения состояния в условия Ренкина —
Гюгонио дает

2А (Р1)_1 J И _ 2 Г-Ц- 4-11 -^-4-14- -^2—=0. (6.149)

\ Ро ) L Г (Р1) 1 J ро 1	1 Г (Р1)	v 7

В том случае, когда функции Г (pi) и Д (pi) известны, это со-
отношение позволяет определить зависимость отношения pi/po
от qs.

Особая форма для (с, s)-материала. Данный процесс можно
обратить и воспользоваться измеренными ударными данными для
получения сведений относительно величин Г (pi) и Д (pi). Эти за-
висимости принимают простую форму для материала, ударная
адиабата которого представляет собой линейную связь между
скоростью ударной волны и скоростью частиц

qs=c+sqx.	(6.150)

Скорость слабой волны с во многих случаях примерно совпа-
дает со скоростью объемных волн [57]. Такие материалы будут
называться здесь (с, $)-материалами. Поведение многих твердых
тел хорошо аппроксимируется этим соотношением; Райс и др.
[57], например, приводят значения параметров с и s для различ-
ных материалов.

Соотношения на ударной волне для (с, $)-материалов можно
выразить через число Маха ударной волны №s = qslc в следую-
щем виде:

Pi _	ех — е0 _ (М5—1)2

Ро 1-H$-1)MS’ с2	2s2

Pi    Ms (1)	qi  	1	(6151)

p0C2	s	’ c	s’	\ •	/
Эти соотношения можно теперь использовать для определения
А (р); в результате уравнение состояния принимает форму

<?t—<?о  	Р/№2	(р/Ро— 1) [2/Г(р/ро) 4-1 — р/р0]

с2	~ (р/Ро)Г(р/Ро)	2 [s — (s-1) р/р0]2	•

Чтобы в ударных волнах очень большой интенсивности предель-
ные значения отношения плотностей в уравнениях (6.149) и
(6.151) совпадали, коэффициент Грюнайзена должен быть взят
равным 2($— 1). В работе Рае [54] это же постоянное значение
было использовано для всех плотностей, хотя было бы правиль-
нее допустить возможность изменения Г в зависимости от р,
чтобы при нормальной плотности коэффициент Грюнайзена до-
стигал значения 2s—1 [57].

Какую бы зависимость Г (р/ро; s) ни выбрать, из уравнения
(6.152) следует, что данные, характеризующие состояние многих
материалов, могут быть сопоставимым образом выражены через
отношения р/рос2, р/ро и (е— во)/с2, причем в качестве единствен-
ного параметра остается только величина $. Корреляции такого
рода были проведены, например, Уолшем [6], Джилденом [61],
а также Гоголевым и др. [62]|).

Ранее было показано, что уравнение Ми—Грюнайзена
аппроксимирует уравнение состояния совершенного газа во всех
случаях, когда давление становится достаточно большим для
того, чтобы превалировал первый член его правой части. Для ко-
личественной оценки предельно допустимого давления можно
воспользоваться уравнением (6.152). В частности, из соотноше-
ний (6.151) следует, что при Ms->-oo первый член на ударной
волне имеет порядок М2, тогда как второй М.5. В точках, удален-
ных от ударной волны, относительный порядок первого члена по
сравнению с членом А (р) становится даже больше [их отноше-
ние достигает порядка М2, см. уравнение (6.183)]. Таким об-
разом, в предельном случае бесконечно больших значений чи-
сла Маха уравнение (6.152) можно заменить уравнением состоя-
ния совершенного газа с y = 2s — 1.

При очень больших давлениях перестает соблюдаться линей-
ная зависимость между qs и qi, и уравнение (6.152), строго го-
воря, становится непригодным. Более серьезное ограничение за-
ключается в том, что данное уравнение иногда приводит к отри-
цательным значениям давления2* и квадрата скорости звука
в точках, находящихся на изэнтропах, при плотностях ниже

*> См. также статью В. П. Корявова «Приближенное уравнение состоя-
ния твердых тел» [ПМТФ, № 5 (1964)].— Прим. ред.

Отрицательные давления при некоторых условиях получаются и для
уравнений состояния Бьорка [58], Тиллотсона [59] и Рини [60].
нормальной. Однако оно дает адекватное и простое представле-
ние для областей течения с высокими давлениями.

Формулировки Энига. Два других выражения для уравнения
состояния (с, $)-материала были предложены Энигом [63],
а также Энигом и Петроне [64]. При плотностях ниже нормаль-
ной эти выражения оказываются более удовлетворительными,
чем только что рассмотренное уравнение. Однако исследователи
в области высокоскоростных ударных явлений, по-видимому,
упустили из вида эту особенность.

При выводе первого выражения [63] основным было стремле-
ние исследовать логические следствия приближенного метода
«зеркального отражения», согласно которому давления и скоро-
сти, присущие частице в процессе изоэнтропического расширения,

Фиг. 6.21. Аппроксимация посредством зеркального отражения.

изображаются точками на кривой, представляющей собой зер-
кальное отражение ударной адиабаты Гюгонио (фиг. 6.21). По-
добная схема согласуется с хорошо разработанной аппроксима-
цией, суть которой состоит в том, что скорость истечения, дости-
гаемая при изоэнтропическом расширении из точки, находящейся
на ударной адиабате, близка к удвоенной скорости частиц на
этой же адиабате. Отметив, что предположение о «зеркальном
отражении» равносильно выбору определенного уравнения со-
стояния, Эниг вывел в замкнутой форме выражение для уравне-
ния состояния в случае (с, s)-материала. В наших обозначениях
его вывод [63] можно записать в виде

452-^ = -^+5(-^-1)+<1>(П	(6.153)

где

Ф=(1+45/?/р0с2)ехр [4s (ро/р — 1)],	(6.154)

а функциональная зависимость между Ф и Y задана параметри-
чески в форме

Ф=(2х+1)2ехр[-4х/(1+х)], Ф=х3/(1+х). (6.155)
Параметр х есть монотонная функция энтропии; в частности, он
означает скорость, которой обладала частица с данной энтропией
непосредственно после прохождения через нее фронта ударной
волны, т. е.

x=s^1/e?=M — 1.	(6.156)

Здесь символ М используется для обозначения того значения чи-
сла Маха ударной волны, которое оно принимает в момент,
когда фронт ударной волны проходит через рассматриваемую
частицу.

Эниг установил, что одновременное принятие предположений
об аппроксимации методом «зеркального отражения», о линейно-
сти соотношения, связывающего qs и а также о постоянстве
объемного коэффициента теплового расширения при определе-
нии температуры приводит к некоторым особенностям для ко-
эффициента удельной теплоемкости при постоянном давлении.
Впрочем, последнее обстоятельство не сказывается на полезности
выражения, в которое входят только е, р и р.

Во втором уравнении, предложенном Энигом и Петроне [64],
используются изэнтропы, которые, как это уже было показано
Уолшем и Кристианом [65], приводят к максимально возможным
значениям скорости свободной поверхности при расширении
из данной точки на ударной адиабате. Эти изэнтропы отвечают
предположению, что величина —р2(де/др)р сохраняет постоянное
значение. Она связана с плотностью р, удельной теплоемкостью
при постоянном давлении СР и коэффициентом объемного рас-
ширения а соотношением

—р2(<?^/<?р)р=рС‘Р/а при /?=0.	(6.157)

В наших обозначениях второе уравнение состояния принимает
вид

Ро 1 м — 1	Л зЛ Р/Рос2 —М (м —l)/s

— и	5, о; — -  м(м —1) р  2s	р0с2 _  / р м(м —	Р!Ю2 +' 	  Ро^2 \ р	/  1)	Г м(м-1) , '
Функция D определяется в виде
d(m; 5, §)-	М-1	~ ~84-М(М-1)/^ ~______________

V ’ ’ ’ sM 8 + [м (м —l)/s] In [1 4-м (м —l)/se]
(6.160)
и

8 = рСр/арое?2.	(6.161)

Обе эти формулировки позволяют опять сделать вывод о со-
поставимости данных, получаемых из уравнения состояния, с по-
мощью величин (е — с0)/£2, р/рос2 и р/ро, причеАм s и 6 остаются
в качестве параметров. Их преимущество состоит в том, что они
сравнительно просты и позволяют описывать состояния матери-
ала при плотностях ниже нормальной в соответствии с наблю-
даемым поведением свободной поверхности. Второе уравнение
с успехом применялось в задаче об инициировании ударной
волны в жидких взрывчатых веществах. Но, насколько известно
автору, ни одно из этих уравнений еще не нашло применения
к задаче о высокоскоростном ударе.

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ

Для численного решения задачи о поведении полупростран-
ства при ударе или при взрыве на его границе с успехом исполь-
зовались метод частиц в ячейках [66] и его различные модифика-
ции [67]. Расчеты подобного рода были проведены Бьорком [68],
Броудом и Бьорком [69], Уолшем и др. [5—7], а также Рини
и Хейдой [70—76]. Такие расчеты были проведены для ударни-
ков разной формы и из разных материалов в широком диапазоне
изменения скоростей соударения. В общем случае течение начи-
нается с фазы, на протяжении которой ударная волна распрост-
раняется с постоянной скоростью, а форма волны определяется
формой ударника. Позже, когда сам ударник существенно де-
формируется, а ударная волна охватит массу материала, в не-
сколько раз превышающую массу ударника, фронт ударной
волны принимает форму, близкую к полусферической. В процессе
вычислений методом частиц в ячейках фронт ударной волны раз-
мазывается на несколько размеров ячейки. Везде, кроме данной
области и окрестности точки пересечения фронта ударной волны
со свободной поверхностью, расчеты дают удовлетворительные
результаты. В некоторых случаях встречаются резкие колебания
решения,, особенно при низкой плотности. Эти ошибочные рас-
пределения можно частично исправить уменьшением размера
ячейки и усовершенствовать с помощью модифицированного рас-
четного метода «крупных частиц» (непрерывного переноса
массы) [29].

Подобие: эквивалентность на поздней стадии. Открытое Уол-
шем [6] подобие, которое он назвал «эквивалентностью на позд-
ней стадии», позволяет применять рассмотренные решения при
условиях, отличающихся от тех конкретных условий, для которых
они были выведены. Главные особенности такого подобия уже
были рассмотрены в разд. 6.3. Чтобы доказать их общую приме-
нимость, они выводятся формально в настоящем разделе.

Функциональные формы. Подобие на «поздней стадии» про-
сто эквивалентно предположению о точечности источника; это
означает, что течение, вызванное ударником ненулевого размера,
точно описывается общими законами подобия только тогда,
когда расстояние zso велико по сравнению с размером ударника.
То, что такое подобие соответствует точечному источнику озна-
чает, что при t = 0 через площадку мишени исчезающе малых
размеров передается ненулевое количество энергии и импульса.
При таком выделении энергии и импульса задача характеризуется
автомодельным поведением мишени, причем Mso бесконечно ве-
лико, уравнения состояния приближенно заменяется уравнением
состояния совершенного газа с y=2s — 1, а производная
d \nzso/d lnzso, равная (Af—1)/Л\ остается постоянной, что по-
зволяет гладко сшить эллиптическую область с гиперболической.

Когда наступает неавтомодельная фаза решения, появляется
единственный новый параметр Mso. Форма ударной волны и гра-
ничные значения f, ф, <р и т. д. изменяются, но зависят они только
от Mso. Производная d\nzso/d\nzSQ также меняется в зависимо-
сти от Mso и определяется заодно в процессе численного решения
уравнений (6.16) — (6.19).

Конкретно один из способов определения производной
d In Zsdd In zsq состоит в следующем: выбирают приращение
1/Mso (придавая М8о значение, которое оно примет в конце шага)
и принимают для d In zso/d lnzso среднее значение на шаге. Чтобы
рассчитать полное поле течения в конце шага, можно восполь-
зоваться методом характеристик. В частности, решение дает но-
вое значение М8о; если оно не согласуется с соответствующим
значением в конце шага, то используется новое значение произ-
водной d In Zsdd In zso (которое влияет на наклоны характери-
стик), и процесс повторяется до тех пор, пока не будет достиг-
нуто удовлетворительное согласие.

После того как решение определено вплоть до требуемого ми-
нимального значения Mso, надо найти траекторию движения
фронта ударной волны к рассматриваемой точке согласно
уравнению (6.35). Это можно сделать интегрированием найден-
ного ранее распределения для d In z^d In Zso:

2j0 — (^о)нач exp

T
(М$о)нач

In ZSQ
d lnzi0

(6.162)

t/lnM^o

Принимая, что (М«о)нач очень велико, можно найти начальные
условия с помощью автомодельного решения. Воспользовавшись
уравнением (6.86), получим зависимость

г$й

nNI(1-N) р (7}1/(1-ЛГ)

ехр

I
(М$о)нач

dln?° rfln МЛ
^1п^0

(6.163)

Здесь важно отметить, что даже тогда, когда характерная длина
относится к автомодельному течению, она все же продолжает
оставаться приближенной характерной длиной и в неавтомодель-
ных частях потока. Таким образом, значение N или эквивалент-
ное ему значение введенного Уолшем параметра а зависит
только от предельного решения для совершенного газа.

Уравнение (6.163) можно переписать в виде

^о/-2’о==Л (М^; s, ...),

(6.164)

где многоточие на месте аргументов заменяет другие, помимо s,
параметры из уравнения состояния. В принципе это уравнение

можно разрешить относительно zsq:

^0	s, ...).	(6.165)

Тогда интегрирование дает

s' ) <6166>

Для A7=2/s длина пропорциональна кубическому корню
из выделившейся энергии, деленной на характерное давление,
которое в симметричных задачах о взрыве определяется прибли-
женно характерной длиной [77].

Уолш и др. подставили в это соотношение вместо Е и Р вели-
чины и 17 и соответственно получили
где

^о=(ЛГ/Ро)’/з. a=A^/(l-7V).	(6.168)

Таким образом, безразмерные переменные Уолша связаны с пе-
ременными, используемыми в настоящей работе, соотношениями

С	/ 1	Ct

(Ulc)a + X ~\ 2 )	’

»г+'(4-Г';‘ Ш(*Г- <6-169>

Здесь последние два множителя зависят от Mso и s. И наконец,
между зависимыми переменными существует следующее соответ-
ствие:

pZ2/e/p0t/2=/(C, a; MJO) Mk2/“ Ш2-273' (^o/^o)27“, (6.170)
{«, -v]Z1,aIU={b ш(С, a; Mi0)J ('/г)1’’73"feo/^o)17*•

(6.171)

В обеих этих зависимостях последний множитель правой части
зависит от Mso, s и других параметров уравнения состояния.

Чтобы завершить это обсуждение подобия для точечного ис-
точника, следует повторить, что для некоторых материалов важ-
ную роль могут играть наряду с s и другие параметры уравнения
состояния. Но даже и в этом случае различные удары в одном
и том же материале будут моделироваться с помощью единствен-
ной характеристики ^о, так как другие параметры при различ-
ных ударах не изменяются. Если рассматриваются различные
удары в нескольких разных материалах, а каждый из этих ма-
териалов характеризуется различными значениями других пара-
метров соответствующих уравнений состояния, то нет никакой
гарантии, что одной только характерной длины будет доста-
точно для удовлетворительной корреляции результатов. Пред-
ставляется, что эти параметры в случае плоской волны оказы-
вают более сильное влияние, чем в осесимметричном потоке, но
для количественной оценки их важности требуются дополнитель-
ные исследования.

Определение безразмерных функций подобия. Опубликован-
ные данные по траекториям ударных волн позволяют оценить
функцию Гз. На фиг. 6.22 показано, какие данные были ото-
браны для таких оценок1). Все траектории начинаются с фазы

Численные данные были заимствованы из обзора Рае [54]. Результаты
Бьорка и др. для пористого алюминия, ударяющегося о твердый алюминий
со скоростью 72 км/с, взяты непосредственно из их работы [78]. Результаты
оригинальных расчетов представлены лишь в некоторых дискретных точках.
Чтобы пояснить это представление, на данном графике показаны осредненные
(сплошные) кривые, проведенные через экспериментальные точки.
постоянной скорости, причем сам ударник в это время деформи-
руется. Затем траектория начинает вести себя так же, как в ре-
шении задачи о точечном источнике. Если скорость соударения
крайне велика (когда начальное значение числа Маха М$о есть
величина порядка 30—100), то решение для точечного источника
окажется в области автомодельности, где наклон Лпг5о/б?1п^

Фиг. 6.22. Сопоставление расчетных данных с приближенной траекторией
ударной волны для точечного источника.

Кривая	Источ- ник	Ударник	Мишень	М ,г	£7, км/с	Ао- 10J м	с, км/с
а	[58]	Железо	Туф	1,065	30	7,12	2,21
б	[6]	Железо	Железо	38,6	40	5,45	4,0
в	174)	А1	AI	0,1525	60	1,247	5,85
г	[78]	Пористый AI	Компактный А1	345	72	18,2	5,85
д	174]	А1	Л1	0,1525	20	0,659	5,85

составит около 0,37. Для соударений с более умеренными скоро-
стями (когда начальное значение Mso лежит в интервале 10—30)
начальный участок траектории соответствует решению для точеч-
ного источника на участке, где логарифмический наклон состав-
ляет около 0,5—0,6. И наконец, если скорость соударения такова,
что начальное значение Ms0 имеет порядок 3, то поздняя стадия
или соответствующая точечному источнику фаза решения будет
располагаться очень близко к предельному случаю слабых волн,
когда zso~t. Сравнивая данные Уолша для удара железа по же-
лезу со скоростью 40 км/с с результатами Хейды и Рини для со-
ударения алюминия с алюминием со скоростью 60 км/с, можно
проверить эффективность предложенного метода сопоставления.

По-впдимому, автомодельная фаза ограничивается режимом
ctl10-2, тогда как предельное течение в виде слабых волн
достигается при ct)& > 10. К сожалению, для определения пол-
ной траектории фронта ударной волны для точечного источника
опубликованных данных недостаточно. Пунктирная кривая на
фиг. 6.22 построена на основе аппроксимации, описанной
в разд. 6.5.

Опубликованных данных недостаточно и для построения гра-
фиков таких безразмерных функций, как /(£, о; М«о). Это об-
стоятельство достойно особого сожаления, так как отсутствие
таких данных оставляет без ответа вопрос о том, какие части по-
тока правильно отображаются решением для точечного источ-
ника в функции времени после момента соударения. Большая
часть доводов в пользу подобия с точечным источником сводится
прежде всего к количественному совпадению траекторий удар-
ной волны или полных- импульсов. Однако интегралы, в которые
входят эти величины, определяются главным образом слоями
с высокой плотностью, расположенными вблизи ударной волны.
Таким образом, как это отмечают Рае [54], а также Бьорк и др.
[78], сохраняется возможность того, что в двух случаях, для ко-
торых траектории ударных волн совпадают с траекторией в за-
даче о точечном источнике, течения могут все же заключать боль-
шие области, различающиеся по характеру движения, но все еще
отражающие особенности начальной фазы удара. Уолш и др.
[5, 7] привели некоторые данные1), из которых видно, что подобие
достигается лишь по истечении достаточно длительного времени.
Но такие данные все же не устраняют необходимости более точ-
ного определения того, каким образом происходит переход
от ранней фазы к фазе подобия.

Отсутствие указанных графиков безразмерных функций для
конечных значений М«о имеет своим следствием еще и невозмож-
ность использования подобия для предсказания результатов
в тех случаях, которые еще не были рассчитаны^ Так, если тре-
буется найти распределение давления вдоль направления у на
глубине 10 см в мишени из бериллия через 100 мкс после удара
по ней алюминиевого шарика диаметром 1 см со скоростью
60 км/с, то нет никакой иной возможности, кроме проведения рас-
четов с самого начала. Если же упомянутые выше графики уже
были бы построены, то необходимые сведения можно было бы
почерпнуть непосредственно из них.

!) См. фиг. 14, 15, 17 и 18 из статьи Уолша и др. [5].
Таким образом, современное состояние вопроса о точном ре-
шении в осесимметричном неавтомодельном случае можно обоб-
щить следующим утверждением: существует эффективное подо-
бие, выводимое непосредственно из дифференциальных уравне-
ний для неавтомодельного движения при точечном воздействии,
которое представляет собой обобщение автомодельного решения
для совершенного газа. Однако пока нет достаточных сведений
относительно подробной структуры^ неавтомодельных решений,
которые позволили бы использовать их для общей совокупности
условий.

Случай плоской волны. Распространение плоских волн в ре-
альных материалах широко изучалось (см., например, работу
Райса и др. [57]) прежде всего в целях истолкования эксперимен-
тальных данных по ударным волнам, порожденным взрывчатыми
веществами или высокоскоростными ударами пластин. Внима-
ние при этом уделялось главным образом начальному интервалу
времени, на протяжении которого пока еще не сказывается влия-
ние волн разрежения, приходящих с нагруженной стороны. В по-
следующих работах (см., например, [79]) изучалось затухание
ударных волн под действием волн разрежения, а также возмож-
ное влияние прочности материала на затухание в случае удар-
ных волн небольших интенсивностей [80].

Если после удара пластиной конечной толщины истекло до-
статочно времени, то в решении устанавливается плоское («тон-
колистное», т. е. соответствующее распределенным по плоскости
источникам) подобие, аналогичное подобию для точечного ис-
точника в осесимметричном случае. Существование такого подо-
бия вытекает непосредственно из уравнений неавтомодельного
плоского волнового движения, т. е. из уравнений (6.16) — (6.19),
в которых со и все производные по о считаются равными нулю
сразу же после того, как можно будет пренебречь толщиной уда-
ряющей пластины. По аналогии с выводом уравнений (6.162) —
(6.166) можно показать, что

, MsQ=f cns (ctl^(6.172)
где через у обозначено отношение удельных теплоемкостей, соот-
ветствующее предельному виду уравнения состояния при высо-
ких давлениях, а многоточие заменяет другие параметры урав-
нения состояния, помимо у.

Характерная длина определяется в виде

__Г_£_/_£_\(2-ЗЛГ)/(2ЛГ-1)1(2ЛГ-1)/(1-ЛГ) _

*^' I Р0с2 \ Р0с /	J

(в-173)
Здесь N — показатель степени, соответствующей несингулярному
решению в предельном случае высоких давлений, или автомо-
дельности, когда решение [формулу (6.62)] можно записать
в виде степенного ряда, как это сделано в соотношении (6.63).

Чу и Бёрнс [28] изложили расчеты, выполненные методом ха-
рактеристик, для совершенного газа в случае у = 1,4. Давление
перед фронтом считалось равным атмосферному, благодаря чему
решение в конечном счете становится из-за противодавления не-
автомодельным. В достаточно же ранние моменты времени по-
сле окончания фазы соударения решение автомодельно, а значе-
ния N и G (у), как уже отмечалось, подтверждаются численными
данными. Чу и Бёрнс приводят результаты шести расчетов, ко-
торые свидетельствуют о том, что почти всюду, кроме самой на-
чальной фазы удара, решение целиком (вплоть до акустического*
предела) подчиняется законам «тонколистного» (для распреде-
ленных по плоскости источников) подобия, выраженным соотно-
шениями (6.172) и (6.173) с тем же самым параметром а, что и
в предельном автомодельном решении. Результаты, соответст-
вующие частному случаю £7=9,144 км/с, были использованы
в целях определения безразмерных функций для траектории
ударной волны (эти функции показаны на фиг. 6.7).

Чу и Бёрнс провели также расчеты в случае алюминия и меди
для разработанного Тиллотсоном [59] уравнения состояния, взя-
того ими в следующем частном виде:

р=(а+ .	, ч2 .-rlep+^P—	р— 1V. (6.174)

г \ 1 (г/£о) (Ро/Р)2 +1 / г 1	\ Ро 7 1	\ Ро ) v 7

Выбранные значения параметров а, 6, Eq, А и В приведены Чу
и Бёрнсом [28]. Как отмечает Тиллотсон [59], при очень высоких
давлениях данное уравнение приближается к уравнению состоя-
ния совершенного газа, если положить, что а=у—1. Как для
алюминия, так и для меди Чу и Бёрнс брали значение а = 0,5.
Из изложенных рассуждений следует, что параметр подобия а
должен соответствовать значению у = 1,5, тогда как интерполя-
ция приведенных в табл. 6.1 значений дает для этого случая у =
= 1,53. Результаты для меди соответствуют значению а =1,50,
удовлетворительно согласуясь с только что упоминавшимся пред-
положением Тиллотсона.

Однако результаты Чу и Бёрнса для алюминия аномальны
в том отношении, что в диапазоне проведенных ими расчетов
к подобию, как показали авторы, можно подойти гораздо ближе,
положив а = 1,28. Это значение согласуется с более ранними рас-
четами (и экспериментами) Чу и Аллисона [81].

В заключение надо сказать, что расчеты Чу и Аллисона [81],
а также Чу и Бёрнса [28] соответствуют отмеченному выше
«тонколистному» подобию как для совершенного газа с учетом
противодавления, так и для меди. Однако выявленное ими для
алюминия подобие отличается от подобия, возникающего в пре-
дельном случае высоких давлений. Для объяснения этого разли-
чия требуется дальнейшее исследование алюминия, включающее
прямое сравнение с самим решением в случае «тонколистного»
подобия.

Метод характеристик. В последнее время для решения задач
о высокоскоростном осесимметричном ударе Мэддоном [82],
а также Мэддоном и Ченом [83] с успехом использовался метод
характеристик. Эти результаты были до сих пор ограничены
сравнительно начальными стадиями, на которых ударная волна,
распространяющаяся в сторону ударника, еще не успевает до-
стичь его задней стороны. Они хорошо согласуются с данными
Уолша и дают довольно подробные сведения о структуре поля те-
чения. Можно надеяться, что дальнейшие расчеты по этому ме-
тоду позволят получить новые важные сведения как раз в тех
областях, в которых метод частиц в ячейках и родственные ему
методы затушевывают детали течения. Метод характеристик дол-
жен сыграть особую роль при разграничении небольших измене-
ний амплитудного коэффициента, связанных с разными исто-
риями нагружения.

ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ

Было предпринято много попыток создать приближенную тео-
рию той фазы задачи о распространении возникших при соуда-
рении ударных волн, в которой условия подобия не удовлетворя-
ются. Остановимся теперь вкратце на тех из них, которые увен-
чались некоторым успехом.

Метод Осимы. Осима [84—86] разработал применительно
к совершенному газу метод аппроксимации эффектов, связанных
с противодавлением и не подчиняющихся требованиям подобия *).
Автор настоящей работы [54] распространил этот метод на усло-
вия задачи об ударе, когда подобие нарушается из-за формы
уравнения состояния.

Метод Осимы применялся в единственном случае, характери-
зующемся наличием оси симметрии. В этом случае уравнения
(6.16) — (6.19) можно представить в виде

(т-с)Нг+Чтг+21/)=—<6.175)
Tint oiX’ <6J76>

Приложения этого метода изложены Льюисом [87], а некоторые заме-
чания об аппроксимации сделаны Рае [54]. В последние годы Ли [88] распро-
странил этот метод на случай сходящихся ударных и детонационных волн.
2 -теЙ-г+(т-о-^—р	4=

= __ dln^p ( dg _ f дф 1
dlnzjo UlnMjo Ф2 dlnMjoJ- ^>-111)

Существенная часть метода Осимы сводится к следующей
«локально-подобной» аппроксимации производных по Мео:

д In jdMао|любые с—In	/<?М^olc = 1 >

(6.178)

где обозначает любую из функций f, ф, g, <р или (о.

У Рае [54] эти величины определены для материала с линей-
ной зависимостью между скоростью ударной волны и скоростью
частиц:

/(1, 0; Mi0)=<p(l, 0; M50) = (l/s)(l-l/M,0),
ф(1, 0; Mao^sMao/n + ^-nMao],	(6.179)

g(l, 0; Mj0) = (*/2s2)(1-1/M.0)2.

В этом случае уравнения (6.175) — (6.177) преобразуются к виду
(T-Q-g-+t(-g-+2^)=-,+(Л1)м.о  <«•>«»
4^+(^)4+т<-°- № mJ-.  (6-181>

_____In <so Г %g_______//Ф____ /с 182)
dln^o [Мао-1 l + (S-l)Mao J* 1°-°^

Функцию g можно теперь выразить с помощью уравнения со-
стояния через f и ф1». Рае [54] взял при этом уравнение
состояния в форме (6.152), заменив Г произведением 2(s—1);
это дает

g= 2(s-l) V м2,[5-(5-1)ф]	*	(6.183)

Надо отметить, что правая часть уравнения (6.182) была выведена пу-
тем распространения аппроксимации (6.178) на граничное значение g. Окон-
чательный результат был бы другим, если бы сначала из уравнения состояния
устранить g, а затем на граничные значения f и ф распространить аппрокси-
мацию (6.178). Таким образом, форму уравнения энергии в методе Осимы
нельзя считать однозначной.
При таком выборе уравнение (6.182) преобразуется к виду

v 2[M^o/(M,o-l)]g(/, <р)-//<р[1+ (s-l)M,0]

(6.184)
где квадрат безразмерной скоростй звука А2 равен

Л2_ «2 _ //Ф2-(^/Э|)Г
г20 ~ (dg/df)^ ~

= (2s -1) 4-Н---5-------------з- •	(6.185)

V М M20[S-(s-l)<p]2 V 7

Если известно приближенное значение V, то уравнения (6.180),
(6.181) и (6.184) можно ” решить тем же способом, как и
уравнения в случае плоской волны в совершенном газе, т. е. под-
гонкой параметра d lnzso/d lnzs0, пока не будет найдено решение
без особенностей. Особенности могут встречаться только в тех
точках, где (<р — £)2 = Д2и<р=£.

То обстоятельство, что не удовлетворяющие условиям подо-
бия уравнения в форме Осимы приходится решать тем же спо-
собом, что и уравнения в предельном автомодельном случае, мо-
жет показаться несколько неожиданным, потому что исходные
уравнения, относящиеся к неавтомодельному режиму, можно ре-
шить непосредственно по методу характеристик, оценив при этом
dlnzso/dlnzso как часть решения. Но поскольку метод Осимы
предполагает локально-подобную аппроксимацию, такое решение
приобретает то же самое свойство, что и автомодельное реше-
ние: распределение параметров течения в последовательные мо-
менты времени приходится увязывать друг с другом согласно
принятому предположению о подобии. Следовательно, эта аппрок-
симация приводит к существованию эллиптической и гипербо-
лической зон, которые можно гладко соединить лишь при надле-
жащем выборе собственною значения d In zs0/d In zso.

Таблица 6.3

Результаты расчетов по методу Осимы

М$о	oo	8	4	2	1,5
—d In Zstild In zsb	0,600	0,718	0,843	1,22	1,751
Подобные решения были опубликованы Рае [54] для случая
s=2 при значениях М«о, равных 8, 4, 2 и 1,5; V находили из урав-
нений (6.134) и (6.135), где параметр К считался равным 10. Ре-
зультаты таких расчетов обобщены в табл. 6.3, где приведены

значения d In Zsojd In zso. Решение для Mso = o° совпадает с реше-
нием для совершенного газа при у=3. Эти результаты подстав-
ляли в уравнение (6.163) для определения приближенной траек-
тории фронта ударной волны, которую можно видеть на фиг. 6.22.

Фиг. 6.23. Приближенное определение числа Маха ударной волны вдоль оси
симметрии для точечного источника.



Следующие начальные условия были взяты из решения Уолша
для совершенного газа при у= 1,5 (хотя, строго говоря, это зна-
чение не является правильным пределом для совершенного газа
при з=2):

(МЛ)..,-50, (^)я„ =0.1230.	=9.09  10-

Рае [54] приводит также некоторые результаты для неподобного сфе-
рически симметричного случая при условии постоянства энергии. Значения
d In zsJd In zs0 в этом случае примерно пропорциональны соответствующим
значениям для осесимметричного случая. Эта пропорциональность была оши-
бочно истолкована Рае [54] как доказательство справедливости подобия
Уолша. Как уже отмечалось, справедливость такого подобия для возмущений
от точечного источника вытекает без каких-либо предположений, непосред-
ственно из дифференциальных уравнений движения.
Изменение числа Mso в зависимости от z^lграфически пока-
зано на фиг. 6.23. По этому графику, взятому вместе с соотноше-
ниями Ренкина—Гюгонио, можно определить, как будет изме-

Фиг. 6.24. Сравнение значений давления на фронте ударной волны вдоль
оси симметрии с приближенными результатами для точечного источника.

Точки	Источ- ник	Ударник	Мишень	Л, г	(7, км/с	£0, см	Р0с2. ГПа
О	[6]	Железо	Железо	38,6	40	5,45	0,1259
△	(74]	А1	AI	0,1525	20	0,659	0,0924
о	[89]	А1	А1	0,1525	7,32	0,368	0,0924
□	[74]	Свинец	Свинец	0,641	20	1,208	0,0484

няться давление (а также другие параметры вдоль оси симмет-
рии) на фронте в зависимости от глубины проникновения в ми-
шень. Соответствующие результаты приведены на фиг. 6.24, где
они сопоставляются с расчетами Уолша и др. [6], Хейды и Рини
[74], а также с экспериментальными данными Чареста [89].

Метод варьирования у. Еще один способ решения неавтомо-
дельной задачи состоит в том, чтобы трактовать его как последо-
вательность решений для совершенного газа, допускающих такое
изменение у, которое всегда бы приводило к правильным усло-
виям на фронте ударной волны. Это приближение обычно сопро-
вождается предположением о том, что ударная волна имеет
форму полусферы с центром в точке соударения. Такое предпо-
ложение позволяет пренебречь изменениями на периферии удар-
ной волны. И наконец, при аппроксимации обычно заходят еще
на один шаг дальше, заменяя поле течения половиной сфериче-
ски симметричного решения для случая постоянной энергии.

После того как сделаны эти предположения, остается единст-
венная проблема — выбор надлежащего закона изменения у.
Чтобы охарактеризовать алюминий, Дэвиде и др. [55, 56] прида-
вали у постоянное значение, близкое 7,0. Автор [54, 90} построил
решение для случая, когда у изменяется вместе с М.8о, таким об-
разом, чтобы сопрягались значения этого параметра на фронте
ударной волны:

у(М)=2 ——1=2-^- —1 = Pi/Po + 1 Jgf. 2_i.	(6.186)

1	v	4s	P\	Pl/Po — 1	( *1 j	v '

Подстановка этой функциональной зависимости в уравнение
(6.140) дает соотношение между Mso и ZsqIRq, которое после инте-
грирования позволяет найти отношение ctfR^ в функции ZsqIRq,
причем характерный размер Л?о определяется выражением

/?o=(^/2w2)’/3.	(6.187)

С точностью до постоянного множителя этот размер совпадает
со значением характерной длины ^0, которое она принимает при
W=2/5.

Расчетные траектории ударных волн хорошо согласуются
с этими параметрами, равно как и самими величинами и
что, впрочем, нетрудно предвидеть из-за сравнительной ма-
лости разности 22V— 5. К тому же теоретические кривые, найден-
ные путем упоминавшегося интегрирования, хорошо согласуются
с расчетными данными и приводят к таким же выводам [54, 91]
относительно различных фаз решения, как и заключения, уже из-
ложенные в разд. 6.5. Однако с точки зрения общих теоретиче-
ских основ подобия, базирующегося на характерной длине

° На фиг. 6.24 все результаты представлены в виде отдельных точек.
Только результаты Чареста относятся к экспериментальным, тогда как ос-
тальные точки найдены путем численных расчетов.
эти результаты, связанные с симметричными решениями, пред-
ставляют в настоящее время главным образом исторический ин-
терес.

Метод Порцеля—Зейкера. Еще одно приближенное решение
для движения сильных ударных волн в газах, не ограниченное
условиями существования подобия, было найдено Порцелем [92]
и позже распространено на случай точечного взрыва в твердом
теле Зейкером [93]. Суть метода состоит в задании некоторого
распределения плотности; тогда уравнение неразрывности
можно использовать для определения распределения скорости
частиц. Подставляя затем указанные две величины в уравнение
импульса, находят распределение давления.

Автор кратко изложил этот метод [54], воспользовавшись
уравнением состояния (с, $)-материала. Подробнее этот метод
изложен Бахом и Ли [94], показавшими, что он приводит к бо-
лее правильному распределению скорости частиц, чем другие уже
рассмотренные нами методы. Однако в части, касающейся траек-
тории фронта ударной волны, его предсказания по существу не
отличаются от результатов других методов.

6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ТЕОРИИ

Теперь можно сказать, что главные особенности поведения за-
нимающей половину пространства невязкой сжимаемой жидко-
сти Ми—Гюнайзена при выделении энергии и импульса в точке
на ее свободной поверхности хорошо известны. Решение начина-
ется с автомодельного режима течения, когда линейный масштаб
области, охваченной фронтом ударной волны, увеличивается
со временем по степенному закону с показателем, немного мень-
шим того значения, которое соответствует симметричному слу-
чаю взрыва точечного заряда. Эта фаза продолжается до тех
пор, пока отношение ctj-2% не станет равным ~10~2. Позже ло-
гарифмический наклон кривой зависимости координаты фронта
ударной волны от времени начинает возрастать, стремясь в конце
концов к предельному значению, соответствующему слабым вол-
нам. Это происходит при ct/^Q^ 10. На протяжении всего реше-
ния результаты для разных случаев коррелируются с помощью
параметров и с при сравнительно слабой дополнительной за-
висимости от параметров уравнения состояния. (Последняя за-
висимость проявляется гораздо сильнее в случае плоских волн.)

При действительном соударении ударник имеет ненулевые
размеры, а траектория фронта ударной волны начинается с уча-
стка постоянной скорости, который существует столько времени,
сколько нужно ударной волне, чтобы пройти через ударник.
За это время ударник успевает сильно деформироваться, а в ре-
шении совершается переход к траектории, соответствующей то-
чечному источнику. Точка, в которой этот переход завершается,
зависит от начальной скорости ударной волны в точке удара.
Пока начальное значение Mso не достигает приблизительно 50
или больше, автомодельной фазы не наблюдается. Если исклю-
чить случаи соударений со скоростями 50 км/с, то маловеро-
ятно встретить такие предельно большие числа Маха. Для боль-
шей части диапазона скоростей, представляющих интерес при
ударе метеоритных тел, переход к решению для точечного ис-
точника происходит в области, где подобия уже нет. Дать коли-
чественную оценку тому, как долго совершается этот переход,
пока не представляется возможным. После завершения указан-
ного перехода сохраняется возможность приближенного масш-
табного пересчета по параметрам с, которые восходят к ав-
томодельной фазе.

Модель двумерного течения сравнительно подробно разра-
ботана только для автомодельного режима, но даже и в этом
случае структура потока у фронта ударной волны и в окрестно-
сти точки пересечения ударной волны со свободной поверхностью
с достаточной точностью еще не известна. По сути дела подроб-
ных сведений о структуре течения в неавтомодельном режиме
пока еще нет. Таким образом, несмотря на существование эф-
фективного подобия, нельзя не считаться с тем, что когда тре-
буется определить что-то иное, кроме траектории ударной волны,
то для каждого представляющего интерес частного случая при-
дется все расчеты модели течения произвести заново.

ПРИЛОЖЕНИЯ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ РАЗМЕРОВ КРАТЕРА

Надо подчеркнуть, что все рассматривавшиеся в настоящем
обзоре решения относятся исключительно к невязкой жидкости.
Не существует механизма, который позволил бы такой жидко-
сти за конечное время после удара обрести состояние покоя. Сле-
довательно, в этих решениях не содержится непосредственной
информации относительно окончательной конфигурации, приоб-
ретаемой мишенью после прекращения движения.

Однако невязкие решения часто используются как основа для
предсказания размеров кратера с помощью различных дополни-
тельных критериев. При использовании таких критериев следует
проводить четкое различие между явными результатами невяз-
кого решения и теми заключениями, которые делаются на основе
вспомогательного критерия. Отказ от признания этого различия
привел к длительным спорам между Бьорком [68] и Уолшем [6]
о зависимости размеров кратера от скорости удара. На самом деле
источник этого различия кроется в критериях кратерообразования,
так как существует приводимое ниже доказательство того, что
траектории ударных волн, найденные обоими этими авторами,
можно было бы согласовать друг с другом посредством одного
и того же закона масштабного пересчета [90], очень близ-
кого к закону подобия для сферически симметричного случая при
постоянной энергии. Дальнейшие результаты, которые стали
доступны позже (частично они приведены на фиг. 6.22), также
подтверждают это заключение.

Уолш [6] в качестве критерия принял гипотезу, состоящую
в том, что если характер течения, образующегося в невязкой
жидкости при двух различных ударах, на поздних стадиях оди-
наков, то и последующие деформации на тех стадиях течения,
которые определяются прочностными свойствами материала,
также должны быть одинаковыми. Таким образом, размер кра-
тера будет определяться теми же параметрами, от которых за-
висит невязкое подобие; это означает, что размер кратера дол-
жен быть процорционален скорости удара в степени а.

Бьорк в своих прежних работах [68] принимал за границу
кратера геометрическое место точек, давление в которых мало,
а скорости частиц ориентированы беспорядочно; это условие он
истолковал как конечно-разностное представление стационарной
области нулевого давления. Исходя из этого критерия, он при-
шел к выводу о том, что размер кратера должен возрастать про-
порционально скорости удара в степени ^з.

Как уже отмечалось, в модели невязкой жидкости невоз-
можно существование постоянной области с нулевыми скорос-
тями на границе; с другой стороны, геометрическое место точек,
соответствующих любому ненулевому значению давления, будет
иметь характерный размер порядка U в степени а, так как задан-
ное значение pi/poc2 означает фиксированное задание числа Маха
Mso, которое в свою очередь приводит к единственному значению
отношения zsq/

В более поздней работе Бьорк и др. [78] выбрали другой кри-
терий, определяя границу кратера как геометрическое место то-
чек, в которых плотность кинетической энергии i/2p(u2+v2)
равна пределу текучести материала, зависящему от температуры.
Излагая свои результаты, эти авторы особо предостерегают про-
тив использования в качестве основы экстраполяции скорости
в какой бы то ни было степени; они подчеркивают также, что
сложность физических процессов, играющих важную роль в рас-
сматриваемой задаче, делает невероятным, чтобы простая функ-
циональная зависимость годилась для широкого круга парамет-
ров. Кроме того, важно отметить предположение, сделанное Бьор-
ком с соавторами (см. приложение D в работе Бьорка и др. [78]),
о том, что форма кратера определяется течением в той области,
в которой несправедливо подобие, соответствующее точечному
источнику. Если это утверждение верно вообще, то оно означает
непригодность критерия, использованного Уолшем Чтобы ре-
шить, справедливо ли оно, необходимо сравнить поле течения,
полученное в предположении о наличии подобия при точечном ис-
точнике, с результатами расчетов для того или иного конкретного
случая. К сожалению, пока не найдено достаточно подробного
решения задачи для точечного источника, позволяющего прове-
сти подобное сравнение. Таким образом, пока еще невозможно
окончательно определить в пространстве и во времени границы
области, внутри которой справедливо решение для точечного ис-
точника, а также то, каким образом указанная область изменя-
ется в зависимости от размеров, формы, скорости и состава
ударника.

Чтобы направить это обсуждение в надлежащее русло, надо
подчеркнуть, что все попытки предсказать размер кратера
на основе невязкого решения представляют собой по сути дела
следующее приближение. В реальном случае такие величины, как
распределение температуры в потоке, сами зависят от прочности
материала. Оценить прочность с помощью невязкого решения
для температуры означает полностью разделить эти эффекты;
определить величину вносимой при этом ошибки на основе имею-
щихся в настоящее время результатов не представляется воз-
можным.

Мастерство и изобретательность, обеспечившие успех при чис-
ленном решении уравнений Эйлера в случае трех независимых
переменных, были по праву оценены очень высоко. Иногда бы-
вает трудно определить пределы применимости этих решений и
особенно осознать, что выводы, касающиеся вопросов образова-
ния кратера, не основаны на столь же прочном теоретическом
фундаменте, как сами невязкие решения.

По мнению автора, имеющиеся в настоящее время невязкие
решения не могут служить надежной основой для выбора зави-
симости размера кратера от скорости удара. Для удовлетвори-
тельного решения этого вопроса необходимо иметь решения,
в которых учитывалось бы влияние прочности материала.

НЕРЕШЕННЫЕ ЗАДАЧИ

Предстоит решить еще многие задачи, прежде чем можно бу-
дет сказать, что найдено полное решение для невязкого течения.
Прежде всего надо найти контуры двумерного течения в области,
где нет подобия. Кроме того, необходимо точнее знать тече-
ние у фронта ударной волны и в окрестности точки пересечения
ударной волны со свободной поверхностью.

К тому же это означает еще и то, что граница кратера должна быть
чувствительной к форме ударника.
На том участке, где происходит переход к течению, соответ-
ствующему точечному источнику, основную роль играет форма
ударника. Для определения этой части потока может оказаться
особенно полезным метод характеристик [82, 83].

Заслуживает внимания также и некоторое влияние формы
мишени. В настоящем обзоре мы совершенно не касались проб-
лемы перфорации тонкой пластины (см., например, работы Фре-
нда и др. [95], Майдена и др. [96]) и пластин средней толщины,
когда механизм разрушения носит преимущественно хрупкий ха-
рактер, но в обоих этих случаях остается еще много нерешенных
задач. Даже для полубесконечной мишени еще не уточнено влия-
ние, оказываемое кривизной поверхности; существуют некоторые
основания [98] полагать, что ударная волна, встречающаяся
с выпуклой поверхностью, затухает быстрее, чем в случае плос-
кой свободной поверхности.

На протяжении всего обзора мы имели дело лишь с уравне-
ниями состояния типа уравнения Ми—Грюнайзена и, та-
ким образом, совершенно исключили из рассмотрения многие
технически важные материалы, такие, как пористые твердые тела
или материалы, в которых возможны фазовые превращения.
Теория распространения ударных волн, возникающих в таких ма-
териалах при соударениях, еще очень далека от завершения.

И наконец, в продолжающихся попытках теоретического
предсказания поведения материалов при высокоскоростном ударе
всегда следует стремиться построить решение, в котором учи-
тывалась бы прочность материала. Много усилий уже было за-
трачено в данном направлении [100—102], но вряд ли следует
ожидать, что в ближайшее время удастся удовлетворительно
разобраться в этой задаче. Тем временем существует надежда,
что настоящий обзор послужит удобным источником сведений
при оценке будущих достижений.

ПРИЛОЖЕНИЕ

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ
В СЛУЧАЕ СОВЕРШЕННОГО ГАЗА

Можно найти определенное решение, если пренебречь малым
количеством массы и воспользоваться постоянными, входящими
в соотношение (6.23), как двумя параметрами, необходимыми
для сопряжения полной энергии и импульса. Чтобы на самом
деле определить значения этих параметров, надо начать с нахож-
дения асимптотической формы решения при больших отрицатель-
ных значениях £. Тот факт, что давление в этой области стре-
мится к нулю, означает, что в уравнении (6.52) можно прене-
бречь производной f', что в свою очередь приводит к прибли-
женному решению

(П.1)

Чтобы найти плотность, подставим теперь это соотношение
в уравнение (6.51); это дает

ф^А1|СГ,/<’-ЛГ).	(П.2)

И наконец, уравнение (6.53) дает с учетом найденных выраже-
ний для <р и ф асимптотическую формулу давления

/^A2|q2-1/(I_JV).	(п.з)

Постоянные At и А2 не являются независимыми. Лиз и Ку-
бота [103] показали, что уравнения подобия имеют первый инте-
грал

фТ-2(1-ЛГ)/ЛГ|<р_С[-2(1-Ю/ЛГ=	р/.	(П.4)

Подстановка в это соотношение асимптотических формул при-
водит к зависимости

^7

Аг= 1(Ц-1)/2]	+	(П,5)

Значение At должно быть определено путем интегрирования
уравнений подобия при большом отрицательном значении £. На-
пример, в случае у = М точное решение дает А1=3/16- Вообще
говоря, Ai зависит от у.

Малое количество массы /по, которым следует пренебречь, на-
ходится слева от точки (/); следовательно,

Со

/п0=р0А^ J фйК.	(П.6)

— 00

Интеграл в последнем соотношении можно вычислить непосред-
ственно. Условие сохранения массы, находящейся между фрон-
том ударной волны и контрольной поверхностью с координатой
£кп (t), выражается равенством

д *s°

J ?^==Pl^sO	^1) Р (^кп) [^кп #(ZKn)].	(П.7)

2кп

Седов [3] показал, что это соотношение, выраженное через ав-
томодельные функции, приводит к интегралу

У Ф^=-[ф(?-С)]^.	(П.8)

Г
Такой же интеграл можно получить, интегрируя по частям урав-
нение (6.51). Если полученное соотношение подставить теперь
в уравнение (П.6), то получим

mo=PoAtN [(1 -N)/N] А. |С0|,-,/(,-ЛГ>.	(П.9)

Величина то становится независимой от времени, если для £о
выбрать зависимость

Q>= -K^~N при Kt>0.	(П.10)

Последнее условие дает

mo=AAlKrNHl~N)(l-N)PolK'	(П.11)

Параметры Ki и А используются для сопряжения величин & и
Интеграл сохранения энергии с учетом пренебрегаемой массы
то имеет вид

§=Род/л'№аГ-2 J (_Г_+^-ф(р2)	(П.12)

Со

Входящий сюда интеграл можно вычислить с помощью выраже-
ния для условия сохранения массы между фронтом ударной
волны и контрольной поверхностью; следовательно,

-ЗГ J р (е+ 4 “2) dz= - [р (е+ 4 “2)]^ («1 -^о) - [рч\г,0+

*кп

+ [р (е+ 4" “2)кп1м Ы	(пл з>

Выражая все через автомодельные функции, имеем [3]

—зйг[<т-ч(^г+-г-н+л];:-	<п-14>

Как и прежде, последний интеграл также можно найти, произ-
водя преобразования уравнений, выражающих условия подобия.
Подстановка этого интеграла и асимптотических решений
в соотношение (П.12) дает
И наконец, интеграл сохранения импульса

1

&=^AtNNAtN~x J ф<р Л	(П.16)

Со

вычисляется с помощью условия сохранения импульса для жид-
кости, находящейся между фронтом ударной волны и контроль-
ной поверхностью:

г$0

[р]^0 + [р]гкп.
гкп

(ПЛ7)

Если последнее соотношение выразить через автомодельные
функции, то, как опять же было показано Седовым [3] и может
быть повторено путем преобразований уравнений подобия, полу-
чим

J ф<рдГС=[—A7(22V—1)]	(П.18)

с	а

Воспользовавшись этим равенством, можно интеграл сохранения
импульса представить в виде

(П.19)

При —оо импульс обращается в нуль. Таким образом, как
было отмечено Зельдовичем [14], если бы вся масса была вклю-
чена в этот интеграл и описывалась автомодельным решением,
то ее полный импульс был бы равен нулю. Зельдович встал на ту
точку зрения, что решение следует интерпретировать таким об-
разом, что выделившаяся энергия сопрягается с энергией потока
при пренебрежении некоторой массой, а переданный потоку им-
пульс считается равным нулю. Последнее условие выполняется
при включении в интеграл сохранения импульса всей массы.
Если принять указанную точку зрения, то из уравнений (П.11)
и (П.14) можно найти А и Ki, выразив их через е и то; оконча-
тельное выражение для траектории ударной волны принимает
вид

\N/2

-Ц-) ,	(П.20)

w0 /
где

Приближенный результат, соответствующий определенному ха-
рактерному размеру, можно узнать [16], пренебрегая массой та
в интеграле сохранения импульса, что дает

^=РоА2А, 4=^-(П.22)

Выразив А и Kt через и , получим

A=G(7)(^2/p0&)(p0$2/^3)JV,	(П.23)

is г 441 (1-^(2-ЗЮ2 S2?ol1-W	/П94\

А1 —[	(2ЛГ-1)3	^з“]	’	<П-24>

где

G M_2(2-3JV) Г (2ЛГ—1)3 и-лг

иУ\) — 2N—1 I 44] (1 — N) (2 — ЗЮ2 J • (П ^О)
Это решение принимает в таком случае форму

(t)=G (у)	[ ^з/Ро§2 ] •	(П.26)

Для у = 1,4 значения 4<=3/i6 и jV = 0,6 приводят к условию
0(1,4) = ( 128/9) V».
7

УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ИССЛЕДОВАНИЙ
УДАРНЫХ ВОЛН

Р. Мак-Куин, С. Марш, Дж. Тейлор, Дж. Фритц и У. Картер

1.	ВВЕДЕНИЕ

В последние несколько лет в Лос-Аламосской научной лабо-
ратории значительные усилия были направлены на получение
уравнения состояния твердых тел методами, основанными на ис-
пользовании ударных волн. Большая их часть была посвящена
установлению надежных стандартных материалов, чтобы полу-
чать при исследовании других материалов наиболее достоверные
результаты. Измерения были проведены на ряде материалов,
отобранных по разным причинам. Результаты таких измерений
приводятся в настоящей главе.

В открытой печати эти данные почти не публиковались, по
крайней мере в виде таблиц. В некоторых случаях мы продол-
жили исследования материалов, данные для которых уже пуб-
ликовались. Для таких материалов нами приводятся также
прежние данные, исправленные с учетом наших последних работ
по перекалибровке аппаратуры и новых исследований наших
стандартных материалов. Такие данные составляют лишь весьма
небольшую долю всех приведенных в настоящей главе данных.

В настоящей главе резюмируются также результаты ряда
термодинамических расчетов. Само собой разумеется, что вме-
стить в нее результаты всех таких расчетов невозможно, но необ-
ходимо привести некоторые сводные данные. Надеемся, что эти
таблицы достаточно подробны и будут широко использоваться Ч
Для полноты в настоящую главу пришлось включить и краткое
описание современных методов расчета, хотя о них в той или
иной степени уже говорилось в других работах.

Наряду с измерениями в целях определения уравнения со-
стояния твердых тел нами велись и обширные исследования по
изучению детальной структуры ударных волн. Подобные иссле-
дования, проводимые при сравнительно низких давлениях, не
только дают ценные сведения о влиянии жесткости материала
на ударную волну, но и позволяют почти непосредственно изме-
рить динамический предел текучести материала при различных
условиях нагружения. Результаты этих экспериментов лучше

Копии упоминаемых таблиц можно заказать в ВИНИТИ АН СССР.—
Прим. ред.
всего приводить в виде систематизированных записей регистри-
руемых характеристик. Однако в тех случаях, когда для описа-
ния некоторого важного свойства можно ограничиться единст-
венным параметром, результаты сообщаются только в табличном
виде.

В настоящей главе подробно рассматривается общая теория
движения дислокаций применительно к задаче об упруго-пласти-
ческом течении в плоской волне.

2.	ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА

ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ АДИАБАТ ГЮГОНИО И ИЗОЭНТРОП

Теория ударных волн и экспериментальные методы рассмот-
рены во многих работах [1—3], и мы лишь кратко остановимся
на основных положениях, необходимых для понимания излагае-
мой здесь работы.

Уравнения Ренкина—Гюгонио были получены в предположе-
нии установившегося во времени профиля ударной волны. Эти
уравнения связывают давление Р, внутреннюю энергию Е, удель-
ный объем V, или плотность р, за ударной волной с соответствую-
щими значениями перед ударной волной, используя скорость
ударной волны us и массовую скорость за ударной волной ир.
Эти уравнения выражают законы сохранения массы, импульса и
энергии и в системе координат, в которой вещество перед фрон-
том ударной волны находится в покое, соответственно имеют вид

Ро«,=Р(^ — Чр),	(7.1)

/>-7’о=Ро«Лр.	(7.2)

“р ]

(Е-Ей)---^JPo«,=Po«p.	(7.3)

Нулевой индекс относится к начальному состоянию в связи
с тем, что точку, соответствующую ему на адиабате Гюгонио, ча-
сто называют центральной точкой. Из уравнений (7.1) и (7.2)
можно получить

«,= Vo ЦР-Ро)/( Vo- ЮГ*	(7.4)

И

up=[(P-Po)(Vo-V)l'/2.	(7.5)

Подставляя уравнения (7.4) и (7.5) в уравнение (7.3), полу-
чаем хорошо известное гюгониевское уравнение энергии

£-£0=(P+P0)(V0-Ю/2.	(7.6)

Измерение любой пары переменных, входящих в уравнения
(7.1) — (7.6), в сочетании с известными начальными условиями
достаточно для определения точки на адиабате Гюгонио. Фак-
тически измерялись все переменные, кроме внутренней энергии,
если считать и некоторые недавние измерения давления косвен-
ными методами. Кривую, описывающую состояния на ударной
волне, или адиабату Гюгонио, можно тоже представить в виде со-
отношения между любой парой этих переменных. Но особенно
привлекательна для описания экспериментальных результатов
одна пара переменных — скорость ударной волны и массовая ско-
рость. Установлено, что адиабаты Гюгонио для многих материа-
лов можно хорошо описать линейным соотношением между иа
и ир в виде

us=c^sup.	(7.7)

Отклонения от линейности обычно могут быть связаны с по-
ристостью, значительными упругими волнами или фазовыми пе-
реходами. В некоторых случаях лучшее описание дает введение
квадратичного члена qu2p- Но если этот член оказывается очень
большим, данные, по-видимому, следует пересмотреть с учетом
упомянутых явлений. Скорость ударной волны — очень чувстви-
тельный параметр, а ее измерение по существу является измере-
нием производной [уравнение (7.4)]. Таким образом, малое из-
менение наклона зависимости между us и ир в некоторой обла-
сти могло бы свидетельствовать о существовании фазового
перехода второго рода, что чрезвычайно трудно заметить на
ударной адиабате в плоскости Р — V.

Дополнительным аргументом в пользу уравнения (7.7) при
описании состояний на ударной волне является то, что первый
коэффициент может быть найден из прямых измерений скоро-
стей упругой волны в изотропной среде. Следовательно, точки
пересечения линий, соответствующих данным на ударной волне,
с осью нулевой массовой скорости можно либо сравнить с этой
характеристикой, либо же использовать последнюю для аппрок-
симации экспериментальных данных.

При использовании линейной связи между и8 и ир и началь-
ного состояния с нулевым давлением адиабату Гюгонио для
многих материалов можно описать посредством трех параметров:
ро, со и s. Зависимости, соответствующие ударной адиабате для
любой другой пары переменных, можно вывести из уравнения
(7.7) и уравнений Ренкина—Гюгонио. Для этой цели удобно вве-
сти сжимаемость q, определив ее следующим образом:

7)=(V0- V)/lZo=l-PoIZ.	(7.8)

Из закона сохранения массы [уравнение (7.1)] получаем
Тогда из адиабаты Гюгонио в виде линейной зависимости us от
ир [уравнение (7.7)] следует, что



^=^о/(1-^)-

(7.Ю)

(7.И)

Уравнение (7.2), описывающее сохранение импульса, дает
тогда связь на ударной волне между давлением и объемом или
эквивалентные соотношения между Р и т] вида

7?н=Ро^/(1 —svj)2.

(7.12)

или

^PH/t/71=po4(l+«’))/( 1 — S*))3.

(7.13)

Уравнение (7.13), определяющее производную, -необходимо
для расчета скоростей звука и изоэнтроп. Уравнение энергии,
в котором Ео считается равным нулю, принимает вид

Ен—н/2ро«

(7.14)

Для многих приложений приходится экстраполировать дан-
ные для ударных волн на области вне ударной адиабаты Гюго-
нио. Одним из примеров являются расчеты по методу ударновол-
новых импедансов, при котором должны быть известны отра-
женные ударные волны и волны разгрузки. Для таких расчетов
удобнее всего пользоваться следующим основным уравнением,
связывающим давление и энергию:

Е=ЕН+(Р-РН)1?Г

(7.15)

Это уравнение показывает, что давление и энергию при неко-
тором произвольном объеме можно связать с их значениями на
адиабате Гюгонио (с индексом Н) посредством некоторой сред-
ней величины параметра Грюнайзена

(7.16)

В приложениях в настоящее время у всегда считается неза-
висящим от давления и обычно определяется из соотношения

РТ=РоТо,

(7.17)

где нулевой индекс соответствует значениям при комнатной тем-
пературе и нулевом давлении. Отраженные ударные волны рас-
считываются по следующей формуле:

PH-WVh[(PH-Pl)(V0-V2)/2]

1 —	К2)/2
которая получается из уравнений (7.6) и (7.15). В этой формуле
индекс 2 показывает, что величина относится ко второй ударной
волне. Здесь Рн— соответствующее объему V2 давление на ис-
ходной ударной адиабате. Точка Pi, Vi является начальной для
второй ударной волны и лежит на исходной адиабате Гюгонио,
для которой начальными являются нулевое давление и объем Vo.

В отсутствие диссипативных процессов, связанных с нера-
венством нормальных компонент напряжения, вязкостью и дру-
гими термодинамическими соотношениями, соответствующими
волнам разгрузки, являются изоэнтропы.

v

Фиг. 7.1. Схема вычисления изоэнтроп в плоскости давление—объем. Расчеты
обычно начинаются на адиабате Гюгонио, где находится первая серия значе-
ний Р, V, Е.

Термодинамический закон

dE=TdS — PdV
при dS—0

(7.19)

может быть использован наряду с известными величинами дав-
ления и энергии на адиабате Гюгонио и параметром Грюнайзена
для расчета изоэнтроп. Это приводит к разностному урав-
нению

[Л-, АУ/2 + £н-^-1]

1 +(7/ЮгА^/2

(7.20)

где

ДУ/2.	(7.21)

Это уравнение позволяет последовательно вычислить Р, V и Е на
изоэнтропах. Индекс Н относится к величинам на адиабате Гю-
гонио при Vi (фиг. 7.1). Так как слабая волна эквивалентна
изоэнтропической волне давления [1], для вычисления массовых
скоростей вдоль этих изоэнтроп можно взять уравнение (7.5)
в дифференциальной форме

dup=(-dPdV)'^.	(7.22)

Увеличение массовой скорости в волне разрежения от неко-
торой точки на адиабате Гюгонио до нулевого давления опреде-
ляется интегралом Римана вдоль изоэнтропы

V (Р = 0)

«,= f [-(dPldV)s]'^dV,	(7.23)

Чрн)

которое в сумме с массовой скоростью, сообщенной ударной вол-
ной, Дает скорость свободной поверхности

Ufs Hp-\-llr9

(7.24)

поддающуюся экспериментальному определению.

ВВЕДЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ И ЭНТРОПИИ В УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ

Измерить температуру материала за ударной волной невоз-
можно, если не считать исследования некоторых прозрачных ма-
териалов [4] *), так что ее приходится вычислять. Обычно это де-
лается с помощью термодинамического тождества

dT{T=^ d VI V+dSfCv.	(7.25)

Здесь Т — температура и Cv — удельная теплоемкость при по-
стоянном объеме. Если изоэнтропы определены, уравнение (7.25)
легко интегрируется. В качестве начальных условий берутся зна-
чения при нулевом давлении. При этом методе полностью ис-
пользуются все имеющиеся экспериментальные данные. В непро-
зрачных ударносжатых материалах можно измерить также оста-
точные температуры [5, 6], чтобы убедиться в правильности
использованных в расчетах начальных значений.

Для многих материалов нет достаточных термодинамических
данных, позволяющих провести подобную процедуру, и темпера-
туры вычисляются непосредственно вдоль адиабаты Гюгонио.
Для этого с помощью уравнения Ренкина—Гюгонио и термоди-
намического соотношения (7.19) находят уравнение для энтро-
пии на адиабате Гюгонио

2TdS=(VQ — V)dP-\-(P — P0) dV.	(7.26)

А также неопубликованные данные Дэвидса.
Если известны экспериментальная адиабата Гюгонио и зна-
чения удельной теплоемкости и коэффициента Грюнайзена на
адиабате Гюгонио, то можно проинтегрировать уравнения (7.25)
и (7.26) и найти температуру и энтропию на адиабате Гюгонио.

Удельную теплоемкость многих твердых тел можно выразить
с помощью одной из простейших разновидностей дебаевской тео-
рии [7]. Мы прибегнем здесь к такому варианту теории, в кото-
ром используется всего одна дебаевская функция 6 (V), завися-
щая только от объема. Тепловая составляющая внутренней энер-
гии Ет, равная Е — Ек (здесь Ек— внутренняя энергия твердого
тела при температуре ОК и в том же объеме), имеет вид

ET==3nkTD3(x),	(7.27)

где

х=~т-	(7-28)

о

Здесь п — число атомов в грамме вещества, a k — постоянная
Больцмана. Удельная теплоемкость и энтропия запишутся в виде

Cv=3nk [4Е>3 (х) — 3x/(e-v—1)]	(7.29)

и

S—3n.k [4-^3U) - In (1 - е~х)].	(7.30)

Это выражение для удельной теплоемкости согласуется
с предположением о том, что коэффициент Грюнайзена зависит
только от объема, так как из уравнений (7.29) и (7.30) видно, что
удельная теплоемкость зависит только от энтропии. В действи-
тельности из этих двух уравнений и уравнения (7.25) для у по-
лучается обычная функция

rflne/rfln У=-Т.	(7.31)

Так как мы хотим воспользоваться этими термодинамиче-
скими соотношениями для наилучшей аппроксимации удельной
теплоемкости, выберем 9 так, чтобы уравнение (7.29) давало
правильное значение теплоемкости при комнатной температуре
и нулевом давлении.

Для некоторых материалов, для которых неизвестны ни Су,
ни п, использовалась аппроксимация

^6==йс0(6те2«р)’/з.	(7.32)

В тех случаях, когда теплоемкость Су была известна, а п нет,
мы считали	Cv 13k, при условии что скорость звука и плот-
ность столь малы, чтобы малой была и дебаевская 0-функция.

Подобное упрощенное выражение для удельной теплоемкости
не описывает всех особенностей ее изменения для большинства
материалов, в частности при высоких температурах. Оно совсем
не учитывает вклад в удельную теплоемкость от электронов (су-
щественный для металлов при высоких температурах) и ангар-
моничности колебаний решетки (пропорциональный темпера-
туре). Оптические гармоники для некоторых твердых тел можно
было бы лучше описать эйнштейновской функцией 0^. Исполь-
зованное здесь выражение'для удельной теплоемкости позволяет
провести разумную экстраполяцию к «холодной» изоэнтропе
(соответствующей нулевой по Кельвину температуре и совпа-
дающей с нулевой изотермой) при нулевом давлении. Неточность
зависимости Рк(Ю> вызванная неточностью Су, по-видимому,
меньше или сравнима с неточностью кривой Гюгонио. Исключе-
нием являются «холодные» изоэнтропы, вычисленные йо адиаба-
там Гюгонио для металлов, в области высоких давлений и темпе-
ратур, где пренебрежение электронной удельной теплоемкостью
приводит к заметным ошибкам. Хотя изоэнтропы явно не зави-
сят от удельной теплоемкости, увеличение вклада электронов
в удельную теплоемкость при высоких температурах приводит
к тому, что предположение о том, что коэффициент Грюнайзена
есть функция только одного объема, становится недействитель-
ным.

Для интегрирования уравнений (7.25) и (7.26) был использо-
ван численный метод Рунге—Кутта четвертого порядка точно-
сти. Энтропия, найденная интегрированием, согласуется с энтро-
пией, определенной по уравнению (7.30), с точностью выше 10-6.
При заданной вдоль адиабаты Гюгонио температуре тепловую
часть внутренней энергии можно вычислить по уравнению (7.27).
Вычитание этой энергии и теплового давления (Рт = Ету/У)
из соответствующих величин на адиабате Гюгонио позволяет
получить «холодную» изоэнтропу. Аналогичным образом вычи-
тание приращений тепловых частей внутренней энергии и давле-
ния из соответствующих величин на адиабате Гюгонио приводит
к изотерме при комнатной температуре. По табличным значе-
ниям давления, энергии и функции Дебая вдоль нулевой изоэн-
тропы легко находится также любая изоэнтропа посредством
вычисления тепловых частей внутренней энергии [по уравнению
(7.27)] и давления для заданного значения х, т. е. при постоян-
ной энтропии.

Хотя может показаться, что вычисленные таким образом
изоэнтропы связаны с зависимостями, которые выбираются для
удельной теплоемкости, в действительности дело обстоит иначе.
Семейство изоэнтроп, найденное описанным способом, идентична
изоэнтропам, выражаемым уравнением (7.20). Эти изоэнтропы
определяются только адиабатой Гюгонио и выбранным видом за-
висимости коэффициента Грюнайзена от объема. Вид «холод-
ной» изоэнтропы не зависит от величины удельной теплоемкости.
Удельная теплоемкость лишь определяет, которая из семейства
изоэнтроп является «холодной». Вместе с у и измеренной адиаба-
той Гюгонио удельная теплоемкость определяет «холодную»
(при нулевой температуре по Кельвину) плотность.

Общее (если не считать предположения о зависимости коэф-
фициента Грюнайзена только от объема) выражение для скоро-
сти звука в зависимости от давления и объема можно получить
приравниванием общего изменения энергии из уравнения (7.15)
изменению энергии на изоэнтропе из уравнения (7.19); тогда

р2—	IZ2 dPH	Г1__7_ ^0 — ^1 I	1/2 J_ ГРН~Ро]	|

С ~	V dV	L1	V 2 Р V [	2

+ V2(Р-Рн) [v+ dlnavl'i) ] •	(7-33)

Первые два члена представляют квадрат скорости звука на
адиабате Гюгонио. Последний член описывает зависимость ско-
рости звука от давления при отходе от адиабаты Гюгонио. Урав-
нением (7.33) можно воспользоваться для вычисления скоростей
звука на изоэнтропах и изотермах, если известно давление вдоль
этих кривых. Изоэнтропы и скорости звука на них могут быть ис-
пользованы для вычисления интеграла Римана по уравнению
(7.23) и скорости свободной поверхности при выходе ударной
волны на свободную границу по уравнению (7.24). В большин-
стве расчетов была использована небольшая экстраполяция
адиабаты Гюгонио в координатах us—ир в область отрицатель-
ных массовых скоростей. Касание второго порядка, существую-
щее между адиабатой Гюгонио и изоэнтропой. в центральной
точке (соответствующей начальным параметрам ударного сжа-
тия) в плоскости Р — V, оправдывает такую экстраполяцию,
когда увеличение объема, вызванное нагреванием, при необра-
тимом ударном сжатии мало. Фактически для многих материа-
лов, в частности для металлов, экстраполяция линейной зависи-
мости us—uPi соответствующей адиабате Гюгонио, любыми пу-
тями к нулевой скорости ударной волны (бесконечному объему)
приводит к разумным оценкам энергии связи твердых тел [8].
Были вычислены и приведены для многих рассмотренных здесь
материалов параметры состояния за волной разрежения и скоро-
сти свободной поверхности для различных начальных давлений
на адиабате Гюгонио. Расчеты подобного рода не учитывали та-
ких фазовых переходов, как плавление и испарение, которые
могут происходить при разгрузке от очень больших ударных
давлений.
ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ И АДИАБАТЫ ГЮГОНИО

Хотя простым материалам соответствует линейная зависи-
мость в плоскости и8 — ир, фазовые переходы приводят к разры-
вам в значениях и наклоне этой зависимости. Они обычно явля-
ются причиной двухволновой структуры, появляющейся при
большинстве фазовых переходов. Бете [1] указал, что для устой-
чивой ударной волны скорость звука должна увеличиваться с по-
вышением давления. Аналогичным является требование, чтобы
скорость ударной волны увеличивалась с увеличением давления.
Это значит, что если бы скорость ударной волны уменьшалась
с увеличением давления, то ударный фронт распался бы на две
или более волны или превратился бы в одну волну с непрерывно

Фиг. 7.2. Адиабата Гюгонио, ведущая к образованию двухволновой струк-
туры ударной волны, и получающийся профиль волны. Такая адиабата обычно
приводит к зависимости показанного здесь вида в координатах и8—ир. Точку 2
нельзя наблюдать, когда измеряют только первый приход ударной волны.

а и б — адиабаты Гюгонио; в — профиль ударной волны.

размазанным фронтом. На фиг. 7.2 показана адиабата Гюгонио
в координатах Р — V для случая распада фронта и типичный
профиль ударной волны. Чтобы профиль ударной волны (Р в за-
висимости от расстояния) не менялся со временем, т. е. для су-
ществования устойчивой ударной волны, должно соблюдаться
условие

(7.34)

Если в неравенство (7.34) подставить выражение для скоро-
сти ударной волны из уравнения (7.4), то получится следующее
неравенство:

КЛ-РгЖ,- ^2)],/г>	1Л)Г/г. (7.35)

Вычитая из каждой части этого неравенства иР1, определяе-
мое уравнением (7.5), получаем неравенство

V, [(Рг-ЛЖК-^)]'72^ V, [^-Ро)1(у0-У1)Г/*, (7.36)
означающее, что для существования одной устойчивой ударной
волны все точки адиабаты Гюгонио в координатах Р и V должны
лежать ниже луча, соединяющего точки, которые соответствуют
начальному и конечному состояниям. На фиг. 7.2 изображена
адиабата Гюгонио с точкой возврата 1. Если наклон адиабаты
Гюгонио выше этой точки убывал бы непрерывно [(^P/dV2)^ <0],
то вторая волна не была бы скачком, как это показано на гра-
фике, а оказалась бы размазанной (такая ситуация возможна,
видимо, в ряде материалов).

В экспериментах с использованием светящей щели, о кото-
рых здесь сообщается, детальная картина волны со скоростью
Us2 не наблюдалась из-за того, что первая волна со скоростью ust
и давлением Л обычно выходит на поверхность и вызывает све-
чение газа до того, как вторая волна достигает свободной по-
верхности. Такая ситуация сохраняется до тех пор, пока точка 2
не окажется на продолжении луча, исходящего из точки, которая
соответствует начальному состоянию, и проходящего через,
точку /, когда скорость второй волны станет равной скорости
первой. Это приводит к адиабате Гюгонио в координатах us — иРг
состоящей из трех отрезков (фиг. 7.2). Центральный горизон-
тальный отрезок не обязательно соответствует уравнению, опи-
сывающему адиабату. В расчете массовой скорости по методу
равенства импедансов используется скорость первой ударной
волны Usi, тогда как следовало бы брать скорости, связанные
с неизвестным давлением Рг. Однако в точке пересечения 1 на
фиг. 7.2 массовые скорости и скорости ударной волны соответст-
вуют ударной адиабате и могут быть использованы для опреде-
ления давления на первой волне, которое, если осуществляются
условия равновесия, должно быть давлением фазового перехода.

Если давление в первой волне Pi мало по сравнению с давле-
нием во второй волне Рг, то может случиться так, что вторая
волна выйдет на свободную поверхность и закроет светящуюся
щель раньше, чем это сделает слабая первая волна. Регистра-
ция этого могла бы дать время прохождения ударной волны, хо-
рошо согласующееся со временем распространения единичной
волны при меньшей скорости с давлением, близким к Рг. Таким
образом, слабые волны, распространяющиеся с большой скоро-
стью, не обязательно регистрируются методом светящейся щели.

Фазовый переход первого рода характеризуется знаком на-
клона dPjdT линии фазового равновесия. При dPldT>§ воз-
можна ударная волна, переводящая вещество либо из более
плотной фазы в менее плотную (фиг. 7.3, а), либо наоборот
(фиг. 7.3, б), что зависит от того, повышается ли температура
на адиабате Гюгонио быстрее или медленнее, чем на линии фа-
зового равновесия. Первый случай типичен для плавления и ис-
парения. Предположим, что начальное состояние адиабаты
Гюгонио лежит в области I (низкотемпературная фаза) и что эта
адиабата пересекает линию фазового равновесия так, как это
показано на фиг. 7.3. В настоящее время мы не знаем каких-либо
определенных примеров обнаружения таких переходов только
по данным о зависимости между us и ир. Не исключено, что
адиабата Гюгонио, войдя в переходную область смеси фаз,
в конце концов снова выйдет в область /. Диаграмма на
фиг. 7.3, б типична для твердофазного превращения (например,

v	т	v	ир

Ф и г. 7.3. Влияние фазового перехода на адиабату Гюгонио в координатах
и3 и ир (случай dP/dT > 0).

Здесь и дальше изображена зависимость Н от V при постоянном давлении. В системе
координат Р и Т показана линия фазового равновесия и адиабата Гюгонио (пунктирная
линия), а в координатах Р и V пунктиром проведены границы этой линии и показано
положение адиабаты Гюгонио; наконец, в координатах us и ир изображена адиабата
Гюгонио (сплошная линия), которая может наблюдаться изложенным здесь эксперимен-
тальным методом.

графита в алмаз). Наклон линии фазового равновесия еще поло-
жителен, но начальное состояние адиабаты Гюгонио лежит в об-
ласти высокотемпературной фазы II. Существует достаточно экс-
периментальных и термодинамических данных, свидетельствую-
щих о том, что в такой переходной области могут быть адиабаты
Гюгонио (подобные показанным на графике в координатах
Р — V и us—Up), которые должны приводить к возникновению
уже упоминавшейся двухволновой структуры.

В любом из этих двух случаев адиабата Гюгонио в коорди-
натах Р—Т может и не пересекать линии фазового равновесия.
Было бы полезно, если бы можно было обнаруживать начало
плавления по адиабате Гюгонио; но когда параметры уравнения
состояния с обеих сторон линии фазового равновесия очень мало
различаются между собой (т. е. производная dH/dV почти непре-
рывна при фазовом переходе), адиабата Гюгонио в координатах
us — ир претерпевает очень небольшие изменения. Исследование
такого перехода было проведено на свинце, в котором начало
плавления на адиабате Гюгонио, по-видимому, достаточно хо-
рошо установлено посредством расчетов.

Другой тип перехода (dPjdT<0) мог бы соответствовать
аномальному плавлению (например, в Ge и Si) или кристалло-
графическому фазовому переходу (например, в Fe и Zr). Этот
случай отражен на фиг. 7.4. Если фазовый переход с dP!dT<S)
существует, то адиабата Гюгонио должна в конце концов пере-

Фиг. 7.4. Фазовый переход при dPjdT < 0.

сечь линию фазового равновесия, при условии что начало адиа-
баты Гюгонио лежит в низкотемпературной фазе. Хотя границы
фаз в координатах Р— У на этом графике иные, чем на фиг. 7.3,
адиабаты Гюгонио в координатах Р—V и us—ир имеют одина-
ковый вид.

Из фиг. 7.3 или 7.4 видно* что ударное сжатие материала, со-
провождающееся превращением фазы низкой плотности в фазу
высокой плотности, способно оказать заметное влияние на адиа-
бату Гюгонио в координатах us — ир. Как правило, чем больше
изменение объема, тем протяженнее средний горизонтальный от-
резок на таких графиках. Можно оценить степень изменения объ-
ема, но, к сожалению, при этом нельзя узнать, насколько изме-
нится энтропия. В действительности невозможно даже досто-
верно установить знак наклона линии фазового равновесия.

В отношении материалов, у которых адиабата Гюгонио в ко-
ординатах us—ир не имеет среднего горизонтального участка*
необходим дополнительный анализ. Используемый нами метод
светящейся щели не позволяет установить, существует ли двух-
волновая структура ударной волны. На фиг. 7.5 изображены две
адиабаты Гюгонио в координатах Р — V и зависимость в коорди-
натах us—uPi которая соответствует каждой из них. В модели*
отвечающей фиг. 7.5, а, предполагается, что материал может
оставаться в области второй фазы и не переходить в равновес-
ное состояние. К тому же считается, что чем больше дав-
ление пересжатия, тем больше должна быть перегрузка мате-
риала (степень перегрузки зависит от начальной амплитуды
ударной волны). Однако со временем в материале начинается
превращение в другую фазу, а давление снижается. Миншел (не-
опубликованные данные) наблюдал такое поведение в сурьме.
Иными словами, происходит релаксация, которая может зави-
сеть от времени (нами это предположение не проверялось) и, ви-
димо, от давления. В случае другой модели (б) предполагалось,
что превращение начинается сразу же, но до конца не идет.
И хотя кривая зависимости давления лежит несколько выше ре-

Ф и г. 7.5. Две адиабаты Гюгонио в координатах Р и V (а и б) и соответствую-
щая им адиабата Гюгонио в координатах и8 и ир (в).

Используемая нами методика эксперимента дает для обеих адиабат Гюгонио (а) и (б)
одну зависимость (в).

леевского луча, проходящего через область смеси двух фаз, на-
клон ее возрастает медленнее, чем если бы материал оставался
в начальной фазе. Первая модель (а) может привести к двухвол-
новой структуре ударной волны, тогда как вторая модель (б),
разумеется, нет. Следовательно, в принципе задача разрешима.
Некоторые расчеты на основе термодинамики равновесных про-
цессов пока не выявили случаев, когда расчетная адиабата Гю-
гонио проходила бы выше продолжения релеевского луча, про-
ходящего через давление перехода, для превращений подобного
рода. В обоих случаях удалось обнаружить признаки фазового
перехода. Двухволновая структура не обязательно будет сущест-
вовать, потому что в области смеси двух фаз скорость ударной
волны несколько возрастает. Данные для области смеси фаз
могут относиться к сильно неравновесному состоянию. По-види-
мому, именно так и обстоит дело в случае углерода, когда гра-
фит в результате ударного сжатия переходит в область ста-
бильности алмазного состояния. Термодинамические характери-
стики и параметры уравнения состояния системы графит—алмаз
известны в достаточной степени, чтобы позволить рассчитать рав-
новесную адиабату Гюгонио. Такие расчеты показывают, что дан-
ные по ударным волнам далеко не соответствуют равновесному
состоянию. Важно отметить, что о превращении свидетельствует
излом адиабаты Гюгонио в координатах us — uPi который может
быть обусловлен фазовым превращением только очень малой
доли материала. Если нужно сделать выбор между двумя рас-
смотренными моделями (а) и (б), то предпочтение следует от-
дать первой из них. Кстати сказать, для кристаллического кварца
она уже была проверена Вакерле [9].

Надо отметить, что одномерность нашей методики экспери-
мента также ведет к двухволновой структуре. При относительно
низких давлениях в ударной волне первая волна связана с де-
формацией только в одном направлении, и, следовательно, она
должна распространяться со скоростью продольной звуковой
волны. Ее амплитуда зависит от ряда характеристик (модуля
жесткости, плотности дислокаций, содержания примесей) и по
наблюдениям на кварце [9] может достигать 10 ГПа. При нагруз-
ках выше пластического предела в материале происходит релак-
сация к гидродинамическому равновесному состоянию. Хотя не
ясно, в какой мере материал приближается к этому состоянию
за короткое время пребывания во фронте ударной волны, но
сравнение некоторых данных по ударным волнам [10] с резуль-
татами Бриджмена [11] показывает, что гидродинамическое при-
ближение для металлов является хорошим первым приближе-
нием.

Анализ экспериментальных данных, относящихся к высоким
давлениям, во многих случаях позволяет легко установить, чем
же была обусловлена двухволновая структура — упруго-пласти-
ческим течением или фазовым переходом. Если такие данные
экстраполируются к величине ниже скорости звука для объемных
волн4), то следует заключить, что фазовый переход существует.
Если же данные, относящиеся к высоким давлениям, экстрапо-
лируются к сверхзвуковой скорости при нулевом давлении, то
фазовый переход еще возможен, но это, вероятно, будет фазовый
переход иного характера, например фазовый переход второго
рода, при котором материал стал более сжимаем. Однако не ис-
ключены и другие фазовые переходы. Даже тогда, когда данные
при высоких давлениях экстраполируются к скорости звука для
объемных волн при нулевом давлении, все еще могут существо-
вать фазовые переходы при низком давлении. В этих случаях и
тогда, когда нет данных для достаточно высоких давлений, чтобы

Реально с такой скоростью возмущения в твердых телах не распростра-
няются. Эта скорость вводится как характеристика сжимаемости. Квадрат ее
равен модулю объемного сжатия, деленному на плотность. Эту скорость иногда
называют бриджменовской.— Прим, перев.
осуществить описанную выше процедуру, все-таки возможно ус-
тановить существование переходов. Чтобы сделать это, надо
в первую очередь рассмотреть горизонтальный участок зависимо-
сти us от ир. Если он не находится вблизи измеренной скорости
продольной упругой волны, то двухволновой структуры, обуслов-
ленной упруго-пластическим течением, не возникнет. Если же
скорость ударной волны почти совпадает со скоростью продоль-
ной упругой волны, то нужно посмотреть, нет ли данных при низ-
ких давлениях, которые экстраполируются к скорости звука для
объемных волн. Если таковые имеются, то можно сделать вывод,
что совпадение со скоростью* продольной упругой волны носит
чисто случайный характер, так как если бы это было действи-
тельно благодаря упругой волне, то данные при низких давлениях
должны были бы экстраполироваться к скорости продольной
упругой волны при нулевом давлении. Когда удовлетворяется
любое из упоминавшихся условий, существование фазовогр пере-
хода можно считать установленным. Для доказательства того,
что двухволновая структура обусловлена упругой волной, необ-
ходимо соблюдение двух условий: 1) данные при низких давле-
ниях экстраполируются к скорости продольной упругой волны;
2) горизонтальный участок зависимости и8 от ир соответствует
скорости продольной упругой волны либо же несколько более
высокой скорости, а данные при высоких давлениях достаточно
хорошо экстраполируются к скорости звука для объемных волн.

Для материалов с фазовым переходом данные по ударным
волнам при высоких давлениях целесообразно приводить к адиа-
бате Гюгонио с начальным состоянием при Р = 0, но для фазы
высокой плотности в метастабильном состоянии. Это сделано для
стишовита и некоторых других горных пород [12, 13]; аналогич-
ный подход использован в данной работе. Задача состоит в том,
чтобы найти наилучшие значения плотности при нулевом давле-
нии ро, скорости звука cQ и наклона s адиабаты Гюгонио в коор-
динатах us—ир для метастабильного состояния. Чтобы сделать
это, необходимо знать эти три величины для начальной фазы
низкой плотности (они используются в начале расчета для неиз-
вестной фазы), удельную теплоемкость и коэффициент Грюнай-
зена для обоих состояний, скорость ударной волны, при которой
начинается фазовый переход, и, наконец, наклон линии фазового
равновесия в координатах Р — Т. В таких расчетах удельная
теплоемкость считается постоянной и одинаковой (при отсутст-
вии противоречащих этому экспериментальных данных) для
обеих фаз. Для фазы высокого давления была использована та
же зависимость коэффициента Грюнайзена от объема и та же
величина роуо, что и для фазы низкого давления. Наклоны линий
фазового равновесия, когда они не были известны, считались
равными нулю. Это согласуется с обычно малым изменением эн-
тропии при твердофазных превращениях. Варьирование наклона
линии фазового равновесия в разумных пределах очень слабо
отражаются на расчетном уравнении метастабильного состояния
[13]. Сначала находят изменение объема и соответствующее из-
менение энтропии (по наклону линии фазового равновесия) с тем,
чтобы найти разность внутренних энергий двух состояний при ну-
левом давлении. Делается это следующим образом (фиг. 7.6).

1.	Сначала для исходной фазы на адиабате Гюгонио А в точке
перехода (обозначенной цифрой 1) находят термодинамические

Фиг. 7.6. График в координатах Р— V, иллюстрирующий метод нахождения
адиабаты Гюгонио для метастабильного состояния.

А — адиабата Гюгонио для исходной фазы низкой плотности; В — найденная адиабата
Гюгонио для метастабильного состояния фазы высокой плотности; С — адиабата Гюгонио,
рассчитанная по адиабате Гюгонио В, но с начальным состоянием при Р=0 в фазе А.
Кривая С сравнивается с экспериментальными данными. Точка 1 на адиабате Гюгонио А
должна, по крайней мере в принципе, определяться из эксперимента. Точка 2 соответст-
вует вычисленному изотермическому изменению объема при этом переходе.

характеристики Р, Т, V, S и Е. Они определяют гиббсову свобод-
ную энергию G.

2.	По предполагаемой адиабате Гюгонио для метастабиль-
ного состояния находят изоэнтропу, которая удовлетворяет усло-
вию, что при давлении перехода температуры одинаковы (7\==
= Т2).

3.	Отсюда определяют ДV и, следовательно, AS.

4.	Так как на линии фазового равновесия свободные энергии
должны быть одинаковы (Gi = G2), разность энергий Е0А — Еов
остается единственным подбираемым параметром, который затем
может быть найден.
По определенной таким образом разности внутренних энер-
гий можно рассчитать преобразованную адиабату Гюгонио, как
это сделано для стишовита [12]. Для нахождения этой кривой
в координатах Р и V было использовано уравнение

п _Pb[1-(VV)(V0B^V)/2]+(7/V)[£m-£0B]
с~	1-(7/У) (Ум-У)/2	’

На фиг. 7.6 эта кривая обозначена буквой С; она представ-
ляет собой адиабату Гюгонио, полученную по предполагаемому
уравнению состояния для фа$ы высокой плотности, но выходя-
щей из начального состояния (Voa, EqA). Затем кривая из плоско-
сти Р—V с помощью уравнений (7.4) и (7.5) переводится в пло-
скость us—ир и сравнивается с экспериментальными данными.
Определяется разность Дир массовых скоростей при соответст-
вующей скорости ударной волны между каждой эксперименталь-
ной точкой и рассчитанной адиабатой Гюгонио. В нашем иссле-
довании предварительно выбранные пробные значения cQ и s
сохранялись постоянными, а начальная плотность ров менялась
до тех пор, пока алгебраическая сумма разностей массовых ско-
ростей не становилась равной нулю (^^ир = 0). Такое измене-
ние сдвигает расчетную кривую назад или вперед более или ме-
нее параллельно самой себе. Затем варьируют начальную ско-
рость звука Со, оставляя наклон фиксированным, как и прежде.
Далее всю процедуру повторяют. Находят значение сов, миними-
зирующее сумму J^(Aup)2. Эта вариация приводит к повороту
расчетной кривой относительно центра точек, соответствующих
экспериментальным данным. Наконец, сумму 22 (А^р)2 еще бо-
лее минимизируют варьированием наклона s и повторяют преды-
дущие вычисления для новых значений с0 и р0. При разумных на-
клонах эта последняя минимизация меняет кривизну расчетной
кривой. Даже при удовлетворении предыдущих условий измене-
ние наклона проявляется слабее, чем варьирование других пара-
метров. Безразлично, что итерировать сначала — плотность или
же скорость звука. Но надо полагать, что наклон следует итери-
ровать в последнюю очередь, так как он относится к наименее
чувствительным параметрам. Действительно, пара плохих точек
способна стать причиной получения физически бессмысленного
наклона.

3.	УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ СТАНДАРТНЫХ
МАТЕРИАЛОВ

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ

Название стандартные материалы — довольно нечеткая вещь.
Вообще говоря, любой материал, который используется как ос-
новной для определения уравнения состояния других материа-
лов, в принципе является стандартным. В данном рассмотрении
мы несколько ограничим такое определение и будем считать ма-
териал стандартным только тогда, когда его уравнение состояния
устанавливается без привлечения уравнения состояния другого
материала.

Давно известно, что данные об ударной адиабате Гюгонио
можно получить одновременным измерением скорости соударе-
ния быстро движущейся пластинки с неподвижной мишенью и
скорости ударной волны, возникающей в неподвижной пластинке
в результате удара. Если ударяющая пластинка и неподвижная
мишень сделаны из одного и того же материала и находятся
в одном и том же термодинамическом состоянии, то симметрия
соударения требует не только равенства давлений в ударяющей
пластинке и неподвижной мишени, но и равенства массовой ско-
рости материала за ударной волной ]/2 скорости ударяющей пла-
стинки. Когда для метания пластинок используются системы типа
пушек, скорость ударяющей пластинки можно измерить очень
точно посредством регистрации ее свободного полета на относи-
тельно больших отрезках пути с помощью электронных щупов
или иных подходящих устройств. В данной работе это было сде-
лано для нескольких измерений в области низких давлений,
а в других [14], использующих двухступенчатые системы типа
пушек, во всей области давлений. Однако большая часть экспе-
риментальных данных получена в данной работе при использо-
вании разгона пластин с помощью взрывчатых веществ (ВВ),
что затрудняет точное измерение скорости движущихся пластин
Ud. Наибольшее затруднение связано с тем, что летящие пла-
стины не движутся с постоянной скоростью в момент удара; сле-
довательно, скорость для определенного положения приходится
определять за очень короткий промежуток времени. В системах,
использующих ВВ, успешно применялась методика щупов [15,
16]. В этих экспериментах, однако, была использована кинока-
мера с разверткой для регистрации прихода ударной волны ме-
тодом светящейся щели, развитым Уолшем и Христианом [17].
Все кинокамеры имели скорости записи, определяемые новым
методом, в котором использован фотоумножитель- для установле-
ния момента прихода изображения щели на развертке к точно
установленным местам в плоскости пленки. Этот метод позво-
ляет измерить мгновенные скорости записи на всей пленке. При
этом скорость записи для наших приборов уменьшилась ~ на
1%. Скорость записи определяется как скорость, с которой изо-
бражение развертывается в плоскости пленки при определенной
угловой скорости вращения зеркала. Ошибки в прежних измере-
ниях объяснялись систематическими погрешностями хронометри-
рования импульсов, подаваемых на проволочки моста, которые
создавали световые вспышки в плоскости изображения.
Скорость ударной волны определяется, как обычно, по вре-
менам прихода ударной волны в различные места пластинки,
служащей мишенью. Чтобы преодолеть трудности, встретивши-
еся непосредственно при точных измерениях скорости движу-
щейся пластинки, в мишени со стороны удара была сделана
маленькая канавка, которая позволяла проводить раздельные из-
мерения скорости ударной волны и скорости движущейся пла-

Ф и г. 7.7. Конструкции мишеней, используемых для записи данных о массовой
скорости за ударной волной.

стинки, когда фиксируется выход ударной волны через плоскую
поверхность в направлении свободной поверхности.

Детали этой системы показаны на фиг. 7.7. На верхней ча-
сти графика указано расположение пластических светящихся
блоков, которые дают четыре независимые серии эксперимен-
тальных точек зависимости us от Ud. Левая часть системы ис-
пользуется для измерения скорости ударной волны, а правая —
скорости движущейся пластинки. Каждый ряд блоков рассмат-
ривается через четыре-пять щелей. Внизу изображены попереч-
Фиг. 7.8. Воспроизведенная
с увеличением фотограмма, за-
писанная с помощью приспо-
собления, которое изображено
на фиг. 7.7.

ные сечения конструкций, использованных в различных областях
давлений. Первые две конструкции предназначаются для обла-
сти низких давлений; верхняя конструкция имеет канавку для из-
мерения ua в правильном положении. При более высоком давле-
нии канавки для измерения Ud не очень быстро сжимаются и мо-
могут быть сделаны настолько глу-
бокими, насколько позволяет тол-
щина мишени. В опытах с высокими
давлениями толщина мишени огра-
ничена тем, что требуются очень тон-
кие движущиеся пластинки (0,9 мм).

На фиг. 7.8 воспроизведена с уве-
личением фотограмма для одного
опыта, проведенного при сравнитель-
но низком давлении на мишени са-
мой верхней конструкции (фиг. 7.7).
На этой фотограмме время возра-
стает по направлению вниз; следо-
вательно, первые метки с левой сто-
роны отмечают приход ударной вол-
ны ко дну узкой канавки. Соответст-
вующие базисные метки определяют
момент ее прихода на верхнюю грань
пластинки. Так как светящиеся бло-
ки с правой стороны находятся на
более низком уровне, базисные от-
метки для измерения Ud появляются
раньше. Смещения меток выражают
разницу между временами прохо-
ждения ударной волны и ударяющей
пластинки через небольшой зазор,
вырезанный на дне пластинки.

Как бы проста ни была подобная
система, она требует особой тща-
тельности при выборе правильной
глубины канавок, чтобы добиться

оптимальной точности. В этих экспериментах ширина и боковое
положение канавок всегда оставлялись одинаковыми. В ударных
волнах с низким давлением метки для измерения Ud сжаты из-за
бокового смещения материала под действием ударной волны, ко-
торая значительно опережает ударяющую пластинку.

Таким образом, скорость движущейся пластинки можно из-
мерить только на базе пробега около 1 мм. Данное ограничение
не играет особой роли, так как адиабата Гюгонио в координатах
us—Up сравнительно малочувствительна к ошибкам измерения
массовой скорости при низких давлениях. В алюминии, например,
5%-ная ошибка в определении массовой скорости за ударной
волной, равной 1,0 км/с, соответствует только 1%-ной ошибке
в скорости ударной волны. При низких давлениях практически не
существует ограничения на глубину канавки для измерения ско-
рости ударной волны, так как пробеги по 5—6 мм достаточны
для проведения соответствующих измерений координат и вре-
мен. При высоких давлениях метки, соответствующие Ud, сжима-
ются не так легко; однако полная толщина мишени ограничена
толщиной ударяющей пластинки, которая определяет длину пути
невозмущенной ударной волны в материале до того, как волна
разрежения от тыльной поверхности догонит ее. При низких дав-
лениях отношение г = t/ct (t — толщина мишени, a d — толщина
ударяющей пластинки), определяемое условием догона, должно
вычисляться с использованием скорости продольной волны. Од-
нако при очень высоком давлении с более жестким условием
догона можно пользоваться гидродинамической скоростью^ или
скоростью объемных звуковых волн сь, так как материал должен,
по всей вероятности, пребывать в расплавленном состоянии.
Расчеты показали, что отношение толщины мишени к толщине
ударяющей пластинки можно доводить до 4.

На фиг. 7.7 видно, что для систем, используемых при низких
давлениях, канавки для измерения можно делать на иных
уровнях, чем уровень тыльной стороны мишени. Если ударяю-
щая пластинка движется с постоянной скоростью, то безраз-
лично, на каком уровне находится канавка. Однако пластинки,
разгоняемые при помощи ВВ, могут двигаться с ускорением [18].
Для уменьшения влияния ускорения пластинки на интервале из-
мерения канавка для измерения делается непосредственно на
тыльной стороне мишени. Это наиболее подходящее место для
нее, так как очень малые пульсации давления, которые могут
возникнуть в движущейся пластинке в процессе соударения,
способны завысить измеряемую скорость ударной волны с го-
раздо меньшей вероятностью, чем скорость движущейся пла-
стинки. Более того, это гарантирует, что начальная ударная
волна на той части пластинки, которая предназначена для изме-
рения Ud, такая же, как на части, которая предназначена для из-
мерения скорости ударной волны. Несколько опытов отличалось
лишь тем, что канавки для измерения Ud были расположены на
различных уровнях. Это привело к нетривиальному завышению
получаемой массовой скорости. Результаты этих опытов отра-
жены на графиках и в таблицах, но не использовались при под-
боре зависимостей для аппроксимации результатов.

Несколько специальных опытов было посвящено эксперимен-
тальной проверке того, что давление в ударной волне в мишени
остается более или менее постоянным. В этих экспериментах ско-
рость свободной поверхности измеряли на разных уровнях в со-
вершенно одинаковых мишенях. Все эти эксперименты показали,
что в пределах точности измерений давление в ударной волне
постоянно до тех пор, пока волна разрежения не догонит удар-
ную волну, как это нам известно из прежних расчетов.

В дополнение к изложенному нужно учитывать и термодина-
мическое состояние движущейся пластинки. Так как ее разго-
няли ударными волнами, надо учитывать возможность некото-
рого разогрева пластинки вследствие сжатия в ударной волне и,
следовательно, недостаточную строгость соблюдения условия
симметрии. Но если известен процесс ударного нагружения дви-
жущейся пластинки, можно вычислить, насколько отношение
udlu,p отличается от 2,0. В этих целях рассчитывают адиабату
Гюгонио для движущейся пластинки в разогретом состоянии,
проходящую через начальную точку с более низкой плотностью
и более высокой энергией, обусловленных нагреванием пла-
стинки, по адиабате Гюгонио для вещества в нормальном состоя-
нии [по уравнению (7.15)]. Непосредственное решение по методу
подгонки импедансовприводит к нужным результатам. Уста-
новлено, что наибольший вклад в поправку на разогрев дает пер-
вая сильная ударная волна от ВВ, а вторая волна добавляет
практически все остальное. Для ударных волн с амплитудами
меньше 10 ГПа поправка к массовой скорости не превосходит
0,1%. В большей части таких экспериментов начальное давление
в ударной волне пытались ослаблять, оставляя небольшой воз-
душный зазор между ВВ и разгоняемой пластинкой. Анализ дан-
ных покадровой съемки показал, что начальное ускорение дви-
жущейся пластинки становилось намного меньше, а конечные
скорости снижались несущественно. Гидродинамический расчет,
выполненный в нашей лаборатории Мадером, подтвердил этот
вывод, показав вместе с тем, что волны разрежения, создаваемые
в ВВ волной Тейлора, становились благодаря зазору гораздо
слабее. Таким образом, во всех опытах с большими расстояниями
ВВ отделялось от разгоняемой пластинки воздушным зазором.
Из прежних исследований известно, что тонкий слой пластика,
помещенный сзади разгоняемой пластинки, предотвращает ее
преждевременное разрушение. В этих целях мы. ставим сейчас
полиэтиленовую прокладку толщиной 0,25 мм. В случае опытов
с низкими давлениями разгоняемую пластинку располагают в не-
посредственном контакте с ВВ очень близко к мишени; следова-
тельно, последняя подвергается действию одной волны известной
амплитуды, так что поправку на разогрев можно вычислить
точно. В этих экспериментах с целью минимизации неопределен-
ностей в скоростях ударной волны и ударяющей пластинки, ко-

The impedance-match method, т. е. метод сшивания ударных сопротив-
лений, называемый в работах советских авторов методом отражения.— Прим,
пер 2 в.
торые связаны с волной разрежения в ударяющей пластинке
от волны Тейлора в ВВ, были использованы продолговатые за-
ряды (длиной ~'30см).

Фотограмму прочитывали с помощью оптического компара-
тора, связанного с пробивным устройством электронной вычис-
лительной машины ИБМ. Программа вычислений предусматри-
вала обработку по методу наименьших квадратов времен
выхода ударной волны на свободную поверхность основной
пластинки по закону кубической параболы, а самих смеще-
ний— по квадратичному закону. По этой программе смещение
во времени вычислялось Цля каждой щели с последующим
усреднением результатов расчета. Чтобы проверить правильность
прочтения и расшифровки пленки, машина строила заново гра-
фик входных данных наряду с подобранными кривыми, что по-
зволяло своевременно обнаруживать ошибки.

Наряду с измерениями ударных волн мы попыталисщзаме-
рять для всех исследовавшихся нами материалов скорости звука
при нулевом давлении. Скорости продольных (с;) и поперечных
(ct) волн определяли по методу отражения импульсов. По этим
скоростям вычисляли скорость звука для объемных волн сь с по-
мощью известного соотношения для изотропных материалов

4=^-4/з<£	(7.38)

В качестве излучателей и приемников продольных и поперечных
волн использовались пары кристаллов кварца Х-среза (10 Мгц)
и У-среза (5 Мгц). Для обеспечения надежного контакта кри-
сталла Х-среза с образцом использовалось веретенное масло,
а для кристалла У-среза — весьма вязкая жидкость (Dow resin
276-V9). Сигналы с приемного устройства усиливались широко-
полосными усилителями и подавались на электронный осцилло-
граф «Тектроникс-545». Время между отраженными сигналами
замеряли посредством электронного умножителя с временной
задержкой. Умножитель градуировали по временным отметкам
(через 0,2 мкс) генератора, стабилизированного с помощью за-
дающего термостатированного генератора синусоидальных волн
на частоте 10 Мгц, благодаря чему умножитель можно было ис-
пользовать как генератор линейной развертки. Толщина образ-
цов менялась в пределах 1,25—0,75 см.

ДАННЫЕ ОБ АДИАБАТАХ ГЮГОНИО ДЛЯ СПЛАВОВ АЛЮМИНИЯ
921-Т») И 2024, МЕДИ, ЖЕЛЕЗА И СПЛАВА УРАНА С МОЛИБДЕНОМ

С помощью измерений скорости ударной волны и массовой
скорости по описанной в предыдущем разделе методике были
определены адиабаты Гюгонио для пяти перечисленных материа-

0 Сплав системы А1—Си (3,5%)—Si (2,0%); содержание примесей не
должно превосходить 1,5%.— Прим. ред.
лов. Считалось, что адиабаты Погонио нужно определить по
крайней мере для трех материалов с разными уровнями ударного
импеданса — низким, высоким и промежуточным. Это открывало
возможность проводить измерения для других материалов так,
чтобы импедансы при этом были сравнимы. Ударный импеданс
определяется как произведение начальной плотности на скорость
ударной волны pous. Близость импедансов должна уменьшать
ошибки при использовании уравнений состояния стандартных
материалов в решениях методом подгонки импедансов. Имея
три стандартных материала, можно в двух точках проверить вы-
численные кривые разгрузки для материала с высоким импедан-
сом и кривые для отраженных ударных волн в материале с низ-
ким импедансом. Материал с промежуточным ударным импедан-
сом можно проверить в одной точке на кривой для отраженной
ударной волны или на кривой для волны разрежения.

Алюминиевый сплав 2024 был выбран в качестве материала
с низким импедансом не только благодаря его доступности и хо-
рошим механическим свойствам при обработке, но также из-за
большого объема уже накопленных данных в опытах по ударным
волнам, в которых он служил стандартным материалом. Из-за
возможных нежелательных эффектов, связанных с жесткостью
сплава А1 2024, был исследован также сплав А1921-Т. Установ-
лено, что амплитуда упругой волны в этом материале мала, при-
чем его поведение ближе к идеально-гидродинамическому.

В качестве промежуточного материала была выбрана бескис-
лородная отожженная медь. К сожалению, ее подверженность
к пластическому течению не позволяет разгонять ее до очень
больших скоростей.

Для распространения уравнения состояния меди на область
высоких давлений была измерена адиабата Гюгонио для

Таблица 7.1

Термодинамические постоянные при 293 К

Материал	Плотность, г/см3	Коэффициент линейного рас- ширения Х10\ град-1	Удельная теплоемкость Ср* кДж/кг «град	Скорости звука по уль- тразвуковым измере- ниям, км/с			7
				С1	ct	сь	
А! 2024	2,785	21,8	0,879	6,39	3,15	5,25	2,00
А1 921-Т	2,833	22,9	0,877	6,34	3,14	5,20	2,10
Медь	8,93	16,3	0,386	4,76	2,33	3,93	1,96
Железо	7,85	11,7	0,448	5,94	3,26	4,59	1,69
Сплав U—Мо	18,45	12,8	0,121	3,31	1,85	2,53	2,03
стали 1018. Эти материалы имеют сравнимые ударные импе-
дансы; следовательно, решение задачи методом ударных импе-
дансов при соударении железа и меди почти полностью зависит
от вида адиабаты Гюгонио для железа. Более того, если известна
адиабата Гюгонио для железа, то адиабату Гюгонио для меди
можно определить прямо из опыта, в котором движущаяся пла-
стинка сделана из железа, а мишень — из меди. Раньше стан-

Ф и г. 7.9. Данные об адиабатах Гюгонио в координатах us—иР по измере-
ниям скорости ударной волны и массовой скорости для сплавов А1 2024 ( ▲
и Al 921-Т (О), Fe (ф), Си (ф) и сплава U — 3% Мо (□).

Каждая серия точек была измерена в независимых экспериментах при симметричном
соударении. Кривые построены по методу наименьших квадратов

шлось отказаться, так как нам не удавалось постоянно получать
однородный по составу материал без пор. В качестве материала
с большим импедансом нами был выбран сплав урана с молибде-
ном (3% по массе). Этот сплав обладает достаточно хорошей
механической обрабатываемостью. Некоторые важные термоди-
намические постоянные для этих материалов приведены
в табл. 7.1. Результаты измерения ударных волн приведены на
фиг. 7.9 и 7.10. Кривые, проходящие по точкам на фиг. 7.10, были
вычислены по зависимостям, подобранным по точкам в плоско-
сти us—ир на фиг. 7.9. В плоскости Р — ир адиабаты Гюгонио
для двух алюминиевых сплавов неразличимы; при вычислении
ударного импеданса большая плотность сплава Al 921-Т компен-
сируется несколько большей скоростью ударной волны в сплаве
А1 2024. Адиабаты Гюгонио в Р — Up-плоскости покрывают зна-
чительную площадь. Адиабата Гюгонио для железа начинается
приблизительно с давления 40 ГПа, что представляет устойчивый
порог ударной волны. Железо можно выбрать в качестве стан-
дарта для материалов с низким сопротивлением удару, если на-

Ф и г. 7.10. Данные об адиабатах Гюгонио в координатах Р—ир по измерениям
скорости ударной волны и массовой скорости для сплавов А1 2024 ( ▲ ) и
А1 921-Т (О), Fe ( ♦), Си (• ) и сплава IJ — 3% Мо (□).

чальное давление в них больше этого предела. При сжатии фа-
зовый переход в железе происходит приблизительно при 13 ГПа,
но об обратном переходе в волне разгрузки мало что известно.
Эти данные и некоторые связанные с ними величины приведены
в приложении А в конце книги. Зависимости, полученные аппрок-
симацией по методу наименьших квадратов, приведены
в табл. 7.2. Данные для всех материалов, за исключением железа,
аппроксимируются линейной зависимостью, а для железа линия
имеет небольшую кривизну или небольшой разрыв. Такое нару-
шение линейности наблюдалось и в других материалах, в кото-
рых происходил фазовый переход. В железе кривизна или
Таблица 7.2

Коэффициенты в уравнении ударной адиабаты
ив = Со+$Нр+<7Ир2

Материал	км- с	5	6/, с/км
Сплав AI 2024	5,328	1,338	0
Сплав А1921-Т	5,041	1,420	0
Медь	3,940	1,489	0
Железо	3,574	1,920	—0,068
Сплав U—Мо (3%)	2,565	1,531	0

изменение наклона могли быть вызваны дополнительными фа-
зовыми переходами ГПУ->ГЦК или твердое тело-> жидкость
(не исключено одновременное действие обоих переходов). С по-
мощью данной методики эксперимента установить это невоз-
можно. Найденные нами (табл. 7.1) и другими авторами [19]
значения скорости звука при нулевом давлении при аппроксима-
ции по методу наименьших квадратов не использовались.

ВЛИЯНИЕ ЖЕСТКОСТИ НА ИЗМЕРЕНИЯ, СВЯЗАННЫЕ
С ПОЛУЧЕНИЕМ УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ

Детально упругопластическое течение описано в разд. 7.6,
однако для объяснения некоторых результатов, приводимых
в данном разделе, необходимо кратко рассмотреть влияние жест-
кости на распространение плоской волны. В плоском одномерном
течении сжимаемого вещества макроскопическая деформация
происходит только по одной координате; следовательно, дав-
ление и объем первоначально связаны одномерйым (1-D) урав-
нением состояния. Однако при повышении давления увеличива-
ются девиаторные сдвиговые напряжения, которые вызывают
релаксацию к состояниям, которые описываются трехмерной
(З-D) равновесной адиабатой Гюгонио. Гипотетическая картина
плоской волны и волны разрежения с учетом жесткости показана
на фиг. 7.11. Верхняя кривая на фиг. 7.11, а соответствует одно-
мерной адиабате Гюгонио и может быть использована для на-
хождения с помощью уравнения (7.33) мгновенной скорости
продольной упругой волны. Нижняя кривая характеризует изме-
нение вдоль адиабаты Гюгонио скорости поперечных волн, опре-
деляемой модулем сдвига, в зависимости от массовой скорости.
В статических экспериментах установлено, что модуль сдвига
возрастает с повышением давления, с учетом чего кривая про-
ведена с положительным наклоном. Однако кривая имеет напра-
вленную вниз кривизну, так как температура вдоль адиабаты
Гюгонио возрастает по экспоненциальному закону. Если мате-
риал на адиабате Гюгонио плавится, то эта кривая пойдет в нуль,
причем кривые для продольной и объемной скоростей будут со-
впадать. Уравнение (7.38) удовлетворяется автоматически.

Фиг. 7.11. Влияние жесткости на кривые Гюгонио.

«а — возможные кривые для различных зависимостей скорости ударной волны от массо-
вой скорости, б — относительное расположение экспериментальной адиабаты Гюгонио,
действительной изоэнтропы разгрузки и равновесной адиабаты Гюгонио; в — типичный
профиль давления, получающийся при соударении движущейся пластинки конечной тол-
щины с мишенью из того же материала, описываемого представленными на фиг. 7 11,6
данными; г — вид зависимостей, показанных на фиг. 7.11,6, в координатах Р—ир.

Амплитуды различных волн одинаковы на всех четырех графиках.

Остальные графики соответствуют области низких давлений,
где больше всего сказывается влияние жесткости. На фиг. 7.11
ГУП означает гюгониевский упругий предел при сжатии,
а УПР — упругий предел при разгрузке в волне разрежения.
Если материал ведет себя так, как показано на графиках (т. е.
если нет релаксации к состояниям на кривой равновесия), то все
состояния на адиабате Гюгонио будут соответствовать несколько
большей жесткости. Это значит, что измеренные скорости удар-
ных волн будут завышенными по сравнению со скоростями дей-
ствительно гидродинамических ударных волн, если они возни-
кают. В такой ситуации величина скорости, получаемая экстрапо-
ляцией адиабаты Гюгонио в координатах us — ир к нулевому
давлению, должна лежать выше получающейся из измерений
скорости объемных звуковых волн. Так в действительности об-

разгоне с помощью пушки.

стоит дело для сплава А1 2024, меди и уранового сплава, для ко-
торых экстраполированные значения были завышены соответст-
венно на 2,7, 0,5 и 1,6%. Эти результаты не являются неожидан-
ными и согласуются с профилями скорости свободной поверхно-
сти (фиг. 7.12 и 7.13), измеренными для сплава А1 2024
и меди.

На фиг. 7.12 представлены экспериментальные кривые вре-
менной зависимости скорости движения свободной поверхности
мишеней толщиной по 12,7 мм при различных скоростях соударе-
ния. На графике показаны скорости движущихся пластинок. Про-
фили скоростей реальных ударных волн будут очень похожи на
эти кривые. Здесь нулевое время относится к моменту начала
движения.

На фиг. 7.13 время отсчитывается от момента соударения.
Вертикальной черточкой на оси времени отмечено время прохож-
дения продольной звуковой волны через мишени толщиной по
25,4 мм. Вертикальные черточки на кривых соответствуют вре-
менам прохождения идеальных ударных волн, которые были вы-
числены по измеренным массовым скоростям и линейной зави-

Ф и г. 7.13. Зависимости скорости свободной поверхности от времени для
медных мишеней толщиной по 25,4 мм.

симости us от ир, подобранной для ударных волн. Кажется, что
нет никакой тенденции в их расположении на кривых.

Видно, что гюгониевский упругий предел равен приблизи-
тельно 0,55 ГПа для алюминия и практически отсутствует для
меди. Если предположить, что в сплаве А1 2024 существует оста-
точное напряжение порядка 0,2 ГПа, которое должно учиты-
ваться при получении равновесной адиабаты Гюгонио, то в ре-
зультате кривая очень точно проходит через вычисленную ско-
рость звука для объемных волн.

Если в материале не достигается равновесия в ударной
волне, то ясно, что нечто похожее будет происходить в волне
разгрузки, как это показано на фиг. 7.11. Вследствие гистерезиса
зависимости Р от V можно ожидать, что упругий предвестник
волны разгрузки будет больше, чем предвестник ударной волны
(фиг. 7.11, в). На фиг. 7.11,г, где представлены зависимости
в плоскости Р — ир, можно видеть, что это приводит к меньшей
скорости свободной поверхности, чем следовало бы ожидать
в предположении, что материал ведет себя как идеальная жид-
кость. На фиг. 7.12 видно, что для таких опытов с пушечной си-
стемой разгона и симметричным соударением, где создаются
относительно низкие давления, скорости свободной поверхности
меньше, чем скорость движущейся пластинки. В идеале при низ-
ких давлениях UfS и Ud должны быть равны. Похожий эффект был
обнаружен в сплаве А12024 при использовании систем разгона
с помощью ВВ и измерении в одном и том же опыте скорости
движущейся пластинки и получающейся скорости свободной по-
верхности. Оказалось, что при скоростях движущихся пластинок
вплоть до 3 км/с скорость свободной поверхности все еще при-
близительно на 1% меньше скорости движущейся пластинки.
На основе существующих скоростей звука^ малых амплитуд уп-
ругого предвестника и очень крутого профиля волны, наблюдав-
шегося даже при очень малых амплитудах, было сделано заклю-
чение, что в приложениях, с которыми мы будем иметь дело, медь
можно рассматривать как материал, достаточно полно описывае-
мый гидродинамическим приближением.

Измеренные скорости свободной поверхности в меди
(фиг. 7.13) совпадают со скоростями движущихся пластин, за
исключением случаев промежуточных скоростей (давление
3 ГПа), при которых скорость свободной поверхности меньше на
10%. Данную особенность попробовали увязать с началом двой-
никования, обнаруженного при этом давлении в статических экс-
периментах с высокими давлениями [21], где убывание скорости
связывалось с повышением плотности дефектов упаковки и с со-
ответствующим увеличением поглощаемой энергии. Эффект по-
добного рода проявляется слабее в более сильных ударных
волнах.

РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТОВ НА ПОРИСТЫХ ОБРАЗЦАХ

Используя пористые образцы, можно уравнение состояния
распространить на области с более высокими внутренними энер-
гиями и температурами при тех же удельных объемах, чем при
использовании образцов с кристаллической плотностью. Такие
данные годятся для нахождения усредненного коэффициента
Грюнайзена при заданной плотности.

Для получения данных об ударных волнах в пористых и дру-
гих материалах (речь о них пойдет несколько ниже) мы вое-
пользовались методом подгонки импедансов, разработанным
Уолшем и Христианом [17], и уже упоминавшимся методом све-
тящейся щели. Благодаря этому измерение одного параметра
ударной волны в материале, уравнение состояния которого изве-
стно (стандартный материал), достаточно для определения точки
на адиабате Гюгонио других материалов с помощью измерения
только скорости ударной волны в относительно небольших об-
разцах, помещенных на пластинку из стандартного материала.
Успех этого метода связан с тем обстоятельством, что в гидроди-
намике ударных волн измерения любых двух параметров уравне-
ния состояния достаточно для определения всех других парамет-

Ф и г. 7.14. Схема, иллюстрирующая получение данных об адиабатах Гюгонио
по методу подгонки импедансов.

ров посредством уравнений Ренкина—Гюгонио или их модифи-
каций, и с тем, что на контактной границе материалов должны
быть одинаковыми давление и массовая скорость. Требование не-
прерывности приводит к зависимостям, показанным в коорди-
натах Р—ир на фиг. 7.14. В стандартном материале, который
первоначально был сжат до давления Р\ распространяющейся
в нем ударной волной, при переходе ударной волны в исследуе-
мый образец возникает либо волна разрежения (давление па-
дает), либо отраженная ударная волна, которая повышает дав-
ление. Так как для любой одиночной ударной волны уравнение
(7.2), описывающее связь между давлением и скоростью на
ударной волне, приводит в плоскости Р — ир к прямой линии
с наклоном poUs, пересечение этой линии с рассчитанной кривой,
описывающей состояния в стандартном материале в волне, отра-
женной от границы с исследуемым образцом, определяет давле-
ние и массовую скорость на ударной волне в исследуемом
образце. Измерения скорости ударной волны, производимые на
небольших образцах в стандартном материале, позволяют опре-
делить давление, а в исследуемом — наклон линии ро^з. Пере-
сечение этой прямой с рассчитанной кривой для отраженной
ударной волны или волны разрежения определяет давление и
массовую скорость в исследуемом образце. Схема эксперимента
показана на фиг. 7.15. Времена прохождения ударной волны из-

Разрез по 55

Фиг. 7.15. Система, использованная для получения данных об ударных волнах
по методу подгонки импедансов.

меряются на каждом из восьми образцов, помещенных на основ-
ную пластинку, два из которых используются для определения
давления. Пластические блоки светящихся щелей для регистра-
ции прихода ударной волны расположены на образцах и на ос-
новной пластинке. Была использована многощелевая система,
похожая на использованную для получения записи, которая была
показана на фиг. 7.8.

В результаты измерения скорости ударной волны методом
светящейся щели следует внести поправку, связанную с конеч-
ным размером такой щели. В других экспериментах было уста-
новлено, что вспышка света, зарегистрированная на фотопленке,
возникает до того, как щель закроется. Следовательно, для по-
лучения правильного времени прохождения ударной волны
нужно учесть различие во временах закрытия щели, обусловлен-
ные неодинаковыми скоростями свободной поверхности матери-
ала основной пластинки и каждого образца. Для уменьшения
этой поправки под все блоки светящихся щелей были подложены
прокладки, сделанные из материала основной пластинки. Это
способствует к тому же большей однородности линий при записи.
В дополнение к этой предосторожности были вычислены дейст-
вительные времена прохождения через прокладки и щели. Для
этого использовалось прежде всего неподправленное время про-

Ф и г. 7.16. Схема, иллюстрирующая возможное использование пористых
материалов для измерения коэффициента Грюнайзена.

Разность внутренних энергий на двух адиабатах, Гюгонио при объеме V определяется
заштрихованной площадью. Показана также соответствующая разность давлений.

хождения ударной волны для определения пробной точки урав-
нения состояния. Последняя используется для расчета взаимо-
действия ударных волн в блоке и прокладке, и таким образом
находится поправка к наблюдаемому времени прохождения, свя-
занная с различием скорости ударной волны и скорости свобод-
ной поверхности в прокладках на основной пластинке и на дру-
гих материалах. Процедура повторяется до тех пор, пока по-
правки не перестают меняться. В этих экспериментах были
использованы щели шириной 0,01 см и прокладки толщиной
~0,02 см. Без поправок систематические ошибки в сторону за-
вышения скоростей ударной волны составили бы 1 % •

К сожалению, для получения линий отсчета не годятся про-
кладки из исследуемого материала, с помощью которых в прин-
ципе можно было бы автоматически учесть эти поправки. Для
основных пластинок из меди и уранового сплава под все
светящиеся щели были подложены прокладки из железа. Соот-
ветственно вносились поправки, связанные с требующейся под-
гонкой импедансов. Выбор материала обусловлен имевшейся
в распоряжении высококачественной сталью, идущей на изгото-
вление щупов измерительных приборов, а также тем, что, как
было установлено, фотограммы записи значительно улучшаются,
когда используются прокладки из стали.

Коэффициент Грюнайзена можно найти непосредственно
из этих экспериментов с помощью обобщенного уравнения со-
стояния (7.15) и соотношений на адиабате Гюгонио (фиг. 7.16).

Можно было бы выбрать некоторую зависимость для коэффи-
циента Грюнайзена и, проведя соответствующую минимизацию,

Фиг. 7.17. Изменение экспериментальных значений (dEldP)v в зависимости
от объема, определенных по измерениям ударных волн в пористом сплаве
А1 2024 для разных степеней пористости (отношения плотности пористого
вещества к плотности кристалла):-----------0,91 (Q);-----------0,80 (ф);

-------0,70 (А );----------0,59 (□).

найти форму, которая наилучшим образом описывает экспери-
ментальные данные. Мы, однако, уже выбрали просто квадра-
тичную зависимость для описания экспериментальных данных
в координатах и8—ир, которая затем используется для нахож-
дения отклонений давления и энергии от значений на адиа-
бате Гюгонио для материала кристаллической плотности.
На фиг. 7.17—7.19 приведены зависимости для дЕ)дР, найденные
из таких аппроксимаций. В дополнение к этим кривым показаны
также зависимости дЕ1дР, вычисленные по адиабате Гюгонио
для вещества кристаллической плотности, и экспериментальные
точки. Большой разброс этих точек связан с разбросом экс-
периментальных данных. Расхождение данных по ударным вол-
нам превосходит обычный разброс (особенно при низких плот-
ностях) практически из-за больших ошибок в измерении началь-
ных плотностей образцов.

Каждую экспериментальную точку на фиг. 7.17—7.19 рассчи-
тывали по данным об ударной волне для каждого из пористых
образцов, а характеристики вещества кристаллической плотно-
сти были приведены в табл. 7.2. Кривые строили методом наи-

Уделъный объем, см3/г

Фиг. 7.18. Изменение экспериментальных значений (dEldP)v в зависимости
от объема, определенных по измерениям ударных волн в пористой меди

для разных степеней пористости:----------------0,88 (О);-------------0,82 (А);

--------0,71 (□);-------------0,64 «); —............—	0,51 (•).

меньших квадратов по точкам в координатах и8 — ир для всех
серий по плотностям. Для образцов с низкой начальной плотно-

Удельный объем, см3/г

Фиг. 7.19. Изменение экспериментальных значений (dEldP)v в зависимости
от объема, определенных по измерениям ударных волн в пористом железе
для разных степеней пористости:------------0,89 (О);-----------0,76 (ф);

-------0,60 (□);-----------0,43 (А ).

стью средние значения (dEldP)v при заданном объеме были
измерены в широком диапазоне температур. В пределах точно-
сти эксперимента, по-видимому, нет сколько-нибудь заметного
Фиг. 7.20. Данные о зависимости скорости ударной волны
от массовой скорости для сплава А1 2024 при разной его пори-
стости: 1,00 (А); 0,91 (С); 0,80 (ф); 0,70 (•); 0,59 (□).

Фиг. 7.21. Данные о зависимости давления от удельного объема
для сплава А1 2024 при разной его пористости: 1,00 ( ▲ ); 0,91 (О)>
0,80 (ф); 0,70 (•); 0,59 (□).
изменения у с температурой. Данные в общем говорят в пользу
простого соотношения ру=const.

В дополнение к экспериментальным кривым на фиг. 7.18 пока-
заны также зависимость (dE/dP)? от объема по формуле Дуг-
дейла—Макдональда (сплошная линия) и зависимость, соответ-
ствующая постоянству у (пунктирная линия). Видно, что данные
достаточно хорошо согласуются с кривой, рассчитанной по фор-
муле Дугдейла—Макдональда. Экспериментальные данные при
малых объемах лежат существенно выше линии постоянного зна-
чения у, которая, как известно, плохо отражает действительную
зависимость y от объема из-за того, что приводит к исчезающе
малым скоростям звука при больших сжатиях [см. уравнение
(7.33)].

Данные на фиг. 7.19 могли бы свидетельствовать о возраста-
нии (dE/dP)v (уменьшении у) с повышением температуры. Хотя
такая интерпретация и согласуется с теоретическими предска-
заниями, ее польза представляется сомнительной из-за большого
разброса данных.

Так как важна разность давлений и энергий, необходима
большая точность при измерении у. Другая возможность состоит
в расчете адиабаты Гюгонио пористого материала по адиабате
Гюгонио для материала кристаллической плотности с помощью
некоторой гладкой зависимости давления от объема. Уравнение

Р=РН П — (PT) (Vo— V)/2]/[l — (PT) ( Vo — V)/2]	(7.39)

описывает зависимость давления от объема для пористого мате-
риала (адиабату Гюгонио), проходящую через точку, соответ-
ствующую объему V*, через адиабату Гюгонио для материала
кристаллической плотности. Адиабаты Гюгонио в плоскости
и8 — ир можно построить по уравнениям (7.4) и (7.5).

Экспериментальные данные о зависимости и8 от ир и вычис-
ленные по ним данные о зависимости Р от р для пористых образ-
цов сплава А12024, меди и железа приведены в приложении Б
в конце книги и на фиг. 7.20—7.25. На этих графиках показаны
адиабаты Гюгонио для материала кристаллической плотности
и несколько вычисленных адиабат Гюгонио, проходящих через
начальные точки с различными плотностями.

При вычислении этих адиабат Гюгонио по адиабате Гюго-
нио для материала кристаллической плотности считалось посто-
янным произведение ру и в качестве начальной точки использо-
валась точка со средней плотностью для каждой серии точек.
Предполагалось, что начальная внутренняя энергия пористых
материалов такая же, как и у соответствующих материалов кри-
сталлической плотности. Хорошее согласие рассчитанных адиа-
бат Гюгонио с экспериментальными точками подтверждает
применимость этой простой зависимости для коэффициента Грю-
найзена. Практически разброс данных происходит из-за
изменений плотности. Кривые на фиг. 7.20 были вычислены
по адиабате Гюгонио для материала кристаллической плотности,
полученной по точкам методом наименьших квадратов, и посто-
янному значению (dEldP)v, найденному по у и р из табл. 7.1 для
средней начальной плотности каждой серии образцов. В эти дан-
ные также были внесены поправки на отклонения начальных
плотностей. Из фиг. 7.20—7.22 видно, что расчетные кривые вы-
ходят из точки us = up' = 0. Таким образом, кривые, соответст-
вующие большим начальным плотностям, имеют в области низ-
ких давлений гораздо ^большую кривизну. Кривые, соответст-
вующие малым начальным плотностям, становятся почти
прямолинейными по мере того, как начальная плотность прибли-
жается к уровню, соответствующему вертикальной асимптоте за-
висимости Р от V. Кривые на фиг. 7.21, 7.23 и 7.25 построены пре*
образованием подобранных зависимостей us от ир с предыду-
щих графиков в зависимости Р от V. На этих графиках больше
заметен разброс точек из-за изменений плотности. Величина Го
на них относится к средней плотности каждой серии образцов.
Хотя для образцов с низкой начальной плотностью сжатие ве-
лико, конечные плотности малы. Совершенно очевидна тен-
денция к асимптотической плотности. Иногда конечная плот-
ность ударно сжатого пористого материала не достигает кри-
сталлической плотности. Такие точки не использовались при
нашем определении у, и возможно, что они не соответствуют
равновесному уравнению состояния в области низких давлений.
Измерения с высокой точностью скорости свободной поверхности
пористых материалов при низких давлениях (фиг. 7.26) пока-
зывают, что форма волны не постоянна во времени, и вообще
для нее характерно сильное размытие ударного фронта. Такое
поведение легко объяснимо влиянием жесткости при схлопыва-
нии пустот. При этом процессе не существует термодинамиче-
ского равновесия и по существу наблюдается некоторая разно-
видность реологического уравнения состояния. При большем
давлении на ударном фронте будет схлопываться больше пор.
Если фронт волны размыт во времени, то зависимость, играющая
роль уравнения состояния, в плоскости Р — V вогнута вниз так,
как это было показано на фиг. 7.16. Использование светящейся
щели в таких случаях почти бесполезно, так как неизвестно, ка-
кая часть профиля волны вызывает закрытие щели. К тому же
при деформации несомненно возникает влияние тепловой релак-
сации, которое еще больше усложняет анализ.

Растянутый предвестник, показанный на фиг. 7.26, сущест-
вует, по-видимому, благодаря схлопыванию пор. Этот экспери-
мент показывает, что при динамическом нагружении поры
V/Vo

Фиг. 7.23. Данные о зависимости давления от удельного
объема для меди при разной ее пористости: 1,00 ( ▲);
0,88 (О); 0,82 (ф); 0,71 (•); 0,64 (□); 0,51 (самая
левая линия).

Ф и г. 7.22. Данные о зависимости скорости ударной волны
от массовой скорости для меди при разной ее пористости:
1,00 (А); 0,88 (О); 0,82 (ф); 0,71 (•); 0,64 (□); 0,51
(самая правая линия).
Up, км/с

Фиг. 7.24. Данные о зависимости скорости ударной волны
от массовой скорости для железа при разной его пористо-
сти: 1,00 (А); 0,89 (О); 0,76 (ф); 0,60 (ф); 0,43 (□).

Фиг. 7.25. Данные о зависимости давления от удельного
объема для железа при разной его пористости: 1,00 (а);

0,89 (О); 0,76 (ф); 0,60 (•); 0,43 (□).

Попыток подобрать кривую для описания данных для очень низкой
начальной плотности не предпринималось. Не исключено, что неко-
торые точки при низком давлении отражают наличие фазового
перехода при 13 ГПа.
фактически схлопываются при давлении ~0,5 ГПа. Несмотря на
низкое давление, продолжительный (2 мкс) предвестник застав-
ляет сомневаться в результатах экспериментов, использующих
светящуюся щель, в области низких давлений. Надо отметить,
что время прихода носика предвестника соответствует измерен-
ной скорости продольной волны.

Существует удивительное сходство в картине эксперименталь-
ных данных, полученных для этих пористых материалов. Оно ча-
стично отражает тот факт, что коэффициент Грюнайзена можно
достаточно хорошо описать простым соотношением (7.17). В ча-

Ф и г. 7.26. Скорость свободной поверхности в зависимости от времени для
ударно нагруженного графита РТ-0178 (исходная плотность 1,55 г/см3).

стности, все кривые и8 — ир проходят через нулевую точку при
Р =0 и р=ро, крист, если они экстраполируются посредством урав-
нения (7.39). Особый интерес представляет адиабата Гюгонио-
для пористого материала, которая асимптотически приближается
к кристаллической плотности. Давно установлено, что, когда
dPIdVn обращается в бесконечность по адиабате Гюгонио, коэф-
фициент Грюнайзена имеет вид

I=2V/(^o-V).

(7.40>

Для линейной зависимости us от ир, как можно видеть из урав-
нения (7.13), объем Va, при котором это происходит, выражается
следующим образом:

Vo/V0=(s-l)/s (Р=оо).	(7.41>
Но везде, где наклон sa адиабаты Гюгонио в координатах
и*— ир удовлетворяет соотношению

Sa^uslup,	(7.42)

производная dP/dV^. обращается в бесконечность, что заставляет
пользоваться уравнениями (7.40) и (7.41). В этом проявляется то,
что кривые, соответствующие постоянному объему, представляют
собой в плоскости и8—ир прямые линии, выходящие из начала
координат. Если известна у, то с помощью уравнений (7.40) и
(7.41) получается асимптотическая величина объема

Vo/V0=7/(i+2)	(7.43)

и наклона
^=(l+2)/2.	(7.44)

В частности, если у действительно не зависит от температуры
и давления, то в принципе должна существовать адиабата Гюго-
нио, для которой асимптотической будет кристаллическая плот-
ность (Va = Vo,крист). Начальная плотность для нее задается
уравнением (7.43). Так как она начинается из точки, где Р = 0,
то в плоскости и8—ир она должна выражать прямую линию
с Со = О и наклоном, заданным уравнением (7.44). Используя
значения уо из табл. 7.1, находим, что требующиеся для этого по-
ристости равны 0,50, 0,49 и 0,46 соответственно для сплава
А12024, меди и железа при наклонах 2,00, 1,98 и 1,85.

Несмотря на большую величину разброса данных при боль-
шой пористости, связанную с большим изменением плотности, на
графиках легко усматривается, что данные согласуются с этой
простой моделью, особенно в плоскости us—ир, где данные мо-
гут быть разумным образом сглажены.

ПЕРЕКРЕСТНАЯ ПРОВЕРКА СТАНДАРТНЫХ МАТЕРИАЛОВ

В предыдущих разделах адиабаты Гюгонио пяти разных ма-
териалов были получены в результате непосредственного изме-
рения зависимости между скоростью ударной волны и массовой
скоростью. Кроме того, для трех из этих материалов были полу-
чены коэффициенты Грюнайзена при высоких давлениях.
Но прежде чем использовать эти материалы в качестве стандарт-
ных при исследовании других материалов, целесообразно прове-
сти перекрестную проверку, используя в методе подгонки импе-
дансов по очереди каждый из них в качестве стандартного и по-
вторно измеряя адиабаты Гюгонио всех остальных. Данные,
полученные при использовании схемы опытов, аналогичной опи-
санной для пористых материалов, приведены на фиг. 7.27—7.31.
На этих графиках показаны также аппроксимационные кривые
10

Ф и г. 7.27. Данные о зависимости скорости ударной волны от массовой ско-
рости для сплава Al 921-Т (л), меди (♦), железа (О) и сплава U —
3°/о Мо ( • ), полученные при использовании в качестве стандарта пластинок-
оснований из сплава А1 2024.

Фиг. 7.28. Данные о зависимости скорости ударной волны от массовой ско-
рости для стандартных материалов [А1 2024 (▲ ); Fe (О); Си (ф);
U — 3% Мо ( • )], полученные посредством подгонки импедансов с исполь
зованием в качестве стандарта пластинок-оснований из сплава А1 921-Т.
Фиг. 7.29. Данные о зависимости скорости ударной
волны от массовой скорости для стандартных материалов
[AI 2024 (▲ ); А1 921-Т (О); Fe (ф); U-3% Мо (•)),
полученные посредством подгонки импедансов с исполь-
зованием в качестве стандарта медных пластинок-осно-
ваний.

Фиг. 7.30. Данные о зависимости скорости ударной
волны от массовой скорости для стандартных материа-
лов [А1 2024 (A); Al 921-Т (О); Си (ф); U —
3% Мо ( )], полученные по методу подгонки импедан-
сов с использованием в качестве стандарта железных
пластинок-оснований.
для зависимости между скоростью ударной волны и массовой
скоростью, найденные по методу наименьших квадратов. Для по-
лучения результатов, представленных на этих графиках, один
материал использовался в качестве стандартного, а адиабаты
Гюгонио для других материалов определялись методом подгонки
импедансов. Достигнутое достаточно хорошее согласие показы-
вает, что все стандартные материалы, за исключением, может

Фиг. 7.31. Данные о зависимости скорости ударной волны от массовой
скорости для стандартных материалов [А1 2024 ( ▲ ); Al 921-Т (О)’» Ге (♦)>
Си ( • )], полученные по методу подгонки импедансов с использованием в ка-
честве стандарта пластинок-оснований из сплава U — 3% Мо.

быть, сплава А1921-Т, удовлетворяют этому необходимому ус-
ловию.

Точки новых данных об адиабате Гюгонио для сплава
А1921-Т, полученные с использованием других материалов в ка-
честве стандартных, устойчиво лежат выше точек адиабат Гюго-
нио, полученных по измерениям и8 и ир. Расхождение связано
с тем, что первоначальные данные были получены при использо-
вании пластинок, в которых была малая, но не исчезающая по-
ристость, в то время как малые образцы, использованные при
перекрестной проверке, были ближе к идеальной плотности. Рас-
хождение данных, полученных при использовании сплава
AI 921-Т в качестве стандарта (фиг. 7.28), связано с аналогич-
ным затруднением. Пластинки-основания в этих экспериментах
были несколько меньшей плотности, а блоки, использованные для
измерения давления в пластинках-основаниях, имели большую
плотность. Это привело к приписыванию слишком высокого дав-
ления материалу пластинок-оснований и при подгонке импедан-
сов к слишком большой массовой скорости в других материалах.
Этот эффект можно учесть, но потребуется существенно пере-
смотреть наши расчетные схемы, используемые при подгонке им-
педансов. Этот эффект проявляется сильнее всего при низких дав-
лениях. Результаты при высоких давлениях вполне приемлемы;
для уранового сплава с высоким ударным импедансом хорошее
согласие наблюдается фактически во всей области давлений.

Результаты сравнения не устраняют возможности того, что
уравнения состояния всех этих материалов содержат некоторую
систематическую ошибку. Уже упоминалось влияние жесткости,
приводящее к уменьшению скорости свободной поверхности. Это'
влияние неизбежно должно проявляться тогда, когда такие мате-
риалы используются в качестве стандарта при исследовании ма-
териалов с низким ударным импедансом. Не вполне ясно, как
остаточное девиаторное напряжение будет влиять на стандарт-
ные материалы при использовании метода отраженной ударной
волны, так как неизвестно действительное состояние материала.
Надеемся, что увеличение модуля сдвига при повышении давле-
ния компенсируется повышением температуры, также происходя-
щим в сильных ударных волнах.

ИЗМЕРЕНИЯ СКОРОСТИ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
В СПЛАВЕ А1 2024 И МЕДИ

В сплаве А12024 и меди уже были проведены измерения ско-
рости ударной волны и скорости свободной поверхности. Этот тип
измерений был использован для получения первоначальной адиа-
баты Гюгонио для наших стандартных материалов. В то время
массовая скорость находилась методом итераций, при котором
вычисленные скорости свободной поверхности приводились в со-
ответствие с экспериментальными скоростями свободной поверх-
ности варьированием массовых скоростей. В этих расчетах энер-
гия в основании волны разрежения (разгрузки) приводилась
в соответствии с внутренней энергией в зависимости от значения
плотности на изобаре нулевого давления, определенной по удель-
ной теплоемкости, и данных о тепловом расширении. Результаты
этой процедуры, естественно, должны отражать ошибки, связан-
ные с данными при нулевом давлении и с неправильным исполь-
зованием изоэнтроп, которые, как известно, пересекают область
фазы расплавленного вещества. К счастью, эти ошибки оказа-
лись малы, и были получены достаточно хорошие адиабаты Гю-
гонио. При определении адиабат Гюгонио более прямыми мето-
дами нет больше необходимости использовать в качестве исход-
ных данные о скорости свободной поверхности. Однако они
позволяют провести дополнительную проверку наших расчетных
методов и экспериментальных измерений. На фиг. 7.32 скорости
свободной поверхности, вычисленные по адиабатам Гюгонио, по-

Ф и г. 7.32. Данные (по показаниям щупов) о зависимости скорости ударной
волны от скорости свободной поверхности для сплава А1 2024 (▲ ), Си (ф)
и сплава А1 2024 (□).

сравниваются с экспериментальными данными. Эти данные были
получены методом светящейся щели точно так, как об этом гово-
рилось раньше. Сплошные линии были получены вычислением
интеграла Римана вдоль изоэнтроп, рассчитанных по адиабатам
Гюгонио для скорости ударной волны и массовой скорости
(табл. 7.2). Результаты для меди очень хорошо совпадают, а для
сплава А1 2024 имеются области, где согласие очень плохое. Надо
полагать, что в основном это действительные отклонения, свя-
занные с фазовыми переходами, плавлением и испарением, ко-
торые не учитывались при расчете изоэнтроп разгрузки. Они на-
блюдались и прежде [3], но в то время для описания данных
о скорости свободной поверхности потребовалось использование
полинома четвертой степени для адиабаты Гюгонио в координа-
тах us—ир. По-видимому, это было бы неоправданно из-за изве-
стных неопределенностей в расчетах, в связи с чем пришлось при-
бегнуть к линейной аппроксимации. Впоследствии, конечно, была
подтверждена справедливость такой линейной аппроксимации.
Это доказывает преимущество использования метода измерения
скорости ударной волны для определения давления в стандарт-
ных материалах.

4.	УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

В настоящем разделе собраны данные об адиабатах Гюгонио,
полученные методом подгонки импедансов с использованием
стандартных Материалов, описанных в разд. 7.3, для ряда мате»
риалов, которые интересуют работающих в области высокоскоро-
стных соударений. К таким материалам относятся легкие ме-
таллы, тугоплавкие элементы, драгоценные металлы, отдельные
соединения и сплавы и разнообразные пластические и иные син-
тетические материалы, получившие широкое распространение
к настоящему времени. Данные представлены в виде графиков
зависимостей us от ир и Р от р или Р от V/Vo в зависимости
от того, что уместнее. Для тех читателей, которым могут потре-
боваться более подробные сведения, в конце раздела приведены
таблицы экспериментальных данных наряду со сводкой наибо-
лее важных термодинамических характеристик, полученных
по этим данным.

В табл. 7.3 приведены характеристики взрывных систем,
обычно используемых в Лос-Аламосской научной лаборатории
для создания в пластинках-основаниях широкого диапазона дав-
лений, необходимых для надежного определения адиабат Гюго-
нио, особенно при наличии фазовых переходов. Хотя нами упо-
треблялись и многие другие взрывные системы, охваченным
данной таблицей системам присуще достоинство создания в пла-
стинках-мишенях давлений, более или менее равномерно покры-
вающих весь диапазон. Более того, в системах со свободным по-
летом движущиеся пластины изготовляют из распространенных
сортов листовой нержавеющей стали. Такие пластинки пригодны
к использованию без дополнительной механической обработки,
если их достаточно аккуратно вырезать. Как показывает прак-
тика, такие системы обеспечивают наиболее плоское соударение
при нужном давлении. Были сконструированы и такие системы,
которые обеспечивали максимальную толщину мишеней и образ-
цов. В основном использовались поступающие в продажу плос-
коволновые линзы и ВВ.
Таблица 7.3

Характеристики взрывных систем

Давление в пла- стинке-основа- нии, МПа		Диаметр линзы, мм	Толщина, мм				Газ
			взрывчатого вещества		мета- емой плас- тинки	пластинки- основания (макси- мально)	
AI 2024	медь						
			Система с контактом				
8	И	304,8	Баратол	203,2		12,7	Хе
11	15	304,8	ТНТ	203,2		12,7	Хе
17	24	304,8	Баратол	203,2		12,7	Хе
24	33	203,8	ТНТ	203,2		12,7	Хе
36	50	203,8	Циклонит	203,2		12,7	Аг, Хе
40	56	203,8	Октол	228,6		12,7	Аг, Хе
			Система со свободным полетом				
45	81	304,8	Циклонит	101,6	6,35	12,7	Аг, Хе
50	93	304,8	,,	101,6	4,75	7,62	Аг, Хе
57	109	304,8	»»	152,4	4,75	7,62ч	Аг
60	113	304,8	,,	203,2	4,75	7,62	Аг
65	123	304,8	»»	101,6	3,2	5,08	Аг
70	133	304,8		152,4	3,2	5,08	Аг
75	143	304,8	»»	203,2	3,2	5,08	Аг
80	152	304,8	Циклотол	152,4	3,2	5,08	Аг
87	165	304,8	Октол (0,5 цикло- нита)	228,64- 4-12,7	3,2	5,08	Аг
94	175	304,8	Циклотол (0,5 цик- лонита)	228,64- 4-12,7	2,4	2,54	Аг
100	188	304,8	9404	203,2	2,4	2,54	Аг
ПО	207	304,8	9404	203,2	1,6	2,54	Аг

ЭЛЕМЕНТЫ ВТОРОЙ ГРУППЫ: Be, Mg И Az-31B Mg

Использованные нами образцы бериллия были спеченными,
мелкозернистыми, изотропными, с почти теоретической кристал-
лической плотностью. Содержание ВеО в таких образцах было
неизвестно, но оно должно было быть незначительным. Первона-
чальные исследования на бериллии дали довольно большой раз-
брос результатов (до 10% в скорости ударной волны). При луч-
Фиг. 7.33. Данные об адиабатах Гюгонио в координатах
ия—иР для Be ( а ), Mg ( О) и сплава AZ-31B Mg (♦).

Фиг. 7.34. Данные об адиабатах Гюгонио в координатах
Р—р для Be (д), Mg ( О) и сплава AZ-31B Mg (♦).

Адиабаты Гюгонио для чистого и легированного алюминием магния
разделяются в этой плоскости только из-за различия исходных
плотностей.
шем контроле за материалом такой разброс исчез. Исследования
прихода ударной волны на разгоняемых пластинках из крупно-
зернистого бериллия давали очень беспорядоченные записи даже
при давлениях в ударной волне свыше 30 ГПа, что отражает про-
явления анизотропии в данном материале.

Нами использовался очень чистый литой магний. Отнюдь не
исключено, что некоторый разброс данных мог вызываться круп-
нозернистостью образцов (~0,5 см в поперечнике). Этот мате-
риал отчасти важен для анализа поведения ВВ, но поскольку
отливка заготовок чистого беспористого магния сопряжена
с трудностями, нами были измерены адиабата Гюгонио и сплав
AZ-31B Mg. Этот сплав доступен в виде инструментального поло-
сового материала. Он представляет собой низколегированный не-
которыми добавками магний1). Самая главная (3%) добавка —
алюминий. Адиабаты Гюгонио для этих двух материалов одина-
ковы, если не считать их разных начальных плотностей.

На фиг. 7.33 и 7.34 представлены данные о зависимостях us
от иРиР от р.

ЭЛЕМЕНТЫ ЧЕТВЕРТОЙ ГРУППЫ: Ti, Zr И Н/

В отличие от многих металлических элементов, о которых
здесь сообщается, титану, цирконию и гафнию присущ свой пере-
ход. Хотя измерения объема при этих переходах малы, они до-
статочно хорошо определяются. Предполагается, что фазовый
переход представляет собой полиморфное превращение ГПУ-мо-
дификации, характерной для нулевого давления, в ОЦК-форму.
В пользу этого предположения (все еще требующего подтверж-
дения), говорит тот факт, что в ударно нагруженном титане была
обнаружена ОЦК-фаза.

Хотя для этих металлов имеются некоторые данные о тепло-
вом расширении и удельной темплоемкости при нулевом давле-
нии, при высоких температурах, где происходит фазовый переход,
они в основном мало исследованы. Например, данные о тепловом
расширении титана столь бедны, что трудно сказать, повышает
или понижает плотность переход ГПУ-^-ОЦК при нулевом дав-
лении и температуре 1157 К. Однако общие особенности уста-
новлены точно. Высокие температуры, большие скрытые теплоты
перехода и очень малые отрицательные изменения объема, кото-
рыми характеризуется фазовый переход, при нулевом давлении
у этих металлов согласуются с гипотезой о тождественности фа-
зовых переходов при нулевом и высоком давлениях.

Мы попытались определить уравнение состояния метастабиль-
ной при комнатной температуре фазы расчетными методами, опи-

п 3% А1, 1% Zn и 0,2% Мп.— Прим. ред.
О 0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5

Up, км/с

Фиг. 7.35. Данные об адиабатах Гюгонио в координа
тах и8—иР для Ti (A), Zr (О) и Hf (♦).

180

Фиг. 7.36. Данные об адиабатах Гюгонио в координатах Р—V
для Ti (Л ), Zr (С) И Hf (• ).
санными в разд. 7.2. В табл. 7.4 приведены результаты этих рас-
четов наряду с некоторыми термодинамическими характеристи-
ками, относящимися к точке перехода. Вычисленные плотности
при нулевом давлении на адиабатах Гюгонио для метастабиль-
ных состояний очень близки к начальным плотностям образцов.
Плотность восстановленных образцов Ti хорошо согласуется
с рассчитанным значением.

Таблица 7,4

Характеристики фазового перехода в титане, цирконии и гафнии

Материал	Параметры фазового перехода					Адиабата Гюгонио для метастабильного со- стояния		
	us, км/с	Р, ГПа	т, к	р, г/см3	ДУ/У	*  км/с	S*	р*,, г/см3
Титан	5,74	17,5	370	5,13	0,011	4,81	1,10	4,54
Цирконий	4,63	26,0	540	7,98	0,012	2,71	1,35	6,00
Гафний	3,86	40,0	725	16,30	0,042	2,43	1,30	12,79

Имевшиеся в нашем распоряжении образцы были очень
сильно ориентированы; хотя скорости продольных и поперечных
волн можно было измерить довольно точно, все же ими нельзя
было пользоваться для надежного расчета скорости объемных
волн при нулевом давлении.

На фиг. 7.35 и 7.36 представлены полученные зависимости
us от ир и Р от V. Небольшой разрыв данных на фиг. 7.35 непо-
средственно ниже точки с ир = 1,0 км/с свидетельствует о начале
перехода. Приведенные на графике скорости объемных звуковых
волн были вычислены по данным Бриджмена для сжимаемости.
Как уже отмечалось, при наличии малых изменений объема об-
наружить фазовые переходы по зависимости Р от V трудно. Ча-
стично это объясняется отсутствием данных об истинной зависи-
мости Р от V в двухволновой области. Хотя из этого графика
и видно, что сжимаемость материалов с высокой плотностью убы-
вает, сжатия в ударной волне AV/Vq для трех материалов факти-
чески почти одинаковы. Термодинамические расчеты для этих
металлов до самих давлений фазового перехода несколько не до-
водились.

ЭЛЕМЕНТЫ ПЯТОЙ ГРУППЫ: V, Nb И Та

Адиабаты Гюгонио для этих элементов, по-видимому, доста-
точно хорошо установлены и адекватно выражаются линейной за-
висимостью us от ир (фиг. 7.37). Кривые пересекают ось ординат
					
					
					
					
					
					

О 0,5	1,0	1,5	20	20	3.0

Up, КМ/С

250

Фиг. 7.38. Данные об адиабатах Гюгонио в координатах
Р— V/Vo Для V (Д), Nb (О) и Та (♦).

Фиг, 7.37. Данные об адиабатах Гюгонио в координа-
тах us—иР для V (▲ ), Nb (Q) и Та (•).
совсем близко к значению скорости звука для объемных волн, что
свидетельствует об отсутствии фазовых переходов при низких
давлениях, а также и о том, что данные, описывающие адиабату
Гюгонио, близки к равновесному гидродинамическому уровню.
Это согласуется с низким ~0,8 ГПа упругим гюгониевским пре-
делом, измеренным для Та. Как и ожидалось, значение и8 в точке
пересечения с осью ординат тем меньше, чем выше плотность,
но наклоны фактически одинаковые (1,201 для V, 1,207 для Nb,
1,200 для Та). Даже если относительные скорости ударных волн
для этих элементов становятся меньше с повышением плотности,
все же зависимость Р от V/Vq (фиг. 7.38) показывает, что сжимае-
мости на ударной волне, будучи очень близки, имеют обратную
зависимость от плотности.

ЭЛЕМЕНТЫ ШЕСТОЙ ГРУППЫ: Сг, Мо И W

Эти три элемента очень похожи на три элемента пятой
группы V, Nb и Та, причем каждый из них отличается дополни-
тельным электроном. Все шесть элементов кристаллизуются
в ОЦК-решетке. Данные о зависимости и» от ир (фиг. 7.39) очень
схожи, но имеют несколько больший разброс. Интересно, что уве-
личение числа электронов Z на один электрон у элементов пятой
и шестой групп повышает плотность и скорость звука ~ на 17%;
исключением является Сг, скорость звука в котором остается
приблизительно такой же, как в V. Интересно также, что на-
клоны адиабат Гюгонио в координатах us—ир для Мо и W
практически одинаковы (соответственно 1,233 и 1,237) и всего
~ на 2,5% выше, чем наклоны для элементов пятой группы, в то
время как наклон для Сг равен 1,49. Так как наклон адиабаты
Гюгонио в координатах us — ир тесно связан с силами отталки-
вания в кристаллической решетке, потенциал взаимодействия
в Сг должен сильно отличаться от потенциала в других пяти эле-
ментах. При переходе от пятой группы к шестой у Мо и W про-
сто добавляется один d-электрон, в то время как Сг приобретает
два d-электрона, теряя один s-электрон. Хотя это может
свидетельствовать о том, что свойства Сг могут быть иными,
нельзя не отметить, что Сг и Мо имеют одинаковую электронную
структуру. В этом может скрываться объяснение того, что эти два
элемента имеют примерно одинаковую начальную скорость
звука.

Возможно, что на данные об ударной волне для Сг оказал
влияние фазовый переход 2-го рода при температуре Нееля
(310 К). В этой температурной области наблюдались большие из-
менения удельной теплоемкости, коэффициента теплового расши-
рения и упругих констант [22]. Однако эти эффекты, связанные
с переходом из парамагнитного состояния в антиферромагнитное,
Фиг. 7.39. Данные об адиабатах Гюгонио в координатах иа—ир для Сг ( ▲),
Мо (О) и W (ф).

Фиг. 7.40. Данные об адиабатах Гюгонио в координатах Р—V/Vq для Сг ( а ),
Мо (О) и W (♦).
по-видимому, ограничены небольшим диапазоном шириной
около 40 К и, следовательно, не могли вызвать какие-нибудь зна-
чительные нерегулярности на кривой Гюгонио, так как адиа-
бата Гюгонио является геометрическим местом точек, соответст-
вующих конечным состояниям. Другой причиной разброса дан-
ных могло быть неодинаковое содержание закаленных ГЦК- и
ОЦК-фаз в различных образцах. Плотность использованных
нами образцов не достигала кристаллической на 1% с не-
большим.

На фиг. 7.40 приведены данные о зависимости Р от V/Vq. Кри-
вые, проведенные по точкам, построены линейной аппроксима-
цией данных о зависимости us от ир. Разная кривизна этих трех
адиабат Гюгонио едва различима.

Для трех элементов был измерен гюгониевский упругий пре-
дел. Для образцов толщиной 0,5 см амплитуды продольных упру-
гих волн в Сг, Мо и W были равны соответственно 1,5, 1,6 и
2,5 ГПа. Однако у Мо и W сказывается влияние толщины; упру-
гая волна ослабевает приблизительно на порядок при прохожде-
нии через материал сантиметровой толщины. Образцы Сг и W
были приготовлены из металлов электродугового переплава, а об-
разцы Мо — из спеченных штабиков.

ДРУГИЕ МЕТАЛЛИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ: Re, Rh, Pd, 1г И Pt

Рений принято относить к элементам седьмой группы вместе
с марганцем и технецием. Однако нам не удалось получить мар-
ганец в виде, пригодном для проведения экспериментов при вы-
соких давлениях, чтобы вывести уравнение состояния, а у техне-
ция не оказалось стабильных изотопов. Были две партии образ-
цов рения — с кристаллической плотностью и с плотностью,
равной 98% кристаллической. Хотя имелся некоторый разброс
данных, не было причин, не позволяющих аппроксимировать
данные для адиабаты Гюгонио образцов кристаллической плот-
ности линейной зависимостью us от ир (фиг. 7.41). Эта линейная
зависимость вместе с коэффициентом Грюнайзена, определенным
из термодинамических соображений, позволяет рассчитать адиа-
бату Гюгонио для пористого рения (фиг. 7.41 и 7.42), удовлетво-
рительно согласующуюся с экспериментальными данными.

Высокоплотные драгоценные металлы — родий, палладий,
иридий и платина не обнаруживают аномалий в плоскости us— ир
вплоть до давлений, достигающих 300 ГПа. К сожалению, об-
разцы родия и иридия были весьма анизотропны, из-за чего по-
лучить ультразвуковым методом нужные данные о скоростях
звука не удалось. Так как Бриджмен не приводит данных о сжи-
маемости этих двух материалов, возможности проверить значение
.скорости, даваемое экстраполяцией зависимости до пересечения
Фиг. 7.41. Данные об адиабатах Гюгонио в координатах
us—иР для Re полной (а) и 98%-ной (О) кристалличе-
ской плотности.

Аппроксимация адиабаты Гюгонио для Re 98%-ной кристаллической
плотности производилась описанными ранее методами.

Фиг. 7.42. Данные об адиабатах Гюгонио в координатах
P—V/Vq для Re полной (а) и 98%-ной (О ) кристалличе-
ской плотности.

Vo — удельный объем отдельного образца.
Фиг. 7.43. Данные об адиабатах Гюгонио в координа
тах us—ир для Rh ( ▲ ) и Pd (О)-

Фиг. 7.44. Данные об адиабатах Гюгонио в координатах
Р— Ш для Rh (А) и Pd (О).

с осью ординат, не представилось. Значения скоростей ударных
волн для Pd и Pt, найденные экстраполяцией, согласуются с ре-
зультатами измерений.

На фиг. 7.43—7.46 представлены данные о зависимостях us
от ир и Р от V/Vo иля этих материалов.

КАРБИДЫ (ХИМИЧЕСКИЕ СОЕДИНЕНИЯ): SiC, В4С И WC

Все эти материалы довольно твердые и характеризуются вы-
сокими скоростями продольных и поперечных звуковых волн. По-
этому можно было ожидать, что жесткость должна сказаться
на адиабатах Гюгонио, особенно в областях низких давлений.
В случае SiC кристаллической плотности этот эффект выражен
особенно резко; продольные звуковые волны распространяются
в SiC со скоростью 11,73 км/с, причем передаваемые с этой ско-
ростью возмущения, по-видимому, достаточно сильны, чтобы за-
крыть светящуюся щель до прихода волны 3-D (фиг. 7.47). След-
ствием подобной ситуации надо считать неоправданно высокую
измеренную скорость ударной волны даже при давлениях, дости-
гающих 40 ГПа. Обычно мы не пользуемся скоростью объемных
звуковых волн при нулевом давлении в целях аппроксимации
данных в координатах us—ир, однако только что упоминав-
шиеся высокие скорости столь явно не характерны для равновес-
ного уравнения состояния, что здесь их следует использовать.
Так, пересечение адиабаты Гюгонио с осью ординат пришлось
сдвинуть в точку, соответствующую ультразвуковой скорости.
Затем наклон линейной зависимости us от ир определяли только
по данным при высоких давлениях. При этом нами не сбрасыва-
лась со счетов возможность фазового перехода в SiC при низких
давлениях.

Проверить эту предположительную адиабату Гюгонио для
карбида SiC кристаллической плотности можно с помощью дан-
ных для карбида с низкой начальной плотностью. По предполо-
жительной адиабате Гюгонио для SiC кристаллической плотно-
сти и экспериментальной термодинамической величине коэффи-
циента Грюнайзена для пористых материалов была рассчитана
адиабата Гюгонио методами, изложенными в разд. 7.3. Такие
расчетные адиабаты Гюгонио показаны на фиг. 7.47 и 7.48. Хотя
согласие расчета с экспериментом можно признать удовлетвори-
тельным, еще лучшая аппроксимация получилась бы, если бы
адиабата Гюгонио для SiC кристаллической плотности соответ-
ствовала несколько меньшей жесткости.

Такая же особенность усматривается и в данных для WC. Гид-
родинамического равновесия, по-видимому, не наступает до тех
пор, пока давление не превзойдет 70 ГПа. И в данном случае
определение равновесной адиабаты Гюгонио проводилось на
12

Фиг. 7.48. Данные об адиабатах Гюгонио в координатах
Р— V/Vq для SiC с р0~3,1 г/см3 (а) и р0~2,3 г/см3 (О),
WC (♦) и В4С с р0~ 1,9 г/см3 (•).

Фиг. 7.47. Данные об адиабатах ГюгОнио в координатах
us—ир для SiC с ро~3,1 г/см3 ( А ) и р0~2,3 г/см3 (О),
WC (♦) и В4С с р0« 1,9 г/см3 (• ).

Кривую для карбида кремния низкой плотности вычисляли по
адиабате Гюгонио для материала предположительной кристал-
лической плотности, изображенной на данном графике.
основе только скорости звука по ультразвуковым измерениям и
данных при очень высоких давлениях.

Приводимые здесь данные по карбиду В4С относятся к мате-
риалу с плотностью гораздо ниже теоретической кристаллической
плотности (2,5 г/см3). Как и для всех таких пористых материа-
лов, данные об адиабате Гюгонио лучше аппроксимируются па-
раболической зависимостью us от ир. Попыток вычислить адиа-
бату Гюгонио для В4С кристаллической плотности не предприни-
малось, хотя в принципе это можно было бы сделать на основе
данных об адиабате Гюгонио для материалов с низкими плот-
ностями.

НЕРЖАВЕЮЩИЕ СТАЛИ

Здесь нами приводятся данные для трех обычных нержавею-
щих сталей серии 300 (304, 304L и 347) с номинальным массо-
вым содержанием 18% хрома и 8% никеля1}. Адиабаты Гюгонио
для всех трех сталей представляются одинаковыми и адекватно
аппроксимирующимися линейной зависимостью и8 от ир
(фиг. 7.49 и 7.50). Как и ожидалось, никаких фазовых перехо-
дов в этих сгалях не обнаружилось, поскольку они относятся
к классу аустенитных.

СИНТЕТИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

Нами были измерены адиабаты многих синтетических мате-
риалов того или иного класса, в том числе таких пластиков, как
акриловый каучук, эпоксидная смола, феноксосмола, полиэтилен
и полиуретан, ряд каучуков, различные наполненные (композит-
ные) полимеры и пенопласты. В большинстве случаев эти мате-
риалы представляют тот или иной интерес в связи с программой
исследований по освоению космического пространства. Отсюда

По спецификации Американского института стали и чугуна стали имеют
следующий номинальный состав (% по массе): —Прим. рёд.

Марка	Сг	Ni	Мп	S1	С
			не более		
3U4	19	10	2	1	0,08
304 L	18-20	8-12	2	1	0,03
347	17—19	9-13	2	1	0,08
Фиг. 7.49. Данные об адиабате Гюгонио в координатах
щ—Up для нержавеющих сталей 304 (A), 304L (О) и
347 (♦). Для всех трех сталей брали одну аппроксими-
рующую адиабату Гюгонио.

Фиг. 7.50. Данные об адиабате Гюгонио в координатах
Р—р для нержавеющих сталей 304 (A), 304L (О) и
347 (♦).
следует, что их уравнения состояния полезно знать при решении
задач соударения со сверхзвуковой скоростью. Иногда матери-
алы допускают логичную систематизацию, хотя в отдельных слу-
чаях зачисление некоторых из них в один класс может только
удивить читателя.

Адипрен *>, неопрен, каучукоподобный полимер* 2) и силастик.
Все эти каучуки, кроме силастика (кремнийорганического кау-
чука), по-видимому, имеют достаточно оправданную линейную
зависимость и3 от ир, по крайней мере в интервале проведенных
нами измерений. К сожалению, нам не удалось получить никаких
данных о скорости звука или сжимаемости для этих материалов.
Такие данные были бы очень полезны для нахождения уравне-
ния состояния в области низких давлений. Полученные нами дан-
ные, по-видимому, вполне приемлемы, несмотря на то, что мы не
имели возможности производить механическую обработку об-
разцов и вынуждены были пользоваться образцами, вырезан-
ными из готовых листов. Полученная зависимость и3 от ир для
силастика (RTV-521) (фиг. 7.51) свидетельствует о том, что либо
он имеет большую степень пористости (легко видеть, что кривая
зависимости и3 от ир идет к почти нулевому значению скорости
ударной волны при нулевом давлении), либо в нем происходит
какой-то фазовый переход. Хотя адиабаты Гюгонио для двух кау-
чукоподобных полимеров с разными начальными плотностями
представляются достаточно хорошо определенными в плоскости
и3—ир, из фиг. 7.52 видно, что небольшая экстраполяция кри-
вых, полученных по аппроксимации зависимостей и3 от ир, в дей-
ствительности приводит к инверсии плотностей этих двух мате-
риалов.

Полиуретан. Исследованный нами полиуретанопласт был
приобретен в виде целого куска с весьма однородной плотностью.
На фиг. 7.53 отчетливо видно изменение наклона адиабаты Гю-
гонио в координатах и3—ир выше ~21 ГПа; при этом давлении
материал, по-видимому, уже в значительной степени расплавля-
ется. На фиг. 7.53 можно усмотреть признаки возможного суще-
ствования еще одного фазового перехода ниже диапазона наших
данных, возможно, вследствие плавления.

Нами были приготовлены жесткие пенопласты низкой плот-
ности в диапазоне 6—38% плотности компактного материала.
Очень трудно получить данные на столь пористых материалах
посредством оптических методов, так как светящиеся щели
нельзя надежно закрыть даже применением прокладок с низким
импедансом. Однако общая тенденция полученных данных

Синтетический каучук специального назначения, разработанный Лос-
Аламосской научной лабораторией.— Прим. ред.

2) Polyrubber.
Фиг. 7.51. Данные об адиабатах Гюгонио в координа-
тах us—ир для различных каучуков: неопрен (а),
силастик (RTV-521) (О); адипрен (в объеме) (♦),
каучукоподобный полимер с исходными плотностями
1,01 г/см3 (• ) и 0,77 г/см3 (□).

Фиг. 7.52. Данные об адиабатах Гюгонио в координатах
Р—р для различных каучуков: неопрен (а); силастик
(RTV-521 (О); адипрен (в объеме) (♦); каучукоподоб-
ный полимер с исходными плотностями 1,01 г/см3 ( •)
и 0,77 г/см3 (□).
Фиг. 7.53. Данные об адиабатах Гюгонио в координа-
тах и8—иР для уретанопласта с разными исходными
плотностями: р0= 1,265 г/см3 (в объеме) (Д); ро=О,354-
4-0,48 г/см3 (О); ро=О,314-0,34 г/см3 (♦); ро=О,254-
4-0,30 г/см3 (•); ро=О, 144-0,21 г/см3 (□); р0=0,074-
4-0,11 г/см3 (•).

Фиг. 7.54. Данные об адиабатах Гюгонио в координатах
Р—р для уретанопласта с разными исходными плотностями:
ро= 1,265 г/см3 (в объеме) (▲ ); р0=0,354-0,48 г/см3 (0)5
р0=0,314-0,34 г/см3 (♦); р0=0,254-0,30 г/см3 (•); ро=
= 0,144-0,21 г/см3 (□); ро=О,О74-О,11 г/см3(е).
совпадает с прогнозом: зависимости от идут тем ниже, чем
меньше плотность (фиг. 7.54). Из зависимостей Р от р следует,
что пенопласты низкой плотности едва достигают плотности ком-
пактного пластика даже при максимально достигавшемся давле-
нии 3,5 ГПа.

Полиэтилен и полистирол. Из фиг. 7.55 видно, что адиабата
Гюгонио в координатах us — ир для полиэтилена была аппрокси-
мирована одной прямой, хотя представленные здесь данные не-
сколько точнее можно было бы аппроксимировать двумя отрез-
ками с разрывом при иР~3 км/с. Линейная аппроксимация дан-
ных по методу наименьших квадратов пересекает ось ординат
(соответствует нулевому давлению) при значении скорости удар-
ной волны 3,0 км/с, что гораздо выше скорости звука для объем-
ных волн, равной 1,9 км/с. Это надо приписать какому-то фазо-
вому переходу при низком давлении.

Для полиэтилена были получены еще и некоторые данные
о скорости свободной поверхности. В этих экспериментах одна
половина пластинки-основания была использована для измере-
ния скоростей ударных волн — в двух случаях с помощью стан-
дартного материала и в двух еще с помощью полиэтиленовых
образцов. Другая половина пластинки-основания была исполь-
зована для измерения скорости свободной поверхности в поли-
этилене. Результаты этих экспериментов обобщены в табл. 7.5.
Приведенные в ней скорости свободной поверхности представ-
ляют собой средние для 10 независимых измерений. Массовые
скорости были рассчитаны по методу подгонки импедансов с ис-
пользованием А1921-Т как стандарта, а также по адиабате Гю-

Таблица 7.5

Результаты измерения скорости свободной поверхности
в полиэтилене посредством составных брусков

1 us в стандарт- ном AI 921-Т, км/с	us в полиэти- лене, км/с	км/с	А1 921-Т (стандарт)			А1 2024 (стандарт)		
			км/с	V км/с	°г/°р	“р. км/с	art КМ; С	иг!иР
6,396	5,012	2,805	1,485	1,320	0,889	1,425	1,380	0,968
6,741	5,598	3,562	1,833	1,729	0,943	1,821	1,741	0,956
7,382	6,581	4,821	2,466	2,355	0,955	2,485	2,336	0,940
7,414	6,654	4,906	2,495	2,411	0,966	2,534	2,372	0,936
7,440	6,632	4,960	2,525	2,435	0,964	2,519	2,441	0,969
8,025	7,538	6,200	3,087	3,113	1,008	3,131	3,069	0,980
9,108	9,058	8,352	4,113	4,239	1,031	4,157	4,195	1,009
Фиг. 7.55. Данные об адиабатах Гюгонио в координатах
и8—ир для полиэтилена (А) и полистирола (О)*

Давление Р,ГПа

Фиг. 7.56. Давление Р в зависимости от отношения V/Vq
и расчетные изоэнтропы для полиэтилена.
гонио в координатах us — ир, измеренной с использованием в ка-
честве стандарта сплава А12024. Вычитанием этих скоростей
из измеренной скорости свободной поверхности находили значе-
ния иг. Как неожиданно оказалось, отношения иг1ир во всей об-
ласти экспериментальных измерений лишь незначительно превос-
ходили единицу.

Было проведено несколько термодинамических расчетов с ис-
пользованием различных исходных параметров, чтобы посмот-
реть, можно ли воспроизвести подобное поведение. Результаты
решения двух задач, представляющих интерес, приведены на
фиг. 7.56. В этих расчетах произведение ру считалось постоян-
ным. Коэффициент Грюнайзена уо при нулевом давлении был вы-
числен на основе существующих термодинамических данных,
если не считать того, что экстраполяция объемной адиабаты Гю-
гонио до пересечения с осью ординат дала со = 3,О км/с и уо = 2,4,
в то время как из ультразвуковых измерений скорости звука по-
лучается, что при со = 1,9 км/с параметр Грюнайзена уо = О,8. Как
уже отмечалось, рассчитанные скорости свободной поверхности
совершенно не чувствительны к изменениям у. Хотя отношение
иг1ир составляют соответственно 1,15 и 1,14, изоэнтропы раз-
грузки сильно различаются по форме. Расчетные конечные со-
стояния различаются на 20% по плотности и более чем на 60%
по температурам разгрузки.

Возможно, что в процессе ударного сжатия происходит обра-
зование поперечной связи (можно приготовить полиэтилен
с плотностью 0,96 г/см3) и что изоэнтропы при уменьшении дав-
ления стремятся выйти на более высокие плотности. Однако
трудно представить себе, чтобы при температуре около 1000 К,
которая близка к расчетной температуре разгрузки, еще оста-
ются (если вообще остаются) сильные полимеризационные связи.

Обнадеживает то, что данные по ударным волнам, получен-
ные со сплавами А12024 и А1921-Т в качестве стандартных мате-
риалов, представляются неразличимыми. Хотя это еще не озна-
чает правильности этих данных в обоих случаях, отсюда все же
можно сделать вывод о сходстве поведения этих сплавов при
разгрузке в диапазоне низких импедансов.

Пеностирол. Использованные нами пенопласты представ-
ляли собой обычные технические сорта жесткого стиропласта
с нормальными плотностями ~0,03, 0,06 и 0,15 г/см3. Разброс
данных чрезвычайно велик (фиг. 7.57) и снова обусловлен труд-
ностью надежного закрытия светящихся щелей при малой массе
образцов неоднородного состава. Данные не допускают подроб-
ной интерпретации. Читатель должен быть осторожен, рассмат-
ривая то, что изображено на фиг. 7.58, в качестве зависимости Р
от р. Поведение этих материалов в плоскости Р — р отражает
тот факт, что материалы с такой низкой плотностью очень легко
12

Фиг. 7.57. Данные об адиабатах Гюгонио в координа-
тах us—иР для пеностирола с тремя исходными плотно-
стями: 0,174 г/см3 (А); 0,063 г/см3 (О); 0,032 г/см3 (♦).

Фиг. 7.58. Данные об адиабатах Гюгонио в координатах
Р—р для пеностирола с тремя исходными плотностями:
0,174 г/см3 (д); 0,063 г/см3 (О); 0,032 г/см3 (♦).
ударно сжимаются до асимптотического предела сжатия и затем
как бы раздвигаются обратно. Значит, полученные кривые не со-
ответствуют точному уравнению состояния этих материалов.

Люсит и плексиглас. Два этих прозрачных материала, бу-
дучи оба акрильными смолами, несколько различаются между
собой. Люсит представляет собой акрил-метил-метакрилатную
смолу, а плексиглас—акрилат-метакрилатную. Их адиабаты
Гюгонио различаются весьма незначительно. Использованный
нами плексиглас поступил из одного и того же источника, но
двумя партиями, чем частично и можно объяснить разброс
данных.

Из данных о зависимости и8 от ир (фиг. 7.59) легко видеть,
что пересечение экстраполированной адиабаты Гюгонио с осью
ординат происходит при значениях, лежащих выше уровня, соот-
ветствующего скорости звука для объемных волн по результатам
ультразвуковых измерений. Точные измерения скорости свобод-
ной поверхности во времени при низком давлении показывают,
что в структуре ударной волны отсутствует какой бы то ни было
упругий предвестник. Отсюда можно сделать вывод о наличии
при низком давлении какого-то фазового перехода. Это, по-види-
мому, характерно для многих пластиков.

Видно также, что линейная аппроксимация данных при низ-
ких давлениях не экстраполируется к отдельным известным экс-
периментальным точкам при высоких давлениях. Это может объ-
ясняться наличием фазового перехода, что потребовало бы
проведения дополнительных прямолинейных отрезков для пра-
вильного описания адиабаты Гюгонио. Не исключено также, что
адиабату Гюгонио в координатах и8—ир нужно было бы прове-
сти с некоторой кривизной. Для решения этой проблемы необхо-
димы дополнительные данные при высоких давлениях.

Разница между адиабатами Гюгонио для этих двух материа-
лов выражается более заметно в плоскости Р — р (фиг. 7.60).

Парафин, эпоксидная смола, эксон1) и дюрит2). Адиабаты
Гюгонио в координатах и8—ир для парафина и дюрита, по-ви-
димому, аппроксимируются прямыми (фиг. 7.61). Установлению
линейности адиабаты Гюгонио для эксона мешает отсутствие
достаточных данных. Данные для эпоксидной смолы при низких
давлениях не экстраполируются к двум экспериментальным точ-
кам при высоких давлениях. Хотя данные по ультразвуковым
измерениям для эпоксидной смолы не считаются очень хоро-
шими, они дают скорость звука для объемных волн при нулевом

Полихлорвинил (производства фирмы «Файерстон пластике»).— Прим,
ред.

2) Фенопласт, наполненный фурфуролом (производства фирмы «Дюрит
пластике»).— Прим. ред.
Фиг. 7.59. Данные об адиабатах Гюгонио в координа-
тах и8—ир для люсита (д) и плексигласа (О)-

Ф и г. 7.60. Данные об адиабатах Гюгонио в координатах
Р—р для люсита (д) и плексигласа (О)-
Фиг. 7.61. Данные об адиабатах Гюгонио в координа-
тах us—ир для парафина (Л) , эпоксидной смолы (О)»
эксона (♦) и дюрита (ф).

Фиг. 7.62. Данные об адиабатах Гюгонио в координатах
Р—р для парафина (А), эпоксидной смолы (О), эксона
(♦) и дюрита (ф).
давлении, гораздо меньшую, чем экстраполяция данных по удар-
ной волне. Для других материалов нет данных по ультразвуко-
вым измерениям скорости звука. Надо отметить, что исследован-
ная нами эпоксидная смола не вполне соответствует той ее раз-
новидности, которая идет на изготовление рассматриваемых
ниже полимерных композитов, хотя разница между ними была,
видимо, ничтожной. Точные составы приведены в приложении Д
в конце книги.

Адиабаты Гюгонио в координатах Р — р для этих материалов
представлены на фиг. 7.62.

Феноксосмола и фенольный рефрасил Длй обоих этих ма-
териалов имеется достаточно данных, чтобы установить суще-
ствование и довольно хорошо оценить положение фазового пере-
хода. На графике данных о зависимости us от ир (фиг. 7.63)
виден разрыв при скорости ударной волны около 7 км/с для фе-
ноксосмолы и около 5,4 км/с для фенольного рефрасила. Эти
точки соответствуют давлению немного выше 20 ГПа для обоих
материалов. Небольшая экстраполяция данных в координатах
Р — р (фиг. 7.64) показывает, что фазовый переход сопровожда-
ется уплотнением приблизительно на 10%. Изложенные сообра-
жения говорят в пользу предположения о том, что между этими
переходами есть связь. Однако данные для дюрита не дают осно-
ваний предполагать существование того или иного перехода,
а этот материал ведь тоже представляет собой полимер с феноль-
ным наполнителем.

Так как в фенольном рефрасиле содержится по массе 63%
кремнезема (по данным термического разложения), предполага-
лось, что должны выявиться те или иные признаки перехода
кварц—стишовит при давлении в 10 ГПа. Это превращение со-
провождается уплотнением более чем на 80%. Фаза, существую-
щая при высоких давлениях, по-видимому, совершенно несжи-
маема, как это должно быть для смеси стишовита и полимера.
Визуальное рассмотрение образцов фенольного рефрасила пока-
зало, что кварцевые волокна лежат более или менее в плоскости,
отклоняющейся на несколько градусов от перпендикуляра к на-
правлению распространения волны. С учетом явной неизотропно-
сти образцов нет смысла приводить какие-либо данные о скоро-
сти распространения объемных волн. Для феноксосмолы скорость
звука по ультразвуковым измерениям и скорость, опреде-
ляемая пересечением адиабаты Гюгонио с осью us, довольно бли-
зки друг к другу, что весьма необычно для полимерных мате-
риалов.

Фенопласт, армированный слоями кварцевой ленты косоперекрестной.
намотки.— Прим. ред.
Фиг. 7.64. Данные об адиабатах Гюгонио в координатах
Р—р для феноксосмолы (А) и фенольного рефрасила (О)-

<F G	uSl км/с

и г. 7.63. Данные об адиабатах Гюгонио в координатах
—ир для феноксосмолы (д) и фенольного рефра-
сила (О).
Полимерные композиты1). Такие материалы первоначально
исследовались с целью создания изоляции, которая по плотно-
сти и ударному импедансу соответствовала бы магнию. Такие
свойства полезны в экспериментах по взрывному созданию элек-
тромагнитных полей.

Примером таких материалов может служить эпоксидная
смола (10% по массе), наполненная тетраборатом лития
Ы2В4О7 • 5НгО. Хотя для этого композита зависимость и8 от иР
была аппроксимирована квадратичной параболой, отнюдь не ис-
ключено, что в нем происходит фазовый переход с малым изме-
нением объема. Представленные на фиг. 7.65 данные о зависимо-
сти и8 от ир для полимерных композитов очень хорошо аппрок-
симируются двумя прямыми отрезками с разрывом при скорости
ударной волны 7,2 км/с. Однако данные для этих материалов не
представляются достаточно надежными, чтобы оправдать такую
аппроксимацию двумя отрезками. Если существует фазовый пе-
реход, то он, видимо, связан с предположительным превраще-
нием эпоксидной смолы, происходящим где-то в области иссле-
дованных давлений.

К сожалению, нет достаточных данных по эпоксидным смо-
лам, наполненным окисью меди и зерифаком2), чтобы проверить
существование фазового перехода в области охваченных давле-
ний. Поэтому данные о зависимости и8 от ир пришлось аппрокси-
мировать квадратичной параболой. Эпоксидная смола, наполнен-
ная зерифаком, имеет следующий состав (по массе): 71%
зерифака и 29% эпоксидной смолы (смесь эпона 815 с диэтилен-
этриамином в пропорции по массе 100:11). Эпоксидная смола,
наполненная СиО, состоит по массе из 44% СиО и 56% эпоксид-
ной смолы того же состава. Полиуретановый пенопласт, напол-
ненный зерифаком, состоит из зерифака и полиуретана, взятых
в пропорции по массе 1:1. Затем такую смесь вспенивают до ис-
ходной плотности 0,64 г/см3. Так как плотность этого материала
ниже кристаллической, зависимость и8 от иР при низких давле-
ниях утрачивает линейность. Как и в случае других материалов
с плотностью, много ниже кристаллической даже небольшие
ударные волны переводят рассматриваемые полимерные мате-
риалы в конечные состояния с очень близкими к асимптотиче-
ским плотностям. Хотя данные в плоскости и8—ир кажутся до-
вольно адекватными, в плоскости Р — р (фиг. 7.66) наблюдается
обычный для таких малоплотных материалов большой раз-
брос.

Речь идет о полимерных материалах с порошкообразными неоргани-
ческими наполнителями (см., например, Современные композиционные мате-
риалы, изд-во «Мир», 1970, стр. 608).— Прим. ред.

2) Фирменное название технического литиевоалюминиевого силиката.
10

Фиг. 7.65. Данные об адиабатах Гюгонио в координа-
тах us—иР для полимерных композитов: эпоксидная
смола, наполненная тетраборатом лития (А ); эпоксид-
ная смола, наполненная окисью меди (О); эпоксидная
смола, наполненная зерифаком (ф); уретанопласт, на-
полненный зерифаком ( • ).
Фиг. 7.66. Данные об адиабатах Гюгонио
в координатах Р—р для полимерных ком-
позитов: эпоксидная смола, наполненная
тетраборатом лития (А ); эпоксидная смола,
наполненная окисью меди (Q)’» эпоксид-
ная смола, наполненная зерифаком ( ♦ );
уретанопласт, наполненный зерифаком ( •).
Пирекс1), мелмак2) и тефлон3). Для этих трех распространен-
ных, но несхожих между собой материалов были найдены приме-
нения, очень далекие от первоначальных прогнозов. Данные
по адиабате Гюгонио для мелмака и тефлона довольно скудны,
так как были проведены только контактные опыты. Данные
в координатах us—ир (фиг. 7.67) достаточно хорошо описыва-
ются линейной зависимостью в ограниченной области охвачен-
ных давлений. Если предположить, что фазовых переходов нет,
то этим двум материалам, по-видимому, присущи наибольшая
и наименьшая скорости объемных звуковых волн среди всех ис-
следованных нами полимерных материалов. Необычно большой
наклон адиабаты Гюгонио в координатах us—ир у тефлона ча-
стично компенсирует его низкую начальную сжимаемость.

Данные об адиабате Гюгонио для пирекса показывают, что
существует большая область относительно постоянной скорости
ударной волны. Это объясняется двухволновой структурой, воз-
никающей благодаря известному фазовому переходу кварца
в стишовит. Установлено, что этот переход происходит, когда
кристаллический или плавленый кварц ударно сжимается до дав-
лений, превышающих давление перехода, которое, по-видимому,
составляет ~ 10 ГПа. Отождествление кварцевого перехода с пе-
реходом в пирексе связано со сходством пирекса и плавленого
кварца. Использовавшийся нами пирекс имел следующий состав
(по массе): 80,5% SiO2, 12,9% В2О3, 3,8% NaO, 2,2% А12О3 и 0,4%
КгО; это был стекловидный материал с начальной плотностью,
почти совпадающей с плотностью плавленого кварца. Данные
выше области фазового перехода, фактически выше точки обра-
зования одной устойчивой ударной волны (30 ГПа), идут в пло-
скости Р — р довольно круто (фиг. 7.68). Это согласуется с высо-
кой начальной скоростью звука, равной 10 км/с, и плотностью
4,3 г/см3, предположительно приписываемыми стишовиту.

Гетинакс, селектрон4) и «мин-К-2000»5). Гетинакс бумолит и
селектрон по поведению стоят, по-видимому, довольно близко
к полимерным материалам. Данные о зависимости и8 от ир
(фиг. 7.69) достаточно хорошо аппроксимируются отрезками
прямых. К сожалению, не удалось провести сравнения характе-
ристик, даваемых экстраполяцией до пересечения с осью орди-
нат, с данными по ультразвуковым измерениям и определению
сжимаемости.

Тугоплавкое борное стекло.— Прим. ред.

2) Меламинформальдегид — формовочная смесь (фирма «Америкен циан-
амид»).— Прим. ред.

3) Фторопласт (политетрафторэтилен).— Прим. ред.

4) Полиэфиропласт (фирма «Питсбург плейт глас компани»).— Прим. ред.

5) Изоляционный материал (фирма «Джонс-Мэнвилл корпорейшн»).—
Прим. ред.


3

Фиг. 7.67. Данные
us—ир для пирекса

80

70

60

50

40

30

20

10

0

р, г!см*

об адиабатах Гюгонио в координатах
(А), мелмака (О) и тефлона (♦).

Фиг. 7.68. Данные об адиабатах Гюгонио в координатах
Р—р для пирекса ( ▲ ), мелмака (О) и тефлона (♦).
ю

р, г/см3

Фиг. 7.70. Данные об адиабатах Гюгонио в координатах Р—р для гети-
накса (А), селектрона (О) 11 мин-К-2000 (♦).
«Мин-К-2000» представляет собой волокнистый изоляционный
материал. Отрицательный наклон адиабаты Гюгонио в плоско-
сти Р — р объясняется, конечно, линейной аппроксимацией по ме-
тоду наименьших квадратов данных в плоскости us—ир
(фиг. 7.70). Эта аппроксимация дает при пересечении с осью ор-
динат отрицательную скорость звука, чем и объясняется такая
особенность поведения данного материала. Фактически данные
можно довольно хорошо аппроксимировать прямой, проходящей
в плоскости us—ир через начало координат, которая приводит
тогда к вертикальной асимптоте приблизительно при плотности
1,2 г/см3.

ТАБЛИЧНЫЕ ДАННЫЕ И РАСЧЕТНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

В настоящем разделе довольно подробно представлены экс-
периментальные данные по рассмотренным нами материалам.
В табл. 7.6 выписаны (если они известны) те значения скоро-
стей звука для продольных, поперечных и объемных волн при
нулевом давлении, которые были определены по ультразвуковым
измерениям. В некоторых случаях, например для пенопластов
низкой плотности или для сильно ориентированного кристалличе-
ского материала, передать через образец нужный сигнал не уда-
валось, что лишало возможности измерить скорости звука.
Для сравнения со скоростями объемных волн, рассчитанными
по данным ультразвуковых измерений, в табл. 7.6 включены
в тех случаях, где они применимы, значения скорости со, нахо-
димые при пересечении адиабатой Гюгонио оси us. Для каждого
из этих материалов в табл. 7.6 приведены облегчающие ориенти-
ровку значения наклонов адиабат Гюгонио в координатах us—ир.
Подобные аппроксимации адиабат Гюгонио пригодны только
до первого фазового перехода, если таковой присущ мате-
риалу.

5.	МЕТОД СМЕСЕЙ

Так как измерить уравнения состояния всех материалов, ин-
тересных в различных практических отношениях, совершенно
неосуществимо, была предпринята работа по измерению адиа-
бат Гюгонио нескольких композиционных материалов, чтобы
сравнить их с адиабатами Гюгонио, рассчитанными по извест-
ным уравнениям состояния их компонентов. Все композицион-
ные материалы делятся на две большие категории: на простые
смеси, в которых нет химического взаимодействия между ком-
понентами, и на системы, компоненты которых химически взаи-
модействуют друг с другом и образуют между собой связь
Таблица 7.6

Параметры по ультразвуковым измерениям и измерениям ударных волн

Материал	км/с	ct, км/с	сь, км/с	Го, КМ/С	5
Бериллий	13,18	8,98	8,14	7,998	1,124
Магний	5,74	3,15	4,44	4,492	1,263
Магний легированный (сплав	5,73	3,05	4,52	4,522	1,242
AZ-31B)  Титан							5,220	0,767
Цирконий	4,77	2,39	3,89	3,757	1,018
Гафний	3,86	2,12	2,98	2,954	1,121
Ванадий	—	—	—	5,077	1,201
Ниобий	5,03	2,11	4,39	4,438	1,207
Тантал	4,15	2,07	3,39	3,414	1,200
Хром	6,60	4,32	4,32	5,173	1,473
Молибден	6,45	3,47	5,04	5,124	1,233
Вольфрам	5,22	2,89	4,02	4,029	1,237
Рений	5,33	2,89	4,16	4,184	1,367
Родий	—	—	—	4,807	1,376
Палладий	4,57	2,06	3,90	3,948	1,588
Иридий	—	—	—	3,916	1,457
Платина	4,08	1,79	3,51	3,598	1,544
Карбид кремния	11,73	7,43	8,00	8,0000	0,950
Карбид вольфрама	6,89	4,18	4,92	4,9201)	1,339
Нержавеющая сталь 304	5,77	3,12	4,51	4,569	1,490
Нержавеющая сталь 304L	5,79	3,16	4,49	4,569	1,490
Неопрен	—	—			2,785	1,419
Адипрен	—	—	—	2,332	1,536
Полиуретанопласт	2,39	1,03	2,07	2,486	1,577
Полиэтилен	2,04	0,66	1,90	2,901	1,481
Полистирол	—	—	—	2,746	1,319
Люсит	2,69	1,38	2,17	2,260	1,816
Плексиглас	2,72	1,40	2,19	2,572	1,536
Парафин	—	—	—	2,960	1,531
Эпоксидная смола	2,87	1,48	2,30	2,678	1,520
Эксон	—	—	—	1,952	1,660
Дюрит	—	—			2,847	1,404
Феноксосмола	2,51	1,07	2,18	2,266	1,698
Рефрасил	—	—		3,016	1,005
Эпоксидная смола (Li2B4O2-5H2O)	4,40	2,67	3,14	4,052	1,486
Пирекс	5,55	3,45	3,88		
Мелмак Тефлон			—		3,505  1,682	1,213  1,819
Гетинакс	2,67	1,50	2,03	3,048	1,422
Селектрон Элкониты	—	—		2,722	1,333
ТС-10	5,43	2,95	4,23		
10W3	4,77	2,53	3,77			
3W3	4,75	2,50	3,77			
1W3	4,55	2,66	3,36		
2125С	4,18	2,15	3,36	—	—
лол>^е^гевоТуль^^вуков^РизУеарсГСщ|м!РОВеСТ>1	значение объемных волн.					
в атомарном масштабе1). Наиболее часто встречающимися в при-
роде простыми смесями надо считать, по-видимому, горные по-
роды. Другим примером простых смесей могут служить такие син-
тетические материалы, как различные твердые тела с полимер-
ными связующими или технические элкониты (смеси меди или се-
ребра с такими тугоплавкими материалами, как вольфрам, молиб-
ден или карбид вольфрама). В случае таких материалов не возни-
кает проблем в отношении связей и кристаллической структуры.
Однако они состоят из разнородных компонентов, что усложняет
вопросы гидродинамического и термодинамического равновесия
за ударной волной. Так как ударная волна не только встречает
частицы с различным ударным импедансом, но и проходит через
эти частицы с различными скоростями, ясно, что исследуемые
образцы должны состоять из очень маленьких частиц, чтобы
в течение доступного короткого времени успели установиться
равновесные условия, в частности тепловое равновесие.

Сплавы особенно интересны по ряду причин. Одна из них со-
стоит в том, что многие так называемые сплавы в действитель-
ности представляют собой простые смеси. К тому же в случае
металлической связи дефект объема и энергии бывает, как пра-
вило, гораздо меньше, чем при ионной и ковалентной связях.
Поэтому интересно знать, сколь удачно теория идеальных сме-
сей способна объяснять кривые Гюгонио для различных сплавов.

Модели простых смесей явно не годятся для многочисленного
класса соединений. Поэтому было бы целесообразнее пытаться
искать уравнение состояния при высоких давлениях иными спо-
собами. Так, если требуется найти уравнение состояния ионного
кристалла, то, бесспорно, лучше воспользоваться известными
энергиями связи и некоторым предположительным потенциалом
взаимодействия, чем прибегнуть к модели простого смешения
двух компонентов. Существуют соединения определенных клас-
сов, которые допускают в известной мере расчеты по методу сме-
сей. Так, силикаты можно в какой-то степени рассматривать как
смеси их основных нейтральных окисных компонентов. Следова-
тельно, если известно уравнение состояния окислов, то сходство
связей позволяет надеяться на применимость модели простого
смешения. Едва ли нужно говорить о том, сколь заманчива пер-
спектива научиться синтезировать уравнения состояния минера-
лов по уравнениям состояния образующих их основных окисных
компонентов. Предварительные исследования2) в данном напра-

п Первые правильнее называть неоднофазными смесями, а вторые — одно-
фазными (растворами).— Прим. ред.

2> См., например, Дремин А. Н., Карпухин И. А., Метод определения удар-
ных адиабат для дисперсных веществ (ПМТФ, № 3 (I960)); Николаев-
ский В. Н., Гидродинамический анализ ударных адиабат гетерогенных смесей
веществ (ПМТФ, № 3 (1969)), Николаевский В. Н. и др., Механика насыщен-
ных пористых сред, «Недра», М., 1970.— Прим. ред.
влении уже ведутся, а достигнутые результаты позволяют рас-
считывать на определенный успех.

Итак, первые усилия в данном направлении оказались весьма
обнадеживающими. Гетерогенные материалы могут быть доста-
точно близко описаны в рамках гидродинамического или термо-
динамического равновесия, так что измеренные для них адиа-
баты Гюгонио не отличимы в пределах экспериментальной по-
грешности от адиабат, рассчитанных по модели идеальной смеси.
Как оказалось, методика расчета по правилу смесей дает новое
средство исследования материалов, изучение которых затрудня-
ется проявлениями жесткости.

Нет причин, по которым расчеты по методу смесей нельзя
было бы использовать при всяких давлениях. Однако существо-
вание фазовых переходов и проявления жесткости иногда не по-
зволяют точно определить уравнение состояния во всем диапа-
зоне давлений. Учесть влияние фазовых переходов можно самым
непосредственным образом, но для этого потребуются дополни-
тельные сведения. Влияние жесткости, по-видимому, создает наи-
большие затруднения при гидродинамических исследованиях
некоторых материалов. Далеко не сразу видно, как нужно поль-
зоваться представлениями о простой смеси в целях решения та-
ких задач.

РАСЧЕТНАЯ МОДЕЛЬ

Уравнение Гюгонио для смесей. Существует ряд моделей, ко-
торыми можно пользоваться для предсказания адиабаты Гюго-
нио смеси по известным уравнениям состояния ее компонентов.
Одно из приближений состоит в том, чтобы, рассматривая смесь
как слоистую структуру, рассчитать среднюю скорость ударной
волны, основываясь на временах распространениях ударной
волны через различные слои. Такой способ привлекателен тем,
что в данном случае вычисляется характеристика, которая под-
дается непосредственному измерению. Еще одна возможность за-
ключается в интерполяции адиабат Гюгонио в координатах дав-
ление—объем при определенном давлении на основе объемов,
занимаемых разными компонентами. Такой способ, по-видимому,
несколько еще непосредственнее. Приблизительно такого пути
придерживались и мы в наших исследованиях.

Для идеальной смеси уравнение состояния вдоль изотермы,
измеренное при высоких давлениях статическими методами, дол-
жно быть точно таким же, какое дает суммирование объемов, за-
нимаемых разными компонентами при том же давлении. Для то-
чек на кривой Гюгонио, с другой стороны, это простое смешение
несколько усложняется неодинаковым нагреванием компонентов
при повышении давления под действием ударной волны. Однако
этот эффект мал *) по сравнению с энергией, запасаемой каждым
из компонентов при сжатии под действием ударной волны. Изме-
нение давления вследствие перераспределения энергии из-за та-
кой разницы температур меньше, чем неопределенность в изме-
нении давления, связанная с нашими недостаточными знаниями
о поведении коэффициента Грюнайзена при высоких давлениях.
С учетом этого обстоятельства расчет давления в ударной волне
в смеси ведется упрощенным способом. Во-первых, вычисляется
приближенная «холодная» изотерма для каждого компонента.
В данном случае нами предполагалось постоянство удельной
теплоемкости Cv и производной (dE!dP)v. Как только найдена
плотность при нулевом давлении, остальная часть «холодной»
изотермы рассчитывается путем одновременного удовлетворения
термодинамического закона [уравнение (7.19)], эксперименталь-
ной адиабаты Гюгонио и коэффициента Грюнайзена. Разумеется,
удельная теплоемкость должна стремиться к нулю, когда Т стре-
мится к нулю, но связанная с этим ошибка в области низких
температур должна быть мала по сравнению с ошибками опре-
деления давления по данным об адиабате Гюгонио. Так как при
снижении и повышении температуры мы идем по одному и тому
же пути, эту приближенную «холодную» кривую нужно считать
фиктивно-расчетной, хотя получающиеся кривые зависимости Р
от р фактически будут очень близкими к действительной «хо-
лодной» кривой. «Холодную» кривую для смеси можно теперь
вывести из следующих уравнений:

1/Рк=^=2>УДР),	(7.45)

^=2^(Р).	(7.46)

Здесь рк, Vk и Ек суть плотность, удельный объем и удельная
энергия смеси на «холодной» кривой, тг-— массовые доли ком-
понентов в смеси, a Vi и Ei — объем и энергия f-ro компонента
в функции давления на «холодной» кривой. Для продолжения
функции, описывающей увеличение энергии с давлением при по-
стоянном объеме, необходимо знать коэффициент Грюнайзена
смеси или, что равноценно, параметр (dE/dP)v = V/y. Нужно
знать еще и удельную теплоемкость смеси при постоянном объ-
еме, чтобы привязать адиабату Гюгонио смеси к какой-либо тем-
пературе, отличной от нуля. Два этих параметра находят по сле-
дующим уравнениям:

(7.47)

и

Cv=2 miCvi •	(7.48)

D Если только смешанные вещества термодинамически не сильно разнятся
между собой.— Прим. ред.
Функция Е (Р, V) для смеси теперь выражается уравнением
(7.15). Эта функция используется в соотношении Ренкина—Гюго-
нио для вычисления адиабаты Гюгонио смеси. При таком расчете
вводится небольшая ошибка, так как необходимо было бы вы-
числять отклонения давления при постоянном объеме смеси, в то
время как значения у, используемые при нашем расчете, были
вычислены для постоянных объемов компонентов при постоян-
ном давлении. Это нельзя считать серьезным недостатком, так
как значения у при высоком давлении известны с недостаточной
точностью.

Расчет скоростей упругих волн в смесях. Наряду с адиаба-
тами Гюгонио для смесей предметом экспериментального иссле-
дования стало также распространение упругих волн в гетероген-
ных средах. Как и в первом случае, желательно свести задачу
к суммированию тех удельных величин, которые аддитивны для
смесей.

Чисто удельной характеристикой, ближе всего связанной
со скоростью звука для обьемных волн сь, надо считать произ-
водную (—dVIdPjr- Эта характеристика аддитивна для смесей
при условии, что интенсивные переменные —давление и темпе-
ратура приходят в равновесие. Однако в звуковой волне устано-
вление температурного равновесия между различными компонен-
тами смеси зависит от величины зерен. При отсутствии теп-
лоотвода отдельные зерна сжимаются и разгружаются
изоэнтропически. Энтропия S, представляющая собой удельную
характеристику, постоянна, а выражение (—dVldP)Si равное
1 /р2с2, есть линейно аддитивная функция, пропорциональная мас-
совым долям mif и, следовательно, линейная функция удельного
объема (1/р) смеси.

Те же рассуждения относятся и к скорости продольных волн
Ci\ следовательно, выражение (—dL!dT)s, равное 1/р2с2, должно
быть линейной функцией массовых долей. Здесь L есть длина,
приходящаяся на единичную массу, а Т — соответствующее на-
пряжение. В противоположность объемному сжатию для этой
функции нельзя ожидать точной линейности. Она была бы линей-
ной, если бы компоненты располагались один над другим сло-
ями, но они могут размешаться и последовательно друг за дру-
гом в одном слое. В последнем случае жесткий элемент системы
способен воспринять на себя больше напряжения, что приведет
к уменьшению —dLldT. Эту интересную особенность следовало
бы проверить на специально приготовленных образцах, в которых
можно было бы менять ориентацию слоев или волокон в таком
композиционном материале.

Так как сдвиговые движения не связаны с удельными харак-
теристиками, эта аргументация прямо ничего не говорит относи-
тельно сдвиговых волн. Однако скорость упругой сдвиговой
волны ct характеризуется изотропной связью, выражаемой урав-
нением (7.38). Таким образом, в принципе можно оценить упру-
гие модули изотропной смеси по упругим модулям ее компо-
нентов.

Эти термодинамические рассуждения приложимы к тому или
иному материалу только в том случае, когда его можно считать
гомогенным на расстояниях, превосходящих некоторую долю
длины упругой волны, хотя в атомарном масштабе он может
быть гетерогенным (т. е. химическое взаимодействие компонен-
тов не должно коренным образом изменять их). В материале мо-
гут быть поры; он может состоять из мягкого компонента в же-
сткой матрице или из жесткого компонента в мягкой матрице; он
может быть волокнистым или слоистым, обладать преимущест-
венной ориентацией, присущей сильно анизотропным материа-
лам, или отличаться множеством иных особенностей, которые
способны обусловить расхождение его поведения с прогнозом,
даваемым нашей моделью простого термодинамического смеше-
ния. В случае сильных ударных волн станет проявляться тен-
денция к ослаблению влияния пористости и внутренней струк-
туры и приданию материалу большей изотропности. Поэтому та-
кие трудности касаются измерений скорости звука при нулевом
давлении больше, чем получения данных об адиабате Гюгонио.

В качестве еще одного варианта расчетов, помимо идеального
смешения, мы брали модель слоистой среды. Время прохождения
волны через много слоев есть простая сумма времен прохожде-
ния ею каждого из слоев. Следовательно, величина, обратная
средней скорости с, есть взвешенная сумма слагаемых, обратных
скоростям в компонентах сг-, т. е.

1/^=2 (У/М 2У/=1,	(7.49)

где у?, суть объемные доли компонентов.

При смешении проявляется тенденция к снижению скоростей.
Слоистая структура позволяет каждому компоненту передавать
волну с присущей ему скоростью. Выражаемый уравнением
(7.49) результат обычно служит верхним прогнозируемым пре-
делом измеряемых скоростей.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДЛЯ СМЕСЕЙ И СПЛАВОВ

Скорость звука при нулевом давлении и адиабаты Гюгонио
для смесей. Наше исследование смесей ограничилось изучением
некоторых элконитов. Элкониты — семейство металлических
композитов, которые представляют собой спеченные тугоплав-
кие материалы (W, WC или Мо), пропитанные легкоплавким ме-
таллом (Ag или Си). Отдельные исследованные нами элкониты
перечислены (с указанием состава) в табл. 7.7. Состав опреде-
Таблица 7.7

Данные о составе элконитов

Фирменное название	Ро, г/см3		Массовое содержание, %			
	измеренная	расчетная	Ag	Си	W	WC
20S	15,21	15,67	27,6	—	72,4	—
35 S	14,68	15,16	32,5	—	67,5	—
50S	13,27	13,68	48,9	—	51,1	—
4050	13,14	13,85	46,9	—	53,1	—
2125С	9,69	10,35	—	74,5	25,5	—
1W3	12,40	12,68	—	45,0	55,0	—
3W3	13,80	14,70	—	32,0	68,0	—
10W3	14,85	15,09	—	24,0	76,0	—
ТС-10	11,65	11,68	—	42,0	—	58,0

ляли посредством мокрой пробы. По измеренному составу мы
рассчитывали плотность и сравнивали ее с измеренной плотно-
стью. Легко видеть, что все образцы были пористыми. К тому же
выяснилось, что для того или иного элконита состав и пористость
несколько менялись. Это приводило к значительному разбросу
данных об адиабате Гюгонио и скорости звука. Измеренные ско-
рости звука сравниваются с расчетными на фиг. 7.71 и 7.72.

Сплошными линиями на этих двух графиках отображены ре-
зультаты расчета по правилу идеального смешения. Эксперимен-
тальные данные близки к расчетным, причем результаты расчета
по слоевой модели служат, как и ожидалось, верхним пределом
измеренных скоростей звука. Анализ экспериментальных данных
выявляет тенденцию к увеличению скорости звука против пред-
сказываемой по модели идеального смешения с повышением со-
держания вольфрама в композите. Надо полагать, что жесткий
материал образует при таких повышенных плотностях сплошные
дорожки. И вот, несмотря на наличие пор или менее плотного
наполнителя (звук в нем распространяется с меньшей скоро-
стью), звуковая волна бежит по таким «мостикам» на всем пути
длиной, приблизительно равной толщине образца, со скоростью,
лежащей где-то между продольной и «стержневой» (зависящей
от модуля Юнга) скоростями для вольфрама. С другой стороны,
при смещении в сторону с более высоким содержанием меди или
серебра мостика из вольфрама становятся все тоньше и менее
прочными. По таким слабым мостикам звук побежит, но станет
быстро затухать, так что главную долю волны будет передавать
медь или серебро. Здесь пористость может давать большой эф-
фект, потому что теперь создаются мостики из меди или серебра,
наполненные более плотным вольфрамом. Когда вольфрам уже
не образует мостиков, он перестает эффективно передавать волну
с присущей ему высокой скоростью распространения продольных
волн, а его высокая плотность теперь станет обузой для волны.

Фиг. 7.71. Скорости звука для продольной и объемной волн в элконитах
системы W—Ag (спеченный вольфрам, пропитанный серебром).

Эти топологические рассуждения вскрывают сложность проб-
лемы, свидетельствуя о том, что для ее решения применительно
к ансамблю частиц необходим тщательно разработанный стати-
стический анализ. Но даже и в том случае, когда такое среднее
решение было бы найдено, все же для крупных зерен следовало
бы ожидать большого разброса результатов с переходом от од-
ного образца к другому. Хотя в расчетах скорости звука мы не
пытались учесть пористость, которая,-как известно, имелась в на-
ших образцах, она учитывалась нами в расчетах по эксперимент-
там с ударными волнами. К сожалению, мы не смогли найти
простую экстраполяцию модели для ударных волн к нулевому
сжатию для определения акустического предела, ибо любые поры
в этой модели привели бы к нулевой предельной скорости звука.

Ф и г. 7.72. Скорости звука для продольной и объемной волн в элконитах
системы W—Си (спеченный вольфрам, пропитанный медью).

Гидродинамическая модель не учитывает жесткости, а жесткость,
конечно, предохраняет поры от схлопывания, особенно при очень
низких давлениях.

Нами были измерены адиабаты Гюгонио для четырех элкони-
тов системы Си—W и одного системы Си—WC. Уравнения со-
стояния для этих компонентов приведены в табл. 7.2 и 7.6.
Адиабата Гюгонио для меди — один из наших стандартов при
измерении ударных волн. Адиабаты Гюгонио для вольфрама и
карбида вольфрама были частично определены по этому стан-
дарту. Следовательно, эти три материала должны быть совме-
стимы. Измерения для элконитов тоже проводились по этому
стандарту. Экспериментальные и расчетные результаты сравни-
ваются на фиг. 7.73 и 7.74 в плоскостях и8— ир и Р— р. Согласие
расчета с экспериментом для системы Си—W вполне удовлетво-
рительное. Как правило, разброс данных обусловлен вариациями
плотности образцов. Так как состав определяли не для всех об-
разцов, подобные колебания плотности могли вызываться либо
непостоянством состава, либо неодинаковой пористостью. Общей
для всех материалов особенностью является малая скорость
ударной волны при низком давлении. Она объясняется пористо-
стью и наблюдалась для многих других материалов. Расчеты удо-
влетворительно объясняют такую особенность.

Экспериментальные данные для элконита ТС-10 согласуются
с расчетными хуже, чем для элконитов системы Си—W. Здесь
возможны два объяснения. Во-первых, адиабату Гюгонио для
карбида вольфрама определяли на соединение несколько иного
состава (кобальтовая связка), чем в самом ТС-10. Во-вторых, на
адиабате Гюгонио для WC отражаются остаточные сдвиговые на-
пряжения, связанные с большой его жесткостью. Измеренная
адиабата Гюгонио для WC могла соответствовать сильно негид-
ростатическому состоянию, в то время как в композите пластиче-
ское течение меди должно содействовать более гидростатиче-
скому сжатию жесткого материала. Это и натолкнуло нас на
мысль о необходимости разработать способ измерения адиабат
Гюгонио для очень жестких материалов путем внедрения их
в материалы, легко деформирующиеся посредством пластиче-
ского течения на ударном фронте. Хорошие результаты, достиг-
нутые для системы Си—W, свидетельствуют о полезности подоб-
ного метода. То же самое надо сказать и об адиабате Гюгонио
в координатах и8—ир для тоже очень жесткого SiC.

Сплавы. Гюгониевское уравнение состояния для сплавов
Au—Ge. Были измерены адиабаты Гюгонио для двух сплавов зо-
лота с германием по методу подгонки импедансов с использова-
нием меди в качестве стандарта. Хотя оба сплава были приго-
товлены из одной и той же отливки, они имели разный состав.
Германий в золоте не растворяется, а в отливке произошла сепа-
рация. В действительности эти сплавы представляют собой почти
совершенные смеси.

Массовое содержание рассчитывали по плотностям. Измерен-
ные и расчетные скорости звука для сплавов Au—Ge приведены
в табл. 7.8. Требовавшиеся для расчета концевых членов (золота
и германия) значения Gj были заимствованы из справочника [22].
Фиг. 7.73. Сравнение данных о зависимости скорости
ударной волны от массовой скорости для элконитов
систем W—Си и WC—Си (см. табл. 7.7) с адиабатами
Гюгонио, рассчитанными по методу смесей (скорость
ударной волны при переходе от одного материала к дру-
гому менялась приращениями по 1 км/с, образуя после-
довательность и8, и8 +1, ...» и84-4).

2125С, и8 (A); 1W3, н8+1 (О); 3W3, и8+2 (♦); 10W3, и8+3 (•);
ТС=10, м8+4 (□).

Ф и г. 7.74. Сравнение данных об адиабатах Гюгонио в ко-
ординатах Р—р для элконитов систем W—Си и WC—Си
(см. табл. 7.7) с адиабатами Гюгонио, рассчитанными по
методу смесей.

2125С (A); 1W3 (О); 3W3 (♦); 10W3 (•); ТС-10 (□).
Таблица 7.8

Измеренные скорости звука для сплавов Au—Ge

Ро, Г/см3	Содержание  Ge, % (по мас- се)	с, км/с		км/с		Су км/с	
		измерен- ная	рас- четная	измерен- ная	рас- четная	измерен- ная	рас- четная
15,49	9,3	3,388	3,49	1,465	1,72	2,94	2,87
16,88	5,8	3,326	3,41	1,329	1,56	2,95	2,89

Данные о зависимости скорости ударной волны от массовой
скорости для этих двух сплавов приведены на фиг. 7.75. Следует
отметить две особенности этих адиабат Гюгонио. Самая важная
из них состоит в том, что данные не экстраполируются к скоро-
сти звука при нулевом давлении. То, что они укладываются бо-
лее чем на 10% ниже скорости звука, свидетельствует о сущест-
вовании фазового перехода, происходящего, возможно, при мас-
совой скорости ~0,15 км/с. Другая особенность заключается
в нелинейности двух кривых. Как и для некоторых других мате-
риалов, эти адиабаты Гюгонио можно аппроксимировать двумя
отрезками прямых с разрывом при массовой скорости ~ 1,2 км/с.
Чтобы объяснить эти особенности, на фиг. 7.76 воспроизведена
фазовая диаграмма (Р=0) системы Au—Ge [23]. Германий сжи-
мается при плавлении, что, видимо, относится и к эвтектическому
сплаву Au—Ge. Фазовый переход в ударносжатом германии про-
исходит при давлении ~ 12,5 ГПа, видимо, благодаря плавлению.
Фазовый переход в сплаве Au—Ge при г/р = 0,15 км/с приблизи-
тельно соответствует этому давлению. Видимо, это близко к ис-
тине. Нужно учесть влияние золота на наклон линии фазового
равновесия и связь между давлением и температурой вдоль адиа-
баты Гюгонио для сплава. Хотя сплав Au—Ge начинает пла-
виться при этом давлении, плавление не будет полным, пока не
будет достигнута более высокая температура, а это соответствует
гораздо более высокому давлению. Разрыв кривой, соответствую-
щей адиабате Гюгонио в координатах us — ир, при кажущемся
несколько высоком давлении ~70 ГПа мог бы быть свидетель-
ством завершения плавления.

Чтобы проверить наши возможности предсказывать адиабату
Гюгонио для смесей, мы взяли линейную адиабату Гюгонио для
золота в виде us=3,075+ l,560up км/с в сочетании с адиабатой
Гюгонио для превращенного германия, определенной по нашим
данным об ударной волне в предположении, что метастабильная
адиабата Гюгонио для превращенного материала должна выра-
Фиг. 7.79. Расчетные адиабаты Гюгонио и эксперимен-
тальные данные в координатах Р—р для двух сплавов
Au—Ge с массовым содержанием германия 5,8% (А) и

9,3% (О)-

Надо отметить, что расчеты в данном случае предполагали значи-
тельную экстраполяцию результатов для Ge, так как для него
имеются данные только до ~ 100 ГПа

Фиг. 7.80. Сравнение данных о зависимости скорости
ударной волны от массовой скорости для сплавов Fe—Ni
с адиабатами Гюгонио, рассчитанными по методу смесей.

Чтобы разобщить кривые и данные, к скорости ударных волн и8
прибавляли 1 и 2 км/с для сплавов с массовым содержанием ни-
келя 17,9% (ms+1) и 26,2% («s+2). Данные в двухволновой области
не приводятся Fc—10,0% Ni, и3 (л)» Fe— 17,9% Ni, ms+1 ( O)j

Fe — 26,2% Ni, us + 2 (ф).
жаться в координатах us—ир прямой, позволяющей вычислить
новую плотность и скорость звука при нулевом давлении для
выбранных значений наклона s (разд. 7.2). Эти расчеты дают
уравнения состояния для германия высокой плотности, выписан-
ные в табл. 7.9.

Таблица 7.9

Плотность и скорость звука при нулевом давлении для претерпевшего
фазовое превращение германия в зависимости от наклона линейной адиабаты
Гюгонио в координатах tts—ир

Наклон	Со, км/с	Ро, Г/СМ3
1,00	5,82	7,29
1,25	5,08	7,10
1,50	4,15	6,79

Результаты этих аппроксимаций сравниваются с исходными
данными для германия на фиг. 7.77. Все три наклона одинаково
годятся для аппроксимации данных. Однако сравнение рассчи-
танных изменений объема при фазовом переходе с результатами
статических измерений заставляет отдать небольшое предпочте-
ние наклону, равному 1,5.

Эти уравнения состояния использовались нами в уже упоми-
навшихся расчетах для смесей. Такие расчетные зависимости
скорости ударной волны от массовой скорости и давления
от плотности приведены на фиг. 7.78 и 7.79.

Гюгониевское уравнение состояния для сплавов железа с ни-
келем. Окончательную проверку пригодности метода смесей мы
проводили на трех сплавах железа с никелем с содержанием ни-
келя от 10 до 26% по массе. Проверку опять проводили по ме-
тоду подгонки импедансов с медью в качестве стандарта. Дан-
ные об этих материалах приводились раньше, но по другому
поводу [24].

Адиабаты Гюгонио для сплавов железа и никеля приведены
на фиг. 7.80 и 7.81 в плоскостях us—ир и Р — р. Опять выявля-
ется наличие фазового перехода, вероятнее всего, превращение
ОЦК-модификации, соответствующей нулевому давлению,
в ГПУ- или ГЦК-форму. При содержании никеля выше ~30%
сплав стабилизируется в у-фазе (ГЦК) и при ударном нагруже-
нии превращений не испытывает. Следовательно, необходимо
знать метастабильную адиабату Гюгонио для у-фазы железа,
чтобы проводить расчет для смеси.

Метастабильная адиабата Гюгонио для превращенного же-
леза была вычислена по данным о зависимости скорости ударной
Фиг. 7.78. Расчетные адиабаты Гюгонио и эксперименталь-
ные данные в координатах и8—иР для двух сплавов
Au—Ge с массовым содержанием германия 5,8% (Д) и
9,3% (О).

Фиг. 7.77. Данные об адиабате Гюгонио, полученные по
методу подгонки импедансов (д), и результаты расчета
для Ge в координатах us—ир.

Горизонтальный участок при иа = 4,2 км/с свидетельствует о двух-
волновой структуре ударного фронта, созданной фазовым переходом.
Данные выше иа=4,2 км/с аппроксимированы посредством расчетов
с использованием трех адиабат Гюгонио из табл. 7.9. При столь
большом разбросе данных ни одной из них нельзя отдать пред-
почтения.
6,5

Фиг. 7.75. Данные о зависимости скорости ударной волны от массовой ско-
рости для двух сплавов системы Au—Ge с массовым содержанием германия
5,8% (А) и 9,3% (О).

Фиг. 7.76. Фазовая диаграмма системы Au—Ge.

Все сплавы начинают плавиться при 365° С (629° К); полное расплавление зависит от
состава.
200

160

120

80

40

0
7

					ж	
					•
					
					
					
					
					
					
					
					

8

9	10	11

р, г/см3

12

13

Фиг. 7.82. Данные о зависимости скорости ударной
волны от массовой скорости для железа (А. ) и адиа-
бата Гюгонио для превращенного материала, рассчитан-
ного по уравнению состояния, которое было выведено
для метастабильных состояний.

Фиг. 7.81. Данные об адиабате Гюгонио в координатах
Р—р и адиабаты Гюгонио, рассчитанные по адиабате Гю-
гонио для Ni и метастабильного Fe.

Fe—10,0% Ni (A); Fe-17,9% Ni (Q): Fe-26,2% Ni (♦).
волны от массовой скорости (разд. 7.3) с помощью того же ите-
рационного способа, который использовался и для германия.
Подробная картина поведения железа ниже перехода при давле-
нии 13,0 ГПа известна из других работ [25, 26]. На фиг. 7.82 по-
казана расчетная метастабильная адиабата Гюгонио для железа
с начальным состоянием при нулевом давлении, удовлетворяю-
щая соотношениям

«5=4»334-1,55«р км/с и ро=8,1О г/см3.

Для расчета уравнений состояния сплавов, показанных
сплошными линиями на фиг. 7.80 и 7.81, была также использо-
вана следующая адиабата Гюгонио для никеля:

^=4,581 1,463цркм/с, р0=8,874 г/см3.

6.	УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Большая часть утверждений и выводов, обсуждавшихся в на-
стоящей главе, зависит от того, находится ли твердое тело, сжа-
тое сильной ударной волной, в тепловом равновесии. И без
анализа теплового равновесия ясно, что наиболее очевидным от-
клонением от теплового равновесия является анизотропное рас-
пределение напряжений. Анизотропия, как известно, существует
хотя бы в небольшой степени фактически во всех ударносжатых
твердых телах и, как уже упоминалось, может быть приблизи-
тельно учтена по данным для высоких давлений посредством не-
большого постоянного сдвига в плоскости давление—объем ме-
жду измеренной и гидростатической кривыми Гюгонио.

Чтобы понять, в каком смысле употребляется выражение «уп-
руго-пластическое течение» при обсуждении плоского ударного
нагружения и распространения плоской ударной волны, необхо-
димо подробнее рассмотреть атомную структуру твердых тел,
а также классическую теорию упругости. Предположение, что
макроскопическая одномерная ударная волна действительно яв-
ляется одномерной, означает, что среднее расстояние между ато-
мами меняется только в направлении движения ударного фронта,
так как ударный фронт проходит через любой заданный элемент
объема. В этом случае нет упругих деформаций поперек ударного
фронта.

Пусть ударная волна распространяется в изотропном, одно-
родном и линейноупругом материале по направлению х. В при-
ближении бесконечно малых деформаций компоненты тензора
напряжений <Ji, выражаются в следующем виде:

	(7.50)
	(7.51)
	(7.52)
=== ayz == Qzx === 0.	(7.53)

Здесь Л и ц. — постоянные Ляме, которые связаны с модулем
сдвига О и модулем объемного сжатия К следующими соотноше-
ниями:

G=P,	(7.54)

(7.55)

О

Гидростатическое давление, которое является средним значением
главных напряжений, запишется теперь в виде

(7.56)

Но поскольку в действительности существует только нормальная
к ударному фронту компонента напряжения, которую можно
определить по обычным экспериментальным данным и уравне-
ниям Ренкина—Гюгонио, измерения скорости ударной волны
в действительности не могли бы дать термодинамического урав-
нения материала в описанной модели.

Ключ к пониманию полезности метода ударных волн и того,
как пластическое течение в условиях одномерного нагружения
приводит к почти гидростатическим давлениям, лежит в уясне-
нии следующего положения: модель, которая требует отсутствия
поперечной микроскопической деформации, подразумевает
также, что в плоскостях, которые лежат под значительными уг-
лами к нормали к ударной волне, должны возникать очень боль-
шие сдвиговые напряжения. Качественно известно из металло-
физических и минералогических данных, что никакой материал
не способен выдержать неограниченных сдвиговых напряжений
без того, чтобы в нем не возникло либо пластическое течение,
либо же разрушение (это зависит от того, что начнется раньше).
Отсюда следует, что во всех материалах под действием плоских
ударных волн в некоторый момент нагружения начинается пла-
стический сдвиг таким образом, что максимальные разрешенные
сдвиговые напряжения не достигают разрушающего уровня для
данного материала. Поэтому при условии, что максимально раз-
решенное сдвиговое напряжение мало по сравнению с рассмат-
риваемым напряжением в ударной волне и что пластическое те-
чение может происходить достаточно быстро, поведение твердых
тел, сжатых сильными ударными волнами, следует считать близ-
ким к поведению жидкостей. В таком приближении уравнение
состояния, выведенное по данным об ударных волнах, будет со-
ответствовать гидростатическому уравнению состояния.

Теперь снова рассмотрим ситуацию, возникающую при сжа-
тии твердого тела плоской ударной волной. Полагая, что макро-
скопически сжатие чисто одномерное, попытаемся установить,
что это дает в микроскопическом масштабе. Математический
анализ данной проблемы можно провести в приближении беско-
нечно малых деформаций, так как всегда допустимо реальную
задачу рассматривать посредством последовательности малых
шагов. Во всяком случае полная деформация, встречающаяся
в большинстве экспериментов с плоскими волнами, не превосхо-
дит 20%, а изменения упругих модулей гораздо более сущест-
венны, чем конечность деформаций.

Рассмотрим достаточно малый элемент объема, позволяющий
считать его дифференциальным элементом относительно физиче-
ского масштаба измерений, но достаточно большой, чтобы его
можно было рассматривать макроскопическим образцом твер-
дого тела, нагруженного под действием ударной волны. Ударная
волна распространяется в направлении х. Так как все соседние
элементы объема находятся в таких же условиях нагружения,
получается, что не может быть результирующего среднего дви-
жения вещества через границы элемента объема, и в этой си-
стеме координат, которая является также системой главных осей
тензора макроскопических деформаций, компоненты тензора де-
формаций имеют вид

ехх=Д1//170,	(7.57)

а все остальные е^=0. Однако в системе координат, связанной
с плоскостями, которые составляют произвольные углы с норма-
лью к ударной волне (осью х в лабораторной системе коорди-
нат), появляются сдвиговые деформации, достигающие макси-
мальной величины в плоскости под углом 45°. Эти сдвиговые
деформации можно трактовать макроскопически как неизбеж-
ную постоянную особенность одномерного сжатия; они не приве-
дут к возникновению больших сдвиговых напряжений только
в том случае, когда пластическое течение станет снимать упругие
сдвиговые деформации.

Современная теория твердого состояния и соответствующие
эксперименты показывают, что пластическое течение в кристал-
лических твердых телах происходит по существу неравномерно,
а именно путем движения дислокаций к решетке по нескольким
ее плоскостям. Существующая теория динамического упруго-пла-
стического течения представляет собой по существу приложение
динамической теории дислокаций к условиям, существующим
в одномерных ударных волнах. Пока не предпринималось ника-
ких серьезных попыток для расчета распространения волн в ином
материале, кроме однородного изотропного твердого тела, в ко-
тором дислокации предположительно двигаются только по пло-
скостям, составляющим угол 45° с нормалью к ударной волне, т. е.
там, где разрешенное сдвиговое напряжение максимально.
В этом приближении в задаче об одномерной ударной волне пол-
ную деформацию по каждому из главных направлений можно
разделить на упругую и пластическую части.

Следовательно, с учетом симметрии для главных компонент
тензора деформаций можно записать, что

&хх == &хх 4“ £хх,	(7.58)

£уу=0=£уУ4-£уу,	(7.59)

Syy = 8*z, Zyy — ^zz.	(7.60

К тому же е?х +2в^ =0, так как пластические деформации при-
водят просто к перестройке расположения атомов, а не к сжатию.

Из теории дислокаций для скорости пластической сдвиговой
деформации в любой плоскости имеем

d^pldt^bnv (т),	(7.61)

где п — длина дислокационных линий в единичном объеме с век-
тором Бюргерса Ь, лежащим в этой плоскости, и v — средняя
скорость движения таких дислокаций. Из различных других ис-
следований известно, что v зависит (зачастую сильно) от разре-
шенного сдвигового напряжения в плоскости скольжения и в на-
правлении скольжения. Из уравнения (7.60) следует, что на пло-
скостях максимального разрешенного сдвигового напряжения
(плоскости под углом 45°) уР выражается в форме

Тр=“2' (£хх — £?у)=-^- &ХХ-	(7.62

Уравнение для напряжения нормально к фронту ударной
волны приводится теперь к виду

oxx=(x+2[i)exx—|"Н-	(7.63)

Взяв далее производную по времени и воспользовавшись урав-
нением (7.61), получим следующее основное соотношение,
описывающее поведение линейного релаксирующего твердого
тела:

rfaxr/rf/=(X-|-2p.) (dexxldt) —pbnv (т).	(7.64)

Как и следовало ожидать, плотность движущихся дислокаций п
и средняя скорость о(т) должны зависеть от истории эле-
мента объема, в чем и состоит главная задача использования
этого основного соотношения в расчетах. В настоящее время нет
также определенности в том, при каком уровне напряжений мо-
гут на самом деле спонтанно образовываться дислокационные
петли из-за локальных разрешенных сдвиговых напряжений.

В настоящее время на основании измерений затухания уль-
тразвука и очень тщательно полученных данных о ямках травле-
ния в очень чистых кристаллических твердых телах выяснилось,
что первостепенным фактором, ограничивающим мобильность
дислокаций, надо считать вязкостную силу, демпфирующую дви-
жение дислокаций [27—29]. Модель Кёлера—Гранато—Люкке
[30], уподобляющая колебания закрепленных дислокационных
петель колебаниям натянутых пружинок с линейным вязкостным
демпфированием, с успехом помогла объяснить затухание попе-
речных (сдвиговых) и продольных ультразвуковых волн в диапа-
зоне частот 1—103 Мгц. Эта область частот перекрывает по суще-
ству весь спектр, представляющий интерес при измерениях
ударной волны с давлением ~0,1—10 ГПа, но, разумеется,
амплитуды напряжений и деформаций, используемые в экспери-
ментах по затуханию ультразвуковых волн, гораздо меньше ам-
плитуд, представляющих интерес для исследований ударных волн.
Отсюда можно сделать такой вывод: если в большинстве экспе-
риментов по ультразвуковому затуханию плотность дислокацион-
ных линий должна оставаться постоянной в ходе эксперимента,
то в экспериментах с ударными волнами нужно ожидать резкого
повышения этой плотности на фронте ударной волны, когда об-
разец в исходном состоянии хорошо отожжен, и значительного ее
перераспределения, когда образец в исходном состоянии сильно
наклепан. И хотя вязкостное дислокационное демпфирование
в условиях ударных волн можно по степени проявления почти
уподобить демпфированию, измеренному в ультразвуковых экс-
периментах, влияние натяжения (погонной энергии) дислокаци-
онных линий, вычисляемое по результатам ультразвуковых изме-
рений, по-видимому, не сохраняется в условиях сильных ударных
волн, поскольку такое влияние подразумевает, что эффективный
релаксационный модуль в условиях одномерного нагружения
должен на 10—15% превосходить модуль всестороннего гидро-
статического сжатия. Это противоречит тому факту, что для
болыпиства металлов модуль, найденный экстраполяцией удар-
ных адиабат Гюгонио, мало отличается от модуля всестороннего
сжатия, измеренного на статическом прессе.

Объяснение же надо, бесспорно, усматривать в том, что меха-
низм линейного деформационного упрочнения перестает действо-
вать при очень больших деформациях, какими бы ни были усло-
вия нагружения.

В рамках линейной модели только что изложенные утвержде-
ния можно формально уподобить современной теории Гранато—
Люкке. Пусть существует сетка дислокаций, которая пересека-
ется свободной линией со средним пробегом I. Это дает плотность
дислокационных линий 7V = /“2 см“2 в 1 см3 материала. Под влия-
нием ударной волны дислокации прогибаются между точками их
закрепления на величину £(#), где у — координата, измеряющая
расстояние от одной точки закрепления до другой. Пластическая
деформация выражается в виде

i

l=(Nt>ll)fc(y)dy,	(7.65)

О

где b — вектор Бюргерса материала. Движение закрепленных
дислокаций подчиняется уравнению

А2 । d &	2^2

ирй2 -3^-4-В “ST---7Т- с- -7-5- = Т0,	(7.66)

г дг2 1 dt	к (1 — v) ду2	'	7

где т— разрешенное напряжение сдвига, v— коэффициент Пу-
ассона, В — константа демпфирования Гранато—Люкке,
а лр&2 — эффективная масса, приходящаяся на единичную длину
дислокационной линии. Хотя инерционные силы должны быть
в большинстве случаев малыми, их учет не сопряжен с трудно-
стями. Если предположить, что плотность дислокаций остается
постоянной, систему уравнений (7.63), (7.65) и (7.66) можно ре-
шить для граничного условия g(0) = g (/) = 0 с учетом того факта,
что для изотропной среды максимальное разрешенное сдвиговое
напряжение будет

тмакс==“4”	P'j ехг] •	(7.67)

Воспользовавшись преобразованием Лапласа по времени, уста-
новим через комплексный модуль связь между трансформантами
одномерного напряжения и деформации в форме

VI	+ ^(г)

У -----------(7.68)

Jndxx	1 + g (?)	хх	v г
где z — функция параметра преобразования, соответствующего
частоте, а

g="(4^V)	(7-69)

И

z (s) ' г лУАт-5 <Г •	<7-7°)

' ’ 2 L 2[102/гс (1 — J	' 7

В уравнении (7.68) У! и Е суть трансформанты соответственно
напряжения и деформации. Предполагается также, что средняя
длина петли задается выражением	Это фактически есть

допущение деформационного упрочнения. Уравнения (7.68) —
(7.70) показывают, что при очень высоких частотах (больших
значениях s) эффективный модуль равен #+(2/3)ц., т. е. модулю
продольных волн. Он и определяет поэтому распространение пер-
вых возмущений. Однако при s->0, что соответствует очень низ-
ким частотам и большим временам, модуль приближается к ко-
нечной величине (прорелаксированному значению)

м«-к--------Г + .<—via--------	(™)

не согласующейся при очень высоких давлениях с экспериментом.

Но если из уравнения движения (7.66) опустить член, описы-
вающий натяжение линий, то функция g, входящая в уравнение
(7.68), примет вид

g(s)=2|x7V^/(«P624-Bs),	(7.72

и предельный модуль при больших временах станет равным К
(модулю всестороннего сжатия). Однако при полной пластиче-
ской деформации, требующейся для обеспечения практически
гидростатического распределения напряжений при одномерном
макроскопическом сжатии порядка 10%, необходимо, чтобы при
плотности подвижных дислокаций 1013 см/см3 элемент средней
дислокационной линии сдвинулся на расстояние, в несколько
десятков или сотен раз большее среднего расстояния между дис-
локациями. В самом крайнем случае дислокации должны сдви-
нуться к границам зерна, но монокристаллы металлов с кубиче-
скими решетками ведут себя по существу так же, как и поликри-
сталлические образцы [31]. Возможный вывод состоит в том, что
в ударной волне с давлением порядка 10 ГПа должно содер-
жаться очень много дислокационных петель, генерируемых (и,
вероятно, аннигилирующих) за очень короткие времена. Это при-
вело бы к такому же эффекту, как движение петель, скажем,
с плотностью 10~10 см-2 на расстоянии порядка 10~3 см.
Для многих загрязненных металлов и при относительно не-
больших разреженных сдвиговых напряжениях эксперименталь-
но установлено [32], что средние скорости дислокаций при их
изменении на много порядков подчиняются уравнению

T>('t)=xioexp(—D/t),	(7.73)

в котором D есть постоянная для материала, называемая коэф-
циентом торможения и зависящая от таких примесей, как точеч-
ные дефекты, и уже существующей плотности дислокаций.
Раньше предполагалось, что скорость оо меньше или по крайней
мере равна скорости сдвиговых волн (данные Стейна—Лоу [33]
для монокристаллов Fe—3% Si противоречат этому предположе-
нию). Чен и др. [34] показали, что это могло быть вызвано внут-
ренними флуктуирующими полями напряжений. Уравнение
(7.73) с определенным успехом было использовано для объясне-
ния поведения упругого предвестника в ударносжатом отожжен-
ном армко-железе [35]. Для обоснования его применимости, в ча-
стности к загрязненным металлам, в которых, по-видимому,
важную роль играют точечные дефекты и лес закрепленных дис-
локаций [32], была предложена теоретическая модель термоак-
тивации. Аналогичные результаты были получены для кристаллов
с ковалентной связью, где ожидалось, что сильно локализован-
ные химические связи могут, по-видимому, воздвигать энергети-
ческий барьер на пути движения дислокаций.

По-видимому, случай движения дислокаций в ударной волне
можно описать составной моделью, так как внешние проявления
в этом случае очень похожи на результаты экспериментов с дви-
жением ямок травления. Наблюдаемая средняя скорость зада-
ется посредством смещения Хт, которое либо измеряется непо-
средственно, либо выводится. Предположим, что в среднем отре-
зок движущейся дислокационной линии закрепляется п раз на
расстоянии Хт, а вероятность освобождения за единичное время
выражается соотношением

/>=V?~£(T)/*7’,	(7.74>

где энергия активации Е(т) может быть обратно пропорциональ-
ной разрешенному сдвиговому напряжению, как это предсказы-
вает теория выгибания по Фишеру—Гилману. Между задерж-
ками в точках закрепления дислокация движется со скоростью
xb/B = v (%), пока эта скорость не слишком близка к скорости
сдвиговых волн (ситуация в случае такой близости еще ждет
своего прояснения). Следовательно, измеренное время движения
выражается уравнением

tm=Xml-v^-YneE^lkTl^,	(7.75)
где, разумеется, п=С'^Хт, а СР есть средняя концентрация то-
чек закрепления в единичном объеме. Следовательно, для сред-
ней измеренной (или выведенной) скорости получаем

ll'vm=tmIXm=ll‘v (x)+Cp/’ee/ftr/y0	(7.76)

ИЛИ

vm=(xl>IB)l[l4-(tb/B) СргеЕ!кТ^0].	(7.77)

Как теперь выяснилось, если Е сильно зависит от приложен-
ного напряжения, то должна существовать область низких на-
пряжений, в которой измеренная связь будет иметь вид

vm=^C^e-ElkT,	(7.78)

и зависимость In vm от напряжения вполне может иметь кажу-
щуюся экстраполированную величину при бесконечном напря-
жении, которая значительно больше скорости сдвиговых волн.
Но с повышением напряжения экспонента будет резко стремиться
к достаточно малой величине, которая заставит знаменатель
в уравнении (7.77) стремиться к единице; а связь между напря-
жением и скоростью станет линейной, при условии что предэкс-
поненциальный множитель vo/C*£ имел достаточно большую вели-
чину. Так как число препятствий, которые достаточно строго
можно рассматривать как точки закрепления, само должно быть
функцией приложенного напряжения и температуры, можно счи-
тать случайностью то, что в действительности существует много
материалов, которые в области низких напряжений описываются
экспоненциальной формулой.

Никаких измерений высоких скоростей дислокаций

103 см/с) не было сделано с помощью ямок травления ни на
каких материалах, кроме LiF и NaCl, а в этих частных случаях
наклон экспоненты приводит при экстраполяции к конечной ско-
рости, близкой к скорости сдвиговых волн.

Отложим дальнейшее обсуждение механизмов на некоторое
время. Из изложенных рассуждений следует, что для всех твер-
дых тел, подвергающихся одномерному нагружению в ударной
волне, главное следствие конечной прочности на сдвиг состоит
в том, что на адиабате Гюгонио в координатах напряжение—
объем образуется точка возврата как следствие нарастания од-
номерной сжимаемости, когда девиатор напряжения начинает
уменьшаться. Отсюда же вытекает то, что в широкой области
ударных нагрузок ударная волна будет расщепляться на две
волны из-за нарушения условий Бете—Вейля. Таким образом,
при развитии экспериментальных методов исследования одно-
мерного упруго-пластического течения и его аналогов внимание
следует сосредоточить на выявлении временных зависимостей
разрешенного напряжения, деформации или скорости.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ

Поскольку структура ударной волны, связанной с упруго-пла-
стическим течением, имеет значительные характерные особенно-
сти, по крайней мере вплоть до таких сильных ударных волн, при
которых скорость пластической или гидродинамической волны
не меньше скорости продольной звуковой волны в этих образцах,
это сделало возможным исследование подобных проблем по-
средством специальных приемов. Хотя во многих случаях удар-
ные волны, получаемые взрывным способом, могли иметь отно-
сительно слабые упругие предвестники, хотелось в основном на-
чать с гораздо более низких ударных напряжений, чем при
взрывах. Поэтому общей чертой исследований в данной области
стало использование гладкоствольных пушек крупного калибра,
стреляющих ударниками с уплощенным носиком. Такие пушки
обычно представляют собой либо простые одноступенчатые
инертногазовые системы, либо устройства на ракетном топливе.
Они способны контролируемым образом разгонять довольно мас-
сивные ударники до скоростей порядка 10—1000 м/с. Преимуще-
ство таких пушек состоит еще и в том, что массовая скорость
может поддерживаться постоянной на границах соударения в те-
чение относительно продолжительного времени (несколько мик-
росекунд). Если ударник представляет собой движущуюся пла-
стинку из того же материала, что и мишень, то относительно про-
стое измерение скорости ударника непосредственно перед ударом
позволяет очень точно установить массовую скорость на границе
соударения. Если используются тонкие разгоняемые пластинки,
то их можно подкреплять материалами с высоким или низким
импедансом для исследования догоняющих волн. С другой сто-
роны, можно пользоваться и такими обычными ВВ, как мало-
плотный нитрогуанидин. Для записи фотограмм в исследованиях
с пушками нужны непрерывно записывающие камеры или элек-
трооптические камеры, так как довольно продолжительное и
точно неопределенное время тратится на выброс и ускорение
ударника.

Для подробного исследования структуры ударной волны был
создан ряд полезных и сильно улучшающих анализ оптических
и электронных методов. Так как имеется мало способов «загля-
нуть внутрь» ударносжатого твердого тела, в частности металла,
фактически все представления о поведении твердых тел в удар-
ной волне пришлось составлять по результатам измерений, прове-
денных на свободной тыльной поверхности. В этих исследованиях
важнее всего узнать действительную скорость свободной поверх-
ности в зависимости от времени в течение хотя бы нескольких
первых микросекунд движения.

В тех случаях, когда можно было пользоваться высокоскоро-
стными кинокамерами, практиковались два оптических способа
записи. В простейшем из них [36] используется фотографическое
изображение наклонного зеркала, помещенного перед поверхно-
стью. Регистрация с помощью кинокамер с полосатой разметкой
дает разрешенную во времени запись положения свободной по-
верхности в момент удара по зеркалу. Аналогичное действие
присуще и методу отражения проволочки [37], при котором реги-
стрируется разрешенная во времени запись положения в про-
странстве изображения проволочки, помещенной перед сильно
отражающей свободной поверхностью. Непосредственное наблю-
дение отметок на свободной поверхности также дает сведения
о зависимости х от /. Этим методам присуще преимущество про-
стоты и экономичности систем и конструкций, но их явный недо-
статок состоит в том, что для получения зависимости скорости
от времени данные должны дифференцироваться. В третьем, чи-
сто оптическом методе рычага с оптическим плечом непосредст-
венно измеряется скорость свободной поверхности. Недостатком
этого метода надо считать то, что в нем используется плоская
волна, взаимодействующая с наклонной поверхностью, а зависи-
мость скорости свободной поверхности от времени нельзя точно
определить на больших отрезках времени без значительного ана-
лиза. Свободная поверхность должна к тому же оставаться опти-
чески очень сильно отражающей поверхностью, что накладывает
строгое ограничение на характер поддающихся исследованию
материалов. Как способ изучения поведения материала данный
метод обладает сомнительным достоинством разрешать простран-
ственные размеры так хорошо, что позволяет различать поведе-
ние отдельных зерен металла. На фиг. 7.83 приведены подобные
типичные фотограммы, на которых виден эффект величины зерна.

Электронные методы регистрации движения свободной по-
верхности становятся довольно разнообразными. Самым прямым
и исторически первым достаточно точным методом стал электро-
контактный способ, предложенный Миншоллом [25]. В этом ме-
тоде использовалось много иголок, сгруппированных вместе и
очень точно размещенных на различных расстояниях от свобод-
ной поверхности. Преимущество этого метода состоит в том, что
он схематически прост, более цифровой, чем аналоговый, и раз-
рушение нескольких иголок не исключает получения замеров.
Недостаток его заключается в том, что он требует дифференциро-
вания экспериментальных данных, для чего нужно иметь много
осциллографов и электронно-вычислительных машин. Другой
электронный метод, который, как доказано, является ценным при
некоторых обстоятельствах, связан с изменением сопротивления
проводника, обычно платиновой фольги [38]. Этот метод, будучи
более надежным и гибким, все же требует численного дифферен-
цирования экспериментальных данных. К чисто электронным от-
носится успешный метод конденсатора с непосредственной свя-
зью [39], при котором временные постоянные контура можно

Фиг. 7.83. Две фотограммы, записанные по методу оптического затвора.
Время возрастает направо.

а _ крупнозернистое железо (иллюстрируется неодинаковое движение в отдельных круп-
ных зернах); б — весьма тонкозернистое железо (вертикальное смещение пропорционально
скорости свободной поверхности).

подобрать так, что выходное напряжение будет прямо пропор-
ционально скорости изменения со временем емкости между дви-
жущейся плоской проводящей поверхностью и поляризованной
параллельной пластинкой. Преимущества этого метода состоят
в том, что он позволяет проводить измерения в диапазоне скоро-
стей, меняющихся в одном эксперименте более чем на два поряд-
ка: экспериментальные данные не требуют дифференцирования,
а временная синхронизация, как и в методах с иголками и изме-
нением сопротивления проводника, обеспечивается электроникой.
Более того, легко регистрируется уменьшение или даже
изменение направления скорости свободной поверхности. Неме-
таллы можно исследовать просто посредством размещения на по-
верхности металлической пленки. Главные очевидные недостатки
состоят в следующем: это устройство представляет собой по-су -
ществу высокоимпедансную антенну, которую приходится очень
тщательно экранировать от таких электрических возмущений, как
излучение от детонации заряда ВВ; сигнал усредняется по всей
довольно большой площади свободной поверхности; во многих
металлах при сильном сжатии в ударных волнах, достаточном,
чтобы сделать времена нарастания профиля ударной волны
меньше 10“8 с, на ударном фронте, по-видимому, возникают элек-
трические диполи1), которые делают невозможными измерения,
если тщательно не разработать дифференциальный метод измере-
ния2). Этот метод отличается от прежних емкостных методов, ко-
торые измеряли только расстояние и время.

В весьма перспективном электрооптическом методе использу-
ется лазерный интерферометр в двух модификациях. Исходная
модификация [40], в которой просто регистрируются максимум
и минимум интенсивности света, когда поверхность движется по
направлению к полупрозрачному зеркалу, более полезна для из-
мерения очень малых скоростей свободной поверхности

10 м/с). Главное преимущество данного метода состоит, по-
видимому, в возможности исследования очень малых площадок
свободной поверхности. Эта особенность фактически устраняет
эффект временной размазки из-за непараллельности при низко-
скоростных соударениях, но и означает вместе с тем, что измере-
ния не представляют усреднения по подходящей площади, когда
исследуются поликристаллические материалы.

Самое последнее и впечатляющее событие в развитии лазер-
ной интерферометрии — создание так называемого скоростного
интерферометра [41], использующего расщепитель луча для со-
здания разности хода оптических путей между двумя составляю-
щими одного и того же луча, так что фотоэлемент «видит» по-
ложение движущейся поверхности в два различных момента
времени (или фазы) лазерной волны. В итоге возникает амплитуд-
ная модуляция, которая больше зависит от скорости образца,
чем от его положения. Следовательно, скорости можно узнать не-
посредственно и в очень большом диапазоне. Метод требует хо-
рошей зеркально отражающей поверхности, из-за чего он, по-ви-
димому, не применим для исследования «зернистых» материалов.

и Неопубликованные данные Тейлора и Райса.
Неопубликованные данные Бейкера и Тейлора.
Единственный способ, который вселяет реальную надежду на
точное измерение массовых скоростей, а не скоростей свободной
поверхности, — это метод магнитной петли [42]. Он сводится
к простому измерению электродвижущей силы, возникающей,
когда проводящая фольга, помещенная в ударносжатый изоля-
тор, перемещается в тщательно измеренном поперечном магнит-
ном поле. Едва ли нужно говорить о том, что этот метод, подаю-
щий большие надежды на исследование изоляторов, бесполезен
для изучения металлов.

Использовались различные электромеханические преобразо-
ватели (датчики), а некоторые используются и в настоящее
время. По-видимому, имеются два наиболее ценных датчика: вве-
денные внутрь манганиновые проволочки или фольги [43], элек-
трическое сопротивление которых чувствительно к давлению, и
кварцевые преобразователи. /Манганиновые проволочки и фольги
ценны тем, что они позволяют «заглянуть» внутрь ударносжатого
материала. К сожалению, генерируемый сигнал усложняется
тепловыми эффектами, а измерительную систему приходится
электрически изолировать от образца. Особая ценность кварце-
вого преобразователя состоит в его пригодности служить в ши-
роком диапазоне температур. Фактически здесь налицо единст-
венный известный способ измерения напряжения на поверхности
удара. Недостаток этого датчика заключается в том, что он сам
становится ненадежным при напряжениях 3 ГПа в кварце и
что полное пригодное для наблюдения время ограничено време-
нем передачи одного сигнала через кварц. Правда, последнее
нуждается в уточнении, поскольку в действительности часто
можно провести дифференциальные измерения при более дли-
тельных временах, но они сильно усложняются.

Хотя любой из описанных методов пригоден для исследова-
ния профилей волн, надо подчеркнуть, что выбор метода в любой
конкретной ситуации зависит не только от рассматриваемого ма-
териала, но и от наличной аппаратуры. Емкостный метод регист-
рации скорости свободной поверхности был довольно широко
нами использован из-за большого диапазона его применимости.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ПРОФИЛИ ВОЛН

Прежде чем приступить к обсуждению характерных профи-
лей волн, надо подчеркнуть, что во многих случаях деформация,
по-видимому, есть следствие двойникования. А поскольку само
оно сейчас трактуется как следствие движения частичных дисло-
каций особого рода, к решению этой проблемы надо подходить
с позиций дислокационной теории.

Вопрос о применимости положений теории упруго-пластиче-
ского течения к процессу пластического течения в твердых телах,
обычно рассматриваемых как хрупкие, в прошлом привлек много
внимания и, разумеется, привлечет еще больше в будущем. В хо-
роших монокристаллах германия, кремния и альфа-кварца ха-
рактер деформации при сжатии не может быть таким, как при
хрупком разрушении, поскольку установлено, что в некоторых
кристаллографических направлениях за первоначальным скач-
ком скорости свободной поверхности, связанным с упругим пред-
вестником, приходу пластической ударной волны предшествует
период замедления скорости (фиг. 7.84) [44]. Первая волна, рас-

Ф и г. 7.84. Изменение во времени скорости свободной поверхности монокри-
сталла (100) Ge после удара тонкой пластинкой из карбида вольфрама, под-
крепленной алюминием.

пространяющаяся с почти такой же скоростью, что и продольные
звуковые волны (4,94 км/с), имеет амплитуду ~5 ГПа. Бездока-
зательно, но интуитивно представляется, что второй подъем ско-
рости свободной поверхности должен был бы рассматриваться
как второе «упругое» возмущение, отраженное от распростра-
няющейся ударной волны с высоким давлением, идущей так
близко за третьим отражением, что они не разделяются. Особый
интерес представляет очень большое замедление, длящееся
~2,75 мкс, которое свидетельствует о том, что материал подвер-
гается сильному растяжению после достижения текучести при
сжатии. Поскольку свободная поверхность может замедлиться
только под действием растягивающего напряжения и поскольку
в материале, который полностью разрушается хрупким образом,
нельзя ожидать возникновения растягивающих напряжений или

6

Фиг. 7.85. Изменение во времени скорости свободной поверхности монокри-
сталла (100) Si.

а — график, составленный по записи, которая была сделана емкостным методом (резкий
подъем и последующий распад упругой волны); б — фотограмма, заснятая при анало-
гичных условиях по методу оптического затвора (выявляются те же особенности, что
и в первом случае).

распространения волны растяжения, постольку представляется,
что в таких материалах под действием достаточно сильных удар-
ных волн сначала начинается пластическое течение. Ясно, что на-
личной энергии недостаточно для чисто хрупкого разрушения
материала. Если релаксация напряжений сопровождается только
дискретными площадками хрупкого разрушения, то не исклю-
чено, что материал мог бы иметь некоторый динамический пре-
дел прочности при растяжении. Интерпретация поведения хруп-
ких материалов под действием ударного нагружения всегда ус-
ложняется вторичными взаимодействиями, например влиянием
краев.

Гилман [29] отметил, что гюгониевский упругий предел гер-
мания соответствует напряжению сдвига, измеренному методом
Кнупа. Кроме того, в монокристалле германия наблюдалось рас-

Ф и г. 7.86. Профили скорости свободной поверхности ударносжатой керамики
с содержанием 85% (я) и 95% (б) корунда.

В обоих экспериментах ударяющие пластинки были тоньше мишеней. Некоторого замед-
ления в течение времени наблюдения за движением надо было ожидать в том случае,
если материал после наступления текучести при сжатии все еще способен выдерживать
растягивающую нагрузку.

пространение волны растяжения в направлении свободной по-
верхности после ударного сжатия значительно выше его одно-
мерного упругого предела (фиг. 7.84). На фиг. 7.85 это тоже
усматривается на записях скорости свободной поверхности, полу-
ченных двумя методами в монокристалле кремния.

Пример иной ситуации дает пористая керамика с массовым
содержанием 85 и 95% корунда (фиг. 7.86), в которой после удар-
ного сжатия выше гюгониевского упругого предела никакое рас-
тяжение больше не передается. По гюгониевскому упругому
пределу эти материалы много уступают такой высокоплотной ко-
рундокерамике, как люкалокс [45], представляющей собой мел-
козернистый поликристаллический материал, по составу близкий
к чистому корунду, с почти теоретической плотностью. Этот поли-
кристаллический материал, видимо, еще много слабее, чем моно-
кристаллы сапфира.

Из жестких материалов предметом исследования были кар-
бид вольфрама, карбид бора и диборид титана. Карбид воль-
фрама планзее-830 показал гюгониевский упругий предел
в 4 ГПа. Типичные профили волн для этого карбида и стали 4150
(HRC=62) показаны на фиг. 7.87. За гюгониевский упругий пре-
дел принято напряжение, при котором появляются первые при-
знаки наблюдаемого пластического течения в виде изгиба про-
филя скорости свободной поверхности. Для WC соответствующее

Фиг. 7.87. Профили скорости свободной поверхности мишеней толщиной
12,7 мм из карбида вольфрама (а) и стали 4150 с HRC=62 (б) после удара
движущейся пластинки из карбида вольфрама толщиной 6,35 мм.

напряжение близко к 4 ГПа, а для стали — к 3,5 ГПа. Небольшие
снижения скорости свободной поверхности связаны с напряже-
нием расщепления образца, равным ~0,8—1,0 ГПа для WC
и 2,2 ГПа для стали. Для высокоплотного спеченного карбида
бора гюгониевский упругий предел равен 15,0 ГПа1). Большую
разницу вполне можно приписать действию кобальтовой связки
в карбиде вольфрама. Дело в том, что сами карбиды много проч-
нее любого металлического связующего; зерна корунда в кера-
мике тоже гораздо прочнее силикатов или алюмосиликатов, об-
разующих межзеренные границы или служащих наполнителями.
Пористой керамике присуща, конечно, дополнительная слабость

Частное сообщение Райса (1968 г.)
из-за концентрации напряжений на порах. На фиг. 7.88 показан
профиль скорости свободной поверхности для ударносжатого об-
разца TiB2.

О хрупких поликристаллических материалах принято думать,
что их прочность при сжатии обычно во многом определяется
влиянием свободных границ. В экспериментах по статическому
нагружению такими свободными границами могут быть наруж-
ные макроскопические границы, внутренние границы зерен или
свободные поверхности зерен, соприкасающиеся с порами. При
условиях плоского ударного нагружения учитываются только
внутренние границы. По всей вероятности, только для образцов
с почти теоретической плотностью истинное пластическое тече-
ние определяет предел текучести.

Влияние пористости на профиль волны в прочном металле по-
казано на примере поведения образца сплава фанстил-77
(фиг. 7.89). В какой-то степени этот профиль можно было бы
назвать «кривой раздавливания». Исследование образца до удар-
ного нагружения показало множество углублений на поверхно-
сти, говорящих о пористости. На записи емкостным методом по-
ристость проявляется в том, что для этого очень прочного мате-
риала нет хорошо выраженного гюгониевского упругого предела.
Напряжение откольного разрушения, выявляющееся по провалу
в профиле скорости, также мало. Выражение «кривая раздавли-
вания» могло бы также относиться к профилям ударной волны
в пирексе (фиг. 7.90). Неудивительно, что этот материал ведет
себя подобно чистому кварцевому стеклу, подробно исследован-
ному Вакерле [9]. Открытая микроструктура стекловидного
кремнезема ведет себя при воздействии ударной волны подобно
порам в пористом твердом теле.

Пока в литературе недостаточно освещены ударные свойства
пластмасс, хотя некоторое внимание в этом отношении уделя-
лось люситу и плексигласу. Пока еще нет никаких данных, сви-
детельствующих о том, что этим материалам действительно при-
сущ упруго-пластический переход в том смысле, в каком это от-
носится к металлам или даже хрупким материалам. Ударные
волны в этих материалах, насколько известно, не образуют двух-
волновых структур на любых исследованных уровнях напряже-
ний (фиг. 7.91). Нет никаких видимых упругих волн; однако по-
верхность клина достаточно долго сохраняет свою отражатель-
ную способность, чтобы следовать за перемещением пластической
волны нескольких микросекунд. Хотя нельзя не считаться с важ-
ностью влияния краев, большое горизонтальное смещение полос
показывает, что амплитуда ударной волны в этом опыте состав-
ляла 1,4 ГПа. То, что данные о зависимости скорости ударной
волны от массовой скорости для плексигласа плохо экстраполи-
руются к скорости объемных волн, свидетельствует о существо-
Ф и г. 7.88. Профиль скорости свободной поверхности (с признаками ряда
отражений волн) для образца TiB плотностью 4,3 г/см3 толщиной 10,3 мм
после нагружения взрывом баратола через пластинку из сплава А1 2024.

Гюгониевский упругий предел равен —-6 ГПа.

Фиг. 7.89. Профиль волны для образца сплава фанстил-77 толщиной 12,7 мм.
вании фазового перехода иного рода. Отсутствие двухволновой
структуры, видимо, говорит о том, что пластмассы обладают
столь открытой структурой, что отдельные атомы могут сме-
щаться на значительные расстояния относительно друг друга
без разрыва взаимодействия. Возможно также, что химические
связи могут быть разорваны и перестроены так, что гидродина-
мическое равновесие легко достигается.

Одному аспекту упруго-пластического течения в последнее
время уделяется все больше внимания. Им является профиль до-
гоняющих волн. Представляют интерес волны как сжатия, так и

Фиг. 7.90. Профили скорости свободной поверхности мишеней из пирекса при
ударе с двумя различными скоростями.

Начальные участки профилей обнаруживают те же особенности, что и аналогичные про-
фили для сплава фанстил-77 (фиг. 7.89) или плавленого кварца (об этом говорится
в тексте).

разгрузки. Исследование структуры волн разгрузки является
основой понимания затухания коротких по времени импульсов
сжатия при их распространении через материалы. Не удиви-
тельно, что такие волны разгрузки напряжения имеют в метал-
лах, как оказалось, свою собственную упруго-пластическую
структуру. Как отмечалось в разд. 7.3, это есть следствие того,
что при любом заданном уровне напряжения в ударной волне
материал может разгрузиться из состояния, лежащего выше гид-
ростатического, в другое состояние, лежащее по крайней мере го-
раздо ниже. Наряду с тем обстоятельством, что такие возмуще-
ния распространяются со скоростью продольных звуковых волн
при высоком давлении, это приводит к более резкому затуханию
коротких по времени импульсов напряжения, чем можно было
ожидать на основе гидродинамических расчетов. Эти эффекты
были исследованы с помощью измерения максимального напря-
жения в зависимости от пути, пройденного ударной волной в об-
разцах, которые подвергались действию коротких импульсов [46].
В таких системах можно проследить за движением свободной по-
верхности за пиком скорости. Здесь можно наблюдать возникаю-
щие в результате взаимодействия идущих вперед и назад волн
разрежения волны растяжения, за которыми следует минимум
скорости свободной поверхности, соответствующий напряжению
расщепления, и последующие затухающие колебания, при кото-
рых в растрескавшемся образце запасенная упругая энергия пе-

Фиг. 7.91. Фотограмма профиля волны в плексигласе, записанная по методу
оптического затвора.

реходит в тепловую. Эти данные в настоящее время очень
полезны для проверки теоретических моделей, которые исполь-
зуются для расчета взаимодействия импульсов с более сложным
профилем. Такие расчеты необходимы, в частности, для полной
интерпретации записей скорости свободной поверхности, так как
ее движение после первого прихода упругого предвестника дей-
ствительно есть следствие ряда сложных взаимодействий волн.
Например, даже очевидный приход первого фронта пластической
волны в действительности является следствием упругой волны
разрежения, идущей к пластической ударной волне, и новой уп-
ругой волны сжатия, идущей к свободной поверхности. Этот про-
цесс происходит несколько раз пока свободная поверхность не
ускоряется до ее конечной скорости. На фиг. 7.92—7.94 представ-
лены некоторые данные по догоняющим волнам для тантала, ле-
гированного магния (сплава AZ-31B) и нержавеющей стали 304.
Одной полезной особенностью записей изменения скорости
поверхности во времени является то, что амплитуды первых
подъемов скорости свободной поверхности могут быть использо-
ваны для измерения напряжения откольного разрушения мате-
риала в условиях нагружения при эксперименте. Расчет был сде-
лан в предположении, что акустический импеданс при растяги-
вающих напряжениях порядка нескольких десятых долей гига-
паскаля такой же, как и при сжатии. В этом приближении

Фиг. 7.92. Данные о скорости свободной поверхности трех мишеней из титана
толщиной 9,6 мм после удара со скоростью 0,4 км/с пластинками тантала тол-
щиной 3,2 мм (а), 0,7 мм (б) и 0,13 мм (в).

Посредством подобных экспериментов можно исследовать догоняющие волны и напрЯ’
жения откольного разрушения.

причем здесь неопределеннее всего то, что считать наиболее под-
ходящей скоростью звука — скорость продольных или скорость
объемных волн.

Кроме того, эксперименты с затуханием ударных волн в ме-
таллах дают результаты, по которым можно узнать скорость
продольных звуковых волн, а следовательно, и продольный уп-
ругий модуль, в зависимости от давления вплоть до очень высо-
ких его значений. Поскольку объемный модуль можно с большой
достоверностью определить из данных об адиабате Гюгонио, от-
крывается возможность установления обоих модулей — объемного
0.6

Ф и г. 7.93. Данные о скорости свободной поверхности двух мишеней из леги-
рованного алюминием магния (сплав AZ-31B) толщиной 12,7 мм после удара
со скоростью 0,4 км/с пластинками из сплава А1 2024 толщиной ~ 3 мм (а)
и ~ 0,8 мм (б).

Ф и г. 7.94. Профиль скорости свободной поверхности мишени из нержавеющей
стали 301 толщиной 12,7 мм после удара пластинкой из той же стали толщи-
ной 3,2 мм.
и сдвигового — для изотропных материалов вплоть до очень вы-
соких давлений.

Общий вывод из этих экспериментов состоит в том, что ма-
териалы, которые обычно считаются пластичными, обнаружи-
вают гораздо более высокие напряжения хрупкого разрушения,
чем материалы, обычно считающиеся хрупкими. Существует, од-
нако, разная степень хрупкости, как это следует из сравнения
данных для тантала, магния и нержавеющей стали с данными
для карбида, вольфрама, сплава фанстил-77 и корундокерамики.

Второй, достаточно хорошо обоснованный общий вывод со-
стоит в том, что по крайней мере для относительно чистых метал-

Ф и г. 7.95. Изменение во времени скорости свободной поверхности мишени
из диабаза.

На кривой заметны признаки некоторого «уплотнения», выражающиеся в том, что
с измеренной скоростью продольных звуковых волн распространяется только ничтожно
слабое напряжение, а за ним сразу же следует большое возмущение вследствие интен-
сивного течения.

лов коэффициент Пуассона в зависимости от давления не меня-
ется или медленно уменьшается по крайней мере вплоть до дав-
лений порядка 10 ГПа. Для таких слабых ударных волн
повышение температуры обычно очень мало.

Примеры разнообразных материалов, данные о скорости сво-
бодной поверхности для которых можно получить и использовать
для облегчения понимания процесса распространения ударных
волн, приведены на фиг. 7.95—7.98, где показаны профили волн
в диабазе, нитриде бора с плотностью 2,0 г/см3, пластической
модели ВВ и кварцефенольном рефрасиле. Отметим, в частности,
что у последнего обнаружено весьма внушительное напряжение
откольного разрушения в условиях плосковолнового нагружения.
Помимо приближенных расчетов, которые позволяют до-
вольно хорошо определять значения гюгониевского упругого пре-
дела, для оценок сопротивления откольному разрушению и ско-
ростей волн существуют различные расчетные программы чис-

Ф и г. 7.96. Профиль скорости свободной поверхности мишени из нитрида бора
с низкой плотностью.

Амплитуда упругого предвестника очень мала, а пластическая волна нарастает очень
круто (иное поведение, чем у графита PT-0178, о чем говорится в тексте).

ленного счета с Целью анализа и использования изложенных
здесь данных. В некоторых из этих программ напряжение пласти-
ческого течения считается просто постоянным и в расчет распро-

Ф и г. 7.97. Изменение во времени скорости свободной поверхности пластиче-
ской модели ВВ.

Все возмущение носит явно «упругий» характер.

странения ударных волн вносится поправка на небольшие упру-
гие составляющие. В других программах учитывается влияние
зависимости текучести от времени и деформационного упрочне-
ния. Единственной такой программой, с которой мы работали,
является программа STRESS-R, которая обладает этими чертами
для одномерного течения [44]. Двумерные расчеты с учетом жест-
кости были проведены Уилкинсом (HEMP) [47] и Германом
и др. (TWODY) [48]. Общий вывод из всех расчетных и экспери-
ментальных работ, по-видимому, сводится к тому, что пластиче-
ские пределы не должны быть очень большими, чтобы оказывать
значительное влияние на затухание и распространение ударных
импульсов, в частности в системах, состоящих из слоев материа-
лов, из-за относительно высокой скорости упругих составляющих
волн. Было также выяснено, что одномерные эксперименты дают
сведений о дислокационной динамике больше, чем более слож-
ные двумерные эксперименты. Это связано с тем, что, хотя в од-

Ф и г. 7.98. Изменение во времени скорости свободной поверхности мишени из
рефрасила.

По непонятным причинам волны откольного напряжения в этих двух случаях в корне
различны по своему характеру.

номерных экспериментах деформации малы, высокие напряже-
ния дают такую информацию, которую очень трудно получить
в более сложных экспериментах.

В табл. 7.10 обобщены данные о гюгониевском упругом пре-
деле, полученные емкостным методом и методом оптического за-
твора. Ясно, что, кроме особых случаев, когда имеется хорошо
выраженная точка пластического перехода, решение о точных
амплитудах принимается произвольно. Была сделана соответст-
вующая попытка взять первую точку, в которой на записи скоро-
сти свободной поверхности в зависимости от времени имеется
значительная кривизна. Никогда упругий предел не определялся
с точностью лучше 10%. В некоторых случаях ошибки были, по-
видимому, даже гораздо больше. Известно также, что для многих
материалов гюгониевский упругий предел есть убывающая функ-
ция толщины образца.
Таблица 7.10

Гюгониевские упругие пределы

Материал	Толщина образца, мм	Упругий предел, ГПа
А1 2024	12	0,540
А1 6061	12	0,54D
Be2)	12	0D
Be (вдоль оси с)	6	4,01)
Be (в базисной плоскости)	6	0,41)
Сг	5	1,63)
Си (отожженная)		0D
Си (с 50 %-ным наклепом)	12	0,630
Fe		
мелкозернистое, твердое	3	1,53)
крупнозернистое, твердое	3	1,43)
мелкозернистое, мягкое	3	1,13)
крупнозернистое, мягкое	3	0,93)
Mg (AZ-31B)	12	0,llD
Мо	3	1,63)
Ni	12	1,00
Nb	12	2,07D
РЬ (отожженный)	12	0D
Та	10	1,87D
Th	12	0,14D
Ti	12	1,85D
U (литой)		0D
W	5	3,23)
Ge (100)	8	5,2D ; 5,23)
Ge (114)	10	4,03)
Ge (111)	10	3,73)
Нержавеющая сталь 304	12	0,23D
Si (100)	10	8,2П; 6,83)
Si (111)	10	6,03)
Si (110)	10	6,73)
wc	12	4,0D
85%-ная корундокерамика (пористая,	12	4,5D
po=3,4O г/см3)		
95%-ная корундокерамика (пористая,	12-	5,0D
ро=3,75 г/см3)		
BN (пористый, ро=2,О6 г/см3)	12	0D
Жадеит	10	6,53)
MgO (монокристальная)	10	4,03)
*) Емкостным методом.		
2) Текучесть проявляется сразу же.		
3) По методу оптического затвора.		
8

МЕТАЛЛОФИЗИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ

Р, Понд, К. Гласс

1.	ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ УДАР И ЯВЛЕНИЕ
КРАТЕРООБРАЗОВАНИЯ

Под высокоскоростной деформацией мишени обычно пони-
мают деформацию, которая возникает в ней при достаточно вы-
соких скоростях ударяющего тела (ударника), способных при-
вести к образованию кратера. На фиг. 8.1 показано поперечное
сечение кратера в алюминиевой мишени, дающее представление
о различных областях, связанных с кратером. Кратер, как пра-
вило, имеет полусферическую форму, хотя при определенных
условиях он может быть цилиндром с полусферическим дном.

На поверхности мишени кратер опоясывается уступом, обра-
зованным как бы выплеснувшимся из мишени металлом. Под
поверхностью мишени кратер окружает деформированная об-
ласть, контуры которой повторяют геометрическую форму кра-
тера. (Речь об этой области и ее очертаниях пойдет несколько
ниже.)

При осмотре кратера сами собой напрашиваются многие во-
просы, например следующие:

1)	Определяется ли объем кратера объемом металла, выбро-
шенным из образца?

2)	Где раньше находился материал, образовавший уступ?

3)	Сколько энергии поглощается деформированной областью,
выброшенным металлом, уступом и разрушившимся ударником?

4)	Зависят ли ответы на предыдущие вопросы от свойств ма-
териала мишени?

В настоящей главе предполагается ответить на два последних
вопроса, так как ответы на первые два вопроса, как оказалось,
уже даны.

Девис [Ч, рассматривая возникновение внутренних напряже-
ний при взаимодействии шара с полубесконечным твердым об-
разцом, заметил, что при внедрении закаленных цилиндров
в стальные пластины разрушение начинается не в области их
соприкосновения, а глубже (это было обнаружено эксперимен-
тально Томасом и Хершем еще в 1930 г.). По его словам, если
объем материала, подверженный максимальным сдвиговым на-
пряжениям, расположен под поверхностью, то процесс выброса
должен происходить так, как это показано на фиг. 8.2. Отсюда
вытекало также, что материал приповерхностного слоя
Фиг. 8.1. Различные области кратера в алюминиевой мишени диаметром
~ 75 мм.

Фиг. 8.2. Область максимальных сдвиговых напряжений (Л) и образование
кратера при ударе (Р — ударник).
с наименьшими сдвиговыми напряжениями образует под дейст-
вием выбрасываемой массы уступ кратера.

Хсю и Понду [2] удалось с помощью трехмерной никелевой
сетки, заделываемой в медную мишень, выявить происхожде-
ние материала в уступе. Как они установили, выбрасывается
лишь небольшая доля металла (10—30%), находившегося
раньше на месте кратера. На фиг. 8.3, где иллюстрируются ре-

Ф и г. 8.3. Кратер диаметром — 13 мм в меди с прогнутой вниз никелевой
проволокой.

зультаты этого опыта, показана никелевая проволока, которая
до опыта пересекала будущий кратер приблизительно на его
полувысоте. Как видно, проволоку не выбросило наружу, а про-
гнуло вниз.

2.	ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ОПЫТЫ

Исторически идея о влиянии металлофизических характери-
стик мишени на процесс высокоскоростного соударения не сыг-
рала большой роли на начальной стадии изучения этой весьма
интересной проблемы. На первых порах процесс рассматривался
с точки зрения предварительно накопленного опыта.

1.	Под действием короткого, компактного металлического
ударника, налетающего с высокой скоростью (около 3—5 км/с)
на твердую металлическую мишень, образуется большой кратер.
Первоначально интерес к этой проблеме, как можно думать,
возник в связи с вопросами о столкновении космического ко-
рабля с метеоритом при скоростях соударения порядка 20—
30 км/с.

2.	В теории проникновения в преграду кумулятивного за-
ряда на протяжении ряда лет рассматривались похожие задачи,
но с той разницей, что заряд имел более удлиненную форму,
нежели обычный высокоскоростной ударник (метеорит), а пре-
града была очень тонкой. Эйхельбергер [3, 4] разработал ку-
мулятивную теорию Биркгофа и др. [5] до такой стадии, что
удалось провести расчеты проникновения струй в бесконечные
мишени на основе гидродинамических соображений. В известном
смысле проблема высокоскоростного соударения решалась сце-

Ф и г. 8.4. Данные о влиянии твердости стальных мишеней на их пробивае-
мость.

лью использования ее в исследованиях по кумулятивному про-
никновению. Имеется ряд публикаций, касающихся кумулятив-
ного проникновения [3—7]. Данные, представленные на фиг. 8.4,
иллюстрируют влияние твердости стальных мишеней на их про-
биваемость. Мосс [8] показал, что пробиваемость мишеней зави-
сит от их микроструктуры для данной степени твердости. Этот
единственный в своем роде значительный труд был завершен
лишь в 1966 г.

3.	Структура ударных волн в ударнике и мишени во многих
отношениях сходна со структурой ударных волн в твердом теле
при контактном взрыве.

Анализ поведения твердого тела при интенсивной ударной
нагрузке был первоначально проведен Нейманом и Рихтмейе-
ром [9]. В разработанных ими преобразованиях уравнений фи-
гурирует искусственная вязкость, которая вводится в основное
уравнение движения. Рождение вычислительных машин открыло
возможность нового решения таких уравнений. Бьорк [10]
одним из первых разрабатывал программу для решения в гидро-
динамическом приближении задачи об образовании кратера при
высокоскоростном ударе.

4.	Райсу и др. [11] удалось получить адиабаты Гюгонио и
другие экспериментальные данные, необходимые при построении
уравнения состояния вещества для гидродинамического анализа
задачи о высокоскоростном соударении.

В исходных работах по данному направлению внимание со-
средоточивалось на накопленных сведениях. Но, как это следует
из изложенного, единственным важным параметром вещества,
который использовался при всех подходах к задачам о высоко-
скоростном соударении, оставалась первоначальная плотность
вещества. В термодинамических уравнениях состояния не учи-
тывались термомеханические соотношения. Вязкостные члены,
появлявшиеся только из-за аналитических трудностей, не отра-
жали свойств материала.

Одномерный анализ затухания ударных волн при ударе пла-
стинки был проведен Аллисоном и Чоу [12]. Их исследование
показало, что плоские ударные волны, возникающие при соуда-
рении в алюминии, отвечают эквивалентности на поздней стадии,
если произведение u%d постоянно, где ио— скорость соударения,
d — толщина пластинки, а а — константа, приблизительно рав-
ная 1,3. Параметр а нужно рассматривать как функцию не
только скорости «о, но и свойств материала, особенно в диапа-
зоне малых скоростей соударения.

УЧЕТ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛА МИШЕНИ

Недавно Уолш и др. [13] ввели в гидродинамическую про-
грамму задачи об образовании кратера при высокоскоростном
соударении прочностные характеристики материала. Следуя
этому подходу, они обнаружили, что размер кратера можно
предсказать по основным геометрическим эффектам. Критерий
разрушения вводится также в программу TOIL.

Однако большинство используемых вычислительных про-
грамм дает картины движения, существенно отличающиеся от
ожидаемой (фиг. 8.2), и с иными результатами, чем это наблю-
дается на фиг. 8.3.

В большей части исследований по влиянию металлофизпче-
ских свойств на деформацию при высокоскоростном ударении
объем кратера связывается с прочностью мишени. Приведем
следующие примеры:

1.	Эйхельбергер и Геринг [14] предположили, что объем кра-
тера V связан с кинетической энергией ударника углом
атаки а и числом твердости мишени Н по Бринеллю соотноше-
нием

y=m>2COSa/2,62//.	(8.1)

2.	Герман и Джонс [15] вывели выражение

/г=1,2 (Ро/р)2/зг In (1 +?г^ч?1Н\	(8.2)

где h — глубина кратера, г — радиус сферического ударника,
ро — плотность ударника, р — плотность мишени, v — скорость
ударника, Н — число твердости мишени по Бринеллю.

Вообще говоря, приведенные соотношения не способны объ-
яснить широкое разнообразие существующих экспериментальных
данных. Причина кроется во влиянии динамических парамет-
ров на движение и разрушение динамически нагруженного ма-
териала. Попытки найти универсальное соотношение между глу-
биной кратера и твердостью материала привели к изучению
«динамической прочности». Фельдман [16] разрабатывал эту
проблему, но не получил надежных результатов. Фадеенко [17],
также потерпев неудачу в 1964 г., пришел к выводу, что его ана-
лиз динамической прочности страдает от нерешенности ряда во-
просов, которые он не смог принять во внимание.

Надо упомянуть и о ряде других подходов, чтобы показать,
как в различных исследованиях предпринимались попытки
учесть свойства материала в процессе высокоскоростного со-
ударения.

1.	Кинекс [18] накопил обширные данные по объему поло-
стей, образующихся в различных материалах при бомбарди-
ровке с высокими скоростями, но ничего не смог добавить к во-
просу о влиянии их свойств, кроме того факта, что существует
температурный эффект. Ричард и Гласс (неопубликованные дан-
ные) показали, что чем выше температура, тем меньше расход
энергии на образование кратера и рузрушение мишени. Темпе-
ратурный эффект изучался также Аллисоном [19].

2.	Уилкинс [20] разработал упруго-пластическую программу,
воспользовавшись критерием текучести для анализа движения
в ударнике и мишени в условиях соударения. Он расширил эти
исследования и успешно работает над проблемой проникнове-
ния в преграду.

3.	Рольстен и Хант [21] проанализировали динамическое на-
пряжение и истинную прочность при растяжении в рамках своей
модели кратерообразования, связав глубину полусферического
кратера d с истинным растягивающим напряжением при разру-
шении $ формулой

б/=(т>2/4тг$),/з.

(8.3)
Это лишь отдельные примеры различных подходов к решению
данной задачи. С другими исследованиями можно ознакомиться
по упоминающимся в литературе материалам симпозиумов, по-
священным высокоскоростному соударению.

3.	ВЛИЯНИЕ МЕТАЛЛОФИЗИЧЕСКИХ СВОЙСТВ

НА ДЕФОРМАЦИЮ МЕТАЛЛА В ЗАВИСИМОСТИ
ОТ СКОРОСТИ СОУДАРЕНИЯ

Имеется очевидное различие в аналитических подходах при
изучении ударно нагруженных тел, в особенности металлов.
Если приложенное динамическое усилие по величине совпадает
со статическим пределом прочности металла, то задача обычно
решается одним путем. Если же приложенная динами-
ческая нагрузка на много порядков превосходит статический
предел прочности материала, то должен применяться другой,
главным образом феноменологический подход. Хотя такое раз-
деление и существует, но вряд ли в действительности можно на-
метить какую-то границу в поведении металлов под ударной на-
грузкой.

Неудачи исследователей в увязке этих двух режимов кро-
ются, во-первых, в нерешенности вопроса о макроскопических,
микроскопических и субмикроскопических взаимосвязях и, во-
вторых, в невозможности составления точных теоретических оце-
нок реакции металла на динамические нагрузки, когда гидроста-
тические компоненты приводят к изменению плотности, а возник-
шие девиаторные компоненты порождают течение и разрушение
материала. Этим характеризуется решающий момент при вся-
ком рассмотрении чувствительности металла к скорости дефор-
мирования.

Еще одно препятствие состоит в том, что даже при низких
динамических напряжениях трудно построить строгие трехмер-
ные модели, а еще труднее их проанализировать. В таких кон-
кретных задачах, как проникновение в твердое тело цилиндри-
ческого ударника в широком диапазоне скоростей, включая
высокоскоростную область, преимущественно используются фе-
номенологический и механистический подходы в режимах как
низких, так и высоких динамических напряжений.

4.	РОЛЬ МИКРОСКОПИЧЕСКИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
О МАТЕРИАЛЕ

При исследовании материалов различают три основные об-
ласти: 1) макроскопическую (>10° см), микроскопическую
(10-4—10° см) и субмикроскопическую (<10-4 см). Точное раз-
граничение в какой-то мере произвольно, но сами области су-
ществуют. Каждая область имеет свои особенности, свои спо-
собы анализа и соответствующие экспериментальные методики.

На протяжении многих сотен лет существовал классический
макроскопический подход. Свойства напряженно-деформирован-
ного образца определялись следующими параметрами: модулем
Юнга £, модулем сдвига G, деформацией на пределе текучести
материала (или деформацией при произвольно выбранной
точке текучести), напряжением при пластическом течении оу
и предельными разрушающими значениями напряжений и де-
формации. Практические конструкционные критерии часто еще
требуют знания коэффициента Пуассона v, а также ударной
прочности или сопротивления твердого тела хрупкому разруше-
нию. В технической механике в прикладном смысле редко при-
ходится пользоваться большим набором параметров, чем проч-
ностные характеристики и модули.

За последние два десятилетия интерес исследователей пере-
местился из макроскопической области в суб микроскопическую.
Значительные экспериментальные усилия были сосредоточены
на изучении дислокаций и вакансий в решетке, причем основным
результатом каждого исследования была связь между числом
дислокаций N и напряжением, требующимся для изгибания, пе-
ремещения, генерации, аннигиляции или какого-то изменения
структурного дефекта в решетке.

Попытка связать поведение образца в микроскопическом мас-
штабе с его субмикроскопическими параметрами сталкивается
с необозримыми трудностями, которые усугубляются отсутст-
вием надежных экспериментальных и стройных теоретических
данных о влиянии микроскопических свойств на макроскопиче-
ские.

В конечном итоге реакция образца определяется приложен-
ными напряжениями. И образец, и нагрузка рассматриваются
с макроскопической точки зрения. Модули, пределы текучести,
коэффициенты деформационного упрочнения, пределы прочно-
сти, сопротивление хрупкому разрушению, напряжения и дефор-
мации при разрушении — все эти параметры необходимы при
обычных всевозможных вычислениях. Влияние на эти параметры
макроскопических и субмикроскопических размеров кристалли-
тов (зерен), микроструктуры, преимущественной ориентации и
других внутренних характеристик материала, относящихся
к микроскопической области, пока еще не полностью системати-
зировано. Эти многочисленные данные подчас недоступны, когда
речь идет, например, о выводе соотношений между преимущест-
венной ориентацией, размером зерен и модулем Юнга. Исследо-
ватели, как правило, обходили стороной эту представлявшуюся
им прозаической область, оставляя ее разработку практикам
промышленного направления, которые срочно получали необхо-
димые данные для конкретного куска стали, используемого
в конкретном корпусе ракеты.

В настоящее время высокоскоростные ударные явления все
еще находятся в стадии макроскопического рассмотрения. Та-
ким образом, первое препятствие, стоящее на пути увязывания
металлофизических свойств материалов с их реакцией на высо-
коскоростной удар, сводится к отсутствию стройного и логичного
комплекса сведений, пусть даже недостаточно исчерпывающего,
о взаимоотношении макроскопических, микроскопических и суб-
микроскопических параметров. Наши знания сосредоточены
в двух областях, областях с резко различающимися линейными
масштабами. Поэтому при поисках связей между макроскопиче-
скими и относительно простыми микроскопическими парамет-
рами мы вынуждены ограничиваться лишь корреляционными за-
висимостями.

5.	КОРРЕЛЯЦИОННАЯ МОДЕЛЬ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ
РЕЗУЛЬТАТЫ

Для всех диапазонов скоростей существенна проблема ре-
альных измерений влияния металлофизических свойств металла
на его деформацию при совместном действии гидростатических
и девиаторных напряжений. Разделение влияния этих двух вол-
новых составляющих напряжения связано с большими трудно-
стями.

Одним из подходов к проблеме может быть измерение гео-
метрических изменений в системе и связь этих изменений с внут-
ренними параметрами материала. Например, пластическую де-
формацию в цилиндрическом стержне (с отношением длины
к диаметру менее 15), проникающем в мишень или пробиваю-
щем ее, можно охарактеризовать соотношением

р;=Сое-₽(х//),	(8.4)

где Pi — полная пластическая деформация в стержне, Со — ско-
рость звука в металле (когда мишень и ударник изготовлены из
родственных металлов), х— толщина мишени, t — время про-
никновения ударника в мишень, р— постоянная, зависящая от
динамических связей напряжение — деформация изучаемого ма-
териала. Однако точно эта функция свойств материала к на-
стоящему времени пока неизвестна.

Другой подход — это создание теоретической модели, кото-
рую можно исследовать экспериментально в процессе деформа-
ции. Тем не менее даже при малых скоростях соударения, когда
распространяющиеся по образцу напряжения по порядку вели-
чины совпадают с его прочностью, трудно Выявить закономерно-
сти влияния скорости нагружения на свойства материала.

Тейлор [22], а также Уайт и Гриффис [23] предложили опре-
делять скорость пластических волн в металле по известной за-
висимости напряжения от деформации следующим образом:

С2=(1/р)Л/б/е,	(8.5)

где С — скорость волны, delete — наклон используемой зависи-
мости напряжение — деформация, р — плотность образца.

Здесь всегда возникает вопрос о том, каким соотношением
между напряжением и деформацией нужно в таких случаях поль-
зоваться. Нужно ли брать обычную зависимость, найденную при
сравнительно небольших деформациях и напряжениях, или же
необходима новая связь между напряжением и деформацией,
пригодная для больших скоростей (превышающих некоторую
критическую скорость)?

Решение этого вопроса кроется в выяснении роли размера
зерна, плотности дислокаций, содержания примесей, кристалли-
ческой структуры, преимущественной ориентации, модулей и всех
механических свойств материала, обычно используемых для его
описания-.

На эту тему написан ряд хороших обзорных статей. Один из
последних обзоров новых работ в области удара с малой скоро-
стью составлен Беллом [24]. Он рассматривает это явление глав-
ным образом с точки зрения нечувствительности материала
к скорости деформации. Белл ссылается также на многие кри-
тические статьи по данному вопросу безотносительно к тому,
какой позиции придерживается тот или иной автор в вопросе
о чувствительности к скорости деформации.

Подход авторов к проблемам, связанным с влиянием метал-
лофизических параметров на деформацию металла при высоко-
скоростном соударении, базируется на феноменологических пред-
ставлениях. Однако ряд представлений заимствовался ими из
теоретических и экспериментальных исследований одномерных
задач. Ниже излагаются некоторые результаты наблюдений,
проведенных за последнее время, которые привели к выводу,
что внутренние свойства материала управляют деформацией
твердых тел под воздействием динамических нагрузок, на не-
сколько порядков превосходящих прочность тела.

6.	ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ МЕТАЛЛОФИЗИЧЕСКИЕ
НАБЛЮДЕНИЯ

При весьма высокоскоростном воздействии ударника на ми-
шень в зоне удара могут возникнуть ударные давления порядка
мегабар. Если же мишень достаточно толстая, то конечные
стадии деформации проходят при напряжениях, незначительно
превосходящих статическую прочность мишени.

При каких же напряжениях можно не учитывать внутренние
свойства материала?

Напряжения и ударные волны, возникающие в полубесконеч-
ных мишенях при высокоскоростном соударении, аналогичны
тем, которые образуются при контактных взрывах на неподвиж-
ных образцах. Наблюдения, сделанные в опытах со взрывной на-
грузкой, могут помочь при ответе на поставленный вопрос.

Первое фундаментальное исследование по взрывному нагру-
жению было осуществлено Райнхартом и Пирсоном [25] в 1954 г.
В 1955 г. Райнхарт [26] помещал взрывчатое вещество внутри

Ф и г. 8.5. Монокристалл алюминия, несимметрично расширяющийся под дей-
ствием внутреннего взрывного нагружения, через 2 мкс (а) и 7 мкс (б) после
взрыва.

тонкостенного монокристалла алюминия и сопоставлял хрупкое
разрушение с кристаллической ориентацией, используя стерео-
графическую проекцию. Казалось бы, Райнхарт «доказал», что
монокристальное строение образца управляет его хрупким раз-
рушением даже при давлениях, на много порядков превосходя-
щих предел прочности металла. Однако исследования ударных
адиабат в поликристаллических материалах, распространенные
Уолшем и др. [11] на монокристаллы, привели к результатам,
которые трактовались как доказательство того, что для моно-
кристаллов и поликристаллических образцов из одного и того
же материала адиабаты Гюгонио совпадают.

В 1956 г. была начата широкая программа исследований
в целях выяснения влияния свойств металла (если таковое су-
ществует) на поведение образцов при ударных нагрузках.
В основном в работах Гласса и др. [27] было показано, что
монокристаллы начинают деформироваться под ударной нагруз-
кой согласно ориентации кристалла по отношению к приложен-
ной нагрузке и хрупко разрушаются по кристаллографическим
плоскостям. На фиг. 8.5 показан монокристалл алюминия, несим-
метрично расширяющийся под действием внутреннего взрывного
нагружения. На фиг. 8.6 сравниваются разрушившиеся моно-
кристальный и поликристаллический образцы. Окончательные
результаты измерения деформации для двух монокристаллов,
одного трикристалла, одного поликристаллического образца
с малым углом разориентации и хаотично ориентированного по-
ликристаллического образца приведены на фиг. 8.7. В экспери-

Ф и г. 8 6. Монокристальный (а) и поликристаллический (б) образцы алю-
миния после разрушающего внутреннего нагружения.

ментальной установке кристаллы располагались таким образом,
чтобы покадровую киносъемку можно было расшифровывать
с учетом их ориентации. Съемка велась под углами 45°, что соот-
ветствовало кристаллографическим направлениям [110] и [100].
На фиг. 8.7 приведены скорости свободных поверхностей по этим
двум направлениям для монокристаллов и трикристалла. Ре-
зультаты для кристалла с малым углом разориентации и моно-
кристалла с полосчатой структурой в основном совпадают. Для
этой структуры были определены «средние» кристаллографичес-
кие направления, а измерения скорости свободной поверхности
проводились так же, как в других случаях. Предполагалось, что
массовая скорость частицы составляет половину скорости сво-
бодной поверхности.

В табл. 8.1 приведены данные о массовых скоростях, изме-
ренных в этих опытах, средних значениях скорости ударных волн
и давления непосредственно у свободной поверхности. Интересно
отметить отличие в скоростях по разным направлениям.
Весьма важно то обстоятельство, что кристаллы, подвергав-
шиеся воздействию нагрузок на наружной и внутренней поверх-
ностях, соответственно на два и четыре порядка превосходивших
предел прочности, тем не менее деформировались с самого на-
чала как монокристаллы.

В работе Гейнера и Гласса [28], которые исследовали медные
конусы с различными преимущественными ориентациями, было
показано, что разрушение конуса при взрывной нагрузке опреде-

Ф и г. 8.7. Расширение алюминиевых цилиндров при многократном ударном
нагружении.

Таблица 8.1

Расчетные результаты для отдельных опытов с алюминиевыми цилиндрами

Номер опыта	Характер образца	Средняя ско- рость соуда- рения, мм/мкс	Массовая скорость, мм/мкс		Давление на свободной по- верхности, ГПа	
			11101	(100]		
					[ПО]	[100]
10	Монокристальный	4,98	0,098	0,084	1,28	1,13
16		5,80	0,089	0,066	1,39	1,03
8	Трикристальный	5,50	0,097	0,083	1,41	1,19
19	Малоугловой	5,00	0,106	0,093	1,40	1,22
18	Поликристаллический	5,07	0,152		2,02	
8		4,49	0,059		0,71	
лялось непосредственно ориентацией и характером изменения
ориентации в образце. Ими были выведены эмпирические соот-
ношения, отражающие влияние ориентации на разрушение.

Надо упомянуть также о недавней интересной работе Грина
[29], в которой он показал, что потери в упругой волне, распро-
страняющейся по монокристаллу, происходят по кристаллогра-
фическим плоскостям, непараллельным первоначальному направ-
лению движения волны. Иными словами, продольная волна
порождает сдвиговые компоненты (и наоборот) сообразно ориен-
тации кристалла. Похожее явление, видимо, имеет место и для
ударных волн, распространяющихся по монокристаллам. Однако
попытки провести прямое количественное измерение расщепле-
ния волны в процессе нагружения к настоящему времени оказа-
лись малоуспешными, главным образом из-за экспериментальных
трудностей.

Подводя итоги, можно сказать, что в полуколичественном
отношении для ударно нагруженных образцов справедливы сле-
дующие положения:

1.	Кристаллическая структура определяет течение и хрупкое
разрушение ударно нагруженных образцов при напряжениях,
даже на два порядка превосходящих прочность металла.

2.	Преимущественная ориентация в поликристаллических ма-
териалах определяет течение и хрупкое разрушение ударно на-
груженных образцов вплоть до напряжений, на два порядка пре-
восходящих предел прочности материала.

3.	При нагружении образуется несколько волновых компо-
нент, так что энергия распределяется по путям, не параллель-
ным основному направлению распространения волны. Это зави-
сит по крайней мере от двух характеристик материала: а) от
кристаллической структуры (ориентации плоскостей по отноше-
нию к направлению действия нагрузки в монокристаллах или
преимущественной ориентации в поликристаллических образцах)
и б) от микроскопической структуры образца (полосчатости, гра-
ниц зерен и т. д.).

4.	Последующие работы показали, что потери энергии в волне
происходят вследствие поворота микроструктуры материала.
Есть предположение, что поворот возникает в процессе разгрузки
при больших давлениях. Когда ударная волна распространяется
по металлу, то возникает возможность циклического вращения
вдоль пути распространения волны.

5.	Хрупкое разрушение металлов сильными волнами сжатия,
отраженными от свободной поверхности, т. е. волнами разре-
жения, есть функция всех упоминавшихся свойств. На фиг. 8.8
показано хрупкое разрушение монокристального и поликристал-
лического образцов меди. Полости, появляющиеся в процессе
хрупкого разрыва, соединяются между собой микроскопическими
Ф и г. 8.8. Монокристальпый (а) и поликристаллический (б)

образцы меди диаметром — 13 мм, разрушившиеся от удар-

ного нагружения.
срезами, что приводит к образованию поверхности разру-
шения.

6.	Несовершенство структуры образцов, обусловленное про-
хождением волны сжатия, влияет на последующее хрупкое раз-
рушение отраженными волнами. С помощью рентгеноскопии и
электронной микроскопии было показано, что образование мно-
гих дислокаций создает ячеистую структуру (фиг. 8.9). Однако
здесь можно видеть упорядоченную систему плоскостей, на ко-
торых концентрация несовершенств столь велика, что их не уда-
лось разрешить. В медных образцах это явление наблюдается
на плоскости (ПО).

Фиг. 8.9. Монокристалл меди под электронным микроскопом, подвергнув-
шийся ударному нагружению до 9 ГПа (Х40 000).

7.	Хрупкое разрушение при высокоскоростной (ударной) на-
грузке есть функция энергии, приходящейся на единицу объема
материала, а не связана однозначной зависимостью с макси-
мальным усилием, как считали раньше.

В то время как формулировались перечисленные выше поло-
жения, Понд [30], изучая высокоскоростную экструзию, разрабо-
тал методологию предсказания скоростей, необходимых для экс-
трузии, на основе идеальных упруго-пластических связей напря-
жение— деформация. Из этих исследований был сделан вывод,
что материал вначале упруго реагирует на сильный удар или
динамическую нагрузку, а затем начинает пластически течь при
неизменном напряженном состоянии [31]. Интересно отметить,
что в 1933 г. Прагер [32], столкнувшись с проблемой текучести,
вывел подобную же зависимость для динамически нагруженных
материалов. Такую же зависимость выявил и Драккер [33] в ис-
следованиях по высокоскоростному резанию металлов.

Основная цель этой работы не ограничивалась получением
идеальной упруго-пластической связи напряжение — деформа-
ция для динамически нагруженных металлов. Анализ проводился
в обход препятствий, с которыми встречались предыдущие иссле-
дователи и которые состояли в количественном определении зна-
чений напряжения и деформации. Понд пришел к следующим
заключениям:

1.	Связь напряжение — деформация применяется в задачах
высокоскоростного нагружения, когда течение металла разви-
вается достаточно быстро под действием постоянно приложенной
нагрузки.

2.	Идеальные упруго-пластические соотношения предпола-
гают временную задержку деформационного упрочнения в ди-
намически нагруженных твердых металлах.

3.	Начальные и конечные точки (о^, Ор, гу, eF) зависимости
напряжение — деформация можно найти из связи истинное на-
пряжение— истинная деформация, определенной при нормаль-
ных (5%/м) скоростях деформации.

4.	Площадь, охватываемая динамической кривой, может быть
использована для расчета удельной энергии, необходимой для
течения и хрупкого разрушения материала, динамически нагру-
женного выше некоторой критической скорости. Эта критическая
скорость зависит от длительности задержки деформационного
упрочнения динамически нагруженного металла.

Исследования выполненные до 1960 г., привели к первой
серьезной попытке ввести металлофизические параметры в за-
дачу о высокоскоростном образовании кратера (Гласс и Понд
[34]) посредством анализа рассеяния энергии ударником при
различных реакциях мишени. Среди новых к тому времени пред-
ставлений была высказана мысль о том, что мишень продолжает
эжектировать материал после того, как ударник уже разру-
шился. Впоследствии это было экспериментально доказано Ки-
неке [18], а также Кинеке и Витали [35].

Эти представления подробнее излагаются ниже.

7. ТЕОРИЯ КРАТЕРООБРАЗОВАНИЯ, БАЗИРУЮЩАЯСЯ
НА СВОЙСТВАХ МЕТАЛЛА

Отличие динамических связей деформация — напряжение от
статических представляет собой хорошо установленный факт,
особенно по отношению к номинальной зависимости деформа-
ция— напряжение. Однако истинные связи деформация — напря-
жение с точки зрения динамических условий не изучались. Пере-
числим несколько важных соображений относительно течения
металла, с учетом которых можно определить объем кратера
в мишени:

1.	Если скалывающее усилие, приложенное к металлу, больше
теоретической прочности, то течение в мишени происходит скорее
посредством сдвига блоков, нежели по механизму движения ди-
слокаций. Теоретическая прочность металла при сдвиге опреде-
ляется выражением

Ъ=О1п,	(8.6)

где G — модуль сдвига, п — число между 7 и 30.

Разумное значение п для большинства металлов есть вели-
чина порядка 15. Модуль сдвига обычно лежит в интервале от
(0,35—0,50) Е.

Теоретическая прочность металла имеет величину, достижи-
мую применением взрывных нагрузок. Это означает, что прибли-
зительно совпадают разность между напряжением при взрывной
нагрузке и теоретической прочностью и разность между нормаль-
ной нагрузкой и статическим напряжением течения.

На фиг. 8.10 приведены интересные данные, касающиеся со-
противления металлов хрупкому разрушению под действием
взрывной нагрузки. Зависимость диаметра образцов от макси-
мального напряжения разрушения для семи металлов экстрапо-
лируется к значению Е/2я, когда диаметр образца стремится
к нулю. Напрашивается вывод, что материал хрупко разруша-
ется при уровнях напряжений, равных теоретической прочности
при растяжении, при которых он не может течь посредством
сдвигающего процесса (нулевой диаметр).

2.	Другим очень важным параметром материала надо счи-
тать зависимость истинное напряжение — истинная деформация.
Схематическое представление о ней можно составить по графику
на фиг. 8.11, где сравниваются кривые номинальной и высоко-
скоростной деформаций.

Изложим исходные моменты, поясняющие эту зависимость.

а)	Энергия ударника мгновенно передается металлу. Опреде-
ленное количество этой энергии затрачивается на разрушение
ударника, тогда как остальная часть поступает в мишень.

б)	Энергия, поступившая в мишень, приводит к возникнове-
нию в ней пластического значения. Течение может начинаться
от свободных поверхностей, быстро понижая давление на фронте
ударной волны.

в)	Давление, весьма высокое на контактной поверхности,
резко убывает в металле из-за боковой разгрузки и распростра-
нения волны от точки соударения. Эта задача лежит вне рамок
гидродинамического анализа, поскольку величина давления опус-
кается ниже мегабарного уровня, если не считать промежутка
2А

Фиг. 8.10. Данные о влиянии диаметра образца на разрушающее напряжение
(образцы разрушались без шейкообразования).

/ — медь; 2 — нержавеющая сталь 304 , 3 — алюминий 1100; 4 — сталь 1045; 5 — сталь 1020;
6 — сталь 4140; 7 — армко-железо.

Фиг. 8.11. Кривые истинное напряжение — истинная деформация при стати-
ческом и предположительно динамическом нагружении.
времени, пока ударник еще не прекратил своего сущест-

вования.

г)	Металл ведет себя так, как если бы имела место времен-
ная задержка деформационного упрочнения, а это время было
бы больше, чем время, необходимое для образования кратера.
По существу это объясняет ход 0—1—3 на кривой напряжение —
деформация (фиг. 8.11).

Здесь материал не следует гидродинамическим закономерно-
стям, так как течение определяется лишь кристаллографичес-
кими и прочностными свойствами, но это течение происходит без

упрочнения, так что если
оно уже началось, то бу-
дет продолжаться до тех
пор, пока энергия в ме-
талле не опустится ниже
некоторого уровня.

д)	Время процесса оп-
ределяется «критической
скоростью» течения ме-
талла мишени. Материал
может эжектироваться из
мишени только со скоро-
стями, определяемыми
этой критической скоро-
стью.

е)	Процесс хрупкого
разрушения и течения
прекращается, когда энер-
гия в мишени снизится до
уровня ниже кривой ис-

Ф и г. 8.12. Гипотетическая зависимость
между напряжением и деформацией при
динамическом нагружении, расход энергии
на которое больше, чем при статическом
испытании.

тинное напряжение—ис-

стинная деформация, определенной при низких (5%/с) скоро-
стях деформации.

ж)	Неизрасходованная энергия в мишени идет на пластичес-
кое деформирование, рекристаллизацию и упрочнение, образуя
«пораженную» зону вокруг кратера с измененной структурой или
остаточным напряжением.

Используя перечисленные соображения, можно теперь сде-
лать следующий шаг в наших исследованиях.

Фиг. 8.12 дает схематическое представление (0—1—3) о за-
висимости истинное напряжение — истинная деформация. Если
прямую 0—1 с тем же модулем упругости продлить до напряже-
ния хрупкого разрушения, а затем провести горизонтальную
прямую до деформации хрупкого разрушения, то к рассматри-
ваемой кривой добавится участок А. Те же идеи и диаграмма
упоминаются в работах [30, 31], где они успешно применялись
при анализе задач о высокоскоростной экструзии металла. Коли-
чество энергии, содержащейся под упругим участком «новой»
диаграммы напряжение — деформация (0—2—4—0), есть энер-
гия, которую нужно подвести к металлу, чтобы вызвать его
течение без деформационного упрочнения. Эта энергия должна
выделиться в металле за время, меньшее того, которое необхо-
димо для начала деформационного упрочнения/ Как только
в металле возникло течение, оно будет продолжаться до тех пор,
пока не произойдут рассеяние энергии и разрушение или пока
не истечет отрезок времени, после которого наступает деформа-
ционное упрочение.

Энергия, эквивалентная площади под всей кривой (0—2—3—
—5—0), может рассматриваться как то ее количество, которое
необходимо для течения металла со сверхкритической скоростью.

Следует отметить интересную особенность в соотношении ме-
жду критической скоростью и энергией, а именно, как только
скорость движения материала превысила критическую, для де-
формации металла уже не требуется больших затрат энергии.
Пластическое течение ограничено, так что энергия расходуется
только на разрушение металла и на ускорение образовавшихся
осколков (не считая затрат на сжатие материала, не участвую-
щего в движении).

8.	РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭНЕРГИИ, РАСХОДУЕМОЙ
НА ДЕФОРМАЦИЮ ПОДКРАТЕРНОЙ ОБЛАСТИ

МЕХАНИЧЕСКИЙ ЭКВИВАЛЕНТ ЭНЕРГИИ

Для нахождения распределения энергии под кратером необ-
ходимо определить механический эквивалент энергии, а также
воссоздать картину деформации области вокруг кратера.

Определение механического эквивалента энергии связано
с получением статической зависимости истинное напряжение —
истинная деформация при растяжении для материала мишени и
ударника. Материал мишени исследуется в состоянии после глу-
бокого отжига, так как именно в этих условиях происходит про-
никновение ударника в мишень. Характерная зависимость при
упругом растяжении была приведена на фиг. 8.11. Напряжение
разрыва (точка 2) взято как максимальное напряжение в пред-
лагаемой динамической зависимости напряжение — деформация.
Подразумевается, что деформационное упрочнение не имеет
места при высокоскоростном воздействии, а потому за «упругой
частью» кривой следует «пластическая часть», где коэффициент
деформационного упрочнения (наклон кривой) равен нулю.
Однако деформацией разрушения при высокой скорости следует
скорее считать деформацию в точке 3, нежели в точке 2.
Использование этой деформации разрушения объясняется
следующими причинами. В момент образования шейки при испы-
таниях на растяжение вся деформация сосредоточена в объеме
шейки, причем это состояние сохраняется до конца опыта. По-
этому при построении зависимости истинное напряжение — ис-
тинная деформация мгновенное приращение длины при образо-
вании шейки следует рассматривать как длину области шейки.
Если провести эти измерения и полученную деформацию доба-
вить к зафиксированной до образования шейки, то наклон «пла-
стической части» статической кривой остается постоянным
вплоть до разрушения. Эти измерения -были выполнены с по-
мощью киносъемки растягиваемого образца в процессе его испы-
тания на растяжение, что позволило по кинопленке определить
геометрию образца на любой выбранной стадии опыта. Мето-
дика, использованная Мак-Грегором [36] для отыскания истин-
ной деформации Q, где Q = 2 1ёе£>первонач/£>мгнов, гораздо менее
трудоемкая, но приводит к той же зависимости. Полученные дан-
ные согласуются для ряда алюминиевых сплавов, меди, малоуг-
леродистой и нержавеющих сталей.

Механический эквивалент энергии на единицу объема опреде-
ляется как площадь под динамической кривой (0—1—2—3—4—
—0) на фиг. 8.11 для областей в металле, деформированных до
предельной деформации прочности на разрыв. Эквивалент энер-
гии для всех других деформаций определяется площадью, охва-
тываемой кривой до указанного предела.

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ

Все мишени перед опытом отжигались в одинаковых усло-
виях; затем на них действовали ударником в форме цилиндри-
ческого сверла. Объем кратера устанавливался титрованием.
Поскольку задача состояла в изучении влияния малых кратеров
на поверхность мишени, принимались во внимание объемы всех
кратеров. После измерения объема образец снова отжигали и
разрезали по центру кратера. Поверхность разреза шлифовали,
полировали и протравливали. На фиг. 8.1 показан характерный
вид кратера, уступ и охваченная деформацией область после
металлографической обработки.

Деформированная область четко обрисована, так как остаточ-
ная упругая энергия в металле определяет размер зерна при
определенном режиме кристаллизации. Чтобы получить возмож-
ность выражать через значения деформации сложную зернистую
структуру деформированной области, конические образцы растя-
гивали до разрушения, измеряли деформацию по длине и размер
рекристаллизованного зерна после отжига увязывали с дефор-
мацией. С помощью этой корреляции можно установить градиент
деформации во всем деформированном объеме.

Фиг. 8.13. Данные о взаимосвязи между параметром Виккерса и истинной
деформацией по результатам испытаний конических растягиваемых образцов
из алюминия.

Более полное и эффективное построение картины распреде-
ления деформации представляется возможным по определению

Фиг. 8.14. Данные о взаимосвязи между параметром Виккерса и расстоянием
до кратера в алюминиевой мишени.

твердости, а не размеров зерна. Метод микротвердости по Вик-
керсу (нагрузка до 30 кгс) был принят как стандартный в изме-
рениях твердости материала мишени.
100

Фиг. 8.15. Данные о взаимосвязи между деформацией и расстоянием до
кратера в алюминиевой мишени.

Фиг. 8.16. Полулогарифмический график изменения деформации в зависимо-
сти от расстояния до кратера в алюминиевой мишени.
Измерения твердости по Виккерсу не только воспроизводимы,
они также чрезвычайно чувствительны к малым деформациям
(позволяют оценивать деформации до 0,1%). Таким образом, мо-
жно точнее находить зависимости деформации от расстояния до
кратера, чем это делается по методике с обмером зерна, а кроме
того, измерять деформацию в любой части образцов. Получен-
ная связь деформации с расстоянием г от кратера в алюминии
2S представлена на фиг. 8.13—8.15.

Вначале находили зависимость изменения твердости по Вик-
керсу (параметра Виккерса, равного диагонали отпечатка пира-
миды) от величины деформации конического растягиваемого
образца из материала мишени (фиг. 8.13). Затем строился гра-
фик зависимости твердости от расстояния до кратера (фиг. 8.14).
Наконец, по двум предыдущим кривым строилась третья
(фиг. 8.15), т. е. деформация как функция расстояния до кра-
тера. Если это построение выполнено для логарифма деформа-
ции в функции от г, то по наклону прямой и отсекаемому на
координатной оси отрезку определяются константы а и с в выра-
жении 8 = е“а<г“с) (фиг. 8.16).

РАСЧЕТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭНЕРГИИ

Энергия соударения Et находится.из измерений массы удар-
ника т и его скорости при соударении v по известной формуле
Vamu2.

Если только известны механический эквивалент энергии и
распределение деформации, то можно составить энергетический
баланс. Энергия соударения равна энергии образования кратера
плюс энергия поля деформации плюс энергия образования ус-
тупа и плюс энергия разрушения ударника. Энергия образова-
ния кратера Ес есть произведение объема кратера Vc на механи-
ческий эквивалент энергии разрушения или же на площадь под
динамической зависимостью напряжение — деформация матери-
ала мишени до деформации динамического разрушения. Энергия
образования уступа также находится по механическому эквива-
ленту энергии, умноженному на объем уступа. Энергия разруше-
ния ударника — это его объем, умноженный на механический
эквивалент энергии разрушения материала ударника.

Энергия поля деформаций записывается в виде

Ь {(г0-|- 1/а)24- 1/<х2} — е0 ((гт+]/а)2+1/а2)] +

+ (2катй/а) [еот	— е0	(8.7)

где го — радиус кривой кратера, гт — радиус деформированной
зоны, h — высота цилиндрической части кратера, <зт— напряже-
ние хрупкого разрушения, определенное по высокоскоростной
зависимости, е0 и ет — деформации соответственно при г0 и rw,
определенные по наблюдениям роста зерен или измерениям твер-
дости, а и с постоянные в выражении е=е~а<г-с) и Ес — энергия
деформированной зоны.

9.	СВЯЗЬ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО БАЛАНСА
С ОРИЕНТАЦИЕЙ УДАРНИКА

Анализ энергетических балансов с ориентацией ударника
в меди и в алюминии 2S при поглощенной энергии 2000—3000 Дж
показал расхождение с измеренной энергией соударения, превы-

Ф и г. 8.17. Данные о зависимости объема кратера от энергии соударения для
мишеней из вязкой меди (луч, проведенный через кружочек, выражает сред-
нее).

шающей разумные пределы. Энергетические балансы сущест-
венно зависят от переменных, полученных при измерениях на
мишенях. Необходимо было исследовать эти параметры мишени
для установления возможности статистической ошибки, вноси-
мой ими в энергетический баланс. Результаты исследований
привели к следующим закономерностям:

1.	Отношение объема кратера в мишени к среднему объему
всех кратеров при заданной энергии соударения всякий раз
ниже, когда мало отношение полной энергии Ет к энергии соуда-
рения.

2.	Переменные г0 и rm изменялись несильно при тех уровнях
энергии, которые были в опытах с алюминием и медью, но
Данные о влиянии ориентации ударника

Материал	Поглощенная энергия, кДж	Номер мише- ни	Глубина про- никновения, см	Диаметр кра- тера, см	Pc/Dc	Ет!Е1	cos <р
2S А1	2	1	1,26	2,26	0,56	0,748	0,961
		2	1,85	1,99	0,93		0,000
		3	1,53	2,18	0,70		0,485
		4	1,41	2,32	0,61		
		5	1,77	2,25	0,79	1,045	0,139
		6	1,73	2,14	0,81	1,082	0,000
		7	1,66	2,17	0,76	0,915	0,000
		8	1,46	2,29	0,74		0,035
		9	1,36	2,34	0,58	1,020	0,530
		10	1,29	2,28	0,57	0,802	0,643
	3	11	1,86	2,38	0,78		
		12	2,35	2,16	1,08	1,029	0,122
		13	2,38	2,04	1,17		0,174
		14	2,30	2,15	1,10	1,016	0,139
		15	1,32	2,34	0,56		0,857
		16	2,48	2,22	1,12	1,013	0,000
		17	1,64	2,38	0,69	0,728	0,866
		18	2,27	2,04	1,11	1,137	0,358
		19	1,33	2,39	0,56	0,694	0,809
		20	2,28	2,21	1,03	1,039	0,000
	9	23	2,12	3,82	0,50	0,770	0,848
Си	2	2	0,72	2,39	0,30	0,954	0,755
		3	1,09	1,83	0,60	1,023	0,000
		4	0,83	1,75	0,42	1,06	0,000
		5	0,73	1,63	0,45	1,00	0,485
		6	0,73	1,67	0,44	0,952	0,875
глубина кратера Рс имела колебания по порядку величины боль-
шие, чем г0 и rm (табл. 8.2 и 8.3).

3.	Оказалось, что ориентация ударника влияет на непостоян-
ство глубины кратера, а, следовательно, и на объем; однако
можно высказать также соображения о природе этого влияния
на энергетический баланс в деформированной области.

В табл. 8.4 представлены отношения объема кратера к сред-
нему объему Vc/Vcy а также полной расчетной энергии к энергии
соударения EtIE! для упомянутых мишеней. Из зависимостей
(фиг. 8.17 и 8.18) объемов кратера Vc от энергии соударения Е/

Фиг. 8.18. Данные о зависимости объема кратера от энергии соударения для
мишеней от отожженного алюминия 2S (те же обозначения, что и на фиг. 8.17).

Таблица 8.3

Данные об изменении параметра кратера в зависимости от энергии удара

Материал	Номер мишени	Энергия уда- ра Ец Дж	70, СМ	'’макс, см	Vc, см3	рс,см
2S А1	1,5-7, 9, 10	1948+53,3	1,12+0,023	2,24+0,08	4,27+0,46	1,57+0,226
	12,14, 16—20	3088+39	1,10+0,05	2,40+0,044	6,38+1,05	2,14+0,326
	23	9003	1,85	2,50	17,09	2,20
Медь (уплот-	1—6	2000	0,84+0,05	2,54+0,09	1,18+0,28	0,80+0,09
ненная						
холодной						
прокат- кой)						
Сравнительные данные об ориентации ударника и энергетическом балансе

Номер мишени	cos <?	Vc! Vc	£Г/Е/
	2S Al		
1	0,961	0,798	0,748
2	0,000		
3	0,485		
5	0,139	1,080	1,045
6	0,000	1,176	1,082
7	0,000	0,948	0,915
8	0,035		
9	0,530	0,972	1,020
10	0,643	0,842	0,802
12	0,122	1,171	1,029
13	0,174		
14	0,139	1,020	1,016
15	0,857		
16	0,000	1,204	1,013
17	0,866	0,798	0,728
18	0,358	1,066	1,137
19	0,809	0,749	0,694
20	0,000	1,197	1,039
23	0,848		0,770
	Си		
1	0,755	0,805	0,733
2	0,358	0,915	0,954
3	0,000	1,48	1,023
4	0,000	1,18	1,06
5	0,485	1,14	1,00
6	0,875	0,712	0,952
7	0,995		
следует, что среднее значение этих параметров изменяется ли-
нейно для данных скоростей удара. Так как ударники, действо-
вавшие на мишени, имели форму дисков, эффективные площади
области соприкосновения, где происходила передача мишени ки-
нетической энергии, были различными и зависели от угла на-
клона ударника к мишени при ударе.

Геометрическая картина процесса сводится к следующему.
Ударник представляет собой диск. Если провести нормали к по-
верхностям мишени и ударника, то косинус угла между норма-
лями будет пропорционален проекции площади ударника на по-

Фиг. 8.19. Данные о зависимости объема кратера от косинуса ориентационного
угла ф для ряда значений энергии соударения.

1 — алюминий 2S, 2 кДж; 2 — алюминий 2S, 3 кДж; 3 — алюминий 2S, 9 кДж; 4 — уплот-
ненная холодной прокаткой медь, 2 кДж.

верхность мишени. Поэтому, если через ср обозначать угол между
нормалями, то минимум и максимум cos<p дают соответственно
минимальную и максимальную проекции.

Угол ср измеряли по стереографической проекции при стан-
дартных условиях разгона ударника для двух углов вращения
относительно независимых осей.

При постоянной энергии наблюдается линейная зависимость
(фиг. 8.19) объема кратера Vc от cos<p. Минимальный объем
имеет место при <р = 0°, максимальный — при <р=90°. Разброс то-
чек на кривой, по-видимому, отчасти связан с отклонениями
в каждом конкретном случае энергий заряда относительно сред-
него значения.

Другим источником ошибки является неточность в определе-
нии ориентации, так как замер угла производится на некотором
расстоянии от поверхности мишени. Для выявления этой ошибки
оценивалась допустимая максимальная скорость вращения удар-
ника и сравнивалась с величинами скорости, полученными по
методике лаборатории фирмы «Белл» с использованием рентге-
носкопии для серии мишеней. Если поступательная скорость ми-
шени составляет 4—5 км/с, расстояние по рентгеновскому
снимку 5 см, а допускаемая величина вариаций ф равна 5°, то
это соответствует максимально допустимой частоте вращения
1100—1400 с-1. Внимательный анализ частот вращения, изме-
ренных по указанной методике, показал, что все величины, кроме
одной на ближайшем к мишени снимке, лежат ниже максималь-
ного предела (при условии что ударник не поворачивается на
угол 180 +Аф или 360+Дф и т. д.).

Расчет ошибки в определении соэф для погрешности ф в 5°
дает

Acoscp=sincpA(p или A cos ср =+0,088 для
△ ср=+5° при ср=90°.

К сожалению, зарядные устройства различались при разных
энергиях, и влияние площади соударения (зависящей от ориен-
тации ударника) на объем кратера нельзя было отделить от роли
энергии в величине объема. Каждая кривая на фиг. 8.19 для
приведенных материалов и энергии дает лишь косвенную харак-
теристику эффекта площади соударения.

С точки зрения энергетического баланса роль ориентации
ударника еще не выяснена. Математически наибольшая объем-
ная плотность энергии приписывается области кратера. Поэтому,
если кратер невелик и максимальная протяженность деформиро-
ванной области не возросла (вспомним приведенные выше зна-
чения rm), энергетический баланс, очевидно, не будет иметь ме-
ста. В физическом смысле использование функции градиента
деформации 8=e-a(r-c) может в какой-то мере дать ответ на по-
ставленный вопрос.

Функция 8 зависит только от радиуса, что соответствует
деформации из-за точечного воздействия. Удар дискового удар-
ника о мишень ребром больше соответствует точечному воздей-
ствию, нежели плоское падение того же ударника.

10.	РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ ПО БАЛАНСУ ЭНЕРГИИ

Итоговые данные по подсчету энергетического баланса для
ряда мишеней приведены в табл. 8.5—8.7. Кривая, демонстри-
рующая отклонения от энергетического баланса для алюминия
2S, меди и мягкой стали, приведена на фиг. 8.20.
Параметр кратера и энергетический баланс для мишеней из 2S А1

Номер мишени	Скорость удара, км/с	Е[ Дж	'о,см	гт. см	а, см-1	Л, см	см3	Ес, Дж	eAr, Дж	ЕТ, Дж	<р, °
1	4,747	2028	1,10	1,90	2,85  2,28	0,20	3,41	491	669  1026	1190  1516	16
2	4,660	1954	1,00	2,25	1,82	1,00	5,03	708	1511	2219	90
5	4,602	1906	1,10	2,30	1,90	0,50	4,61	670	1323	1993	82
6	4,577	1885	1,10	2,25	1,98	0,60	5,02	717	1332	2049	90
7	4,768	2046	1,10	2,20	2,07  1,90	0,30	4,05	584	1085  1288	1669  1872	90
9	4,592	1898	1,10	2,00	2,85	0,10	4,15	586	782	1368	58
10	4,604	1908	1,00	2,10	2,07	0,50	3,59	515	1025	1540	50
12	3,809	3047	1,05	2,50	1,54	1,25	7,18	1001	2118	3150	83
14	3,815	3056	1,10	2,45	1,66	1,15	6,51	907	2174	3104	82
16	3,877	3157	1,15	2,45	1,76	1,20	7,68	1071	2145	3198	90
17	3,800	3032	1,23	2,30	2,07	0,75	5,09	719	1476	2209	30
18	3,834	3087	1,00	2,45	1,54	1,25	6,80	948	2550	3511	69
19	3,876	3155	0,95	2,28	1,68	0,75	4,78	666	1516	2188	36
20  П р и 1	3,830 и е ч а н и е.	3080  . е0=0,075 к	1,05  1М/ММ, Ет =	2,50  = 0,735 мм/мл	1,54  4.	1,25	4,64	1064	2118	3202	90
Таблица 8.6

Данные о параметре кратера и энергетическом балансе для мишеней из меди, уплотненной холодной прокаткой о

Номер мишени	Скорость удара, км/с	Ej Дж	'о, см	гт, см	а, см-1	Vс см3	Ес, Дж	£ar,Дж	ес+еак,Дж	т, °
1	4,675	1967	0,78	2,26	1,67	0,95	191	1156	1441	41
2	4,678	1970	0,84	2,54	1,47	1,08	215	1581	1888	69
3	4,827	2097	0,99	2,72	1,66	1,75	349	1707	2146	90
4	4,517	1836	0,84	2,54	1,47	1,40	279	1576	1947	90
5	4,623	1923	0,86	2,54	1,48	1,35	270	1568	1927	61
6	4,694	1983	0,78	2,63	1,43	0,84	168	1628	1887	29
>	= 343 Па для всех мишеней. 8о=0,045 мм/мм; 8т = 0,556 мм/мм;					/г=0,00 см.				

Таблица 8.7

Данные о параметре кратера и энергетическом балансе для мишеней из стали 1014

Номер мишени	Скорость удара, км/с	Ei * Дж	го, см	*ХСМ	6q ММ/ММ	мм/мм	а, см-1	Л, см	V см3	Ес.Дж	£ак,Дж	ЕТ Дж	°
3	4,6669	1960	0,68	2,06	0,001	1,37	4,83	0,00	0,341	349	1102	1452	3
4	4,625	1925	0,71	2,76	0,001	1,07	3,70	0,11	0,743	595	1674	2269	72
5	4,646	1943	0,66	2,56	0,001	0,72	3,46	0,19	0,489	263	813	1076	52
6	4,670	1963	0,67	2,17	0,003	0,72	3,77	0,17	0,826	441	976	1417	72
7	4,627	1927	0,74	2,33	0,001	1,09	4,43	0,01	0,710	579	1142	1721	71
10	3,880	8445	1,18	3,39	0,001	0,73	3,52	0,00	2,455	3177	5119	8296	46
11	3,771	7997	1,08	3,68	0,001	0,73	2,74	0,05	3,00	1629	4304	5933	63
12	3,975	8864	1,15	3,73	0,001	1,90	3,23	—0,25	2,337	3321	5119	8439	48
13	3,922	8629	1,14	2,89	0,004	0,72	2,96	—0,25	2,289	1223	2127	3350	42
14	3,975	8864	1,13	2,91	0,001	1,95	4,23	—0,20	2,231	3254	3687	6941	60
16	3,854	8333	1,16	3,54	0,001	0,92	2,87	0,00	3,338	2171	3570	6741	68
17	3,822	8195	1,08	3,19	0,001	1,04	3,33	0,50	3,626	2820	3843	6663	90

’) ат = 746 Па для всех мишеней.
Фиг. 8.20. Корреляция между балансовой расчетной энергией и энергией
соударения для различных металлов.

/ — алюминий 2S; 2 — сталь 1014; 3 — медь, уплотненная холодной прокаткой.

11.	ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ БАЛАНС ДЛЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНО
ДЕФОРМИРОВАННЫХ МИШЕНЕЙ ИЗ АЛЮМИНИЯ 2S

В свете использования энергетического баланса изучался эф-
фект предварительной холодной обработки алюминия 2S
(А1-1100) на процесс высокоскоростной деформации. Поскольку
холодная обработка вносит в металл упругую энергию, дефор-
мированный металл будет поглощать меньше энергии, чем отож-
женный перед разрушением. Пониженная способность мишени
поглощать энергию приведет к возрастанию объема кратера и де-
формированной области в сравнении, с высокоскоростным про-
никновением в отожженный металл. Действительно, была при-
нята гипотеза, что энергии двух деформационных процессов,
вызывающих повышение уровня деформации в сравнении с отож-
женным состоянием мишени, будут ’суммироваться. Динамиче-
ские свойства материала, управляющие поведением металла,
следовало бы тогда отнести к отожженному состоянию с уче-
том добавки к энергии. Экспериментальные данные опровергли
это предположение. Объем кратера при высокоскоростном
соударении был меньше в прокованных мишенях из алюминия
2S, нежели в отожженных.

Высота семи цилиндрических отожженных образцов из алю-
миния 2S уменьшалась при ковке со 100 мм приблизительно до
75 мм. Затем образцы обрабатывались на станке, чтобы сделать
высоту одинаковой с диаметром (75 мм). Образцы служили ми-
шенями при высокоскоростном соударении.

Мишени разрезались по центру кратера и полировались так,
чтобы можно было сделать измерения твердости по Виккерсу
(нагрузка 30 кг). Числа твердости анализировали и увязывали
с соответствующими деформациями. Затем строили зависимость
деформация — расстояние от кратера. Результаты измерений де-
формации в зависимости от числа твердости для образцов из
отожженного алюминия 2S использовались для построения кри-
вой деформация — расстояние. Эта зависимость, построенная
в полулогарифмическом масштабе, существенно отличалась от
найденной ранее для непрокованных образцов из алюминия 2S.
В основном речь здесь идет о наличии короткого экспоненци-
ально спадающего участка протяженностью ~ 1 см и начинаю-
щегося у края кратера. За этим участком имелась область по-
стоянной деформации (большей частью со значениями порядка
30%), далее на расстояниях от кратера 4 см деформация еще
несколько снижалась.

Образцы изучались в предположении, что уровень постоянной
деформации, наблюдавшийся на кривых деформация — расстоя-
ние, являлся средним ее значением, достигнутым в результате
проковки. Эту величину вычитали из каждого значения дефор-
мации на кривой деформация — расстояние от кратера для по-
лучения зависимости деформация — расстояние при высокоско-
ростном ударе. Результирующая функция имела экспоненциаль-
ный спад.

Энергетические балансы составлялись так же, как и в преды-
дущих случаях для образцов из алюминия 2S. Результаты рас-
четов обобщены в табл. 8.8.

Из табл. 8.5 и 8.8 видно, что все объемы кратеров кованых
мишеней меньше средних объемов кратеров в отожженных ми-
шенях (1 —10) при неизменных зарядных устройствах. Энерге-
тические балансы не согласовывались с энергией соударения.
Расхождение в энергетическом балансе, по-видимому, вызвано
следующими причинами:

1.	Измерения твердости на основе прокаленных мишеней ока-
зались крайне непостоянными. Эти вариации были, вероятно,
привнесены процессом ковки, который приводил к значительной
«бочкообразности» мишеней. Эта сохраняющаяся после ковки
неоднородность делает затруднительным изучение деформиро-
ванной области.
Данные о параметре кратера и энергетическом балансе
для предварительно деформированных мишеней из 2S А1

Номер мишени	Скорость удара, км/с	Ej, Дж	го, см	см	8q ММ/ММ	ет мм/мм	а, см-1
101	4,811	2083	1,06	3,73	0,001	0,508	2,34
			1,06	2,35	0,010	0,497	3,33
			1,06	3,12	0,001	0,497	3,03
102	4,557	1869	1,05	3,57	0,001	0,788	2,64
103	4,877	2141	1,08	2,05	0,010	1,38	5,12
104	4,280	1649	0,98	2,34	0,001	1,41	5,39
105	4,706	2003	1,043	3,44	0,001	0,651	2,711
106	4,839	2107	1,03	2,56	0,001	0,572	4,14
107	4,835	2139	1,Ю	5,58	0,001	0,380	1,34

Номер мишени	Скорость удара, км/с	Л, см	vc, см3	Е Дж с»	^AR,Дж	Ет Дж	<?, °
101	4,811	0,17	3,271	321	689	1010	
		0,17	3,271	314	424	738	
		0,17	3,271	314	450	764	
102	4,557	0,04	2,784	424	807	1230	
103	4,877	—0,06	3,121	834	530	1361	48
104	4,280	0,65	4,118	1121	783	1904	
105	4,706	0,24	3,666	461	711	1173	52
106	4,839	0,17	2,775	307,5	325	632	
107	4,835	0,17	3,685	270	1514	1784	
2.	Динамическое напряжение разрушения, используемое
в энергетических балансах, бралось для отожженного алюминия.
Казалось бы, это оправдано предположением, что динамическое
разрушение зависит от способности металла поглощать энергию
выше некоторого начального состояния и что поглощенные пор-
ции энергии будут аддитивны в смысле образования разрушения.
Из данных об объеме кратера вытекает, что изменились динами-
ческие прочностные свойства материала, и следует рассматри-
вать другие динамические разрушающие усилия.

Энергетические балансы (табл. 8.9) были рассчитаны с уче-
том поля деформации без поправки на начальную деформацию
при ковке. Энергию, поглощенную по оценкам при ковке, вычи-
тали из энергетического баланса и остаток сравнивали с энер-
гией соударения при высокоскоростной деформации. Значения,
приведенные в табл. 8.9, получились необъяснимо завышенными.
Однако сравнение этих значений не подтверждает и не опровер-
гает гипотезы об аддитивности энергии из-за неопределенности
влияния холодной обработки на динамические прочностные свой-
ства металла. Был установлен лишь тот факт, что при использо-
вании динамических прочностных свойств отожженного металла
ни суммирование деформаций, ни суммирование энергии дефор-
мации не приводит к хорошим энергетическим балансам.

Таблица 8.9

Специальный расчет для предварительно деформированных
алюминиевых мишеней

Номер мишени	Энергия, Дж		
	соударения	ковки (оценка)	полная (по расчету)
104	1649	6 765	19 862
105	2003	15 200	3180

12.	РАСЧЕТ МАКСИМАЛЬНОГО УДАРНОГО
ПОВРЕЖДЕНИЯ НА ОСНОВЕ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛА

Важность какого-либо параметра в течение процесса или ре-
акции, вероятно, может быть оценена наилучшим образом, если
с его помощью попытаться предсказать результаты реакции.
Для предсказания степени проникновения ударника в мишень
с точки зрения прочностных свойств составляется динамический
баланс энергии по соотношению

Энергия соударения _ 1	,,2	. Свободная энергия

Объем	2 Р РазР I	Объем
Энергия, расходуемая на образование уступа кратера и разру-
шение ударника, принимается малой и исключается из рассмот-
рения. Подразумевается, что слагаемое «свободная энергия, де-
ленная на объем» включает в себя энергию, необходимую для
эжекции материала кратера. Слагаемое VzpV^pasp соответствует
максимальной энергии пластической деформации, которую мо-
жет выдержать материал. Фитцджеральд [37] вводил скорость
разрушения V в энергию связи решетки. Выражение для скоро-
сти имеет вид

V==[(amem —т)/р]’'«,	(8.8)

где р — плотность, om&m— произведение напряжения и дефор-
мации при разрушении, ф— динамическая упругая энергия.

«Свободная энергия» включена по той причине, что для неко-
торого пространственного интервала отношение энергии соударе-
ния к объему много больше энергии пластической деформации.
Образование кратера прекращается в тот момент, когда насту-
пает равновесие между отнесенными к объему максимальной
энергией деформации и энергией соударения.

Если энергия соударения распространилась в мишени на не-
который радиус Р, не достигающий границы кратера, то разумно
для наших целей предположить, что распределение энергии со-
ударения происходит равномерно по всему полусферическому
объему, определяемому радиусом Р.

Тогда в точке, где отношение свободной энергии к объему,
равно нулю, имеет место следующее равенство

'1Г^>3= “2“ Р ^разр = om£m	(&•$)

Для сферического характера затухания энергии вдоль оси
проникновения ударника процесс взаимодействия рассчитыва-
ется через выражения энергии соударения и динамических моду-
лей вязкости, представляющих максимальное отношение энергии
к объему, которое выдерживает металл без разрушения. Даль-
нейшая деформация может возникать уже при меньшем погло-
щении энергии.

На фиг. 8.21 приведена зависимость Р от Ej для алю-
миния и мягкой стали сопоставительно с результатами, полу-
ченными в лаборатории фирмы «Белл телефон». Эксперимен-
тальные точки выбраны для такого положения дискового удар-
ника, когда он ударяет по мишени с минимальной площадью
соприкосновения. Здесь же приведены данные Гудмена и Лайлза
[38] для технического алюминия, хотя для этого материала ди-
намическая взаимосвязь между напряжениями и деформацией
не была определена.
В случае стали прогнозированная глубина проникновения
оказалась значительно завышенной. Расхождение объясняется,
вероятно, фазовыми превращениями, наблюдавшимися металло-
графически при взрывном нагружении с силой около 13 ГПа
[39]. Это фазовое превращение сказывается также на адиаба-
тах Гюгонио для армко-железа [11]. Установлено, что плоская
волна может распространяться по алюминию и меди до возник-
новения основных упругих деформаций. Если то же самое отно-

Ф и г. 8.21. Расчетные и экспериментальные данные о глубине проникновения
в зависимости от энергии соударения.

1 — алюминий 2S [39]; 2 — ударник диаметром 1,59 мм из технического алюминия; 3 — удар-
ник диаметром 3,18 мм из технического алюминия [37]; 4— ударник диаметром 1,59 мм
из нержавеющей стали; 5 — мишени из мягкой стали.

сится и к стали, то наибольшие деформации могут полностью
или частично возникать в претерпевшем превращение материале.
Такой материал совсем не обязательно должен обладать теми
же прочностными модулями, что и мягкая сталь.

Критерий, найденный при этом методе предсказания высоко-
скоростного проникновения, основывается на анализе энергии и
представлениях об ограниченной геометрии соударения, т. е.
о точечном ударе. Влияние изменения материала ударника не
принималось во внимание. При учете ориентации ударника и
свойств материала, из которого он изготовлен, вероятно, появи-
лась бы возможность уточнения предсказаний. Однако установ-
ленный параметр материала P=[3/2^EI/(omem — <p]1/s, по-види-
мому, относится к числу самых существенных.

13.	ВЫВОДЫ

Хотя явление высокоскоростного соударения первоначально
рассматривалось без учета металлофизических и механических
свойств мишени, все же важность роли последних в настоящее
время общепризнана. Вероятно, самым наглядным образом дей-
ствие таких свойств проявляется в опытах по проникновению
в предварительно напряженные алюминиевые мишени. В этом
случае идентичные соударения с мишенями, отличающимися
лишь предшествующей историей деформации, дают совершенно
разные картины проникновения.

После установления феноменологических динамических зави-
симостей напряжение—деформация была разработана методика
составления энергетического баланса по результатам послеудар-
ных измерений. Успех методики, по-видимому, был обеспечен
некоторыми найденными параметрами и выведенным затем урав-
нением, позволившим предсказать по свойствам материала мак-
симальный эффект повреждения при ударе.

К сожалению, опыты с предварительно напряженным алюми-
нием, так далеко продвинувшие вопрос о роли свойств мате-
риала, не привели к удовлетворительному составлению энергети-
ческих балансов. Хотя можно по-разному объяснять встретив-
шиеся трудности, видимо, принятая методология не учитывает
некоторые важные свойства.

Во всяком случае сам собой напрашивается вывод о том,
что свойства материала влияют на процессы деформирования
при высокоскоростном кратерообразовании. Ясно при этом и то,
что взаимосвязь свойств выяснена еще не полностью и нужда-
ется в дальнейших исследованиях.
9

ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ УДАР С ИНЖЕНЕРНОЙ
ТОЧКИ ЗРЕНИЯ

Дж. Геринг

1.	ВВЕДЕНИЕ

В предшествующих главах настоящей монографии рассмат-
ривалось действие простого снаряда, обычно шарика или кубика,
ударяющего либо по бесконечной металлической мишени, либо
по мишени простой двухлистовой конструкции. Столь простая
модель подчас не устраивает инженера-конструктора в силу уни-
кальности проблем, связанных с устройствами, входящими в ат-
мосферу, или созданием космических кораблей, теплообменни-
ков для последних, солнечных батарей и т. п. Такие сложные кон-
струкции не поддаются описанию простой моделью. Поэтому
в настоящей главе рассматриваются практические стороны за-
дачи, иными словами технические вопросы, которые нужно знать
при конструировании отвечающих всем требованиям ракет или
космических кораблей.

Ударное повреждение авиационных и космических летатель-
ных аппаратов и конструкций можно увязать в общих чертах
с мишенями трех типов: полубесконечными, ограниченными и
сложными. Полубесконечная мишень определяется как однород-
ный материал с такими размерами и такой толщины, что ролью
свободной поверхности при ударном повреждении можно будет
пренебречь для данных условий соударения. Ограниченная ми-
шень имеет толщину, при которой эффекты на свободной поверх-
ности влияют на ударное повреждение. Сюда относятся повреж-
дения, приводящие к отколам в мишени, ударное взаимодействие
со слоистыми мишенями и повреждения при использовании мно-
гослойных и сотовых заполнителей. Сложные мишени, о которых
речь пойдет дальше, включают приборы для специальных при-
менений и требуют особого рассмотрения. К ним относятся ка-
меры высокого давления, слоистые трубки космических тепло-
обменников и окна космических кораблей.

Как уже отмечалось, простые мишени обычно различаются
по результатам соударений, приведенным к условиям удара (на-
пример, по массе и скорости ударника), в то время как сложные
отличаются конструкцией материалов или видом применения.
Большинство конструкций военных и космических объектов клас-
сифицируется на основе этих определений. Например, абляци-
онный экран или теплопоглотитель возвращаемого в атмосферу
аппарата можно классифицировать как полубесконечную или тол-
стую мишень для большинства ударников; спутники и космичес-
кие летательные аппараты с тонкими алюминиевыми оболоч-
ками, окружающими регулируемый газгольдер, электронные
модули или спасаемые приборные контейнеры, следует рассма-
тривать как амортизированные защищенные сложные мишени.
Сопла же реактивных двигателей относятся скорее к слоистым
мишеням или камерам давления. Оценки повреждения и исполь-
зование опытных данных для установления критерия разрушения
должны быть связаны с расчетными требованиями при запуске
космических или вспомогательных систем.

2.	ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Полубесконечные мишени. Явление кратерообразования в по-
лубесконечных металлических мишенях изучалось как экспери-
ментально, так и теоретически тщательнее, чем другие стадии
высокоскоростного удара. В данном разделе излагаются эмпи-
рический подход и практические аспекты явления; анализ теоре-
тических вопросов кратерообразования обсуждался в других
главах книги.

Эмпирические соотношения. Не существует обстоятельных
математических формулировок, предсказывающих повреждение
сложной мишени высокоскоростным осколком. Хотя теоретичес-
кие исследования увенчались значительными достижениями
в аналитическом плане, теория все же не учитывает детально
эффектов нагревания мишени, изменения ее состава, соударения
под разными углами, откольные явления или расслаивание тон-
ких и сложных мишеней. В литературе приводилось много эмпи-
рических соотношений, позволяющих по крайней мере аппрокси-
мировать повреждение, возникающее при ограниченных усло-
виях. Два из них, приведенные Эйхельбергером и Герингом [1],
а также Чартерсом и Саммерсом [2], пригодны для широкого
круга условий соударения и позволяют учесть температуру ми-
шени и угол падения ударника.

Эти соотношения имеют следующий вид: у Эйхельбергера и
Геринга [1] (в системе СГС)

Р _{ 12 • 10~9 (Е/В) cos2 в У/з	/пп

dP ~\	2^/dp	} ;

у Чартерса и Саммерса [2]

(9.2)

Здесь Р — глубина проникновения, Е — энергия ударника, В —
число твердости по Бринеллю (меняющееся с изменением
температуры), 0 — угол соударения (отсчитываемый от нормали),
рр и — плотности соответственно ударника и мишени, V — ско-
рость ударника, Ct — скорость звука в мишени и dp — диаметр
ударника.

Уравнение (9.1) было выведено из соотношения V = 4X
Х10~9 Е/В, где V — объем кратера (см3), Е — кинетическая энер-
гия ударника (эрг), В—твердость мишени по Бринеллю. Эта
зависимость применима к метеоритным ударам, когда ожидае-
мые скорости лежат в интервале 10—70 км/с. При более низких
скоростях удара в соотношение вводится коэффициент Г, учиты-
вающий первоначальную фазу образования кратера. Коэффи-
циент Т пропорционален (Pp/pt),/г и не зависит от скорости. По-
этому, когда скорость возрастает и вклад энергии ударника
увеличивается, соответственно становится ничтожным вклад Т
в итоговое проникновение.

Чартере и Саммерс в последующей работе [3] пользовались
уравнением (9.2) и простой моделью процесса соударения для
вывода другой формулы повреждения. Эта формула, где акцент
делается не на скорость звука, а на прочностные характеристики
материала, имеет вид

'=1,5оМ''(4Н''

“р	\ р/ /	\ 23t /

(9.3)

Здесь St считается константой деформационной прочности ми-
шени. Поскольку значения St в условиях высокоскоростного
соударения неизвестны, Чартере и Саммерс полагают, что, изме-
ряя глубину кратера после проведенного эксперимента, из урав-
нения (9.3) можно найти St. Затем этот параметр можно исполь-
зовать для предсказания повреждения в том же материале ми-
шени для различных вариантов условий соударения.

Важность рассмотрения таких параметров, как форма удар-
ника и его плотность, прочность и твердость мишени, наглядно
демонстрируется в последующих разделах.

Влияние формы и плотности ударника. В подавляющем боль-
шинстве экспериментальных исследовательских программ по
высокоскоростному соударению в качестве основного ударника
применялись твердые шары. (В теоретических работах по высоко-
скоростному соударению чаще всего подразумевалось, что удар-
ник имеет форму шара, куба или короткого цилиндра.) Однако
существует несколько других основных конфигураций ударника,
при которых механизм высокоскоростного удара мог бы сущест-
венно измениться, но имеющиеся сведения о них весьма огра-
ничены.

Исследования ударов стержнем были проведены Аткинсом
[4], Саммерсом и Нигаузом [5], Алленом и Роджерсом [6], Слэт-
тери и Клеем [7], Найсмитом и др. [8], Кристманом и Герингом
[9]. В результате оказалось, что при торцевых ударах на малых
скоростях (ниже скорости звука в ударнике), как правило,
возникают кратеры конического вида. Это объясняется, видимо,
замедлением заднего торца стержня при ударе передним торцем.

6

Фиг. 9.1. Фотоснимки (а) кратеров, образовавшихся под действием сфериче-
ских ударников одинаковой массы (0,32 г), но трех разных плотностей при
ударе по полубесконечной мишени из алюминия 1100-F со скоростью 6,6 км/с,
а также график (б) изменения объема кратера V (кривая 1: V=17£2pp) и глу-
бины проникновения ударника р (кривая 2: p=19fcipP) в зависимости от плот-
ности ударника рр.

Ударники были изготовлены из пластика (Zelux-M) с рр = 1,20 г/см3 и диаметром 8,0 мм,
из алюминиевого сплава 2017 с рр = 2,70 г/см3 и диаметром 6,1 мм и из стали С1020
с рр = 7,80 г/см3 и диаметром 4,3 мм.

При больших скоростях (выше скорости звука в ударнике)
форма кратеров приближается к цилиндрической — явление ожи-
даемое, так как процесс кратерообразования влечет за собой
накопление энергии с постоянной скоростью за время, сравнимое
с полным временем образования кратера. Удар под промежу-
точным углом (между торцевым и боковым положениями
ударника) не приводит к каким-либо новым явлениям и только
усложняет предсказание и истолкование результатов.

С другой стороны, в случае твердого шара начальная стадия
формирования кратера (или стадия, когда ударник разруша-
ется) коротка (в сравнении со случаем длинного и тонкого стер-

Фиг. 9.2. Фотоснимки (а) кратеров, образовавшихся под действием ударников
одинаковой массы (0,32 г) из алюминиевого сплава 2017, но трех разных
конфигураций (показаны над кратерами) при ударе по полубесконечной
мишени из алюминия 1100-F со скоростью 6,6 км/с, а также график (б)
изменения объема кратера V (кривая /) и глубины проникновения ударника Р
(кривая 2) в зависимости от отношения l/d8.

жня) и приводит к образованию полусферического кратера при
ударе равноосным ударником, так как его энергия, по-видимому,
рассеивается по поверхности мишени почти мгновенно.

На фиг. 9.1 и 9.2 [10] приведены результаты серии экспери-
ментов, позволяющие оценить влияние плотности и формы удар-
ника. Во всех случаях полубесконечные мишени представляли
собой бруски алюминия 1100-F; скорость соударения равнялась
6,6 км/с.
Глубина проникновения и объем кратера на фиг. 9.1 даны
в зависимости от плотности ударника. Проникновение и объем
пропорциональны соответственно р0’19 и р0’17. Результаты анало-
гичной серии опытов при 2 км/с, сообщенные Чартерсом и Сам-
мерсом в 1960 г. [И], выявили пропорциональность р9*33 приме-
нительно к проникновению и р9^50 для объема. Обратим внимание
на существенное уменьшение показателя степени при возрас-
тании скорости от 2 до 6,6 км/с. Экстраполяция этих данных
к скоростям метеоритов показала, что влияние плотности
ударника на проникновение и объем может стать незна-
чительным.

На фиг. 9.2 глубина проникновения и объем кратера пред-
ставлены в зависимости от формы ударника. Отметим, что про-
никновение и объем сильно зависят от длины ударника по на-
правлению оси полета (нормированной отнесением к диаметру
сферы). Этот результат важен для военных приложений, когда
скорости соударения ниже 10 км/с. Однако при столкновениях
с метеоритами форму частиц разумнее выбрать приблизительно
сферической, так что она уже не играет главенствующей роли
в повреждении.

Прочность и температура мишени. Вопрос о том, как варьи-
рование прочности мишени влияет на повреждаемость при вы-
сокоскоростном соударении, очень волнует конструкторов косми-
ческих кораблей. Выражение «прочность материала» — произ-
вольный термин, обычно относящийся к способности материала
сопротивляться деформации. Хорошо известно, что прочность
материала зависит от ряда особенностей его металлургической
истории, термообработки, способа изготовления и влияния окру-
жающей среды. О возможности эмпирических подходов к крате-
рообразованию с позиций прочности мишени и ее температуры
уже говорилось.

Варьирование механических свойств номинально одинаковых
материалов мишени нуждалось в разработке методики опреде-
ления устойчивости, которую можно было применить к отдель-
ным мишеням. Оказалось, что в этих целях надежным крите-
рием служит число твердости по Бринеллю [1, 12]. На фиг. 9.3
проведена корреляция (первым о ней сообщил Фельдман [12])
между энергией в единичном объеме dEldx и числом твердости
по Бринеллю. Эти данные были получены с ударниками, изме-
няющимися по массе от 10~и до 10 г при скоростях до 15 км/с.
Ударники имели разнообразную форму и изготовлялись из раз-
личных материалов, начиная от нейлона и кончая карбидом
вольфрама. Сообщалось, что точки, лежащие дальше от линии кор-
реляции, относились, как правило, к менее изученным мишеням
(в некоторых случаях были использованы справочные данные),.
в то время как опыты с мишенями известной твердости обеспе-
чивали неизменно более хорошее соответствие.

По мере накопления экспериментальных данных и усиления
внимания к роли сплавов и их термообработке исчезали сомне-
ния в том, что пластическое поведение металлов под давлением
потребует тщательного рассмотрения. Эта тема стала объектом
повышенного интереса после опубликования Фельдманом [12]

•Фиг. 9.3. Эффективность кратерообразования в зависимости от твердости
мишеней из различных материалов.

Примечание редактора'. Автор пользуется здесь прежними обозначениями для алюминие-
вых материалов. Надо иметь в виду, что Al 2SO означает А1 1100-0, Al 17ST — А1 2017,
Al 24ST —А1 2024, Al 75ST — А1 7075 (5,5% Zn, 2,5% Mg, 1,5% Си, 0,3% Сг).

данных, представленных на фиг. 9.3 для трех сталей и пяти алю-
миниевых сплавов.

Не менее важно знать, как сказывается повышение или по-
нижение температуры на прочности и твердости материала. По-
скольку нагретые мишени вызывают специфический интерес
в прикладном смысле (космические корабли, нагреваемые сол-
нечным излучением, космические теплообменники, головные ча-
сти возвращаемых объектов), они изучались многими исследова-
телями. Роковитц и др. [13] провели опыты по воздействию на
полубесконечные блоки из бескислородной меди при температу-
рах 24—870° С ударников из алюминия, стали и карбида воль-
фрама массой по 0,25 г со скоростью до 6,5 км/с. Аллисон и др.
[14] изучали соударения на свинце при 25—287° С и на меди при
148—466° С со стальными ударниками массой по 0,18 г при ско-
рости 5 км/с.

Фиг. 9.4. Изменение объема кратера в мишенях из разных материалов в за-
висимости от температуры по данным для ударников из стали 1095 массой
0,18 г при скорости соударения 5,01 км/с [1, 12].

Результаты этих исследований приведены на фиг. 9.4 и 9.5
в виде данных об изменении объема кратера в зависимости от
температуры мишени (фиг. 9.4) и влияния температуры на объ-
емную плотность энергии и прочность при растяжении (фиг. 9.5).
Кривые на этих графиках показывают, что кратер тем больше,
чем выше температура. Но как оказалось (фиг. 9.5), объем кра-
тера увеличивается не обязательно пропорционально повыше-
нию температуры. Кривые на фиг. 9.5 отражают влияние фазо-
вых превращений в твердом состоянии, происходящих при соот-
ветствующих температурах в исследованном диапазоне.
Хотя сообщений о поведении при ударе тонких мишеней, на-
гретых до высоких температур, обнаружить не удалось, все же
некоторые сведения можно почерпнуть из доклада Геринга и
Либлейна [15]. Исследователи изучали метеоритную опасность
по отношению к космическим теплообменникам, обстреливая
стеклянными шариками массой 0,016 и 0,04 г мишени из алюми-
ния и ниобия при температурах до 370°С. В описательном плане
ими наблюдались две следующие особенности: 1) ямка, сделан-

Фи г. 9.5. Данные об эффективности кратерообразования и прочности мишени
в зависимости от температуры мишени [13].

1 — медь, уплотненная холодной прокаткой (с обжатием на 21%); 2 — бескислородная
медь.

ная ударником, была тем больше, чем выше температура; 2) при
повышенных температурах откольные явления сказывались сла-
бее. Отсюда можно сделать вывод о том, что кратерообразо-
вание в полубесконечной мишени при повышенных температурах
должно сопровождаться появлением более четко очерченного
уступа на его поверхности. С ростом температуры также повы-
шается пластичность, что в случае тонкой мишени снижает ве-
роятность откола на задней поверхности стенки.

Эти исследования показывают, что процесс образования кра-
тера— сложное явление, в котором металлофизические и меха-
нические свойства мишени играют большую роль.
ОГРАНИЧЕННЫЕ МИШЕНИ

Эффекты откола и применение слоистых материалов. Когда
частица ударяет с высокой скоростью по пластинке, то она соз-
дает кратер на ее передней поверхности и порождает мощную
волну сжатия. Эта волна, затухая при распространении по пла-
стинке, обычно отражается от ее задней стенки (или какой-ни-
будь свободной поверхности) как волна разрежения. При доста-
точно малой толщине пластинки или, напротив, при весьма
сильном начальном скачке уплотнения отраженная волна растя-

Ф и г. 9.6. Откол на мишени толщиной 50,8 мм из сплава 2024-13 от удара
полиэтиленового снаряда массой 4,14 г со скоростью 7,9 км/с.

а — вид спереди; б — вид сзади.

жения способна оторвать часть свободной поверхности пла-
стинки, несущей достаточный для разрушения других частей кон-
струкции импульс [16—21]. Это явление, называемое отколом,
следует охарактеризовать как разрушение, вызванное отраже-
нием затухающей ударной волны от свободной поверхности.
Откол может возникнуть даже тогда, когда пластинка не про-
бита (фиг. 9.6). Диаметр откола обычно в 2—3 раза больше тол-
щины пластинки; толщина откола, как правило, лежит в преде-
лах от 1/ю и до 7г толщины пластинки. Толщину откола z можно
вычислить по следующей формуле [17]:

^=(окр/а0) (Х/2),

(9.4)
где аКр — критическое напряжение хрупкого разрушения мате-
риала, оо—максимальное напряжение в волне сжатия и X—
длина импульса. Скорость осколка дается формулой

о=(2а0 — «Кр)/р<(	(9.5)

где рг — плотность материала. В табл. 9.1 приведены экспери-
ментальные критические нормальные разрушающие напряжения
для различных материалов [18].

Таблица 9.1

Критические нормальные разрушающие напряжения

Металл	Напряжение, ГПа
Сталь 4130	3,08
Медь	2,91
Латунь	2,17
Сталь 1020	1,26
Сплав 2024-Т4	0,98

Расчет толщины откола и скорости осколков затрудняется
отсутствием надежных сведений о протяженности и форме им-
пульса сжатия при заданных условиях удара.

Откол можно ослабить применением слоистых или специ
ально подобранных материалов [17]. Уместной в подобных слу-
чаях характеристикой материала служит его акустическое сопро-
тивление G = p/C, где рг — плотность мишени и С — скорость
распространения ударной волны по мишени в условиях опыта.
Если импульс сжатия с напряжением Oi в материале с акусти-
ческим сопротивлением Gi достигает границы, отделяющей пер-
вый материал от второго с акустическим сопротивлением G2, то
отраженный от границы импульс ог выражается формулой

аг=[((?2- СЛт+С?,)]^.	(9.6)

тогда как прошедший через второй материал импульс опреде-
ляется соотношением

Ъ=[2О21(О2+ОМ^.

(9.7)

Из приведенных формул вытекает ряд следствий, способствую-
щих пониманию, как и почему импульс претерпевает изменения
на границе. Из выражения для отношения напряжения в про-
шедшем импульсе о/ к напряжению в отраженном импульсе ог
^=20^-0.)	(9.8)
можно сделать некоторые выводы: если G2 много меньше Gi, то
наблюдается почти полное отражение; если же G2 приблизи-
тельно равно Gi, то напряжение почти целиком передается че-
рез границу; наконец, когда G2 много больше Gi, передается
2/з напряжения. Таким образом, в слоистом материале импульс
напряжения может быть разделен и ослаблен в большей
степени, чем в куске однородного материала той же массы. Од-
нако это возможно лишь при надежном соприкосновении со-
седних слоев, устраняющем возникновение отколов на границе
раздела.

Как видно из фиг. 9.7, применение слоистых материалов су-
щественно меняет характер повреждения конструкции под дейст-

Ф и г. 9.7. Влияние слоистости на откол и проникновение в плоские мишени
из разных материалов сферического алюминиевого ударника диаметром 3 мм
при скорости удара 7,4 км/с [все мишени имели одинаковую удельную массу
(на единичную площадь) 3,4 г/см2].

а — алюминий толщиной 12 мм; б — алюминий/полиэтилен; в — алюминий/медь;
г — медь/алюминий.

вием высокоскоростного удара [22]. Изображенные на этих фо-
тографиях четыре мишени имели одинаковую удельную массу,
приходящуюся на единичную площадь поверхности соударения.
Обыкновенную алюминиевую мишень ударник не пробивал, но
вызывал сильные откольные разрушения. Полиэтиленовая про-
кладка позади алюминиевой пластинки приводила к пробиванию
алюминия, но без откола с тыльной части конструкции. Медный
слой позади алюминия предотвращал пробивание и откол в алю-
минии, но сам слой значительно деформировался. Справа
(фиг. 9.7) показан исключительно в целях сравнения блок из
слоев меди и алюминия, так как эта пара не дает никаких преи-
муществ в отношении сопротивления проникновению и отколу.

Из фиг. 9.7 видно главное, а именно то, что характер необ-
ходимой защиты (минимальное проникновение, отсутствие
пробивания или откола) должен определять подбор материалов
и их толщину.

Во многих работах утверждается, что в полубесконечной ми-
шени для исключения пробивания и откола толщина пластинки t
должна быть в 1,5 раза больше глубины кратера р. Коэффи-
циент 1,5 не обоснован теоретически и, вероятно, слишком зани-
жен для плоских мишеней. Джаффи и Риттенхауз [20] подсчи-
тали, что в полубесконечной мишени откол возможен при толщи-
нах, в 3 раза превышающих глубину кратера. Леффлер и др.
[23] считали этот коэффициент равным 1,75, Бьорк [21]—1,5,
Геринг и Либлейн [19] обнаружили изменение коэффициента от
1,1 для цилиндрической трубы с внутренней облицовкой до 1,8
в случае трубы без облицовки.

Новые данные о начале откольного процесса приведены на
фиг. 9.8. Откол, по-видимому, возникает при толщинах от 12,7
до 14,2 мм. Следовательно, чтобы избежать откола, отношение
толщины пластинки к глубине кратера (6,6 мм) должно быть
не меньше 2,1 : 1 (по крайней мере для приведенных условий).
Здесь же (на фиг. 9.8) наблюдается пробивание мишеней тол-
щиной от 10,2 до 12,7 мм. Таким образом, чтобы предотвратить
пробивание, отношение толщины пластинки к глубине кратера
должно быть меньше 1,7: 1. Эти выводы иллюстрируются графи-
ком фиг. 9.9, где глубина проникновения нанесена в зависимости
от толщины мишени. Отметим резкое уменьшение проникнове-
ния, когда толщина мишени достигает четырех диаметров удар-
ника и когда существует сравнительно узкий диапазон условий,
при которых наблюдается откол без пробивания.

Заполнители. В ряде случаев между двумя листами слоистой
конструкции целесообразно прокладывать заполнитель сотовой
структуры в целях повышения жесткости конструкции или вво-
дить дополнительные листы и пенопластовые прокладки для
улучшения теплоизоляции. Вообще говоря, утяжеление конструк-
ции повышает ее сопротивление ударному разрушению, но ис-
следования заполнителей, в частности сотовой структуры, пока-
зали, что они могут сделать конструкцию более уязвимой [24].

Первоначально рассматривался заполнитель в виде дополни-
тельных листов, проложенных между двумя основными листами.
Расчет проводили описанным в гл. 4 методом плоских сечений
для определения доли импульса, прошедшего через лист, когда
его толщина была меньше размера разрушения. Если разруше-
ние происходило в любом из шести слоев, то импульс разру-
шенного слоя также учитывался. Результаты расчета приведены
на фиг. 9.10. Они показывают, что применение многослойных
стенок мало дает или вообще не дает преимуществ по сравнению
с одиночными запасными стенками (листами), так как нет за-
метного уменьшения импульса, прошедшего через второй запас-
ной лист, пока его толщина не составляет 90% размера разру-
шения.

Фиг. 9.8. Глубина проникновения р алюминиевых сферических ударников
диаметрохм — 3,2 мм и массой 0,047 г при скорости удара 7,4 км/с в плоские
мишени из сплава 2024-ТЗ разной толщины t.

а: /=51 мм, р=6,6 мм; б: Г=14 мм, р=6,9 мм; в: /=13 мм, р=7,1 мм; е: t=10 мм, сквоз-
ное отверстие.

Для проверки справедливости упомянутого метода была про-
ведена серия опытов. Первые три опыта были проведены с бал-

Ф и г. 9.9. Глубина проникновения сферических ударников из сплава 2017 диа-
метром ~ 3,2 мм и массой 0,047 г при скорости удара 7,4 км/с в плоские
мишени из сплава 2024-ТЗ.

листическим маятником, располагаемым позади второго листа
переменной толщины, чтобы попытаться измерить прошедший
через него импульс. Результаты измерений сведены в табл. 9.2.
Плохое согласие между экспериментами и расчетами вызвано
частично отколом на втором листе, а также усилением импульса
в воспринимающем материале баллистического маятника.

На основе этих опытов был установлен нижний предел им-
пульса, проходящего через нагруженный лист, в то время как
оставшаяся доля импульса оказалась равной единице за выче-
том отношения толщины листа к истинному размеру разрушения.

Фиг. 9.10. Данные о поглощении импульса в зависимости от толщины заднего
листа.

Таблица 9.2

Данные о прохождении импульса через задний лист (для сферических
алюминиевых ударников диаметром 3,18 мм при зазоре между листами 50,8 мм
с задним листом из сплава 7075-Т6 ’’)

Характеристика		Номер кадра	
	Д-1437	Д-1400	Д-1442
Скорость, км/с  Глубина разрушения, %  Импульс, прошедший через задний лист эксперимент  расчет  ’) Сплав системы Al—Si (0,50%) — Fe Mg (2,10-2,90%)—Сг (0,18-0,40%)—Zn держание примеси не должно превосходить	8,05  32  1,38  0,99  (0,70%)-Си । (5,10-6,10%) —  0,15%.— Прим.	7,60  50  0,65  0,95  (1,20—2,00%) -/ Ti (0,20%). Сс ред.	7,50  100  0,47  0  Ип (0,30%) -  >вокупное со-
Этот нижний предел указан на фиг. 9.10 пунктиром. С уче-
том нижнего предела можно проанализировать два случая мно-
голистных конструкций. В обоих случаях требуется такое раз-
рушение, расплавление или испарение падающего ударника и
рассеивание осколков первым листом (экраном), чтобы был при-
меним тот же анализ, как и при взрывном нагружении.

Предположим сначала, что после разрушения второго листа
разброса осколков не происходит (фиг. 9.11). На этом графике
величина Рп выбрана произвольно, a tF определяется как глу-
бина разрушения второго листа, расположенного в двухлистовой
конструкции на расстоянии S от экрана. Истинный размер раз-

Wf

Фиг. 9.11. Схематическая картина удара по многолистовой конструкции при
направленном движении осколков.

рушения n-го листа равен Тп- Из соображений подобия можно
записать, что
Г1=(5/51)2/л;	(9.9)

тогда
(ЭД2-	<9Л°)

Отсюда доля импульса, оставшаяся после разрушения листа, вы-
разится в виде

д/ /yjj _ Импульс, переданный следующему листу р

°	Начальный импульс	1 \ 1/ / •

(9.U)

Далее

Т2=[1 -Р, (S,/S)2] Г,= [1 -Л (S/S)2] (S/S.)2^,	(9.12)

f IT  ______________________________Pj (Si / S)2	(Q .

2/ 2 I1 -pi (S1/S)2] (S/S1)2 tp ~ u-pi (Si/S)2] ’
=1-рлад2-р2(ЭД2.	(9.i4)

В общем виде получаем

^n-i/Af0=l-P1(SI/S)2-P2(S1/S)2- ... -P^SJS)^

= 1-(ЭД2(Л-Р2+ ...+/>„_.),	(9.15)

Л==|1-(ЭД2(Р1+р2+р3+ ... +Ря-|)]

= [1-(S,/S)2(P1+P2+P3+ ... +Ря-1)1 (Ж)26>,

(9.16)

Экран

Фиг. 9.12. Схематическая картина удара по многолистовой конструкции при
последовательном рассеянии осколков.

да=р„/|1-(эд2(р1+р2+р3+... +рп_.)1 дао2.

(9.17)

Если последний лист не должен разрушаться (/п = Гп),
то

7>»=|1-(5i/S)2(P1+P2+P3+ ... +Pn-1)](5/S1)2. (9.18)

Тогда полное значение Р равно
п	п — 1

2	2₽»+(W|1 -(5i/S)2(P1+P24-P3+ .. • +Л.-!)1 =

/ = 1	z = l

п=1	п — 1

=2	(Ж)2- 2 ^=(Ж1)2.	(9.19)

1 = 1	/ = 1

Если считать, что п листов предпочтительнее, чем два листа, то
сумма значений Р должна быть меньше единицы; следовательно,
п

ZРг<1, или (S/Si)2l< 1, или S<S2t а это неверно. Поэтому два
f—1
листа дают лучший результат, чем и в случае направленного
движения осколков после разрушения второго листа.

Во второй ситуации предположим, что осколки продолжают
рассеиваться после разрушения каждого листа и что листы рас-
пределены равномерно (фиг. 9.12). Сохраняя прежние обозна-
чения, получим

Tx = (SIS^tF,	(9.20)
tJT^Pi (S^isy,	(9.21)
M.IM^-P^s.isy,	(9.22)
T^i-PdSdsns^r^,	(9.23)
, !T _	P2(2S!/S)2  2/ 2 - [1-P!(S1/S)2] ’	(9.24)



= 1 — Р, (ЭД2- Р2 (2ЭД2.	(9.25)

Обобщая, получим долю импульса, переданную последнему
листу, в виде

-^^=1-РДЭД2-Р2(2ЗД2-Р3(ЗЭД2- ... -

-P„_I|(«-1)S1/S]2=

= 1-(ЭД2 |Р1 + 22Р2+32Р3+ ... +(/z-l)2Pn_i],

(9.26)

{1 — (ЭД2 [Р,+22Р24-32Рз+ ... +

+ («-1)2P„_i]}(S/«S1)2/f,	(9.27)

inITn=Pnl{\-(SJS)2 [Р.4-22Р2+ ... +

+ («-l)2P„_I]|(S/«S1)2,	(9.28)

РП={1-(ЭД2 [P,+2?P2+ ... +

+ (n-l)2Pn-i]}(S/nS1)2.	(9.29)

Тогда сумма всех P равна

2 Pf= 2 Pi+(S//zS1)2---L 2 PPi. (9.30)

/ = 1	i — \	Z = 1

Но поскольку S = nSi, получим

2р/=1+2р<(1-ЭД.	(9.31)

i = 1	i = 1
Если бы п листов было лучше чем два, то сумма Р должна
была бы быть меньше единицы, т. е.

л — 1

2^(l-W<0,	(9.32)

а этого не может быть. Потому выгодно иметь два листа, а не
п листов, расположенных равномерно, когда осколки рассеива-
ются после разрушения каждого листа.

Дальнейшее обобщение второго случая с произвольно распо-
ложенными листами на расстоянии S от экрана дает сумму Р
в виде

п	п	л — 1

2 р<=2 л+(5/5>)2- 2 а"р‘=

i = l	i = 1	i = 1

л— 1

=i+2	<э.зз>

1=1

И опять для того, чтобы и листов было лучше двух, нужно со-
блюсти условия

л

или

л —1

2 Рг(1-а/)<0.

1=1

т. е. по крайней мере одно из значений аг должно быть меньше
единицы. Это означает, что одно из расстояний между листами
должно быть больше S. Следовательно, во всех ситуациях два
листа предпочтительнее п листов в данном расположении при
условии, что характер разрушения аналогичен разрушению от
взрывной нагрузки.

Опыты с соударениями алюминий — алюминий и кадмий —
кадмий подтверждают вывод, что два листа обеспечивают луч-
шую защиту, чем п листов. Иногда добавление третьего листа
делает конструкцию уязвимее. Удар кадмиевого ударника диа-
метром 3,18 мм со скоростью 6,5 км/с по кадмиевому экрану
толщиной 0,64 мм, за которым на расстоянии 50,8 мм распола-
гался второй лист из сплава 7075-Т6 толщиной 1,02 мм, не при-
вел к разрушению последнего. Когда же лист из сплава 7075-Т6
толщиной 1,02 мм поместили между экраном и вторым листом,
то все три листа под таким ударом разрушились.
Причина этого выясняется при рассмотрении рентгенофото-
графии, воспроизведенной на фиг. 9.13. Как легко видеть, раз-
рушающийся лист ограничивает рассеяние осколков. Отсюда соз-
дается большее давление на следующем листе, чем оно могло
бы быть, если дать осколкам свободу распространения.

Из фиг. 9.13 следует еще и то, что осколки разрушенного
листа ударяют по второму листу. Подобные твердые осколки
не учитывались в рамках методики взрывного нагружения. Ясно,

Фиг. 9.13. Рентгеновский снимок разрушения в многослойной конструкции
с зазором между листами 17 мм от удара сферического алюминиевого сна-
ряда диаметром 3,18 мм со скоростью 7,74 км/с через 40 мкс после удара
по экрану.

а —лист толщиной 0,67 мм из алюминия 1100-0; б —лист толщиной 0,49 мм из сплава
7075-Т6.

что расчеты по методике взрывного нагружения окажутся непри-
емлемыми, если за исходный механизм разрушения выбрать удар
таких твердых осколков.

С экспериментальной точки зрения единственное преимуще-
ство, которое можно извлечь из многолистовой конструкции, за-
ключается в возможности задержать продукты откола с преды-
дущего листа.

Сотовый заполнитель. Обратимся теперь к заполнителю вто-
рого типа, а именно к сотовому. Во вспомогательном отсеке кос-
мического корабля «Аполлон» сотовый заполнитель проложен
между двумя листами обшивки.
Модель ячейки сотового заполнителя

Фиг. 9.14. Покадровая съемка процесса соударения [через 1,7 (а), 3,3 (б),
с моделью ячейки сотового наполнителя в виде трубы из сплава 6061-Тб

Сферический кадмиевый снаряд диаметром 3,18 мм ударяет со скоростью 6,92 км/с по
7075-Т6 толщи

Чтобы понять механизм взаимодействия сотового заполнителя
с продуктами разрушения, проходящими через экран, были про-
анализированы результаты двумерного гидродинамического рас-
чета. Продукты разрушения в интересующих нас случаях в виде
жидкости или пара распространялись радиально с максималь-
ной скоростью, равной половине осевой скорости. Действие этих
продуктов следует рассматривать как импульсную нагрузку из-
нутри ячеек. Любые макроскопические осколки, возникшие на
поздних стадиях образования отверстия в экране, не будут уда-
5,0 (в), 6,7 (г), 10,0 (д), 13,3 (в), 20,0 (ж) и 26,7 (з) мкс после ..удара]
диаметром 14,4 мм и стенками толщиной 0,25 мм (имитирующая ячейка).

кадмиевому экрану толщиной 0,33 мм, отстоящему на 50,8 мм от заднего.листа из сплава
ной 3,18 мм.

рять по сотовому заполнителю, пока импульсное нагружение не
завершилось.

Что касается сотовых заполнителей, то здесь требуется пре-
жде всего решить, разрушится ли заполнитель, и если разру-
шится, то создадут ли осколки экрана направленную струю.
Чтобы ответить на поставленные вопросы, был предпринят упро-
щенный расчет. Предполагалось, что ячейка заполнителя имеет
форму круглого цилиндра, а не шестигранника и что удар при-
ходится на центр такой ячейки нормально к экрану. Радиальные
Модель ячейки ымювога заполнителя

Фиг. 9.15. Покадровая съемка процесса соударения [через —3,3 (а), 1,7 (б),
делью ячейки сотового заполнителя в виде трубы из сплава 6061-Т6 диаметром

Сферический кадмиевый снаряд диаметром 3,18 мм ударяет со скоростью 6,86 км/с по
7075-Т6 толщи

моменты брались из двумерных гидродинамических вычислений
и вводились в расчет импульса, переданного трубчатой ячейке.
Зная толщину стенки ячейки, можно найти максимальную ради-
альную скорость стенки и затем сравнить ее с радиальной ско-
ростью осколков. Вычисленная скорость стенки не есть ее истин-
ная радиальная скорость: ее, пожалуй, надо рассматривать как
скорость, которую она имела бы, если бы радиальная составляю-
щая импульса была передана ей мгновенно. В действительности
мгновенности нет, так как осколки ударяют по прошествии не-
которого времени. Не исключено, что осколки, ударив сначала
о стенку и отразившись от нее, взаимодействуют затем с после-
дующим потоком осколков. Таким образом, если максимальная
радиальная скорость стенки ячейки меньше радиальной скорости
3,3 (в), 5,0 (г), 6,7 (д), 8,3 (в), 11,7 (ж) и 15,0 (з) мкс после удара] с мо-
14,4 мм и стенками толщиной 0,05 мм (имитирующая ячейка).

кадмиевому экрану толщиной 0,48 мм, отстоящему на 50,8 мм от заднего листа из сплава
ной 2.54 мм.

осколков, то осколки ударятся о стенку, отразятся от нее и обра-
зуют струю. Когда осколки летят ненаправленной струей, то рас-
считанная скорость стенки ячейки должна равняться по крайней
мере радиальной скорости осколков.

В случае направленной струи требования к толщине запас-
ного листа можно сформулировать из расчетов пластинки, про-
веденных для равномерного (S/2) распределения импульса. Если
же осколки рассеиваются, то толщина запасного листа должна
лежать где-то между значением для случая без заполнителя и
толщиной, рассчитанной для направленной струи. Из таких рас-
четов следует, что сотовый заполнитель приведет к снижению
противометеоритной стойкости любой двухлистовой конст-
рукции.
Фиг. 9.16. Рентгенография направленного движения осколков в сотовом
3,18 мм (трубки диаметром 14,4 мм

а — кадмиевый экран толщиной 0,33 мм, трубка со стенками толщиной 0,25 мм, скорость
0,05 мм, скорость удара 6,99 км/с; в — кадмиевый экран толщиной 0,48 мм, трубка со
0,48 мм, трубка со стенками толщиной

Проведенные расчеты показывают, правда, в неявном виде,
что механизм повреждения сотового заполнителя контролируется
импульсом и скоростью осколков. Поскольку скорость осколков
зависит от скорости соударения, то невозможно проводить опыты
с сотовыми заполнителями, моделируя скорость. По этой при-
чине необходимо было сделать экспериментальную проверку рас-
четов; в то же время попытки смоделировать высокоскоростные
удары не осуществлялись.

В этих экспериментах использовались соударения кадмий—
кадмий, так что продукты разрушения в виде нагретой жидкости
или пара создавали внутри ячейки эффективную взрывную на-
заполнителе под действием кадмиевых сферических ударников диаметром
были изготовлены из сплава 6061-Т6).

удара 6,92 км/с; б — кадмиевый экран толщиной 0,33 мм, трубка со стенками толщиной
стенками толщиной 0,18 мм, скорость удара 6,85 км/с; г — кадмиевый экран толщиной
0,05 мм, скорость удара 6,85 км/с.

грузку. Ячейка была изготовлена в виде тонкой круглой трубы
из сплава 6061-Т6Ч Удары в большинстве случаев приходились
по центру ячейки, а типичная картина взаимодействия показана
в покадровой съемке на фиг. 9.14 и 9.15. На фиг. 9.16 воспроиз-
ведены мгновенные рентгеновские снимки аналогичных соударе-
ний через несколько микросекунд после удара по первому листу.
На этих снимках видно, что стенка ячейки начинает расширяться

Ч Сплав системы AI—Si (0,40—0,80%)—Fe (0,70%)—Со (0,15—0,40%)—
Мп (0,15%)—Mg (0,80—1,20%)-Сг (0,15—0,35%)—Zn (0,25%)—Ti (0,15%).
Совокупное содержание примесей не должно превосходить 0,15%.— Прим. ред.
сразу же после удара и вскоре разрушается. Стенка не успевает
приобрести достаточно большую скорость, чтобы избежать столк-
новения с осколками. Из фиг. 9.16 также следует, что стенка
ячейки разрушилась, но осколки образуют довольно направлен-
ную струю вдоль трубы. Подобное направленное движение ос-
колков нагружает второй лист по весьма ограниченной площади,
создавая импульс достаточно высокой плотности. Столь высокая
нагрузка требует утолщения заднего листа, чтобы он выдержал
повреждение того или иного заданного уровня. Толщину стенок
как в случае направленного движения осколков, так и в случае
их рассеяния находили по радиальным импульсам из гидроди-
намических расчетов при соударениях кадмий—кадмий. При
ударе со скоростью 6 км/с для экрана с tsld=Q$ и трубки диа-
метром 12,7 мм движение осколков будет направленным, когда
толщина стенок равна 0,41 мм, и расходящимся при их толщине
0,05 мм. Для экранов с /s/d = 0,3 соответствующие толщины сте-
нок получились равными 0,2 и 0,02 мм. Опыты, проведенные при

Таблица 9.3

Данные опытов по пробиванию моделей листовой конструкции
с сотовым заполнителем (сферические кадмиевые ударники
диаметром 3,18 мм, кадмиевые экраны на расстоянии 50,8 мм
от задних листов из сплава 7075-Т6)

Номер кадра	Скорость, км/с	Толщина экрана, мм	Толщина зад- него листа, мм	Трубка	
				диаметр, мм	толщина стенки, мм
1921	6,85	0,48	4,82	14,5	0,18
1922	6,98	0,48	6,35	14,5	0,18
1912	6,83	0,48	2,54	14,5	0,18
1910	6,83	1,22	2,54	14,5	0,18
1909	6,50	0,33	3,18	14,5	0,05
1913	6,85	0,48	2,54	14,5	0,05
1952	6,67	1,60	2,54	14,5	0,05
1905	6,95	1,22	1,02	14,5	0,41
1906	6,92	1,22	1,02	14,5	0,41
1907	6,85	1,22	1,02	14,5	0,05
1946	6,67	0,48	2,54	24,6	0,15
1947	6,55	0,48	2,54	8,4	0,15
1948	6,48	1,22	2,54	8,4	0,15
1908	6,92	0,33	3,18	14,5	0,25
перечисленных условиях на трубках в заданном диапазоне их
размеров, приводили к их разрушению и направленному движе-
нию осколков (табл. 9.3).

Как и ожидалось, в случае трубок большего диаметра и бо-
лее тонких экранов тоже возникала направленная осколочная
струя. О типичных разрушениях второго листа можно судить по
фиг. 9.17. Разрушение в этих случаях, по-видимому, носило ха-
рактер среза с выбиванием из второго листа почти нетронутым
куска металла непосредственно под ячейкой. Осмотр поврежде-
ний третьих листов показывает, что такой осколок может причи-
нить значительные дальнейшие повреждения.

В случае кадмиевого экрана с отношением Zs/d = 0,15 и при
толщине стенки трубы 0,18 мм разрушения не будет, при условии,
что второй лист имеет толщину от 4,82 до 6,35 мм. На основе
результатов по взрывному нагружению пластин (гл. 4) была
вычислена толщина заднего листа, предотвращающая разруше-
ние. Она получилась равной 10,8 мм. Этот результат сопоста-
вим с размером разрушения, лежащим в пределах от 1,0 до
1,27 мм для той же самой конструкции, но без трубки. Таким
образом, наличие ячеек приводит к по крайней мере в 3,8 раза
большей толщине заднего листа, предотвращающей разрушение.

Когда модель ячейки подвергалась косым ударам, то осколки
образовывали частично направленную струю, но основная масса
осколков ударяла по стенке трубки, разрушала ее и затем посте-
пенно рассеивалась.

Из этих расчетов и экспериментов можно сделать вывод, что
сотовая конструкция не повышает противометеоритную устой-
чивость конструкции и, наоборот, даже может значительно сни-
зить ее сопротивление разрушению.

Удары с малой скоростью. Прежние прогнозы о разрушении
второго листа составлялись в предположении, что осколки, про-
бив экран, оказывают на второй лист существенную ударную
нагрузку. Это предположение верно только в тех случаях, когда
удар происходит с высокими скоростями, достаточными для того,
чтобы осколки представляли собой очень маленькие частицы или
находились в парообразном виде. В соударениях алюминий—
алюминий такое условие выполняется, скажем, при скорости
7 км/с, когда осколки содержат расплавленный материал. При
более низких скоростях происходит неполное дробление удар-
ника и осколки способны, пробив экран, причинить серьезное
повреждение заднему листу.

Для исследования этого явления было проведено несколько
опытов при низких скоростях с алюминиевыми ударниками диа-
метром 3,18 мм. На фиг. 9.18 приведены результаты проникнове-
ния ударников в мишень по данным этих опытов и испытаний
при больших скоростях. Здесь же представлены данные
о толщине задних листов, достаточной для предотвращения про*
бивания и откола при разных скоростях удара. Легко видеть, что

Кадмиевый жран шзмцшнш 0,33 мм

Фиг. 9.17. Мишени, иллюстрирующие влияние толщины стенки ячейки сото-
вого заполнителя при ударе сферических кадмиевых снарядов диаметром
3,18 мм со скоростью 6,85 км/с и зазоре 50,8 мм между экраном и задним
листом.

а— слева: второй лист из сплава 7075-T6 толщиной 1,02 мм; справа: третий лист из сплава
7075-T6 толщиной 0,81 мм; трубка из сплава 6061-Т6 диаметром 14,4 мм со стенками
толщиной 0,05 мм.

б —слева: второй лист из сплава 7075-Т6; справа: третий лист из сплава 7075-Тб толщиной
0,81 мм; трубка из сплава 6061-Т6 диаметром 14,4 мм со стенками толщиной 0,25 мм.

для данной конструкции (экран из алюминия 1100-0 толщиной
0,64 мм с задним листом из алюминия 7075-Т6 на расстоянии
50,8 мм) скорости удара ~2,5 км/с соответствуют максимальное
проникновенней максимально необходимая толщина заднего ли-
ста для предотвращения разрушения его задней поверхности.
При более высоких скоростях толщина убывает, так как ударник
хорошо дробится, но затем возрастает опять по мере того, как
начинает преобладать нагружение взрывного типа. Толщины ли-
стов для задержания одинаковых ударников совпадают при ско-
ростях удара 2,5 и 10 км/с.

Фиг. 9.18. Толщина заднего листа, необходимая для предотвращения про-
бивания.

1 — минимальная безопасная толщина заднего листа из сплава 7075-T6; 2 — проникновение
алюминиевых сферических ударников диаметром 3,2 мм при fe/d=0,2 и зазоре между
листами 50,8 мм.

Были определены также толщины задних листов при варьи-
ровании толщины экрана, требующиеся для предотвращения
пробивания. Такие значения приведены в табл. 9.4.

Все значения, кроме данных для первой серии, соответствуют
максимальному проникновению при низких скоростях удара.
Хотя эти значения были определены с небольшой точностью, они
выявляют тенденцию к убыванию с утолщением экранов.

Надо отметить, что значения глубины разрушения при пора-
жениях ударной нагрузкой пропорциональны массе ударника,
в то время как результаты с ударами при низких скоростях обна-
руживают прямую зависимость от диаметра ударника. Кроме
того предполагается, что результаты низкоскоростных ударов
не зависят от расстояния между листами.
Таблица 9 А

Данные о надежной толщине экранов

		Скорость, км/с
0,20	>1,00  <1,20	1,90
0,20	>1,20  <1,40	2,48
0,32	>1,12  <1,32	2,60
0,50	>1,01  <1,30	2,12

Косой удар. Надо полагать, что метеоритные удары должны
происходить в большинстве случаев под тем или иным углом
к поверхности конструкции. Поскольку такой косой удар не осе-
симметричен, то его анализ по такой двумерной методике, как
САМЕО, невозможен. Крейнхаген и др. [25] воспользовались
двумерной аналогией косого удара, которой присущи некоторые
признаки рассматриваемого процесса. В их расчетах алюминие-
вый цилиндр конечной длины ударяет по тонкому алюминиевому
листу со скоростью 6,1 км/с под углом 80,5° к нормали. Возни-
кающее при этом давление есть величина не более 33 ГПа, в то
время как при прямом ударе оно достигает 80 ГПа. Материал
ударника не проникает через экран, а осколки позади него
состоят целиком из материала экрана и покидают последний по
нормали к его поверхности с небольшой скоростью. При таком
ударе уже не может быть повреждения второго листа по направ-
лению, являющемуся продолжением прежнего пути ударника.
Удары под меньшими углами наклона позволяют осколкам удар-
ника проникнуть сквозь экран и причинить второму листу пов-
реждение по направлению полета ударника. Нафиг. 9.19 пока-
зана картина соударения кадмий—кадмий под углом 30° к нор-
мали экрана через несколько микросекунд после удара. Здесь
при приведенных условиях удара разрушение явно совпадает по
направлению с линией полета ударника. Заметим, что в данном
случае осколки сосредоточены по фронту «пузыря», образован-
ного продуктами разрушения, а не размазаны по его длине, как
при прямом ударе. Надо полагать, что при косом ударе сосредо-
точенный поток осколков сообщит второму листу более мощный
импульс давления меньшей протяженности, что, скорее всего,
приведет к отколу с тыльной стороны второго листа.

Первоначально опыты проводились с соударениями алюми-
ний—алюминий под углами 30, 45 и 60° к нормали к поверхности
экрана. Такие опыты при скоростях удара свыше 7 км/с пока-
зали, что главным источником повреждения был удар осколков
по второму листу. В случае прямых ударов по той же конструк-
ции повреждение осколками было весьма незначительным благо-

Фиг. 9.19. Рентгенофотография, иллюстрирующая действие косого удара
кадмиевого сферического снаряда диаметром 3,18 мм со скоростью 6,43 км/с
по кадмиевому экрану толщиной 1,22 мм, отстоящему на 50,8 мм от заднего
листа, через 7 мкс после удара.

даря их расплавлению. При косых ударах, сопряженных с мень-
шими значениями максимального давления, ударник должен
дробиться меньше. Осмотр повреждений вторых листов
(фиг. 9.20) показал, что раздробленность осколков, если судить
по величине кратера, тем меньше, чем больше угол падения.
Заметим, что удар по второму листу конструкции под углом 45°
причинил наибольшее разрушение. Данное обстоятельство объ-
ясняется, видимо, усилением бокового рассеяния с увеличением
угла, что в конечном счете восполняет ослабление дисперсности
осколков.
Фиг. 9.20. Задние листы после косого удара под разными углами (а — 30°, б — 45°, в — 60°) алюминиевых сфери-
ческих снарядов диаметром 3,18 мм со скоростями 7,26—7,53 км/с по экрану из алюминия 1100-0 толщиной 0,64 мм,
отстоящему на 50,8 мм от заднего листа из сплава 7075-Т6 толщиной 1,6 мм.
Дальнейшие опыты были проведены при скоростях больше
7 км/с, чтобы установить требования, предотвращающие разру-
шение второго листа. Итоги этих опытов обобщены в табл. 9.5.
Во всех случаях разрушение вызывалось ударом осколков. Этот
вывод, сделанный при осмотре мишеней, был подкреплен момен-
тальным рентгенофотографированием осколков. Характеристика
«надежная» толщина в табл. 9.5 и 9.6 означает, что второй лист
остался целым (герметичным) и что откола материала с его
тыльной стороны не было.

Таблица 9.5

Данные о повреждении вторых листов из сплава 7075-Т6 при косом ударе
с разными скоростями алюминиевых сферических ударников
диаметром 3,18 мм при расстоянии между листами 50,8 мм

Угол па- дения,°	Толщина экрана из алюминия 1100-0, мм		
	0,64	1,02	1,60
Второй лист толщиной 1,6 мм при скоростях удара			726—7,59 км/с
30	Откол с задней стороны	Надежная	Надежная
45	Пробивается	Пробивается	Пробивается
60	Откол отсутствует		»»
Второй лист толщиной 3,18 мм		при скоростях удара 7,50—7,65 км/с	
30	Откол с задней стороны		
45	То же	Надежная	Надежная
60	Надежная	»	»»
Второй лист толщиной 6,35 мм		при скоростях удара 7,60—7,65 км/с	
30	Надежная		
45			

Сравнение конструкций по полным размерам (/з+/ь)М, обес-
печивающим защиту от косых высокоскоростных ударов, с кон-
струкциями, гарантирующими герметичность при прямых низ-
коскоростных ударах, показывает, что для соударений алюми-
ний—алюминий и те и другие размеры попадают в тот же
интервал +	1,5. С учетом того, что при повышении

скорости удара осколки должны нагреваться, можно рассчиты-
вать на ослабление их повреждающего действия. Это предполо-
жение подтвердили результаты опытов с соударениями кад-
мий—кадмий, частично отраженные в табл. 9.6.
Таблица 9.6

Данные о повреждении вторых листов из сплава 7075-Т6 при косом ударе
с разными скоростями кадмиевых сферических ударников диаметром 3,18 мм
при расстоянии между листами 50,8 мм

Угол па- дения, °	Толщина экранов из кадмия, мм	
	0,48	1,22

Второй лист толщиной 3,18 мм при скоростях удара 6,13—6,43 км/с

30	Откол с задней стороны	Надежная
45	То же	>»
60	Надежная	

Из-за низкой температуры плавления кадмия эти соударения
относятся к более «высокоскоростным», чем соударения алюми-
ний—алюминий. Когда при толщине экранов 0,48 мм толщину
заднего листа довели до 6,35 мм, то конструкция стала надеж-
ной. И хотя кадмиевые ударники по массе приблизительно
в 3 раза превосходили алюминиевые, причиной повреждений был
откол с тыльной стороны второго листа, а не удар осколков.
К тому же требования, предъявляемые ко второму листу в слу-
чае кадмиевых соударений, не превосходят требований при алю-
миниевых соударениях.

Из приведенных результатов следует, что если листовая кон-
струкция способна выдерживать низкоскоростные удары, то она
окажется стойкой и к повреждению осколками при косом ударе.

Если не считать одного опыта, в экспериментах не было слу-
чаев разрушения от взрывного нагружения. Исключением ока-
зался удар под углом 30° по очень тонкому заднему листу. Даже

Таблица 9.7

Данные о максимальной измеренной плотности импульса при ударе
алюминиевых сферических ударников диаметром 3,18 мм со скоростью 7,6 км/с
при расстоянии между листами 50,8 мм

	Плотность импульса (г-см/с-см2) при угле падения			
	0°	30°	45°	60°
0,2	1000		3000	700
0,5	2100	1000	1000	1000
в этом случае второй лист был пробит в нескольких местах
(фиг. 9.21). По уже описанной методике соударений алюминий—
алюминий был измерен переданный мишени импульс. Результаты
этих измерений приведены в табл. 9.7.

Фиг. 9.21. Пробойное повреждение очень тонкого заднего листа из сплава
7075-Т6 толщиной 0,64 мм алюминиевым сферическим снарядом диаметром
3,18 мм при скорости удара 7,47 км/с под углом 30° к нормали по экрану из
алюминия 1100-0 толщиной 1,60 мм, отстоящему от заднего листа на 50,8 мм.
Максимальная плотность импульса, обнаруженная при косых
ударах, была в обоих случаях меньше плотности при сравнимых
прямых ударах. Этому не следует удивляться, так как осколкам
приходится с возрастанием угла падения покрывать все больший
путь от экрана до второго листа. С увеличением этого угла убы-
вает и доля осколков ударника, прошедшая через экран. Из из-
мерений плотности импульса можно сделать вывод, что осколки,
ударяющие по второму листу, распределены в большем угле
рассеяния. На режим разрушения при больших растягивающих
деформациях существенней влияет плотность импульса, а не
полный импульс. Отсюда можно заключить, что любая конструк-
ция, не разрушающаяся под действием больших растягивающих
деформаций при прямом ударе, должна быть устойчивой к по-
добному же разрушению и при косом ударе.

Неоптимальные экраны. Мейден и Макмиллан [26], а также
Сандорф [27] ввели понятие об оптимальном экране. По опре-
делению это такой экран, который образует облако продуктов
разрушения определенной формы. Гидродинамические расчеты
по программе CAMEO, взятые вместе с результатами анализа
разрушений при больших деформациях и откольными оценками,
показывают, что установить оптимальность экрана довольно
трудно. По расчетам и из экспериментов легко видеть, что, если
экран слишком тонок, то возникнут жесткие ограничения к весу.
Однако имеется весьма широкий набор конструкций минималь-
ного веса (гл. 4), в которых вес можно распределить между
экраном и задним листом. Поскольку толщина заднего листа,
гарантирующая его целостность, быстро растет с уменьшением
отношения ts/d и поскольку существует сильная связь напря-
жения с толщиной при больших напряжениях, то, по-видимому,
имеет смысл сохранять отношение ts/d на как можно более вы-
соком уровне и рассчитывать толщину заднего листа на устойчи-
вость к небольшой максимальной деформации. Как уже отмеча-
лось, фактором первостепенной важности при расчетах на пре-
дотвращение откола или разрушения от большой деформации
надо считать расстояние между листами, а также то обстоятель-
ство, что толщины при разрушении обратно пропорциональны
квадрату этого расстояния.

По всей вероятности, метеоритные удары должны наблю-
даться в условиях, когда отношение ts/d больше единицы. При
этих условиях следствием ударов будет образование облаков,
содержащих твердые осколки.

Ситуация с экранами сверхоптимальной толщины исследова-
лась экспериментально в следующих условиях: сферические
алюминиевые ударники диаметром 3,2 мм, скорость 7,55 км/с,
экран и задний лист разной толщины из сплава 7075-Т6 при
расстоянии между ними 50,8 мм. На фиг. 9.22 и 9.23 показаны
Фиг. 9.22. Мишени с экранами из сплава 7075-Т6 сверхоптимальной толщины после удара алюминиевых сферических
снарядов диаметром 3,2 мм со скоростью 7,55 км/с.

d — передняя поверхность экрана; б — передняя поверхность заднего листа из сплава 7075-Т6 толщиной 1,6 мм при зазоре 50,8 мм.
Ф и г. 9.23. Мишени с экранами из сплава 7075-Т6 сверхоптимальной толщины после удара алюминиевых сферических
снарядов диаметром 3,2 мм со скоростью 7,55 км/с.

а — задняя поверхность экрана; б — задняя поверхность заднего листа из сплава 7075-Т6 толщиной 1,6 мм при зазоре 50,8 мм.
повреждения экранов и задних листов (толщиной 1,6 мм) пои
этих испытаниях. Результаты всех этих испытаний удобно обоб-
щаются ломаной линией АВС на фиг. 9.24.. Известные точки А,
В и С соединяют прямыми, где tA (толщина в точке А) есть
толщина заднего листа, предотвращающая откол без экрана,
(в (толщина в точке В)—полная толщина конструкции, де-
формация которой не превосходит 4% предельной деформации
при оптимальном отношении Z8/d=0,15, и /с( = ^а)—толщина
экрана, предотвращающая откол и делающая тем самым ненуж-
ным запасной лист. Применительно к задачам конструирования
экспериментальные результаты показывают, что пробивания зад-

Фиг. 9.24. Полная надежная толщина экрана и заднего листа из сплава
7075-Т6 в зависимости от толщины экрана при ударе алюминиевых сферических
снарядов диаметром 3,2 мм со скоростью 7,4 км/с при зазоре между экраном
и задним листом 50,8 мм.

него листа не будет, когда размеры конструкции лежат выше
линии АВС. Заметим, что при заданной скорости толщина
равная /с, приблизительно пропорциональна диаметру удар-
ника id, в то время как толщина tB пропорциональна d3.

Масштабные закономерности двухлистовой конструкции. Ре-
зультаты расчетов и данные экспериментов показывают, что
толщина экрана изменяется сообразно с диаметром ударника d,
а толщина запасного листа пропорциональна d3 или же массе
ударника. Поэтому полный размер конструкции должен быть
пропорционален d в степени с показателем, лежащим между 1
и 3. Принято считать, что глубина разрушения однолистовой
конструкции пропорциональна диаметру ударника [28—30]. Как
следует из этих двух утверждений, когда масса ударника очень
велика, однолистовая конструкция предпочтительнее двух-
листовой. Однако результаты исследований по двухлистовым
конструкциям считаются действительными только тогда, когда
расстояние между листами превосходит восьмикратный диаметр
ударника. С этим ограничением двухлистовая конструкция лучше
однолистовой. Если же расстояние между листами меньше 8d,
то продукты разрушения ударника и экрана сохранят доста-
точную плотность и образуют при ударе по второму листу кра-
тер. Наш расчет неприменим к данному случаю, но есть основа-
ния полагать, что двухлистовая конструкция всегда лучше одно-
листовой, потому что всякий высокоскоростной удар по экрану
сопровождается рассеянием продуктов разрушения ударника и
экрана, поглощением энергии и в самом худшем случае незна-
чительным возрастанием полного импульса. Отсюда удар по вто-
рому листу будет слабее, чем без экрана, потому что удельные
значения энергии и импульса, приходящиеся на единичную пло-
щадь, снижаются. Такие же рассуждения приложимы и к масш-
табным пересчетам по скорости. Поэтому во всех случаях двух-
листовая конструкция предпочтительнее однолистовой.

Расчет двухлистовых конструкций. Сопротивление двухлисто-
вых конструкций ударным нагрузкам можно оценить на основе
уже изложенных сведений. Отправную двухлистовую конструк-
цию следует рассчитать на наиболее вероятные условия удара.
Расчетная методика иллюстрируется ниже на примере трех кон-
струкций.

В качестве таких конструкций были выбраны два вспомога-
тельных отсека космического корабля «Аполлон» и кабина по-
садки на Луну. Обшивка вспомогательных отсеков состоит из
двух тонких листов толщиной по 0,405 мм с промежутком между
ними 25,4 мм. У первого вспомогательного отсека между листами
проложен сотовый заполнитель с ячейками размером 6,35 мм
и стенками толщиной 0,0254 мм. Ячейки сотового заполнителя
у второго отсека имеют размер 4,75 мм и стенки толщиной
0,0178 мм. Обшивка посадочной кабины состоит из листового
алюминия толщиной 0,102 мм, отстоящего на расстоянии 50,8 мм
от второго алюминиевого листа толщиной 0к635 мм. Предпола-
гается, что во всех трех конструкциях материалом листов служит
сплав 7075-Т6.

Конструкции рассчитывали по их уязвимости при уларах
твердых тел из алюминия. Такой расчет дает оценку с некото-
рым запасом, потому что для материала меньшей плотности
повреждение будет меньше. По формуле (6.10) можно найти
критические массы при ударе со скоростью 30 км/с. В случае
вспомогательного отсека такая масса равна 2,64 «Ю-3 г (со-
товый заполнитель первоначально не учитывался), а для поса-
дочной кабины она составила 2,1 • 10~3 г.

Затем были определены критические массы для сотового на-
полнителя путем масштабного пересчета результатов измерения
больших деформаций однородного листа, представленных на
фиг. 6.28 и 6.29. Критические массы для двух вспомогательных
отсеков получились равными соответственно 1,78 • 10~4 и 10“4 г.

Наконец, по результатам, приведенным в табл. 9.4, были опре-
делены критические массы при ударах с малыми скоростями.
В данном случае сотовым наполнителем можно пренебречь, так
как налетающая частица при ударе не разрушается. Критичес-
кие массы для вспомогательных отсеков и кабины посадки на
Луну получились равными соответственно 3,4-10-4 и 2,54-10~4 г.

После всего этого для найденных таким образом критических
масс можно определить безопасный уровень матеоритных пото-
ков и «живучесть» в метеоритной обстановке по справочным
данным НАСА [31]. При 99%-ной живучести в случае первого
вспомогательного отсека произведение площади на длительность
пребывания получилось приблизительно равным 8500 м2*сут
без учета сотового заполнителя, 230 м2-сут для всех прямых уда-
ров в центре ячейки и 550 м2-сут при ударах с малыми ско-
ростями. Для второго отсека все значения этого параметра,
кроме одного, были такими же, как и для первого. И только
при учете наличия сотового наполнителя он составил
~ 110 м2 • сут.

Для кабины посадки на Луну этот параметр составил
~'615О м2-сут при прямых ударах со скоростью 30 км/с и
190 м2* сут при низкоскоростных ударах. В расчетах при низко-
скоростных ударах учитывалась также возможность осколоч-
ного повреждения при косом соударении.

Приведенные значения «безопасного» пребывания в космосе
следует считать заниженными, так как все оценки приводились
с запасом. Наличие сотового наполнителя учтено только в наи-
худшем случае, причем удары с низкой скоростью (2,5 км/с),
по-видимому, маловероятны, а повреждение осколками при ко-
сых ударах вряд ли создает проблему при высокоскоростном со-
ударении. Поэтому вероятность «безопасного» пребывания
в космосе должна быть, как правило, выше, чем это дают рас-
четы.

СЛОЖНЫЕ МИШЕНИ

Под сложными мишенями понимают функциональные эле-
менты космических кораблей, которые являются основной забо-
той конструкторов на сегодняшний день. Такие мишени не под-
даются теоретическому анализу, а проведенные над ними экспе-
рименты довольно скудны. Особое внимание здесь уделяется

Probability of no failure, т. e. вероятность не выйти из строя.— Прим,
ред.
трубчатым мишеням, герметичным камерам и окнам космиче-
ских кораблей. Приведенный ниже беглый обзор сложных мише-
ней знакомит читателя с многообразием форм новых мишеней,
материалов и конструкций, которые могут подвергаться метео-
ритным ударам в космическом полете.

Трубчатые мишени. Типичным примером специфической
сложной мишени служит теплообменник трубчатой конструкции
космического корабля, который в реальных условиях представ-
ляет собой мишень для метеорита с открытой площадью в не-
сколько десятков квадратных метров. Чтобы исследовать по-
вреждаемость теплообменника (трубчатой мишени), Макмиллан

Фиг. 9.25. Глубина проникновения в трубчатую мишень из сплава 356 (в зави-
симости от ее диаметра при постоянной толщине стенки) пустотелых пирексо-
вых шариков с наружным диаметром 2,4 мм и массой 0,016 г при скорости
удара 7,5 км/с и температуре 370° С.

[22] изучал характер повреждения тонких мишеней, изменяя их
радиус, как это показано на фиг. 9.25. При толщине стенок
11,3 мм глубина проникновения заметно убывает с уменьшением
внутреннего диаметра от бесконечности (плоская мишень) до
12,7 мм. При дальнейшем его уменьшении глубина проникнове-
ния меняется мало. Способность мишени кольцевой формы хо-
рошо противостоять ударному разрушению проистекает из того,
что на распространение ударной волны по кольцевому сечению
влияет большая свободная поверхность. Следовательно, волны
разрежения, которые снижают интенсивность передаваемого им-
пульса, воздействуют быстрее, ослабляя тем самым ударную
волну и снижая ее способность к пробиванию мишени или по-
рождению откола.

В целях предотвращения откола внутри трубчатой мишени
рекомендовалось [19] использовать в теплообменнике облицовку
из пластического материала, в которой перфорация вызовет
«жидкую течь», в то время как откол без перфорации может, на-
пример, повредить или вывести из строя циркулярные на-
сосы из-за попадания в жидкость кусочков металла. Выигрыш-
ное действие облицовки иллюстрируется данными, приве-
денными на фиг. 9.26. Одна мишень имела стальную облицовку
изнутри, тогда как другая ее не имела, но была снабжена утол-
щенной алюминиевой защитой с сохранением постоянства по-
гонного веса. Хотя внутренняя облицовка получила глубокие
вмятины, она предотвратила попадание отколовшегося металла
в трубу с охладителем.

Фиг. 9.26. Действие внутренней облицовки на откол в трубчатых мишенях
под действием пустотелых пирексовых шариков диаметром 2,4 мм при скоро-
сти удара 7,3 км/с.

а — труба из сплава 2024-Т6 без облицовки; б — труба из сплава 356-Т51 со вставкой
из нержавеющей стали 316.

Повреждений такой внутренней облицовывающей трубы не
наблюдалось даже в тех случаях, когда глубина проникновения
превышала оценку, при которой должен бы начаться откол.

Окна космических кораблей. Высокоскоростные метеорит-
ные удары по окнам, ухудшающие их прозрачность, могут серь-
езно повлиять на системы управления и контроля или на ма-
невры по стыковке, особенно в пилотируемых космических
кораблях. На фиг. 9.27 приведено два примера. Удар сильно по-
вредил акриловое окно, что все же не помешало обозрению. Од-
нако окно из слистого стекла оказалось после удара почти пол-
ностью непригодным. Наконец, важно учитывать возможность
образования сквозных трещин в окнах, вследствие чего может
упасть давление внутри аппарата.
Ф и г. 9.27. Повреждение окон при ударе стеклянными пустотелыми
а — окно из напряженного акрилового полимера толщиной 25,4 мм;

Резервуары давления и напряженные конструкции. Как из-
вестно [32—34], удар метеоритных частиц по космическим ко-
раблям, содержащим компоненты, где жидкость или газ нахо-
дится под высоким давлением и при изменяющейся температуре,
служит причиной катастрофических разрушений. В типичных
случаях к таким резервуарам в космических кораблях, которые
могут подвергнуться действию метеоритов, надо отнести энерге-
тические установки, теплообменники [19], топливные баки и за-
пасные баллоны. Поскольку метеориты в космическом простран-
стве не поддаются контролю, конструктор должен выбрать
такую систему обеспечения безопасности, которая смогла бы
защитить конструкцию от возможного удара самым крупным
метеоритом за время ее пребывания в космосе.

Когда летящая с огромной скоростью частица ударяет по по-
верхности резервуара давления, обычно возникает одна из двух
ситуаций: либо метеорит полностью пробивает оболочку резер-
вуара с проникновением продуктов разрушения ударника и от-
кола во внутреннюю среду и повышением в ней давления или
шариками диаметром 3,2 мм и массой 0,04 г со скоростью 7,7 км/с.

б — защитное окно из отпущенного слоистого стекла толщиной 12,7 мм.

в случае очень тонкостенного резервуара пробивает как перед-
нюю, так и заднюю стенки контейнера, либо ударник, не проби-
вая резервуара, создает ударную волну, порождающую внутри
жидкости волну сжатия. В обоих случаях внутреннее давление
возрастает и, если в результате окружное напряжение оболочки
превысит прочность на разрыв, то резервуар давления разру-
шится.

Как это отмечали Рольстен и др. [33], а также Степка и
Морзе [34], вероятность катастрофического разрушения тонко-
стенных конструкций, например бака с ракетным топливом, ве-
лика. Рольстен и др. упоминают о случае катастрофического раз-
рушения тонкостенного резервуара давления с жидкостью под
действием ударника. Разрушение стенки этого резервуара при-
писывалось действию упругой энергии, запасенной полем окруж-
ных растягивающих напряжений. С другой стороны, вероятность
катастрофического разрушения толстостенного резервуара дав-
ления с жидкостью должна быть меньше.
Ф и г. 9.28. Ударное повреждение толстостенного сферического резервуара из сплава 2024-ТЗ (внутренним диаметром 390 мм
и со стенками толщиной 6,35 мм) с водой под давлением 5,5 МПа при ударе стеклянным шариком диаметром 3,18 мм
и массой 0,04 г со скоростью 7,0 км/с.

а — опытный резервуар; б — пробитый резервуар.
В одном из испытаний исследовалось действие удара стеклян-
ных шариков диаметром 3,18 мм со скоростью 7,0 км/с на сфе-
рический контейнер давления из сплава.2024-ТЗ (наружным
диаметром 406 мм и со стенками толщиной 6,35 мм), заполнен-
ный водой под давлением 5,5 МПа (56 кгс/см2). Из фиг. 9.28
видно, что удар катастрофического разрушения контейнера не
вызывал и приводил лишь к чистому пробиванию. Но если бы
ударник был крупнее или толщина стенки меньше, то вероят-
ность катастрофического разрушения стала бы больше. Что ка-
сается механизмов разрушения в условиях газовой среды при
повышенном давлении, когда волна существенно иначе распро-
страняется от места удара к другим частям резервуара, то здесь
один случай не похож на другой. Некоторые эксперименталь-
ные результаты по резервуарам давления приведены в об-
зоре [35].

Еще одну трудность создает высокая температура вспышки
при ударе летящей с огромной скоростью частицы по космиче-
скому кораблю, насыщенному аппаратурой высокого давления;
она может привести к сгоранию или взрыву корабля, причем
астронавту придется в подобном случае испытать удар, сотрясе-
ние или губительную декомпрессию [36, 37].

Фрикционный износ и изменения температуры конструкцион-
ного материала под многократным воздействием ударов могут
привести к разрушению либо вследствие уменьшения несущей
нагрузку площади конструкции и тем самым повышения уровня
напряжений, либо из-за снижения прочности материала при не-
контролируемом нагревании, так что причиной разрушения кон-
струкции может стать укорочение критической трещины.

В итоге катастрофическая ситуация зависит от структуры ма-
териала, уровня напряжений, внутреннего давления среды, при-
роды содержащейся внутри жидкости, площади пробоины, ре-
акции материала на действие волны сжатия и взаимодействия
конструкционного материала со средой.

3. ДИСКУССИЯ

В настоящей главе предпринята попытка коротко затронуть
многие инженерные аспекты высокоскоростного соударения.
В действительности удар метеоритного тела или осколка редко
происходит в условиях нормального угла атаки по мишени из
гомогенного изотропного материала. Следовательно, необходимо
изучить случаи удара по сложным мишеням, варьируя условия
соударения. К сожалению, невозможно охватить сколько-нибудь
все конфигурации конструкционных материалов, с которыми мо-
жет встретиться проектировщик космического корабля. Здесь
рассматривались мишени в поперечном сечении, начиная от
простейших бесконечных и кончая наиболее сложными, правда
обсужденными бегло. Были приведены эмпирические соотноше-
ния, позволяющие рассчитывать и оценивать повреждение, ко-
торое могла бы выдержать простая мишень, а также конструк-
тивные подходы к решению задачи расчета двухслойной внешней
оболочки космического корабля. Кроме того, был проведен крат-
кий обзор случаев удара по слоистым мишеням, окнам корабля,
резервуарам давления. Мы попытались не обойти вниманием
многие доступные публикации и отобрать те из них, в которых
отражены специфические явления.
ЛИТЕРАТУРА

К ГЛАВЕ 1

1.	Crozier W. D, Hume W., Л Appl. Phys., 28, 892 (1957).

2.	Charters A. C., Denardo В. P., Rossow V. J., NACA RM A55G11, Dec. 1955.

3.	Siegel A. E., Slawsky Z. I., Navord Rept. 4345, July 1956.

4.	Charters A. C., Denardo В. P., Rossow V. J., NACA TN 4143, Nov. 1957.

5.	Smith F., ARDE Rept. (B) 18/58, 1958.

6.	Bioletti C., Cunningham B., NASA TN D-307, Feb. 1960.

7.	Lord M. E., AEDC-TN-60-176, Oct. 1960.

8.	Stephenson W. B., Anderson D. E., AEDC-TR-61-6, June 1961.

9.	Stephenson W. B., AEDC-TN-61-1 66, Jan. 1962.

10.	Stephenson W. B., Anderson D. E., Ann. Meeting IAS, 30th, New York,
Jan. 1962.

11.	Curtis J. S., NASA TN D-1144, Feb. 1962.

12.	Stephenson W. B., Knapp R. E., AEDC-TDR-62-32, March 1963.

13.	Anderson D. E., Prince M. D., Symp. Hypervelosity Techniques, 2nd, Den-
ver, 1962.

14.	Anderson D. E., AEDC-TDR-62-97, May 1962.

15.	Carter H. et al, NOLTR 62-112, June 1962.

16.	Charters A. C, Curtis J. S, TM 62/207, GM Defence Res. Lab, 1962.

17.	Eckerman J, McKay W. L, Proc. Symp. Hypervelocity Impact, 6th, Cleve-
land, Ohio, 1, 247, Aug. 1963.

18.	Cable A. J, RARDE Memorandum 14/64, Apr. 1964; Proc. Meeting AGARD-
NATO Specialists; AGARDograph 187, Marseilles, Apr. 20—24, 1964.

19.	Swift H. F, Proc. Symp. Hypervelocity Impact, 7th, Tampa, Florida, Nov.
1964.

20.	Lukasiewicz J, AIAA J., 5 (11), 1955 (1967).

21.	Wilenius G. P. T, Cloutier M, Cowan P. L, CARDE TM 703/62, 1962.

22.	Станюкович К. П, Неустановившиеся движения сплошной среды, изд. 2,
«Наука», 1971.

23.	Smith F, RARDE Rept. (В) 5/63, 1963; J. Fluid Meeh., 17, 113 (1963).

24.	Cable A. J, DeWitt J. R, Prince M. D, AEDC-TR-65-204, Oct. 1965.

25.	Curtis J. S, Symp. Hypervelocity Techniques, 3rd, Denver, Colorado, March
1964.

26.	Wilenius G. P. T, Cowan P. L, Cloutier M, Symp. Hypervelocity Techni-
ques, 3rd, Denver, Colorado, March 1964.

27.	Piacesi R., Gates D. F., Siegel A. E., NOL TR 62-87, Feb. 1963.

28.	Baer P. G., Smith H. C., Symp. Hypervelocity Impact, 6th, Cleveland, Ohio,
Aug. 1963.

29.	Neumann (von) J., Richtmeyer R. D., J. Appl. Phys., 21, 232 (1932).

30.	DeWitt J. R., Cable A. J., AEDC-TR-65-203, Oct. 1965.

31.	Howell W. G., Kottenstette J. P., AEDC-TR-65-32, Jan. 1965.

32.	Kottenstette J. P., Howell W. G., Symp. Hypervelocity Impact, 7th, Tampa,
Florida, Nov. 1964.

33	Howell W. G., Recht R. F., Ipson T. W., Symp. Hypervelocity Impact, 6th,
Cleveland, Ohio, Apr. 1963.
34.	Cooley W. C., Symp. Hypervelocity Techniques, 7th, Tampa, Florida, Nov.
1964.

35.	Miller K. W., Bergslein R. M., Symp. Hypervelocity Impact Effects, 2nd,
Washington, D. C., May 1957.

36.	Salisbury W. W., Symp. Hypervelocity Impact Effects, 2nd, Washington,
D. C„ May 1957.

37.	Harris L. D., Symp. Hypervelocity Impact Effects, 2nd, Washington, D. C.,
May 1957.

38.	Brast D. E., Sawle D. R., Symp. Hypervelocity Impact, 7th, Tampa, Flo-
rida, Nov. 1964.

39.	Rosen F. D., Symp. Hypervelocity Impact, 7th, Tampa, Florida, Nov. 1964.

40.	Chapman R. L., Harms D. E., Sorenson G. P., Symp. Hypervelocity Impact,
6th, Cleveland, Ohio, Apr. 1963.

41.	Chapman R. L. et al., Symp. Hypervelocity Impact, 7th, Tampa, Florida,
Nov. 1964.

42.	Baer P. G., Symp. Hypervelocity Impact, 4th, Eglin AFB, Florida, Apr.
1960.

43.	Fogg W. E., Fleischer C. W., Symp. Hypervelocity Impact, 4th, Eglin AFB,
Florida, Apr. 1960.

44.	Bengson M. H., Slawecki T. К.» Willig F. J., Symp. Hypervelocity Impact,
4th, Eglin AFB, Florida, Apr. 1960.

45.	Godfrey C. S., Symp. Hypervelocity Impact, 7th, Tampa, Florida, Nov. 1964.

46.	Moore E. T. et al., Symp. Hypervelocity Techniques, 4th, Tullahoma, Ten-
nessee, Nov. 1965.

47.	Crosby J. K., Gill S. P., Fowles G. R., Symp. Hypervelocity Techniques,
4th, Tullahoma, Tennessee, Nov' 1965.

48.	Scherrer V. E., Richards P. I., Symp. Hypervelocity Impact, 4th, Eglin
AFB, Florida, Apr. 1960.

49.	Clark W. H. et al., Symp. Hypervelocity Impact, 7th, Tampa, Florida,
Nov. 1964.

50.	Poultier T. C., Symp. Hypervelocity Impact Effects, 2nd, Washington, D. C.,
May 1957.

51.	Willig F. J., Symp. Hypervelocity Impact Effects, 2nd, Washington, D. C.,
May 1957.

52.	Christian R. H., Duff R. E., Yager F. L., J. Chern, Phys., 23 (11), 2045
(1955).

53.	Clark E. N. et al., Symp. Hypervelocity Impact, 4th, Eglin AFB, Florida,
Apr. 1960.

54.	Kineke J. H., Jr., Symp. Hypervelocity Impact, 4th, Eglin AFB, Florida,
Apr. 1960.

55.	Kreyenhagen K. N. et al., Symp. Hypervelocity Impact, 6th, Cleveland,
Ohio, Aug. 1963.

56.	Gehring J. W., Christman D. R., McMillan A. R , Conf. AIAA Structures
and Materials, 5th, Palm Springs, California, Apr. 1964.

57.	Wenzel A. B., Gehring J. W., Jr., Symp. Hypervelocity Techniques, 4th,
Tullahoma, Tennessee, Nov. 1965.

58.	Scully C. N., Cowan P. L., Symp. Hypervelocity Impact, 4th, Tampa, Flo-
rida, Apr. 1960.

59.	Posever F. C., Rish F. L., Scully C. N., Ann. Conf AIAA Structures and
Materials, 5th, Palm Springs, California, Apr. 1964.

60.	Scully C. N. et al., Symp. Hypervelocity Impact, 7th, Tampa, Florida, Nov.
1964.

61.	Bloxsom D., Symp. Hypervelocity Impact, 4th, Eglin AFB, Florida, Apr.
1960.

62.	Carlson R. E., Fager J. A., Conf. AIAA Structure and Materials, 6th,
Palm Springs, California, Apr. 1965.

63.	Friichtenicht J. F., Hamermesh B., Symp. Hypervelocity Impact, 4th, Eglin
AFB, Florida, Apr. 1960.
64.	Friichtenicht J. F., Slattery J. C., Hansen D. O., Symp. Hypervelocity Im-
pact, 7th, Tampa, Florida, Nov. 1964.

65.	Harp J. L., Gideon D. N., Stein R. A., Battelle Memorial Inst. BAT-197-21-4,
June 1964.

К ГЛАВЕ 2

1.	Kinslow R., AIAA Paper No. 67-140, 1967.

2.	Rae W. J , Highwater Conf. Meteoroid Impact, Highwater Quebec, McGill
Univ., 1966.

3	Bjork R. L., Proc. Symp. Hypervelocity Impact, 3rd, Armour Foundation,
Illinois Inst. Technology, 1958.

4.	Bjork R. L., J. Geophys. Res., 66, 3379 (1961).

5.	Bjork R. L., Proc. Intern. Astronaut. Congr., 10th, 2, 505, 1960.

6.	Walsh J. M., Tillotson J. H., Proc. Symp. Hypervelocity Impact, 6th, 2,
59, 1963.

7.	Walsh J. M. et al., General Atomic Div. General Dynamics Corp., Rept.
GA-5119, 1964.

8.	Walsh J. M., Johnson W. E., Proc. Symp. Hypervelocity Impact, 7th, 2,
1, 1965.

9.	Riney T. D., General Electric Co. Rept. R64SD13, 1964.

10.	Riney T. D., in “Developments in Mechanics”, Pergamon, Oxford, 1965,
p. 419.

11.	Heyda J. F., Riney T. D., General Electric Rept. R64SD87, 1964.

12.	Baron M. L, Skalak R., Lecht С. P., J. Eng. Meeh. Div. Am. Soc. Civil
Engrs., 91, 129 (1965).

13.	Friedman M. B., Bleich H. H., Parnes R., J. Eng. Meeh. Div. Am. Soc.
Civil Engrs., 91, 229 (1965).

14.	Garg S. K., J. Appl. Math. Phys., 19, 243 (1968).

15.	Kinslow R., Proc. Symp. Hypervelocity Impact, 6th, Cleveland, Ohio, 2,
273, 1963.

16.	Lord Rayleigh, London Math. Soc. Proc., 20, 225 (1888).

17.	Poisson S. D., Mem. Acad. Sci. Paris, 8 (Ser. 2), 623 (1829).

18.	Love A. E. H., A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity, 4th ed.,
Dover, N. Y, 1927, Chapter XIII; есть в переводе: Ляв А., Математиче-
ская теория упругости, ОНТИ, М., 1935.

19.	Lamb Н., Proc. Roy. Soc., 93, 114 (1917).

20.	Mindlin R. D., US Army Signal Corps Engineering Lab. Rept. DA-36-039
SC-56772, Fort Monmouth, New Jersey, 1955.

21.	Kolsky H., Stress Waves in Solids, Dover, N. Y., 1963.

22.	Garabedian P. R., Partial Differential Equations, Wiley, N. Y., 1964, Chap-
ter 4.

23.	Hadamard J., Lectures on Cauchy’s Problem in Linear Partial Differential
Equations, Book II, Yale Univ. Press, New Haven, Connecticut, 1923, Chap-
ter I.

24.	Lord Rayleigh, London Math. Soc. Proc., 17, 4 (1887).

25.	Mindlin R. D., Proc. Symp. Naval Structural Mechanics, 1st, 199, 1960.

К ГЛАВЕ 3

1.	Methods Comput. Phys., 3 (1964); есть в переводе: Вычислительные ме-
тоды в гидродинамике, «Мир», 1967.

2.	Wilkins М. L., есть в переводе: (см. [1]).

3.	Evans М. W., Harlow F. Н., Los Alamos Sci. Lab. Rept. LA-2139, 1957.

4	Johnson W. E., General At. Rept. GAMD-5580, 1965.
5.	Courant R., Friedrichs К. О., Supersonic Flow and Shock Waves, Wiley,
N. Y., 1948; есть в переводе: Курант Р., Фридрихе К., Сверхзвуковое те-
чение и ударные волны, ИЛ, 1950.

6.	Biork R. L., Rand Corp. Paper 1662, 1958.

7.	Riney T. D., Proc. Symp. Hypervelocity Impact, 6th, Cleveland, Ohio, 2,
Part 2, 1963.

8.	Hill R., The Mathematical Theory of Plasticity, Oxford Univ. Press, Lon-
don, 1950; есть в переводе: Хилл Р., Математическая теория пластично-
сти, Гостехиздат, М., 1956.

9.	Charest J. A., General Motors Defense Res. Lab. Rept. TR-64-58, 1964.

10.	Taylor G. L, Proc. Roy. Soc., A201, 159 (1950).

11.	Станюкович К. П., Федынский В. В., ДАН СССР, 57 (2), 129 (1947).

12.	Whipple F. I., Vistas in Astronautics 1958, Pergamon, N. Y., 1958, p. 115.

13.	Walsh J. M., Tillotson J. H., Proc. Symp. Hypervelocity Impact, 6th, Cleve-
land, Ohio, 2, Part 1, 59 1963.

14.	Herrmann W., Jones O. F., Massachusetts Inst. Technol. Rept. ASRL 99-1,
1961.

15.	Olshaker A. E., Bjork R. L., Proc. Symp. Hypervelocity Impact, 6th, Cleve-
land, Ohio, 1, 185, 1962.

16.	Kineke J. H., Richards L. G., Proc. Symp. Hypervelocity Impact, 6th, Cle-
veland, Ohio, 2, Part 2, 513, 1963.

17.	Tillotson J. H., General At. Rept. GA-3216, 1962.

18.	Rae W. J., Kirchner H. P., Cornell Aeronaut. Lab. Rept. No. RM-1655-M-4,
1963.

19.	Hafele W., Z. Naturforsch., 10a, 1006 (1955).

•20. Адамский В. Б., А куст, ж., 2(1), 3 (1957).

21.	Седов Л. И., Методы подобия и размерности в механике, изд. 5, «Наука»,
М., 1965.

22.	Allen R. Т., General At. Rept. GAMD-7834, 1967.

23.	Walsh J. M., Tillotson J. H., Johnson W. E., General At. Rept. GAMD-4518,
1963

24.	Truesdell C., Noll W., in “Handbuch der Physik”, Vol. III/3, Springer,
Berlin, 1965.

25.	Eringen A. C., Non-Linear Theory of Continuous Media, McGraw-Hill,
N. Y., 1962.

26.	Prager W., Hodge P. G., Theory of Perfectly Plastic Solids, Wiley, N. Y.,
1951; есть в переводе: Прагер В., Ходж Ф., Теория идеально пластиче-
ских тел, ИЛ, 1956.

27.	Sokolnikoff I. S., Specht R. D., Mathematical Theory of Elasticity, McGraw-
Hill, N. Y., 1946.

28.	Bridgman P. W., Metallurgy and Metallurgical Engineering Series, McGraw-
Hill, N. Y., 1952.

29.	Thomas T. Y., Proc. Natl. Acad. Sci., 57, 1195 (1967).

30.	Robertson E. C., Bull. Geol. Soc. Am., 66, 525 (1955).

31.	Halperson S. M., Proc. Symp. Hypervelocity Impact, 6th, Cleveland, Ohio,
2 Part 2 525 1963

32.	Erkman J. O.’, Christensen A. B., J. Appl. Phys., 38(13), 5395 (1967).

33.	Eichelberger R. J., Gehring J. W., ARS J., 32(10), 1583 (1962).

34.	Верещагин Л. Ф., Шапочкин В. А., ФММ, 9(2), 258 (1960).

35.	Журков С. Н., Сапфирова Т. П., ФТТ, 2(6), 1033 (1960).

К ГЛАВЕ 4

1.	Olshaker А. Е., Bjork R. L., Proc. Symp. Hypervelocity Impact, 5th, Colo-
rado School of Mines, Colorado, 1, Part 1, 225, 1961.

2.	McQueen R. G., Marsh S. P., J. Appl. Phys., 31, 1253 (1960).

3.	Walsh J. M. et al., Phys. Rev., 108, 196 (1957).
4.	Альтшулер Л. В., Крупников К. К., Бражник М. И., ЖЭТФ, 34, 886
(1958).

5.	Альтшулер Л. В. и др., ЖЭТФ, 38, 790 (1960).

6.	Walsh J. М., Tillotson J. Н., Proc. Symp. Hypervelocity Impact, 6th, Fire-
stone Tire and Rubber Co., Akron, Ohio, 2, 59, 1963.

7.	Альтшулер Л. В. и др., ЖЭТФ, 38, 1061 (I960).

8.	Fowles G. R., I. Appl. Phys., 31, 655 (1960).

9.	Sandorff P., Symp. Hypervelocity Impact, 6th, 3, AD-423-063, 1963.

10.	Bjork R. L., Symp. Hypervelocity Impact, 6th, 2, 1, AD-423-063, Aug. 1963.

11.	Riney T. D., Heyda J. F., Symp. Hypervelocity Impact, 7th, 2, 77, AD-463-
228, Feb. 1965.

12.	Walsh J. M., Johnson W. E., Symp. Hypervelocity Impact, 7th, 2, 1,
AD-463-228, Feb. 1965.

13.	Wagner M. H., Brooks N. B., Bjork R. L., Symp. Hypervelocity Impact,
7th, 3, 1, AD-463-229, Feb. 1965.

14.	Witmer E. A. et al., AIAA J., 1(8), 1848 (1963).

15.	Maiden С. J., McMillan A. R., AIAA J., 2(11), 1992 (1964).

16.	McMillan A. R., GM TR66-67, Nov. 1966.

17.	Jones A. H., Kriech С. E., GM TR66-85, Dec. 1966.

К ГЛАВЕ 5

1.	Riney T. D., Halda E. J., AIAA J., 6, 338 (1968).

2.	Riney T. D., Briggs S. M., in „Developments in Mechanics”, Vol. IV, Per-
gamon, Oxford, 1968, p. 703.

3.	Riney T. D., Heyda J. F., Topical Rept, Contract No. NAS 3-8512, NASA
Lewis, 1968.

4.	Whipple F. L., Physics and Medicine of the Upper Atmosphere, Univ, of
New Mexico Press, Albuquerque, 1952, p. 137.

5.	Maiden C. J., McMillan A. R , Sennett R. E., General Motors DRL Rept.
TR-64-61, 1964.

6.	Maiden C. J., McMillan A. R., Preprint No. 64-95, AIAA Aerospace Scien-
ces Meeting, 1964.

7.	Heyda J. F., in „Developments in Mechanics”, Pergamon, Oxford, 1968,
p. 741.

8.	Balmer H. A., Mass. Inst. Techn. Rept. ASRL TR-128-3, 1965.

9	Harlow F. H., Los Alamos Scientific Lab. Rept. LA-2301, 1959

10.	Wilkins M. L., Giroux R., Lawrence Radiation Lab. Rept. UCRL-7322,
1963.

11.	Johnson W. E., General At. Document No. GAMD-5580, 1965.

12.	Sedgwick R. T, Woodall S. R., Interim Rept., Contract No. F-08635-67-C-
0079, Eglin AFB, 1967.

13.	Кормер С. Б. и др., ЖЭТФ, 42, 686 (1962).

14.	McCloskey D. J., RAND Corp. Rept. RM-3095-PR, 1964.

15.	Bjork R. L., Kreyenhagen K. N., Wagner M. H., NASA CR-757, 1967

16.	Humes D. H., Hopko R. D., Kinard W. H., Proc Hypervelocity Impact
Symp., 5th, 1, Part 2, 567, 1962.

17.	Humes D. H„ NASA TN-D-3104, 1965.

18.	Урлин В. Д. и др., ЖЭТФ, 32, 341 (1957).

19.	Warnica R. L, Christman D. R., Proc. Hypervelocity Impact Symp., 7th,
7, 143, 1965.

20.	Walsh J M., Tillotson J. H., Proc. Hvpervelocity Impact Symp., 6th, 2.
Part 1, 59, 1963.

21.	Riney T. D., AIAA I., 3, 52 (1965).

22.	Eichelberger R. J., J Appl. Phys., 27, 63 (1956).

23.	Halperson S. M., Proc. Hypervelocity Impact Symp., 6th, 2, Part 2, 525,
24.	Halperson S. M., Proc. Hypervelocity Impact Symp., 7th, 5, 235, 1965.

25.	Wenzel A. B., Clough N , NASA TM (в печати).

К ГЛАВЕ 6

1.	Eichelberger R. J., Proc. Hypervelocity Impact Symp., 6th, 2, Part 2,
683-704, AD 423064, Aug. 1963.

2.	Bethe H. A. et al., Los Alamos Scientific Lab. Rept. No. LA-2000, Aug.
1947.

3.	Седов Л. И., Методы подобия и размерности в механике, изд. 5, «Наука»,
М., 1965.

4.	Taylor G. L, Proc. Roy. Soc., A201, 159 (1950).

5.	Walsh J. M. et al., General Atomic Div. General Dynamics Corp., Rept.
No. GA-5119, AD 436251, March 31, 1964; AGARDograph 87, Vol. 1, Gor-
don and Breach, N. Y., 1966, p. 343.

6.	Walsh J. iM., Tillotson J. H., General Atomic Div. General Dynamics Corp.,
Rept. No. GA-3827, AD 40123, Jan. 22, 1963; Proc. Symp. Hypervelocity
Impact, 6th, 2, Part 1, 59-104, AD 423063, Aug. 1963.

7.	Walsh J. M., Johnson W. E., Proc. Hypervelocity Impact Symp., 7th, 2,
1—75, AD 463228, Feb. 1965.

8.	См., например, Bryan G. M., Proc. Symp. Hypervelocity Impact, 5th, 1,
Part 2, 511—534, AD 284280, Apr. 1962.

9.	Eichelberger R. J., Gehring J. W., Am. Rocket Soc. J., 32, 1583 (1962).

10.	Eichelberger R. J., in “Behavior of Materials under Dynamic Loading”,
ASME, N. Y., 1965, p. 155.

11.	Deal W. E., Proc. Symp. Intern. Detonation, 4th, p. 321.

12.	Kynch G. J., in “Modern Developments in Fluid Dynamics”, Vol. I,
Part IV, Section II, Oxford Univ. Press (Clarendon), London and N. Y.,
1953; есть в переводе: в сб. «Современное состояние аэродинамики
больших скоростей», том I, ИЛ, 1955, стр. 150.

13.	Eichelberger R. J., Gehring J. W., Am. Rocket Soc. J., 32, 1583 (1963).

14.	Зельдович Я. Б., Акуст. ж., 2, 28 (1956).

15.	Райзер Ю. П., ПМТФ, № 1, 57 (1963).

16.	Rae W. J., Kirchner Н. Р., Cornell Aeron. Lab. Rept. No. RM-1655-M-4,
N 63-16887, Feb. 1963.

17.	Hafele W., Z. Naturforsch., 10a, 1006 (1955).

18.	Hoerner (von) S., Z. Naturforsch., 10a, 687 (1955).

19.	Адамский В. Б., Акуст. ж., 2, 3 (1956).

20.	Адамский В. Б., Попов Н. А., ПММ, 23, 564 (1959).

21.	Жуков А. И., Каждан Я. М., Акуст. ж., 2, 352 (1956).

22.	Dienes J. К., Hypervelocity Impact Symp., 7th, 2, 187—219, AD 463228,
Feb 1965.

23.	Mirels H., in “Advances in Applied Mechanics”, Vol. VII, Academic Press,
N. Y., 1962, p. 1.

24.	Зельдович Я. Б., Райзер Ю. П., Физика ударных волн и высокотемпера-
турных гидродинамических явлений, изд. 2, «Наука», 1966.

25.	Yakura J. К., Progr. Astronautics Rocketry, 7, 421 (1962).

26.	Guiraud J. P., in “Fundamental Phenomena in Hypersonic Flow”, Cornell
Univ. Press, Ithaca, N. Y., 1966, p. 70.

27.	Van Dyke M. D, Perturbation Methods in Fluid Mechanics, Academic
Press, N. Y., 1964; есть в переводе: Ван-Дайк М., Методы возмущении
в механике жидкости, «Мир», 1967.

28.	Chou Р. С, Burns В. Р., J. Appl. Phys., 38, 553 (1967).

29.	Johnson W. E., General Atomic Div. General Dynamics Corp. Rept. No.
GAMD-5580, AD 477240, Jan. 7, 1965.

30.	Гриб А. А., Рябинин А. Г., Христианович С. А., ПММ. 20, 532 (1956).

31.	Рыжов О. С., Христианович С. А, ПММ, 22, 586 (1958).
32.	Гриб А. А., Рыжов О. С., Христианович С. А., ПМТФ, № 1, 63 (1960).

33.	Заславский	Б.	И.,	ПМТФ, №	I, 34	(1962).

34.	Заславский	Б.	И.,	ПМТФ, №	6, 50	(1963).

35.	Заславский	Б.	И.,	ПМТФ, №	4, 57	(1964).

36.	Collins R.,	College of Engineering, Univ, of California, Berkeley, Rept.

No. AS-66-9, AD 800347, Aug. 1966.

37.	Collins R., Holt M, Phys. Fluids, 11, 701 (1968).

38.	Hertzberg A., Kantrowitz A., J. Appl. Phys., 21, 874 (1950).

39.	См., например, Streeter V. L., Fluid Dynamics, 1st ed., Chapter 2, Sections,
McGraw-Hill, N. Y., 1948.

40.	Frasier J. T., Ballistic Res. Lab. Rept. No. 1124, AD 255772, Feb. 1961;
Karpov B. G., Ballistic Res. Lab. Rept. No. 1226, AD 428221, Oct. 1963,
Frasier J. T., Karpov B. G., Exp. Meeh., 5, 305 (1965); Frasier J. T., Kar-
pov B. G., Holloway L. S., Proc. Hypervelocity Symp., 7th, 5, 123—160,
AD 463231, Feb. 1965; Frasier J. T., Ballistic Res. Lab. Rept. No. 1290,
AD 474604, July 1965.

41.	Courant R., Friedrichs К. O., Supersonic Flow and ShockWaves, Wiley, N. Y.,
1948; есть в переводе: Курант Р., Фридрихе К., Сверхзвуковое течение
и ударные волны, ИЛ, 1950.

42.	Станюкович К. П., Неустановившиеся движения сплошной среды, изд. 2,
«Наука», 1971.

43.	Liepmann Н. W., Roshko A., Elements of Gasdynamics, Wiley, N. Y., 1957,
p. 99; есть в переводе: Липман Г. В., Рошко А., Элементы газовой ди-
намики, ИЛ, 1960.

44.	Johannesen N. Н., Meyer R. Е., Aeron. Quart., 2, 127 (1950).

45.	Hakkinen R. J., Douglas Aircraft Co. Rept. No. SM-27747, July 1958.

46.	Hakkinen R. J., Douglas Aircraft Co. Rept. No. SM-35992, March 1960.

47.	Weiss R. F„ Weinbaum S., AIAA J., 4, 1321 (1966).

48.	Дерибас А. А., Похожаев С. И., ДАН СССР, 144, 524 (1962).

49.	Минин В. Ф., ПМТФ, № 3, 159 (1964).

50.	Hayes W. D., Probstein R. F., Hypersonic Flow Theory, Academic Press,
N. Y., 1959; есть в переводе: Хейз У. Д., Пробстин Р. Ф., Теория гипер-
3BVKOBbix течений, ИЛ, 1962.

51.	Taylor J. L., Phil. Mag., 46, 317 (1955).

52.	Latter R., J. Appl. Phys., 26, 954 (1955).

53.	Sakurai A., J. Phys. Soc. Japan, 10, 827 (1955).

54.	Cornell Aeron. Lab. Rept. No AI-1821-A-2, N 65-21625, March 1965.

55.	Davids N., Huang Y. К.» Proc. Symp. Hypervelocitv Impact, 5th, 1, Part 1,
111—132, AD 284282, Apr. 1962.

56.	Davids N., Huang Y. К.» J. Aerospace Sci., 29, 550 (1962); есть в переводе:
Механика, № 3, 79 (1963).

57.	Rice М. Н, McQueen R. G, Walsh J. M., Solid State Phys., 6, 1 (1958);
есть в переводе: в сб. «Динамические исследования твердых тел при вы-
соких давлениях», «Мир», 1965, стр. 9.

58.	Bjork R. L., J. Geophys. Res., 66, 3379 (1961).

59.	Tillotson J. H., General Atomic Div. General Dynamics Corp. Rept. No.
GA-3216, AD 486711, July 18, 1962.

60.	Riney T. D., Second Summary Rept., Nov. 3, 1961—Nov. 2, 1962, APGC
TDR-62-74, AD 294959, Dec. 1962

61.	Gylden N., J. Appl. Phys., 36, 2082 (1965).

62.	Гоголев В. M, Мыркин В. Г., Яблокова Г. И., ПМТФ, № 5, 93 (1963).

63.	Enig J. W., J. Appl. Phys., 34, 746 (1963).

64.	Enig J. W, Petrone F. J., Phys. Fluids, 9, 398 (1966).

65.	Walsh J. M., Christian R. H., Phys. Rev., 97, 1544 (1955).

66.	Harlow F. H, Proc. Symp. Appl. Math, 15, 269 (1963).

67.	Methods in Computational Physics, Vol. 3, Academic Press, N. Y, 1964;
другие статьи, описывающие метод частиц в ячейках, его различные
модификации, а также другие методы, можно найти в сб. «Вычислительные
методы в гидродинамике», «Мир», 1967.

68.	Bjork R. L., Proc. Intern. Congr. Astronaut., 10th, 2, 505, 1960.

69.	Brode H. L., Bjork R. L., RAND Corp. Rept. RM-2600, AD 250380, June
30, 1960; есть в переводе: в сб. «Действие ядерного взрыва», «Мир», 1971.

70.	Riney Т. D., Interim Rept., June 24, 1963—Dec. 23, 1963, ATL-TDR-64-8r
AD 434220, March 1964; General Electric Space Sciences Lab. Rept.
R64SD13, AD 430606, Feb. 1964.

71.	Riney T. D., Solid Mechanics, Vol. 2, Part 2, Pergamon, N. Y., 1965,
p. 419.

72.	Riney T. D., Heyda J. F., General Electric Space Sci. Lab. Rept. No.
R64SD64, AD 606123, Sept. 1964.

73.	Riney T. D., Heyda J. F., Proc. Symp. Hypervelocity Impact, 7th, 2, 77—
186, AD 463228, Feb. 1965.

74.	Heyda J. F., Riney T. D., Proc. Symp. Hypervelocity Impact, 7th, 3, 75—
122, AD 463229, Feb. 1965; General Electric Space Sci. Lab. Rept. No.
R64SD87, AD 452991, Feb. 1964.

75.	Heyda J. F., Riney T. D., NASA Contractor Rept. No. CR-609, N66-36369,
Sept. 1966.

76.	Riney T. D., AIAA J., 3, 52 (1965).

77.	Cole R. H„ Underwater Explosions, Princeton Univ. Press, Princeton, N. Y.,
1948; есть в переводе: Коул Р., Подводные взрывы, ИЛ, 1950.

78.	Bjork R. L., Kreyenhagen К. N., Wagner М. Н., NASA Contractor Rept.
CR-757, N67-29028, May 1967.

79.	Fowles G. R., J. Appl. Phys., 31, 655 (1960).

80.	Curran D. R., I. Appl. Phys., 34, 2677 (1963).

81.	Chou P. C., Allison F. E., J. Appl. Phys., 37, 853 (1966).

82.	Madden R., диссертация, Вирджинский политехнический институт, 1967.

83.	Madden R., Chang T. S., North Carolina State Univ. Rept. No. TSC-68-1,
Feb. 1968.

84.	Oshima K-, Aeron. Res. Inst., Univ, of Tokyo, Rept. No. 358, July 1960.

85.	Oshima K., in “Exploding Wires”, Vol. 2, Plenum Press, N. Y., 1962,
p. 159.

86.	Oshima K-, Aeron. Res. Inst., Univ, of Tokyo, Rept. No. 386, March 1964.

87.	Arnold Engineering Develop. Center TN 61-157, AD 268654, Dec. 1961.

88.	Lee В. H. K., AIAA J., 5, 1997 (1967).

89.	Charest J. A., General Motors Corp., Defense Res. Lab. Tech. Rept. No.
TR 64-58, NASA Contractor Rept. CR-78399, N 66-37523, Nov. 1964.

90.	Rae W. J., Kirchner H. P., Proc. Symp. Hypervelocity Impact, 6th, 2,
Part 1, 163—227, AD 423063, Aug. 1963.

91.	Porzel F. B., Los Alamos Sci. Lab. Rept. LA-1664., May 1954.

92.	Zaker T. A., Armour Res. Foudation, Illinois Inst, of Techn. Rept. No.
ARF 4132-6, Nov. 1959.

93.	Bach G. G., Lee J. H., AIAA Paper No. 67-141, Jan. 1967.

94.	McGill Univ., Space Res. Inst. Rept. No. SRLR-15, NASA Contractor Rept.
No. CR-54857, N 67-35001, Aug. 1966.

95.	Maiden C. J., Gehring J. W., McMillan A. R., General Motors Defense Res.
Lab. Rept. No. TR. 63-208, AD 404274, March 1963.

96.	Cornell Aeron. Lab. Rept. xNo AI-1821-A-3, NASA Contractor Rept.
CR-54250, N 65-19848, Jan. 1965.

97.	Loeffler I. J., Lieblein S, Clough N., in “Progress in Astronautics”, Vol. II,
Academic Press, N. Y., 1963, p. 551.

98.	Doran D. G., Linde R. K., Solid State Phys., 19, 229 (1966).

99.	Hopkins H. G., Progr. Solid Meeh., 1, 83 (1960); есть в переводе: Гоп-
кинс Г., Динамические неупругие деформации металлов, «Мир», 1964.

100.	Herrmann W., Jones А. Н., Percey J. Н., US Air Force, Special Weapons
Center. Rept. No. TDR-63-12, AD 410386, Apr. 1963.
101.	McDowell Е. L., US Air Force Weapons Lab. Rept. No. TR-65-15,
AD 620334, Aug. 1965.

102.	Lees L., Kubota T., Aeron. Sci., 24, 195 (1957); есть в переводе: Меха-
ника, № 6, 3 (1957).

К ГЛАВЕ 7

1.	Bethe Н. A., The Theory of Shock Waves for an Arbitrary Equation of
State, OSRD Rept. No. 545, Serial No. 237, 1942.

2.	Courant R., Friedrichs К. O., Supersonic Flow and Shock Waves, Wiley,
N. Y., 1948; есть в переводе: Курант Р., Фридрихе К., Сверхзвуковое те-
чение и ударные волны, ИЛ, 1950.

3.	Rice М. Н., McQueen R. G., Walsh J. M, Solid State Phys., 6, 1 (1958);
есть в переводе: в сб. «Динамические исследования твердых тел при вы-
соких давлениях», «Мир», 1965, стр. 9.

4.	Кормер С. Б. и др., ЖЭТФ, 48, 1033 (1965).

5.	Taylor J. W., J. Appl. Phys., 34, 2727 (1963).

6.	McQeen R. G., Zukas E., Marsh S. P., Special Tech. Publ. No. 336, ASTM,
Philadelphia, 1962, p. 306.

7.	Ziman J. M., Electrons and Phonons, Oxford Univ. Press, Clarendon, 1960;
есть в переводе: Займан Дж., Электроны и фононы, ИЛ, 1964.

8.	McQueen R. G., Marsh S. Р., J. Appl. Phys., 33, 654 (1962).

9.	Wackerle J., J. Appl. Phys., 33, 922 (1962).

10.	McQueen R. G., Marsh S. P., J. Appl. Phys., 31, 1253 (1960); есть в пере-
воде: в сб. «Динамические исследования твердых тел при высоких дав-
лениях», «Мир», 1965, стр. 93.

11.	Bridgman Р. W., Proc. Am. Acad. Arts Sci., 77, 189 (1949); 76, 9 (1945).

12.	McQueen R. G., Fritz J. N., Marsh S. P., J. Geophys. Res., 68, 2319 (1963);
есть в переводе: в сб. «Динамические исследования твердых тел при вы-
соких давлениях», «Мир», 1965, стр. 194.

13.	McQueen R. G., Marsh S. Р., Fritz J. N., J. Geophys. Res., 72, 4999 (1967).

14.	Jones A. H., Isbell W. M., Maiden C. J., J. Appl. Phys., 37, 3493 (1966).

15.	Альтшулер Л. В. и др., ЖЭТФ. 34, 847 (1958).

16.	Альтшулер Л. В., Крупников К. К., Бражник М. И. ЖЭТФ, 34, 886 (1958).

17.	Walsh J. М., Christen R. И., Phys. Rev., 97, 1544 (1955).

18.	Shreffler R. G., Deal W. E., J. Appl. Phys., 24, 44 (1953).

19.	American Institute of Physics Handbook, McGraw-Hill, N. Y., 1957.

20.	Jahari O., Univ, of California Radiation Lab. Rept. UCRL 10932, 1963.

21.	Balef D. I., de Klerk J., Phys. Rev., 129, 1063 (1963).

22.	Handbook of Physical Constants, The Geological Soc. of America, N. Y.,
1966; есть в переводе: Справочник физических констант горных пород,
«Мир», 1969.

23.	Jaffe R.	I.,	Smith Е.	М., Gonser В.	W.,	Trans. AIME, 161, 366	(1945);

Jaffe R.	I.,	Gonser B.	W., in “Metals	Handbook”, ASM, Cleveland, Ohio,

1948, p. 1172.

24.	McQueen	R.	G, Marsh	S. P., J. Geophys.	Res., 71, 1751 (1966).

25.	Bancroft	D.,	Peterson	E. L., Minshall	S.,	J. Appl. Phys., 27, 291	(1956).

26.	Hughes D. S, Maurette C., J. Appl. Phys., 27, 1184 (1956).

27.	Liebfried G., Z. Physik, 127, 344 (1950).

28.	Mason W. P., in “Physical Acoustics”, Vol. IV, Part A, Academic Press,
N. Y., 1966, p. 299.

29.	Gilman J. J., Symp. Mechanical Behavior of Materials under Dynamic
Loads, San Antonio, Texas, 1967.

30.	Granato A. V., Lucke K-, in “Physical Acoustics”, Vol. IV, Part A, Acade-
mic Press, N. Y., 1966, p. 225.

31.	Taylor J. W., Proc. 1967 Batelle Conf. Dislocation Dynamics.

32.	Gilman J. J., J. Appl. Phys, 36, 3195 (1965).
33.	Stein D. L., Low J. R., J. Appl. Phys., 33, 2499 (1962).

34.	Chen H. S., Gilman J. J., Head A. R., J. Appl. Phys., 35, 2502 (1964).

35.	Taylor J. W., J. Appl. Phys., 36, 3146 (1965).

36.	Fowles G. R., диссертация, Станфордский университет, 1962.

37.	Davis W. C., Craig B. G., Rev. Sci. Instr., 32, 579 (1961).

38.	Barker L. M., SCDR 78-61, Sandia Corp., Albuquerque, New Mexico, 1961.

39.	Rice M. H., Rev. Sci. Instr., 32, 449 (1961).

40.	Barker L. M., Hollenbach R. E., Rev. Sci. Instr., 36, 1617 (1965).

41.	Barker L. M., SC-DC-66-2447 (preprint), Sandia Corp., Albuquerque, New
Mexico, 1967.

42.	Дремин A. H., Шведов К. К., ПМТФ. 2, 154 (1964).

43.	Keough D. D, Wilkinson W., AFWL-TR-65-170, 1965.

44.	McQueen R. G., Metall. Soc. Conf., Vol. 22, Gordon and Breach, N. Y.,
1964.

45.	Ahrens T. J., Gust W. H., Royce E. В., J. Appl. Phys, (в печати).

46.	Curran D. R., J. Appl. Phys., 34, 2677 (1963).

47.	Wilkins M. L., Le calcul de la resistance dynamique d’un materiau, IUTAM
Symp. HDR, Paris, 1967.

48.	Thorne B. J., Herrmann W., SC-RR-66-602, Sandia Corp., Albuquerque,
New Mexico, 1967.

К ГЛАВЕ 8

1.	Davies R. M., Proc. Roy. Soc., A197, 416 (1949).

2.	Hsu N., Pond R. B., Progr. Rept. (BRL) No. 5, Contract No. DA
18-001-AMC-745 (X), June 1966.

3.	Eichelberger R. J., CIT CEL Rept. No. 1, June 1954.

4.	Eichelberger R. J., J. Appl. Phys., 27, 63 (1965).

5.	Birkhoff G. et al., J. Appl. Phys., 19, 563 (1948).

6.	Allison F. E., Vitali R., BRL Rept. No. 1184, Jan. 1963.

7.	DiPersio R., Simon J., Merendino A., BRL Rept. No. 1296, Sept. 1965.

8.	Moss G. L. et al., BRLM Rept. No. 1739, Apr. 1966.

9.	Neuman (von) A., Richtmeyer R. D., J. Appl. Phys., 21, 232 (1950).

10.	Bjork R. L, Rand Corp. P-1662, Dec. 1958.

11.	Walsh J. M. et al., Shock-wave compression of twenty-seven metals, Phys.
Rev., 108 (1957); Rice M. H, McQueen R G., Walsh J. M., Solid State
Phys., 6, 1 (1958).

12.	Chou P. C., Allison F. E., J. Appl. Phys., 37, 853 (1966).

13.	Dienes J. K. et al., Gulf General Atomic Inc. Rept GAMD-8497, Feb. 1968.

14.	Eichelberger R. J., Gehring J. W., Jr., Rocketry, No. 10 (1962).

15.	Herrmann W., Jones A. H., Proc. Symp. Hypervelocity Impact, 5th, Den-
ver, Colorado, Oct. 1961.

16.	Feldman J. B., Proc. Symp. Hypervelocity, 4th, Eglin AFB, Florida, Apr.
1960.

17.	Фадеенко Ю. И., ПМТФ, № 5, (1964).

18.	Kineke J. H., Jr. Proc. Hypervelocity Symp., 5th, Denver, Colorado, Oct.
1961; Kineke J. H., Jr., Richards L. G, Proc. Symp. Hypervelocity Impact,
6th, Cleveland, Ohio, May 1963.

19.	Allison F. E., Proc. Symp. Hypervelocity Impact, 4th, Eglin AFB, Florida,
Apr. 1960.

20.	Wilkins M. L., UCRL Rept. No. 7322, Apr. 1963

21.	Rolsten R. F., Hunt H. H, Can. Aeron. Space J., 13, 269 (1967).

22.	Taylor G. I., British Ministry Res. Committee Rept R. C. 329, 1942.

23.	White M. P., Griffis L. V., The propagation on plasticity in uniaxial com-
pression, Trans. ASME, 70 (1948).

24	Bell J F., in “The Physics of Large Deformation of Crystalline Solids”,
Springer, Berlin, 1968.
25.	Rinehart J. S., Pearson J., Behavior of Metals under Impulsive Loads,
ASM, Cleveland, Ohio, 1954; есть в переводе: Райнхарт Дж., Пирсон Дж.,
Поведение металлов при импульсивных нагрузках, ИЛ, 1958.

26.	Rinehart J. S., J. Appl. Phys., 26, 1315 (1955).

27.	Glass С M. et al., Symp. ASTM Dynamic Behavior Materials, Tech. PubL
No. 336, 1962; Moss G. L., Glass С. M., BRLM Rept. No. 1236, 1959.

28.	Gainer M. K., Glass С. M., BRL Rept. 1167, May 1962.

29.	Green R. E., Jr., Trans. Met. Soc. AIME, 230, 1383 (1964); Swanson R. A.r
Green R. E., Jr., ibid., 230, 1390 (1964).

30.	Rond R. B., Metal Progr., 89, 77 (1966).

31.	Rond R. B., cm. [34].

32.	Prager W., Intern. Congr. Appl. Meeh., 5th, 1933.

33.	Drucker D. C., Tech. Rept. No. 4, BRL Contract No. DA-19-020-ORD-3426,.
Aug. 1956.

34.	Glass С. M., Pond R. B., Proc. Symp. Hypervelocity Impact, 4th, Eglin’
AFB, Florida, Apr. 1960; Rond R. B., Mobley C., Glass С. M., Proc. Symp.
Hypervelocity Impact, 6th, Cleveland, Ohio, Aug. 1963.

35.	Kineke J. H., Jr., Vitali R., Proc. Symp. Hypervelocity Impact, 6th, Cleve-
land, Ohio, Aug. 1963.

36.	MacGregor С. M., J. Franklin Inst., 238, 159 (1944).

37.	Fitzgerald E. R., Phys. Letters, 10, 42 (1964).

38.	Goodman E. H., Liles C. D, Proc. Symp. Hypervelocity Impact, 6th, 2,
Part II, 1963, p. 563.

39.	Glass С. M., Moss G. L., Golaski S. K-, Conf. Metal. Soc., 9, 115 (1961).

40.	Proc. Symp. Hypervelocity Impact, 5th, Denver, Colorado, 1961.

К ГЛАВЕ 9

1.	Eichelberger R. J., Gehring J. W., Am. Rocket Soc. J., 32(10), 1583 (1962).

2.	Charters A. C., Summers J. L., Proc. Symp. Hypervelocity Impact, 3rd,.
Armor Res. Foundation, Chicago, Illinois, 1958.

3.	Charters A. C., Summers J. L., Proc. Decennial Symp., White Oak U. S..
Naval Ord. Lab., 1959.

4.	Proc. Symp. Hypervelocity Impact, 3rd, Armour Res. Foundation, Chicago,
Illinois, Feb. 1959.

5.	Summers J. L., Niehaus W. R., NASA TN-D-137, Dec. 1959.

6.	Allen W, Roders J. W., J. Franklin Inst., 272(4), 275 (1961).

7.	Slattery R. E., Clay W. G., Proc. Symp. Hypervelocity Impact, 4th, Eglin'
AFB, Florida, 3, APGC-TR-60-39, Sept. 1960.

8.	Nysmith C. R., Summers J. L., Denardo В. P., Symp. Hypervelocity Im-
pact, 6th, Cleveland, Ohio, Apr. 30—May 2, 1963.

9.	Christman D. R., Gehring J. W., J. Appl. Phys., 37(4), 1587 (1966).

10.	Christman D. R. et al., GM TR63-216, June 1963.

11.	Charters A. C., Summers J. L., Proc. Symp. Hypervelocity Impact, 3rdr
Armour Res. Foundation, Chicago, Illinois, Feb. 1959.

12.	Feldman J. G., Proc. Symp. Hypervelocity Impact, 4th, Eglin AFB, Flo-
rida, 2, APGC TR-60-39, Sept. 1960.

13.	Rockowitz M. et al., Proc. Symp. Hypervelocity Impact, 5th, 1, Part 2, Co-
lorado School of Mines, Colorado Nonr-(G)-0020-62 (X), Apr. 1962.

14.	Allison F. E., Becker K. R., Vitali R., Proc. Symp. Hypervelocity Impact,
4th, Eglin AFB, Florida, 1, APGC TR-60-39, Sept. 1960.

15.	Gehring J. W., Liebling S, ARS Paper No. 2544-62, Conf. ARS Space
Power Systems, Santa Monica, California, Sept. 1962.

16.	Keller D. V., Trulis J G., J. Appl. Phys., 34(1), 172 (1963).

17.	Reinhart J. S., Colorado School of Mines Res. Foundation, Rept.
AF-SWC-TR-60-7 to Air Force Special Weapons Center, Alburquerque, New
Mexico, 1960
18.	Rinehart J. S., J. Appl. Phys., 22(5), 555 (1951).

19.	Gehring J. W., Lieblein S., ARS Paper No. 2544-62, Conf. ARS Space
Power Systems, Santa Monica, California, Sept. 1962.

20.	Jaffe L. D., Rittenhouse J. B., Am. Rocket Soc. J., 32(3), 320 (1962).

21.	Bjork R. L., Am. Rocket Soc. J., 31(6), 803 (1961).

22.	McMillan A. R., Proc. Symp. Hypervelocity Impact, 6th, Firestone Tire
and Rubber Co., 3, DA-31-124-ARO(D)-16, Aug. 1963.

23.	Loeffler I. J., Lieblein S., Clough N., ARS Paper No. 2543-62, ARS Paper
No. 2543-62, Conf. ARS Space Power Systems, Santa Monica, California,
Sept. 1962.

24.	Summers J. L., Nysmith C. R., Proc. Structures Materials Conf., 5th, Palm
Springs, California, 386-393, AlAA, Apr. 1964.

25.	Kreyenhagen K. N., Bjork R. L., Brooks N. B., Proc. Symp. Hypervelocity
Impact, 7th, 3, 55—74 AD 463229, Feb. 1965.

26.	Maiden C. J., McMillan A. R., AIAA J., 2(11), 1992 (1964).

27.	Sandorff P., Proc. Symp. Hypervelocity Impact, 6th, 3, 41—67, AD 423063,
Aug. 1963.

28.	Bjork R. L., Proc. Symp. Hypervelocity Impact, 6th, 2, 1—58, AD 423063,
Aug. 1963.

29.	Riney T. D., Heyda J. F., Proc. Symp. Hypervelocity Impact, 7th, 2, 77—
186, AD 463228, Feb. 1965.

30.	Walsh J. M., Johnson W. E., Proc. Symp. Hypervelocity Impact, 7th, 2,
1—76, AD 463228, Feb. 1965.

31.	Burbank P. B., Cour-Palais B. G., McAllum W. E., NASA TN D-2747,
Apr. 1965.

32.	Kemp R. H., Proc. NASA-Univ. Conf. Sci. Technol. Space Exploration, Chi-
cago, Illinois, Nov. 1—3, 2, NASA SP-U, 1962.

33.	Rolsten R. F., Hunt H. H., Welinitz J. N., General Dynamics/Astronautics
Rept. No. AE 62-0413, Apr. 1962.

34.	Stepka F. S., Morse C. R., NASA TN-D-1537, May 1963.

35.	Kreyenhagen K. N., Mortensen R. B., Zimney H. S., Proc. Symp. Hyperve-
locity Impact, 5th, Colorado School of Mines, Colorado, 2, Nonr-(G)-0020-
62 (X), Apr. 1962.

36.	Kornhauser M., Am. Rocket Soc. J., 30(5), 475 (1960).

37.	Gehring J. W., Lathrop B. L., GM TR66-13, March 1966.
АВТОРЫ

	Глава
Геринг Дж.	John W. Gering, Jr., Impact Physics Laboratory, Gene- 4, 9 ral Motors Corporation and AC Electronic Defense Research Laboratories, Santa Barbara, California
Гласс К.	С. M. Glass, Terminal Ballistics Division, U. S. Army 8 Research Laboratory, Aberdeen Proving Ground, Aber- deen, Maryland
Динс Дж.	J. K. Dienes, Gulf General Atomic, La Jolla, California 3 (в настоящее время: Systems, Science and Software, La Jolla, California)
Картер У.	W. J. Carter, Los Alamos Scientific Laboratory, Univer- 7 sity of California, Los Alamos, New Mexico
Кейбл А.	A. J. Cable, Aerophysics Branch, Von Karman Gas 1 Dynamics Faculty, Aro, Inc., Arnold Engineering Deve- lopment Center, Arnold Air Force Station, Tennessee
Маккуин Р.	R. G. McQueen, Los Alamos Scientific Laboratory, Uni- 7 versify of California, Los Alamos, New Mexico
Mapui С.	S. P. Marsh, Los Alamos Scientific Laboratory, Uni- 7 versify of California, Los Alamos, New Mexico
Понд Р.	R B. Pond, The Johns Hopkins University, Baltimore, 8  Maryland
Рае У.	William J. Rae, Cornell Aeronautical Laboratory, Inc., 6  Buffalo, New York
Рини Т.	T. D. Riney, Space Sciences Laboratory, General Electric 5 Company, King of Prussia, Pennsylvania (в настоящее время: Systems, Science and Software, La Jolla, Cali- fornia)
Тейлор Дж.	Taylor J. W., Los Alamos Scientific Laboratory, Univer- 7 sity of California, Los Alamos, New Mexico
Уолш Дж.	J. M. Walsh, Gulf General Atomic, La Jolla, California 3. (в настоящее время: Systems, Science and Software, La Jolla, California)
Фритц Дж.	J. N. Fritz, Los Alamos Scientific Laboratory, Univer- 7 sity of California, Los Alamos, New Mexico
Хиккерсон Н.	Norris L. Hickerson, Tennessee Technological University, 2  Cookeville, Tennessee
ТАБЛИЦЫ ПЕРЕСЧЕТА

1.	Таблица пересчета давления (и механического напряжения) из системы СИ
в другие системы единиц

Единица в системе СИ	Единицы в других системах	Множитель для пересчета численных значений из СИ в данную систему
Па *>	дин/см2	10
	бар	10-5
	кгс/см2	1,02-10-5
	мм вод. ст.	0,102
,,	мм рт. ст.	7,5-Ю-з

*) Наименование «паскаль> ( =1 Н/м2) принято Международным комитетом мер
и весов в октябре 1969 г.

2.	Таблица пересчета давления (и механического напряжения)
из других систем единиц в систему СИ

Единица в другой системе	Единица в системе СИ	Множитель для пересчета численных значений из данной системы в систему СИ
дин/см2	Па	0,1
бар	,,	10s
кгс/см2		98,1-103
мм вод. ст.	),	9,81
дюйм вод. ст.		249,1
фут. вод. ст.		3-103
мм рт. ст.		133,3
дюйм рт. ст.		3,386-103
фунт-сила/кв. дюйм	,,	6,895-103
фунт-сила/кв. фут	»»	47,88
Приставки для образования десятичных кратных и дольных единиц

Множитель	Наименование приставки	Обозначение	
		русское	международное
1012	тера	Т	т
109	гига	Г	G
106	мега	м	М
103	кило	к	к
102	(гекто)	г	h
10'	(дека)	да	da
10-'	(деци)	Д	d
ю-2	(санти)	с	с
10-3	милли	м	m
10-6	микро	мк	И
10-9	нано	н	n
10-'2	ПИКО	п	Р
Ю-15	фемто	ф	f
10-’8	атто	а	а

Приставки в скобках допускаются только для широко распространенных единиц:
гектар, сантиметр; микрон — мкм.
ОГЛАВЛЕНИЕ

От редактора русского издания........................................ 5

Дополнительная литература............................................ 8

Предисловие......................................................... 10

Глава 1. А. Кейбл. Ускорители для метания со сверхвысокими скоро-
стями

1.	Введение................................................... 13

2.	Пушечные	ускорители....................................... 13

3.	Взрывные	ускорители....................................... 22

4.	Заключение................................................. 28

Глава 2. Н. Хиккерсон. Распространение волн напряжения в твердых
телах

1.	Введение............................................... 29

2.	Распространение волн	напряжения в бесконечной упругой	среде	30

3.	Распространение волн	напряжения в упругом полупространстве	36

4.	Упругие волны в слоистых средах........................ 45

5.	Заключение............................................. 47

Глава 3. Дж. Динс, Дж. Уолш. Теория удара: некоторые общие прин-
ципы и метод расчета в эйлеровых координатах

1.	Введение................................................... 49

2.	Эквивалентность на поздней стадии: асимптотическая теория
для больших времен............................................ 53

3.	Анализ размерностей, автомодельность и эквивалентность на
поздней стадии ............................................... 67

4.	OIL — эйлерова гидродинамическая	программа................. 89

5.	RPM: программа OIL	с	учетом	прочности................... 94

Глава 4. Дж. Геринг. Теория соударения с тонкими мишенями и экра-
нами в сопоставлении с экспериментальными данными

1.	Введение.................................................. 112

2.	Теоретическая	модель	при	одномерном	анализе.............. 113

3.	Теоретическая	модель	при	двумерном	анализе.............. 124

4.	Обсуждение................................................ 163

Глава 5. Т. Рини. Численное моделирование явлений при высокоскоро-
стном ударе

1.	Введение.................................................. 164

2.	Режимы поведения материалов............................... 164

3.	Основные	уравнения....................................... 170

4.	Слоистая	противометеоритная	защита........................ 173
5.	Полые ударники........................................... 185

6.	Предсказание размеров кратера для толстых мишеней . . .	199

Глава 6. У. Рае. Аналитическое исследование распространения удар-
ных волн, порожденных ударом (обзор и новые результаты)

1.	Введение................................................. 220

2.	Формулировка задачи...................................... 226

3.	Требования подобия....................................... 229

4.	Случай совершенного газа................................. 235

5.	Случай реального газа.................................... 271

6.	Заключение............................._................. 290

Приложение. Приближенное решение для плоской волны
в случае совершенного газа.................................. 294

Глава 7. Р. Маккуин, С. Марш, Дж. Тейлор, Дж. Фритц и У. Картер.

Уравнение состояния твердых тел по результатам исследо-
ваний ударных волн

1.	Введение................................................. 299

2.	Теоретические положения и методы	расчета................. 300

3.	Уравнение состояния для стандартных	материалов........... 316

4.	Уравнение состояния твердых тел.......................... 348

5.	Метод смесей............................................. 382

6.	Упруго-пластическое течение.............................. 400

Глава 8. Р. Понд, К. Гласс. Металлофизические исследования и рас-
пределение энергии

1.	Высокоскоростной удар и явление кратерообразования . . .	428

2.	Историческая справка..................................... 430

3.	Влияние металлофизических свойств на деформацию металла
в зависимости от скорости соударения ........................ 434

4.	Роль микроскопических представлений о материале......... 434

5.	Корреляционная модель и экспериментальные результаты . .	436

6.	Дополнительные металлофизические наблюдения.............. 437

7.	Теория кратерообразования базирующаяся на свойствах ме-
талла ...................................................... 444

8.	Распределение энергии, расходуемой на деформацию подкра-
терной области.............................................. 448

9.	Связь энергетического баланса с ориентацией ударника . . .	453

10.	Результаты расчетов по балансу энергии.................. 458

11.	Энергетический баланс для предварительно деформированных
мишеней из алюминия	2S................................. 461

12.	Расчет максимального ударного, повреждения на основе
свойств материала............................................ 464

13.	Выводы.................................................  467

Глава 9. Дж. Геринг. Высокоскоростной удар с инженерной точки зре-
ния

1.	Введение................................................ 468

2.	Экспериментальные результаты............................ 469

3.	Дискуссия............................................... 515

Литература........................................................ 517

Авторы ........................................................... 529

Таблицы пересчета................................................. 530

Приставки для образования десятичных кратных и дольных единиц . .	531
ВЫСОКОСКОРОСТНЫЕ УДАРНЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Редактор В. А. Алексеев

Художник Н. Н. Банников
Художественный редактор Ю. С. Урманчеев
Технический редактор Т. А. Максимова

Сдано в набор 28/П 1973 г. Подписано к печати 22/VI 1973 г. Бумага тип.
№ 2 60 x 90,/ie= 16,75	бум. л. 33,50 усл. псч. л. Уч.-изд. л. 31,22

Изд. № 20/6654. Зак. 225. Цена 3 р. 28 к.

ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2

Ленинградская типография № 8 «Союзполиграфпрома» при Государственном
комитете Совета Министров СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли. 190000, Ленинград, Прачечный пер., 6