/
Автор: Гиндикин С.Г.
Теги: алгебра математическая логика задачи по математике дискретная математика
Год: 1972
Текст
с. г. гиндикин
АЛГЕБРА ЛОГИКИ
В ЗАДАЧАХ
Г
¦ i
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1972
517.1
Г 49
УДК 512.8
Семен Григорьевич Гиндикин
Алгебра логики в задачах
М., 1972 г.. 288 стр. с илл.
Редакторы Ю. А. Гастев, В. В. Донченко
Техн. редактор В. Н. Кондакова
Корректоры 3. В. Автонеееа.ц. л. Медеедская
Сдано ь набор 28./XII 1971 г. Подписано к печати 10/V 1972 г.
Б\мага 84X1O81/S8. Фнз. печ. л. 9 Условн. печ. л. 15,12*Уч.-изд. л. 17,72.
Тираж 50 000 экз. Т-09026. Цена книги 76 коп. Заказ № 2625.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова
Главполнграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР
Москва, М-54, Валовая, 28
8-2-3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ... 4
Путеводитель и указания к пользованию
книгой 7
Задачи Отесты Ответы
и указания и решения
§ 1. Операции над высказываниями 13 27 28
§ 2. Функции алгебры логики; нормаль-
нормальные формы . . . 31 51 БЗ
§ 3. Закон двойственности в алгебре ло-
логики . 58 61 61
§ 4. Арифметические операции в алгебре
логики 64 66 67
§ 5. Монотонные функции алгебры логи-
логики .. . . 71 74 74
§ 6. Функционально замкнутые классы
и теорема Поста . 79 85 86
§ 7. Общая теория функционально замк-
замкнутых классов . 92 104 108
§ 8. Схемы из функциональных элементов 118 139 141
§ 9. Релейно-контактные схемы. Оценки
сложности схем ... . 151 172 176
§ 10. Элементы вероятностной логики 195 226 230
§ 11. Многозначные логики . . . 245 254 255
§ 12. Логика предикатов . . 258 270 272
Приложение 279
Литература 282
Предметный указатель . . ... 285
ПРЕДИСЛОВИЕ
Научно-популярная литература по математической ло-
логике очень обширна и рассчитана на самые различные кате-
категории читателей. Школьники или взрослые, читающие
популярную литературу в свободное от работы время, могут
найти в ней большое число забавных логических задач.
Читатель, желающий пополнить свой математический ба-
гаж, в надежде, что это поможет в его практической дея-
деятельности, найдет в ней подробные описания"практических
(часто — псёвдопрактических) приложении*.логики. Боль-
Большое число популярных книг по логике порождено надеж-
надеждой, что благодаря алгебре логики все школьники наконец-
таки начнут разбираться в необходимых и достаточных
условиях и прочих логических вопросах школьного курса
математики. Пристрастие преподавателей математического
анализа к вопросам о последовательностях, не имеющих
предела, неравномерно непрерывных функциях и т. д.
породило руководства, содержащие основанные на кванто-
кванторах рецепты автоматического (без размышлений!) построе-
построения определений отрицательных понятий. Мы определенно
не сможем перечислить все то, что читатель может почерп-
почерпнуть в существующих книгах по математической логике.
Мы все же решились увеличить на одну и без того боль-
большое число книг по логике, так как в большинстве известных
нам элементарных книг в очень небольшой степени учтены
интересы читателя, заинтересованного в содержательных —
с точки зрения математика — теоремах и задачах. Этим
читателям — в первую очередь студентам младших курсов
университетов и пединститутов и ученикам старших классов
математических школ — и адресована настоящая книга.
Нам представляется полезным знакомство студентов-мате-
студентов-математиков с идеями конечной математики, в частности, алгеб-
алгебры логики, поскольку они качественно отличаются от идей
традиционного университетского курса математики.
В книге рассмотрены, главным образом, три круга воп-
вопросов: проблемы полноты и функционально замкнутых
классов, проблемы синтеза и оценки сложности схем, тео-
теория вероятностей на конечных булевых алгебрах. Всюду~мы
стремимся ввести читателя в круг идей, не стремясь получить
наиболее законченные результаты. Нам хотелось бы, чтобы
те, кто не собирается заниматься соответствующими вопро-
вопросами, получили достаточную информацию, а те, у кого
появится специальный интерес, были подготовлены к чте-
чтению специальной литературы.
Термин «алгебра логики» понимается в книге широко.
Собственно алгебре логики, в которой изучаются логические
операции над высказываниями (более общо, булевы опера-
операции на регулярных булевых алгебрах, см. § 2), посвящены
§§ 1—7. В остальных параграфах рассматриваются смеж-
смежные вопросы. Мы не отказываемся от рассмотрения тради-
традиционных вопросов, многократно излагавшихся. Читатель
найдет здесь, в частности, обсуждение связей алгебры ло-
логики с элементарными вопросами теории доказательств и
с построением определении отрицательных понятий. При
этом мы рассчитываем, что у читателя здесь возникнут
ассоциации с хорошо известными ему вещами и что излагае-
излагаемые здесь формальные приемы окажутся ему полезными.
Однако мы не надеемся, что эти приемы могут подменить
умение проводить в тех же случаях содержательные рас-
рассмотрения. Некоторое число технических упражнений, в ос-
основном в §§ 1, 2, 9, включено для того, чтобы в книге можно
было найти необходимый материал для упражнений по
соответствующим разделам курса математической логики
пединститутов. Основная часть книги формально не исполь-
использует сведений, выходящих за рамки школьного курса ма-
математики. Эпизодически, главным образом в изолированных
задачах и примерах, используются некоторые факты из
математического анализа. Эти места (хотя и не без некото-
некоторого ущерба) можно опустить.
Несколько слов о построении книги. Значительная часть
математических книг может рассматриваться как «специаль-
«специальный курс на дому», и часто их прообразами являются реаль-
реально читавшиеся специальные курсы. Хорошо известно, что
одним из лучших способов усвоения некоторых разделов
математики является решение циклов задач, на которые
разбиваются теоремы. В таком плане строится работа мно-
многих университетских семинаров. Однако, к сожалению,
довольно редко появляются книги, имитирующие работу
такого рода семинаров. Первоисточником этой книги яв-
являются семинары, проводившиеся автором в МГПИ им.
В. И. Ленина; кроме того, отдельные ее части были исполь-
использованы в цикле лекций и семинарских занятий в вечерней
математической школе при МГУ для учащихся 7—8 клас-
классов. Руководитель семинаров указанного типа выполняет
различные функции. Он дает определения, формулирует
задачи, сопровождая это необходимыми пояснениями (эту
роль играет основной текст книги). Если участники семинара
не смогли самостоятельно найти решение, то он в несколько
этапов дает указания, причем иногда в качестве таких ука-
указаний выступают ответы (этому посвящен раздел «Ответы и
указания», следующий за основным текстом каждого па-
параграфа). Наконец, ему приходится самому решать задачу,
если указания не помогли — здесь опять-таки иногда роль
решения играет просто ответ (этому соответствует раздел
«Ответы и решения»).
Разумеется, даже если читателю пришлось заглянуть
в раздел решений, не получив готового решения, то труд,
потраченный на размышления над задачей, не окажется
напрасным. И в том случае, когда читатель нашел решение
задачи самостоятельно, ему следует просмотреть указания
и решение, так как в них может содержаться дополнитель-
дополнительная информация. (В то же время мы, конечно, не хотим ни-
никому навязывать именно тот вариант решения, который
приводится в книге.) Допуская, что некоторые предпочтут
сразу читать решения задач, об интересах этой категории
читателей мы заботились лишь в минимальной степени.
В книге нет подробной библиографии, а лишь даются
ссылки на литературу, в которой можно найти дополни-
дополнительный материал, непосредственно примыкающий к содер-
содержанию книги. Не являются систематическими и указания
приоритетного характера.
Пользуюсь случаем поблагодарить П. С. Новикова, у
которого я учился математической логике, советами которо-
которого постоянно пользовался в процессе преподавания и с ко-
которым я обсуждал замысел книги. Я благодарен И. М. Яг-
лому за постоянный интерес к моей работе над книгой,
способствовавший ее выходу в свет, редакторам книги
Ю. А. Гастеву и В. В. Донченко за критику и советы.
ПУТЕВОДИТЕЛЬ И УКАЗАНИЯ К ПОЛЬЗОВАНИЮ
КНИГОЙ
Книга состоит из двенадцати параграфов. Внутри каж-
каждого параграфа ведется своя нумерация определений и задач,
причем стоящее перед точкой число является номером па-
параграфа (например, задача 3.12, определение 8.3).
§ 1 представляет из себя неформальное введение к осталь-
остальной части книги. В нем вводятся операции над высказыва-
высказываниями, обсуждаются постановки основных задач алгебры
логики на языке операций с высказываниями, устанавли-
устанавливаются связи с элементарной техникой доказательств.
мы опираемся на интуитивные представления о том, что
такое «высказывание», «ситуация». В конкретных случаях
бывает ясно, какие ситуации могут встретиться при реше-
решении вопроса об истинности или ложности одного или не-
нескольких (конечного числа) высказываний. В то же время
для бесконечных совокупностей высказываний множество
возможных ситуаций допускает естественное описание лишь
в специальных случаях.
Формально на § 1 в дальнейшем нет ссылок принципиаль-
принципиального характера. Поэтому читатель, по каким-то причинам
не заинтересованный в информации собственно по алгебре
высказываний, может ограничиться просмотром этого па-
параграфа. Однако мы советуем с осторожностью решить для
себя этот вопрос, так как, по нашему мнению, при uz у' .ении
алгебры логики очень важно свободное владение интерпре-
интерпретацией основных ее фактов на языке алгебры высказываний.
( другой стороны, некоторые могут Сыть заинтересованы
в более неторопливом введении, содержащем большее число
примеров и аналогий с хорошо известными фактами. Для
этого в зависимости от вкусов читателя можно воспользо-
воспользоваться какой-либо из многочисленных книг по математиче-
математической логике. Часть из них перечислена в списке литературы,
относящейся к § 1.
Итак, формально чтение книги можно начинать с § 2.
В нем вводится основной объект нашего исследования:
функции алгебры логики (определение 2.1); при этом не
обязательно понимать, что два значения, которые прини-
принимают переменные, можно интерпретировать как «истин-
«истинностные» значения высказываний. Целый ряд фактов из
§ 1 в § 2 пересказывается, а часто и передоказывается на
новом языке. В п. 2 § 2 вводится основная операция над
функциями алгебры логики — суперпозиция, или образова-
образование сложной функции. Ее аналог, вероятно, хорошо знаком
большинству читателей для функций действительной пере-
переменной. Однако усвоение приводимого нами индуктивного
определения суперпозиции с расчлененными шагами может
вызвать известные трудности. Поскольку это определение
потребуется лишь для проведения строгих доказательств,
начиная с § 3 (задача 3.7), до некоторых пор можно огра-
ограничиться пониманием суперпозиции как операции, состоя-
состоящей в многократных подстановках одних функций в аргу-
аргументы других функций и отождествлении каких-то аргу-
аргументов. Тем не менее в какой-то момент важно усвоить
определение 2.3, а главное — продумать схему основанных
на нем индуктивных доказательств. В дальнейшем тексте
книги читатель много раз столкнется с аналогичными дока-
доказательствами в других ситуациях (см., например, §§8, 9).
В п. 2 содержатся также основные равносильности алгебры
логики и ряд задач на преобразование формул. Вообще,
в § 2 довольно много технических задач, причем при реше-
решении некоторых из них приходится проводить громоздкие
выкладки. Читателю предстоит самому решить вопрос, в ка-
каких задачах и с какой степенью подробности ему следует
проводить эти выкладки, но для дальнейшего важно, чтобы
он умел их свободно проводить. Пп. 3 и 4 § 2 посвящены бу-
булевым алгебрам. Результаты этих пунктов позволяют ин-
интерпретировать результаты о функциях алгебры логики не
только применительно к алгебре высказываний, но и, на-
например, к алгебре множеств.
В п. 4 § 2 вводится важный класс булевых алгебр —
регулярные булевы алгебры, для которых можно естествен-
естественным образом определить операции, связанные со всеми
функциями алгебры логики,— булевы операции. Эти воп-
вопросы заметно труднее основной части книги и могут быть
пропущены при первоначальном чтении. Однако читателю,
знакомому с основами теории множеств, советуем продумать
общее определение теоретико-множественной операции (см.
8
стр. 43) и связь этих операций с функциями алгебры логики.
Ссылки на пп. 3, 4 § 2 в дальнейшем тексте книги носят
вспомогательный характер. Пп. 5—7 § 2 посвящены нор-
нормальным формам — специального вида представлениям
функций алгебры' логики через основные операции: конъ-
1онкпиют дизъюнкцию и отрицание. Для случая высказы-
высказываний они частично рассматривались в конце § 1. В этих
пунктах много технических упражнений.
Небольшой по объему, но очень важный § 3 посвящен
закону двойственности в алгебре логики. Тем, кто не читал
п. 4 § 2, нужно пропустить несколько первых абзацев и
начать с абзаца, предшествующего определению 3.1. За-
Задачи 3.10 и 3.11 имеют вспомогательный характер: они
понадобятся в § 6 при доказательстве теоремы Поста.
§ 4 посвящен представлению функций алгебры логики
арифметическими полиномами по модулю 2 (полиномами
Жегалкина). Основной материал содержится в задачах
4.1—4.7. Задачи 4.10—4.12 служат подготовкой к § 6.
В § 5, посвященном монотонным функциям алгебры ло-
логики, можно первоначально ограничиться задачами 5.1—
5.11; задачи 5.12 и 5.13 понадобятся в § 7, задачи 5.14—
5.16 —в §6.
Центральной теореме алгебры логики —теореме Поста —¦
и связанным с ней вопросам посвящен § 6. В теореме
Поста содержатся условия на систему функций, необходи-
необходимые и достаточные для того, чтобы суперпозициями входя-
входящих в нее функций были представимы все функции алгебры
логики. Основной материал содержится в задачах 6.1—6.21;
в задачах 6.22—6.27 содержится дополнительный материал.
Основным является понятие функционально замкнутого
класса (определение 6.2) — класса функций, замкнутого
относительно суперпозиции.
В теореме Поста фигурирует пять функционально замк-
замкнутых классов, называемых предполными (они в некотором
смысле максимальны). Следующий параграф (§ 7) посвящен
изучению множества всех функционально замкнутых клас-
классов. Принципиальное описание структуры этого множества
(постовская схема), а также описание задач, которые могут
быть решены при помощи функционально замкнутых клас-
классов, содержится в п. 1. В п. 2 рассматривается более простая
задача о функционально замкнутых классах, содержащих
константы. Эти классы связаны с задачами, в которых
наряду с суперпозицией участвует операция подстановки
констант (расширенная суперпозиция). Это расширение
снимает основные трудности, имеющиеся в общей задаче,
а сравнительно легко получаемый общий ответ позволяет
достаточно хорошо освоиться с ситуацией, имеющейся в рас-
рассматриваемых вопросах. В заключение этого пункта при-
приводится пример задачи, решающейся при помощи функцио-
функционально замкнутых классов (относительно расширенной су-
суперпозиции),— задача о самодвойственной полноте. Эта же
задача в условиях обычной суперпозиции рассматривается
в п. 3. Этот пункт в дальнейшем не используется, а потому
его можно при желании пропустить, ограничившись нуж-
нужным для дальнейшего определением 7.8. В п. 4 строится
фрагмент постовской схемы (ее третий этаж), позволяющий
решать проблемы базисов в предполных классах. Наконец,
в п. 5 приводится без доказательства постовская схема и
несколько задач на ее применение. В дальнейшем тексте
ссылки на § 7 имеются лишь в п. 5 § 8 и п. 10 § 10.
§§ 8 и 9 посвящены теории схем. В § 8 рассматриваются
схемы из функциональных элементов — устройств, реали-
реализующих функции алгебры логики. В п. 1 рассмотрения ве-
ведутся в предположении о мгновенном срабатывании этих
элементов. Подробно исследуются соединения элементов,
соответствующие суперпозициям функции алгебры логики,
в связи с чем вводится понятие обратной связи. В предпо-
предположениях п. 1 теорема Поста дает ответ на вопрос о том,
каков должен быть запас основных функциональных эле-
элементов для того, чтобы любую функцию алгебры логики мож-
можно было реализовать схемой из этих элементов.
В п. 2 мы отказываемся от предположения о мгновенном
срабатывании функциональных элементов. В связи с этим
сужается класс схем, реализующих функции алгебры ло-
логики. Одновременно приходится применять элементы нового
типа — элементы задержки, необходимые для выравнива-
выравнивания времени прихода сигналов на входы функциональных
элементов. Всюду в дальнейшем делается предположение
о том, что время срабатывания одно и то же для всех основ-
основных элементов. Это довольно обременительное ограничение
сильно упрощает наши рассмотрения. При учете времени
срабатывания элементов теорема Поста уже не дает ответа
на вопрос об условиях полноты системы функциональных
элементов. Решение этой проблемы при указанных выше
предположениях дается в задачах 8.7—8.11. Отметим, что
в ответе фигурируют множества, уже не являющиеся функ-
функционально замкнутыми классами относительно обычной
суперпозиции. В задачах 8.12—8.14 приводятся некоторые
10
другие примеры задач на полноту, не сводящихся к функ-
функционально замкнутым классам Поста. Эти задачи не исполь-
используются в дальнейшем и могут быть опущены. В пп. 3 и 4
исследуются схемы, не реализующие функций алгебры ло-
логики. Описание их работы приводит к важному понятию
конечного автомата. При этом возникают некоторые пробле-
проблемы полноты, решение которых сводится к проблеме полноты,
решенной в п. 2. В п. 5 рассмотрен способ фон Неймана
реализации функций алгебры логики при помощи функ-
функциональных элементов. Для этого класса схем проблема
полноты решается при помощи результатов пп. 2 и 3 § 7.
Другой класс схем — релейно-контактные схемы — рас-
рассматривается в § 9. Общим принципам работы таких схем
посвящен п. 1. Здесь следует обратить внимание на вторую
часть задачи 9.1, из которой следует, что при реализации
функции алгебры логики необходимы реле как с отрицатель-
отрицательными, так и с положительными контактами. В остальных
пунктах рассматриваются только схемы, в которых нет
соединений обмоток реле с контактами,— контактные схемы.
Общей теории таких схем посвящен п. 2; п.З посвящен проб-
проблеме минимизации схем, т. е. построению реализаций функ-
функций, содержащих как можно меньше контактов. Приводятся
примеры минимальных схем. Очень важно продумать воз-
возможные пути доказательства минимальности. Центральное
место занимает доказательство оценок Шеннона для числа
контактов, необходимых для реализации функций от п пе-
переменных при больших п. В п. 4 строятся реализации ли-
линейных функций алгебры логики (см. § 4), а при их
помощи — схемы для суммирования чисел в двоичной сис-
системе счисления. В п. 5 рассмотрена реализация арифмети-
арифметических операций схемами из функциональных элементов.
Основная часть § 9 использует лишь § 2; в п. 3 при доказа-
доказательстве теоремы Шеннона используются элементарные
факты из анализа.
В § 10 строится теория вероятностей на конечных буле-
булевых алгебрах. Соответственно нужно знать определения
булевой алгебры и регулярной булевой алгебры (определе-
(определения 2.5 и 2.7); впрочем, последнее определение можно за-
заменить определением 2.5, дополненным аксиомами, приве-
приведенными в примечании на стр. 195. Основные факты теории
вероятностей приводятся в пп. 1—6. В п. 7 вводятся поли-
полиномы С. Н. Бернштейна и при их помощи доказывается тео-
теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерыв-
непрерывных функций на огрезке полиномами. В п. 8 вводятся спе-
11
циальные классы полиномов Бернштейна, связанные с
функциями алгебры логики. Они применяются в этом пункте
к решению некоторых задач из теории автоматов; в следую-
следующем пункте при их помощи исследуется вопрос о надеж-
надежности контактных схем. Последний пункт посвящен синтезу
надежных схем из функциональных элементов с ненадеж-
ненадежной реализацией (проблеме полноты таких элементов).
Пп. 1—7 § 10 используют лишь § 2; в пп. 8 и 9 нужны, кро-
кроме того, определения самодвойственных и монотонных функ-
функций из §§ 3 и 5 и определения из §§ 8 и 9; п. 10 опирается
на § 7. Результаты о приближениях функций полиномами
Бернштейна используют простые факты из анализа.
В § 11 рассматривается обобщение двузначной алгебры
логики на конечнозначный случай; он опирается на §§ 1—6.
В § 12 дается краткий обзор логики предикатов. Он ис-
использует §§ 1 и 2. В упражнениях фигурирует несколько
задач, решавшихся при доказательстве теоремы Поста (их
можно опустить) и некоторые примеры из анализа. Этот
параграф занимает особое место. Все предыдущие рассмот-
рассмотрения так или иначе связаны с понятием логической опера-
операции, и соответственно высказывания рассматриваются при
фиксированной ситуации; в § 12 исследуется зависимость
высказывания от ситуации.
Укажем несколько вариантов работы над книгой. Эле-
Элементарный цикл может состоять из §§ 1 и 2 с указанными
выше сокращениями в пп. 3 и 4, пп. 1, 2 и обзорной части
п. 3 § 9 и § 12. Его желательно усилить за счет основных
частей §§ 3—5, формулировки теоремы Поста с примерами
ее применения из § 6 и обзорной части § 8. Таким образом
можно строить основную часть курса математической ло-
логики в пединститутах (к этому нужно обязательно добавить
в каком-то виде основы теории алгоритмов, например, ма-
машины Тьюринга). Дальше можно изучить §§ 6 и 9. Допол-
Дополнительные циклы могут состоять из §§ 7 и 8 (функционально
замкнутые классы, схемы из функциональных элементов и
проблемы полноты); из § 10 (вероятностная логика). Эти
циклы пересекаются по пп. 8 и 10 § 10 (полнота систем
ненадежных функциональных элементов). § 10 можно ис-
использовать при изучении теории вероятностей в контакте
с математической логикой, но при этом желательно увели-
увеличить число примеров и неформальных пояснений.
В приложение вынесен справочный материал, которым
удобно пользоваться при решении задач.
§ 1. ОПЕРАЦИИ НАД ВЫСКАЗЫВАНИЯМИ
Большая часть этой книги будет посвящена наиболее
элементарному разделу математической логики, который
носит название алгебра логики. Другое часто употребляе-
употребляемое название — алгебра высказываний — связано с очень
важной интерпретацией этой теории, с которой мы начнем
наши рассмотрения. В алгебре высказываний рассматри-
рассматриваются некоторые вопросы, связанные с образованием слож-
сложных высказываний. Если у нас имеется несколько высказы-
высказываний, то при помощи логических связок и отрицаний из
них можно образовать различные новые высказывания.
При этом исходные высказывания принято называть прос-
простыми, а вновь образованные высказывания — сложными.
Эти названия не носят абсолютного характера, так что
высказывание, которое в одной ситуации мы считаем «прос-
«простым», в другой может рассматриваться как «сложное», и
наоборот. Подробнее об этом мы поговорим ниже. Заметим,
что на языке грамматики логические связки — это различ-
различные способы образования сложных предложений из простых.
Рассмотрим примеры.
Пусть имеются высказывания: «На улице светит солнце»,
«В классе идут занятия». Из этих простых высказываний
можно различными способами построить сложные выска-
высказывания:
1) На улице светит солнце, и в классе идут занятия.
2) На улице не светит солнце.
3) На улице светит солнце, однако в классе идут за-
занятия.
4) В классе идут занятия, а на улице светит солнце.
5) На улице светит солнце, или в классе идут занятия.
6) Или на улице светит солнце, или в классе идут за-
занятия.
7) Если на улице светит солнце, то в классе идут за-
занятия.
13
8) Если в классе идут занятия, то на улице светит
солнце.
9) На улице не светит солнце, или в классе идут за-
занятия.
10) На улице светит солнце тогда и только тогда, когда
в классе идут занятия.
Читатель без труда продолжит список сложных выска-
высказываний, и мы не сомневаемся, что ему удастся получить
высказывания, еще более абсурдные, чем 8) или 10). Самый
простой способ добиться этого — взять в качестве простых
высказываний как можно более далекие друг от друга по
смыслу предложения, например: «Семнадцатая страница
в книге начинается с буквы „в"», «Наш город стоит на бере-
берегу Волги». В связи с этим отметим первую особенность
алгебры высказываний. В ней допускаются любые грам-
грамматически правильные способы образования сложных вы-
высказываний и совершенно игнорируется смысловая
характеристика получившегося предложения. Любое из
приведенных десяти сложных предложений допустимо с точ-
точки зрения алгебры высказываний.
В алгебре высказываний интересуются лишь истин-
истинностью или ложностью (истинностным
значением) высказываний. Более точно: в ней ис-
исследуется вопрос об истинности сложного высказывания
в зависимости от истинности входящих в него простых вы-
высказываний и с этой точки зрения и исследуются различные
логические связки.
Пока что мы не делали различия между «предложения-
«предложениями» и «высказываниями». Однако с точки зрения сформу-
сформулированной задачи такое различие удобно провести. Не про
каждое предложение можно сказать, истинно оно или лож-
ложно. Примерами являются предложения, выражающие при-
приказание («Подойди ко мне!»), сожаление («Если бы я раньше
знал. . .»), вопрос («Был ли ты дома?»), поздравления («С
новым годом!») и т. д. Не останавливаясь на описании этого
класса предложений, договоримся, что под высказываниями
мы будем понимать предложения, для которых имеет смысл
говорить об их истинности или ложности.
Фиксация высказывания («На улице светит солнце»)
еще не приводит, вообще говоря, к фиксации его истинност-
истинностного значения. Нужно еще фиксировать ситуацию (в дан-
ком примере — точное время и место действия). Поэтому
точнее надо говорить, что высказывание А истинно (или
лсжно) в такой-то ситуации. Ситуация может
14
быть однозначно определена в самом высказьшании («4 фев-
февраля 1971 г. в 5 часов 01 минуту по московскому времени
была проведена вторая коррекция траектории корабля»).
Иногда в алгебре высказываний ограничиваются рассмотре-
рассмотрением только таких высказываний, но мы этого делать не
будем. Существуют высказывания, истинные (соответст-
(соответственно ложные) во всех возможных ситуациях. Такие вы-
высказывания мы будем называть абсолютно истинными (со-
(соответственно абсолютно ложными). Высказывания «Волга
впадает в Каспийское море», «Через две различные точки
евклидовой плоскости проходит единственная прямая»—аб-
прямая»—абсолютно истинны; «2й=о, где а — положительное число» —
абсолютно ложно. Абсолютно истинные и абсолютно лож-
ложные высказывания будем называть логическими константа-
константами. Если ситуация однозначно определена в самом выска-
высказывании, то оно является логической константой. Теперь
мы можем уточнить, что при изучении логических связок
мы будем сопоставлять истинностные значения простых
высказываний и полученного сложного высказывания в од-
одной и той же ситуации. При этом один из главных вопросов,
который нас будет интересовать, заключается в том, при
каких условиях на простые высказывания логическая связ-
связка приводит к абсолютному истинному высказыванию.
Рассмотрим примеры логических связок (операций).
1. Логическая связка, соответствующая союзу «и», на-
называется конъюнкцией и обозначается знаком & *).
Высказывание А & В, называемое конъюнкцией
А и В, истинно тогда и только тогда, когда истинны оба
высказывания АяВ (ср. пример 1). Это обстоятельство мож-
можно выразить с помощью так называемой истинностной таб-
таблицы для конъюнкции:
А
И
и
л
л
в
и
л
и
л
А &В
и
л
л
л
*) Часто вместо & употребляется знак л. Отметим также что
конъюнкцию иногда называют логическим умножением.
15
В этой таблице символом И обозначается истинное выска-
высказывание, символом Л — ложное. В ней перечислены все-
всевозможные истинностные значения (И и Л) высказываний
Л и Б и соответствующее им истинностное значение выска-
высказывания А &?. С точки зрения алгебры высказываний ло-
логическая связка (операция) конъюнкция полностью опре-
определяется приведенной таблицей. Высказывание А & В
абсолютно истинно тогда и только тогда, когда абсолютно
истинны оба высказывания А к В.
При построении таблицы мы исходили из союза «и».
Но мы пришли бы к той же самой истинностной таблице,
если бы исходили из союзов «а», «но», «однако», «хотя» и т. п.
(ср. примеры 3, 4). Таким образом, хотя соответствующие
этим союзам логические связки имеют различные смысловые
оттенки, с точки зрения алгебры высказываний они неразли-
неразличимы. Кроме того, связка, соответствующая конъюнкции,
осуществляется иногда бессоюзным образом (например:
«На улице светит солнце, в классе идут занятия»). Анало-
Аналогичное сокращение мы будем ниже (стр. 35) практиковать и
по отношению к знаку конъюнкции.
2. Отрицание А высказывания А (см. пример 2) задается
таблицей
А
И
Л
А
Л
и
Эта операция одноместна-— в том смысле, что из
одного данного простого высказывания А строится но-
новое высказывание Л. В то же время конъюнкция — дву-
двуместная операция: сложное высказывание строится
из д в у х простых. Отрицание абсолютно истинного выска-
высказывания абсолютно ложно и наоборот.
3. Двуместная логическая операция, соответствующая
союзу «или», называется дизъюнкцией *) (она обозначается
знаком V)- Надо иметь в виду, что в обычной речи союз
«или» употребляется по крайней мере в двух различных
смыслах: неальтернативное (неисключающее) «или» и аль-
*) Дизъюнкцию иногда называют логическим сложением (не сле-
следует путать с рассматриваемым ниже арифметическим сложением по
модулю 2, см. §4, стр. 64).
16
тернативное (исключающее) «или». В высказываниях перво-
первого типа утверждается истинность по крайней мере
одного из участвующих в нем простых высказываний;
во втором случае — в точности одного (здесь
иногда используется более точный оборот «или. . . ,или...»).
Дизъюнкция соответствует неальтернативному «или»; она
задается следующей истинностной таблицей:
А
И
И
л
л
в
и
л
и
л
AV В
и
и
и
л
Абсолютная истинность А \/В означает, что в каждой
ситуации хотя бы одно из высказываний А, В истинно.
1.1. Логическую операцию, соответствующую альтер-
альтернативному «или», мы назовем альтернативной дизъюнк-
дизъюнкцией (обозначение: ААВ). Составить для нее истинностную
таблицу и выразить эту операцию через уже знакомые нам
логические операции. ^
4. Мы будем называть логическую операцию тождест-
тождественной истиной (ложью), если для любых простых вы-
высказываний полученное сложное высказывание является
абсолютно истинным (абсолютно лож-
н ы м). Это равносильно тому, что при любых истинностных
значениях простых высказываний сложное высказывание
истинно (ложно). Следует уяснить отличие тождественной
истины от абсолютной: первая относится к логической опе-
операции, вторая — к индивидуальному высказыванию. В сле-
следующей задаче приводятся примеры одноместных операций,
являющихся тождественной истиной (тождественной ложью).
1.2. Показать, что операция A\JA есть тождественная
истина, а А& А — тождественная ложь. ^
В рассмотренных нами пока двуместных логических опе-
операциях простые высказывания А и В входили симмет-
симметрично (коммутативно: ф (А, В)=ц> (В, А)). Сейчас мы
17
рассмотрим операции с несимметричным вхождением про-
простых высказываний (это аналогично переходу от сложносочи-
сложносочиненных предложений к сложноподчиненным).
5. Двуместная логическая операция, соответствующая
обороту «если. . ., то. . .», посредством которого образуются
условные предложения, называется импликацией. При
этом сложное высказывание «если А, то Б» записывается
в виде А ->- В. Простое высказывание А называется посыл-
посылкой импликации, В — ее заключением. Мы приведем вначале
истинностную таблицу для импликации, а затем дадим не-
некоторые пояснения.
А
И
И
л
л
в
и
л
и
л
А —у В
и
л
и
и
В случае импликации несоответствие между обычным
пониманием истинности сложного высказывания и идеали-
идеализированной точкой зрения алгебры высказываний еще за-
заметнее, чем для других логических операций. Главное от-
отличие состоит в том, что при учете смыслового содержания
высказываний (а не только значения истинности) оборот
«если. . ., то. . .» подразумевает причиннуюсвязь
между посылкой и заключением. С точки же зрения алгебры
высказываний истинность импликации в некоторой ситуации
означает лишь, что если в этой ситуации истинна посылка,
то истинно заключение. В результате истинными мог>т ока-
оказаться импликации «Если в доме пять этажей, то в квартире
номер три проживает Иванов», «Если в Воронеже идет дождь,
то книга серого цвета», а то и еще более «удивительные»
высказывания. Более внимательный анализ показывает,
что в нашей обычной речи мы не ставим вопрос об истинности
высказывания «из А следует В» для какой-то конкретной
ситуации, интересуясь лишь вопросом об абсолютно и
истинности А -*- В, и лишь в этом случае говорим,
что В есть следствие А. С этой точки зрения вид истинност-
истинностной таблицы для импликации совершенно естествен. Дейст-
Действительно, в силу нашего интуитивного представления вы-
высказывание А -*- В абсолютно истинно тогда и только тогда,
18
когда в каждой ситуации, в которой высказывание А
истинно, истинно В, т.е. не существует ситуации,
когда А истинно, а В ложно. С другой стороны, истинност-
истинностная таблица должна быть такова, что в каждой возмож-
возможной ситуации А -> В истинно. Из сопоставления этих
двух фактов следует, что таблица должна иметь указанный
выше вид. Отметим одну терминологическую тонкость.
Мы обычно говорим «из А не следует В» в том слу-
случае, когда высказывание А —*¦ В не является абсолютно
истинным, т. е. А -> В ложно в некоторой ситуации; это не
следует путать с абсолютной ложностью А —>¦ В.
Для иллюстрации отметим, что вопрос об абсолютной
истинности импликации решается при доказательстве тео-
теорем. Действительно, всякая теорема имеет вид импликации
А —>¦ В, у которой в посылке (А) стоит то, «что дано», а в за-
заключении (В) то, «что требуется доказать». Обратной теоре-
теореме отвечает импликация В -> А; противоположной тео-
теореме — импликация А -> В.
Заметим, что чаще принимается более широкое определение обрат-
обратной теоремы: если (А&С)-*В — прямая теорема, то обратной называется
не только теорема В-*(А&С), но и теоремы (В&А)->С, (B&Q-+A
(т. е. из «части» посылки и заключения следует другая «часть» посылки).
В качестве примера рассмотрим «теорему о трех перпендикулярах»:
«Прямая /, принадлежащая плоскости Р и перпендикулярная проекции
m прямой п на плоскость Р, перпендикулярна я». Рассмотрим структуру
этой теоремы. Обозначим через А высказывание «прямая I принадлежит
плоскости Р», через В — «прямая m является проекцией прямой п на
плоскость Р», через С — «прямая I перпендикулярна т», через D —
«прямая I перпендикулярна п». Теорема имеет вид высказывания
((A&B)&C)-»D. Ясно, что импликация С-»((Л&В)&С), вообще говоря,
ложна, т. е. не является абсолютно истинной. Однако абсолютно истинно
высказывание ((A&B)&D)-»C: «Прямая I, принадлежащая плоскости Р
и перпендикулярная прямой п, перпендикулярна проекции m прямой п
на плоскость Р». Эту теорему и называют обычно теоремой, обратной
к теореме о трех перпендикулярах.
При доказательстве теоремы мы в предположении истинности
посылки устанавливаем истинность заключения, т. е. исключаем един-
единственный случай (см. истинностную таблицу для А-*В), когда имплика-
импликация может быть ложной, и доказываем тем самым абсолютную истинность
импликации А-*В, отвечающей теореме. При этом следует различать
истинность импликации, которая имеет место всегда (вне зависимости
от истинности посылки), если теорема доказана, от истинности заключе-
заключения, которую в этом случае можно утверждать, лишь если истинна по-
посылка. В случае же ложной посылки из справедливости теоремы никаких
выводов об истинности или ложности заключения делать нечьзя. Об-
Обратно, из ложности В следует ложность А, а из истинности В никаких
выводов об А сделать нельзя.
Непонимание этих фактов приводит к ошибкам при применении
теорем. Пусть доказанной теореме отвечает абсолютно истинная импли-
19
кация А-*В. Правильное ее применение состоит в том, что если в какой-
то ситуации А справедливо, то делается вывод о справедливости В.
Например, возьмем теорему: «Если четырехугольник — прямоугольник,
то его диагонали равны» *). Для всякого квадрата посылка истинна;
значит, в квадрате диагонали равны. Распространенная ошибка в мате-
математических рассуждениях состоит в том, что к высказыванию А, истин-
истинность которого не установлена, применяется правильная теорема А-*В
и из истинности предложения В делается вывод об истинности А. Оши-
Ошибочность такого рассуждения следует из третьей строки истинностной
таблицы А-*В (в истинной импликации с истинным заключением может
быть ложной посылка). Приведем пример такого неправильного рассуж-
рассуждения. Высказывание А: «Число 6 делится на 4»; А—уВ: «Если число де-
делится на 4, то оно делится на 2». Имеем: А—>В — истинная теорема,
В — истинное высказывание, однако нельзя делать вывод об истинно-
истинности А. О возникающей здесь ситуации можно сказать еще так: «Из
неверного утверждения верными методами можно получить верный ре-
результат» (но нельзя, конечно, верными методами получить из верного
утверждения неверный результат!). Другой пример, в котором часто
допускаются ошибки из-за непонимания свойств импликаций,— это
исследование решений уравнений (и еще в большей степени неравенств).
Пусть имеется уравнение Р(х)=0, и уравнение Q(x)=O является его
следствием, т. е. истинна импликация «если ха— корень уравнения
Р(х)=0, то х0— корень уравнения Q(x)=0» (A-»B). Если мы нашли кор-
корни уравнения Q(x)=0, то среди них содержатся все корни уравнения
P(x)=0 (из истинности А следует истинность В), но среди корней второго
уравнения могут быть посторонние, т. е. не являющиеся корнями пер-
первого (из истинности В не следует, вообще говоря, истинность А). Таким
образом, корни уравнения Q(x)=0 нужно подвергнуть проверке, прежде
чем сделать вывод о том, что они являются корнями уравнения Р(х)=0.
Обратно, если нам известны все корни первого уравнения, то это не
означает, что мы знаем все корни второго уравнения: переход от урав-
уравнения Q(x)—0 к уравнению Р(х)—0 может сопровождаться потерей кор-
корней. Посторонних корней не возникает в первом случае и не произойдет
потери корней во втором случае тогда и только тогда, когда наряду с
указанной выше импликацией А-*В истинна импликация В-*А. В этом
случае уравнения называются равносильными; множества корней таких
уравнений совпадают.
1.3. Показать, что логические связки В -> А; (Л&В) -*¦
-+-А; (Л&Б)->Б; (Л&В)->-Л, где Л — фиксированное
абсолютно ложное высказывание, имеют ту же истинност-
истинностную таблицу, что и импликация А —*- В. ^
В силу этой задачи вместо доказательства абсолютной истинности
Л->В можно доказать абсолютную истинность одного из четырех
перечисленных высказываний. Возьмем, например, импликацию
В->А. Нужно в предположении истинности В доказать истинность А.
Но это есть простейший способ доказательства от противного теоремы
А-*В. Мы предполагаем противное тому, что требуется доказать, и по-
*) Быть может эта формулировка звучит несколько необычно, но
мы привели ее, так как она имеет вид импликации.
20
лучаем противоречие с тем, что дано. При доказательстве при помощи
остальных трех связок мы предполагаем не только противное тому, что
требуется доказать, но и также то, что дано (А&.В). Тогда для доказа-
доказательства теоремы А—>В достаточно или прийти к противоречию с тем,
что дано (Л), или вывести то, что требуется доказать (В), или, наконец,
получить любое абсолютно ложное высказывание (Л). В качестве по-
последнего в силу задачи 1.2 достаточно вывести какое-нибудь высказы-
высказывание С и его отрицание С, так как тогда должно быть истинным выска-
высказывание С & С. Последний способ доказательства является в некотором
смысле наиболее общим способом доказательства от противного.
1.4. Показать, что абсолютная истинность имплика-
импликации А-*~В равносильна тому, что истинность В является
необходимым признаком истинности А, а истинность А —
достаточным признаком истинности В. ^
В результате абсолютную истинность импликации А —> В можно
принять за определение необходимости В для А (соответственно, доста-
достаточности А для В).
6. В качестве последнего примера логической операции
рассмотрим связку, называемую эквивалентностью *) (обо-
(обозначение: ~). Она соответствует оборотам типа «тогда и
только тогда, когда...», «для того чтобы..., необходимо и
достаточно...» и др. Приведем истинностную таблицу для
эквивалентности:
А
И
и
л
л
в
И
л
и
л
А ~ в
И
л
л
и
К эквивалентности в той же мере, что и к импликации,
относится замечание о том, что ее использование в алгебре
высказываний не учитывает смысловое содержание выска-
высказываний. И здесь наши интуитивные представления об эк-
эквивалентности относятся к случаю, когда сложное выска-
высказывание А~В является абсолютно истинным (только в этом
случае мы привыкли говорить «Л и В эквивалентны»).
*) Эту операцию часто предпочитают называть аквшаленцией, ос-
оставляя термин «эквивалентность» для наименования отношения
между формулами, которое автор ниже (см. определение 1.1) называ-
называет «равносильностью».— Прим. ред.
21
В дальнейшем мы будем иногда говорить d и В абсо-
абсолютно эквивалентны», если высказывание А~В абсо-
абсолютно истинно.
1.5. Показать, что ту же истинностную таблицу, что и
эквивалентность, имеет логическая операция (А ->- В)&
&(? — А). ^
Из задачи 1.5 и истинностной таблицы для конъюнкции
следует, что абсолютная истинность эквивалентности равно-
равносильна абсолютной истинности импликаций А -> В и В -*- А,
т. е. что в этом случае справедливы и прямая теорема
А -*¦ В и обратная В—>- А. Чтобы доказать абсолютную
истинность А ~ В, нужно показать, что истинность А вле-
влечет истинность В и, обратно, истинность В влечет истинность
А (во всех ситуациях А и В или одновременно истинны, или
одновременно ложны). Если эквивалентность Л-~Б абсо-
абсолютно истинна, то А является необходимым и достаточным
условием для В и обратно.
Заметим, что ошибки в рассуждениях, о которых шла речь в п. 5,
не возникают, если применяемые теоремы являются не просто абсолютно
истинными импликациями, а абсолютно истинными эквивалеитностями.
Когда мы говорили о равносильных уравнениях, мы также по существу
имели дело с эквивалентностями.
1.6. Сколько имеется различных (т. е. отличающихся
истинностными таблицами) двуместных логических опера-
операций? ^
1.7. Сколько имеется различных коммутативных дву-
двуместных логических операций? Выразить их через уже вве-
введенные операции. ^
У нас имеется некоторое количество «основных» логиче-
логических операций (отрицание, дизъюнкция, конъюнкция, им-
импликация, эквивалентность), позволяющих получать из
простых высказываний сложные. При этом вместо простых
высказываний можно брать уже построенные сложные. В ре-
результате появляется возможность применять при построе-
построении сложных высказываний многоступенчатые конструк-
конструкции, многократно использующие введенные логические опе-
операции. Назовем формулами логические операции, которые
получаются комбинированием конечного числа указанных
выше основных логических операций. Для всякой формулы
можно построить истинностную таблицу, последовательно
используя истинностные таблицы для основных операций.
22
Естественно считать равносильными формулы, которым со-
соответствуют одинаковые истинностные таблицы. Дадим
точное определение:
Определение 1.1*). Пусть 91 и 23 — две фор-
формулы алгебры высказываний, a Аи . . ., Ап— набор про-
простых высказываний, входящих по крайней мере в одну из
формул 31, 33. Формулы 91 и S3 называются равносиль-
равносильными, если при всех значениях истинности Аи . . ., Ап зна-
значения истинности 51 и 23 совпадают. Равносильность 81 и
23 обозначается посредством обычного знака равенства:
§1 = 23.
1.8. Доказать следующие равносильности: а) А\/А~А;
б) (А\/А)&В=В; в) А\уА~^В\/Щ г) А\/(А&В)=А. А
Из определения видно, что наборы простых высказыва-
высказываний, входящих в равносильные формулы 31 и 33, могут
быть различными. В этом случае простые высказывания,
входящие лишь в одну из формул, входят в нее фиктивным
образом, т. е. истинность этой формулы не зависит от ис-
истинности этих простых высказываний.
1.9. Попытайтесь аккуратно определить, что означает
утверждение, что простое высказывание В входит в формулу
91 существенно (нефиктивно). ^
В нижеследующей задаче следует постараться дать как
можно более эффективное определение. Пока мы не можем
формально описать все наши пожелания (мы это сделаем
в § 12) и ограничимся лишь просьбой, чтобы отрицались
только простые высказывания. Такое определение фиктив-
фиктивной переменной нельзя получить простым отрицанием
определения существенной переменной.
1.10. В каком случае простое высказывание В входит
в формулу 91 фиктивно? ^
Теперь мы можем аккуратно доказать упомянутое выше
утверждение:
1.11. Если 91 = 23 и простое высказывание А входит
в формулу 21, но не входит в 33, то оно входит в §1 фик-
фиктивно. ^
*) По существу в определении 1.1 содержится определение равно-
равносильности для любых логических операций (ср. § 2).
23
1.12. Доказать, что формулы 91 и 23 равносильны тогда
и только тогда, когда формула ЭЗ —^ ЭХ — тождественная
истина (см. п. 4). ^
Заметим, что понятие равносильности относится к фор-
формулам, т. е. к логическим операциям. В то же время тесно
связанное с ним понятие абсолютно истинной эквивалент-
эквивалентности относится к индивидуальным высказываниям.
Мы уже фактически рассматривали формулы и неявно
говорили о равносильности формул при исследовании ос-
основных логических операций. В частности, мы видели, что
эти основные операции не являются независимыми в том
смысле, что одни из них могут быть выражены через дру-
другие. Например, эквивалентность выражается через импли-
импликацию и конъюнкцию (см. задачу 1.5). Более точно, это
означает, что существует формула, содержащая только
импликации и конъюнкции, равносильная эквивалент-
эквивалентности. Мы будем иногда выражать этот факт, говоря, что
эквивалентность с точностью до равносильности выражается
через конъюнкцию и импликацию.
Приведем несколько задач такого рода.
1.13. Выразить (т. е. найти равносильные формулы)
все основные операции через дизъюнкцию, конъюнкцию и
отрицание. ^
1.14. Выразить все основные операции через конъюнк-
конъюнкцию и отрицание; через дизъюнкцию и отрицание. ^
1.15. Выразить все основные операции через имплика-
импликацию и отрицание. ^
1.16. Назовем операциями Шеффера следующие опера-
операции:
Ф(Л, B) = A\JB = A&B; ty (А, В) = Л& В = А\/ В.
Показать, что через каждую из них выражаются все основ-
основные операции. ^
1.17. Выразить A\JB через А ->- В. ^
Отметим, что возможны такие парадоксальные конструкции слож-
сложных высказываний, для которых не удается найти истинностные значе-
значения (хотя они и выражаются, в отличие от примеров, упомянутых в на-
начале параграфа, повествовательными предложениями). Один из возмож-
возможных примеров: «То, что я сейчас говорю, неправда». Ясно, что попытки
считать это высказывание истинным или ложным одинаково приводят
к противоречию. Другой пример, построенный на той же идее: «На одной
стороне листа бумаги написано, что на обратной стороне написана прав-
правда, а на другой стороне написано, что на обратной стороне написана
21
ложь». Весьма распространены различные задачи-шутки такого типа.
Читателю, вероятно, известна история про царя, который за правду
отрубал чужеземцу голову, а за ложь — вешал, и про то, в какое
безвыходное положение поставил царя путешественник, заявивший, что
его повесят. Причина возникающих парадоксов состоит в том,
что здесь высказывание в целом неявно «содержится в самом себе» как
простое высказывание и при определении значения истинности выска-
высказывания уже нужно знать заранее это значение. Такого рода ситуации
невозможны для сложных высказываний, являющихся формулами при
принятой нами индуктивной конструкции формул с помощью
основных логических операций.
Сложные высказывания, являющиеся формулами, стро-
строятся при помощи введенных нами пяти основных операций.
Иногда используется какой-либо другой список основных
операций. В любом случае возникает существенный вопрос:
сколь велико множество логических связок *), которые
можно построить, комбинируя эти основные операции. Ока-
Оказывается, что любую логическую операцию можно выразить
через основные операции (с точностью до равносильности);
более того, для этого даже достаточно дизъюнкции, конъ-
конъюнкции и отрицания. В силу же задачи 1.14 можно огра-
ограничиться дизъюнкцией и отрицанием или конъюнкцией и
отрицанием.
Пусть имеется некоторая логическая операция Ш над
простыми высказываниями Ах, . . ., Ап. Операция 21 с точ-
точностью до равносильности характеризуется истинностной
таблицей. Для определенности возьмем некоторую конкрет-
конкретную операцию над тремя простыми высказываниями:
At
И
И
л
л
и
л
л
и
Аг
и
л
л
л
и
и
и
л
А*
л
и
и
л
и
и
л
л
а
И
и
и
и
л
л
л
л
*) Под логической связкой (или логической операцией) понимается,
как видно из предыдущего текста, всякий способ образования сложного
высказывания из простых, при котором для всякого набора истинно-
истинностных значений простых высказываний однозначно опреде-
определено истинностное значение сложного.
25
Таблицу для ?( мы специально записали так, чтобы вначале
шли строчки, для которых 31 истинно. Тогда операцию,
имеющую данную истинностную таблицу, можно получить,
просто перечисляя ситуации, в которых высказывание §t
истинно (мысленно произносите вместо &, Vt названия
логических связок: «и», «или», «не»):
1.18. Проверить, что построенная операция действи-
действительно имеет заданную истинностную таблицу. ^
1.19. Обобщить приведенную конструкцию на случай
произвольных логических операций §(. ^
Конструкция, полученная при решении задачи 1.19,
называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой
(сокращенно: СДНФ). Мы будем более подробно говорить
о ней в следующем параграфе.
Логическую операцию по таблице можно строить, ис-
исходя не только из тех строчек, в которых 81 истинна, но и
из тех, в которых SI ложна. Здесь надо исключить те воз-
возможности, для которых §( ложна:
X & (
(здесь опять-таки удобно вместо &, Vi мысленно назы-
называть соответствующие связки).
1.20. Проверить, что построенная операция имеет за-
заданную истинностную таблицу. ^
1.21. Обобщить приведенную конструкцию на случай
произвольных связок St. ^
Конструкция из решения задачи 1.21 называется со-
совершенной конъюнктивной нормальной формой (сокращенно
СКНФ).
1.22. Найти СДНФ и СКНФ для основных логических
операций. ^
Простейшие факты из алгебры высказываний часто по-
помогают при решении элементарных логических задач. Мы
приведем здесь лишь один пример такого рода задачи
26
1.23. Путешественник находится в одном из городов А
или Б, по в каком именно — ему неизвестно. Он задает
собеседнику один вопрос, на который может получить от-
ответ «да» или «нет», причем ответ его собеседника может
являться правдой или ложью (чем именно, ему тоже неиз-
неизвестно). Придумать вопрос, по ответу на который можно
безошибочно судить, в каком городе находится путешест-
путешественник. ^
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ § 1
1.1. Приведем истинностную таблицу для ЛДВ:
А
И
и
л
л
в
И
л
и
л
ЛДВ
Л
И
и
л
Эту же таблицу имеет, например, операция (A&B)V(A&B), а также
(AvB)&(AvB).
1.4. Нужно лишь вспомнить определения необходимых и достаточ-
достаточных условий, после чего утверждение превращается в тавтологию.
1.6. 16 операций; каждая операция задается своей истинностной
таблицей, так что задача заключается в том, чтобы найти число всех
различных таблиц.
1.7. 8 операций (их число находится аналогично предыдущей зада-
задаче): тождественная истина, тождественная ложь, дизъюнкция, конъюнк-
конъюнкция, эквивалентность и их отрицания. Заметим, что отрицание эквива-
эквивалентности совпадает с альтернативной дизъюнкцией (см. задачу 1.1).
1.9. Простое высказывание В входит в формулу 31 существенно,
если существует такой набор значений истинности остальных простых
высказываний Аи . . ., Ап, при которых значение истинности 91 зависит
от значения истинности В (т. е. для этого набора значения истинности 91
различны при различных значениях истинности В).
1.10. Простое высказывание В фиктивно входит в формулу 91,
если для всякого набора значений истинности остальных простых выска-
высказываний Аи . . ., Ап значение истинности Л одно и то же при обоих
значениях истинности В.
1.11. Решение непосредственно следует из определения фиктивного
вхождения (задача 1.10) и определения равносильности формул.
1.13. Нужно выразить импликацию Л->В, так как эквивалентность
в силу задачи 1.5 выражается через импликацию и конъюнкцию:
А ~В = (А -*¦ В)&(В-т А).
Можно также использовать равносильность А~В=ААВ и задачу 1.1.
Чтобы выразить А—>В, удобно сравнить ее истинностную таблицу с
27
истинностной таблицей для дизъюнкции и использовать тот факт, что
и там, и там имеется единственный набор, для которого результат опе-
операции есть ложь.
1.14. Нужно выразить дизъюнкцию через конъюнкцию и отрица-
отрицание; конъюнкцию через дизъюнкцию и отрицание. Воспользоваться
тем, что истинностные таблицы для дизъюнкции и конъюнкции переходят
одна в другую при замене «Л» на «И» и «И» на «Л».
1.15. Достаточно выразить конъюнкцию и отрицание или дизъюнк-
дизъюнкцию ц отрицание.
1.19. Составим истинностную таблицу для 31, начиная с тех строк,
для которых 31 истинна. Каждой такой строке поставим в соответствие
конъюнкцию тех простых высказываний, которые в этой строке истинны,
и отрицаний остальных. Затем остается взять дизъюнкцию этих конъ-
конъюнкций.
1.21. Каждой строчке из таблицы, в которой значение 31 ложно,
поставим в соответствие дизъюнкцию тех простых высказываний, зна-
значения которых в этой строчке ложны, и отрицаний остальных простых
высказываний. Затем нужно взять конъюнкцию этих дизъюнкций.
1.23. Пусть, для определенности, ответ «да» будет соответствовать
тому, что путешественник находится в городе А, «нет» — тому, что ои
находится в городе Б. Вопрос с двузначным ответом можно интерпрети-
интерпретировать как вопрос об истинности или ложности какого-то высказывания.
Пусть это будет сложное высказывание, составленное из простых вы-
высказываний:
Тогда
X: «Путешественник находится в городе А»
Y: «Собеседник говорит правду».
X: «Путешественник находится в городе Б»,
Y: «Собеседник говорит ложь».
Итак, нужно построить сложное высказывание ЩХ, Y) с таким расче-
расчетом, чтобы собеседник говорил, что оно истинно, если X истинно, и что
оно ложно, если X ложно.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ К ЗАДАЧАМ §1
1.6. Таблицы имеют вид, схематически указанный в следующей
таблице:
-1
и
и
л
л
в
И
л
и
л
а (Л. В)
*
*
*
*
Таблицы для различных операций различаются последними столбцами,
элементы которых заменены значком *. Вместо * может стоять или «И»,
28
или «Л», причем возможны любые комбинации. Различных комбинаций
будет 2*= 16 (это так называемые размещения с повторениями из двух
элементов по четыре).
1.7. Опять нужно подсчитать число таблиц. Отличие от предыдущей
задачи состоит в том, что в последнем столбце второй и третий элементы
должны совпадать. Поэтому можно произвольно выбирать 3 элемента,
и различных возможностей будет 28=8. Конкретный вид операций про-
проверяется непосредственно.
1.13. л -> в=л\/в; а ~ в=(аув)&(вуа)=(а&в)у(а&в).
1.14. AvB=~A&B; ~
1.15. AvB = A -+ В.
1.16. Л=ф_(Л1Л); AvB=AV В = ф (Л, В) = ф (ф (Л, В),ф (Л, В))
или Л&В==ф(Л, В) = ф(ф(Л, Л),ф(В, В)). Случай операции ty (Л, В)
рассматривается аналогично.
1.17. AVB = (A ->fi)-> В.
1.19. Каждая из построенных конъюнкций будет истинна только
при тех значениях истинности простых высказываний, которые стоят
в соответствующей ей строчке. Поскольку мы взяли дизъюнкцию по
всем наборам значений истинности простых высказываний, на которых
§1 истинна, построенное высказывание будет истинно на всех этих на-
наборах и только на них. Ясно, что логическая операция определяется
множеством наборов, на которых полученное сложное высказывание
истинно (на остальных оно ложно).
1.21. Каждая из дизъюнкций, построенных в указании к задаче,
ложна лишь на соответствующем ей наборе значений истинности простых
высказываний. Поэтому конъюнкция рассматриваемых дизъюнкций
ложна на тех же наборах, что и 31.
1.22. СДНФ: Х = Х; X&F-X&F; XvF ()(
X -> F = (X&F) V (X&Y) V (X&F); X~Y = (X&Y) V (X &F).
^ СКНФ: X = X; X&F = 0XvF)& (XVF)& (XvF);
X ~Y = (XvY)Sc(XvY).
1.23. Будем строить истинностную таблицу для искомого высказы-
высказывания. Ясно, что если Y истинно, то ЩХ, F) должно быть равносильно
Х\ в противном случае — Л, т. е.
31 (X, F)«- (X&F) V(X&F).
Вид ЩХ, Y) можно было бы получить по таблице
X
И
И
л
л
Y
и
л
и
л
91 (X. У)
и
л
л
и
29
при помощи конструкции задачи 1.19. Итак, можно задать вопрос:
«Верно ли, что я нахожусь в городе Л и Вы говорите правду или я на-
нахожусь в городе В и Вы говорите ложь?». Заметим, что
поэтому вопрос можно сформулировать и так: «эквивалентно ли то, что
я нахожусь в городе А, тому, что Вы говорите правду?».
Конечно, задачи типа задачи 1.23 можно решить, не используя ал-
алгебры высказываний, но последняя дает возможность решать их более
формально.
§ 2. ФУНКЦИИ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ;
ФОРМЫ
НОРМАЛЬНЫЕ
1. Функции алгебры логики; равносильность функций.
В предыдущем параграфе мы выяснили, что с точки зрения
алгебры высказываний логические операции полностью
характеризуются истинностными таблицами. При этом
можно забыть о том, что мы рассматриваем какие-то опера-
операции над высказываниями, и иметь дело лишь с самими таб-
таблицами. Таким образом мы приходим к понятию функ-
функции алгебры логики, которое и будет исследо-
исследоваться в дальнейшем. Однако мы не советуем забывать об
указанных выше интерпретациях логических связок, так
как они проясняют целый ряд соотношений в алгебре ло-
логики. В отличие от предыдущего параграфа мы будем упот-
употреблять вместо И, Л символы 1, 0 *). Итак,
Определение 2.1. Функцией алгебры логики
f (хи . . ., хп) от п переменных хи . . ., хп называется функ-
функция, принимающая значения 1,0 и аргументы которой также
принимают значения 1, 0.
Функция / (хи • • .i хп) задается своей истинностной
таблицей:
0
1
1
1
н
0
0
1
1
0
0
1
1
•
0
0
1
1
0
0
0
I
'<
/@
/A
f A
/(I
,о,.
,0,.
,1,-
,1,.
....
..,о,
..,о,
..,1,
..,1,
0)
0)
0)
1)
*) Не имея в виду никакого конкретного «смысла» этих символов,
в том числе и обычного арифметического, если не оговорено противное
31
В каждой строке таблицы вначале дается набор значений
переменных (аь . . ., ап), а затем значение функции на
этом наборе. Легко заметить, что число различных двоич-
двоичных наборов длины п (упорядоченных наборов (аи . . ., ап)
из 0 и 1 *)) конечно.
2.1. Сколько имеется различных двоичных наборов
(аи . . ., ап) длины п? ^
2.2. Сколько имеется различных функций алгебры ло-
логики от п переменных? ^
2.3. Сколько имеется различных функций от п перемен-
переменных, сохраняющих 0 (т. е. равных нулю на нулевом наборе:
/ @, . . ., 0)=0)? А
Аналогично рассматривается вопрос для функций, со-
сохраняющих 1. Приведем теперь в новых обозначениях таб-
таблицы для основных логических операций.
X
0
0
1
1
у
0
1
0
1
X
1
1
0
0
х&у
0
0
0
1
XV у
0
1
1
1
X —J- у
1
1
0
1
к—у
1
0
0
I
Кроме этих основных функций, у нас будут встречаться
константы 0 и 1 и функция, совпадающая со своим
аргументом.
Договоримся теперь о том, какие функции алгебры ло-
логики мы будем считать одинаковыми (ср. определение 1.1).
Заметим, что задание функции включает фиксацию обозна-
обозначений для аргументов. Однако (когда не может возникнуть
недоразумений) мы будем коротко писать / вместо / (xt, . . .
• • , хп).
Определение 2.2. Пусть fug — функции алгеб-
алгебры логики и х1г . . ., хп— совокупность аргументов, входя-
входящих по крайней мере в одну из этих функций. Мы будем
говорить, что fug равносильны (и писать тогда f=g**)),
*) Их часто называют л-буквенными словами в «двухбуквениом
алфавите» {0,1}-
**) В частности, запись 1(х)=1 означает, что функция / тожде-
тождественно равна 1.
32
если при всех значениях xlt . . ., хп значения fug совпа-
совпадают.
По аналогии с § 1 (задачи 1.9, 1.10) можно ввести поня-
понятие фиктивных и существенных переменных. Мы иногда
будем пользоваться тем, что к аргументам функции всегда
можно формально добавить новый аргумент, после чего
получится равносильная исходной функция, фиктивно |
зависящая от добавленного аргумента. ,
Отметим, что в силу определения 2.2 функции, имеющие i
одинаковые истинностные таблицы, но отличающиеся обо- I
значениями переменных, равносильными не считаются.
2. Суперпозиция функций алгебры логики. Определим '
основную операцию, которую можно производить над функ- '
циями алгебры логики,— суперпозицию (или операцию
образования сложной функции). Интуитивный смысл этого
понятия состоит в том, что в аргументы функции подстав-
подставляются другие функции, некоторые переменные отождест- |
вляются, и эта процедура может повторяться. Строгое же
определение дается по индукции.
Определение 2.3. Пусть Ф={ф1(хи, . . ., х1Ь),
Ф2(х21, . . ., х2кг), . . ., <рт(хти . . ., xmkj} — конечная сис-
система функций алгебры логики.
Функция г]з называется элементарной суперпозицией
или суперпозицией ранга 1 (обозначение: ф 6ФA>). если она
может быть получена одним из следующих способов:
а) из какой-то функции Ф7-6Ф переименованием
какой-то из ее переменных хц, т. е. имеет вид
где у, в частности, может совпадать с одной из перемен-
переменных х1п;
б) подстановкой некоторой функции фг ?Ф вме-
вместо какого-то аргумента хц одной из функций ф^ ?Ф:
ф/(*/1> ¦•-, */,•-!> Фг(*П> ¦••, *№,)• */,-+1> •••• */*;)•
Получающаяся в результате функция г]з зависит от аргу-
аргументов
\Х}1, ..., Xj j-.j, Xn, ..., Хцц, Xj j + 1, ..., Xjkjft
т. е. от всех переменных функций ф;, фг, исключая, быть
может, хп.
Если описан класс Ф(г> функций, являющихся суперпо-
суперпозициями ранга г функций из системы Ф, то класс Ф(г+1)
2 С. Г. Гиндикин 33
состоит из элементарных суперпозиций функций из Ф(г> (т. е.
ф> ^ф')')
^))
Суперпозициями функций из Ф называются функции,
входящие в какой-либо из классов Ф(Л).
Замечание 1. Если функции <р и гр имеют одина-
одинаковые истинностные таблицы, отличаясь только обозначе-
обозначениями переменных, то в силу а) определения 2.3 каждая
из них является суперпозицией другой.
Замечание 2. В силу а) определения 2.3 ФсФA),
а значит, ф<1сФ(г+1) и вообще Ф(г>сФш при r<!s.
Замечание 3. Если при переименовании перемен-
переменных согласно а) определения 2.3 мы заменим Хц на
некоторую Xji (l?=i), то получим функцию от меньшего
числа переменных. В таких случаях говорят, что у tpj о т о-
ждествлены переменные Хц и Хц. Например, при
отождествлении переменных х и у функции х\/у и х&у
переходят соответственно в х\/х=х и х&х=0. Повторение
этой процедуры позволяет отождествлять любое число пере-
переменных.
Замечание 4. Точно так же, повторяя процедуру
подстановки согласно б) определения 2.3, мы можем под-
подставить вместо любого числа аргументов любой функции
из Ф произвольные функции из Ф.
Определение 2.4. Суперпозиция основных функ-
функций х, х&у, х\/у, х-+у, х~у называется формулой.
Введенное в § 1 понятие равносильности формул (опреде-
(определение 1.1) согласуется с определением 2.2.
В дальнейшем нам часто придется неявно пользоваться
следующим — почти очевидным, но важным — свойством
суперпозиций.
2.4. Пусть Ф={ф;} — конечная система функций, Ф
состоит из функций ty}, каждая из которых равносильна
какой-либо функции из Ф. Каждой функции /, являющейся
суперпозицией функций из Ф, поставим в соответствие
функцию f, которая получится, если все функции из Ф,
из которых в результате суперпозиции получена f, заменить
какими-либо равносильными функциями из Ф (строгое опре-
определение / дается по индукции). Доказать, что функции / и
/ равносильны. ^
Несмотря на всю очевидность этого утверждения, мы
советуем читателю аккуратно доказать его — чтобы при-
34
выкн>ть к технике индуктивных доказательств такого рода.
Смысл утверждения состоит в том, что в суперпозиции функ-
функций {q.,-} в каждом вхождении их можно заменять равно-
равносильными функциями. Аналогично показывается, что в су-
суперпозиции можно заменять равносильными функциями
участвующие в ней суперпозиции меньшего ранга.
Несколько упростим обозначения. Будем опускать сим-
символ конъюнкции &, т. е. вместо х&у будем писать просто
ху *). Далее мы сократим число скобок, установив «иерар-
«иерархию» операций: «старшая» операция — конъюнкция, за-
затем — дизъюнкция, и, наконец, импликация и эквивалент-
эквивалентность (их мы не упорядочиваем). Соглашение состоит в том,
что вначале выполняется старшая операция, если скобки
не предписывают противное. Например, формулу (х&у)\/
\/(z-*-t) можно переписать так: xy\/(z-+- /)"> формулу
(х\/у) -> (у& г) — в виде x\Jy -*- yz.
Приведем теперь перечень важнейших равносильностей
алгебры логики:
х=г, B.1)
ху = ух; B.2)
(ху)г = х{уг); B.3)
xVy = yVx; B.4)
B.5)
B.6)
B.7)
= * #;__ B.8)
= xv у; B.9)
= .v; B.10)
хх=х; B.11)
¦ х; B.12)
¦ х. B.13)
2.5. Доказать равносильности B.1) — B.13). ^
Равносильности B.2), B.3), B.4) и B.5) означают ком-
коммутативность и ассоциативность конъюнкции и дизъюнк-
дизъюнкции. Ассоциативность конъюнкции и дизъюнкции позволя-
позволяет опускать скобки в конъюнкциях и дизъюнкциях несколь-
нескольких переменных, коммутативность — расставлять члены
*) Это обозначение напоминает (бессоюзное» образование слож-
н IX предложений (см. стр. 16).
2* 33
таких конъюнкций и дизъюнкций в любом порядке. Рав-
Равносильности B.6) и B.7) — это дистрибутивные (распреде-
(распределительные) законы конъюнкции и дизъюнкции *). B.6) поз-
позволяет «раскрывать скобки». Вообще же B.6) и B.7) позво-
позволяют преобразовывать выражения так, чтобы операции
в них выполнялись в обратном порядке (например, если
в исходном выражении вначале выполнялась дизъюнкция,
а потом конъюнкция, то можно получить равносильную
формулу, в которой вначале выполняется конъюнкция,
а потом дизъюнкция). Мы еще воспользуемся этим обстоя-
обстоятельством при рассмотрении нормальных форм. При этом
нам потребуются следующие факты.
2.6. Доказать, что
(x\/y)(z\/
2.7. Доказать, что
Равносильности B.8) и B.9) (так называемые законы де
Моргана) уже упоминались в § 1 в связи с возможностью
выразить конъюнкцию через дизъюнкцию и отрицание,
а дизъюнкцию — через конъюнкцию и отрицание. Эти же
соотношения используются для перенесения отрицаний,
применяемых к сложным высказываниям, на составляющие
их простые.
2.8. Преобразовать (найти равносильную формулу)
к формуле, в которой отрицания стоят только над аргу-
аргументами: a) xy\lz\ б) x(xy\Jyzy(yytz)). ^
2.9. Выразить отрицание импликации через основные
операции так, чтобы отрицания стояли только над аргу-
аргументами. А
Процедура переброски отрицаний на простые выска-
высказывания используется при построении определений от-
отрицательных понятий. Мы уже касались этого в § 1 (за-
(задача 1.10) и неоднократно будем возвращаться к этому в
дальнейшем.
*) В отличне от числового случая, здесь имеется не один, а два
дистрибутивных закона.
35
2.10. Мальчик решил в воскресенье закончить чтение
книги, сходить в музей или кино, а если будет хорошая
погода — пойти на реку выкупаться. В каком случае мож-
можно сказать, что решение мальчика не выполнено? (В ответе
отрицания должны содержаться лишь в простых высказы-
высказываниях.) ^
Мы не думаем, что при ответе на этот вопрос вам непре-
непременно пришлось прибегнуть к алгебре высказываний. В лю-
любом случае попытайтесь дать ответ непосредственно. После
этого, напротив, обязательно решите эту задачу при помощи
алгебры логики.
2.11. Решить задачу 2.10, используя алгебру высказы-
высказываний. ^
2.12. Придумать самим сложное высказывание, содер-
содержащее различные связки, и построить его отрицание не-
непосредственно и при помощи алгебры логики. ^
3. Булевы алгебры.
Определение 2.5. Множество Ш, на котором
определены две двуместные операции х, y=s>xy и х, у=$>х\/у
и одна одноместная операция х^>х и выделены два элемента
0 и 1693i, причем для этих операций и элементов выпол-
выполняются аксиомы B.1) — B.13) (здесь равенство понимается
как совпадение элементов Ш), называется булевой алгеброй.
Можно бы при определении булевой алгебры исходить нз одной
двуместной операции (например, ху), доопределив другую при помощи
B.1) и законов де Моргана B.8), B.9). Мы не будем здесь касаться вопро-
вопроса о построении системы независимых аксиом для булевой алгебры.
При изучении логических операций с помощью таблиц
мы по существу имели дело с булевой алгеброй, состоящей
из двух элементов {0, 1}, где операции определены согласно
таблице на стр. 32.
Булевы алгебры являются примером аксиоматически заданного ал-
алгебраического объекта (другие примеры: группы, кольца, поля и т. д.;
о них.можно прочитать в любом учебнике высшей алгебры). Эти объекты
представляют собой множества, в которых выделены некоторые элемен-
элементы (в булевой алгебре — элементы 0 и 1; в группе — единичный элемент
и т. д.) и определены некоторые операции. Эти элементы и операции
должны удовлетворять некоторому конечному набору соотношений —•
аксиом; в остальном они могут задаваться произвольно. Может пока-
показаться, что это употребление термина «аксиома» противоречит привыч-
привычному пониманию этого термина, известного из школьного курса геомет-
геометрии. Несущественное различие заключается в том, что здесь речь идет об
аксиоматизации операций, а в евклидовой геометрии — об аксиомати-
37
зации некоторых отношений между о новными < бъектами ( принадле-
принадлежать», «лежать между» и др.). Главным же различием, вероятно, пред-
представляется то, что, грубо говоря, «имеется одна-единственная евклидова
плоскость, но много различных групп нли булевых алгебр». Точная фор-
формулировка этого факта дается на языке изоморфизма (для булевых
алгебр см. ниже определение 2.6): все евклидовы плоскости из^горфны,
но существуют неизоморфные булевы алгебры (последнее следует, на-
например, из задачи 2.19). Молчаливое соглашение об изоморфизме на-
накладывает сильный отпечаток на изложение аксиоматики в школьном
курсе геометрии и часто является серьезным психологическим барьером
при переходе к аксиоматическим объектам, допускающим неизоморфные
реализации. В случае последних наряду с доказательством теорем —
утверждений, являющиеся следствиями из аксиом, важную роль играет
исследование вопросов, связанных с наличием неизоморфных объектов,
например, изучение специальных классов объектов, выделяемых допол-
дополнительными аксиомами (примеры: коммутативные группы, регулярные
булевы алгебры, рассматриваемые в п. 4 этого параграфа) Вопросов
такого типа в евклидовой геометрии не возникает по указанной выше
причине. Не следует думать, что аксиоматики, приводящие к неизоморф-
неизоморфным объектам, являются привилегией алгебры; такого рода аксиоматики
имеются и в неевклидовой геометрии.
Наконец, в школьном курсе геометрии объясняется, что аксиомы
не доказываются (иногда даже говорят, что онн «не требуют доказа-
доказательств»). С другой стороны, мы проверяем (доказываем!) аксиомы буле-
булевой алгебры для каждого из рассматриваемых примеров (см. ниже).
Дело в том, что в элементарной геометрии, как мы уже говорили, зани-
занимаются лишь получением следствий из аксиом (теорем). Таким образом,
рассматриваются исключительно «внутренние» вопросы теории. Вопрос
же о справедливости аксиом для единственного интересующего
нас объекта — идеализированной модели нашего реального простран-
пространства — является «внешним» для теории и решается исходя из наших
интуитивных представлений. В случае же, например, теории булевых ал-
алгебр эти «внешние» вопросы возникают для различных конкретных объек-
объектов, причем проверка аксиом каждый раз осуществляется строгими мате-
математическими средствами, хотя и лежит за пределами теории. Другими
словами, понятие системы аксиом приобретает новый оттенок. Это уже
не набор истин, которые мы по каким-то соображениям принимаем без
доказательства, а набор тестов, выполнимость которых для какого-ни-
какого-нибудь объекта автоматически влечет справедливость целого иабора теорем,
составляющих данную аксиоматическую теорию. Эта эволюция взгляда
на аксиомы лежит в основе широкого применения аксиоматического ме-
метода в современной математике.
Отметим, что и в случае евклидовой геометрии при рассмотрении
ее моделей нам приходится проверять (опять-таки доказывать!) аксиомы.
В моделях основные объекты (точки, прямые и т. д.) конструируются
исходя из уже построенных математических теорий (например, теории
действительных чисел). Так, при рассмотрении аналитической интер-
интерпретации евклидовой планиметрии точками объявляются пары дейст-
действительных чисел (х, у) и все основные отношения описываются на языке
действительных чисел. При этом проверяется справедливость всех
аксиом: они доказываются исходя из свойств действительных чисел.
Многим читателям, вероятно, известно, что для доказательства непроти-
непротиворечивости планиметрии Лобачевского строится ее интерпретация на
евклид—.ои плоскости; для этой интерпретации аксиомы геометрии Ло-
б' о превращаются в теоремы евклидовой геометрии.
33
Во избежание недоразумений отметим, что слово «алгебра» принято
употреблять в двух разных смыслах: как обозначение некоторой мате-
математической теории (например, алгебра логики) и как обозначение неко-
некоторого класса аксиоматических объектов (например, булева алгебра).
Никаких причин для этого, кроме сложившихся традиций, нет.
Рассмотрим примеры булевых алгебр.
1) Пусть М ¦— некоторое множество (можно считать для
простоты, что М — множество точек на прямой или множест-
множество натуральных чисел), Ш Л1— совокупность его под-
подмножеств. Через ху (х, у?Шм) мы обозначим пересечение
множеств х и у; через х\/у — их объединение, через х —
дополнение к множеству х до всего множества М, через
О ¦— пустое множество, через 1 — множество М.
2.13. Проверить, что совокупность Шм подмножеств
множества М с так определенными операциями и элемен-
элементами 0,1 является булевой алгеброй. ^
2) Пусть Ш состоит из таких чисел х, что 0 <Г х <ГЛ, АфО.
Положим х=А—х, х \/у=тах{х,у}, х&у=т\п{х,у}. Роль
«0» будет играть число 0, роль «1» — число А.
2.14. Проверить, что множество Ш с так определенными
операциями и элементами 0,1 является булевой алгеброй. ^
3) Если в булевой алгебре имеется некоторое подмно-
подмножество, замкнутое относительно определенных в этой ал-
алгебре операций (т. е. применение операций к элементам
подмножества вновь приводит к элементам этого подмно-
подмножества) и содержащее 0,1, то оно является булевой алгеб-
алгеброй относительно тех же операций и выделенных элементов
(булева подалгебра). Так, если в примере 2) А — натураль-
натуральное число, то можно рассмотреть подмножество натураль-
натуральных чисел. Вообще, в этом примере булеву подалгебру
образует любое подмножество, симметричное относительно
середины отрезка [0, А] и содержащее концы (доказать!).
4) Пусть N — натуральное число, а Шх— множество
его целых положительных делителей. Для л;,^ 6 9KiV положим
x=N/x; ху — наибольший общий делитель х и у, х\/у —
наименьшее общее кратное х, у, под «0» будем понимать чис-
число 1, под «1» — число ./V.
2.15. Показать, что мы превратили множество делителей
числа Л' в булеву алгебру. А
39
5) Поскольку на совокупности высказываний определе-
определены соответствующие операции, естественно предположить,
что она является булевой алгеброй. Для этого, однако,
в множестве высказываний нужно провести некоторое отож-
отождествление. Будем считать высказывания А и В тождест-
тождественными (А =.??)> если эквивалентность А~В абсолютно
истинна (т. е. истинна во всех ситуациях, см. стр. 15). Сово-
Совокупность высказываний, рассматриваемых с точностью до
так введенной тождественности (точнее, классы тождест-
тождественных высказываний), образует булеву алгебру. Роль О
играет класс абсолютно ложных высказываний (все они
тождественны между собой); роль 1 — класс абсолютно
истинных высказываний. Ясно, что если над какими-то вы-
высказываниями производится логическая операция, то за-
замена каких-то высказываний тождественными приводит
к замене получающегося высказывания на тождественное.
Таким образом, равенства B.1) — B.13) для этого случая
означают тождественность высказываний. Так, построенную
булеву алгебру называют булевой алгеброй высказываний *).
6) Рассмотрим некоторые подалгебры в булевой алгебре
высказываний' Ш. Пусть М — произвольное множество.
Каждому фиксированному подмножеству хаМ {х ?ШМ)
поставим в соответствие высказывание х: «Этот элемент
множества М содержится в подмножестве х».
Очевидно, что для несовпадающих хну всегда х^у
(достаточно рассмотреть элемент, принадлежащий одному из
множеств х, у, но не принадлежащий другому).
2.16. Доказать, что совокупность высказываний х
(х 6 Шм) является подалгеброй в булевой алгебре Ш. А
Для высказываний х из примера 6) фиксация ситуации
состоит в фиксации элемента множества М, причем две
ситуации, отвечающие различным элементам М, сущест-
существенно различны: имеется высказывание х, которое в одной
из ситуаций истинно, а в другой ложно. Поэтому естест-
естественно отождествить М с множеством ситуаций для Шм.
Для произвольного множества высказываний понятие
ситуации является достаточно неопределенным (например,
что такое ситуация для совокупности всех высказываний
*) Рекомендуем тщательно продумать, почему для превращения
множества высказываний в булеву алгебру необходимо отождеств-
отождествление абсолютно эквивалентных высказываний.
40
вообще). Пусть, однако, Ш — некоторая подалгебра в ал-
алгебре высказываний ЭД1, для которой удается описать мно-
множество различных ситуаций М. Ситуации естественно счи-
считать различными, если существует высказывание, которое
в одной из них истинно, а в другой ложно. Тогда каждому
высказыванию х 6 Ш отвечает подмножество хаМ ситуа-
ситуаций, для которых х истинно. При этом подмножества х, у
совпадают тогда и только тогда, когда x=f/, т. е. когда
абсолютно истинна эквивалентность х~у. Совокупность
Ш полученных в результате подмножеств в М является
подалгеброй в булевой алгебре подмножеств Шм. Если по
Х0Л построить высказывание способом, указанным в при-
примере 6), то получится высказывание, тождественное х0I.
Мы получили примеры так называемых изоморф-
изоморфных булевых алгебр (другой пример обсуждается в ука-
указаниях к задаче 2.15).
Определение 2.6. Пусть Ш и Ш — две булевы
алгебры. Отображение х => х, ставящее каждому х ? Щ эле-
элемент х ?Ш, называется гомоморфизмом булевой алгебры
ЭД1 в булеву алгебру Ш, если
1ад = 1«;
х = х\
ху=ху
для всех х, у? Ш; нижние индексы у 0 и 1 указывают, в ка-
какой алгебре они являются выделенными элементами.
Если гомоморфизм х =$> х устанавливает взаимно-одно-
взаимно-однозначное соответствие между Ш и Щ, то он называется изо-
изоморфизмом булевых алгебр Ш и $1, а булевы алгебры Ш и
Ш в этом случае называются изоморфными.
Мы показали выше, что булева алгебра Шм подмно-
подмножеств множества М изоморфна некоторой булевой подал-
подалгебре Шм высказываний и что булева алгебра высказыва-
высказываний Ш изоморфна некоторой булевой алгебре подмножеств
Ш множества ситуаций М. Тем самым мы установили ес-
естественное соответствие между булевыми алгебрами выска-
высказываний и множеств.
41
2.17. Пусть N — натуральное число, в разложении ко-
которого на простые множители все множители различны;
через N обозначим множество этих множителей. Показать,
что булева алгебра делителей MN (пример 4) изоморфна
булевой алгебре 9I# подмножеств N. А
Другой пример изоморфизма, который мы рассмотрим,
чрезвычайно важен. Аксиомы булевой алгебры таковы, что
если всюду поменять местами 0 и 1, дизъюнкцию и конъ-
конъюнкцию, то получится та же аксиоматика. Это обстоятель-
обстоятельство можно выразить следующим образом. Пусть Ш— булева
алгебра. Построим новую булеву алгебру Шс+, которая
будет состоять из тех же элементов, что и Ш, но с другими
операциями. Элементы х, у, . . . из Ш, рассматриваемые
как элементы §0th, будем обозначать через х+, у+, . .;
элементы 0, 1 для Ш+— через 0+, 1+. Тогда полагаем:
0+=1+ (т. е. О в Ш+ — это 1 в Ш);
U=0+;
х+\/У+ = (ху)+ (т.е. дизъюнкция элементов в Ш+ сов-
совпадает с их конъюнкцией в Ш);
+у+ (\/у)
Булева алгебра Ш+ называется двойственной к Ш.
Заметим, что (Ш+)+=Ш.
2.18. Показать, что отображение х=$>х осуществляет изо-
изоморфизм Ш на ЭД1+. ^
4. Регулярные булевы алгебры и булевы операции. В случае
двухэлементной булевой алгебры {0, 1} операции ху, XV у, х являются
частным случаем общих операций / (xlt.... хп)—ф> нкцнй алгебры логи-
логики. Возникает вопрос, нельзя ли ввести аналогичные операции в каких-
нибудь других булевых алгебрах. Можно, конечно, рассмотреть функ-
функции, у которых аргументы и значение функции принадлежат булевой ал-
алгебре. Но тогда, например, в случае алгебры из задачи 2.14 мы будем
рассматривать любые функции вещественных переменных без всякого
учета структуры булевой ачгебры. Мы будем пытаться связать с функ-
функциями алгебры логики такие операции на булевых алгебрах, чтобы меж-
между ними имели место все соотношения, имеющие место на алгебре {0, 1}.
Самый, казалось бы, естественный путь состоит в следующем. Каждой
функции алгебры логики поставим в соответствие операцию на булевой
алгебре, исходя из представления функции алгебры логики в виде нор-
нормальных форм (см. следующий пункт, а также конец § 1), т. е. через опе-
операции, уже имеющиеся в любой булевой алгебре. Однако этот путь не
всегда приводит к цели, так как некоторые равносильности даже между
основными операциями ху, xW у, х, рассматриваемыми как функции
алгебры логики, имеют место не во всякой булевой алгебре.
2.19. Привести пример булевой алгебры, в которой не
имеют место равносильности: x\Jx^\\ xx=0. A
42
Для некоторых конкретных булевых алгебр операции,
отвечающие функциям алгебры логики, можно ввести весь-
весьма естественным образом.
Рассмотрим булеву алгебру ШЛ1 подмножеств множества
М. Назовем теоретико-множественной операцией всякое
отображение F (хи . . ., хп), сопоставляющее всякому на-
набору из п подмножеств xlt . . .,хп?Шм некоторое подмно-
подмножество y=F (xlt . . ., хп)?Шм такое, что принадлежность
или непринадлежность некоторого элемента т?М подмно-
подмножеству у определяется только тем, в какие из множеств
Xi, . ¦ ., хп элемент т входит.
Между теоретико-множественными операциями и функ-
функциями алгебры логики существует взаимно однозначное
соответствие. Действительно, пусть F (х±, . . ., хп) — тео-
теоретико-множественная операция. Каждому двоичному на-
набору а=(а!, . . ., ап) поставим в соответствие 1, если эле-
элемент т из М, принадлежащий подмножествам xt при
а*=1 и не принадлежащий остальным хь принадлежит
y~F (xu . . .,хп); если же такой элемент не принадлежит у,
то данному набору а ставим в соответствие 0. Возникает
функция алгебры логики /^(«1, .... ап). Ясно, что это со-
соответствие взаимно однозначно.
Все операции над множествами, которые обычно рассмат-
рассматриваются в теории множеств, удовлетворяют нашему опре-
определению теоретико-множественной операции. Рассмотрим
примеры. Напомним, что разностью множеств х\у называет-
называется дополнение их пересечения до х, симметрической раз-
разностью х&у называется дополнение их пересечения до объ-
объединения (на рис. 1 результаты соответствующих операций
заштрихованы).
Рис. I.
2.20. а) Какие функции алгебры логики отвечают раз-
разности и симметрической разности множеств?
б) Доказать ассоциативность симметрической раз-
разности. А
43
2.21. Какие теоретико-множественные операции отве-
отвечают импликации, эквивалентности, функциям Шеффера
(задача 1.16)? ^
Интерпретация функций алгебры логики в булевой ал-
алгебре высказываний по существу была проведена в конце
§ 1 и в начале § 2. Напомним, что логической операцией
в алгебре высказываний называется отображение F (хи . .
. ., хп), которое каждому набору иэ п высказываний ставит
в соответствие высказывание y=F(xlt . . ., хп), причем
истинность у зависит только от истинности или ложности
высказываний х1г . . ., хп.
Мы поставили в соответствие каждой логической опера-
операции функцию алгебры логики (п. 1 § 2). Заметим, что соот-
соответствие логических и теоретико-множественных операций
с функциями алгебры логики согласуется с установленным
выше изоморфизмом между булевыми алгебрами множеств
и высказываний.
Этим нашим рассмотрениям можно придать несколько
более общий вид. Пусть Ш — булева алгебра. Будем рас-
рассматривать ее гомоморфизмы в двухэлементную булеву ал-
алгебру {0,1}. Через М (Ж) обозначим их совокупность.
Определение 2.7. Будем говорить, что булева
алгебра ffll регулярна, если для всяких двух элементов
х, у?Ш найдется разделяющий их гомоморфизм ф? М (Ш),
т. е. такой, что ц> \х)фц> (у) (требование регулярности озна-
означает, что множество М (Ш) в некотором смысле достаточно
велико).
2.22. Привести пример нерегулярной булевой алгеб-
алгебры. ^
2.23. Показать, что алгебры высказываний и подмно-
подмножеств являются регулярными. ^
2.24. Показать, что подалгебра регулярной булевой ал-
алгебры регулярна. ^
2.25. Показать, что всякая регулярная булева алгебра
изоморфна некоторой подалгебре булевой алгебры подмно-
подмножеств (а значит, и алгебры высказываний). ^
Определение 2.8. В регулярной булевой алгебре
Ш операции F (хи . . ., хп), хг?Ш1, называются булевыми
операциями, если для всякого ф?М (9I) значение ф (у),
y=F (xi, . . ., хп), определяется значениями ф (xj, . . .
¦ ¦ ; ф (*п).
4-1
2.26. Показать, что булевы операции находятся во вза-
взаимно однозначном соответствии с функциями алгебры ло-
логики. ^
При доказательстве регулярности алгебр подмножеств
и высказываний мы строили некоторые совокупности разде-
разделяющих гомоморфизмов в алгебру {0,1}. Однако ни в одном
из этих случаев мы не ставили вопрос о перечислении всех
гомоморфизмов в алгебру {0,1} (т. е. о нахождении всего
множества М (9I)). Заметим, что в примерах мы не нашли
всех таких гомоморфизмов. Например, в алгебре подмно-
подмножеств можно фиксировать два элемента и ставить 1 в соот-
соответствие подмножеству, содержащему оба эти элемента, 0 —
подмножеству, не содержащему по крайней мере одного из
них.
С каждым подмножеством М'аМ (9I), содержащим для
каждой пары элементов Ш разделяющий гомоморфизм,
можно связать понятие булевой операции (достаточно в при-
приведенном выше определении М (Ш) заменить на М').
2.27. Показать, что понятие булевой операции не за-
зависит от того, с каким множеством М'аМ (Ш) (содержа-
(содержащим для каждой пары элементов Ш разделяющий гомомор-
гомоморфизм) мы его связываем. ^
Отсюда следует, что булевы операции на алгебре под-
подмножеств — это теоретико-множественные операции, а на
алгебре высказываний — логические операции.
Теперь мы вновь возвратимся к изучению функций ал-
алгебры логики, т. е. будем иметь дело с булевой алгеброй
{0,1}. Однако следует иметь в виду, что все полученные при
этом результаты могут быть соответствующим образом интер-
интерпретированы для булевых операций на произвольных регу-
регулярных булевых алгебрах.
5. Дизъюнктивные нормальные формы (ДНФ). В конце
§ 1, в связи с вопросом о представимости произвольных ло-
логических операций через основные операции, мы уже гово-
говорили о совершенных дизъюнктивных и конъюнктивных
нормальных формах. Сейчас мы вновь возвратимся к этому
вопросу.
Введем обозначение:
х„=/ f пРи а=1,
\ х при о=0.
Заметим, что а*=1.
45
Определение 2.9. Формула xi1. . .x^n, где о-^>
={аи . . ., о,,} — какой-либо двоичный набор, а среди пе-
переменных Xf могут быть совпадающие, называется элемен-
элементарной конъюнкцией.
Определение 2.10. Всякая дизъюнкция элемен-
элементарных конъюнкций называется дизъюнктивной нормаль-
нормальной формой (сокращенно ДНФ).
2.28. Показать, что необходимое и достаточное условие
тождественного обращения в нуль ДНФ состоит в том, что
в каждую элементарную конъюнкцию какая-нибудь пере-
переменная (для каждой элементарной конъюнкции, вообще
говоря, своя) входит вместе со своим отрицанием. ^
Определение 2.11. Элементарная конъюнкция
называется правильной, если в нее каждая переменная
входит не более одного раза (включая ее вхождения под
знаком отрицания).
2.29. Какие из указанных элементарных конъюнкций
являются правильными: а) ххх2х3\ б) x^Xi, в) хгх&гхй
Т} Xi X2X3X4 . ^L
Определение 2.12. Правильная элементарная
конъюнкция называется полной относительно переменных
х1г . . ., хп, если в нее каждая из этих переменных входит
один и только один раз (быть может, под знаком отрицания).
Например, конъюнкция а) задачи 2.29 полна относи-
относительно переменных хи х2, х3; конъюнкция г) полна относи-
относительно переменных xlt x2, х3, хл.
Определение 2.13. Совершенной дизъюнктивной
нормальной формой (СДНФ) относительно переменных хи.
. ., хп называется дизъюнктивная нормальная форма, в ко-
которой нет одинаковых элементарных конъюнкций и все
элементарные конъюнкции правильны и полны относитель-
относительно переменных хи . . ., хп.
Поскольку из вида СДНФ бывают ясны ее переменные,
мы будем говорить просто СДНФ, опуская слова «относи-
«относительно переменных хг, . . ., хп».
Из задачи 1.19 следует, что всякую функцию алгебры
логики / (хи . . ., хп), не равную тождественно нулю, мож-
можно представить совершенной дизъюнктивной нормальной
формой:
f{xv ..., хп)= V *? ... *?"• B.14)
где символ \7означает> что берется дизъюнкция по тем набо-
наборам, которые указаны под ним (в данном случае по тем на-
наборам, на которых функция / равна 1). При /=0 множество
конъюнкций в правой части пусто.
2.30. Доказать, что представление функции в виде
СДНФ единственно. ^
Равенство B.14) можно записать еще так:
f{xlt .... х„)= V f(<*i, ..,о„)х? ... *ь, B.15)
(о, о„> 1
где дизъюнкция берется по всем двоичным наборам (о1г . . .
.... а„). Однако ясно, что в дизъюнкции останутся только
члены с коэффициентами 1, т. е. те конъюнкции, для кото-
которых /(alt . . ., а„)=1.
Нам потребуется также разложение функции в СДНФ
по части переменных, а именно формула
f(xlt .... х„; yv ... ут) =
= V /К о„; tJx ут)х4> .. xfr. B.16)
(a, о„)
Здесь функция / разложена в СДНФ по первым п пере-
переменным.
2.31. Доказать равносильность B.16). ^
2.32. Найти СДНФ для
а) функции от трех переменных, равной 1, если боль-
большинство аргументов равно 1;
б) функции от четырех переменных, равной 1, если чет-
четное число аргументов равно 1. ^
6. Алгоритм преобразования формулы в СДНФ. Ра-
Равенство B.14) дает возможность находить СДНФ для функ-
функции по ее таблице. Однако если функция задана формулой,
этот путь часто не удобен. Сейчас мы обсудим, как можно
поступать в этом случае. Построение СДНФ мы разобьем
на два этапа. Вначале по формулам мы построим ДНФ, а за-
затем по ДНФ построим СДНФ. Описываемая ниже процеду-
процедура является алгоритмом преобразования формулы
в СДНФ.
Вообще под алгоритмом понимается способ решения некоторого
класса задач, представляющий собой последовательность операций (одну
и ту же для всех задач данного класса), которые мы по тем или иным
47
соображениям считаем элементарными (например, умеем выполнять).
Так, алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя на-
натуральных чисел или алгоритм извлечения квадратного корня из нату-
натуральных чисел позволяют решать эти задачи путем выполнения эле-
элементарных арифметических операций в некоторой определенной после-
последовательности. Алгоритм решения квадратного уравнения использует
в качестве элементарной еще и операцию извлечения квадратного корня.
Как известно, не существует алгоритма для решения алгебраических
уравнений степени выше четвертой, использующего в качестве элемен-
элементарных операций арифметические действия и операции извлечения кор-
корней (для 3-й и 4-й степени такие формулы известны). При программиро-
программировании на вычислительных машинах роль элементарных операций играют
операции, которые может выполнять машина (а иногда и задачи, для
которых уже известен алгоритм — так называемые «стандартные под-
подпрограммы»). Исследованию различных вопросов, связанных с алгорит-
алгоритмами (в первую очередь — получению строгого определения понятия ал-
алгоритма), посвящен раздел математической логики, носящий название
«теория алгоритмов». Важнейшее место в ней занимают доказательства
отсутствия алгоритмов для решения различных задач. В нашем случае
элементарными операциями являются преобразования формул, исполь-
использующие аксиомы B.1) — B.13) и их простейшие следствия.
1) Преобразуем формулу так, чтобы в ней были только
операции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, причем
отрицания могут стоять только над аргументами.
Такого рода преобразования мы уже делали. Они используют за-
задачу 1.13 для удаления импликации и эквивалентности и равенства
B.8), B.9) для перенесения отрицаний (ср. задачу 2.8).
Заметим, что формулы, являющиеся ДНФ, можно охарактеризовать
как формулы, содержащие только дизъюнкцию, конъюнкцию и отрица-
отрицание, в которых отрицания стоят только над аргументами и вначале вы-
выполняются все конъюнкции, а потом дизъюнкции. Таким образом, далее
нужно
2) преобразовать формулу так, чтобы все конъюнкции
выполнялись раньше, чем дизъюнкции.
Как мы уже отмечали, это делается при помощи дистрибутивного
закона B.6), а также его следствия, содержащегося в задаче 2.6.
2.33. Преобразовать в ДНФ следующие формулы:
а) хуу, б) (х\/г)(х-+у); в) (x~y)(z-+t). Д
Теперь преобразуем ДНФ в СДНФ.
3) Если в ДНФ имеется несколько одинаковых элемен-
элементарных конъюнкций, то мы оставляем только одну.
Это преобразование приводит к равносильной формуле в силу рав-
равносильности B.10).
4) Делаем все элементарные конъюнкции правильными
путем следующих двух преобразований:
48
а) если в элементарную конъюнкцию входит некоторая
переменная вместе со своим отрицанием, то мы удаляем эту
конъюнкцию из ДНФ;
б) если некоторая переменная входит в элементарную
конъюнкцию несколько раз, причем или во всех случаях
без отрицания, или во всех случаях под знаком отрицания,
то мы оставляем только одно вхождение.
Преобразование а) приводит к равносильной формуле, так как
хя-=0; преобразование б) — в силу B.11).
Теперь нужно получить полные конъюнкции.
5) Если в некоторую конъюнкцию х11 . . .х1к не входит
переменная у, то нужно рассмотреть равносильное выра-
выражение xi1 . . .х1к(у \/у) и вновь применить преобразование
2). Если недостающих переменных несколько, то нужно до-
добавить несколько конъюнктивных членов вида (у\/у).
Напомним, что у \Jy=\, lx=x. После применения пре-
преобразования 5) могут вновь появиться одинаковые конъ-
конъюнкции. Поэтому
6) нужно вновь применить преобразование 3).
На этом преобразование формулы в СДНФ заканчивается. Мы не
оговаривали, что всюду, конечно, надо пользоваться коммутативностью
и ассоциативностью конъюнкции и дизъюнкции.
2.34. Найти СДНФ для формул задачи 2.33, а также
для формул: г) x\Jyz; д) xyxtyxt; e) xy\/yzt\/xyzt. A
7. Конъюнктивные нормальные формы. Теперь мы
проведем аналогичные рассмотрения для конъюнктивных
нормальных форм.
Определение 2.14. Формула вида х?1 V- • • \A«"
называется элементарной дизъюнкцией.
Определение 2.15. Всякая конъюнкция элемен-
элементарных дизъюнкций называется конъюнктивной нормальной
формой (КНФ).
2.35. Показать, что необходимым и достаточным усло-
условием тождественного равенства КНФ единице является
наличие в каждой элементарной дизъюнкции некоторой
переменной вместе с ее отрицанием. ^
Определение 2.16. Элементарная дизъюнкция
называется правильной, если в нее каждая переменная
4Э
входит не более одного раза (включая ее вхождения под
знаком отрицания).
Определение 2.17. Правильная элементарная
конъюнкция называется полной относительно переменных
хи . . ., хп, если каждая из этих переменных входит в нее
один и только один раз (быть может, под знаком отри-
отрицания).
Определение 2.18. Совершенной конъюнктивной
нормальной формой (СКНФ) относительно переменных
Хх, . . ., хп называется конъюнктивная нормальная форма,
в которой нет одинаковых элементарных дизъюнкций и все
элементарные дизъюнкции правильны и полны относитель-
относительно переменных хи . . ., хп.
В силу задачи 1.21 всякую функцию f (хи . . ., хп),
отличную от тождественной единицы, можно представить
совершенной конъюнктивной нормальной формой:
fix,, ...,*„)= П xVy...\Jxln, B.17)
где символ JJ означает, что конъюнкция берется по тем на-
наборам, которые указаны под ним.
2.36. Доказать, что представление функции в виде СКНФ
единственно. ^
Равенство B.17) можно переписать так:
f{x1, ...,*„)= П ftp» ...,oa)VxallV...V&, B.18)
(Ol On)
где конъюнкция берется по всем двоичным наборам
(<Jlt. . ., Оп).
Функции можно раскладывать в СКНФ и по части пере-
переменных:
= П /fa on;yi,...,ym)\JxVy...\Jx^. B.19)
(а, оп)
2.37. Доказать равносильность B.19). ^
2.38. Найти СКНФ для функций из задачи 2.32. ^
2.39. Описать алгоритм преобразования формулы к
СКНФ (аналогично п. 6). ^
2.40. Найти СКНФ для формул а), б) задачи 2.33, а так-
также для формул: в) (х\/у)(у\/г)(гЩ; г) х (y\/z){x\/y\Jz). ^
50
8. Упрощение нормальных форм. Для упрощения ДНФ
или КНФ удобно пользоваться следующими равносиль-
ностями:
х\/ху = х; B.20)
B.21)
B.22)
B.23)
B.24)
B.25)
Равносильности B.20), B.21) называются законами погло-
поглощения.
2.41. Доказать равносильности B.20) — B.25). А
2.42. Упростить формулы:
_а) хуг" xyzs 'хугухуг; б) х\/xy\Jугухг\ в) (хуу)&
&(ху\ г)\ г'/(хуу) (и\"о). ^
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ § 2
2.1. Число наборов р(и)=2".
2.2. Это число равно числу двоичных наборов длины 2", т. е. 2а"
2.3. 22"-1-
2.4. Определить функцию / индукцией по рангу суперпозиции /.
2.5. Для доказательства достаточно доказать совпадение истинност-
истинностных таблиц для формул, стоящих в левой и правой частях. Однако нет
необходимости в составлении полных истинностных таблиц. Достаточно
проверить совпадение множеств наборов, на которых эти формулы равны
1 (или 0).
2.6. Воспользоваться B.6) и B.2).
2.7. Воспользоваться B.7) и B.4).
2.8. Воспользоваться равносильностями B.8), B.9).
a) (xv'y)z; б) x(xy\T~yV~zV~y(tv'z)).
2.9. А -*¦ В = АВ. Воспользоваться задачей 1.13: А -»¦ В — А~\/В и
равносильностями B.8) и B.1).
2.11. Выделить простые высказывания и записать это высказывание
в виде формулы алгебры логики, после чего построить отрицание на
основе равносильностей B.8) и B.9).
2.15. Можно воспользоваться известными свойствами обших дели-
делителей и кратных или вывести эти свойства непосредственно. Можно также
следующим образом свести эту задачу к предыдущей.
Пусть /V = pf'P2* ••• P'kk— разложение числа ./V на простые
множители, Л,-> 0, l*Si>C/:. Всякий делитель * числа ,V имеет
вид х — p\l pi* ... рхкк, где 0<л:,<Л,-. Для каждого j^ft
61
рассмотрим булеву алгебру 9?/ натуральных чисел 0<д;(<Л/, рас-
рассмотренную в примере 3). Легко видеть, что если над делителями
лс=р*»/>2' ... р?\ У — р\1Г^2 ¦¦• РУкк производится одна из опреде-
определенных нами операций (х, ху, х\/у), то над соответствующими по-
показателями jty, yi производится та же операция в булевой алгебре
Щ;, l<"i<A. Отсюда сразу следует, что условия B.1)—B.13) для
множества ЯЛ// делителей N выполнены и Ш1//— булева алгебра.
Мы показали здесь, что булева алгебра ЯЛдг и зомо рфн а пря-
прямому произведению булевых алгебр 9ti 9?^ (см. определе-
определение 2.6). Если имеется несколько булевых алгебр Stj., ... , 9?л, то
их прямым произведением называется множество 5И«=5И1Х ... XSfft,
элементами которого являются наборы (xlt ... , хк) по одному
элементу из каждой булевой алгебры 9?(-, причем действия над на-
наборами осуществляются поэлементно:
(%, .... xk) = (xl x~k);
(xi, .... xh)(y, «/*) = (*!{/! xhyh);
(H xk)W(yi, ..., yh) = (xlVyl xkvyk).
Наборы из соответствующих выделенных элементов @,... ,0), A 1)
являются выделенными элементами в 91. Очевидно, что в результате
множество 91 превращается в булеву алгебру.
2.16. Имеем
* = *, ху=ху. xvy = xVy , х,
2.17. Каждому делителю числа N ставится в соответствие множество
его простых делителей.
2.18. Воспользоваться аксиомой B.1) и законами де Моргана
B.8), B.9).
2.19. Рассмотреть булеву алгебру из примера 3) или какую-либо
ее подалгебру.
2.20. Можно, например, составить истинностные таблицы.
2.22. Воспользоваться задачей 2.19.
2.23. В одном случае достаточно рассмотреть для каждой ситуации
гомоморфизм, ставящий в соответствие высказыванию значение истин-
истинности в этой ситуации (высказывания, которые не разделяются, по опре-
определению тождественны). Во втором случае каждому элементу т?М ста-
ставится в соответствии гомоморфизм: х =?> 1, если т принадлежит подмно-
подмножеству, д:=о>0 — в противном случае.
2.24. Рассмотреть ограничения гомоморфизмов алгебры на ее под-
подалгебру.
2.30. 1) Взять СДНФ в общем виде и найти наборы, на которых она
равна 1.
2) Хотя указанная выше идея очень проста, мы советуем читателю
обдумать еще и другой путь решения задачи. Найти общее число различ-
различных СДНФ от п переменных и сравнить это число с числом функций от
п переменных. Такого рода «мощностные» рассмотрения часто бывают
полезны.
2.31. Воспользоваться равносильностью B.15).
2.36. Элементарная дизъюнкция (правильная) x"'V. . .V*^n равна
нулю лишь на наборе (at, . . ., ап). Можно также провести «мощностное»
доказательство (см. решение задачи 2.30).
52
2.41. Все равносильности B.21) — B.25) могут быть получены при
помощи дистрибутивных законов B.6), B.7).
2.42. Воспользоваться равносильностями B.21) — B.25).
Ответы: a) xyvxzvyz; б) xvz; в) xvyVzT
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ К ЗАДАЧАМ § 2
2.1. Ответ легко «угадать» следующим образом. Для первого эле-
элемента набора а.! имеется две возможности: 0 и 1. Для каждой из этих
возможностей а2 можно выбрать двумя способами. Итак, первые два
элемента аъ а2 можно выбрать 22=4 способами. В каждом из этих 4 слу-
случаев имеется 2 возможности для выбора а3, т. е. элементы а1у а2, а3
можно выбрать 23= 8 способами и т. д., я элементов (ctj ап) можно
выбрать 2" способами. Строгое доказательство проводится методом мате-
математической индукции.
2.2. В истинностной таблице для функций f(xu . . ., хп) фиксируем
каким-либо способом порядок строчек, т. е. порядок наборов (аъ . . .,а )
значений аргументов хъ . . ., хп. Тогда функции однозначно определя-
определяются своими последними столбцами, т. е. наборами из 2" нулей и единиц
(в таблице 2" строк в силу задачи 2.1). Различных функций столько,
сколько имеется различных наборов длины 2", т. е. 22".
2.3. Можно выбирать произвольно значения функции на всех
наборах, кроме нулевого, т. е. на B"—1) наборах. Такой выбор осуществ-
осуществляется 22"-1 способами.
Впрочем, легко сообразить, что ровно половина всех функций
сохраняет нуль', так как можно установить взаимно однозначное соот-
соответствие между функциями, сохраняющими нуль, и функциями, его не
сохраняющими (брать функции, совпадающие на всех наборах', кроме
нулевого).
2.4. Дадим строгое определение отображения J =&{*). При
этом мы определим f так, что fgUX*», если 7(;Ф(Л). Если }?Ф, то
определение f очевидно. Пусть функции /?ф**> определены' для
Bcexfg©(ft>; определимJ для f?<?(ft+i>. Пусть /?Ф<*+1>. Возмож-
Возможны два случая. Если J получается из некоторой функции g ?<!)<*>
переименованием переменной согласно а) определения 2.3, то возьмем
функцию #?ф(й)< отвечающую g по индуктивному предположению,
и проведем в ней то же переименование переменной (ведь всякую
функцию можно считать зависящей от любой переменной—хотя бы
фиктивно). Аналогично, если f gcD<*+D получается подстановкой функ-
функции gg©<ft> вместо какой-то переменной х функции Л?Ф(*> соглас-
согласно б) того же определения, то возьмем функции g, Л?ф(*>, постро-
построенные по предположению индукции, и подставим g вместо х в h.
Полученную функцию и обозначим через f; /?Ф(Л+!>. Ясно также,
что J=f для /?Ф и что если предположить g=g, h=h, то в обоих
рассмотренных случаях f=^f.
2.5. Рассмотрим для примера равносильности B.3) и B.7).
Докажем, что (ху)г=х(уг). Найдем значения переменных, для ко-
которых левая часть равна 1. Поскольку последняя операция — конъюнк-
*) Мы употребляем для отображений символ ={>, чтобы отли-
отличить его от символа импликации —»- в алгебре логики.
БЗ
ция, то для этого нужно, чтобы было ху=1, г—\, а значит, A, 1, 1) —
единственный набор, на котором (ху)г равна 1. Аналогично показывается,
что и правая часть равна 1 лишь на этом наборе.
Покажем теперь, 4Toxvyz=(x ,'y)(xvг). Найдем наборы перемен-
переменных, на которых эти формулы равны 0. Рассмотрим левую часть. По-
Поскольку последняя операция — дизъюнкция, то дчя этого нужно, чтобы
х=0, yz~0. Последнее будет иметь место, если у—О или z=0. В
правой части последняя операция — конъюнкция; поэтому нужно,
чтобы xvу или xvг равнялись нулю. В первом случае должны рав-
равняться нулю х к у, во втором случае хи г. Таким образом, условия
обращения в нуль левой и правой частей совпадают.
2.6. В силу B.6) имеем (xvy)(zV t)=(xvy)zv(xvy)t- В силу комму-
коммутативности конъюнкции можно вновь применить B.6) к (хУу)ги (xVy)t.
В силу ассоциативности дизъюнкции в получившейся формуле скобки
можно опустить.
2.7. Решение аналогично решению задачи 2.6, с той лишь разницей,
что вместо распределительного закона ,B-6) используется закон B.7).
2.8. а) В силу B.8) и B.1) имеем 'x~yV~z=xyz=(xv~y)z.
2.10. Решение мальчика не выполнено, если он не закончил чтение
книги или не сходил ни в музей, ни в кино, и, хотя была хорошая погода,
он не купался.
2.11. Простые высказывания:
х: «Мальчик в воскресение закончил чтение книги»,
у: «Мальчик в воскресенье сходил в музей»,
г: «Мальчик в воскресенье сходил в кино»,
t: «Мальчик в воскресенье пошел выкупаться на реку»,
и: «Была хорошая погода».
Вся фраза имеет вид x(yVz)(u—*t). Отрицание ее имеет вид xVyzVut.
Подставляя вместо переменных имеющиеся у нас простые высказыва-
высказывания, мы получаем приведенный выше ответ к задаче 2.10.
2.19. В примере 3) рассмотрим подалгебру из трех элементов:
¦J0, у , 1J- . Тогда -2=" и Y ' Y = ~2 ' T V "=Y ' ОдновРе-
менно мы показали, что в булевой алгебре может быть элемент, совпа-
совпадающий со своим отрицанием.
2.20. а) х\у отвечает ху\ хЬу отвечает xyVxy (т. е. альтернативная
дизъюнкция хАу—х~у (см. задачу 1.1)).
б) (*Д«/)Аг равно 1 тогда и только тогда, когда один и только один
из аргументов х, у, г равен 1. Отсюда следует ассоциативность альтерна-
альтернативной дизъюнкции, а значит, и симметрической разности.
2.21. Импликации отвечает дополнение разности х\у до всего
множества или объединение дополнения х (до всего множества) и под-
подмножества у; эквивалентности — дополнение симметрической разности
или объединение пересечений самих множеств (ху) и их дополнений
(х у); функциям Шеффера отвечает соответственно дополнение пересече-
пересечения или объединение дополнений (ху=хУу) и дополнение объединения
или пересечение дополнений (xvy~xy).
2-22. У алгебры, рассмотренной при решении задачи 2.19, нет ни
одного гомоморфизма в алгебру {0, 1}, так как в последней хфх.
2.25. Каждому элементу m регулярной алгебры Щ} ставится в соот-
соответствие подмножество множества Л1(ЭД1) ее гомоморфизмов в {0, 1},
при которых элемент m переходит в 1. Непосредственно проверяется,
54
что это — гомоморфизм в алгебру подмножеств множества Л1(Ш1).
Подалгебра, в которую ЯЛ переходит при этом гомоморфизме, изоморфна
алгебре Зл, так как различным элементам Ш1 отвечают различные под-
подмножества в силу существования разделяющих гомоморфизмов в {0, 1}.
2.27. Достаточно показать, что для любого такого подмножества М'
гомоморфизмов булевы операции те Hie, что и для уИEШ). Это следует из
того, что значение любого гомоморфизма ф?,И(9Л) на произвольном эле-
элементе х ?Ш1 однозначно определяется значениями гомоморфизмов if ? М'
на этом элементе (этими значениями однозначно характеризуется сам
элемент х, ср. решение задачи 2.25).
2.28. Достаточность условия следует из того, что функция хх тож-
тождественно равна нулю; поэтому все элементарные конъюнкции, а значит,
и вся ДНФ равны тождественно нулю.
Докажем необходимость. Пусть л:^1. . . х^—элементарная конъюнк-
конъюнкция, в которую никакая переменная не входит вместе со своим отрица-
отрицанием. Тогда можно рассмотреть набор значений переменных (ог с,,),
ибо хотя среди переменных могут быть совпадающие, одна и та же пере-
переменная или всюду входит сама, или всюду стоит ее отрицание. На этом
наборе рассматриваемая элементарная конъюнкция равна 1, а значит, и
вся ДНФ равна 1 (так как если в дизъюнкции один член равен 1, то
и вся дизъюнкция равна 1).
2.29. а) и г); в б) переменная хх входит один раз сама, другой раз
под знаком отрицания; в в) переменная х2 входит трижды: два раза сама
и один раз с отрицанием.
2.30. Первое решение. Полная правильная элементарная
конъюнкция х\г. . . х^п равна 1 на единственном наборе @Х, . . ., о„).
Дизъюнкция нескольких таких конъюнкций равна 1 на тех и только тех
наборах @! о,,), которые являются наборами показателей входя-
входящих в нее элементарных конъюнкций. Поэтому разложение B.14) —
единственно возможное, и разным СДНФ соответствуют разные функции.
Второе решение. Найдем число СДНФ от п i еременных
хъ . . ., хп. Каким-либо образом занумеруем полные правильные эле-
элементарные конъюнкции х^1. . . х^1. Их будет столько, сколько имеется
двоичных наборов из и элементов, т. е. 2" (задача 2.1). Каждой СДНФ
от хъ . . ., хп можно следующим взаимно однозначным образом поста-
поставить в соответствие набор из 2" нулей и единиц, отличный от нулевого.
На местах с номерами конъюнкций, входящих в СДНФ, поставим еди-
единицы, на остальных — нули. Нулевой набор при этом не получается,
так как он соответствовал бы пустой СДНФ. Итак, различных СДНФ
будет столько, сколько существует наборов длины 2", отличных от ну-
нулевого, т. е. 22 —1.
Функций от хъ . . ., хп, отличных от тождественного нуля, также
22"—1, а так как каждая из этих функций может быть представлена
СДНФ, то представление единственно. Это простое комбинаторное сооб-
соображение можно продумать на следующей схеме. Имеется N ящиков и
N шаров. В каждом ящике лежит по крайней мере один шар. Тогда в
каждом ящике лежит в точности один шар. Доказательство этого утверж-
утверждения совершенно очевидно. В нашем случае роль ящиков играют функ-
функции алгебры логики, роль шаров — СДНФ. Мы будем пользоваться этой
идеей и в дальнейшем.
2.31. Для доказательства равносильности B.16) нужно доказать
совпадение значений левой и правой части при любой фиксации пере-
переменных х1г . . ., хп; у\, . , ут- Вначале зафиксируем значения
55
Уи ¦ ¦ •> Ут- Тогда совпадение значений при фиксации оставшихся пе-
переменных следует из равносильности B.15).
Можно было бы также разложить / по всем переменным, а затем, ис-
используя дистрибутивный закон, произвести перегруппировку членов.
2.32. a) xyzvxyz VxyzVxyz;
б) xyzt V xyztv xy zt V xyzt V xyzt VxyztV xyzt Vxyzt'.
2.33. a) XVу — ДНФ.
б) Применяя процедуру 1), получаем xz(xvy). Теперь, применяя
равносильность B.6), получаем:
xzxvxzy.
в) На первом шаге получаем (xVy)(xvy)zt. Теперь, применяя B.6)
и задачу 2.6, получаем:
xxzt Vxyzt VyxztVyyzl.
2.34. а) В ДНФ xvУ все элементарные конъюнкции правильны,
поэтому сразу применяем правило 5): x(yvy)vy(xvx). Далее по-
получаем xyvxyvxyvxy. Теперь_из двух одинаковых конъюнкций ху
нужно оставить одну: xyvxyvxy.
б) Начинаем с_правила 4): xzvxyz. Первая конъюнкция непра-
неправильна: xz (yvy)Vxyz=xyzvxyzvxyz. Эта формула является СДНФ.
в) По правилу 4) получаем ДНФ: xyztvxyzt. Эта формула уже
является СДНФ. _
г) xVyz = x(yyy)(zVz)v(xVx)yz — xyzVxyzVxyzVxyzVxyzV
V xyz=xyz V xyz V xyz v xyz V xyz.
д) xyxzVxt — xt =x(yVy)(zV z) t = xyztvxyztVxyztVxylt.
e)_ xyvyztVxyzt = xy (z Vz) (t vl)V(xvlc)yztVxyzt = xyztVx~yztV
V xyz t V xyz tv xyzt v xyzt.
2.38. a) (xVyVz)(xVyVl)(xVyVz)(x'vyVz).
6) (xyyyzyt)(xVyyzVj)(xvyVz~vt)(xvyVzvT)(xv~yv'zvl) &
& (xVyvz Vt) (xvyVzVt) (xvyVzVt).
2.39. 1) Перейти к равносильной формуле, в которой имеются только
операции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, причем отрицания
стоят только над аргументами.
2) Преобразовать получившуюся формулу так, чтобы вначале вы-
выполнялись все дизъюнкции (использовать дистрибутивный закон B 7)
и задачу 2.7).
В результате мы получаем К.НФ.
3) Если имеется несколько одинаковых элементарных дизъюнкций,
то мы оставляем только одну.
В силу B.11) мы получаем равносильную формулу.
4) Преобразуем все элементарные дизъюнкции в правильные сле-
следующим образом:
а) Удаляем элементарные дизъюнкции, в которые какая-либо
переменная входит вместе со своим отрицанием.
б) Если в элементарную дизъюнкцию некоторая переменная входит
несколько раз одинаковым образом (или во всех случаях с отрицанием,
или во всех случаях без него), то мы оставляем только одно вхождение.
56
Мы используем в а) соотношение xVx=l, в б) — соотношение
B.10).
5) Если в элементарную дизъюнкцию x^V . . Vx1k не входит
некоторая переменная у, то мы добавляем дизъюнктивно член уу:
xf*V. Vx^kVyy; затем вновь применяем преобразование 2). Мы
воспользовались здесь тем, что уу=О, и соотношением B.13).
6) Вновь применяем преобразование 3).
2.40. а) XVу — СКНФ. _
б) Как и при решении задачи 2.33 вначале получаем xz(xVy) Это
уже К.НФ. Теперь будем строить СКНФ:
let (х V у) = (* V уу v zz) (хх V уу V г ) (х V у V zz ) =
= (x~VyVz) (xVyVz) (xVyV~z) (xv'yVz) (xvyvl) (xVyV~z)&
& (xVyvJ) (xvyvl) (xvyVz) (xvyvl) =
= (xvyvz) (xv'yVz) (xvyvz) (xvy vz) (xvyvl) (xvyvl).
в) (x V y) (y V z) (г v t) = (x v у V гг V ft) (xxv yv zvit) &
&(xx V yyV г v t) = (x\ yVZVt)(xVyVzvt)(xVyV z V t) &
& (x V у vl V t) (x V у V z V t) (x V у V z V t) (x V у V г vl) &
&(x V у V г V Г) (x V у V z V t) (x v у V z V t) (x V 1 V z V t) &
&(xV у V Z V t) = (xV yV ZV t){xV yV~z~V t)(xv у V Z V 7) &
&(x V yvzv t)(xVyVzVt)(xV yVzvT){xV ~y~VzVt) (xVyVZVt).
r) x(y V z) (x V у V z) = (* v yyV zz) (xxv yV~z)(xv yv z) =
= (x V у V г) (х V у V г) (х V у V г) (х V у V г) (х V у V г) &
& (Л V У V 1) (X V у V Z) = (X V у V Z) (X V yV Z)(XV yV Z) &
& (x V у V г) (х V у V z).
2.41. B.20): xV xy=\ тогда и только тогда, когда х=1. так
как если ху=>1, то х—\.
2.42. а) хуг V хуг V хуг V xyz = xy (z v И) V xyz V 7yz =
— ху V хуг V хуг=х (у v yz) V xyz = xy V xz v xyz =
=xy V z(xv ~xy)*=xy V xz V yz.
б) xV xyv yzV xz=x V yzv ~xz=x V z V yz=x V z.
в) (x V y){xyV z) V zV (x V у) (и v v) = (x V y) (xvy V z) V
V zv (x V y)(u V v) = (x V y)z V г V (x V y)(u v v) = (x v y) V г V
V (x V y) (u V v) ~=x V у V z.
§3. ЗАКОН ДВОЙСТВЕННОСТИ В АЛГЕБРЕ ЛОГИКИ
Мы говорили в конце п. 3§ 2 о двойственности, имеющей-
имеющейся в аксиоматике булевых алгебр, которая проявляется
в том, что на множестве Ш, наделенном структурой булевой
алгебры, можно ввести также структуру двойственной буле-
булевой алгебры Ш+. Между Ш и Ш+ имеется так называемый
канонический изоморфизм, причем 0 и 1 в одной алгебре
отвечают соответственно 1 и 0 в другой, а дизъюнкции (конъ-
(конъюнкции) в одной соответствует конъюнкция (дизъюнкция)
в другой. В этом параграфе мы выясним, как ведут себя бу-
булевы операции на регулярных булевых алгебрах при изо-
изоморфизме ЯН=>5Ш+ (п. 4 §2).
3.1. Доказать, что булева алгебра Щ+, двойственная
регулярной булевой алгебре Ш, регулярна. А
Пользуясь соответствием между булевыми операциями и
функциями алгебры логики, можно ограничиться рассмот-
рассмотрением последних, т. е. случаем двухэлементной алгебры
{0,1}.
Основным в этом параграфе будет понятие двойствен-
двойственных функций. Двойственная функция получается из исход-
исходной при замене значений всех переменных на противопо-
противоположные, т. е. всюду в истинностной таблице нужно заме-
заменить 0 на 1, а 1 на 0:
Определение 3.1. Функция f+{xu . . . , хп), двой-
двойственная к фу нкции / (*!, . . ., л:,,), определяется равенством:
f+ (v у \ f (~Y Г 1
/ (,Л1. • - ¦ » л„) — I \л1у • • • > лп>-
Определение 3.2. Функция, равносильная своей
двойственной, т. е. такая, что
Г/ \ f + / V V V \ i lv ~Y \
I \лгг • • • » лп/ — I \Л1< Л2> • • • > лп) / \Л1' • • • I лп)'
называется самодвойственной.
58
Итак, самодвойственная функция принимает на проти-
противоположных наборах (ссц, . . ., ап) и (alf . . ., ап) противо-
противоположные значения.
3.2. Построить функции, двойственные следующим функ-
функциям:
а) основным логическим операциям и константам 0,1;
б) функции от пяти переменных, равной 1, если четное
число переменных равно 1;
в) аналогичной функции от шести переменных.
Какие из этих функций являются самодвойствен-
самодвойственными? А
3.3. Показать, что функция xy\Jxz\/ijz является само-
самодвойственной. А
3.4. Найти все самодвойственные функции от двух пере-
переменных. А
3.5. Сколько имеется самодвойственных функций от
п переменных? ^
3.6. Дать определение несамодвойственной функций *).А
Теперь мы сформулируем
Закон двойственности. Функция, двойст-
двойственная суперпозиции некоторых функций, равносильна соот-
ветспщющей **) суперпозиции двойственных функций (см.
определение 2.3).
3.7. Доказать закон двойственности. А
Из закона двойственности следует, что суперпозиция
самодвойственных функций самодвойственна.
Закон двойственности удобен при нахождении двойст-
двойственных функций для функций, представленных формулами.
Можно, конечно, воспользоваться определением двойст-
двойственной функции и поставить отрицания над аргументами и
над всей формулой. Однако при этом из формулы, содер-
содержащей только дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, у
которой отрицания стоят только над аргументами, полу-
получается формула, не обладающая этим свойством. Если же
строить двойственную функцию при помощи закона двойст-
*) В этой задаче, как и во всех последующих задачах такого рода,
имеется в виду определение, в котором отрицания входят лишь в про-
простые высказывания.
**) Точное определение «соответствующей суперпозиции» дается
по иьдукции (см. решение задачи 3.7).
59
венности (заменить операции на двойственные, а именно,
конъюнкции дизъюнкциями и наоборот *)), то указанное
свойство сохраняется.
3.8. Для функций, двойственных указанным ниже,
построить представления формулами, у которых отрицания
стоят _только над аргументами: a) (x\Jyz)(xy\Jxz)\
б) (x\Jy)zt\jxt. А
Итак, если у нас имеется формула, содержащая только
конъюнкции, дизъюнкции и отрицания, то, заменяя всюду
конъюнкции дизъюнкциями и наоборот, мы придем к фор-
формуле, двойственной исходной. При применении этой про-
процедуры к равносильным формулам мы получаем равносиль-
равносильные формулы (непосредственно из определений следует,
что функции, двойственные равносильным функциям, рав-
равносильны). Часто под законом двойственности подразуме-
подразумевается именно это следствие из него. Оно действительно
очень важно и при его помощи можно из одних утверждений
алгебры логики получать другие. Например, из равносиль-
ностей B.2), B.3), B.6), B.8), B.10), B.20), B.22), B.23)
таким образом получаются B.4), B.5), B.7), B.9), B.11),
B.21), B.24), B.25), утверждение задачи 2.7 получается из
задачи 2.6. Таким же образом можно из свойств ДНФ и
СДНФ получать свойства КНФ и СКНФ.
3.9. Исходя из возможности разложить всякую функ-
функцию /, отличную от тождественного нуля, в СДНФ B.14),
показать возможность разложения всякой функции ср, от-
отличной от тождественной единицы, в СКНФ B.18). Ана-
Аналогично из B.15) получить B.19). А
Нам потребуются в дальнейшем некоторые результаты
о несамодвойственных функциях.
3.10. Дана произвольная несамодвойственная функция.
Отождествить у нее переменные так, чтобы получилась не-
несамодвойственная функция от возможно меньшего числа
переменных. Каким может быть это число? А
3.11. Доказать, что из произвольной несамодвойственной
функции и отрицания суперпозицией можно получить конс-
константы 0 и 1. А
*) См. решение задачи 3.2 (напомним, что (х)+=х).
60
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ § 3
3.1. Гомоморфизмы 5Ш+ в {0, 1} получаются композицией канони-
канонического изоморфизма 5Ш+ в Ш1 и гомоморфизмов 9Л в {О, 1} (т. е. сначала
9У1+ изоморфно отображается в 5Ш, а потом Ш1 гомоморфно отображается
в {0,1}). Непосредственно проверяется, что они разделяют элементы
fflt + , если этим свойством обладают гомоморфизмы Ш1 в {0, 1}.
3.5. Самодвойственная функция определяется своими значениями
на множестве наборов, содержащем по одному из каждой пары двойст-
двойственных наборов (на противоположном наборе функция должна прини-
принимать противоположное значение).
3.10. Всегда можно получить несамодвойственную функцию от
двух переменных. Дальнейшее уменьшение числа переменных, вообще
говоря, невозможно.
3.11. Можно ограничиться случаем двух переменных.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ К ЗАДАЧАМ § 3
3.2. а) 0+:1=1 (поскольку функция ни от каких аргументов не зави-
зависит существенно, надо поставить отрицание лишь на значение функции);
1+=0; (х)+ = х=х, т. е. х—самодвойственная функция; (ху)+ =
= xVy (см. B.9)); (xVy)+=xy (см. B.10)); (х->-у)+ =
— х V у = у-+ х; (х ~ у) + = х ~ у.
б), в) Функции, равные 0, если четное число переменных равно 0.
В примере б) это та же функция, что и исходная, т. е. данная функция
самодвойственна.
3.3. (ху V уг V xz)+ =ху V yz v хг = ху угхг = (х V у) (у V г) &
& (х V г) = ху V уг V xz. Мы воспользовались равенством B.21).
3.4. х, у, х, у~, т. е. все самодвойственные функции от двух перемен-
переменных существенно зависят от одной переменной.
3.5. 28"~'. Множество наборов, значения на которых определяют
самодвойственную функцию, содержит 2п~1 элементов (половина всех
наборов). Далее применяется уже использовавшийся ранее способ под-
подсчета числа функций (см. задачу 2.3).
3.6. Функция является несамодвойственной, если существует такой
набор (<*! «„), что /(<*!, . . .,an)=f(a1, . . .,ап).
3.7. Одновременно с решением этой задачи придадим точный
смысл словам «соответствующая суперпозиция двойственных функций».
Пусть мы рассматриваем суперпозиции функций из системы Ф. Функци-
Функциям ф^Ф ставим в соответствие двойственные функции <р+ (их совокуп-
совокупность обозначим через Ф+). Для них утверждение закона двойственности
тавтологично. Пусть для суперпозиций ранга k из системы Ф определены
соответствующие суперпозиции ф?Ф+<й>системы двойственных функций
Ф+ и доказана справедливость для них закона двойственности, т. е.
ф=»ф+ при ф?Ф(*>. Тогда суперпозициям
^i(*i Х/-1, У. *i+i *п) = ф(*1. ¦--. *(-1. У. xi+i. ••-. х„);
F2 (XU . ... X;-lt Xi + l, ... Хп; Уи ..., «//) =
!,..., Хп),
61
где <р(*! Xi-i.x;, xi+1, ., х„), МУ1 й)€ф(/г>> ставим в со-
соответствие суперпозиции
F1(xl, ...,*,_!, «/, x, + i, .... xn) = q(xl, ...,х(_!, у, х, + 1 хп);
Р\(хг х,_!, xi+1, .... хп; ylt .... yt) =
^ У1), xi+1, ..., xn),
где Ф, ij)?O+(ft>—соответствующие <р и -ф суперпозиции функций
из Ф+ (уже построенные по предположению индукции). Нужное
определение дано, остается проверить справедливость закона двойст-
двойственности. По индуктивному предположению <p = q>+, if = tjj+. Надо
показать, что Ft = FU F~? =F2- В силу определения 3.1 и индук-
индуктивного предположения
Fi(Xlt . , *,_!, у, Х; + 1, ..., Хп) =
..,Xi-lt у, Х, + 1 Х„) =
Ф+ (% *i-i. У. xi+u ..., хп)
F1(x1 х,-1г у, xi+l хп);
ylt .. , у/) =
lt .... у,), xi+1, ...,уп) —
i/j у,), xi+1, ...,дгя) =
(«/1. -••,«/«), Ж,Ч1. ---.*„)
= F2(x1, ...,xi-1,xi + 1,...,xn\ yl
3.8. Заменяем конъюнкции дизъюнкциями и наоборот, a) x(y\/z)V
V(xV«/)(xVz); б) (ja/Vzv7)(^vr).
3.9. Пусть ф(%, . . ., хп) не равна тождественно 1. Рассмотрим
ffa хп)—ц>+ (хх хп). Имеем: / не равна тождественно нулю.
Представим f(xlt . . ., хп) в СДНФ B.14). Перейдем в левой части к
двойственной функции, а в правой части заменим все конъюнкции дизъ-
дизъюнкциями и наоборот. Получаем:
f+ (%, ...,*„) = ?(%, ...,*„) =
x4'V...Vx°n».
<Р(О„. ., <7„) = 0
Мы получим представление ф в СКНФ.
Аналогично осуществляется переход от B.15) к B.19).
3.10. В решении задачи 3.6 дано определение несамодвойствеиной
функции. Пусть f(xt хп) — такая функция и для набора (alf ...
. .., an)
Разобьем переменные хъ . . ., хп на две группы. В первую включим те
переменные xiy для которых ос?=1, в другую — все остальные перемен-
переменные (для них а;=0). Отождествим между собой все переменные первой
62
группы (переименуем их в у{), а также все переменные второй группы
(подставим вместо них у2). Получим функцию от двух переменных
Ч>(У1> Уг) (она может оказаться функцией от одной переменной, если
(ах, . . .,ап) — единичный или нулевой набор).
Ясно, что
ФA,0) = /(«!, ...,«„); ф@, l)=f(al оу.
Поэтому
Ф(О, 1) = фA. 0),
а значит, ф(</1, у?) — несамодвойственная функция.
Может оказаться, что дальнейшее отождествление переменных с
сохранением несамодвойственности невозможно. Например, ху — не-
несамодвойственная функция, а единственно возможное отождествление
переменных приводит к самодвойственной функции х.
3.11. Заметим, что все несамодвойственные функции от одной пере-
переменной являются константами. В силу предыдущей задачи можно огра-
ограничиться случаем функций q>(x, у) от двух переменных.
Пусть _ _
ф(а, Р)=ф(«; Р).
Тогда рассмотрим функцию
Эта функция является суперпозицией <р(х, у) и х. Поскольку ав=р?=1,
Отождествим у ip(x, у) переменные х, у: t(x)==i)j(x, x). Имеем тA)=т@),
т. е. х(х) — константа. Подставляя эту константу в х, получаем другую
константу. Итак, мы представили в виде суперпозиции q>(x, у) и х обе
константы 0 и 1. Напомним, что константы являются несамодвойствен-
несамодвойственными функциями.
§ 4. АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ В АЛГЕБРЕ
логики
Конъюнкция ху в булевой алгебре {0, 1} совпадает с
арифметической операцией умножения над числами 0, 1.
Обычное арифметическое сложение выводит за пределы
множества {0, 1}, однако можно рассмотреть сложение по
модулю 2. В результате возникает функция алгебры логи-
логики, которую мы будем обозначать через х-\-у (не указывая,
что сложение проводится по модулю 2, ибо у нас будет встре-
встречаться только это сложение), задаваемая таблицей
X
1
0
1
1
у
1
1
0
1
х+у
0
1
1
0
Заметим, что х-\-у=х~у=хАу *). Для введенного сло-
сложения и умножения (конъюнкции) имеют место все основ-
основные арифметические законы: коммутативность, ассоциатив-
ассоциативность, дистрибутивность умножения относительно сложе-
сложения. Поэтому мы, специально не оговаривая этого, будем
использовать все обычные упрощения в записи арифмети-
арифметических выражений.
*) В теории множеств арифметическому сложению соответствует
симметрическая разность (задача 2.20). iMbi уже отмечали ассоциатив-
ассоциативность симметрической разности (задача 2.20,6)); ее коммутативность оче-
очевидна. Советуем продумать еще доказательство дистрибутивности пере-
пересечения относительно симметрической разности.
64
4.1. Представить х+у в виде СДНФ, СКНФ; найти
{х+у)+. А
Суперпозиции функций ху, х+у и констант в силу сде-
сделанного выше замечания можно считать «полиномами».
4.2. Доказать, что всякая функция алгебры логики мо-
может быть представлена арифметическим полиномом (по
модулю 2). А
Выберем канонический вид полинома. В силу B.11)
хп=х при /О=1; далее, х+х=0.
Определение 4.1. Полиномом Жегалкина назы-
называется полином, являющийся суммой константы и различ-
различных одночленов, в которые все переменные входят не выше,
чем в первой степени:
причем в каждом наборе (t\ ih) все ij различны, а сум-
суммирование ведется по некоторому множеству таких не сов-
совпадающих наборов.
Нам удобно включить формально в число одночленов и
константы.
Возможность преобразования произвольного арифмети-
арифметического полинома в полином Жегалкина следует из замеча-
замечаний, приведенных перед определением.
4.3. Представить полиномами Жегалкина: а) основные
логические операции; б) x\Jy\/z; в) xy\Jyz\Jxz\ г) xyz\l
\J xyz\J xyz\J xyz. A
4.4. Доказать, что представление функций полиномами
Жегалкина единственно. А
Определение 4.2..Функции вида xll+xis+. . •
.. . +xtk+a, где а — константа, называются линейными.
Линейные функции можно записывать в виде
D.1)
где щ, ае равны нулю или единице.
4.5. Сколько имеется линейных функций от п пере-
переменных? А
3 С. Г. Гиндикин 65
Заметим, что всякая функция от одной переменной ли-
линейна.
4.6. Какие из линейных функций являются самодвойст-
самодвойственными? А
Замечание. Для доказательства нелинейности функции до-
достаточно показать, что в представляющем ее полиноме Жегалкина есть
член выше первой степени. При этом существенна единственность
представления функций в виде полинома Жегалкина. Именно, непосред-
непосредственно строя отрицание высказывания, приведенного в определении
4.2, мы получаем, что для доказательства нелинейности функции нужно
доказать, что она не может быть представлена в виде D.1), а это следует
из нелинейности ее полинома Жегалкина в силу его единственности (так
как D.1) — полином Жегалкина).
4.7. Какие из функций задачи 4.3 линейны? А
4.8. Доказать, что функция, представленная полиномом
Жегалкина, существенно зависит от всех входящих в него
переменных. А
4.9. Показать, что следующее определение линейной
функции эквивалентно принятому выше. Функция линейна
тогда и только тогда, когда она после любой фиксации пере-
переменных продолжает существенно зависеть от всех незафик-
незафиксированных переменных (см. задачи 1.9, 1.10). А
4.10. Дана произвольная нелинейная функция. Нели-
Нелинейную функцию от какого минимального числа перемен-
переменных можно получить, отождествляя переменные данной
функции? А
4.11. Нелинейную функцию от какого минимального
числа переменных можно получить, строя суперпозиции
произвольной нелинейной функции и одной из констант? А
4.12.Имеется какая-то одна нелинейная функция от двух
переменных и отрицание. Доказать, что суперпозициями из
них можно получить все нелинейные функции от двух пере-
переменных. А
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ § 4
4.3. В б), в), г) использовать а); в в) можно упростить выкладки, ис-
используя б); в г) удобно использовать представления х+у и х+у-\-1
в СДНФ.
4.4. Первая возможность. Достаточно доказать, что
полином Жегалкина, содержащий хотя бы один одночлен, отличный от
константы 0, не равен тождественно нулю. Показать, что в таком поли-
полиноме не может быть членов первой степени; подставив затем вместо
некоторых переменных константы так, чтобы полином превратился в
конъюнкцию или ее отрицание, мы придем к противоречию.
66
Вторая возможность. Та же идея, что и при доказа-
доказательстве единственности представления функции в СДНФ (задача
2.30): найти число различных полиномов Жегалкина от п переменных
и сравнить с числом функций от п переменных.
4.5. 2"+1.
4.6. Функции, у которых нечетное число коэффициентов at (ij^O)
равно единице.
4.10. Можно получить нелинейную функцию от трех переменных
я, вообще говоря, нельзя от двух (привести пример). При доказатель-
доказательстве удобно использовать уже применявшуюся при решении предыду-
предыдущих задач группировку членов полинома Жегалкина относительно
какой-либо переменной (задачи 4.8, 4.9).
4.11. Можно получить нелинейную функцию от двух переменных.
4.12. Записать общий вид нелинейной функции от двух перемен-
переменных. Получить из нее при помощи отрицания, например, конъюнкцию.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ К ЗАДАЧАМ § 4
4.1. x-[-yyy (y)(y); (+y) +у+
4.2. Достаточно выразить при помощи арифметических операций
конъюнкцию и отрицание (задача 1.14). Но ху сама является арифмети-
арифметической операцией, а х=
4.3. а) ху = ху;
х+1; х -s- y=x V y = (
ху+х+\; х ~ у = х+у+\.
б) x\ry\jz = {xy+x+y)vz = {xy
= xyz+xy+xz+yz-t-x+y+z.
в) Используем предыдущий пример:
xyvyzvxz = х2у2г2+х у2г -f- x2yz + xyz2 -{-xy-j-yz + xz — \xyz + xy+
г) Заметим, что xyVxy=x-\-y (задача 4.1). Аналогично, xyvxy
x+y+\=x+y. Тогда
)=z (x-]-y)vz(x-\-y) =
4.4. Первое решение. Если бы некоторая функция была
двумя различными способами представлена полиномами Жегалкина,
то, приравнивая эти полиномы и перенося одночлены в одну часть (учи-
(учитывая, что —х=х, так как х+х=0), мы получили бы нетривиальный
полином Жегалкина, равный тождественно нулю. Итак, вопрос сводит-
сводится к единственности представления тождественного нуля полиномом
Жегалкина.
Предположим, что некоторый полином Жегалкина равен тождест-
тождественно нулю. Если функция равна тождественно нулю, то она сохраняет
это свойство при любом замещении некоторых переменных константами.
Пусть в полиноме имеется член первой степени Xj. Подставим вместо
всех переменных, кроме хг, нули. Получится Xj+o, где а — константа.
Эта функция не является тождественным нулем, поэтому исходный по-
полином не был тождественным нулем. Итак, в рассматриваемом полиноме
нет членов первой степени. Возьмем какой-либо одночлен минимальной
3* 67
степени (их может быть несколько), для определенности, х± х2 . . . х^
(этого можно добиться переименованием переменных). Подставим вместо
всех остальных переменных нули. Все одночлены, кроме выделенного,
будут содержать, по крайней мере, одну из этих переменных, а потому
обратятся в нуль. В результате получится полином х± . . . хц-\-а, не рав-
равный тождественно нулю. Итак, в исходном полиноме не могло быть одно-
одночленов выше нулевой степени.
Второе решение. Найдем число полиномов Жегалкина от п
переменных. Вначале подсчитаем число одночленов. Поставим в соот-
соответствие каждому одночлену двоичный набор длины п, в котором еди-
единицы стоят на тех местах, которые соответствуют номерам переменных,
входящих в одночлен. Нулевой набор поставим в соответствие константе
1. Возникающее соответствие взаимно однозначно. Поэтому различных
одночленов (включая 1) имеется 2". Занумеруем каким-либо образом од-
одночлены. Полиномам Жегалкина поставим в соответствие наборы длины
2", в которых единицами отмечены номера одночленов, содержащихся в
полиноме. Поэтому число различных полиномов Жегалкина (включая ну-
нулевой) равно 22 . Так как всякая функция алгебры логики может быть
представлена полиномом Жегалкина, а различных функций имеется 22
(задача 2.2), то представление единственно (ср. второе решение зада-
задачи 2.30).
4.5. Линейная функция определяется значениями коэффициентов
Oj и свободным членом а0. т- е. двоичным набором длины (п+1). Поэтому
число линейных функций равно 2n+1.
4.7. х, х~у, xyzVxyzVxyzVxyz.
4.8. Пусть хх— такая переменная. Сгруппируем члены, в которые
входит xlt и вынесем хх. Получаем
/(*!, .... xn) = x^(x2, .... хп) + у(х2, ¦¦¦<х„)*),
где функция ф не равна тождественно нулю, так как в противном случае
(в силу единственности полинома Жегалкина) х\ не входила бы в полином
для /. Возьмем значения переменных х2, . . ., хп, на которых <р равна 1.
Тогда значение / будет зависеть от значения хг.
4.9. Пусть мы имеем линейную функцию D.1). Переменные, стоя-
стоящие в D.1) с коэффициентами 1, являются в силу задачи 4.8 существен-
существенными. Если зафиксировать какие-либо переменные, то получится линей-
линейная функция, в которую не зафиксированные переменные будут входить
с теми же коэффициентами, что и в исходную функцию. Значит, сущест-
существенные переменные останутся существенными, и необходимость до-
доказана.
Теперь докажем достаточность. Пусть / — нелинейная функция;
рассмотрим ее полином Жегалкина, и пусть хх— переменная, входящая в
какой-либо член выше первой степени. Рассмотрим то же представление,
что и в предыдущей задаче. Функция ф в нем не равна тождественно ни
нулю, ни единице (иначе переменная хх не входила бы в члены выше пер-
первой степени). Подставим вместо х2, . . ., хп какой-либо набор, на кото-
котором функция ф равна нулю. В результате получится константа, которая
будет фиктивно зависеть от хг, хотя f зависела от хг существенно (за-
(задача 4.8).
*) Это разложение можно рассматривать как полином Жегалки-
Жегалкина по переменной хг (с коэффициентами, зависящими от остальных
переменных).
68
4.10. Пусть f(xu . . ., хп) — нелинейная функция, и пусть для опре-
определенности переменная х± входит в какой-либо одночлен выше первой
степени ее полинома Жегалкина. Как и в задачах 4.8 и 4.9, рассмотрим
разложение
;2, ..., хп).
Функция ф не равна тождественно ни нулю, ни единице (см. решение
задачи 4.9). Обозначим через а значение <р на нулевом наборе: <р@, . . .
...,0)=с. В силу сказанного выше найдется набор (а2,. . .,ап), некотором
ф принимает другое значение: ф(сс2, . . ., ап)=а. Разобьем переменные
.хг, . . ., хп на две группы. В первую включим те переменные, для кото-
которых аг=0, во вторую — те переменные, для которых аг=1. Отождествим
переменные в каждой из этих групп. Получим функцию ц>(ух, у%) такую,
чтоф@,0)=а, ф@, 1)=а. Аналогичное отождествление произведем у
функции /.
Далее,
Функция /будет нелинейной, так как ф не является тождественной кон-
константой, а потому х1 будет входить в некоторый член полинома Жегал-
Жегалкина для / выше первой степени (полином Жегалкина для J можно полу-
получить подстановкой полиномов для ср и гE). Итак, мы получили нелинейную
функцию от трех переменных.
Замечание 1. При рассмотрении функции ф мы могли начи-
начинать не с нулевого, а с единичного набора; существенно только, что в нем
все элементы равны.
Замечание 2. Мы фактически доказали, что необходимое и
достаточное условие нелинейности функции f(xu . . ., хп) — это наличие
такой переменной (допустим, х,), что
f(Xlt .... Хп) = Х1у (Х2, . . ., Хп)+Цр (Х2, ..., Хп),
где функция ф не является тождественной константой.
Теперь покажем, что, вообще говоря, нельзя отождествлением пере-
переменных получить нелинейную функцию от двух переменных. Рассмотрим
нелинейную функцию от трех переменных: хумyzVxz=xy-\-yz-)-xz (за-
(задача 4.3, в)). Она симметрична относительно всех трех переменных. Ото-
Отождествим для примера переменные х и у. Получаем xVxzVxz=x (см.
B.20)), т. е. линейную функцию. К аналогичному результату приводит
отождествление любых двух других переменных. Тем более не приводит
к цели отождествление всех трех переменных.
4.11. В тех же обозначениях, что и при решении предыдущей зада-
задачи, пусть у нас имеется еще константа 0 (если у нас имеется 1, то нужно
в 4.10 начинать с единичного набора; см. замечание 1 к решению этой
задачи).
Подставим вместо ух нуль:
7 to, о, </2)=х1Ф(о, уд+$(о, у2).
Пусть ф(#2)—ф@, </2)- Тогда <р(О)=а, фA)=а, т. е. ф не является констан-
константой, а значит, f(xit </2)=/(*ri> 0, у%)— нелинейная функция от двух пере-
переменных (замечание 2 к решению задачи 4.10). Дальнейшее уменьшение
числа переменных невозможно, так как нелинейных функций от мень-
меньшего числа переменных не бывает.
69
4.12. Общий вид нелинейной функции от двух переменных:
Получим вначале конъюнкцию ху. Избавимся от членов первой степени.
Допустим, что а= 1. Подставим тогда у вместо у:
q>(*. у)=
Поскольку се=1, то а+1=0 и член с х уничтожился. Существенно, что
коэффициент при у не изменился. Если Р= 1, то аналогично уничтожается
и член §у. После этих подстановок свободный член изменится. Если он
окажется равным 1, то нужно поставить отрицание над всей функцией.
В результате останется лишь член ху.
В общем случае переход от одной нелинейной функции от двух пере-
переменных к другой осуществляется аналогичным образом. Нам в даль-
дальнейшем будет достаточно рассмотренного случая.
§5. МОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ
Упорядочим множество {0,1}, полагая 0<1.
Поскольку нам придется иметь дело с функциями от не-
нескольких переменных, введем частичное упоря-
упорядочение двоичных наборов одной длины.
Определение 5.1. Пусть а = (аи . . ., ап) и р =
= (Pi. • ¦ •, Рп) —двоичные наборы. Мы будем говорить,
что а предшествует («младше») Р (обозначение: а-<Р),
если at ^ рг для всех i, причем по крайней мере для одного
i имеет место строгое неравенство. Будем писать а=^р\
если а-<р или наборы аир совпадают.
Это упорядочение является только частичным,
так как оно не позволяет сравнивать любые наборы.
Определение 5.2. Функция алгебры логики
/ (xlt . . ., хп) называется монотонной, если для всяких на-
наборов а = (аь . . ., а„) и Р = фи . . ., Р„) таких, что а-<Р,
имеем / (а„ . . ., а„)</ фи . . ., р„).
Отметим, что требование /(а)^/(Р) при а=<;Р равно-
равносильно нашему.
Удовлетворяющие сформулированному условию функ-
функции алгебры логики было бы естественно назвать «неубываю-
«неубывающими»; однако, поскольку мы не будем иметь дело с «невоз-
растающими» функциями *), мы будем называть эти функции
просто «монотонными».
5.1. Дать определение немонотонной функции. ^
5.2. а) Являются ли константы монотонными функ-
функциями?
б) Какие из основных логических операций являются
монотонными? ^
5 3. Какие из линейных функций являются монотон-
монотонными? ^
*) За двумя исключениями (задачи 5.8 н 6.Б).
71
5.4. Доказать, что монотонная функция, не сохраняю-
сохраняющая нуль (единицу), равна тождественно единице (нулю)
(см. задачу 2.3). ^
5.5. Перечислить все монотонные функции от двух пере-
переменных. ^
Во всех предыдущих случаях нам удавалось сравнительно легко
найти число функций из того или иного класса. Вопрос же о числе
монотонных функций от п переменных оказывается очень трудным. Он
не решен до сих пор; это число сосчитано лишь для конкретных неболь-
небольших п. Сравнительно хорошие оценки для числа монотонных функций
для общего случая были получены недавно [1].
5.6. Какие из указанных функций являются монотон-
монотонными: a) xy\Jxz\J' xz; б) х —- (х —>¦ у); в) х\/у~х\/у;
г) х\1у~ху; д) xy\j'x\J' xz; e) ху\/уг\/хг? ^
Мы переходим к формулировке основного свойства моно-
монотонных функций.
5.7. Доказать, что суперпозиция монотонных функций
монотонна. ^
5.8. Доказать, что суперпозиция монотонно убывающих
функций может не быть ни убывающей, ни даже невозрас-
тающей. ^
Задачи 5.7 и 5.8 объясняют, почему в алгебре логики не
рассматривают убывающих или невозрастающих функций.
Дело в том, что в алгебре логики обычно интересуются «на-
«наследственными» свойствами функций, т. е. свойствами, со-
сохраняющимися при суперпозиции.
Задача 5.7 позволяет легко убедиться в монотонности
широкого класса функций, представленных формулами.
Насколько упрощается часто доказательство монотонности,
читатель убедится, еще раз просмотрев задачу 5.6.
Из задачи 5.7 (а также 5.2), в частности, следует, что су-
суперпозиция конъюнкций и дизъюнкций всегда является
монотонной функцией. Оказывается верным и обратное
утверждение:
5.9. Доказать, что для монотонности функции, не явля-
являющейся тождественной константой, необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы она представлялась в виде суперпозиции конъ-
конъюнкций и дизъюнкций. ^
5.10. Доказать, что функция,.двойственная монотонной
функции, монотонна. ^
72
5.11. Доказать, что монотонными являются те и только
те функции, которые или являются константами или до-
допускают представление в КНФ и ДНФ, не содержащих
отрицаний. ^
Представление, монотонной функции в ДНФ и КНФ не
единственно. Мы построим сейчас канонические
представления.
Определение 5.3. Назовем ДНФ, не содержащую
отрицаний, правильной, если
а) она не содержит одинаковых элементарных конъюнк-
конъюнкций;
б) все входящие в нее элементарные конъюнкции пра-
правильны;
в) ни одна элементарная конъюнкция не поглоща-
е т другую, т. е. не содержит целиком переменных, входя-
входящих в другую конъюнкцию *).
5.12. Доказать, что монотонная функция представляется
в виде правильной ДНФ и что это представление единст-
единственно. ^
5.13. По аналогии с ДНФ дать определения правильной
КНФ и доказать единственность представления монотонной
функции в виде правильной КНФ. ^
Теперь докажем несколько свойств немонотонных
функций, аналогичных полученным в двух предыдущих
параграфах свойствам несамодвойственных и нелинейных
функций.
5.14. К какому наименьшему числу переменных можно
свести немонотонную функцию с сохранением немонотон-
немонотонности, отождествляя ее переменные? ^
5.15. Пусть имеется произвольная монотонная функция
и какая-либо одна из констант. Каково минимальное число
переменных, от которых может зависеть немонотонная
функция, являющаяся их суперпозицией? ^
5.16. Показать, что суперпозицией любой немонотонной
функции и констант можно получить отрицание. ^
*) Условие а) можно считать частным случаем условия в). Усло-
Условие в) означает, что правильная ДНФ не может быть упрощена при
помощи закона поглощения B.20).
73
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ § 5
Б.2. б) ху, xWy.
8.3. О, 1, х.
Б.5. О, 1, х, у, ху, XVу. Полезно иметь в виду, что если монотонная
функция от двух переменных не является константой, то она равняется
нулю на нулевом наборе, единице — иа единичном, а на двух других
наборах ее можно задавать произвольно.
5.6. В тех случаях, где это возможно, следует предварительно уп-
упростить формулы. Далее отметим, что если два набора сравнимы, то в
предшествующем наборе меньше единиц (это необходимое условие, но,
конечно, недостаточное). Для доказательства монотонности часто бывает
удобно рассмотреть множество наборов, на которых функция равна нулю
(или единице — в зависимости от того, каких наборов больше), показать,
что оставшиеся наборы нли несравнимы с рассматриваемыми, или больше
их (в двойственном случае меньше). Для доказательства немонотонности
достаточно рассмотрения пары наборов (см. задачу 5.1).
Ответ: а), г), д), е).
5.7. Доказывается индукцией по рангу суперпозиции.
5.9. Доказательство вести индукцией по числу переменных. Разло-
Разложить f(x\, . . ., хп) по последней переменной в СДНФ B.16):
f(xlt ...,xn-1,xn) = tp(x1, ..., х„-г)xnvty (xt, ....Xn-Jx»
и показать, что имеет место равносильность
/(*!, . .,*„_1,Х„) = ф(Х„ ...,*n_i)*n V4)(*i, ¦¦¦>Хп-1>-
5.10. Это утверждение можно доказать непосредственно, исходя из
определений двойственной и монотонной функций, но удобнее восполь-
воспользоваться задачей 5.9 н законом двойственности.
Б. 11. Непосредственное следствие из задачи 5.9 и алгоритмов пре-
преобразования формулы в ДНФ и КНФ (см. пп. 6, 7 § 2).
5.14. Можно получить немонотонную функцию от трех переменных
и, вообще говоря, нельзя от меньшего числа переменных (привести
пример).
Б. 15. Вообще говоря, от двух переменных.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ К ЗАДАЧАМ § 5
5.1. Функция f(xlt . . ., хп) является немонотонной, если~существует
такая пара наборов а и р, что а -< Р и »
/(«!,...,«„)>/$!, ,Р„).
5.2. а) Будут, так как для любых наборов /(а) = ДР).
б) ху монотонна, так как оиа равна 1 лишь на наборе A, 1), которому
предшествуют все остальные наборы;
xVy также монотонна, так как она равна 0 лишь на наборе @, 0),
который предшествует всем остальным наборам;
х немонотонна, так как при а = @), Р=A) имеем а-ф, но a>-f;
х-*у немонотонна: пусть а=@, 0), Р=A, 0), а-<Р; тогда @-»0)=
= 1>A-»0)=0;
х~у немонотонна, что ясно из рассмотрения наборов а=@, 0),
Р=A. 0).
5.3. Рассмотрим два случая.
а) Пусть свободный член равен 1 и линейная функция содержит хотя
бы одну существенную переменную. Тогда из сопоставления нулевого
74
набора и набора, содержащего ровно одну единицу на месте, соответст-
соответствующем существенной переменной, следует немонотонность функции.
Остается лишь случай константы 1.
б) Если свободный член равен 0 и линейная функция содержит, по
крайней мере, два существенных аргумента, то немонотонность следует
из рассмотрения набора, заметающего единицей только эти два аргу-
аргумента, и набора, замещающего единицей только какой-то из них. Остают-
Остаются функции 0 и х.
5.4. Поскольку нулевой набор младше остальных, из равенства на
нем монотонной функции единице следует ее тождественное равенство
единице (на остальных наборах она не может быть меньше). Аналогично
рассматривается двойственный случай.
5.5. Если исключить случай констант, то монотонная функция
f(x, у) равна 0 на нулевом наборе и 1 на единичном. Два других набора
(О, 1) и A, 0) следуют за нулевым, предшествуют единичному, а между
собой несравнимы. Поэтому на них можно задавать любые значения
функции, не нарушая монотонности. Всего задавать эти значения можно
четырьмя способами, так что можно указать четыре монотонные функции
от двух переменных, не являющиеся константами: х, у, ху и хуу.
5.6. а) Упростим формулу: xyVxzVхг—хуУ г. Эта функция равна
нулю на наборах @, 0, 0), @, 1, 0), A, 0, 0). Все оставшиеся наборы,
исключая @, 0, 1), содержат ие менее двух единиц, а значит, они могут
быть только больше. Набор @, 0, 1)>-@, 0, 0), а с остальными двумя
он не сравним. Значит, рассматриваемая функция монотонна.
б) Функция немонотонна; сравнить значения функции на наборах
(о,онA,о).
в) Сравнивая значения на наборах @,0)-<A, 0), получаем,
что функция немонотонна.
г) xVy~xy — тождественная единица, так как xVy=xy.
д) хууxWxz^x\J г — монотонная функция (задача 5.2).
е) Функция монотонна, так как она равна нулю на наборах, содер-
содержащих менее двух единиц, а остальные наборы могут быть только
больше.
5.7. Пусть имеется система монотонных функцийФ. Нужно доказать
монотонность функций, являющихся суперпозициями функций из Ф.
Для суперпозиций ранга нуль, т. е. для функций из Ф, это утверж-
утверждение согласно условию верно. Пусть оно доказано для суперпозиций
ранга к. Докажем его справедливость для суперпозиций ранга k-\-\.
Пусть ф(хь . . ., хп), ^(ylt . . ., уд^Ф1^. Надо показать (см. определе-
определение 2.3), что функции
<p(xlt ...,х,_г, у, х,-+1 xk);
F(xlt ...,*,_!, xi+u ...,*„; У! у,) =
yj),
монотонны. Напомним, что у, у; могут, в частности, совпадать с какими-
то из переменных Xj. Монотонность первой из функций следует из моно-
монотонности ф по определению. Докажем монотонность F. Рассмотрим два
сравнимых набора значений ее аргументов:
pp.
75
Пусть y'-<y". Покажем, что F(y'XF(у"). Имеем:
F(Y') = <pF'), где 6Л=а} при / ф i, b'.
F(y")--~q>F"), где б'/ = d\ при ^ t, 6/=i|)(P").
Поскольку г|) — монотонная функция, а из у'-<у" следует Р'^Р", имеем
6'=^6", т. е. ф(б')=^(у')<ф(^")=^(?")> так какФ—монотонная функция.
Поскольку в одном из двух указанных видов представляется любая
функция изФ( +1), доказательство окончено.
Б.8. Отрицание"*: — монотонно убывающая функция. Ее суперпо-
суперпозиция с собой х=^х монотонно возрастает.
Б.9. Достаточность уже доказана; необходимость будем .доказывать
индукцией по числу переменных. Можно начинать с п=0, когда имеются
лишь константы; для п= 1 добавляется еще х=хух. Пусть доказываемое
утверждение справедливо для монотонных функций от (п—1) перемен-
переменных. Докажем его для функций от п переменных. Пусть f(xlt . . ., хп-±,
хп) — монотонная функция от п переменных. Разложим ее в СДНФ по
последней переменной:
.... Xn-t)Xn V Я|)(*1. ••¦¦ Xn-Jxm
где
<p(xlt .... xn-1) = f(x1 х„-1г 1), ty(*i> •¦¦,х„-1) =
= f(xlt .... хп-и 0).
Функции ф и яр монотонны, так как они являются суперпозициями
монотонной функции / и констант, являющихся монотонными функциями
(см. задачу 5.7). Покажем, что имеет место представление:
Xn^t). E.1)
Нужно доказать равносильность
*«Ф V xnty = xnq> V яр.
Сравним множество наборов, на которых обращаются в нуль левая и
правая части. Если на некотором наборе a^Oj, . . ., ап_ь ап) обрати-
обратилась в нуль правая часть, тоа„ф(а1(. . ., а„_!)=0 и яКо^, . . .,ал_1)=0;
значит, и ajityfa, . . .,an_1)=0, т. е. и левая часть равна нулю. Пусть
теперь на наборе a=(at «n-i. an) равна нулю левая часть. Тогда
ovp(ab . . ., an_1)=0. Далее, f(at an_ban)=0, поэтому i|> (alf . . .
¦ • •. a«-i)=/(«i «n-i. 0)=0, так как (at an_lF an)^=(a1, . . .
.. ., an_b 0). В результате правая часть равна нулю и представление
E.1) для монотонных функций доказано.
Докажем теперь представимость / в виде суперпозиции дизъюнкций
и конъюнкций, предполагая, что / не является константой. Предполо-
Предположим сначала, что ф и я|з тоже не являются константами. Тогда, поскольку
они монотонны и зависят от (п—1) переменных, по предположению ин-
индукции их можно считать суперпозициями дизъюнкций и конъюнкций.
Из E.1) следует, что тогда этим же свойством обладает и функция f.
Теперь рассмотрим случаи, когда одна или обе функции ф и яр яв-
являются константами. Заметим, что
Поэтому, если ф — тождественный нуль, точ|з и / — тождественные нули;
76
если i]3=l *)• то f=l- Если я|з=О, а ф=1, то f(xt xn)=xn. Если же
¦ф=0, а ф(^1, . • -, *n-i) не является константой, илиф=1, а фСхх, . . .
..., х„-г) не является константой, то из предположения индукции и
E.1) немедленно следует доказываемый результат.
Мы советуем читателю провести доказательство, используя двойст-
двойственные формулы. В частности, доказать равносильность, двойствен-
двойственную E.1):
xn_i), E.2)
где / — монотонная функция, а ф(л:17 . . ., xn-1)=f(x1 xn-lt 0),
ч]з (лгх xn-1)=f(x1, . . ., хп-ъ 1). Равенство E.2) стоит доказать как
непосредственно, так и вывести из E.1) при помощи закона двойствен-
двойственности.
5.10. Воспользуемся второй идеей, упомянутой в указании. По-
Поскольку константы двойственны друг другу, можно ограничиться случа-
случаем монотонной функции, отличной от константы. В силу задачи 5.9 ее
можно представить в виде суперпозиции конъюнкций и дизъюнкций.
Для получения двойственной функции по закону двойственности нужно
заменить конъюнкции дизъюнкциями и наоборот, а значит, в силу задачи
5.7 вновь получится монотонная функция.
5.12. Возьмем две равносильные правильные ДНФ. Докажем, что
они совпадают. Пусть х^. . . х[к— любая элементарная конъюнкция,
входящая в первую ДНФ. Достаточно доказать, что она входит во вто-
вторую. Подставим вместо всех переменных, кроме входящих в эту конъюнк-
конъюнкцию, нули. Тогда все конъюнкции в обеих ДНФ, имеющие не меньшую
степень, чем выбранная, обратятся в нуль, так как в них обязательно
найдутся переменные, не входящие в эту конъюнкцию. В первой ДНФ
обратятся в нуль и все остальные конъюнкции, так как иначе они погло-
поглощались бы выбранной конъюнкцией (согласно в) определения 5.3).
Если бы во второй ДНФ не было конъюнкции Х1}. . . xt , то все оставшие-
оставшиеся после подстановки члены имели бы меньшую степень и поглощались
бы ей. Возьмем какую-нибудь из этих конъюнкций и подставим вместо
входящих в нее переменных единицы, а вместо остальных переменных
нули. Тогда первая ДНФ обратится в нуль, а вторая будет равняться
единице.
5.13. В правильную КНФ входят различные правильные дизъюнк-
дизъюнкции, не поглощающие друг друга.
5.14. Пусть f(xlt . . ., хп) —• немонотонная функция и наборы а=
=(«i anKP=(Pi Pn) таковы, что
f(alt .... «„)>/$! Р„).
т. е.
/(О!, ...,а„) = 1; /(Pl ., р„) = 0.
Разобьем переменные xlt . . ., хп на три группы. В первую включим та-
такие переменные хг, чтоа{=0, Р#=>= 1; во вторую — такие х-,, чтоаг=Р(=
=0; в третью — такие xi, что аг=рг=1. Поскольку а-^р, то не может
быть, чтобы аг= 1, Рг=О. Отождествим переменные внутри каждой из
этих групп (подставим вместо них переменные уг, у2, у$ соответственно).
Получим немонотонную функцию от трех переменных <р (у1г у2, {/$)'¦
Ф@. 0, 1)=1; фA,0, 1)=0.
*) Напомним, что равенство функций всюду понимается как тож-
тождественное (см. стр. 32).
77
Дальнейшее уменьшение числа переменных может быть невозмож-
невозможно, как показывает пример немонотонной функции от трех переменных
х-\-у-\-г. Любое отождествление переменных приводит к функции от од-
одной переменной, совпадающей с аргументом (например, х), которая моно-
монотонна.
5.15. Пусть у нас имеется, например, константа 0. Сделаем в ф(ух,
у2, ув) подстановку у2=0. Получим немонотонную функцию от двух пе-
переменных. Число переменных, вообще говоря, нельзя уменьшить, как
показывает пример функции х-\-у.
Аналогично рассматривается случай константы 1. В этом случае
нельзя уменьшить число переменных у функции х-\-у-\-\.
5.16. Подставим #s=0, у3=1 в аргументы функции ф(уь у2, Уа),
введенной при решении задачи 5.14. Получится уг.
§ 6. ФУНКЦИОНАЛЬНО ЗАМКНУТЫЕ КЛАССЫ
И ТЕОРЕМА ПОСТА
Среди рассмотренных нами вопросов одними из наибо-
наиболее важных были вопросы о представимости функций алгеб-
алгебры логики в том или ином виде (ДНФ, КНФ, полиномы
Жегалкина). Всякий раз фактически речь шла о возмож-
возможности представить функции алгебры логики в виде суперпо-
суперпозиций некоторого фиксированного множества функций
(определение 2.3). Общая проблема ставится следующим
образом:
Имеется некоторая система Ф функций алгебры логики
фи ¦ • ¦. Фь*)- Для всякой ли функции алгебры логики
существует равносильная ей суперпозиция функций из
системы Ф **)?
Определение 6.1. Система функций Ф={ф1, . . .
. . ., cpft} называется полной, если всякая функция алгебры
логики представима посредством суперпозиций функций из
системы Ф.
Из представимости функций в виде СДНФ следует пол-
полнота системы функций {ху, х\/у, х}. Случай тождественного
нуля не приводит к ограничениям, поскольку 0=хх.
6.1. С полнотой какой системы функций связана предста-
представимость функций полиномами Жегалкина? ^
*) Для простоты мы рассматриваем конечные системы функций,
хотя, как будет видно из дальнейшего, это не существенно.
**) В силу результатов п. 4 § 2 этот вопрос соответствующим обра-
образом интерпретируется для булевых операций на любой регулярной бу-
булевой алгебре. Например, для алгебры множеств вопрос ставится так:
через какие теоретико-множественные операции выражаются все такие
операции? Рекомендуем перевести иа язык теории множеств примеры
задачи 6.2.
79
6.2. Доказать полноту следующих систем функций:
а) ху, х; б) х\/ у, х; в) ху, х+у, 1; г) х V у, д) Щ
и) х+у, x\J у, 1; ж) x+y+z, ху, О, 1; з) х—+у, х;
е) х—*у, 0. ^
6.3. Доказать, что если некоторая система функций
Ф={ф1. • • •, 4>h) полна, то и система двойственных функций
Ф+={ср1, . . ., ц>%} полна. ^
6.4. Показать, что нижеследующие системы функций
не являются полными: а) х, 1; б) ху, х\/ у; в) х+у, х;
г) xy\J yz\J xz, х; д) xy\J yz\J xz, 0, 1. ^
Анализ решения задачи 6.4 выявляет следующую идею
доказательства неполноты системы функций Ф. Нуж-
Нужно найти какое-либо свойство, которое сохраняется при
суперпозиции («наследственное» свойство) и ко-
которым обладают все функции системы Ф, хотя не все функ-
функции алгебры логики им обладают. Действительно, тогда
функцию, не обладающую этим наследственным свойством,
нельзя представить в виде суперпозиции функций из Ф.
При исследовании наследственных свойств функций удоб-
удобно пользоваться понятием функционально замкнутого
класса.
Определение 6.2. Всякая совокупность Т функ-
функций алгебры логики, замкнутая относительно суперпозиции
(т. е. такая, что суперпозиция функций из Т снова принад-
принадлежит Т), назьюается функционально замкнутым классом.
Очевидно, что совокупность функций, обладающих
каким-либо наследственным свойством, является функцио-
функционально замкнутым классом и, обратно, свойство принадле-
принадлежать какому-либо функционально замкнутому классу яв-
является наследственным. Другими словами, эти понятия
сводятся одно к другому.
6.5. Какие из указанных ниже систем функций являются
функционально замкнутыми классами:
а) функции от одной переменной;
б) функции от двух переменных;
в) все функции алгебры логики;
г) линейные функции;
д) самодвойственные функции;
е) монотонные функции;
ж) монотонно убывающие функции;
з) функции, сохраняющие нуль (см. задачу 2.3);
80
и) функции, сохраняющие единицу;
к) функции, сохраняющие и нуль, и единицу;
л) функции, сохраняющие нуль, но не сохраняющие
единицу? А
6.6. 1) Доказать, что пересечение функционально замк-
замкнутых классов — функционально замкнутый класс.
2) Доказать, что совокупность функций, двойственных
функциям из функционально замкнутого класса, образует
функционально замкнутый класс (двойственный класс). ^
6.7. Является ли объединение функционально замкну-
замкнутых классов функционально замкнутым классом? ^
Определение 6.3. Функционально замкнутые
классы, отличные от пустого класса и от 'совокупности всех
функций алгебры логики, называются собственными функ-
функционально замкнутыми классами.
6.8. Доказать, что дополнение собственного функцио-
функционально замкнутого класса (совокупность функций, в него
не входящих) не может быть функционально замкнутым
классом. ^
Определение 6.4. Минимальная полная система
функций (т. е. такая полная система функций, удаление
из которой любой функции делает систему неполной) назы-
называется базисом. «
6.9. Показать, что полные системы из задачи 6.2 яв-
являются базисами. А
Итак, для полноты системы функций необходимо, что-
чтобы для всякого собственного функционально замкнутого
класса в ней нашлась функция, не входящая в этот класс.
Легко заметить, что это условие является также и доста-
достаточным.
6.10. Доказать, что для полноты системы функций Ф
необходимо и достаточно, чтобы для всякого функционально
замкнутого класса, не совпадающего с множеством всех
функций, в Ф нашлась функция, не принадлежащая этому
классу. ^
81
Трудно ожидать, что утверждение задачи 6.10 можно
использовать в качестве критерия полноты системы функ-
функций, т*ак как для этого потребовалось бы перебрать все
функционально замкнутые классы. Хотя оказывается, что
множество классов вполне обозримо (см. подробнее об этом
в следующем параграфе), для решения вопроса о полноте
нет необходимости в переборе всех классов. Оказывается,
что можно ограничиться максимальными функционально
замкнутыми классами.
Определение 6.5. Собственный функционально
замкнутый класс называется предполным, если он не со-
содержится ни в каком функционально замкнутом классе,
отличном от самого себя и от класса всех функций алгебры
логики.
6.11. Пусть известно, что всякий собственный функцио-
функционально замкнутый класс содержится в некотором предпол-
ном *). Доказать, что для полноты системы функций Ф
необходимо и достаточно, чтобы для всякого предполного
класса в Ф нашлась функция, в него не входящая. ^
Оказывается, что все предполные классы легко перечис-
перечисляются. Ими являются:
Ро— класс функций, сохраняющих нуль; Pj— класс
функций, сохраняющих единицу; L — класс линейных
функций; М — класс монотонных функций; S — класс
самодвойственных функций.
Нам удобнее доказывать не предполноту этих классов, а
непосредственно критерий полноты, который получается из
этого факта и задачи 6.11. Напротив, исходя из критерия
полноты, мы докажем предполноту классов Р„, Рь L, M, S
и то, что всякий собственный функционально замкнутый
класс содержится в одном из них.
Вначале докажем одно вспомогательное утверждение:
6.12. Доказать, что отождествлением переменных из
всякой функции, не сохраняющей нуль (единицу), можно
*) Это утверждение будет доказано в дальнейшем (задача 6.18).
В принципе могла бы существовать бесконечная последовательность
расширяющихся функционально замкнутых классов, не содержащая-
содержащаяся целиком ни в одном собственном функционально замкнутом
классе.
82
получить функцию от одной переменной, обладающую
этим же свойством, т. е. х или 1 (соответственно х или 0). ^
Теперь сформулируем критерий полноты.
6.13. Доказать теорему Поста: для полноты системы
функций Ф={ф1, . ., ф„} необходимо и достаточно, чтобы
для каждого из классов Ро, Ри L, M, S в Ф нашлась функция
(pit ему не принадлежащая. ^
При проверке, выполняются ли для некоторой системы
функций Ф={ф1, ..., фа} условия теоремы Поста, мы будем
составлять таблицы, которые назовем таблицами По-
Поста. Они будут иметь вид:
ф1
ф2
фй-1
Фа
Ро
р.
s
L
М
В клетках таблицы Поста ставится плюс или минус, в за-
зависимости от того, входит функция, стоящая в данной стро-
строке, в класс, стоящий в данном столбце, или не входит. Для
полноты системы функций необходимо и достаточно (в силу
теоремы Поста), чтобы в каждом столбце стоял бы хотя один
минус.
6.14. Решить задачу 6.2, используя теорему Поста. ^
6.15. Исходя из теоремы Поста, сформулировать крите-
критерий неполноты системы функций. ^
6.16. Показать неполноту следующих систем функций
и сделать выводы о существенности условий теоремы Поста:
а) 0, ху, x+y+z; б) 1, ху, х-\-у-\-г; в) xy\J xz\J yz;
г) 0, 1, х+у; д) 0, 1, ху. А
6.17. Доказать, что ни один из классов Р„, Рь S, L,
М не содержится в другом. А
6.18. Доказать, что всякий собственный функционально
замкнутый класс содержится в одном из классов Ро, Рц
S, L, М. ^
83
6.19. Доказать, что функционально замкнутые классы
Ро, Рь S, L, М являются предполными и других предпол-
ных классов нет. ^
Ясно, что теорема Поста позволяет выяснить вопрос о
том, является ли полная система базисом. Это опять-таки
удобно делать при помощи таблиц Поста.
Сейчас мы сделаем некоторые общие замечания о бази-
базисах, следующие из теоремы Поста. Начнем с наиболее
простого:
6.20. Доказать, что базис не может содержать более
пяти функций. ^
На самом деле имеет место более точный результат.
6.21. Доказать, что базис не может содержать более
четырех функций. ^
В силу задач 6.2 и 6.9 существуют базисы с любым числом
функций, не превосходящим четырех.
6.22. Доказать, что из всякого базиса можно отождест-
отождествлением аргументов у входящих в него функций получить
базис, в котором все функции зависят не более чем от трех
переменных; дальнейшее уменьшение числа переменных,
вообще говоря, невозможно. А
Определение 6.6. Если при любом отождествле-
отождествлении переменных у всякой функции базиса мы получаем
неполную систему, то базис называется минимальным.
6.23. Доказать, что имеется конечное число различных
минимальных базисов. А
Оказывается, что это число равно 48. Все минимальные
базисы перечислены [1]. Некоторые из них будут найдены
ниже.
Теперь мы исследуем некоторые специальные типы
базисов. Начнем с базисов, состоящих из одной функ-
функции.
Определение 6.7. Функция алгебры логики, пред-
представляющая собой базис из одного элемента, называется
обобщенной функцией Шеффера.
84
6.24. Сколько имеется обобщенных функций Шеффера
от п переменных? ^
6.25. Найти все минимальные базисы из одной функ-
функции. ^
Теперь, напротив, рассмотрим базисы, содержащие
максимально возможное число функций.
6.26. Какой может быть таблица Поста для базиса
из четырех функций? А
6.27. Найти все минимальные базисы из четырех функ-
функций. ^
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ § 6
6.3. Воспользоваться законом двойственности.
6.4. Использовать задачи 3.6 (закон двойственности), 5.7 и анало-
аналогичные соображения.
6.5. а), в), г), д), е), з), и), к).
6.6. 2) Следует из закона двойственности.
6.7. Нет.
6.8. В этом дополнении содержатся функции Шеффера (задача
6.2, г), Я).
6.10. Полнота системы функций Ф равносильна тому, что порождае-
порождаемый этой системой функционально замкнутый класс(минимальный класс,
ее содержащий) совпадает с множеством всех функций.
6.13. Отождествляя переменные, упростить функции изФ с тем, что-
чтобы они по-прежнему удовлетворяли условиям теоремы Поста. Доказать,
что суперпозициями из них можно получить константы, отрицание и
конъюнкцию. Воспользоваться задачами 6.12, 3.11, 5.16, 4.11,
4.12.
6.14. Стоит посмотреть в предыдущих параграфах (§§ 3—5), как
выясняется, принадлежит ли данная функция классам S, L, М. Случаи
Ро и Pi тривиальны. Напомним, в частности, что функция линейна или
нелинейна в зависимости от того, есть в ее полиноме Жегалкина члены
выше первой степени или нет (см. замечание, следующее после зада-
задачи 4.6).
Часто бывает полезно помнить о связях между функционально замк-
замкнутыми классами. Например, среди линейных функций монотонны лишь
0, 1, х (задача 5.3); самодвойственны функции с нечетным числом пере-
переменных (задача 4.6); сохраняют нуль функции, у которых свободный
член — нуль; сохраняют единицу функции от четного числа переменных,
если их свободный член — нуль, и функции от нечетного числа перемен-
переменных, если их свободный член — единица. Все монотонные функции, кро-
кроме соответствующих констант, принадлежат Ро и Р1 (задача 5.4).
6.16. Напомним, что условие теоремы называется существенным,
если его отбрасывание делает теорему несправедливой. Условие может
быть несущественным по разным причинам: оно может не иметь отноше-
отношения к факту, о котором идет речь в теореме, или быть следствием осталь-
остальных условий (условия теоремы не являются независимыми). Существен-
Существенные условия иногда путают с необходимыми.
85
6.18. Доказывать от противного, используя теорему Поста.
6.19. Следует из задач 6.17, 6.18.
6.21. Функция, не сохраняющая нуль, является или немонотонной
или несамодвойственной.
6.24. 2" —2 . Обобщенными функциями Шеффера являют-
являются несамодвойственные функции, не сохраняющие нуля и единицы.
6.25. От в ет. ху, xvy. Использовать предыдущую задачу.
6.26.
ф!=1
ф4
+
+
Р,
+
S
—
±
L
—
м
+
6.27. О, 1, х-{-у+г, ху\ 0, 1, х+у+г, xVy; 0, 1, х+у+г,
ху+уг+хг.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ К ЗАДАЧАМ § 6
6.1. ху, х+у, 1.
6.2. а), б) см. задачу 1.14; в) см. задачу 6.1; г), д) см. задачу 1.16
(эти функции называются функциями Шеффера); е) XV у=ху+х+у,
поэтому XV у+(х+у)=ху (см. в)); ж) х+у+0=х+у, а х+у, ху, 1 — пол-
полная система (см. в)); з) x-+y=xvy, a xvy, x — полная система; и) *-»
-»0=лГ(см. з)).
6.3. Если нам нужно представить некоторую функцию f в виде
суперпозиции функций из Ф+, то представим вначале двойственную
функцию f+ суперпозицией функций из Ф, а затем, переходя по закону
двойственности к суперпозиции двойственных функций, получим иско-
искомую суперпозицию.
6.4. а) Суперпозицией функций от одной переменной нельзя полу-
получить функции от большего числа переменных.
б) Обе функции монотонны; значит, любая их суперпозиция в силу
задачи 5.7 монотонна и нельзя получить ни одной немонотонной функции
(например, х).
в) Обе функции линейны, а поэтому, как легко заметить, и все их
суперпозиции линейны.
г) Обе функции самодвойственны, а поэтому в силу следствия из за-
закона двойственности их суперпозиция самодвойственна.
д) Все функции монотонны.
6.5. б) xv(yvz) —функция от трех переменных, являющаяся су-
суперпозицией дизъюнкции; д) следует из закона двойственности; е) см.
задачу 5.7; ж) см. задачу 5.8. з) Воспользуемся обозначениями, приняты-
принятыми при решении задачи 5.7. Подставим в F нулевой набор. Поскольку ч]>
сохраняет нуль, то при этом в ф подставляется нулевой набор, а так как
Ф также сохраняет нуль, то получаем, что и F сохраняет нуль, и) Анало-
Аналогично з). л) х+у обладает этим свойством, а х-\-{у-\-г) сохраняет единицу.
86
6.7. Возьмем классы функций, сохраняющих нуль и сохраняющих
единицу. Их объединение состоит из функций, которые сохраняют нуль
или единицу. Ему принадлежат, в частности, функции ху (сохраняющая
нуль) и 1 (сохраняющая 1). Подставляя I в ху вместо х, мы получаем у,
которая не сохраняет ни нуля, ни единицы.
6.8. Если функционально замкнутый класс содержит одну из функ-
функций Шеффера (задача 6.2, г), д)), то он совпадает с классом всех функций
алгебры логики. Поскольку данный нам функционально замкнутый
класс — собственный, функции Шеффера должны содержаться в допол-
дополнении к нему. Но тогда это дополнение не может быть функционально
замкнутым классом, так как тогда оно совпадало бы с множеством
всех функций, и исходный класс был бы пустым, а значит, несобст-
несобственным.
6.9. а) ху — монотонная функция; х — функция от одной перемен-
переменной (а также линейная и самодвойственная), т. е. эти системы неполны,
б) Аналогично а), в) ху, I — монотонные функции, сохраняющие 1,
х-]-у, 1 — линейные функции, ху, х-\-у сохраняют нуль, е) Аналогично
в), ж) ху, 0, 1 — монотонные функции, х-\-у-\-г, 0, 1 — линейные функ-
функции, х-\-у-\-г, ху, 0 сохраняют нуль, х-\-у-\-г, ху, 1 сохраняют единицу,
з) х—>у сохраняет единицу, х аналогично а), и) х—*у сохраняет едини-
единицу, 0 — константа.
6.10. О необходимости мы уже говорили (в противном случае все
функции из Ф принадлежали бы какому-то собственному функциональ-
функционально замкнутому классу, и ему же принадлежали бы все их суперпозиции).
Теперь докажем достаточность. Пусть система Ф обладает указан-
указанным в условии задачи свойством. Совокупность функций, являющихся
суперпозициями функций из Ф, является, очевидно, функционально
замкнутым классом (заметим, что это — наименьший функционально
замкнутый класс, содержащий Ф). Этот класс не может быть собствен-
собственным, так какФ не содержится ни в каком собственном классе. Поскольку
он, кроме того, не пуст, то он содержит все функции алгебры логики.
6.11. Необходимость следует из необходимости условия задачи
6.10. Докажем достаточность. Функционально замкнутый класс, порож-
порожденный функциями из Ф, не может содержаться ни в одном предполном,
так как ни в одном из них по условию не содержится система Ф. По-
Поскольку этот класс, кроме того, не пуст, то он совпадает с классом
всех функций алгебры логики.
6.12. Пусть ipfo, . . ., хп) (?Р0: ф@ 0)=1. Отождествим все
переменные. Тогда, если <р A, . . ., 1)=1, то мы получим 1; если
ФA, . . .,1)=0, то получим 0.
6.13. Необходимость очевидна. Докажем достаточность. Возьмем из
Ф функцию, не сохраняющую 0, и функцию, не сохраняющую 1. Отож-
Отождествим в них переменные. В силу задачи 6.12 в первом случае мы полу-
получаем 1 или х, во втором получаем 0 или х. В результате мы получаем обе
константы или отрицание (быть может, и то и другое). Пусть мы получили
константы. Покажем, что тогда можно представить отрицание в виде су-
суперпозиции. Поскольку константы не принадлежат классам S и одному
из классов Ро или Рь а х — линейная функция, то для этой цели естест-
естественно воспользоваться немонотонной функцией из Ф. Действительно, в
силу задачи 5.16 отрицание можно представить в виде суперпозиции про-
произвольной немонотонной функции и констант. Итак, в этом случае су-
суперпозицией функций из Ф можно представить обе константы и отри-
отрицание.
87
Рассмотрим теперь другой случай, когда при отождествлении пере-
переменных как у функции, не принадлежащей Ро, так и у функции, не
принадлежащей PlF получается отрицание. Покажем, что тогда можно
получить константы. Для этого естественно воспользоваться несамо-
несамодвойственной функцией, из которой вместе с отрицанием в силу зада-
задачи 3.11 можно получить константы.
Итак, в обоих случаях мы имеем функции 0, 1, х. Мы еще не исполь-
использовали нелинейной функции. Применяя задачу 4.11, мы получаем из нее
и одной из констант какую-либо нелинейную функцию от двух перемен-
переменных. А затем, используя задачу 4.12, можно получить из этой функции
и отрицания любую нелинейную функцию от двух переменных, напри-
например, ху (или xvy, или функцию Шеффера ху). Поскольку мы построили
полную систему функций, теорема доказана.
6.14. Составим таблицы Поста:
а)
б)
в)
г)
д)
е)
ж)
з)
и)
ху
X
xvy
X
ху
Х + У
1
xvy
ХУ
х + У
xvy
1
х+у + г
ху
0
1
х-*у
X
х-+у
0
Ро
+
—
+
—
—
—
t
1
—
—
+
р.
+
—
—
±
—
—
+
i
—
±
S
,
+
—
+
—
—
—
—
+ 1 1 1
—
+
—
L
+
—
+
—
—
—
+
+
м
+
—
+
—
-
—
—
+
1
—
—
+
Для каждой из девяти систем функций в каждом из столбцов стоит,
по крайней мере, один минус. Значит, все системы полны.
6.15. Система функций Ф не полна тогда и только тогда, когда она
целиком входит в один из классов Ро, Plt L, M, S.
88
6.16. Составим таблицы Поста:
а)
б)
в)
г)
Д)
0
ху
1
х+У + г
ху v хг v уг
0
1
х+У
0
1
ху
Ро
—
+
—
—
+
—
+
Pi
+
+
+
—
—
—
—
+
S
—
—
—
—
—
—
L
+
—
+
+
—
+
—
M
+
+
+
-
—
-)-
—
+
Отметим, как можно исследовать функцию ху\1 хг\! уг. Легко проверить,
что она не принадлежит ни Ро, ни Vx; тогда она не принадлежит М (см.
5.4 и указание к задаче 6.14). Она не является константой и симметрич-
симметрична относительно всех своих переменных. Поэтому у нее все переменные
существенны. Легко проверить, что она не может совпадать ни с х-\-у-\-г,
ни с дс+1/+г+1, т. е. она нелинейна. Что касается самодвойственности,
то в силу симметричности можно ограничиться наборами @, 0, 0) и
A, 0, 0>.
Теперь обсудим вопрос о существенности условий теоремы Поста.
Все рассмотренные в этой задаче системы не полны, так как для каждой
из них в таблице имеется столбец, состоящий сплошь из плюсов. Заме-
Заметим, что для каждой системы имеется ровно по одному такому столбцу,
причем для разных систем эти столбцы разные. Отсюда следует, что в
условии теоремы Поста нельзя отбросить ни одного из пяти классов.
Действительно, для каждого из классов можно указать систему содержа-
содержащихся в нем функций (а значит, не полную), в которой для каждого из
остальных четырех классов имеется функция, ему не принадлежащая.
6.17. Если бы какой-либо класс содержался в другом, то в формули-
формулировке теоремы Поста этот класс можно было бы отбросить, что противоре-
противоречит задаче 6.16.
6.18. Если некоторый функционально замкнутый класс Т не со-
содержится ни в одном из указанных пяти классов, то для каждого из них
в Т найдется функция, ему не принадлежащая. Но тогда по теореме По-
Поста Т содержит все функции алгебры логики.
6.19. В силу задачи 6.18 другие классы не могут быть предполными.
В силу задачи 6.17 каждый из пяти перечисленных классов является
предполным.
6.20. Из всякой полной системы можно выбрать не более пяти функ-
функций,' удовлетворяющих теореме Поста.
6.21. Возьмем функцию, не сохраняющую нуль. В силу задачи 5.4
она или является немонотонной или является тождественной единицей,
т. е. является несамодвойственной функцией. Итак, в полной системе
89
обязательно найдется функция, не принадлежащая сразу двум пред-
поЛным классам. Тогда к этой функции можно присоединить не более
трех функций из рассматриваемой системы так, чтобы удовлетворялись
условия теоремы Поста. Значит, в базисе не может быть более четырех
функций.
6.22. Возможность уменьшения числа переменных следует из задач
3.10, 4.10, 5.14, 6.12. После отождествления получаются функции, не
принадлежащие Ро, Pi, не более чем от одной переменной, не принадлежа-
принадлежащие S, не более чем от двух переменных и не принадлежащие L, М, не
более чем от трех переменных. Последнее число не может быть умень-
уменьшено, как показывает система ж) из задачи 6.2.
6.23. Функций от трех переменных конечное число. Число мини-
минимальных базисов не превосходит числа подмножеств этого множества,
содержащих не более четырех элементов.
6.24. Обобщенная функция Шеффера f(xlf . . ., хп) должна не сох-
сохранять 0 и 1: /@ 0)=1, Д1, . . ., 1)=0. Тогда она автоматически
не монотонна. Таких функций будет 22"~2 (можно произвольно задавать
значения на B"—2) наборах; см. § 2, задачи 2.2, 2.3). Кроме того, / —
несамодвойственная функция. Найдем число функций /, не принадлежа-
принадлежащих одновременно Ро, Plt S. Имеется 22 ""' функций, не принадлежа-
принадлежащих Ро, Ръ но принадлежащих S (они определяются значениями на
B"-i—1) наборах). Поэтому интересующее нас число- равно 22 ~2—
O"-1_I оИ-1_, q"~1 I
—2 '=2 B —1). Остается заметить, что если функция не
принадлежит Ро, Pi, S, то она не принадлежит не только М, но и L
(см. указания к задаче 6.14). В самом деле, пусть f — линейная функция,
/ *f Ро. / YI Pi- Тогда свободный член в разложении / равен единице и число
существенных переменных нечетно. Но такие функции самодвойственны.
Таким образом, найденное нами число является числом обобщенных
функций Шеффера.
6.25. Пусть /(*!, . . ., хп) — обобщенная функция Шеффера. Мы по-
показали при решении предыдущей задачи, что это равносильно тому, что
/ — несамодвойственная функция, не сохраняющая нуля и единицы. В
силу задачи 3.10 у f можно так отождествить переменные, что получит-
получится несамодвойственная функция от двух переменных. Легко проверить,
что при любом отождествлении переменных свойство не сохранять нуль
(или единицу) остается. Поэтому после отождествления переменных
мы вновь получим обобщенную функцию Шеффера. Итак, если минималь-
минимальный базис состоит из одной функции, то это функция от двух переменных.
Остается найти обобщенные "функции Шеффера от двух переменных. Их
две (можно проверить по формуле предыдущей задачи): ху, XVy.
6.26. См. таблицу в указаниях к задаче. Пусть Ф={ф1, <р2, Фз> 4>t} —
базис из четырех функций. Причем <Pi— функция, ие сохраняющая нуль
(ф1 *? Ро)- Как мы уже видели при решении задачи 6.21, она обязательно
или немонотонна или несамодвойственна. Ясно, что если в базисе четыре
функции, то ф! может не принадлежать лишь одному из этих классов
(М или S), а во все остальные она должна входить. В частности, q>i?Pi,
т. е. ф1@ 0)=1, <Pi(li ¦ . ., 1)=1, а значит, «pi— несамодвойствен-
несамодвойственная функция. Тогда она должна быть монотонной, а для этого в силу
задачи 5.4 есть лишь одна возможность: фх= 1. Аналогично показывает-
показывается, что функция, не сохраняющая единицу, должна быть тождественным
нулем Итак, в базисе должны быть обе константы и мы заполнили две
строки в таблице Поста. Две остальные функции из базиса должны обя-
90
зательно сохранять и нуль, и единицу; одна из них должна быть монотон-
монотонной нелинейной, другая немонотонной линейной. Начнем с последней
функции (пусть этофз). Поскольку фз^Ро. свободный член в полиноме
Жегалкина равен нулю, атак какф3? Pi, она существенно зависит от не-
нечетного числа переменных: Фз=*1+*2~К • •~b~x2k+i> fcsl- Эта функция
самодвойственна. Тем самым мы заполнили третью строчку в таблице
Поста. Что касается монотонной нелинейной функции, то она может
быть как несамодвойственной (ху), так и самодвойственной (xyVxzVyz).
В результате для четвертой строки в таблице Поста имеется две возмож-
возможности.
6.27. В силу задачи 6.26 в любом, не обязательно минимальном,
базисе из четырех функций имеются две функции — константы. Третья
функция имеет вид Xi+x2+. . .+*2ft+i> причем годится любая из таких
функций при fe;& 1. Отождествим все переменные, начиная с х3. Получим
функцию хг-\-х2-\-х3. Полученная функция входит в те же классы, что и
исходная. Дальнейшее отождествление переменных невозможно. Итак,
третья функция в минимальном базисе имеет вид х1+х2+х3. Теперь рас-
рассмотрим монотонную нелинейную функцию ф4- В силу задачи 6.22, если
базис минимален, то у ф4 не более трех переменных. Мы видели (задача
5.5), что имеются только две монотонные нелинейные функции от двух
переменных: ху и xVy. Остается исследовать случай трех переменных.
Нужно найти монотонные нелинейные функции от трех переменных ф4,
принадлежащие Ро, Р1г у которых нельзя отождествить переменные так,
чтобы функции остались нелинейными. Представим ф4 в виде полинома
Жегалкина:
ф4 (х. У, г) = ахуг + Ьгху + b%yz + Ь3хг + с^+сгу+с3г.
Свободный член равен нулю, так как ф4?Р0. Предположим, что а=1.
Отождествим какие-либо два аргумента. Без ограничения общности мож-
можно считать, что это у к г. Тогда у получившегося в результате полинома
нелинейная часть будет равна {l-{-br\-bs)xy. Для нелинейности функции,
представленной этим полиномом, необходимо и достаточно, чтобы коэф-
коэффициент A+4>1+Ьз) был нечетным. Ясно, что у ф4 всегда можно так пере-
переобозначить переменные, что это условие будет выполнено. Итак, при
а= 1 всегда можно так отождествить переменные, чтобы получилась не-
нелинейная функция. Поэтому а=0.
Пусть теперь один из коэффициентов Ьг=О, например, Ь3=0. Один
из них (допустим Ьг) обязательно равен 1 (в противном случае ф4 была бы
линейной функцией). Отождествим переменные лиг. В результате полу-
получится функция, в полиноме Жегалкина которой есть член хуфг=1), т. е.
получается нелинейная функция. Это невозможно. Значит, b1=b2=ba= 1.
Теперь рассмотрим коэффициенты сг. Поскольку <p4€Pi. то или они
все равны нулю, или только один из них равен нулю. Пусть с1==с^=\,
с3=0. Тогда ф4(л:, у, z)—xy-\-yz+xz-\-x-\-y. Функция ф4 не является мо-
монотонной, как показывает сравнение ее значений на наборах A, 0, 0)
и A, 0, 1). Значит, этот случай невозможен, и с1=с2=с3=0.
Итак, в минимальном базисе функция ф4 может иметь вид
ху, х V у или xy-\-yz-\-xz — xy V yz V xz
(задача 4.3, в)).
§7. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО
ЗАМКНУТЫХ КЛАССОВ
1. Функционально замкнутые классы и общая поста-
постановка задач о полноте. В предыдущем параграфе мы вы-
выяснили, что вопрос о полноте системы функций алгебры
логики приводит к рассмотрению предполных функциональ-
функционально замкнутых классов. Оказывается, что целый ряд вопро-
вопросов сводится к изучению других функционально замкнутых
классов, не обязательно предполных. Можно ожидать, что
число различных функционально замкнутых классов бес-
бесконечно и даже что их множество имеет мощность конти-
континуум. Это связано с тем, что классы естественно задавать
какими-либо системами функций, их порождающими. По-
Поскольку множество функций алгебры логики счетно, мно-
множество различных систем функций имеет мощность конти-
континуум. Конечно, различные системы функций часто поро-
порождают один и тот же класс. Но нет никаких оснований
заранее считать, что это отождествление настолько сильно,
что число различных классов будет конечно или счетно.
На самом деле оказывается, что множество классов счетно.
Бесконечность этого множества — факт отнюдь не очевид-
очевидный (см. конец этого параграфа).
Сейчас мы опишем принципиальную схему множества
функционально замкнутых классов, отложив ее конкретное
описание (перечень всех классов) до конца параграфа.
Множество классов удобно представлять себе в виде дерева,
вершины которого соответствуют классам. Если один класс
входит в другой, то вершину, соответствующую первому,
мы будем располагать под вершиной, соответствующей
второму, причем эти вершины соединяются отрезками.
Классы допускают естественное расположение по этажам.
Е основании дерева (в первом этаже) находится класс всех
функций алгебры логики (обозначим его через Р), во вто-
92
ром этаже — предполные классы, в третьем — классы, ко-
которые не содержатся ни в одном классе, кроме предполных;
вообще, в (i+l)-M этаже — классы, которые не принадлежат
предыдущим этажам и не содержатся ни в одном классе,
не принадлежащем этим i этажам. Число этажей бесконечно.
Существенно, что в каждом этаже имеется конечное число
классов (и даже ограниченное некоторой константой) и что
если класс содержится в некотором классе из t-ro этажа,
то он или сам принадлежит (t+l)-My этажу или содержится
Е- 1-й этаж
— Z-й. этаж
З-iff этаж
4-й этаж
ЧЛ А
i-u этаж
о о о о А
оо-й этаж
Рис. 2.
в некотором классе (t+l)-ro этажа (см. сноску на стр. 82).
В частности, это означает, что в каждый класс i-ro этажа
входит лишь конечное число (ограниченное общей констан-
константой) классов следующего этажа и что в нем существует
конечный базис, причем число элементов в базисах для всех
таких классов ограничено (подробнее см. ниже). Не следует
думать, что, перебирая указанным способом этажи, мы
рано или поздно рассмотрим все классы, т. е. что каждый
класс принадлежит какому-либо этажу. Однако оказывает-
оказывается, что этим свойством обладают все классы, кроме конеч-
конечного числа классов, в некотором смысле предельных («клас-
(«классов оо-го этажа»). Итак, принципиальная схема имеет вид
(этажи располагаются сверху вниз), указанный на рис. 2.
На схеме соединены вершины только для таких классов
QicQ2, для которых нет промежуточного класса Q3:
93
QQtQQu z. Вся часть этой схемы, начиная
с 3-го этажа и ниже, не отвечает действительности (число
классов в этаже, включения и т. д.) — здесь мы хотим
лишь проиллюстрировать приведенные выше общие заме-
замечания. Последняя строка в схеме соответствует предельным
классам.
Теперь посмотрим, как используется таблица классов
при решении задач алгебры логики. Общая задача ставится
так. Пусть 31 — некоторая (вообще говоря, бесконечная)
совокупность множеств Ru . . ., Rn, . . . функций алгебры
логики. Нужно найти алгоритм, позволяющий по каждой
системе функций Ф узнавать, можно ли из входящих в Ф
функций получить при помощи суперпозиций все функции,
по крайней мере, из одного множества Rt, входящего в §1.
Систему функций, обладающих этим свойством, назовем
§(-п о л н о й.
В том случае, когда 81 состоит из единственного мно-
множества — множества Р всех функций алгебры логики,—
этот вопрос превращается в вопрос о полноте системы функ-
функций Ф (см. § 6). Но возможно и много других вариантов
этой задачи, например, вопрос о том, когда система порож-
порождает какой-либо функционально замкнутый класс Q (тогда
31 содержит единственный элемент Q). Если все множества,
входящие в §1, содержат по одной функции, то 31 можно
рассматривать как некоторое множество функций. В этом
случае задача ставится так: можно ли хотя бы одну функцию
из 91 представить в виде суперпозиции функций из Ф.
Схема функционально замкнутых классов позволяет в прин-
принципе дать ответ на эти вопросы в тех же терминах, в каких
теорема Поста дает ответ на вопрос о полноте.
Назовем функционально замкнутый класс Q Ш-пред-
полным, если он не содержит ни одного из множеств /?г 6 SI,
а любой класс, содержащий Q и не совпадающий с Q, со-
содержит, по крайней мере, одно из множеств Rt ? St. Ясно,
что всякий класс, не содержащий множеств Rt 6 31, содер-
содержится, по крайней мере, в одном 31-предполном классе.
Находить 31-предполные классы часто можно следующим
образом. Вначале проверим, какие из предельных классов
содержат множества Rt ? 31, а затем, двигаясь от класса
Р вниз и рассматривая лишь классы, не содержащие пре-
предельных классов, обладающих этим свойством, отбираем
31-предполные. Они будут граничными между классами,
содержащими какие-либо из Rt 6 Ш и не содержащими
ни одного из Rt.
94
Этот путь неприемлем, если какие-либо из предельных
классов являются SC-предполными, так как мы не можем
при помощи указанной процедуры дойти до них за конечное
число шагов. Это обстоятельство надо исследовать специаль-
специально. Заметим, что даже если все функционально замкнутые
классы известны, может оказаться очень трудным выясне-
выяснение того, принадлежит ли некоторому классу хотя бы одно
из множеств Rt или нет. Так что не следует думать, что
знание таблицы превращает нахождение §1-предполных
классов в чисто автоматическую процедуру. Однако, если
Sl-предполные классы уже найдены, то вопрос о Si-полноте
систем Ф действительно решается автоматически (по край-
крайней мере, для конечных множеств Ф). При этом важно, что
для каждого класса (как будет следовать из приводимого
в конце параграфа списка классов) имеется алгоритм, по-
позволяющий выяснять, содержится в нем некоторая функция
или нет. Фактически эта проверка может оказаться гро-
громоздкой.
7.1. Доказать, что для 21-полноты некоторой системы
функций Ф необходимо и достаточно, чтобы для всякого
Щ-предполного функционально замкнутого класса в Ф
имелась функция, ему не принадлежащая. А
Пока что мы ничего не говорили о том, как находятся
все функционально замкнутые классы. Эта очень трудная
задача была решена Постом (см. [1], [2]). Мы здесь лишь
приведем окончательный результат (в конце параграфа) и
рассмотрим некоторые примеры. Заметим, что в общем ре-
результате важнее всего «угадать» все классы, хотя и до-
доказательство того, что других классов нет, является
весьма громоздким. Напомним, что в задаче о предполных
классах (§ 6) после того, как они были «угаданы», доказа-
доказательство теоремы о полноте не вызвало больших затруд-
затруднений.
2. Расширенная суперпозиция. Сейчас мы рассмотрим
один упрощенный вариант задачи о функционально замкну-
замкнутых классах. Он во многом иллюстрирует ситуацию, имею-
имеющуюся в общем случае, хотя и значительно проще его.
Определение 7.1. Будем говорить, что функция /
получена из системы Ф при помощи расширенной суперпо-
суперпозиции, если она получается из Ф при помощи операций
суперпозиции (определение 2.3) и подстановки констант.
95
Другими словами, расширенными суперпозициями сис-
системы функций Ф являются обычные суперпозиции системы
функций Ф и {0, 1}, если Ф содержит хотя бы одну функцию,
отличную от константы; в противном случае (если в Ф
входят лишь константы) Ф совпадает с множеством расши-
расширенных суперпозиций. Достаточно заметить, что из функ-
функции, не являющейся константой, подстановками констант
можно получить обе константы (нужно подставить в аргу-
аргументы набор констант, на котором функция принимает
соответствующее значение). Расширенной суперпозицией
системы функций, сводящейся к константе, является лишь
она сама.
7.2. Найти предполные классы для расширенной су-
суперпозиции. А
7.3. Как связаны функционально замкнутые классы
относительно обычной и расширенной суперпозиции? А
Итак, мы можем заполнить первые два этажа в таблице
классов для расширенной суперпозиции (рис. 3).
Определение 7.2. Если всякая функ-
функция из некоторого функционально замкнутого
класса Q представима в виде суперпозиции функ-
ций из некоторого множества Ф, то мы будем
говорить, что система функций Ф Q-полна
Рис. 3. (ср. с Sl-полнотой; здесь §1 состоит из одного
множества Q). Минимальную Q-полную систе-
систему Ф назовем Q-базисом.
7.4. Доказать, что система функций {х-\-у, 1} является
L-базисом; относительно расширенной суперпозиции L-ба-
зисом является система из одной функции х-\-у. А
Замечание. Всюду в дальнейшем в этом пункте
мы, говоря о функционально замкнутых классах, если
только не оговорено противное, будем иметь в виду классы
относительно расширенной суперпозиции.
7.5. Найти L-предполные классы *).
7.6. Найти все функционально замкнутые классы, со-
содержащиеся в L, и нарисовать схему включений. А
*) То есть максимальные функционально замкнутые классы в L,
не совпадающие с L. Это частный случай 91-предполных классов, отве-
отвечающий системе Ш из одного множества Q.
96
Итак, мы построили ту часть таблицы классов, которая
связана с классом линейных функций L. Теперь нам нужно
провести аналогичные построения для класса монотонных
функций М. Они проводятся несколько сложнее, чем в пре-
предыдущем случае.
Определение 7.3 *). Обозначим через D класс
функций, состоящий из дизъюнкций любого числа перемен-
переменных Xi\fx^\J. . .\Дь (в том числе и одной переменной х),
через D01 **) — класс, полученный присоединением кон-
констант.
Аналогично, через К обозначим класс, состоящий из
конъюнкций любого числа переменных хгх2. . .xk (в том
числе и единственной переменной х), а через К01 — класс,
полученный присоединением констант.
7.7. Доказать, что D01 и К01 являются единственными
М-предполными классами. ^
7.8. Найти все функционально замкнутые классы, со-
содержащиеся в М. Нарисовать схему включений. А
Итак, найдены все функционально замкнутые классы
для расширенной суперпозиции. В частности, их оказалось
конечное число. Приведем окончатель-
окончательную таблицу классов (рис. 4). Эту таб-
таблицу можно использовать при решении
вопросов о ^(-полноте множеств функ-
функций относительно расширенной супер-
суперпозиции по схеме, указанной в п. 1
этого параграфа. Рассмотрим несколько
примеров.
7.9. В каждом из нижеследующих
случаев найти необходимые и достаточ-
достаточные условия на систему функций ал- ис- '
гебры логики Ф, при выполнении которых расширенными
суперпозициями функций из системы Ф могут быть пред-
представлены:
*) В этом определении вводятся классы для обычной суперпо-
суперпозиции. Классы D01 и К01 являются также классами для расширенной
суперпозиции.
**) Мы будем пользоваться следующими обозначениями для функ-
функционально замкнутых классов. Если Q — класс, то через QB, Q1 и Qol
будем обозначать соответственно его пересечения с классами Ро, Рх и их-
пересечением POi=PoPi (см. указания к задаче 7.6); через Q°, Q1 и Q01 —
классы, полученные расширением Q при помощи соответственно 0,1
и обеих констант 0,1.
4 С. Г. Гиндикин 97
а) все линейные функции;
б) все монотонные функции;
в) функция xy\/yz\fxz;
г) функция jc+tf+z;
д) по крайней мере одна из двух функций: xy\Jyz\fxz;
x+y+z;
е) обе указанные в д) функции;
ж) функция х;
з) всякая линейная функция или функция ху;
и) ху или х;
к) ху и х;
л) л# или x\Jy или х.
Другими словами, нужно найти условие St-полноты
системы Ф относительно расширенной суперпозиции в тех
случаях, когда §1 состоит: а) из одного множества L;
б) из одного множества М и т. д. Мы предоставляем чита-
читателю продолжить этот список. А
В рассмотренных примерах все множества, входящие
в Ш, описываются просто. После этого, по крайней мере
в случае расширенной суперпозиции, 91-предполные классы
легко находятся. Однако элементы Ш могут описываться
сложно и неэффективно, в результате чего выяснение того,
какие классы содержат элементы 91, а какие нет, может
оказаться трудным. Это обстоятельство в какой-то степени
будет проиллюстрировано примерами, рассмотренными в
этом и следующих параграфах (более сложный пример
нахождения Sl-предполных классов см., например, в [31).
Начнем со сравнительно простого примера.
Определение 7.4. Пусть Ф — некоторая систе-
система функций алгебры логики. Будем говорить, что функция
/ самодвойственно представима через систему Ф, если/ и f+
представляются суперпозицией функций из Ф.
Определение 7.5. Система функций Ф называется
самодвойственно полной, если совокупность функций, само-
самодвойственно представимых через Ф, вместе с отрицанием х
образует полную систему.
В этих определениях можно иметь в виду как обычную,
так и расширенную суперпозиции.
7.10. Доказать, что всякая полная система функций
является самодвойственно полной; обратное, вообще гово-
говоря, неверно (приведите пример). А
7.11. Доказать, что: 1) всякая самодвойственно полная
система функций вместе с х образует полную систему,
2) не всякая система функций Ф, образующая вместе
с х полную систему, является самодвойственно полной;
3) для того чтобы такая система Ф была самодвойственно
пачной, достаточно (но не необходимо!), чтобы в Ф вместе
с каждой функцией входила двойственная. ^
7.12. Доказать, что совокупность функций, самодвой-
самодвойственно представимых через функции из некоторого функ-
функционально замкнутого класса Q, образует функционально
замкнутый класс, совпадающий с пересечением класса Q
и двойственного ему класса Q" (см. задачу 6.6): QQ+. A
Вполне возможно, что понятие самодвойственной пол-
полноты покажется читателю несколько искусственным. В § 8
мы приведем пример задачи, естественно приводящей к этому
понятию.
В соответствие с принятым соглашением мы будем связы-
связывать в этом пункте понятие самодвойственной полноты
с расширенной суперпозицией. К этому случаю относится
и приводимая ниже задача.
7.13. Найти необходимое и достаточное условие само-
самодвойственной полноты системы функций. А
Мы заканчиваем на этом рассмотрение расширенной
суперпозиции. Некоторые примеры нам встретятся в даль-
дальнейшем (в §§ 8, 9).
3. Самодвойственная полнота. Как мы уже говорили,
общий случай значительно сложнее случая расширенной
суперпозиции. Этому общему случаю и будет посвящена
оставшаяся часть этого параграфа. Часто можно дать ответ
на ту или иную задачу в терминах функционально замкну-
замкнутых классов, не прибегая к таблице всех классов, а так или
иначе угадав классы, имеющие отношение к рассматриваемой
задаче. В этом пункте мы приведем пример такой задачи —
задачу о самодвойственной полноте системы функций отно-
относительно обычной суперпозиции. Мы начинаем рассмотре-
рассмотрения, позволяющие решить эту задачу. Однако советуем
читателю попробовать решить эту задачу самостоятельно,
не используя следующие ниже указания.
Нам потребуются некоторые новые функционально
замкнутые классы.
4* 9Э
Определение 7.6. Обозначим через FB) (соответ-
(соответственно через GB)) совокупность таких функций f(xlt...,xn),
что любые два набора а= (аи . . ., ап), p=(Pi, . . ., р„),
на которых /(а)=/(р)=0 (соответственно /(а)= f(§)=\),
имеют общий нуль: аг=р,=0 для некоторого l^i^n
(соответственно имеют общую единицу: at ~рг— 1 для не-
некоторого i).
Отметим, что
а) функции /6FB) (/6GB)) сохраняют единицу (соответ-
(соответственно нуль), т. е. F(a)cPi, GB)c=P0;
б) 16FB», 0eGB);
в) 0(?FB), так как, считая функцию /=0 фиктивно
зависящей от каких-то переменных, мы получаем, что
она не удовлетворяет определению 7.6. Напомним (§ 2,
определение 2.2), что мы не различаем функции, отличаю-
отличающиеся друг от друга фиктивными переменными, а потому
рассматриваем свойства .функций, не меняющиеся при их
добавлении. Аналогично 1(?GB).
г) Множества FB) и GB) двойственны друг другу.
7.14. Доказать, что FB1 и GB)—функционально зам-
замкнутые классы. А
Теперь мы можем сформулировать ответ на интересую-
интересующий нас вопрос.
7.15. Доказать, что для самодвойственной полноты
системы функций Ф необходимо и достаточно, чтобы в ней
содержались функции: а) ц>г (f L; б) ф2 (f D01; в) ф3 <? К01;
L8)|рB'LС<2' А
Быть может, хотя читателю и не удалось угадать ре-
результат, содержащийся в задаче 7.15, ему удастся доказать
его, не прибегая к нашей дальнейшей помощи. Если же это
не так, то ему следует перейти к решению следующих задач,
цель которых заключается в том, чтобы постепенно подойти
к решению задачи 7.15.
7.16. Доказать, что всякая несамодвойственная функ-
функция не принадлежит по крайней мере одному из классов
р<2) СB)
Следующая задача является некоторым уточнением
задачи 3.10.
100
7.17. Перечислить несамодвойственные функции, у ко-
которых нельзя отождествить переменные так, чтобы вновь
получилась несамодвойственная функция. Какие из этих
функций не входят в FB), а какие в GB)? ^
7.18. Пусть /(?FB>. Функцию от какого наименьшего
числа переменных, также не входящую в FB), можно по-
получить, отождествляя переменные у /? Аналогичный вопрос
про функцию /(?GB). ^
7.19. Пусть система функций Ф содержит функции
<Pi$S, <p2(?FB) (соответственно q>i(?S, tp-2(?GB)). Функцию
от какого наименьшего числа переменных, не входящую
в FB) (соответственно GB)), можно представить в виде
суперпозиции функций из Ф? ^
Теперь читатель имеет все необходимое для того, чтобы
решить задачу 7.15.
4. Третий этаж постовской схемы функционально зам-
замкнутых классов. Настоящий пункт посвящен задаче о на-
нахождении функционально замкнутых классов. Эта задача
не будет решена полностью. Мы уже знаем предполные
классы — второй этаж. Построим сейчас следующий этаж
и, более того *), для каждого предполного класса Q мы
найдем Q-предполные классы. При этом нам существенную
помощь окажут результаты двух предыдущих пунктов.
Для новых классов будем вводить обозначения, исполь-
используя замечания в сноске на стр. 97 и в указании к задаче 7.6.
Начнем с классов монотонных и линейных функций.
7.20. Найти все М-предполные классы. ^
7.21. Найти все L-предполные классы. ^
Перед тем как перейти к рассмотрению других Q-пред-
полных классов, вновь напомним идею доказательств
Q-предполноты классов Rlt . , ., RmczQ для какого-либо
функционально замкнутого класса Q (см. решение задачи
6.18; указания к задаче 7.7). Нужно показать, что
1) ни один из классов Rt не совпадает с Q;
2) ни один из классов Rt не содержится в другом;
3) всякая система функций Ф, которая для каждого
класса Rt содержит функцию (pt^Rt, Q-полна.
Вопрос о Q-полноте тех или иных систем Ф, в свою
очередь, сводится к нахождению некоторых стандартных
Q-полных систем в Q (например, {ху, x\Jу) для класса М
*) Как мы увидим, эта задача действительно более обща (см. ре-
решение задачи 7.27).
101
и {х-\у, 1} для класса L) и последующему доказательству
того, что через элементы Ф могут быть представлены все
функции из какой-то стандартной системы. С этой задачи
о стандартных Q-полных системах естественно и начинать
вопрос о нахождении Q-предполных классов.
7.22. Доказать, что система функций {ху, х+у+1} яв-
является Pj-полной системой (и даже Pj-базисом). ^
7.23. Доказать, что система функций {х->-у, ху} является
Pi-полной системой и Рх-базисом. ^
7.24. Найти все Pi-предполные классы. А
7.25. Сформулировать аналоги задач 7.22, 7.23 и 7.24
для класса Ро функций, сохраняющих 0. Решить их по
аналогии с решением этих задач, а также вывести из соот-
соответствующих задач про Pt при помощи закона двойствен-
двойственности (§ 3). ^
Мы переходим к рассмотрению класса самодвойственных
функций S. Начнем с вопроса о построении стандартного
S-базиса. Этот вопрос потребует, как мы увидим, существен-
существенно новых соображений. Во всех предыдущих случаях мы
так или иначе использовали нормальные формы или поли-
полиномы Жегалкина. Эти представления связаны с базисами
из несамодвойственных функций и поэтому не могут быть
непосредственно использованы при рассмотрении само-
самодвойственных функций.
7.26. Доказать, что система функций {ху\/уг\/хг, х)
является S-базисом. ^
7.27. Найти S-предполные классы. ^
Теперь найдены все Q-предполные классы для пред-
полных классов Q. Составим схему включений (рис. 5).
Р
Итак, мы нашли весь третий этаж в схеме Поста, который
102
состоит из всех Q-предполных классов, где Q — предпол-
ные классы, исключая SoiCi Р,ц.
5. Постовская схема функционально замкнутых классов.
Приведем без доказательства постовскую схему функцио-
функционально замкнутых классов (рис. 6).
с®,
Сделаем необходимые пояснения. В приведенной схеме
классы не располагаются по этажам (ср. рис. 2). Однако
правило, в силу которого класс Qlt содержащийся в Q2,
располагается в схеме ниже Q2> сохранено. Поэтому по
103
схеме можно легко определить, какому этажу принадлежит
тот или иной класс Q. Для этого нужно рассмотреть все-
всевозможные цепочки классов Р Q^Q.,^. . .ZDQr=Q (все
Qi различны). Эти цепочки имеют конечную длину и раз-
различных цепочек имеется конечное число. Максимальная
из длин этих цепочек г совпадает с номером этажа, в котором
находится Q. Из схемы видно, что для каждого класса Q
имеется не более пяти Q-предполных (причем пять только
для Р).
Большинство классов, фигурирующих в схеме, уже
определено *). Классы F(ft) определяются по аналогии
с FB): любые k наборов, на которых функция /6 F(ft) равна
нулю, должны иметь общий нуль в некотором разряде.
Поскольку среди этих наборов могут быть совпадающие,
pifci-^F'"" при k<C.m. Классы G(ft) двойственны к F(ft). Класс
F(TO) состоит из функций, у которых все наборы, на которых
они равны нулю, имеют общий нуль; F(aj'cF(ft). Имеются
следующие предельные классы: F(<">, Fl™>, MF(°°>, MF'Jf1,
G«-\ G«r>, MG«">, MG«r\ D\ D, K°, K, Olf O0, KD, {1}, {0},
т. е. существуют бесконечные цепочки вложенных классов,
соединяющих их с Р. Опишем классы, состоящие из функций
одной переменной:
О = {0, 1, х, х), ОМ = = {0, 1, х), OS ={х, *},
{a|, 0^A, х), О0- = {0, а-}.
7.28. Найти условия самодвойственной полноты при
помощи схемы классов Поста (т. е. получить результат
задачи 7.15). ^
7.29. Описать (используя схему Поста) базисы в классе
самодвойственных монотонных функций. ^
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ § 7
7.2. L, М.
7.3. Функционально замкнутыми классами относительно расши-
расширенной суперпозиции являются те и только те функционально замкнуты
классы относительно обычной суперпозиции, которые содержат ofi
константы или состоят из одной-единственной константы.
7.5. Имеется единственный L-предполный класс—класс О функций
от одной переменной (все они линейны). Он состоит из четырех функций.
х,~х=х+\, 0, 1.
7.6. L-предполный класс О мы нашли (задача 7.5). Все остальные
классы содержатся в нем. Ими будут классы ОМ ={х, 0, 1}, -[О, 1),
*) Наши обозначения отличаются от принятых в книгах [1], [2].
104
Рис
{О}, {l}. Заметим, что ОМ — этот класс монотонных функций от одной
переменной (а также монотонных линейных функций). Мы будем не-
неоднократно в дальнейшем обозначать через QR пересечение классов Q
и R (как показывает пример OM=ML, это обозначе-
обозначение не однозначно). Схема включений изображена на
рис. 7.
7.7. Для доказательства достаточно показать, что
если в некоторой системе функций ФсМ имеются функ-
функции фх ^ D01 и ф2 (? К01, то система Ф будет М-полной.
Мы уже неоднократно пользовались этим приемом
доказательства Э1-предполноты классов (см. задачи
6.18, 7.5). При этом нужно лишь заметить, что ни один
из классов D01 и К01 не содержится в другом.
Для доказательства М-полноты {фь <р2} достаточно
показать, что их суперпозициями можно представить
дизъюнкцию и конъюнкцию, так как эта система М-пол-
иа (задача 5.9). При доказательстве представимости
ху и XVу через ф1; ф2 удобно пользоваться представлением ф; и q.2 в виде
правильных ДНФ и КНФ (определение 5.3, задачи 5.12, 5.13).
7.8. В обоих М-предполных классах имеется един-
единственный предполный класс ОМ -{х, 0, 1}. Его под-
подклассы нам уже известны (задача 7.5). Схема включе-
включений изображена на рис. 8.
7.9. Заметим прежде всего, что ;'( состоит в б) из
одного множества М; в в) из одного множества, состоя-
состоящего, в свою очередь, из одной функции xyVyzvxz\
в г) из одного множества {х -уЛ-z}; в д) из двух мно-
множеств {xyV yzV xz} и {*+(/-)-г}; в е) из одного множе-
множества {xyv yzv хг, х+у+г}; в ж) из множества {х}; в з)
из множеств L и {ху}; в и) из множеств {ху} и {1с}; в к)
из множества {ху, х}; в л) из множеств {ху}, {xVy},{x}.
В силу соображений, содержащихся в п. 1 § 7, вопрос о ^[-полноте
сводится к вопросу о перечислении всех ?1-предполных классов. Ими же,
в свою очередь, являютси максимальные классы, не содержащие ни од-
одного из множеств системы Э{. Максимальность означает, что всякий боль-
больший класс содержит хотя бы одно из множеств системы 1I.
7.10. Система {ху, xVy} самодвойственно полна, но не полна.
7.11. 2) Система {ху, х} полна, но система, состоящая из одной
функции ху, не является самодвойственно полной.
3) Достаточность очевидна, а как показывает пример полной (а зна-
значит, самодвойственно полной) системы {ху}, это условие не является не-
необходимым.
7.13. Эта задача следующим образом сводится к задаче о Э1-полноте.
Множество R входит в 3(, если совокупность R функций, входящих в R
вместе со своими двойственными, образует вместе с х полную систему.
Таких множеств функций бесконечное число, однако можно эффективно
выяснить, содержит ли некоторый функционально замкнутый класс
по крайней мере одно из них или нет.
Ответ. Для самодвойственной полноты (относительно расширен-
расширенной суперпозиции) некоторой системы функций Ф необходимо и доста-
достаточно, чтобы в ней содержались функции: а) фх (tL; б) ф2(?О01; в) ф3(?К01-
7.14. Доказывается индукцией по рангу суперпозиции.
Рис. 8.
105
7.15. См. условия следующих задач; указания см. после указаний
к задаче 7.19.
7.16. Дать определение функции, не входящей в класс FB)(GB)),
и воспользоваться задачей 3.6.
7.17. Классу FB) не принадлежат функции 0, ху, ху, xVy; классу
GB>—функции 1, XVy, xy, xVy. Воспользоватьси задачей 3.10.
7.18. Всегда можно получить функцию ие более чем от трех перемен-
переменных. Дальнейшее уменьшение числа переменных, вообще говоря, не-
невозможно (привести примеры).
7.19. Всегда можно получить функцию от двух переменных. Даль-
Дальнейшее уменьшение числа переменных, вообще говоря, невозможно.
Указания к задаче 7.15. При доказательстве необходи-
необходимости удобно пользоваться задачей 7.13.
Достаточность. 1. Можно считать, что ф4 (? S зависит от
двух переменных (задача 3.10). Пусть для определенности <f4 (t FB>
(задача 7.16). Тогда мы в силу задачи 7.17 имеем одну из функции
0, ху, ху, XVy. Последние две функции — функции Шеффера. Нужно
рассмотреть случаи, когда мы имеем какую-либо из функций ij'4=0
или i|i4(x, у)=ху.
2. Рассматривая теперь фь (р Gl2> и используя результат задачи 7.19,
можно получить одну из функций i|)s: 1, xvy, x-\-y (или опять-таки
функцию Шеффера xvy).
3. Нужно рассмотреть различные сочетания яр4 и \|>5. Если мы имеем
константы 0, 1, то все сводится к случаю расширенной суперпозиции
(задача 7.13). Самодвойственная полнота системы {ху, x\Jу) уже доказы-
доказывалась. К этому случаю, в свою очередь, сводится случай {*{/, *+{/}.
4. Если мы имеем х-\-у, то х-{-х=6. Из нелинейной функции (рх
можно получить нелинейную функцию от двух переменных (задача
4.12), а из нее или 1, илн ху,клк xvy, или ху, а из иее, в свою очередь,
ху. Все сводится к разобранным случаям.
5. Если мы имеем 0 и XVу, то из ф2 (f D01 можно получить ху, если
она монотонна. Если ф2 немонотонна, то из нее можно получить немо-
немонотонную функцию от двух переменных, а из нее, в свою очередь, или 1,
или х, или х+у, или ху. Во втором случае получаем полную систему
в обычном смысле. Остальные случаи уже разобраны.
6. Случай {1, ху} двойствен случаю 5.
7.20. Ответ. D01, К01, Мо (класс всех монотонных функций,
сохраняющих нуль, т. е. это все монотонные функции, за исключением
тождественной единицы (задача 5.4)), М] (все монотонные функции, за
исключением тождественного нуля). Замкнутость Мо и М] следует из
задачи 6.6.
7.21. Оказывается, что, как и в предыдущей задаче, L-предполные
классы состоят из пересечений L с другими предполиыми классами:
Lo= Lf] Po. Lj= Lf] Pi, LS= Lf) S и класса О функций от одной перемен-
переменной, возникшего при рассмотрении L-предполных классов относительно
расширенной суперпозиции. Воспользоваться задачей 4.6 (см. также
указания к задаче 6.14). Напомним также, что система функций {х-\-у, 1}
является L-полной (задача 7.4).
7.22. Воспользоваться представлением функций из Pj в виде поли-
полинома Жегалкина. Чем характерны полиномы Жегалкина для функций
из Pi?
7.23. Воспользоваться представлением функций из Р] в СКНФ.
Чем они характерны? См. задачу 1.17. При доказательстве тоге, что
106
р шсматриваемая система является Р]-базисом, обратить особое внимание
на доказательство того, что система {х-*у} не является Pj-полной.
Воспользоваться классом FB).
7.24. Pj-предполными классами являются пересечения Рх с пред-
полными классами Ро, L, М, а также уже встретившийся в предыдущей
задаче класс F<2>, т. е. Pol, Lt, Щ и F<2>.
Пусть система функций Ф 'с Рх для каждого из этих классов содер-
содержит функцию, в него не входящую. Приведем схему доказательства
Р,-полноты Ф:
1. Из функции <pi(pPoi можно получить 1.
2. Из функции Фг^Мх и 1, используя результат задачи 5.15, можно
получить х—*у или #+{/+1.
3. Из функции ф4 (? FB) и 1 можно получить ху или х-\-у-\-1.
4 Если мы имеем х~*у и ху, то система Ф будет Рх-полной (зада-
(задача 7.23).
5. Если же мы имеем х-\-у-{-\, то с ее помощью можно получить из
<р2 конъюнкцию ху. Мы вновь получаем Р1-полную систему (зада-
(задача 7.22).
7.25. Ответ: 1. Системы функций {xvy, х-\-у} (а также {ху, .*+</}
и {ху, xvy}) будут Р0-полными.
2. Р0-предполиые классы: Pol, Lo, Mo, GB).
7.26. Пусть f(xlt .... *„_!,*„) ? S. Тогда функции «pfa Xn-i)=
=/(*i, ..., хп-и 1) и \K*i xn-l)=f(x1 xn_lt 0) двойственны:
Ф+=г)>. Обозначим через т(х, у, г) функцию xy^\-yz-{-xz=xyVyzV xz.
Заметим, что т(х, у, l)—xvy, т(х, у, 0)—ху. Пусть теперь функция <р
каким-либо образом представлена в виде суперпозиции ху, xvy и х
(можно было бы ограничиться одной из функций ху, XV у). Заменим
теперь всюду в суперпозиции, представляющей <р, дизъюнкции функ-
функциями т(*, *, хп), а конъюнкции — функциями т(*, *, хп). Опишем
это преобразование несколько более подробно. Функция ф в некоторое
число шагов получается из конъюнкций, дизъюнкций и отрицаний.
Указанная замена производится последовательно на каждом шаге.
Если, например, на некотором шаге дизъюнкция заменяется на т(*. *, хп),
то вместо звездочек подставляются те функции, которые получились на
предыдущем шаге из функций, которые подставлялись в аргументы дизъ-
дизъюнкции. Строгое определение следует дать по индукции. Мы этого
делать не будем, а приведем лишь пример. Пусть
ф(*1, Х2, Xs, *4) = ((*1 V ХгХ3) V
Теперь последовательно заменяем
х2ха =Ф т (хг, х3, %); х,*а =ф/и fa, xt, хъ);
хг V хгхл =? т (хи т (х2, х9, хъ), хъ);
(хх V *2*з) V х1хг=^>т(т(х1, т (ла, х3, xj, хь), mfa, хг, хь), х&)
и, наконец, получаем
q>=4>m(m(mfa, т(х\, х3, хъ), хь), т(х^, х2, хъ), хъ), xt, хъ).
Показать, что после указанной замены в суперпозиция, пред-
представляющей ф(х!. .... *„-!). мы получим /fa, , ?„_!, хп). Тем
самым будет доказана S-полнота системы [т (х, у, г), jc}.
107
7.27. Ответ. S-предполными являются классы SL = Sf]L,
Пусть в системе функций Ф имеются функции фх (? SL, ф2 (р SB1.
1. Из ф2 можно получить х.
2. Из функции фх в силу задачи 4.10 можно получить самодвойст-
самодвойственную нелинейную функцию от трех переменных т1р(х, у, г). Исходя
из условия самодвойственности, исследовать полином Жегалкина для
¦ф(*, у, г). Оказывается, что его нелинейная часть обязательно имеет
вид ху-\-уг+хг. Линейную часть, используя х, можно сделать нулем.
7.28. В качестве совокупности множеств Э1 (ср. решение задачи
7.13) можно взять такие самодвойственные классы, что Р — единствен-
единственный класс, содержащий их и х. Это Р, Роь Ми MOi. Далее следует дей-
действовать по схеме, изложенной в п.1.
7.29. SM-базис состоит из одного элемента — любой функции из
SM, отличной от х.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ К ЗАДАЧАМ § 7
7.1. Необходимость следует из того, что в Э1-предполном классе
не содержится ни одного множества /?,-?Э1. Для доказательства доста-
достаточности заметим, что функционально замкнутый класс, порождаемый
системой функций Ф, не содержится ни в о.дном 21-предполном классе,
а всякий класс, не содержащий ни одного из множеств /?,-?Э1, содержит-
содержится, по крайней мере, в одном 31-предполном классе.
7.2. Всякий функционально замкнутый класс относительно рас-
расширенной суперпозиции функционально замкнут относительно обычной
суперпозиции. Аналогично предполный класс относительно расширенной
суперпозиции является предполным относительно обычной суперпо-
суперпозиции. Остается заметить, что классы L, М замкнуты, а Ро, PlP S не
замкнуты относительно расширенной суперпозиции.
Можно было бы также заметить, что система функций, содержащая
нелинейную и немонотонную функции, полна относительно расширенной
суперпозиции (в силу теоремы Поста).
7.3. Мы уже заметили при решении предыдущей задачи, что функ-
функционально замкнутые относительно расширенной суперпозиции классы
замкнуты в обычном смысле. Итак, нужно выяснить, какие из функци-
функционально замкнутых классов (в смысле § 6) замкнуты относительно рас-
расширенной суперпозиции. Если класс содержит хотя бы одну функцию,
не являющуюся константой, то в этом случае класс должен содержать
обе константы (как мы уже отмечали, их можно получить из этой функ-
функции при помощи расширенной суперпозиции). Еще остаются классы,
состоящие из констант. Их три: {0, 1}, {0}, {1J.
7.4. Ясно, что, рассматривая многократную суперпозицию х-\-у,
можно получить сумму любого числа переменных: д:1+...+^_14-^.
Подставив Х?=1, можно получить любую линейную функцию со сво-
свободным членом, равным 1. Остается заметить, что х+#=0. L-полнота
доказана. Минимальность очевидна.
7.5. Докажем, что О — единственный L-предполный класс. Для
этого достаточно доказать, что всякая функция ф ? L, ф (? О, образует
Ь-полную систему. Рассмотрев в случае необходимости суперпозицию ф
с собой, можно считать, без ограничения общности, что ф содержит
(существенно) не менее трех переменных. Подставляя нуль вместо всех
переменных, кроме каких-нибудь трех (*17 х2, х3), мы получим функцию
108
1+2з+ Если я=1, то подставим х3=1; если а—0, то подставим
*8—0. Получаем функцию xir\-x2, являющуюси L-базисом (задача 7.4).
7.6. К ОМ можно добавить лишь х?О, после чего мы получим О.
Аналогично к {0,1} можно добавить лишь х.
7.7. Пусть фг (f D01. Покажем, что из нее при помощи расширенной
суперпозиции можно получить конъюнкцию. Представим фх в виде
правильной ДНФ. Тогда, поскольку фх(? D01, в ней найдется, по крайней
мере, одна элементарная конъюнкция, содержащая более одного со-
сомножителя (скажем, хг ... х^, /г^2). Подставим вместо всех перемен-
переменных, кроме тех, которые входят в выбранную конъюнкцию (хг, ..., х^),
нули. При этом все элементарные конъюнкции, кроме xt ... х^, обра-
обратятся в нуль, так как в силу правильности ДНФ в каждой из них най-
найдется хотя бы одна переменная, отличная от xlt ..., х^. В результате
мы получим конъюнкцию *i ... *?. Если подставить теперь во все
переменные этой конъюнкции, кроме каких-нибудь двух, единицы,
то мы получаем конъюнкцию двух переменных tfjXo. Можно было бы
также отождествить все переменные, кроме х1.
Аналогично при помощи правильной КНФ для Ф^К01 можно
построить хг\/х2. Итак, в силу М-полноты системы {ху, xvy} система
{<Pi. Ф2} также М-полна. Можно было бы также воспользоваться за-
законом двойственности. .
Замечание 1. Имеем <р ? М, <p(j|;D01 тогда и только тогда, когда
в ее правильной ДНФ имеется хотя бы одна элементарная конъюнкция
не менее чем двух переменных. Это следует из единственности пред-
представления монотонной функции в виде правильной ДНФ (ср. критерий
нелинейности функции, использующий полиномы Жегалкина, заме-
замечание в § 4, стр. 66). Аналогично ф(?М, ф(?К01 в том и только в том слу-
случае, когда в ее правильной КНФ есть хотя бы одна элементарная дизъ-
дизъюнкция, содержащая не менее двух членов.
Замечание 2. Из доказательства следует, что при помощи
обычной суперпозиции из любой функции ф^01 и 0 можно получить
конъюнкцию, а из ф(рК01 и 1 —дизъюнкцию.
7.9. Множество Ф должно содержать функции:
В каждом из этих случаев мы требуем наличия в Ф функций,
не принадлежащих Щ-предполным классам.
109
7.10. См. пример в указаниях. В этой системе самодвойственно
представима функция ху, а она вместе с х образует полную систему.
7.11. 2) См. пример в указаниях. Через ху самодвойственно
представима лишь функция х.
7.13. Заметим, что если некоторое множество содержит какое-
либо из множеств, входящих в ?(, то оно само входит в Х'(- Поэтому
вопрос о том, содержится ли в некотором функционально замкнутом
классе Q какая-либо система функций, входящая в ЧЛ, сводится
к вопросу о том, входит ли сам класс Q в % или нет, г. с. совпа-
совпадает ли с классом всех функций алгебры логики Р класс Q, порож-
порождаемый функциями, входящими в Q вместе со своими двойственными
(самодвойственно представимыми через Q, задача 7.12), и функ-
функцией х. Поскольку все классы эффективно описываются, этот вопрос
легко решается при помощи схемы. Ясно, что максимальными клас-
классами, не входящими в ?(, будут классы L (так как Jf?L и L= L),
D01 (так как в D01 самодвойственно представимы лишь константы 0,1
и х; D01 —О), К01 (аналогично К01= О). Содержащие их классы Р
и М, очевидно, уже самодвойственно полны. Итак, ?(-предполными
являются классы L, D01, К01, и мы получаем результат, сформули-
сформулированный в указаниях к решению этой задачи.
Замечание. При решении предыдущих задач мы видели, что
характерным примером самодвойственно полной системы функций
является система {ху, XV у\. Из результата задачи 7.13 следует, что
если имеется произвольная самодвойственная система Ф для расши-
расширенной суперпозиции, то через ее элементы представимы функции л«/,
xVy. Действительно, через них представим либо весь класс М, либо
вообще вес функции (Р).
7.14. Случаи FB> и GB) рассматриваются аналогично, поэтому
ограничимся рассмотрением FB> (можно также воспользоваться зако-
законом двойственности).
Пусть Ф — какая-то совокупность функций из F2 (Ф с FB)) и уже
известно, что суперпозиции ранга k также принадлежат FB) (ф"г> cFB>).
Покажем, что ф'А+п с: F'2'. Пусть / ? ф1*+!). Если / получается
из некоторой функции <р ? Ф(*> переименованием какой-то перемен-
переменной (согласно а) определения 2.3), то интересующий нас факт сле-
следует непосредственно из определения Fl2>. Пусть теперь <р (лг1( ..., х„),
( )^
... я,-!, xi+1, .... х„; уъ ¦-. Удт
= <P(X1? ..., *,_!, ф^, .... //,), Х!+1, .... Х„)_
Надо показать, что / ? Fl2>. Пусть мы имеем два набора Значе-
Значений ее переменных:
у' =(ai, .... ei-x, в/+1, ,а'„; р'ь , fit),
у" = («1, .... ai-i, aj+i, • • ¦, a«; Pi, - ¦ •, P/),
на которых / (у1) = / (у") ~ 0. Положим o^. = \[)(Pj, .... PJ), a^'
* (Pi'. • • •. Pi'). Тогда на наборах а' -^(а; , a;_r a'., a'i+1, , а'п)г
«° = (ai» •••• a'i-i< ar a'i+v ¦••• ал) Функция ф равна нулю, а так
как по предположению индукции ф ? FB), то эти наборы имеют
общий нуль в каком-то разряде. Если aj=a'-=0 при \ фг, то
наборы у' и у" имеют общий нуль. Если a|.= a'j = 0, т. е. ф (р") =
110
= ¦»]? (Р") = 0, то наборы Р', Р" имеют общий нуль, так как ty ? Fl2)
(по предположению индукции), а значит, наборы у' и у" также имеют
общий нуль, т. е. / ? Р2). Доказательство закончено.
7.15. Решение этой задачи си. после решения задачи 7.19.
7.16. Функция f^F12', если существуют такие наборы а, Р,
что /(а) = /(Р) = 0, а для всякого i или <х,- ;? [3,-, или а,-— Р, = 1.
Аналогично дается определение функции / (? GB).
Пусть теперь ф (? S. Тогда существует такой набор а, что
ср {а) — ф (а). Наборы а и а не имеют ни общих нулей, ни общих
единиц. Поэтому, если ф(а) = ф(а) = 0, то ф(?Р1а'; если ф (а) =
=»<р(а) = 1, тоф^С2.
Замечание. Доказанному факту можно придать следующий
вид. Пусть Ф — некоторое множество функций алгебры логики. Че-
Через Ф обозначим его дополнение до множества всех функций Р.
Тогда доказанное утверждение означает, что S с: Fl2) (J G(S!). Это
соотношение в силу обычных соотношений двойственности в теории
множеств равносильно соотношению S 3 FB> (~) Gl2), т. е. функции,
одновременно принадлежащие классам FB) и Gl2>, являются само-
самодвойственными (этот факт также легко следует из определений).
7.17. Пусть / (pS, и это свойство нарушается при любом отождест-
отождествлении переменных. Пусть, кроме того, / не является константой.
Тогда в силу задачи 3.10 функция / зависит не более чем от двух
переменных. Итак, / (х, у) (р S. Тогда для некоторого набора (о^, а2)
имеем / (ах, а2) = /(а!, а2). Если aj = a2, то, отождествляя х и у,
мы получаем какую-либо из констант, т. е. снова несамодвойствен-
несамодвойственную функцию. Значит, ах ф а2. Пусть /@, 1) = /A, 0) = 0. В силу
только что проведенного рассуждения /@, 0) = /A, 1), и остаются
две возможности, либо / @, 0) = 0 и тогда / (х, у) = ху, либо / @, 0) = 1
и тогда f (х, у) = х у. Аналогично рассматривается случай /@, 1) =
= f(l, 0) = i. В этом случае либо f (x, y)=x\j у, либо f (x, у) =
= х V у. Очевидно, что дальнейшее отождествление переменных
у этих функций с сохранением несамодвойственности невозможно.
Итак, имеется шесть функций, обладающих нужным свойством: 0, 1,
ху, XV у, х у, XV у. Вопрос о принадлежности этих функций клас-
классам F<2) и О(а) легко решается непосредственно, исходя из определе-
определений. Случай констант уже обсуждался. Рассмотрим для примера
функцию f (х, y) = xv у. Поскольку f @, 1) = /A, 0) = 1, то функ-
функция / не входит в GB>. Что касается функций х у и х V у, то это
функции Шеффера, а потому они не входят ни в один предполный,
а значит, и, вообще ни в один функционально замкнутый класс,
отличный от Р. .
. 7.18. Рассмотрим, например, случай f (хг л:„) (jF GB). Случай
f tf. FB) рассматривается аналогично, а кроме того, он может быть
получен при помощи закона двойственности. При решении за-
задачи 7.16 мы дали определение функции / (? G<2). Должны существо-
существовать наборы а = (<*!, .... а„), P = (Pi, -.., Pn)i не имеющие общих
единиц, на которых /(а)=/(($)=!. Разделим переменные хг, . ., хп
на три группы. В первую включим те переменные X/, для которых
ai = 0, Р/ = 1, во вторую—те переменные х,-, для которых а, = 1,
Р,-=0, и в третью — те переменные xlt для которых а, = р,- = 0. Ото-
Отождествим переменные внутри каждой из этих групп. Получим функ-
111
цию ф({/х, {/2. J/з). Для которой ф @, 1, 0) = фA, 0, 0)=1, т. е.
ф (? ОB). Итак, доказана первая часть утверждения: возможность
получить функцию от трех переменных.
Теперь нужно привести, пример функции от трех переменных,
у которой дальнейшее уменьшение числа переменных невозможно.
Возьмем функцию ф (х, у, г) такую, что ф@, 1, 0) = фA, 0, 0)=1,
а на всех остальных наборах ф = 0, т. е. функция ф^С2' «лишь
из-за одной пары наборов» @, 1,0) и A,0, 0). Ясно, что нельзя
отождествить переменные так, чтобы оба этих набора соответство-
соответствовали каким-либо наборам функции с отождествленными переменными
(так как наборы совпадают лишь в одном разряде). Проведем те же
рассуждения более строго. Имеем ф (х, у, z) = xyz V хуг = г (ху V ху) =
— г{х-\-у). Переменные х и у входят в ф симметрично; поэтому до-
достаточно рассмотреть два' возможных отождествления: х, у; х, г
и показать, что при этом получаются функции, принадлежащие G12'
(тем более тогда отождествление всех трех переменных приведет
к функции из Gl2); впрочем, это видно и непосредственно). Полу-
Получаем ф (х, х, z) = 0?GB>; ф (х, у, х)=х(х-\-у) = ху ? С2>, так как
единственый набор @, 1), на котором ху равна 1, содержит 1. Ана-
Аналогично показывается, что у функции г(х-\-у) нельзя отождествить
переменные так, чтобы вновь получилась функция, не принадле-
принадлежащая FB).
7.19. Покажем, что можно получить функцию из FB) не более
чем от двух переменных. Отождествим переменные у ф! так, чтобы
получилась несамодвойственная функция \р1 от двух переменных.
В силу задачи 7.17 полученная функция либо не будет принадле-
принадлежать Fl2), либо является одной из функций 1 или х V у. В первом
случае наша цель достигнута. Если же if^gF12', то рассмотрим
ф2 (? F(a). В силу предыдущей задачи из ф2, отождествляя перемен-
переменные, можно получить такую функцию от трех переменных 1|з2 (x, у, г),
что я]J @, 1, 1) = я]з2 A, 0, 1) = 0. В зависимости оттого, какая из функ-
функций 1 или х V у у нас имеется, рассмотрим функции vx {х, у) =
~ 'Фг (х> У ') или V2 (х< У) = '^2(х< У> ^Vj/). Для обеих этих функ-
функций имеем V,-@, l) = v,-(l, 0) = 0, т. е. v,-^FB), и, значит, искомая
функция построена. Пример функции ф (х, у) = ху, ф(?8, ф (jf Fl2> по-
показывает, что дальнейшее уменьшение числа переменных, вообще
говоря, невозможно.
Двойственный случай (ф2 ? СB)) рассматривается аналогично
или получается из рассмотренного при помощи закона двойствен-
двойственности.
Решение задачи 7.15. 1. Необходимость. Необходи-
Необходимость условий а), б), в) по существу была проверена при решении
¦задачи 7.13. Проверим необходимость условия г). Если бы все функ-
функции из Ф были самодвойственными, то этим же свойством обладали
бы и все представимые через них и, тем более, самодвойственно пред-
ставимые функции. Поскольку x?S, мы не получим полной системы.
Рассмотрим теперь условие ф5 (р Fl3). Поскольку GB)—двойственный
класс к FB), через функции из FB) самодвойственно представимы
функции из FB>nGB> (см. задачу 7.12). Но в силу замечания к ре-
решению задачи 7.16 FB>nGl2) сг S. Добавление к FB)nGB) функ-
функции х ? S не выводит за пределы S. Аналогично проверяется необ-
необходимость условия е).
2. Достаточность. Пусть ф4(fS зависит от двух перемен-
переменных и для определенности не принадлежит FB) (случай cp4(?GB)
рассматривается аналогично). Тогда в силу задачи 7.17 ф4 является
одной из функций 0, ху, ху, х V у- Последние две функции являются
функциями Шеффера, а потому в этих случаях система Ф полна и,
тем более, самодвойственно полна.
Итак, можно считать, что у нас имеется одна из функций
я]L = 0 или -ф4 (л;, у) = ху. В силу задачи 7.19 из ф4 (?s и фБ$СB>
можно получить функцию г|)Б (х, у) (?Gl2) (от двух переменных).
Посмотрим более внимательно, какой может быть функция я]зБ. Должна
быть пара наборов, не имеющих общих единиц, на которых г|M
равна 1. Это @, 0) и A, 1), либо @, 1) и A,0). В первом случае,
отождествляя переменные у ярБ, мы получим тождественную 1. Пусть
эта возможность не осуществляется. Тогда я]з5 @, 1) = "фБ A, 0)=1,
причем не может быть, чтобы ч]:Б @, 0) = г|)БA, 1)= '¦ Остаются три
возможности; я]з5(О, 0) = 0, я]зБA, 1)=1; -ф5 @, 0) = 0, я]зБA, 1) = 0;
•ф5 @, 0) = 1, т]з5 A, 1) = 0. В этих случаях функция г|)Б имеет соответ-
соответственно вид х V у, х-\-у, ху. В последнем случае мы имеем функцию
Шеффера, и в дальнейших рассмотрениях нет необходимости. Итак,
с одной стороны, у нас имеется одна из функций г|L: 0, ху; с другой
стороны, одна из функций i|v 1. х ¦' У> х-\-у.
Рассмотрим различные возможные комбинации. Если мы имеем
константы 0, 1, то доказываемый результат следует из критерия само-
самодвойственной полноты для расширенной суперпозиции (задача 7.13).
Самодвойственная полнота системы {ху, х V у} уже неоднократно
отмечалась. Из функций tyb(x, у)=х-^у, if4(x, y)—xy можно полу-
получить дизъюнкцию х V у — ху-\-х-\-у = "<рь (ху, \}э5 (jc, у)), т. е. этот слу-
случай сводится к предыдущему. Остаются двойственные случаи {1, ху},
{0, х V у) и случай х-\-у (так как x+* = 0, наличие 0 не дает
ничего нового).
Начнем с последнего случая. Тогда в силу задачи 4.11 из нели-
нелинейной функции ф! и 0 можно получить нелинейную функцию
ч{зх (лг, y) = xy-\-ax-\-f>y-\-y (от двух переменных). Если -у = 1. то
я])! @, 0)=1, и мы приходим к уже разобранному случаю, когда
имеются обе константы. Итак, 7 = 0. Если а = [3 = 0, то \р1 (х, у) = ху,
и мы вновь получаем разобранный случай {ху, х-\-у}. Аналогично
обстоит дело со случаем а — $ = 1; тогда я]^ [х, у) = х V у. Оставшиеся
два случая одинаковы. Пусть а=1, Р = 0; тогда \pt (x, у)=ху. Имеем
ifi (х, яр! (х, у))=х(х v у) = ху (см. формулу B.24)). И в этом случае
мы попадаем в уже рассматривавшуюся ситуацию.
Пусть мы имеем функции 0, х V У- Рассмотрим функцию^ С D01.
Если ф2 монотонна, то в силу замечания 2 к решению задачи 7 8
из ф2 и 0 можно получить конъюнкцию ху, и в этом случае все дока-
доказано. Если же ф2^М, то в силу задачи 5.15 из ф2 и 0 можно полу-
получить немонотонную функцию от двух переменных я]з2 (х, у), причем
•ф2A, 0)=1, -ф2 A, 1) = 0. Если i]J@, 0)= 1, то, отождествляя х с у,
мы получаем отрицание, а в результате полную систему. Пусть
теперь я]з2 @, 0) = 0. Могут представиться две возможности: либо
я]з2(х, у) = х-\-у, либо if>2(x, y) = xy. Случай {х+у, х v у} уже разо-
разобран. Из ху, как мы видели при рассмотрении предыдущего случая,
можно получить ху, а тогда мы имеем х v у и ху. Все случаи
разобраны, и доказательство закончено.
113
Замечание Из приведенного доказательства видно, что заме-
замечание к решению задачи 7.13 переносится на случай обычной супер-
суперпозиции (из самодвойственно полной системы всегда можно получить
дизъюнкцию и конъюнкцию).
7.20. Как мы уже неоднократно отмечали (см. указания к за-
задаче 7.7), достаточно показать, что ни один из этих классов не
содержится в другом (очевидно) и что если в системе функций Ф
имеются монотонные функции фх <? D01, ф2 <? К01, фз % Мо, ф4 <? Щ.
то эта система М-полна. Единственная функция, не входящая в Мо,—
это фэ = 1. Аналогично ф4 = 0. Таким образом, М-полнота Ф сле-
следует из соответствующего результата для расширенной суперпозиции
(задача 7.7).
7.21. Пусть в системе линейных функций Ф имеются функции
ф>1 •? Ь„, ф2 (? Llt фз <? LS, ф4 <? О. Покажем, что система Ф будет
L-полной. Отождествим в ф4 максимальное четное число переменных
так, чтобы осталось не менее одной переменной (рассматриваются
лишь существенные переменные). Поскольку х-{-х = 0, получим функ-
функцию я]з4 от двух (х1 + х2-\-а) или от трех переменных {х1-\-х2+х34-а).
Отождествим теперь максимальное четное число переменных у функ-
функций фх, ф2, ф3. Из фх получим функцию ifj = 1 или -фх (х)=х-\-\
(так как у фх свободный член—единица); из ф2—функцию i|J = 0
или я]з2 (х)—х-\-1 (так как или у я]з2 свободный член —нуль и число
переменных четно, или свободный член — единица и число перемен-
переменных нечетно); из ф3—функции -ф3 = 0 или i]K = l (так как у само-
самодвойственной линейной функции число переменных четно). Итак,
или обе функции ч])х,- я]J— константы или по крайней мере одна
из них — отрицание. Но тогда из ifg мы можем получить вторую
константу. Итак, мы имеем обе константы.
Из функции вида xl-\-x2-\-b можно всегда при помощи суперпо-
суперпозиции получить функцию вида x1-\-x2-\-xs=x1-\-(xi-\-x3-\-b)-\-b.
Итак, можно считать, что мы имеем функцию х1-\-х2-\-х34-а-
Подставляя х3 = а, получаем хь+х2. Остается заметить, что {х1-\-х2, 1}
является L-полной системой.
7.22. Полиномы Жегалкина для функций из Рх содержат нечет-
нечетное число одночленов с ненулевыми коэффициентами (к числу одно-
одночленов мы относим и свободный член). Это условие является
необходимым и достаточным. Поскольку все одночлены ненулевой
степени можно выразить через конъюнкцию ху, вопрос сводится
к представимости линейных функций из Pt: x,-f- ... -\-Xk-\-a, где
а = \ при четном k и а = 0 при нечетном k. Ясно, что все эти функ-
функции представимы через х-\-у-\-1 (при 6=0 имеем х-\-х-\-1 = 1; далее,
последовательно подставляя вместо одной из переменных функцию
х-\-у-\-\, мы можем получить все нужные функции; строгое доказа-
доказательство можно провести индукцией по k). Итак, Ргполнота системы
{ху, JC+J/+1} доказана. Очевидно, что она является также Pj-бази-
сом, так как из х-\-у-\-1 можно получать лишь линейные функции,
а из ху—лишь функции из К-
7.23. Пусть f (xt хп) (? Рх. Если /= 1, то 1 =х -» х. Если же
\ф\, то ее можно представить в виде СКНФ (формула B.17)):
flxi *„)= П <'V...Vx°".
На, а„)=0
Ясно, что СКНФ, представляющие функции из Р^ выделяются тем,
что в ннх отсутствует элементарная дизъюнкция хг\/х2\/... Vxn,
114
в которую все переменные входят под знаком отрицания. Поскольку
в систему \х —г у, ху) входит конъюнкция, для доказательства ее
Pj-полноты достаточно показать представимость через х - ¦* у к ху
х""
всех элементарных дизъюнкций х°' . х"", отличных от
XxV-Viv ... v *„. Мы покажем сейчас, что все эти дизъюнкции можно
выразить даже через одну функцию х —-> у.
Как мы уже видели при решении задачи 1.17 (вспомним, что
l
х V i/ = (x —? у)—у у-- -(х X у) - y = xyV_y.
Покажем, что элементарную дизъюнкцию
*i У • ««.VJI, '_ Ш, 1 Ф °.
можно выразить через х—>у=хуу. Доказательство будем вести
индукцией по п — т-\-1. Основание индукции (например, для п — 2)
уже проведено. Пусть для числа переменных, меньшего п, предста-
представимость доказана. Можно считать, что я;>-3. Рассмотрим два случая.
Если /3^2, то по предложению индукции можно представить
ji'iV... VxmVf/iV. •. Jyi-i- Подставляя вместо у!-1 дизъюнкцию
yi-iVyi (которую также' можно представить), мы получаем искомую
функцию. Если же /=1, то т^2 и можно представить х^
.. .Vxm-1vy1. Мы получим искомую функцию, если вместо^ пред-
представим xmwy = xm —-*¦ у. Тем самым Рх-полнота доказана.
Мы уже отмечали при решении предыдущей задачи что одна
функция ху не образует Pi-полную систему. Аналогичный факт имеет
место и для функции х—>- у, но он не столь очевиден. Дело в том,
что х ¦—»• у не принадлежит ни одному предполному классу, исклю-
исключая Pj. Поэтому необходимо прибегнуть к какому-либо из непред-
полных функционально замкнутых классов. Подходящий класс уже
встречался в наших рассмотрениях: это FB). Имеем х—»-f/?Fl2),
так как она равна нулю лишь на наборе (I, 0), содержащем нуль.
Ясно также, что FB> СГ Рх, но не совпадает с Рх (например, ху& FB>,
€P)
i)
7.24. Докажем, что классы Pol, Lx, Mt, FB) — полная система
Р1-предполных классов. Ясно, что Ро1, Lx, Мх не совпадают с Ръ
так как это противоречило бы предполноте Pj (тогда было бы PxClPo,
или Р, cz M, или PxCrL); для F12' sto доказано при решении пре-
предыдущей задачи. Без труда строятся примеры функций, показываю-
показывающие, что ни один из этих классов не содержится в другом (постройте
эти примеры!).
Теперь покажем, что если в системе функций Ф имеются функ-
функции фх^Рси, ЧаС^!, «Fs^Mi, «p4(pFB), то система Ф является
Р,-полной.
1) Отождествляя переменные у функции ц1г сохраняющей едини-
единицу, но не сохраняющей нуля, мы получаем тождественную единицу.
2) Возьмем теперь немонотонную функцию ф3. Отождествляя
у неё переменные и подставляя коистаиту 1, в силу задачи 5.15
можно получить немонотонную функцию от двух переменных ip3(x, у),
причем я]з3 @, 0)=1, у>3A, 0) = 0. Далее, г|KA, 1)=1, так как ф3
сохраняла 1, а это свойство сохраняется при отождествлении пере-
переменных и подстановке единицы. Для функции -ф3 остаются две
возможности: либо ^3 @, !)==! и тогда х]K (х, у)=х—>- у, либо
1}>3@, 1) = 0 и тогда я]K(х, у) = х-^у-\ 1.
115
3) Теперь мы проделаем аналогичные преобразования с функцией
<р4(? FB>. Поскольку 1 (?S, в силу задачи 7.13, отождествляя пере-
переменные и подставляя единицу, мы можем получить функцию
•фЛ*. f/)^FB):^4(°. 0 = 'ф4A. 0) = 0. Поскольку ф4 ? Рх, а значит,
и \J34 ^ Р1э имеем i]L(l, 1) = 1- Если 1]з4 @, 0) = 0, то я]з4 (х, у) = ху;
если же я]з4 @, 0) = 1, то -ф4 {х, f/) = *+{/+ 1.
4) Сопоставляя 2) и 3), получаем, что или мы имеем функцию
х-\-у-{-\, или мы имеем функции ху, х—»¦ у. Во втором случае
в силу задачи 7.23 мы имеем Ргполную систему.
5) Пусть мы имеем функцию х-\-у-{-\. Рассмотрим функцию
Фг С l-i• Поскольку у нас есть константа 1, мы можем получить из
ф2 нелинейную функцию от двух переменных я]з2 (х, у) = ху-\~ах-\-
+ $У + У (задача 4.11). Если а ф 0, то, подставляя в х-\-у-\-\
вместо у функцию i]32 (x, у), мы получим нелинейную функцию от
двух переменных с а = 0. Аналогично можно обратить в нуль коэф-
коэффициент при у. Получим функцию ху -\-Ь. Эта функция должна сох-
сохранять 1, так как мы получили ее в результате суперпозиции функций
из Р1. Поэтому 6 = 0, и мы получили конъюнкцию ху (впрочем, ху-\-
+ 1 —функция Шеффера). В результате в силу задачи 7.22 мы имеем
Рх-полную систему. Доказательство закончено.
Замечание. В ряде рассмотренных выше задач, в частности
в задаче 7.24, мы видели, что при изучении Q-предполных классов
для предполных классов Q важную роль играют пересечения класса
Q с другими предполными классами. Однако не всякий Q-предпол-
ный класс имеет такой вид (например, класс FB> в Pj). С другой
стороны, не всякое пересечение класса Q с предполнымн классами
является Q-предполным. Например, класс Si —SflPj не является
Pj-предполным; St содержится, в частности, в Р01, не совпадая
с ним. Можно привести и другие примеры.
7.26. При х„ = 1 функции т превращаются в дизъюнкции в тех
случаях, когда они заменяют дизъюнкции (т {¦*, *, хп)), и в конъюнк-
конъюнкции, когда они заменяют конъюнкции, т. е., подставляя х„ = 1, мы
получим представление для ф (хх, ..., хп-1). Если подставить х„ —0,
то получится двойственная функция ф+ (xlt ..., х„_1)=я]) (xlt ...,xn^l)
(в силу закона двойственности). Поскольку / совпадает с ф при
хп=\ и с г|) при хп = 0, то мы действительно получили /.
Ясно, что ни одна из функций т (х, у, г), х в отдельности не
образует S-полную систему (т (х, у, z)~xyVyzVxz—монотонная
функция, х — функция от одной переменной).
7.27. Пусть в системе функций Ф имеются функции ф!^[8Ь,
Фг t,S»K
1. Отождествляя переменные у ф2, получаем функцию х.
2. В силу задачи 4.10 у функции фх можно отождествить пере-
переменные так, чтобы получилась нелинейная функция от трех пере-
переменных я|; (х, у, г). Функция ty будет также самодвойственной. Заме-
Заметим, что я]) будет существенно зависеть от всех трех переменных,
так как нет нелинейных самодвойственных функций, зависящих от
меньшего числа переменных (самодвойственные функции от двух
переменных: х, у, х, у). Пусть
•ф (х, у, z)=axyz-\-b1xy + b.iyz-\-b3xz + c1x-\-ciy-\-c3z-\ d.
Рассмотрим двойственную функцию я]з+ [х, у, г) = я]з(х, у, г) =
= я]з(х+1, y+l, z , 1); 1."Пусть
•ф + (х, у, г) = а'хуг + b[xy + b\yz + b'sxz + с\х+с\у+с'3г + й'.
116
Ясно, что а = а', bi = b-\-a*). Поскольку я]з = г|)+, а представление
в виде полинома Жегалкина единственно, 6/ = 6,-, а значит, а = 0.
Далее, Q=c,- + fy+fcft, где i, /, k все различны. Отсюда следует,
что все суммы by-j-fe^ = 0, а потому либо все 6,-=1, либо все 6, = 0.
Второе исключено, так как я]з—нелинейная функция. Наконец,
d'=d-\-c1-\-c2-\-cs, т. е. сумма Ci + c2-j-c3 = 0. Таким образом, либо
все с,- равны нулю, либо только одно из них равно нулю (пусть для
определенности с3 = 0). Итак,
я]з(х, у, z) = xy+yz+xz + c(x+y) + d.
Если с=1, то рассмотрим v (х, у, г) = я]з(л:, i/, г). Получим:
v(x, у, z) =
Если теперь d=\, то, рассматривая v (x, у, г), получаем функцию
xy-\-yz-\-xz. Значит, в силу предыдущей задачи система Ф является
S-полной.
Легко проверяется, что ни один из классов SL, S01 не содер-
содержится в другом и не совпадает с S.
Замечание. Как уже говорилось в замечании к решению
задачи 7.25, класс S01 = S1 = S0 не является Ргпредполным. Сейчас
же мы видим, что он является S-предполным. Таким образом, пере-
пересечение двух предполных классов S и Рг в одном из них (S) явля-
является предполным, в другом (Рх)—нет. Пользуясь языком, введенным
в п. 1 этого параграфа, можно сказать, что класс Sol не принадле-
принадлежит третьему этажу, хотя и является S-предполным, так как он
содержится в классе Р01 из третьего этажа.
7.28. Множество функций, самодвойственно представимых через
некоторую систему функций, является в силу задачи 7.12 самодвой-
самодвойственным функционально замкнутым классом, т. е. совпадающим
с двойственным классом (не путать с подклассом класса самодвой-
самодвойственных функций). Таких классов конечное число: они занимают
в схеме среднюю вертикаль: Р, POi, М, Мо1, S, Sol, SM, L, SL и
т. д. В качестве совокупности 91 такой, что 21-полнота совпадает
с самодвойственной полнотой, можно взять совокупность таких из
этих классов Q, что единственный класс, содержащий Q и х,—
это класс Р всех функций. Поскольку х ? S, х ? L, то ясно, что
классы L, S и содержащиеся в них классы не обладают этим свойст-
свойством. Напротив, остальные классы Р, Р01, М, М01 этим свойством
обладают. Итак, 3( состоит из этих четырех классов. Ясно, что
предельные классы не содержат ни одного из них. Поэтому, дви-
двигаясь от Р вниз, найдем все классы, их содержащие.. Это Р, Р„, Рг,
Р01, М, Мо, Мх, М01. Остается взять все Q-предполные' классы
для этих классов Q, отбросив те из них, которые содержатся в дру-
других. Получаются классы L, S, Fl2>, Gl2>, D01, К01, т. е. те классы,
которые указаны в условии задачи 7.15.
7.29. В SM имеется один SM-предполный класс—это класс KD,
состоящий из одной функции х. Поэтому любая другая функция из
S1W (например, xyVyzVxz) образует SM-базис. Попытайтесь дока-
доказать это, не используя схему Поста.
*) Всюду рассматриваются суммы по модулю 2.
§8. СХЕМЫ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
1. Функциональные элементы без задержки и схемы из
них. Пусть имеется некоторое устройство (рис. 9), внут-
внутренняя структура которого нас не интересует, а известно
лишь, что оно имеет п упорядоченных
f «входов» (например, занумерованных чис-
числами от 1 до п) и один «выход». На каждый
из входов могут подаваться два сигнала
7 тт т т (например, отсутствие электрического тока
IN II или наличие его), которые мы условимся
12 3 п-1 п обозначать символами 0 и 1, и при каждом
Рис. 9. наборе сигналов на входах на выходе
возникает один из сигналов @ или 1),
причем набор сигналов на входах однозначно определяет
сигнал на выходе. Такое устройство назовем функцио-
функциональным элементом *). Ясно, что каждому функциональному
элементу отвечает функция алгебры логики f{xx, . . ., хп)
(мы будем говорить, что функциональный элемент реализует
эту функцию /), которая строится следующим образом:
входу с номером / A ^/^п) ставится в соответствие пере-
переменная xt и каждому (двоичному) набору значений этих
переменных отвечает величина f(xu . . ., хп), равная 0 или
1 в зависимости от того, какой сигнал возникает на вы-
выходе при подаче этого набора на входы функционального
элемента. *
Если у нас имеется несколько функциональных элемен-
элементов, то из них можно получать новые сложные функциональ-
функциональные элементы следующим образом. Один из входов одного
*) В этом пункте мы рассматриваем функциональные элементы
без учета времени, т. е считаем, что сигнал на выходе возникает в тот
же момент, когда подаются входные сигналы. В следующем пункте
мы отказываемся от предложения о мгновенном срабатывании функци-
онятьных элементов.
t
?
11
Рис.
10.
Г* i\ I
функционального элемента можно соединить с выходом
другого функционального элемента (рис. 10). Возникающее
при этом устройство можно считать новым функциональ-
функциональным элементом, выходом которого является i
выход первого элемента (/), а входами все
оставшиеся свободными входы обоих элемен-
элементов, т. е. все входы второго элемента (ф) и те
входы первого элемента, которые не соеди-
соединены с выходом второго. Если теперь на все
эти входы подать сигналы, то на свободные
входы элемента / они попадут непосредственно,
а на оставшийся попадет сигнал, возникший
на выходе элемента ср.
Кроме этой операции можно отождествлять
входы функционального элемента (рис. 11).
При этом возникает новый функциональный элемент, у
которого тот же выход и те же входы, кроме отождествлен-
. ных, которые теперь считаются одним входом.
* Подача набора сигналов на входы этого
нового элемента равносильна подаче на входы
/ набора сигналов, в котором на все отождест-
отождествленные входы подается один и тот же сигнал.
Можно, далее, у какого-нибудь элемента /
' соединить некоторые (различные) входы с вы-
Рис. 11. ходами других элементов <р,, . ., ф/(, а неко-
некоторые группы входов / (не соединенных с
выходами <pj) такие, что ни один вход не попадает одно-
одновременно в различные группы, отождествить (пример при-
приведен на рис. 12). Ясно, что
функция, которая реализу-
реализуется этим сложным функцио-
функциональным элементом, является
суперпозицией функ-
функций, реализуемых теми функ-
функциональными элементами, из
которых он построен. Именно,
если выход элемента, реали-
реализующего функцию фг, соеди-
соединен с какими-то входами эле-
элемента, реализующего функ- Рис. 12.
цию Д то в соответствующий
аргумент функции / нужно подставить функцию ф?. Всем
отождествленным входам в одной группе нужно поста-
поставить в соответствие один и тот же аргумент.
и
ТТ
у
119
Мы будем называть допустимыми соединениями функ-
функциональных элементов, или схемами, соединения, получае-
получаемые многократным повторением конструкций, указанных
на рис. 10, 11. При этом схемы, полученные на некотором
шаге, в дальнейшем используются как функциональные
элементы, которые соединяются по тем же правилам. Опи-
Опишем теперь аккуратно класс допустимых соединений. Соот-
Соответствующее определение дается по индукции аналогично
определению 2.3 суперпозиции функций алгебры логики.
Некоторые отличия мы обсудим ниже.
Определение 8.1. а) Всякий функциональный
элемент является схемой. Ее входами являются входы этого
элемента, выходом — его выход.
б) Если So — схема и два ее входа соединены вместе,
то получившаяся в результате конструкция S также яв-
является схемой, причем выход у S тот же, что у So, а вхо-
входами 5 являются несоединенные входы So и еще один вход,
соответствующий двум соединенным входам So.
в) Если SB и S, ¦— схемы, то схемой будет также кон-
конструкция S, полученная соединением какого-либо входа
схемы So с выходом схемы Slt причем выходом схемы S
будет выход схемы So, а входами — все входы схемы St
и все входы So, за исключением того, который соединен
с выходом схемы Sx.
г) Всякая схема может быть построена из функциональ-
функциональных элементов за конечное число шагов при помощи кон-
конструкций, описанных в б) и в).
Это определение по форме несколько отличается от определения 2.3,
что связано прежде, всего с отказом от рассмотрения понятия ранга
схемы (числа шагов, за которое она получается из функциональных
элементов). Пункт г) равносилен последней фразе в определении 2.3.
Операция пункта в) соответствует операции б) из определения 2.3.
Операция пункта б) отвечает операции отождествления переменных.
Нам нет необходимости вводить аналог общей операции переимено-
переименования переменной по следующей причине. Когда мы ставили в соответ-
соответствие функциональному элементу функцию алгебры логики, им реали-
реализуемую, мы ставили в соответствие его входам произвольные перемен-
переменные. Таким образом, функции, отличающиеся только обозначениями
переменных (согласно определениям из § 2 они, вообще говоря, не рав-
равносильны), реализуются одним и тем же функциональным элементом.
В этом смысле соответствие между функциями и элементами не яв-
является взаимно-однозначным.
Укажем, как проводятся индуктивные рассуждения
для схем. Для индуктивного доказательства какого-нибудь
утверждения, прежде всего, следует проверить его спра-
справедливость для функциональных элементов (основание
120
индукции). Затем, предполагая это утверждение справед-
справедливым для схемы So, надо доказать его для схемы S, полу-
полученной из So объединением входов (б) определения 8.1),
и из справедливости его для схем So и St сделать вывод
о его справедливости для схемы S, построенной в в) опре-
определения 8.1 (индуктивный переход). Аналогично вводятся
различные характеристики схем.
8.1. Определить функцию алгебры логики, реализуемую
схемой. Показать, что она определена однозначно с точ-
точностью до переобозначения переменных, не приводящего
к их отождествлению. ^
Нам удобно считать, что равносильные функции реали-
реализуются одним и тем же элементом. Для этого введем понятие
фиктивного входа.
Определение 8.2. Будем называть вход х функ-
функционального элемента / фиктивным, если при любом наборе
сигналов на остальных входах сигнал на выходе не зависит
от сигнала на входе х (т. е. у реализуемой этим элементом
функции соответствующая переменная является фиктивной).
Будем называть эквивалентными функциональные эле-
элементы, отличающиеся разве лишь нумерацией входов и
фиктивными входами.
Таким образом, можно формально добавлять (и отбра-
отбрасывать) любое число фиктивных входов, не изменяя (с точ-
точностью до эквивалентности) функциональный элемент.
В дальнейшем при доказательстве того, что некоторое
соединение элементов допустимо (является схемой), мы
не всегда будем, следуя определению 8.1, разбивать ее
построение на элементарные шаги (б), в) этого определения).
Мы будем использовать более крупные шаги (подобные
изображенному на рис. 12), если они очевидным образом
распадаются на элементарные операции.
Теперь посмотрим, как на языке схем перефразируется
задача о полноте системы функций. Имеется некоторая
система Ф функциональных элементов iplt . . ., ipB (точнее,
типов функциональных элементов, т. е. имеется неограни-
неограниченное число элементов, реализующих каждую из функций
Ф7-). Спрашивается, при каких условиях на эту систему
любую функцию алгебры логики можно реализовать при
помощи схемы из элементов системы Ф. Поскольку, как
следует из решения задачи 8.1, допустимыми являются те
и только те соединения элементов, которые отвечают
121
X
1
Рис. 13.
суперпозициям реализуемых ими функций, ответ на этот
вопрос дается теоремой Поста.
Итак, мы видим, что язык схем из функциональных эле-
элементов эквивалентен языку суперпозиций функций алгебры
логики. Однако при рассмотрении схем возникают некото-
некоторые новые вопросы (неестественные в старой постановке
задачи). На один из них мы сейчас хотим обра-
обратить внимание. Не следует думать, что любые
соединения функциональных элементов явля-
являются допустимыми. Есть несколько очевидных
условий: не могут соединяться выходы; у схемы
существует единственный выход, и т. д. Но есть
и менее очевидные требования. Пусть мы имеем,
например, один-единственный элемент, у кото-
которого все входы, кроме одного, фиктивны, и он
реализует отрицание аргумента, соответствую-
соответствующего этому входу. Соединим этот существенный вход
с выходом элемента (рис. 13).
Ясно, что мы не получаем функционального элемента,
поскольку мы не можем приписать выходу никакого значе-
значения, так как, с одной стороны, оно должно совпадать со зна-
значением на существенном входе (они соединены), а с другой
стороны, они должны быть различны (исходный элемент
реализует х). Аналогичная ситуация возникала у нас при
рассмотрении сложных высказываний
(§ 1, стр. 24). Может возникнуть возра-
возражение, что у устройства, указанного на
рис. 13, нет свободного выхода. Но это
несущественное обстоятельство, так как
можно рассмотреть соединение (рис. 14),
которое хотя и имеет свободный выход,
однако обладает прежним свойством. Из
задачи 8.1 (да и непосредственно) видно,
что соединения на рис. 13, 14 не явля-
являются схемами. Причина этого состоит в том, что сигнал
на одном из входов элемента х зависит от сигнала на его
выходе, чего не может быть при допустимых соединениях
элементов (это следовало бы доказывать по индукции; мы
обсудим этот вопрос несколько ниже).
8.2. Какие из указанных на рис. 15 *) соединений
функциональных элементов являются схемами? ^
указывает на то, что эти пути не сое-
У
Рис. 14.
*) Обозначение
днняются.
122
При помощи определения 8.1 можно доказать, что какое-
либо соединение является схемой. Однако при доказатель-
доказательстве того, что некоторое соединение не является схемой,
приходится искать какие-либо свойства схем, которыми
данное соединение не обладает (см. решение предыдущей
задачи). При решении таких задач удобен критерий того,
что соединение является схемой, который мы сейчас полу-
получим (задача 8.3).
I t L
Рис. 15.
Определение 8.3. Пусть имеются некоторым об-
образом соединенные функциональные элементы *). Совокуп-
Совокупность элементов щ, . . ., фЛ называется циклом, если выход
элемента <Pi соединен с каким-то входом элемента ф2, выход
ф2 — с каким-то входом ф3 и т. д., выход фЛ_1 — с каким-то
входом фй, а выход фй — с каким-то входом <p1#
В этом случае еще говорят, что в соединении элементов
имеется обратная связь.
На рис. 13 и 14 изображены простейшие примеры циклов -
8.3. Доказать, что соединение S конечного числа функ-
функциональных элементов q>lt . . ., фт является схемой тогда
и только тогда, когда
*) При соединении функциональных элементов вход одного со-
соединяется с выходом другого. Никаких других ограничений нет.
123
1) среди элементов фг имеется один и только один эле-
элемент со свободным выходом (т. е. с выходом, не соединен-
соединенным ни с какими из входов элементов ф7-) *);
2) вход каждого элемента фг может быть соединен не
более чем с одним из выходов элементов (ру,
3) в S нет обратных связей (циклов). ^
8.4. Какие из указанных на рис. 16. соединений являют-
являются схемами? ^
t
Другие примеры соединений функциональных элемен-
элементов, как являющихся схемами, так и не являющихся ими,
читатель построит без труда самостоятельно.
2. Многотактные схемы из функциональных элементов.
Работу схем из функциональных элементов можно мыслить
двумя способами. Первый способ (см. сноску на стр. 118)
состоит в предположении о том, что элементы срабатывают
мгновенно. В этом случае в тот же момент, когда какие-то
сигналы подаются на входы схемы, на ее выходе возникает
результирующий сигнал. Другое возможное предположение
состоит в том, что для получения выходного сигнала функ-
функционального элемента требуется некоторое время. Тогда,
если на входы схемы подать сигналы, то на входы элементов
схемы сигналы могут приходить не одновременно, так как
при этом сигналы, пришедшие на разные входы внутрен-
*) От требования 1) часто удобно отказаться, рассматривая схемы
с несколькими выходами. Тогда на каждом из выходов реализуется
своя функция алгебры логики.
124
них элементов, могут пройти через разное число элементов,
да и время, требующееся различным элементам для обра-
обработки входных сигналов, может быть различным. Однако
можно предположить, что сигналы на входы схемы подаются
сколь угодно долго с тем, чтобы те сигналы, которые при-
приходят на одни входы внутренних элементов раньше, чем
на другие входы этих же элементов, продолжали поступать
до тех пор, пока и на остальные входы поступят нужные
сигналы. В результате через некоторое время на выходе
схемы появится сигнал, соответствующий сигналам, по-
подающимся на входы схемы. После этого (а иногда даже
ранее) подачу сигналов на входы можно прекратить и при
желании использовать эту схему для вычисления значения
реализующей ее функции на новом наборе значений аргу-
аргументов.
Первое из этих предположений (о мгновенности работы
элементов) неестественно с точки зрения реализации функ-
функциональных элементов. Второе предположение вполне
соответствует реальной ситуации — но у него имеется один
серьезный недостаток: необходимость подавать входные
сигналы в течение некоторого времени, а также то, что
в течение определенного времени на выходе схемы появ-
появляются сигналы, не соответствующие сигналам, подающимся
на входы. Это обстоятельство можно еще выразить и так:
при указанных предположениях о работе функциональных
элементов схемы из них нельзя рассматривать как некото-
некоторый новый функциональный элемент. При этом следует
уточнить, что мы понимаем под функциональным элементом
в новых условиях (с учетом времени его работы). Функ-
Функциональный элемент — это такое устройство (схематически
изображенное на рис. 9), что при подаче некоторого набора
сигналов на его входы через некоторое фиксированное для*
данного элемента время v на выходе элемента появляется
вполне определенный сигнал (значение реализуемой функ-
функции на этом наборе). При этом, если в следующий момент
времени на входы будет подан новый набор сигналов, то
через время v после его подачи на выходе появится соот-
соответствующий ему сигнал, т. е. обработка наборов сигналов,
последовательно подаваемых на входы элемента, проводится
независимо. Мы предполагаем здесь, что время изменяется
дискретно, т. е. принимает натуральные значения t= I, 2, ...
. . ., k, . . Единицу времени мы назовем тактом. Другими
словами, мы следим за состоянием входов и выходов эле-
элементов лишь в моменты времени, кратные одному такту.
125
Время v, которое проходит между подачей входных сигна-
сигналов и появлением выходного сигнала, называется временем
задержки функционального элемента. Теперь ясно, что
схема из функциональных элементов, работа которой пони-
понимается вторым из указанных выше способов, не является,
вообще говоря, функциональным элементом.
При рассмотрении сложных схем может оказаться слож-
сложным вычисление времени (числа тактов), в течение которого
нужно подавать сигналы на входы; при этом при соединении
схем это время для входов объединенной схемы, как прави-
правило, будет не тем, что для входов отдельных схем и т. д.
Поэтому мы ограничимся рассмотрением схем, являю-
являющихся функциональными элементами в новом смысле.
При построении таких схем важную роль будут играть
специальные элементы — элементы задержка, обеспечи-
обеспечивающие одновременную подачу сигналов на все входы каж-
каждого элемента схемы. Элементы задержки — это функцио-
функциональные элементы, реализующие фуньцию х, т. е. на вы-
выходе возникает тот же сигнал, что и на входе, но с некоторой
задержкой (через некоторое число тактов).
Введем ограничение, которое сильно упростит рассмот-
рассмотрения. Именно, будем считать, что все функциональные эле-
элементы, из которых строятся схемы, являются однотакт-
ными, т. е. между сигналами на входе и результирующим
сигналом на выходе происходит один такт. Подача сигнала
на вход элемента происходит мгновенно; через один такт
можно подавать новый сигнал.
Определение 8.4. Схема из функциональных эле-
элементов S реализует некоторую функцию алгебры логики /
с задержкой v, если ее входы можно отождествить с аргу-
аргументами / так, что при подаче в любой момент времени
на входы S некоторого набора сигналов на выходе S через v
тактов возникает сигнал, отвечающий значению функции /
при значениях аргументов, соответствующих поданным
сигналам. Такую схему S можно рассматривать как функ-
функциональный элемент с временем задержки v, реализующий
функцию /.
Схема, реализующая какую-либо функцию алгебры
логики, называется правильной.
Схемы из функциональных элементов,' работающих
мгновенно, мы будем в дальнейшем называть нультакт-
ными; схемы из однотактных функциональных элементов
(мы договорились рассматривать только такие функциональ-
функциональные элементы) — многотактными, или просто схемами.
126
Рис. 17.
8.5. Привести пример неправильной схемы. ^
Замечание 1. Если в правильной схеме (состоя-
(состоящей из однотактных элементов) предположить все элементы
нультактными, то получившаяся нультактная схема будет
реализовать ту же функцию алгебры логики, что и исходная
многотактная.
Замечание 2. Не следует думать, что задержка v,
с которой правильная схема S реализует функцию /, рав-
равняется максимальному числу последовательно соединен-
соединенных элементов схемы. Например, задержку в один такт
может иметь схема, состоящая бо-
более чем из одного функционального
элемента. На рис. 17 приведен
пример такой схемы. Если здесь ф!
реализует xy(z\yt\/s), ф2 реализует
uv, ф3 реализует р, ф4 реализует г,
то вся схема реализует ху с задерж-
задержкой в один такт. Характерно, что
два последних входа схемы явля-
являются фиктивными входами схемы,
но существенными входами ее внутренних элементов. Сиг-
Сигналы на входах элемента ф! в момент времени t зависят (су-
(существенно) как от сигналов на первых двух входах S в тот
же момент t, так и от сигналов на двух других входах S
в предыдущий момент t—1;- но от последних двух выходной
сигнал ф] будет зависеть фиктивно. Вообще, если задержка
равна v, то выходной сигнал схемы в момент времени t
зависит только от сигналов на ее входах в момент времени
t—v, в то время как соответствующие сигналы на входах
и выходах внутренних элементов схемы могут зависеть
как от более ранних сигналов на ее входах (так было в рас-
рассмотренном примере), так и от более поздних (приведите
пример), но выходной сигнал схемы зависит от них фик-
фиктивно.
Замечание 3. Все входы элементов или схем,
реализующих константы, являются фиктивными. Все такие
схемы можно считать имеющими задержку нуль (как, впро-
впрочем, и любую другую). Дело в том, что независимо от того,
сколько времени проходит между поступлением сигналов
на входы и выходом обработанного сигнала, нужный нам
сигнал на выходе мы уже имеем (в любой момент вре-
времени). В дальнейшем мы будем исходить из предположения,
что если вообще можно реализовать какую-то константу
127
схемой из данного запаса элементов, то мы имеем нультакт-
ный функциональный элемент, ее реализующий.
При решении задач иногда полезно иметь в виду сле-
следующее обстоятельство.
8.6. Доказать, что всякую правильную схему S можно
перестроить так, что она, оставаясь правильной, будет
реализовывать ту же функцию алгебры логики с той же
задержкой, будет состоять из функциональных элементов
тех же типов, но в ней могут отождествляться лишь входы
элементов, являющиеся входами схемы. ^
В вопросах, которые мы будем рассматривать ниже,
можно ограничиться схемами, обладающими перечислен-
перечисленными в задаче 8.6 свойствами (хотя это и не обязательно).
Мы будем постоянно пользоваться последовательностью
схем St, построенной при решении задачи 8.3. Заметим,
что при наложенных в задаче 8.6 ограничениях множество
Mt состоит из всех элементов, выходы которых соединены
с входами Si (они не могут быть соединены с входами
других элементов). При этом входы Sit которые не соеди-
соединены с выходами элементов Miy являются входами всей
схемы S.
Если St=S, St^ry^S, то будем говорить, что i — глу-
глубина схемы S. Как мы отмечали (замечание 2), глубина,
вообще говоря, не совпадает с величиной задержки.
Переходим к рассмотрению основного вопроса этого
пункта — вопроса о полноте системы однотактных функ-
функциональных элементов. Постановка вопроса аналогична
прежней.
Определение 8.5. Система Ф (однотактных) функ-
функциональных элементов *), реализующих функции ф1,...,фп,
называется полной, если всякую функцию алгебры логики
можно реализовать (все равно с какой задержкой) схемой,
составленной из этих элементов.
Начнем с рассмотрения примеров.
8.7. 1) Пусть система функциональных элементов Ф
содержит элемент задержки (ф!=л;) и функции, реализуе-
реализуемые ее элементами, образуют полную систему (в смысле
функций алгебры логики). Тогда система Ф полна. Пока-
Показать, что первое из этих условий не является необходимым.
*) Точнее, как мы уже отмечали на стр. 121, типов функциональных
элементов.
128
2) Пусть Ф состоит из элемента задержки (pj (реализую-
(реализующего х) и элемента Шеффера фа, реализующего ху. По-
Построить схемы, реализующие: а) х; б) ху; в) x\Jу; г) 1;
д) 0; е) х-\-у. Указать величину задержки. А
8.8. Показать, что система элементов {ху, 1}*) полна. Л
Итак, мы видели, что наличие элементов задержки не
является необходимым для полноты системы функциональ-
функциональных элементов. Возникает вопрос, можно ли от него отка-
отказаться, т. е. совпадают ли условия полноты однотактных
функциональных элементов и соответствующих функций
алгебры логики. Мы советуем читателю попытаться самому
разобраться в этом вопросе перед тем, как читать дальней-
дальнейший текст, в котором он решается.
8.9. Будет ли полной система, состоящая из функ-
функционального элемента ф, реализующего функцию Шеффе-
Шеффера ху? ^
Решив эту задачу, читатель убедится, что условие пол-
полноты системы однотактных функциональных элементов
не совпадает с условием полноты системы реализуемых
ими функций. Рассмотрим еще один пример.
8.10. Получим ли мы полную систему, если присоединим
к элементу ф, реализующему функцию Шеффера ху, эле-
элементы, реализующие константы? ^
Внимательное продумывание примеров, рассмотренных
в задачах 8.9 и 8.'0, позволит читателю решить вопрос
о полноте.
8.11. Найти необходимые и достаточные условия пол-
полноты системы однотактных функциональных элементов. ^
Заметим, что если отказаться от однотактности элемен-
элементарных функциональных элементов, а разрешить им иметь
любое время задержки, то задача о полноте осложняется
(см. [1]). В этом случае условие полноты содержит беско-
бесконечное число условий.
*) Часто мы будем писать «функциональный элемент / (xt *„)»
вместо «функциональный элемент, реализующий функцию / (х,,. . .,*,j».
5 С. Г. Гиндикин 129
Правильным схемам из однотактных элементов отвечают
.некоторые суперпозиции соответствующих функций. Поэто-
Поэтому мы фактически рассматривали вопрос о полноте отно-
относительно некоторого сужения обычной суперпозиции (ср.
расширенную суперпозицию, рассмотренную в п. 2 § 7).
Описание этого класса суперпозиций было дано нами на
языке схем (определение правильной схемы), однако его
можно дать и не прибегая к этому языку. В заключение
этого пункта мы предлагаем читателю рассмотреть неко-
некоторые другие сужения суперпозиции (не имеющие отноше-
отношения к схемам) и выяснить вопрос о полноте для них. За-
Заранее ясно, что в то время, как переход к расширенной
суперпозиции приводит к уменьшению числа классов (и,
в частности, предполных), сужение класса суперпозиций
приводит, вообще говоря, к увеличению их числа. *
Определение 8.6. Суперпозиция системы функ-
функций Ф называется глобальной, если она может быть полу-
получена из элементов Ф путем последовательного применения
операций переименования переменных (и, в частности,
их отождествления) и подстановки каких-то функций
Ф1> • • •. фп€Ф вместо всех аргументов некоторой функ-
функции /(*!, . ., хл)еФ.
Ограничение состоит в том, что не разрешается подста-
подстановка вместо части аргументов функции. Однако, если
в системе Ф имеется функция х, то любую суперпозицию
можно считать глобальной (так как тогда аргумент у можно
оставить неизменным, подставляя вместо него <р(у)=у).
8.12. Привести пример системы функций, полной в обыч-
обычном смысле, но не полной относительно глобальной супер-
суперпозиции. ^
8.13. Найти условия полноты системы функций отно-
относительно глобальной суперпозиции. ^
8.14. Назовем подстановку функций (plf . ., фй вместо
некоторых аргументов функции / сокращающей, если полу-
полученная в результате функция будет фиктивно зависеть от
всех аргументов функций ц>и . . ., (pft. Расширим понятие
глобальной суперпозиции, допуская наряду с подстановкой
во все аргументы сокращающую подстановку. Выяснить ус-
условия полноты относительно этого класса суперпозиций. А
3. Автоматы без обратных связей. Мы выяснили в пре-
предыдущем пункте, что схемы из однотактных функциональ-
функциональных элементов лишь в специальных случаях (правильных
130
схем) реализуют функции алгебры логики. Возникает во-
вопрос, как же описать работу схемы из однотактных эле-
элементов в общем случае. Будем считать, что на входы схемы
в каждый момент времени подаются какие-то сигналы.
Ясно, что сигнал на выходе схемы зависит от сигналов,
подаваемых на входы в течение нескольких предшество-
предшествовавших моментов времени.
Воспользуемся введенным в замечании к решению задачи
8.7 понятием верхнего индекса. По аналогии с ним индук-
индуктивно введем понятие нижнего индекса: нижний индекс
элемента <р схемы на единицу больше минимального из
нижних индексов элементов, выходы которых соединены
с входами ф. Другими словами, нижний индекс ф равен
минимальному числу элементов, которые нужно пройти
какому-либо сигналу, поданному на вход схемы, прежде
чем попасть на выход элемента ср. Обозначим через и=иE),
fx=fxCS) соответственно нижний и верхний индексы выход-
выходного элемента схемы 5. Тогда непосредственно видно из
определения (и легко доказывается по индукции), что
выходной сигнал схемы 5 в какой-то момент времени t
может зависеть только от входных сигналов 5 в моменты
времени от t—\л до t—и включительно. Итак, выходной
сигнал в момент t есть функция от p=(j,—и+1 последова-
последовательных наборов сигналов на входе:
где F — функция алгебры логики от р/г переменных;
(*!, . . ., х'п) — набор сигналов в момент времени t—fi+i.
Если S — правильная схема, то F может существенно
зависеть только от одного из наборов сигналов (х{, . . ., х?п),
отвечающего моменту t—v (т. е. i=x—v, обязательно
x^v), и схема 5 реализует эту функцию F(x{, . ., д?)
(i—к—v) с задержкой v.
Определение 8.7. Пусть имеется устройство с п
входами и одним выходом (рис. 9) такое, что в каждый
момент времени на его входы подаются сигналы 0 или 1,
а на выходе в каждый момент времени t возникает сигнал О
или 1, являющийся функцией от р последовательных набо-
наборов сигналов на входах, поданных в моменты времени
от t—(j, до t—к, р=ц.—к--1:
Г \X\f • • • i %пу Х\> ¦ , ХП1 . . ., л-у | . ¦ . , Хп )у
где (х{ Л4„) — набор, поданный в момент времени
t—ц-И. Тогда это устройство представляет собой автомат
5* 131
без обратных связей. Функция алгебры логики F назы-
называется его характеристической функцией, р — его индек-
индексом, к — временем задержки.
Автоматы без обратных связей называются эквивалент-
эквивалентными, если их характеристические функции Flf F2 отли-
отличаются только фиктивными переменными, причем соответ-
соответствующие переменные у Fif F2 отвечают одним и тем же
моментам времени относительно времени выходных сигналов
(отвечающих значениям Flt F2). Значит, автомат не меняет-
меняется, если формально считать F зависящей от входных сигна-
сигналов еще в какие-то моменты времени.
Функциональный элемент представляет некоторый авто-
автомат без обратных связей. Для него характеристическая
функция совпадает с реализуемой, а индекс и задержка
равны единице.
Проведенные выше рассмотрения показывают, что вся-
всякая схема из однотактных функциональных элементов пред-
представляет автомат без обратных связей. На самом деле
предположение об однотактности элементов здесь не су-
существенно. Нужно лишь иначе вычислять верхний и ниж-
нижний индексы цик: именно, нужно прибавлять в индуктив-
индуктивном определении к максимуму (соответственно минимуму)
не единицу, а величину задержки рассматриваемого эле-
элемента (в частности, для однотактных элементов нужно
прибавлять единицу). Возникает вопрос, имеет ли место
обратное утверждение: всякий ли автомат без обратных
связей можно представить (с точностью до эквивалентно-
эквивалентности) некоторой схемой из функциональных элементов (пока
без всяких ограничений на состав элементов).
8.15. Показать, что всякий автомат без обратных связей
может быть представлен некоторой схемой из функциональ-
функциональных элементов. А
Теперь рассмотрим вопрос о схемах, построенных из
ограниченного запаса функциональных элементов. Мы вновь
ограничимся случаем однотактных элементов.
Определение 8.8. Схема S из функциональных
элементов реализует некоторый автомат без обратных
связей А, если представляемый этой схемой автомат отли-
отличается от А, быть может, лишь временем задержки к.
В том случае, когда А — функциональный элемент, мы
получим определение реализации функции алгебры логики
схемой из функциональных элементов (см. определение 8.5).
132
Определение 8.9. Система функциональных эле-
элементов называется слабо автоматно полной, если всякий
автомат без обратных связей можно реализовать схемой,
составленной из этих элементов.
8.16. Доказать, что условия слабой автоматной полноты
системы функциональных элементов и полноты относитель-
относительно функций алгебры логики, рассмотренной в предыдущем
пункте, совпадают. В частности, в задаче 8.11 даны одно-
одновременно необходимые и достаточные условия слабой авто-
автоматной полноты системы элементов.. А
Мы рассмотрели вопрос о реализации автоматов схемами из одно-
тактных функциональных элементов. Мы не касаемся здесь более общей
постановки задачи, когда основные элементы имеют произвольные
времена задержки. С другой стороны, соединять в схемы можно не
только функциональные элементы, но и произвольные автоматы. В этом
случае возникают вопросы, аналогичные рассмотренным выше, в част-
частности, вопрос о полноте.
4. Схемы из функциональных элементов с обратными
связями. Общее понятие конечного автомата. Всюду в этом
параграфе мы рассматривали схемы из функциональных
элементов, не содержащие обратных связей. Это ограниче-
ограничение возникло при рассмотрении нультактных схем, так как
в противном случае нельзя было непротиворечивым образом
описать их работу. Однако при переходе к многотактным
схемам это ограничение перестает быть оправданным. Рас-
Рассмотрим, например, схему, изображенную на рис. 13,
в предположении однотактности элемента х. Тогда, если
в какой-то момент времени / на выходе возник сигнал 1,
то он в тот же момент попадает на вход элемента х и в
(И-1)-й момент на выходе возникает 0 и т. д. В результате
на выходе возникает последовательность 1,0, 1,0, 1,0,...,
и противоречие, имевшееся при предположении о нультакт-
ности элемента, исчезает. Эту схему естественно назвать
схемой «звонка», так как в звонке используется последо-
последовательность сигналов, меняющихся на противоположный
на каждом такте.
Нетрудно показать, что, вообще, если рассматривать
схемы, составленные из функциональных элементов, имею-
имеющих ненулевую задержку, не удовлетворяющие условию 3)
задачи 8.3 (схемы с обратными связями), то все равно можно
описать непротиворечивым образом их работу. В этом
пункте под схемами (мы иногда будем говорить «схемами
с обратными связями») будем понимать соединения, удов-
133
, 1
J
1
t
JTT
летворяющие только условиям 1) и 2) задачи 8.3. Мы по-
прежнему ограничимся случаем однотактных функциональ-
функциональных элементов. В этом случае уже нельзя утверждать,
как это было в предыдущем пункте, что сигнал на выходе
схемы зависит лишь от сигналов на входах, подававшихся
в течение некоторого фиксированного времени. За счет
обратных связей сигнал на выходе может зависеть от сиг-
сигналов на выходах элементов схемы, которые могут не опре-
определяться входными сигналами или определяться входными
. сигналами в сколь угодно отдален-
|—1—| . * j ные моменты времени. Например,
I f I I ^ I элементы цикла (определение 8.3)
могут вообще не иметь входов, явля-
являющихся входами схемы (свободных
входов). На рис. 18, а) элемент ф реа-
реализует функцию x\Jy, на рис. 18, б)
I I—IN элемент яр реализует функцию (x\/y)z;
. j! оба элемента однотактны; / — элемент
а' ' задержки (мы его включили для того,
Рис. 18. чтобы схема имела свободный выход).
Тогда, если на вход у схемы а) сколь
угодно давно был подан единичный сигнал, то тот же сигнал
будет постоянно возникать на ее выходе (сигнал у «запоми-
«запоминается»). На схеме б) сигнал у запоминается при г=1. Подав
z=0, мы «очистим память» и после этого можем «запомнить»
новый сигнал у (подавая при этом г=1). В реальных схе-
схемах «запоминающие устройства» реализуются как раз при
помощи циклов.
Для характеристики работы схемы с обратными связями
естественно учитывать состояние внутренних элементов
схемы. Мы сделаем это следующим образом.
Пусть 5 — схема (вообще говоря, с обратными связями),
и пусть ф0, ф!, . . ., фй — ее элементы, причем ф0 — выход-
выходной элемент *). Через фД/) обозначим сигнал на выходе
элемента фг в момент времени / "(фДО равняется 0 или 1).
Значение фо(/) указывает на выходной сигнал схемы в мо-
момент времени t. Набор значений ф@={фо@> <Pi@. • • ¦
• • • f Фь@} назовем состоянием схемы S в момент времени /.
Через Sj(/), s2(t), . ., s,,(/) обозначим сигналы, подаваемые
на входы S в момент времени t; через s(i)^{s1(t),...,sn(t)} —
их набор. Тогда состояние ф(/-,-1) схемы в момент времени
*) Можно допустить, что выход (р0 соединен с входами других
элементов.
134
t-\-\ однозначно определяется состоянием схемы ф(/) в пре-
предыдущий момент времени и входным набором s(t) в преды-
предыдущий момент времени, т. е.
Другими, словами, выходные сигналы элементов в мо-
момент ?+1 зависят от входных сигналов на них в момент t,
т. е. от выходных сигналов элементов и входных сигналов
схемы в этот момент. Более подробно, Ф представляет
собой набор k-\-\ функций Фо, Фх, . . ., Ф^ алгебры логики
от k-\-n-\-\ переменных. На самом деле некоторые из этих
переменных являются несущественными: для Ф; сущест-
существенны лишь те аргументы, которые соответствуют тем
функциональным элементам, выходы которых соединены
с входами ц>1, и тем входным сигналам схемы, которые
подаются непосредственно на входы фг. Если оставить только
эти аргументы, то Ф; совпадет с функцией, реализуемой
элементом фг, и приведенная выше формула показывает
просто, какие сигналы появляются на выходах элементов
Фг в момент времени t-\-\,— в зависимости от того, какие
сигналы поступили на его входы в момент времени t. Заме-
Заметим еще, что множество двоичных наборов длины k-\-l,
которые могут служить состоянием схемы S, может не совпа-
совпадать с множеством всех двоичных наборов длины k-\-l.
В связи с этим значения функций Фг на некоторых наборах
могут быть не определены (как говорят, функции Ф; являют-
являются частично определенными). Отметим, что построенное
описание работы схемы в случае схем без обратных связей
не совпадает с данным в предыдущем пункте описанием.
Дадим теперь определение конечного автомата.
Определение 8.10. Пусть Q — некоторое мно-
множество двоичных наборов длины k-',-l >0. Мы говорим, что
на множестве допустимых состояний Q задан автомат
?t(fi, n) с п входами, если указан набор Ф, состоящий из
k ,-1 частично определенных функций алгебры логики Ф«
от n+k+l переменных, причем эти функции определены
для всех тех двоичных наборов длины &+я+1, у которых
первые k-^-X элементов образуют набор, входящий в Q,
и при этом набор значений Фг на этих наборах принад-
принадлежит Q. Число элементов в Q называется памятью
автомата.
Мы говорим, что определена работа автомата ЗЦЙ, п),
если задано некоторое начальное состояние ф°6 Q, некото-
некоторое натуральное число v, которое мы назовем временем
135
задержки, и в каждый момент времени подается набор
входных сигналов s(t)={si(f), . . ., sn(f)} длины п.
Если определена работа автомата, то последователь-
последовательность его состояний для t^v определяется по формуле
Эта формула называется уравнением состояний автомата
Sl(?2, n). Ясно, что в любой момент времени состояние ав-
автомата ф@??2. Выходом автомата (результатом работы)
называется последовательность фо(/) (t^v). При k=0 и Ф,
зависящей только от s(t), автомат §{ превращается в функ-
функцию алгебры логики.
В согласованных обозначениях схема (с обратными свя-
связями) S из однотактных элементов представляет автомат
с v=l; ф° — сигналы на выходах элементов схемы 5 при
^=0; в качестве Q удобно брать все возможные наборы
(одновременных) сигналов на выходах элементов.
8.17. Показать, что работа всякого конечного автомата
с временем задержки v=l может быть представлена схемой
с обратными связями из однотактных функциональных эле-
элементов. ^
Если ограничить запас функциональных элементов,
из которых строятся схемы (фиксировать систему основных
элементов), то нетрудно убедиться в том, что не всякий
автомат (даже при v=l) можно представить схемой из этих
элементов. Однако мы будем связывать со схемой не один
автомат, а несколько. Именно, пусть Е={ф0, . . . , Фь} —
некоторое множество элементов, входящих в схему S (быть
может, не все), ф0 — выходной элемент схемы S, и пусть
сигнал на выходе каждого из этих элементов в момент
времени /+v определяется сигналами в момент времени /
на входах схемы (s(/)={si(/), . . . , sn(/)}) и на выходах
элементов ф0, . . . , ц>к из выбранного множества Е(ф(^) =
={фо@ Фл@})- В этом случае множество Е элементов
фо. ф1, . . . , Фь называется v-замкнутым. Для правильной
схемы выходной элемент ф0 образует v-замкнутое множество
(v — время задержки). С v-замкнутым множеством мы
встречаемся, если у нас имеются схемы So, . . , Sk, реали-
реализующие какие-то функции алгебры логики с задержкой v,
а из них как из функциональных элементов строится новая
схема S. Тогда в этой схеме выходные элементы ф0, ..., inft
подсхем So Sk образуют v-замкнутое множество.
136
Всякое v-замкнутое множество элементов S естествен-
естественным образом порождает конечный автомат, работающий
с задержкой v. Мы будем говорить, что этот автомат реали-
реализован схемой 5 с задержкой v относительно множества эле-
элементов Е *).
Определение 8.11. Система функциональных эле-
элементов называется автоматно полной, если любой конечный
автомат, с точностью до времени задержки, можно реализо-
реализовать схемой S, составленной из элементов этой системы,
с некоторой задержкой v относительно некоторого v-замк-
нутого подмножества Е элементов 5.
8.18. Доказать, что условие автоматной полноты систе-
системы функциональных элементов совпадает с условием пол-
полноты относительно функций алгебры логики (а значит,
в силу задачи 8.16 и с условием слабой автоматной пол-
полноты). ^
В указаниях к задаче 8.11 тем самым даются необходи-
необходимые и достаточные условия автоматной полноты системы
элементов.
Как и в случае автоматов без обратных связей, следует
подчеркнуть, что можно было бы рассматривать схемы из
функциональных элементов с произвольными временами
задержки, а также схемы из автоматов. При этом вопрос
о полноте усложняется. Оказывается, что для систем авто-
автоматов вообще нет алгоритма, позволяющего решать вопрос,
является ли система полной [2].
Теории автоматов посвящено большое число работ (см., например,
[3], [4], [5]). Имеется несколько различных определений автомата,
эквивалентных в некотором естественном смысле. Оказывается, что
очень сложные устройства (например, быстродействующие вычисли-
вычислительные машины) могут рассматриваться как автоматы (быть может, с
очень большим числом состояний), причем эта точка зрения оказывается
полезной во многих вопросах. Мы коснулись здесь лишь вопроса о
синтезе автоматов из некоторых стандартных. В теории автоматов рас-
рассматриваются и другие вопросы, например, вопрос о восстановлении
структуры автомата по выходным последовательностям сигналов, соот-
соответствующим тем или иным последовательностям наборов входных
сигналов.
Очень интересен вопрос об обучении автоматов. Одна из возможных
постановок задачи такая [5]. Автомат находится в некоторой среде.
*) Если множество Е состоит лишь из выходного элемента ф0 схе-
схемы S, причем выход ф0 свободен "(т. е. не соединен с входом какого-
либо элемента), то относительно Е схема S реализует автомат, явля-
являющийся функцией алгебры логики.
137
в зависимости от сигнала на его выходе с некоторой вероятностью,
исящей от этого сигнала, на его входы подаются в виде двоичных
"юров сигналы «поощрения» или «порицания», причем принцип,
..о которому подаются эти сигналы (соответствующие вероятности),
в точности ие известен (имеется некоторое множество возможностей).
Нужно так устроить автомат, чтобы он, находясь в одной и той же среде
(в какой — заранее не известно), через некоторое число тактов начинал
выдавать с вероятностью, близкой к единице, такой сигнал, за который
его в большей степени поощряют. Внешняя среда может время от вре-
времени меняться. Сигналы поощрения могут подаваться за счет присое-
присоединения к входам автомата выходов других автоматов. Эта связь может
быть взаимной. Возникает «игра автоматов». Точную постановку задачи
см. в f5].
5. Схемы из функциональных элементов для двойных
линий. Мы приведем в этом пункте еще один способ реа-
реализации функций алгебры логики на базе функциональных
элементов, принадлежащий Дж. фон Нейману
[6]. Для простоты будем считать функциональные
элементы нулЕтактными. Каждой переменной х
будем ставить в соответствие (рис. 19) упорядочен-
упорядоченную пару проводов (двойная линия), по одному из
которых передается х, по другому х.
^ * Пусть имеются две схемы из функциональных
Рис. 19. элементов, каждая с п входами, причем между
входами схем установлено такое взаимно однознач-
однозначное соответствие, что если на входы первой схемы подавать
значения аргументов хи .... хп, а на соответствующие
входы второй — их отрицания хх, . . ., хп, то на выходе
первой схемы получится значение f{xlt . ., хп), а на вы-
выходе второй /(#!, . . ., хп). В этом случае мы
будем говорить, что имеется схема, реализующая
функцию f(xu . . ., хп) в двойных линиях, при-
причем пару соответственных входов схем можно
рассматривать как двойную линию, представ-
представляющую соответствующий аргумент. Кроме
того, если некоторая^ переменная уже представ-
представлена двойной линией, то ее отрицание можно
получить без помощи функциональных элемен-
элементов (рис. 20).
Поэтому, кроме того, при реализации функ-
функций схемой в двойных линиях можно на аргументы пер-
первой из схем подавать отрицания аргументов, а сами
аргументы — на соответствующие входы второй схемы.
Можно было бы еще строить таким образом отрицание
функции, но этого же можно добиться перестановкой пер-
Рис. 20.
138
вой и второй схем и переходом к отрицаниям аргументов.
Общий вид схемы в двойных линиях получается много-
многократным комбинированием указанных выше конструкций
(мы не будем уточнять это понятие).
Не следует думать, что система функциональных эле-
элементов полна в двойных линиях, если ее элементы реали-
реализуют функции, которые вместе с отрицанием образуют пол-
полную систему.
8.19. Показать, что функциональный элемент, реали-
реализующий конъюнкцию, не образует полной системы в двой-
двойных линиях. ^
Условие полноты системы элементов в двойных линиях
получается, исходя из следующего утверждения.
8.20. Показать, что система функциональных элементов
полна в двойных линиях тогда и только тогда, когда система
реализуемых этими элементами функций самодвойственно
полна (определение 7.5). А
Поэтому в условии задачи 7.15 содержатся необходимые
и достаточные условия полноты системы функциональных
элементов в двойных линиях.
Можно рассматривать схемы в двойных линиях в пред-
предположении, что у нас имеются элементы, реализующие
константы (по терминологии Дж. фон Неймана, «активные» и
«заземленные» элементы, которые реализуют соответственно
1 и 0). В этом случае вопрос о полноте элементов также
сводится к вопросу о самодвойственной полноте функций,
но теперь уже относительно расширенной суперпозиции
(так что критерий полноты в этом случае дан в решении
задачи 7.13).
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ §8
8.1. Реализуемая функция опре„_ляется по индукции.
8.2. Для доказательства тог , что некоторое соединение элементсз
является схемой, достаточно построить его в некоторое число шагов
из ис одных элементов при пс ощи операций из определения 8.1.
Для доказательства протнвопол >жного утверждения достаточно
заметить, что соединение обладает каким-либо свойством, которым
схемы нг обладают (имеется несколько свободных выходов; какие-либо
выходы элементов соеди ны > ежду г-вов; сигнал на входе какого-либо
элемент i зависит от сигнала на его выходе). Строго говоря, необхо-
необходимость этих условий следовало бы доказывать по индукции. В (аль-
нейшг- эти факты пол) 1О'Г " ™-"™>яНИе (зада ia 8.3)
139
Ответ. Соединения а) и д) являются схемами, а остальные нет.
8.3. Необходимость доказывается по индукции (см. определение
8.1 и пояснение к нему).
Для доказательства достаточности удобно начать с элемента,
выход которого свободен, и постепенно расширять схему, присоединяя
на каждом шаге те элементы, которые соединены лишь с выходами
предыдущей схемы. Обратить особое внимание на доказательство того,
что при таком построении мы на некотором шаге исчерпаем все эле-
элементы.
8.4. .При выяснении вопроса о том, является ли некоторое соеди-
соединение элементов схемой, удобно, как -и при решении предыдущей за-
задачи, строить последовательно схемы So, Slt *.., Sk и т. д. Если на ка-
каком-то шаге выяснится, что нарушено условие 1) или 2) задачи 8.3
или же S; совпадает с S;+1, не совпадая с S, то S не является схемой.
Если же Si совпадет С S для некоторого i, то S —схема.
Ответ. Соединение S является схемой в примере а).
8.6. Использовать представление S в виде последовательности
схем S^ построенной при решении задачи 8.3 (проводить перестройку
индукцией по i).
8.7. 1) Используя п. 1, для любой функции q> можно построить
нультактную схему S, реализующую q>. Если в этой схеме считать
элементы однотактными, то S, вообще говоря, не будет правильной
схемой. Однако S можно перестроить, вставляя элементы задержки
так, чтобы получилась схема, реализующая q>. Эту перестройку можно
осуществить индукцией по построению схемы S (определение 8.1).
8.9. Нет, не будет. Например, нельзя получить констант. Пока-
Показать, что схема из элементов q> с одним входом (все входы отождеств-
отождествлены) реализует либо х, либо х в зависимости от четности или нечет-
нечетности задержки.
8.10. Ответ. Нет, не получим. Например, нельзя реализовать
функцию ху. Пусть имеется схема из элементов указанных в условии
типов, реализующая функцию от двух переменных «p(jc, у) с задержкой V.
Тогда при замещении одной переменной константой может получиться
либо константа, либо х, либо у, если v четно, и одна из функций 0, 1,
х, у, если v нечетно.
Решение аналогично решению задачи 8.9.
8.11. Введем некоторые обозначения. Пусть
Q — множество функций алгебры логики f(xx xn), не сохраняю-
щи.х 0 и 1 (/?Р„, /^Р,):
f@, .... 0)=1, /A 1) = 0,
т. е. при отождествлении всех переменных у f получается отри-
отрицание;
R — множество таких функций, что при фиксации любой части
переменных (т. е. при подстановке вместо них констант) и отождеств-
отождествлении остальных переменных получается одна из функций 0, \, х (т. е.
не может получиться х).
Система однотактных ф\ нкциональных элементов полна тогда и
только тогда, когда среди реализуемых ими функций имеется
а) полная система функций алгебры логики (т. е. удовлетворяющая
условиям теоремы Поста, § 6, стр. 83);
б) функция, не принадлежащая множеству Q;
в) функция, не принадлежащая множеству R.
140
Воспользоваться решениями задач 8.9 и 8.10. Показать, что при
выполнении перечисленных условий всегда можно получить однотакт-
ную задержку. ^
8.12. Рассмотреть систему {ху, 1}, полную в обычном смысле. Через
нее нельзя представить глобальной суперпозицией, например, к или х.
Любая глобальная суперпозиция данных функций принимает на нулевом
и единичном наборах одинаковые значения. Показать, что совокуп-
совокупность Т таких функций (/@, ..., 0)=Д1, ..., 1)) замкнута относительно
глобальной суперпозиции.
8.13. Предполными для глобальной суперпозиции являются пред-
полные классы для обычной суперпозиции и класс Т, введенный в
указаниях к предыдущей задаче.
8.14. Условия полноты относительно суперпозиций, удовлетво-
удовлетворяющих условиям задачи, и обычных суперпозиций совпадают. Учесть,
что подстановка констант всегда является сокращающей подстановкой.
8.15. Рассмотреть однотактный функциональный элемент, реали-
реализующий функцию F. Используя однотактные элементы задержки, по-
построить из него искомый автомат.
8.16. Всякая слабо автоматно полная система функциональных
элементов полна относительно функций алгебры логики, так как функ-
функциональные элементы являются частным случаем автоматов без обрат-
обратных связей. Обратное можно получить, используя конструкцию пре-
предыдущей задачи.
8.17. Взять функциональные элементы, реализующие функции Ф/,
и соединить их в соответствии с уравнением состояний автомата.
8.18. Справедливость этого утверждения в одну сторону следует
из того, что функции алгебры логики являются частным случаем ав-
автоматов.
Для реализации автомата достаточно взять схему из задачи 8.17
и заменить в ней все элементы схемами, реализующими те же функции
с одинаковой задержкой и составленными из имеющихся у нас элементов
(воспользоваться замечанием 1 к решению задачи 8.11).
8.19. Нельзя реализовать хVy и даже ху, так как в последнем случае
надо одновременно реализовать ху.
8.20. Если схема S реализует некоторую функцию / в двойных
линиях, то через функции, реализуемые элементами S, самодвойственно
представима некоторая функция ф, отличающаяся от f, быть может,
только отрицаниями над аргументами.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ К ЗАДАЧАМ § 8
8.1. Строим функцию по индукции. Непосредственно видно, что
она определена однозначно с точностью до переобозначения перемен-
переменных, не приводящего к их отождествлению.
1. Основание индукции. Функции, реализуемые функ-
функциональными элементами, уже определены.
2. И н д~у ктивный переход, а) Если схема So реализует,
функцию фС*! хп), то схема Su построенная в б) определения 8.1
реализует функцию, полученную отождествлением переменных Х[, Ху,
отвечающих объединенным входам.
б) Пусть схема So реализует функцию ц>(хи ..., хп), а схема ,Sj —
функцию <K#i, - - Уд- Выберем обозначения так, чтобы все пере-
переменные хи , , Xfr, j/j у[ были различны. Тогда схема S, построенная
в в) определения 8.1, реализует функцию {f(xt *j-i. МУи ¦¦¦• Уд-
141
xi+u ..., xn), т. е. функция ф подставлена вместо аргумента xh отве-
отвечающего входу схемы So, соединенному с выходом Sj. Требование о
несовпадении Xj, ym очень существенно, так как могло бы возникнуть
недопустимое отождествление переменных.
Проведенное построение показывает, что схему можно рассмат-
рассматривать как функциональный элемент, реализующий построенную
функцию.
8.2. а) Сначала рассмотрим схему, изображенную на рис. 21. Затем
отождествим у этой схемы два последних входа и соединим этот отож-
отождествленный вход с Выходом элемента, реализующего <р3-
б) Сигнал на одном входе элемента ф2 зависит от
выхода элемента ф3, а сигнал на одном входе элемента
Ф3 зависит от сигнала на выходе ф2. В результате сигнал
на одном из входов элемента <ра зависит от сигнала на его
выходе (и аналогично для ф3). В схеме этого быть не может.
в) Выходы элементов ф2 и <р3 соединены.
г) Имеются два свободных выхода (у элементов ф(
и <р2).
д) Рассмотрим схему на рис. 22.
Отождествим у этой схемы попарно первый вход с
третьим, а второй — с четвертым. Теперь первый из
отождествленных входов соединим с выходом элемен-
элемента ф4.
8.3. Необходимость. Доказательство будем вести индук-
индукцией по конструкции схемы S.
1. Для одного функционального элемента справедливость условий
1) — 3) очевидна.
2. а) Пусть условяя 1) — 3) выполняются для схемы So. Проверим
их для схемы Slt полученной из So отождествлением входов (б) опре-
определения 8.1). Ясно, что при этом -свободные вы- ,
ходы остаются свободными и новых свободных т
выходов не возникает, а также два выхода не мо- ¦ ' |
гут попасть на один вход. Кроме того, не может } г/
возникнуть цикла {фх, ..., ф^}, так как тогда эти
элементы образовали бы цикл и в схеме So. В самом
деле, мы соединили лишь входы схемы So, т. е.
свободные входы функциональных элементов, а
новых соединений входов и выходов элементов не
могло возникнуть.
б) Пусть теперь схема S построена из схем So
и Si так, как указано в в) определения 8.1, причем Рис- 22.
известно, что для схем So и Sj условия 1) —
3) выполнены. Тогда у элементов схемы S будет свободным единственный
выход — выход схемы So. Далее, поскольку при соединении схем So
и St соединяются лишь некоторые входы элементов, входящих в схему So,
с выходом одного элемента схемы Sj, не может возникнуть соединений
выходов элементов So и St. Далее, если бы в схеме S был цикл, то в него
обязательно вошли бы как элементы схемы So, так и элементы схемы S!
(так как ни в одной из этих схем не было циклов). Но тогда, как легко
заметить, обязательно найдется элемент <Fj?S0, выход которого соеди-
соединен с входом какого-то элемента ф/^Sj. Но таких соединений быть не
может. Итак, для схемы S выполняются условия 1) — 3). Необхо-
Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть функциональные элементы соеди-
соединены так, что выполняются условия 1) — 3). Покажем, что тогда мы
Г>г
/2 3.
142
имеем схему S. Мы покажем, что S можно индуктивно построить при
помощи допустимых соединений. Прежде всего в S имеется единствен
ный функциональный элемент (скажем, <ро)> имеющий свободный выход
(условие 1)). Этот элемент мы примем за начальную схему SB. Рас-
Рассмотрим теперь те функциональные элементы, выходы которых соеди-
соединены лишь с входами So (т. е. ф0). Через St обозначим схему, которая
получается из So соединением этих.элементов, причем, если какой-то
элемент <р$- соединен с несколькими входами So, то эти входы нужно
предварительно отождествить. Это отождествление проводится непро-
непротиворечивым образом в силу условия 2). Опять же в силу условия 2)
оставшиеся элементы в S могут быть соединены лишь с теми входами
элементов из 5Ь которые являются входами схемы Sx. Присоединяя
теперь к схеме Sx те элементы из S, которые соединены лишь с входами
схемы Sj, и предварительно отождествляя в случае необходимости
входы схемы Slf получаем схему S2 и т. д. Если уже построена схема Sit
то рассмотрим множество Mt элементов из S, выходы которых соеди-
соединены лишь с входами схемы S;. Заметим, что выходы элементов из S,
не входящих в S;, не могут быть соединены с входами элементов Si,
не являющимися входами всей схемы Si (в силу условия 2)). Отож-
Отождествим теперь те входы схемы S,-, которые соединены с одним и тем же
элементом из системы М[. Выходы элементов из Mi соединим с соот-
соответствующими входами получившейся схемы. Построенную в резуль-
результате схему обозначим через Si+1.
Если мы на некотором шаге исчерпаем все элементы из S, то, по-
поскольку все Si — схемы, а входы элементов из S; соединены с входами
тех же элементов, что и в S, все будет доказано. Итак, нужно доказать,
что если S; не совпадает с S, то S,-+1 не совпадает с Sit т. е. что каждая
следующая схема содержит большее число элементов, чем предыдущая,
а потому на некотором шаге S; совпадет с S. Предположим противное,
т. е. пусть S; не совпадет с S, хотя S; и Si+1 совпадают, значит, Mt
пусто. Это означает, что выход каждого элемента ф ^St соединен с вхо-
входом, по крайней мере, одного элемента, также не принадлежащего St.
Рассмотрим какую-либо последовательность элементов я^, ifs, ..., ify, ...,
где все «]>/<? Si. причем какой-либо вход i[y+1 соединен с выходом г|)у.
В силу предыдущего замечания такую последовательность построить
можно. Но поскольку в этой последовательности лишь конечное число
элементов, какой-либо из элементов встретится в ней дважды. Тогда
отрезок последовательности между двумя одинаковыми элементами (на-
(начинающийся с этого элемента) является циклом. Мы пришли к проти-
противоречию с условием 3), и все доказано.
8.4. а) См. рис. 23. Схема Ss совпадает с S
б) S не является схемой, так как последний вход ф] соединен с
выходами ф3 и ф4 (нарушено условие 2)).
в) См. рис. 24. Множество Мг пусто и Sl совпадает с S2; значит, S
не является схемой. Элементы ф3, ф4, Фб образуют цикл.
8.5. Можно, например, рассмотреть схему, изображенную на
рис. 25, где фх реализует ху, ф2 реализует zt. Если элементы ф! и ф2
однотактны, то сигнал на выходе схемы существенно зависит от сиг-
сигналов на входах схбмы, поступивших в разные моменты времени.
8.6. Будем пользоваться обозначениями, введенными при решении
задачи 8 3. Перестройку будем пров">дить индукцией по ?. Схема So
в перестройке не нуждается. Пусть схема S,- перестроена в схему Sit
обладающую нужными свойствами. Если при переходе kS;+j какие-то
входы S,- отождествляются и на них подается выхо эпемента ф?Л1,-,
143
то у §i соответствующие входы не будем отождествлять, а соединим
с ними выходы соответствующего числа элементов ф, у которых отож-
отождествим одноименные входы. В результате получаем схему Sj+]. При
этом сигнал на выходе Si+l в момент времени t зависит от сигналов на
входах Si+1 в те же моменты времени, что и сигнал на выходе Sj+1
от сигналов на соответствующих входах Si+i (из построения видно,
что между входами Sj+1 и Si+1 существует естественное взаимно-одно-
t
11
t
Рис. 23.
Si
Рис. 24.
значное соответствие). Отсюда следует, что построенная на последнем
шаге схема S~ будет правильной (нужно рассмотреть St при i, для кото-
которого Sj совпадает с S).
8.7. 1) Пусть мы имеем нультактную схему S, реализующую функ-
функцию /. Укажем, как по ней построить схему для / из однотактных эле-
элементов тех же типов, что и входящие в
fi S, и элементов задержки. Последние будем
I осуществлять, исходя из индуктивного
¦ определения нультактной схемы (опреде-
(определение 8.1).
1.Основание индукции.
Если схема S состоит из одного функцио-
функционального элемента, то она не нуждается
в перестройке: S=S.
2. Индуктивный переход,
а) Если схема S получается из So отож-
отождествлением входов (а) определения 8.1), а
схему So мы уже умеем перестраивать (So),
то для перестройки схемы S достаточно
отождествить входы у §0, соответствующие тем входам So, которые
отождествлялись при получении схемы S. Ясно, что получающуюся
схему § можно рассматривать как функциональный элемент, реализую-
реализующий ту же функцию, что и нультактная схема S.
б) Пусть схема S (рис. 26) получается соединением схем So и St
(в) определения 8.1)^Пусть, далее, схемы So и Sj уже перестроены (So,
Sj), причем в схеме SB происходит задержка на v тактов, а в Sj — на ц
тлктов. Тогда для получения S заменяем в S схему So на Sn, St на Slt
1
Рис. 25.
| So
•
&
\
\
Рис. 26.
144
т
Рис. 27.
я ко всем входам SB, кроме соединенного с выходом Su присоединим
последовательно no \i элементов задержки (рис. 27).
В результате на входы §0 будут одновременно (с задержкой и)
подаваться сигналы с выхода Sl и сигналы, которые подаются непо-
непосредственно на входы всей схемы S, отличные от входов Sj. Легко
проверяется, что построенная схема обладает
нужным свойством и задержка в ней равна
v+ц.
Замечание. Укажем, как еще можно
описать возможную перестройку нультактной
схемы S. Определим индуктивно понятие верх-
верхнего индекса элемента, входящего в схему.
Верхний индекс элемента, все входы которого
являются входами схемы, равен единице. Пусть
уже определены верхние индексы всех элементов,
входы которых соединены с входами элемента ф.
Тогда верхний индекс ф равен максимальному
из этих индексов плюс единица. Отсутствие
обратных связей, как и при решении задачи
8.3, гарантирует нам корректность этого опре-
определения. Вообще верхний индекс функциональ-
функционального элемента ц равен максимальному числу
элементов, которые сигналы, поданные на вход
схемы S, могут пройти, прежде чем попасть на
выход элемента ф (т. е. элемент cf тоже счита-
считается). Мы не будем пересказывать эту фразу бо-
более формально. Легко заметить, что если верхние
индексы всех элементов, выходы которых соединены с входами какого-
либо одного элемента, равны, то схема будет правильной (это достаточ-
достаточное условие). Отсюда следует способ перестройки схемы S в S: нужно
вставить между входами элементов и соединенными с ними выходами
такое число соединенных последовательно элементов задержки, чтобы
сформулированное выше условие равенства верхних индексов было
выполнено.
В заключение заметим, что в некоторых случаях не нужно тре-
требовать наличия в Ф элементов задержки. Так, система элементов,
реализующих ху и х, полна, поскольку задержку (однотактную) можно
получить из элемента, реализующего конъюнкцию, отождествлением
входов. Отметим, что соединение двух элементов х дает двухтактную
зядержку х=х, но это, как будет видно из дальнейшего, нас, вообще
говоря, не устраивает.
2) См. рис. 28.
Заметим, что перестройка схемы при помощи элементов задержки
потребовалась в примерах г), д), е).
8.8. Элемент, реализующий единицу, можно считать нультактным
(см. замечание 3 к определению 8.4). Такой же можно считать схему,
реализующую нуль, полученную отождествлением входов у элемента ф,
реализующего ху. Соединяя выход этой схемы со вторым входом
элемента ф (отвечающего у), мы получим схему, реализующую х с задерж-
задержкой 1; эту схему можно использовать как однотактный элемент ¦ за-
задержки. Теперь полнота следует из задачи 8.7 и полноты системы функ-
функций алгебры логики {ху, ]}.
145
8.9. Пусть имеется некоторая правильная схема S, реализующая
какую-то функцию / с задержкой V. Отождествим у нее все входы. Сиг-
Сигнал у на выходе полученной схемы в момент времени / может зависеть
существенно лишь от сигнала на входе схемы в момент времени t—v
(обозначим этот сигнал через х) и не мон$ет зависеть от сигналов на входе
схемы в другие моменты времени. Поэтому, не меняя у, мы можем пода-
подавать на вход схемы в моменты времени, отличные от t—v, любые сиг-
сигналы. Будем подавать в момент времени t—v+fe (k — любое целое
число) сигнал х, если k четно, и сигнал х, если k нечетно. Тогда, учиты-
учитывая, что элемент ф при отождествленных входах реализует отрицание,
получаем, что на выходах всех элементов, входящих в схему, в любой
момент времени возникает тот же сигнал, что и на входе схемы в данный
д) 0=7 е) х-у-хуЩуг(<рг(х.у,,1рг(х,у))
Рис. 28.
момент (т е. всюду в схеме в каждый момент времени передается один
и тот же сигнал). Строгое доказательство проводится индукцией по
верхнему индексу элемента (см. замечание к решению задачи 8.6).
Если это доказано для элементов с верхним индексом, не превосходящим
k, то на все входы элементов с верхним индексом /г+1 в каждый момент
поступают одинаковые сигналы (это либо входные сигналы схемы, либо
выходные сигналы элементов с верхним индексом, меньшим fc+1);
в следующий момент на его выходе возникает противоположный сигнал,
т. е. тот, который в этот момент подается на вход схемы. В результате
на выходе схемы в момент времени / будет тот же сигнал, что и на ее
входе, т. е. у=х, если v четно, и у~х, если v нечетно. Таким образом,
схема с отождествленными входами реализует х, если задержка четна,
и х, если задержка нечетна.
Замечание. Мы опять-таки (см. замечание к решению задачи
8.6) можем построить двухтактную задержку, но, как видно из решения
этой задачи, ее присутствие (в отличие от однотактной задержки; см.
задачу 8.7) не делает полной систему элементов, реализующих
полную систему функций.
146
8.10. Пусть имеется некоторая правильная схема S из перечислен-
перечисленных элементов, реализующая функцию ф с задержкой v. Присоединим
I какой-то части входов схемы выходы элементов, реализующих кои-
станты (их можно считать не имеющими входов), а остальные входы
отождествим. Получим схему с задержкой v, реализующую функцию
от одной переменной, полученную из ф подстановкой констант вместо
соответствующих переменных и отождествлением остальных. Пусть
на вход полученной схемы S в момент времени t—v поступил сигнал х.
Тогда сигнал на выходе в момент времени t зависит только от х и не
зависит от сигналов на входе схемы в другие моменты времени. Как
и при решении предыдущей задачи, будем подавать в момент времени
t—v+fc сигнал х, если к четно, и х, если k нечетно. Тогда на выходах
всех элементов схемы либо будет всегда один и тот же сигнал, либо
сигнал, совпадающий с тем, который подается на вход в данный момент
времени. Доказательство проводится так же, как и в предыдущей
задаче. Нужно заметить только, что при подстановке константы в ка-
какой-либо аргумент функции Шеффера мы получим либо константу, либо
отрицание. В результате схема S реализует или константу (если на ее
выходе всегда один и тот же сигнал), либо х, если v четно, либо х, если V
нечетно.
Если мы имеем функцию (например, ху), у которой можно так
двумя способами подставить константы вместо одних переменных
и отождествить остальные, что получим и х и у (например, хО=х, \у—у),
то ее нельзя реализовать схемой из указанных в условии элементов (в
силу доказанного такая схема не может иметь ни четную, ии нечетную
задержку).
8.11. Необходимость. Необходимость условия а) очевидна
(см., например, замечание 1 после определения 8.4).
Необходимость условия б) по существу доказана при решении
задачи 8.9. Мы пользовались там лишь тем, что j«/?Q. Именно, мы
показали, что если все элементы схемы реализуют функции из Q, то
реализуемая функция после отождествления переменных совпадает
с х, если задержка четна, и с х, если она нечетна, т. е. нельзя реали-
реализовать константы.
Аналогично при решении задачи 8.10 мы пользовались только
тем, что xy?R. Мы показали, что если все элементы схемы реализуют
функции из R, то реализуемая схемой функция после фиксации любой
Части переменных и отождествления остальных либо превращается в
константу, либо в одну из функций х или х в зависимости от того, четна
или нечетна задержка.
Достаточность. Отождествляя входы у элементов, реализу-
реализующих функции cf!^P0, Фг<?Р1 (имеющиеся в силу а)), мы получим эле-
элементы, реализующие константы, или элемент (однотактный), реали-
реализующий отрицание. Отождествляя входы у элемента, реализующего
функцию ф3 (f 0,мы получим либо однотактный элемент задержки (тогда
система полна в силу задачи 8.7), либо элемент, реализующий какую-то
константу. Если отбросить случай, когда мы получили однотактный
элемент задержки, то можно считать, что мы можем реализовать обе
константы, так как если мы их не получили на первом шаге, то при
помощи отрицания (реализованного тогда иа первом шаге) и одной из
констант (полученной на втором шаге) можно получить другую кон-
147
станту. Напомним, что схемы, реализующие константы, имеют нулевую
задержку.
Далее, вместо части аргументов функции ф4 (? R можно подставить
константы и отождествить остальные аргументы так, что получится х.
Проделывая соответствующую операцию с элементом, реализующим
Ф4, мы получим однотактную задержку. Остается воспользоваться
задачей 8.7.
Замечание 1. Поскольку мы показали, что из каждой полис
системы функциональных элементов можно получить однотактную
задержку, в этом случае всякую функцию алгебры логики можно
реализовать с любой задержкой, не меньшей некоторой фиксированной
(последовательно присоединяя к выходу схемы элементы задержки).
Замечание 2. Системы функции Q и R не только не замк-
замкнуты относительно суперпозиции, но при помощи элементов, реали-
реализующих функции какой-то из этих систем, можно реализовать функции,
в них не входящие (например, функцию х, правда, только с четной
задержкой; см. замечание к решениям задач 8.9 и 8.10). Это связано
с тем, что возможность реализовать некоторую функцию не позволяет
в полной мере считать в дальнейшем, что мы имеем элемент, ее реали-
реализующий, так как элементарные функциональные элементы в наших
рассмотрениях предполагались однотактными.
8.12. Замкнутость класса Т относительно отождествления перемен-
переменных очевидна. Рассмотрим теперь функцию /(<Pi(---). <р2(...) Фй (¦•¦)).
где ф,- подставлены вместо всех аргументов f. Тогда, если Фг?Т,
то, когда мы подставим в них нулевые или единичные наборы, вместо
аргументов f будут подставлены одни и те же наборы и рассмотренная
суперпозиция будет принадлежать Т. При этом мы не пользовались
тем, что f?T. Остается заметить, что ху?Т, 1?Т. _
Класс Т не замкнут относительно обычной суперпозиции (ху?Т,
1?Т, но \у=у^Т).
8.13. Пусть имеется система функций, полная в обычном смысле
и содержащая функцию я|\ не принадлежащую классу Т. Отождествляя
переменные у if, получаем х или х. Поскольку х — глобальная супер-
суперпозиция, в обоих случаях мы имеем х, а тогда, как мы уже отмечали,
достаточно иметь систему функций, полную в обычном смысле.
8.14. Пусть имеется система Ф, полная в обычном смысле. Отож-
Отождествляя переменные у функций фх (? Ро, ф2 (? Ръ мы получим либо обе
константы, либо х. Во втором случае мы можем получить х, и обычная
суперпозиция приводится к глобальной (см. решение предыдущей
задачи). Если же у нас имеются константы, то возьмем любую функцию
•ф^Ф, не являющуюся константой. Пусть х — ее существенная пере-
переменная. Подставим вместо остальных переменных набор, при котором
значение if зависит от значения х (задача 1.9). Получим либо х, либо х,
а эти случаи уже рассмотрены.
8.15. Рассмотрим однотактный функциональный элемент, реали-
реализующий функцию F, и к входу, соответствующему аргументу х\, по-
последовательно присоединим р,—i—1 однотактных элементов задержки.
Получим искомый автомат.
8.16. В одну сторону это утверждение очевидно, так как функцио-
функциональные элементы являются частным случаем автоматов без обратных
связей. Пусть теперь имеется полная система функциональных эле-
элементов Ф и некоторый автомат без обратных связей 21. Построим схему
S, реализующую его характеристическую функцию F. Пусть S реали-
148
ует F с временем задержки р. Как следует из решения задачи 8.11,
мы можем построить однотактные элементы задержки при помощи
элементов из Ф. Присоединим к входам схемы S последовательно сое-
соединенные элементы задержки в том же числе, что и при решении пре-
предыдущей задачи. Получившаяся схема будет представлять автомат,
отличающийся от 51 лишь временем задержки (оно будет у него на р—1
тактов больше). Тем самым мы реализовали автомат 31.
8.17. Пусть 3((?2, п) — конечный автомат и Й состоит из некоторых
наборов длины /г+1. Мы составим схему из функциональных элементов
<Ро. fi' •••> Ук> реализующих функции, совпадающие с соответствующими
функциями Фо> Ф], ..., Ф/г в области определения последних. Выходом
схемы S будем считать выход элемента ф0. Входы каждого элемента qij
соединим (в соответствии с уравнением состояний автомата 81) с выхо-
выходами всех элементов фу; отождествим соответствующие из оставшихся
входов у различных элементов фг так, чтобы получились выходы схемы S
(рис. 29).
?о
i
Рис. 29.
Таким образом, внешний вид построенной схемы определяется
только числами к, п. Если предположить теперь, что при t=0 сигналы
на выходах элементов фг образуют заданный начальный набор (р° и в
каждый момент времени на входы S подаются соответствующие сигналы
s(t), то схема S будет представлять работу данного автомата % при
заданных условиях (ф°, v=l, s(t)).
Замечание. Схему S можно упростить следующим образом.
Пусть f(Xi, ..., хп) — частично определенная функция алгебры логики
с областью определения Q. Будем говорить, что х^, ..., х^ — система
существенных переменных, если на всяких наборах из Q, у которых
значения этих переменных совпадают, функции / принимают одинако-
одинаковые значения (для всюду определенных функций это определение со-
согласуется с понятием существенной переменной из §§1, 2). Легко за-
заметить, что существует минимальная система существенных переменных.
При построении схемы S в задаче 8.17 можно брать элементы фг, у
которых входы соответствуют минимальной системе существенных
переменных Фь. Соединение этих элементов и отождествление входов,
как и выше, проводится в соответствии с уравнением состояний
автомата.
8.18. Поскольку среди автоматов имеются функции алгебры ло-
логики, причем определение реализации функций, рассматриваемых как
автоматы, не отличается от рассматривавшегося ранее, автоматно полная
система функциональных элементов полна также относительно функций
ялгебры логики.
149
Пусть теперь мы имеем систему элементов, полную относительно
функций алгебры логики, и пусть 31 — некоторый автомат. Рассмотрим
построенную при решении задачи 8.17 представляющую его схему S.
Заменим входящие в нее функциональные элементы схемами, реали-
реализующими те же функции с одинаковым временем задержки v и состав-
составленными из элементов данной нам системы. Это можно сделать в силу
полноты этой системы относительно функций алгебры логики, а также
того, что из элементов такой системы можно получить однотактную
задержку (замечание 1 к решению задачи 8.11).. Искомая схема по-
построена.
8.19. Покажем, например, что нельзя реализовать дизъюнкцию xVi/.
Пусть имеется схема, реализующая x\Jу в двойных линиях Берем
выход, реализующий саму функциюху!/, и соответствующий выходной
элемент. Этот элемент фх должен реализовать конъюнкцию (так как
других элементов нет). Рассмотрим элементы ф2, ф8, выходы которых
соединены с входами фх. На выходе одного из них должна опять реали-
реализоваться XVу (легко проверяется, что функции, реализующиеся на
выходах фг и фз, должны равняться 1 на наборах A, 1), A, 0), @, 1) и,
по крайней мере, одна из них должна быть равна 0 на наборе @, 0)).
Продолжая этот процесс дальше, мы придем к схеме из одного элемента,
которая должна реализовать х\/у, а тем самым, и к противоречию.
Строгое доказательство проводится индукцией (например, по числу
элементов схемы).
Замечание. Мы можем без помощи дополнительных элементов
строить отрицание функции, которая уже представлена двойной ли-
линией. Однако это не равносильно тому, что имеется функциональный
элемент, реализующий отрицание.
8.20. 1. Заметим, что все самодвойственно представимые через
систему функций Ф функции / могут быть реализованы в двойных
линиях при помощи элементов, реализующих Ф. Действительно, до-
достаточно взять схемы из функциональных элементов, реализующие /
и /+, и на входы схемы для / подать сами аргументы, а на входы для /+—
их отрицания. Если мы имеем систему элементов, реализующих само-
самодвойственно полную систему функций, то мы можем реализовать в двой-
двойных линиях систему функций, добавление к которым отрицания делает
эту систему полной. Но, как мы видели, отрицание в двойных линиях
осуществляется без помощи функциональных элементов.
2. Если некоторая функция / представима схемой в двойных ли-
линиях, то легко заметить, что если рассмотрены части схемы, связанные
с каждым из выходов, то они реализуют двойственные функции ф и ф+
(каждая из них имеет п входов, причем если на соответствующие входы
подавать противоположные сигналы, то на выходах также возникнут
противоположные сигналы; это можно доказать по индукпии).
При этом функция ф может отличаться от / лишь отрицаниями
над аргументами или значением функции (последнее не существенно).
Отсюда слгтует, что если в двойных линиях можно реализовать любую
функцию ; лгебры логики /, то система соответствующих функций <р
с>мод ' те нно полна, ._ значит, исходная система элементов реализует
сачодв^..ственно полную систему функций.
§ 9. РЕЛЕЙНО-КОНТАКТНЫЕ СХЕМЫ. ОЦЕНКИ
СЛОЖНОСТИ СХЕМ
1. Релейно-контактные схемы. В этом параграфе мы
познакомимся еще с одним способом реализации функций
алгебры логики—релейно-контактными схемами. Этот
способ не может быть описан в рамках теории схем из функ-
функциональных элементов (см. ниже, конец п. 1). Мы обсудим
конкретное устройство релейно-
контактных схем (в то время как ays t g i ^ i
конкретной реализацией функ-
функциональных элементов мы не ин-
интересовались).
Исходное замечание состоит
в том, что если логической пере-
переменной х поставить в соответст-
соответствие проводник, по которому ток идет или нет в зависимости
от того, х = 1 или х = 0, то последовательному соединению
проводников отвечает конъюнкция переменных, а парал-
параллельному—дизъюнкция (рис. 30). Многократно используя
параллельно-последовательные соединения, можно строить
схемы. Однако ясно, что мы
?.# при этом сможем реализовать
лишь монотонные функции.
.Для реализации произволь-
произвольных функций достаточно было
рис 31 бы уметь реализовывать отри-
отрицание. Это можно сделать
при помощи устройства, называемого реле с размыкающим
(отрицательным) контактом. Изобразим его схемати-
схематически на рис. 31. Если по обмотке катушки А ток не
идет (а = 0), то пружина оттягивает контакт В вверх и
цепь замыкается. В результате на выходе С будет ток.
Если же х= 1 и по обмотке А идет ток, то контакт В притя-
151
гивается вниз и на выходе С нет тока. В результате реали-
реализуется функция х. Заметим, что если на контакт В подавать
не 1, а какую-то переменную у, то мы реализуем функцию
ху (рис. 32).
Можно рассматривать еще реле с замыкающим (поло-
(положительным) контактом (рис 33). В этом случае контакт
„ „ „ ху замыкается, если по обмот-
обмотке катушки идет ток. На
выходе схемы реализует-
реализуется ху *).
Рис. 32. При соединениях про-
проводников следует иметь в
виду, что ток распростра-
распространяется во всех направле-
направлениях. Поэтому, если реали-
Рис зз зовать x\Jy, как указано
на рис. 30, то при х~1,
у=0 ток от точки А будет распространяться по всем направ-
направлениям, в том числе и по проводнику, соответствующему
переменной у (хотя г/=0). Ясно, что в такой ситуации
работа сложной схемы может исказиться. Этого можно
избежать различными способами, например, применяя спе-
специальные устройства, пропускающие ток лишь в одном
Рис. 34.
направлении. Мы же используем для этой цели реле. На-
Например, используя реле с замыкающим контактом, дизъ-
дизъюнкцию можно реализовать схемой, указанной на рис. 34.
При этом результат на выходе x\Jy не может исказить зна-
значений аргументов х, у, так как носителями их значений
являются обмотки катушек, не связанные непосредственно
с выходом схемы. Мы ограничимся этим примером, не ука-
указывая, как исправлять положение в общем случае.
*) Мы не будем на рисунках изображать пружины, оттягивающие
контакты. Признаком замыкающего (соответственно размыкающего)
контакта будет расположение к обмотке ближе (соответственно даль-
дальше) проводника, на котором он находится.
152
Мы исходили пока из предположения, что сигналы на-
находятся в проводниках сколь угодно долго. Теперь мы от-
откажемся от этого предположения и в связи с этим обсудим
вопрос о времени работы схемы, построенной из реле
(релейно-контактной схемы). Будем считать, что ток рас-
распространяется мгновенно, в то время как на срабатывание
реле (замыкание контакта) уходит один такт. Это значит,
что на рис. 32 и 33 сигнал у должен поступать на один
такт позднее сигнала х; сигнал на выходе (ху или ху) возни-
возникает одновременно с сигналом у. В связи с этим необходимо
учитывать время, которое уходит на обработку сигналов
в схеме, и иногда менять его, не меняя функции, реализуе-
реализуемой схемой. Это, как и в случае многотактной схемы из
функциональных элементов, делается при помощи элемен-
элементов задержки. Роль элемента задержки играет реле с замы-
замыкающим контактом (рис. 33), на контакт которого подается
1 (г/=1). При этом происходит задержка на один такт.
Если после подачи на входы релейно-контактной схемы
сигналов х,, . . ., хп- через v тактов независимо от сигналов
на входах в другие моменты времени на выходе возникает
сигнал f(xlt . . ., хп), то мы будем говорить, что схема
реализует, функцию f(xu . . ., хп) с задержкой v. При этом
предполагается, что если в два последовательных момента
времени подаются два набора сигналов, то через v тактов
после каждого из них на выходе появляется сигнал, отве-
отвечающий значению f на соответствующем наборе. Короче
говоря, последовательные наборы сигналов обрабатываются
независимо.
Мы не будем давать здесь аккуратное определение того,
что такое релейно-контактная схема (считая достаточными
для наших целей данные выше пояснения).
9.1. 1) Доказать, что всякую функцию алгебры логики
можно реализовать релейно-контактной схемой с некоторой
задержкой.
2) Показать, что при этом нельзя ограничиться реле
с размыкающими контактами. ^
Заметим, что поскольку релейно-контактные схемы являются мно-
готактными, в них возможны эффекты типа обратных связей (см. § Ь,
стр. 122). Например, схема на рис. 35 аналогична схеме звонка. Здесь
у двух реле, одно из которых имеет замыкающий, а другое — размы-
размыкающий контакты, контакт каждого реле соединен с обмоткой другого.
Тогда, если в начальный момент времени t в обеих обмотках есть ток,
то в момент t+Х контакт А будет замкнут, а контакт В будет разомкн>т,
т. е. в катушке С тока не будет, а в D будет; в момент t-\-2 оба контакта
153
будут разомкнуты и в катушках тока не будет, после этого в момент
/+3 контакт А будет разомкнут, а В замкнут, соответственно в катуш-
катушке С ток будет, а в D его не будет; в рпультате в момент ?+4 оба кон-
контакта будут замкнуты и в обеих катушках будет ток, т. е. мы вернулись
к исходному состоянию. Таким образом, независимо от начального
состояния схема будет возвращаться к нему через четыре такта (период
ее работы равен четырем тактам); через два такта состояние обоих
контактов меняется на противоположное.
Рис. 36.
Если аналогичным образом соединены реле с одноименными кон-
контактами, например, замыкающими (рис. 36), то все будет зависеть от
начального состояния. Если в начальный момент времени контакты
были замкнуты, то они останутся замкнутыми навсегда; если же один
из контактов был замкнут, а другой разомкнут, то в каждый момент
времени состояние контактов будет меняться на противоположное.
В случае соединенных таким образом реле с отрицательными контак-
контактами устойчивым является состояние, когда оба контакта разомкнуты.
9.2. Реализовать релейно-контактныыи схемами функ-
функции: a) xy\Jz; 6) xy\Jzt; в) xy\Jyz\Jxz. ^
Релейио-контактные схемы нельзя рассматривать просто как схемы
из функциональных элементов, реализующих ху, ху и 1. Несущест-
Несущественное отличие состоит в том, что на входы реле у нужно подавать иа
один такт позже, чем х (а не одновременно, как в случае функциональ-
функционального элемента). От этого различия можно избавиться, соединив вход у
с выходом реле, осуществляющего задержку на один такт (при этом
важно, что сигнал i/=l нет необходимости задерживать). Существенное
же различие состоит в том, что в схемах из функциональных элементов
каждый имеющийся сигнал можно «размножить» без дополнительных
устройств (выход элемента можно соединять с любым числом входов),
в то время как для «размножения» сигнала в релейно-контактиых
схемах нужно подать его на обмотку катушки, снабженной соответст-
соответствующим числом положительных контактов *). С другой стороны, в
релейно-контактных схемах можно соединять проводники, реализуя
дизъюнкцию, для чего в случае схем из функциональных эчементов
требуется специальный элемент.
*) Заметим, что к одной и той же катушке может быть подведено
любое число контактов — как положительных, так и отрицательных.
154
2. Контактные схемы. Мы ограничимся в дальнейшем
схемами, в которых соединяются лишь контакты (нет соеди-
соединений обмоток реле с контактами). Такие схемы называются
просто контактными *). Введем некоторые правила, ко-
которыми мы будем пользоваться при изображении контактных
схем. Контакт будем изображать отрезком, концы кото-
которого называются полюсами, а сам отрезок называется
двухполюсником. Двухполюсник будем снабжать символом
переменной х, если контакт замыкающий, и х, если он
размыкающий; х—переменная, которая реализуется на
соответствующей катушке. Двухполюсники соединяются
полюсами. Можно считать, что каждой переменной соот-
соответствует одна катушка, с которой связано любое число
контактов (см. сноску в конце п. 1).
В результате контактная схема представляет из себя
граф: совокупность точек (вершин графа), соединенных
отрезками **) (ребрами графа). Ребрам графа приписаны
символы логических переменных или их отрицаний. Ребра
соответствуют контактам. ВершинаТм соответствуют соеди-
соединения контактов, соответствующих отрезкам (двухполюс-
(двухполюсникам), которые в этих вершинах сходятся. Если по одному
из контактов, идущему в вершину, идет ток, то он распро-
распространяется по всем замкнутым в данный момент контактам,
имеющим данную вершину в качестве полюса. Наконец,
в графе нужно выделить две вершины: вход и выход. На вход
всегда подается ток, т. е. ток подается на соответствующие
полюсы контактов, идущих в эту вершину (можно было
считать, что ток всегда подается на несколько вершин
схемы, но тогда эти вершины, не меняя работы схемы, можно
отождествить). На другие полюсы ток извне никогда не
поступает. Если на обмотки некоторых катушек подан ток,
то через один такт замкнутся соответствующие им замы-
замыкающие контакты и разомкнутся размыкающие; на кон-
контактах остальных катушек возникнет противоположная
картина. Если при этом на выход схемы поступит ток, то
мы говорим, что при данных значениях переменных (со-
(состояниях обмоток катушек) в схеме есть проводимость;
*) В контактных схемах обмотки не соединяются, а потому не
могут искажаться значения переменных (ср. замечание к рис. 34).
**) Две вершины могут быть соединены несколькими различными
отрезками (отрезки не предполагаются обязательно прямолинейными).
Кроме того, отрезки могут «пересекаться» в точке, не являющейся
вершиной (см ниже рис 37).
155
в противном — что проводимости нет. Итак, контактная
схема работает в один такт.
На рис. 37 приведены примеры контактных схем.
Белым кружком здесь обозначен вход схемы, черным —
выход.
Рис. 37.
9.3. Какие из схем, полученных при решении задачи
9.2, являются контактными? Нарисуйте соответствующие
им схемы в обозначениях, принятых в этом пункте. ^
Обсудим теперь вопрос о том, какую функцию алгебры
логики реализует контактная схема. Эта функция равна
единице при тех значениях аргументов, при которых в схеме
есть проводимость, и нулю, если проводимости нет. Функ-
Функцию, реализуемую схемой, будем называть функцией про-
проводимости схемы. Заметим, что функция проводимости
не изменится, если вход и выход схемы поменять местами.
По схеме естественным образом строится ДНФ для
функции проводимости. Назовем цепью любую последова-
последовательность контактов, в которой у каждого контакта можно
так упорядочить полюсы (начало и конец), что у первого
контакта началом является вход схемы, начало каждого
следующего контакта совпадает с концом предыдущею и
конец последнего контакта совпадает с выходом схемы.
При этом один и тот же контакт может участвовать в цепи
несколько раз, причем при разных его вхождениях в цепь
полюсы могут быть упорядочены по-разному. Геометриче-
Геометрически цепь представляет собой связную последовательность
ребер графа, идущую от входа к выходу. Для того чтобы
на выходе схемы был ток при некотором наборе значений
переменных, необходимо и достаточно, чтобы, по крайней
мере, в одной цепи все контакты были замкнуты. Отсюда
следует, что если поставить в соответствие каждой цепи Г
конъюнкцию Str переменных или соответственно отрицаний
переменных, приписанных входящим в Г контактам, то
156
дизъюнкция этих конъюнкций по всем входящим в схему
цепям будет совпадать с функцией проводимости схемы.
Однако эти рассуждения требуют уточнения: ведь число
всевозможных цепей бесконечно. Выход из положения за-
заключается в том, что на самом деле для получения функции
проводимости достаточно брать дизъюнкцию не по всем
цепям, а лишь по некоторым.
Цепь Г называется существенной, если она ни через ка-
какую вершину графа не проходит дважды (точнее: для входа
и выхода схемы имеется по одному, а для каждой другой
вершины цепи по два контакта, имеющих эту вершину по-
полюсом).
9.4. Доказать, что в каждой схеме имеется лишь конеч-
конечное число существенных цепей *). А
9.5. Доказать, что дизъюнкция конъюнкций, соответ-
соответствующих существенным цепям, равносильна функции про-
проводимости схемы. А
Используя результат задачи 9.5, можно строить по схеме
ее функцию проводимости.
9.6. Найти функции проводимости для схем, изображен-
изображенных на рис. 37. А
Посмотрим теперь, как обстоит дело с обратной задачей:
построением по функции реализующей ее схемы. Исходя
из сказанного выше, можно поступить следующим образом.
ар
1 3- 1
Рис. 38.
Представим функцию в виде ДНФ. Каждой входящей в
ДНФ элементарной конъюнкции хЧ'х . . . х1к поставим
в соответствие схему, состоящую из последовательно соеди-
соединенных контактов х°\ х\е х*'1' (рис. 38). Теперь
отождествим между собой, с одной стороны, входы всех
*) Мы рассматриваем лишь схемы, содержащие конечное число
контактов.
157
этих схем (для всех входящих в ДНФ элементарных конъ-
конъюнкций), с другой стороны — выходы. Полученная схема
будет реализовывать заданную функцию, так как существен-
существенными цепями будут лишь цепи, отвечающие исходным эле-
элементарным конъюнкциям.
9.7. При помощи указанного алгоритма реализовать
контактными схемами функции: a) (y\Jz)-+xy; б) zy~yx;
в) х+у+г. ^
При решении задачи 9.7 мы старались упростить ДНФ
при помощи формул B.20) — B.25). Эти же формулы иногда
облегчают построение функции проводимости указанным
выше способом.
9.8. На основании формул B,20) — B.25) сформулиро-
сформулировать правила сокращения цепей при построении функции
проводимости. ^
При реализации функции при помощи контактных схем
мы исходили из представления функции в ДНФ. Естест-
Естественно ожидать, что можно реализовать функции также и
исходя из КНФ.
9.9. Указать способ реализации функций при помощи
КНФ, аналогичный приведенному выше способу реализации
при-помощи ДНФ. А
9.10. При помощи способа, полученного при решении
задачи 9.9, реализовать функции из задачи 9.7. ^
В процессе реализации функций алгебры логики, исходя
из КНФ н ДНФ, мы использовали две операции над кон-
контактными схемами: параллельное и последовательное соеди-
соединения схем. При последовательном соединении двух схем
выход первой отождествляется с входом второй, а вход
первой и выход второй схемы объявляются соответственно
входом и выходом новой схемы. При параллельном соеди-
соединении входы схем отождествляются и объявляются входом
новой схемы; аналогично отождествляются выходы и полу-
получающийся полюс принимается за выход всей схемы. Ясно,
что последовательному соединению схем отвечает конъ-
конъюнкция функций проводимости, а параллельному соедине-
соединению — дизъюнкция.
Опишем индуктивно класс схем, прлученных параллель-
параллельно-последовательным соединением. Схему, состоящую из
158
одного контакта, назовем элементарной. Контактную схему
назовем параллельно-последовательной схемой, или П-схе-
мой *), если она может быть получена из элементарных
за некоторое число шагов при помощи параллельных и
последовательных соединений. Ясно, что каждому способу
построения П-схемы из элементарных схем отвечает пред-
представление функции проводимости в виде формулы, содер-
содержащей только дизъюнкции, конъюнкции и отрицания,
причем отрицания стоят лишь над аргументами, и что,
обратно, по каждой такой формуле можно построить неко-
некоторую вполне определенную П-схему.
9.11. Построить П-схемы по формулам: a) (x\/yz)(xy\/zt)\
б) (x{y\/z)yt)x. A
Возникает вопрос: всякая ли контактная схема является
П-схемой? Оказывается, что нет.
9.12. Показать, что схема («мостик») на рис. 39 не
является П-схемой. ^
3. Проблема минимизации контактных схем. Одну и
ту же функцию можно реализовать различными'контакт-
различными'контактными схемами. При реализации функ-
функции естественно стремиться к построе-
построению схемы, число контактов в которой
либо наименьшее возможное, либо,
по крайней мере, не очень значительно
превосходит это число. Схема назы-
называется минимальной, если она содер- Рис. 39.
жит наименьшее возможное число
контактов среди всех схем, имеющих ту же функцию
проводимости.
Вопрос о нахождении минимальной реализации, как и
вопрос о доказательстве минимальности конкретных схем,
удается решить лишь в немногих случаях. Приведем внача-
вначале простейшие примеры и соображения, позволяющие иногда
устанавливать минимальность схем.
9.13. Доказать, что «мостик» (рис. 39) является мини-
минимальной схемой. Попытаться сформулировать достаточное
условие минимальности схемы, которому удовлетворяет
*) Читается: «пи-схема».
159
рассматриваемый пример. Построить аналогичные примеры
минимальных схем. А
Приведем несколько более сложный пример минимальной
схемы.
9.14. Показать, что схема, изображенная на рис. 40,
является минимальной. Сформулировать соответствующее
достаточное условие минимальности схемы. ^
Рис. 40.
9.15. Построить для функции хххг. . .хп\/х^хг. . .^„мини-
.^„минимальную схему, отличную от схемы *), изображенной на
рис. 40. А
Из задачи 9.15 следует неединственность минимальной
схемы.
Можно разыскивать минимальные схемы не только в
классе всех схем, но и в каком-нибудь более узком классе
схем, например, в классе П-схем. Возникает вопрос: всегда
ли минимальная П-схема является минимальной в классе
всех схем. Ответ на этот вопрос позволяет дать уже не раз
выручавший нас «мостик».
9.16. Показать, что для функции, реализованной «мо-
«мостиком» (рис. 39), не существует П-схемы с тем же числом
контактов.
Пусть /(л:,, . . ., хп) — функция алгебры логики. Обо-
Обозначим через L(J) число контактов в реализующей ее мини-
минимальной схеме; аналогично Ln(f) — число контактов в ми-
минимальной П-схеме, реализующей /. Очевидно, что
*) Можно, конечно, на рис. 40 тривиальным образом, не меняя
функции проводимости, переставить контакты. Но в задаче речь идет
о существенно другой схеме. Мы не будем точно формулировать,
какой смысл вкладывается в эти слова (в общем случае это сделать не
очень просто).
160
причем в задаче 9.16 указана функция, для которой имеет
место строгое неравенство.
Наибольшее значение L(f) для функций f(xx, . . ., хп)
от п переменных называется функцией Шеннона L(n) (ана-
(аналогично: Ln(n)=max Ln(/), где максимум берется по тому
же множеству функций).
Переходим к исследованию функций L{n) и Ln(n).
При этом от исследования реализаций индивидуальных
функций мы переходим к вопросу об общей характеристике
реализаций функций от п переменных. Речь идет об' оценке
максимального числа контактов, которое может потребо-
потребоваться при реализации функций от п переменных.
Начнем с оценки функции L(n) сверху. Для этого нужно
рассмотреть какой-либо способ реализации функций кон-
контактными схемами и оценить (сверху), какое наибольшее
число контактов при этом может потребоваться.
9.17. Найти верхнюю оценку для L(n), исходя из реали-
реализации функций при помощи:
а) СДНФ;
б) СКНФ;
в) того из предыдущих двух способов, который требует
меньшего числа контактов. ^
Мы часто будем использовать индуктивный способ
реализации функций. В простейшем виде он состоит в сле-
следующем. Мы считаем, что уже реализованы все функции
от k"переменных и реализуем функции от k+l переменных,
«раскладывая» их по одной из переменных.
9.18. Получить оценку для L(n), исходя из указанного
только что способа реализации функций. ^
Рассмотренные пока способы реализации функций (зада-
(задачи 9.17 и 9.18) приводили к П-схемам. Поэтому в этих
задачах мы получили одновременно оценки для Ln(n).
Сейчас мы рассмотрим способ реализации, уже не при-
приводящий к П-схемам. При построении схемы с помощью
СДНФ нужно реализовать элементарные конъюнкции.
Пока мы реализовывали каждую элементарную конъюнк-
конъюнкцию в отдельности, а потом параллельно соединяли полу-
полученные схемы. Теперь же мы реализуем все элементарные
конъюнкции одновременно. Назовем A, К)-тлюсником схе-
схему с одним входом и k выходами. Мы будем говорить, что
6 С. Г. Гиндикиц 161
на некотором из k выходов реализуется функция /, если эта
функция будет функцией проводимости для нашей схемы
в принятом выше смысле, когда за выход схемы принимает-
принимается этот выделенный выход. В результате на выходах
A, ?)-полюсннка реализуется одновременно k функций ал-
алгебры логики. Универсальным A, 2п)-полюсником называет-
называется A, 2")-полюсник, на выходах которого реализуются все
полные правильные элементарные конъюнкции от п пере-
переменных. Такой универсальный многополюсник можно по-
получить, отождествляя входы (но не выходы!) схем (рис. 38),
реализующих элементарные конъюнкции. Однако мы по-
построим схему более экономным способом (рис. 41). Мы
х,
надеемся, что способ построения схемы ясен из рис. 41.
Его строгое описание дается по индукции. Если уже по-
построен универсальный A, 2л~1)-полюсник, то универсаль-
универсальный A, 2*)-полюсник получится, если к каждому из 2k~l
выходов уже построенной схемы присоединить контакты
xh и xk, объявив их свободные полюсы выходами новой
схемы (их будет 2*).
9.19. Показать, что схема, изображенная на рис. 41,
действительно является универсальным A, 2и)-полюсником.
Указать способ построения схемы для функций алгебры
логиьи, использующий универсальные многополюсники.
Какая при этом получится оценка для L(«)? A
Будем говорить, что проводимость между двумя полю-
полюсами схемы равна нулю, если для схемы с тем же графом
162
и наименованиями контактов, но с одним из выделенных
полюсов в качестве входа, а другим в качестве выхода
функция проводимости тождественно равна нулю. Короче
говоря, любой цепи, соединяющей эти полюсы, отвечает
конъюнкция, тождественно равная нулю. Если проводи-
проводимость между любыми двумя выходами A, т)-полюсника
равна нулю, то будем называть его разделительным.
9.20. Доказать, что построенный универсальный
A, 2")-полюсник является разделительным. ^
Мы будем реализовывать функции алгебры логики от п
переменных, разлагая в СДНФ по последним п—k перемен-
переменным (см. B.16)):
Рис. 42.
Рис. 43.
V
(Ofc+l On)
Схема будет состоять из двух частей, одинаковых для всех
функций f\ схемы для различных функций будут разли-
различаться соединениями этих частей. Первая часть Mi будет
представлять собой уни-
универсальный A, 2"~fc)-no-
люсник для переменных
xk+i, • •> хп. Он схема-
схематически изображен на
рис. 42. Вторая часть М2
представляет собой сово-
совокупность схем для всех 22
функций от k переменных хх, . . ., xh, у которых отож-
отождествлены выходы. Таким образом, М2 можно рассматри-
рассматривать как B2 , 1)-полюсник (рис. 43).
Нужно условиться о том, какими схемами реализуются
функции в Мг. Из дальнейшего можно усмотреть, что нас
устраивает любой из уже известных нам способов реализа-
реализации функций, например, способ задачи 9.18. Каждый вход
многополюсника Мг отвечает какой-то функции от k пере-
переменных.
Из Mi и М2 следующим образом конструируется схема
Sf для f. Каждый выход Mi соответствует некоторой эле-
элементарной конъюнкции*jt+V • • - -fn"; смотрим, какая функ-
функция от k переменных стоит коэффициентом при этой конъ-
конъюнкции; отождествляем вход М2, соответствующий этой
функции, с рассматриваемым выходом Му. Такое отождест-
ь*
163
вление проведем для всех выходов Мх. При этом несколько
выходов Мх могут оказаться отождествленными с одним и
тем же входом М2.
9.21. Показать, что полученная таким образом схема S/
действительно реализует /(Xi хп). Оценить Цп). ^
Теперь нужно для каждого п выбрать k таким образом,
чтобы построенная схема S/ содержала возможно меньшее
число контактов.
Если обозначить число контактов в схеме через ТПгк,
то нужно возможно точнее оценить сверху минимум ТПъ г,
по k при фиксированном п. Мы будем оценивать min Т„ k
к
при достаточно больших п, т. е. будем пренебрегать величи-
величинами, которые становятся малыми при больших п. Более
точная постановка задачи будет дана ниже.
Напомним некоторые факты из анализа (их все можно найти в любом
учебнике анализа). Пусть имеются две числовые последовательности
\ап\ и \Ьп\, стремящиеся к бесконечности при п —<• оо. Говорят,
что ап стремится к бесконечности быстрее, чем Ьп, если
lim -^ = оо;
и-*оо °п
если
lim гй= 1.
я -* да "п
то последовательности |ои} и |6„} называются эквивалентными (ап~Ьп);
если существуют такие положительные константы ct и с, и такое
натуральное Л', что для всех п > N
то последовательности {оп} и |&и} имеют один и тот же порядок.
Если ап стремится к бесконечности быстрее, чем Ьп, то последова-
последовательности ап и ап-\-Ь„ эквииалентн"ы.
Рассмотрим последовательности {аь } (а > I, b > I), {с"} (с > 1),
{nk} (k > 0) и {logp л} (р > I). Последовательность {аь } растет быстрее
всех остальных указанных последовательностей, |с"} растет быстрее
\d"}, если с > d; |cn} растет быстрее |nfc} при любых с и k\ |nfc}
растет быстрее {п1} при k > /; |nfc}^ растет быстрее {log^n} при
любых k и р.
Заметим, что из полученных нами выше результатов
(задача 9.18) следует, что L(n) растет не быстрее, чем
I
164
9.22. Показать, что k=k(n) при каждом п можно выбрать
так, что Тп, к{п; будет иметь при л—>-оо тот же порядок, что
ОН
—. Указать верхнюю оценку для L(n) при достаточно
больших п. А
Пока мы оценивали L(n) сверху. Теперь мы обсудим
вопрос об оценке L{n) снизу.
9.23. Можно ли оценить L(n) снизу, исходя из уже
полученных результатов? А
Полученная пока нижняя оценка существенно отличается
от верхней. Сейчас мы уточним нижнюю оценку. При этом
мы будем исходить из следующей идеи. Пусть R(k, n) —
число различных схем, содержащих не более k контактов,
связанных с п переменными. Если k=L(ri), то ясно, что
R(L(n), n) не может быть меньше числа функций от п
переменных, т. е. 22" (иначе нельзя было бы реализовать
каждую функцию от п переменных схемой, содержащей
не более L(n) контактов):
2'n^R(L(n), n).
Из этого неравенства и можно получить нижнюю оценку
для L(n). При этом нам нужно иметь верхнюю оценку для
R(k, n). Мы будем получать ее в два этапа. Напомним, что
схема представляет собой граф (совокупность вершин,
соединенных ребрами; ребрам соответствуют контакты),
ребрам которого поставлены в соответствие символы пере-
переменных или их отрицаний.
Два графа мы будем считать эквивалентными, если между
их вершинами можно установить соответствие так, чтобы
входы и выходы соответствовали друг другу и число ребер,
соединяющих соответствующие пары вершин, в обоих гра-
графах было бы одинаково. Мы для удобства рассматриваем
лишь графы с выделенными вершинами: входом и выходом.
Ограничимся рассмотрением графов, не имеющих изоли-
изолированных вершин. Ясно, что в минимальной схеме для
функции, отличной от константы, можно считать, что нет
ребер, соединяющих какую-нибудь вершину с самой собой.
Вначале мы оценим число S{k) графов с не более чем
k ребрами, а потом уже число R(n, k).
9.24. Показать, что
S(k)<Bkfk. ^
165
9.25. Показать, что
R(k, n) '{2knfk. A
Таким образом в силу сделанного выше замечания и
задачи 9.25 должно выполняться неравенство
Исходя из этого неравенства, мы и будем пытаться получить
нижнюю оценку для L(n). Сразу же заметим, что мы полу-
получим нижнюю оценку с тем же порядком роста, что и полу-
полученная ранее верхняя оценка. Исходя из этого, удобно
представить L(n) в виде
Для а(я) мы получаем неравенство
2 < B"сс («))*(п)/".
9.26. Оценить снизу а(«). Выписать соответствующую
оценку для L(n). A
Итак, мы получили (задачи 9.22 и 9.26), что для всякого
е>0 и достаточно больших п
Отсюда, в частности, следует, что L(n) при п—уоо имеет
2"
тот же порядок, что и — Эти неравенства были впервые
получены Шенноном в несколько более точном виде (нижняя
2"\
оценка имеет вид A—е)— ). Окончательный результат
в этом направлении был получен О. Б. Лупановым [11,
который показал, что последовательность L(n) эквивалент-
эквивалентов
на — при п-^-оо. При этом в верхней оценке Шеннона по-
потребовалось заменить множитель 4+е на 1+е.
Более точная нижняя оценка Шеннона получается на том же пути,
что и полученная нами нижняя оценка, т. е. показывается, что при
2п
больших п и k = (l — е)— число R(k, n) схем от п переменных с не
более чем k контактами меньше числа функций от п переменных. Уди-
Удивительно, что столь грубые соображения приводят к точной (в силу
теорег -I О. Б. Лупанова) нижней оценке. Следует более внимательно
продул чем связано это состоя гльство. Оно означает, что последо-
ватсчьтхти R(L(n), n) и 22 при п—кх эквивалентны^ Отсюда, в свою
166
очередь, следует, что если ?(«) — число функций от п переменных,
для которых имеется единственная реализация, содержащая не более
Цп) контактов, то ?(л)~22" (другими словами, при больших п для
почти всех функций имеется единственная такая реализация). Если
заметить теперь, что для всякой функции п переменных можно построить
схему, содержащую в точности Цп) контактов (например, добавляя к
минимальной схеме фиктивные контакты, не имеющие общих полюсов
с исходной схемой), то мы получаем, что для реализации большинства
функций при больших п требуется в точности Цп) контактов, причем
минимальная реализация единственна. Точнее, число функций от п
переменных, для реализации которых требуется Цп) контактов, при
п—*ао эквивалентно числу всех функций от п переменных.
Отметим существенную разницу между двумя способами получения
нижних оценок для Цп) (ср. задачи 9.23 и 9.26). В первом случае мы
указали последовательность функций /„, где fn зависит от п переменных,
причем для реализации fn требуется 2п контактов. Казалось бы, что
аналогичным образом можно попытаться доказывать и общую теорему.
Однако лишь в последнее время удалось [2] указать последовательность
функций /„, необходимое для реализации которых число контактов
растет нелинейным образом при п—юо (быстрее любой линейной функ-
функции от п). Эффективно же построить последовательность функций,
требующих для своей реализации Цп) контактов (при п—юо), не удается.
Здесь следует уточнить, что подразумевается под словами «эффек-
«эффективно построить». Имеется в виду, что существует алгоритм, который
для каждого п выдает нужную функцию fn. Но поскольку для каждого п
имеется конечное число функций и конечное число схем, содержащих
не более k контактов, можно, перебирая все эти функции и схемы (при
к=Цп)), найти в конечное число шагов нужную функцию. Эту возмож-
возможность желательно исключить с тем, чтобы алгоритм был отличен от
«алгоритма перебора». При этом нужно точно определить, в каком
случае мы считаем алгоритм отличным от алгоритма перебора. Необ-
Необходимость в таком определении возникает в целом ряде задач, однако
удовлетворительного ответа на этот вопрос пока не получено. Сущест-
Существует гипотеза о том, что в задаче о построении последовательности функ-
функций, требующих для реализации Цп) контактов, нет алгоритма, отлич-
отличного от «алгоритма перебора». Имеются косвенные аргументы в пользу
этой гипотезы [3]. На первый взгляд, сформулированное предположе-
предположение кажется парадоксальным, если учесть, что при больших п большая
часть функций требует при реализации Цп) контактов. Вероятно, это
связано с тем, что почти все функции от п переменных при больших п
допускают лишь одинаково сложные описания, сравнимые с перебором
всех функций от п переменных. Функций же, допускающих короткое
описание по сравнению с большинством, мало и они обладрют сравни-
сравнительно простой реализацией. Отметим, что последовательности функций,
требующих для реализации мало контактов, хотя их при больших п
меньшинство, строятся легко.
В заключение этого пункта заметим, что близкими методами можно
оценить необходимое число контактов для различных классов, схем,
например (см. [4]),
2"
Аналогичные оценки можно привести и для схем из функциональных
элементов.
167
4. Реализация линейных функций контактными схемами.
В этом пункте на примере линейных функций мы покажем,
что для некоторых специальных классов функций общие
оценки можно значительно улучшить [5]. Итак, для каждого
п рассматриваются две функции:
Рп{хл, .... xa) =
Первую из этих функций иногда называют «счетчиком
нечетности», а вторую — «счетчиком четности». Эти назва-
названия связаны с тем, что Рп равна 1 тогда и только тогда,
когда нечетное число переменных равно 1, a Qn равна 1,
когда четное число переменных равно 1. Нам предстоит
построить контактные схемы для Рп и Qn.
Отступление о переключательных схемах.
Рассмотрение контактных схем эквивалентно рассмотрению так
называемых переключательных схем. Каждый контакт можно при этом
интерпретировать как переключатель, который может находиться в
двух состояниях: например, если он замкнут, то ток по цепи в этом
месте может проходить, если разомкнут, то нет. Каждому переключателю
ставится в соответствие переменная х или ее отрицание х; в зависимости
от этого значениям х=\ и х=0 соответствует то или иное состояние
переключателя. К входу схемы всегда подается ток; на выходе будет
ток, если функция проводимости равна единице. В осветительной цепи,
как правило, мы имеем дело с одним переключателем (точнее, каждый
переключатель управляет своей частью цепи). Но иногда приходится
прибегать к переключательным схемам. Например, пусть имеется
несколько переключателей (в разных концах комнаты), и мы хотим,
чтобы изменение положения любого из них меняло проводимость в цепи
(свет должен зажигаться, если ранее он не горел, или гаснуть, если он
горел). Ясно, что соответствующая схема будет реализовывать Рп
или Qn (в зависимости от состояния схемы при выключенных переклю-
переключателях), так как именно у этих функций изменение значения любой
одной переменной на противоположное меняет значение функции (см.
задачу 4.9). Читатель без труда придумает другие ситуации, когда
естественно прибегнуть к переключательным схемам. Можно разобрать,
например, случай, когда свет должен гореть, если включено большин-
большинство переключателей («машина голосования»); когда должно быть
включено, по крайней мере, два переключателя и т. д. Переключение
лампочек в люстре по секциям происходит благодаря тому, что они
разбиты на две группы, каждая из которых связана с одним переключа-
переключателем; вместо двух переключателей иногда используется секционный
переключатель, четыре возможных положения которого отвечают воз-
возможным состояниям пары переключателей. (Знаете ли вы, как он уст-
устроен? Обратите внимание на то, что к нему подходят три привода.)
Возвратимся вновь к реализации Рп и Qn.
9.27. Найти минимальные схемы, реализующие Р2 и
<?
168
Схемы для Рп и Qn мы будем строить по индукции.
9.28. Построить контактные схемы для Рп и Qn. Полу-
Получить верхние оценки для L(Pn) и L(Qn). Оценить их снизу. А
Итак, мы получили, что линейные функции можно
реализовать контактными схемами, имеющими линейную
сложность (т. е. число необходимых контактов линейно
зависит от числа переменных).
Рассмотрим вопрос о реализации линейных функций
П-схемами. Прежде всего убедимся, что пока мы такими
реализациями не обладаем.
9.29. Показать, что схемы, построенные при решении
задачи 9.28, не являются П-схемами при л>2. А
Итак, мы умеем -строить П-схемы лишь для Р2 и Q2.
, 9.30. Реализовать П-схемами функции /V и Q2». Оце-
Оценить число контактов.
9.31. Реализовать П-схемами Рп и Qn для любых п.
Оценить сверху ЦРп) и L(Qn). A
Итак, в классе П-схем нам удалось реализовать линей-
линейные функции лишь схемами, сложность которых растет
как п1. Известно [6J, что Ln(Pn) растет нелинейно; именно,
для некоторого с>0
однако неизвестно, каков именно порядок Ln(Pn)-
Мы построим теперь схему для арифметического сложе-
сложения двоичных чисел. Если заданы два /г-значных двоичных
числа, то их сумма является не более чем (я+1)-значным
числом. Назовем п-значным сумматором A, /г+1)-полюс-
ник, в который входят контакты, связанные с переменны-
переменными (х,, . . ., хп; уи . . ., уп), причем выходы упорядочены
так, что на t-м выходе реализуется t-й справа знак sfa, у)
суммы двоичных чисел (xnxn_l. . .xj и (ynyn-i- ¦ Vi)-
Схему будем строить индуктивно в соответствии с обыч-
обычным' способом сложения чисел в позиционной (в частно-
частности, в двоичной) системе счисления. Разряды мы считаем
справа налево. Для того чтобы провести сложение в t-м
разряде, нужно знать i-e разряды слагаемых xt и yt и пере-
перенос ft на этот разряд. При этом нужно вычислить не только
169
i-й знак суммы sit но и перенос на следующий разряд
pi+1. Поскольку мы имеем дело со знаками 0 и 1, речь идет
об определении двух функций алгебры логики, задающих
Si и pi+1.
9.32. Найти функции st(Xi, yu pt) и pi+1(xt, yu Pi)- A
9.33. Построить схему «-разрядного сумматора. Оце-
Оценить необходимое число элементов. А
5. Схемы из функциональных элементов для арифмети-
арифметических операций. Для схем из функциональных элементов
можно получить близкими методами 14], [7] *) оценки,
аналогичные полученным в этом параграфе оценкам для
контактных схем. При этом порядок роста L(n) — тот же
самый Bя'я); от базиса зависит только константа. Мы не
будем останавливаться на этих вопросах, а лишь построим
схемы из функциональных элементов, реализующие ариф-
арифметические операции: сложение и умножение. При этом
процедура построения таких схем из функциональных
элементов в некотором смысле более естественна, чем для
аналогичных контактных схем (это особенно видно при
сравнении схем для умножения).
Заметим, что не известно никакой эффективной после-
последовательности функций, требующих для своей реализации
схем из функциональных элементов с нелинейно растущей
сложностью (ср. замечание на стр. 167).
Мы будем рассматривать схемы из нультактных функ-
функциональных элементов. При оценке числа элементов будем
интересоваться лишь порядком и не будем стремиться
к нахождению точных констант. Как мы увидим, при этом
порядок роста числа элементов часто не зависит от исполь-
используемого базиса функциональных элементов (от базиса за-
зависит лишь константа).
9.34. Построить схему из функциональных элементов
для л-разрядного двоичного сумматора. Оценить сверху
число необходимых элементов. А
9.35. Построить схему из функциональных элементов
для л-разрядного вычитания. Оценить число элементов. ^
•) Советуем читателю, заинтересованному в дальнейшей инфор-
информации об оценке сложности минимальных схем, ознакомиться с обзо-
обзором [4J.
170
Построим теперь схему для умножения «-разрядных
двоичных чисел. Вначале мы, как и в предыдущих случаях,
будем исходить из обычного способа умножения двоичных
чисел. Напомним, что для умножения чисел х=(хпхп_1...х1),
у=(УпУп-1- ¦ -yi) нужно умножить х на каждое yt (xyt),
сдвинуть xyi на i—1 единиц влево (или приписать справа
столько нулей) и полученные числа сложить. Поскольку
в двоичной системе yt =0 или 1, достаточно для всех yt 1
приписать /—1 нулей к х справа (т. е. взять 2'~1х) и эти
числа сложить.
9.36. Построить схему из функциональных элементов
для n-разрядного умножения. ^
Сейчас мы получим [8] более экономный (при больших п)
способ умножения. Способ построения в некотором смысле
аналогичен способу, которым мы строили П-схемы для ли-
линейных функций.
Заметим, что задача о построении схемы для произ-
произведения сводится к построению схемы для возведения в
квадрат.
9.37. Доказать, что если для возведения в квадрат
n-значных чисел можно построить схему, содержащую
не более f(n) элементов, то для умножения n-значных чисел
можно построить схему из менее чем af(n-{-l)-\-cn элементов
(а и с не зависят от п).
В частности, если f(n) растет быстрее п при п-^оо (на-
(например, f(n)~cna, oOl), то для числа элементов в схеме
для умножения получается та же (по порядку) оценка
(но с другой константой).
В связи с этим мы начнем со схемы для возведения двоич-
двоичных чисел в квадрат.
9.38. Построить схему для возведения в квадрат
2*-значного двоичного числа, содержащую не более
с- 3" элементов (с не зависит от k). ^
9.39. Исходя из задачи 9.38, построить схему для воз-
возведения в квадрат л-значного двоичного числа (для лю-
любого л). Оценить число элементов. Сделать вывод относи-
относительно схемы для умножения. А
Мы построили схему для умножения, содержащую не
более спх ч элементов. Оказывается, этот результат можно
171
усилить [9]: для любого а > 1 существует схема для умно-
умножения, содержащая не более спа элементов (с не зависит
от я). Таким образом, существуют способы для умножения
чисел в позиционной системе счисления, содержащие не
сп2 элементарных актов (сложений и умножений однознач-
однозначных чисел, как при обычном способе), а спа A<а<2).
Однако не следует забывать, что в этих оценках константы с
различны, а потому эти новые способы могут оказаться
более экономичными лишь при больших п.
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ § 9
9.1. 1) Доказать по индукции, воспользовавшись полнотой системы
функций {ху, х} и элементами задержки.
2) Нельзя реализовать, например, ху (и вообще /<? R; см. указание
к задаче 8.11). Аналогично решению задачи 8.10.
9.3. Схемы а) и в), приведенные при решении задачи 9.2, являются
контактными.
9.4. Для каждой цепи рассмотреть последовательность вершин,
через которые она проходит, и доказать конечность числа таких по-
последовательностей.
9.5. Показать, что если в какой-то цепи все контакты замкнуты, то
найдется существенная цепь, в которой также все контакты замкнуты.
9.7. Алгоритм преобразования формулы к ДНФ см. в п. 6 § 2. По-
Полученную ДНФ можно упростить при помощи формул B.20) — B.25).
9.8: Воспользоваться формулами B.20), B.22) и B.23).
9.9. Построить вначале схемы, реализующие элементарные дизъ-
дизъюнкции.
0.11. Формула указывает некоторый способ построения функции
из переменных и-их отрицаний при помощи конъюнкций и дизъюнкций.
Схему следует строить индуктивно, исходя из этой конструкции.
9.12. Показать,, что схему нельзя разбить ни на две схемы, соеди-
соединенные последовательно, ни на две схемы, соединенные параллельно.
9.13. Учесть, что все переменные в функции проводимости су-
существенны.
9.14. Показать, что во всякой схеме, реализующей данную функ-
функцию, каждой переменной должен соответствовать, по крайней мере.,
один положительный и один отрицательный контакты.
9. J5. Схема на рис. 40 соответствует СДНФ. Искомую схему можно
получить, исходя из некоторой КНФ.
9.16. Показать, что рассматриваемую функцию нельзя представить
формулой при помощи конъюнкций и дизъюнкций, в которой каждая
из переменных встречается по одному разу. Точнее ее нельзя предста-
представить в виде конъюнкции или дизъюнкции функций, не имеющих общих
переменных.
9.17. а), б) Цп)^п2"; в) ЦпХпй"-1.
9.18. Ця)<3-2"~1—2; показать, что если с^—число контактов,
которое может потребоваться при указанном способе реализации функ-
функций от k переменных, то cft + 1<2cft+2.
9.19. Универсальность A, 2")-полюсника можно доказать по ин-
индукции. Для реализации функции достаточно отождествить выходы
172
многополюсника, сопоставленные соответствующим элементарным конъ-
конъюнкциям. Получается оценка:
1 — 2.
9.20. В любой цепи, соединяющей выходы, для некоторой пере-
переменной имеется один положительный и один отрицательный контакты.
Доказательство удобно проводить по индукции.
9.21. Для доказательства того, что нет лишних цепей с ненулееой
проводимостью, воспользоваться разделительностью универсального
многополюсника М^.
Имеем для любого
9.22. Нужно выбрать k(n) так, чтобы второй член в Тп ft (см. ука-
указание к задаче 9.21) рос медленнее первого. При этом первый член
нужно сделать возможно меньшим. Чтобы удовлетворить этим двум
требованиям, достаточно для любого Р>0 выбрать в качестве k(n)-,
наибольшее целое число, не превосходящее. log2 п—р.
В результате получается, что для любого е>0 при достаточно,
больших п
Цп)< D + е)^.
9.23. Воспользоваться результатом задачи 9.14.
9.24. Оценить сверху число вершин в графе с k ребрами; перену-
перенумеровать вершины в графе и заметить, что граф определяется указа-
указанием того, каким числом ребер соединена каждая пара вершин.
9.25. Найти число схем для п переменных, имеющих один и тот же
граф с k контактами. После этого воспользоваться оценкой предыдущей
задачи.
9.26. сс(л)>1; L(")>^-
9.27. Воспользоваться СДНФ или СКНФ. См. задачу 9.14.
9.28. Имеем:
Рп + 1 (*1> •••¦ хп> хп+л)~Р2.(Рп(х1, ••¦< хп)< хп + \)'ш
Далее, Р„= Qn.
Построить (по индукции) A, 2)-полюсник, реализующий Рп и Qn;
воспользоваться схемами предыдущей задачи. Имеем при п> 1:
2n<L(Pn)<4(n— 1);
2n^L(Qn)<4(n — 1).
Для получения нижней оценки воспользоваться задачей 9.14.
9.29. Рассмотреть для простоты, например, схему для Р3(х, у, г).
Показать, что схема непредставима в виде параллельного или последо-
последовательного соединения двух (непустых) схем. Этот факт доказывается
аналогично решению задачи 9.12. Соответствующее свойство схем для
Рп и Qn можно доказать по индукции.
9.30. Имеем:
Р-ш (*1 хт\ У1 Ут) = Рг{Рт (*i, - ¦ ¦, Х/л). Рт (У1 Ут))\
QZm(xlt ...,xm\ уи .... ym) = Q2(Pm(x1 хт), Р,„(уъ ...,ут)).
173
При помощи этих формул можно реализовать П-схемами Р2т и QSm,
если Рт и Qm уже реализованы.
Исходя из этого, для реализации Р^и и Q2* достаточно 4* контактов.
9.31. Пусть 2ft< п <2к+1 (случай п = 2* уже разобран); п—2ь = т.
Первый способ. Построить схему для Р2*+» и преобразо-
преобразовать ее, исходя из того, что хр = 0 при р > п. Получается очевидная
оценка:
или более точная оценка:
Второй способ. Имеем:
Р„ (х1г ..., x2ir, yi, ..., ут) =-
= P2fc (Р2(х1ш у{); ...; Рг(хт, у,п);
Найти число контактов в такой схеме k(n) и оценить сверху
к(п) — п*
п%
При этом можно заменить п непрерывной переменной и искать наи-
наибольшее значение возникающей функции средствами дифференциаль-
дифференциального исчисления.
Окончательный ответ:
9.32. siixi, yh Pd—Xi-tyi+Pi, pi+1(xh yt, pi)=xiyiVxipiVyipi.
9.33. Построение проводить по индукции. При этом строить
A, |'+2)-полюсник ТI, на выходах которого реализуются разряды
суммы &у, ..., st, перенос на (|'+1)-й разряд pi+1 nqi+1=pi+1. Число
контактов в сумматоре растет линейно.
9.34. Для каждого разряда построить схемы, реализующие Sj и
Pi+i, и соединить эти схемы соответствующим образом. Число элементов
в этой схеме меньше сп для некоторой константы с (не зависящей от щ.
9.35. Пусть нам нужно вычесть из двоичного числas^(sns,,_1, ....Si)
двоичное число A:=(xnxn_1 ... Xj); будем считать, что sn=l. Схему
будем строить, исходя из обычного способа поразрядного вычитания
(справа налево). Напомним, что в двоичной системе «десяток» — это
число два; поэтому если мы занимаем при вычитании единицу в (|'+1)-м
разряде, то к t-му разряду прибавляются две единицы. При этом ясно,
что ие может возникнуть необходимости занимать более одной еди-
единицы *). (Конечно, это замечание относится лишь к случаю, когда мы
вычитаем одно число, а не несколько.) При построении схемы техни-
технически удобнее (в отличие от обычного способа вычитания), если тре-
требуется занять единицу в (t+l)-M разряде, запомнить это, выполнить
действие в j-m разряде независимо от значения sj+1 (т. е. можно ли от-
отнять от si +1 единицу или нужно двигаться дальше налево, пока не дойдем
до разряда, от которого действительно можно отнять единицу), далее
перейти к рассмотрению (t+l)-ro разряда, опять-таки не рассматривая
более левых разрядов. Итак, когда мы рассматриваем i-й разряд, то
*) Строго говоря, это надо еще доказать индукцией по п.
174
нам известны s,, xt, а также то, нужно ли отнять от i-ro разряда единицу
для предыдущих разрядов. Введем величину qt, равную единице, если
единицу нужно занимать, и равную нулю, если не нужно.
Из si надо вычесть x-t и qt. Если s,-<a^-|-<7j, то мы занимаем единицу
в (i H)-M разряде; тогда st увеличивается на 2 и вычитание можно про-
произвести, причем получится величина yif равная 1 или 0. Таким образом,
нам нужно определить две функции: Hi(sit xt, qt) Hqi+y(sj, xt, qt), т. е.
i-fi знак разности t)i и величину <7j+i, заимствуемую из (/- - 1)-го разряда.
Имеем:
у, (st, xt, qi)
/ */. Qi) = <7Л ' s/ (яг/ V <?,).
Построение схемы аналогично построению схемы сумматора. Число
контактов не превосходит сп. Если qn+i= 1, то s<x'.
Можно также свести вычитание к сложению, используя следую-
следующее свойство двоичных чисел Пусть х = (хпх„-1...х1); тогда
х-' х = A 1 ... 1)=10»+1—1
и
9.36. Произведение двух и-значных чисел содержит не более 2п
разрядов (к < 2", у < 2" =ф ху < 22и). Обозначим произведение ху
через Р = (рг„Ргп-1---РгР1)- Итак>
-{ +У1х-2'-1 -iynx-2'-K
Напомним, что 2* в двоичной системе записывается как единица с /г
нулями. Обозначим через р*'^ сумму первых / слагаемых в вырансении
для р. Поскольку число разрядов в каждом последующем слагаемом
не более чем на единицу превосходит число разрядов в предыдущих
слагаемых, то р*'* содержит не более п-\-\ разрядов. Все последую-
последующие слагаемые в сумме для р имеют нули в последних разрядах,
поэтому последние / разрядов у р''* совпадают с этими же разрядами
у р, т. е. р*7) имеет вид рМ = ((Ф.. .t[i)PjPl_1.. -Pi). Имеем:
ри+» = рФ + У/+1х.2/=иЯ+и.. ¦ tli + l)p/+1p/- ¦ Pi)-
Сопоставляя эти формулы, мы видим, что
(здесь мы положили /"' = ( til' /J/-i- ¦ • 'i"))- В результате мы получи,
ли возможность для индуктивного построения схемы: на (/+1)-м шаге
мы, исходя из n-значных чисел tu>, x и однозначного числа уу+1,
находим (/+1)-й разряд произведения pj+l и число Хи+1К
Число элементов в схеме не превосходит сп2.
9.37. Воспользоваться формулой (a-\-bJ=a2-\-b2+2ab и задачей 9.35.
9.38. Показать, что если для возведения в квадрат га-значного
числа достаточно d(m) элементов, то для возведения в квадрат 2/л-знач-
ного числа достаточно
3d(m) + cm
элементов, где с не зависит от т. Для доказательства представить 2т-
значнсг число в виде к- 2т-\ у, гд_ хну — т-значные числа. Нужн \я
формула доказывается индукцией по k.
17Г
9.39. Воспользоваться схемой для возведения в квадрат 2*-значного
числа, где n<e^2k. Для числа элементов получится оценка:
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ К ЗАДАЧАМ § 9
9.1. 1) Веющую функцию можно представить в виде суперпозиции
конъюнкций и отрицания. Роль основания индукции играет рассмот-
рассмотрение функции, совпадающей с аргументом (х). Ее реализуемость оче-
очевидна.
Индуктивный переход состоит из двух частей. Пусть последняя
операция при представлении / в виде указанной суперпозиции — от-
отрицание: /=<р. Функция <р представляется в -виде суперпозиции за
меньшее число шагов, чем /. Предположим, что функция Ц> уже реали-
реализована в виде схемы с задержкой V. Тогда, соединяя выход этой схемы
с обмоткой реле, изображенного иа рис. 31, мы получим в результате
схему, реализующую / с задержкой v-|-l.
Пусть теперь последняя операция в суперпозиции — конъюнкция:
/—'МРг. а функции <?>! и <р2 реализованы с задержками V] и v.2 соот-
ьетственно. Соединяя выход одной из них последовательно с элементами
задержки, добьемся того, чтобы схема, реализующая <р2, имела задерж-
задержку v, на один такт большую, чем схема, реализующая (f^. Подавая
теперь выход схемы для <рх на обмотку, а выход схемы <р2 на контакт
реле с замыкающим контактом, мы получим схему, реализующую
«pi<Ps с задержкой v+1. Доказательство закончено.
2) Пусть имеется схема S, реализующая ху с задержкой v, где v
четно. Подадим в момент t сигналы {х=х0, у= l}. На выходе в момент
/+v мы должны получить Л'о независимо от сигналов иа входах S в
моменты времени, отличные от t. В момент t-\-k, где k — любое целое
число, будем подавать сигналы {х'=д;0, у=\), если k четно, и {х—хе,
у=\), если k нечетно. По индукции показывается, что в любом про-
проводнике будет либо сигнал, не зависящий от х0, либо тот же сигнал, что
в данный момент на входе х. (Исходя из предположения, что сигналы на
входах реле обладают указанным свойством, проверить, что сигнал на
его выходе им обладает.) Поэтому на выходе S либо сигнал не зависит
от д;0, либо это есть х0 (v четно). Мы пришли к противоречию. Анало-
Аналогично, если v нечетно, то, подавая х—0, мы получим, что S не может
реализовать у. Таким образом, имея только реле с размыкающими кон-
контактами, нельзя реализовать даже ху.
9.2. Например, см. схемы на рис. 44.
9.3. См. рис. 45. Мы видим, насколько более компактными явля-
являются принятые в п. 2 обозначения.
9.4. Выпишем подряд вершины, через которые проходит сущест-
существенная цепь. Среди этих вершин не может быть повторяющихся. Ясно,
что число последовательностей неповторяющихся вершин конечно.
Хотя, вообще говоря, последовательность вершин неоднозначно
определяет цепь (может быть несколько контактов с одинаковыми по-
полюсами), имеется лишь конечное число цепей с совпадающей последо-
последовательностью вершин.
Замечание. Можно было бы по-иному определить существен-
существенные цепи — как цепи с неповторяющимися контактами. Это опреде-
определение не эквивалентно данному выше. Доказательство конечности
числа существенных цепей было бы несколько проще.
176
9.5. Пусть имеется некоторая цепь, в которой некоторая* вершина
встретилась дважды. Отбросим все контакты, которые встречаются
между двумя прохождениями через эту вершину. Ясно, что при этом
мы вновь получим цепь, причем если все контакты исходной цепи были
замкнуты, то будут замкнуты и все контакты вновь полученной цепи.
На другом языке: конъюнкция, соответствующая исходной цепи, по-
поглощает конъюнкцию для полученной цепи (см. в) определения 5.3).
xyvz
а) Схема однотактна
б) Схема двухтактна
xyvyzvoa
в) Схема одпотактна
Рис. 44.
Рис. 45.
б)
Таким образом, последовательно сокращая цепь, можно получить су-
существенную цепь, в которой будет проводимость, если была проводи-
проводимость в исходной цепи. Итак, на выходе будет ток, если хотя бы в одной
существенной цепи все контакты замкнуты, а это равносильно доказы-
доказываемому утверждению. Можно было бы исходить из определения су-
существенной цепи, приведенного в замечании к решению предыдущей
задачи.
9.6. a) xyt V tyt V хг WJz V yxt V_yxyz = yt_ V xz V_tz V yxt.
б) xyxV xtxv xylyxM xtylxv xyx V xtx v xtytx V xytyx = 0.
в) xy V tu V xzu V tzy.
177
xy==yzvxy (см. рис. 46, о)).
== (г V у V уж) (гу V у V ж) =
= (z"v у) (Jv х) = гу V zaTv ух (см. рис. 46, б)), в) x+y+z=xyz V
V xyl V *уг V хуг (см. рис. 46, в)).
9.7. a) y\jz—+xy = y\/
б) гу ~ ух = (гу V уд;) (гу V
9.8. 1) Формула B.20): при построении функции проводимости
можно не учитывать цепи, содержащие другие цепи (мы фактически
уже пользовались этим правилом при выделении существенных цепей;
существенные цепи не могут поглощаться друг другом).
2) Формулы B.22), B.23): если некоторый контакт представляет
собой цепь, то противоположный ему контакт можно не учитывать во
всех других цепях.
Можно на основании этих формул сформулировать и более сложные
правила. Формулы B.20) — B.25) позволяют часто упрощать схемы,
не меняя функции проводимости. Мы не будем здесь останавливаться
на этом вопросе.
9.9. Каждой элементарной дизъюнкции x^V.-.V^'1 поставим в
соответствие схему, изображенную на рис. 47. Затем последовательно
соединяем эти схемы для всех элементарных дизъюнкций, входящих
Рис 47.
Рис. 48.
в К.НФ (рис. 48). Мы соединяем схемы так, чтобы вход последующей
схемы совпадал с выходом предыдущей. Вход первой и выход последней
из рассматриваемых схем являются соответственно входом и выходом
полученной схемы. _
9.10. а)(у\ z)—+xy = yz\jxy = y (zv*) (рис. 49, а)), б) zy~yx =
= (г V у) (у V~~x) (рис. 49, б)) в) х+у+г = (х^ у z)(xv^^ г) &
& (xv У V г) (х V у V 7) (рис. 49. в).
9.П. ") Начинаем с элементарных схем (рис. 50). Первые два ю н-
такта щ > иметь в двух экземплярах. Теперь при помощи после""
вательныл ^единений реализуем конъюнкции уг, ху, zi (рис. 51).
178
Теперь, используя параллельные соединения, реализуем функции
XVуг и хуу zt (рис. 52). Наконец, последовательно соединяем эти схемы
(рис. 53).
У
У ^~~^ "
х
У
z
Рис. 50.
xvуг
yz: o-
У
сну: о-
У
zt: o-
Рис. 51.
Рис. 53.
б) См. рис. 54.
9.12. Поскольку данная схема не является элементарной, то для
того, чтобы она была П-схемой, необходимо, чтобы ее можно было
разбить на две подсхемы, соединенные либо последовательно, либо
параллельно. Если две схемы соединены последовательно, то у полу-
полученной схемы все полюсы, исключая полюс, по которому происходит
соединение, могут либо не иметь общих контактов ни €- входом, ни с
выходом всей схемы, либо иметь общий контакт или только с входом,
или только с выходом. Ясно, что какой бы из внутренних полюсов иа
piu. 39 мы ни приняли за соединяющий подсхемы, оставшийся полюс
179
будет иметь общий контакт как с входом, так и с выходом схемы.
Поэтому нашу схему нельзя получить последовательным соединением
двух схем.
Если схема является параллельным соединением двух схем,, то
это означает, в частности, что ее контакты и полюсы можно разбить
на две части так, чтобы либо в одной из частей содержались лишь кон-
контакты, непосредственно соединяющие вход с выходом (и тогда в ней
не будет полюсов, отличных от входа и выхода), либо полюсы, входящие
в различные части схемы и отличные от входа и выхода, не имели общих
контактов. Первая возможность в нашей схеме не может реализоваться.
Рис. 54.
так как в ней нет контактов, непосредственно соединяющих вход и
выход. Вторая возможность не может реализоваться, так как в схеме
имеется всего два внутренних полюса, причем они имеют общий кон-
контакт. Итак, схему нельзя получить также и параллельным соединением
двух непустых схем. Значит, она не является П-схемой.
9.13. Если некоторая переменная входит в функцию существенно,
то в реализующей эту функцию схеме должен быть хотя бы один кон-
контакт, связанный с этой переменной (это очевидно). Функцию проводи-
проводимости для мостика мы нашли в задаче 9.6 в): ху v tuv хги V tzy.B ней все
переменные существенны: при t=z=u=0, y=l значение функции за-
зависит от значения х (аналогично доказывается существенность пере-
переменных у, t, и); при х—и=\ все зависит от значения г. Поскольку в
данной схеме каждой переменной соответствует по одному контакту,
она минимальна.
Общий принцип: если в схеме все контакты относятся к
разным переменным, причем все эти переменные входят в функцию
проводимости существенно, то схема минимальна.
9.14. Пусть в некоторой схеме имеются лишь положительные
контакты, связанные с переменной ху. Тогда для функции проводимости
f(xlt хг, ..., хп) имеем для всех хг, .... хп:
/A, хг, .... х„) 3* / @, х2, .... х„)
(если в схеме замкнуты некоторые контакты, то проводимость в схеме
не может исчезнуть). Аналогично, если с хх связаны лишь размыкающие
контакты, то
f{l, х2 х„)^/@, х2, .... хп).
Пусть теперь существует такой набор (а.2 а^), что
/A, а2, .... а„) </@, а2, ..., а„).
Тогда будем говорить, что f не возрастает по х^, во всякой схеме, реа-
реализующей /, обязательно есть отрицательный контакт, связанный с
переменной х±. Аналогично, если существует набор ф2, ¦¦¦, Рп), для
которого
/0. Р» Р„)>/@. Р, Р„)
180
(в таких случаях мы будем говорить, что / не убывает по xt), то во
всякой схеме, реализующей /, должен быть положительный контакт,
связанный с хх. Если же / по переменной хх не возрастает и не убывает,
то во всякой схеме для / должны быть как положительные, так и отри-
отрицательные контакты, связанные с х\.
Рассмотрим теперь функцию х1х2...хп v xtx2...х„, являющуюся
функцией проводимости для схемы, изображенной на рис. 40. Полагая
Gt2=Gt3=...=cxn=O, мы видим, что эта функция не возрастает по перемен-
переменной х1з а полагая Р2=Рз=---=Рп=='. мы видим, что она не убывает по
этой переменной. Поскольку рассматриваемая функция симметрична
относительно всех своих переменных, этим же свойством обладают и
остальные переменные. Учитывая, что в нашей схеме с каждой пере-
переменной связано лишь по одному положительному и одному отрицатель-
отрицательному контакту, получаем, что эта схема минимальна.
Достаточное условие минимальности схемы: если с каждой пере-
переменной в схеме связано не более одного положительного и одного от-
отрицательного контакта, все эти переменные являются существенными
для функции проводимости, причем по тем переменным, для которых
имеются оба указанных контакта, функция не возрастает и не убывает,
то схема минимальна.
$.15. Указанную функцию можно следующим образом представить
в виде КНФ:
(*i V Т2) (х2 V aQ (*s V Тл) ... (*„_! v ~х„) (х„ V xj.
Исходя из этого представления, получим минимальную схему (рис. 55).
Лр ьоо ьйл ***п •**/
Рис. 55.
9.16. Если бы такая П-схема существовала, то в ней каждой пере-
переменной соответствовал бы один контакт, причем — в силу решения
задачи 9.14 — положительный. Тогда по П-схеме можно было бы по-
построить формулу, в которую каждая переменная входит по одному разу,
а из операций используются лишь конъюнкции и дизъюнкции. Пусть
последняя операция — дизъюнкция. Тогда функция }{х, у, z, t, u)=
—ху\/ tu\Jxzu\j tzy представляется в виде /=/iV/2> где /х и /2 не имеют
общил переменных и не являются константами. Пусть переменная z
входит в }у. Положим y=t=O. Тогда / превращается в ц>{х, z, u)=xzu.
Далее, функция /2 при этом превратится в тождественный нуль, так
как нет значений х, и, для которых <?> равна 1 вне зависимости от зна-
значения г, а /2 от z не зависит! Итак, /г после указанной подстановки пере-
переходит в xzu, а значит, в /г входили (существенно) переменные х и и.
Аналогично, полагая х=и=0, получаем, что /\ должна существенно
зависеть от у и t. В результате в /: существенно входят все пять пере-
переменных, и мы пришли к противоречию.
Мы предоставляем читателю исключить аналогичным образом воз-
возможность представления / в виде /х/2, где /\ и /2 не имеют общих пере-
переменных и не являются константами.
181
9.17. а) Для реализации элементарной конъюнкции требуется п
контактов. Число элементарных конъюнкций в СДНФ не превосходят
2". Значит, общее число контактов не превосходит п2"*)
б) Рассматривается аналогично.
в) Число членов в СДНФ равно числу наборов, на которых функция
равна 1, а число членов в СКНФ — числу наборов, на которых она
равна 0. Одно из этих чисел не превосходит 2"-1. Применяя соответст-
соответственно способ а) или б), мы получим схему, в которой не более п2п~1
контактов.
9.18. Разложим функцию f(xlt х2, ..., хк, х& + 1) по переменной
xk+1 (см. B.16)): f = xk+14{xlt ..., xk) V xk+1 ч]) (ху xk). Если
функции и ч]) уже реализованы, то функция / реализуется, как
показано ал рис. 56. Здесь через —| р |— и —| ф ^— обозначены
схемы, реализующие <р и ty; нх выходы отож-
отождествлены. Если для реализации функций от к
переменных (в частности, <р и -ф) требуется не
более Cft контактов, то для реализации / тре-
требуется не более 2ск-\-2 контактов, т. е.
Cfi-ri^2ck--2. Если учесть теперь, что ^=1
с (для функций от одной переменной хватает
Рис. оЗ. одного контакта), то получаем, что ск^21г~1-\-
-|-2*-1+2*-2+2*-3+...+22+2 = 3-2*-1—2.
Таким образом, L(n)^3-2"-1—2.
9.19. 1. На рис. 41 мы видели, что контакты в схеме естественным
образом распадаются на «этажи», причем в каждом этаже находятся
контакты, связанные с какой-то одной переменной. Из рисунка видно
также, что к каждому выходу идет лишь одна существенная цепь; она
содержит но одному контакту из каждого этажа; каждой такой цепи
соответствует некоторая полная правильная элементарная конъюнкция,
причем разным выходам соответствуют разные конъюнкции. Таким
образом, каждой элементарной конъюнкции соответствует некоторый
выход.
Строгое доказательство проводится по индукции. Пусть уже дока-
доказана универсальность A, 2*)-полюсника; докажем универсальность
A, 2*+1)-полюсника. Из предположения индукции следует, что каждо
му выходу A, 2*)-полюсника соответствует единственная существенная
цепь, представляющая некоторую полную элементарную конъюнкцию
от k переменных, причем разным выходам отвечают разные конъюнк-
конъюнкции. Каждый выход A, 2*+1)-полюсника связан с единственным выходом
A, 2*)-полюсника, причем с одним выходом A, 2л)-полюсника связаны
два выхода A, 2*+^-полюсника: один — контактом к^+ъ другой —
контактом A7j+1. Отсюда следует, что на каждом выходе A, 2*+1)-по-
люсника реализуется своя полная элементарная конъюнкция.
2. Пусть нам нужно реализовать функцию f{xt xn). Представим
ее в виде СДНФ. Отождествим у универсального A, 2")-полюсника
выходы, на которых реализуются элементарные конъюнкции, входящие
*) Часто бывает удобно исключить случай констант, так как,
например, при реалиеации 0 указанным способом приходится рас-
рассматривать < ему, вовсе не с >держ ицую контактов: о в
182
в СДНФ. Объявим получившийся в результате полюс выходом схемы.
Ясно, что полученная схема реализует f(xu ..., хп).
Число контактов в этой схеме равно числу контактов в универ-
универсальном (I, 2")-полюсиике, т. е.
2-t-4-l-8+. +2" = 2« + i —2.
Мы получаем оценку
i
Таким образом, мы получили оценку, более грубую, чем в задаче 9.18,
хотя и пользовались схемами, отличными от П-схем. Однако в даль-
дальнейшем при помощи универсального многополюсника нам удастся
существенно улучшить оценку для L{ri).
9.20. Интуитивно ясно, что есаи двигаться по цепи, соединяющей
выходы от одного из них к другому, то в любом месте, где меняется
направление движения, мы встретим два противоположных контакта.
Строгое доказательство проводится по индукции. Пусть доказываемое
утверждение справедливо для A, 2*)-полюсника. Рассмотрим цепь,
соединяющую выходы A, 2*+1)-полюсника. Ясно, что первый и послед-
последний контакты в этой цепи соединяют эти выходы с выходами
A, 2*)-полюсника. Отбрасывая эти контакты, получаем цепь, соеди-
соединяющую выходы A, 2*)-полюсника. По предположению индукции про-
проводимость между этими выходами равна нулю, если они различны (слу-
(случай, когда они совпадают, очевиден); поэтому сокращенной цепи, а
значит и исходной, соответствуют элементарные конъюнкции, тожде-
тождественно равные нулю.
9.21. Многополюсники Мх и М2 соединены так, что каждый выход Мг
отождествлен с единственным входом М2, а с одним входом М2 может
быть отождествлено несколько выходов Ми причем с некоторыми из
входов М2 может быть не отождествлено ни одного выхода Мх. Назовем
полюсы, которые получаются после отождествления соответствующих
выходов Мг и входов М2, соединительными полюсами схемы Sf.
Пусть F (хг, ..., хп)—функция, которая реализуется построенной
схемой. Нам нужно доказать, что F (хх хп) = / {хь ...,хп).
Заметим прежде всего, что F (ху xn):^f(x\ хп)- Этот почти
очевидный факт можно доказать так. Представим каждую из функций
Фо о (xi> ¦•¦• xk) B ДНФ, исходя из их реализации в много-
многополюснике М-2 (т. е. в виде дизъюнкции конъюнкций, соответствующих
существенным цепям). В результате возникает представление / в виде
ДНФ. Каждой входящей в нее элементарной конъюнкции xjjj ...
... «mj^ft+i1 ¦ • • хпп (mi <*) соответствует некоторая цепь в нашей
схеме S/, эта цепь является последовательным соединением цепи,
соответствующей конъюнкции а:]^**1 . -. *JJ" в A, 2"-*)-полюснике Mlt
и цепи в М2, соответствующей «JJj ... х^ (ее существование следует
из выбора ДНФ для /). Таким образом, если /=1 на некотором на-
наборе, то на этом наборе F = 1.
Рассмотренные цепи выделяются среди всех существенных цепей
схемы S, тем что они проходят лишь один раз через соединительный
полюс. Действительно, каждая цепь, обладающая этим свойством,
распадается на существенную цепь в М1ъ т. е. на цепь, реализующую
некоторую конъюнкцию a^V •¦• х<пп (см- решение задачи 9.19), и на
существенную цепь в jW2. начинающуюся на входе М2, отвечающем
183
функции <f>O;+i On (по построению S^); соответствующая второй
цепи конъюнкция «JJ^ .. хц (rrij<: k) входит в построенную нами
ДНФ для ФО4+,...„„'
Остается показать, что все остальные существенные цепи в Sf
имеют нулевую проводимость. Пусть некоторая цепь в Sf проходит,
по крайней мере, дважды через соединительные полюсы. В силу сущест-
существенности цепи эти полюсы различны. Рассмотрим отрезок цепи между
двумя последовательными прохождениями через соединительные по-
полюсы. Этот отрезок будет целиком лежать либо в Л11? либо в М«. В первом
случае проводимость в нем (а значит, и во всей цепи) равна нулю в силу
разделительнссти М1. Во втором—по построению М2, существенная
цепь, соединяю дая входы М2, обязательно проходит через выход М2,
совпадающий с выходом Sf. Но тогда исходная цепь должна была бы
содержать выход Sf в качестве внутреннего полюса, что противоречило
бы се существенности (через выход Sj она проходила бы дважды).
Оценим число контактов в схеме. В силу задачи 9.19 в Мх контактов
меньше, чем 2-2"~* (мы несколько огрубили оценку); в силу задачи 9.18
в М2 не более 2-2fc-22 контактов. Итак, для любого k^.n имеем:
9.22. Укажем вначале соображения, позволяющие найти k(n)
и угадать порядок 7"nfc(n). Имеем:
Пусть /г(п) 3= log2n. Тогда второй член больше 2п-2", т. е. Tllkln) дает
при больших п оценку для L(n), которая хуже, чем в задачах 9.18
и 9.19. Пусть теперь fe=fe(«)=log2n—a(n), Gt(n) 3s р> 0. Тогда
24<^=6n, 6 = 2-?- < 1.
Ясно, что теперь второй член растет медленнее первого, так как 2"
растет быстрее, чем 22 < B5)". Итак, все определяется первым слага-
слагаемым. Теперь мы заинтересованы, чтобы к было возможно больше,
так как 2* стоит в знаменателе. В качестве к можно взять наибольшее
целое число, не превосходящее log2n—р. Тогда
log2 п — Р — 1 < к (п) < log2 п— Р,
т. е.
и 9.9" 9" On
-?-„< 2"; 2-2"-" = — <4-2?-—=D+е) —; е = 4B?—1).
21+р 2^ ^ ^
Поскольку второй член Т„ ^(п) растет медленнее первого, мы получили,
2"
что Тп ie(n) при таком выборе имеет тот же порядок, что и — . Что ка-
касается Цп), то мы получаем (поскольку Р > 0 можно выбирать сколь
угодно малым), что для любого е > О
где символ ^ означает, что неравенство выполняется для достаточно
больших п (п > N, где N зависит от е).
Ясно, что полученная оценка при больших п лучше тех, которые
нам до сих пор удавалось получать.
9.23. В силу задачи 9.14 имеется функция от п переменных, для
реализации которой требуется 2ге контактов. Поэтому
L («) S= 2re.
9.24. В графе с k ребрами число вершин не может превышать 2h,
так как у каждого ребра имеется две вершины, а изолированных вершин
нет. Перенумеруем вершины в графе. Условимся считать, что вход
имеет номер 1, а выход — номер 2. Теперь граф однозначно опреде-
определяется, если мы укажем, какие вершины соединяют каждое из ребер.
Каждому ребру соответствует пара натуральных чисел (р, q) — номеров
вершин, которые соединяет это ребро; р, q < 2k (порядок р и q не су-
существен). Таких пар меньше, чем BfeJ. В графе имеется не более k
ребер, т. е. он определяется заданием не более k таких пар; среди них
могут быть совпадающие, так как различные ребра могут соединять
одинаковые вершины. Эти пары можно выбрать менее чем (BkJ)k=Bk)it
способами (размещения с повторениями; ср. § 2; на самом деле порядок
ребер не существен, и поэтому можно было использовать сочетания с
повторениями, но для оценки этого достаточно *)), Мы могли бы получить
более точную оценку, но в этом нет необходимости.
9.25. Чтобы получить из графа схему, нужно поставить каждому
ребру в соответствие либо символ какой-то переменной, либо символ
отрицания переменной. Если в графе k ребер, а число переменных равно
п, то из одного графа можно получить B«)* схем, так как при выборе
символа для одного ребра имеется 2ге возможностей (мы опять исполь-
используем размещения с повторениями). Учитывая теперь результат преды-
предыдущей задачи (число графов с k ребрами), мы получаем, что число схем с
k контактами для п переменных меньше, чем R(k, ге)<Bге)*B*J* < BftreJ4
при п > 1. Случай п = 1 можно было бы рассмотреть отдельно, но он
не представляет интереса.
9.26. Имеем:
2 < 2" '">¦ а {п)л <">/«.
Если ф)<1, то первый множитель в правой части не превосходит 2,
а второй единицы. Поэтому а(«)>1, а значит,
2"
Заметим, что эта оценка, в отличие от полученной ранее верхней оценки,
справедлива для всех «>1(при ге = 1 неравенство переходит в равен-
равенство), а не только для достаточно больших п.
9.27. Имеем Q2(*i, x8)=x1x2Vx1X2. Соответствующая схема изоб-
изображена на рис. 57. Далее, Я2(*1. x^)=xlx2\/xix2;, Р2 реализуется схемой;
я,
Рис. 57. Рис. г8.
указанной на рис. 58. Минимальность первой из этих схем доказа! а
в задаче 9.14; минимальность второй доказывается аналогично (а также
*) Если ребер меньше k, то набор пар можно сделать содержащим к
элементов; формально добавим, например, пару A, 1), которой не
может соответствовать никакого ребра.
185
может быть выведена из минимальности первой). СКНФ для этих функ-
функций также приводит (рис. 59) к минимальным схемам (см. задачу 9.15).
9.28. Пусть мы имеем A, 2)-полюсник Тп (рис. 60), на выхода?
которого реализуются функции Рп(хи ..., хп) и Qn(xly ..., хн). Тогда
в силу приведенных в указаниях индуктивных формул для Рп и Qnt
¦т.3
хг
х.
х,
щ
Хр
Рис. 59.
а также используя схемы, построенные в предыдущей задаче (рис. 57
и 58), и учитывая, что Рп— Qn, получаем, что Pn+i(xt хп, хп+1)
реализуется схемой, изображенной на рис. 61, a Qn+i—схемой, изоб-
изображенной иа рис. 62. Комбинируя эти схемы, получаем, что в качестве
Тп+1 можно взять A, 2)-полюсник, указанный на рис. 63. Из схемы
в,
Рис. 60.
Рис. 61.
Рис. 62.
видно, что можно построить A, 2)-полюсник Тп+1, число контактов в
котором иа 4 больше, чем в Тп. Если учесть теперь, что в качестве A, 2)-
полюсника Тг можно взять схему из двух контактов (рис. 64), то мы
получаем по индукции, что для построения Тп достаточно 2+4(«—1)
X,
Рис. 63.
Рис. 64.
контактов. Далее, как Рп, так и Qn можно получить из Тп^^ добавле-
добавлением двух контактов (рис. 61, 62). Поэтому для их реализации доста-
достаточно 4(и—1) контактов:
МРи)<4(п-1);
М<Э„)<4(п—1).
Для получения нижней оценки достаточно учесть (см. решение
задачи 9.14), что линейная функция по каждой из своих (существенных)
переменных не возрастает и не убывает, т. е. в реализующей ее схеме
186
каждоп переменной должны соответствовать по крайней мере два
контакта (xt и xtY
2п < L (Р„); 2i
9.29. Итак, рассмотрим схему (рис. 65), реализующую Ps(x, у, г).
Если эта схема является последовательным соединением двух подсхем,
то вершины первой подсхемы (содержащей вход схемы) не могут быть
соединены с выходом схемы цепью, не проходящей через соединительный
полюс (аналогично вершины второй подсхемы нельзя соединить с входом
схемы, минуя соединительный полюс). Ясно, что какой бы полюс в
нашей схеме мы ни предположили соедини-
соединительным, оставшиеся полюсы можно соеди-
соединить между собой цепями, не проходящими
через этот полюс. Таким образом, наша
схема не предстаЕима в виде последователь-
последовательного соединения двух схем.
Исходя из сказанного выше, можно сфор-
сформулировать следующий необходимый приз-
признак схе ты, являющейся последовательным
соединением двух схем- должна существовать
вершина, через которую проходит любая
цепь, соединяющая вход схемы с выходом
(эта вершина является соединительным полюсом). Отсутствие такой
вершины легко доказать по индукции для всех построенных в задаче
9.28 схем.
Из сказанного при решении задачи 9.12 следует, что если схема
является параллельным соединением двух схем, то лиГю имеется кон-
контакт, соединяющий вход с выходом, либо вершины (за исключением
входа и выхода) можно разбить на две группы так, что вершины из
разных групп нельзя соединить цепью, не проходящей через вход или
выход. На рис. 65 вход и выход не соединены контактом, а все остальные
вершины можно соединить цепью, не проходящей ни через вход, ни
через выход. Этот факт легко доказывается по индукции для всех по-
построенных в задаче 9.28 схем при ге>2, т. е. ни одна из этих схем не
может быть представлена в виде параллельного соединения двух не-
непустых схем.
Приведем для удобства схему для Рп (рис. 66).
Рис. 66.
9.30. Пусть мы имеем П-схемы, [ еализующие Рт и Qm (рис. 67).
Тогда в силу формул, приведенных в указаниях к данной зада-
задаче, и задачи 9.27 схема, изображенная на рис. 08, где в схемах
рт(х), Qm(x) участвуют контакты хъ .... xm, а в Р,„{у). Qm((/) — кон-
контакты ylt . ., ym, реализус г функцию Р?„,(*.. т; уи .. , у, ). Лна-
r-я 1ч - -ма на рис. 69 р< лизует Q2m(*i ., xm\ у1ъ ..., у ).
J87
Таким образом можно индуктивно построить Н-схемы для Р2*
и Q2k, удваивая на каждом шаге число переменных При этом на каж-
Рис. 67.
Рис. 68.
Рис. 69.
дом шаге число контактов увеличивается в четыре раза. Итак, общее
число контактов равно 4*. Другими словами,
Ln(Pn)<;«2, Ln(Qn)<;re2 при n = 2*.
9.31. Итак, пусть 2*<п<2*+1; п=2к+т, 0<т<2к.
Первый способ. Построим способом, указанным в решении
задачи 9.30, схему для Ptk+i(xlt ...,xn,xn+1, ..., х2к+\). Теперь сделаем
общее замечание. Если мы в функцию / вместо некоторой переменной
подставляем тождественный нуль, то в схеме, реализующей /, следует
удалить все положительные контакты, связанные с у (не меняя их
полюсов), а отрицательные контакты удалить, отождествляя вершины,
которые они соединяли. Например,
из схемы, изображенной на рис, 70, z
мы получаем схему, изображенную
на рис. 71. Нетрудно доказать ин- #.•
Рис. 71.
дукцией по построению П-схемы, что П-схема при таком преобразо-
преобразовании переходит в П-схему; при этом приходится включить в рассмот-
рассмотрение схемы, у которых вход и выход совпадают (функция проводи-
проводимости для таких схем тождественно равна единице). Это1 отвечает тому,
что в формулу, содержащую лишь дизъюнкции, конъюнкции и отри-
отрицания лишь над аргументами, вместо некоторой переменной подстав-
подставляется 0 (см. связь таких формул с П-схемами в п. 2 этого параграфа).
В нашем случае мы подставляем хр=0 при р>и. В результате из
схемы для P2k+i мы получим схему для Рп. Оценим число контактов в
получившейся схеме. Прежде всего оно меньше, чем в схеме для P2k+i,
т. е. меньше 4*+4, а так как п>2к, то 4*+1<4п2, т. е.
188
Проведем теперь более точную оценку. В схеме для P2/t+' всем
переменным соответствует одно и то же число контактов (это можно
показать, например, по индукции), т. е. каждой переменной отвечает
4ft+i
=2fl+l контактов. После преобразования схемы в ней останутся
лишь контакты, связанные с переменными xlt .... хп, т. е. в получив-
получившейся схеме будет и2*+1 контактов. Учитывая, что 2к<п, получаем:
Ln (Р„) < 2пК
Функции Qn рассматриваются аналогично.
Второй способ. Для удобства обозначим переменные в Рп
так:
Х1< ••¦> хт< хт + 1 x2ft> Vl> ¦• У in-
Исходя из формулы, приведенной в указаниях к этой задаче, и схем
для Р2 и Р2к, реализуем Рп. При этом в силу соображений, указанных
при изложении предыдущего способа, нам потребуется по -^ ¦ 2k экземп-
экземпляров схем Р2(хр, Ур) и Q2{xp, ур) (р^т) и по 2* контактов (половина
положительных, половина отрицательных), связанных с каждой из
переменных хр(р> т). В результирующей схеме будет no2ft+1 контак-
контактов, связанных с переменными хр и ур(р*^ т), и по 2к контактов для
х„ (р > т). Общее число контактов
R (re) = 2
Естественно сравнить R(n) с я2=4*+2/л-2*+«г2. Рассмотрим:
*(,)-,,¦ m.2»-m.
«2 4fe + 2rn-2''+m2
Рассмотрим функцию
Имеем:
Функция fa(x) > 0 на отрезке [0, о] и обращается в нуль на концах этого
отрезка. Найдем наибольшее значение }а(х) на [0, а]. Имеем:
,- (а-2х) (а + х) + 2 (х*-ах) —
fa W = ^~ =
Наибольшее значение достигается при х =— ; оно не зависит от а и
1
равно — , т. е.
о
fa(xX-a ПРИ
о
а значит,
R(n)-n*
Ю)
Отсюда, в свою очередь, следует, что
а также
9.32. а) Поскольку мы имеем дело с двоичными числами, для полу-
получения Sj нужно сложить xi, yt и pi по модулю 2, т. е.
б) Перенос иа следующий разряд прн сложении в одном разряде
трех слагаемых в двоичной системе возникает, если единицы стоят, по
крайней мере, в двух слагаемых. При этом перенос может возникать
лишь на следующий разряд. Итак,
Vi, P;)=J
9.33. Укажем вначале схемы для s,-, p,-+t в предположении, чтор,-
реализуется одним контактом (рис. 72). Значит, наряду с р,- нам
jVyiPi—самодвойственная функ-
функция (см. § 3, задача 3.3), то для
реализации р,-+1 (х,-, у;, р,-) доста-
достаточно в схеме для р;-+1 (рис. 72)
заменить все контакты отрицатель-
отрицательными (рис. 73). Из этих трех схем
мы и будем исходить. Пусть уже
Рис. 72.
нужно
t
иметь
Pi^
Pi-
IF
Поскольку
щ
Рис. 73.
построен A, t+ 1)-полюсник Т,-_1, на выходах которого реализуются
р,-. Построим аналогичный A, ?-{-2)-полюсник Т,-.
Выходы Т;_!, соответствующие
s1, ..., s,--!, будут служить также
выходами Т,- и не используются в
дальнейших построениях; поэтому
мы не будем их отмечать на чер-
чертеже. Нам нужно дополнить схему
так, чтобы получились еще три вы-
выхода: s/, р,-+1, р,-+1- Использовать
при этом мы будем выходы T[-lt
на которых реализуются р,-, р/.
Получаем схему, приведенную на
рис. 74. Схема построена (еще раз
напоминаем, что выходы для slt ..
..., s,-_! переносятся из T,--i; они
ие изображены на чертеже). При получении Тп из Т„-х можно не
строить часть, реализующую рп+1, а выход pn+i следует обозначить
через sn + 1. На этом построение схемы заканчивается.
Рис. 74.
190
Оценим число контактов. На каждом шаге при получении Tt из
Tt-i добавляется 14 контактов. Поэтому необходимое число контактов
не превосходит 14«. Оно на самом деле несколько меньше, так как ро=0
и на первом шаге хватает 8 контактов; на последнем шаге хватает 10
контактов, так как не нужно реализовывать pn+i, т. е. хватает 14«—10
контактов, но это не существенная разница при больших п. Главное,
что мы построили схему, имеющую линейную сложность при я-»со.
Замечание. В процессе построения «-разрядного сумматора
мы построили сумматоры с меньшим числом разрядов. При увеличении
числа разрядов построенная схема достраивается без изменения уже
построенной части.
9.34. Построим схемы, реализующие Sj и р1+1 как функции от р(,
хь Hi (задача 9.32). Можно считать, что мы имеем схему Rt с тремя
входами и двумя выходами (рис. 75). Конструкция
этой схемы не зависит от i. Теперь возьмем п экзем-
экземпляров этих схем и соединим их, как указано на
рис. 76. Заметим, что р1=0, sn+1=pn+1 (см. решение
задачи 9.33). В результате получаем схему с 2и вхо-
входами fa,..., хп; ух уп) и я -1 выходами (sn+1,
s,,, -...Si). Если для построения одной схемы Rt тре-
требуется с контактов (с, конечно, зависит от исполь-
используемого базиса функциональных элементов), то общее
число элементов равно сп. Итак, «-разрядные сумма-
сумматоры можно реализовать схемами, имеющими линей- Рис. 75
ную сложность относительно «. Заметим, что, как и
в случае контактных схем, увеличение числа разрядов не требует
перестройки схемы, а лишь ее расширения. Отметим также, что схема
сумматора из функциональных элементов проще, чем контактная схе ia.
Ры
\
t
а,
\
\
\
Pi
w
\sn-l
r±l
TTT
Рис. 76.
9.35.. Первый способ. Начало решения содержится в ука-
заниях к этой задаче. Отметим, что, поскольку при переносе из (г'+1)-го
разряда в i-ii разряд добавляется 2, а действия осуществляются по
модулю 2, то 1= — I(mod2), и для получения yt достаточно сложить
st, xt и qi по модулю 2, т. е.
Далее, из (i+l)-ro разряда придется занимать, либо если .*¦,-=#;= 1
(так как даже если s^~-\, то нам придется вычитать 2), либо если s, =0,
а Х;=1 или qt=\ (из 0 придется вычитать 1); в остальных случапх
вычитание возможно. Поэтому
q,+] =Xjqi V s,- (x; v q,).
Постр( ям схему, реализующую yt и qi+1 (рис. 77). Конструкция txer ы
191
Qi не зависит от i. Эти схемы соединяются так же, как и при построении
сумматора в задаче 9.34 (рис. 78). Здесь <?i=0; qn+i~Q, если s^jt,
п и 9n+i=l, если s<x, т. е. выход qn+1 указывает, было
1*/ ли уменьшаемое меньше вычитаемого.
* Общее число элементов не превосходит сп, где
с — число элементов в Q,- (не следует думать, что кон-
константы для сумматора и построенной схемы совпадают;
вообще мы часто будем различные константы обозна-
обозначать одной и той же буквой). _
Второй способ. Нужно к s прибавить х,
si xi 4l затем 1. Обозначим полученную схему через {/=
= (%i+2S/n+i---{'i)- При этом, если sSsx, то уп+2=\
Рис. 77. или уп+л=1. Далее, из у нужно вычесть 10n+1. Пусть
Для этого нужно, если yn+i=l, заменить
ттт
у yn+i уп+1
на 0, не меняя других разрядов, а если #„+1=0, то положить
у'п+2=0, у'п+1—1> не меняя других разрядов. Мы не будем рисовать
соответствующую схему. Она также будет иметь линейную сложность.
. . . Т О.
ТТ
Sn-I
^J
\V
ii'l
TTT
Рис. 78.
n
Pi+
9.36. Построим схему Pj+i с 2и+1 входами /']",..., t^; xlf..., xn;
Ух +1, на выходе которой реализуются последовательные знаки суммы
Л')+У{+1лс=(*п+1>. ¦ • 'i'+1>Pi+i) (Рис- 79). Эга схема легко получается
из п-разрядного сумматора: нужно на входы, /м
соответствующие разрядам первого слагаемого,
подать конъюнкции yi+1Xi, yi+1x2, . ..., yi+1xn
(а на остальные входы — разряды /(|)). Число
элементов в этой схеме по-прежнему допускает
линейную оценку, так как к сумматору нужно
добавить п схем для конъюнкций от двух пере-
переменных (если в одной такой схеме а элементов,
то потребуется еще па элементов).
Соединим теперь схемы Р;, как указано на
рис. 80. Здесь учтено, что г@)=@, 0 0),
/(п)==(р2ц> р2п_1, . . ., pn+i). Чтобы не услож-
¦A
нять чертеж, входы хи
хп у различных
Рис. 79.
не отождествлены. В результате построена
схема с 2п выходами (ра„, . . ., р;, . . ., pt) и 2«
входами (хп, .... *]/, уи, . . ., уг), реализующая произведение ху.
Поскольку все схемы Pt одинаковы и для их реализации достаточно
сп элементов, общее число контактов не превышает сп2. Итак, мы умеем
строить схему для умножения с квадратичной сложностью.
Замечание. Читатель без труда убедится, что построение
контактной схемы для умножения по тому же плану требует существенно
большего числа контактов (по порядку при п-> ос).
192
9.37. Итак, ab = —[(a-\-bJ—а2—fc2]. Как мы уже отмечали,
в числе а+b не более п-\-1 знаков. Поэтому, строя схемы для (a+fcJ,
а2, Ь2, нам потребуется не более /(ге+1)+2/(л) < 3/(га+ 1) элемен-
элементов; на предварительное вычисление суммы (в силу задачи 9.34)
уйдет еще ctn элементов. Далее, чтобы вычислить 2ab, нужно дваж-
дважды воспользоваться схемой задачи 9.35 для чисел, содержащих не более
Рис. 80.
2(п+1) разрядов (столько разрядов может быть в квадрате («+1)-знач-
ного числа). На это уйдет опять-таки не более сгп элементов. Деление на
2 четного числа осуществляется в двоичной системе отбрасыванием по-
последнего знака @). В результате общее число элементов не превосходит
Если f(n)=cna (а>1), то, увеличивая константу с, можно заменить
п-'-1 на п и отбросить линейный член.
Замечание. При решении следующей задачи мы покажем, что
/(«+!)< f(n)-rcn.
9.38. Итак, пусть мы умеем строить схему из d(m) элементов для
возведения m-значного числа в квадрат. Возведем теперь в квадрат
число х-2т+у, где х и у — m-значные числа:
В правой части стоит произведение ху, для которого мы еще не умеем
строить нужной схемы. Заменим, как и при решении предыдущей задачи,
2ху на {x+yf—х2—у2:
На вычисление х2 и у% уйдет 2d(m) элементов. Число х-\-у может содер-
содержать т+1 разрядов, но в силу формулы Bz-\-uJ=z2-22—zu-22-\-u2,
где и — однозначное число @ или 1), d(m+l) ^^(mj+qm. Итак, на
вычисление трех нужных квадратов уйдет
3d (га) -\- сгт
элементов. Далее нужно провести сложение и вычитание чисел, содержа-
содержащих не более Am разрядов. Поскольку общее число нужных операций не
зависит от т, для этого (в силу задач 9.34, 9.35) достаточно с2т
7 С. Г. Гиндикин
193
элементов. В результате получаем, что
где cs не зависит от т.
. Исходя из этой формулы, получаем для <2B*) оценку:
Считая, что d(\) =1 (х8 = к), получаем по индукции
<гBй)<3* + с3C*-1 +
Вынесем в правой части 3*:
Выражение, стоящее в квадратных скобках, является суммой геометри-
2
ческой прогрессии со знаменателем -5-; оно не превосходит суммы со-
соответствующей бесконечной прогрессии о~ — ^- Итак,
9.39. Пусть пф2т и k — наименьшее число, для которого n<2fc,
k = [Iog2«] -1- 1. Воспользуемся построенной в задаче 9.38 схемой для воз-
возведения в квадрат 2*-значного числа. Это можно сделать, считая первые
слева разряды нулями (при этом может потребоваться еще лишь конечное
число элементов для реализации тождественного нуля). Число элемен-
элементов в схеме меньше
Итак, можно построить схему не более чем из т'°8гЗ элементов Эта
оценка лучше имеющейся у нас, так как Iog23 < 2. Эта же (по порядку)
оценка в силу задачи 9.37 имеет ¦н.'сто для умножения.
§ 10. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕРОЯТНОСТНОЙ ЛОГИКИ
1. Вероятностная булева алгебра. Мы будем придержи-
придерживаться здесь формального подхода к теории веро-
вероятностей, лишь в небольшой мере поясняя, какое отноше-
отношение имеет рассматриваемая аксиоматическая теория к реаль-
реальным «вероятностным» задачам. Мы не используем никаких
сведении из теории вероятности, заранее предполагая их
известными. Тем не менее некоторое знакомство с элемен-
элементами теории вероятностей было бы здесь полезным (см.,
например, [1] — [4]).
Пусть SI — регулярная *) булева алгебра (§ 2, пп. 3, 4,
определения 2.5 и 2.7); будем называть ее элементы собы-
событиями.
Определение 10.1. Функция Р(х), заданная на
81, называется вероятностной мерой (или просто вероят-
вероятностью), если она удовлетворяет следующим аксиомам:
1) 0<Р(х) для всех х?§1;
2) РA)=1 **);
3) если ху=0 **), то Р(х \/у)=Р(х)+Р(у).
Регулярная булева алгебра Ж вместе с вероятностной ме-
мерой Р называется вероятностной булевой алгеброй {%, Р}.
Регулярность алгебр, рассмотренных в примерах, будет
следовать из того, что их можно рассматривать (с точностью
до изоморфизма) как (булевы) алгебры множеств (см. за-
задачу 2.23).
Мы не интересуемся, каким именно способом элементам ; лгеГ'ры 31
(событиям) поставлены в соответствие значения Р; позднее мы приведем
*) Можно было бы ограничиться дополнительными аксиомами:
х\х=\, дуе=О, которые выполняются в регулярных булевых алгебрах
(см. решение задачи 2.22). (Одна из этих аксиом является следствием
яругой и остальных аксиом булевой алгебры.)
**) В этом параграфе 1 и 0 — выделенные элементы в булевой ал-
refре; 1 и 0 — действительные числа.
7* 195
некоторые конкретные примеры. В теории вероятностей рассматривается
вопрос о вероятности сложных событий, т. е. событий, которые получа-
получаются из некоторых исходных (вероятности которых уже известны) мно-
многократным применением операций дизъюнкции, конъюнкции и отрица-
отрицания. Благодаря регулярности вероятностных булевых алгебр сложные
события получаются из исходных путем применения булевых операций
(определение 2.8). Оказывается, что, уже исходя из простейших свойств
вероятности, заключенных в ее аксиомах, можно сказать довольно много
о вероятностях сложных событий, не имея никакой информации о спо-
способе определения вероятностей простых событий.
Определение 10.2. События х и у, конъюнкция
которых совпадает с 0, называются несовместимыми.
Содержательный смысл этого определения состоит в том,
что хи(/не могут произойти одновременно; это согласуется
с тем, что 0 — никогда не происходящее событие, анало-
аналогично 1 — событие, которое всегда происходит.
10.1. Показать, что
а) Р(х)=1—Р(х) для всех х ?Ш;
б) Р{х) < 1 для всех х € §(;
в) />@)=0;
г) если х-^у—\ (событие х влечет событие у), то Р(х) ^
Р)
д) Р(х\/у) ^ Р(х)-\-Р(у) для любых х, у 6 91 (ср. с аксио-
аксиомой 3));
е) Р(х^, у)=Р(х)+Р(у)-Р(ху);
ж) Р(хг\/х^ . . .Vxk)^P(x1)+P(x2)+. .+P(xh) для
всех хи . . ., xh;
з) /'(яЛ'я.у. . .\/xh)=P{x1)+P(x.i)+. . .+P(xh), если
xtXj=0 для всех 1ф\\
и) Р(ху) ^ Р(х) для любых х, у;
к) Р{ху)^ Р(х)+Р(у)—1 для любых х, у. А
Все перечисленные формулы допускают простую содер-
содержательную интерпретацию: например, если одно событие х
влечет другое событие у, то вероятность х не может быть
больше вероятности у (формула г)); вероятность того, что
произойдет по крайней мере одно из двух событий х или у,
не превосходит суммы их вероятностей и равна ей лишь
в том случае, когда вероятность совместного наступления
хну равна нулю, в частности, когда х и у несовместимы
(формулы д), е)); вероятность совместного наступления
событий не превосходит вероятности наступления каждого
из них (формула и)) и т. д.
196
Как будет видно из дальнейшего, вероятности сложных
событий, вообще говоря, не" определяются однозначно
вероятностями простых событий.
2. Условная вероятность.
Определение 10.3. Пусть а — фиксированный
элемент Ш, причем Р(а)^0. Функция
называется условной вероятностью события х относительно
события а (или при условии а)).
10.2. Показать, что функция Ра(х) является вероятност-
вероятностной мерой на §(, т. е. что она удовлетворяет аксиомам
1)-3). А
10.3. Выразить Pv(x) через Р(х), Р(у), Рх(у). ^
Определение 10.4. Система событий аи а2,..., ап
называется полной системой несовместимых событий, если
эти события попарно несовместимы и
10.4. Пусть аг, а2, . . ., ап — полная система несовме-
несовместимых событий.
а) Доказать, что
Р(х) = Р (аг) Рах (х) + Р (а,) Раг(х) + ... + Р (ап) Ра„ (х).
б) Выразить Px(at) через Paj(x) и Р(а3) A^/^и). ^
Формулы задачи 10.4 очень известны. Формула а) носит название
формулы полной вероятности; она применяется для вычисления безус-
безусловной вероятности, если известны условные вероятности относительно
полной системы несовместимых событий с известными вероятностями.
Формула б) называется формулой Байеса (формулой «вероятностей гипо-
гипотез»). Она отвечает следующей содержательной задаче. Пусть относитель-
относительно некоторой ситуации имеется п «гипотез», взаимно исключающих друг
друга и исчерпывающих все имеющиеся возможности. Пусть известны
вероятности этих гипотез и вероятности наступления некоторого собы-
события х в зависимости от того, какая из гипотез справедлива. Что можно
сказать о вероятностях гипотез ah когда событие х уже произошло?
За более подробной информацией о содержательном смысле и возможных
применениях формулы Байеса мы отсылаем читателя к книге [2].
Определение 10.5. Если Ру{х)=Р{х), то говорят,
что событие х не зависит от у.
197
Поскольку равенство Ру(х)=Р(х), очевидно, равносильно
равенству
Р() = Р(х)Р(у),
которое также можно рассматривать как опреде-
определение независимости событий х и у *), то отношение
независимости событий симметрично. Если х не зависит
от у, то у не зависит от х (в этом случае говорят также,
что события х и у (взаимно) независимы).
10.5. Если события х и у независимы, то х и у также
независимы. А
8. Вероятности на конечных свободных булевых алгебрах.
Пусть ?1п==Ш(й!, . ., ап) — свободная булева
алгебра, порожденная конечным числом элементов
а и . . ., ап. Термин «свободная булева» означает, что между
элементами алгебры 51П нет соотношений, которые не яв-
являются следствиями аксиом булевой алгебры. Тогда §1„
состоит из 2" элементов, каждый из которых имеет вид
/(fli, . . ., ап), где / — функция алгебры логики от п пере-
переменных (например, представленная СДНФ), причем эле-
элементы, которые отвечают неравносильным функциям, не
совпадают **). В частности, /--0 соответствует 0, /=1
соответствует 1. Теперь обсудим вопрос о том, каким
образом можно задавать вероятностную меру на %п. Зада-
Зададим значение Р на at: P(at)=pi.
10.6. Показать, что если все pt принимают значения 0
или 1, то вероятность на 31 „ определена однозначно, при-
причем Р принимает также только значения 0 или 1. А
Замечание. Вообще, гомоморфизм булевой алгебры Ц в ал-
алгебру {0, 1} вводит на ней вероятностную меру Р, принимающую значе-
значения 0, 1 (аксиомы 1) — 3) выполняются). Если 31 — алгебра высказы-
высказываний, 1 i введение вероятностной меры Р можно интерпретировать как
приписывание высказываниям чисел, указывающих вероятности их ис-
истинности Как мы увидим, в некоторых вопросах эта точка зрения
осмыслена, хотя, конечно, вряд ли можно приписывать разумным обра-
образом любым реальным высказываниям вероятности их истинности (см.
по этому поводу [5]).
*) При этом определении уже можно не исключать событий с нуле-
нулевой вероятностью.
**) Гомоморфизмы 91„ в {0,1} однозначно определяются заданием
образов элементов а1ш. . .,ап, которые могут быть произвольными. Чис-
Число таких гомоморфизмов равно 2", и они разделяют любые пары эле-
элементов ?1„, т. в. 31„ — регулярная булева алгебра.
198
Посмотрим, как можно определить вероятность на 2(„=
г-'й{аи ..., ап) в общем случае. Каждую функцию /
б>дем считать представленной СДНФ. События, отвечаю-
отвечающие элементарным конъюнкциям а ... <fnn, являются не-
несовместимыми и образуют полною систему несовместимых
событий. Каждый элемент $1 (а1, .. ., а„) является объеди-
объединением некоторого числа таких событий. Тогда в силу
аксиомы 3) вероятность Р (х) на Ж„ однозначно опреде-
определяется заданием вероятностей
Теперь посмотрим, каким условиям (кроме неотрицатель-
неотрицательности) должны удовлетворять числа ро,...ап- Во-первых,
ясно, что их сумма должна равняться 1 (аксиома 2));
во-вторых, поскольку заранее заданы вероятности собы-
событий о,-, должны выполняться условия'
2 Ро,... о,.. с„ = Р,- (i=\,2, ..., п).
Слева стоит выражение вероятности события а; через
Pot ...on(d[= V й • ««")• Ясно, что теперь все условия
удовлетворены. Итак, кроме условия положительности, на
2" чисел pOl...on накладываются п-\-1 линейных условий.
Если бы не было условия неотрицательности р0] ... „л, то, оче-
очевидно, существовало бы бесконечно много решений возникающей
системы линейных уравнений при п > 2 (плоскость размерности
2"—п—1 в 2"-мерном пространстве). Однако, учитывая, что коэф-
коэффициенты и правые части возникающих линейных уравнений неотри-
неотрицательны, также нетрудно убедиться, что аналогичный факт имеет
место и для неотрицательных решений.
Если предположить, что события alt ..., ап являются
независимыми, то оказывается, что задание вероятностей
Pj однозначно определяет вероятность на §{„=§! (ах ап).
При этом нужно уточнить, что именно понимается под
независимостью нескольких событий (пока это понятие
определено лишь для двух событий).
Определение 10.6. События а1У .. ., ап называются
независимыми, если для любых различных 1 ^ ilt .. ., ik ^ п
В противном случае аг, .. ., ап называют зависимыми.
Следует отметить, что это условие нельзя заменить усло-
условием попарной независимости событий:
Р (aflj) = Р (а,)Р (aj) A < / *= у< л).
199
10.7. Привести пример попарно независимых, но зави-
зависимых событий. А
10.8. Показать, что вероятностная мера на Щах,..., а„)
однозначно определяется вероятностями рг, если события
а1г . . ., ап независимы. А
4. Системы элементарных событий. Теперь мы можем
рассмотреть более частные примеры. Исходя из сказанного
выше, естественно, по крайней мере в случае булевой ал-
алгебры Si, состоящей из конечного числа элементов, для
задания вероятности выделить полную систему таких не-
несовместимых событий, что каждое событие из 31 является
дизъюнкцией некоторых из них.
Определение 10.7. Полная система Е несовме-
несовместимых событий из конечной булевой алгебры 31 назы-
называется системой элементарных событий, если всякое собы-
событие из §1 является дизъюнкцией событий из Э1.
Для задания вероятности на 21 достаточно задать ее
на элементарных событиях. Задаваемые вероятности долж-
должны быть неотрицательны, и их сумма должна равняться 1.
Других условий нет. Вероятности же элементарных собы-
событий задаются, исходя из реальной ситуации.
Пусть, например, кидается игральная кость, имеющая
форму куба, на гранях которого выписаны цифры от 1 до 6.
Мы интересуемся, какая цифра написана на верхней грани.
У этого опыта имеется шесть исходов: через et (l^i^6)
обозначим событие, состоящее в том, что на верхней грани
написана цифра i. Ясно, что эти события образуют полную
систему несовместимых событий, так как по крайней мере
одно из них происходит, а два одновременно произойти
не могут. Далее, если кость имеет правильную форму и
«бросается честно», то естественно считать все события et
равновероятными, т.е. положить Р (et) = -g- (l^i^6).
Теперь можно рассмотреть различные неэлементарные
события:
а: выпало четное число;
Ь: выпало нечетное число;
с: выпало число, делящееся на три;
d: выпало число, не превышающее четырех.
10.9. Найти вероятности перечисленных событий а, Ь,
с, d. Имеются ли среди них независимые? А
200
Итак, мы видим, что если делается некоторый опыт, то
в качестве элементарных событий можно брать его исходы.
Если, отправляясь от условий опыта, всем исходам естест-
естественно приписать равные вероятности, то вероятность неко-
некоторого события равна отношению числа исходов, в которых
оно имеет место, к общему числу исходов. На этом простей-
простейшем примере (равновероятных исходов) естественно по-
посмотреть, что означает независимость каких-то двух собы-
событий а и Ь. Она означает, что доля исходов, для которых
имеет место событие а, среди всех исходов и среди тех исхо-
исходов, для которых имеет место событие Ь, одна и та же.
Множество элементарных событий вводится, вообще говоря, неодно-
неоднозначно. Например, в рассмотренной задаче можно попробовать взять за
элементарные события а и Ь (они несовместимы и образуют полную сис-
систему); однако тогда события с и d не представляются в виде их дизъюнк-
дизъюнкции. Другими словами, «элементарность» выбираемых событий должна
состоять в том, что любое из интересующих нас событий должно пред-
представляться в виде их дизъюнкции. Если мы из урны, в которой находится
6 белых и 4 черных шара, вынимаем один шар, то можно мысленно зану-
занумеровать шары и объявить элементарными события, состоящие в том, что
мы вынули какой-то определенный шар. Тогда все эти события естествен-
естественно считать равновероятными (их вероятности равны -г^?). Если же нас
интересуют лишь события, связанные с цветами шаров, то можно эле-
элементарными считать события, состоящие в том, что вынули соответствен-
соответственно белый или черный шары, приписывая им вероятности соответственно
3 2
Рассмотрим еще несколько примеров.
10.10. Независимым образом бросаются две игральные
кости. Какова вероятность следующих событий:
а: выпали одинаковые числа;
Ь: сумма выпавших чисел четна;
с: выпавшие числа взаимно просты (не имеют общих
положительных делителей, отличных от 1)? А
Заметим, что пример), приведенному в решении задачи
10.7, можно придать следующую интерпретацию. Имеется
тетраэдр, на гранях которого написаны числа 2, 3, 5 и 30.
Случайным образом выбирается грань, на которую он
ставится (бросается кость, имеющая форму тетраэдра).
События аи аи а8 соответственно состоят в том, что на
основании написано число, делящееся на 2, 3 и 5 соответ-
соответственно.
201
10.7'. Проверить, что события ах, а2, as зависимы, хотя
и попарно независимы. А.
В приведенных ниже примерах удобно пользоваться
понятием условной вероятности.
10.11. Пусть имеется три кружка, причем у одного
из них обе стороны выкрашены в красный цвет, у другого —
обе в синий, у третьего — одна в красный, а другая в синий.
После перемешивания выбирается один из кружков и пока-
показывается одна из его сторон. Нужно угадать, в какой цвет
окрашена другая сторона. Какой тактики следует придер-
придерживаться в этой игре? А
10.12. На отдельных карточках выписаны буквы, вхо-
входящие в слово «алгебра». После перемешивания выбираются
подряд три карточки. Какова вероятность того, что при этом
получится
а: слово «бег»;
Ь: слово «бал». А.
Мы привели несколько более или менее традиционных
примеров, которые обычно приводятся в книгах по теории
вероятностей. В цитированных выше книгах читатель иай-
дет много других примеров. (Впрочем, их можно придумать
и самому!) Подведем некоторые итоги.
Мы рассмотрели ситуацию, характеризующуюся воз-
возможностью выделить конечное число элементарных со-
событий Е={еи . . ., eh), на которых задана вероятность
0<Р(е,-)<1, P(ei)+- ¦ .+P(eh)=l. Событие а тогда мож-
можно интерпретировать как подмножество множества Е
(совокупность элементарных событий, дизъюнкцией кото-
которых является а). При этом отрицанию события отвечает
дополнение соответствующего множества до всего Е; конъ-
конъюнкции событий — пересечение множеств; дизъюнкции —
их объединение. Таким образом, в этом случае булева
алгебра событий изоморфна булевой алгебре подмножеств
множества элементарных событий. Вероятность события
равна с>мме вероятностей элементарных событий. Тем самым
мы переходим к другому возможному аксиоматическому
подходу к теории вероятностей. Его отличие от принятого
ранее состоит в том, что мы имеем дело не с абстрактными
булевыми алгебрами, а с булевыми алгебрами подмножеств
некоторого множества. Впрочем, как мы знаем, всякая
регулярная булева алгебра изоморфна некоторой такой
алгебре (задача 2.25).
202
Пока мы имеем дело с конечным множеством эле-
элементарных событий Е, можно говорить о всех подмно-
подмножествах Е. Если же множество Е бесконечно, то функцию Р
нельзя определить на всех подмножествах с соблюдением
аксиом 1) — 3); в частности, Р лишь на конечном числе эле-
элементов Е (одноэлементных подмножеств) может быть от-
отлична от нуля. Поэтому, если множество элементарных
событий бесконечно, то рассматривается некоторая булева
алгебра его подмножеств ЩЕ), на котором определена
функция Р(х), *6ЩЕ) (х — не точка ?, а подмноже-
подмножеств о в ?'!), удовлетворяющая аксиомам 1) — 3); иногда Р
называется вероятностной мерой на Е (точнее — на ЩЕ)).
Например, если Е — совокупность точек квадрата площади 1, то
в качестве ЩЕ) можно взять совокупность фигур, для которых определе-
определена площадь (мы не будем здесь уточнять, что это означает; важно, что
ЩЕ) — булева алгебра), в качестве Р(х) — площадь х. Нетрудно убе-
убедиться, что Р(х) при этом удовлетворяет аксиомам 1) — 3). В качестве
вероятностной задачи можно рассмотреть следующую. На квадрат слу-
случайно бросается предмет, размерами которого можно пренебречь («точ-
(«точка»!). Можно считать, что мишень имеет форму квадрата и по ней ведется
неприцельный огонь. Тогда естественно считать, что вероятность попа-
попадания в какую-то область пропорциональна ее площади *).
В случае конечных множеств Е задание меры Р на элементах
Е имело существенное преимущество по сравнению с заданием Р непо-
непосредственно на булевой алгебре. Именно Р как функция на Е должна
удовлетворять простым легко проверяемым требованиям, в то время как
проверка аксиом значительно сложнее. Как мы уже отмечали, в случае
бесконечных множеств Е нельзя задавать Р на элементах Е. В связи с
этим возникает вопрос о таких совокупностях подмножеств $8(Е)С}{(Е),
на которых Р(х) можно задавать без особых ограничений, с тем чтобы она
однозначно продолжалась на ЩЕ). Этот вопрос обстоятельно исследует-
исследуется в теории меры
5. Случайные величины. Определение 10.8. Пусть
на булевой алгебре 91 задана вероятность Р. Если имеется
некоторая конечная полная система несовместимых событий
olf . . ., flft, Gj^O и каждому а,- поставлено в соответствие
число ?(о;), то будем говорить, что на §( задана случайная
вели1" . t. Система событий {at} называется характеристи-
характеристической системой событий для ?.
Пусть имеется некоторая другая полная система не-
несовместимых событий alt . ., аь а^ФО, причем для каждого
aj существует такое аи что а,->-а; = 1 (тогда каждое а%
*) Заметим, что это соображение используется в современной вы-
вычислительной математике для вычисления площадей криволинейных фи-
фигур; это так называемый метод Монте-Карло.
203
является дизъюнкцией некоторого числа a.j). Систему собы-
событий {а.]) будем называть подчиненной системе {at}. Заметим,
что не может быть, чтобы для различных i, k было о,—«Zj=I,
a,—^Gft=l, так как тогда о,—>a;aft=l, а,—>-0=1 (в силу не-
несовместимости at, ah), т. е. uj должно совпадать с 0, что
противоречит предположению. Тогда случайную величину
можно перенести на систему событий {я^} : |(о^)=Е(а;)> если
ог^-аг=1 (в силу сделанного замечания это определение
непротиворечиво). Величину \ будем называть индуциро-
индуцированной величиной Ъ, на {о,}. На языке теории множеств
мы имеем разбиение пространства элементарных событий
на непустые непересекающиеся множества аи . . ., ah.
Каждому at ставится в соответствие число ?(я,-). Если имеет-
имеется более мелкое разбиение ах, . . ., аи то каждому a.j ста-
ставим в соответствие значение | на множестве аи содержащем
uj. Если Е — конечное множество, то можно, в частности,
определить | для разбиения Е на элементарные события.
С другой стороны, для ? можно рассмотреть макси-
максимальное разбиение, т. е. разбиение на такие множест-
множества (события), что на разных о,- функция | принимает раз-
различные значения (нужно взять дизъюнкцию всех событий,
для которых | принимает одно и то же значение).
В случае бесконечного множества Е случайную величину Ь можно
интерпретировать как функцию на Е, принимающую конечное число
значений, причем для каждого значения \ множество точек Е, в которых
это значение принимается, принадлежит булевой алгебре Ш{Е) *).
Определение 10.9. Пусть {а,, аг, . . ., ah} — ха-
характеристическая система событий случайной величины |.
Математическим ожиданием, или средним значением, слу-
случайной величины 5 называется число
Ml = t (Ol) P (a,) +...+Z (ак) Р (ак).
Если бы все события аг были равновероятны, то Ml.
совпадало бы со средним арифметическим значением слу-
случайной величины |. В общем же случае каждое значение
входит с весом, равным вероятности, с которой оно при-
принимается.
Докажем некоторые свойства математического ожидания.
*) В теории вероятностей важную роль играют случайные вели-
величины, принимающие бесконечное число значений, но здесь мы их рас-
рассматривать не будем.
204
10.13. Математическое ожидание М% индуцированной
случайной величины % для системы событий {о,-}, подчинен-
подчиненной системе {«,-}, совпадает с М?. ^
Мы не будем в дальнейшем различать случайные вели-
величины, получающиеся переходом к подчиненной системе
событий. В силу задачи 10.13 М? не зависит от выбора
характеристической системы событий. В частности, всегда
можно вычислять /И|, исходя из максимальной характе-
характеристической системы событий.
Определение 10.10-. Пусть имеются две случай-
случайные величины Е и tj; первая из них связана с системой
событий {«!, . . ., ah}, вторая — с системой {Ьи . . ., fcj.
Рассмотрим систему событий {atbj} (I ^ i^.k, 1 ^ j ^ /); эти
события несовместимы и образуют полную систему. (Дока-
(Доказать!) Суммой случайных величин g и rj назовем случайную
величину
Ц + п) (afij) = I iafij) + т] {щЬ,) = ? (а,) + т, {bj).
Мы воспользовались здесь тем, что система событий {щЬ^
подчинена каждой из систем {at}, {b}}.
10.14. Доказать, что МA+т\)=М%+Мт}. ^
Случайную величину можно умножить на скалярный
множитель. Очевидно, что
где с — число.
Если система событий {at} состоит из одного события 1
и ?A)=с, то случайную величину \ будем называть по-
постоянной и обозначать ее через с (ей отвечает постоянная
функция на Е). Ясно, что
где с — постоянная случайная величина.
10.15. Показать, что М(Ъ—М%)=0. ^
Здесь из случайной величины | мы вычли постоянную
случайную величину, равную константе М?.
Приведем примеры случайных величин. В случае конеч-
конечной булевой алгебры, как уже отмечалось, случайную
205
величину можно всегда рассматривать как функцию на
множестве элементарных событий.
Рассмотрим, например, события, связанные с бросанием
игральной кости (задача 10.9). В качестве случайной вели-
величины можно взять выпавшее число, т. е. элементарному
событию et ставится в соответствие число l,(ei)—i (I ^ i ^6).
Поскольку значения g на всех ег различны, {et} — макси-
максимальная характеристическая система.
10.16. Найти математическое ожидание указанной слу-
случайной величины. ^
10.17. Рассмотреть для пространства событий задачи
10.10 следующие случайные величины: g — число четных
чисел среди выпавших чисел i и /; т) — сумма выпавших
чисел. Найти МЪ, и Мч\. ^
10.18. Имеется п ячеек с номерами от 1 до п и п жетонов
с теми же номерами. Жетоны перемешиваются, после чего
в каждую ячейку опускается по одному жетону. Найти
математическое ожидание случайной величины Е, равной
числу жетонов, номера которых совпадают с номерами
ячеек, в которые они попали. А
В следующей задаче приводится важный факт теории
вероятностей, который носит название неравенства
Ч е б ы ш е в а.
10.19. Доказать, что для всякого положительного б
имеет место неравенство
Слева стоит вероятность того, что значение случайной ве-
величины Е по модулю не меньше б; квадрат случайной вели-
величины определяется очевидным образом: значение | на каж-
каждом событии возводится в квадрат. ^
Введем еще одну характеристику случайной величины:
Определение 10.11. Дисперсией случайной вели-
величины | называется число
Дисперсия характеризует, насколько могут отклоняться
значения случайной величины от ее математического ожи-
ожидания.
206
Используя дисперсию, можно следующим образом пере-
переписать неравенство Чебышева:
Чтобы получить это неравенство, достаточно в имеющейся
у нас форме неравенства Чебышева заменить | на ?—Л1|.
Таким образом, при помощи дисперсии можно оценить
вероятность того, что отклонение случайной величины от
математического ожидания превысит некоторое фиксиро-
фиксированное число.
Остановимся на свойствах дисперсии. Из ее определения
следует непосредственно, что
для любого числа с. Прежде чем переходить к вопросу о
дисперсии суммы случайных величин, обсудим вопрос о
математическом ожидании произведения случайных величин
(связь этих двух вопросов выяснится в дальнейшем).
Определение 10.12. Произведением случайных
величин ^ и rj с характеристическими системами событий
{«!, . . ., ah} и {&ь . ., bi} соответственно называется слу-
случайная величина с характеристической системой событий
{atbj} (l^.i^.k, l^.j^.1), определяемая условием
Легко проверить, что переход к подчиненным системам
событий {о,-}, {bj} приводит к подчиненной системе событий
{afi]) для {atbj}. Это обеспечивает корректность опреде-
определения.
Оказывается, что, вообще говоря, М{Ъ,г[)фМЪ.-Мц.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим следующий пример.
Если имеется некоторое событие а, то можно построить
случайную величину /й с характеристической системой
событий {а, а}:
Ia(a)=L 1а(Ъ) = 0
Величина 1а называется индикатором события а. Имеем:
Если мы имеем два события а и Ь, то произведение их инди-
к ггоров равно индикатору их конъюнкции:
la'b — 'ab-
20"*
Мы получаем, что математическое ожидание произведения
IJb равно произведению математических ожиданий 1а и 1Ь
лишь в том случае, когда события а и b независимы.
Аналогичная ситуация имеет место для произвольных
случайных величин.
Определение 10.13. Случайные величины Е и т)
с характеристическими системами событий {at} и {bj\ назы-
называются независимыми, если события at и Ь3 независимы
для любых i, /.
10.20. Показать, что для независимых случайных вели-
величин Е иг]
м<&\)=тмт\. а
Отметим, что независимость является только достаточ-
достаточным, но не необходимым условием справедливости этой
формулы.
10.21. Показать, что для независимых случайных вели-
величин \ И Т]
А
При вычислении дисперсии часто удобно пользоваться
формулой, приводимой в задаче 10.22.
10.22. Доказать, что
10.23. Вычислить дисперсии для случайных величин,
рассмотренных в задачах 10.16—.10.18. ^
6. Испытания Бернулли. Рассмотрим более внимательно
случай, когда вероятностная булева алгебра {Шп, р) (сво-
(свободная) порождается п независимыми событиями аи..., ап,
имеющими одинаковые вероятности (Я(аг)=/?). Можно счи-
считать, что п раз независимым образом проводится опыт
с двумя исходами, причем вероятность одного исхода (будем
его называть положительным) равна р, а вероятность дру
того (отрицательного) равна q=l—p. Эта серия опытов
называется испытаниями Бернулли (или схемой Бернулли).
Событие at состоит в том, что при i-u испытании произо-
произошел положительный исход. Мы имеем, например, испытания
Бернулли, если независимым образом бросаем монету и
208
следим за тем, выпал ли герб (положительный исход) или
решетка (отрицательный исход); здесь р =q —-^ ¦ Если мы
кидаем игральную кость и считаем положительным исходом
выпадение шестерки, то мы имеем схему Бернулли ср = -г-,
я = —-. Если при изготовлении партии однотипной продук-
ции не было систематических причин для брака, то после-
последовательные испытания изделий на наличие брака должны
быть испытаниями Бернулли.
Будем называть алгебру {Щп, р) алгеброй Бернулли.
Ее элементы являются функциями алгебры логики
/(«!, . . ., ап) от alt . . ., ап\ элементарными событиями будут
а. . . с""- В силу задачи 10.8 их вероятности равны
п — птпп—т nmt\ п\п~т
Pct...on — Р Ч —Р \1—Р) <
где т — число единиц в наборе (ри ог, . . ., оп). Тогда
Р (/ (а1 all)) = h/(p)= ^ cm(f) p"'(l — р)"~т, A0.1)
где cm(f) — число наборов, содержащих т единиц, на кото-
которых / равна единице. Ясно, что
где С% — общее число наборов, содержащих т единиц;
оно равно числу сочетаний из п элементов по т (известно,
что С%= и l_—tj). Рассмотрим на 3tn случайную величи-
величину Нп — число положительных исходов. Мы определим ее
на элементарных событиях:
где т(а) — число единиц в наборе о.
10.24. Найти М1п и Dgn. ^
Наряду с величиной ?п мы будем рассматривать случай-
случайную величину Z,n — среднее число, или частоту положитель-
положительных исходов
г ^Лп _™(о)
tn п п •
209
В силу задачи 10.24 имеем:
М1п = р; Щ„ = У.
Применим к случайной величине ?п неравенство Чебышева:
Итак, мы имеем оценку для вероятности отклонения сред-
среднего числа положительных исходов от вероятности такого
исхода р на величину, большую б. Учитывая, что q=\—р
1), имеем pq^-j-, и можно написать оценку, не
зависящую от р:
Исследуем алгебраический смысл неравенства A0.2).
Для этого нужно вычисаить Р (|?п—/?|^6).
10.25. Найти Р{\Ъп—р\>б). ^
Перейдем в неравенстве A0.2) к пределу при п—>-оо;
получаем.
lira Р(|Б„—р|>6) = 0 A03)
или, что эквивалентно,
п -*¦ о»
Другими словами, для достаточно больших п частота поло-
положительных исходов сколь угодно мало отличается от р
с вероятностью, сколь угодно мало отличающейся от еди-
единицы. Чтобы придать точный смысл этим словам, введем
следующее
Определение 10.14. Последовательность слу-
случайных величин \и . ., Ьп, . . стремится по вероятности
при п-*-оо к случайной величине |s lim рг|„ =|), если для
любых е1>0, е,>0 существует такое N, что при всех n> N
Мы показали, что lim pr t,n — р.где р — постоянная слу-
чайная величина. Это — простейшая форма так называе-
называемого закона больших чисел.
210
В соответствии с этим законом исходам опыта, который можно вос-
воспроизводить независимым образом бесконечное число раз, можно при-
приписывать вероятности в соответствии с их частотой. Полученное утве}.
дение имеет характерную особенность некоторых теорем теории вероят-
вероятностей: в них с вероятностью, близкой к единице, делается утверждение,
которое может быть сформулировано в невероятностных терминах. На
такого ряда фактах основаны применения теории вероятностей к практи-
практическим задачам.
7. Полиномы С. Н. Бернштеина. Мы воспользуемся
полученными результатами об испытаниях Бернулли для
доказательства теоремы Вейерштрасса о равномерном при-
приближении функций полиномами (доказательство С. Н. Берн-
штейна).
Определение 10.15. Пусть ср(/?) — функция, не-
непрерывная на отрезке [0. 1]. Назовем полином
А.(ф; р) =
т-Ч
п-и полиномом Бернштеина функции ср(р). Это — полином
я-й степени (относительно р).
10.26. Доказать, что последовательность В„(ср; р) при
п->-оо равномерно сходится к ц(р). А
Мы доказали, что всякую непрерывную функцию ср(/?)
на отрезке [0, 1] можно равномерно приблизить полиномами
с любой степенью точности, причем указан конкретный
способ построения приближающей последовательности по-
полиномов (В„(ф; /?)).
Сделаем одно дополнение к этому утверждению. Пусть
функция ц>(р) принимает целочисленные значения на кон-
концах отрезка [0, 1]. Для этого случая мы покажем, что ср(р)
можно равномерно приблизить на [0, 1] полиномами с ие-
лочисленными коэффициентами.
Построим по <р(р) последовательность полиноъ ов
m=0
где lx] — целая часть числа х. В нашем случае [<р@)С?] =
=ф@) и [(f(l)C^]=(p(l), так как ср(О) и фA) — целые числа.
10.27. Показать, что последовательность полиномов
Сп(ц>; р) равномерно сходится к ц>(р). А
211
Пусть функция ф(р) удовлетворяет условию: 0 ^ ср(р) ^ 1;
ф@) и (f(l) равны 0 или 1. Тогда Сп((р; р) имеет вид
т=0
A0.4)
где ат — целые числа; 0^ст^С". Как мы видели (см.
A0.1)), полином такого вида можно интерпретировать как
вероятность hf(p) события f(au аг, . . ., ап) (/— функция
алгебры логики) в алгебре Бернулли (9{п, р) (вероятности
at равны р). Напомним, что ат — число наборов, содержа-
содержащих т единиц, на которых / равна 1. Будем называть такой
полином полиномом Бернштейна, соответствующим функ-
функции алгебры логики f *). (Функция / выбирается неодно-
неоднозначно.) Итак, доказано, что всякая функция 0 ^ q>(p) ^ 1
на отрезке [0, 1], равная на концах отрезка 0 или 1, может
быть равномерно приближена полиномами Бернштейна,
соответствующими функциям алгебры логики.
10.28. Показать, что всякая функция ц>(р) на [0, 1],
удовлетворяющая, кроме перечисленных выше условий,
еще соотношению
ФA-Р)=1-Ф(р) A0.5)
i
Рис. 81.
может быть равномерно прибли-
жена полиномами Бернштейна,
соответствующими самодвойст-
самодвойственным функциям алгебры ло-
гики. ^
Отметим геометрический
смысл соотношения A0.5), со-
состоящий в том, что график ц>(р) симметричен относительно
(Рис- 81).
точки (у
8. Полиномы Бернштейна, связанные с функциями ал-
алгебры логики. Обсудим теперь вопрос о полиномах Берн-
Бернштейна, связанных с функциями алгебры логики, и о при-
*) Полиномы Бернштейна, соответствующие функциям алгебры
логики (в частности, результат задачи 10.28), рассматривались в не-
неопубликованных лекциях П. С. Новикова.
212
ближении этими полиномами непрерывных функций в связи
с реализацией функций алгебры логики схемами из функ-
функциональных элементов и контактными схемами.
Определение 10.16. Назовем каналом Бернулли
с параметром р устройство, на выходе которого с вероят-
вероятностью р возникает сигнал 1, с вероятностью 1—р — сиг-
сигнал 0, причем сигналы в различные моменты времени неза-
независимы.
Возьмем какую-нибудь схему S из нультактных функ-
функциональных элементов, реализующую функцию /(х,,..., хп).
Если мы подадим на входы схемы независимые каналы
Бернулли с одинаковыми4параметрами р, то можно считать,
что на входы схемы будут независимо подаваться единицы
с вероятностью р. Тогда на выходе схемы будет возникать
единица с вероятностью hj(p), где hf(p) — полином Берн-
штейна, соответствующий функции / (см. A0.1)). Таким
образом, схему из нультактных функциональных элементов
можно использовать как устройство для преобразования
каналов Бернулли (из каналов с параметрами р мы полу-
получаем канал с параметром hj(p)). Полином hf называется
законом преобразования каналов Бернулли в схеме S.
Из доказанного следует, что если нам задана любая функ-
функция гр, непрерывная на отрезке [0, 1] и принимающая
значения 0 и 1 на его концах, то можно построить схемы
из функциональных элементов, преобразующие каналы
Бернулли по закону hj(p), сколь угодно мало отличающе-
отличающемуся (равномерно по р) от ц>{р). Аналогично рассматривают-
рассматриваются правильные многотактные схемы из функциональных
элементов.
Некоторым недостатком в использовании правильных
схем из функциональных элементов для преобразования
каналов Бернулли является необходимость иметь несколько
независимых каналов с параметрами р для получения
канала с параметром hf(p) *). Более удобной является
несколько иная точка знания, основанная на рассмотрении
автоматов без обратных связей. Пусть мы имеем такой авто-
автомат, например, реализованный (неправильной) схемой
из однотактных функциональных элементов с одним входом
(рис. 82). Пусть состояние выхода автомата S(v в момент t
зависит от состояния входа в v предыдущих моментов вре-
времени s1=s(t—1), . . ., s"—s(t—v) и сигнал на выходе равен
*) Можно было бы считать, что каналы, связанные с различными
сходами схрмы, характеризуются различными параметрами.
213
/(s1, . . ., sv) (т. е. у Slv задержка равна 1, а индекс v).
В § 8 (задача 8.15) показано, что любой такой автомат
может быть представлен схемой из однотактных функцио-
функциональных элементов (вообще говоря, неправитьной). Если
соединить вход схемы (автомата) 2lv с каналом Бернулли,
то в каждый момент времени на его выходе будет появляться
1с вероятностью hf(p) и 0 с вероятностью 1—hf(p).
Если следить за сигналами на выходе S(v через v
тактов, то они будут независимы. Таким образом,
можно считать, что автомат 3lv преобразует канал
Бернулли с параметром р в канал Бернулли с
параметром hf(p) (с изменением масштаба времени
Рис 82 новая единица времени равняется v старым).
Опять-таки любой закон преобразования, задавае-
задаваемый непрерывной функцией ф(р) (ф@) и фA) равны 0 или 1),
можно с любой степенью точности приблизить при помощи
подходящим образом построенного автомата.
В частности, возьмем функцию %(р), равную 0 при
/)<2-и 1 прир^'-g- (рис. 83), и приблизим ее непрерывной
Рис 83.
функцией ц{р) (рис. 84), т. е. ip всюду, кроме малой окрест-
окрестности — , слева от-д-близка к 0, справа — к 1. Если рас-
рассмотреть автомат, преобразующий каналы Бернулли по
закону hj(p), где hf(p) достаточно хорошо приближает
Ч>(Р) *). то hf(p) будет обладать указанными выше свойства-
свойствами ц>(р), и мы получаем устройство, работающее следующим
*) Нет^д .лзать, что в качестве / можно для достаточно боль-
большого k взять функцию от 2/г+1 аргументов, равную 1, если большин-
большинство аргументов равно 1.
214
образом. Если на вход подается 0 (соответственно 1) с ве-
вероятностью р< у и достаточно отличающейся от -=-, то
на выходе будет появляться 0 (соответственно 1) с вероят-
вероятностью, мало отличающейся от единицы. Другими словами,
это своего рода усилитель: если на его вход поступает
сигнал с вероятностью ошибки р, достаточно меньшей -^-,
то на выходе вероятность ошибки мало отличается от нуля.
Причина такого уменьшения вероятности ошибки, грубо
говоря, заключается в том, что выходной сигнал зависит
не от одного сигнала на входе, а от некоторого числа v
предыдущих (как говорят, «набирается статистика по v
сигналам»), при этом с уменьшением границы отклонения
вероятности от нуля необходимое число сигналов v растет.
Ясно, что, выбирая соответствующий автомат §{v, можно
сделать интервал около -у и отклонение вероятности ошибки
от нуля сколь угодно малыми. Близкие соображения мы
будем использовать ниже в других задачах.
Сейчас мы рассмотрим одну задачу из теории автоматов,
уже упоминавшуюся в § 8. Это задача о поведении автомата
в случайной среде, рассмотренная М. Л. Ц е т л и н ы м [6].
Имеется следующая ситуация. Если на выходе автомата
появляется 0, то в следующий момент времени на его вход
с вероятностью р поступает 0, с вероятностью
1—р поступает 1 (с вероятностью р среда, в
которой находится автомат, «штрафует» его, с
вероятностью 1—р «поощряет»). Если выходной
сигнал есть 1, то картина противоположная:
с вероятностью р на его вход поступит 1, а с
вероятностью 1—р поступит 0. Число р фикси-
фиксировано, но заранее не известно. Нужно пост- Рис- 85.
роить автомат, который бы с возможно мень-
меньшей вероятностью штрафовался. Ясно, что для этого он
с вероятностью, близкой к единице, должен выдавать 0,
если р < ^ . и ' • если Р > ~2 ¦
Начнем с рассмотрения простейшего однотактного авто-
автомата (рис. 85), где элемент ф реализует функцию ц>(х, у)=
=х+у=ху^л/\у. Поместим этот автомат в случайную среду
и на вход у подадим сигнал, свидетельствующий о штрафе
или поощрении. Пусть Р — вероятность того, что на выходе
215
?
автомата появится 0. Ясно, что
РA—р) + A —Р)р=Р,
так как нуль на выходе возникает, либо если он был на
выходе в предыдущем такте и автомат не был оштрафован
(условная вероятность этого равна 1—р), либо если на пре-
предыдущем такте автомат выдавал единицу и был оштрафован.
Другими словами, тактика поведения автомата следующая:
менять действие при штрафе и не менять его при поощрении.
Из приведенного равенства следует, что
Р=1-р,
т. е. тактика автомата оказывается целесообразной; именно,
он с большей вероятностью выдает тот сигнал, за который
. его штрафуют с меньшей вероятностью (при р < у
*
это нуль, при р > 2-— единица).
Однако нам хотелось бы иметь автомат, кото-
который с вероятностью, близкой к единице, выдавал
тот сигнал, за который штрафуют с меньшей веро-
Рис. 86. ятностью. Для этого рассмотрим, с одной сто-
стороны, описанный выше автомат без обратных
связей §(v, преобразующий канал Бернулли по закону hf(p),
где / — функция от v переменных; график hf(p) имеет вид,
указанный на рис. 84; hf(p) аппроксимирует
%(р) (рис. 83) вне малой окрестности у . Рас-
Рассмотрим еще автомат без обратных связей
?3„ (рис. 86), у которого выходной сигнал
в момент времени / имеет вид st(t—1)V
/—1), где
Я.
' [•
VSi(/—2)V- • .VSi(f—v(
s2(t) — сигналы на входах slt s2 в соответст-
соответствующие моменты времени. Таким образом,
на выходе 23V нулевой сигнал будет только
в том случае, когда на первый вход в v+3
предыдущих моментов времени поступал еди-
единичный сигнал, а на второй вход в предыду-
предыдущий момент поступил нулевой сигнал. Рас-
Рассмотрим автомат (уже с обратными связями), изображен-
изображенный на рис. 87. Здесь однотактный элемент <р реализует
функцию х+у; на вход 8tv подается сигнал о штрафе или
поощрении. Сравнение с автоматом, изображенным на
Рис. 87.
216
рис. 85, показывает следующее. Выходной сигнал автомата
(элемента <р) изменится, если в предыдущий момент (пусть
это был момент времени t) на выходе 23V был нулевой
сигнал, т. е. если в моменты от (t—v—3)-го до (t—1)-го
на выходе S3V был единичный сигнал (а значит, на выходе ф
в моменты от (t—v—2)-го до ^-го сигнал не менялся), и в
(t—1)-й момент на выходе S(v был нулевой сигнал. Указан-
Указанный сигнал на выходе §lv соответствует сигналам штрафа —
поощрения, полученным в ответ на выходные сигналы авто-
автомата в моменты времени от (t—v—2)-го до (t—2)-го. Но, как
мы заметили, в эти моменты выходной сигнал автомата
должен быть тем же, что и в момент t, т. е. в этих условиях
вероятность нулевого выходного сигнала у §lv равна
hf(p) или hf(l—р) в зависимости от того, равен нулю или
единице выходной сигнал автомата в момент /. В результате,
если hf(p) достаточно хорошо аппроксимирует %(р), то авто-
автомат будет с вероятностью, близкой к единице, менять вы-
выходной сигнал, если за него штрафуют с вероятностью,
- „ 1 1
большей — , и не менять, если эта вероятность меньше -~ .
Автомат 5BV в течение достаточно долгого времени не будет
менять выходного сигнала. В течение этого времени автомат
91, выясняет, насколько часто за этот сигнал штрафуют.
Можно выбрать Slv так, что этот вопрос будет выяснен
достаточно надежно (при этом v будет большим). Мы огра-
ограничимся этими качественными рассмотрениями, не проводя
подробных выкладок.
Мы построили пример последовательности автоматов,
асимптотически оптимально ведущей себя в случайной
среде. Известны и другие конструкции таких последова-
последовательностей автоматов [6]. При этом обычно не ограничи-
ограничиваются рассмотренным нами случаем симметричной среды
(вероятности штрафов при выходных сигналах 0 и 1 в сумме
равны единице).
9. Ненадежные реле. Рассмотрим некоторые близкие
задачи, связанные с контактными схемами.
Определение 10.17. Будем говорить, что у нас
имеется вероятностное реле с параметрами (а, Ь), если его
контакт с вероятностью а замкнут при наличии тока в об-
обмотке и с вероятностью Ь при его отсутствии.
В случае параметров A, 0) мы получаем реле с замы-
замыкающим контактом, в случае @, 1) — с размыкающим
контактом. В остальных случаях можно считать, что мы
217
имеем ненадежное реле, которое в каждом состоянии с не-
некоторой вероятностью ие срабатывает. Строя схемы из таких
контактов, мы можем — в предположении, что все состав-
составляющие эту схему реле работают независимо,— вычислять
вероятности замыкания схемы при различных наборах
состояний обмоток входящих в нее реле. Ограничимся слу
чаем, когда все контакты относятся к одной обмотке и
параметры (а, Ь) являются характеристиками только кон-
контакта, т. е. предполагается, что ошибки в контактах проис-
происходят независимо: они не связаны с обмоткой. Для того
чтобы иметь дело с полиномами от одной переменной,
предположим, что у нас имеются только контакты двух
типов: с параметрами A—р, р), р < -—«замыкающие»
и (р, 1—р) — «размыкающие» (р у всех контактов одно
и то же). Тогда контактную схему, составленную из таких
контактов и реализующую некоторую самодвойственную
функцию алгебры логики f(Xi хп) *), можно рас-
рассматривать как сложный контакт с параметрами (hf{\—р)—
— 1—hf(p), hf(p)), где hf(p) — полином Бернштейна, свя-
связанный с функцией /; использованное тождество для hf
имеет место в силу самодвойственности /.
По аналогии с преобразованием каналов Бернулли
можно говорить о преобразовании вероятностных реле
(контактов). При этом опять-таки при помощи контактных
(самодвойственных) схем можно равномерно приблизить
любой непрерывный закон преобразования.
Если же закон преобразования задается разрывной
функцией, изображенной на рис. 83, то ее можно равно-
равномерно приблизить всюду вне любого интервала, содержа-
содержащего точку — (рис. 84). При этом, если р интерпретировать
как вероятность несрабатывания контакта, то у сложного
контакта вероятность ошибки hf(p)<ip, причем при подхо-
подходящем выборе / эта вероятность может быть сделана сколь
угодно малой. Таким образом, из ненадежных контактов
можно получать сколь угодно надежные контакты.
Пока при имеющемся способе построения, скажем, на-
надежных замыкающих контактов приходилось использовать
как замыкающие, так и размыкающие (недостаточно на-
*) Мы формально приписываем всем контактам символы различных
переменных Jfj,. . .,.*•„ или их отрицаний хг,. . .,х„, хотя все контакты
cf !заны с одной и той же обмоткой.
218
дежные) контакты. Естественно обсудить вопрос о том,
можно ли получить сколь угодно надежные замыкающие
контакты только при помощи замыкающих ненадежных
контактов. Поскольку схемы из замыкающих контактов
представляют монотонные функции, этот вопрос естественно
связан с изучением полиномов Бернштейна, связанных
с монотонными функциями.
10.29. Доказать, что для полинома Бернштейна hf(p),
связанного с монотонной функцией алгебры логики
f(xlt . . ., хп), при 0</?<1 имеет место неравенство
причем знак равенства возможен, лишь если Л/(/?)=0,
/г,(/?)з=1 или hf(p)=p. ^
Этот результат был получен Муром и Шенно-
Шенноном [7].
Из задачи 10.29 следует, в частности, монотонность'
функции hf(p) (действительной переменной) для монотонной
функции алгебры логики /, так как h\ ^ 0, т. е. hf не убывает.
Этот факт легко устанавливается непосредственно.
10.30. Показать, что если /г/(/?)=0, 1 или р, то соответ-
соответственно /=0, /=1 или f(xt хп)=х{. ^
10.31. График полинома Бернштейна hf(p), соответ-
соответствующего монотонной функции алгебры логики, может
пересекать прямую h(p)=p при0</?<1 не более чем в
одной точке. А
Из задачи 10.30 следует очень важная информация
о полиноме hj(p). Если /^const, то Л/@)=0, hf(\)~ 1. Кроме
того, мы интересуемся самодвойственными функциями, и
пусть 1ФХг. Поскольку график h,(p) для каждой самодвой-
самодвойственной функции / пересекает прямую h{p)=p в точке
(т ' т) ' для ы°нотонной самодвойственной функции ^фхг
эта точка пересечения является единственной, т. е. график
hf(p) в этом случае имеет вид, указанный на рис. 88. Су-
Существенно, что при р < ^ график hf(p) лежит ниже прямой
h(p)=p; это следует из того, что h\ ( —) > 1 в силу A0.6)
(в нашем случае неравенство строгое).
219
Вернемся к вопросу, с которого мы начинали. Ясно, что
если собрать из замыкающих контактов с параметрами
A—р, р) схему, отвечающую функции /, то мы получим
сложный контакте параметрами A—hf(p), hf(p)). Поскольку
hf(p) < р при 0 < р < у , мы получаем более надежный кон-
контакт. Чтобы показать возможность построения сколь угодно
надежного контакта, достаточно показать, что вне интерва-
интервала около -~- функцию % (рис. 83) можно сколь угодно точно
Z
2_
г
Рис.
РзРг Pi P-L
и
Рис. 89.
приблизить функциями hf(p), соответствующими монотон-
монотонным самодвойственным функциям /. Вместо этого можно, рас-
рассматривая при 0 < р < ^ сложный контакт с параметрами
A—hf(p), hf(p)) как элементарный, образовать из них
схему для /. В результате получится контакт, для которого
вероятность ошибки равна ht(hf(p)). Продолжая этот про-
процесс дальше, мы получим последовательность контактов
с вероятностями ошибок
Процедура последовательного получения рк — это обычный
итерационный процесс (рис. 89). Ясно, что ph+i<Lpk, т. е.
это монотонно убывающая последовательность положитель-
положительных чисел. Для ее предела а должно выполняться равен-
равенство hj(d)—a, откуда следует, что й=0. Итак, при каждом
О < р < -х- можно построить сколь угодно надежный слож-
сложный контакт. Мы использовали здесь лишь, что 1г,(р)<Ср
при 0 < р < — (а не монотонность hj(p)). Из монотонности hf
220
следует, что всюду р можно считать не точной вероятностью
ошибки контакта, а верхней границей вероятности его
ошибки.
Сделаем еще одно замечание о неравенстве A0.6). Оно является не-
необходимым условием того, что среди функции алгебры логики, отве-
отвечающих полиномам Бернштейна hf(p), имеется монотонная функция.
Нетрудно показать, что это условие не является достаточным. В [8]
формулируется результат о том, что существует такая функция от двух
переменных F(x, у) @ <; x, j/< 1) (которую можно явно построить), что
полиному hf(p) соответствует монотонная функция алгебры логики тогда
и только тогда, когда
При этом F (х, у) ^ ,, I, откуда следует неравен-
X (I — X)
ство Мура — Шеннона A0.6).
10. Проблема полноты ненадежных функциональных
элементов. Рассмотрим вопрос о надежности схем из функ-
функциональных элементов (нультактных) [9]. Будем считать,
что входящие в схему функциональные элементы могут
(независимо друг от друга) ошибаться с некоторой вероят-
вероятностью. Более точно, мы имеем некоторый набор функций
алгебры логики Ф={ф1, . . ., <р„} *) и для каждой из этих
функций имеется неограниченное число функциональных
элементов **), ее реализующих, причем вероятность ошибки
этих элементов не превосходит е{ @ ^ е,- < -^ J (при любом
наборе входных сигналов). Таким образом, мы не фиксируем
вероятность ошибки функционального элемента, а лишь
ограничиваем ее сверху. Такая точка зрения представляется
более естественной, так как точные вероятности в реальной
ситуации, может быть, трудно определить, а кроме того, они
могут быть различными для различных функциональных
элементов, реализующих одну и ту же функцию алгебры
логики; вероятность ошибки элемента может быть различ-
различной при различных наборах входных сигналов и т. д.
Исходя из того, что элементы в схеме ошибаются незави-
независимо, и зная Б;, можно оценить вероятность ошибки схемы.
Нас будет интересовать вопрос, когда функцию алгебры
*) Мы ограничиваемся здесь конечными системами Ф, хотя в рас-
рассматриваемых задачах представляет интерес и рассмотрение бесконеч-
бесконечных систем функций (см. [9]).
**) Будем их обозначать теми же буквами.
22!
логики F можно сколь угодно надежно реализовать схемой
из элементов <рь т. е. когда для функции F и каждого
Y>0 существует схема из элементов Ф, реализующая F
с вероятностью ошибки, меньшей у. Если сколь угодно
надежная реализация возможна для любой функции ал-
алгебры логики, то систему функциональных элементов Ф
назовем h-полной. Мы найдем здесь для некоторых случаев
условия Л-полноты в терминах функционально замкнутых
классов. Прежде всего выясним, что требование /г-полноты
является более сильным, чем обычное требование полноты.
10.32. Показать, что если система функциональных
элементов Ф является /г-полной, то система реализуемых ими
функций полна (в обычном смысле, см. § 6). ^
Заметим, что в /г-полной системе (конечной! *)) обяза-
обязательно должны содержаться абсолютно надежные элементы.
Это следует из следующего утверждения (леммы Дж. фон
Неймана).
10.33. Показать, что вероятность ошибки схемы не может
быть меньше вероятности ошибки е ее выходного элемента,
если е < у. А
Если бы в конечной системе функциональных элементов
Ф не было абсолютно надежных, элементов, то нельзя было
бы получить схемы, реализующие функции с вероятностью
ошибки, меньшей, чем наименьшая из вероятностей ошибок
элементов Ф.
Естественно возникает вопрос: бывают ли /г-полные
системы, не содержащие полных подсистем абсолютно на-
надежных элементов?
Укажем важный способ построения таких систем, осно-
основанный на свойствах элемента, называемого «смесителем»;
этот элемент реализует функцию т(х, у, г)=ху^уг\/хг.
10.34. Показать, что всякая система функциональных
элементов Ф, содержащая абсолютно надежный смеситель,
и такая, что соответствующая ей система функций полна,
является h полной. А
*) Бесконечная система элементов, содержащая сколь угодно
надежные полные (б обычном смысле) подсистемы, как легко заметить,
всегда /г-полнв.
222
Использование смесителя для повышения надежности
очень естественно: он как бы проводит «голосование» среди
сигналов, приходящих на его входы; по его выходному
сигналу можно судить о том, каких сигналов пришло боль-
больше. Ясно, что если это «устройство для голосования» рабо-
работает абсолютно надежно, то в результате мы получим схему,
более надежную, чем исходные.
10.35 Показать, что то же утверждение остается спра-
справедливым, если заменить смеситель элементом, реализую-
реализующим любую самодвойственную монотонную функцию, не
совпадающую ни с какой переменной. ^
Как мы видели в § 7, вопросы, связанные с функциональ-
функционально замкнутыми классами, проще рассматриваются для слу-
случая расширенной суперпозиции, т. е. при наличии кон-
констант. В случае схем из ненадежных элементов этому соот-
соответствует предположение о наличии абсолютно надежных
элементов, реализующих константы. В этом предположении
мы и рассмотрим вначале вопрос о /i-полноте, используя
результаты § 7 о функционально замкнутых классах для
расширенной суперпозиции.
10.36. Найти необходимые и достаточные условия /г-пол-
ноты конечной системы ненадежных функциональных эле-
элементов Ф={Д, . . ., fh}, содержащей абсолютно надежные
константы 0 и 1. А
Отметим одно важное следствие полученных результа-
результатов. Оказывается, что система абсолютно надежных функ-
функциональных элементов R, содержащая элементы, реализу-
реализующие обе константы и функции <pi (jT L, ср., (? D01, ц>л (? К01,явля-
К01,является универсально надежной системой в следующем смысле.
Дополняя ее до полной системы (удовлетворяющей условиям
теоремы Поста) любыми элементами, верхние границы
вероятностей ошибок которых ег меньше -^ , мы получим
й-полную систему. Другими словами, условия ft-полноты
системы элементов, содержащей надежные константы (точ-
(точнее, условия на абсолютно надежную часть системы), не за-
зависят от границ вероятностей ошибок ненадежных элемен-
элементов tu если только е,-< у. Оказывается [9], что если не
предполагать наличия надежных констант, то условия на
абсолютно надежную часть очень существенно зависят
223
от et. Мы приведем ниже точную формулировку этого ре-
результата, а пока обсудим более простой вопрос об условиях
на универсальную надежную систему элементов, т. е. такую
систему элементов R, расширение которой до полной систе-
системы любыми элементами с границами вероятностей ошибок,
меньшими — , делает Л-полной систему R. Пока у нас имеют-
имеются необходимые и достаточные условия универсальной на-
надежности системы элементов, содержащей константы. Кроме
того, из задачи 10.34 следует, что смеситель т(х, у, г) и,
вообще, любая самодвойственная монотонная функция,
не совпадающая с аргументом, образует универсально
надежную систему.
Вначале сформулируем достаточное условие.
Система абсолютно надежных функциональных элемен-
элементов универсально надежна, если среди реализуемых ею
функций имеются функции (pt <? L, <p2 ^ D01, ср3 <? К01, ф4 <? F<2).
Фь ^GB)- Нам потребуются некоторые дополнения к дока-
доказанным в § 7 результатам о функционально замкнутых
классах (конечно, можно воспользоваться таблицей классов
(рис. 6), но мы по возможности не хотим пользоваться не
доказанными здесь результатами). Именно, нам потребуется
найти Soi-предполные функционально замкнутые классы,
где Soi — класс самодвойственных функций, сохраняющих 0
(тем самым они автоматически сохраняют и I).
10.37. Показать, что следующие системы функций яв-
являются базисами в 8И: a) xy-\-yz-\-xz-\-y-\-z; б) {xy-\-yz-\-xz,
х+у+г). А
10.38. Найти Soi-предполные функционально замкнутые
классы. А
10.39. Показать, что класс MS самодвойственных моно-
монотонных функций содержится и в Ft2), и в GB). A
10.40. Показать, что сформулированные выше условия
универсальной надежности системы элементов достаточны. А
Очевидно, что сформулированные условия не являются
необходимыми, так как, например, система функций, со-
состоящая из одного смесителя т(х, у, г), не удовлетворяет
этим условиям (в силу задачи 10.39).
Сформулируем необходимые и достаточные условия уни-
универсальной надежности системы функциональных элемен-
элементов R. Эти условия получаются, если в сформулированном
выше достаточном условии заменить FB) и GB) соответст-
224
венно на FC' и GC>. Итак, система R абсолютно надежных
функциональных элементов универсально надежна тогда
и только тогда, когда среди реализуемых ею функций
имеются функции: фх $ L, ф2 ? D01, ф3 $ К01, Ф4 $ GC), ф6 (? FC).
10.41. Используя таблицу функционально замкнутых
классов Поста, доказать достаточность сформулированного
условия. ^
Доказательство необходимости этого условия слишком
сложно, чтобы приводить его здесь.
Перейдем к общему результату об условиях Л-полноты
системы элементов F9]. Пусть имеется некоторая система Ф
функциональных элементов, состоящая из системы R=
~{/ii • ¦> /ft. • • ¦} абсолютно надежных элементов и си-
системы T={g!, . .,gm, . . ¦} ненадежных элементов;
et — верхняя граница вероятности ошибки элемента
gi, 0<е,-<у.
Пусть
i
Будем предполагать, что х(Т)>0. Для конечных систем Т
точная нижняя грань совпадает с наименьшим из ег; в этом
случае указанное условие всегда выполнено. Пусть, далее,
T(v) — совокупность элементов gi^T, для которых et-<.v.
Для всякой системы элементов Т'сТ положим:
х(Т')= inf e,-.
Теперь мы можем сформулировать критерий /г-полноты [9].
Для /г-полноты системы элементов O=R U Т (х(Г) >0)
необходимо и достаточно, чтобы
1) система Ф была полна в обычном смысле;
2) система R содержала:
а) нелинейную функцию,
б) функцию, не принадлежащую классу D01,
в) функцию, не принадлежащую классу К0
3) существовала система целых.чисел Hi>H2>
такая, что если Т; = Т (— ), Rt = R, /?,-.
VIх/ У
хо=хG), И{=иG'\7'1), то
а) к,-_, < — ,
f 01.
8 С. Г. Г и и дик и н 225
Р) система /?,- содержит функцию, не принадлежащую
классу F^'+1),
V) система Rt содержит функцию, не принадлежащую
классу CW+",
6) система Rt+i=R U Tt полна в обычном смысле.
При доказательстве достаточности удобно использовать
функции
S4x х) !° ПрИ *1 + - + *»</*>-
т. е. Sln равна нулю на наборах, содержащих менее I единиц.
Эти функции обобщают смеситель; имеем т(х, у, z)=
~Sl(x, у, г). Ясно, что функции S^li принадлежат F^1
при любом k (любые ц наборов длины ц&+1, содержащие
не более k единиц, имеют общий нуль). В дальнейшем основ-
основную роль играет следующий результат.
10.42. Показать, что
!1 при р > —,
0 при р < - ,
где fh=Sii}lXi, hfk — связанный с fh полином Бернштейна
(см. A0.1)). ^
10.43. Доказать достаточность указанного выше условия
Л-полноты. А
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ § 10
10.1. a) xvlc—l, ялГ—0;
б) воспользоваться а) и аксиомой 1);
в) воспользоваться аксиомой 2) и формулой а);
г) показать, что если х—> у=\, то у=х V ху; при этом события
х к ху несовместимы;
Д) XV у = ху ху; ху—*у=\;_
е) см. д) и хуУху=у, причем ху и ху несовместимы;
ж), з) доказываются по индукции;
и) х = ху V ху;
к) см. е) и б).
При доказательстве соотношений вида Р(х) <; Р(у) удобно представ-
представлять у в виде дизъюнкции х и некоторого несовместимого с ним события
г, после чего воспользоваться аддитивностью и положительностью веро-
вероятности (аксиомы 1) и 3)).
*) Здесь имеется в виду обычная сумма (не по модулю 2).
226
10.2. Аксиома 1) очевидна; аксиома 2) следует из того, что а- 1=а;
аксиома 3) — из того, что если ху=*0, то ах-ау—0.
10.3. Воспользоваться формулой
непосредственно следующей из определения условной вероятности.
10.4. а) х=а1х\/а2х\/. . .Vanx, причем события atx несовместимы,
б) Воспользоваться определением условных вероятностей и пунк-
пунктом а).
10.5. x=xyVxy.
10.6. Достаточно проверить, что если на некоторых элементах
вероятность равна 0 или 1, то она однозначно определена и принимает
одно из этих значений иа всех элементах, полученных из исходных при
помощи основных операций булевой алгебры, причем это значение со-
согласуется с истинностной таблицей. Из последнего замечания следует
непротиворечивость задания вероятности указанным в задаче способом
при любых р$=0; 1.
10.7. Рассмотрим алгебру Щ(аи а2, as), порожденную событиями
<h, а2, а3, вероятности которых pt равны — . Зададим числа
следующим образом:
= Рюо = Poio = Pool= " • Рооо = Рои = Pwi= Рпо = 0.
Показать, что события alt a2, а3 зависимы, хотя и попарно независимы.
10.8. Исходя из независимости alt c2, . . ., ап, вычислить вероятно-
вероятности PCi.. .оп.
10.9. Представить данные события в виде дизъюнкции элементар-
элементарных.
10.10. Ввести систему элементарных событий: пары выпавших чисел
(i,/)(Ki, /<6). Ответ. Р(с) = ?; P(b) = ±; P(c) = g.
10.11. На первый взгляд может показаться, что обратная сторона
с равной вероятностью может быть окрашена как в тот же цвет, который
мы видим, так и в противоположный цвет. На самом деле это не так. Вве-
Введите систему элементарных событий и вычислите соответствующие ус-
условные вероятности.
10.12. Можно занумеровать буквы в слове «алгебра» (буква «а»
при этом будет занумерована дважды) цифрами 1, 2, . . ., 7 и в качестве
элементарных событий взять упорядоченные тройки цифр, среди ко-
которых нет совпадающих (номера выбранных букв). Можно также вы-
вычислять условные вероятности того, что следующая буква будет та,
которая нужна, при условии, что предыдущие буквы уже правильно
выбраны. При этом удобно для каждой условной вероятности подби-
подбирать подходящую систему элементарных событий.
10.16. М? = у.
10.17. /И?=1; Л1г|=7. Удобно воспользоваться формулой для ма-
математического ожидания суммы случайных величин (особенно при вы-
вычислении /Mi)).
10.18. Ввести систему элементарных событий. Воспользоваться
формулой для математического ожидания суммы случайных величин.
Ответ. Л4|=1.
8* 227
10.19. В сумме для М(?2) отбросить члены, соответствующие собы-
событиям, на которых значение ||| больше е.
10.21. Воспользоваться формулой
((?—Ml) (г)—Mrj)),
а также тем, что при вычитании произвольных констант из независимых
случайных величин вновь получаются независимые величины.
10.23. 1. Если 1 — случайная величина из задачи 10.16,
T0Dg = 2ll.
1 5
2. Для величин из задачи 10.17 D?=-^-; ?>г) = 5 — . Восполь-
Воспользоваться формулой для дисперсии суммы независимых случайных
величии.
3. Величины ?ii . . ., ?п, на которые разбивается случайная ве-
величина % при решении задачи 10.18, не являются независимыми. Однако
при вычислении Dt, все же удобно пользоваться представлением \=
= Si+. • ¦+?„¦ Вычислить МA2). Имеем Dg=2.
10.24. Представить ?„ в виде |„=?A>+. . .+ ?<">, где ?('>=1,
если j-e испытание имеет положительный исход, и ?1')==0 в противном
случае. Ответ. М.Ъ,п=пр; D%n=npq.
10.25. Найти вероятность того, что в п испытаниях произошло т
положительных исходов.
10.26. Рассмотреть
п
I Ф (р) — В (ф> р) I ^= Ф (р)—Ч
Разбить последнюю сумму на две части: 2 и
| я п
Выбрать 6>0 так, чтобы первая сумма была меньше е (это возможно
в силу равномерной непрерывности ф(р)). Затем выбрать N так, чтобы
при п> N и данном 6 вторая сумма была меньше е (при этом восполь-
воспользоваться задачей 10.25).
10.27. В силу задачи 10.26 достаточно показать, что разность
|бп(ф; р)—С„(ф; р)| равномерно стремится к нулю. Эта разность ма-
мажорируется по модулю суммой
m=l
Членов с m=0 и m=n не будет, поскольку /@) и /A) — целые числа.
Достаточно показать, что эта сумма (заметим, что это сумма геометри-
геометрической прогрессии) стремится равномерно к нулю при гс-»оо на [0, 1].
В этом можно убедиться, находя максимум суммы Sn(p) и вычисляя
предел последовательности максимумов. Но проще показать, что Sn(p) —
монотонно убывающая последовательность непрерывных функций,
сходящаяся к тождественному нулю (отсюда следует ее равномерная
сходимость к нулю).
10.28. Показать, что полином A0.4) соответствует самодвойствен-
самодвойственной функции алгебры логики тогда и только тогда, когда
228
Для построения приближающей последовательности рассмотреть по-
полиномы
где
( Г / т. \ _ml и
при т <-?¦>
jm _ I в [ — 1 Г^" I -1-1 при т > -J •
п
при т = у.
10.29. Доказывается индукцией по числу переменных. Предполо-
Предположим, что все переменные функции / существенны и что hj(p) не является
ни константой, ни р. Разложим / по последней переменной:
!, ...,xn-1,xn) = <f(x1, .... *„_!>*„ V
Напомним, что ф(хь . . ., *„_!)=/(*!, . . ., *„_!, 1), Щхг, . . ., xn-i)=
= /(«1, . .., xn-i, 0). Тогда ясно, что
Поскольку ф и г|) — монотонные функции, то по предположению индук-
индукции для hy и hty можно считать неравенство справедливым и нужно
доказать его для hf. Расписывая неравенство для hf, используя нера-
неравенства для h,f и /!ф и сокращая на общий множитель, можно прийти к
неравенству, справедливость которого легко устанавливается непо-
непосредственно.
10.30. Воспользоваться индуктивной процедурой, примененной
при решении предыдущей задачи.
10.31. В точке пересечения с прямой h(p)=p производная hf(p)>\.
В двух соседних точках пересечения рг и р2 не могут одновременно вы-
выполняться неравенства h'/(p1)> 1и h'f(p2) > 1.
10.32. Напомним, что ег— верхние границы вероятностей ошибок
элементов; поэтому, в частности, для всякой функции должна сущест-
существовать сколь угодно надежная реализация также и при условии, что
элементы схемы не ошибаются.
10.33. Выразить вероятность ошибки схемы через е и вероятность
6 ошибки схемы при отсутствии ошибки в выходном элементе.
10.34. Пусть имеется три экземпляра схем, реализующих некото-
некоторую функцию с вероятностями ошибки е. Соединим их выходы с входами
смесителя т. Тогда мы получим схему, реализующую ту же функцию,
но более надежно.
10.35. Воспользоваться задачами 10.29 и 10.31.
10.36. Для /г-полноты конечной системы функциональных элемен-
элементов Ф={/х, - - -, /л}, содержащей абсолютно надежные констгиты, не-
необходимо и достаточно, чтобы
1) система реализуемых этими элементами функций была полна;
2) среди абсолютно надежных элементов, входящих в Ф, были эле-
элементы, реализующие
а) нечинейную функцию (ф! (fL),
б) фуНКЦИЮ ф2(?О01,
в) функцию ф8(?К01.
229
Для доказательства достаточности показать, что из <рх, <р2, <р8 и
коистант можно получить смеситель т(х, у, г), после чего можно вос-
воспользоваться задачей 10.34.
Необходимость условия 1) уже доказана (задача 10.32). Для дока-
доказательства необходимости остальных условий рассмотреть функцию, ко-
которую нельзя реализовать схемой из абсолютно надежных элементов, и
достаточно надежную схему S, ее реализующую. Выделить в S макси-
максимальную подсхему Р, содержащую выходной элемент и состоящую из
абсолютно надежных элементов — надежную выходную под-
подсхему. Показать, что если Р реализует линейную функцию, то вся
схема S ие может достаточно надежно реализовать нелинейную функцию.
При этом учесть, что вероятность ошибки S не может быть меньше
вероятности того, что на одном из входов Р возникает ошибка, а на дру-
других ее нет. Аналогично рассматриваются два других случая.
10.37. а) Решение можно получить по аналогии с решением задачи
7.26, используя результат задачи 7.23.
б) Использовать а).
10.38. Sox-предполными являются классы: LM— класс линейных
функций, сохраняющих 0 и 1; MS— класс монотонных самодвойствен-
самодвойственных функций. Включение MS с S^, следует из того, что функции из IWS
монотонны и не являются константами, а потому (задача 5.3) они содер-
содержатся в Р01; включение Lol с Sol по существу отмечалось в указаниях
к задаче 6.14 (см. также задачу 4.6). Использовать решение задачи 7.27.
10.40. Удобно отдельно рассмотреть случаи, когда среди функций
из Ф имеется несамодвойственная и когда все оии самодвойственны.
В первом случае воспользоваться замечанием к решению задачи 7.15,
во втором — задачами 10.38 и 10.39.
10.42. Воспользоваться следующим из неравенства Чебышева
предельным соотношением A0.3).
10.43. В силу задачи 10.41 либо система R универсально надежна,
либо оиа содержитси в одном из классов Fl3> или СC>. Пусть i?cFC>.
Тогда она порождает один из классов FV>, Fjf1*, MfJ}*', отличный от
F(8>; fi«SHi (в силу условия ЗР), так как RX = R). В частности,
можно получить все функции из IWF^1'. В классе MF*^1' содержатся,
в частности, функции 5^х+1.
В двойственном случае (/?cGC>) нужно рассмотреть функции
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ К ЗАДАЧАМ § 10
10.1. а) Р(х _
б) Р (х) =¦ 1 —Р (*)<; 1, так как Р (х) Зг 0.
в) Р@) = РA) = 1— РA) = 0.
г) Имеем х—>у = х\/_у. Итак, Icy у—±. Тогда х = х(х~\ у) —
= хх v ху = ху; у = у(х\/х) — ху\/ ух=х У~ху (можно также соста-
составить таблицы истинности).
События х и ~ху несовместимы, т. е. Р (у) = Р (х>+Р (ху), а значит
(аксиома 1)), Р(у)^Р(х).
д) х V у=-х V ху (см^2.22)), т. е. Р {х v у) = Р (х) + Р(ху) (х и ху
несовместимы). Далее, ху—>-у=1, т. е. в силу г) Р (у) ё= Р Схц);
значит, Р(х) + Р (у) S* Р (х V у).
230
е) Найдем Р (ку). Имеем ху V ху — у, причем ху и ху несовме-
несовместимы, т. е. Р (ху) + Р (ху) = Р(у). Получаем Р (ху) — Р (у) — Р (ху) и
Р (х V у) = Р (х) + Я (ад) = Р (л;) + Р (у)—Р М
и) Р (х) = Р (л# V ху) = Р (л#)+Р (х?); Р (*) 5s P (х#).
к) Р(ху) = Р (х)-\-Р{у) —Р (х v у), откуда в силу б)
P() + P(I
() + (j)
Если Р (я V у)=1, в частности, если х\/ у—\, то имеет место
случай равенства: Р (ху) = Р (х)-\-Р (у)— 1.
10 3 Р <х\ Р {Х) Рх (У)
J0.3. Ру(х)- р(у) .
J0.4. а) Р(х)=Р(а1х)-}-Р(а2х)+ +Р (а„х)- Р (сх) Р (х) +
+ P(c2)PejW+. .+Р(а„)РвпМ.
Р(^аЛ f я • W P (ai)
б) Р,(а,) = У^^ „"^
/=1
Мы воспользовались формулой для Р (я) из а) этой задачи.
J0.5. Р(ху)=Р (х)-Р (ху) = Р (х)—Р (х)Р(у) = Р(х) A-Р («/)) =
^Р(х)Р (у).
10.6. Сформулированное в указаниях утверждение для отрицания
очевидно (формула а) задачи 10.1). Кроме этого достаточно проверить
конъюнкцию. Пусть Р(х) и Р(у) равны 0 или 1; вычислим Р(ху). Если Р(х)
или Р(у) равняется 0, то согласно и) задачи 10.1 P(xy)^0^P(xy)=0.
Остается случай Р(я)=Р({/)= 1; но тогда в силу к) той же задачи Р(ху)^
2гР(х)+Р((/)-1=1, т.е. Р(ху)=1.
Таким образом, значение Р(ху) определено однозначно, причем
оно соответствует истинностной таблице для конъюнкции. Значит,
P(f(alt . ,an))=f(pu . . ., рп), откуда следует, что pj=O, 1 можно за-
задавать произвольно.
Замечание. Из проведенного рассуждения следует, что со-
события х и у, для которых Р равно 0 или 1, независимы.
10.7. Прежде всего заметим, что
Р (c1a2fl3) = Pm = ^ Ф Р (Сх) Р Ы Р (а3)=4"-
События а1г а2, а3 попарно независимы, так как
Р (ага2) = Р (схСд) = Р
10.8. Имеем:
Здесь мы исходили из того, что
Pi, если о,= 1,
I—pj, если ai = 0.
Мы воспользовались задачей 10.5.
10.9. с = е2 ve4 ve,, P(a) = -i-; <>=«. Р F)=4 '. с=ез V е«,
= -i-; d = ex Vc, V ea v e4,
231
События а и b несовместимы, а поскольку их вероятности отличны
от нули, они зависимы.
Событие ас состоит в том, что выпало число, делящееся на 6, т. е.
в данном случае ас=е6; Р (ас) = -х-=Р (а) Р (с). Итак, эти событии не-
независимы.
В силу задачи 10.5 тогда b и с также независимы (это легко прове-
проверить непосредственно).
События а и d, а значит, также b и d независимы.
/12 \
События cud зависимы f P (cd) = -^- Ф -ц- = Р (с) Р (d)\ .
Из сказанного следует, что никакие три из указанных событий не
являются независимыми.
10.10. Итак, элементарными событиями будем считать события
etj, состоящие в том, что на первой кости выпало число i, на второй —
число /; 1 <i, /<6. Всего получается 36 элементарных событий. Если
кости кидаются независимо, то естественно считать все комбинации
чисел (?, /) равновероятными: Р (e,y) = «g • Этот очевидный факт мож-
но получить формально, вспоминая, что вероятность выпадения не-
некоторого числа на одной кости равна —, и вычисляя вероятность ец
как конъюнкцию двух независимых событий с вероятностями -s- ,
Теперь в каждом случае остается сосчитать число пар etj-, обладающих
указанным свойством.
10.7'. Пусть каждому номеру грани, оказавшейся основанием,
отвечает элементарное событие elt е2, е3, е4; Р(е,) = —. Имеем
c1=e1ve4, c2=e2ve4, a3=e3ve4; Р (o,-)=y.
Далее, а1о2с3 = е4; Р (а1а2о3)=— Ф -g-; а1а^=чфг = ata3 = eit
т. е. Р(«1»!) = Р() Р()
Нетрудно убедиться, что этот пример ничем не отличается от при-
примера задачи 10.7.
10.11. Занумеруем стороны кружков цифрами от 1 до 6. Слова о
предварительном перемешивании равносильны предположению о рав-
равновероятности всех возможных исходов, т. е. с вероятностью -гг нам
о
покажут сторону кружка, на которой стоит номер /. Эти события будем
считать элементарными: ех ее. Пусть а — событие, состоящее в том,
что нам показывают сторону, окрашенную в красный цвет; события Ь
и с состоят в том, что обратные стороны окрашены соответственно в
2 1
красный и синий цвета. Тогда Рй(Ь)=-х-, Рв(с)=-п-- Таким
образом, более вероятно, что обратная сторона окрашена в тот же цвет.
Исходя из этого при угадывании цвета обратной стороны, естественно
называть тот же цвет, что мы видим. При этом мы должны в среднем в
2/3 случаях угадывать, если считать, что все элементарные события е;
232
действительно происходят одинаково часто. Впрочем, пока у нас нет
оснований утверждать это, исходя из уже полученных результатов, да
мы и не можем пока придать точный смысл словам «в среднем». В дан-
данном случае в пользу сделанного предположения свидетельствуют
чисто комбинаторные соображения. Советуем читателю провести экспе-
эксперимент.
10.12. Первый способ. Троек несовпадающих цифр от 1
до 7 будет 7-6-5. Все наборы естественно считать равновероятными.
Слову «бег» отвечает единственный набор E, 4, 3)t т. е. его вероятность
равна ; слову «бал» — два набора E, 1, 2) и E, 7, 2), т. е. его
1
вероятность равна
/ * о * О
Второй способ. Пусть событие а состоит в том, что первой
выбрана буква «б», событие b — в том, что втораи буква — «е» и с —
в том, что третья буква — «г». Нас интересует Р(аЬс)=Р(аЬ)Раь(с)=
= Р(а)Ра{Ь)Раь(с). Ясно, что Р(а)=-=- (элементарное событие — выбор
какой-то определенной буквы; всем буквам, кроме «а», отвечают веро-
1 2\
ятности —; «а» — вероятность -у ) -
Аналогично для вычисления Ра(Ь) за элементарные примем собы-
события, состоящие в выборе какой-то определенной буквы, из числа кото-
которых удалена буква «б». При этом Ра(Ь) ==-^-. Наконец, если удалены
буквы «б» и «е», вероятность выбора «г» равна Рй{, (с)=-^-. Итак,
О
При рассмотрении слова «бал» рассуждения проводятся аналогич-
аналогично, лишь Ра (Ь)=-^-, так как на втором шаге выбирается буква «а».
о
В результате в этом случае Р (с6с) = -=- * ~5~ * "Е" •
Второй способ решения может показаться более громоздким, но
мы привели его здесь, чтобы на простейшем примере показать способ
выбора множества элементарных событий при вычислении условных
вероятностей.
10.13. В сумме для Alf соберем для каждого i все члены, соот-
соответствующие таким /, что Ъ]—у с, = 1. Для них!-(а/) = ?(а,-). Вынося
? (с,-), получаем сумму Р (а/), которая равна Р (с,-), так как событие
а; равно дизъюнкции су, а а/ несовместимы.
10.14. Вычислим (в силу задачи 10.13) /И? и Мх\ для системы
событий {с,-Ьу-}. Складывая, получаем М (|+г)) для этой же системы
событий.
10.15. Математическое ожидание для константы можно вычислять,
исходя из любой полной системы несовместимых событий.
10.17. Элементарные события отвечают парам (/, /) A <i, /<6).
1. Случайная величина ? принимает три значения: 0, если г и j
нечетны; 2, если i и / четны; 1, если одно из чисел /, / четно, а другое
нечетно. Легко проверить, что первая возможность имеет место для 9
элементарных событий, вторая — для 18, третья — для 9. Поэтому |
233
принимает значение О с вероятностью j, 1 — с вероятностью -^-, 2
с вероятностью -у- Отсюда М%— 1 -^-+2--j-«=« 1.
Можно поступить иначе. Заметим, что ?=1гг~Е2, где 5i—случай-
5i—случайная величина, равная 1, если на первой кости выпало четное число, и
О в остальных случаях; ?Е аналогичным образом связано со второй
костью. Очевидно, Л1|=»М?1+М|4=1.
2. Случайная величина Г) принимает значения от 2 до 12. Можно
было бы для каждого значения г) найти число элементарных событий, иа
которых вто значение принимается. Однако проще заметить, что г\=
=Г]1+1|>, где случайная величина % равна числу, выпавшему на первой
кости, г|„— числу, выпавшему на второй кости, б силу задачи 10.16
7
MTj1 = Mij2=-n-. а значит, Мц
10.18. Систему элементарных событий Е можно интерпретировать
как совокупность перестановок (<хь . . .,«„) набора чисел A, . . , п)
(ctj— номер жетона, находящегося в f-й ячейке). Вероятность каждого
элементарного события равна—j-. Найти число элементарных событий,
для которых ? принимает фиксированное значение, в данном случае
не просто. Вместо этого, как мы уже делали ранее, представим | в виде
Ei+. . +ln> гДе ?г— случайная величина, равная 1, если в t-й ячейке
находится жетон с i-м номером, и 0 в противном случае. Ясно, что ?{
равна 1 на—йчасти всех элементарных событий, т.е. Л4?,-=—.
Тогда М?=1
10.19. Имеем:
2 (i)
1 Е {а,)\ > б
Мы оставили в сумме лишь слагаемые, связанные с С;, для
которых |^(cj)|^6 (все слагаемые неотрицательны). Таким образом,
10.20. М F, Ц) = V
К ! < *
= V
)Pto,) У
1<Т<'
Мы воспользовались независимостью событий аг и 6,-: Р(афЛ= P(ai)P(bj).
10.21. Имеем ?>F+ti)=M((S—ЛЦ)^-^—Afij)*-f 2A—М6)(Г)—
—AlT)))»=DH-Dr)+2iM((|—iMi)^—Л!1»])). Мы воспользовались адди-
аддитивностью математического ожидания.
Поскольку при вычитании константы из случайной величины
характеристическая система событий ие меняется, после вычитания из
234
? и г\ констант Л1? и Мг\ соответственно мы получим независимые слу-
случайные величины. Поэтому М((|—М%){г\—Мт]))=0 и ?>(|+t])=?>|+Dt].
10.22. Dl=M((l—М|J)=М(|2)—2М(МЪ- &)+(МЕ)гМ(?2)
М?)г
10.23. 1. Пусть |— величина из задачи 10.16. Имеем:
1 Ы 4 ' S 6 4 12"
2. Пусть | — величина из задачи 10.17. Как и при решении этой
задачи, представим ? в виде ?Н-?2. Поскольку кости кидаются неза-
независимо, |j и |а независимы. Таким образом, Di,=D?,1-\-D%i. Замечая,
что EJ=S,, Ei=E*. получаем D?1==M (Б?)—(AfEj^l--1= i.,
В6,=-±-.Итак, Д6=у
Аналогично вычисляется Dx\ (из той же задачи); ti=ti1-)-ti3, где
35
т)! и % независимы; ?>т]! = Dr]2=-r^ (вычисляются, как в случае 1),
п 35 к 5
т.е. Оч = ^.=5-д-.
3. Пусть, наконец, | — случайная величина из задачи 10.18.
Имеем ?=Si+ • -+1п- Величину 5г можно рассматривать как инди-
индикатор события, состоящего в том, что в t-й ячейке находится жетон с i'-m
номером. Имеем М|,- = —; М (Е/Е/)=—, ,. при 1ф\ (счита-
(считается доля перестановок, для которых и в »-й и в /-й ячейках находятся
жетоны с теми же номерами). Таким образом, величины \t не являются
независимыми.
п
Вычислим МЕ8=2м(?/)8+2 2 М&§/)- Учитывая, что
1=1 1Ф\
Е/=Б|. получаем, что /И|2= 1 + 2С^-—-Ц-=2.
10.24. Случайная величина g(l) (см. указания к этой задаче) яв-
является индикатором события щ. Поскольку события щ независимы.
ляется индикатором события щ оу оытя щ независимы,
величины ?1'> также независимы и М1п = ?1МЦ'>; ?>^„ = Уо?").
Итак, нужно найти Л*Е('\ ?>1A)- Имеем МЕA)=Р(ог)=р; Dsl"=
=AJ(|(')J_(Mg(I')J. Поскольку (|1"J=5('), то Dg(')=p_pa==pg
Е\ 1 Е(г)р; s
(|)(g) Поскольку (|1"J=5('), то Dg(')=p_pa==pg
В результате Mgn=np, Dln=npq.
10.25. Пусть событие Ьт состоит в том, что имело место m положи-
положительных исходов. Тогда
(событие Ът является дизъюнкцией С™ элементарных событий). Поэтому
235
Таким образом, неравенство A0.2) в другой форме записывается так:
С'^(\-рГ--^-^.
10.26. Нужно оценить |<р(р)—В„((р; р)\. Поскольку
5 СЦрт A —р)п-т = 1 f имеем (р (р) = 2 <Р (Р) С«Рт A —р)" -"»
m=0 m = 0
| (р (Р)-В„ (ф;
т=0
Фиксируем некоторое 6>0 и разобьем сумму на две части:
|
Пусть |(р(р)|^М ((р(р)—непрерывная функция на [0, 1], а потому она
ограничена). Оценим первую из этих сумм, исходя из задачи 10.25;
так как
Е
f, то
Далее, поскольку функция (р(р) непрерывна, она равномерно не-
непрерывна. Если нам дано произвольное е>0, то выберем 6>0 так, чтобы
Kp(Pi)—Ч>(Рг)\<е ПРИ \Р\—Рг1<6- Тогда, в частности,
)—<Р 1—1 <е при
и мы можем оценить вторую сумму:
т
Р- —
%р"A— р)"~
Мы воспользовались тем, что Y Сдр" (I—р)"-т=\г причем
т=0
вее слагаемые в этой сумме положительны. Итак, если 6 выбрано ука-
указанным образом, то
М
\<р{Р) — Вп(ц>; P)|*S-o-r-
236
м
Если теперь выбрать N так, чтобы т^г < е ПРИ п > W, то
|Ф(р)-В„(Ф; р)|<2е.
Тем самым равномерная сходимость Вп(ф; р) к ф(р) доказана.
10.27. Итак, рассмотрим
1П 1
5„(Р)=ХрA-р) = рA-р)^ 2р-1 ¦•
т = 1
Мы воспользовались здесь формулой для суммы геометрической про-
прогрессии со знаменателем——и первым членом рA—р)"~1- При
1 / i \ я—i
Р —-Q- нужно раскрыть неопределенность; имеем Sn I -у I = -
(можно сосчитать непосредственно). Ясно, что Sn(p)—»• 0 для всякого
0 < р < 1, так как р < 1, 1—р < 1; при р = 0 и I имеем Sn(p) = 0.
Итак, lim Sn (p)=0. Покажем, что последовательность Sn(p) моно-
тонно убывает (точнее, не возрастает), т. е. Sn + l(p)^Sn(p). Имеем:
Неравенство Sn+l(p)^Sn(p) равносильно неравенству
рA— р)"^A— p)Sn(p) или рA—p)n-!<Sn(p)
при рф\. Последнее неравенство имеет место, поскольку Sn(p) —
сумма неотрицательных членов, один из которых равен рA—р)"~1-
Заметим, что неравенство Sn+i (p)<Sn (р) будет строгим всюду,
кроме точек р = 0 и 1. Итак, мы имеем монотонно невозрастающую
последовательность непрерывных функций, сходящуюся на [0, 1| к
нулю. Отсюда следует равномерная сходимость последовательности.
Напомним доказательство этого факта. Пусть е > 0. Для каждой
точки ро?[0, 1] выберем такое N (р0), что SN ^ (р0) < -^ ; поль-
пользуясь непрерывностью SN. . (р) в точке р0, выберем интервал около р0,
в котором SN. j (p) < е. Тогда в силу монотонности последователь-
последовательности Sn(p) в выбранном интервале будет Sn(p) <e при всех ns=
> N (Ро). Возникает покрытие [0, 1] интервалами. Выберем из этого
покрытия конечное и наибольший из номеров N (р) по всем интер-
интервалам из конечного покрытия. Тогда Sn (р) < е при п, больших этого
номера.
Замечание 1. Делая замену переменных, нетрудно доказать
аналогичные факты для любого отрезка [а, Ь] (в аналоге задачи 10.27 ус-
условия на ф(а), cp(fc) будут более сложными).
Замечание 2. Можно было заменять коэффициенты Вп(ц>\ р)
ф ( — \(fn I, а на другое, соседнее с ф ( — j С™ целое число:
+1; можно также заменять одни коэффициенты одним
способом, а другие — другим.
Замечание 3. Условие целочисленности ф@) и <рA) сущест-
существенно в приведенном доказательстве; вообще, полиномы с целочислен-
237
не на
ными коэффициентами целочисленны при р=0 и 1. Если не накладывать
это ограничение, то очевидно, что Сп((р; р) равномерно приближают ср(р)
на любом отрезке, целиком лежащем внутри [О, I].
10.28. Условие, накладываемое на коэффициенты полиномов Берн-
штейна, соответствующих самодвойственным функциям, следует из
того, что если в двоичном наборе имеется т единиц, то в противопо-
противоположном наборе содержится п—т единиц. Ясно, что если 0,^=0,; _m
в полиноме hf(p), то hf(p)-\-hf(\—р)=1.
Далее, если (р(р) удовлетворяет условию (р(р) + (рA—р)=1, то в
полиномах ?>п((р; р), построенных способом, приведенным в указаниях,
коэффициенты удовлетворяют условию а^=а)^1т. Поэтому этим поли-
полиномам соответствуют самодвойственные функции алгебры логики. Из
замечания 2 к решению задачи 10.27 следует, что последовательность
Аг(Ч>; Р) равномерно сходится к (р(р) при п->оо.
Замечание. Одному и тому же полиному /г(р) соответствует
несколько функций алгебры логики: функции, для которых числа
cm(f) (см. A0.1)) совпадают, дают одинаковые полиномы. Когда мы гово-
говорим, что некоторому полиному отвечает самодвойственная функция,
это означает, что среди функций алгебры логики, соответствующих дан-
данному полиному, имеется самодвойственная.
10.29. Итак, имеем:
Положим h^(p)=r{p), h^(p)=s(p). Нужно доказать, что
hf(\—h,)
\p)s> f @<р<
По предположению индукции
Поскольку р>0 и A—р)>0, то достаточно показать, что
r(I-i-) s(l-s) hf(\-ht)
Г+ 1-P + P ~S> P(l-P) •
Приведем к общему знаменателю:
(r-S)p(l—P)-r2p-S*(l-p)+rp-\-S(l-p)>hf-{hJ)*
или, поскольку hf=rp-\-s(l—р),
(г—s)p(l_p)_r2p-s2(l-p) + r2p2+s2A_pJ + 2rsp(l-p)>0.
Группируем члены, содержащие г2 и sa:
(г—s)p(l-p)-r2p(l-p)—sa(l-p)p + 2rsp(l-p)>0.
Поскольку р^О, 1—р?=0, то можно сократить на рA—р):
г—s— г2—sa+2« > 0, или (г—s)(l—r+s) > 0.
Поскольку / — монотонная функция и хп— существенная переменная
(по хп ведется разложение), г > s при р^О или 1, так как коэффициенты
в разложении A0.1) для полинома s не превосходят соответствующих
коэффициентов для г (Ф^Ю, причем в одном из случаев неравенство
строгое (хп—существенная переменная). Далее, так как 1—гз=0,
имеем 1—r+s^O. Если бы 1— r(p)+s(p)=O, то в точке р мы имели бы
238
г(р)=1, s(p)=O. Но равенство нулю или единице в какой-то точке рфО
полинома Бернштейна, связанного с функцией алгебры логики, приво-
приводит к тождественному равенству полинома этой константе, так как в
этих случаях коэффициенты в A0.1) соответственно или все равны нулю,
или являются максимально возможными. Таким образом, r=l, ss^O,
т. е. hj(p)=p, а этот случай мы исключили.
10.30. 1. Если fy(p) = 2aftPfe(l—p)"-fes=0, то, так какаЛЗг0,
обязательно а^ = 0 и / = 0 (как мы уже отмечали, достаточно, чтобы
ht (р) = 0 для какого-то р, р Ф 0, р Ф 1). Аналогично рассматривается
случай he^l.
ЛДр)A— Л/(р))
2. Пусть hj(p) = p. Тогда hf(p)=— и, разлагая f
по одной из переменных, имеем в обозначениях решения задачи
10.29: либо г = s, либо r^l, ss=0. В первом случае f = <p = ^l а потому
все сводится к меньшему числу переменных и доказательство можно
проводить по индукции; во втором случае f (xlt x2, ..., хп)=хп.
10.31. Поскольку правая часть неравенства задачи 10.29 в точке
пересечения pj равна 1 (hf(p1) = p1), имеем h'f (pj > 1. Геометрически
это означает, что слева от рг кривая hf(p) лежит ниже прямой h (p) = p,
а справа—выше. В силу непрерывности hf(p) это условие не может
одновременно выполняться в двух соседних точках пересечения.
10.32. Пусть F — произвольная функция; рассмотрим схему,
реализующую ее с вероятностью ошибки Y<1- Поскольку ег— верхние
границы вероятностей ошибок, то эта оценка должна иметь место также,
если все элементы схемы будут работать абсолютно надежно. Это озна-
означает, что схема, составленная из этих абсолютно надежных элементов,
должна реализовывать функцию F, так как в противном случае на каком-
то наборе она ошибалась бы с вероятностью 1. Тем самым доказана пол-
полнота Ф.
10.33. Пусть 6 — вероятность ошибки схемы при отсутствии ошиб-
ошибки в выходном элементе. Поскольку это событие и событие, состоящее
в том, что произошла ошибка в выходном элементе, независимы, ве-
вероятность ошибки в схеме равна еA—6)+
+6 A— е) 5* е, так как 1 — е > е ( е < -?- I
Заметим, что если говорить о верхних гра-
границах вероятностей,- то это утверждение стано-
становится еще более простым.
10.34. Итак, рассмотрим схему S, изобра-
изображенную на рис. 90, где 5,, S2, Ss— три экзем-
экземпляра схемы, реализующей некоторую функцию
F с вероятностями ошибки е < -=-. Поскольку
m сохраняет 0 и 1, эта схема S также реализует Рис.
F. Ошибки в схемах Sj происходят независимо.
Ясно, что вероятность ошибки всей схемы S для тех наборов, на которых
F=0, равняется hm(e), где hm— полином Бернштейна, соответствующий
т. В силу самодвойственности т(х, у, г) такова же будет и вероятность
ошибки на наборах, на которых F=l.
Вычислим Лт(е):
Лт(е) = е8+Зе* A — е) = 3ег—2е3.
График Лт(е) имеет вид, указанный на рис. 91. Имеем Лт(е)<е.
239
Далее можно изготовить три экземпляра схемы S и их выходы соеди-
соединить с входами еще одного элемента т. Мы получим схему, реализующую
F с вероятностью ошибки hm{hm{e)). В силу сказанного ранее этот про-
процесс позволяет реализовать F сколь
угодно надежно. Таким способом мож-
можно получить сколь угодно надежные
реализации для всех функций из систе-
системы Ф. Пусть теперь имеется схема S из
элементов системы Ф, которая реали-
реализовала бы некоторую функцию G, если
f I I/ бы все элементы Ф были абсолютно на-
~2 // дежны. Заменяя все элементы схемы S
схемами, достаточно надежно реализу-
реализующими те же функции, что и эти эле-
элементы, мы можем получить схему,
э- сколь угодно надежно реализующую С.
¦—¦ I ? При этом достаточно иметь в виду,
° что вероятность ошибки схемы не пре-
Рис. 91. восходит суммы вероятностей ошибок
составляющих ее элементов, т. е. веро-
вероятности того, что в каком-то элементе произошла ошибка (см. задачу
10.1, г)). Этот же факт сохранится, если элементы заменить схемами.
10.35. При решении задачи 10.34 мы пользовались лишь тем, что
график hm(e) имеет вид, изображенный на рис. 91. Но в силу задач
10.29 и 10.31 такой же вид имеет график полинома Бернштейна, связан-
связанного с любой монотонной самодвойственной функцией, не совпадающей
ни с какой переменной.
10.36. Докажем сформулированную в указаниях теорему.
Достаточность. В силу задачи 7.9 (см. рис. 3) функции
срх, (р2 и (рз относительно расширенной суперпозиции могут породить или
класс Р всех функций алгебры логики, или класс М всех монотонных
функций. И в том и в другом классах содержится функция т(х, у, г),
а тогда в силу условия 1 и задачи 10.34 мы имеем Л-полную систему.
Необходимость. Необходимость условия 1 следует из за-
задачи 10.32. Докажем необходимость остальных условий. Разобьем
систему элементов Ф на две части: R={fi, . - ., fk} — совокупность аб-
абсолютно надежных элементов (е;=0 для fi?R), T={glt . . ., gm} —
совокупность остальных элементов (е^>0 для gy? T). Обозначим через
и наименьшую из границ ег вероятностей ошибок элементов из Т:
ч = min Ej\ x > 0, так как элементы из Т не абсолютно надежны.
Пусть Ф—/г-полная система, содержащая абсолютно надежные кон-
константы. Пусть, далее, F — функция, не представимая суперпозицией
функций из R. Рассмотрим схему S из элементов Ф, реализующую F
с вероятностью ошибки у<.м. Тогда в силу леммы фон Неймана (задача
10.33) выходной элемент в схеме S должен быть абсолютно надежен
(иначе вероятность его ошибки, а значит, и всей схемы могли бы быть
больше к и тем более больше у). Назовем надежной выходной подсхемой
схемы S максимальную подсхему Q схемы S, содержащую выходной эле-
элемент и состоящую только из абсолютно надежных элементов (см., на-
например, схему на рис. 92).
Схему Q естественно строить, начиная с выходного элемента схемы
S, постепенным присоединением надежных элементов схемы S, выходы
которых соединены с входами элементов, уже включенных в схему Q
(аналогично решению задачи 8.3). Итак, схема Q состоит из элементов,
240
входящих в R; она реализует некоторую функцию / из функционально
замкнутого класса, порождаемого функциями, входящими в R. Входы
подсхемы Q соединены с выходами ненадежных элементов или являются
входами схемы S. Входы первого типа назовем внутренними, а входы
второго типа — внешними. У схемы Q обязательно должны быть су-
существенные внутренние входы, так как в противном случае функция F
представлялась бы суперпозицией функций из R. В силу леммы
тггтт тгг т
Рис. 92.
фон Неймана на внутренние входы подсхемы Q сигналы приходят с верх-
верхними границами вероятностей ошибок, не меньшими х (эти границы мо-
могут оказаться большими
Предположим теперь, что условие 2 а) не выполняется. Тогда все
функции из системы R линейны, а значит, линейна и функция /, реали-
реализуемая схемой Q. Оценим верхнюю границу у вероятности ошибки всей
схемы S. Поскольку линейная функция принимает на наборах, разли-
различающихся только в одном разряде, противоположные значения, у
не может быть меньше верхней границы вероятности того, что на одном
существенном внутреннем входе произошла ошибка, а на других —
нет. Эта граница не меньше х, так как можно предположить, что все
элементы схемы S не ошибаются (за исключением элемента, непосред-
непосредственно связанного с выделенным внутренним входом, а этот элемент
ошибается с вероятностью х). Это предположение корректно, так как
фиксированы лишь верхние границы вероятностей ошибок элементов
и граница вероятности ошибки схемы оценивается по всевозможным на-
наборам вероятностей ошибок входящих в нее элементов, не превосходя-
превосходящих заданных границ. Итак, у ^ к, и мы пришли к противоречию.
Аналогично доказывается необходимость условий 26) и 2 в).
Предположим, например, что функция /, реализуемая схемой Q, яв-
241
ляется дизъюнкцией (константой она не может быть, так как в этом слу-
случае вся схема S реализовала бы константу). Оценим вероятность ошибки
S при условии, что на ее входы подан набор, на котором F равна 0.
Этому набору соответствует нулевой набор для функции /. Если учесть,
что при этом наборе ошибка на одном входе Q вызывает ошибку по всей
схеме S, то получаем, что у ^ х, чего не может быть. Двойственные рас-
рассуждения доказывают необходимость условия 2 в).
10.37. а) Пусть f(x1 хп)—функция из S0I1 ср {х1 *„_,)=
= f(xlt -..,*„_!, 1); я])(*! *«-i) = /(*]. •••. *„-1. °)- Ясно, что
<Р € pi. Ч" € ро и Функции ср, я]) двойственны. Пусть, далее,
п (х,у,г)=ху-\-уг-\-хг-\-у-\-г. Тогда пA, u,v) = uv, n(u, I, v) = u\/v =
= «—>¦ v, п @, и, v) = u\/v, п(и, 0, v) = uv.
В силу задачи 7.23 функции uv и u—*v образуют базис в Рх. Предста-
Представим <р суперпозицией этих функций. Заменим всюду в этой суперпозиции
конъюнкции на п(хп, *,*), а импликации — на п(*, хп, *) (при этом сле-
следует учитывать, что импликация — не симметричная функция). Эта
суперпозиция нам даст f(xlt . . ., х„_ь хп), так как прн хп=\ она дает
<p(*i, . - ., х„_х), а при хп=0 — двойственную функцию Ир{х1 x^-i).
Таким образом, функция п(х, у, г) является базисом.
б) Имеем т(х, у, г)=х(у+г)+уг; т(х+у+г, у, г)=х(у+г)+У+г^
+уг=п(х, у, г).
10.38. Покажем, что система функций, содержащая функции
4>i $ Loi. <Р2 С MS(<Pi' «Pa G soi). полна в V.
При решении задачи 7.27 показано, что, отождествляя переменные
у самодвойственной нелинейной функции, можно получить функцию вида
яИ*. У' *) =
Поступая таким образом с функцией (plF мы получим функцию 44.
у которой d=0, так как она должна сохранять 0. Если с= 1, то мы имеем
функцию п(х, у, г)=^ху-\-уг-\-хг-\-у-\-г, которая в силу задачи 10.37
порождает Sol. Если же с=0, то мы имеем монотонную функцию
т(х, у, г)=ху-\-уг-\-хг.
Рассмотрим теперь ср2 ^ MS. Если (р2 нелинейна, то в силу только
что сказанного из нее можно получить п(х, у, г). Пусть (р2— линейная
функция. Поскольку (р2 самодвойственна, она зависит от нечетного
числа переменных; так как срг сохраняет 0, то она имеет вид
где k>0, так как ср3 немонотонна. Отождествляя переменные, мы можем
получить функцию х-\-у-{-г, которая вместе с т(х, у, г) в силу задачи
10.37, б) образует Soi-полную систему.
Поскольку ии один из классов Lol, MS не содержится в другом и
не совпадает с Soi, они являются Soi-предполными и других таких клас-
классов нет.
Замечание. Если имеется функция из MS, отличная от х,
то она является нелинейной, и из нее можно получить, как видно из ре-
решения задачи 10.38, функцию ху-\-уг-\-хг. Если показать, что {ху-\-уг^-
+хг} — базис в MS (см. задачу 7.29), то мы получим, что класс {х},
состоящий из одной функции х, является единственным MS-предполным
классом. Как легко видеть, этот же класс является единственным пред-
полным в L01.
10.39. Пусть f(x1 хп) — монотонная самодвойственная функ-
функция и «=(<*!, . . ., ап) — некоторый набор, на котором Да)=0. Тогда на
242
двойственном наборе а в силу самодвойственности / имеем /(а)=1.
Всякий набор р, не имеющий с а общих нулей, старшей; поэтому [ф)=1
и любые два набора, на которых / равна 0, должны иметь обший нуль.
Аналогично проверяется двойственное свойство.
10.40. Пусть система функций Ф содержит функции ср! (? L, <р2 (? D01,
<Рз у. К01, Ф4 <? GB), (p5 (? FB>. Если в системе Ф имеется к тому же неса-
несамодвойственная функция (см. задачу 7.16), то в силу задачи 7.15 эта
система самодвойственно полна н, как следует из замечания к решению
этой задачи, суперпозициями функций из Ф можно получить дизъюнк-
дизъюнкцию и конъюнкцию, а значит, и т(х, у, z)=xy\/yzVxz. Если же все
функции изФ самодвойственны, то они должны в силу задач 7.27 и 10.38
порождать либо весь класс S, либо класс Sol, так как в Ф содержится
нелинейная функция (pj и функция (р5 d. Fl2), а значит, в силу задачи
1. >
10.39 <р6 (? MS В обоих этих классах содержится смеситель. Напомним,
что т(х, у, г) образует универсальную надежную систему.
10.41. Из схемы функционально замкнутых классов видно, что
всякий класс, который порождается указанной системой функций, обя-
обязательно содержит класс самодвойственных монотонных функций, в ко-
котором, в свою очередь, содержится смеситель.
10.42. В силу определения ht(p) и fk(x1 хп) функция hfk(p)
равна вероятности того, что более k аргументов приняли значение 1 (они
принимают значение I независимо с вероятностью р), т. е.— в обозначе-
обозначениях стр. 209 — вероятности того, что %n=m(o)>k, п=ц,А+1, или
у in ^ "
Для фиксированного р > — возьмем такое 6>0, что интервал
|5—р|< 6 содержится в интервале [ — , 11. Тогда
p\ <(>)->¦ 1 при
Аналогично при р < — можно подобрать 6>0 так, чтобы \t—
u
содержался в @, —) . Тогда при достаточно большом k будет
(р-6, р+б)с: (о,
Л,Л(р)<1-Р(|?„-р|<6) + 0 при А-«в.
Заметим, что предел не является равномерным (например, предель-
предельная функция является разрывной, хотя h,(p) — непрерывные функции).
10.43. Используя S*^j при достаточно больших k для всех функ-
функций, которые реализуются функциональными элементами с вероятно-
вероятностями ошибок, меньшими —, можно построить схемы, реализующие их
243
сколь угодно надежно. В частности, при помощи элементов из R= /?х
можно сколь угодно надежно реализовать функции из Т1 (система 7\
не пуста, условие 3 а)). В дальнейшем можно пользоваться схемами
для функций из 7\ наряду с абсолютно надежными элементами. Далее
доказательство удобно вести по индукции. Допустим, что для каждой
из функций Ri=R(JTi~i можно построить сколь угодно надежную
реализацию. Тогда, применяя к Rt и Tt те же рассуждения, что и при-
примененные выше к R н 7\ (с той лишь разницей, что для функций из R
существуют не абсолютно надежные элементы, а сколь угодно надежные
схемы, их реализующие), мы получим
сколь угодно надежные реализации для
функций из Tt. Из того, что к,-! <— .
следует, что множество T{\Ti^1 не
пусто. Поскольку R (J Tt — полная си-
система функций, мы в конечном счете
получим сколь угодно надежные реали-
згации для функций из полной системы,
а значит, и для всех функций алгебры
логики (опять-таки ср. задачу 10.36);
достаточно воспользоваться тем, что
вероятность ошибки схемы не больше
суммы вероятностей ошибок входящих
в нее элементов).
Замечание. Можно показать,
что график hfk(p) имеет вид, указан-
указанный на рис. 93. Исходя из э,того, если вероятность ошибки элемента
p<6ft, можно, используя /fc, аналогично смесителю, строить все более
надежные схемы, реализующие ту же функцию. Можно показать
также, что 6^->- —при й-»оо; поэтому прн достаточно большом k можно
построить сколь угодно надежную схему для любой функции, которую
можно реализовать с вероятностью ошибки, меньшей —. Однако мы
вместо этого итеративного процесса применяли схемы для /^ при боль-
больших k.
Рнс. 93.
§ 11. МНОГОЗНАЧНЫЕ ЛОГИКИ
Рассмотренная' в предыдущих параграфах д в у з н а ч-
н а я логика допускает обобщение на k-з н а ч н ы й слу-
случай. По аналогии с определением 2.1 дадим
Определение 11.1. Функция f(xx, . . ., хп) назы-
называется функцией k-значной логики, если ее аргументы
определены на множестве {0, 1, . . ., k—1}, состоящем hj /г
элементов, и сама функция принимает значения из того же
множества.
Множество всех функций А-значной логики обозначим
через Pft. Случай k>2 оказывается существенно более
сложным, чем рассмотренный нами случай k=2; общий
случай во многом не похож на этот частный случай. Мы
коснемся здесь немногих вопросов, в которых в основном
можно проследить аналогию с двузначной логикой, и лишь
отметим некоторые из имеющихся отличий *).
11.1. Найти число функций &-значной логики, завися-
зависящих от п переменных. А
Попытаемся обобщить совершенную дизъюнктивную
нормальную форму на &-значный случай. Это можно сделать
не вполне единственным образом. Мы советуем читателю
перед тем, как читать следующее далее описание одного
из возможных путей, самому подумать над этим вопросом.
Напомним, что СДНФ для функции }(хи . ., хп) при
k~2 имеет вид
f{xlt .... *B)=V/F1, ...,6„)&*«.&...
где дизъюнкция берется по всем двоичным наборам (мы
рассматривали и другую форму СДНФ, в которой дизъюнк-
*) Более подробные сведения можно найти в статье [1], которой
мы в основном следуем.
24F
ция бралась лишь по наборам, на которых /F)=1, но она
не удобна для обобщения).
Существенную роль в СДНФ играют элементарные конъ-
конъюнкции xl1 &.. Лхъпп, которые отличны от нуля лишь
на одном наборе FЬ . . ., 6П). При этом все они получаются
из конъюнкции, отвечающей единичному набору, подста-
подстановкой функций от одной переменной х?.
Аналогом единичного набора в общем случае для нас
будет набор (k— I, k—1, . . ., к—1). Положим
&=ik—1, если х=б;
10, если
Получаем k функций от одной переменной, соответствующих
fi=0, 1, . . ., k—1. Назовем конъюнкцией k-значной логики
функцию
хх & ... &xk = min(xlt ..., xk)*).
Ясно, что тогда элементарная конъюнкция
будет обладать требуемым свойством (она отлична от нуля
лишь на наборе (бь . . ., bk) и равна k—1 на этом наборе).
Полагая аналогично
xlf .... х„),
мы можем построить аналог СДНФ в &-значной логике.
11.2. Доказать, что всякая функция &-значной логики
единственным образом представляется в виде
f(Xl, .... хп)=\/аь&&& ... &хйп;
где дизъюнкция берется по всем А-значным наборам
6=FlF . . ., 6„) длины п. При этом коэффициенты обяза-
обязательно имеют вид
По аналогии с двузначной логикой будем называть
полученное представление СДНФ.
*) Вводимые ниже операции конъюнкции, дизъюнкции и отрицания
(указание к задаче 11.4) превращают множество {1,. . .,k—1} в булеву
алгебру (см. пример 2 и задачу 2.14 из § 2). Она нерегулярна (зада-
(задача 2.19).
246
11.8. С какой полной системой функций &-значной ло-
логики связано представление функций в виде СДНФ *). ^
Из задачи 11.3 следует, в частности, что совокупность
всех функций от двух переменных является полной системой.
Ясно, что совокупность всех функций от одной переменной
не является полной системой (они образуют функционально
замкнутый класс).
11.4. Показать, что система функций, состоящая из
всех функций от одной переменной и функции х \Jy, являет-
является полной. А
В задаче 11.4 можно брать не все функции от одной пере-
переменной; например, достаточно функций л* F=0, 1,..., k—1),
х и констант. Рассмотрим другой пример. Пусть
euW-\o при хф1.
Тогда еи k_1(x)=xi.
11.5. Показать, что система функций, состоящая из
всех функций etj(x) и функции x\Jу, является полной. А
Оказывается, что здесь можно даже ограничиться одной
функцией от одной переменной лН-1 (сложение всюду про-
проводится по модулю k).
11.6. Показать, что система функций {x\Jy, x+l} полна
(и даже является базисом). А
Исходя из задачи 11.6, легко построить аналог функции
Шеффера для й-значной логики (функцию Шеффера —
Вебба):
xVy+1.
11.7. Доказать, что система, состоящая из одной функ-
функции х\/у+1, является полной. А
В &-значной логике можно также рассмотреть вопрос
о представимости функций полиномами**) (аналогполино-
*) Мы ие приводим здесь определений суперпозиции, полной сис-
системы и базиса в й-значной логике, так как они ие отличаются от со-
соответствующих определений при k=2.
**) Имеет смысл рассматривать лишь полиномы с целочисленными
коэффициентами.
247
мов Жегалкина). При этом оказывается, что такое пред-
представление возможно лишь для простых k.
11.8. Показать, что всякую функцию &-значной логики
можно представить полиномом по модулю k, если k — про-
простое число.
11.9. Показать, что в й-значной логике для составного k
имеются функции, не представимые полиномами по мо-
модулю k. ^
Посмотрим, к какому виду можно привести полином,
представляющий функцию &-значной логики (k — простое
число). Во-первых, ясно, что можно считать коэффициенты
заключенными между 0 и k—1 (они являются целыми чис-
числами); во-вторых, в силу известной из теории сравнений
малой теоремы Ферма [2]
поэтому можно сказать, что все переменные входят в сте-
степенях, не превосходящих k—1.
11.10. Показать, что представление функций &-значной
логики (k — простое число) в виде полиномов, обладающих
двумя перечисленными свойствами, единственно. А
11.11. С какой полной системой связано представление
функций полиномами в й-значной логике (k —¦ простое
число)? А. *
Мы дадим ниже обзор результатов о предполных классах
в й-значной логике, а пока докажем существование конечного
числа предполных классов и укажем алгоритм построения
конечного числа классов, среди которых содержатся пред-
полные (теорема А. В. Кузнецова). Впрочем, уже при
&=3, 4 этот алгоритм требует огромных выкладок, не по-
позволяющих получить явное перечисление предполных
классов.
Начнем с совсем простого замечания.
11.12. Доказать, что всякий базис в й-значной логике
конечен. ^
Перейдем к описанию алгоритма для построения пред-
предполных классов в &-значной логике.
248
Определение 11.2 Пусть Ф — некоторая сово-
совокупность функций, зависящих от одних и тех же перемен-
переменных: (pj(xi, . . ., хг), . . ., <pm(xb . . ., хг), . . . Будем гово-
говорить, что некоторая функция f(yu . . ., уп) сохраняет
множество Ф, если после замещения всех ее аргументов
функциями из Ф получается функция, также принадле-
принадлежащая Ф.
Рассмотрим все подмножества множества функций от
двух переменных х и у, содержащих функции х и у и не
совпадающие с множеством всех функций. Ясно, что имеется
конечное число таких множеств.
Множество Ф указанного вида назовем замкнутым,
если оно содержит все (с точностью до переименования
переменных) функции от двух переменных, которые могут
быть получены из его элементов при помощи суперпозиции
(другими словами, множество Ф совпадает с пересечением
множества функций от переменных х, у и функционально
замкнутого класса, порождаемого Ф).
11.13. Построить алгоритм, позволяющий выяснить во-
вопрос, является ли некоторое множество Ф замкнутым. ^
Пусть Фх, Ф2, . . ., Ф4 — все замкнутые множества функ-
функций от х н у. Для каждого из этих множеств Ф^ обозначим
через Tt совокупность всех функций й-значной логики,
сохраняющих Фг. Ясно, чтоФгс:Т1 (ввиду замкнутости Ф,).
У нас имеется алгоритм, позволяющий выяснить, входит ли
функция f в Tt или нет.
11.14. Доказать, что множества Tt являются функцио-
функционально замкнутыми классами. А
11.15. Показать, что система Ф функций й-значной ло-
логики полна тогда и только тогда, когда Ф не содержится
целиком ни в одном из классов Г,-. А
Класс Tt назовем максимальным, если он не содержится
ни в каком другом из этих классов. Пусть Qu . . ., Qt —
максимальные из классов 71,-.
11.16. Показать, что Qlt .... Q, — это все предполные
классы в fc-значной логике. А
Итак, доказана конечность числа предполных классов и
указан способ их построения. Отметим, что этот способ
не является алгоритмом. Указан алгоритм построения клас-
249
сов Tt (точнее, получения описания этих классов). Но за-
заранее не ясно, имеется ли алгоритм для выбора максималь-
максимальных классов Qj, так как хотя классов Tt конечное число,
сами классы бесконечны и не ясно, имеется ли алгоритм
для выяснения вопроса, содержится ли один из этих клас-
классов в другом (из включения Ф1сФ2 нельзя, вообще говоря,
сделать вывода о взаимоотношении 7\ и Т2). Исходя из
проведенных рассуждений, можно оценить сверху число
предполных классов в &-значной логике. Оно меньше числа
подмножеств множества функций от двух переменных, т. е.
меньше 2кк\ Эта величина очень быстро растет с ростом k.
Приведем перечень предполных классов в 3-значной ло-
логике, найденных С. В. Яблонским [1].
Начнем с аналогов классов Ро и Рх двузначной логики:
1) Ро — функции, сохраняющие 0;
2) Рх — функции, сохраняющие 1;
3) Р2 — функции, сохраняющие 2.
Имеются еще и другие аналоги классов Ро и Рх:
4) Р{р, i} — функции, сохраняющие множество {0, 1},
т. е. на наборах, состоящих из 0 и 1, они принимают зна-
значения 0 или 1;
5) Р{о, г} — функции, сохраняющие множество {0, 2);
6) P{i, 2} — функции, сохраняющие множество {1, 2}.
Поскольку 3 — простое число (см. стр. 248), имеется
7) L — класс линейных функций.
В 3-значной логике имеется несколько классов монотонных
функций (из-за того, что можно различными способами
упорядочивать числа 0, 1, 2):
8) Мх — функции, монотонные относительно порядка
12
9) Ms — функции, монотонные относительно порядка
2<0;
10) М3 — функции, монотонные относительно порядка
01
Остальные упорядочения не приводят к. новым классам.
Аналогично различными способами в 3-значной логике
можно вводить понятие двойственности. Его можно связы-
связывать с любой подстановкой s{x) чисел 0, 1, 2:
ft (*i *„) = S (/ (S (Хг), .-., S (*„))) *).
*) В двузначной логике можно было писать не s~\ a s, так кан
там была подстановка, квадрат которой являлся тождественной под-
подстановкой (х=х), т. е. s~1~s.
250
Однако не все подстановки приводят к предполным само-
самодвойственным классам. В трехзначной логике таковой яв-
является лишь подстановка х-*-х+1 (в &-значной логике
предполных самодвойственных классов больше; их можно
все описать [1]). Итак,
11) Sx+1 — самодвойственные функции относительно под-
подстановки х-*~х+1.
Далее, укажем еще три класса, являющиеся более тон-
тонкими аналогами классов Ро и Pj двузначной логики:
12) P(o,i> — функции, которые для всякого набора
с—{«1, • • •» «п}> состоящего из 0 и 1, на всех наборах р\
не совпадающих с а ни в одном разряде, не принимают
либо значения 0, либо значения 1 (это значение может
зависеть от набора а);
13) класс Р(о 2) получается из Р,о 1( заменой пары @, 1)
на @, 2);
14) аналогично строится класс P(li2).
Теперь укажем классы, которые не имеют аналогов
при k=2 (их точные аналоги совпадают с множеством всех
функций алгебры логики);
15) класс Uo состоит из функций, которые на любой
совокупности наборов, у которых в некоторых фиксирован-
фиксированных разрядах стоят нули, а в остальных их нет, либо не
принимают значения нуль, либо равны нулю на всех этих
наборах;
16) класс Ui связан с 1 так же, как Uo с 0;
17) класс U2 аналогичным образом связан с 2.
И, наконец, еще один класс, не имеющий аналога при k=2
(формально при k=2 приводимое ниже определение дает
класс функций от одной переменной):
18) С — класс, состоящий из всех функций, существенно
зависящих не более чем от одной переменной, и функций,
не принимающих, по крайней мере, одного значения.
Это полный перечень предполных классов трехзначной
логики. В задаче о предполных классах в силу теоремы
А. В. Кузнецова (задача 11.16) можно все свести к перебору,
связанному с функциями от двух переменных. Этот факт
можно еще уточнить. Просматривая перечень предполных
классов в 3-значной логике, можно заметить, что лишь
класс С содержит все функции от одной переменной; более
того, все остальные классы не замкнуты относительно
подстановки функций от одной переменной. Оказывается,
что этот результат имеет место для любого k. Именно, имеет
место теорема Слупецкого (см. [1]), в силу которой система
251
функций, содержащая все функции от одной переменной и
функцию, существенно зависящую более чем от одной пере-
переменной и принимающую все k значений, полна. Отсюда
следует, что в А-значной логике имеется лишь один пред-
полный класс, содержащий все функции от одной перемен-
переменной, Нахождение остальных предполных классов может
бьт проведено, исходя из подмножеств множества функций
от одной переменной. При этом можно улучшить оценку
для числа предполных классов: их меньше, чем 2k". Таким
образом, задачу о нахождении числа предполных клас-
классов можно свести к перебору в множестве функций от
одной переменной (число которых kk сильно растет с
ростом k).
Имеются работы (см., например, [31), в которых выяс-
выясняется, какого запаса функций от одной переменной до-
достаточно в теореме Слупецкого.
До недавнего времени предполные классы в &-значпой
логике были известны лишь при k=2, 3. Имелась даже
гипотеза, что нет описания множества предполных классов
для любого k, существенно более эффективного, чем описа-
описание, данное в теореме Кузнецова. Именно, казалось, что
число типов предполных классов растет с ростом k и даже
описание типов классов невозможно без большого перебора.
В 1965 г. И. Р о з е н б е р г 15] сообщил результат, содер-
содержащий существенно более явное, чем ранее известные,
описание предполных классов в А-значной логике. Оказа-
Оказалось, что имеется шесть типов таких классов, большая
часть которых уже была известна. Это классы самодвой-
самодвойственных функций для различных подстановок, найденные
в 11.1; классы монотонных функций для различных частич-
частичных упорядочений набора {1,2, . . ., к) (все они приводят
к замкнутым классам, но не все к предполным; предполные
монотонные классы найдены в [4]). Мы обсуждали выше
представление функций в &-значной логике для простого k
полиномами по модулю k, в результате чего для простого k
имеется предполный класс линейных функций. Оказывается,
ч го если k — степень простого числа, то существует пред-
представление функций, обобщающее представление функций
полиномами; при этом возникает предполный класс квази-
квазилинейных функций. Другие типы классов обобщают классы
типов Р, U в трехзначной логике; имеются еще некоторые
классы, связанные с классом Слупецкого.
В, [61 сообщается, что доказательство результатов [5]
удается восстановить и исследуются предполные классы
252
при k ^ 8. Найденное число предполных классов Mh, а также
число классов с точностью до эквивалентности Mh (классы
считаются эквивалентными, если один из них получается
из другого при некоторой перестановке чисел {1, 2, ...,?})
указано в приводимой ниже таблице. Для полноты мы
включили в таблицу Nk, Mk при k—2, 3.
к
2
3
4
5
6
7
8
Nh
5
18
80
667
15237
7854724
> 5-Ю11
м,
4
8
16
34
107
> 2000
—
Найдена асимптотика для Nk, Mk при больших k. Оказа-
Оказалось, что
c[ft-l/2]
Nk~b{k)k-2 *-• ;
Mk
k\
где 8(&)=1 для нечетных k, b(k)—2 для четных k. Из этих
результатов следует, что перечисление всех классов требует
большого перебора, хотя его порядок сильно уменьшен.
Кроме того, окончательно выяснена природа всех предпол-
предполных классов.
Мы говорили здесь лишь о предполных классах, ничего
не говоря о всех функционально замкнутых классах. Ока-
Оказывается [7], что при k > 2 имеется континуум функциональ-
функционально замкнутых классов (напомним, что при k=2 их счетное
число). Отметим, что опять-таки число классов, содержащих
все функции от одной переменной, конечно, и они могут
быть эффективно описаны. Тут ситуация несколько напо-
напоминает то, что мы видели при k=2 для расширенной су-
суперпозиции. Там все сильно упрощалось при наличии кон-
констант; при k > 2 констант уже недостаточно. Однако если
имеются все функции от одной переменной, то задача
упрощается.
253
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ § 11
11.1. Ответ. kk". См. задачу 2.2.
11.2. Доказательство полностью аналогично доказательству при
k=2 (см. § 2).
11.4. Воспользоваться задачей 11.3. Рассмотреть функцию от одной
переменной _
х=А—1 —х.
11.5. Показать, что всякая функция от одной переменной выра-
выражается через xVy и etj{x).
11.6. Выразить eij(x) через х\/у и х-\-1. Ясно, что из х+1 можно по-
получить х-\-а для любого а. Вначале выразить х', а затем произвольную
функцию е,-у(х) (напомним, что х\/у=тих (х, у)).
11.8. Можно доказать возможность представления индукцией по
числу переменных. При этом более сложная часть — это рассмотрение
функций от одной переменной (приходится исследовать систему линей-
линейных уравнений, определитель которой является определителем Вандер-
монда). Несколько проще следующий путь.
1. Показать, что всякую функцию ец(х) можно представить поли-
полиномом. При этом удобно воспользоваться теоремой Безу и следующим
известным фактом из теории сравнений: сравнение ах^ЫтоА р), где
р — простое число, разрешимо для любого Ь, если as?Q (mod p).
2. Показать, что для всякой функции справедливо представление
(б1, ..., Ьп)еЪ1,...еЪп1,
где суммирование ведется по всем наборам длины п (сложение и умно-
умножение понимаются в арифметическом смысле).
11.9. Показать, что функция еп(х), где i не взаимно просто с k,
не представима полиномом pt(x). Воспользоваться тем, что если для по-
полинома с целыми коэффициентами P(a)s=0 (mod k), где а — целое число,
то Р(х)= Q(x)(x—а) (mod k), где Q(x) — полином с целыми коэффициен-
коэффициентами (теорема Безу в кольце вычетов по модулю k; для доказательства
нужно разделить Р(х) на х—а и заметить, что остаток делится на k).
Учесть также, что сравнение ш:=1 (mod k) не имеет решений, если наи-
наибольший общий делитель а и k больше 1. Можно рассуждать, следуя
плану решения задачи 11.8.
11.10. Доказывается аналогично доказательству единственности
представления функций алгебры логики полиномами Жегалкина (за-
(задача 4.4).
11.12. Воспользоваться наличием в А-значной логике функции
Шеффера — Вебба.
11.13. Пусть Фт—множество функций от переменных х и у, ко-
которые могут быть получены суперпозицией функций из Ф ие более чем
за т шагов; Фтс:Фп при т<п. Ясно, что замкнутость множества Ф
равносильна тому, что все Фт совпадают с Ф. Показать, что для замкну-
замкнутости Ф необходимо и достаточно, чтобы множества Ф и Фг совпадали.
11.14. Проверяется непосредственно, исходя из определений.
11.15. Пусть Я(Ф) —функционально замкнутый класс, порожден-
порожденный Ф. Показать, что #(Ф) содержит все функции от переменных х и у.
11.16. Ясно, что в формулировке задачи 11.15 можно заменить
классы Т: на Q,-. Дальнейшие рассуждения аналогичны решению задач
6.17 — 6.19.
254
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ К ЗАДАЧАМ § 11
11.1. Число fe-значных наборов длины п равно kn. Число функций
от л переменных равно числу наборов длины k".
11.2. Подставим в функции, стоящие с обеих сторон, набор с=
=(alt . . ., оп). В fe-значной логике конъюнкция, у которой один из чле-
членов равен нулю, равна нулю (см. определение). Поэтому в правой части
может быть отличен от нуля лишь член, отвечающий 6= а, т. е.
а$х%1&. . .&х?". Он, в свою очередь, будет равен aa&(k—l)=aB, т. е.
обязательно aa=f(o), а если коэффициенты имеют такой вид, то наша
форма действительно представляет f(xlt . . ., кп). Единственность можно
установить, заметив, что имеется k различных СДНФ от л переменных.
11.3. Полная система: х&у; хУу; х5 F=0, 1, .... k—1); константы
1 k—2. Нужно лишь заметить, что из конъюнкции двух пере-
переменных можно получить конъюнкцию любого числа переменных (и
аналогично для дизъюнкции). Особо отметим необходимость констант,
чего не было при k=2, так как там можно было в СДНФ опустить коэф-
коэффициенты, перейдя к дизъюнкции по наборам, на которых /F)=1.
11.4. В силу задачи 11.3 достаточно показать, что функция х&у
выражается через xvy и функции от одной переменной. Как и при k=2,
имеем:
х&у = х\/у,
что непосредственно следует из определения этих функций в fe-значной
логике.
11.Б. Пусть f(x) — функция от одной переменной. Имеем:
/(*)= V «//!/>(*)¦
0</<fc-l
11.6. Имеем:
*''=1+ V (х+а).
<
афк-t+i
Действительно, \J (х+а)=тах (х+а) будет равна k—1 при хф1 и правая
часть равна в этом случае 0 (по модулю k). При x—i имеем \/{х+а)=
—k—2 и правая часть равна k—1.
Далее,
= [*'¦ v (k—j—i)]+j+l.
Действительно, функция x'V(k—/—1) равна k—1 при х=1 и равна
k—/—1 в остальных случаях.
Наконец, ясно, что ни одна из этих функций не образует полной
системы, так как х+\ — функция от одной переменной, а функция хУу
сохраняет нуль (эти свойства, как легко заметить, являются наследст-
наследственными и в fe-значной логике).
11.7. Имеем x+l=xyx+\; xVy={xVy+l)+(k— 1).
11.8. 1. Попытаемся найти полином ri(x) степени р, представляю-
представляющий eit(x), т. е. совпадающий (по модулю р) с еа(х) при х=0, 1 р—
—1. Для того чтобы /-,-(/)згО (mod р) при \ф{ @ «S / < р—1), достаточно,
чтобы все целые числа / являлись корнями г^х). В этом случае нам из-
известно р—1 корней полинома /¦$(*); все они вещественны, значит, и "р-й
корень а должен быть веществен. Пусть
г,-(*) = (*—а)х(х— 1) (х—/) ... (х—р+\) ЦФ1).
255
Тогда а — обязательно целое число, иначе коэффициент полинома
ri(x) при хР~х не был бы целым. Осталось учесть, что r;(i') 1 (по
модулю р). Мы получим сравнение
a,- (t-—а) з= 1 (mod р),
где а,= IT (t — j). Поскольку а^О (mod p), то это сравнение можно
Mi
решить относительно t—а и найти а.
2. Возможность представления всякой функции в форме, приведен-
приведенной в указаниях к решению задачи, доказывается аналогично предста-
представимости в СДНФ. Действительно, произведение е§л(х^ ... eg !(xn)
равно 1 на наборе (Ьъ . . ., 6„) и нулю на остальных наборах. п
Представимость любой функции в виде полинома следует теперь из
представимости еп(х).
11.9. Пусть ri(x) — полином, совпадающий по модулю k с ец(х).
Тогда в силу замечания, имеющегося в указании,
М*) =*«/(*) *(*—!) ••• (*—i+l)(*—i—1) ...
... (x—k+l) + p(x) (mod k),
где коэффициенты р(х) кратны k, a q^x) имеет целые коэффициенты (до-
(доказывается индукцией по номерам коэффициентов, начиная со стар-
старшего). Имеем:
П О") = = Щ (О Щ (mod k), a{ = Д (i — j),
т. е. qi(i) должно удовлетворять сравнению а^г(«')=1 (mod k). Если / не
будет взаимно просто с к, то этим свойством обладает также at и указан-
указанное сравнение не может иметь решений.
11.10. Каждому одночлену от п переменных можно поставить в
соответствие набор показателей, в которых все переменные входят в
одночлен (переменным, которые не входят в него, ставятся в соответ-
соответствие нули). В результате получится взаимно однозначное соответствие
между одночленами и fe-значными наборами длины п (показатели не
превосходят k—1). Тогда полиному ставится в соответствие fe-значный
набор (длины ft") его коэффициентов (они также не превосходят k—1).
Число различных полиномов равной , т. е. этих полиномов столько же,
сколько всех функций в fe-значной логике. Отсюда следует единствен-
единственность представления.
11.11. Арифметическое сложение х-\-у, арифметическое умножение
ху, константы. Операции рассматриваются по модулю k.
11.12. Пусть имеется некоторый базис. Выразим через него функ-
функцию Шеффера — Вебба х\у-\г 1- В этой суперпозиции участвует конеч-
конечное число элементов базиса; с другой стороны, совокупность этих эле-
элементов должна совпадать со всем базисом, так как она является полной
системой в силу полноты {хуу-{-\}.
Замечание. Фактически из проведенного рассуждения сле-
следует, что если в некотором функционально замкнутом классе имеется
конечная полная система, то любой базис в нем конечен.
11.13. Докажем индукцией по т, что если ФХ=Ф, то Фт—-Ф при
всех т. Пусть Фга_г=Ф и пусть некоторая функция f получается из
функций, входящих в Ф, не более чем за т шагов. На последнем шаге
этой суперпозиции в функцию из Ф подставляются функции из Фт_1,
256
т. е. из Ф (Фт-1=Ф)- Но тогда функция может быть получена за один
шаг из функций Ф, т. е. /?ФЬ а значит, /?Ф.
Итак, для выяснения вопроса о замкнутости множества нужно по-
построить Ф: (построение этого множества проводится в конечное число
шагов: нужно перебрать все одношаговые суперпозиции) и сравнить
Ф! с Ф (оба эти множества конечны).
11.15. Пусть N — совокупность всех функций от к и у, входящих в
R(O). Ясно, что функции из ^(Ф) сохраняют N. Если бы множество N
не совпадало с множеством всех функций от х, у, то оно было бы замкну-
замкнутым и должно было бы совпадать с одним из множеств Фг. Тогда R(<$>)c
C.Ti, чего не может быть, так как /?(Ф) не содержится ни в одном из
классов Tt.
Для доказательства необходимости заметим, что пересечение Т-
с совокупностью функций от х и у совпадает с Ф г, так как Ф4 замкнуто и
содержит хну. Значит, Г; не может совпадать с совокупностью Pft
всех функций.
11.16. Достаточно показать, что каждый функционально замкнутый
класс содержится в одном из классов Q/. Но это действительно так,
поскольку класс, не содержащийся ни в каком из классов Q/, является
полной системой, а потому совпадает с совокупностью всех функций
fe-значной логики.
§ 12. ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ
1. Понятие предиката. При изучении логических опера-
операций высказывания рассматриваются при одной Фиксиро-
Фиксированной ситуации, после фиксации ситуации все высказы-
вания делятся на истинные и ложные (в этой ситуации),
и мы имеем дело с дв> хэлементной булевой алгеброй @, 1}
(как мы говорили в § 2, фиксация ситуации порождает
гомоморфизм булевой алгебры высказываний в алгебру
{U, I), см. решение задачи 2.23). B^^iorn^K^jjj^^ji-
катов и селе р т с я зависимость выска-
з : •:¦! и ситуадил. При этом Фиксируется
уже не одна-единственная ситуация, а некоторое множество
допустимых ситуаций. В каждой ситуации мы по-прежнему
интересуемся лишь истинностью или ложностью высказы-
высказывания. Высказывание как функция на некотором фиксиро-
ванном множестве допустимых ситуации называется преди-
предикатом на этом множестве (точнее: каждой ситуации ста-
вится в соот- . шания
в этой ситуации). Область определения предиката_^?|нож/-
ство ситуаций), вообще говоря, неоднозначно определяется
видом высказывания и всегщ^лдщщ^ оговариваться.
Приведем примеры предикатов: «х — простое число» (он
естественно определен на множестве натуральных чисел),
«этот ученик учится на отлично» (здесь можно по-разному
фиксировать множество учеников, например, выбрать неко-
некоторый конкретный класс), «прямая а проходит через точку А»
(зДесь в качестве множества ситуаций возьмем множество
всевозможных пар {а, А}, где а — прямая, а А — точка
на евклидовой плоскости). В последнем примере предикат
удобно считать не функцией от одной переменной, прини-
] ающей значения из множества пар {а, А), а функцией
от двух переменных, одна из которых (а) принимает значе-
значения в множестве прямых на евклидовой плоскости, а другая
238
(А) — в множестве точек. С учетом этого обстоятельства
мы и дадим определение.
Определение 12.1. Пусть^^Ж, Шп) —
конечный набор множеств. Всякое^оответствш А(хи...,хп),
относящее^ каждому набору из п Цементов. (аи . . ., ап),
где й! 6!i)fi, a» 6^!i • • •. ап 6^in. какой-либо из элементов
булевоц алгебры {0.J}, называется п-местным предикатом
на Ш. Множество ЭЛг называется предметной областью
(или множеством ситуаций) для переменной xt. Перемен-
Переменные хи . . ., хп называются предметными переменными
или субъектами. Некоторые из множеств Шг могут сов-
совпадать.
предщц! A(xlt . . ., хп) на Ш=
{Л • • •¦ шать как одноместный
предикат на множестве наборов (а1у . . ., ап) {at 6'IU,-). Это
множество называется прямым произведением множеств
SDti, . . ., sA)J:n; оно обозначается через 'JJdx. . . хШп.
Заметим, что если Шг, Ш2 — множества точек прямой,
то ЭЛхХЭЛг можно интерпретировать как множество точек
плоскости.
12.1. Сколько имеется различных ^-местных предикатов
на множестве из п элементов? ^
Константы 0, 1 будем называть нульместными преди-
предикатами *).
Приведем несколько примеров.
1. «Прямая Р проходит через точки А и В» — трех-
трехместный предикат, у которого предметными областями двух
переменных (А и В) являются множества точек, а третьей
Р — множество прямых.
2. «Если х, у и г — натуральные числа, причем х де-
делится на у, а у делится на г, то х делится на г» — трех-
трехместный предикат, у которого все предметные области —
натуральные ряды чисел; на языке § 1 это абсолютно истин-
истинное высказывание; теперь же мы можем сказать, что
предикат тождественно равен единице.
3. «Если тетрадь лежит в папке, а папка в портфеле, то
тетрадь лежит в портфеле» — также трехместный тождест-
тождественно истинный предикат.
*) Их содержательная интерпретация — высказывания с фикси-
роранной ситуацией.
V* 259
4. «Мальчик держит в руке этот карандаш» — можно
считать, что это двухместный предикат: одна предметная
область — мальчики, другая — карандаши.
Если имеется некоторый многоместный предикат, то,
фиксируя значения некоторых его переменных, мы получим
предикат от меньшего числа переменных. Так, зафиксировав
прямую Р в примере 1, мы получим двухместный предикат;
рассматривая определенный карандаш в примере 4, мы
получим одноместный предикат.
Иногда рассматриваются лишь предикаты с общей пред-
предметной областью для всех переменных. Общий случай мо-
может быть сведен к этому, если рассмотреть объединение
предметных областей для всех переменных.
Для некоторых предикатов используются специальные
обозначения. Например, х=у для натуральных чисел
х, у — это двухместный предикат А(х, у) на множестве
натуральных чисел *), равный 1, если х и у совпадают.
Другие примеры: х>у— двухместный предикат на мно-
множестве натуральных чисел, AB\^CD — двухместный пре-
предикат на множестве прямых.
2. Кванторы. Формулы логики предикатов. Поскольку
предикаты принимают значения из {0, 1}, над ними можно
производить все логические операции. Но имеются еще и
специфические операции логики предикатов, которые отно-
относятся уже не к одной фиксированной ситуации, а ко всему
множеству ситуаций.
Пусть А(х) — одноместный предикат. Рассмотрим кон-
константы (нульместные предикаты):
lt если ^м^1 для всех хеш,
0 в противном случае;
Д(х\ _ / 1» есЛИ Л(л:)=1 ХОТЯ бы ДЛЯ ОДНОГО Х^Ш,
(' ' ~ | 0 в противном случае.
В первом случае мы говорим, что предметная переменная х
связана в предикате А(х) квантором всеобщности, во втором
случае — квантором существования. Квантору всеобщности
соответствует «связывание» субъекта словами для всех
(для всякого х имеет место Л (л:)); квантору существования —
словами существует (существует х, для которого имеет
место А(х)).
*) Это означает, что предметные области для обеих переменных —
множества натуральных чисел.
260
Применение кванторов превращает одноместные преди-
предикаты в константы. Если у нас имеется какой-либо /г-местный
предикат А(х1г . . ., xh), то можно применять кванторы
по какой-либо переменной (для всякого набора значений
остальных переменных):
V^i A (х1г х2, ..., х^у, Эл^Л (.-К-!» -^2' • • ¦ > %k)'
В результате в обоих случаях получается (к—1)-местный
предикат от (х2, . . ., xk). Мы будем говорить, что хг в этих
формулах является связанной переменной.
Теперь мы перечислили все операции логики предика-
предикатов. Строгое определение формулы логики предикатов дается
по индукции, при этом одновременно определяется понятие
свободных и связанных переменных:
1) Все отдельно взятые предикаты, в которых все места
замещены предметными переменными или предметными
постоянными из соответствующих предметных областей,
являются формулами. (Логическая константа считается
«нульместным предикатом».) При этом все входящие в пре-
предикат предметные переменные считаются свободными, свя-
связанных переменных нет.
2) Если 21 — формула логики предикатов, содержащая
свободную переменную х, то \/х$1 и ЭШ — также форму-
формулы, в которых х — связанная переменная, а все остальные
переменные — те же и того же характера *), что и в §(.
3) Если 91 — формула, то ?( — формула, все перемен-
переменные которой те же и того же характера, что и у 31. Если
§1 и 23 — формулы, причем нет такой переменной, которая
в одну из них входит свободно, а в другую связанно, то
§Ш, ?[\/^> =Я->-ЭЗ, 9L-—-S3 — формулы, причем в них входят
все переменные из формул St, SB и вхождение имеет тот же
характер.
4) Каждая формула получается за конечное число шагов
из элементарных (п. 1) при помощи операций из правил 2)
и 3).
Каждая формула §1 представляет предикат Щхи..., хп)
от своих свободных переменных (строго говоря, это утвер-
утверждение нужно доказывать по индукции); этот предикат
не зависит от связанных переменных. Заметим, что если
*) То есть онп будутсвободными, если были свободны в 91, и свя-
связанными, если были связаны в 31.
261
правило 2) применяется несколько раз подряд, то формула
начинается с некоторого числа кванторов, первым из них
применяется тот, который стоит справа.
Легко установить по индукции, что предикат, представ-
представляемый некоторой формулой ?(, не изменится, если пере-
переобозначить какую-либо связанную переменную любой дру-
другой буквой, не используемой для обозначений свободных
переменных. Из этого простого замечания следует два
важных факта. Во-первых, ограничение в 3) определения
на формулы, соединяемые знаком логической операции,
не приводит к ограничению на класс представимых преди-
предикатов (можно предварительно переобозначить связанные
переменные). Во-вторых, можно так переобозначить свя-
связанные переменные, чтобы все кванторы применялись
к переменным, обозначенным различными буквами. Будем
предполагать в дальнейшем, что формулы имеют такой вид.
Тогда нет необходимости выделять скобками часть формулы,
на которую действует квантор.
В вопросе о равносильности формул логики предикатов
имеются два аспекта. Во-первых, пусть фиксированы пред-
предметные области 9.tt={9Jti, . . ., Шп] для всех входящих
в формулы §1 и 33 свободных переменных, а также предмет-
предметные константы в 81 и S3. Формулы §( и ИЗ называются
равносильными на системе областей Ш, если представляемые
ими предикаты Щх1г . ., xk), Щуг, . ., ут) равны при
любых замещениях входящих в них предикатов (это заме-
замещение должно быть корректным, т. е. должно учитываться
число мест у предикатов и предикаты, обозначенные одина-
одинаковыми буквами, должны замещаться одинаковыми преди-
предикатами). Предикаты А и В называются равными, если
их значения совпадают при всех значениях входящих
в них переменных (если наборы переменных у Л и Б не со-
совпадают, то можно считать, что от некоторых переменных
А и В зависят несущественно).
Формулы §1 и 23, не содержащие символов индивидуаль-
индивидуальных предметов, называются абсолютно равносильными
если они равносильны на любых наборах предметных
областей.
Иногда на Ш заранее фиксируется некоторое число пре-
дикагов, называемых индивидуальными; совокупность инди-
индивидуальных предикатов называется сигнатурой. При рас-
рассмотрении вопроса о равносильности формул, содержащих
индивидуальные предикаты, последние нужно замещать
соответствующими фиксированными предикатами.
262
Проиллюстрируем разницу между двумя определениями
равносильности на простейшем примере.
12.2. Показать, что формула Л(х)\/А(у) равносильна 1
на любой области Ш (точнее — на 331x931), состоящей
из одного элемента, но не абсолютно равносильна 1. ^
3. Примеры предикатов. Для того чтобы привыкнуть
к языку логики предикатов, рассмотрим несколько упраж-
упражнений.
12.3. Ввести одноместные предикаты на соответствую-
соответствующих областях и записать при их помощи следующие выска-
высказывания в виде формул логики предикатов:
а) всякое натуральное число, делящееся на 12, делится
на 2, 4 и 6;
б) жители Швейцарии обязательно владеют или фран-
французским, или итальянским, или немецким языком;
в) функция, непрерывная на отрезке [0, 1], сохраняет
знак или принимает нулевое значение. ^
Задание в задаче 12.3 несколько неопределенно (по-
(поскольку всякий предикат можно считать одноместным).
Имеется в виду задача о нахождении по возможности более
элементарных одноместных предикатов так, чтобы получи-
получилась по возможности более содержательная формула (мы
не будем уточнять смысл этих требований).
12.4. В следующих примерах сделать то же самое, не
обязательно ограничиваясь одноместными предикатами:
а) если а — корень полинома от одной переменной
с вещественными коэффициентами, то а — также корень
этого полинома;
б) между любыми двумя различными точками на прямой
лежит, по крайней мере, одна точка, с ними не совпадаю-
совпадающая;
в) через две различные точки проходит единственная
прямая;
г) каждый студент выполнил, по крайней мере, одну
лабораторную работу;
д) если произведение натуральных чисел делится на
простое число, то на него делится, по крайней мере, один
из сомножителей;
е) через три точки, не лежащие на одной прямой, про-
проходит единственная плоскость. ^
263
4. Предикаты на конечных областях; логика одноместных
предикатов. Укажем некоторые свойства формул логики
предикатов, относящихся к фиксированному множеству.
Для простоты будем считать, что фиксированное множество
Ш является предметной областью для всех предметных
переменных.
Пусть вначале область Ш конечна, аи а2, . . ., ап — ее
элементы. Тогда оказывается, что на Ш каждая формула
равносильна формуле, не содержащей кванторов. Этот факт
следует из двух непосредственно проверяемых равносиль-
ностей:
VxA (х) = A («J & ... &Л (о„);
Э*Л(х) = Л(Й1) V ... V А(ап).
При помощи этих соотношений доказательство проводится
по индукции. В случае бесконечного поля кванторы можно
рассматривать как аналоги конъюнкции или дизъюнкции
для бесконечного числа членов *) (значений предиката для
всех элементов поля). Эту аналогию полезно иметь в виду
при установлении различных свойств кванторов.
12.5. Пусть 21 — формула логики предикатов на фик-
фиксированной области Ш (любой мощности), содержащая
только индивидуальные одноместные предикаты; доказать,
что тогда существует формула Й, равносильная §1, содер-
содержащая те же предикаты и не содержащая кванторов. ^
Результат задачи 12.5 позволяет сделать важные выводы
об ограниченности языка логики одноместных предикатов.
12.6. Доказать, что на конечной области всякий инди-
индивидуальный предикат может быть представлен формулой,
содержащей только одноместные предикаты. ^
12.7. Доказать, что существуют индивидуальные пре-
предикаты, не представимые на той же предметной области, что
и исходный предикат, формулой, содержащей только одно-
одноместные предикаты. Найти необходимые и достаточные
условия такой представимости. ^
Отметим, что требование не выходить за рамки исходной области
существенно, так как (см. определение 12.1) всякий я-местный предикат
всегда можно рассматривать как одноместный предикат, переходя к
прямому произведению областей.
*) Иногда для обозначения квантора всеобщности используется
символ /\х, а квантора существования — символ V* (СР- примечание
на стр. 15).
264
5. Свойства кванторов. Начнем с распределительных
свойств кванторов.
12.8. Доказать равносильности (абсолютные):
ух (А (х) & В (х)) = \fxA (х) & УуВ (у);
Эх (А (х) V В (х)) = Эх А (х) УЗу В (у). А
12.9. Показать, что дистрибутивные законы для кванто-
квантора всеобщности относительно дизъюнкции и квантора су-
существования относительно конъюнкции, вообще говоря,
не имеют места, т. е. что формулы
\fx {А (х) V В (х)) и ухА (x) WjfB (у);
Эх(А(х)&В(х)) и Эх А (х) & ЭуВ (у)
не абсолютно равносильны. ^
Стоит посмотреть, во что переходят дистрибутивные за-
законы для конечных областей при переходе к бескванторным
формулам. Законы из задачи 12.8 следуют тогда из комму-
коммутативности и ассоциативности конъюнкции и дизъюнкции
соответственно. Равносильности в задаче 12.9 не имеют
места, так как конъюнкцию и дизъюнкцию, вообще говоря,
нельзя переставлять.
В дальнейшем будет существенно, что равносильности,
о которых идет речь в задаче 12.9, имеют место, если какой-
либо из предикатов А и В не зависит от х.
12.10. Доказать абсолютные равносильности:
ух (А (х) V В) = ух А {х) V В;
ЭХ {А (х) & В) = Эх А (х) &В,
где В не зависит от х (х не является свободной переменной
предиката В). ^
Далее, рассмотрим вопрос о коммутативности кванторов.
12.11. Доказать, что одноименные кванторы можно
переставлять, т. е.
уху у А (х, у) = ууухА(х, у);
ЭхЭуА(х, у) = ЭуЭхА(х, у), д
12.12. Показать, что разноименные кванторы, вообще
говоря, переставлять нельзя. ^
265
Отметим, что в случае конечной области коммутатив-
коммутативность одноименных кванторов следует из коммутативности
дизъюнкции и конъюнкции.
12.13. Выяснить геометрический смысл высказываний
уА, у) и \fy^xA(x, у) в том случае, когда предмет-
предметная область — множество точек прямой. ^
По аналогии с двойственностью конъюнкции и дизъ-
дизъюнкции имеет место двойственность между кванторами.
12.14. Доказать,- что
ух А (х) = э-г А (х);
Равносильности задачи 12.14 стоит сопоставить с зако-
законами де Моргана B.8), B.9). Эти равносильности и закон
двойственности в алгебре логики позволяют преобразовать
любую формулу логики предикатов в равносильную фор-
формулу, в которой символ отрицания стоит только над эле-
элементарными предикатами. Строгое доказательство возмож-
возможности такого приведения проводится индукцией по построе-
построению формулы (предоставляем читателю провести его).
Получающуюся в результате формулу будем называть почти
нормальной формой исходной формулы.
Теперь мы можем на языке логики предикатов выразить
то пожелание, которое обычно делается при построении
определений отрицательных понятий. Оно состоит в том,
что всякое определение, записанное
в виде формулы логики предикатов,
должно находиться в почти нормаль-
нормальной форме. В этой книге мы неоднократно стремились
соблюсти это требование при построении определений
отрицательных понятий (см. задачи 1.10, 3.6, 5.1 и т.д.).
12.15. Привести к почти нормальной форме следующие
формулы:
a)
б) Эх(УуР(х, у, г) -+ 3uQ(x, и)) & VtW(A (/) \/B(v)). A
12.16. Решить задачи 3.6 и 5.1, используя символику
логики предикатов. А
266
12.17. Дать определение последовательности, не имею-
имеющей конечного предела. А
Формулы, находящиеся в почти нормальной форме,
можно подвергнуть дальнейшему преобразованию. Именно,
поскольку мы договорились обозначать все связанные пере-
переменные различными буквами, мы можем в силу задач 12.8
и 12.10 вынести кванторы так, что формула примет вид
бескванторной формулы, к которой последовательно при-
применяются кванторы. Получившуюся в результате формулу
мы будем называть нормальной формой исходной формулы *).
12.18. Привести к нормальной форме формулы из за-
задачи 12.15.
Обычно не требуется, чтобы определение имело вид
формулы в нормальной форме (однако, как правило, тре-
требуют, чтобы оно имело почти нормальную форму).
6. Примеры утверждений, записанных в виде формул
логики предикатов. Сделаем несколько замечаний о записи
утверждений и определений в виде формул. Во-первых,
нужно очень внимательно следить, чтобы в полученной
формуле не было лишних свободных переменных (свобод-
(свободными должны быть лишь те предметные переменные, про
которые делается утверждение!).
Во-вторых, часто нужно брать кванторы не по всей
предметной области Ш, а по некоторой ее подобласти Ш'
(например, не по всем вещественным числам, а лишь по
положительным; не по всем прямым, а по прямым, проходя-
проходящим через данную точку). Это так называемые ограниченные
кванторы: уш.х, В,Л,х; первый из них заменяет слова «для
всех х, принадлежащих Ш'», второй — «существует эле-
элемент х, принадлежащий Ш'». Однако ограниченные кванто-
кванторы могут быть выражены через обычные. В связи с этим
мы не будем в дальнейшем прибегать к символам ограни-
ограниченных кванторов.
12.19. Выразить ограниченные кванторы при помощи
форм} 1, содержащих лишь кванторы по всей предметной
обгасти. ^
*) За... им, что почти нормальная и нормальная ферма не един-
единственны.
2 7
Сделаем еще несколько упражнений на запись опреде-
определений в виде формул логики предикатов и построение отри-
отрицаний этих формул.
12.20 *). Записать в виде формул логики предикатов
определения:
а) функции f(x), непрерывной на @, 1);
б) функции /"(а), разрывной на @, 1);
в) функции, равномерно непрерывной на @, 1);
г) функции, непрерывной, но не равномерно непрерыв-
непрерывной на @, 1);
д) последовательности функций fn(x), сходящейся на
(О, 1);
е) последовательности функций fn(x), равномерно схо-
сходящейся на @, 1);
ж) последовательности функций fn(x), сходящейся на
(О, 1), но не сходящейся равномерно. А
7. Кванторы по предикатным переменным. Отметим
простейшие ситуации, когда естественно прибегать к кван-
кванторам по предикатам. Это иногда бывает удобно, если надо
охарактеризовать какой-либо индивидуальный предикат.
Так, предикат тождественного равенства х=у однозначно
задается требованиями:
ух(х=х);
(х=у -> (А (х) -»- А (у))).
12.21. Показать, что на всякой предметной области Ш
единственный предикат х=у, удовлетворяющий двум пере-
перечисленным условиям,— это предикат тождественного ра-
равенства. ^
Другая возможность — это характеризовать при помощи
формул с кванторами по предикатным переменным какое-
либо множество предметных областей. Приведем простей-
простейший пример.
12.22. Показать, что высказывание
*) Договоримся, что мы рассматриваем только функции, опре-
определенные на всем интервале @, 1).
268
истинно для областей, состоящих из одного элемента, и
только для них. ^
Вообще формулы, содержащие кванторы как по пред-
предметным, так и по предикатным переменным, используются
для характеристики какого-либо множества предметных
областей с фиксированными индивидуальными предикатами
на них (сигнатурой). Система таких формул называется
системой аксиом, а удовлетворяющие этим аксиомам мно-
множества с индивидуальными предикатами — интерпрета-
интерпретациями системы аксиом.
12.23. Охарактеризовать при помощи аксиом области,
содержащие а) более одного элемента; б) не более двух
элементов; в) два элемента; г) конечные области; д) беско-
бесконечные области. ^
12.24. Показать, что совокупность всех конечных об-
областей (а также всех бесконечных областей) нельзя охарак-
охарактеризовать аксиомами, содержащими только одноместные
предикаты. ^
Приведем в качестве примера систему аксиом, характе-
характеризующую натуральный ряд. Натуральным рядом назы-
называется предметная область Ш, снабженная индивидуальным
предметом 0, индивидуальными предикатами х= у, x<Zy,
для которых удовлетворяются приводимые ниже аксиомы
1) — 6). В аксиомах используются следующие обозначения
для предикатов:
о(х, у) = х<у &
о(х, у) — это предикат «у непосредственно следует за х».
Все переменные — предметные и предикатные,— не свя-
связанные кванторами в следующих формулах, предполагаются
связанными кванторами всеобщности, с которых эти фор-
формулы должны начинаться.
Аксиомы натурального ряда
1) х = х;
2) х = у-
3) х<х;
4) x<y-y
5) Зуа(х, у) & yz(o(x, г) ->- z = #)
6) А@)& (А(х) &о(х,у)^А(у))-+А(г).
2иЭ
Аксиомы 1), 2) определяют предикат тождественного
равенства, и они уже обсуждались; аксиомы 3), 4) означают,
что в Ш предикат х<С у вводит отношение порядка; аксиома
5) — что существует единственный непосредственно следую-
следующий элемент; аксиома 6) — это так называемая аксиома
полной индукции: если некоторое утверждение верно для О
и из его справедливости для х следует справедливость для
непосредственно следующего элемента, то это утверждение
верно для всех элементов "Ш. Можно показать, что все
интерпретации аксиом 1) — 6) в некотором естественном
смысле изоморфны, т. е. натуральный ряд единственен
с точностью до изоморфизма. Подробнее об аксиоматике
натурального ряда можно прочитать в книгах [1] и [2].
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ § 12
12.1. 2"*.
12.2. Эта формула не будет равносильна 1 уже на области из двух
элементов.
12.3. а) Ввести на натуральном ряде предикаты:
А(х) ¦— делиться иа 12 (т. е. А(х)=1 тогда и только тогда, когда х
делится на 12);
В(х) — делиться иа 2;
С{х) — делиться на 4;
D{x) — делиться иа 6.
б) На множестве людей ввести предикаты:
А(х) — жить в Швейцарии;
В(х) — владеть французским языком;
С(х) — владеть итальянским языком;
D{x) — владеть немецким языком.
в) На множестве функций (определенных на данном отрезке)
ввести предикаты:
A(f) — быть непрерывной функцией (на данном отрезке);
B(f) — сохранять знак;
C(f) — обращаться в нуль.
Другая возможность: можно ввести, кроме A(f), предикаты на поле
вещественных чисел: х?[0, 1] — принадлежать отрезку [0, 1]; 50
0
12.4. В тех случаях, когда это возможно, мы будем пользоваться
для элементарных предикатов обычно употребляемыми обозначениями.
Введем следующие предикаты:
а) двухместный предикат /(а)=0, где / принадлежит предметной
области полиномов от одной переменной с вещественными коэффициен-
коэффициентами, а — предметной области комплексных чисел;
б) трехместный предикат А{х, у, г) — точка г лежит между точка-
точками х, у; двухместный предикат х ? / — точка х принадлежит прямой I;
двухместный предикат х— у — точки х и у совпадают;
г) А(х, у) — студент х выполнил лабораторную работу у,
д) Х\У — натуральное число у делится на х;
А(х) — быть простым числом (впрочем, этот предикат можно выра-
выразить через х]у и х = у).
270
12.5. Показать, что результат применения квантора к бесквантор-
бескванторной формуле с индивидуальными одноместными предикатами может
быть записан через те же предикаты в бескванторной форме. Дальнейшее
доказательство проводится по индукции.
12.6. Ввести одноместные предикаты, равные 1 на единственном
элементе.
12.7. Необходимое и достаточное условие представимости: мно-
множество истинности (наборы значений аргументов, при которых предикат
равен 1) является объединением конечного числа прямых произведений
подобластей (подмножеств) исходной области. В частности, двухместный
предикат тождественного равенства (совпадения) х=у на любой беско-
бесконечной области не представим в указанном виде
12.8. Проверяется непосредственно по определению.
12.9. Импликация ух(А(х)\/В(х)) -> \fyA{y)W \/г В(г) может быть
ложной.
12.10. Проверяется непосредственно.
12.11. Истинность высказывания vx vy A(x, у) означает, что пре-
предикат А(х, у) истинен для всех пар (х, у), а истинность 3*3{/ А(х, у)
означает истинность А(х, у) хотя бы для одной пары (х, у).
12.12. Рассмотреть, например, предикат х<у на натуральном ряде.
12.13. Учесть, что множество истинности предиката А(х, у)—
некоторое множество на плоскости (х, у).
12.14. Сформулируем высказывания, истинность которых нужно
установить:
«А(х) имеет место не для всех х тогда и только тогда, когда сущест-
существует х, для которого А(х) не имеет места»;
«Не существует х, для которого А(х) имеет место, тогда и только
тогда, когда А(х) не имеет места для всех л>.
Справедливость этих утверждений очевидна, что, однако, не мешает
довольно часто допускать ошибки при расшифровке отрицаний кван-
кванторов. Часто при отрицании сохраняют тот же квантор («Не все кошки
серы» — «Все кошки не серые»).
12.15. a) Vxvy(P(x)&Qffi); б) Эх Эу (Р (х, у, z)&Q(x, y))&
& Vt3v (A (t) & В (v)).
12.16. Записать определения самодвойственных и монотонных
функций в виде формул логики предикатов и привести отрицания этих
формул к почти нормальной форме.
12.17. Напомним, что число А является пределом последователь-
последовательности аи а2 ап, ... (lim an = A), если для всякого е>0 сущест-
rt-»-Q0
вует такое натуральное N, что \ап—А|<е при ri>N. Записать вначале
в виде формулы логики предикатов высказывание, что последователь-
последовательность {ап} имеет предел.
12.18. б) Эх V{/V/Зы (Р (х, У, г) & Q (х, у) &Л (t) & В (и)).
12.19. vi)VxA(x) = vx (х ? ЗЛ' —+ А (х)) = V* (х $ ЯЛ v А (х));
3wx А(х) = Эх (х?9Л' &А (х)).
Эти равносильности проверяются непосредственно.
12.20. а) Напомним, что Дх) непрерывна в точке х0, если lim f (x)
существует и равен Дх0), т. е. для всякого 8>0 сущсгтвует такое 6>0,
что если 'х—хо|<6, то |/(х)—/(хо)|<е. Функция нег.рерызна на интер-
интервале @, 1), 1\ли от непрерывна в каждой точке интерезда @, 1).
271
б) Построить отрицание предыдущей формулы.
в) Функция равномерно непрерывна на @, 1), если 6> 0, фигури-
фигурирующее в определении непрерывности, можно выбрать по е > 0 одним и
тем же для всех точек интервала.
д) В каждой точкех?(О, 1) сходится последовательность значений
функций.
12.23. Легко построить формулы, содержащие индивидуальный пре-
предикат тождественного равенства, имеющийся в произвольной области.
Попытайтесь также получить формулы, не содержащие индивидуальных
предикатов.
г) Рассмотрите формулу
vA3x3y3zyu (А (х, х) v А (х, у) А (у, г) А (х, z) V А (х, и)).
12.24. Можно считать, что аксиомы содержат только связанные
переменные (предикатные и предметные), т. е. являются высказываниями
для каждой области. Переходя к конъюнкции аксиом, можно считать,
что мы имеем одну аксиому. Показать, что если некоторая формула без
свободных переменных, содержащая лишь одноместные предикаты,
истинна для какой-то области ЯЛ, то она истинна для некоторой конечной
области ЯЛ.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ К ЗАДАЧАМ § 12
12.1. Число одноместных предикатов на некотором множестве ЯЛ
равно числу подмножеств этого множества (каждому предикату ставится
в соответствие множество элементов, на которых он равен 1), т. е. на
множестве из п элементов имеется 2" одноместных предикатов. Далее,
можно воспользоваться тем, что fe-местные предикаты на ЯЛ можно рас-
рассматривать как одноместные предикаты на fe-кратном прямом произве-
произведении множеств ЯЛ, т. е. на области из п* элементов.
12.2. Пусть ЯЛ состоит из элементов a, b и А{а)=0, А(Ь)=\.
12.3. a) vx (А (х) —+В(х)С (х) D (х));
б) vx (А (х) —>- В (х) V С (х) V D (х));
в) УЖ(/) (
Другой вариант:
V/ (A (f) _> ухуу («€[0.1] & уеКМ] —>/ (х) f (y)^0)\/3z (/(г) = 0)).
12.4. a)
б) vxvyVl (x?lky?l &'x=j/—> 32 (г?/ & А(х, у, г)&х=г & у=г));
в) ^
г) vx Эу А (х, у);
д) vxvy vг (г | ху & А (г) —> г\хуг\у).
Имеем А (г) = vx (x\z—>х = г\/х = \).
е)
& y?V &z?V—?U = V))); x, у, г—точки, / — прямые,
U, V—плоскости.
Заметим, что во всех рассмотренных примерах мы имели дело с вы-
высказываниями, а потому в полученных формулах все предметные пере-
переменные связаны.
12.Б. Итак, пусть S8 — бескванторная формула, содержащая ин-
индивидуальные одноместные предикаты Аъ . . ., Ат и предметные пе-
переменные Хх хт. Тогда существует функция алгебры логики (Х
272
A=1, . . ., m, j=\, . . ., п) *)такая, что 33 (*i х„) = ф(Л1 (л^), . . .
..., Ат (*!); ...; Ах (х„), ..., Ат (хп)). Предметные постоянные мы
не учитываем, так как индивидуальные предикаты от них можно за-
заменить логическими константами @ или 1). Мы формально считаем
входящими в 33 все предикаты /4г(ху). Рассмотрим:
58 (*i; A'i2 Хт2; ...; Х1п, ..., Хтп)=.
= Ц>(А1(х1), ..., Ат(х1); А'12> .... Хт2; ...; Х1п, ..., Хтп).
Тогда QxjiS—функция алгебры логики т](Л';.) (j=l, . ., т; ;=
==2, . . ., п) **) и
О*1© (*i *«) = ¦* (Л i (х2), ..., Ат (хг); ...;А1 (хп), ...,Ат (х„)).
Справа стоит бескванторная формула.
Случай нескольких кванторов рассматривается по индукции.
12.6. Предикат определяется множеством истинности (множеством
наборов значений аргументов, при которых предикат равен 1). Удобно
ввести предикаты
б /и = / •• если х = а>
а ' \ 0 в остальных случаях.
Для этого предиката множество истинности состоит из единственного
элемента а. Поскольку предикат 6О (хх) . . . 6„ (*„) равен 1 на единст-
единственном наборе (аг ап), а дизъюнкции предикатов отвечает объеди-
объединение их множеств истинности, то всякий предикат можно получить
дизъюнкцией предикатов вида 6О (хх), . . ., 6Q (xn)-
12.7. Докажем утверждение, сформулированное в указаниях.
Необходимость. В силу задачи 12.5 можно ограничиться
бескванторными формулами. Формула является функцией алгебры ло-
логики от индивидуальных одноместных предикатов. Представим ее в виде
ДНФ. Переходя в случае необходимости к новым одноместным преди-
предикатам, можно считать, что каждый член дизъюнкции является конъюнк-
конъюнкцией одноместных предикатов, зависящих от различных предметных
переменных (новые предикаты являются коньюнкцией предикатов,
входящих в какую-то элементарную конъюнкцию и зависящих при этом
от одной и той же переменной; достаточно рассмотреть все элементар-
элементарные — не обязательно полные — конъюнкции предикатов, входящих
в формулу). Ясно, что множество истинности такой конъюнкции является
прямым произведением множеств истинности входящих в конъюнкцию
предикатов. Всей формуле отвечает объединение этих прямых произве-
произведений.
Для доказательства достаточности заметим, что соответствие между
конъюнкциями одноместных предикатов от различных переменных и
прямыми произведениями подмножеств предметной области взаимно
однозначно. Объединению прямых произведений отвечает дизъюнкция
конъюнкций.
Решение задачи 12.6 по существу состояло в том, что в случае
конечной области мы разбивали множество истинности в объединение
одноэлементных множеств, являющихся, конечно, прямыми произве-
произведениями.
*) Мы обозначаем в этом параграфе логические переменные (при-
(принимающие значения 0, 1) прописными латинскими буквами.
**) Мы используем обозначение Q х в случае, когда для нас не су-
существенно, какой именно квантор стоит в формуле.
273
Множество hcthhhjcth предиката х=у состоит из «диагонали прямо
го произведения» — множества пар (а, а) (например, прямая х- у на
плоскости (х, у)). Единственное разбиение этого множества в объедине-
объединение прямых произведений — разбиение на одноточечные множества.
Поэтому чля бесконечного множества конечного разбиения не суще-
существует.
12.9. Достаточно привести примеры.
1. Пусть А(х) — предикат на натуральном ряде: «быть четным чис-
числом»; В(х) — предикат на натуральном ряде: «быть нечетным числом».
Тогда высказывание vx(A(x)V В(х)) — «всякое натуральное число чет-
четное или нечетное» — истинно. Однако высказывание \/хА(х)V V(/ B(y)—
«всякое натуральное число четно или всякое натуральное число нечет-
нечетно» — ложно (каждый член дизъюнкции ложен).
Аналогично из того, что «все школьники пошли в кино или в театр.»,
не следует, вообще говоря, что «все школьники пошли в кино или все
школьники пошли в театр» (они могли пойти в разные места: некоторые
в кино, а другие — в театр).
Вообще, как легко проверить, всегда истинна импликация
VxA (x) WyB (у) —> V2 (А (г) v В (г)),
однако импликация
ух (А (х) v В (х)) —^ vyA (у) v VzB (г)
может быть ложной.
2. Аналогично рассматривается вопрос о другом дистрибутивном
законе. Из того, что «существует мальчик с голубыми глазами и сущест-
существует мальчик с карими глазами», не следует, конечно, что «существует
мальчик с голубыми и карими глазами одновременно». Таким образсм,
импликация
Эх А (х) &ЭуВ (у) -_> эг (А (г) & В (г))
может быть ложной, в то время как импликация
Вх (А (х) & В (х)) _^ вуА (у) & эгВ (г),
конечно, всегда истинна.
12.12. На натуральном ряде высказывание \/хВу(х>у) (для вся-
всякого натурального числа существует большее) истинно, а высказывание
ВуУх(х<у) ложно, так как не существует наибольшего натурального
числа. Аналогично верно, что «каждую книгу читал какой-либо человек»
(например, автор!), хотя не верно, что «существует человек, который чи-
читал все книги».
Можно проверить истинность импликации
ЭхЧуА (х, у) —+ vylxA (x, у) *),
в то время как обратная импликация может быть ложной.
12.13. 1. Предикат VyA{x, у) равен 1 для тех х0, для которых
вертикальная прямая х=х0 содержится в множестве А(х, у). Высказы-
Высказывание 3yVyA(x, у) истиннг, если множество истинности для А(х, у)
содержит какую-либо вертикальную прямую.
*) 3.-.1-ГИМ, что фраза, отвечающая высказыванию ЗхууА(х, у),
читается так: «Существу зт такой х, что для всякого у имеет место А(х, (/)»,
высказывание же Vy3xA(x, у) читается так: «Для каждого у найдется
такой х, что имеет место А(х, j/)».
274
2. Предикат ЗхЛ(х, у) равен 1 для тех у, которые содержатся в
проекции множества истинности А(х, у) на ось у.
Поэтому высказывание Vf ЗхА{х, у) истинно, если проекция мно-
множества истинности предиката А(х, у) на ось у совпадает со всей осью.
Эти примеры иллюстрируют, что истинность 3xVyA(x, у) влечет
истинность vy3xA(x, у), однако обратное, вообше говоря, неверно (мож-
(можно рассмотреть предикат равенства, которому отвечает прямая х=#).
12.15. a) vxVf (P(x) — Q(y))=\/x\/y(P(x)\/Q(y))=~\/xvy(P(x)&Q(y));
б) 3x(Vy(P(x, у, z)&3uQ(x,u)))&vt3v(A(l)vB(v)) =
= Зх (ЧУ (Р (х, у, г) & vuQ (х, и))) & vt3v (A (/) & В (v)) =
= Зхуу (Р (х, y,z)&Q (х, {/)) & Vi3v (A (t) & В (v)).
На последнем шаге мы воспользовались распределительным свойством
квантора всеобщности (однако это делать не обязательно, так как почти
нормальная форма была уже получена на предыдущем шаге).
12.16. 1) (задача 3.6). Запишем определение самодвойственной функ-
функции. Функция / самодвойственна, если
Квантор берется по множеству двоичных наборов а соответствующей
длины; a—противоположный набор. Тогда /—несамодвойственная
функция, если ук(/(ct) = /(а)), т. е. если за (/ (а) = / (а)) или, что
())
то же, За(/(а) /())
2) (задача 5.1). Определение монотонной функции:
Поэтому / — немонотонная функция, если
(а х Р & / (а) <: / (Р)) = Заэр (а -< р & / (а) > / (Р)).
12.17. Последовательность {оп} имеет конечный предел, если
ЭЛуе(е > 0—*3A:Vn(n > N—*-|о„—А | < е)).
Мы не перечисляем, по каким множествам берутся кванторы. Беря
отрицание и приводя его к почти нормальной форме, получаем: последо-
последовательность {ап} не имеет конечного предела, если
\А Эе (е > 0 & уЛ'эл (п > N & | а„—А | ^ е)),
т. е. последовательность {о,,} не имеет конечного предела, если для вся-
всякого А найдется такое е>0, что для всякого N существует такое n>N,
что \ап—Л|3=е.
12.18. а) Почти нормальная форма уже является нормальной,
б) В уже полученной формуле нужно лишь вынести кванторы:
Зху</(Р(х, у, г) & Q (х, у)) & vtiv (Ajt)& В (v)) =
= Sxvyvtsv (Р (х. у, г) & Q (x, y)&A(l)&B (v)).
12.20. а) vx! (Xi С @. 1) —^ ve (е > 0 -^ зо F > 0 & удгг (| х2 —
-х,|<»-1/ <*,)—/ (*i) I < e)))).
275
В этой формуле единственной свободной предметной переменной яв-
является функция /. Распространенная ошибка состоит в том, что при
записи определения не связывают переменных xlt х2. Вообще, часто бы-
бывает легко упустить какой-либо квантор всеобщности. Заметим, что у
нас все четыре квантора ограниченные.
б) Сразу приводим отрицание предыдущей формулы к почти нор-
нормальной форме, учитывая, чго х—уу=х&у. Получим
3x2(|x2—хг | <6&|/(х2)—
Советуем читателю проследить, как отразился бы пропуск каких-либо
кванторов в определении непрерывности на определении разрывности.
в) Ve(e> 0-
Определение равномерной непрерывности получается из определения
непрерывности перестановкой кванторов. Перестановка одноименных
кванторов ух! иуе, как известно, не меняет смысла высказывания, од-
однако перестановка кванторов V*i и дб уже может его изменить, что и
имеет место в этом случае, как показывают строящиеся в анализе при-
примеры непрерывных, но неравномерно непрерывных функций. Заметим,
что из равномерной непрерывности следует непрерывность, что согла-
согласуется с общим замечанием, сделанным при обсуждении вопроса о пере-
перестановочности кванторов (см. решение задачи 12.12).
г) Нужно взять конъюнкцию определения непрерывности и следую-
следующего высказывания, являющегося отрицанием определения равномер-
равномерной непрерывности:
Зе (е > 0 & уб (б > 0 _* Зх1(х1^@, 1) &3х2 (| х2— xt | < 6& | f (x2)—
-/(*!) |S* В)))).
Д) vx (х ? @, 1)—*эЛ ve(c> 0—»-а#уп(я> W—ЧЛ —
— fn (*) I < E))). или, что то же,
g/vx (х? @, 1) —> ve (е > 0 -+ 3Nyn (n > N—+\f (x)—fn (x) | < е)));
другими словами, утверждается существование предельной функции.
е) ЗА Ve (е > 0 —* jN \/х \n (x g @, 1) & п > N—* \f (x) —
—fn М I < ?))).
т. е. по сравнению со второй формулой из д) в е) переставлены кванторы
ух и зЛ' (перестановка ух и у г не существенна).
ж) Нужно взять конъюнкцию формулы из д) и отрицания формулы
из е), т. е. формулы
V/Зе (е > 0 & УЛ^ЗХЗП (х?@, 1)&п> N&\f (x)—fn (x) | =э е)).
Получающуюся в результате формулу можно несколько упростить-
в силу единственности предельной функции во втором члене конъюнкции
можно удалить квантор VA, распространив квантор з/ на оба члена.
Заметим, что при решении примеров на построение отрицаний фор-
формул удобно иметь в виду, что для ограниченных кванторов сохраняется
соотношение двойственности.
12.21. Пусть на некотором множестве имеется отличный от тож-
тождественного равенства предикат (х=у)', удовлетворяющий двум указан-
указанным условиям. Пусть, далее, а и Ь — два различных элемента, для кото-
которых предикат (а=Ь)' равен 1 (в силу первого условия (а=а)' всегда равен
276
1). Рассматривая предикат А(х) такой, что А(а)= 1, Аф)=0, мы получим,
что высказывание (а=Ь)'—*(А(а)—уА{Ь)) ложно, и мы приходим к проти-
противоречию.
12.22. Справедливость этой формулы для одноэлементных областей
очевидна и уже отмечалась. Если в области содержится два различных
элемента а, Ь, то, рассматривая предикат А(х) такой, что Л(а)=0, А(Ь)=
= 1, мы получаем, что формула ложна (ср. решение задачи 12.2).
12.23. а) ЗхВу(х = у); можно также построить отрицание фор-
формулы из задачи 12.22: Эх Эу ЭЛ (А (х) & А {у)).
б) V-W# vz уЛ (А (х)уА {y)wA (г)).
Ясно, что вообще области, содержащие не более k элементов, характери-
характеризуются формулой
V*! V.vftVf уЛ (A (xj) V ... V A (xk) v А (у)).
Доказательство аналогично решению задачи 12.22.
в) Нужно взять конъюнкцию формул из а) и б):
(А {х) &Л (у) & VzWvvB (В(г) V В (t) v В (и))).
Можно вынести все кванторы. Аналогично можно описать области, со-
содержащие ровно k элементов.
г) Рассмотрим формулу
А {х, х) v А (х, у) А {у, г) А (х, г) v А (х, и)
для предиката А на конечной области ЯЛ. Предположим, что истинны
высказывания vx А (х, х), у/х Ви А (х, и), v* v</ vz (A (x, у)) v
\jA (у, z)\jA (x, z)). Пусть Xj ? Ш; х2—такой элемент ?Ш, что
А (хи х2) = 1 (х2 существует в силу истинности второго из перечис-
перечисленных высказываний); вообще, xr-+i выбирается из условия
А (х,-,хг + 1) = 1. Получаем последовательность х1? ха, ..., .*,-, ... По ин-
индукции показывается, что в силу истинности третьей из перечислен-
перечисленных формул А (х{, ху) = 1 при i < /, откуда в силу первой формулы
все хь ха, ..., Х{, ... различны. Мы пришли к противоречию, так
как область ?Ш конечна. Таким образом, приведенная в указаниях
формула истинна для любых конечных областей.
Пусть теперь ЯЛ—бесконечная область. Разобьем ее элементы на
непустые непересекающиеся множества ЯЛ0, ЯЛ^ ...,ЯЛ„, ... Для
этого можно взять счетное подмножество xlt х2, ...,х„, ... в SDI
(существующее в любом бесконечном множестве) и рассмотреть
Я)},- (t > 0), состоящие из единственного элемента х,-, включив все
остальные элементы ЯЛ в ЯЛ0. Рассмотрим предикат А (х, у), равный 1,
если х ? ЯЛ/, у ? ЯЛ,-, где i < /, и 0 для остальных пар. Для него
будет истинным высказывание
(А (х, х) v А (х, у) А (у, г) А (х, г) v А (х, и)),
а потому формула из указаний к данной задаче ложна.
д) Формула, характеризующая все бесконечные области, полу-
получается отрицанием формулы из г).
12.24. Пусть формула 21 без свободных переменных с одномест-
одноместными предикатами истинна в области ЯЛ, и пусть Ль ..., Ап—пре-
Ап—предикатные переменные, которые в 3( связаны кванторами существова-
существования, Ai, ..., Л" — предикаты на ЯЛ. замещая которыми Аг, .., Ап,
мы получим истинную формулу при любом замещении остальных
277
предикатных переменных. Разобьем 5J1 на непересекающиеся под-
подмножества 9Л,-, включив в одно подмножество все те элементы из 5J1,
на которых каждый из предикатов А", .., An принимает одинако-
одинаковые значения Совокупность этих подмножеств ЯЛ и является конеч-
конечной областью, на которой 31 истинна Достаточно заметить, что
одноместные предикаты А на ?Ш находятся во взаимно однозначном
соответствии с одноместными предикатами А на ЭЛ, постоянными на
всех ?Ш,- (значение А на Ш1/ ? Ш совпадает со значением А на эле-
элементах 5D1,-). В число по.ледних предикатов входят А0/ Мы не будем
приводить подробного рассуждения.
Отсюда следует, что никакой системой аксиом, содержащей лишь
одноместные предикаты, нельзя охарактеризовать совокупность всех
бесконечных областей, а значит, и всех конечных областей, так как
одна аксиоматика получается из другой переходом к дизъюнкции
отрицаний аксиом.
ПРИЛОЖЕНИЕ
1. Основные логические операции.
0
0
1
1
0
1
0
1
t
1
I
0
0
X Si II
0
0
0
1
xVv
0
1
1
1
х — ». у
1
1
0
1
Х~ и
1
0
0
1
2. Основные равносильности в алгебре Jtoi ики.
х=х;
ху = ух;
(ху)г = х{уг);
хх = х;
1х = х;
0Vx=v;
f{xx, ...,*„) = V
(О,, . . ., С„)
/(*1. . х„; {/,, ..., ут) =
= V
(о,. ., <
B.1)
B.2)
B.3)
B.4)
B.5)
B.6)
B.7)
B.8)
B.9)
B.10)
B.11)
B.12)
B.13)
B.14)
B.15)
B.16)
279
f(Xt *„)= _ П_ *?'V...VJ«S»; B.17)
/ (а„ . . ., а„)=0
f(Xl, ...,х„)= Д /(o~ ^„)V<'V...V^; B.18)
(
„ угym)
П f(°i "»: Л tf«)V^'V...VJ«S-; B.19)
. . ., an)
B.20)
B.21)
B.22)
xvxy =xvy; B.23)
B.24)
B.25)
3. Описание функционально замкнутых классов.
Общие соглашения об обозначениях. Если Q —
функционально замкнутый класс, то Qo—класс, состоящий из эле-
элементов класса Q, сохраняющих 0 (Q0 = Qf]Pu)i Qi состоит из эле-
элементов Q, сохраняющих 1; Qol = QoflQi—совокупность элементов Q,
сохраняющих и 0 и 1. Через Qc, Q1, Q01 обозначаются функцио-
функционально замкнутые классы, получаемые из Q расширением соответст-
соответственно при помощи 0, 1 и обеих констант 0, 1. При этом под
расширением понимается наименьший функционально замкнутый
класс, содержащий Q и соответствующие константы, который, вообще
говоря, не будет совпадать с объединением Q и этих констант (на-
(например, как следует из теоремы Поста, Pj = P). Однако в тех не-
немногих случаях, когда мы прибегаем к указанным обозначениям
Q°i Q1, Q01 получаются из Q простым добавлением соответствующих
констант. Наконец, если Q и R—функционально замкнутые классы,
то QR—функционально замкнутый класс, являющийся пересечением
Q и /?. Следуя этим обозначениям, один и тот же класс можно
обозначать различными способами.
Перейдем к описанию классов:
Р — класс всех функций алгебры логики.
Ро — класс всех функций, сохраняющих 0 (/?Р0Ф=>/ @,.. .,0)=
= 0).
Рг — класс всех функций, сохраняющих 1; Рх двойствен Ро.
Р„1 = Р0Р1; этот класс самодвойствен, т. е. переход к двойствен-
двойственной функции не выводит за пределы класса (самодвойственность
класса, разумеется, не означает, что его элементы являются само-
самодвойственными функциями).
М — класс монотонных функций (определение 5.2); этот класс
самодвойствен.
Mi состоит из монотонных функций, сохраняющих 1 (таковы все
монотонные функции, отличные от тождественного нуля), т. е. Mt
получается из М отбрасыванием константы 0.
Класс Мо монотонных функций, сохраняющих 0, получается из
М отбрасыванием константы 1; классы Мо и Mt двойственны друг
другу.
280
Совокупность всех монотонных функций, не являющихся кон-
константами, совпадает с классом М01 всех монотонных функций, со-
сохраняющих 0 и 1; этот класс самодвойствен.
S — класс самодвойственных функций (/?S<J=> / (xlt . ..,xn) =
(i, xn)); этот класс и все его подклассы самодвойственны.
S,,| — класс самодвойственных функций, сохраняющих 0 и 1;
S01 = S0 = S1, т. е. из того, что самодвойственная функция сохра-
сохраняет 0, следует, что она сохраняет 1, и обратно.
SM— класс самодвойственных монотонных функций.
L — класс линейных функций (/?Ьф=>/(хг, ..., хп) =
= Xi + ...+xn + fl); L — самодвойственный класс.
Lo — класс линейных функций, сохраняющих 0, т. е. функций
вида xl + . .. -\-хп.
Lt — класс линейных функций, сохраняющих 1, т.е. функций
вида xt + ... +x2ft-|- I, *i+ ... +x2/t + i- Классы Lo, Lt двойственны.
Класс LS самодвойственных линейных функций совпадает с мно-
множеством функций вида *!+ ... +х2? + 1-|-й.
L01 = L0L1—самодвойственный класс, состоящий из функций
вида x1+-.-+«2ft-ri; LC1 = LSO = LS1.
Класс О функций от одной переменной состоит из функций О,
1, X, X.
Множество {0, 1, л:} совпадает одновременно с классом ОМ мо-
монотонных функций от одной переменной и классом ML монотонных
линейных функций; эго самодвойственный класс.
Класс из двух функций {х, л:} *) можно описать как совокуп-
совокупность самодвойственных функции от одной переменной.
Пары функций {0, х\, {\, х) *) являются классами функций от
одной переменной, сохраняющими соответственно 0, 1 (О0, Oi).
Они двойственны друг другу.
Класс D (соответственно К) состоит из дизъюнкций хг\/ .. .\jх^,
k^l (соответственно конъюнкций хх ... х^. k^\). Классы D°, D1,
D01, К0, К1, К01 получаются из классов D, К добавлением соответ-
соответствующих констант. Классам D, D°, D1. D01 двойственны соответст-
соответственно классы К, К1, К0, К01.
Самодвойственный класс {х} *) совпадает с KD = OS0 = OS1 = О01.
Функция f принадлежит классу Flft) (G(ft)), k :>= 2, если любые
k наборов, на которых f равна 0 (соответственно 1), имеют общий
нуль (соответственно единицу) в некотором разряде.
Функции /, у которых все наборы, на которых / равна 0 (соот-
(соответственно 1), имеют общий нуль (соответственно единицу), образуют
F(oo) (соответственно G(oo>).
Монотонные функции из F(fc), fees со (соответственно из Gl">,
к<оо) составляют класс MF(ft» (MG<*>); функции из F<ft> (Gtft>), со-
сохраняющие 0 A), образуют класс Foft) (Gift)). Классам F'fc> MF(ft>, F|,ft)
двойственны соответственно классы G(ft), MG'*', Gj ', 2<fe<oo.
Кроме перечисленных имеются еще три класса, состоящие из
констант: {0, 1}, {0}, {1}.
В задачах, связанных с расширенной суперпозицией, следует
иметь в виду, что лишь семь классов содержат обе константы: Р,
L, М, О, D01, К01, ОМ.
*) С точностью до переобозначения переменных.
ЛИТЕРАТУРА
§ 1*)-
|1] Дж. Т. К а л б е р т с о н, Математика и логика цифровых
устройств, «Просвещение», 1965.
[2] Л. А. К а л у ж н и и. Что такое математическая логика,
«Наука», 1964.
[3] Дж. К е м е н и, Дж. С н е л л, Дж. Том пеон, Введение в
конечную математику, ИЛ, 1963.
[4] Р. С т о л л, Множества. Логика. Аксиоматические теории,
«Просвещение», 1967.
[5] И. М. Я г л о м, Необыкновенная алгебра, «Наука», 1968.
§5.
[1] В. К. Коробков, К вопросу о числе монотонных функций
алгебры логики, Дискретный анализ, вып. 1, Новосибирск, 1963.
§6.
[И Г. А. Ш е с т о п а л, О числе простых базисов булевых функ-
функций, ДАН СССР 140, № 2 A961), 314—317.
§?•
[1] Е. Post, Two-valued iterative systems, 1941.
[2] С. В. Я б л о н с к и й, Г. П. Г а в р и л о в, В. Б. К у д р я в-
u e в, Функции алгебры логики и классы Поста, «Наука», 1966.
[3] С. Г. Г и и д и к и н, А. А. М у ч н и к, Решение проблемы
полноты для систем функций алгебры логики с ненадежной реализа-
реализацией, Проблемы кибернетики, вып. 15, «Наука», 1965, 65—84.
§8-
[1] В. Б. Кудрявцев, Теорема полноты для одного класса
автоматов без обратных связей, Проблемы кибернетики, вып. 8, Физ-
матгиз, 1962, 91—115.
[2] М. И. Кратко, Алгоритмическая неразрешимость пробле-
проблемы распознавания полноты для конечных автоматов, ДАН СССР 155,
№ 1 A964), 35—37.
[3] Автоматы, сб. статей, ИЛ, 1956.
[4] Н. Е. К о б р и н с к и й, Б. А. Т р а х т е н б р о т, Введение
в теорию конечных автоматов, Физматгиз, 1962.
*) В списке литературы к § 1 указана дополнительная литература,
чтение которой может предшествовать чтению этой книги.
282
[5] М. Л. Цетл и н, Исследования по теории автоматов и моде-
моделированию биологических систем, «Наука», 1969.
[6J Дж. фон Нейман, Вероятностная логика и синтез на-
надежных организмов из ненадежных компонент, в сб. [3], 68—139.
§9.
[1] О. Б. Л у п а н о в, О синтезе контактных схем, ДАН СССР
119, № 1 A958), 23—26.
[2] Э. И. Н е ч и п о р у к, Об одной булевой функции, ДАН СССР
169, № 4 A966), 765—766.
[3] С. В. Я б л о и с к и й, Об алгоритмических трудностях син-
синтеза минимальных контактных схем. Проблемы кибернетики, вып. 2,
Физматгиз, 1959, 75—121.
[4] О. Б. Л > п а н о в, О синтезе некоторых классов управля-
управляющих систем, Проблемы кибернетики, вып. 10, Физматгиз, 1963, 63—98.
[5] С. В. Я б л о н с к и й, Реализация линейной функции в клас-
классе я-схем, ДАН СССР 94, № 5 A954), 805—806.
[6] Б. А. С у б б о т о в с к а я, О реализации линейных функций
формулами в базисе &, V ,~", ДАН СССР 136, № 3 A961), 553—555
[7] О. Б. Л у п а н о в, О сложности реализации функций алгебры
логики формулами, Проблемы кибернетики, выг. 3, Физматгиз, 1960,
61—80.
[8] А. К а р а ц у б а, Ю. О ф м а н, Умножение многозначных
чисел на автоматах, ДАН СССР 145, № 2 A962), 293—294.
[9] А. Л. Too м, О сложности схемы из ф) нкциональных элемен-
элементов, реализующей умножение целых чисел, ДАН СССР 150, № 3 A963),
496—498.
§10.
[1] А. М. Я г л о м, И. М. Я г л о м, Вероятность и информация,
Физматгиз, 1960.
[2] В. Ф е л л е р, Введение в теорию вероятностей и ее приложе-
приложения, т. 1, «Мир», 1967.
[3] С. Н. Бери штейн, Теория вероятностей, 1946
[4] См. [3] в § 1
[5] Д. П о й а, Математика и правдоподобные рассуждения, ИЛ,
1957.
[6] См. [5] в § 8.
[7] Э. М у р, К- Шеннон, Надежные схемы из ненадежных
реле, Кибернетический сборник, вып. I, ИЛ, 1960, 109—148.
[8] С. Г. Г и н д и к и н, О полиномах Бернштейна, связанных
с функциями алгебры логики, Исследования по современным пробле-
проблемам конструктивной теории функций, Баку, 1965, 590—595
[9] См. [3] в § 7.
§
[1] С. В. Яблонский, Функциональные построения в fe-знач-
ной логике, Труды Матем. ин-та АН СССР им. В А. Сте" ~ова LI,
Изд-во АН СССР, 1958, 5—142.
[2] И. М. Виноградов, Основы теории чжхл, Гостехиэ,ат,
1953.
[3] А. С а л о м а а, Некоторые крнт -рин полноты для -шижеств
функций многозначной логики, Кибеонетичлжий с€ ihhk, вып °
«Мир», 1964, 7—32.
[4] В. В. Мартыню к, Исследование некоторых клэссое функ-
функций в многозначных логиках, Проблемы кибернетики, вып. 3, Физмат-
гиз,1960, 49—60.
[5] I. R о s е п b e r g, La structure des fonctions de plusieurs vari-
variables sur un ensemble fini, С R. Acad. Sci. Paris 260 A965), Gr 1, 3817—
3819.
[6] E. Ю. Захарова, В. Б. Кудрявцев, С. В. Яб-
Яблонский, О предполных классах в fe-значных логиках, ДАН СССР
186, № 3 A969), 509—512.
[7] Ю. И. Я и о в, А. А. М у ч н и к, О существовании й-знач-
ных замкнутых классов, не имеющих конечного базиса, ДАН СССР
127, № 1 A959).
§12-
[1] Э. Ландау, Основы анализа,.ИЛ, 1947,
[2] С. Феферман, Числовые системы. Основания алгебры и
анализа, «Наука», 1971.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютно истинное высказыва-
высказывание 15
— ложное высказывание 15
— надежная система функцио-
функциональных элементов 22
— равносильные формулы логи-
логики предикатов 262
Автомат без обратных связей 131
(определение 8.7)
— — — —, реализованный схе-
схемой из функциональных эле-
элементов 132 (определение 8.8)
Автоматно полная система одно-
тактных функциональных эле-
элементов 137 (определение 8.11)
Аксиомы натурального ряда 269
Алгебра Бернулли 209
Алгоритм преобразования форму-
формулы в СДНФ 48, 49
СКНФ 56 (решение
задачи 2.39)
— реализации функции контакт-
контактной схемой при помощи ДНФ
157
КНФ 178
(решение задачи 9.9)
Арифметические операции в алге-
алгебре логики 64
Арифметическое сложение (по мо-
модулю 2) 64
Асимптотика функции Шеннона
166
для П-схем 167
Базис функций алгебры логики
81 (определение 6.4)
Булева алгебра 37 (определение
2.5)
— — высказываний 40
— — множеств 39
Булева операция 44 (определе-
(определение 2.8)
— подалгебра 39
Вероятностная булева алгебра 195
(определение 10.1)
— мера (вероятность) 195 (опре-
(определение 10.1)
Вероятностное реле — 217 (опре-
(определение 10.17)
Верхняя асимптотическая оценка
для функции Шеннона 166, 173
(указание к задаче 9.22)
Вершина графа 155
Время задержки автомата без об-
обратных связей 132 (определе-
(определение 8.7)
конечного автомата 135 (оп-
(определение 8.10)
Вход конечного автомата 135 (оп-
(определение 8.10)
— контактной схемы 155
Высказывание 14
Выход конечного автомата 136 (оп-
(определение 8.10)
— контактной схемы 155
Глобальная суперпозиция 130 (оп-
(определение 8.6)
Гомоморфизм булевых алгебр 41
(определение 2.6)
Граф 155
Двойные линии 138
Двойственная булева алгебра 42
— функция алгебры логики 58
(определение 3.1)
Двойственность кванторов 266
Двухполюсник 155
285
Дизъюнктивная нормальная фор-
форма (ДНФ) 46 (определение 2.10)
Дизъюнкция 16
— альтернативная 17
Дисперсия случайной величины
206 (определение 10.11)
Достаточное условие универсаль-
универсальной надежности 224
Достаточные условия минималь-
минимальности контактных схем 180 (ре-
(решение задачи 9.13), 181 (реше-
(решение задачи 9.14)
Задача о поведении автомата в слу-
случайной среде 215
Задержка правильной схемы из
функциональных элементов 226
(определение 8.4)
Закон двойственности 59
— преобразования канала Бер-
нулли 213
Законы де Моргана 35, 36 (форму-
(формулы B.8), B.9))
— поглощения 51 (формулы B.20)
B.21))
Изоморфизм булевых алгебр 41
(определение 2.6)
Импликация 18
Индекс автомата без обратных
связей 132 (определение 8.3)
Индивидуальный предикат 262
Индикатор события 207
Испытания (схема) Бернуллн 208
Истинностная таблица 15, 31
Истинностное значение 14
Канал Бернуллн 213
Квантор всеобщности 260
— по предикатной переменной 268
— существования 260
Конечный автомат 135 (определе-
(определение 8.10)
Контактная схема 155
Конъюнктивная нормальная фор-
форма (КИФ) 49 (определение 2.15)
Конъюнкция 15
Критерий автоматной полноты 137
(задача 8.18)
— полноты системы однотактных
функциональных элементов 140
(указание к задаче 8.11)
— — — функций алгебры логики
(теорема Поста) 83
Критерий полноты системы функ-
функций относительно глобальней
суперпозиции 141 (указание
к задаче 8.13)
расширенной су-
суперпозиции 104 (указание к за-
задаче 7.2)
— сокращающей су-
суперпозиции 141 (указание к за-
задаче 8.14)
— самодвойственной полноты 100
(задача 7.15)
— — — для расширенной супер-
суперпозиции 105 (указание к задаче
7.15)
— слабой автоматной полноты 133
(задача 8.16)
— того, что соединение функцио-
функциональных элементов является
схемой 124 (задача 8.3)
— универсальной надежности 225
— /г-полноты при наличии абсо-
абсолютно надежных констант 229
(указание к задаче 10.36)
системы ненадежных эле-
элементов 225
Линейная функция 65 (определе-
(определение 4.2)
Логическая связка (операция) 25,
44
Максимальный функционально
замкнутый класс в fr-значной
логике 249
Математическое ожидание (сред-
(среднее значение) случайной вели-
величины 204 (определение 10.9)
Минимальная схема 159
Минимальный базис функций ал-
алгебры логики 84 (определе-
(определение 6.6)
Монотонная функция алгебры ло-
логики 71 (определение 5.2)
«Мостик» 159
Наследственное свойство 80
Независимые случайные величи-
величины 208 (определение 10.13)
— события 197 (определение 10.5),
199 (определение 10.6)
Немонотонная функция алгебры
логики 74 (решение задачи 5.1)
Неравенство Чебышева 206
286
Нчмодвойственнал функция ал
гебры логики 61 (решение зада-
задачи 3.6)
Несовместимые слбытия 196 (оп-
(определение 10.2)
Нижняя асимптотическая оценка
для функции Шеннона 173 (ука-
(указание к задаче 9.26)
Нормальная форма формулы логи
ки предикатов 267
Обобщенная функция Шеффера 84
(определение 6.7)
Обратная связь в схеме из функ-
функциональных элементов 123 (оп-
(определение 8.3)
Ограниченный квантор 267
Отрицание (логическая операция)
16
Память конечного автомата 135
(определение 8.10)
Параллельно-последовател ьная
схема (П-схема) 159
Переключательная схема 168
Полином Бернштейна для непре-
непрерывной функции на [0,1] 211
(определение 10.15)
— —, соответствующий функции
алгебры логики 212
— Жегалкина 65 (определение 4.1)
Полная система несовместимых
событий 197 (определение 10.4)
— — однотактных функциональ-
функциональных элементов 128 (определе-
(определение 8.5)
функций алгебры логики 79
(определение 6.1)
— элементарная дизъюнкция 50
(определение 2.17)
— — конъюнкция 46 (определе-
(определение 2.12)
Пестовская схема функционально
замкнутых классов 103
П.чти нормальная форма фор-
формулы логики предикатов 266
Г авильная ДНФ для монотонной
функции 73 (определение 5.3)
— КНФ для монотонной функции
77 (ре1_жие задачи 5.13)
— схема из одн тактных функцио-
функциональных элементов 126 (опреде-
(определение 8.4)
— ентарная дизъюнкция 49
( ределение 2 16)
ПраВИЛЬ 1Я ЭЛ« EHTdJ КОНЪ-
EHTdJ КОНЪЮНКЦИЯ 46 (опрс ление 2.11)
Предикат 259 (определение 12 1)
Предметная область 259 (опреде-
(определение 12.1)
— перем.нная 259 (определение
12.1)
Предполные классы в трехзнач-
трехзначной логике 250
Предполный функционально замк-
замкнутый класс 82 (определение 6.5)
Произведение случайных величин
207 (определение 10.12)
Прямое произведение булевых ал-
алгебр 52
множеств 259
Равносильность формул алгебры
высказываний 23
— — логики предикатов 262
— функций алгебры логики 32
(определение 2.2)
Разделительный A, т)-полюсник
163
Расширенная суперпозиция 95 (оп-
(определение 7.1)
Ребро графа 155
Регулярная булева алгебра 44 (оп-
(определение 2.7)
Реле с замыкающим (положитель-
(положительным) контактом 152
размыкающим (отрицатель-
(отрицательным) контактом 151
Релейно-контактная схема 151
Самодвойственная полнота 98 (оп-
(определение 7.5)
— функция алгебры логики 58
(определение 3.1)
Свободная булева алгебра 198
— переменная в формуле логики
предикатов 261
Связанная переменная в формуле
логики предикатов 261
Сигнатура 262
Система аксиом 269
— эле геитарных событий 200 (оп-
(определение 10 7)
Ситуация 14
Слабая автоматная полнота систе-
системы функциональных элементов
133 (определение 8.9)
Случайная величина 203 (опреде-
(определение 10 8)
2 87
Собственный функционально зам-
замкнутый класс 81 (определение
6.3)
Событие 195
Совершенная дизъюнктивная нор-
нормальная форма (СДНФ) 26, 46
(определение 2.13)
в fe-значной логике
246
по части перемен-
переменных 47 (формула 2.16)
— конъюнктивная нормальная
форма (СКНФ) 26, 50 (определе-
(определение 2.18)
— — — — по части переменных
50 (формула 2.19)
Сокращающая подстановка 130
(задача 8.14)
Среднее число положительных ис-
исходов 209
Сумма случайных величин 205
(определение 10.10)
Сумматор 169
Суперпозиция 33 (определение 2.3)
Существенная цепь контактной
схемы 157
Существенное вхождение простого
высказывания в сложное 27
(указание к задаче 1.9)
Схема из функциональных элемен-
элементов 120 (определение 8.1)
Сходимость последовательности
случайных величин по вероят-
вероятности 210 (определение 10.14)
Таблица Поста 83
Теорема Мура — Шеннона 219
— Поста 83
Теоретико-множественная опера-
операция 43
Тождественная истина 17
— ложь 17
Универсально надежная систе-
система функциональных элементов
223
Универсальный A,2")-полюсник
162
Уравнение состояний конечного
автомата 136
Условная вероятность 197 (опре-
(определение 10.3)
Фиктивная переменная 33
Фиктивное вхождение простого
высказывания в сложное 27
(указание к задаче 1.10)
Фиктивный вход функциональ-
функционального элемента 121 (определение
8.2)
Формула алгебры логики 22, 34
(определение 2.4)
— логики предикатов 261
Функционально замкнутые клас-
классы D, D01, К, К01 97 (определе-
(определение 7.3)
F<2\ G<2> 100 (определе-
(определение 7.6)
F(ft>, F(lK>, G<fc>, G<«>, О 104
— замкнутый класс 80 (определе-
(определение 6.2)
Функциональный элемент 118
Фукция алгебры логики 31 (опре-
(определение 2.1)
— проводимости контактной схе-
схемы 156
—, реализуемая правильной схе-
схемой нз однотактных функцио-
функциональных элементов 126
—, — релейно-контактной схемой
153
— Шеннона 161
— — для П-схем 161
— Шеффера — Вебба в А-значной
логике 247
— fe-значной логики 245 (опреде-
(определение 11.1)
Характеристическая функция ав-
автомата без обратных связей 132
(определение 8.7)
Цикл в схеме из функциональных
элементов 123 (определение 8.3)
Шеффера операции 24
Эквивалентность (логическая опе-
операция) 21
Эквивалентные функциональные
элементы 121
Элемент задержки 126
Элементарная дизъюнкция 49 (оп-
(определение 2.14)
— конъюнкция 46 (определение
2.9)