/
Теги: электротехника
Текст
ЛГШЕРЕМЕТЬЕВ
Статистическая
теория
лазерной связи
А. Г. Шереметьев
Статистическая теория
лазерной связи
ИЗДАТЕЛЬСТВО «СВЯЗЬ»
МОСКВА 1971
6Ф4
Ш49
УДК 621.39
Ш49
Шереметьев А. Г.
Статистическая теория лазерной связи. М.,
«Связь», 1971.
264 с. с илл.
В монографии рассматриваются вопросы статистической теории
связи в оптическом диапазоне с использованием оптических квантовых
генераторов (лазеров). Рассматриваются проблемы построения и кон-
конструирования оптимальных линий связи. Книга рассчитана на науч-
научных работников, инженеров, аспирантов и студентов старших курсов
радиотехнических факультетов.
3-4-2
16-71
6Ф4
Алексей Григорьевич Шереметьев
СТАТИСТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЛАЗЕРНОЙ СВЯЗИ
Редактор В. Л. Черняк
Техн. редактор К. Г. Маркой
Корректор М. Я. Могильнер
Сдано в набор 29/IV 1971 г. Подписано в печ. 3/V1II 1971 г.
Форм. бум. 60x90/]» 16,5 печ. л. 16,5 усл.-п. л. 19,65 уч.-изд. л.
Т-10588 Тираж 7 000 экз. Цеиа I руб. 42 коп. Зак. изд. 14653
Издательство «Связь», Москва-центр, Чистопрудный бульвар, 2.
Типография издательства «Связь» Комитета по печати при Совете Министров СССР
Москва-центр, ул. Кирова, 40. Зак. тип. 160
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие 5
Введение 7
ГЛАВА 1. СВОЙСТВА КОГЕРЕНТНЫХ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ СВЯЗИ
1.1. Физические и статистические свойства когерентных оптических
каналов связи 16
1.2. Физические и статистические свойства оптических полей .... 22
ГЛАВА 2. ОПТИМАЛЬНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛОВ ОПТИЧЕСКОГО
ДИАПАЗОНА
2.1. Вводные замечания 5J
2.2. Обнаружение когерентного оптического излучения в пуассоновских И
тепловых шумах при однократном отсчете 54
2.3. Обнаружитель Неймана—Пирсона при последовательном накоплении
конечного числа отсчетов 63
2.4. Обнаружение монохроматического излучения в тепловом шуме мето-
методом бинарного квантования с последующим накоплением ... 76
2.5. Последовательный обнаружитель Вальда для бинарно-квантованных
сигналов 84
2.6. Оптимальное обнаружение сигналов оптического диапазона фотопри-
фотоприемником с квантовым усилителем на входе 89
2.7. Оптимальные адаптивные приемники оптического диапазона и сравни,
тельная оценка их эффективности 97
2.8. Непараметрическая процедура обнаружения 104
2.9. Оптимальное измерение переменной частоты отттического диапазона 114
ГЛАВА 3. ПРИЕМ МОДУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ ОПТИЧЕСКОГО
ДИАПАЗОНА
3.1. Оптимальный прием дискретных сигналов оптического диапазона, мо-
модулированных по интенсивности 117
3.2. Оптимальный прием дискретных модулированных по интенсивности
сигналов оптического диапазона фотоприемником с квантовым усили-
усилителем на входе 120
3.3. Эффективность КИАМ системы связи с приемником Зигерта—Ко-
тельникова 122
3.4. Эффективность цифровой оптической системы связи с кодово-импульс-
ной поляризационной модуляцией (КИПМ) 129
3.5. Оптимальный прием дискретных тональноманипулированных (ЧМ—
AM) сигналов оптического диапазона 150
3.6. Прием бинарных частотноманипулированных сигналов супергетеро-
супергетеродинным методом 158
ГЛАВА 4. СТАТИСТИЧЕСКОЕ НАЦЕЛИВАНИЕ УЗКИХ ЛУЧЕЙ ПРИЕМО-
ПРИЕМОПЕРЕДАТЧИКОВ ЛАЗЕРНЫХ СИСТЕМ СВЯЗИ
4.1. Вводные замечания . 165
4.2. Постановка задачи вхождения в связь и основные допущения . . 166
4.3. Определение среднего времени вхождения в связь для системы со
сверхузкими диаграммами направленности антенн приемопередатчиков
при случайном поиске и пренебрежимо малой вероятностью ложной
тревоги 167
3
р
4.4. Вероятности обнаружения и ложной тревоги. Среднее число шагов
процесса вхождения в связь. Вычисление величины среднего времени
вхождения в связь 173
4.5. Среднее время вхождения в связь при использовании в приемниках
мозаичной системы 182
4.6. Учет вероятности ложной тревоги при случайном поиске . . . • . 183
4.7. Среднее время вхождения в связь для системы со сверхузкими диа-
диаграммами направленности ангенн приемопередатчиков при регулярном
поиске 1и пренебрежимо малой 'вероятности ложной тревоги . . . 187
4.8. Среднее время вхождения в связь при регулярном поиске и вероятно-
вероятности ложной тревоги, не равной нулю 193
Приложение 1. Когерентные состояния и статистический оператор
поля 197
Приложение 2. Анализ взаимодействия излучений с приемным уст-
устройством и статистические характеристики сигнала
на его выходе 201
П р и л о ж е н и е 3. Оптимальный оператор обнаружения Хелстрома . 245
Приложение 4. Анализ марковских цепей алгебраическими методами 254
Приложение 5. Вывод производящей функции ...... 259
Приложение 6. Вычисление моментов распределения B.76) . . . 260
Литература 261
i
Предисловие
Проблема разработки общей (статистической) теории пе-
передачи информации в оптическом диапазоне волн в последнее вре-
время приобретает все большую актуальность. Двойственность приро-
природы электромагнитного излучения заставляет исследователей раз-
развивать два направления этой теории. Первое направление связано
с волновым представлением электромагнитного поля и с использо-
использованием в качестве чувствительного элемента приемника, «наблю-
«наблюдающего» амплитуду напряженности поля. Второе направление
связано с корпускулярной или фотонной природой излучения и с
использованием приемника, «считающего» фотоны поля. Разумеет-
Разумеется, оба направления тесно связаны друг с другом, однако алго-
алгоритм и структура оптимальных приемных систем существенно от-
отличны, поскольку они зависят как от чувствительного элемента,
так и от того представления, которое положено в основу исследо-
исследований и проектирования.
В данной монографии разрабатывается статистическая теория
связи на базе фотонного представления излучения. В ней обобще-
обобщены, систематизированы и дополнительно развиты вопросы стати-
статистической теории связи с учетом именно фотонной природы элек-
электромагнитного излучения. Анализ современного состояния теории
свидетельствует о том, что в настоящее время необходимо подвес-
подвести итог начального этапа в развитии указанного направления. От-
Отчетливо представляя, что всякое подведение итога исследований в
столь бурно развивающейся области, какой является лазерная тех-
техника, быстро теряет новизну, автор тем не менее считает, что в на-
настоящее время целесообразно подвести предварительные итоги в
области статистической теории передачи информации в оптичес-
оптическом диапазоне.
В книге предпринята первая попытка систематического изло-
изложения основных вопросов статистической теории обнаружения и
выделения когерентных и некогерентных сигналов оптического диа-
диапазона на фоне различных помех и статистической теории нацели-
нацеливания узких лучей; значительная часть материала публикуется
впервые.
Монография рассчитана на подготовленного читателя, знакомо-
знакомого с основными положениями классической статистической теории
связи, и может быть использована при проектировании высокоин-
высокоинформативных лазерных систем связи, передающих информацию на
большие расстояния, систем поиска, локации и измерения пара-
параметров движения объектов. Она представляет интерес для науч-
5
ных работников, радиоинженеров, аспирантов и студентов стар-
старших курсов вузов; кроме того, она может быть полезна специа-
специалистам смежных дисциплин.
Автор считает своим приятным долгом выразить глубокую при-
признательность заслуженному деятелю науки и техники РСФСР
профессору А. В. Солодову за поддержку в работе, ряд ценных
советов и критических замечаний, без которых работа не была бы
выполнена.
При работе над некоторыми разделами книги существенную
помощь оказал кандидат технических наук Р. М. Кочетков. Ряд
спорных вопросов автор обсуждал с кандидатами технических
наук Е. М. Калугиным, А. Н. Мартьяновым, В. Ф. Судаковым,
Д. М. Халиковым, что способствовало улучшению книги. Всем им
автор выражает искреннюю благодарность. При доработке книги
существенную помощь автору оказали кандидат технических наук
С. Н. Марова, представившая часть материала приложения 2, и
Р. Г. Толпарев, совместно с которым написаны разд. 3.4 и пункт
14 приложения 2. Выражаю им свою признательность.
Очевидно, что в настоящем виде книга несвободна от недостат-
недостатков. Автор с благодарностью примет все критические замечания
читателей, их следует направлять по адресу: Москва-центр, Чис-
Чистопрудный бульвар 2, изд-во «Связь».
Автор.
Введение
Оптические квантовые генераторы (ОКГ) все более широко
применяются в системах передачи информации. Высокие темпы
развития лазерной техники позволяют с уверенностью сказать, что
экспериментальные образцы систем связи в самом недалеком бу-
будущем будут заменены серийными образцами.
Возможности и перспективы построения систем передачи ин-
информации с ОКГ определяются рядом специфических особеннос-
особенностей последних. Используя ОКГ, можно обеспечить чрезвычайно вы-
высокую направленность пучков светового излучения, высокую ста-
стабильность частоты излучения, большую мощность в импульсном
режиме. Лазерные системы имеют малые габариты и вес приемо-
приемопередающих антенных установок при обеспечении заданной шири-
ширины диаграммы направленности. Эти системы позволяют обеспе-
обеспечить высокую пропускную способность (информативность) каналов
связи и реализовать большую точность измерения параметров
движения объектов. Большая пропускная способность оптических
когерентных линий связи позволяет рассматривать вопрос о пере-
передаче телевизионной, телеметрической, телефонной и другой ин-
информации по одному какалу за очень короткое время; создавать
многоканальные телевизионные и телефонные системы. Эти бес-
бесспорные преимущества могут быть реализованы лишь при обеспе-
обеспечении высокой концентрации энергии в узком световом луче и при
использовании совершенных приемных систем.
Однако непосредственное использование ОКГ в технике связи
оказалось далеко не простой задачей, как предполагалось на на-
начальном этапе. Определение реальных возможностей ОКГ в тех-
технике связи потребовало проведения обширных теоретических и
экспериментальных исследований. Развитие теории и постановка
экспериментов продолжаются и сейчас. Полученные результаты
относятся к ряду частных проблем. Полное решение задачи ис-
использования ОКГ в технике связи намечается лишь в самое по-
последнее время. Предстоит еще решить много проблем, прежде
чем будут созданы практические образцы лазерных систем связи.
Одной из таких проблем является разработка статистической
теории передачи информации в оптическом диапазоне с использо-
использованием ОКГ. Действительно, большая широкополосность оптиче-
оптических систем и, как следствие, высокая их информативность, боль-
большие дальности трассы связи, целесообразность создания многока-
многоканальных систем, малая длительность временного интервала, отво-
отводимого для анализа (вследствие требования высокого быстродей-
ствия систем передачи информации), относительно невысокая
мощность ОКГ в непрерывном режиме, малая квантовая эффек-
эффективность фотодетекторов, интенсивное поглощение сигнала атмос-
атмосферой и заметный уровень шумов — все это обусловливает сла-
слабую интенсивность принимаемого сигнала или малое число «сиг-
«сигнальных» фотонов на входе приемной системы. В этих условиях
разработка статистической теории связи в оптическом диапазоне
представляется актуальной и закономерной.
Статистическая теория передачи информации позволяет не
только оценивать предельные возможности лазерных систем свя-
связи, но и указывает пути конкретного конструирования систем свя-
связи, т. е., по существу, подводит к синтезу этих систем, в частности
к синтезу приемных устройств.
В условиях, при которых число «сигнальных» фотонов на вхо-
входе приемных устройств мало, использование отношения сиг-
сигнал/шум в качестве характеристики их оптимальности, как указы-
указывается рядом авторов, является не вполне удовлетворительным.
Объясняется это статистическими флуктуациями сигнала и шума.
Если используется счетчик фотонов с пороговым дискриминатором,
появляется вероятность превышения шумовым сигналом порогово-
порогового значения (ложный прием сигнала) и вероятность того, что по-
полезный сигнал будет ниже уровня порога (пропуск сигнала).
Здесь, очевидно, целесообразно в качестве характеристики опти-
оптимальности системы использовать понятия, включающие статисти-
статистические распределения как «сигнальных», так и «шумовых» фото-
фотонов. Такой характеристикой является логарифм отношения апосте-
апостериорных вероятностей, называемый коэффициентом правдоподо-
правдоподобия. В любом из классов оптимальных приемников (байессовский
приемник, идеальный наблюдатель Зигерта—Котельникова, ми-
минимаксный приемник, приемник Неймана—Пирсона и др.) произ-
производятся операции по вычислению коэффициента правдоподобия на
основании принятой реализации сигнала. Затем вычисленное при-
приемником значение сравнивается с порогом и выносится решение а
наличии или отсутствии полезного сигнала или о присутствии того
или иного сигнала из класса передаваемых сигналов (символов,
сообщений). Классы оптимальных приемников отличаются усло-
условиями, при которых вычисляется порог. Основной операцией, про-
производимой оптимальным приемником, является сравнение апосте-
апостериорных вероятностей (или сравнение монотонных функций от
указанных вероятностей).
Таким образом, мы подошли к необходимости использования
методов теории решений применительно к задачам теории связи.
Эти задачи включают обнаружение и прием сигналов, измерение
их параметров и реализацию структур оптимальных систем для
указанных целей. Применительно к теории связи методы теории
решений имеют ряд достоинств. Как отмечено в [9], эти методы ха-
характеризуются тремя существенными особенностями: 1) они дают
структуру оптимальной системы, 2) позволяют оценить ожидаемое
8
качество оптимальной системы и 3) дают возможность количест-
количественного сравнения реальных, близких к оптимальным, систем с
теоретически оптимальными. Кроме того, методы теории решений
представляют гораздо более общие и близкие к реальным услови-
условиям способы конструирования систем. Ранние способы конструиро-
конструирования систем, основанные на «грубых» статистических характери-
характеристиках (энергетические спектры, корреляционные функции, дву-
двумерные плотности вероятности), указывают пути выбора систем с
точки зрения максимизации отношения сигнал/шум. Эти методы,
упрощая математические выкладки, не обладают статистической
полнотой, формулировки и допущения не всегда очевидны. При
постановке задачи как процесса статистического выбора решений
проектировщик систем с самого начала вынужден четко формули-
формулировать задачу, после чего в соответствии с полученным алгорит-
алгоритмом и имеющейся априорной информацией может быть найдена
структура системы, оценено ее качество и т. д.
Теория статистических решений позволяет решать задачи в
случае, когда опыт и интуиция инженера оказываются недостаточ-
недостаточными; она также определяет систематический единый подход к
конструированию систем. Теоретически оптимальные системы не
только определяют предельные рабочие характеристики, которых
можно ожидать, но и указывают пути построения реальных систем.
Реальная, близкая к оптимальной, система должна отражать глав-
главные особенности теоретически оптимальной.
Недостатками методов теории решений являются произвол в
выборе критерия оптимальности и математическая сложность
анализа. Обычно критерий оптимальности выбирают, исходя из
конкретных условий решаемой задачи: например, для систем об-
обнаружения очень часто используют критерий максимума вероят-
вероятности обнаружения полезного сигнала при заданной вероятности
ложного обнаружения; для систем связи часто используют крите-
критерий минимума среднего риска или средней ошибки и т. д. С точки
зрения математической сложности анализа следует отметить, что
большинство задач, в которых имеет место сильный сигнал, не до-
доведено до стадии инженерного использования, в то время как по-
пороговые задачи (при слабом сигнале) хорошо поддаются реше-
решению. Однако, как отмечается в [9], система, построенная как опти-
оптимальная или близкая к оптимальной при пороговых сигналах,
обычно оказывается вполне удовлетворительной и при сильных
сигналах.
Таким образом, методы статистической теории связи, основан-
основанные на теории решений, приводят к единой количественной теории
оптимальных систем, позволяют оценивать эффективность или ка-
качество этих систем и сравнивать их между собой, а также опреде-
определяют структуру систем.
В дальнейшем будем рассматривать оптимальные приемные
системы оптических линий связи для нахождения коэффициентов
правдоподобия систем, алгоритмов работы и структурных схем
9
приемников, а также рабочих характеристик, оценивающих качест-
качество систем. Во всех случаях в качестве чувствительного элемента
приемного устройства будет использоваться фотоэлектронный
счетчик квантов, характеризуемый квантовой эффективностью. Это
позволит использовать цифровые методы обработки сигналов.
Предполагается также, что оптический квантовый генератор ра-
работает в одномодовом режиме.
В настоящее время статистическая теория передачи информа-
информации в оптическом диапазоне, основанная па теории решений, раз-
разработана очень слабо. Имеется небольшое число статей, посвя-
посвященных обнаружению и выделению когерентных световых сигна-
сигналов. В то же время возможности обнаружения и выделения по-
полезных сигналов в системах оптического диапазона далеко не ис-
исчерпываются решениями, предложенными в этих статьях. Поэтому
необходимо исследование максимального числа вопросов, связан-
связанных с разработкой статистической теории связи в оптическом
диапазоне. При этом если для радиодиапазона актуальность ста-
статистической теории остро ощущается лишь для систем связи боль-
большой дальности, то в оптическом диапазоне, в силу указанных вы-
выше причин, уже на небольших дальностях уровень принимаемого
сигнала невысок и оптимальная обработка сигнала с целью выде-
выделения информации становится необходимой.
Реализация систем связи с ОКГ в настоящее время затруднена
из-за сложности обнаружения корреспондента узким лучом. Одной
из важнейших проблем в разработке оптических систем связи сле-
следует считать проблему создания устройств нацеливания узких лу-
лучей. Высокие помехоустойчивость и дальность действия оптических
систем связи могут быть сведены к нулю вследствие трудности
наведения и удержания узкого луча на точно заданном направле-
направлении.
Можно с уверенностью сказать, что прогресс в развитии систем
связи оптического диапазона во многом зависит от успешного ре-
решения задачи «вхождения» в связь двух корреспондентов. Безус-
Безусловно, эта задача будет решена. Однако требование быстродейст-
быстродействия при сканировании луча снова приводит к малому числу «сиг-
«сигнальных» фотонов на входе приемника. Это обусловливает необ-
необходимость разработки статистических методов оценки времени
«вхождения» в связь, исследования видов поиска лучом и опти-
оптимальных траекторий сканирования, т. е. приводит к необходимо-
необходимости разработки статистической теории нацеливания узких лучей
Наряду с решением целого ряда практических проблем (таких,
например, как обеспечение многоканальное™ систем; разработка
быстродействующих устройств сканирования лучей; создание
быстродействующих устройств ввода, запоминания и обработки
информации и т. д.) теоретически важны вопросы синтеза сигна-
сигналов, выбор оптимальных методов модуляции и кодирования для
фотонных каналов. Весьма существенна также разработка крите-
10
риев оценки эффективности фотонных каналов по аналогии с ра-
радиоканалами, где учитываются скорость передачи информации, ве-
вероятность ошибок и спектральная плотность помехи и др.
Важными вопросами для разработки статистической теории
связи являются вопросы анализа динамики генерации излучения
ОКГ и способы получения статистических распределений на выхо-
выходе приемника на базе квантовой электродинамики. Исследование
этих вопросов начато совсем недавно; полученные результаты по-
позволяют надеяться на успешное решение и этих вопросов.
Таким образом, даже краткий обзор проблем оптической свя-
связи, которые могли бы решаться с помощью эффективных методов
статистической теории, свидетельствует о больших возможностях
и большом поле деятельности для ученых и инженеров.
Разработка статистической теории передачи информации в оп-
оптическом диапазоне должна базироваться на аппарате функцио-
функционального анализа, квантовой механики и электродинамики A—8],
математической статистике, статистической радиофизике и теории
случайных функций [15, 17, 18, 69, 72, 91]. В частности, исследова-
исследование статистических свойств оптических полей требует применения
квантовой теории поля как единственной теории, наиболее точно
решающей задачи квантовой оптики. Следует, конечно, указать,
что развитие статистической теории немыслимо без использования
хорошо разработанных методов статистической радиотехники и
теории информации [9, 10, 11, 12, 13, 14, 16, 79].
Рассмотрим еще один важный вопрос — необходимость разра-
разрабатывать статистическую теорию связи с использованием ОКГ.
Может быть следовало бы автоматически перенести результаты
статистической теории для радиодиапазона на системы оптическо-
оптического диапазона, тем более, что классическая теория статистической
радиосвязи и радиолокации к настоящему времени хорошо разви-
развита для относительно низкочастотного электромагнитного спектра,
включая евч диапазон. Однако непосредственное приложение и
применение этой теории при обнаружении и детектировании сиг-
сигналов оптического диапазона сталкивается и ограничивается це-
целым рядом фундаментальных проблем, включающих квантовые
эффекты, сверхузкую направленность лучей, дифракционные эф-
эффекты и распределения полей в дальней зоне, «шероховатость» и
сложность конфигураций связных ретрансляторов и отражающих
целей, широким использованием энергетического метода приема
и др.
Необходимость применения статистических методов для описа-
описания оптических полей в оптической связи возникает, как и в ра-
радиосвязи, из-за случайного характера принимаемого сигнала, что
может быть вызвано искажениями сигнала, возникающими при
распространении электромагнитных колебаний через турбулент-
турбулентную среду (например, атмосферу), присутствием внешних и внут-
внутренних шумов. Однако, кроме того, статистический характер опти-
оптических полей проявляется при описании их состояний волновыми
11
функциями. Квантовомеханическое описание состояний системы,
по существу, является вероятностным, так как нахождение систе-
системы в данном состоянии характеризуется вероятностью этого со-
состояния, равной квадрату модуля волновой функции. Эта особен-
особенность, определяемая свойствами как оптических полей, так и при-
приборов, их регистрирующих, накладывает специфическое требова-
требование на проблемы обнаружения и приема оптических полей отлич-
отличные от классических. В этом случае необходимость статистичес-
статистического описания поля и приемного устройства вызвана не отсутстви-
отсутствием знаний, а природой законов квантовой электродинамики. Этой
особенности не существует з классической теории радиосвязи, и
именно она заставляет заново решать вопросы определения стати-
статистических свойств оптических полей и исследования характерис-
характеристик систем связи, использующих оптические сигналы.
В отличие от радиодиапазона, эффективность систем обнаруже-
обнаружения и выделения оптических сигналов ограничивается не только
шумами (внутренними и внешними), но и квантовой природой са-
самих сигналов. Квантовые эффекты вносят дополнительную стати-
статистическую неопределенность в процесс обнаружения, и классичес-
классическая теория обнаружения и выделения не может быть полностью
применена для решения задач обнаружения и выделения оптичес-
оптических сигналов (достаточно, например, указать на такой с первого
взгляда парадоксальный факт, что при отсутстзии внешних и внут-
внутренних шумов в системе связи оптического диапазона вероятность
ошибочного приема информационного символа не равна нулю). В
ходе последующего изложения (гл, 2 и 3) мы специально будем
подчеркивать и анализировать эти особенности.
В основу проводимых в книге анализа и синтеза систем положе-
положена фотонная природа светового излучения и квантовый характер
взаимодействия света с регистрирующим прибором (фоточувстви-
(фоточувствительным элементом). Наблюдаемым сигналом является последо-
последовательность квантовых переходов системы, происходящих под дей-
действием света, например последовательность фотоэлектронов, основ-
основной характеристикой которых является распределение вероятнос-
вероятностей числа фотоэлектронов в фиксированный интервал времени (в
книге рассматривается классический метод решения задачи взаи-
взаимодействия света с приемником; полуклассический — разд. 3.5;
3.6; и, наконец, полностью квантовый, когда поле и вещество кван-
квантованы, — приложение 2; такой подход с методологической точки
зрения является более полным).
Следует отметить, что не обязательно находить распределение
вероятностей числа фотонов в электромагнитной волне. Можно
ставить задачу определения вероятностного функционала для пол-
полного поля по законам квантовой механики, например для напря-
напряженности электрического поля. В последнем случае получим более
исчерпывающую информацию о принимаемом сигнале. В частно-
частности, при таком подходе не теряется информация о фазе сигнала.
Поэтому этот способ приема можно назвать «волновым».
12
Можно для каждого конкретного квантового приемника вычис-
вычислить также функционал правдоподобия, на основании которого
принимать решение относительно наблюдаемого поля. Здесь сле-
следует указать на трудности, стоящие на пути реализации оптималь-
оптимальных приемников, работающих на основе функционала правдоподо-
правдоподобия, и имеющих в качестве чувствительного элемента «волновой»
приемник.
Вероятностные функционалы, вообще говоря, находить более
сложно, чем функции распределения вероятностей. Кроме того,
устройства, реагирующие на амплитуду поля, технически гораздо
сложнее устройств, регистрирующих его энергию.
В то же время промышленностью серийно выпускается боль-
шое число относительно простых энергочувствительных приемни-
приемников, способных осуществлять счет отдельных фотонов (ФЭУ, фо-
фотодиоды и др.). Кроме того, как показано некоторыми авторами,
использование этих приемников может быть более предпочтитель-
предпочтительным в ряде систем связи.
Коротко остановимся на достигнутых в настоящее время резуль-
результатах статистической теории передачи информации когерентным
оптическим излучением.
Статистические свойства гауссовского оптического поля, сме-
смешанного с когерентным колебанием, теоретически исследовались
различными авторами. В [22] получена основная формула для опе-
оператора плотности суперпозиции многомодовых полей. Позднее в
[25] были найдены распределения отсчетов фотоэлектронов и фак-
ториальные моменты для суммы когерентного и узкополосного
гауссовского полей на одной и той же частоте. В [92] были рассчи-
рассчитаны второй факториальный момент для суперпозиции одиночной
когерентной моды и гауссовской компоненты с различными форма-
формами линий, центрированными на одной и той же частоте.
В [98] были найдены статистические характеристики смеси двух
когерентных мод с хаотическим шумовым полем, которые могут
использоваться при проектировании приборов оптической техники.
Однако применение полученных результатов ограничено слу*
чаем широкой полосы спектра. В целом проблема нахождения
статистических распределений должна охватывать случаи, когда
центральная частота гауссовой компоненты произвольно смещена
относительно частоты когерентного сигнала, а форма спектра хао-
хаотического поля также произвольна.
Ряд полезных результатов был получен в [52], где были най-
найдены статистические распределения отсчетов фотоэлектронов при
широких вариациях частоты когерентного излучения и централь-
центральной частоты медленно флуктуирующего и быстро флуктуирующе-
флуктуирующего шумового поля.
В [26] были получены статистические характеристики полей, яв-
являющихся смесью многомодовых когерентных и хаотических по-
полей; кроме того, исследовался вопрос выделения модулированного
информационным спектром оптического излучения в шумах.
13
С точки зрения применения полученных статистических рас-
распределений для инженерного проектирования оптимальных систем
связи современный уровень знаний является явно недостаточным.
Во-первых, необходимо дополнить перечень полей, статистические
характеристики которых известны в аналитической форме. Во-вто-
Во-вторых, необходимо методологически систематизировать поля с из-
известными статистическими характеристиками, начиная с простей-
простейших и кончая более сложными, но имеющими практическое зна-
значение, например многомодовое когерентное излучение, модулиро-
модулированное спектром частот, прошедшее турбулентный мультипликатив-
мультипликативный канал и являющееся суперпозицией с хаотическим шумовым
излучением. Попытка разработки, дополнения и систематизации
статистических характеристик оптических полей сделана в данной
монографии (разд. 1.2 и приложение 2).
Синтезу оптимальных приемных устройств оптического диапа-
диапазона и оценке их эффективности посвящен ряд работ. Так, в [41]
Получен алгоритм действия оптического приемника при приеме
Дискретномодулированных по интенсивности сигналов; найдено,
что оптимальными сигналами с точки зрения максимума отноше-
отношения сигнал/шум являются сигналы с активной и пассивной паузой.
В D4] с некоторыми модификациями решались те же вопросы, что
и в [41]. В [21] рассматривался вопрос оптимального разрешения
некогерентных сигналов оптического диапазона; эта работа тес-
тесно связана с обнаружением точечных источников на фоне местно-
местности. Недостатком указанных работ является то, что статистические
распределения сигнальных и шумовых фотонов задаются априор-
априорно, без строгого обоснования. Этого недостатка лишены работы
[65, 90], где с квантовых позиций осуществляется подход к реше-
решению задач обнаружения и приема сигналов; этот подход позволяет
определить потенциальные возможности обнаружения и выделения
лазерных сигналов, осуществить синтез систем, реализующих эти
возможности, найти предельную чувствительность и точность при-
приборов. Методам оценки эффективности и оптимизации локацион-
локационных систем посвящены работы [23, 24]. Анализ дискретных инфор-
информационных систем оптического диапазона проводится в [42, 43, 45,
46, 47, 62, 67, 99, 101, 102, 103, 105, 106, 107], где также приведе-
приведены оценки эффективности этих систем. Однако основополагающи-
основополагающими работами в области статистической теории обнаружения и
приема оптических сигналов следует считать работы К. Хелстрома
[19, 20], где строго с квантовых позиций рассмотрен широкий
круг интересных вопросов, введен оператор обнаружения и най-
найден ряд аналитических выражений, позволяющих найти алгоритм
обработки сигналов и произвести оценку эффективности систем.
Отметим, что указанные работы носят характер журнальных ста-
статей и перечень их довольно скромен. Совершенно очевидно, что
исследования в области создания статистической теории должны
быть значительно расширены.
14
Г
Основными разделами статистической теории передачи инфор-
информации в оптическом диапазоне являются следующие:
— статистическая теория обнаружения сигналов ОКХ;
— статистическая теория приема модулированных когерент-
когерентных колебаний оптического диапазона;
— статистическая теория поиска узкими лучами оптических
квантовых генераторов (статистическое нацеливание).
Частично указанные проблемы решаются в данной работе.
Всюду, где это возможно, теоретические результаты доведены до
расчетных формул, таблиц или графиков, которые можно исполь-
использовать при проектировании систем передачи цифровой информа-
информации и находить предельную или потенциальную помехоустойчи-
помехоустойчивость.
Материал монографии, предназначенный для использования при
теоретическом анализе и инженерном проектировании, сосредото-
сосредоточен в четырех главах; строгие математические доказательства, ос-
основанные на квантовоэлектродинамическом подходе, вспомогатель-
вспомогательный математический аппарат и некоторые новые положения (на-
пример, об операторе обнаружения) вынесены в приложения,
В первой главе рассматривается статистическая модель коге-
когерентной оптической системы связи и кратко анализируются неко-
некоторые виды распределений сигналов и шумов, действующие в си-
системе.
Во второй главе на основе статистических распределений сиг-
сигналов, приведенных в гл. 1 и найденных в приложении 2, рассмат-
рассматриваются вопросы теории статистических решений применительно
к обнаружению сигналов оптического диапазона.
В третьей главе на основе теории статистических решений ис-
исследованы оптимальные методы приема дискретных модулиро-
модулированных сигналов оптического диапазона.
В четвертой главе исследуется и разрабатывается метод стати-
статистической оценки среднего времени вхождения в связь двух объек-
объектов, снабженных системами сканирования узких лучей ОКГ и со-
соответствующими приемниками Необходимость включения этого
материала в монографию объясняется чрезвычайной актуально'
стью проблемы, поскольку реализация преимуществ оптических
(лазерных) систем связи существенно зависит от ширины диа-
диаграмм направленности антенн передающих и приемных устройств,
что определяет, с одной стороны, энергетику передатчика и чувст-
чувствительность приемника, а с другой — вес и габариты оптических
антенных устройств. Анализ этой проблемы со статистических по-
позиций объясняется практической возможностью создания антенных
устройств приемопередатчиков с чрезвычайно узкими диаграмма-
диаграммами направленности, относительно большими областями сканиро-
сканирования лучей, что не исключает возможность случайного поиска
корреспондента, и, наконец, действием интенсивных помех в кана-
канале связи при больших дальностях.
15
Глава 1.
Свойства когерентных
оптических систем связи
1.1. ФИЗИЧЕСКИЕ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
КОГЕРЕНТНЫХ ОПТИЧЕСКИХ КАНАЛОВ СВЯЗИ
Разработка источников когерентных электромагнитных ко-
колебаний оптического диапазона — оптических квантовых генера-
генераторов (ОКГ) — вызвала у инженеров-разработчиков большой ин-
интерес к созданию лазерных систем передачи информации. В по-
последнее время появилось большое число экспериментальных об-
образцов таких систем (телефонных, телеметрических, телевизион-
телевизионных и т. д.).
Функциональная блок-схема лазерной системы передачи ин-
информации несущественно отличается от общепринятых систем свя-
связи радиодиапазона (рис. 1.1). В нее входят источник информа-
информации, передатчик на ОКГ, модуляторы A — при применении внут-
внутренней модуляции, 2 — при внешней), оптические антенны пере-
передатчика и приемника, фильтр, оптический квантовый усилитель
Передающее устройство
Оптическая
антенна
реЯатчика
Устройство
точного на-
нацеливания
Приемное у строй ст
Генератор,
накачки
Устройство
точного на
целиВания
Источник
питания
Второй ' _
детектор ~
Усилитель
полосы час-
частот UHWOD,
Потреби -
тель инфор-
информации -
\(р)
Рис. 1.1. Функциональная блок-схема оптической системы связи
16
(ОКУ) и другие элементы, назначение которых очевидно из их
наименований. Штрихованные соединения между блоками соот-
соответствуют световым связям; блоки, обведенные штриховыми ли-
линиями, включаются в зависимости от используемых методов мо-
модуляции (внутренней или внешней) и приема (прямое детектиро-
детектирование или супергетеродикное). Особенностями системы являются
прежде всего диапазон рабочих длин волн и когерентность излу-
излучения. Эти особенности приводят к необходимости создания уст-
устройств точного нацеливания антенн передатчика и приемника, так
как диаграммы направленности их могут определяться значения-
значениями нескольких дуговых секунд (при малых весах и габаритах ан-
антенных систем). Случай широкой диаграммы направленности ан-
антенны передатчика имеет место, когда сигнал ОКГ является слож-
сложным и состоит из большого числа типов колебаний (мод). Однако,
даже если лазер передатчика работает на одном типе колебаний,
часто необходимо иметь широкий луч, хотя бы для успешного ре-
решения задачи нацеливания (перехвата) и слежения за связным
ретранслятором1). В то же время узкие диаграммы направленно-
направленности позволяют реализовать существенно большие дальности свя-
связи, однако и здесь возникают свои проблемы, связанные с обзором
больших объемов пространства узкими лучами за короткие интер-
интервалы времени, и проблемы стабилизации направления луча. Созда-
Создание прецизионных быстродействующих устройств нацеливания уз-
узких лучей, обеспечение одномодового режима работы ОКГ, разра-
разработка точных устройств сопровождения позволят полностью реа-
реализовать экстремальные характеристики направленности лазерных
систем. В этом случае сечение луча может приблизительно совпа-
совпадать с поверхностью апертуры приемной системы, поверхностью
ретранслятора или цели; кроме того, случай полного перекрытия
целью сечения луча имеет место при посадке объекта на земную
или лунную поверхность.
Следует отметить еще одну важную особенность оптических
систем связи — влияние атмосферы на прохождение излучения.
В настоящее время существует тенденция недооценивать возмож-
возможности оптической связи через земную атмосферу; считается, что об-
облака, осадки и туманы на трассе значительно ограничивают при-
применимость оптических линий связи. Однако эти трудности, как по-
показывается в [88], не препятствуют созданию в атмосфере канала
оптической связи для передачи большого объема информации и
для канала связи космос—Земля. Оптическая линия связи Земля—
космос также возможна, хотя за счет атмосферной турбулентности
эффективная ширина луча антенны увеличивается, по крайней ме-
*) Цод связным ретранслятором понимаем объект, снабженный зер-
зеркальным или диффузным отражателем; при соответствующей конструкции си-
системы или модулирующего устройства ретранслированный луч может быть
переносчиком -информации [42]; частным случаем связного ретранслятора являет-
является локационная цель, характеризуемая физическими свойствами и площадью
отражающей поверхности.
17
ре, на несколько секунд дуги; кроме того, флуктуации полезного
сигнала в турбулентной атмосфере вносят свою долю ошибок в
системы.
К сожалению, возможности оптической связи даже при строгом
учете этих ошибок игнорируются ввиду широко распространенного,
мнения, что создаваемые турбулентностью временные и простран-
пространственные замирания сильно ограничивают возможности оптичес-
оптических каналов связи. Детальные исследования показывают, что ат-
атмосферная турбулентность не является главной причиной ограни-
ограничения возможностей оптических систем связи [88].
В разд. 2.7 проводится аналитическое сравнение адаптивных
к турбулентностям атмосферы приемников с неадаптивными. В ре-
результате анализа показано, что при упрощенной модели турбу-
турбулентного атмосферного канала надежность работы системы связи
снижается, но эти потери невелики при соответствующем управле-
управлении отношением сигнал/шум, т. е. при адаптации порога приемной
системы к флуктуациям интенсивности сигнала.
Одной из важнейших особенностей является высокая пропуск-
пропускная способность (информативность) оптических когерентных си-
систем связи, которая, естественно, определяется высокой частотой
несущего колебания. Эта особенность определяет многоканаль-
ность системы и возможность передачи больших объемов инфор-
информации за малые промежутки времени.
Приведенная на рис. 1.1 блок-схема, безусловно, не является
оптимальной; ее построение основано на традиционных представ-
представлениях радиотехники, когда результаты общей (статистической)
теории решений не применялись. Критерий качества системы но-
носил функциональный, а не статистический характер; влияние шу-
шумовых сигналов на качество системы учитывалось лишь отношени-
отношением сигнал/шум.
Важнейшими особенностями общего статистического подхода
к теории синтеза оптимальных систем являются: математическая
строгость решения и, следовательно, его достоверность в пределах
принятых априори предположений и свойств аналитических выра-
выражений для распределений сигналов и помех, а также ограничений,
накладываемых на сигнал и канал связи; четко и однозначно оп-
определенные критерии оптимальности полученных решений, осно-
основанные на статистической проверке гипотез; четко выраженные
ограничения синтезируемых систем и, следовательно, ясно очер-
очерченные области применения этих систем.
В соответствии со сказанным и для разработки вопросов ста-
статистической теории передачи информации в оптическом диапазо-
диапазоне обобщенную статистическую модель системы связи можно пред-
представить в виде рис. 1.2 [14], к рассмотрению особенностей которой
мы переходим. В этой схеме предполагается, что источник инфор-
информации генерирует последовательность дискретных символов (со-
(сообщений), выбираемых из конечного ансамбля таких символов
(сообщений); аналоговые сигналы могут быть преобразованы в
18
дискретную форму временной дискретизацией и квантованием по
амплитуде. Входные сигналы затем должны быть преобразованы
в форму, наиболее подходящую для передачи по каналу при по-
помощи кодирования и модуляции.
Мультипли-
Мультипликативные
дозмущения
Внешнее
фоновое
излучение
Источнин
информации
Кодирующее
устройст-
устройство
Генератор
сигналов
I
Канал
г
Приемник
сигналов
Внутренн
шумы
приемник
ие
а
Цеиодирующее
устройство
Потребитель
информации
Рис. 1.2. Обобщенная статистическая модель оптической системы связи
Статистическая природа канала проявляется прежде всего в
том, что источник информации является стохастическим; кроме то-
того, квантование, кодирование и модуляция вносят свои случайные
ошибки.
При прохождении сигналов в канале мультипликативные воз-
возмущения среды ослабляют случайным образом полезный сигнал и
вносят случайные фазовые задержки. В приемной части системы
связи сигналы детектируются и декодируются. Фоновая радиация,
обусловленная отраженным солнечным светом, звездами, планета-
планетами и другими источниками, является внешним шумом по отноше-
отношению к приемнику; это излучение аддитивно комбинируется с внут-
внутренним шумом приемника, вызывая случайную эмиссию фото-
фотоэлектронов.
Эффективность аналоговых систем связи обычно оценивается
качеством воспроизведения выходного сигнала на приемной сторо-
стороне по отношению к входному сигналу источника информации и
количественно характеризуется среднеквадратической ошибкой,
максимальной ошибкой или некоторыми другими критериями.
Квантованные по времени импульсные и цифровые системы харак-
характеризуются вероятностью ошибочного приема информационного
«отсчета» или двоичного знака.
Для оценки качества приема необходимо характеризовать про-
процесс оптического детектирования, а это, в свою очередь, требует
знания распределения вероятностей сигнала на выходе фотоде-
фотодетектора. Вопрос о статистических распределениях сигналов и шу-
шумов подробно рассмотрен на основе квантовомеханического анали-
анализа в приложении 2; кроме того, в разд. 1.2 приведена сводная таб-
таблица распределений.
19
Чувствительный элемент приемной системы, рассматриваемый
здесь, моделируется фотоэлектронным счетчиком, например ФЭУ,
или счетчиком фотоионизационных переходов (предполагается,
что последние можно точно фиксировать). Такая модель чувстви-
чувствительного элемента вполне реальна, и следует ожидать ее дальней-
дальнейшего улучшения. Следует указать также, что сейчас ведутся раз-
разработки так называемых «бломбергеновских» счетчиков квантов,
основанных на использовании инвертированной активной среды.
Применение счетчиков квантов в приемной системе эквивалент-
эквивалентно так называемому энергетическому обнаружению, которое осно-
основано на измерении и фиксации элементарных порций энергии, за:
ключениой в сигнале. По сравнению с обнаружением на низких
частотах энергетическое обнаружение в оптическом диапазоне
иногда более предпочтительно вследствие большей простоты энер-
энергетических приемников оптического диапазона по сравнению с оп-
оптическим гетеродинным приемником, являющимся весьма слож-
сложным и критичным в конструировании и настройке. Кроме того,
эффективность приема на квантовых счетчиках в ряде систем вы-
выше эффективности супергетеродинного приемника.
Источниками внешних аддитивных шумов могут быть любые
фоновые источники, попадающие в поле зрения приемника (вклю-
(включая Солнце, Луну, звезды). Очень часто наиболее интенсивными
шумами являются отраженное связным ретранслятором или рас-
рассеянное атмосферой солнечное излучение, попадающее в приемное
устройство. Указанные источники фоновых шумов являются тепло-
тепловыми [24, 56] и при малых значениях энергии, приходящейся на
степень свободы поля, воздействующего на чувствительный эле-
элемент приемника, могут описываться распределением Пуассона.
Удовлетворить условию малости энергии, приходящейся на сте-
степень свободы поля1), нетрудно, так как продолжительность от-
счетного интервала (или длительность информационного сигнала)
для ряда систем связи оптического диапазона составляет всего не-
несколько наносекунд; кроме того, необходимо учитывать существен-
существенные ограничения, связанные с созданием узкополосных оптичес-
оптических фильтров. Например, при длительности информационного сим-
О
вола Г=5-10~9 сек, полосе фильтра 10 А (что при длине волны
0,7 мк составляет 1012 гц) и при среднем числе фотоэлектронов за
интервал наблюдения s = 10 имеем
= 2-10~3« 1.
7Дш
Если учесть, что при диффузном отражении сигнала от опти-
оптически «грубой» поверхности ретранслятора или при рассеивании
солнечного света атмосферой имеет место большой ансамбль эле-
элементарных точечных рассеивателей, случайно расположенных в
') Число степеней свободы поля характеризуется произведением ГДш, где
Да) — полоса частот поля; Т — интервал времени, в течение которого наблю-
наблюдается поле.
2')
пространстве, то из-за случайного характера элементарных рассеи-
рассеивателей необходимо считать фазу и амплитуду сигнала случайны-
случайными; тогда в силу центральной предельной теоремы процесс может
описываться комплексным гауссовским случайным процессом как
в пространстве, так и во времени. Классический и квантовый ана-
анализ показывает, что в этих случаях статистика может описывать-
описываться отрицательно-биномиальным законом [24, 50], который в опре-
определенных условиях сводится к геометрическому распределению
(Бозе—Эйнштейна) или к распределению Пуассона (последнее
является предельным для большинства дискретных распределе-
распределений).
Основным источником внутренних шумов является темновой
ток чувствительного элемента приемника, который не зависит от
падающего оптического сигнала; статистическое распределение
«шумовых» фотоэлектронов в этом случае часто моделируется
статистикой Пуассона [23, 24].
При дискретной модуляции по интенсивности полагается, что
сигнал передатчика линейно поляризован, имеет прямоугольную
огибающую, несущая частота приблизительно монохроматична.
Эти факторы весьма близки к возможностям практической реали-
реализации и существенно облегчают теоретический анализ. В теорети-
теоретических работах по энергетическому обнаружению и приему сигна-
сигнала как с классической, так и с квантовой точек зрения, как пра-
правило, считается что сигнальное распределение подчинено закону
Пуассона. Такое распределение справедливо для оптического
квантового генератора, работающего в одночастотном режиме с
амплитудной стабилизацией (см. приложение 2). Если значение
оптической энергии не задано точно, а флуктуирует статистичес-
статистически, то распределение фотоэлектронов в общем случае не подчи-
подчиняется закону Пуассона — необходимо усреднение по распределе-
распределению флуктуакий, например, по отрицательно-экспоненциальному
закону, как это сделано в [24]. Если в качестве плотности распре-
распределения флуктуации энергии или мощности принять дельта-функ-
дельта-функцию, что справедливо для идеально монохроматического стабили-
стабилизированного ОКГ, опять приходим к стационарному распределе-
распределению Пуассона, дисперсия которого минимальна.
Кроме того, на посылаемый и ретранслированный сигнал «на-
«накладываются» аддитивные и мультипликативные помехи, что зна-
значительно искажает исходные статистические распределения. На-
Наконец, для полноты описания сигнала необходимо еще, конечно,
учесть допплеровский сдвиг частоты, обусловленный перемещени-
перемещением ретранслятора или приемного устройства, и частичную или пол-
полную деполяризацию светового сигнала вследствие прохождения в
атмосфере.
Таким образом, даже краткий перечень ситуаций, вытекающих
из рассмотрения обобщенной статистической модели системы свя-
связи (рис. 1.2) и имеющих практическое значение для систем связи
оптического диапазона, свидетельствует о многообразии статисти-
21
ческих распределений сигнала и шума, не говоря уже о суперпо-
зйционных полях, являющихся комбинациями сигнальных и шумо-
шумовых полей.
Статистическая модель, рассматриваемая здесь, предполагает
наличие кодирующего и декодирующего устройств. Применение
корректирующих ошибки, статистических, групповых и других
кодов вполне возможно и даже желательно в лазерных системах.
В частности весьма перспективными кодами являются так назы-
называемые псевдослучайные последовательности {48]. Вариант такой
системы с дискретной поляризационной модуляцией и с набором
цифровых согласованных фильтров в качестве декодирующей
схемы псевдослучайных последовательностей рассмотрен в гл. 3.
В заключение этого раздела следует оговорить, что мы косну-
коснулись лишь простейших видов распределений сигналов и шумов,
встречающихся в практике инженерного проектирования систем
связи. В действительности число видов распределений значитель-
значительно больше, аналитические выражения распределений (сигнала,
шума и их комбинаций) зависят от целого ряда параметров, та-
таких, как длительность интервала наблюдения, ширина полосы час-
частот шумового сигнала, смещение несущей частоты сигнала от
центральной частоты шумового поля, ширина полосы входного
фильтра, интенсивности полей, вид модуляции, степень турбулент-
турбулентности атмосферы и др. Строгий вывод ряда распределений с уче-
учетом сказанного приведен в приложении 2, а сводная таблица — в
разд. 1.2.
1.2. ФИЗИЧЕСКИЕ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
ОПТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
При теоретических исследованиях и в практике инженер-
инженерного проектирования связных и локационных систем оптического
диапазона весьма важно знать статистические характеристики оп-
оптических полей. Одной из важнейших характеристик свободного
оптического поля является так называемая весовая функция по-
поля. Весовая функция поля Р(а) играет роль, аналогичную плотно-
плотности вероятности, для распределений значений комплексной ампли-
амплитуды поля а по комплексной плоскости. Основной характеристи-
характеристикой, описывающей результат взаимодействия оптического поля с
приемником (например, с фоточувствительной поверхностью), яв-
является распределение вероятностей Р(п, Т) появления фиксиро-
фиксированного числа п фотоэлектронов (или переходов в фотоионизаци-
фотоионизационные состояния) за постоянный интервал наблюдения Т. Произ-
Производящая функция этого распределения позволяет путем дифферен-
дифференцирования находить как сами вероятности Р(п, Т), так и стати-
статистические моменты распределений.
Знание этих характеристик позволяет находить оптимальные
структуры приемных устройств, определять флуктуации оптичес-
22
ских сигналов и тем самым находить предельную чувствительность
и точность квантовоэлектронных приборов и т. д.
Математически строгий вывод статистических характеристик
для широкого класса оптических полей дан в приложении 2.
В данном разделе приводится сводка и дается краткая харак-
характеристика распределений вероятностей, производящих функций
распределений, весовых функций и статистических моментов рас-
распределений большого класса оптических полей, встречающихся
при проектировании связных и локационных систем оптического
диапазона.
При возбуждении поля одномодовым одночастотным кванто-
квантовым генератором излучение является когерентным и дает распре-
распределение Пуассона для отсчетов фотоэлектронов на выходе фотоде-
тект.ора (например, ФЭУ). Все статистические характеристики
(распределение вероятностей, производящая функция, моменты)
одинаковы независимо от того, известна или неизвестна фаза из-
излучения. Физически это обстоятельство объясняется «потерей» фа-
фазы при регистрации отдельных фотонов (в соответствии с прин-
принципом неопределенности). Распределение Пуассона имеет мини-
минимальную дисперсию из всех распределений, встречающихся при
описании статистических свойств оптических полей A,2; табл. 1.1).
Кроме того, в табл. 1.1 приведены характеристики одномодового
излучения с равномерными распределениями абсолютной ампли-
амплитуды и фазы.
При возбуждении одной моды большим числом хаотических
макроскопических источников имеет место гауссовское распреде-
распределение амплитуд поля; к такого рода хаотическому шумовому из-
излучению относят тепловую радиацию, радиошумы с гауссовским
распределением амплитуд, спонтанное излучение, излучение Че-
ренкова, излучение неба, звезд и т. д. Нередки ситуации, когда
прием и обнаружение полезного когерентного сигнала производит-
производится на фоне хаотического теплового излучения, поэтому знание
статистических характеристик таких полей представляет несомнен-
несомненный интерес. Распределение вероятностей отсчетов фотоэлектронов
описывается законом Бозе—Эйнштейна (подробнее об этом рас-
распределении см. ниже) D; табл. 1.1).
Рассмотренные выше характеристики излучения являются ре-
результатом возбуждения одной моды либо когерентным источником
(ОКГ), работающим в одночастотном режиме, либо ансамблем
хаотических шумов источников. Однако в оптических системах
связи и локации излучение на приемной стороне является смесью
или суперпозицией когерентного сигнала и шумового хаотическо-
хаотического поля. При обеспечении приемником хорошей пространственной
и частдтной селекции возникает вопрос об обнаружении и выделе-
выделении полезного сигнала из одномодового излучения, являющегося
суперпозицией некогерентного и когерентного излучений с извест-
известной начальной фазой. В приложении 2 путем свертки весовых
функций составляющих нолей получена результирующая весовая
23
Таблица 1.1
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАЗЛИЧНЫХ ВИДОВ ОПТИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
с
с
1
2
3
Вид поля
Одномодовое (од-
ночастотное) коге-
когерентное излучение
с известной фазой
Одномодовое коге-
когерентное излучение
с неизвестной фазой
Одномодовое из-
излучение с равномер-
равномерными распределе-
распределениями абсолютной
амплитуды и фазы
Распределение вероятностей появления п фотоэлектронов
(переходов) в интервале времени Т
"~sc -1с
п!
и 00
п\ Ь LJ k\ 2(n^k) -fc 1
Производящая функция F (Я)
F (Я) = е-Г5°
Продолжение
Вид поля
Весовая функция Р ({а'})
Статистические моментй
Примечание и обозначения
Одномодовое (од-
ночастотное) коге-
когерентное излучение
с известной фазой
= бB) (а-ас)
n =sc
Идеальное излучение
лазера, работающего в од-
номодовом одночастотном
режиме с амплитудной ста-
стабилизацией.
ас — комплексная ампли-
амплитуда излучения
(сигнала),
70 — среднее число пере-
переходов (фотоэлектро-
(фотоэлектронов) за интервал
наблюдения Т,
n[m]—факториальный
момент m-го поряд-
порядка
Одномодовое коге-
когерентное излучение
с неизвестной фазой
1
2л | ас |
| а | - |ас|
n — sc
Излучение одномодового
лазера с амплитудной ста-
стабилизацией
Одномодовое из-
излучение с равномер-
равномерными распределе-
распределениями абсолютной
амплитуды и фазы
Р(ас) =
1
2п |ас | Ъ '
1/Ь, 0< |а|
О |а| > 6,
R (ф) = 1/2п
2m -f 1
Постоянный коэффици-
т)ЬшсГ
eHTAl= 2D ¦
Интеграл вероятности
X
ф (х) = f e~'* dt.
Продолжение
с
с
4
5
6
Вид поля
Одиомодовое не-
некогерентное (хаоти-
(хаотическое) излучение
Одномодовое из-
излучение, являюще-
являющееся суперпозицией
некогерентного и
когерентного излу-
излучения с известной
начальной фазой
Одномодовое из-
излучение, являюще-
являющееся суперпозицией
некогерентного и ко-
когерентного излуче-
излучения с неизвестной
начальной фазой
Распределение вероятностей появления п фотоэлектронов
(переходов) в интервале времени Т
1 Suj \
Р (п, Т) = z— " =—
1 + %1 V 1 + Sm /
Р- Т) * ( ^ У" с 1+1"' -
L shi (l + sm) J
То же
Производящая функция F (Я.)
1
"«с
г (Л) —• в
То же
Лрооолзкение
Ё
4
5
6
Вид поля
Одномодовое не-
когерентиое (хаоти-
(хаотическое) излучение
Одномодовое из-
излучение, являюще-
являющееся суперпозицией
некогерентного и
когерентного излу-
излучения с известной
начальной фазой
Одномодовое из-
излучение, являюще-
являющееся суперпозицией
иекогерентного и ко-
когерентного излуче-
излучения с неизвестной
начальной фазой
Весовая функция Р ({а})
|о|«
Р (а) е "ш
1 а-Р |«
Р (а) = —L- е "ш
1в|«+|р|«
Р (а) = -i- е п«» х
х/.B|-"Р')
\ Пш /
Статистические моменты
n = sm -f sc.
n* ="s^ +7C ( 4^ ^ 1) 4. 2s^ 4-^u.
Д7? = 2^ ii +7С ф^2 ^"^.
\ Sm/
To же
Примечания и обозначения
Излучение, возбужда-
возбуждаемое ансамблем хаотичес-
хаотических макроскопических ис-
источников (тепловая радиа-
радиация, гауссовы шумы и др.).
а — комплексная амплиту-
амплитуда хаотического (шу-
(шумового) излучения.
sm — среднее число фото-
влектроиов за интер-
интервал наблюдения Т.
Р — комплексная ам-
амплитуда сигналь-
сигнального излучения.
l^i [х] — вырожденная ги-
пергеометричес-
пергеометрическая функция
/0 (*) — функция Бессе-
Бесселя первого рода
нулевого поряд-
порядка от действи-
действительного аргу-
аргумента
Продолжение
Вид поля
Распределение вероятностей появления п фотоэлектронов (переходов)
в интервале времени Т
Производящая функция F (Я.)
Одномодовое из-
излучение, являюще-
являющееся суперпозицией
двух когерентных
излучений в присут-
присутствии хаотических
тепловых полей
а) Р(п, Г) =
A + Sim + S1112) \ ! + s
^
exp X
_
2 Vsclsc2 cos (i|? — v)
+¦
[sci 4- Sea 4- 2 VsciSg cos (г|> — v)
(sun 4" smi) (sun 4" Sm2 4" 0
X exp —
Sun 4~ Smi ^p"
Вид поля
Весовая функция Р ({а
Одномодовое из
лучение, являюще
еся суперпозицией
двух когерентных
излучений в присут-
присутствии хаотических
тепловых полей
я (пШ1 4- пшг)
Г |ое—р — у |g 1
X exp - -= м -
L «Ш1 4" ПШ2 J
То же
Продолжение
Статистические моменты
п = Sun + «Ш2 + Scl + Sc2 + 2 X
X V Sci sC2 cos(\|) —v);
r-^ — "J
Sci + sc« + 2 У Sci sc2 cos (г|) — v) J2 +
+ [sci + sc2 + 2 У sci sc2 cos (i|j — v) J X
X [ - (%, + 1Ш2) + 1] + 2 (%, +7m2J-h
"Г Snii -j" sm>2;
(Д«? == I Sci + Sc~2 + 2 /sci S^j X
X COS A|J - v)| [2 (%! +i,) + I] +
¦ sm2) 4" Sun 4-|.sui
sc2 -+¦ sc2
%i + 2 /
sc2 ;
ci + sc2 + 2 VA
+ 1 ] + 2 (sun
sc2 j [4 (sm
4- smi 4- sm8;
% +7J
(Д n)a = [scl 4- sc8 4- 2 ]/ scl sc2 J X
X [2 (s^n + 7шг) 4- 1 ] 4-
4" smi 4" sm2-
+7шгJ 4-
Примечания и обозначения
Соотношение начальных
фаз когерентных полей
произвольно и фиксирова-
фиксировано.
Р и у — комплексные
амплитуды первого и вто-
второго когерентных полей;
г|) и v — начальные фа-
фазы первого и второго ко-
когерентных полей.
Разность фаз когерент-
когерентных полей i|>—v равна
нулю
ё
Продолжение
Вид поля
Распределение вероятиостей появления п фотоэлектронов (переходов)
в интервале времени Т
Производящая функция F (Я,)
Одномодовое из-
излучение, являюще-
являющееся суперпозицией
двух когерентных
излучений в присут-
присутствии хаотических
тепловых полей
в) Р(п, Г) =
2я1
2я Г
(jexp -
-Ф- Sc» 4- 2 Vhi Set cos (t|> — v)
Ф «Ш! Ф
У sci
cos (yji—
г)
X exp
4sc
— л; 1; —
0 44
Суперпозиция од-
одной когерентной мо-
моды и многомодового
гауссовского шумо-
шумового поля
а) Медленные флуктуации шумового поля (ГДш С 1.)
1) |шс — шо|Г<С 1
"«5,
2) |<вс-соо|Г» 1
Р(п, Г)- —
а) Медленные флуктуации шумового
поля (ГДш<С 1)
(Вс — <в0 | Т « 1
1 Г XT. 1
F(«'
2) I а»с — оо01Г
-zr- exp —
5щ)"+1 /п—0 ml L Sm
Продолокяние
Вид поля
Одномодовое из-
излучение, являюще-
являющееся суперпозицией
двух когерентных
излучений в присут-
присутствии хаотических
тепловых полей
Суперпозиция од-
нон когерентной мо-
моды и многомодового
гауссовского шумо
вого поля
Весовая функция р ({«})
Р (о) = ¦
X ехр
Л («mi + «шг)
ЛШ2
X exp
=—=— х
Ktlj
l«/-«cl2 \
To же
Статистические моменты
Примечания и обозначения
4A,
sc
(An)8 =
Scl 4- %2
Sc2 + 2 SC1
+7Ш2) + 2 (sml + sm2J
s 4" sm
п= 2Bsc4- sm).
n2 = 16s^ 4- 4s^ ( 8sm 4- 0 4- Ц, 4- 2sm
(AnJ = 4s"c ( 4s^ 4- 0 + 4sfu 4- 27ш
n = sc 4" Siii.
=1? 4- % D4 + l) 4-
Тш.
s 4 sf 4 s
A n2 = 2scsm 4- sc 4- s;
П = SC 4- Su;
sm
Закон распределения
разности фаз когерентных
полей i|> — v равномерный
A/2п); производится ус-
усреднение по распределению
разности фаз
1J5_— V_= O^Sun = Sm2 =
= sm, s,-! =Sc2= sc (ин-
(интенсивности сигнальных и
шумовых полей одинако-
одинаковы)
Т — интервал наблюде-
наблюдения. Шд — центральная
частота спектра шумового
излучения. шс — частота
когерентной составляю-
составляющей. Ln — полином Лагер-
ра n-го порядка
Распределение можно
выразить через неполную
гамма-фуикцию (см. ниже)
Продолжение
Распределение вероятиостей появления п фотоэлектронов (переходов)
в интервале времени Т
Производящая функция F (?-)
б) Быстрые флуктуации шумового поля (Г Дсо > 1)
Р (п, Т) =
т=0
Г (Г Дсо -f п — т)
Г(ГДсо)Г(п-т +
"X
б) Быстрые флуктуациии шумового
поля (Т Дсо > 1)
1
ч^ ? —^^
(п — т) р ( 1 + s,'t
X 1-
(ГДсо + n— т— 1) 1-f psu
^ IГ p(i+~4) l
^ш) J[ 1-fpSu, J
г
хр —
L
' ~S \ГД@
,1+Я7гД^"]
X ехр
+ К
Т Дсо
Предельные случаи
а) р = 1 (сос S соо)
Р(п, Т)=-
г ГДш—1
X
X ехр
а) р =
Х
X ехр
-Я
1 + Я sm/r Дсо
Продолжение
8|
Вид поля
Весовая функция р ({«^
Статистические моменты
Примечания и обозначения
X ехр
= —¦=- X
/
п, )
Д rt8 = sc -f
ГДсо
ГДсо
ехр
rtft /
То же
- - _ m
Д na = s,. + sm + 2% —— +
ГДсо
+
ГДсо ГДсо
Lm (x) — полином Лагер-
pa m-го порядка.
Г (х) — гамма-функция.
При лоренцевой форме
спектра шумовой состав-
составляющей поля
2Дсо2
При прямоугольной фор-
форме функции корреляции
шумового поля
_ sin [(coc—со„) т]
~ 2 (сос — соо)т
1
т =
2Дсо
ГДсо
I™®'1 (х) — обобщен-
обобщенные полиномы Лагерра
Продолжение
с
с
%
9
Внд поля
Многомодовое не-
некогерентное излуче-
излучение с гауссовской
весовой функцией
Распределение вероятностей появления п фотоэлектронов (переходов)
в интервале времени Т
б) р->0, т. е. |шс —шо|Г> 1
ехр(-Гс) Г Уш 1"
Р(п, Т) S— X
{ 1 +~s') a 1 4-~s'
J\ Г (Г Дш + п — т) \\ ( 1 -\-~s')]m
Л ^о Г(ГДш)Г(« —т+1)Г(ш+ 1) ("i^)m
Sin
в> ГДш«'
„ _, ( sc"b sav ехр 1 — ( sc-|- *шI
~ я|
а) Медленные флуктуации (Г Дш <С 1)
1 / ~i \п
р(», г) ( 5ш
1+«ш \ 1+Su, /
б) Быстрые флуктуации (Т Дш > 1)
„ ^ (гдш+п-шГ ~s; 1"Г 1 7ЛШ
Р("'Г) (гди-.)и|[ 1+-,; J [ 1+1; J
Производящая функция F(>.)
1
X ехр [ — Х\]
в) 1щ/Г Дш С 1
* \Л^ ¦—¦ 6Хр 1 ~~ л у Sg ~j~ Sm) \
а) ГДш«1
1
б) Т Дш » 1
1
9
й
Вид поля
Многомодовое не-
когерентиое излуче-
излучение с гауссовской
весовой функцией
Весовая функция Р ({а })
1 1 а* Is \
хехр -~^-
V "* /
То же
Р ({а*}) = П —=~ X
То же
Статистические моменты
n = sc+sm.
п* -= 2i^ + s~
П =8Ш.
Продолжение
Примечания и обозначения
—
—
—
Продолжение
Вид поля
Распределение вероятностей появления п фотоалектроиов (переходов)
в интервале времени Г
Производящая функция F (X)
Sin
в) у. <С 1 (энергия, приходящаяся на степень свободы по-
поля, мала)
бш ехр ( — Sui)
Р(П, Т)= ;
Г До *'
F (к) = ехр (— Я sin)
10
Суперпозиция не-
когерентного сигна-
сигнала и хаотического
шумового поля
а ) Медленные флуктуации шумового поля и некогерентного
сигнала (Г Дсо <С 1)
1) Т\щ — щ\<1\
Г | toL —
2) Г|ш1-(в2|» 1
Р (п, Т) =
2) Т\в>1 — ш2|
П родолжение
С
с
10
.Вид поля
«
. Суперпозиция не-
некогерентного сигна-
сигнала и хаотического
шумового поля
Весовая функция Р ({а })
р({*ь})-Г\п-Пк х
Г 1 а* I2 1
'«"•})-П„5, х
X ехр - У^
L «* J
То же
Статистические моменты
n =Sm.
nim]=ffli (ii+F2)'n
n=Tl + 7i.
д «a = ^ + i2 +12 +1|
Примечания и обозиачрния
—
u)l — частота некоге-
некогерентной сигналь-
сигнальной составляющей
поля.
ш2 — центральная час-
частота спектра шу-
шумового поля.
st — среднее число фо-
фотоэлектронов за
интервал наблюде-
наблюдения Т некогерент-
некогерентной сигнальной
составляющем по-
поля.
s2 — среднее число фо-
фотоэлектронов за
интервал наблюде
ния Т шумового
поля.
- h(l + Г2)
Продолжение
Вид поля
Распределение вероятностей появления п фотоэлектронов
(переходов) в интервале времени Т
Производящая функция
б) Быстрые флуктуации шума (ХДсо > 1)
медленные флуктуации сигнала
I И "О Т I
Р(п
(я, Т)=\
б) Т Дш » 1
Р% +
1
m=0
A +р s2 + Sij
(ГА(о+ m—1I
(ТДсо— 1I m!
Предельные случаи
1) р=1
1 "I ГД(О—1
s2 +
I+S2J
X F
— п\ ТА(й; — п;
•X [1 + *Гь]
|p|MMHia|gli
Продолжение
С
с
¦2.
Вид поля
Весовая функция Р({"а})
ft *
Г 1 «А Г 1
X ехр — -
L "A J
• •
Статистические моменты
—
Примечания и обозначения
При экспоненциальной
форме функции корреля-
корреляции шумового поля
2Дю«
s'2 = j. д . При прямо-
прямоугольной функции корре-
корреляции шумового поля
sin (юх — Ю|) т
1
Т~ 2Дт "
Дш — полоса частот шу-
шумового излучения
Fl-n; Ь,-п, г] -
— гипергеометрический
)яд с параметрами (— п,
i, — п):
со
~Ъ п :
г—0
(Ь)г== Т(Ь)
Продолжение
Вид поля
Распределение вероятностей появления п фотоэлектронов
(переходов) в интервале времени Т
Производящая функция F ().)
2) р->0, т. е. Т\щ — ш,|» 1
1
Р (п, Т) =
X
2) р-* 0; Г | &>! — щ | > 1
X F\ — п; Г Лео;
3) s2 \T
+
\ — '\T\<?>
П Суперпозиция мно-
гомодового коге-
когерентного и хаоти-
хаотического полей при
статистической
связи между мо-
модами
В общем виде не получено
det | Л | det |D |
Вид поля
Весовая функция Р({.« })
Xexp —
Ш2
ехр [ — (а —"а) А~1 X
nS det | Л I
Х(а-а)+]
(при отсутствии статистической
связи Р (!аь\\ =
X ехр -
Статистические моменты-
n = tr (ЯЛ) + a # a+;
= 2a RA a+ + tr [(«Л)а] + n
Продолжение
при отсутствии статистической связи п
б
RjjTij + р R р+; Дп2 = 2р ЛЛГ i? P+
б б \
Примечания н обозначения
Г (х; у) — неполная гам-
гамма-функция
Обозначения и объясне
ния символов формул см.
приложение 2
То же
Продолжение
Вид поля
Распределение вероятностей появления п фотоэлектронов (переходов)
в интервале временя Г
Производящая функция F (X)
а) Интервал наблюдения мал, т. е. Т •
ность частот щ — ш/ максимальна.
где раз
а) Г.
1
[1 + fr (RA)]n+l L &(ЯЛ)A+1г(ЯЛ)
aRa+ I
«ft — a
exp
[-r
ЯаЯа+
X exp
Г _
Г 1
1 + Я tr (RA)
tr(RA) J
12
Суперпозиция мо-
модулированных коге-
когерентных и хаотичес-
хаотических шумовых полей
а) Модулированное по амплитуде одним тоном излучение, яв
ляющееся суперпозицией одномодового когерентного н спонтан
ного хаотического полей.
Я (я,
(W [1 + «AM / @1
2л
= {1 + Я
X exp
[ 1+ «AM f W]2[ 1 + *«„[ 1 + «AM
X exp
С
с
¦<
12
w
Вид поля
Суперпозиция мо-
модулированных коге-
когерентных и хаотичес-
хаотических шумовых полей
Весовая функция р ({о J)
Весовая функция при модуля-
модуляции спектром частот
~схр L ^ JA
X П бB) (aft — Yft«o)
ft
Статистические момента
Факториальный момент т-го порядка
tr (ЯЛ)
—
Продолжение
Примечания и обозначения
Обозначения и объясне-
объяснения символов формул см.
приложение 2
Продолжение
Вид поля
Распределение вероятностей появления п фотоэлектронов (переходов)
в интервале времени Т
Производящая функция F (К)
б)*То же, что пункт а), кроме того, модуляция осуществляется
пектром частот, а на модулированное излучение «накладывается»
дополнительное внешнее хаотическое поле
Р(п, Т)=-
[y*y+^ + V4^T
J /-о J
+ - v' -1
+
1 ={1 + Я/ Y#Y+"o
g-l "l-i I
>_ Rjj rij exp | — ^Y R\+ I
6)
g-l
g-l
X exp
13
Статистические
характеристики ла-
лазерного излучения
при малых ампли-
амплитудных флуктуаци•
ях (упрощенные
формулы)
2я
Р(п, Т) = — (s)Bexp(- sJ-^-j A +2тАмсозФ)'1х
X ехр '( — s2mAM cos ф) d <f
Вид поля
Весовая функция Р ({а })
Статистические моменты
Примечания и обозначения
<"~<
х
g-i
П
"ft
Xexp — ¦
Обозначения н объясне-
нения символов формул
см. приложение 2
13
Г Статистические
характеристики ла-
лазерного излучения
при малых ампли-
амплитудных флуктуаци
ях (упрощенные
формулы)
п =s.
— коэффициент глу-
глубины хаотической
амплитудной моду-
_ ляцин.
s — среднее число фото-
фотоэлектронов за ин-
интервал наблюдения
Т.
ф — случайная фаэа
флуктуации.
/0 (а:)—функция Бесселя
первого рода нуле-
нулевого порядка
функция, на основе которой найдены распределение вероятностей
отсчетов фотоэлектронов суперпозиционного пойя, производящая
функция, и выражения для моментов. PacnpeiefleHHe и моменты
выражаются через вырожденную гипергеометрическую функцию
или через полиномы Лагера. Характерно, что статистические ха-
характеристики, кроме весовой функции, полностью совпадают, не-
-зависимо от того, известна или неизвестна фаза когерентной со-
составляющей излучения E, 6; табл. 1.1). Физически такое совпаде-
совпадение можно объяснить нечувствительностью приемника фотонов к
фазе поля.
При оптическом гетеродинном приеме или при измерении ре-
результирующего сигнала кольцевого лазера имеют место одномодо-
вые супериозиционные поля, являющиеся «смесью» двух когерент-
когерентных мод и шумового поля (например, свечения плазмы трубки).
Статистические характеристики одномодового излучения, являю-
являющегося суперпозицией двух когерентных излучений с шумовым
полем, находятся также методом свертки двух исходных весовых
функций (см. приложение 2). Распределение вероятностей отсче-
отсчетов фотоэлектронов и статистические моменты найдены при раз-
различных соотношениях интенсивностей составляющих полей и из-
известной и равномерно распределенной разности фаз сигналов ко-
когерентных составляющих G; табл. 1.1). Эти аналитические выра-
выражения позволяют проектировщику при известных мощностях ко-
когерентных и шумовых полей найти соответствующие моменты н
оценить квантовые флуктуации, от которых зависят предельная
чувствительность и точность практических приборов.
До сих пор мы рассматривали одномодовое одночастотное из-
излучение, возбуждаемое либо когерентным, либо некогерентным
источником, либо обоими сразу. Реально, однако, на практике не
существует пока оптических фильтров, позволяющих выделить од-
одну моду; разработка таких фильтров представляет очень сложную
задачу. На выходе реальных фотодетекторов будет иметь место
поток фотоэлектронов, вызванный когерентным сигналом и много-
модовым шумовым излучением; статистические характеристики
такого излучения будут отличаться от характеристик одномодово-
одномодового излучения.
Следовательно, в оптической связи и локации гораздо более ва-
важен случай приема или обнаружения одномодового когерентного
излучения на фоне многомодового шумового поля. Многомодовое
шумовое поле включает тепловое излучение различных объектов,
суммарное излучение небесного свода, звезд, планет, отраженное
диффузным ретранслятором когерентное излучение, рассеянное
излучение атмосферы, отраженное объектами солнечное излучение
и т. д. Как правило, такое излучение является гауссовым случай-
случайным процессом с соответствующей весовой функцией. Когерент-
Когерентное излучение генерируется оптическим квантовым генератором,
работающим в одномодовом одночастотном режиме (случай ра-
работы ОКГ в многомодовом режиме будет оговариваться особо).
46
Весовая функция суперпозиционных полей в общем виде по-
получается многомерной интегральной сверткой. Производящая
функция имеет довольно громоздкий вид и упрощается при неко-
некоторых предельных случаях. Математически строгий и полный вы-
вывод этих характеристик приведен в приложении 2. Суперпозиция
одномодового когерентного излучения с многомодовым шумовым
полем при медленных флуктуациях последнего и близких частоте
когерентного и центральной частоте шумового поля характери-
характеризуется ранее полученными в B5, 26, 52] распределением, произво-
производящей функцией и моментами, записываемыми через вырожден-
вырожденную гипергеометрическую функцию или полиномы Лагерра п-то
порядка (8; а); 1; табл. 1.1.).
Если частота когерентного излучения и центральная частота
шумового поля сильно разнесены, то получающиеся выражения
для распределения числа отсчетов фотоэлектронов суперпозиции
этих полей, производящей функции и моментов приведены в (8; а);
2; табл. 1.1); распределение вероятностей может быть записано че-
через неполную гамма-функцию; формально это распределение, как
следует из производящей функции, является сверткой распределе-
распределений Бозе—Эйнштейна и Пуассона.
Важным случаем приема когерентного сигнала является обна-
обнаружение его на фоне быстро флуктуирующего шума, т. е. когда
Т~Э> , где Аа — полоса частот шумовой составляющей поля.
Источниками быстро флуктуирующего шума могут быть при неко-
некоторых условиях тепловое излучение нагретых тел, Солнца, отра-
отраженное излучение ОКГ, дающего излучение с небольшим време-
временем корреляции и др. Распределение отсчетов фотоэлектронов та-
такой суперпозиции характеризуется суммой п членов, содержащих
полиномы Лагерра степени m (m—~\, 2,..., п) — в случаях экспо-
экспоненциальной формы функции корреляции шумового излучения или
может быть выражено через обобщенные полиномы Лагерра —
при прямоугольной функции корреляции Ср=1; юс = а)о) (8; б); а);
табл. 1.1). Дисперсии этих распределений значительно больше,
чем дисперсия распределения Пуассона. Однако при смещении
частоты* когерентного излучения относительно центральной часто-
частоты шумового поля (р—>0) дисперсия распределения потока фото-
фотоэлектронов существенно уменьшается при тех же значениях сред-
средних отсчетов для сигнальной и шумовой составляющих поля (8; б);
б); табл. 1.1).
Если шумовое поле теплового происхождения и интенсивность
его слаба, т._е. на степень свободы поля приходится незначитель-
незначительная энергия Sm/T AwCl, то суперпозиция когерентной моды с шу-
шумовым полем характеризуется распределением Пуассона с пара-
параметром, равным сумме отсчетов сигнальной и шумовой составляю-
составляющих поля (8; б); в); табл. 1.1).
Оптические поля, появляющиеся в результате действия многих
независимых макроскопических источников, как уже указывалось,
47
являются некогерентными. Распределение вероятностей отсчетов
фотоэлектронов для некогерентного излучения Получено многими
авторами и при ГЛсо<с1 (медленные флуктуации поля излучения)
описывается законом Бозе—Эйнштейна (геометрическое распре-
распределение) (9; а); табл. 1.1). Это распределение имеет наибольшую
дисперсию из всех распределений, встречающихся при описании
статистических свойств оптических полей. В случае, когда источни-
источником некогерентного излучения также является тепловое излучение,
процесс является быстро флуктуирующим, т. е. TAm^l (время
когерентности поля много меньше времени наблюдения), распре-
распределение вероятностей характеризуется отрицательно-биномиаль-
отрицательно-биномиальным законом (9; б); табл. 1.1). Дисперсия этого распределения
уменьшается при увеличении ГДсо и стремится в пределе к диспер-
дисперсии пуассоновского распределения. Снова, как и ранее, при малой
энергии, приходящейся на степень свободы поля, отрицательно-
биномиальное распределение переходит в пуассоновское, являю-
являющееся, как известно, предельным для более общего отрицательно-
биномиального распределения (9; в); табл. 1.1).
В ряде практических ситуаций важно обнаружить и выделить
из шумов полезный сигнал, являющийся некогерентным (напри-
(например, при приеме многомодового излучения лазера, прошедшего
турбулентную атмосферу; при обнаружении ретранслированного и
несущего информацию или отраженного от цели когерентного из-
излучения «оптически» шероховатой отражающей поверхностью
и т. д.). Поскольку некогерентный сигнал и шумовое поле имеют
гауссовское распределение амплитуд и описываются гауссовскими
весовыми функциями (плотность распределения вероятностей
комплексной амплитуды), то и весовая функция, соответствующая
суперпозиционному полю также является гауссовской. В частном
случае при выделении некогерентного сигнала из медленно флук-
флуктуирующих шумов при близких частотах сигнала и шума и мед-
медленных флуктуациях сигнала распределение вероятностей потока
фотоэлектронов характеризуется законом Бозе—Эйнштейна
A0; а); 1; табл. 1.1). Однако в общем случае присутствие шумо-
шумового поля вызывает изменение распределений; при этом спект-
спектрально — корреляционные характеристики шумового поля, вели-
величина смещения центральной частоты шума относительно централь-
центральной частоты сигнала и время наблюдения Т существенно изменяют
вид получающихся распределений.
В случае когда некогерентный полезный сигнал, являющийся
медленно флуктуирующим процессом, подвергается воздействию
медленно флуктуирующего шумового поля (ТсоД<с1) и при усло-
условии, что частоты обеих составляющих результирующего поля близ-
близки (Т|Ю1—<ог|<С1), производящая функция соответствует геомет-
геометрическому распределению вероятностей отсчетов фотоэлектронов
A0; а); 1; табл. 1.1).
Если частоты сигнальной и шумовой составляющих поля раз-
разнесены настолько, что выполняется условие 7"|o>i—оJ|^1, то про-
48
\
изводящая функция является произведением производящих функ-
функций геометрических распределений, а распределение вероятностей
отсчетов фотоэлектронов формально будет сверткой двух геомет-
геометрических распределений A0; а); 2; табл. 1.1).
Для нахождения статистических характеристик суперпозиции
медленно флуктуирующего некогерентного сигнала и быстро флук-
туирущего шумового тюля GДсо<с1) необходимо знать спект-
спектральные (или корреляционные) свойства шумового поля. При
экспоненциальной и прямоугольной формах корреляционных функ-
функций общие выражения для производящей функции и распределе-
распределения вероятностей отсчетов приведены в A0; б); табл. 1.1). Если
воспользоваться выражением для гипергеометрического ряда B8,
54], то формула распределения вероятностей отсчетов приобретает
более компактный вид. В двух предельных случаях: 1) разность
частот co4 и со2 такова, что р=1; 2) частоты од и ыг близки,
Тj toi—й)г|^1, р-»-0, производящие функции равны произведениям
производящих функций, соответствующих геометрическому и отри-
отрицательно-биномиальному, распределениям (с некоторыми измене-
изменениями параметров). Распределения Р(п, Т) в этих случаях могут
быть записаны как свертки двух указанных распределений
A0; б); 1; 2; табл. 1.1).
В случае, когда шумовое поле имеет тепловое происхождение и
выполняется условие малости энергии, приходящейся на степень
свободы поля, распределение является сверткой геометрического и
пуассоновского распределений; аналитически это распределение
может быть выражено через неполную гамма-функцию A0; б);
3; табл. 1.1).
В практических случаях приема и обнаружения сигнального из-
излучения может иметь место ситуация, когда выделяется ослаблен-
ослабленное широкополосное излучение твердотельного ОКГ (например,
полоса полупроводниковых ОКГ или ОКГ на стекле с примесью
неодимия может достигать нескольких десятков ангстрем) на фо-
фоне теплового шума. В этом случае интервал наблюдения много
больше времени когерентности сигнальной составляющей лоля.
Статистические свойства такого излучения совпадают со свойства-
свойствами быстро флуктуирующего шума и имеют практически пуассонов-
пуассоновское распределение вероятностей отсчетов. Поскольку и тепловое
излучение (при очень слабой интенсивности) может характеризо-
характеризоваться также пуассоновским распределением, суперпозиционное
поле, состоящее из сигнальной и шумовой компонент, будет иметь
закон распределения Пуассона. Аналитическое выражение рас-
распределения вероятности отсчетов фотоэлектронов для многомодо-
многомодового излучения, являющегося суперпозицией ряда когерентных и
шумовых мод при статистической связи между ними, в настоящее
время в общем виде еще не получено; весовая и производящая
функции, а также моменты распределения приведены в A1; табл.
1.1). Из выражения для весовой функции следует, что излуче-
излучение является многомерным гауссовским процессом в комплексном
49
пространстве счетного числа переменных (при конечном числе
мод). Характеристики такого рода полей являются наиболее об-
общими и как результат из них следуют характеристики полей при
отсутствии статистической связи между модами. В частном случае
при малом интервале наблюдения по сравнению с обратной вели-
величиной крайних сигнальных частот излучения распределение веро-
вероятностей выражается через полиномы Лагерр)а, производящая
функция и факториальные моменты легко получаются (см. прило-
приложение 2) A1; а); табл. 1.1).
При практическом проектировании реальных систем связи и ло-
локации необходимо учитывать тот факт, что в излучении одномодо-
вого одночастотного лазера всегда имеется спонтанная хаотичес-
хаотическая радиация; если такое излучение подвергается амплитудной
модуляции относительно узкополосным информационным процес-
процессом, то на выходе фоточувствительного элемента приемника будут
вариации огибающей когерентной и хаотической составляющих в
соответствии с законом модуляции. Распределение вероятностей и
производящая функция модулированного излучения получены в
аналитическом виде при модуляции одним тоном или спектром
частот A2; а); табл. 1.1).
При распространении модулированного излучения по трассе ка-
канала связи неизбежны аддитивные хаотические шумы. Получен-
Полученные общие выражения для весовой и производящей функций по-
позволяют найти аналитическое выражение для распределения числа
отсчетов фотоэлектронов при малых значениях интервала наблю-
наблюдения A2; б); табл. 1.1). Анализ показывает, что статистические
распределения характеризуются своего рода «нестационарностью»,
т. е. по мере изменения когерентной части от нулевого до фикси-
фиксированного значения распределение вероятности изменяется от гео- *
метрического закона к закону Пуассона.
В инженерной практике проектирования лазерных систем пе-
передачи информации может потребоваться найти упрощенным спо-
способом статистические характеристики излучения, прошедшего тур-
турбулентную атмосферу или находящегося под действием других
каких-либо флуктуационных возмущений (например, при меха-
механических случайных вибрациях резонатора, характеризующихся
малой глубиной хаотической амплитудной модуляции). Для этого
случая в выражения для распределения вероятностей, производя-
производящей функции и моментов входит коэффициент глубины хаотичес-
хаотической амплитудной модуляции A3; табл. 1.1). Экспериментальное
определение статистических моментов позволит найти коэффици-
коэффициент глубины модуляции и учесть его в последующих расчетах.
Таким образом, опираясь на рассмотренные статистические
характеристики оптических полей, можно находить алгоритмы и
структуры оптимальных приемников систем связи и локации, оце-
оценивать их предельную вероятностную эффективность на базе мето-
методов математической статистики и производить сравнительную
оценку как приемных устройств, так и систем в целом.
Глава 2.
Оптимальное обнаружение сигналов
оптического диапазона
2.1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В гл. 1 были приведены статистические характеристики
различных оптических полей, в частности были приведены стати-
статистические распределения числа фотоэлектронов на временном ин-
интервале. Знание этих распределений позволяет разрабатывать ста-
статистическую теорию связи в оптическом диапазоне и в первую
очередь исследовать задачи обнаружения и оптимального приема
модулированных сигналов оптического диапазона.
В последующем анализе будем считать, что распределение
фотоэлектронов, обусловленное взаимодействием излучения од-
номодового ОКГ с приемным устройством, подчиняется закону
Пуассона.
Эффективность приема оптической системы зависит от уровня
внешних и внутренних помех. По виду статистических распреде-
распределений внешние и внутренние шумы могут подразделяться на ряд
типов, описываемых в основном распределениями Пуассона и Бо-
зе—Эйнштейна; нередко, однако, шумовое излучение характери-
характеризуется отрицательно-биномиальным распределением. Такие источ-
источники «шумового» излучения, как Солнце, Луна, звезды, рассеян-
рассеянное излучение атмосферы являются внешними тепловыми источ-
источниками (ансамбль некогерентных макроскопических излучателей);
статистическое распределение фотонов для этих источников при
значительной их интенсивности является распределением Бозе—
Эйнштейна, поскольку амплитуды излучения распределены по
закону Гаусса. Следует, однако, отметить, что когда интенсивность
теплового излучения мала, т. е. энергия, приходящаяся на степень
свободы шумового поля, незначительна, распределение-описывает-
распределение-описывается законом Пуассона, так как последний является предельным для
ряда рассматриваемых здесь распределений (см. приложение 2).
Внешним источником помех может быть также лазер — «поста-
«постановщик помех»; в случае одномодового режима излучения этого
лазера статистическое распределение фотонов будет подчиняться
закону Пуассона, в случае многомодового режима — распределе-
распределению Бозе—Эйнштейна [78].
51
При обеспечении хорошей пространственной селекции в прием-
приемном устройстве внешние шумы можно свести к минимуму. В этих
условиях мешающее воздействие оказывают внутренние шумы при-
приемного устройства. Основным источником внутренних шумов фо^-
тоэмиссионного приемника являются шумы, обусловленные тем-
новым током. Темновой ток является результатом случайной эмис-
эмиссии фотоэлектронов с фоточувствительной поверхности и не зави-
зависит от интенсивности поступающего оптического сигнала. Эквива-
Эквивалентное темновому току приведенное ко «входу» приемной систе-
системы статистическое распределение фотоэлектронов обычно счита-
считается пуассоновским [23].
При использовании в качестве входного каскада оптического
приемного устройства квантового усилителя заметным источни-
источником шумов является спонтанная эмиссия. Такого же рода шумы
наблюдаются при использовании в качестве приемного устройства
бломбергеновского квантового счетчика. Оба этих источника шу-
шумов характеризуются статистическим распределением Бозе—Эйн-
Бозе—Эйнштейна. Наконец, следует указать еще на один вид шумов, являю-
являющийся типичным в оптическом диапазоне, — квантовые шумы иа-
лучения, появляющиеся лишь в присутствии излучения (в сущно-
сущности, для излучения одномодового ОКГ с пуассоновским распреде-
распределением фотонов квантовые шумы пропорциональны дисперсии
этого распределения); вопросы оценки квантовых флуктуации оп-
оптических полей и нахождения статистических распределений рас-
рассмотрены в приложении 2.
Таким образом, краткий перечень источников внешних и внут-
внутренних помех в оптических системах связи, а также анализ, про-
проведенный в приложении 2, показывают, что очень часто статисти-
статистические распределения «шумовых» фотонов (фотоэлектронов) под-
подчиняются законам Пуассона или Бозе—Эйнштейна.
Следует отметить, что приведенный выше перечень источников
внешних и внутренних шумов в оптическом диапазоне не исчерпы-
исчерпывает всех источников, достаточно указать на шумы, обусловлен-
обусловленные «разбросом» времени прихода электронов при вторичном ум-
умножении в фотоэлектронных умножителях, генерационно-рекомби,-
национные шумы и «лавинные» шумы в полупроводниковых фото-
фотоприемниках, тепловые шумы последующих каскадов оптических
приемников и т. д. Задача систематизации, классификации и уг-
углубленного исследования внешних и внутренних шумов оптичес-
оптического диапазона с учетом квантовых флуктуации еще ждет своего
решения. Однако можно сказать, что статистические распределе-
распределения шумовых сигналов оптического диапазона в основном будут
определяться двумя указанными выше распределениями или не-
незначительно от них отличаться.
При анализе прохождения шумов по каскадам оптических при-
приемных устройств исходные статистические распределения будут,
конечно, трансформироваться в зависимости от типа каскада
(как это, например, имеет место для квантового усилителя, см.
52
разд. 2.6). Кроме того, при прохождении излучения в турбулент-
турбулентной атмосфере появляются так называемые мультипликативные
шумы. В ходе последующего анализа по мере возможностей эти
источники шумов будут учитываться (см. разд. 2.7; 3.4).
Вопрос обнаружения излучения ОКГ в шумах в условиях боль-
больших дальностей (когда число фотонов в принятом сигнале неве-
невелико или при использовании быстродействующей системы обра-
обработки сигналов, когда также число фотонов за временной интер-
интервал наблюдения мало) представляет интерес как для оптических
систем связи, так и для оптических локационных систем.
Статистическое распределение шумового сигнала в указанных
системах будет зависеть от конструкции и специфики применения
самих систем: длительности интервала наблюдения Т или длитель-
длительности информационного символа, спектральных свойств шумового
поля, ширины полосы пропускания оптического фильтра и др. На-
Например, в случае глубокого охлаждения приемника (резкое умень-
уменьшение темнового тока), использования специальной пороговой
дискриминации в приемнике и при необходимости широкого обзо-
обзора пространства шумы будут в основном определяться внешними
источниками, т. е. распределение будет подчиняться закону Бозе—
Эйнштейна. Если в оптической системе применяется пространст-
пространственная селекция, а приемник не охлажден, то распределение «шу-
«шумовых» фотонов будет подчиняться закону Пуассона и т. д. Следо-
Следовательно, в зависимости от конструкции и назначения системы
класс учитываемых шумовых сигналов будет существенным обра-
образом изменяться.
При проектировании систем локации и связи для инженера-про-
инженера-проектировщика представляет интерес принципиальная сторона во-
вопроса, а именно: необходимо определить оптимальные алгоритмы
обработки сигналов и найти рабочие характеристики методов об-
обнаружения излучения ОКГ в условиях тепловых, пуассоновских
или каких-либо других типов шумов. Имея в своем распоряжении
рабочие характеристики методов приема, инженер-проектиров-
инженер-проектировщик всегда сможет в зависимости от типа оптической приемной
системы оценить ее эффективность с точки зрения помехоустой-
помехоустойчивое™ приема, проанализировать алгоритм и построить структу-
структуру оптимального приемника, произвести сравнительный анализ
оптимальных и субоптимальных приемных систем (последние при
несущественном ухудшении эффективности приема могут обла-
обладать значительными конструктивными преимуществами, в част-
частности — простотой технического решения и минимальным числом
составных элементов).
2.2. ОБНАРУЖЕНИЕ КОГЕРЕНТНОГО ОПТИЧЕСКОГО
ИЗЛУЧЕНИЯ В ПАУССОНОВОКИХ И ТЕПЛОВЫХ
ШУМАХ ПРИ ОДНОКРАТНОМ ОТСЧЕТЕ
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Задача обнаружения весьма слабого полезного сигнала,
соответствующего монохроматическому излучению оптического
диапазона, имеет место в системах связи большой дальности, в
которых в качестве передатчика используется ОКГ, работающий
в одномодовом стабилизированном по мощности режиме, а пере-
передача осуществляется методом активной и пассивной паузы. По-
Подобная задача возникает также при посылке синхронизирующих
сигналов в оптической системе связи и в активной светолокации.
Рассмотрим некоторые типовые случаи, имеющие место при
обнаружении оптических сигналов при однократном отсчете.
ОБНАРУЖЕНИЕ КОГЕРЕНТНОГО СИГНАЛА
В ПУАОСОНОВСКИХ ШУМАХ
Нахождению рабочих характеристик оптимального прием-
приемника при обнаружении монохроматического излучения (обладаю-
(обладающего пуассоновским распределением) в пуассоновских шумах при
однократном отсчете посвящены работы [23, 24]. Рабочие харак-
характеристики находились по известным формулам (с учетом адди-
аддитивности пуассоновских распределений):
РЛп,Т) =
я!
ехр [-(
Ро (п, Т) = -у- ехр (— sm) ;
т= V Ро(п, Т);
л=л.
где sc, sm — средние числа «сигнальных» и шумовых фотоэлектро-
фотоэлектронов за время наблюдения Т (эта величина пропорциональна сред-
средней энергии, принимаемой приемником за время наблюдения, по-
поэтому метод непосредственного подсчета фотонов называют иног-
иногда методом энергетического обнаружения); Р(п, Т) — вероятность
появления точно п фотоэлектронов за время Т; Рлт — вероят-
вероятность ложной тревоги; ЯОбн — вероятность обнаружения сигнала;
щ — порог обнаружения (целое число, округляемое в меньшую
сторону). Порог обнаружения выбирается, .исходя из максимально
допустимой вероятности ложного обнаружения Ял т при данном
среднем уровне шума sm.
В B4] были построены графики зависимости ЯОбн от logsc Для
различных значений параметра sm и при фиксированном значе-
54
нии />лт=10~6. Из графиков следует, что с уменьшением энергии
шума Яш вероятность РОб„ увеличивается, причем при малых сред-
средних значениях sm (I, 10~4, 10~2) требуемая вероятность обнаруже-
обнаружения может быть достигнута всего при нескольких сигнальных фо-
фотоэлектронах (а следовательно, при нескольких сигнальных фото-
фотонах). Поскольку Sm прямо пропорционально времени наблюдения,
максимальное значение Рог>н достигается при малых интервалах
наблюдения. Следовательно, с этой точки зрения следует стре-
стремиться к выбору максимально короткого сигнального импульса,
что согласуется также с результатами ряда других работ.
При Sm->-0 вероятность обнаружения стремится к конечной ве-
величине, меньшей единицы, — это так называемый «фотонный пре-
предел», не имеющий аналога в классической задаче обнаружения.
Этот предел объясняется тем, что существует конечная вероятность
отсутствия сигнальных фотоэлектронов, в то время как оптический
сигнал имеется на входе приемника. Обусловлено это, естественно,
тем, что полезный сигнал характеризуется распределением вероят-
вероятностей. Следовательно, рассмотрение приема оптических сигналов
с учетом квантовой структуры последних указывает на существен-
существенные отличия рабочих характеристик оптических приемников от со-
соответствующих характеристик классических.
ОБНАРУЖЕНИЕ КОГЕРЕНТНОГО СИГНАЛА НА ФОНЕ
МЕДЛЕННО ФЛУКТУИРУЮЩЕГО ШУМОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Рассмотрим вопрос оценки эффективности и нахождения
рабочих характеристик оптимального обнаружителя Неймана—
Пирсона монохроматического оптического излучения в тепловом
шуме при однократном отсчете {99]. В приложении 2 было найде-
найдено статистическое распределение числа фотоэлектронов (отсчетов)
на временном интервале Т при возбуждении приемника хаотичес-
хаотическим медленно флуктуирующим тепловым полем (ТДю<с1); это
распределение имеет вид распределения Бозе—Эйнштейна:
Было также найдено статистическое распределение числа фото-
фотоэлектронов смеси когерентного и теплового полей:
B.1)
55
где
—п; 1; —-о - - j— вырожденная гипергеометрическая
/
функция, записываемая через полином Лагерра:
Первые два момента распределения B.1)
п = sm + se; n2 -=Sc
+ 1) + 2sS,+«ш-
Таким образом, имея распределения теплового шума и суперпози-
суперпозиции когерентного сигнала и шума B.1), можно рассматривать
вопрос обнаружения сигнала в шуме. Входящие в ф-лу B.1) сред-
средние значения обозначим как
sc = ycT,
где Т — длительность выборки (интервал наблюдения);
Yin, y« — плотности потока фотоэлектронов шума и сигнала со-
соответственно.
Для обнаружителя Неймана—Пирсона необходимо найти по-
пороговое значение п = п0, при котором обеспечивается заданная ве-
вероятность ложной тревоги Рл т, т. е,
откуда*)
k=n.
1 + W
гц-
!п
, B.2a)
B.26)
Вероятность обнаружения
обн =
k=no+l
— X
X
SC
2]
ft=O
s ч,
B.3)
') Следует иметь в виду, что п0 — целое число, поэтому при нецелой правой
1пРлт
части B.26) следует брать я0 = ?/ —j~^=—— \,где Е(Х)—целая часть X.
In
/
56
где S= -^ — отношение сигнал/шум. Значения ло и РОбн при
5=10 и Рлт = ]0~2 представлены в табл. 2.1.
Таблица 2.1
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,5
10
Робн
0,1138 0,1280 0,3640 0,42750,5548 0,5652 0,5667 0,6400 0,65390,7149 0,7372-
Как видно из табл. 2.1,.
вероятность обнаружения
при постоянном S растет
С РОСТОМ Sm- МОЖНО ОД-
нако утверждать, что при
неограниченном увеличе-
увеличении sm она будет стре-
стремиться к некоторому чис-
числу, меньшему единицы,
так как такой переход с
физической точки зрения
означает переход из кван-
квантовой области в класси-
классическую, в которой, как.
известно, вероятность об-
обнаружения не зависит от
энергии сигнала, а зави-
зависит лишь от отношения
сигнал/шум.
;При заданном огаоше-
W
Рис. 2.1. Рабочие характеристики приема при одиночном отсчете G"Дю-с1) при*
различных S (а я б)
ЪТ
нии сигнал/шум, независимо от sm (при достаточно большом sm),
вероятность обнаружения есть постоянное число. К этому числу и
должна неограниченно приближаться вероятность обнаружения, вы-
вычисленная по ф-ле iB.3).
На рис. 2.1а—2.16 приведены полученные с помощью ЭВМ
рабочие характеристики приемника Неймана—Пирсона для случая
V
Я*
иг*
ю'
\\ \
я»
1 \
1 \
\
1 \
1 \
\ ч
\
\
\
\
\
\
\
ш
\
\
ю
20
30
Рис. 2.2. Зависимость вероятности ложной тревоги ЯД1
от порогового уровня По при ГДю«М
10
и,О
o,s
оь
0,01-4-
1
//
/
i
//
У '
/ /
f /
/
/
1
1
\
1 i
! 1
i /,
/ /
У
/
/
/
/
/
/
!
i
i
I
1
i
/
/
/
1
1
1
1
-——
/-/
у
/
/
/
/
/
/
f
¦у
^ *— "***"
/
ш
15
20 25
30
Ряс. 2.3. Зависимость вероятности обнаружения от средней анергии при-
принимаемого сигнала для Ялт=/О~6 я РЛт /О4
58
обнаружения монохроматического излучения ОКГ в медленно
флуктуирующем тепловом шуме при однократном отсчете. Эти
характеристики можно использовать для определения эффектив-
эффективности рассматриваемого метода приема при работе систем связи
и локации на предельных дальностях или при большом их быстро-
быстродействии (большом потоке дискретной информации).
На рис. 2.2 и рис. 2.3 приведены в качестве частных примеров
зависимости вероятности ложной тревоги от порогового уровня
при различных интенсивностях шума и зависимости вероятности
обнаружения от средней энергии принимаемого сигнала. Эти гра-
графики позволяют найти требуемое значение порога, обеспечивающе-
обеспечивающего заданное значение вероятности ложной тревоги; найти значение
порогового сигнала, при котором обеспечиваются требуемые зна-
значения вероятностей ложной тревоги и обнаружения, и оценить пре-
предельный энергетический потенциал системы.
ОБНАРУЖЕНИЕ КОГЕРЕНТНОГО СИГНАЛА НА ФОНЕ БЫСТРО
ФЛУКТУИРУЮЩЕГО ШУМОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Аналитические выражения характеристик обнаружения
(Ли т и РОбн) для случая быстро флуктуирующего шумового поля
получены в приложении 3 (ф-лы П.3.29 и П.3.30). Зависимости
рис. 2.4 и 2.5 позволяют, кроме всего прочего, учесть влияние кор-
корреляционных или спектральных свойств шумового поля на харак-
характеристики обнаружения.
го-
го\
\\
V
\
\
\ X
X
П
18
Рис. 2.4. Зависимость вероятности ложной тревоги от порогового уроввя
для ГД<в=5 и ГДш^Ю6
59
Рис. 2-5. Зависимость вероятности обнаружения от средней энергия пои-
иимаемого сигнала для Рлт=0,6-10~4 я Рлт=0,4-10~6
ОБНАРУЖЕНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ РЕАЛЬНОГО ГЕНЕРАТОРА НА
ФОНЕ МЕДЛЕННО ФЛУКТУИРУЮЩЕГО ШУМОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
В реальной ситуации, как показали экспериментальные
исследования [26], излучение ОКГ, работающего в режиме выше
порогового, характеризуется распределением, являющимся линей-
линейной суперпозицией идеального когерентного излучения (так назы-
называемое «чистое» когерентное состояние с пуассоновским распреде-
распределением числа фотонсв) с излучением абсолютно черного тела (теп-
(тепловое излучение). Следовательно, сигнальное излучение состоит
из когерентной (sc) и гауссовской составляющих (sr). Учитывая,
что при распространении сигнального излучения в трассе канала к
излучению добавляется фановая хаотическая радиация (s<j>),
¦ехр
Г i-UI -„;!;- * 1,
L l + SmJ L SU1A+S111) J
B.4)
где «ш=«ф + «г-
При отсутствии сигнального излучения распределение запишется
в виде
Р0{п,Т) = .
I
1
B.5)
6П
Одномерное отношение правдоподобия
) J L (
и достаточной статистикой является
1)
1пл|-п;1;-_ Г' _ 1
I I I I ?• 1 I
L *ш V ^ ~~г" Ш/ J
ггг \+С.
где С — постоянная, не зависящая от текущего значения наблю-
77 7"
паемого сигнала (С=1п
-~_ .—¦ j
\4-Sui''
\4ui +ш
Выражение для Л определяет алгоритм оптимальной обработ-
обработки и структурную схему приемника (один из вариантов которой
представлен на рис. 2.6).
ВхоИн.
ФоточиВст
оительмый
элемент
Счетчин
Рис. 2.6. Синтезированная структурная схема оптимального прием-
приемника
При Si,^>sT. т. е. при
j,, имеем
И
— п;
При слабом полезном сигнале, когда 4г ^1> используя асиыпто-
тическое представление вырожденной гипергеометрической функ-
функции
х-»0
получим
я, =
(—п; 1; х)= 1,
1 ^ ^> + "if L ^i (l 4- sfc > 7r) j
I
6]
Полученное отношение правдоподобия соответствует случаю об-
обнаружения некогерентного сигнала на фоне некогерентного хаоти-
хаотического излучения, который рассматривается ниже.
ОБНАРУЖЕНИЕ НЕКОГЕРЕНТНОГО СИГНАЛА НА ФОНЕ
МЕДЛЕННО ФЛУКТУИРУЮЩЕГО ШУМОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ
Задача обнаружения некогерентного сигнала на фоне мед-
медленно флуктуирующего шумового поля возникает в случае приме-
применения в качестве источника излучения ОКГ, работающего в много-
модовом режиме. Амплитуда излучения такого источника распре-
распределена по гауссовскому закону, следовательно, распределение чис-
числа фотонов (фотоэлектронов) на временном интервале будет" под-
подчинено геометрическому закону (закону Бозе—Эйнштейна). Кро-
Кроме того, этим законом распределения можно характеризовать мо-
монохроматическое когерентное излучение после прохождения неод-
неоднородной турбулентной атмосферы, когда временная н простран-
пространственная когерентности полностью нарушаются. В световой лока-
локации излучение такого рода наблюдается при диффузном отраже-
отражении когерентного сигнала оптически «шероховатой» поверх-
поверхностью.
Согласно приложению 2 распределения для шумового поля и
суперпозиции некогерентного излучения и шумового поля
Ро(п, Т) =
1 / " i Г \л
1 -$¦ Sm 4" sc \ I ¦Ф" Sni 4> *е'¦ I
Алгоритм работы и структурная схема оптимального приемни-
приемника легко находятся из отношения правдоподобия:
¦ 5,
РЛп, Т) i^ 1"^ + .;
Ро(п,Т) 1 4- *ш ¦ «с L sm
Пороговый уровень определяется выражением
1 Ф Sin
In Я,о — In
" $С "^F" ®Ш
In —=— 4- 'n —— ——
Рабочие характеристики могут быть найдены из выражений:
1
Если используется критерий Неймана—Пирсона, то пороговое
значение п0 определяется из условия обеспечения заданной веро-
вероятности ложной тревоги и полностью совпадет с выражением
B.26). Полученные аналитические выражения позволяют по-
построить набор полезных характеристик. Например, зависимость
tio=f(sm) при параметре Рлт позволит выбрать оптимальным об-
образом пороговое значение п0, обеспечивающее при конкретном
значении интенсивности помех требуемую вероятность ложной тре-
вогн. Пороговое значение _п0, обеспечивающее заданное отношение
Робп/Рл т при известных sm и sc, можно получить из рабочей ха-
характеристики приемника
Г A+^)
u) J '
Кроме того, ряд полезных данных относительно энергетического
потенциала канала дает набор характеристик sc, -zz:, — , sc+sm —
_ sm "о
все в функции от sm при параметрах Л,бн и РЛт-
2.3. ОБНАРУЖИТЕЛЬ НЕЙМАНА—ПИРСОНА
ПРИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОМ НАКОПЛЕНИИ
КОНЕЧНОГО ЧИСЛА ОТСЧЕТОВ
ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В случае весьма слабого сигнала и интенсивных помех чис-
число отсчетов в принимаемой реализации смеси сигнала и шума
должно быть достаточно большим. Лишь в этом случае можно осу-
осуществить уверенный прием и выделить полезный сигнал. В этом
разделе рассмотрим два случая: 1) обнаружение монохрома-
монохроматического когерентного сигнала в тепловом шуме при большом
числе отсчетов; 2) обнаружение монохроматического когерентного
сигнала в пуассоновских шумах также при большом числе отсче-
отсчетов. Монохроматический сигнал может быть постоянным по ин-
интенсивности или ступенчатомодулированным. Первый случай, как
уже указывалось, характерен при обнаружении сигнала на фоне
теплового излучения большого ансамбля макроскопических источ-
источников (фон излучения Земли, Луны, планет, звезд; рассеянное из-
излучение атмосферы и т. д.). В этом случае статистическое распре-
распределение «сигнальных» фотонов подчиняется закону Пуассона, а
распределение «шумовых» фотонов — закону Бозе—Эйнштейна
(см. приложение 2).
Второй случай наблюдается, например, при соблюдении хоро-
щей пространственной и частотной селекции в приемнике, выборе
наиболее выгодного спектрального диапазона работы и др., когда
мощность внешних помех и, в частности, мощность внешних теп-
63
ловых полей могут быть пренебрежимо малы. Тогда эффективны-
эффективными шумами в приемнике являются внутренние шумы и шумы,
обусловленные темновым током фотокатода. Эти шумы эквива-
эквивалентны «приведенным» ко входу приемника «шумовым» фотонам.
Распределение «шумовых» фотонов с достаточной степенью точ-
точности может описываться распределением Пуассона [23]. Такому
же распределению подчинены «шумовые» фотоны лазера-поста-
лазера-постановщика помех, работающего в одномодовом режиме.
Наложим некоторые условия на сигнал и шум в канале. Счи-
Считаем, что длительность сигнальной посылки равна TN, причем ин-
интервал Тк разбит на N подынтервалов одинаковой длительности
Т. В общем случае в течение длительности подынтервала Г может
быть модуляция по интенсивности монохроматической несущей, так
что мощность излучения в i-чл подынтервале запишется >в виде \с(.
(/=1, 2,..., .V). В частном случае мощности в подынтервалах мо-
могут быть постоянными \с/ =Yc(i=l> 2,..., N). Шумовая помеха
предполагается стационарной с постоянной интенсивностью \ш.
Приемник анализирует реализацию в течение времени TN. По-
Поскольку интервал 0^-TN разбит на N подынтервалов, в конце
каждого подынтервала «берется» отсчет. Следовательно, число от-
отсчетов в выборке равно N. Величина отсчета равна числу фото-
фотоэлектронов, подсчитываемых приемником (квантовым счетчиком)
в течение длительности Г.
Таким образом, решение принимается после последовательно-
последовательного накопления N отсчетов. Отсчеты в подынтервалах считаем ста-
статистически независимыми (хотя это не совсем правильно, так как
шумовой процесс узкополосный; однако, некоторая избыточность
информации разумеется не уменьшает достоверность характерис-
характеристик обнаружения).
В качестве оптимального приемника рассмотрим приемник, ра-
работающий по правилу Неймана—Пирсона (с квантовым счетчи-
счетчиком в качестве чувствительного элемента). Такого типа приемник
наиболее целесообразно использовать именно при решении задач
обнаружения, когда неизвестны априорные вероятности посылки;
сигналов и неизвестны цены ошибок при приеме (9, 10].
Критерий Неймана—Пирсона обеспечивает максимум вероятно-
сти обнаружения сигнала данной интенсивности (или минимум ве-
вероятности пропуска РПр=1—А>бн сигнала) при фиксированной
вероятности ложного обнаружения (9]. При использовании этого
критерия, имеющаяся на входе приемника выборка из реализации
«ь п%..., Пх отождествляется с наличием сигнала в том случае, ес-
если выполняется неравенство
*М )
,, «2,
или отождествляется с наличием шума, если К<К0, где Р4 — сов-
совместная вероятность для совокупности выборочных значений nih
«2,..., Ллг при условии, что сигнал присутствует;
64
Po — совместная вероятность для гой же совокупности выбороч-
выборочных значений при условии, что сигнала нет;
Хо — пороговая величина, которая выбирается так, чтобы вероят-
вероятность выполнения неравенства Х^Х0 при отсутствии сигнала была
равна фиксированному значению Рлт.
Если выборочные значения статистически незаеиаимы, то много-
многомерное отношение правдоподобия
N
где Pi(tii) и Po(tii) — вероятности г-х выборочных значений соот-
соответственно при наличии и отсутствии сигнала. Как известно, кри-
критерии обнаружения, удовлетворяющие другим условиям оптималь-
оптимальности, отличаются друг от друга лишь способом выбора величины
Хо. Критерий обнаружения Неймана—Пирсона соответствует усло-
условиям, когда числе отсчетов в выборке фиксировано. Если исполь-
используется метод последовательного анализа Вальда {79], то число N
выборочных значений исследуемой реализации не ограничивается
и является случайной величиной. Анализ выборочных значений
осуществляется в процессе их поступления.
Алгоритм работы оптимального приемника определяется X, а
следовательно, видом вероятностей Р\(п{) и Рй(п{). Для рассмат-
рассматриваемых двух случаев справедливы соотношения:
для пуассоновских шумов
e-K+s*> B_6)
л,!
для тепловых шумов
B-7)
B.9)
где sci — среднее число сигнальных фотоэлектронов за время
г-го отсчета,
¦Яш — среднее число шумовых фотоэлектронов за время /-го от-
отсчета.
Обозначим sc[=yC[T; sm = ym7\ где yCi и ym — интенсивности
потока сигнальных и шумовых фотоэлектронов соответственно.
3—160 65
Отношение правдоподобия при обнаружении пуассоновского
сигнала в пуассоновском шуме:
n _ _
Ь1 = П(^+ ijVX B.10)
i=i
В случае обнаружения пуассоновского сигнала в тепловом
шуме
N _ _
Более удобно рассматривать Л=1пл, а именно:
B.12)
B.13)
где B.12) соответствует B.10) и B.13) соответствует B.11).
Если интенсивность сигнала постоянна в течение всей выборки
Scj=Sc, а помеха является стационарной, то
N
Лц= У!ЩIn ( 1 + ±)-Nb B.14)
§*-(•+!
Л2 =
V,. г
> 'П ift
B.15)
Из выражений B.12) и B.13) следует, что оптимальный обна-
обнаружитель в первом случае должен суммировать выборочные зна-
значения
n%
р у ур р
..., «v, умноженные на весовые множители In I 1 + -~ I
(с учетом величины смещения в каждом отсчете sci), и сравнивать
полученную сумму с пороговой величиной Яо. Во втором случае
обнаружитель должен суммировать выборочные значения после
функционального преобразования
вычиГать в каждом отсчете величину _
порогом Яо.
66
и сравнивать сумму с
Когда отношение сигнал/шум мало (в первом случае), имеем
lnA + ^-W^ при-^«1, i=l, 2, . . ., N.
Тогда
As
Для случая постоянной интенсивности сигнала в течение вы-
выборки
_ N
У
Во втором случае необходимо проанализировать поведение ВЫ'
рожденной гипергеометрической функции
Вырожденная гипергеометрическая функция определяется ря-
рядом [28]
для всех конечных значений переменной 2, произвольных значений
параметра а и для всех не равных нулю и целому отрицательному
числу значений параметра с. При малых значениях z значение
функции tFi определяется первыми членами указанного ряда. Ес-
Если а равно нулю или целому отрицательному числу, а——п, то
вырожденная гипергеометрическая функция сводится к полиному
Лагерра:
(с
(-1)
„ (с- »)'
-f я— 1I
п!
Считая -^ _ <^ 1 и отбрасывая члены второго и выше порядт
ков малости, получим
B.16)
Отношение правдоподобия запишется в виде
67
Учитывая, что -, _ <^ 1, выражение для Лг можно упростить:
N
_ _ 1 лг -
?i s^ 4- % si7, 4- 1 .^н «ш ¦$¦ 1 \ ^ /
1 =1 L ш i j f_j
В случае постоянной интенсивности сигнала в течение выборки
Л2 =
- г , «^ 1
Характеристика, определяющая качество используемого мето-
метода обнаружения (рабочая характеристика), зависит от соотноше-
соотношения между вероятностью обнаружения сигнала, вероятностью лож-
ложного обнаружения и относительной интенсивностью сигнала (отно-
(отношение сигнал/шум).
Приемник, осуществляющий решение на основании отношения
правдоподобия, обладает наилучшей эффективностью и может
служить в качестве стандарта для сравнения. Для количественного
сравнения необходимо найти РОбн и РЛт, а это, в свою очередь,
требует знания распределения вероятностей логарифма отношения
правдоподобия Л при наличии и при отсутствии сигнала.
Обозначим /с(Л) и /о(Л) — плотности вероятности величины А
соответственно при наличии и при отсутствии сигнала. В этом слу-
случае
B.17)
Нахождение плотностей /0(Л) и /С(Л) при произвольных отно-
отношениях сигнал/шум представляет большие трудности. В ряде слу-
случаев можно использовать различные приближения. В случае об-
обнаружения слабого сигнала, как уже указывалось, количество от-
отсчетов в выборке должно быть достаточно большим. Поэтому за-
законы распределения отношения правдоподобия /о(Л) и/с(Л) в си-
силу центральной предельной теоремы теории вероятностей близки
к нормальному. Запишем плотность вероятности Л при отсутствии
сигнала в виде
г
L
Ч
B.18)
где тд< (гп
Лс) и ад<) (аДс) — математическое ожидание и диспер-
дисперсия суммы B.12) или B.13) при отсутствии сигнала (при на-
наличии сигнала). Аналогичное B.18) выражение имеет место для
плотности вероятности /с(Л). Статистические характеристики тд
и erf требуется найти.
I
i
ЭФФЕКТИВНОСТЬ ОБНАРУЖЕНИЯ МОНОХРОМАТИЧЕСКОГО
ИЗЛУЧЕНИЯ ОПТИЧЕСКОГО ДИАПАЗОНА В ПУАССОНОВСКИХ
ШУМАХ
Определим эффективность метода обнаружения для слу-
случая, когда полезный сигнал и помеха имеют законы распределения
Пуассона. Запишем B.12) в виде
Л
где
и fy =
Из выражения B.19) следует, что для образования отношения
правдоподобия необходимо осуществлять неравновесовое сумми-
суммирование отсчетных значений выборки, так как отсчетные значения
умножаются и суммируются с функциями, зависящими от отноше-
отношения сигнал/шум. Последнее может изменяться от отсчета к отсче-
отсчету (или оставаться постоянным). В любом случае отношение
sa/Sni является детерминированным (помеха является стационар-
ной и в канале отсутствуют мультипликативные помехи). Считаем,
что интенсивность сигнала в течение выборки не меняется sci = sc.
Тогда
N
Л = V {аЛ-6с],
где
(
и bc =
Если распределение случайной величины п{ известно {оно опре-
определяется выражениями B.6) и B.7)], то легко найти математичес-
математическое ожидание у{ и дисперсию (уг—уО2 функции этой случайной
величины И( = ас.п,-—Ьс при отсутствии и наличии сигнала:
п. —
е u ш; =ac(scf Su,)— K\
(f/ie—f/ioJ = >,ac("i
69
Sm —
-(*с+*ш)
П.1
B.20)
Из статистической независимости слагаемых в выражении
B.19) следует:
B.21)
B.22а)
B.226)
mM=N [ac(Fc+ 7Ш) —bc]• <&c
Из B.17) с учетом B.18) получаем
л*. = 1 —ф
Ао — N [дс (sc -f Sm) — ЬС1
= ;-~- I expl—— \dx— интеграл вероятности.
—со
Исключая из B.22) Ло, получаем уравнение рабочей характе-
характеристики приемника в виде
р _фГ л Г SNsc 1 д)-1п_р Л
0611 LK i>s /ГфТ ° лт)]'
B.23)
где S= ^— отношение сигнал/шум; и
— функция, об-
ратная интегралу вероятности, удовлетворяющая соотношению
ф-1[ф (*)]=*.
Как и следовало ожидать, вероятность обнаружения зависит
от заданной вероятности ложного обнаружения, отношения сиг-
сигнал/шум и объема выборки, причем вероятность обнаружения уве-
увеличивается с ростом S и N. Однако существенным для данного
случая является зависимость РОбп от среднего количества сигналь-
сигнальных фотоэлектронов в выборке sc, т. е. энергии сигнала. Существо-
Существование указанной зависимости обусловлено статистической приро-
природой излучения, которая проявляется лишь при учете квантовых
эффектов. В классическом случае, как известно, вероятность об-
обнаружения не зависит от абсолютной энергии сигнала или шума.
В рассматриваемом случае величина sm (или sc) характеризует
«степень квантовости» излучения. Очевидно, что случай sin-»-oo
соответствует переходу в классическую область_(при фиксирован-
фиксированном 5). Формула B.23) показывает, что при Sm-^oo Л>бн->-1 при
любых значениях S, N и РЛТ. Этот результат полностью согласу-
согласуется с интуитивными представлениями, ибо пуассоновскому рас-
распределению фотонов при переходе в классическую область соот-
соответствует сигнал постоянной амплитуды, а два сигнала постояп-
70
ГО 11 12
Рис. 2.7. Зависимость вероятаоста обнаружения от энерге-
энергетических параметров при многократном отсчете при
SgOl
ро6н
',0
0,9
0,8
0,1
0,6
0,5
о,з
0,2
0,1
1
/
/
//
//
//
//
7/
i
1
1
//
ш
1/1
1
,
ил
ш
HII
llNlh
Ш
h
1
1
2 3 U 5 6 7 8 9 10 11 17
Рис. 2j8. Зависимость вероятности обнаружения от энерге-
энергетических параметров при мяогократном отсчете при S=l
ной амплитуды всегда можно различить с вероятностью 1. При
значениях отношения ^- меньше 0,1 с погрешностью менее 5%
справедлива формула
A-Рлт)] =Ф [sVnZ— ф-1 A-Рлт)] •
B.24)
с~ Графики РОбн (рабо-
(рабочие характеристики) для
некоторых значений пере-
переменных приведены на
рис. 2.7 и 2.8. Алгоритм
работы рассмотренного
'много^ратнТот^е *""' ПРИеМНИКа "* приемника определяет
структурную схему, пред-
представленную на рис. 2.9.
Порог обнаружения может быть легко вычислен из предыдущих
формул:
Сумматор
N
Г*.
1=1
no = N sm +
A —Р„).
Таким образом при допустимой вероятности ложного обнару-
обнаружения Рл т можно определить по ф-ле B.23) вероятность обнару-
обнаружения Робн при фиксированных параметрах N, sc, Sm, T, а также
построить характеристики эффективности метода обнаружения при
широких вариациях параметров РОб& Рл т» N, sc, Sm, Т. Формула
B.22а) позволяет выбрать порог приемника при допустимой веро-
вероятности ложного обнаружения.
ЭФФЕКТИВНОСТЬ ОБНАРУЖЕНИЯ МОНОХРОМАТИЧЕСКОГО
ИЗЛУЧЕНИЯ ОПТИЧЕСКОГО ДИАПАЗОНА В ТЕПЛОВЫХ
ШУМАХ
Для этого случая отношение правдоподобия выражается
ф-лой B.13). Полагая, как и ранее, sCi = sc, получим
Л =
sc
B.25)
Последнее слагаемое не зависит от принимаемого сигнала пи оно
определяет постоянное смещение отношения правдоподобия. Обо-
Обозначим его N -^—¦ = —А. Рассмотрим случай малого отношения
_ вш4- 1
сигнал/шум-^г. <^ 1. Используя B.16), получим
7?
N
B.26)
Оптимальный обнаружитель должен суммировать отсчетные
значения П\, пъ..., nN после функционального преобразования
и затем с учетом смещения А сравнивать полученную сумму с по-
пороговым значением. Как и ранее, считаем, что обнаружение сла-
слабого сигнала должно осуществляться при большом количестве от-
отсчетов. Поэтому остается справедливым допущение о нормальном
законе распределения отношения правдоподобия B.18).
Рассмотрим случай, когда _ _^ 1 <С 1.
Sm (Sm 4- 0
Тогда
„~_*L "' =-^—nl B.27)
Найдем математическое ожидание и дисперсию величины у{
при отсутствии и наличии полезного сигнала. Указанные величи-
величины, ввиду линейной зависимости г/, от щ легко выражаются через
математическое ожидание и дисперсию «г- при отсутствии и нали-
наличии полезного сигнала, а именно:
- S - S -
B.28)
где г/,-„, о^о, у(с и аУе — математическое ожидание и дисперсия
iji при отсутствии и наличии полезного сигнала соответственно;
Hi,, оп. , nlc, On,. — математическое ожидание и дисперсия щ
при отсутствии и наличии полезного сигнала соответственно, для
которых имеют место соотношения:
^^^ ^^
Подставляя B.29) в B.28), получаем:
B.29)
о2 =.
s + 8
)• B.30)
73
Найдем теперь тА , тА , a\t и of — математические ожидания и
дисперсии величины Л при отсутствии и наличии полезного сиг-
сигнала. Будем предполагать, что N отсчетов независимы. Тогда
т
:А.=ЛЧ.=
mAc = yV&o = '
гт2 =
Nal =
of =No* =
B.31)
Вероятности ложного обнаружения и обнаружения запишутся в
виде:
/Л„ — т.
B.32)
где Ло — пороговое значение Л. Исключая Ло из B.32), получаем
уравнение рабочей характеристики приемника
т, — тк — ал A — j
B.33)
Подставляя B.31) в B.33), получим
1
= ¦1
B.34)
Если рассмотреть предельный случай при Sm->-oo, то получим
= ФI SV^-Ф 'О-^и) 1 . B.35)
Для малых S
Р^ — Ф I <? I/ 'v —
B-36)
Интересно_сравнить- <Ь-лы B.35) и B.23). Из B.35) видно, что
даже при sm->-oo предел вероятности обнаружения всегда меньше
1 и определяется значениями S, N и Рлт. Такой результат не яв-
74
ляется неожиданным, если учесть, что классическим пределом рас-
рассматриваемой ситуации является обнаружение сигнала постоян-
постоянной мощности (ему соответствует пуассоновское распределение
числа фотонов) на фоне гауссова шума (ему соответствует рас-
распределение числа фотонов, описываемое законом Бдае—Эйнштей-
Бдае—Эйнштейна), и в этом случае вероятность обнаружения зависит от S, N и
Рлт- Следует иметь в виду, что значение ЯОбю вычисленное по
a) "*
10
W'1
11Г*
N = 10
5=0)
Рис. 2.10. Рабочие характеристики приема при накопле-
накоплении N отсчетов
75
ф-ле B.35), является максимально достижимым при любой мощ-
мощности сигнала.
На рис. 2.10а—2.106 построены графики Р„с„, в функции задан-
заданной вероятности ложного обнаружения [ф-ла B.35)]. Согласно
этим графикам метод накопления может существенно повысить
эффективность обнаружения при малых отношениях сигнал/шум.
При конструировании оптимальных приемников на основе рас-
рассмотренной выше теории может быть предложена следующая ме-
методика: 1) определение структурной схемы оптимального прием-
приемника по данному алгоритму; 2) нахождение порога обнаруже-
обнаружения; 3) построение характеристики эффективности данного мето-
метода приема для возможно большего числа сочетаний реальных си-
ситуаций; 4) сравнение эффективности данного метода приема с эф-
эффективностью других возможных методов. Лишь после этого мож-
можно приступить к выбору отдельных элементов и конструированию
приемного устройства в целом.
2.4. ОБНАРУЖЕНИЕ МОНОХРОМАТИЧЕСКОГО
ИЗЛУЧЕНИЯ В ТЕПЛОВОМ ШУМЕ МЕТОДОМ
БИНАРНОГО КВАНТОВАНИЯ С ПОСЛЕДУЮЩИМ
НАКОПЛЕНИЕМ
Для метода бинарного квантования с последующим накоп-
накоплением характерно то, что выборочные значения наблюдаемой реа-
реализации квантуются по величине. Вследствие этого статистические
различия реализаций, соответствующих шуму и смеси сигнала с
шумом, проявляются в характере распределения исследуемых
'значений по различным интервалам квантования [29, 30]. Если ис-
используется два уровня квантования, то решение о наличии и от-
отсутствии сигнала может приниматься по числу превышений на-
наблюдаемыми значениями некоторого .уровня. Р.слн это число ока-
окажется больше установленного порога, фиксируется сигнал. В про-
противном случае считается, что сигнала нет. Статистические разли-
различия шума и смеси сигнала с шумом проявляются в том, что сред-
среднее относительное число превышений уровня ограничения для
смеси сигнала с шумом больше, чем для шума.
В оптических системах связи и локации метод бинарного кван-
квантования с последующим накоплением реализуется следующим об-
образом. Для наблюдения потока фотонов (фотоэлектронов) отво-
отводится достаточно длительный интервал времени. Этот интервал
разбивается на N подынтервалов, в течение каждого из которых
осуществляются счет фотонов (фотоэлектронов) и сравнение с фик-
фиксированным пороговым значением. Далее подечнтывается число
превышений и непревышекий отсчетпых значений порогового уров-
уровня. Если число превышений окажется больше установленного по-
порога, фиксируется наличие полезного сигнала и т. д.
Целесообразность метода бинарного квантования обусловлена
существенным облегчением задач носiроения устройств цифровой
автоматической системы обработки информации, что весьма су-
существенно при приеме больших потоков информации. Следует, од-
однако, указать, что применение рассматриваемого метода приводит
к некоторой потере информации, содержащейся в первоначальной
(неквантованной) реализации. Эта потеря невелика при опти-
оптимальном выборе числа и величины уровней квантования. После-
Последующий анализ будем проводить по методике, разработанной в
(9, 29, 30].
Допустим, имеется один уровень ограничения, шум стационар-
стационарный, выборочные значения реализации статистически независимы
(всего N выборочных значений), средняя интенсивность полезных
сигналов, соответствующих различным выборочным значениям,
одна и та же. Обозначим kt — число превышений уровня ограни-
ограничения; /г2 — число непревышеиий уровня ограничения. Тогда ве-
вероятности реализации наблюдаемой совокупности величин /г1( k2
соответственно при наличии и при отсутствии полезного сигнала
будут определяться биномиальным законом распределения вероят-
вероятностей:
где pa и pt2 — вероятности того, что при наличии полезного сиг-
сигнала выборочное значение превысит или не превысит уровень
ограничения, соответственно; pmi и рш2 вероятности тех же событий
при отсутствии сигнала. Оптимальным критерием обнаружения
является отношение правдоподобия. Приемник, работающий по
р
этому критерию, сравнивает dy(k\, k2) = —- с постоянной величи-
величине
ной с. Если d\^c, то наблюдаемая совокупность величии ku k%
отождествляется с наличием снгнала, в противном случае фикси-
фиксируется отсутствие сигнала. Таким образом,
Введем обозначения ki = k; k> = N—k; pci = Pc; /?e2=l—pc; /?ш1 = Рш;
рш2=1—раъ где А' — число выборочных значений; k — число зна-
значении, превысивших уровень ограничения; /;,, рш — вероятности
превышения уровня ограничения соответственно в случаях, когда
присутствует сигнал и шум и когда присутствует только шум. Тог-
Тогда отношение правдоподобия запишется в виде
Откуда
Рш
с — In
-Рш
1 — Pc
1 — Рш
— Рш
с. B.37)
In-^-ln-
Рш
— Рш
77
поскольку интенсивность сигнала постоянна и рс не меняется от
выборки к выборке. Следовательно, оптимальный обнаружитель,
основанный на методе бинарного квантования с последующим на-
накоплением, должен подсчитывать число k превышений выбороч-
выборочными значениями установленного уровня ограничения; при k^k0
принимается решение о наличии сигнала, при k<.k0 принимается
альтернативная гипотеза [30]. Для случая обнаружения монохро-
монохроматического колебания в тепловом шуме:
00 1
' ^ 1 -f Sm
¦у '
Sm+ 1/ L Sm(sm 4г Ч J
где л0 — порог ограничения.
Тогда получим
С — In
expf -
-scN
(И
л=0
к%)
( Sl
1 —
" \л
п 1 i
— 1 L
/_S^_
/
4 s'
VI
In
exp —
Sc
!¦
— In
expf —
-B.38)
A 4- Sm) 1 — ^
Эффективность. Вероятность того, что из N выборок в k
выборках будет превышение уровня ограничения, определяется
биномиальным законом распределения вероятностей. Соответст-
Соответственно при наличии и отсутствии сигнала
где С*, — числе сочетаний из N пс k.
При постоянной интенсивности сигнала оптимальный приемник
принимает решение о наличии сигнала, если число k превышает
78
фиксированное пороговое значение ko B.38) J). Следовательно,
N
'NpUl-pf'k\ B.39)
Рлт=
.S—k
B.40)
fc-ft.
обн
Окончательные формулы получим, подставляя рс и рш:
f1^) I X
N г 1 / - » "•
1 -ф- Sm
X
*=,
П
f/ ft
<2-4i)
B.42)
где )feo определяется по ф-ле B.38).
При фиксированном числе выборок Лг вероятность ложного об-
обнаружения, как видно из B.42), является функцией k0 и п0, т. е.
одна и та же вероятность ложного обнаружения может быть по-
получена для различных пар значений этих величин. Однако вероят-
вероятность обнаружения неодинакова для различных пар. Эту ситуацию
можно использовать для оптимизации приемника в смысле кри-
критерия Неймана—Пирсона, т. е. из возможных комбинаций k0 и
п0, обеспечивающих требуемое значение вероятности ложной тре-
тревоги, можно выбрать такую, которая обеспечивает максимальное
значение вероятности обнаружения. Иллюстрацией данного ут-
утверждения могут служить приведенные ниже табл. 2.2 и 2.3 (по-
(полученные на ЭВМ), в которых приведены значения ko и п0,
обеспечивающие РЛт<Ю~2 и соответствующие РОбн при N—10,
sm=l, S=l, 2 и 5, причем табл. 2.2 относится к бозе—эйнштейнов-
бозе—эйнштейновскому распределению шумовых фотоэлектронов, а табл. 2.3 — к
пуассоновскому. Распределение сигнальных фотоэлектронов всюду
предполагается пуассоновским. Как видно из таблиц, имеется оп-
оптимальное сочетание ko и пй, которое при заданной вероятности
ложной тревоги обеспечивает максимальное значение вероятности
обнаружения.
') Следует иметь в виду, что пороговое значение должно быть целым чис-
числом, т. е. если k0 нецелое, то в качестве порогового следует брать округленное
значение кй.
79
Таблица 2.2
*0
S= 1
S = 2
S = 5
0,
0,
0,
2
6
053
308
962
0
0
0
3
4
,118
,461
,987
0,
0,
0,
4
3
121
446
983
0,
0,
0,
5
2
183
453
984
0,
0,
0,
6
1
392
700
992
0,
0,
0,
7
1
260
547
974
Таблица 2.3
k0
S= 1
S = 2
S = 5
1
6
0,618
0,968
0,99999969
2
3
0,677
0,982
0,99999999
3
2
0,429
0,917
0,99999964
4
1
0,418
0,870
0,99999646
Если использовать неполную бета-функцию [31], то вероятности
бн и Рлт можно выразить при любом k0:
X
II и\ Г Г (О + J) а—1 ,, чй—1 . , ,
где 1х(а, о)=\ —- -х A—х) ах—неполная бета-функция.
Jr(a)r(i)) tj
о
Эта функция табулирована. Для вычисления вероятностей
Робн и Рлт при больших N можно также использовать асимптоти-
асимптотическое представление закона распределения вероятностей вели-
величины k в виде ряда Эджворта {11, 29, 30].
Введем обозначения: пгс, al, \ic, 02c — первый начальный мо-
момент, второй центральный момент, коэффициент эксцесса и коэф-
коэффициент асимметрии закона распределения вероятностей величи-
величины k при наличии сигнала;
80
/Пш, а ш, Yihi, сггш — соответствующие величины при отсутствии
сигнала. Тогда соответствующие разложения в ряд будут:
где zOc=-
YlUI^C?) lz \ Y2UI
(,B)=
dzs
Для биномиального закона:
mc=Npc; тш=Мрш; ас
— 2рш
При больших
Тогда
коэффициенты
_рс) J
Р ^ 1 —Ф
1
J "
у-1т ОЛИЗКИ К НуЛЮ.
B.43)
B.44)
Как указывается в [30] погрешность приближенных формул
B.43) и B.44), обусловленную заменой биномиального закона
распределения вероятностей нормальным законом, можно умень-
уменьшить, если в этих формулах числители выражений, стоящих под
знаком интеграла вероятности, уменьшить на 0,5 (см. также [15]).
Критерий «хотя бы один из N». Если количество
выборок в реализации невелико (.V=l—5), то хорошим критерием
обнаружения является просто реализуемый критерий «хотя бы
один из N», получающийся при ko = l [30]. При этом
Роб„=1-A-Рс)Л/ и Рлт=1-A-рш)л/. B.45)
Из последнего выражения получим
Рш=1-A-РлхI/Л/. B.46)
При малых отношениях сигнал/шум можно использовать лишь ли-
линейную часть полинома Лагерра:
я
B.47)
81
Тогда
= 1—exp ~
Ho
ъ
B.48a)
= —I =1— — ) . Теперь вычислим
л,—I
nI — J , для чего положим,
Легко видеть, что
л—О
Поэтому получим
+
Выражение B.48а) теперь принимает вид
— п0
С учетом того, что
П1-
B.486)
и полагая=^- =S — отношение сигнал/шум, можно получить
Рс= 1 -{ 1 -А
= 1 -(A -P»*
-рш)-поРшA,-р»/".)] } exp (-SpJV".) =
B.49)
82
250)
Для вероятности обнаружения окончательно получим
Хехр(—
n х
B.51)
B.52)
Полученное выражение определяет рабочую характеристику
метода обнаружения «хотя бы один из N» при приеме слабого мо-
монохроматического сигнала в тепловом шуме. Как видно из B.52),
вероятность обнаружения д. „
зависит от допустимой ве- 0Й1
роятности ложного обна-
обнаружения Рлт, отношения
сигнал/шум — S, объема
выборки N и порога огра-
ограничения по, который, по
существу, определяется
?редней энергией шума
5Ш за время выборки.
Для нахождения по-
порога По {используя выра-
выражение B.48 6)], вычисле-
вычислены ЭВМ и построены гра-
графики зависимости 1—РОбн
в функции Рлт (рис. 2.11).
Как видно из графиков,
вероятность обнаружения
очень слабо зависит от
вероятности ложного об-
2
/г5
Ю'и
1ВГ*
из
Т"
sm-wo
гЗ~
глт
наружения.
Критерий «N
А'». Этот критерий, ПО Рис. 2.11. Рабочие характеристики приема для
сравнению с критерием критерия «хотя бы один из N»
«хотя бы один из /V»,
обеспечивает меньшую вероятность ложной тревоги и может при-
применяться в случае приема очень важных сообщений. Очевидно, что
соотношения B.49) остаются справедливыми и в этом случае, а
соотношения B.50), B.51) и B.52) следует изменить с учетом
того, что для рассматриваемого критерия
Робн = /^; Рат=р%. B.53)
UN,
Поэтому, подставляя рш =
в B.49), получаем
83
и рабочая характеристика определится выражением
B.54)
Величина п0 определяется энергией шума за время выборки.
При этом
'-Робн
In
B.55)
ЛМп
1 + W
B.56)
„ о ю п - для критерия «хотя бы один
Рис. 2.12. Раоочие характеристики приема К1 v ,г .,
для критерия «W из N» из .V» и «Af из .V» соответ-
соответственно.
Кривые, характеризующее эффективность критерия «".V из N»,
приведены на рис. 2.12. Расчет на ЭВМ показывает, что изменения
энергии шума слабо влияют на общий вид графиков.
2.5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЙ ОБНАРУЖИТЕЛЬ
ВАЛЬДА ДЛЯ БИНАРНО-КВАНТОВАННЫХ
СИГНАЛОВ
Метод последовательного анализа [79] является оптималь-
оптимальным в том смысле, что заданная вероятность обнаружения сигна-
сигнала достигается при наименьшем среднем числе наблюдений. Факт
наличия или отсутствия сигнала устанавливается, как только при
некотором N реализуется одно из двух событий, первое из которых
отождествляется с фактом наличия сигнала, а второе — с фактом
наличия только шума. Метод последовательного анализа основан
на вычислении отношения правдоподобия (или любой монотонной
функции этого отношения) при поступлении каждой очередной
выборки с последующим испытанием этого отношения на превы-
превышение верхнего порога А (сигнал присутствует) и на непревыше-
непревышение нижнего порога В (сигнала нет), (А>В).
Последовательный обнаружитель для бинарно-квантованных
сигналов вычисляет величину:
0„ = ?1пМ
Рш
• — Рш
B.57а)
84
где рсо и рш — вероятности превышения уровня ограничения со-
соответственно смесью сигнала ожидаемой интенсивности с шумом
и только шумом. В общем случае интенсивность реально приходя-
приходящего сигнала может быть неизвестна. Поэтому ожидаемое значе-
значение интенсивности — это то значение, в расчете на которое строит-
строится оптимальное обнаружение. Значение интенсивности сигнала,
которое действительно имеет место в течение данного опыта об-
обнаружения, может быть равным либо нулю, либо ожидаемому
значению, либо (в общем случае) любому другому значению.
Если при следующей (очередной) выборке из реализации имеет
место B<cQn<A, to последовательный анализ продолжается.
Если при некотором N имеет место QN^B, то фиксируется отсутст-
отсутствие сигнала. Если же Qn~^A, to принимается решение о наличии
сигнала. Поскольку при любой интенсивности обнаруживаемого
сигнала
<-Ч "' ^ "! ~-а — . ^ .
Рш » —Рш
то QN либо увеличивается на а4 (отсчет превышает уровень огра-
ограничения), либо уменьшается на о.г (отсчет не превышает уровень
ограничения). Такое дискретное изменение QN происходит с по-
поступлением на вход обнаружителя каждого очередного отсчета.
Величины порогов А и В, с которыми производится сравнение Оя,
определяют достоверность решений последовательного обнаружи-
обнаружителя. Выбор порогов рассмотрен в [79] и при заданных Рпоп и Рлт:
4 = 1п^«. В^1п '~Робн . B.576)
Заданная вероятность пропуска 1--РОон должна быть обеспечена
для тех случаев, когда интенсивность сигнала равна ожидаемой
величине. При таком выборе порогов доказано [79], что суммар-
суммарная вероятность ошибочного решения не превышает 1—Р0он + Рлт.
Для рассматриваемого метода последовательного анализа об-
ласти решении следующие: если k<z ,то принимается гипоте-
еф 1
за Но (сигнала нет); если k>——'—, то принимается гипотеза Hi
с -^- 1
Ь 4- N 4
(сигнал есть); если
, то анализ (испытания) про-
продолжается. Значения коэффициентов а, Ь, с следующие:
a =¦
In Л
In Л
In В
In В
In
1 — Рш
1—Рсо
In
1--Рш
1 — Рсо
с =
, ^со
In —
Рш
In
— Рш
1 —
Pco
Таким образом, последовательный обнаружитель характери-
характеризуется коэффициентами а, Ь, с, которые зависят от четырех пара-
метров А, В рт и Рсо. Коэффициенты а, Ь, с зависят также от по-
порога квантования (уровня ограничения), поскольку от порога
квантования зависят вероятности рс0 и рш. Следовательно, необ-
необходимо выбирать оптимальный порог квантования. Поскольку при
последовательном анализе коэффициенты а, Ь, с остаются постоян-
постоянными, сама процедура анализа заключается в счете числа единиц k
на выходе квантователя и сравнении полученного числа с порога-
порогами Л и В. В состав последовательного обнаружителя должен вхо-
входить квантователь, преобразующий отсчетные значения в последо-
последовательность единиц и нулей, и двоичный счетчик с двухпороговым
устройством.
Если сигнал имеет единственное возможное известное значе-
значение интенсивности, то можно полагать это значение равным ожи-
ожидаемой интенсивности. Если же неизвестно, какова будет интенсив-
интенсивность приходящего сигнала, то необходимо перед проведением на-
наблюдений задаваться некоторым значением этой интенсивности,
для которой должна быть обеспечена заданная вероятность обна-
обнаружения сигнала.
Такой последовательный обнаружитель будет оптимальным,
т. е. обеспечит минимум длительности анализа, если сигнал, при-
приходящий на вход приемника, будет действительно иметь интенсив-
интенсивность, равную выбранной величине. Если же интенсивность ока-
окажется не равной выбранной, действие приемника уже не будет
оптимальным. Поэтому в качестве заданного значения интенсив-
интенсивности выбирается минимальное значение интенсивности сигнала,
при котором требуется обеспечить заданное качество обнаруже-
обнаружения. Такой выбор гарантирует оптимальное действие приемника
для минимального сигнала. Если интенсивность сигнала выше за-
заданного значения, то действие приемника уже не будет оптималь-
оптимальным, однако это не опасно, так как увеличение интенсивности
сигнала приводит к увеличению вероятности обнаружения сигна-
сигнала, даже несмотря на уже имеющуюся некоторую неоптимальность
действия приемника. Действительно, типичная зависимость веро-
вероятности обнаружения от интенсивности сигнала имеет монотонно
возрастающий характер от 0 до 1, причем при интенсивности сиг-
сигнала больше заданной качество обнаружения с ростом интенсив-
интенсивности монотонно улучшается (вероятность пропуска сигнала умень-
уменьшается).
Анализируя типичные характеристики среднего значения объ-
объема выборки в функции интенсивности сигнала, можно убедиться,
что при интенсивностях, больших заданного значения, средний объ-
объем выборки монотонно уменьшается {16]. Следовательно, если за-
заданная интенсивность сигнала является минимальной, то отклоне-
отклонение режима обнаружения от оптимального (проявляющееся при
интенсивностях сигнала, больших заданного значения), не являет-
является критическим.
Согласно 179], если интенсивность сигнала такова, что вероят-
вероятность рс превышения уровня ограничения выборкой реализации
86
сигнал+ шум не равна величине рсо, исходя из которой выбраны
значения <ц и аг, то вероятность обнаружения такого сигнала
Рс
где
V Рс I V Рс
в
B.58)
Формула B.58) справедлива в случае, если уровень ограниче-
ограничения бинарного квантователя выбран из условия рсо=1—Рш, т. е.
ai = ci2. Это обстоятельство не снижает заметно эффективности об-
обнаружителя. По ф-ле B.58) может быть рассчитана зависимость
вероятности обнаружения сигнала от величины рс и, следователь-
следовательно, от отношения сигнал/шум (или от интенсивности сигнала), по-
поскольку при заданном значении рш отношение сигнал/шум одно-
однозначным образом определяется величиной рс и энергией шума.
Запишем выражения, входящие в B.58) для случая обнаруже-
обнаружения монохроматического излучения в тепловом шуме:
1 / ъ\я
1ф%,\1^8ш/
1 —
Рш
л-=0
• = 1п
1 -ф-Sm
л.
&ш
¦Ф-Sm Vl^Sm
П.-1
In
^1 1__/ вш
4-w
Я.-1
1 —
л=0
In
'—
In
In
\ — Ря
-1
1 —
n=0
In
1 —
n0
87
Для пуассоновского распределения сигнальных фотоэлектро-
фотоэлектронов и такого же распределения шумовых фотоэлектронов:
"о—1 — ч _
«0—1 —п
Ctj = In
п=0
B.60)
га!
В, = In ' ~ Р°б
-21-
л=0
га!
Важным параметром оценки метода последовательных испыта-
испытаний является среднее число измерений, требующееся для того,
чтобы анализ закончился. В [791 приведены формулы, позволяю-
позволяющие вычислить Л-'с и Л^ш — математические ожидания числа ис-
испытаний до принятия решения соответственно при наличии и при
отсутствии сигнала:
_ РтА+A—Р„)В
B.61)
B.62)
где zt =
z, = рш ^—(l — рш) а2.
По ф-лам B.61) и B.62) можно оценить эффективность обна-
обнаружения бинарно-квантованных сигналов методом последователь-
последовательного анализа, если за меру его эффективности принять среднее
число измерений до принятия решения при заданных значениях
параметров Р<и-„, Р,, т, отношения сигнал/шум и мощности шума.
Можно показать, учитывая B.57а), B.61) и B.62), что при малых
значениях Рл т и
TF 1п
N
(РЛт ^ 0,1,1 -Роен < 0,1);
1
In
ту
и Na
1—Робн(Рс)
B.63)
Для дисперсий а мш и awc величин iVm и iVc при малых Рлт и
1—Роьн(Рс) справедливы следующие приближенные формулы [32]:
а\ А
B.64)
где
= Pm(z? — A
Таким образом, используя выражения B.59) и B.60), можно
оценить эффективность метода последовательного анализа Вальда
при обнаружении монохроматического излучения оптического
пазона в тепловых и пуассоновских шумах.
2.6. ОПТИМАЛЬНОЕ ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛОВ
ОПТИЧЕСКОГО ДИАПАЗОНА ФОТОПРИЕМНИКОМ
С КВАНТОВЫМ УСИЛИТЕЛЕМ НА ВХОДЕ
При использовании в приемном устройстве квантового
усилителя, устанавливаемого перед фотодетектором, уровень по-
полезного сигнала повышается. Однако в системе увеличиваются шу-
шумы за счет собственных шумов усилителя, одним из источников
которых является его спонтанная эмиссия. Повышение уровня по-
полезного сигнала и появление дополнительных шумов в приемном
устройстве должны учитываться при расчете вероятности обнару-
обнаружения. Для решения этой задачи необходимо знать статистику
распределения фотонов на выходе квантового усилителя и стати-
статистику распределения фотоэлектронов следующего за ним фотоде-
фотодетектора при известной статистике распределения фотонов на входе
приемной системы.
Основные пути решения этой задачи намечены в [33, 34]. В этих
работах рассматривается квантовая двухуровневая схема усиле-
усиления, в которой нижний энергетический уровень не заселен, т. е. в
89.
усилителе отсутствует поглощение, но имеются внутренние шу-
шумы — спонтанное излучение. Такая схема соответствует предель-
предельному случаю физического усилителя и является, конечно, идеаль-
идеальной. Однако если на выходе квантового усилителя установлен фо-
фотодетектор с квантовой эффективностью т|, то факт поглощения
фотонов можно приписать фотодетектору, изменив надлежащим
образом квантовую эффективность фотодетектора. Такая схема
будет, очевидно, близка к комбинации реального усилителя и фо-
фотодетектора.
Пусть в такой комбинированной приемной системе (квантовый
усилитель + фотодетектор) а — скорость стимулированной эмиссии
(отношение среднего числа стшчулированно возникающих фото-
фотонов к среднему чис!лу поступающих фотонов); Ь — скорость погло-
поглощения (отношение среднего числа поглощенных фотонов к сред-
среднему числу поступающих фотонов); с — скорость спонтанной эмис-
эмиссии (среднее число спонтанно возникающих фотонов в единицу
времени).
Системы подобного вида, характеризуемые рождением, погло-
поглощением и появлением частиц из независимого источника, часто
рассматриваются в математической статистике [15], [17]. Для этих
систем обычно составляется группа дифференциальных уравнений
[34, 15]:
B.65)
+ b(l+l)Hn(l+l), 1 = 0, 1, 2, .
где //„G) — условная вероятность появления на выходе системы
/ частиц при поступлении на вход п частиц, зависящая от времени.
Начальным условием системы B.65) при ? = 0 является НпA) =
= Ьпь т. е.
Н = 1 при п = / и Н = 0 при п ФI.
Решение системы B.65) в общем виде достаточно сложно. В
работе [34] система уравнений решена для случая 6=0, что в на-
наших условиях соответствует усилителю, и для а = с — 0, что соответ-
соответствует фотодетектору.
Согласно [34], вероятность появления т фотонов на выходе
усилителя при п фотонах на входе:
где k = eat — коэффициент усиления усилителя и
90
Вероятность появления / фотоэлектронов на выходе фотодетек-
фотодетектора, если на входе имеется т фотонов:
B.67)
где ц = е~ы — квантовая эффективность фотодетектора.
Принимая распределение фотонов на входе системы пуассо-
новским
п\
B.68)
где пс и по — среднее число поступающих сигнальных и шумовых
фотонов за время наблюдения Т (пс=усТ, по = уоТ; ус и уо — сред-
средние скорости поступления сигнальных и шумовых фотонов), най-
найдем, что распределение числа фотонов на выходе усилителя h(m)
определяется выражением:
B.69)
п=0
Аналогично для распределения числа фотоэлектронов на выхо-
выходе фотодетектора h(t) получим
А(/)= V h(m)qm(l) B.70)
m=0
ИЛИ
(/). B.71)
т—0 л=0
Подставляя в B.71) выражения B.66), B.67) и B.68), имеем:
X
B.72)
В работе [33] выполнено суммирование B.72) по т и п. Окон-
Окончательное выражение h(l) получено в виде
B.73)
91
Выражение B.73) можно записать в виде:
("с + "о) fe М
= ехр
1) [1+tl (А-1))'
B.74)
(х) — полином Лагерра степени / и порядка—•—1 128].
где Lt
Введем новые переменные:
После подстановки B.75) в B.74) получим
h (I) -¦
ехр —
пс /а
B.75)
B.76)
Таким образом, если на входе приемного устройства, состоя-
состоящего из квантового усилителя и фотодетектора, имеется совокуп-
совокупность фотонов, распределенных по закону Пуассона с математи-
математическим ожиданием пс + п0, то распределение фотоэлектронов на
выходе системы описывается распределением B.74) [или B.76) с
учетом B.75)].
В дальнейшем потребуются моменты распределения B 76), ко-
которые можно получить, зная производящую функцию этого рас-
распределения. Для нахождения производящей функции F (s) можно
воспользоваться известным выражением производящей функции
для полиномов Лагерра [28]:
- t)a+1
\t\<l.
B.77)
Используя ф-лу B.77), получаем (>см. приложение 5) выраже-
выражение для производящей функции распределения B.76)
ехр
q-s(q-l)
\q-s(q-\)]
с/а
1.
B.78)
Рассмотрим теперь прием с помощью обнаружителя Неймана—
Пирсона при однократном отсчете. Для решения этой задачи не-
необходимо знать характеристики сигнала и шума «с и п0, характе-
92
ристики усилителя и детектора k и ц и заданную вероятность лож-
ложного обнаружения Р^дн. Результатом решения должна быть
рабочая характеристика приемника, т. е. зависимость РОбн от Рлт-
Будем считать, что на выходе фотодетектора установлен счетчик
фотоэлектронов. В течение времени наблюдения (отсчета) на счет-
счетчик поступает / фотоэлектронов. Приемник принимает решение о
наличии сигнала, если />/п. где /п — пороговое значение, опреде-
определяемое из условия, что вероятность ложного обнаружения не дол-
должна быть больше заданного значения РдтДН-
Распределения числа фотоэлектронов на входе счетчика при
наличии и отсутствии сигнала соответственно выражаются форму-
формулами:
Рс
ехр
" '
i »(«-l)J
B.79)
ехр(_?М /«л
_ \ Я I {q-iyf\a )
B.80)
где рс = (пс + гц) k ц; р0 = nok r\; </ = 1 + г) (&— 1).
Вероятность ложного обнаружения можно записать в виде
'„-1
1=0
= 1
I Ро I
ехр — —
1 \ q la —
2
1—0
~с/а
я-W
Г^ Ро_
B.81)
Из соотношения B.81) необходимо найти такое значение /п,
при котором РЛт^Рл?дн • Поскольку в явном виде найти /п из
B.81) вряд ли возможно, решение указанной задачи может быть
выполнено на ЭВМ простым перебором по /п- После нахождения
/п вычисляется вероятность обнаружения по формуле:
„с I a
X
Г Р±_1
L <?(<?-1)J
B.82)
Задаваясь значениями Рдатдн, можно найти соответствующие
РОбн и получить рабочую характеристику. Эту же задачу можно
решить, используя логарифм отношения правдоподобия, однако в
данном случае это не приводит к упрощениям, поскольку распре-
распределение вероятности отношения правдоподобия вывести сложно.
93
В случае слабого сигнала нецелесообразно принимать решение
по результатам одного отсчета ввиду большой вероятности оши-
ошибочного решения. Удобно использовать результаты N независи-
независимых наблюдений, причем если N достаточно велико, то в силу
центральной предельной теоремы логарифм отношения правдопо-
правдоподобия Ли = 2]Лг будет иметь нормальное распределение (Л,- —
логарифм отношения правдоподобия для i-го отсчета).
Рассмотрим случай N независимых отсчетов, полагая, что сиг-
сигнал слабый и N достаточно велико в указанном выше смысле. От-
Отношение правдоподобия для г-го отсчета
X —
МЮ
— САЦ
L(c/a-l) __ Pc_
,-Pc h [ q(q-l)
Г El
B.83)
B.84)
где /{ — число фотоэлектронов, подсчитанное в i-м отсчете. Поло-
Положим для упрощения с/а—1 = а. Для слабых сигналов выполняют-
выполняются условия:
. , Рсп « 1; , Р° « 1. B.85)
Кроме того, будем полагать, что с/а мало отличается от 1. В этом
случае
Lkl(—x)tsil+a + Nx и \nL(na)(
и ф-ла B.84) принимает вид
At = b=?s+hl^iz?L\, B.86)
я [<?(? — ')J
Для дальнейшего необходимо найти математическое ожидание
и дисперсию Л, при наличии и отсутствии сигнала тс, пц, а\, оо.
Эти величины выражаются через математическое ожидание и
дисперсию U:
Ро — Рс
|
Рс — Рв ~\т .
J
On 0~
О2
°
, Г Рс — Ро 1 Г .
L<7(?-l)J°'
a2_
Ре-Ро
2.87)
E4"
где lc, h, a ?c и a ^ — математическое ожидание и дисперсия U
при наличии и отсутствии полезного сигнала соответственно. Эти
величины можно получить из производящей функции B.78) (см.
приложение 6). В результате получим:
/о = P0+f-(<?-
B.88)
При N независимых отсчетах моменты B.87) увеличиваются в
Ро ~Рс =А и Рс~Ро =5, можно записать:
N раз и, полагая
ao=(A+bTo)n
B.89)
А, <а
где Лс, Ло, а| и а а — математическое ожидание и дисперсия Л
при наличии н отсутствии сигнала. Как указывалось выше, можно
считать, что As имеет нормальное распределение, т. е.
B.90)
где Рс(Ле ) и ро(Ле ) — плотности вероятности As при наличии
и отсутствии сигнала. *
Вероятность ложной тревоги, исходя из B.90), можно записать
в виде
^лт =
B.91)
где Ф (х) = -у=- Г е 2 dt — интеграл вероятности и
95
94
Лп выбирается из условия РЛт=/3лтДН , именно
B.92)
где Ф~1(х) — функция, обратная интегралу вероятности, т. е.
Для вероятности обнаружения имеет место формула, аналогич-
аналогичная B.91):
B.93)
Подставляя B.92) в B.93), получим уравнение рабочей харак-
характеристики приемника в виде
Подставляя в B.94) значения Лс, Ло, а л и сгл0, получим
V~Nnckr\—
У ("с
V
-г-
"о)
кц
+
[¦
+ 2т]
1)
(к
¦+7
-1
С
"с
«+ч(*-
О
-1)
[1-
ф-'A-
М(*-
1)]
>задн\
лт J
B.95)
Для современных фотодетекторов обычно ri^l. При достаточ-
достаточно большом коэффициенте усиления усилителя kt)^\. При этих
предположениях
^-/з-г-^ф-'С-^Г)
Ц
B.96)
где S= — отношение сигнал/шум.
л0
Отсюда следует, что при большом коэффициенте усиления ве-
вероятность обнаружения не зависит от коэффициента усиления и
квантовой эффективности детектора, а зависит лишь от энергии
шума за время отсчета, отношения сигнал/шум, Рл т и значений
а, с и N.
Функциональная схема рассмотренного приемника аналогична
рис. 2.9, где Пг и щ следует заменить на Ц и /п соответственно.
Подсчитываемое в течение каждого из N отсчетов число фото-
фотоэлектронов поступает в сумматор. Результат суммирования срав-
N
нивается с пороговым значением /п. Если^ U>ln, то принимает-
t----i
ся решение о наличии полезного сигнала. В противном случае счи-
9G
fтaeтcя, что сигнал отсутствует. Для нахождения /п воспользуемся
-. соотношениями B.86) и B.92). Полагая As =ЛП, получим
N
I NA + B
* и окончательно
{1 рзадн\
^-Ф-Ч1
Таким образом, разработанный метод позволяет найти струк-
структуру оптимального приемника и выбрать надлежащий порог, оце-
оценить эффективность метода обнаружения и сравнить реальные си-
системы с теоретически оптимальной. Указанный метод позволяет
также определить, насколько целесообразно устанавливать кван-
квантовый усилитель перед фотодетектором. Область применения рас-
рассмотренного обнаружителя — лазерная связь на сверхдальние рас-
расстояния и локация.
2.7. ОПТИМАЛЬНЫЕ АДАПТИВНЫЕ ПРИЕМНИКИ
ОПТИЧЕСКОГО ДИАПАЗОНА И СРАВНИТЕЛЬНАЯ
ОЦЕНКА ИХ ЭФФЕКТИВНОСТИ
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
При распространении оптического излучения в канале, трасса которого
проходит в турбулентной атмосфере, на качество обнаружения информационных
сигналов сильное влияние оказывают флуктуации параметров канала связи,
в частности флуктуации показателя преломления.
Случайные изменения показателя преломления атмосферы приводят к флук-
туациям интенсивности оптического излучения.
Теоретически показано, что величина, равная логарифму нормированной ин-
интенсивности излучения, распределена я а входе приемника излучения по нор-
нормальному закону; эксперимент хорошо подтверждает этот вывод [35]. Вариации
интенсивности полезного сигнала в канале определяют так называемые мульти-
мультипликативные помехи. Кроме того, на входе порогового устройства приемника
присутствуют аддитивные шумы, определяемые фоном и внутренними шумами
приемника.
Совершенно очевидно, что наллчие мультипликативных по*мех, которые при-
приводят к флуктуациям интенсивности (математического ожидания) сигнала на
входе порогового устройства, будет оказывать определенное влияние на эффек-
эффективность лазерных систем связи и локации; следовательно, при математическом
описании канала евяз-н в оптическом диапазоне частот необходимо учитывать .
мультипликативные и аддитивные шумы, а также принимать .меры по повыше-
повышению эффективности рассматриваемых систем.
В работах [36, 37] .исследуется принцип адаптации оптимального приемника
к вариациям параметров канала связи в радиоднапазоне. В оптических каналах
связи флуктуации параметров канала могут оказывать еще более существенное
влияние на качество передачи информации, чем в каналах радноднапазома [38J.
С этой точки зрения желательно хотя бы в первом приближении <нсследо-
натъ вопрос применения принципа адаптации в лазерных каналах связи н ло-
локации л пролмести опенку повышения эффективности приема вследствие при-
4 -160 97
менемия адаптации для определенных классов оптимальных приемников. Пред-
Предварительно рассмотрим некоторые теоретические основы адаптации.
В классической статистической теории обнаружения и выделения полезного
сигнала на фоне шумов чаще всего, как извест.-io, используется критерий Байеса
ниш Неймана-Пирсона. При использовании этих критериев решающую роль в вы-
выборе структуры приемника играет априорная информация. Как только опти-
оптимальный критерий выбран и установлены цены правильного и неправильного
решения, структура оптимального преемника и его характеристика эффективно-
эффективности (.рабочая характеристика) есть функция имеющейся априорной информации.
Если априорная информация изменяется, то изменяются структура приемника и
«го рабочая характеристика.
'В >ряде ситуаций, имеющих непосредственный практический интерес, априор-
лая информация, имеющаяся в приемнике, представляется в общем случае
распределением вероятностей параметров сигнала (амплитуды, частоты, фазы,
.мощности и др.). Состояние неопределенности в приемнике, обусловленное тем,
что априорная информация описывается функцией распределения вероятности
параметра сигнала, может быть значительно улучшено применением процедуры
адаптации. Соответствующие приемники называются адаптированными прием-
приемниками.
Так как адаптация в общем случае усложняет приемное устройство, важно
определить максимальное повышение эффективности приема, которое можно
ожидать при применении адаптации.
Ирм сравнительной оценке неадаптированного и адаптированного оптималь-
оптимальных приемников .имеют место два экстремальных состояния знания — либо
иараметр сигнала (например, средняя мощность) описывается одномерной функ-
функцией распределения, либо параметр известен точно. Последняя ситуация сводит
первоначальное распределение к сингулярному распределению типа дельта-функ-
дельта-функции .и является верхней границей знания для любого типа адаптивной системы.
Методика оценки состоит в первоначальном нахождении точной структуры
байесовского приемника для ситуации, когда априорная .информация об опре-
определенном параметре сигнала ограничена знанием одномерного распределения
вероятностей.
Полученная таким образом структура приемника остается инвариантной
^постоянной) по отношению к значению параметра сигнала, в действительности
имеющемуся на входе приемника; такая структура является неадаптивной [36].
Вторым шагом методики является нахождение точной структуры приемнике
для случая, когда наблюдатель (приемник) обладает идеальным знанием рас-
рассматриваемого параметра сигнала; такая адаптированная структура есть функ-
функция действительного значения параметра сигнала на входе системы, и соответ-
соответствующие вероятности ошибки характеризуют непосредственно среднюю эффек-
эффективность приемника для данного частного значения параметра. Следовательно,
в этом случае среднее значение есть среднее по ансамблю бесконечного числа
яденгичных приемников, на входе каждого из которых имеется одно и то же
значение параметра. Эта условная средняя эффективность приемника может
выть затем усреднена по плотности распределения данного параметра с. мелью
волучения средней эффективности, ожидаемой от приемника, с адаптацией п.р.и
»с«х возможных значениях параметра. Следовательно, на основании соответ-
соответствующих характеристик эффективности приемников можно сравнивать два
«остояния априорной информации, т. е. сравнивать неадаптивный и адаптивный
способы приема.
Рассмотрим водрос использования адаптации по мощности сигнала, при-
применительно к оптическим каналам связи, в оптимальном приемнике для сигна-
сигналов типа «Вкл. — выкл.» (посылка монохроматического сигнала — отсутствие
ивеылки) при флуктуациях интенсивности .полезного сигнала в канале связи
в в присутствии аддитивной помехи (априорные вероятности посылки и отсут-
ет.вия сигнала обозначим р и q соответственно).
Согласно работе [36] оптимальный приемник является адаптивным по отно-
отношению к определенному параметру сигнала, если значение этого изменяющегося
случайным образом параметра известно точно априори и используется в про-
процессе обнаружения;, оптимальный приемник является неадаптивным, если из-
98
вестна лишь плотность распределения этого параметра, т. е. для каждого ре-
решения (Ht против Но) в последовательности решений, параметр сигнала ^мощ-
^мощность) я каждый интервал наблюдения рассматривается как случайная ве-
величина.
Оптимальный неадаптивный приемник по отношению к математическому
ожиданию полезного сигнала вследствие независимости его порога от истинного
значения параметра сигнала на входе является наилучшим приемником с фик-
фиксированным порогом; адаптивный приемник имеет переменный порог, который
изменяется в соответствии с вариациями параметра сигнала, т. е. адаптируется
к параметру сигнала.
Точное знание параметра сигнала в каждом из интервалом наблюдшая
может обеспечиваться включением специального канала в приемнике, отслежи-
отслеживающего флуктуации данного параметра, обусловленные медленным федингом.
Некоторые из вариантов подобных схем приведены в [39]. Здесь этот вопрос спе-
специально не рассматривается.
Как известно, для излучения лазера, работающего на одном типе колебаний
при амплитудной стабилизация, справедливо распределение Пуассона. Аддитив-
Аддитивный шум, действующий в канале, зачастую также может быть описан пуассо-
новским распределением.
Рассмотрим приемники лазерного излучения, оптимальные в смысле крите-
критериев Неймана-Пирсона, и идеального наблюдателя (минимизация вероятности
пропуска сигнала при заданной .вероятности ложной тревоги и минимизация
среднего риска).
В качестве чувствительного элемента приемника используется фотодетектор
с последующим счетчиком фотоэлектронов.
Поскольку число фотоэлектронов в определенном промежутке времени слу-
случайно, интервал времени между двумя соседними фотоэлектронами т также
будет случайным и будет характеризоваться плотностью распределения Щт).
Обозначим плотность распределения интервала времени между двумя соседними
электронами при наличии полезного сигнала №сш.(т), при отсутствии сигнала
Wm{x).
Если в качестве порога обнаружения принять некоторый фиксированный
интервал времени тПор, то вероятность ложной тревога — это .вероятность того,
что в случаях отсутствия сигнала случайный интервал времени между двумя
соседними принятыми фотоэлектронами окажется меньше или равным поро-
пороговом у:
•.пор
Wm(x)dx.
Вероятность обнаружения определяется:
пор
Wcul(x)dx.
Использование счетчика интервала времени между двумя соседними фотоэлек-
фотоэлектронами .вместо счетчика числа фотоэлектронов в фиксированном интервале
времени в качестве модели приемника вполне оправдано, по* крайней мере, в слу-
случае пуассоновского распределения, так как оно обладает свойствами стацио-
стационарности, ординарности ,н отсутствия последействия (распределение интервала
времени между парой соседних фотоэлектронов не зависит от номера пары).
Основным преимуществом данной модели является возможность оиеряро-
лания с непрерывно распределенными случайными величинами (в отличие of
случая регистрации числа фотоэлектронов за фиксированный интервал времен*,
что приводит к дискретным распределениям).
Обозначим среднюю интенсивность появления фотоэлектронов при отсут-
отсутствии полезного сигнала через ^ш, тогда вероятность появления п фотоэлектро-
фотоэлектронов в интервале времени т при пуассоновском распределении
B.97)
99
4К
1
Для распределения B.97) значение функции распределения F (т) интервала
времени т между двумя последовательными моментами появления фотоэлектро-
фотоэлектронов .равно вероятности появления хотя бы одного фотоэлектрона за время т:
F(t) = 1—exp( —YmX),
откуда плотность распределения
ушт). B.98)
B.99)
Аналогично в силу аддитивности пуассоновских распределений
Wсш (т) = усш ехр (— усшт),
где \еш=ус+\ш, \с—средняя скорость сигнальных фотоэлектронов в интервале
наблюдения.
Из выражений iB.98) <и B.99) определим логарифм отношения правдо-
правдоподобия:
Л = 1п
(т)
s—
где
ш (т)
Хш
=а— &т,
и Ь = ус.
B.100)
Из выражения B.1О0) видно, что Л -*а при т-»0, Л-*—оо при т-»оо.
Структурная схема оптимального приемника, вычисляющего отношение
правдоподобия, изображена на рис. 2ЛЗ.
„Сигнал есть"
Измеритель
интерВала
Умножитель
Сумматор
Пороговое
устройство
л>л
пор
„Сигнала нет
Рис. 2.13. Структурная схема оптимального приемника
Из определения следует, что .в случае неадалтивного приемника парамет-
параметры а, Ь и Лпор в процессе обнаружения будут постоянными, а в случае адап-
адаптивного— переменными (поскольку в а, & и ЛПОр входит флуктуирующая ус).
Легко показать, что в случае отсутствия сигнала плотность распределения
отношения правдоподобия
—-г (°-л)
B.101)
а в случае иаличия сигнала
^сш = —?~Г— ехр I —
где yt?=b для неадаптивного прнем!Ника i(b .процессе обнаружения вследствие
воэдейств.ия мультипликативной помехи .медленно меняется интенсивность излу-
излучения и, следовательно, ус в то .время как параметры приемника остаются
иеиэмевными); ус=Ь — для адаптивного приемника i(приемник отслеживает изме-
кение интенсивности сигнала).
too
Вероятности ошибок решения для приемника:
а
= J
пор
опр= j Wcm(A)dA =exp
(Л
поо — а) .
B.102)
Для приемника, оптимального по критерию идеального наблюдателя при равен-
равенстве априорных вероятностей посылок символов @ ,или 1) и одинаковых ценах
(Лпор=0), из выражений B.102) получим:
Для приемника Неймана-Пирсона:
Рлт = Рлп = const;
Рпр = ехр
—¦ 1пA —Рлт0)фа;
Г Ye Ф Уш
B.103)
B.104)
L Уш
1пA-РлтоI-
Пусть величина, равная логарифму нормированной интенсивности излуче-
излучения, распределена на входе приемника по нормальному закону [35]:
.<***].
где Р — случайная величина, характеризующая мощность полезного сигнала на
входе приемника;
Ро — мощность полезного сигнала в случае отсутствия мультипликативной
помехи.
Так как
Yc=- „
Ро
где h — постоянная Планка; v — частота излучения, то распределение скорости
фотоэлектронов W(ye) с точностью до квантовой эффективности фотодетектора
можно легко определить .из выражения iB.105):
1 Г «nfcw—lnfcw^J^ • B106)
аус
2а2
'Выражение B.106) представляет собой плотность логарифмически-нормаль-
логарифмически-нормального закона распределения. При небольших ai(a<0jl-f-0,13) допустима прибли-
приближенная замена логарифмически-нормального распределения нормальным с мате-
02 2
матическим ожиданием и дисперсией Роехр и PJj a2 соответственно, т. е.
^z—Г ехр
Ус — Усо ехР "у
К
B.107)
101
Эффективность приемника можно характеризовать вероятностью ошибки,
которая слагается из вероятности пропуска и вероятности ложной тревоги, взя-
взятых с соответствующими весовыми коэффициентами р и q (при определенных
допущениях эта величина является средним риском). Вследствие флуктуации
интенсивности сигнала вероятности Рпр и РЛт будут изменяться для каждого
¦решения во всей последовательности решений, следовательно, если усреднить
значение вероятности ошибки, зависящее от определенного параметра (интенсив-
(интенсивности) по всем возможным значениям данного параметра, то получим среднюю
эффективность рассматриваемого приемника обнаружения (Р).
Таким образом, среднюю эффективность приемника в случае флуктуации ии-
тонсивмости входного сигнала будем характеризовать усредненным значением
полной вероятности ошибки по всем возможным значениям интенсивности сиг-
сигнала на входе приемника:
о
где р и q — априорные вероятности наличия и отсутствия сигнала.
ПРИЕМНИК, ОПТИМАЛЬНЫЙ В СМЫСЛЕ КРИТЕРИЯ
ИДЕАЛЬНОГО НАБЛЮДАТЕЛЯ
1) Неадаптивый приемник (Ь = усоФ\с, a = const). Из выражений
B.103) и B.107) имеем
д.н=т 1_ехр - —
I
ехр
а (Ус 4- Уш)
Ъ
Yc —
dyc.
Подставляя значения Ъ = \с0 и я = !п I I -l — 1
V Уш /
и интегрируя, получим
'ИД Н с.
-'W-f'+^-TT.-'Tii-
B.108)
где Ф (х)
2
Уп .
'— — интеграл вероятности.
2) Адаптивный приемник (Ь=ус).
*--,ук ..II1—'I-
Уш in A 4- —
102
: - Усо ехр —
Ус
ПРИЕМНИК НЕЙМАНА—ПИРСОНА
Используя B.104) п B.107), получим
1) неадаптивный приемник:
Г ехр | Yc Уш In A - Рлт0) 1 X
J L Уш J
X ехр
интегрируя, получим
^Yc — Усо ехр —
1-^лто)
а2 л
_ ехрт
V2~o J
X ехр| In A_ялт0)—
2) адаптивный приемник:
1пA-Рлто^
Уш
¦Ф-
ехр —
a2Yco
^нп ~ 2 ¦^лт0 "^ ч~г~
X ехр
Yc — Ус
2oVc)
с0
Таким образом, средняя эффективность адаптивного приемника обнаруже-
обнаружения, оптимального в смысле критерия Нейман а-Пирсона для пуассоиовского
закона распределения фотонов, равна средней эффективности неадаптивного
приемника, т. е. в этом случае
применение адаптации выигры-
выигрыша не приносит, а только ус-
усложняет схему. В работе [36] ?_..
был получен аналогичный вы-
вывод для радиоканала.
Данное свойство приемни-
приемника Неймана—Пирсона справед-
справедливо в лазерных системах свя-
связи и локации для любых рас-
распределений сигнала и шумов.
Измерение
интервала
(счетчип ipo-
тозштроноВ)
Цп)
Пороговое
устройстбо
„ Сигнал есть"
^Ч ' ^пор (п<п пор)
„Сигнала нет"
*"¦ Структурная схема, поясняющая а„а-
пределений сигнала и шумов. ? *W™™*° \ «еадаптиъного приемни-
Физически это свойство мож- ков НевмаиаЛирсояа
но объяснить следующим об-
образом. Схему приемника всегда можно представить в виде, изображенном
иа рис. 2.14.
103
Порог обнаружения выбирается, исходя из отношения правдоподобия и
выбранного критерия оптимальности. Приемник адаптируется к изменениям
сигнала на входе путем изменения величины порога.
Так как вероятность ложной тревоги зависит лишь от плотности распре-
распределения шумов и порога обнаружения, то при фиксированной величине ложной
тревог.и порог будет определяться только видом плотности распределения шу-
шумов, на которую флуктуации интенсивности полезного сигнала (.мультипликатив-
(.мультипликативная помеха) оказывать влияния не будут, т. е. порог будет неизменным в про-
процессе обнаружения. Следовательно, введение дополнительных схем для опре-
определения интенсивности сигнала на входе приемника нецелесообразно вследствие
постоянной величины порога обнаружения.
0,04
0,035
0,03
0,025
0,01
0,015
0,01
0,005 -
In
!¦
300
/
*
/
/
/
/
/
НАП
НАП
АП
АП
НАП
АП
O.I
0,015
0,05
0,025
-
—i
—
—
АП
АП
¦Нал
чт
—
О 0,2 BU 0.6 0 1,0 б 0 0,2 0,k 0,6
1,0 6
Рис. 2.15. Средняя эффективность адаптивного и неадаптив-
неадаптивного приемников, оптимальных в смысле критерия идеального
наблюдателя, при флуктуациях полезного сигнала в канале
(мультипликативная помеха):
НАП — неадаптивный; АП — адаптивный
Если приемник оптимален, например, в смысле критерия идеального наблю-
наблюдателя, то величина порога будет определяться как плотностью распределения
ш>ма, так и плотностью распределения сигнала, которая зависит от интенсив-
интенсивности сигнала, следовательно, РИП и^Ркя н-
'Количественные характеристики, соответствующие этому случаю, показаны
на рис. 2.!5. Как видно из рисунка, при увеличении флуктуации интенсивности
полезного сигнала выигрыш по усредненной вероятности ошибки у адаптивного
.приемника по сравнению с неадаптивным растет и достигает значительной ве-
/ Р" N
личины
_
Р ид
^0,6 .
2.8. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОЦЕДУРА
ОБНАРУЖЕНИЯ
В предыдущих разделах на основании статистических распределений
сигнала и шума были определены алгоритмы работы оптимальных приемников
оптического диапазона и оценивалась их эффективность. Процесс обнаружения
основывался на так называемой параметрической процедуре обнаружения, когда
необходимо предварительно располагать аналитическими выражениями стати-
статистических распределений шума и смеси сигнала с шумом в канале (т. е. необ-
необходимо полное статистическое описание входных процессов).
104
Для параметрического метода обнаружения характерно то, что пороговый
уровень является оптимальным лишь в данной частной задаче обнаружения, для
которой собственно ,н сконструирован приемник (например, приемник Неймана-
Пирсона). Параметрическая процедура неприменима в случае, когда стати-
статистические распределения шума и смеси сигнала с шумом в канале неизвестны.
Если такая процедура используется в канале с неизвестной статистикой, то
качество приема может быть не только субоптимальным, но и значительно
ц ухудшится. Более того, полностью отсутствует гарантия того, что требуемая
<¦ надежность приема будет обеспечена (например, будет обеспечена заданная
вероятность ложного обнаружения). В,месте с тем имеется настоятельная необ-
необходимость обеспечить эффективное обнаружение в каналах оптического диапа-
диапазона, в которых неизвестны статистические распределения шума и смеси сигма-
f ла с шумом.
* К оптическим каналам подобного типа относится, например, канал, трасса
X которого проходит в турбулентной атмосфере. В таком канале могут суще-
Тг ственно искажаться исходные статистические распределения сигнала и смеои
* сигнала с шумом. Можно теоретически найти статистические распределения
^ излучения, прошедшего турбулентную среду, однако эта задача является весьма
* трудоемкой и в настоящее время полностью еще не решена. Ясно, что в таких
условиях канал можно считать каналом с неизвестными статистическими рас-
распределениями. Кроме того, параметры канала могут изменяться во времени;
тогда в общем случае канал следует считать нестационарным. Наконец, в слу-
случае постановки искусственных помех, статистика помехи обычно неизвестна на
приемной стороне. К этому необходимо добавить еще то обстоятельство, что
в ряде применений (ЖГ реальные статистические распределения могут суще-
существенно отличаться от теоретических моделей, которые были приняты проекти-
проектировщиками за основу. Таким образом, случаи неизвестных статистических рас-
распределений в оптических каналах вполне реальны.
При проектировании достаточно эффективных приемников для оптических
> каналов с неизвестными статистическими распределениями можно применить
разработанный в математической статистике метод непараметрической оценки
дли, применительно к каналам связи, непараметрическую процедуру обнаруже-
обнаружения. Непараметр.ические приемники не являются оптимальными в общепринятом
смысле этого слова, однако обладают рядом полезных свойств. При реализации
непараметрической процедуры обнаружения используется приемник сравнений,
в котором производится счет числа наблюдений, превысивших пороговый уро-
ьень. На основе этого чмела производятся решение о наличии или отсутствии
полезного сигнала. Особую роль здесь играет вопрос выбора порога.
При оптимизации непараметрической процедуры обнаружения пороговый
уровень выбирается так. чтобы при минимальном входном отношении сиг-
сигнал/шум была обеспечена требуемая скорость передачи информации и допу-
допустимая вероятность появления ошибок в системе связи.
Основной особенностью непараметрической процедуры обнаружения яв-
является воздюжность ее применения в каналах с неизвестными статистическими
распределениями. Другой особенностью является простота приемника — необхо-
необходимы только квантователь по уровню и счетчик. Последнее является важным
практическим достоинством. .
В непараметрической процедуре обнаружения для стационарного канала
порог выбирается следующим образом. Перед началом приема информации
-- приемник «наблюдает» шумовую реализацию, т. е. в течение некоторого времени
фиксируется конечное число отсчетов. На основании этих отсчетов определяется
требуемый квантиль') шумового распределения, например медиана (или не-
несколько квантилей для многопоротового приемника). Этот квантиль принимается
в качестве порогового уровня (в соответствии с заданным значением вероятно-
вероятности ложной тревоги). Следовательно, вероятность превышения «шумовым» от-
: счетом величины квантиля всегда одна и та же (для стационарного канала)
') Квантилем, отвечающим заданному уровню вероятности «р», называют
такое значение случайной величины х=хР, при котором функция распределения
вероятностей этой величины принимает значение, разное «р». г. е F(xv) — p.
105
независимо от характера распределения помех» в канале. А вероятность пре-
превышения «шумовым» отсчетом величины квантиля полностью определяет вероят-
вероятность ложной тревоги. Следовательно, непараметрическая процедура сохраняет
постоянным требуемое гарантированное значение надежности приема (только
вероятность ложной тревоги) для широкого класса функций распределения,
хотя, конечно, параметрическая процедура для конкретных известных распре-
распределений будет лучшей (так как она при требуемой гарантированной вероятно-
вероятности ложного обнаружения максимизирует вероятность обнаружения).
Таким образом, информация о канале, которая требуется для яепараметри-
ческой оценки, заключается в знании лишь одного квантиля шумового распре-
распределения ,(или нескольких квантилей). Если шум является стационарным, то шу-
шумовую реализацию можно получить один раз перед передачей информации.
Если шумовой случайный процесс квазистационарен, т. е. если статистическое
распределение шума изменяется со временем, но достаточно медленно по срав-
сравнению со скоростью передачи информации, то, получив Л' шумовых отсчетов
(выборок) из шумовой реализации на входе приемника (когда точно известно,
что в канале имеется только шум), эти выборки в последующем используют
лишь в течение времени, пока шумовой процесс остается стационарным.
Когда статистика шума начинает изменяться, передача информации должна
прерываться на время, достаточное для того, чтобы приемник накопил новую
группу выборок, которые используются как опорные, пока шумовой процесс
можно считать стационарным. Для точного определения момента прерывания
при передаче информации необходимы данные о длительности временного ин-
интервала, в течение которого статистика .шума стационарна. Эти данные могут
быть получены экспериментально или теоретически.
Некоторым недостатком рассматриваемого метода обнаружения являются
перерывы в передаче, что снижает скорость передачи информации. Если ее
уменьшение нежелательно или если определить временной интервал, в течение
которого статистика шума остается стационарной, не представляется еозможным
по основному каналу, то можно использовать пространственную, угловую или
частотную селекцию для образования дополнительного канала, содержащего
лишь шумовой сигнал; такая селекция легко может быть достигнута в лазерных
системах.
Если шумоЕОЙ процесс в канале существенно нестационарен, т. е. если ва-
вариации статистических распределений происходят ;о скоростью, сравнимой со
скоростью передачи информации, то непараметрическую процедуру обнаружения
можно совместить с процессом непрерывной самонастройки, т. е. значение по-
порога непрерывно корректировать в соответствии с характером временных вариа-
вариаций в «шумовом» канале.
Непараметрическая процедура обнаружения .может применяться как в ка-
каналах с неизвестными статистическими распределениями, так и в каналах, в ко-
которых имеется еше дополнительно мультипликативная помеха. Мультиплика-
Мультипликативная помеха в оптических каналах обусловлена, например, «быстрыми тур-
булентностями» атмосферы и медленными флуктуаниямн сигнала, связанными
с суточными и сезонными изменениями параметров атмосферы (температуры,
влажности, давления и т. д.).
В дальнейшем будем рассматривать стационарные оптические каналы, пред-
предполагая, что отсчеты шумовой реализации статистически независимы. Непара-
Непараметрическая процедура обнаружения с помощью приемника сравнений бази-
базируется на ПК иязывяемой «статистике испытаний»:
N
с(щ — х), B.109)
где гц — значения отсчетов реализации входного сигнала (число фотоэлектронов
или наблюдаемых квантовых переходов за отсчетный интервал вре-
времени);
число независимых отсчетов;
х — пороговый уровень, а функция с(и) определяется в виде:
с (и) = 1, и > 0;
с(и)=0, и < 0.
Выбор другого порогового уровня х' будет, очевидно, определять иную
статистику испытаний:
N
M"i. • • ••M=ySe(*~"*')'
Вне зависимости от статистических распределений в канале статистика ис-
испытаний обладает асимптотически нормальным распределением (как будет по-
показано ниже).
Инвариантность распределения статистики испытаний при отсутствии полез-
полезного сигнала обеспечивает вероятность ложного обнаружения постоянной по
отношению к изменениям статистических распределений >в канале. Очевидно,
оптимальный выбор порогового уровня будет определять оптимальную стати-
статистику испытаний. Оптимальность здесь понимается в следующем смысле. При-
Приемник, работающий по оптимальной статистике испытаний, для получения тре-
требуемой надежности приема (РЛт и 1—Роьъ — фиксированы) при определенном
отношении сигнал/шум S требует наименьшего числа отсчетов N или при за-
заданном числе отсчетов N обеспечивает требуемую надежность (РЛт и
1—Роъп = Рп?) при минимальном отношении сигнал/шум.
В дальнейшем мы будем называть приемник, осуществляющий решение да
основе статистики испытаний Qn—Qn-приемником (и соответственно Lw-прием-
ник, осуществляющий решение по статистике испытаний Ln). Удобным крите-
критерием, позволяющим оравнивать приемники, использующие ту или иную стати-
статистику испытаний, является рассмотренная в [40] асимптотическая относительная
эффективность — АОЭ. Одна из форм выражения АОЭ следующая:
N*
АОЭ
V ln
N
B.110)
пе Л* и N — числа независимых отсчетов, требуемые /-Л- и Су-приемником
соответственно (предполагается, что обнаруживается один ,и тот же сигнал при
од»их и тех же .шумах в канале и при одинаковых Рлт и !— Рос,н). При оди-
одинаковой частоте отсчетов !/т0 отснгт/сек интервалы наблюдения для LN- и
Q.v-приемников будут Г* = Лг*т0 и T = Nxo соответственно. Следовательно, макси-
максимальные скорости, с которыми символы могут посылаться источником и еще
сохраняются заданные значения Рлт .и !—Роои, при использовании Lл--прием-
яика и QN-приемнпка будут —; и символ!сек соответственно Условия
Л/*х0 N т0
•pei улярности, которым подчиняются статистики испытаний, введены в [40]. Эти
условия позволяют выразить АОЭ достаточно просто и наглядно.
Q ?' ( Q )
Условия регулярности. !.
— асимптотически нор-
)
мальная величина с нулевым средним и дисперсией, равной единице; определение
асимптотической нормальности следующее: если Хи Х2 ... — последовательность
случайных переменных, то считается, что Xn асимптотически нормальна с ну-
нулевым средним и дисперсией, равной единице, если
2n), Oc(Qn) — математическое ожидание и дисперсия статистики Qn при
106
наличии полезного сигнала.
107
2. Производная математического ожидания
dl!c
dS
существует
для всех S и непрерывна при S=0 (S— отношение сигнал/шум).
3. Существует последовательность {Sw}, такая что
lim Sv = 0.
N— а>
4. Mm -
i \ K(Qn) Т_ гп ч
B.111)
где e(Qtf) — положительная постоянная величина, называемая эффективностью.
=1.
5. lim
6. lim
W-00
Индекс «с» означает наличие полезного сигнала, индекс «О» — его отсут-
отсутствие. Как показано в [40], приемник, работающий на основе статистики испы-
испытаний Qn, удовлетворяющей условиям регулярности, для больших размеров
выборки имеет рабочую характеристику:
lime (QN )'&// = 2 {ф~1 A-2Рлт) + ф-1 [1 - 2 A - Роб„)]}2,B.111а)
N
где
Рабочая характеристика связывает вероятность ложной тревоги, вероят-
вероятность пропуска сигнала, среднее значение отношения сигнал/шум 5Л- и число
отсчетов N с постоянной e(Qa). Постоянная e(Qti) зависит от статистики испы-
испытаний и статистических распределений в канале. Для статистик испытаний
(Qn.Lx) удовлетворяющим условиям регулярности имеем
АОЭ,
V LN
N*
N
A - 2РЛТ) +
- 2 A - Роби)]}2
X ~^7^=
2 {ф-1 A - 2ЯЛТ) + ф-1 [1-2A- />обн)]}2 e(LN)
где e(Qtf) и e(Ltf) — эффективности Qn- и Ln-стэтистик соответственно.
Таким образом, АОЭ характеризует степень эффективности приемника, осно-
основанного на статистике испытаний Qn, по сравнению с эффективностью прием-
приемника, основанного на статистике испытаний LN, при обнаружении одного и
того же слабого сигнала в условиях, характеризуемых одной и той же фикси-
фиксированной вероятностью ошибки (Рлт, 1—Раьп).
Возвращаясь к B.109), видим, что, поскольку Q>- равна сумме независи-
независимых и идентично распределенных случайных переменных, каждая с конечной
дисперсией, распределение для Qn в силу центральной предельной теоремы
асимптотически нормально.
108
Найдем математическое ожидание и дисперсию величины Qn при наличии
и отсутствии полезного сигнала. Получим
N ' N
B.112)
J (=1 П^Х
В B.112) Pct(rii) — вероятность подсчета п; фотоэлектронов в отсчете (при
наличии сигнала в шуме).
Если полезный сигнал постоянен по интенсивности во всех интервалах, а
помеха стационарна (St = S), то
B.113)
B.114)
п~х+1 nt=
Gc(*)[l-Gc(*)]
N
G0(*)[l-G0(*)]
=0 д,
При выводе ф-л B.112), B.113) и B.114) использованы следующие соот-
соотношения:
л,=0 л.=0
где Gc(x) и G0(x) — кумулятивные функции распределения вероятности для
дискретного изменения переменной (л: — целое положительное число), для не-
непрерывных переменных они преобразуются в соответствующие интегральные
функции распределения вероятностей; Р0(п{) — вероятность подсчета п,- фото-
фотоэлектронов в ?-м отсчете при наличии только шума.
Выражение для эффективности e(Qn), полученное из 4-го условия регу-
регулярности и ф-л B.1!3) и B.114), запишется в виде
BП5)
d d
где b(x)= —-Gc(x)\ 5_0 при условии, что производная — Gc(x) существует
для всех S и непрерывна при S=0. *
Из двух приемников сравнений с пороговыми уровнями соответственно х*
и х лучшим будет приемник с пороговым уровнем х*, если
Ь2 (х*) Ь>(х)
Go (х*) [1 - Go (х*)] " Go (x)[l - G0(x)] '
Оптимальным является приемник, в котором порог х выбран из условия
максимума e(QN). Для этого необходимо продифференцировать e(QN) -no x и
полученное выражение приравнять нулю. Получим уравнение, из которого
можно найти х. Однако для этого необходимо иметь зависимость e(Qx) от х
в явном виде.
Поскольку в выражение e(Qn) входят функции распределения, которые не-
неизвестны (если бы функции распределения были известны, то задача непара-
109
метрического обнаружения не возникла), определение оптимального порога
ммеет лишь теоретический интерес.
Как уже указывалось, непараметрическая процедура обнаружения более
всего целесообразна в каналах с неизвестными статистическими распределения-
распределениями >шш в каналах с нестационарными мультипликативными помехами (замира-
(замираниями), где оптимальный в обычном смысле приемник (например, приемник
Неймана-Пирсона) может иметь гораздо меньшую эффективность.
Интересно сравнить, насколько ухудшится эффективность приема, если в ка-
иале с .известными статистическими распределениями, для которого использован
оптимальный приемник Неймана-Пирсона, применить не параметрическую про-
процедуру обнаружения. Если это ухудшение незначительно, то можно утверж-
утверждать, что непараметрическая процедура обнаружения сохраняет хорошую эффек-
эффективность как для каналов с неизвестными статистическими распределениями,
•»ак и для каналов с известными статистически ми распределениями. Для про-
проведения такой оценки необходимо найти эффективность непараметрического
приемника и оптимального приемника Неймана-Пирсона при известных стати-
статистических распределениях в канаде.
Определим эффективность e(Qrt) непараметрического приемника со стати-
статистикой испытаний B.109) для случая обнаружения монохроматического излу-
излучения оптического диапазона постоянной интенсивности в шумах, имеющих
пуассоновское распределение фотонов. Имеем следующие выражения:
,1Л; — (S+i)s,,,
е ,
щ\
где 5= — —отношение сигнал/шум;
Рв К) = -^Г
X
Gc М = JJ
nL\
Вычислим Ь(х), входящее в ф-лу B.115):
Ь (х) = — [Gc(x)J
dS
Г1
Ь л,!
S=0 л—0
Эффективность в рассматриваемом случае
е (On)
— Sm Gu(x)
G0(x)[l-GB(x)]
G0(x)ll-Gn(x)]'
-. B.116)
Найдем аналитическое выражение для эффективности в случае обнаруже-
яия монохроматического излучения в тепловом шуме:
р }_ ' ( ^
р. («<) = —-
110
При S-Cl можно использовать аппроксимацию вырожденной гяпергеометрнче-
ской функции. Получим:
1
Рс к) =:—=
Gc(x) =
я,=0
1/Sm
G«(x) = 1 -
1 4-
x+l
Определим для этого случая b(x):
Эффективность определяется выражением
Г^ 1
= K-Sm)
1-fSui/ J
1 + sm \ 1 + sm
2 / — \X+l
B.117)
1 -
\1 +iu^
Определим теперь эффективность приемника Неймана-Пирсона. Как было
показано ранее, оптимальный приемник Неймана-Пирсона выносит решение да
основании многомерного отношения правдоподобия
B.118)
j— j
В работе [40] показано, что при S, достаточно малом (слабый сигнал), вы-
выражение B.118) эквивалентно статистике испытаний:
l=\
v (ч)
Р» (л,) '
где
Ь'(х) =
(n)
s=o
B.119)
111
Следовательно, в рассматриваемом случае алгоритм работ!.: пр^мника
таков, что при обнаружении слабых сигналов в шумах суммируется определен-
определенная функция Ь'(п)/Р0(п) наблюдений. Статистика испытаний B.119) удовлетво-
удовлетворяет условиям регулярности в случае слабого сигнала. Поскольку L*к равна
сумме независимых и идентично распределенных случайных переменных, она
имеет асимптотически нормальное распределение. Запишем математическое ожи-
ожидание « дисперсию L*n для дискретного случая (считая, что интенсивность по-
полезного сигнала во всех выборках постоянна и помеха стационарна):
N
?^<».>
Используя эти выражения, получим:
P0 К) dS
s=o
Эффективность в общем виде определяется выражением
5=0
Найдем теперь эффективность обнаружителя Неймана-Пирсона при кон-
конкретных распределениях сигнала и шума. Для сигнала и помехи, имеющих
распределения, описываемые законом Пуассона, получим:
_d_
dS'
N
S=0
(n, —
N
N
N
t=i
11?
(
s=o
= «„,;
Для случая обнаружения монохроматического излучения ма фоне теплового
поля имеем:
6' (Я,)= РС(П{)
dS
s=o dSU+^Al-f^/
Sm
s=O
(=1
(=1
nt=0
Xexp I „ tl- lf,-^ ;
s=o
~2joi + ^i-fs^Vi-f^/
ш \ i -Г Sin
Сравнительная оценка, проведенная для случая обяаружеяия монохрома-
т!»ческого излучения оптического диапазона в луассоновских шумах непара-
метрнческим приемником и оптимальным приемником Неймана-Пирсона, пока-
показывает, что непараметрическая процедура обнаружеиия в условиях известных
статистических распределений по эффективности «е очень сильно отличается от
оптимального метода обнаружения. Так при хш = 3, дс=3 н G<,(x) = 0,&5 (Pn-r =
= 0,35) эффективность e(Qn) = 2,2 [вычислено по ф-ле B.116)]; эффективность
приемника Неймана-Пирсона e(L*w) = 3. Асимптотическая относительная эффек-
тмвность —~i—=0,73. Из ф-лы B 111а) следует, что пра одинаковой досто-
верности работы приемников (Рлт, 1—Яобя), одинаковом числе отсчета? N .и
при асимптотической эффективности, равной 0,73, непараметрический приемник
требует всего лишь в 1,17 раз большего отношения сигнал/шум, чем оптималь-
оптимальный приемник Неймана-Пирсона.
Таким образом, резюмируя, можно отметить следующее: непараметрическая
процедура обнаружения, оставаясь единственно возможной для каналов с иеиз-
вестными статистическими распределениями (а также для нестационарных кана-
каналов, подверженных мультипликативным помехам, обусловленным флуктуациями
прозрачности атмосферы) в ряде случаев дает незначительный проигрыш для
каналов с известными статистическими .распределениями.
.При реализации не пар а метрической процедуры обнаружения, кроме одно-
порогового приемника, можно использовать много.пороговый приемник. Основ-
Основным отличием этого вида приемника от ранее рассмотренного является исполь-
использование нескольких пороговых уровней вместо одного. Это позволяет получать
больше информации о входном сигнале и, следовательно, вырабатывать решение
с большей достоверностью. В качестве пороговых уровней выбираются^ квантили
вероятностного расяределения шума (помехи) в канале, когда полезный сигнал в
канале отсутствует. Следовательно, необходимой информацией о статистике
в канале являются лишь квантили шумового распределения. Статистика испы-
испытаний многопорогового иепараметрического приемника является средней суммой
статистик испытаний, использующих в качестве своих относительных пороговых
уровней различные квантили распределения шума в канале.
2.9. ОПТИМАЛЬНОЕ ИЗМЕРЕНИЕ ПЕРЕМЕННОЙ
ЧАСТОТЫ ОПТИЧЕСКОГО ДИАПАЗОНА
Оптимальное измерение переменной (-изменяющейся по какому-либо
закону) частоты оптического диапазона при слабом полезном сигнале целесооб-
целесообразно проводить на базе статистической теории измерений.
Статистически задача измерения состоит в подборе оценки у* ал я изме-
измеряемого параметра у. .в отношении которого известна лишь априорная плотность
вероятности Р(у). Эта оценка должна быть оптимальной с точки зрения какого-
либо критерия (например, минимума среднего риска).
'Как и в случае обнаружения, инженеру следует оценить качественные по-
показатели оптимальной обработки при измерении и рассмотреть пути ее техни-
технической реализации.
Оптические дискриминаторы, рассмотренные в F1, 70, 71], позволяют изме-
измерить изменяющуюся частоту оптического колебания, т. е. образуют на выходе
фотодетектора сигнал, пропорциональный изменению частоты. Как показано
в [91], оптический дискриминатор обладает статической характеристикой, на
которой может быть выбрана рабочая точка, соответствующая центральной ча-
частоте, относительно которой происходят «полезные» изменения частоты. Прием-
Приемное устройство должно фиксировать эти изменения.
Рабочая точка на характеристике должна быть выбрана на линейном ее
участке, приращения частоты должны, очевидно, укладываться .в окрестность
рабочей точки. Характерной особенностью дискриминаторов является то, что
.изменения частоты сигнала в определенных пределах приводят к изменению
интенсивности поля на входе фотодетектора .или к пропорциональному измене-
изменению скорости поступления фотонов на фоточувствительную поверхность детек-
детектора. При небольшом числе фотоноз ,(«слабый» полезный сигнал) их распре-
распределение подчиняется пуассоновскому закону, при этом средняя скорость поступ-
поступления фотонов изменяется пропорционально непрерывному изменению частоты
сигнала. Необходимо по принятому числу фотонов оценить среднюю скорость
поступления фотонов или, что эквивалентно, оценить частотное смещение
сигнала.
В математической статистике такая задача решается следующим •образом.
Имеется выборка из N случайных .величин у\, </2, . • •, Ук, имеющих закон рас-
распределения, известный точно, за исключением параметра у. Это означает, что
114
при данном у известна JV-.мерная плотность .вероятности
Py(y) = L(y1,yi, . . ., yN . Y).
Требуется на основании данной выборки (у,, уг, ..., ук) установить величину
параметра у. Предполагается, что в течение данной выборкн параметр у остается
неизменным. При переходе от одного опыта к другому (т. е. от одной выборки к
другой) искомый параметр у может изменяться. .Поскольку выборочные значения
У\, Уг, • • ., Ун являются случайными величинами, а объем выборки N конечен, то
на основании анализа выборки установить величину параметра у совершенно
точно невозможно — можно сделать лишь .приближенное заключение о его ве-
величине. В результате анализа выборки образуется некоторая величина >•*, явля-
являющаяся функцией выборочных значений (у,, у2, .... yN) и принимаемая за истин-
истинное значение параметра. Эта величина у* называется оценкой параметра у
(точечная оценка). Вид функции y* = f(yu -, У к) подбирается так, чтобы оцен-
оценка у была возможно ближе в каком-либо смысле к истинному значению у.
т е. чтобы ошибка о=у*—Y. 'возникающая при оценке, была возможно
меньшей.
Для выбора вида функции y*=f(yi, </2, .... у и) часто используется критерий
максимального правдоподобия. ,В соответствии с ним в качестве оценки у*
берется то- значение параметра у, при котором функция L(yh ..., yN\ у), назы-
называемая функцией правдоподобия, имеет максимум, поэтому искомая оценка у*
является решением уравнения
] Y)
ду
= 0,
называемого уравнением правдоподобия. Оценка, найденная таким образом, на-
называется максимально правдоподобной и обозначается уД Известно, что мак-
максимально правдоподобная оценка является весьма хорошей при статистически
независимых выборках и iV>l {72, 16]. Еслн известно априорное распределение
параметра у, то более целесообразно в качестве оценки y* брать то значение
параметра y, при котором совместная плотность Р(у, у) = Р(у)Ру (у) имеет
максимум. Однако если априорное распределение параметра у равномерно (как
это нередко бывает в оптической локации), то оценки по максимуму Ру (у)
или по максимуму Р(у, у) одинаковы (как это будет видно ниже).
Итак, пусть априорное распределение измеряемого параметра равномерно,
Р («с) = 6 При Пс1 < JTC < rtc2,
где в качестве измеряемого параметра принята средняя скорость .поступления
фотонов Лс, пропорциональная измеряемому смещению частоты. Параметр при-
принимаемого сигнала пс, подлежащий оценке, остается в течение времени наблю-
наблюдения (О, Т) неизменным. В течение интервала наблюдения имеется N выбо-
выборочных значений суммарного числа фотонов, обусловленных сигналом и фоном.
¦Каждый отсчет внутри интервала наблюдения ,@, Т) имеет длительность М.
В течение Ы подсчитывается число 'фотонов, поступающих на детектор (для
упрощения квантовая эффективность фотоповерхиости .принимается равной еди-
единице). Тогда число фотоэлектронов, .подсчитанное за интервал Л^,-:
i/i = nci -f- пШ1-,
где Пс!—число сигнальных фотоэлектронов;
Яш, — число шумовых фотоэлектронов.
В силу статистической независимости отсчетов совместная плотность ве-
вероятности Р(пс,у):
Р{Пс, i/) = P К)/>-(,/,, . . ., yN)=PC"c)P-(yl)P-^yi) . . -P-(yN)
Условная плотность вероятности числа фотонов в интервале Л/j:
пс (Л'> = ^! ехР f — (noi + "mi) ДЛ-Ь
Учитывая, что средние скорости поступления сигнальных фотонов и шумовых
фотонов постоянны в интервале (О, Г), совместная плотность вероятностей
Р(по,у):
Лога.рифм совместной ллотиости вероятностей или функция правдоподобия
N N N
!n P (iicrP) = hi в— У !п (</<1) -f V У[ 1п (яс -fnm) 4- У. ui \nAt-
/=1 1=\
N N
,=1
Для нахождения оценки пс иеобходи,мо взять производную от предыдущего вы-
выражения по пс и приравнять ее нулю:
д In P (пе, у)
= 0,
тогда
откуда
B.120)
Таким образом, максимально правдоподобной оценкой измеряемого пара-
параметра (в данном случае частоты) может служить среднее число фотонов в от-
счетный интервал, деленлое иа длительность .отсчетного интервала At за выче-
вычетом средней скорости прихода шумовых фотонов. Как и следовало ожидать,
с увеличением длительности наблюдения оценка .параметра все более точно
приближается к истинному его значению.
Правило, по которому должен работать оптимальный с точки зрения мак-
максимума функции правдоподобия .приемник, заключается в предварительном
определении (до начала измерении) скорости прихода шумовых фотонов, фик-
фиксации этого числа запоминающим устройством приемника, затем в подсчете
числа фотонов в течение интервала -наблюдения Л'Д^ делении полученного числа
на NAt и взятии разности согласно выражению .B.120). Полученное число будет
являться максимально правдоподобной оценкой измеряемой частоты.
Глава 3.
Прием модулированных сигналов
оптического диапазона
3.1. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПРИЕМ ДИСКРЕТНЫХ
СИГНАЛОВ ОПТИЧЕСКОГО ДИАПАЗОНА,
МОДУЛИРОВАННЫХ ПО ИНТЕНСИВНОСТИ
Проблема разработки методов оптимального приема дис-
дискретных модулированных сигналов оптического диапазона в усло-
условиях интенсивных помех и при малых уровнях полезного сигнала
была впервые поставлена в [41].
Отношение правдоподобия для случая приема модулирован-
модулированных по интенсивности сигналов оптического диапазона находилось
для двоичной системы связи, средняя мощность на выходе пере-
передатчика которой модулируется одной из двух детерминированных
огибающих. Считалось, что априорные вероятности посылки той
или другой огибающей одинаковы. Синхронность работы приемни-
приемника достигается с помощью специальных синхронизирующих коле-
колебаний или с помощью самого сигнала, который, конечно, всегда
содержит информацию о начале и конце посылки. В ходе приема
необходимо определять, какая из двух огибающих была использо-
использована при модуляции передатчика.
Методика вычисления отношения правдоподобия состоит в
следующем. Рассмотрим два сообщения, состоящие из Af симво-
символов:
?=1,2.
„(*)
где yXT' — интенсивность потока фотонов jV-го символа ?-го со-
сообщения.
Длительность каждого символа одинакова и равна Т. Отличия
между символами заключаются в различной модуляции по интен-
интенсивности для каждого символа; интенсивность излучения в тече-
течение длительности Т остается постоянной. Таким образом, модули-
модулирующая функция y(t) является ступенчатой функцией вида
Y@ = Y/. ti-l<t<ti; T^U-t.^; / = 1,2, . . „N.
Возможные сигналы, т. е. наборы у\{) и у'2) для всех t=l, 2,..., N
так же, как и момент прихода сигнала, считаются известными на
приемной стороне. Задача приемника состоит в том, чтобы по при-
принятой реализации «сигнал + шум» решить, какой из сигналов пе-
передавался.
Вероятность появления я,- фотоэлектронов з интервале А_1<
(я Т) =
C.1)
где г) — квантозая эффективность приемника. Таким образом, рас-
распределение «сигнальных» и «шумовых» фотонов считается пуассо-
новским. Вследствие статистической независимости символов со-
сообщения апостериорную вероятность приема &-го сообщения (k =
= 1,2) при имеющейся на входе приемника реализации, являющей-
являющейся комбинацией сигнала и шума, можно записать в виде
k=\,2. C.2)
Реализацией па входе приемника может быть одна из двух моду-
модулирующих функций, yA)@ или YB)@- B комбинации с шумом. От-
Отношение праздоподобия
^i Г|Г Y-1) + Ym "]"' Т]Г( vp'-v^O
"~ Р'~ \ YB) -J- Ym "
,= 1 L 'i ' J
N N
n, In
Vl''+У
C.3)
Первая сумма в правой части выражения C.3) не зависит от чис-
числа регистрируемых фотоэлектронов и, и является постоянной вели-
величиной. Поэтому для принятия решения о наличии того или иного
сообщения достаточно образозать выражение:
1=1
(=1
C.4)
При Л'>0 принимается решение о посылке первого сообщения,
при Л'^0 — о посылке второго.
Выражение C.4) является алгоритмом работы оптимального
приемника. Используя это зыражение, можно определить его
структуру. Один из возможных зариантов ее приведен на рис. 3.1.
Приведенная методика вычисления коэффициента правдоподо-
правдоподобия и определения структуры приемника может быть обобщена
для случая М-значной сигнализации. В этом случае вместо двух
сообщений используются М сообщений. Как и в двоичном случае,
118
приемник формирует срA), срB',..., ф<м> и состоит из М параллельных
каналов.- Решение о том, какое из М сообщений передано, прини-
принимается на основании анализа ср'1', ф<2),.-, ф(ЛГ) по максимальному
значению.
Входные
„ сигнал
Фотвэмисс. „
приемник
Счетчик
электртиЛ
\Умножи-
1 тель
Сумматор
Сумиатор
А
f
Сравнивающее
устропстоо
if
т
Решение
Рис. 3.1. Структура оптимального приемника в виде цифрового корре-
коррелятора
Для случая большой интенсивности излучения фона при двоич-
двоичной передаче выражение для Л' упрощается. Записывая Л' в виде
и используя приближение
/
In 1 -j
получим
, спразедлизое при —— << 1,
Ym
Таким образом, каждый из двух каналов оптимального прием-
приемника должен определять значения
=1,2
и сравнивать их между собой, после чего выносится решение. Слу-
Случай большой интенсивности излучения фона также может быть
обобщен для М-значной сигнализации.
Отметим, что средняя интенсивность излучения фона в течение
длительности сообщения предполагается постоянной (помеха ста-
стационарна). Для получения значения Ym приемник перед началом
приема сообщения открывается на длительность qT с тем, чтобы
определить уровень фона и получить значение средней скорости
119
поступления «шумовых» фютонов. (Здесь q — необходимое число
«отсчетов» для получения среднего значения.)
Изложенная выше методика вычисления отношения правдопо-
правдоподобия для ступенчатой модулирующей функции y(t)=\i (i=\,
2,..., N) обобщается на случай, когда модулирующая функция яв-
является плавной кривой y(t). Если перед фотоприемником установ-
установлен оптический фильтр с полосой пропускания До», то должно вы-
выполняться условие Т^> с тем, чтобы появление фотоэлектронов
в соседних интервалах (Т{, Ti+l) было статистически независимо.
Кроме того, среднее число эмитируемых фотоэлектронов в течение
интервала должно быть мало; в этом случае распределение
Дю
фотоэлектронов«подчиняется закону Пуассона. Вероятность появ-
появления Пг фотоэлектронов в /-м интервале (от /г- до T)
P(nh T) = -!-
U+т
expj—rj Т
Сравнивая C.5) с C.1), убеждаемся, что аналоговая модуляция
полностью эквивалентна ступенчатой модуляции yt (i=l, 2,..., N),
если значение у, в i-ы интервале есть среднее значение y(t) по ин-
интервалу Т:
3.2. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПРИЕМ ДИСКРЕТНЫХ
МОДУЛИРОВАННЫХ ПО ИНТЕНСИВНОСТИ
СИГНАЛОВ ОПТИЧЕСКОГО ДИАПАЗОНА
ФОТОПРИЕМНИКОМ С КВАНТОВЫМ УСИЛИТЕЛЕМ
НА ВХОДЕ
В разд. 2.6 был рассмотрен вопрос оптимального обнару-
обнаружения монохроматического сигнала оптического диапазона фото-
фотоприемником с квантовым усилителем на входе. Найдем отноше-
отношение правдоподобия для этой комбинированной приемной системы
в случае приема дискретных модулированных по интенсивности
сигналов.
Классы сообщений, которые будут рассматриваться в этом
разделе, аналогичны рассмотренным в разд. 3.1. Согласно
разд. 2.6 если на входе приемного устройства, состоящего из
квантового усилителя и фотодетектора, имеется совокупность
фотонов, распределенных по закону Пуассона с у, равной средней
скорости прибытия «сигнальных» фотонов, и с упь равной средней
J20
скорости прибытия «шумовых» фотонов, то распределение фото-
фотоэлектронов на выходе системы описывается выражением B.73).
Запишется это выражение в виде:
(У+Ущ)
X
[1-И|(?-1)Г/аН
У( 1~] )-\
•X
U+n(k-
C.6)
Найдем отношение правдоподобия. Введем следующие обозначе-
обозначения:
Tki\
А =
Tk
(*_1)[1+т|(*-1)] л (*-!)
C.7)
Тогда выражение C.6) запишется в виде
Далее мы рассматриваем двоичную систему связи, в которой мо-
может передаваться одна из двух кодовых комбинаций или одно из
двух сообщений, каждое из которых состоит из N символов (см.
разд. 3.1). Апостериорная вероятность приема 1-го символа 1-го со-
сообщения-
\ У
Dcla+I'
/o
C.9)
Апостериорная вероятность приема 1-го сообщения запишется в
виде произведения: Y\h(l\X)); апостериорная вероятность приема
(=1
2-го сообщения аналогично запишется в виде: M/z(/,2)).
121
Отношение правдоподобия
/=0
C.10)
Приемное устройство, вырабатывающее решение согласно ал-
алгоритму C.10), будет оптимальным.
Расчеты показывают, что при сравнении приемной системы с
квантовым усилителем и приемной системы без него первая си-
система дает выигрыш по апостериорной вероятности приема сооб-
сообщений. Этот выигрыш возрастает с увеличением коэффицента уси-
усиления усилителя и с уменьшением квантовой эффективности фото-
фотодетектора. Следовательно, при малых значениях квантовой эффек-
эффективности фотодетектора целесообразно устанавливать квантовый
усилитель, компенсирующий уменьшение чувствительности прием-
приемника, обусловленное малюй квантовой эффективностью.
3.3. ЭФФЕКТИВНОСТЬ КИАМ СИСТЕМЫ СВЯЗИ
С ПРИЕМНИКОМ ЗИГЕРТА—КОТЕЛЬНИКОВА
Рассмотрим систему связи оптического диапазона с дис-
дискретной амплитудной модуляцией. Символу «1» соответствует по-
посылка монохроматического когерентного колебания постоянной
амплитуды и длительности Т. Символу «0» соответствует отсутствие
излучения, длительность символа «0» также равна Т. Системы
связи подобного рода называются системами с активной и пассив-
пассивной паузами (кодово-импульсная амплитудная модуляция —
КИАМ). Предположим, что в канале действует помеха с распре-
распределением шумовых фотонов, подчиняющимся закону Пуассона.
Как показано в приложении 2, распределение сигнальных фотонов
является также пуассоновским.
Критерий Зигерта—Котельникова предписывает наблюдателю
минимизировать полную вероятность ошибки и соответствует бай-
ессовому критерию, когда относительные цены ошибок 1 и 2-го ро-
рода одинаковы. При одиночном измерении непрерывной величины
х этот критерий удовлетворяется, когда наблюдатель вычисляет от-
отношение правдоподобия
, (*).
122
сравнивает его с критическим значением /0 и решает в пользу ги-
гипотез Но (сигнал нет) или Hi (сигнал присутствует) в зависимо-
зависимости оттого, какое из неравенств, Х(х)<10 или }.(х)^10, выполня-
выполняется. Здесь W0(x) плотиость вероятности величины х лри гипотезе
Но, а Wc(x) — при гипотезе Hi. Критическое значение /0 для при-
приемника Зигерта—Котельникова:
/ _ Ро
Pi
C.11)
где ро и pi — априорные вероятности посылки символов «О» и «1»
соответственно.
В случае дискретных распределений вместо плотности вероят-
вероятности используют вероятность подсчета в точности п частиц. Тог-
Тогда вместо Wc(x) и W0(x) будем рассматривать вероятности:
Ро(п, Т) =
C.12)
в случаях присутствия сигнала и шума или только шума соответ-
соответственно. Отношение правдоподобия
1 Р> (". 7")
Х C13>
Критическое значение /0, очезидно, может быть получено из C.13)
соответствующим подбором порогового значения п0, так чтобы
приблизительно выполнялось соотношение
lo = f^^T)- . C14)
Тогда из соотношений C.12) и C.14) можно найти пороговое
значение п0, минимизирующее полную вероятность ошибки. По-
Получим
Pl («ш)П* o~su
откуда
"о'
а
1пA+"^-ш/
Минимальная полная вероятность ошибки
+ Pi
(sc-frs.u)" е-СГК
n!
n=0
C.15)
" "Г
C.16)
n0
где [n0] означает ближайшее целое число в сторону увеличения.
123
= />i = — • Запишем отношение правдопо-
правдопоРассмотрим случай
добия в более удобной форме {используя C.13) и C.12)]:
C.17)
Оптимальный приемник работает согласно C.17) следующим об-
образом (при ро — рО- В течение интервала длительностью Т прием-
приемник суммирует число электронов п, вылетевших с фотокатода. Пос-
После суммирования в конце интервала п сравнивается с величиной
~sc
d=-
. Если n>d(A>0), то принимается гипотеза на-
(
личия первого сигнала «1», если
сигнала «О».
Из ф-лы C.16) следует
то гипотеза наличия второго
(fa)"
я!
1
л!
-%ч].
C.18)
Выражение C.18) при Po = pi = — определяет вероятность ошибки
при различных энергиях шума и сигнала. Представляет интерес
предельный случай, когда число шумовых фотонов достаточно
мало [44], т. е. когда
^и<—р—• C.19)
е с — 1
На практике часто реален случай низкого уровня фона, когда от-
отношение «шумовых» фотонов к «сигнальным» мало. Это обуслов-
обусловлено тем, что: 1) относительное число «тепловых» фотонов быст-
быстро падает с ростом частоты и с уменьшением температуры; 2) при
использовании направленных антенн можно добиться того, чтобы
фотоны от посторонних источников не попадали на вход приемни-
приемника; 3) сильным охлаждением приемника можно значительно осла-
ослабить уровень «темновых» электронов. Кроме того, этот случай по-
позволяет оценить влияние квантовых эффектов, ограничивающих
эффективность системы связи. При условии C.19) п0 в ф-ле C.18)
становится равным нулю. Тогда из выражения C.18) получим фор-
формулу, справедливую при выполнении условия C.19):
C.20)
Если положить 5ш = 0, т. е. аддитивного шума нет, то из ф-лы
C.20) следует [поскольку условие C.19) также выполняется]:
e~s
C.21)
Случай, описываемый ф-лой C.21), соответствует отсутствию ад-
аддитивного шума. В то же время вероятность ошибки при конеч-
конечных энергиях сигнала не обращается в нуль, это обстоятельство яв-
124
ляется следствием влияния квантовых эффектов. При увеличении
s,: (приближение к классическому случаю) видим, что ^ш-»-0.
Кривые, позволяющие оценить "эффективность приемника Зи-
герта—Котельникова для КИАМ системы связи в условиях пуассо-
новских шумов, приведены на рис. 3.2а, б. Значения подсчитыва-
лись на цифровой ЭВМ с использованием ф-л C.15) и C.16).
Рис. 3.2. Кривые эффективности оптимального приемника Зигерта—Ко-
Зигерта—Котельникова КИАМ системы связи в условиях действия пуассоновских шумов
(параметр sm)
Аналогичные графики были построены для оценки эффектив-
эффективности приема при тепловом шуме рис. 3.3а, б. Средняя вероятность
ошибки в. системе для случая теплового шума вычислялась по
формуле:
C.22)
На рис. 3.4а, б построены графики эффективности для случая
теплового шума. Интересно сравнить полученные результаты с из-
125
w
2 4 6 8
26 28 30Sc
p
ош
1П3
W"
1
\
0,8
\
\
\
\
\
\
— —
\
\
\
\
——
— —
\
\
\
\
•
~—
¦—
\
— —
¦—
\
\
\
¦ —
'
\,
\
\
——
ч
s
\
\
р—
^—
\
4
\
\
¦
Ч
\
<
2 if В 8 10 12 lk 16 18 20 22 2k 26 28 Sc
Рис. 3.3. Кривые эффективности оптимального приемника Зигерта—Котель-
никова КИАМ системы связи в условиях действия бозе—эйнштейновских
шумов (параметр sm)
126
Г
а.10
'
035
0J3B
П7И
\
\
1
ч
ч
\
\
\
\
—
ч
Ч
\
t
0,2
o,s
Ч
ч
i t
IJO
и
1
ч
"^
0 12 1
P,=0,6
— —
6 18 20 22 2<t 26 28 Sc
Рис. 3.4. Графики эффективности оптимального приемника Зигерта—Ко-
тельникова КИАМ — систем связи в условиях действия бозе—эйнштейновских
шумов (параметр S= ¦=-
Sui
127
местными положениями для обнаружителя Котельникова—Зигер-
та в классическом случае. Если априорная вероятность посылки
сигнала р\, то в наихудшем случае (S-»-0) вероятность ошибки
определяется выражением Рош макс = min (рй; 1—рг).
Из приведенных графиков видно, что именно к этому пределу
стремится Рот при sc—>-оо, если 5 мало. Например, на графике
рис. 3.46, соответствующем априорной вероятности />i = 0,6, вели-
величина РОш при sc—>-оо стремится к Рош=0,4. Вообще же с учетом
квантовых явлений Рош всегда больше соответствующей классиче-
классической величины, причем с ростом 5 величина РОш уменьшается.
При работе рассматриваемой системы связи в реальной ситуа-
ситуации, когда излучение ОКГ является линейной суперпозицией из-
излучения идеалиного лазера с хаотическим гауссовским спонтанным
излучением активного вещества и внешним фоновым излучением,
статистическое распределение описывается выражением B.4). Ес-
Если составляющую фонового излучения характеризовать 5ф, а со-
составляющую гауссовского спонтанного излучения sT, то 5ш=5ф + 5г.
При пассивной паузе (т. е. отсутствие излучения лазера) распре-
распределение описывается выражением B.5).
При оценке эффективности рассматриваемой системы связи
порог в приемнике может быть найден построением кривых рас-
распределений B.4) и B.5) в зависимости от 5ф, sr и sc [27]. Эти кри-
кривые пересекаются в точке (согласно 3.13, 3.14), определяющей
порог, который соответствует приему по максимуму правдоподо-
правдоподобия. Кривые вероятности ошибок при равновероятной посылке
двоичных символов в системе были построены для совокупности
значений 5ф, sr и sc (см. рис. 3.5а, б). Вероятности ошибок построе-
построены в зависимости от s=sc+S(j> + Sr — полного среднего числа фо-
фотонов, поступающих на фотодетектор в течение фиксированного
интервала наблюдения. Параметром кривых является фиксирован-
фиксированное отношение сигнал/шум, т. е. sc/sm- Для рис. 3.5а ОКГ считает-
считается идеальным когерентным источником, т. е. sr = 0.
На рис. 3.56 кривые соответствуют реальному лазеру, т. е.
sr=^=0, и естественная спонтанная эмиссия добавляется к когерент-
когерентному излучению. При сравнении кривых по отношению сигнал/шум
видно, что частота ошибок на рис. 3.56 снижается при одинаковых
значениях s. Это объясняется тем, что составляющая естественной
спонтанной радиации также модулируется вместе с когерентной
составляющей. Из кривых также видно, что вероятность ошибки
сильно зависит от абсолютного уровня сигнала и от отношения
сигнал/шум, что исключено для случая классического обнаруже-
обнаружения (например, при обнаружении синусоидального колебания в
гауссовских шумах). В классических системах (не квантовых) ве-
вероятность ошибки зависит только от отношения сигнал/шум. При
большом абсолютном уровне сигнала согласно физическому прин-
128
ципу соответствия эти кривые асимптотически стремятся к значе-
значениям вероятностей ошибок, которые не зависят от s.
Все это говорит о том, что при сравнении оптических систем
связи недостаточно в качестве единственного критерия использо-
б)
яг1
И
иг3
иг
Ш'
10"
ч
Sf=s
h
во -
-Л
29
0 ?0 40 ВО S
0 20 W ВО 5
Рис. 3.5. Зависимости вероятности ошибки от s
вать только отношение сигнал/шум, при низких уровнях мощно-
мощности входного сигнала необходимо опираться на квантовомехани-
ческую модель канала связи.
3.4. ЭФФЕКТИВНОСТЬ ЦИФРОВОЙ ОПТИЧЕСКОЙ
СИСТЕМЫ СВЯЗИ С КОДОВО-ИМПУЛЬСНОЙ
ПОЛЯРИЗАЦИОННОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ (КИПМ)
В настоящее время одной из перспективных дискретных
оптических систем связи считается система с кодово-импульсной
поляризационной модуляцией — КИПМ [42, 43, 45—48]. Скорость
передачи информации в системе может достигать 3-Ю7 дв. ед/сек
[43, 47]. В этой системе информационным символам «1» и «О» соот-
соответствуют посылки монохроматического колебания постоянной
амплитуды и длительности Т соответственно с правой и левой кру-
круговой поляризацией.
Система КИПМ по сравнению с рассмотренной выше системой
КИАМ (кодово-импульсная амплитудная модуляция) является
более совершенной. Техническая реализация системы связи с
КИПМ гораздо проще. В этой системе нет необходимости в «зна-
«знании» энергии поступающих в приемник сигналов, а также отпадает
необходимость в специальном устройстве для установки и регули-
регулировки порога. Система одинаково хорошо работает при различных
распределениях шумового сигнала и более устойчива по отноше-
отношению к действию некоторых неаддитивных помех (флуктуации про-
прозрачности передающей среды, регулярное изменение расстояния от
передатчика до приемника и т. д.).
5—160 $29
Блок
питания
5
Источник
информа-
информации
>Г
ПоЯмодуля-
тор
6
Кодирую-
Кодирующее ус -
тропстдо
J"
Кроме того, система позволяет реализовать вдвое большую
мощность модулирующего излучения, поскольку в линии связи
нет скрещенных поляризаторов. При одинаково сильном уровне
шумового фона дальность связи системы с КИПМ в несколько
раз выше, чем у системы с К.ИАМ [49]. И, наконец, система связи
с КИПМ малочувствительна к случайному линейно-поляризован-
линейно-поляризованному шумовому фону.
Принцип действия системы. Рассмотрим принцип
действия модифицированной цифровой оптической системы связи
с КИПМ1). На рис. 3.6
приведена функциональ-
функциональная схема системы связи.
В передающее устрой-
устройство (рис. 3.6а) входят
газовый лазер /, работа-
работающий в непрерывном ре-
режиме на одном типе ко-
колебаний, электрооптиче-
электрооптический модулятор 3 на кри-
кристалле дигидрофосфата
калия, в котором для по-
повышения эффективности
используется поперечное
управление световыми ко-
колебаниями (ось Z кри-
кристалла и направление
электрического поля пер-
перпендикулярны направле-
направлению распространения све-
светового луча). Известно,
что управляющее напря-
напряжение такого модулятора
пропорционально отноше-
отношеdjl d
Генератор
кода
«J
Цифровой
фильтр
Ци/рровой
фильтр
г-1_,
I --.- I
L_,._J
Цифровой
фильтр
Решающее устройство
Решение
Рис. 3.6. Функциональная схема системы свя- нию djl, где d — ширина
а) передающее устройство; б) приемное уст- кРисталла п0 оаи ?-" 1~
ройство длина кристалла. Выби-
Выбирая соответствующим об-
образом отношение djl, можно уменьшить модулирующий сигнал до
величины порядка нескольких десятков вольт при глубине модуля-
модуляции, близкой к 100%.
Оптическая полуволновая пластина 2, установленная на выхо-
выходе лазера, ориентирует надлежащим образом плоскость поляриза-
') Модификация системы заключается .в использовании специальных псевдо-
псевдослучайных двоичных последовательностей, позволяющих передавать информацию
с высокой степенью помехозащищенности и совмещать передачу с измерением
параметров движения объектов. Поэтому .в передающем устройстве использован
генератор псевдослучайных последовательностей, а в приемном — согласован-
согласованные цифровые фильтры [481.
130'
ции луча, входящего в модулятор. Это устройство обеспечивает
также оптическое смещение в модуляторе и исключает необходи-
необходимость механической юстировки модулятора относительно лазера.
Сообщение от источника информации 5 в аналоговой форме
(телевизионное изображение, телеметрическая и речевая информа-
информация и т. д.) поступает на кодирующее устройство 6. Сюда же по-
поступают от генератора кода 7 строго определенные двоичные по-
последовательности единиц и нулей. Двоичные последовательности
могут представлять так называемые псевдослучайные последова-
последовательности1), обладающие специфическими корреляционными свой-
свойствами. Для выделения этих последовательностей на приемной
стороне применяются цифровые корреляторы или цифровые согла-
согласованные фильтры [48].
В кодирующем устройстве Происходят квантование непрерыв-
непрерывного сообщения, поступающего из источника информации, отож-
отождествление квантованного сообщения с ближайшим квантованным
уровнем и номер этого уровня кодируется строго определенной
двоичной кодовой последовательностью (преобразование «аналог-
цифра»).
Двоичная кодовая последовательность, соответствующая пере-
передаваемой информации, после усиления в подмодуляторе 8 посту-
поступает на модулятор.
При наличии модулирующего сигнала сдвиг фаз Дф между
обыкновенным и необыкновенным лучами принимает на выходе
модулятора дискретные значения л/2 или 3/2 л (что соответствует
правой или левой круговой поляризации луча на выходе модуля-
модулятора), т. е. направление вращения результирующего вектора по-
поляризации луча меняется по закону модулирующей его двоичной
последовательности.
Световой луч, манипулированный по поляризации в соответст-
соответствии с передаваемым кодом, фокусируется с помощью оптической
передающей системы 4 и излучается в направлении приемного
устройства.
Приемное устройство рис. 3.66 состоит из фокусирующей оп^
тической системы 1, узконолосного интерференционного фильтра 2,
который служит для ограничения фоновых шумов, и разделителя
поляризации. В качестве последнего используется система, состоя»
щая из четвертьволновой пластинки 3 и призмы Волластона 4.
Луч, промодулированный по поляризации двоичным кодом, фоку-
фокусируется на четвертьволновую пластинку 3, которая увеличивает
сдвиг фаз Дф между обыкновенным и необыкновенным лучами до-
дополнительно на л/2. В результате этого, после четвертьволновой
пластинки сдвиг фаз Дф будет принимать значения л или 2я, т. е.
сигналы с противоположными круговыми поляризациями преобра-
преобразуются в ортогонально-линейные. Далее призма Волластона про-
') Последовательности .могут формироваться в соответствии с любыми дру
гими кодами |(Хэмминга, Бозе-Чоудхури, Баркера и др.). — Прим. ред.
5*
131
странственно разделяет ортогональные сигналы таким образом,
что сигнал с правой круговой поляризацией будет попадать на один
(верхний) фоточувствительный элемент со счетчиком фотоэлектро-
фотоэлектронов 5, а сигнал с левой круговой поляризацией на другой (ниж-
(нижний) 6.
С выходов счетчиков фотоэлектроны поступают на блок опре-
определения разности числа фотоэлектронов 7. При посимвольном
методе приема решение о посылке «!» или «О» принимается по
знаку разности числа фотоэлектронов на выходе блока определе-
определения разности. Если разность положительна, то принимается реше-
решение о приеме символа «1», если же она отрицательна, то считает-
считается, что передавался символ «О».
Символы кодовой последовательности с блока определения
разности числе фотоэлектронов 7 поступают на декодирующее
устройство (цифровые фильтры) 8, которое устанавливает соответ-
соответствие кодовой комбинации символов переданному сообщению.
Разработанные в настоящее время экспериментальные оптиче-
оптические системы связи, использующие рассмотренный принцип, про-
просты конструктивно и надежны в работе. Полагают, что такие си-
системы являются весьма перспективными в дальней космической
связи [43, 47].
В качестве примера можно привести разработанную в США по
заданию NASA (Национальное управление по аэронавтике и ис-
исследованию космического пространства) оптическую систему свя-
связи с КИПМ для передачи телевизионного изображения из дальне-
дальнего космоса [43]. В передающем устройстве использован гелий-нео-
гелий-неоновый лазер, работающий в непрерывном режиме. Электроопти-
Электрооптический модулятор с поперечным электрическим полем составлен из
2 дейтерированных кристаллов КДП одинаковой длины, оси z ко-
которых повернуты на 90° для температурной компенсации. Общая
длина кристаллов составляет 20 см. Напряжение, необходимое
для получения 100%-ной глубины модуляции излучения ОК.Г, рав-
равно 110 в. В качестве источника информации использовалась про-
промышленная телевизионная камера с передающей трубкой типа
«видикон». Для «сжатия» полосы пропускания системы сложный
аналоговый сигнал «видикона» преобразовывался с помощью
дельта-модуляции.
Оптический приемник состоит из оптического приемного уст-
устройства, интерференционного фильтра с полосой пропускания
1,5 А, поляризационной дискриминирующей оптики, двух фотоде-
фотодетекторов, усилителя разностного сигнала, электронных устройств
обработки, преобразования и индикации информации.
При первых испытаниях было получено удовлетворительное те-
телевизионное изображение при мощности лазера 0,25 вт и скоро-
скорости передачи 30-106 дв. ед/сек.
Эффективность системы с КИПМ при посим-
посимвольном методе приема. Потенциальная или предель-
Ш
!Н Я
ная эффективность системы с КИПМ может оцениваться средней
вероятностью ошибочного приема одного двоичного знака с уче-
учетом квантовой природы сигнала и шума.
Согласно критерию идеального наблюдателя средняя вероят-
вероятность ошибки на двоичный знак: РОш=poPio+piPoi> гДе Рю Ус"
ловная вероятность принятия решения о наличии символа «1», ког-
когда в действительности присутствует «0»;
Ли — условная вероятность принятия решения о наличии
символа «0», когда в действительности присутствует «1»;
pi — априорная вероятность передачи «1»; ро — априорная ве-
вероятность передачи «0».
Полагая, что рассматриваемая КИПМ система связи является
симметричной, имеем pi=po— —, Ei = E0 = E, где Е энергия,
приходящаяся на один символ.
Для симметричных каналов условные вероятности ошибок
равны друг другу, т. е. Я10=Р01.
Тогда средняя вероятность ошибки на одну двоичную единицу:
¦Рош = ^ю = -Ро1-
При оценке предельных характеристик системы будем пола-
полагать, что фоточувствительный элемент реагирует на отдельные фо-
фотоны с квантовой эффективностью х\=\ и что на выходе фоточув-
фоточувствительных элементов установлены счетчики фотоэлектронов.
Найдем выражение для средней вероятности ошибки на двоич-
двоичную единицу при приеме сигналов с поляризационной модуляцией.
Введем обозначения:
X — случайная величина, которая представляет собой число фо-
фотоэлектронов, подсчитанное одним счетчиком (верхним на рис.
3.66) в течение интервала времени Т;
Y — случайная величина, соответствующая числу фотоэлектро-
фотоэлектронов, подсчитанных другим счетчиком (нижним на Рис- 3.66) в те-
течение интервала времени Т; разность указанных случайных ве-
величин Z = Y—X;
п — значение, которое может принимать случайная величина л;
\ — значение, которое может принимать случайная величина Z;
n+j — значение, которое может принимать случайная величина Y.
Пусть X и Y статистически независимые случайные величины
соответственно с распределениями Рп(Х) и Pn+j(Y). Тогда распре-
распределение Pj(Z) случайной величины Z определяется выражением:
= 2 Pn(X)Pn+j(Y), j=0, ±1, . .
C.23)
При приеме сигнала с правой круговой поляризацией (символа
«1») будем считать верхний счетчик «сигнальным», а нижний
«шумовым». Если же принимается сигнал с левой круговой поля-
поляризацией (символ «О»), то функции счетчиков, а следовательно, и
их названия меняются.
133
При передаче сигнала с правой круговой поляризацией (симво-
(символа «1») условная вероятность ошибки
C.24)
/=I n=0
для />0, т. е. это вероятность того, что «сигнальный» счетчик
подсчитает п фотоэлектронов, в то время как «шумовой» бо-
более п.
В частном случае при слабом сигнальном и шумовом полях:
«сигнальный» и «шумовой» счетчики могут подсчитать одинаковое
число фотоэлектронов. Вероятность такого события
Для этого частного случая вероятность принятия неправильного»
решения
00
Рош=тЦРЛХ)Р"(К)- C-25)
С учетом C.25) средняя вероятность ошибки на двоичную единицу
ИЛИ
р°ш=т
Рп(Х)
C-26)
При сильном сигнальном и шумовом полях подсчет обоими счет-
счетчиками равного числа фотоэлектронов является событием практи-
практически невозможным. Тогда вероятность Рош будет близка к нулю.
Поэтому средняя вероятность ошибки будет определяться выра-
выражением C.24). Из C.26) следует, что для определения эффектив-
эффективности системы при приеме излучения ОКХ на фоне аддитивного
шума необходимо знать распределения числа фотоэлектронов,
обусловленных шумовым полем и смесью сигнального и шумового
полей.
Будем считать, что ОКГ работает на одном типе колебаний со
стабилизацией амплитуды. В этом случае сигнал обладает пуас-
соновским распределением (как показано, в приложении 2 это
распределение обладает минимальной дисперсией и наиболее бла-
благоприятно с точки зрения обнаружения).
К внешним источникам тепловых шумов (фоновых) относятся
Солнце, Луна, звезды, рассеянное излучение атмосферы и облаков.
134
Эти источники можно рассматри-
рассматривать как ансамбль некогерентных
макроскопических излучателей.
Статистическое распределение
числа фотоэлектронов на времен-
временном интервале Т в случае медленно
флуктуирующего шумового поля
(ЛюГ<С1, где Дш — ширина поло-
полосы частот шумового поля) подчи-
подчиняется геометрическому закону рас-
распределения (см. приложение 2).
Статистическое распределение
числа фотоэлектронов суперпозиции
когерентного и теплового полей на
временном интервале Т при (шс—
—а>о)Г<С1, где <ос — частота коге-
когерентного излучения; <а>о — централь-
центральная частота шумового излучения,
имеет ВИД B.1). рис з.7. Средняя вероятность
Подставляя в C.26) вместо ошибки в зависимости от отноше-
Рп(У), Рп(Х) соответственно выра- ния сиглал/шум при параметре sc
жения для геометрического распре- (ПРИ геометрическом раопределе-
деления И ,B.1) И учитывая, ЧТО шу- ии" <<ШУМОВЫХ» фотоэлектронов)
мовые фотоэлектроны в среднем за интервал наблюдения Т делят-
делятся поровну между двумя счетчиками, после преобразований по-
получим
for1
21 S.06'
Sc
где S = ^ — отношение сигнал/шум.
Sui
Далее, учитывая известное выражение для производящей
функции полиномов Лаггера (см. приложение 2):
ехр —
л=0
окончательно получим
Рош = —
ехр
— Ssm
C.27)
Кривые, позволяющие оценить эффективность приема, приведены
на рис. 3.7. Из него видно, что средняя вероятность ошибки зави-
зависит как от отношения сипнал/шум, так и от абсолютного значения
уровня сигнала.
135
Если частота когерентного излучения шс и центральная часто-
частота шумового излучения ш0 сильно разнесены, т. е. выполняется ус-
условие (шс—сооO^1, то статистическое распределение числа фото-
фотоэлектронов суперпозиции когерентного и теплового полей получа-
получается с помощью свертки пуассоновского и геометрического распре-
распределителей:
8ш J
C.28)
I rtltl i-~* "
)
C.29)
Полученное распределение имеет существенно меньшую дисперсию
по сравнению с B.1) при тех же значениях sc и sm. Подставляя в
C.26) соответственно геометрическое распределение и распределе-
распределение C.28), после несложных, но громоздких преобразований по-
получим
" (S%)* / s~ ^"-*
л=0 ft=0 N ^ '
Выражение C.29) позволяет построить зависимости средней ве-
вероятности ошибки в функции отношения сигнал/шум при измене-
изменениях абсолютного уровня сигнала.
При слабом уровне шумового поля, т. е. при малом числе шу-
шумовых фотонов почти все распределения асимптотически стремят-
стремятся к пуассоновскому. Такое же распределение имеют «темновые»
фотоэлектроны ФЭУ. Следовательно, случай низкого уровня шу-
шума в приемной системе на практике достаточно реален.
Кроме того, при использовании направленных оптических сис-
систем и узкополосных фильтров на входе приемника можно добить-
добиться того, что значительная часть излучений от посторонних источ-
источников не будет попадать на его вход. Учитывая сказанное, стати-
статистическое распределение шумового сигнала можно принять пуас-
соновским. Тогда в силу аддитивности пуассоновских распределе-
распределений статистическое распределение суперпозиции сигнального и
шумового полей на временном интервале Т будет также пуассонов-
ским. При этих условиях, учитывая ф-лу C.26), вероятность
ошибки
ИЛИ
136
Отсюда
|;
где h(z) и Ij(z) — модифицированные цилиндрические или бессе-
левы функции первого рода соответственно нулевого и /-го по-
порядка.
Ввиду того, что у —целые числа, функции I}(z) могут быть за-
заменены через определенные интегралы Бесселя E7]:
2
/=1
р
± Г ехр [2 V(sc +¦ sj зш cos Ф] d Ф +
о
/ г = \ / 1
\ г «с -f «ш / J
или
2л _ _
Рош = -1 ехр [ - (Ic + 27J] Г ехр [2 \f{Jc + TJ sm cos Фj X
о
х[1+2S(l/" ~$ш—)cos;ф dф-
так:
где
— I
Выражение в квадратных скобках можно преобразовать [57]
1 + :
——\> . 1-
COS /ф =
1 — 2р cos ф -f p2
Тогда C.30) преобразуется к виду
"--i"»[-K+ifi)]7'4>ti
]х
X
_ 2 1/ -=^= cos Ф
У So 4" «ш
sm
137
или окончательно
^ош-—expi —(Л-)- l)SuiJ —-—-— -—-=—2—с/ф. C.31)
431 J 1 Н- S — У 2S 4- 1 cos ф
Кривые, позволяющие оценить эффективность приема, приве-
приведены на рис. 3.8. Из рис. 3.7 и 3.8 видно, что при S-^oo кривые
эффективности асимптотически стремятся к квантовому пределу,
величина которого определяется абсолютным уровнем полезного
сигнала: ' v
ош
Если sc
>с при S->oo,
при 5 -> 0.
, a S — конечное, то Рош=— e~s.
С физи-
физической точки зрения это означает переход от квантовой модели
канала к классической, где вероятность ошибки зависит только от
отношения сигнал/шум и не за-
зависит от величины энергии полез-
полезного сигнала.
Для удобства практических
расчетов эффективности оптиче-
оптической системы связи дискретное
распределение случайной величи-
величины Pj(Z) C.23) при определен-
определенных условиях, как показано в
[46], можно аппроксимировать
нормальным распределением.
При этом полагается, что мате-
математическое ожидание и диспер-
дисперсия распределения Pj(Z) совпа-
совпадают с математическим ожида-
ожиданием и дисперсией аппроксими-
аппроксимирующего распределения.
Если «шумовые» фотоэлектро-
фотоэлектроны разделяются светоделитель-
ной оптикой в -среднем поровну
между двумя счетчиками, то ма-
математическое ожидание и диспер-
дисперсия случайной величины Z на вы-
т
Рис. 3.8. Средняя вероятность
ошибки в зависимости от отноше-
отношения сигаал/шум при параметре sc
(лри пуассоновском распределе-
распределении «шумовых» фотоэлектронов).
ходе блока вычисления разности числа фотоэлектронов соответ-
соответственно:
= M[X]
138
Тогда средняя вероятность ошибки [46]
У sc+sj
"ош
= —7= \ ехр ы2 \du.
V2n J HL 2 J
На рис. 3.9 приведены зависимости средней вероятности ошиб-
ошибки от нормализованного отношения сигнал/шум _/с _ .
_ На рис. 3.9 видно, что при достаточно больших значениях sc и
Sm, т. е. при сильном сигнальном и шумовом полях, можно произ-
производить замену дискретных статистик на непрерывные с хорошей
степенью приближения.
Влияние поляризационных ошибок. В реальных
каналах связи с КИПМ за счет различных физических причин по-
полезный сигнал ослабляется и деполяризуется, в результате чего
его форма искажается и задача приема усложняется. Источниками
поляризационных ошибок в КИПМ системе связи являются:
— электрооптический модулятор;
-— передающая и приемная оптические системы;
— светоделительные зеркала:
— турбулентная атмосфера (случайная деполяризация);
-— поляризованный фоновый шум;
— несимметричность фоточувствительных элементов;
— лазер-постановщик помех.
Излучение с круговой поляризацией можно представить в виде
двух ортогональных, произвольно ориентированных линейно поля-
поляризованных лучей одинаковой амплитуды Ех, EY, сдвинутых друг
относительно друга по фазе на угол Афс=±— . Знак фазового
сдвига определяет направление вращения результирующего векто-
вектора. В общем случае модуль коэффициентов пропускания г\ пере-
передающей среды и оптических элементов системы для компонент
Ех и EY может быть различным (т. е. Tijr^Tiyj.
Для количественной оценки влияния поляризационных ошибок
на эффективность оптической КИПМ системы связи необходимо
ввести некоторые параметры, характеризующие степень пропуска-
пропускания и искажения полезного оптического сигнала.
К таким параметрам относятся: р =
— средний коэф-
коэффициент пропускания; е=
нормированный разностный
коэффициент пропускания, где Р1 = тах{т1л:, x\y}; Аф — случайная
фазовая ошибка, обусловленная различными физическими причи-
причинами, указанными выше; р= поляр =
1 поляр
'неполярТ"'поляр
— степень по-
139
to
Рис. 3.9. Рош в функции -
-2
Sc
—¦ точный анализ;
гауссовская аппроксимация
ляризации шумового излучения фона, где /поляр — энергия «поля-
«поляризованной» части шумового излучения фона; /Непол — энергия не-
поляризованной части шумового излучения фона.
Влияние поляризационных ошибок на эффективность оптичес-
оптической системы связи при различении пуассоновских сигналов на фо-
фоне пуассоновского шума можно рассмотреть для шести случаев:
1. р=1, 8 = 0, Дф=0, р = 0.
2.
3.
4.
5.
6.
Р=? 1,
Р^ 1,
Р^ 1,
Р=1.
В= 1
8^0,
8 = 0,
8^=0,
8 = 0,
е = 0,
Лф -? 0, р — 0.
Дф = 0, р^ 0.
Дф=^0, р = 0.
Дф^о, р = 0.
Дф = 0, р Ф О1)
В первом случае средняя вероятность ошибки
РОш= -у J] ЯЯ(Х) Р„ (У) + 2 J Ря+; (Y) I
n=O L /=1 J
C.32)
Если сигнальные и шумовые фотоэлектроны, обнаруживаемые в
течение интервала времени Т, распределены по закону Пуассона,
то слагаемые суммы выражения C.32):
Результаты расчетов, выполненных с помощью данных выраже-
выражений, представлены на рис. 3.10. Приведенные кривые дают возмож-
возможность определить требуемое число сигнальных фотоэлектронов
при заданном уровне шума, обеспечивающее заданную среднюю
вероятность ошибки на двоичную единицу. При этом предполага-
предполагается, что поляризационные ошибки отсутствуют.
Второй случай характеризуется наличием как фазовых, так и
амплитудных ошибок. Это приводит к ослаблению и искажению
формы полезного сигнала, в результате чего в приемнике на выхо-
выходе четвертьволновой пластинки вместо линейно поляризованного
излучения будет свет с эллиптической поляризацией.
Легко показать, что энергия эллиптически поляризованного
света, прошедшего через анализатор с азимутальным углом а
') Соответствует поляризованному или частично поляризованному шумо-
шумовому фону.
141
(см. рис. 3.11), определяется выражением
/ = — ( a* cos2 ы + а\ sin2 a + axa2 sin 2<z cos Аф) . C.33)
Предположим, что случайная фазовая ошибка Аф в течение
длительности символа мала. Тогда, разложив соэАф в ряд и огра-
1
1
/
/
[
I
f
/л
- ttr3
да*
ю
1,0
ш
5 W 20
Рис^ 3.10. Зависимость sm
от sc
Рис. 3.1,1. Геометр|Ическое построение,
поясняющее соотношение энергии эл-
эллиптически поляризованного света,
прошедшего анализатор
ничиваясь вторым порядком, получим из выражения C.33)
_ *?!
2!
или
» г
sin аJ—
Переходя от амплитуд at и а2 к энергии полезного сигнала, по-
получим
cos
^Г+/*с%5Ш^J—
sc
'sinf |
или
C.34)
142
Предположим, что
- Тогда C.34) примет вид
или
C.35)
Полученное выражение определяет число фотоэлектронов по-
полезного сигнала, которые попадают на сигнальный счетчик за ин-
интервал наблюдения. В идеальном случае, когда поляризационные
ошибки отсутствуют (р=1, 8 = 0, Аф = 0), как видно из выражения
C.35), /с равно sc, т. е. все фотоэлектроны полезного сигнала по-
попадают на сигнальный счетчик. Как уже отмечалось ранее, при
наличии поляризационных ошибок сигналы, соответствующие «1»
и «0» на входе призмы Волластона, будут иметь вместо линейной
поляризации эллиптическую. В результате часть фотоэлектронов
полезного сигнала будет попадать на «шумовой» счетчик. Количест-
Количество фотоэлектронов будет определяться из выражения
_ Pi
или
C.36)
Излучение шумового фона имеет случайную поляризацию, и
если азимутальный угол анализатора равен ± — , то число фото-
фотоэлектронов шумового фона за интервал наблюдения Т будет де-
делиться в среднем поровну между двумя счетчиками:
{Фш— 4 {1>х'г\у)~ 2
Таким образом, число фотоэлектронов, которые попадают на
сигнальный счетчик за интервал наблюдения Т, определяется из
выражения
^A-^)+^. C.37)
За тот же интервал наблюдения Т на шумовой счетчик по-
поступают фотоэлектроны, число которых
• C.38)
143
На рис. 3.12 в соответствии с выражениями C.37) и C.38) по-
показано:
а — разделение принятых фотоэлектронов между сигнальным
и шумовым счетчиками при отсутствии поляризационных ошибок;
бив — при наличии поляризационных ошибок.
в)
<Рмс. 3.12. Соотношения фотоэлектронов, поступающих иа «сиг-
«сигнальный» и «шумовой» счетчик при отсутствии и наличии поля-
поляризационных ошибок
Подставляя C.37) и C.38) в C.32), получим общее выраже-
выражение для средней вероятности ошибки на двоичную единицу при
амплитудных и фазовых ошибках одновременно:
р.-
C.39)
-УТ=г.A-Ъ
Третий случай имеет место, когда оптический сигнал
ослабляется без изменения его формы (е = 0, Дф=О). При этом
модули коэффициентов пропускания для обеих компонент равны
(i\x = i)y), но меньше единицы. В этом случае выражение C.39)
принимает вид ^
л=0
По кривым эффективности (рис. 3.10) можно определить тре-
требуемые рабочие параметры при замене sc и sm соответственно на
psc и $sm-
Из рис. 3.10 видно, что несмотря на то, что отношение аиг-
нал/шум остается постоянным в течение длительности символа
' ~=~г). эффективность приема ухудшается. Объясняется это
\sm Р sm /
тем, что при ослаблении полезного сигнала возрастает влияние
квантового шума. Это лишний раз подтверждает, что средняя ве-
вероятность ошибки зависит как от отношения сигнал/шум, так и
от абсолютного значения полезного сигнала.
144
Четвертый случай имеет место, когда сигнал ослабляется с из-
изменением его формы, т. е. когда модули коэффициентов пропуска-
пропускания неодинаковы (цх^Цг)- В этом случае средняя вероятность
ошибки C.39)
л=0
%
C-40)
Результаты расчетов, выполненных с помощью выражения
C.40), представлены на рис. 3.13.
В пятом случае фазовые ошибки (Дф^О) изменяют только
форму сигнала. При этом средняя вероятность ошибки на двоич-
двоичную единицу C.39)
л=0
C.41)
Кривые, вычисленные с помощью выражения C.41), представ-
представлены на рис. 3.14. Из кривых (рис. 3.14) видно, что фазовые ошиб-
ошибки до 30° не оказывают существенного влияния на работу систе-
ю
У
10'
1
/а
t
гГ
III
f
,0,5
-
20
50
Рис. 3.13. Влияние ослабления
светового сигнала при постоян-
постоянной [вероятности ошибюи
10 20 30 50 Sc
Рис. 3.14. Влияние фазовых
ошибок светового сигнала
при постоянной вероятности
ошибки
145
мы. При увеличении фазовых ошибок до 415° и при необходимости
сохранять заданную вероятность ошибки нужно увеличивать энер-
энергию полезного сигнала.
Шестой случай соответствует поляризованному или частично
поляризованному шумовому фону (р=1; е = 0; Аф=О; р^О), когда
каналы становятся асимметричными, а случайные величины X и
У статистически зависимыми. Влияние поляризационных шумов
фона на эффективность приема каждого канала должно рассмат-
рассматриваться раздельно. В этом случае общее выражение для опреде-
определения средней вероятности ошибки на двоичную единицу на фоне
поляризованного шума будет иметь вид
л=о
C.42)
где
[ I $ШП
— su
= Su
5шп — среднее число фотоэлектронов поляризованного фона за ин-
интервал наблюдения;
_ ш^.— = р — степень, поляризации шумового излучения фона.
Кривые эффективности оптической КИПМ системы связи при
поляризованном фоне приведены на рис. 3.15. Из рис. 3.15 видно,
что поляризованный шум не изменяет квантового предела, однако
несколько ухудшает эффективность системы.
Таким образом, из проведенного анализа следует, что относи-
относительно большие поляризационные ошибки, вносимые линией связи
и элементами самой системы, не приводят к сильному ухудшению
эффективности системы с КИПМ.
Влияние мультипликативных помех (фединг).
При распространении оптического излучения в турбулентной ат-
атмосфере флуктуации показателя преломления атмосферы приво-
приводят к флуктуациям интенсивности оптического излучения на вхо-
входе приемника. Кроме того, изменения интенсивности оптического
излучения на входе приемника могут происходить вследствие от-
относительного перемещения приемника и передатчика в случае их
расположения на движущихся объектах. Очевидно, что наличие
мультипликативных помех или фединга будет оказывать опреде-
определенное влияние на эффективность оптической КИПМ системы
связи.
Как отмечалось в разд. 2.7, интенсивность оптического излуче-
146
ния, прошедшего через турбулентную атмосферу, распределена по
логарифмически-нормальному закону.
Тогда среднюю эффективность приемника в случае флуктуа-
флуктуации интенсивности входного сигнала можно характеризовать
усредненным значением полной вероятности ошибки по всем воз-
возможным значениям интенсивности сигнала на входе приемника
[36, 105].
По методике разд. 2.7, учитывая логарифмически-нормальный
закон, построены кривые (рис. 3.16), позволяющие оценить влия-
Рп.
100
10
10
10
1,
1
0,5
/
01
PoS1"'3
0.8
5 Ю 20 40 80 Sc
Рис. 3.15. Влияние поляризо-
ваиного или частично поляри-
поляризованного шумового фона при
иостоянной вероятности ошиб-
ошибки
10*
5 10 20 4ff 80~5г
Рис. 3.16. Эффективность опти-
оптической КИПМ систем связи
при учете влияния мультипли-
мультипликативных помех (sm=0, т. е.
соответствует ограничению
только квантовыми шумами)
ние мультипликативных помех на эффективность приема оптичес-
оптической КИПМ системы связи D5] (случай sm=0 соответствует огра-
ограничению только квантовыми шумами). Эти кривые могут быть ис-
использованы для определения относительного увеличения энергии
полезного сигнала, обеспечивающего работу оптической системы с
заданной вероятностью ошибки, когда в канале действуют мульти-
мультипликативные шумы. Так, из рис. 3.16 видно, что при отсутствии
мультипликативных помех (ст2=0) средней вероятности ошибки
рош=10-3 соответствует полезный сигнал, равный 6 фотоэлектро-
фотоэлектронам. В 'случае сильной турбулентности (ст2=0,6) для работы систе-
системы с той же средней вероятностью ошибки необходимо увеличить
полезный сигнал до 100 фотоэлектронов, или на 12 дб.
Для информации, передаваемой посредством простого равно-
равномерного двоичного кода, вероятность ошибочного приема всей
147
кодовой комбинации (сообщения) находится следующим образом.
При длине кодовой комбинации в N символов для правильного
приема сообщения необходимо, чтобы все N символов были опоз-
опознаны без ошибок. В условиях действия относительно широкополос-
широкополосных флуктуационных шумов ошибки в опознании отдельных сим-
символов можно считать некоррелированными. Тогда вероятность
ошибочного приема сообщения
Pwoui — 1—A рош) ,
C.42а)
где рош — вероятность неправильного опознания символа.
При использовании системы модуляции КИПМ с учетом
C.42а) и C.26) общее выражение для определения вероятности
ошибочного приема сообщения примет вид
1 ~ у ? рп(Х)\Рп (У) + 2 ? Pn+i(Y)\\ .C.426)
л=0 L /=1 Jj
Теперь, зная выражения для неправильного опознания симво-
символа, например, при обнаружении монохроматического излучения в
тепловом и пуассоновском шумах можно получить конкретные
выражения для вероятности ошибочного приема сообщения путем
подстановки в C.426) соответственно C.27) и C.31):
Ро1„=1 — |l expfl ?±5_Л Г
2я
= 1
12я
1_ J_eXp(-S+l) Г S™P(*»V2S + .
4п J 1 + S-/2S+1
cos ep
Так как рОш<С1, то
и тогда C.42а) примет вид
Npom,
C.42в)
а значит, последние выражения можно представить как
N
И
2я
PNom= ^exp(—S+1) Г-
4л J
'd(f.
При N^.10 и Рош^Ю выражение C.42в) дает погрешность в
определении PNom не более 5%. Выражение C.42в) получено из
C.42а) при условии, что в кодовой комбинации из ./V символов воз-
возможны лишь одиночные ошибки, т. е. неправильно опознается
148
только один символ. Вероятность же двойных и многократных
ошибок настолько мала, что их влиянием можно пренебречь. Тог-
Тогда выражения C.42а) и C.42в) позволяют установить искомую
связь между рош и Pn ош-
Из C.42в) очевидно, что если известно TV и если можно предъ-
предъявить требования к допустимому значению Pjvom, то можно непо-
непосредственно найти Рош — Pn omIN, определяющую требования к
знергетическим показателям канала.
Представленные выше соотношения позволяют сделать вывод
о том, что достоверность приема сообщений при простом кодиро-
кодировании в условиях воздействия флуктуационных помех полностью
определяется достоверностью отдельных символов.
Для повышения достоверности при посимвольном приеме со-
сообщений в ряде случаев применяются корректирующие коды, ко-
которые за счет избыточности могут обнаруживать и исправлять
ошибки.
Особым классом корректирующих кодов являются псевдослу-
псевдослучайные последовательности [48], позволяющие передавать сообще-
сообщения с высокой степенью помехозащищенности и совмещать пере-
передачу с измерением параметров движения юбъекта (дальности, ско-
скорости, углов и т. д.). Если информация передается с использова-
использованием псевдослучайных последовательностей, то в этом случае ве-
вероятность ошибочного приема последовательности есть вероят-
вероятность того, что последовательность в результате воздействия флук-
флуктуационных шумов содержит более чем т ошибок. Как и ранее,
предполагается, что ошибки при приеме отдельных символов не
коррелированы. В этих условиях верэятнюсть ошибочного приема
псевдослучайной последовательности
—S(
м
k
Рош
— Рош)
C.42г)
где
М — число символов в псевдослучайной последовательности;
Рош — вероятность неправильного опознания символа в псевдослу-
псевдослучайной последовательности;
т — максимальное число ошибок, исправляемых псевдослучай-
псевдослучайной последовательностью, которое определяется из выражения
М~ 3
С)
м\
числю сочетаний из М по к;
k\(M — k)\
Рж ош — вероятность ошибочного приема псевдослучайной после-
последовательности.
Определив вероятность неправильного опознания символа из
выражения C.426), можно по C.42г) определить вероятность
ошибочного приема псевдослучайной последовательности.
Вычисления Рм ош с помощью выражения C.42г) просты толь-
110
ко при малых значениях длины последовательности М и числе т
ошибок, корректируемых псевдослучайным кодом. При больших
же значениях М и т вычисления становятся громоздкими. Однако
для Л1<150 и рош>Ш-2 имеются очень удобные таблицы 195, 96]
биномиального распределения вероятности, в которых вычислено
выражение C.42г) для различных значений рош, т и М. Вероят-
Вероятность ошибочного приема псевдослучайной последовательности
Рм от можно также вычислить по приближенным выражениям.
Если М и т не очень велики, то удобно следующее выражение |[94]:
м
M
M
°ш
C.42д)
Выражения C.42д) и C.42г) тождественны. Используя C.42д),
можно ограничиться только некоторыми членами ряда. Посколь-
Поскольку ряд знакочередующийся, то погрешность не превышает величи-
величины первого отброшенного члена.
Таким образом, рассмотренная в этом разделе методика оцен-
оценки эффективности систем связи позволяет находить количествен-
количественные зависимости, характеризующие надежность работы систем
связи с КИПМ в условиях аддитивных, мультипликативных и
квантовых шумов.
В заключение отметим, что для оценки эффективности систе-
системы при приеме сообщения «в целом» (цифровым фильтром) мо-
может быть использована методика, разработанная в 148]; кроме то-
того нетрудно реализовать идею оптимального корреляционного
приема псевдослучайных кодов, модулирующих излучение ОКХ.
3.5. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПРИЕМ ДИСКРЕТНЫХ
ТОНАЛЬНОМАНИПУЛИРОВАННЫХ (ЧМ-АМ)
СИГНАЛОВ ОПТИЧЕСКОГО ДИАПАЗОНА
Рассмотрим метод определения отношения правдоподобия
и использования его для построения структуры оптимального при-
приемника системы связи с амплитудной модуляцией оптической не-
несущей синусоидальными колебаниями. Одной из перспективных оп-
оптических систем связи указанного типа является система с ампли-
амплитудной модуляцией оптической несущей попеременно двумя сину-
синусоидальными колебаниями: модуляция одним тоном соответствует
символу «1», модуляция другим тоном соответствует «О». В теле-
телеграфии системы связи подобного типа называются системами с
тональной манипуляцией ЧМ—AM.
Как « в предыдущих разделах, оптимальное распознавание
двух символов будет осуществляться приемником по максимуму
ISO
отношения правдоподобия. Оптимальный трием будем рассматри-
рассматривать для случая слабых сигналов, соизмеримых по уровню с шу-
шумами.
Для общности и полноты начнем изложение этого вопроса с
полуклассического метода взаимодействия поля с чувствительным
элементом приемника.
Представим монохроматический световой поток ОКГ, модули-
модулированный по амплитуде одним тоном, в виде вектор-потенциала:
А(г, 0 = 2 8оС„ exp [i (knr—(ont -f q>n)] + У е0С„ ехр[—i {knr—
ф„)].
C.43)
Вектор-потенциал A(r, t) представляет собой суперпозицию
плоских поперечных линейно поляризованных волн. В выражении
C.43) введем в соответствии с записью амплитудномодулирован-
ных колебаний следующие обозначения:
Ci=A0 — вещественная амплитуда составляющей несущей часто-
частоты ti>u
та
С2 = С3=.4о -s-— вещественная амплитуда боковых составляющих;
та — коэффициент модуляции;
оJ = col+ Q — частота верхней боковой составляющей;
0K = 0)!—Q — частота нижней боковой составляющей;
Q — частота модулирующего колебания;
ф! — начальная фаза несущего колебания;
ф2 = ф1 Ч-'фо — начальная фаза верхнего бокового колебания;
фз = ф4—xp0 — начальная фаза нижнего бокового колебания,
¦фо — начальная фаза модулирующего колебания;
8о — вектор поляризации (предполагается, что вектор поляриза-
поляризации всех составляющих одинакоз);
kn — волновой вектор;
г — радиус-вектор электрона.
Учитывая вышеприведенные обозначения, вектор-потенциал
можно записать в виде (несущая и две боковых)
А (г, /) = /Vo fexp [i (V— со,/ + <р,I+ у exp (/ \k27— (о, + Q)t Л
+ <Pi + 4>nD + y exp («IV-K—й)t + Ф1-4-oDJ + кс- C-44)
Рассматривая прием фотоэлектрическим приемником, обозна-
обозначим через #о невозмущенный оператор Гамильтона для одного
электрона фотокатода. Если на систему (в данном случае — один
электрон) действует малое возмущение, описываемое оператором
возмущения H'(t), то волновая функция возмущенной системы
151
(рассматриваемого одного электрона) i|> удовлетворяет уравне-
уравнению
C.45)
Общий метод приближенного решения ур-ния C.45) был разрабо-
разработан Дираком и носит название метода вариации постоянных [3].
Частными решениями невозмущенного уравнения
являются функции вида
где uv — независящая от времени часть собственной функции не-
невозмущенного гамильтониана, a ?v — его собственное значение.
Общим решением этого уравнения является сумма, записываемая
в виде
C.46)
где bv— не зависит от времени. Решение ур-ния C.45) по форме
аналогично решению C.46), однако временную зависимость учи-
учитывают в коэффициенте bv, т. е.
'V
C.47)
В выражении C.47) суммирование по всем дискретным состоя-
состояниям может заменяться интегрирюванием по континууму.
Согласно [2] оператор возмущения
,,, i e h -z
C.48)
Если до момента воздействия возмущения система находится в
состоянии v, а под действием возмущения в момент ^ = 0 перехо-
переходит в Я-состояние, то коэффициент b\ (t) в первом приближении
может быть записан в виде [58]:
t
= --|-j4vexp[i (o\v0)]<i0,
где (inv— частота перехода
К-
C.49)
энер-
энергия начального и конечного состоянии электрона соответственно;
Н'%4—зависящий от времени матричный элемент оператора воз-
возмущения в представлении ы, т. е.
l
Интегрирование в C.50) ведется по координатам электрона (кэ).
Подставляя в выражение C.49) значение матричного элемента
C.50) и учитывая выражения C.48) и C.43), получим:
Ьх @ = (ШГ1 j j exp[i Kv0)]u'kH\dxd0 =
{ f —
J J me
0 кэ
Используя представление матричного элемента оператора воз-
возмущения с помощью классического электродипольного момента
системы [58], можно показать, что
, C.52)
j То их grad0 «v dx = — -J coXv (
j
где grado — компонента градиента в направлении вектора поляри-
поляризации;
H _ матричный элемент вектора г в направлении поляриза-
поляризации.
После интегрирования с учетом условия C.52) выражение для
bK (t) может быть записано в виде
ции.
C-53)
„ L ( ) J
Поскольку нас интересует процесс поглощения, из ур-ния C.53)
выделяем составляющую, соответствующую поглощению фотона:
е
C.54)
Вероятность перехода системы из состояния v в состояние К опре-
определяется выражением:
b.{t)bUt)= -f-
X
J1 Ы
IX
X
ехр[ —
хр[
В рассматриваемом случае длина волны излучения во много
раз превышает линейные размеры области, в которой волновая
функция заметно отличается от нуля. Поэтому величина knr, вхо-
входящая в предыдущее выражение, мала по сравнению с единицей.
Это позволяет с хорошей степенью приближения заменить elknr
на единицу [59]. Учитывая это обстоятельство, после преобразова-
преобразований получим
2sin2
п т
n m
sm-
х-
f + (q>n-f
sin — (fflXv — an)t
х
щ,„)
C.55)
Поскольку возмущение нестационарно, конечные состояния
должны характеризоваться плотностью конечных состояний, а ве-
вероятность перехода из состояния v в любое из состояний X должна
находиться интегрированием по coxv • Предполагая, что плотность
конечных состояний р(к) является медленно меняющейся функци-
функцией л, запишем вероятность перехода в единицу времени в виде
со, . C.56)
Подставляя C.55) в C.56), находим
2sin= M*
.X
п т
пфт
X cos
а>т—а>п
sin -- ((BXv
n)tsm —((oKv~(on) t
C.57)
Поскольку временные множители двух подынтегральных выраже-
выражений C.57) имеют острые максимумы: первый — при coxv =con и
второй — при соя, =сйп и coxv =ыт, — другие зависящие от со;.,
величины можно вынести за знак интеграла и интегрировать по
154
to xv в пределах от —оо до +оо J59]. В выражении C.57) за знак
интеграла выносим соь (гъI- Учитывая, что
- 2sin2 — ((BXv - <оя) /
1 2
sin — ((B^v — шт) t sin — (ffl^v — шл) / я sin — (щт — ш„) t
— 00
упростим выражение C.57).
Однако поскольку используется первый порядок разложение
метода возмущений, то время t мало и (сот—соп)^^!. В силу no-
следнего
неравенства srn ^~ (ыт—<an)t~~^ ((Om Mn)t и
я
sin — (шт — ш„) t ^t
Тогда выражение для w (обозначая частоту перехода coxv=co):
w =
C.58)
Xcos
(Фя — Фт)]} •
Если рассматривается совокупность электронов, то матричный
элемент (ль )о можно приближенно заменить средним значением
лСр [60]. Тогда
П2с2
с»+
X
C.59)
Заменяя входящие в ф-лу C.59) величины Сп, Ст, ыт, ,ып, ф„,
фт значениями, приведенными в начале раздела, раскрывая суммы
и выражая квадрат амплитуды вектор-потенциала Ао через п0 —
/„а 2яс2Ь \
число фотонов в 1 сек на 1 см2- \щ—- «о)> можно показать,
что в выражение для w(t) входят, кроме постоянной составляю-
составляющей, гармонические составляющие, кратные модулирующей час-
частоте Q, значительный вклад дает составляющая на частоте моду-
модуляции Q. Именно сигнал этой частоты является информативным.
Если сигнал поступает в момент t=0, то вероятность эмиссии
электрона в момент th в течение временного интервала dU равна
w(th)dth.
155
До сих пор рассмотрение проводилось для одного электрона.
Если облучаемая часть фотокатода содержит L электронов, то
среднее число эмиттируемых электронов в момент t в течение вре-
временного интервала dt равно
Lw (t) dt.
Тогда число электронов, эмиттируемых в единицу времени, будет
В предположении, что распределение фотоэлектронов подчи-
подчиняется обобщенному закону Пуассона, вероятность того, что за ко-
конечный интервал Т будет зарегистрировано точно п фотоэлектро-
фотоэлектронов, запишется в виде \
Р(п, Т, t) = ±
C.60)
При учете фоновой помехи с постоянной интенсивностью (ско-
(скорость поступления «шумовых» фотоэлектронов равна уш элект-
электрон/сек) выражение C.60) перепишется в виде
. C.61)
В рассматриваемой цифровой линии связи сообщения пере-
передаются в виде двоичных символов одинаковой длительности Г,
каждый из которых соответствует амплитудной модуляции опти-
оптической несущей соответственно колебаниями частот Qt и Ог. Каж-
Каждой из модулирующих частот соответствует своя вероятность пе-
перехода в единицу времени, а следовательно, и среднее число элек-
электронов, эмиттируемых в единицу времени, изменяющееся по за-
закону yi(t) или уг(О-
Согласно выражению C.60) поток фотоэлектронов можно
отождествить с пуассоновским процессом интенсивности y(t) (ин-
(интенсивность пуассоновского процесса в теории стохастических
процессов определяется как среднее число скачков процесса, при-
приходящихся на единицу времени). Поскольку интенсивность у(t)
зависит от времени, пуассововский процесс является нестационар-
нестационарным (с переменной интенсивностью).
Таким образом, при 'приеме информационного символа на ин-
интервале @, Г) наблюдается нестационарный пуассоновский про-
процесс переменной интенсивности yi(t) или yi(t). Согласно гипотезе
о том, что передавался символ «1» (модулирующая частота Qi),
интенсивность процесса равна yi(t) и равна yt(t) согласно альтер-
альтернативной гипотезе (передавался символ «0» — модулирующая
частота Q2). Все сказанное выше нетрудно обобщить на случай,
когда необходимо учесть наличие фоновой помехи с постоянной
интенсивностью ут. Тогда общие интенсивности для двух альтер-
альтернативных гипотез будут ym + yi(t) и ym+YafO- Итак, если процесс
156
наблюдается в течение интервала @, Т), то, используя в качестве
координат случайного процесса моменты появления фотоэлектро-
фотоэлектронов (ti, ti,..., tn) и выражение C.61), отношение правдоподобия
можно записать в виде [18]
• • [Уш + Yi ((n)] )(
д _ in f 1Уш + Y
4
Yin 4- Y2 ('i)l [Уш + Y-2
Xexpl —
Раскрывая выражение C.62)
г
Yl (U)
t=l
Уш + Y21
C.62)
C.63)
замечаем, что первое слагаемое правой части выражения C.63) не
зависит от числа регистрируемых фотоэлектронов и является по-
постоянной величиной. Следовательно, для принятия решения о на-
наличии того или иного символа достаточно образовать выражение:
V-
C.64)
При Л^0 решение должно состоять в выборе символа «1», со-
соответствующего модулирующей частоте Qi; при Л-<0 решение за-
заключается в выборе символа «0» (модулирующая частота Ог).
Выражение C.64), являясь алгоритмом работы оптимального
приемника, определяет его структуру. Согласно этому выражению
приемное устройство должно содержать фоточувствительный эле-
элемент, преобразующий поток фотонов в поток электронов; запоми-
запоминающее устройство, в блоке памяти которого должны храниться
функции Yi, а@' вычисленные для моментов времени в интервале
@, Г); программирующее устройство, предназначенное для управ-
управления работой приемного устройства. Все устройство должно об-
обладать .большим быстродействием.
Перед началом сеанса связи «вход» приемного устройства от-
открывается и измеряется средняя скорость «шумовых» фотоэлект-
фотоэлектронов уш, которая в течение сеанса предполагается постоянной
(если уш является переменной, то необходимо периодически преры-
прерывать прием .информации и измерять Ym). Число, соответствующее
Ym поступает в блок памяти и хранится в нем. Начало сеанса свя-
связи должно синхронизироваться специальным сигналом передатчи-
передатчика или с помощью стабильного опорного генератора приемного
устройства. После приема синхронизирующего сигнала программи-
программирующее устройство совместно с блоком памяти начинают непре-
непрерывную генерацию функций у\,г(г) в течение интервалов @, Г).
Каждый фиксированный электрон, приходящий в момент U, явля-
157
ется сигналом отсчета функций yi,z(t), т. е. в момент ti опреде-
определяются значения yi(ti) и yz( ti). К полученным значениям прибав-
прибавляются значения уш и вычисляются \n{ym + yi(ti)] и 1п[уш +
+ yz(t{)]. Значение, соответствующее разности логарифмов, посту-
поступает на сумматор. Таким образом, каждый фиксированный фото-
фотоэлектрон, появляющийся в момент ti, является сигналом для об-
. Уш + Yi('*) _ч
разования числа 1п ~—ттт . Если в течение интервала @,/) по-
появляется п фотоэлектронов, то в сумматоре образуется число
In
Yin
Yin +
Это число далее поступает в решающее устройство, где прини-
принимается решение о присутствии на входе приемника того или иного
символа.
Отметим, в заключение, что рассмотренная методика по-
позволяет вычислить коэффициенты правдоподобия и находить
структуры оптимальных приемников не только для двоичных дис-
дискретных систем, но и для систем связи с большим ансамблем дис-
дискретных информационных символов.
3.6. ПРИЕМ БИНАРНЫХ
ЧАСТОТНОМАНИПУЛИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ
СУПЕРГЕТЕРОДИННЫМ МЕТОДОМ
Разработка приемных устройств оптического диапазона,
предназначенных для приема частотно- и фазомодулированных
сигналов, становится все более актуальной задачей. Объясняется
это интенсивной разработкой широкополосных частотных и фазо-
фазовых модуляторов, позволяющих передавать большие объемы ин-
информации в короткое время.
Фазовые и частотные системы связи, по-видимому, будут обла-
обладать максимальной информационной емкостью, что обусловлено
более полным использованием свойства когерентности излучения
ОКХ. Считается также, что эти системы относительно менее чув-
чувствительны к аддитивным шумам ('по сравнению с системами с
модуляцией по интенсивности). Это обстоятельство позволяет ста-
ставить вопрос об .использовании оптимальных методов приема ЧМ
колебаний [61].
Рассмотрим бинарную цифровую систему связи, в которой ин-
информационному символу «1» соответствует монохроматический
сигнал постоянной амплитуды и фиксированной длительности Т,
имеющий частоту соь символу «О» соответствует также монохрома-
монохроматический сигнал постоянной амплитуды и длительности Т, но име-
имеющий частоту а>2- Системы связи указанного типа являются систе-
системами с частотной модуляцией (манипуляцией). Как и ранее, счи-
158
i
таем, что априорные вероятности посылки информационных сим-
символов одинаковы.
Прием и преобразование информации осуществляется суперге-
супергетеродинным приемником. Частота колебания опорного гетеродина
too отличается от несущих частот информационных символов не
более чем на частоту свч диапазона, а в качестве чувствительного
элемента приемной системы используется свч фотоэлемент. Пола-
Полагаем, что сигнальный и гетеродинный лучи полностью 'параллельны
и поляризованы в одной плоскости.
Метод расчета отношения правдоподобия в рассматриваемом
случае полностью подобен методу разд. 3.5. На фоточувствитель-
фоточувствительную поверхность свч фотоэлемента поступают сигнальный (соот-
(соответствующий символу «1») и гетеродинный лучи, вектор-потенциа-
вектор-потенциалы которых соответственно равны:
А (г, () = А1 е0 exp [i (k^ — a.t -J- ф^] + kc;
C.65)
C.66)
Ао (г, t) = Лоео exp [i (Ay— <<V + фоI + kc.
Обозначим:
Но — невозмущенный оператор Гамильтона одного электрона фо-
фоточувствительной поверхности;
Н' — оператор возмущения, соответствующий сигнальному лучу;
Ч" — оператор возмущения, соответствующий гетеродинному лучу
(Н™« Н' + Н")
Волновая функция электрона ij) определяется из уравнения Шре-
дингера
и равна
C.67)
C.68)
Запишем оператор возмущения в виде
C.69)
Считая, что до момента воздействия возмущения электрон на-
находится в состоянии v, а под действием возмущения в момент
/={) переходит в Я-состояние, запишем ex (t) в виде:
t
о
где
*>,..=
v « «возм I /,* нвозм ,, j _.
C.71)
159
Подставляя выражение C.71) в C.70), учитывая ф-лы C.69),
C.66), C.65), а также, учитывая равенство
f — • j j я / \ /д 72)
и выделяя член, соответствующий поглощению фотона, получим
с, (/)= — —'
n=0
СОл) I
C.73)
Аппроксимируя exp (ikj)«1 и заменяя матричный элемент
(га») о средним значением гср, определим вероятность перехода из
v-состояния в ^-состояние
sin2
, W —0)t
sin^
, со— w0
(со —со,J
(со—сооJ
cos
t +(Фо-Фх)
sin — (со — cot) / sin — («о — wo> <
2 *
2 " ' х J (со —со0) (со — wt)
C.74)
Предполагая, что плотность конечных состояний р(Я) является
медленно меняющейся функцией I, запишем вероятность пе'рехо-
да в единицу времени в виде
C.75)
Подставляя C.74) в выражение C.75), получим
t
г
cos
(Фо -
(со —со0J
sin — (ю —со,) tsin — (o>— со„)Г
i6 ^
¦4-
(со —соо) (со — щ)
C.76)
Далее следуя методике разд. 3.5, можно показать, что интенсив-
интенсивность фотоэлектронов на выходе чувствительного элемента являет-
является функцией времени, и при посылке символа «1» (несущая час-
частота иц) интенсивность потока фотоэлектронов yrft) флуктуирует
по косинусоидальному закону с разностной частотой Qi-coi—со»;
при посылке символа «0» (несущая частота ш) интенсивность
yz(t) флуктуирует с частотой О2=(О2—соо. Как и ранее, считаем,
160
что распределение фотоэлектронов подчиняется обобщенному пу-
ассоновскому закону с переменной интенсивностью. В силу высо-
высокой селективности супергетеродинного приемника полагаем, что
основным источником шумов являются темновые фотоэлектроны с
постоянной интенсивностью ^ш-
Далее, по аналогии с методикой разд. 3.5 запишем отношение
правдоподобия:
г _п_
C.77)
Yin -f Y*('f)
Выражение C.77) описывает алгоритм работы оптимального
приемника, предназначенного для приема бинарных информацион-
информационных символов с частотной манипуляцией. Если при определении
Л на выходе оптимального приемника будет получено Л^О, то
решение должно состоять в выборе символа «1»; если Л<0, то
решение состоит в выборе символа «0». Выражение C.77) опреде-
определяет структуру оптимального приемника.
Таким образом, прием частотноманипулированных бинарных
сигналов методом гетеродинирования приводит к тому, что прини-
принимаемый сигнал преобразуется в пуассоновский поток фотоэлектро-
фотоэлектронов переменной интенсивности, с которым складывается пуассо-
пуассоновский поток темновых фотоэлектронов. Следовательно, задача
различения двух световых сигналов сводится к задаче различения
двух пуассоновских потоков переменной интенсивности yi(t) и
(t)
)
Для оценки эффективности приема, т. е. нахождения вероят-
вероятностных характеристик, воспользуемся методикой, разработанной
в [62].
Разбивая интервал наблюдения (О, Т) на q отрезков длины А?
и обозначая через Пг число фотоэлектронов на г-м отрезке (т. е.
заменяя плавную огибающую ступенчатой), можем записать:
Р, К,
.,«,; Т) =
/ = 1,2.
Логарифм отношения праводоподобия для удобства последующих
выкладок обозначим z (временно не учитываем темновой ток), т.е.
Последнее выражение соответствует линейному преобразованию
величин «г фильтром с переходной характеристикой a(t). При
равных априорных вероятностях посылки сигналов «1» и «0» из
выражения C.77) следует, что проверка гипотезы о наличии пер-
6—160 lei
вого или второго сигналив сводится к сравнению г с порогом, оп-
определяемым выражением
Р =
и
Характеристическая функция случайной величины логарифма
отношения правдоподобия 2j щщ, где nt распределена по закону
Пуассона, легко находится [69]:
C.78)
Для нахождения вероятностей ошибок первого (а) и второго (р)
рода целесообразно в выражении C.78) совершить предельный пе-
переход Д^>-0. Тогда характеристическая функция при гипотезе
Hj (/= 1, 2) принимает вид
г т
М,
jY/@
eIe(<)o
-l] dt\ , /=1, 2.
C.79)
Сделанный предельный переход удобен тем, что поскольку ха-
характеристическая функция непрерывной случайной величины яв-
является преобразованием Фурье от плотности распределения веро-
вероятностей этой случайной величины, то обратным преобразованием
Фурье можно легко найти плотность распределения вероятностей
случайной величины (при оперировании с дискретными случайны-
случайными величинами можно использовать интеграл Стильтьеса, однако
этот путь гораздо более сложен). Пользуясь обратным преобразо-
преобразованием Фурье, учитывая соответствующим образом пределы ин-
интегрирования, запишем в общем виде вероятности ошибок первого
и второго рода:
00 S1I1
1 , 1 f
2 nj
„sin Г ¦
1 _ 1 С И
in Г y2 @ sin va (t) dt — pv \
Lo J
exp j
Lo
— \\dt \dv,
C.80)
(t) sin va @
dt — pv
J exp Г Yi(^cos va(t) — 1 ]dt \dv.
C.81)
Общие выражения ф-л C.80) и C.81) могут быть значительно
упрощены в ряде случаев, представляющих практический интерес.
При приеме двоичных сигналов с частотной манипуляцией
562
(ох, и ф; — частоты и фазы соответствующих сигналов, /=1, 2;
соо, фо — частота и фаза сигнала гетеродина), как было показано
выше, интенсивность потока фотоэлектронов изменяется по за-
закону
;— ф0]}, C.82)
где под т понимается так называемый индекс демодуляции, оп-
определяемый свойствами фотоэлектрического прибора; уш — интен-
интенсивность потока фотоэлектронов, определяемая темновым током
фотоэлектрического приемника и сигналом гетеродина.
Для двуальтернативной ситуации имеем
)=1п l^mcos(Q1t + ^1) ^
1 -ф- т cos (Q2t 4- фг)
где Qj = ©j—coo, i|)j = ф^-—фо, j = 1, 2.
Считая индекс демодуляции малым, можно разложить весовую
функцию a(t), а также величины cosuaff) и sinuaG) в ряд по
степеням т. Ограничиваясь членами с т2 из C.80) и C.81), полу-
получаем выражения [62]:
где
i
Щ = \ Y/@a(t)dt; o)=\ Yy@a\t) dt.
В частном случае, когда частота гетеродина близка к частоте од-
одного из сигналов, например [a>i—соо|-СЙ2, имеем:
)^rrj). C.83)
В идеальном случае Qi=0, \pi=0 получим
C.84)
Если частота гетеродина находится в средине интервала между
частотами двух сигналов соо~ — 1
1—erf
/
, C.85)
ГДе фс = ф1—ф2, Q = | @1 @0 | — | @2—@0 |.
Из выражения C.85) следует, что при Q = 0 и фС=0.
а = р = у A — erf \rm Уу^г). C.86)
Такой вариант является наилучшим по сравнению, например, с
6* 163
C.84), так как реализует меньшую ошибку, однако здесь, помимо
настройки частоты гетеродина, требуется синфазность сигналов на
входе приемника.
В случае, когда частоты гетеродина и информационных сигна-
сигналов далеко разнесены друг от друга, т. е. |(о;-—шо\Т^$>1, йГ1
влияние начальных фаз сигналов и гетеродина очень мало и
C.87)
Последний вариант с точки зрения практики конструирования си-
систем связи с супергетеродинным приемником наиболее предпочти-
предпочтителен, так как здесь не требуется обеспечения синфазности сигна-
сигналов и не накладываются жесткие ограничения на частоты сигна-
сигналов и гетеродина.
При необходимости учета флуктуации амплитуды сигналов
(например, из-за прохождения по мультипликативному каналу,
при отражениях сигналов от ретранслятора или цели и др.) все
приведенные выше формулы также могут быть найдены, однако
для получения средней вероятности ошибки необходимо усреднить
по известному закону распределения флуктуации (в частности, на-
например, по логарифмически-нормальному закону или гамма-рас-
гамма-распределению, см. разд. 2.7 и [62]).
Таким образом, приведенные аналитические выражения позво-
позволяют инженеру-проектировщику оценить предельные возможности
двоичных систем связи с частотной манипуляцией с точки зрения
их эффективности, построить оптимальный алгоритм обработки
сигнала. Сравнительный анализ реальной структуры приемника с
оптимальной позволит, кроме того, оценить совершенство проек-
проектирования.
В заключение следует указать, что рассмотренный метод при-
приема частотноманипулированных сигналов супергетеродинным спо-
способом может быть использован в другом варианте оптической
связной системы, в которой роль местного оптического гетеродина
выполняет оптическая несущая, передаваемая вместе с сигналом.
В такой системе в качестве внешнего модулятора на передаю-
передающей стороне может использоваться двулучепреломляющая ячейка,
иа выходе которой имеют место два коллинеарных луча, имею-
имеющих взаимно перпендикулярную поляризацию и фиксированный
частотный сдвиг. В зависимости от прикладываемого напряжения
частотный сдвиг изменяется, следовательно, для получения сигна-
ло'в «О» и «1» необходимо подавать на ячейку два фиксированных
напряжения. При установке соответствующих поляризаторов на
приемной стороне можно осуществлять гетеродинное детектирова-
иие без местного опорного гетеродина. В этих условиях допуще-
допущение о равенстве амплитуд сигнального и гетеродинного лучей, ис-
использованное в этом разделе, вполне оправдано (известно, что в
ряде работ, посвященных анализу супергетеродинного приема, в
оптическом диапазоне принимается условие I " '
Глава 4.
Статистическое нацеливание
узких лучей приемопередатчиков
лазерных систем связи
4.1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Увеличение дальности действия лазерных систем связи (при сохране-
сохранения требуемой достоверности передачи сообщений) является одной из перво-
первостепенных задач. Основным фактором, определяющим увеличение дальности
действия при постоянной мощности передатчика, является сужение диаграммы
направленности алтейных устройств.
Ширина диаграммы направленности антенных устройств свч диапазона
в настоящее время может быть доведена до 1ч-2°. Однако это может быть
-сделано лишь путем увеличения диаметра антенны. Для получения угла рас-
раствора луча примерно около одного градуса в свч диапазоне необходим диа-
диаметр антенны более Ш м. В то же юремя в оптических системах связи при
очень малых габаритах антенн можно сформировать в пространстве чрезвычайно
узкие диаграммы направленности (до нескольких десятков угловых секунд).
Использование узких диаграмм направленности ОКГ позволит обеспечить
требуемую достоверность передачи информации при малых мощностях передаю-
передающих устройств. Однако одной из трудностей, связанных с использованием ОКГ
а системах связи, является проблема нацеливания узкого луча ОКГ и удержа-
удержания его в требуемом направлении. При использовании систем на .подвижных
объектах эта проблема усугубляется еще необходимостью стабилизации объек-
объектов с высокой точностью.
Современное развитие квантовой радиоэлектроники позволяет надеяться на
успешное решение проблемы нацеливамия узких лучей ОКГ. Разработка, на-
например, электрооптического метода отклонения светового луча .позволит осуще-
осуществить точное быстродействующее сканирование луча при .решении задач обна-
обнаружения « слежения.
При сканировании узкого луча в пределах фиксированного углового ко-
конуса (зоны неопределенности положения объекта) возникает задача оценки
времени, затрачиваемого на поиск заданной точки ^объекта) в пространстве,
или оценки времени, затрачиваемого на лоиск друг друга двумя объектами,
снабженными системами сканирования. Интересны также вопросы выбора ме-
метода сканирования (случайный или регулярный поиск) и сравнения различных
методов сканирования.
При сканировании узких диаграмм приемопередатчиков процесс «вхожде-
«вхождения» в связь, т. е. точное 'нацеливание диаграмм друг на друга и взаимное
обнаружение сигналов может трактоваться как марковский стохастический про-
процесс 186, 103]. Такой подход обусловлен тем, что событие вхождения в связь
зависит ог вероятности ориентирования диаграмм двух объектов в требуемом
направлении ({нацеливание) .и от вероятности взаимного обнаружения сигналов
в шумах, когда диаграммы совпадают. Следовательно, время вхождения в связь
•есгь случайная величина, обладающая математическим ожиданием, дисперсией
165
и т. д. Очевидно, для нахождения этой величины необходимо пользоваться ве-
вероятностными методами.
Марковская цепь характеризуется состояниями, между которыми существует
вероятность перехода. Если образовать матрицу вероятностей перехода между
состояниями данной марковской цепи, то, пользуясь алгебраическими методами
исследования марковских цепей, можно определить среднее число шагов, затра-
затрачиваемое на переход процесса из одного состояния в любое другое |(ем. при-
приложение 4). Умножив среднее число шагов на время длительности одного шага,
получим среднее время, затрачиваемое яа переход из одного состояния в любое
другое, и, в частности, в конечное состояние, соответствующее полному уста-
установлению связи между двумя объектами.
В [&6] построены трафики среднего времени вхождения в связь в зависи-
зависимости от отношения сшшал/шум и от ширины диаграмм направленности для
систем связи евч диапазона.
Для евч диапазона сверхузкие диаграммы направленности проектируют в
относительно редких специальных случаях. В системах оптического диапазона,
как правило, евврхузкими диаграммами 'будут обладать большинство систем.
Поэтому в дайной главе рассматривается задача оценки среднего времени
вхождения в связь двух объектов, снабженных системами сканирования узких
лучей ОКГ и соответствующими приемниками. Однако в типичных случаях
применения ОКГ на предельных дальностях число фотонов в принимаемом
сигнале может быть невелико, поэтому .использование отношения сигнал/шум
является недостаточным для характеристики системы с точки зрения обнару-
обнаружения полезного сигнала и подавления шумов. Необходимо вводить такие
характеристики качества системы, как вероятность обнаружения сигнала, ве-
вероятность пропуска сигнала, вероятность ложной тревоги. Эти характеристики
хорошо связываются с дальностью действия системы и с мощностью передающих
устройств. Поэтому среднее время вхождения в связь для различных вариантов
систем целесообразно находить в зависимости от вероятности обнаружения
сигнала, от дальности действия системы при различных вероятностях ложной
тревоги ¦(характеризуемой уровнем шума) и мощности передатчиков. С этой
точки зрения проводится дальнейшее рассмотрение. В приложении 4 даны не-
некоторые определения и приведены .методы анализа дискретных марковских
цепей.
4.2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ВХОЖДЕНИЯ В СВЯЗЬ
И ОСНОВНЫЕ ДОПУЩЕНИЯ
При решении задачи нахождения среднего времени установления связи
между двумя .объектами А и В считаем, что в качестве передатчиков исполь-
используются ОКГ, обладающие сверхузкими лучами. На объектах А и В установ-
установлены приемные устройства с фиксированными диаграммами направленности.
Оба объекта или один из них могут
быть подвижными. Об относительном
угловом ¦ положении объектов А и В
имеется очень «грубая» информация.
Оси диаграмм направленности передаю-
передающего и приемного устройства объекта А
(и соответственно В) ориентированы в
Рис. 4.1. Диаграммы направленности одном направлении. Луч передатчика
приемопередатчиков объектов А и В
диаграмма приемника объекта А
и зоны сканирования (Зона скани- синхронно сканируют в пространстве в
ровагаия объекта В, равная зоне не-
неопределенности углового положения
объекта А.)
пределах неопределенности углового по-
положения объекта В (то же относится
к объекту В).
Связь считается установленной, если
после поиска антенные установки А и В достигли точной ориентации в требуе-
требуемом направлении (т. е. направлены друг на друга) и сигналы соответствующих
передатчиков надежно приняты на объектах Л и В. На рис. 4.1 изображены
166
узкие лучи передатчиков объектов Л и В и области сканирования лучей в пре-
пределах угловой неопределенности положения объектов А и В.
Событие вхождения в связь зависит от: 1) числа независимых положений
луча системы, определяемого угловой неопределенностью положения А -и В, или
от вероятности того, что А я В направлены в надлежащем направлении в тре-
требуемый момент времени; .и 2) вероятности обнаружения сигналов в шумах при
условии, что лучи направлены в требуемом направлении. Следовательно, время
вхождения в связь есть величина случайная. (Как всякую случайную величину,
время вхождения в связь можно характеризовать математическим ожиданием
и дисперсией .или среднеквадратическим отклонением.
При нахождении этих статистических характеристик будут использованы
методика, рассмотренная в [86, A03], и алгебраические методы исследования
марковских процессов |(см. приложение 4).
'Введем ряд допущений: il) оба передатчика ОКГ на объектах А ел В излу-
излучают непрерывно в течение времени вхождения в связь; длины волн излучений
известны на обоих концах линий связи \(А и В); при наличии относительного
перемещения объектов и появлении допплеровского сдвига частот, очевидно, не-
необходимо устанавливать набор фильтров; 2) в течение времени вхождения в
связь .изменения углового положения или относительная угловая неопределен-
неопределенность, обусловленная любым движением А и В, незначительны, т. е. значение
телесного угла обзора инвариантно в течение времени «захвата» или вхожде-
вхождения в связь.
С учетом этих допущений будут 'рассмотрены четыре случая вхождения
в связь: 1) случайный поиск с нулевой вероятностью ложной тревоги и вероят-
вероятностью обнаружения, не равной единице; 2) .случайный поиск с ненулевой ве-
вероятностью ложной тревоги и вероятностью обнаружения, не равной единице;
3) программированный регулярный поиск с нулевой вероятностью ложной тре-
тревоги; 4) программированный поиск с ненулевой вероятностью ложной тревоги.
4.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕГО ВРЕМЕНИ
ВХОЖДЕНИЯ В СВЯЗЬ ДЛЯ СИСТЕМЫ
СО СВЕРХУЗКИМИ ДИАГРАММАМИ
НАПРАВЛЕННОСТИ АНТЕНН
ПРИЕМОПЕРЕДАТЧИКОВ ПРИ СЛУЧАЙНОМ
ПОИСКЕ С ПРЕНЕБРЕЖИМО МАЛОЙ ВЕРОЯТНОСТЬЮ
ЛОЖНОЙ ТРЕВОГИ
В режиме случайного поиска лучи объектов А и В направлены в слу-
случайно выбранных направлениях в пределах угловой неопределенности положения
объектов в течение фиксированных коротких интервалов времени; обе станции
излучают и принимают сигналы одновременно. Пределы выбора направлений
луча каждого объекта определяются имеющейся априорной информацией о те-
телесном угле обзора.
Процедура сканирования при случайном поиске продолжается до тех пор,
пока обе диаграммы не будут направлены друг на друга и либо обе станции
обнаружат передачу каждой, либо одна из станций (например, А) обнаружит
передачу другой (например, В) (но В не обнаруживает А, хотя направлена
на А) и наоборот. Когда последнее событие (обнаружение одной станцией)
имеет место, станция А прекращает случайное сканирование и осуществляет
передачу и прием в направлении, из которого принимался сигнал В. Вторая
станция В продолжает сканирование до тех пор, пока она в конце концов не
обнаружит передачу из А и не зафиксируется в направлении А. Когда обе
станции обнаружат и примут сигналы, соответственно из А я В фаза вхожде-
вхождения в связь (или .«захват») прекращается.
167
В данном случае не учитывается возможность обнаружения ложных сигна-
сигналов приемниками А т В, т. е. ие учитывается вероятность ложной тревоги (ко-
(которая считается равной нулю).
Процесс поиска является стохастическим процессом и может моделировать-
моделироваться стохастическим или вероятностным деревом, Как нетрудно видеть, данный
стохастический процесс является конечной марковской цепью, поскольку вероят-
вероятность наступления данного состояния зависит только от предыдущего состоя-
.ния (см. приложение 4). Переход между состояниями осуществляется (шаг
процесса завершается), когда станция
зафиксируе1 положение луча и будет
принято решение о наличии или отсут-
отсутствии сигнала. Поскольку процесс поис-
поиска заканчивается переходом в конечное
состояние — установление обоюдной свя-
связи, рассматриваемая марковская цепь
является марковской цепью с погло-
поглощением.
Для того чтобы изобразить диа-
диаграмму переходов, необходимо четко оп-
определить состояния конечной марков-
марковской цепи с поглощением, описывающей
наш вероятностный процесс в течение
фазы вхождения в связь (фазы «зах-
«захвата»).
1. Непоглощающее состоя-
состояние ах — диаграммы объектов А и В
направлены в случайных направлениях
в пределах угловой неопределенности
положения объектов или А а В направлены в требуемых направлениях, но сиг-
сигналы приемниками не обнаружены. Обе станции продолжают сканирование.
2. Непоглощающее состояние а2 — диаграмма объекта А направ-
направлена в требуемом направлении, диаграмма объекта В направлена в требуемом
направлении в течение короткого интервала времени в процессе сканирования,
сигнал обнаружен только в А, т. е. диаграмма В направлена в требуемом на-
направлении в течение короткого времени, но информации об этом факте в В
не имеется (сигнал в В не обнаружен), станция А фиксирует в пространстве
положение диаграммы направленности, а станция В продолжает сканирование.
3. Непоглощающее состояние а3 — аналогично состоянию а2, но
А я В поменялись ролями, т. е. очередность процесса поиска — обратная; стан-
станция В фиксирует положение диаграммы направленности, а станции А продол-
продолжает сканирование.
4. Поглощающее состояние аи — диаграммы объектов А и Б на-
направлены в требуемом направлении и оба приемника обнаруживают сигналы.
Связь между А и В установлена. Станции А ,ц В фиксируют положения диа-
диаграмм .направленности в пространстве.
Диаграмма переходов показана на .рис. 4.2, где at обозначают вышеуказан-
вышеуказанные состояния, а рц — вероятности перехода от состояния i к состоянию /.
Вероятность рн равна единице, поскольку а4—поглощающее состояние.
Для .нахождения интересующих нас статистических характеристик процесса
поиска образуем стохастическую матрицу вероятностей перехода:
Рис. 4.2. Диаграмма состояний и пе-
переходов
Р =
«з
Pu
0
0
0
Pl2
P22
0
0
Pis
0
Рзз
0
Pu
P24
Ры
1
168
Каноническая форма матрицы Р, общее выражение которой определяется
в приложении 4, записывается в виде
1
Pu
Р24
Р34
0
Pit
0
0
0
Р12
Ргг
0
0
Pl3
0
Рзз
}т
п— т.
D.1)
т п — т
Среднее число прохождений процесса через непоглощающее состояние а$
в предположении, что исходным является непоглощающее состояние а,-, дается
выражением (приложение 4):
T={I-Q)-\
где Q—(n—т)(п—т)—матрица из D.1), а / — единичная матрица.
Найдем матрицу /—Q;
П — ри — р12 — р13 \
О l-p22 0 1.D.2)
. О 0 1 / \0 0 р33 ) \ 0 0 1-Рзз/
Обратная матрица G—Q)-1 — находится по обычным правилам:
г1 а2 а3
1 Tha D,o
T=(/-Q)-'=
,-1 -=
— Рп A—Рп)A—Ргг) О— Рп)A— Рхз)
1
О
1
О
D.3)
О
Таким образом, если процесс начинается в непоглощающем состоянии ai, то
он пройдет непоглощающее состояние аг в среднем Af,(n2)= ¦ —
раз и т. д. A — Pu) A — Ргг)
Дисперсии числа прохождений определяется выражением (прилож. 4)
1
Р12
Р13
О
2
A-Рч)A-Ргг) A-Ри)A-Рзз)
1
—Ри
О
О
•—1
1—Ргг
О
О
2
1 —Ргг
О
О
-Рзз
1 —Рзз
•— 1
169
0-P22J
0
0
1
A-РззJ
Используя правила матричных операций, .получим окончательно:
а3
ри
—Pn)—Р
—Pti)~Р?3
-PuJ О-ft.)*
A-РззJ
D.4)
Таким образом, если процесс начинается в непоглощающем состоянии аи
то дисперсия числа прохождений процесса через непоглощающее состояние а2
PutPti 4- 0A— Pit) — Р?2
Di Из] = ГТТЗ ^ •
Учитывая условие 1D.5) (см. ниже), получим
Pi2 B — Р24) (Р12 4- Pis 4- Pt4) — Р?2
[я.] =
(Pl
"Pi*
Определим теперь среднее число шагов t, которое затрачивается при пере-
переходе процесса из непоглощающего состояния в поглощающее. Воспользуемся
для этого выражением из приложения 4:
= Tc= (l—Q)~x c =
Pl3
1—Ра
0
0
1
1 —Pit
•Pu).(l-At) A-РиJA-РззJ
1
(I-P22)
0
P12
0
1
1—Рзз
A-PU)A-P22)
1
-T-
1 —P22
1
1 — Рзя
170
Учитывая, что
получим
РЗЗ 4> Р34 = ! > Р22 4^ р24 = ' >
Pit 4> Pt2 4" Pl3 4- Pt4 = 1 .
Р24Р34 "Ф* РиРз* 4~ PisPit
(pt2 4- P13 4- P14) P21P34 \
1 \
P24 I
1 /
D.5)
D.6)
P34
Первый элемент вектор-столбца t является средним числом шагов, которое
процесс проходит в поглощающее состояние а4, при предположении, что
он начинается из состояния а4; второй элемент — среднее число шагов
при начале процесса в состоянии а2 и третий элемент — при начале процесса
в состоянии а3.
Так как процесс с вероятностью, очень близкой к единице, начинается
в состоянии аи то интересующее нас ожидаемое число шагов до достижения
поглощающего состояния щ будет
Р24Р34 + Р12Р34 4- Р13Р24
(Pl2 ¦$¦ Pl3 4" Pl4> P24P34
D.7)
Обозначим через т — длительность шага процесса поиска иди временного ин-
интервала нахождения луча в одном положении (при сканароваиии). Полагаем
также, что т определяет постоянную времени приемника — интервал наблюде-
наблюдения, равный отрезку времени, требующемуся для принятия решения приемником
о наличии или отсутствии полезного сигнала. Тогда среднее (Время, затрачи-
затрачиваемое на вхождение в связь всей системы, будет равно Ат.
Дисперсия числа шагов, затрачиваемых на .переход процесса из непогло-
непоглощающего состояния в поглощающее, находятся из выражения вектор-столбца
(п. 4.8)
2р1
1 —Pit
0
0
1-Р22
о
X
Р24Р34 4^ Pt2P34 4- Pl3P24
<(Pl2 4" Pl3 4" P14) Р24Р34
1
P24
1
P34
Рзз
ГР24Р34 4^ Pt2P34 4" Pt3P24l2
L (Pl2 4- Pl3 "*¦ Pu)
1
171
Используя правила матричяых операций и условие D.5), получим
Piu B — Рп — Ргз — Ри) (РыРы •? PxiPii + PisPid •+•
(Pl2 4- Pl3 4" PuJ P24 Р34
(Pl2 •+¦ Pl3 + P\i) BPl2 P34
4.
—P34
При выводе выражения D.7) предполагалось, что информация, .получен-
.полученная в какой-то момент, в дальнейшем не теряется, т. е. Р21=Рз1=рз2=Р4з=Р41=О.
Это означает, что из состояний а2 а а3 -процесс не может перейти в Щ. Это
также означает, что все вероятности матрицы переходов не зависят от времени.
Выразим вероятности матрицы переходов через статистические параметры
системы:
Ра — вероятность того, что луч объекта Л направлен в требуемом направле-
направлении (.на В);
Рв —вероятность того, что луч объекта В направлен в требуемом направлении
(на Л);
ра — вероятность обнаружения сигнала .в шумах приемником Л; эта вероят-
вероятность выводится с учетам соотношения уровней полезного сигнала и шума
.и по допущению .равна нулю, если лучи обоих объектов ие направлены
в требуемых направлениях;
рь — вероятность обнаружения сигнала в шумах ¦приемником В; эта вероят-
вероятность выводится из тех условий, что и ра.
Выражая вероятности перехода через вышеприведенные статистические па-
параметры системы, .получим:
Р\2=РлрвраA—рь) — вероятность обнаружения полезного сигнала в А и необ-
наружения {пропуска) сипнала в В; .
р13=рАрврьA—Ра)—вероятность обнаружения сигнала в В и необнаружения
(пропуска) сигнала в А;
Р2А=Рърв — вероятность того, что В обнаружит сигнал в предполо-
жемии, что А уже принял сигнал;
РгА=РаРл — вероятность того, что А обнаружит сигнал в предполо-
предположении, что В уже .принял сигнал;
ри=рлрвРарь—.вероятность того, что полезные сигналы обнаружены в
А и В;
Рп = ! —
=' —P24;
—Р34.
Так как мгновенные направления антенн Л и В до обнаружения независимы,
можно- подставить в выражение D.7) полученные вероятности перехода. Получим
РЬРВ РаРА + Ра Рв М1 ~ Рв )раРА + РА Рв pb(l~ Ра)
[РА РвРаО— РЬ) + РА РвРьО — Ра)±РА РВ PaPb] РьРв РаР
• + Ра РаО'РЬ— U + Рв PbOtPa— ')
рВ (Ра ~ РаРЬ ~ Ръ)
D.8)
172
г
Приближенное выражение для рА и рв запишем в виде:
D.9)
где 9А
и Gfl — телесные углы лучей станций Л и В соответственно;
ны глы б й Л В (
Фд
— телесные углы обзора станций Л и В соответственно (справедливо для кониче-
конических телесных углов). Для случая полной симметрии станций Л и В, т. е. когда
Ра = ръ и рл — рв, выражение D.8) имеет вид
Учитывая выражение D.9) и полагая GA = Gs =
— Bp,,-j
\ ф ; v
= фв=ф, получим
D.1!)
Для анализа асимптотического поведения величины t\ выражение .D 11) запишем
в виде
'.=
Ф
ра
При ра-»-1
/ е \4
при I-
№
в /
-1 и малом ра можно записать
1+2A —
3_
2ра'
т. е. t,-> —.
Для анализа функции h необходимо найти аналитические выражения для .ве-
.вероятностей обнаружения, ложной тревоги и т. д. Эти вопросы рассматриваются
НИЖЕ.
4.4. ВЕРОЯТНОСТИ ОБНАРУЖЕНИЯ И ЛОЖНОЙ
ТРЕВОГИ. СРЕДНЕЕ ЧИСЛО ШАГОВ ПРОЦЕССА
ВХОЖДЕНИЯ В СВЯЗЬ. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ
СРЕДНЕГО ВРЕМЕНИ ВХОЖДЕНИЯ В СВЯЗЬ
В непрерывном режиме работы ОКГ в отсутствии модуляции известен
лишь один параметр приходящего сигнала—средняя скорость прибытия фотонов
или ожидаемое число фотонов в фиксированном временном интервале. Действи-
Действительное число фотонов, содержащееся в каждом из таких интервалов, отклоииет-
ся в довольно широких пределах от ожидаемого значения, однако вероятность
173
любого отклонения можно определить статистически. При дальнейшем анализе
будем предполагать, что распределение как сигнальных, так и шумовых фотонов
подчиняется закону Пуассона.
Для системы с ОКГ фотоны могут быть ^обнаружены при фотоэлектрическом
преобразовании /на фотокатоде фотоумножительной трубки. Процесс преобра-
преобразования таков, что статистика электронной эмиссии сохраняется пуассоновской
(хотя скорость электронной эмиссии меньше скорости прибытия фотонов).
Рассмотрим фотоприемник, который обладает постоянной времени т. и имеет
порог обнаружения. Порог обнаружения выбран так, что эмиссия По или более
электронов с шоверхности фотокатода в течение временного интервала т. реги-
регистрируется как полезный сигнал. Если среднее число электронов, эмитируемое
фотокатодом вследствие облучения полезным сигналом, равно So, то вероятность
обнаружения
""* * € С . D.12)
В ф-ле D.12) мы не учли внешних шумов, т. е. .вероятность ЯОбн опреде-
определяется собственным шумом сигнала '(квантовым шумом). С точки зрения рас-
рассматриваемых методик это обстоятельство не является принципиальным, так как
в силу аддитивности пуассоновских распределений всегда можно прибавить к
параметру распределения интенсивность внешних шумов.
Вероятность пропуска сигнала
Япс=1-Яоб„. D.13)
Запишем вероятность ложного приема сигналов, обусловленных шумами фона
и внутренними шумами приемника. Обозначим ореднюю_ скорость эмиссии элек-
электронов с фотокатода, обусловленных шумами, через пш. Тогда вероятность
ложной тревоги или вероятность превышения порога па в течение любого ин-
интервала т будет
(Яш т)" е~
п\
D.14)
п^п.
Используя выражение D.14) при определенном значении лшт, можно варь-
варьировать значения порога п0, добиваясь требуемого минимального значения ве-
вероятности ложной тревоги ЯЛт. Для полученных значений па и Ялт, используя
ф-лу D.12), можно добиться требуемой вероятности обнаружения Яобн вариа-
вариацией 7С (энергии .полезного сигнала). Выбор порога обнаружения л0 имеет очень
важное значение в вопросах приема и обнаружения полезного сигнала. Так,
например, при По=,1 и sc = 6,6, как следует из iD.i13), аначеии_е Рпс=10-3 и
величина ЯЛт яз D.14) равна 10~3 для пшт=0,01. Если величина sc удваивается,
то прежнее зиачение Япс сохраняется при увеличении порога обнаружения до
ло=4; при этом Ялт=10-3 уже при лшт=0,4. Таким образом, удвоение числа при-
принимаемых фотонов позволяет сохранить ту же степень достоверности приема
при увеличении излучения фона в 40 раз. _
Определим входящую в ф-лу D.12) величину sc, предполагая, что ширина
луча1 передатчика равна или менее поля зрения антенны приемной станции [23].
Пиковую мощность, излучаемую передатчиком в течение временного интервала
т, обозначим W. Тогда энергия полезного сигнала у приемника с учетом ослаб-
ослабления в атмосфере может быть записана в виде №те а т где Rt — дальность
между передающей и приемной системами; ца — полный коэффициент ослабле-
ослабления сигнала атмосферой; предполагается, что атмосфера внутри поля зрения
нриемника достаточно однородна и может быть аппроксимирована эквивалент-
эквивалентным столбам воздуха, который обладает коэффициентом ослабления ца с, постоян-
постоянным коэффициентом рассеяния ц8 [23]. Коэффициент передачи оптической си-
174
стемы приемника обозначим через То, тогда энергия на входе чувствительного
элемента приемника запишется в виде Wie v'a т То. Среднее число фотонов,
достигающих поверхности фотокатода,
-'_ W т То е~м» *т
ь
где h—постоянная Планка; v — частота принимаемых колебаний.
Среднее число фотоэлектронов запишется в виде
- WT0 т е~Ма *т »]
sc=—
Av
Используя соотношение v=c/X, получим
- W_ Я,т е~Ма Rj Гоц
Sr. —
h
D.15)
где ' т]—квантовая эффективность фоточувствительной поверхности; X— длина
волны принимаемых колебаний; с—скорость света.
Вероятность обнаружения сигнала
-u
he
he
D.16)
п\
=п.
Теперь определим среднюю скорость эмиссии электронов с фотокатода, обус-
обусловленных шумами пш {среднее число «шумовых» электронов в единицу вре-
времени).
Лрн использовании в оптическом приемнике фотоэлектронного умножителя
(ФЭУ) шумы обусловлены статистическими флуктуащиямн средней скорости
электронной эмиссии фотокатода. Существует два вида эмиссии: терыоионная,
определяемая рабочей температурой и работой выхода катода, и фотоэлектрон-
фотоэлектронная, индуцированная излучением, поступающим иа катод.
Мы будем рассматривать только фон. который определяется:
1) солнечным светом, рассеянным атмосферой между передатчиком и при-
приемником;
2) солнечным светом, отраженным от объекта, на котором установлен пе-
передатчик;
3) термоионной эмиссией или темновым током ФЗУ .(не рассматривается
дробовой шум, обусловленный движением электронов между дииодами ФЭУ
и т. п.). Предполагается, что оптическая система .приемника не направлена в
поле вблизи Солнца. Как и ранее, допускается, что атмосфера на шути прохож-
прохождения сигаала достаточно однородна и может быть аппроксимирована эквива-
эквивалентным столбом воздуха с коэффициентом ослабления ца и коэффициентом
рассеяния ц8.
Рассмотрим фон, создаваемый солнечным светом, рассеянным атмосферой
между приемником и передатчиком [23]. Элемент объема столба атмосферы тол-
толщиной dR на удалении R от приемника при ширине диаграммы направленности
n(PR*dR
антенны приемника G равен .
4
Если полоса пропускания оптического фильтра на входе приемника ДА и
спектральная плотность мощности излучения Солнца составляет Qx . то вели-
величина средней скорости рассеяния 'фотонов на стерадиан от дачного объема
е, ..
D.17)
16Ле
сек
.—i
где Л — средняя длина волны, см, спектрального интервала АХ.
175
г
В оптическую систему приемника поступает
А«р = -
¦ dR
64Лс
сек
D.18)
где введено отношение
пР2
— телесный угол, под которым виден входной
«зрачок» (входное отверстие) оптической системы приемника с расстояния R-
-——площадь входного отверстия оптической системы (D — апертура опти-
оптической системы приемника). В ф-ле D.18) учтено также затухание в атмосфере
(е ~^* ).Вводя коэффициент передачи оптики приемника То, квантовую эф-
эффективность фотоповерхности г\ и интегрируя Апр от нуля до Rt (дальность
между объектами), получим значение средней скорости эмиссии электронов с
фотокатода, обусловленных атмосферным рассеянием:
- Q%
р
?>2 [ 1 -
сек
D 19)
Рассмотрим фон, обусловленный солнечным светом, отраженным от объ-
объекта, для случая, когда объект облучается полной спектральной плотностью
мощности излучения Солнца Qx. Площадь объекта внутри поля зрения прием-
приемника равна nQ2R* /4. Значение средней скорости фотонов на стерадиан, рассеян-
рассеянных от этой площади,
ХМ г в2/??
4Ле
сек
D.20)
где г — эффективная отражающая способность объекта.
Количество отраженных фотонов в секунду, попадающих в оптику при-
приемника, ч
1бйе
, сек
—i
D.21)
Вводя коэффициент передачи оптики приемника и квантовую эффективность
фоточувствительной поверхности, получим среднюю скорость эмиссии электро-
электронов с фотокатода, обусловленных солнечным светом, отраженным от объекта:
ло =
16Лс
сек
.—1
D.22)
сек
D.23)
Наконец, средняя скорость эмиссии электронов, вызывающих темновой ток,
— »т
Лт= —
84
где ii — темновой ток анода; g—полный коэффициент усиления ФЭУ; q — за-
заряд электрона в кулонах.
Суммарная средняя скорость эмиссии электронов, обусловленная тремя рас-
рассмотренными источниками шума,
нли
176
Лш = Лр -f По -f Пт
"ш
Ш
L 4ца
qg
D.24)
¦Возвратимся к ф-ле D.15) и определим среднее число электронов sc в функ-
функции дальности для различных значений мощности ОКХ. Выберем ОКГ на смеси
газов гелия я неона. Выбираем приемник с фоточувствительной поверхностью
S-20. Числовые значения 'постоянных величин, входящих в ф-лу D.15), сле-
следующие [23]:
Х = 6,32-10~5 см; Ti = 3,5-10~2; Го = 5-10~!;
^a = 2-10~6 см~х\ Л = 6,62-Ю-34 em-сек*;
с = 3-1010 см/сек; т= 1,67-10 8 сек.
'Временной интервал т в данном случае — интервал наблюдения, равный
отрезку времени, требующемуся для принятия решения приемникам о наличии
'или отсутствии сигнала; о.н выбирается при условии, что фотоприемник имеет
на выходе счетчик, работающий «а частоте порядка 60 Мгц.
Таблица 4.1
75
80
85
90
95
100
105
110
115
120
125
130
135
140
145
150
155
160
170
sc
W =
0,1 em
31,
9
4
1,
0,
0,
0,
5
4
5
2
07
w
sc
= I
14,
5,
2
0,
0,
0,
em
0
4
7
3
1
sc
W = 10 em
20
7,4
2,8
1
0,36
0,14
sc
W — 10' em
74
28
10
3,6
1,4
0,5
0,18
w
sc
= 10'
36
14
5
1,8
o,c
0,2
em
sc
W = 10* em
50
18
6
2
1
0,37
0,13
sc
W = 10' em
60
20
10
3,7
•,3
0,18
w
= 10« em
100
37
13
1,8
П р н м е ча н н e.7—9-й столбцы соответствуют очень большим мощностям (lO4-j-Pf *"t). Такие
мощности еще не получены для непрерывного режима ОКГ, за исключением лазера иа двуокиси уг -
лерода. Эгн значения соответствуют нмпульгиоиу рэжиму О.<Г (в часгиогги, ОХГ на рубине).
Конечно, в случае нахождения среднего времени вхождения в свтзь и^бтоцилыл условием яв-
является требование выбора длнтельиэзти нипульза О.<Г бэчьоп/! вэзлгяч вочсдгияя в санзь; в
противном случае необходимо учесть скважнэггь рэЗэгы ОХГ н сн:к,>энл)нрэзать шаг процесса
поиска н частэгу посылки импульсов .
В табл. 4.1 приведены расчетные значения, графики приведены на pirc. 4.3.
177
Как видно из графиков (рис. 4.3), для значений мощностей W=O)l; 1; 10 вт
диапазон дальностей расположен в пределах 75-4-,1ОО км, 85-нШО км и 954-120 км
соответственно. Для данных мощностей именно эти диапазоны являются пре-
предельными, где справедлив закон Луассона .(закон редких событий) и имеет смысл
рассматривать статистическую характеристику — вероятность обнаружения (при
10
IS 80
ISO ПО Rt[hh]
Рис. 4.3. Зависимость среднего числа «сигнальных» фотоэлектронов от
дальности при различных мощностях ОКГ
данной длительности наблюдения). Для дальностей, меньших указанных, плот-
плотность фотонного потока очень велика ^достаточно сказать, что при W= 10 вт и
RT=90 км величина sc>il00, а при R?=2& km, sc = 6,7-107) н вероятность обна-
обнаружения очень близка к единице; на дальностях, больших указанных, плотность
фотонного потока очень мала, следовательно, и вероятность обнаружения исче-
зающе мала.
Таким образом, статистический анализ процесса вхождения в связь при оди-
одиночном отсчете реален лишь в указанных предельных областях.
Построим зависимость средней скорости эмиссии электронов, обусловленных
шумами яш в функция дальности Ят- Дополнительно приведем численные зна-
значения некоторых постоянных, входящих в выражение iDj24) [23]:
Q^=5-10~6 вт-см~2 A~l; ДХ=15Л; 9=10~3 рад;
D= 10,8 см; r=10~'; ц8= 10~6 см-1;
?,.= 2-10—9 a; q= 1,6-10~19 асек; g=W.
Вычисленные значения сведены в табл. 4.2, а график показан на рис. 4.4.
Та блица 4.2
а
1
3
10
25
100
200
Q^ X Д X я То г)
а 16 he >ч
8,7-10»
5,8-10»
1,43-10»
7,4-10*
2,12-10~2
4,24-10~п
Q^ Д XX я То
^ 64 h сца Х
X т) в2 D' ц$ X
сек '
2,4-10»
5,9-10»
1,24-10'
1,287-10'
1,3-10'
1,3-10'
У' =
1
1
1
1
1
1
А
4 8'
,25-
,25-
,25-
,25-
,25-
,25-
сек '
108
103
10s
10s
103
103
сек~
1,11-
1,17-
1,28-
1,29-
1,3-
1,3-
-fi'+Г.
10'
10'
107
10'
10'
10'
178
Как видим из графика >(рис. 4.4), оредняя скорость шумовых электронов, на-
начиная с дальности 20-4-05 км, остается постоянной и равной =l,3-ilQ7 \/сек._По-
этому для рабочих диапазонов дальности [G6-ЫЭО км) принимаем пш =
= 1,3-107 сек-». (При
т«= 1,6710—8 сек, пшт=0,2.
Используя ф-лу (D.14), вычислим значения вероятностей ложной тревоги при
различных значениях порога обнаружения По. Результаты сведены в табл. 4-3.
Таблица 4.3
(лшт =
Рлт
0,2)
0,
0
181269
0
1
,017523
0,
2
001148
0,
3
000057
0
4
,000002
5
—0
Для последующих расчетов принимаем по=2.
В этом случае вероятность ложной тревоги, т. е. ве-
вероятность срабатывания приемника от шумового сиг-
сигнала равна Рлт~Ю~3.
Задавшись порогом (по = 2), используя графики
(рис. 4.3) и ф-лу D.12), вычислим значения вероятно-
вероятности обнаружения Роба в функции дальности ?т для
различных мощностей сигнала. Результаты вычислений
сведены в табл. 4.4, а графики построены на рнс. 4.5.
Как видно из рис. 4.5, вероятность обнаружения резко
падает в пределах рассматриваемых интервалов даль-
дальности, причем диапазон полного изменения Роан нахо-
находится в пределах 20-4-25 км. Как и ожидалось, для уве-
увеличения дальности рабочего диапазона с сохранением
фиксированной вероятности обнаружения необходимо
увеличивать мощность сигнала.
П
ш
/сен]
1,1-Vi1
1-Ю1
0 70 W Rt[xmJ
Рис. 4.4. Зависи-
мость средней ско-
ipocTH поступления
«шумовых» фото-
фотоэлектронов от
дальности
Таблица 4.4
гобн
0,99999
0,99992
0,995
0,955
0,577
0,081
0,014
0,001
77,5
78,5
80
82,5
86,5
93
95
100 1
90
91
92,5
94,5
99
105
107
ПО
101,5
102,5
104
106,5
109,5
114
117,5
120
113
114
116
118
121
126
132
134
124,5
126
127,5
129,5
132,5
139
140
145
136
137
138
140
143
150
152
157
147
148,5
151
153
155
159
161
165
Примечание. Прн Р = Ю; я,=2; т = 1,67-10—8 сек
159,6
160,5
162,5
165
168
175
180
182
179
Наконец, задавшись значениями 9 и Ф и используя графики (рнс. 4.5)
Pous=f(R?), вычислим по ф-ле D.ilil) среднее число шагов (интервалов), тре-
требуемое для вхождения в овязь объектам Л и В, т. е. величину ti, я функции RT
Г
Iff
W
W 85
WO
115 13п ft5
WO
Рис. 4.5. Зависимость вероятности обнаружения
от дальности при различных мощностях ОКГ
Таблица 4.5
t.
5-10»
6,6-10*
1,2-10*
1,004-10*
RT, км
W = 0,1 вт
100
93
86,5
82,5
RT. км
W = 1 вт
ПО
105
99
94,5
Лт, км
W = 10 вт
120
114
109,5
106,9
(Ф V*
) = 10* прн в=
10-3 радш ф = ю-2 рад (РА = °.01)
Таблица 4.6
1,2-10*
158
24,2
17,08
16,9
RT. км
W = 0,1 вт
100
93
86,5
82,5
80
Ят, км
W = 1 вт
ПО
105
99
94,5
92,5
Ят, км
W = 10 вт
120
114
109,5
106,5
104
Примечание. В аснмптотнческоы случае
XltP-3 pad ( pA =0,25)
180
| 'г-»2« =16, в = 10—3 рад, Ф =
2х
Таблица 4.7
и
2997
18,4
2,3
1,103
1,02
Лт, км
W =0,1 вт
100
93
86,5
82,5
80
W = 1
ПО
105
99
94
92
км
вт
,5
,5
RT, км
V = 10 вт
120
114
109,5
106,5
104
Примечание. В асимптотическом случае
обн-1) '•-1- в = Ф = 10-3 рай (р„=1)
(входящую в ф-лу D.11) величину ра заменяем
на Робв)- Результаты сведены в табл. 4.5; 4.6;
1.7, а графики приведены на рис. 4.6.
Как видно из рнс. 4.6, увеличение мощности
передатчика W при той же дальности Rt приво-
приводит к резкому уменьшению среднего числа шагов
(интервалов наблюдения) ti\ например, при уве-
0
личенни мощности с 100 мет до 1 вт при ~ = 10
и при дальности 100 км величина t\ уменьшает-
уменьшается примерно в 330 раз.
Увеличение дальности в пределах рабочего
диапазона при фиксированной мощности ОКГ
приводит к резкому возрастанию ti. Например,
увеличение дальности с 80 до 100 км при
е
№=0,1 вт и 'Х"=10~1 приводит к увеличению ti
примерно в 500 раз.
Расширение луча ОКГ вплоть до полного пе-
перекрытия "зоны сканирования (9=Ф) уменьша-
уменьшает ti. Если в этом случае уменьшать дальность,
что приводит к увеличению вероятности обнару-
обнаружения, то t\-+Q.
Для вычисления среднего интервала времени
вхождения в связь между двумя объектами А и
В необходимо найденную по графику (рис. 4.6)
величину t\ умножить на длительность шага про-
процесса или на интервал наблюдения, предназначен-
предназначенный для принятия приемником решения о наличии
или отсутствии сигиала. Например, при №=0,1 вт;
— =10-1 I—= Ю-2 ; #T = 100(«i и т=2х
Х10-" сек имеем /i = 5- 10е. Тогда tn=
= 5-10«-2-10-в=0,1 сек.
TS
100
Рис. 4.6. Среднее число ша-
шагов процесса (интервалов
наблюдения) в зависимости
от дальности при различных
мощностях ОКГ, различных
соотношений сечений диаг-
диаграмм направленности к се-
сечению зоны неопределенно-
неопределенности (/J — случайный поиск,
t\ — регулярный поиск)
181
4.5. СРЕДНЕЕ ВРЕМЯ ВХОЖДЕНИЯ В СВЯЗЬ
ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ В ПРИЕМНИКАХ
МОЗАИЧНОЙ СИСТЕМЫ
Мозаичная система приемника представляет собой группу чувствитель-
чувствительных элементов, количество которых может доходить до ilOO—200. Интересно опре-
определить ожидаемое время вхождения в связь для случая, когда оба объекта А
и В излучают колебания в одном луче, а прием осуществляют ;на мозаичные
приемники (этот способ в настоящее время является наиболее реальным).
Количество чувствительных элементов и их диаграммы направленности выби-
выбираются из расчета полного заполнения объема угловой неопределенности, т. е.
сканирование лучей передатчиков осуществляется в пределах пОля зрения мо-
мозаичных приемников. Тогда .вероятности перехода запишутся в виде:
Pi2 = РЬхРАу Ра A — РА)
Рв
-Ра);
Р34= РАуРа,
где вторые индексы хну соответствуют передатчику и приемнику, соответ-
соответственно.
Учитывая, что рл =рв , =1, получим:
Pl2 = РвРа (! — РАх) •? Рвх РоРах A ~ Pb) >
Pis = рАх рь A - Рвх) + Рах рьРвх A — Ра);
Pl4 = Pyj Ps PaPft'
Р24 = Pb',
Рз4 = Ра-
Принимая, как и ранее, условие идентичности приемопередатчиков объектов А
и В, т. е. Рах=Рвх=Ра и ра=Рь, имеем:
Pi2= РАРа(}—РАРа);
Pl3 = РА Ра A — РА Ра)\
Pl4 == Рл Р '
Рг* = Pal
Подставляя значения вероятностей перехода в ф-лу |D.7), получим выраже-
выражение для среднего числа шагов процесса, затрачиваемых на вхождение в связь
при наличии на объектах Л и В мозаичных приемников:
Р24Р34 -г- Р12Р34 4- Р13Р24 1 4- 2р^ A — р^ ра)
t, = = — —— . D.25)
(Р12 4" Р13 4" Pw)P24P34 РА Ра B — РА Ра)
Асимптотическое поведение функции t\ рассмотрим в двух случаях:
1 Ф2
Ра->-1 и Ра — мало, тогда
2рА
3
292 '
Ра->-1 и ра—мало, тогда tl —— .
Сравнивая эти два случая асимптотического поведения с двумя случаями
асимптотического поведения величины ti |(ф-ла 4.1,1), видим, что в первом случае
182
(Ра — мало) преимуществом обладает система, включающая мозаичные прием-
приемники. Этот выигрыш определяется как
*! 2 (Ф/6)« Ф2
о
(Ф/6J
е2
Во втором случае обе системы идентичны.
4.6. УЧЕТ ВЕРОЯТНОСТИ ЛОЖНОЙ ТРЕВОГИ
ПРИ СЛУЧАЙНОМ ПОИСКЕ
В ряде случаев приема колебаний ОКГ нельзя увеличивать порог обна-
обнаружения По с тем, чтобы при данной средней интенсивности потока шумовых фо-
фотонов иметь требуемую минимальную величину вероятности ложной тревоги.
Это объясняется тем, что с увеличением порога п0 уменьшается вероятность
обнаружения полезного сигнала; для того, чтобы скомпенсировать ее уменьше-
уменьшение 'при одном и том же пороге, очевидно, необходимо увеличить мощность
передатчика, а это не всегда возможно (особенно в предельных случаях).
Поэтому при пороге обнаружения, определяемом приемлемой вероятностью об-
обнаружения полезного сигнала ,(а следовательно, и мощностью полезного сигна-
сигнала), вероятность ложной тревоги может быть большой. ,В этих случаях при
случайном поиске необходимо учитывать вероятность ложной тревоги.
Учет вероятности ложной тревога усложняет анализ процесса поиска, по-
поскольку, как это будет видно ниже, число состояний марковской цепи увели-
увеличивается.
(Как и ранее, антенны на объектах А а В направлены в случайно выбран-
выбранных направлениях в течение коротких интервалов времени в пределах неопре-
неопределенности углового положения объекта. Если объект А обнаруживает сигнал
(здесь термин «обнаруживает сигнал» соответствует событию превышения сиг-
сигналом некоторого порога, причем сигналом может быть как шум, так и полез-
полезный сигнал; в случае превышения порога шумом решение об «обнаружении»
принимается вследствие ложной тревоги), поиск прекращается и антенная си-
система объекта фиксируется в направлении принимаемого сигнала в течение вре-
времени х сек—времени, требуемого для п наблюдений (отсчетов) или тактов
решений. Следовательно, решение осуществляется в конце каждого из п наблю-
наблюдений (отсчетов). Если по истечении х сек станция объекта В не обнаруживает
сигнал от А (и, следовательно, информация об этом отсутствует на Л), станция
объекта А продолжает процесс случайного поиска (луч А перемещается в дру-
другое направление).
Аналогична последовательность операций в случае, когда В осуществляет
начальное обнаружение. Если станции Л и В обе обнаруживают сигналы ^ин-
^информация об этом, естественно, принимается на Л и на В) одновременно или
в пределах х сек \(п наблюдений), то связь считается установленной.
Учет "вероятности ложной тревоги осложняется тем, что когда станция А
обнаруживает сигнал, отсутствует уверенность, что обнаружение определяется
ложной тревогой нли вследствие ориентировки антенн Л и В в нужных на-
направлениях и обнаружения полезного сигнала от В в Л (но необнаружения
сигнала от Л в В). Это же положение справедливо и яри обнаружении стан-
станцией В. Если антенна В направлена в нужном направлении в течение ?-го на-
наблюдения ¦(когда отсутствует обнаружение полезного сигнала в В), совсем не
обязательно, что она будет направлена в том же самом направлении в течение
А+1-го наблюдения, поскольку выбор целенаправления станцией В случаен.
Как и в разд. 4.3, запишем состояния конечной марковской цепи с погло-
поглощением, описывающей вероятностный процесс в течение фазы вхождения в связь
(с учетом ложной информации, определяемой шумами):
1. Непоглощающее состояние at — диаграммы объектов Л и В не направ-
направлены в требуемых направлениях или Л и В направлены в нужных направлениях,
но сигналы не обнаружены ни в А, ни в В.
183
2. Непоглощающее состояние а2 — диаграмма А направлена в требуемом
направлении, диаграмма В направлена в требуемом направлении ,в течение
короткого интервала времени в процес-
процессе сканирования; сигнал обнаружен
только в А.
3. Непоглощающие состояния Яга,
агь, ..., cizn — диаграмма А направлена
в том же направлении, что и в состоя-
состоянии 2. Состояние 3 характеризуется ря-
рядом промежуточных состояний, общее
число которых равно п. В конце каж-
каждого из п промежуточных состояний
принимается решение. Если в конце п
наблюдений на А станция В не обна-
обнаружит передачу из А (и, естественно,
информация о приеме в В колебании
из А отсутствует в А), то процесс ска-
сканирования объектом А возобновляется
и состояние аг„ снова переходит в в].
4. Непоглощающее состояние Яз —¦
соотносится с В таким же образом, как
состояние Яг — с А.
5. Непоглощающие состояния аза,
азь, .., озп — соотносятся с В таким
же образом, как я2о, я2ь а2п — с А.
входов' ?:7:y:ZoTZSa с\? 6 Непоглощающее состояние а2 -
том ложного обнаружения
станция А осущесБвила ложное обнаружение из-за шумов (ложная тревога).
7. Непоглощающие состояния а2а, а2в а2п — диаграмма А теперь
направлена в ложном направлении, как это определено состоянием я2. Состоя-
Состояние 7 имеет п промежуточных состояний, в течение которых А маркируется
по времени перед принятием решения. Решение в этом случае обусловлено лож-
ложной тревогой.
8. Непоглощающее состояние я3 — станция В получает ложную информа-
информацию из-за шумов.
9. Непоглощающие состояния а^а, а3в>
я3п —соотносятся с В таким *¦
же образом, как а2а, а2в и2п — с А.
10. Поглощающее состояние а4 — антенны А я В направлены в требуемых
направлениях, и оба приемника обнаруживают полезные сигналы.
Диаграмма переходов для случайного поиска с учетом возможности ложной
тревоги приведена на рис. 4.7.
В матрице стр. 185 р12 и р]3 — вероятности перехода, обуслов-
обусловленные ложной тревогой. Вероятность перехода от я2о->-Я2ь или агь^г-а2с, ...,
Q2n->-ai есть <724=il—р^. Аналогично q3k вероятность перехода от я3а->-Язь или
Яз»->-Язс,.. ¦ или Озп->-Я1. Незаполненные клетки соответствуют нулям.
Нахождение общего выражения для обратной матрицы (/—Q)~' представ-
представляет большие трудности при больших п. К этому еще необходимо добавить,
что, так как число промежуточных состояний неизвестно априори, ранг обратной
матрицы также неизвестен. Однако обратная матрица может быть определена
относительно легко, когда п известно и мало.
Методами, рассмотренными ранее, можно определить среднее значение числа
шагов при переходе процесса поиска из любого непоглощающего состояния в
поглощающее состояние Я4 (при малом п).
Не проводя выкладок, запишем математическое ожидание числа шагов
процесса в переходном состоянии при условии, что процесс поиска начался из
164
Запишем
а.
°i
а»
°2а
а2Ь
а2п
а2
а2а
а2Ь
•
°2п
"г
"За
агь
¦
аЪп
аз
"За
агь
аЗп
а.
1
Pl4
Ры
Ры
Pit
Ры
Ры
Ры
Ры
Ры
Ры
Ры
Рп
Яы
1
Яы
1
в оощем виде матрицу
-.
Ри
аа1
4>4
1
Ь
Яы
Яг,
,'
а2п
Яы
°2
Р12
1
а
|
1
вероятностей
|
1
|
1
1°2п
|
1
Pi»
перехода
\°3а
Яы
1
f
1
ia3{
|
Яы
1
1
й-
|°3г
!
Яы
°3
Р13
1
|°3а
|
1
1 азь
1
1
1
|с3л
1
185
состояния щ (для я=2 и 3) [86]:
1 4- Pis A 4- 924 4- <7f4) 4- Pis A 4- <7з4 4- 9з<) ¦ 3pj2 4- Зр^
М(п=2)
Pi4 44 Pi2 (I — 924) 4- Pis A — <
t
1(п=3)
D.26)
1 4s P12 A 4- 924 4- 924 4- 924) 4* P13 A 4s 934 4- 934+934) 4- 4p 4 4p,'3
P14 4- P12 A — 924) 4s Pis (' — 934)
Методом аналогии можно получить общее выражение
D.27)
1 4- Pi* И? <& I 4-
(=0
- Pis
'341 *(« 4 !)Pi2 ¦ (n 4- 1)P,'3
+ Plt
-. D.28)
Поскольку 924 и <7з4 меньше единицы, для больших п можно получить аппрокси-
аппроксимирующую формулу
1 4-
4
Pl3
9з4
4 «Pi? 4 npl3
Pl2 (' — 9м) 4" Pi» A — 9^) 4" Pl4
D.29)
t,(n)
w
w6
•os
w*
<(l3
\пг
10
1
[ Рл-iw
Рц'Щ
Profit \
'~^^P'n=001 Г
[PA=0,25
d\P'n=W
^^^^-^^^
n=5 X
WO
1 50
^?jL,10 n=5
W'J 10' 10"' I
Ряс. 4.8. С'реднее число шагов процесса в функции веро-
вероятности обнаружения с учетом ложного обнаружения (при
различных значениях рл и р12)
При учете условий симметрии приемопередатчиков на объектах А н В,
т. е. pi2=pi3, 924=934 и р12 =Pi3 получим
' —924
4- 2пр
,г
D.30)
186
Если, как и ранее )(разд. 4.3), принять, что
Pi2= Ра Ра 0—Pa)i
Р«4= 1 — Яы = Ра Ра\
Р1*=РлР2а;
—вероятность ложной тревоги, то
РА РаР — Ра — 2 A - Ра) A - РА Ра)п ]
D.31)
На рис. 4;8 построены графики изменения /кП) в функции р„. Из них видно,
что с увеличением вероятности обнаружения ра среднее время /цП) уменьшает-
уменьшается; к уменьшению /цп) приводит также увеличение рл. Как и следовало ожи-
ожидать, увеличение п лри постоявных рл и ра приводит к увеличению /цп). Из
рис 4.8 следует также, ито при увеличении вероятности ложной тревоги р 12,
среднее время ^цп> увеличивается.
4.7. СРЕДНЕЕ ВРЕМЯ ВХОЖДЕНИЯ В СВЯЗЬ
ДЛЯ СИСТЕМЫ СО СВЕРХУЗКИМИ ДИАГРАММАМИ
НАПРАВЛЕННОСТИ АНТЕНН
ПРИЕМОПЕРЕДАТЧИКОВ ПРИ РЕГУЛЯРНОМ ПОИСКЕ
И ПРЕНЕБРЕЖИМО МАЛОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
ЛОЖНОЙ ТРЕВОГИ
Рассмотрим регулярный поиск, т. е. понок, (Осуществляемый по отгре~
деленной программе или по определенному закону. Анализ будет проводиться при
условии нулевой вероятности ложной тревоги.
В рассматриваемом случае луч объекта А ориентирован в определенном,
направлении, передача и прием осуществляются все время, пока антенное устрой-
устройство объекта В производит сканирование в полном объеме неопределенности
углового положения объекта А. Если обнаружение не зафиксировано, то антен-
антенна В опять осуществляет полный обзор угла неопределенности объекта А, но
уже при положении луча А в новом (соседнем) положения. Когда один из-
объектов обнаружит другой, г. е. определит травильное направление, поиск пре-
прекращается, а поиск вторым 'Объектом продолжается до тех пор, пока н второй
объект не завершит обнаружение. Причем допускается, что, как только А об-
обнаружит В, вероятность того, что В обнаружит А на следующем шаге процесса,,
.возрастает" до единицы; это можно обеспечить ступенчатым изменением мощно-
мощности передатчика А или сужением луча А. Аналогичное допущение справедливо,
и по отношению к объекту В ,(такой режим вполне практически допустим и при-
приводит, очевидно, к быстрейшему вхождению в связь). Связь, как и ранее, счи-
считается установленной при обоюдном обнаружении сигналов объектами А и В.
Вначале проанализируем гипотетический случай, когда А н В имеют толь-
только по два возможных положения луча (ра=Рв=~). Этот случай позволит
полунить обобщающее уравненяе для среднего временя вхождения в связь при,
любом числе положений луча @^рл=рв^|1). Введем следующее условие: так
как каждый луч имеет два положения, объект А будет осуществлять отсчет при
каждом положении своего луча дважды ((перед перемещением в следующую.
|пози!цню() — при первом положении луча В и при втором положении луна В,.
Объект В будет осуществлять отсчет один раз в каждом положении своего луча
(перед перемещением в следующую позицию). Схема взаимного положения объ-
18Г
ектов Л и В и области переключения лучей показаны на рис. 4.9а. В любой
момент времени лучи Л и В могут быть в любом одном из восьми состояний
(а, б, в, г, д, е, ж, э), показанных на рис. 4.96, где Ацш Вц соответствуют
положениям лучей объектов Л ,и В соответственно; i—указывает положение
луча и /—указывает номер отсчета (например, Ац соответствует состоянию,
а)
Положение
луча в
Рис. 4.9. Схема взаим-
взаимного положения объек-
объектов А я В и области пе-
переключения лучей гари
регулярном поиске
Рис. 4.10. Диаграмма перехода от начального состоя-
состояния «г»
когда объект А снимает первый отсчет в первом положении своего луча, Ап —
снимает второй отсчет в первом положении луча и т. д.). Состояния, показан-
показанные на рис. 4.96, могут быть начальными состояниями поиска. Они равнове-
равновероятны — вероятность начала поиска в любом конкретном начальном состоянии
равна '/в.
Как нетрудно видеть, время, требуемое для установления связи, зависит от
начального состояния. Поэтому необходимо рассмотреть все начальные состоя-
состояния. Для этого нужно проанализировать диаграммы перехода между состояния-
состояниями вплоть до конечного состояния ((установления связи).
188
Как и ранее, определим непоглощающие и поглощающие состояния процесса
вхождения в связь. Для данного случая состояния аи а2, а3 и at — аналогичны
состояниям для случая случайного поиска с нулевой вероятностью ложной
лревоги. Однако непоглощающие состояния ,(Щ, Ог, Оз) можно классифицировать
еще на промежуточные состояния:
Щг—промежуточные состояния, когда диаграммы А и В не направлены
друг на друга и объекты Л и В не обнаруживают друг друга;
<hi — промежуточные состояния, когда А обнаружил сигнал, а В ие обнару-
обнаружил сигнал при условии, что лучи А н В направлены друг на друга;
<hi — промежуточные состояния, когда В обнаружил .сигнал, а Л не обна-
обнаружил сигнал при условии, что лучи Л и В направлены друг на друга.
Рис. 4.11. Диаграмма перехода от начального состоя-
состояния «д»
Диаграммы перехода от .начальных состояний г и д показаны на рис. 4.19
¦и рис. 4.11 соответственно. Для 'рассматриваемого случая принято обозначение:
индекс ( = 3, 2, 1, когда процесс идет от (Промежуточных состояний к состоянию
п\ (не побывав в этом состоянии), и i=a, b, с, когда процесс идет от состояний
fli, или а2, или а3. Фактически состояния идентичны, т. е. а.\з=а.\а, ai2=ai&,
au = aic. На рис. 4.10 н 4.11 заштрихованные квадраты соответствуют факту
обнаружения сигнала. На рис. 4.1,2 показаны диаграммы перехода" для всех
восьми начальных состояний *{а, б, в, г, д, е, ж, з). Как видно :из этого рисунка,
начало процесса соответствует состоянию fli лишь для двух начальных состоя-
состояний а и б, т. е. существует лишь две диаграммы перехода, начало которых
соответствует состоянию щ. Среднее число шагов процесса, затрачиваемое на
достижение состояния а4 'При начале процесса с начальным условием г, напри-
например, будет равно трем плюс число шагов, затрачиваемых при начале процесса
в состоянии а. Аналогично и для оставшихся начальных состояний. Тогда сред-
среднее число шагов, затрачиваемое на достижение состояния at, равно сумме про-
произведений ожидаемых чисел шагов при начале в каждом из исходных состоя-
мий на вероятность начала процесса в данном состоянии, т. е.
к = Paha 4- Рбкб -ф-PbU^ h6\ -f рг [3 -f ha] +
+ Рд B + ha] -f pe [2 4- tl6] + РЖ[Ъ + tl6] -f p3 [1 4- ha]. D.32)
где t\a и t^g —среднее число шагов при начале процесса в .начальных состоя-
состояниях а и б соответственно. В рассматриваемом случае вероятности -начала про-
процесса в любом из восьм-и состояний равны друг другу, т. е. ра—Рб= рв = Рг =
1
= Рд = Ре = Рж = Рз =
8
189
Рис. 4.12. Диаграмма переходов для всех начальных со-
состояний (а, б, в, г, д, е, ж, з)
190
Для нахождения tia и ttg необходимо составить матрицы вероятностей пе-
перехода. Матрица вероитностей перехода для начального состояния а имеет вид
a*
1
Ри
О
О
О
О
Pia.i
Р34
о
Ри
О
О
Ри,\
о
о
о
«к
О
о
0
о о
Р\Ла ° ° Pi»
Р\а.\а Р\а,\Ъ ° °
Plb.lb Plfcle °
Р\с,\с °
О Р22
О О
О О
«20
о
о
о
о
о
Р2,2а
Оз
О
Pl3
О
О
О
О
Р2а.2а °
О Рзз
Матрица Q запишется с учетом условий, приведенных в начале раздела,
в виде:
0
0
0
1
0
0
0
«ю
Pi.la
0
0
0
0
0
0
att
0
1
0
0
0
0
0
I «1С
0
0
1
0
0
0
0
02
Pl2
0
0
0
0
0
0
«2a
0
0
0
0
1
0
0
: «13
Pl3
0
0
0
0
0
0
Матрица /—Q запишется в виде
1 X~Pl.la
1 1 —
1-0 =
0 1
1 О
1 1
1 1
1 1
1 1
Pl2
1
1
1
1
1
1
1 1
1
1
1
О
1
1
— Pis
1 \
1
1
Обратную матрицу (I—Q)-1 можно найти методами, изложнеными ранее.
Приведем конечное выражение для tia (86]:
ha=-
3Pi,ia
Pi3).
D.33)
Аналогично можно найти матрицу вероятностей перехода для начального
состояния б. Конечное выражение для tig имеет вид
1
= х -р, 1д t1 + 3Pl.la
Подставляя выражение D.33) и D.34) в D.32) и учитывая, что
Pi2 = Pa(l — Р»), Pi3 = PbA —Pa), Pi,ia = A — Pa) (! — Pft).
D.34)
19!
получим
t,=-
8 -r Pa -f- Pb — SPaPb
1 -(' — Pa)C— Pb)
при рА = рв =¦
Для симметричного случая (ра = рь) получим
'~Т1 А J
D.35)
D.36)
В [86] приведена формула для ti при любом Ра = Рв = —. Формула для симмет-
т
ричного случая имеет вид
[
. D.37)
где
дены
m =
Pi*
Вычислим значения Л в функции р„ для двух значений т. Результаты све-
в табл. 4.8 для т=100,[—= 10~', ру,=0,01|и 4.9 для т = 4( — = 0,5.
Таблица 4.8
Таблица 4.9
Ра
0,999
0,995
0,955
0,577
0,081
0,014
0,001
t
5000
5001
5003
7412
61566
328833
5,10»
Ра
0,999
0,995
0,555
0,577
0,081
0,014
0,001
к
8,
8,
8,
14,
103
530
7996
5
58
85
4
В разд. 4.4 были вычислены значения вероятности обнаружения (РОбв = Р(,)
в зависимости от дальности 'RT для различных значений мощности генераторов W
(табл. 4.4). Используя значения табл. 4.4 для №=1 вт и значения табл. 4.8 и
4.9, построим зависимости tt при регулярном поиске в функции дальности Л?т
при значениях т=100, /и = 4 и W=l вт. Кривые показаны на рис. 4.6 пунктиром
и обозначены t\ (регулярный поиск). Соответствующие кривые для случайного
поиска обозначены t\.
Сравнивая кривые на рис. 4.6 для случайного и регулярного поиска, от-
отметим:
1) при больших m (значение рл—мало) и малых дальностях R? (ра —
велика) время вхождения в связь при случайном поиске всего лишь вдвое боль-
больше времени вхождения в связь при регулярном поиске;
2) при больших m и больших дальностях RT (значение ра — мало) эти
времена с большой точностью приближаются друг к другу;
3) при малых m характер зависимостей такой же, как и в случаях 1 и 2.
192
Асимптотические выражения для отношений fytf можно записать следую-
следующим образом:
Л
lim Л. Ul
m—»велико,
ра—«ала
iim
lim Л U.2
\ <f /
т—» велико.
iim Л.
2m*
т—*мала,
ра—*мала
Таким образом, для систем регулярного поиска, осуществляющих скани-
сканирование по заданному закону, выигрыш по времени вхождения в связь при
больших вероятностях обнаружения получается незначительный. При средних
и малых значениях вероятности обнаружения выигрыша вообще нет.
4.8. СРЕДНЕЕ ВРЕМЯ ВХОЖДЕНИЯ В СВЯЗЬ
ПРИ РЕГУЛЯРНОМ ПОИСКЕ И ВЕРОЯТНОСТИ
ЛОЖНОЙ ТРЕВОГИ, НЕ РАВНОЙ НУЛЮ
В разд. 4.7 при выводе формулы среднего времени для регулярного пои-
поиска не были учтены: Л) возможность обнаружения ложных сигналов приемника-
приемниками Л и В и 2) информационные свойства траекторий сканирования. Полученное
выражение можно использовать при очень малом уровне шумов или при выборе
очень большого порога обнаружения.
При применении ОКГ на предельных дальностях ч.исло сигнальных фотонов
может быть сравнимо с числом шумовых, поэтому представляет интерес рас-
рассмотрение случая регулярного поиска при учете возможности обнаружения при-
приемниками ложных сигналов.
В процессе взаимного нацеливания возможны следующие события:
I) ни на одном из объектов сигнал не обнаружен, сканирование продол-
продолжается;
2) на каком-либо объекте принят ложный сигнал, антемна этого объекта
фиксируется на определенный интервал времени, по истечении которого про-
продолжает сканирование;
3) на каком-либо объекте принят полезный сигнал, «а другом нет, система
опять фиксируется на некоторое время; если за это время будет опять принято
решение о наличии сигнала, то антенна остается зафиксированной еще на та-
такой же промежуток времени и т. д., если же будет принято решение об отсут-
отсутствии сигнала, то антенна продолжает сканирование;
4) антенны направлены на соответствующие объекты, и приемники обоих
объектов принимают решения об обнаружении объектов.
Так как переход к любому из возможных состояний зависит лишь от того,
в каком из них находится система в данный момент, то работу системы можно
представить в виде .марковской .цепи.
На рис. 4.13а изображена диаграмма состояний марковской цепи, которая
описывает работу системы взаимного нацеливания. Состояния описываются сле-
следующим образом:
1. Состояние / — на объектах не принимается ни полезного сигнала, ни лож-
ложного, взаимного обнаружения нет, антенны объектов продолжают сканирование.
7—1.60 193
2. Состояние 2 — на объекте А принят ложный сигнал, антенна объекта А
фиксируется в направлении, откуда принят сигнал, на время tA.
3. Состояние 4 — «а объекте В принят ложный сигнал, антенна объекта В
фиксируется я направлении, откуда принят сигнал, на время tB.
4. Состояние 3 — на объекте А принят полезный сигнал, антенна объекта А
фиксируется в направлении объекта В.
й)
Рис. 4ЛЗ. Диаграмма состояний и переходов марковской цепи при регу-
регулярном поиске и вероятности ложного обнаружения, не равной нулю
5. Состояние 5—на объекте В принят полезный сигнал, антенна объекта В
фиксируется в .направлении объекта А.
6. Состояние 6 — на объектах А и В приняты полезные сигналы, связь
между объектами установлена.
Состояние 6 является поглощающим, т. е. процесс при переходе в него
завершается.
Необходимо определить .математическое ожидание времени, затрачиваемого
«а переход из состояния / в состояние 6. Обозначим Ь — период обзора ан-
антенной А зоны .неопределенности положения объекта В;
Тв — период обзора антенной В зоны неопределенности положения объ-
объекта А.
Пусть закон поиска будет следующим: антенна А направлена в определен-
определенном направлении, передача и прием осуществляются все время, пока антенна
объекта В производит сканирование в полном объеме неопределенности поло-
положения объекта А (на время Тв), если обнаружение ие зафиксировано, то ан-
антенна В опять осуществляет полный обход угла неопределенности, но уже при
положении луча А в новом (соседнем) направлении. В этом случае Та^'в.
Так как в течение периода обзора ТА ,из состояния / можно перейти в лю-
любое другое состояние через случайный интервал времени, то оно является не-
непрерывным.
Однако считать марковскую цепь, диаграмма состояний которой изображе-
изображена на рис. 4ЛЗа, непрерывной нельзя, так как состояния 2, 3, 4, 5 являются
дискретными, а состояние 6 — поглощающим.
Таким образом, рассматриваемая марковская цепь состоит из одного непре-
непрерывного состояния и пяти дискретных.
Обозначим: qts— .интенсивность перехода из состояния i в состояние /
(У, ( = 1, 2... 6) или плотность вероятности перехода из состояния i в /.
Рассмотрим диаграмму состояний непрерывной цепи (рис. 4Л36). Данный
марковский процесс включает в себя два случайных элемента: случайные зна-
значения времени t, при которых происходит изменение состояния /; случайные
значения, которые принимают сами состояния (номера состояний /=1, 2 ... 6).
За бесконечно малый интервал времени процесс, который находится в со-
состоянии i. будет совершать переход в состояние / с вероятностью qi^dt. Вероят-
194
ность двух или более переходов за время dt имеет порядок ~ {dtI или выше
и предполагается, что она бесконечно мала, если dt выбирается достаточно ма-
малым. Очевидна связь данного определения с обычными допущениями для пуас-
сомовского процесса.
.Рассмотрим процесс, для которого интенсивности пе,реходов постоянны,
т. е. условия наблюдения в течение фазы вхождения в связь ие меняются. Это
предположение эквивалентно допущению для процессов с дискретным временем,
состоящему в том, что вероятности переходов не зависят от времени. Из мар-
марковского свойства процесса следует, что время непрерывного пребывания в со-
состоянии i имеет показательное распределение с X=qt:
Вероятность того, что система перейдет из состояния / в любое другое за
время t,
2/W=1-e~"' ' D39)
Плотность распределения величины t найдем, взяв производную от P(t):
v{t) = qi(Tq't ¦ D.40)
Математическое ожидание времени пребывания процесса в состоянии / до его
перехода в любое другое состояние
1
D.41)
При постоянных ннтенсивностях перехода справедливы и в практических слу-
случаях выполняются соотношения:
1 — ри @ <*> qiU
D.42)
2j qtj = i
Таким образом, если принять время пребывания в состоянии / до перехода
в любое другое состояние, равным |, то процесс, изображенный на рис. 4.13а,
можно представить в виде однородной дискретной марковской цепи (рис. 4.138),
где время нахождения в состоянии / равно |, в состояниях 2 <н 3 — tA, в со-
состояниях 4 и 5 -fB за один шаг процесса. Так как через эремя ? процесс пе-
оеходит из состояния / ,в любое другое, то вероятность перехода за один шаг
рп=0. Вероятности перехода из первого состояния в любое другое
ЯЧ
1=2
Запишем в общем виде матрицу вероятностей переходов:
О Рц Pl3 Ри Pl5 Pie ч
! р22 О О О О
Рз1 ° Рзз ° ° Рзв
Ри
lP51
0
0
0
0
0
0
0
Ри
0
0
0
Ръъ
0
0
1
D.43)
105
Используя выражение D.43), можно определить среднее число шагов про-
процесса, необходимое для его перехода в поглощающее состояние 6 при условии,
что он начался .из любого непоглощающего состояния. Так как «ас интересует
время, прошедшее с момента начала поиска, когда ни на одном .из объектов
сигнал еще не обнаружен, то естественно очитать, что рассматриваемый мар-
марковский процесс начинается в состоянии 1. Образуем матрицу Q, соответствую-
соответствующую только непоглощающим состояаим. Ее получают нз D.43), вычеркивая
строки и столбцы, соответствующие поглощающему состоянию 6:
Q =
р21
Рч
р2г
0
0
р13
О
Рзз
0
0
D.44)
Используя .рассмотренную ранее .методику определения фундаментальной
матрицы Т чисел *t,j (характеризующих математическое ожидание числа про-
прохождений процесса через состояние / до перехода в поглощающее состояние при
условии, что процесс начался в состоянии ;'), получим:
t = A — р22) A -р33) A —ри) (\—Рьь)
* — PsiPis (I — P22) (> — P44) A — P55) — P14P41 A — P22) A — Рзз) X
* x (l — p55) — PwPei A —P22) A — Рзз) A —P44);
Pl2 . , Pl3 _ ,. . i Pl4
!= '11
1 — Р22 '
и* = t,
1 — РЗЗ
' • — P44 '
D.45)
Ри
!— Ръъ
Так как матрица D.43) является стохастической, то сумма элементов каждой
строки равна 1. Следовательно, можно записать:
р22 — 1 — рг1;
Р44=1 — Pill
р« = * — Р31 — Pst:
РВе = 1 — Ры — Ри-
Подставляя соотношения D.46) в D.46), получим
1
D-46)
1 — Рк — Р.4 —
Р13Р31 _ Р]бРб1
Р31 + Рзв Pil + Ры
D.47)
Зная время задержки процесса в каждом состоянии, можно определить
среднее время, требуемое дли перехода процесса в поглощающее состояние:
*i = hil+ tA (in + tls) -f- tB (tlt + t№).
Подставляя в D.48) соотношения D.46) и D.47), будем иметь
Ры
— Pl2— Pl4 —
Р13Р31
PuPsi
D.48)
D.49)
Р31 + Рзв Рм + Pse
Выражение D.49) пригодно также и для случая оптической локации. Спе-
Специфика вида поиска и информационные свойства применяемой траектории ска-
сканирования, отражаются видом функций Pa(t) и величиной периода обзора
196
Приложение I
КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ
И СТАТИСТИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР ПОЛЯ
Применение оптических квантовых генераторов для связи я различных из-
измерений вызвано присущим .им высокой степени когерентности излучения. Одна-
Однако когерентность оптических полей в настоящее в.ремя еще детально не иссле-
исследована. В самом широком смысле когерентность тесно связана со статистиче-
статистическими флуктуашиями полей и проявляется как следствие корреляции статисти- ,
ческих флуктуации. Следовательно, такие важнейшие характеристики оптических
полей,'как монохроматичность и направленность, будут зависеть от степени ко.
герентности поля.
В [22, 64] было положено начало развитию квантовоэлектродинамической
теории описания статистических свойств световых пучков. Основной метод ис-
использует когерентные состояния') как базис для описания полей излучения.
Кратко рассмотрим основные особенности этого метода описания применительно
к интересующим иас задачам.
Оператор электрического поля можно записать в виде
? (?, t) = ?<+) (?, О + ?1-) ?. t).
Операторы ?(+) и ?<->, рассматриваемые порознь, .не являются эрмитовыми.
Однако они являтотся эрмлтово-сопряженными по отношению друг к другу, т. е.
Выражение для положительно-частотной части оператора электрического
поля имеет вид
(Tr-щд].
ft,1
Здесь а» — оператор уничтожения фотона ,в k-fi моде. Подобно (П. ,1Л), можно
записать выражение для от.рицательно-частотиой части оператора электрическо-
электрического поля. В последнем случае в выражение будет входить оператор рождения
фотона. Оператор ?(+>(r, t) связан с поглощением фотонов поля. Приложенный
к вектору, "характеризующему состояние поля с я фотонами, он переводит ис-
исходное состояние в состояние с п—>1 фотонами. Операторы уничтожения и рож*
дения фотона в k-Ъ моде удовлетворяют правилам коммутации:
[ak, <#] = «**'.
В [22] показано, что существуют кваитомехалические состояния поля, кото-
которые являются собственными состояниями положительно-частотной и отрицатель',
но-частотной частей оператора электрического поля в смысле2!:
') Когерентное состояние—это собственное состояние оператора уиичтоже'
иия фотона.
2) Здесь автор использует обозначения Дирака. — Прим. ред.
8°—160 197
где (i — индекс поляризации.
¦Функции e(r,t), e*(r,t), являющиеся функциями координат и времени,
явтерпретируются как комплексные собственнье значения. Поскольку ?<+>(V, О
Удовлетворяет волновому уравнению, этому же уравнению удовлетворяет e(r,t).
Поэтому, подобно оператору E<+i(r,t), функцию e(r,t) можно разложить по
нормальным модам:
ft, ц
где a* — комплексные коэффициенты.
Нормальные типы колебаний образуют ортогональную систему, поэтому соб-
ствеиное состояние поля | > должно удовлетворять бесконечной (последова-
(последовательности соотношений: ai|> = aj|>, a2|> = a?|>, ..., ah\> — ah\>, ...
Для удовлетворения этим соотношениям используются состояния \a,h>h инди-
индивидуальных мод, которые подчиняются соотношению а&|аА>А = а;г|аА>А. Тогда
когерентное состояние поля | >, рассматриваемое >в целом, будет произведением
вндинидуальных состояний | > = П|аА>;,.
Разложение поля по нормальным типам колебаиий эквивалентно разложе-
разложению по гармоническим осцилляторам, т. е. ,в данном случае поле рассматривается
как совокупность осцилляторов. Каждый из нормальных типов колебаний есть
квантовый осциллятор с уровнями энергии Ьша(па+1/2)> которые являются соб-
собственными значениями оператора анергии поля. Н=ЛЪшн'(<Ц ан+Уг). Опуская
к
индекс *#», выделим один осциллятор:
а | a > = а | о > , < a | a+ = a*
<a| o> = 1.
Когерентное состояние осциллятора |а> можно выразить посредством орто-
вормальиой группы состояний осциллятора .в числовом представлении \п>
(п=0, ,] ...): ]а>= 2|я><п|а>, где <я[а> — коэффициенты разложения
п
|о> по полной ортанормальной совокупности {|га>}. Это выражение имеет вид
о> =е
<a I = e
(л!)»/»
|<п|а>Г =
Можно показать, что среднее число заполнения состояния \п> в когерентном
.представлении определяется распределением Пуассона со средним значением
|о|*, т. е.
1^1^е-,а|'
п\
Статистический оператор ^.матрица плотности), описывающий статистиче-
статистические свойства произвольного оптического поля, может быть выражен в терми-
¦ах когерентных состояний. Подобное представление позволяет выявить анало-
аналоем между квантовоэлектродинамическйми расчетами и соответствующими клас-
классическими.
Статистический оператор для «чистого» когерентного состояния осцилля-
осциллятора |а> записывается как p=|aXa|. Чистые состояния дают максимум
информации о рассматриваемой системе. Эти состояния характеризуются экспе-
экспериментам, который дает определенно предсказуемый результат, когда система
находится в этом и только в этом состоянии.
Физические системы чаще .всего находятся в «смешанных» состояниях, опи^
сываемых некогереитной суперпозицией чистых состояний. Некогерентная супер-
суперпозиция означает, что для вычисления вероятности получения определенного
экспериментального результата с системой, находящейся в смешанном состоя-
состоянии, вначале нужно вычислить вероятность каждого из чистых состояний, а за-
затем взять ореднее в соответствии с «весом», приписываемым каждому чистому
состоянию. Статистический оператор для смешанных состояний записывается
в виде
р= [ Р(а) | о ><a|dB> о,
где Р(а)—весовая функция, определенная для всех точек комплексной а-пло-
скости.
Запись статистического оператора для осциллятора в таком виде говорит о зна-
знании т.ого, что осциллятор находится в когерентном состоянии, соответствующем
неизвестному собственному значению а. Функция Р,(а) играет роль, аналогич-
аналогичную плотности вероятности для распределения значений а по комплексной пло-
плоскости. Чистое состояние |Р> описывается тогда двумерной дельта-функцией:
р (о) = бB)(о — Р); 6B)(a) = 6[Rea]6 [Ima].
Матричные элементы статистического оператора в когерентном представ-
представлении записываются в виде
и обратно .матричные элементы в числовом представлении:
<п\р\т> = ' 1/2 Г 7>(a)a"(aT'e-lo'lId<2>a.
(ш/л!I J
Из нормирующего свойства статистического оператора trp=l вытекает нор-
нормирующее свойство
J
P(a)
1.
М0Ж1Н0 показать [22], что для суперпозиции полей весовая функция является
интегральной сверткой весовых функций исходных полей, т. е.
Р (а) = j р^а - а') Рг (о') dB) a'.
Теорема свертки может использоваться не только для получения комбинирован-
комбинированного поля из более простых составляющих полей, но и, наоборот, для разбиения
комбинированного поля на простейшие составляющие.
Непосредственным обобщением методов, рассмотренных ранее, можно .по-
.получить статистический оператор для полного поля, состоящего из совокушю-
сти мод.
При использовании статистического оператора среднее число отсчетов, осу-
осуществляемое фотодетектором в общем случае .(когда состояние системы опре-
определено не полно), пропорционально выражению B2]
(Г/. 7/-) =
(П. 1.2)
которое может .служить мерой корреляции полей в различных пространственно-
временных точках (предполагается одинаковая поляризация компонент полей
поэтому индекс поляризации опущен).
8°* 199
Значение скорости счета фотонов получается из (П.1..2) при г=г' и t—t'.
Физический эксперимент, описываемый выражением (П. 1.2), очевидно, гораздо
ближе к практике при использовании реальных детекторов, так как в реальных
детекторах поглощение фотонов не может быть локализовано в одной прост-
пространственно-временной точке.
Функция корреляции второго порядка запишется в виде
G (rj
= tr [P
г, r3t3, rltl) =
(.;, t3)
Обобщая предыдущие выражения и вводя обозначение г,-, *j=
реляционную фуикцню п-го порядка:
l, . . ., хп, хп+1, . . ., хгп) =
получим кор-
корВ классической оптике корреляционная функция второго порядка совпа-
совпадает с GO.
Запишем нормированную корреляционную функцию п-го порядка:
(П. 1.4)
Полностью когерентным полем является поле, все нормированные корре-
корреляционные функции которого удовлетворяют условиям:
g(/1)(*i *м) = 1. «=1,2, . . .
Классическое определение когерентности, широко использовавшееся в опти-
оптике, соответствует лишь когерентности первого порядка по Глауберу {22]. Лазе-
Лазеры, работающие в условиях идеальной стабильности, могут генерировать толя,
обладающие когерентностью всех порядков. Бели исследуемое поле обладает
л-м порядком когерентности
g(/)(*i. . . ., xjt Xj *i)=l, /<n,
то из определения |((ПЛ.4) следует, что соответствующие значения корреляцион-
корреляционных функций G<>> распадаются на множители
х,
xt)
для
В заключение следует указать, что согласно современным представлениям
Поле излучения является полностью когерентным, если каждый осциллятор поля
находится в состоянии «осциллирующего волнового пакета» — собственном со-
.стоянии оператора уничтожения фотонов. Можно доказать, что когерентные
состояния обеспечивают минимальные соотношения неопределенностей и в то же
.время максимально близки к классическим состояниям осциллятора .при всех
средних значениях возбуждений осциллятора. Это свойство должно определить
широкое применение когерентного представления при анализе задач, связанных
с генерацией, распространением и приемом колебаний оптического диапазона
(«эк модулированных, так и «смодулированных). Именно с этих позиций в При-
Приложении 2 дается анализ и рассматривается прием колебаний оптического диа-
•ц^зона. Концепция когерентного базиса значительно облегчает нахождение ста-
¦Еисгических распределений фотонов и 'фотоэлектронов при .различных .моделях
канала связи.
200
Приложение 2
АНАЛИЗ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ИЗЛУЧЕНИИ
С ПРИЕМНЫМ УСТРОЙСТВОМ И СТАТИСТИЧЕСКИЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛА НА ЕГО ВЫХОДЕ
П.2.1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В приложении 2 изложены методы нахождения вероятностных распре-
распределений, производящих функций, моментов и других статистических характери-
характеристик сигналов на выходе чувствительного элемента приемного устройства при
воздействии различных типов оптических полей. Знание этих распределений
позволяет оптимальным образом конструировать системы обра'ботки сигналов
.ч исследовать вопросы статистической теории связи в оптическом диапазоне.
Использовано квантомеханическое операторное уравнение Лиувилля, опи-
описывающее эволюцию статистического оператора полной системы «поле + прием-
ник». Для определения совместной многомерной вероятности переходов системы
в фотононизацион'ные состояния анализируется рабочая модель временного про-
процесса взаимодействия поля с приемным устройством. На фиксированных этапах
временного процесса уравнения, описывающие поведение оистемы, решаются ме-
методом теории возмущений, рассмотренным в [50].
По найденной совместной вероятности переходов системы определяется об-
обобщенное распределение Пуассона для числа фотоэлектронов на временном ин-
интервале (при разложении поля по базису когерентных состояний). Определя-
Определяются также производящая функция и факториальные моменты обобщенного
распределения.
Затем находятся и анализируются статистические характеристики (распреде-
(распределение фотоэлектронов, производящая функция и факториальные .моменты) одно-
модового когерентного лазерного излучения. Исследуются статистические ха-
характеристики однамодового излучения ОКГ при различных распределениях ам-
амплитуды излучения |(вариации распределений .могут происходить при распро-
распространении излучения в турбулентной среде, гари различных преобразованиях
оптических полей и т. д.). Находятся н исследуются статистические характери-
характеристики шумовых ((тепловых) или некогеренгных полей, а также суперпозиции
некогерентных и когерентных полей. Определяются статистические характери-
характеристики излучения <Ж'Г при яаличии различных механических воздействий (виб-
(вибраций, тряски и т. д.). Находятся статистические характеристики модулирован-
модулированных оптических полей.
Приложение предназначено в первую очередь для проектирования опти-
оптимальных приемников оптического диапазона «а основе статистической теории
решений. Ряд исследованных вопросов могут быть полезны лри проектировании,
определении точности и чувствительности, нахождении рабочих характеристик
оптических супергетеродинных приемников, кольцевых лазерных устройств, опти-
оптимальных приемников с квантовыми счетчиками, а также при исследованиях ста-
статистических свойств различных сред, в которых проходит излучение.
П.2.2. ОПЕРАТОРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЛИУВИЛЛЯ .-,.
И СТАТИСТИЧЕСКИЙ ОПЕРАТОР СИСТЕМЫ
Рассмотрим атомную систему приемника, описываемую независящим от
времени гамильтонианом Но, и предположим, что на систему действует в течение
201
V(t) =
.некоторого времени возмущение, оператор которого имеет вид
(т), если t < т < V
если х < t, x>t'.
Полный оператор (Гамильтона
{ •
(П.2.2)
зависит от времени, и соответствующее временное уравнение Шредингера
i"^ = Wi|> (П.2.3)
не имеет стационарных решений.
В выражении |(П.2.2) Лв — гамильтониан системы «поле+лриемник» без
учета взаимодействия между полем и приемником и V — гамильтониан взаимо-
взаимодействия.
Уравнение i(Oj2j3)», где для простоты положено h = l, определяет волновую
функцию 1|з1(О в момент i', если известна волновая функция ty(t) в момент /.
Как известно, волновые функции связываются унитарным преобразованием
1|,(О = 0(/'. /)i|,@. (П.2 4)
Если Я яе зависит от времени, унитарный оператор 0(t', t) может быть выра-
выражен в виде
О (f, t) = ехр [ — i (/' — t) Я]. (П.2.5)
Если Я есть функция времени, Н—Л((), то мы можем рассматривать пре-
преобразование О в эволюции как большое число малых унитарных преобразова-
преобразований, последовательно прикладываемых к 1|з. Следовательно, можно записать
О (С, 0 = ехр —ij#(T)dT .
Полагая, что Яо от .времени не зависит, из |(П.2;6) .получим
_iJv(T)dt .
(П.2.6)
(П.2.7)
В случае, когда возмущение V мало, операторы, зависящие от времени, можно
разложить по степеням гамильтониана взаимодействия. Сохраняя лишь нулевой
и линейный члены в разложении, получим
где
^Ц', 0-f O^Ht', 0.
О];
О<+> (/', t) = i ехр |- i Hot] j V (r) d т exp [i Hof\;
O{-> (/', 0 = - i exp [- i Hot'] J V (т) d т exp [i HBt].
(П.2.8)
(П.2.9)
(П.2.10)
(П.2.11)
Оператор V(x) можно записать в гейзенберговском представлении:
У(т) = ехрAЯ„т) Vexp (-!Я„т). (П.2.12)
Изменение оператора, происходящее по закону (П.2.12), эквивалентно уравнению
. dV (т)
), Ho],
(П2 1
202
которое может быть получено из (Л.2.12) дифференцированием по времени.
Операторное уравнение Лиувилля для оператора V(x) имеет вид
= - [V (т), Яо] « - [V (х) Яо - H0V (х)} ее L0V(x). (П. 2.14)
Здесь LB — оператор Лиувилля, соответствующий гамильтониану Лв. Заметим,
что знак в урннии (П.2Л4) противоположен знаку в обычном гейзенберговском
операторном уравнении для квантовомеханических операторов динамических ве-
величин (П.2.13).
(Роль классической плотности в фазовом пространстве в квантовой меха-
механике играет статистический оператор р ^матрица плотности), введенный впервые
И. Нейманам и Л. Д. Ландау 1,1, 6]. Эволюция этого оператора во времени
определяется квантовомеханическим уравнением Лиувилля [51]:
-рЯ = L(t)p(t).
(П.2.15)
at
Это уравнение заменяет известное уравнение Лиувилля, справедливое в класси-
классической механике. В правой части ур-лия (П.2.16) содержится коммутатор опе-
оператора р и гамильтониана Я. Оператор L(t) представляет собой квантовые
скобки Пуассона, рассматриваемые как оператор, действующий на статистиче-
статистический оператор р. Формальное решение ур-ния (П.2Л5) имеет вид (если Я и,
следовательно, L «е зависят от времени):
(П.2.16)
р@ = ехр(— Ш
Точно так же может быть записано решение ур-,ния (П..2Л4)
V(T) = exp (— iL0T) V@). (П.2.17)
Таким образом, изменение во времени оператора энергии взаимодействия V
.можно описать как выражением (П.2.12), так и с учетом оператора Лиу.вилля
выражением /(П?Л7).
Следует отметить, что временное развитие состояний системы, характери-
характеризуемых статистическим оператором р, определяется выражением .(П.2.Ш).
П.2.3. ВРЕМЕННОЕ РАЗВИТИЕ СТАТИСТИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА
СИСТЕМЫ
Для последующего анализа необходимо определить совместную многомер-
«ую вероятность переходов системы ко всем измеримым фотоионизационным
состояниям, т. е. вероятность того, что фотоиовизационные события |(например,
появление фотоэлектронов) произойдут в интервалах ^-т-^+Д^ь <2-^2+А^2
At t
Рис. П.2.1. Характер временного развития процесса фотоионизации
203
tk-i-tk+Atk (см. рис. П.2.1). На рис. П.2Л полный временной интервал t-i-t+T
разделен на k подынтервалов, длительность каждого из которых At. Предпола-
Предполагаем, что вероятность появления более чем одного фотоионизащиониого события
в течение подынтервала Д* пренебрежимо мала. Это условие можно обеспечить,
взяв k достаточно .большим, другими словами, считаем, что At<Q\IRC4, где
Лсч—частота фотоиовизащиошых событий [(частота счета фотоэлектронов).
Считаем, что все Д^ положительны и tt^tt-\ + btt-\. Примем следующую рабо-
рабочую модель в<ременн6го процесса взаимодействия поля с приемником. (Времен-
(Временное развитие взаимодействующей системы «поле+ириемник» описывается вре-
временным изменением полного статистического оператора системы p(t), включаю-
щето статистические операторы поля рПоля@ и приемника рпр@- Будем счи-
считать, что в конце интервала (tt+Ati)—ti=At( ;(активный интервал) происходит
событие фотоионизации; в течение интервала tt—i(U-i+Att-i) (пассивный интер-
интервал) фотоионизация не происходит. На этих интервалах поведение системы бу-
будем -характеризовать по-разному. На интервале (ti + Ati)—ti=Atf состояние си-
системы ;(,по допущению) характеризуется унитарным временным преобразованием
вида ,(Л.2.5), т. е. «
О (Ц 4* А f*. U) = ехр {_ i H [(/, -h Д tt) —tt]}, (П.2.18)
где Н — гамильтониан полной системы («приемник»-!-«поле»). Перед унитарным
преобразованием и после него необходимо произвести проектирование в нефото-
ионизационное состояние I, затем следует просуммировать по всем фотоиониза-
фотоионизационным состояниям системы [50]. В результате этих преобразований получим
следующее выражение для статистического оператора '(к концу активного ин-
интервала):
2
(П.2.19)
где
t, tt) il — Pi)=P,ap{-lHUti + btt)-U]} A-Pi). (П.2.20)
а значок ® в левой части выражения (Л.2Л9) означает возникновение собы-
события фотоионизащии; Рг—оператор проектирования. Прежде чем рассматривать
поведение системы >иа пассивном интервале tt—i(^i-i + A0. введем некоторые
допущения относительно системы. Считаем, что статистический оператор полной
системы перед активным интервалом имеет вид
Р (*() = Рпр @) Рполя (ti). (П.2.21)
На интервале Д^ полный статистический оператор ие разлагается на множители,
так как поле и приемник взаимодействуют. После возникновения фотоионизацяги
приемник возвращается к исходному (начальному) состоянию pnpi@), а взаимо-
взаимодействие еще отсутствует, следовательно, приемник и ноле статистически неза-
независимы и имеет место выражение i(inj2j21). Временное развитие статистического
оператора поля в пассивном интервале происходит независимо от приемника
(г. е. приемник оказывает пренебрежимо малое влияние на поле). Примем так-
также, что статистический оператор приемника рпр@) (в начальном состоянии)
описывает равновесный ансамбль, в котором вероятность фотоионизациониых
состояний пренебрежимо ;мала (приемник сильно охлажден). Начальный стати-
статистический оператор системы ((по допущению) выражается в виде
р (tB -f Д t0 = 0) = рпр @) рпояя @). (П.2.22)
Тогда, учитывая (П.2Л6), получим временную зависимость статистического опе-
оператора поля в течение пассивного интервала:
Рполя (ti) = ехр {- i Ьполя [U — ( <,_, 4- А *,_,])} trnp р ( *,_, 4- A^L,) . (П.2.23)
где trnp — означает взятие операции следа по переменным приемника. Подстав-
Подставляя ,(Л.2.23) в |(П.2.21), получим выражение, описывающее временное развитие
статистического оператора полной системы в течение пассивного интервала:
Рпр @) ехр {— i ?пол„ [ti— (/,._,
-i)]} trm> P ( h-i * А ff-1) - (П.2.24)
204
Используя выражения .(П.2.19), |(П.2.22) и (П.2.24), рассмотрим поинтерваль-
ное поведение системы ((подставляя предыдущее выражение в последующее):
1. Пассивный интервал t\—.(^о+Д^о):
р(@фА^ = 0)=р @) = рпр @) рполя @);
Р (h) = Рпр @) ехр {— i /-поля [П -((, + А tB)]} trnp p (/„ ф Д tf) =
= Рпр @) ехр {— i /^оля [П — (/„ 4- А 'оI} trnp P @).
2. Активный интервал (/i
Д <f) =
@) ехр {- i Z-поля lh ~(^Д tB)]} trnp p (О)]
'1
3. Пассивный интервал t2—\tx+At\):
Р (h) = Рпр @) ехр {- »ХП0ЛЯ [/а — (ty 4- A h)]} trnp p (<i 4- A tf) =
= Рпр @) ехр {- i /.поля р, - (tx + Д h)]} trnp ^ ''Si tpnp(O) X
X ехр {- i 1.поля рх - (lf0 + Д *0)]} trnp p @)]'« Sf .
4. Активный интервал (^2+А^)—t2—At2:
р (г2 4- A tf) = 2 '* Si p (t2) h S+ = V l's2 [рпр @) exp {- i Lnons [t2 -
i. i,
-ih + A tj]} trnP ^ ''Si tPnp @) expj{- «Хполя Vi - (to ¦ A tB)]} trnp p @)] '* S+ .
h
Рекуррентная формула для р(<а+Д^®) имеет анд
р (tk 4- Д tf) = ^ Чк («'* S? = 2 '* Sk [Рпр @) ехр { - i /.поля [tk -
Д '*
гпР Р
St
(П.2.25)
Рассмотрим выражения (П.2^19) и (П.2.20). Из условия (П.2.21) следует,
что оператор Pi в круглых скобках выражения (П.2.20) можно опустить, гак
как он действует иа рпр(О), а в атом состоянии верояхиосгь фотоионизаций по
допущению пренебрежимо мала. Если в (Л.2.20) подставить 1(Л.2.8), (Л.2.9) ,и
(П.2.11), то член нулевого порядка (Л.2.9) исчезает, так как в этом случае нет
взаимодействия и, следовательно, нет фотоионизаций. Учитывая все сказанное
выше (П.2.19), можно записать так:
р (*< > A ff ) = 2 РЧ °(Г' (fi * А '*• '*) Р (^) [Plfil^ ({1 + A ti,ti)]+=
h
= 2 Рц Oi-) (U + A tt, tt) Pnp @) рполя (/,) O(+> (ti 4- A tt.
pnp @)
V(X)dx\P[i.
) (П.2.26)
205
Статистический оператор
(
2
V (т) d т i pnp @) trnp
«( J v (T>d т
I J
X Рпр @) Рполя @)
Интеграл, входяший в (П.2.27), вычисляется с учетом (П.2.,17):
.= ^J
fexp [i (Lnp-^Lntma) A tt]—1
tl) = \ 177—1
(П.2.27)
iL0
X exp (i
(П.2.28)
Совместная вероятность того, что фотоионизационные события будут иметь
место по одному в каждом яз интервалов A^i, Д'г, . • •, А^а, очевидно, запишется
в виде
Pk(h, h, .-. tk)AtxAt2 . . .Ak = trp(^A^)=trnMatrnppD-fAfjp) .
(П.2.29)
Запишем гамильтониан взаимодействия в виде следующей суммы:
V @ = V{+) (t) ^ И-) @, (П.2.30)
где
С<+> и С<-> — операторы, относящиеся к приемнику (фоточувствительиой поверх-
поверхности), и соответствующие рождению частицы в одном состоянии и уничтоже-
уничтожению в другом ((соответственно); А^~Кц А^— лоложительно-частотная и отри-
отрицательно-частотная части оператора вектор-потенциала поля, а ц — индекс по-
поляризации.
Рассмотрим входящее в (П.2.27) выражение
V(r)d-c\pnp@).
Учитывая i(H.2j2e), видим, что матричные элементы оператора Lnp положи-
положительны, так как они являются разностью анергий приемника <в фото ионизацион-
ионизационном и в нефотоионизационном состояннях. Следовательно, для того, чтобы ве-
величина вероятности (iHj2.29) была заметной, необходимо, чтобы матричные
элементы i-поля в (П.2.28) |были отрицательны. Отрицательные матричные эле-
элементы /.поля соответствуют поглощению энергии поля. Последнее имеет место,
если оператор в фигурных скобках i(CT.2.28) действует ма положительно-частот-
положительно-частотную часть оператора вектор-потенциала в гамильтониане взаимодействия ((по-
((поскольку в Л<+) входят оператор уничтожения фотонов а).
Заменим ЬПОяя на —а>0, где <оо—средняя частота поля излучения (следует
учесть, что мы положили h=il). Такая замена справедлива при Au)tc<i1, Аш —
206
полоса частот излучения; тс—временнбй интервал электронной корреляции
приемника, приблизительно равный интервалу At. Следовательно, .«полоса» .про-
.пропускания фоточувствительной поверхности приемника много шире полосы излу-
излучения (Дае4СЛ@пр~<1/тс).
Таким образом, учитывая (П.2.28) и {П.2.30), имеем
\
l c(+) (- ) \
(П.2.32)
С учетом появившейся теперь возможности отделения переменных поля от пе-
переменных приемника имеем
к
)
и н
X G
Hi (ift, m.
-L r/fk, T\ '1. • • ¦->
~г'к tk) drx . . . drftdr^ drft ,
(П.2.33)
где
П Л<;>(а, td» П A(V Сг\*д\ (П-2.34)
"V —хронологический оператор Дайсоиа [(индекс, указывающий расположение
операторов по очередности) и
Величина G<") есть функция Грина или корреляционная функция поля '(см.
приложение 1). Величина Кщ^. есть корреляционная функция приемника, -ко-
-которую можно представить [60] в виде
s (Lnp ¦ Шо)
i
где используется допущение
207
П.2.4. ОБОБЩЕННОЕ СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ,
ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ И МОМЕНТЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
¦ Фа
Выражение (П.2.33) можно записать в виде
где
14
. . .M(tk)}, (П.2.36)
^ О;,,,) d^;. (П.2.з7)
Согласно [12] вероятность того, что в интервале Т будет иметь место точно п
фотоионизащиоиных событий Р(п,Т), связана со своей производящей функцией
следующим соотношением:
к оо t+T t+T t+T
P(n, 7*)A-Я)« = 2 ) J • . ¦ J A»& '*) X
я=0
х dt, . . . dtm
m=0
/wl
Обратное соотношение имеет вид:
(П.2.38)
, t+T t+т
im(tu . . ., /„) dt, . . Mm, (П.2.39)
т=й ' ' ~t ¦ t
Подставляя (Л.2.36) в (П.2.38), получим обобщенную производящую функцию:
(-ХГ
» t+т t+т
_L ri (- if-* г с
l t+т t+т
[mi t
)
m\
{/t+T \m
2( j M(t')dtr
m!
{
ml
| = *гпо
@) N { e~w}, (П.2.40)
где
Q
= j M(t')dt'. (П.2.41)
t
Подставляя (П.2.36) в (П.2.39), получим обобщенное распределение:
Р (л, Т) = trnonH рпояя @) JV — е- 2} . (П.2.42)
Операторное выражение в фигурных скобках (П.2.42) является пуаосонов-
ским распределением вероятности числа п в интервале Т при Q, соответствую-
соответствующем среднему значению отсчетов п в интервале. Операторное выражение в фи-
фигурных скобках (Л.2.40) соответствует производящей функции пуассоновского
распределения.
208
Запишем выражение для факториальных моментов, .используя (П.2.36).
Факториальный момент m-го порядка выражается в виде
«?"•] =п(п — \\ . (п—т-Ь\) (П.2.43)
или
л=0 v
. . \ pm(ti, ¦ ¦ - tm)dti ¦ ¦ М„
Iv-o
(П.2.44)
']¦¦¦)
Подставляя в (П.2.44) выражение (П.2.36), получим
~^=trnM»<W,@)#{Q'»}. (П.2.45)
Факториальные моменты удобны тем, что они являются величинами, легко экспе-
экспериментально даблюдаемыми иа 'практике.
Статистический оператор в представлении когерентных состояний опреде-
определяется выражением вида
Р
= Г р ({oft}) | {о*} >< {ак ) | П
в*.
(П.2.46)
В последующем изложении ,мы опустим индексы при операции взятия следа
и в статистическом операторе, а также аргумент последнего [в выражениях
(П.2.40), (П.2.42) и ,(,П.2.45)].
Тогда получим:
Р(п, r) = trpu{^-
(П. 2.47)
(П. 2.48)
(П. 2.49)
Подставив в (П.2.41) ф-лу (П.2.37), имеем
t+T
Q f J
V ч.ч'
Положительно-частотную часть оператора вектор-потенциала представим в виде
\1/2 "* ГЛ -|ша'
) ()e
t+T
= f dt' Г J At d? ^ Кцц- {г,г') Л<~> G, /') Аф (?у г) . (п.2.50)
А.
... 1 dA<+) G, t)
Воспользовавшись известным соотношением Е""'= — — выра-
е at
жение (П.2.50) можно записать через операторы электрической напряженности
Т н ыше
()
поля. Тогда с учетом сказанного выше
t+T
j
S
(П.2.51)
209
где положительно-частотной части оператора электрического поля
Г
к, ц
соответствуют функции, играющие роль собственных значений:
е^ (г, t) = i 2j (-у J «*%Ые * .
Используя (П.2.46),(П.2.51), (П.2.6Й) и (Л.2,53) и учитывая, что
El+)(n t) I {«*}> = ^6 О I {«*}>;
(П.2.52)
(П.2.53)
запишем выражений (П.2.47), (П.2.48) и |(П.2.49).
=tr
X / Л' J j oV oV V
{ak} | ?<+>
Г( -
ехр Г( - Я)
X
V
t+т
где
Соответственио имеем:
| P
П da«*= Г
* J
s
n
ни'
е-2
(П.2.54)
(П.2.55)
(П.2.56)
(П.2.57)
ft
Выражение (П.2.56) соответствует обобщенному распределению Пуассона.
Это распределение .переходит в простое пуассоновское распределение, если рас-
рассматриваются «чистые» когерентные состояния, т. е. когда отсутствует усред-
усреднение по ансамблю P({aft }) = f|6<2)(aft' —a*).
ft
В (П.2.55) входит объемная корреляционная Кщ>.' (л г'), которая учитывает
поверхностные корреляции и эффективную глубину взаимодействия поля с фо-
фотоэмиссионной поверхностью.
210
Для широкополосных фотодетекторов выражение (П.2.55) .можно сущест-
существенно упростить. Приняв, что излучение поляризовано, осуществив замену
' ~а> 0, где шо — центральная частота спектра излучения, обозначим
ни' ^
Тогда, как показано в ,[22, 60], коэффициент k(r,r') можно свести к виду
k(r,r')=qa(r)t>W(r—/¦'), где о(г)—число атомов в единице объема фотоэлнс-
сионного слоя; q — чувствительность, приходящаяся на атом фотоэмиссионной
поверхности на соответствующей частоте. Для широкополосных фотодетекторов
можно считать, что чувствительность независима от частоты. Реальные широко-
широкополосные фотодетектары весьма близки по своим свойствам к идеальному де-
детектору, если использовать их для регистрации полей излучения с ограинченно§
полосой частоты; достаточно потребовать, чтобы чувствительность детектора бы-
была постоянна только в этой полосе.
Таким образом, выражение (П.2.55) может быть записано в виде (подстав-
(подставляя разложения по .модам):
t+T _^
Q = f di \ f dr dT'q a I
t+т
f
где a+ — вектор-строка(a1? a2, . . .).
t+т
(П.2.58)
. (П.2.59)
П.2.5. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕКОТОРЫХ
ТИПОВ ПОЛЕЙ
I. ОДНОМОДОВОЕ КОГЕРЕНТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ С ИЗВЕСТНОЙ ФАЗОЙ
В идеальном случае излучение ОКГ может характеризоваться чистым
когерентным состоянием с известной фазой. В этом случае статистический опера-
оператор (матрица плотности) имеет вид
р= j Р(о) | a><a| (Pa,
где
р (а) = бB) (« — «с). т. е. р = | ос > < ос | ,
и ас — комплексная амплитуда сигнального излучения частоты шс.
Выражение (П.2.58) в этом случае приводится к виду:
h t+T
Q = TWc) ^ j?a^)l^cWI2l«c|2dr=^^1)@)r = ^, (П.2.60)
где r\ = qNa—квантовая эффективность фоточувствительной поверхности;
Nа= I a(r)dr — число фогочувствительных атомов фотоповерхности;
211
sc — среднее число фотоэлектронов, появившихся с фотоповерхности за время
наблюдения Т (средний отсчет);
= —hcodocl2^- (П.2.61а)
— корреляционная функция первого порядка, заданная в один момент времени
в одной точке пространства, эквивалентная скорости прихода фотонов поля
.излучения; L3 — нормировочный куб с ребром L.
Выражение (П.2.6!а) для корреляционной функции первого порядка полу-
получается из общего выражения:
с*
(П.2.61)
при rt=?r't', индек! k=c я /Jc=|ac|2.
Таким образом, выражения для распределения отсчетов, производящей функ-
функции и факториальных моментов будут соответственно:
Р(п, Т) = — e-sc
п\
F (X) = е~Ч ;
(П. 2.62)
(П. 2.63)
(П.2.64)
Распределение (П.2.62) является распределением Пуассона.
2. ОДНОМОДОВОЕ КОГЕРЕНТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ С НЕИЗВЕСТНОЙ ФАЗОЙ
Практически, как правило, фаза колебания ОКГ неизвестна. Плотность
распределения фазы R(q>) когерентного излучения может быть принята равномер-
равномерной, т. е. /?(ф) = 1/2я. Если плотность распределения абсолютной амплитуды
одномодового когерентного (излучения Q'(|a|) не зависит от плотности распре-
распределения фазы моды R(q>), то вероятность Pj(a)d2a можно, переходи к полярным
координатам, представить в виде
Р (о) d2 о = Q ( | о | ) R (Ф) | о | d | о | d ф,
откуда
Из условия нормировки J P,(a)d2a=l вытекают условия нормировки для
плотностей Q(|a|) я R(q>):
2я
Q(\a\)d |a| =1;
1.
Таким образом, для когерентного одномодового излучения с равномерным
распределением фазы имеем
Р(а) =
1
2я | ос |
— | «с
(П. 2.65)
.212
Учитывая выражения 1(П.2.56), (П.2.58) и (П.2.65), получим распределение ве-
вероятностей отсчетов:
J п\
да 2л
= "if J.f ^T^T6t I « | - 1
о о '
a 1 d Ф=
о о
Аналогичяо иаходятся производящая функция .и факториальные моменты:
F (А.) = е-Ч и п™ = sc" •
Таким образом, неопределенность в знании фазы одномодового излучения
не оказывает влияния на статистические характеристики поля, которые в этом
случае полностью совпадают со статистическими характеристиками одиомодо-
вогй когерентного излучения с известной фазой. Заметим, что если Я(а) зависит
только от абсолютной амплитуды моды |а|, то поле является стационарным.
3. ОДНОМОДОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ С РАВНОМЕРНЫМИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯМИ
АБСОЛЮТНОЙ АМПЛИТУДЫ И ФАЗЫ
Для одномодового излучения с равномерным распределением абсолютной
амплитуды поля в пределах 0-г* и равномерным распределением фазы весовые
функции имеют вид:
1
0,
Я(ф)=1/2я;
Р («с) = A/ | ас | )Q (
ос | > Ь;
«с | ) Л (ф).
(П.2.66)
1
2я | ас | Ь '
Статистические характеристики определяются следующим образом:
6 2л
Р(п, Т) = ^-
О О
ас| Ъ
Sc I «с \d | «с
Интеграл в (П.2.67) в конечном виде не выражается. Обозначив
2L»
ь
— «1,
разложим подынтегральное выражение в ряд по | схс |; после вычислений по-
получим
п\ Ъ
о *=о
:-^)fe &2t"+fe)+'
k\ 2 (я •& k) -ф- 1
(П.2.68)
213
-±1(п), где/(п)=— f*2n e~kx x'dx. и приме-
п\ Ь J
Обозначив в .(Л.2.67)
няя интегрирование по частям, можно получить рекуррентные соотношения
Bя —3)Ь
Bя—;
(п—1)
(п.2.69)
Непосредственно из (ПЛ67) получим:
r)=i
где Ф (х)
С помощью этих рекуррентных соотношений можно вычислить Р(п, Т) при лю-
любых п. Производящая функция легко вычисляется из (П.2.67):
(П.2.70)
(П.2.71)
л=0
Факториальиые моменты распределения Р(п, Т) имеют вид
""Г"Т= ~t\ Iacl2md|«cl =
о
4. ОДНОМОДОВОЕ НЕКОГЕРЕНТНОЕ (ХАОТИЧЕСКОЕ) ИЗЛУЧЕНИЕ
Случай одномодового некогереитного излучения имеет место при возбу-
возбуждении одной моды большим числом хаотических макроскопических источников—
шумовых источников (к такого рода излучению относятся тепловая радиация,
гауссовы радиошумы, излучение Черенкова и др.).
Если поле стационарно и амплитуда распределена по гауссовскаму закону
лезависимо от распределения фазы, то согласно [Э2] весовая функция
оо 2л
I а |«
—=— е ш
яяш
2)" е-*'|а|>
а | 2)" е
а | d | а | d ф =
(П272)
где 5ш=т)<5{н'@), ^—средний отсчет; G{,J'(O) — корреляционная функция пер-
первого порядка хаотического шумового поля, заданная в один момент времени в
одной точке пространства.
214
Выражение (Л.2.72) соответствует геометрическому распределению; иногда
его называют распределением Бозе—Эйнштейна.
Производящая функция и факториальные моменты для рассматриваемого рас-
распределения легко вычисляются:
1
1 ¦¦¦ A.sm
л[ш] = m|
(П. 2.73)
Ш.2.74)
При тепловом равновесии яш = —^ t что соответствует излучению
абсолютного чёрного гела.
Рассмотренный случай теплового излучения представляет известный практи-
практический интерес при решении задач обнаружения и приема сигналов (ЖГ в шу-
шумах. Виешиие помехи приему в оптическом диапазоне волн в большинстве слу-
случаев определяются именно тепловым 'Излучением.
5. ОДНОМОДОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ, ЯВЛЯЮЩЕЕСЯ СУПЕРПОЗИЦИЕЙ
НЕКОГЕРЕНТНОГО И КОГЕРЕНТНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ С ИЗВЕСТНОЙ
НАЧАЛЬНОЙ ФАЗОЙ
Для нахождения статистических характеристик потока фотоэлектронов,
появляющихся вследствие воздействия на приемник когерентного излучения с из-
известной фазой в смеси с тепловым излучением, воспользуемся методом свертки
весовых функций двух полей.
Весовая функция для одной моды хаотического поля была записана в предыду-
предыдущем подразделе:
Pl (а) = 7Т~е •
яяш
весовая функция когерентной составляющей с известной фазой (одной моды)
имеет вид
где р—амплитуда когерентной составляющей.
Весовая функция результирующего поля
р («) = Г Pt (а') Р2 (а — а') dB) а' =
-J- е "шоB)(а-«'-Р)^2) в'=-L-е
.(П.2.75)
Введем обозначения а= |a|ei(P, p= |Р|е'Ф,
где 1|з — постоянная величина, соответствующая начальной фазе когерентной со-
составляющей.
Тогда выражение (П.2.75) можно записать как
lalM-IPI* 21al |pl cos
Р(а)
яяш
215
Учитывая общее выражение для Р(п, Т) и переходя к полярным координатам,
получим
<*> 2л
я! J J 1шш
О О
lal'+IPI' 2|«| IPHos (ф—if)
«ш "ш
2ft?
(П.2.76)
Здесь использовано выражение интеграла по ф чв|рез модифицированную функ-
функцию Бесселя нулевого порядка:
2я 2|д| ipi cos
"ш
"ш
(П.2.77)
Интеграл от произведения степенной, бесселевой н экспоненциальной функций
выражается через вырожденную гипергеометрическую функцию:
Асимптотическое представление, рекуррентные формулы и графики вырож-
вырожденной гипергеомет,рической функции представлены в B8]. Между вырожден-
вырожденной г.ипергеометрической функцией и полиномами Лагерра имеется следующая
зависимость:
(П.2.79)
(а2-80)
В дальнейшем также будет полезным равенство
л=0
Итак, используя (П.2.78), легко вычислить интеграл в (П.2.76):
„„.„
— - , = ~ ( it ) ехр — z Л —п; 1; — z—г
Учитывая ф-лу (П.2.79), имеем
Sm+l
(П.2.81)
. (П.2.82)
216
Первые два .момента и дисперсия распределения (Л.2.82) могут быть найдены
при использовании выведенной в (Йб] рекуррентной формулы для моментов про-
произвольного порядка. /Первые .моменты и дисперсия соответственно:
Я = Sm -ф- Sc;
п2 = 1^ -f Гс D7Ш -f 1) -f 2l^ -f ^ ;
A n* = я* — (я J = 2sc sm -ф- sc -ф- s^, -ф- sm.
ГЬраизводящая функция легко определяется:
2|a| 1Р1сов(ф-Ф)
=:
пяш
1
/ |Д|'+1Р1*\
— I =: I
V "ш
0 0
I -ф- Я. sm
Выражение для факториальных моментов также легко находится:
~^ = тГС Л ( - т; 1; -#) = mll« Z
(П.2.83)
-^-) . (П.2.84)
Используя формулу Лейбница для представления полиномов Лагерра, можно
вычистить факториальные моменты любого порядка. Факториальные моменты
первого и второго порядков:
= я= - я =
в. одномодовое излучение. являющееся суперпозицией
некогерентного и когерентного излучения с неизвестной
начальной фазой
Статистические характеристики этого вида излучения получаются по ме-
методике, приведенной в предыдущем подразделе с той лишь разницей, что весовую
функцию результирующего поля необходимо усреднить по плотности .распреде-
.распределения фазы_ когерентной составляющей, которую мы принимаем равномерной,
т. е. #1A|))=*!1/2я. В результате усреднения получаем
2я _ /1д|'+1В1'\ 2|ai
Р(о)=1/2я ГA/я1;ш)е "ш е
(П.2.85)
"ш
л яш
Статистические характеристики, найденные с помощью весовой функции вида
(rij2.85), оказываются аналогичными характеристиками предыдущего .подразде-
.подраздела. Физически эту аналогию можно объяснить нечувствительностью приемника
фотонов к фазе поля.
217
7. ОДНОМОДОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ, ЯВЛЯЮЩЕЕСЯ СУПЕРПОЗИЦИЕЙ
ДВУХ КОГЕРЕНТНЫХ ИЗЛУЧЕНИЙ В ПРИСУТСТВИИ ТЕПЛОВЫХ ПОЛЕЙ
При оптическом гомодинировании *) [61] световых потоков от двух не-
независимых лазеров, работающих в одномодовом режиме, неизбежны внешние шу-
шумовые излучения, а также тепловые шумы, обусловленные свечением плазмы раз-
разряда трубок. Результирующее излучение, являющееся одномодовым, может быть
найдено методом свертки весовых функций исходных полей. Близкий по физи-
физической ситуации случай может иметь (место в лазерном гироскопе щт наблюде-
наблюдении сигнала разностной частоты биений двух световых потоков, распространяю-
распространяющихся по контуру в противоположных направлениях. Определение статистиче-
статистических характеристик числа отсчетов для суперпозиции двух когерентных излу-
излучений в смеси с тепловым шумом позволит оценить квантовые флуктуации, от
которых зависят предельные чувствительность и точность приборов.
Весовая функция для суперпозиции двух смесей полей, каждая из кото-
которых, в свою очередь, является суперпозицией когерентного я хаотического поля:
Р<«) =
ехр I ¦ - r - " I , (П.2.86)
где р ,и v — комплексные амплитуды первого и второго когерентных полей;
«mi и Яшг относятся, соответственно, к первому и второму шумовым полям.
ятывая общее выражение лля п(п.Т\ „г,*-.™...
mi и Пш2 относятся, соответственно, к первому и
Учитывая общее выражение для р(п, Т) получим
Р(п, Т) =
-
11
а
Введем обозначения а
где
|а|ег<Р, р=|р|е1Ф, Y=lYleiVlH P+Y=P= lpl€'x»
(П. 2.87)
I Y I sin v
(П.2.88)
| у | cosv
тогда
|a_p_Y|a= ,а_р|а = |а,2ф |р|*_2|а||р|во.(Ф-А).(П.2.89)
Подставляя AП.2А9) в -(ПЯ.87) .и переходя к полярным координатам, получим
Р(п,Т)=,- -
Г| об
'J
0
2«Н-1
— *» | оь | «J X
Воспользовавшись выражением |(П.2.77) и ;(Л.2.78), получим
г _
1 J L '
("mi ¦ "шз)(*1"ш1 ¦ *1Яша-ф- О J
(П. 2.90)
') Гомодинный прием — это частный случай гетеродинного приема, когда ча-
частоты сигнала и гетеродина совпадают. — Прим. ред.
218
Подставляя (П.2.88) в (П.2.90), получим распределение фотоэлектронов при
известной фиксированной раэности фаз когерентных составляющих поля:
1
¦ *i"
1лшг) \
Aiimi 4" *i "шг
X
X ехр —
X /J-.t i _
1 L '
'
В частном случае, при допущении, что разность фаз i|)—v равна нулю, обозна-
обозначая С|реднюю_скорость фотонов в первом когерентном поле |P|2=/ici, а во вто-
втором |yI2="c2, получим
2 •¦¦ 1
i 4" «Ш2 4" 0
(П. 2.92)
При
Пш1=Яш2=Яш и /101 = 102=10 выражение (П.2.92) еще более упрощается:
На практике, однако, разность фаз ф—v может быть неизвестна (отсутствует
фазовая синхронизация). В этом случае (П.2.91) необходимо усреднить по рас-
распределению разности фаз. Приняв закон распределения разности фаз равно-
равномерным, получим в общем случае
Р (я, Т) = = г— [ "/ ""I ] X
2яA
2л
2/
V 1 -ф- Smi •¦¦ sm2 /
Г
Г ехр _
J L
4 5c2 4 2 У set sca cos (г|) — v)
-i
J
Set 4 Sca ¦ 2 У Sci Sca cos (г|>—v) ,
-Л; 1; — ¦ t— л - wr ^ - A ^
v). (П.2.93)
В [25] приведена рекуррентная формула для определения статистических
моментов в случае суперпозиции одного когерентного и теплового поля. Эта
формула справедлива и для рассматриваемого случая при соответствующем
изменении аргументов. Воспользовавшись ею, легко найти соответствующие мо-
моменты:
л = «ш1 ¦ Sllia + scl 4- sca 4- 21/sd scacos (г|>—v);
¦¦¦ sl2 ¦ 2 VX s"c«Tcos (г|>— v)]2+ fc ¦¦¦ s^a ^ 2
X [4 (%,! ^a) > 1] 4- 2 (8ш ¦ %a)a ¦"%,! -ф- %а.
(П.2.94)
cos(\|)—v)] X
(П.2.95>
219
Дисперсия числа п:
(ETnf = л2 - (лK = [sn 4 «73 4- 2
X [2 (%n ^шг) ¦ 1] ¦ i
cos
(г|з - v)]
x
(П.2.96)
Выражения (IL2.94), |(П.2.95) и (П.2.96) характеризуют статистические флук-
туации ори известной разности фаз когерентных составляющих. Для получения
физически измеримых результатов необходимо усреднить по распределению раз-
разности фаз. При равномерном законе распределения после усреднения получим:
" = Sail ¦ «lira ¦ «el 4" Sea I
X
X
(Д /iJ =
¦ 2 (Snjj + вШ2)а
[2
smi;
п" = 1612 -ф 4^ (&ш 4 1 ) 4 8"^ 4 27Ш;
= 4
В частном случае при г|>—v=0, sml=Sm2=sm и scl=sC2=Sc из ф-л (П.2.94),
(П.2.95) и (П.2.96) следует:
(П. 2.97)
(П. 2.98)
(П.2.99)
Таким образом, при известных мощностях когерентных и шумовых полей
по иайдениым формулам можно определить вероятностное распределение числа
отсчетов (фотоэлектронов) и статистические моменты любого требуемого по-
порядка. При практическом счете необходимо, очевидно, использовать квантовые
счетчики и быстродействующую аппаратуру для обработки.
8. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ИЗЛУЧЕНИЯ, ЯВЛЯЮЩЕГОСЯ
СУПЕРПОЗИЦИЕЙ МНОГОМОДОВОГО ГАУССОВСКОГО ШУМОВОГО ПОЛЯ
И ОДНОЙ КОГЕРЕНТНОЙ МОДЫ
Весовая функция суммарного излучения Р({(и}) в общем виде может
быть записана с помощью свертки [22]:
Р ({<**}) = j Рг (Щ) Р2 (а) П бB) (а* - h - а) d*a fl d* fa.
к к
Записав весовую функцию гауссова поля в виде
а весовую функцию когерентного излучения с .известной фазой в виде
где ас — амплитуда когерентной составляющей, получим
(П. 2.100)
п,
220
Используя выражение (П.2.100), (П.2.54) и (IL2j58), запишем производящую
функцию в виде
'«-И-Е-1^1- ._
k'.kr
f соответственно.
Виедем векторы у и ц с компонентами уь^* —1; и
а также матрицу М с матричными элементами
Тогда производящая функция
fF (Я) = J exp f - ^ , Y |
I U'. кГ
ft U'. кГ
^J] Н Yft ¦ «ее I «с 1а1) П ^^ = Г ехр{ -Y+(l
ft JJ ft « J
Ц-Яа; (i+Y-^Ясс I etc | *} П
ft я
Легко видеть, что выражение под знаком экспоненты можно привести к виду
Введем вектор Ьс такой, что \i=M6c « \и+=б?м+, кроме того, с помощью
унитарной матрицы U преобразуем векторы у и бс и диагоиализуем матрицу М:
Тогда предыдущее выражение можно записать в виде
где T=UMU+, а Vt—собственные значения матрицы Af.
Раскрывая это выражение, имеем
С учетам полученных выражений производящая функция имеет вид
ехр{ -?[(-*¦!¦
¦Г1
221
Для преобразования подынтегрального выражения
где х, b — комплексные числа;
Я и а — действительные числа.
Тогда
F М = й-Г——— ехр
используем
.а | fa '
тождество
¦4- >¦ I b I
Сумму в показателе экспоненты легко преобразовать:
).- г = 2
| а0 | ^+^.
Наконец, после простых преобразований н замены ||
i
лучим производящую функцию в .матричном -виде
det[/+XA1] по-
det [I + XM]
(П.2.102)
Поскольку матричная форма записи производящей функции неудобна при ре-
решении практических задач, необходимо преобразовать ф-лу
Воспользовавшись известными формулами из теории матриц,
,=0
det (/ + XМ) = exp {tr In (/ + % М)};
Запишем следующие равенства:
=exp|tr (хм — — XW +
(П.2.103)
(П.2.104)
Вводим следующие обозначения, раскрывая скобки в выражениях (П.2.103) н
(П.2.104):
J] 2] ^ (I/2 x
X ~ (со, coc)
'*qaTrx) d*7x
- , a
Црн выводе последнего выражения мы использовали ф-лы (П.2.69) и
(П.2.в1); кроме того, полагали, что поля пространственно плоские, это позволило
выразить результат через временнйе корреляционрные функции гауссова поля
и когерентного сигнала (G^iD,'i) и G^1' (U, h)).
Аналогичным образом можно найти /2:
= (Х
+ Afu =
k>, ft"
В общем случае имеем
l«cl2
*- (П.2.105)
ft=l
ft=l
Для вычисления величины det(/+XM), как показал Р. Глаубер {22], требуется
определение циклических интегралов вида
(П. 2.106)
где координату Л+i следует интерпретировать как t\. Значения интегралов 1%
и Jj в общем случае зависят, как это видно из выражении (П.2.105) н
(П.2.106), от спектрального распределения энергии, заключенной в поле, и мо-
могут быть найдены в конечном виде лишь в ряде предельных случаев, в частно-
частности, при наличии либо медленно, лнбо быстро флуктуирующего шумового поля.
Рассмотрим оба случая:
а. Медленные флуктуации шумового излучения G"Дсо<С1).
При наличии медленно флуктуирующего (узкополосного) шумового излучения,
для которого, выполняется условие TAco^.l, где Дсо — полоса частот шумовой
составляющей поля, функция корреляции шумовой составляющей остается не-
неизменной за щремя наблюдения Т и может быть записана в следующем виде [22]:
222
i и,(*,-/
где Шо — центральная частота полосы шумового излучения.
Подставляя (.П.2.107) в AП.2.Ш6), получим
(П.2.107)
/=1
~4, (П.2.108)
где Яш — «шумовой» отсчет.
Аналитические выражения интегралов Jj |(П.2Л05) зависят от величины
|сос—Шо|^> где Шс — частота когерентного сигнала; Шо — центральная частота
шумового излучения. Эти интегралы, как показано в [52], достаточно просто вы-
вычисляются в двух предельных случаях: |сос—(Оо|Г<С1 и |сос—CDol^^l-
1. Рассмотрим случай близких частот когерентной и шумовой составляющих
ПОЛЯ \(йс—CDo|^"Cll-
Выражение (П.2.105) преобразуется к виду
223
T
тт
¦и
о о
) П
1«еГ
где ~!m=r\GV)(OiT, Гс:
е« (о>.-а>с)Г_1 2j
1@H—0),.)
1«с|2 '
и использовано приближение,
[1@H-0),;) Г]" _t
т
(П. 2.109)
i (coo — шс)
справедливое при |o)o—Шо|Г-С1.
Подставляя выражение (П.2.109) в ф-лу (IT.2.1Q3) и используя свойства
геометрической прогрессии, получим
Выражение (П.2.Ю4) преобразуется с учетом (П.2.106) и (П.2.108) к виду
det (/4-А, Ж) = ехр
2Г
Учитывая, что /?сс = -^f Л Г и * = т| 0?!) @) Т =
и подставляя два последних выражения в (П.2.102), найдем производящую функ-
функцию:
1 _
sm
_J Г
= zr ехр —
(П.2. ПО)
В результате л-юратното дифференцирования производящей функции (ф-ла
П.2.39) получим распределение вероятностей числа отсчетов (фотоэлектронов)
при близких частотах когерентной и шумовой составляющих поля:
? Г
-т^]- (П-2Л11)
Первые два момента и дисперсия равны:
D % 4- 0 -?¦
224
2. Рассмотрим теперь случай |шс|
Интеграл ,(|П.2.109) может быть записан ,в виде
7
14
I ой,-12 i (ш0 — шс) Т
Поскольку 5Ш, sc н е1' ао ~ас I т
i]\Т
i (u)c — ш0) Т
являются величинами ограниченными, а вели-
величина i]шс—щ\Т может быть взята сколь угодно большой, интеграл If->0. По-
Поэтому произведение ц+|(/-(-аЛ1)-'ц становится равным нулю, и производящая
функция имеет следующее выражение:
1 ' - -* (П.2.112)
После га-кратного диффереицнрования получается распределение Р(п,Т):
п ~jn~zn—m
1 - ri 5ш sc
р/п 7Л = e~sc Л =
К' ' 14-i Zj (га-т)!A+7ш)т
т=0
1
l) ]m
J •
(П.2.113)
Первый момент и диспе|рсия равны:
б. Быстрые флуктуации шумового излучения ()
При наличия быстро флуктуирующего шумового излучения, когда время наб-
наблюдения Т значительно превосходит величину, обратную ширине полосы частот
шумовой составляющей поля, значения интегралов U и J j зависят от спектраль-
спектрального распределения .энергии, заключенной в поле.
Дрн лоренцевой форме спектра функция корреляции шумовой составляющей
поля имеет вид [22]
°(ш ( </+ь '/) =°i!) @) exp[io)o( tj+l -t,)-to> | tl+1 -tj\]. (П.2.114)
Функция корреляции сигнальной составляющей
G<'> ( tj+l, tj) = O<» @) exp [i coc ( tj+i - *,-)].
Интегралы /,- вычисляются обычным образом, необходимо лишь учесть, что
в выражении (П.2.114) стоит модуль величины \tj+i—/,|. Это заставляет при
интегрировании по любой переменной /,-+i разбивать область интегрирования на
две области, для которых соответственно выполняются условия: /,-+1>/,- и
tj+i<t}.
Значения интегралов при этом становятся равными
г г
1«с|2
о о
X
@) ехр [i (OC ft -12)] dtltU2 =
Г Г
X j jexp[i(wc — ш0) (tl — ti) —
о о
225
-^— OjJ> @) О») @) f dt2exp [i (ю, - coc) /,] X
ad j*
X exp [i (co0 — co0) tx — Aco (t2 — tx)} dtx -?¦
Lo ,
область U~>U
т
-ф- exp [i (co0 — co0) tx — Aco ft —12) ] dt^.
t .
область tx>t2
Обозначим внутренний интеграл, как J'=J"+J'", где
U
J" = j exp [i (сос — соо) *! — Дсо (t2 — tx)\ dtx
о
г
J"' = f exp [i (coc — co0) tt — Дсо (tt —t2)] dtx =
U
_ exp [i (coc — coo) T — Aco G' — f,)l — exp [i (coc — coo) t2]
i (coc — con) — Дсо.
т
Jx = J^ Gp @) G«J) @) j /' exp [i (co0 - coc) /,] dtt =
exp [i («Be — соо) (Т —12) — Дсо G1 — 2
i (сос — соо) — Дсо
G(D
ш
-]-.-
Aco"]
l«cl
е~Г4со
Здесь использовано условие, что 7Дсо>>1, и, следовательно, е
Таким образам, последовательно интегрируя по каждой переменной tu t2,
..., tj+i и каждый раз, кроме переменной tj+\, разбивая область интегрирова-
интегрирования на две части, получим в общем виде
т =
где
226
2Дсо2
(С00 — С0„J ¦
(П.2.115)
(П.2.116)
Выражение (П.2.103) после подстановки значений интегралов /,- становится
равным
50
|ас|а ГДсо
r^
(П.2.П7)
Для нахождения функции Fi(X) необходимо также определить значении
интегралов h. Как отмечалось ранее, интегралы /, являются замкнутыми
(«циклическими»), поскольку координата Л+i является координатой tu Это за-
заставляет обратить особое ввимание на определение пределов интегрирования яо
каждой переменной th t2 ... tit поскольку пределы интегрирования оказываются
взаимно связанными между собой.
Пределы интегрирования должны быть выбраны так, чтобы охватить все
области интегрирования сирого по одному разу, что не просто, если учесть, что
в выражение для корреляционной функции входят модуль величины \t)+\—tj\.
Рассмотрим конкретные примеры нахождения значений /i, /2, /з:
г
=т12 f
b
тт
j
b 0
@)]2 ехр [ — 2Дсо | t2 — h I
Г 2Т ехр ( — 2Асо Г) — :
2Дсо+ 4Дсо2
<Cl-ro члена
1 — ехр [ — 2Асо 7']"!
4 А со2 J
<С 1-го члена
т т т
/s=T)s(' Г Г Fg^' @I3ехр[ — Дсо | tx —12 | — Дсо[/а — /3|— Дсо| *з— k\dtxdl
ооо
г it,
= ti» [ G^ > @)]3 f dta I j dt2 exp [ - Aco (ta — tt)] [exp [ — Aco (tt + ta)] X
о lo
2Aco
[- Aco (t2-ts)X
exp [2Aco 7'] — exp 2Aco t2
X [ехр[-Дсо(<а — /s)] fa — h) + exp [ +¦ Дсо ft ^ ta) _2Д@
Дальше приходится вычислять табличные интегралы и выполнять соответствую-
соответствующие алгебраические операции, которые являются хотя я простыми, но весьма
громоздкими.
Окончательный ответ получается следующим:
227
Также могут быть вычислены и все остальные интегралы: /4, h, ..., /*• Одна-
Однако этого можно не делать, поскольку довольно скоро улавливается закономер-
закономерность, заключающаяся в том, что при выполнении условия ГДш»1 член с мио-
ГДш
жителем — при вычислении Ji оказывается наибольшим, поэтому другими
слагаемыми можно пренебречь.
В итоге
д
Г Дш =
Л
. Г Дш.
)'
(П. 2.118)
чае, что
li~ I ГДш J ' "™~(ГДш)'
Подставляя выражение (П.2Л118) в ф-лу ((Л.2Л04), получим в данном слу-
что
ГДш
: ехр
ГДш-
~ \Т Дсо
(П. 2. 119)
Таким образом, с учетом выражений (П.2Л>17) и (Л.2Л19) производящая
функция Fi(X) становится равной
ГДш Х
«in
ГДш J
(П.2.120)
Соответствующее ей распределение отсчетов фотоэлектронов находится при
использовании формулы Лейбница для ироизводиой n-tro порядка от произве-
произведения двух функций и дается формулой [62]:
Р(п, Г)="
ссу
Г (Т Дш 4» п — т)
Т(ТДш)Г(п-т-|^1
(П.2.121)
S.., =
ГДш *
Лервый .момент и дисперсия распределения (П.2Л21) равны:
ГДш
ГДш
228
Входящий в ф-лу (П.2.121) параметр р в случае лоренцевой формы спектр»
шумовой составляющей поля, как это было показано ранее, равен
2Дш2
1~ (шс — ш„)а -f- Дша
Если функция корреляции прямоугольная
0,
\ti-t
i-tj_1\>r.
где т =
'2Дш
, параметр
»= Р2;
sin f(coc — ш„) т]
(шс — ш„) t
Интересны некоторые предельные соотношения [52], вытекающие из ф-л
20 (П2121)
р
(П.2.120) -и (П.2.121):
1. При р='\ производящая функция
со]
(П.2.122)
и распределение Р(п.Т), выраженное через обобщенные полиномы Лагерра:
~' \Т Ди-f п
+ 4)
(П.2.123)
ТДш '
Первый момент и дисперсия равны:
п = sc + sm; Д ла = sc -f- 5Ш -f-
Вчд распределения (П.2.123) формально соответствует свертке распределения
(П.2.111) и отрицательно-биномиального с ГДш—1 степенями свободы.
2. При р-+0, т. е |сос—Шо|Г»1, имеем
Распределение Р(п,Т) выражается в виде
ехр ( — sc) Г sm \п
Р(п,Т)= _ ГАю ГГ" X
(П.2.125)
Zj Г(ГДш)Г(л-т+1)Г(т+1)D)Г'
где первый момент и дисперсия равны:
Sjj.
n=sc + Sui; Д/га=*с+5ш+—•
Распределение (П.2.125) представляет собой овертку отрнцательнобиномиальио-
го и пуассоновского распределений.
229
3. Практически характерен случай, когда энергия шумового поля (или число
сшумовых» отсчетов-фотоэлектронов), приходящаяся на степень свободы, мала,
т. е. -— -С1. Этот случай соответствует большому числу распределенных очень
сслабых» тепловых источников. При значительном уменьшении интенсивности
шумовой составляющей поля все распределения, характеризующие поток фото-
фотоэлектронов при приеме когерентного сигнала на фане шума, сходятся к распре-
распределению Пуассона, так как последнее является предельным для любого вида
распределения. Кроме того, распределением Пуассона можно характеризовать
сидеально» некогерентяое или смешанное излучение в случае очень сильного
ослабления. Тогда имеем:
F(A)=exp[ —
sin)" e*p [ —
(П.2.126)
(П.2.127)
9. КРАТКАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
Аналитические выражения рассмотренных выше распределений позволя-
позволяют сделать вывод о том, что статистика потока фотоэлектронов, появление которых
обусловлено воздействием на приемник когерентного излучения и гауссова шу-
шумового поля, определяется в общем случае, во-первых, видом функции корре-
корреляции шумового излучения, во-вторых, смещением частоты когерентного излу-
излучения относительно центральной частоты шумового излучения (|(ос—юо[) и,
в-третьих, временем наблюдения Т.
w3
10
IS
20
Рис. П.2.2. Сравнительная характеристика различных распределений:
а—~Дга2=4б,64; б -^Дга2=22,7; 6-/^=14,34; г — Дп^= 10,49; д — Дп2=9,14
На рис. П.2.2 приведены графики наиболее характерных распределений1).
Для всех распределений математическое ожидание одинаково. Кривая д соот-
соответствует пуассоновскому распределению i(n.2.62) фотоэлектронов на выходе
фотоприемника. Как видно из рисунка, распределение имеет минимальную дис-
дисперсию из всех распределений, поэтому это распределение может обеспечить
наилучшую эффективность при .обнаружении когерентного излучения в шумах.
Кривой а соответствует максимальная дисперсия. Аналитическое выражение
') Численные расчеты для графиков произведены С. Н. Маровой.
230
(П.2.111) для этой кривой получается при суперпозиции когерентного излучения
и медленно флуктуирующего шумового поля при близких частотах когерентной
составляющей и центральной частоты шумового излучения 1G'Ды<,1,
|о)с—о>о|7"<с1). Очевидно, что с точки зрения обнаружения это распределение
наименее благоприятно. При суперпозиции когерентного сигнала с быстро флук-
флуктуирующим шумовым полем и при близко расположенных частотах <ос и ш»
распределение вероятностей описывается ф-лой (Л.2Л21) (кривая б). Распол»-
гаясь между кривыми а и д, кривая б при увеличении 7'Ды приближается х кри-
кривой д, характеризующей распределение Пуассона.
При уменьшении величины ГД<о кривая б должна смещаться к кривой а.
Таким образом, при произвольном значении ГДы кривые распределений должлы
находиться между кривыми а и д, приближаясь к той или другой в зависимости
от величины ГДы.
В предельном случае Г|шс—«о|>1 при медленных флуктуациях шума рас-
распределение вероятностей, являясь сверткой луассоновского и геометрического
распределений, описывается ф-лой (П.2.МЗ) '(кривая а); -при тех же условиях,
но при быстрофлуктуирующем шуме распределение, являясь сверткой пуассоиов-
ского и отрицательно-биномиального распределений, описывается ф-лой i(H2.ili25)
(кривая г). Следовательно, при перестройке частоты когерентного излучения
относительно центральной частоты шумового излучения распределение вероят-
вероятностей числа фотоэлектронов, наблюдаемых на интервале Т, изменяется так,
что результирующее распределение .при тех же величинах математических ожи-
ожиданий сигнала и шума, обладает существенно .меньшей дисперсией.
Следует в заключение отметить, что при уменьшении энергии шумового поля
на степень свободы все распределения, характеризующие поток фотоэлектронов
при выделении когерентного сигнала .на фоне шумов, стремятся в пределе к
пуассоновскому распределению вероятностей.
10. МНОГОМОДОВОЕ НЕКОГЕРЕНТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ С ГАУССОВСКОЙ
ВЕСОВОЙ ФУНКЦИЕЙ
Весовая функция такого излучения при отсутствии статистической зави-
зависимости между модами
(П. 2.128)
Статистические характеристики некогерентного гауссова излучения ла вы-
выходе приемника (распределение фотоэлектронов, производящая функция и т.д.)
при малых и больших временах наблюдений Т могут быть получены из резуль-
результатов предыдущих подразделов:
а). Если наблюдаемое излучение является медленно флуктуирующим процес-
процессом, т. е. Г<С1/Ды, то ^производящая функция получается из выражении
(П.2.110) -при Гс=0. Имеем
fW= , , \- . (П.2.129)
Аналогичным образом из (П.2.111) получаем распределение
-+•
¦? Su
(П.2.130)
Это распределение совпадает с распределением Бозе—Эйнштейна или геометри-
геометрическим.
Первые два момента и дисперсия равны:
= sm
П? =
231
б). В случае быстро флуктуирующего иекогерентного излучения, г. е.
Т;> 1/Дсо, производящая функция получается из (П.2.120) при sc=0. Имеем
(П2Л31)
аде
—1 °Ш
Sm = ГДш •
Распределение Р(п, Т), полученное л-крат«ым дифференцированием произво-
производящей, функции и «азываемое отрицательно-биномиальным, равно
Р(п,Т) =
(Т Дш-j-n— 1I
(ГДш —
1
Г До
(П.2.132)
где
_
sui~ г Дш "
Первый момент и дисперсия равны:
Д я2 =
Г Дш
При уменьшении энергии, приходящейся на степень свободы поля, что характер-
характерно для теплового поля, отрицательно-биномиальное распределение переходит в
распределение Луассо-на.
И. СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ИЗЛУЧЕНИЯ. ЯВЛЯЮЩЕГОСЯ
СУПЕРПОЗИЦИЕЙ НЕКОГЕРЕНТНОГО СИГНАЛА И ШУМОВОГО ПОЛЯ
При условии, что некогерентный сигнал принимается практически при
•тсутствии шума, поток фотоэлектронов на выходе фотодетектора подчиняется, как
было показано выше, статистике Бозе—Эйнштейна или отрицательно-биномиаль-
отрицательно-биномиальному распределению.
Шум вызывает в общем случае изменение распределения вероятностей от-
отсчетов фотоэлектронов, при этом спектральные характеристики шума, величина
смещения центральной частоты шума относительно центральной частоты сигнала
¦и время .наблюдения определяют вид получающихся распределений.
Весовая функция суперпозиционного поля, состоящего из яекогерентного
сигнала и шумового излучения, имеет вид выражения AЪ2.108), где индекс k
¦включает моды обеих составляющих поля (сигнальной и шумовой).
Известно, что гауссовская весовая функция приводит к производящей функ-
функции вида [22]
Б данном случае, однако, необходимо учесть, что значения интегралов /* будут
аиределяться следующим выражением (если принимаемое поле состоит из плос-
плоских вола, падающих перпендикулярно поверхности фотодетектора):
где Gf(tT, tr+t) и G^tr.tr+i)—функции корреляции первого порядка сигнальной
и шумовой составляющих поля соответственно.
азе
Вычисление интегралов Ji в общем случае приводит к весьма громоздким
результатам, поэтому в дальнейшем приведено аналитическое определение рас-
распределений Р(п, Т) в двух случаях: случай медленных флуктуации шума и слу-
случай быстрых флуктуации.
Распределения Р(п, Т), характеризующие поток фотоэлектронов при произ-
произвольных флуктуациях шума, относительно просто могут быть найдены электрон-
электронным моделированием рассматриваемых процессов иа ЭВМ.
а). Медлевкые флуктуации шума. Когда сигнал принимается
на фоне медленно флуктуирующего шума, функция корреляции суперпозициои-
ного поля
G(tr, tr+1)=G1(O)e
! со.
t —t
при условии, что некогерентный сигнал также является медленно флуктуирую-
флуктуирующим процессом.
Если, кроме того, частоты обеих составляющих поля близки, так что спра-
справедливо неравенство TJcoi—0J1^1, значения интегралов приобретают вид
7
(П2ЛЗЗ)
()
Производящая функция
приводит к геометрическому распределению вероятностей отсчетов фотоэлектро-
фотоэлектронов, т. е.
Р(п,Т)=-
(П. 2.134)
Если частоты составляющих поля разнесены настолько, что выполняется
условие, что Г|ш1—cozl^'l, интегралы /* становятся равными /i = sj -)=- s^ . В этом
случае получается следующее выражение для производящей функции:
f (Л) = .у—^——— . (П. 2.135)
Для нахождения распределения Р(п, Т) необходимо произвести n-кратное диф-
дифференцирование выражения |(П.2.135) по X. В результате находим, что
1—s"
(П.2.136)
где
:
Выражение (П.2.136) формально является сверткой двух геометрических
распределений.
б). Быстрые флуктуации шума. При быстрых флуктуациях шума
произведение времени наблюдения Т «а ширину полосы частот шумового излу-
излучения Дш много больше 1. Для нахождения распределения Р(п,Т) в этом случае
необходимо знать вид корреляционной функции поля. Определить Р(п,Т)
в законченном виде .удается лишь в двух случаях: прн экспоненциальной функ-
функции корреляции и для прямоугольной формы функции корреляции.
В обоих случаях значения интегралов Jt определяются равенством
s'2)lTAa>-
9—160
(П. 2.137)
233
где i2—s2/TA(}), как и прежде, при медленных флуктуациях сигнала; необходимо
при этом помнить, что при экспоненциальной форме функции корреляции
2Дша sin (со! — (й-t) т
р = — — . „ , а при прямоугольной форме р= •
(щ — со2J ф Дсо2 * (Mi— ша)т
С учетом выражения (П.2Л37) получим следующее равенство для произво-
производящей функции:
1 + Я p~s^
*(*> = г. , . ,-, -ч1 г. .-мглт • (П-2138)
Для нахождения распределения Р(п, Т) .можно воспользоваться формулой
Лейбница для определения производной, n-го порядка от произведения двух
функций:
п
D"u o=* V | П
т=о
Вводя обозначения:
r>muDn
[1 "|Г Дсо
1 ф Я, s'2 J
можно получить распределение Р(п,Т) в виде ряда
ps2-hst |" sl
. (П.2.139)
Запись в таком виде удобна при составлении программы для ЭВМ, когда не-
необходимо рассчитать значения Р(п, Т) для конкретных величин входящих в него
параметров.
Если воспользоваться следующим равенством {54]:
(П. 2.140)
г=0
то в новой записи Р(п, Т) будет иметь вид
Г р!2ф^ I"
,Т)=\ Г
—— х
1
A
К-„'\Г Дсо
A -г- Р «2 + s0 ( Р S2 "Г" si)
Sj (l -^ p Sj^
F\ —п, ГДсо, — п; ,_, '±-\. (П.2.141)
¦В ряде случаев ф-ла (ПЙЛ41) может быть несколько упрощена. Если раз-
разность частот coi и со2 такова, что р=1, то производящая функция F\(X) приобре-
приобретает следующий вид:
F(X)=
г;'1гдсо-1
(П.2.142)
234
Из выражения (П.2.142) следует, что F(X) раана произведению производящих
функций, соответствующих геометрическому распределению с математическим
ожида.нием s=s%+Si и огрицательно-биномиальнаму с |(ГДо)—^1) числом сте-
степеней свободы и математическим ожидание.м, равиым
(Г Аа>— 1) s^
ГДсо
Распределение Р(п, Т) может быть записано в этом случае просто, как
свертка двух последних распределений, т.е.
Г Дсо-1 A? + s0" '
S2)
F -n; ГДи, — я;
(П.2.143)
Когда T\u>i—
выражение:
!, т. е. р-Ч), для производящей функции получим следующее
1
(П. 2.144)
т. е. в этом случае F(%) равна произведению производящих функций, соответ-
соответствующих опять геометрическаму распределению, но уже с математическим ожи-
ожиданием s=si « отрицательно-биномиальному с ТАы степенями свободы и мате-
математическим ожиданием, равным s2.
Распределение Р(п, Т) теперь дается равенством
Р(п, Т)=-
1
1
F j — п; ГДсо,—п;
(П.2.145)
Если источником шума является тепловое излучение, выполняется условие
¦и F(K) приводится к виду
= - г=-ехр( — Х72). (П. 2.146)
Производящая функция вида (П.2.146) встречалась при описании стати-
статистических свойств потока фотоэлектронов при приеме когерентного сигнала
в присутствии медленно флуктуирующего шума, когда выполнялось условие, что
Т | сос — ш0 | » 1.
Выраженное через неполную гамма-функцию распределение Р(п, Т), соот-
соответствующее данной производящей функции, имеет вид
es'/s'
(П. 2.147)
Здесь .необходимо заметить, что, поскольку для теплового излучения всегда
выполняется условие, что s2//<Sl (где / — число пространственных корреляцион-
корреляционных ячеек, укладывающихся на площади фотокатода), становится ясным, что
пространственное интегрирование не изменит вида полученного распределения.
9* 235
12. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СУПЕРПОЗИЦИИ
МНОГОМОДОВОГО КОГЕРЕНТНОГО И ХАОТИЧЕСКОГО ПОЛЕП ПРИ
СТАТИСТИЧЕСКОЙ СВЯЗИ МЕЖДУ МОДАМИ
Рассмотрим случай приема фотодетектором излучения, являющегося
многомодовой суперпозицией когерентного и хаотического излучения.
При отсутствии статистической зависимости между .модами суперпозиции
когерентного м хаотического излучений весовая функция {22,26].
= П (я я*) ' ехр [ - | ak - p* f/nk],
(П. 2.148)
где п* — среднее числе фотонов в k-й моде, обязанное наличию хаотической
компоненты излучения; {$*—комплексная амплитуда когерентной составляющей
моды.
Для учета статистической зависимости между модами в [26] введена матри-
матрица ((оператор) А с ^натричиым'и элементами
Ak/ = [(«ft — а*) (а/ — а/)* ]
и весовая функция в Р-представлени,и в В1де
1 (а - а)
(П. 2.149)
где g— число мод; вектор-строка а= (а., аг,..., ag) и а= (аь а2,..., (tg).
Весовая 'функция в такой форме есть многомерное гауссово распределение
в комплексном [пространстве g переменных, следовательно, а считается случай-
случайным фазором (случайным вектором в комплексном пространстве) со средним а.
Среднее а^ есть когерентная часть k-й моды.
Если моды статистически независимы, а „матрица А с матричными элемента-
,ми вида Aij=nfiij диагональна и a,-=P.j, то весовая функция (П.2.149) превра-
превращается в |(Л.2ЛD8). Следовательно, последующие результаты, полученные для
более общего случая статистической зависимости, будут справедливы также я
для случая, описываемого весовой функцией вида (IL2.148).
Подставляя (П.2.149) в (П.2.54) и учитывая (П.2.58), получаем
F(X) = (its' det | ,4 I) exp [ — аГ1 a+] f exp[— aDa+] X
J
g
X ехр[аЛ~' a+-f aA~l a+] П
где матрица D=A~1+XR.
Матрицы А и R эрмитовы, поэтому и D также эрмитова. Следовательно, су-
существует матрица унитарного преобразования U такая, что матрица U~lDU
будет диагональна. Унитарное преобразование вектора а запишем в виде
B=aU.
Тогда
S
a D а+ = 6 U~l DU 6+ = V
4=1
где %k — собственное k-e значение матрицы D. Положим вектор
а4-1а++аЛ-1а+=ет)++тH+.
236
аЛ~*?/, тогда
Подставляя два последних выражения в формулу для производящей функции и
используя разложение в ряд Тейлора для экспоненциальной функции, получим
k=\
г=0
(П.2.150)
Далее, используя биномиальное разложение и следующее тождество [22,26]
я (k\m\)~ J <k « ехр [ - К \ а | 2]](а)* (а*)т = Ькп КГ(т+1),
получим
= ( det| Л |
.Диагональная матрица U^DU в качестве своих элементов содержит соб-
собственные значения матрицы D. Обратная к этой диагональной матрице в каче-
качестве своих элементов будет иметь обратные собственные значения D. Таким
образом, при соответствующем выборе матрицы унитарного преобразования U
имеем
= т) U~x D-1 U т)+ = а Л D Л а+.
g
det \U-4x/\ =П Ik-
Кроме того,
det | D | =
Подставляя два последних выражения в формулу для производящей функ-
функции, получим
F(X)=(det | А | det | D\ )~' exp{S [ A'1 D — /] Л а+}. (П.2.152)
Общее выражение для распределения при произвольном Т получить не
удается; лишь в случае малых Т, как это будет приведено ииже, в работе [26]
было получено выражение для Р(п, Т).
Первый момент и дисперсия распределения, производящая функция кото-
которого описывается ((П.2.152), определяются следующим образом. Из определения
матрицы D следует
D~l = А (I ^ к RA)~l.
Далее, используя разложение вблизи
а также ф-лы (П.2.152) и (П.2.44), получим выражения для первого момента
н дисперсии
n=tT(RA)-$-aRa+ (П. 2.153)
я _ _
Дп! = 2а RA a+ ^ tr [(/?ЛJ] 4" ~п- (П. 2.154)
237
При отсутствии статистической зависимости между модами
"/ + РЯР+ (П. 2. 155)
й й
Д712 = 2р RATR P+ + V ^ |/?rs | 2^.ns + n, (П.2.156)
r=l s=l
где Р= (Рь Рг, ..-, Р«), а Лт — диагональная матрица, у которой диагональными
элементами являются л,-.
рщ
да
-*
1
/
/
!
Л
ч
\
\
\
\
V
\
\
\
6
\
д
4
Рис. П.2.3. Статистическая харак-
характеристика Р(п, Т) суперпозиции
многомодового когерентного и не-
когереятного хаотического излу-
излучений
0 tO 20 30 kO 50 ВО 10 п
Кривая
а
б
в
г
tr (RA)
20
5
2
0
ate +
0
15
18
20
Рассмотрим случай малого интервала наблюдения по сравнению с обратной
величиной полосы частот излучения, т. е.
где разность «ь—ш, мак-
4>k — W/
симальна. Это допущение ведет к значительному упрощению формулы для про-
производящей функции и, как следствие, к возможности определения аналитиче-
аналитического выражения для распределения. Легко показать, используя выражение
(П.2.59) и аппроксимацию
ехр [ — i (щ - шу) Г] « 1 — i (u>k—u>j) T,
1
справедливую при Г<^ -, что
Rkj = (RkkRjiI12 ехр [ - i ((о* — a>j)t].
С учетом этого в [26] найдены выражения для производящей функции и рас-
распределения:
(П. 2.157)
[tr(JM)]"
Г -вЯо+ 1 Г
¦п I ехр I •
\\r(RA)(\-\-b(RA))\ I
где Z-n — полином Лагерра п-го порядка.
238
1 + tr (RA)
(П. 2.158)
Формула для факториального момента г-го порядка .приобретает вид
"^Й = л! [tr (RA) ( Lr [ — a R a+/ tr (^Л)|. (П. 2.159)
Сравнивая выражения (П.2Л68) и ;(,П.2.1,11), видим, что aRa+ соответствует
когерентной части излучения, а ЩЯА)—хаотической части излучения.
Графики распределения (Д.2.158) приведены «а рис. П.2.3. О.нл_построены
при различ1ных_з:начениях ~Ru+ и tn(RA), яо для каждой кривой л=20. При
tr,(RA)=2O и aRa+=ti получается распределение Бозе—Эйнштейна; при a#a+ = 20
и tr(RA)=Q распределение становится пуассоновским.
Из анализа кривых следует, что доминирующее влияние на распределение ока-
оказывает хаотическая составляющая излучени^; даже при отношении когерентной
части к хаотической 3:1 (tr(RA)=<5 и a/?a+=16) распределение более близко
к распределению Бозе—.Эйнштейна, чем к распределению Пуассона.
13. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СУПЕРПОЗИЦИИ
МОДУЛИРОВАННЫХ И ХАОТИЧЕСКИХ (ШУМОВЫХ) ПОЛЕЙ
Сущность процесса модуляции состоит в том, что амплитуда или фаза
высокочастотного колебания изменяются в соответствии с модулирующим низко-
низкочастотным сигналом. В системах связи оптического диапазона частоты модулирую-
модулирующего сигнала размещаются в диапазоне евч и ниже. Будем в дальнейшем пред-
предполагать, что немодулироваяный оптический сигнал генерируется ОКГ и яв-
является суперпозицией хаотического и когерентного излучения (экспериментально
подтверждено [27], что излучение гелий-неонового лазера, работающего в одно-
частотдом режлме, является именно суперпозицией хаотического и когерентного
излучений).
Рассмотрим амплитудную модуляцию, представляя модулирующий сигнал
классически в комллексиой форме. Если модулирующий сигнал является гармо-
гармоническим колебанием, то на выходе модулятора .имеются три составляющих —
центральная несущая и две боковых; фаза каждой боковой составляющей де-
детерминировано связана с фазой центральной составляющей.
Обозначим модулированный сигнал g(t), тогда в комплексной записи
= Ас е~' ф» [ 1 + пгш f @]е 1Щ , (П.2.160)
где Ас — амплитуда колебания несущей частоты;
Идм —коэффициент глубины модуляции; _
f(t) — действительный модулирующий сигнал, g(t) = Rt[g(t)];
фо — фаза колебания несущей частоты;
(о0 — угловая частота несущей.
Модулирующий сигнал может быть записан в виде
/ @ = Am cos ((omt ¦$- фш),
где Ат, фт и (йт — амплитуда, фаза и угловая частота модулирующего сину-
синусоидального колебания.
В комплексной форме mAml(t) можно выразить в виде
"AM
(П.2.161)
где
фш = — arc tg
Im
239
Подставляя (П.2.161) в (П.2.160), получим
g @ = Лее"' (М"'+<Р') 4- Лс Р; в"''^•-чв™) '+Ф ¦ А$т Г1№'+ Ю<«> '+<Ч
(П. 2.162)
Весовая функция в /^представлении для частного случая амплитудной мо-
модуляции
Р ({а }) = (я по)~> 6B) («1 - Р; «о) б'2» (а2 - Р„Л) ехр [ ~ |а°-~ М* 1,
L "о J
(П. 2.163)
где щ — нижняя боковая мода; <х2 — верхняя боковая мода; а0, п0) Eо— члены,
относящиеся к центральной составляющей. В этом [представлении видна полная
статистическая зависимость боковых мод от центральной, кроме того, учтены
относительные фазы мод.
Поскольку модулирующие частоты относительно ииаки, модулированный сиг-
сигнал является узкополосным \Т <С
. Вследствие этого матричные зле-
менты Ra мало отличаются друг от друга при изменении индекса у и их можно
принять постоянными, т. е.
Тогда
= f . . . Г—^= 6B)(ai-P^a0NB)(a2—Pm«o)exp[
X exp [ — Я /C ( j a0 | 2 -ф- | a,
I a°~P° I * _» ь-
~ '"IT
«о
X
«ft =
e "' e d2a0.
После интегрирования производящая функция выражается в виде
F(k)={l^kKno[l4-mMf(t)]}-1 ехр Г —
(П.2.164)
Распределение фотоэлектронов на временном интервале легко получить из
J^n.^.157), (П.2.158), (П.2.164) простой заменой tr(-RA) на /(nofl + OTAMffO]2 и
aRa+ на
/ I,
/i 1 Ж W
-/CIPol2[l-f «
дм
Кп0 [ 1 + «АМ / (О]2 [ 1 + /(«о [1 + «ДМ / W]2]
X ехр
где Ln — полином Лагерра n-го порядка.
240
(П. 2.165)
Как видно из выражений (П.2.164) и (П.2.165), когерентная (Ро) и хаоти-
хаотическая ("о) составляющие центральной несущей модулированы по амллитуде,
следовательно, на выходе фотодетектора можно ожидать изменений огибающей
когерентной ,и хаотической составляющих.
Все сказанное выше легко обобщить и а случай модуляции излучения спект-
спектром частот, состоящим из любого числа составляющих. В этом случае весовая
функция
Р ({а }) = (я Я-»)"' ехр
2] П 6B) Ы - Y*«o). (П.2.166)
где у* —параметр для k-й моды, получающийся из классического представления
модулирующего сигнала в виде фаэора. Число мод будет определяться видом
модуляции и спектром частот модулирующего сигнала. В качестве примера
представим модулирующий сигнал в виде
I
f @ = У ar cos (a>rt 4- Фг)'
Отсюда
= — mAM ar ei<pr , для k = 2r — 1,
г, для & = 2г.
Таким образом, используя /^представление, можно выразить модулирован-
модулированный сигнал на выходе модулятора. Однако, реально в системах связи, на мо-
модулированный сигнал при распространении по трассе связи «накладывается»
дополнительное хаотическое излучение. Для этого случая Я-представление ве-
весовой функции может быть получено при использовании формулы свертки рас-
распределений многомодовых излучений [одно из них вида (П.2.148), другое —
вида (П.2Л66)]:
где индекс «s» отнаоится к амплитудам а суммарного поля (суперпозициоЕно-
го). Имеем
где g — число мод модулированного поля.
241
Используя фильтрующее свойство б-функщий, т. е. интегрируя по боковым
модам, получим
X exp
г R>-«;n Г ho-Pol2 1
— — exp — J =—L— ,
L «0 J L «o J
(П.2.167)
где nk — среднее число фотонов в k-й моде хаотического излучения, которое
«накладывается» на модулированное поле.
.Подставляя весовую функцию P({a^ks)}) в выражение для производящей
функция
Ftl) =
П
и интегрируя вначале по a?s) , а затем по а'о, и учитывая, что Q({a^s)}) =
= a/?a+, wea=(aj
но получить
aj
js)
a^l,), a a+ — эрмнтово-сопряженный к a, мож-
можexp J — AY^ Y+ I Po I 2 X
(П. 2.168)
где y=A. Yb Y2, .... Yff-i)-
Из выражений для производящей функции (П.2.157) и распределения числа
фотоэлектронов на временном интервале (П.2.158), полученных для .малых зна-
значений Т (узкополосный процесс), по аналогии можно .получить распределение
числа фотоэлектронов на временном интервале для модулированного излучения.
8—1
Для этого достаточно заменить tr(RA) па [y#Y+"o+ 7 Riin'[\ и aRa+ на
/=о
Y/?Y+IPo|2- Получим
«-Н
242
в—1
¦+ я0 + ^] R,~n] \ ( 1 + y R Y+ я0 + V) /?,/«;
/=о ' "
— yRy+ i в- i 2
X
xe г -.'t>iM- 1
1 + yRy+no+^Rijn)
(П.2.169)
На рис. П.2.4 построены графики зависимости Р(п, Т) от п.
Графики построены при по=О |(что соответствует отсутствию хаотической
составляющей на центральной частоте, обязанной шумовому излучению генера-
генератора; хаотическая составляющая на цент- Р(п,Т)
ралвной частоте, обусловленная внешним ;
излучением п0, естественно, присутствует);
кроме того, значение хаотической части из- ^„-/
лучения N Rjj n ¦ принято равным 2,0, а
/=0 W
когерентная часть y^Y+IP°I2 принимает че-
четыре значения 0, 2, 10, 18. Кривые свиде-
свидетельствуют о «нестационарном» характере Ю
статистик амплитудномодулированных ио-
Рис. П.2.4. Распределение чис-
числа фотоэлектронов на времен-
временном интервале для модулиро-
модулированного излучения
w-
to-
to(л
г
\
\
\
-2
\
\
\
s
ч
\
>
3
\
\
\
\
\
-4
|\
\
\
\
V
>
\
0 /0 20 30 40 50 60 10 80 п
лей — по мере изменения когерентной части излучения от 0 до '18 кривые распре-
распределения вероятности изменяются от статистики Бозе—Эйнштейна до статистик,
приближающихся к распределению Пуассона. Математическое ожидание и дис-
дисперсия распределений также изменяются в функции когерентной амплитуды.
.14. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ИЗЛУЧЕНИЯ
ПРИ МЕХАНИЧЕСКИХ НЕСТАБИЛЬНОСТЯХ ЛАЗЕРНЫХ УСТРОЙСТВ
И ТУРБУЛЕНТНОСТЯХ СРЕДЫ
На практике нередки случаи, ,когда ОКГ подвержены механическим ви-
вибрациям и тряске, а также другим нестабильностям. Например, при механических
нестабильиостях резонаторов газовых ОКГ выходное излучение модулируется
по амялитуде с малым коэффициентом модуляции. Модуляция обусловлена
перемещениями в малых пределах основного типа колебаний внутри допплеров-
ской линии за счет вибраций зеркал, что изменяет коэффициент усиления лазера.
Эта паразитная модуляция ухудшает чувствительность и точность приборов
лазерной техники. Кроме того, она возникает при прохождении луча в турбу-
турбулентной атмосфере.
В этом подразделе рассмотрим упрощенную методику определения некоторых
статистических характеристик сигнала, подверженного воздействию указанных
флуктуации. Оптический сигнал с «наложенной» на него хаотической амплиту-
амплитудной модуляцией можно трактовать как стохастический процесс (стационарный
243
¦и эргодический). Спектральное разложение этого процесса представляется ан-
ансамблем синусоид с независимыми случайными фазами, равномерно распреде-
распределенными в пределах от 0 до 2л. Поэтому можно сказать, что результирующая
интенсивность -сигнала / также является функцией случайной фазы <р, ipaBHO-
мерио распределенной в пределах от 0 до 2я.
Основная формула стохастической теории для распределения фотонов или
фотоэлектронов на временном интервале была выведена ранее. Классический
аналог этой формулы был предложен в E6]:
1 (Г t+T Т ( t+T \\
Р{П'Т) = ~тЛ<\\Г[ I 7^Л' ехР ~Т1 J ППШ' >, (П.2.170)
где т] — квантовая эффективность; I(t') — мгновенная интенсивность, а косые
скобки означают взятие среднего по ансамблю интенсивностей.
Для случая быстродействующей системы обработки, т. е. когда интервал
наблюдения 7"«^когер, интенсивность в течение Т остается почти .постоянной и
t+T
f I(t')dt'=IT.
t
Тогда ф-ла (П.2.170), характеризующая усреднение по ансамблю мгновенных
значений интенсивности, запишется в виде
р (п'т) = ТГ f{ц IT)n ехр (~
(П.2.171)
где рA)—плотность распределения мгновенных значений интенсивности.
Поскольку интенсивность излучения есть функция случайной фазы (/~/(<р),
р(ф)=-—), выражение (П.2.171) эквивалентно следующему:
2я
Т)=i\ f[ц'(ф)л"ехр[~ц'(ф) г) ic
о
(П. 2.172)
Можщо показать, что при малых коэффициентах модуляции шам выраже-
выражение для интенсивности имеет вид /=/A+2отАм cos ф), где / — средняя интен-
интенсивность.
Тогда выражение (П.2.172) запишется в виде
2л
1 — _ 1 С _
Р («. Т) = — (s)" ехр (- s) — | A + 2mAM cos ф)« ехр (-s2mAMcos<p)Ap,
_ _ 0 (П. 2.173)
где s=r\IT (средний отсчет).
Интеграл в ф-ле (П.2.173) может быть вычислен, если разложить выраже-
выражение A+2тдм cos ф)" в ряд. После вычисления получится сумма п членов, каж-
каждый из которых является бессслевой функцией. Однако выражение ф-лы
(П.2.173) через сумму бесселевых функций громоздко; поэтому это распределе-
распределение оставляем без изменений.
Для вычислений интересующих нас моментов найдем производящую функ-
цию
¦ У_Р(п,Т)Хп. Имеем
/1=0
ехр (— s)
2я
is1
П\
ехр (— s2mAM cos ф)
244
ехр (— s)
2я
2л
- Г ехр [7 X A + ~m AM cos ф) ] ехр ( — s2mAM cos ф) d ф=
= ехр [s (Я,- 1)] /„ [2mAM s A - к)},
(П.2.174)
где /0[2otAmsiA—X)] —функция Бесселя первого рода нулевого порядка.
Математическое ожидание
dF
Дисперсия Ап2=п2—(пJ, где второй начальный момент п2 определяется из
выражения
Обозиачим s(X— \)=а и 2otAms,A—X) =b. С учетом свойств функции In(z),
получим:
dF — —
— = s ехр (а) /„ (Ь) — 2отАМ s ехр (а) 1г (Ь);
о А
|^- = (Г> ехр (а) /„ F)-2тАМ (ГJ ехр (a) h (Ь) - 2тАм
(а) [-
+
(П.2.175)
При Х=1 имеем а=Ь=0 и expfa;=l, /0(*J='l, /rf*)=O. Можно показать, что
в выражении (П.2.175) -J-— имеет предел 1/2 при 6^0. Следовательно, по-
получим: n=s
(ГJ; (П. 2.176)
ш (П.2.177)
Ясно, что |2отАм|<1. Легко видеть, что при отАм=0 распределение сводится
к распределению Пуассона.
Таким образом, статистический момент (Л.2.177) связан с коэффициентом
глубины" модуляции отдм. Экспериментальное определение моментов (П.2Л76)
и (Л.2.177) позволит определить степень механических нестабильностей или сте-
степень влияния турбулентности среды, от которых зависят точность и чувстви-
чувствительность лазерных приборов.
Приложение 3
ОПТИМАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР ОБНАРУЖЕНИЯ
ХЕЛСТРОМА
Понятие оптимального оператора обнаружения было впервые введено
К. В. Хелстромом {;19]. Плодотворность этой концепции состоит в обобщенном
подходе к процессу обнаружения и приема оптических сигналов, в возможности
реализации органической связи квантовомеханического «наблюдения» со струк-
245
турой устройства «наблюдения» (приемника). Кроме того, оптимальный опера-
оператор обнаружения позволяет получить алгоритм оптимальных операций .прием-
.приемника при обработке сигнала и структуру схемы обработки и найти аналитиче-
аналитические выражения характеристик эффективности оптимальных приемников, учи-
учитывая особенности чувствительных элементов приемников.
В данном приложении :мы подробно рассмотрим это понятие и на ряде при-
примеров продемонстрируем конкретные инженерные применения этого понятия с
целью получения алгоритма операций (отношения правдоподобия) и рабочих
характеристик оптимальных приемников.
При «наблюдении» электромагнитного поля относительно низких частот
(диапазон свч и -ниже) классическая физика позволяет адэкватно описать элек-
электромагнитный сигнал и шум. Следовательно, приемником можно измерить элек-
электромагнитное поле с требуемой точностью; статистическая теория обнаружения
и приема сигналов принципиально способна обеспечить «наблюдателю» полное
знание характеристик поля.
На оптических частотах необходимо описывать поле квантовомеханически,
статистическая природа функции состояния поля или матрицы плотности нала-
налагает определенные ограничения на точность и степень достоверности, с которой
поле может быть из!мереяо. Кроме того, в оптическом диапазоне важно не толь-
только как измеряется поле, но и с помощью какого прибора.
Из квантовой механики известно, что при наблюдении поле никогда не на-
находится в «чистом» квантовомеханнческом состоянии. Наиболее вероятное со-
состояние поля описывается статистической смесью состояний и характеризуется
матрицей плотности (статистическим оператором).
Обозначим матрицу плотности наблюдаемого поля при отсутствии полез-
полезного сигнала ро (в этом случае поле обусловлено лишь хаотическим фоновым
излучением). При наличии полезного сигнала поле будем характеризовать мат-
матрицей плотности р,.
Наблюдатель, обнаруживающий полезный сигнал, должен на основании
наблюдений .поля приемником .решить, какой из двух операторов ро или pi ха-
характеризует систему (поле). Эти операторы являются известными функциями
операторов динамических переменных системы. Гипотезу о том, что поле описы-
описывается оператором ро, обозначим Яо, альтернативную гипотезу о том, что поле
описывается оператором Pi, обозначим Hi. Выбор той или иной гипотезы должен
быть основан на результатах измерения некоторой динамической переменной,
соответствующий оператор которой обозначим X. Этот оператор может вклю-
включать набор коммутирующих и, следовательно, одновременно измеримых опера-
операторов. Он обладает набором собственных состояний (функций) \Xh>, соответ-
соответствующих собственным значениям Xh'.
X | xk > = Xk I xk > .
Набор состояний предполагается полным, следовательно, любое состояние
системы может быть выражено в виде линейной комбинации состояний \х^>.
Результатом измерения динамической переменной является одно из собст-
собственных значений оператора X, т. е. при .измерении динамической переменной и
получении от-го собственного значения хт система -остается в соответствующем
собственном состоянии |дгт>. В дальнейшем с системой никаких измерений не
производится .и наблюдатель выбирает гипотезу лишь на основе этого зна-
значения Хт.
Нерандомизированная стратегия наблюдателя состоит в том, что при изме-
измерении динамической переменной X и получении собственного значения хт гипо-
гипотеза Я,, или Яо выбирается однозначно (а не с какой-либо вероятностью) при
сравнении этого значения с порогом хо (например, Hi— при хт^Ха, На—при
)
)
Рандомизированная стратегия состоит в том, что каждому измерению хт
присваивается вероятность ят, а наблюдателю предписывается выбирать гипо-
гипотезу Я| с вероятностью ят и гипотезу Но с вероятностью ,1—пт (возможно с со-
соответствующим учетом веса риска).
Следовательно, наблюдатель определяет (измеряет) не динамическую перемен-
переменную X (в знании величины которой он заинтересован лишь косвенно — постоль-
246
ку, поскольку собственное значение динамической переменной хт связано с ве-
вероятностью ят), а динамическую переменную, которой соответствует опе-
оператор
П-1
xk > nk < xk
(П.3.1)
Оператор Л называется оператором обнаружения.
Как видно из (Л.3.1), оператор П диагоналей в представлении \Хк>, сле-
следовательно, |дГ),> являются его собственными состояниями с собственными зна-
значениями ял. Измерение динамической переменной П дает наблюдателю вероят-
вероятность, с которой следует выбирать гипотезу Н\.
В общем виде для совокупности состояний ] {*„} > оператор обнаружения
можно записать как
{*«} > я{«} < {**} I . (П. 3.2)
Оператор обнаружения является эрмитовым. В представлении, в котором
матрица оператора обнаружения диагоаальна (П.ЗЛ), ее диагональные эле-
элементы, являющиеся собственными значениями, лежат в области значений меж-
между 0 и II, т. е. 0«?я„«?1.
|В каком-либо другом представлении, определяемым матрицей унитарного
преобразования U, матричные элементы оператора обнаружения могут быть
записаны в 'Виде
П ь„ = У1 Ukn лп6пр U'pm =
\km
n,p
Диагональные элементы
' Ukn 1* =
где .использовано свойство унитарности матрицы U. Поскольку значении я& ©се
положительны, диагональные матричные элементы Пьк также являются положи-
положительными, т. е. 0^/7j,ft^l.
Оператор /72 имеет собственные значения nm и так как 0^ят^1, опера-
оператор П2 является оператором такого же рода, что и П. iB любом представлении
его диагональные элементы имеют значения в пределах от 0 до 1, т.е.
О < (Л2)
i = У] пткпкт = __
k k
I Пкт
При'выводе последнего выражения использовано свойство эрмитовости опе-
оператора П. Кроме того, из этого выражения следует, что все матричные элемен-
элементы П удовлетворяют условию |/7j,m|^il.
Если записать .матричные элементы в виде
« использовать неравенство Шварца, то можно найти
I Пкт | 2<У Я„ | Ukn
а
Следовательно, любой недиагональный элемент Пкт равен или менее по
абсолютному значению среднему геометрическому диагональных элементов опе-
оператора П в соответствующих строке и столбце.
247
Число операторов обнаружения, удовлетворяющих рассмотренным условиям,
бесконечно велико, и поэтому главной проблемой является нахождение наилуч-
наилучшего нз них.
Согласно тео,рии оптимального обнаружения и лриема оптимальный прием-
приемник проектируется в соответствии с двумя ¦критериями: критерием )Байеса, ми-
минимизирующем среднюю стоимость операций (решения), или с критерием Ней-
Неймана-Пирсона, максимизирующем вероятность обнаружения сигнала при фикси-
фиксированной вероятности ложной тревоги.
Вероятность ложной тревоги ЯЛт есть вероятность выбора гипотезы #i в то
время, как истинной является гипотеза Но.
Вероятность того, что при измерении динамическая переменная П будет
в т-м состоянии |*т> при истинности гипотезы Но, равна <хт\р0\хт>. Ве-
Вероятность того, что в этой ситуации будет выбрана гипотеза Н{, равна
Ят<*т|ро|*т>. Суммируя ПО ВСвМ СОСТОЯНИЯМ, ПОЛуЧИМ
РЛТ =
< Хт
Хт > = tr
(П. 3.3)
т
Верность выбора гипотезы Я4 при условии истинности этой гипотезы,
Робя = 2] пт < хт I Pi I Хт > = tr (Pj П). (П. 3.4)
т
Для -более общего случая, описываемого оператором (П.3.2), имеем:
Рт = ^j п( п\ < {*"} ' Р° ' I*"} ^ =*г (Ро^); (П. 3.5)
ЯОбн= V п1пл< {*п} I Pi I {*«} > = tr (p, Я). (П. 3.6)
(Если априорные вероятности гипотез Но и Н\ обозначить соответственно р0
и ри а цену (риск) за выбор гипотезы Hi при истинной Hi обозначить
Qtf,(i,/=0, 1), то средняя стоимость каждого решения будет
Q = Ро [Qoo A - Рт) + QuArJ + Pi IQoi (> - -Робн) + <2иРобн] =
= PoQoo + PiQoi - Pi (Qoi - Qn) (^обн - Я Рлт), (П. з. 7)
где
Ро /Qio — Qoo
Pi \Qoi — Qn
(П.3.8)
Бели учесть, что Qoi>Qii и Qio>Qoo, то для того, чтобы минимизировать
среднюю цену решения, необходимо максимизировать величину Робн—ХРт,
т. -е. оператор обнаружения необходимо выбирать так, чтобы максимизировать
величину
Робн - Я Pn = tr [(ft - Яро) П]. (П.3.9)
Это условие справедливо и для критерия Неймана-Пирсона ((исключая лишь
то, что Рлт должна быть фиксированной).
Для нахождения оптимального оператора, максимизирующего величину
(П.3.9), используем представление, в котором матрица оператора pi—Яр0 див-
гона льна, т. е.
Pi — ЛРо =
(П.3.10)
где собственным значениям г)ц соответствуют собствеиные состояния |тц>.
248
Q)
fi
Если в этом представлении матричные элементы П обозначить Птп, то не-
необходимо максимизировать величину
tr [(Pl —
nmm.
(П.3.11)
/Поскольку диагональные элементы Птт положительные действительные чис-
числа, имеющие значения от 0 до 1, величина 2r)m/7mm будет максимальна, если
т
положить /7„„ = 1 при т]г.^0и /7пП = 0 при r]n<0.
Тогда согласно соотношению
V
k
П
nk
¦< 1
недиаганальные элементы Птп будут равны нулю в тех строках т и столбцах
п, для которых либо Птт=\, либо /7Пп = 1. В оставшейся части матрицы они
исчезают благодаря соотношению \Птп \2^ПттПпп при учете условия Птт=0
и Яяп=О. Следовательно, матрища ||/7mnil должна быть диагональной с соб-
собственными значениями 0 и 1.
Таким образом, оптимальный оператор обнаружения есть проекционный опе-
оператор на многообразии, определяемым собственными состояниями оператора
Pi—Аро с неотрицательными собственными значениями:
Л= ^ lifeXiftl- (П.3.12)
В случае простых альтернатив наблюдатель может использовать нерандо-
нерандомизированную стратегию, т. е. измерив динамическую переменную, оператор
которой есть pi—Яро, и обнаружив, что измеренное значение неотрицательно, аи
с полной достоверностью выбирает гипотезу Ни в противном случае выбирается
гипотеза Но.
Вероятность ложного обнаружения (ложной тревоги) и вероятность обнаруже-
обнаружения полезного сигнала при Байесовском критерии запишутся в виде:
Р*г =
Ро
<
2
( ч>0)
(П.3.13)
(П.3.14)
Для нахождения этих характеристик необходимо найти собственные значе-
значения и собственные состояния оператора pi—Яро.
Как уже указывалось, эта задача существенно облегчается, если операторы
Pi н ро коммутируют, т. е. имеют общий базис, в представлении которого оии
диагональны (в частности, как это будет показано ниже, в представлении чисел
заполнения для некоторых типов полей матрипы pi и ро диагоиальны).
Обозначив функцию состояния общего базиса \п>, можно записать
= V
Pi (я) < я | , * = 0,1,
(П.3.15)
где Pi(n)—вероятность того, что система находится в состоянии \п> при ги-
гипотезе Hi (i=0, 1).
Тогда учитывая (П.ЗЛО) и (П.3.12), можно записать собствеиные значения
оператора р[—Хр0 в виде
r\k=Pi(n) — Я.Я0(я), (П. 3.16)
и оптимальная стратегия наблюдателя состоит в выборе гипотезы Hit если изме-
249
рения ()о, Pi или X свидетельствуют о .нахождении системы в состоянии \п>
для которого
Pi(nyP0(n)>k. (П. 3.17а)
Если
P.i(n)/P0(n)<k, (П. 3.176)
•выбирается гипотеза Но.
Таким образом, стратегия сводится к использованию отношения правдопо-
правдоподобия и нахождению достаточной статистики.
|В общем случае задача нахождения достаточной статистики является весь-
весьма сложной я общего решения, .пригодного для всех ситуаций, не существует.
Однако можно указать ряд частных практически важных случаев, когда реше-
решение этой задачи может быть точно доведено до конца. К таким случаям отно-
относятся прием когерентного сигнала в некогерентном гауссовом шуме и прием
layocofla сигнала в гауссовом шуме.
Для ряда весовых функций полей, рассмотренных в приложении 2, матри-
матрица плотности является диагональной в числовом .представлении. В частности,
матрицы плотности гауссовых хаотических полей и суперпозиции гауссова поля
с когерентным полем являются диагональными в представлении чисел заполне-
заполнения. Указанные поля .практически являются наиболее интересными.
Из формул для матричного элемента оператора плотности
< п \ р | т > =
f Р (а) а" (а*)
ё~~ ' а ' *
Р I {тк) > = j P ({«*}) П
при подстановке в качестве весовой функции выражения, соответствующего ве-
весовой функции гауссова хаотического поля .(одномодового)
j
Р(а) = — е ~п
п я
следует
п | р0 | т> =
(\+пГ+*
При подстановке весовой функции одномодового излучения, являющегося
суперпозицией гауссова хаотического поля с когерентным полем
Р (а) = =- е~
п я
получим
: " I Pi I т > =
ехР
l«cl*\. Г 1 *е 1 2 1 .
1 + п ) L пA+п)\
Матричные элементы диагонального оператора плотности Pi(i=O, 1) в чис-
числовом представлении для полей, состоящих из совокупности статистически неза-
независимых мод (возбуждаемых хаотическими и когерентными источниками), выра-
выражаются в виде
I Pi
п
k
О" = 0,1). (П.3.18)
250
Тогда выражение (П.3.11), записалное для полей, состоящих из совокупно-
совокупности мод, имеет вид
tr
[(p,-
X
{"к)
2[П
! пк} L *
< пк | рх | пк >— X V\<nk I Ро I "*>]П( nh
к
пк),
(П.3.19)
где I |г \= диагональный элемент матрицы оператора обнаружения
в базисе собственных состояний (числовое представление) оператора pf—Яро.
Выше было показано, что диагональные элементы оператора обнаружения ||
в любом представлении есть положительные действительные числа, лежащие
между 0 и К Учитывая это, выражение (П.3.19) будет давать максимальное
значение, если для всех слагаемых \\f n \ =1 при
П < Пк | Р! | Пк >
(П.3.20)
П<«/
=0 при
>к
п
< пк I Pi
п
< X.
(П.3.21)
Ро
Сравнивая два последних выражения с (П.3.17а) и (П.3.176), видим, что
оптимальная стратегия основана на использовании отношения правдоподобия.
Так, оптимальный приемник принимает решение о наличии полезного сигна-
ла (I 1{яь}=1')> когДа выполняется первое неравенство, илн о его отсутствии,
когда справедливо второе неравенство. Алгоритм оптимальных операций прием-
вика и структура схемы обраюотки определяются отношением правдоподобия:
П
< nk \ Pi
п
(П. 3.22)
Ро
Базис представления чисел заполнения является полным, поэтому операторы
плотности р0 и pi полностью определяются набором чисел Пк, т. е. набором
чисел заполнения для мод поля. Следовательно, совокупность величин пн яв-
является достаточной статистикой, и решение о наличии или отсутствии полезного
сигнала в хаотическом поле может основываться на измерении числа фотонов
в каждой моде. Кроме того, вместо сравнения отношения правдоподобия X с Хо
(пороговое) можно непосредственно сравнивать п с по (пороговый уровень). Дей-
Действительно, согласно (П.3.8) параметр X является постоянной величиной и легко
показать на основании (П.3,17а), что Хо однозначно связано с по. Тогда
Ро
(П.3.23)
25!
Pi
(П.3.24)
Из выражений (П.3.17а) и (Л.3.22) следует, что отношение правдоподобия
гсть отношение матричных элементов соответствующих операторов или вероят-
вероятностей. Ясно, что в числовом представлении эти вероятности есть вероятности
фиксированного числа фотонов или отсчетов. Следовательно, большинство рас-
распределений, полученных в приложении 2, можно использовать для формирова-
формирования отношения правдоподобия и нахождения рабочих характеристик процесса
обнаружения.
(Приведем в качестве примеров аналитические выражения для отношения
правдоподобия и рабочих характеристик оптимальных приемников, выделяющих
полезный сигнал (когерентный или иекогерентиый) в гауссовом шумовом одно-
модовом и многомодовом излучении.
При обнаружении когерентного излучения в одномодовом хаотическом поле
отношение правдоподобия запишется как отношение матричных элементов вида
и <я|ро|п>. выражения для которых получены ранее:
|ас'2 1 (П. 3.25)
Как уже указывалось, вместо сравнения X с Хо можно сравнивать я с По,
где «о — пороговый уровень. Тогда согласно (Л.3.25) оптвмадьный приемник
должен фильтровать моду поля, содержащую когерентную составляющую, изме-
измерять число фотонов п в этой моде в течение времени наблюдения Т, и сравни-
сравнивать полученное число п с порогом «о. Вероятности ложной тревоги и обнару-
обнаружения соответственно равны:
Рлт =
р0'n
п=п.
\1 + п/
exp
/ |ас!2\, Г 1«сГ
n=n.
Легко видеть, что при заданной ЯЛт порог щ находится просто.
Практически отселектировать одну единственную моду поля в настоящее
время невозможно, просто не существуют столь узкополосные оптические филь-
фильтры. Следовательно, реально на чувствительный элемент приемника (например,
ФЭУ) будет действовать суперпозиция многоходового хаотического излучения
конечного спектра с когерентной составляющей. Статистические характеристики
таких полей получены в приложении 2, поэтому легко найти алгоритмы обра-
обработки (как отношение вероятностей) и рабочие характеристики реальных уст-
устройств обработки.
При приеме когерентного си-га ал а на фоне медленно флуктуирующего хао-
хаотического поля (T<Si -— ) распределение 'Отсчетов .(фотоэлектронов) на выходе
Дсо
фоточувствительного элемента приемника подчиняется распределению ,(П.2Л!.1),
полученного в приложении 2. При отсутствии полезного сигнала распределе-
распределение определяется выражением (П2ЛЩ.
Алгоритм оптимальной обработки получается из отношения этих распре-
распределений:
-_/С _Л
SmO+Sui) J
(П. 3.26)
где sc и sm—средние числа отсчетов фотоэлектронов за время наблюдения Т,
соответствующие сигнальной и шумовой составляющим поля.
252
¦Вероятности ложной тревоги и обнаружения равны:
(П.3.27>
¦В случае приема когерентного излучения на фоне быстро флуктуирующего
хаотического поля (Г>,1/Д<о) распределение отсчетов ^фотоэлектронов) на вы-
выходе чувствительного элемента приемника описывается выражением (П.2;1а1)
(см. приложение 2). При отсутствии полезного сигнала распределение описы-
описывается выражением (П.2ЛЭ2).
Алгоритм обработки определяется отношением этих распределений Вероят-
Вероятности ложной тревоги и обнаружения соответственно равны:
Л=Л.
G' Aco-|^tt— i)|
G Дсо —
(sm/T Аы)*
(ГАа-fn-m- 1)!
2j
т=0
X
X
sc
р sm/T Асо A + psm/T Дсо)
X
XI-
(ГАсо + я — от—
Sc 1
" ~ |
l+PSu/TAcoJ
. (П.3.30)
Аналогично можно получить аналитические выражения рабочих характери-
характеристик для случая обнаружения некогереитиого излучения на фоне гауссова шу-
шумового поля. В случае медленно флуктуирующего шумового поля (см. прнло-
Ж6Н.И6 2), И>М66М.'
^обн =
— —
1-fSc
(П.3.31)
(П. 3.32)
В случае быстро флуктуирующего шумового поля выражения для вероятно-
вероятностей ложной тревоги и обнаружения сигнала будут:
Г(ГА<» +
Г (Т Дсо) Г (
-+-") г 5ш У
<»+1>1 i + K.1
(П. 3.33)
1 \ГДю
X
253
X
Г (Г Асо + m)
Г(ГДю)Г(т+
(П.3.34)
где
s.,, =
ш ГДш "
Приведенные выше аналитические выражения рабочих характеристик (ЯЛт
и ЯОбн) позволяют получить набор разнообразных графиков и таблиц, характе-
характеризующих процесс Обнаружения и приема когерентных ,и некогереитиых сигна-
сигналов «а фоне узкополосиых и широкополосных гауссовых полей. Например, за-
зависимость вероятности ложной тревоги от порогового уровня п0 при различных
интенсивностях шумового поля позволит выбрать наиболее подходящее аначе-
н,ие порога, обеспечивающего заданное значение вероятности ложной тревоги.
Зависимость вероятности обнаружения от sc :(средней энергия принимаемо-
принимаемого сигнала) при заданных знамениях вероятности ложной тревоги и фиксирован-
фиксированных значениях интенсивности шумового поля позволяет оценить энергетиче-
энергетический потенциал системы локации или связи, найти значение порогового сигна-
сигнала, при котором обеспечиваются требуемые значения ЯЛт и ЯОон и т. д.
Анализ графического .материала позволяет сделать вывод о целесообразно-
целесообразности той или иной структуры приемника, выбрать' оптимальный интервал наблю-
наблюдения, количественно оценить выигрыш яри использовании когерентного сигнала
в качестве носителя информации то сравнению с некогерентяым, найти предель-
предельные значения полосы пропускания приемной системы, предъявить обоснованные
требования к чувствительности приемной системы и энергетическому потенциалу
каиала и т. д.
Приложение 4
АНАЛИЗ МАРКОВСКИХ ЦЕПЕЙ
АЛГЕБРАИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ
Существует следующее определение конечной марковской цепи. Пусть
(fli, <h —, аг) множество возможных состояний некоторой системы; система ха-
характеризуется одним и только одним «з этих состояний в каждый момент вре-
времени. С течением времени она (переходит последовательно из одного состояния
в другое. Каждый такой переход называется шагом процесса. Вероятность того,
что система переходит из состояния а% в состояние flj, зависит только от со-
состояния fli, из которого она начинается в процессе рассматриваемого перехода.
Марковская цепь характеризуется тем, что вероятности перехода рц, за-
задающие вероятность перехода системы из состояния а,- в состояние а;-, опреде-
определены для всех упорядоченных пар состояний. Кроме того, должно быть задано
исходное состояние, в котором, по предположению, находится система в началь-
начальный момент времени.
Конечные цепи Маркова удобно исследовать с помощью алтебраичесхих
методов.
Рассмотрим последовательность экспериментов со следующими свойствами.
Исходным состоянием каждого эксперимента служит одно состояние из ко-
264
нечного числа возможных состояний яь я2, . • •, от. Причем в каждом экспе-
эксперименте вероятность состояния а> зависит лишь от состояния, непосредствен-
непосредственно предшествующего данному. Такая зависимость задается числами рц, пред-
представляющими вероятность исхода flj за-
заданного эксперимента при условии, что
предшествующий эксперимент имел исход fli.
Вероятность перехода можно предста-
вить двумя различными способами. Пер-
Первый способ состоит в том, что вероятности
перехода записываются в виде матрицы.
Для марковской цепи с состояниями at,
пг и а3 такая матрица имеет вид
аз
Pis
P23
Рзз
Рис. П.4Л. Диаграмма состояний
и вероятностей переходов прос-
простейшей марковской цепи
Сумма элементов каждой строки матрицы Р равна 1. Если все элементы
квадратной матрицы неотрицательны и суМ'ма элементов каждой строки равна 1,
то .матрица называется стохастической.
Второй способ представления вероятностей перехода состоит в построении
диаграммы перехода. На рис. П.4.1 показан пример такой диаграммы. Согласно
рисунку матрица вероятностей перехода, соответствующая этой диаграмме,
имеет вид
а± /0 1 О
Р=а2 | 0 1/2 1/2
а3 \1/3 0 2/3
Нуди исключают возможность соответствующих переходов. Как -видим,
з матрице Р сумма элементов каждой строки равна 1. Это должно -быть спра-
справедливым для любой матрицы вероятностей перехода. Действительно, элементы
i-й строки представляют вероятности всех возможностей рассматриваемого про-
процесса, находящегося в состоянии at.
При изучении .марковских цепей очень часто требуется ответить на вопрос:
какова вероятность того, что марковский процесс через п шагов перейдет в со-
состояние у, если он начинается в состоянии i?
Обозначим эту вероятность через Рц- Если мы интересуемся этой вероят-
вероятностью для всех возможных состояний i и всех возможных конечных состоя-
состояний у, то эти числа можно записать также в виде стохастической матрицы. Для
.марковской цепи с тремя состояниями эти вероятности записываются в виде
следующей матрицы:
n(")
D(")
Pl2
„(«) n(i) n(«:
Р31 P32 P33
Значения компонент первой строки матрицы следующие: р}"'- вероятность
того, что процесс перейдет из состояния / в состояние / через п шагов; р\^—
вероятность того, что процесс перейдет из состояния / в состояние 2 через п ша-
255
гов; р|"' ¦—вероятность того, что процесс перейдет из состояния / в состояние 3
через п шагов и т. д.
Чтобы полностью определить марковскую цепь, необходимо еще знать, с ка-
какого состояния начинается процесс. Допустим, что начальное состояние выби-
выбирается посредством некоторого случайного выбора, дающего состояние uj с ве-
вероятностью Р[. Для марковского процесса с тремя состояниями эти .начальные
вероятности можно записать в виде вероятностной вектор-строки /г '(р| ', р% ,
Рз ) ¦ Если Pj— вероятность того, что процесс перейдет в состояние 0.$ через
л шагов, то состояние процесса через п шагов также можно записать в виде
вероятностной вектор-строки р'п'-(р,п), р^п), Рз"'Ь Вероятностным вектором яв-
является также любая строка стохастической матрицы.
Таким образом, в общем случае для того, чтобы полностью описать марков-
марковскую цепь с г возможными состояниями, необходимо задать некоторую стоха-
стохастическую квадратную матрицу вероятностей переходов r-го порчдка и некото-
некоторый вероятностный r-мерный вектор—начальное состояние цепи (если это на-
начальное состояние детерминировано, то одна из компонент соответствующего век-
вектора равна 1, а остальные равны 0).
Марковские цепи с поглощением. Состояние марковской цепи
называется поглощающим, если из него невозможно перейти ни в какое другое
состояние. В соответствия с этим определением марковская цепь называется
цепью с поглощением, если, во-первых, она имеет, ло крайней 'мере, одно погло-
поглощающее состояние и, во-вторых, из каждого состояния возможен переход в по-
поглощающее состояние (возможно, не за один шаг) [85]. В качестве примера
марковского процесса с поглощением можно привести процесс случайного дис-
дискретного перемещения частицы по прямой, соединяющей два поглощающих
барьера.
Приведем без доказательства следующую теорему: для марковской цепи
С поглощением вероятность того, что через п шагов процесс закончится в одном
яз поглощающих состояний, с возрастанием п стремится к единице. Следова-
Следовательно, с полной достоверностью можно утверждать, что процесс, в конце кон-
концов, завершится переходом в одно из поглощающих состояний.
¦При исследовании задач применения марковских цепей с поглощением важ-
важны следующие вопросы:
1. Сколько в среднем раз проходит процесс через каждое непоглощающее
состояние?
2. Сколько в среднем требуется шагов на переход процесса в какое-нибудь
поглощающее состояние?
3. .Какова вероятность того, что процесс завершится переходом в данное
поглощающее состояние? Будем рассматривать процессы, начинающиеся из непо-
глощающего состояния.
Рассмотрим первый вопрос. Пусть процесс начинается из непоглощающего
состояния й{. Найдем математическое ожидание числа прохождений .процесса
через непоглощающее отстояние uj.
Определим п.} как функцию, дающую поллое число прохождений процесса
через непоглощающее (переходное) состояние а,. Обозначим математическое
ожидание числа прохождений п, через Mt[ni\=tn. Составим матрицу чисел ta,
учитывая лишь непоглощающие состояния (п — общее число состояний, т —
число поглощающих состояний, п—т — число непоглощающих состояний):
Т=\
'22
• • • Ч,п—т
¦. ¦ • Ч, п—т
(П.4.1)
п—т, 1
Ы—т, 2
п—т, п—т
В теории марковских цепей с поглощением матрицу Т называют фундамен-
фундаментальной матрицей цепи. Определим компоненту фундаментальной матрицы Т.
256
Из состояния ui процесс переходит в состояние а^ с вероятностью рц,. Если а*
непоглощающее состояние (в данном случае мы рассматриваем только их), то
в дальнейшем процесс пройдет через состояние uj в среднем thj раз. Следова-
Следовательно, необходимо взять сумму pihthj по всем непоглощающим состояниям Яа.
Здесь нужно помнить, что если i=y, то необходимо учесть также исходное со-
состояние uj, т. е. прибавить к нашей сумме 1. Таким образом, для непоглощаю-
1ЦИХ СОСТОЯНИЙ й{ И О]
tij=Piihi + PHki+ ¦ ¦ .+/>,., „_m tn_m> i (+ 1, если «=/), (П.4.2)
где суммирование производится по всем непоглощающим .состояниям..
Для уяснения суммы (П.4.2) образуем матрицу Q, получаемую из матри-
матрицы Р вычеркиванием всех строк и столбцов, соответствующих поглощающим
состояниям. Если число поглощающих состояний равно т, то Q будет
(п—т)(п—т,)-.матрицей:
Pl2
Р22
Pi, n—m
Р2, п—т
(П. 4.3)
Рп—т, I Рп—т, 2
¦ Р,
п—т, п—т
. Поскольку матрица Q соответствует только непоглощающим состояниям, то
порядок этой матрицы равен порядку матрицы Т. Записанная выше сумма
(П.4.2) представляет собой произведение 1-й строки матрицы Q на у'-й столбец
матрицы Т, следовательно, она равна элементу матрицы QT, стоящему в »-йстро-
»-йстроке и у-м столбце. Если i=j, то к этой сумме следует прибавить 1, т. е. соответ-
соответствующую компоненту единичной матрицы I (при t#y компонента единичной
матрицы равна нулю). Таким образом, получаем матричное уравнение:
«12
'22
'¦n—m,
n—m, 2
h, n—m
V-m, n—m
t.
h. n-m
1п—т, 2 ••. 'п—т, п—т/
ИЛИ T=QT + f.
Уравнение ,(Л.4.4) можно записать в виде
I =T— QT= (/ — (?) Т.
Умно^жив обе части слева на (l = Q)~l, получим
(П.4.5)
Согласно ур-нию (П.4.5) любой элемент матрицы Т может быть найден, если
известна матрица Q, получаемая из матрицы Р вычеркиванием строк и столб-
столбцов, отвечающих поглощающим состояниям. Элемент *,-,- матрицы Т указывает
среднее число прохождений процесса через непоглощающее состояние а, в пред-
предположении, что исходным является непоглощающее состояние аи Таким обра-
образом, окончательно можно записать
Определим среднее число шагов, используя которые, процесс перейдет
¦в поглощающее состояние, если он исходит из непоглощающего состояния пи
Каждое прохождение процесса через какое-нибудь непоглощающее состояние
составляет один шаг. Общее число шагов, требуемых для достижения погло-
поглощающего состояния, есть усредненное число прохождений процесса, начавшегося
257
в состоянии at, по всем нвпоглощающим состояниям. Это число равно сумме
всех элементов i-й строки матрицы Т=A—Q)~l.
Запишем последнее условие в векторной форме. Обозначим число шагов,
затрачиваемых на переход из не поглощающего состояния а* в какое-нибудь
поглощающее состояние, через ат, а среднее значение числа шагов — через
-Mi[am]=ti. Пусть / означает вектор-столбец, i-я компонента которого равна tt.
Компонентами t являются суммы соответствующих строк матрицы T—,(I—Q)~'.
Обозначая через с вектор-статбец, все компоненты которого равны единице, за-
запишем (л—пг) -мерный вектор-столбец t в виде
?__7'с_ // Q)~lc ={Mi[am]}. (П.4.6)
Прежде чем приступить к рассмотрению третьего вопроса, приведем выра-
выражения ') для дисперсий чисел л3- и ат, которые обозначим Di[tij] и Di[am]:
(П.4.7)
(П.4.8)
тде ГдГ — «диагональная» матрица (матрица, совпадающая с матрицей Т по
главной диагонали, но имеющая на остальных позициях нули); ГКв — «квадрат-
«квадратная» матрица (матрица, образованная из Г возведением в квадрат каждого
элемента); ^Кв—-«квадратный» вектор-столбец. Матрица {?>;[л,]} представляет
собой (л—пг),(п—пг)-матрицу. Вектор {Z),[am]} (л—гп)—мерный вектор-столбец.
Определим теперь вероятность того, что процесс завершится переходом в
данное поглощающее состояние. Обозначим вероятность того, что процесс, на-
начавшийся в непоглощающем состоянии а,-, закончится в поглощающем состоя-
состоянии а; через Ьц. Вероятность перехода за один шаг из состояния at в состояние
ai равна переходной вероятности рц. Если же процесс за первый шаг перейдет
в состояние аи (вероятность этого равна p,k), то о« так и останется в этом
состоянии (если состояние а л—поглощающее) или перейдет затем в состояние
й; с вероятностью bki (если состояние ah — поглощающее). Поэтому вероят-
вероятность Ьц получается суммированием по всем непоглощающим состояниям:
(П.4.9)
{Di[nj)}= T BГдг-/)-Гкв
{D{[am]}*=BT-l)t-tKB,
Ъц = РЦ 4" РпЬц -
- • • + Pi. n-m Ъп-т, I.
Элемент Ьц является элементом матрицы В. Запишем выражение (П.4.9)
в матричной форме. Первый элемент рц правой части выражения (П.4.9) соот-
соответствует 'вероятности перехода из непоглощающего состояния в поглощающее.
Матрица, составленная из этих вероятностей, получается из матрицы вероятно-
вероятностей перехода Р вычеркиванием отвечающих поглощающим состояниям строк
л отвечающих нвпоглощающим состояниям столбцов; следовательно, получим
(п—т>т-матрицу R. Поскольку элементы Ьц интересующей нас матрицы В
определены лишь для ««поглощающего состояния а,- и поглощающего состоя-
состояния ai, порядок матрицы R совпадает с порядком матрицы В. Матричная форма
выражения (П.4.9) записывается как
(П.4.10)
где Q есть (п—т){п—/л)-матрица, определяемая выражением (П.4.3). Несколь-
Несколько преобразуем вьиражение (П.4.10):
— Q)B=R нли В = (/ —
TR.
Элементы матрицы В определяют искомые вероятности.
Резюмируем полученные результаты. Лусть известна (лXл)-матрица Р ве-
вероятностей перехода, характеризующая марковскую цепь с поглощением; обра-
образуем из матрицы Р (п—гп)(п—т) матрицу Q вычеркиванием строк и столбцов,
отвечающих поглощающим состояниям; образуем из матрицы Р (п—m)m матри-
матрицу R вычеркиванием строк, отвечающих поглощающим состояниям, и столбцов,
отвечающих непоглощающим состояниям. Образуем, наконец, еще фупдаменталь-
') Математическое доказательство выражений для дисперсий можно най-
найти в f85].
258
ную матрицу Г =G— <?)-' и (я—/л>мернын вектор-столбец с, все компоненты
которого равны единице. Тогда:
1) элемент ti} матрицы Г является средним числом прохождений процесса
через неноглошагащее состояние а,- в предположении, что исходным является
непоглощающее состояние а,-;
2) компонента /< вектора-столбца t = Tc указывает среднее число шагов
посредством которых процесс перейдет в поглощающее состояние если он исхо-
исходит из непоглощающего состояния at;
3) элемент Ьп матрицы B = TR указывает вероятность того что процесс
закончится в поглощающем состоянии а,, если он начался в неяоглощающем
состоянии a,-. ^
Матрица Р может быть записана в канонической форме Если имеется
п—т непоглощающих (переходных) состояний и т поглощающих состояний та
каноническая форма матрицы Р имеет вид
пг п — m
}
\n — m
(П.4.12>
Область О состоит из одних нулей, (п-т)(п-,п) - матрица Q описывает пере-
переходы между непоглощающнмп состояниями; (п-т)т --матрица R характера-
з>ет переходы от непоглощающих к поглощающим состояниям; mm — матрица S
характеризует процесс после достижения поглощающего состояния Согласно
определению марковской цепи с поглощением мы видим, что матрица 5 —это
единичная матрица m-го порядка. Таким образом, каноническая форма матрицы
f записывается в виде
т п — т
О
Q /}я-1
(П.4.13).,
Приложение 5
ВЫВОД ПРОИЗВОДЯЩЕЙ ФУНКЦИИ
¦По определению
1=0
Подставляя в (П.5.1) выражение для h(t), получим
р
ехр I — —
~р
я' frf0 ' U(o-i)
Отсюда, учитывая ф-лу B.77), получаем
?— 1\'
SJf-'
ехр
С PS
I Q [Я — s (д — 1)]
q — s(q— 1) у/а
J
Подставляя (П.5.3) в (П.5.2), получаем B.78).
(П.5.1).
(П.5.2).
(П.5.3)
25*
Приложение 6
ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ B.76)
Известно, что
dF
s=l
v2 — vi =
as2
(П.6.1)
s=l
где v, и г2-шервый и второй начальные моменты распределения с производя-
производящей функцией F(s).
Рассмотрим f(s) = In F(s). Ясно, что
dF_
~~ ds
¦ -'f
s=i ds
Из (П.6.2) получаем
df \2
v2
= F
ds
s=i Lds
a2/
4-F —-
s=l
s=l
, так как F A) = 1.
s=l
Дисперсия а2 есть второй центральный момент, т. е.
(П.6.3) получаем
(П.6.2)
(П.6.3)
2_vi -л из
(П.6.4)
s=l
Для рассматриваемого случая
p(s— 1)
1
q-s(q-l) a q — s (q—i)
Р . с q—I
с
i_
fa —sfo—l)]a a </ —sfa—1)
(П.6.5)
а2/
Птагая в Ш6 5) s=l и подставляя значения производных в (П.6.1) н
(П.6 4) получаем выражение для -математического ожидания v, и дисперсии а':
(П. 6.6)
Vl= р + — (q— 1);
s=l
(,_ 1)
¦1) + ^Г(<?-1J-
260
ЛИТЕРАТУРА
1. Ландау Л. Д. и Лнфшиц Е. М. Теория поля. ФМ, 1960; Квантовая ме-
механика. ФМ, 1963; Статистическая физика. ФМ, 1965.
2. Б л о х п н ц е в Д. И. Основы квантовой механики. М., «Высшая школа»,
1963.
З.Дирак П. А. М. Принципы квантовой механики. ГИФМЛ, 1960.
4. Гайтлер В. Квантовая теория излучения. М., ИИЛ, 1956.
5. Д а в ы д о в А. С. Квантовая механика. ГИФМЛ. 1963.
6. Нейман И. Математические основы квантовой механики. М., «Наука»,
1964.
7. Ф а й и В М., X а н и н Я- И. Квантовая радиофизика, М., «Советское ра-
радио», 1965.
8. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. ФМ, 1967.
9. Миддлтои Д. Введение в стат (стнческую теорию связи. Тт. I и II. М.,
<Советское радио», 1961—1962.
10. Хелстром К- Статистическая теория обнаружения сигналов. М., ИИЛ,
1963.
11. Левин Б. Р. Теория случайных процессов н ее применение в радиотех-
радиотехнике. М., «Советское радио», 1957.
12. С тр а то но вич Р. Л. Избранные вопросы теорнн флуктуации в радиотех-
радиотехнике. М., «Советское радно», 1961.
13. Солодов А. В. Теория информации и ее применение к задачам автомати-
автоматического управления и контроля. М., «Наука», 1967.
14. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника. М., «Советское радно», 1966.
15. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М., «Мир»,
1964.
16. Гуткин Л. С. Теория оптимальных методов радиоприема при флуктуацион-
ных помехах. М., Госэнергоиздат, 1961.
17. Бартлетт М. С. Введение в теорию случайных процессов. М., ИИЛ, 1958.
18. Грен ан дер У. Случайные процессы н статистические выводы. М-, ИИЛ,
1961.
19. Helstrom С. W. Detection theory and Quantum Mechanics. — «Information
amd Control», 10, 1967, 254—291.
20. Helstrom C. W. Quantum limitations on the detection of coherent and in-
incoherent signals. — «Trans. IEEE», v. IT-11, 4965, p. 482—490, v. IT-14, № 2,
p. 234—242, 1968.
21. Helstrom C. W. The detection and resolution of optical signals. — «Trans.
IEEE», v. IT-10, 1964, p. 27б—!2в7.
22. ГлауберР, Оптическая когерентность и статистика фотонов. — Сб. «Кван-
«Квантовая Х)птика и квантовая радиофизика». Под ред. О. В. Богданкевича и
О. Н. Крохина. М., «Мир», 1966.
23. Flint G. W. Analysis and Optimization of Laser Ranging Techniques.—
«IEEE Trans. ME», 8, 1964, № 1, p. 22—28.
24. Goodman J. W. Some Effects of Target-Induced Scintillation on Optical
Radar Performance. — «Proc. IEEE», v. 63, 1965, № 11, p. 1688—1700.
26. L а с h s G. Theoretical Aspects of Mixtures of Thermal and Coherent Radia-
Radiation. — «Physical Review», v. 138, 1965, № 4B, p. 1012—tlO16.
26. Lachs G. Quantum Statistics of Multiple—Mode, Superposed Coherent and
Chaotic Radiation. — «Journal of Applied Optics», v. 38, Л967, № 9,
p. 3439—3448.
27. Lachs G., I a n k о w i с h E. Some Results on Error Rates for a Laser Bi-
Binary Communication System. — «Proceedings of the IEEE», v. 56, April 1968,
№ 4, p. 745—746.
28. Кампе де Ферье Ж. и др. Функции математической физики. ГИФМЛ,
1963.
261
29. Харрннгтон Д. В. Сб. «Прием сигналов при наличии шума», М., ИИЛ,
1960.
30. Клюев Н. Ф. Обнаружение импульсных сигналов с помощью накопителей
дискретного действия. М., «Советское радио», 1963.
31. Д у и и н-Б а р к о в с к и й И. В., Смирнов Н. В. Теория вероятностей и
математическая статистика в технике. М., Гостехнздат, 1955.
32. Б а ш а р и н о в А. Е., Ф л е й ш м а н Б. С. Применение метода последователь-
последовательного анализа в системах двузначной передачи прн рэлеевских флуктуациях
интенсивности сигналов. — «Радиотехника н электроника», 1959, № 2.
33. Ш т е й и б е р г П. «ТИИЭР», 1966, № 1, стр. 30—35.
34. S h i m о d а К. and Oth. Fluctuation in Amplification of Quanta with Appli-
Application to Maser Amplifiers. — «Journal Phys. Soc. Japan», 12, 1957, 6,
686—700.
35. Татарский В. И. Распространение волн в турбулентной атмосфере. М.,
«Наука», 1967.
36. Esposito R., Mid die ton D., Mullen J. A. Advantages of Amplitude
and Phase Ad3ptivity in the Detection of Signals Subject to Slow Rayleigh
Fading. — «IEEE Transactions Information Theory», v. IT-11, Oct. 1965, № 4,
p. 473—482.
37. Esposito R., M i d d 1 e t о n D., Mullen J. A. Some Properties of Adap-
Adaptive Neyman-Pearson Detectors. «Int. — J. Electronics», v. 20, 1966, № 2,
p. 41—45.
38. Lucy R. F. Optical communications experiments at 6328A and 10, 6 mk. —
«Proc. of the 13-th Annual Tech. Sympos.», v. 1, 1969, p. 341—350.
39. Л е в и н Г. А., Бонч-Бруевич А. М. Пути построения обнаружителей с
самооптнмизирующимся пороговым уровнем в приемных устройствах систем
радиосвязи. — «Электросвязь», 1965, № 5.
40. С а р о п J. Optimum coincidence procedures for detecting weak signals in
noise. — «IRE Intern. Conv. Record», Pt. 4, 1960, p. 154—166.
41. R e i f f e n В., S h e r m a n H. An optimum demodulator for Poisson proces-
processes. — «Proc. IEEE», 51, Oct. 1963, № 10, p. 1316.
42. Росс М. Лазерные приемники. М, «Советское радио», 1969.
43. Ward J. H. A. Broad Bandwidth Digital Laser Communication System. —
«IEEE Journal of Quantum Electronics», v. QE-3, 1967, № 6, p. 250—252.
44. С i e ф а и ю к В. Л. О выборе модуляции при передаче двоичных сигналов
в оптическом диапазоне. — «Радиотехника и электроника», № 5, т. 10, 1965.
45. Peters W. N., А г gu ell о R. J. Fading and Polarization Noise of PCM/PL
System. — «IEEE Journal of Quantum Electronics», v. QE-3, November 1967,
№ и, p. 532—539.
46. Pratt W. K. Binary detection in an optical polarization modulation commu-
communication chaunal. — «IEEE Trans. Communic. Technology», v. COM-14, Octo-
October 1966, p. 664—665.
47. Smith С V. A high data rate laser communication system. — «Supple-
«Supplement to IEEE Trans, on Aerospace and Electronic Systems», v. AES-2, No-
November 1966, № 4, p. 214—224.
48. Алексеев А. И., Шереметьев А. Г., Тузов Г. И., Г л а з о в Б. И.
Теория и применение псевдослучайных сигналов. М., «Наука», 1969.
49. N i b 1 а с k W., Wolf E. Polarization modulation and demodulation of
Light. —«WESCON Techn. Papers», 1963, № 3, 14/1.
50. Kelley P. L., Kleiner W. H. Theory of Electromagnetic Field Measure-
Measurement and Photoelectron Connting. — «Physical Review», v. 136, Oct. 1964,
№ 2A, p. 316—334.
51. Пригожий И. Н. Неравновесная статистическая механика. М., «Мир»,
1964.
52. М а р о в а С. Н. Статистика фототока при действии когерентного излучения
и гауссовского шумового поля. — «Радиотехника н электроника», 1969, № 2,
стр. 348—351.
53. Г о р я и н о в В. Т. и др. Примеры н задачи по статистической радиотехни-
радиотехнике. Под ред. В. И. Тихонова. М, «Советское радио», 1970.
262
54. Бе й тм е н Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М., «Нау-
«Наука», 1966.
55. Doyle W FM Laser communications through a Highly Turbulent Atmosphe-
Atmosphere. — «IEEE Journal Quant. Electron.», 181, July 1965.
56. Вольф Э., Мандель Л Когерентные свойства оптических полей. —
«Успехи физических наук», г. 87, вып. 3, 1965
57. Г р а д ш т е й н И. С, Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и
произведений. М., ГИФМЛ, 1963
58 Вей л стеке А. Основы теории квантовых усилителей и генераторов. М.,
ИИЛ, 1963.
59. Шифф Л Квантовая механика. М., ИИЛ, 1958.
60. Corcoran V. J., Pao J. H. — «JOSA», v. 52, 1962, № 12, p. 1341—1350.
61. Чернышев В. H., Шереметьев А. Г., К о б з е в В. В. Лазеры в си-
системах связи. М., «Связь», 1966.
62. К р а ф т В. В., Терпугов А. Ф. О потенциальных возможностях систем
частотного телеграфирования, использующих световые сигналы. Сб. трудов
3-й конференции по теории передачи н кодирования информации. Изд. ФАИ
¦ Уз. ССР. Ташкент, 1967, стр. 207—211.
63. F a n о U. Description of States in quantum mechanics by density matrix and
operator techniques. — «Rev. Mod. Phys.», 29, 1957, p. 74—93.
64. Glauber R. J. Coherent and incoherent States of the radiStion field. —
«Phys. Rev.,», 131, 1963, p. 2766—2788.
65. Кур ПК ш а А. А. Об оптимальном приеме квантовых сигналов. — «Радио-
«Радиотехника и электроника», т. XIII, 1968, № 10, стр. 1790—1798.
66. Квантовая электроника. Под ред. проф. И. А. Дерюгина. Труды семинара.
Вып. 1. 2, 3. Киев, Изд. АН УССР, 1966, 1967, 1969.
67. Дерюгин И. А., Кур а шов В. Н. Об оптимизации двоичной системы пе-
передачи информации в оптическом диапазоне. — «Радиотехника и электрони-
электроника», г. XII, 1967, № 8, стр. 1493—1495.
68. Первая конференция по проблемам передачи информации лазерным излуче-
излучением. Тезисы докладов. Под ред. проф. И. А. Дерюгина, Киев, изд. Киевско-
Киевского Гос. университета, 1968.
69. Г н е д е н к о Б. В. Курс теории вероятностей. М., «Наука», 1965.
70. Harris S. E. Demodulation of Phase—Modulated Light using Birefringent
Crystals. — «Proc. IEEE», 52, 1964, № 7, p. 823—832.
71. Kaminov I. R. Balanced optical discriminator. — «Applied Optics», 3,
April 1964, p. 507.
72. Крамер Г. Математические методы статистики. М., ИИЛ, 1948.
73. М и т ю г о в В. В. К квантовой теории передачи сообщений. — «Проблемы
передачи информации», т. II, вып. 3, 1966, стр. 48—58.
74. М и т ю г о в В. В. Квантовое прогнозирование случайных электромагнитных
процессов. — «Известия высших учебных заведений», серия «Радиофизика»,
т. VII, 1964, № 5, стр. 848—853.
75. С т р а тон о в и ч Р. Л. Количество информации, передаваемое квантовым
каналом связи. — «Известия высших учебных заведении, серия «Радиофи-
«Радиофизика», 8, 1965, № 1, стр. 116—128; 129—141.
76. Лебедев Д. С, Левитин Л. Б. Максимальное количество информации,
переносимое электромагнитным полем Докл. АН СССР, 149, 1963, 6,
1299—1302.
77. Gordon J. P. Quantum effects in communication systems. — «Proc. IRE»,
50, 1962, 9, p. 1898—-1908.
78. H о d a r a Hi Statistics of Thermal and Laser Radiation. — «Proc. IEEE»,
53, July 1965, № 7, p. 696—704.
79. Вал ьд А. Последовательный анализ. ГИФМЛ, 1960.
80. Курнкша А. А. Статистические характеристики фототока прн флуктуирую-
флуктуирующем световом потоке. — «Радиотехника и электроника» т. X вып 9, сен-
сентябрь 1965, стр. 1600—'1608.
81. Тартаковскнй Г. П. Синтез приемника световых сигналов при гетеро-
дннированни света. — «Проблемы передачи информации», т. I, вып. 3, 1965,
стр. 56—70.
263
82. Гер цен штейн М. Е. К вопросу о реализации режима экономии мощно-
мощности в оптическом диапазоне. — «Радиотехника и электроника», т. XI, вып. 3,
март 19G6, стр. 537—538.
83. Волошин И. А., Гер цен штейн М. Е. Коэффициент шума линейных
приемных систем в квантовой области. — «Радиотехника и электроника»,
т. XI, вып. 3, март 1966, стр. 465—470.
84. К е м е н и Д. и др. Введение в конечную математику. М., ИИЛ, 1963.
85. Кете п у J., Snell J. Finite Markov Chains. D Van Nostrand Co, New
York, 1960.
86. G r e e n b e r g J. S. On the Narrow Beam Communication System Acquisi- !
tion Problem. — «IEEE Trans.», v. MIL-8, January 1964, № 1, p. 28. |
87. Герценштейн М. Е., Мартьянов А. Н. Интенсивности комбинацион-
комбинационных частот в четырехуровневой квантовой системе при двухчастотной на-
накачке. — «Радиотехника и электроника», т. 12, 1967, № 12, 2177—2186.
88. Kennedy R. S., Hovers ten E. V. On the atmosfere as an optical com-
communication fthannal. — «IEEE Trans, on Information Theory», 14, 1968 № 5, ,
p. 716—726.
89. Б акут П. А. и др. Некоторые вопросы теории приема световых сигналов.—
«Проблемы передачи информации», т. II, вып. 4, 1966, стр. 39—55.
90. Б а к у т П. А. О потенциальных возможностях локации при помощи сигна-
сигналов, имеющих квантовую структуру. — «Радиотехника и электроника», т. XI,
вып. 4, 1966, 643—652.
91. Боголюбов Н Н. Проблемы динамической теории в статистической фи-
физике. ГИТТЛ, 1960.
92. Morawitz H. «Phys. Rev.», 139, 1965, А. 1077—1082.
93. Мановцев А. П. Введение в цифровую радиотелеметрию. М., «Энергия»,
1967.
94. В а р ш а в е р Б. А. — «НВШР и ?», 1958, № 1.
95. Худе он Д. Статистика для физиков. М., «Мир», 1967.
96. Мостеллер Ф., Рурке Р., Томас Дж. Вероятность. М., «Мир», 1969.
97. Шестов Н. С. Выделение оптических сигналов на фоне случайных помех.
М., «Советское радио», 1967.
98. Шереметьев А. Г. К вопросу нахождения квантовых флуктуации супер-
суперпозиции двух когерентных полей в присутствии тепловых полей. — «Радио-
«Радиотехника и электроника», 1966, № 8.
99. Шереметьев А. Г., Кочетков Р. М. К вопросу обнаружения когерент-
когерентного оптического излучения в тепловом шуме. — «Проблемы передачи ин-
информации», т. III, вып. 2, АН СССР, 1967, стр. 105—106. ;
100. Шереметьев А. Г., Кочетков Р. М. Обнаружение сигналов оптиче-
оптического диапазона фотоприемником с квантовым усилителем на входе. «Проб-
«Проблемы передачи информации», т. III, вып. 3, АН СССР, 1967, стр. 23—27.
101. Шереметьев А. Г. Применение теории марковских цепей к задачам свя-
связи в оптическом диапазоне частот. Изд. ВИА им. Дзержинского, 1964.
102. Гордеев Д. В., Лапшнн Г. М., Остапченко Е. П., Чердаи-
ц е в В. П., Шереметьев А. Г. Автоматическая стабилизация мощности
излучения газового ОКГ в одночастотном режиме. — «Электронная техни-
техника», серия 3 «Газоразрядные приборы», вып. 1 A3), 1969, стр. 26—36.
103. Шереметьев А. Г., Калугин Е. М. Оценка эффективности оптималь-
оптимальных адаптивных приемников оптического диапазона. 4-я Всесоюзная конфе-
конференция по теории передачи и кодирования информации, секция II, г. Таш-
Ташкент, 29.9—4.10.1969. Москва—Ташкент, изд. Научного Совета по комплекс-
комплексной проблеме. «Кибернетика», АН СССР.
104. Шереметьев А. Г., Толпарев Р. Г. Помехоустойчивость приема сиг-
сигналов оптического диапазона с дискретной поляризационной модуляцией.—
«Проблемы передачи информации», т. V, вып. 4, АН СССР, 1969, 81—83.
105. Шереметьев А. Г., Калугин Е. М. О применении оптимального адап-
адаптивного приемника в лазерных системах связи и локации. — «Проблемы
передачи информации», АН СССР (в печати).
264