А.М. Денисов
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ
ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ
Рекомендовано Государственным комите-
том Российской Федерации по высшему
образованию в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлению “Приклад-
ная математика и информатика” и специ-
альности “Прикладная математика”
Издательство Московского университета
1994
УДК 517
Рецензенты:
кафедра высшей математики МИФИ,
профессор А.В. Гончарский
Федеральная программа
книгоиздания России на 1994 г.
Денисов А.М.
ДЗЗ Введение в теорию обратных задач: Учеб, посо-
бие. — М.: Изд-во МГУ, 1994. — 208 с.
ISBN 5-211-03079-6.
Учебное пособие посвлщево одному из совремеввых ва-
правяевий прикладной математики — теории обратных за-
дач, непосредственно связанвой с проблемами обработки и
интерпретации оксперимептальной информации. Рассматри-
ваются особенности постановки обратных задач и методы их
решения. Излагаются различного типа обратные задачи для
обыкновенных дифференциальных уравнений. Значительное
внимание уделено обратным задачам для уравнений в част-
ных производных. Для втих уравнений рассматриваются как
обратные коэффициентные задачи, так и задачи онределенил
краевых или начальных условий. Излагаются задачи восста-
новления функции по значениям ее интегралов, в частности
задачи компьютерной томографии.
Для студентов и аспирантов университетов и других вузов,
обучающихся по специальности "Прикладная математика”.
БВК22.Ш.5
ISBN 5-211-03079-6
© Денисов А.М., 1994 г.
© Издательство Московского
университета, 1994 г.

СОДЕРЖАНИЕ
[РЕДИСЛОВИЁ.................................................. 4
лава I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОВ ОБРАТНЫХ И НЕКОРРЕКТ-
НО ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧАХ............. ................ 5
Задачи интерпретации результатов экспериментов. При-
Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах 10
§3. О некоторых аспектах постановки и решения обратных'
задач...........'............................ 17
лава II. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ................. 22
Ди Решение уравнений 1-го рода на компактах. Метод квази-
' решений...................................    .’	22
\§2. Метод регуляризации Тихонова.................... 28
§3. Выбор параметра регуляризации но невязке ....... 35
$4. Метод невязки................................. 40
§5. Итерационный метод решения уравнений 1-го рода. -42
§6. Проекционный метод решения уравнений 1-го рода . 46
§7. Методы решения интегральных уравнений 1-го рода...... 54
лава Ш. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕ-
РЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ  ............................  61
2 Задачи определения правой части линейного дифферен-
циального уравнения .......................     61
Задачи онределения коэффициентов линейных дпфферен-
циальных уравнений п систем..................     68
§3	. Обратные задачи для линейных обыкновенных дифферен-
циальных уравнений с параметром .............    76
§4	. Обратные задачи для нелпнейпых обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений ........................   98
[Глава IV. ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ В
SACTHbIX ПРОИЗВОДНЫХ................................  111
L Обратные Задачи для уравнения теплопроводности..,. 111
	§2. Метод кВазиобращения...................   126
й® Обратные задачи для уравнения Лапласа. Обратные
задачи теории потенциала.................. 131
(§4* Обратные задачи для уравнения колебаний.... 140
Глава V. ОБРАТНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВ-
НЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ....................... 144
§1	. Задача определения коэффициента теплопроводности, за-
висящего от времени................... ...... ....
§2	. Задача определения ковффпцпента гиперболического .
уравнения......................................... 151
§3	. Сведение обратных коэффициентных задач к обратным
задачам для ебыкиовенных дифференциальных уравнений
с параметром..................................  •	• • 159
§4	. Задача овределения коэффициента, зависящего от реше-
ния ................................................. 165
Глава VL ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ ПО ЗНАЧЕНИЯМ
ИНТЕГРАЛОВ.................................................   178
'	§1. Определение функции одной переменной по значениям ее
интегралов. Проблема моментов...................   178
§2. Задачи компьютерной томографии.................. 185
§3. Определение функции двух переменных по ее интегралам
по семейству окружностей. Задачи интегральной геомет-
рии ........................................• • 196
ЛИТЕРАТУРА................................................. 203
3
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теория обратных задач представляет собой активно развей
вающееся направление современной математики. Интенсивной
исследование обратных задач в значительной степени обусловлю
но необходимостью разработки математических методов решения
обширного класса важных прикладных проблем, связанных с оЯ
работкой и интерпретацией наблюдений. Несмотря на то чт!
широкое исследование обратных задач началось сравнительна
недавно, в этой области получено большое число существенны!
результатов. В теории обратных задач сформировался ряд най
правлений, обусловленных как различными сферами ее приложе-
ний, так и типами математических постановок обратных задач.
Число научных публикаций по теории обратных задач и ее прило-
жениям очень велико. Многие из полученных результатов нашли'
свое отражение в монографиях, в которых рассмотрены Как общие
вопросы теории, так и ее специальные разделы, посвйценные кон-
кретным направлениям исследований. В то же врЩЩ в учебной
литературе по прикладной математике, доступной Лр студентов
и специалистов из других областей науки, впервые знакомящихся
с теорией обратных задач, эти вопросы отраженЩдостаточно
слабо.	И
В основу книги положены курсы лекций, которые автор в те-
чение ряда лет читает студентам факультета вычислительной
математики и кибернетики Московского государственного уни-
верситета. Первая глава имеет вводный Характер. Вторая глава
посвящена методам решения некорректно поставленных ЗддаЧ, по-
скольку, как правило, обратные задачи являются некорректмйми.
В третьей главе рассматриваются обратные задачи длд обыкно-
венных дифференциальных уравнений. Четвертая и пя^ая главы
посвящены различного типа обратным задачам для уравнений в
частных производных. В шестой главе излагаются некоторые об-
ратные задачи, связанные с определением функции поЗначениям
ее интегралов.
При изложении материала автор стремился сделать его дос-
тупным для широкого круга читателей. В связи с ЭТИМ, а тркже
с ограниченным объемом книги некоторые важные результаты
упомянуты достаточно кратко. Поскольку книга представляет
собой учебное пособие, в тексте не всегда упоминащ^Я^МИо-
ры конкретных утверждений, а список литературы, приводимый
в конце книги, не претендует на библиографическую щзЯНОТу.
Вместе с тем он может служить определенным указателем при <
более детальном изучении теории обратных задач ил^ Щкоторых
ее разделов.	f
, На содержание книги большое влияние оказали многолетнее
научное общение с А.Н. Тихоновым, а также многочисленные
обсуждения затрагиваемых вопросов с коллегами пег раучной и
педагогической работе.	"*
Глава I
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ОБ
ОБРАТНЫХ И НЕКОРРЕКТНО
ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧАХ
*
§1. ЗАДАЧИ ИНТЕРПРЕТАЦИИ РЕЗУЛЬТАТОВ
ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ПРИМЕРЫ ОБРАТНЫХ
ЗАДАЧ
Цель многочисленных экспериментов, проводимых в различ-
ных областях науки и техники, состоит в изучении свойств объ-
ектов или процессов, интересующих исследователей. При этом
весьма распространенными являются ситуации, в которых объект
или процесс либо принципиально недоступны для непосредствен-
ного наблюдения, либо оно связано с очень большими затратами.
В качестве примеров можно привести астрофизические экспери-
менты цо изучению звезд, медицинские эксперименты, направлен-
ные На исследование внутренних Органов человека, эксперименты
дЛяпроверки качества различных изделий (неразрушающий конт-
роль качества), эксперименты по изучению внутреннего строения
земли с целью поиска полезных ископаемых и многие другие. Ха-
рактерной чертой возникающих при этом задач интерпретации
результатов эксперимента является то, что исследователь дол-
жен сделать заключение о свойствах объекта или Процесса по
измеренным в результате эксперимента их косвенным проявле-
ниям. Например, определить место и мощность произошедшего
землетрясения по измерениям колебаний на поверхности земли.
Таким образом, речь Идет о задачах, в которых требуется оп-Д(
ренЫить причины, если известны полученные в результате на-
блюдений следствия. Задачи такого типа естественно называть
обратными. Решение подобных задач, состоящих в обращении
причинно-следственных связей, как правило, связано с преодоле-
вшем существенных трудностей, и успешный результат зависит
.как от количества и качества экспериментальной информации,
так и совершенства методов ее обработки. Первый из указанных
факторов представляет собой техническую проблему, решаемую
экспериментатором, в то время как второй — обработка ре-
зультатов эксперимента — одна из обширных сфер приложения
математических методов.
Решение обратных задач проводится в рамках некоторой мате-
матической модели исследуемого объекта или процесса и состоит
5
в определении параметров математической модели паи) ек|цейся
экспериментальной информации. Приведем примеры™ стЯиовок,
обратных задач.	I |	(
Пример 1. Процесс радиоактивного распада ожи
физическим законом, заключающимся в том, что скорое»! распалЦ
пропорциональна количеству радиоактивного вещества! кмек^,-
муся в данный момент времени. Коэффициент пропорцщА^алы^с-
ти а, являющийся характерной для данного вещества постояцййй,
носит название коэффициента распада. Таким образом, маф^ыф-
тическая модель процесса радиоактивного распада описыЗДе'ЙД
задачей Коши для обыкновенного дифференциального уравнения
—J— = —om(t), t to,
at
m(tQ) = М,
(1)
1
1
1
<
<
t
J
£
Г
С
I
В
и
ч
р
е
т
с
где m(t) — количество вещества в данный момент времени, * М —
количество радиоактивного вещества в начальный момент време-
ни. Если постоянные а и М известны, то, решив задачу Коши,
мы можем определить, как будет изменяться количество радио-
активного вещества с течением времени. Обратная задача для
исследуемого процесса состоит в следующем. Вид радиоактивно-
го вещества, т.е. постоянная а, и его первоначальное количество
М неизвестны, но из эксперимента можно определить количест-
во радиоактивного вещества m(t) для t Е	Требуется по
функции m(t), заданной для t € [<i, <г], определить постоянные а и
М. Таким образом, обратная задача заключается в определении
коэффициента а в дифференциальном уравнении (1) и начального
условия М по решению задачи Коши m(t) для t ё [ti.tj].
Рассмотренная обратная задача имеет естественное обобще-
ние. Идет процесс радиоактивного распада нескольких веществ:
t > to, m.(to) = М{, i = 1,2,..., N.	(2)
Wr
Л OX tn W "О о *<
н
о'
п<
Здесь m,(t) — количество радиоактивного вещества определен-
ного типа в данный момент времени, Mi — его количество в
начальный момент времени, сц — коэффициент распада »-го par
диоактивного вещества. Предположим, что величины а, и Aft,
» = 1,2,...,TV, неизвестны, но из эксперимента может быть най-
дена функция m(t) =	”*»(*)> где ”*»(*) — решения задачи (2).
Постановка обратной задачи в этом случае такова. Для t € [*1,^2]
задана функция m(t), требуется определить постоянные и
i — 1,2,...,N. Отметим, что у этой обратной задачи могут быть
Две постановки. В первой число различных радиоактивных ве-
ществ известно, а во второй W неизвестно. Таким образом, во
втором случае требуется определить количество радиоактивных
6
веществ N, их коэффициенты распада сц и первоначальные мас-
сы Mi, если известна суммарная масса радиоактивных веществ!
П»0) as	ДДЯ < € [йЛг].
П р мм е р 2. Процесс химической кинетики описывается маг
тематической моделью, представляющей собой задачу Копта для
системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений
de*
— = OiiCift) + Of2C2(0 Ч-1- OinCn(0>	(3)
ul
tfa)**, i = l,2,...,N.	(4)
Функция c,(i) представляет собой концентрацию «-го вещест-
ва, участвующего в процессе, в момент времени L Постоянные
параметры ац, определяющие ход процесса, характеризуют за-
висимость скорости изменения концентрации «-го вещества от
концентрации веществ, участвующих в процессе. Для системы
дифференциальных уравнений (3) может быть сформулирована
следующая обратная задача. В течение некоторого интерва-
ла времени t £ измеряются концентрации веществ c,(i),
« = 1,2, и требуется определить величины параметров ац,
т.е. по решению системы дифференциальных уравнений (3) требу-
ется определить ее коэффициенты. Эта обратная задача может
рассматриваться в двух вариантах. Первый — начальные ус-
ловия (4) известны, т.е. с< заданы и измеряются решения
соответствующие этим ъ, во втором варианте с< неизвестны, и их
нужно определить вместе с ау.
Пример 3 . Пусть в пространстве расположено некоторое
тело, которое по тем или иным причинам нам недоступно. Од-
нако можно освещать тело с различных сторон и регистрировать
получаемую при этом тень тела. При определенных допущениях
мы Приходим к следующей математической постановке обратной
задачи. Требуется определить форму тела, если известны его
ортогональные проекции на различные плоскости.
- Пример 4. Движение материальной точки по прямой в
соответствии с законом Ньютона описывается дифференциальным
уравнением
<Р* ₽
m »=F’ <5)
где m — масса точки, х(<) — ее положение в момент времени i,
F — сила, действующая на точку. Начальное положение точки и
ее скорость известны x(t0) =	х'(<о) = «i- Требуется определить
силу F, которая зависит от положения точки F = F(x), если для
различных значений массы задано положение, которое занимает
точка в определенный момент времени t = й .Таким образом, ве-
личина массы точки «п являемся параметром, и обратная задача
7
состоит в определении функции F(£) по решению дифференциаль-
ного уравнения (5) x(t,m), заданному при t = и т € [шх.Шг]-
Пример 5 . Действие многих приборов, регистрирующих
физические поля, может быть описано следующим образом. На
вход прибора поступает сигнал z(t), а на выходе регистрирует-
ся функция u(t). Простая, линейная модель действия прибора
определяется формулой
t
J K(t,r)z(r)dr = u(t),	(б)
о
где K(t,r) — известная функция. Таким образом, обратная
задача, состоящая в определении входного сигнала z(t) по регис-
трируемой на выходе функции u(t), представляет собой задачу
решения интегрального уравнения (б), в котором функции K(t, г)
и u(t) заданы, a z(t) неизвестна.
Пример б. Один из классов обратных задач образуют
задачи, в которых требуется определить неизвестную функцию
по семейству интегралов от этой функции. Примером задачи
такого типа является возникающая в компьютерной томографии
задача определения функции двух переменных f(x, у) по семейству
интегралов
j f(x,y)dl,
взятых вдоль различных прямых Ь(р,у?) (р и <р параметры, опре-
деляющие прямую) в плоскости х,у.
Пример 7 . Краевая задача для уравнения теплопровод-
ности
cut =	— 9« +./, О < х < I, 0 < t < Т,	(7)
«(0,t) - Ai«r(0,t) = pi(t),	0	t	Г,.	(8)
«(/, 0 + А2«г(/, t) ~ Яа(*)» 0	t	Т,	(9)
и(х,0) = <р(х), 0 х	(10)
является математической моделью многих физических процессов.
Коэффициенты, входящие в уравнение и граничные условия, пре-
дставляют собой некоторые эффективные характеристики иссле-
дуемого процесса. В том случае, когда задача (7)-(10) описывает
процесс распространения тепла в стержне, коэффициенты с и k
являются соответственно коэффициентами теплоемкости и тепло-
проводности и характеризуют материал, из которого изготовлен
стержень. Теплофизическую интерпретацию имеют также все ос-
тальные функции, входящие в уравнение (7), краевые условия (8),
8
(9) и начальное условие (10). В рамках данной математической
модели температура в стержне в точке х в момент времени t —
функция u(x,t), являющаяся решением задачи (7)-(10), определя-
ется величинами с, к, q, f, Ai, Аг, Д1, рг, <Р — характеристиками
теплофизического процесса. В том случае, когда они заданы, ре-
шив прямую задачу (7)—(10), можно найти и(х, t), т.е. определить
характер процесса распространения тепла в стержне. Одна-
ко вс- многих реальных теплофизических процессах те или иные
характеристики среды не известны, но из эксперимента можно
получить дополнительную информацию о температуре. Напри-
мер, все коэффициенты и функции, определяющие решение u(x,t),
кроме коэффициента теплопроводности к = к(х), известны. Из
эксперимента определяется функция g(t) = u(x0,t) — температура
в некоторой внутренней точке стержня — как функция от времени.
Таким образом, возникает следующая обратная задача: опреде-
лить коэффициент теплопроводности к(х), если задана функция
g(t). Очевидно, что аналогично могут быть поставлены и другие
обратные задачи для исходной краевой задачи (7)-(10), причем
это могут быть как задачи определения коэффициентов уравне-
ния, так и задачи определения одной из функций pi(t), Рг(^), 9?(®),
входящих в краевые и начальные условия. Многообразие возмож-
ных обратных задач определяется не только многими возможными
неизвестными величинами, входящими в уравнение и дополнитель-
ные условия, но и различными типами задания дополнительной
информации, т.е. характером проведения эксперимента.
Приведенные примеры не могут дать полного представления о
многообразии обратных задач и их математических постановок.
Следует особо выделить класс обратных задач для уравнений в
частных производных, поскольку эти уравнения наиболее часто
употребляются для построения математических моделей самых
разнообразных процессов. В том случае, когда те или иные
характеристики этих процессов неизвестны и их требуется опре-
делить по имеющейся экспериментальной информации, возникают
обратные задачи для уравнений в частных производных.
Все обратные задачи, которые были рассмотрены выше, могут
быть сведены в общую абстрактную формулировку. Обозна-
чим через z неизвестную характеристику математической модели
исследуемого объекта или процесса, а через А — оператор,
ставящий в соответствие z величину и, которая наблюдается в
результате эксперимента. Таким образом, обратная задача состо-
ит в решений уравнения Az = и, где оператор А и правая часть и
заданы и требуется определить z. Для обратной задачи, рассмот-
ренной в первом примере, z представляет собой пару чисел а и
М, оператор А определяется задачей Коши, a u — m(t). В случае
обратной задачи для уравнения теплопроводности, состоящей в
определении коэффициента теплопроводности, z = fc(x) — коэф-
фициент теплопроводности, А — оператор, определяемый краевой
/' 
/
9
задачей (7)—(10), который при всех фиксированных остальных
параметрах задачи ставит в соответствие различным коэффици-
ентам теплопроводности k(x) различные решения задачи (7)—(10)
« = u(xo,t)> заданные в фиксированной точке zq. Аналогично мо-
гут быть записаны в виде Ах = и и остальные обратные задачи.
Важной особенностью обратных задач, возникающих при об-
работке результатов эксперимента, является то, что исходная
информация в этих задачах известна приближенно. Это объясня-
ется тем, что приборы, с помощью которых проводятся наблюде-
ния, имеют определенный уровень погрешности. Таким образом,
методы решения обратных задач должны обладать свойством ус-
тойчивости к малым изменениям в исходных данных.
$2. ПОНЯТИЕ О КОРРЕКТНО И НЕКОРРЕКТНО
ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧАХ
Понятие корректности постановки математической задачи бы-
ло сформулировано Ж. Адамаром [94, 95] в связи с анализом
различных задач для уравнений математической физики.
Решение любой количественной задачи состоит в определении
некоторого элемента z (решения задачи) по исходным данным и
и может быть записано в виде
» = Я(и)-	(1)
При этом обычно предполагается, что исходные данные и яв-
ляются элементами некоторого метрического пространства U, а
решение z ищется в метрическом пространстве Z, т.е. z G Z.
Задача (1) называется корректно поставленной на паре прост-
ранств Z, U, если выполняются следующие условия:
1) для любого а € U решение задачи существует,
2) для любого u G V решение задачи единственно,
[__3) решение задачи z непрерывно зависит от исходных данных и.
Задачи, не удовлетворяющие этим условиям, называются не-
корректно поставленными.
Условия 1) и 2) характеризуют математическую определен-
ность рассматриваемой задачи, а условие 3) — физическую де-
терминированность задачи. Достаточно естественно ожидать,
что задачи, связанные с определением тех или иных следствий
по причинам, будут корректными, в то время как задачи восстаг
новления причин по их следствиям будут некорректными. Это
соображение не имеет смысла рассматривать как точное утверж-
дение, верное для любой из задач первого или второго типа. Оно
является только выражением некоторых тенденций, характерных
для этих типов задач. Приведем некоторые примеры корректно
и некорректно поставленных задач.
It)
Пример 1. Рассмотрим задачу вычисления значения
интегрального оператора
»
К(х, s)u(s)dz = z(x), c^x^d,	(2)
в которой при заданном ядре K(x,s) требуется для любой функ-
ции u(s), принадлежащей некотброму пространству U, 'аычяслапъ
функцию z(x) из пространства Z. Пусть функции K(x,s), Кв(х,»),
К,(х,в) непрерывны в прямоугольнике с £ х < d, а < в < Ь, а
U и Z представляют собой пространства непрерывных функций
U — C[a,b], Z=C[c,d], Задача вычисления функции г(х) по в(л)
является корректной. Действительно, для любой w(s) €
интеграл, стоящий в левой части (2), представляет собой функ-
цию, непрерывную на отрезке [с, </], и эта функция определяется
однозначно. Таким образом, первое и второе условия коррект-
ности задачи выполнены. Покажем, что выполняется и третье
условие. Обозначим через
Ко = етМ41Дг,в)|-
Пусть Zf(x) — функции, вычисленные по u,(e), » = 1,2. Тогда
из (2) следует, что
11*1 — *з||с[е,4 М«1 — из||<ОД]-
Таким образом, условие непрерывной зависимости решения от
исходных данных задачи также выполнено, и задача корректно
поставлена.
Пример 2. Рассмотрим задачу, обратную к предыду-
щей, т.е. задачу решения интегрального уравнения Фредгольма
1-го рода
К(х, s)z(z)ds = u(x), с х $ d,	(3)
в которой при заданном ядре К(х,в) требуется для любой фун-
кции и(х) найти решение z(s). Как и в предыдущем примере,
предполагаем, что K(x,s), Кк(х,в), К,(х,в) непрерывны в прямо-
угольнике	а в 6, u(r) G С[с, d] и х(в) G С[а, Ь]. Задача
решенияу равнения (3) является некорректной. Действительно,
длятГеене выпблняетсяТ1ервбеусловие7поСкбльку решение су-
ществует не для любой функции u(x) G С[с, d]. Для того чтобы
доказать это, достаточно взять функцию ио(х), непрерывную на
11
[c, d], но не являющуюся дифференцируемой на этом отрезке. Для
такой правой части uq(x) уравнение не может иметь непрерывное
решение Zq(s), поскольку из условий на ядро уравнения К(х,в)
следует, что для любой непрерывной функции z(e) интеграл,' сто-
ящий в левой части (3), представляет собой функцию, непрерывно
дифференцируемую.
Для уравнения (3) не выполнено также условие непрерывной
зависимости решения от исходных данных. Рассмотрим последо-
вательность zn(e) = zq(s) + n sm(n2s), n = 0,1,2,.... Эти функции
являются решениями уравнения (3). с правыми частями
»
«»»(«) = У #(*, e)zn(e)ds, п = 0,1,... .
а
Оценим ||u„ - «o||c[e,4j- Так как
= — К(х, в) i cos(n2e
i
|un(z) — uq(z)| | У K(£,s)nsm(n2s)ds
а
+ - / /С,(г,в) cos(n2e)ds| $ —,
а П J	J П
а
где постоянная ki не зависит от п, то
||“n - “o||cfe,<g < —,	п = 1,2,... .
С другой стороны, из определения последовательности zn(e) сле-
дует, что
||zn ~ *о||с[а,Ч "* 00 ПРИ п ~°°-
Таким образом, исходные данные un(z) сколь угодно близки к
u0(r) при п —»• оо, а соответствующие решения zn(e) не сходятся
к zo(e) при п —»• оо, что и означает отсутствие непрерывной
зависимости.
Отметим, что единственность решения уравнения (3), т.е. вы-
полнение второго условия корректности решения этой задачи
зависит от конкретного вида ядра К(х,в). Так как уравнение
(3) является линейным, то его решение будет единственным при
любой правой части и(х) в том и только в том случае, если для
и(х) = 0 уравнение имеет только нулевое решение. Покажем в ка-
честве примера, что в случае К(х,в) = е-*-’) решение уравнения
12
(3) неединственно, а при К(х,в) — е** — единственно. В первом
случае однородное уравнение имеет вид
»
J e“~*z{e)ds = 0, с х d,
а
ИЛИ
»
j e~*z(t)de = 0, с х d,
а
и, очевидно, имеет ненулевое решение. Во втором случае одно-
родное уравнение записывается так:
»
j e**z(e)ds = 0, с х d.
а
Дифференцируя это уравнение п раз, получим
»
J ех* вп z(s)ds = 0, с х d.	(4)
а
Это равенство выполнено при любом п = 0,1....... Положив в (4)
х — xq, где ®о — произвольная точка отрезка [с,d}, и обозначив
через zi(e) функцию e®°*z(e), получим
»
j enzi(s)ds = 0, ns ОД,....	(5)
а
Так как система функций в”, п = 0,1,..., полна на отрезке [в,Ь],
то из равенств (5) следует, что zj(e) = 0 для в G [аД], а значит,
z(s) = 0 для в G [аД] и уравнение (3) с данным ядром имеет
единственное решение.
Пример 3. Рассмотрим задачу решения системы линейных
алгебраических уравнений n-го порядка
Az = и,	(6)
где А — квадратная матрица, а и € Я" и z G Rn. Если определи-
тель матрицы А отличен от нуля, то для любого вектора правой
части и € Я" существует единственное решение системы (6) —
вектор z € Я", который имеет вид z = A-1u, где А-1 — матрица,
13
обратная к А. Из этого представления для решения следует
также его непрерывная зависимость от исходных данных и.
В том случае, когда определитель А равен нулю, система (6)
имеет решение не для любого и € Я”, а.если для некоторого ио
решение существует, то оно будет неединственно. Следовательно,
при det А = 0 задача является некорректной.
Следует отметить, что корректность или некорректность за-
дачи зависит не только от того, какого типа уравнением она
определяется, но и от пространств U и Z. Поясним это на
следующем примере.
Пример 4. Рассмотрим задачу решения интегрального
уравнения Вольтерра 1-го рода
Г
J K(x,s)z(s)ds = u(x), 0 х С 1,	(7)
о
в которой при заданном ядре К(х, в\требуется для любой функции
и(х) найти решение х(в). Предположим, что функция К(х,в)
непрерывна, имеет непрерывные первые частные производные при
К(х,х) = 1 для х G [0,1].
Рассмотрим задачу решения уравнения (7) в предположении,
что z(x) ищется в пространстве С[0,1], а исходные данные и(х) €
Со[0,1], где через Со[0,1] обозначено множество непрерывных на
[0,1] функций, таких, что и(0) = 0, с введенной на нем равномерной
метрикой. В этом случае аналогично тому, как это было сделано
для уравнения Фредгольма 1-го рода в примере 2, можно показать,
что задача решения уравнения (7) будет некорректна.
Предположим теперь, что функции и(х) принадлежат прост-
ранству Сд [0,1], т.е. множеству непрерывно дифференцируемых
на отрезке [О,1] функций, таких, что и(0) = 0, в котором введена
норма, равная
шах	щах 1и'(х)1.
Пусть решение z(x), как и в предыдущем случае, ищется в прост-
ранстве С[0,1]. Дифференцируя (7), имеем уравнение
Г
z(x) +j Ks(x,s)z(s)de = u'(x),	(8)
о
являющееся интегральным уравнением Вольтерра 2-го рода. За-
дача решения этого уравнения эквивалентна задаче решения
уравнения (7). Для любой непрерывной правой части и'(х) урав-
нение (8) имеет единственное непрерывное решение
Г
z{x) = и'(х) + У Г(г, s)u'(s)ds,	(9)
о
14
где Г(«,«) — резольвента уравнения (8) [22]. Функция Г(х, s)
непрерывна при 0 $ в х 1. Из представления (9) следует, что
1И|с[о,1] const ||и||С1[0>1].
Таким образом, в данном случае задача решения уравнения (7)
корректна.
Следует, однако, отметить, что при решении задач, связан-
ных с обработкой результатов эксперимента, выбор метрики, как
правило, определяется характером эксперимента.
В качестве последнего приведем пример некорректной задачи,
предложенный Адамаром.
Пример 5. Требуется найти функцию z(x, у), такую,
что z(x,y) и z9(x,y), непрерывны при х G (—оо,оо), у € [О,/],
Zgx(x,y) и z„(x,y) непрерывны при х Е (—оо.оо), у G (О,/], z(x,y)
удовлетворяет уравнению Лапласа
zri + zvv = 0, —оо <х<оо, 0< у I,
и условиям
z(x,0) = 0, zv(x, 0) = u(r), — оо < х < оо.
Будем предполагать, что функции u(r) ограничены и непре-
рывны при х G (—оо,оо). Введем на множествах функций в(х)
и г(х> у) равномерные метрики. Покажем, что рассматриваемая
задача является некорректной. Рассмотрим последовательность
«п(х) = ^sin(nx), п = 1,2,... и uq(x) = 0. Этим функциям соот-
ветствуют решения zn(x,y) — ^sm(nr)sh(ny), z0(x,y) = 0. Сле-
довательно, при п —► оо
sup |un(x) - u0(*)| -* 0,
— 00<®<00
а
sup |zn(x,y) - Zo(x,y)[ ->• оо.
—со<®<оо
ООС»
Таким образом, для рассматриваемой задачи не выполнено
условие непрерывной зависимости решения от исходных данных,
и она является некорректной.
Рассмотрим вопрос о корректности задачи решения оператор-
ного уравнения
Az — и,	(10)
где А — оператор, отображающий пространство Z в U (Z, U — ли-
нейные нормированные пространства). В соответствии с данным
15
выше определением задача решения уравнения (10) будет коррект-
ной, если для любого и G U решение уравнения (10) существует,,
единственно и z непрерывно зависит от и. Из этих условий
следует, что задача решения уравнения (10) будет корректной,
если на U определен обратный оператор Л-1, являющийся не-
прерывным на U.
Приведем теорему Банаха об обратном операторе [55].
Теорема 1.2.1. Если линейный ограниченный оператор А
отображает все банахово пространство Z на все банахово прос-
транство U взаимнооднозначно, то существует линейный огра-
ниченный оператор А'1, обратный оператору А, отображающий
Una Z.
Из этой теоремы следует, что для линейного непрерывного
оператора, отображающего взаимно однозначно пространство Z
на U, где Z и U — банаховы пространства, задача решения
уравнения (10) является корректной. Теорема 1.2.1 показывает
также определенную зависимость условий корректности задачи
решения линейного операторного уравнения Az = и в банаховых
пространствах. Действительно, предположим, что оператор А не-
прерывен и уравнение Az = 0 имеет только нулевое решение, т.е.
выполнено второе условие корректности решения задачи. Тогда,
если решение уравнения Ах = и существует для любого u € U
(выполнено условие 1)), то существует ограниченный обратный
оператор А-1 (выполнено условие 3)). Если же условие 3) не вы-
полнено (нет непрерывной зависимости решения от правой части),
то обязательно не выполнено и условие 1) (уравнение разрешимо
не для любого u G U).
Рассмотрим вопрос о корректности решения уравнения (10)
в случае, когда А — линейный вполне непрерывный оператор,
отображающий банахово пространство Z в банахово пространс-
тво U, причем пространство Z таково, что шар в Z не является
компактным множеством. Покажем, что в этом случае оператор
А не имеет непрерывного обратного А-1. Предположим, что это
не так и оператор А'1 существует и непрерывен. Рассмотрим в
пространстве Z шар S. Так как множество S не является компакт-
ным, то существует последовательность zn С S, такая, что из нее
нельзя выделить подпоследовательность, сходящуюся к какому-
нибудь элементу. С другой стороны, множество S ограничено, а
оператор А вполне непрерывный. Следовательно, множество AS
является компактным в 17 и из последовательности un = Azn С AS
можно выделить подпоследовательность1 um = Azm С AS, сходя-
щуюся к некоторому элементу «о- Так как, по предположению,
оператор А-1 непрерывен, то последовательность zm = A-1um
’1 С целью упрощения записи здесь и далее при обозначении
подпоследовательности, как правило, изменяется буква, обозна-
чающая целочисленный индекс.
16
сходится к элементу А-1ио, что противоречит исходным условиям
выбора последовательности zn. Таким образом, оператор А не
имеет непрерывного обратного оператора А-1 и задача решения
уравнения (10) не является корректной.
Уравнение (10) с линейным вполне непрерывным оператором А
обычно называют линейным операторным уравнением 1-го рода,
а уравнение z — Az = и — линейным операторным уравнением 2-го
рода. Как уже отмечалось, задача решения уравнения 1-го рода,
при условии, что шар в пространстве Z не является компактным
множеством, некорректна. В то же время из теорем Фредгольма
[55] следует, что задача решения уравнения 2-го рода корректна,
если единица не является собственным значением оператора А, и
некорректна в противном случае.
$3. О НЕКОТОРЫХ АСПЕКТАХ ПОСТАНОВКИ И
РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ
Понятия и примеры, приведенные в предыдущих параграфах,
показывают, что обратные задачи, возникающие при обработке
результатов экспериментов, как правило, являются некорректно
поставленными. В связи с этим вопросы, связанные с сущест-
вованием и единственностью решения этих задач, а также не-
прерывной зависимости решения от исходных данных обратной
задачи, требуют дополнительного анализа. Этот анализ можно
проводить для абстрактной постановки обратной задачи в виде
задачи решения операторного уравнения Az — и.
Исследование любой обратной задачи, связанной с изучением
некоторого реального объекта или процесса, проводится в рам-
ках определенной математической модели. Это означает, что
выбраны оператор А и класс элементов Z, содержащий искомую
неизвестную характеристику z. Класс U, которому принадлежит
правая часть уравнения и, определяется типом эксперименталь-
ной информации, которая привлекается для решения обратной
задачи. При этом предполагается, что в классе U существует
элемент й = Az, который и пытаются измерить в результате эк-
сперимента. Однако, так как в любом эксперименте измерения
проводятся с некоторой погрешностью, то элемент « неизвестен,
а задан приближенный элемент й и величина погрешности 6,
характеризующая близость й к й в некоторой метрике. Таким
образом, в рассматриваемой постановке задачи особое значение
приобретают вопросы единственности и устойчивости решения
обратной задачи. Исследование единственности решения обрат-
ной задачи, по сути дела, представляет собой ответ на вопрос о
том, достаточно ли имеющейся экспериментальной информации
для однозначного определения искомой характеристики изуча-
емого объекта или процесса. Проблема устойчивого решения
обратных задач связана с построением таких методов, которые
позволяют определять приближенные решения z, близкие к иско-
мому z, на основе имеющейся, приближенно заданной исходной
информации й и 6.
Впервые проблема устойчивого решения обратных задач была
поставлена А.Н. Тихоновым [76]. В этой работе предложен подход
к устранению неустойчивости решения обратной задачи, который
основывается на использовании априорной информации о точном
решении задачи z. Априорная информация о точном решении дос-
таточно часто имеется при анализе различных обратных задач.
Как правило, она связана с тем, что неизвестная характеристика z
представляет собой некоторую физическую величину, имеющую
определенные свойства. В качестве примеров подобных свойств
можно привести положительность, монотонность, ограниченность
производной и многие другие. Такого типа априорная информа-
ция позволяет в ряде случаев сузить класс элементов Z, которому
принадлежит точное решение z, до некоторого множества М, на
котором решение обратной задачи будет устойчиво. Обоснова-
нием подобного подхода к устойчивому решению обратных задач
является следующая теорема.
) Теорема 1.3.1. Пусть множество М метрического прос-
транства Z взаимно однозначно отображается оператором А на
множество N метрического пространства U. Тогда, если опера-
тор А непрерывен на М и М — компакт, то обратный оператор
А-1 непрерывен на N.
Доказательство. Так как множество = AM есть вза-
имно однозначный образ множества М, то обратный оператор А-1
на множестве N существует. Покажем, что он непрерывен на N.
Предположим, что это не так. Тогда существует элемент
«о € N и последовательность элементов ип £ N, п = 1,2,...,
такие, что p(un,uo) —* 0 при п —► оо, в то время как
p(*n,zo) > £ > 0 для п = 1,2,...,	(1)
где zn — А~1ип, z0 = A-1uo. Так как последовательность- zn
принадлежит множеству М и М — компакт, то из zn можно
выделить подпоследовательность zm, такую, что p(zm,z) —>• 0 при
m-юо, где элемент z G М. Тогда из (1) следует, что p(z0,z) > е.
Так как оператор А непрерывен на М, a p(zm, z) —> 0 и р(ит, uq) =
p(Azm,uo) —> 0 при т —+ оо, то p(Az,uo) = 0. Следовательно,
Az — Az§ = «0. Так как отображение А взаимно однозначно
на М, то z = zq. Но это равенство противоречит неравенству
p(z,zo) е. Таким образом, исходное предположение неверно и
теорема доказана.
Идея сужения класса возможных решений обратной задачи до
некоторого множества, на котором ее решение устойчиво, лежит в
основе введенного М.М. Лаврентьевым [44] понятия корректности
по Тихонову или условной корректности задачи.
18
Задача решения уравнения Az = и называется корректно по-
ставленной по Тихонову (условно-корректной), если выполнены
следующие условия:
1)	априори известно, что решение уравнения существует и при-
надлежит некоторому заданному множеству М пространства Z\
2)	решение уравнения единственно на множестве М;
3)	существует непрерывная зависимость решения уравнения от
правой части и, когда вариации и не выводят решение за пределы
множества М.
Соответствующее множество М называется множеством кор-
ректности.
Пусть Z и U — некоторые линейные нормированные прост-
ранства. В том случае, когда задача решения уравнения Аг = и
условно-корректна и множество М — компакт в Z, возможно пос-
троение оценок устойчивости решения обратной задачи [44]. Эта
возможность основана на следующей теореме.
Т е о р е м а 1.3.2. Пусть оператор А отображает компакт
М С Z непрерывно и взаимно однозначно на множество N = AM С
U. Тогда существует непрерывная в нуле функция ш(г), w(0) = О,
такая, что для любых z\ и z2 € М выполнена оценка
11*1 ~	- Лг2[|).	(2)
Доказательство. Предположим, что функции w(r), об-
ладающей указанными свойствами, не существует. Тогда для
любого натурального п найдутся элементы z„, z„ € М, числовая
последовательность Тп —» 0 при п —*оо и число Е > 0, такие, что
\\Аг\-Аг2\\^гп,	(3)
ll2i~2nll>£-	(4)
Так как последовательности г\ и z2 принадлежат компакту М,
то из них можно выделить подпоследовательности z^ и z^,, схо-
дящиеся к принадлежащим М элементам z1 и г2 соответственно.
Тогда из оценки (3) следует, что ЦАг1 — Аг2Ц = 0 и из взаимно
однозначности оператора на М имеем z1 = г2. Но из неравен-
ства (4) следует, что Цг1 — z2|| е. Полученное противоречие
доказывает теорему.
Оценки устойчивости типа (2), полученные в предположении,
что решение принадлежит некоторому множеству М, называются
оценками условной устойчивости. Примеры такого типа оценок
для некоторых обратных задач содержатся в гл. 4.
Предыдущий подход к решению некорректных задач основы-
вался на использовании априорной информации о принадлежности
решения к некоторому множеству М. Однако для многих обрат-
ных задач характерна ситуация, когда априорная информация
19
о принадлежности решения множеству М, на котором решение
рассматриваемой задачи было бы устойчиво, отсутствует. Для
Построения приближенных решений некорректной задачи в этом
случае используется фундаментальное понятие регуляризирую-
щего оператора [79, 81].
Рассмотрим задачу решения уравнения Az = и, где А — опе-
ратор, отображающий Z в U (Z, U '— линейные нормированные
пространства).
Будем предполагать, что оператор А, пространства Z и U тако-
вы, что эта задача некорректна. Пусть для точной правой части
й существует единственное решение уравнения z, т.е. Az = й. Од-
нако элемент й неизвестен, а заданы и; и величина погрешности
б, такие, что ||и« — й||	6. Требуется построить приближен-
ное решение уравнения — элемент zg, который бы стремился к
точному решению z при стремлении к нулю величины погреш-
ности задания исходной информации 6. Так как задача является
некорректной, то для построения приближенного решения нельзя
использовать обратный оператор, т.е. брать в качестве zg элемент
A~lug. Это объясняется тем, что обратный оператор может быть
не определен на ug и не являться непрерывным на U 
Для определения приближенного решения zg представляется
естественным использовать всю исходную информацию, т.е. ug и
величину погрешности 6.
Определение. Оператор R(u, 6), действующий из прост-
ранства U в пространство Z, называется регуляризирующим для
уравнения Az = и (относительно элемента й), если он обладает
свойствами:
1) существует число 61 > 0, такое, что оператор R(u, 6) опре-
делен для всех 6 G [0,^] u us G U, удовлетворяющих неравенству
||«4 - «II б;
2) для любого е > 0 существует число 6о(е,««) $ 61, такое,
что из неравенства
||«4 - й|| б «о
следует неравенство ||zs — z|| е, где zg = R(uj,6).
В этом определении допускается многозначность оператора
R(u,6). Через zg обозначается произвольный элемент из множес-
тва значений R(u,6).
Для теории приближенных методов типичной является ситу-
ация, когда конкретный метод приближенного решения задачи
зависит от некоторого параметра. Это может быть шаг сетки,
номер числа итераций и т.д. В связи с этим часто используется
следующая схема построения регуляризирующего оператора. За-
дается некоторое семейство операторов Д(и,а), действующих из
U в Z и зависящих от некоторого параметра а. Затем параметр
а выбирается в зависимости от 6 и ug: (а = a(6,ag)) так, чтобы
20
R(uf,a(6,Ui)) —♦ x при 6 —♦ 0. Методы построения конкретных
регуляризирующих операторов рассмотрены во второй главе.
Задачу приближенного решения уравнения Ах — и можно рас-
сматривать в более общем случае приближенного задания исход-
ных данных, когда не только правая часть и, но и оператор А
заданы с погрешностью. Так как общие принципы построения
приближенного решения уравнения при такой постановке задачи,
как правило, остаются теми же, что и при точно заданном опера-
торе А, то в этой книге для простоты изложения рассматривается
только случай точно заданного оператора.
Остановимся на взаимосвязи между проблемой решения обрат-
ных задач, связанных с интерпретацией наблюдений и математи-
ческим моделированием. Как уже отмечалось, обратные задачи
решаются в рамках некоторой принятой математической модели
исследуемого объекта или процесса. Однако при исследовании
конкретного процесса достаточно часто вид математической мо-
дели заранее не известен, и она выбирается, а затем уточняется
в процессе решения обратной задачи. Это связано с тем, что
один и тот же процесс может быть описан математическими мо-
делями различного типа — более простыми, не учитывающими
определенные факторы, или более сложными, которые их учи-
тывают. Следует также отметить, что принятие математичес-
кой модели определяет класс, которому принадлежат величины,
подлежащие определению при решении обратной задачи. Для
простой модели это могут быть некоторые постоянные, для более
сложной — функции, зависящие от одной или нескольких перемен-
ных. С возрастанием количества экспериментальной информации
и улучшением ее качества (повышение точности наблюдений), как
правило, для интерпретации эксперимента необходимо применять
более полные математические модели и решать обратные задачи в
рамках этих моделей. Проблема выбора математической модели
возникает при решении обратных задач, связанных с интерпре-
тацией конкретных наблюдений. Математическое исследование
обратной задачи проводится обычно в рамках фиксированной
математической модели.
Глава II
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ
Методы решения некорректных задач, сформулированных в ви-
де операторных уравнений 1-го рода, представляют собой основу
методов приближенного решения различных конкретных обратных
задач. В этой главе кратко изложены основы методов решения
некорректных задач. Более детальное изложение теории некор-
ректных задач и методов их решения содержится в [7, 8, 14, 33,
44, 49, 59, 81, 84, 87].
§1. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 1-ГО РОДА НА
КОМПАКТАХ. МЕТОД КВАЗИРЕШЕНИЙ
Рассмотрим операторное уравнение 1-го рода
Az — u,	(1)
где А — непрерывный оператор, действующий из метрического
пространства Z в метрическое пространство U, такой, что задача
решения уравнения (1) некорректна.
Предположим, что для точной правой части уравнения (1) й
существует единственное решение z, принадлежащее некоторому
компакту М. Однако элемент й неизвестен, а заданы прибли-
женная правая часть и« и величина погрешности 6, такие, что
р(и«,й)	6. Требуется, зная щ и 6, предложить способ построе-
ния приближенных решений Z6, которые бы стремились к точному
решению z при 6 —♦ 0. Рассмотрим множество
Z6 = {z : p(Az,ut) 6}.
Так как задача решения уравнения (1) некорректна, то произволь-
ный элемент этого множества нельзя рассматривать в качестве
приближенного решения. Поскольку имеется априорная информа-
ция о принадлежности точного решения z компакту М, естествен-
но сузить множество Zf, взяв его пересечение с компактом М, а
именно Zf1 = Zs Г\ М. Отметим, что для любого 6 > 0 множество
Zf* непусто, так как оно содержит точное решение z. Покажем,
что элементы множества Z™ можно рассматривать в качестве
приближенных решений уравнения (1).
22
Теорема 2.1.1. Ilpu 6 —> О
sup p(z, z) 0.
Доказательство. Предположим, что теорема неверна.
Тогда существуют последовательности 6п —* 0 и zjn G Zg^, такие,
что p(^n,i) е, где е — некоторая положительная постоянная.
Так как последовательность zgK С М, то из нее можно выделить
сходящуюся подпоследовательность zgk —♦ -?о- Тогда, переходя к
пределу в неравенстве	€, получим, что
p(zo, z) €.	(2)
Так как элемент zgk G Z^, то p(A?jk,(u^) 6^. Переходя в этом
неравенстве к пределу при 6t -* 0, получим, что p(Azq, й) = 0. Сле-
довательно, Azo = Az = й и из единственности решения уравнения
(1) с правой частью й имеем zq = z. Но это равенство противо-
речит неравенству (2). Таким образом, исходное предположение
неверно и теорема доказана.
Замечание. Доказательство теоремы 2.1.1 фактически
совпадает с доказательством теоремы 1.3.1 о непрерывности об-
ратного оператора на компакте. Однако в отличие от той теоремы
здесь предполагалась единственность решения уравнения (1) не
на всем компакте М, а только для точной правой части й.
Приведем пример, иллюстрирующий отсутствие сходимости
всех элементов множества Zg к точному решению z. Пусть
оператор А действует из Я1 в Я1 и определяется следующим
образом: Az = z/{z2 4- 1)'. Тогда уравнение Az = й с точной
правой частью й = 0 имеет единственное решение z = 0. Пусть
вместо й задана приближенная правая часть ug = 6/2 и величина
погрешности 6. Множество Zg в этом случае будет представлять
собой множество чисел, удовлетворяющих неравенству
Очевидно, что при любом 6 > 0 решением этого неравенства
является число zg = 2/6, не стремящееся к z — 0 при 6 —► 0.
В то же время, если М — отрезок [—1,1], то множество Zg1
(при достаточно малых 6) представляет собой множество чисел,
удовлетворяющих неравенству
-1 + у/Г^б2.	1 - >/1 - 962
6	36
и для него справедливо утверждение теоремы 2.1 1.
23
Метод квазирешений. В том случае, когда задача решения
уравнения (1) некорректна, естественно попытаться так изменить
понятие решения, чтобы при определенных условиях задача его
определения была корректной.
В связи с этим В.К. Ивановым [30, 31] было введено понятие
квазирешения. Пусть в уравнении (1) А — непрерывный оператор,
действующий из линейного нормированного пространства Z в
линейное нормированное пространство {7, и М — компакт в Z.
Определение. Квазирешением уравнения (1) называется
элемент zr, минимизирующий невязку ||Az — и|| на множестве М
zk = arg inf || Az - u||.
Из определения квазирешения следует, что оно существует для
любого « Е U. Действительно, так как оператор А непрерывен, то
невязка ||Az — u|| является непрерывным функционалом, который
достигает, своей нижней грани на компакте М. Если и 6 AM, то
квазирешение Zr совпадает с обычным решением, так как в этом
случае ||Azr — «|| = 0.
Покажем, что при выполнении определенных условий квази-
решение уравнения (1) существует, единственно и непрерывно
зависит от правой части и [33].
Докажем предварительно некоторые утверждения. Обозначим
через r(u, N) расстояние от элемента и до компакта N, принад-
лежащего U,
r(u,N) = inf ||u —;||.
Лемма 1. Для любых ui,u2 Е U справедливо неравенство
|г(и2Л)-г(«1Л)|^||и1-и2||.	(3)
Доказательство. Пусть g — произвольный элемент
из N. Тогда
r(«i, N) Цщ - ff|| ||«! - и21| + ||и2 - 0||,
’•(«i,-/V)-||«2-ff|H ||«i-и2||.	(4)
Так как N — компакт, то существует элемент g2 Е N, такой, что
||«2 — 9г|| = г(и2,ЛГ). Взяв в неравенстве (4) д = д2, получим
r(ui,AT) - r(u2,N) ||uj - u2||.
Поменяв в этом неравенстве местами щ и и2, имеем
r(ti2,N) - r(ui,N) ||u2 -U1||.
24
Объединив два последних неравенства, получим (3), тем самым
лемма 1 доказана.
Определение. Проекцией элемента и на множество N
называется элемент д Е N, такой, что
||« -$|| = r(u, N).
Очевидно, что если N компакт, то для любого элемента и € U
проекция и на N существует, так как непрерывный функционал на
компакте достигает своей точной нижней грани.
Определение. Оператором проектирования Р в линей-
ном нормированном пространстве U на множество N называется
оператор, ставящий в соответствие элементу и Е U его проек-
цию д = Ри.
В общем случае оператор проектирования может быть-опреде-
лен не для любого и Е U ( проекция не существует) и неоднозначен
(для одного элемента существуют две и более проекций).
Лемма 2. Оператор проектирования Р на выпуклый компакт
N в гильбертовом пространстве Н определен для любого и Е Н,
однозначен а непрерывен.
Доказательство. Существование проекции для любого
u Е Н следует из того, что множество N — компакт. Докажем,
что проекция единственна. Пусть у некоторого элемента и су-
ществуют две проекции gi и д^:
Покажем, что дз = (gi + р2)/2 также будет проекцией и на N.
Действительно, так как N выпукло, то дз Е N. С другой стороны,
Н« - Яз|| = II« " С ||1« - 91II + |||« - Л|| = r(u, N).
II	X	л»	£
Следовательно, дз — проекция элемента и.
В гильбертовом пространстве для любых элементов «1 и и2
выполняется равенство
||«1 + «2||2 + ||«1 - «2||2 = 2(||“1||2 + М2)-
Записывая это равенство для элементов uj = и—д\ и и2 = и—дз,
получим
||2и - (gi + р2)||2 + ||ffi - р2||2 = 2(||u - piH2 + ||u - p2||2).	(5)
II2
u - I = 4(r(u,N))2, TO из (5)
следует, что 4(r(u^))2+||p1 — p2||2 = 4(r(u, N))2, или ||pi — p2||2 = 0.
Следовательно, проекция единственна и оператор Р однозначен.
25
Докажем непрерывность Р. Предположим, что это не так и
существует последовательность ип —♦ и, такая, что Рип Ри.
Тогда существует подпоследовательность щ -+ и, такая, что
||Pufc — Ри|| > е, где е — некоторая положительная постоянная. Так
как подпоследовательность Ри^ принадлежит компакту N, то из
нее, в свою очередь, можно выделить подпоследовательность Pum,
сходящуюся к элементу q € N. Поскольку для элементов Ри*,
выполнено неравенство ||Pum — Р«|| то, переходя к пределу,
получим, что
||«-Ри||>®.	(6)
Оценим норму элемента и — q:
IIй “ «II < IIй ~ “m|| + ||«m ~ P«m|| + |(Pum - <	(7)
Из леммы 1 следует, что
| ||um - PUm|| ~ ||<Х - Pu|| | ||tt - UmH-
Тогда, переходя в неравенстве (7) к пределу и учитывая,
что ит —♦ и, а Рит —♦ q при т —♦ оо, получим ||« — д|| $ ||« —
Ри||. Так как q G N, то из этого неравенства следует, что q
является проекцией элемента и на N, а значит, q = Ри. Но
это равенство противоречит неравенству (6). Следовательно,
исходное предположение неверно. Лемма доказана.
Теорема 2.1.2. Пусть А — линейный непрерывный опера-
тор, отображающий линейное нормированное пространство Z в
гильбертово пространство U, такой, что уравнение Az = 0 имеет
только нулевое решение, аМ — выпуклый компакт в пространстве
Z. Тогда для любого и EU квазирешение уравнения (1) существует,
единственно и непрерывно зависит от и.
Доказательство. Пусть и — произвольный элемент
пространства U. По определению квазирешения zk
\\Azk -u)| = inf ||Az —u||.	(8)
Существование квазирешения zk следует из того, что А непреры-
вен, а М — компакт. Введем следующие обозначения: N = АМ,
q = Azk. Тогда (8) можно записать следующим образом:
Н«-«Н= 1Ь-«11>
т.е. q = Ри, где Р — оператор проектирования на множество
N. Следовательно, квазирешение zk представимо в виде zk =
А~*Ри. Так как из равенства Az = 0 следует, что z = 0, то А
осуществляет взаимно однозначное отображение компакта М на
компакт N. Следовательно, по теореме 1.3.1 о непрерывности
36
обратного оператора на компакте, А~1 на N непрерывен. Тогда
из однозначности и непрерывности оператора Ри, отображающего
U на N, следует, что оператор А~*Р однозначен и непрерывен,
что и доказывает теорему.
Рассмотрим вопрос о применении метода квазирешений для
решения уравнения (1) с приближенно заданной правой частью.
Пусть А — непрерывный оператор, отображающий линейное
нормированное пространство Z в линейное нормированное прост-
ранство U. Пусть для точной правой части й уравнение (1) имеет
единственное решение i, принадлежащее компакту М. Предполо-
жим, что элемент й неизвестен, а вместо него задан щ. Обозначим
через Z* множество квазирешений уравнения (1) на компакте М,
соответствующих элементу и$.
Теорема 2.1.3. Если ||и{ — й|| —> 0, то supzeZ« ||z — z|| —» 0.
Доказательство. Предположим, что утверждение не-
верно. Тогда существует такая последовательность элемен-
тов Ufm —* й при т —♦ оо и последовательность квазирешений
zm = arginfz6*f ||Аг — «<т]|, что ||zm — z|| > s, где е — некоторое по-
ложительное число. Так как последовательность гт принадлежит
компакту М, то из нее можно выделить подпоследовательность
zp —* го € М, тогда ||zq — гЦ е. Так как Zp — квазирешение,
соответствующее элементу и^, и г 6 М, то
||Azp-ti|| ||Агр-«4,||-|-||и4,-й|| ||Az-u<F||+||u«F-u|| = 2||и«,-й||.
Переходя в этом неравенстве к пределу, получим, что ||Azo—й|| = 0.
Следовательно, в силу единственности решения уравнения (1) с
правой частью й имеем г0 = г. Но это равенство противоречит
неравенству ||zo — z|| е. Таким образом, исходное предположение
неверно и теорема доказана.
Замечание. Теорема 2.1.3 близка к теореме 2.1.1, однако
в ней есть одно существенное отличие. В теореме 2.1.1 мно-
жество приближенных решений Zf* строилось в предположении,
что известны приближенно заданная правая часть и« и величи-
на погрешности б, множество же квазирешений Z* строится без
использования информации о величине погрешности 6.
Теоремы 2.1.1 и 2.1.3 являются основой для построения устой-
чивых методов решения многих обратных задач. Очень часто,
используя априорную информацию о решении задачи, можно сде-
лать заключение о его принадлежности некоторому компакту М.
Затем задача приближенного решения уравнения сводится к ми-
нимизации функционала невязки ЦАг — и«|| на М. При этом, как
это следует из теоремы 2.1.1, если задана величина погрешности
б, то процесс минимизации можно закончить, как только будет
найден элемент Zf, такой, что |]Аг$ — и$|] б. Если же величина
б не известна, то нужно проводить процесс минимизации до конца
для того, чтобы найти квазирешение.
27
Теоремы 2.1.1 и 2.1.3 были доказаны без предположения о ли-
нейности оператора А, что позволяет применять их для широкого
класса обратных задач, которые сводятся к уравнению (1) с не-1
линейным непрерывным оператором А. Важное значение' при j
этом имеет вопрос о единственности решения уравнения с точной,
правой частью.	i
Остановимся на еще одном моменте, связанном с решением
уравнения (1) в предположении, что есть априорная информация!
о принадлежности точного решения компакту М. Это предпо-
ложение кажется не очень обременительным, поскольку, даже не
обладая почти никакой количественной информацией о точном ре-
шении, мы, как правило, можем взять столь большой компакт М,
что он будет содержать точное решение. Например, решая задачу
в пространстве непрерывных функций Z = С[а, 6] и предполагая,
что точное решение z € С1 [а, 6], можно в качестве компакта М
взять замыкание множества функций z(x), таких, что
|х(х)| ci, |/(x)| с2, хЕ[а,6].
Тогда, не обладая определенной количественной информацией о
х(х), можно предполагать, что, выбрав Cj и с2 достаточно больши-
ми, будем иметь z Е М. После чего с теоретической точки зрения1
на основе теорем 2.1.1, 2.1.3 проблема устойчивого решения зада-
чи с приближенно заданной правой частью будет решена. Однако
следует отметить, что теоремы 2.1.1 и 2.1.3 имеют асимптотичес-
кий характер, т.е. они утверждают, что множество приближенных
решений сходятся к z при ||и$ — б|| -♦ 0. В то же время на прак-
тике приходится решать задачу с конкретным и«. При этом если
компакт М “очень большой”, то множество приближенных реше-
ний Z(* может быть велико и содержать элементы, далекие от г.
Точно так же при большом компакте М квази решение, определен-
ное для данного Uf, может быть достаточно далеко от точного
решения г. Таким образом, точность методов, основанных на
использовании априорной информации о принадлежности точного
решения z компакту М, существенно зависит от множества Af-.
§2. МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ТИХОНОВА
Метод регуляризации А.Н. Тихонова широко применяется для
решения линейных и нелинейных операторных уравнений 1-го ро-
да. Прежде чем приступить к изложению этого метода, приведем
некоторые необходимые сведения из функционального анализа.
Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство. После-
довательность элементов хп называется слабо сходящейся к хо,
если (хп,у) -* (хо,у) для любого у Е Н.
Справедливы следующие свойства слабо сходящихся последо-
вательностей [55]:
28
1)	если хп слабо сходится к хо, то ||хо|| lim ||х„11;
2)	если хп слабо сходится к х0 и ||хп|| -* ||хо||, то ||х„ — х0|| -+ О,
т.е. из слабой сходимости и сходимости норм следует сильная
сходимость;
3)	если последовательность хп ограничена по норме, то из
нее можно выделить подпоследовательность, слабо сходящуюся к
некоторому элементу хд;
4)	линейный вполне непрерывный оператор отображает слабо
сходящуюся последовательность в сильно сходящуюся.
Сформулируем необходимое условие экстремума функциона-
лов в гильбертовом пространстве [15], введя предварительно
понятие градиента.
Функционал J(x), определенный для всех элементов гильбер-
това пространства, называется дифференцируемым; в хд, если
существует такой линейный непрерывный функционал J'o, что
приращение функционала представимо в виде
J(xg + h)~ J(xg) = J'0(A)+ы(го,Л),
где |ы(х0,Л)[/||Л|| -* 0 при ||Л|| —> 0. Функционал J'Xo называется
первой производной, или градиентом J(x) в хо-
По теореме об общем виде линейного непрерывного функци-
онала в гильбертовом пространстве [55] функционалу J'o соот-
ветствует единственный элемент с G Я, такой, что J'o(A) = (с, Л)
и 1Ю1 — НСП- ® связи с этим для элемента с можно также
использовать то же обозначение, что и для градиента. Тогда
^о(Л) = (.7'0,Л).
Для функционалов справедливо следующее необходимое усло-
вие экстремума. Пусть
J(x0) = J(x)
и J(x) дифференцируем в точке xq. Тогда JXa = 0.	„
Перейдем теперь к методу регуляризации Тихонова. Рассмот-
рим его вначале для задачи решения операторного уравнения
1-го рода
Аг = u,	(1)
где А — линейный вполне непрерывный оператор, отображающий
Z в U (Z и U — сепарабельные гильбертовы пространства). Так
как оператор А вполне непрерывен, то задача решения решения
уравнения (1) некорректна.
Предположим, что для точной правой части й уравнение (1)
имеет единственное решение г. Однако элемент й неизвестен, а
вместо негр заданы приближенная правая часть и« и величина
погрешности 6: ||uj — й||	6. Требуется, зная щ и 6, построить
29
приближенное решение уравнения (1) zg, которое бы сходилось
к z при 8 —* 0.
Рассмотрим функционал
Ma(z) = ЦAz - «||2 + a||z||2,
где а — положительный параметр.
Теорема 2.2.1. Для любых и 6 U и а> Офункционал Ма(г)
достигает своей нижней грани на единственном мементе.
Доказательство. Так как Л/“(z) неотрицательный, то
на Z существует его нижняя грань Mg > (Е Рассмотрим мини-
мизирующую последовательность zn, Af°(zn) -* Mq при п —» оо.
Последовательность zn можно считать упорядоченной так, что
Ma(zn+1) < M“(z„), тогда M“(zn) = ||Azn-t»||2 +a||zn||2	М«(г1) =
Mi. Следовательно, ||zn||	(Л/i/a)1/2. Так как последователь-
ность zn ограничена по норме, то из нее можно выделить под-
последовательность гь, слабо сходящуюся к zg. Докажем, что
на zo достигается нижняя грань Ma(z), т.е. Ma(zg) = Mg. Из
слабой сходимости zj к zg и вполне непререрывности оператора
А следует, что ||zo|| $ lim ||zt|| и ||Агь — u|| —♦ ЦАгд — u||. Из этих
свойств последовательности z*, а также из того, что она является
минимизирующей, следует, что для любого е > 0 найдется кд,
такое, что для к кд выполнены неравенства
«Ы2 а|М2 + «>
\\Azg - «||2	||Azit — «||2 -I- е, Ma(zk) Мд + Е.
Из этих неравенств следует, что
M“(zo) = ||Azo-u||2+a||^||2^
<: ||Azk - «||2 + a||zt||2 + 2е = M“(zt) + 2с Мд + Зе.
Так как Мд есть нижняя грань Ma(z) на Z, а число.с произвольно,
ТО Ma(zg) = Мд.
Докажем, что элемент zg, на котором достигается нижняя
грань, единствен. Покажем, что функционал Ma(z) является
дифференцируемым. Егр приращение может быть представлено
в виде
Ma(z+h)-Ma(z)=
=(A(z+h)—u, A(z+h)—u)+a(z+h, z+h)—(Az—u, Az—u)—a(z, z)=
=2(Az—u, Ah)+2a(z, h)+(Ah, Ah)+a(h, h)=
=2(A* Az—A*u, h)+2a(z, h)+(Ah, Ah)+a(h, h)=
=2(A* Az—A*u+az, h)+(Ah, Ah)+a(h, h),
30
где А* — оператор, сопряженный с А. Так как
|(АЛ, Ah) + a(h,h)\ $ (||А||2 + а)||Л||2,
то из этого представления следует, что Ma(z) является дифферен-
цируемым для любого z и его градиент равен 2(A*Az — A*u + az).
Тогда, используя необходимое условие экстремума функционала,
получим, что если на zg достигается нижняя грань Ma(z), то
A*Az0 — A*u + azo = 0, т.е. zg является решением уравнения
az + A* Az = А* и.	(2)
Таким образом, для того, чтобы доказать, что элемент zOl на
котором достигается нижняя грань Ma(z)t единствен, достаточно
показать, что уравнение (2) имеет только одно решение. Так как
это уравнение линейное, то достаточно показать, что уравнение
az + A* Az = 0 имеет только нулевое решение ~>едположим, что
это не так и существует zi 0, такой, что azi + A’Azi = 0. Тогда
(azi + A*Azi,azi + A*Azi) = 0, но это равенство можно переписать
следующим образом:
a2(*i>*i) + 2tt(Azi, Azi) -I- (A*Azx, A*Az^ = 0.
Так как первое слагаемое a2(zi,zi) > 0, а второе и третье не-
отрицательны, то это равенство невозможно. Таким образом,
уравнение (2) имеет только нулевое решение. Теорема доказана.
Покажем, что при определенных условиях элементы, на кото-
рых достигается нижняя грань функционала Ma(z), можно рас-
сматривать в качестве приближенного решения уравнения (1) с
неточно заданной правой частью. Обозначим через ze($) элемент,
на котором достигается нижняя грань функционала
4	M“W(z) = ||Az-uf||2 + a№||2,
где а(6) > 0 при 8 > 0. Из теоремы 2.2.1 следует, что элемент
га(е) существует и единствен.
Теорема 2.2.2. Если а(8) > 0 при 8 > 0, а(8) —+ 0 и 62/а(8) —♦
0 при 8 —► 0, то ||za(f) — z|| —> 0 при 8 -+ 0.
Доказательство. Предположим, что теорема неверна.
Тогда существует е > 0 и последовательность 8ъ —* 0, такие, что
" *11 >	(3)
Так как на za(6h) достигается нижняя грань Af“^*\z), то
Ma(t’A(za($lt-)) $ Ma^k\z). Следовательно,
а(М1м«*)1|2 < НЛ* “ и«*Н2 +«(М1*1|2-
31
Так как \\Az — u«fc|| = ||u — usk || ^6*, то
Н^)И2< «*/«(«*) +IK-	(4)
Так как по условию теоремы величина	ограничена, то
последовательность za(fk) ограничена по норме и из нее мож-
но выделить подпоследовательность -гв(«ж)> слабо сходящуюся к
некоторому элементу zq. Из свойства слабой сходимости и не-
равенства (") следует, что
1Ы| Шп||хв(<ж)|| 1ЙК(,Ж)|| I|i||,	(5).
так как по условию теоремы 6^/а(6т) —♦ 0.
Так как	Ma(Sm\z), то
1ИМ«т) “ “««И (С >+“(МН*||2) 7 '
Оценим норму
1Ига(«ж)-«|| ргв(;ж)-и«ж||+||«4т-“Н (С+а(МН*||2) 7 +*т-
Учитывая слабую сходимость ze(«m) к го, вполне непрерывность
оператора А, условия теоремы и переходя к пределу при 6т —♦ 0,
получим
ЦАго - й|| = 0.
Следовательно, в силу единственности решения уравнения (1)
z0 = z. Тогда из неравенства (5) следует, что ||-Za(«m)l| —> ||i||.
Следовательно, последовательность £er«m) слабо сходится к го
и Н-гв(«ж)11 Ы- Тогда ||гв(,т) - г|( -> 0 при 6т -♦ 0, что
противоречит неравенству (3), и теорема доказана.
Приведем пример, показывающий необходимость условия
62/а(6) -+ 0 при 6 —» 0 для сходимости приближенного решения
га(в) к точному решению z при 6 —♦ 0.
Оператор А*А — линейный, вполне непрерывный, самосоп-
ряженный положительный оператор. Следовательно, по теоре-
ме Гильберта-Шмидта [37] существует ортонормированный ба-
зис собственных элементов <рп оператора А*А с положитель-
ными собственными значениями Лп, стремящимися к нулю при
п —* оо. Обозначим через шп = ^л/|ЬМ1> где = Так
как (фп,фп) = (А<рп,А<рп) = (А*А<рп,<Рп) = Xn(<f>n,<pn) = А„, то
||V>n|| = у/Хп- Рассмотрим последовательность приближенных пра-
вых частей уравнения (1)	= й + 6пшп, где 6п =	-* 0 при
п -+ оо. Так как ||wn|| = 1, то ||и$„ — й!| = б„. Пусть функция а(<5)
такова, что а(6) = 62, т.е. условие 62/а(6) —♦ 0 не выполняется.
Покажем, что в этом случае элементы «в(«п) не будут сходиться к
32
z при 6n —♦ 0. Элемент га((^, реализующий минимум функционала
5fe(6«)(z), является решением уравнения
“W:o(M + А*Аг<>‘(Ы = А*и«„-
В дальнейшем для упрощения записи, а(<5п) = й2 будем обозначать
через ап-
Точное решение z уравнения Аг = й представимо в виде раз-
ложения в ряд Фурье по элементам <рп
• °°
z = ''£{z,<f>k)<f>k.
k=l
Покажем, что для элементов г„п справедливо представление
_ V' (z,yt)Afc А,
«Г» + At ап -)
<f>n-
Действительно,
, д. л у-' (*»Р*)А*	. «г»Ап .
“n«Ow + А Агал = > ап--------+------------т-т-<рп+
“ ап + Ли ап + Ап
V'' (*>Р*)А* А2
+ а \	*—zt-*’" =
~ “п + At ап + Ап
ОО
-	<f>k)^k<f>k + А„у>п = А*й + А*6пшп = А*и(п.
к=1
Покажем, что zOn не стремится к z при п —+ оо. Рассмотрим
у-' Г(*> <Рк)^к f- J , Ап II2
> ,	..-------<Рк)1<Рк +
L ап + Лк	J	»п + An	||
^(г,<рк)ап	Ап	||2
~	...<Рк +. Уп =
" ап + At ап + Ап ||
(z,y>)2 _ 2(z,y>n)anAn Ag
(«п+Afc)2 (ап+Ап)2 (ап + Ап)2
Так как ап = 62 = Ап —» 0 при п —> оо и (z, <рп) 0 при п —> оо.
то первое и второе слагаемые в этой сумме стремятся к нулю
при п —¥ оо. В то же время третье слагаемое А2(ап + Ап)_2 — 1/4.
Следовательно, ||zQn — z||	0 при п —» оо.
33
Рассмотрим метод регуляризации Тихонова для решения нели-
нейных уравнений 1-го рода. Пусть А — непрерывный оператор,
отображающий Z в U (Z, U — линейные нормированные прост-
ранства). Пусть V — взаимно однозначный, линейный, вполне не-
прерывный оператор, отображающий сепарабельное гильбертово \
пространство F в пространство Z. Предположим, что уравнение!
(1) имеет для точной правой части й G U единственное решение,
z G Z, причем z = Vf. Требуется найти приближенное реше-
ние этого уравнения, если точная правая часть й не известна, а
заданы и« и 6, такие, что ||uj — й||	6.
Рассмотрим на пространстве F функционал
Ma(f) = ||ЛК/-и||2 + а||/||2.
Теорема 2.2.3. Для любых а > 0 a u € U существует эле-
мент fa, на котором функционал Ma(f) достигает своей нижней
грани на F.
Доказательство этой теоремы проводится аналогично
доказательству первой части теоремы 2.2.1, в которой доказы-
вается существование элемента, на котором достигается нижняя
грань Ma(z).
Отметим, что в теореме 2.2.3 единственность элемента fa не
доказывается.
Обозначим через Fa^ множество элементов, на которых дос-
тигается нижняя грань функционала
М^)(/) = ||АУ/-и4||2 + а(й)||/||2.
Докажем, что элементы множества VFa(sy при определенных
условиях на а(£) можно рассматривать в качестве приближенных
решений уравнения (1).
Т е о р е м а 2.2.4. Если а(6) > 0 при 6 > 0, о(6) —♦ 0 и 62 Са(6)
при 6 —♦ 0, где С — положительная постоянная, то
sup IIV/ — ill —» 0 при $-*0.
f*FaW
Доказательство. Предположим, что теорема неверна.
Тогда существуют е > 0, числовая последовательность 6„ -+ 0 и
последовательность элементов € Fe(«n), такие, что
(6)
Так как на /<»(««) достигается нижняя грань функционала
то
IIAVfa{(n) - Uf.)|2 + а(б„)НМм112 < Нлу/ - “dl2 + «(й«)П7Н2
^ + *(М1/1|2.	(7)
34
следовательно, ||/e(M|| < («2/а(й„) 4-1|/||2)1/2 $ (с 4-||/||2) .
Таким образом, последовательность /«(л,) ограничена по нор-
ме и из нее можно выделить подпоследовательность /<,(«„,)> слабо
сходящуюся к /о G F. Тогда ||V/e(«m) - V/o|| -* 0 при 8т -* 0 и
из неравенства (б) следует, что
l|V/o-i||>e.	(8)
Используя неравенство (7), получим, что
- «|| С ||AV/e(M - и,ж|| + ||и<ж - «|| С
<(<£ +а(М17||2)1/2 + *т-
Переходя к пределу при 6т —» 0, имеем
||АИ/о-«|| = 0.
Следовательно, в силу единственности решения уравнения (1)
с точной правой частью й имеем И/о = Vf = z. Так как это равен-
ство противоречит неравенству (8), то исходное предположение
неверно и теорема доказана, _
Из теорем 2.2.2 и 2.2.4 следует, что задача приближенного ре-
шения уравнения (1) сводится к задаче минимизации функционала
Ма, зависящего от положительного параметра а, называемого
параметром регуляризации. Если оператор А линейный, то для
определения элементов можно либо использовать методы
минимизации функционала Ma(e\z), либо находить za^ из урав-
нения (2). В том случае, когда оператор А не является линейным,
в конкретных ситуациях можно записать уравнение, являющееся
необходимым условием экстремума, однако анализ свойств это-
го уравнения требует дополнительных исследований. Поэтому
общими методами построения приближенного решения уравнения
(1) с нелинейным оператором А являются методы, основанные на
минимизации функционала Ма^Х
Метод регуляризации разработан А.Н. Тихоновым в цикле
статей [78-80]. В более с^бщем виде он изложен в [81].
§3. ВЫБОР ПАРАМЕТРА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ПО
НЕВЯЗКЕ
В предыдущем параграфе было доказано, что при согласова-
нии скорости стремления к нулю параметра регуляризации а(6) с
величиной погрешности 6 приближенное решение za(f) сходится к
точному z при 6 —► 0. Так как при решении практических задач
приходится решать задачу при конкретной величине погрешности
35
й, важно указать^ способ выбора а(6) при заданной величине 6,
который бы, в то же время, обеспечивал сходимость za(«) к z при
6 —* 0. Цель этого параграфа состоит в том, чтобы показать,
что параметр регуляризации a(f>) можно однозначно определить
как корень уравнения
||Aza - uj|| = 6,
где za — элемент, на котором достигается нижняя грань функ-
ционала
||Az — uj||2 + a • ||z||2.
Пусть A — линейный, вполне непрерывный оператор, отобрав
жающий Z в U (Z и U — сепарабельные гильбертовы пространст-
ва), уравнение Az = 0 имеет только нулевое решение и замыкание
области значений оператора А совпадает с U.
Рассмотрим для а > 0 и u € U функционал
M°(z) = ||Az - «||2 + a • ||z||2.
При сделанных предположениях для любого а > 0 и u Е U
существует единственный элемент za, на котором достигается
нижняя грань Ma(z) (теорема 2.2.1)
Лемма 1. Если и 0 и aj a2, ото zai газ, где га — эле-
мент, на котором достигается нижняя гран» функционала Ma(z).
Доказательство. В силу необходимого условия экст-
ремума элементы zat и газ являются решениями уравнений
+ A* Azai = A*U,
®2Zaa + A* Aza3 = A*U
соответственно. Предположим, что aj a2, а zai = zaa. Вычитая
из первого уравнения второе, получим (ai — ct2)zai = 0. Следо-
вательно, zai =0 и А* и = 0. Из последнего равенства следует,
что для любого z Е Z скалярное произведение (z, А* и) = 0. ‘ Но
тогда (Az, и) = 0 для любого z Е Z. Так как замыкание области
значений оператора А совпадает с U, то из равенства (Az, и) = 0,
выполненного для любого z Е Z, следует, что и = 0. Так как
это противоречит условию леммы, то исходное предположение
неверно и лемма доказана.
Введем при a > 0 функции
гп(а) = ||Aza - «||2 + a||ze||2,
Р(«) = ||Azq - «||2, V(a) = ||2a||2,
где za — элемент, на котором достигается нижняя грань функ-
ционала Ma(z).
36
Лемма 2. Пусть и jt О, тогда для любых а2, а2, таких,
что 0 < eq < а2, справедливы неравенства m(ai) < т(а2), <f>{ai) <
<р(а2), V>(«i) >
Доказательство. Строгая монотонность функции т(а)
следует из неравенств
ш(а2) = || Azea - «||2 + a2||zeJ|2 > ЦАхаа - u||2 + афв2||2 >
> ||Azei - u||2 + «1 • ||zei II2 = m(ai).
Докажем строгую монотонность ^(а). Из леммы 1 следует, что
ze, z<»2- Тогда в силу единственности элемента, на котором
достигается нижняя грань,
или
p(ai) + at^(ai) < <p(a2) + ахф(а2).
Поменяв индексы, получим y>(a2) + a2^(a2) < ^(а1) + ®2$(ai)- Из
двух последних неравенств следует, что- (ai — a2)|<>(ai) < (ax —
а2)^(а2). Тогда при аг < а2 имеем V’(ai) > ^(а2).
Докажем строгую монотонность 92(a). TaKKaK9?(aj)+ai^(ai) <
9?(а2)+ а1^(а2), то ^(aj) < 9?(a2) + ai(^>(a2)-^(«1))- Если at < а2,
то ip(a2) < V’(ai), а значит, ^(aj) < <р(а2). Лемма доказана.
Обозначим через Ва оператор аЕ + А*А.
Лемма 3. При a > 0 оператор Ва отображает простран-
ство Z на Z и имеет, определенный на всем Z ограниченный
обратный В~1.
Доказательство. Покажем, что для любого z Е Z
выполнено неравенство ||Вв2;|| > a||z||. Действительно, так как
{Baz, Baz) = (az + A* Az, az + A* Az) =
= a2(z, z) + 2a(Az, Az) + (A*Az, A* Az) a2(z,z),
to IIZ^H > a||z||.
Обозначим через Я(Ва) область значений оператора Ва. До-
кажем, что Я(Ва) = R(Ba). Пусть последовательность уп Е R(Ba)
и Уп У- Покажем, что у Е R(Ba). Так как уп Е R(Ba),
то Уп = Вахп. Из сходимости последовательности уп следу-
ет, что она фундаментальна. Но поскольку для любых хт и
таких, что Вах„ = уп, Вахт = ут, выполнено неравенство
lli'n = H-Sa^n - *m)||	»||«n	то последовательность scn
также является фундаментальной и в силу полноты пространства
Z сходится к некоторому элементу xq Е Z. Тогда из сходимости
Уп —» уо, хп —> хо и непрерывности Ва следует, что Вахо = уо
и R(Ba) =. R(Ba). Обозначим через Q подпространство, ортого-
нальное к R(Ba). Покажем, что Q = 0. Пусть у / 0 и ?ГЕ Q-
37
Тогда для любого х 6 R(Ba) имеем (х, у) = 0, т.е. для любого
z € Z (az + A* Az, у) = 0. Взяв в этом равенстве z = у, получим
а(у, у) + (Ау, Ау) = 0, что противоречит условию у / 0. Следо-
вательно, Q = 0 и R(Ba) = Z. Таким образом, Ва отображает Z
на Z. Из неравенства ||Baz|[ a||z|| следует, что отображение Ва
взаимно однозначно и существует обратный оператор В~1. Из
неравенства ||Baz||	a||z|| следует ограниченность В'1. Лемма
доказана.
Сформулируем теорему об операторе, близком к оператору, <
имеющему обратный [55].
Пусть линейный непрерывный оператор К, отображающий Et, :
в Es (Ех, Ед — линейные нормированные пространства), имеет
обратный К"1 и линейный непрерывный оператор Ki (Ki : Ех -*
Ед), такой, что ||К1|| < ||№1||-1, тогда оператор К + Ki имеет
обратный и
ll(K + K1)-‘-K--||«T-ljMiL_||K-.|p.	(1)
Лемма 4. Функции т(а), <р(а), ф(а) при а > 0 непрерывны.
Доказательство. При и = 0, zQ = 0 для любого а > 0'
и т(а) = <р(а) = ^>(а) = 0 для а > 0.
Пусть и 0. Покажем, что ф(а) ограничена для а > ого > 0.
Так как Ma(za) < Ма(0), то a||ze||2	||н||2 и 1/>(а) $ Oq 1||u||2 при
а «о > 0.
Докажем непрерывность т(а). Так как m(ai) Mai(za3), то,
вычитая из этого неравенства т(а2), получим
m(oq) - т(а2) (ai - a2)||za2||2.
Поменяв индексы, получим двухстороннее неравенство
(«1 - a2)||2«i ||2 ni(ai) - ш(а2)	(«1 ~ «2)||гв21|2.
Отсюда, учитывая ограниченность ||za||2 при а ад, получим, что
т(а) непрерывна при а «о > 0. Так как ао было произвольно,
то т(а) непрерывна при а > 0.
Докажем непрерывность ф(а) при а > 0. Так как
| ||2а+Да|| ~ ||2а|| |	||2а+Да ~ 2а|| =
= ||((а + &а)Е + А*А) 1А*и — (аЕ + A*A)
|| ((а + Да)Е + А*А)-1 - (аЕ + А‘А)-1|| ||А’«||,
||(а + Да)Е + А*-А - аЕ - А* А|| = |Да|,
38
то, применяя при |Да| < ||(ai?+A*A) х|| * оценку (1), получим, что
I llz 4.А II — Ik II I < 11(а^ + -А-А) 1||2|^QI II 4*ц||
| ||*a+Aa|| Ikdl | г _ (д^	1И <
Следовательно, учитывая ограниченность |[za|( при а ао > О,
получим, что ф(а) непрерывна при а > 0.
Так как <р(а) = т(а) — а^>(а), то из непрерывности т(а) и
ф(а) при а > 0 следует, что у>(а) непрерывна при а > 0. Лемма
доказана.
Лемма 5. Пуст* « / 0, тогда
lim <р(а) = 0, lim <р(а) = ||и||2.
а-.-Ю ' '	а—>+оо ' ' 11 11
Доказательство. Так как замыкание области значений
оператора А совпадает с U, то нижняя грань функционала невязки
|jAz — u|| на пространстве Z равна нулю. Следовательно, для
любого е > 0 найдется элемент zt, такой, что ||Aze — u||2 е. Тогда
\\Aza - u||2 + a||za||2 С ||Aze - «||2 + a||ze||2,
|)Aza -u||2 < E + a||ze||2.
Переходя в этом неравенстве к пределу при а —* +0, получим,
что h'ma_+o9?(a) Е. Так как е — произвольное положительное
число и <р(а) > 0 при а > 0, то lima_+o <р(а) = 0.
Докажем второе утверждение лёммы. Так как Ma(za) Ма(0),
то
||Aza-u||2 + a||za||2^M2,
следовательно, ||za||2	а-1||и||2. Тогда ||za|| —► 0 при а —> +оо.
Таким образом, lima_+oo р(а) = lima_+oo ||Aza—u||2 = ||u||2 и лемма
доказана.	\
Перейдем к формулировке итогового результата. Итак, рас-
смотрим задачу решения операторного уравнения Az = и, где
А — линейный вполне непрерывный оператор, отображающий Z в
U (Z, U — сепарабельные гильбертовы пространства), такой, что
замыкание области его значений совпадает с U. Предположим,
что для точной правой части й уравнение Az = й имеет единс-
твенное решение z, однако й неизвестно, а заданы ug и 6, такие,
ЧТО ]|uf — й||	6 и 0 < 6 < ||и«Ц. ___	. (
Обозначим через za элемент, на котором достигается нижняя 4
грань функционала ||Az — ««||2 + л||г||2.
Теорема 2.3.1. Для любого 6 ё (0, существует един-
ственный корен* уравнения
ф(а) = ||Aza - u6||2 = 62
39
а(6) и ||za(j) — z|| —► О при 8 -+ 0.	1
Доказательство. Рассмотрим функцию = ||Aza — I
u$||2. Из леммы 5 имеем lima_+0£(a) = 0, h‘ma_+oo£(a) = ||u«||2, 1
а из лемм 2 и 4, что <р(а) строго возрастает и непрерывна при 1
а > 0. Из этих свойств £(а) следует, что для любого 6 £ (0, ||и$||) 1
уравнение = 82 имеет единственное решение а(8).	1
Докажем, что га^ —► z при 6 —> 0. Так как на za^ достигается |
нижняя грань функционала, то	I
||Aia(,) - us||2 + a(6)||za(f)||2	||Az - ||2 + a(6)||z||2.
В силу того что ||Azam — ««|| = 6, а ||й — и«||	6, из этого |
неравенства следует, что ||ze(4)|| $ ||*||-	]
Таким образом, ||Aza($) — u«|| = 8, ||za(«)|| НЯ1- Из этих Ра~ I
венства и неравенства аналогично доказательству теоремы 2.2.2, 1
имеем ||za($) — z|| —> 0 при 6 —► 0, и теорема 2.3.1 доказана.	1
§4. МЕТОД НЕВЯЗКИ
Рассмотрим задачу решения уравнения 1-го рода
Az = u,	(1)
где А — непрерывный оператор, отображающий Z в U (Z, U —
линейные нормированные пространства). Предполагается, что
непрерывной зависимости z от и нет, так что задача решения t
уравнения (1) некорректно поставлена. Отметим, что линейность ।
оператора А не предполагается.	|
Пусть для точной правой части й существует единственное ре- (
шение уравнения (1) z, причем z = Vf, где V — линейный, вполне j
непрерывный, взаимооднозначный оператор, отображающий се- |
парабельное гильбертово пространство F в Z, a f £ 0. Требуется
найти приближенное решение уравнения (1), если точная правая 1
часть й неизвестна, а заданы щ и 5, такие, что ||и« — й|| $ 6.	>;
Рассмотрим в пространстве Z множество элементов	!
Zs = {z = Vf, f £ F; ||АУ/ - О-
В силу определения этого множества для любого z € Zt выпол-
нено неравенство ||Az — u«|| ^ 6. Однако, так как задача решения
уравнения (1) некорректна, то произвольный элемент множест-
ва Zb нельзя рассматривать в качестве приближенного решения
уравнения (1). Покажем, что метод невязки, основанный на выде-
лении из множества Zt элементов, имеющих минимальную норму,
обеспечивает сходимость приближенных решений к точному.
Обозначим через Ft множество элементов пространства F,
таких, что ||AV/ —U{||	8. Отметим, что для любого 8 > О
множество Ft непусто, так как ему принадлежит элемент /.
40
Теорема 2.4.1. Для любого 8 > 0 во множестве Ft сущест-
вует элемент, имеющий минимальную норму.
Д о к_а зательство. Так как для любого 8 > 0 справедли-
во ЦАУ/ — щ|| = ||й — и«||	8, то для любого 8 > 0 множество Ft
непусто, поскольку содержит элемент /. Рассмотрим на множест-
ве Ft функционал ||/||. Так как этот функционал ограничен снизу,
то его нижняя грань на множестве Ft конечна. Обозначим ее
через J. Рассмотрим минимизирующую последовательность f„,
такую, что fn € Ft и ||/п|| —► J при п —> оо. Последовательность fn
можно считать упорядоченной так, что ||/n||	||/п-1|| Для любого
п. Тогда для всех п > 1 справедливо неравенство ||/пЦ С ||/1||-
Так как последовательность fn ограничена по норме, то из нее
можно выделить подпоследовательность fm, слабо сходящуюся к
некоторому элементу /о- Поскольку оператор V является вполне
непрерывным, ||Vfm — У/о|| —* 0 при т —> оо. Тогда, учитывая не-
прерывность оператора А, получим, что ||АУ/т - АУ/о|| -» 0 при
т —» оо. Так как элементы fm G Ft, то для них выполнено нера-
венство ||АVfm — и6||	8. Следовательно, переходя к пределу при
т —* оо, имеем ||AV fo — ы$|| $ 8. Таким образом, Элемент /о € Ft-
Из слабой сходимости подпоследовательности /т к /о следу-
ет, что
||/о|| < lim||/m||.	(2)
Так как /т является подпоследовательностью, минимизирующей
последовательности fn, то Iimm_oo ||/m|| = J и из неравенства
(2) следует, что ||/о|| J- Но элемент fo € Ft, a J — нижняя
грань функционала ||/|| на множестве F{. Значит, ||/о|| = J и
теорема доказана.
Рассмотрим множество Fs, состоящее из элементов множества
F6, на которых достигается минимум ||/]| на множестве Ff. Из
теоремы 2.4.1 следует, что множество Ft не пусто. Покажем,
что элементы множества VFt можно рассматривать в качестве
приближенных решений уравнения (1).
Теорема 2.4.2. При 8 —► 0 supгеуЁе II* ~ *11 ~* О-
До казательство. Предположим, что утверждение тео-
ремы неверно. Тогда найдутся положительное число е, числовая
последовательность 8п —* 0 при п —» оо и последовательность
элементов ft* € Fs, такие, что
l|V/s.-zpe.	(3)
Так как при любом 8п ft* £ Fs,;”C Fs, и f £ Fs,, то для любого 8п
справедливо неравенство ||/{„||	||/||, поскольку ft* минимизирует
11/|| на множестве Fs,. Так как последовательность ft* ограничена
По норме, то из нее можно выделить подпоследовательность ft*,,
слабо сходящуюся при т —► оо к некоторому элементу f*. Так как
41
оператор V вполне непрерывен, то ||Vfs„ — У/*|| —> 0 при т —юо,
Тогда из неравенства (3) следует, что
\\Vf-z\\>e.	(4)
Элементы принадлежат множествам следовательно,
||АУ/$т — u$m ||	6т. Следовательно,
||AV/,W - «|| $ ||АУДт - uSm || + ||uim - й|| С 2бт.
Переходя в этом неравенстве к пределу при m -юо и учитывая
непрерывность оператора А, имеем ||АУ/* — й|| = 0. Так как
уравнение Az = й имеет единственное решение z, то Vf* = z. Но
это неравенство противоречит неравенству (4). Следовательно;
исходное предположение было неверно и теорема доказана.
Более подробно метод невязки изложен в [32, 33].
$5. ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЙ 1-ГО РОДА
Итерационные методы применяются для решения широкого
класса различных задач. Их можно использовать и при решении
операторных уравнений 1-го рода с приближенно заданной правой
частью, однако при этом необходимо учитывать специфику этих
уравнений, связанную с их некорректностью.
Пусть А — линейный, вполне непрерывный оператор, отобрав
жающий пространство Z bU (Z, U — сепарабельные гильбертовы
пространства). Предположим, что для точной правой части й
уравнение
Az = й	(1)
имеет единственное решение г, но элемент й не известен, а заданы
приближенная правая часть и« и величина погрешности 6 так,
что ||и$ — й||	6.
Рассмотрим итерационный процесс
zn = zn_i + /i(A*u- A*Azn-i), n = l,2,...,	(2)
zq = pA*u,
где A* — оператор, сопряженный с А, ц — положительный чис-
ловой параметр.
Покажем, используя метод математической индукции, что эле-
мент zn, определяемый на n-м шаге итерационного процесса,
представим в виде zn = RnU, где оператор Rn определяется сле-
дующим образом:
/Ь,=д£(Е-дА*А)*А*,	(3)
4=0
Е — единичный оператор. Действительно, при п = 1 из (2) имеем
zi = дА*и + (Е — цА*А)го = цА*и + (Е — дА*А)рА*и = Riu.
Пусть zn = RnU- Тогда из (2) следует, что
Zn+i = дА*и + (Е — цА* A)R„u = /лА*и + ц	— рА* А)'+1А*и =
»=о
п+1
= цА*и + ц У^(£7 — цА*АуА*и = Rn+iu.
•=1
Таким образом, представление zn = RnU справедливо для лю-
бого пип шагов итерационного процесса (2) эквивалентны приме-
нению к элементу и оператора Яп, определяемого формулой (3).
Исследуем условия сходимости итерационного процесса (2)
к точному решению уравнения (1) z, если в качестве началь-
ного приближения берется элемент, определяемый приближенно
заданной правой частью zq = дА*и«.
Так как А*А вполне непрерывный, самосопряженный, положи-
тельный оператор, то из теоремы Гильберта-Шмидта [37] следу-
ет, что в пространстве Z существует ортонормированный базис
собственных элементов {<pj} оператора А*А, причем собственные
значения Aj (A*A<pj = Ajtpj) положительны и стремятся к нулю при
j —> оо. В дальнейшем будем считать, что базис {<pj} упорядочен
по убыванию собственных значений, т.е. Aj+i Aj для всех j 1.
Условия сходимости итерационного процесса (2) устанавлива-
ются следующей теоремой.
Теорема 2.5.1. Пусть параметр ц положителен в меньше,
чем 2(||А*А||)~1. Если целочисленная положительная функция п(6)
такова, что п(6) —» +оо и п(6)6 —> 0 при 6 —*0, то
||Яп(«)и« “ «|| -► 0 при 6	0.
Доказательство. Рассмотрим произвольное п > 0. Так
как
ll^nuj - «н цяп«, - ад+нл»« - *П>	<4)
то для оценки нормы ||7?п«« — «|| достаточно оценить величины,
стоящие в правой части неравенства (4).
Оценим норму оператора Rn. По условию теоремы д €
(0,2(||А*А||)~х). Из этого условия следует, что |1 — дАд| < 1
Для всех j' 1. Действительно, так как
Mlwll2 =	= (A*Ay>},y>j) ||А*Ay>j||HpjII ||А*А||||^||2,
42
43
то для всех, j 1 справедливо неравенство Ау ||А*А||. Тогда
для ц € (0,2(||А*А||)-1) 0 < Ауд < 2 и для всех j > 1 выполнена
неравенство |1 — дАу| < 1. Покажем, что ||Е — дА*А|| = 1. Пусть
х — произвольный элемент из Z. Так как {^у} базис собственных
элементов оператора А*А, то х = J^JljXy^y и (Е — 1*А* А)х а,
53yXi(l — дАу)ху^у, где ху = (x,<pj). Следовательно,
Ц(Е - дА* А)х||2 = £(1 - дАу)2х2 <: £ х? = ||х||2,
i=i	j~i
а значит, ||£ — дА* А||	1. Предположим, что ||Е - дА*А|| = а < 1J
Так как Ау —♦ О при j —♦ оо, то существует число k, такое, что
(1 — дА>) > а. Возьмем элемент г* = у>*. Тогда ||(£ — дА*А)х»||
(1 — дАк)||х>|| > a|)xt||. Так как это неравенство противоречит
тому, что ||£- дА*А|| = a < 1, то ||Е - дА*А|| = 1. Используя
равенство ||Е - дА*А|| = 1, имеем
ИМ С Д Е ||Я - М-А1Г11А-Ц = д(п + 1)||А-II.
1=0
Следовательно,
||Я^Ш - ЯцйЦ = ||72n(u4 - й)|| $ ЦЯ»|| ||ш - «|| Д(п + 1)||А*||6. (5)
Оценим теперь второе слагаемое в правой части неравенства
(4). Так как й = Az, то
Лпй - z = д У\.Е — дА* А)*А* Az - z =
1=0
n	00	00
= Д “ ДА’А)’ Е - Е =
i=o	y=i	j=l
=дЕгдЛ> D1 - д^)’^ -Е^’
j = l	1=0	7=1
где Zj = (z, у>у). Так как
п
Е(1 - дАу)* = [1 - (1 - дАу)»+1](дАу)-»,
i=0
то
япй-2=Е^[1_^1-^)п+1]^_Й^^ -
7 = 1	7 = 1	7 = 1
44
Следовательно,
Z ОО	ч 1/2
||Лпв-г|| =
Покажем, что ||Япй — z||2 —» 0 при п —> оо. Докажем, что для
любого е > 0 существует число N > 0, такое, что при п N
выполнено неравенство ||Rn« — z||2 с. Так как
И2 =
i-i
то существует Ni > 0, такое, что
Тогда, учитывая то, что |1 — gAj| < 1 для всех j > 1, получим
N,	оо
11япй-г||2 = £(1-дАу)2("+^?+ £
1=1	1=Х1+1
Nt	оо	Nt
£ if^gd-pA^+^J + eA
1=1	j=JV,+l	1=1
Так как |1 — дА,-| < 1, то, выбирая достаточно большое N,
мы получим, что для п > N ||Япй - z||2 $ е. Таким образом,
ЦЯпй — z||2 —► 0 при п —> оо, а значит, и ||/?пй — z|| —»• О при п -* оо.
Обозначим через ы(п) = ||Япй- z||. Из неравенств (4), (5) следует,
что для любого целого п 1
||RnU« ~ z|| д(п + 1)||А*||6 + ы(п),	(6)
где ы(п) —► 0 при п —♦ оо.
Пусть функция п(6) удовлетворяет условию теоремы, тогда из
оценки (6), следует, что ||Rn(4)Uj — z|| —► 0 при 6 -* 0 и теорема
доказана.	.____—-------
Из теоремы 2.5.1 следует, что если число итераций п сог-
ласовано с точностью задания правой части 6, то при 6 —> О
итерационный процесс (2) с г0 = рА'щ сходится к точному ре-
шению уравнения (1) z.
Приведем пример, показывающий, что если число итераций
п стремится к бесконечности произвольно, без согласования с 6.
то сходимости нет.
45
Пусть А — линейный, вполне непрерывный, самосопряженный,
положительный оператор, отображающий сепарабельное гиль-
бертово пространство в себя, причем уравнение Az = 0 имеет
только нулевое решение. Обозначим через {^} ортонормир ован-
ный базис собственных элементов оператора А, упорядоченный
по невозрастанию собственных значений Aj.
Пусть для точной правой части й уравнение Az — й име-
ет решение z. Рассмотрим последовательность приближенных
правых частей = й —	где 6* = у/ХЦ. Очевидно, что
||uifc - «|| SC 6* = уХ* —► 0 при к -* оо.
Рассмотрим норму разности приближенного решения AnU;fc и,
точного z
- *|| = ||Япй - «tflnPt/2 - z||
>|||Д,й-*||-^1|Д»Ы/2|-
В теореме 2.5.1 было доказано, что ||Япй — i|| —» 0 при п —> оо.
Вычислим величину ||ЯП»’*||- Из формулы (3) для оператора Rn
следует, что
Я» pt ='Д.УХ^ - дА*А)’А*рк = д У^(1 - дА£)‘А*р4 =
«=о	i=0
X	12V X 1 — (1 — дА|)"+1
= /m**	----- Д2	.—•
«=0	“ *
Следовательно,
Лк
Пусть п —► оо и к —» оо так, что (1 — дА*)п+1	0, например,
n =	, где [г] — целая часть числа г. Тогда \/Xt||7?npt|| —»• оо
при п —> оо и к —юо. Следовательно, из (7) имеем — *|| —+ оо
при п оо и к —> оо, в то время как ||u«fc — «|| —> 0 при к —юо.
§6. ПРОЕКЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ
УРАВНЕНИЙ 1-ГО РОДА
Проекционные методы приближенного решения различных за-
дач основанье на том, что приближенное решение ищется в виде
конечномерной линейной комбинации некоторой системы функ-
ций. При использовании проекционных методов для решения
46
операторных уравнений 1-го рода с вполне непрерывным операто-
ром необходимо накладывать существенно более сильные условия
на систему функций, с помощью которой строится приближенное
решение. Существенно также наличие априорной информации о
точном решении.	--—у-
Пусть А — линейный непрерывный оператор, отображающий у
Z в U (Z, U — сепарабельные гильбертовы пространства), такой,
что уравнение Az = 0 имеет только нулевое решение. Предпо-
ложим, что для точной правой части й существует решение z
уравнения
Az = й,	(1)
представимое в виде
N
z = 53 a,Vi, aN # о,	(2)
»=1
где <pi — известная линейно независимая система элементов в
Z. В представлении (2) неизвестными являются число членов
в сумме N и коэффициенты а,-. Информация о представлении
точного решения уравнения (1) z в виде (2) представляет собой
существенную априорную информацию о точном решении z.
Рассмотрим метод приближенного решения уравнения (1) с
неточно заданной правой частью, т.е. элемент й неизвестен, а
заданы и$ и 6, такие, что |[«« — й||	6. Определим для п > 1
множества
Z п	\
zn = |z = 52 с,^<>	_ м q6 р (3)
<=1 '
где а — действительные числа, а заданная постоянная g > 1.
Обозначим через п(6) положительное целое число, такое, что
^(0-1 = ^>	(4)
Теорема 2.6.1. Существует 6q > 0, таксе, что п(6) = N
для 0 < 6 6о и
sup ||z — i|| —>0 при 6-*0.	(5)
Доказательство. Рассмотрим в пространстве U эле-
менты A<fli, i =	Так как <р,, i =	линейно неза-
висимы и уравнение Az = 0 имеет только нулевое решение, то
элементы Atpi, i = 1,... ,N также линейно независимы. Обозначим
47
через dj, j =	ортонормированную систему, полученную
из A<pi в результате процесса ортогонализации:
i-i
=	= A<pj-^2(A<pj,dk)dk.	(6)
1РЛ1	*=i
Рассмотрим произвольный элемент z, такой, что z — WPi-
Пусть u = Az, тогда
« =
i=i
Найдем выражения для величин (u,dj). Из формулы (6) для
элементов dj следует, что
(' N	\
А	с,Vi,dj) =
i=i	'
N	N
= ^Ci(A<pi,dj) = i£\i(A<pi,dj), (A<pj,dj)>Q. (7)
i=l	i=j
Предположим, что первое утверждение теоремы неверно. Тогда
так как z € Z^ для любого 6, то существуют последовательность
6к —► 0 при k —* оо и последовательность элементов
I
=	o<kn,
»=i
такие, что
(8)
Обозначим через U} подпространство в U, порождаемое эле-
ментами d\,...,di, а через Uf — ортогональное дополнение Uj.
Тогда	+ Wfk, где ujt € U},	€ U,. Неравенство (8) c
учетом (7) можно записать следующим образом:
И I I	I	| 2
[ЕЕ^^Х^.^И/ “52(uk>dj)di +IIU«J|2 92^t-
llj=li=;	j=l
Учитывая ортонормированность элементов dj, j = 1,...,/, по-
лучим
E (t^^.dj) - «Л))2 < 426l-	(9)
Из этого неравенства следует, что £'.=1 с?(бк) ограничена при
—► 0 и из последовательности элементов c(6fc)=(ci(M> • • • > С»(М)
G Я' можно выделить подпоследовательность с(6т), сходящуюся
к с = (ci,.. .,ci).. Тогда, переходя к пределу при 6т —♦ 0 в
неравенстве (9), получим
1 / 1	\2
Е ( Е а»(Л^«>“ (“> di)) = °-
j=i S=j	'
Следовательно, элемент z = c,Vi является решением урав-
нения Az = й. В силу предположения о единственности решения
этого уравнения z = z. Но это равенство противоречит представ-
лению (2), так как I < N. Следовательно, исходное предположение
было неверно и существует $о > 0, такое, что для б € (0,60)
п(6) = N.
Аналогично предыдущему можно доказать, что при б G (0,60)
множества Z*^ = Z# ограничены. Учитывая также то, что для
любого z G выполнено неравенство ||Az—и$||	q6, аналогично
предыдущему можно доказать справедливость утверждения (5).
Теорема доказана.____.________________„
При доказательстве теоремы 2.6.1 на оператор не накладыва-
лись какие-либо условия, обеспечивающие корректность задачи
решения уравнения (1). Основным условием, гарантирующим
сходимость множества приближенных решений к точному, было
условие (2), представляющее собой очень существенную априор-
ную информацию о точном решении уравнения (1). В связи с тем,
что априорная информация о точном решении уравнения бывает
известна далеко не всегда, \ возникает ‘следующий вопрос: при
каких условиях можно использовать предложенную схему постро-
ения приближенных решений, если задача решения уравнения (1)
некорректна, а априорная информация о точном решении отсут-
ствует? Покажем, что сходимость приближенных решений будет
иметь место при специальном выборе системы {р,}.
Пусть А — линейный, вполне непрерывный оператор, отобра-
жающий Z в U (Z, U — сепарабельные гильбертовы пространст-
ва), такой, что уравнение Az = 0 имеет только нулевое решение, а
замыкание области значений А совпадает с U. Предположим, что
Az = й, но й неизвестна, а заданы ие и 6, такие, что ||и; — й|| 6.
Так как оператор А*А является вполне непрерывным, самосоп-
ряженным и положительным, то по теореме Гильберта-Шмидта
существует ортонормированный базис собственных элементов
оператора A*A {^,}, А*А<р, = A,v«, А,- >0, i = 1,2,... .
Определим множества приближенных решений Z^6j в соответ-
ствии с (3) и (4), взяв в качестве <р{ базис собственных элементов
А* А, а постоянную q > 1. Тогда для любого б > 0 множества Z„
48
49
при достаточно большом п непусты и, следовательно, номер п(6),
определяемый условием (4), существует.
Теорема 2.6.2. Если базис собственных элементов А*А
упорядочен по невозрастанию собственных значений, то при 6 —♦ О
sup ||z — i|| —♦ 0.
Доказательство. Рассмотрим в пространстве U систе-
му элементов 0» = Ар*/||Ар,-||, i = 1,2,... . Эта система образует
ортонормированный базис в U. Ортогональность 4ч и 4>j при
i / j следует из того, что	= (Ар,-, Apj)/||Ap,-|| ||Ар,-|| =
A,(p,-,Pj)/||Ap,-||||Apj|| = 0, а полнота системы {^} следует из
совпадения замыкания области значений оператора А с U.
Возможны два случая разложения точного решения z rib эле-
ментам базиса {р,}:
п
*	- 52<*’
i=l
оо
*	= 22(*.<мХр*-
»=1
(10)
(11)
В случае (10) доказательство теоремы проводится аналогично
доказательству теоремы 2.6.1. Рассмотрим случай (11). Величина
II п	ц2 и n	п	ц2 ц оо	||2
A^Cipi-uJ = 52с<Л*’<“52(и,’^)^<1 + 52 (Ui.lWlM
' 1=1	" II 1=1	1=1	II i=n+l	II
(12)
принимает свое наименьшее значение при
Ci = (и8, &)/Мр»Н =	« = 1,2, • • • ,п,
и это значение равно
I 52 (“«>= 52 (u«>^)2-	(13)
Ч i=n+l	II i=n-f-l
Из (12) и (13) следует, что число п(6), определяемое условиями
(4); таково, что
52 (“«’V’i)2 > ?2^2,
i=n(«)
52 (u«>^i)2 92^2-
i=n(«)+l
(14)
50
Рассмотрим функцию целочисленного аргумента
Эта функция не возрастает, и а(п) —♦ 0 при п оо. Сле-
довательно, для любого 6 € (0,а(1)) существует единственное
положительное целое число т(6), такое, что
_____z оо	X1/4
Е (W) >«.	(15)
(оо	v 1/4
Е (5,<р,)2) С <	(16)
»=m(<)+l	'
Из (11) и (16) следует, что т(6) —► оо при 6 -* 0.
Так как (й,ф,-) = (Az, ^i) = (г,А*ф<) = y/Xi(z, <pi), то
Е (и«>й)2= Е	[(«>V’i)-(«<,V’i)]] •
:=m(i)+l	i=m(j)+l
Тогда, используя неравенство Коши-Буняковского, невозрастание
Xi и неравенство
Е(и< -й,ф,)2 ^62,
»=1
получим, что
Е («ыю2^ Е А«(*>р«)2+
»=m(«)+l	1=т(Л)+1
+2 52 V/<Ad(*»P»)(6-u«>lMI+ Е (“-u«>^i)2^
«=т(4)+1	i=m(<)+l
< Ат(<)+1 Е (*’Р»‘)2 + 2УАт(«)+1Г Е (^’^,)2) Х
i=m(i)+l	Nsm(«)+1	7
, оо	к 1/2 ОО
х( 52 (“ - и«>хм2 j + Е (и« - “>хм2
' i=m(«)+l	'	1=т(«)+1
оо	/	°0	\ ^/2
Ат(<)+1 Е (^> V’»)2 +Am(f)+1^ ( Е (2>^*)2)
51
Учитывая неравенство (16), имеем
52 («*><М2^
•=т(«)+1
(оо	\ 1/2	/ оо	\ 1/4
£ (WJ +262( £ (i,W)2) +62=62(1+т(6)),
i=m(«)+l	'	'»=т(«)+1	'	(17)
где
/ оо	v	1/2 z оо	ч	1/4
1(6) = ( 23 (г>¥’<)2) +2( 22 с*»**)2] "*0
' i=m(4)+l	'	'	i=m(4)+l
при 6 —> 0, поскольку т(6) —♦ оо при 6 —* 0. Тогда из неравенств
q > 1, (14) и (17) следует, что существует 61 > 0, такое, что
при 6 е (0,61)
22 (“«>^»)2 < «2{2 < Еь^.)2-
i=m(4)+l	i=n(j)
Таким образом, при 6 6 (0,61) выполнено неравенство п(6)	т(6).
Из этого неравенства, невозрастания функции а(п) и неравенства
(15) следует, что
.---/ 00	\ 1/4
22	>6-	(18)
4 <="(«)	7
Множество Z*(6) представляет собой совокупность элементов
где постоянные с,-, i = 1,2,... ,п(6), удовлетворяют
неравенству
ПЮ	оо
52 (с:\АГ-(и«^.))2 + 52 (и*’^‘)2 9^2-	(19)
•=1	i=n(f)
Множество элементов (ci,... ,cn($)) € R.n^f\ удовлетворяющих
этому неравенству, представляет собой ограниченное замкну-
тое множество в	Следовательно, существует элемент
(ci,.. ,сп(4)), такой, что
sup I|z - г|| =
Э2
при этом
п(«)	||	|| п(«)	|| оо	||
52 w - * < 52^ - (*> *’<)]*’•• + 52 (*»	• <2°)
<=1	"	" 1=1	И i=n(«)+l
Оценим первую норму в правой части этого неравенства:
"(<)	II "<*) r f- I \, II
52 - (z, <pi)iv>i = 52 h _ ^7yt]
i=l	II i=l V* II
Следовательно, учитывая неравенства (19), ||u< —u|| 6, имеем
i=l	II VAn(«)
Используя эту оценку в неравенстве (20), получим
Таким образом,
/ I	/ 00	\ 1/2
sup ||z - i|K-^==Х + Г £2 («’*’<)’)
VAn(«)	\=n(j)+i	'
Учитывая неравенство (18), имеем
z ОО	v 1/4 f 00	К 1/2
sup ||z-z|K(g+l)( 52 (z,^.)2) +( 52 (z,^.)2j	(21)
'i=n(i)	>=n(£)+l
Из (11) и второго неравенства в (14) следует, что п(6) —* ое
при 8 —► 0. Тогда из (21) имеем
sup ||z — 5|| — 0 при 6 — 0
53
и теорема доказана.
Отметим, что можно сформулировать более слабые предпо-
ложения относительно системы элементов при которых сох-
раняется сходимость приближенных решений, построенных при
помощи рассмотренного метода [25].
§7. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ 1-ГО РОДА
Задачи решения интегральных уравнений 1-го рода возникают
при исследовании многих обратных задач. В этом параграфе
рассмотрены некоторые вопросы, связанные с применением из-
ложенных ранее общих методов решения операторных уравнений
для решения интегральных уравнений 1-го рода.
Пусть дано интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода
(1)
где K(x,s) — функция с интегрируемым квадратом. Интеграль-
ный оператор А можно рассматривать действующим из прост-
ранства Li [а, 6] в £г[с><1]> причем он будет вполне непрерывным
[37]. Предположим, что для точной правой части уравнения (1)
й(х) € £з[с, d] существует единственное решение х(х) € Ьг[а, 6], од-
нако й(х) нам не известно, а задана функция и<(х) и величина
погрешности 6, такие, что
d

Требуется построить приближенное решение’ уравнения (1)
zg(s), такое, что
—+ 0 при 6 —> 0.
В дальнейшем будем также предполагать, что для функции
Uj(x) выполняется условие ||и«||ь3[с,<л > 6 и замыкание области
'значений оператора А совпадает с Zjfc,*/].
Рассмотрйм применение метода регуляризации А.Н. Тихоно-
ва для приближенного решения уравнения (1). Определим на
54
пространстве Х>з[а,Ь] функционал
Г(1) = ||Az - И,||1,М] + «lklltla.4 =
d »	2	*
= J (J K(x, s)z(s)ds — Uf(z)J dx + aj z2(s)ds.	(2)
Is.
Из теоремы 2.2.1 следует, что для любого а > 0 существует
единственная функция zo(s), на которой достигается нижняя грань
функционала (2). Лля построения функции za(s) можно исполь-
зовать прямые методы минимизации функционала (2) либо опре-
делять za(s) из уравнения, являющегося необходимым условием
экстремума. Это уравнение, полученное в гл. 2, $2, в операторном
виде записывается следующим образом: aza+A*Aza = А*щ. Опе-
ратор А*, сопряженный интегральному оператору А, действует
из Ljfc, d] в £з[а,Ь] и имеет вид
d
A*f= [ K(x,t)f(x)dx, a^t^b.
Следовательно, уравнение, представляющее собой необходи-
мое условие минимума функционала (2), имеет вид
или
ъ	а
aza(t) + j Ki(t,s)zs(s)ds = J K(x,t)us(x)dx, (3)
a	e
где ядро Ki(t,s) определяется формулой
d
Ki(t,s) = J K(x,t)K(x,s)d:
(4)
Функция Kxft.s) является симметричной функцией своих ар-
гументов Ki(t,s) =	Уравнение (3) представляет собой
интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода. Из полученных в
§2,3 гл. 2 результатов следует, что это уравнение имеет единст-
венное решение при любой функции uf(x) € Ls&dl и параметре
а > 0. Из теоремы 2.2.2 следует, что при должном согласова-
нии параметра а с величиной погрешности 6 (а = а(6)) решение
55
уравнения (3) будет сходиться к точному решению z(s) в метрик®
Ь], если погрешность 6 будет стремиться к нулю.	1
При заданной величине погрешности 6 можно выбирать пары
метр регуляризации а, основываясь на теореме 2.3.1. Уравнение]
для определения параметра а имеет следующий вид:	1
л *	2
v>(o) = J (J K(x,s)za(s)ds-us(x)J dx = 62,
е а
(5:
где za(s) — решение интегрального уравнения (3). Для решения!
нелинейного уравнения (5) можно использовать любые методы^
определения корней функции одной переменной, например ите-1
рационные. При этом на каждом шаге итерационного процесса!
для вычисления значения y>(a„_i) необходимо решить уравнение!
(3) с а = ап_х.	’ 1
Из сказанного выше следует, что при применении метода ре-]
гуляризации А.Н. Тихонова для решения уравнения (1) с неточно!
заданной правой частью в качестве приближенного решения мо-|
жег быть взято решение интегрального уравнения Фредгольма!
2-го рода (3). Методы решения таких уравнений разработаны!
достаточно подробно (см., например, [10, 16]).	I
llpi<^решений’уравнения (1) с помощью итерационного метода,]
изложенного в §5, приближенное решение определяется итераци-]
онным процессом	]
d	d	ъ
Zn (t)=Zn-i (*)+Д j K(x,t)uf(x)dx-Ii У K(r,<) У K(x,s)zn~i(s)dsdx,
с	с	a
n=l,2,...,
Рассмотрим схему применения проекционного метода, который
был изучен в §6, для решения интегрального уравнения (1). В
этом методе приближенное решение ищется в виде линейной ком-
бинации конечного числа собственных функций оператора А*А.
'Таким образом, для реализации данного метода необходимо найти
функции <Рп(з) и числа Ап, такие, что
d	»
У K(x,t) J K(x,s)<pn(s)dsdx = Ahpn(t),
с	а
ИЛИ	,
У Ki(t,s)<pn(s)ds = Xn<pn(t),
а
где функция Ki(t,s) определяется формулой (4).
Для решения задачи построения собственных функций у>п(«) и
собственных значений Ап можно использовать как итерационные
методы, так и методы, основанные на дискретизации задачи и
решении алгебраической задачи на собственные значения. Эти
методы, как правило, определяют собственные функции в по ряда е
убывания собственных значений. Если собственные функции <pn(s)
найдены, то задача построения приближенных решений сводится
к конечномерной задаче отыскания чисел c1?,.. ,сп(«), таких, что
Г / Г	"(,)	V
1(1 K(x,s)y~'iCj<pi(s)ds — ttf(x)) dx q262,
с а	”=1
или
ИЛИ
i /"(о	\ 2
/ ( 23c«^i(x)-u«(z))
d	»	I
*п(0=*п-1(0+Д У K(x,t)ut(x)dx~fi У Ki(t,s)zn_i(e)ds,	|
с	a	I
n=l,2,...,	I
где ядро Ki(t,s) определяется формулой (4),	a	I
d	1
zo(t) = P У K(x,t)vf(x)dx.	|
e	1
Если параметр д и число итераций п(6) удовлетворяют уело- ]
виям теоремы 2.5.1, то функция zn(«)(t) при 6 —► 0 сходится к z(t)
в метрике пространства	]
где
Функции ^>t(x) легко могут быть вычислены после того, как
Найдены собственные функции <Pi(s). Так как в основе мето-
да приближенного решения уравнения лежит идея использования
Минимального числа собственных функций п(6), то процесс пост-
роения собственных функций можно совмещать с приближенным
Решением уравнения (1). Очевидно, что в общем случае число
56
57
собственных функций, необходимых для построения приближен-
ного решения, растет с увеличением точности задания исходной
информации (п(б) —► сю при 6 —» 0).
Отметим, что в ряде простых случаев обратные задачи сво-
дятся к интегральномууравнению (1) с ядром K(x,t), таким, что
задача отыскания собственных функций становится очевидной.
Например, первая краевая задача для уравнения теплопроводнос-
ти с обратным направлением времени сводится (см. гл. 4, §1) к
уравнению (1) с ядром
“л	г / у 2 ч
V К~'2	• »nS 1	-2^1 tA\
к(м) = 2^у8т~мп—° ч w
ge = с = 0, b — d = l. Так как система функций ч>п(з) — ^/2Дат
п = 1,2,..., образует ортонормированный базис в пространстве
XafO, /], то из формулы (б) следует, что интегральный оператор
А с ядром, определяемым этой формулой, имеет собственные
функции ^n(s) = y/fylsin п = 1,2,..., и собственные значения
Ап = ехр{ -	й2т|, п ss 1,2,... . Так как из формулы (б)
следует, что A* в А, то собственные функции интегрального
оператора А* А совпадают с собственными функциями А.
В рассмотренных методах предполагалось, что точное реше-
ние интегрального уравнения (1) z(s) принадлежит пространству
£з{а,6]. При этом приближенное решение, построенное с помо-
щью этих методов, сходится при 6 -* 0 к точному в метрике
пространства Lj[a, 6]. Если имеющаяся априорная информация о
точном решении уравнения (1), позволяет сделать заключение о
его принадлежности к пространству более гладких функций, то
сходимость приближенного решения к точному можно получить в
метрике более сильной, чем Так, если известно, что точ-
ное решение z(s) — непрерывно дифференцируемая функция, то
z(t) можно рассматривать как элемент гильбертова пространства
И/д (а, 6>] [74]. В этом случае, взяв в качестве пространства Z прос-
транство Wj[a, Ь], а в качестве U пространство t/j и применив
метод регуляризации А.Н. Тихонова, получим, что приближенное
решение za(tj(s) определяется как элемент, реализующий мини-
мум функционала
M^\z) = ]\Az - u4litter + a(«)||<.ta,4 =
= j K(x,s)z(s)ds — u4(r)^ dx + a(6) j(z2(&) + (z
е а	а
Если параметр а(6) должным образом согласован с величиной
погрепшости 6 (Теорема 2.2.2), то при 6 -* О приближенное решение
*в(«)(») сходится к точному z(s) в метрике пространства W£[a,b]-

5*
Остановимся кратко на проблеме решения нелинейных интег-
ральных уравнений 1-го рода. Этот класс уравнений существенно
шире и менее формализуем, чем класс линейных интегральных
уравнений Фредгольма 1-го рода. Различные обратные зада-
чи могут сводиться к разнообразным нелинейным интегральным
уравнениям 1-го рода. Некоторые из них можно встретить в сле-
дующих главах. Дать общую форму записи для этих уравнений
вряд ли возможно. Как правило, исследование этих уравнений
приходится проводить для каждого конкретного случая.
Один из достаточно простых классов нелинейных уравнений
образуют уравнения вида	,\
»
Aiz= [ K(x,s,z(s))ds = и(х),	(7)
где K(x,s,p) и а(х) — заданные функции, а функция z(s) неиз-
вестна.. Пусть функция K(x,s,p) определена и непрерывна на
множестве
D — {(х, в,р) : х € [с, d], в € [л, Ч> Р € (—со, +<»)}
и имеет На этом множестве непрерывные, равномерно ограничен-
ные частные производные 1-го порядка. Интегральный оператор
Ai, стоящий в левой части уравнения (7), если его рассматривать
действующим из пространства С[а, 6] в L^c, df (или С[с, d]), будет
непрерывным. Задача решения уравнения (7) некорректна. Пред-
положим, что для точной правой части й(х) € £Дс, d] уравнение (7)
имеет в пространстве С[а,Ь] единственное решение z(s), причем
z(s) €	[а,б]. Тогда, если вместо функции н(х) заданы ««(л) и
5, такие, что |[а# —	то для приближенного решения
уравнения можно использовать методы приближенного решения
нелинейных операторных уравнений, описанные, в $2, 4 этой гла-
вы. Применяя метод регуляризации А.Н- Тихонова или метод
невязки для решения уравнения (7) и рассматривая в качестве
пространств Z, F, U пространства С[а, 6], W£[a,6] и соот-
ветственно, а в качестве V — оператор вложения [74], получим,
что приближенные решения уравнения (7), построенные по и^(х)
и будут сходиться при 6 —» 0 к z(s) в равномерной метрике.
Многие обратные задачи сводятся к линейным и нелинейным
интегральным уравнениям Вольтерра 1-го рода. Линейное интег-
ральное уравнение Вольтерра 1-го рода имеет вид
g
A?z = [ К(x,s)z(s)ds = и(х), а х Ь.	(8)
59
Так как это уравнение является частным случаем уравн
ния Фредгольма 1-го рода, то для его решения можно применяв
методы, разработанные для решения этих уравнений. Одна!
уравнение (8) имеет существенное отличие от (1). Решение этом
уравнения на отрезке [а, хо], где хо — произвольная точка отрё
ка [а, 6], определяется только значениями правой части и(х) Е
отрезке [а,х0] и не зависит от значений этой функции на (хо,6].
Применение для решения уравнения (8) методов, раз работа!
ных для уравнения Фредгольма 1-го рода, как правило, приводи
к тому, что приближенное решение не обладает указанным выц
свойством. Действительно, запишем для уравнения (8) уравнен!
aza + A?Aiza = AJui для определения приближенного решения
предположении, что оператор Ai рассматривается действующи
из Li[a, 6] в £г[а> Ч- Так как сопряженный оператор А? имеет вид
»
А*2/ = J K(x,t)f(x)dx,
t	’
то уравнение для определения приближенного решения запись
вается так:
ь
aza(t)+ I K(x,t)
K(x,t)ut(x)dx
и не является уравнением Вольтерра 2-го рода.
Для интегральных уравнений Вольтерра 1-го рода можно стрО
ить методы приближенного решения, в которых приближенно
решение является решением интегрального уравнения Вольтерр
2-го рода Методы такого типа рассмотрены, например, в [23, 72
Глава III
ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ
ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
В этой главе рассматриваются два класса обратных задач
для обыкновенных дифференциальных уравнений. К первому
классу относятся обратные задачй, в которых требуется опреде-
лить либо правую часть, либо коэффициенты дифференциального
уравнения, либо то и другое одновременно, если известны одно
или несколько решений этого дифференциального уравнения. Эти
обратные задачи, являясь достаточно простыми, тем не менее
содержат в себе некоторые характерные особенности, как пра-
вило, присущие всем обратным задачам для дифференциальных
уравнений. Второй класс образуют обратные задачи для обык-
новенных дифференциальных уравнений, содержащих параметр Л.
Исходной информацией в этих обратных задачах является фун-
кция параметра Л, определенным образом связанная с решением
дифференциального уравнения, а искомой — коэффициент этого
дифференциального уравнения.
$1. ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПРАВОЙ ЧАСТИ
ЛИНЕЙНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
УРАВНЕНИЯ
Исследование обратных задач для линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений начнем с простого класса обратных
задач, а именно с задач определения правой части линейного
обыкновенного дифференциального уравнения по решению этого
Уравнения. Приведем примеры подобных задач.----------.
Пусть по прямой движется частица единичной массы Движе-
ние обусловлено тем, что на частицу действует сила /(/), которая
Меняется во времени. Если в начальный момент времени (/ = 0)
частица находилась в начале координат (х = 0) и имела нулевую
скорость, то в соответствии с законом Ньютона движение частицы
будет описываться следующей задачей Коши:
х(<) = /(<). *е[о,П	(1)
х(0) = 0, х(0) = 0,	(2)
гДе х(<) — положение частицы в момент времени I Предположим
ТеПерь, что сила, действующая на частицу (функция /(/)), нам
61
не известна, но мы можем в каждый момент времени измерять!
положение частицы (функцию x(t)) и хотим по x(t) определить!
f(t). Таким образом, мы приходим к следующей обратной задаче.]
Требуется определить правую часть уравнения (1) — функцию]
/(f), если известно решение задачи (1), (2) — функция x(t).	1
Рассмотрим задачу об определении плотности тепловых источ-1
ников. Стационарное распределение температуры и(х) в тонком!
стержне, на концах которого поддерживается нулевая температу-|
1 ра, определяется краевой задачей	1
(i(x)u'(x))' - g(x)u(x) = Дх), 0 < х < I,	(3)1
«(0) = 0, «(/) = 0,	(4)1
здесь k(x) — коэффициент теплопроводности, q(x) — коэффици-1
ент теплообмена, —f(x) — плотность распределения тепловых]
источников. Рассмотрим следующую обратную задачу. Извес-1
тны коэффициенты k(x), q(x) и решение задачи (3), (4) к(х), Т е-1
распределение температуры в стержне, а требуется определить]
_-цлотность тепловых источников —/(х).	I
Приведенные примеры являются частными случаями следую-]
щей общей постановки. Рассмотрим на отрезке [а, 6] дифференци-т
^juKbHoe уравнение n-го порядка (n > 1)	|
ая(х)/п)(х)+«я-1(х)у{п*1)(х)+- • •+а1(х)у'(х)+а0(х)у(х) = /(х) (5)|
с краевыми условиями	I
!/(а) = 0, у'(а) = 0, .... У(*-1)(а) = 0,	(6)1
у(6) = 0, {/(6) = 0, ...,	= 0,	(7)
где коэффициенты аДх), j — 0,1,...,п, — заданные непрерывные;
на [а, 6] функции, |ап(х)| > 0 при х Е [а, 6], * целые числа k и]
т удовлетворяют условиям: k > 0, m 0, k + т = п. Форму-1
лировка обратной задачи такова. Заданы коэффициенты aj(x),1
j = 0,1,..., п, и для х 6 [а,Ь] известно решение задачи (5)—(7)1
у(х). Требуется определить правую Насть уравнения (5) функцию
/(х) для х Е [а, 6].
Исследование сформулированной обратной задачи в случае]
точно известных данных не представляет каких-либо трудностей.]
Ее решение /(х) Е С[а, 6] существует для любой функции у(х) е
С"1 [а, 6], удовлетворяющей условиям (6), (7). Действительно, если;
у(х) € С”[а, 6] и удовлетворяет (6), (7), то для отыскания /(х).
достаточно подставить у(х) в левую часть уравнения (5), таким
образом, искомая функция	!
7(х) = ап(х)у(п)(х) + ап-1(х)у(л-1)(х) + • •  + а1(х)у'(1) + ао(х)у(х). ]
62
Из уравнения (5) следует также, что решение обратной задачи
единственно. Если мы рассматриваем у(х) Е С” [а, 6], то выпол-
нена также оценка устойчивости. Действительно, пусть /1(х) и
/з(х) решения обратной задачи, соответствующие функциям
У1(х) и уг(х), где lfe(x) Е С"[а,6], i = 1,2. Тогда из уравнения
(5) следует, что
11/1 ~ /zllcfe,»] < -4||У1 - У4||с*[а,Ч>
где константа А зависит только от ||а,||с[а,*]. 3 = 0,1,..., п.
Основная проблема, связанная с рассматриваемой обратной
задачей, состоит в том, что при решении практических задач
точное решение задачи (5)-(7) у(х) Е С”[а, 6], как правило, измере-
но быть не может, вместо у(х) заданы функция уДх) и величина
погрешности 6, определяющая степень близости у$(х) и у(х) в
той или иной норме, обусловленной характером эксперимента.
Типичными ситуациями являются те, в которых yt(x) Е С[а, 6] и
И»4 ~ »||с $ 6, или уДх) Е Ь2[в,6] и Цуе - y||L, < 6.
Задача определения непрерывной правой части уравнения (5)
по решению задачи (5)-(7) у(х) является некорректной, если
мы считаем, что исходная информация у(х) Е С[а,6]. Очевид-
но, что непрерывное решение задачи /(х) не существует, если
!/(х) Е С[а, 6], но не имеет Непрерывной производной n-го порядка.
Покажем неустойчивость этой задачи на примере задачи (1)-(2).
Рассмотрим два решения задачи (1), (2)
x(t) = 0 и xn(t) = — cos(nt) — —,
п	п
которым соответствуют правые части
/(0 = 0 и fn(t) = -ncos(nt).
Следовательно, ||хп — х||С[о,Т]—*0 при п—»оо, а ||/п—/||с[о,т]~‘°°
при п—»оо. Таким образом, задача определения правой части
линейного дифференциального уравнения по его решению неус-
тойчива.
Покажем, что рассматриваемая обратная задача, состоящая в
определении правой части линейного дифференциального урав-
нения по решению этого уравнения, сводится к линейному интег-
ральному уравнению Фредгольма 1-го рода. Для этого восполь-
зуемся известным из теории линейных обыкновенных дифферен-
циальных уравнений понятием функции Грина [61].
Функцией Грина для краевой задачи (5)-(7) называется функ-
ция G(x,£), удовлетворяющая следующим условиям:
1)	G(x,£) непрерывна и имеет непрерывные производные по х до
(п - 2)-го порядка включительно для всех значений х и £ из [а, 6];
2)	при любом £ £ [а, 6] функция G(x,£) имеет непрерывные
производные (п — 1)-го и п-fo Порядка по х в каждом из интервалов
[а,£) и причем
ЛП-1	ЛП-1	I
+ 0,0 - т-—j-G(£ -0,0 = -777;	(Ю
ox" 1	ох" 1	ап(£)
3)	в каждом из интервалов [а,О и (£,&] функция G(x,£), рас-
сматриваемая как функция от х, удовлетворяет уравнению (5) с
/(х) = 0 и краевым условиям (6), (7).
Справедливы следующие теоремы [61].
Теорема 3.1.1. Если краевая задача (5)-(7) при f(x) = О
для х 6 [а, 6] имеет только нулевое решение, то функция Грина для
задачи (5)-(7) существует и единственна.
Теорема 3.1.2. Если краевая задача (5)-(7) при f(x) = 0 для
х Е [а, 6] имеет только нулевое решение, то для любой f(x) Е С[а,6]
существует единственное решение -задачи (5)—(7)
ь
у(х) = J G(x,0/(0<«>
(9)
где G(x,£) функция Грина задачей (5)—(7).
Таким образом, из теорем 3.1.1, 3.1.2 следует, что если краевая
задача (5)-(7) в случае /(х) = 0 имеет только нулевое решение, то
обратная задача определения правой части /(х) по решению у(х)
сводится к задаче.фешения линейного интегрального уравнения
Фредгольма 1-го рода
Gf = J G(x,{)/({)< = у(х), х Е [а,6].
(Ю)
Приведем интегральные уравнения, к которым сводятся рас-
смотренные в начале параграфа обратные задачи. Рассмотрим
задачу (1), (2). Интегрируя (1) с условиями (2), получим
« ?
*(0 = I JHWde.
о о
Меняя порядок интегрирования, имеем
t
J-оло< = ж(«),
о
(11)
64
Это уравнение является интегральным уравнением Вольтерра
первого рода относительно неизвестной функции /(£)- Введя
функцию
Go(U) = {*
о С i < Т,
уравнение (И) можно записать в виде (10):
т
J Go(t,W(M = x(t).
о
Покажем, что функция Грина для задачи (3), (4) существует и
единственна, если к(х) G С1 [0,1], q(x) Е С[0, /] и 4(х) > 0, q(x) > 0
для х € [0,ф Из теоремы 3.1.1 следует, что для этого достаточно
показать, что задача (3), (4) имеет только нулевое решение в
случае, когда /(х) = 0 для х Е [0, /]• _______—'-------------
Покажем, что функция uo(x) — решение задачи (3), (4) с
/(х) = 0 — не может иметь на [0, /] положительного максимума.
Пусть в точке хо Е (0,/) достигается положительный максимум
и0(х) на [0,1]. Тогда ио(хо) > 0, Uq(x0) = 0 и Uq(zo) 0- Следо-
вательно, £(xo)uo(*o) + h'(xo)u'o(xo) — g(xo)uo(*o) < 0, что противо-
речит тому, что и0(х) есть решение (3) с /(х) = 0 для х Е [0, /].
Аналогично можно показать, что ио(х) не имеет на [0,/] отрица-
тельного минимума, а значит, ио(х) = 0 для х Е [0,/] и функция
Грина для задачи (3), (4) существует и единственна. Таким обра-
зом, мы показали принципиальную возможность сведения задачи
определения правой части (3) к интегральном/ уравнению типа
(10), однако записать в явном виде G(x,£) при произвольных поло-
жительных к(х) и д(х) нельзя. Приведем выражение для функции
Грина в случае постоянных к(х) = кд и g(x) = q?:
Со(*Л) = '
(qgkg eh	eh ^х eh - 0,
\	*0 /	*0	*0
f9ofcosh^A sh^eehF(x-O,
\	ко J	ко	ко
0 х 5$ £	/,
0 х <
Таким образом, при к(х) = кд > 0 и q(x) = qg > 0 зада<^
определения правой части уравнения (3) по решению краев
задачи (3), (4) и(х) сводится к решению интегрального уравнена
Фредгольма 1-го рода
I
J <?о(*л)/т=«(«)•
о
65
Мы показали, что одним из возможных методов решения задачи
определения правой части /(г) уравнения (5) по решению у(х)
краевой задачи (5)-(7) является метод сведения ее к линейному
интегральному уравнению Фредгольма 1-го рода (10) с ядром,
представляющим собой функцию Грина. Преимуществом данного
метода является то, что он сводит задачу к хорошо изученной
задаче решения линейного уравнения 1-го рода. Недостаток его
заключается в том, что функцию Грина в явном виде можно
в™м£йть^Ш№Кй-Л^сегда.
Другой метод определения правой части уравнения (5) осно-
ван на решении задачи дифференцирования. Действительно, для
того, чтобы определить функцию /(ж), достаточно найти все про-
изводные у(х) до n-го порядка и вычислить выражение, стоящее
в левой части уравнения (5). Основная трудность, возникающая
при реализации этого метода, заключается в том, что задача диф-
ференцирования функции, заданной приближенно, в равномерной
метрике является некорректной.
Один из наиболее простых методов дифференцирования фун-
кции, заданной приближенно, основан на использовании метода
конечных разностей. Пусть на отрезке (а,Ь+е], а < Ъ, е > 0, задана
функция у(х) G С*1 [а, 6+е). Требуется построить метод приближен-
ного вычисления производной у'(х) по функции y«(r) G С[а,6 + е]
и величине погрешности 6, таким, что
я 1»(«) - »(*)1 С 6-	(12)
Рассмотрим на отрезке [а, 6] функцию
h
где параметр Л G (0,е). Покажем, что функция Zfh(x), при вы-
полнении определенных условий будет в равномерной метрике
стремиться к у'(х).
Для любого х 6 [а, 6] и Л G (0, е) справедливо неравенство
IW«) - rwi с
Из условия (12) и формулы Лагранжа следует, что
!*«*(«) - р*(х)| у +	Л)) - рЧ*)!,
66
где£(х,Л) е [х, х-+-Л). Обозначив через«1 (Л) модуль непрерывности
функции у'(х) на отрезке [а, 6 + е], получим
ох
lk»(«) - у'оОНсм] -д + "1(А)-	(13)
Из этой оценки следует, что если параметр метода h так зави-
сит от точности задания исходной информации 6, что при 6 -* О
h{S) -> 0, в/Л(в) 0, то	-* 0 при 6 -* 0. В
этом случае функцию можно считать приближенным реше-
нием рассматриваемой задачи дифференцирования. В качестве
примера функции h(6), такой, что k(6) —► 0 и 6/h(6) -* 0 при 6 -+ 0
можно взять h(6) = е6«, где с, q — положительные постоянные
и q < 1.
Для вычисления производных более высокого порядка от функ-
ции, заданной приближенно в равномерной метрике, можно также
использовать разностные формулы. Приведем формулу и оцен-
ку для приближенного определения второй производной. Пусть
функция у(х) G С2 [а — е,Ь + г], е > 0, но эта функция не извест-
на, а заданы функция У((х) € С[а — е,Ъ + е) И 6 > 0, такие, что
||у -	< 6- Рассмотрим для h 6 (0,е), х € [a,ft)
функцию
ys(x + ft) - 2у$(х) •+ ы* - ft)
Л2
Аналогично тому, как была получена оценка (13), можно по-
казать, что
||tWk(x) - »"(*)11с[в,Н Д2 +"2<Л),
где wj(ft) — модуль непрерывности у" (я) на Га — е, 6 + е]. Таким
образом, если Л(6) —» 0 при $ —* 0 так, что 6/Л2($) —► 0, то ty&(j)(z)
при 6 —» 0 сходится равномерно к у"(г) на отрезке [а, 6].
Задача вычисления производной может быть сведена к задаче
решения интегрального уравнения 1-го рода. Пусть на отрезке
[О, Г] задана функция р(х) 6 С"[0,Г1, такая, что
»(‘)(0) = 0, » = 0,1,...,п-1.	(14)
Обозначим через х(х) непрерывное решение интегрального урав-
нения Вольтерра 1-го рода
f И—= *<«)» 1 € 1°» Я’ <15)
J (п - 1)!
О
тогда х(х) — у^п\х). Для того чтобы убедиться в этом, достаточно
продифференцировать (15) п раз. Условия (14) необходимы для
vth(x) «
67
существования непрерывного решения z(t) уравнения (15). Это
следует из того, что выражение,стоящее в правой части (15), и
все его производные до (п — 1)-го порядка обращаются в ноль
при х = 0. Если вместо условий (14) известно, что l/*\0) = <ч,
» = 0,1,..., п — 1, то мы можем рассмотреть новую функцию
п-1 хк
»1(«) = »(*)-£2 “kjj
^ свести, задачу к предыдущей.
Отметим, что задача вычисления производной n-го порядка
z(r) = j/n)(z) от функции у(х) в предположении, что у(х) удов-
летворяет условиям (14), представляет собой задачу вычисления
правой части z(x) дифференциального уравнения у^"^(х) = z(z),
если известно его решение у(х), удовлетворяющее условиям (14).
Это обстоятельство еще раз подчеркивает тесную взаимосвязь
между задачей определения правой части линейного обыкновен-
ного дифференциального уравнения по его решению и задачей
дифференцирования.
$2. ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ
ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ И СИСТЕМ
Важный класс обратных задач для линейных обыкновенных
дифференциальных уравнений образуют задачи определения ко-
эффициентов дифференциального уравнения по его решению. С
прикладной точки зрения эти задачи представляют собой задачи
определения техилииных характеристик вещества или процесса.
Примером такой задачи является задача определения скорости
радиоактивного распада вещества по измерению количества это-
го вещества во времени, т.-е. задача определения коэффициентах»
ч в уравнении y(t) + ay(t) = 0 по y(t).
) ’''“'“Исследование начнем с простого случая об ратной задачи для
однородного дифференциального уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами. Итак, пусть дано уравнение
/(z)+'Oiy'(«) + a0ir(z)s0	(1)
и требуется, зная какое-то решение этого уравнения, определить
два числа ai, ao. Легко видеть, что такая общая постановка
не является достаточно содержательной и требует определенного
уточнения. Действительно, ставить задачу определения чисел (ц,
а0 по какому-нибудь решению уравнения (1) бессмысленно, так
как решением уравнения (1) для любых ai, ag является у(х) = 0.
68
Следовательно, чтобы попытаться сделать задачу содержатель-
ной, необходимо добавить в постановку условие нетривиальности
решения, т.е. сформулировать обратную задачу так. Определить
коэффициенты «j, а0, если задано нетривиальное решение уравне-
ния (1) у(х) 0. Однако это уточнение не позволяет однозначно
определить aj, а0 по решению. Действительно, если а0 = 0, то
для любого ai решением уравнения (1) является произвольная
постоянная.
Учитывая предыдущие трудности, сформулируем обратную
задачу так. На отрезке [с, d] задано решение уравнения (1) у(х),
такое, что у(х) const для х G [с, d], требуется определить числа
ai и во- Покажем, что эта задача также имеет неединственное
решение. Приведем пример. Пусть aj = р, во = —(р + 1), где
р — произвольное действительное Число. Тогда для любого
р решением уравнения (1) с такими коэффициентами является
функция у(х) = е*. Следовательно, если мы в качестве исходной
информации зададим решение у(х) = е*, то решение обратной
задачи1 будет неединственно. Объяснить этот факт достаточно
просто. Общее решение уравнения (1) с коэффициентами ai = р,
а0 = —(р+ 1) равно Cie* +	. Взяв в качестве исходной
информации ех, мы выбрали такое решение, которое определяется
только одним корнем характеристического уравнения А2 + рА —
(р + 1) = 0, а именно = 1 и не зависит от второго Аг = — (р +
1). Сформулируем простое условие однозначного определения
коэффициентов уравнения (1) по его решению.
Пусть на отрезке [с, d] задано решение уравнения (1) у(х) и на
отрезке [с, d] существуют точки rj, xj, такие, что
y(®i)»'(ar2) - у(х2)у'(ц) # 0.	(2)
Тогда ai, ао определяются по у(х) однозначно.
Докажем это утверждение. Так как у(х) задана на отрезке
[с, d], то можно определить в точках х,-, i = 1,2, значения у(х,),
t/'(x), $'(х}, • = Тогда, рассматривая уравнение (1) в этих
точках, получим систему линейных уравнений для aj и ао
<ПУ'(*1) + aoy(xi) =
«ИЛЧ*») + аоР(хг) =
Из условия (2) следует, что определитель этой системы не
равен нулю, а значит, она имеет единственное решение^
Рассмотренная обратная задача, несмотря на свою просто-
ту, является иллюстрацией важного факта. Задача определения
Двух постоянных коэффициентов, т.е. двух чисел, может иметь
не единственное решение даже в том случае, когда исходная ин-
формация представляет собой функцию, отличную от постоянной
(т.е. измеряется бесконечно много различных значений решения).
69
Рассмотрим теперь постановку обратной задачи для уравне-
ния (1), несколько отличную от предыдущей. Сформулируем ее
так. Заданы два решения уравнения (1) yi(x) и уз(х), отвечающие
различным начальным условиям, требуется определить ai и во.
Такая постановка с прикладной точки зрения может интерпрети-
роваться как задача планирования эксперимента для определения
характеристик aj и во- Действительно, если в процессе экспери-
мента можно реализовать и измерять решения (1) с различными
начальными условиями, то вопрос состоит в следующем. Какие
начальные условия нужно выбрать, чтобы знание соответствую-
щих им решений обеспечивало бы однозначное определение ai,
и a0?
[Пусть на отрезке [с, </] известны решения уравнения (1) yi(x) и
Уг(х), удовлетворяющие начальным условиям Pi(0) = 0, JZi(O) = 1,
уг(0) = 1, 14(0) = 0- Тогда коэффициенты определяются одноз-
начно.
Докажем это утверждение. Так как У1(х) и Уг(х) решения
уравнения (1), то определитель Вронского W(yi,y2) = ш(х)!4(х)~
У2(х)у[(х) либо тождественно равен нулю, либо не равен нулю ни в
одной точке. Из условий теоремы следует, что W(yi,P2)|r=o = — 1-
Таким образом,	0 для любых х. Выбрав на [с,d]
произвольную точку xq, вычислив в ней yj(xo), j4'(xo), * = 1.2, к
подставив эти значения в (1), получим
“1У'1(хо) + аоЫхо) = -у'/(хо),
“114(х0) + вой(го) = -Уг(хо)-
Эта система для определения и До имеет определитель, не
равный нулю. Следовательно, aj и ао определяются однозначно.
Доказанное утверждение является частным случаем более об-
щей теоремы об определении функциональных коэффициентов ли-
нейного дифференциального уравнения n-го порядка.
Рассмотрим линейное обыкновенное дифференциальное урав-
нение
У(п)(х) + an_1(r)i/n_1>(r) + a„_2(x)y(n-2)(x) + •  • +
+ai (х)у'(х) + a0(x)y(x) = f(x).	(3)
Предположим, что коэффициенты a;(x), t = 0,1,... ,n — 1, и пра-
вая часть f(x) — непрерывные на отрезке [с, d] функции. Пусть
a,(x), t = 0,1,...,п — 1, и правая часть /(х) неизвестны. Какую
информацию о решениях уравнения (3) нужно задать, чтобы оп-
ределить эти функции однозначно. Ответ на этот вопрос дает
теорема, являющаяся следствием общей теории линейных обык-
новенных дифференциальных .уравнений [83].
70
Теорема 3.2.1. Пусть на отрезке [с, d] заданы решения урав-
нения (3) р,-(ж), i = 0,1,..., п, такие, что определитель Вронского
W(yuyi......lfe)k=e#0,	(4)
Л) = 0, i = 0,1,... ,(п - 1).	(5)
Тогда функции а,(ж) i = 0,1,...,п — 1, и /(ж) на отрезке [с,d]
определяются однозначно.
Доказательство. Рассмотрим функции »,(ж) = у,(х) —
уо(*)> * — 1> 2,..., п. Они являются решениями однородного уравне-
ния (/(ж) = 0), соответствующего уравнению (3). Следовательно,
определитель Вронского W(yi,V2,...,vn) либо не равен нулю на
[с, d] ни в одной точке, либо тождественно равен нулю на [с, dj. Но
из условий (4) и (5) следует, что
W(vit V2, •.. , Vn)U=е = W(yi, У2,..., J/n)|x=e # 0,
следовательно, W(yi,V2,...,vn) / 0 на [c,d]. Записав в каждой
точке'отрезка [с,d] уравнения для функций о<(ж), i = 1,2, ...,n,
получим
aoCxJv^x) + ai(x)v'(x) + • • • + an_i(x)^"-1)(x) = -^п)(ж).	(6)
В каждой точке отрезка [с, d] это система линейных алгебраи-
ческих уравнений относительно неизвестных ао(х), ai(ж),..., an_i (ж)
с определителем, не равным нулю. Так как функции у» (ж),
t = 0,1,.... п, заданы, то в системе (4) известны все коэффи-
циенты матрицы и вектор правых частей. Следовательно, из (6)
однозначно определяются функции а«(ж), г = 0,1,..., п—1, на отрез-
ке [с, d]. Зная эти коэффициенты и какое-либо решение уравнения
(3), мы легко можем определить правую часть /(ж), подставив
решение в уравнение (3). Теорема доказана^
В теореме 3.2.1 сформулированы условия определения всех ко-
эффициентов линейного дифференциального уравнения. Вместе с
теьдоозможны такие ситуации, когда часть коэффициентов урав-
неншГизвестна, а часть нет и при этом задано какое-то количество
решений этого уравнения. Что можно сказать о возможности од-
нозначного определения коэффициентов уравнения в этом случае?
Самым простым является тот случай, когда неизвестен один коэф-
фициент ар(ж) и задано одно решение уравнения у(ж). Подставив
это решение в уравнение (3), получим
ар(ж)у(р>(ж) = -у(п)(г)----ар+1(ж)у(р+1)(ж)-
- ар_1(ж)у(’’-1)(ж)----а0(х)у(ж) + /(ж).
Следовательно, если решение у(х) задано на интервале (c,d) и
у(х) таково, что на любом интервале (ci.di) € (c,d) существует
71
x G (ci.di), такое, что y^(r) / 0, то коэффициент Ор(х) на [с, d]
определяется однозначно.
Пусть в уравнении (3) неизвестны два коэффициента а^(х),
aj(x), а остальные заданы и пусть заданы два решения у(х), z(x)
уравнения (3). Тогда, подставляя эти решения в уравнение (3)
и перенося в правую часть известные функции, получим систему
для определения неизвестных коэффициентов
aj(r)yw(r) + aj(x)y^\x) = Fi(x),
4(«)/‘>(с) + aj(r)z°>(r) = F2(x),
где Fi(x), F2(x) — известные функции. Если определитель этой
системы JF(x) = j/’\x)z^)(x) — z^'\x)y^\x) не равен тождественно
нулю на любом интервале (cj, rfj) G [с,d], то коэффициенты a<(x)
и а,(х) на [c,d] определяются однозначно. Приведем пример,
показывающий, что в том случае, когда определитель РУ(х) = О
на [с, dj, однозначно найти коэффициенты а,(х) и аДх) нельзя.
Рассмотрим уравнение
y(lv) + a2(x)y" + a0(x)y 0	(7)
с известными коэффициентами вз(х) = 0 и аг(х) — 0. Пусть заданы
два линейно независимых решения этого уравнения и требуется
определить коэффициенты а2(х), а0(х). Пусть заданы решения
у(х) = е1 и z(x) = е~х. Эти функции являются решениями урав-
нения (7), если а2(х) = —(1 + р) и ао(х) = р, где р — произвольное
действительное число. Следовательно, задание двух линейно
независимых решений уравнения не позволяет однозначно опре-
делить коэффициенты а2(х) и ао(х). Заметим, что определитель
W(x) = p"(x)z(x) — z"(*)i/(x) = ехе“* — е“*е® = 0.
Рассмотрим задачу определения неизвестных коэффициентов
системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами. Задачи такого типа возникают,
например, при исследовании процессов химической кинетики [64].
Одна из основных проблем, возникающих при исследовании
сформулированной задачи, состоит в следующем. Достаточно
ли задать для всех значений независимой переменной нетриви-
альный вектор-решение системы, чтобы определить постоянные
коэффициенты этой системы? Приведем пример, показывающий,
что в общем случае ответ на этот вопрос отрицателен.
Рассмотрим систему двух уравнений
-jrG) = au*i(0 + “12*2(0,
Л	w
-^-(0 - “21*1(0 + “22*2(0-
Пусть для всех t нам известен вектор-решение этой системы
х°(0 = {*1(0,*г(0} = {Зе2‘,е2‘}. Можно ли, зная х°(0, опре-
делить коэффициенты aij, i,j = 1,2. Подставив *°(0 = 3e2t и
r0(i) = е2‘ в систему (8), получим систему уравнений для искомых
коэффициентов
Зац + “12 = 6,
3a2j +. “22 = 2.
Очевидно, что эта система двух уравнений относительно четырех
неизвестных имеет бесконечно много решений.
Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений
n-го порядка
~ = Ах,	(9)
где А — матрица с постоянными коэффициентами ац , i,j =
Сформулируем условия, позволяющие однозначно определить ко-
эффициенты системы (9) aij по информации о ее решении.
Теорема 3.2.2. Если на отрезке [с, d] задано решение сис-
темы (9) х°(/), такое, что на отрезке [с, сЦ найдутся тонки tt,
k = 1,2,...,п, такие, что векторы k = 1,2,. ..,п, линейно
независимы, то коэффициенты ац определяются однозначно.
Доказательство. Так как решение х°(0 = {*?(t),
х^(/),..., x°(t)} известно, то, подставляя функции *°(0 в сис-
тему (9) и полагая t = tk, k = 1,2,...,п, мы получим систему
линейных алгебраических уравнений
dx?
“11*10*) + ai2x®(tk) -I-1- alnx°(ft) = —jjp(tfc),	(I®)
dx°
“21*?(O) + “22*2(O) 4-1* “2n*°(O) = *j^0*),
“nl*?(O) + “n2*2(O) + ‘ ‘ ‘ + “nn*n(O)—	(O)
относительно неизвестных ay. Рассмотрим систему для опреде-
ления коэффициентов ay, j = 1,...,п. Эта система представляет
собой уравнение (10), записанное при п значениях независимой
переменной tt, к = 1,2,..., п. Строками квадратной матрицы этой
системы являются векторы x°(tk), 4 = 1,2, ...,п. Следователь-
но, в силу условий теоремы, эта матрица невырсждена. Таким
образом, коэффициенты ay, j = 1,2,...,п, из системы (10) оп-
ределяются однозначно. Рассматривая уравнение (11) при it,
к = 1,2,... ,п, получим систему с определителем, не равным нулю,
72
73
для коэффициентов ay, j = 1,2,...,п. Следовательно, коэфф]
циенты ау также определяются однозначно. Аналогично можк
показать, что аз;,..	= 1,2,... ,я, определяются однозначн
Теорема доказана.
Рассмотрим задачу определения коэффициентов системы л1
нейных дифференциальных уравнений в случае, когда эти коэ<
фициенты зависят от t.
Пусть дана систола
~ = A(t)x	(12
at
с коэффициентами %(1), », j = 1,2,..., п, непрерывными на отрез»
[с, </]. Сформулируем условия, позволяющие однозначно опред<
лить коэффициенты по решениям этой системы.
Теорема 3.2.3. Пусть на отрезке [с, </] заданы п векторов
решений системы (12) x~(t), k = 1,2,...,п, удовлетворяющих ус
ловию х*(с) = Ь‘, k = 1,2, ...,я, где Ь* — заданные векторы
Тогда, если векторы b*, k = 1,2,..., я, линейно независимы, т
коэффициенты ац(1), i, j = 1,2,... ,п, на отрезке [с,д] определяйте,
однозначно.
Доказательство. Доказательство этой теоремы осно
вывается на известном факте теории систем линейных обыкновен
ных дифференциальных уравнений [83]. Действительно, опреде
литель Вронского, составленный из я векторов-решений систем»
(12) x*(t), либо тождественно равен нулю на [с,д], либо не обра
щается на [с, </] в ноль ни в одной точке. Следовательно, в сил;
линейной независимости векторов bfc, k = 1,2,..., я, определите л
Вронского, составленный из x*(t), не равен нулю ни в одной точк
отрезка [с, </]. Запишем первое уравнение системы (12)
«11(0*1(0 + «12*г(0 Ч-И «1п*п(0 = ”зг(О-
<п
Подставив в это уравнение заданные нам векторы решения x*(t),
k = 1,2,...,я, получим при каждом t G [c,d] систему линейных^
алгебраических уравнений для определения ау(1), j = 1,2,..., я, с
определителем, равным определителю Вронского для xfc(t). Так;
как этот определитель не равен нулю ни в одной точке отрезка
[с, <0, то> решив соответствующую систему, однозначно опреде-
лим коэффициенты ay(t). Аналогично, рассматривая вторую
строку системы (12), найдем ay(t), j = 1,2,. .,п, на отрезке
[с, </]. Повторяя этот процесс, определим все коэффициенты ay(t),
= 1,2,...,я, на отрезке [c,rf]. Теорема доказана.
После того как были рассмотрены условия, Дозволяющие опре-
делять неизвестные коэффициенты дифференциальных уравнений
и систем по их решению, остановимся кратко на тех проблемах,
74
которые возникают в том случае, когда исходная информация о
решении известна приближенно. В приведенных доказательст-
вах предполагалось, что решение уравнения или системы задано
точно и можно точно определить его производные. Рассмотрим
некоторые проблемы, возникающие при приближенном задании
решения уравнения, на простом примере задачи Коши для урав-
нения второго порядка
»"(*) + at («)/(«) + а0(х)у(х) = 0, х € [0,1],	(13)
у(0) = Уо, 1/(0) = У1	(14)
с известным коэффициентом ao(z), начальными условиями Уо, У1 и
неизвестным коэффициентом ai(x). Если вместо точного решения
задачи (13), (14) у(х) заданы функция у$(х) 6 С[0,1] и число
6, такие, что ||у(г) — y«(x)||c[o,i] С то нельзя непосредственно
воспользоваться явной формулой для определения ai(z):
y'(z)
Для того чтобы использовать эту формулу, необходимо пре-
дварительно найти, основываясь на заданной информации у«(х)
и 6, приближенные значения производных у"(х) и у'(х) и затем
подставить их в формулу (15). Из формулы (15) и неустойчивости
задачи вычисления производных следует, что задача нахожде-
ния непрерывного коэффициента ai(x) по решению задачи (13),
(14), заданному приближенно в равномерной метрике или метри-
ке Ь2[0, 1]> является неустойчивой. Другая проблема, связанная
с использованием формулы (15), состоит в том, что у*(х) может
обращаться в ноль на отрезке [0,1]. Это означает, что прибли-
женное значение производной, вычисленное по функции yt(x), в
соответствующих точках будет близко к нулю. В результате
могут возникнуть существенные погрешности в решении в окрес-
тности нулей функции у'(х). Легко видеть, что число подобного
типа проблем существенно увеличивается в том случае, когда мы
рассматриваем задачу одновременного определения нескольких
неизвестных коэффициентов.
Задачу определения коэффициента <ц(г) по приближенно за-
данному решению задачи (13), (14) можно решать, не используя
явную формулу (15). Задача (13), (14) определяет нелинейный
оператор А, ставящий в соответствие коэффициенту ai(x) реше-
ние у(х). Таким образом, можно рассматривать исследуемую
обратную задачу как задачу решения нелинейного операторного
уравнения Aai(r) = у(х) с приближенно заданной правой частью
и применять для ее решения методы, изложенные во второй гла-
ве. Подобную схему решения можно применять и для других
обратных задач такого же типа.
75
§3. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ
Обратные задачи для линейных обыкновенных дифференци-
альных уравнений, содержащих параметр, представляют собой ;
важный класс обратных задач. Интерес к ним обусловлен, с 1
одной стороны, тем, что многие из этих задач имеют непосред-
ственное практическое значение, с другой стороны, тем, что они !
возникают при исследовании обратных задач для уравнений в
частных производных. Типичная постановка обратных задач для
линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с парамет-.
ром А состоит в следующем. Требуется определить коэффициент
дифференциального уравнения, зависящий от переменной х, по до-
полнительной информации о решении этого уравнения, представ-
ляющей собой функцию параметра А. Отметим, что существенное
отличие этой постановки от обратных задач, рассмотренных в
двух предыдущих главах, состоит в том, что искомая и заданная
функции зависят от разных переменных.
Обратная задача для уравнения первого порядка. Иссле-
дование обратных задач для линейных дифференциальных урав-
нений с параметром начнем с наиболее простого случая обратной
задачи для уравнения первого порядка. Рассмотрим уравнение
у'(г, А) + Аа(г)у(х, А) = /о, 0 х 1,	(1)
с начальным условием
К0,А) = уо,	(2)
где /о, Уо — постоянные, а А — параметр. Сформулируем об-
ратную задачу. Требуется определить функцию о(х) е С[0,1],
если постоянные /0> Уо известны и для А € [А*, А2] задана функция
^(А) = у(1, А), где у(х,А) —“ решение задачи (1), (2). Исследуем
вопрос о единственности решения этой обратной задачи.
Решение задачи (1), (2) имеет вид
у(х, А) = уо ехр < - A I a(0)d₽l + /о / ехр I - А / а(0)<Й?1с1£. (3)
о	о	f
Из этого представления следует, что в случае fо = 0 решение
обратной задачи неединственно. Действительно, если /о = 0, то из
представления (3) получим следующее уравнение для определения
о(х) по у>(А):
1
уоехр< - A J
о
ЧР(А), AetAi.Aj].
(4)
76
Таким образом, если уравнение (4) имеет решение а(х) £
С[0,1], то его решением будет являться также любая функция
а(х) G С[0,1], такая, что
1 1
У &{е)М = J а(9}<Ю.
о	о
Например, в качестве а(х) манено взять следующее семейство
функций: а(х) = d(x)+С cos тх, где С — произвольная постоянная.
Исследуем единственность решения задачи определения а(х)
по р(А) в случае неоднородного уравнения /о 0 и однородного на-
чального условия уо = 0. Из представления (3) имеем следующее
уравнение для функции а(х):
А Е [Ai, Аг],
(5)
где £(А) = у(А)/j'о — известная функция. Покажем, что уравнение
(5) в классе непрерывных функций имеет не единственное решение.
Приведем пример. Пусть aj(x) = 2х—Зх2, аг(х) = 1—4х+3х2, Тогда
2
о
(1-ОИ.
Сделав в интеграле замену переменных £ = 1 — z, получим
1 1 . 1
= J exp{Az(l — z)2}dz =
о	(	о
Таким образом, oi(x) / otjfx) на отрезке [0,1], а
-А
ехр
€	о €
и обратная задача имеет не единственное решение.
При исследовании обратных задач из тех или иных сообра-
жений могут возникать ограничения на рассматриваемый'класс
77
функций. Одним из наиболее распространенных ограничений на
сласс, которому принадлежит искомая функция, является положи-
сельность функций из этого класса, обусловленная положитель-
ностью многих характеристик физических процессов и объектов.
Докажем, что обратная задача определения функции а(г) по у>(А)
в случае уо = 0, /о / 0 имеет единственное решение в классе непре-
рывных положительных функций. Так как единственность решения
этой задачи эквивалентна единственности решения уравнения (5),
то теорему единственности сформулируем для этого уравнения.
Теорема 3.3.1. Существует не более одного решения урав-
нения (5), такого, что а(г) € С[0,1] и а(г) > 0 для х € [0,1].
Доказательство. Предположим, что существуют две
непрерывные и положительные на отрезке [0,1] функции ari(r) и
02(2), являющиеся решением уравнения (5). Рассмотрим функции
1
А(€) = - Jai(9)d9, « — 1,2.	(б)
(
Эти функции обладают следующими свойствами: 0i(x) € С1 [0,1],
$(г) > 0 для х 6 [0,1]. Так как ai(z) и aj(z) являются решениями
уравнения (5), то для А € [Ai,Aj] выполнено равенство
1 1
У exp{A0i(£))df = У ехр{А/?2«)}<£-
о	'О
Сделав в этих интегралах замену переменных t = /?,-(£) и учитывая,
что Д(1) = 0, получим
о	о
У exp{Af}7i(f)df = У exp{Af}72(f)df, A€[>i,A2],	(7)
01(0)	02(0)
где 7;(f) = l/$(/?f 1(f)), а — функция, обратная к Д«).
Покажем, что из равенства (7) следует, что /?1(0) = 02(0). Фун-
кция exp{zt} как функция комплексной переменной z является
аналитической во всей комплексной плоскости для всех значений
действительного параметра t. Функшш 71(f) и 72(f) непрерывны
на отрезках [/?i(0),0] и [/?г(0),0] соответственно. Следовательно,
используя теорему об аналитичности интеграла от функции ком-
плексного переменного [42], получим, что интегралы, входящие в
равенство (7), являются аналитическими функциями параметра
А. Тогда из теоремы единственности для аналитических функций
следует, что равенство (7) выполняется для всех комплексных зна-
чений А, в частности для всех действительных А. Предположим,
78
что ft(O) / £г(0). Пусть для определенности /31(0) < 0г(О), тогда
из (7) имеем для —оо < А < оо
0а(О)	о
J exp{At}7i(t)dt = J ехр{ At }[72(f) — 71 (()]<&.
Л(о)	Л(о)
(8)
Введем обозначения
т =
min 7i (t),
Л(о)<«<Л(о)
М= max |та(<) — Tfx(*)l-
Из положительности 7i(t) следует, что т > 0. Из (8) получим, что
для всех действительных А справедливо неравенство
0з(О)	О
/М f
exp{At}dt — / exp{At}dt,
m J
01(0)	02(0)
или
1	М
-[exp{ft(0)A) - exp{/?i(O)AJ] -^-[1 - ехр{^(0)А}].
л	тл
Очевидно, что это неравенство не выполняется при достаточно
больших по модулю отрицательных значениях А. Из полученного
противоречия следует, что /31(0) = /Зг(О) = 0. Тогда из равенства
(7) мы получим, что
о
J exp{Ai}7(t)ctt = 0, —оо < А < оо,	(9)
0
где 7(t) = 7i(<)—7a(t)- Так как система функций exp{At} (—оо < А <
оо) полна в пространстве £2[/3,0], то из (9) следует, что y(t) — 0,
а значит, и 71(f) =72(t) для t G [/7,0]. Функции 7«(<) представляют
собой производные от функций /ЗГ1^). Таким образом, (/3f J(f)) =
(/З^О))* A11* t € [/3,0] и /ЗГ^О) = /371(®) = 1- Из этих равенств
следует, что /3f L(f) = 1(t) для t G [/?, 0], а значит, и
£ G [0,1]. Учитывая (6), окончательно получим ai(x) = о2(г) для
т G [0,1]. Теорема 3.3.1 докмана.__^-~"
Рассмотренная об ратная'задача является примером обратной
задачи,^цля'которой единственность или неединственность ее ре-
шения может быть связана как с постановкой М«одной задачи (не-
единственность в случае /о = 0), так и с рассматриваемым классом
функций (единственность в классе положительных функций).
79
Исследованная обратная задача в случае уо = 0, /о / О сводит-
ся к нелинейному интегральному уравнению (5) для определения
функции а(х) по заданной £(А). Покажем, что уравнение (5)
представляет собой некорректную задачу как в случае, когда
нелинейный оператор, отображающий функцию а(х) в £(А), рас-
сматривается действующим из С[0,1] в C[Ai, Аг], так и в случае,
когда он рассматривается действующим из £2(61 Я в ^2[Ai, Аг]. Для
этого достаточно привести следующий пример. Пусть <х(х) — 2,
ап(х) — 2 + сое тля для х G (0,1]. Тогда для любого n 1
II® - an||c[o,i] = 1, ||® - OnllbalO.lJ = V
С другой стороны,
11 11
£(А)—у>„(А)=j expf—А у a(0)<w|df—J exp j—A J an(0)d0jdf=
о	е	о	е
1 1
=У ехр{—2А(1—£)}df—у ехр/-2А(1-О+“^}^-
о	о
Следовательно,
ll^(А) - ¥’i»(A)||c[Ai,asJ -* о
при п —» оо, откуда и следует некорректность рассматриваемой
обратной задачи, когда оператор действует в указанных выше
пространствах.
Решение обратной задачи сводится к решению нелинейного
уравнения (5). В результате замены неизвестной функции, сделан-
ной при доказательстве теоремы 3.3.1, можно получить линейное
интегральное уравнениедля функции 7(f), если предполагать, что
значение 0(0) известно. Однако взаимосвязь между y(t) и а(х)
является нелинейной.
Обратная задача, возникающая в электроразведке. Иссле-
дование обратных задач для линейных дифференциальных урав-
нений второго порядка, содержащих параметр, начнем с задачи,
которая возникает при применении методов электроразведки по-
стоянным током для поиска полезных ископаемых. Эта обратная
задача, поставленная и изученная А.Н. Тихоновым [77], состоит в
следующем. Требуется определить коэффициент <гг(х) линейного
дифференциального уравнения второго порядка
А2
у" (г, А) - ^г^уУ(«> А) = 0, 0 х < оо, А > 0,	(10)
если известна функция
У(А}=§'(О,А),	(11)
on
где у(х,Х) — решение уравнения (10) с условиями
»(0,А) = «,	(12)
Jim у(х,А) = 0,	(13)
q — заданная положительная постоянная.
В дальнейшем краевое условие (13) для краткости будем за-
писывать следующим образом;
у(оо, А) = 0,
До исследования обратной задачи докажем некоторые вспомо-
гательные утверждения. Будем предполагать, что функция tr(x)
удовлетворяет следующим условиям:
<г(х) € С[0, оо), tr(x) > & > 0 для х € [0,оо), .
<т(х) = tr0 для х > х0 > 0.	' '
Лемма 3.3.1. Уравнение (10) с краевыми условиями
1/(0, А) = уо, у(оо, А) = 0,	(15)
имеет не более одного решения, причем, если у(х,Х) — решение
задачи (10), (15) а уо > 0, то у){х,Х) < 0 для х € [0,оо) и А > 0.
Доказательство. Для доказательства единственности
решения задачи (10), (15) достаточно показать, что она имеет
только нулевое р зшение в случае, когда уо = 0. Предположим,
что это не Так и существует решение уравнения (10) У1(х, А), та-
кое, что yi(x, А) 0 для х € [0,оо) и yi(O,A) = 0, yi(oo,A) = 0.
Из этого предположения следует, что у((О,А) / 0, так как ли-
нейное однородное дифференциальное уравнение (10) с условиями
2/1(0, А) = 14(0, А) = 0 имеет тождественно равное нулю решение.
Пусть для определенности 14(0, А) > 0. Покажем, что из этого
следует, что 14 (х, А) > 0 для х € (0,оо). Действительно, предполо-
жим, что 14 (в, А) может обращаться в ноль на полупрямой х > 0.
Обозначим через xi минимальный корень уравнения 14(», А) = 0.
Тогда для х € [0, ®i) i4(х, А) > 0 и из условия 2/1 (0, А) = 0 следует,
что 1/1 (х, А) > 0 для х € (0,®1]. Тогда из уравнения (10) следует,
что l4*(®> А) > 0 для х € (0, ®1]. Таким образом, функция 14(х, А) на
множестве (0, Xi] является строго возрастающей и 14(®1> А) > 0. Из
полученного противоречия следует, что 14(х, А) > 0 для х € [0, оо),
А > 0. Но в этом случае yi(x, А) является положительной, моно-
тонно возрастающей функцией и не может удовлетворять условию
У1(оо,А) = 0. Следовательно, yi(x,A) = 0 для х G [0,оо) и краевая
задача (10), (15) имеет единственное решение.
Докажем второе утверждение леммы. Пусть уг(х, А) — решение
задачи (10), (15) с уо > 0. Докажем, что У2(х,Х) < 0 для х € (0, оо).
81
Если 14(0* А) 0, то аналогично предыдущему манно доказать, что ,
1й(®, А) > 0 и i4(®, А) > 0 для х € (0,оо), а значит, №(х,А) не мажет |
удовлетворять условию уг(оо, А) = 0. Следовательно, i4(0, А) < 0. (
Предположим, что в некоторой точке х2 Уз(сз*А) = Тогда"
Уг(х,Х) является при х > хг решением уравнения (10) с краевыми \
условиями 14(^2* А) = 0, 92(00, А) = 0. Аналогично предыдущему 1
можно показать, что ^(х.А) = 0 для х х2. Тогда так как
lto(z,A) есть решение уравнения (10) для х 0, то уг(х, А) = 0 для:
х > 0. Следовательно, предположение о том, что l4(os, А) может
обращаться в ноль, неверно и 14(х> А) < 0 для х € [0, оо), А > 0,
что и доказывает лемму 3.3.1.
В лемме 3.3.1 установлено, что краевая задача (10), (15) в
случае однородных краевых условий (уо = 0) имеет только нулевое'
решение. Следовательно, для любой непрерывной при х 0
функции /(я), удовлетворяющей условию
ОО
/ 1/(®)|Л₽
о
< оо,
краевая задача
А2
=	(16)
у(0, А) = 0, у(оо, А) = 0	(17)'
имеет единственное решение, которое представимо в виде
ОО
у(я,А) = Ус?(®Л;А)№)#,
о
где G(x,£;X) — функция Грина.
Установим некоторые свойства функции Грина задачи (16),
(17).
Лемма 3.3.2. Функция Грина краевой задачи (16), (17) обла-
дает следующими свойствами:
1) G(®,^;A)	0 для 0 $ х,£ < оо, А > 0;
2) Если Gi(x,£;X) функции Грина, соответствующие коэффици-
ентам <г<(х), i = 1,2, то из неравенства в1(х) <гг(х) длях 6 (0,оо)
следует, что Gi(®,£;A) > G2(x,£; А) для 0 $ х,£ < оо, А > 0.
Доказательство. Для функции Грина справедливо
следующее представление:
r(, f f	0<®<£<оо,
1	' I У1«,А)У2(®>А)/1У, 0<<<Жоо,	( }
83
где W — »2(®>A)i4(®»A)—yi(®,A)i4(®,A), a yi(x, А) и уг(х,Х) линейно
независимые решения уравнения (10), удовлетворяющие условиям
3/1(0, А) = 0, 1/2(00, А) = 0.
Возьмем в качестве у\(х, А) решение (10) с условиями J/i(0, А) =
0, ld(°>^) = Г» а в качестве уг(£,А) решение (10), такое, что
Уг(®>А) = ехр{—Ах/<Го} для х xq. Проведя рассуждения, анало-
гичные сделанным в лемме 3.3.1, можно показать, что yi(x, А) > 0,
й(®, А) > 0 для х > 0, А > 0. Кроме того, W не зависит от х, а
значит, W = у2(0, А) > 0 для А >’0. Тогда из формулы (18) следует,
что G(x,£;X)	0 для 0	х,£ < оо, А > 0.
Докажем второе утверждение леммы. Пусть <rt(®) > <г2(о:)
для х € (0,оо) и Gi(x,£;X), Gz(x,£;X) — соответствующие этим
коэффициентам функции Грина. Рассмотрим произвольные фик-
сированные £ > 0, А > 0. Так как функции Грина G,(z,^;A) при
z / £ как функции х являются решениями уравнений
12
сГ(«Л;А)-^у<?<(М;Л) = о
и удовлетворяют условиям (17), то их разность
ф) = С1(а:Л";А) -С2(х,ё;А)
является решением задачи
А2	/12 А2 X
*"(*) ~	= (ЖТ - ЖТ )<*<*’* А>’	<19>
<т2(®)	\^1(®) *21®)/
z(0) = z(oo) = 0.
Так как функции Gi(x,£; А) как функции х в точке £ непрерывны,
а их производные имеют один и тот же разрыв, то z(x) непрерывна
и имеет непрерывную производную. Из условия <ri(x) > <г2(аг) и
неотрицательности Gi(x,£;X) следует, что правая часть уравне-
ния (19) неположительна для х Е [0,оо). Покажем, что z(x) 0
для х Е [0, оо). Предположим, что в точке х0 > 0 достигается
отрицательный минимум функции z(x). Тогда z(xq) < 0, z'(xq) = 0
и существует е > 0, такое, что z(x) < 0 для х Е («о — Учи-
тывая неположительность правой части уравнения (19), получим,
что z"(x) < 0 для х € («о — £> ®о)- Следовательно, z'(x) > 0 для
х € («о — е,®о)- Но это неравенство противоречит предположе-
нию о том, что в точке х0 достигается отрицательный минимум
z(x). Таким образом, исходное предположение было неверно и
z(x) 0 для х Е [0, оо). Так как значения £, X были произвольны,
то Gi(a:,£;A) > 6f2(®,{; А) для х,£ Е [0, оо), А > 0. Лемма 3.3.2
доказана.
Найдем выражение для функции Грина для задачи (16), (17)
в случае постоянной на полупрямой х > 0 функции tr(x) = а*.
83
Фундаментальная система решений уравнения (16) в этом случае
ехр{—Хх/cr*}, ехр{Ах/<т*}. Выбирая в формуле (18)
У1(х, А) = sh(Ax/<r*), у2(х, А) = ехр(-Ах/<т*),
получим W = A/а* и
с \\ - 7 °*	«ф(-М/<^)/А, 0 < х < £ < оо,
J“t<r*sh(A$/<T*)exp(-Ax/<r*)/A, . 0^<х<оо.	1 ’
Перейдем теперь к исследованию обратной задачи. Рассмот-
рим несколько более общую постановку обратной'задачи для
уравнения (10), а именно требуется определить* <т(х), если при
А > 0 известна функция Ф(А) = у*(0, А)/у(0,А), где у(х,А) — не"
тривиальное решение уравнения (10), удовлетворяющее условию
у(оо, А) = 0. Отметим, что эта постановка содержит в себе пре-
дыдущую формулировку обратной задачи для уравнения (10),
поскольку в случае, когда известны у(О,А) = q и 5/(0, А) = <р(Х),
функция Ф(А) —
Рассмотрим вопрос о единственности решения сформулирован-
ной обратной задачи. Обозначим через S класс положительных
при х > 0 функций <г(х), таких, что
, ч ( *(«)» 0<х^хо,
о*(®) = 1
(То, X Xq,
где <т(х) — функция, аналитическая на интервале, содержащем
отрезок [0,х0], такая, что ff(x0) = *о.
Докажем теорему единственности решения -адачи определения
<т(х) по функции 1/(0, А)/у(О,А), заданной при А > 0 [77].
Теорема 3.3.2. Пусть j/i(x,A) и уз(х,Х) нетривиальные
решения (10) для функций лДх) и <т2(х) (<т1(х),<т2(х) е Е) соответ-
ственно, удовлетворяющие условию
»1(оо, А) = 0, й(оо, А) = 0.	(21)
Тогда если для всех А > О
✓1(0, А) _ ✓(О, А)
3/1(0, А) y2(0,A)’	W
то o’i(x) = о’г(х) для х € [0,оо).
Доказательство. Так как у,(г,A), i = 1,2, являются
решениями однородного уравнения (10) с однородным условием
(21), то они определены с точностью до постоянного сомножителя.
Из леммы 3.3.1 следует, что и(0, А) # 0 для всех А > 0. Таким
образом, функции у»(х, А) можно нормировать условием у» (0, А) = 1,
« = 1,2.
84
Так как у,(х,Х) являются решениями уравнения (10) с коэффи-
циентами <т«(х) соответственно, то
- 14'(«> А) - А) +	Л)~
А2	А2
+ = °-
*1(*)	ff2\x)
Следовательно, функция х(х,А) = yi(x, А) — у2(х, А) удовлетво-
ряет уравнению
А) - А) = ~F& А>’ (23)
а1\х)
где
L<72(®)	<Г1(Х)1
и краевым условиям
x(0,A) = 0, z(oo,A) = 0.	(24)
Используя представление решения задачи (23), (24) через фун-
кцию Грина, получим
ОО
ж(«,А) = А2 [С1(»Л; А)[-^- - * Lfc, А)*.	(25)
j	l*2«) *1(OJ
Так как функции <т1(®) и <г2(х) принадлежат классу Е, то o’i(r) =
&1(х) для х € [0, ®oi] и tr2(x) — о2(х) для х € [0,®о2]> гДе *1(х)>
&2{х) — функции, аналитические на отрезках [0,Xoi], [O,Xq2] со-
ответственно. Обозначим через х2 — min{xoi,£o2}. На отрезке
[0,х3] функция а(х) = 1/а2(х) — 1/а2(х) является аналитической.
Из теоремы единственности для аналитических функций следует,
что либо а(х) — 0 на [О,хз]> либо а(х) имеет на этом отрезке
конечное число нулей. Таким образом, возможны два случая:
1) а(х) = 0 для х € [0, ®з]; 2) существует х^ € (0,«з], такое, что
а(х) / 0 для х € (0,24].
Покажем, что второй случай невозможен. Предположим, что
он реализуется, и примем для определенности, что а(х) > О
для х € (0,х4]. Из условий на класс функций Е следует, что
существуют положительные постоянные <тт и (Тм, такие, что
<Гт О’! (*) $ <гм	(26)
85
для х е (0,оо). Определим £5 = Х4<гт/2<гм- Так как х6 > О,
то существует «о > 0, такое, что а(х) ао > О для х € [£s,£4].
Запишем представление (25) следующим образом:
94	ОО
z(x,A)=A2y Gi(«,e;A)<»(e)»(e,A)«+A3 j G1(®^;A)a«)te«,A)de.
о	**
(27)
Из лемм 3.3.1, 3.3.2 следует, что Уз(х,Х) при х € [0,оо) — по-
ложительная монотонно убывающая функция и Gi(x,£,X) > 0.
Учитывая это, из (27) получим, что для х € (0,£g)
«4	ОО
ф,А)>А’У Gi(x,b А)а(еНй(^,А)-А2у2(х4>А) J	А)|а(£)|#.
*S	*4
(28)
Обозначим А = тахо««»|«(С)|» a Gm(x&,X)t Gm(x,£;X) —
функции Грина задачи (16), (17) для <г(х) — <гт и <г(х) = <тм
соответственно. Из неравенства (26) и леммы 3.3.2 следует, что
для 0 х£ < оо и А > 0
Gm(x,bX) < Сг(«Л;А) < GM(x& А).
Учитывая это неравенство, из (28) получим, что для х € (0,г5)
и А > 0
Ф,А)>А2Уз(®4,А) «о / С?т(хЛ;А)«-А
Используя это неравенство и представление (20) для функции
Грина в случае Постоянной <г(х), имеем для х € (0, £5) и А > 0
z(£,A) > Aajft(£4,A)[ao f ~-sh(A£/<rTO)exp(—A^/<rTO)df—
I J A
*S
oo
-A [ ^sh(A£/<7M)exp(-A£/<7M)dq =
J A	J
*4
= A2y2(®4,A)|ao^-sh(A£/<rm) Jexp(-Az5/<rm) - exp(-Xx4/<rm
2
sh(A£/<rM) «ф(-А£4/<тм) I.
86
Таким образом, для х € (0, ®5) и А > О
*(z,A)>P(z,A),	(29)
где
Р(х,А)=й(®4,А)|ао<т2»8Ь(А®/<тто)[ехр(-А®5/^т)-е®р(-^а:4Лт)]-
-Atrlf sh(Xx/<rM) ехр(—Ах4/<тм ) J.
Так как z(0, А) = Р(0, А) = 0 для А > 0, то из (29) следует, что
/(О, А) > Р'(0, А) для А > 0.	(30)
Из определения функции Р(®,А) получим, что
Р*(0,А) = з/2(®4, A)[ao<7mAexp(-A®5/<7m)-
—ао<ттАехр(—Az4/<rm) - А<тмХехр(-Хх4/<тм)].
Так как х^/<гт < ®4/<тм, то существует Ао > 0, такое, что
Р/(0,А) > 0 для А > Aq. Тогда из неравенства (30) получим,
что г'(0, А) > 0 для А Ао. Но из условия (22) и условий
нормировки у,-(0, А) = 1, i = 1,2, следует, что Р(0, А) = 0 для всех
А > 0. Полученное противоречие показывает, что второй случай
невозможен и а(х) = 0 для х € [0, ®з].
Итак, доказано, что ffi(x) = <гз(х) для х € [0,®з]. Тогда из
условий нормировки 3/1(0, А) — 3/2(0, А) = 1 и условия (22) получим,
что* з/1 (х, А) = з/г(®, А) для х € [0, ®з] й А > 0. Следовательно,
при А > 0
У1(Дз,А) _ з4(»3, А)	.эд
У1(®з>А)	3/г(®з>А)
Рассмотрим отрезок [z3, ®в]> где хд = max{®oi>®O2}- На этом
отрезке одна из функций <ri(z), ^(z) постоянна, а другая равна
функции, аналитической на [хз, ®ej- Аналогично предыдущему,
из (31) получим, что <Г1(х) — <Г2(х) при х € [®з,®в], а значит,
tri(x) = <т2(ж) при х > 0. Теорема 3.3.2 доказана.
Замечание 3.3.1. Условие аналитичности функции a(z)
на отрезке [О,«о] использовалось при доказательстве только для
того, чтобы сделать утверждение о том, что а(х) = 1/<?1(х) —
1/<т^(ж) либо тождественно равно нулю, либо имеет конечное число
нулей. Следовательно, теорему 3.3.2 можно переформулировать
для класса функций, таких, что для любых двух функций из этого
класса функция 1/<т^(а:) — 1/<т|(х) либо тождественно равна нулю,
либо имеет конечное число нулей.
87
Замечание 3.3.2. При доказательстве - теоремы 3.3.2 с
целью технического упрощения доказательства предполагалось, ’
что <r(z) непрерывна при х > 0. Без принципиальных измене-
ний в доказательстве, теорема 3.3.2 может быть доказана для
класса кусочно-аналитических функций [77], который более естес-
твен с точки зрения геофизических приложений рассматриваемой
обратной задачи.
Рассмотрим вопрос об устойчивости обратной задачи (10)-
(13). Уравнений (10) с краевыми условиями (12), (13) опреде-
ляет оператор А, ставящий в соответствие функции <г(х) фун-
кцию <р(Х) — у'(О.А), где у(х,А) — решение задачи (10), (12),
(13). Рассматриваемая обратная задача может быть сформу-
лирована как задача решения операторного уравнения Ав = <р.
Покажем, что эта задача неустойчива в случае, когда для оцен-
ки близости <т(х) выбирается равномерная метрика, а исход-
ные данные задаются с погрешностью также в равномер-
ной метрике. Приведем пример -последовательности функций
trn(x), такой, что тахо^коо |<тп(®) - ffo(x)| 0 при п —» оо, а
8иРо<л«» Ь’иСМ " ^(А)! -> 0 при п оо, где Atrn = <рп и А<р0 = *0.
Пусть <Tq(x) = <Tq, где <fq — положительная постоянная. Рас-
смотрим последовательность положительных функций <rn(z), та-
кую, что
0<z$zo, «о + 1/п я < оо,
t O’q — <Jn(z), Zq X Zq 1/n,
где yn(z) — непрерывная неотрицательная на отрезке
[®о,®о + 1/п] функция, такая, что уп(х0) = уп(®о + 1/п) = 0 и
maXroC*C*o+i/nS'n(®) = <го/2- Очевидно, что при таком выборе
<тп(я) и <то(х) тахо^коо |ffn(I)~ffo(®)| 0 при п —» оо. Рассмотрим
разность ^п(А) — 9?о(А) = 1^,(0, А) - Мэ(О, А), где yn(z, А), !fo(z, А) —
решения задачи (10), (12), (13) с коэффициентами <тп(х) и <tq(z)
соответственно. Введем функцию
Wn(x, А) = уо(х, А) - !fa(z, А).
Для этой функции справедливо представление, аналогичное
(25):
оо
w„(z,А) = A2 jG0M,А)[^у -	A)d£,	(32)
где Gq(z,£; A) — функция Грина, определяемая коэффициентом
<To(z). Из леммы 3.3.1, неотрицательности G0(z,£;A) и представ-
ления (32) следует, что для 0 z < оо, А > 0, п £ 1 выполнены
неравенства 0 Уп(х,А) j/o(x,A). Учитывая это неравенство,
88
а также определение функции 4ГП«), получим оценку для произ-
водной Wn(z,A) в нуле
Cg+1/n
/ |^(о,е;А)||^-^я|И«,А)«.
«в
Так как lto({,A)=9exp(— A^/ffq), a Go(«,€; A)=^sh(Ax/<7q)exp(—A$/<r0)
для x < f, то для А > О
«в+1/n
|W'(0,A)l<A2g у ехр(-2А£/<70)^ =
•в
= Т7-[ехр(-2Л®о/<го) - ехр(-2А(я0 + 1/п)/<г0)].
ZvQ
Из этой оценки следует, что supA>e |W£(Q, А)| —» 0 при п —> оо.
Так как supA>0 |у>п(А) -	« supA>e |(О, А)|, то supA>0 |у>п (А) -
^о(А)| —» 0 при п —» оо. Следовательно, рассмотренная обратная ...
задача неустойчива в указанном выше смысле.	/
Обратная задача Штурма-Лиувилля. Рассмотрим на от-""--
резке [0, я] дифференциальное уравнение
-/(*, А) + д(х)у(х, А) = Ау(х, А)	(33)
с краевыми условиями v ’	'
y(0,A)coea + y/(0,A)rina = 0,	(34)
у(я,А)сов/? + у'(я, A)sin/? = 0,	(35)
где функция q(x) действительна и непрерывна на отрезке [0, я],
а и 0 — действительные числа, а А — комплексный параметр.
Краевая задача (33)-(35) называется задачей Штурма-Лиувилля.
Задачу Штурма-Лиувилля обычно рассматривают на отрезке
[О, я], поскольку при замене переменной х' = (x—a)ir/(b—a) отрезок
[а, 6] преобразуется в [0, я), а уравнение и краевые условия не
изменяются.
Прежде чем рассматривать постановку обратной задачи, из-
ложим некоторые понятия и результаты, связанные с задачей
Штурма-Лиувилля.
Число А называется собственным значением задачи (33)-(35),
если при А = А эта краевая задача имеет нетривиальное решение
у(х, А). Решение y(z,A) называется собственной функцией краевой
задачи (33)-(35). Очевидно, что собственная функция определена
с точностью до постоянного множителя.
89
Сформулируем некоторые свойства собственных функций и
собственных значений задачи Штурма-Лиувилля [54]:
1)	собственные функции у(т, Aj) и у(х, А2), отвечающие различ-
ным собственным значениям, ортогональны
У y(x,Xi)y(x,X2)dx = 0;
о
2)	собственные значения действительны;
3)	существует неограниченно возрастающая последователь-
ность собственных значений Ао, Ах, Аг, • - - • При этом собственная
функция у(х, Ат) имеет в интервале (0, я) тп нулей.
Важное значение имеет свойство полноты системы собственных
функций задачи Штурма-Лиувилля. Введем обозначения
v(x,An) = у(1,Ап)/||у(г, A„)||L3[o,»],
Ж
fn = J f(x)v(x,Xn)dx.
о
Справедливы следующие теоремы [54]:
Теорема 3.3.3. Если функция /(ас) интегрируема с квадра-
том на [0, аг], то имеет место равенство Парсеваля
I f4^dx = ^fn-
0	п=0
Теорема 3.3.4. Если функция /(ас) непрерывна на отрезке
[0, аг] и ряд J2n=0 fnv(x, Ап) сходится на [0, аг] равномерно, то
ОО
JM^^Mx.Xn).
п=0
Эти теоремы находят широкое применение при исследовании
уравнений в частных производных с помощью метода разделения
переменных. Из теоремы 3.3.3 следует полнота в £2[0, аг] мно-
гих хорошо известных систем функций. Например, при q(x) - 0,
а = /? = 0 собственные значения Ап = (п + I)2, п = 0,1,.... собст-
венные функции у(х, Ап) = sin(n + 1)г, а при q(x) = 0, а = /3 = аг/2
собственные значения Ап = тг, п = 0,1,..., собственные функции
y(x,An) = cos пт.
Перейдем теперь к постановке обратной задачи Штурма-
Лиувилля. Пусть функция q(x) в уравнении (33) не известна
90
и требуется определить ее, зная совокупность собственных зна-
чений задачи (33)-(35). Первый результат в исследовании этой
обратной задачи был получен В.А. Амбарцумяном [91] и состоит
в следующем. Если а = /? = %/2 и известно, что собствен-
ные значения задачи (33)—(35) An = n2, п = 0,1,..., то j(t) = 0
для х € [0, эг]. Однако этот результат не является типичным в
том смысле, что одной последовательности собственных значе-
ний не достаточно для однозначного определения произвольной
функции ?(т). Общая теорема единственности определения фун-
кции q(x) была доказана Г. Боргом [93], который показал, что
q(x) однозначно определяется, если заданы собственные значения
Ап, п = 0,1,2,..., задачи (33)-(35) и собственные значения цп,
п = 0,1,2,..., задачи (33), (34)
у(тг, A)cos-y + j/(?r, A) sin-у — 0,	(36)
где число у таково, что sin(7 — /3)	0. Г. Борг доказал теорему
единственности решения обратной задачи Штурма-Лиувилля при
некоторых ограничениях на постоянные а, (3, 7. Эти ограничения
были затем сняты в работах [89, 98].
Приведем точную формулировку теоремы единственности ре-
шения обратной задачи Штурма-Лиувилля [98].
Т е о р е м а 3.3.5. Пусть qi(x) u q?(x) — непрерывные на
отрезке [0, тг] функции, а А„, г = 1,2, — собственные значения
задачи (33)-(35) и ц'п, i = 1,2, собственные значения задачи (33),
(34), (36) для функций q,(x), i = 1,2 соответственно. Тогда, если
А* = А2,	= д2 для п = 0,1,2,..., то qi(x) = qi(x) для х G [0,я].
Следует отметить, что обратная задача Штурма-Лиувилля
близка по постановке к обратным задачам, рассмотренным в
предыдущих пунктах, и может быть сведена к задаче определения
q(x) по дополнительной информации о решении уравнения (33),
представляющей собой функцию параметра А. Действительно,
пусть о(х,А) — решение уравнения (33) с начальными условиями
v(0, А) — sin a, t/(0, А) = — cosa.	(37)
Решение задачи Коши (33), (37) v(x, А) существует при любом
комплексном А и при фиксированном х как функция А пре-
дставляет собой функцию, аналитическую во всей комплексной
плоскости. Рассмотрим функцию комплексного переменного А
0(A) = 1>(зг, A)cos/? 4-t/(3r, A)sin/?.
Из определения функций д(Х) и и(х,А) следует, что каж-
дый ноль функции 0(A) является собственным значением задачи
(33)-(35) и обратно каждое собственное значение задачи (33)—
(35) является нулем функции 0(A). Используя результаты те-
ории функции комплексного переменного и свойства функции
v(x, А), можно показать [98], что аналитическая во всей комп-
лексной плоскости функция 0(A) однозначно определяется сво-
ими нулями. Таким образом, совокупность всех собственных
91
значений задачи (33)-(35) Ап, п = 0,1,2,..., однозначно опре-
деляет функцию комплексного переменного j(A). Аналогично,
совокупность всех собственных значений задачи (33), (34), (36)
дп, п = 0,1,2,..., однозначно определяет функцию комплексно-
го переменного р(А) = v(x,A)cos7 + t/(x,A)sin7. Таким образом,
можно говорить о том, что обратная задача Штурма-Лиувилля,
состоящая в определении функции д(х) по двум совокупностям
собственных значений Ап и дп, п = 0,1,2,..., может быть сведена
к задаче определения функции д(х)по двум функциям параметра
А д(Х) и р(А).
Вернемся к теореме 3.3.5 о единственности решения обратной
задачи Штурма-Лиувилля. Из нее следует, что произвольная
непрерывная функция q(x) однозначно определяется в том случае,
когда заданы две совокупности собственных значений Ап и дП)
п = 0,1,2,... . В связи с этим возникает следующий вопрос: воз-
можно ли такое сужение класса функций д(х), которое позволяет
однозначно определять функции q(x) из этого класса по одной
совокупности собственных значений?
Рассмотрим класс непрерывных на отрезке [0, х] функций q(x),
таких, что q(x — х) — q(x) для любого х € [0,х]. Обозначим этот
класс функций через Q. Лля функций, принадлежащих клас-
су Q, справедлива следующая теорема единственности решения
обратной задачи Штурма-Лиувилля [98].
Теорема 3.3.6. Пусть числа а в р в краевых условиях (34),
(35) таковы, что а + р = х, а функции qi(x) и дг(х) принадлежат
классу Q. Тогда если А„ = для п = 0,1,2,..., где Х„ в X? собс-
твенные значения задачи Штурма-Лиувилля (33)-(35) для функций
qi(x) в 9г(х) соответственно, то ?i(z) = q?(x) для х € [0, тг].
В формулировку теоремы 3.3.6 вхсдит не только условие при-
надлежности д,(х) классу Q, но и соотношение а + р = х. Таким
образом, требуется, чтобы не только функция q(x) была сим-
метрична относительно середины отрезка [0,х], но и граничные
условия (34), (35) обладали свойством симметрии.
Следует отметить, что так как каждое собственное значе-
ние задачи (33)-(35) является точкой спектра дифференциаль-
ного оператора, порождаемого дифференциальным выражением
—1/"(®) + q(x)y(x) и краевыми условиями (34), (35), то обратную
задачу Штурма-Лиувилля относят к классу обратных спектраль-
ных задач.
Мы рассмотрели один из вариантов постановки обратной за-
дачи Штурма-Лиувилля и привели теоремы единственности ее
решения, которые были доказаны в первый период исследования
этой задачи. Затем усилиями многих авторов обратная задача
Штурма-Лиувилля была изучена весьма детально, в частности
исследованы вопросы существования ее решения, а также были
рассмотрены и исследованы другие варианты постановок этой
обратной задачи. Ознакомиться с результатами, полученными
Ж
в этом направлении, можно по книге [53] и приведенной в ней
литературе.
Обратные задачи квантовой теории рассеяния. Одной из
классических задач квантовой механики является задача о дви-
жении частицы в поле с центральным потенциалом v(z). Иссле-
дование этой задачи приводит к линейному дифференциальному
уравнению
А) + (а2 -	- v(x)) ^(х, А) = 0,	(38)
рассматриваемому на полупрямой х > 0. Уравнение (38) назы-
вается радиальным уравнением Шредингера, неотрицательный
целочисленный параметр I — угловым моментом [50].
Рассмотрим уравнение (38) в случае I = 0:
<	р"(х, А) + (А2 — v(x))<p(x, А) = 0, х > 0,	(39)
с начальным условием
у>(О,А) = О.	(40)
Будем предполагать, что потенциал v(x) — кусочно-непрерыв-
ная при х 0 функция, удовлетворяющая условию
ОО
a:|v(a:)|</a: < оо.	(41)
о
В этом случае можно показать [57], что для всех действитель-
ных значений параметра А = к решение задачи (39), (40) при
х -+ оо имеет асимптотику
<	р(х, к) = А(к) sin(fcz + 6(fc)) + о(1).	(42)
Функция б(к) называется фазовым сдвигом, или фазой рассеяния.
Выведем формулу (42) для простого, но важного с практичес-
кой точки зрения случая потенциала v(x), тождественно равного
нулю при х а > 0. В этом случае общее решение уравнения
(39) при х а имеет вид
<	р(х,к) = ci(k)sin(kx) + c2(fc)cos(fca:).
Из условия непрерывности функций <р(х, к) и <р'(х, к) в точке
х = а мы получим систему для определения постоянных ci(fc)
и с2(*)
ci(fc)sin(fca) + Ci(k)cos(ka) = <р(а,к),
kci (к) сов(ка) — кс2(к) sinfka) = <р'(а,к).
93
Следовательно, при х а
(	A/fc2$32(a,fc) + (^(a>*))2 .	, х,,п
ip(x, к) — —------------------------ sinifcz + 6(к)),
к
г t<rMk\ - CaW _ *»(a,t)cos(ta)-y'(a,t)sin(ta)
ГДе	Ci(i) k<p(a,k)sin(ka)+<p'(a,k)cos(ka)'
Таким образом, в рассматриваемом нами случае асимптоти-
ческая формула (42) переходит в точное равенство при х > а.
Рассмотрим постановку обратной задачи квантовой теории
рассеяния. Из экспериментов по рассеянию частиц можно опре-
делить фазу рассеяния 6(fc). Обратная задача квантовой теории
рассеяния состоит в определении потенциала взаимодействия v(x)
по фазе рассеяния 6(к). Интенсивное исследование этой обратной
задачи обусловлено как теоретическими проблемами квантовой
механики, так и задачами обработки результатов экспериментов
по рассеянию частиц. Одним из первых результатов по обратной
задачи квантовой теории рассеяния’ была полученная Левинсоном
теорема единственности [99]. В этой теореме было доказано, что
если фаза рассеяния 6(fc) задана при к 0 и выполнено условие
|6(0) — 6(оо)| < я-,	(43)
то потенциал v(r) при х 0 определяется однозначно. Однако
в общем случае однозначно определить потенциал v(x) по фазе
рассеяния 6(k), заданной при к 0, невозможно. Было построено
семейство потенциалов, имеющих одну и ту же фазу рассеяния при
k 0. Эта неоднозначность связана с тем, что может существовать
конечное число N 0 чисто мнимых значений Х3 = ifij, > О,
j = 1,2, ...,JV, таких, что
lim <p(x,Xj)ett’1 =: I	(44)
г—+оо
где <p(x,Xj) — решение задачи (39), (40) с А = Xj = ipj. Заметим,
что при N > 0 условие (43) не выполняется. В этом случае
потенциал v(r) однозначно определяется, если при к > 0 задана
фаза рассеяния 6(к), значения Х3:, j = 1,..., 2V, и т3, такие, что
00
т~2 = j \tp(x,Xj)\2dx, j =
о
где 9?(jr, Х}) — решение задачи (39), (40), удовлетворяющее усло-
вию (44). Эта общая теорема единственности решения обратной
задачи квантовой теории рассеяния была доказана В.А. Мар-
ченко [56], затем им была предложена процедура восстановления
потенциала по заданным 6(к), к > О, А; и т3, j = 1,2 ..., N, которая
состоит в следующем [57]. По фазе рассеяния 6(к) определяется
94
ОО
± [(1-S(k))eik*dk
2.1С J
функция S(fc) = exp{2i6(fc)}, обладающая свойством S(—к) = S(k)
(S(k) — функция, комплексно-сопряженная к S(k)). Затем для
х 0 вводится функция
N
®) = +
7=1
и с этой функцией для х 0 решается уравнение для функции
К{х,у)
ОО
F(x + у) + К(х, у) + у K(x,t)F(y + t)dt = 0, у > г.
X
После того как найдена функция К(х,у}, потенциал г(г) оп-
ределяется формулой
v(r) = -2-у-К(х,х).
ах
Разработанная В.А. Марченко процедура восстановления по-
тенциала r(z) имеет большое значение для теоретического иссле-
дования обратной задачи рассеяния, например для доказательст-
ва теоремы существования решения обратной задачи или опреде-
ления исходных данных обратной задачи, для которых ее решение
может быть получено в явном (аналитическом) виде. Существу-
ет также другая часто применяемая процедура восстановления
потенциала v(x) по точно заданным исходным данным обратной
задачи, основанная на уравнении Гельфанда-Левитана [19].
Остановимся на вопросе устойчивости обратной задачи рас-
сеяния, поскольку при решении практических задач необходимо
учитывать, что исходные данные, полученные из экспериментов
по рассеянию частиц, известны с погрешностью. Для простоты
рассмотрим достаточно часто встречающийся в практике случай,
когда априори известно, что Л' = 0. Одна из главных проб-
лем, возникающих при практическом решении обратной задачи
рассеяния, состоит в том. что фаза рассеяния f>(k) известна с
погрешностью, причем только на конечном интервале значений
переменной к, а именно k € гДе 0 < fcj < As < эс. Это обс-
тоятельство существенно затрудняет применение указанной выше
процедуры для восстановления потенциала. Важное значение
имеет также то, что обратная задача рассеяния является неус-
тойчивой. Для того чтобы убедиться в этом, воспользуемся часто
употребляемым в квантовой механики методом определения фазы
рассеяния по потенциалу v(x), который носит название метода
фазовых функций [б].
95
В этом методе решение задачи (39), (40) ищется в виде
<р(х, к) — А(х, к) sinfkx + z(x, к)).
В результате для функции z(x,k) получаем задачу Коши
z'(x, к) = -sin2(fcz + z(x, к)), х > 0,	(45)
z(Q,k) = 0,	(46)
а фаза рассеяния 6(к) определяется следующим образом:
6(fc) = lim z(x, к).	(47)
X1» ОО
Задача Коши (45), (46) вместе с (47) определяет оператор А,
ставящий в соответствие потенциалу v(x) фазу рассеяния 6(к).
Таким образом, обратная задача рассеяния может быть сформу-
лирована как задача решения операторного уравнения Av ® 6 с
приближенно заданной правой частью. Покажем, что обратная
задача рассеяния неустойчива, если оператор А рассматривать
действующим из пространства С[0,а] в C[ti, Лг2], при этом предпо-
лагается, что все потенциалы таковы, что v(z) = 0 для х а. Из
(45), (47) следует, что при и(х) = 0 для х > а фаза рассеяния
6(*) = х(а,*).	(48)
Рассмотрим решения задачи (45), (46) zi(x,k) и Z2(x,k), со-
ответствующие потенциалам vi(z) и ег(®)- Обозначим h(xtk) =
Zi(x,k) — гъ(х,к). Функция h(x,k) является решением задачи
h'(x,k) =	V2^ sin2(fcg + zi) - |fc(®,*)p(®,*),
К	К
Л(0,5) = 0,
где функция
1
р(х, к) = «г(®) J sin 2(кх + ?г(® > к) + 8(zi(x, к) — Zs(x, к)))М.
o'
Следовательно,
h(z,5)=- /	sin2(*£+zi($,fc))exp [p(s, t)dAd$.
J	К	l К J	)
0	€
(49)
96
Приведем пример, показывающий неустойчивость обратной
задачи рассеяния. Рассмотрим потенциалы v(z) и vn(z), п =
1,2,..., такие, что v(a?) 0, vn(®) > 0 для х > 0; v(x) = vn(®) = 0
для х а > 0; v(x) = vn(x) для х € [0,а- 1/n]; v(x),vn(x) е С[0,а];
max |v(r) - vn(x)| = V,
0£г£а
где V — произвольное фиксированное положительное число.
Применяя формулу (49) для представления разности реше-
ния задач (45), (46) с разными потенциалами и учитывая (48),
получим, что
М‘)-*(*)!<
а а -
г [ МО -»(0|em2(i$+ *»(&*))«₽( - | [p„(s,i)<fc|df,
Ч	1 Ч J <“)
где 6п(к),	— фазы рассеяния, zn(x,k), z(x,k) — решения зада-
чи (45), (46) для потенциалов vn(x), v(x) соответственно. Функция
pn(x,k) определяется решениями хп(®, к) и z(x,k) аналогично фун-
кции p(x,k). Так как функция pn(x,k) ограничена по модулю для
всех а и it, то из (50) и условий на функции v(x) и vn(®) следует, что
1Н» “ £||с[*ж,*г]	0
при п —» оо. Таким образом, ||v„ - v||c[o,a] = V, a ||6n — £||c[»i,b] —* 0
при п —» оо. Следовательно, обратная задача рассеяния неус-
тойчива.
Построенный пример показывает неустойчивость обратной за-
дачи рассеяния в случае, когда оператор А, определяемый урав-
нениями (45), (46), (48) рассматривается действующим из С[0, а]
в СрЬ1,&2]. Можно показать, что обратная задача'рассеяния яв-
ляется неустойчивой и в ряде других случаев, например когда
оператор А рассматривается действующим из Аг[О, а] в С7[1?1,|?2].
Мы рассмотрели обратную задачу для уравнения (39). Другие
постановки обратных задач связаны с более общим уравнением
(38). Можно показать, что при выполнении условия (41) решение
задачи (38), (40), <pi(x,X) для действительных А = к имеет при
х —► оо асимптотику
(/тг
кх — — + 6i(fc)) + о(1).
Л!
В связи с этим можно сформулировать два типа обратных
задач квантовой теории рассеяния:
97
1) фаза рассеяния 6i(k) задается при фиксированном значении я
I = 10 для всех значений к, и требуется определить потенциал |
взаимодействия v(z);	1
2) фаза рассеяния задается при фиксированном значении к = j
ко, но для всех значений углового момента I = 0,1,.. , и требуется 1
определить потенциал v(x).	|
Указанные два типа обратных задач квантовой теории рассея-1
ния для радиального уравнения Шредингера (38) были предметом]
исследований целого ряда авторов. Подробное изложение теории 1
обратных задач квантовой теории рассеяния содержится в [90]. |
В заключение отметим, что обратные задачи квантовой теории 1
рассеяния можно ставить не только для радиального уравнения!
Шредингера (38), но и для ряда других уравнений. Одной из!
важных обратных задач является задача для уравнения (39), рас-1
сматриваемого на всей прямой. В ней также требуется восстало- ]
вить потенциал v(x) по данным о поведении решения уравнения на*
бесконечности при различных значениях параметра [53, 86]. Эта
обратная задача имеет большое значение для исследования ряда |
нелинейных уравнений математической физики [58].
§4. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ 
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
Класс нелинейных обыкновенных дифференциальных уравне-
ний существенно шире класса линейных уравнений. В связи с
этим постановки обратных задач для нелинейных уравнений мо-
гут быть более разнообразными. Остановимся вначале кратко
на обратных задачах,в которых исходной информацией является,
решение дифференциального уравнения как функция независимой
переменной.
Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка
»'(«) =/(«>“(«), у(«)),	(О
где f(x, а, у) — заданная функция трех переменных. Для уравне-
ния (1) сформулируем следующую обратную задачу. На отрезке
[а, 6] задано некоторое решение уравнения (1) у(х) и требуется
определить неизвестный коэффициент а(®). Вопрос о сущест-
вовании и единственности решения эТой обратной задачи тесно
связан с однозначной разрешимостью относительно а уравнения
!/!= f(x,а,у). Пусть для любых г,у,щ это уравнение имеет
единственное решение а = Р{х,у,ух\ Где F(x,y,yi) — непрерыв-
ная функция. Тогда для любой функции у(х) € С1 [а, 6] сущест-
вует единственное решение сформулированной обратной задачи
а(х) е С[а,6], определяемое формулой а(х) = F(x,y(x), у'(ж)).
Примерами дифференциальных уравнений, для которых сфор-
мулированная обратная задача имеет такое простое решение, яв-
ляются следующие: у7 (я) = f(x, у)+а(х); j/fx) = /(х,у)+а(х)Ьг+Ц-
В общем случае однозначная разрешимость рассматриваемой об-
ратной задачи может зависеть от того, какое решение уравнения
(1) задано в качестве исходной информации. Рассмотрим, наг
пример, уравнение у'(х) = а(х)у2. Если исходной информацией
является решение у(х) = 0 на отрезке [а, 6], то решением обратной
задачи будет любая функция а(х). В то же время, если зада-
но решение у(х), не обращающееся в нуль на отрезке [а, 6], то
коэффициент а(х) определяется однозначно.
Рассмотрим пример постановки обратной задачи для уравне-
ния второго порядка, содержащего два неизвестных коэффициен-
та. Пусть дано уравнение
!/"(*) = /(®> <*(*)> £(*)>У'(х)),	(2)
где f(x,a,0,y,z) — заданная функция. Обратная задача состоит
в следующем. На отрезке [а, 6] заданы два решения уравнения
(2) yi(x) и уг(®), требуется определить на этом отрезке коэффи-
циенты а(х) и 0(х). Эта задача сводится к системе уравнений
относительно a(as) и Р(х)-.
/(®,а(®),/?(®),У1(®),у1(®)) =
/(®,a(®),^(®),y2(®),j4(®)) =
Однозначная разрешимость этой системы,относительно а(х)
и (3(х) зависит от свойств функции /(х, а, 0, у- г) и того, какие
решения j/i(x) и уг(х) заданы в качестве исходной информации.
Отметим, что приближенное решение рассмотренных обрат-
ных задач для уравнений (1) и (2) сводится к задачам вычисления
производной от функции, заданной приближенно, и решению не-
линейного уравнения или системы таких уравнений.
Для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений
можно поставить обратную задачу определения зависящего от
решения коэффициента уравнения по решению этого уравнения.
Рассмотрим пример постановки такой задачи. Задано уравнение
!/(«) = /(!/(«))	(3)
с неизвестным коэффициентом /(£). Требуется определить /(£),
если задано некоторое решение этого уравнения у(х). Особен-
ность этой задачи состоит в том, что область определения не-
известной функции зависит от исходной информации, а именно
от функции у(х). Если решение уравнения (3) у(х) задано на
отрезке [а, 6], то /(£) можно определить на отрезке [с,d], где с
и d соответственно наименьшее и наибольшее значения у(х) на
99
отрезке [a, ftj. В том случае, когда функция у(х) задана при-,
ближенно в равномерной метрике, мы можем решить обратную^
задачу, используя устойчивый метод вычисления производной, но
область значения функции /(£) будет известна только приближен-!
но. Очевидно, что ситуация усложняется, если мы рассматриваем!
задачу определения функции /(£) по решению у(х) нелинейного;
уравнения второго порядка у"(т) = /(j/(r)). В этом случае при
приближенном задании решения уравнения у(х) для определения
области определения /(£) необходимо решить задачу вычисления
производной.	)
Рассмотрим обратные задачи для нелинейных обыкновенных'
дифференциальных уравнений, содержащих параметр. Исследо-
вание этих задач начнем с простого случая уравнения первого
порядка
j/(r, А) = Xf(y(x, А)), 0 х 1, 0 А Ао, (4)
с начальным условием
у(0, А) = 0, О^А^Ао.	(5)
Обратная задача состоит в следующем. Известно решение;
задачи (4), (5) в точке х = 1 (как функция параметра А):
у(1, А) = а(А), 0 А Ао.	(6)
Требуется определить /(£)• Уточним постановку этой обратной,
задачи. Так как неизвестен не только коэффициент уравнения,'
но и решение уравнения, от которого зависит этот коэффициент,;
то естественно ставить задачу определения пары функций /(£) и
у(г,А), удовлетворяющих уравнению (4) и условиям (5), (6).
Предположим, что заданная функция а(А), такова, что
а(А)€С1[О,Ао], а'(Х) > 0 при А 6 [О, Ао], а(0) = 0.	(7)
Ладим определение решения обратной задачи (4)-(б).
Определение. Пара функций f((),у(х,А) называется ре-
шением обратной задачи (4)-(6), если:
/(£) е С[0, а(Ао)], /(() > 0 при ( е [О,а(Ао)];	(8)
у(х, А) £ С1 [0,1] для всех X G [0, Ао];	(9)
0 у(х, А) а(А) для х £ [0,1], A £ [0, Ао];	(10)
{(у(х,ХУ),у(х,Х) удовлетворяют (4)-(6).
.Докажем теорему существования и единственности решение
обратной задачи (4)-(б).
Теорема 3.4.1. Если функция а(А) удовлетворяет условия*
(7), то решение обратной задачи (4)-(6) существует и единст-
венно.
100
Доказательство. Предположим, что пара функций /(£)
и у(х, А) является решением обратной задачи (4)-(6). Тогда из
(4) следует, что j/(z, А) > 0 при х G [0,1], A G (О,Ао]. Поделив
уравнение (4) на f(y(x, А)) и проинтегрировав от 0 до 1, имеем
[ y'(x,X)dx _
J
о
Сделав в интеграле замену переменной t = у(х, А) и использовав
условия (5), (6), получим уравнение для функции f(t)
о(А)
Г dt
/777г = А’ O^A^Aq.
J Ji.1)
о
Дифференцируя это уравнение по А, имеем /(а(А)) = а'(А), A G
[0, Ао]. Следовательно, для f(() справедливо представление
f(() = a'(a-1(()), ее[О,а(Ао)],	(11)
где а-1(£) — функция, обратная к а(А). Подставив найденное
выражение для /(£) в уравнение (4), получим
-7;	.т; = Adz.
а'(а Цу))
Учитывая формулу (для производной от обратной функции
(а-1Ю)' =	и условия (5), (7), имеем а~1(у) = Az. Сле-
довательно,
у(х, А) = a(Az), х G [0,1], A G [0, Ао].	(12)
Таким образом, если /(£) и у(х, А) являются решениями обрат-
ной задачи (4)-(6), то для них справедливы представления (11)
и (12) соответственно. Следовательно, решение обратной задачи
единственно. Существование решения обратной задачи также
следует из формул (11), (12). Непосредственной проверкой можно
убедиться в том, что при выполнении условий (7) пара функций
/(£) = а'(а-1(^)) и у(х,Х) = a(Az) удовлетворяет условиям (8)—(10)
и /(»(z, А)), у(х,Х) удовлетворяют (4)-(6) при х G [0,1], A G [0, Ао].
Таким образом, теорема 3.4.1 доказана.
В данное определение решения обратной задачи было включе-
но условие (10), представляющее собой априорную оценку функ-
ции у(х,Х). Это условие потребовалось для того, чтобы облает!»
определения функции /(£) совпадала с областью значений у(х,Х)
101
при х £ [0,1], А € [0, Ао]. Возможен другой вариант определени
решения обратной задачи (4)-(6).
Определение. Пара функций /(£), у(х, А) называете
решением обратной задачи (4)-(6), если f(g) непрерывна при £ <
(—оо,оо), /(£) > 0 при ( £ [0, а(Ао)]; у(х,Х) £ C^fO, 1] для все
А £ [0, Ao]; f{y(x, А)) и у(х,Х) удовлетворяют (4)-{6) при х £ [0,11
А £ [0, Ао].
При таком определении решения обратной задачи (4)-(6) изме
няется утверждение о единственности ее решения. Лействитель
но, так как /(£) определена для всех £, то можно рассматриват
функцию f(y(x, А)) при любых значениях у(х, А). Однако из (4'
(5) и положительности /(£) при £ £ [О,а(Ао)] имеем tf(x, А) >
при £ £ [0,1], А £ (0, Ао]. Дальнейшее доказательство проводите
аналогично предыдущему. Но функция /(£) определяется форму
лой (11) только для £ £ [0,а(Ао)]. Таким образом, единственност]
определения функции /(£) можно доказать только для£ £ [0, а(Ао)]
т.е. на области значений у(х,Х) при х £ [0,1], А £ [О,Ао]. Дл1
доказательства существования непрерывной на всей прямой фун
кции /(£) достаточно доопределить /(£) = а'(а-1(£)) с отрезю
( £ [О,а(Ао)] на всю прямую так, чтобы полученная при это»
функция была непрерывной. Очевидно, что такое доопределение
неоднозначно.
Рассмотрим обратные задачи для нелинейных уравнений вто-
рого порядка,содержащих параметр. Задачи такого типа возню
кают при исследовании некоторых физических процессов [97] И
обратных задач для уравнений в частных производных [3].
Рассмотрим задачу определения функций f(t) и у(х, А), удов-»
летворяющих уравнению
у"(х,А) = A2/(y(r,A)), O^x^l, O^A^Aq, (13)
и условиям
у(0,А) = 0, у'(0, А) = 6(A), О^А^Ао,	(14)
у(1,А) = а(А), О^А^Ао,	(15)
где 6(A) и а(А) — заданные функции. В постановке этой обратной
задачи не выделено явно дополнительное условие, им может быть
либо j/(0, А) = 6(A), либо у(1,А) = а(А).
Предположим, что функции а(А) и 6(A) удовлетворяют следу-
ющим условиям:
а(А)£С1[О,Ао], а(0) = 0, а'(А) > 0 при А £ [0, Ао], (16)
6(A) = Aff(A), ff(A) £ С^О, Ао], д(Х) > 0 при А £ [0, Ао].
(17)
Определение. Решением обратной задачи (13)-(15) на-
зовем пару функций f(t) и у(х, А), таких, что f(t) £ С(—оо,оо),
102
f(t) G С1 [0, а(Ао)]> /(1) > 0 npa t G [O,a(Ao)],‘ для любого A G [0, Ao]
функция y(x,X) G C2[0,1]; y(x,X) и f(y(x,X)) удовлетворяют (13)-
(15) при x G [0,1], A G [0, Aq],
Для обратной задачи (13)-(15) справедлива следующая теоре-
ма единственности решения [26].
Теорема 3.4.2. Пусть функции а(А) и 5(A) удовлетворяют
условиям (16) и (17) соответственно. Тогда если /i(t), У1(х, А) и
/2(1), J/rG*, А) — решения обратной задачи (13)-(15), то jfi(t) = /2(1)
для t G [О,а(Ао)] и yi(x, А) = уг(х, А) при х G [0,1], A G [0, Ао].
Доказательство. Пусть /(1) и у(х,Х) — некоторое
решение обратной задачи (13)-(15). Тогда из (13), (14) и положи-
тельности /(1) при t G [0, а(Ао)] следует, что при A G (0, Ао]
0 у(х,Х) а(А), j/(jt,A)>0 для ж G [0,1].
Умножив уравнение (13) на j/(jr, А) и проинтегрировав от 0 до
х, получим
(»'(*, А))2 - (у'(0, А))2 = 2А2 J f (£)<%.
У(О,А)
Учитывая условие (14), имеем
/	s'to'V ч —1/2
у'(г,А)^2(А) + 2А2 J /(£)#)	=1.
о
Проинтегрировав это равенство от 0 до 1 и сделав в интеграле
замену переменной t = у(х,Х), получим
И1/А)/	Г ч-1'2
/ fЬ2(А) + 2А2 //(ей) <Й = 1-
»(о,А)	о
Учитывая условия (14), (15), (17), имеем
\-1/2
/(№) dt = X, 0 S= А Ао. (18)
о	о
Таким образом, если функции /(1) и у(х,Х) являются реше-
нием обратной задачи (13)-(15), то функция /(1) удовлетворяет
нелинейному интегральному уравнению (18).
Пусть /i(t), yi(x, А) и /г(1), Уг(*, А) — решения обратной задачи
(13)-(15). Тогда функции /1(1) и /2(1) удовлетворяют уравнению
103
(18). Покажем, что это уравнение имеет единственное решение.
Обозначим
t
0i(t) = 2 j	i=l,2.	(19)
о
Функции 0i(t) удовлетворяют интегральному уравнению
а(А)
У (g2(X) + 0i(t))~1/2dt = X, О^А^Ао
о
Сделав в этом уравнении замену переменной д = а(А), имеем
У (ff2(«-1(p)) + 3»(*))~1,2<ft = Д-1(м)> О О «(Ао),
о
гдр а-1(д) — функция, обратная к а(А).
Получим уравнение для разности 4(1) = 31(1) - $г(1). Так как
У{(д2(а-1(М) + Л(<))	+	1/2}<Й = 0,
о
О О а(А0),
то 4(1) удовлетворяет уравнению
У G(n,t)0(t)dt = 0, 0 <С д <С а(А0),
о
(20)
где функция
С(д,1) = [ф1(д,1)^(д,1)] 1 [^(я,*) + ^2(я»*)] \
= (л2(а-1(д)) + 4«(0)1/2» » = 1>2-
Уравнение (20) для функции 4(1) является линейным интег-
ральным уравнением Вольтерра 1-го рода. Покажем, что оно
рмеет только нулевое решение. Из определения функций С(д,1),
Д(1) и условий (17) следует, что при 0 д а(Ао) выполне-
но неравенство б(д,д) > 0. Кроме того, функция С(д,1) имеет
непрерывную при 0	1 Д а(Ао) частную производную по
104
д. Следовательно, продифференцировав уравнение (20) по д и
поделив на С(д,д), получим
Д(д) +
С1(д,г)^(г)Л = о,
0 д а(Ао),
(21)
где С1(д,<) = ^(д,4)/С(д,д). Уравнение (21) является линейным
интегральным уравнением Вольтерра 2-го рода с непрерывным
ядром. Следовательно, = 0 для 0 д а(А0), а значит, 0i(t) =
&(0 при t € [0,а(Ао)]. Из этого равенства и (19) получим fi(t) =
ЛО) для t G [0,a(Ao)J. Равенство yi(x, А) = ^(х.А) при х G [0,1],
А £ [0, Ао] следует из того, что функции yi(x, А), уз(х, А) являются
решением задачи Коши (13), (14) с одной и той же функцией
/0) = /1(0 = Л(0> такой, что f(t) Е С1[О,а(Ао)]. Теорема 3.4.2
доказана.
Остановимся на вопросе существования решения обратной
задачи (13)—(15). В общем случае его исследование достаточно
сложно. Однако при специальном виде функции 6(A) решение
может быть получено в явном виде.
Предположим, что a(A) Е С3[О,Ао], а"(А) > 0 при A Е [О, Ао],
а(0) = 0, а'(0) > 0, a 6(A) = а'(О)А. Тогда пара функций
«"(«“ЧО),
/(<)={ а"(0),
а"(Ао),
t £ [0, а(Ао)],
t <0,
t а(А0),
(22)
и у(х, А) = а(Ат) является решением обратной задачи. Действи-
тельно, все свойства функций f(i) и у(х, А), сфрмулированные в
определении, следуют из свойств а(А). То, что функции у(х,Х)
и /(у(т,А)) удовлетворяют (13)-(15) при х £ [0,1], A G [0,Ао], про-
веряется подстановкой.
Замечание. В определение решения обратной задачи
(13)—(15) не включена априорная оценка на решение у(х, А), а
функция f(t) считается заданной и непрерывной на всей прямой.
В связи с этим в формуле (22) для функции f(t) выбрано одно
из возможных непрерывных продолжений функции f(t) с отрезка
[0, а(Ао)] на всю прямую t Е (—00,00).
Рассмотрим обратную задачу, состоящую в определении зави-
сящего от решения коэффициента при старших производных [26].
Требуется определить функции k(t) и у(х,Х), удовлетворяющие
уравнению
[*(»(*, A))ir*(x,A)]'= Х2у(х,Х), 0 О «U, О^А^Ао, (23)
и условиям
у(О,А) = О, j/'(0, А) = 6(A),
у(1,А) = а(А), 0 А Ао,
О А Ао,
(24)
(25)
105
где а(А) и 6(A) — заданные функции, удовлетворяющие условиям]
(16) и (17) соответственно.	1
Определение. Решением обратной задачи (23)-(25) назо-1
вем функции fc(t) и у(х,Х), такие, что k(t) £ С1 [—00,00], k(t) > 01
при t € [0, а(А0)]; для любого А € [О, Ао] функция у(х,Х) £ С2 [О,1],|
у(х,Х) a i(y(r,A)) удовлетворяют (23)-(25) npa х £ [0,1], А € [0,Aq]- I
Докажем теорему единственности решения обратной задачи]
(23Н25).
Теорема 3.4.3. Пусть функции а(А) и 6(A) удовлетворяют^
условиям (16) а (17) соответственно. Тогда, если ki(t), yi(x,X) а]
ij(t), Уг(я,А) — решения обратной задачи (23)-(25) a ij(0) = ^(О)!
то ki(t) = ki(t) для t £ [0, а(Ао)] a yi(x, А) = Уг(х,А) при х £ [0,1],|
А € [0, Ао].	।
Доказательство. Пусть i(t) и у(г,А) — решение об-1
ратной задачи (23)-(25). Получим интегральное уравнение для]
функции k(t). Интегрируя (23), имеем	1
*(?(*, А))1/(г, А) = t(y(O, A))j/(O, А) + A2 j	X)d£.
0
Из этого соотношения и положительности j/(0, А) при А € (0, Ао]*
следует, что при А £ (0, Ао] 0 у(х, А) а(А), tffx, А) > 0 х £ [0,1]J
Умножим уравнение (23) на к{у(х, X))tf(x,X) и проинтегрируем от
0 до х, тогда	j
J [*(»(€, *))№ A)]'t(y(£, А))у'(е, АН=А2/у(£, Х)^, A)i(y(£, X))d£. \
о	о
Сделав в интеграле, стоящем в правой части этого равенства/
замену переменной 6 = у(£, А) и вычислив интеграл в левой части
равенства, имеем
»(*.*)
[*(»(*.A))l/(*,A)]2 = [t(t/(0,A))t/(0,A)]2 + 2A2 J к{9)9дЙ.
а(о,А)
Учитывая положительность k(y(x,X)), ^{х,Х), а также, используя
условия (24), получим
Г	*(г’А)	V/2
1Кх,Х)к(у(х,Х))= Р(0)62(А) + 2А2 / t(0)M0	.
Разделим это равенство на выражение, стоящее в правой части,
и проинтегрируем от 0 до 1, тогда получим
1	г	Н*Д) 1-1/2
x,A)i(y(r,A))L2(0)b2(A) + 2A2 J *(0)Л»1 dx = 1.
о	о
Сделав в интеграле замшу переменной t = y(z,A) и использо-
вав условия (17), (24), (25), пблучим нелинейное интегральное
уравнение для функции fc(t)
г	;	,-1/2
I i(t) i2(0)y2(A) + 2 J 4(0)М» <ft = A, 0 А Ао.
о	о
Введя переменную ц = а(А), запишем это уравнение в следую-
щем виде:
/Г	/	1-1/2
/ k(t)|i2(0)y2(a-1(p))+2 J *(0)ЛЮ	<ft=a-1(/i), 0<^а(А0).
о	о
(26)
Пусть i,(t), Vi(x, А), » = 1,2, — решения обратной задачи
(23)-(25), такие, что ibi(O) = 42(0) = ко. Тогда i,(f), « = 1,2,
являются решением интегрального уравнения (26) с i(0) = ко-
Покажем, что это уравнение имеет единственное решение, т.е.
ki(t) = 42(/) для t € (О,а(Ао)]. Из того, что ij(t) и i2(/) удовлет-
воряю! (26), следует, что
[	[ kl(eyede
О'	о
-1/2
-*г(0 *оА® 1(я))+2
О О а(Ао).
(27)
Введем функции
[Г	,1/2
*,(в)М0] , » = 1,2.
о
Тогда (27) можно записать следующим образом:
д
= оо ««(*.)•	(28)
J Pi(t,0WW,p)
о
167
Обозначим. k(t) = fci(t) — k2(t) и преобразуем (28)
0
Вводя обозначения
Gi(p,*) = (Р1(*>Д)) *>
G2(p,t) = 2Ь(«){р1(<,д)р2(Лд)[Ы*»Д) + Р1(*»я)]}_1
и учитывая, что
t
^(*,д)-^0.я) = -2 J k(0)0d6,
о
получим интегральное уравнение для k(t)
д	ц	t
J Gi(fi,t)k(t)dt — У G2{n,t) j k(9)6d6dt = 0, 0 Sj ц a(Ao).
0	0	0
Переставив порядок интегрирования во втором интеграле, полу-
чим для fc(t) интегральное уравнение Вольтерра 1-го рода

Gfji,t)k(t)dt
= 0,
О ц а(Ао)>
(29)
о
с ядром
У G2(^,6)d0.
t
Из определения функций и Gi(ji,t), i = 1,2, следует, что
С(д,д) = б1(д,д) > 0 для 0 д о(Ао) и |^(д,1) непрерывна при
О д «(Ао). Продифференцировав (29) по д и разделив на
б(д,д), получим для k(t) интегральное уравнение Вольтерра 2-го
рода с правой частью, равной нулю. Следовательно, k(t) = 0 дл»
t € [О.а(Ао)] и fci(l) = k2(t) для t G [0, а(А0)].
Докажем, что yi(x, А) = yfa, А) при х G [0,1], A G [0, Ао]. Так как
yi(x,X), г =1,2, — решения (23), (24) с ki(t) = k2(t) = k(t), то
{к(У1(х, ABjzKz, А))' - (kfatx, Х))у'2(х, А))' = A2(yi(r, А) - у2(х, А)).
14)8
Интегрируя это равенство и учитывая условия (24), имеем
*(l/i(*, A))j/X(*, A) -fc(^(*,A))j/^(*,A) = X2 J (l/i(€, А) - у^, A))d£.
о
Прибавляя и вычитая в левой части уравнения к{у\(х, A))j4(*, А) и
обозначая z(x, А) = yi(x, А)—у?(х, А), получим уравнение для z(x, А)
k(yi(T,X))z'(x,X) + y2(x,X)p(x, X)z(x,X) = A2 J z(£,X)d£,
о
*€[0,1], А е (0, Ао],	(30)
где р(х, А) = / k'(y2(x, А) + 6(yi(x, А) - у2(х, A)))d0.
о
Интегрируя уравнение (30) с начальным условием z(0, А) = 0,
получим
X	3
z(*, А) = J B(x,s,X) у z(£,X)d£ds,	(31)
о	о
где В(.,.,А) = ч^Ьпехр ( - / <№»)
'	3
Переставив в (31) порядок интегрирования, получим однород-
ное интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода для функции
4е.А)
X
z(x.X) = JBi(x,£,X)z(£,X)d£, *€[0,1], Ae[O,Ao], (32)
о
с ядром
X
Bi(*,^,A) = J B(x,s,X)ds.
f
Уравнение' (32) имеет для всех А € [0, Ао] только нулевое решение
г(*,А) = 0 при * € [0,1], следовательно, yi(x, А) = у2(х,Х) для
* € [0,1], А € [0, Ао]- Теорема 3.4.3 доказана.
Рассмотрим вопрос о существовании решения обратной задачи
(23)-(25) в случае специального вида функций 6(A). Предположим,
что а(А) € С2[0, Ао], а(0) = 0, а'(А) > 0 при А € [0, Ао], a 6(A) = а'(0)А.
Пусть q — произвольная положительная постоянная.
109
Рассмотрим функцию
<•-*(«)
I*+ / ”«>4
о
положительную и непрерывно дифференцируемую на отрезке
[0,а(Ао)]- Тогда функции у(х,Х) = а(Аг) и kf(y(z,A)) удовлет-
воряют (23)-(25) при х G [0,1], А € [О-, Ао]. Действительно,
(*♦(»(*.	А))' = (4(а(Ат))Аа'(Ат))' =
/ 1 г У 1 V
= (	Аа'(Ат)) = А2а(Аг) = A2y(z,A).
о
Следовательно, у(х, А) и kt(у(х, А)) удовлетворяют уравнению
(23). Выполнение условий (24), (25) очевидно. Функцию kf(t) мож-
но продолжить на всю прямую так, чтобы полученная в результате
kj(t) G С^—оо, оо). Тогда пара fcf(t) и у(х,Х) будет являться ре-
шением обратной задачи (23)-(25) в смысле данного определения.
Отметим, что наличие произвольной постоянной q в определе-
нии kt(t) показывает необходимость задания значения к(0) для
однозначного определения функции k(t) на отрезке [0, а(А0)].
Глава IV
ЛИНЕЙНЫЕ ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ
ДЛЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ
В этой главе рассматриваются обратные задачи для линей-
ных уравнений в частных производных, состоящие в определении
либо начального, либо граничного условия, либо правой части
уравнения по некоторой дополнительной информации о решении
уравнения. Такого типа задачи, как правило, являются некор-
ректными и сводятся к линейным операторным уравнения»/ 1-го
рода. С целью упрощения изложения обратные задачи рассмат-
риваются для уравнений с постоянными коэффициентами. В
более общем виде исследования подобных задач для уравнений
в частных производных проводились целым рядом авторов [см.,
например, 43, 49, 51, 67, 88, 92, 96, 101, 102J.
§1. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
В этом параграфе будут рассмотрены обратные задачи для
уравнения теплопроводности, представляющие собой задачи оп-
ределения либо начального условия, либо граничного условия,
либо функции, характеризующей действие источников тепла по
дополнительной информации о решении краевой задачи для урав-
нения теплопроводности. Обратные задачи такого типа возника-
ют при исследовании теплофизических и ряда других процессов^
Задача с обратным направлением времени. Одной из наи-
более известных обратных задач для уравнения теплопроводности
является задача с обратным направлением времени. Рассмотрим
ее постановку в случае первой краевой задачи.
Первая краевая задача для уравнения теплопроводности с
нулевыми краевыми условиями состоит в определении функции
u(x,t), удовлетворяющей уравнению
ut=a2u„, 0 < х < /, t0 < t $ Т,	(1)
краевым условиям
u(0, t) = и(1,0 = 0, t0 < < Т,	(2)
начальному условию
u(x,to) =	0 х I.	(3)
Эту задачу можно интерпретировать следующим образом. Из-
вестно распределение температуры в тонком стержне длиной / в
начальный момент времени t = t0 u(x,t0) = <р(х). Требуется найти
распределение температуры в стержне в последующие моменты
времени to < t Т.
Задача с обратным направлением времени может быть сфор-
мулирована так. Известно распределение температуры в стержне
в момент времени t = Т. Требуется определить распределение
температуры в предыдущие моменты времени to t < Т- Для
определенности поставим задачу более конкретно. Известно рас-
пределение температуры. «(r,t) в момент времени t = Т
и(х, Т) = д(х), 0 х I,	(4)
требуется определить распределение <р(х) = u(z,to) в начальный
момент времени t = to-
ll риступим к исследованию поставленной обратной задачи.
Как известно, при определенных предположениях относительно
функции <р(х) решение задачи (1)-(3) может быть получено с помо-
щью метода разделения переменных и имеет следующий вид [85]:
u(x,t)=J2y [ ¥»(^)sm Г™^#ехр
n=l 0
12	•>
2/, , Л •
a (t—10) pm
7ГП \
T x)~
Положив t = T и учитывая (4), имеем
¥>(C)sin
/„ „ \	ГГ12	\
/ 7ГП \	I 7ГП	. I .
[—f)dfexp<- — a2(T—to)? sin
1ГП \
—x)
=»(*)>

(5)
Таким образом, обратная задача свелась к уравнению (5)
относительно неизвестной функции <р(х).
Покажем, что уравнение (5) имеет единственное решение в
пространстве £г[0, /]. Так как это уравнение является линейным,
то для доказательства единственности его решения достаточно
показать, что оно имеет только нулевое решение при д(х) = 0.
Итак, пусть в (5) д(х) = 0 при х € [0, /]. Так как система функций
{sin	п = 1,2,..., является ортогональной в пространстве
Ьг[0,1], a exp { — a2 (Г —10){	0 для п = 1,2,..., то, умножив
(5) на sin и проинтегрировав от 0 до I, получим, что
У ¥>(С) sm Г = 0, к = 1,2,... .	(6)
о	Л
112
Так как система функций	к = 1,2,..., полна в
Ь2[0, /], то из (6) следует, что <р(х) = 0 и уравнение (5) имеет
единственное решение.
Рассмотрим вопрос о существовании решения уравнения (5).
Обозначим через (Л,р) скалярное произведение функций Л(т) и
р(т) в пространстве L2[0, /]• Система функций =
к = 1,2,..., является полной- ортонормированной системой в
Ь2[0, /J. Пусть уравнение (5) с правой частью д(х) € £2[0,/] имеет
решение <р(х) G	Обозначим через и gt коэффициенты
Фурье (у>, ipic) и (д, ipk) функций <р(х) и д(х) соответственно. Тогда
из (5) получим, что при к = 1,2,...,
Записывая для функции <р(х) равенство Парсеваля, имеем
iHiw] =
t=i
{_ Itfc п ... . V
2 — а2(Т — 1о)у
(7)
Таким образом, для существования решения уравнения (5) в
пространстве L2[0,/] необходимо, чтобы функция д(х) € £2[0, /]
была такова, что ряд, стоящий в правой части равенства (7), схо-
дился. Так как члены этого ряда содержат быстро возрастающий
множитель ехр ^2	а2(Т — to)}> то требование сходимости ряда
налагает сильное условие на характер убывания коэффициентов
Фурье {д,фк) функции д(х). Очевидно, что эти условия выполне-
ны не для всех д(х) € L2[0, /]. В качестве примера рассмотрим
бесконечно дифференцируемую на отрезке [0,/] функцию
sm
irk \
тх)
из
Ряд, стоящий в правой части равенства (7), для этой функции
расходится, так как
($,<М2ехр ^2^ а2(Т —10)| =
= exp|2f^pj а2(Т —10) — 2к\ —»оо при к —* оо.
Следовательно, уравнение (5) для д(х) = д(х) решения не имеет.
Задача решения уравнения (5) является неустойчивой при
д(х) Е Ь2[0,Л и G Ь2[0,1]. Для того чтобы убедиться
в этом, достаточно взять последовательность функций —
fci/f sin являющихся решениями уравнения (5) при
<74 (х) = fcexp
2//т,	/2 . (як \
О (r-to)jyjsm xj.
Тогда ||sNt ||г,э[о,П -* 0, а ||у>4 |U2[o,i]	оо при к -> оо, что и доказывает
Рассматриваемая обратная задача может быть сведена к интег-
ральному уравнению Фредгольма 1-го рода. Действительно, по-
меняв местами порядок суммирования и интегрирования в левой
части уравнения (5), получим уравнение Фредгольма 1-го рода:
К<р = У K(x,t)p(t)dt = д(х), 0
о
с ядром
iz/ V4 2 • f 7rn \	/ 7rn 1
л(*Л) = > , jsm I — х I sm I — £ I exp
n=l	\	/	\	/
(8)
7ГП
т
' 2 1
a2(T-t0)\.
Так как каждый член этого ряда содержит быстро убывающий при
п —► оо множитель, то К(х,£) является непрерывной в квадрате
О	। функцией. Следовательно, интегральный оператор
К, определяемый ядром К(х,£), является вполне непрерывным,
если его рассматривать действующим из 1г[0,Л в Т2{0,/]• А
значит, задача решения уравнения (8) в этой паре пространств
некорректна.
Так как ядро К(х,£) имеет непрерывные частные производные
любого порядка непрерывные в квадрате 0	х,£ I, то интег-
ральный оператор К можно рассматривать действующим из С[0, /]
в Ср[0, /], где р — произвольное фиксированное натуральное чис-
ло В этом случае задача решения уравнения (8) также будет
114
неустойчивой. Для доказательства неустойчивости достаточно
взять последовательность
sin
irk \
Тх)’
к = 1,2,...,
тогда
||£к||с[0,1] -+ ОО, a ||Avt||c»[o,i] -* о при к -> оо,
что и доказывает некорректность задачи решения уравнения (8)
в рассматриваемой паре пространств.	____
Получим оценку устойчивости решения задачи теплопровод- Г
ности с обратным течением времени в случае, когда имеется
дополнительная информация о решении задачи.
Будем для упрощения записи считать далее, что а2 = 1. Пред-
положим, что функция u(x,t) непрерывна, имеет непрерывные
производные u((r,i), uxx(x,t) и удовлетворяет уравнению (1) при
О х I, to — € t Т, где € — произвольное фиксированное
положительное число.* Предположим также, что u(x,t) удовлет-
воряет граничным условиям (2) при t0 — е t Г и не равна
тождественно нулю.
Рассмотрим при t 6 [/о — с, Т] функцию
Дифференцируя, имеем
Так как
(U((r,t))t — (Urr(®,i))t ~ (ut(x,0)rr — UXTTT(x.t).
115
Интегрируя первое слагаемое по частям и учитывая краевы<
условия (2), получим
I	I
/I г
u(x,	t)dx ~ u(x, t^Uxxx(я-, 0|	/ Mr (я?, t)um(x, 0<tx
о	о
( I	I
=-ux(z,t)u„(zj)|o + j(uxx(x,t))2dx = у(ut(x,t))2dx.
о	о
Следовательно,
I
<7"(0 = 4 У (ut(x,t))2dx.
о
Рассмотрим функцию A(t) = ln(<?(t)). Покажем, что h"(t)	0 при
t Е [to — £,7]. Действительно,

1
»2(0
о
о
Следовательно, используя неравенство Коши-Буняковского, по-
лучим, что h"(t)	0 для t Е [t0 — £,7]. Из неотрицательности h"(t)
на отрезке [to - £,7] следует, что при t Е [to - £,7]
*«) « !>(<<.-»)f Г ‘ + КТ)‘ У,” 1
-t - (to - £)	1 - (to - £)
Из этого неравенства имеем
ln(ff(t)) .....~	* ln(ff(t0 - £)) + *	1п(д(Т)),
J. — (io — £)	* — (to — £)
следовательно,
<7(0 [<7(to - £)]	[j(T)]	(9)
при t Е [to - £,7].
Рассмотрим функции ui(z,t) и u2(»>t), удовлетворяющие тем
же условиям, что u(z, t), и такие, что
Г Г	1V2
/ (u,(г, to — ej)2dr С, i=l,2,
о
(Ю)
116
где С — положительная постоянная. Обозначив u(x,t) = ui(x,t) —
и2(зМ)> из неравенства (9) с учетом определения функции g(t)
получим
I
j-f u2(x,t))2dx $
0
<	T-t
[	. 1 T'-Oo'-«)
I («i(x,to — e) — «2(2»*o ~ e)) dxl x
0
ГГ z	2
0
Положив t = t0, используя обозначение нормы в пространстве
£2[0, /] и неравенство (10), имеем
||ui(x,t0) - и2(х,to)||i,2[o,i]
< (2C)^T||U1(x, Г) - ц2(х,ПНЗЗГ’	<П)
Это неравенство представляет собой оценку условной устой-
чивости решения задачи теплопроводности с обратным направ-
лением времени. Она получена в предположении, что функции
щ(х, t), i = 1,2, удовлетворяют неравенству (10), т.е. их нор-
мы в пространстве £2[0, /] при t = to — £ ограничены заданной
постоянной. Эта оценка может показаться несколько странной,
поскольку она получена для решения некорректной задачи толь-
ко в предположении (10) об ограниченности решения, которое не
обеспечивает компактность множества в £2[0,/]• Рассмотрим этот
вопрос более детально.
В оценке (11) разность решений в момент времени t0 оценивает-
ся через разность решений в момент времени Т. Ограниченность
же этих решений — неравенство (10) — предполагается не при
t — tQ, а при t = t0 — е, £ > 0. Обозначим через Uta-t множество
uta-t = {u(x, t0 - О- ||u(ae, to - ^IImo.i] с}.
Переход от решения u(x,to — £) при t = t0 — е к решению u(x, to) при
t = to можно рассматривать как результат действия интегрального
оператора A’i
1
1	j Ki(x,£)u(£,t0 - e)d£ = u(x,t0)
0
117
с ядром
Так как ядро Ki(x,() непрерывно при 0	х,( I, то оператор
Ki, рассматриваемый действующим из Ьг[0,1] в /^[О,/], является
вполне непрерывным. Следовательно, ограниченное множество
Uta-t в результате действия оператора Ki перейдет в множество
Uta —	компактное в пространстве £г[0,1]. Таким обра-
зом, неравенство (И) представляет собой оценку устойчивости
задачи теплопроводности с обратным направлением времени на
компактном в i2[0,Z] множестве Uta.
Приведенная оценка устойчивости задачи теплопроводности
с обратным направлением времени является частным случаем
оценки решения задачи Коши для эволюционного операторного
уравнения первого порядка [40, 45].
— Задача определения начального распределения темпера-
туры по измерению температуры в точке. Рассмотрим поста-
новку этой обратной задачи на примере второй краевой Задачи
для уравнения теплопроводности
ut = a2u„, 0<х<1, 0<t^T,	(12)
u,(0,t) =	= 0, OsJtsST,	(13)
u(z,0) — ^(т), 0 $ х I.	(14)
Обратная задача ставится так. При t G [to, ^i], to > 0 задана
функция g(t) — u(x0,t), где x0 — некоторая фиксированная точка
отрезка [0,1], a u(x,t) — решение задачи (12)-(14). Требуется
определить <р(х) на отрезке [0,1]. Физическая интерпретация этой
обратной задачи такова. В течение некоторого интервала време-
ни в фиксированной точке стержня измеряется температура, и по
этим измерениям требуется определить начальное распределение
температуры.
Решение задачи (12)-(14) может быть получено методом разде-
ления переменных и имеет вид
«(М)= | У ^(СИ+У
о	n=1 о
*ехр
cos
118
Положив в этом равенстве х = хо, получим уравнение для фун-
кции <р(х)
| J ?(£)<*£ + 52 7/^(0COS
О	П = 1 о
*ехр
2	\	/	\
2 1	[ ЖТК	।	. .
at > cos I —х0 I = g(t)
(15)
где i G [t0,ti].
Исследуем вопрос о единственности, решения уравнения (15) в
случае, когда точка измерения хо находится на конце отрезка.
Теорема 4.1.1. Если хо = 0, то решение уравнения (15)
единственно в пространстве Ь2[0,ф
Доказательство. Из линейности уравнения (15) сле-
дует, что для доказательства единственности решения в Ь2[0,/]
достаточно показать, что оно имеет только нулевое решение при
g(t) = 0. Положив в (15) g(t) = 0 и хо = 0, получим, что при
t 6 [to,ti]
vtsw+522 / ^(£)cos (т^)с^ехр{ -
(16)
Рассмотрим в комплексной полуплоскости Re z а, где посто-
янная а Е (0, to), функцию комплексной переменной
Ф(2)
2	\
2 I /4
— «	(17)
Так как при Re г а
то в этой полуплоскости ряд, стоящий в правой части (17), схо-
дится равномерно. Учитывая то, что каждый член этого ряда
является аналитической функцией при Re г а, к применяя тео-
рему Вейерштрасса [42], получаем, что функция Ф(г) является
аналитической при Re г а. Так как из (16) следует, что Ф(г) = 0
на отрезке действительной оси [to,t], лежащем в области анали-
тичности Ф(г), то из теоремы единственности для аналитических
функций следует, что Ф(г) = 0 для всех г, таких, что Re г а.
119
Таким образом, равенство (16) выполнено для всех действитель-
ных t t0. Переходя в этом равенстве к пределу при t -+ +оо,
получим последовательно, что
J )cos )d( = 0, n = 0,1,2,....
о
(18)
Так как система функций cos (™х), n = 0,1,2,..., является полной
в пространстве L2[0, 1], ю из равенств (18) следует, что <р(х) = 0.
Теорема 4.1.1 доказана.
Покажем, что при измерении температуры внутри стержня
(х0 G (0,/)), единственность решения обратной задачи зависит от
выбора точки наблюдения хо- Действительно, пусть х0 = 1/2.
Возьмем <р(х) = cos (fx). Решение задачи (12)-(14) имеет вид
Следовательно, g(t) = u(xo,t) = u(//2,t) = 0 при t^O и решение
обратной задачи неединственно. Пусть теперь хо = Ц*- В этом
случае
cos
= cos(n) 0,
п = 1,2,... .
Тогда, проводя рассуждения, аналогичные доказательству теоре-
мы 4.1.1, получим, что решение уравнения (15) единственно.
Рассматриваемая обратная задача может быть сведена к ин-
тегральному уравнению Фредгольма 1-го рода. Действительно,
поменяв местами порядок интегрирования и суммирования в ле-
вой части уравнения (15), получим уравнение Фредгольма 1-го
рода
I
G<p = У G(t, СМеН = g(t),	(19)
о
с ядром
1	°° 9	/	\
G(*>0 = 7 + 52 7cos () ех₽
п=1	'	'
12ч/
, I / 7ГП
a t > cos [ —хо
непрерывным в прямоугольнике to t ti, 0 Следователь-
но, интегральный оператор G, рассматриваемый действующим из
Ь2[0,/] в L2[to,ti], вполне непрерывен. Таким образом, задача
решения уравнения (19) в этой паре пространств некорректна.
~~'Задача определения краевого условия. Рассмотрим об-
ратную задачу, состоящую в определении зависящей от времени
120
функции, входящей в краевое условие, по дополнительной инфор-
мации о решении краевой задачи для уравнения теплопровод-
ности, представляющей собой функцию, зависящую от времени.
Пусть функция u(r,t) является решением краевой задачи.
ut = а2и„, 0 < х <Ц0 <t ^Т,
u(0,t) = Q^t^T,
«г(/, 0 = *'(<)> 0Ct<T,
u(z, 0) = 0, 0 $ x I.
(20)
(21)
(22)
(23)
Предположим, что функция v(t) задана, а функция p(t) неизвес-
тна, и требуется определить p(l)> если известна дополнительная
информация о решении задачи (20)-(23)
u(M)=S(t), OfZts^T,
(24)
где g(t) — заданная функция.
Рассмотрим вопрос о единственности поставленной обратной
задачи. Единственность решения этой задачи исследовалась в
более общей постановке целым рядом авторов. Приведем один
из результатов, полученных в этом направлении [51], сформулиро-
вав его для случая уравнения теплопроводности с постоянными
коэффициентами (20). Обозначим
QiT = {(«,<) = 0 С х /, 0 С t К Т}.
Теорема 4.1.2. Пусть функция й(х, t) G C2,1(Qit) “ удовлет-
воряет в Qir уравнению (20). Тогда если = ug(l,t) = 0 для
0 < t Т, то й(т,1) = 0 в Qit-
Из этой теоремы следует единственность задачи определения
функции д(1) из (20)-(24) при заданных функциях и(1) и g(t).
Действительно, пусть ui(r,t), us(z,t) € C2,i(Qtr) удовлетворяют
в Q/т уравнению (20) и таковы, что
«1(0,1) = Д1(0> »»(<М) = Дз(0,

Рассмотрим функцию й(т,1) = ui(x,t) — u2(x,t)~ Эта функция
удовлетворяет условиям теоремы 4.1.2. Следовательно, u(x,t) = 0
в Qir, а значит, pi(t) = Дг(О при t € [0,7].
Отметим, что в теореме 4.1.2 начальное условие для функции
й(т,1) не задается.
Рассмотрим другую постановку обратной задачи для краевой
задачи (20)-(23). Предположим, что функция v(t) задана, a p(t)
121
неизвестна и требуется определить д(1), если известна дополни-
тельная информация о решении задачи (20)-(23) следующего вида:
о(*о,<) = f(t), 0 < t Т,	(25)
где g(t) — заданная функция, а то £ (0,/). Исследование единст-
венности решения этой обратной задачи также можно провести,
используя теорему 4.1.2.
Теорема 4.1.3. Если функции щ[х,1), u2(r,t) £
удовлетворяют в Qir уравнению (20), условиям (22), (23), (25) и
таковы, что «,(0, <) = Д»(<), « = 1,2, при t £ [0,7], то pi(t) =
при t € [0,7*].
Доказательство. Рассмотрим функцию й(г,t) =
ui(x,t) — uz(x,t), являющуюся решением краевой задачи
. й< = а2й„, х0 <х <1, 0 < t < Т,
fi(ro,t) = 0, O^t^T,
fir(/,t) = 0, O^t^T,
й(х, 0) = 0, xq х I.
Покажем, что u(x,t) = 0 для х £ [ro,fl, t € [0,7*]. Умножив
уравнение на u(x,t) и проинтегрировав, получим
it	t I
J J «t(6 r)«(€, r)<*r = a2 J J й„({, г)й(£, r)df dr.
ro 0	0 то,.
Вычисляя интегралы и используя краевые и начальные условия,
имеем для t £ [0,7*]
I	t {
(«(€, № + a2 j У“(йг(6 r))2d£ dr = 0.
*о	0 Го
Следовательно, H(x,t) = 0 при х £ [r0, fl, t € [0,7], тогда йт(г0,<) =
0 для t £ [0,7*]. Таким образом, функция H(x,t) удовлетворяет
уравнению (20) при х £ [0, r0], t £ [0,7] и й(го,О = йг(то,О = 0 для
t £ [0,7]. Применяя теорему 4.1.2 для прямоугольника 0 х х$,
0 t < 7*, получим, что ui(O,t) = u2(O,t) при t £ [0,7], т.е.
Д1(0 — Дз(0- Теорема 4.1.3 доказана.
Приведем пример сведения задачи определения граничного
условия к задаче решения интегрального уравнения 1-го рода.
Рассмотрим краевую задачу для уравнения теплопроводности на
полупрямой
«t = Uzr,
u(O,t) = p(t),
u(z,0) = 0,
0<	: x < оо, о < t«	st-,	(26)
0 «	U t,		(27)
0 «	J X < oo.		(28)
122
Требуется определить функцию если задана дополнитель-
ная информация о решении задачи (26)-(28)
u(x0,t) = g(t), Q^t^T, r0 > 0.	(29)
Решение задачи (26)-(28) имеет вид [85]
}	г * !
I -	Г(г><г-
О
Следовательно, в данном случае обратная задача сводится к
интегральному уравнению Вольтерра 1-го рода
t
JK(t,T)fi(r)dr = g(t), 0 t < Т,
о
с ядром
кr) = 275F(f-r)3/2 ехр { “ 4(t —г)} •
Задачи определения источника тепла. Рассмотрим неод но-
родное уравнение теплопроводности
щ = a2u„ + F(t,x).
Функция F(t,x) определяет плотность тепловых источников.
Один из классов обратных задач для уравнения теплопроводности
образуют задачи, состоящие в определении плотности тепловых
источников по дополнительной информации о решении уравнения.
Будем предполагать, что функция F(x,t) = f(x)g(t). Рассмотрим
обратные задачи, состоящие в определении цдной из функций,
входящей в это произведение, в предположении, что другая фуда-
ния известна. Сформулируем соответствующие обратные задачи 7
в случае второй краевой задачи для уравнения теплопроводности
ut = a2u„ + f(x)g(t), 0 < х < I, 0 < t Т, (30)
их(0,0 = uT(l, 0 = 0, 0 t Т,	(31)
и(л,0) = 0,-Ш)	0«£л«£/.	(32)
Решение этой задачи при определенных предположениях от-
носительно f(x) и g(t) может быть получено методом разделения
переменных и имеет вид
Z	t	оо 1
«(«,<) = IУ /(€)«*С j g(.T)dT+'£ j J/Wees
О ' 0	n=1 о
Г Г Г I2 1	/__ \
* J ®(т)ехр{~ |т]	— r)j^rcos (~xj'
о
123
Рассмотрим следующую обратную задачу. Функция /(х) из-|
вестна, и задана функция	а
5(1) = u(x0,t),	(34)1
где го — некоторая фиксированная точка отрезка [О,/]. Требуете®
определить функцию g(t) при t ё [0,Т].	I
Исследуем эту обратную задачу. Положив в (33) х = х0, имеем!
I
*	<	оо *	/	\	1
7у f(№ Jg^dr+Y,7 J f№<*
0	0	B=1	0	I
z r 2	s	z \	I
/. . f |»n|	-I , /ЯП \	. I
y(r)exp < — I—I <r(t — r) >dr cos I —r0 I = h(t),	1
0 1
0 C t $ T.	1
Предположим, что /(г) ё С2 [О, /] и g(t) ё С[0,Т). Поменяв^
местами порядок интегрирования и суммирования, получим для*
функции g(t) интегральное уравнение Вольтерра 1-го рода ]
t	;
У K(t, r)y(r)<fr = 5(1), 0 < t < Т,	(35):
о
с ядром
I
оо
о
тп12
 т]
п=1	0	'	'	-	1
Исследуем вопрос о существовании и единственности решения;
уравнения (35) в пространстве С[0, Т\.	j
Т ео р ема 4.1.4. Предположим, что f(x) ё С4[0,/] u f'(Q) =j
/'(О = 0. Тогда, если /(«о) / 0 и 5(1) е С1(0,7^, 5(0) = 0, moi
уравнение (35) имеет единственное решение g(t) ё С[О,Т]. i
Доказательство. Из условий на функцию /(г) следу ет,
что при n = 1,2,...
I
У /Юсов
о
С
С = const.
124
Учитывая эти неравенства, получим, что ядро уравнения (35)
K(t,T) непрерывно и имеет непрерывную производную Kt(t, т)
при 0 т t Т. Дифференцируя уравнение (35) по t, имеем
K(t,t)g(t) + У Kt(t, т)д(т)Лт = Л'(<), 0 t Т.
о
(37)
Положив в (36) t = т, получим
Я(м)= 7 j	+ j
0	B=1 о
Правая часть этого равенства представляет собой разложение
в ряд функции f(x), записанное при х = х0- Следовательно,
K(t,t) = f(x0)	0. Таким образом, уравнение (37) представ-
ляет собой интегральное уравнение Вольтерра второго рода с
непрерывными ядром и правой частью, а значит, оно имеет един-
ственное решение g(t) G С[0, Т\. Интегрируя (37), получим, что
g(t) является решением (35). Теорема доказана.
Приведем пример функции f(x) и точки то, для которых урав-
нение (35) и соответствующая ему обратная задача имеет не
единственное решение. Пусть xq = //2, a f(x) = — f(l — х) для
х 6 [0,/]. Для всех четных п
Следовательно, для четных п
I
/(тп \
/(e)cos^jdf = 0.
о
Учитывая эти равенства, а также то, что для нечетных п
cos го) = сое = 0, и определение (36) функции K(t,r),
получим, что K(t, г) = 0 для 0 т t Т. Следовательно, в этом
случае решением уравнения (35) с правой частью h(t) = 0 будет
любая непрерывная функция g(t).
125
Рассмотрим теперь задачу определения функции f(x) в пред-
положении, что g(t) известна и равна 1, т.е. плотность источников
не меняется во времени. Итак, требуется определить функцию
/(z), если g(t) = 1 и известна дополнительная информация (34) о
решении краевой задачи (30)-(32).
Положив в (33) z = хо, g(t) = 1 и использовав (34), получим
уравнение для определения /(z)
|j/mt+Ё j ле)сов(^е)^*
о	n=1 о
(38) I
*	(1 - ехр ( - а2Л^ сое (= Щ), 0 С * СТ.
(япа)2 \ IL‘J J /	\‘/
Это уравнение аналогично уравнению (15). Применяя метод до- 1
казательства единственности решения уравнения (15) при zo = 0, |
который был использован в теореме 4.1.1, можно показать, что ]
при zo = 0 решение уравнения (38) единственно в классе £г[0, /]. В |
том случае, когда измерения проводятся внутри стержня, единст- |
венность решения уравнения (38) зависит от выбора точки хо- I
Поменяв в левой части (38) местами порядок интегрирования и л
суммирования, получим интегральное уравнение Фредгольма 1-го 1
рода для функции /(z):	1
с ядром
в(«.о=)+£
I	= h(t),
о
21	/ тп Д	(
-----rj cos ( —( I cos I -
(япа)2	\ « /	\ ‘
( Гяп!2
ехр<- -г- '
§2. МЕТОД КВАЗИОВРАЩЕНИЯ	1
Рассмотрим один из методов решения обратных задач для ]
уравнения в частных производных — метод квазиобращения [52]. I
Он основан на замене исходного уравнения в частных произ- 1
водных на другое, содержащее малый параметр. Изложим его I
для решения задачи для уравнения теплопроводности с обратным |
направлением времени.	I
’ Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопро- |
j ; водности	I
щ = иГг>	0 < х < я,	0 < I Т,	(1)1
u(O,t) = u(r,0 = O,	0«и^Г,	(2)1
u(z, 0) = ¥>(z),	О z я.	(3) I
126
Для упрощения записи ряда дальнейших формул предполагается,
что коэффициент температуропроводности а2 = 1, а длина от*
резка I — я. Задачас обратным направлением времени состоит
в определении начального распределения температуры <р(х) по
распределению температуры в момент времени Т
и(х, Т) = д(х), 0 < х я.	(4)
Применяя метод разделения переменных для решения зада*
чи (1)—(3), получим формулу для вычисления и(х,Т) = д(х) при
заданной <р(х)
о» 2 г
9(*) =	p(£)sin(nO<*eexp{-n2T}sm(nr). (5)
Обратная задача, состоящая в определении у(я) по заданной
функции д(х), представляет собой задачу решения уравнения (1)
с краевыми условиями (2) и условием (4). Сделав в (1), (2), (4)
замену переменной т = Т — t, получим ,	. '	,	,
t	*t- Ч
иг = —и„,	0 < х < я,	0 т Т,	(6)
и(0,т) = и(я, г) = 0,	0	< т < Т,	(7)
и(х, 0) = д(х),	0	х я.	(8)
Применяя для решения этой задачи метод разделения пере-
менных, имеем
~ 2 г
«(*>т) = zJ 7 / ffU)sin(n4)dfexp{n2r}sin(nB).
»=i	0
Положив т = Т, получим
оо _ р
ф(х) = 52 - J »U)sin(n^)df exp{n2r}sm(nx). (9)
п=1 о
Эта формула дает решение задачи теплопроводности с обратным
направлением времени. Однако ее нельзя применять на практи-
ке, поскольку решение, определяемое формулой (9), существует
ие для всех функций д(х) и неустойчиво по отношению к ма-
лым изменениям д(х). Это следует из того, что общий член
ряда в формуле (9) содержит быстро возрастающий при п —* оо
сомножитель ехр{п2Т}.
Запишем формулу (5) следующим образом: д = Ку>. где опе-
ратор К определяется выражением, стоящим в правой части (5).
127
Формулу (9) можно записать так: = К~1д, где обратный к опе-
ратору К оператор К~1 определяется выражением, стоящим в
правой части (9). Основная проблема,возникающая при решении
обратной задачи, состоит в том, что оператор К~1 определен не
для всех функций д(х) и не является непрерывным.
Метод квазиобращения основан на переходе от задачи (6)-
(8), определяющей оператор К~\ к задаче для уравнения более
высокого порядка, содержащего малый параметр.
Рассмотрим краевую задачу
vt = — vxx — avxxxx,	0 <	я < я,	(10)
»(0, г) = »(я, г) = 0,	0<г<Г,	(11)
»„(0, г) = ю„(я, г) = 0, 0 <	т < Т,	(12)
в(т, 0) = д(х),	0	х < х,	(13)
где а — положительный параметр. Решение задачи (10)-(13)
может быть получено с помощью метода разделения переменных
и имеет вид
»(«> ’’) = £- [ <К£) sin(n<)<^ exp{n2r(l - an2)} sin(nx). (14)
"=i i
Обозначим через <ра(*) = v(x, T). Покажем, что при определенных
предположениях функцию <ра{х) можно рассматривать в качестве
приближенного решения задачи с обратным направлением време-
ни. Эта задача представляет собой задачу решения уравнения
Ktp — g.	(15)
Будем считать, что оператор К действует из £г[0,я] в 1>2[0, я].
Рассмотрим задачу решения уравнения (15) в случае приближенно
заданной правой части &(х).
Предположим, что для функции д(х) Е Ь2[0,я] существует ре-
шение уравнения (15) ф(х) Е Ь2[0, я]. Однако д(х) неизвестна, а
вместо нее заданы функция да(х) Е i2[0, *] и величина погреш-
ности 8, такие, что
lift ~	< &	(16)
В этом случае использовать в качестве приближенного решения
задачи функцию <рь(х) = К~1дь{х) (т.е. применять формулу (9))
невозможно, поскольку К-1, во-первых, определен не для всех
<7«(т) Е 1>2[0,я], а, во-вторых, не является непрерывным.
Рассмотрим семейство линейных операторов определяе-
мых формулой (14), а именно Rag = v(r,T). Из формулы (14)
следует, что
~ 2 Г
Bag = ? , - / <7(£)sin(n£)d£ехр{п2Г(1 -an2)}sin(nx). (17)
п=1	'
128
Для любого а > 0 оператор Ra определен на всем пространстве
Ьг[0, т] и непрерывен, если его рассматривать действующим из
Ьг{0, т] в i2[0, тт]. Покажем, что функцию <pa(z) = Ragg можно рас-
сматривать в качестве приближенного решения уравнения (15).
Теорема 4.2.1. Пуст» функция а(6) такова, что а(6) >
О при 8 > 0, а(6) -+ 0 и	-» 0 при 6 -» 0. Тогда
||^а(<) - £||/,а[О,г] “* 0 ПРП $ -* 0, г^е = Ra(f)9t-
Доказательство. Рассмотрим элемент Ragt, где а > 0,
и оценим ||2?a<h — <p|h,a[o,»]- Из неравенства треугольника следу-
ет, что
||ЯаУ< — PlLjfO.r] < ||ЯаУ< ~ ЯаУ|к,[О,г] + ЦЯаУ ” PllljfO,к]-	(18)
Оценим первое слагаемое в правой части этого неравенства. Учи-
тывая линейность оператора R<, и неравенство (16), получим, что
||ЯоУ« ~ ЯаУ|к2[О,1г] < ||Яа|| ||У« — fflkjfO,»] < ||Яа|Н>	(I9)
где ||Яв|| — норма оператора Ra, рассматриваемого действующим
из L2[0,ir] в £2(0, т].
Оценим ||Я<»||. Так как система функций ^^sin(nx), п =
1,2,..., является полной ортонормироВанной системой в £г[0,*],
то, используя равенство Парсеваля и формулу (17), получим, что
для любой функции д(к) G 1<2[0, т]
H^aS||ia(0,T] = 12	»(C)sin(n£)d^ ехр{2п2Т(1 - ап2)}.
п=1 х о
Так как для любого натурального п справедливо неравенство
п2Т(1 — ап2) $ то
1|Ла»|Ца[0,т] < еХР
{Т 1 00 9 / f	\
sU)sin(r<)dej
п=1	' о
Из равенства Парсеваля следует, что ряд, стоящий в правой
части этого неравенства, равен	Следовательно,
Ц1М112[о т] ехР { ^}|1»Н1а[о,т]>
а значит,
||ЯО|| ехр
129
Учитывая неравенство (19), получим, что
||Яа9« - Дк1||мо.*1 < ехР {	<20)
Оценим второе слагаемое в правой части неравенства (18).
Так как д = Kip, то
=	[ $o^)sin(n£)#exp{-n2T)sin(nz).
«=1 о
Следовательно, для всех п = 1,2,...
J ff«)sin(n^)df = У ^)sin(n^)dfexp{-n2T}.
о	о
Используя эти формулы, получим, что
Rag =	/ £(£)sin(n£Hexp{-an4T}sin(nx),
"«I’b
оо 2 г
Rag - <р = $2 7 / ‘^)3‘П(П£)<^[еХР{~аГ,4'П - l]sin(nz).
n=l q
Учитывая это представление и равенство Парсеваля, получим,
что
~ 2/ f	\2
||Я«9 - $0111,(0,«] = £-( / £(Oshi(”O#) [1 — ехр{—ап4Т}]2.
n=i V'	/
Покажем, что функция р(а) = ||Яау - ^|Ц2[о,ж) ~" О ПРИ а — 0.
Действительно, так как ряд
)2
- 11^111,(ОЛ]
сходится, то для любого е > 0 существует N > 0, такое, что
о® 2 / Г	\2	г
52	) [1 -exp{-an4T}]2	-
' 2
130
для всех а > 0. С другой стороны, так как 1 — ехр{—ап*Т) 0
при а —» 0, то существует такое а(е), что при 0 < а < а(е)
N О / 5	\ 2
»=1 7
Следовательно, р(а) —» 0 при а —» 0.
Из неравенств (18) и (20) имеем
-ап<Г}]2 £ |.
Таким образом, если функция а(£) удовлетворяет условиям
теоремы, то exp	—* 0 и ^/р(а(^)) О ПРИ $	0, а значит,
и IIЯо(«)9i ~ £||la[o,»] — 0 при 6 —> О, что и доказывает теорему.--.—--
В этом параграфе был рассмотрен наиболее простой вариант
метода квазиобращения для задачи с обратным направлением
времени. Подробное изложение метода квазиобращения и его
различных применений содержится в [52].
$3. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
ЛАПЛАСА. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ
ПОТЕНЦИАЛА
В этом параграфе рассмотрены некоторые обратные задачи, .
связанные с исследованием стационарных полей.
Обратные задачи для уравнения Лапласа. При исследо
вании различных проблем, связанных с изучением стационарных
полей, например гравитационного или магнитного, с целью по-
иска полезных ископаемых, возникают задачи продолжения этих
полей [21].
Рассмотрим пример постановки подобной задачи. Требует-
ся найти функцию и(х,у), удовлетворяющую в прямоугольнике
уравнению Лапласа
Ди = 0,	0 < х < а, 0 < у < b,	(1)
и дополнительным условиям
«(0,у) = «(а, у) = 0,
и(х,0) = <р(х),
UyOr.O) = ф(х),
0 у Ь,
0 $ х а,
0 $ х $ а.
(2)
(3)
(4)
Эту задачу можно рассматривать как обратную по отноше-
нию к классической задаче Дирихле для уравнения Лапласа в i
прямоугольнике. Действительно, задача определения функции I
u(x,d) = А(х), 0 х а,	(5) |
131
где d — фиксированная точка, такая, что d € (0,6], по функ-
ции 0(z) = uy(z,0) представляет собой задачу определения части
условий задачи Дирихле h(x) = u(z, d) на одной из сторон прямо-
угольника ОС * “С а> 0 С У С d, по дополнительной информации о
решении задачи Дирихле uy(z,0) = ф(х).
Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямо-
угольнике Q <х <а, 0 <у <d с условиями (2), (3), (5) может быть
получено методом разделения переменных и имеет вид
«(».!/) =	-sm-^z-Ь
n=l	л
2
а
sh *-~у . хп
. sin —X.
Следовательно,
, ах	. яп _ , xnd . хп
uy(z, 0) = — У , —j- /	sin —f df cth--sm —x+
«=> о	°	a a
E2*” / Lie\ 	,Xnd\ . ХП
—x- I n(<) sm —( df I sh-- I sm —x.
, a J	a \ a J a
n=i 0	x	'
Таким образом, если функции u(z,0) = <р(х) и ^(z.O) = ^>(z)
известны, обратная задача сводится к задаче определения h(z)
из уравнения
00 f	/	,\-i
п / A(Qsin—fdf(sh^-)	sin—z = g(x), 0 C * C a, (6)
J	a \ o J a
»=> о	7
где
oo ®
g(x) = y>(x)a*/2x+ > n I ^(f)sm—fdfcth---------sm—z
J	a	a a
n=l '
— заданная функция. Единственность определения функции h(z)
из уравнения (6) в пространстве £2[0, а] следует из полноты сис-
темы функций sin ™z, n = 1,2,в пространстве £г[0><>]-
Поменяв в (6) местами порядок интегрирования и суммирова-
ния, получим для неизвестной функции h(z) интегральное урав-
нение Фредгольма 1-го рода
а
GA = У G(x,£)h(£)d£ = д(х), О С х С а,	(7)
о
182
с ядром
оо	г Ji-!
.	г—\ . хпх . хп I хпа I
G(x,f) = >nsm--------sm—< I sh------	<
n=i a	L a J
Так как этот ряд сходится равномерно в прямоугольнике 0
а также равномерно сходятся ряды из производных по х
и £, то функция G(x,£) непрерывно дифференцируема в квадрате
О С С <>• Следовательно, задача решения уравнения (7) будет
некорректна как в том случае, когда интегральный оператор G
рассматривается действующим из Lj[O, а] в ZjIO, а], так и в том
случае, когда он рассматривается действующим из С[0, а] в С[0, а].
Получим оценку условной устойчивости решения задачи (1)-
(4). Пусть функция и(х,у) такова, что u(x,y), urr(x,y), ury(x,y),
uyy (х. у) непрерывны в прямоугольнике О^х^а, 0 у 6; и(х, у)
удовлетворяет уравнению Лапласа при О^х^а, 0 у Ь,
условиям (2)-(4) и не равна нулю тождественно.
Рассмотрим для у € [0,6] функцию
41
₽(») = J (u(x,y))2dx.
о
Дифференцируя, имеем
u(x,j/)uyy(x, y)dx + 2
Преобразуем первый интеграл, входящий в выражение для
второй производной
а	а
j u(x,y)Uyy(x,y)dx = - J u(x,y)uTT(x,y)dx =
о	о
= -u(x, y)ur(x. y)|o+ J (ur(x,y))2dx = J (ur(x.y))2dx (8)
о	о
133
Так как
а	а
d [	2	[
— I (ит(х,у)) dz = 2 I ux(x,y)ut]>(x,y)dx -
ay J	J
о	о
а
= 2ur(z,y)uy(z,y)|“ - 2У u„(x,y)uy(x,y)dx -
о
а	а
/d [	2
uyv(x,y)uy(x,y)dx = — J (uy(z,!/)) dx,
о	0
TO
a	a
У (at(x,y))2dx = У (uy(x,y))2dx+
0	0
а
+ У [(M1»0))2 - («»(*> o))a]<fe.
о
Подставляя это равенство в (8), имеем
а	а	а
У a(x,y)uyy(x,y)dx = у (uy(x,y))2dx+j [(ur(z,0))2-(uy(z,0))2]</z.
о	оо
Следовательно,
а
р"(у) = 4У (uy(x,y))2dx + 4q,
о
где q = | f f(ur(z,0))2 - (uy(z,0))2]</z.
о 1	J
Рассмотрим функцию к(у) ~ ln(p(y) + |д|). Так как
- (р(у) + М)р"(р) - (р;(у))2
W (₽(!/) +1«|)2
то, используя выражения для производных р(у), имеем
а	2 а
fc,,(y)= (p(yjT|g|ji{41 dx/(“(г.Р))2^*
о	о
а	а
+4q j (u(x,y))2dx + 4 j (uy(z,p))2dz|g|+
o	о
+4q\q\-4^J
о
a(x,y)uy(x
,y)dx^ J.
134
Следовательно,
*"(у) >
4[<?р(у)+dd]
(Йу) + l«l)a
-4.
Рассмотрим функцию w(y) = k(y) + 2y(y — b). Так как w"(y) =
6"(y) + 4, to w"(y)	0 при у € [О, 6]. Следовательно,
w(y) w(0)(6 - y)/b + w(b)y/b.
Из этого неравенства, учитывая определение w(y), имеем
*(У) С *(0)(6 - У)/6 + *(6)у/6 - ЫУ ~ *)•
Следовательно,
1п(р(у) + Id) С MHO) + Id) + f Ь(р(Ь) + Id) + 2у(Ь - у)
и окончательно для у € [0,6]
р(у) (Р(0) + ld)(>'s)/‘(p(i) + ld)y,‘ ехр{2у(6 - У)} - Id-	(9)
Получим теперь оценку условной устойчивости для решения
задачи (1)-(4). Пусть функции ui(z,y) и u2(z,y) удовлетворя-
ют тем же условиям гладкости, что и и(х,у), удовлетворяют
уравнению Лапласа при O^z^a, О^у^б, условиям (2) при
у € [0.6], условиям ui(z,0) = <fi(x), Uiy(z,0) = й(«)> U2(z,0) = V2(z),
u2y(z,0) = ^2(z), 0 C z C a> и таковы, что
j (ui(z, 6))2dz С2, C = const.
0
Обозначив u(x,y) = ut(z,y) - u2(z,y), имеем ||u(z, 6)|||j{0 aj C
4C2.
Применив неравенство (9) к u(z,y) и учитывая определение
функции р(у), получим, что для у € [0,6] справедлива оценка
||ui(z,y)-u2(z,y)||il[0 <1) С (1Ь1(*) “ ?2(г)||12[о «] + Id) ‘ *
♦(4С2 4- |?|)у/6ехр (2у(6-у)) - |?|.
где q = | f [(/i(z) - V2(z))2 - (^i(z) -	*))2]dx и |?| $ |||/i -
0 1
'РгНг.до.в] + lll^1 - ^IlLfo.a]-
135
Полученная оценка представляет собой частный случай оценки
решения задачи Коши для эволюционного операторного уравне-
ния второго порядка [40, 45].
Обратные задачи для уравнения Лапласа, связанные с зада-
чами продолжения стационарных физических полей, исследуются
для различного типа областей. Приведем постановку обратной
задачи для задачи Дирихле в кольце.
Требуется определить функцию и(а,<р) = f(tp), если известно,
что и(р,<р) является решением задачи Дирихле
Ди = |£(^) + £& = 0- 0<<»ОО, 0OC2ir,
u(a, = f(jp),	0 $ ip 2т,
u(b, <р) = д(<р),	0 $ р $ 2т,
где д(<р) — з&данвая функция, и задана дополнительная инфор-
мация о решении задачи
Up(b, <р) =	0 $ р $ 2т,
где функция h(<p) известна.
Исследование этой обратной задачи может быть проведено
аналогично задаче (1)-(4) с использованием метода разделения
переменных.
I Обратные задачи теории потенциала. Рассмотрим уравне-
ние Пуассона в пространстве	-Л
Au = — 4irp(x, у, z).	(10)
При определенных предположениях относйтельно функции
p(x,y,z) можно показать' [73], что уравнение (10) имеет единст-
венное, стремящееся на бесконечности к нулю решение, которое
определяется формулой
ОО ОО ОО
/ / /
—оо —оо —оо
yfa-tf + h- ^+(z -<)2’
(11)
Интеграл, стоящий в правой части этого равенства, назы-
вается ньютоновским, или объемным, потенциалом, а функция
р(х,у, z) — его плотностью. Физический смысл объемного потен-
циала состоит в том, что он (в определенной системе физических
единиц) представляет собой потенциал силы тяжести, создава-
емой в пространстве телом с плотностью распределения масс
Р(*,У>*)-
Рассмотрим обратную задачу, имеющую большое значение
для разработки геофизических методов поиска полезных ископае-
мых. Предположим, что тело с некоторой плотностью масс зани-
мает ограниченную область пространства, т.е. функция p(x,y,z)
136
отлична от нуля только в ограниченной области Т. Внекоторой
области Ti, не имеющей общих точек с Т, измеряется объемный
потенциал, создаваемый телом. Требуется, зная этот внешний
объемный потенциал, определить функцию p(x,y,z). Очевид-
но, что эта обратная задача сводится к решению интегрального
уравнения
If/ К	(^ел.
JJJ v(«-€)2 + (»-4r + (2-Cr
(12)
Сформулированную обратную задачу можно исследовать и в
рамках формулы (11), рассматривал ее как линейное интегральное
уравнение 1-го рода относительно неизвестной функции р(ае, у, z),
при заданной в области 7\ функции u(x,y,z).
Рассмотрим исследуемую обратную задачу в рамках .уравне-
ния (12). Важной особенностью этой задачи является то,< что
неизвестными в ней являются как область Т, в которой функция
p(x,y,z) отлична от нуля (т.е. пределы интегрирования в трой-
ном интеграле), так и функция p(x,y,z\ в области Т. Таким
образом, в общей постановке обратная задача объемного потен-
циала представляет собой задачу одновременного определения
как области Т, так и плотности р(л(у,г), заданной в этой облас-
ти. Для анализа единственности решения этой обратной задачи
найдем объемный потенциал шара со сферически-симметричной
плотностью распределения масс.
Пусть область Т — шар радиуса а с центром в начале коор-
динат, а определенная в Т функция p(x,y,z) = р(\/х2 + у2 + z2),
т.е. зависит только от расстояния от точки (x,y,z) до начала
координат. Тогда
[If
JJJ у/(х - о2 + (у - п)2 + (* - С)2
В силу сферической симметричности функции р(х, у, z) потен-
циал u(x,y,z) зависит только от расстояния R от точки (х,у, z)
до начала координат R = \/х2 + у2 + z2. Учитывая это и пере-
ходя к сферическим координатам £ — г sin tp cos 6, п = г sin 9? sin 0,
Q = r cosip, получим для R > а
[ [ [ pfr’)*'2 sin <P<® dtp dr f [ pfr)r2 sin tpdtp dr
JJJ х/Я2—2Яг cos<p+r2	J J у/R2 —2Rrcostp+r2
ООО*	00*
Вводя переменную t = 5/Я2 — 2Ягсов^ + г2, имеем для Я > а
в Я+г
и(Я) = ^ У ( J p(r)rdtjdr.
0 Я-г
137
Окончательная формула для потенциала имеет вид
а.
(13)
- - — о
Проанализируем с помощью вычисленного потенциала шара
со сферически симметричной плотностью обратную задачу в об-
щей постановке, т.е. задачу определения и формы тела, и его
плотности. Покажем, что решение этой задачи неединствейно.
Действительно, пусть все тела представляют собой Шары с цен-
тром в нуле и радиусом, меньшим А. Пусть потенциал u(z,y,z),
создаваемый этими телами, известен для всех точек пространства,
лежащих вне шара радиуса А. Требуется по объемному потенци-
алу определить радиус шара и его плотность. Рассмотрим шар
радиуса а с постоянной плотностью ро- Тогда из формулы (13)
следует, что при R > А
№ =	(14)
Следовательно, потенциал и(Я) не изменится, если изменить плот-
ность и радиус шара так, чтобы произведение ро«3 осталось по-
стоянным. Таким образом, из формулы (14) следует, что задача
одновременного определения формы тела и его плотности имеет
не единственное решение даже в том случае, когда плотность по-
стоянна, но неизвестна.^ Отметим, что формула (14) и следующая
из нее неединственность обратной задачи имеют простой физи-
ческий смысл. Действительно, величина АжрмР/Ъ равна массе
шара М, т.е. потенциал шара и(Я) = М/R. Следовательно, шары
разного размера и плотности, но с одинаковой массой будут иметь
один и тот же потенциал при R > А.
IВ связи с неединственностью решения обратной задачи объем-
ного потенциала в общей постановке естественно возникают две
другие обратные задачи. Первую можно сформулировать так.
Требуется определить плотность распределения масс p(x,y,z) в
теле заданной формы, если известен внешний объемный потен-
циал этого тела, т.е. нужно определить плотность тела в пред-
положении, что известна его форма. Вторая задача состоит в
определении по внешнему потенциалу формы тела в предполо-
жении, что распределение плотности в нем известно, например
плотность постоянна.
Рассмотрим первую задачу, т.е. задачу определения плотнос-
ти при известной форме тела. Легко видеть, что она также
имеет неединственное решение. Действительно, воспользуемся
формулой (13) для объемного потенциала шара со сферически-
симметричной плотностью. Если при R > а зацан потенциал
138
этого шара u(R)t то из формулы (13) имеем
[ , ч 2 j и(Я)Я	.
/ т г)г аг = "	= const,
J	4т
о
Я > а.
Таким образом, вся информация относительно функции р(г), по-
лученная из исходных данных обратной задачи, состоит в том,
что задано значение интеграла
p(r)r2dr = G.
(15)
Очевидно, что однозначно определить функцию р(т) из этого
условия невозможно. Например, при а = 1 любая функция р(г)' =
cr+d, где с и d — положительные постоянные, такие, что с/4+d/Z =
G, удовлетворяет условию (15).
Исследованию обратной задачи определения формы тела в
предположении, что его плотность известна и задан внешний объ-
емный потенциал, посвящено большое число работ. Впервые
единственность решения этой обратной задачи была изучена в
работе П С. Новикова [63], а затем исследования в этом направ-
лении были продолжены целым рядом авторов [29, 65, 66, 75].
Задача определения формы тела по его внешнему потенциа-
лу при известной плотности тела, является нелинейной. При
определенных предположениях эта задача может быть сведена к
задаче решения нелинейного интегрального уравнения. Предпо-
ложим, что тело Т является звездшлм относительно некоторой
известной точки М, т.е. любой луч, проведенный из М, пере-
секает поверхность £, ограничивающую тело Т, только в одной
точке. Допустим также, что плотность тела известна и постоянна
р(х,у, г) = ро. Взяв точку М в качестве начала координат, полу-
чим, что уравнение поверхности £ может быть задано следующим
образом: г - <r(tp,0), <р е [0, ж], 0 € [0,2 г]. Тогда формула для
потенциала имеет вид
u(x,y,z)=
и 2т a(ip,9)
______________рог2 sin <pdr______________
^/(z—г sin ip cos 0)2+(у—г sin ip sin 0)2+(z—г cos ^s)2
dO dip.
Если функция u(x,y, z) известна в некоторой области, не со-
держащей тело Т, то эта формула определяет нелинейное ин-
тегральное уравнение .относительно неизвестной функции 0),
задающей поверхность £, ограничивающую тело Т.
139
§4. ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ
КОЛЕБАНИЙ
Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения колебаний
utt = a2u„,	0 < х < I, 0 < t Т,	(1) |
u(0, t) = «(/, t) = О, 0 < t < Т,	(2)1
и(х, 0) = <р(х),	О^х ^1,	(3)|
щ(х,0) = ф(х),	х I,	(4);
которая описывает процесс колебаний упругой струны, закреп-
ленной на обоих концах. Функции <р(х) и i[>(x) определяют на-!
чальное положение струны и начальное распределение скоростей |
соответственно.	|
Решение задачи	(1)—(4) может быть получено методом разде-ч
ления переменных и	имеет	вид	|
°о го	}	;
“(«•♦)=5317 / sin т* cos Tat+ I
п=1 ь 5
I
, 2 [	. xn . . ml. яп	'
Ч----I sin —sm —at I sm — x.	(5)
ЯПО J	t	I j I
0
Рассмотрим следующую обратную задачу. Предположим, что ;
начальное распределение скоростей ф(х) = 0, а функция <р(х), -
определяющая начальное положение струны, неизвестна. Требу-
ется определить у>(х), если задано положение струны в момент
времени to € (0,1]
u(z,t0) = д(х), O^x^l,	(6)
где д(х) — заданная функция. Положив в формуле (5) ^(х) = 0 и
t = to, получим уравнение для функции <р(х)
яп яп . .
sm —£ d£ cos —at0 sm —x = g(x).
(7)
Это уравнение является линейным уравнением относительно
функции <р(х) вида Ata<p = д, где линейный оператор А«о оп-
ределяется выражением, стоящим в левой части уравнения (7).
Рассмотрим вопрос о корректности задачи решения этого уравне-
ния в случае, когда оператор Ato рассматривается действующим
из пространства Л2[0, /] в £2(0, /].
140
Покажем, что корректность исследуемой задачи существенным
образом зависит от выбора момента наблюдения to- Пусть to =
2//а, тогда из (7) получим
оо „ I
52 7 / sin sin ПГ® =	(8)
< J	I	<
П = 1	0
Так как выражение, стоящее в левой части этого равенства,
есть разложение функции <р(х) в ряд Фурье по системе функций
{5/2//sin то (8) можно переписать так: <р(х) = д(х), т.е. при
<о = 2//а оператор Ato равен единичному и, очевидно, что в этом
случае задача решения уравнения (7) корректна. Этот эффект
понятен и с физической точки зрения. Процесс колебания струны
носит периодический характер, и через время to = 21/а струна
займет то же положение, которое она занимала в начальный
момент времени. Является ли значение to = 2//a единственным
(без учета периода колебаний) значением, при котором задача
корректна?
Теорема 4.4.1. Если to =	г&е Р и — натуральные
числа, то для любой д(х) Е £з[0>Л существует единственное реше-
ние Е £2(0, Z] уравнения (7) и выполнена оценка устойчивости
П^НлзСо,!] С С||у||Лз1о,Ч, С = const.	(9)
Доказательство. Рассмотрим функцию натурального
аргумента n cos ?"а*в = cos|j^. Так как при пг = nj 4- 2k — 1
выполнено равенство cos *"3ta*B =t cos '"у***1, то функция cos|j£^
принимает не более чем 2k - 1 различных значений. Покажем,
что при п = 1,2,..., 2k - 1 функция cos ф 0. Действительно,
предположим, что для некоторого п = по cos = 0. Тогда
2яп0р/(2к — 1) = т/2 + xq, где q — целое число. Следовательно,
должно выполняться равенство 4nop = (2q + l)(2i — 1). Но это
равенство невозможно, так как в его левой части стоит четное
число, а в правой — нечетное. Таким образом, cos не
обращается в ноль при натуральных значениях п и принимает
конечное число значений. Следовательно,
min cos
П>1 I
2япр
2k-I
= ci > 0-
(Ю)
Положим в (7) to = (Д_1)д. тогда
<р(£) sin d£ cos
2япр . тп . .
аТТ’шТ* = '<*’•
(И)
141
Обозначим через <рп и дп коэффициенты Фурье
I	I
Vn = J ~Г^	9п~ / ИОлДЛ8» <%-
о	о
Так как система функций \fijlsin , п = 1,2,..., является
полной ортонормированной системой в пространстве 1>г[0,7], то
из (11) следует, что
2хпр	, _
008 24-1 ~9п’ п = 1’2’ --
Учитывая неравенство (10), получим, что для любой функции
д(х) € £з(0, /] уравнение (11). имеет единственное решение ^р(х) €
Z/2[0, Г|, определяемое формулой
, V	/	2тпр\-1 лгт; . ТП
И*) = 2Л»( cos2i~[) v2//sm— X.
Из этой формулы, неравенства (10) и равенства Парсеваля
следует оценка устойчивости (9) с константой С = 1/cj, и тео-
рема 4.4.1 доказана.
Из теоремы 4.4.1 следует, что при t0 =	> гдер, к — любые
натуральные числа, задача решения уравнения (7) корректна.
Покажем теперь, что существует бесконечное множество значений
to, при которых эта задача является некорректной. Пусть to =
г!а’ где — натуральные числа. В этом случае cos =
cos	и при а = к cos--“*& = 0. Тогда решением уравнения
(7) с нулевой правой частью д(х) будет являться функция ^s(£) =
sin Следовательно, решение уравнения (7) неединственно и
задача некорректна.
В связи с приведенным анализом корректности рассмотрен-
ной обратной задачи возникает следующий вопрос: чем можно
объяснить тот факт, что для каких-то точек наблюдения t0 за-
дача является корректной, а для сколь угодно близких к ним —
некорректной?
Пусть to = 2//а. Тогда оператор Ata, определяемый выражени-
ем, стоящим в левой части (7), и рассматриваемый действующим
из £г[0, t] в £г[0, d, равен единичному и задача решения уравнения
Ato<p = д корректна. Взяв последовательность точек наблюдения
<0* =	получим, что tOk —* t0 при к -* оо. Но при всех
натуральных к задача решения уравнения Atak<p = д некоррект-
на. Этот странный на первый взгляд факт объясняется тем, что
142
1И«0* ~ Aoll не стремится к нулю при tok -*• to- Действительно,
1И«о* - А>|| = sup ||(Ло* -	=
IMUalojjCi
sup
ir(4k — l)n
21
Так как для любого натурального к при п = к cos	= о,
то ||Л(и — Л1о||	1 для всех натуральных к. Таким образом,
различные (с точки зрения корректности) свойства операторного
уравнения Л1ор = д для близких между собой точек наблюдения
to объясняются тем, что семейство операторов Ato не является
непрерывным по параметру to-
Рассмотрим другую постановку обратной задачи дяя краевой
задачи (1)-(4). Предположим, что функция <р(х) известна и тре-
буется определить ф(х), если задана дополнительная информация
о решении задачи (1)-(4) вида (6). Для упрощения записи пред-
положим, что известная функция <р(х) = 0. Положив в (5) t = t0,
получим уравнение для неизвестной функции 0(т)
оо	'
57 J МО s*n % s™ ~]Га*о s»n ~рх = 9(х)> 0 х $ I. (12)
П = 1	{
Задача решения этого уравнения в случае, когда д(х) € Z2[0, fl
и решение ф(х) ищется также в Z2[0,fl, будет некорректной при
любом t0 > 0. Действительно, единственность решения уравнения
(12) в пространстве Z2[0,fl зависит от значения t0. Если t0 таково,
что sin ^ato 0 для всех n > 1, например t0 = l/ха, то решение
уравнения (12) единственно. Если же ta таково, что существует
п, при котором sin ™ata = 0, например t0 = 1/"2а, то решение
уравнения (12) неединственно. Однако при всех to > 0 решение
(12) существует не для любой д(х) € ia[0, Z]. Действительно, если
для д(х) € -Ег[О> Л уравнение (12) имеет решение ф(х) € L2[0, fl, то
оо z	\ -2 /	\ 2
и । п2 V”4 21 xnato \ I хпа \
= 2Lffn(s‘n—j—I ( — ) •
Из этого представления для решения следует, что при любых
to > 0 уравнение (12) не будет иметь решение, например, для
оо ,
. ч V-' 1 хпх
g(x) = b~sla—-
П=1
Таким образом, задача решения уравнения (12) или, что то
же самое, линейного операторного уравнения Btoi]> = д, где Bto —
оператор, определяемый выражением, стоящим в левой части
(12), и действующий из L2[0, fl в L2[0,fl, является некорректной
для любого <о > 0
Глава V
ОБРАТНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТНЫЕ
ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ В
ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
В этой главе рассмотрены обратные задачи для уравнений в
частных производных, состоящие в определении неизвестного ко-'
эффициента уравнения по дополнительной информации о решении
некоторой задачи для этого уравнения. Задачи подобного рода
возникают при проведении различных научных исследований в
связи с необходимостью определения характеристик вещества, в
котором происходит изучаемый процесс, по результатам наблю-
дений. Несмотря на различие изложенных в этой главе обратных
задач, их объединяет то, что дополнительная информация в каж-
дой из обратных задач, представляет собой функцию, зависящую
от времени. Такой тип дополнительной информации характерен
для многочисленных экспериментов в различных областях науки
и техники.
Рассмотренные в этой главе обратные задачи являются при-
мерами весьма большой и интенсивно исследуемой области обрат-
ных коэффициентных задач для уравнений в частных производ-
ных. Более подробное представление о результатах, достигнутых
в этом направлении, можно получить, ознакомившись с моногра-
фиями [4, 13, 47-49, 69, 70].
§1. ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ, ЗАВИСЯЩЕГО ОТ
ВРЕМЕНИ
Рассмотрим первую краевую задачу для уравнения теплопро-
водности с коэффициентом теплопроводности k(t), зависящим от
времени
ut = k(t)uIZ,	(x,t) е QT,	(1)
«(0,i) = «(»,*) ®0, O^t^T,	(2)
u(z,0) =	0 x x,	(3)
где множество Q? = {(x,f)  0 < x < *, 0 < t T}. Будем
предполагать, что функции k(t) и <р(х) удовлетворяют следующим
условиям:
k(t) € С{0, Тр, fc(t) > 0 при t G [0,Т],	(4)
¥>(*) G С4[0, я], ¥>(0) s= р(т) = ^"(О) =	= 0.	(5)
144
Решением задачи (1)-(3) будем называть функцию u(x,t), та-
кую, что и(х, t) € C[Qt], ч(х, t) € C^IQt] " О удовлетворяет
(1H3).
Прежде чем ставить и исследовать обратную задачу для крае-
вой задачи (1)-(3), покажем, что задача (1)-(3) имеет единственное
решение.
Теорема 5.1.1. Если выпемнемы условкя (4), (5), те сущес-
твует единственное решение u(x,t) задачи (1)—(3).
Доказательство. Покажем, что решение задачи (1)-(3)
существует. Рассмотрим в Qt функцию
ОО
u(*»0 = J^Pnexp
п=1
t
I — п2 j k(r)dr J sm(nz),
о
где
2 t
Vn = - / p(£)sin(n£)#.
w J
0
(6)
(7)
Интегрируя no частям и учитывая (5), получим, что
^n = ~i J р""(08ш(п{)<£.
о
Следовательно, для всех натуральных п справедлива оценка
iFnl С/n4, где С = const. Из этой оценки следует, что фун-
кция u(x,t), определяемая равенством (б), непрерывна в Qr и
удовлетворяет условиям (2), (3). На множестве Qt ряд
ОО
£2<рпп2ехр
п=1
сходится равномерно. Следовательно, u(x,t) € C3,1[Qt]- Вычис-
ляя производные u((z,t) и u„(x,t) (см. (б)), получим, что u(x,t)
удовлетворяет уравнению (1) в Qt и, следовательно, является
решением задачи (1)-(3).
Для доказательства единственности решения задачи (1^-(3)
достаточно показать, что она имеет только нулевое решение при
<р(х) = 0. Пусть v(x,t) — решение задачи (1)-(3) с <р(х) = 0. Умно-
жив уравнение (1) на v(x,t) и интегрируя, имеем для 0 < t $ Т
о о
x,r)drdx = j fc(r) j vsx(x,T)v(x,T)dxdr,
о о
145
откупа,
| j [(»(*. О)’ - (»(x,0))2]dx -
о
о	о
Так как v(x,t) удовлетворяет условиям (2) и условию (3)
<р{*) = 0, то
0.
ООО
Из этого равенства и положительности k(t) следует, что для
всех 0^£</и0С*СТ ^(х,0 = 0. Таким образом, решение
задачи (1)-(3) единственно. Теорема 5.1.1 доказана.
Замечание. Доказательство теоремы 5.1.1 можно провес-
ти при более слабых предположениях относительно функции у’(х),
чем условия (5).
Перейдем теперь к постановке обратной задачи. Предположим,
что в краевой задаче (1)-(3) известна функция <р(х) и неизвестен
коэффициент k(t). Требуется определить k(t), если задана допол-
нительная информация о решении задачи (1)~(3)
u(x0,t) = ?(<), ОС* СТ,
где q(t) — известная функция, а точка аг0 € (0,я).
Исследуем вопрос о единственности решения этой обратной
задачи. Очевидно, что для единственности решения обратной
задачи необходимо, чтобы <р(х) не равнялась тождественно нулю
на отрезке [0, я], так как в противном случае решение задачи
(1)-(3) u(x,t) = 0 в Qt для любой функции k(t). Достаточно
ли этого условия для единственности решения рассматриваемой
обратной задачи? Легко видеть, что обратная задача может
иметь неединственное решение и при <р(х)	0 на отрезке [0, я]
Действительно, пусть ^(х) = sin2z и х0 = я/2. Решением задачи
(1)-(3) будет функция
(8)
Ul
о
Следовательно, u(xo,t) = 0 при t € [0,Т] для любой функции fc(t)
и решение обратной задачи неединственно.
146
Сформулируем условия на функцию <р(х), обеспечивающие
единственность решения обратной задачи.
Теорема 5.1.2. Предположим, что функция у>(х) удов-
летворяет условиям (5), <р"(х) > 0 при г € (0,т). Тогда, если
ki(t),k2(t) Е Cl[0,T\, ki(t) a k2(t) положительны на [0,7] а таковы,
что ut(x,t), £ — 1,2, удовлетворяют (8) npa t Е [0,7], где щ(х,1) —
решения задачи (1)-(3) для ki(t), £ = 1,2, соответственно, то
ii(t) = k2(t) при i Е [0,7].
Доказательство. Докажем вначале, что при сделанных
предположениях решение задачи (1}-(3) таково, что uxs(x,t) > 0
при 0 < х < я, 0 < t С Т. Из условий (5) следует, что ряд
<рпп2 ехр < — п2 / t(r)dr > sin(nr) = u„(r,
=1 J
сходится в Qt равномерно, а значит, и„ в От непрерывна. Точно
так же можно показать, что щ непрерывна в От Рассматривая
ряд (б), определяющий решение а(х,£), при t Е [*о,7], где to —
произвольная Положительная постоянная, и учитывая условия (5),
получим, что при 0<(^Ти0^гО существуют непрерывные
производные urrt(x,f) и ии(х,<).
Обозначим через w(x,t) = ut(x,0. Функция w(x,t) является
решением следующей задачи:
wt - k(t)w„ +	0 < t С Т,	0 < х <	к,
w(0, t) = w(x,t) =	0,	0 C t C	T,
w(x, 0) =	0 C x C	x.
(9)
Докажем, что w(x,t) > 0 в От- Рассмотрим функцию y(x,t) =
w(x,£)e-At, где А — произвольная положительная постоянная. Фун-
кция у(х, 1) является решением задачи
!ft + Ay -	= k(t)ytg,
y(O,t) = у(я,1) = 0,
y(x,0) = *(0)p"(x),
0 < t С Т,
O^t^T,
0 < х С я.
0 < я < я,
(Ю)
(П)
(12)
Покажем, что y(x,t) ^0 в Qt- Предположим, что это не так.
Обозначим через (xi,<i) точку, в которой достигается отрица-
тельный минимум функции y(x,t) на От- Из неотрицательности
4(0)р"(х) и условий (11), (12) следует, что 0 <	< я, а 0 < ti Т.
Тогда в точке (xi,h) выполнены следующие условия:
y(xi,ti)<0, yt(xi,ii) СО, Угг(хь«1)^0	(13)
147
Выберем число А так, чтобы А > maxo<t<T |^’(0/*(01- Тогда, рас-
сматривая уравнение (10) в точке (zi.ti), получим противоречие,,
поскольку из (13) следует, что	J
й(«1.<1) + И«ь<0[а~Т7^1 <0,	•
L *(‘i)J
*(h)lte4*i.h)^ 0.
Таким образом, исходное предположение было неверно и у(х, t) >
0 в (Jy.
Докажем, что w(x,t) > 0 для 0 < х < х, 0 < t С Т. Для
доказательства этого неравенства используем одну теорему из1
общей теории параболических уравнений [88]. Для уравнения
(9) она может быть сформулирована следующим образом. Если
функция w(x,t) удовлетворяет уравнению (9) при 0 < х < я,
0 < t Т, w(x,t) 0 в Qr и существует точка (x2,t?Y 0 < х2 < я,
О < t2 $ Т, такая, что w(x2,t2) — 0, то w(x,t) = 0 для всех
0 < х < я, 0 < t h- Из этой теоремы следует, что w(x,t) > 0
для 0 < х < х, 0 <t £Т. Действительно, если в какой-то точке
(x2,t2), такой, что 0 < х2 < X, 0 < t2 $ Г, w(z2,t2) = 0, то w(x,t) = 0
для 0 < х < х, 0 < t t2. Но тогда w(z,0) = к(0)<р^(х) — 0
для 0 х х, что противоречит условиям теоремы, а значит,
w(r,t) > 0 для 0<х<т, 0<t^T. Следовательно, uTr(x,t) > 0
при 0 < х < х, 0 < t С Г.
Перейдем теперь к доказательству единственности решения
исследуемой обратной задачи. Из (6) следует, что равенство (8)
для функций Ui(x,t), i = 1,2, имеет вид
00	f f )
52 Vn exp I - n2 J fc,(r)dr| sin(nxo) = «(<), 0 t T. (14)
Введем функции
ki(r)dr.
о
Из (14) следует, что
оо
52^n[e*p{-n2ai(O} - exp{-n2a2(t)}] sin(nxo) = О,
n=l
Так как
О С < С т.
(15)
ехр{—n’a^t)} - exp{-n2aj(t)}= -n2(at(t) - a2(t))*
i
♦ Jexp[-n2a2(t) - 0(n2ai(t) - n2a2(t))] <№,
о
148
то (15) можно записать следующим образом:
оо	i
b(t) фпп2 sin(nxo) / exp [ — n2a2(t) — 0n26(t)] d9 = О, О С 1 С 7\
П=1	q
(16)
где b(t) = сцр) - a2(t).
Рассмотрим функцию
оо	I
Фр) = 52 ^nn2sin(nzo) / exp [ — n2a2(t) — 0n26(t))]rf0.
nssl	о
Функция Фр) непрерывна при t € [0,71, и
♦(0) - 12 *’«”2 sin(n*o) = -^'(«о) < 0.	(17)
П = 1
Предположим, что Фр) обращается в ноль на отрезке [0,7*].
Обозначим через to минимальный ноль функции Фр) на отрезке
[0, Т\. Из неравенства (17) и непрерывности Фр) следует, что
to > 0. Так как Ф(1) < 0 для t G [0, to), то из (16) следует, что
6(f) = 0 для t € [0,to]-
Тогда
ОО	Q2U
♦ро) = $2^nn2sin(nio)exp{-n2a2(t0)} = -^г(гоРо)-
nsl
Следовательно, в силу доказанной положительности второй час-
тной производной по х решения задачи (1)-(3) для 0 < х < я,
О < t $ Т, Фр0) / 0, что противоречит тому, что to является
нулем Фр). Следовательно, Фр) < 0 для всех t € [0,71 и из (16)
имеем 6(f) = 0 для t € [0,71. Тогда 4>р) s= fc2(t) для t € [0,71-
Теорема доказана.
Замечание. Очевидно, что теорема 5.1.2 остается спра-
ведливой, если условие <р"(х) > 0 при х G (0,я) заменить на
условие <р"(х) < 0 при х € (0, я).
Из формулы (6) для решения задачи (1)-(3) и условия (8) сле-
дует, что рассматриваемая обратная задача представляет собой
задачу решения нелинейного операторного уравнения
Ak = g,	(18)
где оператор А определяется следующим образом:
= 52 *’•* ехр I" "2 j
n=i	j
(19)
149
Очевидно, что задача решения уравнения (18) является не-
корректной, если оператор А рассматривать действующим из
пространства С[0, 7] в С[0,7], т.е. дополнительная информация
q(t) в (8) может задаваться приближенно в равномерной метри-
ке. Действительно, из формулы (19) следует, что уравнение (18)
не может иметь решение i(t) Е С[0,7], если q(t) Е С[О,Т|, но
q(t) $ С1^),?]. Легко видеть, что условие q(t) Е С1 [0,7] явля-
ется необходимым для существования решения уравнения (18) в
классе непрерывных функций. Необходимость этого следует из
равенства (8), в котором в левой части стоит решение задачи
(1)-(3), имеющее непрерывную частную производную по t. Таким
образом, если обратная задача имеет решение, то в левой части
(8) стоит непрерывно дифференцируемая функция, следовательно,
и q(t) должна быть непрерывно дифференцируемой.
Для задачи решения уравнения (18) не выполнены также усло-
вия устойчивости в том случае, когда оператор рассматривается
действующим из С[0,7] в С[0,7]. Действительно, возьмем произ-
вольную положительную функцию k(t) Е С[0,7] и последователь-
ность kp(t) = k(t) + cos(pt), где 0 < i0 < пнпо<«^т k(t). Тогда
kp(t) Е CfO,?], kp(t) > 0 для t Е [0,7] и ||fcF(t) — i(OlTc[o,TJ = *0 ПРИ
р —► оо. В то же время ||Акр — Afc||c[o,Tl —* 0 при р —♦ оо.
Исследуемая обратная задача существенно упрощается в том
случае, когда функция <р(х) = sin(mz), где тп — натуральное число.
В этом случае уравнение (18) записывается следующим образом:
t
ехр — т2 J к(г)<1т^ sm(mr0) = q(i)-	(20)
о
Очевидными условиями разрешимости уравнения (20) являют-
ся положительность функции g}(t) = q(t)/ sin(mzo) при t Е [0,7}
и равенство gi(G) = 1. Пусть q(t) Е С1[0,7]. Дифференцируя
уравнение (20), Получим
t
—m2i(t)eXp { — m2 J i(r)dr^ = qj(0,
о
т.е. —m2k(t)qi(t) = q'^t).
Следовательно,
k(t) -
m2qi(t)“ mM0‘
Из этой формулы для коэффициента k(t) следует, что для поло-
жительности k(t) при t Е [0,7] необходимо, чтобы произведение
q'O)q(t) было отрицательным при t Е [0,7].
150
$2. ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Рассмотрим задачу Коши для гиперболического уравнения
«tt = uxx - q(x)u,	— oo < x < oo, i > 0,	(1)
u(x,0) = V’(x),	— co < x < oo,	(2)
ut(x,0) = ф(х),	— oo < x < oo.	(3)
Требуется найти функцию u(x,t), удовлетворяющую уравнению
(1) и начальным условиям (2), (3), если известны функции q(x),
¥<*)> ^(*)-
Рассмотрим обратную задачу, состоящую в определении ко-
эффициента уравнения (1) q(x) по дополнительной информации о
решении задачи (1)-(3) следующего типа:
«(«о»<) = Л(О» «г(«оЛ)	(4)
где /i(f) и f2(t) — заданные функции [69].
Изучим вначале условия существования и единственности ре-
шения задачи Коши (1)-(3). Приведем формулу Даламбера [85]
для неоднородного уравнения колебаний
vtt = v„ + f(x, t), -оо < x < oo, t > 0,	(5)
поскольку она будет использована в дальнейшем. Решение урав-
нения (5) с начальными условиями
v(x,0) = у>(х), v((x,0) = ф(х)
задается формулой
r+t	» r+t-т
Нх,«)*^***>|у(*~<)+| J ЖМ + IJ i fU,T)d^dr
x—t	0 r—t+"r
Вопрос о существовании и единственности решения задачи
(1)-(3) будем рассматривать для области на плоскости (х, t), пре-
дставляющей собой треугольник Д(хо,$о), ограниченный характе-
ристиками уравнения (1) x+t = Xo+to, x—t = xq—<о и прямой t = 0.
Теорема 5.2.1. Если для to > 0 функции q(x) 6 С[хо —
t0,x0 + <о], <р(х) € С2[х0 - *о,*о + *о], Ф(х) G - <о,^о + М-
то в Д(хо,<о) существует единственное решение задачи (1)-(3)
u(x,i) € С2(Д(хо,<о))-
Доказательство. Если w(x,f) является решением за-
дачи (1)—(3), то, использовав формулу Даламбера, получим ин-
тегральное уравнение
t x+t-T
u(x, i) = w(x, t) - | J J ?(£)«(£, r)d£ dr,	(6)
0 x-t+r
151
где
»(.,>=**‘)+**- «>+1'Лт.
&	& J
r—t
Докажем, что уравнение (6) имеет единственное непрерывное
в A(xo,to) решение.
Рассмотрим в Д(х0, tQ) последовательность функций
t r+t-т
u„(x,t) = w(x,t)-|y у «Юип-1(6ТИЛ’> Я = 1,2,..., (7)
О г—«+т
uo(x,t) = 0 в A(x0,t0).
Из непрерывности w(x,t) и q(x) следует, что все «„(x,t) непре-
рывны в A(xo,to).
Обозначим zn(x,t) = un(x,t) — un_i(x,t). Из формулы (7) имеем
t r+t-T
|2п(х,0К|У J qo|zn-i(C,T)|<^dr, (x,t)€ A(x0,t0),	(8)
0 r—t+T
где q0 = maxro_fo^r^ro+to |g(x)|.
Покажем, что в A(xo,Iq) справедлива оценка
n-bn-lp-1
|zn(x,t)|^tVq-0--^1)T. , n = l, 2,...,
где W — максимальное значение {w(x,t)| в A(xo,to)-
Докажем эту оценку по индукции. Очевидно, что при n = 1
она справедлива. Предположим, что она справедлива при п = т.
Тогда из неравенства (8) имеем
t r+t-r
|Zm+l(x,OI I [ [ 90|zmU, T)|# dT
** J J
0 r-t+T

go*#"1
2(m - 1)!
т e. оценка доказана. Из этой оценки следует, что ряд
СЮ
52 [«•»(«,*) - «»-»(«,<)]
П=1
152
сходится в Д(хо,<о), а его сумма u(x,t) является функцией, не-
прерывной вД(хоЗо). Так как последовательность un(x,t), опре-
деляемая (7), сходится к u(x, t) равномерно в Д(хо, to), то и(хЛ)
является решением уравнения (б) в Д(хо,<о).
Покажем, что уравнение (6) имеет в Д(х0,<0) только одно
непрерывное решение. Предположим, что есть два решения «i(x, t)
и ua(®,t). Тогда их разность z(x,t) = Ui(x,t) — U2(x,f) является
решением уравнения
г(х, t) = -1 у у «(()*((, О#
О r-t+r
Обозначим через z(t) максимум модуля функции z(x,t) на от-
резке х0 — t0 +1 х х0 + t0 — t, тогда имеем неравенство
t
z(t) qoto У *(r)dr, t € [O,to]-
о
Применяя лемму Гронуолла, получим, что z(t) = 0 для t € [0, to],
а значит, и z(x,t) = 0 в Д(хо,<о), т.е. iii(x,t) = uy(x,t) в Д(хо,<о).
Следовательно, уравнение (6) имеет единственное, непрерывное
в Д(хо,/о) решение.
Докажем теперь, что из непрерывности решения уравнения (6)
следует существование непрерывных вторых частных производ-
ных. Из условий теоремы имеем w(x,t) € С2(^(хо,<о))- Так как
функции д(х) и и(х,<) непрерывны, то правая часть уравнения
(6) представляет собой функцию, непрерывно дифференцируемую
в Д(хо,<о)- Дифференцируя (6), найдем выражения для первых
частных производных u(x,i)
t
их(х, t)=wx(х, t)—~ j [q(x+t—r)u(x+t—r, т)—?(х—<+r)u(x—t+т, т)] dr,
о
или
ur(x/)=wr(x,<)-|-i у q(d)u(9 ,x+t-0)d()+^ j q(O)u(O fi+t-x)d0, (9)
о
153
или
~ I q(9)u(9Jx+t — 9)d9 — ’* f q(9)u(9,9+t — x)d9.
2 J	* J
r	r—t
(10)
Так как w(x,t) € С2(Д(®оЛо)) и и(ж>0 € C1(A(xo,to)), то из (9),
(10) следует, что u(x,t) € С2(Д(хоЛо))- Дифференцируя (9) и (10),
найдем выражения для вторых производных функции u(x,t):
u„(x, t)=wrr(x, t)+^q(x)u(x,t)-lq(x+t)u(x+t, 0)+
it	it
X
+ x [ q(9)ut(9,x+t-e)de+^q(x)u(x,t)-
it J	it
x*M
r
-L(z-0«(x-t,0)-| / q(9)ut(9,9+t—x)d9,	(11)
it	it J
X~t
X
Brt(*,O=wrt(x,t)-ig(x+t)u(x+/,0)+i j q(9)ut(9,x+i-9)d9+
r+t
X
+i9(x-t)a(r-t,0)+i [ q(9)ut(9,9+t-x)d9,	(12)
i	it J
T—t
X
wtt(M)=wtt(x,t)--g(x+t)w(x+t,O)+i I q(9)ut(9,x+t-9)d9-
&	i J
r+t
X
-i9(z-t)u(r-t,0)-i У q(9}uA9,9+t-x}d9.	(13)
x—t
Так как функция w(x,t) является решением уравнения (1) Цри
q(x) = 0, то из (11), (13) получим, что u(x,t) удовлетворяет уравне-
нию (1) в Д(жоЛо)- Из (6), (10) следует, что u(x,t) удовлетворяет
условиям (2), (3) при х € [жо — <о,жо + to]- Теорема доказана.
Перейдем к исследованию обратной задачи. Предположим,
что функции /i(t) и f2(t) в дополнительных условиях таковы, что
A(t)ec2[o,t0], ЛЮесЧо,^],
Л(0) = ^(хо), Л(0) = ф(хо), Ь(О) = <р'(*о), Л(0) = т/(*о).
(14)
Эти условия естественным образом вытекают из гладкости ре-
шения задачи (1)-(3) u(x,t) и согласования между собой условий
(2), (3) и (4).
1И
Прежде чем доказывать те или иные утверждения относитель-
но обратной задачи (1)-(4), определим, что будет подразумеваться
под ее решением. Так как из (1)-(4) будет определяться не только
коэффициент q(x), но и решение u(x,t), то решением обратной
задачи (1)-(4) будем считать пару функций q(x), u(x,t).
Определение. Функции q(x) и u(x,t) будем называть
решением обратной задачи (1)-(4) на множестве Д(хоЛ1), где
ti > 0, если q(x) £ С[х0 - ti,x0 + tx]; u(x,t) £ С2(Д(х0Л1)); ?(х) а
u(x,t) удовлетворяют (1) в Д(хо,Л); u(x,t) удовлетворяет (2), (3)
при х £ [х0 — ti,x0 + <i] а (4) при t £ [0,tt].
Теорема 5.2.2. Предположим, что для некоторого to > О
функция <р(х) £ С2[х0 ~ t0,x0 + *о] а |у>(х)| > а > 0 для х £ [х0 -
to,«о + to], Ф(х) £	- to,xo + to], a Ji(t), A(t) удовлетворяют
условиям (14). Тогда существует ti £ (0,to], такое, что в Д(хоЛ1)
решение обратной задачи (1)-(4) существует и единственно.
Доказательство. Предположим, что функции' q(x) и
w(x,t) являются решением обратной задачи на множестве Д(хо,М-
Тогда из (2), (4), (12) и (13) следует, что
A"(t) = w«(*o, t) - (х0 + *М«о +1) - |g(x0 - t)y>(x0 -1)+
Xq	Xq
+ | f g(0)ut(0,®o+t-0)</0-5 [ q(9)ut(9,9 + t-x0)d9, (15)
Л» J	"‘J
r0+*	Io-*
fi(t) = wxt(®o,t) - -U(Xo + tM«o + t) + -U(ro - t)<p(xo - t)+
<6	4»
Хо	*0
+| [ q(9)ut(9,x0 + t-9)d9+^ f q(9)ut(f,9 + i - x0)d9. (16)
& J	& J
Xq+*	Xq — t
Сложив эти равенства и введя переменную х = xo + t, получим,
что для х £ [хо.хо + to]
?(х) = jwtt(*O, X - хо) + wxt(xo, X - Хо)-
-f"(x - Хо) - Л(х - Хо) - j q(9)ut(9, х - 9)d®]-
Хо
Вычитая и вводя переменную х = Xq — t, имеем при х G [хо — to, жо]
9(х) = ~7Т а>н(хо,х0 - х) - wrt(xo,xo- х)-
1Р(Ж) L
*?	П
-Л'(хо - X) + Л(хо - X) - / q(9)ut(9,9 - X)d9\
155
Объединяя эти два равенства, получим, что при х Е [х3 —
to, Xq + to]
зе
?(*) = q0(x) +	[ ч(в)и<(9, |0 - х|)</0sgn(r0 - х),	(17)
У’(ж) J
Го
где функция
?о(*) =	“ ®°D “	~ Ж°1> sgn<® “ *°)+
+w„(xo, |х - х0|) + wxt(x0, |х - x0|)sgn(x -я- х0)]
непрерывна на отрезке [х0 — *о,*о + *о]> поскольку
-Л(0) + wrt(x0,0) = -Л(0) + ф>(х0) = 0
в силу (14).
Рассмотрим в Д(хоЛо) равенства (6), (10) и (17). Они опреде-
ляют систему трех нелинейных интегральных уравнений относи-
тельно функций u(x,t), ut(x,t) и q(x). Докажем, используя принцип
сжимающих отображений, что эта система имеет единственное
решение в Д(х0Л1), где tj — достаточно малое положительное
число, такое, что ti G (0, to]-
Рассмотрим на множестве Д(хо,*о) пространство С(Д(4о,*о))
вектор-функций g(x,t) = {gi(x,t),g2(x,t),g3(x,t)}, где gi(x,t) =
«(«><)» 92(x,t) = ut(x,t), g3(x,t) = q(x), с нормой |b(x)||(t0) =
maxima max(r>()6A(r0|t0) |0t(*,t)|- Определим на С(Д(«о><о)) опе-
ратор А = {Л1,Л2,Лз}, где операторы Д,- определяются равенст-
вами (6), (10), (17) соответственно:
t s+t—r
Aig=w(x,t)-^ J J 93^)9iU,r)d^dT,
0 r—t-f-т
r+t	x
A2g=wt(x,t)--z I дз(9)д1(9,х+1-9)М-1- f g3(0)gl(e,e+t-x)d9,
r	(18)
X
A3g=q0(x)+^^X) I <тз(вЬ(в,|0-х|И.
J
ro
Систему уравнений (6), (10) и (17) с учетом сделанных обозна-
чений можно записать в виде нелинейного операторного урав-
нения
д = Ад.	(19)
156
Введем вектор-функцию go(x,t) = {w(x,t),wt(x,t),q0(x)} и рас-
смотрим в пространстве С(Д(хо,11)), где ti € (0,to], множество
G(h) = {з(М) € С(Д(«о31)), 11$ -ffoll(ti) < ll^oll(io)}-
Покажем, что при достаточно малых ti оператор А отображает
множество G(ti) в себя. Очевидно, что ||зо||(*1)	||3о||(*о) при
ti to- Тогда из определения множества <j(ti) следует, что для
любого элемента этого множества справедлива оценка
llffll(h) Ils -M(h) + ||ffo||(h) SJ 2||ffo||Go).
Из этого неравенства, формул (18) и условия |^(х)| а > О
для х € [х0 — to, Го + to], следует, что если д € G(ti), то для
(x,t) Е Д(х0,/1) выполнены неравенства
t s+t—r
|Atf-w(x,t)|^2(||M*o))2/ J #«^2(||М(*о))М>
О г—t+т
|А2у - w((x,t)| 2(||yo|I(to))2 У 4(||yo||(to))2t1,
т—t
ИзЗ ~ ?о(г)|	j de 4(||yo||(to)A
a J	&
Объединяя эти неравенства,лолучим
|]Ау - ffoll(ti) < 4(]|yo||(to))2max|itJ,t1,^-j.
Из этого неравенства и определения множества G(ti) следует, что
для ti € (0, to], таких, что
шах^йЛ} < (4||yo||(to))~l,	(20)
оператор А отображает множество G{t\) в себя.
Покажем, что если неравенство (20) выполнено, то оператор .4
является сжимающим на множестве G(t\). Действительно, пусть
д1 и д2 — произвольные элементы множества G(ti). Тогда для
любых компонент вектор-функций д1 = {$},д^,Зз)- З2 = {з2-92’9з}
справедливы неравенства
Itdffl -3k32l h/i - <z2ll<z,1l + Itfklhz,1 -з,21 4||jr0||(t0)||j* - <z2||(tt).
157
Из (18) и этих неравенств следует, что
ЦЛ01 - 4$2||(ti) фо||(*о) Htf1 - tf2||(ii)max ti A J.
Следовательно, если ti > 0 таково, что выполнено неравенство
(20), то оператор А является сжимающим на G(ti). Тогда, исполь-
зуя принцип сжимающих отображений, получим, что уравнение
(19) имеет в C(A(xo,ti)) единственное решение {u(x,t),ut(;c,t),g(a:)}.
Следовательно, функции {u(x,l),ut(x,f),g(x)} удовлетворяют
уравнениям (6), (10), (17). Так как u(x,t) и q(x) удовлетворя-
ют уравнению (6), то, повторяя доказательство теоремы 5.2.1,
получим, что функция u(x,t) € С2(Д(ж0Л1)) и u(x,f), g(x) удовлет-
воряют в Д(х0,/1) уравнению (1), a u(x,t) — условиям (2), (3) при
х € [ж0 — ti,хо + <1]. Из уравнения (17), проводя последователь-
ность обратных преобразований, получим равенства (15) и (16).
Следовательно, при t € [0,*i] /"(<)- = utt(zo,<) и f?(t) = uxt(x0,t).
Интегрируя эти равенства, имеем
/1(0 - /1(0) - Л(ОУ = «(*о,О - u(®o,0) - wt(xo,0)t,
/г(0 - Л(0) = «г(«о,О - «х(*о,0).
Учитывая условия (14), получим, что u(x,t) удовлетворяет (4) при
1 € [0, ti]. Теорема 5.2.2. доказана.
Замечание 1. Из теоремы 5.2.2 следует, что задание
двух дополнительных условий (4) на функцию u(x,t) необходимо
Для однозначного определения q(x). Действительно, предполо-
жим, что функция q(x) однозначно определяется на некотором
отрезке [х0 —	+ 1г]. где 12 > 0, только при задании перво-
го условия в (4) u(xo,t) = /1(1). Рассмотрим две пары функций
{/1(0,/мС)}» {/1(0,/2г(0}, удовлетворяющие условиям (14), и та-
кие, что /21(0 # /22(0 для * > 0- Тогда из теоремы 5.2.2 следует,
что существуют решения обратной задачи (1)-(4) {?i(x),ui(«,0} и
{«a(»)»«a(x,t)}, определяемые парами {/i(0,/2i(0)> {/1(0»/и(0)
соответственно. В силу нашего предположения qi(x) = 92 (ж) для
X € [«о — 12,«о + 1г]- Но тогда из теоремы 5.2.1 следует, что
Uy(x,t) = w2(®,0 на множестве Д(хо,12) и
/а1(<)=^'(*0’<) = ^(*°.0 = /22(0 для t е [o,t2],
что противоречит неравенству функций /21 (0 и /2г(0- Следо-
вательно, первоначальное предположение о возможности одноз-
начного определения q(x) только по одному дополнительному
условию неверно.
Замечание 2. Естественность формулировки обратной
задачи (1)-(4) как задачи определения пары функций q(x) и u(x,t)
158
еще раз подчеркивается тем, что доказательство теоремы 5.2.2
сводится к исследованию системы нелинейных уравнений для
этих функций. Отметим, что от системы трех уравнений (6), (10),
(17) для функций u(x,t), q(x) можно перейти к системе двух
уравнений для u(x,t) и q(x), если в уравнении (17) подставить
представление (10) для щ(х,?).
Более подробно обратная задачи (1)-(4) изучена в [69].
$3. СВЕДЕНИЕ ОБРАТНЫХ КОЭФФИЦИЕНТНЫХ
ЗАДАЧ К ОБРАТНЫМ ЗАДАЧАМ ДЛЯ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ
Одним из методов исследования уравнений в частных про-
изводных является метод интегральных преобразований, позво-
ляющий сводить задачи для уравнений в частных производных к
обыкновенным дифференциальным уравнениям. Этот метод макет-
быть использован и для исследования обратных коэффициентных
задач для уравнений в частных производных. Приведем пример
его применения для анализа одной обратной задачи для уравне-
ния теплопроводности.
Рассмотрим краевую задачу для уравнения теплопроводности
ut = uxt — q(x)u, 0 < х < г, t > 0,
ur(0j) = 0, t>0,
u,(r,t) =	> 0,
u(x,0) = 0, 0 x r.
(1)
(2)
(3)
(4)
Будем предполагать, что функции q(x) и p(t) удовлетворяют
следующим условиям:
q(x) е С[0, яг], q(x) >0, хе [0, г],	(5)
я(*)ес2[о,оо), 11(0) = /(о) = о, я(О = о при t^t0, (6)
fi(t) 0 при t 0.
Рассмотрим задачу определения неизвестного коэффициента
q(x) в уравнении (1) по дополнительной информации о решении
задачи (1)-(4)
w(r,0 = g(t), t>0,	(7)
где g(t) — заданная функция.
Так как при неизвестной функции q(x) решение задачи (1)-(4)
u(x,t) также неизвестно, то обратную сформулируем как задачу
определения двух функций q(x) и u(x,t), удовлетворяющих (1)-
(4), (7).
159
Определение. Решением обратной задачи (1)—(4), (7)
назовем функции q(x) и	такие, что q(x) удовлетворя-
ет условиям (5); u(x,t), ux(x,t) € С[0 х ir,t 0], н«(х,/),
«rr(x,t) € С[0 < х < ir,t > 0]; q(z) « w(z,t) удовлетворяют (1),
u(x,t) удовлетворяет (2)-(4), (7).
Докажем теорему единственности решения поставленной об-
ратной задачи с помощью перехода от задачи для уравнения
в частных производных (1) к обыкновенному дифференциально-
му уравнению с параметром и использования результатов, полу-
ченных для обратной задачи Штурма-Лиувилля, которая была
рассмотрена в гл. III, §3.
Теорема 5.3.1. Предположим, что функция fi(t) удовлетво-
ряет условиям (6). Тогда, если qt(x), щ(х,1), i = 1,2, — решения
обратной задачи (1)—(4), (7), то qi(x) = qz(x) для х € [0,г] и
ui(x,t) = u2(x,t) для х € [О.тг], t > 0.
Доказательство. Пусть q(x) и и(х,t) — решение об-
ратной задачи (1)-(4), (7). Так как p(t) = 0 при t to, то функция
u(x,t) для t to является решением следующей задачи:
«« = «гх - ?(х)и,
Ur(0,t) = ux(v,t) = 0,
u(x,to) = Ф(х),
0 < х < г,
О to,
0 х г,
t > t0,
где Ф(х) 6 С1[0,1г], Ф'(0) = Ф'(ж) = 0.
Используя метод разделения переменных [85] для решения этой
задачи, получим, что
о° .
(8)
п=оо
где Ап и Уп(я) — соответственно собственные значения и норми-
рованные собственные функции задачи Штурма-Лиувилля
у" + (А — q(z))y = 0,
/(0) = !/'(”) = 0
(9)
Покажем, что собственные значения Ап > 0 при Vi 0. Так
как предполагается, что Ап упорядочены по возрастанию, то
достаточно показать, что Ао > 0. Предположим, что это не так.
Тогда ?(ж) — Ао > 0 для х G [0, тг] Рассмотрим собственную
функцию j/o(s)- Так как j/o(0) / 0, то примем для определенности,
что j/o(0) = а > 0.
Функция уо(ж) является решением задачи Коши для уравнения
(9) с А = Ао и условиями уо(0) = а, у'о(0) — 0 Тогда из неравенства
q(x) — Ао > 0 для х G [0, тг], следует, что у'0(х) > 0 для х G (0, тг],
160
что противоречит условию Уо(1Г) = 0. Таким образом, А„ > 0
для п > 0.
Из положительности собственных значений Ап и формулы (8)
следует, что. при t -* оо u(x,t), ut(x,t), uIZ(x,t) —> 0 равномерно
на отрезке [0,т].
Введем функцию v(x,p), являющуюся преобразованием Лапла-
са от u(z,t) по переменной t
оо
v(x,p) = J e_ptu(x, t)dt.
о
Из (1)—(4) следует, что для значений комплексного параметра
р, таких, что Rep > 0, функция v(x,p) является решением краевой
задачи
v" - (q(x) + p)v = 0,	(10)
v'(0,P) = 0,	(И)
v'(^₽) = **(₽)>	(12)
где v(p) = J
о
Рассмотрим функцию w(x,p), являющуюся решением задачи
Коши для уравнения (10) с начальными условиями
w(0,p) = l, w'(0,p) = 0.	(13)
Так как v(x,p) и w(x,p) — решения линейного дифференциального
уравнения (10) и t/(O,p) = w'(0,p) = 0, то они линейно зависимы.
Следовательно, v(x,p) = c(p)w(x,p). Тогда из условия (12) имеем
с(р) = i/(p)/w'(r,p) и
(14)
w»(ir,p)
Пусть q,(x), Ui(x,t), i =1,2, — решения обратной задачи (1)-
(4), (7). Обозначим через о<(х,р) преобразования Лапласа от
u,(x, t), а через w,-(z,p) — решения задачи Коши для уравнения
(10) с q(x) = qi(x) и начальными условиями (13). Из (7) следует,
что vi(ir,p) = v2(ir,p). Тогда, используя формулу (14), получим,
что для Rep > 0
№1(м) _ «Ы^Р)	(15\
wKir.p) и4(ж,р)‘
Так как функции ш,(г,р) представляют собой, решения уравне-
ния (10) с g(x) = qi(x) и условиями (13), то Wj(x,p) и w<(x,p) при
161
фиксированном х как функции комплексной переменной р явля-
ются функциями аналитическими во всей комплексной плоскости.
Следовательно, функции и>,(х,р)/и>;(х,р) являются аналитически-
ми во всей комплексной плоскости, за исключением нулей w,-(r,p),
являющихся особыми точками. Из (15) следует, что нули и
особые точки функций wi(r,p)/wj(r,p) и w2(ir,p)/u4(x’,p) совпадав
ют. Покажем, что нули функций w^i^p) и wj(r,p) не совпадают.
Предположим, что это не так и для р = ро
wi(r,po) = wi(r,po) = 0.	(16)
Тогда wi(z,po) является решением задачи Коши для уравнения
(10) с q(x) = 9i(х) и начальными условиями (16). Следовательно,
«>1(ж,ро) = 0 для х G [0,я], что противоречит условию wi(0,po) = 1.
Таким образом, нули функций wi(r,p), wj(»,p) не совпадают.
Точно так же не совпадают нули функций w2(r,p) и w'2(it,p). Тогда
из (15) следует, что все нули функций wi(r,p) и w2(r,p) совпадают
и все нули функций w'i(r,p) и ш2(я,р) также совпадают.
Пусть р = Ро является нулем функции w,(r,p), г = 1,2. Покажем,
что Aq = —pg является собственным значением задачи Штурма-
Лиувилля
-y" + q,(x)y = Ху,	(17)
у'(0) = 0, у(я) = 0.	(18)
Действительно, так как функция w,(x,po) является решением урав-
нения (10) с q(x) = 9,(х) и р = Д, то функция у,(х) = w,(r,p'o)
является решением (17) с А'о = — р'о. Первое краевое условие
в (18) для у,(х) следует из (13), а второе из того, что р}> есть
ноль функции w,(r,p). Таким образом, yi(x) является решени-
ем (17), (18). Это решение нетривиальное, так как в силу (13)
j/,(0) = wf(0,po) = 1. Следовательно, А'о является собственным зна-
чением задачи Штурма-Лиувилля (17), (18). Таким образом, мы
показали, что любой ноль функции w,(r,p), взятый со знаком ми-
нус, является собственным значением задачи (17), (18). Очевидно,
что справедливо и обратное утверждение. Если Aq является соб-
ственным значением, а у, (ж) — собственной функцией задачи (17),
(18), то pg = — Aq есть ноль w,(ir,p). Следовательно, существует
взаимооднозначное соответстрие между нулями w,(r,p) и собст-
венными значениями задачи (17), (18). Точно Так же можно по-
казать, что существует такое же взаимооднозначное соответствие
между нулями функции wj(r,p) и собственными значениями задачи
Штурма-Лиувилля для уравнения (17) с краевыми условиями
у'(0) = 0, у'(г) = 0.	(19)
Обозначим через А„, п = 0,1,..., собственные значения задач
(17), (18), а через д’п — собственные значения задач (17), (19).
162
Из совпадения нулей и>х(я,р) и w2(?r,p) следует, что Л„ = А„, п =
0,1,, а из совпадения нулей функций w[(it,p) и w'2(it,p) следует,
что pi = Рп, п = 0,1,... . Таким образом, задачи Штурма-
Лиувилля (1-7), (18) и (17), (19) с функциями 9i(z) и д2(х) имеют
одинаковые собственные значения. Тогда, применяя теорему 3.3.5
о единственности решения обратной задачи Штурма-Лиувилля,
получим, что 9i(x) = 92(х) для х G [0, я].
Докажем, что u\(x,t) = w2(x,t) при 0 х я, t 0. Так
как 9i(z) = ?2(х) = ?(х), то t*i(i,t), * — 1,2, являются решениями
задачи (1)-(4). Следовательно, их разность u(x,t) — решение
(1)-(4) с p(t) = 0 для t 0. Умножив уравнение (1) на й(х, I) и про-
интегрировав, получим с учетом краевых и начальных условий,
что для любого t > 0
X	t X	t X
|/(«(€. <))’«+/ / (йг«,т))2^</т+у у^)(й(е,т))2^</т=о
О	0 0	0 0
Из этого равенства, учитывая положительность q(x), получим
й(х,<) = 0 для 0 х я, t > 0. Следовательно, ui(x,t) = и2(х,<)
для 0 х <С я, t 0. Теорема 5-3.1 доказана.
В изученной обратной задаче дополнительное условие (7) за-
давалось на том же конце отрезка, что и неоднородное граничное
условие (3). Рассмотрим теперь такую постановку обратной за-
дачи, в которой дополнительное условие задается на том конце
отрезка, где граничное условие однородно. Пусть в качестве до-
полнительной информации для решения задачи определения q(x)
вместо условия (7) задано условие
«(0,<) = g0(t), t>0.	(20)
Определение. Решением обратной задачи (1)—(4), (20)
назовем функции q(x) и u(jc,t), такие, что q(x) удовлетворяет ус-
ловиям (5); u(x,t),ux(x,t) € С[0 х яД 0], ut(x,t),uxx(x,t) G
С[0 < х < я, t > 0]; q(x),u(x,t) удовлетворяют (1), u(x,t) фовлет-
воряет (2)-(4), (20).
Теорема 5.3.2. Предположим, что функция p(t) удовлетво-
ряет условиям (6). Тогда, если q,(x), u,(x,t), i =1,2, — решения
обратной задачи (1)-(4), (20), такие, что qt(x) = 9«(яг — х), »= 1,2,
то ?1(х) = ?2(х) для х G [0, я] u щ(х,1) = и2(х,<) для х 6 [0, я], t 0.
Доказательство. Пусть q(x), u(x,t) — решение об-
ратной задачи (1)—(4), (20). Тогда для преобразования Лапласа
v(x,p) от функции u(x,t) справедливо представление (14), где
w(x,p) определяется так же, как в теореме 5 3.1 Из дополнитель-
ного условия (20) следует, что vi(0,p) = v2(0,p). Тогда, используя
формулу (14) и условия wi(0,p) = w2(0,p) = 1, получим, что
w{(ff,p) и>£(я,р)’
163
где Wf(x,p) — решения задачи Коши для уравнения (10) с q(x) =
qi{x) и начальными условиями (13). Из равенства (21) аналогично
доказательству теоремы 5.3.1 получим, что	п = 0,1,...,
где ц*ц— собственные значения задачи (17), (19). Тогда, ис-
пользуя теорему 3.3.6 о единственности решения обратной задачи
Штурма-Лиувилля для класса потенциалов, симметричных отно-
сительно середины отрезка, получим, что ?i(z) = ?2(z).
Равенство wi(z,t) = w2(z,t) доказывается аналогично теоре-
ме 5.3-1. Следовательно, теорема 5.3.2 доказана.
Из формул (15) и (21) следует, что обратные задачи (1)—(4), (7)
и (1)-(4), (20) отличаются между собой очень сильно. Действи-
тельно, из равенства (15) вытекает совпадение всех собственных
значений для двух типов краевых условий (18) и (19), а из (21) —
равенство собственных значений только для одного краевого ус-
ловия (19). Проведенный анализ позволяет сделать заключение
о том, что информация о неизвестном коэффициенте q(x) сущес-
твенно зависит от точки наблюдения — дополнительное условие
(7) содержит гораздо больше информации о неизвестной функции
q(x), чем условие (20).
Рассмотрим теперь обратную задачу для краевой задачи (1)-
(4), состоящую в определении неизвестного коэффициента урав-
нения q(x) и неизвестной функции в краевом условии (3)
по дополнительной информации о решении задачи (1)-(4) вида
(7). Покажем, что она будет иметь единственное решение, если
функция p(t) неотрицательна.
Определение. Решением обратной задачи (1)-(4), (7)
назовем функции q(x), и u(z,t), такие, что q(x) удовлетворяет
условиям (5); удовлетворяет условиям (6) и неотрицательна
при t > 0; u(z,t), ur(z,t) е С[0 х ir,t > 0], ut(x,t),uTX(x,t) е
С[0 < х < ir,t > 0]; q(x), u(x,t) удовлетворяют (1); u(z, t),
удовлетворяют (3); w(z,t) удовлетворяет (2), (4), (7).
Теорема 5.3.3. Если qi(x), m(t), Ui(x,t), i = 1,2, — решения
обратной задачи (l)-(4), (7), mo qi(x) = g2(z) для x € [0, яг], pi(t) =
Дг(О для t > 0, ui(z,t) = U2(x,t) для x € [0, яг], t 0.
Доказательство. Если %(z), p,(t), «i(z,t), i = 1,2; —
решения обратной задачи (l)-(4), (7), то, проведя преобразования
такие же, как в доказательстве теоремы 5.3.1, из условия (7)
получим, что
У1(р)и>1(ж,р) _ iAj(p)wa(ir,p)
w'lGr.p) w'2(v,P) ’	1 J
где функции Wj(z,p) определяются так же, как в теореме 5.3.1, а
Vi(p) — преобразования Лапласа от функций p,(t).
ОО
и(р) = У e~p,pn(t)dt.
о
164
Так как функции pi(t) отличны от нуля на конечном отрезке, то их
преобразования Лапласа являются функциями, аналитическими
во всей комплексной плоскости, т.е. не имеют особых точек. Так
как функции Pi(i) неотрицательны и не равны тождественно нулю,
то функции ц (р) > 0 для всех действительных р. Таким образом,
функции ц (р) не имеют на действительной оси ни особых точек,
ни нулей. Тогда, так же, как в доказательстве теоремы 5.3.1, из
равенства (22) следует, что совпадают нули функций Wi(r,p) и
№2(я’,р)> а также нули функций w[(r,p) и Wj(r,p) и, следовательно,
91(®) = дг(®) Для ® € [0, г]. Тогда функция wi(x,p) = Шг(х,р) и из
равенства (22) следует, что t'i(p) = ^(р) Для всех р. Из равенств
преобразований Лапласа следует равенство функций pi(t) = Рг(О,
i 0, а из равенств 9i(x) = 9г(®). Р1(0 = Яг(О следует, что
«1(х, t) = и2(®>0 Для х € [0, г], t > 0. Теорема доказана.
Изложенные результаты представляют собой один из примеров
исследования обратных коэффициентных задач для уравнений в
частных производных с помощью сведения их к обратным задачам
для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром.
Одной из первых работ, выполненных в этом направлении, была
работа [77]. В дальнейшем подобный метод исследования об-
ратных задач для уравнений в частных производных применялся
целым рядом авторов (см., например, [1, 9, 11, 24, 46, 47, 68]).
$4. ЗАДАЧА ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА,
ЗАВИСЯЩЕГО ОТ РЕШЕНИЯ
Нелинейные уравнения в частных производных интенсивно ис-
пользуются для описания различных процессов. Как правило,
эти уравнения содержат коэффициенты, зависящие от решения.
В связи с этим при исследовании целого ряда процессов возни-
кают задачи определения неизвестных, зависящих от решения,
коэффициентов уравнения в частных производных.
Рассмотрим математическую модель процесса поглощения га-
за, проходящего по тонкой трубке, поглрщаюшим веществом (сор-
бентом), расположенным в этой трубке:
«Г + О» = 0,	0 <	С х < /, 0 < t <	с г,	(1)
а, = у?(и) - а,	0<	Z х < 1, 0 <t <	с г,	(2)
«(0,0 = я(0-	0 5	$ t Г,		(3)
а(г,0) =0,	0 5	; х /.		(4)
Здесь и(х, t) — концентрация газа в порах сорбента, a(x,t) —
в сорбенте, — концентрация газа в начале трубки, у?(£) —
функция, характеризующая поглощающие свойства сорбента.
Одной из важных обратных задач, возникающих при исследо-
вании подобных процессов, является задача определения функции
165
<p(g) по измерению концентрации газа в некоторой точке. Эта
задача может быть сформулирована следующим образом. Заданы'
функции n(t) и
0^t<T.	(5)
Требуется определить функции <p(u(x,t)), w(x,t), a(x,t), удовлет-
воряющие условиям (1)-(5).
Прежде чем исследовать поставленную обратную задачу, изу-
чим вопрос о существовании и единственности решения задачи
(1)-(4) в предположении, что функции p(t) и известны. Пред-
положим, что функции и ^>(С) удовлетворяют следующим
условиям:
НОесЧо.Л; м'(*)>о, *е(о,Т]; Р(о) = о; (6)
<р(£) € С^-оо, +оо); 0 < </(£) <ро, £ € (-оо, +оо); у>(0) = 0.
(7)
где <ро — положительная постоянная.
Обозначим через Qi^, т € (О, Т] множество
Qir = {(x,t) : 0 х I, 0 I т}.
Теорема 5.4.1. Предположим, что функции pi(t) и <р(£) удов-
летворяют условиям (6) и (7) соответственно. Тогда существует
единственная пара функций u(x,t), a(x,t) G (^[Qrr], удовлетворя-
ющих (l)-(4).
Доказательство. Пусть функции u(x,t), a(x,t)€Cl[Qir]
удовлетворяют (1)-(4). Тогда, интегрируя уравнение (2) с ус-
ловием (4), получим
t
а(х, 0 = У exp(-(t - т))<р(и(х, r))dr.	(8)
о
Из (1), (2), (8) имеем уравнение для u(x,t)
t
ux(x,t) + ip(u(x,t)) = У ехр(—(t - r))<p(u(x,T))dr.
о
Интегрируя это уравнение и учитывая условие (3), получим
интегральное уравнение для функции w(x,t)
®	it
HU(C*)K+ У У ехР(-(*-’’)М«(6’’))<*г#. (9)
О	0 0
u(x,Z) = //(<)-
166
Покажем, что это нелинейное интегральное уравнение имеет
единственное решение u(x,t) €	Рассмотрим на множестве
QiT последовательность непрерывных функций
un(x,t) = я(«) - У
0
г t
+ У У ехр(—(< - г))р(“г»-1(£> r))drd£, n > 1,
о о
»o(x,t) = 0.
Докажем, используя метод математической индукции, что в
Qit для всех п 1
М«,О -	01 x<(r)2"J1^|-~la:"~-1-	(10)
Из свойств функций fi(t) и следует, что эта оценка выпол-
нена при п = 1. Предположим, что она справедлива при п = т.
Докажем (10) для п = т + 1. Так как
|«т+1(«,0“ «•»»(*» OR J M«m(€0)-¥>(um-l(C0M+
о
г t
+ У j ехр(-(< - r))|p(Um(£, г)) - y>(um-i(£,r))|dr#
о о
<Р0 У |«mU,r) - «т-1(<,г)|«^+
0
Г t
+^о У J exp(-(t - r))|um«,r) - um-i(C r)|dr#
о о
/1(Т)2т-19?та.т	/1(Т)2т-19,та.т	ц(Т)2т^Хт
ml + пй ( -е	ml
то оценка (10) справедлива при любом п 1.
Из оценки (10) следует, что последовательность функций
ип(х, t) равномерно на Qit сходится к непрерывной в Qit фун-
кции u(x,t), являющейся решением уравнения (9). Определим
непрерывную в Qit функцию a(x,t) с помощью равенства (8). Из
(8), (9) и свойств функции следует, что в Qit существуют
167
непрерывные производные ux(x,t), и функции u(x,t), a(x,t)
удовлетворяют (1)-(4).
Единственность решения задачи (1)-(4) легко следует из урав-
нения (9). Действительно, если Ui(x,t), ai(x,t), i = 1,2, — решения
задачи (1)-(4), то из уравнения (9) получим оценку для разности
функций ui(x,t) — иг(х,1) = v(x,t) в Qit
о
о о
Пусть «о(ж) = тахо^т |»(ж,01> тогда
»о(ж) <р0 I + Уо / «о(€)<$(1 “ е“‘) 2Уо /
оо	о
Применяя лемму Гронуолла, получим, что vq(x) = 0 для х G
[О,/], а значит, и Ui(z,t) = uz(x,t) в Qir- Тогда из (8) следует,
что ai(x,t) = ai(x,t) в Qir-
Докажем, что функции u(x,t), a(x,t) €	Из непрерыв-
ности u(x,t) в Qit, условий (7) и уравнений (8), (9) следует, что
ux(x,i), at(x,i) и ax(x,t) €	Следовательно, нам доста-
точно показать, что в Qit существует непрерывная u«(x,t). Из
(8), (9) имеем
t	г
и(х,!) = Я(!)- /у(«(е,0И +	(11)
о	о
Рассмотрим функцию v(x,t,At) = (u(x, t + At) - u(x,t))/At. Так
как
+до) - у(«ил)) = ₽(e,t, At)(u(e,t+At) - u(e,t)),
где
i
р(с<.д*) = j у'не.о+вме.^+Ао-и^.о))^,
0
то из (11) следует, что функция v(z,t,At) удовлетворяет урав-
нению
»(x,t,At) = p0(t,At)- Jp(e,t,At)»(tt,At)df+Ja0(£,t,At)dC (12)
о	0
168
где
Решение интегрального уравнения (12) можно выписать в яв-
ном виде
Предел выражения, стоящего в правой части этого равенства,
при At —♦ 0 существует. Следовательно, переходя к пределу при
At —♦ 0, получим, что
Ut(x,i) = p'(t)exp
J p'(ti(a,t))de}+
o

Теорема 5.4.1 доказана.
Установим некоторые свойства решения задачи (1)-(4), необ-
ходимые для исследования обратной задачи.
Теорема 5.4.2. Предположим, что функции и <р(£)
удовлетворяют условиям (6) и (7) соответственно. Тогда, если
u(x,t), a(x,t) — решение задачи (1)-(4), то
ut(x?t)>0, at(x,i) > 0-для 0<х^/, 0 < t Т, (13)
и для любого т 6 (ОТ]
О w(x,t) р(г), 0 a(x,t) <р(р(т)), (x,t) € Qir- (14)
Доказательство. Пусть и(х, t), а(%, t) — решение зада-
чи (1)-(4). Так как u(x,t), a(x,t) € Сдфгг], то из (1)> (2) следует,
что aM(a;,t), urt(ar,i) Е C[Qit]- Обозначим через v(x,t) = ut(x,t)
и w(x,t) = at(z,t). Функции v(x, t) и w(x,t) являются решением
задачи
v, + wt = 0,	(xrt) е Qit,
wt = <p'(u)v — w, (x,t)EQir,
v(O,t)=	Q<t^T,
w(x,O) = 0,
(15)
(16)
(17)
(18>
169
Интегрируя, уравнение (16) с условием (18), получим
t
w(x,t) = J ехр(—(t — r))^'(u(r> T))w(r> T)dT,	(19)
о
из (15), (16), (19) имеем
t
vr + <p'(u)v = J exp(—(t — т))<р'(и(х, r))v(x, r)dr.
о
Интегрируя это уравнение с условием (17), получим интегральное
уравнение Вольтерра 2-го рода для функции v(x,t)
v(x,t) — д'(i) ехр { — У ^(u(s> 0)^s| +	(20)
о
X t	X
4- У У ехр | - У p'(u(s> *))^s ~ (* - т)}Р*(«(С ’’))«($, r)d£ dr.
оо	f
Решение этого уравнения может быть записано в явном виде с
помощью резольвенты Г(х,1,£,т) уравнения (20)
х t
D(x,t) = /(x,t) + У J r(x,t,t,T)f(trfdrdt, (21)
о о
где f(x,t) = д'(t) ехр ( - f <f/(u(s,t))ds
' о
Так как ядро уравнения (20)
ехр | - J <pXu(s,t))ds - (t - т)|/(«((, г))
е
положительно, то Г(х,<,^,т)	0 для
Тогда, учитывая, что f(x,t) > 0 при 0^г^/и0<|^Т,
из формулу (21) получим, что v(x,t) > 0 при 0 С *	/, 0 <
t С Т. Следовательно, первое неравенство из (13) доказано.
Положительность at(x,l) при O^x^l, 0<t^T следует из
положительности ut(x,t) и формулы (19).
Докажем неравенства (14). Из (13) и уравнения (1) следует, что
Vx(x,t) < 0 для 0 х I, 0 < t Т, а из (9) и(х, 0) = 0 для 0 х I.
W0
Тогда из положительности ut(z,t) при 0 г I, 0 < t Т
следует, что для любого г > 0 в QiT выполнено неравенство
О u(r,<)	д(т). Из этого неравенства, свойств функции р(£) и
формулы (8) следует, что в Qrr 0 a(x,t) р(д(т)). Теорема 5.4.2
доказана.
Перейдем теперь к исследованию обратной задачи (1)-(5).
Определение. Функции u(x,t), a(x,t) назовем реше-
нием обратной задачи (1)—(5), если <р(£) удовлетворяет условиям
(7) « р(О е с2[о,д(Г)]; «(«ММ е cl[QIT]; p(u(r,t)), и(м) «
a(x,t) удовлетворяют (1)-(5).
Докажем вначале теорему единственности решения обратной
задачи в предположении аналитичности функции р(£).
Теорема 5.4.3. Пусть функция д(<) удовлетворяет условию
(6). Если	i =1,2, — решения обратной задачи
(1)-(5) и функции	аналитичны на интервале, содержащем
отрезок [0, д(Г)], mo<pi(£) = для£ G [0, д(Т)],	= U2(*>^),
ai(r,i) = a2(x,t) в Qrr-
Доказательство. Введем следующие функции:
v(x, <)=uj(х,t)-u2(x,t), w(r, t)=a!(r,t)-a2(x, t), a(O=Pi(£)-<fi2(£).
Разность <pi(ui(x,t)) — <p2(u2(x,t)) можно представить следую-
щим образом: <pi(ui(x,t)) — <p2(u2(x,t)) = pi(ui(r,<))— Рг(«1(аМ))+
<P2(vi(x,t)) — <p2(u2(x,t)). Следовательно,
Pi(ui(«,t)) - <f>i(u2(x,t)) = a(ui(x,t)) + p(x, t)v(x, t),
где
i
p(r,i) = J <p'2(u2{x,t) + 9(ui{x,t) - u2(x,t)))d9.
о
Так как функции <pi(ui(x,t)), щ(х,1), ai(x,t), i = 1,2, удовлетворяют
(l)-(4), то функции v(x,t) и w(x,t) являются решением задачи
+ wt = 0,	(r,<) e Qrr,	(22)
wt = p(x, t)v + a(ui(x, <)) — w,	(x,t) G Qrr,	(23)
v(0,i) = 0,	0 5% t T,	(24)
w(sc,0) = 0,	w V/ о	(25)
Интегрируя уравнение (23) с условием (25), имеем
t	t
w(x,t) = J exp(—(t-r))p(x,T)v(x,T)dT+J exp(-(t — T))a(ui(x,T))dT.
о	0
(26)
171
Используя это представление, уравнения (22), (23), получим
vx + р(ж, t)v =
о
о
Интегрируя это уравнение с условием (24), получим для фун-
кции v(x,t) интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода
/ ехР
о
т) la(u1(^,r))drd^+
о о
+//"prJ
0 0	(
с ядром
is
(27)
K(x,t,£, т) = exp — J p(s,t)ds — (t — r)Jp(£,r),
е
непрерывным и положительным при O^^^r^Z,
Обозначим через R(x,t,(,T) резольвенту уравнения (27). Тогда
решение этого уравнения
* »

е
о о
о
е
е
о о
о о
° ч
С г f
Л,т) [ f ехр(- /p(s,T)ds-(T-0))a(ui(jj,0))d0d»,dT<^.
И 4 {	7	(28)
172
Так как ядро K(x,t,6,r) непрерывно и положительно, то ре-
зольвента Я(«, t, б, т) непрерывна и положительна при 0 z I,
^Т. Рассмотрим функцию а(£). Так как ¥>»(£), i = 1,2,
аналитические на интервале, содержащем отрезок [0, р(Т)], то ли-
бо а(£) = 0 для £ G [0,р(Т)], либо существует & > 0, такое, что
|а'(£)| > 0 для £ € (0, &]• Покажем, что второй вариант невозмо-
жен. Предположим, что существует & > 0, такое, что |а'(£)1 > О
для £ G (О,£о]- Пусть для определенности, «'(£) > 0 для £ G (О,£о],
тогда и а(£) > 0 для £ G (О,£о]-
Обозначим через to корень уравнения p(t) = бо, если £о С и(Т),
в противном случае положим t0 = Т. Из неравенств (13), (14) для
функции ui(«, t) следует, что для	0 < t ^t0
О < uiGM) С Д(<о) = бо,
а значит, для этих г и t a(ui(z,t)) > 0.
Рассмотрим функцию
/(«,/) = - / exp ( - / p[s,t)ds\vt(ui(6>T))d£+
о е
X t	X
+ У У ехр	У p(s,t)ds -(t-r))a(ui(£,T))drd£
оо	(
для 0 х $ /, 0 < t <о- Так как функция а(£) монотонно
возрастает на [О,£о], то, учитывая неравенство (13) для функ-
ции ui(x,t), получим, что f(x,t) < 0 для 0 х I, 0 < t to-
Тогда, учитывая положительность Я(«,<,£,т), из формулы (28)
имеем v(z,t) < 0 для 0 х I, 0 < t to- Но так как u.(z,i)
удовлетворяют (5), то v(l,t) = 0 для 0 < t to- Полученное проти-
воречие доказывает, что а(£) = 0 для £ G [0,р(Т)]. Следовательно,
^х(£) = ^>г(£) Для б G [0,р(Т)]. Так как в Qn справедливо неравен-
ство 0	ui(z,<) Si р(Т), то из (28) следует, что ui(«,t) = u2(«, <)
в Qit Тогда из (26) получим, что aj(z,/) = a2(«,<) в Qit- Те-
орема 5.4.3 доказана.
В теореме 5.4.3 предполагалось, что функции y>i(£) и ^>г(£)
аналитические. Покажем, что теорему единственности решения
обратной задачи (1)-(5) можно доказать без этого условия, но,
предполагая, что у>(£) известна для сколь угодно малых положи-
тельных значений аргумента.
Теорема 5.4.4. Предположим, что функция удовлет-
воряет условиям (6). Пусть <fli(6)> Ui(x,t), ai(x,t), i =1,2, —
решения обратной задачи (1)-(5) а существует &> > 0, такое, что
У>1(€) = ^2^) для б € [0,£о]- Тогда 9>i(£) = ^2(£) для б € [0, д(Т)],
ui(x,t) = u2(z,t), ai(z,t) = a2(x,t) в Qit-
173
Доказательство. Рассмотрим формулу (28) для функ-
ции v(x,t). Введем функции
h(x,£,t) = exp
q(*,£tt,r) = h(x,£,t)exp(-(t - г)).
Положив в (28) х = /, получим, что при t € [О, 7]
У Л(/,^,<)а(и!(^,0М “ У У «(/,43,’’)a(«iU>r))rfr<^+
о	оо
i t	(
+ У Уя(М,£.г) у Л(^,>7,r)a(ul(>J,r))d^|drd^-
0 о	о
-п^Г/ ?(£,»?. г, 0)a(ui(»?, ))dOdT)drd£ — 0,
оо	оо
так как v(l,t) = 0 для t € [0,7]. Изменив в последних двух
интегралах порядок интегрирования и введя функцию
В(£, t,r) = q(l, £, t, т) — У h(r),£, r)R(l, t, т), r)dT)+
(
I t
+ У У «(»?,£,	9)d9dift
( r
получим, что при t € [0,7]
I	t I
У MU,f)o(«l(f,t)X- j j B(f,i,r)a(u1((,r)Hdr = O. (29)
0	0 0
Докажем, что из этого уравнения и условий теоремы следует,
что а(£) = 0 для £ € [0, ц(Т)]. Обозначим через То корень уравне-
ния p(t) = (о в случае р(Т) > &. В случае д(Т) утверждение
доказано. Из неравенства (14) следует, что в Qit0 выполнено
неравенство 0 ui(x,t) р(То) = £о- Так как по условию теоремы
174
<*(£) = 0 для £ е [О,£о], то a(ui(x,t)) = 0 в Qira- Тогда из (29)
имеем, что для t € [То,Т]
t I
То О
f,r)a(ui(£,r))ci£ dr = 0.
(30)
Из неравенства (13) и уравнения (1) следует, что
dui
<0, 0 х Ц Го t Г.
иХ
Учитывая это, сделаем замену переменных в интегралах, вхо-
дящих в (30), z — Ui^,t), £ = u7x(z,t). В результате, учитывая
равенства (3) и (5) дЛя функции ui(x,t), получим, что для t €ро,Т|
#*(*)	t Я(т)
J H(z,t)a(z)dz — У J Bo(z,t,r)a(z)dzdT = 0,	(31)
5(0	То г(т)
где
Я(2,О =
h(l, ux 1(z,t),t)
B0(z,/,-r) =
BCui^z.rXi.r)
Из (13) следует, что функция g(t) является монотонно воз-
растающей. Рассмотрим число Т\ € (То, Т], являющееся корнем
уравнения g(t) = р(Т0) = & при д(Т) > ft(To) или равное Т при
д(Т) д(То). Так как а(г) = 0 для z € [О,д(То)], то для t € [То,Ti]
(31) можно записать в виде
д(0
Д(То)
t я(»-)
То я(То)
Bq(z, t, r)a(z) dz dr = 0.
Поменяв во втором интеграле порядок интегрирования и введя
переменную в = p(t), получим интегральное уравнение Вольтерра
1-го рода для функции a(z)
в
У Q(.-,0)o(.-)rf.- = O, ^[//(ТоМТ)].
м(То)
(32)
175
где
м-1(»)
=	j B^z^-\9),T)dr.
д-Цг)
Ядро уравнения (32) при z = 9 равно Н(0,р~1(0)). Из определе-
ния функции H(z,t) следует, что Q(0,0) < 0 при 0 G [р(7о), mCG)L
Из определения функции H(z,t) и B0(z,/,r) следует, что при
^(7о) z 0	m(7j) существует непрерывная частная произ-
водная Qg(z,0). Тогда, дифференцируя уравнение (32), получим
однородное уравнение Вольтерра 2-го рода для функции a(z):
Следовательно, a(z) = 0 для z G [р(7о), д(71)] и a(z) = 0 для
z G [О,Л*(Г1)].
Рассмотрим число 7г 6 (Ti, 71], являющееся корнем уравнения
g(t) = (ifli) при д(Т) > ^(71) или равное Т при д(Т) p(7i).
Тогда аналогично предыдущему получим, что a(z) — 0 для z G
[р(Т1),д(Тг)] и a(z) = 0 для z G [О,д(Тг)]- В результате, повторив
конечное число раз подобные рассуждения, получим, что a(z) = О
для z € [0,^(7")]. Следовательно, = ^г(^) для £ G [0,^(7)],
из (28) и (26) имеем ui(sc,/) = U2(x,i), ai(x,t) = аг(&Л) в Qit-
Теорема 5.4.4 доказана.
Замечание. Обратная задача (1)-(5) представляет собой
задачу определения зависящего от решения коэффициента гипер-
болического уравнения. Действительно, если ц(х,/), д(ж, t) —
решения задачи (1)-(4), то функция u(x,t) является решением
задачи
+ 9?z(u)ut + uc = 0, 0 х /, 0 t Т,
u(O,t) =
u(sc, 0) = 0,	0 х I.
Таким образом, обратная задача состоит в определении ко-
эффициента <р'(и) по дополнительной информации и(/,/) = g(t),
О t Т.
Задача (1)-(4) представляет собой достаточно простую модель
процесса сорбции. Обратные задачи для более сложных моделей
рассмотрены в [27, 28].
Наряду с обратными задачами, возникающими при анализе
сорбционных процессов, важный класс обратных задач, в ко-
торых неизвестный коэффициент зависит от решения, образуют
задачи, связанные с исследованием тепловых процессов. Зави-
симость теплофизических коэффициентов от температуры, как
правило, необходимо учитывать при достаточно высоких темпе-
ратурах. Примером уравнения, описывающего процессы такого
типа, является квазилинейное уравнение теплопроводности
c(u(x,t))ut = (й(ц(1,/))иг)г + f(u(x,t))	(33)
176
с коэффициентами, зависящими от решения.
Для этого уравнения можно ставить обратные задачи, состоя-
щие в определении коэффициентов уравнения по дополнительной
информации.о решении некоторой краевой задачи для уравнения
(33). Исследованию задач такого типа посвящены работы [17,
34, 36, 60, 100] и ряд других. Достаточно подробный обзор этих
обратных задач имеется, например, в [2].
Глава VI
ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ФУНКЦИИ ПО ЗНАЧЕНИЯМ
ИНТЕГРАЛОВ
В предыдущих главах были рассмотрены обратные задачи для
дифференциальных уравнений. Эта глава посвящена обратным
задачам другого типа. В них требуется восстановить функцию
одной или нескольких переменных по семейству интегралов от
этой функции.
$1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ ПО ЗНАЧЕНИЯМ ЕЕ
ИНТЕГРАЛОВ. ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
При анализе различных прикладных проблем, а также в ряде
теоретических исследований возникает задача определения фун-
кции f(x) по значениям ее интегралов
ь
j f(x)<pn(x)dx = цп, п = 1,2,...,	(1)
а
где {^>п(х)} — заданная система функций.
В том случае, когда система функций {^>п(х)} является пол-
ной ортонормированной системой в пространстве L2[a, 6], задача
определения f(x) из равенств (1) представляет собой задачу вос-
становления функции по ее коэффициентам Фурье цп. Из общей
теории рядов Фурье в гильбертовом пространстве [37] следует,
что для любой последовательности {рп} 6 /2 существует единст-
венная функция /(х) G Ь2[а,Ь], такая, что равенства (1) выполнены
при всех натуральных п и имеет место равенство Парсеваля
НЛ1и,ч = 1Х
П=1
.Таким образом, если поставленную задачу сформулировать
как задачу решения операторного уравнения Af = {цп}, где опе-
ратор А, определяемый равенствами (1), действует из простран-
ства L2[a, 6] в /2, то задача решения этого уравнения является
корректной. Действительно, решение уравнения существует и
178
единственно для любой правой части {/лп} € /2, а непрерывная
зависимость f(x) от {дп} следует из равенства Парсеваля.
Рассмотрим теперь случай, когда оператор А предполагается
действующим из пространства С[а,Ь] в /2, т.е. ищется непрерыв-
ная функция /(ж), удовлетворяющая равенствам (1). Эта задача
является некорректной. Действительно, задача имеет решение
не для любой последовательности чисел {дп} G (?• Для того
чтобы доказать это, достаточно взять функцию f(x) 6 L2[a,6],
но не являющуюся непрерывной на отрезке [а, 6]. Соответствую-
щая ей последовательность коэффициентов Фурье {Дп} € /2. Из
единственности решения задачи определения функции по ее коэф-
фициентам Фурье следует, что для последовательности {Д„} Е /2
не существует непрерывной на [а,Ь] функции /(т), такой, что пос-
ледовательность {Дп} является ее коэффициентами Фурье. Таким
образом, корректность задачи восстановления функции-/(ас) по
значениям ее интегралов (1) существенно зависит от того, в ка-
ком пространстве ищется неизвестная функция /(ас). Методы
определения непрерывных функций по их коэффициентам Фурье,
заданным приближенно, достаточно подробно изложены в [81].
Рассмотрим теперь задачу определения функции /(ас) по зна-
чениям ее интегралов в более общей постановке, а именно без
предположения о том, что система функций {рп(ас)} является пол-
ной ортонормированной. Задача построения функции /(ас), такой,
что для нее выполнены равенства (1), где {^п(ас)} — заданная по-
следовательность функций, а цп — заданная последовательность
чисел, называется проблемой моментов. Можно рассматривать
два варианта проблемы моментов — конечномерную и бесконеч-
номерную. В первом случае число функций у>п(х) и чисел цп в ра-
венствах (1) конечно, а во втором — бесконечно. Рассмотрим эти
задачи в предположении, что функции ^п(х) Е	и искомая
функция /(г) также ищутся в этом пространстве. Сформулирован-
ные задачи удобнее исследовать в более общей, чем интегральная,
постановке. Будем предполагать, что в сепарабельном гильбер-
товом пространстве Н задана последовательность элементов <рп,
а также задана последовательность чисел рп- Требуется опре-
делить элемент / 6 Н, такой, что (/,рп) = Рп, п = 1,2,., JV
(конечномерная проблема моментов), или (/,рп) = цп, п = 1,2,...
(бесконечномерная проблема моментов). Если в постановку зада-
чи включается условие того, что искомый элемент f должен быть
таков, что ||/|| $ /, где I — некоторое заданное число, то соответ-
ствующая задача называется конечномерной (бесконечномерной)
/-проблемой моментов.
Рассмотрим бесконечномерную проблему моментов. Единс-
твенность решения этой задачи определяется полнотой системы
элементов <рп. Действительно, если система элементов <рп полна,
то из равенств (y>n,u) = 0, п = 1,2,..., следует, что и = 0, а
179
значит, решение бесконечномерной проблемы моментов единст-
венно. Решение конечномерной проблемы моментов всегда нее-
динственно. Действительно, пусть f — решение конечномерной
проблемы моментов (/, <рп) = цп, п = 1,2,..., N. Обозначим через
Hi подпространство, ортогональное к конечномерному подпрост-
ранству, порождаемому элементами	Тогда решением
данной проблемы моментов наряду с f будет являться элемент
f + ф, где ф — произвольный элемент из Hi. Отметим, что
решение конечномерной /-проблемы моментов при определенных
условиях может быть единственным. Действительно, пусть <рп,
п = 1,2,..., — ортонормированный базис в Н. Рассмотрим ко-
нечномерную /-проблему моментов: (/, <рп) — цп, п — 1,2,
||/|[	/. Разложим искомый элемент / в ряд по элементам <рп
оо	N	оо
/== 5Z/<n*:,n+ 52
п=1	п=1	п=Х-Ц
Записывая для / равенство Парсеваля, имеем
N	оо
ил12=52Х+ 52 (л*’»)2-
п—1	n=7V+l
Из этого равенства следует, что если М — 22^=1М2 < /2,
то решение конечномерной /-проблемы моментов существует и
неединственно, если М — /2, то решение существует и единственно,
и, наконец, если М > I2, то решение не существует.
Рассмотрим вопрос о разрешимости проблемы моментов. Оче-
видно, что, за исключением тривиальных случаев, исследование
разрешимости бесконечномерной проблемы моментов более слож-
но, чем конечномерной. Однако вопрос о разрешимости бесконеч-
номерной /-проблемы моментов может быть сведен к исследованию
разрешимости конечномерных проблем моментов. Пусть дана
система элементов <рп и последовательность чисел цп, требуется
найти элемент /, такой, что — Цп для п - 1,2,... и ||/|| $ /.
Теорема 6.1.1. Для разрешимости бесконечномерной I-
проблемы моментов необходимо и достаточно, чтобы, при любом
натуральном N существовало решение конечномерной 1-проблемы
моментов для тех же <рп и рп.
Доказательство. Необходимость этого условия оче-
видна, так как если элемент / является решением бесконечномер-
ной /-проблемы моментов, то он будет являться решением конеч-
номерной /-проблемы моментов для любого натурального N.
Докажем теперь достаточность. Обозначим через fn решение
конечномерной /-проблемы моментов
(/лг,¥>й) =П =.1,2,..., N, Ц/лгЦ /.
ISO
Для любого элемента последовательности fa, N = 1,2,..., вы-
полнено условие ||/лг[[ Следовательно, из последовательности
fa можно выделить подпоследовательность слабо сходящую-
ся к элементу /. Из слабой сходимости к f и ограниченности
норм ||/xk|| I следует, что ||/|| I. Так как (fa„,<Pn) = Мп,
п = 1,2,..., Nt, то, переходя в этих равенствах к пределу при
Nt —* оо и учитывая слабую сходимость fak к /, получим, что
(Л<Рп) = Мп, п —1,2,....
Следовательно, элемент / является решением бесконечномерной
/-проблемы моментов и теорема доказана.
Покажем, что в случае линейно независимой системы эле-
ментов <рп конечномерная проблема моментов разрешима всег-
да. Пусть задана линейно независимая система элементов <рп,
п — 1,2,... ,N, и числа цп, п — 1,2, ...,N. Рассмотрим орто-
нормированную систему элементов $j, j — 1,2, ...,N, получен-
ную из <рп в результате процесса ортогонализации =w>/llwjlb
- Vi ~ l?k=\(Vj>fa'№k- Тогда <pn - ^=l(Vn,^j)$j,	# 0
для n — 1,2,. ,.,N. Рассмотрим систему линейных алгебраичес-
ких уравнений
= fin, n = l,2,...,N,
i=i
относительно неизвестных Cj, j = 1,2, ...,N.
Это система с треугольной матрицей, на диагонали которой
стоят элементы (•/>„,Фп), отличные от нуля. Следовательно, сис-
тема имеет единственное решение Cj, j = 1,2..N. Покажем,
что элемент
N
fa =
J = 1
является решением конечномерной проблемы моментов. Действи-
тельно, так как	= 0 при j > п, то для всех п = 1,2...Л
, .V	v п
( /.V  Vn ) = ( Cj C'j . <рп ) — 'У Cj (Vj < Vn ) =	•
^j=l	'	j=\
Таким образом, в случае линейно независимой системы элементов
<рп конечномерная проблема моментов имеет решение при любых
числах Цп. При каких условиях будет существовать решение
конечномерной /-проблемы моментов? Пусть fa- — построенное
выше решение конечномерной проблемы моментов. Обозначим
181
через Bn линейный оператор, действующий из RN в RN и опре-
деляемый матрицей с элементами бу =	i,j = 1,2,
Так как эта матрица треугольная и на ее диагонали расположены
не нулевые элементы, то при всех натуральных N оператор Bn
имеет ограниченный обратный В^1. Тогда
IlZvIlff = 57(Zv> V’j)2
n=l	n=l
Следовательно, элемент fN будет являться также и решением
конечномерной /-проблемы моментов, если
П=1
Предположим, что выполнены следующие условия. Система ли-
нейно независимых элементов <рп такова, что НВ^1)! В для всех
натуральных N. Последовательность чисел цп, п = 1,2,..., та-
кова, что элемент {цп} Е I? и ||{/м}||12 = М- Тогда, если Вц I,
то существует решение бесконечномерной /-проблемы моментов.
Действительно, при этих предположениях для любого натураль-
ного N существует решение /у конечномерной проблемы момен-
тов для набора чисел д,-, г = 1,2,...,/V. Тогда
/ N х 1/2
НМн НВуЧИ	В||{дп}||,2 = вд.
'п=1	'
Следовательно, если Вд I, то конечномерная /-проблема момен-
тов имеет решение для любого натурального N и из теоремы 6.1.1
следует, что существует решение бесконечномерной /-проблемы
моментов.
Изложенные результаты непосредственно применимы для ис-
следования исходной задачи (1) в случае," когда решение /(ж)
ищется в пространстве Ь2[а>4- Они представляют собой анализ
достаточно простого варианта проблемы моментов. Другие пос-
тановки проблемы моментов связаны с ее решением в более общих
функциональных пространствах, а также исследованием этой за-
дачи для конкретных систем функций <рп(х)- Отметим в связи
с этим, что существуют термины степенная проблема моментов
(9?п(ж) = ж”) или тригонометрическая проблема моментов. Озна-
комиться с этими и другими вопросами, связанными с проблемой
моментов и ее приложениями, можно по книгам [5, 12, 38, 39] и
имеющейся в них литературе.
Остановимся на проблеме единственности восстановления фун-
кции /(ж) Е L^[a, б] по ее интегралам дп, определяемым равенства-
ми (1), где {у>п(ж)} — заданная система функций. Формальный от-
вет на этот вопрос достаточно-прост. Задача определения /(ж) из
182
равенств (1) имеет единственное решение, если система функций
{9’п(ж)} полна в пространстве £2[а,6]. Однако главная проблема,
как правило, состоит в том, чтобы выяснить, является ли полной
данная конкретная система функций {у>п(ж)}- Одним из наиболее
известных классов полных систем в пространстве Z2[a, i>] являют-
ся системы собственных функций задачи Штурма-Лиувилля (см.
теорему 3.3.3 и более подробно [54]). Очевидно, что существуют
полные системы функций, не являющиеся собственными функция-
ми задачи Штурма-Лиувилля. Хорошо известный пример такой
системы — система степенных функций {ж”}, п = 0,1,..., пол-
нота которой следует из теоремы Вейерштрасса о равномерном
приближении непрерывной на отрезке алгебраическими много-
членами. Рассмотрим более общую ситуацию. Пусть система
функций <рп(х) = жа", где ап — некоторая последовательность
положительных чисел. Справедлива следующая теорема [35].
Теорема 6.1.2. Если f(x) € L2[0,1], положительные числа
ап, п = 1,2,..., таковы, что limn_oo ап = оо, j у- = оо а
1
f f(x)xandx = 0, n = 1,2,..., то f(x) = 0.
о
Отметим, что к исследованию полноты системы функций мо-
жет быть сведена задача исследования единственности решения
линейного интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода. Дей-
ствительно, если ядро K(t,x) уравнения
ь
K(t,x)f(x)dx — g(t), с t d,	(2)
а
таково, что на отрезке [с, </] существует последовательность точек
tn, Такая, что система функций у>п(ж) = К(1п,х) полна в простран-
стве Т2[а, 6], то решение уравнения (2) единственно в Ь2[а,6].
Приведем в заключение пример сведения обратной задачи
для обыкновенного дифференциального уравнения с параметром
к проблеме моментов. В гл. 3, §3 была рассмотрена задача
определения коэффициента а(х) дифференциального уравнения
у'{х, А) + Аа(ж)у(ж, А) = 1
по функции 95(A) = з/(1, А), где з/(х,А) — решение этого уравнения,
удовлетворяющее условию у(О,А) 0. Эта задача сводится к
интегральному уравнению
1 1
ехр { — А У a(0)d0jdf = 95(A)
о €
183
относительно неизвестной функции а(х). Обозначив через
1
Ж) = У a(0)dff,
«
получим уравнение
1
J exp{-A/?(£)}d£ = р(А)
о
для функции 0(£). Дифференцируя это равенство п раз и полагая
А = 0, получим
1
/(№))n(-i)n^ = ^(n)(0).
о
Следовательно, обратная задача сводится к задаче определе-
ния функции /?(£) по значениям ее интегралов
1
=	п=1,2,...,	(3)
о
где ип = (—1)”^”(0) — заданные числа. Предположим, что /?(£) G
Сх[0,1], 0'(£) < 0 при ( G [0,1} и известно значение /3(0). Пусть
для определенности 0(0) = 1. Сделав в равенствах (3) замену
переменных г = 0(g), получим
1
У f(x)xndx = -ип. п = 1,2,...,	(4)
о
где f(x) = 1/0,(0~1(х)), а 0~г(х) — функция, обратная к 0(g).
Так как
1 1
[ f(x)dx = [ ^-(0-1(x))dx = 0-1(l)-0-1(O) = -l,
J	J	ах
о	ft
то с учетом (4) рассматриваемая обратная задача сводится к
степенной проблеме моментов, состоящей в определении функции
f(x) по ее интегралам
1
У f(x)xndx = цп, п = 0,1,2,...,
о
где цп — заданные числа. Единственность решения этой задачи
в пространстве Lz[0,1] следует из полноты системы степенных
функций {rn}, п = 0,1,2..в этом пространстве. Отметим, что
проведенная редукция нелинейной задачи определения функции
0(g) по семейству ее интегралов vn, задаваемых равенствами (3),
к линейной задаче возможна и для более общего случая. Пусть
требуется определить функцию 0(g) G Сх[0,1], 0(0) = 1, 0(1) = 0,
0'(g) < 0 для £ € [0,1], если известны значения интегралов
1
I ^,0(^ = 1^, п = 1,2,...,
о
где К(п, 0) — заданная функция. Сделав в этих интегралах
замену переменных х = 0(g), f(x) = 1/0'(0~1(х)), имеем
1
У K(n,x)f(x)dx = —цп, п=1,2,....
о
Таким образом, мы получили задачу, близкую к линейной задаче
(1), сформулированной в начале параграфа, с системой функций
<рп(х) = К(п,х), п = 1,2,... .
$2. ЗАДАЧИ КОМПЬЮТЕРНОЙ ТОМОГРАФИИ
Компьютерная томография стала широко известна в связи с
созданием и интенсивным применением медицинских томографов.
В настоящее время томографические методы активно используют-
ся не только в медицине, но и при решении различных технических
задач, например в неразрушающем контроле качества изделий, и
в целом ряде научных исследований.	____—
^Рассмотрим схему томографического эксперимента в рентге-
нодиагностике. Тонкий (линейный) пучок рентгеновских лучей
просвечивает плоское сечение тела. Изменение интенсивности
излучения в результате прохождения через тело фиксируется де-
тектороьс] Подобные измерения проводятся для всевозможных
направлений просвечивающего пучка. В результате обработки на
компьютере данных этого эксперимента получается двухмерное
(в плоскости сечения тела) изображение.
(Пусть функция f(x, у) представляет собой коэффициент по-
глощения рентгеновских лучей в точке (х,у), рассматриваемого
плоского сечения. Тогда относительное уменьшение интенсивнос-
ти излучения на малом отрезке Д/ в точке (х, у) равно f(x,y)£l.
184
185
Обозначив через Jo начальную интенсивность пучка, а через Ji
его интенсивность после прохождения через тело, получим '
J1
Jo
= exp

L
где L — прямая в плоскости сечения, совпадающая с направлени- !
ем пучка. Так как величина Jj/Jo измеряется для всевозможных J
прямых, лежащих в плоскости сечения, то в результате^рассматри- 1
ваемая проблема сводится к задаче определения функции f(г, у) |
по ее интегралам	|

L
взятым по каждой из прямых L, лежащих в плоскости сечения. я
Задача восстановления функции двух переменных, заданной 1
на плоскости, по значениям ее интегралов вдоль прямых была |
поставлена и решена Радоном в 1917 году [103]. Интенсивное раз- 1
витие работ по томографии и их применение в медицине началось |
примерно через полвека после работы Радона.	I
Рассмотрим более формализованную постановку задачи. 1
Уравнение прямой на плоскости можно задать следующим об- J
разом:	I
хсов<р + ysinip = р.	(1) 1
Здесь [р| — длина перпендикуляра, опущенного из начала коор- •
динат на прямую, а <р — угол между осью г и перпендикуляром. .
Таким образом, семейство прямых на плоскости представляет со-
бой двухпараметрическое семейство £(р, <р), в котором параметр
р принимает значения от —оо до +оо, а <р — от 0 до 2х. Из
уравнения (1) следует, что пары (р, <р) и (—р, <р + х) задают одну
и ту же прямую.
Преобразованием Радона называется отображение функции
f(x,y), заданной на плоскости, во множество ее интегралов по
всем прямым, лежащим в этой плоскости. Так как интеграл от
функции f(x,y) по прямой L(p, <р) зависит от параметров р и <р, то
’ преобразование Радона можно записать в виде
«(Р>Р)= / f(*,y)<U-	(2)
Перейдем от уравнения (1) к параметрическому представлению
прямой
х = рсов<р — tsm<p, у = psia<p+ tcosu>,
186
где t € (—00,00). Тогда формулу (2) можно записать следующим
образом:
«(₽,¥>)= / /(₽
cos <р — t sin p,psin <р +1 cos <p)dt.
(3)
Отметим, что преобразование -Радона существует не для всякой J
функции f(x, у), определенной на плоскости. Из формулы (3) j .
следует, что оно не определено, например, для f(x,y) = const / 0. ( £
1 Задача восстановления функции f(x, у) по семейству интеграл^ .
ь лов от этой функции и(р,<р) представляет собой задачу обраще-
I ния преобразования Радона. Рассмотрим сначала эту задачу для\
радиально-симметричной функции f(x,y), обращающейся в ноль \
вне круга радиуса R с центром в начале координат.
Итак, пусть f(z,y) = /0(\/*2 + !/2) Для г2 + у2 С Я2, где f0(z)
непрерывна на отрезке [0, Ji] и /(«,!/) = 0 при г2 + у2 > R2. Вы-
числим преобразование Радона от этой функции. Очевидно, что
и(р, <р) = 0 при (р| > R. Пусть |р| < R, тогда
оо	Vя -Р
u(p, р)= j f(p cosip—t sin р,р sin p+t cos <p)dt= j fo(\/p2+t2)dt,
-у/Я3-р3
или
u(p,p) = 2 / fo(VP2 + <2)«Й> IpI < R-
(4)
Из этого представления для преобразования Радона следует, что
в рассматриваемом случае оно не зависит от переменной <р и четно
по переменной р. Учитывая это, в дальнейшем будем обозначать
преобразование Радона через и(р), где р Е [О, Я]- Сделав в (4)
замену переменных 0 = ^/р2 +t2, получим
R
J у/ё2^
(5)
Таким образом, задача обращения преобразования Радона в
случае радиально-симметричной функции f(x,y) сводится к зада-
че решения интегрального уравнения (5) с известной функцией
и(р) и неизвестной /о(0), которую требуется определить.
187
Интегральное уравнение (5) представляет собой интегральное
уравнение 1-го рода с переменным пределом интегрирования.
Своеобразие уравнения (5) состоит в том, что его ядро
у/в2-р2
О С Р я,
имеет интегрируемую особенность. Исследование подобных урав-
нений было начато Абелем, поэтому их обычно называют урав-
нениями типа Абеля. Отметим, что интеграл, стоящий в левой
части уравнения (5), определен для любой функции /о(0) 6 С[0, Я]-
Получим явную формулу для решения уравнения (5). Умножим
(5) на р(р2 - s2)-!/2 и проинтегрируем по р от s до R
R	л	я
P-Ww^dp= [ptf-^-v^dp. (в)
J	J y/fp—p1	J
Обозначим левую часть этого равенства через J(/o) и преобра-
зуем ее. Меняя порядок интегрирования, получим, что
л	в
W - / V»w(/
Вычислим внутренний интеграл. Введем новую переменную
z = (2р2 - О2 - s2)/(02 - s2). Тогда р2 = (О2 - s2)z/2 + (02 + s2)/2 и
________pdp__________
Кр2 - «2)(*2 -р2)]1/2
1 } __________________________(О2 - s2)dz_____________________________
4 J [(02 - s2)z/2 + (в2 - в2)/2]1/2[(^2 _ e2j/2 - (02 - e2)z/2]i/2 "
— 1
1
_ 1 f dz 1	. и ir
~2j (Г1^2)1/2 = 2агС8Ш(г)1-1 = 2-
— 1
Следовательно,
я
J(/o) = 2г / fo(0)edO
1S8
и (6) можно записать в виде
я	я
% J fo(9)0d0 = J р(р2 - s2)_1/2u(p)dp.
8	3
Дифференцируя это равенство по s, получим формулу для решения
уравнения (5)
я
/0(8) =	[р(р2 - S2)"1/2и(р)dp.	(7)
its as J
I
Из этого представления следует, что решение уравнения (5) I
единственно в пространстве непрерывных функций, а значит, ’
радиально-симметричная функция f(x, у) = /о(\/®2 + !/2) однознач-
но определяется своим преобразованием Радона.^_
Рассмотрим вопрос о корректности задачи решения уравне-
ния (5) в случае, когда интегральный оператор К fa, стоящий
в левой части уравнения (5), рассматривается действующим из
пространства С[0, Я] в Ся[0, Я] — пространство непрерывных на
[О, Я] функций, обращающихся в нуль в точке Я. Из уравнения (5)
следует, что условие и(Я) = 0 есть необходимое условие разреши-
мости этого уравнения в классе непрерывных функций. Формула
(7) дает некоторые основания надеяться на то, что дли данной
пары пространств задача решения уравнения (5) корректна. По-
кажем, что это так.
Рассмотрим на отрезке [О, Я] последовательность неотрица-
тельных непрерывных функций /п(0), таких, что fn(9) — 0 при
е е [0,а].и [ап,я], где ап = а + 1/п и ||/„||с[о,Я] = п1/4- Тогда фун-
кции un(p) = Kfn неотрицательны на отрезке [О, Я] и равны нулю
при р е [ап,Я]. При р е [а,ап]
«п(р) 5% n1/4 [	= ”1/42\/^2 — Р2|р’ =
р
= пх^42\/а2 — р2 const п~х/4,
а при р € [0, а]
«.а»«-|== =	=
а
— пх^42(^/а^ — р2 — ^/а2 — р2) const п-1^4.
189
Следовательно, ||«п||ся[о,я] const п х/4. Таким образом, при
п -> оо ||/п||с[о,я]	а ||«»11сл[о,я] -* 0 и рассматриваемая
задача неустойчива.
^Перейдем теперь к исследованию задачи восстановления фун-
кции /(г, у) по ее преобразованию Радона и(р, у>) в обшей пос-
тановке (без предположения о радиальной симметрии /(г, у)). В
дальнейшем будем предполагать, что функция f(x, у) принадлежит
множеству бесконечно дифференцируемых на плоскости функций,
таких, что
sup
(г,»)€Яэ
Хку1
^f{x,y)
дх^дуЧ
< оо
(8>
для всех неотрицательных целых чисел к, I, n, р, q (n = р-4- д).
Покажем, что для функций f(x,y), обладающих указанными
свойствами, преобразование Радона и(р, существует и для него
при р € (—оо,оо), у> € [0,2тг] выполняется оценка
1«(р>*’)1< (ГГР)372-	<9)
где С — положительная постоянная.
Из условия (8) следует, что существует положительная посто-
янная Ci, такая, что для всех (х,у) G Я2
l/(*’!')l С ((1 + х2)(1 + У2))2'
Из этой оценки и формулы (3) для преобразования Радона сле-
дует, что
оо
|u(p, у>)| J \f(pcosip — t sin <р, psin <p + t cos <p)\dt
— OO
00
Ct J (1 + (pcostp — tsiny>)2)-2(l + (psiny> +1 cosy»)2)-2 dt.
— OO
Так как
(1 4- (pcosy> — tsiny>)2)(l + (psiny>4-1cosy»)2)
1 + (pcosy, — tsiny»)2 4- (psin y> 4-tcos y>)2 = 1 -f-p2 -f-t2,
TO
OO
J«(P.< <7x / (1+^+tiy
— OO
190
Тогда, учитывая то, что
[ dx 1 х \	f х\
J	= 2??Ч^ + 2а5	+““»
имеем
(П7)375
и оценка (9) доказана.
Замечание. Из условия (8) можно доказать более высокую
скорость стремления к нулю |ц(р, р)| при |р( —> оо, чем в оценке (9).
Установим связь между преобразованиями Фурье функции
/(х, у) и ее преобразованием Радона u(p, р). Из оценки (8) следует,
что для функции f(x,y) существует двухмерное преобразование
Фурье
ОО оо
/(w1(w2)= — J J exp(-iwix-iw2y)/(x,y)dxdy.
—оо — оо
Из оценки (9) следует, что для любого р существует одномер-
ное преобразование Фурье функции и(р,р) по переменной р
©О'
й(ш, р) = —==. I ехр(—iwp)u(p, p)dp.
v2ir J
—OO
Покажем, что преобразования Фурье /(«i, wj) и «(w, р) связаны
между собой следующим образом:
\ f (ш cos р,ш sin р) =-у==й(ш,р). i	(10)
V.	- ~J
Рассмотрим
ОО оо
/(wcosp,wsiny>) У у ехр (-iu>(xcosp + ysinp))f(x,y)dxdy.
—оо —оо
Сделаем в этом интеграле замену переменных х = pcosp — <siny>,
у = psin р + t cos р. Так как
Р(х, у) _ cos р — sin р _
D(p,t) — sinip cosy> ~ '
a
—iw(x cos p + у sin p) =
= —iw(p cos2 p — t sin p cos <p + psin2 p +1 sin <p cos <p) = —iup,
191
то
f{w cos <p, w sin <p) =
/(pcos <p — t sin <p, psin <p +1 cos <p)dt dp.
Из формулы (3) для преобразования Радона следует, что
/(w cos <р, ш sin <р) =
ОО
У ехр(—гшр)и(р, <p)dp.
— ОО
Учитывая определение одномерного преобразования Фурье, име-
ем
/(wcosy>,wsin

и формула (10) доказана.
Из формулы (10) следует, что функция f(x, у) однозначно опре-
деляется преобразованием Радона. Действительно, пусть функ-
ции /1(®>У)> /2(2, у) таковы, что Ui(p, <р) = и?(р,<р) длярб (—00,00)
и <р € [0,2-я-]. Тогда их разность /о(^,у) = fi(x,y) — fa(x,y) бу-
дет иметь преобразование Радона «о(р, <р) = 0 для р G (—00,00)
и <р € [0,2-я-]. Следовательно, преобразование Фурье от «о(р,<f>)
по первому аргументу йо(«,у>) = 0 для всех ш G (—00,00) и
<р € [0,2т]. Тогда из формулы (10) получим, что преобразова-
ние Фурье функции fo(x,y) — функция /0(« cos <р, ш sin <р) = 0 для
всех и 6 (—оо, оо) и <р 6 [0,2я]. Из этого равенства следует, что
для всех (wi,w2) € Я2 преобразование Фурье /о(иь«2) = 0, по-
скольку для любых (wi,w2) € Я2 система уравнений wcosy> = wi,
wsiny> = ш2 относительно w и <p имеет решение ш € (—00,00),
<р G [0,2т]. Таким образом, преобразование Фурье /0(«1,w2) тож-
дественно равно нулю при (wi,w2) € Я2, а значит, и fo(x,y) = 0
для (х,у) € Я2. Следовательно, fi(x,y) = /2(х,у) для (х,у) € Я2.
Формула (10), называемая часто проекционной теоремой, явля-
ется основой для одного из алгоритмов восстановления функции
f(x,y) по ее преобразованию Радона и(р,<р). Алгоритм следует
непосредственно из формулы (10). По заданной функции и(р, <р)
вычисляется преобразование Фурье й(ы, <р), затем из формулы (10)
вычисляется двухмерное преобразование Фурье /(wj, w2) и оконча-
тельно по /(wi,w2) вычисляется f(x,y). При реализации этого ал-
горитма на практике необходимо учитывать проблемы, связанные
с вычислением прямых и обратных преобразований Фурье от фун-
кций, заданных приближенно.- Другой особенностью алгоритма
192
является то, что при его реализации необходимо пересчитывать
значения функции /(wcos<p,wsinyj), заданной в полярной системе,
в значения /(«1,«г) в декартовой системе координат (u>i
Рассмотрим теперь формулу обращения преобразования Радо-
на, т.е. формулу вычисления /(аг, у) по и(р, <р), полученную Радо-
ном. Так как при вычислении значений искомой функции в некото-
рой точке можно считать, что начало координат находится в этой
точке, ограничимся формулой для определения значения /(0,0).
Обозначим через Dq область, представляющую собой внеш-
ность окружности радиуса q с центром в нуле. Рассмотрим
двойной интеграл
J
/(at, y)dx dy
y/t2 + y2-q2'
(И)
С помощью замены переменных х = q cos ip—t sin <p, у = q sin <p+t cos ip
этот интеграл приводится к виду
о
2т оо
У f(qcos<p — t sin <p,q sin <p + t сов <p)dt,
о
или
2г
о
I f(qcos<p — tsin<p,qsin<p + tcos<p)dt.
о
Следовательно,
—оо
2т oo
I dip I f(q cos <p — t sin ip, q sin <p +1 cos ip)dt
J =
о
—оо
и с учетом (3)
(12)
2т
0
С другой стороны, сделав в интеграле (11) замену переменных//
х = rcosy>, у = rsiny>, получим
оо 2т
Г Г f(г cosip, rsm(y>))r<fy>dr
9 О
Я2
193
Обозначив через
имеем
2»
f(r cos <р, г sin <p)d<p,
(13)
f(r)rdr
^r2 — q2
Приравняв это выражение к величине, полученной в (12), получим
интегральное уравнение для неизвестной функции /(г)
2 /	2' =	0 < 9 < °°>	(14)
J yJr2 — q2
«
где
2»
«I
о
Уравнение (14) совпадает с уравнением (5), за исключением обоз-
начений, а также того, что в уравнении (5) верхний предел
конечен, а в (14) он бесконечен. Это различие произошло только
в силу того, что при выводе уравнения (5) предполагалось, что
/о(\/я2 + У2) равна нулю при х2 + у2 > R2.
Вычислим интеграл
ОО
J(u) =
oo
— lim [
я- J
— lim
я <—о
оо
о
Используя (14), имеем
2 г /1 f f(r)rdr
J(u) = - hm I - /
Я »—0 \E J y/r2 _ e2
ОО ОО „
f(r)rdrdq
г2 - q2
ч ' ’
Меняя порядок интегрирования во второминтеграле, получим
7(й) =
ОО _	ОО
[ f(r)rdr	[
rdq \
-~==dr I.
124
Так как неопределенный интеграл
то
5/r2 — q2
r2q
+ const,
Следовательно,
Вычислим первый интеграл. Так как
ТО
dr
ry/r2 — £
1 А
= -arctg
(15)

Докажем, что второе слагаемое, которое обозначим через J2,
стремится к нулю при е —> 0. Обозначим через «(Л) модуль
непрерывности функции /(г) на отрезке [0,1]. Тогда для е < 1
195
где постоянная С такова, что |/(г)| С для г 0. Из (15)
следует, что
|Л| w(V*e)arctg
и Jt -* 0 при € —► 0.
Таким образом,
Л«) = 7(0)
и формула, полученная Радоном, имеет вид
/(0,0) = /(0) = -1 7^.
я J q
о
Отметим в заключение одну из наиболее важных проблем в
задачах компьютерной томографии, связанную с тем, что на
практике, как правило, не удается экспериментально определить
функцию u(p,ip) — преобразование Радона для всех значений р и
<р. Недостаток в информации может порождать неединственность
при восстановлении функции f(x,y). Одним из возможных спо-
собов решения этой проблемы является сужение класса функций
/(х, у). Более подробно задачи такого типа, а также другие задачи
компьютерной томографии и методы их исследования излажены
в [62, 82].
§3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
ПО ЕЕ ИНТЕГРАЛАМ ПО СЕМЕЙСТВУ
ОКРУЖНОСТЕЙ. ЗАДАЧИ ИНТЕГРАЛЬНОЙ
ГЕОМЕТРИИ
Рассмотрим задачу определения функции двух переменных
f(x,y) по интегралам от этой функции, вычисленным по семейс-
тву окружностей, произвольного радиуса, центр которых лежит
на фиксированной прямой. Эта задача в более общей постам
новке, состоящей в определении функции п переменных по всем
сферам в n-мерном пространстве, центры которых принадлежат
фиксированной плоскости, изучена в [41, 49].
Пусть функция f(x,y) определена и непрерывна для всех
(х,у) € Я2. Рассмотрим семейство окружностей произвольного
радиуса с центром, лежащим на фиксированной прямой, в качест-
ве которой, для определенности, возьмем координатную ось у = 0.
Окружность (х — а)2 + у2 — г2, принадлежащую этому семейству,
196
обозначим через L(a, г). Исследуемая задача состоит в опреде-
лении функции f(x,y) по функции д(х,т), представляющей собой
интеграл от /(х, у) по окружности L(x, г)
5(^г)= J f
Ь(Г,г)
(1)
заданной для всех х € (—оо,оо) и г > 0.
Поставленная задача в классе непрерывных функций имеет
неединственное решение. Покажем, что для любой непрерывной
функции f(x,y), такой, что f(x,y) = —/(х,— у), интегралы
j
Ь(®,г)
равны нулю при всех х € (—оо,оо) и г > 0. Сделав замену
переменных £ = х + г сое tp, т = rsintp, получим
2т
Ь(е,г)	О
х	2х
У f(x + rcostp, г sin <p)r dtp + f f(x + г cos tp, г sin <p)r dtp.	(2)
О	х
Последний интеграл с помощью замены переменной tp = 2тг — <р и
условия f(x,y) = ~f(x,—y) можно преобразовать так
2т	О
X
J f(x + г cos tp, г sin <p)r dtp.
Подставив это выражение в (2), получим, что
Ь(г,г)
для х € (—оо,оо), г > 0. Таким образом, все интегралы от f(x,y)
по окружностям L(x,r) равны нулю, если f(x,y) является нечетной
197
по у. Так как любая функция /(г, у) может быть представлена в
виде суммы четной и нечетной по у функций
/(Х)У) = Л*’У) + 7(г,-у) + f(z,y)~ f(x,-y)
то очевидно, что вопрос об однозначном определении f(x,y) по
семейству интегралов д(х, г), определяемых формулой (1), можно
ставить только для четной по у функции f(x,y).
Теорема 6.3.1. Непрерывная при всех (х,у) G Я2 функция
f(x,y), четная по переменной у, однозначно определяется функцией
g(x,r), заданной при х G (~оо,оо), г > 0.
Доказательство. Рассмотрим функцию
о
0
D(r,r)
где область D(x,r) — множество точек (£,т), таких, что (£ —
х)2 + т2 Г2
Найдем частную производную функции G(x, г) по х. Так как
Р(«,г)
ТО
г *+Vr3—г2
“Г Г——Та
(3)
Покажем, что
^“(х’г)=“ У +	(4)
Г(0,г)
198
Введя параметрическое представление кривой ЦО, г) с пара-
метром т, получим
т)—/( х— yjг2—т2, т)] dr.
Из этого представления и формулы (3) следует формула (4).
Рассмотрим
J f(£,r)£dl~ J f(x + t,r)(x + t)dl =
L(r,r)	L(O,r)
— x j f(x + £,r)dl + J f(x+ £,r)£dl.
L(0,r)	£(0,r)
Учитывая формулу (4), а также то, что
p(x,r)= J f(£,r)dl — j f(x+£,r)dl,
U*,r)	L(O,r)
имеем
/OG
ffi,r)£dl - xg(x,r) + r—(x,r).
ox
b(«,r)
Таким образом, если известна функция д(х, г), то известны
интегралы от функции f(x,y)x по семейству окружностей Цх,г).
Следовательно, мы получили задачу, аналогичную исходной, но
для функции f(x,y)x. Повторяя преобразования, аналогичные
предыдущим, получим, что если известна д(х, г), то известны
J Kt,r)edi
L(r.r)
для всех х 6 (—оо,ос» и г > 0 Продолжив этот процесс, будем
иметь, что интегралы
J f(£,r)tndl, п = 0,1,...,
L(r,r)
199
известны для всех х € (—оо,оо) и г > 0.
Предположим, что есть две функции fi(x,y) и /2(2, у), четные
по у, такие, что соответствующие им <п(х,г) и д2(х,г) равны
для всех х е (-00,00) и г > 0. Покажем, что fi(x,y) = /2(2, у)
для (х,у) Е R2- Функции f(x,y) = Л(х,у) — ЛСс, у) соответствует
р(х, г) = 0 для всех х € (—оо, оо) и г > 0. Следовательно, учитывая
предыдущее, имеем
/ f(t,r)tndl = O, п = 0,1,...,	(5)
Ь(г.г)
для всех х е (—00,00), г > 0. Переходя к параметрическому
представлению кривой, имеем
/	г _	,__________ /	(f-x\2
fa,r)?dl= J /(£, y/r* - (^ x)2)Jl + r2 « JЛ+
r-f-r	I--------------
+1 hi,- « - x)2J1 + r2 (< ~	<%•
r—r	’
Таким образом, из четности /(х, у) по у следует, что равенства
(5) могут быть записаны в виде
п-0,1,2,...,
(6)
для всех х € (—00,00), г > 0.
Покажем, что из равенств (6) следует равенство нулю функции
7(х,у) при всех (х,у) € Я2. Пусть (xi,yi) — произвольная точка
плоскости. Проведем через нее окружность £(хо,гр) с центром
в точке (хо,0) и радиусом го > 0. Докажем, что f(x,y) = 0 на
окружности L(xo,ro). Записав равенства (6) для х = Хо и г = fq,
получим
®o+Fo
[ hi, Vr02 -Ц- хо)2) у л ......= О, п = 0,1,2,....
. J V	V’o-а- «о)2
Обозначив через
<p(i) =
hi,Vrl-(i-xoy)
х/^-(£-*о)2 ’
200
имеем
®o+ro
J ОГ« = о, п = о,1,...,
Го—ГО
ИЛИ
®о+го
I <рШ-(^-го)Г^ = 0, п = 0,1,....	(7)
Го—ГО
Функция <р(£) имеет интегрируемую особенность в точках xq— fq
и »о + го- Вводя функцию
®о+Го
= J
е
записываем равенства (7) для n = 1,2,... следующим образом:
®о+го
j <рШ-^о-го)Г^ =
ха—то
ха+то
=-^т-(хо-го))"|:“гг:+« / ^)(€-(хо-го))"-1^=о.
Го — ГО
В итоге имеем
Го+**о
/	- (*0 - го))” d£ = 0, п = 0,1.... (8)
Го —Го
Так как функция непрерывна на отрезке [z0 — го, xq + го],
а система функций (£ — (х0 — г0))п полна на этом отрезке, то из
равенств (8) имеем = 0 для£ € [х0 — го,хо+го]. Следовательно,
= О Ддя £ € [х0 — г0, х0 + г0]. Таким образом, f(x,y) = 0 на
окружности £(хо,го) и, в частности, /(xi,yi) = 0. Так как точка
(х1,У1) была >ййбрана произвольно, то f(x,y) = 0 для (х,у) 6 R2.
Теорема доказана.
Рассмотренную задачу и исследованную в предыдущем па-
раграфе задачу обращения преобразования Радона можно объ-
единить в следующей общей постановке. На плоскости задано
двухпараметрическое семейство кривых С(р, д). Требуется опре-
делить функцию двух переменных /(х, у), если известны значения
ее интегралов по кривым С(р, q)
д(р,ч)= j f(x,y)dl
G(p,i)
201
для параметров р и q, принимающих значения из некоторого за-
данного множества. Эта задача, в свою очередь, естественно
обобщается на многомерный случай. Пусть u(xi,...,xn) — дос-
таточно гладкая функция, определенная в n-мерном пространстве
Я”, а Р(А) — семейство гладких многообразий в пространстве Я”,
зависящих от параметров А = (Aj,..., Ап). Требуется определить
функцию u(zi,... ,хп), если известны интегралы
u(x)da,
Р(Х)
где da определяет элемент меры на Р(А).
Задачи такого типа называются задачами интегральной гео-
метрии [18, 49]. Исследованию задач интегральной геометрии
и их связи с обратными задачами для дифференциальных урав-
нений посвящено большое число работ (см., например, [49] и
имеющуюся там литературу).
ЛИТЕРАТУРА
1.	Алексеев А.С. Некоторые обратные задачи теории распространения
волн // Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1962. № 11. С. 1514-1531.
2.	Алифанов О.М., Артюхин Е.А, Румянцев С.В. Экстремальные методы
решения некорректных задач. М.: Наука, 1988.
3.	Аниканов Ю.Е. Об одной обратной задаче для обыкновенного
дифференциального уравнения // Мат. заметки. 1972. Т. 12, № 2. С. 163-166.
4.	Аниканов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обрат-
ных задач. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-нне, 1978.
5.	Ахиезер И.И. Классическая проблема моментов. М.: Физматгиз, 1961.
6.	Бабиков В.В. Метод, фазовых функций в квантовой механике. М.:
Наука. 1976.
7.	Баку шин ский А.Б., Гончарский А.В. Некорректные задачи. Численные
методы и приложения. М.: Изд-во Моск, ун-та, 1989.
8.	Бакушинский А.Б., Гончарский А.В. Итеративные методы решения
некорректных задач. М.: Наука, 1989.
9.	Басович И.Б. Определение переменной проницаемости цяаста в случае
радиальной симметрии по опытным откачкам из центральной скважины //
Прикл. математика и механика. 1974. Т. 38, № 3. С. 514-522.
10.	Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 2.	М.:
Физматгиз, 1962.
11.	Благовещенский А.С. О локальном методе решения нестационарной
обратной задачи для неоднородной струны // Тр. мат. ин-та АН СССР.
1971. Т. 115. С. 28-38.
12.	Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с
распределенными параметрами. М.: Наука, 1965.
13.	Бухгейм А.Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. Новоси-
бирск: Наука. Сиб. отд-нне, 1983.
14.	Вайникко Г.М. Методы решения линейных некорректно поставленных
задач в гильбертовых пространствах. Тарту: Изд-вс ТГУ, 1982.
15.	Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: На-
ука, 1981.
16.	Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: методы,
алгоритмы. Киев: Наукова думка, 1986.
17.	Волков В.М. Обратная задача для квазилинейного уравнения
параболического типа // Некорректные задачи математической физики и
анализа. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-нне. 1984. С. 227-228.
18.	Гельфанд И.М., Граев М.И., Виленкин Н.Я. Интегральная геометрия
и связанные с ней вопросы теории представлений. Сер. Обобщенные
функции, вып. 5. М.: Физматгиз, 1962.
19.	Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об определении дифференциального
уравнения по его спектральной функции // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1951.
Т. 15, № 4. С. 309-360.
20.	Гласко В.Б. Обратные задачи математической физики. М.: Изд-во
Моск, ун-та, 1984.
21.	Гласко В.Б., Мудреца в а Е.А., Страхов В.Н. Обратные задачи
гравиметрии и магнитометрии // Некорректные задачи естествознания. М.:
Изд-во Моск, ун-та, 1987. С. 89-102.
22.	Гурса Э. Курс математического анализа. Т. 3, ч. 2. М.: ОНТИ, 1934.
23.	Денисов А.М. О приближенном решении уравнения Вольтерра 1-го
рода // Жури, вычнсл. математики и мат. физики. 1975. Т. 15, № 4.
С. 1053-1056.
203
24.	Денисов А.М. Единственность решения некоторых обратных задач
для уравнения теплопроводности с кусочно-постоянным коэффициентом Ц
Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1982. Т. 22, № 4. С. 858-864.
25.	Денисов А.М. Метод решения уравнений 1-го рода в гильбертовом
пространстве // Докл. АН СССР. 1984. Т. 274, № 3. С. 528-530.
26.	Денисов А.М. Обратные задачи для нелинейных обыкновенных
дифференциальных уравнений // Докл. АН СССР. 1989. Т. 307, № 5.
С. 1040-1042.
27.	Денисов А.М. Единственность решения задачи определения нели-
нейного кинетического коэффициента // Журн. вычисл. математики и мат.
физики. 1992. Т. 32, № 4. С. 668-673.
28.	Денисов А.М., Туйкина С.Р. О некоторых обратных задачах неравно-
весной динамики сорбции // Докл. АН СССР. 1984. Т. 276, № 1. С. 100-102.
29.	Иванов В.К. Обратная задача потенциала для тела, близкого к
данному // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1956. Т. 20, № 6. С. 793-818.
30.	Иванов В.К. О линейных некорректных задачах // Докл. АН СССР.
1962. Т. 145, Ms 2. С. 270-272.
31.	Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах // Мат. сб. 1963.
Т. 61, № 2. С. 211-223.
32.	Иванов В.К. О приближенном решении операторных уравнений
нервого рода // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1966. Т. 6,
№ 6. С. 1089-1093.
33,	Иванов В.К, Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных
задач н ее приложения. М.: Наука, 1978.
34.	Исхендеров А.Д. Об одной обратной задаче длл квазилинейных
параболических уравнений // Дифференц. уравнения. 1974. Т. 10, № 5.
С. 890-898.
35.	Кайм аж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М.:
Фйзматгиз, 1958.
36.	Клибанов М.В. Об одном классе обратных задач для нелинейных
параболических уравнений // Сиб. мат. журн. 1986. Т. 27, К» 5. С. 83-94.
37.	Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функци-
онального анализа. М.: Наука, 1968.
38.	Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.
39.	Крейн М.Г., И уд ел ьм ан А.А. Проблема моментов Маркова и экстре-
мальные задачи. М.: Наука, 1973.
40.	Крейн С.Г. О классах корректности для некоторых граничных
задач // Докл. АН СССР. 1957. Т. 114, № 6. С. 1162-1165.
41.	Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964.
42.	Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного
переменного. М.: Наука, 1973.
43.	Лаврентьев М.М. О задаче Коши для уравнения Лапласа // Изв.
АН СССР. Сер. мат. 1956. Т. 20, № 6. С. 819-842.
44.	Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математичес-
кой физики. Новосибирск: Изд-во СО АН СССР, 1962.
45.	Лаврентьев М.М. Условно-корректные задачи для дифференциаль-
ных уравнений. Новосибирск: Изд-во Новосибирского ун-та, 1973.
46.	Лаврентьев М.М., Р езницкая К.Г. Теоремы единственности некото-
рых нелинейных обратных задач для уравнений параболического типа //
Докл. АН СССР. 1973. Т. 208, № 3. С. 531-533.
47.	Лаврентьев М.М., Реэницхая К.Г., Ясно В.Г. Одномерные обратные
задачи математической физики. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1982.
48.	Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Васильев В.Г. Многомерные об-
ратные задачи для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука.
Сиб. отд-нне, 1969.
49.	Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные
задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.
50.	Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская
теория. М.: Наука, 1974.
204
51.	Ландис Е.М. Некоторые вопросы качественной теории эллиптических
и параболических уравнений // Успехи мат. наук. 1959. Т. 14, № 1. С. 21-85.
52.	Латте с Р., Лионе Ж.Л. Метод квазиобращения и его приложения.
М.: Мир, 1970.
53.	Левитан Б.М. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.: Нау-
ка, 1984.
54.	Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию.
М.: Наука, 1970.
55.	Люетерник Л.А., Соболев В.Н. Элементы функционального анализа.
М.: Наука, 1965.
56.	Марченко В.А. Восстановление потенциальной энергии но фазам
рассеянных волн // Докл. АН СССР. 1955. Т. 104, № 5. С. 695-698.
57.	Марченко В.А. Спектральная теория операторов Штурма—Лиувиллл
и нх приложения. Киев: Наукова думка, 1977.
58.	Марчекхо В.А. Операторы Штурма-Лнувиллл и их приложения.
Киев: Наукова думка, 1987.
59.	Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных
задач. М.: Наука, 1987.
60.	Мрзылев В.В. Теоремы единственности для некоторых обратных
задач теплопроводности // Журн. вычисл. математики и мат. физики.
1980. Т. 20, № 2. С. 388-400.
61.	Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: На-
ука, 1969.
62.	Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии.
М.: Мир, 1990.	'
63.	Новиков П.С. О едииствениостн обратвой задачи Теории потенциа-
ла // Докл. АН СССР. 1938. Т. 18, № 3. С. 165-168.
64.	Погорелов А.Г. Обратные задачи нестационарной химической ки-
нетики. М.: Наука, 1988.
65.	Прилепко А.И. О единственности определения формы тела по
значениям внешнего потенциала // Докл. АН СССР. 1965. Т. 160,	1.
С. 40-43.
66.	Прилепко А.И. Обратные задачи теории потенциала // Мат. заметки.
1973, Т. 15, № 5. С. 755—765.
67.	Лшашких Б.И. Некорректные граничные задачи для дифференциаль-
ных уравнений с частными производными. Киев: Наукова думка, 1984.
68.	Робинсон Э.А. Спектральный подход к решению обратной задачи
в геофизике на основе преобразования Лоренца, Фурье и Радона // Тр.
ин-та инженеров по электротехнике и радиоэлектронике. М.: Мир, 1982.
Т. 70, № 9. С. 153-171.
69.	Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.:
Наука, 1984.
70.	Романов В.Г., Кабанихин С.И. Обратные задачи геоэлектрики. М.:
Наука, 1991.
71.	Самарский А.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983.
72.	Сергеев В.О. Регуляризация уравнения Вольтерра I рода // Докл.
АН СССР. 1971. Т. 197, № 3. 0. 531-534.
73.	Соболев С.Л. Уравнения математической физики. Мл Наука, 1966.
74.	Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в
математической физике. М.: Наука, 1986.
75.	Сретенский Л.Н. О единственности определения формы притягива-
ющего тела по значениям его внешнего потенциала // Докл. АН СССР.
1954. Т. 99, № 1. С. 21-22.
76.	Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // Докл. АН СССР.
1943. Т. 39, № 5. С. 195-198.
77.	Тихонов А.Н. О единственности решения задачи электроразведки //
Докл. АН СССР. 1949. Т. 69, № 6. С. 797-800.
78.	Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе
регуляризации // Докл. АН СССР. 1963. Т. 151, № 3 С 501-504.
205
79.	Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач //
Докл. АН СССР. 1963. Т. 153, № 1. С. 49-52.
80.	Тихонов А.Н. О нелинейных уравнениях первого рода // Докл.
АН СССР. 1965. Т. 161, № 5. С. 1023-1026.
81.	Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Метода! решения некорректных задач.
М.: Наука, 1986.
82.	Тихонов А.Н., Арсенин В.Я., Тимонов А.А. Математические задачи
компьютерной томографии. М.: Наука, 1987.
83.	Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные
уравнения. М.: Наука, 1980.
84.	Тихонов А.Н., Гончарский А.В. и др. Регуляризующие алгоритмы и
априорная информация. М.: Наука, 1983.
85.	Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики.
М.: Наука, 1977.
86.	Фаддеев Л.Д. Свойства S-матрицы одномерного уравнения Шредин-
гера // Труды мат. ин-та АН СССР. 1964. № 73. С. 313-336.
87.	Федотов А.М. Некорректные задачи со случайными «ошибками в
данных. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1990.
88.	Фридман А. Уравнения с частными производными параболического
типа. М.: Мир, 1968.
89.	Чудов Л.А. Обратная задача Штурма-Лиувилля // Мат. сб. 1949.
Т. 25, № 3. С. 451-454.
90.	Шадан К., Сабатье П. Обратные задачи в квантовой теории рас-
сеяния. М.: Мир, 1980.
91.	Amharzumijan V.A. Uber eine Frage der Eigenwerttheorie // Zeitschr. fur
Phisik. 1929. Bd.53. S. 690-695.
92.	Aronszain N. A unique continuation theorem for solution of elliptic partial
differential equations or inequalities of second order // J. Math, pures et appl. 1957.
V. 9, N 36. P. 235-249.
93.	Borg G. Eine Umkehrung der Sturm-Liouvillschen Eigenwertaufgabe // Acta
Math. 1946. Bd. 78, N 1. S. 1-96.
94.	Hadamard J. Sur les problems aux derivees partielles et leur signification
phisique // Bull. Univ. Princeton. 1902.
95.	Hadamard J. Le problem de Cauchy et les equations aux derivees partielles
lineares hyperboliques. Paris: Herman, 1932.
96.	John F. Continuous dependence on date for solutions of partial differential
equations with a prescribed bound // Comm. Pure and Appl. Math. 1960.
N 4. P. 551-585.
97.	Kulik P.Pl, Riaby V.Av Rozanov E.K. The electrical and thermal conductivi-
ties of highly non ideal alkali metal Plasmas // Transport properties of dense plasmas.
Berlin: Academic-Verlag, 1983. P. 33-53.
98.	Levinson N. The inverse Sturm-Liouville problem // Math. Tidsskr. Ser. B.
1949. P. 25-30.
99.	Levinson N. On the uniqueness of the potential in a Schrodinger equation
for a given asymtotic phase // Kgl. Danske Vid. Selsk. Mat.' Fys. Medd. 1949.
V. 25, N 9. P. 1-25.
100.	Lorenzi A. An inverse problem for a quasilinear parabolic equation // Ann.
di Mat. pura ed appl. 1985. V. 142. P. 145-169.
101.	Mizohata S. Unicite du prolongement des solutions pourquelques operateurs
differentiels paraboliquers // Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto. Ser A. 1958. N 31.
P. 115-130.
102.	Pucci C. Sui problem! Canchy non ’ben posti’ // Atti Accad. naz. Lincei.
Rend. Cl. Sci. fis. mat. e natur. 1955. V. 18, N 5. P. 473-477.
103.	Radon J. Uber die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integfawerte
langs gewisser Mannigfaltigkeiten. Berichte Sachsische Akademic der Wissenschaften,
Leipzig. Math.-Phys. KI. N 69. S. 262-267. [Имеется перевод в кн.: Хелгасон. С.
Преобразование Радона. М.: Мир, 1983.]
Учебное издание
ДЕНИСОВ АЛЕКСАНДР МИХАЙЛОВИЧ
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ
Зав. редакцией Л.А. Николаев
Редактор И.М. Рогова
Художественный редактор Ю.М. Добрянская
Технический редактор Н.И. Матюшина
Оператор П?ВМ К.Е. Панкратьев
Корректоры В.П. Кададинская,
Т.С. Милякова,