Ю.К.Алексеев,
А.П.Сухоруков
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ
КАТАСТРОФ
Допущено Министерством образования
Российской Федерации в качестве учебного пособия
для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлениям «Физика»,
«Прикладная математика» и специальности «Физика»
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
2000

УДК 515.164.15
ББК 22.16
А 47
Рецензенты:
кафедра нелинейной динамики Высшего колледжа прикладных наук
Саратовского государственного университета,
профессор Ю. А. Кравцов
Алексеев Ю. К., Сухорукое А. П. Введение в теорию катастроф
А 47 — М.:Изд-во МГУ, 2000. —173с.
ISBN 5-211-04163-1
Книга написана на основе лекций, читаемых авторами в течение
ряда лет для студентов старших курсов физического факультета МГУ.
Курс лекций ставит своей целью ознакомить студентов с относительно
новым разделом математической физики — теорией особенностей
отображений множеств, называемой также иногда теорией катастроф, и ее
приложениями в физике. Теория особенностей лежит на стыке таких
областей математики, как дифференциальные уравнения,
математический анализ, топология, геометрия, абстрактная алгебра, и
представляет собой вполне самостоятельную дисциплину, вооружающую
исследователя мощным, хорошо развитым и строго обоснованным
аппаратом исследования различных физических явлений в наиболее
интересных, «критических» ситуациях.
Для студентов, аспирантов, инженеров и научных сотрудников
физических специальностей.
УДК 515.164.15
ББК 22.16
ISBN 5-211-04163-1 © Алексеев Ю.К., Сухорукое А.П., 2000 г.,
© Физический факультет МГУ, 2000г.

Машина катастроф
3
Лекция 1
МАШИНА КАТАСТРОФ ЗИМ АН А
1. Введение
Настоящий цикл лекций ставит своей целью ознакомить
студентов и аспирантов физического факультета с относительно
новым разделом математического анализа и теоретической
физики — теорией особенностей отображения множеств, называемой также
иногда теорией катастроф, и ее приложениями в физике. Теория
особенностей лежит на стыке таких областей математики, как математический
анализ, топология, геометрия, абстрактная алгебра, и представляет
собой вполне самостоятельную дисциплину, вооружающую исследователя
мощным, хорошо развитым и строго обоснованным аппаратом
исследования различных физических явлений в наиболее интересных,
«критических» ситуациях.
Рассмотрим пример. Пусть, исследуя какую-то физическую систему,
мы получили, что ее потенциальная энергия описывается следующей
функцией от некоторого параметра х:
V = х4.
Двигаясь по «классическому» пути анализа данной ситуации, находим
из уравнения
dx
точку равновесия х = 0 этой системы и, поскольку в этой точке х4
имеет минимум, приходим к выводу, что равновесие устойчивое. На этом
обычно изучение системы завершается.
С точки зрения же теории особенностей анализ этой ситуации только
начинается и он включает в себя несколько этапов. Во-первых,
необходимо исследовать полученный потенциал на структурную
устойчивость. В данном примере потенциальная функция явно неустойчива,
поскольку малое ее возмущение приводит к качественно другой
топологии потенциала:
V = х4 - ех\
где г < 1, V уже имеет три положения равновесия: два минимума и
один максимум (рис. 1).
Во-вторых, поскольку изучаемое явление является структурно
неустойчивым, для полного его исследования необходимо найти
достаточное объемлющее семейство потенциальных функций,

4
Лекция 1
l
/ х* I
х V-/
Рис.1
х4 — ех^ 1
\У х 1
включающее наш потенциал и делающее всю систему
структурно устойчивой. Этому на практике соответствуют такие изменения
условий эксперимента за счет добавления достаточного количества
новых воздействий на систему (включение магнитного или
электрического поля, учет гравитации, освещенности и т.д.), при которых
возникают устойчивое наблюдение изучаемого явления и хорошая
воспроизводимость результатов измерений, не зависящие от малых возмущений и
посторонних воздействий. Теория особенностей дает возможность
найти такое структурно устойчивое минимальное объемлющее семейство
функций, в данном случае оно имеет вид
Уаь = я4 + «я2 + Ьх,
где a, b — некоторые параметры. При этом тот факт, что в это
семейство не надо включать слагаемые х3 и хп, n > 5, является далеко не
тривиальным.
В-третьих, после приведения изучаемой физической ситуации к
структурно устойчивому виду теория особенностей предоставляет мощный
арсенал приемов исследования полученного семейства функций, в
частности дозволяет найти бифуркационное множество в пространстве
управляющих параметров, разделяющее области с качественно разным
поведением системы, выявить характерные признаки явления —
катастрофические прыжки, гистерезис, расходимость, модальность и другие
«флаги катастроф», присутствующие и в нашем случае.
В-четвертых, полученная информация о системе дает возможность
классифицировать изучаемую ситуацию в ряду хорошо изученных
стандартных катастроф и тем самым подключить накопленный багаж
сведений к нашему явлению, не изобретая каждый раз заново велоси-

Машина катастроф
5
пед. В данном примере мы имеем дело с одной из простейших каспоид-
ных катастроф, называемой «сборка Уитни», которая чрезвычайно часто
встречается в различных физических, химических, биологических и
других системах.
И, наконец, с экспериментальной точки зрения теория катастроф
бывает полезна, например, в случаях, когда наблюдается плохая
повторяемость эксперимента. Здесь не поможет накопление статистики, вместо
этого надо правильно проанализировать ситуацию и выяснить, что не
учтено, сколько должно быть введено новых независимых управляющих
факторов. На эти и другие вопросы отвечает теория катастроф.
2. Краткий исторический обзор
Теория катастроф, или теория особенностей, возникла не на пустом
месте. Поскольку в природе ситуации с вырождением тех или иных
отображений встречаются достаточно часто, они уже давно привлекали
исследователей. Так, еще в средние века Леонардо да Винчи обратил
внимание на явление образования каустической поверхности в потоке
световых лучей, которое является примером простейших катастроф.
Термин «каустика» ввел Чирнгаузен.
Г. Ф. А. Лопиталь (около 1700 г.) и А.Кэли A868) исследовали
перестройки волновых фронтов на плоскости и их особенности.
У.Р.Гамильтон A837-1838) применил исследование критических
точек семейств функций к изучению особенностей систем лучей в
геометрической оптике (коническая рефракция, двойное лучепреломление).
К. Г. Я. Якоби A866) исследовал каустики системы геодезических
эллипсоида, выходящих из одной точки, обнаружил устойчивость точек
возврата на каустиках.
Нельзя не упомянуть и некоторых математиков XIXв., внесших
заметный вклад в предысторию теории катастроф. Это Ю.Плюкер и
Сальион, которые классифицировали типичные особенности кривых и
поверхностей, двойственных гладким. Л. Кронекер в 1878. г. описал
поверхность, называемую «ласточкин хвост», являющуюся, как мы увидим
дальше, бифуркационным множеством одноименной катастрофы и
которая вошла в учебник по геометрии Г. Вебера A898) и каталог Гриля
A892) гипсовых поверхностей в кабинетах геометрии старых
университетов. А. Кэли в 1852 г. исследовал типичные особенности отображений
R2 —? R3, в том числе так называемый «зонтик Уитни» — отображение
типа z2 = ху2, геометрию семейств эквидистант, каустику трехосного
эллипсоида («кошелек»); в 1868г. Кэли явно сформулировал задачу о
топологии семейств линий уровня гладкой функции общего положения,

6
Лекция 1
исследовал бифуркации в некоторых типичных трехпараметрических
семействах функций двух переменных. Математики итальянской школы
(Бертини и др.) в своих работах ввели и использовали алгебраические
аналоги теорем трансверсальности.
Дж. У. Гиббс в 1873 г. описал перестройку изотерм диаграммы Ван
дер Ваальса с применением геометрии особенности типа «сборка Уит-
ни». Дж. К. Максвелл в 1875 г. придумал правило равных площадей
(или «принцип Максвелла»), используемое для определения момента
фазового перехода в среде. Фазовые переходы в различных средах — еще
один пример катастрофических явлений в природе, они также строго
описываются теорией особенностей.
Переходя к нашему столетию, необходимо прежде всего отметить
Ж. А. Пуанкаре A854-1912), который в своей диссертации и сочинении
«Новые методы небесной механики» (т.I, пп.37, 51; т.III, гл.28) далеко
развил теорию бифуркаций, в том числе и более сложных, чем широко
известная «бифуркация Хшфа». Наш соотечественник А. А. Андронов
и его школа в 1931 г. выступили с обширной программой построения
качественной теории дифференциальных уравнений. В этой теории уже
присутствуют идеи структурной устойчивости («грубости»),
коразмерности («степени грубости»), бифуркационные диаграммы, явная
классификация бифуркаций общего положения, исследование складок и сборок
гладких отображений поверхности на плоскость.
Я. Б. Зельдович в 1940 г. проанализировал морсовскую перестройку
кривой равновесия на плоскости фазовой переменной и параметра,
обнаружив при этом рождение так называемых «островов» и их слияние. В
1970 г. он применил эти результаты для объяснения образования
скоплений пылевидной материи в космосе, образования галактик.
Дж. Б. Эйри, Дж. Б. Пирси, М. А. Леонтович, В. А. Фок
провели анализ волнового поля вблизи каустики и ее осбенностей, получили
осциллирующие интегралы, фаза которых представляет собой
нормальную форму катастроф складки и сборки соответственно.
Большое внимание проявлял к явлениям, содержащим
катастрофические особенности, Л.Д.Ландау. Его незаурядная интуиция позволила
найти верные подходы и построить теорию таких явлений, как
возникновение турбулентности, где он использовал бифуркацию Хопфа для
квадрата амплитуды колебания. В описании фазовых переходов 2-го рода
он дал анализ бифуркаций критических точек симметричных функций.
В теории фейнмановских интегралов, зависящих от параметров, он
обнаружил устойчивые точки возврата и т. д.

Машина катастроф
7
Закончив с «доисторическим периодом» теории особенностей и
катастроф, коротко остановимся на истории ее возникновения. В 1955 г.
американский ученый X. Уитни опубликовал работу «Об отображениях
плоскости на плоскость», заложив в ней основу математической теории
особенностей гладких отображений. В этой статье он показал, что в
случае «общего положения» в этом отображении встречаются особенности
лишь двух видов, называемые теперь его именем, это «складка Уитни»
и «сборка Уитни». Складка задается функциями уг = х\, у2 = х2 и
ее наглядно можно представить при отображении поверхности сферы на
плоскость (рис.2), точками складки являются точки экватора сферы.
Сборка имеет вид у\ = х\ + Х\Х2, у2 = #2 и изображена на рис.3.
Проекции особых точек в этом отображении образуют на плоскости
кривую с характерным острым углом, или клювом. Особенности этих двух
типов чрезвычайно часто встречаются в природе, достаточно, например,
посмотреть на окружающие нас предметы, обратив при этом внимание
на особенности отображения их поверхности на сетчатку нашего глаза.
Но, собственно, основателем теории катастроф является Рене
Фредерик Том A923 г. р.), французский алгебраический тополог, который в
1972 г. опубликовал свою основополагающую работу «Структурная
устойчивость и морфогенез». В этой и других работах он классифицировал

8
Лекция 1
Рис.3
катастрофы коразмерности 4, показал их многочисленные применения от
физики и биологии, устойчивости кораблей, формы облаков, до
психологических и социологических процессов.
Идеи Р.Тома нашли многочисленных последователей. Дж.Мазер
провел большую работу по математическому обоснованию теории
катастроф. Э. К. Зиман, профессор Уорикского университета, предпринял
героические усилия по приложению теории особенностей в различных
науках, в том числе в биологии и социальных науках. Он придумал ряд
наглядных устройств, в частности «машину катастроф Зимана»,
которую мы рассмотрим в дальнейшем. Следует упомянуть и американского
математика С. Смейла, введшего понятие странного аттрактора и
описавшего переход колебательной системы к стохастическим колебаниям.
И, наконец, надо сказать о наших математиках, работающих в
области теории особенностей и внесших значительный вклад в ее развитие.
Это, прежде всего, В. И. Арнольд — выпускник мехмата МГУ,
академик РАН. Именно Арнольд и его ученики поставили теорию
особенностей на истинно научные рельсы, дали наиболее полную классификацию
катастроф до высоких значений коразмерности, построили теорию
перестройки каустик и волновых фронтов, описали катастрофы на
комплексных многообразиях, многообразиях с границами.

Машина катастроф
9
Сейчас теория особенностей отображений переходит в разряд
математической и теоретической дисциплины, аппарат которой должен
входить в научный багаж каждого молодого ученого, вне зависимости от его
узкой специализации.
3. Машина катастроф Зимана
В этой лекции мы проведем эксперимент и построим теорию для
некоторой механической системы, обладающей потенциальной энергией
вида х4, где х - некоторый параметр системы. Эта механическая система
называется «машина катастроф Зимана» и играет в теории катастроф
примерно такую же роль, какую играет в теории колебаний
механический маятник. Зиман придумал ее в 1969 г., ею занимались и другие
теоретики (Т. Постон, А. Е. Р. Вудкок, Дж.-Г. Дюбуа, Дж.-П. Дюфур).
Машина катастроф изображена на рис. 4. Она состоит из доски F, на
которой укреплен вращающийся диск G, насаженный на ось О, в точках
R на диске и А на доске закреплены стержни, к которым прикреплены
резинки AR и Си. Второй конец С резинки CR насажен на острие указки
Я, которое может перемещаться по листу L.
Если острие указки поместить в некоторой точке листа L, то диск
установится в некотором положении*. При движении острия С диск
будет поворачиваться. Оказывается, при некоторых положениях острия
указки малое изменение его положения способно вызвать «катастрофу»,
т.е. скачок диска в новое положение. Если отметить на листе бумаги
места всех таких «катастроф», то получается «кривая катастроф» В.
Полученная кривая катастроф имеет четыре острия, или, как еще
говорят, четыре точки возврата. При пересечении кривой катастроф
скачок может произойти, а может и не произойти, в зависимости от того,
по какому пути острие указки обходило точки возврата этой кривой.
Теперь, прежде чем продолжить изучение машины катастроф,
немного отвлечемся и определим некоторые понятия, которые нам пригодятся
в дальнейшем и которые сократят количество необходимых объяснений
при изложении материала лекции.
В настоящем курсе лекций мы ограничиваемся рассмотрением тех
катастрофических явлений, которые описываются в рамках теории
отображений множеств и их особенностей. Таким образом, мы не будем
рассматривать классические динамические системы, в частности колеба-
*Демонстрация на машине Зимана некоторых явлений: катастрофические скачки,
гистерезис, расходимость, бистабильность, недостижимость, структурно
неустойчивый эксперимент.

10
Лекция 1
*е»
тро
о
53
ж
3
3
1
L
^""cv
Я
р)
^\>
о
ч<5
А
1
Vs#
Dy^"
Lp
\ /Л
\ \
у/ "
эис. 4
' '
<3
3
CD
тельные системы, особенности поведения которых частично излагались
в курсе лекций по теории колебаний.
Обозначение: Отображение / точек ЛГ-мерного пространства в точки
М-мерногр пространства мы будем обозначать так: /: RN —> RM. #
При этом мы будем рассматривать лишь отображения в одномерное
пространство М = 1, т.е., проще говоря, будем изучать особенности
одномерных функций многих переменных.
Далее, как это обычно и бывает в эксперименте, все аргументы
функций / будем разделять на внутренние и внешние переменные. Это
разделение, конечно, условно, поэтому нижеследующее определение так и надо
рассматривать.

Машина катастроф
11
Определение 1: Внутренние переменные, или параметры
состояния, в отображении /: RN —> R — это те переменные, которые
должны изменяться для достаточного описания интересующего нас
явления. #
Эти переменные составляют n-мерное пространство Rn и его будем
обозначать также буквой S = Rn.
Определение 2: Внешние переменные, или управляющие
параметры, в отображении /: RN —> R — это те переменные, которые
при изучении данного процесса или явления остаются фиксированными.
r-мерное пространство управляющих параметров будем обозначать
буквой С — Rr. Другими словами, в отображении /: RN->R какие-
то переменные мы называем просто аргументами функции, а от других
переменных функция зависит параметрически.
Пример: Пусть мы изучаем изменение высоты h(t) полета камня,
брошенного под углом а к горизонту (рис. 5). Здесь время t можно принять
за внутреннюю переменную, а угол а, начальную скорость г>о, ускорение
силы тяжести g принять за управляющие параметры.
При другой постановке задачи можно считать h функцией от ?, г>0,
а, а силу тяжести #, коэффициент вязкости воздуха, его температуру,
скорость ветра, плотность выпадающих осадков — внешними
переменными, от которых функция h(t, Vq,o) зависит параметрически. #
Полное пространство аргументов в отображении /: RN —> R есть
декартово произведение* пространств внутренних S и внешних С
переменных, которое мы будем обозначать следующим образом:
^Напомним смысл декартового произведения: если Rn = {(x\,... ,хп)}, RT —
{(З/ь--- >2/г)}, то Rn х Rr = {(xi,... ,zn,t/i,... ,yr)} — пространство, точками
которого являются последовательности пЛ-г чисел или,1 иными словами, п + г-мерные
векторы.

12
Лекция 1
Обозначение:
RN = SxC = RnxRr. #
Возвращаясь к машине катастроф Зимана, рассчитаем
потенциальную энергию системы, причем в качестве внутренней переменной
возьмем угол поворота диска В вокруг своей оси, а за управляющие
параметры — координаты острия у казаки Н на плоскости доски.
Теперь для большей ясности изложения определим, не затягивая,
понятия «катастрофы» и «бифуркации».
Определение 3: Катастрофой называется резкое, скачкообразное
изменение состояния системы при малом изменении управляющих
параметров. #
Определение 4- Бифуркацией * называется приобретение нового
качества движения динамической системы при малом изменении ее па-
раметров. #
Таким образом бифуркация и катастрофа являются почти
синонимами, но их принято применять к различным исследуемым системам —
«динамическим» и «статическим» соответственно. Однако термин
«катастрофа» имеет и еще одно значение, которое мы также будем
использовать и которое имеет совершенно другой смысл:
Определение 5: Катастрофой называется стандартная
особенность в отображении множеств /: RN -> RM. #
Именно в этом смысле применяют этот термин, когда говорят
«катастрофа сборки» или «катастрофа ласточкин хвост». В этом втором
смысле термин катастрофа является синонимом особенности и
обозначает всю совокупность свойств функции в стандартной особой точке.
Термин «бифуркация» мы вводим также и потому, что нам далее
понадобится понятие «бифуркационное множество», которое определим
следующим образом:
Определение 6: Бифуркационным множеством или
сепаратрисой называется граница, разделяющая области пространства
управляющих параметров с качественно различным поведением изучаемой
системы. #
Теперь вернемся к машине катастроф. На примере этой механической
системы рассмотрим некоторые так называемые «флаги катастроф».
Определение 7: Флагом катастрофы будем называть ее какой-
либо существенный признак. #
* Физическая энциклопедия. М., 1988. Т. 1. С. 209.

Машина катастроф
13
Знать флаги катастроф полезно, поскольку иногда явление еще не
изучено и не «вскрыто», но по характерным признакам — «флагам» —
уже можно предположить, что оно содержит ту или иную катастрофу.
Первым таким- флагом определим «модальность»:
Определение 8: Модальность — это свойство объекта системы,
заключающееся в том, что при некотором значении управляющих
параметров возможны несколько положений равновесия системы
(несколько «мод»). #
В нашем случае, если конец указки располагается внутри / квадрата
В, то колесо машины имеет два устойчивых и одно неустойчивое
положения равновесия, т. е. модальность в системе присутствует.
Определение 9: Недостижимость — в системе одно из положений
равновесия не достигается и не наблюдается. #
В машине катастроф при положении конца указки внутри фигуры В
одно из положений равновесия неустойчиво и с квазистационарной точки
зрения, о которой и идет речь в нашем спецкурсе, не наблюдается.
Определение 10: Катастрофические скачки — скачкообразный
переход системы из одного положения равновесия в другое. #
В машине Зимана хорошо наблюдается этот флаг катастрофы.
Другой яркий флаг — гистерезис — также присутствет.
Определение 11: Гистерезис — переход системы из одного
состояния в другое и обратно при разных значениях управляющих параметров.
#
Еще одним интересным признаком катастрофы является так
называемая расходимость:
Определение 12: Расходимость — малое изменение пути в
пространстве параметров приводит к качественно отличному конечному
состоянию системы. #
В рассматриваемом случае, если двигаться из какой-либо точки вне
фигуры В внутрь ее и если обходить острие Р, ближайшее к кругу, с
одной либо с другой стороны, то конечный равновесный угол поворота
диска G будет совершенно различный, даже при одной и той же конечной
точке внутри В.
Здесь мы как раз встречаемся со случаем неверно организованного
эксперимента. Действительно, предположим, что мы экспериментально
изучаем поведение системы при движении указки по ее оси извне
синего квадрата вовнутрь. Результат опыта будет каждый раз отличный и
зависит от малейшего отклонения траектории указки от оси, случайной
флуктуации положения колеса, воздействия остаточного сухого трения и

14
Лекция 1
предыстории системы и т.д. Причем накопление статистики ничего не
даст: вероятность обоих положений равновесия одинакова.
Есть и другие флаги катастроф, мы их только перечислим:
расходимость линейного отклика, критическое смягчение моды,
аномальная дисперсия, последовательность вложенных
подпространств и др. Мы будем их рассматривать по мере появления в том
или ином конкретном случае.
4- Теория машины катастроф
В этом разделе мы построим теорию машины катастроф Зимана
обычными, традиционными методами, что даст возможность еще раз увидеть
их недостаточность и необходимость подключения теории особенностей.
При этом ограничимся лишь описанием поведения машины вблизи
одного острия фигуры В, а именно, вблизи точки Р. Поведение системы
вблизи других вершин фигуры В строится аналогичным образом.
Выберем оси координат (а,/?) в пространстве управляющих
параметров, а также внутреннюю переменную 9 так, как показано на рис. 4.
Положим для определенности диаметр колеса G и длины нерастянутых
резинок CR и AR равными единице, а расстояние О А = 2. Пусть также
расстояние от точки D — проекции точки С на ось АО — до точки О
OD = 5, а длины резинок I и V\ AR = /, CR = V.
Первой задачей построения теории является, естественно,
нахождение вершины Р квадрата В. Из симметрии системы ясно, что точка Р
лежит на оси АО. С другой стороны, граница В разделяет поверхность
L управляющих параметров на две области I и Е с качественно
различным поведением потенциальной функции от в: если точка С находится
во внешней области Е, то у нас одно устойчивое положение
равновесия (имеется в виду локальное положение равновесия, т.е. вблизи точки
в — О, глобально же есть конечно и неустойчивое положение с в = 7г, но
мы ограничимся построением локальной теории машины); если точка С
лежит во внутренней области / квадрата В, то мы имеем два
устойчивых и одно неустойчивое положения равновесия. Таким образом, квадрат
В является бифуркационным множеством, или сепаратрисой в
пространстве управляющих параметров.
Поскольку точка Р лежит на оси системы, мы рассмотрим движение
конца указки С по этой оси. Если Се Е, то равновесие устойчивое,
потенциал имеет минимум при 0 = 0. При С е I положение равновесия
с в = 0 является неустойчивым, т.е. потенциал имеет локальный
максимум. Следовательно, в точке Р должна произойти смена локального

Машина катастроф
15
минимума на локальный максимум в потенциальной функции
описываемой системы и из этого критерия найдем координату точки Р на оси
системы.
Обозначим через Л модули упругости резинок. Тогда потенциальная
энергия системы при расположении точки С на оси О А принимает
следующий вид:
Л
Хп>
Vtf) = i{l-ir + i(l'-lJ.
Рассчитаем длины резинок:
l = (AQ2 + QR2)l> =
B-r°s*J+Gsin*y
1
«!+!*+оD),
где мы использовали разложения sin в и cos в до квадратичных членов, а
обозначение 0D) означает члены порядка в4 и выше.
Аналогично вычисляется длина резинки CR (напомним, что точка С
лежит на оси АО, т.е. С = D):
l' = (DQ2 + QR2)$
>2\i _
(s + ~cos0j + ( -sin0J
i
1
:s + - +
2 2B5 + 1)
в2 + 0D).
Подставим эти выражения в формулу для потенциальной энергии, в
результате получим:
v,V» = -2
И-9,+'0
sBs-l)
3 2B5 + 1)
+ 0D).
Как мы увидим далее из так называемой леммы Морса, если
коэффициент при в2 не равен нулю, то при определении локального характера
поведения функции можно отбросить слагаемые 0D). Таким образом,
достаточно рассмотреть коэффициент при 02, в результате находим, что
переход от локального минимума энергии к максимуму происходит при
5B5 - 1) _ 1
2B5 + 1) ~ 3'

16
Лекция 1
т.е. при
7 + л/97
5Р = ——— ^ L4°-
Аналогичные рассуждения с заменой 0 = 0 на 0 = 7г позволяют
определить положение верхнего клюва Р':
27+ \/489 Л^
*р' = ^ « 2.46.
20
Можно найти и положения боковых вершин квадрата В, но там анализ
несколько сложнее.
Рассмотрим теперь подробнее поведение колеса G машины катастроф
вблизи точки Р. В этой точке 02 исчезает. 03 тоже отсутствует в силу
симметрии. Следовательно, нужно анализировать разложение в ряд
Тейлора с точностью до 04.
Используя координаты (а, /?) на плоскости управляющих параметров
(их направления показаны на рис. 4) получаем для длины резинки CR
следующее выражение:
/' =
(sP-a+-cos0J + f/?+-sin0J
выражение для / не изменяется. Далее, подставим / и /' в выражение для
потенциальной энергии, разложим его до слагаемых 04, a1, C1
включительно, т.е. положим значения управляющих параметров, равно как и
угол поворота колеса, достаточно малыми. В результате получим
VafiW) « Л @.54 + O.24/J0 + О.16а02 - O.O9/J03 + О.О4504) + 0E).
Таким образом, в самой точке Р потенциальная функция определяется
выражением:
VOO@) = A;04 + OE),
причем, как опять следует из леммы Морса, слагаемые 0E) можно
отбросить при рассмотрении.
Приведем потенциальную функцию к стандартному виду. Для этого
выберем масштаб энергии так, чтобы Л-0.045 = |, устраним кубический
член линейной заменой х = 0 — ^afe ' ^> изменим масштаб в
пространстве управления: (а,/?) —> (а,6) « A.8а, 1.3/?), а также сдвинем начало
отсчета энергии, чтобы исчез постоянный член. В результате получим
следующее выражение для потенциальной функции:
Vabix) = Trr4 + -ах2 + Ьх.
4 2

Машина катастроф
17
При «классическом» анализе мы, может быть, и оставили бы член х4, но
обосновать, почему можно отбросить х5, было бы уже сложно. Особенно
неочевидной ситуация становится в случае многих переменных.
Следуя по традиционному пути, найдем условие равновесия:
dx
или
х3 + ах + 6 = 0.
Природа корней этого уравнения зависит от дискриминанта
кубического уравнения
?> = 4а3 + 2762.
Если D < 0, то уравнение имеет три различных вещественных корня,
при D > 0 это уравнение имеет один вещественный и пару сопряженных
комплексных корней. При D = 0 все корни вещественны, но пара из них
совпадает при а Ф 0 или 6^0, если же D = а = 6 = 0, то совпадают
все три корня. Таким образом, природа корней, а значит, и равновесие
машины, зависит от положения свободного конца резинки по отношению
к кривой, определяемой уравнением D = 0 или
4а3 + 27Ь2 = 0.
Эта кривая называется полукубической параболой и имеет вид клюва,
изображенного на рис. 6.
В области внутри клюва мы имеем три положения равновесия,
кубическая парабола равновесия ведет себя так, как показано на рис. 7. При
этом одно из положений равновесия (среднее) неустойчиво.

18
Лекция 1
В области Е мы имеем один корень кубического уравнения (рис.8),
чему соответствует одно устойчивое положение колеса.
На границе клюва имеем пограничные случаи (рис. 9).
Таким образом, мы в принципе описали локальное поведение машины
катастроф вблизи точки Р. Однако целый ряд вопросов остался
открытым: до какого слагаемого необходимо производить разложение функции
в ряд Тейлора, насколько является полученная функция типичной и
структурно устойчивой, сколько надо добавить управляющих параметров,
чтобы получить хорошую повторяемость эксперимента, сколько всего
катастроф, описываемых функциями с двумя параметрами и т. д. Ответы
на них и дает теория особенностей дифференцируемых отображений.

Критические точки
19
Лекция 2
КРИТИЧЕСКИЕ ТОЧКИ И КРИТИЧЕСКИЕ ЗНА ЧЕНИЯ
Цель нашего спецкурса — научиться находить критические точки
в отображении множеств и выделять из них те, в которых
«сидят» катастрофы; научиться наводить порядок в таких точках,
т. е. расщеплять функцию на так называемую «морсовскую» и
вырожденную части, последняя из которых содержит в себе информацию
о катастрофе; исследовать отображение в критической точке, привести
его к структурно устойчивому виду; и, наконец, классифицировать
полученную катастрофу в ряду уже известных особенностей, подключая
тем самым всю накопленную ранее информацию к своей конкретной
задаче. В этой лекции мы начнем движение по этому пути, во многом лишь
напоминая уже известные из других лекций сведения.
1. Линейные отображения множеств
Рассмотрим некоторые свойства отображения множеств, которые нам
понадобятся в дальнейшем.
Определение 1: Отображение f:Rn-J> Rm называется линейным
отображением (линейным преобразованием), если f(x 4- у) — f(x) +
+ /(у), ЯАж) = А/(х) для всех x,yeRn,\eR. #
Пример: Отображение /: R2 —>• R вида z = f(x,y) = х — у есть
линейное отображение. #
Определение 2: Ранг линейного отображения /: Rn -> Rm есть
размерность его образа: rank/ = dim{f(Rn)} = dim{/(x)|a; G Rn}. #
Пример: В нашем случае rank/ = 1. #
Определение 3: Ядро линейного отображения есть множество
точек прообраза, образ которых есть 0: kern/ = {х € Rn\f(x) = 0}. #
Пример: kern (я - у) = {(я, у)\х = у}. #
Определение 4' Дефект отображения есть размерность его ядра:
defect/ = dim(kern/) = dim{x e Rn\f{x) = 0}. #
Пример: defect(z = f(x, у)) = dim(kern(/)) = 1. #
Еще нам понадобится понятие коразмерности подпространства.
Определение 5: Коразмерность подпространства есть
размерность объемлющего пространства минус размерность
подпространства и обозначается codim. #
Можно показать, что /справедливы следующие утверждения:

20
Лекция 2
Утверждение: Ранг линейного отображения /: В? -> R71 плюс его
дефект равны размерности пространства прообраза: rank/+defect/ =
= n. #
Пример: В нашем случае 1 + 1 = 2. #
Эквивалентное
Утверждение: Коразмерность ядра отображения равна его рангу:
codim(kern/) = rank/. #
Пример: codim(kern(rc - у)) = 1 = rank/. #
Определение 6: Линейное отображение /: jR" —>¦ #m называется
обратимым или невырожденным, если существует обратное
линейное отображение g: Я -* #п такое, ^то g(f(x)) = я а\я# всех х ? BJ1
и f(g{y)) = У для всех у € Дт. #
Определение 7: Линейное отображение / называется
вырожденным, если оно необратимо. #
Справедливо следующее
Утверждение: Линейное отображение /: Вп —> Лт невырождено
тогда
т — п и rank/ = n или, другими словами, defect/ = 0. #
И, наконец, напомним более конкретно вид линейного отображения в
матричной форме. Пространства Вп и Вт есть фактически множество
упорядоченных последовательностей чисел (#ь#2> ••• >#п) и (yi, ?/2> •••
• • ? J/m) соответственно. Выбрав в них некоторые базисы и1, и2,... , ип и
г;1, г;2, ..., г>т, получаем, что любая точка х € Вп представима в виде
¦ = (хьх2,... ,хп) =^2fj,iUl.
г=1
Действуя линейным преобразованием / на базис в пространстве-прообразе,
получаем
m
Определение 8: Матрица коэффициентов Лу/ М = (Л^) называется
матрицей линейного отображения. #
С помощью этой матрицы любое линейное преобразование, очевидно,
записывается в виде
п т п
/(*) = $Щ VtKjV3, где х = ]Г ^ul G Лп.
»=i j=i i

Критические точки
21
Определение 9: Стандартный базис — это базис вида
^ = (i,o,...,o),u2 = (o,i,...,o),...,nn = (o,o,...,i)e^n
или
^ = A,0,...,0),^2 = @,1,...,0),...,г;т = @,0,...,1)€Дт. #
В этих базисах любое линейное преобразование, очевидно, принимает
вид f(x) = f(xux2,... ,хп) = (xiAn + x2A2i H h xnA„i,... ,X!Aim +
-f Х2Л2т + • • * + ХпЛпт).
Замечание: Если говорить о матричном представлении линейного
отображения, то получается, что отображение невырожденно, когда невыро-
жденна матрица отображения, и ранг отображения равен рангу матрицы
отображения. #
2. Производная отображения множеств
Для нахождения бифуркационного множества в той или иной
катастрофе (например, через отображение многообразия катастрофы в
пространство управляющих параметров) нам будет необходимо уметь
находить случаи вырождения отображения множеств. Строго говоря, для
этого надо ввести понятие гладкого многообразия, касательного расслоения
и отображения касательных пространств. Но чтобы не уходить далеко
в сторону, мы ограничимся лишь введением понятия производной
отображения множеств и на этой основе будем находить точки вырождения
отображений.
Перенести на случай отображения множеств понятие обычной
производной не удается. Действительно, если у нас есть отображение /
одномерных пространств f:R-±R,TO его производной в точке х называют
величину
/(х) = Ь h •
Однако в случае отображения /: Д" —>• Rm с п, т > 1 это определение
нам не подходит, так как в этом случае h и А/ — векторы и мы не умеем
их делить. Поэтому производную в этом случае приходится определить
следующим образом.
Определение 10: Производной отображения f:Rn—> Rm в точке
х € Rn называется наилучшее линейное приближение этого
отображения в этой точке, т. е. такое линейное отображение А: Rn —> Rm, для
которого выполняется предельный переход
lim\\f(x + h)-f(x)-4h)\\ Q
л->о НЛП

22
Лекция 2
где \\h\\ и ||/(А)|| — нормы векторов в пространствах Rn и Rm
соответственно. #
Пример: Пусть /: R-+R — некоторая функция и f'(x): # —» R есть
обычная производная функции / в точке х, ее значение в этой точке есть
/-: f'(x) = k{x). Тогда производная отображения / в новом смысле есть
отображение Л: А —> k(x)h. Действительно,
^1/(« + Ц-/(»)-**1 дЦш
л-+о |А| л-ю
f(x + h)-f(x) ь
= |/'(х) - *| = 0. #
Определение И: Будем говорить, что отображение g: Rn —> Rm
имеет меньший порядок, чем A € Rn, если
hm ... = 0,
Л-° ||А||
и писать при этом д — o(h). #
Тогда производная этого отображения будет определяться как
линейное отображение A(A): Rn —> Rm такое, что
f(x + h)-f(x)-\(h) = o(h). (*)
Докажем теорему.
Теорема 1: Производная, определенная выше, единственна. #
Доказательство: Пусть р = o(h) и q = о(А), & а,Р € R —
некоторые числа. Очевидно, что ар + fiq — o(h). Предположим противное, что
наряду с определенной выше производной A (А) существует другая
производная /х(Л), т.е. такое линейное отображение, для которого справедливо
f(x + h)-f(x)-v(h) = o(h). (**)
Вычтем из (**) выражение (*), получаем
0(А) = А(А)-//(А) = о(А),
причем 9(h) — линейное отображение. Поэтому для t € R и
фиксированного А
^^ = °
«-»о «А

Критические точки
23
согласно определению величины o(h). Из линейности 6(h) следует 6(th) =
= t9(h) и мы получаем
мтШШ. kJ±MM uJVWW п
lim —,, ,,,— = lim —г—.—г-—.— = lim —^—-r.— = и
t-o ||tA|| t-»o |t|.||A|| t-ю \\h\\
при фиксированном h. Это возможно только при 0 = 0, откуда следует,
что Л = /2. Единственность доказана. #
Обозначение: Обозначим через L(Rn,Rm) множество всех линейных
отображений из Rn в Rm. #
Тогда можно сказать, что производная Df это есть отображение
Df:Rn->L{Rn,Rm),
ставящее каждой точке пространства Rn в соответствие вполне
конкретное линейное отображение L{Rn,Rm). Каждый элемент пространства
линейных отображений задается матрицей п х т отображения, как мы
это уже выяснили ранее. Выписывая элементы матрицы в каком-либо
определенном порядке, мы можем отождествить L{Rn, Rm) с Rnm. Тогда
на производную Df можно смотреть как на отображение
Df: Rn->Rnm.
Это отображение может быть также дифференцируемым в точке и
пространстве в целом. В последнем случае в каждой точке Rn можно
посчитать производную D(Df)\x и мы говорим, что /': Rn -> Rm дважды
дифференцируема. Таким образом, мы пришли к следующему
определению.
Определение 12: Второй производной D2f\x отображения f: Rn ->
—>• Rm в точке х называется наилучшее линейное приближение
отображения Df: Rn -> L{Rn, Rm), или отображения Df:Rn-+ Rnm. #
Таким образом, вторая производная уже задается матрицей
размерности п-пт = п2т. Поэтому, аналогично, ее можно считать отображением
точек из Rn в точки пространства Rn m:
D2f: Rn->Rn2m.
Очевидно, что D2f\x уже есть квадратичная форма от переменных
пространства прообразов.
Аналогичным образом определяются и высшие производные, которые
можно рассматривать как отображение
Drf\x: Rn ->iTrm.

24
Лекция 2
Как все эти производные выглядят в явном виде? Пусть отображение
/: iF1 —> R71 задано функциями
Г 2/i = /i(a?i,... ,xn),
[ Ут = /т(ЯЬ--« >2„).
Тогда первая производная отображения в точке xq есть линейное
отображение
Df\X0: Я» -+ Д"\
задаваемое правилом
9/i
2/1 =
9^1
dh
fe2
Ут =
Другими словами,
9/т
9rri
Xi +
хо
ей
дх2
9хп
Х2 + • ' * + -=
хо Эя?п
«п.
Xl
AfL = '(/)!.
Xi
где </(/)|хо — якобиева матрица отображения /,
- вектор-столбец
из пространства-прообраза.
Вторая производная D2f\Xo: Я" -* R71 есть следующая квадратичная
форма:

Критические точки
25
*7i
У1=~дЩ
*> + *Л
Хо
жо
+
d*fi
дхпХ\
XnXi +
дх\дх2
Х\Хг Л V
&h
дхпдх2
х„х2 + ¦
Эх\
х\+ *f"
дх\дх2
х\Хч 4- •
дх\дхп
dxl
XlXn +
хо
а2/*
дхпх\
XnXi +
d2U
дхпдх2
хпх2 + ¦
дх\дхп
d2fm
Х\Хп +
dxl
Производная Drf\xo: RJ1 -* К71 есть, аналогично, форма порядка г,
коэффициентами которой являются все частные производные порядка г
функций /ь... ,/т.
Напомним еще определения. Бели мы рассматриваем лишь
отображения из n-мерного в одномерное пространство /: Дп -> Д, то вторая
производная D2f\xo определяется совокупностью всех вторых
производных этой функции.
Определение 13: Матрица
\dx{dxj )
всех вторых частных производных функции в данной точке называется
матрицей Гессе и обозначается Hf\Xo. #
Определение Ц: Гессианом отображения f:R?-*R называется
квадратичная форма
d2f
D2f\X0 = ?
< dxidx*
47=1 J '
с коэффициентами из матрицы Гессе, т.е. вторая производная
отображения /: ТЕ71 -* Я. #
Рассмотрим примеры.
Пример: /: R —> R; у = f(x) = х2. Обычная производная в точке Xq
есть число у' = 2яо- Производная в новом смысле есть отображение
Df\X0:R-+R, y = 2x0x.

26
Лекция 2
Функция есть парабола (рис.1), касательная к ней в точке х0 есть
у = 2х0(х- х0) + Xq.
У
у = х2
X
Х0
Рис.1
Таким образом, производная в новом смысле — это то, что остается от
касательной, если из нее убрать все постоянные члены.
Матрица Гессе функции есть
d2f
Гессиан функции, он же — вторая производная: D2f\Xo = 2х2. #
Пример:
, «ч ^.9 \ U = X2,
/:Д3^Л2, { '
yv = х + у + z.
Якобиева матрица отображения / есть
ди ди ди
7(f\\ _ ( Эх ?j dUz\_(^x0 0 0\
Производная отображения / есть
s/UW(/)k(y) = (^7+2)'

Критические точки
27
она задается отображением R3 —> Я6, а именно хо •-> J{f)\x0'
, . ^ {2х0 О 0\
Вторая производная этого отображения есть квадратичная форма:
5. Теорема о неявной функции
Далее нам пригодится эта теорема и, поскольку она раньше изучалась
в курсе математического анализа, то просто напомним ее без
доказательства*.
Итак, предположим, что т функций вида
( Щ - y>i(xi,... ,xn),
(Um = ipm(Xi,... ,Х„),
где (xi,_... ,xn) G #п — точки пространства BJ1, ищутся как решение
системы т функциональных уравнений
Fx = F2 = • • • = Fm = О, B)
где
{^l(Ul,U2, ... ^т^ъЯг,--- ,ХП),
C)
— т функций т + п переменных из пространства i?m+n. Под термином
«решение системы B)» мы понимаем совокупность га функций A)
таких, что при подстановке их в систему B) все уравнения этой системы
обращаются в тождества.
Напомним также следующее определение.
*В. А. Ильин, Э.Г.Позняк. Основы математического анализа. 4.1. М., 1982.
С. 545-556.

28
Лекция 2
Определение 15: Определитель вида
dFi
dF*
dFm
дщ
dFi
du2
dF2
du2
dFm
du2
dFx
dum
dF2
dum
dFm
dum
называется определителем Якоби или якобианом функций F\, ..
... , Fm no переменным щ, • • • , ит и обозначается символом
D(FuF2,...,Fm)
Теорема 2: Теорема о неявной функции. Пусть т функций C)
дифференцируемы в некоторой окрестности точки Mq = (г^ю,... , йто,
янь • • • iXno) € Rrn+n) все частные производные dFi/duj в М0 непрерыв-
ны, пусть также
Fi = F2 = ... = Fm|Mo=0, (*)
а якобиан
D(FbF2,...,Fm)|
D(uuu2,... ,um)
#0,
Mo
тогда для достаточно малых чисел в\, ?2, • • ¦ > ?т найдется такая
окрестность точки Mq = (zio,X2o,•'• >х*о) ^ ^п> в котоР°^ существуют
единственные т функций A), удовлетворяющие условию
\ui - uio| < eu... , \ит - um0| < em
и являющиеся непрерывным и дифференцируемым решением системы (*)
в этой окрестности. #
Доказательство приводить не будем. Единственное, что нам еще
пригодится, — это правило вычисления частных производных дщ/dxi от
неявно заданных функций. Оно находится совсем просто. Подставим
функции A) в систему уравнений B) и продифференцируем B) по X/:
дщ
dFm
дщ
дих
'ах,
dui
dxi
dFx
дит
, dFm
дит
дит | dFj = Q
dxi dxi
дит dFm _ Q
dxi dxi

Критические точки
29
т.е. мы получили систему линейных уравнений относительно частных
производных, причем главный определитель системы не равен нулю.
Тогда, по правилу Крамера, получаем искомую производную:
Z>(Fi,F2,-,Fro)
Ouk __ Р(щ,—^-ь-асьш+ь—,um)
dxi MFiJir-fm)
D(ui,«2,-,tim)
4. Теорема об обратной функции
Рассмотрим отображение /: К™ —> Л, задаваемое m функциями га
переменных:
: (*)
Um = (рт(Хи--- ,Хт)
и пусть нас интересует взаимно однозначное отображение точек
пространства аргументов в точки пространства значений функций. На
вопрос о возможности построения такого отображения дает ответ
следующая
Теорема 3: Теорема об обратной функции. Если функции (*)
дифференцируемы в окрестности точки Мо = (янь • • • , ?то)> все частные
производные непрерывны в М0, а
D(<pu... ,(рт)
D(xi,.... ,ят)
#0,
то функции (*) осуществляют взаимно однозначное отображение
окрестности Mq в окрестность точки Nq = (ию,. •. ,^то)> где Що =
= ^(zio, • • •, Хто), г = 1,2,... , т. #
Эта теорема является следствием предыдущей. Еще нам пригодится
пара определений.
Определение 16: Взаимно однозначное непрерывное отображение
множеств называется гомеоморфизмом. #
Определение 17: Взаимно однозначное дифференцируемое
отображение множеств называется диффеоморфизмом. #

30
Лекция 2
5. Критические точки и критические значения отображений
Введем еще несколько определений.
Определение 18: Рангом отображения f:Rn-+ Rm в точке х0
называется ранг его производной, т.е. ранг его матрицы Якоби в точке
xq, и обозначается rank/|Xo. #
Ранг отображения равен размерности подпространства в Rm —
образа Rn — при линейном отображении Df\Xo. Так как ранг матрицы Якоби
не может превысить число строк или столбцов, то очевидно неравенство
rank/|l0 < min(m, п).
Определение 19: Точки, в которых гa,nkf\Xo = min(n, га), называются
регулярными. #
Определение 20: Точки, в которых rank/12.0 < min(n,ra), называются
критическими. #
Определение 21: Значение функции f{xo) в критической точке xq
называется критическим значением. #
Критические точки отображения f:Rn-+ Rm нам понадобятся, в
частности, когда мы будем строить бифуркационное множество при
помощи проекпиии многообразия катастрофы в пространство
управляющих параметров. Если говорить об отображении /: Rn —у R, т. е. т = 1,
которое мы и будем в основном рассматривать, то получаем такое
определение критической точки:
Определение 22: Для отображения }': Rn —? R точка xq называется
критической, если в ней Df\XQ — 0, или, иначе,
Ё1 = ... = Ё1
дх\ дхп
0. #
Еще определения.
Определение 23: Критическая точка xq отображения /: Rn —> R
называется невырожденной, если
Z?/|XO = 0, det(///|X0) ^ 0,
и называется вырожденной, если
Df\xo = det(tf/|IO) = 0. #

Критические точки
31
Таким образом, в невырожденной критической точке вторая
производная отображения f.RP—tR представляет собой невырожденную
квадратичную форму, т. е. такую форму, ранг матрицы которой равен числу
переменных п.
_
У ,
Точка /
перегиба /
Максимум /
^^Ф^^ Минимум
Рис. 2
Определение 24: Критическая точка х0 называется
изолированной, если найдется такая ее окрестность, в которой нет других
критических точек. #
Утверждение: Невырожденные критические точки изолированы,
обратное не обязательно верно. #
Рассмотрим примеры критических точек.
Пример: f:R-?R,y = f(x). В этом случае существует три типа
критических точек: максимум, минимум и точка перегиба (рис.2). Они
могут быть вырожденными и невырожденными, за исключением точки
перегиба, которая всегда вырожденна. #
Примеры: f: R2 —> R, z = f{x,y). Здесь уже большее разнообразие
критических точек (рис.3):
1) z = —х2 — у2— максимум,
2) z = х2 + у2— минимум,
3) z = х2 — у2— седло,
4) z = х3 — Ъху2— обезьянье седло,
5) z = х2— желоб,
6) z = х2у2— скрещенные желоба
и другие (например, объединение трех желобов, седла и желоба и т.д.).
Первые три критические точки невырожденны, поэтому они изолирован-

32
Лекция 2
ны. Точки 4-6 — вырожденные, причем обезьянье седло —
изолированная вырожденная критическая точка, а остальные — нет.
Действительно, для обезьяньего седла имеем: |? = 3(х2 - у2)|(о,о) = О,
§? = -б?у|(о,о) = 0, таким образом
det Я/ = det ( _6^ ill) = -36(*2 + у2) = О
только при х = у = 0. Этим самым иллюстрируется вторая часть
утверждения, что вырожденные критические точки могут быть
изолированными. На рис.3 изображено поведение отображения f:R2—>R вблизи
описанных критических точек. #

Устойчивость отображений 33
Лекция 3
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ И СТРУКТУРНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
ОТОБРАЖЕНИЙ
В следующих двух лекциях рассматривается вопрос о том, как
навести порядок в критической точке, которую мы нашли. А
именно, как отделить в функции вырожденную и невырожденную
части. Вначале введем необходимые для этого понятия и коротко напомним
известные факты.
1. k-струя и усеченная алгебра
Поскольку мы строим локальную теорию особенностей, то удобно
работать не со всей функцией, а с ее разложением в ряд Тейлора в этой
критической точке. Напомним его вид. Для отображения /: iT1 -> R
рядом Тейлора называем сумму:
причем на вопросах сходимости останавливаться не будем. Здесь xq =
= (хю,х2<ь ••• ,sn0).
Однако удобнее, конечно, работать не со всем рядом Тейлора, а с
конечной его частью. Поэтому запишем следующее
Определение 1: fc-струей отображения f: й"->йб точке xq
называется часть ряда Тейлора функции f в точке хо, содержащая члены
от нулевого до k-го порядка включительно и обозначается струя j*0f.
Иными словами:
0 ^г\. ^ dxix--dxir
Г=0 •!, ••,»г = 1 * Г
[Xix - Xjl0) • • • {Xir - Хьо)
получается заменой в ряду Тейлора знака со на А;.
Бели мы рассматриваем разложение функции в точке х0 = 0, то
нижний индекс будем отбрасывать и писать jkf = j*f.
Определение 2: Разницу f - j^f будем называть тейлом*. #
Таким образом, тейл — это бесконечный остаток ряда Тейлора,
образующийся после удаления из него той или иной струи.
*Tail — (англ.) хвост
2 Зак. 472

34
Лекция 3
Введем еще пару определений, чтобы не путаться в терминологии.
Определение 3: Для любого многочлена порядком будем называть
низшую степень, с которой в нее входят переменные, а степенью —
высшую степень. #
Пример: х2 + уъ + ху — многочлен 2-го порядка 3-й степени. #
Определение 4' Будем говорить, что функция /: К1 -> R имеет в
нуле порядок к, если
/@) = D/|o = --. = JD*-Vlo = 0.
При этом договоримся, что константа имеет нулевой порядок. #
Пример: /: R -» Д; у = х - sinx, найти j2f и jzf.
Решение: /@) = /'@) = /"@) = 0, /"'@) = cosx|0 = 1. Следователь-
н0 з
Функция имеет порядок 3. #
Теперь перейдем к алгебре усечений. Пусть дан многочлен Р(х), где
х = (a?i,... , х„). Введем следующее определение.
Определение 5: Л-усечением многочлена Р(х) назовем многочлен,
образованный всеми членами Р(х), степени которых меньше или равны
к. Этот многочлен обозначим Р(х) . #
Пример: Зх - 2у + 7ху - 9х3 - 43х72/ = Зх - 2у + 7ху. #
Заметим, что фактически fc-усеченный многочлен есть fc-струя от
исходного многочлена, т.е. Р(х) = jkP(x).
Утверждение: Очевидны соотношения: усечение суммы многочленов
есть сумма усечений:
pTQfe = p* + g*,
усечение произведения многочленов есть усечение произведения
соответствующих усечений, т.е.
ptf = pkQk\ #
Можно подставить один усеченный многочлен в другой и провести
операцию усечения: пусть Р(х) = 1 - 2х + Зх2, Q(x) = Зх + х2, тогда
P(Q(x)J = 1-2(Зх + х2) + 3(Зх + х2J2 =; 1 - 6х + 25х2,

Устойчивость отображений
35
иными словами, можно рассматривать к-усечение от композиции
функций fog. Вспомним определение композиции.
Определение 6: Композицией двух функций z = f(y) и у = д(х)
называется функция f о д = h(x) = f(g(x)). #
На языке усечений можно кратко записать, как ведут себя Л-струи
при суммировании, произведении и композиции функций:
fc-струя от суммы функций есть сумма А;-струй каждой функции:
/(/ + </) =jkf+jkg;
fc-струя от произведения функций есть fc-усечение от произведения
fc-струй функций:
jk(f-9) = jkf-jk9k\
fc-струя от композиции функций есть Л-усечение от композиции fc-
струй функций:
3k{f°9) = jkf°jk9 •
Вот, коротко, и вся «усеченная алгебра» — совокупность правил
действия с усечениями в данном случае.
2. Квадратичная форма
В этом разделе коротко напомним некоторые определения,
касающиеся квадратичных форм, а также алгоритм приведения ее к
диагональному виду, которые нам понадобятся в дальнейшем.
Определение 7: Квадратичной формой от п переменных хь ...,
хп называется выражение вида
п
Если матрица Л = (А#) не симметрична, то можно сделать
следующую процедуру. Выделим в Q(x) слагаемые X^XiXj + XjiXjXi и запишем
эту сумму в виде
Aij т* Aji A{j T" Aji
л XiXJ "* О xj%i-
Ясно, что эти два выражения совпадают, но в последнем из них уже
коэффициенты при X{Xj и XjXt равны:
Xij + Xji
M»j = "JL = Hi-

36
Лекция 3
Поэтому квадратичную форму можно записать в виде
п
Q(x) = Yl №iXj,
47=1
где матрица М = (/i^) уже симметрична: М = М7. В дальнейшем будем
предполагать, что квадратичная форма уже приведена к симметричному
виду.
Утверждение: Любая квадратичная форма от п переменных может
быть приведена с помощью невырожденной линейной замены
переменных к виду z\ + z\ Ч Ь z\ - zj+1 z*, где г < п. #
Доказательство: Дана квадратичная форма
п
Q(x) = YlXiiXiXi'
Если есть \ц ф О, то перенумеруем переменные так, чтобы Лц ф 0.
Если в форме все А^ = 0 для i = 1,... , п, то существует по крайней
мере одно А^ ф О и в форме есть слагаемое 2\jXiXj. Проведем замену
переменных
а остальные х* не меняем. Тогда получаем 2\ijX{Xj = 2Ау-у? - 2Х^у^ т.е.
в форме появляется ненулевой диагональный член.
Итак, пусть Лц ф 0, тогда
п
»i=i
где fiij = Ау/Ац. Соберем все слагаемые под знаком суммы, содержащие
a?i и представим их в следующем виде:
х\ + 2 J2 Wxixi = I *i + Yl Wxi J " ( Yl Vi&i J •
3=2 \ j=2 / \i=2 /
Проведем замену переменных
П !
Vi = *i + ?] ^Л' ^ = Xi для * > 1*
i=2

Устойчивость отображений
37
Матрица этого линейного преобразования имеет вид
7 =
/1
О
О
А»12
1
О
А»13
О
1
\0 О О
О
О
1 )
Ясно, что якобиан det J ^ 0, следовательно, это преобразование
невырожденно.
В итоге, квадратичная форма приобретает следующий вид:
Q{y) = Any? + g(y2, • • • ,2/п),
где ф — квадратичная форма только от переменных у2» • • • > Уп-
Повторяя описанный выше процесс достаточное число раз, получаем желаемый
результат. И, наконец, произведя замену Zi = y/\\ij\yu получим в
квадратичной форме коэффициенты только вида ±1,0:
Q(*) = *? + *! + ...*?
г*+1 ~ zr
#
где г <п, что и требовалось доказать.
Запишем еще несколько определений.
Определение 8: Число г называется рангом квадратичной формы и
обозначается rankQ = г. #
Существует следующее
Утверждение: Ранг квадратичной формы равен рангу матрицы зтой
формы и не зависит от выбора линейного преобразования. #
Существует также так называемый закон инерции Сильвестра,
который гласит
Утверждение: Число s также не зависит от выбора линейного
преобразования. #
Определение 9: Число 2s — г = s — (г — s) называется сигнатурой
квадратичной формы и обозначается signQ. #
Другими словами, сигнатура квадратичной формы есть сумма всех
ее коэффициентов в приведенном виде. Таким образом, справедливо
следующее
Утверждение: С точностью до линейного преобразования любая
квадратичная форма единственным образом определеяется своим рангом
и сигнатурой. #

38
Лекция 3
Это свойство удобно использовать на практике, поскольку если
исходная квадратичная форма требует знания |п(п +1) чисел, то в
приведенном виде достаточно знать лишь два числа г и в.
Пример: Рассмотрим квадратичную форму от двух переменных:
Q(s> У) = еж2 4- 2Ьху + су2.
Возможны следующие частные случаи:
I
II
III
IV
V
VI
Q
v? + v2
u2-v2
-и2 - v2
и2
-и2
0
rankQ
2
2
2
1
1
0
signQ
2
0
-2
1
-1
о
И, наконец, еще два определения.
Определение 10: Квадратичная форма называется вырожденной,
если ее ранг меньше числа независимых переменных. #
Определение 11: Разность п — г называется корангом формы.
В пространстве (а, 6, с) — коэффициентов квадратичной формы легко
выделить области, в которых форма приводится к тому или иному виду
(см. рис. 1). Эта поверхность называется «дискриминантным конусом»
и ее уравнение есть Ь2 — ас = 0.

Устойчивость отображений
39
3. Эквивалентность и структурная устойчивость функций
Понятие структурной устойчивости функции идет из физического
эксперимента. Рассмотрим, например, машину катастроф Зимана.
Предположим, что мы ставим эксперимент, в котором изучаем поведение
машины (а именно, измеряем угол поворота колеса) в зависимости от
положения конца указки на оси системы. Такой эксперимент обладает плохой
воспроизводимостью или повторяемостью.
Действительно, от случая к случаю условия опыта немного
меняются: например, мы можем не совсем вертикально расположить машину и
отклонить ее в какую-либо сторону и тогда скажется вес резинок, либо
случайно сдвинуть конец указки вправо или влево от вертикали, либо
сухое трение обусловит ненулевое начальное отклонение диска. В любом
из перечисленных случаев результат опыта будет совершенно
различным: угол поворота либо положителен, либо отрицателен (как мы уже
знаем, это является проявлением рассмотренного флага катастроф —
расходимости). Причем увеличение количества проведенных опытов не
приведет к повышению точности измерений, поскольку вероятность
достижения обоих конечных положений колеса одинакова. Плохая
воспроизводимость результатов говорит о том, что эксперимент организован
неправильно: в такой постановке задачи система является структурно
неустойчивой.
Теоретическое описание структурно неустойчивого эксперимента
также приводит к структурно неустойчивым результатам. В нашем случае
координата /3 конца указки на плоскости доски равна нулю и
потенциальная энергия системы имеет вид
Va(x) = \x* + lx2. A)
Положение равновесия находится из условия
dWa(x) о
—P-t = х3 + ах = О
ах
и точки равновесия изображены на рис.2.
Заметим, что такой график достаточно часто встречается в теории
бифуркаций. Он является структурно неустойчивым. Действительно,
возмутим семейство A) малым членом ех:
Va(x) = -хА + |s2 + ex.

40
Лекция 3
X I
а 1
Рис. 2 1
Теперь положение равновесия находится из условия
х3 4- ах + е = 0,
т. е. соответствующий график принимает вид рис. 3.
"N
л
о = —х х ^^\
, J
1
а = -х2 — е/х j
Г" ^
Рис. 3
х I
а 1
Топология этого графика совсем другая. Например, он не связен, не
имеет точек самопересечения, даже при сколь угодно малых е. В
системе, соответствующей рис. 2, нет катастрофических скачков, а в системе
рис. 3 они должны быть обязательно (при переходе с верхней устойчивой
ветви на нижнюю при увеличении параметра а).
С другой стороны, при учете в эксперименте поперечной координаты
/3 мы получаем хорошую воспроизводимость результатов: наклон
машины, сухое трение и т. д. лишь слегка изменяют положение «клюва»
сепаратрисы, а все характерные черты поведения машины не изменяются.
Увеличение числа опытов приводит к повышению точности измерений.

Устойчивость отображений
41
Таким образом, этот эксперимент является правильно поставленным,
поскольку он обладает свойством структурной устойчивости.
Этому эксперименту, как мы уже знаем, соответствует потенциал
являющийся структурно устойчивым. Почему? На этот вопрос мы
сможем ответить позднее.
Таким образом, ясно, что математическое описание структурно
устойчивого физического явления должно обладать своего рода
нечувствительностью к возмущениям. При этом математическая формулировка
этого требования зависит от двух обстоятельств: а) какого рода
возмущения мы допускаем, б) к чему мы готовы быть нечувствительными, или,
другими словами, что должно сохраняться при деформации структурно
устойчивой функции.
Если обратиться к истории, то понятие «структурная
устойчивость» было впервые введено в теории дифференциальных уравнений
нашими математиками А. А. Андроновым и Л. С. Понтрягиным в 1937 г.
под названием «грубость системы». Оно привело к общему понятию
структурно устойчивых динамических систем, в которых они по п. а)
допускали малые возмущения рассматриваемых дифференциальных
уравнений, а в п. 6) требовали топологической эквивалентности
соответствующих множеств кривых, изображающих решение.
В излагаемой в нашем спецкурсе теории бифуркаций и катастроф
будем действовать несколько иначе при введении понятия структурной
устойчивости. А именно, в п. а) мы допускаем малые гладкие
возмущения соответствующих семейств функций, в п. б) будем требовать более
сильной «диффеоморфной» эквивалентности, которую определим
ниже.
Определение 12: Две гладкие функции f и g: i?1 -> R
называются эквивалентными вблизи нуля, если существует такой локальный
диффеоморфизм у: iP1 -> iP1 в окрестности нуля и такая постоянная
7 € R, что вблизи нуля
9(х) = f{y{x)) + 7,
при зтом будем писать f ~ g. #
Замечание: Такая эквивалентность называется правой
эквивалентностью или R-эквивалентностью по той простой причине, что
диффеоморфизм у (х) стоит справа от символа функции /. #

42
Лекция В
Иными словами, правая эквивалентность означает, что малое
возмущение функции мы можем компенсировать дифференцируемой и
взаимнооднозначной заменой переменных в аргументе функции плюс добавкой
некоторой сдвигающей константы.
Пример:
д(х) = х2, /(у) = у2 + 2еу
— малое возмущение функции у2 в нуле. Можно представить /(у) в виде
9{у) = (У + ?J — ?2- Графики д(х) и f(y) изображены на рис.4. Видно,
что f(y) получается из д(х) сдвигом влево на е и вниз на е2.
\
9
j
\
X
{
X
Рис. 4
f
Aj.
1
-е* А
Замена у(х) = х - е и константа 7 = +?2 переводят одну функцию в
другую:
,/(!/(*))'+ 7 = (я - гJ + 2ф - е) + ?2 =
= х2 - 2х? + е2 + 2ех - 2е2 + е2 = я2 = $(а;).
Причем замена координат есть, очевидно, диффеоморфизм, так как
detJ=^ = 1^0.
dx
Поэтому функции д(х) и f(y) правоэквивалентны: д(х) ~ /(у). #
Пример: Бели же взять
д{х) = х\ /Ы = у3 + еу,
то уже невозможно найти диффеоморфную замену переменных у (я), для
которой det J = %l ф О и которая бы привела одно выражение к
другому. Таким образом, эти функции не эквивалентны. Из графиков рис.5

Устойчивость отображений
43
видно их качественное различие с точки зрения равновесия: у д(х) одно
положение равновесия, у /(у) — или два при е < О, или ни одного (при
е > 0).
/
9
j J
X
е<0
f
J
^ У
Рис.5
/
\
7]
У 1
е>0 1
Введя понятие эквивалентности, мы теперь уже легко введем понятие
структурной устойчивости функции. Пусть дана функция /: iP1 -» R.
Как мы уже договорились, под возмущением функции / мы будем
понимать произвольную достаточно малую гладкую функцию д: IP1 -> Д,
т. е. такую функцию, у которой ее значение и все ее производные малы.
При этом не будем слишком усложнять определение этой функции,
уточняя понятие термина «достаточно». Можно трактовать возмущающую
функцию так, что у каждой производной этой функции стоит малый
параметр, который можно устремить к нулю и в целом на любом малом
интервале вблизи нуля вариация этой функции значительно меньше
изменения основной функции /. Тогда мы получаем следующее
определение.
Определение IS: Функция f: JP1 -> R называется структурно
устойчивой в данной точке, если для всех достаточно малых гладких
функций р: /Р* -> R функции f и f +p правоэквивалентны в данной точке
после переноса в нее начала координат. #
Замечание: Поскольку мы строим локальную теорию бифуркаций и
катастроф, то для нас имеют значение лишь малые отклонения
координат от этой точки и те метаморфозы функции, которые происходят при
этих малых отклонениях. Поэтому мы всегда будем полагать, что
начало координат перенесено в изучаемую точку, чтобы избежать путанницы
в выводах и заключениях. Действительно, вдали от начала координат
вполне можно найти заданную невырожденную замену переменных у(х),

44
Лекция 3
которая переводит функцию д(х) = хг в f(y) = уг + еу, т.е. вдали от
начала они эквивалентны. Нас же интересует наиболее интересный случай
поведения вблизи нуля, где уже нет такой эквивалентности. #
Таким образом, из рассмотренных выше двух примеров следует, что
функция д(х) = х2 является структурно устойчивой, а функция д(х) = х3
(в своей критической точке!) является структурно неустойчивой. Для
критических точек существует
Теорема Милнора: Критическая точка функции /: Д11 —>- R
структурно устойчива, если и только если она невырождена. #
Доказывать теорему не будем.
4- Структурная устойчивость семейств функций
Таким образом, согласно предыдущей теореме, каждая вырожденная
критическая точка является структурно неустойчивой и, чтобы ее
сделать структурно устойчивой, ее надо включить в соответствующее
семейство функций, которые, в свою очередь, также могут быть
устойчивыми и неустойчивыми (как мы уже это видели на примере машины
катастроф Зимана). Поэтому распространим введенные понятия на
случай семейств функций. Сначала дадим определение семейства функций.
Определение Ц: r-параметрическим семейством функций п
переменных будем называть отображение /: FC х Л" -» R вида
/*Ь*2э—!*Д^Ь^2» • • • )Хп),
где Xi,... ,х„ — внутренние переменные, a Si,... , sr — управляющие
параметры. #
Пример: В машине катастроф Зимана потенциал имел вид
Vab(x) = -х4 + |х2 4- Ьх,
т.е. Vob(x) есть двухпараметрическое семейство функций одного
аргумента: а, 6 — параметры, х — внутренняя переменная. #
Теперь перейдем к понятию эквивалентности семейств функций. Оно
более сложное, чем эквивалентность просто функций, поскольку: 1)
диффеоморфизм у(х) (т.е. замена переменных) превращается в г-параметри-
ческое семейство диффеоморфизмов; 2) константа j превращается в
«семейство констант», гладко меняющихся с изменением з\,... , sr, т. е., по
существу, 7 есть функция г переменных; 3) наконец, мы допускаем
произвольный диффеоморфизм, преобразующий управляющие параметры, для

Устойчивость отображений
45
него нет параллели в случае отдельной функции, но в случае семейств он
нужен, так как без него мы не смогли бы говорить, например, об
эквивалентности поведения двух машин Зимана, из которых одна имеет вдвое
большие размеры, чем другая, здесь соответствующий диффеоморфизм
просто увеличивает масштаб. Таким образом, мы приходим к
следующему определению.
Определение 15: Два семейства функций f и д: IV х Rn —> R
называются эквивалентными, если найдется диффеоморфизме: Rr -* В?
и найдется гладкое отображение у: Д" x /Г -» К* такое, что для
всякого фиксированного s е Яг отображение уа: Дп -* К* является
диффеоморфизмом, а также найдется гладкое отображение 7: R? -* R
такое, что в окрестности нуля выполняется соотношение
9s(x) = /ф)Ы*)) + Ъ
для любых x€.Rrius€RHru3 этой окрестности. #
Замечание: Как видим, речь здесь идет также о правой
эквивалентности, обозначение эквивалентности оставим прежнее: f ~ g. #
Введя правую эквивалентность семейств функций, теперь несложно
определить понятие структурной устойчивости семейства.
Определение 16: Если семейство /: /Г х R? -» R эквивалентно в
указанном выше смысле любому семейству f +p, где р: Rn x Rr -» R
— достаточно малое семейство функций, то семейство / называется
структурно устойчивым. #
Введя понятия эквивалентности функций и их семейств, мы
конкретизировали ту свободу, в рамках которой мы можем преобразовывать
функцию с целью наведения порядка в критической точке. Эту свободу
мы используем в доказательстве лемм Морса о расщеплении, которые
разберем в следующей лекции. После чего мы рассмотрим вопрос о том,
как привести функцию или семейство функций к структурно
устойчивому виду.

46
Лекция 4
Лекция 4
ЛЕММЫ МОРСА О РАСЩЕПЛЕНИИ
Сначала небольшая историческая справка. Харольд Кэлвин Мэр-
стон Морс A892-1977), американский математик, профессор
Института перспективных исследований в Принстоне, член АН
США с 1932 года. Основные труды — по топологическим методам в
математическом айализе и вариационном исчислении (так называемая теория
Морса) и их приложение к географии, биологии, экономике и квантовой
механике*.
1. Лемма Морса
В этом пункте мы покажем, что вблизи невырожденной критической
точки функцию /: RJ1 -* R можно диффеоморфной заменой переменных
привести к некоторой простой стандартной форме. Сначала докажем
подготовительную лемму.
Лемма 1: Пусть /: JP1 -> R — гладкая в какой-либо окрестности
начала функция и /@) = 0. Тогда в некоторой (возможно, меньшей)
окрестности начала найдутся функции Qi: Я" -* R такие, что
п
причем все Qi гладкие и gi@) = ^ . #
Доказательство: В этой лекции мы будем проводить подробные до-
козательства утверждений, в частности, потому, что в них содержится
технология приведения функции к расщепленному виду, хотя кое-что мы
уже изучали в курсе математического анализа.
Итак, очевидно, что мы можем записать следующие равенства:
1
/(хь х2, ...,?„)= / -rr/(teif tx2,... , txn) dt =
о
-)tu\ **
{ »=1 aX*l(tei,te2,-'.,te„)
•См., например: Морс М. Топологические методы теории функций комплексного
переменного. М., 1951.

Леммы Морса
47
Следовательно, можно взять в качестве & следующую конструкцию:
1
0 aX*l(tei,te2, -,tx„)
Очевидно, что
^ ах«1(о,о,.-,о) 0*Но^ ах*
что и требовалось доказать. #
Теперь рассмотрим невырожденную критическую точку функции /:
Я1* -» Я и докажем для нее так называемую «лемму Морса».
Лемма Морса: Пусть Xq — невырожденная критическая точка
гладкой функции /: iP* -> Rf тогда в некоторой окрестности точки xq
можно указать такую локальную систему координат yi,... ,yn,
удовлетворяющую условию yi{xo) = 0 для всех i, что в этой окрестности
f = f{xo) + y2x+y$ + -- + y2k-yUi У1 #
Доказательство: Перенесем начало координат оси / и осей
аргументов Хи • • • ) хп в точку (хю,... , #по, I{xq)) € jRn+1, тогда можно считать,
что хо = • • • = хпо = /(а?о) = 0 и по предыдущей лемме получаем
п
/(*) = ]?**»(*)•
Так как нуль — критическая точка, то мы имеем:
*<°> - ах,
= 0.
о
Следовательно, снова по предыдущей лемме получаем, что существуют
такие гладкие функции /itJ, что
п

48
Лекция 4
т. е. мы можем записать:
п
Далее будем полагать, чтс| (Ау) — симметричная матрица, если нет,
то симметризуем ее так же, как это делали в предыдущей лекции в
квадратичной форме: заменой /i^ -> \{hij + hji).
Частное дифференцирование A) дает
где Н — матрица Гессе. Отсюда следует, что матрица (Ац@))
невырождена, поскольку таковой в невырожденной критической точке является
матрица Гессе.
Далее применим метод математической индукции. Предположим, что
в окрестности начала существуют локальные координаты щ, t&2, ..., ип
такие, что
п
f = ±u\±---±u*_l + ^4ujhy{uu... ,йп), (*)
где hij = hj{. Причем на первом шаге (*) выполняется, как этого требует
метод индукции (см.A)).
Проведя, если надо, линейную замену последних п — (г - 1)
координат так же, как мы это делали при приведении квадратичной формы к
диагональному виду, мы можем считать, что hrr@) ф 0.
Тогда, действуя аналогично приведению квадратичной формы к
нормальному виду, получаем:
п п
f = ±и\ ± • • • ± ul_x + hrru2T + 2 ]Р hriurUi + ]P hijUiUj =
t=r+l tj=r+l
= ±ti? ± • • • ± «?_! +
+ sign/vr@) ( \/1М«г + 51 • ,. /Гч /пг=\щ 1 ~
- П П
rr t,j=r+l tj'=r+l
„2 .... . „,2
= ±vf ± •• • ±V^! +Si;
i,j=r+
gn/irr@)^ + V ( hi:i - -^-^ ) ущ,

Леммы Морса
49
где Vi = щ, i Ф г, и
ЫгЩ
*5*Гм?*м1)«
гладко зависит от щ,... , и„.
Якобиан этой замены переменных и —> v:
det J = det
/1
О
О
О
о
о
hr+i.
sigmirr(o)v^ri
1
\
sigahrr(o)y/\hrr\
О
У
#0,
так как по крайней мере диагональное произведение Ф 0. Таким образом,
это преобразование координат по теореме об обратной функции является
диффеоморфизмом.
Обозначим
очевидно, что матрица (tii3) симметрична. Таким образом, мы пришли к
выражению
п
f = ±v\±---±v2r+ ? KjWh (•*)
которое в точности совпадает с выражением (*), если в нем провести
замену г — 1 на г. Тем самым индукция доказана.
Кроме того, можно показать, что если (Л^) невырожденна, то и (fty)
тоже невырожденная матрица. Тогда,_ловторяя эту процедуру ровно п
раз, мы получим, что в невырожденной точке функция имеет вид
zx H V z{ - zl+l
что и требовалось доказать.
Определение 1: Функция /: Rn -* R вида
f = zx + • • • "h Z|" - Z|-+1
называется морсовским /-седлом.
~r Zi — Zi_,_i ~ ' ' ' ~ Z„

50
Лекция 4
Таким образом, по лемме Морса каждую невырожденную точку
можно перевести в морсовское /-седло для некоторого /. Если / = п, то мы
имеем минимум, если / = 0 — максимум.
Утверждение: Число I является топологическим инвариантом
функции f: К* -? R в критической точке в том смысле, что гладкие замены
переменных не меняют это число. #
Доказывать не будем.
Таким образом, невырожденная функция в критической точке
эквивалентна в рассмотренном на прошлой лекции смысле одному из морсов-
ских седел.
2. Функции одной переменной
Рассмотрим частный случай функции /: R1 -* Л1. Если 0 —
критическая точка и*
ДО) = .0/10 = 0, Я2/|о*0,
то по лемме Морса существует гладкая замена координат, в которой
функция принимает вид ±х2, где знак совпадает со знаком D2f\0.
Если же D2f\o = 0, то можно получить более тонкую классификацию,
что мы и сделаем.
Лемма 2: Пусть q: Д -> R — гладкая функция, для которой
q@) = Dq\o = -- = Dkq\o = 0.
Тогда в некоторой окрестности нуля существует гладкая функция I
такая, что
q{x) = xkl{x) и г@) = 0. #
Доказательство: Опять используем метод математической
индукции. Для к = 1 применима лемма 1 этой лекции, следовательно
q(x) = xl(x)
и '@) = &г\ = 0> поскольку мы рассматриваем критическую точку
1о
функции q(x).
Предположим теперь, что утверждение доказано для шага к — 1.
Докажем его для шага к. Поскольку к > 0, то по лемме 1 имеем
q{x) = xli(x), (*)
*В этом пункте D есть производная в старом смысле, т.е. D = gj, a 0 —
критическая точка как для /(х), так и для q(x).

Леммы Морса
51
где h — гладкая функция. Дифференцируя это соотношение m раз,
получаем
Dq = xDli + lu
D2q = xD2h + 2Dlu
Полагая здесь х = 0 и применяя эти соотношения для т = 1,2,... , к,
учитывая, что Dmq\o = 0 для m = 1,... , к, получаем:
/i@) = JD/1|o-.-- = 2^-1/1|o = 0.
Поскольку для шага Л - 1 лемму полагаем доказанной, мы можем
записать:
h(x)=xk-4(x), (**)
где 1(х) — гладкая в начале функция и 7@) = 0. Подставляя (**) в (*),
получаем:
q(x) = хк1(х),
что и требовалось доказать. #
Теперь мы в силах доказать следующую теорему.
Теорема 1: Пусть f:R-+R — гладкая функция, для которой
/@) = Д/lo = • • • = Я*-1/|о = 0, но Я*/|о Ф 0.
Тогда с помощью некоторой гладкой локальной замены координат ее
можно привести к виду хк при нечетном к и ±хк при четном к, причем
в последнем случае знак совпадает со знаком ?>*/|0. #
Доказательство: Выделяя k-струю, запишем функцию в виде
f(x) = ±Dkf\0xk+q(x),
где функция q имеет порядок А; +1. По лемме 2 в некоторой окрестности
нуля
q(x) = xkl{x)t
где I — гладкая функция и /@) = 0. Таким образом
f(x) = xk(a + 1{х)) = ±xk\a + /(*)|,

52 Лекция 4
причем знак совпадает со знаком а = ^Dkf\0 ^ О, если х лежит в
достаточно малой окрестности 0, когда |/(х)| < |а|, кроме того, в этой
окрестности \а + /(х)| ф 0. Проведем замену переменных
у:Д->Д, y = x\a + l(x)\l/k.
Якобиан преобразования
det J = Dy\0 = (\а + l(x)\l'k + ||а + l{x)]i-lDl{xj) = |а|* ^ 0,
т.е. это — диффеоморфизм, который переводит f(x) в ±у*. Если А;
нечетно, то можно заменить у на -у и получить положительный знак, что
и требовалось доказать. #
Таким образом, рассмотренная теорема утверждает, что всякая
функция одной переменной порядка к эквивалентна функции ±хк. Отсюда
следует, что функции ±хк и ±х1 эквивалентны тогда и только тогда,
когда к = I и (для четных к и I) знаки совпадают. Например, функции
х2 и х4 не эквивалентны, х3 и хъ — тоже.
Таким образом, мы показали, что справедливо следующее
Утверждение: Поведение функции одной переменной в критической
точке определяется ее первой ненулевой струей. #
Иными словами, класс эквивалентности простейшей функции
задается первой ее ненулевой струей.
Однако для функций двух и более переменных ситуация совершенно
другая и изучить, что здесь происходит, и призвана теория катастроф.
У
X
а
Рис.1
У \
х 1
б 1
Пример: /: R2 -> Я, /(я>у) = х2у + у2001. Первая ненулевая струя
есть х2у, но она не эквивалентна /(х,у). Действительно, х2у = 0 имеет

Леммы Морса
53
решением две оси х = 0 и у = 0 (рис. 1а). А уравнение /(х, у) = 0 имеет
решением одну ось: х2у + у2001 = 0 ^ у(х2 + у2000) = 0 =» у = 0.
Во втором случае решение, с точки зрения определения положения
равновесия, имеет качественно другой характер (рис. 16). Этот пример
иллюстрирует тезис, что для функции двух и более переменных первая
ненулевая струя уже не обязательно определяет качественное поведение
функции, здесь все сложнее. #
В заключение этого пункта введем определение, которое нам
пригодится далее.
Определение 2: Функция, имеющая струю, эквивалентную самой
функции, называется конечно определенной, а соответствующая
струя называется достаточной. #
Теперь мы перейдем уже собственно к наведеню порядка в
критической точке.
3. Лемма Морса о расщеплении функции
Лемма о расщеплении функции: Пусть f: Я" —У R — гладкая
функция с Df\0 = 0, матрица Гессе которой в 0 имеет ранг г (и коранг
п - г). Тогда f эквивалентна вблизи начала функции вида
±х\ ± х\ ± • • • ± х2Т + /(xr+i,... , яп),
где f: iP1* -»> R — некоторая гладкая функция. #
Доказательство: Ранг матрицы Гессе в нуле равен г,
следовательно в ней можно выделить квадратную подматрицу г х г, детерминант
которой не равен нулю. Переобозначим переменные так, чтобы в этом
миноре были переменные si,... ,хг, и введем обозначения
дх\' дх2' ' дхТ
Очевидно из условия теоремы, что
Fi@) = F2F) = ... = FrF) = 0.
Теперь рассмотрим эти функции вблизи нуля, а точнее, рассмотрим
систему уравнений:
( Fi(xb... ,xn) = 0,
A)
Fr(xu... ,xn)=0.

54
Лекция 4
По условию теоремы с учетом проведенного переобозначения координат
получаем, что якобиан
d(Fu...,Fr)__dct
д(х\,... ,хг)
,dFx ... afi
дх\ дХг
0F, ... dF^
' дх\ дхг
вцдХг
= det| : ... : I # О,
дхгдх\
так как последняя матрица есть невырожденная подматрица матрицы
Гессе.
Вспоминая теорему о неявной функции, видим, что система A) задает
г неявных функций
щ =0iOrr+i,... ,яп),
B)
таких, что
51(б) = ... = 0г(б) = О, C)
и что при подстановке B) в A) уравнения A) превращаются в тождества.
Построим преобразование координат ip: RJ1 -> Дп, задаваемое
функцией
V?(xb... ,хп) =
= (^i + 0i(sr+b--- >Sn)>--- >xr + рг(^г+ь.-- ,а?п),Яг+ь • • • ,sn).
Очевидно, что det J{<p)\o Ф О, поэтому по теореме об обратной функции
преобразование <р — диффеоморфизм.
Теперь мы рассмотрим, что же происходит с функцией, когда мы
проведем такое преобразование координат, т.е. изучим свойства функции
/* = / о </?, являющейся композицией функций / и <р в том смысле, как
мы это определили на прошлой лекции. Напомню также, что согласно
введенному определению эквивалентности функции / и <р правоэквива-
лентны: /* ~ /. В явном виде запишем /*:
/*(a?i,... ,хп) =
= / 0*1 + 0i(zr+i> • • • > ?n), • • • , хт + 9г{хг+й:- • • >%), ^г+ь • • • , Яп).

Леммы Морса
55
Рассмотрим производную:
dxi
(О, -,0,xr+i ,-,*«)
EL
дх\
(9li'lrrtr+l>—JCn)
= -FligiiXr+l,... ,Xn),... ,0г(Яг+Ь--« ,Яп),Яг+Ь... ,^n) = 0,
так как функции & находились из системы A). Аналогично и для других
производных:
причем это для любых xr+i,••• ,хп.
Посчитаем гессиан Я функции /* по переменным хь х2, • • • > хг:
4«H/-|,.,.JU„,,.^ = d«(^?-)|
@...,0,*г+1,~А.) ~ Qei \^fo.&p. J J l<*j<r
@,-э0,Жг+Ь-,*п)
@1»— t9r >*г+1 гм i»n)
поскольку в нуле det #/|0 ^ 0, значит, в силу непрерывности вторых
производных и вблизи нуля det Я/ ф 0 (яг+ь • * *» ^п — малы, следовательно
9и ••-, gr тоже малы, см.(З)). Таким образом, det Я /*|о,.,о,*г+1," -,*п 9* 0
при любых яг+1, • • •, дгп (малых).
В итоге получаем, что /* по координатам xi, • • •, хг — морсовская
функция при любых значениях аргументов яг+ь • • •, хп, которые
поэтому можно рассматривать как параметры и которые влияют лишь на
критическое значение функции.
Введем функции
/(xr+l,... , xn) s /*@,... , 0, хг+ь... , хп),
/'(xi,... ,хг) = /*(xi,... ,xr,xr+i,... ,хй) -/(xr+i,... ,хп).
Тогда для функции /' выполняются все условия леммы Морса, в том
числе /'@) = 0, поэтому ее можно представить в виде
/' = ±у?±...±уг2,
это означает, что функция /* принимает вид:
что и требовалось доказать. #

56
Лекция 4
Таким образом, лемма Морса о расщеплении позволяет представить
функцию в вырожденной критической точке в виде суммы двух
кусков: невырожденной, морсовскои части, морсовского седла по
невырожденным переменным и существенно вырожденной части / (rank/ = 0),
которая и содержит самую интересную информацию об изучаемом
явлении, поскольку именно в / «сидят» катастрофы.
Заметим, что размерность пространства аргументов в морсовскои
части функции равна рангу г матрицы Гессе, а размерность пространства
аргументов в функции / равна п-г, т. е. корангу матрицы Гессе.
Таким образом, поведение функции вблизи вырожденной критической
точки можно изучить, привлекая лишь число переменных, равное корангу
матрицы Гессе. Например, если у нас есть функция от 2001
переменной коранга 3 в критической точке, то нам нужно изучить всего лишь
функцию от трех переменных. Это сведение многомерной задачи к
малому числу переменных делает лемму Морса о расщеплении чрезвычайно
полезной.
Кстати, попутно введем еще одно определение.
Определение 3: Корангом функции в критической точке будем
называть коранг матрицы Гессе в этой точке, т. е.
corank/|tf = согапк#/|#. #
Для нас самое главное в лемме Морса о расщеплении заключается
в том, что в ее докозательстве содержится технология приведения
функции к расщепленному виду и выделения из нее существенно
вырожденной части.
4- Расщепление семейства функций
Совершенно аналогично доказывается лемма Морса о расщеплении
семейств функций, поэтому приведем лишь ее формулировку.
Лемма Морса о расщеплении семейства функций: Пусть f:Rnx
xiF -> R — гладкое семейство функций и первая производная
семейства по внутренним переменным в нуле равна нулю:
dj_ = _= е/_
д%\ дхп
а коранг матрицы Гессе
|xi=-=xn=ci=-=cr=0 — О,
Е=( »/ )
\dxidxjj
i<*j<«

Леммы Морса
57
в этой точке равен т. Тогда f эквивалентно семейству вида
/(Уи • • • , Ут, с) ± з&+! ± • • • ± yl,
г(?ес=(сь... ,Ср). #
Из этой леммы сразу же получаем лемму Морса для семейств.
Лемма Морса для семейств: Пусть /: iP1 x JF -> Д — гладкое се-
мейство отображений и матрица Гессе
(JZL.)
l<*J<n
невырождена в критической точке (х, с) = 0. Тогда / эквивалентна
семейству вида
±у\±---±у1 #
Доказательство: в предыдущей лемме положим т = 0. #
Замечание: параметр се FT больше не фигурирует в выражении для
морсовского семейства, т. е. в этом случае он просто отключается. #
И, наконец, сформулируем еще одно определение, которое иногда
будем использовать.
Определение 4: Переменные в расщепленной функции или семей-
стве, входящие в морсовскую часть, будем называть
несущественными переменными, а входящие в f — существенными
переменными. #
Это определение отражает тот факт, что при изучении наиболее
важных характеристик того или иного явления влиянием несущественных
переменных можно пренебречь.
5. Примеры
Начнем с простого: с приведения функции к морсовскому виду в
невырожденной критической точке.
Пример 1: f:R2-?R,f = т^ху> на^ти критическую точку и
соответствующее морсовское седло. #
Решение: Найдем критическое множество К: f?|tf = f?U = 0=*
=* (ь^р" = (rfyF = 0 => AT = @,0). Посчитаем Гессиан:
det#(/)U = det(^f $Л
\ JV* Jyy /

58
Лекция 4
to
1ЙЭ*
1+sy 2а;
0 1
1 О
= -i/o,
следовательно, К — морсовская критическая точка и существует таг
кая диффеоморфная замена переменных, которая приведет функцию к
виду стандартного морсовского седла. Раз такая замена существует, то
ее можно найти.
/ = liy = 1 + l^j- Сделаем первую замену (u,v) = <р{х,у) =
= (тлз?»т&г)*det JMI* в о 11 г * °' т,е"она нам подходит-
Тогда получаем: / = 1 + uv.
Но это еще не морсовское седло, поэтому сделаем еще замену: E, t) =
= ф(и,у) такое, что (u, v) = ^""Ч5» О = E + *> 5-*). Якобиан
det J(iI>~1)\k = L « = ~2 / 0, =Ф> ^ нам подходит. Тогда
получаем: / = 1 + 8* — t2. Выбрасываем константу, которая не влияет на
эквивалентность функций, в итоге получаем, что следующие функции
правоэквивалентны в критической точке К = @,0):
= /~/*=*2-.*2.
#
1-ху
Результат не очень очевидный.
Теперь рассмотрим примеры с расщеплением функции.
Пример 2: /: Д3 -> Я, / = z(| + sin3y)e~* . Найти множество К*
вырожденных критических точек и расщепить функцию. #
Решение: Найдем К*:
f/; = (x + sin3y)e-3 = 0,
fy = 3s sin2 у cos ye"*3 = 0,
/i = -3z2x(| + sin3y)e-3 = 0,
следовательно А" = @,0,z).
Найдем матрицу Гессе на этом множестве:
-*3
я(/)к =
о
о
Таким образом гапкЯ(/)|* = 1, согапк#(/)|* = 2 и К* - К = @,0, г),
/ будет зависеть от двух переменных.

Леммы Морса
59
Теперь займемся самим расщеплением. Технология его представлена
в доказательстве леммы Морса о расщеплении. Строим новую функцию
/• = / о у>, являющуюся композицией исходной функции / и
диффеоморфизма^: Я" -* R*:
(хь... ,яЛ) = ?>B/1,..- >2/п) = (У1 + 01,... ,2/г + 0г,уг+ь... ,Уп),
где по переменным хь... ,хг функция не вырождения, а д\ = gi(xr+u ...
... , хп)у • • •, gr = pr(xr+i,... , хп) есть неявные функции находящиеся из
системы уравнений
fa/
дх\
?1
дхт
= 0,
У1»'"»^Г|*г+1Г" i*n
= 0.
01»— »0г,Жг+1,— ,ж»
Так мы и поступим: у нас функция не вырождения по первой
переменной х, следовательно нам нужно найти лишь одну неявную функцию дх =
= 9*(V>z)из уравнения §? \(9я,у,г) = 0, т.е. из уравнения (#r+sin3 у) е"г% =
= 0 => дх = — sin3 у. Тогда искомый диффеоморфизм есть
(ж, у, z) = (р{щ у, z) = (u + 0X, у, z) = (u - sin3 у, у, г),
причем #* = @,0, z) и в новых переменных. Очевидно, что это диффео-
морфная замена переменных:
det J(<р)\к* =
1
0
0
0
1
0
.01
0
1
= 1.
Теперь построим эквивалентную функцию /* ~ /: /* = / о <р =
= (и - sin3 у) (§и - § sin3 у 4- sin3 у) е~** = \u2e~z* - 5sin6ye~*3. Как
мы знаем из докозательства леммы Морса,
/ = r@,y,z) = -isin6ye-3.
Таким образом, /* — / = \i&z~z должно приводиться к морсовскому
седлу. Раз мы это знаем, то несложно найти замену: t2 = \u2e~z , или
подробнее:
(*, У, z) = V(u, у, z) = (-^=шГг3/2, у, z).

60
Лекция 4
Проверим диффеоморфность ф:
detJ(rj>)\K =
А °
о 1
о о
75#0'
значит ф является диффеоморфизмом и эта замена переменных не
выводит нас из класса эквивалентности. Тогда получаем функцию в
расщепленном виде:
t2-\sm*ye~z'
= /* ~ / = х? + sin3 у)е~г\
Видно существенное отличие вырожденной части \ sin6 уе~г
расщепленной функции /* от первоначальной, в частности, в ней исчезла
переменная х, что естественно, так как по х функция невырожденна и х «ушло»
в морсовский кусок t2. Кроме того, sin3 у превратился в sin6 у (!), а это
уже нетривиально и весьма существенно, поскольку sin6 у даст гораздо
более сложную катастрофу, чем sin3 у. #
Рассмотрим еще пример.
Пример 3: /: Д3 -* R, f = xzy - zy2 + ху. Найти множество К*
вырожденный критических точек, расщепить функцию. #
Решение: Ищем критическую точку:
|7; = (з*2 + 1)г/ = о,
I fy = х(х2 + 1) - 2zy = 0,
Следовательно К = @,0, г), так же как и в предыдущем примере.
Исследуем матрицу Гессе:
f6xy 1 + Зг2 0 >
1 + 3*2 -2г -2у
0 -2У ° / Код,)
таким образом К* = @,0, г) и согапк#(/)|я> = 1, т.е. / будет зависеть
от одной переменной.
Ищем дх и ду:
9/1
Ks*.»»,*)
= 9х(92х +1) - Ья,== 0,
0
1
0
1 0
-2г 0
0 0
= C<? + !)</« = 0,
(««Л».*)

Леммы Морса
61
следовательно дх = ду = О! Что же это значит? Следуем дальше по лемме
Морса и получаем, что диффеоморфизм <р имеет вид
(я, у, z) = (р(щ v, z) = (u + gx(z), v + gy(z)} z) = (u, v, z),
т. е. просто тождественное преобразование и /* = /. А это значит, что
функция уже расщеплена, поскольку / = /*@,0,г) = /@,0,z) = 0.
Для нас эта информация хотя и неожиданна, но полезна, поскольку
говорит о том, что есть невырожденная замена переменных, которая
приведет нашу функцию просто к морсовскому седлу. Раз она есть, то будем
ее искать: /* = / = хъу — zy2 + ху = (хA + x2) — zy)y. Сделаем замену
переменных (ж, у, z) = ф(и, у, z) такую, что
(и, у, г) = ^(х, у, г) = (хA + х2) - гу, у, г).
Посчитаем якобиан:
-* 0
1 0
0 1
= 1/0,
т. е. замена правомерна. В ее результате функция принимает вид / = иу.
И, наконец, делая замену переменных такую же, как и в первом
примере (и,у,z) = \(s,t, z) = (в +1,0 - t, z) с
detJ(x)|*- =
1 1 0
1 -1 0
0 0 1
= -2#0,
получаем окончательно:
s2 -12 = /• ~ / = хгу - zy2 + ху.
Тоже достаточно неожиданный результат! В данном случае
вырожденность функции по третьей переменной говорит лишь о том, что функция
является, по существу, функцией лишь двух переменных, и причем самой
обычной — морсовской, и здесь нет никаких катастроф. В частности,
получается, что функция от трех переменных этого примера эквивалентна
функции двух переменных из первого примера:
1
1 -ху
s2 -t2 ~ xzy - zy2 + ху,
т. е. далеко не тривиальный результат!
#

62
Лекция 4
И, наконец, рассмотрим пример о приведении семейства функций к
расщепленному виду.
Пример 4: /: Я3 х Я3 -> R, fajbtc(x> У»z) = (<*+я)у - bzz - cx2z. Найти
К*, расщепить семейство. #
Решение: Ищем К:
' /* = !/- Zcxz = 0,
[ ? « -36z2 - сх2 = О,
=> /С = @,0,0,0,6, с).
Матрица Гессе:
'О 1 0>
#(/)|(ододм - | 1 0 0 j ,
О 0 0.
=» согапк#(/)|#* = 1.
Проведем расщепление, ищем дх и ду из уравнений
(9«.0у>*,в>М
= ду - 2cp,z = О,
= а + ?* = О,
@»,9у>«>а>М
=Ф рх = -а, ру = -2ас*.
Расщепляющая замена переменных: (я, у, z)^ = (u+#r, v+gy, z)abc =
= (u - a,v - 2acz}z)a,btc и /*=/ о ^=(a + u- a)(v - 2acz)-bzz -cz(u-
-aJ~uv-2acuz-bz*-czu2-cza2 +2acwz, /(*)=/*@,0,2)=-6z3-a2c*. A
оставшаяся часть функции /* - f(z) = uv - czie2, как мы теперь знаем,
должна привестись к виду морсовского седла, зная это, будем искать
такую замену: uv-czu2=u(v-czu)=uw, т.е. делаем замену (щ v) z)=^(u, w, z)
такую, что {UiW,z)=*l)~l(UiViZ)={UiV - czu,z). Проверяем на диффео-
морфность:
detJty-1)!*^
1
0
0
0
1
0
0
0
1
= 1
— все хорошо, значит /* — / = uw.

Леммы Морса
63
И опять делаем диффеоморфную, как мы уже это знаем из
предыдущих примеров, замену (и, гу, z)=x(s, *, z)=(s + ty s — ?, 2), получаем
окончательно /* - /=s2 - t2.
Таким образом, наше семейство приобретает вид /* = s2 -t2 - bz3-
-c?cz, или, переобозначая параметры а = -6, /3 = -а2с (заметим, что
это просто переобозначения, такая замена параметров не является в
общем случае диффеоморфной), получаем окончательно
s2 - t2 + az3 + /fc = /*^(s, *, z) ~ Д,б,с(я, У, *).= (а + х)у - 6г3 - cx2z,
т.е. фактически семейство зависит лишь от двух параметров и самая
интересная информация о явлении, описываемом этой функцией,
содержится в части а.:? + /3z — функции одной переменной и двух управляющих
параметров. Видно существенное сокращение размерности F -» 3)
пространства, в котором изменяются все переменные, по существу мы здесь
имеем простейшую катастрофу, называемую «складка Уитни», как мы
это увидим далее. #

64
Лекция 5
Лекция 5
ОРБИТЫ СТРУЙ И КАСАТЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
1. Введение
Напомним цель, поставленную в настоящем спецкурсе.
1) Мы уже научились искать критические точки функции
/ : Я" -> Я, а также выделять среди них вырожденные
критические точки (в них детерминант матрицы Гессе равен 0), в которых
«сидят» интересующие нас катастрофы.
2) Мы научились в вырожденной критической точке наводить
порядок, т. е. научились расщеплять функцию на две части. Одна часть —
это обычное невырожденное морсовское седло, другая часть
функции зависит от оставшихся переменных существенно вырожденным
образом (т.е. ранг матрицы Гессе равен 0), причем этих переменных
обычно гораздо меньше и именно эта часть функции содержит
информацию о катастрофе.
3) Теперь приступаем к третьему этапу программы, а именно, мы
должны научиться анализировать эту самую интересную часть функции.
Эта задача разбивается на три подзадачи:
3.1) сначала надо попытаться привести функцию в вырожденной
критической точке с помощью диффеоморфных замен переменных к
наиболее простому виду, т. е. свести функцию к минимально достаточной
струе этой функции;
3.2) поскольку полученная струя функции в вырожденной
критической точке является структурно неустойчивой, то необходимо правильно
включить изучаемую функцию в семейство функций, причем это
семейство должно быть структурно устойчивым;
3.3) наконец, мы должны научиться классифицировать
полученное семейство как катастрофу, для чего мы будем использовать
классификационную теорему Р. Тома, а также ознакомимся с более развитой
классификацией катастроф, предложенной В. И. Арнольдом.
2. Понятие конечной определенности
В этой и следующей лекции мы займемся решением первой
подзадачи третьего этапа нашей задачи, а именно, упрощением функции в
вырожденной критической точке. Для этого поставим перед собой
задачу определить, сколько членов в ряду Тейлора изучаемой функции надо
оставить, чтобы получаемая струя была эквивалентна самой функции.
Введем следующее

Орбиты струй
65
Определение 1: Если к-струя функции / : Я* -> Я локально
эквивалентна относительно гладких замен координат любой функции вида
f + gf где g — функция порядка к +1, то такая функция f называется
^-определенной в начале. #
Таким образом, наша задача заключается в том, чтобы найти
условия, при которых функция является ^-определенной, и найти
минимальное число к.
Примеры: 1) Ранее мы показали, что любая функция у = f(x) с
ненулевой производной в нуле df /dx ф О сводится диффеоморфной заменой
переменных к виду у = х. Таким образом, любой «тейл», добавленный
к такой функции, можно «убрать» заменой переменных, т.е. функция
является 1-определенной.
2) Напомним, что морсовской критической точкой функции у =
= /(#ъ • • • > ?п) называется точка К, в которой д//дх\ = • • • = д//дхп =
= 0, но матрица Гессе невырождена det#(/) \КФ 0. Мы также
договорились для простоты переносить начало координат в точку К. Как
мы знаем из леммы Морса, в этой точке функция с помощью
диффеоморфной замены переменных приводится к виду «морсовского седла»
у = х\ + • • • + х\ — х\+х — • • • - х\. А так как добавление функции
более высокого порядка не изменит характер невырожденной
критической точки функции, то получаем, что морсовская функция является
2-определенной.
3) Рассмотрим функцию /: R1 -> Я1, у = f(x) такую, что /@) =
= df/dx\o = ••• = dk~l/dxk\o = 0, но dkf/dxk\o ф 0. Как мы знаем,
такая функция эквивалентна ±хк. Поэтому любой тейл более высокого
порядка можно устранить диффеоморфной заменой координаты и эта
функция является /^-определенной.
4) Рассмотрим теперь функцию f:R2-*R вида /(х, у) = х2у. Эта
функция не будет ^-определенной ни при каком к. Действительно,
добавление тейл a g = y2k+1 с каким угодно большим к приводит к
функции / + g = х2 4- у2к+1 = у(х2 + у2*), которая имеет на целую прямую
меньше нулей, поэтому свести / 4- g к / при помощи диффеоморфной
замены аргументов не удается и / и / + g не эквивалентны. #
Справедливо следующее утверждение.
Утверждение: Каждая к-определенная функция является также и
kf-определенной для всех к' > к. #
Доказательство: очевидно. #
На основании этого утверждения можно ввести следующее
3 Зак. 472

66
Лекция 5
Определение 2: Числом определенности функции f будем
называть наименьшее к, для которого f является k-определенной. Это
число будем обозначать <т(/). #
Определение 3: Если для функции f конечного числа определенности
не существует, то будем говорить, что f не конечно определенная
функция, и писать o(f) = оо. #
Пример: а(х2у) = оо. #
Иногда нас могут интересовать координатные замены, производная
которых в нуле представляет собой тождественное отображение, т. е. яко-
биева матрица представляет собой матричную единицу:
1 0 ..- 0\
О 1 ••• 0 1
0 0 ••• 1./
Такие замены сохраняют выделенные направления в функции, например
направления нулей.
Пример: f(x,y) = яу+(а;-|-уK, линия нулей имеет вид, изображенный
на рис. 1,0. Как следует из леммы Морса, эта функция диффеоморфной
**\
Л
Г 1
и
1 —i
У 1
4- 1
Л *
\
Рис. la I
Нули функции f(x, у) 1
заменой сводится к виду х2 - у2. Нули этого седла показаны на рис. 1,6.
Видно, что картинка повернулась на 45°. Если же сделать замену
переменных х\ = х Л- /(я, у), у\ = у Л- 9(х, у), где / и g — функции второго
порядка, то при правильном подборе fug наша исходная функция
приведется к виду xiyi, направления нулей — оси координат — совпадают
вблизи нуля с направлениями нулей исходной функции (рис. 1,в). #
/ = / =

Орбиты струй
67
Рис. 16
Нули седла Морса
Рис. 1в
Нули функции Дх, у)
после замены
с единичной производной
т
Конечно, замены переменных с единичной производной в нуле
представляют собой более узкий класс преобразований. Но все-таки замены
этого класса не являются тривиальными.
Пример: F = хA + у)(х + у)(х - у + 2ху). Максимальная степень
многочлена — пятая. Проведем замену переменных
(и, v) = <р(х, у) = {х + ху, у - ху).
Матрица Якоби этого преобразования единична в нуле:

68
Лекция 5
т. е. в нуле это — тождественное преобразование. Преобразуем /:
/ = (х + ху)(х2 - у2 + 2х2у + 2ху2 + х2у2 - х2у2) =
= (х + xy)(s2 + 2х2у 4- х2у2 - у2 + 2яу2 - х2у2) =
= (гг + ху)((х + хуJ - (у - хуJ) =
Здесь уже максимальная степень — третья. Полученная функция
представляет собой каноническую форму катастрофы эллиптической омби-
лики. #
Для замен переменных рассмотренного типа вводится слегка
видоизмененное определение конечной определенности функции.
Определение 4: Функция /: К* -> R называется сильно А;-опре-
деленной в нуле, если любой тейл, добавленный к струе jkf, можно
удалить заменой переменных с тождественной производной в начале.
#
3. Пространства струй
Введем ряд векторных пространств, которые мы все будем называть
пространствами струй.
Определение 5: пространством fc-струй функций п переменных
называется: 1) пространство всех многочленов степени к, обозначаемое
Ekn = {jkf\ /:Л"^й};
2) пространство всех многочленов без свободного (постоянного) члена,
обозначаемое
Л* = {//|/:Яп-^Д/@) = 0};
3) пространство всех многочленов без постоянного и линейного членов:
In = {i"f | /: Я" "> R /@) = Df |0= О};
4) пространство всех однородных многочленов степени к:
Mkn = {jkf\f:Rn-+Rk). #
Рассмотрим несколько примеров пространств струй.

Орбиты струй
69
Примеры: 1) Пространство всех однородных кубических многочленов
от двух переменных:
Ml = {ах* +¦ Ьх2у + сху2 + dy* },
т.е. это четырехмерное пространство. Заметим, что вектора из
пространства струй в дальнейшем мы будем записывать двояким образом:
в виде многочлена, в данном случае ах3 + Ьх2у + сху2 + dyz € Mf, и в
виде обычного вектора А = (о, 6, с, d) ? М|.
2) Пространство однородных квадратных многочленов двух
переменных можно записать двояким образом:
1\ = М\ = {рх2 + gsy + гу2} = {(р, д, г)}
— трехмерное пространство.
3) Пространство всех многочленов 2-й степени двух переменных —
это уже шестимерное пространство:
Е2 = {а + Ьх + °У + dx* + ехУ + /У2} = {(а> *i с> <*> е, /)}. #
^. Некоторые сведения из алгебры
Далее нам понадобятся такие понятия, как Якобиев идеал и группа
Ли, поэтому сделаем небольшой экскурс в абстрактную алгебру и
вспомним некоторые определения.
Определение 6: Множество элементов G = {а} называется
полугруппой, если в нем задана бинарная операция «го», ставящая в
соответствие любым двум элементам из G некоторый третий элемент, и
выполняются следующие условия:
1) если а\, а2 € G, то аз = а\ о а2 € G — замкнутость G;
2) (а\ о а2) о а3 = ai о (а2 о а3) — ассоциативность операции. #
Определение 7: Полугруппа G называется коммутативной или абе-
левой, если для любых Oi, a2 € G выполняется равенство aioa2 = а2оец.
Определение 8: Подмножество элементов Н С G из полугруппы G
называется левосторонним (правосторонним) идеалом, если для
любого элемента а € G и любого элемента 6 € Я справедливо
соотношение: аоЬеН(ЬоаеН). #
Проще говоря, идеал обладает «втягивающим» свойством: если на
элемент из идеала умножить (слева или справа) любой элемент из
полугруппы, в том числе и не принадлежащий идеалу, то результат
умножения все равно принадлежит идеалу.

70
Лекция 5
Определение 9: Идеал, являющийся одновременно лево* и
правосторонним, называется двусторонним идеалом или просто идеалом. #
Утверждение: Ясно, что в абелевой полугруппе существуют
только двусторонние идеалы. #
Примеры: 1) Рассмотрим множество всех целых чисел Z и бинарную
операцию — обычное умножение ®. Легко убедиться, что свойства 1) и
2) определения полугруппы выполняются, т.е. Z — полугруппа, причем
— абелева.
2) Рассмотрим в Z подмножество Z\ = {2k | к = 0, ±1,...} С Z.
Легко проверить, что это подмножество есть двусторонний идеал в Z,
действительно, умножая на четное число любое целое число, мы
получаем четное число, т.е. элемент из Z\. #
Продолжим введение определений.
Определение 10: Множество элементов G = {а} называется
группой, если оно является полугруппой и выполняются следующие
условия:
1) существует такой элемент е € G, что оое = еоо = а, этот
элемент назовем нейтральным элементом или единицей;
2) для каждого а € G существует такой а € G, что а о а =
= а о а-1 = е, а назовем обратным элементом. #
Определение 11: Подмножество G С G из группы G называется
подгруппой, если выполняются следующие условия:
1) е € G;
2) для всех а € G обратный элемент а € G;
S) для всех oi, оа € G произведение aioa^eG. #
Примеры: 1) Рассмотрим множество всех целых чисел Z, в качестве
бинарной операции возьмем операцию сложения ф, в качестве единицы
— ноль, для каждого числа из Z обратным элементом будет а = —о.
Таким образом, множество Z является абелевой группой относительно
сложения.
2) Рассмотрим то же подмножество Z\ = {2А: | к = 0, ±1,...} —
множество всех четных чисел. Ясно, что е = 0 € Z\, если а = 2к, то
a ss -о = -2к € Z\. Таким образом Z\ является подгруппой группы
Z. Однако Z\ уже не является идеалом. Действительно, а\ = 2 6 Z\,
ог = 1 $ Zu но € Z, а\ о ог = 1 + 2 = 3 € Z, но $ Z\. Таким образом,
при смене бинарной операции свойства Z\ подмножества изменились. #

Орбиты струй
71
Нам еще понадобится понятие непрерывных групп. Для этого сначала
придется ввести такое важное понятие, как гладкое многообразие, через
следующее определение, правда, не очень строгое.
Определение 12: Гладким многообразием назовем множество
элементов любой природы, для которого построено гладкое взаимно
однозначное отображение на n-мерное евклидово пространство, по крайней
мере, локально. #
Таким образом, гладкое многообразие — это такое множество, в
котором введен непрерывный параметр (одномерный или многомерный),
причем каждому значению параметра соответствует один элемент из
множества и наоборот — каждому элементу множества соответствует
только одно значение параметра.
Нестрогость этого определения заключается в том, что вообще-то
сначала надо строго определить понятие «карты», т. е. локальной системы
координат для множества. Потом надо научиться согласовывать карты
на зонах пересечения. Потом надо объединить карты в атлас, который
уже полностью покрывает рассматриваемое множество. Потом надо
рассматривать классы эквивалентности атласов и т. д. У нас на это просто
нет времени, поэтому ограничимся этим нестрогим определением.
На параметризированных множествах можно также ввести понятие
группы.
Определение IS: Непрерывной группой или группой Ли
называют такую группу G, которая одновременно является гладким
многообразием и для которого отображения G x G -> G: аоб = с «
G -> G: Ь = о" являются гладкими отображениями
соответствующих евклидовых пространств. #
Непрерывные группы впервые рассмотрел в конце прошлого века
норвежский математик Маркус Софус Ли — член-корреспондент Петер-
буржской Академии Наук, профессор университетов Христианин (Осло)
и Лейпцига. Идеи Софуса Ли в изучении непрерывных групп оказались
настолько плодотворными, что теперь их называют в его честь группами
Ли. Эти группы сейчас широко применяются. В частности, с помощью
групп Ли была предсказана и открыта новая элементарная частица —
ft-гиперон.
Пример: Группой Ли является, например, множество G всех диффео-
морфных преобразований координат, задаваемых формулами
Ух = /i(sii.-. >3n,ci,... ,Cm),
Уп = /п(Яь--. 9Xn,Ci,... >Cm)>

72
Лекция 5
где ci, ... , Cm — параметры, полностью определяющие вид функции
/i, ... , /п и удовлетворяющие условиям определения группы Ли.
Операцией умножения элементов этой группы является композиция
преобразований, т. е. последовательная замена переменных: если у(х) € G, z(y) €
€ О, тогда z о у = z(y(x)) E G. Нейтральным элементом является
тождественное преобразование у = х. Обратным элементом выступает
обратная замена координат. В общем случае эта группа неабелева. #
5. Группа Ли преобразований струй
Вооружившись необходимыми сведениями из высшей алгебры,
вернемся к нашей задаче. В этом пункте на примере струи мы
проиллюстрируем те идеи и методы, которые используются при выводе дальнейших
теорем о конечной определенности функции. Для этого сначала введем
еще одно определение.
Определение Ц: Группой преобразований fc-струй назовем
множество всех преобразований k-струй функции п переменных в данной
точке, порождаемое локальными диффеоморфными заменами
координат в n-мерном пространстве, и обозначать ее будем G*. #
Бинарной операцией этой группы является композиция
преобразований струй. Единицей — тождественное преобразование. Через G* мы
будем обозначать подгруппу группы G*, состоящую из преобразований
fc-струй с единичной производной в начале.
Рассмотрим простейшую функцию одной переменной /: R ->• йс
критической точкой в начале (х = 0) и зададимся вопросом, как можно
ее 4-струю
j4{f) = Р{х) = рх2 + qxz + rx4 € It
привести к виду ±хк с помощью диффеоморфной замены переменных с
единичной производной в начале.
Произвольную замену координат, оставляющую начало
неподвижным и с единичной производной, запишем в виде разложения в ряд
Тейлора:
у{х) = х + Рх2 + ух* + 0D),
причем, по теореме об обратной функции, это преобразование есть
локальный диффеоморфизм.
Построим композицию функций
Роу = Р(у(*)) =
= рх2 + B0р + q)x3 + (B7 + Р2)р + Z0q + г)х4 + 0E) =
= jfx2 + jx3 + г>х4 + 0E).

Орбиты струй
73
Это преобразование 4-струи удобнее записать в матричном виде:
(А = ( 2/? 1 о)[J]. а)
\r'J V27 + ^2 3/3 \) \т)
Таким образом, произвольная диффеоморфная замена переменных
индуцирует линейное отображение точки (р, q, r) пространства If в точку
(/Л «Л ?') этого же пространства. Преобразования A) удовлетворяют
критериям определения группы. Элементы группы можно представить как
матрицы из A): Причем эти элементы-матрицы непрерывным образом
зависят *от коэффициентов разложения /Зи). Поэтому A)
представляет собой гладкое многообразие и задает группу Ли преобразования
струй в пространстве If, которую обозначим G\.
Поскольку элементы из рассматриваемой группы Ли G\
представляют собой преобразования струй из пространства If, то, взяв какую-либо
начальную струю и подействовав на нее всеми элементами группы G\,
мы получим некоторое подмножество I*. Запишем следующее
Определение 15: Орбитой /с-струи в пространстве струй назовем
множество точек, в которые можно перевести исходную струю при
проведении преобразований из группы G* или G*. #
Так как k-струю можно представить точкой в соответствующем
евклидовом пространстве коэффициентов одночленов, то орбиту струи
можно представить как подпространство этого евклгадового
пространства, образованное всеми положениями этой точки, образующимися при
действии на струю элементами из G?.
Изучая свойства орбиты струи и ее форму, можно получить
ответ на интересующий нас вопрос о том, как упростить струю с помощью
диффеоморфных замен переменных, в частности, когда можно отбросить
высшие слагаемые в струе и во всем ряде Тейлора.
Однако часто проще изучать не саму орбиту струи, поскольку она
может быть слишком сложной формы. Так, например, трехмерное
сечение орбиты однородных кубических струй функции двух переменных в
четырехмерном пространстве М% имеет форму «браслета омбилики»
(рис. 2) — что-то вроде трехгранного напильника, свернутого в кольцо
и повернутого при этом на одну грань A20°), слегка похоже на лист
Мебиуса.
Для таких сложных случаев Софус Ли разработал метод анализа
свойств групп преобразований, основанный на малых заменах
переменных, который он назвал методом «инфинитезимальных
преобразований». Введем

74
Лекция 5
Определение 16: Инфинитезимальным преобразованием струи
назовем такое преобразование, которое порождается заменой
переменных, бесконечно мало отличающейся от тождественного
преобразования. #
В нашем случае преобразование A) превращается в инфинитезималь-
ное преобразование при у и /? -> 0, т.е. когда мы можем пренебречь
членом /?2, в результате получим:
У\ /1 0 0
V/ V27 3/9 1
B)
Далее идея заключается в том, чтобы изучать так называемые
касательные пространства. Запишем
Определение 17: Касательным пространством к орбите струи в
некоторой ее точке назовем векторное пространство, натянутое на
направляющие векторы, получаемые при инфинитезимальном
преобразовании струи в данной точке. #
Теперь вернемся к нашему случаю. Касательное пространство к
орбите можно построить разными способами. Сначала построим его
геометрически. Рассчитаем направляющие векторы, возникающие при
инфинитезимальном преобразовании. Для этого произведем в B) умножение
матрицы на столбец:
Р
Я + 20Р

Орбиты струй
75
Таким образом, направляющие векторы в I* имеют вид:
Отсюда получаем, что при р Ф 0 касательным пространством является
плоскость р = const в пространстве (р, д, г), ее уравнение есть (p,q+a, г+
+Ь), где а и b — любые числа. Это пространство изображено на рис. 3.
Г
@,0, г)
Р J
Рис.3
Касательное просп
1 \Л
_1@,?,г)
ipaucmt
w
1
Ч 1
Касательное пространство К = (р, q, r)+{a'A+b'B} = {(р, g+a, г+6)},
где а = 2а'р, Ь = За'д + 26'р — любые числа при р ф 0 и ^ ^ 0.
Если же р = 0, то А = @,0, 3q), В = @,0,0) и, при g # 0,
касательное пространство есть К = {@,g,r + 6)}, где 6 — любое число, т.е. —
вертикальная линия в плоскости (g,r), проходящая через точку @, q,r).
Если же р = g = 0, то Л = Б = 0 и точка не сдвигается, касательное
пространство представлено самой точкой @,0, г).
Далее строится следующая цепочка рассуждений. Касательное
пространство есть пространство возможных смещений точки данной струи
при малых, инфинитезимальных заменах переменных. Рассмотрим
случай р Ф 0. Тогда для любой точки орбиты касательное пространство
параллельно осям qui г. Поэтому, оставаясь все время на орбите, мы
можем сложить все эти малые изменения q и г и, в результате,
произвольно их изменить, в том числе сделать равными нулю. А это значит,

76
Лекция 5
что при р Ф 0 диффеоморфными заменами переменных можно устранить
слагаемые высокого порядка и привести струю к виду ±х2.
Точно так же, если р = 0, q ф О, то касательное пространство в
любой точке орбиты параллельно оси г, значит, мы его можем занулить
и привести, тем самым, струю к виду ж3.
Эта идея легко обобщается на случай произвольного числа
переменных и слагаемых в струе и приобретает вид следующего утверждения.
Утверждение: Если касательное пространство к орбите данной
струи всегда параллельно подпространству высших членов, то эти
слагаемые можно удалить диффеоморфной заменой переменных. #
6. Алгебраическое вычисление касательного пространства
В этом пункте рассчитаем касательное пространство к орбите струи
некоторой функции f{x) алгебраическим методом. Как и ранее, /@) =
= df/dx\o = 0, т.е. начало координат — критическая точка функции.
Запишем параметризованную замену переменных с тождественной
производной в начале в следующем виде:
yt(x) =x + tq(x),
где q(x) — произвольная гладкая функция, удовлетворяющая условию
= 0.
«и-2
При t = 0 мы получаем тождественное преобразование. Условием инфи-
нитезимальности является неравенство \t\ <C 1. Ранее мы использовали
функцию q(x) в разложенном виде
q(x) =#г2 + 7*3 + 0D).
Зададим себе вопрос, как изменится &-струя композиции
foyt: x>-+ f(yt(x))
и каково касательное пространство к орбите этой струи. Для этого
рассчитаем направляющий вектор в пространстве струй, задаваемый инфи-
нитезимальной заменой переменных:
у = lim j4f ° Vt) " jkf = ik lim /(X + tq{x)) ~ f{x) =
t->0 t t->0 t

Орбиты струй
77
Используя правила алгебры усечений, которые мы рассмотрели в
лекции 3, запишем касательный вектор через fc-усечение произведения
СТРУЙ: /Ml \\k
Теперь мы можем построить касательное пространство к орбите. Для
этого определим, какие возможные направления задает вектор v в /f,
учитывая, что q(x) — произвольная функция. Так как jkq{x) образует
пространство Jf, то достаточно перебрать все базисные векторы этого
пространства, например взять за таковые г2, х3, • • • ,хЛ, подставить их
в C), найти образующие векторы касательного пространства и, наконец,
«натянуть» на них линейное векторное пространство.
Вернемся к нашему примеру, к = 4:
j4f(x) = рх2 + qx3 4- гх4,
тогда /df(x)\
j4 (-Ц^) = 2рх + 3qx2 + 4rx3 + ax\
где а уже зависит от пятой производной функции /. Подставляя в C) это
выражение, а также элементы х2, х3, х4 базиса I4 = {j4q(x)}> получаем
следующие образующие векторы касательного пространства:
РА{х) = х2{2рх + 3qx2 + Arxz + ахА) = 2рх3 + 3qx4,
PB(x)=x3{2px + 3qx2 + 4rx3 + ax4) = 2рх4,
И = ?Р*(*), x* = Yp{PA{x)-fqPB{x))'
Рс(х) = x4Bpx + 3qx2 + 4rx3 + axA) = 0.
Очевидно, что из этих векторов можно составить следующие базисные
векторы касательного пространства при р Ф 0:
\_
2р
Таким образом, при р ф 0 касательным пространством является
плоскость ах3+Ъх4, проходящая через точку (р, д, г), т. е. Ркас(я) = рх2 + (#+
+а)х3 + (г + 6)х4, где р, q, г — фиксированные заданные числа, а, 6 —
произвольные действительные числа.
Аналогично, если р = 0, q Ф 0, то касательное пространство есть
прямая, параллельная оси х2: Ркас(я) = да3 + {г + 6)ж4, <?, г = const,
6 € (-oo,-foo).
Для р = g = 0 касательное пространство вырождается в
фиксированную точку на оси г: Ркас = гх4, г = const.
Таким образом, результаты алгебраических расчетов полностью
совпали с результатами геометрического рассмотрения, как и должно быть.

78
Лекцим 6
Лекция 6
ТЕОРЕМЫ О КОНЕЧНОЙ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ
1. Сильная конечная определенность
На прошлой лекции мы рассмотрели технологию исследования
функции на конечную определенность. Теперь применим этот
аппарат к случаю функции п-переменных /: Я71 -> R. Причем
также начнем с сильной конечной определенности. Запишем зависящую
от параметра t замену переменных уг{х)^ имеющую в начале
тождественную производную, в следующем виде:
yt(x) = (xi + tqi(f),... , xn + tqn{x)),
где функций qi обладают свойством <fc@) = Dqi\0 = 0.
Та же, что и в предыдущей лекции, последовательность шагов
приводит к следующему выражению для общего вектора, касательного к
орбите струи jk+1f:
v = 7*+1 Hm /fo + *ft(*)» ->Дп + tqn{x)) - /(f) =
___ k+l
Здесь Qi — произвольный многочлен из J*4. Поскольку (как это было
в прошлой лекции с членами 4га:3 и ах4) любой член порядка к или
HI в jk+l(df/dxi) исчезает после после умножения на элементы Qi
порядка > 2 и усечения до порядка А; +1, то касательное пространство к
орбите jk+1f зависит только от многочленов jk~l (|?), которые вполне
определены струей jkf.
Изобразим подпространство J* в пространстве J*+1, к которому
относится рассматриваемая струя jk+lf, довольно схематично, прямой
линией, а подпространство М*+1 — плоскостью (рис.1). Множество
К = jMf + Mk+l =
= { j*+I/ + Q \Q - однородный многочлен степени к + 1}

Конечная определенность
79
jb+if + M^1
Рис.1
Пространство I*
является подпространством в /*+1, параллельным М*+1. Если в любой
точке пространства К все направления, касательные к К (и
совпадающие с соответствующими направлениями в М?+1), являются также
касательными к орбите под действием G*+1, то можно показать, что все
К на самом деле лежит в орбите j*+1/- Иначе говоря, некоторая
локальная замена с тождественной линейной частью устраняет из jk*lf члены
порядка А; + 1, сводя эту струю к jkf.
Следовательно, для того, чтобы показать, что существует замена
координат, которая производит требуемое устранение членов порядка A;-hi,
достаточно показать, что каждое направление в М?+1 лежит в
касательном пространстве к струе jk+1f. Алгебраически это означает, что
A)
Очевидно, что это условие не только достаточно для того, чтобы
можно было откинуть члены степени fc +1. Действительно, последнее прямо
влечет за собой, что К содержится в орбите, а отсюда вытекает, что
касательное пространство Mk+l к К в каждой точке содержится в
касательном пространстве к орбите струи.
Замечательный факт заключается в том, что если условие A)
справедливо, то каждая гладкая функция g: FF1 -+ R порядка к + 1
(многочлены из М*+1 являются лишь простейшими примерами таких функций)

80
Лекция 6
может быть представлена в некоторой окрестности нуля в виде
df df
где qi — гладкие функции порядков > 2. Это утверждение получается
с помощью одного алгебраического приема, называемого леммой Накая-
мы, которая, в свою очередь, несложно доказывается на языке модулей
над кольцами (это — обобщение понятия векторного пространства над
полем), но нам приходится отослать интересующихся к строгим
источникам ввиду слабой нашей подготовки. От этого шага уже совсем
недалеко до доказательства следующей теоремы, которая, по крайней мере,
не представляется для нас чрезмерно неожиданной и удивительной.
Теорема 1: Функция f:Rn->R является сильно к-определенной,
если и только если каждый однородный многочлен степени &+1 может
быть записан в виде
*+1 тг-г— *+1
«"-(&) +""KW-<&)
где Qi,... , Qn — многочлены от (х\,... , хп) порядка > 2. #
Это уже прямой алгоритмический критерий и во многих приложениях
он находит широкое применение.
2. Градиентный идеал
Для того чтобы более компактно записать условие теоремы 1 и других
нижеследующих теорем, введем подпространство в пространстве
струй 2?*, порождаемое нашей изучаемой функцией /.
Определение 1: Градиентным или якобиевым идеалом в
пространстве струй Е„ назовем подпространство, порождаемое к-стру-
ями всех первых частных производных изучаемой функции, и обозначим
его Д*(/), т.е.
Екп Э Ak(f) = {EOi*( J?) I VQi e El г = 1,... , n] ,
где Qi — произвольные многочлены п переменных степени к. #
Почему Ак идеал? Потому, что для любого Q € Е* QA* С ДЛ, что
достаточно очевидно.

Конечная определенность
81
Заметим также, что градиентный идеал не обязательно совпадает с
Ек. Действительно, если, например, в исследуемой функции / в
критической точке отсутствуют направления я, я2, х3, а есть только хА и
выше, то в Д]ь(/) не будет направлений х и х2 ни при каких Qi € Ек.
Достаточно очевидными являются следующие свойства якобиева
подпространства:
д*(/) = Д*(/+1/) = Д*+,0*+7)* = Д*+20*+1/)* = • • • •
Однако Д*(/) / Ak{jkf) в общем случае, так как в общем случае слева
есть члены к-й степени, а справа при дифференцировании jkf этот член
потерян.
Далее, пусть даны два подмножества А и В из Ек. Определим
произведение этих подмножеств.
Определение 2: Произведением двух подпространств
пространства многочленов степени к назовем пространство, составленное из
к-усечений всех произведений многочленов из соответствующих
подпространств, т. е. если А С Ек, В С Ек, то их произведение,
обозначаемое АВ , определяется условием:
E*DABk = {~PQk\VPeA, QeB}. #
Тогда, с учетом этого определения, касательное пространство к
орбите jk+1f под действием G*+1 можно записать в следующем виде:
I^b-iUr = J*+'A*-iQ*/) =
= /*-«Afc+1(j*/)*+1 = /*+1Д*+1(/)*+1.
И в результате теорема 1 формулируется следующим образом:
Теорема 1: Функция /:#"-># является стильно ^-определенной
тогда и только тогда, когда М*+1 С /*+1Д/ь+1(/) . #
3. Более слабые условия конечной определенности
Используя те же рассуждения, что и в пункте 1, но теперь с заменой
переменных другого типа: yt(x) = (хх +tqi(x),... , (хп + tqn(x))y где
требуется лишь, чтобы <7i@) = • • • = qn(Q) = 0, можно доказать следующую
теорему.

82
Лекция 6
Теорема 2: Если функция fiR^-tR является ^-определенной, то
М*+1 С J*+iAt+1(/)*+1. #
Таким образом, для ^-определенной функции ее касательное
пространство содержит в себе пространство однородных многочленов степени
* + 1.
Следствие: Если f: К* -? R является k-определенной в некоторой
точке, то она является сильно (к + 1)-определенной в этой точке. #
Доказательство: Условия теоремы 2 выполняются, значит мы можем
записать следующую очевидную цепочку соотношений:
*+2
М*+2 = ххМ*+1 + ... + xnM*+1 С х,7*+1Д*+1(/) +
*+2 т ^Г5 г.^,ч А Г7Г*+2
+ хп7*+1Д*+1(/) " =(x1J1fc+1 + --. + xnJn^)Aib+1(/)
*+2 _ r;t0 A Г7Г*+2
«ГДн1(/) c/w^f/)
г*+2
В итоге мы получаем соотношение Af*+2 С /*+2ДЛ4.2(/) , т.е.
выполняется условие теоремы 1 с заменой А; -> А; + 1. Что и требовалось докаг
зать.
Утверждение: Пусть к0 — наименьшее к, для которого f является
сильно определенной. Тогда функция f может быть (ко -
I)-определенной, но не может быть (ко — т)-определенной с т > 1. #
Доказательство: Если для ко - 1 функция / не противоречит
условиям теоремы 2, то она вполне может быть (ко — 1)-определенной. При
этом она не противоречит следствию из теоремы 2.
Однако, если предположить, что / — (А:0 - га)-определенная, то по
этому же следствию она является (ко - т + 1)-сильно определенной,
причем ко - m + 1 < ко, что противоречит условию утверждения. #
Утверждение: Теорему 2 нельзя усилить до «если и только если».
Доказательство: Действительно, рассмотрим, например, функцию
/(х) = х4. Проверим ее на сильную 4-определенность, т.е. проверим
выполнение условий теоремы 1:
к = 4, к + 1 = 5, градиентный идеал As(x4) = {4х3(а + Ьх + сх2)},
а, 6, с € «R;
пространство однородных многочленов Mf = {dx5}, d € R;
пространство струй /f — {ах2 + /?х3 + *ух4 + <$х5}, а, fry, 6 € R.
Находим касательное пространство к орбите струи j5(f) под
действием группы Ли G\: /?Д5(х4) = {4аах5}.
Ясно, что Aff С /f Дб(х4) , точнее эти пространства просто
совпадают, достаточно положить d = 4aa, чтобы в этом убедиться.

Конечная определенность
83
Проверим выполнение условия теоремы 2 для *=4:
J* = {ех + ах2 + /?х3 + 7^4 + **5},
Л5Д5(х4M = {4еах4 + Dаа + 4te)x5} Э Mf,
т.е. теорема 2 справедлива для этого случая.
А теперь проверим условия теоремы 2 для А; = 3, к + 1 = 4:
Д4(х4) = {4х3(а + 6х + •••)},
М4 = {сх4}, 74 = {ех + ах2 + /?х3 + 7*4}>
74Д4(х4L = {е4ох4} = М4 « {сх4}
при с = еа. Т.е. условия теоремы 2 выполняются и для к = 3 !
Однако мы ранее доказали, что никакой диффеоморфной заменой х4
не может быть приведено к х3. Отсюда следует, что из того, что условия
теоремы 2 выполняются для А; = 3, не следует, что функция х4 является
3-определенной. Таким образом, в условии этой теоремы нельзя написать
«и только если». Что и требовалось доказать. #
Замечание: условие теоремы 1 для к = 3 уже не выполняется, дей-
ствительно: 7^Д4(х4) = 4ах3 • ах2 = 0 и М4 g /4Д4(х4) => еще раз
убедились в ее справедливости. #
Однако можно показать, что при выполнении условия теоремы 2
устранимы достаточно малые изменения функции порядка fc+1. Это приводит
нас к понятию локальной /^определенности.
Определение 3: Функция /: /Р1 -> R называется локально fc-onpe-
деленной, если найдется такое е € R, что каждую функцию f+g, где
9 — функция порядка к +1, удовлетворяющая условию
&+19
дх\1 •••ах**
<е
о
для всех к{ с к\ + -•• + кп = к + 1, можно локально перевести в jkf
гладкой заменой координат. #
Справедлива следующая
Теорема 3: Гладкая функция f:R?->R является локально к-опре-
деленной, если и только если Af*+1 С «/*+1Д*+1(/) #
И, наконец, критерием просто А;-определенности является следующая
Теорема 4 (теорема Стефана): Гладкая функция /: Д* -» Д лгвля-
ется k-определенной, если и только если М*+1 С 7*+1ДА+1(/Н-Р)
Аля любого фиксированного Р € М?+1. #

84
Лекция 6
Пример: Покажем, что / = х4 не является 3-опреде ленной: А; = 3,
к + 1 = 4, п = 1. М4 = {ох4}, Д4(/ + Р) = Д4(я4 + ах4), где Р ? М4.
Если взять а = — 1, т.е. Р = —х4 , то получаем А4(х4 — х4) = 0 и
4
<74Д4(/ + Р) =0. Поэтому условие теоремы Стефана, по которому для
любого фиксированного Р G М4 должно быть справедливым
включение М4 С J4AA(f + Р) , не выполняется для полинома Р = -х4 6 М4,
следовательно, х4 не является 3-определенной функцией.
Если же проверить функцию х4 на 4-определенность, то по теореме
Стефана получаем: к = 4, А; + 1 = 5, М\ = {ах5}, Р = ах5 € Mf, / = х4,
/ + Р = х4 + ах5, Д5(/ + Р) = {Dх3 + 5ах4)(а + /?х + 7*2 + -)}, Jf =
= {сх + dx2 -f ex3 + /х4 + рх5},
*/5Д5(/ + Р)* = (сх + cfo2 + • • •)Dх3 4- 5ах4)(а 4- /Зх + • • •M =
= {4сх4а + Drfa -f 0c + 5аас)х5} .
Ясно, что для любого а, т.е. для любого Р G М5, достаточно
коэффициентов в круглых скобках, чтобы перебрать все возможные значения
из (—оо, +оо). Следовательно всегда (т.е. для любого фиксированного
Р € М5) М5 С 75Дб(/ + Р) и функция является 4-определенной. #
^. Прием Сирсмы
Этот прием особенно удобен для исследования функции двух
переменных /: R2 —у R на сильную конечную определенность. Практически
его применяют к струе этой функции jkf{x> у) при некотором к. Более
тонкий и сильный вариант этого приема был дан Арнольдом.
Этот метод наиболее прост, когда частные производные
содержат обе лишь по одному члену.
Пример: Рассмотрим использование этого приема на примере
функции /(х,у) = х2 + у4. Нам надо ее исследовать на сильную конечную
определенность. Рассчитаем производные: /i = 2х, /2 = 4у3.
Нарисуем пирамиду, состоящую из одночленов (рис.2), которая, по
существу, является представлением пространства J* ¦
Нарисуем на пирамиде «тени», отбрасываемые одночленами х и у3.
Область пирамиды, находящаяся в зоне теней, представляет собой образ
градиентного идеала исследуемой функции.

Конечном определенность
85
Теперь нам надо построить образ касательного пространства к
орбите этой функции под действием группы Ли G*4:
tf«/Wi(/) •
Для этого мы проведем «усечение» теней, т. е. проведем линии на два
этажа ниже хиу3. Это объясняется тем, что пространство /*+1 для
любого А: содержит одночлены с минимальной степенью 2. В итоге та часть
пирамиды, которая находится в зоне усеченных теней, отображает^
касательное пространство к орбите струи под действием группы Cr*+l.
Теперь надо найти наипростейшее пространство однородных
многочленов степени к +1, в M*+1, которое полностью принадлежит орбите
функции. На пирамиде М*+1 изображается всеми одночленами
одного этажа пирамиды. И мы видим, что орбите функции принадлежит
весь 5-й этаж, т.е. (к + l)mjn = 5. Отсюда, по теореме 1, получаем, что
функция х2 + у4 сильно 4-определена. #
Бели /i и /г не одночлены, то ситуация несколько усложняется,
поскольку в этом случае необходимо отыскать такие комбинации /i и /2,
которые бы являлись элементами пирамиды и от них можно было бы
отбросить тени. Рассмотрим пример.
Пример: f(x, у) = х2у + \yz. Нужно исследовать эту функцию на
конечную определенность. Рассчитаем частные производные: f\ = 2ху,
f2 = х2 + у2. Составим следующие комбинации из /i и /г и получим

86
Лекция 6
элементы из пирамиды:
xy=-fu s3 = я/2-2^' У* = уЬ~ 2ХЛ-
Поскольку сюда уже входят произведения Д и /2 на линейные
сомножители, то усекать эти две последние тени надо всего лишь этажом
ниже, поскольку уже там будут содержаться произведения Д и /2 на
квадратичные члены, которые входят в область касательного пространства.
В итоге получаем картину, изображенную на рис. 3.
Из рисунка видим, что усеченными тенями перекрыт весь 4-й этаж,
т.е. к +1 = 4, M\ С /|Д4(/) , и, по теореме 1, функция является сильно
3-определенной. #

Коразмерность и деформации
87
Лекция 7
КОРАЗМЕРНОСТЬ И ДЕФОРМАЦИИ
В этой лекции мы приступим к рассмотрению вопроса, как
включить конечно определенную функцию, структурно неустойчивую
в вырожденной критической точке, в структурно устойчивое
семейство функций.
1. Коразмерность функции
Начнем сразу с определения.
Определение 1: Коразмерностью функции f:R*-+Re начале
называется максимальная коразмерность якобиева идеала А* в
пространстве струй J*, т. е. величина
codim(/) =' max (dim 7* - dim Д*(/)) . #
Иными словами, коразмерность функции — это максимальное число
«отсутствующих» полиномиальных направлений в Д*(/). Ясно, что со-
dim(/) может только возрастать с ростом к. Бели рост коразмерности
нигде не останавливается, то говорим, что codim(/) = оо.
Можно легко показать, что условия конечной коразмерности и
конечной определенности совпадают. (Это становится особенно очевидным
на диаграмме Сирсмы). Коразмерность функции характеризует степень
сложности функции в данной точке. Справедлива следующая
Теорема 1: Пусть коразмерность функции /: JP1 -> R в начале
равна с. Тогда любое достаточно малое возмущение этой функции
приводит к функции, имеющей вблизи начала не более с + 1 критических
точек. #
2. Деформация функции
Следующая наша задача — научиться включать нашу функцию, или
ее достаточную струю, в какое-либо структурно устойчивое семейство
функций, поскольку только такая функция или семейство функций
обладают устойчивыми к различного рода возмущениям свойствами и только
структурно устойчивую функцию можно и имеет смысл изучать и
классифицировать.
Введем следующее

88
Лекция 7
Определение 2: г-деформацией функции f\ К* -* R назовем
всякую функцию F: К**1, -> R, удовлетворяющую условию F(xi,... ,х„,
О, ...,0) = /(агь...,хп). #
Будем также использовать другую, эквивалентную запись для г-де-
формации: Ftu... ttr(xi,... ,sn)» т.е. F — это семейство п аргументов и г
параметров.
Нас интересуют структурно устойчивые семейства функций, т.е.
такие семейства, которые переходят одно в другое при замене переменных
из какого-либо класса. Мы уже ввели понятие эквивалентности семейств
функций на основе диффеоморфных замен переменных. Теперь немного
расширим класс допустимых замен и введем новое
Определение 3: Будем говорить, что d-деформация F функции f
индуцирована из г-деформации F с помощью трех отображений е, у
и 7; если вблизи начала в A"+d выполнено условие
F(x1s)=F{y8(x),e(s))+j(s),
где е: R? -+ IV — гладкое отображение параметров, задаваемое
формулами EЬ... , sd) н» (ei(s),... , er(s));
у: К*** -* Я* — зависящая от параметров гладкая локальная
замена координат в Д": (я, s) ь* (j/i(x, s),... , г/п(я, s)), которая при
фиксированном s является локальным диффеоморфизмом;
7: К* -* R —- гладкая сдвигающая функция, #
Бели е — диффеоморфизм, то мы получаем эквивалентность семейств
функций, определенную ранее. Это же определение охватывает более
общие случаи.
Пример: Например, деформация хъ + зх2 индуцируется из у3 + ty с
помощью отображений
е:Д->Я, 5H->t = -52/3,
у:Я1+1-»Д, (х, s) »-> у = х + s/3,
7: R -> Я,з ь-> 7 = -2s3/27.
5. Версальные деформации
Введем понятие версальных деформаций.
Определение 4' г-деформация функции f называется версальной,
если любая другая деформация зтой функции может быть
индуцирована из нее. #
Введем еще одно

Коразмерность и деформации
89
Определение 5: r-деформация называется универсальной (или,
иногда говорят, миниверсальной^ если г — наименьшая размерность,
для которой существуют версальные деформации. #
Построим подпространство Vk(F) С Jk следующим образом. Пусть
дана некоторая деформация Ftb...,t,(si,... ,хп) функции f(xx ,... , хп).
Рассчитаем векторы vk в пространстве Jk:
vi = ^"(^*^*i,o,.»,o),
* = ?№*-•-**)'
где JkF — Л-струя без постоянного члена для функции F. И обозначим
символом Vk(F) пространство в J*, натянутое на эти векторы, т.е.
Vk(F) = J2^i(F)Q4, *€Д.
Введем понятие трансверсальности подпространств, необходимое
нам для построения семейства функций.
Определение 6: Два подпространства U и V в Я* называются
трансверсальными, если они вместе порождают все пространство
Я". #
Теперь мы готовы сформулировать основную теорему, которая
позволит нам включать нашу функцию в структурно устойчивые семейства
функций.
Теорема 2: Если функция /: Дп -> R является k-определенной, то
ее г-деформация F будет версальной тогда и только тогда, когда
Vk(F) uAk{f) представляют собой трансверсальные подпространства
в Jk. Она будет универсальной тогда и только тогда, когда она
версальна иг = codim(/). #
Следствие: Любые две r-деформации F и G, для которых Vk(F) и
Vk(G) трансверсальны к А(/), эквивалентны как семейства функций.
Доказательство: достаточно очевидно, но не будем им заниматься.

90
Лекция 7
4- Построение универсальной деформации
Теперь соберем воедино полученные сведения и запишем технологию
постоения универсальной деформации для ^-определенной функции:
1) находим градиентный идеал Д*(/) нашей функции как
подпространство в J*;
2) рассматриваем дополнительное подпространство 7* \ Д*(/),
размерность которого есть с = codim(/), выберем в нем какой-либо базис
vi,..., vc;
3) строим искомое семейство функций по формуле F(xi,... , xn, tb...,
U ) = /(я) + tivx(x) + • • • + tcvc(x).
Пример: Дана функция/(ж, j/) = х2у+|у3+0D). Надо ее исследовать
на конечную определенность и построить универсальную деформацию.
Решение: Проверим /(я, у) на сильную 3-определенность. Строим яко-
биев идеал Д*-ц(/) =? Д4(/):
|U2*y + 0C), g = *2 + y2 + 0C),
Д4(/) = {P(x,y)BxI/ + 0C)) + Q(x,2/)(x24-3y2 + 0C))},
где Р € 25* > Q € ?$ — произвольные полиномы из JEF*, А = 0, 1, 2, ....
Рассмотрим теперь касательное пространство I^aU) • Нас
интересует вопрос, какие направления подпространства однородных
многочленов 4-й степени содержатся в этом касательном пространстве. Для
ответа на него выделим в градиентном идеале Д4 направления степени
< 2 (достаточно, очевидно, выделить только их, поскольку 1\ состоит из
многочленов степени > 2, а при вычленении касательного пространства
производится усечение всех слагаемых со степенью больше четвертой):
ху, х2 + у2 е Д4(/)- Следовательно, направляющие векторы в
касательном пространстве найдем, перебрав все базисные векторы из 1\ второй
степени, т.е. я2, у2, ху, и умножив их на вышезаписанные
компоненты якобиевого идеала. В результате получаем следующие направляющие
векторы:
Д = х3у, В = жу3, С = х2у2у D = х4 + х2у2,
Я = хУ + у4, F = x32/ + sy3.
Отсюда ясно, что орты х4 и у4 также содержатся в этом касательном
пространстве, поскольку выражаются линейным образом через эти
направляющие векторы: хА = D - ЗС, уА = (Е - С)/3. Таким образом,

Коразмерность и деформации
91
все базисные векторы из М2: я4, х3у, х2у2, ху3, у4 — содержатся в
касательном пространстве, поэтому можем записать М\ С /4Д4(/) и по
теореме 1 функция / сильно 3-определенная (т.е. результат
совпадает с результатом прошлой лекции, где мы рассматривали этот вопрос
методом Сирсмы).
Теперь займемся построением универсальной деформации. Поскольку
функция сильно 3-определена, то построим идеал Дз(/)- В данном случае
он совпадает с A^f), записанным выше.
На втором этапе нам надо найти дополнительное пространство
J3 \ А3(/) и определить его размерность. Легко показать, что в
идеале Аз(/) содержатся все кубические направления:
2 19/2 2 1 9/2
ху = ?Тх> ху -2»а?'
з а/2 1 а/2 з W2 1 W2
ду 2удх ' у уду 2 дх
Из квадратичных направлений мы имеем только J\ = ху = \jfe и
д
некоторое среднее направление J2 = я2 + у2 = |? в плоскости (х2, у2).
Таким образом, у нас нехватает в идеале двух линейных направлений
х и у, а также одного квадратичного, отличного от ху и не
параллельного х2 + у2. Отсюда делаем вывод, что размерность дополнительного
пространства J3 \ Аз (Я равна трем, а значит, коразмерность функции
в вырожденной критической точке 0 тоже равна трем: codim(/) = 3. В
качестве кобазиса функции в этой точке можно взять следующие
отсутствующие в Дз(/) направления: v\ = я, v2 = у, v$ = х2 - у2.
Действительно, через Ji, J2, v3 можно выразить все базисные векторы второй
степени линейным образом: х2 = (г>з + */г)/2, ху = «Д, у2 = (Ji - ^з)/2.
Таким образом, универсальной деформацией исследуемой функции
будет, например, следующее структурно устойчивое семейство функций:
^С1,с2,сз = Х2у + -у3 + С3{Х2 - у2) + С2У + CiX. #
5. Метод Сирсмы построения деформации
Вернемся к этому методу уже с точки зрения построения
универсальной деформации функции. Как мы выяснили в прошлой лекции, метод
особенно удобен для функции /: R2 -» R. Рассмотрим те же примеры,
что и в прошлой лекции.

92
Лекция 7
Пример: Дана функция / = х2 + у4. Построить универсальную
деформацию. Находим частные производные
дх 2х' ду Ау-
Нарисум пирамиду — образ пространства «7* и «тени» на ней,
отбрасываемые многочленами я у3 — образ градиентного идеала нашей функции
(рис. 1).
Рис. 1
Вычисление пространства «7* \ Д*(Я
Из рисунка видно, что вне идеала остается два направления в J*,
это у и у2, причем ни один из этих векторов не выражается через
другой. Таким образом, коразмерность функции в критической точке,
равная размерности дополнительного пространства J* \ Д*(Я» равна двум.
В качестве кобазиса естественно взять орты v\ = у, «2 = у2.
В результате универсальная деформация функции принимает вид
Fajb{x, у) = х2 + у4 + ay2 + by. #
Пример: Дана функция f(x1 у) = х2у4-|у3. Построить универсальную
деформацию.
Здесь ситуация чуть сложнее из-за того, что производные в градиенте
— не одночлены:
дх
ду

Коразмерность и деформации
93
Поэтому, как мы выяснили ранее, нужно сначала найти те одночлены,
от которых надо отбрасывать "тени" на диаграмме:
ldf з df 1 df з df 1 df
XV = -~-, X = Х-7Г 1/-^-, V = V-7T X~-.
y 2&r' dy 2ydx' y ydy 2 dx
Нарисуем пространство J* и якобиев идеал Д*(/) (рис.2). Вне «теней»
лежат 4 направления: х, г/, я2, у2.
Однако х2 и у2 не являются независимыми, поскольку их комбинация
х2 + у2 € Дз(Я принадлежит идеалу, а мы ищем размерность и базис в
дополнительном к идеалу подпространстве. Как говорят, направления х2
и у2 «сравнимы по идеалу». Поэтому коразмерность функции равна 3, а
в качестве кобазиса можно взять х, у и любой направляющий вектор в
плоскости (я2, у2), не параллельный х2 + у2, например х2 - у2. В итоге
получаем искомую деформацию:
?. Линейка Ньютона
В этом пункте на простом примере рассмотрим еще один прием
определения коразмерности функции в критической точке — так называемый
«метод линейки Ньютона», который конечно же дает те же результаты,
что и ранее рассмотренные приемы, но может быть для кого-то чем-то
более удобен, в частности, допускает простое обобщение на случай
исследования функции большего коранга.

94
Лекция 7
Пусть нам надо построить универсальную деформацию следующей
функции
Дх,у) = :г2у-у5.
Рассчитаем частные производные: /i = |? = 2яу, /2 = §? = х2 — 5у4.
Рисуем «диаграмму Ньютона», которая представляет собой сетку
(рис.3), узлы пересечения которой соответствуют степеням одночленов.
Тогда отметим первый образующий одночлен ху точкой на пересечении
линий 1,1. Отбросим тени от нее (вправо и вверх).
degy
7
6
5
4
3
2
1
О 12 3 4 5 6 7 8 degx
Рис.3. Диаграмма Ньютона
Следующая производная |? = х2 — 5у4. Отметим кружочками х2 и
у4 и соединим их линией — это и есть линейка Ньютона. Для того
чтобы найти мономы (одночлены), от которых надо отбрасывать тени,
будем смещать линейку параллельно самой себе (разрешается ее двигать
только вправо и вверх — в сторону увеличения степеней по х и у). Как
только один из кружочков попадает в тень от одночлена |?, то второй
кружочек указывает на одночлен, от которого уже можно отбрасывать
тень. Почему это так — просто доказать.
Действительно, как только один из кружков попал в тень от df/dx,
то это означает, что этот одночлен можно получить из df/дх
умножением на какой-либо одночлен. Тогда оставшийся одночлен, соответству-
1
rfe
^

Коразмерность и деформации
95
ющий другому кружку, можно получить, вычитая из двучлена,
соответствующего сдвинутой линейке, одночлен, соответствующий кружку в
тени df/dx, т. е. произведение df/dx на какой-либо одночлен. Это
означает, что получаемый таким образом одночлен является комбинацией
Р(Х>У)% + Ф(*»У)|*' где p(x>v)i Q(x>v) € ^2» те- он лежит в идеале
Д(/) и от него можно отбрасывать тень.
В нашем случае, перемещая линейку вверх на одну клетку,
получаем, что нижний кружок попадает в тень |?, верхний кружок при этом
находится в уь и от него можно отбросить тень. Перемещая линейку из
исходного положения вправо на одну клетку, также находим еще один
моном, от которого можно отбросить тень: х3. В итоге получаем образ
идеала Д(/) на диаграмме Ньютона такой, как изображено на рис.3.
Вне идеала осталось 7 узлов пересечений. Один из них @,0) нас не
интересует, так как соответствует константе, которые мы не
рассматриваем. Кроме того, одночлены уА и х2 связаны через производную
|? = х2 - 5у4, т. е. задают, по-существу, лишь одно направление в
дополнительном пространстве J2 \ Д(/). Поэтому коразмерность функции
есть codim/ |0= 5. Ив качестве миниверсальной деформации можно
взять следующую:
Fsix, У) = Я2У - У5 + С5У3 -I" САу2 + С3Х2 + С2У + С\Х
— катастрофа второй эллиптической омбилики.
Таким образом, мы научились включать исследуемую функцию в
структурно устойчивое семейство функций. Действительно, любое малое
возмущение этого семейства может быть устранено диффеоморфной
заменой аргументов, поскольку 1) семейство является ^-определенным, 2)
все отсутствующие слагаемые в ряду Тейлора со степенями, меньше
числа определенности, учтены при построении универсальной деформации.
Теперь, для завершения нашей исследовательской программы, нам
надо научиться классифицировать полученные семейства функций, чем
мы и займемся в следующем пункте.
7. Классификационная теорема Тома
Таким образом, мы научились включать вырожденную функцию в
структурно устойчивое семейство функций. И теперь естественно
возникает вопрос, а сколько качественно разных по своему поведению таких
семейств? В этом пункте мы только коротко коснемся этой темы.
Итак, зададим себе вопрос: если задано r-параметрическое семейство
функций
f:Rnx RT-+R,

96
Лекция 7
то какие локальные виды функций встречаются там типичным образом?
Столь же важным является и обращение этого вопроса: если задана
некоторая функция, то как может выглядеть типичное содержащее ее
семейство (вблизи данной функции)?
В этом разделе мы сформулируем классификационную теорему для
отображений указанного вида, которую предсказал Ренэ Том, но
доказали другие математики. Однако, поскольку инициатором был Том, эту
теорему называют его именем.
Теорема 3 (Р. Том): В типичном случае г-параметрическое
семейство гладких функций
f:RnxRr->R
для всякого п и всех г < 5 структурно устойчиво и эквивалентно (в
определенном ранее смысле, т. е. право-эквивалентно^) вблизи любой
точки одной из следующих форм:
1) некритическая функция: х;
2) невырожденная критическая, или морсовская, функция:
х\ 4- • • • + х] - а?+1 х2, 0 < г < п.
(Эти две формы не являются формами катастроф, кроме того, здесь
исчезли зависимости от параметров, все параметры — «немые».
Нижеследующие формы семейств функций — это уже катастрофы, и мы
запишем их закрепившиеся прозвища, а также обозначения в
классификации В.И.Арнольда. Причем объяснить возникновение последней мы не
сможем, поскольку для этого необходимо разобраться в строгой теории
особенностей отображений. Итак, продолжаем записывать теорему.)
3) каспоидные катастрофы:
складка (А2): х3 4- С\Х 4- M;
сборка (Аз): ±(хА + сгж2 + С\х) + М;
ласточкин хвост (А±): хь 4- сзх3 + Сгх2 -I- с\х + М;
бабочка (Аъ): ±(х6 + с^хА 4- с$х3 + с2х2 4- С\х) 4- М;
вигвам (Ае): х7 + съхъ + с4х4 4- с3я3 4- о^х2 4- С\Х 4- М;
4) омбилические катастрофы:
эллиптическая омбилика (D^):
х\х2 - х\ 4- c$x\ 4- о&г 4- С\Х\ 4- N;
гиперболическая омбилика (Df):
х\х2 4- х\ 4- Czx\ 4- С2Х2 4- схХ\ 4- N\

Коразмерность и деформации
97
параболичская омбилика (D*>):
±{х\х2 4- х\ 4- сАх\ 4- czx\ 4- с2х2 + С\Х\) 4- iV;
вторая эллиптическая омбилика (D^):
х\х2 -х\ + С5Х2 4- C4X2 4- Сзя? 4- C2X2 4- CiXi 4- N\
вторая гиперболическая омбилика (D?):
х\х2 4- Xj 4- с$х\ 4- с±х\ 4- с$х\ 4- с2х2 4- Ci^i 4- N;
символическая омбилика(Е^):
±(х\ 4- ^2 4- С5ГГ1Х2 4- С4Х2 4- СъХ\Х2 4- с2Хг 4- С\Х\) 4- iV,
где (xi,... ,xn) € Л11,, (ci,... ,Ст) € /Г, М, JV обозначает морсовскую
часть семейства, т.е.
М = ж? 4- • • • 4- х? - х?+1 х*, 2 < г < п,
W = x? + -..4-x?-x?+1 а?, 3<г<п. *
Замечание: в приведенной форме катастрофы число параметров с*
может быть меньше, чем г, это означает, что все остальные параметры
— «немые» и не влияют на геометрию катастрофы. #
Замечание: знаки «±» в стандартных формах означают наличие так
называемых «двойственных» катастроф, например, если знак «4-»,
то говорят: «катастрофа бабочки», если знак «-», то говорят о
катастрофе, двойственной бабочке, и т. д. Так, на машине катастроф Зимана
в углах бифуркационного квадрата, расположенных на оси машины,
находятся катастрофы сборки, в боковых же углах — двойственные сборке
катастрофы. #
Замечание: первоначальные семь элементарных катастроф
Тома — это те катастрофы из нашего списка, в которые не входит с5, т. е.
катастрофы с числом параметров не более четырех. #
Замечание: название «каспоидные катастрофы» происходит от
английского слова «cusp» — рог, острый выступ, эта форма является
характерной для бифуркационного множества этого ряда катастроф. На-.
звание омбилика происходит от латинского umbilicus = пуп, что тоже
основано на ассоциации с бифуркационным множеством
соответствующих катастроф. #
4 Зак. 472

98
Лекция 7
8. Числа, ассоциированные с особенностями
Соберем вместе все характерные числовые инварианты функции в
критической точке, которые мы уже изучили.
1) Коранг функции в точке:
corank(/) * n - rank#(/),
где #(/) — матрица Гессе в критической точке, В этом курсе лекций
мы ограничились катастрофами коранга 1 — каспоидиые катастрофы, и
коранга 2 — омбилические катастрофы. Коранг функции говорит о том,
сколько в изучаемой функции существенных переменных.
2) Коразмерность функции в точке:
codim(/) = max (dim J* - dim Д*(/)).
В приведенной теореме Тома мы привели катастрофы с коразмерностью
до 5-й включительно.
Табл.1. Определитель катастроф
Том
складка
|сборка
| ласт. хв.
| бабочка
| вигвам
1 элл.омб.
| гип.омб.
| пар.омб.
| 2-я элл.омб.
| 2-я гип.омб.
[ симв.омб.
Арнольд
Аг
А,
А,
As
М
DZ
.#
Db
d;
Dt
Ев
corank(/)
2
2
2
2
2
2
codimG)
1
2
3
4
5
3
3
4
5
5
5
-JJY
3
4
5
6
7
3
3
"' 4" '
5
5
4
~7Щ
з 1
' 4
5
6
7
3
3
4
5
5
4 |
3) Число определенности функции в точке
a(J) - min {* | M*+1 С #»Ак+1(зк/ + Р)к+\ VP € M*+l}.
Напомню, что число определенности показывает, какая минимальная струя
функции является достаточной, поскольку высшие слагаемые в ряду
Тейлора убираются диффеоморфной заменой переменных.

Коразмерность и деформации
99
4) Число сильной /^-определенности:
</(/) = min {к | М?1 С /*+1Дк+10*/)*+1} •
В этом случае высшие слагаемые, степени к + 1 и выше, можно убрать
диффеоморфной заменой с единичной производной в начале. Числа <т и &
в вышеприведенной теореме — не более 5.
Между этими числами существуют определенные соотношения. Вот
некоторые из них;
codim(/) > a(f) - 2,
codim(/) > -corank(/)[corank(/) +1],
a(f) > >/corank(/).
И, наконец, приведем таблицу соответствия этих чисел и катастроф,
своего рода «определитель катастроф». В таблице даны названия их
по Тому и обозначения в классификации Арнольда. Используя эту
таблицу, легко получить ответ на вопрос, к какой катастрофе сводится
вырожденная особенность, которую мы получили в нашем исследовании.
Для этого достаточно посчитать в критической точке, фактически, три
числа: коранг, коразмерность и число определенности.
9. Заключение
Вот, собственно, мы и достигли своей цели: научились искать
критические точки, находить среди них вырожденные критические точки,
научились наводить порядок в вырожденной критической точке —
расщеплять функцию на морсовскую и сугубо вырожденную части. И,
наконец, мы научились включать вырожденную часть функции в структурно
устойчивое семейство функций.
Конечно, это далеко не вся классификация особенностей в теории
бифуркаций и катастроф. Что мы не рассмотрели? При коранге
вырождения более 3, т. е. когда у функции есть 3 и более существенных
переменных, уже необходима не такая простая классификация особенностей. А
именно, появляются так называемые «модули», т. е. непрерывно
зависящие от параметра добавки к функции, которые существенно определяют
топологию функции и неустранимы диффеоморфной заменой
переменных.
Модули появляются и в случае вырождения коранга 2 при
коразмерностях, больших 5.

100
Лекция 7
Мы не рассмотрели системы с симметриями и отображения на
многообразиях с краевой границей. Здесь особенности функций
претерпевают существенные видоизменения.
Мы не рассмотрели отображения на комплексных многообразиях.
Здесь некоторые катастрофы на действительных множествах сливаются
воедино. Однако появляются существенно новые явления, такие, как мо-
нодромии и исчезающие циклы, когда появляется «вращение»
областей склейки римановых листов при переходе через критическое значение
функции.
Кроме рассмотренной нами правой эквивалентности рассматривают
также право-левую эквивалентность функции и так называемую
V-эквивалентность функций, где также существуют классификации
особенностей, которые мы еще не рассматривали.
Мы не затронули вопросы особенностей и бифуркаций в
динамических системах, в лагранжевых и гамильтоновых системах. Здесь
гораздо меньше порядка, чем в «статических» отображениях. Однако
многие бифуркации в этих системах сводятся к ним или основываются
на особенностях статического отображения множеств.
Но, как говорится, нельзя объять необъятное. По всем этим
вопросам мы вас отсылаем к соответствующей литературе, список которой
приведен в конце лекций.

Каспоидные катастрофы
101
Лекция 8
ГЕОМЕТРИЯ КАСПОИДНЫХ КАТАСТРОФ
В этой лекции мы рассмотрим подробнее геометрию нескольких ка-
споидных катастроф из списка Р.Тома и, в частности, форму
бифуркационного множества.
1. Сборка Уитни
Мы начнем со сборки Уитни, поскольку с ней мы уже встречались при
построении теории машины катастроф Зимана. Напомню, что мы
получили для этой машины зависимость ее потенциальной энергии Уа,ь(х) от
угла поворота колесика х и координат острия указки (а, Ь) на плоскости
доски, которые мы рассматриваем как параметры, в следующем виде:
Va>b(x) = та;4 + -ах2 + Ьх.
Довольно сложное поведение потенциальной функции можно охватить
единой геометрической картиной, делающей все чрезвычайно
наглядным.
Для этого определим понятие «многообразие катастрофы». При этом
будем исходить из того, что само понятие гладкого многообразия уже
известно (это, упрощенно говоря, некоторое множество точек плюс
карта, либо атлас (набор карт), или, проще, выбранная система координат,
позволяющая гомеоморфно, либо диффеоморфно описывать это
множество точек).
Определение 1: Многообразием катастрофы М отображения }':
R1 х /Г —t R назовем множество критических точек этого отображ-
ния в пространстве R? x IV в совокупности с диффеоморфной картой
либо атласом. #
Для рассматриваемых в нашем спецкурсе отображений f:RnxRr->
-> R многообразие катастрофы есть поверхность равновесия системы
в пространстве RJ1 х Яг. Нарисуем ее для машинц катастроф Зимана.
Уравнение этой поверхности есть
^* = о
ах
или
х3 + ах + Ь = 0. (*)

102
Лекция 8
Вид этой поверхности изображен на рис. 1, т. е. М имеет вид поверхности
со сборкой.
В нашем случае М — гладкое подмногообразие в Я3. Действительно,
возьмем карту
и рассмотрим отображение тг: Y -» М по правилу 7г(х, а) = (х, а, 6) € М,
где 6 находится из (*):
7г(х,а) = (ж, о, ~х3 - ах).
Посчитаем якобиеву матрицу отображения 7г:
7(тг)=( 0 1 ].
\-Зх2-а -х/
Ясно, что J(ir) имеет ранг 2 независимо от того, какие значения
принимают о и х. Следовательно, 7г не имеет критических точек и Л/ —
гладко.
Далее введем такое важное понятие, как отображние катастрофы.

Каспоидные катастрофы
103
Определение 2: Отображением катастрофы х: М -* С
называется «естественная проекция» многообразия катастрофы М в
пространство управляющих параметров С = Rr, которое проецирует точки М
в С по следующему правилу
М Э (хь... ,хп,аь... ,аг)к->(аь... ,0,) € С. #
Введем еще такие важные понятия, как особая точка и особое
множество отображения.
Определение 3: Особой точкой отображения f': Я* х /Г -> R
назовем критическую точку отображения катастрофы \- Л/ -> С в
пространстве S х С. #
Определение 4- Особым множеством F отображения f: iP1 xiT —>
-+ R назовем совокупность всех особых точек этого отображения в
пространстве S х С. #
Найдем особое множество F в нашем случае. В карте (х, о)
отображение катастрофы х: М -4 С есть отображение по правилу
Х(М) = х(тг(х, а)) = х(х, а, -х3 - ах) = (а, -х3 - ох) = (а, Ь) € С.
Таким образом, х задается набором правил — функций от (х,а):
га = о,
*' \б = -х3 -ах.
Якобиева матрица отображения катастрофы
Найдем критические точки отображения катастрофы. Это те точки,
где
det J(x) = a + Зх2 = 0,
т. е. в критических точках а и х связаны соотношением а = -Зх2. Таким
образом, особое множество F задается в карте (х, а) точками поверхности
многообразия катастрофы
М = {(х,а, -х3 - ах)},
в которых а = -Зх2, т. е.
F = {(x,-3x2,2i3)}.

104
Лекция 8
На рис. 1 F изображается линией по месту складывания поверхности.
Покажем, что особое множество — гладкая кривая. Рассмотрим для
F карту (х) и отображение (р(х) = (х, -Зя2,2х3). Якобиева матрица
¦%) = [ -6* )
всегда имеет максимальный ранг 1 при любом х. Следовательно, <р —
невырожденное отображение и особое множество F — гладкая кривая.
И, наконец, рассмотрим проекцию F на С. Введем следующее
Определение 5: Бифуркационным множеством В называется об-
раз особого множества F в пространстве управляющих параметров С
при отображении катастрофы х- #
Таким образом, чтобы получить «В, в выражении для F нужно
оставить две последние компоненты, соответствующие управляющим
параметрам о и Ь. В результате получаем
В = {(-Зх2,2а;3)}.
Исключая х, находим уравнение для В в плоскости (а, 6): а = -Зг*,
Ъ = 2х3 =>
4о3 + 27Ь2 = 0. (**)
В итоге мы получили уравнение для полукубической параболы,
имеющей острый выступ в точке Р (см. рис. 1). Эту параболу мы получали
и в прошлом семестре. По этому острию* эти катастрофы называются
каспоидными. Для более общего случая запишем
Определение 6: Каспоидными катастрофами называются
особенности отображения множеств /: R1 х /Г —> R вида
/.1г.ЛМ = ±(*Г+2 + ОгХГ + От-!*' + - - - + Oi*),
где х — внутренняя переменная функции {(ai,... ,Or)} = С —.
пространство управляющих параметров. #
Замечание: В классификации Арнольда каспоидные катастрофы
называются катастрофами серии А. #
*«Cusp» — (англ.) «рог», «острие»

Каспоидные катастрофы
105
Нахождение бифуркационного множества В — одна из главных задач
теории катастроф в ее приложении к конкретным задачам. Затем идет
уже анализ физики поведения исследуемой системы в каждой из
подобластей управляющих параметров.
Рассмотрим, какая же физика стоит за катастрофическими
прыжками в машине катастроф Зимана. Пусть конец указки движется через
область бифуркаций по прямой линии (см. рис. 1). Что при этом
происходит с потенциальной энергией машины? Анализ потенциальной функции
дает картину, изображенную на рис. 2.
ншинвни
Рис. 2
Метаморфоза потенциальной функции машины катастроф
Вначале, в области 2?, машина находится в единственном
устойчивом положении равновесия. При переходе черз первую бифуркационную
границу В\ на функции потенциальной энергии появляется еще один
локальный минимум энергии. Но машина остается в первом минимуме,
поскольку предполагаем, что нет каких-либо дополнительных внешних
возмущающих воздействий, поворачивающих колесо. При приближении
ко второй бифуркационной границе В2 первый локальный минимум
становится мельче и на В2 он исчезает. Ясно, что при переходе второй
бифуркационной границы (сепаратрисы) В2 система должна перескочить
в новое положение равновесия. Происходит катастрофический скачок в
момент, образно говоря, когда локальные минимум и максимум
соединяются и уничтожают друг друга (демонстрация на машине).
Рассмотренному движению указки через бифуркационное множество
соответствует определенная траектория точки на поверхности
многообразия катастрофы. Сначала точка движется по верхнему листу сборки
(см. рис. 1), затем доходит до области складывания поверхности и,
поскольку ей некуда деваться, перепрыгивает на нижний лист
поверхности М. При обратном ходе указки прыжок с нижнего листа на верхний
происходит уже в другом месте. Таким образом, система находится на
«своем» листе многообразия катастрофы максимально долго.

106
Лекция в
Определение 7: Принципом максимального промедления
называется свойство изучаемого объекта перескакивать из одного поло-
женил равновесия в другое только в том случае, когда предыдущее
положение равновесия исчезает. #
Этот принцип впервые обнаружил Р. Том. Ясно, что в нашей машине
он соблюдается. Хотя перескоки из одного минимума в другой возможны
в любой точке синего квадрата на модели машины, т. е. в любой точке
области /, но там они требуют придания дополнительного импульса
колесу. Если же его не принуждать к этому, то скачки будут происходить
только при переходе указки через бифуркационную границу.
Возможен и другой критерий определения момента
катастрофического перескока объекта, это так называемый принциц Максвелла. Он
встречается при изучении катастроф в термодинамике.
И, в заключение, отметим, что во всех углах области / присутствуют
катастрофы «сборки Уитни». Две из них — в Р и противоположном углу
— обычные, две других — «двойственные», т. е. в функции
потенциальной энергии стоит знак минус. При этом внутри квадрата / вблизи
точки двойственной катастрофы возникает один локальный минимум и два
локальных максимума. При переходе через В этот локальный минимум
исчезает и происходит перескок на другую ветвь глобальной поверхности
равновесия.
2. Карта многообразия катастрофы в пространстве струй
Мы уже проанализировали катастрофу сборки. Теперь рассмотрим
более удобную карту для многообразия катастрофы М. Этод метод нам
пригодится для анализа более сложных катастроф, хотя он приводит,
естественно, к тем же результатам.
Таким образом, в предыдущем пункте мы получили, что в карте (т. е.
в координатах) {(х,а)} многообразие катастрофы сборки имеет вид
А/ = {(я, а, -ах - х3)}.
Найдем тейлоровское разложение потенциала Кь(х) на многообразии Af.
Для этого в Vcj,(x) положим ж, a, b € М и добавим к х малое
возмущение X
V+(* + Х)~ \х* + хХ3 + ф2 + |)Х2 + 0Х- ф< + |х2).
Обозначим через р, q, r коэффициенты при квадратичном, кубическом и
квартичном члене в этом разложении:
р(а,х) = -ж2 + -, q(atx)=x, r(o,x) = j.

Каспоидные катастрофы
107
Эти выражения наводят нас на мысль попробовать взять вместо {(а, х)}
другую карту, а именно, плоскость г = \ в пространстве p,q,r, т.е.,
фактически, плоскость {(р,д)}. Запишем
Определение 8: Карта многообразия катастрофы М, полученная из
коэффициентов разложения изучаемой функции в ряд Тейлора на этом
многообразии М, называется картой из пространства струй. #
Легко получить, что старые координаты выражаются через новые
при помощи следующих соотношений:
(*,в)«.-(«.ЗР-Зв8).
В новых координатах многообразие катастрофы и отображение
катастрофы имеют вид
M-{(^p-3g2,2g3-2pg)},
xM = Bp-3?2,2g3-2p$).
Якобиан отображения катастрофы имеет вид
Ах)
2 -6?
-2q 6q2-2p
~4р,
т. е. отображение катастрофы вырождается при р = 0 в точности тогда,
когда в разложении Тейлора исчезает квадратичный член. Это условие
задает ось q в плоскости {(р, q)}. Бе образом в М служит кривая складок,
т.е. особое множество F (см. рис. 1). При р > 0 мы имеем локальный
минимум, при р < 0 —- локальный максимум.
Когда р я 0, то кубический член в разложении Тейлора будет
определять тип критической точки, покуда q ф 0. Бели же р = q = 0, то тип
функции есть X4.
Бифуркационное множество В находится из условия вырождения
отображения катастрофы х> или, что то же самое, проекцией особого
множества F в пространство {(а, 6)}:
{(о,ь)} - fefcg) W - {(-з*2,^)}.
Устраняя параметр ?, получаем уравнение для В
В = {(а,6)|4а3 + 2762 = 0},
как, естественно, было и раньше.

108
Лекция 8
Удобство карты из пространства струй заключается в том, что
использование тейлоровских коэффициентов в качестве координат карты
вскрывает структуру М как образа плоскости {(р,д)}, на которой
имеется прямая точек складки (р = 0), где функция имеет вид х3, выше этой
прямой (р > 0) функция сводится к х2, ниже — к —х2, на прямой р = 0
есть точка (q = 0) сборки, где функция имеет вид х4. Таким образом,
изучаемая катастрофа сборки Уитни характеризуется
последовательностью подпространств управляющих параметров с качественно разным
видом функции:
R2 Э R1 Э Я0,
и эту последовательность можно рассматривать также как характерный
признак или флаг данной катастрофы.
Все, что мы говорили, наглядно представлено на рис. 3, где показаны
все рассмотренные отображения. Карта М в пространстве струй
особенно удобна для анализа катастроф более высокой коразмерности, и мы
будем ею постоянно пользоваться.

Каспоидные катастрофы
109
3. Ласточкин хвост
1 г
max
Плоскость j
\ /
складок
/
У
/
/
/
1
min I
/ Ось сборок 1
/я
Р 1
/ Точка 1
' ласточкина 1
хвоста 1
Рис. 4 1
Карта для катастрофы 1
«ласточкин хвост» 1
Универсальную деформацию для этой катастрофы запишем в виде
Vabc{x) = -X5 + |х3 + -X2 + СХ.
Многообразие катастрофы М задается уравнением равновесия
0 = -j-Vahc{x) = х4 + as2 + fcr + с.
Принимая (х, a, 6) за параметры карты для М, получаем
М = {(х, а, 6, -6х - ах2 - х4)}.
Перейдем к более удобной карте из пространства струй. Для этого
запишем разложение потенциала на многообразии катастрофы:
Vabc(x + X) = ±Х5 + хХА + Bх2 + |) X3+"
+ Лх3 + ахЧ-0Х2 + ОХ-^х2 + ?ах3 + ^хЛ.

no
Лекция 8
а) Вид сверху б) Вид сбоку
I С
с(Ь) ~ б4'3
Рис.5
в) Вид сзади
Тейлоровские коэффициенты принимаем за координаты
квадратичный p(s, a, b) = 2xz + ах + 6/2,
кубический д(х, а, 6) = 2х2 + а/3,
квартичный г(х,а,6)=х,
квиитичный s(x, а, 6) = 1/5,
т. е. мы берем в качестве карты (координат) для М гиперплоскость з =
= 1/5 в пространстве {(p,g>r,s)}, или, по существу, пространство
{(p,g,r)}. Связь старых и новых координат задается соотношениями
a(p,?,r) = 3g-6r2;
ft(p,g,r) = 2p~6rg + 8r3.
Квадратичный член и отображение катастрофы \ вырождаются при
р = 0, т. е. в плоскости {р, д}. В этой плоскости струя имеет вид X9. При
q = 0, т. е. на оси г, струя сводится к виду X4 — ось сборок. В начале
р = q = г = 0 имеем струю ж5. Таким образом, многообразие
катастрофы разбивается на локальные типы функций в соответствии с рис. 4. В
данном случае мы имеем такую последовательность пространств — флаг
ласточкина хвоста:
Я3 D R2 D R1 Э Д°.

Kacnowhwte катастрофы
111
к
а)
\
\л
с
у \
Ь
о>0
б)
с 1
6 1
а = 0 1
Поверхность 1
складок |
ci VXl
/•«• "С/
"""^ч^ самопере-/*
сечения >^7"
Лини
сборки Уи1
Рис.6
и
ни
IS/ а 1
С b 1
Точка 1
ласт. 1
^ хвоста 1
В карте пространства струй многообразие катастрофы имеет вид
М = {(г, 3q - бг2,2р - 6rg 4- 8r3, -2pr + 3qr2 - Зг4)}.
Отображение катастрофы:
X(pi 0> 0 - (Зд - бг2,2р - 6rq + 8г3, -2рг + Здг2 - Зг4).
Якобиан отображения катастрофы J(x) = 12р. Особое множество F
получается из М приравниванием р = 0:
F « {(г, 3? - 6r2, -6rq + 8r3,3gr2 - Зг4)}.
Линия сборок S* на М получается отображением оси г сборок, р =
Г=={(г,-6г2,8г3,-3г4)}.
Бифуркационное множество В получаем проецированием особого
множества F в пространство управляющих параметров, т. е.
В = {(a, i, с)} = {C</ - бг2, -6gr + 8г3, 3qr2 - Зг4)},

112
Лекция 8
причем линия сборок будет
B' = {(-6r2,8r3,-3r4)}.
Нарисуем сначала проекции линии сборок в пространстве
управляющих параметров (рис. 5,а-в). В трехмерном пространстве получается
картина, изображенная на рис. 5, г.
Исследовать форму поверхности бифуркационного множества В
можно, взяв несколько представительных сечений, например, при
фиксированном а В результате мы получим семейство кривых, типичные
представители которых имеют вид, представленный на рис. 6,о-в.
В результате становится ясно, что бифуркационное множество В
имеет вид, изображенный на рис. 6,г.
И, наконец, нарисуем эскизы потенциальной функции V(x) в
некоторых характерных областях параметров семейства, разделенных
сепаратрисой В (рис. 7). По форме сепаратрисы видно, что название катастрофы
«ласточкин хвост» вполне соответствует возникающей ассоциации.
4. Катастрофа бабочки
Деформация бабочки имеет вид
Vabcd(x) = -X6 + ^Х4 + -X3 + |х2 + dx.

Каспоидные катастрофы
113
\ь d \
10-J
Н
oJ
-3J
—lol
а
И
в
п
в
0
в
0
в
0
В
В
в
в
в
0
в
в
Г^1
В
BE
В
В
н
JC 1
1
1
1 1 1 1 1 1
10 0 -2 -6 -10 1
Рис. 8. Сепаратриса катастрофы «бабочка* 1
Далее исследование проводится точно так же, как и в случае ласточкина
хвоста, и мы не будем jero полностью воспроизводить, его можно найти
в литературе. Так же, как и ранее, удобно взять тейлоровские
коэффициенты разложения функции на многообразии катастрофы при второй,
третьей, четвертой и пятой степени за новую карту. Тогда мы получаем
следующий флаг вложенных пространств:
Я4 D Я3 2 R2 2 Д1 2 Я0-
Это означает, что есть точка катастрофы бабочки — в начале координат,
через нее проходит ось ласточкиных хвостов, где деформация сводится
к я5, эта ось лежит в плоскости сборок Уитни, которая входит в
пространство складок Уитни, и, наконец, все это включено в объемлющее
4-мерное пространство локальных морсовских максимумов и минимумов.
Проекция многообразия катастрофы М и особого множества F на нем
в пространство управляющих параметров {(a,6,c,d)} дает трехмерную

114
Лекция 8
поверхность — бифуркационное множество В, которое имеет достаточно
сложную форму. Тем не менее мы попытаемся изобразить его
следующим образом: представим его в виде набора картинок, которые являют
собой двумерное семейство наиболее характерных двумерных сечений В
(рис.8).
При Ь = 0 и а > 0 сечение выглядит как бифуркационное множество
катастрофы сборки Уитни с управляющими параметрами end.
Изменение Ь приводит к тому, что вся картинка «наклоняется» в ту или
иную сторону, причем направление наклона зависит от знака 6. Когда
мы переходим в область отрицательных значений а, это приводит к
существенно более сложной картине с «карманами». Теперь изменение 6
вызывает, помимо качания, сжимание той или иной стороны кармана,
превращение ее в подобие ласточкина хвоста и исчезновение.
Полезно нарисовать также и некоторые трехмерные сечения
бифуркационного множества В (рис.9). Видны характерные для каспоидных
катастроф острые углы сепаратрисы.

Омбилические катастрофы
115
Лекция 9
ГЕОМЕТРИЯ ОМБИЛИЧЕСКИХ КАТАСТРОФ
1. Эллиптическом омбилика
Из каспоидных катастроф мы еще не рассмотрели «вигвам», но он
слишком сложный (см. литературу). Также мы не рассмотрели
складку Уитни — простейшую катастрофу. Бе мы рассмотрим
при изучении соответствующего физического примера, а именно, когда
будем рассматривать радугу. Теперь же перейдем к изучению некоторых
омбилических катастроф.
Представим эллиптическую омбилику в виде, который впервые
использовал Р.Том:
К*е(*, у) - х* - Зху2 + а(х2 + у2) + Ьх + су.
Найдем многообразие катастрофы М, оно задается системой
уравнений
8V
— = Зх2 - Зу2 + 2ах + Ь в О,
ох
dv
ду
= -бху + 2ау + с = 0.
Возьмем в качестве карты К для М переменные (х,у,а). Тогда М
задается отображением <р: К -+ М, определяемым формулами
Af Э (х, у, о, Ь, с) в у>(х, у, а) » (х, у, а, -2ах + Зу2 - Зх2, бху - 2ву).
Якобиева матрица для <р имеет вид
«%) =
она имеет для любых (х, у, а) максимальный ранг 3. Поэтому
многообразие катастрофы является гладким.
Рассмотрим отображение катастрофы в карте (х,у9а): х- М -> С,
1 0
0 1
0 0
2а-Ьх 6у
6у 6х-2о
0 \
0
1
-2*
-2у)
х(х, у, о) = (a, -2ax + Зу2 - Зх2, -2су + бху).

116
Лекция 9
Рассчитаем якобиан х •
detJ(x) =
О 0 1
-2а - 6х 6у -2х
6у -2а + 6х -2у
= 4а2 - 36х2 - 36у2
Таким образом, отображение катастрофы \ вырождается в тех точках
М, где выполняется равенство
Это уравнение определеяет S С М — особое множество
многообразия катастрофы. В пространстве {(я, у, a)} S представляет собой конус.
Спроецируем этот конус в пространство управляющих параметров и
найдем, соответственно, бифуркационное множество В. Для этого заг
пишем 5 в явном виде:
М Э5= <
(я, у, а, -2ая + Зу2 - Зх2, бху - 2ау) L _ а sin #
y = §cos0j
где мы параметризовали конус особого множества при помощи
параметров а и в. Используя отображение катастрофы х: М -? С, сразу находим
В — бифуркационное множество:
B = x(S)
¦{D
a2(cos 20-2 sin 0), -а2(sin 20 - 2 cos
о
«>)}
(*)
Что это за поверхность? В сечении а = const мы получаем хорошо
известную кривую — дельтоиду или гипоциклоиду с тремя
остриями. Ее форма изображена на рис. 1. Острия дельтоиды находятся из
следующего условия: если записать
6 = rsin^, c = rcosV>,
то в остриях должно выполняться условие (из того, что в остриях кривые
касаются радиусов, см. теорию гипоциклоид)
дв
Из предыдущих равенств имеем: tg^ = |, следовательно,
1 dip Vc-db
сов2%1>дв~ <?
= 0

Омбилические катастрофы
117
или
2 2
^- (-2 sin 20 - 2 cos 0) \(sin 20-2 cos 0)-
о о
2 2
-^-B cos 20 + 2 sin 0)^-(cos 20-2 sin 0) = 0.
о О
Упрощая, получаем: sin 30 = — 1. Решением этого уравнения является
набор 0:
й _ п ^ ^п
2' Т' Т'
соответствующие значения угла ^ следующие:
—7Г 7Г 57Г
0 =
2 ' 6' 6
Для фиксированных 0 и V и при изменении а из (*) получаем
соответственно три ребра бифуркационного множества:
Вэ(а,6,с) = (о,-а2,0); (а'Т,_Г"); ^'Т'Т^'
Ясно, что эти кривые представляют собой конгруэнтные параболы,
плоскости которых наклонены друг к другу под углом 120°.
В итоге получаем, что бифуркационное множество В представляет
собой некоторое ребристое конусообразное тело. Оно изображено на рис. 2.
Бифуркационная поверхность В разбивает все пространство упраг
вляющих параметров С на области с качественно различным
поведением изучаемой системы. Более детальное изучение поведения функции

118
Лекция 9
Vobc{x, у) показывает, что 1) внутри полостей конуса В она обладает либо
строгим максимумом, либо строгим минимумом, т. е. здесь критические
точки не вырождены; 2) вне конуса функция приводится к морсовскому
седлу, критические точки невырожденны; 3) на поверхности конуса
функция сводится к складке Уитни; 4) на ребрах конуса — к сборке Уитни
или к двойственной сборке Уитни; 5) в начале координат @,0,0)
функция V имеет характерный вид — обезьянье седло. Все это отображено
на рис. 2.
Заметим, что и в данной катастрофе особое множество S можно было
найти путем разложения функции в ряд Тейлора на многообразии
катастрофы М. Действительно, пусть (ж,у,а,6,с) € Af, a X,Y — малые
отклонения от значений х, у на М. Тогда
УаАс{х + X, у + У) = X3 - ЗХУЧ
+Cх 4- а)Х2 + (-бу)ЛГ + (-3* + a)Y2 + ОХ + 0У+
+(-2s3 + бху2 -ах2- ау2).

Омбилические катастрофы
119
Возьмем коэффициенты квадратичного члена за координаты новей
карты для М: {(р, q, г)}, т. е.
р(х,у,а)=3х + а,
д(ж,У,о) = -6у,
г(х,у,а) = -За:-he.
Тогда Гессиан нашей функции на М (т. е. при X = Y » 0) имеет вид
detH(V) =
2р q
q 2r
* 4рг - g2.
Он равен нулю при g2 = Apr. Переходя к старой карте {(я, у, а)} по
вышеприведенным соотношениям, получаем Збу2 = 4а2 - Збх2, или
х2 + у2 = -а2,
т. е. то же особое множество S, что и ранее.
2. Гиперболическом омбилика
Наймем бифуркационное множество для функции катастрофы
гиперболической омбилики в той форме, которую впервые рассмотрел Том:
V«bc(s»y) = x3 + y3 + oxy + kx + cy.
Многообразие катастрофы М определяется системой уравнений
— = Заг2 + ау + 6 = 0,
ох
—- = Зу2 + ох + с « 0.
оу
Возьмем в качестве карты К для М переменные {х,у>а), тогда М
определяется отображением
М Э (ж, у, а, 6, с) = у?(х, у, о) = (ж, у, а, -ау - Зх2, -ах - Зу2). (*)
Отсюда сразу находим отображение катастрофы х: М -* С:
С Э (а, Ь, с) = х(х, у, а) = (а, -ау - Зх2, -ах - Зу2).

120
Лекция 9
Найдем якобиан х:
detJ(x) =
0 0 1
-6а; —о —у
-а -бу —х
Збху — о2.
Итак, особое множество S С М определяется условием на переменные
карты {(я, у, а)}:
ху = 1а2.
Таким образом, прообраз особого множества S в пространстве
{(х,у, а)} имеет вид конуса. Действительно, повернем оси (рис.3):
# = u — v, y = u + v.
Изменим масштаб по оси а:
»-s-
Тогда получаем, что 5 определяется уравнением
62 + v2 = u2,
это и есть уравнение конуса. В старых переменных имеем
о2
-- + (:г-уJ=:(а; + 2/J.
Нарисуем этот конус (рис.4), его, кстати, называют еще дискриминант-
ным конусом.

Омбилические катастрофы
121
Теперь найдем на особом множестве S подмножества, где достигается
наибольшее вырождение функции. Для этого воспользуемся уже
использованным нами ранее приемом — разложением изучаемой функции в ряд
Тейлора на многообразии катастрофы:
Vefcc(x + Xly + r) =
= Хг + У3 + ЪхХ2 + aXY + ЗуУ2 + ОХ + OY + (-2*3 - 2j/3 - asy).
На прямой X = -У исчезают кубические члены в струе. На этой прямой
квадратичный член принимает вид
Cx-a + 3y)X2,
Он исчезает при
а
Кроме того, на дискриминантном конусе 5 мы имеем
Исключая а, находим из этих уравнений
х = у.
Следовательно, на конусе — прообразе особого множества S — задана
прямая, где вырождение изучаемой функции максимально:
S D S' = {(*, у,а)} | в=бх= {(*,*,6*)}.

122
Лекциж 9
Нарисуем эту прямую на конусе. Более подробный анализ показывает,
что на этой прямой У«ьс(:г,у) сводится к катастрофе сборка Уитни. В
полостях конуса находятся точки, в которых V имеет строгий максимум
или минимум, вне конуса эта функция сводится к морссюскому седлу, на
5, вне линии S\ — к складкам Уитни.
Рис* 5. Сечение бифуркационного
множества при а = const
Построим образ особого множества S в пространстве управляющих
параметров С и найдем, тем самым, бифуркационное множество В. Для
этого параметризуем дискриминантный конус — прообраз 5 —
следующим образом:
а»6а, х = а*, у = а/*,
а^О, */0.
Эта параметризация не позволяет охватить прямые х = а = 0, т. е. ось
y€S, иу = а = 0, ось х € 5. Но с ними легко разобраться отдельно.
Таким образом, особое множество S на многообразии катастрофы М
в карте {(а,*)} принимает вид
М 3S = «o*, а/*, 6а, -6а2/* - За2*2, -6а2* - За2/**)}.
При этом образ прямой сборок на дискриминантом конусе определяется
условием * » 1. Действительно, при этом а = х, у = а = х, а = 6а =

Омбилические катастрофы
123
« 6х, т. е. ? = 1 соответствует прямая {(х, х, 6х)} = S". На многообразии
катастрофы S" выглядит следующим образом:
MDSDS' = {(а, а, 6а, -9а2, -9а2)}.
Проецируя особое множество S в пространство управляющих
параметров С, получаем искомое бифуркационное множество В в карте {(а, ?)}
в следующем виде:
В = {Fа, а2(-6/? - 3?2), <*2(-<* - 3/е2)) |о#0, „J •
Из этого выражения видно, что, как и в случае эллиптической ом-
билики, сечения В при фиксированном а подобны и одинаково
ориентированы с параболически растущим коэффициентом, подобия. Нарисуем
сечение В для а = 1, т. е. для а = 6 = const. Получается следующая,
довольно хитрая картинка: рис. 5. Причем точке прямой сборок ? = 1
соответствует острие внутренней ветви. Образом прямой сборок (? = 1)
в С будет следующая кривая:
{Fа, -9а2, -9а2)},

124
Лекция 9
т. е. парабола, плоскость которой наклонена под углом 45° к
отрицательным полуосям бис.
Прямая, с которой мы обещали разобраться отдельно, это ось у, т. е.
х = а = 0. На М (см. (*)) ей соответствует кривая
{@, у, 0, 0, -Зу2)} € М,
на бифуркационном множестве В этой оси соответствует линия
{@, 0, -Зу2)} € В,
т. е. — отрицательная полуось с.
Аналогично ось х на S проецируется в прямую
{@, -Зх2, 0)} € В,
т. е. — в отрицательную полуось Ь.
В итоге получаем картинку для бифуркационного множества В
катастрофы гиперболической омбилики, представленную на рис. 6.
3. Параболическая омбилика
До конца эту катастрофу разбирать не будем, поскольку она слишком
сложная. Мы лишь начнем анализ, а далее желающие могут
самостоятельно попробовать его продолжить, либо — посмотреть литературу.
Бабочка
Ласточкин хвост
Сборка
Складка
I
Морсовская
особенность
Каспоидные
катастрофы
Параболическая
омбилика
Эллиптическая
омбилика
Гиперболическая
омбилика
Омбилические
катастрофы
Рис. 7. Субординация катастроф

Омбилические катастрофы
125
Функция катастрофы:
Vabcd(x, у) = х2у + у4 + ах2 + Ьу2 + сх + dy.
Многообразие катастрофы М находится из системы уравнений
dV
— = 2ху + 2ах + с = О,
ах
9V
ay
= 4у3 + х2 + 2Ьу + d = 0.
Берем за карту для М координаты {{х^у^а^Ь)}, тогда М имеет вид
М = {(ж, у, а, 6, -2ах - 2ху, -2Ъу - х2 - 4у3)}.
Особое множество S ищется из условия вырождения отображения
катастрофы х: М -> С:
х(я,У,а,Ь) = (а, 6, -2ах - 2ху, -2Ьу - х2 - 4у3),
т. е. из условия
detJ(x) =
0 0 10
0 0 0 1
-2а-2у -2х -2х 0
-2х -26-12у2 0 -2у
= 0.
Подробнее смотрите в рекомендованной литературе.
Отметим, что параболическая омбилика при разных значениях
внешних параметров содержит почти все катастрофы из списка Тома. В
результате получается иерархическая таблица, изображенная на рис. 7.

126
Лекция 10
Лекция 10
ПРИМЕРЫ КАТАСТРОФ
В этой лекции мы разберем несколько примеров физических
ситуаций, в которых катастрофы встречаются самым неотъемлемым
образом.
1. Каустика в чашечке кофе
Внимание и объяснение этого явления не ново: оно восходит, как
минимум, еще к священнику Хэмнету Холдичу, который в 1857 г. изучал
эту каустику. В том же году вышел обширный трактат на эту тему,
написанный Артуром Кэйли.
Рис.1. Каустика
на дне чашки
На рис. 1 схематично изображено дно чашки. Пусть боковая
поверхность чашки освещена параллельными солнечными лучами, тогда
отраженные от этой поверхности лучи располагаются так, как это показано
на рисунке. При этом можно провести огибающую к этим лучам,
которая и даст форму каустики на дне чашки. Эта каустика выделяется более
яркой освещенностью по сравнению с остальной частью дна, причем
наиболее яркой частью каустики является ее острие. Интуитивно понятно,
откуда возникает яркость каустики: образующие ее лучи почти
совпадают между собой и поэтому в малой части пространства собирается
больше лучей, чем где-либо еще, что и приводит к большей яркости.

Примеры катастроф
127
Однако геометрическое описание, основанное на этой идее, дает
бесконечное значение интенсивности света на каустике. Но в том, что
касается положения и формы каустики, этот подход совершенно правильно
отражает суть дела. Поэтому мы им и ограничимся, поскольку поставим
перец собой задачу лишь рассчитать форму каустики.
Нарисуем нашу чашку и выберем систему координат так, как указано
на рис. 2. Тогда источник света S (Солнце или достаточно удаленная
лампочка) имеет координаты S — (х0,0,2ь), т.е. мы выбрали систему
координат так, что источник лежит в плоскости (я, z).
Для точки R отражения луча от стенки чашки введем
цилиндрические координаты (г, а, г), где г — радиус чашки, тогда R = (г cos а,
г sin а, г). Точку попадания луча на дно чашки обозначим Т, ее
координаты следующие: Т = (si,yi,0). Кроме того, введем угол Д>
расположения Солнца над горизонтом:

128
Лекция 10
Рассчитаем оптический путь луча SRT, его длину обозначим LXltVl
(a,z). Будем рассматривать координаты точки наблюдения как
управляющие параметры функции L, a a, z — как внутренние переменные. В
результате получаем
Lxm (a, z) = у (г cos а - х0J + г2 sin2 а + (г - zoJ+
+ v^(rcosa - #iJ + (г sin а - yiJ + г2.
В соответствии с расширенным принципом Ферма* реальный луч
SBT является экстремалью функции L, т. е. определяется из условий
— = —
да dz
при фиксированных я0, ^о, ^ь l/i-
Для сокращения дальнейших записей введем следующие обозначения:
первый корень обозначим Ri, второй — R2,
(г cos а- хоJ + г2 sin2 а = о2; (rcosa-ariJ + (г sin а- у\J = б2.
Рассмотрим производные L по z:
dL z-zp _z_. &L_± 1 (z - гоJ *2
dz ~ Дх + Д2' d*2 ~ Rx + Я2 Л? i?j*
Далее ограничимся, для простоты, случаем достаточно удалённого
источника света, т. е.
|so|-»oo, z0->oo, д--^°> дз -+0.
Кроме того, будем считать, что точка наблюдения Т не лежит на стенке
чашки, тогда z2 < Щ и
а2! 1 / г2 \ ^ Л
* Для регулярных сред, где через каждую точку проходит один луч, это глобальный
минимум, для нерегулярных, как у нас, — просто экстремум: максимум или минимум.
Напомним, что в нерегулярной среде через одну точку может пройти > 2 лучей,
например среда перед зеркалом. См.: БорнМ., ВольфЭ. Основы оптики. М.: Наука,
1973. С. 134.

Примеры катастроф
129
Из этого неравенства следует, что матрица Гессе H(L) всегда имеет
ранг по крайней мере не меньший единицы, кроме того, по z эта
функция невырожденна. Поэтому мы перейдем к расщеплению функции L.
Для этого найдем вспомогательную функцию дг из уравнения
(вспомните лемму Морса о расщеплении)
dL{a,gz)
dz
Отсюда получаем
*0 ~ 9г 9г
или, используя введенные ранее обозначения:
(9. ~ *оJ($2 + о2) = «?[(*. " гоJ + б2],
а2(9г-*оJ=92,Ь>.
В результате для дг получаем квадратное уравнение
(б2 - а2)д2г + 2a2zogz - a2zl = 0.
Запишем его решение:
_ -a2zo ± y/a4zl + a2zgF2 -^a2) _ a
здесь мы взяли знак «+», поскольку дг должно быть положительным,
так как это есть приближенное значение координаты отражения,
вычисленное при фиксированном а, а из геометрии задачи ясно, что точка
отражения находится выше дна чашки, т. е. ее координата по z должна
быть положительна.
Теперь, согласно лемме Морса о расщеплении для семейств, введем
диффеоморфизм
и перейдем к изучению композиции функций Limp:
L* = L о {р.
В L* выделится морсовская часть по г и функция L(ayxuyi)) не
зависящая от z:
l(a,xuyx) = L(a,0z,xi,2/i) = Jb2 + (^o^^ - *оJ + Ja2 + го(^^J
5 Зак. 472

130
Лекция 10
Или, в полной форме,
L(a,xuyi)=
i/^o + ( y/(rcosa - xiJ + (rsina — y\J + у (г cos a -х0J + г2 sin2 a)
Именно в этой функции содержится информация об изучаемой
катастрофе — каустике в чашечке кофе. Теперь, для упрощения задачи, проведем
предельный переход к случаю удаленного источника света:
lim b = lim J r2 cos2 a 4- г2 sin2 a — 2rxo cos a + x\ =
/ Г T2^
= lim Ixoli/l -Ь 21—rCOsa + -« =
so-*-*»' у \xo\ xi
= lim |xo| I 1 -h i—rcosa-f rr-s 1 = bo I -frcosa.
aro^-oo' \ bo I 2X5/
Далее
lim L= lim Jzk + (a + bJ =
so-*—oo xo->—oo V
= lim \/Zq + a2 + xj5 + r2 cos2 a + 2a|x0| + ar cos a + 2r|x0| cos a =
*o-*-oo V
|x0|
= lim
Z0-+-00 COS 0q
Г 1 2/Э /2a 2r a2 r2 ar \]
Ы
cos/%
Или, полностью:
+ cos Д>(а + r cos a).
lim LXuyi(a) =
xo-»-oo
Ы
COS$)
+ cos/?0 U/(rcosa"~ xiJ + (rsina- yiJ + rcosa .
Для нахождения бифуркационного множества В уберем
несущественную константу |х0|/ cos Д> и множитель г cos Д> около квадратных скобок.
Таким образом, для нахождения В достаточно изучить функцию

Примеры катастроф
131
где мы ввели нормированные внешние параметры f = Si/r, т/ = Уг/г.
Обозначим корень в L через R.
Многообразие катастрофы находится из уравнения дЬ/да = 0. А
для нахождения бифуркационного множества нужно еще одно условие
— условие вырождения отображения катастрофы х: М -f С. Найдем
это условие. Возьмем, например, для М карту {(а,?)}. Тогда якобиан
отображения катастрофы есть
detJ(X) =
0 1
^ аа
да д?
М
Якобиан равен нулю при я? = 0. Поскольку функция rj(a^) на
ш
М задается неявно уравнением /(<*,?,*?) = 0, где / = дЬ/да, из теории
неявных функций следует:
дц = df/да = PL/da2
да ~ df/dr) " дЧ/дадч'
И, в результате, получаем, что условием вырождения отображения
катастрофы является уравнение:
до?
= 0.
Заметим, что это же условие справедливо для всех каспоидных
катастроф.
Таким образом, бифуркационное множество В находится из системы
уравнений
( dL fsina — r/cos a
sin а = 0,
да R
д?Ь _ f cosa + r;sina l (?
Ida* - д
1 /f sina - r/coscA
(*)
соза = 0.
Разрешая эту систему относительно f, г/, находим бифуркационное
множество в параметрическом виде:
В:
1
f = сова- -cosacos2of,
т] = sina - - cos а sin 2а.
(**)

132
Лекция 10
В том, что В является решением системы (*), легко убедиться прямой
подстановкой.
Таким образом, мы получили бифуркационное множество В в виде
параметрически заданных управляющих параметров, описываемых
соотношениями (**). Эта кривая называется нефроидой, которая, в свою
очередь, является частным случаем эпициклоиды. Бе можно получить,
если по неподвижному кругу диаметром 1 снаружи катить колесико
диаметром 1/2, на ободе которого находится точка Р. Эта точка как раз
нарисует нефроиду (рис.3).
V
Рис. 3.
"*vv
0.5X4J 1
Нефроида
Острие нефроиды, точнее, одно из острий, находится в точке (?,?;) =
= (|,0). Рассмотрим поведение нашей функции вблизи острия.
Для этого перенесем начало координат управляющих параметров в
точку острия:
<* 1 ,
V = Ъ f = 5 + С»
uW = у E
+ С - cosaJ 4* (т) — sinaJ + cosa.
Разложим L в точке а = С = 77 = Ов ряд Тейлора с точностью до а4, С1,
Ь(л = --A + 5С)о4 + -гГ)о? + С«2 - 2т\а + const.
4 &

Примеры катастроф
133
Далее, делая диффеоморфную замену внутренней переменной
х1
""(l + ecI'4
и избавляясь от кубического члена а3х3 заменой х1 = х + а3, так же, как
и в случае машины катастроф Зимана, получаем
Latb(x) = - ( т^4 + о^2 + Ьх) '
т. е. получаем стандартную деформацию, описывающую катастрофу
сборки Уитни. Заметим, что здесь мы имеем двойственную сборку, т. е. из
трех лучей, приходящих в заданную точку внутри клюва сборки, лишь
средний тратит на свой путь наименьшее время по сравнению со своими
соседями.
Бифуркационное множество В (сепаратриса) разделяет на плоскости
дна чашки области (см. рис. 1), где в каждую точку приходит либо 3
луча (внутри клюва, лучи 1, 2, 3), либо 1 луч (вне его, луч 4).
Зачем нам здесь теория катастроф? Во-первых, с ее помощью мы
строго свели нашу задачу от случая двух переменных к одномерному
случаю, расщепив функцию с помощью леммы Морса. Во-вторых, мы, на
основе теории катастроф, точно знаем, что не надо раскладывать
изучаемую функцию до степеней, больших я4, поскольку функция является
сильно 4-определенной.
2. Параболическая качалка
Еще это устройство иногда называют машиной катастроф Посто-
на (рис. 4). Она состоит из двух идентичных легких картонных пластин
1, 2, расположенных параллельно друг другу и соединенных
поперечными полосками. Качалка опирается на гладкую подставку 3 и может
занимать одно из устойчивых положений равновесия. Качалка
имитирует судно на воде и наглядно демонстрирует присутствие катастроф
в теории остойчивости кораблей. Бе контуром является квадратичная
парабола; достаточно тяжелые магниты 4 в основном задают центр
тяжести качалки; темный клюв 5 показывает область положений центра
тяжести качалки, когда она имеет два устойчивых положения
равновесия — пример неправильной загрузки судна; при расположении центра
тяжести вне клюва судно-качалка имеет одно устойчивое положение
равновесия, загрузка проведена правильно.

134
Лекция 10
Построим теорию параболической качалки. Нарисуем ее контур в
следующем виде и введем координаты х, у (рис.5). Рассмотрим параболу,
параметризуем ее параметром t, тогда точки на ней имеют координаты
(t,t2). Пусть центр тяжести качалки находится в точке (я, у) и пусть
качалка опирается на горизонтальную поверхность в точке (М2)>
сохраняя при этом равновесие. Тогда для квадрата потенциальной энергии
получаем
U2 = (mghJ = т2д2[(х - tJ + (» - t2J) =
= m2g2[t4 + A - 2y)t2 - 2xt + x2 + y2}.
Докажем следующее
Утверждение: Пусть семейства отображений f:R*xIF -> R и
g: R1 х Rr —» R связаны в критической точке К диффеоморфизмом g —
— h(f). Тогда бифуркационные множества семейств fug совпадают:
9-
#
Доказательство: Многообразие катастрофы М/ для семейства /
определяется системой уравнений
а/
М. = ... = _
dxi дхп
Для g Mg находится из уравнений
dg^ = dhdf_ = Q dg
dx\ df дх\ дхп
= 0.
= dhdf_ = Q
df дхп

Примеры катастроф
135
Поскольку h(f) — диффеоморфизм, то dh/df \кф 0. Следовательно, для
определения Мд получаем в точности ту же систему, что и для М/,
отсюда делаем вывод, что М/ = Мд. Поэтому проекции этих многообразий
на пространство управляющих параметров совпадают: X/ == Хр> а значит
совпадают и особые множества: 5/ = Sgi и их образы — бифуркационные
множества — тоже: В/ = Вд. #
Вернемся к нашему случаю. Сформулируем более подробно нашу
задачу: пусть заданы координаты (х, у) центра тяжести качалки, нужно
исследовать поведение системы в зависимости от положения t точки
опоры. Будем рассматривать t в качестве внутренней переменной, а (х, у)
— как управляющие параметры. Таким образом, нам надо изучить
поведение потенциальной функции / = UXiy(t), найти положение равновесия:
dU/dt = 0 и бифуркационное множество В/.
Построим диффеоморфизм
Проверим ее на диффеоморфность связи с потенциалом U:
df ~ dU~ 2 ' m V *
при U > 0. Это значит, что если мы ограничимся случаем, когда центр
тяжести лежит внутри контура качалки, что вполне естественно и не

136
Лекция 10
является, по существу, ограничением, то h(f) — диффеоморфизм.
Поэтому для нахождения В/ нам достаточно найти бифуркационное множество
Вд функции д. Заменим в д параметры:
а=ЛA-2у), 6=-|,
в результате получаем, что мы ищем бифуркационное множество
функции
9*b{t) = \tA + \at2 + bt,
а это в точности есть катастрофа сборки Уитни.
Поэтому мы сразу пишем ответ: В определяется уравнением
4а3 + 2762 = 0
или, в старых переменных
2A-2уK + j*2 = 0.
Внутри этого клюва судно-качалка имеет два устойчивых и одно
неустойчивое положения равновесия. Вне клюва — одно устойчивое. Вот и
все, что мы хотели установить. Здесь теория катастроф помогла сразу
найти форму В и проанализировать ситуацию.
3. Радуга
Первой и простейшей в списке катастроф Тома является катастрофа
складки. Рассмотрим проявление этой особенности на примере такого
известного явления, каким является радуга.
Нарисуем каплю дождя (рис.6). Луч света от Солнца S попадает в
каплю в точке А, отражается внутри капли в точке Ву выходит из нее
в точке С и затем попадает в глаз наблюдателя Т. Введем полярные
координаты точек:
S = (О, L), Т = (*, Z), А = (а, г), В = @, г), С = G, г),
где L — расстояние до Солнца, / — до наблюдателя, г — радиус капли,
углы а, 0, 7, S изображены на рисунке. Кроме того, обозначим через е
угол между лучами СТ и OS.

Примеры катастроф
137
Найдем время движения г света от Солнца через каплю к
наблюдателю, оно, очевидно, равно
г = -(AS + п{АВ + ВС) + СТ) =
= - ( \/r2 + L2-2Lrcosa + 2nr sin ^-^+
с\ 2
+2nr sin ^-^- + v/r2 + /2-2Jrcos(E--7)) •
Так же, как в и случае катастрофы в чашке кофе, из расширенного
принципа Ферма следует, что для нахождения реального пути движения
луча мы должны найти экстремаль этой функции т по аргументам а, /?, 7
при фиксированных положениях Солнца и наблюдателя. Следовательно,
истинный луч находится из условия
дт _ дт _ дт
Займемся поиском экстремальных значений а, /3, 7- Для упрощения
задачи устремим Солнце и наблюдателя в бесконечность:
lim \/r2 + L2 — 2Lr cos a = L — г cos a,
L-400
lim \Д2 + /2 — 2rlcos(E - 7) = I — r cos(S - 7).

138
Лекция 10
А также проведем диффеоморфное преобразование функции т, не
меняющее, как мы знаем, бифуркационное множество
ст-L-l
/М = - •
г
В результате получаем, что для изучения радуги и, в частности, для
нахождения сепаратрисы достаточно исследовать функцию
в-а 4-0
fs(a, /?,7) = - cos a + 2nsin — h 2nsin — cos(S - 7).
Таким образом, в этом случае мы должны исследовать функцию трех
аргументов а, /?, 7 и одного управляющего параметра 6.
Рассмотрим критические точки этой функции. Они определяются
уравнениями:
df в-а
-г— = sine* - ncos —-— = О
да 2
— закон Снеллиуса для точки А;
df Р-а 7-/? п
_ = ncos___ncos_ = 0
— закон отражения луча в точке В;
df 7- Р
— = п cos — sinF - 7) = О
— закон Снеллиуса для точки С. Таким образом, истинные лучи
задаются множеством точек (а,/?,7>#), в которых выполняются обычные
законы преломления и отражения света.
Найдем среди критических точек вырожденную точку. В данном
случае ее проще найти из физических, а не из формальных, соображений
следующим образом. Предположим, что вырожденной критической
точке соответствует луч, для которого угол е максимален. Далее будем
действовать просто: найдем эту точку, где е максимален, и проверим
вырождение функции в этой точке.
Запишем цепочку очевидных равенств:
е = LAOC - LAOS - LTCC = ALABO - 2а =
= ALB АО — 2а = 4 arcsin ( — sin а ) — 2а.
\п )

Примеры катастроф
139
Максимальное значение е найдем из уравнения
de ? cos a
2 = 0,
т.е.
?max = 4 arcsin
(\ /4-пЛ n /4-n2
^nV^-J-2arcsmv^-'
a предполагаемая точка вырождения 5 = (ao»Ah7o>*o) определяется
равенствами
sina0
/4-n2
А-«О . 7о-А
sin —-— = sin • Л
2 2
2 /п2-1
Разложим изучаемую функцию в этой точке в ряд Тейлора по
управляющему параметру с точностью до линейного множителя А1, где А =
= *-$,:
/? — а
/д(а,/?,7) = -cosa + 2nsin—-—h
7-/3
H-2nsin — cos(<5o - 7) + AsinE0 - 7).
Рассчитаем производные этой функции в 5:
Ё1
да
*1
dj
s W
л #/
я = _аА' №00
9а2
= 32/
s 9а97
а,
= 0,
s
-2а,
З72
/n2-l , /4-n2
-обД, здесь а = ^ ——, 6 = \J ^—[-
Таким образом, гессиан в S имеет вид
det#(/)|5 = J
0 1 0
1 -2 1
0 1 -6А
= ab • А.
Он равен нулю точно при А = 0, а это значит, что мы угадали
правильно: в точке с ?тах мы действительно имеем вырожденную критическую
точку функции /.

140
Лекция 10
Ранг матрицы Гессе, очевидно, равен 2, коранг 1. Поэтому мы
имеем 2 морсовских переменных а и р и одну существенную переменную 7-
Далее надо расщепить функцию, однако в настоящей задаче проще не
расщеплять функцию, следуя лемме Морса, поскольку на этом пути
получаются сложные трансцендентные уравнения для нахождения да и д$,
а работать с достаточной струей функции, т. е. просто разложить ее в
ряд Тейлора до квадратичных членов по а и /? и до первого существенно
ненулевого члена по j.
Введем обозначения а = с*о + А, /? = Д> + В, 7 = 7о + Г и рассчитаем
третью производную по 7:
073
= °(i6 + A)'
видно, что третья производная в вырожденной критической точке не
равна нулю, поэтому можно не учитывать более высокие члены в ряду
Тейлора, так как наша функция сильно 3-определена по одной существенной
переменной у (если расщепится).
В результате получаем
/ = /о + о(А + ГJ - о(В - А - ГJ + /(Г),
где
/(Г) s -аДГ - ^о*ДГ2 +
им
г3
— явно 3-определенная функция, /0 — некая константа.
Проведем замену координат
(u, v, Г) = ?>(А, В, Г) = (V5(A + Г), Vo(B - А - Г), Г).
Эта замена — диффеоморфизм, действительно:
<*<* ./(</>) 1о,о,о =
В результате получаем
у/а 0 >/а
-у/а у/а -у/а
0 0 1
= а^0.
/ = и2-*2 + /(Г),
т. е. мы расщепили функцию, точнее, ее достаточную струю.

Примеры катастроф
141
SxC
М"\
F
Л
,
\Х 1
min I
1 о 1
max I
Fo r~*A 1
Рис. 7. Катастрофа 1
«Складка Уитни» 1
Таким образом, для нахождения бифуркационного множества В
достаточно исследовать функцию д(Г) = ?/(Г), т.е.
Яд(Г) - \Ы + ~«>) Г3 - ЬДГ2 - 2ДГ.
Будем считать А достаточно малым: |А| < |6, тогда в множителе при
Г3 можно пренебречь А, кроме того, сделаем невырожденную замену
внутренней переменной
и введем новый параметр управления
Тогда, подставляя эти замены в д и пренебрегая А2 и А3, получаем
исследуемую функцию в следующем виде:
дх(х) = з*3 + Ах,
причем точке каустики соответствует х = 0 и Л = 0.

142
Лекция 10
Таким образом, мы привели исследуемую функцию к стандартному
виду одной из катастроф списка Тома — так называемой катастрофе
«складка Уитни». К этой катастрофе приводится большое
количество различных функций, описывающих те или иные явления в физике
и других науках. Проведем анализ этой катастрофы.
Многообразие катастрофы М определяется уравнением
*-*а
dx
хг + \ = 0.
Возьмем в качестве карты для М переменную х, тогда М запишется в
виде
М = {(х,-х2)}.
Разложим изучаемую функцию д на многообразии катастрофы М в ряд
Тейлора:
Ы* + Х)\м = \{х + X? + (-гг2)(х + X) =
= \x* + xX2 + QX-\x*.
3 3
Квадратичный член вырождается при х = 0. Поэтому особое
множество F задается равенством х = 0 и состоит из одной-единственной
точки @,0) 6 М. При х > 0 д является строгим минимумом, при х < 0
— максимумом.
Всю геометрию катастрофы складки суммирует рис. 7.

Примеры катастроф
143
Многообразие катастрофы М представляет собой параболу,
бифуркационное множество В состоит из одной точки. Налево от нее имеется
два состояния равновесия (ттах и rmjn), которым в случае радуги
соответствуют два луча, проходящие в глаз наблюдателя, направо — ни одного
луча. Так как у нас А = -&Д, то получаем, что при Д > 0 в Т попадают
два луча, при Д < 0 — ни одного, каустике соответствует точка Д = 0.
Рассмотренная катастрофа является простейшей каспоидной
катастрофой. Она характеризуется флагом вложенных подпространств
Я'ЭЯ0,
где R1 — одномерное пространство многообразия катастрофы, Д° —
точка складки.
В данном случае сведения из теории катастроф, во-первых, помогли
нам расщепить функцию, уменьшив тем самым число существенных
аргументов функции с трех до одного, и, во-вторых, позволили сделать это
упрощенным методом, опираясь на достаточную струю функции, т. е. мы
использовали понятие конечной определенности функции.
Возвращаясь к радуге, нам остается лишь сказать, что для получения
полной картины радуги необходимо повернуть всю картинку вокруг оси
капля-Солнце. В результате получим, что из каждой капли выходит
конусная каустика с разными углами раскрыва конуса для каждой длины
волны из-за дисперсии диэлектрической проницаемости. И чтобы лучи
от этих конусов попали в глаз человека, капли должны на небосклоне
располагаться по дуге, радиус которой зависит от угла конуса каустики.
В результате получаем дугообразную радугу на небе, изображенную на
рис. 8.

144
Лекция 11
В
Лекция 11
ПРИМЕРЫ КАТАСТРОФ (продолжение)
этой лекции мы продолжим разбор примеров ситуаций, в
которых катастрофы встречаются самым неотъемлемым образом.
1. Виртуальный катод
Рассмотрим обычный электронный диод (рис. 1).
Прибор состоит из плоского катода К и идеальной сетки С, к
которым подведено напряжение V\. Электроны, ускоренные напряжением Ц,
влетают через идеальную сетку в диод и двигаются к аноду А,
находящемуся по отношению к катоду К под потенциалом V2 = V\ H- VU, где
VA — напряжение между электродами диода. Потенциал анода V% может
быть выше или ниже потенциала идеальной сетки V\. Требуется
исследовать электрическое поле в диоде, считая, что все влетающие в него через
идеальную сетку электроны обладают одинаковыми начальными
скоростями, соответствующими потенциалу V\. Такая задача была впервые
исчерпывающим образом решена профессором Московского
университета В. С. Лукошковым.
При составлении дифференциального уравнения задачи пренебрежем
краевыми эффектами и разбросом начальных скоростей электронов при

Примеры катастроф
145
их пролете через идеальную сетку. Расстояние между электродами
диода обозначим через Д а за положительное направление оси х примем
направление от сетки к аноду.
Тогда в любой эквипотенциальной плоскости с потенциалом V{x)
относительно катода все электроны обладают скоростью
V иго
V(x), A)
причем начальная скорость, с которой все электроны влетают в диод,
равна
2^-V,(x). B)
v> = f
Если не сделано особой оговорки, то будем всегда предполагать, что
все электроны, влетевшие в изучаемый диод, двигаются только вперед
и обязательно попадут на анод.
Плотность тока 1а в диоде сохраняет неизменную величину
1а = e0nv, C)
а потенциал удовлетворяет уравнению Пуассона
d*V _ fon ( .
dx* ~ во ' [ }
где п — число электронов в единице объема.
Исключив из A)-D) v и п, получим дифференциальное уравнение для
потенциала:
(PV 1й 1а 1 ,-.
E)
dx* e0v еъ^^У'
Преобразуем уравнение E) к безразмерным переменным. Для этого
обозначим через Vn наибольший потенциал на одном из электродов диода,
т.е.
v _ Г Vi, если Vi >V2i ,fix
n~\V2, еслиУ2>Кь w
а через In — величину с размерностью плотности тока:
9 у то
v3/2 „3/2
п = 2.335-Ю^. G)
то D2 D2
6 Зак. 472

146
Лекция 11
Далее:
х V I
*.-, <pS_, аш-
— нормированные координата, потенциал и плотность тока.
Уравнение E) в нормированных переменных принимает следующий
вид:
ds2 9y/lp' w
Предположим, что потенциал в диоде не меняет знака. Тогда,
умножая (8) на d(p/ds, находим первый интеграл уравнения (8):
(d<p\2 16 Г _ 9С
\Js) "И+lto
где С — постоянная интегрирования.
(9)
Введем новые переменные w = y/ip и /3 = ^~. Из (9) получаем
^ = ±|VoV5T+^. (9a)
Используя соотношение ^ = 2tu^j, получаем
= ±-y/ads. (9b)
л/йГ+7? 3
Решая уравнение (9Ь), получаем кубическое уравнение для y/w + C:
(w + ff)\ - Щ<ш + /?)* = ±у/а(а - в0), (Ю)
s0 — вторая постоянная интегрирования. Знак «±» зависит от того,
увеличивается или уменьшается <р с ростом s.
Возведя A0) в квадрат, получим:
w3 - 3pw2 + 4/?3 = a(s - soJ. A1)
Используя обозначения Wi = Jfy. и W2 = i/p? и записывая A0) для
катода и анода, получаем следующие уравнения:
(tin + /?)* - 3/?К + /?) * = ±V5(-*o), A2)
(W2 + /?)' - 3/?(tU2 + /?)* = ±л/»A - «о), A3)

Примеры катастроф
147
позволяющие найти параметры /3 и sQ по заданным а и w. Физический
смысл /3 и so особенно прозрачен при появлении минимума потенциала,
т. е. когда ^ = 0. Действительно, из (9) следует, что в этом случае
/3 = -vVmin = -Wmin.
Подставляя это соотношение в A0), получаем so = ^min-
Рассмотрим сначала вспомогательный случай, когда на катоде
потенциал равен нулю: V\ = 0, Vn = V2, wx = 0, w2 = 1, всюду берем
знак «+». Из A0), A2), A3) получаем:
(w - 20)y/w + /3 = y/5(s - s0), (Юа)
V^so = 2/33/2 A2a)
— на катоде,
V5(l - *o) = A - 2/3) у/1 +/3 A3a)
— на аноде.
Складывая A2а) и A3а), получаем
V5 = A - 2/3) ^/ГТ^* 2/33/2. A4)
Введем градиент потенциала на входной сетке (см. (9а)):
_ dip
ds
= \\ffi. A5)
Отсюда получаем /3 = ~?. Из A2а) имеем s0 = §|^. Вычитая из
квадрата уравнения A3а) квадрат A2а), получаем
1 - 3/3 = аA - 2в0).
Подставляя сюда полученные ранее выражения для /3 и s0> приходим к
уравнению для а:
«2-«+^Gо2о3) = 0.
Решая его, получаем
«=^{1 + A-|7о)л/З^ТТ|. A5)
Если на катоде градиент равен нулю (поля нет, у = 0 ), то а = 1, т. е.
3/2
— так называемый «закон 3/2».
——т/.э
'. = SW2^5-- A6)

148
Лекция 11
Аналогично показывается, что если V2 = 0 и нет поля на аноде, а
также через катод входит ток /с, а на анод попадает ток 1а (т.е. ток
1С — 1а отражается от электронного облака в межсеточном зазоре), то
получаем
"•-'•-W5!*-- (i7)
Выражение в левой части A7) становится более понятным, если учесть,
что в уравнение Пуассона входит лишь плотность электронов, а куда они
летят, не имеет значения:
CPV U U-h 2Ic~Ig
dx2 \v\ \v\ J2&-V
Vi
V
ул\о
з\\
0 xv
^
Уг
D
Рис. 2.
Распределение потенциала
в модифицированном диоде
i
X 1
Теперь перейдем непосредственно к описанию виртуального катода
в диодном промежутке. Рассмотрим для определенности случай, когда
потенциал входной сетки выше потенциала анода: V\ > У2. Vn = Vi,
w\ = 1, w2 < 1, In = h- Качественная картинка распределения поля

Примеры катастроф
149
в зазоре изображена на рис.2. Когда ток в зазоре отсутствует,
распределение потенциала линейное (линия 0). При малом токе потенциал
лишь слегка провисает за счет действия объемного заряда электронов
(кривая 1), но производная dV/dx Ф 0 на всем промежутке. При этом
будем говорить, что диод работает в первом режиме. Во втором режиме,
при большем значении плотности тока, возникает локальный минимум
потенциала B). В третьем режиме (кривая 3) потенциал провисает до
нуля, в диоде появляются отраженные электроны, движущиеся в сторону
катода.
Рассмотрим 1-й режим. В этом случае всюду d<p/ds < 0, поэтому в
вышеприведенных выражениях берем знак «-» и A0), A2), A3)
превращаются в следующие:
(w - 2/?)vW/?= ->/a(s - s0), A8)
— уравнение для нахождения распределения потенциала w(s),
(l-2/J)vTT^=v^s0, A9)
— граничное условие на входной сетке,
(W2 - P)y/W2 + P = V^(s0 " 1), B0)
— граничное условие на аноде.
Вычитая B0) из A9), получаем связь а и /?:
yfc = A - 2Р)у/\ + 15- {w2 - 2/?)v^2 + /?. B1)
Из (9а) и B0) следует, что поле обращается в ноль на аноде при
\/UJ + Р = 0, 50 = 1, /? = -W2.
С другой стороны, когда тока нет (а = 0), то (см. (9))
0^const=(gJ=fa^ + C
= С > о =» р—
16а
-> оо.
Таким образом в первом режиме /? € (—гу2,+оо), этому соответствуют
значения а € @, од), где
а0 = l + 3w2-4*4 B2)

150
Лекция 11
Второй режим. Если а > с*о, то в диоде возникает минимум
потенциала. Слева от него d<p/ds < 0, справа dip/ds > 0. Как мы уже выяснили
ранее, в этом случае /3 = -wmin = \/Vmin/Vi и вторая постоянная
интегрирования so = smin. В этом случае в A0) слева от sm\n берем знак «—»,
справа «+»:
(w + 2wmin)y/w - wmin = y/a(smin - s), 0 < s < smin,
{w + 2wmin)y/w - wmin = >/а(* - smin), smin < s < 1.
Граничные условия: на катоде
A 4- 2wmin)v/(l - Wmin) = +\/5smi„, B4)
на аноде
(w2 + 2w;min)v/(^2 - Wmin) = +V<*A ~ smin)- B5)
Складывая B4) и B5), получаем
у/а = A + 2wmin)Vl - wmin + (w2 + 2wmin)\/w2 ~ wmin. B6)
Если посчитать производные от B6) dy/a/dwm\n и сР у/а/dwmin при
w2 = const и проанализировать поведение функции у/а = /(гитт), то
получается график, изображенный на рис.3. Подставляя wmin в B4),
находим соответствующее положение smin.
Таким образом, во втором режиме имеем:
UJ
<Wmin < W2,
1 + W2
A + w2f >a > a0 = 1 + 3w2 - 4wl, B7)
При t^min < j^j второй режим уже не имеет места, поскольку в этом
случае у/а должно было бы уменьшаться с уменьшением wm[n, т. е.
объемный заряд уменьшался бы с увеличением провисания потенциала, что
бессмысленно. Отсюда следует, что при дальнейшем росте плотности
тока у/а минимальный потенциал скачком падает от w2/(l + w2) до 0 и
диод переходит в третий режим.
Третий режим работы. В этом случае имеем картину распределения
потенциала, изображенную кривой 3 на рис.2, и надо по отдельности
рассматривать работу диода слева и справа от сечения xv. Для правой
части диода эта плоскость играет роль катода, испускающего
электроны, поэтому она называется «виртуальный катод». К этой части диода

Примеры катастроф
151
v/5=(l + w2K/2
V^o
wn
Wmin = W2
Wmin = ^2/A + W2)
Pwc. 5. Поведение у/а = f{wmin)
применимы все условия рассмотренной ранее вспомогательной задачи с
заменой D.—> D - xv. Таким образом, справедлив «закон 3/2»:
9 у т0
,3/2
mo(D -xvJ'
Аналогично для левой части диода:
/3/2
9 у т0 я;*
B8)
B9)
Кроме того, еще есть некоторый вспомогательный ток G), который
служит для нормировки:
Таким образом, из B8), B9) получаем:
1_
si
Wo
*2 A - SvY
C0)
C1), C2)
где ac = Ic/Iu <*a = h/h, sv = xv/D.

152
Лекция 11
Ota I
т
--^>
-*— -*— 1
¦* 1
А 1
гу2 1
Рис.4 Поведение аа = f(w2) 1
Исключая из C1)? C2) svi получаем уравнение для нахождения тока
анода аа:
а\ + а$о?а + a2al + ахаа + оо = 0, C3)
где о3 = 2 - 4ас - 2w2, а2 = 1 - 4ас + 4а? + w2 + 2ги2 + 8ги2ас, fli =
= -4асгУ2A + w2 + 2ас), о0 = 4а*ги2.
Выберем аа за внутренюю переменную, а ас и w2 — как
управляющие параметры. Аргументом в пользу такого выбора является
экспериментальная зависимость прошедшего через диод тока от напряжения на
аноде, изображенная на рис.4. По аналогии с машиной катастроф,
изменение внешних параметров при прохождении через сепаратрису
приводит к скачкам внутренней переменной, поскольку в эксперименте
наблюдаем скачки Ic ~ аа, то указанный выбор разделения переменных
является естественным, хотя, конечно, не единственным.
Таким образом, C3) представляет собой многообразие катастрофы
или поверхность равновесия. Соответствующий «потенциал» имеет вид
П(аа)ас,и,2 = ?aa + 4аз°? + з020^ + уй1*** + °0а*- C4)

Примеры катастроф
153
аа
w2 = 0.4
1/2 у
Рис. 5. Поведение аа = /(ас).
Выражения C3), C4) внешне напоминают потенциал и поверхность
равновесия для катастрофы «ласточкин хвост», однако для приведения
рассматриваемой особенности к стандартному виду нужны дальнейшие
исследования и преобразования. Во-первых, необходимо сдвинуть начало
всех осей так, чтобы оно совпало с точкой максимального вырождения
отображения. Во-вторых — устранить слагаемое \a^ot\ заменой
переменных, аналогичной замене, примененной нами при построении теории
машины Зимана. В-третьих, «подозрительной» является зависимость всех
коэффициентов в C3) и C4) только от двух параметров ас и w2,
намекающая на то, что либо катастрофа имеет меньшую коразмерность, либо она
наблюдается в рассматриваемом примере вдали от точки максимального
вырождения, либо это — катастрофа с заданными ограничениями.
Классический анализ рассмотренной задачи был проведен Лукошко-
вым*. В частности, зависимость аа(ас), приведенная на рис. 5, содержит
катастрофические скачки, также явно присутствует гистерезис.
*1) Лукошков.В. С. // ЖТФ. 1936. Т. 6. С. 624.; 2) ГвоздоверС. Д. Теория
электронных приборов сверхвысоких частот. М., 1956.

154
Лекция 11
5. Биологические сообщества
Рассмотрим биологическое сообщество каких-либо животных, в
котором явным образом присутствует разделение труда. К таким
сообществам можно отнести муравьев, термитов, ос, пчел и т. п. Зададим себе
вопрос, почему в природе встречаются устойчивые сообщества с очень
большим числом особей, и в тоже время одиночные особи, сравним,
например, пчел и шмелей. Попробуем ответить на этот вопрос с точки
зрения теории катастроф.
Пусть местность, где проживает сообщество, может прокормить В
особей на 1 м2. Колония из N насекомых сохраняется в равновесии на
территории радиуса #, т. е.
N = 7г#2Б.
Заметим, что поскольку N > 1, то R > Rmin = 1/у/пВ.
Построим модель продуктивности Р(кг/с) отдельного насекомого.
Предположим, что в простейшем случае продуктивность есть просто
разница между скоростью сбора пищи С и величины D,
пропорциональной времени, затраченному насекомым на полет до места сбора пищи и
обратно. Это время, в свою очередь, пропорционально средней длине R
летного пути насекомого и обратно пропорционально «урожайности» В
данной местности:
Таким образом, продуктивность Р отдельной особи выражается
формулой
P = C--R,
где С и А — константы, зависящие от способов сбора пищи, размеров
насекомых, их грузоподъемности и т. д.
Преимущество объединения насекомых заключается, естественно, в
разделении труда и повышении его производительности. Прямо по Адаму
Смиту: 10 человек, используя разделение труда, могут изготовить 48 000
булавок в день, тогда как один человек, работающий в одиночку, сделал
бы всего двадцать.
Не вдаваясь в детали биологического сообщества, допустим
справедливость этого утверждения и для рассматриваемых насекомых. Таким
образом будем считать, что, по крайней мере для малых N, выигрыш
5(кг/с) в продуктивности на одно насекомое от объединения
пропорционален N, т.е. R2.

Примеры катастроф
155
S
/^
R 1
Рис. 6 1
Второй естественный постулат заключается в том, что при больших
R (или N) наступает насыщение в выигрыше (рис.6).
Таким образом, получаем полную продуктивность F(kt/c)
«общественного» животного:
F(R) = Р + S = С - 4я + S(R)-
JD
График F(R) качественно выглядит следующим образом (рис.7).
F(R)
^min
ь
Rh
Рис.7
R 1

156
Лекция 11
Далее рассуждения строятся следующим образом. Бели в данной
местности случайно возникла небольшая колония животных, то из-за
преимущества объединения эта колония будет быстро расти до тех пор, пока не
достигнет какой-то оптимальной величины — точки Дд на графике F(R).
«Быстро» — на эволюционной временной шкале, соответствующей
данному типу животных или растений.
dF/dR
Рис.8
На графике ^ точке оптимальной величины колонии соответствует
точка перехода графика через нуль (рис.8). Заметим, что
dF _ dS{R) A
dR~ dR В'
А теперь предположим, что плодородие данной местности падает:
В \. Тогда А/В растет и производная dF/dR изменяется таким
образом, как показано на рис. 9, т. е. в какой-то момент исчезает точка —
решение R = Rh- Этому процессу соответствует последовательность
изменения графиков полной продуктивности F(R), изображенная на рис. 10.
Из приведенного рисунка видно, что при определенном значении
плодородности исчезает максимум на графике функции F(R). Это
означает, что если даже появилась случайно колония животных, то она будет
уменьшаться до тех пор, пока не станет R = Rmin, т. е. N = 1. Это
означает, что в данной местности останутся лишь одиночные животные.

Примеры катастроф
157
Считая А/В управляющим параметром, a R — внутренней
переменной, нарисуем в объединенном пространстве (Я, А/В) поверхность
равновесия — многообразие катастрофы М (рис.11). Из графика видно,
что если плодородие плохое (А/В > а2), то выживают только
одиночные особи.
Если плодородие хорошее, (А/В < o?i), то распространены
сообщества животных (стая, рой). В диапазоне а\ < А/В < а.г возможно
сосуществование и одиночных, и общественных животных (пчелы и шмели).
Здесь же присутствует и «гистерезис», который означает, что если
в данной местности жили стаи и было А/В < а\ (хорошее плодородие,

158
Лекция 11
В падает, А/В растет
F(R)
'
-ftmin
R
i
a \.
\ R
б \
Rfi R
в >ч
R
Рис. 10
много пищи), но потом количество пищи стало уменьшаться, то при
а = осг стаи (рои) исчезнут и останутся только одиночные насекомые.
И наоборот, если местность была бедна пищей (А/В > а^)» в ней
жили одиночные особи и вдруг плодородие стало расти, то в конце концов
(при А /В < а\) происходит резкое, скачкообразное объединение
животных в сообщества и одиночные особи исчезают.
Таким образом, бифуркационное множество в данном случае состоит
из двух точек «i и «2. Оно разделяет всю ось «плодородия» на 3
области: I — существуют только одиночные насекомые, II — существуют
и одиночные особи и большие стаи, III — существуют только большие
стаи.

Примеры катастроф
159
R
¦*4nin
^с^
t
М
/ 1
V
•*-
I"dx "a2
Рис. 11
м
—^
/
А/В 1
Алгебраически рассмотренный случай имеет особенность в том, что
здесь присутствует так называемая катастрофа с ограничениями. Это
означает, что на переменные, от которых зависит катастрофа, наложены
ограничения в виде неравенств
А
Такие катастрофы мы пока еще не рассматривали, но они изучены,
также классифицированы, количество их типов тоже вполне ограничено,
существует аналог теоремы Тома (см. литературу).

160
Упраокнения и задачи
УПРАЖНЕНИЯ и ЗАДА ЧИ
В
этом разделе представлен ряд задач, решение которых даст
возможность закрепить на практике полученные в лекциях
теоретические сведения и приемы.
1. В следующих задачах требуется найти производную Df
отображения /: ip* -? R71, множество К его критических точек и критиче-
ских значений f(K), а также ранг отображения rank/.
1.1: f:R2->R2,
и = sin x + sin у,
v = cos х + cos у.
1.2.
1.3.
U
R2 -+ R2, (я, у) у—У (х2 + ау, у2 + Ьх).
R3 ->• R, w = ху - xz + 2/2.
Л3 -> Я2,
J и — z2 — 2ху,
( v = 2xyz.
i.5: /: Д2 -+ R2, (u,v) = (х - у,х+ у).
1.6: f:R->Rz,
' и = х,
V = -Ж,
гу = х2.
1.7:f:R5->R3,
<
u = x + y + z + s + t,
v = x-y + z-s + t,
^w = x2 + t2.
1.8: f:R?->R,f = sin x sin у sin z.
1.9: f: R2 —> Д3, (j/sin х, я cosy, у cos я).
i.i0: /: R5 -> Д2, (xyz - u2v2,uvxyz).
1.11: f: R-+R*, (x,x2,x3,2x + 1).
l.m/: R*-?R, x2y-
f y2z - хуг?.

Упражнения и задачи
161
1.13:
1.Ц:
1.15:
1.16:
1.17:
1.18:
1.19:
1.20:
1.21:
1.22:
1.23:
1.24:
1.25:
1.26:
1.27:
1.28:
1.29:
1.30:
1.31:
1.32.
1.33.
1.34-
1.35.
1.36.
1.37.
1.38.
1.39.
1.40.
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
f
/
/
/
/
Rz —> Я4, (xy,e~y sinx, zcosx,x4y4).
R —> R2, (e~x2 sinx, 1 - cos2 x).
R -> R2, (sinxe~x , 1 - cos2 x).
R2^R4J (yln(l+x2),xln(l + y2),x2-y2,xV).
R5 —> R2, (xy + zu + v, xyzuv).
d2 v d3 (sins sin* у sin xsin у \
R^R2, (V.1^*)-
R5 -> R3, (и+:1?:у+г,«2 + v2 + x2 + y2 + z\e™*v)
R2^R2,(^,^).
R3^R2,((x + y + z)\?).
R2-,R\(xy,x + y,^y
p4 v Ы (x]t? yj>t ztx txy\
Д-> Я4, (x,x2,x3,x4).
Д3->Я3, (x3,y4,z5).
R2 -+ Д4, (xy, x2 + у2, x2y, xy2).
Д3 -> Я4, (xy - z2, yz - x2, xz - y2, xyz).
&-+R4, (f,^4 + y4,*</).
Д^Д3, (l,x,±).
Д3 -v Д4, (e"**", ln(l + xyz), x2 + y2 + z2, xyz).
Д3-»Д3, (x2,y2,z2).
Д2-> Д3, (xy,x2y,xy2).
Д2-» Д5, (x,y,x2,y2,xy).
Д->Д2, (х6,х2).
R2-+R2, (x3,xy).
Д-> Д3, (x3,x2,x).
Л2-^Д3, (xy,x2y2,x3 + y3).
Л3~> Д3, (xyz,y,z).

162
Упражнения и задачи
2. В следующих задачах требуется найти множество К*
вырожденных критических точек.
2.1
2.2.
2.3.
2.4
2.5,
2.6.
2.7:
2.8.
2.9.
2.10.
2.11
2.12.
2.13.
2.14
2.15.
2.16.
2.17.
2.18.
2.19,
2.20,
2.21
2.22.
2.23.
2.24
2.25.
2.26.
2.27:
2.28.
2.29.
2.30.
2.31
->Д, / = х6 + у2-
R3 -> R, w
R3->R, f
R2->R, f
Д2 -> Я, / :
R3->R, f-
R2 -» Я1, /
Rt-tR1, f
R-+R, f =
~Я6 -> R, f
R3->R, f
R2->R, f
R -> Я, / =
R3->R,f
R->R, f ¦
Я2 -> Я, f
R-+R,f
R3 -> R, f
R-+R, f -•
R3^R, f
Я4 -> Я, /
R-> R, f -
RA-+R, f
R -> Я, / =
R->R, f-
Я3 -> Я, /
R-+R, f ¦-
R2->R, f
R-+R, f =
R4->R, f
R -* Я, / =
R2->R, f
¦=¦ xy — xz Л- yz.
= sin x sin у sin z.
= sin я sin у.
= sin2 x sin y.
= x2y — г2 sin2 x cos у.
= x2y + x4y3.
= x5-3x3 + x2.
x4 - x2.
„2„,2
= x^yJ + zHl + гггг
= x3 + y3 + z3.
= sin3xtgy.
= X4 +X3 + X2.
= x4 + y3 + z2.
= X6 + X2.
-,И
X3 + X2.
2x2 4- x" - x
= x4 - y3 + z2.
= X5 + X3 + X.
= x5 + y3 + z.
= XyZ* + X2 + y2 + 22+ t2.
= x4 4- 4x2.
= x2 + y2 + z3-t4.
v3~~*
= sinhxsin2x.
= sin x sin у sin z + x2 + y3 + z3.
= X7 + X2.
= x7 + y2.
= (l + x)x2.
x+y+z+t'
= ^X5- §X3 + X- 1.
= (x2 + y2 + 2xyJ.

Упражнения и задачи
163
R-+R, f = x6 + x2.
Д2 -4 Л, / = X6 + у2.
Л -> Я, / = х2 + х3 + х4 + х5.
Д->Д, /=1пA + х3).
Л5 -> Я, / = (х + у + z)uV.
5. JB следующих задачах необходимо найти множество К
критических точек отображения и диффеоморфной заменой привести функцию
к стандартному виду морсовского седла.
2.32:
2.33:
2.34:
2.35:
2.36:
2.37:
}¦
/:
/:
/:
/:
/:
3.1
3.2.
3.3.
3.1
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
•/ =
/ =
¦/ =
/ =
/ =
/ =
/ =
/ =
/ =
ху
1-ху'
ех+е-х
1+у2 *
Х± 1+х '
Я +
С081/
1+COSX*
3.10: f
3.11: f
3.12: f
3.13: f
З.Ц: f
3.15: f
3.16: f
3.17: f
3.18: f
3.19: f
3.20: f
3.21: f
3.22: f
3.23: f
1-xy*
1
l-xy*
sin x sin у.
tgxsiny.
xyz — yz + xy — xz.
= sinxtgt/.
= xyz - x2 - y2 - z2.
= tgxtgy.
_ ex+e~x
~ 1+y2 '
= sinhxsiny.
= tg2x - sini/ln(l + z).
= tgxln(H-2/).
= xtgy-f usinv.
= ln(l-x)ln(l + y).
= 1 - cos x + sin у tg z.
= i
1-tgxtgy*
= xy + yz + zx.
__ 1
1+sinxsiny'
= sin x tg у + sin2 г.

164
Упражнения и задачи
4- Далее требуется найти вырожденные критические точки К* и
расщепить в них функцию.
4.1:
4-2:
4-3:
4-4:
4.5:
4.6:
17:
4.8:
4-9:
4-10
4.11
4-12
4.13
4.14
4-15
4-16
4.11
4-18
4-19
4-20
4-21
4-22
4-23
4-24
4-25
4-26
4-27
4-28
129
/ =
/ =
/ =
/ =
/ =
/ =
/ =
/ =
/ =
••/
••/ =
•/ =
••/ =
••/ =
¦•/ =
¦•/ =
•/ =
•/ =
:/ =
•/ =
••/ =
•/ =
•/ =
••/ =
¦/ =
¦/¦¦
/--
/--
•/--
¦ х2 + 2ху + yz2.
¦¦ sin2 x cos у — у3 cos 2z.
е - x2(z2 +sin2y) + 2cosy(z* + 1).
a;(f+ sin3y)e-zS.
(xy-z3)(l-t2)+xz.
xy(z+l){x-y)z2.
1 хг
y'er — xyz.
xu2 + y(ti + v2).
xyzt + xyz + xy.
= xy(z + 1) + (x - y)z2.
- xyzt + xyz + xy.
= x2 + 2xy + yz2.
= sin2 x cos2 у — у3 cos 2z.
= x3 + 2xy + yz.
= sin(at2y) + sin(j/2z) + sin(z2x).
= x2 + 2x3y - y2z2.
= e-(z2 + sin2 y) + 2cosy(z* + 1).
= x{\x - tg2 y)e-z*.
= {xy-z3)(l-t2)+xz.
= y2er — xyz.
= их2 - v(x + y2).
= x2 + (y-tgx)z2.
= xyzt — xyz + xy.
= sin(xy) + ln(l - yz2) + x4.
= xy(z + l)-(y- x)z3.
= (x + y){z + t).
= y2e~x* + xyz.
= (u + v + w)(x + y).
= xy(z + l) + (x-y)z2.

Упражнения и задачи
165
5. В следующих задачах необходимо найти число конечной
определенности a(f) илиа,(/), определить коразмерность codim(/) и
построить универсальную деформацию функции с использованием диаграммы
Сирсмы или Ньютона.
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7.
• / = х* + у7.
f = x3.
¦f = x* + y*.
¦ f = хгу.
• f = x5 + ys.
f = x2y2.
• f = sinx(cosx -
- cos(y2))
6. В нижеследующих примерах необходимо определить катастрофу,
описываемую данной функцией в вырожденной критической точке,
опираясь на вычисленные значения согапк(/), сг^(/), codim(/) и используя
определитель катастроф.
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
6.8
6.9
¦ f = х*.
¦ / = х5.
• / = х6.
• / = х7.
¦ / = х2у + у4.
¦ f = x2y- уъ.
¦ f = х2у + уь.
¦f = x3 + y4.
¦ f = sin(y2) - cos(a;2).
6.10: f = [cos(y2) - cosx] ln[(l + yJ].

166
Упражнения и задачи
ОТВЕТЫ и РЕШЕНИЯ
Пример 1.1Л
Решение; Рассчитаем матрицу Якоби в точке (хо,2/о):
J(f)\ = ( cosx° cos2/o ^
W Лхо,уо \^ _ sin Xq _ sin yQ J '
тогда производная отображения принимает вид:
D(f)= J(f)\ • (Х\ = { xcosrro + 2/cos2/0 \
U) yJ)\x0,yo' ууJ \-xsmx0-ysiny0J'
Ответ:
Df\ _ ( х cos хо + У cos 2/0 \
и11(*о,уо) ^ _х sin д.о _ у sin yo у •
rank/|x=y = 1, rank/|x?ty = 2, # = {(х,у)|х = 2/}, /(#) = {(t*,v)ltt
2sinx, v = 2cosx, x G #}.
J. 2:
n/ Bx0x + ay\
U] \Ьх + 2у0у)>
K = {(x,y)\xy = ±},
( x2 + s!* \
rank/|(x,)erjf = 2, rank/I* = lnpuo#0V6?40V«#0Vy#0,
rank/|(o,o) = 0 при a = 6 = 0.
1.3: ?>/Uo,yo,*o = (гл> - 2o)z + (s0 + го) у + (уо - z0)z, # = @,0,0),
/(А-) = 0, rank/I* = 0, rank/| вне к = 1.
L*
D/|x0 = 2f -Уох-хоУ + zoz \
if = {(х,у,г)|х = y = 0Vx = * = 0V</ = * = 0}, /(*) = (*') V (°),
гапк/|вне л: = 2, гапк/|к, Крсше x=y=xsro = 1, rank/|x=y=z=0 = 0.

Упражнения и задачи
167
1.5: D(f) = / = (* + j), tf = 0, rank/ = 2.
1.6:
К = Ф, rank/ = 1.
1.7:
ВД|х„ = -x
V 2x0x
(X + у + 2 + S + t
x-y + z-s +1 I ,
2x0x + 2t0t
К = {(x,y,z,s,t)\x = t = 0},
(y+z+s \
-y + ^-H,
rank/I* = 2, rank/|eKe # = 3.
1.8: ?>(/)|(x0,yo,*o) = cosx° sin2/° sin*o?+sinx0 cosy0 sin z0y + sinx0 siny0
cos zqz, К = {(x,у,г)|(а : x = ттг,у = П7г) V F : x = mir,z = П7г) V (с :
у = m7T, 2; = П7г) V (d : x = § + гая-, г/ = f + П7Г, г = § + дтг), m,n, q e Z),
f(K) = @ для а, 6, с) V (±1 для d), rank/l* = 0, rank/|eKC * = 1.
2.1: К* = 0.
2.2: AT* = {(Х,г/, г)|(х = Ш7Г,2/ = П7Г) V(x = т7Г,2 = 7l7r)V(y = 7ШГ, Z =
П7Г)}.
?5: /Г* = 0.
2.4: К* = {(х,у)|х = ттг,т = 0,±1,---}.
2.5:Km = {{x,y,z)\x = 0,Vy,z].
3.1: К =@,0), f = u2-v2.
3.2: К= @,0), / = 2 + гх2-гА

168
Упражнения и задачи
3.3: К =@,0), f = l + u2-v2.
4.1: К' = @,0,0), / = и2 - v2 + \z*.
4-2: К* = (О, О, г), f = u2-y3 cos 2г.
4.3: К' = (х, 0,0), в К[ = @,0,0) / = и2 + 2 cos у + sin2 ye'.
4.4: К* = @,0, z), / = и2 - i sin6 j/e-Л
45: #' = (О, О,О, f), f = u2-v2 + z3(t2 - 1).
4* К* = @,0,0), / = и2 - v2 + w4.
47: А" = @,0,г), в АГГ = @,0,0) / = u2 - ixVe"*2.
4-«.' А"* = (х, 0,0,0), / = в2 -12 + xv4.
4ft- К* = @,0,0,0), f = u2-v2.
5.1: а1 = 8, codim(/) = 17
F = х4 + у7 + da; V + a2x2y4 + a3xyb + a4x2y3 + аъху1
+Oej/5 + a7x2y2 H h oi6x + auy.
5.2: <t(/) = 3, codim(/) = 1, F = x3 + tx.
5.3: a'(f) = 4, codim(/) = 8,
F = x* + y* + ax2y2 + bx2y + cxy2 + dx2 + exy + fy2 + hx + gy.
5.4: o{f) = oo.
5.5: a = & = 6, codim(/) = 15,
F = x5 + y5 + aix3y3 + 02i3y2 + a3x2y3 + ¦¦¦ + aux + a15y.
5.6: a{f) = oo.

Упражнения и задачи
169
5.7: (/(/) = 7, codim(/) = 11,
F = 2^ху4 ~ х3) + aiy* + а22/5 + °3(х2 + У4) + ''' + аю* + апу.
6.1: Сборка Уитни.
6.2: Ласточкин хвост.
6.3: Бабочка.
6.4* Вигвам.
6.5: Параболическая омбилика.
6.6: Вторая эллиптическая омбилика.
6.7: Вторая гиперболическая омбилика.
6.8: Символическая омбилика.
6.9: Сборка Уитни.
6.10: Вторая эллиптическая омбилика.

170
ЛИТЕРАТУРА
1. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде СМ. Особенности
дифференцируемых отображений. М.: Наука. Т. 1. 1982. 304 с; Т. 2.
1984. 336 с.
2. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. М.: Мир, 1984. Т. 1.
350 с; Т. 2. 285 с.
3. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. М.:
Мир, 1980. 608 с.
4. Томпсон Дж. М. Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и
технике. М.: Мир, 1985. 254 с.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Арнольд В. И., Васильев В. А., Горюнов В. В., Ляшко О. В.
Особенности. I. Локальная и глобальная теория // Итоги науки и техники.
Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 6.
М.: ВИНИТИ, 1988. 256 с.
2. Арнольд В. И., Васильев В. А., Горюнов В. В., Ляшко О. В.
Особенности. П. Классификация и приложения // Итоги науки и техники.
Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 39.
М.: ВИНИТИ, 1989. 254 с.
3. Арнольд В. И. Теория катастроф. М.: Наука, 1990. 128 с.
8. Павлов С. В. Методы теории катастроф в исследовании фазовых
переходов. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1993. 104 с.

171
ОГЛАВЛЕНИЕ
Лекция 1. Машина катастроф Зимана 3
Лекция 2. Критические точки и
критические значения 19
Лекция 3. Эквивалентность и структурная
устойчивость отображений 33
Лекция 4. Леммы Морса о расщеплении 46
Лекция 5. Орбиты струй и
касательные пространства 64
Лекция 6. Теоремы о конечной определенности 78
Лекция 7. Коразмерность и деформации 87
Лекция 8. Геометрия каспоидных катастроф 101
Лекция 9. Геометрия омбилических катастроф 115
Лекция 10. Примеры катастроф 126
Лекция 11. Примеры катастроф (продолжение) 144
Упражнения и задачи 160
Литература 170

Учебное издание
Алексеев Юрий Константинович,
Сухоруков Анатолий Петрович
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ КАТАСТРОФ
Зав. редакцией И. И. Щехура
Редактор Р. А. Бунатян
Художественный редактор Ю. М. Добрянская
Технический редактор Г. Д. К ОАО сков а
Корректор В. А, Ветров
Оригинал-макет подготовлен
с использованием издательской системы T^jX

Изд. лиц. № 040414 от 18.04.97 г.
Подписано в печать 28.12.1999г. Формат 60x90/16.
Бумага офс. № 1. Офсетная печать •
Усл. печ. л. 11, 0. Уч.-изд. л. 9,43
Тираж 1000 экз. Зак. 472. Изд. № 6824
Ордена «Знак Почета» Издательство Московского университета
103009, Москва, Б. Никитская ул., 5/7.
Отпечатано с готового оригинал-макета в ООО "Типография ИПО
профсоюзов Профиздат", 109044, Москва, Крутицкий вал, 18.