/
Текст
"> Г У Р <- л
КУРС
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
т ом
I
ЧАС ХЬВТОРШ
COURS DE LA FACULTE DES SCIENCES DE PARIS-
COURS
D’ANALYSE MATHfiMATIQUE
PAR
EDOUARD GOURSAT
Membre de I’lnstitut
Professeur & la Faculte
des Sciences de Paris
CINQUIEM EDITION
TOME I
DERIVEES ET DIFFERENTIELLES-
INTEGRALES DEFINIES
DtfVELOPPEMENT EN SERIES
APPLICATIONS GEOMETRIQUES
GAUTHIER-VILLARS
PARIS
Э. ГУРСА
КУРС
МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
ТОМ ПЕРВЫЙ
ЧАСТЬ II
РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯДЫ
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ПЕРЕВОД С ФРАНЦУЗСКОГО
проф. А. И. НЕКРАСОВА
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
Б. К. МЛОДЗЕЕВСКОГО
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ
ВНОВЬ ПРОСМОТРЕННОЕ И ПЕРЕРАБОТАННОЕ
ПО ПЯТОМУ ФРАНЦУЗСКОМУ ИЗДАНИЮ
проф. в. В. СТЕПАНОВЫМ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА 1933 ЛЕНИНГРАД
ТТ 21-5-2.
Редакционную работу по этой книге провел С. А. Каменецкий. Издание оформила О. Н. Пер-
сиянинова. Корректуру держала М. X. Яковлева. Наблюдал за выпуском В. П. Морев.
Рукопись сдана в производство 28 января 1933 г. Листы подписаны к печати И октября 1933 г.
Книга вышла в свет в октябре 1933 г. в количестве 10000 экземпляров, на бумаге формата 62X94/16.
Печатных знаков в листе 67 000. Листов в книге 14аД- Заказ № 535. ГТТИ£№ 19.
Уполномоченный главлита № В-63839.
1-я Образцовая типография Огнза РСФСР треста .Полнграфкннга", Москва, Валовая, 28.
Глава VIII.
РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ.
Стр.
I. Признаки сходимости ............................................ 9
148. Общие замечания.......................................... 9
149. Ряды с положительными членами .......................... 10
150. Признаки Коши и Даламбера...................•............ И
151. Различные замечания...................................... И
152. Применение наибольшего из пределов...................... 13
153. Теорема Коши............................................ 14
154. Логарифмические признаки................................ 17
155. Признак Раабе и Дюамеля................................. 19
156. Абсолютно сходящиеся ряды............................... 23
157. Ряды условно сходящиеся или полусходящиеся............• . 25
158. Признак Абеля.........................................• 26
11. Ряды с мнимыми членами. Кратные ряды.......................... 28
159. Определения............................................. 28
160. Умножение рядов......................................... 29
161. Двойные ряды ........................................... 30
162. Кратные ряды............................................ 35
163. Обобщение теоремы Коши ................................ 36
164. Кратные ряды с переменными членами.......................37
Ill. Бесконечные произведения..................................... 38
165. Определения и общие замечания........................... 38
166. Абсолютно сходящиеся произведения....................... 39
167. Равномерно сходящиеся произведения....................• 41
168. Действительные бесконечные произведения................. 42
169. Определитель бесконечно большого порядка................ 45
Упражнения............................................... 46
Глава IX.
ЦЕЛЫЕ РЯДЫ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ.
I. Ряд Тейлора. Общие замечания................................... 47
170. Ряд Тейлора ............................................. 47
171. Ряды для 1п(1+х)и ln(l+x)m .............................. 50
11. Целые ряды с одним переменным.................................. 54
172. Область сходимости....................................... 54
173. Непрерывность целого ряда................................ 56
174. Последовательные производные от целого ряда ............. 58
175. Второе доказательство ................................... 61
176. Распространение формулы Тейлора......................... 63
177. Усиливающие функции...................................... 64
178. Подстановка ряда в ряд.................................. 67
179. Деление целых рядов ..................................... 70
180. Разложение —, 1. ...................................... 72
]/1 — 2xz -|- Z2
Стр.
III. Целые ряды . . ................................................. 73
181. Область сходимости........................................ 73
182. Свойства целых рядов...................................... 75
183. Усиливающие функции ...................................... 78
jV. Неявные функции. Аналитические кривые и поверхности.............. 80
184. Неявная функция одного переменного........................ 80
185. Общая теорема............................................. 83
186. Формула Лагранжа.......................................... 85
187. Обращение функций......................................... 87
188. Аналитические функции.............•....................... 87
189. Аналитические кривые ..................................... 89
190. Двойные точки............................................. 91
191. Аналитические поверхности ................................ 93
V. Тригонометрические ряды. Ряды полиномов........................... 95
192. Ряды Фурье ................•..........•................... 95
ъ
7> С П \ SI11 ПХ J <1-7
193. Исследование интеграла 1 У(х) dx ........... 97
а
194. Функции, раз южимые в ряд Фурье..........................102
195. Примеры...................................................105
196. Различные обобщения.......................................106
197. Разложение непрерывной функции. Теорема Вейерштрасса . . . 108
Упражнения ...........•....................................109
ГлаваХ.
ТЕОРИЯ ОГИБАЮЩИХ. ПРИКОСНОВЕНИЕ.
I. Огибающие кривые и поверхности................................112
198. Разыскание огибающих....................................112
199. Огибающая прямой линии..................................116
200. Огибающая окружности....................................117
201. Поверхности с одним параметром..........................118
202. Поверхности, зависящие от двух параметров...............119
203. Развертывающиеся поверхности............................121
204. Диференциальные уравнения развертывающихся поверхностей . 123
205. Огибающая семейства кривых двойной кривизны.............124
II. Прикосновение двух кривых. Прикосновение кривой с поверхностью . 127
206. Прикосновение плоских кривых............................127
207. Порядок прикосновения...................................129
208. Соприкасающиеся кривые................................. 131
209. Свойства соприкасающихся кривых.........................133
210. Прикосновение двух пространственных кривых..............134
211. Соприкасающиеся кривые . 137
212. Прикосновение кривой с поверхностью.....................138
213. Прямые, соприкасающиеся с данной поверхностью...........140
Упражнения ................................................141
Г л а в а XI.
КРИВЫЕ ДВОЙНОЙ КРИВИЗНЫ.
I. Соприкасающаяся плоскость..................................• . 143
214. Определение и уравнение.................................143
215. Стационарная соприкасающаяся плоскость . . . »..........145
216. Стационарные касательные...................•............146
Стр.
И. Кривизна и кручение. Развертки...................................148
217. Сферическая индикатриса................................. 148
218. Радиус кривизны........•..................................150
219. Главная нормаль. Центр кривизны...........................151
220. Полярная прямая. Полярная поверхность.....................153
221. Кручение..................................................153
222. Формулы Френе.............................................157
223. Разложение координат х, у, z по степеням s................158
224. Естественное (внутреннее) уравнение кривой ...............160
225. Развертывающие и развертки................................162
226. Винтовые линии............................................164
227. Кривые Бертрана ..........................................166
228. Соприкасающийся шар.......................................167
III. Семейства прямых линий..........................................168
229. Линейчатые поверхности.....................................168
230. Конгруэнция. Фокальные поверхности.........................172
231. Конгруэнции нормалей.......................................174
231а. Теорема Малюса.......................................... 176
232. Комплексы..................................................177
Упражнения . . . -.....................................179
Глава XII.
ПОВЕРХНОСТИ,
I. Кривизна кривых на поверхности .................................182
233. Основная формула. Теорема Менье............................182
234. Две основные квадратичные формы............................187
235. Теорема Эйлера. Индикатриса...............................189
236. Главные радиусы кривизны .... •............................191
II. Асимптотические линии. Линии кривизны...........................194
237. Асимптотические линии . . . .'............................194
238, Асимптотические линии линейчатых поверхностей..............197
239. Сопряженные линии..........................................198
240. Линии кривизны.......................................... . 200
241. Развертка поверхности .....................................203
242. Формулы Родрига............................................205
243. Теорема Иоахимсталя........................................206
244. Теорема Дюпена.............................................207
245. Геодезическое кручение . • .............................209
246. Приложение к некоторым классам поверхностей..............211
1П. Соответствие между точками двух поверхностей.....................212
247. Сферическое представление ’................................212
248. Наложение поверхностей..................................• • 214
249. Поверхности, налагающиеся на плоскость . . . •.............217
250. Геодезическая кривизна. Геодезические линии................220
251. Полная кривизна. Теорема Гаусса............................222
252. Конформные преобразования.............•....................223
253. Конформное отображение плоскости на плоскость.............225
254. Географические карты......................................226
Упражнения................."..............................• 228
Указатель..................................................232
ГЛАВА VIII.
РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ.
I. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ.
148 Общие замечания. Выше (§ 5) мы имели общие условия сходи-
мости |>яда. На практике, для того чтобы узнать, является ли данный
ряд сходящимся или расходящимся, всего чаще пользуются признаками
менее общими, но зато более удобными для применения. Мы приведем
из них лишь наиболее употребительные, которые оказываются достаточ-
ными для большинства приложений. Сначала мы сделаем несколько
замечаний, которые непосредственно выводятся из самого определения,
сходимости:
1) Если мы умножаем все члены ряда на постоянное число а, от-
личное о г нуля, то новый ряд сходится или расходится одновременно-
с первым; если первый ряд сходится и имеет суммой 5, то сумма второго-
ряда равна aS.
2) Если мы имеем два сходящихся ряда:
ТИ1ТК2Т • • • + Мл4“ • • •> С1)*
^о+л+^Ч- ••• -I- ®я + •••> (2)
суммы которая, соответственно, равны S и S', то новый ряд, получаемый
их почленным сложением,
(«(гЬ^о) + (Mi + vi) 4" • • • 4" (Kn4-”n) 4- - •(3}
сходится и имет суммой S-T-S'. Аналогичный результат мы имеем,,
складывая почле|но р сходящихся рядов.
3) Если мы вменим значения конечного числа членов ряда, то новый
ряд сходится илирасходится одновременно с первым, так как это измене-
ние эквивалентно увеличению или уменьшению всех сумм Sn, начиная
с достаточно больдого значения п, на некоторое постоянное. В частно-
сти, ряд является холящимся или расходящимся одновременно с рядом,
который мы полумем, отбрасывая некоторое число членов начиная
с первого.
4) Пусть будут сумма сходящегося ряда, Sn—сумма п-]-1
первых членов этогоряда, а —сумма ряда, начинающегося с члена
«„4.1; если мы возьДм за приближенное значение S сумму Sn л -f- 1
первых членов, то оцибка, которую мы делаем, очевидно, равна /?„.
Так как имеет праелом S, когда п неограниченно возрастает, то
разность Rn стремится нулю, и мы всегда можем взять, по крайней
мере, теоретически, досуточно большое число членов, чтобы ошибка.
которую мы делаем, заменяя 5 через Sn, была меньше любого наперед
заданного числа. Достаточно знать верхний предел , чтобы оценить
полученное приближение. Ясно, что на практике лишь те ряды являются
пригодными для фактического вычисления, у которых У? достаточно
быстро стремится к нулю.
149. Ряды с положительными членами. Ряды, все члены которых
положительны, имеют большое значение, и мы начнем с их рассмотре-
ния. В каждом таком ряде сумма Sn возрастает вместе с га; поэтому
для того, чтобы ряд был сходящимся, достаточно, чтобы при всяком га
эта сумма Sn оставалась меньшею некоторого определенного количества.
Самый общий прием для решения вопроса о сходимости или расходимо-
сти ряда состоит в сравнении предложенного ряда с другим рядом, уже ис-
следованным ранее. Этот прием основан на двух следующих предложениях:
1. Если все чгены какою-нибудь знакоположительного ряда соот-
ветственно меньше иги равны членам другого знакоположительного
•сходящегося ряда, то и первый ряд также сходящийся.
В самом деле, сумма Sn первых га членов предложенного ряда, оче-
видно, меньше суммы второго ряда; следовательно, эта сумма Sn
имеет предел 5, меньший 5'.
2. Если все члены какого-нибудь знакоположительного ряда соот-
ветственно больше членов другого знакоположительного расходяще-
гося ряда, то первый ряд также расходящийся
В самом деле, сумма п первых членов первого ряда болыже суммы
л первых членов второго ряда, и, следовательно, она неограниченно воз-
растает вместе с га.
Можно также сравнивать два ряда другим способом, основываясь на
следующей лемме. Пусть будуп
мо+Mi + м2 Н- • • • _Ьмл_Ь • • •> (и)
•два знакоположительных ряда. Если ряд (U) сходящийся, и если,
начиная с некоторого указателя га, мы
то ряд (V) также сходящийся. Если
Л)., ^.и„,,
постоянно имеел —
п п
ряд (U) расходящийся, и если,
начиная с некоторого указателя га, мы постоянно имеям ~ >
то ряд (V) также расходящийся.
Чтобы доказать первую часть предложения, предположим, что нера-
венство удовлетворяется для п^р. Так как, умножив все
Vn «л
члены ряда на постоянный множитель, мы ие измемим ни сходимости
ряда, ни отношения любого члена ряда к предыдущему члену, то мы
можем предположить, что vp<up, тогда мы будем, очевидно, иметь
мр+т, затем ^,+2<мр+21 и т- Д- Следовательно, ряд (V) — схо-
дящийся. Вторая часть леммы доказывается таким же способом.
Таким образом, если нам дан знакоположительный ряд, характер
которого относительно его сходимости известен то, пользуясь преды-
дущими предложениями, мы можем сравнивать с ним другие знакополо-
жительные ряды; в зависимости от того, будем ли мы сравнивать самые
члены или только отношения двух последовательных членов, мы полу-
чим два предложения, которые позволят в некоторых случаях убедиться
в сходимости или расходимости этого второго ряда.
150. Признаки сходимости Коши и Даламбера. Простейший ряд, ко-
торым можно воспользоваться для сравнения с ним других рядов, есть
геометрическая прогрессия с знаменателем г; эта прогрессия сходящаяся,
если г <С 1, и расходящаяся, если 1. Сравнение знакоположительного
ряда с геометрическою прогрессиею приводит к следующему признаку
•сходимости, принадлежащему Коши:
Если в знакоположительном ряде количество 1^ип, начиная с не-
которого члена, постоянно меньше некоторого определенного числа,
меньшего единицы, то ряд — сходящийся', если же у'и , начиная
с некоторого члена, постоянно больше единицы, то ряд—расходящийся.
.В самом деле, в первом случае мы имеем ^/ип<^к<^\, и, следова-
тельно, un<Ckn. Таким образом, начиная с некоторого члена, все даль-
нейшие члены ряда меньше членов геометрической прогрессии с знаме-
нателем k, меньшим единицы. Напротив, во втором случае мы имеем
у ип 1 иил>1; следовательно, общий член ряда не стремится к нулю.
Предыдущий признак применим всякий раз, когда |^ип стремится
копределу; в этом случае мы получаем следующее предложение:
П Г---
Если, при неограниченном возрастании п, у ип стремится к неко-
торому пределу I, то ряд будет сходящимся, если I меньше единццы,
и расходящимся, если I больше единицы.
При I — Г характер ряда остается сомнительным, за исключением
того случая, когда пу ип стремится к единице, оставаясь больше ее:
в этом случае ряд — расходящийся.
Точно так же, сравнивая отношение двух последовательных членов
знакоположительного ряда с отношением двух последовательных членов
геометрической прогрессии, мы приходим к признаку сходимости Да-
ламбера:
Если в знакоположительном ряде, начиная с некоторого члена,
отношение каждого члена к предыдущему остается меньшим неко-
торого определенного числа, меньшего единицы, то ряд — сходящийся.
Если это отношение, начиная с некоторого члена1 больше единицы,
то ряд—расходящийся.
Отсюда следует, что е-ли при неограниченном возрастании указа-
теля п отношение Un-±1 стремится к пределу I, то ряд — сходящийся,
Un
если Z<4, и расходящийся, если Z^>1. Единственный сомнительный
и
•случай — тот, когда Z == 1; но если отношение стремится к еди-
нице, оставаясь больше ее, то ряд-—расходящийся.
151. Различные примечания. I. Признак сходимости Коши применим в более
широких случаях, чем признак сходимости Даламбера. В самом деле, предполо-
жим, что, начиная с некоторого места, члены данного ряда меньше членов неко-
торой убывающей геометрической прогрессии, т. е. что при п, большем некото-
рого определенного числа р, общий член ип ряда будет меньше Агп, где А —
постоянное, и г меньше единицы. Такой ряд, по предыдущему (§ 150), будет
сходящимся. В этом случае, и при неограниченном возрастании п
левая часть неравенства имеет предел г. Таким образом, обозначая через k не-
которое постоянное число, заключающееся между г и 1, мы будем иметь, начи-
ная с некоторого члена, '[Zип < k. Следовательно, здесь всегда применим при-
знак сходимости Коши, а между тем может случиться, что отношение ^±1 будет
принимать значения, большие единицы, как бы далеко мы ни шли в данном
ряде. Возьмем, например, ряд
1 -f- г | sin а | -f- /-2 | sin 2а | + ... -|- | sin иа | + ...,
где r< 1, и а — какое-нибудь -постоянное. Мы имеем ип= | sin гл | < г, а
между тем отношение
Un+i _ r I sin (и + 1)а
Un I sin па
при неограниченном возрастании п может принимать бесконечное множество раз-
значения, большие единицы.
Тем не менее полезно удержать и признак сходимости Даламбера, кото-
рым часто удобнее пользоваться, чем признаком сходимости Коши. Так, в ряде
1 ^1-2^1-2-3 'г1-2...п^
отношение любого члена к предыдущему, равное при неограниченном
возрастании п имеет пределом нуль, тогда как непосредственно не видно, какие
п ,-
значения принимает у ип — ~
== при весьма больших значениях п.
1-2.,.п
II. Если, применяя одно из предыдущих правил, мы нашли, что. начиная
с некоторого места, все члены ряда соответственно меньше членов убывающей
геометрической прогрессии
А, Аг, Аг%......АгЛ, ...,
то легко найти предел погрешности, получающейся при замене суммы ряда сум-
мою его т первых членов; эта погрешность, очевидно, меньше суммы прогрессии
Aim
Arm A- Arm+l A- A/m+i -4- ... = .
' 1 1 —г
III. Если каждое из выражений уип и имеет пределы, то оба эти пре-
дела необходимо равны между собою. В самом деле, рассмотрим вспомогательный ряд
«о + «t-r 4-л2 + ... +и„х«..., (4>
где х положительно. В этом ряде отношение любого члена к предыдущему имеет
пределом 1х, где I есть предел отношения следовательно, ряд (4) сходя-
1 Ыд 1
щийся, если х< —, и расходящийся, если х> —. Точно так же, если Г есть
п,— п ---- я
предел выражения у ип, то выражение у ипхп имеет пределом Гх, так что ряд
(4) будет сходящимся, если х<у-, и расходящимся, если Чтобы оба
эти признака сходимости не противоречили один другому, о евидно, должно
быть /=/'; если бм, например,-было />/', то всякое число х, содержащееся
между и -у, согласно признаку сходимости Коши делало бы ряд (4) сходя-
щимся, тогда как, согласно признаку Даламбера, то же самое число делало бы
этот ряд расходящимся.
IV. Можно даже показать, что если zz”±-1 стремится к пределу I, то у'гип
ип
также стремится к тому же самому пределу * В самом деле, предположим, что
начиная с некоторого члена, все отношения
ыч + 4 Un + 2 ип+р
ип un+l un + p — i
содержатся между I — е и I -f- е, где е — некоторое положительное число, которое
мы можем предположить сколь угодно малым, если только п взято достаточно
большим. Мы будем иметь:
(/ —е)р < < G + е)Р>
“ЛИ I р П 1 р
Ы«+Р (/_ Е) «+Р < ” + f/^ < 4+р (/+ е)" + Р .
Если п будет сохранять свое значение, а р будет неограниченно возрастать,
то крайние члены этого двойного неравенства будут стремиться соответственно
к I — е и /4-е. Таким образом мы будем иметь при всяком достаточно большом
значении т-л __
^1—2г<уит<1+2г**-,
ГП, - ,
так как е произвольно, то отсюда следует, что у/ и т имеет пределом число I.
Должно заметить, что обратное предложение неверно. Возьмем, например, ряд
1, а, аЪ, агЬ, .......апЬп~\ anbn......
где а и Ь — два различных числа. При неограниченном возрастании п выражение
ип имеет пределом ab, тогда как отношение любого члена1 к предыдущему
попеременно равно а или Ь.
Предыдущее предложение может быть полезным при нахождении предела
некоторых выражений, имеющих неопределенный вид. Например, из него сле-
п г-—-------------
дует, что у1-2...п -неограниченно возрастает вместе с п, так как отношение
1-2...п
1-2.. .(п — 1)
возрастает
неограниченно. Точно так же можно убедиться, что
Л .- П у----
уп и у Inn имеют пределами .единипу.
152. Применение наибольшего из пределов. Коши представил предыду-
щее предложение в более общем виде. Пусть будет а„ общий член знакополо-
жительного ряда. Рассмотрим последовательность:
I 1 1
alt а2 , а3, .... а", ...
(5)
Если члены этой последовательности не имеют верхнего предела, то общий
член ап не стремится к нулю, и данный ряд расходящийся. Предположим, что
все члены последовательности (5) меньше некоторого определенного числа, и
пусть будет в этом случае <о наибольший из пределов членов этой последова-
тельности.
* Коши, Cours d’Analyse.
** При достаточно большом значении п крайние члены предыдущего нера-
венства будут отличаться от своих пределов менее чем на е. (Ред.)
Ряд ^ап — сходящийся, если ш меньше единицы, и расходящийся, если о>
больше еоиницы.
Чтобы доказать первую часть предложения, обозначим через 1 — а некоторое
число, заключающееся, между <о и 1. По самому определению наибольшего из-
пределоз (§ 4), существует только конечное число членов последовательности
(5), больших 1 — а; следовательно, можно найти такое целое число р, чтобы при
всяком значении числа п, большем р, было < 1 — Щ поэтому ряд бу-
дет сходящимся. Напротив, если ш > 1, то существует бесконечное множество
членов последовательности (5), больших 1 -f- а, где 1 -f- а есть какое-нибудь число,,
заключающееся между 1 и ш, и, следовательно, есть бесконечное множество зна-
чений указателя п, при которых ап больше единицы: следовательно, ряд ^ап —
расходящийся. Сомнительным остается только тот случай, когда ш = 1.
153. Теорема Коши. Когда или ив стремятся к единице,
ип
но ие остаются постоянно большими единицы, то при помощи призна-
ков Даламбера и Коши нельзя узнать, будет ли данный ряд сходящимся,
или расходящимся. В этом случае нужно сравнивать данный ряд с дру-
гими рядами, обладающими тем же самым свойством, и характер кото-
рых известен. Следующее предложение, которое Коши вывел из рас-
смотрения определенных интегралов, позволяет решить вопрос о харак-
тере ряда во многих тех случаях, когда применение предыдущих,
признаков сходимости не приводит к определенному результату.
Пусть будет <р (х) функция, которая, начиная с некоторого значе-
ния’ а переменного х, положительна, постоянно убывает и при неогра-
ниченном возрастании х стремится к нулю. Кривая у — <р(х) имеет ось
i
х асимптотою; определенный интеграл \<р(х)б?х при неограниченном
а
возрастании I может или стремиться к конечному пределу или расти
неограниченно. Теорема Коши состоит в том, что ряд
(Р(а)+(Р(а+1)+--.+?(« + «)+••• (6>
— сходящийся, если предыдущий интеграл стремится к пределу, и
расходящийся в противном случае..
В самом деле, предположим, что х заключается между а-\-р— 1
и а р, где р—целое положительное число. Из двойного неравенства:
<р(а-|-р— 1)> <р(х)><р(а+р)
мы получаем, интегрируя в пределах а+р—1, а-\-р'
а + р
<Р (« + /> — 1)>5'Р (x)dx> (а-Н P).
а-гр — 1
Полагаем последовательно р—1, 2, ..., п и складываем получен-
ные неравенства; мы будем иметь:
а 4- п
<р (a) -j- <р (a -f- 1) -|- ... -ф- <р (а -|- п — 1) > j (х) dx,
а
а 4- п
(Р(«+1) + т(а + 2) 4- •• • ч-?(« + «)<( 4(x)dx.
Таким образом, если при неограниченном возрастании
y(x)dx стремится к некоторому пределу L, то сумма
? (а)+?(«+ 1 )+•••+? (а + «).
I интеграл'
оставаясь постоянно меньшею (а) -ф L, также стремится к некоторому
пределу; следовательно, ряд (6) — сходящийся. Напротив, если инте-
а-\~п
грал \y(x)dx возрастает выше всякого предела, то, на основании пер-
а
вого неравенства, сумма
<Р (а) + <р (а 1) + ... (а + п)
также будет возрастать выше всякого предела; следовательно, ряд (6) —
расходящийся.
Возьмем, например, <р(х) = —, где р положительно, и а—1.
Функция <р (х), очевидно, удовлетворяет всем
кроме того, при неограниченном возрастании
мится к пределу, если р больше единицы, и
Отсюда следует, что ряд
предыдущим условиям;.
i
, С dx
I интеграл J стре-
только в этом случае.
— сходящийся, если р^>1, и расходящийся, если psgl.
Возьмем еще <р(х) =——— , где и положительно, и 1пх обо-
xflnx)!1
значает неперов логарифм, и положим а — 2. Предполагая р=^=1,
имеем:
п
~пХ 3 ГОппр-н-Опгр-н].
J X(lnx)!1 р — 1
2
Правая часть имеет конечный предел, если р^>1, и неограниченно*
возрастает вместе с п, если р< 1; кроме того, легко видеть, что при
р= 1 интеграл возрастает выше всякого предела. Следовательно, ряд.
2 (In 2)н 3 (In 3)н л (1п л)н* ’
— сходящийся, если р > 1, и расходящийся, если psgl.
Вообще, ряд, общий член которого есть
1
nln nln2 п In3 п. . .1п р~г п(1пр п)^ ’
— сходящийся, если ц>1, и расходящийся, если psgl. В преды-
дущем выражении обозначения in2п, In3я, ... введены для краткости
вместо Inin п, In In In п, и т. д. Разумеется, здесь целому числу п
даются лишь настолько большие значения, чтобы In n, In2 п,
1п3п, ..., 1п₽д были положительны, и предполагается, что члены
ряда, не удовлетворяющие этому условию, т. е. соответствующие
меньшим значениям я, заменены нулями. Доказательство здесь такое же,
как и для предыдущих рядов; например, если то функция
1 _____________
xlnxln2 х ... (In^x)11
представляет производную от ;------(Ir./'x)1-^ , а последняя функция при
неограниченном возрастании х стремится к конечному пределу только
при |1>1.
Теорема Коши может иметь также приложения иного рода. Предположим, что
функция <р (х) удовлетворяет всем вышеуказанным условиям. Рассмотрим сумму
? (л) 4- f (п + 1) 4* • • • + f (и + Р),
(7)
где п и-р — два целых числа, которые оба неограниченно возрастают. Если ряд,
общий член которого есть f(n), — сходящийся, то предыдущая сумма имеет пре-
делом нуль, так как она равна разности сумм Sn+p+l и Sn, которые обе стре-
мятся к сумме S ряда. Если же ряд расходящийся, то мы ие можем высказать
о предыдущей сумме никакого общего суждения. Воспользовавшись данным
в этом параграфе геометрическим представлением, мы придем к двойному не-
равенству:
«4-р
<р (х) dx < ? (п) +jp (n + 1) ... + ¥ (п + р)
п + р
<?(«)+ \ Т W dx.
п
Так как, при неограниченном возрастании п, (п) стремится к нулю, то предел
п + р
рассматриваемой суммы равен пределу интеграла \ ? (х) dx и зависит от того,
п.
но какому закону возрастают числа п и /.
Например, чтобы иметь предел суммы
п п + 1 п ч- р
п + Р
„ г dx
достаточно наити предел определенного интеграла \ — = In
л
этот интеграл имеет предел только в том случае, когда имеет предел отноше-
р
иие —; если предел этого отношения есть а, то сумма предыдущего ряда имеет
пределом In (1 + а\ как это уже было доказано выше (§ 18):
Точно так же, чтобы иметь предел суммы
. Ясно, что
достаточно найти предел интеграла
л-Т₽
Г —Д = 2 ( j/« + р — |/л).
J Vх
п
Чтобы последнее выражение имело предел, необходимо, чтобы частное -Д=. само
имело некоторый предел а. В этом случае предыдущее выражение можно пред-
ставить в виде:
Р
Ч . Р_________2__________-- .
и мы видим, чго его предел также равен а.
154. Логарифмические признаки. Исходя из ряда (§ 153)
±4-1
1 н- 1 2^
п'-‘-
Коши пришел к другому признаку сходимости, совершенно
П г-
чому признаку, основанному на рассмотрении } 'ип.
аналогич-
Если, начиная с некоторого члена, отношен >е
1п1
11П
In П
постоянно
больше некоторого определенного числа, большего единицы,
ml
то ряд —
сходящийся. Если постоянно меньше единицы, то ряд — расхо-
дящийся.
Если при неограниченном возрастании п отношение
мится к пределу I, то ряд — сходящийся, если I 1,
щийся, если /<Ч. Случай \ остается сомнительным.
Чтобы доказать первую часть предложения, заметим,
равенства
1П-1
----— стре-
1п п
и ра сходя-
что из не-
In — "> Ain п
“п
следует:
1>я*
«и
или
1
и„< -г ;
" 'л* ’
так как k^> 1, то данный ряд — сходящийся.
2 Э. Гуреа, т. I, ч. 2.
Чтобы доказать первую часть предложения, предположим, что, на-
чиная с некоторого члена, мы постоянно имеем k^>\. Пусть
будет |1 число, заключающееся между 1 и k, 1 ц k. Ряд будет на-
и ,
верное сходящимся, если, начиная с некоторого члена, отношение —
, / п V
будет меньше отношения —г—г ) двух последовательных членов ряда,
\ П -j- 1 /
общий член которого есть п_|Х. Для этого должно быть:
(8)
/ 1V
разлагая flЦ- — I по
мы можем представить
формуле Тейлора и ограничиваясь тремя членами,
неравенство (8) в виде:
+ — + —
п ~ п2
где, при неограниченном возрастании п, \п остается постоянно меньшим
некоторого определенного числа. Последнее неравенство дает:
И+'^<Ла«-
При неограниченном возрастании п левая часть имеет пределом ц;
следовательно, начиная с достаточно большого значения п, эта часть
будет постоянно меньше ла,.; отсюда вытекает неравенство (8), а следо-
вательно, и сходимость ряда.
Если произведение лап при неограниченном возрастании п стремится
к пределу I, то, применяя предыдущее правило, мы получим, что дан-
ный ряд будет сходящимся, если l^> 1, и расходящимся, если Z<^1.
Сомнение остается лишь при / —1, если только паг не стремится
к единице, оставаясь постоянно меньше ее; в этом случае ряд будет
расходящимся.
с “zl+l
Если произведение пап имеет пределом единицу, то нужно сравнить —
ип
с отношением двух последовательных членов ряда
_J—_1_ ... 4 д_ ,
2 (In 2)1 ~ п (In л)р- ~
который будет сходящимся, если 1, и расходящимся, если ц 1.
Полагая пап — 1 4 рп, мы можем представить отношение двух последователь-
ных членов исследуемого ряда в виде:
1
ап 1 4- —____Г —
~Г п ' п
1де, при неограниченном возрастании п, рп стремится к нулю. Рели, начиная с не-
которого чле-ю, произведена- ?п1пл по'тоянно больше некоторого опре-
деленного числа, большего единицы, то ряд — сходящийся. Если это отно-
шение по тоянно меньше единицы, то ряд — расходящийся
Чтобы доказать первую часть предложения, предположим, что при всех зна-
чениях указателя п, больших числа р, мы имеем ^п1пл>А> 1. Пусгь будет р.
такое число, что 1 < р. < k. Ряд будет сходящимся, если, начиная с некоторого
члена, мы будем иметь:
«п+1. » Г I Iх «и
~ип "л 4 1 Lln(«+l)l ’ W
или, иначе:
применяя к правой части формулу Тейлора, имеем:
причем, при неограниченном возрастании п, \п по абсолютному значению остается
меныпнм некоторого определенного числа. По упрощении последнее неравенство
обращается в
!.(» + 1) [b(n4)]‘
?я1пл>|»(л4-1)1п(1 + у>)+------------------
При неограниченном возрастании п произведение (п 4- 1) 1п ^1 4 — j имеет пре-
делом единицу, так как, по формуле Тейлора, это произведение может быть пред-
ставлено в виде:
(л4 1)1п(1+1)=14^(Цг),
(Ю)
где е стремится к нулю. Таким образом правая часть предыдущего неравенства
имеет пределом р; следоващльно, начиная с некоторого члена, это неравенство
наверное справедливо, так как, по условию, In л больше числа k > р.
Таким же оеразом доказывается и вторая часть предложения Здесь нужно
U„
сравнивать отношение с отношением двух последовательных членов ряда,
ип
общий член которого есть
1
—-----. Неравенство
л1п л
и„ +, л 1п п
иа > п + 11п (л 4-1)
виде:
может быть представлено в
?л 1п л < (л 4- 1) 1п (1 4 2- <.
Как видно из формулы (10), при значениях п, больших единицы, правая часть
стремится к единице; следовательно, начиная с некоторого места в ряде, послед-
нее неравенство, наверное, справедливо, так как рп1пл, по условию, меньше
единицы.
Из предыдущего предложения следует, что если при неограниченном воз-
растании л произведение ?ч1пл стремится к пределу /, то ряд будет схо-
дящимся, если I > 1, и расходящимся, если /<1. Сомнение остается только
Чтобы доказать первую часть предложения, предположим, что, на-
чиная с некоторого члена, мы постоянно имеем Пусть
будет )1 число, заключающееся между 1 и k, 1 k. Ряд будет на-
мй+1
верное сходящимся, если, начиная с некоторого члена, отношение
п
* ( п V
будет меньше отношения I —j—т ) двух последовательных членов ряда,
общий член которого есть п~р. Для этого должно быть:
(1 4 у-
1по формуле Тейлора и ограничиваясь тремя членами,
мы можем представить неравенство (8) в виде:
1 + +
п п2 1 п
где, при неограниченном возрастании я, \п остается постоянно меньшим
некоторого определенного числа. Последнее неравенство дает:
При неограниченном возрастании п левая часть имеет пределом ц;
следовательно, начиная с достаточно большого значения я, эта часть
будет постоянно меньше яа„; отсюда вытекает неравенство (8), а следо-
вательно, и сходимость ряда.
Если произведение пап при неограниченном возрастании п стремится
к пределу /, то, применяя предыдущее правило, мы получим, что дан-
ный ряд будет сходящимся, если 1^>1, и расходящимся, если /<1.
Сомнение остается лишь при /= 1, если только па,. не стремится
к единице, оставаясь постоянно меньше ее; в этом случае ряд будет
расходящимся.
Если произведение пап имеет пределом единицу, то нужно сравнить —
с отношением двух последовательных членов ряда
_2__ + ,,4 _L . ,
2 (In 2)J- ' л (In я)"-
который будет сходящимся, если и > 1, и расходящимся, если р. 1.
Полагая пап— 14 |)л, мы можем представить отношение двух последователь-
ных членов исследуемого ряда в виде:
ип 1 I J_ 4 Ёд
я я
1де, при неограниченном возрастании п, стремится к нулю. [ ели начиная с не-
которого члеча, произведена» ?„1пл постоянно больше некоторого < пре-
деленного числа, большего единицы, то ряд — сходящийся. Если это отно-
шение по тоянно меньше единицы, то ряд — расходящийся
Чтобы доказать первую часть предложения, предположим, что при всех зна-
чениях указателя л, больших числа р, мы имеем р„1пл>£> 1. Пус1ь будет и
такое число, что 1<ц<£. Ряд будет сходящимся, если, начиная с некоторого
члена, мы будем иметь-
ся-! / п I 1пл I тх
ип п + 1 [1н(п+ 1)| ’
или, иначе:
1 +1 +fn
п п
применяя к правой части формулу Тейлора, имеем:
причем, при неограниченном возрастании п, \п по абсолютному значению остается
меньшим некоторого определенного числа. По упрощении последнее неравенство
обращается в
),(л+1) [lnH+l)]’
?л In п > |Л (л + 1) 11Ц1 + — ) +----------.
При неограниченном возрастании п произведение (л + 1) In Ql -р — J имеет пре-
делом единицу, так как, по формуле Тейлора, это произведение может быть пред-
ставлено в виде:
W 1)|п (1 4-1^1+_1(Н ;), (Ю)
где г стремится к нулю. Таким образом правая часть предыдущего неравенства
имеет пределом ц; следова1ельно, начиная с некоторого члена, это неравенство
наверное справедливо, так как, по условию, 3„1пл больше числа k > ц.
Таким же оиразом доказывается и вторая часть предложения Здесь нужно
сравнивать отношение -я + t с отношением двух последовательных членов ряда,
"л
общий член которого есть
1
—:----. Неравенство
л 1п л
ип + 4 л_________1п п
ип > п + 1 1п (л + 1)
виде:
может быть представлено в
или
In л <(«-)- 1) In (1 -f i .
Как видно из формулы (10), при значениях п, больших единицы, правая часть
стремится к единице; следовательно, начиная с некоторого места в ряде, послед-
нее неравенство, наверное, справедливо, так как j„in«, по >словию, меньше
единицы.
Из предыдущего предложения следует, что если при неограниченном воз-
растании п произведение 1п л стремится к пределу Z, то ряд будет схо-
дящимся, если />1, и расходящимся, если /<1. Сомнение остается только
для 1=1, за исключением того случая, когда произведение р„1пи остается по-
стоянно меньшим единицы; в последнем случае данный ряд — расходящийся.
Если рч1па стремится к единице, оставаясь больше ее, то мы можем пред-
ставить отношение ——- в виде:
мл
«л+1 _ 1
1 + — 4-
п n Inn
где, при неограниченном возрастании и, стремится к нулю. Рассматривая про-
изведение 7, Li* п, мы будем иметь предложения, вполне аналогичные преды-
дущим, и т д.
Следствие. Если в знакоположительном ряде отношение каждого члена
к предыдущему имеет вид:
+ 1 _ j _ г_ , f1n
ип . п ' и*+и ’
где ц есть положительнее число, г—постоянное, и при неограниченном возраста-
нии п абсолютная величина количества Нп ociaeica меньшим некоторого опре-
деленного числа, то рьо — сходящийся, если г дольше единицы., и расходя-
щийся — в оепгальн х случаях.
В самом деле, полагая
«Л + 1 = ' 1
"л 1 + “л ’
имеем:
— 4-—«-
п 1 и» + н
и, следовательно, lim ия, — г. Таким образом ряд сходится, если г > 1, и расхо-
дится, если r< 1. Сомнение остается только в том случае, когда г=1. Чтобы
устранить это сомнение, положим
u„ + i_ 1
1 д- -L о- Ь ’
п 1 п
отсюда имеем:
Inn и 4-1 „ Inn
—--------— пп ——
При неограниченном возрастании и правая чтсть стремится к нулю, каково бы
ни было положительное ц; след шательно, ряд — расходящийся.
Предположим, например, что —1 есть рациональная функция от и, стре-
мя
мящаяся к единице при неограниченном возрастании и.
Un+l___ПР 4- П|ПР~« 4- ggnP~* + .
«„ nP bpiP-14- Ь^пР-1 ’
1
выполняя деление н останавливаясь на члене с , мы можем представить пре-
дыдущее равенство в виде:
“л+ < _ 1 . ।
и„ ~ п т п* ’
где $ (л) есть рациональная функция от п, стремящаяся к конечному пределу при
иеограннчеином возрастании числа п. На основании предыдущего, необходимым
и достаточным условием того, чтобы ряд был сходящимся, Oydemi
bi > ai + 1-
Последняя теорема принадлежит Гауссу, который доказал ее непосредственно.
Это — один из первых по времени общих признаков сходимости*.
156. Ряды абсолютно сходящиеся. Обратимся теперь к рядам, члены
которых могут иметь любые знаки. Если, начиная с достаточно дале-
кого члена, знаки всех членов ряда будут одинаковые, то этот случай
непосредстаенно приводится к предыдущему. Поэтому здесь нам’ нужно
рассмотреть только тот случай, когда ряд содержит бесконечное мно-
жество как положительных, так и отрицательных членов. Прежде всего
мы докажем следующую основную теорему.
Ряд, члены которого имеют произвольные знаки, будет сходя-
щимся, если будет сходящимся ряд, составленный из абсолютных
велтин членов первого ряда.
Пусть будет
“о + и1 + • • - +мл+ • • (И)
ряд, члены которого могут иметь любые знаки; пусть, далее, будет
Ц> + Ц + ... + Ц,-Н-- (12)
рад, составленный из абсолютных величин членов первого ряда, так
что L7„ = |ия|. Если ряд (12) — сходящийся, то ряд (11) будет также
сходящимся. Это следует из общей теоремы о сходимости. В самом
деле, мы имеем:
\ип + мл+1 -Г • • • + Un+p I < Ц,+ Ц> + 1 + • • •
взяв число п достаточно большим, мы можем, оставляя число р про-
извольным, сделать вторую сумму меньше всякого данного числа.
В сходимости ряда (11) можно убедиться еще иначе. Представим ип
в виде
«л = (»л+^л)-^л
и рассмотрим вспомогательный ряд, общий член которого есть мл
(“о + Ц)) + (“1 + Ц) + • • -Н«л + Ц>) • • • О3)
Обозначая соответственно через Sn, , S” суммы п первых членов
рядов (И), (12), (13), мы, очевидно, будем иметь:
Sn = S"n-$'n.
По предположению, ряд (12) — сходящийся; точно так же будет сходя-
щимся и ряд (13), который не имеет ни одного отрицательного члена,
и общий член которого не превосходит 2Un. Таким образом суммы
5Я, S”, следовательно, и сумма Sn при неограниченном возрастании п
* Disquis’tiones generales circa serie n inftnitam
Werke, т. Ill, стр, 138),
(Gesammelte
стремятся к определенным пределам, т. е. данный ряд (11) — сходя-
щийся. Сверх того, мы видим, что ряд (И) можно рассматривать как
полученный от почленного вычитания двух знакоположительных сходя-
щихся рядов.
Ряд, абсолютные величины членов которого образуют сходящийся
ряд, называется абсолютно сходящимся. В таком ряде можно, не
изменяя суммы ряда, изменять по произволу порядок его членов.
Рассмотрим сначала сходящийся знакоположительный ряд с суммою 5:
ао + аг + • • • + ап + • • • ; (U)
пусть будет
“Ь + • • • + bn -f- ... (V)
другой ряд, составленный из тех же членов, как и первый, но распо-
ложенных в другом порядке, так что каждый член ряда (U) находится
где нибудь в ряде (V), и, обратно, каждый член ряда (V) находится
также и в ряде (U), хотя, может быть, и на другом месте.
Пусть будет S'm сумма т первых членов ряда (V); так как все эти
члены находятся в ряде (U), то ясно, что можно взять настолько
большое число п, чтобы' т первых членов ряда (V) находились в числе п
первых членов ряда (U). Следовательно, должно быть:
S'<Sn<S,
что доказывает, что ряд (V) сходящийся и имеет сумму S's^S. Точно
так же должно быть S^S', и следовательно, S’ — S. То же рассу-
ждение показывает, что если один из рядов (U) и (V) — расходящийся,
то и другой ряд будет также расходящимся.
Мы можем также, не изменяя суммы ряда, соединить в сходящемся
знакоположительном ряде вместе члены произвольным образом, т. е. мы
можем составить новый ряд, каждый член которого равен сумме про-
извольного числа членов первого ряда, взятых в любом порядке. Пред-
положим сначала, что мы соединяем вместе члены в том порядке, в ка-
ком они входят в данный ряд; пусть будет
+ Л + ^2 4~ • • • гЛЛ'4“--- П4)
получающийся при этом новый ряд, в котором, например,
Л = ао + а1 + • • • + ар > А = ар, 1 + • • • •+ aq ’
^2~ aq + l + • • • + ar’ • • •
Сумма S' т первых членов ряда (V) равна сумме SN N первых
членов первоначального ряда, где т. При неограниченном возра-
стании т число М также неограниченно возрастает, и следовательно,
сумма S' имеет тот же самый предел S.
Соединяя оба предыдущих преобразования, мы видим, что если дан
сходящийся знакоположительный ряд, то мы можем, не изменяя его
суммы, заменить его таким другим рядом, каждый член которого пред-
ставляет сумму некоторого числа членов первого ряда, взятых в про-
извольном порядке. Нужно только, чтобы каждый член начального ряда
входил в одну из групп, составляющих члены второго ряда, и притом
только в одну.
Так как всякий абсолютно сходящийся ряд можно рассматривать как
разность двух знакоположительных сходящ хся рядов, то предыдущие
преобразования применимы также и к абсолютно сходящимся рядам.
Отсюда видно, что с абсолютно сходящимся бесконечным рядом при вычи-
слениях можно поступать так же, как с суммою конечного числа членов.
157. Ряды условно сходящиеся, гли лолусходяшиеся. Для того чтобы
ряд члены которого имеют разные знаки, был сходящимся, нет необхо-
димости, чтобы ряд, образованный абсолютными величинами его членов,
был также непременно сходящимся. Это видно, например, из следующей
теоремы о знакопеременных рядах, которую я приведу без доказательства:
Ряд, состоящий из членов, поочередно положительных и отрица-
тельных, будет сходящимся, если абсолютная величина каждого члена
меньше абсолютной величины предыдущего члена, и если, кроме того,
с возрастанием указателя члены ряда неограниченно убывают по
абсолю „ной, величине.
Например, ряд-
+ + (15)
— сходящийся. Между тем ряд, составленный из абсолютных величин
членов предыдущего ряда, есть ряд гармонический —расходящийся.
Сходящиеся ряды, которые не суть абсолютно сходящийся, назы-
ваются условно сходящимися, полусходящимися или просто сходящи-
мися рядами.
Работы Коши, Лежен-Дирихле и Римана (Rieinann) показали, насколько
необходимо различать ряды абсолютно сходящиеся и ряды полусходящиеся.
Так, в полусходящемся ряде мы не имеем права изменять порядка членов
или соединять эти члены между собою произвольным образом; эти пре-
образования могут повлечь за собою изменение суммы ряда, или даже
превратить ряд сходящийся в ряд расходящийся, и обратно.
Возьмем, например, сходящийся ряд:
4—1___________1—4-
2 3 4 ~г >~2п-]~1 2п-]~2г'"’
сумма которого, очевидно, равна пределу выражения
п-т
у (-J___________
\2яН- 1 2л-|- 2/
п = О
при неограниченном возрастании т. Расположим члечы этого ряда
в другом порядке, так, чтобы за каждым положительны < ом следо-
вало два отрицательных:
, _1___1__ , 1 1 I ।
~2 4 I" 3 6 8 + •••+ 2я 4- 1 4я-)-2 4n-f-4“f“'”
Рассматривая суммы S3n. i S3n+2» легко доказать, что этот новый
ряд — сходящийся; его сумма равна пределу выражения
л = т
L/ 1______________1_________1 \
\2n-f- 1 4я 4/
л =0
при неограниченном возрастании т. Но мы имеем:
1_________1_________1 1 / 1_________________1 \
2/z -f- 1 4/z 2 4/z -|" 4 2 \ 2n -j— 1 2n —|— 2 /
и, следовательно, сумма второго ряда равна половине суммы первого
ряда.
Вообще, если дан ряд сходящийся, но не абсолютно, то можно расположить
члены этою ряда в таком порядке, чтобы новый ряд был сходящимся, и чтобы
его сумма была paiHa любому заранее данному числу А Обозначим через Sp
сумму р первых положительных членов этого ряда, через сумму абсолютных
величин q первых отрицательных членов; сумма р 4- q первых членов, очевидно,
равна Sp—Sy. Если оба числа р и q неограниченно возрастают, то должны не-
огранич нно возрастать и суммы Sp и S'q, так как в противном случае ряд
был бы или расходящимся, если неограниченно возрастает одна из двух сумм,
или абсолютно сходящимся, если обе суммы стремятся к конечным пределам.
С другой стороны, так как данный ряд, по определению, — сходящийся, то общий
член его должен стремиться к нулю.
Пользуясь этими замечаниями, мы можем следующим образом составить но-
вый ряд, имеющий своею суммою число А. Возьмем столько положительных
членов предложенного ряда в том порядке, в каком они расположены в данном
ряде, чтобы их сумма была больше А; напишем вслед за ними первые отрица-
тельные члены данного ряда в том порядке, в котором они стоят, и остановимся
тогда, когда сумма всех написанных членов сделается меньше А; затем напишем
положительные члены, начиная с того, на котором мы остановились в первый
раз, и остановимся тогда, когда сумма всех взятых членов будет больше А; по-
том опять возьмем отрицательные члены, и т. д. Очевидно, что суммы членов
этого нового ряда будут то больше, то меньше количества А, но эти суммы бу-
дут отличаться от А на количество, которое беспредельно убывает.
158. Признак Абеля. Абель дал теорему, позволяющую доказать сходимость
некоторых рядов, сходимость которых не может быть обнаружена при помощи
предыдущих признаков. Доказательство этой теоремы основывается на лемме, ко-
торою мы уже пользовались выше (§ 74).
Пусть будет
«о + “1 + • • + ип + . .
ряд сходящийся или неопределенный (т. е. такой, что сумма его п первых чле-
нов всегда меньше по абсолютной величине некоторого определенного числа А).
С другой стороны, пусть будет
®о> 1 • • • 1 ел > • •
последовательность положительных чисел, из которых каждое меньше предыду-
щего, причем Ппел=0. При этих условиях ряд
п = оо
еойо + Ч^Ч-•••+ея«л+••• (17)
будет сходящимся.
В самом деле, из этих условий следует, что при всяких значениях пи/?
будет
I Мл + 1 + • + «л+р I <
следовательно, на основании только что упомянутой леммы, имеем:
I мл+1 ел+1+ ... +ил+р ел+р I <2Аея+1.
Так как, при неограниченном возрастании л, ея+1 стремится к нулю, то число п
можно взять настолько большим, чтобы при всяком р абсолютная величина суммы
ел+< ИЛ+1 + + еп+р ип+р
была меньше всякого заранее данного числа. Следовательно, иа основании общей
теоремы § 5, ряд (17) будет сходящимся.
Если ряд «о 4- и{ -г ... 4- ип . обращается в ряд
1 _ 1 1 _ 1 1 _ 1 ... ,
члены которого попеременно -f-1 и — 1, то предыаущее предложение обращается
в приведенную выше теорему о знакопеременных рядах.
Рассмотрим другой пример. Ряд
sin 0 -|- sin 2 9 4~ sin 3 9 -f- ,.. sin л 9 -j- ...
— сходящийся или неопределенный. Если sin9 —0, то все члены ряда равны
нулю; если sin 9jg0, то, по известной формуле тригонометрии, сумма л первых
членов равна:
sin у
. 9
s,nT
Sin(2^9
следовательно, эта сумма по абсолютной величине меньше ------Отсюда за-
|Sln г|
ключаем, что при всяком значении количества 9 ряд
q sin 9 4- eg sin 2 9 4-|-ел sin п 9-|- ...
— сходящийся. Точно так же можно доказать, что ряд
et cos 9 4- cos 2 9 4-... 4- tn cos л 9 4- ...
— сходящийся при всех значениях 9, кроме 9 = 2Ait.
Следствие. Ограничиваясь сходящимися рядами, можно высказать еще
более общее предложение. Пусть будет
“о + М1 + + ип + • • •
сходящийся ряд, и пусть будет
“о> ai...
последовательность положительных чисел, постоянно возрастающих или убываю-
щих и стремящихся при неограниченном возрастании п к пределу k, отличному
от нуля. Ряд
ао“о + а1«1+ ••• + “л«л+ (18)
будеп также сгодящам-я.
Для определенности предположим, что числа oj идут возрастая. Мы можем
написать:
— е0, a.l = k — ..., an = k — еп, ...,
где числа е®,^, . образуют последовательность положительных убы-
28 ГЛАВА VIII. РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ § 158—159
вающих чисел, причем, при неограниченном возрастании п, е„ стремится к нулю.
Оба ряда
-Г kut -f- ... 4- kun г ... ,'
so «о + Ч «1 + ••• + sn wn + • • •
— сходящиеся; следовательно, ряд (18) будет также сходящимся.
П. РЯДЫ С МНИМЫМИ ЧЛЕНАМИ. РЯДЫ КРАТНЫЕ.
159. Определения. В этом параграфе мы укажем на некоторые обоб-
щения понятия ряда. Пусть будет
“о4“ И1 + “г + • • + ип + • ОВ 9)
ряд, все члены которого — мнимые количества:
«о = ао + *о1'> «1 = °i + fy, • • • > bni, • • •
Такой ряд называется сходящимся, если каждый из двух рядов, состав
ленных из действительных частей и из коэфициентов при г:
+ + • • •+ая+• • • > (2°)
^оЧ~^1 + ^2 Ч~ • • • Ч_^ЯЧ“ • • • , (21)
будет сходящимся. Пусть будут 5' и S" суммы рядов (20) и (21);
суммою ряда (19) называется количество S=S' 18". Очевидно, что
здесь так же, как и в предыдущем, эта сумма представляет предел
суммы 8п п первых членов ряда (19) при неограниченном возрастании
числа п. Мы видим, что ряд с мнимыми членами есть, в сущности, не
что иное, как совокупность двух рядов с действительными членами.
Если ряд, образованный модулями членов ряда (19)
- + (22)
— сходящийся, то каждый из рядов (20) и (21) будет, очевидно, абсо-
лютно сходящимся, так как
и
В этом случае ряд (19) называется абсолютно сходящимся. В таком
ряде мы можем, не изменяя суммы, изменять порядок членов или соеди-
нять эти члены произвольным образом.
Всякому признаку, позволяющему утверждать, что некоторый знако-
положительный ряд — сходящийся, соответствует признак, позволяющий
утверждать, что некоторый ряд с любыми членами, действительными или
мнимыми, есть абсолютно сходящийся. Так, если в ряде, начиная с не-
11^,
которого члена, модуль отношения меньше определенного числа,
ил
меньшего единицы, то ряд — абсолютно сходящийся. В самом деле, по-
ложим Ut=\ut\. Если, начиная с некоторого члена, мы постоянно
имеем
в виде:
Un + 1
ип
k 1, то м>1 можем представить это неравенство
^Л + 1 ь 1 •
Un <*<Ь
это показывает, что ряд модулей
Ц) 4~ Ц + • • • + ип + • •
— сходящийся. Если при неограниченном возрастании п отноше-
ип+
ип
ние
стремится к пределу /, то ряд будет сходяп?имся при I 1
и расходящимся при />!; в самом деле, в последнем случае модуль
общег) члена ип не стремится к нулю, и оба ряда (20) и (21) не могут
быть одновременно сходящимися. Случай /=1 остается сомнительным.
Вообще, пусть будет ы наибольшим из пределов количеств когда п
неограниченно возрастает. Ряд (19) будет абсолютно сходящимся, если ы < 1, и
расходящимся, если со > 1, так как в последнем случае модуль общего члена не
стремится к нулю (§ 152). Случай со = 1 остается сомнительным; ряд может быть
абсолютно сходящимся, условно сходящимся или расходящимся.
160. Умножение рядов. Пусть будут
«о + ui 4“ иг + • • • +««+••• > (23)
'no4-'^-W+ ••• 4-«„4~ ••• <24)
два ряда с членами произвольного вида. Умножим каждый член первого
ряда на каждый член второго ряда и соберем вместе все произве-
дения ulvj с одинаковою суммою указателей i J; таким, образом мы
получим новый ряд:
«о 4~ 4- «1^о) + (иог,2 4-И1г'14-и2^о)4--• • I (25)
.. 4-(Mof„-4«3f„_14----4-«„yo)4---- )
Если оба ряда (23) и (24) абсолютно сходящиеся, то ряд (26) — также
сходящийся и имеет суммою произведение сумм обоих предыдущих
рядов. Эта теорема, доказанная Коши, была обобщена Мертенсом
(Mertens) *, который показал, что она остается верною и в том случае,
когда один ряд абсолютно сходящийся, а другой — только условно
сходящийся.
Предположим, например, что ряд (23) — абсолютно сходящийся.
Пусть будет wn общий член ряда (25):
wn = uovn + ui + ••• 4- «п^о-
Для доказательства теоремы достаточно показать, что при неограничен-
ном возрастании п обе разности
wo 4- 4- • • • 4- «’гл —('7о 4-4- • • • ~hun) (J0 4- vi 4- . .-(--'л),
«’04-«’1+-... + w2„+3- («04-«34- ••4-«,+i)(yo4-«i 4-«n+i)
* Crelle's Journal, t. LXXIX;
стремятся к нулю. Так как доказательство в обоих случаях одинаково,
то мы рассмотрим только первую разность. Расположив ее относи-
тельно ut, мы можем представить ее в виде:
8 = K0(Jn + l + . .. +'32п) + “1(^+1+ • • • 4~ • • 4-мл-1г’л + 1 +
+ “п+1(^о+ +^-1) + «л+2(^о 4- • •• + ^-2) + ••• +«2„V
Так как ряд (23) абсолютно сходящийся, то сумма
Ц) + Ц+-.-+^
остается при всяком п меньшею некоторого определенного положитель-
ного числа А; точно так же, вследствие того, что ряд (24) сходящийся,
модуль суммы f0 4~ + • • • 4- vn остается при всяком п меньшим неко-
торого положительного числа В. Пусть будет е некоторое заранее
данное положительное число; мы можем выбрать настолько большое
положительное число т, чтобы при п^гт было
Ц1+1 + • • • + Л 4~5 ’
I vn-n + • • • + Чг+Р I < A-j-B ’
каково бы ни было число р. Взяв число п под этим условием, мы
будем иметь верхнюю границу разности 3, заменяя ы0, иг, и2, ... , и2п
соответственно через £70, Ц , Ц , ... , Ц„; + Ч,+2 + • • • +
ЧеРе3 Л^ГВ И’ НаК0НеЦ> г’о+ • • • +^-1 > wo+ • • • + ^-2 > • • > va
через В. После этой замены получим:
£ £ £
। 8 к и0А+В + Л 4-5 ’+ ^«-1 л 4-5 +
4-t/„+15 + t/„+25+...4-t/2„5,
или
!8|<АТ5 ^о + Ц + ---+^-1) + ^(^+14---.+Ця)<
еД е5
<А-[-В +Л4-5- ’
или, наконец, ! 81 г. Таким образом разность 8 имеет пределом нуль.
161. Двойные ряды Рассмотрим прямоугольное поле, ограниченное
сверху и слева и неограниченно простирающееся вправо и вниз. Разо-
бьем это поле вертикальными и горизонтальными линиями на квадраты
наподобие шахматной доски. Такое поле будет содержать бесконечное
множество вертикальных столбцов, которые мы перенумеруем, начиная
с 0 до оо , и бесконечное множество горизонтальных строк, которые
мы также перенумеруем, начиная с 0 до -J-00 • Предположим, что
каждой клетке этого поля соответствует некоторое число, которое мы
впишем в эту клетку. Пусть будет а к число, соответствующее клетке,
лежащей в i-й строке и в А-м столбце. Мы получим таким таблицу, имеющую следующий вид *: образом
аоо «01 «02 • • • «Ол • • •
«10 «11 «12 • • ‘ «1л • • •
«20 «21 «22 ’ ' • «2л • • • (26)
л тО • о • » • S • to • о * 5 а
Мы предположим сначала, что все члены этой таблицы — числа действи
тельные и положительные.
Вообразим теперь ряд линий Сг , С2, ... , Сп, ... , бесконечно
удаляющихся по всем направлениям и образующих вместе с двумя пря-
мыми, ограничивающими таблицу, ряд замкнутых линий, каждая из ко-
торых заключает внутри себя все предыдущие. Пусть будут
sn!...
суммы членов таблицы, стоящих внутри этих замкнутых линий.
Если при неограниченном возрастании п сумма Sn стремится к пре-
делу S, то двойной ряд
+оо 4-оо
S S <27)
(=0 л=о
называется сходящимся и имеет суммою количество S. Чтобы оправдать
это определение, нужно доказать,, что предел S не зависит от вида
кривых С. Предположим, что мы имеем другой ряд линий, удаляющихся
в бесконечность по всем направлениям, С[, С? , ..., С'т,_______ и пусть
будут Aj, S2, ..., S'm, ... соответствующие им суммы. Когда число т
дано, то всегда можно выбрать число п настолько большим, чтобы ли-
ния Сп заключала внутри себя линию С'т; следовательно, мы будем
иметь S'm <С Sn, и отсюда, при всяком т, < А. Но эта сумма S'm
возрастает вместе с указателем т; следовательно, она стремится к пре-
делу 5'гС S. Таким же образом мы докажем, что 5^5*. Следова-
тельно,
Мы можем принять за линию С, например, две стороны беспредельно
увеличивающегося квадрата или же прямые, равно наклоненные к обеим
сторонам поля; соответствующие суммы будут в первом случае!
аоо + («ю 4" ап + «oi) + •••
• • • + (°лО + ап1 + • • • + апп + ап-1, п + • • • + aOnh
а во втором:
«oo + («io + «oi)"l_
+ («20 + аП + «02) + • • • “Ь (апО + ап-1,1 + ‘ • • + а0п)'
* Такая таблица называется также таблицею с двойным входом. {Ред,}
Если при неограниченном возрастании п одна из-этих сумм стремится
к некоторому пределу, то будет стремиться к пределу и другая сумма,
и оба эти предела будут равны между собою.
Сумму таблицы можно также составлять по строкам или по столб-
цам. В самом деле, предположим, что двойной ряд (27) — сходящийся,
и пусть будет S его сумма. Очевидно, что сумма произвольного числа
членов таблицы меньше S; отсюда следует, что все ряды, подобные
следующему:
azo+a/i + • • •+йм+• • • (/ = 0,1,2,...), (28)
получающиеся из членов какой-нибудь горизонтальной строки, будут
сходящимися, так как сумма
^t) + a/l'+ • • • +aZn
всегда меньше количества S и возрастает вместе с п. Пусть будут а0,
Sj, ..., az, ... суммы полученных таким образом сходящихся рядов;
тогда ряд
+•••+’/+• • (29)
будет также сходящимся. В самом деле, рассмотрим сумму S oik тех
членов таблицы, у которых /< р, ks^r. Эта сумма всегда меньше 5;
если, оставляя число р постоянным, мы будем неограниченно увеличи-
вать число г, то эта сумма будет иметь пределом
«о + <>1 +
Таким образом мы всегда имеем а0 ... -j- ар < 5, и так как эта
сумма возрастает вместе с числом р, то отсюда следует, что ряд (29)
сходящийся и имеет суммою число 2 sg S. С другой стороны, если все
ряды (28) — сходящиеся, и если новый ряд (29), составленный из сумм
первых рядов, — сходящийся и имеет суммою число 2, то ясно, что
сумма любого числа членов таблицы (26) меньше 2. Следовательно, мы
имеем также 5 2, и отсюда 2 = S.
Все, что было сказано о рядах, получающихся из горизонтальных
строк, очевидно, применимо к рядам, получающимся из вертикальных
столбцов. Таким образом, чтобы получить сумму двойного ряда, все
элементы которого положительны, можно вычислять ее или по строкам,
или по столбцам, или же, наконец, брать ограничивающие кривые про-
извольного вида. В частности, если ряд оказывается сходящимся, когда
мы составляем сумму по горизонтальным строкам, то он будет также
сходящимся и в том случае, если мы будем вычислять его по столбцам,
и его сумма в обоих случаях одна и та же.
Для двойных рядов с положительными членами можно было бы дать
ряд теорем, аналогичных теоремам, доказанным выше для простых ря-
дов. Например, если члены двойного знакоположительного ряда соот-
ветственно меньше членов другого двойного сходящегося ряда, то и
первый ряд также сходящийся, и т. д.
Двойной ряд с положительными членами, не сходящийся, называется
расходящимся. Сумма элементов соответствующей этому ряду таблицы,
расположенных внутри какой-нибудь замкнутой кривой, возрастает выше
всякого предела, когда эта кривая неограниченно удаляется по всем
направлениям.
Рассмотрим теперь таблицу, в которой не все элементы положи-
тельны. Очевидно, что мы можем исключить из рассмотрения те случаи,
когда все элементы таблицы отрицательны, или когда есть только ко-
нечное число положительных или отрицательных элементов, так как все
эти случаи непосредственно приводятся к предыдущему. Поэтому мы
предположим, что в рассматриваемой таблице Т есть бесконечное мно-
жество как положительных, так и отрицательных элементов. Пусть бу-
дет alk общий член таблицы Т. Если таблица 1\ с положительными
элементами, каждый элемент которой равен абсолютной величине | alk |
соответствующего элемента таблицы Т, — сходящаяся, то таблица Т на-
зывается абсолютно сходящеюся. Абсолютно .сходящаяся таблица обла-
дает всеми существенными свойствами сходящейся таблицы с положи-
тельными членами.
Для доказательства этого предложения рассмотрим две вспомогатель-
ных таблицы Т' и Т", составленных следующим образом. Таблица Т'
образована из таблицы Т таким образом, что каждый отрицательный
элемент заменен нулем, а каждый положительный элемент оставлен на
своем месте. Точно так же таблица Т" образована из таблицы Г, в ко-
торой каждый положительный элемент заменен нулем, а у каждого отри-
цательного элемента переменен знак. Если таблица Т\ сходящаяся, то
каждая из таблиц Г' и Т" также сходящаяся, так как каждый элемент,
например, таблицы Г не превосходит соответствующего элемента та-
блицы 7\. Сумма членов ряда Т, заключающихся внутри какой-нибудь
замкнутой кривой, равна разности между суммою членов таблицы Т'
и суммою членов таблицы Т", заключающихся внутри той же кривой.
Так как обе последних суммы приближаются к некоторому пределу,
когда пограничная кривая неограниченно удаляется по всем направле-
ниям, то и первая сумма также стремится к пределу, и этот предел не
зависит от вида пограничной кривой. Этот предел называется суммою
таблицы Т. Сумму такой таблицы Т можно также вычислять по стро-
кам или по столбцам, как это следует из рассуждений, приведенных
по поводу таблиц с положительными элементами. Таким образом ясно,
что если данная таблица абсолютно сходящаяся, то каковы бы ни были
знаки ее элементов, с нею можно поступать, как с сходящеюся табли-
цею с положительными членами; но при этом существенно необходимо,
чтобы ряд 1\ с положительными членами был сходящимся.
Если таблица 7, — расходящаяся, то будет расходящеюся, по'крайней мере,
одна из таблиц Т’ и Т". Если одна из них, например Г', — расходящаяся, а
другая Т" — сходящаяся, то сумма элементов таблицы Т, заключающихся внутри
некоторой замкнутой кривой С, неограниченно возрастает независимо от вида
кривой С, когда эта кривая неограниченно удаляется по всем направлениям.
Если же обе таблицы Т' и Т" расходящиеся, то из предыдущего рассуждения
следует только то, что сумма элементов таблицы Т, заключающихся внутри замк-
нутой кривой С, равна разности между двумя суммами, неограниченно возра-
стающими. когда кривая С неограниченно удаляется по всем направлениям. При
этом может случиться, что сумма элементов таблицы Т, заключающихся вну-
три С, поиближ >ется к совершенно различным пределам в зависимости от вида
кривой С и от торо, каким образом удаляется эта кривая, т. е. в зависимости от
относительного возрастания числа положительных и отрицательных членов в этой
3 9, Гуреа. Т. I, ч. 2
сумме; в некоторых случаях сумма может даже стремиться к бесконечности, или
не приближаться ни к какому пределу. В частности, если таблица не будет абсо-
лютно сходящеюся, то мы можем получить совершенно различные суммы, вы-
числяя отдельно ее по строкам и по столбцам.
Арндт (Arndt) дал следующий пример *. Рассмотрим таблицу:
ЧП ЧП ЧП ЧП Чр^Ц____________
2\2/ 33 / ’ 3 \ 3 / 4 \ 4 / ’’’ ’ /> \ р / р + 1+ 1 /’ ’ ’ ’
ЧП2_ЧИ2 1 (2\2_ 1 (-V 1 р-Ц2_________1 / р \2
2'2/ 3\3/’3\3/ 4\4/ ....... р\ р ' р+ 1'/»+ 1' ’ ' "
1/М"— — V 42V L/3Ч/’-1^”— 1 I р \п
2 / ~ 3 \ 3 / ’ 3\3 1 ~~ Т\ 4 / .~р \”/Г / ~ р~7 1 \ р -f- 1 /
Эта таблица содержит бесконечное множество положительных и бесконечное мно-
жество отрицательных элементов. Каждый из рядов, составленных из элементов
каждой отдельной строки и каждого отдельного столбца, — сходящийся. Сумма
ряда, составленного из элементов n-й строки, очевидно, равна:
2 I 2 ) 2« + < ’
Таким образом, вычисляя сумму таблицы по строкам, мы придем к сумме схо-
дящегося ряда:
22 т 2> ' ~ 2«+‘ ~
которая равна у. С другой стороны, рассмотрим ряд, состоящий из членов
(р — 1) го столбца:
Этот ряд — сходящийся, и его сумма равна:
р—1_______________________р - 1_______1____£
р р + 1'р(р+1) Р +- 1 р'
Следовательно, вычисляя таблицу по столбцам, mi
придем к сумме сходящегося
ряда:
1
которая равна —g- •
Из этого примера ясно видно, что двойныт рядами можно пользоваться
при вычислениях только в том случае, если они ,гдут абсолютно сходящимися.
Перейдем теперь к двойным рядам с м 1мыми членами. Если эле-
менты таблицы (26) мнимые, то можно соста 1ть две других таблицы V
и Т" таких, чтобы каждый элемент таблицы г' был равен действитель-
ной части соответствующего элемента табл ты Г, а каждый элемент
таблицы 1" был равен коэфициенту при i оответствующего элемента
* Grunert’s Arctiiv, т. XI, стр. 319.
таблицы Т. Если таблица 7\, каждый элемент которой равен модулю соот-
ветствующего элемента таблицы Т,— сходящаяся, то каждая из таблиц Т' и
Т" будет абсолютно сходящеюся; в этом случае данная таблица 7 назы-
вается также абсолютно сходящеюся. Сумма элементов такой таблицы, за-
ключающихся внутри некоторой переменной замкнутой кривой, стремится
к предеду, когда пограничная кривая неограниченно удаляется по всем
направлениям. Этот предел не зависит от вида пограничной кривой и
называется суммою данной таблицы. Сумма абсолютно сходящейся таб-
лицы может быть также вычисляема по строкам или по столбцам.
Абсолютно сходящийся двойной ряд можно заменить обыкновенным рядом,
состоящим из тех же членов, как и данный двойной ряд. Для этого достаточно
показать, что всегда можно перенумеровать клетки поля (26) таким образом, чтобы
каждая клетка имела определенный номер, и чтобы ни одна клетка не была про-
пущена. Другими словами, если мы рассмотрим, с одной стороны, ряд последо-
вательных натуральных чисел
О, 1, 2....... ...,
а с другой стороны, все пары целых чисел (4 Й), где й^О, то каждую
Из этих пар можно связать с одним из чисел последовательности натуральных
чисел таким образом, чтобы, обратно, каждому числу п соответствовала только
одна из этих пар. В самом деле, напишем все эти пары одна за другою следую-
щим образом. Будем писать раньше те пары, у которых сумма чисел i + й меньше,
а из двух пар с равными суммами указателей i + й будем писать раньше ту, у
которой число i больше. Таким образом мы получим такую последовательность
пар:
(О, 0); (1, 0), (0, 1); (2, 0), (1, 1), (0, 2); (3, 0), (2, 1), (1, 2), (0, 3); ... (30)
Вообще, написав все пары, для которых i + й < п, мы будем писать все пары
для которых i й = п, начиная с пары (п, 0) и затем уменьшая i последова-
тельно иа единицу до нуля. Очевидно, что каждая пара (/, й) будет иметь перед
собою только конечное число пар и, следовательно, будет занимать в после-
довательности определенное место. Представим теперь, что мы написали члены
двойного абсолютно сходящегося ряда в указанном выше порядке; мы по-
лучим простой ряд:
«00 4- «10 + «01 + «20 + «11 + «02 + • • • + «ло + «л-1,1 + • • •! (31)
у этого простого ряда будут те же члены, как и у рассматриваемого двойного
ряда, он будет абсолютно сходящимся и будет иметь ту же сумму, как и двой-
ной ряд. Ясно, что этот способ преобразования не является единственным, так
как мы можем затем переставлять члены ряда по произволу. Обратно, всякий
простой абсолютно сходящийся ряд может быть преобразован в двойной ряд
бесконечным множеством способов. Это преобразование с большим успехом при-
меняется при выводе некоторых тождеств *.
Мы видим, что понятие двойного ряда не отличается по существу от обыч-
ного понятия ряда. Выше мы видели, что в абсолютно сходящемся ряде можно
заменять конеч <ое число членов их суммою, а также располагать члены в про-
извольном порядке; распространяя эти свойства, мы естес1венно приходим к вве-
дению двойных рядов.
162. Кратные ряды. Понятие двойного ряда может быть еще значи-
тельно расширено. Прежде всего можно рассматривать ряды, каждый
член которых атп зависит от двух указателей, изменяющихся от — оо
до -}- оо. Мы можем вообразить, что члены этого ряда расположены
в клетках прямоугольного поля, простирающегося в бесконечность по
* Т а н н е р и'(Tannery), Introduction A la theorie des fonctions d'une variable,
стр. 67.
всем направлениям; очевидно, что такой двойной ряд можно
разбить на четыре двойных ряда, подобных рассмотренным выше.
Еще более важно следующее обобщение понятия ряда. Рассмотрим
ряд, каждый член которого ат^ т зависит от р указателей
тг, т2, ..., тр, изменяющихся от 0 до оо или от — оо до
—|—оо, причем, кроме того, эти указатели могут быть еще стеснены
некоторыми неравенствами. Хотя мы и не можем пользоваться геомет-
рическим представлением, как скоро мы имеем более трех указателей,
однако нетрудно видеть, что предложения, полученные для двойных
рядов, могут быть легко распространены на кратные ряды порядка р.
Предположим сначала, что все члены ат^ ..., тр действительны
и положительны. Предположим, что мы взяли сумму некоторого числа
членов этого ряда; далее, составим вторую сумму, прибавив к первой
сумме сумму некоторого числа членов из числа опущенных ’ при соста-
влении первой суммы, и т. д., так, чтобы каждый член предложенного
ряда вошел в одну из этих сумм, а следовательно, и во все последую-
щие суммы. Пусть будут Sj, 6'2, ..., Sn, ... полученные таким спо-
сЬ0ом последовательные суммы. Если при неограниченном возрастании
числа п сумма Sn стремится к некоторому пределу S, то данный ряд
называется сходящимся и будет иметь суммою это число 5. Как и
в случае рядов с двумя указателями, предел S не зависит от того за-
кона, по какому мы неограниченно увеличиваем число складываемых
членов. Если члены имеют разные знаки, или если они мнимые, то и
здесь ряд будет сходящимся, если будет сходящимся ряд, составленный
из модулей отдельных членов.
163. Обобщение теоремы Коши. Вопрос о сходимости или расходи-
мости кратного ряда часто может быть решен при помощи следующей
теоремы, представляющей собою обобщение теоремы Коши (§ 153).
Пусть будет f(x, у) функция двух переменных х, у, положительная для
всех точек (лг, у), лежащих вне некоторой замкнутой кривой Г, и убы-
вающая с удалением точки (х, у) от начала координат. Рассмотрим,
с одной стороны, двойной интеграл f(x, у) dx dy, распространенный
на кольцеобразную площадь, содержащуюся между кривою Г и неко-
торою другою внешнею кривою С, которая неограниченно удаляется
по всем направлениям. С другой стороны, возьмем ряд с двойным вхо-
дом S/(m, п), где мы даем указателям т и п все такие целые поло-
жительные и отрицательные значения, при которых точка (т, л) лежит
вне кривой Г.
При этих условиях двойной ряд будет сходящимся, если двойной
интеграл имеет предел, и обратно.
Разобьем площадь, заключающуюся между двумя кривыми С и Г,
прямыми, параллельными осям координат, х = 0, +1, Ч- 2. ... и
_у = 0, ±1, ±2, ... , на некоторое число квадратов и неправильных
частей. Если мы возьмем в каждом из квадратов вершину, наиболее
удаленную от начала координат, то ясно, что соответствующая сумма
2/(тл, л) будет меньше двойного интеграла I I f(x,y) dxdy, распростра-
ненного на площадь, заключающуюся между С и Г. Предположим, что
кривая С неограниченно удаляется от кривой Г; если при этом двой-
ной интеграл стремится к некоторому пределу 6, то отсюда следует,
что сумма любого числа членов двойного ряда всегда меньше некото-
рого определенного числа; следовательно, этот ряд — сходящийся. Та-
ким, же образом мы убеждаемся, что если двойной ряд — сходящийся,
то двойной интеграл всегда меньше некоторого определенного числа;
следовательно, этот интеграл стремится к некоторому пределу. При
сохранении соответствующих предположений теорема распространяется
на кратные ряды с р -указателями; нх следует сравнивать с кратными
интегралами порядка р.
Так, например, двойной ряд, общий член которого есть g я2^’
где указатели т и п принимают все целые значения от —оо до + оо,
кроме /п = л = 0, — сходящийся, если ц^>1, и расходящийся, если
ц=С1. В самом деле, двойной интеграл
j j ' (32)
распространенный на площадь, лежащую вне круга с центром в начале
координат, имеет конечное значение, если р^>1, и неограниченно воз-
растает, если ц^1 (§ 127).
Как более общий пример рассмотрим кратный ряд с общим членом
1
причем система значений тг — т2 = ... =тр— 0 исключается; .этот
ряд будет сходящимся, если 2ц >р*.
164. Кратные ряды с переменными членами. Пусть мы имеем двой-
ной ряд, или, для общности, кратный ряд р измерений, члены которого
суть функции произвольного числа т переменных х, v, z, ..., и ко-
торый абсолютно сходится в области D. Говорят, что ряд в этой обла-
сти сходится равномерно, если выполняется следующее условие: каково
бы ни было наперед заданное положительное число е, всегда можно
найти такое конечное число N членов ряда, что разность между суммой S
ряда и суммой какого-либо числа п членов ряда, содержащей N первых чле-
нов, по абсолютной величине меньше s для всех значений переменных
х, у, z, ... в области D.
Повторяя рассуждения § 29 и 107, доказывают, что сумма равно-
мерно сходящегося ряда, все члены которого суть функции, непрерывные
в Г), есть также функция непрерывная в этой области;ее можно интегриро-
вать почленно во всякой конечной области 5, имеющей q измерений
(q «С т) и содержащейся в D. Точно так же можно произвольное число
раз почленно диференцировать абсолютно сходящийся ряд, если только
все получаемые таким образом ряды сходятся равномерно.
* Более общие предложения можно найти в Traite d’Aoalyse Жордана
{Jordan), т. I, стр. 163.
Заметим еще, что кратный ряд сходится равномерно, если абсолют-
ная величина любого его члена не превосходит соответствующего члена
сходящегося ряда с постоянными положительными членами (§ 29).
III. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ.
165. Определения и общие свойства. Пусть будет дана бесконечная
последовательность действительных или мнимых членов
О ’ 1 > 2 * • ’ п’ »
рассмотрим последовательность произведений:
Л) — 1 4" «о »
Pj = (1 4- а0) (1 -4- Kj),
^2 = (1+М0)(1+“1)(1+«2)-
Рп = (1 +«о)(1 +И1) ••• 0 +“«)•
Если произведение Рп стремится к некоторому пределу Р, то беско-
нечное произведение
+ 00
П (1 + “„) = (! +ио)(1 4 а1) • • • 0 ~\~ип) • • • (33)
п = О
называется сходящимся; число Р называется значением этого произ-
ведения.
Очевидно, что, если один из множителей \-\-ит равен нулю, то
все произведения Рп, где п^т, равны нулю; следовательно, Р= 0.
Но .может случиться, что произведение стремится к нулю, хотя ни один
из множителей нулю не равен. Таково, например, произведение
—•
n 1 2 3 п ’ •
очевидно, что при неограниченном возрастании п это произведение
стремится к нулю. Так как признаки сходимости бесконечного произ-
ведения не всегда применимы к этому особому случаю, то мы сохраним
название сходящегося произведения только за теми произведениями, у
которых Рп стремится к некоторому пределу Р, отличному от нуля.
Если РП имеет пределом нуль, то мы будем говорить, что произведение
равно нулю; если же Рп не стремится ни к какому пределу, то произ-
ведение называется расход» щимся.
Чтобы бесконечное произведение было сходящимся и не равным
нулю, необходимо, чтобы ип стремилось к нулю. В самом деле, если
Рп стремится к пределу Р, то разность РП— РпЛ=Рл1и„ должна
стремиться к нулю; так как множитель Рп_1 имеет предел Р, отличный
от нуля, то, следовательно, множитель ип стремится к нулю. Это рас-
суждение неприменимо, если произведение равно нулю; на приведенном
выше примере нетрудно проверить, что в этом случае ип может и не
стремиться к нулю.
На основании сделанного ранее замечания (см. § 5) исследование
сходимости или расходимости бесконечного произведения приводится
к изучению того же вопроса для ряда. Положим:
г'о = -ро=:=(1 + = Р0 =<1+Wo)«l>
и, вообще,
= Рп-рп-у = (1 + «о)(1 + . (1 + «„_!) (34)
рассмотрим вспомогательный ряд
г’о + г’1+ ••• +^+ ••• (35)
Сумма Sn — f0 v-i • • • “г vn, очевидно, равна Рп; таким образом,
этот ряд — сходящийся или расходящийся вместе с бесконечным про-
изведением
П(1 + «„);
если ряд — сходящийся, то его сумма S равна значению Р бесконеч-
ного произведения.
166. Абюлютио сходящиеся произведения. Предположим сначала,
что все числа ип— действительны и положительны. В этом случае про-
изведение Рп возрастает вместе с п, и, чтобы доказать его сходимость,
достаточно показать, что при всяком значении числа п произведение Рп
остается меньшим некоторого определенного числа. Мы имеем, с одной
стороны:
1 + «О М1 + • • + Un’
с другой стороны, при х положительном имёем \-\-х<^ех, и, сле-
довательно:
р "С е“»+“‘+--- + “п .
Из первого неравенства видно, что, если произведение Рп стремится
к некоторому пределу Р, то постоянно и0-\- иА-\- ип<^Р. Следо-
вательно, знакоположительный ряд
“о ui 4~ • • • Н- ип 4~ • • • (36)
— сходящийся. Обратно, предположим, что этот ряд — сходящийся, и
пусть будет 5 его сумма; тогда из второго неравенства имеем Pn<^es\
следовательно, произведение Рп стремится к пределу. Таким образом
+ оо
бесконечное произведение ["1(1-|-ая), 6 котором все числа ип дей-
о
ствительны и положительны, сходится или расходится вместе
с рядом (36).
Рассмотрим теперь бесконечное произведение с произвольными чле-
нами, действительными или мнимыми:
(1+«0)(1+«,)... (1+«„)...; (37)
пусть будет Ui — ] и. |. Если ряд
и0-РЦ+...(38)
— сходящийся, то и бесконечное произведение (37) будет сходящимся.
В самом деле, положим, как выше:
®Я = О +«о)(1 +«i) • • • 0
= (1 + Ц>) (1 + Ц) • • • (1 + Un_y) ип.
На основании предыдущего, если знакоположительный ряд S7J,- схо-
дящийся, то будет сходящимся и бесконечное произведение (1 +
а, следовательно, и ряд
’ Vo+^ + ...Н-V„+... (39)
Но, очевидно, что |г/я|<^Уп; следовательно, ряд
г'о + г'1+ • • • + vn + • • (4°)
— абсолютно сходящийся, и, как было замечено, сумма этого ряда есть
предел произведения
^„ = (1 +«о)(1 + «i) • • • (1 +«я)
при неограниченном возрастании числа п. При этих условиях произве-
+ оо
дение J-] (1 -|-ая) называется абсолютно сходящимся.
« = о
Абсолютно сходящиеся бесконечные произведения представляют осо-
бый интерес, как и абсолютно сходящиеся ряды, с которыми они имеют
много общего. Так, в абсолютно сходящемся бесконечном прои'веде-
нии можно произвольно изменять порядок множителей, не изменяя
произведения. Докажем сначала, что если дано абсолютно сходящееся
бесконечное произведение, то для всякого положительного числа е можно
найти такое целое число п, чтобы модуль разности между единицею и
произведением любого числа множителей
О + Ка) П +«₽)••• 0 + Их)
был меньше е, если все указатели а, '..., X больше п. В самом деле,
выполняя в обеих частях умножение, можно непосредственно убедиться,
что
(1 +- «а)(1 +«?) •• • (1 -+-«>.)— 1 I<(1 +t/a)(l-bt/?) ... (1 +Ц)- 1,
и, следовательно,
|(1+ца)(1+«?)...(1+цх)-1|<^«^Г-^х_1.
Так как ряд — сходящийся, то можно взять число п настолько боль-
шим, чтобы сумма []Л -|- -|- ... -4- Ц была меньше In (1 4-е), если
все указатели а, ..., X больше п. Следовательно, взяв целое число
п достаточно большим, можно сделать правую часть предыдущего не-
равенства меньшею всякого положительного числа е.
Заметим при этом, что отсюда вытекает следующее предложение:
абсолютно сходящееся произведение не может быть равно нулю,
если ни один из множителей не равен нулю. В самом деле, предпо-
ложим, что ни один из множителей произведения не равен нулю; выбе-
рем число п настолько большим, чтобы при всяком положительном
числе р было:
1(1+ Ип + 1) О + Ил+2) • • • (1 + Ип+р)- 1 К а>
где а — положительное число, меньшее единицы. Очевидно, что модуль
оо
бесконечного произведения ["] (1 мя+7) больше 1 — а, и, следователь-
7 = 1
но, произведение Р, равное предыдущему, умноженному на Рп, не
может быть равно нулю.
После этих предварительных рассуждений рассмотрим абсолютно
сходящееся бесконечное произведение
(1 1«0)(1+«,)... (1 +«„)..., (41)
и пусть будет
(42)
другое бесконечное произведение, состоящее из тех же множителей, но
взятых в другом порядке. Это второе произведение — также абсолютно
сходящееся, так как ряд SiZ состоит из тех же членов, как и ряд 2Ц.
Обозначим через Р и Р1 значения этих обоих произведений (41) и (42).
Пусть будет Рп произведение п первых множителей произведения (41);
все эти множители находятся и в произведении (42), и мы можем взять
такое число п, чтобы произведение Р’ содержало все множители
произведения Рп. В этом случае мы имеем:
^ = (14-ца)(1 + «₽)... (1+«х),
где все указатели а, р, ... , X больше л; на основании предыдущего
можно взять число л настолько большим, чтобы было:
я
< г>
как бы ни было мало положительное число е. Но при неограниченном
возрастании числа л число т также неограниченно возрастает, и отно-
Р' Р'
шение — имеет предел “.-Следовательно, должно быть Р> = Р.
*п ‘
167. Равномерно сходящиеся произведения. Рассмотрим бесконечное
произведение (33), где и0, иг, ... , ип, ... суть непрерывные функции,
действительные или мнимые, одного или нескольких переменных х, у,
t, .. ; очевидно, что в этом предположении содержится случай, когда
и0, иг, и2, . .. суть функции одного комплексного переменного z. Это
произведение называется равномерно сходящимся в некоторой обла-
сти D, если определенный выше ряд сумма которого равна значе-
нию бесконечного произведения, равномерно сходится в той же области.
В этом случае произведение Р есть непрерывная функция независимых
переменных.
Бесконечное произведение будет равномерно сходящимся, если будет
равномерно сходящимся ряд
(43)
В самом деле, вернемся к ряду (35); мы имеем:
+ • + vn+p=Pn4>- Рп = Рп [(1 + «„+1) .. . (1 + «П+Р - 1]>
кроме того, очевидно, что
I^J<(i+W + ^)---(1 + 4,)<^+L'+ ••• +f/n>
К1 +“п+1)(1 +“п+2) • • • 0 + ип+р}— 1 |<еи«+1 + (/п + 2+ •• • +^+ — 1-
Но так как ряд (43) равномерно сходится в области D, то он
представляет в ней непрерывную функцию, которая остается меньшею
некоторой границы 7И; вследствие равномерной сходимости ряда (43)
можно выбрать число N настолько большим, чтобы сумма
^+i + ^+2+
где n^N, при всяком значении числа р оставалась в области D мень-
шею некоторого положительного числа а. Следовательно, при таком
выборе числа п мы имеем:
K+i + ••• + ^+Р1 <*"(*' — !)•
Так как число а всегда можно выбрать таким образом, чтобы удов-
летворялось неравенство ем(еа — 1) < е, как бы ни было мало число е,
то отсюда следует, что ряд Svn — равномерно сходящийся.
Примечание. Все предыдущие свойства легко распространяются
и на бесконечные произведения вида П(1 итг^, где каждый множи-
тель имеет два различных указателя т, п, которые могут отдельно
изменяться от 0 до -f- оо. Если двойной ряд сходящийся, то
предыдущее произведение имеет вполне определенное значение, не зави-
сящее от того, каким способом возрастает число множителей. Абсо-
лютно сходящийся двойной ряд можно бесконечным множеством спосо-
бов преобразовать в простой ряд; точно так же и абсолютно
сходящееся двойное бесконечное произведение можно бесконечным мно-
жеством способов преобразовать в простое абсолютно сходящееся беско-
нечное произведение. Если все члены итп суть непрерывные функции
некоторых переменных х, у, ... , и если ряд ^Umn— равномерно сходя-
щийся в некоторой области D, то бесконечное произведение II (1 + итп)
само равномерно сходится и представляет в области D непрерывную
функцию от х, у, ...
168. Действительные бесконечные произведения. Возвратимся к беско-
I ечному произведению с действительными множителям ::
(1 + мэ) (1 + Щ) • • (1 ф-«,-.) • •
н рассмотрим тот случай, когда в последовательности ыс, и2,... есть беско-
нечное множество отрицательных членов. Если все эти член , начиная с нек до-
рого указателя, заключаются между —1 и 0, то задача приводится к изучению
бес-онечного произведения вида:
(l-p0)(l-r))...(l_&n)..., (44)
где ис, vn, ... — положительны и меньше единицы. О евидно, что с воз-
растанием числа п произв дение (1 — &0)...(1— ®„) убывает, оставаясь поло-
жительным; следовательно, при неограниченном возрастании числа п это произ-
ведение стремится к некоторому пределу, но этот предел м жет быть равен или
нулю или какому-нибудь положительному числу. Если ряд Stzz—сходящийся,
то бесконечное произведение (44)—абсолютно сходящееся; следоват льно, про-
изведение (1—tzt) ... (1—vn) имеет предел, отличный от нуля (§ 166).
Чтобы исследовать случай, когда ряд Scy—расходящийси, заметим, что при
вс ком действительном значении х мы имеем:
1 + х < ех,
так как функция е*— х — 1 имеет минимум при х — 0. Поэтому
1 — < е~^ч, 1 — < е-Щ, ... , 1 — vn < e~Vn,
и, следовательно,
(1 — т>о) U ~ ©1) ... (1 —»„) < е-Ы>+щ+ • • • + vn\
Так как сумма Ч- т»1 ... + vn неог аниченно возрастает вместе с п, то
бесконечное произведение равно нулю. Таким образом, если ряд расходя-
щийся, то бесконечное произведение П(1 — vt) равно нулю.
Если последовательность ы0, z,, . ., ип, .. содержит бесконечное множество
как положительных, так и отрицательных чле ов, то бесконечно произведение
может быть сходящимся и i тличным от нуля только в том случае, если общий
член ип стремится к нулю (§ 165). Предположим, что это имеет место; так как
всегда можно пренебречь конечным числом первых множителей, то мы допустим,
что все множители 1 + ип поло . ительны. Тогда произведение Рп будет содер-
жать некоторое число множителей, больших единицы, и некотор е число множи-
телей, меньших единицы; очевидно, что единственно сомните ьны случай — ют,
когда при неограниченном возрастании числа п произведение множителей, боль
ших единиц , неограниченно возрастает, а произведение множителей, меньших
единицы, стремится к нулю. В этом случае, в зависимости от характера произ-
ведения, оно может быть сходящимся или расходящимся; но нетрудно доказать,
рассуждая, как в случае полусходящихся рядов ($ 157), что в подобном произве-
дении всегда можно расположить множители в таком порядке, чтобы произведе-
ние Рп имело пг еделом любое заданное положительное число.
Если ряд — сходящийся, то мы имеем точный признак. ПроизвеОение
Рп стремится к положительному пределу или стремится к нулю в зависи-
мости от того, будет ли ряд схг дящимся или расходящимся
Для доказательства этого предложения заметим, что отношение
1п (1 + х) —х
1
при х, стремящемся к нулю, имеет предел — -у; следовательно, должно быть:
г2 .
1п (1 4-х) = х — '-% (14-®).
причем абс лютная величина количества а остается меньшей -у, если абсолют-
ная величина количества х меньше некоторой границы. Так как при неограни-
ченном возрастании числа п количество ип стремится к нулю, и так как бесконеч-
ное произведение можно начинать с любого множителя, то можно предположить, что
"о
In (1 4 “о)— «о-2" (1
Mi
In (!+«,)= и,----^(1 + 0,).
U„
In (1-4- U„)=un~ _?(1 4- 0„),
где все числа %, 0t,..., заключаются между —и -р тг. Отсюда следует,
** 2
ЧТО
lnP„=«0 + «t+... + ип -1 (1 + 90) - .. • - у (1 + 0„); (45)
если оба ряда 2«л и — сходящиеся, то при ееограиичеином возрастании
числа п правая часть стремится к конечному пределу, так как ил(1 + 0„) заклю-
^2 3
чается между н Следовательно, произведение Р„ стремится к пределу,
отличному от нуля. Напротив, если ряд —расходящийся, то правая часть
формулы (45) иеограиичеиио возрастает по абсолютной величине, оставаясь
отрицательною, и, следовательно, Рп стремится к нулю.
Из того же равенства (45) следует, что бесконечное произведение расхо-
дится или равно иуло, если ряд 2ия — расходящийся, и ряд —сходя-
щийся. Но должно заметить, что бесконечное произведение может быть сходя-
щимся и в том случае, когда оба ряда £и„ и 2ия расходятся. Например, возьмем
и
«0 = = Иа — О
ряд Ъип—.расходящийся, так как сумма больше 4--; по той
2 о п
же причине будет расходящимся и ряд . Тем ие менее, бесконечное произ-
ведение
— сходящееся, так как произведение его 2л множителей равно
(-4) (-4)-
тогда как произведение его 2л -|- 1 множителей р вио предыдущему произведе-
нию, умноженному на множитель 1--._____, предел которого равен единице *.
р4 1
П р.и м е р ы: 1. Ряд
2 ‘ 2 4'4 ' ’ • 2л ,2л ' ’ ’
— сходящийся; ряд, состоящий из квадратов его илеиов,—также сходящийся
Следовательно, соответствующее бесконечное произведение
1 3 3 5 2л — 1 2л +1
2 ‘ 2 ‘ 4 ' 4 " 2л ' 2л
2
— сходящееся; мы уже видели, что оно равно — . Чтобы преобразовать его
* См. Коши, Cours d’Ana’yse или Oeuvres competes, т. II, 2-я серия, при-
мечание IX; П р и и г с г е й м, Mathematiscfu Annalen, т. 22, 33, 42.
в абсолютно сходящееся произведение, достаточно перемножить попарно после-
довательные множители; таким образом получим:
2. Пусть будет ил 4- и, 4- ... 4- и„ -|- ... ряд с действительными членами,
в котором отношение двух последовательных членов есть рациональная функция
количества п, стремящаяся к единице при неограниченном возрастании числа п:
ип+1 _ пр 4- а{пр- > + ...
ип пр 4- Ъ^пР—*- 4- ... '
Исключая из рассмотрения случай, когда какой-нибудь из членов этого ряда
равен нулю или бесконечности, мы можем положить:
v=l
где е (?) есть рациональная функция от v, абсолютная величина которой
меньшей некоторого постоянного числ -. Если л, — > 0, то все члены
остается
ряда
(46)
начиная с некоторого, положительны, и этот ряд — расходящийся; следова-
тельно, общий член и,+1 первого ряда неограниченно возрастает по абсолютной
величине. Если — bt —0, то ряд (46) — абсолютно сходящийся, и ип+1 стре-
мится к конечному пределу, отличному от нуля. Наконец, если at—Ь{ < 0, т
все члены ряда (46), начиная с некоторо"о, отрицательны, и этот ряд — расхо-
дяцийся; следовательно, при неограниченном возрастании числа п, ип+1 стре-
мится к нулю. Эти результаты принадлежат Гауссу (§ 155).
1Ь9. Определитель бесконечного порядка. Пусть будет абсолютно
6 £
сходящийся двойной ряд, в котором каждый нз индексов i, k изме-
няется от — оо до °°- Рассмотрим определитель
1 4— d ................... d ~
I — — ТП — /Mj т
а_т+1, -т ............... ^-т+1, т
а0,-т ••• 1+°0,0 ••• а0.т
йт ..................1 -4-
fftf — т I /и, т
Произведение Нт = П (1 -|-1 altt |), где оба индекса I и k измени-
z, k
ются от —т до -|- т, превосходит так как любой член Dm
имеет-модулем один из членов Пт, а это произведение содержит, сверх
того, н другие сомножители, которые все являются положительными.
Точно так же мы видим, что любой член разности Dm*p—Dm имеет
модулем один нз членов разности —Нт, содержащей, кроме того,
и другие члены, которые все положительны. Мы имеем, следовательно:
I В j-n-- Вт I П_ , „---- II .
I т+р т' т+р т
Но так как ряд 2 i alk | сходится, то произведение Пт имеет предел,
когда т неограниченно возрастает, следовательно, разность Пт+р—Пот,
46
глава Vin. ряды и бесконечные произведения
§ 16?
а значит, и разность Dm+p— Dm, стремится к нулю, когда оба числа
т и пг 4- р неограниченно возрастают. Отсюда мы заключаем, что опре-
делитель Dm также стремится к некоторому пределу (§ 5).
УПРАЖНЕНИЯ-
1. Чтобы бесконечное произведение было сходящимся и не нулем, необхо-
димо и достаточно, чтобы любому положительному числу г можно было поста-
вить в соответствие такое число п, что мы будем иметь:
I (1 + мл + 1) (1 + ип+^ (1 + мп + р) — 11 < £>
каково бы ни было целое положительное число р.
1. Знакоположительный ряд и0 -f- -f- ... + и„ -|- ... сходится или расхо-
дится одновременно с рядом
[Можно написать:
и применить теорему § 168 ]
3. Вычисляя двумя различными способами сумму членов таблицы с двойным
входом, вывести формулы:
+ + _£_ + + Vя +
1 _72 J _ ^4 1 1—^24
1 -f- <7 1 4- 1 + 4* т I — q 1 — <уз 1 _ qs '' "
Я , 2<72 , V __ д ф дЗ
1 - q 1 — q*- 1 - q3 -----(1 - q)i (1 - q*)i (1 — #з)2 “г •• • >
g I 3<73 I V । _<7(1+аД) , <?за + ?6) , ?5П +<?t0) ,
1 - q3 1 — q3 "Г 1 - 9‘° ‘ ‘ ‘ (1 — #2)2 (1 — ^6)2 ф (1 — qio)2 ~г '' ’
/7 |/<Г3 1/<Г5 /- /-
~+ 5(r^V) ~ • • • =arctg-arctg+arctg
при этом предполагается, что (<?')< 1.
4. Пусть будет q положительное число, меньшее единицы. Положим:
+оо +оо 4 оо
— П (1 + ?2л)> 9з — П + q2n~l)i 9з=Г1О—<72л-1);
Л=1 п = 1 Л = 1
доказать формулу:
91 9з' Cg = 1.
ГЛАВА IX.
ЦЕЛЫЕ РЯДЫ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ.
РЯД ТЕЙЛОРА. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ.
170. Ряд Тейлора. Если функция /(х) имеет в промежутке (а, ач-Zi)
неограниченное число производных, то мы можем взять число л, вхо-
дящее в формулу (§ 18), сколь угодно большим. Если при неограни-
ченном возрастании п остаточный член Rn стремится к нулю, то мы
получаем формулу:
h № hn
f[a+h)=f(a) + f (а) 4 4~ • • • +
1 I * Al I * At fl
выражающую, нто ряд
h hn
/(«) + f/(«) + • • + Г2 - («) + ••
--сходящийся и имеет суммою f(a 4~ А). Формула (1) и есть формула
Тейлора в тесном смысле, но она законна только в том случае, если
при неограниченном возрастании п остаточный член R стремится
к нулю, тогда как формула (7) (§ 18) предполагает только существо-
вание производных до (л 4- 1)-го порядка. Заменяя а через х, мы можем
представить формулу (1) в виде:
h hn
f(x+а) =/(х) + т/ (х) +... + Г2~—/(л> (х) 4-;
полагая же а = 0 и заменяя А через х, получим:
/(X) =/(0)4-у /(0)4- .. + ^2^(0) + .. (2)
Последняя формула иногда называется также формулою Маклорена
(Maclaurin); но должно заметить, что все эти различные формулы в сущ-
ности эквивалентны. Тогда как формула (2) дает разложение функции
от х по степеням х, формула (1) дает разложение функции от А по
степеням А: достаточно простой замены обозначений, чтобы перейти от
одной формулы к другой.
Есть один весьма общий случай, когда можно быть уверенным, что
при неограниченном возрастании л остаточный член Rn наверное стре-
мится к нулю; это тот случай, когда при изменении х в промежутке
(a, a-\-h) абсолютная величина производной любого порядка остается
меньшей определенного числа 41. В самом деле, взяв
в форме, данной Лагранжей, имеем:
остаточный член
|Я„1<М
|А|Я+1
1-2...(« + !) ’
и очевидно, что правая часть этого неравенства есть общий член схо-
дящегося ряда. Так будет, например, для функций ех, sinx, со х. Все
производные от ех равны ех и, следовательно, имеют все один и тот
же максимум в данном промежутке: что касается производных от siti х
и cosx, то их абсолютная величина никогда не превосходит единицы.
Поэтому формула (1) приложима к этим функциям при всех значениях
а и А. Остановимся на формуле (2); если f(x) = ex, то
/(0) = 1,/'(О) = 1, ..., /<я> (0)=1,...,
и мы получаем формулу:
X . X2
Т ' Г1>
ех~
1-2 ... п
(3)
применимую при всех положительных или отрицательных значениях х.
Если а есть некоторое положительное число, то ах = ех]аа , и, следо-
вательно,
I I (rlna)2 _i_ + Иа)" + (4)
1 1-2 ' '1-2.
Положим /(x) = sinx; здесь высшие производные образуют перио-
дическую последовательность из четырех членов cosx, —sin <, —cosx,
sin x, и значения этих производных при х = 0 также образуют пери-
одическую последовательность 1, 0, —1, 0. Таким образом мы имеем
для всякого положительного или отрицательного значения х:
у уЗ у2я + 1
slnx:;=±_______±___I____±________(—1)”__________-____________I-
1 1-2 3Г1-2-3-4-5 •••' 1 1-2-3... (2л-|-1)'’'' ’
и точно так же для cos х найдем:
х^ у2
cosx=l —p-g + j 2 3 4—... (— 1)”1 2 3 ... (6)
Возвратимся к общему случаю. Исследование остаточного члена
редко бывает таким простым, как в предыдущих примерах; но это
исследование можно облегчить, заметив, что если остаточный член
стремится к нулю, то ряд
h hn
f(a) + Т/'(а)+ - - - +< 9 /(а) («)
1 1 ' Z . . '4
необходимо сходящийся. Вообще, прежде чем исследовать остаточный
член, удобнее убедиться в сходимости ряда; если для данных значений
а и А этот ряд расходящийся, то продолжать дальше исследование
бесполезно: можно утверждать, что /?„ не стремится к нулю при не-
ограниченном возрастании п.
Обратное утверждение неверно. Ряд
/(0) + 4 f (0) -ь гЧ /" (°) + • • • + Рэ-----/(0) (0) +...
1 1 • 1 4 • • • •I'
может быть сходящимся, не представляя, однако, порождающую его
функцию /(х); в этом легко убедиться, рассматривая следующий при-
мер, предложенный Коши. Пусть
/(х) = е **;
мы имеем:
2 - —
вообще, производная л-го порядка имеет вид:
/(л)
где Р есть некоторый многочлен. Все эти производные равны нулю при
х = 0, так как отношение е х* к любой положительной степени х
1
стремится к нулю вместе с х; в самом деле, полагая х = — , мы мо-
жем написать:
Но
выражение
как известно, неограниченно возрастает вместе с z,
как бы велико ни было т. С другой стороны, пусть будет <р (х) —
функция, для которой имеет место формула (2):
У
ср(X) = ф(0) + т(0) 4- ?(а)(°)+
Положим
— 1
F(x) = <p(x) + е ** ;
мы имеем:
F(0) = <p(0), Р'(0) = <р'(0), .. , (0) = ср("> (0), ... ,
так что разложение F(x) по формуле Маклорена было бы тождественно
предыдущему. Ряд, который мы таким образом получаем, представ-
ляет, следовательно, функцию, совершенно отличную от той, которая
его порождает.
Вообще, если две функции f(x) и <р (х) равны, так же’как и все их
производные, при х=0, не будучи, однако, равными тождественно, то
ясно, что они не могут быть обе одновременно разложены в ряд по
формуле Маклорена, так как коэфициенты разложения были бы одина-
ковы для обеих функций.
4 Э. Гурса. Т. I, ч. 2.
171. Ряды для In (1 -1-х) и для (1 —(— v)"2. Функция 1п(1 -1-х) не-
прерывна и имеет неограниченное число производных, если только х
больше —1. Производные ее имеют следующие выражения:
Исследуем, при каких значениях х можно приложить к этой функ-
ции формулу Маклорена (2). Напишем сначала формулу в ее общем
виде с остаточным 'членом:
у у-2 уЗ
1п(1+х) ** +*...+
1 Z О fl
Остаточный член Rn стремится к нулю только в том случае, если
ряд
X X2 . X3
г~ т+т
хп
п
будет сходящимся: это будет иметь место при значениях х, заключаю-
щихся между —1 и ф-1, включая сюда и верхний предел -|-1. Пред-
полагая, что переменное х заключается между этими пределами, возь-
мем остаточный член в форме, данной Коши:
хл+1(1 — 0)л(— 1)л 1 -2 . .. п
1-2... п (1 + 0х)л + 1
пхл+1(1 — 0)л
' (1 4-0x)«+i ’
или
/?„ = (— 1)лхл+1
1—0\л___1
1 0х/ 1 -f- 0х'
Предположим сначала | х | < 1. Тогда первый множитель хл+1 стре-
мится к нулю; второй множитель
1—0
1 + 0<
как при положительном, так
и при отрицательном х меньше единицы, так как числитель меньше
знаменателя: последний множитель остается конечным, так как он
меньше
. Таким образом при неограниченном возрастании п
остаточный член Rn стремится к нулю. При х = 1 из предыдущего
вида остаточного члена нельзя вывести никаких» заключений, но взяв
остаточный член в форме, данной Лагранжей, при х=1 будем иметь:
р — (__111-------------
л ' ’ «+ 1 (1 -f-9x)e+i’
и очевидно, что, при неограниченном возрастании п, Rn стремится
к нулю. Исследование остаточного члена при х — — 1 бесполезно, так
как в этом случае ряд, очевидно, расходящийся. Таким образом при х,
заключающемся между -|-1 и —1, мы имеем:
у* 1*2 уЗ уД
1п(1 + х) = ±- у + y- • • • +('- l)a-1v + • •*
1 Л О fl
Формула остается применимою и при х=1; это дает нам интересное
соотношение:
Так как формула (7) применима только при x^Cl, то она не позво-
ляет вычислять логарифмы целых чисел. Заменим в этой формуле х че-
новая формула
рез — х\
Xя
п
пригодна для значений х, заключающихся между —1 и -J-1; вычитая
почленно последнюю формулу из формулы (7), находим:
^2л+1
2л 1
При изменении х от 0 до 1
рациональная
дробь
1+*
1 — X
все
время
возрастает от Ц-1 до -J-00! таким образом можно вычислить лога-
рифмы всех целых чисел. Но можно получить более быстро сходя-
щийся ряд, вычисляя разность логарифмов двух последовательных целых
чисел; для этого положим
L-1— х N -|- 1
1 ~N~
1
ИЛИ Х ~ 2/V-f-1 :
тогда предыдущая формула принимает вид:
1П (W+l) ln7V 2 [2N-f-1 ^”3 (2N+I)3 + 5(2N-]-I)5 ’
и мы имеем во второй части очень быстро сходящийся ряд, если только
число N достаточно велико.
Примечание. Приложим к функции In (1 + х) общую формулу Тейлора,
положив в ней а=0, h = x, л=1;взяв остаточный член в форме, данной Лагран-
жем, получим:
у2
In (1 + х) = х - 2 (1 + вх)2 .
Заменяя в последней формуле х через —, найдем:
In f 1 + 1 1
\ п) п 2«2
где 0Л есть положительное число, меньшее единицы. Отсюда можно вывести не
сколько интересных следствий.
1. Так как гармонический ряд — расходящийся, То сумма
.,1.1, 1
2Я—!+ 2 + 3 , ••• + „
возрастает-вместе с л, но разность 2л— In л стремится к конечному пределу
В самом деле, представим эту разность в виде:
LI 1 » Р “F 1 £ о
Но у — In есть общий член сходящегося ряда, так как, по предыду
щей формуле, мы имеем соотношение:
Р \ р / 2р2
которое показывает, что этот член меньше общего члена сходящегося ряда У. ~ .
При неограниченном возрастании л количество
стремится к нулю. Таким образом рассматриваемая разность стремится к конечном,
пределу, носящему название эйлероча постоянного. Значение его, с точность!
До двадцатого десятичного знака, равно С— 0,57721566490153^86060.
2. Рассмотрим выражение
2 -- —----1 —----1- . • 4-—
z л + 1 «42 л 4-р’
где лир — два целых неопределенно возрастающих числа. Мы можем предста
вить это выражение в виде:
2=(1+4++^Ь)-0+!+•••+1);
но
Ч-у +•... + - = 1п(л р) + рл+р,
* '* т р
1 + ~2 + • • • + — = 1ч п 4- р„,
причем рл+р и рл при неопределенном возрастании лир стремятся к одному
тому же пределу С. Следовательно, мы имеем:
2 — In (1 + £) + Рл+р—Рл-
Но разность гл+р — рл стремится к нулю; это показывает, что сумма 2 име(
предел только в том случае, если отношение -Е- само- имеет предел. Если это
отношение имеет пределом а, то сумма 2 имеет пределом In (1 + а).
Например, положив р-=п, найдем, что сумма
1,1, 4-1
п4-1'"л4-2'','''2и
имеет пределом In 2.
Функция (l-)-*)"* имеет при всяком т вполне определенный смысл,
если только 1 -|- х положительно; она имеет бесконечную последова-
тельность производных, которые все будут непрерывными функциями от х
при положительном 1 -|-х, так как все выражения их будут одинако-
вого вида:
/' (х) = от(1 -(-х)'"-1,
/" (х) = т (т — 1) (1 + л)'”"2,
/<«) (х) — т{т — 1) ... (т — л + 1)(1 -J- х)т~а,
(х) = т(т — 1) ... (т — л) (1 х)т~а~\
Применяя к этой функции общую формулу Тейлора, находим:
(1 х}”= 1 + у хН---2 ’х*+...
, т(т-\) ... (т — л-|-1)
• • • 4 1Т2 . ,7л х +
Для того чтобы при неограниченном возрастании л остаточный
член Rn стремился к нулю, прежде всего необходимо, чтобы ряд, общий
член которого имеет выражение
т(т—\) ... (от —л+ 1)
1-2 ... л ' ’
был сходящимся.
Но в последнем ряде отношение каждого члена к предыдущему
т — л -j- 1
равно----------х, и при неограниченном возрастании л это отно-
шение стремится к —х. Таким образом ряд может быть сходящимся
только при |х|^1. Разумеется, здесь исключается тот случай, когда т
есть целое положительное число; мы имеем тогда элементарную фор-
мулу бинома. Ограничимся тем случаем, когда ]х|<^1. Чтобы пока-
зать, что остаточный член стремится к н\лю, представим его в виде,
данном Коши:
„ __т(т — 1)...(/л — л)
<п~' Ь27777
Первый
множитель
т(т— 1) ... (лг —л)
1-2...л
стремится к нулю как
общий член сходящегося ряда; множитель
1—6
1 Ч-6а
меньше единицы; на-
конец, последний множитель (1-|-Ох)'"-1 меньше некоторого опреде-
ленного предела. В самом деле, если т — 1 >0, то мы имеем:
(1вх)'"-1 <
если же т—1 1, то (1 -|- Ох)'"-1 <(1 — ]х|)'п_]. Таким образом
при всяком значении х, заключающемся между —1 и + 1, мы имеем
разложение:
,, . , т , т(т—1) „
(l-|_x)m=14-yx+ — х2 } ...
, т(т— 1) ... (т — п-\- 1) „ , (8)
1-2... п
Случай х — + 1 мы рассмотрим ниже.
II. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ С ОДНИМ ПЕРЕМЕННЫМ.
Теперь мы перейдем к прямому исследованию целых рядов от одного
или нескольких переменных, к которым совершенно естественно приво-
дит нас формула Тейлора.
Хотя мы здесь рассматриваем только действительные переменные,
тем не менее рассуждения, которыми мы будем пользоваться при изу-
чении целых рядов, непосредственно распространяются и на случай
мнимых переменных, если только мы будем всюду заменять слова абсо~
лютная величина словом модуль
172. Область сходимости. Рассмотрим ряд:
VV+M3+---+V’+-.- (9)
Предположим сначала, что все коэфициенты Ло, <4Г И2, ... поло-
жительны, и что независимое переменное X может принимать только
положительные значения.
Мы можем разбить все положительные числа на два класса; мы ска-
жем, что положительное число X принадлежит к классу (а), если
ряд (9) сходится, и что оно принадлежит к классу (^), если этот ряд
расходится. Предположим сначала, что существуют положительные числа
обоих классов. Так как каждый член ряда (9) с коэфициентом отличным
от нуля возрастает вместе с X, очевидно, что любое число класса (а)
меньше любого числа класса (^). Следовательно, существует число
(§2) такое, что для всякого числа X, большего /?, ряд (9) расходится,
а для всякого X, меньшего R, ряд сходится. Если на место X подста-
вить самое число /?, то ряд может оказаться как сходящимся, так и
расходящимся.
Может случиться, что один из классов (а) или (^) отсутствует.
1. Если не существует ни одного члена в классе (^), то ряд (9)
сходится при всяком значении переменного X; таков, например, ряд
1 + 1 ' 1.2 + ‘ ” 1 1-2 ... •
2. Если не существует никакого положительного числа в классе (а),
то ряд (9) расходится, кроме значения Х=0, и мы полагаем /? = 0,
Таков, например, ряд
1 + Х+ 1 -2 X2 -f- ... 4-1-2-3 ... пХп
Рассмотрим теперь целый ряд
ао4“ aix 4" а2х2 4" • • • 4~ апхП 4- • • • . (Ю)
в котором коэфициенты at и переменное х могут иметь любые знаки.
В последующем мы будем полагать | а11 = At, | х | = X так, что ряд (9)
будет состоять из абсолютных величин членов ряда (10). Пусть будет R
число, определенное выше для ряда (9). Из самого определения числа R
очевидно, что ряд (10) будет абсолютно сходящимся при всяком значе-
нии переменного х, содержащемся между - R и -|-/?. Остается пока-
зать, что ряд (10) будет расходящимся, если абсолютная величина пе-
ременного х будет больше R. Это вытекает из следующего основного
предложения Абеля *:
Если при некотором частном значении х0 ряд (10) будет сходя*-
щимся, то он будет абволютнэ сходящимся при всяком значении
переменного х, меньшем | х01 по абсолютной величине.
В самом деле, предположим, что ряд (10) будет сходящимся при
х = х0, и пусть будет М положительное число, большее абсолютной
величины любого из членов этого ряда при значении переменного х=х0;
тогда при всяком значении числа п мы будем иметь:
Но очевидно, что
/ X \п I X \а
ЛЛл = Л„|х0.в пи <М- ГТ-, •
\1 *0 I/ \|л0 1/
Следовательно, ряд (9) будет сходящимся, если X <С | х01; таким обра-
зом предложение доказано. Из теоремы Абеля следует, что если при
х—х0 ряд (10) будет сходящимся, то ряд (9), состоящий из абсолют-
ных величин членов ряда (10), будет также сходящимся всякий раз,
как X будет меньше |х01. Поэтому не может быть [ х01 > R, так как
в этом случае число R не было бы верхним пределом значений X, де-
лающих ряд (9) сходящимся.
Таким образом, если дан целый ряд (10), коэфициенты которого
имеют произвольные знаки, то существует определенное положительное
число R, обладающее следующим свойством; ряд (10) будет абсолютно
сходящимся при всяком значении переменного х, заключающемся
между —R и -+R, и расходящимся при всяком значении перемен-
ного х, большем R по абсолютной величине. Промежуток (—R,
называется областью сходимости ряда. В предельном случае, когда
R — oo, область сходимости простирается от —оо до 4-00’ если же
R — 0, то она обращается только в одно начало координат. Этого
последнего случая мы в дальнейшем рассматривать не будем.
Приведенное доказательство не дает никаких указаний относительно
характера ряда при предельных значениях x = R, х — — R; при этих
* .Recherches sur la serie 1 4- ~ x-f- W x* "
4 4*4
значениях ряд (10) может быть абсолютно сходящимся, просто сходя-
щимся или расходящимся.
Рассмотрим, например, три ряда:
1 4- х + х2 4- .. . 4- х" 4- ..
1 + р + + • • • + ^2 + • •'
Так как в каждом из этих трех рядов предел отношения любого члена
к предыдущему равен х, то для них /? — 1. Первый ряд будет расходящимся
при х —-1- 1, второй ряд будет расходящимся при х—1 и сходящимся
при х = —1; третий ряд будет абсолютно сходящимся при х = 4- 1.
Примечание. Теореме Абеля можно дать более общее выражение. В са-
мом деле, для ее доказательства нет необходимости предполагать, что ряд (10)
будет сходящимся при значении х0; достаточно только предположить, что абсо-
лютная величина любого члена ряда
«о + 4го + • • • + апхо + • • •
остается меньшей некоторого определенного числа. Если это условие удовлетво-
ряется, то при всяком значении переменного х, абсолютная величина которого
меньше | х0 |, ряд (10) будет абсолютно сходящимся.
Число R связано весьма простым соотношением с числом со (§ 152), пред-
ставляющим наиоольший из пределов членов последовательности
Л> j/A. ............ VAn,---
В самом деле, рассмотрим аналогичную последовательность
у ... , ]/АпХп
очевидно, что наибольший из пределов членов этой второй последовательности
будет и>Х. Следовательно, ряд (9) будет сходящимся, если X < , и расходя-
щимся, если Х> — . Таким образом /?=—*.
ш со
173. Целый ряд как непрерывная функция переменного. Обозначим че-
рез /(х) сумму целого ряда, сходящегося в промежутке от — R до
/(х) = а04-о1х4-... 4-аях“+; (W
пусть будет /?' некоторое положительное число, меньшее R. Докажем
сначала, что ряд (11) будет равномерно сходящимся в промежутке
(—/?’, 4-Я'). В самом деле, при значении переменного х, меньшем /?'
по абсолютной величине, остаток
+• • • + «л+гя+р + • • •
по абсолютной величине меньше соответствующего остатка сходящегося
РВДа: Лп + 1/?'« + 1 + Л + 2^Я+2+ • •
* Это теорема была доказана Коши в его „Cours d’Analyse". Адамар (На-
damarb получил ее вновь в своей диссертации.
Отсюда следует, что при всяком значении переменного х, заклю-
чающемся между — R и -|- R, сумма f(x) ряда есть непр ры ная
функция от х В самом деле, очевидно, что если дано какое-нибудь
число х0, мейьшее R по абсолютной величине, то можно найти другое
положительное число R', которое было бы меньше числа R и больше । х0|.
По предыдущему, данный ряд будет равномерно сходящимся в проме-
жутке от — R' до -f- R'; следовательно, его сумма f(x) будет непре-
рывною функциею переменного при значении х0, принадлежащем этому
промежутку (§ 30).
Это доказательство неприменимо к пределам области сходимости -J- R
и — R- Тем не менее, непрерывность ряда сохраняется и при этих пре-
дельных значениях всякий раз, когда ряд остается при этих значениях
сходящимся. Именно, Абель доказал, что если при x—R ряд (11)
остается сходящимся, то сумма ряда (И) при x — R равна пределу,
к которому стремится сумма /(х) этого ряда, когда х стремится
к R, оставаясь мень иим R.
Достаточно доказать, что ряд (И) равномерно сходится во всем
промежутке (0, R), включая конец x — R. В самом деле, задав про-
извольное положительное число е, выберем настолько большое п, чтобы
для всякого р было:
I «я+1 Ял+1 + «я+2 Ял+2 + • • • + *Й+Р Ял+Р I < г;
это возможно, так как, по предположению, ряд (10) сходится при х = /?.
Пусть будет х положительное число, меньшее /?; можно написать:
a^n=anRn )
и применить лемму Абеля (§ 74), заметив, что последовательные степени
выражения — образуют убывающую последовательность. Следовательно,
R
мы имеем также для любого р\
(X \я + 1
р) <г
к /
Сопоставляя это неравенство с предыдущим, мы убеждаемся, что ряд (10)
равномерно сходится во всем промежутке (0, R). Следовательно, сумма
этого ряда непрерывна в правом конце этого промежутка, так как дан-
ные ранее доказательства (§ 29, 30) применимы также к концам про-
межутка сходимости, если ряд равномерно сходится во всем проме-
жутке, включая концы его.
Таким же образом можно доказать, что если ряд (11) будет сходя-
щимся при х = — R, то сумма этого ряда при х=—R есть предел,
к которому стремится сумма f(x), когда х стремится к — R. Чтобы при-
вести этот случай к предыдущему, нужно только заменить х через — х.
Приложение.’Это предложение позволяет дополнить доказанную выше
§ 160) теорему об умножении рядов.
Пусть будут
S — ио + Hi + м2 4“ - • + ип + • • • >
S'= »о + f | + vn + • • .
два ряда, сходящиеся, но не абсолютно, а только условно. Ряд, составленный
по правилу умножения рядов,
uovo + («о»1 + н1го) + • • • + (норл + • • • + “«»») + • • •
может быть сходящимся или расходящимся; но если он сходящийся, то его
сулма X равна произведению сумм двух первых рядов, S = SS'. В самом деле,
рассмотрим три целых ряда:
/(х) = Ио + И1^ 4- ... +и„х«+ ... ,
’Р(‘)=»о+ 4- ••• +»л*пН-----
<|» (х) = + (ио^ + И£»о) х 4- ... 4- (иос„ + ... 4 и„»0) х*+ ...
По предположению, при х=1 эти ряды будут сходящимися; следовательно,
при х, заключающемся между —1 и +1, эти ряды будут абсолютно сходящи-
мися, и к ним будет применима теорема Коши об умножении рядов; таким об-
разом получаем соотношение.
/(х)Т(х) = ф(х). (12)
По теореме Абеля, если х стремится к единице, то / (х), <р (х), <|<(х) стремятся
соответственно к S, S', 2, и так как обе чэсти формулы (1 ) остаются все время
равными между собою, то в пределе имеем X = SS'.
Эта теор.ма остается верною и для рядов с мнимыми членами и может быть
доказана таким же образом.
174. Производные от целого ряда. Диференцируя почленно целый ряд
/(х) = а,, AjX 4“ V2 + • • • + апхП + • • • >
сходящийся в промежутке (—R, -(“Я), мЫ получим новый целый ряд
2й2х 4- ... 4- папхп~у -|- ... , (13)
сходящийся в том же промежутке. Чтобы доказать это, достаточно по-
казать, что ряд, составленный из абсолютных величин членов ряда (13),
А 4 2л2аг (- ... 4-лЛ„^-’4-... (14)
будет сходящимся, если X R, и расходящимся, если Х^> R.
Чтобы доказать первую часть предложения, предположим, что X<^R,
и пусть будет R' число, заключающееся между X и R, X<^R' <^R. Рас-
смотрим вспомогательный ряд:
который будет сходящимся, так как отношение каждого члена к пре-
X'
дыдущему имеет пределом число —, меньшее единицы. Умножая члены
R
этого ряда соответственно на множители
A2R', Л2/?'2, ... , AnR'n, ... ,
которые все меньше некоторого определенного числа, так как R' < R,
мы получим новый ряд:
А + 2^4- ...+лл„л»-’4- ...,
который, очевидно, будет также сходящимся.
Вторая часть предложения доказывается таким же образом. Если бы ряд
Л1+2Л2Х1 + ...+МЛГ1 + ----
где Хг > R, был сходящимся, то был бы также сходящимся и ряд
Д1Х14-2Д2^ + ...+лД„Х?+--->
+оо
а следовательно, был бы сходящимся и ряд У*. А„Х", все члены кото-
I
рого меньше членов предыдущего ряда; но тогда число R не было бы
верхним пределом значений X, делающих ряд (9) сходящимся.
Сумма /j(-r) целого ряда (13) есть непрерывная функция перемен-
ного х в промежутке (—R, +/?). Так как ряд /Д*) есть равномерно
сходящийся во всем промежутке (— R', R1), где r R' <_ R, то в этом
промежутке ряд f2(x) представляет производную от /(*) (§ 30).
Но число R' может быть взято сколь угодно близким к числу R; от-
сюда следует, что при всяком значении х, содержащемся между — R
и —[—/?, функция /(л) имеет производную, и эта производная пред-
ставляется рядом /' (х), члены которого суть производные от членов
данного ряда /(х):
/'(*) = +2а2*+ • • • + папхп~'1. (15)
Применяя те же рассуждения к целому ряду (15’, мы видим, что
ряд f(x) имеет вторую производную
/"(х) = 2а2 4 6 /3х 4- .. . 4- п(п— 1)апхп~2-р . . ,
и т. д. Таким образом в промежутке (— R, 4-7?) функция /(х) имеет
бесконечное множество производных, и все эти производные предста-
вляются рядами, получающимися от почленного диференцирования
ряда (11):
/<л>(х) = 1-2. ,nan-\-2-3.. ,n(n-\-Uan+1x-}-- ... (16)
Полагая в этих формулах х =- 0, получим.
ао=/(О), fl1=/(0),
и, вообще,
_ /(«) (0)
л 1-2...п
так что разложение f(x) тождественно с разложением по формуле
Маклорена:
у* 1*2 уЛ
/(х) =/(0) + -Г (0) 4- --2f" (0)4-... + (0) + • • •
Так как коэфициенты а0, , ... , ап, .. . отличаются от значений
функции /(х) и ее производных при х = 0 лишь числовыми множи-
телями, то ясно, что функция не может иметь двух различных разло-
жений в целый ряд.
Точно так же, интегрируя почленно целый ряд, мы получим новый
целый ряд с произвольным постоянным членом. Этот ряд имеет ту же
область сходимости, как и данный ряд, и имеет этот последний ряд
своею производною. Интегрируя второй ряд, мы получим третий ряд,
два первых коэфициента которого произвольны, и т. д.
Примеры. 1. Геометрическая прогрессия с знаменателем —х'.
1—х-|-х2 -X8-L-...-H - 1)лхя4- ...
сходится при всяком значении х, заключающемся между —1 и
1, и ее сумма
1
равна :—
14-х
делами 0 их, где | х | < 1, мы
жение In (1 -f х):
Интегрируя ее почленно между пре-
получаем уже известное (§ 171) разло-
у* у*2 у8
ln(14-x) = ^-^- + J-... +(-
I/O
у-П + 1
Эта формула верна и при х—1, так как при этом значении х ряд,
стоящий в правой части, остается сходящимся.
2. При всяком значении х, заключающемся между —1 и 4*1,
имеем:
1
14-х»
== 1 — х2 4- х4 — х6 4- • •. + (— I)"*2” + • • •
Интегрируя почленно это равенство между пределами 0 и х, где | х | <4,
получим:
у* у*8 у*5
arctg-x = y-^ + ^-...4-(-l)"
1 о о
+1
2л 4- 1
+ •••
Так как при х=1 ряд, стоящий в правой части, остается сходя-
щимся, то отсюда имеем:
— = 1----4-------+• • 4-(—1)"—------к
4 3^5 ' 2л4-1^
3. Пусть будет F(x) сумма сходящегося ряда •
с. , . , т т(т — 1) „
F(x)= 1 4- у х 4--ру-----х + • ’'
, т(т—\).. .(от —р4- 1)
* 1-2. ..р
где от — какое угодно число, и | х | < 1. Диференцируя, получаем:
, Г, , от— 1 , . (от — 1)...(от— Р4-1) 1
Г(х) = от| 14-—j—Х4-... 4-'--2—А__
Умножим обе части этого равенства на и соберем члены,
содержащие одинаковые степени переменного х. Пользуясь тождеством
(т—1)... (т — р -f-1) , (т — 1).. .(/и — р) _
Г2777(/Г—1) ' Ь2Г.Тр ~
__т (т — 1) ... (лг — р 4~ 1)
1-2. ,.~р ’
которое легко проверить, мы получим формулу:
.. . чс.,,ч Г1 । т , т(т — 1)
(1 = + ---1 2-7 х2 4- ...
т(т — \) ... (/и—р4-1) 1
"' 1-2. ..р "Г---]’
или
(1 -\-x)F’ (х) = mF{x).
Отсюда последовательно находим:
Г'(л) _ т
F (к) 1 —|- jc ’
In [f(x)] = mln(l -|-л) 4-In С,
т. е.
F(x) = C(l 4-x)m.
Для определения постоянного С достаточно заметить, что F(0) = l;
отсюда имеем С = 1, и мы приходим к разложению (1 -j- л)"1, уже най-
денному в § 171:
,, , , т , . т (т — !)...(т — р-I-1) .
(14-хг=14-тх+...4--^----------------
4. Заменяя в предыдущей формуле х через — х2, т через —
2’
получим:
7==>+-p + f?P+- +
1-3-5.. .(2л—1)
2-4-6...2л
л2п 4-...
Эта формула верна при всяком значении х, заключающемся между
— 1 и -|-1. Интегрируя обе части между пределами 0 и х, где | х| <4,
мы получим разложение arc sin х:
х . 1 л3 1-Зх5
Т+"2 “З+2-4-5
1-3-5.. ,(2д — 1)х2я+1
2-4-6..,2л(2л 4~ 1)
175. Второе доказательство. Свойства функций, представляемых це-
лыми рядами, могут быть выведены более элементарным способом. Пусть
будут х0 — число, заключенное между —/? и 4"^> и хз— близкое
число, содержащееся в том же промежутке. Чтобы показать, что раз-
ность /(Xj)—/(х0) стремится к нулю, когда, при х0 постоянном, х3
62 ГЛАВА IX. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ § 175
стремится к х0, вычтем почленно ряды, представляющие f(x0) и /(ха);
мы находим:
/А? ~/ Ао) = (xj — х0) 4- а2 (х| — х*) -ф . . ф- а„(х{-х") -ф ...
Общий член этого нового ряда можно написать так:
ап(х1~ ХоНх"-1 4-xJ-2х0 4- ... ф-xj-1).
Чтобы найти верхнюю границу абсолютной величины этого члена,
обозначим через I какое-либо положительное число, меньшее R и боль-
шее |х0|; так как в дальнейшем хг будет стремиться к х0, то мы пред-
положим также, что /XxJ. Абсолютная величина любого из произве-
дений х"-1, х”—2х0,-.- будет тогда меньше Z4-1, следовательно,
абсолютная величина рассматриваемого общего члена будет меньше,
чем пАп1п~1\х1 — х0|. Мы имеем, следовательно:
l/lxi) ~fW 1 < I - *о I А + 2AZ + • • • + нАп1п ' 1 + • • •);
но ряд, стоящий в скобках, сходится, так как Z <2/? (§ 174). Следо-
вательно, разность /(х2) — f(x0) в самом деле стремится к нулю одно-
временно с х1 — х0 , и функция /(х) непрерывна во всякой точке, за-
ключенной между — R и -ь /?.
Чтобы показать, что /2 (х) есть производная функции /(х), доста-
точно убедиться в том, что разность
р, ./Ai)—/Ао)
Xj х0
/(Xj)—/Ао)
стремится к нулю, когда х2 стремится к х0. Отношение -—4--——
Xj .х0
равно, как мы только что видели, сумме сходящегося ряда
«1 + «2 А +*о) + • • • + а„АГ-1 + А'2*о + - • • + *о-1) + - • •
Вычитая почленно из этого ряда ряд, представляющий /, (х0), мы
находим для D выражение в виде ряда, общий член которого можно
написать так:
аЛ(х1~1~ *?-1) +А?ф2*О“хо-1) + • • • +(х1х?~2 —
каждая из разностей х"-1 — xg-1, 2хо— хо~••• представляет
собою произведение разности ‘ хг— х0 на произведение вида хрох? ,
где р и q — два целые числа, из коих ни одно не отрицательно, и
сумма которых равна п — 2. Общее число этих произведений равно,
как нетрудно видеть, (я - 1) -ф (я— 2) ф-... ф 2 ф 1 , и
А
абсолютная величина каждого из них меньше, чем где число I
имеет то же значение, что и выше. Мы имеем, следовательно:
|О|<^-=2^[2А2ф6А3/ф ... +«(я -1)А„/-2 +•••],
и ряд, стоящий в скобках, сходится, когда I есть положительное число,
меньшее /?, так как это есть ряд модулей членов целого ряда /2(х),
ЛА)
который мы получаем из f2(x) почленным диференцированием. Следо-
вательно, D имеет пределом нуль, когда хг стремится к х0.
176. Распространение формулы Тейлора. Пусть будет f(x) сумма
целого ряда, сходящегося в промежутке (—/?, +^)> хо— точка, за-
ключающаяся в этом промежутке, и (х0 4- h) — другая точка в том же
самом промежутке, при условии: | х01-|-|/г |</?. Ряд
во + в1(*о4-А) + а2(*о + А)2+ + + + >
имеющий сумму f(x0-}-h), может быть заменен двойным рядом, который
получится из предыдущего, если мы разложим различные степени от
(х0-4~/г) и будем располагать в одной и той же строке одинаковые
степени /г:
ао + а1хо + агхо + ••• + апхо+ •••
4- a2h 4-2а2х0Л4- ... 4 nanx"-lh
• •• + ^2+...+^-k^”2A2+ •••
(17)
Этот двойной ряд будет абсолютно сходящимся. В самом деле, заменяя
каждый член этого ряда его абсолютным значением, мы получим новый
двойной ряд с положительными членами:
Ао + Ai I хоИ“ Аг I хо I2 + • • • Ал I хо I" + •••
... +4 |Л| 42Д2|х0| I h\ 4- ... 4-„Л„|лг0|«-1|А|+ ...
— 1) (18)
... +4|Л|2+ ... + )Аа1х01'>-*1^+ ...
..................................................)
Составляя сумму элементов этой таблицы по вертикальным столбцам, мы
получим ряд:
4) + ЛИ1Хо1 + И1+... +М*о1 + 1А|]Л+...,
который будет сходящимся, так как, по предположению, | х | 4- I h К R.
Так как двойной ряд (17) — абсолютно сходящийся, то мы можем
суммировать элементы таблицы (17) или по строкам или по столбцам.
Суммируя по столбцам, мы получим /(х0 4- h). Вычисляя ту же сумму
по строкам, мы получим ряд, расположенный по степеням h, в котором
коэфициентами при h, h2,... будут соответственно /'(х0),
/Ч)
12
Таким образом, предполагая |/г | </?—|х01, имеем:
h hn
f(x. 4- Л)=/(хо) + т/'(Хо) + . • • + т:-2...д/(',)(хо) + - • • (19)
Формула (19), наверное, применима в промежутке от х0 — R 4- I хо ।
юхо + /? — | х01, но ряд, стоящий в правой части, иногда может быть
сходящимся и в более широких пределах. Рассмотрим, например,
функцию (1 где т не есть целое положительное число. Разло-
кение этой функции по степеням х возможно в промежутке от х = — 1
до х=4-1. Пусть будет х0 значение переменного х, заключающееся
в этом промежутке. Мы можем написать:
(1 4-хГ = (1 + хо + X - хог^ (I + х0Г[1 +
где
Если | z | < 1, т. е. если значения переменного х заключаются в проме-
жутке от — 1 до 1 2х0, то функция [1 ,г]т может быть разложена
по степеням z *. Таким образом, если х0 положительно, то новый проме-
жуток будет шире прежнего (— 1, —1), и следовательно, новая фор-
мула даст возможность вычислять значение функции для значений пере-
менного, лежащих вне первоначального промежутка. Развивая это
замечание, мы придем к чрезвычайно важному понятию об аналити-
ческом продолжении, рассмотрение которого мы отлагаем до следую-
щего тома.
Примечание. Очевидно, что теоремы, доказанные здесь для рядов, рас-
положенных по степеням переменного х, легко могут быть распространены на
ряды, расположенные по положительным степеням х — а, и, вообще, на ряды,
расположенные по положительным степеням любой непрерывной функции <р (л).
Для этого нужно только рассматривать эти ряды как сложные функции от х
с посредствующею функциею <р (л). Так, например, ряд, расположенный по поло-
жительным степеням —, будет сходящимся при всех значениях переменного х,
превосходящих по абсолютному значению некоторый предел, и будет пред-
ставлять при этих значениях переменного непрерывную функцию от х.
Рассмотрим, например, функцию |/х2 — а, которую мы можем представить
в виде j . При значениях переменного х, по абсолютной величине
1
2
больших, чем ]/а, выражение (1 — может быть равложено по степе-
ням при этом мы получим формулу:
/----- la 1 а2 1-3.. ,(2/? — 3) аР
/ха а —х 2 х 2 4 х3 ... 2-4-6...2/?
которая дает разложение функции ]/х%—а, когда х>|/а. Если х < — [/а, то
предыдущий ряд будет также сходящимся, и его сумма равна — ]/х* — а. Эта
формула может служить для разложения корня квадратного из целого числа,
если известен ближайший больший точный квадрат.
177. Усиливающие функции. Выведенные выше свойства целых рядов
устанавливают большую аналогию между этими рядами и многочленами.
Пусть, например, дано несколько целых рядов (х), /2 (х), ... ; пусть
будет (—г, -j-r) наименьшая из их областей сходимости. Тогда при
* Полагая х = х0-|-Л, получим г =-—— . Следовательно, разложение по
1 "Т хо
степеням z есть в то же время разложение по степеням Л, т. е. формула (19).
(Ред.)
| х | < г все эти рады будут абсолютно сходящимися, и мы можем и?
складывать или перемножать совершенно так же, как мы это делаем
с многочленами; вообще, всякий целый многочлен по _/j (х), /2 (г), ... , /п(х)
может быть разложен в целый ряд, сходящийся в том же промежутке
( — г, +г).
Чтобы расширить эту аналогию, мы предварительно дадим опреде-
ление некоторых выражений, которыми будем пользоваться в последую-
щем. Пусть будет /(х) целый ряд:
/(*) = ао + 01^ + а2хг4----4-апхП + ••• ’
пусть будет <р(х) другой целый рад с положительными коэфициентами:
+ 4-а2х2 + .. .Н-аяхя
сходящийся в известном промежутке. Если каждый из коэфициентов ап
в ряде t, (х) равен или больше абсолютной величины соответствующего
коэфициента в ряде /(«):
ao>l«ol- « • • • - ••• ,
то функция <р(х) называется по отношению к /(х) усиливающею
функциею, или мажорантою (fonction majorante). Чтобы выразить это
отношение между функциями /(х) и <р (х), Пуанкаре (Ротсагё) предло-
жил следующее обозначение:
/(х)<<р(х).
Усиливающие функции оказываются полезными при рассмотрении
целых рядов благодаря следующему их свойству, непосредственно выте-
кающему из их определения. Пусть будет Рп(а0, ау, ... , ал) много-
член с коэфициентами, действительными и положительными, зависящий
от я 4-1 перзых коэфициентов ряда /(х). Если в этом многочлене мы
заменим а0, а2,..., ап соответствующими коэфициентами ряда <р (х), то,
очевидно, будем иметь’
I Р (а0 1 а1 1 • • • > аа ) I Р(а0 > ®1 ’ • • >
Например, если у (х) есть мажоранта для /(х), то [<р (х)]2 будет
мажорантой для [/(х)]2, ... , и, вообще, [<р(х)]я будет мажорантой
для [/(х)]п. Точно так же, если <р и будут мажорантами соответ-
ственно для / и /j, то произведение будет усиливающею функциею
для произведения ffv и т. д.
Если дан целый ряд/(х>, сходящийся в промежутке ( — R, 4/?),
то нахождение для этого ряда мажоранты есть задача очень неопреде-
ленная. Но для упрощения последующих рассуждений нам выгодно вы-
бирать мажоранту как можно более простого вида. Пусть будет г по-
ложительное число, меныцее R, но сколь угодно близкое к нему. Так
как при х = г ряд /(х) будет абсолютно сходящимся, то абсолютные
величины его членов имеют верхнюю границу, которую мы обозначим
через М. Следовательно, для всякого значения числа п мы имеем’
5 Э. Гурса. Т. I, ч. 2.
Отсюда следует, что ряд
%* * х& М
Г Г А-
г
хп
общий член которого есть М — , будет усиливающею функциею для
f(x). Этот вид усиливающей функции самый употребительный; он пред-
ставляет убывающую геометрическую прогрессию. Если ряд f>x) не
имеет постоянного члена, то вместо предыдущей усиливающей функции
мы можем взять функцию
За число г можно взять любое число, меньшее /?, и ясно, что
соответствующее число М, вообще, уменьшается вместе с г, но никогда
не может сделаться меньше /0. Если До не равно нулю, то всегда
Л
можно найти такое положительное число р чтобы функция —
1 —-
Р
была мажорантой для f(x), т. е. можно положить М — До. В самом
деле, пусть будет
у*2 уП
Л1+Л1£ + Л1__+...+Л1£_+...
первоначальная усиливающая функция, причем М^>А0. Возьмем число р,
До . ,
меньшее г; тогда при п^1 мы имеем:
М
отсюда находим | ап р"| <Л0. Но |а0| = Л0; следовательно, ряд
будет мажорантой для /(х). Таким образом, вообще, за число Л1
можно взять любое число, большее или равное До. Этим свойством
мы вскоре воспользуемся.
Точно так же можно доказать, что если ао — О, то за усиливающую
функцию можно взять
___________________________
i-x i_£?
Р Р
где ц — произвольное положительное число*.
Л ГТ Н
* Для этого нужно только ВЗЯТЬ р<Г-^.
(Ред.)
Примечание. Если для данного целого ряда мы 'знаем усиливающую
функцию в виде убывающей геометрической прогрессии, то мы можем также
судить о степени погрешности, получающейся при замене суммы / (х) данного
ряда суммою его п -f- 1 первых членов (см. § 151, примечание II).
178. Подстановка ряда в ряд. Пусть будет
г=/{у)-=а0 + агУ-\- +апУя+ ••• (20)
ряд, расположенный по степеням переменного у и сходящийся в проме-
жутке (— /?, —]—/?). С другой стороны, пусть будет
> = <Р(х) = 604-^x4- ... -\-Ьпхп+ ... (21)
другой ряд, сходящийся в промежутке (—г, 4'г|- Если мы заменим
в ряде (20) у, у2, у3, ... их разложениями в ряды по степеням х, по-
лучающимися из формулы (21;, то получим двойной ряд:
ао “Г ai ьо а2 Ьо • • • 'Ь 1,п )
4-flj^x 4-2а260^х 4- • • --\-nanbo~lb-Lx + I
4~ М2 *2 + «2 + 2 v2) х2 + • I
(22)
Найдем, при каких условиях этот двойной ряд будет абсолютно сходя-
щимся в некотором промежутке. Прежде всего необходимо, чтобы ряд,
стоящий в первой строке,
ао + «Л + ¥о + • • • +
был абсолютно сходящимся, т. е. чтобы было Это условие
вместе с тем и достаточно. В самом деле если это условие удовле-
творяется, то за усиливающую функцию для <р(х) мы можем взять вы-
ти
ражение вида-----, где т есть любое положительное число, большее
1— Х
, Р
I Ьо |, и где р<г (см. стр. 66). При этом мы можем, очевидно, рас-
сматривать только значения х, заключающиеся в промежутке ( — р, 4“ р).
Следовательно, мы можем предположить m^R. Пусть будет R' поло-
жительное число, заключающееся между т и R. Мы можем взять за
мажоранту для fly) выражение вида:
/?
_ т
Если мы заменим в нем у через ------ и разложим степени перемен-
1— -
р
ного у по возрастающим степеням переменного х по формуле бинома,
5*
то получим новый двойной ряд:
(23)
Все коэфициенты последнего ряда положительны и больше абсолютных
величин соответствующих коэфициентов ряда (22), так как каждый
из коэфициентов таблицы (22) получается из коэфициентов а0, а2,
а2 , ... , Ьо , Ьг, Ь2, ... только при помощи сложений и умножений.
Следовательно, если двойной ряд (23)—абсолютно сходящийся, то
двойной ряд (22) будет подавно абсолютно сходящимся. Если мы заме-
ним в ряде (23) х его абсолютной величиной, то для того чтобы по-
рученный ряд был сходящимся, необходимо, чтобы были сходящимися
ляды, составленные из членов каждого столбца таблицы (23), т. е. чтобы
было | х | < р. Если это условие удовлетворяется, то сумма членов
(л-|-1)-го столбца по замене х через ]х| будет равна
Это показывает, что для абсолютной сходимости ряда (23) сверх того
должно быть
т. е.
(24)
Так как неравенство (24) влечет за собою предыдущее неравенство
| х| <р, то оно представляет необходимое и достаточное условие, при
котором двойной ряд (23) будет абсолютно сходящимся. Следовательно,
двойной ряд (22) также будет абсолютно сходящимся при всех значе-
ниях переменного х, удовлетворяющих неравенству (24). Заметим, что
при этих значениях переменного х ряд <р(х) также будет сходящимся,
и соответствующее значение переменного у будет меньше /?' по абсо-
лютной величине, так как из неравенств
т
Я
следует неравенство I <р (х) | < /?'
Суммируя ряд (22) по столбцам, будем иметь:
ао 4- Ъ <р (х) -I- а2 [ср (х)]2 4- . . .-4-вл[<р(х)]"+... ,
т. е. /(<р(х)]. С другой стороны, суммируя по строкам, мы получим
ряд, расположенный по возрастающим степеням х; следовательно, мы
/[<р(х)] = с0 + с1х4-с2х2+ ... 4 с„хй + ... (25)
Легко убедиться, что коэфициенты е0, Cj, ед, ... выражаются через
коэфициенты рядов (20) и (21) следующими формулами:
С0 — ао 4- а1 Ь0 + а2 Ьй + • • • ~ЬапЛ0 + • • • >
^ = ^^4 2а261^Н-...4-лап^-,/»1-|-... ,
+ .............................. '
Мы вывели формулу (25) только для значений х, удовлетворяющих
неравенству (24); но это неравенство дает лишь нижнюю границу того
промежутка, в котором эта формула применима. Возможно, что эта
формула будет иметь место и в более широком промежутке. Полное
решение этого вопроса требует изучения функций мнимого переменного;
мы возвратимся к нему впоследствии.
Частные случаи. 1. Так как в неравенстве (24) можно предпо-
ложить число /?' сколь угодно близким к числу /?, то отсюда следует,
что формула (25) будет применима при значениях х, удовлетворяющих
неравенству | х | < р 0 - Поэтому, если ряд (20) будет сходя-
щимся при всяком значении переменного у, то можно предположить
число /? бесконечно большим, т — сколь угодно большим, а следова-
тельно, р — сколь угодно близким к числу г; отсюда следует, что фор-
мула (25) будет применима, если |х| <4, т. е. она будет применима
в том же самом промежутке, в каком будет сходящимся ряд (21).
В частности, если оба ряда f(y) и <р (х) — сходящиеся при всех значе-
ниях х и у, то число г можно взять сколь угодно большим, и фор-
мула (25) будет применима при всех значениях переменного х.
2. Если в ряде (21) постоянный член Ьо равен нулю, то за усили-
вающую функцию для <р(х) можно принять выражение вида:
т т х
т~ ,
i_£------i„*P
Р Р
где р<4, и т — произвольное положительное число. Совершенно так
же, как н в общем случае, можно доказать, что формула (25) будет
применима и в этом случае, если только
(27)
причем может быть взято сколь угодно близким к /?. Промежуток,
определяемый неравенством (27), шире промежутка, определяемого не-
равенством (24).
Последний частный случай особенно часто встречается. Здесь нера-
венство | bQ | < R удовлетворяется само собою, и коэфициент сп зависит
только от а0, аг, , ап, by, ... , Ьп'.
со = ао’ ci = ayby, с2 = а3 Ь2 -ф агЬ2 , ... , сп = ал Ьп-\-. .апЬ" .
Примеры. 1. Коши показал, что формулу бинома можно вывести из раз-
ложения In (1 4- х). В самом деле, полагая
, ,, . . IX X2 , X3 X* \
>—Mn(l +х) = |х( f ~ Т + -3--Т + •••),
имеем:
(1 4-х> = е!Х1п(1 + х) = ^=1 + у + у^ + 1
подставляя первое разложение во второе, получим:
,, , . . , / X Х2 X3 \ (I3 / х х3 х3 \2
(1 +х> —1 + j 2 + 3 •••) ^ 1-2 ( 1 2 + 3 •••)+••
Очевидно, что, расположив правую часть по степеням х, мы будем иметь
коэфициентом при х« некоторый многочлен п-й степени по у; обозначим его
через Рп (р). Этот многочлен должен обращаться в нуль при р = 0, 1,2, ... , л — 1
и равняться единице при р = л; этих условий достаточно для его определения
п -Мн — п + 1)
1-2...и
1
2. Пусть будет z~ (1 4- х)х, где х заключается между —1 и 4-1. Полагая
j»=^-ln (1 4-х) = 1 — у 4 . 4-(—1)«-4-... ,
имеем:
* = ^=l + f+Й+-”
Второе разложение возможно при всяком у, первое — только при |х| < 1.
Подставляя первое разложение во второе, мы получим формулу, применимую
для х, содержащегося между — 1 и 4-1. Ограничиваясь двумя первыми членами,
имеем:
1
(14-х)х=е--| (14.14.^4.... +—±_ 4. ...) 4-... = е- 2 х4-
Это показывает, что если х стремится к нулю, оставаясь положительным, то
функция (1 4- х)х стремится, возрастая, к числу е.
179. Деление целых рядов. Рассмотрим сначала функцию
1 Ц- Ьу х b2 х2 -f-...
где ряд, стоящий в знаменателе, начинается с единицы и остается схо- •
дящимся в промежутке (— г, 4-г). Полагая
y — byX-}-b,x2-[- ....
имеем:
/(*) = = 1 ~У ~ у3 ‘ ’
Подставляя первое разложение во второе, мы получим для f(x) разло-
жение в целый ряд:
/(*) = 1 — — Ь2)х2 ,
имеющее место в некотором промежутке.
Таким же способом мы могли бы получить и разложение обратной
величины любого целого ряда, постоянный член которого отличен
от нуля.
Пусть теперь требуется разложить в ряд частное двух сходящихся
целых рядов:
У (х) = а04-^x4- Д2*2Ч- • • •
ф (*) Ьо 4- by х 4- Ьг х2 -р ... ‘
Если Ьо не равно нулю, то мы можем представить это частное в виде:
V-7—т — («п 4~ X 4- Я, X2 4“ • • •) ’ 7—i—I-i—I-9—i—"— •
Ф (x) о । "i । 2 4- ьг x4~x2 4-...
По предыдущему, мы можем заменить правую часть произведением двух
сходящихся целых рядов. Следовательно, мы можем представить данное
частное в виде целого ряда, сходящегося при значениях х, достаточно
близких к нулю:
ао + а1х + а2х2 Ч- •••
Z>0 Ч~ X Ч~ ^2 Ч • • •
= с0 + с3хЧ-с2х2Ч- •
Освобождаясь от знаменателя и сравнивая коэфициенты при одина-
ковых степенях х в обеих частях, мы получим формулы:
ап = ь^п + М„-1Ч- Ч~Мо (« = °. 2> •••);
из них можно определить последовательно коэфициенты с0, сл, сп.
Следует заметить, что эти коэфициенты будут те же самые, какие мы
получили бы, деля первый ряд на второй по обыкновенному правилу
деления многочленов, расположенных по возрастающим степеням х. .
Если Ьо = 0, то результат будет иной. Предположим для большей
общности, что ф (х) = xk ф1 (х), где k — целое положительное число,
а ф3 (х) — целый ряд, постоянный член которого отличен от нуля. Мы
можем написать:
У (х)_ 1
ф (х) хйф,(х)'
По предыдущему имеем:
Ч~С***Ч- ч- • • • 1
отсюда
fSj—>+А+ +£*г+'.+«.»*+ да
у \^} л *v д.
Т-аким образом частное этих двух рядов равно сумме рациональной
дроби, обращающейся в бесконечность только при х = 0, и целого
ряда, сходящегося в некотором промежутке около значения х = 0.
Примечание. При вычислении различных степеней целого ряда удобно
поступать следующим образом. Взяв логарифмические производные от обеих
частей тождества
(«о + х + . . + ап хп 4- .. .)'« == с0 4* х 4- ... 4- сп х* 4 ...
и освободившись от знаменателей, мы придем к новому тождеству:
m(al + 2aix + ... + nanxn-i 4- ...) (с0 4- с, х 4 ... + с„хп 4- ...) = т
= (tfo4-atx4-... 4-«„х«4-...)(с14-2с2х4-... 4-лсяхи-‘4-...). / 1 '
Легко найти коэфициенты при различных степенях х в обеих частях преды-
дущего тождества; сравнивая между собою коэфициенты при одинаковых степе-
нях х, мы получим ряд равенств, из которых можно последовательно определить
коэфициенты г,, с2..сп, ... , если известен первый коэфициент с0 • Но, оче-
видно, с0 = «о •
180. Разложение —. * ----. Найдем разложение —, * -------------- по
yl — 2хл4-г2 J/1 - 2xz4-z2
степеням z. Полагая у= 2xz — z2, имеем при |_у|<1:
Л-----= (1 - >)~У= 1 4- 4у + 0-4 + ....
/1 — у 2 2’4
или
- 77~.----4, = 1 + + 4 (2« - + • •. (30)
у 1 — 2xz 4- z2 2 8
Собирая члены с одинаковыми степенями z, мы получим разложение вида:
— ' = = Р« 4~ Р^ л 4- Р2 л2 4- 4~ Рд л" 4~ - > (31)
у 1 — 2xz 4- z2
где
1 р _ „ р _Зх* - 1
“о—Ъ “i —х, “l— J .•••
Рп есть многочлен л-й степени по х. Эти многочлены могут быть определены
последовательно из рекуррентной формулы. В самом деле, диференцируя фор-
мулу (31) по z, имеем:
------->----—— г== Р|. 4- 2Pj z 4" • •. 4- ^Рп 1 ...»
(1 — 2xz 4- z2) T
иа основании формулы (31) последнее равенство можно представить в виде:
(х — л) (Pg 4" Р| л 4” ••• + Рл л« 4- ...) = ( 1 — 2xz 4- z2) (Pj 4“ 2Ра л 4” • • •) •
Сравнивая коэфициенты при zn в обеих частях, мы получим рекуррентную
формулу:
("4- i)Pfl+i = (2n4- 1)хР„—лРя-£.
Эта формула тождественна с формулою, связывающею три последовательных
полинома Лежандра (§ 86); кроме того, мы видели, что Ро ~ Хо, Pt = Х^.
Таким образом при всяком п мы имеем: Рп = Хп, и формула (31) обращается в
/ ——— 1 + -Y, л -Ь-Yt4- ... Х„гп-у , (32)
у 1 — 2xz 4-
где Хп есть л-й полином Лежандра:
1 dn
Ниже мы увидим, в каком промежутке применима формула (32).
III. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ СО МНОГИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ,
181. Область сходимости. Рассмотрим сначала целый ряд
(33)
все коэфициенты Атп которого положительны и где переменные X и У
сами имеют положительные значения. Ясно, что если этот ряд сходится
при системе положительных значений Хо, Уо, то он будет сходиться
при всякой системе значений (X, У , для которой Х^Х0, У^ Уо. На-
оборот, если ряд (33) расходится при значениях Хо, Уо, то он и по-
давно будет расходиться, если
одновременно X Ха , У^ Уо.
Другими словами, если ряд (33)
сходится в точке 7И, располо-
женной в пределах угла ХОУ, то
он сходится во всех точках вну-
три и на сторонах прямоуголь-
ника OPMQ (черт. 30); наобо-
рот, если ряд расходится в точке
М, то он расходится во всякой
точке, расположенной внутри
или на сторонах прямого угла
Р'М$.
Рассмотрим теперь бесконечную полупрямую OL, лежащую в преде-
лах угла ХОУ, и точку т, которая описывает эту полупрямую, выходя
из начала координат. Координаты этой точки т, а следовательно, и
все члены ряда 133), для которых Атп не есть нуль, возрастают, когда
точка т удаляется от начала. На этой прямой OL имеется, следовательно,
такая пограничная точка М, что ряд (33) сходится во всякой точке
отрезка ОМ, заключенного между началом координат и точкой М, и
расходится во всякой точке полупрямой ML за точкой М *.
* Если к есть угловой коэфициент прямой OL, то абсцисса точки М равна
обратной величине наибольшего из пределов множества чисел у АМ\Ч, где
p^p-yq (Lemaire, Bulletin des Sciences mathematiques, 1896, стр. 286).
В частности, может случиться, что точка М совпадает с началом ко-
ординат; тогда ряд (33) расходится во всякой точке, не лежащей на
какой-либо из осей ОХ или OY. Если точка М находится в бесконеч-
ности, то ряд (33), наоборот, сходится, каковы бы ни были X и Y,
т. е. в пределах всего уг а XOY.
Оставляя в стороне эти крайние случаи, мы можем сказать, что на
каждой полупрямой OL, расположенной в пределах угла XOY, имеется
точка М, расстояние которой от начала координат изменяется непре-
рывно вместе с угловым коэфициентом X этой прямой. В самом деле,
пусть будет OL'— полупрямая, близкая к OL (черт. 30'. Ряд (33), схо-
дящийся во всякой точке о'резка ОМ, сходится также в любой точке
внутри прямоугольника OPMQ и, следовательно, в любой точке отрез-
ка OR. Наоборот, так как ряд (33) расходится во всякой точке ML,
•то он расходится также и во всякой точке SV. Пограничная точка М'
полупрямой ОН есть, следовательно, одна из точек отрезка RS, и от-
сюда мы заключаем, что эта точка М' стремится к совпадению с точкой
М, когда OL' стремится к совпадению с OL. Когда полупрямая OL,
вращаясь около точки О, описывает угол XOY, точка М описывает не-
которую кривую Г, которая разделяет этот угол ХОК на две различные
области: внутреннюю область J и внешнюю Е. Точка т принадле-
жит области J, если она расположена между началом координат и
пограничной точкой М прямой От, в противном случае она принадле-
жит области Е. Из самого определения этой кривой Г следует, что ряд
(33) сходится во всякой точке области J и расходится во всякой
точке области Е. В точках пограничной кривой Г ряд может быть
сходящимся или расходящимся.
Эта пограничная кривая Г может иметь весьма различную форму
в зависимости от ряда (33). Из приведенного выше рассуждения следует
лишь, что ордината точки этой кривой не может возрастать при возра-
стании абсциссы, и обратно. Чтобы видеть, что происходит, когда OL
стремится к ОХ, достаточно заметить, что абсцисса точки М не может
при этом убывать, а ордината этой точки не может возрастать; следова-
тельно, у стремится к некоторому пределу, между тем как х может либо
стремиться к пределу, либо возрастать неограниченно. Следовательно,
кривая Г либо примыкает к некоторой точке А оси ОХ, либо имеет
асимптоту, параллельную ОХ; этой асимптотой может быть и сама ось ОХ.
Заметим, что если кривая Г примыкает к точке А оси ОХ, то ряд (33)
не будет непременно расходящимся во всякой точке оси ОХ за точкой А.
Ясно, что все это применимо также и к оси OY.
Примеры. I. Ряд / л М сходится, если одновременно А < д, г < ft,
и только в этом случае; сумма его равна
Кривая Г образована здесь двумя сторонами прямоугольника, параллельными осям.
2 Двойной ряд
Ея. (т + и)! XmYn____ М
т\ п\ , (X Y\
U + ь)
X Y
сходится, если мы имеем — 4 -у< 1. Кривая Г есть в данном случае отрезок
прямой, заключенный между осями OX, OY.
3. Двойной ряд £A/nnX'nY/1, где Атт — 1, а Атп = 0 (для т=^п), сходится
лишь в том <лучае когда XY < 1. Кривая Г представлена ветвью гиперболы,
имеющей асимптотами оси координат.
4. Ряд
где индексы тип изменяются от 1 до +®о, сходится внутри того же прямо-
угольника, что и ряд, приведенный в первом примере, и, све х того, во всех точ-
ках осей ОХ и OY. Когда полупрямая OL, стремится к ОХ, точка М прямой OL
стремится к точке с абсциссой а, лежащей на ОХ, между тем как пограничная
точка ОХ находится в бесконечности.
5. Ряд Хи! XnYn расходится во всех точках, не принадлежащих осям коор-
динат.
182. Свойства целых рядов. Возьмем теперь целый ряд с произволь-
ными коэфициентами
Л-(х, y) = '^'igmrixmya, (34)
т, п
и пусть Атп = \атп\, Х — \х\, К—|_у|. Ряд (33), составленный из
абсолютных величин членов ряда (34), сходится, если точка с коорди-
натами X, Y находится в области J, которую мы только что определили,
и притом только в этом случае. Сле-
довательно, ряд(34)абсолютно схо-
дится, если точка с координатами
(х, у) принадлежит области D, огра-
ниченной четырьмя кривыми, рав-
ными пограничной кривой Г, причем
одна из ннх есть сама кривая Г,
а остальные являются симметричными
ей относительно осей координат
(черт. 31).
В точке, внешней по отноше-
нию к области D и не лежащв'/ на
осях, ряд (34) не является абсолют-
но сходящимся. Мы не можем пре-
образовать этот ряд в сходящийся,
в каком бы порядке мы ни располо-
жили его члены. В самом деле, пусть
будут х0,у0 — координаты точки,
внешней по отношению к D и не
Черт. 31.
лежащей на осях; абсолютная величина
общего члена ряда
не может быть ограничена. Действительно, если бы мы имели
I “тп^Уп0\<М,
каковы бы ни были т и п, где М — постоянное число, то общий член
ряда (33) был бы меньше, чем
„ Хт Ytt
М .---------- ,
I I"
т. е. меньше общего члена ряда, сходящегося при .¥<!xol, K<^|_v0[.
Таким образом точка с координатами i х0 I, |_у0| не может быть внеш-
ней относительно кривой Г, а следовательно, точка (х0,_у0) не может
быть внешней по отношению к области D. В точках кривой, ограничи-
вающей эту область, ряд (34) может быть сходящимся или расходящимся
подобно ряду (33).
Пусть будут а, b — координаты точки области D, внутренней отно-
сительно угла хОу. Ряд (34) равномерно сходится внутри прямоуголь-
ника ММ'М 'М'", образованного четырьмя прямыми х = -4-а, у = ±Ь,-
и, следовательно, F(x, у) есть непрерывная функция переменных х и у
в этом прямоугольнике. Отсюда следует, что F(x, у) есть функция, не-
прерывная в любой точке области D; в самом деле, где бы мы ни взяли
точку т в этой области, ясно, что мы можем найти другую точку 7И,
такую, что т оказывается внутри прямоугольника, аналогичного прямо-
угольнику ММ'М"М"'.
Диференцируя почленно ряд (34) по переменному х или по перемен-
ному у, мы получаем два новых ряда:
Л (х, у) = £ татг1хт~^уа,
т.1 п
у) = ^патпхту"-\
т- п
(35)
которые имеют mv же самую область сходимости, что и ряд (34).
Чтобы в этом убедиться, достаточно показать, что ряд
т, п
например, имеет ту же пограничную кривую Г, что и ряд (33).
Доказательство, совершенно аналогичное доказательству § 174, со-
стоит из двух частей:
1. Если ряд J fnAm.X'nYn сходится, то это имеет место и в отно-
шении ряда Jа следовательно, и в отношении ряда (33).
2. Обратно, если ряд сх°дится, то ряд ^PlmAmnXm~2Ya
сходится при X<^_XQ, Y<^Y0.
В самом деле, допустим, что, каковы бы ни были -т и п,
AmaXm0Y-<M-,
отсюда мы получаем неравенство:
rnAmnXm-^Ya
Мт
X
/ к\п
и правая часть есть общий член сходящегося двойного ряда, сумма ко
торого равна
Если мы расположим оба ряда F(x, у) и F-l(x, у) по возрастающим
степеням х, то, рассматривая у как постоянное, мы получим два ряда,
целых относительно х, и в силу способа, которым второй ряд получен
из первого, мы имеем:
Таким же образом мы находим:
И, вообще, ряд (34) можно произвольное число раз диференцировать
почленно в области D. Так, частная производная равна сумме
двойного ряда, у которого постоянный член есть ml nl атп; коэфи-
циенты ат„ представляют, следовательно, с точностью до числовых
коэфициентов значения частных производных функции F(x,y) при
х—у — 0, и формулу (34) можно переписать еще так:
----h хтуП’ (34,)
I 4 .,. т-л л ... п
что, кстати сказать, показывает, что функция дву-х переменных может
быть разложена в целый ряд лишь единственным способом. Если мы
сгруппируем вместе все члены двойного ряда одинаковой степени отно-
сительно х и у, то мы получим обыкновенный ряд:
F{x, У) = <Ро + (Р1 + 'Ра+-- - +?„+••• - (34")
где срп есть однородный многочлен степени п относительно х, у, кото-
рый можно символически представить так:
1
!ря~ 1-2... л
это разложение, следовательно, тождественно с тем, которое дается
формулой Тейлора (§ 27).
Пусть будут (х0, _у0) координаты точки области D, а г, р — коорди-
наты такой точки кривой Г, что |х0|<г, |у0|<Р- Возьмем в D близ-
кую точку (х0-|-й, _у0-|-й), для которой
1хо1 + 1л1<г> 1л1 + 1&Кр-
Внутри прямоугольника, образованного четырьмя прямыми
Х = хо±\г— |лг0|], У —уо± [р — |>0 I ],
функция F(x,y) может быть разложена в целый ряд, расположенные
по степеням х — х0 и у—уй'.
, ... V (*т+пГ\ hmkn
F,'» + '’'-y"+A)=2j(w4?);y;^' (36
В этом можно убедиться, заменяя каждый член двойного 'ряда
S«m»(xo + A)'”(Jo4-*)"
его разложением по степеням h и k и замечая, что новый кратный ря;
сходится абсолютно в тех предположениях, которые были сделаны. Рас
полагая этот новый ряд по степеням h и k, мы и придем к фор
муле (36).
Предыдущие рассуждения и теоремы легко распространяются на
целые ряды с произвольным числом переменных. Пусть мы имеем целы!
ряд с п переменными х,, х„, ... , хп; существует, вообще, бесконечно
много призматоидов, определяемых, например, условиями:
—— V® У* _уО у у О __ уО у .—' уО
Л1 1 Х1’ << х2 л2 , . . . , хп << хп Хп,
внутри которых целый ряд F(xlt х2, ... , хп) сходится абсолютно. Он
представляет функцию, непрерывную в этой области, и его можно про-
извольное число раз диференцировать почленно.
183. Усиливающие функции. Пусть дан какой-нибудь целый рял
f(x,y, z,...) с «переменными. Ряд <р (х, у, z, ...) с п переменными
называется по отношению к первому усиливающим или мажорантой
если каждый коэфициент ряда <р (х, у, z, . .. ) положителен и больше
абсолютной величины соответствующего коэфициента ряда f(x,y, г, ...),
В сущности доказательство теоремы в § 182 уже было основано на
применении усиливающей функции. В самом деле, если ряд ^\атпутуп1 —
сходящийся при х = г, у = р, то функция
где М больше каждого из коэфициентов ряда JI атпхтУа I > есть Уси'
ливающая функция для ряда J атпхтУп- Функция
может быть также принята за усиливающую функцию для данного двой-
ного ряда; в самом деле, коэфициент при хтуп в ф(х, .у) равен коэфи-
(х у\т + п
---1---1 и, следовательно, никак не меньше
соответствующего коэфициента в <р(х, у).
Точно так же, если нам дан тройной ряд
f(x, у, z)=.^amnpxmynzP,
абсолютно сходящийся при х = г, у — /', z = r", где г, г', F— поло-
жительные числа, то этот тройной ряд допускает как усиливающую
функцию выражение вида:
которое можно также заменить любым из следующих выражений:
М М
Если ряд /(х, у, г) не содержит постоянного члена, то за усиливаю-
щую функцию для него можно также взять любую из предыдущих
функций, уменьшенную на М.
Теорема о подстановке целого ряда в другой целый ряд (§ 178) мо-
жет быть распространена на .ряды со многими переменными. Если
в сходящемся целом ряде с р переменными уг, у2, ... , ур мы заме-
ним эти переменные их разложениями в сходящиеся целые ряды с q
переменными xv х2, ... , хд, не содержащими постоянных членов, то
результат тиной подстановки можно представить в виде сходяще-
гося целого ряда, расположенного по степеням переменных х1,
х2,...,х, если только абсолютные величины этих переменных бу-
дут меньше некоторых пределов.
Так как ход доказательства не зависит от числа переменных, то мы
ограничимся рассмотрением следующего частного случая. Пусть будет
Р{У, г)=?1атпУт*п (37)
целый ряд, сходящийся, если |_у| | г | /?. С другой стороны,
пусть будут
у — Ьгхb2xz. + V"+--- , >
z=qx-f-cX + ••+cn*”4---- /
два ряда, не содержащие постоянных членов и сходящиеся, если абсо-
лютная величина переменного х не превосходит р. Подставим в ряд (37)
вместо у и г их разложения (38). Так как эти разложения сходятся
при | х | < р, то каждое из произведений утга ряда (37) может быть
разложено в целый ряд по х, также сходящийся при | х | р. Таким
образом, заменяя в ряде (37) каждое из произведений утгп его разло-
жением в целый ряд по х, мы получим тройной ряд, все коэфициенты
которого получаются из коэфициентов атп, Ьп, сп только при помощи
сложений и умножений. Нам нужно доказать, что если переменное х
не превосходит некоторого предела, то этот тройной ряд будет абсо-
лютно сходящимся, и, следогательно, его можно будет расположить по
возрастающим степеням переменного х. Прежде всего очевидно, что за
усиливающую функцию для F(y, г) можно взять функцию
(39)
а за усиливающую функцию для обоих рядов (38) — выражение вида:
ЛГ- ^4
г г
I - —’ 1
Г Г
(40)
Любой член рассматриваемого тройного ряда по абсолютной вели-
чине меньше соответствующего члена тройного ряда, который таким
же способом получен из двойного ряда
Б
м
RmR'n
(NX , NX2 , \т [ N'X ,
\ r + J \ г' +
NX*
г*
где Х= | х |. Для сходимости этого тройного ряда достаточно, чтобы
сходился двойной ряд
т. е. чтобы было одновременно:
А<г'
Примечание. Если ряды (38) содержат постоянные члены \ и с0, то тео-
рема будет верва и в этом случае, если только | Ьй | < /?, | [</?'. В самом деле,
мы можем заменить разложение (37) разложением по степеням у — Ьп ид —
(§ 18.) и таким образом придем к предыдущему случаю.
IV. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ. АНАЛИТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ.
184. Неявная функция одного переменного. Мы уже установили
(гд. IIL, § 32 и след.) существование неявных функций при определен-
ных условиях относительно непрерывности. В тех случаях, когда левые
части данных уравнений разложимы в целые ряды, мы можем притти
к более определенным выводам.
Пусть будет. F(x, у) == 0 уравнение, левая часть которое^ может
быть разложена в сходящийся ряд, расположенный по степеням
х — Хр, у — у0, причем этот ряд не содержит постоянного члена,
и коэфициент при у—у0 отличен от нуля. При этих условиях
уравнение F (х, у)~0 имеет один и только один корень, стремя-
щийся к _у0, когда х стремится к _х0, и этот корень может быть
разложен в целый ряд, расположенный по степеням х — х0.
Для упрощения вычислений предположим, что хо = _уо = О, что рав-
носильно перенесению начала координат в точку (х0, у0}‘.
Выделив член с первою степенью у и перенося его в другую часть,
мы можем представить данное уравнение в виде:
У =f(x> У) = а10ха20х2^хуа0.гу2, (41)
причем степень последующих членов будет выше второй. Покажем сна-
чала, что формально мы можем удовлетворить уравнению (41), заме-
няя у рядом:
у = сгх 4- с2х2 4- ... 4- с„ха 4- . .. (42)
и поступая с этим рядом так, как если бы он был сходящимся. В самом
деле, сделав подстановку и сравнивая коэфициенты при х в обеих ча-
стях уравнения, мы получим условия:
С1 ~ а10’ СЧ ~ а20 "Ь а.1С1 “Ь а02С1> • • • >
вообще, сп выразится только при помощи сложений и умножений через
коэфициенты где и через предыдущие коэфициенты cv
с.2, . .. , ся_1. Таким образом мы будем иметь:
сп = рп(а1О’аго>ап>---> aoJ’ (4S)
где Рп есть многочлен, все коэфициенты которого суть целые положи-
тельные числа. Чтобы все предыдущие действия были возможны, нам
остается доказать, что полученный таким образом ряд (42) будет схо-
дящимся при достаточно малых значениях переменного х. Для доказа-
тельства мы воспользуемся одним весьма общим приемом, основная
мысль которого принадлежит Коши; этот прием основан на применении
усиливающих функций.
Пусть будет
ср(х, У) = ^ЬппхтУа
усиливающая функция для функции f(x,y), причем bOQ — b01 = 0, и
каждый из остальных коэфициентов Ьтп положителен и не меньше
I атп I • Рассмотрим вспомогательное уравнение
у=^(х, <41')
и попытаемся удовлетворить этому уравнению, приняв за V целый
ряд по х:
Y= С2х2 4- .. . 4- 4- ... (42')
Как и выше, мы найдем для коэфициентов Сг, С2, ... значения:
Cj — 610, С2 = Ь20 4~ Ь1гQ 4- Ь(2С2, • • - 1
и, вообще,
Cn = Pn(b2Q,b_0,..., ЬОп). (43')
Так как все коэфициенты многочлена Рп положительны, и \атп\^Ьтп,
то из соотношений (43) и (43') непосредственно видно, что | сп | <4 Сп. Сле-
довательно, если ряд (42') — сходящийся, то и ряд (42) также будет
6 Э. Гурса. Т. I, ч. 2.
сходящимся. Но за усиливающую функцию (х, Г) мы можем взять
выражение вида:
М У
с₽(х, У) = ——----г-,-------— — М— М— ,
(1 —— W1 —— ?
\ г ) \ ? J
где М, г, р — положительные Числа. Тогда вспомогательное уравне-
ние (41'), по освобождении от знаменателя, примет вид:
9 р2У х
r — x
Это уравнение имеет один корень, равный нулю при х=0, именно:
у= Р2______________Р2 . , / 1 __ 4Л4(р4-Л4) х
2(p-i-M) р2 г—х
Полагая / р \2
а==Г( рЦ-2Л1) ’
мы можем представить подкоренное выражение в виде:
и тогда получим:
г=_____е!_
2(р-|~2И)
Отсюда видно, что этот корень V разлагается в промежутке (—а, -)-а)
в сходящийся ряд. Это разложение должно быть тождественно с тем,
которое получается при помощи непосредственной подстановки, т. е.
С разложением (42'); следовательно, ряд (42) и подавно сходящийся
в промежутке (—а, -|-я)- Нужно, однако, заметить, что этот промежу-
ток есть лишь нижняя граница промежутка сходимости, который может
быть в действительности значительно шире.
Из самого способа получения коэфициентов сп очевидно, что
сумма у ряда (42) удовлетворяет уравнению (41). Представим уравнение
F(x,y) = 0 в виде F(x,y)=y—f(x,y) — 0; пусть будет у = Р(х)
корень, который мы выше получили. Сделаем в F(x, у) подстановку
у = Р\х) 4- z и расположим результат подстановки по степеням х и г.
Все члены должны делиться на г, так как этот результат должен быть
равен нулю, если 2 = 0, каково бы ни было значение переменного х‘,
следовательно, мы будем иметь тождественно:
F[x, Р(х)-\-z] = zQ(x, г),
причем Q (х, z) есть целый ряд по х и г. Заменяя теперь в Q (х, z)
переменное z через у — Р(х), мы получим тождество:
У) = [У~Р(х)]<Ъ(х, у).
Так как коэфициент при у в F(x, у) равен единице, то постоянный
член в С?! (х, у) также должен равняться единице, и мы можем предста-
вить предыдущее тождество в виде:
F(x, у) = [у— Р(х)][1 + (44)
Это разложение F(x, у) на произведение двух множителей было дано
Вейерштрассом. Оно выделяет корень у — Р(х) уравнения F(x,y) = Q
и, кроме того, показывает, что уравнение F(x, у) = 0 не имеет другого
корня, стремящегося к нулю вместе с х, так как второй множитель ие
стремится к нулю при приближении х и у к нулю.
Примечание. Чтобы последовательно определить коэфициенты в разло-
жении (42), напишем данное уравнение в виде:
у = Ах*-{ хуФ (х, у) -) Сх«+‘ +• ... +• ... , (Л^О), (41")
где Ф (х, у») представляет целый ряд по х и у, и где ненаписанные члены
образуют целые ряды, соответственно, по х и по у, из которых один делится
на х"+*, а другой на у*. Первый 'член искомо-о ряда есть Ахп; полагая
у = хп(Л 4-z), мы получим, разделив обе части урзвиения (41") на х«, уравнение
того же вида:
z = Atx"i +• хгФ, (х, z) 4- ... ;
первый член разложения для z есть H1x«i, следовательно, второй член в разло-
жении у есть Aixlt+ni: ясно, что этот процесс можно продолжать неограниченно*.
185. Общая теорема. Рассмотрим теперь систему р уравнений с p-\-q .
переменными:
Л (хг х2, ... ,
Р$ Х2’ • • • >
Рр (Xi> Х2’ • • • >
хд;уг, v2> ••• > ур) — ®> )
Хд.УгУп- > Ур) = 0> I
Хд->УгУ2’ • •• > Ур) = °- j
(45)
Предположим, что функции Fv F2, ... , Fp будут равны нулю при
xz — yk = 0(i= 1, . .., q; k=\, .-.. , p), и что они разлагаются в це-
лые ряды вблизи этих значений переменных; кроме того, предположим,
D(F F . . F)
что при x1~yk = 0 функциональный определитель Щу’ у2’ ’
не равен нулю. При этих условиях уравнения (45) имеют одну Рц
только одну систему. решений вида:
3'1 = 'Рт(х1, х2> •••> х9). ••• , Ур = <?р(хг х2- ••• > х9)>
где ф], ф2....суть целые ряды по хр х2, ... , х?, обращающиеся
в нуль при хг — х2 = ... = xq = 0.
Мы ограничимся для простоты случаем двух уравнений между двумя
функциями и и v и тремя независимыми переменными х, у, z:
Рг=аи -\-bv сх + dy -(- ez
F2 — а1 и 4- b'v -j- с'х 4 dy -j- e'z 4~
-=0, 1
= 0. }
(46)
* Получив некоторое число членов, можно при помощи деления удвоить
число членов [См. статью „Sur le d6veloppement en s6rie entifere d’une branche de
fonction implicite” (Nouvelles Annales de mathimatiques, 1904)].
6*
Так как определитель аЬ' — 6а', по предположению, не равен нулю, то
уравнения (46) можно заменить двумя уравнениями вида:
“ = S |
(47)
где правые части не содержат ни постоянных членов, ни членов первой
степени по и и v. Как и выше, можно доказать, что этим уравнениям
можно формально удовлетворить, взяв за и и v целые ряды по х, у, z\
а — ^с1Мхукг\ .^x^z1, (48)
причем коэфициенты сш сш выразятся через коэфициенты а„,пмг,- ^тпрдг
при помощи одних только сложений и умножений. Чтобы доказать схо,-
димость этих разложений, нужно и здесь сравнить их с аналогичными
разложениями, получающимися при решении двух вспомогательных урав-
нений):
_______ М____________
x-j-y, + z \ / 1_<7+ У
г /\ ?
где /И, г, р — положительные числа, значения которых были указаны
выше. Этн два вспомогательных уравнения приводятся к одному урав-
нению второй степени:
х +у + г
U2_____p!£_+_jV______________0
2р ф- 4Л4. 2р 4/И J х-]-у-\-г
г
Это уравнение имеет один корень, обращающийся в нуль при
х ~у = z — О, именно:
x^-y^z
___е!____________е!___1/ _____________?___
4(рД-2/И) 4(р + 2/И) |/ 1 x + y^z
где
( Р \2
1 р -J- 4М )
а ,
Если абсолютные величины переменных х, у, z не превосходят —
то этот корень разлагается в сходящийся целый ряд. Следовательно,
ряды (48) также будут сходящимися между этими пределами.
Пусть будут п, и vy решения уравнений (47), разлагающиеся в це-
лые ряды по х, у, г. Полагая п==и1 -f- и', v = -4- v', подставим эти
значения и н v в уравнения (47) и расположим результат по степеням
X, у, z, и', v'. При этом все члены должны иметь множителей п' и Ы;
следовательно, возвращаясь к переменным х, у, z, и, v, мы можем пред-
ставить наши уравнения в виде:
(“-5Н +(г'-у1)'Р = °- I
где /, <р, Д, — целые ряды по х, у, г,-и, v. Таким образом решения
u — uv v=v1 отделены; но, кроме того, ясно, что уравнения F, ~ О,
/$ = 0 не имеют других решений, обращающихся в нуль при х= у =
= 2 = 0. В самом деле, всякое другое решение уравнений (47/должно
обращать в нуль —<p/j; но, сравнивая уравнения (47) и (47)', мы
видим, что постоянный член в / и <pj равен единице, а в Д и ср—
нулю. Следовательно, мы не можем удовлетворить уравнению — 0,
взяв для и и v функции, обращающиеся в нуль при x=y — z = Q.
186. Формула Лагранжу Рассмотрим уравнение
у = а + х<р(у) (49)
и предположим, что функция <р(у) может быть разложена в ряд по возраста-
ющим степеням у—а, сходящийся, если абсолютная величина разности у —а
не превосходит некоторого предела:
т (у) — т (*) + (у — ?' О’) f ?" («)+•••
По общей теореме § 184, уравнение (49) имеет один и только один корень,
стремящийся к а, когда х стремится к нулю. При достаточно малых значениях х
этот корень может быть представлен суммою сходящегося целого ряда:
у = а + atx + агх* -(-...
Вообще, пусть будет /(у) функция от у, разложимая в ряд по положитель-
ным степеням разности у — а. Заменяя в ней у предыдущим разложением, мы
получим для /(у) разложение по степеням х, сходящееся при значениях х, за-
ключающихся в некоторых пределах:
f(y) =f(a) + А* + А2х* 4 ... 4- Аюхп + ... (50)
Формула Лагранжа дает выражения коэфициентов А{, А2, ... , А„, ... в функ-
ции от а. Заметим, что эта задача есть не что иное, как случай общей задачи
Коэфициент Ап равен л-й производной от / (у) при х = 0, деленной на л1, при-
чем у определяется уравнением (49); очевидно, что эту производную можно вы-
числить при помощи известных нам правил, Вычисление кажется сложным, но
его можно значительно сократить, воспользовавшись следующими указаниями
Лапласа (см. упр. 8, гл. II) Дцференцируя уравнение (49) по х и по а, мы по-
лучим для частных производных от у следующие формулы:
[1-x?'(\)]^=:(f (у), [1 — xf' (у)]^ = 1;
dr да
полагая из предыдущих формул будем иметь:
ди , .ди
дх да
С другой стороны, пусть будет F(y) какая-нибудь функция от у. Легко убе-
диться непосредственным днференцированнем, что
г (51)
Эа L dxj дх L daj
в самом деле, диференцируя правую и левую часть, получим в обоих случаях
да дх да дх
Докажем, что при всяком целом числе п имеет место формула:
д^и dn-i Г . . д«"|
дхи дап~1 L <taJ
На основании (51), эта формула верна при я = 1. Чтобы доказать ее общ-
ность, предположим, что она верна при каком-нибудь частном значении чис1” и
Тогда мы будем иметь:
йл+1ц дп Г i
-----=--------- ¥ (у)п — .
йхл+* дап~*дх L <toj
Но на основании соотношений (51) и (51)' получаем:
Д [<Р (У)п ^1 -= [? (У)п = 7" ¥ (>)п+1 ^1 ;
ox L oej да L oxj да L да J
следовательно,
dn+iu д" Г ,
-----— — Ф (у)я+1 — 1 •
дх"+* дапL daj
Таким образом эта формула верна при всяком п.
Предположим теперь, что х —0. Тогда у обратится в a, и—в f(a), и п-я
производная от и по х будет равна:
_ d>>-i
о dan-1
[¥ («)”/'(«)]•
Таким образом разложение / (у) по формуле Тейлора будет иметь вид:
/ 0)=/(«)+«¥ W/'(«) + ^ ^ [Т (а)2 /' (а)] + ...
Это — известная формула Лагранжа. Она дает разложение корня _у, стремяще-
гося к а, когда х стремится к нулю. Ниже мы увидим, между какими пределами
эта формула применима.
Примечание. Из общей теоремы следует также, что корень у, рассма-
триваемый как функция от х и а, может быть представлен двойным рядом, рас-
положенным по степеням х и а. Этот ряд можно получить, заменяя каждый из
коэфициентов Ап его разложением по степеням а. Отсюда следует, что ряд (52)
можно диференцировать почленно по параметру и.
Примеры. 1. Уравнение
У = а+^(У2-1) (53)
имеет корень, равный а при х —0. Разложение этого корни по формуле Ла-
гранжа будет:
а +у’(«2— 1) +
1 /Х\2 <Z(fl2— 1)2
1-2 \2/ da
1
i-2.:.я
х \ Л 1)Л
2/ dan-1
(54)
+ ...
С другой стороны, решая уравнение (53), мы найден для его корней выра-
жение:
У — 7 — J" V1—2лх+хз.
Чтобы потучить корень, равный а при х = 0, должно взять знак минус. Ди-
фереяцируя обе части уравнения (54) по переменному а, мы придем к формуле,
отличающейся от полученной выше формулы (32) (§ 180) только обозначениями.
2. Известное в астрономии уравнение Кеплера (Kepler) для эксцентрической
аномалии и
и = а -|- е sin и (55)
имеет корень и, равный а при е — 0. Разл >жение этого корня по формуле Ла-
гранжа при е, близком к нулю, будет иметь вид:
, , . е* d . . еп d«-r(sin«a) , ....
u = a + esina+7^a(smM+-.- + rl—? + --- (56)
Лаплас первый доказал при помощи весьма искусных приемов исследований,
что предыдущий ряд — сходящийся, если е меньше 0,662743...
487. Обращение функций. Пусть будет
у — а{х 4- а2 лЗ 4- ... -|- 4- • •. (57
ряд, сходящийся в промежутке ( — г, 4- г), причем первый коэфициент at не ра-
вен нулю. Будем рассматривать в уравнений (57) у как независимое переменное
ах - как функцию от у. По общей теореме (§ 184), это уравнение имеет один
и только один корень х, стремящийся к нулю вместе с у, и этот корень разла-
гается в ряд, расположенный по степеням у:
х = V 4- М2 4- b^yi 4- ... 4- bnyn 4- .,. (58)
Коэфициенты tt, b2, b3,... можно определить последовательно, заменяя
в формуле (57) х его разложением (58) и приравнивая коэфициенты при одина-
ковых степенях у. Таким образом получим:
, 1 , а2 . 2а2~а1'гз
*1 •— — , Dj —------ , —------- , . . s
(ч ai
Общее выражение коэфициентов Ьп мы можем также получить при помощи
формулы Лагранжа. В самом деле, полагая
<[>(-«) = в, 4- а2х 4- ... 4-anx»~i+ ,
мы можем представить уравнение (57) в виде:
1
Отсюда по формуле Лагранжа получим разлокен .е корня х, оораща ощегося
в нуль вместе с у:
1 , , уп Г 1 / 1 )° I ।
* ^-УЦО) + • • + 1-2 ... л ’ fw ' J 0+ ’ ’ ”
причем указатель 0 показывает, что после диференцирований должно заменить
х нулем.
Предыдущая задача известна также под именем задачи об обращении рядов.
188. Аналитические функцки. В последующем мы будем называть
аналитическою фуннциею всякую функцию от любого числа ’независи-
мых переменных х, у, z, ..., которая вблизи системы значений
х0, уи, г0, ... может быть разложена в целый ряд, расположенный по
степеням х— хй, у—у0. z— .............— сходящийся, пока абсолютные
величины этих разностей не превосходят некоторых пределов.'Значения
х0. Jo, z0 могут при этом подлежать известным ограничениям, на которых
мы здесь не будем останавливаться. Из всего изложенного в этой главе
следует, что эти функции, так сказать, происходят одни из других.
Если даны одна или несколько аналитических функций, то интегри-
рование или диференццрование, алгебраические действия умножения,
деления, подстановки одной функции в другую и т. д. приводят к но-
вым аналитическим функциям. Точно так же решение уравнений, левые
части которых — аналитические функции, приводит к аналитическим функ-
циям. Так как простейшие функции — многочлены, показательная и
круговые функции — суть функции аналитические, то отсюда понятно,
почему первые функции, которыми стали заниматься математики, должны
были быть аналитическими. Важное значение этих функций уяснится
еще более при изучении функций комплексного переменного и диферен-
циальных уравнений. Однако, несмотря на основное значение аналити-
ческих функций, не должно забывать, что онн составляют лишь очень
частную группу среди всех непрерывных функций* *.
* Пусть будет/(х) непрерывная функция, допускающая в интервале (а,6) непре-
рывные производные всех порядков. Если эти производные удовлетворяют условию
Мп\
Р” ’
(А)
где М и р— два положительных числа, не зависящих от х, тд функция f(x) ана-
литическая. В самом деле, пусть хп и х— две произвольные точки интервала (а, 6);
если разложить разность f(x) — /(х0) по степеням х — х0, согласно формуле Тей-
лора (§ 18), то остаток Rm будет в силу условия (А) по абсолютной величине
.. |х — _v0|"+ *
меньше, чем М —-- + ”----, и следовательно, стремится к нулю при неограни-
ченном возрастании п, если х заключен между х0— ри х0 + р.
• Обратно, во П томе будет доказано, что условие (А) необходимо, чтобы
функция была аналитической.
С. Н. Бернштейн недавно доказал {Math. Ann., Bd. 75, 1914, S. 449) следу-
ющую замечательную теорему:
Если все производные неограниченно диференцируемой функции у {х) по-
ложительны в ант реале (а, Ь), то функция является аналитической в этом
интервале.
Предположим, что а < Ь; пусть х0 и х'у> х0 будут два любых значения в этом
интервале. Так как все производные функции у(х) положительны, то сама функ-
ция и все ее производные возрастают. Поэтому мы получаем последовательно
неравенства:
у(«-<)(х)>у W(x0)(x — х0), у U-2) (х) > у (я) (хп) ~ Х°->~, ...
• ••,?’ W > ?(п) W
(х-х0)«-1 — -«o')".
(п _ f w > f w + flrt) (Ло) —.
отсюда, обратно, получаем, полагая х=Ь:
у (Ло) <
Мп\
(Ь — х#)" ’
где М обозначает положительное число у (6)—у (а). Отсюда следует, что, если
написать, согласно первой формуле Тейлора, разложение у (х) по степеням
189. Аналитические кривые. В § 13 мы определили кривую как гео-
метрическое место, описываемое точкой /И, координаты которой суть
непрерывные функции x—f(t), y = y(t), z = ty(t) параметра t, при
изменении этого параметра. Если f(t), ср (t), ф (t) суть аналитические
функции t, т. е. если эти функции в окрестности любого значения /0
переменного t, заключенного в каком-либо интервале разложимы
по формуле Тейлора по степеням t — tQ, то соответствующая дуга кри-
вой называется дугой анали пической кривой. Все наиболее употреби-
тельные кривые, встречающиеся в приложениях, суть аналитические
кривые или составлены из конечного числа дуг аналитических кривых,
соединенных своими концами.
Пусть будут х0, _у0, z0 координаты точки ЛТ0, принадлежащей какой-
либо аналитической кривой, а х, у, z — координаты другой точки М
той же кривой, близкой к /Ио. Точка Л1о называется обыкновенной точ-
кой, если две из трех разностей х — xQ, у—у0, z — z0 могут быть
разложены в целые ряды, расположенные по степеням третьей, причем
оба эти ряда сходятся, если абсолютные величины этих разностей
остаются меньше некоторой границы h 0. В противном случае точка Мо
называется особой точкой. Дуга аналитической кривой, не имеющая
особых точек, называется правильной.
Из самого определения аналитических кривых следует, что коорди-
наты х, у, z точки М, близкой к точке Мо (х0, у0, z0), представляются
целыми рядами:
х— хо 4- ai (*—уо) 4- • • • + ап У 'о)" 4~ • • • >
-У = Л + М'-'о) + ...+М*-*о)л+.---> (59)
* = + M*“U4- • • • +<« (^-/0)я "И • • • >
причем эти три ряда сходятся, если только |/ — /0| меньше некоторого
положительного числа г.
Для того чтобы точка MQ была обыкновенной, достаточно, чтобы
один из трех коэфициентов аг, Ьг, сг формул (59) не был нулем. Если,
например, аг не равен нулю,'то из первого из уравнений (59) мы нае-
дем разложение t —tQ по степеням х — х0 (§ 184) и, подставляя это
значение t —tQ в остальные две формулы, мы получим разложения
у—yQ, z — z0 по целым степеням х— х0. Обратно, в окрестности обык-
новенной' точки 2И0 уравнения, определяющие аналитическую кривую,
могут быть представлены в форме (59), где по крайней мере один нз
коэфициентов av bv сг не равен нулю. В самом деле,’если, например,
у—yQ, г — zQ равны целым рядам по степеням х — х0, то достаточно
положить х — x0 = t, чтобы притти к формуле вида (59), где мы бу-
х —х0 = Л, то абсолютная величина остатка Rn+l окажется меньше, чем
М [ Л |«-*Ч
(& — х0—0 *)«+<’
и этот остаток равномерно стремится к нулю, если только
\h\<b-^.
дем иметь а1 = 1.44з этого замечания следует, что определение обык-
новенной точки не зависит от выбора осей координат. В самом деле,
рассматривая кривую Г, получаемую из кривой С томографическим пре-
образованием, определяемым формулами
X = 1х тУ -J- nz 4~ р",
Y — l'x-\- m'y-\-n!z-\- р',
Z=l"x-\-m"y -\-rfz +/,
определитель коих не равен нулю, мы имеем:
dX ,dx. dy . dz dY ,dx . dZ ,,,dx .
at dt ' dt ' dt dt at' dt dt * ' ’
dX dY dZ
и производные — -, —, — не могут обращаться в нуль одновре-
На Ut UL
менно при значении ta переменного t, если все три производные
dx dy dz
— , — не равны также нулю при этом значении г*.
dt dt dt
Если все три коэфициента av Ьг, q равны одновременно нулю, то
точка Af0 есть, вообще, особая точка. Возьмем, например, плоскую
кривую, определяемую уравнениями х = t\ у — t3. При t — О мы
имеем а1 = £1 = 0. Начало координат есть в данном случае особая
2
точка, так как из предыдущих уравнений мы находим х—у3, и, об-
з
ратно, у = х2, и каждая из координат есть дробная степень другой
координаты,
Возьмем, наоборот, плоскую кривую, определяемую уравнениями x = fi,
y = tK При f = 0 мы имеем попрежнему al = bl = O, и, однако, начало коорди-
нат не есть уже особая точка, так как мы имеем у = х2. Нетрудно заметить, что
в этом последнем примере точке кривой соответствуют два различных значения
(± t) параметра.
Пусть будут х0, у0 координаты точки А40 плоской кривой С, пред-
ставляемой уравнением F(x, .у) —0, левая часть которого может быть
разложена в целый ряд, расположенный по степеням х — х0 и у —у0.
о Й77 dF
Если обе частные производные — , — не равны одновременно нулю
оХ ду
при х = х0, у = у0, то 2И0 есть обыкновенная точка. В самом деле,
l*F\ V А
если, например, I— I не равна нулю, то из уравнения г = 0 мы на-
' ‘о
ходим разложение у — у0 по степеням х — х0 (§ 184).
Точно так же пусть будут х0, у0, г0 координаты точки
странственной кривой Г, представляемой системой уравнений:
F(x,y,z)=.O, Fj (х, у, z) — 0,
2И0 про-
(60)
* Нетрудно видеть, что это свойство распространяется на всякое обратимое
преобразование, определяемое аналитическими формулами.
левые части которых суть целые ряды
z— zQ. Эта точка MQ есть обыкновенная
относительно х — х0, у—у0,
точка, если функциональные
определители
D(x, у) ’ D(y,z) ’
D (z, х)
не обращаются одновременно
в нуль при-
х = х0, у=у0, z = z0.
D(F, Л)
Если, например, определитель не равен нулю в точке
Мо,
то из уравнений (60) можно найти разложения разностей х—х0 и
у — у0 в целые ряды, расположенные по степеням z— z0 (§ 185).
Изложенное аналогично тому, что мы имели в § 37 и 43, но полу-
ченные здесь результаты являются более точными, так как мы показы-
ваем, что неявные функции, о которых идет речь, суть аналитические
функции независимого переменного.
Примечание I. Рассмотрим, в частности, плоскую кривую С, для чего
мы последнее из уравнений (59) заменяем уравнением z=0. Чтобы иметь пред-
ставление о виде кривой вблизи точки Мд, достаточно заметить, что, при беско-
нечно малых значениях разности t — tg, х — хд и у—уд имеют, соответственно,
знаки первых членов ат (t — tg)m и bn (t — tg)n правых частей.
Допустим, что tn&Zn. Если т нечетно (что всегда имеет место для обыкно-
венной точки), то кривая имеет обычный вид или представляет точку перегиба.
Если т четно, то кривая имеет точку возврата первого или второго рода.
Примечание II. Пусть Мд — обыкновенная точка плоской аналитической
кривой С; предположим, например, что у — уд разложено по степеням х — хд:
у—уд~с^ — хд)-\гсг(к — х9)* + ...
Если касательная не параллельна оси Ох, то коэфициеит с, не равен нулю, и мы
можем, обратно, вывести из предыдущего соотношения разложение х—л0 по
степеням у—уд. Но это уже не будет так, если касательная в точке Мд парал-
лельна Ох. В этом случае с4==0, и разложение у — уд по степеням х — хд на-
чинается с >'лена степени выше первой; мы уже не можем применить общую
теорему § 184. Из исследования, которое будет приведено в дальнейшем (т. И)
вытекает, что х — хд в этом случае может быть разложена по дробным степе-
ням у —уд.
193. Двойные точки. Займемся опять исследованием плоской аналити-
ческой кривой С вблизи двойной точки. Если мы возьмем эту точку за
начало координат, то уравнение кривой будет иметь вид:
ах226ху ± су2 ~'г ?3 (х, _у)-|- • .- = 0, (61)
где коэфициенты а, Ь, с не равны нулю одновременно, а ненаписанные
члены образуют целый ряд относительно х и у, сходящийся в окрестно-
сти точки х=у — 0. Допустим, далее, что оси координат выбраны так,
что с не равно нулю. На основании замечания, сделанного выше (§ 42,
сноска), уравнение (61) не может иметь более двух действительных
корней, стремящихся к нулю вместе с х; в дальнейшем мы покажем,
что оно всегда имеет два корня и только два, действительных или мни-
мых, которые стремятся к нулю вместе с х. Мы легко можем найти
выражения этих двух корней, когда Ь2— ас не равно нулю.
1. Пусть Ь2 — ас~> 0. Деля предыдущее уравнение на с, мы можем
переписать его следующим образом:
- Р(х,у) = (у - ах) (у — 0х) ф <р3(х, у) 4- .. . =0, (62)
где а и {J суть два различных действительных числа, Полагая
j==x(a + «),
мы можем расположить F [х, х (a и)] по степеням х и и (§ 177); раз-
делив на х2, мы получаем уравнение:
а (и Ч~ ® — Ю Ч~ • • • == (63)
все ненаписанные члены которого равны нулю при х — 0. В силу об-
щей теоремы (§ 184) это уравнение имеет корень иг, обращающийся
в нуль вместе с х и разложимый по степеням х:
ai = aix4-a2A;2+ • • •
Уравнение (62) также имеет, следовательно, корень уг\
j/1 = ax-pa1x2-pa2x3 + ... , (64)
н таким же образом можно было бы убедиться в том, что это уравне-
ние имеет второй корень
,y2 = p*WW4-... (65)
Следовательно, через начало координат проходят две ветви кривой,
и для каждой из них, взятой в отдельности, начало координат является
обыкновенной точкой.
Повторяя рассуждения, приведенные в конце § 184, мы легко убе-
ждаемся в том, что F(x, у) может быть представлена в виде произведе-
ния трех множителей:
Цх,у) = (у — у,) (у — у2)(1 + ^Ч-^уЧ- • • •); (66)
это разложение выявляет оба корня и у2 уравнения (62) и, сверх
того, показывает, что это уравнение не имеет другого корня, стремя-
щегося к нулю одновременно с х.
2. Пусть Л2 — ас<^0. Мы знаем, что начало координат есть изоли-
рованная двойная точка. Однако вычисления, которые только что были
нами намечены, могли бы быть применены и в этом случае, и :цы при-
шли бы к двум сходящимся рядам (64) и (65), формально удовлетворя-
ющим уравнению (62), но с мнимыми коэфициентами. Следовательно,
уравнение (62) имеет в этом случае два мнимых сопряженных корня,
которые бесконечно малы вместе с х.
Предыдущий метод легко применяется также и к исследованию ана-
литической кривой вблизи кратной точки произвольного порядкар с раз-
личными касательными.
3. Пусть W — ас = 0. Если за ось х взята касательная в дгойной точке, то
уравнение имеет вид:
У = Ах3 + ВхЛу + Сху2 + Ру2 + ... (67)
Пусть будут и+ y/v ии— |/г» два бесконечно малых корня. Если мы заме-
ним у через и + y/v, то уравнение примет вид:
1Л -j- 2а j/v 4- V— Ах3 + Вхз (и 4 у/v)-+-Cx(u 4- y/v )'2 + D (и -|- y/v )3 4 ...
(69)
Приравнивая нулю ряд, образованный членами, рациональными относительно
V, и коэфициеит при \/v, мы получаем для .определения и и v следующие два
уравнения:
v — — и2 -|- Ах' 4- Вх1и + С хи3 + Cxv 4- Du3 4 3Duv + ... , 1
‘2u — Dv=Bjfi + ‘2Cxu + Wtfi+... J ' 7
К этой системе можно применить общую теорему § 185, и мы найдем, таким
образом, разложения и и v в ряды:
v = Ах3 4- ...,
начинающиеся с членов по меньшей мере третьего и второго порядка соответ-
ственно. В общем случае пусть будут
и = ахРv — Ъхч . (а/>^0, p2s2, q^l)
ряды, которые мы, таким об, азом, получаем. Уравнение (67) имеет два бесконечно
малых корня: __________
у == ахР ± |/ Ьх<1 4- • • •
Вид кривой зависит, прежде всего, от того, является ли q четным или не-
четным.
Первый случай. Пусть <? = 2r-|-l (r2s 1). Допустим, кроме того, что Ь > 0:
при значениях х, близких к нулю, ряд, стоящий под радикалом, имеет тот же
знак, что и Ьх9. Чтобы у было действительно, следует предположить х > 0, и оба
значения у представляются разложением в ряд, расположенный по степеням |/х.
Если г 4- — < р, то членом низшей степени окажется тот, который содер-
Г + Р L 1 \
жит х , и мы имеем точку возврата первого рода. Если > Р> то мы
имеем точку возврата второго рода.
Второй случай. Пусть q — 2r 1). Значения у будут действительны при
бесконечно малых значениях х лишь в том случае, если Ъ положительно. Если
это имеет место, то мы имеем две ветви кривой, .касающиеся в начале координат
оси Ох, и начало координат для каждой из них является обыкновенной точкой,
так как мы можем написать эти два корня следующим образом:
у = ахР 4- ... ± хг 4- М 4- ....
Если Ь отрицательно, то начало координат есть изолированная двойная точка.
191. Аналитические поверхности. Часть поверхности S называется
аналитическою, если вблизи каждой точки Af0 этой части поверхности
координаты х, у, z переменной точки М могут быть разложены в целые
двойные ряды, расположенные по степеням параметров/ — /0, и — и0:
х — Ло= aw(t — /0)Н-а01 (и — и0) —|— ... , "I
У— Л = — + «о) + ... , I (70)
z zo = сю W coi (а — “o' • • • > J
сходящиеся, если абсолютные величины разностей t — tQ, и — и0 не
превосходят некоторых пределов. -Точка /Йо поверхности S называется
обыкновенною точкою, если вблизи этой точки одна из трех разностей
х — хо > У —Уо ’ z — zo может быть разложена в двойной целый ряд,
расположенный по степеням двух других разностей. Всякая точка Л40,
для которой три определителя
D(y,z) D(z,x) D(x,y)
D(t, и) ’ D (t, и) ’ D (t, u)
не равны одновременно нулю, есть обыкновенная точка поверхности.
Например, если первый определитель не равен нулю, то из двух по-
следних уравнений (70) мы получим разложения t — tQ, и — и0 по степе-
ням у — у0, z — z0 и, вставляя эти разложения в первое уравнение, по-
лучим разложение х — х0 по степеням у—у0 и z— za-
Предположим, что поверхность S дана неявным уравнением
F(x, у, z) = 0; пусть будут xQ , y0,z0, координаты какой-нибудь точ-
ки Л40этой поверхности. Если функцию Fix, у, z) можно разложить в трой-
ной целый ряд по степеням х — х0, у—yQ, z — zQ , и если при этом три
dF dF ZF
частных производных — , -—, — не равны одновременно нулю, то
dy0 oZq
из общей теоремы (§ 184) следует, что точка Af0 есть обыкновенная
точка.
Примечание. Данное выше определение обыкновенной точки кри-
вой и поверхности не зависит от выбора осей координат. Предположим,
например, что точка Af0 (х0 , _у0 , z0) есть обыкновенная точка поверхно-
сти S. Тогда координаты соседней точки выразятся формулами вида (70),
D (у, z) D (z, х) D (х, у)
причем три определителя , уууу при t = t0,
не равны одновременно нулю. Преобразование координат заменяет пере-
менные x,y,z тремя новыми переменными X, Y, Z, представляющими
линейные функции старых:
X=a1x4-M + Yi2r + Si>
У=а2х +-₽2v-|-y2z-H2,
Z = a3x-|- М +
. D(X, Y, Z)
причем определитель Д = 'у ~г)~ отличен от НУЛЯ- Заменяя х, у, z
их разложениями (70), мы получим для X, Y, Z три новых разложения
прежнего вида, причем при t=t0, и = и0 не может быть одновременно
D(X, Y)_D(Y, Z)_D(Z, X)
D(t, и) ~' D(t, и) ~ D(t, u) ~ ’
В самом деле, из формул преобразования мы найдем:
х = Y 4- QZ+ Oj,
y = A2X-iB2Y-\-C2Z + D2,
z—а3х 4~ ^з y 4- +d.i ’
и легко видеть, что три приведенных выше функциональных определи-
теля от X, Y, Z могут одновременно равняться нулю только в том
случае, если равны нулю три определителя от переменных х, у, z.
V. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ. РЯДЫ ПОЛИНОМОВ.
192. Ряды Фурье. Мы займемся здесь рядами совершенно иного ха-
рактера, чем ряды, изученные нами выше. В первый раз тригонометри-
ческие ряды, повидимому, рассматривались Даниилом Бернулли (Daniel
Bernoulli) в задаче о колебании струн. Тот способ определения коэфи-
циентов, который мы здесь изложим, принадлежит Эйлеру.
Пусть будет f(x) функция переменного х, ограниченная и интегри-
руемая в промежутке (а, Ь). Мы предположим сначала, что а и b со-
ответственно равны —тс и -|-п; этого всегда можно достигнуть, взяв
новое переменное х', связанное с х соотношением:
и_2тсх— тс
Ь— а
Предположим, что при всех значениях х, заключающихся между —тс
н -j—тс, мы имеем: д
f(x) = у (rZj cos х -|- b2 sin х) .
• • (ат cos mx-]-bm sin тх) Ц- ... , (71)
где а0, ау , Ьг, ... , ат, Ьт, ... — неизвестные постоянные коэфи-
циенты. Эти коэфициенты можно определить следующим простым прие-
мом. Напомним сначала следующие очевидные формулы, в которых
предполагается, что т и п — целые положительные числа:
jsin/rcxfi?x=O;
- 7Т
V
\cosmx dx = Q, если /и^О;
«>
+ 4-«
f , f cos (т — n)x-\-cos(m4-n)x .
1 cos mx cos nx dx~ i---5------------------!--— dx — 0,
1 J
если m=^n;
4- и
C 2 C1 + cos 2/ИХ , , n
I cos2 mx dx=\ —!—---------dx — и, если m 7^ 0;
-- 71 -IT
+51 +?-
C . . . f cos (m— nix — cos (m 4- ri} x ..
1 sin mx sin nxdx= 1--->—-------------51—— dx = 0,
если m 7^
+ * +*
f . , , fl — cos2mx . . .
\ s<n2 mx dx=\ ------------dx = тс, если m 76= 0;
— T. — 7t
> (7OX
+« +*
f . , f sin (m -I- ri) x-4-sin (m — n\x ,
1 sin mx cos nxdx— I —5--------------— dx — 0.
Проинтегрируем обе части равенства (71) между пределами —тг
и тг, причем в правой части произведем интегрирование почленно; мы
получим:
+* 4-те
J/(x) dx~^- dx — па0;
— г. — п,
отсюда найдем значение а0. Умножим теперь обе части соотноше-
ния (71) на cos тх или sin тх и проинтегрируем между пределами —тг
и —тг. Единственным членом в правой части, интеграл которого между
пределами —п и -j-тг не будет равен нулю, будет член с cos2 тх или
sin2 тх-, таким образом мы получим следующие формулы:
+ " +г
\f(x) cos тх dx~-ttam, \f(x) sin mx dx = Ttbm.
Следовательно, значения всех коэфициентов определятся формулами:
4-71 -|-7,
ао — ~ ат~~^ /(я) cos mi da,
+
= — l/(a) sin ma da.
(73)
Приведенное здесь вычисление представляет не более как наведение.
Рядом Фурье называют всякий тригонометрический ряд
— аг соз х -j- by sin х ... -|- ат cos тх -j- bm sin тх
коэфициенты которого получены по формулам (73) из какой-нибудь
интегрируемой функции /(х). Каждой функции /(х), интегрируемой
в промежутке (—тг, -j-тг), соответствует некоторый ряд Фурье, ио
никоим образом не очевидно, что этот ряд Фурье сходится, и что
сумма его равна /(х), совершенно так же, как не является очевидной
сходимость к данной неограниченно диференцируемой функции соста-
вленного для нее ряда Тейлора (§ 170). Мы даже можем утверждать,
что ряд Фурье не всегда представляет ту функцию, для которой он
построен. В самом деле, пусть будут J\ (х) и /2 (х) две функции, отли-
чающиеся между собой лишь для конечного числа значений х между
— тг и —тг; ряд Фурье для обеих функций будет один и тот же (§ 71).
Следовательно, по крайней мере одна из этих функций не предста-
вляется своим рядом Фурье для всех значений х. Но из самого вида
выражений (73) для коэфициентов следует, что если две функции /(х),
(х) представляются своими рядами Фурье, то тем же свойством обла-
дает функция Af(x) + Вр(х) при любых постоянных А и В.
Мы дадим систему dt статочных условий для того, чтобы функ-
ция /(х) была разложима в ряд Фурье в промежутке (—тг, —тг). Эти
условия, которые мы для краткости будем называть условиями Дирихле,
таковы:
1. Рассматриваемый интервал (—тг и —тг) можно разбить на ко-
нечное число частичных интервалов, в каждом из которых функция
монотонна.
2. Все точки разрыва функции являются правильными. Заменив
коэфициенты а;, bt их значениями (73) и сделав приведения, мы найдем
для суммы 2т 1 первых членов ряда Фурье выражение:
у -J-cos(a — х)-|-соз2(д— х)-(- .. .-{-cosт(а— х) da.
-^.+1=7у(я)
Но по известной тригонометрической формуле имеем:
1
2
4~ cos а -{- cos 2а
. 2т 4-1
sin--— а
.. 4- cos та —--------
л . а
2s,n-
и следовательно,
$2т + 1
sin
2т 4- 1
---^-(а-
-----------da
2 sin —
или, полагая a = x-j-2y:
' 2~
S,, = 1 ( /(х + 2>о sin(2gl + 1)yd (74)
2И + 1 IT J * 7' 1 Sinj/ '
- + *
2
Л
Г , sinwx ,
193. Исследование интеграла \f(x) —--------dx. Выражение, которое мы
о
получили для суммы S2m+1, приводит к разысканию предела опреде-
л
Г , sinwx ,
ленного интеграла I f(x) —— dx при неограниченном возрастании п.
1 sin X
о
Первое вполне строгое исследование этого вопроса принадлежит Ди-
рихле (Lejeune-Dirichlet)*; оно основывается на некоторых, уже уста-
новленных нами, предложениях, которые мы здесь напомним.
Определенный интеграл
h
f sin X ,
I —— dx,
J х
о
* Crelle's Journal, т. IV, 1829.
7 э. Гур.-а. т. I, ч. 2.
98 ГЛАЬА IX. ЦЕЛЫЕ РЯДЫ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ § 193
где Л — положительное число, положителен и не превосходит интеграла
71
f sin х
А — I -------dx
J х
о
(§ 88); предел его при неограниченном возрастании h равен
£
(§ 96).
Определенный интеграл
л
sin пх
х
о
dx,
где А>0, а п—целое положительное число, по подстановке пх=у
принимает вид:
nh
\^-dy,
J У
о
следовательно, он положителен и не превосходит А, каковы бы ни были
тт
п и h, и имеет пределом , когда п неограниченно возрастает. Отсюда
следует, что определенный интеграл
ь
f sin пх .
1 -----dx,
J х
а
где а и b — два произвольных положительных числа, стремится к нулю,
когда п неограниченно возрастает, так как он равен разности двух
интегралов
Ь а
Г sin пх , Г sin пх ,
1------dx, I------dx,
J х J х
о о
которые оба стремятся к . Можно, впрочем, показать это и непо-
£
•средственно, применяя вторую теорему о среднем; если а<Ь, то функ-
ция — положительна и убывает между а и о, и мы имеем:
ь Е
f sin пх . if. . 1 cos па—cos
I------dx = — I sin nxdx —-----------------.
J X a J a n
a a
2
Следовательно, абсолютная величина этого интеграла меньше чем — ,
па
откуда мы заключаем, что он равномерно стремится к нулю для всякого
значения Ь, превосходящего а.
Рассмотрим теперь определенный интеграл
h
f sin их
j= ] ф(*) dx,
b
где А О, а <р (х)— функция, положительная и убывающая в интер-
вале (0, h). Тот же интеграл, взятый между произвольными положи-
тельными пределами в том же интервале, стремится к нулю. В самом
деле, предположим, что а<^Ь\ на основании второй теоремы о среднем
мы имеем:
ь г
Г , . sin пх , . . С sin пх ,
1 dx==4) ~T~dx’
а а
и, следовательно, абсолютная величина интеграла меньше
, Но эти
па
вычисления ничего не говорят нам о пределе самого интеграла J.
Чтобы найти этот предел, обозначим через с весьма малое положи-
тельное число; мы можем написать:
С А
, Г sin яг . Г . .
j= \ ?(*) ——dx+\
О с
sin пх .
------ах.
Второй интеграл, как мы только что видели, при неограниченном
возрастании п стремится к нулю. Что же касается первого, то, если
число с достаточно мало, функция <р (х) весьма мало отличается от <р (-j-0)
в интервале (0, с), и представляется довольно вероятным, что этот ин-
теграл должен иметь тот же предел, что и интеграл
Г sin пх ,
о
It
т. е. -ф(_|-0). Чтобы доказать это, напишем разность/—
следующим образом:
£ \ »J ** £ /
о
с Л
, f г , ч , I АЧ sin пХ j I С / v sin пх ,
4-] (*) — <?(+o)]-^—rfx4-\ <p(x)-^—rfx. •
О с
Так как функция (р (х) — <р (-)- 0) убывает в интервале (0, с), то мы на-
пишем второй интеграл так:
С с
( г , , , , sin пх , , С г , , , ч sin пх j
ЦфМ — <₽(+ 0)] —dx-\- [<р(х)~ ~dx\
о о
так как функция ср (х) — ср (с) положительна и убывает, то к последнему
интегралу можно применить вторую теорему о среднем, и мы оконча-
тельно находим:
( г . , , . sin пх ,
j [<р (х) — ср ( 4- 0)] —— dx
О
Точно так же мы имеем:
h
?(*)
с
sin пх ,
-------dx
< 24 [ср (-]-0) — ср(с)].
2ср (с)
ПС
Пусть теперь г — произвольное положительное число. Так как ср(х)
имеет пределом ср(-)-О), когда х стремится к нулю, то мы можем взять
положительное число с достаточно малым, чтобы имело место нера-
венство-
2Д[ср(Ц 0) —ср(с)]< —
О
Выбрав указанным образом число с, выберем, далее, целое число 2V
a 2tP(c)
так, чтобы ' ,
Nc
было меньше —-
и чтобы,
сверх того, при всяком
значении п^ N имело место неравенство:
С
, । С sin пх , тг
<р(4-о) \
о
Для всех этих значений п мы, таким образом, подавно будем иметь:
J — у'?(-+• °) <£-
и, следовательно, мы в самом деле имеем:
Пш 7=-^ ср (4-0).
л = О0 2
(75)
При доказательстве предыдущей теоремы мы подчинили функцию ср (х)
некоторым ограничениям, от которых мы можем теперь освободиться.
Если ср (х) убывает, не будучи постоянно положительной, от 0 до h, то
мы всегда можем прибавить к ней такое положительное постоянное С,
чтобы сумма ф (х) = ср (х) С была от 0 до h положительной и убыва-
ющей; Доказанная теорема применима к этой функции ф(х), и мы
можем написать:
л
<р(х)
‘о
h
sin пх , С . . .
—x- dx = ф(х)
о
л
!i£^dx-c\
X .1
о
sinnx ,
-----ах;
х
правая часть этого равенства имеет
пределом ф (-|- 0) — ~ С,
т. е.
тг
— tp(-j-O). Если функция ср (х) возрастает в промежутке от 0
£
то — ср (х) убывает, и мы имеем:
к Л,
h h
i sin пх , I , . sin nx ,
I <p (x)------dx -- — i — <p (x)----------ax;
X ) X
0 0
интеграл имеет пределом „<л(фО).
Л
Таким же образом мы могли бы доказать, что интеграз
[ . sin пх ,
где а и b — два произвольных положительных числа, а ср (х) — функция,
монотонная в интервале (а, д), стремится к нулю при неограниченном
возрастании п.
Предположим, наконец, что функция ср (х) ограничена и что интер-
вал (0, h) можно разбить на конечное число интерзалов (0, а), (а, Ь),
(Ь, с), ... , (I, h), в каждом из которых функция <р(х) монотонна.
Интеграл от 0 до
а имеет пределом ~ ср (-J- 0), а все остальные,
как,
например,
ь
(’ . . sin лх , ,
I <р(х) —— dX,
а
имеют пределом нуль. Формула (75) применима, следовательно, и к
этой функции.
Интеграл Л
г Г,, sin лх ,
I=\f(x)—.------dx> (76)
j sin х
о
где h есть положительное число, меньшее тг, может быть написан так:
л
7= (/(*)
'о
X Sill лх ,
-----------------ах.
sin х х
Если функция /(х) положительна и возрастает от 0 к h, то это
X
имеет место и в отношении функции ср (х) =/(х) , а следовательно,
мы имеем:
limZ=-J- ср(+О) = -^/(+О). (77)
л=ОО л 4
Посредством рассуждений, совершенно аналогичных тем, которые
только что проведены, мы можем последовательно доказать:
1) что формула (77) применима ко всякой функции, монотонной
в интервале (О,
2) что интеграл
Ь
Г „ , sin пх ,
1 /(V —-------dx,
J sin х
а
где а и b — два положительных числа, меньших тг, а /(х)— функция,
монотонная в интервале (а, Ь), стремится к нулю;
3) наконец, что
л
lirn (/W^T^=y/(+°) (0<А<тг),
! 51П X А
и
(78)
при условии, что интервал (О, А) может быть разложен на конечное
число частичных интервалов, в каждом из которых функция /(х) моно-
тонна.
194. Функции, разложимые в ряд Фурье. Пусть будет /(х) функция,
ограниченная и интегрируемая в интервале (—тг, -|-тг).
Выше мы нашли выражение $2т41 суммы 2т -)-1 первых членов
соответствующего ряда Фурье [формула (74)]. Разложим этот интеграл
„ тг — х п -4- х
на два других, имеющих пределами, соответственно, 0 и —-—,------------—
4 £
и 0, и положим во втором интеграле у =— Z', мы получим:
„ 1 Г ,, । „ . sin(2m1) V , ,
л Ч-Л'
I 1 С ,, „ .sin (2т 4- l)z ,
-4---I f(x— 2z)——!—-~dz.
тг J sin z
6
(79)
Если x заключается между — тг и п,
то значения
тг х
---------- за
ключены между 0 и тг, и мы можем применить теорему предыдущего
параграфа, если только функция /(х) удовлетворяет первому условию
Дирихле, т. е. если интервал (—тг, -4- тг) можно разбить на конечное
число интервалов, в каждом из которых функция монотонна. Тогда это
условие будет выполнено и для функции f(x -f- 2у) переменного у в ин-
/„ тг — х\
тервале ( 0, —-— I, и первый интеграл имеет пределом
\ • £ /
l|^/^+0)] = 4/(x+0).
Точно так же второй интеграл имеет пределом -L-f(x— 0), а следова1
А
тельно, 52от+1 имеет пределом
/(х-|-0)+/(х-0)
2
Предположим, далее, что х равно одному из пределов, например,
— тг. Мы можем написать:
2
с 1 I о \ sin 12/^4- l)v
о
sin (2/n-|~l)j
sin у
2
Первый интеграл правой части имеет пределом /(— п 0);
интеграл, по замене у через тг — z, принимает вид:
второй
2
J/(TT —2д)
о
sin(2/n -f l)z ,
------:------az,
sinz
и имеет пределом — 0)- Следовательно, сумма ряда Фурье при
/(тг —0)тгЦ-О)
х = — тг равна —--------------------1----; ясно, что сумма будет та же
и при Х=П.
Таким образом, если интервал (—тг, -|~п) можно разбить на ко-
нечное число интервалов, в каждом из которых f(x) монотонна, то
/(x-{-0)+/U-0)
соответствующий ряд Фурье сходится и имеет сумму
2
когда х заключено между — п и тг, и сумму
при x=±n.
/( —n-|-0)+/fa-0)
2
Допустим, кроме того, что /(х) имеет лишь правильные точки раз-
рыва; для каждого значения х, заключенного между —тг и -f-n, мы
имеем:
'(*)=
/(х4-0)+/(х—0)
2
и сумма ряда Фурье равна /(х). Следовательно, всякая функция /(х),
определенная в интервале (—п, -|-п) и удовлетворяющая условиям
Дирих ie, монет быть разложена в этом интервале в ряд ФvDьe.
В этом выводе предполагается, однако, что
но это предположение не является логическим следствием того, которое
было сделано относительно природы точек разрыва. В самом деле, если
мы будем изображать х не отрезком, откладываемым на прямой, а ду-
гою, откладываемою -на окружности, радиус которой равен единице, то
сумма ряда в какой-нибудь точке т окружности будет равна среднему
арифметическому двух пределов, к которым стремятся суммы ряда в двух
точках т', ni' окружности, взятых по обе стороны точки т, когда эти
точки т', т' неограниченно приближаются к точке т. Если предельные
значения /(—п~р0', /(п—0) различны, то точка окружности, диа-
метрально противоположная началу отсчета дуг, есть точка разрыва,
и значение функции в этой точке есть также среднее арифметическое
обоих пределов /(—тг-|-0 , /(п—0).
Вообще, пусть будет /(*) функция, определенная в каком-нибудь
промежутке (а, аН-2тг), длина которого равна 2тг, и удовлетворяющая
в этом промежутке условиям Дирихле. Очевидно, что существует одна
и только одна функция F{x}, имеющая период 2тг и совпадающая
с /(х) в промежутке (я, а—]— 2тг); при всяком значении х эта функция
F(x) представляется суммою тригонометрического ряда, коэфициенты
которого ат и Ьт определяются формулами (73):
+ ~
ат = -^ J Д(л) cos тх dx,
Мы можем также написать выражения для коэфициента ат в виде:
1 c Pl ,
a„ = — I F(x) cos mx
m ТГ J '
cos тх dx — — 1 F(x) cos тх dx -j-
тг 1
a-J-2~
-4---I F(x) cos mx dx — —ч Д(х) cos/rax dx= — i /(x)coswx dx.
ТГ ,} ТГ J IT J
Точно так же мы нашли бы:
b,
sin mxd*.
Таким образом, если функция /(х) определена в каком-нибудь про-
межутке, длина которого равна 2тг, то предыдущие формулы позволяют
вычислить коэфициенты разложения этой функции в ряд Фурье, не при-
водя пределов промежутка к —тг и тг.
195. Примеры. 1. Пусть требуется найти ряд Фурье, сумма которого была
оы равна — 1 при — п < х < 0 и 1 при 0 < х < л. Из формул (73) имеем:
0 к
1 f 'Л > 1 А
а$ — — 1 — dx --------| dx = 0,
я J к.)
-ТС О
О я
if I 1 f W А
ат = — , — cos tnx dx + — I cos тх dx 0,
—5 о
О тс
. if. ,
bm = — I — sin тх dx
— тс 0
, 1. , 2 — cos тг. — cos (— /пя)
4-----I sin тх dx --- ------------------------------
I J /ип
Если т — число четное, то Ьт равно нулю; если же т — нечетное, то Ьт
4 it
равно —. Умножая все коэфициенты на , мы получим ряд:
sinx , sin3x , , sin(2'n-f-l)x
^^“Г+“Т_+-" + “2^+‘1—+"' (80)
It
Если п < x < 0, то сумма этого ряда равна— — , если же 0<х<я, то
его сумма равна Точка х = 0 есть точка разрыва, и при х=0 сумма ряда
равна нулю, как это и должно быть. Вообще, сумма ряда (80) равна , если sin х
я
положительно; она равна — , если sin х отрицательно, и равна нулю при
sinx = 0.
Кривая, представляемая уравнением (80), состоит из бесчисленного множе-
ства прямолинейных отрезков, длины которых равны я, лежащих на прямых
параллельных осн Ох, и из бесчисленного множества изолированных
точек (v — 0, x = fe), лежащих на оси Ох.
2. Пусть требуется найти разложение переменного х в ряд Фурье в проме-
жутке между 0 и 2п. Мы имеем:
2г.
л0 — -i J х dx = 2п,
о
Отсюда находим:
х я sin х sin 2х
Y— 2- ! 2~
sin Зх
~3~
(81)
Формула (81) верна для всех значений х, заключающихся между 0 и 2п.
Приравняв правую часть этой формулы переменному у, мы получим уравнение
кривой, состоящей из бесчисленного множества отрезков прямых, параллельных
прямой yz=-^, и из бесчисленного множества изолированных точек.
Примечания. 1. Если функция, определенная в промежутке (— л, 4 л),
четная, т. е. если /(—х)=/(х), то все коэфициенты Ьт равны нулю, так как,
очевидно,
о л
/ (х) sin тх dx = — J / (х) sin тх dx.
-л О
Напротив, если функция/(«) нечетная, т. е. если /(—х) =— /(х), то все
коэфициенты ат равны нулю, включая сюда а0. Если функция определена только
в промежутке от 0 до л, то мы можем продолжить ее в промежутке от — п до 0,
положив:
/(-*)=/(*)
или
/(-х) = -/(х).
Таким образом в промежутке от 0 до п функция /(г) может быть также
представлена рядом одних синусов или одних косинусов.
2. Пусть будет /(х) функция, разложимая в ряд Фурье в промежутке
(—л, 4- л):
f (*) = т? + (а1 cos х 4 sin х) 4- • • • + (ат cos тх 4- bm sin /пх) (82)
где коэфициенты вычислены по формулам (73).
Заменяя в этом равенстве х на —х, имеем:
/(— х) + (al cos х — 61 sin х) + • • • + (.ат cos тх — bm sin mx) + • • • (83)
Из этих двух равенств мы заключаем, что два тригонометрических ряда:
4- at cos х + ... + ат cos тх + ... ,
bt sin х -f- . • •. + bm sin mx 4- • • •
сходятся в промежутке (-- я, 4- л) и представляют, соответственно, функции
it
легко проверить, что это действительно ряды Фурье, относящиеся к соответ-
ствующим функциям.
196. Различные обобщения. Условия Дирихле достаточны для того, чтобы
функция была разложима в ряд Фурье, но они отнюдь не являются необходи-
мыми. Выводы § 193—194 позволяют заменить эти условия другими, более об-
щими, условиями.
Пусть будет /(х) — функция с.ограниченным изменением в промежутке
(— п, 4- л); мы знаем, что она равна сумме двух монотонных функций (х),
/2 (г) в том же промежутке (§ 11). Пусть будут S (х)р S( (х), S2 (х) ряды Фурье,
выведенные для трех функций /(х), ft (х), /2(.х). На основании того, что мы ви-
дели выше, оба ряда S4(x), S2(x) сходятся в интервале (—л, -|-я), и мы имеем
для любой точки внутри этого интервала:
S4 (х) = f* ~Н 0) 4 (х — 0) $ ~ ft (4 + 0) + ft (х 0).
2 * 2 1
с другой стороны, любой член ряда S (х) равен сумме соответствующих членов
рядов и S2. Следовательно, ряд S (х) также сходятся и имеет суммой S4 (х)
+ S2 (х), т. е.
Л (х + 0) + /2 (X +' 0) + А (х - 0) + /2 (X - 0) _ / (х + 0) + /(г - 0)
2 — 2
Таким образом всякой функции f (х) с ограниченным, изменением в интер-
вале (—it, + с) соответ твует сходящийся ряд Фурье, сумма которого равна
/(х + 0)+/(х-0)
2
при всяком значении х, заключенном между — it и + it. Таким же образом мы
убеждаемся в том, что при х = zt: it сумма ряда равна
Д«-0)+/(-« + 0)
2
Если, сверх того, функция f (х) имеет в этом интервале лишь правильные
точки разрыва, то ряд Фурье имеет суммой /(х) при всяком значении х, заклю-
ченном между — ли -[-п.
Метод, примененный в § 192 для вычисления коэфициентов ряда Фурье,
можно обобщить. Рассмотрим ряд функций, ортогональных в интервале (а, Ь):
Го, П....Гл, • • .
т. е. таких, что
ь
|глгГл^х = 0,
а
каковы бы ни были индексы т и п, предполагаемые различными. Если мы пред-
положим, что функция f(x) в интервале (о, ь) разложима в равномерно сходя-
щийся ряд вида
/ (х) =-ЛоГо + •'414’1 + • • • + ^лГл + • • • >
то постоянные коэфициенты At тотчас же определяются. В самом деле, помножим
обе части предыдущего соотношения иа уп и проинтегрируем затем между пре-
делами а и Ь", мы будем иметь, принимая во внимание условия ортоюнальиости:
ь ь
J / (х) Гл (х) dx — Ап J dx,
а а
откуда мы и найдем значение коэфициента Ап. В каждом частном случае нам остается
еще нс ледовать, действительно ли полученный таким образом ряд сходится и
имеет суммой /(х).
Полиномы Лежандра (§ 86) образуют последовательность функций, ортого-
нальных в интервале (—1, + I). Чтобы иметь возможность вычислить коэфици-
енты разложения какой либо функции по этим полииомам, мы должны еще знать
численные значения интегралов
K„ = Jx’rfx.
--1
Пусть будет ап коэфициент при хп в полиноме Х„; принимая во внимание со-
отношения (27) и (28) (§ 86), мы можем написать:
+1 +1 +1
I X2ndx = J o„x"Xftdy = J + dx^
— 1 —i
+ 1
пап f
— 1
Но мы имеем также:
+ 1 +1
J X]l_ldx = an.i § xn-iXn-tdx,
— 1 —1
К па»
следовательно, отношение равно та - , , "--------, т. е.
заключаем, что произведение (2о 4- 1) Кп не зависит от п.
же находим К$ ~ 2; коэфициент Кп равен, следовательно,
2м — 1 _
s---г . Отсюда мы
2м 4- 1
Для и = 0 мы тотчас
2
2м -|- 1 '
197. Разложение непрерывной функции. Георема Вейерштрасса. Пусть
будет у =/(х) функция, непрерывная в промежутке (а, I,). Вейерштрасс доказал
следующее замечательное предложение. Пусть будет г произвольное заданное
положительное число. Можно наити такой многочлен Р (х), чтобы при всех
значениям х в промежутке (у,Ъ) абсолютная величина разности J (х)—Р(х)
была меньше г.
Из множества доказательств этой теоремы наиболее простое принадлежит
Лебегу ( .ebesgue) *. Рассмотрим сначала следующий частный случай. Пусть бу-
дет ф(х) функция, непрерывная в промежутке, от —1 до +1 и определенная
следующим образом: ф(х) = 0 при —Is^xjSJO, и ф(х) —2йх при 0==2хг=:1,
где k — данное постоянное число. Мы можем представить ф (х) в виде: ф (х) =
= k[x-t- |х|]. С другой стороны, при всех значениях х, заключающихся между
— 1 и 4- 1, мы имеем:
I X | — ]/1 - (I—.Х8).
При этих значениях х радикал можно разложить в равномерно сходящийся
ряд, расположенный по степеням (1—х^). Таким образом | х I, а следовательно и
Ф(х) могут быть представлены в этом промежутке многочленом с любою сте-
пенью приближения. Рассмотрим теперь произвольную функцию /(х), непрерыв-
ную в промежутке (л, Ь). Разобьем этот промежуток на п частичных промежут-
ков (й0, at), ('т4, й2), ... , (anLi, й„), причем а — а^ < й4 < л2 < ... йя_4 < ап—Ь,
так, чтобы колебание функции f (л) в каждом из них было меньше . Пусть бу-
дет L ломаная линия, состоящая из отрезков прямых, соединяющих между собою
в последовательном порядке точки кривой у =.f (х) с абсциссами а0, й(, й2.Ь.
Ордината любой точки этой ломаной линии, очевидно, есть непрерывная функ-
ция ,у(х) абсциссы, и абсолютная величина разности f(x) — у (х) меньше
В самом деле, так как при a,L_l<Zx < й,, функция <р (х) содержится между
^(й,±_1) и f(a^), то мы можем написать:
? (х) =/(йи_1) + 0[/(в|х)] -/(й„_1)]=/(п,-,) (1 - 0) K)0,
где 0 — положительное число, меньшее единицы. Отсюда имеем:
f (х) - ? (X) = [/(х) -/(аи_,)] (1 - 0) 4- [/(X) —7(^)10.
* Bulletin des Sciences mcthima'iques, стр. 278, 1898.
Так как множитель 6 положителен и меньше единицы, то абсолютная величина
разности / — <р меньше у (1 — 0 4-6) = у • Мы можем представить функцию (х)
как сумму п функций, аналогичных вышеуказанной функции ф (х). В самом деле,
пусть будут Ло, Л2.......Ап вершины ломаной линии •/_, взятые в их по-
следовательном порядке. Функция о (х) может быть представлена как сумма
двух функций ф4 и <р,; ф1 представляет в промежутке (а, Ъ) ту прямую, на кото-
рой лежит сторона А0А{, а представляет некоторую многоугольную ли-
нию Ло'Д/ • • Лв’, первая сторона которой Ло'Л/ лежит на оси Ох, так как
в промежутке (а0, <z4) мы должны иметь ?(х) = ф1(х). Фу кция у4(х, в свою
очередь, равна сумме двух непрерывных функций ф2 и <р2; ф2 в промежутке между
а и л, равна нулю, а в промежутке между а, и Ь представляет прямую, на
которой лежит сторона Л/Л2', тогда как <р2 представляет некоторую много-
угольную линию Ац'А“А/ ... А,[', три вершины которой А9", А", А%" лежат
на оси Ох, и т. Д. Таким образом мы можем представить <р <х) как сумму п функ-
ций ? (х) = ф4 4- ф2 . 4- ф„, где есть непрерывная функция, равная нулю
между а и a^i и представляемая отрезком некоторой прямой в промежутке
между а;_( и Ь. Сделав замену переменного Х=тх + п И выбирая соответ-
ствующим образом числа т и п, мы можем представить фДх) в промежутке
( — 1,-t-l) следующим равенством:
ф,(х) = А[А4-|АЦ.
Это показывает, что ф/ (х) можно представить с любою степенью приближения
многочленом. Так как каждую из функций ф/ можно представить в промежутке (а, Ь)
многочленом с приближением, меньшим =- , то ясно, что сумма этих многочле-
иов будет отличаться от функции f (х) меньше чем иа г.
Из предыдущей теоремы следует, что всякая функция, непрерывная в про-
межутке (а, Ь), может быть представлена в этом промежутке равномерно
сходящимся рядом многочленов. В самом деле, возьмем последовательность
положительных убывающих чисел е4, е2, ... , sn, общий член которой при не-
ограниченном возрастании п стремится к нулю. На основании предыдущей теоремы,
для каждого числа е этой последовательности мы можем найти такой многочлен Pt (х),
чтобы абсолютная величина разности / (х) — Pt(x) во всем промежутке (а, Ь)
была меньше е/. Рассмотрим ряд:
pi (*) + Ря W — Pt (х)] 4- • • 4- W — Pn-i (х)] 4- •
Если х заключается в промежутке (а, Ь), то этот ряд — сходящийся, и его сумма
равна j (х). В самом деле, ясно, что сумма S„ его п первых членов равна Ря(х);
следовательно, разность / (х) — Sn, абсолютная величина которой остается мень-
шей гп, при неограниченном возрастании п стремится к нулю. Кроме того, ряд
будет равномерно сходящимся, так как, взяв п достаточно большим, можно сде-
лать абсолютную величину разности /(х) — S„ меньшей произвольно малого по-
ложительного числа при всяком значении х, заключающемся в промежутке (а, Ь).
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Применить формулу Лагранжа к разложению по степеням х того корня
уравнения уР = ау х, который обращается в а при х = 0.
2. Решить ту же задачу для уравнения у — а 4- хут+‘ — 0. Применить ре-
зультат к квадратному уравнению а — йх4-сх2 = 0: разложить по степеням с ко-
„ а
реиь, стремящийся к у, когда с стремится к нулю.
3. Вывести формулу:
4. Если х больше — , то
X — х 4.' ( Х х Y
l/Гм 1 -рх' + Т \Г+7) + 2-4\1-рх/ +
5. Если | х | < 1, то
_ 1 Чх 1 / 2t \s, 1-3 / Чх V,
Х~ 2 1 +х2 + 2-4 V + х*) + 2-4.6 U4-X»/ +
Чему равна сумма ряда, если | х | > 1?
6. Вывести цормулу:
1 fl ”х , 0 / У я(я—1)(я —2)7 х у -1
’ “а4 д-рх'+’ 1-2 кд-Рх/ 1-2-3 кд + х/г’” I’
7. Показать, что те значения sinmv и cos/ил:, которые при sinx = 0 равны
соответственно 0 и 1, разлагаются в ряды по степей: м sin аг:
Г . trfi - 1 . „ . (m2 — 1) (zn2 — 9) 1
sin mx — m sin x-------p- „ sin3x-p --— sinsx— .. I
1^ 1 • 2 • о 1*2*0*4*D I
1 mi mi (th2 — 4) . ,
cos mx = 1 — v—=, sin2 x-p . „ „ , sin* x — . .
1-2 1 1-2-3-4
[Можно воспользоваться диференциальным уравнением
(1 — j2) -j-~—yd/ -р mia = 0,
' у ’ dyi х dy 1
которому удовлетворяют cos тх и sin тх, рассматриваемые как функции от
_у= sin к J
8. Вывести из предыдущих формул разложения
cos (и arc cos х), sin (и arc cos х).
9. Доказать следующие формулы:
In (х + 2) = 2 In (х + 1) — 21п (х- 1) + 1п(х —2) +
+ 2| 2 +>( 2 )'+'( 2 )‘+...1
[х3 - Зх 3 Хх3 — Зх/ 5 \ х3 — Зх/ J
[ряд Борда]
и
1п (х -р 5) = In (х -р 4) -р 1п (х -р 3) — 2 1п х -р 1п (х — 3) -р 1п (х — 4) — 1п (х— 5) —
- 2 Г 72 I 1 ( 72 1 4- 1
[х4—25х2-р72"г 3 кХ4— 25х2-р72/ 't’ ”J
[ряд Apo (Наго)].
10. Функция /(х), непрерывная в промежутке (а, Ь), для которой
b
/’(x)x"dx = 0
а
при и = 0, 1, 2, ... , тождественно равна нулю.
Указание. Предполагают, что / (х) разложена в равномерно сходящийся ряд
»
многочленов, и отсюда выводят, что \ [f(x)\idx равен нулю [Мур (Moore)].
- 11. Непрерывная функция, отличная ст нуля, не может иметь ряда Фурье,
тождественно равного нулю.
Указана. Предположим, что /(х)>м> О в интервале (а, Ь), причем а и Ъ
заключены между 0 "и 2г, и положим:
, . / а + b\ а — b
ф=1 + cos ^х-------2~J — cos —,
2 г
Доказываем, что интеграл \ / (х)!'!'” dx не может быть нулем для всякого п
о
(см. Lebesgue, Lemons sur les series trigonometriques, стр. 37). Отсюда заключаем,
что две различные непрерывные функции не могут иметь одного и того же ряда
Фурье. Следовательно, если ряд Фурье для функции j(х) сходится равномерно,
сумма этого ряда равна /(х)
12. Вычислить коэфициенты Фурье для непрерывной функции / (х) с перио-
дом 2rt, представляемой ломаной линией Из равномерной сходимости этого ряда
вывести новое доказательство теоремы Вейерштрасса из § 197.
ГЛАВА X.
ТЕОРИЯ ОГИБАЮЩИХ. ПРИКОСНОВЕНИЕ.
В диференциальной геометрии обыкновенно рассматриваются только
аналитические линии и поверхности. Но для существования тех геомет-
рических элементов, к определению которых мы теперь переходим,
нужно только, чтобы функции имели производные до некоторого ко-
нечного порядка. Так, плоская кривая, представляемая уравнением
у —/(х), имеет касательную, если функция/(х) имеет производную/'(<),
имеет радиус кривизны, если /'(х) в свою очередь имеет производную
/"(*), и т, д.
I. ОГИБАЮЩИЕ КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ.
193. Разыскание огибающих. Пусть дано уравнение плоской кри-
вой С:
/(х, у, а) =0, (1)
зависящее от переменного параметра а. При изменении этого параметра
кривая С будет, вообще, непрерывно изменяться по виду и по положе-
нию. Если все кривые С касаются некоторой определенной кривой Е,
то эта кривая Е называется огибающею кривых С; кривые С называются
огибаемыми кривою Е. Посмотрим, как по данным кривым С узнать,
имеют ли эти кривые огибающую, и как найти эту огибающую.
Предположим, что огибающая существует. Пусть будут х, у коор-
динаты точки прикосновения М кривой Е с огибаемою кривою С, со-
ответствующею значению а параметра. Эти координаты х, у суть неиз-
вестные функции параметра а, удовлетворяющие уравнению (1). Чтобы
их иайти, нам нужно выразить, что касательная к кривой, описываемой
точкою М при изменении а, совпадает с касательною к кривой С.
Обозначим через Sx и by количества, пропорциональные направляющим
dx dy
косинусам касательной к огибаемой кривой С, и через —про-
изводные от неизвестных функций х = <р(а), _у = ф(а). Тогда должно
быть:
dx dy
аа ___ da
bx Sy
Так как кривая С представлена уравнением (1), в котором параметр а
имеет постоянное значение, то для определения касательной к кривой С
мы имеем:
й/ •. , 3/ »
Зх 4- ^-oj = O.
йх йу
(3)
С другой стороны, и неизвестные функции x = (f(a), У — $(а) также
должны удовлетворять уравнению:
f{x,y, а) —О,
но а обозначает здесь уже не постоянное, как ранее, а независимое
переменное; поэтому мы будем также иметь:
й/^о. (4)
dxda'dyda'da '
Условие (2) вместе с уравнениями (3) и (4) дает:
йа
(5)
Уравнения (5) и (1) определяют неизвестные функции х = <р(а),
в = ф(а). Следовательно, в тех случаях, когда огибающая сущест-
вует, мы получим ее уравнение, исключив параметр а из уравнений
Пусть будет R (х, ) = 0 результат исключения параметра а из
уравнений (1) и (5). Найдем, при каких условиях эта кривая представ-
ляет огибающую. Пусть будет Со одна из кривых семейства (1), соот-
ветствующая значению а0 параметра; далее, пусть будут (х0,_у0) коорди-
наты точки пересечения Мо кривых
f(x,y, ао) = 0, ^ = 0. (6)
Уравнения (1) и (5) определяют две функции х — у(а), _у = ф(а), обра-
щающиеся при а — а0 соответственно в х0, у0. Сл овательно, при
а = а0 мы будем иметь:
й/ /dx\ । й/ /dy\ Q
йхо \аи./0 йу0 \daj0
Из этого соотношения и из соотношения (3) видно, что в точке (х0, _у0)
касательная к кривой Со совпадает с касательною к кривой /?(х, у) = 0,
описанной точкою (х, у), если только не будет одновременно — — 0,
й/ п
jj, —0, т. е. если точка (х0, _у0) не будет особою точкою кривой Со.
Таким образом уравнение R (х, _у) == 0 представляет или огибающую
кривых С, или же место особых точек этих кривых.
8 Э. Гурса, т. I, ч. 2.
Этот результат можно дополнить. Если каждая из кривых С имеет
одну или несколько особых точек, то место этих особых точек необ-
ходимо входит как часть в кривую R{x, у) = 0. В самом деле, пусть будут
(х, у) координаты одной из этих особых точек. Координаты (х, у) суть
функции от а, удовлетворяющие одновременно трем уравнениям:
Л*,У, а) = 0, ^ = 0, ^ = 0,
сХ ду
а следовательно, и уравнению — 0. Отсюда следует, что
(х,у) удовлетворяют уравнению /?=0, получающемуся от
параметра а из уравнений /=0, ^ = 0. В самом общем
ой
координаты
исключения
случае кри-
вая 7?(х, _у) = 0 состоит из двух аналитически различных частей, из
которых одна есть собственно огибающая, тогда как другая представ-
ляет место особых точек кривых данного семейства.
Пример. Рассмотрим семейство кривых
f(x,y, а)=у*—_у2-(-(х—а)2—0.
Мы имеем ~ = — 2 (х — а), и, исключая а из уравнений /=0, ~=0,
о a, vd
получим уравнение у4—у2=0, представляющее три прямых у —0,
_у = —1-1, у = —1. Легко видеть, что можно получить все кривые дан-
ного семейства из кривой у4— _у2-|-х2 = 0, заставляя ее перемещаться
параллельно Ох. Но эта последняя кривая имеет двойную точку в начале
координат и касается прямых _у = ±1 в точках их пересечения с
осью Оу. Следовательно, прямая _у=0 есть место двойных точек, тогда
как прямые у —-I- 1 представляют огибающую в собственном смысле.
Если кривые С имеют огибающую Е, то каждая точка этой оги-
бающей есть предельное положение точки пересечения двух кривых
рассматриваемого семейства, соответствующих двум бесконечно близ-
ким значениям параметра. В самом деле, пусть будут
/(х, у, а) = 0, f(x,y,a-\-h) = 0
(7)
уравнения двух кривых семейства, близких между собою. Уравнения (7),
определяющие точки пересечения этих кривых, очевидно, могут быть
заменены системою двух равносильных уравнений:
ЖУ,о) = 0, (7';
При приближении h к нулю, т. е. при неограниченном приближениг
второй кривой к первой, второе из этих уравнений обращаете;
V А
в — = 0, откуда видно, что в пределе эти точки пересечения обра
да
щаются в точки огибающей кривой*. Геометрически это свойство почтг
* Доказательство представится в более строгом виде, если второе из уравие.
ний (7') написать в форме: fa' (х, у, а + 0Л) - 0. Если точка (х, у) стремится к пре
дельной точке (х1; у1г), когда h стремится к нулю и производная fa' непрерывна, тс
координаты предельной точки удовлетворяют двум соотношениям f(xlt yf, а) = (
и yt, а)—0.
очевидно. В самом деле, из
двух близких между собою
к точке прикосновения М,
когда кривая С стремится
слиться с кривою С. Точно
так же из черт. 32b видно,
что если кривые (1) имеют
двойные точки, то две точки
пересечения двух близких
между собою кривых С, С
стремятся слиться с этою
двойною точкою, когда кри-
вая С неограниченно при-
ближается к кривой С.
Из предыдущего замеча-
ния понятно, почему вместе
с огибающею мы должны
черт. 32а видно, что точка пересечения W
кривых С, С неограниченно приближается
Черт. 32а.
получить и место
точек. Предположим,
особых
например, что / (х, у, а) есть
Черт. 32b.
многочлен /и-й сте-
пени по а. Для точки Мо (х0,_у0), взятой произвольно на плоскости, уравнение
/(*о> у0, а) = О
(8)
дает, вообще, т различных корней для а; следовательно, через точку ЛТ0
проходит т различных кривых рассматриваемого семейства. Но если
точка 7И0 лежит на кривой /?(х, _у) = 0, то мы имеем одновременно:
f(x0, у0, а) = 0,
г=«.
да
и уравнение (8) имеет двойной корень относительно а. Таким образом
мы видим, что кривая R(x,y) — 0 есть место тех точек плоскости, для
которых сливаются между собою две из числа кривых семейства (1),
проходящих через одну из этих точек. Но из черт. 32а и 32b видно,
что приближается ли точка N неограниченно к огибающей или
к кривой, представляющей место особых точек, — в обоих случаях две
кривые семейства, проходящие через N, весьма близки одна к другой
и в пределе стремятся слиться.
Примечание. Часто бывает нужно найти огибающую кривой
R(x, у, а, й) = 0, (9)
уравнение которой содержит два переменных параметра а и Ъ, связанных соотно-
шением <с (а, />)==0. Этот случай не отличается существенно от общего случая,
так как мы можем рассматривать b как функцию от а, определяемую уравне-
нием <р = 0. Согласно выведенному выше правилу, мы должны присоединить
к уравнению (9) другое уравнение, которое получим, приравняв нулю производ-
ную по а от левой части уравнения (9):
да db da
Но из соотношения у (а, й) — 0 имеем:
+ = о.
да db da
8*
Исключая из двух последних уравнений , получим:
= 0 (10)
да db дЬ 6а
Таким образом мы получим уравнение огибающей, исключая а и Ъ из уравне-
ний f = 0, <р == О и из уравнения (10).
199. Огибающая прямой линии. Возьмем уравнение прямой D в нормаль-
ном виде:
х cos а -|- у sin а—/(а) = 0, (И)
причем переменным параметром служит угол а. Взяв производную по параметру а
получим:
— х Sin а 4- у cos а—/'(а)~ 0- (12)
Из уравнений (И) и (12) мы найдем координаты точки прикосновения подвижной
прямой D с огибающею:
х=/(я) cos а— /'(a) sin а, т
у — f(i) sin а 4-/' (а)cos а. / 1 '
Легко убедиться, что касательная к кривой Е, описываемой точкою (х, у),
есть в самом деле прямая Z); действительно, из уравнений (13) имеем:
rf.C = --[/(a)+/"(a)]sin arfa, т
dy = [/ а) /" (а)] cos а di, f ( '
и, следовательно,
Но ctga есть угловой коэфициент прямой' D.
Обозначая через а длину дуги огибающей, мы получим из уравнений (14)
ds = j/dx2 -f- rfy2 = ± [f (a) 4 f" (a)J di,
, следовательно,
s = ± /(0 d® •
Отсюда видно, что, взяв за f (а) производную от заранее известной функции
мы получим спрямляемую кривую *.
Положим, например, / (а) = / sin a cos а. Полагая в уравнении (11) последова-
тельно у = 0, х= 0, получим (черт. 33): ОЛ = I sin a, OB = 1 cos а, и, следова-
тельно, АВ=1. Мы видим, что искомая кривая есть огибающая прямолинейного
отрезка постоянной длины I, концы которого скользят по двум взаимно перпенди-
кулярным прямым. Формулы (13) дают здесь:
х = I sin3 a, y~l cos3 a,
* Все количества, входящие в формулу для з:
[/'(a) +j/(a)rfa],
имеют геометрическое значение. Так, а есть угол между Ох и перпендикуля-
ром ON, опущенным из начала координат на подвижную пряму , /(а) — расстоя-
ние ON от начала координат до этой прямой, /' (а) равно по абсолютной вели-
чине расстоянию MN от точки прикосновения М подвижной прямой с ее
огибающею до основания N перпендикуляра, опущенного из начала координат
на подвижную прямую. Эта формула спрямления называется иногда формулою
Лежандра.
и уравнение огибающей будет:
2 2
Это — уравнение гипоциклоиды с четырь»
представленный на черт. 33. При изме-
. я
нении а от 0 до — точка прикоснове-
ния М описывает дугу DC. Длина этой
дуги, считая от точки D, равна:
а
( гз/
s = j 37 sin а cos а da = -L- sin2 a,
0
Пусть будут I вершина прямоуголь-
ника, построенного на ОА и ОВ, и
М-“-основание перпендикуляра, опущен-
ного из / на АВ. Из треугольников АМ/,
АМР имеем:
АМ = А/ cos а = / cos2 а, АР=АМ sinot =
— / cos2 a sin а.
Следовательно ОР = О А — АР = I sin2 а,
и точка М есть точка прикосновения прямо
ВМ = 1- АМ
Черт. 33.
АВ с огибающею. Отсюда получаем
I sins а;
таким образом длина дуги DM — — ВМ.
200. Огибающая окружности. Пусть будет
(х— а)2 + (у—6)2 —р2 = 0 (15)
уравнение окружности, где а, Ь, р суть функции
знаем, что точки, в которых окружность (15)
касается огибающей, суть точки пересече-
ния этой окружности с прямою
(г — а) а'-Из' — *)о' + рр' = 0. (16)
Прямая (16) перпендикулярна к каса-
тельной к кривой, описываемой центром (а, д)
окружности при изменении параметра t;
расстояние этой прямой от центра равно
р^?,где а — длина дуги кривой С, отсчиты-
ваемая от какой-либо определенной точки
этой кривой. Прямая (16) пересекает окруж-
ность в двух точках N, N’, симметричных
относительно касательной МТ (черт. 34);
следовательно, огибающая будет состоять из
двух ветвей Е, Е', которые, вообще, не бу-
дут аналитически различными. Рассмотрим
переменного параметра t. Мы
несколько частных случаев. Черт. 34.
1. Если р постоянно, то хорда прикос- р
новения АЛТ обращается в нормаль РР'
к кривой С, и огибающая состоит из двух параллельных кривых Ср Ci. Мы по-
лучим эти кривые, откладывая на нормали к кривой С по обе стороны от
точки М постоянную длину р.
2. Если р = з + С, то р-$=р, и хорда NN' обращается в касательную
к окружности в точке Q. В этом случае обе ветви огибающей сливаются в одну
кривую Г, и нормалями к этой огибающей Г служат касательные к кривой С.
Кривая С называется в этом случае разверткою (эволютою) кривой Г; обратно,
кривая Г называется развертывающее (эвольвентою) кривой С (см. § 225).
Если rfp > ds, то прямая (16) не пересекает окружности, и огибающая будет
мнимая.
Вторичные каустики, Предположим, что радиус переменной окружности
пропорционален расстоянию центра этой окружности от некоторой постоянной
точки О. Примем эту точку О за начало координат. Тогда уравнение окружности
будет иметь вид: (х-ар- + (у— 6)2 = №(<# + tty.
где k — постоянный множитель. Уравнение хорды прикосновения будет:
(х — а)а' + (у — b)b' + № (аа' -|- ЪЬ') — 0.
Пусть будут S и S' расстояния центра М (а, &) окружности от хорды прикос-
новения NN' и от параллельной ей прямой, проведенной через начало коорди-
нат (черт. 35). Из предыдущих уравнений имеем: 3 = 623'. Следовательно, мы по-
лучим хорду прикосновения, взяв на радиусе МО такую точку Р, чтобы МР —
= №МО, и опустив из точки Р перпендикуляр на касательную МТ к месту
центров С данного семейства окружностей. Предположим, что k < 1, и пусть
будет Е ветвь огибающей кривой, расположенная по одну сторону с точкою О
относительно касательной к кривой С. Обозначим через i и г углы, образуемые
прямыми МО и MN с нормалью MI. Мы будем иметь:
. . Ма . Мр
= sinr—-~,
MQ MN
sin i Mq MQ ______ 1
sin r Mp — MP ~~ k
линиею раздела между средою, в
Предположим, что в О находится светящаяся точка, и что кривая С служит
которой находится точка О, и другою средою,
0 Е
Черт. 35.
I
к
относительно касательной
показатель преломления которой относительно
первой среды равен -j. После преломления
падающий луч ОМ обращается в преломлен-
ный луч МР, который, по закону преломления,
будет лежать на продолжении прямой MN.
Следовательно, все преломленные лучи MR
будут нормальными к огибающей Е, которая
называется вторичною каустикою через пре-
ломление. Каустика в собственном смысле,
или огибающая преломленных лучей, есть раз-
вертка вторичной каустики.
Вторая ветвь огибающей Е' не имеет, ра-
зумеется, никакого физического значения; она
соответствовала бы отрицательному показателю
преломления. Если мы предположим 6=1, то
огибающая Е обратится в самую точку О,
тогда как огибающая Е' будет геометрическим
местом точек, симметричных с точкою О
кривой С. Вместе с тем эта кривая будет также
вторичною каустикою через отражение для световых лучей, выходящих из
точки О и отраженных от кривой С. Таким же образом можно доказать, что если
из каждой точки кривой С мы опишем окружность радиусом, пропорциональным
расстоянию этой точки от некоторой неподвижной прямой, то огибающею этих
окружностей будут вторичные каустики для световых лучей, выходящих из бес-
конечно удаленной светящейся точки.
201. Поверхности с одним параметром. Пусть будет
f(x, у, г, а) = 0 (17)
уравнение поверхности S, зависящей от произвольного параметра а.
Если существует некоторая поверхность Е, касающаяся каждой из по-
верхностей 5 вдоль некоторой кривой С, то эта поверхность Е назы-
вается огибающей поверхностей 5, а линия прикосновения С поверхно-
стей S и Е — характеристикою.
Таким образом, чтобы узнать, имеют ли данные поверхности S оги-
бающую, нужно исследовать, можно ли определить на каждой из поверх-
ностей S такую кривую С, чтобы место всех этих кривых, соответ-
ствующих различным значениям параметра, касалось каждой поверхности 5
вдоль соответствующей кривой С. Пусть будут х, у, z координаты ка-
кой-нибудь точки М характеристики. Если эта точка не есть особая
точка поверхности S, то уравнение касательной плоскости к этой по-
верхности в точке М будет:
^(X-x) + ^(Y-y) + ^(Z-z) = 0.
С х бу 6Z
С другой стороны, вдоль огибающей поверхности Е количества х, у,
z, а будут функциями двух независимых переменных, удовлетворяющих
уравнению (17), и между их диференциалами будет иметь место соот-
ношение:
+ (17')
Зх 1 Зу ' iz 1 За '
Чтобы касательная плоскость к поверхности Е была тождественна с ка-
сательною плоскостью к поверхности S, необходимо и достаточно, чтобы
между диференциалами dx, dy, dz существовало соотношение:
dx 4- dy dz = 0.
Зх 1 Зу tz
Сравнивая это условие с (17'), получим:
Такими же приемами, как и в случае плоских кривых (§ 198), можно
доказать, что, обратно, уравнение R (х, у, Z] = 0, получающееся от
исключения параметра а из двух уравнений (17) и (18), представляет
или огибающую поверхностей S, или же место особых точек этих по-
верхностей. Характеристика С, представляемая уравнениями (17) и (18),
есть также предельное положение линии пересечения поверхности 5
с бесконечно близкою поверхностью того же семейства.
202. Поверхности, зависящие от двух параметров, Рассмотрим теперь
уравнение
/(х, у, z, а, Ь) ~ 0, (19)
представляющее поверхности S, зависящие от двух параметров а и Ь.
Вообще, не существует такой поверхности, которая касалась бы каждой
поверхности рассматриваемого семейства вдоль некоторой кривой. В са-
мом деле, если мы установим между параметрами а и b некоторое со-
отношение £ = (р(а), то семейство поверхностей (19) обратится в се-
мейство поверхностей, зависящих уже только от одного параметра, и
характеристика этого семейства будет представлена уравнением (19) и
уравнением
й{+й4'?'(й)=о’ (20)
QU
где b связано с а соотношением Ь — у(а). Эта характеристика зависит,
вообще, от произвольной функции ср (а), так что на каждой поверхно-
сти S есть бесчисленное множество характеристик; следовательно,
с изменением а и b эти характеристики не образуют, вообще, одной
поверхности. Будем теперь искать, существует ли такая поверхность Е,
которая касается каждой поверхности Sне вдоль кривой, а только в одной
или нескольких точках. Если такая поверхность существует, то коорди-
наты (х, у, z) точки прикосновения поверхности S с огибающею Е будут
функциями двух переменных параметров а и Ь, удовлетворяющими со-
отношению (19i; следовательно, при перемещении по поверхности Е их
диференциалы dx, dy, dz удовлетворяют соотношению:
da+>l (21)
Чтобы поверхность Е, представляющая место точек (х, у, z), касалась
поверхности S, необходимо, кроме того, чтобы было
^-dx-|-^ dy =
йх 1 iy йг
Принимая во внимание соотношение (21), получим:
^-da^- db = O.
да дЬ
Так как а и b — переменные независимые, то координаты (х, у, z) точки
прикосновения должны одновременно удовлетворять уравнениям:
Следовательно, мы получим уравнение огибающей поверхности, исклю-
чив а.и b из трех уравнений (19) и (22). Действительно, приведенное
рассуждение показывает, что полученная таким образом поверхность ка-
сается поверхности S, если только значения (х, у, z), удовлетворяющие
уравнениям (19) и (22), не удовлетворяют одновременно уравнениям:
ЙХ йу dZ
Следовательно, получающаяся поверхность будет или огибающею по-
верхностей S, или же местом их особых точек.
Таким образом мы имеем огибающие поверхности двух разных ви-
дов, смотря по тому, зависят ли огибаемые поверхности от одного или
от двух параметров. Например, касательная плоскость к сфере или
к гиперболоиду зависит от двух параметров, и она касается поверхно-
сти только в одной точке. Напротив, касательная плоскость к конусу
или к цилиндру зависит только от одного переменного параметра, но
зато касается своей огибающей поверхности вдоль целой образующей.
203. Развертывающиеся поверхности Если мы имеем семейство пло-
скостей, зависящих от одного переменного параметра, то поверхность,
огибающая плоскости этого семейства, называется развертывающеюся
поверхностью. Пусть будет
z = ax-\-yf(a)-]-^ (а) (23)
уравнение переменной плоскости Р, а — переменный параметр, и /(а),
ср (а) — некоторые функции этого параметра. Характеристика плоско-
сти Р представится уравнением (23) и уравнением
х + У? (а) + <?' («) = 0, (24)
которое получим, диференцируя уравнение (23) по а. Отсюда видно,
что в нашем случае характеристика есть некоторая прямая линия О;
следовательно, развертывающаяся поверхность есть поверхность линей-
чатая. Докажем, что все прямые G касаются некоторой кривой двойной
кривизны. Для этого продиференцируем (24) по а; получающееся урав-
НбНИб
yt"(a) -j- <р"(а) = О (25)
определяет на характеристике G некоторую точку ЛЕ При изменении
параметра а местом точек М будет некоторая кривая двойной кривиз-
ны Г, касательною к которой служит прямая G. В самом деле, кри-
вая Г представляется тремя уравнениями (23), (24), (25), из которых
мы можем выразить координаты х, у, z в функции параметра а. Дифе-
ренцируя два первых из этих уравнений и принимая во внимание по-
следнее, получим:
dz — a dx +/(я) dy, dx-\-f (a)dy = 0. (26)
Но те же соотношения (26) мы получим и для характеристики G, ди-
ференцируя уравнения (23) и (24) при а постоянном. Отсюда следует,
что касательная к кривой Г параллельна характеристике G; кроме того,
обе эти прямые имеют общую точку Л1; следовательно, они между со-
бою тождественны.
Из предыдущего следует, что всякую развертывающуюся поверх-
ность можно определить как место касательных к некоторой кривой
двойной кривизны Г. В виде исключения, эта кривая Г может обра-
титься в точку на конечном или бесконечном расстоянии; тогда раз-
вертывающаяся поверхность обращается в конус или цилиндр. Это
будет, если /"(а) = 0.
Обратно, место касательных к каждой кривой двойной кривизны Г
есть развертывающаяся поверхность. Пусть будут
x=f(t), j = <p(O, z = $(t)
уравнения кривой Г. Соприкасающаяся плоскость этой кривой (см. даль-
ше, § 214)
А(Х —х)-]-В (У—у) -)-C(Z — z) — 0, (27)
где коэфициенты А, В, С удовлетворяют двум соотношениям:
A dx^-Bdy 4-С dz = Q, Ad*x -J- В d*y f С d*z = 0, (28)
зависит только от одного переменного параметра t. Покажем, что ха-
рактеристика этой плоскости есть касательная прямая к кривой Г. Эта
характеристика есть линия пересечения соприкасающейся плоскости
с плоскостью
dA (X — х)dB(Y—у)dC(Z —z) =
которая также проходит через точку (х, у, z). Чтобы доказать, что эта
линия совпадает с касательною прямою к кривой Г, достаточно пока-
зать, что
A dx 4- В dy ф С dz = 0,
dA dx 4- dBdy 4- dC dz— 0.
Первое из этих соотношений есть одно из соотношений (28), опре-
деляющих коэфициенты А, В, С; второе мы получим, диференцируя
первое и принимая во внимание вторую из формул (28);
A d*x + В d2y Сd2z = 0.
Этот способ образования поверхностей дает довольно ясное пред-
ставление о форме этих поверхностей. Пусть будет АВ дуга кривой
двойной кривизны. Проведем в каждой точке М дуги АВ касательную
и рассмотрим только ту из двух частей касательных, считая от точки
прикосновения, которая соответствует одному из двух противоположных
направлений на этой касательной, например направлению от А до В.
Место этих полупрямых есть часть поверхности или полость , огра-
ниченная дугою АВ и двумя касательными в точках А и В, прости-
рающимися в одну сторону в бесконечность. Если мы возьмем таким
же образом остальные части касательных, то получим другую полость
,S2, соединяющуюся с вдоль дуги АВ. Для наблюдателя, помещаю-
щегося над кривою, обе полости развертывающейся поверхности будут
казаться отчасти закрывающими одна другую. Ясно, что всякая пло-
скость, проходящая через какую-нибудь точку О дуги АВ, будет пересекать
обе полости и 52 развертывающейся поверхности по двум ветвям
кривой, сходящимся в точке О и образующим здесь точку возврата.
Вследствие этого кривая двойной кривизны Г называется ребром воз-
врата развертывающейся поверхности.
В этом свойстве также легко убедиться вычислением. Примем точку О
за начало координат, секущую плоскость — за плоскость хОу, касатель-
ную прямую — за ось Oz, и соприкасающуюся плоскость — за плос-
кость xOz. Если мы примем z за независимое переменное, то разло-
жения координат х, у точки кривой Г будут иметь вид:
х = а^ a3z9-\- .. ., _у = 63гЗ-|-..
так как в начале координат должно быть:
dx dy d2y
dz dz dz2
Отсюда следует, что уравнения касательной прямой к кривой Г в точ-
ке, близкой к началу координат, будут:
X—ачг2— a,za—... Y—b„z3—... „
_____i______О ___ -Л-____о__________—— / 7
1a2z Зй3д2 -}-...
Полагая Z = 0, мы получим координаты X, ¥ точки пересечения ка-
сательной прямой с секущею плоскостью. Разложения этих координат
начинаются соответственно членом с г2 и членом с zs. Следовательно,
кривая Г имеет в начале координат точку возврата.
Пример. Примем за ребро возврата кривую двойной кривизны третьего
порядка x—t, y—fi, z~-ts. Уравнение соприкасающейся плоскости к этой кри-
вой будет:
—3/2^+3/У—Z=0. (27)
Из определения огибающих поверхностей следует, что мы получим уравнение
развертывающейся поверхности, выразив, что уравнение (27), рассматриваемое
как уравнение по t, имеет двойной корень, т. е. исключив t из двух уравнений
<2 — 2tX+ У=0,
XV — 2tY + Z= 0. J ®
Результат исключения будет:
(XY — Z)2 - 4 (№ _ у) (У2 — XZ) = 0;
таким образом искомая развертывающаяся поверхность — четвертого порядка.
Заметим, что уравнения (Е) представляют касательную к данной кривой
третьего порядка.
204. Диференциааьное уравнение развертывающихся поверхностей.
Пусть будет z = F(x, у) уравнение развертывающейся поверхности.
Функция F(x, у) удовлетворяет уравнению s2 —rt = O, где г, s, t пред-
ставляют, как обыкновенно, частные производные второго порядка от
функции F(x, у) (§ 26).
В самом деле, касательная плоскость к этой поверхности, предста-
вляемая уравнением:
Z = р X q У"-|~ Z — рх — qy,
должна зависеть только от одного переменного параметра; следовательно,
из трех количеств р, q, z — рх — qy произвольно только одно, и,
в частности, между количествами р и q должно быть некоторое соот-
ношение f(p, q) — 0. Отсюда следует, что определитель Якоби
D(x,y)
должен быть тождественно равен нулю.
Обратно, если мы имеем rt—s2 — 0, то р и q связаны, по край-
ней мере, одним соотношением. Если этих соотношений будет два, то р
и q— постоянные, q~b, и функция F(x, у) имеет вид:
ах -I- by 4- с; следовательно, искомая поверхность есть плоскость. Если же
между b и q есть только одно соотношение, то его можно представить
в виде: <7=<е (р), где р не есть постоянное. Но мы имеем также
D(z —рх—gy, р)
D (х, у)
откуда следует, что если rt — s2 = 0, то z — рх — qy есть также неко-
торая функция ф(р) от р. Таким образом неизвестная функция
z = F(x, у) и ее частные производные р и q удовлетворяют двум соот-
ношениям:
q=4(p), г — рх—и(р)у=$(р).
Диференцируя второе из них по х и у, получим:
[х + я>'(р) + ф'(/Д] =0, [х+уч'(р) + }'(Р)Г¥- = 0-
оХ ду
Так как р—не постоянное, то должно быть
х4-_у<р'(р) + ф'(р) = О.
Следовательно, мы получим уравнение искомой поверхности, исклю-
чая р из соотношений:
Z—рх -|~я> (р) + ф (р), X + (р) + ф' (р) = 0.
Но это исключение дает огибающую поверхность плоскости, предста-
вляемой первым из предыдущих уравнений, если в нем будем рассма-
тривать р как переменный параметр.
205. Огибающая семейства кривых двойной кривизны. Семейство кри-
вых двойной кривизны, зависящее от одного переменного параметра,
вообще, не имеет огибающей. Рассмотрим сначала семейство прямых:
x=az-\-p, y — bz-\-q, (29)
где a, b, р, q—данные функции переменного параметра а. Найдем,
при каком условии каждая прямая этого семейства будет касаться не-
которой кривой двойной кривизны Г. Пусть будет z = ср (а) коорди-
ната z точки М, в которой прямая D рассматриваемого семейства
касается огибающей Г. Эта кривая Г будет представлена уравнениями
(29) и уравнением z=cp(a), и угловые коэфициенты касательной к этой
кривой будут иметь следующие выражения:
^ = а<р'(а) + а'ср(а)4-р', == *</(а) + (а) + < ^=ср'(а),
(л, d W Cl (I Cl
где а', Ь', р', q' — производные от a, b, р, q по а. Для того чтобы
этою касательною была сама прямая D, необходимо и достаточно, что-
бы было
dx dz dy ,dz
-г- — b -г- у
da da da da
т. е.
a'tp (а) Р* — 0, =
Таким образом неизвестная функция <р (а) должна удовлетворять двум
различным соотношениям; следовательно, рассматриваемое семейство
прямых будет иметь огибающую только в том случае, если эти соотно-
шения будут совместимы, т. е. если
a!q' — Ъ1 р1 = 0.
Если это условие удовлетворяется, то мы получим огибающую, взяв
Это рассуждение легко обобщить. Рассмотрим семейство кривых
двойной кривизны С, зависящее от переменного параметра а; пусть
будут
F(x, у, z, а) = 0, Ф (х, у, z, а) = 0 (30)
уравнения этого семейства. Если кривые С касаются некоторой кри-
вой Г, то координаты (х, у, г) точки М, в которой огибающая Г ка-
сается одной из кривых С, соответствующей некоторому определен-
ному значению а параметра, будут функциями от а, удовлетворяющими
двум уравнениям (30) и, кроме того, еще двум другим уравнениям.
Пусть будут dx, dy, dz диференциалы, соответствующие перемещению
точки вдоль кривой С; так как на кривой С параметр а остается
постоянным, то между этими диференциалами будут иметь место со-
отношения:
*—dx + dy 4- ^dz = 0,
ах Ъу 1 аг
<)ф , , аФ , , аФ , | (31)
— dx 4- — dy-j- — dz = 0.
ах 1 а_у ' az )
С другой стороны, пусть будут Эх, Зу, 8г, За диференциалы от х,
у, г, а, соответствующие перемещению точки М вдоль кривой Г. Эти
диференциалы удовлетворяют соотношениям:
а/7. a/7 j, , а/7. , а/7.
ах 1 ъу 1 az аа
аФ > , аФ . . аФ . . аФ .
- ох 4- -— оу -j- —— 6г 4“ v ~ О*
ах 1 av 1 аг аа
(32)
Необходимыми и достаточными условиями того, чтобы кривые С и
Г касались между собою, будут:
dx___dy__.
Эх 8z ’
отсюда, принимая во внимание соотношения (31) и (32), получим:
dF„
— оа = о,
йа
аФ
§2 = 0.
Следовательно, координаты (х, у, z) точки прикосчове::ия должны
удовлетворять уравнениям:
if йФ
F=0, Ф = 0, — = 0, -—= 0. (33)
За га
Таким образом для того, чтобы кривые С имели огибающую, необходимо,
чтобы при всяком значении параметра а четыре предыдущих уравнения
были совместимы. Обратно, если уравнения (33) имеют при всяком а
общее решение относительно х, у, z, то из предыдущего следует, что
кривая Г, описываемая точкою (х, у, z), касается в каждой из своих то-
чек соответствующей кривой С. При этом, однако, предполагается, что
точка с координатами (х, v, z) не есть особая точка кривой С, т. е.
что отношения диференциалов dx, dy, dz действительно определяются
уравнениями (31).
Примечание I. Если кривые С представляют характеристики семейства
поверхностей F (х, у, г, а) = 0, зависящих от одного параметра, то четыре урав-
нения (33) приводятся только к трем различным уравнениям:
iF i^F
F = 0, -=0, — = 0.
са За2
(34)
Следовательно, характеристики семейства поверхностей, зависящих от одного па-
раметра, всегда имеют огибающую, .представляемую уравнениями (3,). Это пред-
ложение есть обобщение теоремы, доказанной выше для образующих разверты-
вающейся поверхности (§ 203).
Примечание II. Первое и третье уравнение системы (33) представляют
характеристику поверхности из семейства от одного параметра Г(х, у, z, а) = 0.
Второе и четвертое уравнения точно так же представляют характеристику поверх-
ности Ф (х, у, г, а) = 0. Если кривые С имеют огибающую, то всякая точка при-
косновения кривой С с огибающей принадлежит одновременно двум характерис-
тикам. Огибающая кривых С составляет часть места пересечения огибающих обеих
поверхностей.
Уравнения переменной прямой представляются иногда в виде:
* % ._у ~~ Го_- z 2® (35)
а Ъ с ’ ' '
где Хо,>(|,2о, а, Ь, с —функции переменного параметра а. Легко найти прямым
путем, при каком условии эта прямая имеет огибающую. Обозначим через I об-
щее значение предыдущих отношений; выражения координат любой точки этой
прямой будут:
х = хо + /я, у = Уъ -Г lb, z = z9-\-lc.
Посмотрим, нельзя ли принять за / такую функцию от а, чтобы подвижная пря-
мая (35) оставалась касательною прямою во всех точках кривой, описываемой
точкою (х, у, г). Для этого должно быть:
хо "Г а'1 Уо 4" Ъ'1 zo 4" c'l
a b с
(36)
Обозначая через т общее значение отношений (36) и исключая / и т из полу-
чающихся трех линейных уравнений, мы придем к у равнению:
Ло Уо
а b
а' Ь'
с'
(37)
Если условие (37) удовлетворяется, то соотношения (36) определяют /, а следо-
вательно, и огибающую.
II. ПРИКОСНОВЕНИЕ ДВУХ КРИВЫХ, КРИВОЙ И ПОВЕРХНОСТИ.
206. Прикосновение плоских кривых. Пусть будут С и С' две плос-
кие кривые, касающиеся друг друга в точке А, Установим между точ-
ками обеих кривых в окрестности точки А такое соответствие, чтобы,
когда точка т кривой С, перемещаясь, приходила в А, вместе с нею при-
ходила бы в А и соответствующая ей точка т' кривой С*. Примем за главное
бесконечно-малое дугу Ат, или, что равносильно этому, — хорду Ат,
и определим сначала, какое соответствие должно установить между
точками т и т!, чтобы порядок малости отрезка тт' относительно
Ат был возможно более высоким *. Отнесем обе кривые к системе
прямоугольных илн косоугольных осей координат, так, чтобы ось Оу
не была параллельна общей касательной АТ. Пусть будут
y=f(x), (с)
Y—F(x) (с')
уравнения обеих кривых, и (х0, _у0) — координаты точки А. Координаты
точки т будут х(|4-А и /(x0-j-/z), а координаты точки т' будут
х0 -+- k и Л(х0-|-£), причем k есть
некоторая функция от h, определяющая
характер соответствия между точками
обеих кривых и стремящаяся к нулю
вместе с h. Заметим, что при таком
выборе оси Оу мы можем заменить
главное бесконечно-малое Ат через
h — ap (черт. 36), так как при неогра-
ниченном приближении точки т к точ-
. аР
ке А отношение—— стремится к неко-
торому конечному пределу, отличному
от нуля.
Предположим, что при некотором определенном соответствии между
точками т и т' отрезок тт! относительно h будет бесконечно-малым
(г-(~1)-го порядка, тогда тт'г будет бесконечно-малым (2г—]- 2)-го по-
рядка. Обозначая через 6 угол между осями, будем иметь:
/п/п'2 = [Л(х0 k)) — /(х0 Л) 4- {k — h) cos 6]2 -f- (k — h)- sin20;
* .Очевидно, этот порядок можно получить, ставя в соответствие точке т
точку т' кривой С, находящуюся на минимальном расстоянии от т. Но мы по-
кажем, что этот способ соответствия можно заменить бесчисленным множеством
других.
отсюда следует, что каждая из разностей k — h и —/(х0-|-Л)
должна быть по крайней мере бесконечно-малою (г-|-1)-го порядка,
т. е. должно быть:
k = h-\-ahr+\ F(x0 k) -f(x0-]~ h) = $hr+'1,
причем аир суть функции от h, остающиеся конечными, когда h стре-
мится к нулю. Последнюю формулу мы можем представить в виде:
F(х0 + Л J- ahr+1) -f(x0 -Ь h) =
Если мы разложим выражение F(х0 h ahr**) по степеням а, то
часть, зависящая от а, будет бесконечно-малою по крайней мере (г + 1 )-го
порядка. Отсюда следует, что разность
Д = Г(х0 + Л)-/(х0 + Л)
есть бесконечно-малое по крайней мере (г—1)-го порядка, но порядок
ее малости может быть и выше. Эта разность Д представляет расстоя-
ние тп между двумя точками кривых С и С, лежащими на прямой,
параллельной оси Оу. Так как заменою точки от' точкою п можно толь-
ко увеличить порядок малости отрезка тт, то отсюда следует, что по-
рядок малости расстояния между соответствующими точками обеих
кривых будет всего выше в том случае, когда соответствующие точ-
ки т и т' лежат на прямой, параллельной оси Оу. Если этот поря-
док равен /•-[“Ь т0 говорят, что обе кривые имеют в точке А прикос-
новение r-го порядка.
Примечания. По поводу этого определения можно заметить следующее.
Очевидно, что осью Оу может служить любая прямая, не параллельная общей
касательной АТ. Отсюда следует, что при вычислении порядка прикосновения
двух кривых можно считать соответственными точки обеих кривых, лежащие на
одной прямой, параллельной произвольной прямой D, лишь бы направление этой
прямой D отличалось от направления касательной АТ; из предыдущего доказа-
тельства видно, что полученный порядок малости не зависит от направления пря-
мой D. В последнем легко убедиться непосредственно. В самом деле, предполо-
жим, что через точку т кривой С проведены прямые тт' и тп (черт 36) по
двум определенным направлениям, не параллельным касательной АТ. Из famm'n
имеем:
mm' __ sin / тпт'
тп sin / тт’п'
Когда точка т приближается к А, то углы тпт1, mnJn имеют пределы, от-
личные от 0 и tt, так как хорда т'п имеет пределом касательную АГ; следова-
тельно, порядок отрезка тт1 одинаков с порядком отрезка тп. Отсюда также сле-
дует, что каков бы ни был закон соответствия между точками т' и т, тт' не
может быть бесконечно-малым порядка высшего, чем порядок бесконечно-малого тп,
так как числитель sin / тпт' имеет конечный предел, отличный от нуля.
Мы брали за главное бескоиечно-малое дугу Ат или хорду Ат; но мы полу-
чили бы тот же самый результат, взяв за главное бесконечно-малое дугу Ап кри-
вой С, так как хорды Ат и Ап одинакового порядка малости.
Если кривые С и С1 имеют прикосновение r-го порядка, то между точка-
ми т, т1 можно установить бесчисленными способами соответствие так, чтобы
тт' было бесконечно-малым (г + 1)-го порядка; для этою нужно только взять
k—h -|- aftJ+i, где s г, и а есть функция от h, сохраняющая конечное значение
при й = 0. Если же з<г, то тт' будет только (s -f- 1)-го порядка.
207. Порядок прикосновения. Как видно из предыдущего, для того
чтобы получить порядок прикосновения кривых С, С, нужно вычислить
порядок малости разности
Y—У = F (х0 h) — f(x0 h)
относительно h. Так как кривые касаются между собою в точке Д, то мы
имеем:
F (х0) =/(х0), F' (х0) =f (х0);
но может случиться, что при х = х0 будут равны между собою и не-
которые производные высших порядков от обеих функций. Рассмотрим
общий случай. Предположим, что мы имеем:
F(xg) =/(х0), F1 (х0) =/’ (х0), >
F" ко> =/" (*<,), • • • > FW (х0) =/л) (Хо), } к»)
и пусть ближайшие следующие производные F(n+1> (х0), /1Я+Р('хо) будут
не равны между собою. Применяя формулу Тейлора к функциям Г(х)
и /(х), получим:
h hn
Y= F(x0) + T F'(x0) 4- ... + Г,2 — FW (x0) +
+ '.2. .(, + i)tfWIW + el-
h htt
У =/ko) + у /' (xo) + • • • + ko) +
Ьи + 1
+ гГ7ййЛ)^",,<л;»> + е1'
где s, er — бесконечно-малые; вычитая, будем иметь:
Y—У— Y2-------(ГГТ)’^<Л+1) + е~ £Ч- (39)
Таким образом порядок прикосновения обеих кривых равен порядку
тех наивысших производных от функций f (х) и F(x~), которые вместе
со всеми предыдущими производными попарно равны между собою
при х = х0.
Из условий (38), которые были даны Лагранжей, видно также,
что х — х0 есть кратный корень (п + 1)-го порядка уравнения F(x) =
=/(х). Но корни этого уравнения определяют абсциссы общих точек
обеих кривых С, С; следовательно, можно сказать, что у кривых, имею-
щих прикосновение л-го порядка, п 1 из их точек пересечения сли-
ваются в одну точку.
Из формулы (39) видно, что разность Y—у меняет знак вместе
с h при п четном и не меняет знака при п нечетном. Таким образом
кривые, имеющие прикосновение нечетного порядка, не перекрещи-
ваются в точке прикосновения, а кривые, имеющие прикосновение
четного порядка, в точке прикосновения перекрещиваются. Нетрудно
видеть, почему это будет так. Рассмотрим, например, кривую С, пере-
9 Э. Гурса. Т. I, ч. 2.
секающую кривую С в трех точках, близких к точке А; если мы будем
непрерывно изменять кривую С так, чтобы все три точки пересечения
наконец совпали с точкою Л, то в своем предельном положении кри-
вая С , будет иметь прикосновение второго порядка с кривою С, и,
построив чертеж, легко видеть, что обе кривые будут перекрещиваться
в точке А. Очевидно, что такое же рассуждение применимо и во всех
других случаях.
Если, как это и будет в общем случае, уравнения обеих кривых не
решены относительно у и Y, то, пользуясь правилами для вычисления
производных от неявных функций, можно составить необходимые усло-
вия, при которых две кривые будут иметь прикосновение л-го порядка;
таким образом эта задача не представляет никаких особых трудностей.
Мы рассмотрим только несколько частных случаев, встречающихся наи-
более часто. Предположим, что координаты точек каждой из двух
кривых выражены в функции переменного параметра:
У = Ч (0, J
(С)
*=/(«), I
У=ф(«), ।
(С'у
где х и X суть одинаковые функции от t и и. Пусть при некотором
частном значении t0 мы имеем:
так что обе кривые касаются друг друга в точке А с координатами
<р (/0). Предположим, что здесь f (t0) не равна нулю; тогда общая
касательная к обеим кривым в точке А не будет параллельна оси Оу,
и мы получим точки обеих кривых, имеющие одну и ту же абсциссу,
полагая u=t. С другой стороны, так как разность х — х0 первого
порядка относительно t—10, то задача приводится подобно предыду-
щему к вычислению порядка малости разности ф (t) — относи-
тельно t—t>Q. Следовательно, чтобы кривые С, С имели прикосновение
не ниже л-го порядка, необходимо и достаточно, чтобы было
Ф (/о) = <р(У, Ф' (U = <р'(t0),..., ф(") (t0) = (pW (t0); (40)
если при этом производные ф(л + 1) (tQ) и <р(л+1Ч^о) не равны между
собою, то прикосновение будет как раз л-го порядка.
Рассмотрим еще тот случай, когда кривая С представлена двумя
уравнениями:
тогда как кривая С' дана уравнением F(x, _у)=0. Этот случай можно
привести к предыдущему. Заменим в F(x, у) переменное х через /(/);
Пусть будет _у_ф(^) неявная функция, определяемая соотношением:
F[f(t), ф(/)] = 0. (42)
Отсюда видно, что мы можем принять, что кривая С' представлена
системою двух уравнений:
-x=f(t), y = ty(t).
(43)
Чтобы кривые С, С имели в точке А, соответствующей значению t0
параметра, прикосновение «-го порядка, необходимо, чтобы удовлетво-
рялись найденные выше соотношения (40). Но производные различных
порядков от неявной функции ф(/) получаются из уравнений;
^/'(0 4-^Ф' (0 = 0,
<'>-» I <44>
угр ЛР
^[/W+-..+^W> = o.
Полагая в этих формулах / = /0, х = /(/0), ф (t0) = sp (t0), ф' (t0) —
— ср' (/0), ... , ф<л) (/0) = (/0)t мы будем иметь необходимые условия
того, чтобы прикосновение кривых С, С было «-го порядка. Эти усло-
вия можно выразить следующим образом.
Положим:
^ (/)=/= [/(/), ср (^].
Чтобы данные кривые имели в точ<е t — t0 прикосновение не ниже
п-го порядка, необходимо и достаточно, чтобы было
% (Q = 0, W (U = 0, ... , (/0) = 0. (45)
Корнями уравнения ^(/0) = 0 служат значения параметра t, соот-
ветствующие точкам пересечения обеих кривых. Поэтому предыдущие
условия (30) показывают, что значение t = t0 есть (п -j- 1)-кратный ко-
рень уравнения J(/o) = O, т. е. что я-|-1 точек пересечения рассма-
триваемых кривых сливаются в одну точку.
2Э8. Соприкасающиеся кривые. Если дана некоторая определенная
кривая С и другая кривая С*, зависящая от п -|- 1 параметров а, Ь, с, ..., /
и представляемая уравнением:
Fix, у, а, Ь, с, ... , /) = 0,
(46)
то, вообще, возможно выбрать значения этих «4-1 параметров таким
образом, чтобы в некоторой заранее данной точке кривой С кривая С1
имела с кривою С прикосновение «-го порядка. Пусть будут x—f(t),
y = y(t) уравнения кривой С. Чтобы кривые С, С' имели в точке t = t0
прикосновение «-го порядка, должны удовлетворяться условия (45), где
%(t) = F\f[t), у It), a, b,c,,.., I}.
Когда значение tQ параметра дано, то из «4-1 уравнений (45) можно
определить значения «-(-1 параметров а, Ь, с, . .. , I. Полученная таким
9*
образом кривая С называется соприкасающеюся с кривою С (оску-
лирующею).
Применим эту теорию к простейшим линиям. Уравнение прямой
у=^ах-\-Ь зависит от двух параметров а и Ь; следовательно, соприка-
сающаяся прямая имеет с данною кривою С, вообще, прикосновение
первого порядка. Если y = f(x) есть уравнение кривой С, то пара-
метры а и b должны удовлетворять соотношениям:
f(x0) = ах0 -f- bt f (х0) = а ;
внося полученные значения для а и b в уравнение прямой, мы получим
уравнение касательной, как этого и следовало ожидать. Уравнение ок-
ружности
(X— a)2_)_(j — ЬУ — /?2 = 0 (47)
Зависит от трех параметров: a, b, R; следовательно, соприкасающаяся
окружность имеет, вообще, прикосновение второго порядка. Пусть бу-
дет y=f(x) уравнение данной кривой; мы получим значения a, b, R
из условий, выражающих, что окружность встречает эту кривую в трех
сливающихся точках. Эти условия дают вместе с уравнением (47) еще
два уравнения:
х — а + (у — Ь)у' = О, 1 4- у'2 4- (у-Ь)у"= 0. (48)
Значения а и Ь, получающиеся из уравнений (48), тождественны с коор-
динатами центра кривизны; таким образом соприкасающийся круг есть
вместе с тем и круг кривизны. Так как прикосновение будет второго
порядка, то отсюда следует, что круг кривизны плоской кривой пере-
секает эту кривую в точке прикосновения.
Все эти результаты можно было предвидеть. В самом деле, так как
координаты центра кривизны зависят только от х, у, у', у", то две
кривые, имеющие прикосновение второго порядка, имеют и общий
центр кривизны. Но центр кривизны соприкасающегося круга есть, оче-
видно, центр самого круга; следовательно, круг кривизны тождествен
с соприкасающимся кругом, так как последний имеет с кривою при-
косновения второго порядка. С другой стороны, рассмотрим два круга
кривизны для двух близких между собою точек кривой; разность ра-
диусов, равная длине дуги развертки между двумя центрами кривизны,
будет больше расстояния между центрами. Следовательно, один из двух
кругов расположен внутри другого, а этого не могло бы быть, если
бы вблизи точки прикосновения эти круги были расположены или оба
внутри, или оба вне кривой С. Следовательно, они должны пересекать
кривую С.
Однако на плоской кривой могут быть некоторые особые точки,
в которых соприкасающийся круг не пересекает кривую; это замечание
связано с одним общим свойством соприкасающихся кривых. Если нам
дана кривая С, зависящая от п -|- 1 параметров, то к н-J-l уравне-
ниям (45) мы можем присоединить еще новое уравнение:
^+т)(у = о,
если только будем рассматривать t0 как новое неизвестное, которое
нужно определить вместе с параметрами а, Ь, с, ... , I. Отсюда видно,
что на плоской кривой С, вообще-, есть такие точки, в которых при-
косновение с соприкасающеюся кривою С' будет (га-|-1)-го порядка.
Так, например, есть точки, в которых касательная имеет с кривою при-
косновение второго порядка; это — точки перегиба, для которых _у" = 0.
Чтобы получить точки кривой, в которых соприкасающийся круг имеет
прикосновение третьего порядка, нужно продиферен пировать последнее
из уравнений (48); это дает:
ЗУУ'+(^-^)У"=0;
исключая у — b из этого уравнения и из уравнения (48), будем иметь
условие:
(1 -у уг)/" — ЗУУ'2 = 0. (49)
Точки, удовлетворяющие этому условию, суть те, для которых
dR
——= 0, т. е. в которых радиус кривизны имеет максимум или минимум.
dx
Например, у эллипса такими точками будут его вершины, у циклоиды —
те точки, в которых касательная параллельна основанию.
201. Свойства соприкасающихся кривых. На соприкасающуюся кри-
вую можно смотреть как на предельное положение кривой С, встреча-
ющей кривую Св «4~1 бесконечно близких точках, когда все эти
точки слились в одну. Рассмотрим, например, семейство кривых, зави-
сящих от трех параметров а, Ь, <; пусть будут f0-[-hv A>-k^2> +
значения параметра t, близкие к значению t0. Значения параметров
a, h, с для кривой С, встречающей кривую С в трех точках, соответ-
ствующих этим значениям параметра I, определяются из трех уравнений:
Ш + й2)=°> Ш+^3)=о. (50)
Вычитая первое уравнение из каждого из двух остальных и приме-
няя к разностям формулу конечных приращений, мы получим равно-
сильную систему уравнений:
8(^о + ^ = О, Wo + *2) = O, (51)
где заключается между hy и Л2, а &2— между hy и h3. Далее, вычитая
второе уравнение из третьего и применяя к разности формулу конеч-
ных приращений, мы придем к новой системе:
^(Го-'Г-^) = О, Wo + *i) = O, ^„4-^ = 0, (52)
где Zj заключается т ежду и k2. Когда hv Л2, hs стремятся к нулю,
то будут стремиться к нулю и kv k%, lv и уравнения (52) в пределе
обращаются в
^(U = o, ^(^о)=о, Оо) = о.
а это те самые уравнения, которые определяют соприкасающуюся кри-
вую. Доказательство остается таким же для всякого числа параметров.
Мы можем также определить соприкасающуюся кривую как предельное
положение кривой С', касающейся кривой С в р точках и пересекаю-
щей эту кривую в q других точках (где 2р -1- q = п -f-1), когда эти
p-\-q точек сливаются в одну.
Например, соприкасающийся круг есть предельное положение круга,
проходящего через три точки кривой С, бесконечно близкие к точке
прикосновения; вместе с тем соприкасающийся круг есть также пре-
дельное положение круга, касающегося в данной точке кривой С и
проходящего через другую точку этой кривой, бесконечно близкую
к первой.
Остановимся несколько на этом последнем свойстве, которое легко
проверить. Примем за начало координат данную точку кривой, за </сь
Ох — касательную к кривой, и за поло-
У жительное направление оси Оу то направ-
\ С / ление нормали, которое обращено к центру
\ / "'V / кривизны. В начале координат мы будем
\ [ л? Jyif иметь У—0; следовательно, 2?= — , н
\\ Л по формуле Тейлора получим:
о Р 1 I 1 1
у = х2 (гТг + ')'
Черт. 37.
где s бесконечно мало вместе с х. Отсюда следует, что R есть пре-
х2 ОР2
дел выражения Ту = ^-р,
когда точка М приближается к
точке О.
С другой стороны, пусть будет радиус круга Сг касающегося оси Ох
в начале координат и проходящего через точку М, Мы имеем:
или
ОР2 = Мт2 = MP (2/?j — МР),
Ор2 _ __МР
2МР~^г 2 ’
следовательно, предел радиуса Рг действительно равен радиусу кри-
визны R.
210. Прикосновение двух кривых двойной кривизны. Порядок при-
косновения кривых двойной кривизны определяется таким же образом,
как и порядок прикосновения плоских кривых. Рассмотрим две кривые
двойной кривизны Г, Г', касающиеся между собою в точке А. Пусть
будет М точкз кривой Г, близкая к точке А, и пусть точке М кри-
вой Г соответствует некоторая точка М кривой Г' таким образом,
что точки М' и М вместе приближаются к точке А. Найдем наи-
высший возможный порядок малости бесконечно малого расстояния
ММ' относительно дуги АМ, рассматриваемой как главное беско-
нечно-малое. Если этот наивысший порядок будет равен га-J-l, то
мы будем говорить, что кривые Г и Р в точке А имеют прикосновение
п-го порядка.
Отнесем обе кривые к системе прямоугольных осей *, причем возь-
мем плоскость yz не параллельною общей касательной к обеим кривым
к точке А, и предположим сначала, что уравнения этих кривых имеют
вид:
y=f(x), >
*= <р(х), J
(Г)
Y=F(x), »
г=Ф(х). /
(Г')
Пусть будут лг0, у0, z0 координаты точки прикосновения А. Коорди-
наты точек М, М' будут соответственно равны:
Л1[Хо + й, /(х0-|-Л), <р(х0 + /г)],
h k< F(x0-[-k), Ф(х0—|—А)],
где k есть некоторая функция от h, зависящая от принятого закона
соответствия между точками кривых Г и Р и обращающаяся в нуль
вместе с А. Как и в случае плоских кривых (§ 206), за главное беско-
нечно-малое вместо длины дуги АМ можно принять Л/Для того чтобы
расстояние ММ' было бесконечно малым (/г —|— 1)-го порядка, необходимо,
чтобы каждая из разностей
k — h, F(X0-{-k) — /(х0 + Л), Ф(х0 + А) —<р(х0 + Л)
была бесконечно малою, по крайней мере, (га-|-1)-го порядка.
Следовательно, должно быть:
k — h = ahn+\ F(x0-\-k)—f(x0-\-h) — $hn+'1,
Ф (х0 4- k) — <р (х0 + h) = у/гл+1,
где при приближении h к нулю количества а, у остаются конечными **.
Заменяя в двух последних уравнениях k его значением Л-|-айя+1, по-
лученным из первого уравнения, будем иметь:
F(x0 + Л 4- айл+Ь ~/(х0 + Л)=РЛЯ+1,
Ф (xQ-j— h-[- ahn+v) — <р (х0-|- й) = уАя+1.
Разлагая F(x0-\-h ф айя+1) и Ф(х04-А-]-аЛл+1) в ряды по формуле
Тейлора, найдем, что все члены, содержащие а, имеют множителем Ля+1;
* Пользуясь формулою для р.сстояния между двумя точками в косоуголь-
ных координатах, легко доказать, что здесь в этом предположении нет необходи-
мости.
** Т. е. не обращаются в бесконечность; однако два из них могут обра-
щаться в нуль.
следовательно, для того чтобы расстояние -М/И' было бесконечно малым
(га—1)-го порядка, необходимо, чтобы каждая из разностей
F(*o + h)— /(*о + л),
Ф(х0-}-й) — <р(х0Н-й)
была бесконечно-малою, по крайней мере, (га-|-1)-го порядка. Отсюда
следует, что если расстояние ММ' будет бесконечно малым (га-|-1)-го
порядка, то расстояние MN между точками АТ и М обеих кривых с общею
абсциссою х0-)--/г будет бесконечно малым не ниже (га 4-1)-го порядка.
Следовательно, мы получим наивысший порядок малости, считая соот-
ветствующими. точки обеих кривых, имеющие одну и ту же абсциссу.
Легко найти этот наивысший порядок прикосновения. Так как
в точке А кривые касаются между собою, то мы имеем:
f{xQ) = F(xG), f'(x0) = F'(x0),
<? (х0) = Ф (х0), ^(х0) = Ф'(хо).
Предположим для общности, что, кроме того,
/" (х0) = F" (х0), ... , fW (х0) = F <») (х0),
<р"(х0) = Ф"(х0), <₽<»)(х0) = ф('’)(х0),
но что, по крайней мере, одна из разностей
+ (Х0)-/(«+’)(х0),
Ф(л+1)(*о)-<Р(л+1) (Х0)
не равна нулю. В этом случае расстояние ММ' будет бесконечно-малым
(га-)-1)-го порядка, и прикосновение будет га-го порядка. Этот результат
можно выразить следующим образом.
Чтобы найти порядок прикосновения кривых Г и Г', нужно рас-
смотреть проекции (С, С) и (Cv С’) этих кривых на плоскости хОу
и xOz, вычислить порядок ripuKoci-.овения Си С, Сг и С1 и взять
мень’вее из этих двух чисел.
Если кривые Г, Г' представлены уравнениями:
y = <?(t), z = ty(t), (Г)
X—f{u), К=Ф(и), 2 = (Г)
то чтобы эти кривые касались между собою в точке u'=t=t0, должно быть:
$(U=?(U Ф'(и = 4'(и. ’Р(и=ф(и> =
Если мы предположим, что f'(tQ) не равно нулю, то касательная в точке
прикосновения не будет параллельна плоскости yOz, и точки обеих
кривых, имеющие общую абсциссу, будут соответствовать одному и
тому же значению параметра t. Следовательно, чтобы прикосновение
было га-го порядка, необходимо и достаточно, чтобы разности Ф (t) —
— y(t) и Ф (/) — i (Z) были относительно t —10 бесконечно-малыми
(га —р 1) порядка, т. е. чтобы было
Ф'(и = ?Ш..., ф(лО = <?(лШ
Ч"(/‘0) = ф'(и, ... , =
но чтобы по крайней мере одна из разностей
ф(п+,) - </я+1) (U, ч»^) (t0) - (Q
не была равна нулю.
Случай, когда кривая Г представлена уравнениями:
y = y(t), z = ty(t), (53)
а кривая Г' —двумя нерешенными уравнениями:
F(x, у, z) = 0, F^ (х, у, z) =0,
легко приводится к предыдущему. Повторяя рассуждения § 207, не-
трудно доказать, что, для того чтобы в какой-нибудь точке кривой Г,
соответствующей значению t0 параметра, рассматриваемые кривые имели
прикосновение га-го порядка, должно быть:'
$('о) = О, Wo) = O,..., $Wo) = O, I
& (У=°- & = о,... , &<") (t0) = 0, [ (&4)
где
= <Р(0. Ф(ОЪ &(0 = Л[/(0, <р(0, Ф(01-
211. Соприкасающиеся кривые. Пусть будет Г данная кривая, урав-
нения которой имеют вид (53); с другой стороны, рассмотрим семей-
ство кривых Г', зависящее от 2«-(-2 параметров а, Ь, с, ... , I и пред-
ставляемое уравнениями
F(x, у, z, а, Ь, с, ... , 1) = 0, Fy (х, у, z, а, Ь, с, ..., /) = 0. (55)
Вообще, можно выбрать значения этих 2п-+• 2 параметров таким обра-
зом, чтобы соответствующая кривая Г' этого семейства имела с кри-
вою Г в данной точке прикосновение га-го порядка. Полученная таким
образом кривая называется соприкасающеюся с кривою Г (оскулирующею).
Уравнениями, определяющими значения параметров а, Ь, с, ..будут
те же данные выше уравнения (54). Но должно заметить, что эти урав-
нения будут совместимы только в том случае, если каждая из функций
F и содержит, по крайней, мере, (га-|-1) параметров. Например, если
кривые Г' будут плоскими, то одно из уравнений (55) содержит только
три параметра: следовательно, в точке, взятой произвольно на кривой
двойной кривизны, плоская кривая не может иметь с кривою двойной
кривизны прикосновения выше второго порядка.
Применим эту теорию к простейшим линиям: к прямой и к окруж-
ности. Уравнения прямой содержат четыре параметра; следовательно,
соприкасающаяся прямая имеет, вообще, с кривою прикосновение только
первого порядка. Легко доказать, что соприкасающаяся прямая совпадает
с касательною к кривой Г'. В самом деле, представим уравнения прямой
в виде:
х = az -j- р, y — bz-\-q\
для .точки прикосновения (х0, у0, z0) с кривою Г уравнения (54) обра-
щаются в
х0=аг0-\-р, х''=а^0, yQ = bzQ^-q, =
откуда имеем:
ха . Уо хо Уд
а=-т,Ь=^, p=Xo — -zot q=y0— 2о,
^0 *0 *J *0
и мы приходим к уравнениям касательной. Для того чтобы касательная
имела с кривою прикосновение второго порядка, должно быть х'^=-аг"),
Уу — Ьг^, и, следовательно,
'Г rr tf
л
точки, в которых это имеет -место, будут нами рассмотрены ниже (§ 216),
В пространстве уравнения окружности содержат шесть параметров;
следовательно, соприкасающаяся окружность имеет с кривою Г при-
косновение второго порядка. Представим уравнения окружности в виде:
F(x,y, z) = A(x— а)-^В (у — b)-\- C(z — с) — 0,
Л(х, У> z) = (x — а)2-Н.У — ЬУ + (г— с)* — 7?2 = 0,
причем переменными параметрами будут a, b, с, R и отношения двух
из коэфициентов А, В, С к третьему. Уравнения, определяющие зна-
чения этих параметров, будут:
А (х — а) -[-В (у — Ь) -j- С (г — с) = 0,
л£+в£+с£=о,
at 1 at at
(х — а)* + (у — £>)2 + (г — c)2 — /?2 = о,
, \ d2x > , . v । , v । afx2 4- dv2 4- dz2 л
где x, у, z должны быть заменены соответственно через f(t), <р(/), ф(0.
Второе и третье нз этих уравнений показывают, что плоскость сопри-
касающегося круга совпадает с соприкасающеюся плоскостью к кри-
вой Г (§ 214). Что касается двух последних уравнений, то, рассматри-
вая в них а, Ь, с как текущие координаты, видим, что они представляют
линию пересечения нормальной плоскости к кривой Г в точке (х, у, z)
с нормальною плоскостью в точке, бесконечно близкой к точке (х,у, z)
(см. далее, § 220).
212. Прикосновение кривой с поверхностью. Рассмотрим поверхность 5
и кривую Г, касающуюся этой поверхности в какой-нибудь точке А.
Пусть точке М этой кривой, близкой к точке А, соответствует неко-
торая точка АГ' поверхности таким образом, что обе точки М и Af
вместе приближаются к точке А. Найдем сначала, каким образом нужно
выбрать точки М и М, чтобы порядок малости расстояния ММ! от-
носительно длины дуги АМ был возможно выше. Выберем такую си-
стему прямоугольных осей координат, чтобы касательная к кривой Г
в точке А не была параллельна плоскости yOz, и чтобы касательная
плоскость к поверхности 6' в точке А не была параллельна оси Oz.
Пусть будут xQ, у0, zQ координаты точки A, Z—F(x,y)— уравнение
поверхности 5, y-=f(x), z = y(x) — уравнения кривой Г, и предполо-
жим, что при некотором законе соответствия между точками М и М'
расстояние ММ' будет бесконечно малым (га 1)-го порядка. Коорди-
наты х, у, z точки М будут:
х04-А, /(х04-А), <p(x0-j-A);
обозначим через X, Y, Z = F(X, К) координаты точки М. Для того
чтобы расстояние ММ' было относительно длины дуги АМ, или, что
то же, относительно h, бесконечно малым (га 1)-го порядка, необходимо,
чтобы каждая из разностей X—х, Y—у, Z — z была бесконечно ма-
лою, по крайней мере, (га -|- 1)-го порядка. Следовательно, должно быть:
Х-х = аАя+’, .Y—y = $hn+\ Z — z='[ha+j,
где а, у остаются конечными при А = 0. Отсюда имеем:
F(x-|-aAn+1, _у-|~^гй+1) —г = у/гя+’.
Из этого равенства следует, что разность F(x,y)— z сама должна
быть бесконечно малою, по крайней мере, (га-|-1)-го порядка. Это по-
казывает, что если мы будем считать соответствующею точке М кри-
вой Г ту точку М поверхности S, в которой прямая, проходящая че-
рез М и параллельная оси Oz, пересекает эту поверхнос’гь, то порядок
малости расстояния MX будет не ниже порядка малости расстояния ММ'.
Следовательно, мы получим порядок прикосновения кривой и поверх-
ности, если найдем порядок малости расстояния MX относительно
длины дуги АМ, или, что то же, относительно h. Иначе можно сказать,
что порядок прикосновения кривой и поверхности есть порядок при-
косновения кривой Г с кривою Г', представляющею линию пересечения
поверхности S с цилиндром, проектирующим кривую^ Г на плоскость
хОу параллельно оси Oz. (При этом очевидно, что за направление
оси Oz мы можем принять любое направление, не параллельное каса-
тельной плоскости.)
Уравнения кривой Г' будут:
y=f{x), Z = F[x,/(х)] = Ф(х);
по предположению, мы имеем:
ф(*о) = <Р(*о), ф' (^о)=ф'(^о);
если, кроме того, будет:
• > Ф(”М=<?<’)(х0), (х0)^<р(»+П(х0),
то кривая и поверхность будут иметь прикосновение га-го порядка. Так
как уравнение Ф(х) = ср(х) дает абсциссы точек пересечения кривой
с поверхностью, то предыдущие условия прикосновения га-го порядка
показывают также, что (га -f- 1) точек пересечения кривой с поверхно-
стью сливаются в одну точку А.
Рассмотрим еще тот случай, когда кривая Г представлена уравне-
ниями x=f(t}, г = ф(1), а поверхность S—уравнением
F(x, у, z) — 0. Здесь определенная выше кривая Г' представится урав-
нениями х = f (t), y = tp(f], z = it(t), где функция тг(/) определяется со-
отношением:
Р[/(О, <₽(/). п(О] = о.
Чтобы кривые Г и Г' имели прикосновение л-го порядка, необходимо,
чтобы разность тг(/)—ф (/) была относительно t — t0 бесконечно малою
1)-го порядка, т. е. чтобы было
П (U = Ф (U. (U = Ф' (U> • • • > ^п) (М = Ф(л)
Вводя, как выше (§210), функцию ${t), мы можем представить эти
условия в виде:
%(tQ)=o, Wo) = O- •••> &(лО = о.
Эти условия выражают, что п -|-1 точек пересечения поверхности
с кривою слились в одну точку прикосновения.
Если уравнение поверхности S зависит от га 4-1 параметров а,Ь,
с, . . . , I, то можно выбрать значения этих параметров таким образом,
чтобы эта поверхность имела с данною кривою в данной точке прикос-
новение га-го порядка. Полученная таким образом поверхность назы-
вается соприкасающеюся поверхностью.
В случае плоскости мы имеем три параметра; эти параметры опре-
деляются следующими уравнениями:
Л/(04-В<₽ (0 + сФ (0 + ^ = °,
Af(t) 4-Вер' (t) 4- Сф' (0 =о,
л/'(/)4-В(р"(о4-сф"(0 = о.
Мы получили те же самые уравнения, которыми определялась сопри-
касающаяся плоскость (§ 203); очевидно, что прикосновение будет,
вообще, второго порядка. Чтобы порядок прикосновения был выше вто-
рого, должно быть
А/" (t) -j- By"' (0 -j- Сф"' (0=0,
т. е. соприкасающаяся плоскость должна быть стационарною (см. ниже,
§ 215).
Уравнение шара зависит от четырех параметров; следовательно, со-
прикасающийся шар имеет с кривою Г прикосновение третьего порядка.
Вычисления будут проведены ниже (§ 228).
213. Прямые, соприкасающиеся с данною поверхностью. Если урав-
нения кривой С зависят от га -|- 2 переменных параметров, то можно
выбрать значения этих параметров таким образом, чтобы эта кривая
имела с данною поверхностью 5 в данной точке М прикосновение га-го
порядка. В самом деле, если мы выразим, что кривая С проходит через
точку М и встречает в этой точке поверхность S в га-ф-! слившихся
точках, то получим для определения значения этих параметров всего
га -|- 2 уравнения. Например, уравнения прямой зависят от четырех па-
раметров, следовательно, через каждую точку поверхности проходят
одна или несколько прямых, имеющих с поверхностью прикосновение
второго порядка. Чтобы найти эти прямые, примем рассматриваемую
точку М поверхности S за начало координат и предположим, что
ось Oz не лежит в касательной плоскости к поверхности S в точке М.
Пусть будет z=F(x, у) уравнение поверхности S относительно этой
системы осей. Так как искомая прямая, очевидно, проходит через начало
координат, то ее уравнения будут иметь вид:
х у z
---== — = — = р.
а--b с
Уравнение cp-=F(ap, bp) должно иметь р = 0 тройным корнем; следо-
вательно, должно быть:
с — ар bq,
О = a2r-}-2absb2t,
где р, q, г, s, t представляют значения производных первого и второго
порядков от F(x,y) при х=у — 0. Первое из этих соотношений по-
казывает, что искомая прямая лежит в касательной плоскости к поверх-
. . .. b
ности, что очевидно a priori. Мы видим, далее, что отношение — опре-
деляется из уравнения второй степени, корни которого будут действи-
тельны, если s2 — rt > 0. Таким образом через каждую точку поверхности
проходят две и только две прямых, имеющих с поверхностью прикосно-
вение второго порядка; эти прямые будут действительными или мнимыми
в зависимости от знака s2 — rt. Мы встретимся с этими прямыми в сле-
дующей главе при рассмотрении кривизны поверхностей.
УПРАЖНЕНИЯ.
<ь'1. Пусть будет С данная кривая третьего порядка, имеющая двойную точку
в точке О. Стороны прямого угла MON, вращающегося около точки О, встре-
чают кривую С соответственно в точках М и N. Найти огибающую прямой MN.
Рассмотреть, в частности, те случаи, когда уравнение кривой С будет Х_у2 = хз и
х3 -j- уз — цху
— 2. Найти те течки, в которых кривая, представляемая уравнениями
х = а (п<о — sin <о), у = а (п — cos <о),
имеет с соприкасающимся кругом прикосновение выше второго порядка.
—-~3. Пусть будут т, т^, m.t три близких между собою точки некоторой плоской
кривой. Найти предельное значение радиуса круга, описанного около треуголь-
ника, образованного касательными в точках т, т{, т^, когда все эти три точки
совпадают между собою.
——4. Доказать, что если замкнутая кривая, без точек перегиба, имеет -замкну-
тую развертку, то полная длина этой развертки равна удвоенной разности между
суммою значений максимумов радиусов кривизны и суммою значений мини-
мумов радиусов кривизны для всех точек первой кривой.
5. Проведем из каждой точки данной кривой отрезок постоянной длины,
образующий с нормалью к кривой постоянный угол. Доказать, что каждая нор-
маль, проведенная к геометрическому месту концов этих отрезков, проходит че-
рез соответствующий центр кривизны данной кривой.
6. Пусть будут г радиус-вектор, проведенный из данного полюса в одну из
точек какой-нибудь плоской кривой, и р — расстояние от полюса до касательной
к кривой в этой точке; доказать, что радиус кривизны А? выражается формулою
- 7. Доказать, что место фокусов парабол, имеющих с данною кривою в данной
точке прикосновение второго порядка, есть окружность.
— 8. Найти место центров эллипсов с данным направлением осей, имеющих
с данною кривою в данной точке прикосновение второго порядка.
9. Пусть будет F (X, Y; х, у) функция от двух пар переменных (х, у), (X, Y).
Если рассматривать х и у в уравнении /•’ = () как координаты определенной
точки т, а X и Y как текущие координаты, то это уравнение ставит в соответ-
ствие кажюй точке tn плоскости кривую с. Если точка т описывает кривую С,
то соответствующие кривые с огибают кривую Г, определенную двумя уравне-
ниями: Чд.
ЙР dF
F (X, Y; х, у) = О, ^- + ^-у' = 0.
йх йу
Эта кривая Г выводится из кривой С при помощи преобразования прикоснове-
ния; обратное преобразование получается, если переменить ролями пары пере-
менных (х, у) и (X, Y). Распространение иа поверхности см. § 59.
Приложение: /•’—уз -f. Y* — Хх — Уу.
10. Для того чтобы кривая, представляемая уравнением F(x, у, л)=0, имела
прикосновение порядка п со своею огибающею, необходимо и достаточно, чтобы
в точке прикосновения было;
Применение к случаю, когда С есть окружность.
11. Всякая поверхность F(x,y,z.d) имеет прикосновение Второго Порядка
с ребром возврата огибающей поверхности, которое определяется тремя уравне-
ниями:
" 12. Определить геометрическое место центров шаров, имеющих в данной
точке прикосновение второго порядка с данною кривою.
13. Если огибающая переменного шара, зависящего только от одного пара-
метра, обращается в кривую Г, то эта кривая имеет с шаром прикосновение вто-
рого порядка.
14*. Пусть дана поверхность S; если из каждой точки S как из центра опи-
сать сферу X переменного радиуса R, то эта сфера, вообще говоря, касается
своей огибающей в двух таких точках М, М', что прямая ММ' перпендикулярна
касательной плоскости к поверхности S в точке т. Вычислить расстояние 8 от
точки т до прямой ММ'.
Если поверхность отнесена к криволинейной прямоугольной системе коорди-
нат (и, ь), так что ds^ — Edu2 4- Gdv%, то
15. Если поверхность S касается плоскости Р во всех точках некоторой кри-
вой С, лежащей на этой плоскости, то касательная в любой точке этой кривой
имеет прикосновение третьего порядка с поверхностью S.
16*. Для каждой точки М поверхности S существует, вообще говоря,
оо1 окружностей, имеющих соприкосновение третьего порядка с S. Через каждую
касательную прямую к поверхности в точке М проходит плоскость одного и
только одного из этих кругов. Если М не есть точка округления, то существует
десять окружностей, имеющих в точке М прикосновение четвертого порядка
с поверхностью
[Darboux, Bulletin des Sciences mathimatiques, t. IV, 2-de s6rie, 1880,
стр. 348—384.]
ГЛАВА XI.
КРИВЫЕ ДВОЙНОЙ КРИВИЗНЫ.
I. СОПРИКАСАЮЩАЯСЯ ПЛОСКОСТЬ.
214. Определение и уравнение. У нас несколько раз шла речь
(§203, 211, 212) о соприкасающейся плоскости и кривой двойной кри-
визны. Прямое определение этой плоскости аналогично определению
касательной. Пусть будет М точка кривой двойной кривизны Г, и
МТ—касательная в этой точке. Проведем плоскость через прямую Ml
и через некоторую точку М' кривой Г, бесконечно близкую к точке М.
Когда точка М' неограниченно приближается к точке М, то эта плос-
кость будет, вообще, стремиться к некоторому определенному положе-
нию; эта предельная плоскость называется соприкасающеюся плоско-
стью кривой Г в точке М.
Выведем уравнение соприкасающейся плоскости. Пусть будут
z = (1)
выражения координат точек кривой Г в функции параметра t; пусть
точкам М n М' соответствуют значения t и Z-j-й. этого параметра.
Уравнение плоскости МТМ' будет:
А (X—х) В ( Y — у) С (Z — z) = 0,
причем коэфициенты А, В, С должны удовлетворять соотношениям:
Af (04-5<р'(^) + Сф'(0 = 0, (2)
A [f(t + й) -/(4] 4- в [<р (t + й) - <р (0] + с [ и/ 4- й) - Ф (01 = о. (3)
Заменяя в соотношении (3) выражения А) их
разложениями по формуле Тейлора, получим:
( й2 1 ( й2 I
A + + 4-5 + + +... = 0;
I * ] I 1 * X I
вычитая отсюда соотношение (2), умноженное на й, и разделив резуль-
й2
тат на —, мы получим систему, равносильную системе уравнений (2)
и (3):
Af (t) + ^'(4 4-64/ (4 = 0,
А [/" (4 + ej + В [<₽" (4 + е2] 4- С [<!>" (4 4- е3] = о,
где е3, е2, е3 бесконечно малы вместе с h. При приближении Л к нулю
последнее соотношение обращается в
OWWWM. (4)
Следовательно, уравнение соприкасающейся плоскости будет:
Л(Л — х) -|- B(Y—_у)Ц-С(2 — z) = Q, (5)
причем коэфициенты А, В, С должны удовлетворять соотношениям:
A dx -j- Bdy -j- Cdz =0, 1
Affix]- Bd2y]~ Cd2z = 0. J
Исключая из (5) и (6) коэфициенты А, В, С, мы можем представить
уравнение соприкасающейся плоскости в виде:
X— х
dx
d2x
Y-y
dy
d2y
Z—z
dz
d2z
Из всех плоскостей, проходящих через касательную к кривой, со-
прикасающаяся плоскость есть та, к которой кривая всего теснее
примыкает (§ 212). Рассмотрим сначала какую нибудь другую плос-
кость, проходящую через касательную прямую; эта плоскость предста-
вится уравнением (5), в котором коэфициенты А, В, С уже не удовле-
творяют уравнению (4). Пусть будет F(t) результат подстановки выражений
<р (t-j- A), -|- п) вместо текущих координат X, Y, Z в левую
часть уравнения (5); мы будем иметь:
Л2
- 772 № (0 + (0 + ’ll-
где Tj бесконечно мало вместе с А. Следовательно, расстояние какой-
нибудь точки кривой Г, близкой к точке М, от рассматриваемой плос-
кости есть бесконечно-малое второго порядка- кроме того, так как F(t)
при достаточно малых значениях А сохраняет постоянный знак, то
отсюда ясно, что вблизи точки прикосновения кривая Г расположена
вся по одну сторону касательной плоскости.
Иначе будет для соприкасающейся плоскости. Для нее мы имеем:
Л/"-j-4* Сф" = О, и чтобы получить выражение для F (t), нужно про-
должить разложение координат точек кривой Г до членов третьего по-
рядка относительно А. После подстановки будем иметь:
A2 [Ad2x±Bd2y 4- Cd^z, \
F(,) = ЬТЗ (------- dii-----------+7
Отсюда видно, что расстояние точки кривой Г от соприкасающейся
плоскости есть бесконечно-малое третьего порядка-, сверх того, так
как F (t) меняет знак вместе с А, то отсюда следует, что кривая двой-
ной кривизны пересекает соприкасающуюся пюскость в точке при-
косновения. Эти свойства выделяют соприкасающуюся плоскость из всех
других плоскостей, проходящих через касательную прямую.
215. Стационарная соприкасающаяся плоскость. Предыдущие заклю-
чения теряют силу в том случае, когда коэфициенты А, В, С соприка-
сающейся плоскости удовлетворяют соотношению:
A d3x 4- В d3y Cd3z = 0.
(7)
В этом случае нужно продолжить разложение координат до членов чет-
вертого порядка, и мы получим результат вида:
h4 / A d4x В d4y С d4z
1-2<3-4\ dt4 +
В точках, удовлетворяющих соотношению (7), соприкасающаяся плос-
кость называется стационарною соприкасающеюся плоскостью. Если
A d4x 4- В d4y -|- Сd4z не равно нулю, — как это и будет иметь место
в общем случае, — то F(t) не меняет знака вместе с й, и кривая не
пересекает стационарной соприкасающейся плоскости. Кроме того,
расстояние от точки кривой до стационарной соприкасающейся плоско-
сти будет бесконечно-малым уже не третьего, а четвертого порядка.
Если бы мы имели A d4x В d4yCdiz = 0, то нужно было бы про-
должить разложение до членов пятого порядка, и т. д.
Исключая А, В, С из соотношений (6) и (7), мы получим уравнение:
dx dy dz
д=4 d2x d2y d2z
d3x d3y d3z
(8)
Корнями этого уравнения служат значения t, .соответствующие тем точ-
кам кривой Г, в которых соприкасающаяся плоскость стационарна. Та-
ким образом на каждой кривой двойной кривизны есть, вообще, неко-
торое число точек, обладающих этим свойством.
Посмотрим, нет ли таких кривых, для которых все соприкасающиеся
плоскости были бы стационарными. Выражаясь более точно, найдем все
функции х, у, z переменного t, непрерывные вместе с их производными
до третьего порядка, под тем условием, чтобы при изменении t между
пределами а и b {а <^Ь) предыдущий определитель Д был тождественно
равен нулю.
Предположим сначала, что один из миноров определителя Д относи-
тельно элементов третьей строки, например dxdty — dyd2x, не обра-
щается в нуль в промежутке (а, Ь). Из соотношений
dz = C^dx 4- C^dy, ]
d2z=C^d2x\-C2d2y }
(9)
мы найдем для Сг и С2 функции от t, непрерывные в этом промежутке.
Так как Д = 0, то эти функции удовлетворяют также соотношению:
a3z^Cyd3x-\rCid3y. (10)
Диференцируя уравнения (9) и принимая во внимание формулу (10),
мы получим новые уравнения:
dC\ dx ф dC2 dy = 0, dC\ d2x -ф dC2 d2y = 0,
10 Гур a T. I. ч. 2.
откуда будем иметь: dC3 = dC2 = 0. Следовательно, коэфициенты Ср
С2 постоянны, и, интегрируя первое из уравнений (9), получим:
z = СгхС2у ф- С3,
где С3 — новое постоянное. Отсюда следует, что кривая Г — плоская.
Если при некотором значении с параметра t, заключающемся между а и Ь,
определитель dx d2y— dy d-x обращается в нуль, то предыдущее рассуждение
неприменимо, так как при этом значении с параметра выражения для С, и С2
обращаются в бесконечность или делаются неопределенными. Предположим для
определенности, что в промежутке (а, Ь) определитель dxd-y— dyd*x обращается
в нуль только один раз при t = c, и что при этом значении параметра аналогич-
ный определитель dx d2z — dz cftx не равен нулю. Из предыдущего рассуждения
следует, что все точки кривой Г, соответствующие значениям параметра t в про-
межутке от а до с, лежат в одной и той же плоскости Р, и что все точки кри-
вой, соответствующие значениям параметра от с до b лежат в одной и той же
плоскости Q. С другой стороны, так как при минор dxd^z—dzd-x не ра-
вен нулю, то можно выбрать настолько малое число h, чтобы этот минор не обра-
щался в нуль при изменении t от с — h др с + h. Следовательно, все точки кри-
вой Г, соответствующие значениям параметра t от с — h до с -f- й, также лежат
в одной плоскости R. Так как эта плоскость R должна иметь бесконечное мно-
жество общих точек с плоскостями Р и Q, то эти три плоскости совпадают
между собою.
Обобщая это рассуждение, мы найдем, что если определители
dx d2y — dy d‘2x, dx d2z — dz d-x, dy d2z — dz d'-y
не обращаются одновременно в нуль в промежутке (а, М, то все точки кривой Г
лежат в одной плоскости. Если же эти определители обращаются одновременно
в нуль, то может случиться, что кривая Г состоит нз нескольких дуг плоских
кривых, лежащих в различных плоскостях и соединяющихся между собою в тех
точках, в которых уравнение соприкасающейся плоскости принимает неопреде-
ленный вид *.
Если три предыдущих минора в некотором промежутке тождественно равны
нулю, то линия Г есть прямая линия или состоит нз отрезков прямых линий.
dx
Например, если не обращается в нуль в промежутке (а, Ь), то мы можем
Написать:
diy dx — dy d^x___ d-zdx — dz d-x______
(dx)l ~ °’ (dxyi " °’
откуда
dy = Ct dx, dz = C2 dx,
где Ct и C2 — постоянные. Интегрируя еще раз, получим:
у=С1х-\-С[, z С2х-у С2',
отсюда следует, что в этом случае Г есть прямая линия.
216. Стационарные касательные. Предыдущие исследования приводят
нас к изучению на кривой двойной кривизны некоторых особых точек, которых
мы еще не рассматривали. Это те точки, для которых имеют место равенства:
d2x__d2y___d2z .
dx dy dz ' ' '
Касательная к кривой в такой точке называется стационарною касательною.
Пользуясь выражением расстояния от точки до прямой, легко доказать, что рас-
стояние от какой-нибудь точки кривой Г до касательной в бесконечно близкой
* В первый раз этот особый случай, повидимому, был указан Пеано (Peano").
Очевидно, что он имеет исключительно аналитический интерес.
точке, которое будет, вообще, бесконечно-малым второго порядка, для стационар-
ной касательной будет бесконечно-малым третьего порядка. Если кривая Г обра-
щается в плоскую кривую, то стационарными касательными будут касательные
в то ках перегиба. Из рассуждений предыдущих параграфов следует, что един-
ственная линия, все касательные которой стационарны, есть прямая.
В каждой точке, в которой касательная стационарна, мы имеем Д=0, и урав-
нение соприкасающейся плоскости принимает неопределенный вид. Но эта не-
определенность — только кажущаяся. Если мы повторим для этого случая вычи-
сления, сделанные в начале § 214, продолжив разложение координат точки М'
до членов третьего порядка, и воспользуемся соотношениями (11), то найдем, что
уравнение плоскости, проходящей через касательную в точке М и через беско-
нечно близкую точку М', может быть представлено в виде:
X—х Y — у Z— z
/'(О ?' (О Ф'(0
Г'(0 + ч Г(0 + *2 Г'(О + 83
= 0,
где q, е.2> е3 стремятся к нулю одновременно с h. Таким образом эта плоскость
стремится к вполне определенному предельному положению, и мы получим урав-
нение соприкасающейся плоскости, заменяя второе из условий (6) следующим
Если бы было также
A d3x -|- В d3y -f- С d3z = 0.
d3x d3y d3z
dx dy dz ’
то нужно было бы заменить второе из соотношений (6) соотношением:
Ad4 х + Bd4у -|- С d4z = 0,
где q есть наименьшее целое число, прн котором предыдущее соотношение
отлично от соотношения A dx + Bdyy С dz = 0. Мы предоставляем читателю
доказать это предложение и исследовать для этих случаев положение кривой
относительно соприкасающейся плоскости.
В общем случае для стационарной касательной не имеет места соотношение:
A d^x -f- В dty С d^z = 0;
в такой особой точке каждая касательная плоскость пересекается с кривою, кроме
соприкасающейся плоскости, которая с кривою не пересекается.
Приложение к некоторым кривым. Рассмотрим кривые двойной
кривизны Г, удовлетворяющие соотношению вида:
х dy — у dx~ К dz.
(12)
где К — данное постоянное. Из этого соотношения получим:
xd*y — ydix = K<fiz, <
х d3y — у d3x + dx d^y — dy d2x = К d3z, j ' 1
Найдем соприкасающиеся плоскости к кривой Г, проходящие через данную
точку (а, Ь, с) пространства. Координаты точки прикосновения (х, у, z) должны
удовлетворять уравнению:
dx
d'-x
Ь — у
dy
d3y
с — z
• dz
d’iz
= 0;
а — х
на основании соотношений (12) н (13) это уравнение обращается в
ау — Ьх-у К (с — z) = 0.
(14)
Следовательно, точки прикосновения соприкасающейся плоскости с кривою Г
суть точки пересечения этой кривой с плоскостью, проходящею через точку (а, Ь, с)
и представляемою уравнением (14).
10*
Заменяя dz, d2z, d3z их значениями из (12) и (13), мы можем представить
уравнение Д = 0, определяющее те точки кривой, в которых соприкасающаяся
плоскость стационарна, в виде:
А = (dx d3y — dyd3x)3 — 0;
К
следовательно, для этих точек мы имеем:
d^x__d'^ yd^x — х d3y _ d*z #
dx dy ydx — xdy dz ’
отсюда видно, что касательная в этих точках также стационарна.
Легко получить несколько кривых двойной кривизны, удовлетворяющих со-
отношению (12). Например, можно положить
х = А№, у--Btn, z~Ctm+n,
Где А, В, С, т, п — постоянные. Простейшими кривыми этого рода будут кривая
двойной кривизны третьего порядка x — t, y — t3, z — t3 и кривая двойной кри-
визны четвертого порядка x — t, y — t3, z — t^. Круговая винтовая линия
х = a cos t, у - a sin t, z — Kt
удовлетворяет тому же условию.
Чтобы получить все кривые двойной кривизны, удовлетворяющие соотноше-
нию (12), представим это соотношение в виде:
d (ху — Kz) = 2_у dx.
Полагая
х =/(?), ху — Kz—<f(t),
получим из предыдущего соотношения 2yj’ (i) = у' (t). Решив эти три уравнения
относительно х, у, z, будем иметь общие выражения координат в функции пере-
менного параметра:
х =/(<), *z^~r~ — ?(t). <15)
Эти формулы зависят от двух произвольных функций f и ср; но ясно, что, не на-
рушая общности, мы можем дать одной из этих функций произвольный частный
вид, например положить / (f) = t.
И. КРИВИЗНА И КРУЧЕНИЕ. РАЗВЕРТКИ.
217. Сферическая индикатриса. Выберем на кривой двойной кри-
визны Г некоторое определенное направление движения, которое при-
мем за положительное, и обозначим через s длину дуги АМ кривой,
отсчитываемую от некоторой начальной точки А до какой-нибудь точки М
и взятую со знаком или со знаком — в зависимости от того, со-
впадает ли направление от А к М с положительным направлением,
или эти два направления противоположны. Пусть будет МТ положи-
тельное направление касательной прямой в точке М, т. е. направление
в сторону возрастания дуг. Если через какую-нибудь точку О простран-
ства мы проведем прямые, параллельные этим касательным, то получим
конус S, который является направляющим конусом развертывающейся
поверхности, образованной касательными к кривой Г. Опишем из точки О
как из центра сферу радиусом, равным единице, и пусть будет 2 ли-
ния пересечения этой сферы с направляющим конусом. Кривая 2 на-
зывается сферической, индикатрисою кривой Г. Точки этих кривых
находятся в однозначном соответствии: каждой точке М кривой Г со-
ответствует на кривой 2 определенная точка т, в которой прямая,
параллельная направлению МТ, пересекает сферу.
Когда точка М описывает кривую Г в положительном направлении,
точка т описывает кривую 2 в некотором направлении, которое мы
примем за положительное направление на кривой 2, так чтобы соответ-
ствующие дуги s и <з обеих кривых возрастали одновременно (черт. 38).
Очевидно, что при перемещении центра О сферы вся кривая 2 пере-
местится таким же образом; поэтому в последующем мы будем предпо-
лагать, что центр О совпадает с началом координат. Точно так же, если
мы изменим положительное направление на кривой Г, то кривая 2 за-
менится новою кривою, симметричною с прежнею относительно точки О;
но должно заметить, что положительное направление mt касательной
прямой к кривой 2 не зависит от того, какое из двух направлений
на кривой Г принято за положительное.
Докажем, что плоскость, касающаяся конуса вдоль образующей От,
пара <лельна соприкасающейся плоскости к кривой Г в точке М.
В самом деле, пусть будет
AX^-BY-]-CZ = 0
уравнение плоскости Отт', причем центр О сферы принят за начало
координат. Эта плоскость параллельна касательным к кривой Г в точ-
ках М и М'; следовательно, если точкам М и М' соответствуют зна-
чения t и t-\-h параметра, то должно быть:
= (16)
Af (t-fh) -|-Сф'(^-}-Л) = О. (17)
Уравнение (17) можно заменить следующим:
А fV + V-flt) в (t) с = 0 _
h ' h "Г h
но при приближении h к нулю последнее уравнение обращается в
Л/'(0 + 5/(0 + Сф"Ю = 0. (18)
Уравнения (16) и (18) к которым мы пришли, — те же, какими опреде-
ляются коэфициенты А, В, С в уравнении соприкасающейся плоскости,
218. Радиус кривизны. Пусть будет <о угол между положительными
направлениями МТ, М'Т' касательных в двух близких между собою
точках М, М' кривой Г. Предел, к которому стремится частное ММ’
при неограниченном приближении точки М' к точке М, называется, как
и в случае плоских кривых, кривизною кривой Г в точке М. Количе-
„ аге ММ'
ство, обратное кривизне, т. е. равное пределу частного ——— , на-
зывается радиусом кривизны. Радиус кривизны можно определить иначе
как предел отношения бесконечно малых дуг ММ' и mm'-, в самом деле,
мы имеем:
arc ММ'arc ММ' arc mm' mm'
<о arc mm' mni <o
„ , „ arc mm' mm'
а при приближении nt к m каждое из отношении j —,----------имеет
mm' «о
пределом единицу. Так как дуги s~MM' и а=тт' изменяются
в одинаковом направлении, то мы имеем:
Пусть будут
x=f(t), y = <f(t), z = <b(t) (20)
уравнения кривой Г, причем точка О взята за начало координат. Тогда
координатами (а, у) точки т будут направляющие косинусы касатель-
ной МТ:
___dx „ dy dz
а ds ’ Р ds ’ ds ’
Отсюда имеем:
ds d2x — dxd2s ,r ds d2y — dy d2s ds d2z — dz d2s
da = -------------, d$ =------x- -----, —— ,
ds2 ds2 ‘ ds2
.2 _ da-2 i i d-,2— (ds d2x ~ dx d2s^ + (ds d2y ~ dy d2s^2 + (ds d2z ~ dz d2s>>2
Возводя в квадрат и принимая во внимание выражения для ds2 и dsd2s,
получим:
_____(rf.r'2 4- rfy- + dz2) [ (rf2.r)24- (d2y)2 + (tZ3z)2] — (dx d*x + dy d*y 4- dz d^zyi
d-. _ __ .
Вводя обозначения
A = dyd2z — dzd2y, B = dzd2x — dxd2z, C—dxd2y — dyd2x, (21)
которыми мы далее будем пользоваться, и применяя тождество Ла-
гранжа, мы можем представить предыдущее выражение в виде:
9 __^ + Д2 + О
dsi
При этом формула (19) для радиуса кривизны обращается в
«2=Д2 + Д2 + С-2-
Мы видим, что /?2 есть рациональная функция от х, у, z, х', у', z',
х", у", z". Самый радиус кривизны имеет иррациональное выражение,
но он рассматривается как количество существенно положительное.
Примечание. Если за независимое переменное взята длина дуги s кри-
вой Г, то функции /(s), if (s) и ф (у) будут удовлетворять уравнению:
Р (S) +?'2(5) + ф'2 (S) = l.
Далее, мы имеем:
a=/'(s). ? = ?'(«)> )
rfa— /" (s)ds, d$ = <f" (s) ds, df = Y'(s) ds, j (23)
rf32={[/"(s)P+[T"(s)P + H"(«)P} dsi, J
и выражение для радиуса кривизны принимает особенно простой вид;
-4 = [/"(')4[f(s)]2 Ф[ф’(«)Р. (24)
А4
219. Главная нормаль. Центр кривизны. Проведем через точку М
кривой Г прямую, параллельную касательной прямой mt к кривой S
в точке т, и рассмотрим на этой прямой направление MN, параллельное
положительному направлению mt. Полученная таким образом прямая
называется главною нормалью кривой Г; это та нормаль, которая
лежит в соприкасающейся плоскости, так как mt перпендикулярно к От,
и плоскость Omt параллельна соприкасающейся плоскости (§ 217).
Направление MN называется положительным направлением главной
нормали. Это есть вполне определенное направление, так как направ-
ление касательной mt не зависит от направления, выбранного на
кривой Г. Ниже мы увидим, как можно определить это направление,
не пользуясь индикатрисою.
Отложим на направлении MN, начиная от точки М, длину МС,
равную радиусу кривизны; полученная таким образом точка С назы-
вается центром кривизны кривой Г в точке М, а круг, описанный
в соприкасающейся плоскости из точки С как из центра радиусом,
равным МС, называется кругом кривизны. Пусть будут a', jj', у' на-
правляющие косинусы главной нормали. Координаты хг, yv центра
кривизны будут равны:
хг = х-{- Ra.', y1=y-]~R^', z2 = z-[-R^.
Но мы имеем:
а'
da dads da dsd2x— dxd2s
-y~ — у- = R == -----
da ds da ds ds3
и такие же формулы имеют место для и у'. Заменяя в формуле для хг
количество а' его значением, получим:
= х -j- R2
ds d2x — dx d2s
Коэфициент при /?2 можно иначе представить в виде:
ds2 d2x — dx ds d2s __ d2x(dx2 -|- dy2 -f- dz2) — dx (dx d2x-\-dy d2y -|-dz d2z)
ds‘* ds^
или, вводя коэфициенты Д, В, С:
В dz — С dy
ds4
Значения для ул и получатся круговою подстановкою из значения
для Xj, и таким образом мы будем иметь:
Bdz—Cdy |
«=----' I
л = + (25)
Эти выражения для xv yv z-t рациональны относительно х, у, z,
х', у', z', х", у", z!'.
Проведем через точку М плоскость Q, перпендикулярную к AW;
эта плоскость пройдет через касательную МТ и не пересечет в точке М
кривой Г (§214). Покажем, что центр кривизны и все точки кривой Г,
близкие к точке М, лежат по одну сторону этой плоскости Q. Чтобы
это доказать, примем за независимое переменное длину дуги s кривой Г,
отсчитываемую от точки М. Для координат X, Y, Z точки М', близкой
к М, мы будем иметь выражения:
и соответствующие выражения для координат Y и Z. Но так как за не-
зависимое переменное принято s, то
dx d2x du dads 1 f
ds a’ ds2 ds da ds R 2 ’
и формула для X принимает вид:
Заменяя в левой части 'уравнения плоскости Q
a! (X-x)+V(Y-y) + ^Z-z) = V
текущие координаты X, Y, Z приведенными выше разложениями коорди-
нат точки М', получим:
Т (аа' + № + + Г 2 + 0 ’
где т] бесконечно мало одновременно с $; но это количество положи-
тельно при всех значениях $, близких к нулю. Точно так же, заме-
няя 'X, Y, Z координатами х -f- Ra', y + R$', z-\-Ry' центра кри-
визны, мы найдем, что результат подстановки будет равен R, т. е. ко-
личеству существенно положительному. Таким образом все точки кривой Г,
близкие к М, а также и центр кривизны лежат по одну сторону каса-
тельной плоскости, и следовательно, теорема доказана.
220. Полярная прямая. Полярная поверхность. Перпендикуляр Д к со-
прикасающейся плоскости, проведенный через центр кривизны, назы-
вается полярною прямою. Эта прямая есть характеристика плоскости,
нормальной к кривой Г. В самом деле, очевидно, что линия пересече-
ния двух нормальных плоскостей, проходящих через две близкие точки М
и М' кривой Г, есть прямая D, перпендикулярная к касательным МТ
и М'Т', а следовательно и к плоскости тОт'. Когда точка М' при-
ближается к точке М, то, в пределе плоскость mOni делается параллель-
ною соприкасающейся плоскости, и следовательно, прямая D в пределе
обращается в прямую, перпендикулярную к соприкасающейся плоскости.
Чтобы доказать, что эта прямая проходит через центр кривизны, при-
мем за независимое переменное длину дуги s кривой Г. Уравнение нор-
мальной плоскости будет:
a(^-x) + ?(K-y)4-Y(Z-z) = 0. (26)
Характеристика нормальной плоскости определится уравнениями (26)
и (27):
^(*-х)4-Ък-у)+ t(Z-^)-l=0. (27)
/< t\ f\
Уравнение (27) представляет плоскость, перпендикулярную к главной
нормали и проходящую через центр кривизны. Следовательно, линия
пересечения этих двух плоскостей есть полярная прямая.
Отсюда видно, что центр кривизны совпадает с центром соприкаса-
ющегося круга (§ 211), и что, следовательно, круг кривизны тожде-
ствен с соприкасающимся кругом. Этот результат можно было заранее
предвидеть, потому что две кривые, имеющие соприкосновение второго
порядка, имеют один и тот же круг кривизны, так как для обеих этих
кривых v', z', у", z' имеют одинаковые значения.
Линейчатая поверхность, образуемая полярными прямыми, называется
полярною поверхностью. Как видно из предыдущего, полярная поверх-
ность есть в то же время развертывающаяся поверхность, огибающая нор-
мальных плоскостей к кривой Г. Если кривая Г плоская, то полярная
поверхность есть цилиндр, имеющий своим перпендикулярным сечением
развертку кривой Г. В этом частном случае все предыдущие свойства
вполне очевидны.
221. Кручение. Заменяя в определении кривизны касательную пря-
мую соприкасающеюся плоскостью, мы придем к новому геометриче-
скому элементу, который служит мерою той скорости, с какою вращается
соприкасающаяся плоскость, когда точка М движется по кривой Г.
Пусть будет ш' угол между двумя соприкасающимися плоскостями в двух
ш’
бесконечно близких точках М и М . Предел частного -----гуту, при не-
аге ММ'
ограниченном приближении точки М' к точке М называется кручением
кривой в точке М. Количество, обратное кручению, называется радиусом
кручения.
Прямая, проходящая через точку М и перпендикулярная к сопри-
касающейся плоскости, называется бинормалью. Выберем на бинормали
положительное направление (какое из двух направлений мы примем за
положительное, это мы установим далее) и обозначим через a", jj", у"
соответствующие ему направляющие косинусы. Прямая, проходящая че-
рез начало координат и параллельная этому направлению, пересечет
сферу с радиусом, равным единице, в некоторой точке п, которую мы
будем считать соответствующею точке М кривой Г. Местом точек п
будет некоторая сферическая кривая 0, и, как и выше, легко доказать,
что радиус кручения Т можно также определить как предел отношения
соответствующих бесконечно малых дуг arc ММ', аге пп' кривых Г и 0.
Таким образом мы имеем: 2
где г обозначает длину дуги кривой 0.
Координатами точки п будут a", jj", у", т. е.:
0„ В
CL — ---------- 9 р — ---,-----:— у
±|/ Д2 £2 С2- S2+-C2
у" =-----------------,
' ±VА2 + В2 С2
причем во всех трех формулах корень должен быть взят с одинаковым
знаком. Из этих формул мы получим da", df, dy”', например,
(A2 А-В2 A-C2)dA — A(AdAA~SdB-j-CdC)
da Hr
(А2 -р в2 с24
Так как d~2=dd'2 ( d^"2d'f2, то из предыдущего будем иметь:
2 _ (А2 4 В2 4- C2}(dA2-\-dB2 4- dC2)— (A dA -\-BdB CdC)2
т — (4^4524-С2)2 ’
или, на основании тождества Лагранжа:
__ (В dC — СdB)2 A-(CdA —A dC)2 -}-(AdB — B dA)2
Т ~ (Д2 4524 С2)2
Числитель этого выражения можно упростить, пользуясь соотношениями
Adx-]r В dy A- Cdz = Q,
dA dx 4 dB dy 4 dC dz = 0;
из них мы имеем:
dx dy _ dz 1 ZOQi
BdC—CdB " CdA — AdC AdB — BdA ~~K ’ ( ’
где через
лучаем :
~ обозначено общее значение этих отношений. Отсюда по-
К* ds3
Что касается значения К, то, развертывая, мы получим:
{dz d'ix — dx d-z) (dx d3y — dy d3x) — (dx diy — dy d3x) (dz d3x — dx d>z)
—--------------------------------j------------------------------—
dx
= dz d3xd3y — dxd~z d3y -|- dxd^y d3z — dyd-xd3z -|- dy d3z d3x — dz d3y dsx.
Правая часть этого выражения есть не что иное, как развернутый опре-
делитель Д [§ 215, (8)]. Таким образом мы имеем:
Д ds
и, следовательно,
Д2 I О2_Ц
................ (29)
Если мы будем рассматривать радиус кручения Т, подобно радиусу
кривизны /?, как количество существенно положительное, то для Т
нужно брать абсолютную величину правой части выражения (29). Но
полученное выражение (29) рационально относительно х', у', z', х", у”,
z", х"',у"', z'", а потому естественно брать в правой части формулы (29)
всегда один и тот же знак, т. е. рассматривать радиус кручения как
длину, взятую с определенным знаком. При этом оказывается, что в за-
висимости от того, будет ли для точки М радиус кручения иметь поло-
жительное или отрицательное значение, кривая Г вблизи точки М будет
иметь двоякое расположение.
Так как теперь знак Т зависит только от знака Д, то рассмотрим,
как меняется вид кривой Г вблизи точки М в зависимости от знака
определителя Д. Предположим, что трехгранный угол Oxyz расположен
таким образом, что для наблюдателя, стоящего на плоскости хОу
в точке О со стороны положительных z, вращение от положительного
направления оси Ох к положительному направлению оси Оу кажется
совершающимся на 90° справа налево.
Выберем теперь на бинормали положительное направление MNb
таким образом, чтобы трехгранный угол (МТ, MN, MNb) имел то же
расположение ребер, как и трехгранный угол Oxyz*. Тогда, если мы
будем перемещать непрерывно кривую Г так, чтобы точка М пришла
в О, касательная МТ совпала с положительным направлением оси Ох,
и главная нормаль MN—с положительным направлением оси Оу, то MNb
совпадет с положительным направлением оси Oz. При этом движении
абсолютная величина радиуса кручения Т остается неизменной; поэтому
определитель Д не может обратиться в нуль и, следовательно, не меняет
* Трехгранный угол, образованный касательною, нормалью и бинормалью,
называется основным трехгранным углом (триэдром) для ванной точки кривой.
(Ред.)
знака*. Предположим, что кривая Г отнесена к этой новой системе ко-
ординат, и что значение параметра /=0 соответствует началу коорди-
нат. Выражения координат точки, близкой к началу, будут:
х = aAt /2 (а2 е),
W№(W>
z = ? (C-i + S"),
(30)
жительно, так как при значениях г, о/
положительно; наконец, е3 может быть
м
Черт. 39а. Черт. 39b.
где h есть малое положительное число,
стоящий на соприкасающейся плоскости
где е, г', е" бесконечно малы вместе с t; в самом деле, при t = 0 при
таком выборе осей должно быть: dy = dz — d2z = 0. Мы можем пред-
положить, что aj^>0, так как в противном случае достаточно заме-
нить t через —г, чтобы аг изменилось в —а1; количество Ь2 — поло-
ких к нулю, у должно быть
к положительным, так и отри-
цательным. Но при i — 0
мы имеем Д= \2агЬяс^6,
так что знак определителя Д
одинаков со знаком количе-
ства с3. -Поэтому нужно
различать два случая в за-
висимости от знака ся. Если
ся )> 0, то х и z отрица-
тельны при изменении t
от — h до 0, и положительны
при изменении t от 0 до h,
В таком случае наблюдатель,
в точке М и обращенный ли-
цом к центру кривизны Р, увидел бы дугу ММ' вправо от себя над
соприкасающеюся плоскостью, а дугу ММ" влево под соприкасающеюся
плоскостью (черт. 39а), следовательно, это — правая кривая (dextror-
sum). Если бы было с, <( 0, то расположение кривой было бы обрат-
ным (черт. 39о), и кривая была бы левюо (sinistroisum). При этом без-
различно, на которой из двух сторон соприкасающейся плоскости будет
стоять наблюдатель. Вид правой кривой имеет штопор; из вьющихся
растений боб имеет вид правой кривой, а хмель — левой. Эти два рас-
положения кривой существенно различны. Например, две винтовые линии
с одинаковым ходом, начерченные на двух круглых цилиндрах с оди-
наковым радиусом, наложимы одна на другую, если они обе правые
или обе левые; если же одна правая, а другая левая, то одна из них
наложима на винтовую линию, симметричную с другою относительно
какой-либо плоскости.
В последующем мы будем писать формулу радиуса кручения Т
в виде:
(311
* Впрочем, легко доказать непосредственным вычислением, что при переходе
от одной системы прямоугольных осей к другой системе прямоугольных осей
с тем же расположением осей знак определителя А не меняется.
Кривая будет левою в тех точках, где Т положительно, и правою в тех
точках, где Т отрицательно. Если бы трехгранный угол имел обратное
расположение, то и предыдущее правило нужно было бы заменить
обратным.
2Й. Формулы Френе. Каждая точка М кривой Г представляет вер-
шину прямого трехгранного угла, образованного касательною, главною
нормалью и бинормалью и расположенного одинаково с трехгранным
углом Oxyz. Положительное направление главной нормали — вполне
определенное; напротив, положительное направление касательной может
быть взято произвольно и, в свою очередь, определяет собою положи-
тельное направление бинормали. Диференциалы от девяти направляю-
щих косинусов (а, [}, у), (а', jj', у'), у”) этих трех прямых вы-
ражаются весьма просто через /?, Т и через самые косинусы при
помощи формул, данных Френе (Frenet) *. Мы уже вывели формулы
для da, d$, d*r.
da. = ^ = £ B21
ds R ’ ds R ’ ds R ‘ 1 1
Направляющие косинусы положительного направления бинормали будут:
_ А
а = е —,
\/А2 + в2±С2
... _ ,
Уд24-д24-с2
у» = е . ,
1/д2-f-Д2-р с2
где е = -Ч— 1.
Так как трехгранный угол (МТ, MN, MNb) расположен одинаково
с углом Oxyz, то должно быть:
®' = ?"у-?у",
или
/Л2-ф52+С2‘
С другой стороны, формулу для da" можно представить в виде:
da!' — g B(BdA—AdB}-VC(CdA — AdC)
(A2 4- В2 + С2)7
или, принимая во внимание соотношения (28) и значение количества К’,
da" _ Cfi — B'f а'Д
— _ .
(Д2_|_£2_^С2)2
* Nouvelles Annales de Mathdmatiques, стр. 284, 1864.
Коэфициент при а' есть не
л d>"
числяя таким же образом —,
ds
что иное, как [формула (31)J; вы-
dfl
-fl- , получим *:
dfl_fl_ dfl _fl
ds Т ’ ds Т ’ ds Т ’
эти формулы сходны с формулами (32).
Чтобы получить da', dfl, dfl, продиференцируем известные нам со-
отношения:
а'2-|-р4-/2 = 1(
аа' flfl + = О,
заменяя da, dfl dy, da", dfl, dfl' их значениями из (32) и (33), будем
иметь:
a' da' -|- [Р dfl -fl fldfl = 0,
d 9
a da' 4- 8 dfl у dfl 4- — = 0,
К
ds
a!’da' + pp'J- fldflfl- ~ = 0.
Решая эти уравнения относительно da', dfl, dfl, получим:
ds R T ’ ds R T ’ ds R T ’
(34)
Формулы (32), (33), (34) суть искомые формулы Френе.
Примечание. Из формулы (33) видно, что касательная к сферической
кривой 0, описанной точкою п с координатами а", [i", параллельна главной
нормали. Это можно доказать и геометрически. В самом деле, рассмотрим ко-
нус S', вершина которого лежит в точке О, а направляющею лиииею служит кри-
вая 0. Образующая On этого конуса перпендикулярна к плоскости, касающейся
конуса S вдоль образующей От (§ 221), и, следовательно, конус S' есть дополни-
тельный конус к конусу S. Но, как известно, свойства дополнительных конусов
взаимны, так что, обратно, образующая От конуса S перпендикулярна к пло-
скости, касающейся конуса S1 вдоль On. Так как касательная mt к кривой X
перпендикулярна к прямым От и On, то она перпендикулярна к плоскости тОп.
По той же причине касательная nt' к кривой 0 перпендикулярна к плоскости тОп.
Следовательно, прямые mt и nt’ параллельны.
223. Разложение координат х, у, 2, по степеням s. Если даны две
функции независимого переменного s, R = y(s), T=fl(s), из которых
первая положительна, то существует кривая двойной кривизны Г, вполне
определенная по своему виду, но не по положению в пространстве,
* Если бы мы взяли формулу кручения в виде = да'Т да д_ С- ’ то
мулы Френе нужно было бы написать в виде: аа' —------, ...
у которой радиус кривизны и радиус кручения выражаются этими
двумя формулами в функции длины ее дуги, отсчитываемой от неко-
торой точки этой кривой. Строгое доказательство этого предложения
может быть дано лишь после теории диференциальных уравнений. Мы
здесь только покажем, каким образом можно найти разложения коорди-
нат точки искомой кривой по степеням s, предполагая, что эти разло-
жения возможны.
Примем за оси координат касательную, главную нормаль и бинормаль
в точке О и будем отсчитывать длину дуги этой кривой, начиная от
точки О. Выражения координат точки кривой, близкой к началу ко-
ординат, будут:
Но мы имеем:
dx d2x __da а'
ds а’ ds2 ds R ’
и, диференцируя еще раз:
d3x__ a' dR 1 / а .а" \
dsz~~~ R2'ds~~'R [R^'t)'
Вообще, последовательное применение формул Френе даст для
dnx
ds"
вы-
ражение вида:
dax
d7
Lna~\-Мпа*Рпа!',
где Ln, Мп, Рп— известные функции от R, Т и от их производных
по s различных порядков. Таким же образом, заменяя а, а', а" соот-
ветственно через р, j}" и у, у', у", мы получим производные от у и z.
Но в начале координат должно быть а0 = 1, ро=О, уо= 0, а'о —О,
[J'o = 1, у'о—0, а"о = 0, р"о = 0, у"0=1, поэтому, ограничиваясь в фор-
мулах (35) тремя первыми членами, мы будем иметь:
s s3 .
Х= 1 6^’2 + • • • ’
_ № S3 dR
У ~ 2R ~ 6R2 ds ’
s3 .
Z~ QRT^"'’
(36)
причем дальнейшие члены будут выше третьей степени.
dR
в формулах (36) /?, Т, .... должны быть заменены
as
Понятно, что
их значениями
при s = 0.
С помощью этих формул легко вычислить главные части некоторых
бесконечно-малых. Так, расстояние от какой-нибудь точки кривой до
соприкасающейся плоскости в бесконечно близкой точке той же кривой
есть бесконечно-малое третьего порядка, и его главная часть равна
53
SRT'
Расстояние от точки кривой до оси Ох, т. е. касательной, есть
бесконечно-малое второго порядка, и его главная
s2
часть равна ——
2 А;
(§ 209). Вычислим еще длину бесконечно малой хорды с. Мы имеем:
C2 = X2+3Z2 + 22=:S2_ _|_
причем дальнейшие члены будут выше четвертой степени. Отсюда
следует:
/ 52 А*2" / S2 \
c=s — TW2+ =S(1~24A>'2+"
таким образом разность s — с есть бесконечно-малое третьего по-
53
рядка, и его главная часть равна - .
24/\
Точно так же можно доказать, что кратчайшее расстояние между ка-
сательными в двух бесконечно близких точках кривой
малое третьего порядка, главная часть которого равна
есть бесконечно-
$3
TW7 3,1 тео-
рема принадлежит Буке (Bouquet).
224. Естественное (внутреннее) уравнение кривой. Если радиус кручения
кривой Т равен бесконечности, то кривая плоская, так как Д должно быть равно
нулю (§ 215), и в этом Случае определяющие кривую диферендиальные уравнения
интегрируются в квадратурах.
Вообразим, что за независимое переменное взята дуга з; прямоугольные ко-
ординаты х и у как функции s удовлетворяют двум уравнениям (§ 218, при-
мечание):
ds)+\ds)~'’ Yds*) + IdsV ~ |f (6)] ’
Первому из этих уравнений можно удовлетворить, полагая cos a, —- = sina,
US US
где через а обозначен угол, образуемый с осью х положительным направлением
касательной, и тогда второе из уравнений (37) дает нам:
da =
ds
эту формулу можно было бы написать непосредственно, исходя из определения
радиуса кривизны.
Интегрируя, имеем:
и затем находим х и у при помощи двух новых квадратур:
s j
х = cos a ds, у =у0+ ^sinads.
Sq So
Получающиеся кривые зависят от трех постоянных: x)t уа, аэ; но, если мы будем
обращать внимание только на форму кривой, а не на ее положение, то получим
в. сущности, только одну кривую. В самом деле, рассмотрим частную кривую С,
представляемую уравнениями:
X = f cos [ f -y^-l ds, У— f sin I i ds.
J । J f(^) J J LJ T(s) 1
Sq So Уо
Если мы в выражении для а возьмем знак плюс, то общие формулы могут быть
представлены в виде:
х = х0 + X cos a0 — У sin a0.
у — у0 4- X sin a0 -f- Y cos a0.
Следозательно, они представляют ту же кривую С, но иначе расположенную от-
носительно осей координат. Точно так же, если мы возьмем при у (s) знак минус,
то получим кривую, симметричную с кривою С относительно оси X. Следова*
тельно, плоская кривая будет вполне определена по своей форме, если известен
радиус кривизны кривой в функции длины дуги. Уравнение /? = <p(s) называется
естественным уравнением (equation intrinseque) кривой. Вообще, если дано со-
отношение между двумя из количеств /?, s, а, то кривая будет вполне опре-
делена по своей форме, н координаты ее точек могут быть получены посредством
квадратур. Так, если известен радиус кривизны R в функции угла а, &=/(а),
то мы имеем: ds=f (a) da и затем
dx = cos а у (a)'da,
dy = Sin а / (a) da,
а х и у получаются посредством двух квадратур. Если, например, R постоянно,
то из предыдущих формул имеем:
х = ха -j- R sin а, у = у0 —/? cos a;
следовательно, искомая кривая есть окружность с радиусом, равным R. Этот
результат следует также непосредственно из свойства развертки; так как длина
дуги развертки искомой кривой должна равняться нулю, то развертка рассматри-
ваемой кривой должна обратиться в точку.
Найдем еще плоскую кривую, радиус кривизны которой был бы обратно
д2
пропорционален длине дуги, /? = у. Мы имеем:
С s ds_ s3
J
далее
s
X= f COS ds.
b
= J Sin2^ds‘
0
11 Э. Гурса, т. I, я. 2.
Хотя эти интегралы не выражаются через элементарные функции, тем не
менее нетрудно составить представление о форме этой кривой. Когда л изме-
няется от 0 до -|- оо, то х и у, проходя через бесконечное множество максимумов
и минимумов, стремятся к некоторому общему конечному пределу (§ 87); следо-
вательно, кривая имеет форму спирали и приближается асимптотически к неко-
торой точке на прямой у_х*.
225. Развертывающие и развертки. Кривая Г-j называется разверты-
вающею (эвольвентою) кривой Г, если касательные к кривой Г входят
в состав нормалей к кривой Г2; обратно, кривая Г называется разверт-
кою (эволютою) кривой Г2. Очевидно, что все развертывающие кривой Г
лежат на развертывающейся поверхности, ребром возврата которой служит
кривая Г, и пересекают ортогонально образующие этой поверхности.
Пусть будут (х, у, z) координаты какой-нибудь точки М кривой Г,
7, [J, у— направляющие косинусы касательной к кривой Г и I — длина
отрезка Al/W1 между точкою /И и точкою М2, в которой развертываю-
щая пересекает касательную к развертке в точке М. Координаты
точки Мг будут:
x1 = x-|-/a, у2—у -|-/р, z1=z-]-l'(,
откуда
dx2 = dx-|-Ida -|- adl, -dy2 = dy -j- Id$ -|- [J dl, dz2 —-dz 1 dy у dl.
Чтобы кривая, описываемая точкою Мг, была нормальна к MMlt
необходимо и достаточно, чтобы было
a dx2 -|- [J dy2 -{-^dz-L — О,
т. е
a dx -|- $dy Д- у dz -|- dl -|-1 (a da -|- -|- у dy) = О,
или ds-\-dl = Q.
Следовательно, развертывающие кривой двойной кривизны Г полу-
чаются таким же построением, как и развертывающие плоской кривой.
Найдем теперь все различные развертки дан-
д/ I ной кривой двойной кривизны Г. Для этого, оче-
i b I видно, нужно соединить все нормали к кривой Г
\ \ / в такие семейства, чтобы нормали каждого семей-
\ \ ства образовали развертывающуюся поверхность
\ (черт. 4D). Всякая нормаль /И/И^ определяется
\ \ / I как пересечение нормальной плоскости с одной
\\ —_А-—N из плоскостей, проходящих через касательную
Р к кривой Г. Если семейство нормалей М/И2
имеет огибающую, то точка прикосновения Afj
— этой прямой с огибающею лежит на пересечении
Черт. 40. нормальной плоскости с бесконечно близкою нор-
мальной плоскостью (§ 205, примечание II), т. е.
на полярной прямой. Следовательно, все развертки лежат на полярной
поверхности.
Пусть будет D одна из этих разверток, ср — угол между направле-
нием ММ1 и положительным направлением главной нормали, отсчиты-
* Очевидно, что эта кривая расположена симметрично относительно начала,
и что значению s= — оо соответствует вторая асимптотическая точка кривой,
симметричная с первою точкою. (Ред.)
ваемый, как в тригонометрии, принимая за положительное направление
те
вращения в нормальной плоскости направление вращения на угол — ,
которое приводит к совпадению положительное направление главной нор-
мали с положительным направлением бинормали (черт. 40). Если X, g, > бу-
дут направляющие косинусы этого направления, то для того, чтобы пря-
мая MMj образовала развертывающуюся поверхность, необходимо и до-
статочно, чтобы было (§ 205):
A dp. dy
ds ds
n— .
X g
a p
Из соотношений
Xa-|-+ vy = 0, Xa'-j- g^ + vy' = c°sXa" + +vf' = sin<p
получаем:
X = a'cosip 4-a"sin(p, g = ^'cos <p -J- ^"sinip, v = y'cos <p y" sin <p,
и следовательно, по формулам Френе:
d\ cos <р
=---а—
ds R
. . /1 „ /1 dy
a' sin ш I — — -у1 — a cos и — —
1 \ T ds 1 \ T ds
dp dy
а получатся из этой формулы заменой а, а', а , соответственно.
ds ds A dp dy
через р, и у, у', у". Если полученные значения X, g, v, > ~js
подставить в определитель, он представится как сумма шести определи-
телей; приняв во внимание те из них, которые обратятся в нуль, так
как имеют две равных строки, мы получим формулу:
A dp dy
1 dy___ ds ds ds
f~~ds~ X g у ’ (
a 0 у
Приравнивая левую часть нулю, мы получим уравнение *, из которого
угол <р определится при помощи квадратуры:
У
, С ds
<р=То 4- J у • (4°)
_____________ о
* Этот простой результат может быть получен из геометрических соображе-
ний. Пренебрегая бесконечно-малыми третьего порядка, можно предположить, что
точка М' кривой Г, соседняя с М, расположена на круге кривизны кривой Г в точ-
ке М, так что касательная веточке М' служит касательной к окружности. Чтобы две
нормали — в точках М и М — встречались, необходимо и достаточно, чтобы эти две
прямые образовывали одинаковый угол с соприкасающейся плоскостью в точке М.
” • ds
по угол между двумя соприкасающимися плоскостями в М и в М’ равен
в силу самого определения кручения. Следовательно, при переходе от точки Af к
бесконечно близкой точке М' угол нормали с соответствующей соприкасающейся
ds
плоскостью возрастает на df = . Мы пришли к полученному выше результату.
Если мы рассмотрим два различных значения угла соответствую-
щих двум различным значениям постоянного <р0, то разность этих двух
значений угла ср будет оставаться постоянною вдоль кривой Г. Отсюда
следует, что две нормали кривой Г, касающиеся двух различных раз-
верток, пересекаются под постоянным углом. Если известно одно ка-
кое-нибудь семейство нормалей кривой Г, образующих развертываю-
щуюся поверхность, то мы получим все другие развертывающиеся
поверхности, образованные нормалями кривой Г, если повернем все
нормали" первого семейства на произвольный, но постоянный угол около
точек, в которых они пересекают кривую Г.
ТЬримечан'ие I. Если кривая Г—плоская, то Т равно бесконечности, и
формула (40) дает ® = <р0. Развертка, соответствующая значению <р0 == 0, есть обык-
новенная плоская развертка, представляющая в то же время место центров ьри-
визны кривой Г. Кроме этой развертки есть еще бесчисленное множество других
разверток; все они расположены на цилиндре, перпендикулярным сечением кото-
рого служит обыкновенная развертка, и представляют кривые двойной кривизны,
называемые винтовыми линиями', эти линии будут нами рассмотрены в следую-
щем параграфе. Это—единственный случай, когда место центров критизны кри-
вой есть в то же время ее развертка. В самом деле, для этого должно быть у = 0;
но для того чтобы уравнение (40) удовлетворялось при у = 0, необходимо, чтобы Т
было бесконечно велико, т. е. чтобы было Д = 0. Следовательно, в этом случае
кривая Г должна быть плоскою (§ 215).
Примечание II. Если кривая D есть развертка кривой Г, то, обратно,
кривая Г есть развертывающая кривой D. Следовательно, обозначая через .?( лугу
развертки, отсчитываемую в надлежащем направлении, имеем:
ds, =-d, (AfAft);
таким образом все развертки кривой суть спрямляемые кривые*.
226. Винтовые линии. Пусть будет С какая-нибудь плоская кривая; если
мы отложим от каждой точки т этой кривой на перпендикуляре к плоскости
кривой С длину тМ, пропорциональную длине дуги кривой С, отсчитываемой от
некоторой постоянной точки А, то получим кривую двойной кривизны Г, пред-
ставляющую место точек М. Эта кривая двойной кривизны Г называется винто-
вою линиею. Примем за плоскость хОу плоскость кривой С, и пусть будут
х = /(’)• У = f (’)
выражения координат какой-нибудь то'ки т кривой С в функции длины ее
дуги а. Координаты соответствующей точки М кривой Г будут:
у—<р(а), z=.Ka, (41)
где К—постоянньй множитель, причем функции f в <р удовлетворяют соотноше-
нию I. Обозначая через s дл! ну дуги кривой Г, из формул (41) имеем
= (/'-2 + <р'2 + #2) d 2 = 4 (I №) da2,
и следовательно, s—з ]/1 -t-/С2 где f-j—постоянное. Если мы условимся
отсчитывать длины дуг s и з от одной и той же точки А кривой С, то будем
иметь H—Q и s=3 }/Г-1-ЛА Направляющие косинусы касательной к кривой Г
будут:
Т=^=- (42)
1/1+№ 1/1+№
Так как у ге зависит от а, то касательные к винтовой линии образуют с осью Oz
постоянный угол. Это свойство — характеристическое для винтовой линии. Вся-
* Т. е. критые. у которых длина дуги может быть выражена при помощи
функций, предполагаемых известными. (Ред.
кая кривая, касательные к которой образуют с некоторым определенным
направлением постоянный угол, есть вантовая линия. Для доказательства этого
предложения примем за ось Oz прямую, параллельную этому направлению, и
пусть будет С проекция искомой кривой Г на плоскость хОу. Уравнения кри-
вой Г всегда можно представить в виде:
v = /(’). У = * = Н’)>
(43)
где функции / и <р удовлетворяют соотношению /'2 + <р'м — 1; дтя этого нужно
только принять за независимое переменное длину дуги з кривой С. Отсюда
имеем:
dz______<[>' (а)_ t[>'
ds ~ //'ЖНУ*"’ /1 + Р ’
Для того, чтобы y было постоянно, необходимо и достаточно, чтобы было по-
стоянно ф', откуда следует, что 4 (а) должно быть вида: К- + z9. Если мы перене-
сем начало координат в точку х = 0, >=0, z = z0, то получим для кривой Г
уравнения (41).
Так как для винтовой линии у — постоянно, то из формулы = — следует
T1 = 0. Следовательно, главная нормаль винтовой линии перпендикулярна к обра-
зующим цилиндра; так как, кроме того, главная нормаль перпендикулярна к ка-
сательной к винтовой линии, то она совпадает с нормалью к цилиндру, и сопри-
касающаяся плоскость будет нормальна к поверхности цилиндра. Бинормаль
винтовой линии лежит в касательной плоскости к цилиндру и перпендикулярна
к касательной к винтовой линии; отсюда следует, что бинормаль также образует
с Oz постоянный угсл.
v Y Y^
Так как у'= 0, то из формулы —----------------— имеем: +-у=0; таким
С4О J\ л Л
Т
образом для винтовой линии отношение постоянно.
Каждое из этих свойств характеризует винтовую линию. Докажем, напри-
Т
мер, что всякая кривая, для которой отношение постоянно, есть винто-
вая линия (Ж. Бертран).
Из формул Френе имеем:
di __ d} __ di __ Т___ 1
di" ~ 4" — — Я = 77 ’
если Н постоянно, то, интегрируя, получим:
а" = № — А, ₽" = //£ — В, ч"=Н-; — С,
где А, В, С—новые постоянные. Складывая эти уравнения, предварительно умно-
жив их на а, f, соответственно получим:
+ С^ = Н\
это уравнение можно иначе представить в виде:
-4д + ДН-^'Г И
/А» + Д2 ~ i/A* + B* + &'
„ А В С
по—._____________________________________ * суть направляющие ко-
1/А2 + В« + С2 у Ai + Bi + С2 |/Д2 4- Bi + Ci
синусы некоторой прямой Д, и предыдущее соотношение показывает, что каса-
тельная к искомой кривой образует с этим направлением постоянный угол; сле-
довательно, искомая кривая есть винтовая линия.
Вычислим еще радиус кривизны винтовой линии. Принимая во внимание
найденные выше значения (42) для а, имеем:
а'____da
7? ds
1
1 +Ki
и так как 7' = О,
(44)
г- 1 +№
Следовательно, отношение —' —
р\
не зависит от К- Но легко видеть, что при
К —0 это отношение равно обратному значению — радиуса кривизны перпенди-
кулярного сечения С (§ 218), Таким образом формулу (44) можно также предста-
вить в виде /? = г (1 ф- №); отсюда видно, что радиус кривизны винтовой ли-
нии находится в постоянном отношении к радиусу кривизны кривой С.
Отсюда легко получить все кривые, для которых R и Т постоянны. В самом
Т
деле, так как — постоянно, то, по теореме Бертрана, искомые кривые суть
винтовые линии. Далее, так как R постоянно, то постоянен также и радиус кри-
визны г кривой С. Следовательно, эта кривая С есть окружность, и искомая
кчивая есть винтовая линич, проведенная на круглом цилиндре. Это предло-
жение принадлежит Пюизё (Puiseux) *.
227. Кривые Бертрана. Главные нормали каждой плоской кривой служат
вместе с тем главными нормалями к бесчисленному множеству других плоских
кривых, параллельных первой. Бертран поставил задачу о разыскании всех кри-
вых двойной кривизны, для каждой из которых главные нормали были бы в то
же время главными нормалями некоторой другой кривой двойной кривизны.
Предположим, что координаты х, у, z точек искомой кривой Г выражены в функ-
ции длины s ее дуги. Отложим на каждой главной нормали к кривой Г отрезок
длины /, и пусть будут X, Y, Z координаты конечной точки этого отрезка; мы
будем имгть:
X = x + hr, У = у + ф, Z=z + h'. (45)
Для того чтобы главная нормаль к кривой Г была в то же время главною нор-
малью к кривой Г', описываемой точкою (А, У, Z), очевидно, необходимо и до-
статочно, чтобы имели место соотношения:
a’dX+^'dy+t'dZ—O,
a\(dYd2Z — dZ d2Y) -f- (dZdVC— dX d*Z) 4- 7' (dXdW— dYd^X) = 0 **.
Из первого соотношения следует: dl — Q\ это показывает, что длина I должна
быть постоянною. Заменяя затем во втором соотношении dX, d-X, dY, ... их зна-
чениями, выведенными из формул Френе и из формул, получающихся от их ди-
ференцирования, после приведения получим:
интегрируя это уравнение, будем иметь:
R Т
(46)
где t — новое постоянное. Следовательно, искомые кривые суть те, для кото-
рых существует линейное соотношение между кривизною и кручением. Оче-
видно, что это условие и достаточно, причем длина I дается самим соотноше-
нием (46).
Один замечательный частный случай этих кривых, именно, тот, когда радиус
кривизны постоянен, был уже раньше рассмотрен Монжем. В этом случае соот-
* В этом доказательстве предполагается, что дело идет о действительных
кривых, так как выше предполагалось, что А2-|-В24-(72 не равно нулю (см. дис-
сертацию Лиона (Lyon) „Sur les courbes a torsion constante", 1890).
** Последнее уравнение выражает, что главная нормаль с направляющими
косинусами а', [Г, 7' перпендикулярна к бинормали кривой Г' [§218, формула (21)].
(Ред.)
ношение (46) обращается в I — R, и следовательно, кривая Г', представляемая
уравнениями (45), есть место центров кривизны кривой Г. Предполагая 7 — 7? — по-
стоянному, из уравнений (45) имеем:
dX=: —ya"ds, dY= — j^'ds, dZ= — ~^ds; (47)
эти формулы показывают, что касательная к кривой Г' есть полярная прямая
кривой Г. Радиус кривизны /?' кривой Г' будет равен:
- + d;"3'
Следовательно, радиус кривизны /?' кривой Г' также постоянен и равен /?. Кроме
того, легко видеть, что связь между кривыми Г и Г' взаимна; каждая из них есть
ребро возврата полярной поверхности другой. Все эти свойства легко проверить
непосредственно на частном случае круглого винта.
Примечание. Нетрудно получйть общие формулы, представляющие все
кривые двойной кривизны, радиус кривизны которых имеет постоянное значение.
Пусть будет 7? данный постоянный радиус, и пусть будут а, 0, у некоторые функ-
ции переменного параметра, удовлетворяющие соотношению a2 -f- -р -р = 1.
Уравнения
X— R a ds, У = R § fl da, Z ~ R у da, (48)
где da = j/dai -|- dp dp, представляют искомую "кривую, и легко доказать, что
мы получаем таким образом все кривые, обладающие требуемым свойством. В са-
мом деле, a, fi, у суть не что иное, как направляющие косинусы касательной
к кривой, представляемой уравнениями (48), а a — длина дуги сферической инди-
катрисы (§ 217).
228. Соприкасающийся шар. Мы применим еще формулы Френе
к определению соприкасающегося шара. Предположим для упрощения
вычислений, что координаты х, у, z кривой Г выражены в функции
длины $ ее дуги. Для того чтобы шар радиуса р с центром в точке
(а, Ь, с) имел с кривою Г в данной точке этой кривой прикосновение
третьего порядка, должно быть:
<Н*)=0, 8-'(*)=0, &"(*)= О, (49)
, где
(s) — (х— а)24~ (у — b)2 -j-(z — с)2 — р2, (50)
причем предполагается, что х, у, z выражены в функции $. Раскрывая
три последних уравнения и применяя формулы Френе, получим:
(4 = (X — а) а (у — Ь) 3 4- (z — с) у = 0,
8"(4 = (* _fl) “ 4-(j,_ b) A-4~ (2 __C) X. 1 =0,
t\ К t\
= x — afa я"\ y — b /£, П z-c/y y* \
C R \R' Т/ R \R TI R \R ' T)
1 dP
~4- O' — ь) ^'4-(z —c)y'] = o.
Эти уравнения определяют a, b, с. Рассматривая в первом из них а,
Ь, с как текущие координаты, мы видим, что первое уравнение пред-
ставляет нормальную плоскость к кривой Г в точке (х, уу z), а два
последних уравнения получаются из первого диференцированием по пере-
менному параметру $. Следовательно, центр соприкасающегося шара
совпадает с точкой, где полярная прямая касается своей огибающей. Чтобы
решить эти три уравнения, заметим, что, принимая во внимание два пер-
вых уравнения, мы можем представить последнее уравнение в виде:
(x-a}a”-]-(y^b)^^(z-c)f=T-^. (51)
Отсюда легко получим:
а — х -4- Ra! — а”,
as
ь=у + ^-т^",
dR
С=г+^-Т-^"-
(52)
Радиус соприкасающегося шара дается формулой:
р2 = /?2 Р
(53)
Если R постоянно, то центр соприкасающегося шара совпадает с цент-
ром кривизны, что согласно с результатом, полученным выше (§ 227).
III. СВОЙСТВА ПРЯМЫХ ЛИНИЙ.
Положение прямой в пространстве зависит от четырех переменных
параметров. Следовательно, в зависимости от числа данных соотноше-
ний между этими четырьмя параметрами можно рассматривать совокуп-
ность прямых линий, зависящих от одного, от двух и от трех перемен-
ных параметров. Переменная прямая, зависящая от одного переменного
параметра, образует линейчатую поверхность. Семейство прямых, зави-
сящих от двух различных переменных параметров, называется конгруэн-
циею прямых. Наконец, компленсом пряных называется всякое семей-
ство .прямых, зависящих от трех параметров.
229. Линейчатые поверхности. Пусть будут в системе прямоугольных
координат x=az-\-p, y = bz^-q (54)
уравнения переменной прямой G, где a, b, р, q — функции одного пере-
с енного параметра и. Посмотрим, как изменяется положение касатель-
ной плоскости к поверхности 5, образованной прямой G, когда точка
прикосновения М перемещается вдоль прямолинейной образующей G.
Уравнения (54) вместе с уравнением z—z дают выражения координат
точек поверхности S в функции независимых параметров z и и; сле-
довательно, по § 61, уравнение касательной плоскости Р к поверхно-
сти S в точке М (х, у, z) будет:
X— х Y-y
а b
a'z-\-p' b'z-\-q'
Z — z
1
О
= О,
где d, b', р', q' обозначают производные от a, b, р, q по и. Заменяя х
через az-\-p, у через bz-\-q и раскрывая определитель, получим:
(b'z-{ d) (X— aZ — p) — (dzр') (Y — bZ — q) — 0. (55>
Из уравнения (55) прежде всего видно, что касательная плоскость
к поверхности всегда проходит через образующую О, что можно было
видеть заранее; кроме того, отсюда видно, что при перемещении точки,
прикосновения М вдоль образующей касательная плоскость вращается»
вокруг этой образующей, за исключением того случая, когда отноше-
dz-\-p' . , ,, f__А • „
ние —;—, не зависит от z, т. е. когда a'd — Ь'р' = О; этот частный
b'z q’
случай мы пока выделим из рассмотрения. Так как последнее отношение —
первой степени относительно z, то всякая плоскость, проходящая через-
образующую, касается поверхности в одной и только в одной точке-
этой образующей. Когда точка прикосновения удаляется вдоль образую-
щей в бесконечность, то касательная плоскость Р стремится к некото-
рому предельному положению Р', которое называется касательною-
плоскостью в бесконечно удаленной точке образующей. Уравнение-
плоскости Р' будет:
b'(X — aZ — р) — a'(Y — bZ — q) = 0. (56>
Пусть будет и угол между этою плоскостью Р' и касательною плос-
костью Р к поверхности в точке М (х, у, z) той же образующей. На-
правляющие косинусы (а, у) и (а!, у') нормалей к плоскостям Р*
и Р*, соответственно, пропорциональны количествам
b'z-\-q', —(dz-]-p'), b(dz±p')— a(b'z-dq')
и
b', — d, db — ab';
следовательно,
cos и = aa' 4- 8/ -)- yyr = ———Az-\-B
* “ ]/д /Лг2 4-25г 4-C
где
A = a'2 4-^ 4-(aP — bd)2,
В = a'p'-j- b’q'4- (ab' — bd) (aq' — bp'),
C — p'1 4~9r2 4-(a9/— bp/)2.
Вычисляя tgo) и применяя тождество Лагранжа, получим после при-
ведения :
_ Vac— В2 __ (a'q' — b'p') )/14- а2 4- Ь2
g “— Az-]-В ~ AzA^B
Из формулы (57) видно, что предельная касательная плоскость Р' перпен-
дикулярна к касательной плоскости Ру в некоторой точке Oj на обра-
зующей G; координата zy этой точки равна:
В
А
dp' -j - b'q' (ab' — bd) (aq' — bp')
d2 4- b'2 4- (ab' - ba')2
(58>
Точка называется центральною точкою образующей G, а касательная
плоскость Р] в точке Оу называется центральною плоскостью. Так как
угол 6 между касательною плоскостью в какой-нибудь точке М обра-
зующей и центральною плоскостью
ТТ
Ру равен — —и, то формула (57)
Z1
-может быть заменена следующею:
. fl _ A{Z-Zy) _ [Q'2+Zir2+(QZ,r_ ЛйГ)2](г-^)
Vac— В2 (a'q' — b'p') У1 + a2 + Z>2
Пусть будет p расстояние центральной точки Ог от точки М прикосно-
вения касательной плоскости, взятое со знаком плюс или минус в зави-
симости от того, образует ли направление ОГ'И с осью Oz острый или
тупой угол. Мы будем иметь: p = (z— ]/1 ---а2-уЬ2, и предыду-
щую формулу можно представить в виде:
хде
tg9 = kp,
___ а'2 -|- Ь'2 -ф- (ab' — Ьа')2
= (a'q' — />>')(! + а2 + Ь2) ’
(59)
(60)
"множитель k называется параметром распределения линейчатой по-
верхности. Формулою (59) выражается весьма просто закон вращения
касательной плоскости вокруг образующей; в нее входят только эле-
менты, имеющие геометрическое значение; в самом деле, ниже мы уви-
дим, как можно определить геометрически параметр k.
Эта формула представляет, однако, некоторую неопределенность,
так как непосредственно не видно, в каком направлении должно отсчиты-
вать угол 9; другими словами, неизвестно, в каком направлении вра-
щается касательная плоскость вокруг образующей, когда точка прикосно-
вения перемещается вдоль этой образующей.
Это направление вращения вполне определяется знаком параметра k.
Чтобы это себе уяснить, вообразим наблюдателя, лежащего вдоль обра-
зующей G. При перемещении точки прикосновения М вдоль образующей
в направлении от ног к голове наблюдателя последний будет видеть,
что касательная плоскость вращается или слева направо, или справа
налево. Нетрудно сообразить, что определенное таким образом направ-
ление вращения сохранится и в том случае, когда наблюдатель пере-
менит положение так, что ноги его будут находиться в том месте, где
была прежде голова, н обратно. Два гиперболических параболоида,
имеющих общую образующую и симметричных относительно плоскости,
проходящей через эту образующую, дают ясное представление об этих
Д1ух различных расположениях. Переместим теперь непрерывным дви-
жением координатные оси таким образом, чтобы начало координат
совпало с центральною точкою Оу, ось Oz—с образующею G, и плос-
кость xOz—с центральною плоскостью Ру. Ясно, что выражение (60)
параметра распределения сохранит при этом свое значение *, и фор-
* Это видно из формулы (59), где 0 и р имеют геометрическое значение, не
зависящее от выбора системы координат. (Ред.)
мула (59) обращается для новой системы осей в
tg6 = fc, (59')
где 9 обозначает угол между касательною плоскостью и плоскостью
_у = 0, отсчитываемый в надлежащем направлении. При значении и0
параметра, соответствующем оси Oz, мы должны иметь a — b = p = q = 0;
при этом уравнение касательной плоскости (55) обращается в
(b'z-\-q') X — (a'z-\-p') У=0.
Чтобы начало координат было центральною точкою, а плоскость
xOz— центральною плоскостью, должно быть а' = 0, q' = 0; следова-
b'z
тельно, уравнение касательной плоскости принимает вид: Y=—г X,
Ь'
причем формула (60) дает k= — —. Отсюда видно, что в формуле (59')
за положительное направление отсчета угла 9 нужно принимать направ-
ление вращения от оси Оу к оси Ох. Если оси координат имеют
такое же расположение, как выше в § 221, то наблюдатель, лежащий
вдоль оси Oz, будет видеть, что касательная плоскость поворачивается
слева направо, если k положительно, и справа налево, если k отри-
цательно.
Место центральных точек всех образующих линейчатой поверхности
называется линиею сжатия (ligne de striction), или горловою линиею.
Координаты точек этой линии выражаются в функции - параметра и
уравнениями (54) и (58).
Примечание. Если для данной образующей мы имеем a'q' = b'p', то ка-
сательные плоскости к поверхности во всех точках этой образующей совпадают
между собою. Если последнее соотношение имеет место для всех образующих,
т. е. при всех значениях параметра и, то линейчатая поверхность есть развер-
тывающаяся поверхность (§ 205). В последнем случае нетрудно притти к результа-
там, полученным -в § 205. В самом деле, если а’ и Ь' не равны одновременно
нулю, то касательные плоскости к поверхности во всех, точках образующей G
совпадают между собою; но в точке z т. е. в точке прикосновения
а о
образующей с ее огибающею уравнение касательной плоскости делается неопре-
деленным. Принимая во внимание соотношение a'q' = b'p', легко доказать,
что значение z{, определяемое формулою (58), тождественно с значением
z = — = — if.. Следовательно, для развертывающейся поверхности линия сжатия
совпадает с ребром возврата. Что касается параметра распределения, то для раз-
вертывающейся поверхности он равен бесконечности.
Если для каждой образующей а' = Ь' = 0, то поверхность есть цилиндр;
в этом случае центральная точка неопределенна.
Центральную точку и параметр распределения можно определить еще иначе.
Рассмотрим вместе с О соседнюю образующую G{, соответствующую значению
иараметра и + й. Уравнения образующей G1 будут:
х = (яДа) zр 4-Др, у-= (й -f- Дй) z + q + Д?. (61)
Пусть будет 8 кратчайшее расстояние между обеими прямыми G и Gt, а — угол
между этими прямыми, и X, К, Z—координаты точки пересечения образующей G
с общим перпендикуляром к обеим образующим. По известным формулам анали-
тической геометрии имеем:
__ Да А? + Д6 Др + (а Д6 — b Да) [(а Д- Да) Др — (Ь Д- Дй) Др]
(1а)2 + (Д6)2 + (а Д6 — 6 Да)2 ’
Я__ Да Др —Д6 Др
~~ |/(Да)2 + (Д6)2 + (а Д6 - 6 Да)2 ’
/(Да)2 + (Д6)2 + (а Д6 — 6 Да)2
sin а =— ——- — — .
]/д2 + £2 + 1 |/(а + Да)2 4- (Ь + Д£>)2 + 1
При приближении h к нулю Z обращается в пределе в найденное выше вы-
/гоч sin а . „
ражение (58) для zit а —дает в пределе k. Следовательно, центральная точка
о
есть предельное положение основания общего перпендикуляра к образующим
„ ~ sin а
и и ц, а параметр распределения равен пределу отношения —§—.
о
Заменим в выражении для 3 количества Да, AJ, Др, Др их разложениями по
степеням 1г.
ka — ha' + у-2 а" +... ,
и ему подобными для Д6, Др, Др. Тогда числитель выражения для 8 будет равен?
. /г3
Да Др — Д6 Др = /г2 (а'р' — Ъ'р ) (а"р' -f- а'р" — Ь"р’— Ь'р")-^...,
тогда как знаменатель будет всегда первой степени относительно h. Мы видим,
что 8 есть, вообще, бесконечно-малое первого порядка, за исключением случая
развертывающихся поверхностей, когда мы имеем a'q' — 6'р' = 0. Но коэфициент
при есть производная от а'р — Ь р , следовательно, в случае развертывающихся
поверхностей этот коэфициент также равен нулю, и потому для развертывающейся
поверхности кратчайшее расстояние между двумя бесконечно близкими образую-
щими будет бесконечно-малым не второю, а третьего порядка (§ 223). Это заме-
чание принадлежит Буке, который, кроме того, доказал, что если для какой-нибудь
поверхности это расстояние представляет бесконечно-малое четвертого порядка,
то оно должно равняться нулю; это будет только в том случае, когда рассматри-
ваемые прямые линии или касаются плоской кривой, или образуют коническую
поверхность. Чтобы в этом убедиться, нужно только продолжить разложение вы-
ражения Да Д? — Д6 Др до членов четвертого порядка.
230. Конгруэнции. Фокальные поверхности. Вег кая ccbokj пность прямых
х = az + р, bz + q, (62)
где a, b, р, q зависят от двух переменных параметров а и f, называется конгру-
энцшю прямых. Вообще, через каждую точку пространства проходит несколько
линий конгруэнции, так как при данных значениях х, у, z мы имеем для опре-
деления а и р два уравнения (62). Если между параметрами а и f мы установим
некоторое соотношение, то переменная прямая G, представляемая уравне-
ниями (62), образует линейчатую поверхность, которая, вообще, не будет развер-
тывающеюся. Для того чтобы эта поверхность была развертывающеюся, должно быть,
как мы видели:
da dq — db dp = 0;
, йа , йа
заменяя здесь da через —аг]--af, ... , получим:
йа df
€4-?) 4-440- (“" 4?) (4’44=°-163>
d'}
Из этого уравнения второй степени относительно мы получим, вообще,
М
два различных решения для :
^=^(’7). = (’,?)• (64)
a a (Li
При некоторых весьма общих условиях, которые мы укажем впоследствии и ко-
торые мы будем предполагать здесь выполненными, каждому из уравнений (64)
можно удовлетворить, приняв за f одну из бесчисленного множества некоторых
определенных функций от а; при этом каждое из этих уравнений имеет один
и только один интеграл, принимающий при а = а0 данное значение j50. Следова-
тельно,. каждая прямая G конгруэнции принадлежит двум развертывающимся
поверхностям, все образующие которых будут прямыми этой же конгруэнции.
Пусть будут Г и Г' ребра возврата этих двух развертывающихся поверхностей,
А и А' — точки прикосновения прямой G к Г и к Г'. Эти точки А и А' назы-
ваются фокальными, точками образующей. Их можно найти следующим обра-
зом, не интегрируя уравнения (63), определяющего развертывающиеся поверхности
конгруэнции. Координата z каждой из этих точек должна одновременно удовле-
творять двум соотношениям:
z da + dp = 0, z db -f- dq = 0 *;
заменяя здесь da, db, dp, dq их выражениями, получим:
Ча й₽ / й» й₽
zClda+^diX+^da+^d^.
\da 7 Эа й? К
Исключая из этих уравнений г, мы придем к уравнению (63); но если мы
исключим из них то получим уравнение второй степени, определяющее обе
. фокальные точки:
+ + + (65)
V йа/ V й₽ \ й₽ й₽7 \ йа Ъ)
Место фокальных точек А и А' образует две поверхности X и X1, уравнение
которых получим, исключая а и f из уравнений (62) и (65). Эти поверхности не
будут, вообще, аналитически различными, а образуют две полости одной и той же
поверхности; эта поверхность называется фокальною поверхностью. Легко ви-
деть, что фокальная поверхность есть место ребер возврата развертывающихся по-
верхностей конгруэнции. В самом деле, по самому определению кривой Г оче-
видно, что касательная прямая к этой кривой в какой-нибудь ее точке А принад-
лежит к конгруэнции; следовательно, точка А есть одна из фокальных точек этой
прямой. Очевидно, что каждая прямая конгруэнции касается обеих полостей
X и S’ фокальной поверхности, так как такая прямая касается двух кривых
Г и Г', расположенных на этих полостях.
Касательные плоскости к полостям X и X' фокальной поверхности в точках
А и А' находятся следующим образом (черт. 41 на стр. 204). Предположим, на-
пример, что прямая G, перемещаясь, остается касательною к кривой Г; при этом
она остается также касательною и к полости X’, и ее точка прикосновения с X'
описывает некоторую кривую у', которая необходимо отлична от Кривой Г'. Сле-
довательно, развертывающаяся поверхность, образованная прямою G, будет касаться
* Так как прямая (62) касается кривой Г в точке А, то для перемещения по
кривой Г имеем:
dx = a dz, dy—b dz.
(Ped.)
в точке А' полости S'; в самом деле, так как касательные плоскости к обеим
поверхностям имеют, общими прямую G и общую касательную прямую к кри-
вой /, то эти касательные плоскости совпадают между собою. Следовательно
касательною плоскостью к полости S' в точке А' будет соприкасающаяся плос-
кость к кривой Г в точке А. Точно так же можно убедиться, что касательною»
плоскостью к полости S в точке А будет соприкасающаяся плоскость к кри-
вой. Г' в точке А'. Эти две плоскости называются фокальными плоскостями
конгруэнции.
Можно непосредственно определить фокальные плоскости следующим путем
Пусть будет
х — az — — bz —q) = 0
уравнение фокальной плоскости, проходящей через Gпрямую конгруэнции..
Когда эта прямая, перемещаясь, описывает одну из развертывающихся поверх-
ностей конгруэнции, а, р и 1 являются функциями переменного параметра, так
что характеристикой этой плоскости является сама прямая G. Но эта характе-
ристика есть пересечение переменной плоскости с плоскостью, уравнение ко-
торой есть
— zda— dp + d\ (у — bz — q) — \ (zdb -f- dq) = 0.
Чтобы эта вторая плоскость проходила через прямую" G, необходимо иметь:
da +1 db = 0, dp -|- 7 dq = О’
Исключая 1, мы приходим к уравнению (63); но, если исключить отношение
получим уравнение второго порядка относительно ), которое определяет
кальиые плоскости:
д?\ + л
\да да/ \д? W \да да/
d8
, мы
da
две фо-
Может случиться, что одна из двух полостей фокальной поверхности обра-
щается в линию С. В этом случае прямые конгруэнции остаются касательными»
к полости S и пересекаются с линиею С; одно из семейств развертывающихся по-
верхностей будет состоять из конусов, описанных около поверхности S, с верши-
нами в точках линии С. Если обе полости фокальной поверхности обращаются!
соответственно в линии С и С', то оба семейства развертывающихся поверхностей
состоят из конусов, имеющих вершины в точках одной из кривых С, С' и про-
ходящих через другую. Если линии С и С — прямые, то конгруэнция назы-
вается линейною конгруэнциею.
231. Конгруэнции нормалей. Очевидно, что нормали ко всякой поверхности
образуют конгруэнцию, но обратное предложение неверно; не всегда существует
поверхность, нормальная ко всем прямым данной конгруэнции. В самом деле,,
найдем, при каком условии все прямые, представляемые уравнением (62), нор-
мальны к некоторой поверхности. Для этого необходимо и достаточно, чтобы,
существовала такая функция /(о, Р), чтобы поверхность S, представляемаи урав-
нениями:
x — az-\-p, y = bz-\-q, z=f(a, Р), (67>
имела нормалями именно прямые G. Следовательно, мы долдны иметь:
a dx + b dy 4- dz = 0,
или
^ + ?-У + -
дх да да
, заменив в этих уравнениях х через
на |/д2-р -|-1, получим:
4 (г;/ «2 -f- &2 н- 1)
да
аг + р, у через bz-\-q н разделив их.
4 (Zj/ Д2+ 1)
(68)
Для того чтобы эти уравнения были совместимы, необходимо и достаточно, чтобы
было
/ ^Р . ь \ / &Р , ь д<7
/ й — + & — \ a J- ->г-Ь
д да да j___________________ д / др др
(69)
Если условие (69) удовлетворяется, то из уравнений (68) можно определить г
квадратурою. Получающиеся поверхности зависят от одного произвольного по-
стоянного, входящего при интеграции, и образуют семейство параллельных по-
верхностей.
Чтобы выяснить геометрический смысл условия (69), заметим, что условие
перпендикулярности двух фокальных плоскостей, проходящих через какую-ни-
будь прямую конгруэнции, есть
1 4“ ^1^2 4~ (а 4~ (л 4~ ^2) =“ 6,
где и суть корни уравнения (66). Если заменить ).14_'*2 и ХД2 их значениями»
это условие примет вид:
°(д, 7) ,
D(->, Р) +
Р(Ь, р)1
Р (а. Р) J
и оно тождественно с условием (69).
Мы получаем следующую важную теорему:
Для того чтобы прямые конгруэнции были нормалями к некоторой по-
верхности, необходимо и достаточно, чтобы фокальные плоскости, прохо-
дящие через каждую прямую конгруэнции, были взаимно перпендикулярны.
Примечание!. Если мы примем за переменные параметры а н р косинусы
углов, образуемых прямою с осями Ох и Оу, то будем иметь:
а - —. , b = —, — ——, j/1 -|- a2 -J- —/ -— —- ' ~ »
|/1 — а2 — Р2 ]/1 — а2 — р2 Г ]/1 - а2 _ р2
и уравнения (68) обратятся в
да \ у 1 — а2 — р2/ да да
(70>
д
др
+ 8-?
др др
Условие интегрируемости (69) принимает вид: , откуда следует, что р
да др
и q суть частные производные от некоторой функции Р(а, р):
дЛ
д/7
да
4 др ’
причем функция F (a, ?) получается посредством квадратуры. Найдя F, мы затем
(получим г, интегрируя уравнение с полными диференциалами:
•отсюда имеем:
где С — произвольное постоянное.
Примечание II. Нормали к некоторой кривой Г являются также норма-
.лями к трубчатой поверхности, являющейся огибающей семейства шаров посто-
•янного радиуса, центры которых лежат на кривой Г; следовательно, они образу-
ют конгруэнцию нормалей. Одна из полостей фокальной поверхности обращается
в кривую Г, а другою является полярная поверхность кривой Г. Одна из прохо-
дящих через нормаль MN фокальных плоскостей есть нормальная плоскость
кривой Г, а другая фокальная плоскость проходит через касательную МТ кри-
вой Г; очевидно, что они ортогональны.
Нормали к тору образуют конгруэнцию, у которой обе фокальные поверх-
ности обращаются в две линии — ось тора и окружность, являющуюся местом
центров меридиа ов.
231а. Теорема Малюса. Если световые лучи, выходящие из какой-нибудь
точки, отражаются или преломляются какою-нибудь поверхностью, то после отра-
жения или преломления они будут нормальны к некоторому семейству парал-
.лельных поверхностей. Эта теорема, принадлежащая Малюсу (Malus), была рас-
пространена на случай нескольких последовательных отражений или преломлений
Коши, Дюпеном, Жергонном (Gergonne) и Кетле (Que.elet), и мы имеем следую-
щую более общую теорему:
Если световые лучи нормальны к какой-нибудь поверхности, то после
любого числа отражений и преломлений они тачже остаются нормальны чи
к некоторой поверхности.
Так как отражение лучей можно рассматривать как преломление с показате-
лем— 1, то достаточно доказать эгу теорему только для случая однократного
преломления. Пусть будет S поверхность, нормаль-
ная к световым лучам, тМ— падающий луч,
встречающий поверхность раздела 2 двух сред
в точке М, MR — луч преломленный. По закону
С Декарта падающий луч Мт, преломленный луч MR
и нормаль MN лежат в одной плоскости, и между
I углами /иг (черт. 40а) существует соотношение:
zzsinz=sinT. Для определенности мы предположим
п<1, как это принято на черт. 40а. Обозначим
расстояние Мт через / и отложим на продолжении
преломленного луча длину 1'=Мт', равную fe-крат-
ной длине /, где k обозначает некоторый постоян-
ный множитель, который мы определим ниже.
Геометрическим местом всех точек т', лежащих на
Черт. 40а. различных лучах будет некоторая поверхность S’.
Докажем, что можно выбрать множитель k таким
образом, чтобы преломленный луч Мт' был нормален к поверхности S'. В самом
деле, пусть будет С. какая-нибудь кривая, лежащая на поверхности S. Когда
точка т описывает кривую С, точка М описывает на поверхности 2 некоторую
кривую Г, а соответствующая точка т! описывает на поверхности S' некоторую
другую кривую С. Пусть будут .s', a, s' длины дуг кривых С, Г, С', измеряемые
от некоторых соответственных постоянных точек на этих кривых, и ш — угол
между касательною МТ{ к кривой Г и линиею пересечения МТ касательной
плоскости к поверхности 2 в точке М с нормальною плоскостью к этой поверх-
ности, проходящею через падающий луч Мт; далее, пусть будут и <рг углы
касательной МТ{ с прямыми Мт и Мт'. Чтобы вычислить, например, cos tp,
отложим на Мт длину, равную единице, и спроектируем ее на прямую МТ{.
Для этого мы можем сначала проектировать эту длину на МТ и затем про-
ектировать полученную проекцию на МТ {. Поступая точно так же с единицею
длины, отложенною на Мт', мы получим соотношения:
cos ? = sin i cos <o, cos «' = sin т cos co.
Применяя к отрезкам Мт и Мт’ формулу (16) § 81 для диференциала отрезка
прямой, получим:
rf/= — de cos ш sin i,
dl' = — de cos <o sin ~ — ds' cos fl,
где 9 есть угол между прямою т'М и касательною к кривой С. Заменяя dl
через kdl', из предыдущих уравнений будем иметь:
cos <о de (k sin i — sin t) = ds' cos 9.
Если мы положим k.= n, то получим:
ds' cos 9 = 0.
Отсюда следует, что при k—n луч Мт’ будет нормален к кривой С, а так как
кривая С есть произвольная кривая, лежащая на поверхности S', то он будет
нормален и к самой поверхности S'. Эта поверхность S' называется антикаусти-
кою или вторичною каустикою. Очевидно, что поверхность 5' есть огибающая
сфер, описанных из точки М как из центра, радиусами, равными «-кратной
длине Мт. Таким образом мы получаем следующую теорему:
Пусть паоающие лучи нормальны к и. которой поверхности S; будем рас-
сматривать эту пове. хность как огибающую семейства сфер, центры кото-
рых лежат на поверхности раздела S. Тогда антич аустикою для прелом-
ленных лучей будет огибающая семейства сфер с теми же самыми центрами,
радиусы которых относятся к радиусам соответствующих сфер первого
семейства, как единица к показателю преломления.
Эта огибающая поверхность состоит из двух полостей, соответствующих
равным и противоположным по знаку показателям преломления. Вообще, эти две
полости не будут аналитически различны и представляют две полости поверхно-
сти, представляемой неразложимым уравнением.
232. Комплексы. Совокупность прямых, зависящих от трех переменных
параметров, называется комплексом прямых. Пусть будут
x—az-\-p, y=bz-\-q (71)
уравнения некоторой прямой. Каждое соотношение между а, Ь, р, q
F(a,b,p,q) = 0 (72)
определяет некоторый комплекс прямых, и обратно. Если F есть целый многочлен
по a, b, р, q, то комплекс назыиается алгебраическим. Прямые комплекса, про-
ходящие Через данную точку (х0, у0, z0), образуют конус с вершиною в точ-
ке (х0, уо. го)- Мм получим уравнение этого конуса, исключая а, Ь, р, q из
соотношений (71), (72) и (73):
x0 = az0-|-A Уо=^о + ?; (73)
следовательно, уравнение этого конуса будет:
^./Х —Хр у-Уй, XpZ — XZp yoz — yz0\ _ 0
\z — z0’z — z0’ z — za ’ Z — Zp J ' ?
В каждой плоскости лежит бесконечное множество прямых, принадлежащих
к данному комплексу; эти прямые огибают некоторую кривую, называемую
крив ю комплекса. Если комплекс — алгебраический, то порядок конуса ком-
плекса равен классу крив' й комп екса. В самом деле, предположим, что требуется
найти число прямых комплекса, проходящих через данную точку А и лежащих
в некоторой плоскости Р, проходящей через эту точку. Для этого можно по-
ступать двумя способами: можно или пересечь плоскостью Р тот конус компле-
12 Э. Гурса, т. I, я 2.
кса, вершина которого находится в точке А, или провести через точку А касатель-
ные прямые к кривой комплекса, расположенной в плоскости Р. Так как
в обоих случаях мы должны получить одно и то же число, то теорема доказана.
Если конус комплекса обращается в плоскость, то комплекс называется
линейным', в этом случае уравнение (72) будет иметь вид:
Аа -f- bb -f- Ср -f- Dq -f- E (aq — bp) -f- 0. (75)
Местом прямых комплекса, проходящих через данную точку (х0, _у0, г0), будет
плоскость, представляемая уравнением:
А (х — х0) + В (у — >0) + С (хог — гох) +
+ В) (y^z — zy) -f- Е (у„х — хау) -f- Е (z —Zq) — 0.
Так как кривая линейного комплекса должна быть первого класса, то она обра-
щается в точку, т. е. все прямые комплекса, лежащие в данной плоскости,
проходят через некоторую точку этой плоскости; эта точка называется полюсом,
или фокусом. Следовательно, линейный комплекс устанавливает соответствие
между точками и плоскостями пространства таким образом, что ка + дой точке
пространства соответствует определенная плоскость, проходящая через эту точку,
и каждой плоскости соответствует определенная точка, лежащая в этой плоскости.
Точно так же линейным комплексом устанавливается соответствие и между пря-
мыми в пространстве. В самом деле, пусть будет D прямая, не принадлежащая
к комплексу; далее, пусть будут F и Е' фокусы двух плоскостей, проходящих
через эту прямую, и Д— прямая FF1. Всякая плоскость, проходящая через
прямую Д, имеет фокус в точке tp пересечения этой плоскости с прямою D, так
как прямые yF, <fF, очевидно, принадлежат к комплексу, так как проходят через
фокусы F и F1 и лежат в плоскостях, которым соответствуют эти фокусы. От-
сюда следует, что всякая прямая, пересекающая прямые D и Д, принадлежит
к комплексу, и что фокус каждой плоскости, проходящей через прямую D, есть
точка пересечения этой плоскости с прямою Д. Прямые D и Д называются счпря-
ж иными прямыми', каждая из них есть место фокусов плоскостей, проходящих
через другую,
Если прямая D обращается в бесконечно удаленную прямую, то плоскости,
проходящие через D, будут между собою параллельны, и из предыдущего видно,
что место фокусов плоскостей, параллельных некоторой данной плоскости, есть
прямая линия. Легко было бы убедиться, что всегда есть плоскость, обладающая
тем свойством, что место фокусов плоскостей, ей параллельных, есть прямая,
к ней перпендикулярная. Если мы примем эту прямую за ось Oz, то каждая
плоскость, фокус которой лежит на оси Oz, должна быть параллельна плоско-
сти хОу. На основании уравнения (76) необходимым и достаточным условием
этого будет A = B = C= D = 0, и уравнение комплекса принимает следующий
прдстой вид:
aq-bp + K=0; (77)
при этом плоскость, фокус которой лежит в точке (х, у, г), представится уравне-
нием:
Ху - Ух + К (Z - z) т= 0, (78)
где X, У, Z — текущие координаты.
В виде примера найдем кривые, которых касательные принадлежали бы к пре-
дыдущему комплексу. Рассмотрим одну из таких кривых. Предположим, что ко-
ординаты х, у, z ее точек выражены в функции переменного параметра; урав-
нения касательной в какой-нибудь точке этой кривой представятся уравнениями:
Х — х _ У—у _ Z — z
dx dy dz '
Для того чтобы эта касательная принадлежала к комплексу, необходимо и доста-
точно, чтобы она была расположена в плоскости (78), имеющей фокусом точ-
ку (х, у, z), т. е. чтобы было:
х dy — у dx — К dz. (79)
Выше (§ 216) мы видели, каким образом можно получить все функции х, у, z
переменного параметра, удовлетворяющие этому условию; следовательно, мы
можем найти все кривые, обладающие требуемым свойством.
Выводы, полученные в § 216, выражаются весьма просто с точки зрения
теории комплексов. Так, например, диференцируя уравнение (7S), получим:
х d-y — у d‘x — К d!z\ (80)
из соотношений (79) и (80) следует, что соприкасающеюся плоскостью в точке
(х, у, г) служит плоскость (78). Таким образом мы получаем следующую теорему:
Если касательные прямые к кривой двойной кривизны принадлежат
к линейному комплексу, то соприка ающеюся плоек стью в каждой точке
этой кривой будет та плоскость, для которой эта точка служит фокусом.
[Аппель (Appell).]
Предположим, что требуется провести через точку О пространства соприка-
сающиеся плоскости к некоторой кривой двойной кривизны Г, к .сательные к ко-
торой принадлежат к линейному комплексу. Пусть будет АГ точка прикосновения
одной из этих плоскостей. На основании предыдущей теоремы, прямей МО есть
прямая комплекса, и следовательно, точка М лежит в плосюсти, имеющей фоку-
сом точ'-у О. Обратно, если точ а М кривой Г лежит в плоскости, имеющей
фокусом точку О, то прямая МО, принадлежащая к комплексу, лежит в сопри-
кас ющейся плоскости к кривой в точке М, и эта соприкасающаяся плоскость
проходит через точку О. Следовательно, искомыми точками прикосновения будут
точки пересечения кривой Г с плоскостью, имеющей фокусом точку О (§ 2Р ).
Линейные комп ексы встречаются во многих геометрических ц механических
теориях (см., например, докторские диссертации Аппеля и Пикара*).
УПРАЖНЕНИЯ
~ 1. Найти в конечном виде уравнения разверток кривой, пересекающей под
постоянным углом прямолинейные образующие прямого круглого конуса. Иссле-
довать полученные решения.
—- ?. Существуют ли такие кривые двойной кривизны Г, чтобы точки пересе-
чения данной плоскости Р с касательною, С1лавною нормалью и с бинормалью
в каждой точке этой кривой были вершинами равностороннего треугольника?
3. Пусть будет Г ребро возврата поверхности, огибающей семейство сфер
(т. е. Г есть огибающая характеристических окружностей этого семейства). Дока-
зать, что кривая, представляющая место центров перем иной сферы, лежит на
полярной поверхности кривой Г. Обратное предложение.
4. Пусть будет Г данная кривая двой ой кривизны, М — точка криво"’ Г, и
О — данная точка пространства. Проведем через точку О прямую, параллельную
полярной прямой кривой Г для точки М, и отложим на ней длину ON, рав1 ую
радиусу кривизны кривой Г в точке М. Доказать, что соответственные ли ейные
элементы кривой Г, описываемой точкою N, и кривой Г', местом центров кривиз-
ны кривой Т; равны и взаимно перпендикулярны; кроме того, радиусы кривизны
в соответственных точках кривых Г' и Г" равны между собою.
[Рукэ (Rouq'iet).]
— 5. Доказать, что, если радиус шара, соприкасающегося с кривою двойной
кривизны Г, имеет постоянную длину а, то или кривая Г лежит на шаре ра-
диуса а, или радиус кривизны кривой Г постоянен и равен а.
ь. Доказать, что для того, чтобы местом центров кривизны винтовой линии,
проведенной на некотором цилиндре, была другая винтовая линия, проведенная
на цилиндре с об ’азующими, параллельными обра ующим первого цилиндра,
необхо имо и достаточно, чтобы перпендикулярным сечением этого второго ци-
линдра была окружность. [Тиссо (Tissot, Nouvelles Annales.r. XI, 1852.]
*) Annales scientifiques de ГЁсо1е Nor.nale supdrieure, 1876 и 1877.
12*
7*. Если две кривые двойной кривизны имеют общие главные нормали, то>
соприкасающиеся плоскости к обеим кривым в точках пересечения этих кривых
с одною и тою же нормалью образуют постоянны! угол. Эти две точки и центры
кривизны обеих кривых образуют систему четырех точек, ингармоническое отно-
шение которых постоянно. Произведение радиусов кручения обеих кривых
в соответственных точках также постоянно.
[П. Серре, Мангейм (Mannheim), Шелль (Sch-ll).]
8*. Пусть будут х, у, z прямоугольные координаты точек кривой двойной
кривизны, и s — длина дуги этой кривой. Кривая Го представляемая уравнениями
х0 = у a"ds, у0 = $"ds, гй =
где х0, уа, z0—текущие координаты, называется дополнительною кривою
(courbe adjointe), а кривые, представляемые уравнениями:
Х= х cos в + х0 sin в, У=у cos в + Уо sin в, Z— z cos в -f- z0 sin в.
где X, К, Z — текущие координаты, а в — постоянный угол, называются присое-
диненными кривыми (courbes associ* s). Найти для этих кривых расположение
основного трехграиного угла (§ 228), а также радиусы кривизны и кручения.
Если кривизна кривой Г постоянна, то кривая Го имеет постоянное кручение,
и присоединенными кривыми будут кривые Бертрана (§ 233). Вывести отсюда
общие уравнения этих п следии . [Коши.]
9*. Найти кривые Г, расположенные на поверхности вращения • го порядка S,
касательные к которым в каждой точке образуют постоянный угол с прямой,
проведенной через эту точку параллельно оси вращения. Исследовать различные
формы этих кривых в зависимости от характера поверхности. Показать, что эти
кривые пересекают под постоянным углом образующие конусов, направляющей
которых служит кривая Г и вершины которых суть фокусы среднего сечения,
расположенные на оси. Если поверхность S является круговым конусом, то
имеем обычную цилиндро-коническую винтовую линию. (См. Pirondini, Journ, de
Crelle, 118, 1897, p. 61; G. Scheffers Leipzig Berichte, 1902, p. 36Э, E. Cesaro,
Rendiconti di Napoli, 1903, p. 73.)
Если кривая Г пересечений двух конусов с вершинами S и S' пересекает
под постоянным углом образующие этих двух конусов, то она пересекает под
постоянным углом также образующие третьего конуса с вершиной в точке S'",
расположенной на прямой SS'. Кривая Г расположена на поверхности вращения,
среднее сечеиие которой есть овал Декарта, а точки S, S', S" - фокусы этой
кривой. (Cesaro. ib.)
10. Для того чтобы прямая, неизменно связанная с основным трехгранньш
углом кривой двойной кривизны Г и проходящая через вершину этого угла,
образовала развертывающуюся поверхность, необходимо, чтобы эта прямая сов-
падала с касательною, за исключением того случая, когда кривая Г есть винтовая
линия. В последнем случае существует бесчисленное множество прямых, обла-
дающих требуемым свойством.
Для кривой Бертрана существуют два гиперболических параболоида, неиз-
менно связанных с основным трехгранным углом, все прямолинейные образующие
которых образуют развертывающиеся поверхности.
[Чезаро (Cesaro), Rivista di Matematica, т. II, стр. 155, 1892.]
11*. Для того чтобы главные нормали кривой двойной кривизны были бинор-
малями другой кривой двойной кривизны, между радиусом кривизны и радиу-
сом кручения первой кривой должн) существовать соотношение вида:
где А и В—постоянные.
[Мангейм, Comptes rendus, 1877.]
[Случаи, когда Прямая, проходящая через точку кривой двойной кривизны
и неразрывно связаннаи с основным трехграиным углом, остается во все вре-
мя движения главною нормалью или бинормалью другой кривой двойной кривиз-
ны, были изучены Пелле (PJlel), (Comptes rendus, май, 1887), Чезаро (NouveU.es
Annates, 1888, стр. 147), Балитраном (Bal tiand) (Mathesis, 1894, стр. 159).]
12. Доказать, что если соприкасающаяся плоскость кривой двойной кривизны Г,
постоянно касается одной и той же сферы с центром О, то 1) плоскость, про-
ходящая через касательную к кривой Г и перпендикулярная к главной нормали,
проходит через точку О, 2) отношение радикса кривизны к радиусу кручения
есть линейная функция длины дуги кривой Г. Обратные теоремы.
13. Проекция на плоскости Р кривой двойной кривизны Г параллельно ка-
сательной /и Г в точке М этой кривой имеет точку возврата в точке т, являю-
щейся проекцией точки Л4 кривой, и касательная в точке возврата есть след иа
плоскости Р сопринасающей я плоскости к кривой Г в точке Л4. Исследовать
случай стационарной соприкасающейся плоскости в точке Л4.
14*. В каждой точке М кривой Г проводим нормаль, которая образует пере-
менный угол <р с главной нормалью, и на ней откладываем постоянную длину
ММ’ = 1. Кривая С, описываемая точкой М’, нормальна к той же прямой Л4'Л4.
Определить угол « так, чтобы касательные к кривым С и С' в соответствующих
точках М, М' образовали постоянный угол V. Частный случай: V—
И
Принимая за неизвестное tg , получаем уравнение Риккати.
[Darboux, Comptes rendus, t. 146, 1908, стр. 881]
15. Найти главную) часть кратчайшего расстояния между двумя бесконечно
близкими главными нормалями и предельное положение основания общего пер-
пендикуляра.
ГЛАВА ХП.
ПОВЕРХНОСТИ.
I КРИВИЗНА КРИВЫХ НА ПОВЕРХНОСТИ.
233. Основная формула. Теорема Менье. Каждая поверхность S может
быть определена системой трех уравнений:
x=f(u, v), у = у.(и, v), z=b(u, v), (1)
где x, у, z — прямоугольные координаты точек этой поверхности, и
и v—-два переменных параметра.
Три функции /, <р, ф не обязательно должны быть аналитическими,
мы предположим только, что они непрерывны и допускают непрерывные
частные производные двух первых порядков в любой точке поверхности
за исключением особых. Если три детерминанта
D (у, z) D (z, х) D (х, у)
D(u,v)’ D(u,v)’ D(u,v)
не обращаются одновременно в нуль при некоторой системе значе-
ний и,, v, то соответствующая точка М поверхности — точка обыкновен-
ная (§ 61), в ее окрестности одна из координат х, у, z есть непрерыв-
ная функция двух других, допускающая непрерывные частные производные
первого и второго порядка.
Будем исследовать кривизну различных кривых на поверхностй
в какой-нибудь обыкновенной точке. Можно было бы предположить,
что в окрестности этой точки поверхность представлена уравнением
z=F(x, у), но формулы, которые мы будем получать, примут более
симметричный вид и более общее выражение, если сохранить три
уравнения (1).
Напишем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке
(х, у/, г): х)4-В(У—j) + C(Z —г) = 0; (2)
коэфициенты А, В, С должны удовлетворять двум соотношениям:
S^=o, S-C-". (3)
Значение здесь вполне очевидно. Из этих уравнений следует:
А = (4)
D(u,v) D(u,v) D(u,v)
где К—постоянный или переменный множитель, который может быть
выбран вполне произвольно*. Если, например, поверхность представлена
уравнением z = F(x, у), то, положив х = и, y = v, К=—1, получим:
А=р, B~q, С = —1,
где р и q — обычные обозначения первых частных производных от z.
В уравнениях (1) и и v могут быть функциями одного переменного а;
в этом случае точка (х, у, z) описывает на поверхности S некоторую
кривую Г. Направляющие косинусы касательной к этой кривой пропор-
циональны диференциалам:
dx — du-^ ^ dv, dy = -^-du ф-dv, dz= ~du ф-^ dv,
йи йп йи йт/ йи йи
dv
каждой величине отношения — соответствует определенная касательная
к поверхности в точке (и, v); значения соответствующих направляющих
косинусов легко вычислить.
Вдоль кривой Г диференциалы dx, dy, dz удовлетворяют соотно-
шению
A dx —j— В dy С dz — 0,
(5)
которое, очевидно, выражает, что касательная к кривой Г лежит в ка-
сательной плоскости к поверхности. Приравняв нулю полный диферен-
циал левой части этого уравнения (§ 37), получим некоторое соотно-
шение между диференциалами второго порядка от х, у, z:
A d*x -ф- В d*y ф- Сd*z ф- dA dx ф- dB dy -ф-dC dz = 0, (6)
которому нетрудно дать весьма простое геометрическое истолкование.
Прежде всего заметим, что dA dx -ф- dB dy ф- dCdz есть некоторая
квадратичная форма от du и dv:
dAdx -ф- dB dy-фdCdz = D du* ф- 2£)' du dv ф- D" dv*- (7)
ее коэфициенты D, D1, D" выводятся диференцированием выражений
x, у, z, А, В, С.
Ad*x ф- В d*y ф- Сd*z представляет с точностью до некоторого мно-
жителя косинус угла между двумя прямыми,, направляющие косинусы
которых пропорциональны, соответственно, (Л, В, С) и (d*x, d*y, d*z).
Прямая, соответствующая параметрам А, В, С, есть нормаль к поверх-
ности; за положительное направление на ней мы выберем то, которое
имеет направляющие косинусы
-Д -В й
X = , - .., g == —7==== ,
]/А* 4-В*С* УА* + В*4-С* I
— с (
у — ._ - .- .
|/Д2 ф_ 2J2 ф_ £2 J
* Ясно, что можно раз навсегда установить величину множителя К, положив,
например, K = rtl. Но для приложений выгодно оставить этот множитель не-
определенным, чтобы, выбирая еуо в каждом частном случае, придать, если это
возможно, наиболее простой вид выражениям коэфициентов А, В, С,
Далее, приняв за независимое переменное длину дуги s кривой Г,
будем иметь: d^x__^ cRy_^ <Pz_y_
ds2~ R' ds2~~ R ' ds2~~R ’
где a', ₽', у' и R—обозначения, принятые в § 223. Разделив обе части
равенства (6) на ds2, напишем его в виде:
р/^2 _|_ 52 4. сГ D du2 4- 2D’ du dv D" dv2
$ (b rW + *Y) — E du2 4 2Fda dv4.G dv2 ;
здесь E, F, G — гауссовы обозначения коэфициентов первой квадратич-
ной формы (§ 124):
ds2 — Е du2 2F du dv-\-G dv2.
Обозначив через 9 угол, образуемый главною нормалью к кривой Г
положительным направлением нормали к поверхности, получим:
Ха’ -j- + ч' = c°s 9;
с помощью этого равенства предыдущее выражение приводит к сле-
дующей весьма важной формуле:
)/А2-4-В2 + С2 о Ddu2~r2D'dudvD" dv2
R E du22F du dvG dv2
которая, очевидно, вполне эквивалентна формуле (6). В этом соотно-
шении радикал j/Л2 + В3 Н- С2 и радиус кривизны R — существенно
положительные величины, следовательно, знак cos9 совпадает со знаком
правой части. При заданной системе величин и, v правая часть равен-
„ • dv
ства (9) зависит только от отношения
' ' du
т. е.
от направления каса-
тельной к кривой Г в точке М. Пусть будут: Г' некоторая другая кри-
вая на поверхности, касающаяся первой в точке М, R' — ее радиус
кривизны, 9' — угол между главной нормалью и положительным на-
правлением нормали к поверхности. Правая часть формулы (9) имеет
одну и ту же величину для обеих кривых, следовательно
cos 9_cos 9'
~lT^~Rr~
(Ю)
Рассмотрим, в частности, две кривые Г и Г', имеющие в точке М
общую соприкасающуюся плоскость (отличную от касательной плоскости
к поверхности). Обе эти кривые имеют, очевидно, общую касательную
в точке М — прямую пересечения касательной плоскости к поверхности
и соприкасающейся плоскости кривой. Следовательно, к ним можно
применить формулу (10). Направления двух главных нормалей 'могут
либо совпадать, либо быть взаимно противоположными, т. е. возможно
либо 9 = 9', либо 9 = тг — 9'. Однако последнее предположение должно
быть отвергнуто ввиду того, что cos 9 и cos 9' имеют один и тот же
знак. Таким образом 9'= 9 и /?' = /?. Две кривые Г и Г' с совпа-
дающими направлениями главных нормалей и равными радиусами кри-
визны имеют, очевидно, и общий центр кривизны. Итак, все кривые
некоторой поверхности, проходящие через какую-нибудь точку М и
имеющие в этой точке общую соприкасающуюся плоскость {отличную
от касательной плоскости к поверхности), имеют также общий центр
кривизны. В частности, все эти кривые имеют тот же центр кривизны,
что и плоское сечение поверхности их общею соприкасающеюся пло-
скостью.
Таким образом оказывается, что совершенно достаточно исследовать
только плоские сечения поверхности, проходящие через точку М. Мы
сначала рассмотрим, как изменяется кривизна различных плоских сече-
ний, если секущие плоскости имеют общую касательную МТ.
Можно предположить без ущерба общности, что для этой касательной
D du2 -j- 2D'du dv 4- D" > О,
так как при перемене знаков А, В, С, что соответствует перемене по-
ложительного направления нормали, очевидно, также изменятся и знаки
коэфициентов D, D', D'.
Для всех секущих плоскостей cos 0 положителен, и угол 0 — острый;
в частности, для нормального сечения через МТ угол О' равен нулю.
Пусть R'—радиус кривизны этого сечения; соотношение (10) в таком
случае приведется к виду:
/? = /?' cos 0.
Отсюда следует, как легко видеть, что центр кривизны любого наклон-
ного плоского сечения поверхности есть ортогональная проекция на
плоскость наклонного сечения центра кривизны нормального сечения,
имеющего с первым общую касательную (теорема Менье).
Благодаря этой теореме исследование кривизны плоских сечений
сводится к исследованию сечений только нормальными плоскостями.
Результаты, относящиеся к этому последнему вопросу, получены Эй-
лером.
Заметим прежде всего, что для нормальных сечений равенство (9)
принимает две различные формы в зависимости от знака выражения
D du2 -{- 2D' du dv Ef dv2.
Чтобы избежать этого неудобства, мы будем относить радиусу кри-
визны R некоторого нормального сечення знак плюс, если направле-
ние от точки М к центру кривизны совпадает с положительным на-
правлением нормали к поверхности, и знак минус, если эти направления
противоположны. При этом условии R определяется во всех случаях
формулой:
V А2 В2 С2 ~Ddu2 2D’ dudv + D" dv2
R ~ Edu2^-2Fdudv^-Gdv2 ’ (
которая указывает, и теперь уже вполне однозначно, положение центра
кривизны.
На основании формулы (11) легко сделать заключение о характере
расположения поверхности по отношению к касательной плоскости
в смежности с точкой прикосновения. Если D'2—DD" <^О, то трех-
член Ddu2 4- 2D’ dudv В dv2 не изменяет знака при вращении се-
кущей плоскости вокруг нормали, центры кривизны всех нормальных
сечений расположены по одну сторону касательной плоскости, по ту же
сторону расположены и все точки поверхности, близкие к точке при-
косновения. В этом случае говорят, что поверхность — выпуклая в дан-
ной точке, и сама точка М называется эллиптической.
Напротив, если D'2— DD"^> 0, трехчлен Ddu2-\-2D’dudvD” dv2
обращается в нуль при двух положениях секущей плоскости, для со-
ответствующих нормальных сечений точка М будет точкой перегиба.
Если секущая плоскость, вращаясь вокруг нормали, остается в одном
из двугранных углов, образованных этими двумя плоскостями, R не
меняет знака, и соответствующие сечения, в смежности с точкой М,
будут лежать по одну сторону от касательной плоскости. - При пере-
ходе секущей в смежный двугранный угол R переменит знак, и соответ-
ствующие сечения расположатся с другой стороны. Поверхность, следо-
вательно, пересекает касательную плоскость вблизи точки прикосновения;
такая точка называется гиперболической
Наконец, если в рассматриваемой точке D’2 — DD”—Q, то все
нормальные сечения расположены по одну сторону от касательной пло-
скости, за исключением одного, которое имеет бесконечно большой
радиус кривизны и, вообще говоря, эту плоскость пересекает. В этом
случае, точка М называется параболической.
Рассмотрим поверхность 5, определенную уравнением z = F(x, у);
приняв А = р, B = q, С--—1, непосредственно получим: D=r,
B — s, — где р, q, г, s, t — обычные обозначения Монжа, и
£=1 Ар2, F=pq, о = 1 Aq2-
Положительное направление нормали имеет направляющие' ко-
синусы
Х = ~~Р-=, ; = -_____L_= (12)
1/1 4- р2 -L- q2 у/\ а-р2-A-q2 /1 4 р2 4- q2
н составляет острый угол с Oz. Пусть будут a, f!, у направляющие ко-
синусы касательной к нормальному сечению в точке М. Так как du
и dv пропорциональны а, р, формулу (11) можно написать в виде:
/1 + ^4-^__ га2 4- 2sa$ А-^2 .
R (1+р2)а2 + 2^?4-(1+^’ 1 ’
или, принимая во внимание соотношения
Y = /’a + ^> a2-H2 + y2=1,
в более простом виде:
= + (13')
По знаку трехчлена га2 2sa$ -j-1^>2 можно судить о том, как распо-
ложена поверхность относительно касательной плоскости в смежности
с точкой прикосновения: над этой плоскостью, или под ней. Точка при-
косновения будет эллиптической, если s2 — rt<AO, гиперболической,
если s2 — rt^>0, и параболической, если s2 — rt — O.
Этот результат легко подтвердить исследованием разности 3- z— z’, где z
и z'—аппликаты двух точек: точки (х, у, z) поверхности и точки (х, у, г') ка-
сательной плоскости. Пусть будут (х0 ,у0) координаты точки прикосновения
Ao- <7о > r0’ С— значения производных от F (х, у) в этой точке. Тогда имеем’
d = F(x, у) — р0(х — х0) — q0(y — л),
(«)=о, (АА)=о, («)=,„.
'дх ° ' ду ' ° ' йх2 * 'дхду '» ' Э_у2 ' в
Если s2 — < 0, о имеет максимум или минимум в точке М (§ 45), и Так как 3
обращается в этой точке в нуль, то сохраняет постоянный знак в некоторой
малой окрестности М
Напротив, если s2—г(/о > 0, Для 3 не будет ни максимума, ни минимума,
следовательно, знак 3 в соседстве с М будет изменяться.
234. Две основные квадратичные формы. Одновременно с формой
ds2 — E du2 -ф- ЧЕ du dv -ф- G dv2
будем исследовать квадратичную форму
D du- -ф- 2D' du dv -ф- D" dv2.
По самому ее определению коэфициенты D, D’, D” имеют следующие
значения:
7) = S—— —— 20'= S — — I S — — (14)
° du du ’ U ° dvdv’ U ° du ° dv du' ( j
Выражение D' можно упростить, пользуясь равенствами (3); диферен-
цируя первое из этих равенств по v, второе—по и, получим:
Й2Х
йа dv
1 to йа
й2Х I СЙ4 йх Q
du dv ' ди ЙЦ
Следовательно,
5ЙД йх Q ЙД йх
ЙП йа du dv ’
откуда:
_^йД йх ^йД йх
dV du йа dv '
(14')
Для коэфициентов D, D', D" могут быть получены выражения, содер-
жащие только производные от х, у, z по и и v.
Написав тождество (6) в виде:
D du2 4- 2D' du dv -ф- D" dv2 = — (Ad2x + В d2y Cd2z),
найдем, сравнивая обе части этого равенства:
Заменяя в этом равенстве А, В, С их значениями (4), мы замечаем,
что коэфициент при Д' есть разложение определителя, и мы получаем:
D = — Аналогично определяются: D' = — К -К 2 йх йу йг ЙИ ЙИ ЙИ йх dy йг dV dV dV й2Х й2_у й2 Z du2 du2 du2 X dy dZ ' dU dU dU )X dy dZ dv dV dv 2X d2y d2Z tdV dudv dlldV (15)
(16)
и
D" = — К
ЙХ
й«
ЙХ
ЙТ>
й2Х
ЙТ»2
dz
йи
йг
ЙТ>
й2г
йй2
*У
du
й>
ЙТ>
й2_У
ЙТ»2
Коэфициенты D, D', D", так же как
и Л, В, С, определяются лишь
с точностью до произвольного множителя К, тогда как квадратичная форма
D dn2 + 2D' du dv -|- D" dv2
1/Л2-|-В2 + С2
(И)
определена с точностью до знака, независимо от К- Форма (17) имеет
весьма простое геометрическое значение. Обозначим через 3 расстояние
с соответствующим знаком точки поверхности с гауссовыми коорди-
натами (и A-du, vdv) от касательной плоскости в точке (и, v). Если
развернем о в
обращаются в
представляют,
ряд по степеням du и dv, то члены первого порядка
нуль вследствие соотношений (3), а члены второго порядка
1 A d2x -I- Bd2y-\-Cd2z
2 ^Va2 -ф- ь2 С2
с точностью до множителя---- , форму (17). Таким об-
разом общая формула (11), определяющая радиус кривизны нормального
сечения, может быть написана в виде:
-^ = 2Iim-^,
R ds2
что вполне согласуется с указанным уже ранее результатом (§ 209).
235. Теоремы Эйлера. Индикатриса. Чтобы исследовать изменение
радиуса кривизны нормального сечения, примем рассматриваемую точку
поверхности за начало координат и касательную плоскость к поверх-
ности в этой точке — за плоскость хОу. При таком выборе осей мы
имеем p = q=0, и формула (13) обращается в
А = г COS2 <р-]-2s COS <р Sin <р —f—£ Sin2 <р, (18)
где <р есть угол между осью Ох и линиею пересечения секущей пло-
скости с плоскостью хОу. Приравнивая нулю производную от правой
части уравнения (18) мы найдем, что /? будет иметь максимум или ми-
нимум для двух взаимно перпендикулярных направлений. Для более
подробного исследования изменения радиуса кривизны /? во всех воз-
можных частных случаях, выгодно воспользоваться следуйщим геометри-
ческим представлением. Отложим на линии пересечения секущей пло-
скости с плоскостью хОу длину От, равную корню квадратному из
абсолютной величины соответствующего радиуса кривизны. При враще-
нии секущей плоскости вокруг нормали точка т опишет некоторую
кривую, называемую индикатрисой, и очевидно, что из рассмотрения
этой кривой мы получим наглядное представление о ходе изменения
радиуса кривизны нормального сечения.
Рассмотрим три возможных случая.
1) s2 — rt<^0. В этом случае радиус кривизны R сохраняет один
и тот же знак; предположим, что /? положительно. Выражения коорди-
нат точки т будут £— Rcos tp,- 7] = sin <р, и следовательно, урав-
нение индикатрисы будет иметь вид:
r£2-j-2s$Tj 4~ frj2 = 1. (19)
Это — уравнение эллипса с центром в начале координат. Отсюда видно,
что R будет иметь максимум, когда след секущей плоскости совпадает
с большою осью эллипса, и минимум, когда след секущей плоскости
совпадает с малою осью, и что две секущие плоскости, следы которых
равно наклонены к осям индикатрисы, дают для радиуса кривизны R
равные значения. Нормальные сечения, проходящие через оси инди-
катрисы называются главными нормальными сечения ни, а соответ-
ствующие радиусы кривизны — ггавными радиусами кривизны. Если мы
примем за оси Ох и Оу оси индикатрисы, то будем иметь s = 0, и
формула (18) обратится в
= г cos2 ср -J-1 sin2 и.
Главные радиусы кривизны /?2 и /?2 получатся, если мы положим tp — О
п 11,
или <р = — ; отсюда находим— = г, — — t, и следовательно:
2 «1
1 COS2,p ! sin2tp
~R~~R^[ R^'
(20)
2) s2— г/)>0. В этом, случае нормальные сечения, соответствующие
значениям угла <р, которые удовлетворяют уравнению
г cos2'^ 2s cos <р sin и -|-1 sin2ср = О,
имеют бесконечно большие радиусы кривизны. Пусть будут C2OL2
следы этих нормальных сечений на плоскости хОу. Предположим, что
когда след секущей плоскости проходит в угле LyOL2, то предыдущий
трехчлен положителен. Обозначая, как и в первом случае, через $ и г,
координаты точки т, мы найдем, что соответствующая часть индика-
трисы представится уравнением:
г£24-2$^-Нг(2=1.
Это — уравнение гиперболы, для которой асимптотами служат прямые
Z-JOLj и но, если след секущей плоскости проходит в угле С2ОЬЛ,
то мы будем иметь /?<^0, и, чтобы получить соответствующую часть
индикатрисы, должно положить
£ = —/?costp, т]-= —/?sin'f.
Мы получим уравнение гиперболы:
Г52 -|- 2s $7] —|— ^7)2 1,
сопряженной с первою. При помощи этих двух сопряженных гипербол
можно составить представление о ходе изменения радиуса кривизны
нормального сечения. Приняв за оси координат главные оси обеих гипер-
бол, мы найдем, что общая формула (J8) и в этом случае может быть
представлена в виде (20), где и /?2 обозначают главные радиусы
кривизны, из которых один положителен, а другой отрицателен.
3) s2— rt = O. В этом случае радиус кривизны R сохраняет по-
стоянный знак, например знак плюс. Индикатриса представится и в этом
случае уравнением (19), но так как здесь эта кривая принадлежит к па-
раболам и вместе с тем имеет центр в начале координат, то она мо-
жет быть только парою параллельных прямых. Приняв за ось Оу
прямую, параллельную этим обеим прямым, мы будем иметь в этой си-
стеме осей s = 0, ^ = 0, и общая формула (18) примет вид:
= г cos2 (f,
jR
или
Эту формулу можно также рассматривать как предельный случай фор-
мулы (20), когда один из главных радиусов кривизны /?3 обращается
в бесконечность.
Формулы Эйлера можно также вывести, не пользуясь формулою (13). При-
няв рассматриваемую точку поверхности за начало координат, а касательную пло-
скость — за плоскость хОу и продолжая разложение z по формуле Тейлора до
членов третьего порядка, мы можем написать:
_ + 2sxy + ,
2— ,
где опущенные члены — не ниже третьего порядка. Чтобы получить радиус кри-
визны сечен я, образованного плоскостью _y=xtg<p, сделаем сначала преобра-
зование координат:
X = х' COS ср — у’ sin ср, > = х’sin ср+>'COS ср
и положим затем у' = 0. Мы получим разложение г пт степеням х':
__Г COS2 ср + 2s sin ср COS ср t sin2 ср
Z— г-2
л'2 + . . . ,
и, воспользовавшись замечанием § 209, придем к формуле (18).
Примечание. Линия пересечения поверхности со своею касательною пло-
скостью имеет уравнение:
0 = гх2 + 2s ху + tyi + <р3 (х, у) + ...
Эта кривая имеет двойную точку в начале координат, и касательные в этой
двойной точке суть асимптотические касательные. Вообще, если две поверхности
S, St касаются в начале координат плоскости хОу. то проекция линии пересече-
ния этих поверхностей на плоскость хОу представится уравнением:
0 = (г - гОхг + г (s —st)xy + (^ - Qj/2-4- ... ,
где относятся к поверхности Sj, а г, s, t — к поверхности S. Характер
двойной точки зависит от знака выражения (s — s,)2 - (г — г() (t — ^); если это
количество равно нулю, то кривая пересечения имеет, вообще, в начале коорди-
нат точку возврата.
Таким образом в каждой точке поверхности есть четыре замечатель-
ных положения касательной прямой: две взаимно перпендикулярных ка-
сательных, для которых радиус кривизны 7? будет максимум или мини-
мум, и две асимптотических или главных касательных, для которых 7?
равн» бесконечности. Последние касательные мы получим, приравнивая
нулю трехчлен гд22$сф(§ 213)*.
Мы теперь покажем, как определяются главные нормальные сечения
и главные радиусы кривизны в любой системе прямоугольных осей,
236 Главные радиусы кривизны. Исследуя индикатрису, легко уяс-
нить, что каждому значению 7? соответствуют, вообще говоря, два нор-
мальных сечения, действительных или мнимых, радиусы кривизны кото-
рых равны 7?. Исключением является тот случай, когда 7? равен одному
из главных радиусов кривизны; тогда найдется только одно нормальное
сечение, именно, главное, которое имеет 7? своим радиусом кривизны.
Для определения нормальных сечений, имеющих радиус кривизны 7?,
служит общая формула (11), которую мы напишем в виде:
1 __ D du2 4- 2D'du dv 4 D'W
р Е du2 4 2Fdu dv 4 G dv2 ’
где положено: 7? = p j/42- ! -Д2 4 ^2- Ддя Данного значения p уравне-
/Qil dV
ние (21) является уравнением второго порядка относительно — .
du
(pZ) — Е) du2 4- 2 (рП — F) du dv 4 (pD" — G) dv2 = 0, (22)
* Следует обратить внимание на различие между главными направлениями
в точке поверхности и главными касательными в этой точке. Главные напра-
вления суть направления осей индикатрисы; для них 7? есть максимум или ми-
нимум. Главные касательные суть асимптоты индикатрисы; для них /?=оо. (Ред.)
корни которого определяют направление касательной к нормальному
сечению, имеющему радиус кривизны /?.
Если 7?— один из главных радиусов кривизны, уравнение (22) имеет
dv
двойной корень, и отношение - должно удовлетворять двум условиям:
du
(рО— Е) du -|- (р/)'— F)dv = Q, i
(pDr — F) du(у L>" — G)dv = 0. J
(23)
Эта система уравнений определяет сразу и главные радиусы кри-
визны и главные нормальные сечения. Исключая , получим уравнение
второй степени относительно р:
(рО' — F)2 — (pO — E) — G)=0.
(24)
Чтобы получить уравнение, определяющее главные радиусы кривизны R
R
и R, следует в (24) заменить р через у ", . Далее исключая р,
У /4^ —|— -J- С ‘
из уравнений (23) получим уравнение второй степени относительно
(D du -|- D'dv) (Fdu-[-G dv) — (D'du -ф- D'dv) (E du-\- F dv) — 0/J
корни которого определяют направление касательной к главному
мальному сечению.
dv
du
(25)
нор-
По самой природе вопроса корни уравнения (24) всегда действи-
тельны. Если R и R'— главные радиусы кривизны, то произведение RR'
определяется равенством:
1
RR>
DD" — D'2
(EG — F2) (Д2 + А24-С2) ’
(26)
с помощью которого можно произвести проверку известных уже ре-
зультатов. Так как EG—F2 всегда положительно, то RR! имеет тот
же знак, что и DD"—D'2- В параболической точке один из главных
радиусов кривизны равен бесконечности, и равно нулю.
Для того чтобы уравнение (24) имело равные корни, необходимо,
чтобы индикатриса была кругом. В этом случае все нормальные сече-
ния имеют один и тот же радиус кривизны, и правая часть формулы
dv
(И) должна быть независимой от —; необходимым и достаточным
du
условием этого являются равенства:
D _D' __D"
E"~'F~~G''
(27)
Точка, удовлетворяющая этим условиям, называется точкой округления
(омбиликалькой точкой). В этой точке уравнение (25) удовлетворяется
тождественно, так как все диаметры круга являются его осями симметрии.
Если поверхность определена уравнением z— F{x, у), то, положив
и— х, v=y, приведем уравнения (24), (25) и (27) соответственно
к следующим:
(г/ — $2) /?2 _ /1 -рр2 ^,2 [(1 _|_ P2)t — 2pqs 4- (1 + ?2)г]Я +
+ (1+^ + ?2) = 0, (24')
а2 [(1 + Р^ ~РЧГ] -f- оф [(1 + />2) t - (1 + q2) г] 4-
+ [pqt- (1 4_^2)s]==o, (25')
—-— — — = —t. (27')
!+/>2 pq 1+^2
Их можно вывести либо как частные случаи общих формул, либо не-
посредственно из формулы (13).
В некоторых случаях можно определить главные нормальные сечения
поверхности из геометрических соображений. Например, если у по-
верхности 5 есть плоскость симметрии, проходящая через точку М этой
поверхности, то прямая пересечения этой плоскости с касательною пло-
скостью в точке М есть, очевидно, ось индикатрисы, и сечение по-
верхности плоскостью симметрии есть одно из главных нормальных се-
чений. Так, в каждой точке поверхности вращения меридиан есть одно
из главных нормальных сечений; следовательно, плоскость второго глав-
ного нормального сечеиия проходит через нормаль к поверхности и
касается параллели. Но центр кривизны одного из наклонных сечений,
проходящих через касательную прямую к параллели, известен, — именно,
центр самой параллели. По теореме Меиье, отсюда следует, что центр
кривизны второго главного сечения лежит в точке пересечения нормали
с осью поверхности.
В каждой точке развертывающейся поверхности мы имеем s2 — rt = О,
и индикатриса состоит из пары параллельных прямых. В этом случае
одно из главных сечений совпадает с образующею, и соответствующий
радиус кривизны бесконечно велик. Плоскость второго главного сечения
перпендикулярна к образующей.' Все точки развертывающейся поверх-
ности— параболические, и это единственные поверхности, обладаю-
щие этим свойством (§ 204).
Если неразвертывающаяся поверхность в некоторых точках выпуклая,
а в других — седлообразная, то эта поверхность имеет, вообще, целую
линию параболических точек, отделяющую области, где № — rf поло-
жительно, от областей, где №.— rf отрицательно. Например, на торе
такими линиями будут две крайние параллели.
На выпуклой поверхности существует, вообще, только несколько отдельных
точек округления. Докажем, что единственная действительная поверхность, все
точки которой суть точки округления, есть сфера. Обозначим через К, ц, v напра-
вляющие косинусы нормали к поверхности; дифереицируя формулы (12), получим
51 pgs— (1 + ср)' 51 _ pqt — (1 + q2)s
ax'- (i +/?2 + ?2)| ’ 5> (i+/?2 + (?2)|
5р.__ рдг — (1 + P2)s <4 PQS - (1 + p-)t
Ъх (l+p2 + ?2)f’ (1+Р2 + <72)4
13 Э. Гурса, т. Т, ч. 2.
или, по формулам (27'):
— — 0 — = 0
Эу Эх Эх Эу
Первое соотношение показывает, что зависит только от х, второе, — что ц за-
висит только от у, следовательно, общее значение производных не за-
висит ни от х, пи От у, т. е. оно равно некоторому постоянному у. Отсюда сле-
дует:
} _ Х-Хр = у~у0 * _ jA*-(X —Хр)2—(у—У )2
а ’ а ’ v а ’
=___________х — ха_________
> |/а2_(Х-Хо)2-(у_ув)2’
q = _ Л =____________>—>о_________
V уач-(.х-х^--(у-у^
Интегрируя два последних уравнения, находим:
z — zo + /а2 —(х - х0)2 — (у — у0)2,
а это — уравнение сферы. Точно так же можно было бы доказать, что если
== = 0, то поверхность есть плоскость. Кроме этих решений, уравнения (27')
Эх Эу
имеют еще бесчисленное множество мнимых решений, удовлетворяющих урав-
нению 1 /?2-f-^2 = 0; в этом можно убедиться, диференцируя это последнее
соотношение по х и по у.
II. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ЛИНИИ. ЛИНИИ КРИВИЗНЫ.
237. Асимптотические линии. В каждой гиперболической точке по-
верхности существуют две касательные, для которых соответствующие
нормальные сечения имеют бесконечно большие радиусы кривизны: это—
асимптоты индикатрисы. Линии, лежащие на данной поверхности и ка-
сающиеся в каждой своей точке одной из этих асимптот, называются
асимптотическими линиями. При перемещении по одной из этих ли-
ний параметры и, v являются функциями одного переменного; чтобы
касательная к кривой совпадала с асимптотой индикатрисы, du и dv
должны удовлетворять соотношению:
Ddu2-\-2D'dudv-[-D"dv2 = Q. (28)
Разрешая это уравнение относительно ~ и замечая, что коэфи-
du
циенты D, D', D" суть функции и и v, получим:
dv dv
du=•/<>“•”> <29»
Ниже мы покажем, что каждое из этих уравнений имеет бесчислен-
ное множество интегралов, и что каждая пара значений (и0, v0) опре-
деляет, вообще, один и только один интеграл. Следовательно, через
каждую точку поверхности проходят, вообще, две н только две асимпто-
тические линии. Диференциальное уравнение (28) может быть еще на-
писано в эквивалентной форме:
dA dx-'.-dBdy-'-dCdz = (~), (30)
которая оказывается обычно более удобной в приложениях. В случае,
если поверхность определена уравнением z~F(x, у), предыдущее ди-
ференциальное уравнение приведется к виду:
dp dx -j- dq dy = r dx2 -[-Zsdxdy-^t dy2 =0. (31)
Асимптотические линии можно определить еще на основании следу-
ющего их свойства, которое совершенно не вводит метрических соотно-
шений: асимптотические линии поверхности суть такие линии, в ка-
ждой точке которых соприкасающаяся плоскость совпадает с каса-
тельной плоскостью к поверхности. В самом деле, для того чтобы
соприкасающаяся плоскость совпадала с касательной плоскостью, не-
обходимо и достаточно, чтобы одновременно было:
A dx ф Bdy+ Cdz~ 0, A rf2x-|- В а2у -ф Cd2z = 0.
Первое уравнение удовлетворяется для всякой кривой, лежащей на по-
верхности, тогда как второе, вследствие тождества (6), совпадает с урав-
нением (30).
Нетрудно видеть, почему эти два определения асимптотических ли-
ний равносильны. Так как радиус кривизны нормального сечения, ка-
сающегося асимптоты индикатрисы, равен бесконечности, то, по тео-
реме Менье, равен бесконечности и радиус кривизны асимптотической
линии, если только соприкасающаяся плоскость не будет перпендикулярна
нормали к поверхности, в последнем случае формула Менье прини-
мает неопределенный вид. Следовательно, соприкасающаяся плоскость
асимптотической линии должна совпадать с касательною плоскостью
к поверхности всякий раз, как радиус ее кривизны не равен постоянно
бесконечности; но в последнем случае мы получили бы прямую линию,
соприкасающаяся плоскость которой неопределенна. Из этого опреде-
ления асимптотических линий следует, что асимптотические линии
сохраняются при всяком томографическом преобразовании. Очевидно
также, что диференциальное уравнение асимптотических линий имеет
одинаковый вид в прямоугольных и в косоугольных осях коорди-
нат, так как уравнение соприкасающейся плоскости в обоих случаях
одинаково.
Асимптотические линии существуют, конечно, только на поверхно-
стях седлообразных. Но, если поверхность аналитическая, то, каков бы
ни был знак количества s2—rt, диференциальное уравнение (28) имеет
всегда бесчисленное множество интегралов, действительных или мнимых.
Поэтому мы будем говорить, что аналитическая выпуклая поверхность
имеет две системы мнимых асимптотических линий. Так, асимптотиче-
скими линиями однополостного гиперболоида будут две системы прямо-
линейных образующих; для эллипсоида или шара эти образующие —
мнимые, но они также удовлетворяют диференциальному уравнению
асимптотических линий.
Примеры. 1. Найдем асимптотические линии поверхности
z — хтуп.
Мы имеем:
r= т (т — 1) х^-‘'-уп, s-=mnxm~^yn~^, t:=n(y— У) хтуп~\
и диференциальное уравнение (31) принимает вид:
т (т - (Йр +2,ия (Йр + «(«- 0 = о.
г> Уах
Решая это уравнение, получим для отношения Два значения
Следовательно, асимптотическими линиями будут линии поверхности,
рующиеся на плоскость хОу по кривым
yht — С{х, yhi = С2х.
2. Рассмотрим, например, коноид z-=-y Уравнение z — f^
h{ и й2.
проекти-
рав-
носильно уравнениям х = и, y=uv, z = v(v), и соотношения (3) обращаются в
А + Bv = 0, Ви + Cep' (v) = 0.
Этим уравнениям можно удовлетворить, принимая С — — и, А= — v<f’(у),
B — tf1 (у), и диференциальное уравнение (30) принимает вид:
up" (v) — 2/ (у) du dv = 0.
Одно из решений этого уравнения есть v = const; из него получим прямо-
линейные образующие. Разделив уравнение на dv, получим:
?" (v) dv_2du .
отсюда имеем:
U2 = С<р' (v).
Следовательно, асимптотические линии второй системы проектируются на
плоскость хОу по кривым
Х2=С?'(^).
3. Укажем еще поверхность, рассмотренную Жамэ (Jatnef), уравнение кото-
рой может быть приведено к виду:
х/(|) = Г(г).
Если принять за независимые переменные z и = и, то диференц-альное
уравнение асимптотических линий будет:
V F(z) - V f(u) '
и, очевидно, проинтегрируется в двух квадратурах.
4. Геликоид есть поверхность, представляемая уравнениями:
х = р cos <о, _у —psinw, 2=/(р) + йш.
Предоставляем читателю доказать, что диференциальное уравнение асимпто-
тических линий геликоида будет:
р/ " (р) dp2 — 2h du> dp + p2/' (p) dm2 = 0,
откуда w получается при помощи квадратуры.
238. Асимптотические линии линейчатых поверхностей. Уравнения
всякой линейчатой поверхности могут быть представлены в виде:
х = х0 + ам, у=у0-\-$и, z — zQ-\-'>u,
где хй, _у0, z0, a, £, у — функции второго переменного параметра V. При
м = 0 и при изменении v точка (х0, у0, z0) описывает некоторую кри^
ву,ю Г поверхности; с другой стороны, при v постоянном и при изме-
нении и точка (х, у, z) описывает прямолинейную образующую поверх-
ности, и переменное «пропорционально расстоянию точки (х, у, z) от
точки (хп, у0, z0), в которой рассматриваемая образующая пересекает
кривую Г.
Для простоты предположим, что мы положили /С— Ч~ 1 в форму-
лах (4); выражения (15) и (16) непосредственно показывают, что Ь = 0,
что D' не зависит от и, и что D" есть многочлен не выше второй сте-
пени относительно и.
Разделив левую часть уравнения (28) на множитель dv, соответствую-
щий прямолинейным образующим, мы получим диференциальное урав-
нение второй системы асимптотических линий:
^-ф Ди2_|_л1и_|_2у=о, (32)
где L, М, N—функции переменного V. Уравнения этого вида обладают
замечательными свойствами, которые будут указаны позднее. Так, на-
пример, мы увидим, что ангармоническое отношение каких-нибудь че-
тырех интегралов уравнения (32) постоянно. Отсюда следует, что
ангармоническое отношение четырех точек пересечения прямолинейной
образующей с четырьмя асимптотическими линиями второй системы по-
стоянно; это дает возможность найти все асимптотические линии второй
системы, если три из них известны. Мы увидим также, что если изве-
стен один или два интеграла уравнения (32), то можно найти все дру-
гие интегралы, соответственно, двумя или одною квадратурою. Если все
прямолинейные образующие поверхности встречают некоторую прямую,
то эта прямая есть одна из асимптотических линий второй системы, и
следовательно, все другие асимптотические линии второй системы можно
найти двумя квадратурами. Если поверхность имеет две прямолинейных
направляющих, то известны две асимптотические линии второй системы,
и для определения остальных нужно будет выполнить одну квадратуру.
Но в этом случае решение еще более упрощается. В самом деле, если
нам дана линейчатая поверхность, имеющая две прямолинейных направ-
ляющих, то эту поверхность можно преобразовать гомографически та-
ким образом, чтобы одна из этих направляющих обратилась в беско-
нечно удаленную прямую; тогда рассматриваемая поверхность обратится
в коноид, а мы видели выше (§ 237), что асимптотические линии ко-
ноида получаются без квадратур*.
* В коноиде, рассмотренном в § 237, прямолинейная направляющая (ось ко-
ноида) была перпендикулярна к образующим; однако легко видеть, что уравне-
ние асимптотических линий будет иметь такой же вид и в том случае, когда
прямолинейная направляющая будет наклонена к образующим под любым углом.
(Р^.)
239. Сопряженные линии. Две прямые, проходящие через точку по-
верхности 5, лежащие в касательной плоскости и представляющие два
сопряженных диаметра индикатрисы в этой точке, называются сопря-
женными касательными к поверхности. Очевидно, что каждой прямой,
касательной к поверхности, соответствует сопряженная касательная пря-
мая, которая совпадает с первой, если это — асимптотическая каса-
тельная, и притом только в этом случае. Пусть будут du и dv направ-
ляющие параметры некоторой касательной к поверхности, заданной в
криволинейных координатах; проекция этой касательной на плоскость
х, у имеет угловой коэфициент
+ , dv
6U ' ЙТ»
V , . й/ ,
•- du 4- — dv
ди ' dv
так что ангармоническое отношение четырех касательных к поверх-
ности в точке М(и, v) равно ангармоническому отношению четырех
dv ч
соответствующих значений — . Пусть будут (du, dv) и (ом, av) направ-
ляющие параметры двух касательных МТ и МТ, с и с' — корни урав-
нения
D-\-2D'm + D"mz = 0,
которое определяет в точке М асимптотические касательные. Для того
чтобы МТ и МТ' были сопряженными, необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось равенство:
dv — с du dv — сои Q
dv — c’du'dv-—с'du
Освобождаясь от знаменателя и заменяя сс', с-\-с' их выражениями че-
рез D, D', D", получим:
D dudu-\- D’ (du dv dv du) D” dvdv — Q. (33)
Принимая во внимание выражения коэфициентов D, D', D", это условие
можно записать еще в другой, эквивалентной ему форме:
dAdx-]~dBdy^-dCdz = O, dAdx-\~oBdy-\-dC dz = 0, (34)
полагая, вообще,
ЙЛ , . ЪВ , й/=\ . ЙЛ,
dr=-—du-\-----dv, or—-ou-+~—ov.
йи 1 йу йи йт»
Если на поверхности 5 дана какая-нибудь кривая Г, то огибающая ка-
сательных плоскостей к поверхности 5 в точках кривой Г есть развер-
тывающаяся поверхность, касающаяся поверхности 5 по кривой Г.
В каждой точке М кривой Г образующая этой развертывающейся
поверхности есть касательная прямая к поверхности 8, сопряжен-
ная с касательною к кривой Г,
В самом деле, вдоль кривой Г величины х, у, z, А, В, С суть функ-
ции некоторого переменного параметра а; характеристика касательной
плоскости определяется двумя уравнениями:
А(Х— х)+ B(Y—j)+ C(Z — z) = 0, 1
dA (X— x)-j-dB( У—у) -j- dC(Z — z) = 0, J
(35)
если принять во внимание соотношение (5) (буква d обозначает дифе-
ренцирование по а). Если обозначить направляющие параметры этой ха-
рактеристики через tx, оу, 8z, то вторая формула (35) приводит к
соотношению:
dA ox + dBoy dC<iz — Q,
которое тождественно с равенством (34); отсюда следует верность вы-
сказанной нами теоремы. В частности, если линия Г асимптотическая,
то характеристики совпадают с касательною к кривой Г, которая, сле-
довательно, является в этом случае ребром возврата развертывающейся
поверхности (§ 238).
Говорят, что два семейства кривых на поверхности, из которых
каждое зависит от одного переменного параметра, образуют сопряжен-
ную сеть, если касательные к двум кривым обоих семейств, проходя-
щим через одну и ту же точку поверхности, будут в каждой точке
сопряженными. Очевидно, что на каждой поверхности существует бес-
численное множество сопряженных сетей, причем одно семейство кри-
вых может быть взято произвольно, тогда второе семейство определится
из диференциального уравнения первого порядка. В самом деле, пусть
будет F(u,v) = K уравнение одного семейства .кривых, зависящее от
одного переменного параметра К. Из уравнения dF=Q можно
получить:
и тогда из (33) величина ч— определится в функции и и v, т. е. по-
ои
лучится диференциальное уравнение первого порядка.
В качестве примера найдем условия, при которых кривые и = const, v — const
образуют сопряженную сеть. Мы можем положить в этом случае rfu = 0, lv = 0,
и условие (33) обратится в Е>' = 0, или
ЙХ йу йг
1
ЙИ йы ЙИ
йх й?
й» й» й»
Й2Х Й2у Й2г
-—
йийр Й«ЙР йй Йр
Эти условия показывают, что х, у, z представляют собою три интеграла урав-
нения вида:
----= М------)-N —
ди dv ди dv
(36)
где М и N — произвольные функции от и и V. Значит, достаточно знать три раз-
личных интеграла какого-нибудь уравнения вида (36), чтобы иметь уравнение по-
верхности, отнесенной к сопряженной системе. Например, если принять M = N — 0,
то всякий интеграл уравнения (36) будет равен сумме функции от и н функции
от »; следовательно, на всякой поверхности, представляемой уравнениями:
X=f(u)+ft(v), у = ¥ (и) 4- (V), z = <Н«) + (»), (37)
кривые (и) и (») образуют сопряженную сеть.
Поверхности вида (37) называются поверхностями переноса. Каждая такая
поверхность может быть образована двумя различными способами поступательным
движением некоторой неизменяемой кривой Г, одна из точек которой описывает
некоторую другую кривую Г'. В самом деле, рассмотрим четыре точки 7И0, /Иь
Мг, М, соответствующие значениям (ив, »в), (и, »0), (и0, v), (u,v) параметров и
и V. На основании формул (37), эти точки будут вершинами параллелограма *.
Если, оставляя постоянным, мы будем изменять и, то точка М1 опишет некото-
рую кривую Г поверхности; точно так же. если при постоянном и0 мы будем
изменять V, то точка Мг опишет некоторую другую кривую Г' поверхности. Сле-
довательно, эта поверхность может быть образована как поступательным движе-
нием кривой Г, причем точка 'Мг описывает кривую Г', так и поступательным
движением кривой Г', причем точка М, описывает кривую Г. Из самого способа
образования таких поверхностей очевидно, что оба семейства кривых — сопря-
женные; в самом деле, например, касательные прямые, проведенные к различным
положениям кривой Гг в тех точках, где эта кривая пересекает кривую Г, обра-
зуют цилиндр, описанный около поверхности вдоль кривой Г; следовательно, ка-
сательные к кривым Г и Г'—сопряженные.
240. Линии кривизны. Линия, лежащая на поверхности S, называется
линией кривизны этой поверхности, если касательные ее в каждой
точке имеют направление одной из осей индикатрисы. Эти линии, сле-
довательно, определяются диференциальным уравнением, полученным
уже нами раньше:
{Ddu -ф- D1 dv) (Fdu -|- G dv) — (O' du D" dv) (E du-^- Fdv) = 0, (25)
„ dv-
которое дает всегда два действительных значения —. Из общей теории
диференциальных уравнений следует, что в каждой обыкновенной точке
поверхности (притом не являющейся точкой округления) проходят две
и только две линии кривизны, из которых каждая касается одной из
осей индикатрисы. На каждой действительной поверхности, отличной
от сферы и плоскости, имеются два семейства линий кривизны, обра-
зующих одновременно и ортогональную и сопряженную сеть.
Линии кривизны могут быть определены еще следующим их свой-
ством: это такие линии, лежащие на поверхности S, вдоль которых
нормали к S образуют развертывающуюся поверхность.
В самом деле, напишем уравнение нормали:
X—х Y—у Z — z
А ~ В С~ ’
* Поэтому, при переходе и0 в и отрезок Л40/И2 перемещается поступательно
в положение Afj/W. и точно так же при переходе в v отрезок A/qA/j переме-
щается поступательно в положение/Л42Л/. (Ред.)
необходимым и достаточным уеловием того, чтобы эта прямая образо-
вывала развертывающуюся поверхность, является следующее (§ 205):
dx dy
А В
dA dB
dz
dC
= 0,
(38)
или, развертывая диференциалы:
йх , , йх ,
— du -4- — dv
du йу
А
Й4 , , ЙД J
— du А-—- dv
du 1 dv
й«
дв
du
+-
В
. ЙВ
^йт»
й£
й«
ЙС
й«
. йг
^йтГ
С
ЙС
"^й'У
Чтобы доказать тождественность этого диференциального уравнения
с уравнением (25)’, умножим элементы первого столбца определителя
йх йу йг
на—, второго — на — , третьего —на — и заменим элементы первого
столбца суммой соответствующих произведений; аналогичные действия
можно выполнить для переменного V. Пользуясь выражениями коэфи-
циентов 6, F, G и D, D', D" [формулы (14) и (14')], можно уже окон-
чательно написать:
Edu-]- Fdv F du Gdv йг , , йг , — du 4- -—dv du йг>
0 0 С = 0;
D du -|- D' dv D,du-]~D”dv йС , , эс — du — dv ди 1 dv
в таком виде легко усмотреть тождественность этого уравнения с урав-
нением (25).
Найденный результат легко может быть получен также с помощью
свойств разверток пространственных кривых и сопряженных каса-
тельных.
Пусть будет Г некоторая линия на поверхности 5, вдоль которой
нормали к 5 образуют развертывающуюся поверхность. Если повернем
каждую из этих нормалей в плоскости, нормальной к Г, на прямой
угол вокруг точки М, она совпадет с прямою МТ, лежащею в касатель-
ной плоскости и перпендикулярною к касательной МТ кривой Г.
Прямые МТ образуют также некоторую развертывающуюся поверхность,
касающуюся 5 вдоль Г (§ 225). Следовательно, прямые МТ и МТ суть
сопряженные касательные и, вследствие своей ортогональности, являются
осями индикатрисы.
Обратное положение доказывается аналогичным способом.
В приложениях удобнее брать диференциальное уравнение линий
кривизны в форме (38), так как при этом не требуется предварительно
вычислять коэфициенты Е, F, G, D, D', D". Допустим, например, что
(39)
поверх-
(40)
было:
поверхность определена уравнением z — F(x, _у); в этом случае уравне-
ния нормали суть:
%= — pZ 4* х pz, |
Y= — qZ-\-y-\-qz. j
Для того чтобы эти прямые образовывали развертывающуюся
ность, необходимо и достаточно, чтобы два уравнения (§ 205)
— Z dp-j-d (хpz) = 0, —Zdq -\-d{y-{- qz) = 0
удовлетворялись при одних и тех же значениях Z, т. е. чтобы
d (х -ф- pz) d (_у -ф- qz)
dp dq ’
или после упрощения:
dx-\-pdz____dy -\-qdz
dp dq
Заменяя dz, dp, dq их выражениями, получим диференциальное урав-
нение:
(\+p*)dx-\-pgdy pq dx + + q*) dy '
г dx 4- s dy s dx Д-tdy ’ '
которое тождественно с уравнением (25'), если в нем заменить dx и
dy, соответственно, через а и
1. Найдем, например, линии кривизны геликоида
у
г = a arc tg --.
х
Полагая
A)=pcos0, у = р sin 0, z=-aO,
получим для определения А, В, С два условия:
A cos 0 Д- В sin 0 = 0, — Ар sin 0 4- В р cos 0 -|- Са = 0.
Если принять С = р, то получим:
А — a sin 0, В — — a cos 0.
Диференциальное уравнение (38') после приведения подобных членов примет вид:
dpi — (р2 Д- д2) «/02 = О,
откуда
db
]/р2 Д- Я2
Взяв какой-нибудь определенный знак, например +, произведем интегрирование:
р4- ]/р2 4-а2 = ав(|-')»
и
р=а^~^
Проекции линий кривизны на Плоскость $Оу суть равнее меаду собою спирали,
которые .цегко построить,
XV
2. Найдем линии кривизны параболоида z= ~ . Мы имеем:
у х j п 1
р = — , а= — , r—i = 0, s — — ;
а а а
диференциальное уравнение (41) обращается в
(д2 4- у2) dx2 — (а2 + х2) dy-.
Отсюда имеем:
dx dy __ 0
|/Х2 + Д2 ~ + Я2
Взяв, например, перед обоими корнями знак плюс, мы получим следующий общий
интеграл предыдущего диференциального уравнения:
-(х + j/x2 + a2) (у + у/уР + в2) = С;
этот интеграл дает одну из систем линий кривизны. Полагая
= х ]/уР 4- а2 + у j/x2 4- «2 (42)
и пользуясь тождеством
(X ]/уР + Д2 4- у |/х2 4- а2)2 4- = [ху 4- ]/(х2 4- Я2) 4- а2)]2,
мы можем представить предыдущий интеграл в виде:
14- 0.2 4- == С.
Отсюда следует, что проекции одной из двух систем линий кривизны могут
быть также представлены ураьнением (42), где X обозначает произвольное постоян-
ное. Точно так же мы нашли бы, что уравнение линий кривизны друюй системы
будет: ______
х ]/у- 4- а2 — у j/х2 4- а2 = |х. (43)
Пользуясь уравнением параболоида ху — az, мы можем представить уравне-
ние (42) и (43) в виде:
]/х24-^ + УУЧ-г2 = С, j/х2 4- z2 — ]/^4-z2 = С.
Но выражения j/x2 4~ z2 и ]/уР 4- z2 представляют расстояния точки (х, у, z) со-
ответственно от осей Оу и Ох; следовательно, лин'.и кривизны параболоида
суть такие кривые, для которых сумма или разность расстояний каждой их
точки от осей Ох и Оу постоянна.
241. Развертка поверхности. Пусть будет С линия кривизны поверх-
ности 5. Когда точка М описывает кривую С, нормаль к поверхно-
сти MN остается касательною к некоторой кривой Г. Обозначим че-
рез А точку прикосновения линий MN и Г, и пусть будут X, Y, Z
координаты этой точки. Координата Z определяется любым из уравне-
ний (40), причем эти оба уравнения приводятся к одному, так как С
есть линия кривизны. Мы можем представить уравнения (40) в виде:
Z_z= (1 + Р2И-г + /Ч dy pqdx-\-{ 1 4- У2) dy
rdx -f- sdy sdx -yt dy
Умножая числители и знаменатели обеих дробей соответственно на dx
И dy, получим, по свойству равных отношений:
_ dx2dy2(р dx-]-q dy)2_________ dx2 4- dy2 4- dz2
r dx2 -f- 2s dx, dy -f-1 dy2 ~~ r dx2 -|- 2s dx dy 1 dy2
Но dx, dy, dz пропорциональны направляющим косинусам а, у каса-
тельной к линии кривизны, и мы имеем:
1
Z —£ =
га2 -f- 2saf> -f-tf?'
Сравнивая эту формулу с формулою (13), дающею алгебраическое зна-
чение радиуса кривизны Д’ нормального сечения, касательного к линии
кривизны, мы видим, что предыдущее соотношение можно представить
в виде:
(44)
где v есть косинус острого угла, образуемого положительным направ-
лением нормали к поверхности с осью Oz. Но, с другой стороны,
z R'/ представляет
Черт. 41.
координату центра кривизны этого нормального
сечения. Таким образом формула (44) показывает,
что течка прикосновения А нормали MN с ее
огибающею Г совпадает с центром кривизны
главного нормального сечения, касающегося ли-
нии С в точке М, Таким образом кривая Г есть
геометрическое место этих центров кривизны.
Если мы рассмотрим все линии кривизны одного
семейства с С, то местом соответствующих кри-
вых Г будет некоторая поверхность 2, для которой
все нормали поверхности 5 будут касательными.
В самом деле, каждая нормаль, например нор-
маль MN, касается в точке А одной из кривых Г,
а все кривые Г лежат на поверхности 2.
Рассмотрим теперь линию кривизны С другого
семейства, проходящую через точку М и пересе-
кающую ортогонально первую линию С. Нормали
к поверхности 5 вдоль кривой С также будут
касательными к некоторой кривой Г', представляю-
щей место центров кривизны нормальных сечений
поверхности 5, касающихся кривой С. Местом этих кривых Г, соответ-
ствующих всем линиям кривизны одного семейства с С, будет некоторая
поверхность 2', для которой, как и для 2, все нормали поверхности 5
будут касательными. Поверхности 2, 2', вообще, аналитически не раз-
личны,. а составляют две полости одной поверхности, представляемой
неразложимым уравнением.
Нормаль Л1Л/ поверхности 5 касается полостей 2, 2' в двух главных
центрах кривизны А и А' поверхности 5 в точке М. Легко найти ка-
сательные плоскости к этим двум полостям в точках А и А’ (черт. 41).
Когда точка М описывает кривую С, нормаль MN образует развертываю-
щуюся поверхность D, для которой кривая Г служит ребром возврата.
С другой стороны, точка прикосновения А' этой нормали MN с по-
верхностью 2', описывает некоторую кривую у', отличную от Р, так
как прямая /И/V не может оставаться одновременно касательною к двум
кривым Г и Г. Следовательно, развертывающаяся поверхность D и поверх-
ность S' касаются между собою в точке А', и следовательно, касатель-
ная плоскость к поверхности S' в точке А' касается развертывающейся
поверхности D вдоль прямой MN; таким образом искомою касательною
плоскостью будет плоскость . MNT, проходящая через нормаль MN и
через касательную прямую к кривой С. Точно так же можно убедиться,
что касательною плоскостью к поверхности S в точке А будет плос-
кость NMT', проходящая через касательную прямую ко второй линии
кривизны С.
Это подтверждает ранее полученный результат (§231) и приводит
к следующему важному свойству разверток. Проведем из какой-нибудь
точки О пространства нормаль ОМ к поверхности 5, и пусть будут А
и А' главные центры кривизны поверхности 5, лежащие на этой нор-
мали. Касательные плоскости в точках А н А' к обеим полостям S, 2'
развертки взаимно перпендикулярны. Так как эти плоскости проходят
через точку О, то ясно, что для наблюдателя, смотрящего из любой
точки. О пространства, обе полости развертки поверхности S будут
казаться пересекающимися под прямым углом. Обратное предложение
было доказано выше (§231).
242. Формулы Родрига. Если к, ц, v обозначают направляющие коси-
нусы нормали к поверхности, a R—один из главных радиусов кри-
визны, то координаты соответствующего центра кривизны будут:
X=x-\-Rl, Y=y-\-Rp, Z=z-|-/?v. (45)
Когда точка (х, у, z) описывает линию кривизны, касательную к тому
нормальному сечению, радиус кривизны которого равен R, то, как мы
видели, соответствующий центр кривизны описывает некоторую кривую 1,
касающуюся нормали MN к поверхности 5. Следовательно, должно
быть:
). р v
заменяя X, V, Z их значениями из (45), имеем:
dx -ф- R dl dy-\- R dp____ dz Rd';
1 |X v
Общее значение этих отношений равно нулю; в самом деле, умножая
числитель и знаменатель первого отношения на к, второго — на ц, и
третьего — на v и складывая числители и знаменатели получившихся
отношений, мы получим отношение, равное предыдущим, у которого
знаменатель равен единице, тогда как числитель
k dx р dy -ф- v dz -ф- R (1 (fl -|- p d p > ^)
тождественно равен нулю. Таким образом мы получаем формулы Род-
рига (Olinde Rodrigues):
dx-\-Rdl = Q, dy -ф- Rdp-—Q, dz-\- Rdv=0; (46)
эти формулы имеют большое значение в теории поверхностей. Должно
заметить, что формулы (46) применимы, конечно, только к перемещению
точки (х, у, z) по линии кривизны.
Примечание. Для вывода уравнения, определяющего главные радиусы
кривизны, можно воспользоваться таьже свойствами развертки поверхности. За-
меним в формуле (45) X, ц, v их выражениями (8) и положим:
R = р ]/Д2 + В2 + С2;
тогда получим:
Х = х — рА, У—у— рВ, Z—z—рС.
Так как точка X, У, Z описывает кривую, касающуюся нормали к поверхности S.
когда точка (х, у, г) движется по линии кривизны, то должно быть:
dx — р dA — A dp _dy — р dB — В dp _dz — р dC — С dp
А = В ~ С ’
или, обозначая через — dp К общую величину этих отношений:
dx — pdA — AK=d, dy—p dB — BK—d, dz—pdC—CK=0. (47)
Исключая из этих уравнений р.и К, получим диференциальное уравнение (38)
линий кривизны; но, если заменить dx, dy, dz, dA, dB, aC через
dx , , dx , dC , , dC ,
— du -|--dv, , — du --dv
du dv du dv
и после этого исключить du, dv, К, то придем к уравнению, определяющему p:
dx dA dx dA p — p — da du dv dv A
dy dB dy dB du du dv dv dz dC dz dC du du dv \dv В =0. c (48)
Преобразованием, вполне аналогичным тому, которое мы проводим в § 240, это
уравнение может быть приведено к форме (24), но уравнение (48) удобнее для
пользования, так как оно не требует предварительного вычисления коэфициен-
тов Е, F, О, D, D', D".
В качестве приложения найдем главные радиусы кривизны геликоида. В
этом случае, если несколько изменить обозначения, употребленные раньше,
мы напишем:
х —u cos г/, у = и sinv, z = av,
,А = а sinv,' B = — acosv, С—и.
Уравнение (48) примет вид:
О2р2 = д2 Zi2j
efi -I- и?
откуда R = ±— . Глав-.ые радиусы кривизны геликоида равны по абсо-
лютной величине и противоположны по знаку.
243. Теорема Иоахимсталя. Для некоторых поверхностей линии кри-
визны можно определить из геометрических соображений. Так, очевидно,
что линиями кривизны поверхности вращения будут меридианы и па-
раллели этой поверхности, так как эти кривые касаются в каждой
своей точке одной из осей индикатрисы. Это легко проверить, заметив,
что нормали к поверхности вдоль меридиана образуют плоскость,
а нормали к поверхности вдоль параллели образуют круглый конус,
т. е. в обоих случаях нормали образуют развертывающиеся .поверхности.
У развертывающейся поверхности одно семейство линий кривизны
состоит из образующих. Другое семейство состоит из ортогональных
траекторий этих образующих, т. е. из развертывающих ребра возврата
(§ 225). Эти линии могут быть получены одною квадратурою. Если
известна одна из развертывающих, то все остальные линии кривизны
этого семейства можно получить из нее без всякой квадратуры. Все
эти результаты легко проверить непосредственным вычислением.
Теория разверток кривой двойной кривизны привела Иоахимсталя
(loachimsthal) к важной теореме, имеющей в этой теории обширное
применение. Пусть две поверхности S и S' пересекаются по некоторой
линии С, служащей линиею кривизны для каждой из этих поверхностей.
Нормали MN и MN' к поверхностям S и S' вдоль кривой С образуют
две развертывающихся поверхности. Но каждая из прямых 4W и /ИМ
нормальна к кривой С. Отсюда, по § 225, следует, что если две по-
верхности имеют общую линию кривизны, то вдоль этой линии они
пересекаю-пен под постоянным углом.
Обратно, если две поверхности пересекаются под постоянным
углом, и если линия пересечения есть линия кривизны для одной из
этих поверхностей, то она будет также линиею кривизны и для
другой. В самом деле, известно, что если семейство нормалей кривой
двойной кривизны С образует развертывающуюся поверхность, то семей-
ство нормалей, которое получим, поворачивая каждую из этих норма-
лей на постоянный угол в нормальной плоскости к кривой С, также
образует развертывающуюся поверхность.
Всякая плоская или сферическая кривая есть линия кривизны пло-
скости или сферы. Отсюда, по теореме Иоахимсталя, следует, что для
того чтобы плоская или сферическая кривая, расположенная на по-
верхно' та, была линиею кривизны этой поверхности, необходимо и
достаточно, чтобы поверхность пересекала по этой линии плоскость
или сферу под постоянным углом.
244. Теорема Дюпена. Мы уже неоднократно встречались с тройными
ортогональными системами поверхностей (§ 65, 140). Теория таких
систем исходит из замечательной теоремы Дюпена (Dupin), которую мы
здесь докажем.
Если даны три семейства поверхностей, образующих тройную
ортогональную систему, то линия пересечения каждых двух поверх-
ностей различных семейств будет линиею кривизны дЬя каждой из
этих поверхностей.
Допустим, что прямоугольные координаты х, у, z точек нашего
пространства выражены в функции трех параметров и, v, w так, что
три семейства поверхностей (и), (v), (w) образуют тройную ортогональ-
ную систему. Условием ортогональности являются следующие три со-
отношения:
= 0 Q —— = 0 Q--—0. (49)
йц йта ’ Dw Du ’О Ъи
Диференцируя эти выражения, соответственно, по «, v, w, получим:
Sax й2х . q Ъх й2х __Q q ах а2х . <?йх а2х
Sv а«а™а™а«ат/ ’ <5 'dw^u'dv ' <5а« ’
Sax а2х । сйх а2х
а« а п aw av а« aw ’
откуда, после очевидного преобразования, имеем:
Sax а2х _Q ^ах а2х __ q ах а2х
а« avaw ’ av а« aw ’ <5 aw а« ап
.. ах ау аг
Исключая производные — , , -—
aw aw aw
последнего (50), выведем условие:
из двух первых уравнений (49) и
йх йс
——_—— —
й« ЙМ й«
ЙХ ЙУ йг
J. ~
Йч7 йи й<7
й2Х й2^ й2г
—— —
й« й<7 й« йи Й«ЙУ
которое выражает, что на поверхности (w) кривые и = С nv — C обра-
зуют сопряженную сеть. Эта сеть одновременно сопряженная и ортого-
нальная и состоит, следовательно, из линий кривизны.
Весьма замечательный пример тройной ортогональной системы пред-
ставляют собою софокусные поверхности второго порядка (§ 141); по
всей вероятности, рассмотрение этих поверхностей и привело Дюпена
к общей теореме. Из теоремы Дюпена следует, что линии кривизны
эллипсоида или гиперболоида (которые еще ранее были определены
Монжем) суть линии пересечения этой поверхности с софокусными по-
верхностями второго порядка.
Параболоиды, представляемые уравнением:
где 1— переменный параметр, также образуют тройную ортогональную
систему; отсюда можно получить линии кривизны параболоида. Упомянем
еще приведенную выше (§ 240) тройную ортогональную систему:
j = /х24-г24-/^24-г2=^, /х2 + г2 —
Разыскание тройных ортогональных систем составляет одну из наи-
более интересных и наиболее трудных задач диференциальной геометрии.
Этому вопросу посвящено очень много исследований, результаты кото-
рых собраны Дарбу в его книге*. Любая поверхность 5 входит в состав
Leyons sur les systemes orthogonaux et les coordonnees curvilignes, 1910.
бесконечного множества тройных ортогональных систем. Одна из этих
систем состоит из поверхностей, параллельных поверхности А, и из двух
семейств развертывающихся поверхностей, образованных нормалями
к поверхности S вдоль линий кривизны этой поверхности. В самом деле,
пусть будет О какая-нибудь точка нормали MN к поверхности 5
в точке М, МТ и МТ'— касательные прямые к двум линиям кривизны
С, С, проходящим через точку М. Касательная плоскость к поверх-
ности, параллельной поверхности 5 и проходящей через точку О,
будет параллельна касательной плоскости к поверхности 5 в точке М;
касательными плоскостями к развертывающимся поверхностям, обра-
зованным нормалями к поверхности 5 вдоль кривой С и вдоль кри-
вой С, будут служить, соответственно, плоскости NMT и NMT1. Но
эти три плоскости попарно взаимно перпендикулярны, что и доказы-
вает, что рассматриваемая система будет тройною ортогональною.
При помощи преобразования обратными радиусами-векторами из каждой
тройной ортогональной системы можно получить бесконечное множество
других аналогичных систем, так как это преобразование сохраняет величи-
ну углов. Так как мы только что видели, что всякая поверхность является
членом некоторой тройной ортогональной системы, то отсюда следует,
что при всяком преобразовании обратными радиусами-векторами линии
кривизны, первоначальной поверхности преобразуются в линии кри-
визны новой поверхности. Это легко проверить непосредственно.
245. Геодезическое кручение. Со свойствами линий кривизны связана не-
которая важная геометрическая величина, зависящая от производных третьего
порядка. В теории пространственных кривых (§ 225) существует соотношение:
dl dp. d>
1 d® н ds ds ds
« ? f
где a, у — направляющие косинусы касательной к какой-нибудь кривой Г, ле-
жащей на поверхности S, р, о — направляющие косинусы нормали к этой же
поверхности, 0 — угол между нормалью к поверхности и главною нормалью к
кривой Г, отсчитываемый так же, как в § 225, Т — радиус кручения кривой Г.
Пусть координаты х, у, z точек S выражены с помощью параметров и, »; то-
гда косинусы X, р, v суть также функции и, v; таким образом все элементы опре-
„ dv ~ 1 d6
делителя Н выражаются с помощью и, v, — Следовательно, выражение у — —
имеет о )ну и ту же величину для всех кривых, лежащих на поверхности и
касающихся друг друга в точке (и, v).
О. Боннэ, которому принадлежит этот важный результат, назвал величину Н
геодез веским кручением. Чтобы исследовать изменение геодезического кручения
в зависимости от положения касательной, выберем за оси х, у оси индикатрисы;
при этом поверхность определится уравнением:
+ Л д-
Для какой-нибудь кривой Г, проходящей на поверхности через начало координат
касательная к которой образует угол to с осью х, будет a — cos to, ji = sin to, y = 0
, _ , dl cos to du. sin to .
p = 0, v — , и формула (51) примет вид:
1 _dS_
Т ds
sin to cos to.
(51 bis)
14 Э. Гур'а, т. I, я 2.
Согласно этой формуле, являющейся дополнением к формуле Эйлера, геодезиче-
ское кручение кривой Г обращается в нуль в том и только в том случае, когда
кривая Г касается какой-нибудь оси индикатрисы. Следовательно, линии кривизны
могут быть определены как линии на поверхности, в каждой точке которых
геодезическое кру1ение равно нулю. Впрочем, эт т результат следует и непосред-
ственно из формулы (51), так как, приравнивая нулю правую часть этого равен-
ства, получим диференциальное уравнение линий кривизны. Заметим еще, что
Л
при замене в на <о — в формуле (51 bis) правая часть ее меняет знак; следо-
вательно, если две кривые на поверхности пересекаются под прямым углом, то
сумма геодезических кручений обеих кривых в точке пересечения равна нулю.
Если две поверхности S и S' пересекаются под постоянным углом по не-
которой кривой Г, то разность 0 — 6' остается неизменной вдоль этой линии, и
следовательно, геодезическое кручение Г имеет одну и ту же величину для
обеих поверхностей.
Теорема Иоахимсталя получается как прямое следствие этого результата.
При помощи свойств геодезического кручения можно весьма просто доказать
теорему Дюпена. Пусть будут Sj, S2, S3 три поверхности, проходящие через
точку М и относящиеся, соответственно, к трем семействам тройной ортогональ-
ной системы. Пусть будут Г4, Г2, Г3 линиями пересечения соответственно .S2 и
.55, S3 и St, S£ и S2. Поверхности S2 и S3 ортогональны вдоль Г1( следовательно,
геодезическое кручение кривой Г, одно и то же для обеих поверхностей; обозна-
чим его через Для кривых Г2 и Г3 аналогичное значение имеют буквы т2 и
т3; величины этих геодезических кручений в точке М удовлетворяют соотноше-
ниям:
т1 + т2 —0> '1 + тз — тз -Ьт1==0>
ибо, например, на поверхности S2 кривые Г, и Г2 являются ортогональными.
Следовательно, в точке М мы имеем:
ч — ~2 — 'з = 0.
Так как М — любая точка пространства, то кривые Tz действительно являются
линиями кривизны для обеих поверхностей Sk, которым они принадлежат *.
* Теоремы Менье и Боннэ не являются специальным свойством линий, ле-
жащих на поверхности. Эти свойства распространяются на все системы кривых Г,
удовлетворяющих одному и тому же соотношению вида:
A dx Т- В dy -)- С dz = 0,
где А, В, С—функции от х, у, г. Существует бесчисленное множество кривых
этого рода, зависящих от одной произвольной функции, так как можно произ-
вольно задать, например, у как функцию х:
У=/(х),
и z определится из дифе;енциального уравнения первого порядка. Касательные
к кривым Г, проходящим через данную точку пространства, лежат в плоскости Р,
перпендикулярной к прямой А с направляющими параметрами А, В, С. Для
всех таких кривых, имеющих в данной точке общую касательную, дза вы-
cos 0 1 дО „
ражения: —, у — имеют одну и ту же величину, здесь R и Т имеют
обычное значение, а 0 — угол, образуемый прямою А с главной нормалью
к кривой Г.
В самом деле, мы можем предположить, что А, В и С равны направляющим
_ „ dA dx 4- d В dy + dC dz
косинусам нормали к плоскости Р, и очевидно, что член --------!, --------
as2
в формуле (6). и определитель Н в формуле (51) зависят только от х, у, г,
dx dy dz
ds ’ ds ’ ds '
246. Приложение к некоторым семействам поверхностей. Найдено много
поверхностей, линии кривизны которых удовлетворяют определенным геометри-
ческим условиям. Мы приведем здесь несколько наиболее простых результатов
этих изысканий.
Найдем все поверхности, для которых одною из систем линий кривизны
являются окружности. По теореме Иоахимсталя, плоскость каждой из этих
окружностей должна пересекать поверхность под постоянным углом. Отсюда сле-
дует, что все нормали к поверхности вдоль окружности С этой системы должны
пересекать ось окружности (т. е. перпендикуляр, проведенный к плоскости
окружности через ее центр) в одной точке О. Сфера, описанная из точки О и
проходящая через окружность С, касается поверхности вдоль С; следовательно,
рассматриваемая поверхность есть огибающая сфер, зависящих от одного пере-
менного параметра. Обратно, всякая поверхность, огибающая семейство сфер,
представляет решение задачи, так как характеристики этого семейства, которые
будут окружностями, составляют, очевидно, одно из семейств линий кривизны.
Поверхности вращения представляют, очевидно, частный случай поверхностей
этого рода. Другой интересный частный случай представляют трубчатые по-
верхности (surfaces can-tux), т. е. поверхности, огибающие сферу с постоянным
радиусом R, центр которой описывает некоторую произвольную кривую Г.
Характеристиками этого семейства сфер будут окружности с радиусом /?, центр
которых описывает кривую Г и плоскость которых остается нормальною к кри-
вой Т. Нормали к поверхности будут также нормалями и к кривой Г; следова-
тельно, линиями кривизны второй системы будут линии пересечения поверхности
с развертывающимися поверхностями, образованными нормалями к кривой Г.
Если, кроме первой, и вторая система линий кривизны поверхности будет
состоять из окружностей, то, на основании предыдущего, эту поверхность можно
рассматривать как огибающую любого из двух семейств сфер, зависящих от
одного переменного параметра. Пусть будут Slr S2, S3 сферы одного и того же
семейства, Ct, С2, С» — соответствующие характеристики, и Mjt М2, — точки
пересечения характеристик Ct, С2, С3 с линиею кривизны С’ второй системы.
Сфера S', касающаяся поверхности во всех точках окружности С, касается
также и трех сфер St, S2, S3 соответственно в точках ЛД Л12, 7И3. Следовательно,
искомая поверхность есть огибающая переменной сферы, касающейся трех
постоянных сфер. Эта поверхность известит под именем циклиОы Цюпена.
Мангейм дал изящное.доказательство того, что циклиду Дюпена можно получ-ть
из тора преобразованием обратными радиусами-векторами. Пусть будет 7 окруж-
ность, ортогональная к трем сферам S2, S3. После преобразования обратными
радиусами-векторами с полюсом в какой-нибудь точке окружности у, эта окруж-
ность обратится в прямую ОО', а сферы St, S2, S3 обратятся соответственно
в сферы 2Ь 22, 23, ортогональные к прямой ОО'; следовательно, центры преобра-
зованных сфер будут лежать на прямой ОО'. Пусть будут С'^ С'^, С сечения
этих сфер плоскостью,’ проходящею через ОО', С — окружность, касающаяся
окружностей С^, С, и 2'—сфера, имеющая С большим кругом. Ясно, что
при вращении фигуры вокруг прямой 00' сфера 2' остается касательною к трем
сферам 21( 12, 23, и огибающею поверхностью сферы 2' будет тор, имеющий ме-
ридианом окружность С.
Определим, далее, поверхности, у которых одним из семейств линий кривизны
были бы плоские кривые, расположенные в параллельных плоскостях. Примем
за плоскость хОу плоскость, параллельную плоскостям линий кривизны, и пусть
будет
' х cos я у sin а = F (а, г)
уравнение касательной к плоскому сечению, образованному на поверхности
плоскостью параллельною плоскости хОу. F (а, г) есть функция двух перемен-
ных а и г, вид которой зависит от вида рассматриваемой поверхности. Так как
самое сечение представляет огибающую касательных к нему прямых, то мы
получим координаты х, у точек поверхности, присоединяя к предыдущему урав-
нению соотношение:
Следовательно, выражения координат х, у, z будут:
„ йА . . ЗА ....
x = rcosa------sina, у = г sin a 4----cos a, z--z. (02)
<h <h
Выбирая соответствующим образом функцию F (a, z), можно всякую поверхность
представить уравнениями вида (52); исключение представляют только линейчатые
поверхности, для которых направляющею плоскостью служит плоскость z = 0.
Легко вывести, что коэфициенты А, В, С касательной плоскости к поверх-
ности будут:
. „ . df
А ~ cos а, В = sin a, С —-----;
dz
следовательно, косинус угла, образуемого нормалью к поверхности с осью Oz,
будет:
' j/1+^'2’
По теореме Иоахимсталя, для того чтобы сечения поверхности плоскостями, парал-
лельными плоскости хОу, была линиями кривизны этой поверхности, необходимо
и достаточно, чтобы эти плоскости пересекали повьрхность под постоянным
углом, т. е. чтобы v не зависело от а. Для этого необходимо и достаточно, чтобы
А 2 (a, z) зависела только от переменного z; следовательно, A (a, z) должна иметь
вид:
A (a, z) = ср (Z) -4- ф (а),
причем f и ф — произвольны. Вставляя найденное выражение функции А (а, г)
в уравнения (52), мы получим самые общие уравнения искомых поверхностей;
х = ф (i) cos a — ф' (a) sin a 4~ Т (г) cos a> 1
у = ф (a) Sin a + ф (a) COS a -f- f (г) sin a, > (53)
Z — Z. J
Эти поверхности могут быть образованы следующим Образом. Если рассмат-
ривать в двух первых уравнениях (53) z как постоянное, а a — как переменное,
то эти уравнения представляют семейство кривых, по которым проектируются на
плоскость z = 0 сечения поверхности плоскостями, параллельными плоскости хОу;
но все эти кривые параллельны кривой, которую получим, положив в двух первых
уравнениях (53) у (г)=0. Отсюда получается для рассматриваемых поверхностей
следующее построение: возьмем в плоскости z = 0 произвольную кривую и про-
ведем в этой плоскости кривые, к ней параллельные; затем переместим все
эти кривые параллельно оси Oz на различные расстояния по какому-нибудь
произвольному <акону. Тогда все эти кривые образуют в своих новых поло-
жениях поверхность, представляющую самое общее решение задачи.
Легко видеть, что предыдущий способ построения можно заменить следующим.
Искомые поверхности могут быть образованы плоскою кривою произ-
вольного вида, пло .кость которой катится без скольжения по поверхности
цилиндра с произвольным основанием. Следовательно, это лепные п>верхноста
(surfaces moulures). В этом легко убедиться из формул (53), рассматривая кривые
a = const. Здесь оба семейства линий кривизны состоят из плоских кривых
z = const и a = const.
III. СООТВЕТСТВИЕ МЕЖДУ ТОЧКАМИ ДВУХ ПОВЕРХНОСТЕЙ.
247. Сферическое отображение. Пусть будет S некоторая двусторонняя
Поверхность или часть такой поверхности (§131). Выбрав одну из сторон, рассмот-
рим в каждой точке М направление MN нормали, соответствующее этой сто-
роне. Проведем через центр О сферы S, радиус которой примем равным единице,
полупрямую, параллельную положительному направлению MN нормали к поверх
ности S. Точку т пересечения этой полупрямой со сферой S'будем считать со-
ответствующей точке М. Очевидно, каждой точке М на S соответствует опреде-
ленная точка т на S; касательные плоскости S и S в соответствующих точках
параллельны . и, если выбрать за положительное направление нормали сферы на-
правление, идущее от центра О к точке т, положительные направления нормалей
обеих поверхностей тоже совпадут. Каждой кривой С на S соответствует неко-
торая кривая с на S — сферическое изображение кривой С.
В точке т, соответствующей М, касательная mt к кривой с перпенди-
кулярна направлению, сопряженному на S с касательной МТ к кривой С.
В самом деле, пусть будут М и М' две близкие точки кривой С, т и /я' —
соответствующие им точки с, D — прямая пересечения плоскостей, касательных
к S в точках М и М', d— прямая пересечения касательных плоскостей к сфере
в точках т и т’. Так как эти плоскости попарно параллельны, ясно, что d парал-
лельна D. Когда точка Д'? неограниченно, приближается к М, прямая D стремится
к предельному положению - касательной тИУ, сопряженной на поверхности S
с касательной МТ к С (§ 239). Точно так же d стремится к предельному поло-
жению mt', сопряженному с mt на сфере. Но mt' перпендикулярна к mt, а так
как mt' и МТ ьараллельны, то mt перпендикулярна МТ1, что и требовалось до-
казать.
Для того чтобы прямые МТ и mt были параллельны, необходимо и достаточ-
но, чтобы МТ была перпендикулярна сопряженной с нею касательной, т. е.
чтобы МТ была осью индикатрисы поверхности S. Отсюда следует: касательные
к линиям кривизны S и к их сферическим изображениям в соответствующих
точках паоиллельны. Очевидно, что линии кривизны суть единственные кри-
вые на S, обладающие этим свойством.
Этот результат можно вывести из формул Родрига. В самом деле, если вы-
брать за начало координат центр сферы S, координаты точки т будут равны на-
правляющим косинусам X, |x, v положительного направления нормали. Условие того,
чтобы кривые С и с, описываемые точками М (х, у, z) и т (X, ц, v), имели парал-
лельные касательные в соответствующих точках
dx dy _ dz
d\ dy. dv '
удовлетворится при наличии соотношений, выражаемых формулами (46).
Рассмотрим бесконечно малый элемент площади di поверхности S вокруг
точки М и соответствующий элемент di' сферы.
Чтобы определить отношение , мы применим вычисление § 137, заметив,
di
di'
что в данном случае нормали обеих поверхностей параллельны, и отношение - —
равно отношению элементов & плоскости хОу. Предположим, что в окрестности
точки М поверхность S определена уравнением z = /(x, у), и что за положи-
тельное направление нормали выбрано направление, образующее острый угол
с осью Oz. Координаты точки т тогда будут:
-Р — -У_____________________ J —1_______________
j/1 + ’ /1 + р2 + 92 ’ |/1 + У + ?2 ’
откуда
da' I D (х’, /) I I D (х. у1) | I D (р, а) I
| Ж У) j ~ j D (р, q) | ’ | D (х, у) j ’
или, после весьма п, остых преобразований:
da'________________________________ \rt—s21
da ~ (I + p2 + 92)2’
Правая часть этой формулы есть не что иное, как абсолютная величина гауссовой
кривизны Д поверхности S. Отсюда следует, что гауссова кривизна может быть
/\г\
определена вполне аналогично кривизне кривой (§ 218). Но тогда как кривизна
кривой содержит в своем выражении радикал, полная кривизна поверхности вы-
ражается рационально через частные производные z и имеет знак, совпадающий
с rt — Этот знак можно истолковать при помощи сферического отображения.
Представим себе двух наблюдателей, из которых один стоит па поверхности S
в некоторой ее точке, другой — на сфере, в точке, соответствующей первой;
предположим при этом, что направление от ног к голове каждого совпадает
с положительным направлением нормалей. Когда первый наблюдатель обходит кон-
тур площади de так, что площадь остается слева от него, второй наблюдатель,
в соответствии с первым, обойдет контур элемента da', оставляя площадь эле-
мента либо слева, либо справа; rt — s- и, следовательно, , положительно в
первом случае и отрицательно во втором (§ 236).
Примечание. Если точка М поверхности S не параболическая, то rt —s2
не нуль, и по теории неявных функций (§ 38, 185) точки поверхности S вблизи
М и точки сферы вблизи т соответствуют друг другу взаимно однозначно. Но
это, вообще говоря, не имеет места вблизи параболической точки, как легко по-
казать на примере.
Пусть АМВ будет дуга плоской кривой, имеющая в М точку перегиба, так
что дуги АМ и ВМ имеют противоположно направленные выпуклости. Вгащая
дугу АМВ вокруг оси, лежащей в ее плоскости, получим поверхность враще-
ния S, на которой параллель р, образованная точкой М, есть место параболи-
ческих точек. Поверхности S, и S2, описанные дугами АМ и ВМ, имеют своими
сферическими изображениями две области, которые частично покрывают друг
друга и обе примыкают к параллели р, соответствующей Р. Такого рода сфери-
ческое отображение поверхности S можно представить при помощи листа бумаги,
сложенного вдоль параллели и дважды перекрывающего часть пояса сферы,
ограниченной этой параллелью (§ 117, примечание).
Рассмотрим еще тор — поверхность, образованную вращением окружности С,
лежащей в вертикальной плоскости, вокруг некоторой вертикали ОО'этой плоско-
сти, не пересекающей С. Точки А и В. самая высокая и самая низкая точки окруж-
ности С, разделяют С на две дуги Ct и С2; пусть дуга С2—ближайшая к оси.
При вращении вокруг 00' дуга Ct образует выпуклую поверхность 3(, каж-
дой точке которой взаимно однозначно соответствуют точки сферы S, если не
принимать во внимание при этом крайних параллелей S, и двух противоположных
полюсов S. Дуга С2 описывает поверхность отрицательной кривизны S2, все точки
которой, при том же ограничении взаимно однозначно соответствуют точкам
сферы S. Что касается крайних параллелей, образованных точками А и В, им
соответствуют противоположные полюсы сферы. Можно осуществить это сфериче-
ское отображение тора при помощи двух равных, вложенных друг в друга шаров,
предполагая, что их внешние поверхности соединяются только в двух полюсах.
248. Наложение поверхностей. При сферическом отображении каждой
точке некоторой поверхности соответствует определенная точка сферы,
и обратно. Рассмотрим теперь более общий случай точечного соответ-
ствия двух поверхностей.
Пусть даны две какие-нибудь поверхности S и S'; предположим, что
прямоугольные координаты точек S выражены через два переменных
параметра и и v, и прямоугольные координаты точек Sf— через два
других переменных параметра и! и v'.
Если между двумя парами переменных (и, v) и (и', v’) установить
соответствие равенствами
u’ — g(u, v), v’ = h(u, v) (54)
, D (и1, v1)
так, что якобиан & - не равен тождественно нулю, то этим самым
устанавливается и точечное соответствие между обеими поверхностями.
Очевидно, что всякое соответствие такого рода может быть опре-
делено при помощи формул, аналогичных (54), если выбрать подходящим
способом функции g и А.
В связи с вопросами точечного соответствия поверхностей можно
поставить большое число весьма важных задач. Найдем, например,
в каком случае соответствующие дуги двух произвольных кривых имеют
одну и ту же длину.
Пусть линейные элементы ds2 и ds’2 двух поверхностей определены
формулами'
ds2 = Е du2-\-2Fdudv ф- Gdv2, (55)
ds'2 = L'du’2‘ZF’du’dv’ ф- О'dv’2. (56)
Заменяя в (56) и’, v’ их выражениями (54), получим:
ds’2 = &du2-:\-‘2'$dudv-}r®dv2-, (56’)
(У, ® весьма просто выражаются через g, А и их производные. Если
при соответствии, определенном формулами (54), сохраняются длины
линий, мы должны иметь ds' = ds при каких угодно du и dv, откуда:
($ = £, $ = ® = G; (57)
в этом случае говорят, что поверхности S и S’ налагаются друг на
друга *. Для того чтобы две поверхности S и S', линейные элементы
которых определяются, соответственно, формулами (55) и (56), могли
быть наложены одна на другую, необходимо и достаточно, чтобы можно
было найти функции g(u, v) и А (и, v), удовлетворяющие соотноше-
ниям (57). Эти две функции должны, следовательно, удовлетворять си-
стеме /иггс уравнений в частных производных первого порядка; если
коэфициенты Е, F, G, Е', F1, G' выбраны произвольно, эти уравнения,
вообще говоря, окажутся несовместными, и функции g(u, v), h(u, v)
не определятся. Чтобы определить, наложимы ли друг на друга две
поверхности, т. е. чтобы определить, совместны ли уравнения (57), до-
статочно выполнить операции диференцирования и исключения. Дока-
зательства этого положения мы приводить не будем.
Можно поставить иную задачу, отличную от этой, именно: опреде-
лить все поверхности, налагающиеся на некоторую данную, или, дру-
гими словами, определить все поверхности, допускающие данный ли-
нейный элемент.
Решение этой задачи требует интегрирования системы трех уравне-
ний в частных производных первого порядка:
здесь Е, F, G — три данные функции переменных и, v; х, у, z — три
неизвестные функции. Полное интегрирование этой системы удается вы-
полнить лишь в весьма немногих частных случаях; его можно свести
к интегрированию одного уравнения в частных производных второго
порядка.
* Или что одна из них является изгибанием другой.
(Ред~)
Рассмотрим, в частности, геликоид А, определенный формулами:
х—- р cos со, _y=psinw, z=/(p) 4 (59)
где 2па — общий шаг винтовой линии. Квадратичная форма ds2 может
быть написана в виде:
ds2 — (р2 4 а2) 4'
Положим:
а/'(р) 42 , «24р24-р2/'2(р)
2 4- а2
Р'
dp2. (60)
./a±t£4PO)
р24а
dv = du -j- -f—Ц Др;
р2 4 я2
dp,
и и v определятся отсюда .в квадратурах; р2 4а3 есть функция U
одного только переменного и, так что ds2 для всякого геликоида может
быть приведен к форме:
ds2 = du2 4- Udv2. (61)
Заметим, что кривые (и) и (v) суть, соответственно, винтовые линии
поверхности и их ортогональные траектории; следовательно, эти тра-
ектории всегда могут быть получены в квадратурах.
Пусть А'—некоторый другой геликоид, определенный формулами:
х'—г cos О, у —rsinO, z'= (г)(Л, (59')
для которого
. Ьь’ (г) 12 Ь2 4- г2 4 г2 ф'2(г\
ds’2 = (г2 f b2) ^0 4 dr j 4 ^2- (62)
Для того чтобы два геликоида были наложимы друг на друга, при
условии соответствия винтовых линий обеих поверхностей, необходимо
и достаточно, чтобы можно было определить функции г от р и 0 от w
и р, удовлетворяющие трем условиям:
г2*"2 (г)
г2 ф b2
dr2 = 14
Р2/2(Р)1
р24 а2
rfp2,
(63)
d<> ±5j^dr==c
Д/Чр)
р2 4 а2
dp ,
где с—некоторая постоянная, отличная от нуля*. Вторая из этих фор-
мул приводится к виду:
pt = S(rz Ь2) — а2-,
* Первое условие (63) выражает, что ортогональные траектории винтовых ли-
ний соответствуют друг другу на обеих поверхностях и имеют равные линейные
элементы. Два других условия выражают, что уравнение, определяющее 0 в
функции и и f, интегрируемо.
заменяя р этим выражением в первом условии, найдем (г) квадра-
турой. Далее:
1 J р2 -f <z2 r J г2 4 b2
Следовательно, существует бесконечное множество геликоидов, зави-
сящих от двух произвольных постоянных b и с, нала^ающио ся на
данный геликоид с соответст ием винтовых линий.
Постоянная Ь, с точностью до множителя 2тг, равна шагу второго
геликоида S’. Если положить b = 0, то S' будет поверхностью вращения;
отсюда получается теорема Бура: каждая поверхность геликоида на-
ложима на некоторую поверхность вращения, причем винтовые линии
одной поверхности соответствуют параллелям другой. Легко видеть, что
эта поверхность вращения зависит от произвольного постоянного с.
Примеры. 1. Пусть /(s) = 0. Поверхность S есть прямой геликоид с напра-
вляющей плоскостью. Если положить Ь — 0, с — 1, формулы (63) приведут к урав-
нению:
, . 1 / с \/Г2—Я21
Т W a In j------------j. .
Соответствующая поверхность вращения есть поверхность, образуемая вращением
цепной линии вокруг ее основания.
2. Пусть f(r) = r. Полагая 6 = 0, с=1, получим:
? (г) = |/г2 — а2 + С.
Профиль геликоида есть прякая, встречающая ссь Oz под углом 45°, а поверх-
ность вращения однополостный гиперболоид, образованный вращением равно-
сторонней гиперболы.
249. Поверхности, налагающиеся на плоскость. Для плоскости мы имеем:
ds2 = du2 dv2,
S
где и н v — прямоугольные координаты ее точек. Следовательно, все
поверхности, налагающиеся на плоскость, определятся совместным
интегрированием трех уравнений:
йх\2__j __о С V_________j
Ъи) ’ ^йийг/ ’ уйгу ~~
Приведем доказательство О. Боннэ, установившего, что это — раз-
вертывающиеся поверхности.
Диференцируя три предыдущие уравнения по и и по V, получим
шесть равенств:
S<)x й2Х Q ЙХ Й2Х Q йх Й2Х
йкйи2 ’ ^й«й«йг» ’ ^йт/йп2 ’
5ЙХ й2х Q ЙХ й2Х Q ЙХ й2Х _
йт/йу2 ’ ^йуйийр ’ ^йийг/2
, й2х й2у й2г
Из двух уравнений, в которые входят—-, —-, —следует, что эти три
ди2 .йи2 йи2
л D (у, z)
производные, соответственно, пропорциональны якобианам ,
D (z, х) D (х, _у) ,
V.—j, ——j . Мы предположим, что эти три якобиана ие обра-
щаются тождественно в нуль, так как в противном случае точка
(.г, у, z) описывала бы не поверхность, а кривую. Легко
й2х й2у й2г ^х &у iYz
й.чйп Й«ЙУ й«ЙУ ЙУ2 ЙУ2 ЙУ2
видеть, что про-
пропорциональны
тем же якобианам. Отсюда
следуют соотношения:
й2х й2_у й22
ЙИ2 ЙИ2 ЙИ2
Й2Х Й2_У
ЙИЙУ й«ЙУ
й32
ЙИЙУ
которые показывают, что якобиан любой
пары из
йз>
ЙИ ’
й^ „
— равен тождественно нулю. Следовательно,
о U
трех
йх
йи ’
ЙХ
производных: — ,
йу Й2
Si' — суть Функ-
ции
одного переменного t. Так же можно показать,
ЙХ й у Й2
ЧТО — , — ,--------
ЙУ ЙУ ЙУ
функции одного переменного t'. С другой стороны, из соотношения
Зйхйх
ЙПЙУ
вытекает, что эти два переменных t и V приводятся к одному. Следо-
вательно, все шесть частных производных первого п.орядка являются
функциями одной из них; угловые коэфициенты р и q касательной
плоскости, получаемые из уравнения dz = р dx q dy, также зависят
только от одного переменного, и поэтому исследуемая поверхность есть
поверхность развертывающаяся (§ 204)*.
Обратно, пусть будет некоторая развертывающаяся поверхность,
образованная касательными какой-нибудь кривой Г; примем за пере-
менные- параметры дугу а кривой Г, отсчитываемую от произвольного
начала, и расстояние I точки образующей от точки прикосновения.
Координаты точек поверхности 5 определяются равенствами:
Х=хД-12, Y=y-\-l$, Z = z+ly,
где х, у, z — координаты точек кривой Г, а, у — направляющие ко-
синусы касательной. Формулы Френе дают:
dX = a(da^dl)^-1-^ , dY= g (ds-]-dl) ,
* Лебег (Lebesgue) в свой диссертации показал, что существуют нелиней-
чатые поверхности такие, что во можно установить соответствие между точками
этих поверхностей и точками плоскости так, что каждой спрямляемой линии пло-
скости соответствует спрямляемая линия поверхности, имеющая ту же длину.
Этот результат не противоречит доказанной в тексте теореме, так как доказа-
тельство существенно основывается на наличии у х, у, z непрерывных част-
ных производных первого и второго порядка, что не имеет места для поверх-
ностей Лебега.
следовательно:
^2 = 4. dly. _|_ /з _ j
(64)
где /?— радиус кривизны кривой Г. Отсюда непосредственно еще не
видно, приводится ли ds2 к форме du2 -4- dv2. Чтобы показать, что это
всегда возможно сделать, достаточно заметить, что ds2 зависит исклю-
чительно лишь от функции -^- = (р(а), определяющей зависимость ра-
се
диуса кривизны R от дуги а. Пусть будет Г' какая-нибудь другая кри-
вая, для которой функция <р(а) та же самая; линейный элемент ds2
развертывающейся поверхности, имеющей Г' ребром возврата, выра-
жается, очевидно, равенством (64). Обе поверхности Г и Г' налагаются,
следовательно, друг на друга с соответствием образующих. Но среди
кривых Г', наверное, существует плоская кривая; развертывающаяся
поверхность, образованная ее касательными, есть плоскость; отсюда и
вытекает то, что мы хотели доказать. После этого легко получить фор-
мулы, определяющие соответствие между поверхностью и плоскостью.
Из естественного уравнения
4 = т
плоской кривой С получаются ее параметрические уравнения (§ 224):
ху = \ cos 9 da, уг = \ sin 9 da,
i де
откладывая от точки прикосновения по касательной длину I, получим
точку с координатами и = Ху -)-/cos9, v—Уу -j-1 sin 9.
Из формулы (64) непосредственно получаем:
ds2 = du2 dv2.
Из предыдущего доказатёльства следует соответствие между точками раз-
вертывающейся поверхности S и точками плоскости. Плоская кривая С, заданная
естественным уравнением
1
7? ’
вполне определена по форме (§ 224), а соответствие между точками кривых Г и
С определяет соответствие между направлениями касательных Обеих кривых.
Пусть теперь будет Р некоторая точка поверхности S, лежащая на касательной
к кривой Г в точке М на расстоянии МР = 1. Отложим на касательной в точке т
кривой С, соответствующей М, в направлении, соответствующем направле-
нию МР, длину тр=1, полученная точка р будет соответствовать точке Р по-
верхн сти S. Легко видеть что точкам поверхности S соответствуют только те точки
плоскости, которые лежат в области П, внешней по отношению к кривой С,
и что это соответствие вообще, не однозначно. Рассмотрим, н пример обыкно-
венную винтовую линию; пусть ее постоянный радиус кривизны равен R Раз-
вертывающаяся поверхность, образованная полукасательными, проведенными в
определенном направлении в точках одного оборота это! спирали, однозначно
налагается на область П плоскости, внешнюю относительно круга радиуса /?; ио
развертывающаяся поверхность, образованная касательными во всех точках спи-
рали, покрывает область II бесконечное число раз.
250. Геодезическая кривизна. Геодезические линии. Пусть будет Г неко-
торая кривая, лежащая на поверхности S, и р — ее ортогональная проекция на
касательную плоскость к S в точке М кривэй Г. Кривизна — этой плоской
кривой в точке М называется геодезическсй кривизной кривой Г. Укажем важ-
нейшее свойство этой величины: если даны две налагающие» поверхности S и
S’ и две соответствующие кривые Г и Г' на них, то геод, зические кривизны
этих линий в соо / ветствующчх точках равны.
Предположим, что кривая Г определена на своей поверхности уравнением
в криголинейных координатах v = II (и). Для доказательства высказанной теоремы
достаточно покатать, что радиус геодезической кривизны выражается исклю-
чительно с помощью коэфициентов Е, F, G.
Выберем на S такую систему криволинейных координат, чтобы кривая Г
имела уравнение v = v$. Для определения радиуса геодезической кривизны Г
в точке Мй (и0, у0) предположим, что начало координат взято в точке /Ио, что ка-
сательная плоскость совпадает с плоскостью ху, а касательная к Г—с осью Ох.
В этой системе координат мы имеем:
Радиус кривизны кривой у — проекции Г на плоскость хОу— в начале координат
имеет выражение
Из двух соотношений:
получается:
S/йлА2 _ Qdxdx
\ й 1 / йи dv
dx <52Х
ди йи dv
1_ЙД
2 dv
Sdx Й2г ОЙХЙ2Х
йи йи dv dv йи2
При и =. u0, v--v(l эти равенства приводят к формуле:
откуда
\ йи2/(| 2 \ йи/0
ЙД I
1 1 ЙУ |0
?g 2 Eq j/ Gq
(65)
что мы и хотели показать.
Кривые, лежащие иа некоторой поверхности и имеющие во всех своих точ-
ках геодезическую кривизну, равную нулю, называются геооези^ескими линиями
этой поверхности. По предыдущей теореме, если две поверхности S, S’ нала-
гаются друг на друга, то геодезическим линиям одной из этих поверхностей на
второй соответствуют также геодезические.
Геодезические линии могут быть определены еще как линии поверхности,
соприкасающаяся плоскость которых в каждой точче проходит через нор-
маль поверхности.
В самом деле, пусть будут Г—некоторая кривая на поверхности и у — ее
ортогональная проекция на касательною плоскость, R и — радиусы кривизны Г
и Т> 9 — угол между соприкасающейся плоскостью кривой Г и нормалью поверх-
ности. Применим теорему Менье к цилиндру, проектирующему Г на касательную
плоскость; по этой теореме:
I __ cos 0
Если Г — геодезическая линия, то — равна нулю, и следовательно, cos 0 = 0, т. е.
Pg
соприкасающаяся плоскость содержит нормаль к поверхности. Огсюда следует,
что вдоль геодезической х, у, z суть функции одного переменного, удовлетворяю-
щие соотношению:
АВС
dx dy dz
dix d2y d‘2z
= 0,
(66)
где А, В, С — направляющие параметры нормали к поверхности. Координаты
х, у, z выражены в функции двух параметров «иг; выбирая один из них, на-
пример и, за t езависимое переменное и развертывая предыдущее уравнение,
полу им диференциальное уравнение старого порядка:
d*u
du-
du >
и, v, -
du /
(67)
интегрирование которого дает геодезические линии. Интеграл этого уравнения
содержит два произвольных постоянных, следовательно, через всякую обыкновен-
ную точку поверхности проходит бесконечное множество геодезических; но, если
задать в касательной плоскости этой точки некоторое определенное направление,
то геодезическая линия, выходящая в этом направлении, вполне определится.
Геодезическими линиями плоскости являются лежащие на ней прямые, на
сферб это — большие круги, на развертывающейся поверхности это - линии,
соответствующие при наложении на плоскость прямым.
Рассмотрим в качестве примера какую-нибудь кривую Г и ее развертку
(эволюту) D (черт 40, § 225). Соприкасающаяся плоскость к D в точке со-
держит касательную к кривой Г в точке М, а следовательно, и нормаль в М{
к полярной поверхности кривой Г, которая является огибающей нормальных
плоскостей этой последней. Отсюда следует, что развертки кривой суть геоде-
зические линии ее полярной поверхности. Основыатясь на геометрических свой-
ствах можно показать, что при нгложении полярной поверхности на плоскость
эволюты кривой Г преобразуются в прямые линии, проходящие через одну точку.
Плоскости проходящие через каждую точку М пространственной кривой Г
перпендикулярно главной нормали, огибают развертывающуюся поверхность S,
проходящую через Г.
На этой поверхности Г есть геодезическая линия, так как нормали к S
совпадают с главными нормалями Г. При наложении S на плоскость кривая Г
развернется в прямую линию. Поэтому плоскости, перпендикулярные главным
нормалям кривой, называются спрямляющими [Лайкре (Lancret ].
Рассмотрим еще две полости S и S' развертки какой-нибудь поверхности S.
Нормали MN поверхности S вдоль линий кривизны образуют развертывающуюся
поверхность, имеющую ребром возврата некоторую кривую Г поверхности S;
соприкасающаяся плоскость в точке А этой кривой касается в точке А' поверх-
ности 2* (§241). Следовательно, она перпендикулярна к касательной плоскости 2
в А, т. е. Г есть геодезическая линия на поверхности 2. аволюты линий кри-
визны какой-нибу ь поверхности S, лежащие hi одной из полостей развертки
этой поверхности, суть геодезические линии этой полости развертки.
Обратно, рассмотрим на какой нибудь поверхности 2 семейство геодезических
лини», зависящих от одного произвольного параметра, так что через каждую
точку поверхности проходит одна и только одна геодезическая этого семейства.
Касательные к этим геодезическим являются нормалями к некоторому се-
мейству параллельных поверхностей.
Для доказательства достаточно показать, что фокальные плоскости конгруэнции
этих нормалей ори гональны (§ 231). Пусть будет Г одна из геодезических
линий, МТ—касательная в какой-нибудь ее точке. Одна из фокальных пло-
скостей, проходящих через МТ, есть, очевидно, соприкасающаяся плоскость в М
к кривой Г. Чтобы найти вторую фокальную плоскость, нужно определить вто-
рую развертывающуюся поверхность конгруэнции, проходящую через МТ.
Из § 239 следует, что этой развертывающейся поверхностью будет поверхность,
огибаемая касательными плоскостями поверхности вдоль кривой Г", спргженной
с кривею Г в точке М. Вторая фокальная плоскость есть, следовательно, каратель-
ная плоскость к S в точке М; эти две плоскости, очевидно, ортогональны.
Примечание. Квадратичная форма ds- принимает особенно простой вид, если
выбрать за координатные линии (v) семейство геодезических, за линии (и — их
ортогональные траектории. В этом случае F=0, и по формуле (э5), определяющей
геодезическую кривизну линии (р), ^- = 0; коэфициент Е, следовательно, есть
некоторая функция U одного только переменного и Заменяли через ^y/Udu
приведем выражение ds2 к виду:
ds- — die1 ф- О dp2;
коэфициент G здесь — произвольная функция и и v.
251. Полная кривизна Теорема Гаусса. Как нам уже известно, полней крс-
1
визнои поверхности называется величина , обратная
К к
произведению главных
радиусов кривизны.
Докажем весьма важную теорему Гаусса.
Если S и S' — две налагающиеся поверхности, то полная кривизна их
в соответствующих точках одинакова.
Для доказательства, как и всегда при установлении свойств, инвариантных
относительно изгибания, достаточно выразить потную кривизну поверхности
через Е, Е, G.
Выберем в формуле (4) неопределенный множитель К. равным —1; соотно-
шение (26) приведется к виду (§ 236):
1 __ DD" - D'i.
RR1'" (EG —Ер :
остается, следовательно, показать, что DD" — D’2 выражается через Е, F, G (и их
производные). Чтобы упростить вычисления, предположим, что поверхность от-
несена к системе криволинег ных коо'динат, составленной из семейства геодези-
ческих и их ортогона ьных траекторий; тогда Судем иметь: Е = 1, F = 0 Из об-
щих формул (58) получим последовательно диференцированием следующее:
Sdx д2Х____ О дх d2X _ ф О дх д2Х
ди д:,2 ’ ди dudv ’ dv ди%
О дх д2Х | О дх д’х
ди др2 dv du dv
Sdx д2х 1 до О дх д2Х 1 dG
dvdttdv 2 ди dv др2 2 др
и следовательно:
Sdx д2Х 1 дО
ди др2 2 ди
(68')
(69)
Снова диференцируя (69) по и и тторое уравнение (68') по v, подучим'
S(Ur <Рх С dx Mr _ 1 Дас?
й«2 dv'2 du йи dv2 Йи2
Sdx ЙЗ* О / Й2х \2_0
йи йийг/2 \йийг> /
и наконец'
СГЙ2.Г(Рх / Й^Х \2] I йаб
|~йц2 dv2 \ЙИ dv / J 2 й«2
Чтобы найди произведение DD", перемножим но общему правилу два опреде-
лителя формул (15) и (16). С помсщью предыдущих соотношений это произве-
дение примет вид:
Q Q ^2х ^2х
du'2 й»2
Точно так же D'2 будет равняться
оЧ(~У.
откуда:
оо>_О'!=сЯ
I Й«2 йг/2 уди dv / J 2 dll2
и полная кривизна в точке (и, v) определится формулой:
1 _ 1 Й2б
RR' ~ 2G й«2 ’
(71)
что доказывает теорему Гаусса. Как следствие этой теоремы непосредственно но-
лущ^тся резулыат, установленный выше для поверхюстей, налагающихся на
плоскость (§ 249 . В самом деле, во всех точках этих поверхностей гауссова кри-
визна должна равняться нулю, т. е. rt — «2 = 0. Следоват льно, интегральные по-
верхности этого уравнения — поверхности газвертывающиеся (§ 204).
Теорема Гаусса позволяет также расширить результат § 248 относительно
геликоидов Если S и S' — две поверхности, налагающиеся одна на другую, пол-
ная кривима которых не равна по тоянниму, то линии, на которых гауссова
кривизна сохраняет постоянное значение, образуют на S и S' два семейства, ко-
торые по теореме Гаусса должны соответствовать друг другу при рассматриваемом
преобразовании. В частности, если S и S'— два геликоида, то линии, вдоль ко-
торых полная кривизна равна постоянной, суть, очевидно, винтовые линии, и
поэтому формулы § 248 дают все геликоиды, налагающиеся па данный геликоид,
если его гауссова кривизна не постоянна.
252. Конформное преобразование. Рассмотрим теперь соответствие
между точками двух поверхностей, при котором сохраняются углы.
Пусть (х, у, z) — прямо-
угольные координаты то-
чек некоторой поверх-
ности 5, и (х', у', г') —
прямоугольные координа-
ты соответствующих точек
поверхности А'. Предпо-
ложим, что х, у, z, х',
у', z' выражены в функ-
Черт. 42.
цни двух переменных параметров и, v таким образом, что со-
ответствующие точки обеих поверхностей определяются одной и той же
системой величин параметров и, v. Пусть будут С и D две кривые иа
поверхности А, проходящие через точку т этой поверхности, С и [У—
соответствующие кривые поверхности S', проходящие через точку т'
(черт. 42). Вдоль кривой С параметры являются функциями одного пе-
ременного /. обозначим их диференциалы через du и dv, точно так же
и и v являются вдоль D функциями другого переменного их дифе-
ренциалы мы обозначим через Ъи и Sv. Вообще, мы будем обозначать
буквами d и § диференциалы, относящиеся к перемещению точки, со-
ответственно, вдоль С или D.
Параметры направления касательной к кривой С суть:
, I <’-r J J Ъу J \ дУ J J йг , . dz
djc= — du-\- — dv, d\/= du3-----------dv, dz = — du 4- — i,v,
du Av dV du dV
и соответственно, для кривой D'.
5, dx J, . dx J, . dy . . dy J, . dz . dz ,
ox — — ou 4- — ov, оу—— om-|-------ov, oz — -- ou 4- — ov.
dU ' du dU dV du dv
Пусть будет (о угол между касательными кривых С и D; cos со выра-
зится формулой:
dx Sx 4- dy Sv 4- dz Sz
COS (0 = —. . , - — ,
V dx2 dy2 -f- dz2 у Sx2 Sj»2 oz2
которая, если ввести коэфициенты Е, F, G, примет вид:
Е du ои 4- F(du Sv 4 dvbu) 4- G dv Sv
COS Ct) = —,_ ______________________________________. (72)
V Edu2 -|- 2Fdu dv -(- Gdv2 у E S«2 2Ftiu Sv -|- 0 Sv2
Точно так же, если ш' — угол между касательными к кривым С и Df, го
, Е' du ои 4- F' (du Sv 4- S« dv) 4- G' dv Ъи _ov
)/E'du2 2F'du dv -|- G'dv2)/£'S«2 -|- 2F'bu Sv G'cv2
Если при рассматриваемом преобразовании не изменяются величины
углов, то cos со = cos ш' при каких угодно а и, dv, S«, Sv; cos2» и cos2 co'
, „ Sv dv
суть рациональные функции отношений , которые должны быть
равны при всех значениях этих величин. Для этого необходимо, чтобы
соответствующие коэфициенты обеих дробей (72) и (73) были про-
порциональны, т. е. чтобы было
где X—некоторая функция параметров и, v, эти условия, очевидно, и
достаточны, так как cos со, например, есть однородная функция нулевой
степени от Е, F, G.
Условия (74) могут быть заменены одним: ds'2 — \2ds2, или
которое выражает, что отношение двух бесконечно малых соответству-.
ющих друг другу дуг стремится к пределу, независимому от du и dv.
Этот результат можно получить непосредственно. В самом деле,
возьмем на первой поверхности бесконечно малый- треугольник abc,
пусть будет а'Л'с' соответствующий ему треугольник второй поверхности.
Заменим эти два криволинейных треугольника прямолинейными; так как
a'b' а'с' b'c'
отношения —- , — , —— стремятся к одному пределу X («, v), эти
(LC de
треугольники подобны, и следовательно, в пределе соответствующие углы
будут-равны.
Соответствующие бесконечно малые фигуры двух поверхностей S и
S' могут быть рассматриваемы как подобные, так как они имеют про-
порциональные дуги и равные углы; такого рода преобразование, со-
храняющее подобие в бесконечно малых частях, называется конформным
отображением.
В частности, если X = 1, сохраняются не только углы, но и длины
дуг, т. _е. рассматриваемое преобразование будет изгибанием, которое
является, таким образом, частным случаем более общего конформного
преобразования.
Если даны две поверхности S и 4 и между ними установлено не-
которое точечное соответствие, то всегда можно узнать, удовлетворя-
ются ли при этом условия (74), т. е. будет ли это соответствие кон-
формным. Но можно решать и другие задачи; например, даны две по-
верхности S и S', определить все соответствия между точками этих
поверхностей, при которых сохраняются углы.
Предположим, что координаты (х, у, г) точек поверхности -S выра-
жены в функции двух параметров (и, v), и координаты (х\ у', z') точек
поверхности № — в функции двух других параметров (и', v'). Пусть будут
ds* = Е du2 4- 2Fdu dv -f- Gdv*, ds'* = E'du'* + ‘IF'du'dv 4 G'dv'*
выражения квадратов соответствующих линейных элементов. Предложен-
ная задача может быть поставлена в следующей форме: найти две
функции «' = П1(«, v) и v' — II, (и, v) так, чтобы тождественно
выполнялось соотношение:
Е' </Ц2 + 2F dllj dll2 4- G'dll* X2 (Е du* 4- 2Fdu dv 4- Gdv*),
где X—неопределенная функция переменных и, v.
Из общей теории диференциальных уравнений следует, что эта за-
дача всегда допускает бесконечное множество решений. Мы приведем
доказательство только для одного частного случая.
25}. Конформное соответствие между плоскостями. Всякое соответ-
ствие между точками двух плоскостей определяется формулами:
Х—Р(х,у), Y=Q(x,y), (76)
где (X, У) и (х, у) — прямоугольные координаты их точек. Цо преды-
дущему, чтобы это преобразование было конформным, необходимо и
достаточно, чтобы удовлетворялось равенство:
dX* 4- dР = X2 (dx* 4- dy*),
15 3. Турса, т- 1,ч. 2.
где ). есть некоторая функция от х, у, не зависящая от диференциалов.
Развертывая диференциалы dX, dY и отождествляя обе части, найдем,
что функции Р(х, у) и Q(x,y) должны удовлетворять двум уравнениям:
\дх/ ' \ дх ) ~ \ ду I ' \ йу / ’ дх ду ' ЙХ ду
(77)
Частные производные —-, - не могут одновременно равняться нулю,
йу й_у
ЙС? ЙР п
так как из первого соотношения (77) тогда получится:— — — О, и
оХ оХ
функции Р и Q будут постоянными. Поэтому на основании второго
условия можно написать:
йр__ й<? йд_ й£>
йх ИЙУ ’ ЙХ ^йу ’
где ji—вспомогательное неизвестное. Вводя эти величины в первое со-
отношение (77), получим:
(ji2-l)
ду) ~ \ЙУ / J
откуда ji = + 1. Функции Р и Q должны, следовательно, удовлетворять
одной из двух систем соотношений:
др _ <Е? ]
ЙХ ду ’
дР _dQ <78>
Й.У ~ йх ’ I
дР йс? )
- - - — I
ЙХ ду ’
ЙР _ iQ <78')
дУ ~ ЙХ ’ |
из которых вторая обращается в первую при замене Q на —Q.
Преобразования (существующие в бесконечном числе), определяемые
формулами (78) и (78'), называются также изогональными преобразо-
ваниями плоскости. Они тесно связаны с теорией функций комплекс-
ного переменного (см. II том, часть 1).
254. Географические карты. Построить карту какой-нибудь поверх-
ности значит установить соответствие ее точек с точками плоскости
так, чтобы соответствующие углы при этом были равны. Предположим,
что координаты точек рассматриваемой поверхности выражены в функ-
ции двух переменных параметров (и, v), и пусть
ds2 = EdiP-\- 2F du dv -f- G dv2
— квадрат ее линейного элемента. Пусть будут, далее, (д,’р) прямо-
угольные координаты точек некоторой плоскости Р, соответствующих
точкам (и, v) поверхности. Вопрос сводится к разысканию двух функций
и~-пг(а, ₽), к = 7т2(а, р)’
так, чтобы имело место тождество:
Е du2 -j- 2Д du dv -ф G dv2 = X2 (da2 -|“ d$2)>
где X — некоторая функция a, p, не содержащая диференциалов. Эта
задача допускает бесконечное множество решений, которые все могут
быть сведены к одному при помощи конформного соответствия между
двумя плоскостями. В самом деле, предположим, что одновременно:
ds2 = l(da2 -ф^2), ds2 = 1'(da'2 -ф- dp2),
тогда
da2 ф d^2 = ^~ (da'2 ф dp2),
г.
и следовательно, одно преобразование сводится к другому при помощи
изогонального преобразования плоскости.
Примеры. 1. Проекция Меркатора. Всегда можно построить карту поверх-
ности вращения так, чтобы меридианам и параллелям соответствовали прямые
параллельные осям координат.
Пусть будут
х — р cos со, у = р sin ю, z=f (?)
координаты точек поверхности вращения с осью Oz, Тогда линейный элемент
г . 1 J_ f’i (о) т
ds2 = dp [1 + f'i (Р'] + р2 dco2 = р2 | dco2 + - Т 'а dp2j
может быть записан в виде:
ds2 = р2 [dX2 +
если положить: _____
х=«>,
В случае сферы радиуса 7? можно выразить координаты формулами:
х = R sin 9 cos -с, у = R sin 9 sin ср, z = R cos 9,
I d92 \
ds2 — R2 (d92 4- sin2 9 d?2) — Ri sin29 dp4- —j,
и мы полагаем:
Полученная проекция называется проекцией Меркатора; в ней меридианам сферы
соответствуют прямые, параллельные оси ОУ, а параллелям — отрезки прямых,
параллельных ОХ. Чтобы отобразить всю поверхность сферы, нужно изменять ?
от 0 до 21с и 9 от 0 до к; X изменяется тогда от 0 до 2п и У от — оо до 4- оо.
Карта имеет вид бесконечной полосы ширины 2к.
Кривые на сфере, пересекающие меридианы под постоянным углом, назы-
ваются локсодромами и отображаются на плоскость в виде прямых линий.
2. Стереографическая проекция. Линейный элемент сферы можно написать
еще в форме:
9 / /?2d92 \ в
ds2 = 4 cos4 -у /----f- R2 tg2 yd?2,
\4cos4 у J 2
или
0
ds2 = 4 cos4 -j (dp2 4- ?2 dco2),
если положить
О
Р — R tg “ = ?
Но rfp2 + р2 dufi представляет квадрат линейного элемента плоскости, отнесенной
к полярным координатам (р, со). Для установления конформного отображения
сферы иа плоскость достаточно, следовательно, поставить в соответствие точкам
(О, ср) сферы точки плоскости с полярными координатами (р, со). Легко видеть, что р
и со суть координаты стереографической проекции точек (6, <р) сферы на эквато-
риальную плоскость из полюса.
3. Карта тора. Рассмотрим тор, образованный вращением окружности ра-
диуса R вокруг оси, лежащей в ее плоскости па расстоянии а от центра (мы
предположим а ~> R\ Выберем ось вращения за ось z, плоскость, содержащую
центры вращающейся окружности, за плоскость х, у. Тогда координаты точек по-
верхности тора определятся формулами:
х = (а + R cos 0) cos <р, у ~ (а R cos 0) sin <р, z - R sin 0
причем в и <p изменяются от — г. до -(-г. Отсюда:
ds' — (а + R cos 0)2 [с'<р-2I .
| г (а -ф R cos в)2 ]
Чтобы получить карту поверхности, положим:
О
ГДе Через е обозначено отношение —, меньшее единицы. Точкам поверхности
тора соответствуют, таким образом, точки прямоугольника, стороны которого
равны и —._______ .
j/1 — ei
УПРАЖНЕНИЯ.
1. Найти Линии кривизны развертывающейся поверхности—огибающей семей-
ства Плоскостей, представляемых в прямоуюльиых ксордипатах уравнением:
Z = ах 4- >На) +- R j/1 + «2 + f2 (о),
где а — переменный параметр, в (а)—произвольная функция этого параметра, и
R—данное постоянное.
2. Найти, при каких условиях прямая х = az а, у = bz + где a,-b а, р —
функции некоторого переменного параметра, образует развертывающуюся по-
верхность, у которой линии кривизны, перпендикулярные к образующим, распо-
ложены на концентрических сферах.
- . 3. Найти линии кривизны поверхности, представляем й в прямоугольных
координатах \ равнением: ez = cos х cos у.
4. Рассмотрим трехосный эллипсоид, представляемый в прямоугольных коор-
динатах уравнением:
S + + -1 = 0'
и сечение Е этого эллипсоида плоскостью xOz. Требуется найти для каждой
точки М эллипса Е: 1) выражения главных радиусов кривизны /?4, R^ эллипсоида;
2) соотношение между R{ и /?3; 3) место центров кривизны главных сечений,
когда точка М перемещается по эллипсу Е.
5. Составить уравнение второй степени, определяющее главные радиусы
кривизны для каждой точки параболоида, представляемого в прямоугольных ко-
ординатах уравнением:
-+?=&.
а b
и выразить в функции переменного z главные радиусы кривизны в каждой точке
линии пересечения предыдущего параболоида с параболоидом
6. Найти место центров кривизны главных сечений параболоида xy=az для
различных точек оси Ох.
7. Найти уравнение поверхности, представляющей место центров кривизны
сечений данной поверхности S плоскостями, проходящими через данную точку М
этой поверхности.
8. Пусть будет МТ касательная прямая в точке М к данной поверхности
второго порядка, О — центр кривизны сечения этой поверхности какою-нибудь
плоскостью, проходящею через МТ, и О’ — центр кривизны развертки этого се-
чения. Найти место точек О', когда секущая плоскость вращается вокруг МТ.
9. Найти асимптотические линии тора, образованного вращением круга во-
круг одной из его касательных.
10. Пусть будет С данная кривая в плоскости гОх прямоугольной системы
координат. Рассмотрим поверхность, образованную окружностью, плоскость кото-
рой остается параллельною плоскости хОу, центр которой описывает кривую С,
а радиус изменяется таким образом, что окружность постоянно пересекается
с осью Oz. Составить диференциальное уравнение асимптотических линий этой
поверхности, принимая за независимые переменные координату z какой-нибудь
ее точки и угол 9 между радиусом окружности, проходящим через эту точку, и
линией пересечения плоскости окружности с плоскостью гОх. Применить полу-
ченные выводы к случаю, когда кривая С есть парабола, вершиною которой слу-
жит точка О, а осью — ось Ох.
11. Линейчатая поверхность касается другой линейчатой поверхности во всех
точках прямолинейной образующей Д этой последней поверхности; кроме того,
все образующие первой поверхности пересекаются с прямою Д. Найти асимпто-
тические линии первой линейчатой поверхности.
12. Найти на прямом геликоиде такие линии, в каждой точке которых сопри-
касающаяся плоскость проходит через нормаль к поверхности в этой точке.
13. Найти асимптотические линии линейчатой поверхности, представляемой
уравнениями:
X — (1 -|- w)cosz>, у=(1—и) sin w,
14*. Доказать, что сечения поверхности- S плоскостями, проходящими через
прямую Д, и линии прикосновения конусов, описанных около поверхности S и
имеющих вершины в точках прямой Д, образуют на поверхности S сопряженную
сеть.
[Кениге (Koenigs).]
15*. Если неизменяемая прямая движется таким образом, что три ее точки
остаются соответственно в трех взаимно перпендикулярных плоскостях, то эта
прямая остается постоянно нормальною к некоторому семейству параллельных
поверхностей. Одна из этих поверхностей есть геометрическое место середины
отрезка этой прямой между точкою ее пересечения с одною из плоскостей коор-
динат и основанием перпендикуляра, опущенного на эту прямую из начала ко-
ординат. -
[Дарбу, Comptes rendus, т. ХСП, стр. 446, 1881.]
16*. На всякой поверхности есть мнимая линия кривизны, представляющая
геометрическое место точек, для которых 1 + р'2 + q2 = 0.
15**
Для доказательства этого предложения нужно показать, что диференциальное
уравнение линий кривизны может быть представлено в виде:
(dp dy — dq dx) (1 + p3 -b q3) + (pdy — q dx} (p dp + q dq) = 0.
[Дарбу, Annales de Г Ecole Normale, 1884.]
17*. Формула Ла-герра (Laguerre). Пусть будетЗ F (x, у, z) = 0 уравнение по-
верхности S; когда точка (х, v,.z) описывает кривую Г на этой поверхности, то
диференциалы первых трех порядков удовлетворяют трем соотношениям (§ 24):
— dx -|---d > -j---dz — 0, (])
йх dy dz
др дЕ йГ „ ,дЕ , й.р dF \(2)
— d*x + — d3y + — d*z + / — dx + — dy + - - dz ) =0, (2)
OX oy OZ \ ox oy oZ '
— d3x -|- — d3y + ^-d3z -|-3d ( — \ d3x + 3d / — \ diy -J- 3d ( — \d*z -]-
ЙХ dy OZ \ dx ' \ dy / \ dz '
+ (j-dx + ^dy + ^rfzV3>==0, (3)
V dx dy dz '
из которых первое выражает, что существует касательная плоскость, а второе
эквивалентно теореме Меиье. Чтобы дать геометрическое истолкование третьему,
dF dF dF ,
мы можем заменить в нем — , —, — направляющими косинусами *, у, v нор-
dx dy dz
мали. В самом деле, мы имеем:
й/7 dF „ dF „
— = ш, — = рп, — = VH,
дх ду dz
где мы положили ______________________
принимая во внимание соотношение (2) можно написать уравнение (3) так:
К d3x + р d3y + v d3z -J- 3 [dl d2x + dp d*y dv d*z] = Ф (x, y, z, dx, dy, dz)\
Ф есть кубическая форма от dx, dy, dz, с коэфициентами, зависящими от x,
у, z. Разделив на ds3, заключаем отсюда, что выражение
, d3x , d3v , d3z , ,,|dld2x , , dv rf2zl
X-----рц----pv-----рз--------p-------1-------
ds3 ds3 \dsds3 dsds3 ds
сохраняет одно и то же зн чение в точке поверхности для кривых, лежащих на
поверхности и касающихся друг друга в этой точке; этот результат можно
было бы также получить, диференцируя формулу (7) § 233 и принимая во вни-
мание выражения для D, D', D".
d^x d^v
Заменим теперь их выражениями по формулам Френе (§ 222).
Предыдущее выражение примет вид:
где через 0 обозначен угол между нормалью к поверхности и главною нормалью
кривой. С другой стороны, диференцируя соотношение
cos 0 = Ха' + pf' + v-f',
получаем:
. dfl ,<А
— sin О — = 1 ,
ds ds
с [едовательно,
, du , dv
ds г'' ds
dv . „
— — sin О
ds
2 _ \
Т ds ' '
Заменяя
я'
dk ,, du , dv
~ds^ ds^ ds
этим выражением, мы видим, что выражение
„ 1 1R fi ,
cos0-
sin 0 / 2 „ dfl \
R~ \T~6dF)
имеет одно и то же значение дли всех кривых, лежащих на поверхности и
касающихся друг друга в одной точке. (jlarpnn'i
18*. Формула Эннепера (Епперег). Кручение асимптотической линии дается-
формулой: ___
где R и R’ — главные радиусы кривизны.
Указание. Для доказательства достаточно применить к асимптотической
линии формулу Френе:
da" _ V
ds Т
и заметить, что бинормаль совпадает с нормалью к поверхности. Для облегчения
вычислений следует взять точку поверхности за начало координат, касательную
плоскость за плоскость ху, касательную к асимптотической линии за ось у.
Можно вывести формулу Эннепера также из формулы (51bis) (§ 245).
19*. Формула Бельтрами (Beltrami). Пусть будет р0 радиус кривизны асимп-
тотической линии, р — радиус кривизны той ветви кривой, получаемой пере-
сечением поверхности с касательной плоскостью, которая касается асимптоты;
эти величины связаны соотношением:
3
Р = ^Ро-
Указание. Если поверхность представлена уравнением:
z — 2Ьху + О'2 + Ах3 + ЗВх^у
то кривая, являющаяся пересечением поверхности и плоскости z = 0, имеет
ветвь, касающуюся оси х, уравнение которой есть:
в начале координат мы имеем:
У=о, у"=4-
С другой стороны, значение У' в начале для асимптотической линии легко
получается из диференциального уравнения этих линий:
(6Лх+ ... ) + (46+ ... )/-|- (2с + .. )У«х=0.
[Beltrami, Nouveltes Annates de Mathematiqucs, 2-e serie, (. IV, стр. 258, 1865.J
(Цифры в указателе соответствуют номерам страниц)
Абель (Abel) 26, 55, 56, 57, 58
Абеля теорема 26, 55, 56, 57, 58
Абсолютно сходящийся ряд 23, 28
— сходящиеся произведения 39, 40
Адамар (Hadamard) 56
Алгебраический комплекс 177
Аналитическая кривая 89
— поверхность 93
— функция 87
Аналитическое продолжение 64
Антикаустика 177
Аппель (Appell) 179
Арнд (Arndt) 34.
Apo (Haro) 110
Асимптотические касательные 191
— линии 194, 196, 197
Балитран (Balitrand) 180
Бесконечные произведения 38
Бельтрами (Beltrami) з31
Бернулли Даниил (Daniel Bernoulli) 18,
165, 166
Бернштейн С. Н. 88
Бинормаль 154
Боннэ (Bonnet) 209, 210, 217
Борда (Borda) ПО
Буке (Bouquet) 160, 172
Бур 217
Бура теорема 217
Вейерштрасс (Weierstrass) 83, 108
Вейерштрасса теорема 108, 111
Винтовая линия 164, 216
----- круговая 148
Вторичная каустика 118, 177
Выпуклая поверхность 186
Гармонический ряд 52
Гаусса теорема 222
Гауссова кривизна 213
Геликоид 196, 202, 206, 216
Географические карты 226
Геодезическая кривизна 220
Геодезические линии 220
Геодезическое кручение 209
Гиперболоид 208
Гипоциклоида 117
Главная нормаль 151
Главные радиусы кривизны 189,191, 206
— радиусы кривизны геликоида 206
— касательные 191
— направления 191
— нормальные сечения 189
Горловая линия 171
Даламбер (d’Alembert) 11
Дарбу (Daiboux) 142, 181, 208, 229
Двойная точка 91
Действительные бесконечные произве-
дения 42
Диференциальное уравнение разверты-
вающихся поверхностей 123
Дополнительная кривая 180
Дуга правильная 89
Дюбуа-Реймон (du Bois Reymond) 19
Дюгамель (Duhamel) 19
Дюпен (Dupin) 176, 207
Дюпена теорема 207, 210
Естественное уравнение 160, 161
Жаме (Jamet) 196
Жергонн (Gergonne) 176
Жордан (Jordan) 37
Изолированные точки кривой 93
Индикатриса 189
— сферическая 148
Интегрирование целого ряда 60
Иоахимсталь (loachimsthal) 207
Иоахимсталя теорема 205, 210
Касательная плоскость в бесконечно
удаленной точке образующей 169
Касательная стационарная 146
Касательные асимптотические 191
— главные 191
*) Подробный указатель ко всему «Курсу математического анализа" Э. Гурса
будет дан в конце III тома.
Касательные сопряженные 198
Каустики вторичные 118, 177
Кениге (Koenigs) 229
Кеплер (Kepler) 87
Кетле (Quetelet) 176
Комплекс (прямых) 168, 177
— алгебраический 177
— линейный 178
Конгруэнция (прямых) 168, 172
— линейная 174
— нормалей 174
Коноид 196, 197
Конус направляющий 148
Конформное преобразование 223
— соответствие между пло-
скостями 225
Коши (Cauchy) 13, 14, 25, 36, 56, 70, 81,
176, 180
Коши теорема 14, 36, 44, 49
Кривые аналитические 89
— - Бертрана 166, 180
— двойной кривизны 143 и сл.
— дополнительные 180
— комплекса 177
— левые 156
— огибаемые 112
— огибающие 112
— плоские 90
— правые 156
— присоединенные 180
— развертывающие 118, 162
— соприкасающиеся 131, 132, 137
— спрямляемые 164
Кривизна кривых на поверхности 182
— полная 222
Круговая винтовая линия 148
Круг кривизны 132, 151
Кручение 153, 154
Лагерр (Laguerre) 229, 231
Лагранж (Lagrange) 48, 85, 86, 129, 169
Ланкре (Lancret) 221
Лаплас (Laplace) 85
Лебег'(Lebesgue) 108, 111, 218
Левая кривая 156
Лежандр (Legendre) 73
Лежен-Дирихле (Lejeune-Dirichlet) 25,
97
Лемзр (Lemaire) 73
Лепная поверхность 212
Линейная конгруэнция 174
Линейный комплекс 178
Линейчатая поверхность 168, 212
Линия винтовая 164, 216
— горловая 171
— кривизны 200, 206, 209, 210
— сжатия 171
Лион (Lyon) 166
Логарифмические признаки сходи-
мости 17
Локсодромы 227
Мажоранта 65, 78
Маклорен (Maclaurin) 47
Малюс (Malus) 176.
Малюса теорема 176
Мангейм (Mannheim) 180, 211
Менье (Meusnier) 182
Менье теорема 182, 185, 210
Мертенс (Mertens) 29
Меркатора проекция 227
Монж (Monge) 166, 208
Наибольший из пределов 13, 56
Налагающиеся поверхности 214
Неявная функция 80
Нормаль главная 151
Область сходимости 54, 55, 73
Обращение рядов 87
— функций 87
Обыкновенная точка кривой 89, 94
---поверхности 93, 94
Огибаемая кривая 112
— прямая 116
Огибающая кривая 112
— прямой линии 116
— окружности 117
— семейства кривых двойной кри-
визны 124
— поверхность 119
— сферы 211
Окружность соприкасающаяся 132, 138
Омбиликальная точка 192
Определитель бесконечного порядка 45
Ортогональные функции 107
Основной трехгранный угол 155
Основные квадратичные формы 187,
188
Особая точка кривой 89
---поверхности 192, 193
Остаточный член в формуле Тейлора
по Коши 50
— по Лагранжу 48
Параболическая точка 186, 192
Параболоид 203, 208
Параметр распределения 170
Пеано (Peano) 146
(Телле "(Pellet) 180
Пикар (Picard) 179
Плоские кривые 90
Плоскость касательная 169
— соприкасающаяся 122, 123, 143
— фокальная 174
— центральная 170
Поверхности аналитические 93
— выпуклые 186
— Жаме 196
— лепные 212
— линейчатые 168, 212
— переноса 200
— полярные 153, 162
Поверхности развертывающиеся 121
— соприкасающиеся 140
— трубчатые 176, 211
— фокальные 172
Подстановка ряда в ряд 67, 79
Полиномы Лежандра 73, 107
Полусходящиеся ряды 25
Полюсы комплекса 178
Полярная поверхность 153,162
— прямая 153
Порядок прикосновения кривых двой-
ной кривизны 136
— кривой с поверхностью 139
— плоских кривых 129
Правая кривая 156
Правильная дуга 89
— точка 97
Призматоид 78
Признаки сходимости рядов:
--- Гаусса 22 — 23
--- Даламбера 11
---Дюгамеля 19
.— — Коши 11
— — логарифмические 17
--- Раабе 19
Прикосновение кривых двойной кри-
визны 134
— плоских кривых 127
— кривых с поверхностью 138
Прингсгейм (Piingsheim) 19, 44
Присоединенная кривая 180
Прямой геликоид 217
Прямые огибаемые 116
— полярные 153
— сопри асающиеся с кривой 132, 137
— — с поверхностью 140
Пуанкаре (Poincare) 65
Пюизе (Puiseux) 166
Раабе (Raabe) 19
Равномерная сходимость 37
Равномерно сходящиеся произведе-
ния 41
Радиус кривизны кривой двойной кри-
визны 150
Радиусы кривизны главные 189
Радиус кручения 154
Развертки кривой двойной кривизны
162
— плоской кривой 118
— поверхности 203
Развертывающая кривая 118, 162
Развертывающиеся поверхности 121
Разложение в ряды Непрерывной фун-
кции 108
Распространение формулы Тейлора 63
Ребро возврата 122
Риман (Riemann) 25
Родриг Олинд (Olinde Rodrigues) 205
Рукэ (Rouquet) 179
Ряд Борда 110
Ряд Гаро ПО
Ряды абсолютно сходящиеся 23, 28
— двойные 30
— знакопеременные 23
— знакоположительные 10, 11, 12
— кратные 35, 37
— полусходящиеся 25
— равномерно сходящиеся 37
— . с мнимыми членами 28
— Тейлора 47
— тригонометрические 95 и сл.
— условно сходящиеся 25
— Фурье 95, 96
— целые 54, 56, 73, 75
Сеть сопряженная 199
Серре (Serret) 180
Соприкасающаяся окружность 132, 138
— плоскость 122,123,143
— поверхность 140
— прямая 132,137
— сфера 140, 167
Соприкасающиеся кривые 131, 132, 137
— прямые с поверхностью 140
Соприкасающийся круг 132, 138
— шар 140,167
Сопряженная сеть 199
— касательная 198
Сопряженные линии 198
— прямые комплекса 178
Спрямляемая кривая 164
Спрямляющая плоскость 221
Стационарная касательная 146
— соприкасающаяся плоскость 145
Стереографическая проекция 227
Сфера соприкасающаяся 140,167
Сферическая индикатриса 148
Сферическое изображение 213
Сходимость абсолютная 23, 28
— равномерная 37
Сходимости область 54, 55, 73
Сходящиеся произведения 41
Таблица с двойным входом 31
Таннери (Tannery) 35
Тор 176, 211, 214, 228
Точки возврата 93
— гиперболические 186
— двойные 91
— округления 192
— особые 186
— параболические 186, 192
— правильные 97
— фокальные 173
— центральные 170, 171
— эллиптические 186
Тригонометрические ряды 95 и сл.
Тройная ортогональная система 207
Трубчатые поверхности 176, 211
Умножение рядов 29, 57
Уравнение диференциальное развер-
тывающихся поверхностей 123
— естественное 160, 161
— Кеплера 87
— огибающей 113
Усиливающие функции 65, 78
Условия Дирихле 97, 106
Фокальная плоскость 174
— поверхность 172
— точка 173
Фокусы комплекса 178
Формула Бельтрами 231
— Лагерра 229
— Лагранжа" 86
— Маклорена 47, 49
— Родри га 205, 213
— Тейлора 47, 63, 776
— Френе 157, 158
— Эйлера 190, 210
— Эннепера 231
Френе (Frenet) 157
Функция с ограниченным изменением
106, 107
— удовлетворяющая условиям Дири-
хле 103
— усиливающая 78
Фурье (Fourier) -95
Характеристика 119
Центральная плоскость 170
— точка 170, 171
Центры кривизны кривой двойной кри-
визны 151
— — кривой плоской 151
Циклида Дюпена 211
Целче ряды с многими переменными
73, 75
-----с одним переменным 54 и сл.
Чезаро (Cesaro) 180
Шар соприкасающийся 140, 167
Шелль (Shell) 180
Эвольвента 118, 162
Эволюта 118, 162
Эллипсоид 208
Эннепер (Eunleper) 231
Эйлерово постоянное 52
Эйлер (Euler) 95, 185, 189
Эйлера теорема 189