Автор: Птащенко О. О.
Теги: фізика підручник для внз електроніка квантова механіка квантова електроніка видавництво астропринт
Год: 2010
Текст
О. О. Птащенко
ОСНОВИ КВАНТОВОЇ
ЕЛЕКТРОНІКИ
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
Одеський національний університет імені І. І. Мечникова
О. О. ПТАЩЕНКО
ОСНОВИ
КВАНТОВОЇ ЕЛЕКТРОНІКИ
Навчальний посібник
для студентів
вищих навчальних закладів
Одеса
«Астропринт»
20 1 0
УДК 621.375.8(075)
П87
ББК 32.86я73
Рецензенти: В. А. Мокрицький, д-р техн. наук, професор Одесь-
кого національного політехнічного університету;
€. О. Тихонов, д-р фіз.-мат. наук, професор, голов-
ний науковий співробітник Інституту фізики НАН
України;
І. В. Фекешгазі, д-р фіз.-мат. наук, професор, заві-
дувач структурної НДЛ нелінійних оптичних систем
Інституту фізики напівпровідників імені В. Є. Лаш-
карьова НАН України
Рекомендовано Міністерством освіти і науки України
як навчальний посібник для студентів вищих навчальних
закладів. (Лист № 1/11—7314 від 04.08.2010 р.)
О. О. Птащенко
П87 Основи квантової електроніки : навчальний посібник. —
Одеса : Астропринт, 2010. — 392 с.
І8ВМ 978—966—190—284—7.
Навчальний посібник призначений для студентів, що вивчають
курси «Квантова електроніка», «Лазерна фізика», «Квантова елект-
роніка і нелінійна оптика», «Квантова електроніка і оптоелектроні-
ка». Книга знайомить з основними поняттями та ідеями квантової
електроніки, дає уявлення про роботу лазерів та квантових приладів
радіодіапазону, про нелінійні оптичні явища, в тому числі про само-
організацію хвильових пакетів, а також про методи отримання фем-
тосекундних лазерних імпульсів. Розділи, присвячені лазерному на-
гріванню речовини, лазерному термоядерному синтезу та лазерному
охолодженню атомів, можна використовувати при вивченні курсу
«Проблеми сучасної фізики». В додатку подано короткий українсько-
російсько-англійський словник термінів квантової електроніки, який
можна використовувати у науковій роботі студентів та аспірантів.
УДК 621.375.8(075)
ББК 32.86я73
І8ВМ 978—966—190—284—7
© О. О. Птащенко, 2010
ЗМІСТ
Вступ....................................................9
1. ПОГЛИНАННЯ І ВИПРОМІНЮВАННЯ ЕЛЕКТРОМАГНІТНИХ
ХВИЛЬ РЕЧОВИНОЮ
1.1. Квантові характеристики електромагнітного випромінювання
та речовини........................................................12
1.1.1. Основні характеристики електромагнітного випромінювання ..12
1.1.2. Основні квантові характеристики речовини .................15
1.2. Поглинання і випромінювання електромагнітних хвиль речовиною ... 16
1.2.1. Поглинання електромагнітних хвиль.........................17
1.2.1.1. Переходи під дією монохроматичного випромінювання.....20
1.2.1.2. Переходи під дією немонохроматичного випромінювання...22
1.2.2. Спонтанне випромінювання..................................23
1.2.3. Вимушене випромінювання...................................24
1.3. Зв’язок між коефіцієнтами Ейнштейна...........................25
1.4. Підсилення електромагнітних хвиль.............................28
1.4.1. Інверсна населеність робочих рівнів.......................29
1.4.2. Поняття про від’ємну температуру..........................32
1.4.3. Максимально можливе значення коефіцієнта підсилення у да-
ному активному середовищі.......................................33
1.5. Форма спектральної лінії квантових систем.....................34
1.5.1. Лоренцова форма спектральної лінії........................35
1.5.2. Неоднорідне розширення спектральної лінії.................38
1.5.3. Гауссова форма спектральної лінії. Допплерівське розширення
лінії...........................................................40
1.6. Вплив ефекту насичення на поглинання і квантове підсилення
електромагнітних хвиль у активному середовищі......................43
1.6.1. Ефект насичення у дворівневій системі з однорідно розшире-
ною спектральною лінією.........................................43
1.6.1.1. Насичення при поглинанні резонансного випромінювання..46
1.6.1.2. Насичення при квантовому підсиленні резонансного випро-
мінювання .....................................................48
1.6.2. Вигорання дірок у спектрах поглинання і квантового підсилен-
ня систем з неоднорідно розширеною лінією.......................51
З
Задачі до розділу 1.............................................55
Контрольні запитання до розділу 1...............................56
2. РЕЗОНАТОРИ В КВАНТОВІЙ ЕЛЕКТРОНІЦІ
2.1. Моди резонатора...............................................58
2.1.1. Моди резонатора у вигляді прямокутної порожнини ..........59
2.2. Відкриті резонатори...........................................64
2.2.1. Моди резонатора Фабрі—Перо з плоскими дзеркалами..........66
2.3. Резонатори зі сферичними дзеркалами...........................69
2.3.1. Поширення гауссового пучка випромінювання.................69
2.3.2. Стійкі та нестійкі резонатори.............................73
2.3.3. Моди резонаторів зі сферичними дзеркалами.................78
2.3.4. Розподіл випромінювання на дзеркалах резонатора...........80
2.3.5. Кутова розбіжність випромінювання лазерів.................81
2.4. Інші резонатори...............................................84
2.4.1. Моди щілинного резонатора................................84
2.4.2. Моди об’ємного резонатора НВЧ-діапазону...................84
2.4.3. Моди оптичного волокна....................................87
2.4.4. Волоконні резонатори......................................91
2.5. Добротність резонаторів.......................................93
2.5.1. Зв’язок добротності оптичного резонатора з коефіцієнтом втрат
за один прохід....................................................95
2.5.2. Дифракційні втрати енергії в резонаторі Фабрі—Перо........96
2.5.3. Інші механізми втрат енергії в резонаторі Фабрі—Перо......99
2.6. Резонатори і частотні характеристики генерації лазерів і мазерів.. 101
2.6.1. Затягування частоти генерації............................102
2.6.2. Багатомодова генерація лазерів...........................105
2.6.3. Селекція мод в лазерах...................................111
2.6.4. Перестроювання частоти генерації лазерів.................116
Задачі до розділу 2...............................................120
Контрольні запитання до розділу 2.................................120
3. ЛАЗЕРИ З ОПТИЧНИМ НАКАЧУВАННЯМ
3.1. Оптичне накачування як спосіб створення інверсної населеності ...122
3.2. Трирівневі системи в лазерах з оптичним накачуванням.....125
3.2.1. Рубіновий лазер......................................130
3.3. Чотирирівневі системи в лазерах з оптичним накачуванням..132
3.3.1. Неодимовий лазер.....................................135
3.4. Волоконні лазери.........................................136
4
3.5. Лазери на розчинах барвників.................................141
Задачі до розділу 3...............................................150
Контрольні запитання до розділу 3.................................151
4. РЕЖИМИ РОБОТИ ЛАЗЕРІВ
4.1. Усереднене рівняння для інтенсивності випромінювання лазера..152
4.2. Стаціонарний режим роботи лазера.............................156
4.3. Імпульсний режим вільної генерації...........................158
4.3.1. Умова існування релаксаційних коливань у режимі вільної
генерації лазера................................................161
4.4. Режим модульованої добротності..............................164
4.5. Режим синхронізації мод......................................168
Задачі до розділу 4...............................................173
Контрольні запитання до розділу 4..............................174
5. ГАЗОВІ ЛАЗЕРИ
5.1. Електричний розряд як спосіб створення інверсної населеності
у газі............................................................177
5.1.1. Непружні зіткнення частинок у газовому розряді...........179
5.1.2. Співвідношення між ймовірностями непружних зіткнень 1-го
і 2-го роду.....................................................181
5.1.3. Особливості створення інверсної населеності в однокомпонент-
них газах.......................................................184
5.1.4. Використання допоміжного газу для створення інверсної насе-
леності робочих рівнів основного газу...........................187
5.2. Гелій-неоновий лазер.........................................191
5.2.1. Механізм генерації Не—№-лазерів..........................191
5.2.2. Конструкція і параметри гелій-неонових лазерів...........193
5.3. Іонні лазери.................................................194
5.3.1. Аргоновий лазер..........................................195
5.4. Молекулярні лазери...........................................197
5.4.1. Лазери на основі молекул СО2.............................197
5.4.2. Газодинамічні лазери.....................................202
5.5. Хімічні лазери...............................................204
5.6. Ексимерні лазери.............................................206
Задачі до розділу 5...............................................208
Контрольні запитання до розділу 5.................................209
5
6. НАПІВПРОВІДНИКОВІ ЛАЗЕРИ
6.1. Енергетичний спектр і статистика електронів у напівпровідниках .. 212
6.1.1. Енергетичний спектр електронів у напівпровідниках..........212
6.1.2. Поведінка електронів і дірок у напівпровіднику.............214
6.1.3. Статистика електронів і дірок у напівпровідниках..........215
6.2. Нерівноважні електрони та дірки і квантове підсилення випромі-
нювання у напівпровідниках.........................................219
6.2.1. Квазірівні Фермі для нерівноважних електронів і дірок......219
6.2.2. Порогова умова квантового підсилення світла у напівпровід-
нику ............................................................220
6.3. Інжекційні (діодні) лазери....................................223
6.3.1. Будова і принцип дії інжекційного лазера..................223
6.3.2. Порогова умова генерації напівпровідникового лазера.......227
6.3.3. Шляхи зниження порогу генерації діодних лазерів...........229
6.4. Характеристики напівпровідникових лазерів.....................231
6.4.1. Спектр випромінювання напівпровідникового лазера..........231
6.4.2. Просторовий розподіл випромінювання діодних лазерів........236
6.4.3. Поляризація випромінювання напівпровідникових лазерів.....239
6.4.4. Інерційність напівпровідникових лазерів...................241
6.5. Напівпровідникові лазери з накачуванням електронним пучком.....243
6.5.1. Порогова енергія ударної іонізації........................245
6.5.2. Лазери з поперечним накачуванням..........................248
6.5.3. Лазери з поздовжнім накачуванням..........................249
Задачі до розділу 6................................................251
Контрольні запитання до розділу 6..................................251
7. КВАНТОВІ ПРИЛАДИ РАДІОДІАПАЗОНУ
7.1. Квантові прилади на атомних та молекулярних пучках............254
7.1.1. Тонка структура енергетичних рівнів атома.................254
7.1.2. Надтонка структура рівнів атома...........................256
7.1.3. Тонка структура рівнів молекули аміаку....................259
7.1.4. Сортування пучка атомів у неоднорідному магнітному полі....261
7.1.5. Сортування пучка молекул у неоднорідному електричному
полі.............................................................262
7.1.6. Мазер на основі пучка молекул аміаку......................264
7.1.6.1. Будова мазера.........................................264
7.1.6.2. Порогова умова генерації мазера.......................266
7.1.6.3. Максимальна потужність мазера.........................267
7.1.6.4. Частота генерації мазера..............................267
7.2. Твердотільні квантові прилади радіодіапазону..................269
7.2.1. Особливості структури рівнів домішкових іонів у кристалах ....269
7.2.2. Накачування 3-рівневої системи допоміжним випромінюванням..271
7.2.3. Квантові парамагнітні підсилювачі..........................275
7.2.4. Шуми квантових парамагнітних підсилювачів..................277
6
7.3. Лазери на вільних електронах................................279
7.3.1. Будова і принцип дії ЛВЕ................................280
7.3.2. Характеристики випромінювання ЛВЕ.......................281
Задачі до розділу 7..............................................284
Контрольні запитання до розділу 7.............................285
8. НЕЛІНІЙНІ ОПТИЧНІ ЯВИЩА У КВАНТОВІЙ ЕЛЕКТРОНІЦІ
8.1. Механізми нелінійності оптичних середовищ.....................288
8.1.1. Нелінійність коливань вільного електрона..................288
8.1.2. Тиск світла...............................................288
8.1.3. Стрикційна нелінійність...................................289
8.1.4. Нелінійність коливань молекул і атомів.................289
8.1.5. Раманівська нелінійність..................................289
8.1.6. Температурна нелінійність.................................290
8.1.7. Електрокалорична нелінійність.............................290
8.1.8. Ефект Керра...............................................291
8.2. Параметричні нелінійні явища..................................292
8.2.1. Класичний розгляд параметричних нелінійних явищ...........292
8.2.2. Параметричні багатофотонні процеси........................294
8.3. Приклад параметричного нелінійного явища: подвоєння частоти....295
8.3.1. Умова фазового синхронізму при подвоєнні частоти..........296
8.4. Параметрична генерація світла.................................298
8.5. Непараметричні багатофотонні процеси..........................303
8.5.1. Двохфотонне поглинання....................................303
8.5.2. Комбінаційне розсіяння світла.............................305
8.5.3. Лазери на вимушеному комбінаційному розсіянні світла......309
8.6. Самоорганізація хвильових пакетів.............................312
8.6.1. Самостискання хвильових пакетів...........................312
8.6.2. Солітон обвідної..........................................316
8.6.3. Ефект самофокусування.....................................317
8.6.4. Самодефокусування світла в нелінійному середовищі.........319
8.6.5. Розпливання і стискання світлових імпульсів...............320
8.7. Отримання ультракоротких оптичних імпульсів за рахунок само-
організації хвильових пакетів ......................................326
8.7.1. Пасивна синхронізація мод за рахунок просвітлення поглина-
ючого середовища.................................................327
8.7.2. Пасивна синхронізація мод за рахунок ефекту Керра..........330
8.7.3. Пасивна синхронізація мод у волоконних лазерах.............334
8.7.4. Властивості випромінювання фемтосекундних лазерів.........338
Задачі до розділу 8................................................341
Контрольні запитання до розділу 8...............................342
7
9. ЗАСТОСУВАННЯ ДОСЯГНЕНЬ КВАНТОВОЇ ЕЛЕКТРОНІКИ
9.1. Голографія..................................................344
9.2. Лазерне нагрівання речовин..................................347
9.2.1. Зворотно-гальмівний ефект...............................348
9.2.2. Поглинання електромагнітних хвиль плазмовими коливаннями ..349
9.3. Лазерний термоядерний синтез.............................351
9.4. Лазерне охолодження атомів...............................355
9.4.1. Допплерівське охолодження атомів.....................355
9.4.2. Отримання наднизьких температур .....................358
Задачі до розділу 9...........................................359
Контрольні запитання до розділу 9.............................360
ДОДАТКИ
Д1. Експериментальне визначення часу життя збудженого стану
квантової системи..........................................361
Д2. Виведення формули Планка..................................363
ДЗ. Умова квантового підсилення монохроматичних електромагнітних
хвиль......................................................367
Д4. Блок-схема установки для вимірювання спектрів поглинання
квантових систем...........................................368
Література.....................................................370
Перелік позначень..............................................373
Авторський покажчик............................................377
Предметний покажчик............................................378
Короткий українсько-російсько-англійський словник термінів
квантової електроніки..........................................384
ВСТУП
Квантова електроніка вивчає квантові явища, пов’язані
з вимушеним (стимульованим) випромінюванням, та використо-
вує їх для генерації, підсилення та перетворення когерентних
електромагнітних хвиль.
Поняття про вимушене випромінювання було введено
А. Ейнштейном у 1916 р. Вимушене випромінювання — це ви-
промінювання речовиною квантів електромагнітного поля (фо-
тонів) під дією електромагнітного поля (фотонів). При цьому
генеровані фотони мають ті ж параметри (енергію, напрям по-
ширення, поляризацію і фазу), що й первинні фотони.
Квантова електроніка зародилася у 1954 р., коли російські
фізики М. Г. Басов і О. М. Прохоров та одночасно американ-
ські вчені Дж. Гордон, Г. Цайгер і Ч. Таунс опублікували по-
відомлення про створення квантового генератора НВЧ-діапазо-
ну (мазера, від «Місплуауе АтрІіПсаІіоп Ьу ІЬе 81іти1а1ес1
Етіззіоп о( Кадіаііоп») на пучку молекул аміаку. Перший оп-
тичний квантовий генератор (ОКГ, лазер, від «Ьі^Ьі Атріі-
Псаііоп Ьу ІЬе 81іти1а1е<1 Етіззіоп о( Кадіаііоп») був ство-
рений Т. Мейманом (США) у 1960 р. на синтетичному рубіні.
У тому ж році групою А. Шавлова (США) була виявлена ко-
герентність і направленість лазерного випромінювання. З того
часу почався бурхливий розвиток квантової електроніки та її
проникнення у всі галузі науки і техніки.
За допомогою методів квантової електроніки створено су-
часні стандарти метра та секунди, досягнуто надвисоких темпе-
ратур у сотні мільйонів градусів та наднизьких температур у
діапазоні нанокельвін. Численні сучасні цивільні та військові
інформаційні технології, системи зв’язку, надточні системи на-
вігації та локації, технології обробки матеріалів, біологічні та
медичні технології, побутові прилади використовують досягнен-
ня квантової електроніки. Методи та прилади квантової елект-
роніки набули поширення у всіх галузях науки.
9
Навчальна література з квантової електроніки нечисленна
[1—5], видана давно і малими накладами. Монографії та інша
література з квантової електроніки [6—10] та лазерної техніки
[11 —14] не включають сучасних даних про механізми процесів
генерації та перетворення когерентного випромінювання, про
новітні досягнення лазерної фізики і техніки. В останні десяти-
ліття бурхливими темпами розвивається фізика лазерів на ос-
нові оптичного волокна, лазерів, що використовують нелінійні
оптичні явища, такі як параметрична генерація, вимушене ком-
бінаційне розсіяння світла, генерація гармонік високих поряд-
ків. Отримано важливі досягнення в області генерації ультра-
коротких лазерних імпульсів на межі фемтосекундного і атто-
секундного діапазонів.
Даний посібник є результатом багатолітнього викладання
автором курсів «Квантова електроніка і нелінійна оптика»,
«Квантова електроніка і оптоелектроніка», «Новітні досягнення
фізики» та «Проблеми сучасної фізики» в Одеському націо-
нальному університеті імені І. І. Мечникова українською мо-
вою. Книга знайомить читача з основними поняттями та ідеями
квантової електроніки, дає уявлення про роботу лазерів та
квантових приладів радіодіапазону, про нелінійні оптичні яви-
ща, в тому числі про самоорганізацію хвильових пакетів, а та-
кож про методи отримання фемтосекундних лазерних імпульсів.
Розділи, присвячені лазерному нагріванню речовини, лазерному
термоядерному синтезу та лазерному охолодженню атомів, да-
ють уявлення про сучасні напрямки використання досягнень
квантової електроніки.
В додатку подано короткий українсько-російсько-англійський
словник термінів квантової електроніки, розширений у порів-
нянні з першим виданням [15], апробованим у навчальному про-
цесі. Його можна використовувати у науковій роботі студентів
та аспірантів.
При підготовці посібника автор намагався використовувати
терміни, які узгоджуються з українською, російською та анг-
лійською термінологією інших галузей фізики. Так, автор не
вживає поширених серед науковців жаргонних термінів «швид-
кість переходів», «швидкість накачування», «швидкісні рівнян-
ня», які ведуть до колізій термінології, наприклад: «швидкість
зіткнення атомів (що вимірюється в см“3с-1) пропорційна до їх
відносної швидкості (що вимірюється в см“ с-1)». Замість вка-
заних термінів вживаються слова «темп переходів», «темп на-
качування», «кінетичні рівняння», які вживаються у науковій
та навчальній літературі й відповідають англійським аналогам.
10
Не вживається жаргонний термін «від’ємне поглинання елект-
ромагнітних хвиль», а використовується термін «квантове під-
силення електромагнітних хвиль», який відповідає фізиці дано-
го явища: підсиленню електромагнітних хвиль за рахунок виму-
шеної генерації квантів.
Автор глибоко вдячний академіку Михайлу Семеновичу Бро-
дину за стимулюючу увагу до написання даного посібника, ре-
цензентам Є. О. Тихонову, І. В. Фекешгазі та В. А. Мокриць-
кому, а також В. І. Михайленку та С. М. Контушу за цінні
зауваження, що сприяли покращенню змісту книги.
Автор щиро вдячний Н. М. Пастернак за неоціненну допо-
могу при підготовці рукопису.
4 ПОГЛИНАННЯ І ВИПРОМІНЮВАННЯ
1. ЕЛЕКТРОМАГНІТНИХ ХВИЛЬ
РЕЧОВИНОЮ
1.1. КВАНТОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ЕЛЕКТРОМАГНІТНОГО ВИПРОМІНЮВАННЯ
ТА РЕЧОВИНИ
1.1.1. Основні характеристики
електромагнітного випромінювання
Просторово-часове описання електромагнітних хвиль здій-
снюється за допомогою рівнянь Максвела. Рішення системи
рівнянь Максвела у однорідному середовищі можна зобразити
як суперпозицію плоских монохроматичних хвиль. Для плоскої
монохроматичної хвилі зміна електричного вектора в просторі
та за часом виражається рівністю
со8(со/ — кг + б), (1.1)
або в комплексній формі —
= І’о ехр[і(со/ — кг)], (1.2)
де г — радіус-вектор; і — час; <о = 2л/7'—циклічна частота;
Т — період коливань; к — хвильовий вектор. Його модуль
к = 2л/А.; А. — довжина хвилі. Напрям вектора к збігається
з напрямом поширення хвилі; б — початкова фаза коливань.
При цьому А — -Т, де с — швидкість світла у вакуумі, п —
п
показник заломлення середовища.^ Аналогічні рівності можна
записати для магнітного вектора Ж.
Для плоскої монохроматичної електромагнітної хвилі, при
її поширенні вздовж осі х, формулу (1.2) можна записати у ви-
гляді
12
8\х, І) = ехр 2лї( VI —
\
(1.2а)
Дві хвилі називаються когерентними, якщо різниця фаз між
ними фіксована. Для когерентності двох хвиль потрібно: а) щоб
ці дві хвилі були монохроматичні; б) щоб частоти коливань у
цих двох хвилях збігалися; в) щоб фази цих хвиль були жорст-
ко пов’язані [16]. Абсолютно монохроматичного випромінюван-
ня не існує, тому що немає абсолютно дискретних (з нескін-
ченно малою шириною) стаціонарних рівнів енергії квантових
систем. Причиною цього є принцип невизначеності, що відо-
бражається формулою
ДЕ,т, > Й,
(1-3)
де ДЕ, — ширина (невизначеність) і-го енергетичного рівня
системи; т,—час життя системи на цьому рівні; п = Н/2л.',
(і — стала Планка. Квантова система не може нескінченно дов-
го знаходитися у збудженому стані; вона з певною ймовірністю
спонтанно переходить в один із станів з меншою енергією.
Тому абсолютної когерентності не може існувати. Визначають
когерентність просторову і часову. Якщо випромінювання має
спектральну ширину Ду (що відповідає зміні довжини хвилі
ДХ), то довжиною когерентності називають таку відстань
вздовж променя, на якій хвилі з різницею довжини ДХ набува-
ють різниці фаз, яка дорівнює 2л. Тоді, якщо фотони будуть
мати всі фази від 0 до 2л, інтерференційної картини не буде,
тобто не буде когерентності хвиль.
Залежність Г(х, І) для реальної (немонохроматичної) хвилі
можна представити як суперпозицію монохроматичних хвиль у
деякому інтервалі довжин хвилі ДХ та частот Ду. Тоді різниця
фаз між хвилями, що відрізняються за довжиною на ДХ, буде
складати 2л, якщо хвилі пройдуть відстань хк, яка визначаєть-
ся виразом
х* Ду=!-
(1.4)
Тоді, за визначенням, довжина когерентності електромагнітної
хвилі
(1.5)
13
Час когерентності світлового пучка — це час, за який хвилі
з різницею частот Ду набувають різниці фаз 2л. З врахуванням
формули (1.3) це означає, що
• Д V = 1,
звідки час когерентності
(1.6)
(1-7)
Таким чином, когерентність електромагнітних хвиль обмеже-
на у просторі і в часі.
Густина енергії електромагнітної хвилі р — це енергія, роз-
рахована на одиницю об’єму. Одиниця вимірювання густини
енергії [р] = Дж/м3. Для плоскої монохроматичної хвилі гус-
тина енергії визначається формулою
Р = |(м|^Г + ИоНИ2)>
(1-8)
де є0 — електрична стала, є — діелектрична проникність сере-
довища, в якому поширюється хвиля; р0 — м_агнітна стала; ц —
магнітна проникність даного середовища; Ж — величина маг-
нітного вектора.
Як характеристика немонохроматичного випромінювання
в оптиці й радіофізиці використовується спектральна густина
енергії електромагнітних хвиль ру:
Нр
(1.9)
Таким чином, спектральна густина енергії чисельно дорівнює
густині енергії електромагнітного поля, розрахованій на оди-
ничний інтервал частот. Одиниця вимірювання даної величини
[рї]=Дж-м”3Тц"1. Тоді густина енергії немонохроматичного
випромінювання
00
р = $рї(^.
о
(1.10)
Для монохроматичного випромінювання використовується
також поняття концентрації фотонів. Концентрація фотонів 14
14
Лїф — це число фотонів, розраховане на одиницю об’єму середо-
вища. З густиною енергії монохроматичного випромінювання
дана величина пов’язана співвідношенням
Р = А'уЛ^ф. (1.11)
Інтенсивність випромінювання І (для світла — видимого
випромінювання — інтенсивність світла) — це енергія, яка пе-
реноситься електромагнітним випромінюванням через одини-
цю площі хвильового фронту за одну секунду (паралельно вжи-
вається термін — густина потоку енергії випромінювання).
Інтенсивність випромінювання дорівнює модулю вектора Умо-
ва—Пойнтінга і визначається рівністю
/ = оср, (1.12)
де — швидкість поширення електромагнітних хвиль у даному
середовищі. Вимірність цієї величини [/] = Вт • м-2.
Густина потоку фотонів для монохроматичного випромі-
нювання визначається формулою
А = 7-Л (1.13)
/IV
де К — стала Планка; V — частота коливань (в Гц). Густина
потоку фотонів визначається як число фотонів, що проходять
через одиницю площі хвильового фронту за одну секунду. Ви-
мірність даної величини [Л] = м-2 • с-1.
1.1.2. Основні квантові характеристики
речовини
Якщо потенціальна енергія квантової системи (наприклад,
атома) не залежить явно від часу, то така система має ста-
ціонарні стани. Кожний стаціонарний стан характеризується
своєю хвильовою функцією, яка визначає просторові та фа-
зові характеристики стану, і певним (власним) значенням
енергії.
Розподіл стаціонарних станів за енергією (енергетичний
спектр) може бути як дискретним (в атомах, молекулах і
т. п.), так і неперервним (для вільних частинок, електронів
у твердих тілах і т. п.).
15
Наприклад, для атома водню власні значення енергії визна-
чаються (в першому наближенні) рівністю
<1-14)
де К — 13,6 еВ — стала Рідберга; п = 1, 2, 3... — головне кван-
тове число.
1.2. ПОГЛИНАННЯ І ВИПРОМІНЮВАННЯ
ЕЛЕКТРОМАГНІТНИХ ХВИЛЬ
РЕЧОВИНОЮ
В квантовій електроніці вивчаються і використовуються такі
процеси взаємодії електромагнітних хвиль з речовиною: погли-
нання, спонтанне та вимушене (стимульоване) випроміню-
вання фотонів.
Е2
1
Ех
Рис. 1.1. Схема переходів кван-
тової системи при поглинанні (/),
спонтанному (2) та вимушеному
(3) випромінюванні фотона
Виберемо довільно два енергетичних рівня квантової систе-
ми (атома) і позначимо нижній з них як Е{ і верхній — як Е2
(див. рис. 1.1). Згідно з другим постулатом Бора, перехід з ниж-
нього у верхній стаціонарний стан (показаний стрілкою /) може
відбутися при поглинанні фотона з енергією
Ну = Е2 — Ег. (1.15)
Дана рівність являє собою закон збереження енергії при
поглинанні фотона.
16
Квантова електродинаміка доводить, що квантова система
не може нескінченно довго знаходитися у збудженому стані.
Внаслідок взаємодії з вакуумом (найнижчим за енергією ста-
ном) електромагнітного поля система спонтанно, самочинно
переходить із збудженого стану в стан з меншою енергією,
випромінюючи фотон. Спонтанний перехід системи показано
стрілкою 2 на рис. 1.1. При спонтанному переході виконується
закон збереження енергії (1.15). Основні параметри спонтанно
випромінюваних фотонів, такі як напрям поширення, поляриза-
ція і початкова фаза, є випадковими.
А. Ейнштейном у 1916 році було показано, що, крім погли-
нання та спонтанного випромінювання, існує вимушене (стиму-
льоване) випромінювання фотонів квантовими системами під
дією резонансної електромагнітної хвилі. Відповідний перехід
квантової системи показано стрілкою 3 на рис. 1.1. Резонанс-
ною називається така електромагнітна хвиля, для квантів якої
виконується рівність (1. 15). При вимушених переходах всі па-
раметри генерованих фотонів (енергія, напрям поширення, по-
ляризація, початкова фаза) збігаються з параметрами первин-
них (стимулюючих) фотонів.
1.2.1. Поглинання електромагнітних хвиль
Поглинання електромагнітних хвиль характеризується кое-
фіцієнтом поглинання а. Якщо плоска монохроматична елек-
тромагнітна хвиля поширюється вздовж осі х, то густина пото-
ку фотонів
£(х) = £оехр(—ах). (116)
Звідси видно, що коефіцієнт поглинання можна визначити як
Із формули (1.17) видно, що одиниця вимірювання коефіцієнта
поглинання [а] = см-1.
Ймовірність поглинання фотона (за одиницю часу) визна-
чається як
ау = 2ф/Лїф, (1.18)
де 7Ф — темп поглинання фотонів (число фотонів, що погли-
наються в одиниці об’єму за одиницю часу); Мф — концентрація
17
фотонів (число фотонів у одиниці об’єму). Одиниця вимірюван-
ня ймовірності поглинання фотона [и»] = с-1. Означення (1.18)
справедливе для будь-яких монохроматичних (не тільки для
плоских і біжучих) хвиль.
Величини а і V» пов’язані між собою співвідношенням
а = = ауп/с, (1-19)
де с — швидкість світла в вакуумі; п — показник заломлення
даної речовини.
Із формул (1.18) і (1.19) можна визначити коефіцієнт погли-
нання для монохроматичної, але не обов’язково плоскої й біжу-
чої, електромагнітної хвилі:
а = п2ф/с1Чф. (1.19а)
Визначимо ймовірність переходу квантової системи. Вибе-
ремо два довільних рівня квантової системи (атома) і позначи-
мо нижній з них як 1-й, а верхній — як 2-й (див. рисунок 1.1).
Якщо за 1 с в одиниці об’єму речовини відбувається 212 пере-
ходів з рівня 1 на рівень 2, то ймовірність такого переходу
(за одиницю часу) визначається як
^12=^, (1.20)
де М, — число атомів на рівні 1 в одиниці об’єму. З формули
(1.20) видно, що одиниця вимірювання ймовірності переходу
атома [ №12] = с-1.
Темп переходів 1 -* 2 (тобто переходів з першого стану в
другий) квантової системи (атома) — це число таких переходів
у одиниці об’єму, що відбуваються за одиницю часу:
2,2= Г12^. (1.21)
Ймовірність переходів атомів із стану 1 до стану 2 під дією
фотонів плоскої монохроматичної хвилі пропорційна до густини
потоку фотонів —
Гі2 = о12£. (1. 22)
Величина о12 має вимірність площі і називається перерізом
переходу 1 -* 2.
18
З іншого боку, якщо поглинання кожного фотона супрово-
джується переходом 1 —► 2 квантової системи, то
212 = а£. (1.23)
Звідси видно, що
а = о12^. (1.24)
Співвідношення (1.22)—(1.24) справедливі для переходів
атомів під дією плоскої монохроматичної хвилі. У загально-
му випадку можна ввести поняття про спектральну густину
ймовірності переходів атомів —так що ймовірність пере-
ду
ходів атомів визначається як
Г12 = (^2-(IV.
12 Л ду
о
(1.25)
А. Ейнштейном введено загальний вираз для розрахунків
спектральної густини ймовірності переходів:
^ = В125^)р,, (1.26)
СУ
де В12 — коефіцієнт Ейнштейна для переходу 1 -► 2 при по-
глинанні фотонів; 5(у) — функція форми спектральної лінії
(формфактор); ру — спектральна густина енергії електромаг-
нітних хвиль.
Функція форми спектральної лінії одна і та ж для по-
глинання, спонтанного та стимульованого випромінювання.
На рис. 1.2 схематично показана функція форми спектральної
лінії. Ширина спектральної лінії Ду — величина спектраль-
ного інтервалу, на межах якого ймовірність переходу атомів
у 2 рази менша її максимальної величини 5(у0). Для уточнення
фізичного змісту даного означення замість терміну «ширина
спектральної лінії» вживають ще «повна ширина спектраль-
ної лінії на половині висоти» (англійською — їиІІ Ьапсі хуісШі
оп ІНе Наїї глахіглиги).
У формулу (1.26) величини В12 та 5(у) входять як співмнож-
ники. Величину В12 завжди беруть такою, щоб функція форми
19
спектральної лінії була нормована:
5(у)с1у = 1.
о
(1.27)
Спектр немонохроматичного випромінювання, тобто за-
лежність ру(у), можна зобразити, як показано на рис. 1.3
(цей спектр, у загальному випадку, може бути несиметричним).
Рис. 1.3. Спектр немонохроматично-
го випромінювання
Рис. 1.2. Функція форми спектраль-
ної лінії
Можна ввести ширину спектру випромінювання 6у (вжи-
вається також термін «ширина спектральної смуги випромі-
нювання») як ширину спектрального інтервалу, на границях
якого спектральна густина енергії ру в два рази менша від свого
максимального значення рут. Таке означення величини 6у узго-
джується з визначенням ширини спектральної смуги випромі-
нювання, смуги пропускання, смуги підсилення і т. п. у радіо-
фізиці.
1.2.1.1. Переходи під дією монохроматичного
випромінювання
Для процесу поглинання фотонів електромагнітне випромі-
нювання можна вважати монохроматичним, якщо 6у Ду, як
схематично показано на рис. 1.4. Така ситуація звичайно реалі-
зується, коли на атоми падає лазерне випромінювання. Ймо-
вірність переходу 1 —► 2 атомів під дією електромагнітного поля
20
можна знайти за формулою (1.25) з використанням формули
Ейнштейна (1.26):
00
Г12=В12$3(у)р^)сК>. (1.28)
О
Рис. 1.4. Функція форми спектраль-
ної лінії атома 5(у) і спектр випро-
мінювання р^у), що падає на атом
у випадку ду « Ду
За врахуванням того, що 6у Ду, підінтегральна функція
відмінна від нуля тільки у вузькій області частот поблизу
у = ут, де ру Ф 0. У цій області зміною 5(у) можна знехтувати,
тобто покласти 5(у) = 5(ут) = сопзі. Тоді з формули (1.28)
отримаємо
00
^2=Д25(ут)$ру(у)<к. (1.29)
О
За врахуванням того, що русІУ = р, одержимо
о
г12(у) = в12адР> (і.зо)
де 5(у) — значення функції форми спектральної лінії при часто-
ті, яка відповідає частоті падаючого випромінювання; р — гус-
тина енергії цього випромінювання.
21
Із (1.22) і (1.30), врахувавши рівності (1.12) і (1.13), одер-
жимо вираз для спектральної залежності перерізу переходу
1 — 2
аІ2(у) = ^Ї5(у). (1.30а)
1.2.1.2. Переходи під дією
випромінювання
немонохроматичного
Для випадку поглинання істотно немонохроматичного ви-
промінювання залежності 5(у) і ру(у) показані на рис. 1.5. При
цьому » ДV. Така ситуація звичайно відповідає взаємодії
Рис. 1.5. Функція форми спектраль-
ної лінії атома 5^) і спектр випро-
мінювання р^), що падає на атом
у випадку
атомів з некогерентним випромінюванням (в оптиці — з тепло-
вим випромінюванням). У цьому випадку в інтегралі (1.28) під-
інтегральна функція відрізняється від нуля лише у вузькій
області частот поблизу V = у0, де 5(у) =¥= 0. У цій області вели-
чина практично не змінюється. Тому під інтегралом можна
покласти ру = ру(¥0) = сопзі, що дасть
00
^12 = В12Ру(у0)$5(у)с1у. (1.31)
0
З урахуванням умови нормування (1.27) функції 5(у) отри-
маємо
22
^І2 = В12Р^0),
(1.32)
де р^0)—спектральна густина енергії випромінювання на ча-
стоті, що відповідає частоті спектральної лінії атома (резо-
нансній частоті). Таким чином, якщо випромінювання істотно
немонохроматичне, ширина спектральної лінії не впливає на
ймовірність переходу.
Експериментально можна знайти коефіцієнт Ейнштейна для
поглинання фотонів, пов’язаного з переходами між енерге-
тичними рівнями ти, п, вимірявши спектр поглинання «(V) та
знаючи концентрацію поглинаючих центрів (атомів, молекул
і т. п.).
1.2.2. Спонтанне випромінювання
Спонтанне випромінювання — суто випадковий процес.
Тому момент випромінювання фотонів, початкова фаза елек-
тромагнітної хвилі, напрям її поширення та поляризація явля-
ють собою випадкові величини.
Якщо взяти будь-які два стаціонарні рівні квантової системи
і позначити їх номерами 1 і 2, то спонтанний перехід з верхньо-
го рівня (2-го) на нижній з випромінюванням фотона характе-
ризується ймовірністю переходу за одиницю часу Л21. Величина
Л21 називається коефіцієнтом Ейнштейна для спонтанного
переходу з рівня 2 на рівень 1. Вимірність даного коефіцієнта
[Л21] = с-‘.
Темп спонтанних переходів 2 -* 1 (число переходів у оди-
ниці об’єму за 1 с) визначається формулою
721=Л21М>, (1.33)
де N2 — концентрація атомів, що знаходяться у стані 2.
Можна показати (при рішенні задачі 1.2), що
Л21=т2-ї‘, (1.34)
де т21 — час життя верхнього стану відносно радіаційного пе-
реходу 2 -+ 1.
У оптиці нерівноважне спонтанне випромінювання назива-
ється люмінесценцією. Загальноприйняте визначення терміну
«люмінесценція»: це таке випромінювання, що є додаткове
по відношенню до рівноважного (теплового) випромінювання
23
і характеризується інерційністю (часом затухання) т1» Т, де
Т — період електромагнітних коливань. Це визначення, запро-
поноване академіком С. В. Вавіловим, відрізняє люмінесценцію
від теплового випромінювання, а також від процесів відбивання
та розсіяння світла.
Експериментально час життя збудженого (в нашому при-
кладі 2-го) стану т2 можна визначити, якщо проаналізувати про-
цес затухання (релаксації) люмінесценції після закінчення збуд-
ження, а також знайти квантовий вихід люмінесценції (див.
Додаток 1).
1.2.3. Вимушене випромінювання
Як уже згадувалося, вимушене (стимульоване) випроміню-
вання відбувається при переході квантової системи з верхнього
енергетичного стану на нижній під дією резонансного електро-
магнітного поля. При цьому всі параметри генерованих фотонів
збігаються з відповідними параметрами падаючих (стимулюю-
чих) фотонів. Це означає, що первинні і вторинні фотони прин-
ципово нерозрізненні.
Всі рівності для ймовірності переходів при вимушеному ви-
промінюванні відрізняються від відповідних формул для пере-
ходів при поглинанні фотонів лише порядком індексів. Так,
для спектральної густини ймовірності переходу зі стану 2
в стан 1, аналогічно до формули (1.26), можна записати:
(1.35)
де В21 — коефіцієнт Ейнштейна для переходу 2 —>• 1; 5(у) — та
ж сама функція форми спектральної лінії, що і для переходу
1 —> 2; р„ — густина енергії електромагнітного поля.
Для ймовірності вимушеного випромінювання під дією мо-
нохроматичної хвилі, подібно до (1.30), одержимо
Г21^) = В2іадР. (1.36)
Та ж сама ймовірність переходу виражається через густину
потоку фотонів плоскої монохроматичної хвилі аналогічно до
(1.22):
ОУ
^21 — °21(‘',)^<
(1.37)
24
де величина о21 має вимірність площі і називається перерізом
переходу 2 -► 1.
Із (1.36) і (1.37), врахувавши рівності (1.12) і (1.13), одер-
жимо вираз для спектральної залежності перерізу стимульова-
ного переходу 2—► 1:
о21(у) = ^8(у). (1.37а)
Якщо вимушені переходи відбуваються під дією істотно не-
монохроматичного випромінювання, то ймовірність переходу
2—► 1, аналогічно до формули (1.32), має вигляд
^2> = В21р^0), (1.38)
де ру(у0) — спектральна густина енергії падаючого випроміню-
вання на резонансній частоті у0.
Слід відзначити, що всі розглянуті співвідношення (1.20)—
(1.38) справедливі для будь-якої пари стаціонарних станів
квантової системи.
Коефіцієнти Ейнштейна для переходів квантової системи
при поглинанні, спонтанному та вимушеному випромінюванні
фотонів пов’язані між собою. Цей зв’язок був знайдений
А. Ейнштейном із умови детальної рівноваги між квантовою си-
стемою (речовиною) та тепловим випромінюванням.
1.3. ЗВ’ЯЗОК МІЖ КОЕФІЦІЄНТАМИ
ЕЙНШТЕЙНА
Альберт Ейнштейн, вивчаючи теоретично умови детальної
рівноваги між речовиною та тепловим електромагнітним випро-
мінюванням, дійшов до висновку, що, крім поглинання та спон-
танного випромінювання фотонів, повинно відбуватися вимуше-
не (стимульоване) випромінювання фотонів. Він же знайшов
зв’язок між ймовірностями цих трьох процесів.
Одержимо співвідношення між коефіцієнтами Ейнштейна
В12, В21 та А21 із умови детальної рівноваги. Нехай ми маємо
квантову систему (будемо називати для скорочення — атоми)
зі стаціонарними енергетичними рівнями Е{ і Е2 (ці два рівні ми
довільно вибираємо із енергетичного спектру атомів і даємо їм
номери 1 і 2), як показано на рис. 1.6. Енергетичні рівні мо-
25
жуть бути невиродженими, або ж виродженими. В останньому
випадку однакову енергію, наприклад, ЕІУ мають декілька ста-
нів, які відрізняються своїми хвильовими функціями (просто-
ровими характеристиками). Кількість таких станів, що мають
одну і ту ж енергію називають кратністю виродження
(друга назва — фактор виродження) рівня Е{ і позначають її
Аналогічно вводиться величина §2 — кратність виродження рів-
ня Е2. Ймовірності відповідних переходів між двома енергетич-
ними рівнями показані на рис. 1.6.
Ег, §2, N2
Еі,§і, N1
Рис. 1.6. Схема переходів квантової систе-
ми при поглинанні, спонтанному та виму-
шеному випромінюванні фотона
Якщо концентрація атомних об’єктів (наприклад, атомів)
складає Л/, то частина з них, яку позначимо як Л/р буде мати
енергію а Л^2 — енергію Е2. У рівновазі, за статистикою
Больцмана, має місце співвідношення
^2 &2 ( ^2 — А
— = — ехр------------1 ,
(1.39)
де к — стала Больцмана; Т — температура речовини; §2—
кратності виродження рівнів Е{ та Е2.
Розподіл рівноважних фотонів за енергією визначається ста-
тистикою Бозе—Ейнштейна. За цією статистикою заселеність
даного стану фотонів (середнє число фотонів у даному стані)
з енергією Е = /IV, де Н — стала Планка, визначається форму-
лою (функцією розподілу)
/(^) = 7*77“
(1.40)
За врахуванням залежності щільності станів від енергії, спект-
ральна густина енергії рівноважних фотонів ру визначається
26
формулою Планка
де с — швидкість світла у вакуумі, п. — показник заломлення
речовини. Виведення формули Планка наведено в Додатку 2.
Взаємодія між атомом і фотонами зумовлює переходи £'1 —► Е2
з поглинанням фотонів та стимульовані переходи Е2~* Ех з ви-
промінюванням фотонів. Внаслідок того, що рівноважне (тепло-
ве) випромінювання є істотно немонохроматичним, ймовірності
У7і2 та И/2і указаних переходів визначаються формулами (1.32)
і (1.38), відповідно. З рівня Е2 на рівень Ех атоми можуть та-
кож переходити спонтанно з ймовірністю Л21, як показано на
рис. 1.6.
Для взаємодії атомів з електромагнітним полем умову де-
тальної рівноваги можна сформулювати так: темп переходів
атомів з рівня Ех на рівень Е2 з поглинанням фотонів дорівнює
темпу переходів атомів з рівня Е2 на рівень Е{ з випромінюван-
ням фотонів:
Г12^ = Г2^2 + А2^2. (1.42)
За врахуванням формул (1.32) і (1.38) для ймовірностей пере-
ходів Ц/12 і ІГ21, при взаємодії атомів з немонохроматичним ви-
промінюванням це приведе до
= “®21 Ру^2 “Н ^21^2* (1-43)
Система рівнянь (1.39), (1.41) і (1.43) визначає умову де-
тальної рівноваги між атомами та тепловим електромагнітним
полем.
З формули (1.43) можна одержати відношення населеностей
рівнів Е{ та Е2:
^2. = #І2Ру / | 444
М #21Ру + Л1
Відношення , одержане з (1.44), при будь-якій температурі
повинно збігатися з розподілом Больцмана (1.39). При Т —► оо
з формули (1.41) одержимо р —► оо. Тоді з виразу (1.44) от-
римаємо а із (1.47)—*— Звідси отримаємо
^21 Ач
27
співвідношення між коефіцієнтами Ейнштейна для переходів
атомів при поглинанні і вимушеному випромінюванні фотонів:
^12 _
^21 &
(1.45)
Слід відзначити, що при квантово-механічних розрахунках
ймовірностей переходів атомів під дією електромагнітного поля
співвідношення (1.45) одержується автоматично.
З (1.43) можна знайти відношення коефіцієнтів Ейнштейна
для спонтанних і стимульованих переходів:
^21 \^21^2
— 1)ру-
(1.46)
Враховуючи співвідношення (1.45), формулу Планка (1.41) та
закон збереження енергії Ну = Е2 — Е{, отримаємо співвідно-
шення між коефіцієнтами Ейнштейна для переходів атомів
при спонтанному та вимушеному випромінюванні
^ = —-V3. (1.47)
°21 с
Із співвідношень (1.45) і (1.47) випливає, що, знайшовши
коефіцієнти Ейнштейна В12 і А21 з вимірювань спектру поглинан-
ня та кінетики люмінесценції (спонтанного випромінювання),
можна розрахувати коефіцієнт В21 для стимульованих переходів.
Таким чином, для проектування лазерів можна використати екс-
периментальні дані, отримані з указаних вимірювань.
В квантових генераторах та підсилювачах використовується
вимушене випромінювання. Спонтанне випромінювання, внаслі-
док випадковості напряму поширення, поляризації та фази, віді-
грає роль шумів. З формули (1.47) випливає, що з ростом робо-
чої частоти приладів квантової електроніки зростає роль шумів.
1.4. ПІДСИЛЕННЯ ЕЛЕКТРОМАГНІТНИХ ХВИЛЬ
Активне середовище (активна речовина) у квантовій елек-
троніці — це та речовина, в якій відбувається підсилення елек-
тромагнітних хвиль. Активним середовищем може бути кристал
28
(діелектрик, напівпровідник), аморфна речовина, рідина або газ.
Нехай для підсилення електромагнітних хвиль використовують-
ся два енергетичних рівні активної речовини, як показано на
рис. 1.6. Енергетичні рівні речовини, переходи між якими вико-
ристовуються для підсилення електромагнітних хвиль, назива-
ються робочими. Кратність виродження рівнів нехай складає
§2\ концентрації «атомів», що мають енергії Е, та Е2, (населе-
ності рівнів Е, і Е2) дорівнюють і Лї2. Розглянемо умови, за
яких можливо підсилення електромагнітних хвиль у речовині.
1.4.1. Інверсна населеність робочих рівнів
Нехай на активну речовину падає монохроматична електро-
магнітна хвиля з густиною потоку фотонів Ь. Якщо електро-
магнітні коливання є резонансними, тобто їх частота відповідає
спектральній лінії переходу Е2~* Еь то під дією цієї хвилі мо-
жуть відбуватися переходи Е{ —► Е2 з поглинанням фотонів.
Ймовірність цих переходів
Г12 = оі2(^)Е, (1.48)
де оІ2 — переріз даного процесу. Крім того, будуть спостеріга-
тися переходи Е2 —* Е{, що супроводжуються вимушеним ви-
промінюванням фотонів з ймовірністю
Г21 = о21(Лу)Е, (1.49)
причому
а2і(^) _ Дгі _ £і /1
0|2(^) В|2 £2 '
Тоді число фотонів, що поглинаються і стимульовано випроміню-
ються в одиниці об’єму за 1 с, складає відповідно і
Як уже вказувалося, всі параметри стимульовано генерова-
них фотонів збігаються з відповідними параметрами первинних
(«стимулюючих») фотонів. Тому стимульоване випромінювання
буде збільшувати (підсилювати) потік когерентних фотонів, а
поглинання — зменшувати його. Тоді для густини потоку фо-
тонів можна записати диференційне рівняння
= о2ІУ2£ - аІ2^Л. (1.51)
29
Спонтанні переходи, темп яких (число переходів у одиниці
об’єму за 1 с) складає Л21М2, не Дають внеску в підсилення
внаслідок того, що фаза, поляризація і напрям поширення спон-
танно генерованих фотонів є випадковими величинами. Слід
відзначити, що при спонтанному випромінюванні генеровані фо-
тони мають різні частоти, які розподіляються у відповідності
з функцією форми спектральної лінії 5(у).
За врахуванням (1.50) ми одержимо
^ = п21ДЛГ£, (1.52)
де величина
Д# = N(1.53)
£|
називається густиною інверсної населеності (чи просто інвер-
сною населеністю) активного середовища. Із формули (1.52)
випливає, що необхідною умовою квантового підсилення елек-
тромагнітних хвиль є
ДЛГ>0. (1.54)
Можна показати (див. Додаток 3), що ця умова справедли-
ва для квантового підсилення монохроматичних електромагніт-
них хвиль з довільним просторовим розподілом інтенсивності
і фази.
Населеність робочих рівнів називається інверсною, якщо
(1.55)
&
тобто населеність станів з більш високою енергією вища, ніж
станів, що відповідають меншій енергії. Очевидно, що нерів-
ності (1.54) і (1.55) еквівалентні. У рівноважному стані завжди
виконується нерівність, зворотна до (1.55).
Таким чином, для підсилення електромагнітних хвиль у
активному середовищі необхідно створити інверсну насе-
леність робочих рівнів.
Якщо врахувати означення коефіцієнта квантового підси-
лення (англійською мовою &аіп)
<156>
зо
то з (1.52) одержимо
у = о21Д^ (1.57)
Диференційне рівняння (1.51) ми одержали, вважаючи, що
крім поглинання, яке відповідає переходам між робочими рівня-
ми Ех і Е2 у активному середовищі, немає інших втрат енергії
електромагнітного поля. Якщо ж є поглинання електромагніт-
ного випромінювання, не пов’язане з переходами між робочими
рівнями, або розсіяння електромагнітних хвиль, то можна вве-
сти ефективний коефіцієнт поглинання ае, який характеризує ці
втрати. Враховуючи вказані втрати енергії, для зміни густини
потоку фотонів вздовж променя можна замість (1.52) записати
4^ = 021Д^ - ае£. (1.58)
ах
Тоді, за врахуванням втрат енергії в активному середовищі,
умова квантового підсилення буде мати вигляд
ДЛЇ>ае/а2|, (1.59)
або
(1 60)
деу0 — значення коефіцієнта квантового підсилення, одержане
без врахування втрат енергії електромагнітного поля в актив-
ному середовищі.
Із нерівності (1.59) випливає: для підсилення електромагніт-
них хвиль у активному середовищі з втратами необхідно, щоб
інверсна населеність перевищувала деяке своє значення, яке
називається пороговою інверсною населеністю для квантового
підсилення.
Процес створення інверсної населеності в активному середо-
вищі називають накачуванням. У квантовій електроніці вико-
ристовуються різні механізми накачування. Так, у лазерах на
основі твердих і рідких діелектриків широко використовується
оптичне накачування. У газових лазерах зручно використовува-
ти для накачування електричний розряд. У напівпровідникових
лазерах найбільш популярним є накачування інжекцією носіїв
заряду в активну область. У квантових парамагнітних підсилю-
вачах для накачування використовується НВЧ-випромінюван-
ня. В мазерах на основі молекулярних (або атомних) пучків для
31
створення інверсної населеності використовується сортування
в неоднорідному електричному (або магнітному) полі. Викори-
стовуються також інші механізми накачування.
1.4.2. Поняття про від’ємну температуру
В стані термодинамічної рівноваги населеності і А2 двох
енергетичних рівнів і Е2 атомної системи пов’язані розподі-
лом Больцмана
М2
77 = —ехр
__ ^2 ^1 А
кТ /’
(1.61)
Де §2 — фактори (кратності) виродження рівнів. Очевидно,
у нерівноважному стані рівність (1.61) порушується. Але для
ДВОХ енергетичних рівнів, при ВІДОМИХ величинах Е{, Е2
та і Л^2» можна математично ввести ефективну температу-
ру Те, користуючись формулою (1.61), тобто
Те = ^=А1п^. (1.62)
Якщо населеність робочих рівнів інверсна, тобто виконуєть-
ся (1.55), з (1.62) одержимо
Те<0. (1.63)
Як зазначено вище, інверсна населеність робочих рівнів ак-
тивного середовища необхідна для квантового підсилення елек-
тромагнітних хвиль. Звідси випливає, що необхідною умовою
квантового підсилення є від’ємна ефективна температура,
яка характеризує населеності робочих рівнів.
Слід зазначити, що для заселеності трьох і більшого числа
енергетичних рівнів у нерівноважному стані у загальному ви-
падку неможливо ввести поняття про ефективну температуру,
зокрема, про від’ємну температуру. Якщо ми захотіли б це зро-
бити, то одержали б два (чи більше — для числа рівнів, біль-
шого 3) незалежні рівняння з одним невідомим.
32
1.4.3. Максимально можливе значення
коефіцієнта підсилення
у даному активному середовищі
Нехай атомна система має робочі енергетичні рівні Е{ і Е2.
Обмежимося розглядом системи, яка використовується для ге-
нерації в оптичному діапазоні, тобто Е2 — Е{ кТ. Тоді в
рівновазі з формули (1.52) одержимо Якщо рівень Е{
є основним (найнижчим) рівнем атома, то з великою точністю
Nї=^, де N—повне число атомів. Тоді рівняння (1.51) буде
мати вигляд
= (1.64)
Із (1.64) випливає, що в даному випадку коефіцієнт погли-
нання
«0 = °12^- (1-65)
З формули (1.57) видно, що максимального значення коефі-
цієнта квантового підсилення утах можна було б досягти, якби
ДМ —► N. тобто якби вдалося перевести всі атоми на верхній ро-
бочий рівень. Тоді коефіцієнт квантового підсилення складав би
Утах = О21^. (1.66)
З урахуванням співвідношення (1.50), одержимо
утах=^ао- (1-67)
Таким чином, при £і~£2 можна сказати, що максимальне
досяжне значення коефіцієнта квантового підсилення у ак-
тивному середовищі не може перевищувати значення коефі-
цієнта поглинання в рівноважному стані. Цей висновок спра-
ведливий лише для оптичного діапазону, причому для того
випадку, коли нижній робочий рівень заселений у рівноваж-
ному стані. Такі умови реалізуються, наприклад, для рубіну як
активної речовини в лазерах. В тих активних середовищах, які
в рівноважному стані мають високий коефіцієнт поглинання
(пов’язаний з переходами між робочими рівнями), можна до-
сягти високих значень коефіцієнта квантового підсилення.
Наприклад, коефіцієнт поглинання деяких напівпровідників при
33
електронних переходах між валентною зоною і зоною провід-
ності досягає значень а0~ 104 см-1. Тому розміри напівпровід-
никових лазерів, потрібні для одержання достатнього підсилен-
ня світла (для лазерної генерації), дуже малі (складають сотні
мікрометрів).
1.5. ФОРМА СПЕКТРАЛЬНОЇ ЛІНІЇ
КВАНТОВИХ СИСТЕМ
Функція форми спектральної лінії, як уже з’ясовано в пара-
графі 1.2, визначає спектральну залежність ймовірності пере-
ходу між двома станами квантової системи. Наприклад, ймо-
вірність вимушеного переходу між енергетичними рівнями Е2
і Е{ (див. рис. 1.1) під дією монохроматичного випромінювання
з частотою V виражається формулою (1.36).
Як вказано у тому ж параграфі, під шириною лінії поглинан-
ня (чи випромінювання) атома розуміють інтервал частот, на ме-
жах якого ймовірність відповідного переходу зменшується в два
рази порівняно з її максимальною величиною. Геометричний спо-
сіб визначення ширини спектральної лінії показано на рис. 1.2.
Слід відзначити, що функція форми спектральної лінії
одна і та ж для поглинання, спонтанних та стимульованих
переходів між даними двома енергетичними рівнями даної кван-
тової системи при даних умовах.
Ширина спектральної лінії може бути обумовлена різними
причинами. Мінімальна ширина лінії пов’язана зі скінченністю
перебування квантової системи (атома) у збудженому стані,
яка веде до скінченності процесу взаємодії атома з резонан-
сним випромінюванням. Якщо час життя атома в стані з енер-
гією Е1 дорівнює то енергетичний рівень даного стану має
ширину ДЕ0 яка визначається співвідношенням невизначено-
стей (1.3). Якщо час життя атома в станах зі значеннями енер-
гії Е} і Е2 складає і т2, то ширину спектральної лінії, що
відповідає переходу Е2—* Е{, можна знайти як
= + <168>
Ширина лінії, яка визначається часом життя атомних станів
відносно спонтанних переходів з випромінюванням фотонів, на-
34
зивається радіаційною або природною. Така ширина лінії є
мінімальною. Будь-які процеси, які зменшують час життя від-
повідних станів атомів (за участю фотонів, чи без їх участі),
збільшують ширину спектральної лінії.
1.5.1. Лоренцова форма спектральної лінії
Квантово-механічний розрахунок ймовірності переходів між
двома енергетичними рівнями системи під дією електромагніт-
ної хвилі з врахуванням обмеженості часу життя даних рівнів
дає функцію форми спектральної лінії
5(у) = ^[(у-уо)2 + ^-| ' (1.69)
де ¥0 — резонансна частота (що відповідає центру лінії); Д¥ —
ширина лінії [17].
Для циклічної частоти відповідна формула аналогічна:
, ч2 . Дсоі 2
(<0 — (0О)2 + — ,
(1.69а)
де (о0 відповідає центру лінії; Дсо — ширина лінії.
Легко можна переконатися, що
5(у0±^) = І5(у0),
(1.70)
і величина Д¥ відповідає визначенню ширини лінії. За враху-
ванням табличного інтеграла
сіх
а2 + х2
1 , х
= -агсід —,
а 6 а
(1-71)
при Д¥ ¥0 можна пересвідчитися, що функція 5(¥) нормова-
на, тобто виконується рівність (1.27).
Функція форми спектральної лінії (1.69) називається лорен-
цовою. Вона була отримана Хендріком Антоном Лоренцом (Ні-
дерланди) наприкінці XIX століття обчисленням інтенсивності
поглинання електромагнітних хвиль атомом, що складається
з «краплини» позитивно зарядженої «рідини» та негативно за-
рядженої «кульки» — електрона, що плаває в даній рідині під
35
дією кулонівської сили та сил «тертя». Рух електрона в елек-
тричному полі електромагнітної хвилі напруженістю
в одновимірному випадку, за Лоренцом, можна описати рівнян-
ням, що виражає другий закон Ньютона,
т = е^—кх — V ,
а/2 г а/ ’
(1-72)
де т — маса електрона; другий член справа описує силу
кулонівської взаємодії електрона з «краплиною», в якій він
знаходиться; у — «коефіцієнт тертя» при русі електрона
в атомі.
Рівняння (1.72) — рівняння осцилятора з тертям — часто
записують у формі
= (1.72а)
де функція
Л(0 = ЛоехР(ЇС00 = (е/т)^0ехр(і(оІ) (1.726)
характеризує дію електромагнітного поля на осцилятор;
а>о = к/т— квадрат власної циклічної частоти осцилятора;
т = т/у— час затухання осцилятора. Стаціонарне рішення
(при і —► оо, тобто при ґ»т) рівняння (1.72а) дає функцію
форми спектральної лінії (1.69), причому ширина спектральної
лінії визначається як
Дсо = -; Дл? = . (1.72в)
т 2лт
Постає питання, чому Лоренц, використовуючи дуже спроще-
ну, можна сказати, хибну модель атома (модель Дж. Дж. Том-
сона), одержав правильний вираз для форми спектральної лі-
нії? — Причина в тому, що така форма лінії є універсальна, одна
і та ж для поглинання і випромінювання електромагнітних хвиль
будь-якого спектрального діапазону. Лоренц розрахував функ-
цію форми спектральної лінії для класичних, низькочастотних
коливань заряджених тіл. Одну і ту ж форму спектральної лінії
мають макроскопічні коливальні системи заряджених об’єктів,
радіотехнічні коливальні контури, резонатори приладів кван-
тової електроніки (для кожного типу власних коливань), атоми
і атомні ядра. Однакова форма лінії відповідає діапазону від
36
інфразвукових електромагнітних хвиль до гамма-променів. Таку
ж форму лінії мають акустичні резонатори.
Із формули (1.68) випливає, що будь-які процеси, які змен-
шують час життя стаціонарних станів атома (точніше, змен-
шують час когерентної взаємодії атома з резонансним випро-
мінюванням), ведуть до збільшення ширини відповідної спек-
тральної лінії. Якщо всі атоми зазнають однакового впливу
вказаних процесів, то форма спектральної лінії залишається
лоренцовою, хоч її ширина збільшується. Таке розширення
спектральної лінії, при якому зберігається її лоренцова форма,
називається однорідним.
Основні механізми однорідного розширення спектральних
ліній такі:
1. Зіткнення атомів (молекул) з атомами, іонами, електрона-
ми і т. ін. у газах. Хвильова функція, яка характеризує /-Й ста-
ціонарний стан атома, має вигляд [17]
Ф/г, 0 = Ф,(г) ехр {-І[(5,Л)ґ + <р0]}, (1.73)
що включає просторовий множник фДг) і часовий множник
ехр [—ЦЕі/п)і], де і — уявна одиниця; <р0 — початкова фаза.
При зіткненнях у виразі (1.73) може змінюватися енергія атома
(молекули) і фаза <р0. Ці випадкові зміни фази (збої фази) ско-
рочують час когерентної взаємодії атома з резонансним випро-
мінюванням. Середній проміжок часу між зіткненнями атомів
(молекул) — тривалість вільного прольоту — визначається фор-
мулою
тс = (МІіТ),/2/(4л'/2ре(і2), (1.74)
де М — маса атома; р$ — тиск газу; сі — ефективний діаметр
атома (діаметр твердої пружної кульки — класичного аналога
атома). Тоді, якщо знехтувати іншими механізмами розширення
лінії, отримаємо для ширини лінії
Ду=1/(2лтс). (1.75)
Для атомів № у гелій-неоновому лазері при тиску р' =0,5 мм
рт. ст. отримаємо тс>=» 0,5 мкс, що дає ДV = 0,64 МГц. Із фор-
мули (1.74) видно, що роль такого механізму однорідного роз-
ширення ліній зростає при підвищенні тиску газу.
2. Взаємодія випромінюючих атомів (іонів) з фононами —
квантами коливань кристалічної ґратки у твердих тілах, яка
37
веде до збоїв фази і до обміну енергією між електронною підси-
стемою і фононами. Цей механізм розширення ліній важливий
при достатньо високих температурах.
3. Обмеженість часу взаємодії атомів (молекул) з ре-
зонансним електромагнітним полем у резонаторах мазерів на
основі атомних або молекулярних пучків. Час прольоту атомів
(молекул) у резонаторі тІР вибирають таким, щоб виконувалась
сильна нерівність
Т/Я<КТ2. (1-76)
де Т2 — час життя верхнього робочого рівня. При порушенні
даної нерівності населеність верхнього робочого рівня за час
перебування в резонаторі встигне значно зменшитися за раху-
нок спонтанних переходів, і квантове підсилення резонансного
випромінювання буде неможливе. В мазерах, при нехтуванні
іншими механізмами розширення лінії, замість (1.68) ми отри-
маємо для ширини лінії
Л 1 ( 1 І 1 І 1 \ 1/1
2л т2 т//?/ 2л \т//?
4. Взаємодія з резонансним електромагнітним полем. Ця вза-
ємодія зменшує час життя енергетичних станів системи за ра-
хунок вимушених переходів. Таке розширення інакше називають
розширенням за рахунок насичення. Це явище відіграє негатив-
ну роль у квантових підсилювачах і генераторах, зменшуючи
ймовірність переходів при високих інтенсивностях стимульова-
ного випромінювання.
5. Інші процеси взаємодії між атомами, наприклад, спін-спі-
нова взаємодія. Звичайно ширина лінії атомів і молекул набага-
то більша, ніж радіаційна.
1.5.2. Неоднорідне розширення спектральної лінії
Неоднорідне розширення спектральної лінії виникає тоді,
коли під дією якихось факторів частота випромінювання ок-
ремих атомів зазнає змін в сторону як збільшення, так і змен-
шення. При неоднорідному розширенні різні атоми випроміню-
ють фотони різних частот. Якщо із сукупності атомів активної
речовини вибрати групу атомів (групу 1), які знаходяться
в однакових умовах (з точки зору взаємодії з електромагніт-
38
ним полем), то для цієї групи спектральна лінія буде лоренцо-
вою, тобто відповідати формулі (1.69) з центральною частотою
^01. Для другої групи атомів (групи 2), що знаходяться в одна-
кових, але відмінних від групи 1 умовах, центральна частота
буде л^02 і т. д. Таким чином, спектр поглинання (і випромі-
нювання) активної речовини буде суперпозицією спектрів по-
глинання окремих груп атомів. Ширина спектру поглинання ак-
тивної речовини буде більша (часто — набагато більша), ніж
ширина спектру окремих груп атомів, що знаходяться в одна-
кових умовах.
Позначимо через 5*^0 — ^) функцію розподілу груп атомів
за величиною Уо. Це означає, що із повного числа атомів N
група атомів числом СІМ, що визначається формулою
СІЛ^ = 5*(л^0 — А^^Л^СІА^о, (1.78)
буде мати центральну (резонансну) частоту (що входить в фор-
мулу (1.69)) в інтервалі від Vо до V04- (і^0. При цьому величина
є параметром (центральною частотою) функції 5 ^0 — ^).
Позначимо також
5£^-у0) = ЗД, (1.79)
де 5^) — лоренцова функція форми спектральної лінії, що
визначається формулою (1.69). Тоді суперпозиція функцій
5*^0 — ^) та 5£ (V — д^о) для всіх атомів дасть функцію форми
спектральної лінії всіх атомів активної речовини при неодно-
рідному розширенні:
00
— <о) = 5 5'(у0 — — уо)(ІУо. (1.80)
Інтеграл у даній формулі називається згорткою функцій
5>0 —і 5£^ — ?о)-
Згортка ДВОХ лоренцових функцій 5£1 (V — V,)) з шириною ЛІ-
НІЇ Ду, і 5д2^ — у0) з шириною Ду> дає лоренцову лінію, при-
чому ширина результуючої лінії
Дд? ДТ| -|- Ду2. (1.81)
Тому одночасний вплив двох (і більше) факторів, кожний
з яких дає однорідне розширення лінії, веде до однорідного
розширення лінії.
39
Але у випадку, коли один з факторів викликає неоднорід-
не розширення лінії (різне зміщення частот випромінювання
різних атомів), результуюча функція форми спектральної лінії
не буде лоренцовою. Тому при неоднорідному розширенні
спектральної лінії її форма відрізняється від лоренцової.
Якщо з двох функцій 5[ (V —'Уд) і 52(у — у0) одна має наба-
гато більшу ширину, ніж інша, наприклад,
Ду! » Ду2, (1.82)
то результуюча функція форми спектральної лінії буде збігати-
ся з відповідною складовою функцією, тобто в даному випадку
з $і(у-^).
1.5.3. Гауссова форма спектральної лінії.
Допплерівське розширення лінії
Відомо, що гауссів розподіл характерний для випадкових не-
перервних малих відхилень значень якоїсь величини від її се-
реднього значення. Тому гауссова форма лінії виникає тоді,
коли під дією якихось факторів частота випромінювання ок-
ремих атомів зазнає випадкових змін в сторону як збільшен-
ня, так і зменшення. Розширення спектральної лінії, при якому
функція її форми є гауссовою, називають звичайно повністю
неоднорідним. Повністю неоднорідним буде розширення лінії
тоді, коли виконується сильна нерівність (1.82), де ДV1 відпо-
відає неоднорідному розширенню, а ДV2 — однорідному.
Гауссова функція форми спектральної лінії має вигляд
<183>
У наведеному виразі коефіцієнт у показнику степеня вибрано
таким, щоб, у відповідності до визначення ширини лінії Ду,
виконувалась рівність
5^0±^ = І5(у0). (1.84)
В тому, що коефіцієнт перед експонентою повинен мати ви-
гляд, наведений у формулі (1.83), можна переконатися, враху-
вавши умову нормування (1.27) і використавши значення таб-
40
личного інтеграла
(1.85)
за врахуванням ДV VI,.
Найбільш важливою причиною неоднорідного розширення
спектральних ліній атомів (іонів, молекул) у газах є ефект Доп-
плера.
Нехай джерело коливань знаходиться у точці г і рухається
зі швидкістю V відносно приймача, що знаходиться у точці 0.
Якщо у системі координат, пов’язаній з джерелом коливань,
частота складає Vо, то в нерухомій системі вона дорівнює V,
причому в першому наближенні
У —Ур
Ур
(1.86)
де с — швидкість світла; — складова швидкості джерела
вздовж вектора т (у нашому випадку — вздовж напряму поши-
рення хвилі). Розподіл атомів (молекул) у газі за складовою
швидкості визначається функцією розподілу Максвелла
(1.87)
де М — маса атома (молекули).
Виразивши із (1.86) і підставивши у (1.87), ми отримаємо
функцію розподілу атомів за частотою випромінювання (погли-
нання)
и \ ( м \'12
ехр
Мс2 (у —Ур)2
2кТ V?
(1.88)
Функція форми спектральної лінії буде визначатися цим розпо-
ділом атомів за частотами випромінюваних фотонів. Зіставлен-
ня (1.88) з (1.83) показує, що в даному випадку ширина спек-
тральної лінії
(1.89)
41
Перейшовши до молярної маси Мм помноженням маси атома
М на число Авогадро, з (1.89) можна отримати зручну для роз-
рахунків формулу
(1.90)
З формули (1.90) видно, що характерною для допплерівсько-
го розширення лінії є залежність Д¥ — у/Т. Допплерівське роз-
ширення спектральних ліній газів спостерігається при достат-
ньо високих температурах і при достатньо малих значеннях
тиску (коли не відіграють важливої ролі зіткнення між атома-
ми, а теплова швидкість атомів достатньо висока).
У кристалах до неоднорідного розширення спектральних лі-
ній ведуть неоднорідності кристалічного поля, які локально
впливають на частоту випромінювання атомів. Очевидно, що
неоднорідності (чи флуктуації) електричного та магнітного
полів у активній речовині теж можуть вести до неоднорідного
розширення ліній.
З наведеного випливає, що неоднорідне розширення спект-
ральних ліній випромінювання у кристалах спостерігається при
достатньо низьких температурах (коли роль однорідного розши-
рення, пов’язаного з впливом коливань кристалічної ґратки,
незначна).
У аморфних речовинах (наприклад, у склі) та рідинах та-
кож відбувається значне неоднорідне розширення ліній, обу-
мовлене неоднорідностями розподілу сусідніх атомів (молекул)
біля випромінювальних центрів.
Згортка двох гауссових функцій 5С1 (V — ¥0) з шириною лінії
Д¥і і 5С2(^ — ¥о) з шириною Д¥2 дає гауссову функцію з шири-
ною лінії
Д V = (Д^+ Д¥|)1/2.
(1.91)
Тому одночасний вплив двох (і більше) факторів, кожний
з яких дає гауссову форму лінії, веде до гауссової форми
лінії.
Коли дія процесів, що викликають однорідне та неоднорідне
розширення лінії, дає внески одного порядку величини, функція
форми спектральної лінії визначається згорткою лоренцової
і гауссової функцій.
42
1.6. ВПЛИВ ЕФЕКТУ НАСИЧЕННЯ
НА ПОГЛИНАННЯ І КВАНТОВЕ ПІДСИЛЕННЯ
ЕЛЕКТРОМАГНІТНИХ ХВИЛЬ
У АКТИВНОМУ СЕРЕДОВИЩІ
При високих інтенсивностях випромінювання, що відповідає
переходам між рівнями Еі та £. квантової системи, ймовірності
переходів і -> / та / —► і, що відбуваються під дією даного ви-
промінювання, перевищують ймовірності переходів, обумовле-
них іншими механізмами. Це веде, внаслідок рівності (1.45),
тобто £,//&; == Вр/£і, до вирівнювання населеностей станів і
та /. А це, в свою чергу, веде до зменшення коефіцієнта погли-
нання або (при інверсній населеності рівнів Еі та Е;) коефіцієн-
та квантового підсилення резонансного випромінювання (для
якого /IV = £7 — £,). Дане явище називається ефектом наси-
чення. Крім того, при неоднорідному розширенні спектраль-
ної лінії ефект насичення веде до зміни спектру поглинання або
квантового підсилення: до «вигорання дірок» у спектрі.
Ефект насичення обмежує інтенсивність випромінювання
квантових приладів. У квантових підсилювачах радіодіапазону
насичення населеностей одних рівнів використовується для
створення інверсної населеності інших, робочих рівнів. На ос-
нові ефекту насичення працюють пасивні оптичні затвори, які
не пропускають резонансні фотони при малій інтенсивності
світла і стають прозорими при високих інтенсивностях. Виго-
рання вузької дірки у спектрі поглинання атомів газу викори-
стовується для стабілізації частоти генерації лазерів.
1.6.1. Ефект насичення у дворівневій системі
з однорідно розширеною
спектральною лінією
Нехай квантова система (наприклад, атом активної речови-
ни) має два стаціонарні стани з енергіями Ех та Е2» як показано
на рис. 1.7. Біля стрілок, що відповідають переходам між енер-
гетичними рівнями, вказано ймовірності переходів. Під дією ре-
зонансного випромінювання будуть відбуватися переходи 1 —► 2
з поглинанням фотонів, ймовірність яких виражається форму-
лою (1.22), тобто
^) = 012^)£ = ^/, (1.92)
43
де а12(¥) — переріз відповідного переходу; Ь — густина потоку
резонансних фотонів; / — інтенсивність даного випромінювання.
£2, N2
^2 <212 Л2і ^2. 021 ЛАг*
Рис. 1.7. Схема переходів дворівневої системи
Ймовірність переходу з вимушеним випромінюванням фотона
можна знайти з формули
Г21=^Г12, (1.93)
£2
де £і, §2 — кратності виродження відповідних рівнів. Ймовір-
ність спонтанних переходів визначається коефіцієнтом Ейн-
штейна Л21 = 1А2ь Де т2і — час життя верхнього стану 2 від-
носно спонтанного радіаційного переходу в стан 1. Величина
а12 — ймовірність переходу 1 —► 2 за рахунок механізмів, не по-
в’язаних з поглинанням резонансних фотонів. Ці механізми мо-
жуть бути обумовлені зіткненнями з електронами, атомами
(молекулами, іонами) в газі, з фононами (квантами коливань
кристалічної ґратки) у кристалах, що важливо для твердотіль-
них приладів радіодіапазону, і т. ін. №р—результуюча ймовір-
ність двох- і багатоступеневих процесів (за участю інших енер-
гетичних рівнів системи), в яких не бере участь резонансне
випромінювання і які використовуються для створення інверс-
ної населеності рівнів 1 і 2 (тобто для накачування). Наприк-
лад, під дією світла накачування атоми переходять з рівня Е{
на більш високий рівень Е3 (такий, що Е3> Е2), а потім спон-
танно — на рівень Е2. Такі переходи використовуються, наприк-
лад, для оптичного накачування в лазерах на основі 3-рівневих
систем. Величина а21 — ймовірність невипромінювальних (ре-
лаксаційних) переходів 2—► 1.
Враховуючи вказані переходи, можна записати кінетичне
рівняння для населеності верхнього рівня
= (^>2 + К + а12)М - (^21 + Лі + «21)^2, (1-94)
44
де — населеність нижнього рівня. Крім того, використаємо
умову збереження числа частинок
+ М, = М,
(1.95)
де ДО— повне число активних атомів. Тоді з рівнянь (1.94) та
(1.95) з урахуванням (1.93) одержимо
^ = (Г12 + ГР +а12)М-
Г12(1 + ^) + (Л21+Гр+а‘2+а21) (196)
У стаціонарному випадку, який реалізується при 1Г12 = сопзі
та при і —» оо, має місце
^ = 0, (1.97)
що дає
N2 = у---- ^2 + ^+^----------м (! 98)
(1+-^ )іг;2+ (4,+ 1Гр+ а12+ а21)
\ £2 /
З урахуванням (1.95) одержимо також
^2 + (4. + ^і)
М = 7--------------------N.
(1 +)^2+ (Л21+ «7 + а12+ а2|)
(1.99)
Врахувавши вирази для наєеленостей (1.98) і (1.99), ми мо-
жемо знайти густину інверсної населеності, яка визначається
формулою (1.53):
+ а!2 “ — (Лі + а2І )
ДДО = у-----г----------------------N. (1.100)
(1 + — )^2 + (Аі+ а,2+ а21)
На основі виразу (1.57) отримаємо для коефіцієнта кванто-
вого підсилення електромагнітних хвиль з частотою V
45
= о21(у)ДМ =
= О2|(¥)у-------г-----------------------N.
1 +)^2 + (Д2І+ «7 + а,2+ а21)
(1.101)
де а12(у) — переріз переходу атома між енергетичними рівнями
Е2 і Еі під дією електромагнітної хвилі (фотонів) частоти V. При
цьому коефіцієнт поглинання
а^) = -^(у).
(1.102)
1.6.1.1. Насичення при поглинанні резонансного
випромінювання
Розглянемо спочатку ефект насичення в стаціонарному ви-
падку, тобто при виконанні рівності (1.97). Проаналізуємо
отримані вирази (1.98)—(1.102). В оптичному діапазоні (при
а12 = 0) при відсутності накачування (що відповідає 1^ = 0)
і при малій інтенсивності резонансного випромінювання, тобто
при
Г12 (Л2| + а2,)/( 1 + £, /$2), (1 • 103)
ми отримаємо N1 = ЛГ; ДУ = —(Яг/Яі)М * коефіцієнт
поглинання визначається формулою
а(у) = а0(у) = о12 (у)М
(1.104)
що збігається з (1.24). При ІГр = а12 = 0 зі зростанням інтенсив-
ності резонансного випромінювання, тобто при зростанні ймо-
вірностей вимушених переходів І^12 і І^21, населеність верхньо-
го рівня збільшується, а нижнього — зменшується. При цьому
длг =
—(Аі + агі)
:---£-------------N.
1 + ^-)^2+(Л2І+а2І)
§2 /
(1.105)
Із формули (1.105) видно, що густина інверсної населеності
від'ємна. Це означає, що в дворівневій системі за рахунок
поглинання резонансного випромінювання неможливо ство-
рити інверсну населеність.
46
Залежність коефіцієнта поглинання від інтенсивності резо-
нансного випромінювання І отримаємо з (1.102) за врахуванням
(1.101), (1.105) та (1.92):
а(у) = о12(у)
Лі + Дгі
О|2(у)
ЙУ
N.
(1.106)
І + (Лі + а211
Вираз (1.106) звичайно записують у вигляді
(1.107)
де величина /5а визначається як
(Л2І + а2і)/іУ
5“ (1 + гі/«2)О|2^) ‘
(1.108)
Величина І5а отримала назву як інтенсивність насичення
при поглинанні резонансного випромінювання. Із формули
(1.107) видно, що при цій інтенсивності резонансного випро-
мінювання коефіцієнт поглинання становить половину від свого
значення, яке відповідає низькій інтенсивності резонансного
випромінювання.
Із формули (1.107) видно, що коефіцієнт поглинання гіпер-
болічно спадає зі зростанням інтенсивності резонансного
випромінювання. При цьому для однорідно розширеної спек-
тральної лінії її форма не змінюється.
Розглянемо тепер випадок, коли резонансне випромінювання
подається імпульсом тривалості
Д/1/(Д21 + а21). (1.109)
У цьому випадку кінетичне рівняння (1.96) зведеться до
^ = Г12 Л/-ґ1 + -^-^2
(1.110)
Тоді, при початковій умові М2(0) = 0 і врахуванні (1.92), ми
отримаємо
#2(0 = N/(1 + £і/£2) {1 — ехр
Оіг(У)
/IV
47
де НЕ — енергія резонансного випромінювання, що падає на
одиницю площі хвильового фронту в імпульсі, тобто
НЕ(і) = $/(ґ)сіґ.
о
(1Н2)
Енергія випромінювання, що падає на одиницю площі деякої
поверхні (не обов’язково поверхні хвильового фронту) за даний
час, називається енергетичною (променистою) експозицією.
Для густини інверсної населеності, що визначається формулою
(1.53), отримаємо із (1.111):
ДЛГ(/7 ) = _& Мехр
£і
Оіг(У)
Ну
НЕ
(1.113)
Із формули (1.113) видно, що густина інверсної населеності
від’ємна і спадає до нуля при НЕ -> оо. Залежність коефіцієнта
поглинання від експозиції НЕ має вигляд
ф,//£) = а0(у)ехр
О|;(У)
Ну
НЕ],
(1114)
де а0(¥) — коефіцієнт поглинання у відсутності резонансного
випромінювання. Видно, що коефіцієнт поглинання зменшуєть-
ся при зростанні енергії резонансного випромінювання в ім-
пульсі, причому а —► 0 при НЕ~* оо.
1.6.1.2. Насичення при квантовому підсиленні
резонансного випромінювання
Розглянемо тепер випадок, коли в кінетичному рівнянні (1.94)
для населеності верхнього рівня величина >* 0. Це означає,
що атоми переводяться зі стану 1 в стан 2 (здійснюється на-
качування) якимось способом, без використання резонансно-
го випромінювання. Тоді із виразу (1.100) видно, що при вико-
нанні нерівності
Гр>&-(Л21 + а21) (1.115)
створюється інверсна населеність пари рівнів Ех і Е2. При малій
інтенсивності резонансного випромінювання, тобто при
48
Г|2 + Л21 + а21 )/(!+$, /я2), (1.116)
із (1.100) отримаємо для густини інверсної населеності
ДМ = ДУ0 =
К-— (Ап+вг,)
---------------N,
Аі + а2І
(1.117)
а із (1.101) — для коефіцієнта квантового підсилення резонанс-
ного випромінювання
^)=^) = а2ДУ)^___М (1.118)
Спектр квантового підсилення буде таким же, як і спектр по-
глинання при відсутності інверсної населеності.
При достатньо високій інтенсивності резонансного випромі-
нювання, коли порушується сильна нерівність (1.116), із фор-
мули (1.101) за врахуванням (1.92) отримаємо залежність
коефіцієнта квантового підсилення від інтенсивності / резо-
нансного випромінювання
(1.119)
де величина І8^ визначається як
І (^ + Аі + Д2і)^¥
Зе (І + ^г/біІОгіМ
(1.120)
Величина /5а отримала назву як інтенсивність насичення при
квантовому підсиленні резонансного випромінювання. При даній
інтенсивності резонансного випромінювання коефіцієнт кван-
тового підсилення у зменшується в два рази від свого значення
у0, яке відповідає низькій інтенсивності.
Із формули (1.119) видно, що коефіцієнт квантового підси-
лення гіперболічно спадає зі зростанням інтенсивності резо-
нансного випромінювання. При цьому для однорідно розши-
реної спектральної лінії її форма не змінюється.
Порівняння формул (1.108) і (1.120) показує, що інтенсив-
ність насичення, яка відповідає квантовому підсиленню, біль-
ша, ніж подібна величина, що відповідає поглинанню. Це обу-
мовлено впливом накачування, яке протидіє насиченню.
49
Розглянемо тепер випадок, коли резонансне випромінювання
подається імпульсом тривалості
Дґ^1/(1Г, + Л21 + а2І).
(1.121)
У цьому випадку кінетичне рівняння (1.96) зведеться до (1.110),
з якого, з урахуванням (1.53), отримаємо кінетичне рівняння для
густини інверсної населеності
^- = -ґі + ^)г21длг.
<« \ 8і/
(1.122)
Тоді, при початковій умові (1.117), врахувавши (1.12), (1.92) та
(1.93), ми отримаємо
ДЛЇ(ґ) = ДМ> ехр — (1
\ Єї / Лт
НЕ(і) , (1.123)
де величина ДЛЇ0 — стаціонарне значення густини інверсної на-
селеності до початку імпульсу резонансного випромінювання;
величина НЕ, тобто енергія резонансного випромінювання, що
падає на одиницю площі хвильового фронту в імпульсі, визна-
чається формулою (1.112).
Таким чином, якщо в активній речовині створена інверсна
населеність робочих рівнів ДМ0, імпульс резонансного випромі-
нювання веде до зменшення величини ДЛЇ. При НЕ—* оо інверс-
на населеність зникає. Те ж можна стверджувати про коефі-
цієнт квантового підсилення
^(у,Я£)=^21(у)ДЛї(Я£) =
=^0(у)ехр -(1 + ^-)£771^
(1.124)
У радіодіапазоні ефект насичення має подібні закономір-
ності, але внаслідок малої відстані між енергетичними рівнями,
тобто
Е2 — Е{ кТ\
(1.125)
суттєву роль відіграють релаксаційні переходи 1 —► 2. При роз-
рахунках ефекту насичення треба використовувати кінетичне
рівняння (1.96), не нехтуючи величиною а12. При цьому в рівно-
50
важному випадку населеності робочих рівнів дуже мало відріз-
няються:
^2 руП / ^2 ^1 А Щ ґі Е2 А
& “я, Р1 кт гД кт }
(1.126)
1.6.2. Вигорання дірок у спектрах поглинання
і квантового підсилення систем
з неоднорідно розширеною лінією
Спрощена блок-схема установки для вимірювання спектрів
поглинання і квантового підсилення світла в активному сере-
довищі при високих інтенсивностях збудження наведена в До-
датку 4. Для зміни населеності досліджуваних рівнів викори-
стовується випромінювання потужного лазера Лн а для вимі-
рювання спектру поглинання (або квантового підсилення)—
лазера малої потужності Л2. Коли основним є неоднорідне роз-
ширення лінії, виконуються сильні нерівності
Ду£1, Ду£2 Д^^/ (1.127)
де і Ду£2 — спектральна ширина випромінювання лазе-
рів Лі і Л2, відповідно; Д^ — ширина однорідно розширеної
лінії, тобто така ширина, яка спостерігалася б, якби не було
неоднорідного розширення; ДV^ — ширина неоднорідно розши-
реної лінії.
На рис. 1.8, а наведено спектр поглинання активного се-
редовища при низькій інтенсивності збудження (при низькій
інтенсивності випромінювання лазера Л]). Спектр поглинання
відповідає функції форми спектральної лінії.
Неоднорідне розширення спектральної лінії активної речови-
ни веде до того, що форма лінії визначається одночасною дією
однорідних і неоднорідних механізмів і відповідає згортці (див.
формулу (1.80)) функцій форми спектральної лінії для одно-
рідного та неоднорідного розширення з відповідними ширинами
Ауи і ДV^. В таких системах монохроматичне випромінювання
з частотою уь взаємодіє лише з атомами, у яких частоти пере-
ходів попадають у смугу з «однорідною» шириною Ауи з цент-
ром, що відповідає частоті уь. Тому ефект насичення буде про-
являтися практично лише на населеності робочих рівнів вка-
заних атомів. Населеності робочих рівнів інших атомів, у яких
51
частоти переходів не попадають у смугу Д^, будуть змінюва-
тися незначно, лише внаслідок міжатомної взаємодії. Внаслідок
цього у спектрі поглинання (або квантового підсилення при
інверсній населеності робочих рівнів) з’являється «провал»
з центром на частоті уь. Даний ефект називають вигоранням
дірки у спектрі поглинання, або, при відповідних умовах,
у спектрі квантового підсилення.
Рис. 1.8. «Вигорання дірок» у неоднорідно розширеній спектральній лінії
атомів при високих інтенсивностях збудження лазерним випромінюванням
Нехай неоднорідне розширення спектральної лінії обумовле-
но неоднорідностями кристалічного поля, або неоднорідностями
електричного чи магнітного полів. Рис. 1.8, б ілюструє спектр
поглинання атомів при високій інтенсивності випромінювання
лазера Лр У спектрі поглинання «вигорає дірка» на частоті ла-
зерного випромінювання уь. Ширина провалу відповідає од-
52
норідному розширенню Д^, а його глибина зростає при під-
вищенні інтенсивності лазерного випромінювання.
Подібна ситуація має також місце, коли неоднорідне роз-
ширення спектральної лінії обумовлено ефектом Допплера у
газі. Але в даному випадку спектр поглинання, що відповідає
рис. 1.8, б (з одною «діркою»), спостерігається лише тоді, коли
у активному середовищі поширюється одна біжуча хвиля, тоб-
то немає стоячих хвиль. Якщо ж активне середовище знахо-
диться між двома дзеркалами Д! і Д2 в резонаторі, як показано
на рис. 1.9, то на атоми (або іони чи молекули) діють дві хвилі,
Рис. 1.9. Схема взаємодії фотонів з частотою < Vо,
що генеруються потужним лазером Л|, з групами ато-
мів А| та А2, які рухаються в протилежних напрямках
між дзеркалами Д| та Д2 резонатора
що поширюються в протилежних напрямках. Нехай на атоми
направлено випромінювання від потужного лазера Лі з часто-
тою < \^0, де відповідає центру спектральної лінії. Це озна-
чає, що енергії фотона не вистачає для поглинання нерухомим
атомом. Позначимо
Ду£ = у0 —т£. (1.128)
Зліва на рис. 1.9 показано, що фотони з частотою V£, що поши-
рюються зліва направо, поглинаються лише атомами Аи які
рухаються вліво (назустріч фотонам) зі швидкістю V, яка ви-
значається формулою (1.86), тобто
У=с(у0 — х1)/у0. (1.129)
Для цих атомів за рахунок ефекту Допплера частота фотонів
буде якраз відповідати величині у0. Тому населеність верхнього
рівня Е2 атомів Аі під дією фотонів зросте, а нижнього —
зменшиться, що приведе до зменшення коефіцієнта поглинання
на частоті у відповідності з формулою (1.107), тобто в спект-
рі поглинання «вигорить дірка», яка відповідає лівому «прова-
лу» на рис. 1.8, в. Глибина провалу зростає при підвищенні
інтенсивності випромінювання лазера ЛР
53
Відбиті від правого дзеркала фотони з частотою будуть
поглинатися лише атомами А2, що рухаються зі швидкістю V
зліва направо, як показано у правій частині рис. 1.9. У атомів
А2 теж зросте населеність верхнього рівня Е2 і зменшиться
населеність нижнього рівня Ех.
Таким чином, під дією потужного випромінювання лазера Лі
зменшиться («вигорить») населеність нижнього рівня двох груп
атомів, одні з яких (атоми А^ рухаються зі швидкістю V вліво,
а інші (атоми А2) рухаються з тією ж за модулем швидкістю
вправо.
Якщо тепер на атоми направити зліва направо випроміню-
вання низької потужності (що не впливає на населеність рівнів
Ех та £2) лазера Л2 з перестроюваною частотою, то можна ви-
міряти спектр поглинання газу. В спектрі поглинання буде один
«провал» на частоті V^ = V0 —ДV^, що відповідає поглинанню
атомів Аь які рухаються вліво, і другий «провал» на частоті
що відповідає поглинанню атомів А2, які рухають-
ся вправо. Спектр поглинання у даному випадку показано на
рис. 1.8, в. Такий же спектр поглинання буде, коли частота по-
тужного ВИПрОМІНЮВаННЯ > VI).
Нехай тепер на атоми подається потужне випромінювання
лазера Л] з частотою що відповідає центру спект-
ральної лінії. Це значить, що енергія фотонів достатня для
збудження атомів, у яких складова швидкості вздовж променя
дорівнює нулю. Тоді сильно поглинатися нерухомими атомами
(точніше, атомами, у яких складова швидкості вздовж променя
дорівнює нулю) будуть і ті фотони, що рухаються зліва напра-
во, і ті, що рухаються в протилежному напрямку. Це приведе
до «вигорання» глибокого провалу в спектрі поглинання на ча-
стоті \^0, в центрі спектральної лінії атомів, що ілюструється на
рис. 1.8, г.
У випадку, коли в активному середовищі (у газі) створена
інверсна населеність робочих рівнів (наприклад, за допомогою
електричного розряду), то замість поглинання світла буде спо-
стерігатися його підсилення. Тоді потужне лазерне випроміню-
вання спричиняє «вигорання дірок» у спектрі коефіцієнта
підсилення. Коли частота потужного випромінювання VВ=#VО,
спостерігаються два провали у спектрі коефіцієнта підсилення,
як на рис. 1.8, в. У випадку, коли Vв = Vо, спостерігається один,
більш глибокий, провал у спектрі коефіцієнта підсилення, що
ілюструється рис. 1.8, г.
Слід відзначити, що при достатньо високій потужності газо-
вого лазера у спектрі коефіцієнта підсилення активного середо-
54
вища даного лазера під дією власного випромінювання «виго-
рають провали», механізм яких такий же, як описаний вище.
Якщо частота випромінювання не відповідає центру лінії, тобто
у£¥= у0, вигорають два провали. А якщо = спостерігаєть-
ся один, але більш глибокий провал.
В одномодових газових лазерах з перестроюваною (напри-
клад, за рахунок плавної зміни довжини резонатора) частотою,
у яких переважає неоднорідне розширення спектральної лінії,
обумовлене ефектом Допплера, залежність вихідної потуж-
ності від частоти має провал у центрі лінії. Дане явище було
теоретично передбачено У. Е. Лембом (АУ. Е. ЬатЬе) у 1964 р.
і отримало назву провалу Лемба.
Ширина провалу, як указувалося вище, відповідає однорід-
ному розширенню спектральної лінії. Внаслідок того, що шири-
на провалу Лемба звичайно набагато менша, ніж ширина спект-
ральної лінії атомів газу (яка обумовлена ефектом Допплера),
центр провалу Лемба часто використовується як реперна точка
для стабілізації частоти газових лазерів.
ЗАДАЧІ ДО РОЗДІЛУ 1
Задача 1.1. Знайти коефіцієнт Ейнштейна В,2 для поглинання електро-
магнітних хвиль (що відповідає переходу атомів із стану 1 в стан 2) у ре-
човині, якщо відомий спектр поглинання а(Ігу) при даній концентрації N
поглинаючих центрів (атомів). Врахувати рівність а(Лї) = 0|2(Лї)М де оі2 —
переріз даного фотопереходу. Знайти також функцію форми спектральної
лінії 5^).
Задача 1.2. Нехай для ансамблю частинок з двома стаціонарними енер-
гетичними рівнями ймовірність спонтанного переходу з верхнього рівня на
нижній дорівнює Аі2. У момент часу 1 = 0 частинки знаходяться на верх-
ньому рівні. Знайти середній час перебування частинки на верхньому рівні
(час життя верхнього стану).
Задача 1.3. Вивести формулу Планка для спектральної густини енергії
рівноважного електромагнітного випромінювання, враховуючи, що фотони
підкоряються статистиці Возе—Ейнштейна.
Задача 1.4. У відповідності до моделі Томсона, атом водню складається
з «краплини» позитивно зарядженої «рідини» та електрона, який рухається
в даній «рідині». Рух електрона в електричному полі електромагнітної хвилі
напруженістю — відповідно до моделі Лоренца, можна описати рів-
СІ2Х , т сіх
нянням т—- = е&х — кх----------, де другий член справа описує силу куло-
сІЇ2 т сі/
нівської взаємодії електрона з «краплиною», а третій враховує «силу тертя»,
що обумовлює втрати енергії в атомі.
55
Знайти (з точністю до постійного множника) спектр поглинання ато-
ма, тобто частотну залежність відношення енергії, яка поглинається атомом,
до густини енергії електромагнітної хвилі. Вважати, що т» со0, де со0 —
власна частота коливань атома. Знайти функцію форми спектральної лінії
атома.
Задача 1.5. Частота випромінювання в лінії рубіна, яка використо-
вується в лазерах, Vо = 4,3• 101 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 і4 15 Гц (Х = 693 нм). При кімнатній температурі
ширина лінії, що має лоренцову форму, складає ДV = 1,12- 1011 Гц. Час ре-
лаксації люмінесценції (спонтанного випромінювання) для цієї лінії дорівнює
т = 4 мс. Показник заломлення рубіну и=1,76.
Знайти:
а) переріз вимушеного переходу в центрі цієї лінії;
б) радіаційну ширину лінії;
в) коефіцієнти Ейнштейна для переходів, що відповідають цій лінії.
Задача 1.6. Частота електромагнітних хвиль, що випромінюються при
інверсному переході І = К = 3 молекули аміаку МН3, дорівнює
= 23870 • 106 Гц «« 24 ГГц. Внаслідок ефекту Допплера при кімнатній тем-
пературі спектральна лінія має гауссову форму. Знайти ширину ДV спект-
ральної лінії випромінювання (та поглинання) молекул аміаку при темпера-
турі 300 К.
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ ДО РОЗДІЛУ 1
1. В чому полягають особливості когерентних хвиль?
2. Як охарактеризувати стан квантової системи, наприклад, атома?
3. Чому не існує абсолютно монохроматичного електромагнітного ви-
промінювання?
4. Дайте означення коефіцієнта поглинання і коефіцієнта квантового
підсилення світла.
5. Чим відрізняється вимушене випромінювання фотонів від спонтан-
ного?
6. Чим визначаються параметри вимушеного випромінювання?
7. Як залежить ймовірність вимушених переходів атома від параметрів
монохроматичного і немонохроматичного випромінювання?
8. Яку роль відіграє спонтанне випромінювання в квантових генера-
торах?
9. Дайте означення функції форми спектральної лінії. Які її основні
властивості?
10. Чим визначається мінімальна ширина спектральної лінії атома?
11. Чому Лоренц на основі неправильної моделі атома отримав правиль-
ний вираз для функції форми спектральної лінії поглинання?
12. Поясніть, які процеси зумовлюють однорідне розширення спектраль-
ної лінії.
13. Коли й чому спектральна лінія поглинання та випромінювання має
гауссову форму?
14. Поясніть механізм допплерівського розширення спектральної лінії.
15. Дайте означення густини інверсної населеності квантових станів ак-
тивного середовища.
56
16. Як пов’язано квантове підсилення електромагнітних хвиль з густи-
ною інверсної населеності робочих рівнів активного середовища?
17. Який зміст має поняття „від’ємна температура робочих рівнів»?
18. Розкажіть про механізм насичення при поглинанні резонансного ви-
промінювання.
19. Розкажіть про механізм насичення при квантовому підсиленні резо-
нансного випромінювання.
20. Що таке провал Лемба і який механізм його виникнення?
2 РЕЗОНАТОРИ В КВАНТОВІЙ
. ЕЛЕКТРОНІЦІ
Резонатори — це елементи квантових генераторів, які слу-
жать для виконання таких функцій:
а) для задання, фіксування частоти генерації. Висока моно-
хроматичність і когерентність випромінювання квантових гене-
раторів пов’язана з властивостями резонаторів;
б) для накопичення енергії електромагнітного поля;
в) для створення позитивного зворотного зв’язку в генера-
торі. У квантових генераторах активна речовина розташову-
ється всередині резонатора. Випромінювання, генероване вна-
слідок вимушених квантових переходів у активній речовині, в
результаті багаторазового відбивання від дзеркальних повер-
хонь резонатора підвищує амплітуду електромагнітних коли-
вань у резонаторі, які спричиняють вимушену генерацію елект-
ромагнітних хвиль у активній речовині. При цьому фаза виму-
шено генерованої електромагнітної хвилі збігається з фазою
первинної (стимулюючої) хвилі;
г) для формування просторових характеристик випроміню-
вання. Висока направленість лазерного випромінювання пов’я-
зана з властивостями резонаторів.
2.1. МОДИ РЕЗОНАТОРА
Модами (типами коливань) резонатора називаються стаціо-
нарні стани електромагнітного поля в резонаторі. Кожна мода
характеризується власною частотою (а значить — і енергією)
коливань, поляризацією та певним просторовим розподілом
амплітуди (та, у фіксований момент часу, фази) електричного
і магнітного векторів.
58
2.1.1. Моди резонатора у вигляді прямокутної
порожнини
Розглянемо резонатор у вигляді замкнутої прямокутної по-
рожнини, як показано на рис. 2.1, де — довжина резонатора,
іх і іу — ширина його відповідних бокових граней. Нехай всі
грані порожнини ідеально відбивають електромагнітні хвилі.
Рис. 2.1. Схема резонатора у вигляді замк-
нутої прямокутної порожнини
Нехай ох — вісь резонатора. Якщо електромагнітна хвиля по-
ширюється вздовж осі 02, то вона інтерферує з хвилею, відби-
тою послідовно від двох дзеркал. Відомо, що відбивання елек-
тромагнітної хвилі від двох однакових паралельних дзеркал не
веде до зміни фаз електричного і магнітного векторів. Тому для
розв’язання системи рівнянь Максвелла в резонаторі можна ви-
користати відомі розв’язки для необмеженого простору, але
ввести умову циклічності, наприклад, для електричного вектора
8(2) =8(2+ 2/*). (2.1)
Відомо, що для необмеженого простору розв’язок рівнянь
Максвелла являє собою суперпозицію плоских хвиль. Для плос-
кої електромагнітної хвилі зміна електричного вектора з часом
у просторі визначається формулою
8(г, і) = 80ехр[/(соґ — £г)], (2.2)
де 80— комплексна амплітуда; со = 2л V— циклічна частота;
к — хвильовий вектор (к = , де X — довжина хвилі).
Врахування граничної умови (2.1) приведе до того, що із
всіх хвиль вигляду (2.2), що поширюються вздовж осі 02, ста-
59
ціонарними будуть лише ті, для яких
ДОВЖИНОЮ ХВИЛІ
т = (2.6)
К = (2-3)
де <7 = ±1, ±2, ... Мода називається аксіальною (осьовою,
поздовжньою), якщо напрям її хвильового вектора збігається
з віссю резонатора (віссю ог). Для осьових мод к = к2, тобто
%(г, і) =£оехрр(аїї — кг)\. (2.4)
У цьому випадку умова квантування (2.3) має вигляд
= (2.5)
де індекс г? біля величини к вказує, що дане значення к відпо-
відає квантовому числу д. Врахуємо зв’язок між циклічною ча-
стотою, хвильовим вектором і
2лу___
~ ~~
де ус — швидкість світла у середовищі, що заповнює резонатор;
к = ^-. (2.7)
А
Тоді ми одержимо з (2.5) значення власних частот резонатора
71V,. V? / (-ч о \
= = (2.8)
де г?= 1, 2, 3, ..., і умову квантування для довжини хвилі:
= (2.9)
Умова квантування (2.9) означає: для аксіальних мод на
довжині резонатора повинно укладатися ціле число півхвиль.
Модами резонатора є стоячі хвилі.
В квантовій електроніці квантове число д для аксіальної
моди називають індексом даної моди.
60
Крім аксіальних мод, у резонаторі є неаксіальні (попереч-
ні) моди, для яких У випадку, коли к =4= к2У для елект-
ричного вектора, який змінюється у просторі відповідно до
(2.2), треба ввести граничну умову (2.3) на гранях, які перети-
нають вісь г, і аналогічні умови вздовж осей ох і оу:
кх = т\ к = п> (2.10)
а. а.
де т = 0, 1, 2, 3, ... і окремо п = 0, 1, 2, 3, ... Звичайно, вісь
ох вибирають вздовж ширшої з бокових граней резонатора,
тобто <іх > (Іу.
У формулі (2.10) рівність т = п = 0 відповідає аксіальним
модам, розглянутим раніше. Для поперечних (неаксіальних)
мод т + п Ф 0, тобто хоч одне із чисел т і п не дорівнює
нулю, і хвильовий вектор має неаксіальну складову. За враху-
ванням формул (2.3) і (2.10) для вектора к одержимо
к
п'тпд
ЗІ і т2 і п2
ЇЇ + ~а[ + ц ’
(2.И)
де т, и, д — цілі числа.
Враховуючи співвідношення (2.6) між величинами со і &,
знайдемо спектр власних частот резонатора
^тпд
[д2 ; т2 [ .
~ ™С1\І II + $ +
ус Ід2 . т2 п2
2 і2 + <2 "Г с!2 ’
(2.12)
В резонаторах мазерів, тобто квантових генераторів НВЧ-
діапазону, дзеркалами служать металеві стінки замкнутої по-
рожнини. Для підвищення коефіцієнта відбиття ці стінки полі-
руються і покриваються металом з високою електропровідністю,
наприклад, сріблом чи золотом. Розміри таких резонаторів од-
ного порядку з довжиною хвилі. При таких розмірах хвилі в ре-
зонаторі не поперечні. Моди, в яких електричний вектор всюди
поперечний до осі резонатора, називаються ТЕ-модами (від ан-
глійського ігапз'иегзе еіесігіс) і позначаються як ТЕтпг де т, и,
д — відповідні індекси. Ті моди, у яких магнітний вектор всюди
поперечний до осі резонатора, називають ГМ-модами (від ан-
глійського ігап^егзе та^пеііс) і позначають як ТМтпд. Просто-
рова структура таких мод буде розглянута у підрозділі 2.4.2.
Якщо розміри резонатора набагато більші від довжини хвилі
(як у оптичних резонаторів), то електромагнітні хвилі в резо-
61
наторі практично є поперечними (як у необмеженому просторі)
і називаються ТЕМ-модами (абревіатура від англійських слів
ігапзуегзе еіесігіс апй та§пеііс). Моди такого резонатора, які
відповідають індексам (квантовим числам) т, п, д, познача-
ються ТЕМтпч. Число д називають поздовжнім індексом моди
ТЕМтп</, числа т і п — поперечними індексами даної моди.
Як зазначалося, індекс д відповідає числу півхвиль, що ук-
ладаються на довжині резонатора Ік, тобто числу вузлів стоячої
хвилі, розташованих вздовж осі резонатора. Аналогічно, індек-
си т і п дають кількість вузлів стоячої хвилі вздовж осей х і у,
відповідно.
Відомо, що вузли стоячої хвилі, тобто місця, де амплітуда
дорівнює нулю, розділяють ділянки простору, в яких коливання
відбуваються у протилежних фазах. Це дозволяє якісно знайти
розподіл інтенсивностей і фаз коливань на дзеркалах, перпен-
дикулярних до осі резонатора, як показано на рис. 2.2, а. На
цьому рисунку квадрати відповідають торцьовим дзеркалам ре-
зонатора; штрихові лінії — вузли стоячої хвилі (темні смуги);
ТЕМ0І
ТЕМц
ТЕМ20
І; і; І
тем21
[Ш|
тем02
ТЕМп
тем22
а
Рис. 2.2. Розподіл фаз різних Т£ЛГмод на торцьовому дзеркалі у резонаторі:
а — з квадратними дзеркалами; б — з круглими дзеркалами
стрілками умовно показано напрям електричного вектора у дея-
кий момент часу. Індекс д для позначення ТЕМтпд мод опущено,
62
бо розподіл поля на торцьових дзеркалах не залежить від цього
індексу.
Якщо торцьові дзеркала резонатора круглі, а не квадратні
(тобто резонатор являє собою прямий круговий циліндр), то
моди такого резонатора у випадку, коли розміри резонатора
набагато більші довжини хвилі, теж позначаються ТЕМтпд, де
т — число змін фази вздовж радіуса дзеркала, п — за азиму-
том. Розподіл фаз електромагнітних коливань на круглому
дзеркалі резонатора схематично показано для деяких мод на
рис. 2.2, б.
Розглянуті резонатори у вигляді замкнутої порожнини нази-
ваються закритими. Такі резонатори зручні як модельні об’єк-
ти, але не використовуються в оптичному діапазоні. Причи-
ною цього є величезне число мод в такому резонаторі. Як по-
казано в Додатку 2 (див. формулу (Д2.12)), в резонаторі об’є-
мом V число мод (станів фотонів) у спектральному інтервалі
(V, V + Ду) складає
Д^ =
8лп3у2
с3
І/Ду,
(2.13)
де п — показник заломлення речовини, що заповнює резона-
тор. Для чисельної оцінки візьмемо об’єм резонатора У = 1 см3,
частоту 5,63 1014 Гц (що відповідає спектральній лінії неону
з Х = 0,633 мкм), ширину спектрального інтервалу ДV= 1,7 ГГц
(ширину вказаної лінії неону). Тоді з (2.13) отримаємо
ДМу^б-Ю8. Внаслідок такого великого числа мод резонатор
не буде мати резонансних властивостей у оптичному діапазоні,
тобто спектр генерованого випромінювання буде такий же, як
спонтанного випромінювання. Крім того, напрями поширення
мод такого резонатора розподілені ізотропно. Це означає, що
генероване випромінювання не було б направленим. Якщо зро-
бити одне з дзеркал частково прозорим (для виведення випро-
мінювання), то через це дзеркало буде виводитися випроміню-
вання лише незначного числа мод. Всі інші моди будуть внут-
рішніми, тобто не дадуть випромінювання на виході, але будуть
забирати енергію від активної речовини.
Зменшити число мод можна було б за рахунок зменшення
об’єму закритого резонатора. В оптичному діапазоні резонатор
повинен був би мати розміри порядку довжини хвилі, тобто
порядку 1 мкм. Але число випромінюючих атомів у активній
речовині всередині резонатора пропорційно об’єму. При змен-
шенні об’єму резонатора від 1 см3 до 1 мкм3 число випроміню-
63
ючих атомів у резонаторі зменшилось би в 1012 разів. Відпо-
відно зменшилась би енергія, яку можна отримати від активної
речовини.
Лазери, тобто квантові генератори оптичного діапазону,
були побудовані після того, як у 1958 р. О. М. Прохоровим,
а також А. Шавловим і Ч. Таунсом було запропоновано ви-
користовувати відкриті резонатори — резонатори Фабрі—
Перо.
2.2. ВІДКРИТІ РЕЗОНАТОРИ
У квантових приладах оптичного діапазону застосовуються
резонатори, які мають великі розміри, набагато більші від дов-
жини хвилі випромінювання, і одночасно мають невелике число
мод. Таким умовам відповідають відкриті резонатори.
Відкритими називаються резонатори, у яких є тільки тор-
цеві дзеркала, а бокові дзеркала відсутні. Одним з таких при-
ладів є інтерферометр Фабрі—Перо, винайдений у 1899 р. Від-
повідний резонатор, що застосовується у приладах квантової
електроніки оптичного діапазону, називається резонатором
Фабрі—Перо. У найпростішому випадку резонатор Фабрі—Пе-
ро складається з двох плоскопаралельних дзеркал, перпендику-
лярних до оптичної осі.
У відкритих резонаторах число мод обмежується внаслідок
того, що тільки хвилі, які поширюються під достатньо малим
кутом до осі резонатора, достатньо довго відбиваються від
дзеркал, тобто мають квазістаціонарні стани. Всі інші хвилі за
короткий час покидають резонатор і не мають стаціонарних
станів.
Для хвиль, що поширюються вздовж осі резонатора, час
життя фотонів у резонаторі обмежений двома факторами: не-
ідеальністю відбивання від дзеркал резонатора і дифракцією
на дзеркалах. Дифракційні втрати визначаються числом Фре-
неля, тобто числом зон Френеля, які на одному з дзеркал видно
з центра другого дзеркала:
^ = а2/(Мк), (2.14)
де а — радіус дзеркала; X — довжина хвилі; І# — відстань між
дзеркалами. У випадку, коли розміри дзеркал достатньо великі,
64
тобто
1,
(2.15)
дифракційні втрати будуть малі. Тоді, якщо коефіцієнти відби-
вання г обох дзеркал однакові та достатньо великі, тобто
1- г«^1, (2.16)
інтенсивність світла після п-разового відбивання буде зменшу-
ватися (у наближенні геометричної оптики) як
/ = /оехр[-(1-г)п], (2.17)
де /0 — її початкове значення. З (2.17) отримаємо, що концент-
рація фотонів у резонаторі буде зменшуватися з часом як
Л^ф = ^фоЄхр(—</тЛ), (2.18)
де величина тд — середній час перебування фотона в резона-
торі, який називається часом життя фотона в резонаторі. При
цьому в даному випадку
хЛ = /я/[(1-г)4 (2.19)
де — довжина резонатора; ус — швидкість світла в речовині,
що заповнює резонатор. Промінь, що поширюється в резона-
торі під кутом 6 до осі, покине резонатор за час т^, якщо
0 = 2а(1 (2.20)
Кут 0, що визначається формулою (2.20), можна взяти як мак-
симальний кут, під яким поширюються хвилі, що мають квазі-
стаціонарні стани. Тоді, врахувавши, що число мод пропорційне
до тілесного кута, можна оцінити відношення числа мод у від-
критому 1^то і закритому ІУті резонаторах однакових розмірів:
КЛ^^І-гМ (2.21)
Якщо взяти а = 0,5 см; г = 0,98; = 1 м, то отримаємо для
даного відношення Мто/Мт/ = Ю-8. Таким чином, у наближенні
геометричної оптики, використання відкритих резонаторів на
багато порядків величини зменшує число мод резонатора. Якщо
65
(при зменшенні діаметра дзеркал) порушується сильна нерів-
ність (2.15), тобто суттєвими стають дифракційні втрати, число
мод резонатора ще значно зменшується.
2.2.1. Моди резонатора Фабрі—Перо
з плоскими дзеркалами
Теорія резонатора Фабрі—Перо з плоскими дзеркалами
була розроблена Л. Фоксом і Т. Лі в 1960—1961 роках. Автори
розрахували на комп’ютері стаціонарний розподіл амплітуди і
фази на дзеркалах резонаторів. Розрахунки були виконані на
основі принципу Гюйгенса—Френеля, в скалярному наближенні.
Для використання даного наближення необхідно, щоб розмі-
ри дзеркал були набагато більші від довжини хвилі, електро-
магнітні хвилі були близькими до поперечних і однорідно по-
ляризованими (наприклад, лінійно або циркулярно). Схема
розрахунків представлена на рис. 2.3. Малий елемент площі
дзеркала Д, в околі довільної точки Р{ є практично точковим
Рис. 2.3. Схема розрахунків поля на
дзеркалах резонатора
джерелом, з якого поширюються сферичні хвилі, що досягають
довільної точки Р2 дзеркала Д2, яка знаходиться на відстані г
від точки Я,. Тоді, якщо А^Хі, у,) — розподіл комплексної ам-
плітуди хвилі на дзеркалі Д(, то розподіл амплітуди А2(х2, у2) на
дзеркалі Д2 можна знайти як результат суперпозиції хвиль, що
випромінюються всіма елементами дзеркала Д,, тобто
/А р о—ікг
А(Х2, Уі) = 4^З А(Х1, У1) — (1 + соз0)65,, (2.22)
5,
де & = 2л/А.; 5! — площа дзеркала Д,. Задавши деякий почат-
еє
ковий розподіл амплітуди А^х^у,) на дзеркалі Д|, за форму-
лою (2.22) чисельним інтегруванням знаходять розподіл амплі-
туди Л2(х2, у2) на дзеркалі Д2. Потім, знаючи розподіл Л2(х2, у2),
розраховують таким же чином розподіл амплітуди на дзеркалі
Дь тобто використовують метод послідовних наближень. Після
достатньо великого числа (приблизно 200—300) таких кроків
Фокс і Лі отримали однаковий розподіл комплексної амплітуди
Л(х, у) на обох дзеркалах, який залишався незмінним з точні-
стю до комплексного множника у, тобто
оА(х2, у2) = — Л(х„ Уі)^~(1 + созО)^. (2.23)
Я5, г
Вираз (2.23) являє собою однорідне інтегральне рівняння Фред-
гольма другого роду. Власні функції його описують розподіл
комплексної амплітуди по дзеркалу для мод резонатора. Ос-
кільки інтегральний оператор у (2. 23) неермітів, власні зна-
чення його комплексні, тобто
а = |а|ехр(і<р). (2.24)
При цьому величина
у = 1 - |о|2 (2.25)
визначає відносні втрати інтенсивності за один прохід, обумов-
лені дифракцією, для даної моди. Величина ф визначає фазовий
зсув хвилі в даній моді при її поширенні від одного дзеркала до
другого. Умова резонансу для даної моди має вигляд
ф + 2л^ = л<7, (2.26)
А
де 1К — довжина резонатора; д — ціле число. У випадку, коли
ф = 0, ми отримаємо аксіальні моди, для яких умова резонансу
збігається з рівністю (2.9), отриманою для аксіальних мод за-
критого резонатора. Різні власні значення величини ф, а зна-
чить і різні частоти, при фіксованому значенні числа д відпові-
дають різним власним функціям рівняння (2.23), тобто різним
неаксіальним модам. Важливою властивістю власних функцій
А(х, у) рівняння (2.23) є їх ортогональність. Це означає, що
електромагнітні коливання в різних модах незалежні.
Фокс і Лі провели чисельні розрахунки розподілу амплітуди
і фази на поверхні дзеркал, а також частот і дифракційних втрат
67
для різних мод резонаторів Фабрі—Перо з плоскими, сферич-
ними і параболічними дзеркалами при різних значеннях числа
Френеля. Основні висновки їхніх робіт такі:
а) відкриті резонатори, як і закриті, мають дискретний на-
бір мод;
б) електромагнітні хвилі, що відповідають модам відкритого
резонатора, мало відрізняються від поперечних і тому познача-
ються як ТЕМ^-моци;
в) у відкритих резонаторах, як і у закритих, є аксіальні
(поздовжні) та неаксіальні (поперечні) моди. Аксіальні моди
відповідають індексам т = п = 0. Розподіл комплексної амплі-
туди на поверхні дзеркал для аксіальних мод даного резонатора
не залежить від поздовжнього індексу д. Крім того, як правило,
точні значення індексів д для лазерного випромінювання не-
відомі. Сукупність аксіальних мод резонатора називають його
основною модою. Поперечні моди, яким відповідають ненульо-
ві індекси т і и, тобто т + п =£ 0, називають модами вищого
порядку. Кожна мода вищого порядку має свій розподіл ком-
плексної амплітуди на поверхні дзеркал. Для резонаторів Фаб-
рі—Перо з плоскими дзеркалами структура поля на поверхні
дзеркал для різних мод якісно така ж, як показана на рис. 2.2
для закритих резонаторів;
г) власні частоти ТЕМтпд-мол з малими індексами т і п від-
критого резонатора такі ж, як і для закритого резонатора.
Для спектру частот відкритого резонатора з прямокутними
дзеркалами справедливий вираз (2.12). На відміну від закри-
того резонатора, у відкритому резонаторі існують лише моди
з малими індексами т і и, тобто
т-\-п<^д. (2.27)
Тому праву частину рівності (2.12) можна розкласти в степене-
вий ряд і отримати для спектра частот
V = А і і
тпд 2 [і„ 2д\а2х /
(2.28)
де позначення такі ж, як і в (2.12).
Для відкритого резонатора з плоскими круглими дзеркалами
спектр частот має вигляд
V
г тпд
Я__і г 2
2 ”ґ псРд ^тп
(2.29)
68
де (і — діаметр дзеркала; ^тп — п-и корінь функції Бесселя пер-
шого роду порядку т. Структура поля на дзеркалах відкритого
резонатора з круглими дзеркалами для різних мод така ж, як
показана на рис 2.2, б.
В резонаторі з плоскими дзеркалами хвильовий фронт мод
на дзеркалах плоский. Тому кутова розбіжність генерованого
лазером випромінювання мала. Поперечний розподіл густини
енергії у світловому пучку всередині резонатора практично
однаковий по всій довжині резонатора. Тому в таких резонато-
рах ефективно використовується об’єм активної речовини.
Але резонатори з плоскими дзеркалами дуже чутливі до не-
співвісності дзеркал. Тому найбільш широко використовуються
резонатори не з плоскими, а з ввігнутими сферичними дзерка-
лами з великим радіусом кривизни та резонатори з одним сфе-
ричним дзеркалом і одним плоским дзеркалом.
2.3. РЕЗОНАТОРИ ЗІ СФЕРИЧНИМИ
ДЗЕРКАЛАМИ
Спільною рисою резонаторів зі сферичними дзеркалами є те,
що хвильовий фронт електромагнітних хвиль, що відповідають
модам резонатора, на дзеркалах сферичний і має радіус кри-
визни відповідних дзеркал. Ця властивість обумовлена тим, що
у всіх точках на поверхні дзеркала знаходиться вузол стоячої
хвилі, тобто фаза коливань однакова. В таких резонаторах по-
ширюються гауссові пучки електромагнітних хвиль.
2.3.1. Поширення гауссового пучка
випромінювання
Пучок випромінювання називають гауссовим, якщо з від-
станню г від осі пучка амплітуда коливань змінюється згідно
з розподілом Гаусса
А(г) = А0ехр(-г2/^2), (2.30)
де величина має назву радіуса пучка.
Розглянемо зміни амплітуди і фази коливань при поширенні
електромагнітної хвилі у вільному просторі. Із рівнянь Макс-
69
велла у випадку поширення хвилі в однорідному діелектрично-
му середовищі без втрат можна отримати хвильове рівняння
для електричного вектора
^_о2Д»=0, (2.31)
ОІ
де ис — швидкість світла в даному середовищі; Д — оператор
Лапласа. Для монохроматичного випромінювання
ї(х, у, г, і) = А(х, у, г)ехр(ісої). (2.32)
де А — комплексна амплітуда коливань; уо — циклічна частота
коливань. При поширенні лінійно поляризованої електромагніт-
ної хвилі у вільному просторі напрям електричного вектора за-
дається площиною коливань і напрямом поширення хвилі. Тому
в рівнянні (2.31) і в формулі (2.32) можна опустити векторні
позначки. За врахуванням цього, підставивши вираз для напру-
женості поля (2.32) в (2.31), ми отримаємо скалярне рівняння
для амплітуди поля
Д4 + к2А = 0, (2.33)
де к — хвильове число, тобто к = (а/ус. Дане скалярне рівнян-
ня для просторового розподілу комплексної амплітуди хвилі
має назву рівняння Гельмгольца.
Нехай вісь пучка направлена вздовж осі г, а гранична умова
для даного рівняння має вигляд розподілу Гаусса (2.30) при
2 == 0, тобто
А(х, у, 0) = Аоехр[—г2/^], (2.34)
де г2 = х2 + у2. Розв’язок рівняння Гельмгольца шукають у ви-
гляді
А(х, у, г) = Аоф(х, у, г) ехр(-ікг), (2.35)
де функція ф(х, у, г) змінюється набагато повільніше вздовж
осі г, ніж функція ехр(—ікг). Підставивши (2.35) в (2.34) і
52г|>
знехтувавши малим доданком —7 та скоротивши на експонен-
дг2
ту, одержимо лінійне однорідне рівняння другого порядку
для функції ф(х, у, г)
>+>-2і‘г-°- <2-36’
70
Із (2.34) за врахуванням (2.35) отримаємо граничну умову для
розв’язання даного рівняння:
Ф(х, у, 0) = ехр[—г2/^]. (2.37)
Розв’язок рівняння (2.36) при граничній умові (2.37) має
вигляд
<Л г) - ехр |>Р(2) - г= -
(2.38)
де «*(г) — радіус пучка; Р(г) дає фазовий зсув при поширенні
хвилі вздовж осі г; Р(г) — радіус кривизни хвильового фрон-
ту в точці (0, 0, г).
При цьому
а® =а«о
1/2
(2.39)
1 +
Р(2) = 2 1 +
(2.40)
(2.41)
Підставивши (2.38) у вираз для амплітуди хвилі (2.35), от-
римаємо розв’язок для просторового розподілу амплітуди:
Д(х, у, 2) =
= Л ехр 1-і кх - Р(х) + г2
-?- • (2-42)
Із порівняння (2.42) з означенням гауссового пучка (2.30)
видно, що при будь-якому значенні координати х вздовж осі
пучок залишається гауссовим, причому його радіус визнача-
ється виразом (2.39). Поверхня, яка відповідає рівнянню
х2 + у2 = «®2(г) (2.43)
і обмежує область, де зосереджена основна енергія хвилі, — це
гіперболоїд обертання. На рис. 2.4 схематично показано пе-
реріз даної поверхні для гауссового пучка. Враховано, що від
71
площини 2 = 0 хвиля поширюється і вправо, і вліво. Переріз,
що відповідає найменшому радіусу пучка (в площині х = 0 на
даному рисунку), називається перетяжкою пучка. В перетяжці
радіус пучка е^(0) =
Рис. 2.4. Переріз гауссового пучка
В дальньому полі, тобто коли
2 » ки^/2,
із (2.39) отримаємо
2г
(2.44)
(2.45)
тобто пучок обмежується конусом. Переріз даного конуса по-
казано штриховими лініями на рис. 2.4. Із виразу (2.45) можна
знайти кут розкриття конуса —
0„ = 2«г/г = —------—, (2.46)
де к — модуль хвильового вектора; X — довжина хвилі.
Рівняння для хвильового фронту пучка можна отримати як
рівняння поверхні, що відповідає фіксованій фазі, тобто фіксо-
ваному значенню уявного доданку в (2.42):
&г—Р(г) + -£-г2 = СОП8Ї. (2.47)
В дальньому полі, тобто при виконанні сильної нерівності
(2.44), із (2.40) отримаємо Р(г)«л/2; (2.41) спроститься до
/?(г)« г. (2.48)
72
Тоді рівняння для хвильового фронту (2.47) прийме вигляд
(2+їїг2) = /?0’ (2.49)
де /?0 — стала величина для даного пучка. При
г«г (2.50)
хвильовий фронт сферичний, причому радіус його кривизни
дорівнює /?0. Дійсно, з рівняння сфери
х2 + у2 + г2 = /?2 (2.51)
при виконанні (2.50) можна отримати
X2 + у2 = - г2 - 2г(/?0 - г), (2.52)
звідки, врахувавши, що г2 = х2+г/2, отримаємо (2.49).
Розв’язок диференційного рівняння (2.36) буде таким же, як
(2.38), якщо взяти іншу граничну умову: при деякому значенні
координати г хвильовий фронт збігається зі сферою радіуса /?0,
а розподіл інтенсивності — гауссів з радіусом пучка, що визна-
чається формулою (2.41).
Можна показати, що після відбиття гауссового пучка від
сферичного дзеркала довільного радіуса кривизни, або після
його проходження крізь ідеальну тонку лінзу, пучок залиша-
ється гауссовим, а зміну його параметрів можна розрахувати
методами хвильової оптики.
2.3.2. Стійкі та нестійкі резонатори
Резонатор називається стійким, якщо, у наближенні геомет-
ричної оптики, промені, які поширюються в резонаторі, так фо-
кусуються дзеркалами, що не виходять за межі резонатора.
Стійкі резонатори мають стаціонарний розподіл поля, що відпо-
відає їхнім модам.
У нестійкому резонаторі при відбитті променів від дзеркал
значна частка енергії виходить за межі резонатора. Промінь,
що спочатку поширюється вздовж осі резонатора, з кожним
відбиттям від дзеркала віддаляється від осі та після певного
числа відбивань виходить за межі резонатора.
73
Для резонатора, створеного двома дзеркалами з радіусами
кривизни /?! і /?2 > 0 для увігнутого дзеркала і Л < 0 для
опуклого дзеркала), що знаходяться на відстані одне від од-
ного, можна ввести безрозмірні параметри
1 (2.53)
та
£я2 = 1 ^2- (2-54)
Розрахунки на основі геометричної оптики дають умову стійко-
сті резонатора:
І-
(2.55)
Дану умову можна також отримати в наближенні хвильової
оптики. Якщо сферичні дзеркала Ді і Д2 резонатора мають, від-
повідно, радіуси кривизни і /?2> то граничними умовами для
диференціального рівняння (2.33) для амплітуди поля є сфе-
ричні хвильові фронти з радіусами кривизни і /?2> Щ° знахо-
дяться на відстані 1% один від одного. Тоді відстань від пере-
тяжки світлового пучка до дзеркала Д! можна знайти з фор-
мули (2.41), тобто
^1 = 2,
(2.56)
ЗВІДКИ
г, = |/?2 (1 ± [1 - (М//?2)2 ї/2} • (2.57)
Аналогічно, для відстані дзеркала Д2 від перетяжки пучка от-
римаємо
г2 = | Я2 (1 ± [1 - (М//?2)2|'/2}. (2-58)
причому відстань між дзеркалами визначається як
^ = 2і + 22- (2.59)
У випадку, коли виконуються нерівності (2.55), розв’язок
системи рівнянь (2.57)—(2.59) дає дійсні додатні значення ве-
74
личин г,, г2 і Рівняння (2.33) має розв’язок у вигляді га-
уссового пучка, що відповідає аксіальним модам резонатора
ТЕМ^.
Якщо ж нерівності (2.55) не виконуються, то розв’язку рів-
няння (2.33) відповідає уявне значення ае0. Це означає, що рів-
няння (2.33) не має розв’язку у вигляді гауссового пучка, а зна-
чить, резонатор не має стаціонарних станів електромагнітних
хвиль, тобто мод.
На рис. 2.5 наведена діаграма стійкості резонатора. Суцільні
криві відповідають рівності Яяі^я2= 1- Область стійкості резо-
наторів заштрихована. Пряма АВ відповідає симетричним резо-
наторам (у яких радіуси кривизни дзеркал однакові). В точці А
параметри §яі=§я2 = — Ь тобто /д = 2/?, де 7? — радіус кри-
визни дзеркал, що відповідає концентричному резонатору (див.
рис. 2.6, а). Концентричний резонатор включає два сферичних
дзеркала, у яких суміщені центри кривизни.
Рис. 2.5. Діаграма стійкості резо-
наторів зі сферичними дзеркалами
Концентричний резонатор має дуже малий радіус променя в
перетяжці, що відповідає центру кривизни. Це призводить до
неефективного використання об’єму активної речовини. Велика
густина енергії в перетяжці променя може призводити до неба-
жаних нелінійних ефектів у лазерах великої потужності. Крім
того, структура поля в такому резонаторі дуже чутлива до не-
співвісності дзеркал. Тому концентричні резонатори використо-
вуються рідко.
75
При зміщенні вліво від точки А вздовж прямої АВ, тобто
при збільшенні відстані між дзеркалами (при незмінному раді-
усі дзеркал) резонатор стає нестійким.
Рис. 2.6. Резонатори зі сферичними дзеркалами:
а — концентричний резонатор; б — конфокальний резонатор; в — майже
півсферичний резонатор; г — напівконфокальний резонатор
Точка £яі=£/?2 = 0 на рис. 2.5 відповідає рівності =
тобто симетричному конфокальному резонатору (рис. 2.6, б).
Конфокальний резонатор складається з двох сферичних дзер-
кал, фокуси яких суміщені.
Відмінності радіусів кривизни дзеркал у конфокальному ре-
зонаторі зміщують точку в 2-й або в 4-й квадрант діа-
грами на рис. 2.5, тобто в область нестійкості, вздовж відпо-
відних гілок гіперболи, що відповідає рівнянню
£2 = £і/(2£і — 0- (2.60)
Ця гіпербола показана штриховою лінією на рис. 2.5.
В конфокальному резонаторі переріз світлового пучка в пере-
тяжці малий, що веде до неефективного використання об’єму ак-
тивної речовини. Конфокальні резонатори зручні як модельні об’-
єкти для розрахунків, але на практиці використовуються рідко.
В точці В на рис. 2.5 параметри = 1, тобто
= що відповідає резонатору з плоскими дзеркалами.
Як уже згадувалося, в таких резонаторах ефективно використо-
вується об’єм активної речовини. Але резонатори з плоскими
дзеркалами дуже чутливі до неспіввісності дзеркал.
76
Зміщення вправо від точки В вздовж прямої АВ відповідає
від’ємному радіусу кривизни дзеркал, тобто опуклим дзер-
калам. Для симетричних резонаторів з опуклими дзеркалами
£/?і£/?2>1, тобто такі резонатори нестійкі. Найбільш широко
використовуються в лазерах резонатори, які складаються або
з двох ввігнутих дзеркал з великим радіусом кривизни (до
В— 10//?), або з ввігнутого і плоского дзеркал. У таких резо-
наторів з двома ввігнутими дзеркалами добуток §К2 < 1
і відповідає області стійкості резонатора поблизу точки В на
рис. 2.5. Такі резонатори дають більший переріз світлового
пучка, ніж конфокальні резонатори, і мають задовільну стій-
кість до неспіввісності дзеркал.
Широко використовується в лазерах малої потужності
майже півсферичний резонатор, схематично показаний на
рис. 2.6, в. Такий резонатор складається з плоского дзеркала
і сферичного дзеркала радіуса кривизни /?. При цьому відстань
між дзеркалами
1К<В; (2.61)
У таких резонаторів 0 < £, «с 1; §2 = 1, тобто 0 < §К2 -с 1,
що відповідає області стійкості резонатора поблизу вертикаль-
ної осі діаграми на рис. 2.5. Майже півсферичні резонатори
мають малу чутливість до неспіввісності дзеркал. Світловий
пучок у такому резонаторі має майже конічну форму, і тому
об’єм активної речовини використовується неефективно. Але
в лазерах малої потужності, коли отримання високих значень
ККД не має великого значення, даний недолік не важливий.
Конструктивно зручно глухе дзеркало такого резонатора виго-
товляти сферичним, а вихідне дзеркало — плоским.
Напівконфокальний резонатор (рис. 2.6, г) складається зі
сферичного дзеркала і плоского дзеркала, центр якого знахо-
диться у фокусі сферичного дзеркала. Сферичне дзеркало і
його уявне зображення в плоскому дзеркалі такого резонато-
ра відповідають геометрії конфокального резонатора. У таких
резонаторів = 1/2; §2 = 1, тобто Я/?і£/?2 = 1/2, що відпові-
дає області стійкості резонатора зліва від точки В діаграми на
рис. 2.5.
На рис. 2.7 схематично показаний нестійкий резонатор, що
складається зі сферичного і плоского дзеркал. Для даного ре-
зонатора 1; §2= 1, тобто §КІ§К2> 1, що відповідає об-
ласті нестійкості резонатора справа від точки В діаграми на
рис. 2.5.
77
У нестійких резонаторах дуже ефективно гасяться попе-
речні моди. Ефективно використовується об’єм активної ре-
човини, що дуже важливо для лазерів високої потужності.
Рис. 2.7. Нестійкий резонатор
Нестійкі резонатори мають високі геометричні втрати енергії
випромінювання. Тому такі резонатори використовуються, коли
коефіцієнт підсилення світла за один прохід між дзеркалами
достатньо великий. Високі геометричні втрати енергії з недо-
ліку перетворюються в перевагу в потужних лазерах такої
конструкції, де випромінювання, що виходить за бокові межі
дзеркала резонатора, включається в загальний потік випромі-
нювання лазера.
2.3.3. Моди резонаторів зі сферичними
дзеркалами
В інтегральному рівнянні для комплексної амплітуди елект-
ромагнітного поля (2.23) на дзеркалах резонатора у випадку,
коли число Френеля
#Р»1, (2.62)
дифракційними втратами можна знехтувати, що відповідає рів-
ності
|о|= 1. (2.63)
Тоді власні функції рівняння (2.23) у декартовій системі ко-
ординат для резонатора з квадратними сферичними дзеркалами
мають вигляд
А(х, у, г) = Аі(х, у, г)Рг(г)Рг(г, г), (2.64)
де перший множник дає просторовий розподіл модуля ампліту-
ди поля:
78
А(х, </,г) = А-^Я,
л/2х
а»(г)
нп
•ІЇУ
«>(г)
ехр
йй • <265>
де Нт та Нп — поліноми Ерміта порядків т та /і, відповідно;
враховано, що г2 = х2 + у, початок координат знаходиться
в центрі перетяжки світлового пучка; вісь г направлена вздовж
осі резонатора; радіус світлового пучка на дзеркалі резонатора
<^(г) визначається формулою (2.39). Поліноми Ерміта кількох
нижчих порядків мають вигляд
//0(х)=І; //1(х) = 2х; #2(х) = 4х2 - 2;
Я3(х) = 8х3 - І2х; Я4(х) = 16х4 - 48х2 + 12. (2.66)
Другий множник у виразі (2.64) враховує зміну фази вздовж
осі резонатора і має вигляд
Р2(г) = ехр{—і[кг — (1 + т + /і)Р(г)]}, (2.67)
де числа т та п — ті ж, що й у формулі (2.65); величина Р(г)
визначається формулою (2.40).
Третій множник дає зміну фази хвилі в площині, перпенди-
кулярній до осі резонатора:
Рг(г, г) = ехрІ-^^Дг^г)]}, (2.68)
де величина /?(г) визначається формулою (2.41).
Власні частоти резонатора можна розрахувати із умови, що
набіг фази на довжині резонатора, що визначається формулою
(2.67), кратний до я, тобто
кІг- (І + т + п)[Р(г1) - Р(г2)] = я?, (2.69)
де враховано, що гх і г2 — відстані дзеркал від перетяжки
світлового пучка, причому довжина резонатора //? = г1 + г2.
Із (2.69) можна отримати спектр власних частот для мод
ТЕМ^-резонатора —
= ^ц[я + (1 + т + п)агссо8(я/?1Я/г2)А|, (2.70)
де — швидкість світла в речовині, що заповнює резонатор;
параметри резонатора і £Р2 визначаються формулами (2.53)
і (2.54).
79
Для конфокального і напівсферіїчного резонаторів
£яіЯ/?2 = 0> Щ° Да^ спектр частот
»тпд = ^[2<7 + (1 + т + л)].
(2.71)
2.3.4. Розподіл випромінювання на дзеркалах
резонатора
Розподіл амплітуди поля електромагнітної хвилі на сферич-
них дзеркалах резонатора для основної моди та мод вищих по-
рядків ТЕМтпд визначається виразом (2.65). Індекси т та п від-
повідають степеням поліномів Ерміта Нт і Нп. Відомо, що число
нулів полінома дорівнює його степеню. Тому для моди ТЕМтпя
число вузлів (темних смуг на дзеркалі) вздовж осі х становить
т, а вздовж осі у дорівнює п. Це відповідає розподілу світло-
вих плям на дзеркалі, схематично показаному на рис. 2.2, а.
Для основної моди ТЕМцця радіуси світлових плям на дзер-
калах визначаються формулами
________Я/?2_________
£/?І (І
11/4
_______Я/?і______
Я/?2 (І ^яіЯяг)
1/4
(2.72)
(2.72а)
В даних виразах, як і раніше, величини і визначають
розподіл амплітуди хвилі у площині, перпендикулярній до осі
резонатора згідно з формулою (2.30); параметри і ви-
значаються формулою (2.53).
Аналіз формул (2.72) і (2.72а) підтверджує висновок, що
нерівності (2.55) визначають умову стійкості резонатора. Дій-
сно, коли виконується одна із нерівностей та
Ері величини і будуть уявними. Якщо виконуєть-
ся рівність 1, величини і будуть нескінченними.
Якщо Ж виконується рівність §Р2 = 0> то хоча б одна з вели-
чин І 1&2 нескінченна.
Для симетричного резонатора, тобто при ви-
рази (2.72) і (2.72а) спрощуються до
101 =
т\1/2/ і \|/4
\ я /
(2.73)
80
Для симетричного конфокального резонатора радіус світлової
плями на дзеркалах мінімальний (при фіксованих значеннях ве-
личин X і /д) і визначається як
^і=«в2 = (Х//?/д)1/2.
(2.74)
Для резонатора з плоскими дзеркалами і для симетричного
концентричного резонатора, коли = 1, радіус світлової пля-
ми на дзеркалах
«в( = «*2
(2.75)
Радіус перетяжки хвильового пучка для основної моди си-
метричного резонатора можна знайти із формули (2.39) за вра-
хуванням (2.73):
Для симетричного конфокального резонатора радіус перетяжки
хвильового пучка мінімальний і визначається формулою
(2.76а)
2.3.5. Кутова розбіжність випромінювання
лазерів
У параграфі 2.3.1 показано, що в дальньому полі, тобто на
великій відстані від перетяжки гауссового пучка, коли викону-
ється сильна нерівність (2.44), пучок має конічну форму, а хви-
льовий фронт — сферичний. При відстані І від центра резонато-
ра, довжина якого Ік, умова (2.44) перетворюється на
/»/Л.
(2.77)
Кут розбіжності випромінювання лазера визначається як
(2.78)
де (і, — діаметр світлової плями на відстані І від центра резона-
81
тора. Схема визначення кута розбіжності показана на рис. 2.8.
При цьому звичайно за діаметр світлової плями беруть діаметр
кола, на якому інтенсивність випромінювання складає половину
інтенсивності на осі пучка.
Рис. 2.8. Пучок лазерного випромінюван-
ня в дальньому полі
Тоді для гауссового пучка
Є = ег71п 2/2 ~ 0,589 ег, (2.79)
де кут 0г визначається формулою (2.46). У загальному випадку
для резонатора зі сферичними дзеркалами розрахунки кута роз-
біжності пучка для основної (тобто ТЕМ00) моди дають
/ 1п4 х\І/2(^ + ^2-2^і^2)і/2
(2.80)
Для симетричного резонатора, тобто при = да-
ний вираз спрощується до
/ . , п Л \ 1/2 /. х 1/4
0 __ ( 41п 2 X \ / І £/? \
(2.81)
Для симетричного конфокального резонатора (при = £Л2 =
= 0) кут розбіжності становить
= /4|п2 АЇ/2
\ Я
(2.82)
Із формули (2.81) можна було б зробити висновок, що для
резонатора з плоскими дзеркалами (при = 1) кут розбіж-
ності 0 = 0. Але це не відповідає дійсності. Причина — в то-
82
му, що просторовий розподіл амплітуди поля в резонаторах зі
сферичними дзеркалами розглядався нами у наближенні, яке
відповідає сильній нерівності (2.62), тобто коли число Френеля
1. А це значить, що в розрахунках нехтувалась дифрак-
ція на краях дзеркал резонатора. Тому формули (2.72)—
(2.82) стають непридатними для описання просторового роз-
поділу випромінювання лазера в ближньому полі (на дзер-
калах резонатора) і в дальньому полі (на великій відстані
від резонатора) при наближенні конфігурації резонатора до
плоскої.
Для лазера з плоскими дзеркалами кутова розбіжність ви-
значається дифракцією на дзеркалах резонатора, або на най-
меншому отворі, що обмежує діаметр світлового пучка. Даний
отвір і його діаметр й називаються апертурою резонатора (від
англійського арегіиге — отвір). Кут дифракції плоскої світлової
хвилі на круглому отворі складає
ф4= 1,22Х/£>, (2.83)
що дає оцінку кута розбіжності —
Є=1,22Х/а, (2.84)
де а — радіус плоского дзеркала резонатора. Така оцінка кута
розбіжності знайдена в наближенні рівномірного розподілу ам-
плітуди когерентного випромінювання по площі дзеркала резо-
натора. В дійсності, як схематично показано на рис. 2.2, для
основної моди інтенсивність випромінювання максимальна в
центрі дзеркала і спадає до його периметру, так що дана оцін-
ка — наближена.
Для поперечних мод, як у випадку резонатора з плоскими
дзеркалами, так і в резонаторах зі сферичними дзеркалами, кут
розбіжності зростає зі зростанням поперечних індексів. Для
кута розбіжності моди ТЕМтп можна записати вираз
Єип = СтД0. (2.85)
де кут Ооо відповідає основній моді (ТЕМ00). Параметри Стп ви-
значаються конфігурацією резонатора і для даного резонатора
зростають зі збільшенням поперечних індексів. Тому для от-
римання мінімальної кутової розбіжності випромінювання
лазера необхідно, щоб генерація відбувалась на основній
моді.
83
2.4. ІНШІ РЕЗОНАТОРИ
2.4.1. Моди щілинного резонатора
На рис. 2.9 схематично показано найпростіший резонатор
напівпровідникового лазера. Дзеркалами резонатора Д, і Д2 слу-
жать природні грані кристала. Довжина резонатора Ік » А, де
А — довжина хвилі резонансного випромінювання. Ширина ре-
зонатора (1Х » А, тобто в горизонтальній площині резонатор
можна вважати необмеженим. Товщина резонатора <іу обмеже-
на границями із сусідніми шарами гетероструктури (які мають
інший показник заломлення) і одного порядку величини з дов-
жиною хвилі. У такому випадку резонатор можна вважати щі-
линним. Внаслідок того, що товщина резонатора одного по-
рядку з довжиною хвилі, електромагнітні хвилі в резонаторі
не будуть поперечними, як це було б у безмежному просторі.
Рис. 2.9. Схема щілинного резонатора
В ТД-модах (ігапзуегзе еіесігіс, з поперечним електричним век-
тором) електричний вектор направлений вздовж осі х. В ТМ-
модах (ігапзуегзе та^пеііс, з поперечним магнітним вектором)
магнітний вектор направлений вздовж осі х. Таким чином, ТЕ-
і 7714-моди щілинного резонатора плоско поляризовані у двох
перпендикулярних площинах. В такому резонаторі є аксіальні та
неаксіальні моди, як і в резонаторі з прямокутними дзеркалами.
2.4.2. Моди об’ємного резонатора
НВЧ-діапазону
В мазерах, тобто квантових генераторах радіодіапазону
(в області частот 10В 9—10" Гц), застосовуються об’ємні резо-
натори, розміри яких одного порядку з довжиною хвилі. Об’єм-
84
ний резонатор являє собою замкнуту порожнину з дзеркальни-
ми стінками. Обмежимося розглядом циліндричних резонаторів,
які найчастіше використовуються. Такий резонатор являє со-
бою замкнуту порожнину всередині прямого кругового цилінд-
ра з провідними стінками (замкнутий відрізок круглого хвиле-
воду). Під дією електромагнітного поля всередині резонатора
на його стінках індукується електричний струм. Тому, для змен-
шення втрат енергії, внутрішня поверхня циліндра полірується
і покривається шаром металу з високою електропровідністю
(сріблом, золотом).
Об’ємний резонатор має моди електричні (Я-моди) і магнітні
(Я-моди). В електричних модах резонатора (як і у випадку
хвилеводу) електричний вектор має аксіальну (тобто направле-
ну вздовж осі резонатора) складову. При цьому магнітний век-
тор у всіх точках резонатора перпендикулярний до осі резо-
натора. Тому £-моди називають ще ТЛї-модами (ігапзуегзе
та^пеііс тосіез). В Я-модах, які ще називаються ТЯ-модами
(ігапзуегзе еіесігіс тосіез), магнітний вектор має аксіальну
складову, а електричний вектор у всіх точках резонатора пер-
пендикулярний до осі резонатора. Для ТЛї-мод струм в бокових
стінках резонатора має тільки аксіальну складову, а в 77і-модах
може мати і поздовжню, і поперечну складові.
Для 7714-мод спектр частот має вигляд
/гЮ2 + (л<7/7/?)2]1/2; (2.86)
V™, = ^/[($тА)2 +(^Л)2]'/2, (2.86а)
де ,ос — швидкість поширення електромагнітних хвиль у речо-
вині, що заповнює резонатор; ^тп — п-й корінь функції Бесселя
першого роду порядку т\ гр — радіус резонатора; І# — довжи-
на резонатора.
Спектр частот для ТЕ-мод визначається рівностями
- °Л?..А»)2 + (2.87)
V™. - ^/|к„/г«)2 + (я«/(,)2]І/2. (2.87а)
де — п-й корінь похідної функції Бесселя першого роду по-
рядку т.
Для мод ТЕтпд і ТМтпд індекси т, м, д означають число пів-
хвиль (змін напряму коливань у стоячій хвилі на протилежну),
відповідно вздовж твірної циліндра, його радіуса та вздовж осі
85
резонатора. На відміну від оптичних резонаторів, у яких аксі-
альний індекс <7» 1, моди об’ємних резонаторів можуть мати
малі значення числа д, в тому числі й д = 0. Для мод зі значен-
ням індексу <7 = 0, тобто для мод ТЕтпй і ТМтп0, частота не
залежить від довжини резонатора, тому що у цих мод відпо-
відний вектор (в ТЕтп0 — магнітний, а в ТМтп0— електричний)
направлений вздовж осі резонатора і не залежить від коорди-
нати вздовж осі. Модам зі значенням індексу т == 0 (тобто мо-
дам ТЕОпд та ТМйпд) відповідають азимутально-однорідні хвилі.
В модах ТЕОпд силові лінії електричного поля стоячої хвилі на-
правлені по колу в площині, перпендикулярній до осі резонато-
ра. Те ж саме має місце для магнітних силових ліній в модах
ТМОпд. В модах ТЕОпд відсутні поздовжні електричні струми в
бокових стінках резонатора. Крім того, напруженість елект-
ричного поля біля стінок резонатора незначна. Тому такі моди
мають низькі втрати енергії.
Структура двох простих мод циліндричних резонаторів пока-
зана на рис. 2.10. Силові лінії електричного поля моди 77И010,
Рис. 2.10. Силові лінії електричного (суцільні лінії) та магнітного (штри-
хові) полів мод циліндричного резонатора:
а ТМ0|0; б ТЕ011
схематично показані на рис. 2.10, а, направлені вздовж осі ре-
зонатора. Дана мода є основною (тобто енергія її квантів най-
менша серед всіх мод резонатора), якщо відношення довжини
резонатора Ік до його радіуса задовольняє нерівність
Ік/гк < 2,03.
(2.88)
86
Для даної моди власна довжина хвилі к010 = 2,612/^ і не зале-
жить від довжини резонатора. Прецизійною зміною об’єму ре-
зонатора можна з високою точністю настроїти резонатор на
потрібну частоту.
Мода 77ИО1О дуже часто використовується в мазерах на мо-
лекулярних пучках, де електричні дипольні переходи відбува-
ються за рахунок взаємодії з електричною складовою електро-
магнітного поля. Молекулярний пучок направляється вздовж
осі резонатора, де електрична складова максимальна і не змі-
нюється вздовж осі. Незалежність частоти від довжини резона-
тора Ір дозволяє обрати оптимальну довжину резонатора для
забезпечення ефективної роботи мазера.
Мода ТЕ01ЇУ для якої силові лінії схематично показані на
рис. 2.10, б, має свої цінні властивості. В даній моді силові лінії
електричного поля направлені вздовж відповідних кіл, перпен-
дикулярних до осі резонатора. В стінках резонатора збуджуєть-
ся лише струм, направлений по колу (вздовж твірної циліндра).
Тому для моди ТЕ011 наявність торцьових стінок резонатора не
обов’язкова. Втрати енергії для такої моди значно менші, ніж
для інших мод, і зменшуються при зростанні частоти. В даній
моді магнітна складова максимальна на осі резонатора. Тому
мода ТЕОІЇ вигідна для застосування в квантових приладах на
основі атомних пучків, де магнітні дипольні переходи відбува-
ються за рахунок взаємодії з магнітною складовою електромаг-
нітного поля.
Для введення енергії в об’ємний резонатор і виведення її з
резонатора використовуються отвори (щілини) в стінках. При
цьому необхідно, щоб лінії струму в даному місці стінки резо-
натора перетинали дану щілину.
2.4.3. Моди оптичного волокна
В оптоелектроніці та квантовій електроніці широко застосо-
вуються хвилеводи та інші пристрої на основі оптичного волокна.
Ідея застосування оптичного волокна для цілей зв’язку та про-
позиція використання глибокоочищеного кварцу для виготов-
лення волокна належить Чарльзу Као (1966 р.). Про важливість
ролі оптичного волокна в сучасній науці й техніці свідчить
присудження Ч. Као Нобелівської премії з фізики в 2009 р.
Рис. 2.11, а схематично ілюструє структуру оптичного во-
локна. У найпростішому випадку циліндрична серцевина волок-
на радіуса гу виготовлена із прозорого матеріалу з показником
87
заломлення пх, а прозора оболонка має радіус г2 і показник
заломлення п2. Хвилевідний ефект у оптичному волокні дося-
гається за рахунок повного внутрішнього відбивання світла на
межі серцевини і оболонки. Для повного внутрішнього відби-
вання світла необхідно виконання нерівності
/?і > п2,
(2.89)
тобто показник заломлення серцевини повинен бути більшим від
показника заломлення оболонки, як показано на рис. 2.11, б.
Все волокно знаходиться всередині захисної оболонки (не пока-
заної на рис. 2.11), яка забезпечує необхідну міцність та захи-
щає волокно від зовнішніх
впливів.
му волокні
а — поперечний переріз; б — про-
філь показника заломлення
На рис. 2.12 схематично показано хід променя у оптично-
му волокні. Промінь із зовнішнього середовища (найчастіше —
із повітря) падає на торець волокна під кутом до нормалі 0Х.
Після заломлення на межі повітря—серцевина промінь поши-
рюється в серцевині й падає на межу серцевина—оболонка
під кутом 0С до нормалі. Граничний кут повного внутрішнього
88
відбивання на даній межі визначається умовою
5ІП 0ст = и2/иІ. (2.90)
Тому повне внутрішнє відбивання буде мати місце лише для
променів, які падають на торець волокна під кутом до нормалі
0,<0^ (2-91)
де
= агсзіп у]п? — пі. (2.92)
Апертурою оптичного волокна називається величина
А = пі — пі, (2.93)
де м0 — показник заломлення середовища, із якого вводять
світло в оптичне волокно.
За своїми хвилевідними властивостями оптичне волокно від-
різняється від хвилеводів НВЧ у вигляді відрізка металевої
труби тим, що при повному внутрішньому відбиванні світло
поширюється не тільки у серцевині, а й проникає на деяку
відстань у оболонку. Граничними умовами для хвильових рів-
нянь відносно електричного і магнітного векторів на межі сер-
цевина—оболонка є неперервність тангенціальних складових
електричного і магнітного векторів:
(£,), = (^2, (2.94)
(//,), = (//г)2. (2.94а)
де (й^ та — тангенціальні складові відповідно електрич-
ного і магнітного векторів у серцевині на межі серцевина—обо-
лонка; (#,)2 * (^6)2— тангенціальні складові даних векторів у
оболонці на межі серцевина—оболонка.
В оболонці амплітуда хвилі експоненціально зменшується
з відстанню від серцевини. Товщина оболонки повинна бути до-
статньою для того, щоб світло не випромінювалося у навколишнє
середовище. Тому при розрахунках поширення світла у оптич-
ному волокні [20] звичайно приймають радіус оболонки г2 -* оо.
Внаслідок специфічних граничних умов, моди оптичного во-
локна — більш складні, ніж моди хвилеводу з металевими стін-
ками. Тільки моди з циліндрично симетричним розподілом амплі-
туди можна розділити на ТЕ- (з електричним вектором, перпен-
89
дикулярним до осі волокна) і 7714-моди (з магнітним вектором,
перпендикулярним до осі волокна). Це моди ТЕОп і ТМОп, для яких
індекс п означає число вузлів вздовж радіуса серцевини. Всі інші
моди — гібридні й позначаються як ЕНтп і НЕтп. В гібридних
(скісних) модах і електричний, і магнітний вектори мають і по-
здовжню (аксіальну), і поперечну (радіальну) складові. Напря-
мок хвильового вектора такої моди не перетинається з віссю
хвилеводу, а відповідний хвильовий фронт має вигляд спіраль-
ної поверхні. Тип гібридної моди визначається співвідношенням
поздовжніх компонент електричного і магнітного векторів
1т = %г1і;кг. (2.95)
Значення ут > 0 відповідає //£-моді, а ут с 0 — £7/-моді.
Дана мода може існувати у волокні, якщо її частота вища від
критичної частоти (частоти відсічки), яка визначається рівністю
де с — швидкість світла у вакуумі. Для моди НЕ^ величина
кс = 0, тобто критична частота дорівнює нулю. Ця мода харак-
теризується найменшою частотою, тобто є основною модою
оптичного волокна. Для інших мод
кс = иЛ. (2.96)
де £>тп — п-й корінь рівняння
4(и) = 0, (2.97)
/т(£тп) — функція БЄССЄЛЯ ПврШОГО рОДу ПОрЯДКу Ш.
Інтервал частот, в якому існує тільки одна мода НЕц, складає
(2.98)
п 2,405с
Та ж сама умова, записана для довжини хвилі, має вигляд
X > я г^п? - п22 / 2,405. (2.99)
Таким чином, вибравши достатньо малий радіус гх серцевини
(при заданій довжині хвилі та заданих значеннях показників
90
заломлення серцевини і оболонки), можна створити оптичне
волокно, по якому буде поширюватися лише одна мода (НЕц-
мода). Такі волокна називаються одномодовими. В сучасних
одномодових оптичних волокнах діаметр серцевини складає 2—
10 мкм, діаметр оболонки дорівнює 50—125 мкм. В багатомо-
дових волокнах серцевина має діаметр порядку 50 мкм, а діа-
метр оболонки звичайно складає 100—150 мкм.
Для багатомодового волокна кількість мод М, які поширю-
ються, може бути приблизно визначена за формулою
N-27/, (2.100)
де характеристичний параметр хвилеводу
Ми розглянули властивості ступінчастого оптичного волок-
на, в якому показник заломлення різко змінюється на межі сер-
цевина—оболонка і незмінний всередині оболонки. У градієнт-
ному волокні промінь направляється вздовж волокна за раху-
нок оптичної неоднорідності серцевини: показник заломлення
в серцевині квадратично зменшується з відстанню г від її осі:
п = п0 — аг2. (2.102)
Перевагою такого волокна є суттєво менша дисперсія (залеж-
ність швидкості поширення хвилі від її частоти), ніж для інших
багатомодових волокон. Але найменшу дисперсію мають одно-
модові волокна.
Якщо на вхід оптичного волокна подати лінійно поляризова-
не світло, то на виході ступінь поляризації буде меншим вна-
слідок відхилення волокна від прямолінійності (тобто його ви-
гинів). Світло стає еліптично поляризованим. Зберігають поля-
ризацію світла оптичні волокна, у яких порушена циліндрична
симетрія. Найширше з таких волокон використовуються волок-
на з еліптичним перерізом серцевини.
2.4.4. Волоконні резонатори
Резонатор на оптичному волокні — це відрізок оптичного
волокна, в якому створено умови для відбиття світла з малими
91
втратами. В сучасних волоконних резонаторах як відбивні еле-
менти найбільш широко використовуються бреггівські ґратки
(бреггівські розподілені відбивачі). Такі ґратки називають ще
одновимірними фотонними кристалами, оскільки фотони в них
рухаються, як частинки в одновимірному періодичному полі.
Структура бреггівської ґратки в оптичному волокні показана
схематично на рис. 2.13. Бреггівські ґратки виготовляють опро-
міненням фоточутливого одномодового волокна інтенсивним ви-
промінюванням ультрафіолетового лазера. Два когерентні пуч-
ки ультрафіолетового випромінювання зміщуються так, щоб
волокно знаходилось у зоні інтерференції, причому інтерферен-
ційні смуги були перпендикулярні до осі волокна. Кут між ін-
терферуючими променями встановлюють таким, щоб була пев-
на відстань між інтерференційними смугами. В опромінених міс-
цях показник заломлення незворотно збільшується. У волокні
формується періодична структура, в якій чергуються смуги з
двома різними значеннями показника заломлення пх і м2. Така
структура і називається бреггівською ґраткою.
Рис. 2.13. Схема структури бреггівської
ґратки у оптичному волокні
Умова максимального відбивання світла бреггівською ґрат-
кою (бреггівська умова) має вигляд
= (2.103)
де і /2 — товщини шарів з показниками заломлення пх і м2,
відповідно; — довжина хвилі світла у вакуумі; де — ціле чис-
ло. При виконанні даної умови між хвилями, відбитими від двох
найближчих шарів з однаковими значеннями показника залом-
лення, зсув фаз становить
Дср = 2л^. (2.104)
Звичайно в оптичних волокнах використовуються чвертьхви-
92
льові ґратки, у яких товщина кожного шару відповідає чверті
довжини хвилі, тобто
= П2^2 = ^в/4-
(2.105)
У цьому випадку максимальне відбиття світла від ґратки буде
відбуватися при довжині хвилі Хв (бреггівській довжині хви-
лі), для якої значення коефіцієнта відбивання складає
/\-(п,/п2)2т \2
м+(п1/п2)2-; ’
(2.106)
де т — число пар чвертьхвильових шарів у ґратці. Ширина
спектру відбивання ґратки складає
ДХ = + 1/п2)Дл, (2.107)
Я
де Дм = |м2 — Пі\.
Бреггівська ґратка має дуже цінні властивості: а) коефі-
цієнт відбивання для бреггівської довжини хвилі може бути
дуже високий. Змінюючи число шарів у ґратці, виготовляють
ґратки з різними значеннями коефіцієнта відбивання; б) спектр
відбивання ґратки дуже вузький, так що для світла з довжи-
ною хвилі X ¥= Хв ґратка прозора. Це дає можливість в одному
і тому ж відрізку оптичного волокна створювати одночасно
кілька резонаторів на різні довжини хвиль (шляхом вбудову-
вання у волокно кількох пар бреггівських ґраток, розрахованих
на різні довжини хвилі); в) резонатори з бреггівською ґраткою
не потребують юстування.
В окремих випадках у резонаторах волоконних лазерів вико-
ристовуються зовнішні дзеркала, або дзеркалами служать межі
торець серцевини—повітря.
2.5. ДОБРОТНІСТЬ РЕЗОНАТОРІВ
Добротність резонатора визначається як добуток власної (ре-
зонансної) циклічної частоти на час життя фотонів у резонаторі:
= (2.108)
93
що середній час перебування фотона в резонаторі — час жит-
тя фотона в резонаторі — дійсно дорівнює величині т#. Вели-
чина і*, а значить, і добротність Р, звичайно мають різні
значення для різних мод резонатора.
Добротність об’ємних резонаторів НВЧ-діапазону визнача-
ється втратами енергії в стінках резонатора (тепловими втрата-
ми) і відбором енергії у зовнішнє коло. Для циліндричних ре-
зонаторів добротність звичайно складає 103—104 і, внаслідок
різної конфігурації поля, звичайно відрізняється для різних мод.
Для оптичних резонаторів, де відстань між дзеркалами
зручно виражати добротність через коефіцієнт втрат
за один прохід хвилі між дзеркалами резонатора.
2.5.1. Зв’язок добротності оптичного резонатора
з коефіцієнтом втрат за один прохід
Коефіцієнт втрат за один прохід — це відносне зменшення
енергії в резонаторі за час, який відповідає проходу електро-
магнітної хвилі між дзеркалами резонатора Фабрі—Перо, тобто
де ІГ—енергія, накопичена в резонаторі; ДИ^— енергія, яка
втрачається за один прохід. За врахуванням (2.109), при 1
з формули (2.115) одержимо:
а, = ^. (2.116)
т/?
де іх — час проходу хвилі між дзеркалами, тобто
А = -; (2.117)
ї)с — швидкість світла в середовищі, що заповнює резонатор;
Ір — довжина резонатора.
За врахуванням (2.116) і (2.117) та зв’язку між циклічною
частотою і довжиною хвилі, з формули (2.108) виразимо доб-
ротність резонатора через коефіцієнт втрат за один прохід:
(2 = ^. (2.118)
95
З формули (2.118) видно, що, при фіксованому значенні кое-
фіцієнта втрат за один прохід добротність резонатора про-
порційна до відношення Ір/к. Для оптичних резонаторів це від-
ношення дуже велике, може досягати значень ~106. Тому доб-
ротність оптичних резонаторів набагато вища, ніж добротність
резонаторів радіодіапазону.
2.5.2. Дифракційні втрати енергії в резонаторі
Фабрі—Перо
Принципово властивими для резонатора Фабрі—Перо є втра-
ти енергії, зумовлені дифракцією електромагнітних хвиль. При-
близну оцінку цих втрат для резонатора з плоскими дзерка-
лами можна зробити у наближенні, що відповідає рис. 2.14.
На даному рисунку Ді і Д2 — круглі дзеркала діаметра О, по-
міщені на відстані 1%. Фотони, які відбилися від дзеркала Дн
дифрагують на кут
Ф~£. (2.119)
Як видно з рис. 2.14, половина фотонів, що відбилися на краю
дзеркала Дн внаслідок дифракції вийдуть за межі дзеркала Д2,
Рис. 2.14. Схема дифракції світла
на дзеркалі резонатора
тобто будуть втрачені. Виходити з резонатора за рахунок диф-
ракції можуть фотони, що відбилися від лівого дзеркала у зов-
нішній його кільцевій смузі шириною Дг«ср/^. На зовнішній
96
межі цієї смуги ймовірність виходу фотона з резонатора, як
вказувалось, дорівнює /2, а на внутрішній межі — 0. Тому прий-
мемо, що внаслідок дифракції буде втрачено « 1 /4 (середнє зна-
чення між 1 /2 і 0) фотонів, що відбилися від дзеркала Д! у смузі
шириною Дг = ср//?. Для спрощення припустимо, що потік фо-
тонів рівномірно розподілений на площі дзеркала ДР Тому при
одному відбиванні від дзеркала Д! буде втрачена відносна ча-
стина фотонів
аі
1 Д5
4 5 ’
(2.120)
де Д5 = лОДг — площа вказаної смуги на дзеркалі Дн а 5 —
вся площа цього дзеркала. За врахуванням (2.119) одержимо
(2.121)
Слід визначити, що в формулі (2.121) О — діаметр мінімально-
го отвору, який обмежує переріз променя. Наприклад, у газо-
вих лазерах це може бути внутрішній переріз газової кювети;
у твердотільних лазерах це може бути діаметр стержня, виго-
товленого з активної речовини.
Формулу (2.121) можна переписати у вигляді
(2.122)
де — число Френеля, тобто зон Френеля, видимих на одному
з дзеркал з центра другого дзеркала. Оцінки показують, що для
типових резонаторів а{ — 10-3.
Слід відзначити, що найбільш грубим спрощенням при ви-
воді формул (2.121) і (2.122) є припущення, що інтенсивність
електромагнітних коливань рівномірно розподіляється по площі
дзеркал. В дійсності для аксіальних (осьових) мод інтенсивність
випромінювання має максимум у центрі дзеркала і спадає до
країв дзеркала. Тому для аксіальних мод дійсне (яке можна
оцінити за допомогою більш складних розрахунків) значення
коефіцієнта втрат а1 менше, ніж те, що дається формулами
(2.121) і (2.122). А для неаксіальних мод, навпаки, втрати більш
значні. У випадку великих чисел Френеля (Мг> 10) Л. А. Вайн-
штейном було отримано аналітичний вираз для коефіцієнта ди-
фракційних втрат за один прохід для моди ТЕМтп в резонаторі
97
з круглими плоскими дзеркалами:
а^тп = 5,23-\^т{п + х^\ (2.123)
де н — (п + 1)-Й корінь функції Бесселя першого роду по-
рядку т\ — число Френеля. Для основної, тобто Т£7И00-моди
коефіцієнт у виразі (2.123) складає 5,23- 1О“ЦоО = 0,300, а для
мод ТЕМ^ і ТЕМ^ відповідно 1,59 та 0,767. Для моди ТЕМ^
втрати енергії приблизно в 2,6 разів більші, ніж для ТЕМ00-мо-
ди. Зі збільшенням індексів т і п для неаксіальних мод втрати
зростають. Тому неаксіальні моди з великими значеннями т і
п у резонаторі Фабрі—Перо мають низьку добротність. Із фор-
мули (2.123) також видно, що для резонаторів з плоскими дзер-
калами відношення втрат для неаксіальних і аксіальних мод не
змінюється при зміні числа Френеля. Тому зміною геометрії
резонатора з плоскими дзеркалами неможливо змінювати
розподіл енергії випромінювання між основною модою та
поперечними модами.
Дифракційні втрати принципово притаманні для резонатора
Фабрі—Перо. Цими втратами визначається максимально можли-
ва (дифракційна) величина добротності оптичного резонатора,
яку можна одержати з формули (2.118) за врахуванням (2.123).
Оцінки показують, що величина для оптичних резонаторів
складає — 10\ 3 формули (2.121) видно, що високі значення
«дифракційної» добротності оптичних резонаторів пов’язані з
малістю довжини хвилі по відношенню до діаметра дзеркала О.
Слід відзначити, що у стійких резонаторах зі сферичними
дзеркалами дифракційні втрати для аксіальних мод набагато
нижчі, ніж у резонаторах з плоскими дзеркалами того ж діамет-
ра. Це обумовлено меншим перерізом світлового пучка в таких
резонаторах. Так, розрахунки Фокса і Лі для основної (аксіаль-
ної) моди симетричного конфокального резонатора дали коефі-
цієнт втрат за один прохід
Яі оо яехр(—6МД (2.124)
де параметри 10. Дифракційні втрати різко, експонен-
ціально спадають зі зростанням числа Френеля Крім того,
для поперечних мод втрати набагато сильніші, ніж для аксі-
альних. Так, для симетричного конфокального резонатора при
1 відношення коефіцієнтів дифракційних втрат для мод
ТЕМОЇ і ТЕМ^ складає ах ^/ах 00«=* 20. Це полегшує селекцію
(вибір) мод.
98
2.5.3. Інші механізми втрат енергії в резонаторі
Фабрі—Перо
Якщо величина коефіцієнта втрат за один прохід аІ в резо-
наторі а1 «с 1, то можна записати
= (2-125)
І
де аи — коефіцієнти втрат, пов’язані з різними механізмами
розсіювання енергії.
Найважливіші (крім дифракційного) механізми втрат енергії
в оптичному резонаторі — це неідеальність відбиття світла від
дзеркал та поглинання і розсіяння світла в активному середо-
вищі.
Очевидно, що неідеальність відбивання світла від дзеркал
(для випадку, коли коефіцієнти відбивання двох дзеркал одна-
кові) дає коефіцієнт втрат за один прохід
а, = 1 -/?, (2.126)
де 7? — коефіцієнт відбивання. Якщо коефіцієнти відбивання
двох дзеркал різні й складають, відповідно, 7?| і Т?2, то отримаємо
аі = 1-7^. (2.127)
Дзеркала з металевим покриттям мають значення коефіцієнта
відбивання 7? <0,97, що відповідає величині Я|>0,03. Ця ве-
личина набагато більша, ніж коефіцієнт втрат, зумовлених ди-
фракційними явищами. Для підвищення добротності оптичних
резонаторів розроблено багатошарові діелектричні дзеркала.
Будова такого дзеркала схематично показана на рис. 2.15, де
пронумеровано шари, виготовлені з діелектриків з різними зна-
ченнями показника заломлення. Такими діелектриками для ви-
димої області спектру можуть бути, наприклад, оксиди 8іО2
(п=1,51) і ТіО2 (п = 2,28). Умовою максимального відбиття
від шару з показником заломлення і товщиною при нор-
мальному падінні світла буде
п./. = Х/4, (2.128)
де X — довжина електромагнітної хвилі. З (2.128) випливає, що
для одержання максимального коефіцієнта відбивання товщини
99
шарів повинні мати фіксовані значення. В даний час розроблені
діелектричні дзеркала з достатньо великим коефіцієнтом відби-
вання, що забезпечує створення оптичних резонаторів з доб-
ротністю, близькою до дифракційної межі.
Рис. 2.15. Схема відбивання світ-
ла у багатошаровому діелектрич-
ному дзеркалі
З формули (2.128) видно, що відбивання багатошарових ді-
електричних дзеркал спектрально селективне, тобто для гене-
рації на різних довжинах хвилі потрібні різні дзеркала (з різни-
ми товщинами діелектричних шарів). Ця властивість діелектрич-
них дзеркал використовується в лазерах для зміни (перестрою-
вання) частоти генерації. Так, зміною дзеркал можна отриму-
вати генерацію гелій-неонового лазера при Хі = 0,633 мкм, або
Х2= 1,15 мкм, або Х3 = 3,39 мкм.
Поглинання електромагнітних хвиль та їх розсіяння всере-
дині резонатора можна описати введенням ефективного коефі-
цієнта поглинання ае. Врахування цих ефектів дає коефіцієнт
втрат за один прохід
ах = 1 — ехр(—ае/д), (2.129)
де — довжина резонатора (довжина шляху променя в погли-
наючому середовищі). Якщо аеІр 1, то вираз (2.129) спро-
щується до
(2.130)
Поглинання світла вільними носіями заряду (електронами
і дірками) може значно зменшувати добротність резонатора
у напівпровідникових лазерах.
100
2.6. РЕЗОНАТОРИ І ЧАСТОТНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ГЕНЕРАЦІЇ ЛАЗЕРІВ І МАЗЕРІВ
Частотні характеристики генерації лазерів і мазерів визнача-
ються одночасною взаємодією електромагнітного випромінюван-
ня з активною речовиною і з резонатором. У квазістаціонарно-
му випадку, тобто коли виконуються сильні нерівності (2.111)
і (2.112), закон спадання концентрації фотонів у резонаторі, до
якого не підводиться енергія, відповідає формулі (2.114). Враху-
вавши, що концентрація фотонів пропорційна квадрату модуля
амплітуди напруженості електричного поля, тобто Мф ~|^0|2, ми
отримаємо, що після припинення підводу енергії до резонатора
величина напруженості електричного поля в будь-якій точці
резонатора буде змінюватися з часом згідно з виразом
£(г,0 = 80(г)ехр|ко/ — //(2тя)|. (2.131)
Фур’є-перетворення даного виразу дає лоренцову функцію
форми спектральної лінії даної моди резонатора, причому для
ширини лінії отримаємо
Д(оя=—; ДУд = . (2.132)
Тоді, врахувавши означення добротності резонатора (2.108),
отримаємо важливі співвідношення
Ф = фдо/Д(Од’, ~ Vм /Ау(2.133)
де (Одо і Гдо — власні значення циклічної частоти (в с-1) і час-
тоти (в Гц) даної моди, відповідно.
В квантовій електроніці, по аналогії з виразом (2.133), ко-
ристуються також поняттям добротності спектральної лінії
активної речовини
<?а^0/Д^, (2.134)
де г0 — резонансна частота для даного переходу; Дга — шири-
на спектральної лінії.
101
2.6.1. Затягування частоти генерації
Випромінювання в квантовому генераторі одночасно взає-
модіє з двома підсистемами — активною речовиною і резонато-
ром. Для кожної моди резонатор має лоренцову форму спект-
ральної лінії з шириною, що визначається формулою (2.127).
При однорідному розширенні спектральна лінія активної речо-
вини, що знаходиться в резонаторі, теж лоренцова. Еквівалент-
на схема квантового генератора показана на рис. 2.16. Підсилю-
вач П відповідає підсиленню електромагнітних хвиль у активній
речовині, селективні фільтри 0! і Ф2 описують селективність
взаємодії електромагнітних хвиль з активною речовиною і резо-
натором, відповідно.
Рис. 2.16. Еквівалентна схема квантового генератора
В класичному наближенні лоренцова функція форми спект-
ральної лінії відповідає стаціонарному рішенню рівняння осци-
лятора з втратами (1.72а). Цей розв’язок для комплексної ко-
ординати х(ґ), після спрощення з врахуванням сильної нерівно-
сті (2.111), має вигляд
(е/т)#0 ехр(ш)ґ)
2&)0 (й)0 —со) + ^-
(2.135)
При спрощенні враховано, що (Од — о)2 = (о)0 + о))(о)0 — (о)
~ 2<о0(<о0 — со) і в останньому доданку в знаменнику <о ~ <о0.
Коливання осцилятора спричиняють коливання його диполь-
ного моменту
Ро8с(^) =ЄХ(^)>
(2.136)
а коливання дипольного моменту ведуть до генерації електро-
магнітних хвиль. Напруженість поля випромінюваних осцилято-
ром електромагнітних хвиль пропорційна до швидкості зміни
102
дипольного моменту осцилятора, тобто до 3-го доданку справа
у рівнянні (1.72а):
ЗД = Го0 ехр(йоП = (2.137)
де &10 — коефіцієнт пропорційності. На основі виразу (2.137)
частотну залежність напруженості електричного поля генерова-
них активною речовиною електромагнітних хвиль можна описа-
ти в еквівалентній схемі дією фільтра Ф1 з коефіцієнтом про-
пускання
= ЛІ0/[ 1 — 2і(соа0 — ю)/Дю0], (2.138)
де циклічна частота <оа0 відповідає центру спектральної лі-
нії активної речовини; Дсоа=1/т— ширина спектральної лінії
активної речовини; &10 — коефіцієнт пропускання фільтра
у центрі спектральної лінії.
При однорідному розширенні спектральної лінії активної ре-
човини амплітуда електромагнітної хвилі, генерованої одиницею
об’єму активної речовини, пропорційна до числа генеруючих
осциляторів у одиниці об’єму — до густини інверсної населе-
ності. Це враховується в еквівалентній схемі наявністю підси-
лювача П з коефіцієнтом підсилення Оа.
Внаслідок того, що спектральна лінія даної моди резонатора
також (як і спектральна лінія активної речовини) має лоренцо-
ву форму, для коефіцієнта пропускання ^2(со) фільтра Ф2 отри-
маємо аналогічну формулу:
к2((і)) = 620/[ 1 — 2і(шК0 — а>)/Да>л], (2.139)
де і ДсОд — резонансна циклічна частота і ширина лінії від-
повідної моди; &20 відповідає резонансній частоті даної моди.
Для роботи генератора необхідно виконання рівності
О^,((0г)А!2((0г)=1> (2.140)
де ше — частота генерації. Підставивши (2.138) і (2.139) в
(2.140), отримаємо умову генерації
___________________________________________= 1 (2 141)
[ 4(соо0- сое)(<о„0 — мг) /'ша0 — ше
Дш„Дшр \ Дш0 Дш,, )
103
Із (2.141) видно, що для генерації необхідно, щоб уявний
доданок у знаменнику дорівнював нулю, тобто набігання фази
у активній речовині компенсувалося набіганням фази у резо-
наторі:
. со/?0 —со* = 0
Д(оа Дсо*
(2.142)
звідки отримаємо для циклічної частоти генерації
(2.143)
і аналогічно для частоти
(2.144)
Вираз (2.144) у частковому випадку, для частоти генерації
лазера можна отримати іншим шляхом, розглядаючи поширен-
ня електромагнітної хвилі в активному середовищі. Набігання
фази в активному середовищі з інверсною населеністю отри-
мується як результат аномальної дисперсії показника заломлен-
ня. У розглянутій нами еквівалентній схемі дане набігання фази
у виразі (2.138) враховується автоматично (уявним доданком у
знаменнику), оскільки враховується, що вимушене випроміню-
вання відбувається як результат коливань осциляторів (атомів).
З формули (2.144) видно, що у випадку, коли частота моди
резонатора не збігається з резонансною частотою робочих
переходів активної речовини га0, частота генерації знаходиться
між цими частотами. Дане явище називається затягуванням
частоти генерації і відбувається не тільки в квантових генера-
торах, а і в приладах радіоелектроніки і акустики.
Формула (2.144) справедлива у лінійному одномодовому на-
ближенні, при умові, що параметри спектральної лінії та резо-
натора не залежать від потужності накачування, а також коли
коефіцієнт підсилення малий.
Слід відзначити, що, в першому наближенні, формулу (2.144)
використовують для описання затягування частоти генерації і у
випадку, коли розширення спектральної лінії активної речовини
неоднорідне.
В лазерах ширина спектральної лінії мод резонатора Дг^
звичайно мала у порівнянні з шириною спектральної лінії ак-
104
тивної речовини, тобто
ДV/?<^ДVа. (2.145)
Величина Д'\\І може складати від — 1 ГГц для допплерівсько-
го розширення ліній атомів у видимій області спектра і до
~ 300 ГГц у твердотільних лазерах. В той же час ширина
спектральної лінії моди оптичного резонатора складає звичайно
від ~ 1 МГц до десятків МГц. Тому частота генерації лазерів
визначається частотою відповідних мод резонатора. Зміщення
частоти генерації відносно частоти моди резонатора в сторону
центра лінії атома складає до — 10“3 від відстані між модами.
В мазерах на основі молекулярних і атомних пучків вико-
нується зворотна до (2.145) сильна нерівність
ДVа<^:ДV^. (2.146)
Так, для мазера на основі пучка молекул аміаку Дуа — 1 кГц, а
Д^^ ~ 2 МГц. Тому в мазерах частота генерації визначається
резонансною частотою відповідних переходів молекул (ато-
мів). За рахунок прецизійного підстроювання частоти резона-
тора (з похибкою ~3 кГц) частота генерації мазера на основі
пучка молекул аміаку відтворюється з відносною похибкою
Ю-10. Висока відтворюваність і стабільність ча-
стоти генерації дозволяє використовувати квантові явища
в молекулярних і атомних пучках для створення квантових
стандартів секунди (і частоти).
2.6.2. Багатомодова генерація лазерів
Оптичні резонатори мають велику частотну густину мод, так
що на ширині спектральної лінії активної речовини може зна-
ходитися велике число як аксіальних, так і неаксіальних мод.
З формули (2.8) підрозділу 2.1 випливає, що частотний інтер-
вал між сусідніми аксіальними модами резонатора Фабрі—Перо
(з індексами д і 1) складає
Дт1=т/^. (2.147)
В резонаторах газових лазерів д~ 106, так що Ду^у— 10~6.
На рис. 2.17 схематично показана функція форми спек-
тральної лінії 5^) для переходу між робочими рівнями атомів.
105
Спектр власних коливань резонатора показаний вертикальними
штриховими лініями. При достатній інтенсивності накачування
у активній речовині створюється інверсна населеність. Згідно
Рис. 2.17. Функція форми спектральної лінії ато-
ма 5^) і спектр власних частот (штрихові, лінії)
резонатора
з формулою (1.59) параграфа 1.4.1, квантове підсилення елек-
тромагнітних хвиль буде відбуватися, коли інверсна населе-
ність ДМ буде задовольняти умову
ДМ>ае/а21, (2.148)
де ае — ефективний коефіцієнт поглинання, який враховує всі
втрати в активній речовині; о2і — переріз вимушеного переходу
атома між робочими енергетичними рівнями Е2 і Е{. Аналогіч-
ною буде умова генерації лазера. Для моди резонатора з доб-
ротністю ф, використовуючи формули (2.118) і (2.130), можна
ввести ефективний коефіцієнт поглинання а^, який враховує
всі втрати в резонаторі:
аЛ = 2л/(Хр). (2.149)
Тоді умова генерації лазера на даній моді буде відповідати не-
рівності
ДЛГ>аЯ/а21. (2.150)
Врахувавши вираз (1.37а) для спектральної залежності пере-
106
різу вимушеного переходу 021(^0, ию умову перепишемо як
А кТ
дм > - .
В2і/гу5^)
(2.151)
Виразивши ефективний коефіцієнт поглинання ар через доб-
ротність резонатора ($ згідно з (2.149) і врахувавши співвідно-
шення Х = умову генерації виразимо як
1
ЙВ2І(?3^) ’
ДМ >
(2.152)
де Й = Л/2л.
З формули (2.152) випливає, що при досягнутому (при даній
потужності накачування) значенні інверсної населеності ДМ ге-
нерація буде відбуватися на тих модах ТЕМтп(Г для яких
3(утла) > 5. = т--5---, (2.153)
де 5, — «порогове» значення 5(у) при даному значенні інверс-
ної населеності ДАТ; ($тпд — добротність резонатора для моди
ТЕМтпд. Величина 5, для випадку, коли добротність резонатора
для даної групи мод однакова, показана горизонтальною штри-
ховою лінією на рис. 2.17. При показаній на рис. 2.17 величині
5, генерація повинна відбуватися на 4 модах, частоти яких зна-
ходяться в інтервалі 6уєєп.
Як буде показано в розділі 4, в одновимірному і одномодо-
вому наближенні після початку лазерної генерації величина ДМ
повинна насичуватися, тобто не збільшуватися при подальшо-
му зростанні потужності накачування. Тому в даній моделі,
якщо генерація почалась на деякій моді, генерація на інших
модах була б неможлива. Але реальні лазери, як правило, ге-
нерують одночасно кілька мод (працюють у багатомодовому
режимі), причому число генерованих мод звичайно зростає при
підвищенні потужності накачування.
При неоднорідному розширенні спектральної лінії (див. па-
раграф 1.5.2) різні атоми активної речовини мають різні ча-
стоти випромінювання. Це означає, що різні моди резонатора
відповідають випромінюванню різних атомів. Тому, при неодно-
рідному розширенні спектральної лінії, після початку генерації
зростання потужності накачування веде до зростання величини
ДМ для тих атомів, які не беруть участі у формуванні лазерно-
107
го випромінювання (у яких 8(утпя) < 5Ґ). Для цих атомів, при
достатній потужності накачування, досягається порогова інвер-
сна населеність і починається генерація на відповідній моді.
При подальшому зростанні потужності накачування в генера-
цію включаються ще інші атоми і т. д. Звідси випливає, що при
неоднорідному розширенні спектральної лінії число генерованих
мод зростає з підвищенням потужності накачування, і одночас-
но можуть генеруватися десятки аксіальних мод (не кажучи
про неаксіальні, частотний інтервал між якими менший, ніж
між аксіальними модами).
При однорідному розширенні спектральної лінії багатомодо-
ва генерація відбувається внаслідок того, що просторовий роз-
поділ густини енергії р(г) електромагнітних коливань різний
для різних мод резонатора. На рис. 2.18 схематично показано
розподіл густини інверсної населеності та густини енергії елек-
тромагнітного поля вздовж осі резонатора для однієї з аксіаль-
них мод. На порозі генерації, при просторово однорідному нака-
чуванні, інверсна населеність приблизно рівномірно розподіле-
на вздовж осі резонатора, що зображається горизонтальною
штриховою лінією 1 на рис. 2.18, а. Після початку генерації на
деякій аксіальній моді ТЕМ^ розподіл густини енергії електро-
магнітного поля в даній моді, схематично показаний на
рис. 2.18, б, відповідає виразу
р(г) = р08іп2(2лг Д,), (2.154)
де довжина хвилі для даної моди
Ч = 2/^А- (2-155)
Положення пучностей стоячої хвилі, тобто максимумів р(з),
відповідає вертикальним штриховим лініям.
Оскільки ймовірність вимушених переходів атомів пропор-
ційна до густини енергії електромагнітного поля (див. форму-
лу (1.30)), то генерація даної моди буде відбирати у активної
речовини енергію максимально — в максимумах р(з) (в пучно-
стях стоячої хвилі) і практично не буде впливати на густину
інверсної населеності у вузлах. Тому після початку генерації
на даній моді при подальшому підвищенні потужності накачу-
вання інверсна населеність ДМ не буде зростати в пучностях
цієї моди і буде зростати у вузлах. Розподіл ДМ(з) стане не-
рівномірним, що схематично ілюструє крива 2 на рис. 2.18, а.
Із формули (2.155) видно, що положення пучностей для різних
108
аксіальних мод різне. Тому пучності деяких мод можуть знахо-
дитися поблизу максимумів ДМ(г). При зростанні потужності
накачування, після досягнення порогового значення інверсної
населеності для нової моди (з іншим значенням 9), почнеться
генерація на даній моді. При подальшому підвищенні потуж-
ності накачування виникне генерація і на інших модах.
Рис. 2.18. Розподіл густини інверсної насе-
леності (а) та густини енергії електромаг-
нітної хвилі (б) вздовж осі резонатора для
аксіальної моди резонатора. Штрихова лі-
нія / відповідає порогу генерації, крива 2 —
більш високій потужності накачування
Неаксіальні моди також відбирають енергію активної речо-
вини в об’ємі резонатора неоднорідно: максимально — в пучно-
стях і мінімально — у вузлах. Тому генерація може відбуватися
на кількох неаксіальних модах.
При генерації на кількох модах просторова неоднорідність
відбору енергії від активної речовини зменшується, і поява ге-
нерації на нових модах буде утруднюватися. Тому при одно-
рідному розширенні спектральної лінії звичайно число генеро-
ваних мод менше, ніж при неоднорідному.
Неоднорідність просторового розподілу густини енергії р(г)
електромагнітних коливань у активному середовищі суттєво
зменшується за рахунок використання резонаторів біжучої хви-
лі. Схема такого резонатора наведена на рис. 2.19. Резонатор
включає три дзеркала і оптичний вентиль ОВ, який служить
для створення режиму однонаправленого поширення біжучих
хвиль. Схема оптичного вентиля, що використовує ефект Фара-
дея, показана на рис. 2.20. Після проходження поляризатора
109
світлова хвиля стає плоско поляризованою. У прозорому ді-
електрику ПД (наприклад, у склі), що знаходиться у поздовж-
ньому магнітному полі магніту М, площина поляризації хвилі
Рис. 2.19. Схема кільцевого резонатора
Рис. 2.20. Схема оптичного вентиля
на основі ефекту Фарадея
повертається на певний кут. Пластинка з подвійним променеза-
ломленням ППЗ повертає площину поляризації точно на такий
же кут в протилежному напрямі. Тому світловий пучок прохо-
дить без втрат через поляризатор П2, у якого площина поляри-
зації така ж, як у поляризатора ПР Для хвилі, що поширюєть-
ся у зворотному напрямі, пластинка і магнітне поле в діелект-
рику ПД будуть повертати площину поляризації хвилі в одному
напрямі, так що ця площина не буде збігатися з площиною
поляризації поляризатора ПР Тому для зворотної хвилі вентиль
буде вносити втрати набагато більші, ніж для прямої хвилі.
Завдяки дії оптичного вентиля у кільцевому резонаторі, по-
казаному на рис. 2.19, буде поширюватися світлова хвиля лише
у напрямі, показаному стрілками. В такому резонаторі стояча
хвиля не виникає, і (оскільки немає вузлів і пучностей хвилі)
110
енергія від активної речовини АР відбирається електромагніт-
ною хвилею рівномірно вздовж напряму її поширення. Це сут-
тєво покращує роботу лазера. По-перше, значно підвищується
ефективність відбору енергії від активної речовини, що веде до
підвищення потужності та ККД лазера. По-друге, полегшуєть-
ся організація режиму роботи лазера на одній аксіальній моді.
2.6.3. Селекція мод в лазерах
Внаслідок того, що кутова розбіжність 0, яка визначається
формулою (2.78), для поперечних мод резонатора більша, ніж
для основної моди, для зменшення розбіжності випромінюван-
ня лазера необхідно подавити генерацію на поперечних модах.
Оскільки різним аксіальним (як і поперечним, при відсутності
виродження) модам відповідають різні частоти, для підвищен-
ня монохроматичності (а значить, і когерентності) генеровано-
го лазером випромінювання необхідно створити умови для гене-
рації на одній аксіальній моді, а генерацію на інших аксіальних
(а також на поперечних) модах подавити. Селекцією мод (від
англійського зеїесііоп — вибір, підбір) називається створення
сприятливих умов для лазерної генерації на одній певній моді
(або на декількох модах) і стримування генерації на інших мо-
дах. Селекція мод досягається збільшенням втрат енергії в ре-
зонаторі для небажаних мод при збереженні високої доброт-
ності для вибраної моди.
Для подавлення генерації на поперечних модах викори-
стовують різницю між просторовим розподілом амплітуди в пло-
щині, перпендикулярній до осі резонатора, для основної моди
(тобто для сукупності аксіальних мод) і для поперечних мод.
В стійких резонаторах основна мода має симетричний відносно
осі резонатора гауссів розподіл амплітуди з радіусом, що ви-
значається формулою (2.39). Для неаксіальних мод поперечний
розмір пучка більший і збільшується зі зростанням поперечних
індексів. Тому найбільш простим і зручним методом подавлення
неаксіальних мод є введення в резонатор діафрагми, яка обме-
жує поперечний розмір світлового пучка. При достатньо мало-
му радіусі а діафрагми число Френеля резонатора = а2/(Х/я)
визначається розміром діафрагми. Дифракційні втрати для по-
перечних мод сильніше зростають зі зменшенням числа Френе-
ля (зі зменшенням отвору діафрагми), ніж втрати для основної
моди. За поперечним розміром пучка найближчою до основної
моди (моди ТЕМщ) є мода ТЕМОЇ. Тому для подавлення всіх
111
поперечних мод радіус діафрагми повинен приблизно дорівню-
вати радіусу пучка для моди ТЕМ0[. Для встановлення діафраг-
ми вибирають таке місце, де поперечні розміри пучків для мод
ТЕМ0() і ТЕМОЇ відрізняються найбільш сильно.
Дуже важливим для селекції поперечних мод є вибір конфі-
гурації резонатора. Наприклад (див. підрозділ 2.5.3), для ре-
зонатора з плоскими дзеркалами дифракційні втрати для мод
ТЕМцц і ТЕМ0[ при фіксованому числі Френеля відрізняються
приблизно в 2,6 разів, а в конфокальному резонаторі — в 20
разів. Дуже сприятливі умови для подавлення неаксіальних мод
створюються в майже півсферичному резонаторі (див. підрозділ
2.3.2 та рис. 2.6, в).
Діафрагмування світлового пучка в резонаторі зменшує
об’єм активної речовини, яка бере участь у квантовому підси-
ленні світла, а також збільшує дифракційні втрати для основ-
ної моди. Це призводить до зменшення потужності та ККД ла-
зера. Сильно подавляються неаксіальні моди при ефективному
використанні всього об’єму активної речовини в нестійких ре-
зонаторах.
Селекція аксіальних мод здійснюється використанням у ре-
зонаторах додаткових пристроїв, у яких втрати енергії зале-
жать від частоти електромагнітних хвиль. Наприклад, в резона-
тор вводиться один або декілька еталонів Фабрі—Перо. Еталон
Фабрі—Перо — це плоскопаралельна пластинка із прозорого ді-
електрика (наприклад, із скла або плавленого кварцу) з поліро-
ваними поверхнями, на які нанесено покриття, що забезпечує
високе значення коефіцієнта відбивання світла. Спектр пропус-
кання еталона Фабрі—Перо визначається виразом
Т(у) = 1/[ 1 + а8іп2(^)], (2.156)
де параметри а і Ь даються формулами
а = 4г/(1 -г)2; (2.157)
г — коефіцієнт відбивання поверхні еталона;
6=2™£(1_±Д (2.158)
с \ 2пг) ' '
де п — показник заломлення матеріалу пластинки; / — товщина
пластинки; с — швидкість світла у вакуумі; ф — кут падіння
променя на поверхні пластинки. Формула (2.158) записана для
малих кутів падіння, що використовуються на практиці.
112
Максимуми в спектрі пропускання еталона Фабрі—Перо
відповідають частотам
ут = (л/6)т, (2.159)
де т — цілі числа. Відстань Ду між сусідніми максимумами в
спектрі пропускання (яка в спектроскопії називається областю
дисперсії еталона Фабрі—Перо) відповідає зміні числа т на
одиницю, так що
Ду = л/6. (2.160)
За врахуванням виразу (2.158), видно, що відстань між макси-
мумами в спектрі пропускання обернено пропорційна до тов-
щини пластинки /. Видно також, що положення максимумів
пропускання і відстань між максимумами можна регулювати
зміною кута падіння ф.
Важливим параметром еталона Фабрі—Перо є його різкість
РЕ, яка визначається як
РЕ = Ду/бу, (2.161)
де 6у— ширина піка пропускання. Із рівностей (2.156)—(2.158)
можна отримати для різкості еталона Фабрі—Перо
рЕ = пг'/2/(1-г). (2.162)
Із даного виразу видно, що різкість еталона Фабрі—Перо не
залежить від товщини пластинки. Зменшуючи товщину плас-
тинки, ми збільшуємо спектральну відстань між максимумами
пропускання у відповідності з формулою (2.160) за врахуван-
ням виразу (2.158). При цьому пропорційно до Ду збільшується
і ширина піків пропускання 6у.
На ширину спектральної лінії атомів у газах звичайно при-
падає кілька аксіальних мод резонатора. У рідинах і твердих
тілах, внаслідок сильного розширення спектральної лінії, сотні
аксіальних мод резонатора уміщуються на ширині лінії випро-
мінюючих центрів. Це призводить до багатомодової генерації
(див. підрозділ 2.6.2). Для селекції аксіальних мод звичайно
використовуються один (у газових лазерах малої потужності)
або два і більше (у твердотільних, рідинних та потужних газо-
вих лазерах) еталонів Фабрі—Перо.
На рис. 2.21 показана схема резонатора з двома еталонами
Фабрі—Перо. Між дзеркалами Д, і Д2 знаходяться активна ре-
113
човина АР і два еталони Фабрі—Перо Е! і Е2 з різними товщи-
нами І] і 12. Рис. 2.22 ілюструє процес селекції аксіальних мод.
Нехай на ширині спектральної лінії випромінювальних центрів
уміщуються частоти аксіальних мод резонатора, спектр яких по-
казано на рис. 2.22, а (для даного прикладу їх число складає 19).
Рис. 2.21. Схема резонатора з двома еталонами Фабрі—Перо для се-
лекції аксіальних мод
Рис. 2.22. Схема селекції аксіальних мод за допомогою двох
еталонів Фабрі—Перо:
а — спектр аксіальних мод резонатора без еталонів; б — спектр
пропускання першого еталона; в — спектр пропускання друго-
го еталона
Ми хочемо, щоб генерація відбувалась на одній моді з індек-
сом д, тобто на моді ТЕМ00(/, частота якої позначена стрілкою.
Для цього ми в резонатор поміщаємо еталон Фабрі—Перо Е|
114
з такою товщиною пластинки, щоб подавлялись сусідні моди,
індекси яких складають д — 1 і д + 1. Спектр пропускання цьо-
го еталона показано на рис. 2.22, б. Кут падіння фі для даного
еталона відрегульовано так, що максимум коефіцієнта пропус-
кання відповідає частоті моди з індексом д. Ширина піка про-
пускання цього еталона (що визначається товщиною пластин-
ки) повинна бути меншою відстані між частотами сусідніх мод
резонатора. Але при малій ширині піка пропускання даний ета-
лон буде мати і малу спектральну відстань між піками (малу
область дисперсії). Внаслідок цього сусідні піки пропускання
еталона будуть знаходитися в межах ширини спектральної лінії
атомів, і еталон буде пропускати світло відповідних мод резо-
натора. На рисунку показано, що в даному конкретному ви-
падку максимуми коефіцієнта пропускання еталона Еі будуть
відповідати не тільки моді з індексом д, але й модам з індекса-
ми д + 6 і д — 6. Це означає, що при наявності в резонаторі
лише одного еталона Еі генерація може відбуватися на трьох
модах з індексами д, д — 6 і д + 6.
Щоб подавити генерацію на модах з індексами д — 6 і д + 6,
в резонатор введено додатково еталон Фабрі—Перо Е2. Товщи-
на його пластинки набагато менша, ніж у еталона Ер а значить,
ширина піка пропускання набагато більша. При цьому і спек-
тральна відстань між піками пропускання пропорційно більша.
Спектр пропускання еталона Е2 показано на рис. 2.22, в. Змі-
ною кута падіння ф2 (нахилу пластинки) частота, що відповідає
максимуму пропускання еталона Е2, суміщена з частотою моди
з індексом д. А на частотах мод з індексами д — б і д + 6, як
видно з рис. 2.22, в, коефіцієнт пропускання даного еталона ма-
лий. Тому система із двох еталонів Фабрі—Перо Еі і Е2 пропус-
кає лише випромінювання аксіальної моди з даним індексом д.
Д] Іх Д2 /2 Дз
Рис. 2.23. Схема складного резонатора
Використовуються також інші методи селекції аксіальних
мод. Одним із таких методів є так званий метод складного дис-
115
лярної до площини падіння (до площини рисунка), можна пере-
строювати частоту генерації.
Рис. 2.24. Схеми дисперсійних резонаторів:
а — з дисперсійною призмою; б — з дифрак-
ційною ґраткою; в — з селективним фільт-
ром на основі подвійного променезаломлення
На рис. 2.24, б показана схема дисперсійного резонатора, в
якому використовується відбивна дифракційна ґратка ДГ. Час-
тота генерації перестроюється поворотом дифракційної ґратки.
У схемі, показаній на рис. 2.24, в, між активною речовиною
АР і дзеркалом Д2 поміщено селективний фільтр СФ на осно-
ві подвійного променезаломлення. Схема фільтра показана на
рис. 2.25. Пластинка ППЗ із кристалу, що має подвійне проме-
незаломлення (наприклад, із кристалічного кварцу), поміщена
між двома поляризаторами і П2 (конструкція лазерів часто
така, що випромінювання лінійно поляризоване, і тоді поляри-
затори П! і П2 не потрібні). Поляризатори і П2 орієнтовані
так, що пропускають лише світлові хвилі, в яких площина ко-
ливань електричного вектора збігається з площиною падіння
променя на пластинку ППЗ. Площина падіння перетинається з
поверхнею пластинки по прямій РР'. Оптична вісь А кристала
орієнтована паралельно до поверхні пластинки. Кут між оптич-
ною віссю кристала А і прямою РР' складає 0л. Для зменшення
втрат нормаль М до пластинки орієнтована під кутом Брюстера
0в до осі резонатора. У пластинці промінь розділяється на зви-
чайний промінь (для якого показник заломлення складає п0 і не
117
залежить від напряму поширення) і незвичайний промінь з по-
казником заломлення пе, що залежить від кута між площиною
ППЗ
Рис. 2.25. Схема селективного фільтра на
основі пластинки з подвійним промене-
заломленням
коливань і оптичною віссю кристала, в даному випадку — від
кута Од. Ці дві хвилі поширюються в кристалі з різними швид-
костями, і після виходу із пластинки їхні фази відрізняються на
Дф = ±^дп> (2.163)
де / — довжина шляху променя в пластинці; величина Дп —
різниця між значеннями показника заломлення для незвичайно-
го та звичайного променів, тобто
Дп = пе—п0. (2.164)
При цьому Дп = Дп(Ол), тобто величину Дп у формулі (2.163)
можна змінювати, повертаючи пластинку навколо її нормалі.
Якщо, при деякому значенні кута 0л, для даної моди з довжи-
ною хвилі X = Хі різниця фаз складає
Дср = 2лт, (2.165)
де т — ціле число, то справа від пластинки хвиля, що утвори-
лася в результаті інтерференції звичайної та незвичайної хвиль,
буде плоско поляризована у тій же площині, що і до попадання
в кристал. Через поляризатор П2 ця хвиля пройде без втрат.
Для цієї хвилі добротність резонатора буде максимальна. Для
інших мод, з довжинами хвилі Х^Х^ різниця фаз не буде за-
довольняти рівності (2.165), і хвиля після виходу із кристала
буде еліптично поляризована. При перетворенні її в лінійно
118
поляризовану (під дією поляризатора П2) її інтенсивність змен-
шиться. Це означає, що для мод з довжинами хвилі
добротність резонатора буде меншою, ніж для моди з довжи-
ною хвилі Х = Х1. Тому генерація буде відбуватися на моді
з довжиною хвилі Х = ХР Повертаючи пластинку навколо її
нормалі N. тобто змінюючи кут 0л, можна змінювати величину
Дп, а значить, довжину хвилі, для якої виконується рівність
(2.165), тобто перестроювати частоту генерації.
Частоту генерації можна також перестроювати, якщо за-
мість пластинки ППЗ у селективний фільтр на рис. 2.25 по-
містити електрооптичний елемент. У такому елементі викори-
стовується електрооптичний ефект (ефект Поккельса)— зміна
показника заломлення для незвичайного променя в кристалі під
дією зовнішнього електричного поля. Розрізняють поперечний
ефект Поккельса, коли напруженість зовнішнього електричного
поля перпендикулярна до променя, і поздовжній ефект Пок-
кельса. Змінюючи напругу, що подається на металеві контакти
до кристалу, можна змінювати величину подвійного променеза-
ломлення, тобто різницю показників заломлення пе — п0. Тоді
можна з великою швидкістю, за рахунок імпульсного електрич-
ного управління подвійним променезаломленням, перестроюва-
ти частоту генерації.
Періодично змінюючи дисперсійні параметри резонатора (по-
вертаючи з деякою частотою дзеркало Д2 на рис. 2.24, а або
дифракційну ґратку ДГ на рис. 2.24, б, або подаючи періодичні
пилкоподібні імпульси напруги на електрооптичний елемент),
можна сканувати (періодично змінювати) частоту генерації у
певному спектральному інтервалі. Такий режим роботи лазера
називається свіп-генерацією, а відповідні лазери — свіп-лазе-
рами (від англійського $\уеер — розгортка; їгециепсу $\уеер —
качання частоти). Вперше твердотільні свіп-лазери з дисперсій-
ним оптичним резонатором були розроблені у 1967 р. В. І. Крав-
ченком і М. С. Соскіним в Інституті фізики НАН України.
Перестроювання частоти генерації в деяких лазерах можна
здійснювати при незмінних параметрах резонатора, за рахунок
зміни спектру квантового підсилення активної речовини. На-
приклад, у напівпровідникових лазерах спектр генерації можна
перестроювати зміною зовнішнього тиску, температури актив-
ної області, величини струму живлення та ін. В лазерах на ви-
мушеному комбінаційному розсіянні світла частоту генерації
можна змінювати магнітним полем і т. п.
119
ЗАДАЧІ ДО РОЗДІЛУ 2
Задача 2.1. Нехай — частота аксіальної моди резонатора Фабрі—
Перо з необмеженими дзеркалами, що знаходяться на відстані І.
І
Такий резонатор має також поперечні (неаксіальні) моди, для яких хви-
льовий вектор кт складає кути 0т з віссю резонатора, де т=1, 2, 3, ...
Знайти величини кутів 0т для неаксіальних мод резонатора, що відповідають
одній і тій же частоті со^. Чисельно оцінити кут 0н якщо довжина резонатора
І = 10 см, довжина хвилі поздовжньої моди А^ = 633 нм.
Задача 2.2. В момент часу 1 = 0 в резонатор ввели фотони концентра-
цією УУФО. Внаслідок втрат концентрація фотонів експоненціально зменшу-
ється з часом, тобто Мф(О = МФо ехр(--—\ Знайти середній час перебуван-
\ т*/
ня фотона в резонаторі (час життя фотона в резонаторі).
Задача 2.3. Виразити дифракційну добротність резонатора Фабрі—Перо
з плоскими дзеркалами через число зон Френеля, видимих на одному круг-
лому дзеркалі з центра другого круглого дзеркала. Оцінити коефіцієнт ди-
фракційних втрат за один прохід і максимально можливе значення доброт-
ності резонатора Фабрі—Перо з такими параметрами:
довжина резонатора І = 50 см;
довжина хвилі Х = 633 мкм (гелій-неоновий лазер);
£) = 0,8 см (діаметр газової кювети в гелій-неоновому лазері).
Задача 2.4. Частота випромінювання в лінії /?, рубіну то = 4,3-1О14 Гц
(Х = 693 нм). Ширина спектральної лінії Д¥=1,1210и Гц (при кімнатній
температурі). Скільки аксіальних (поздовжніх) мод резонатора уміщується
на ширині спектральної лінії /?н якщо довжина резонатора І = 20 см, показ-
ник заломлення рубіну и=1,76. Вважати, що рубіновий стержень займає
весь об’єм резонатора.
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ ДО РОЗДІЛУ 2
1. Які особливості будови мають закриті та відкриті резонатори і чим
відрізняються їхні характеристики?
2. Нарисуйте схему резонатора Фабрі—Перо. Які особливості має інтер-
ферометр Фабрі—Перо як резонатор для лазерів?
120
3. Дайте означення аксіальних і неаксіальних мод (типів коливань)
резонатора.
1. Які особливості будови та роботи мають волоконні хвилеводи та
резонатори?
4. Дайте означення часу життя фотона в резонаторі та добротності
резонатора.
5. Назвіть основні механізми втрат в резонаторі.
6. Чим визначається число мод, що генеруються в резонаторі?
7. Чим відрізняються нестійкі резонатори від стійких?
8. Як здійснюється селекція мод в лазері?
9. Які основні способи перестроювання частоти генерації лазерів?
О ЛАЗЕРИ З ОПТИЧНИМ
3. НАКАЧУВАННЯМ
Оптичне накачування — найбільш універсальний спосіб ство-
рення населеності робочих рівнів у активних середовищах ла-
зерів та інших приладів квантової електроніки. Цей метод —
безконтактний, тобто не потребує гальванічного зв’язку з робо-
чим тілом. Тому він може ефективно використовуватися у тих
випадках, коли активна речовина — діелектрик. Але, як усі уні-
версальні методи, даний механізм накачування має ваду — низь-
ку ефективність.
3.1. ОПТИЧНЕ НАКАЧУВАННЯ ЯК СПОСІБ
СТВОРЕННЯ ІНВЕРСНОЇ НАСЕЛЕНОСТІ
Будова лазера з оптичним накачуванням схематично показа-
на на рис. 3.1.
Д! АР М Д2
.........-з
У//////////}
сн
Рис. 3.1. Схема лазера з оптичним накачуванням
Стержень із активної речовини АР (чи, наприклад, кювета
з активною речовиною в лазерах на основі рідин) знаходиться
122
між дзеркалами Д, та Д2. В оптичну систему може бути включе-
ний модулятор М. Під активним стержнем умовно показана си-
стема накачування СН, яка включає газорозрядну лампу та кон-
центратор — дзеркало спеціальної форми (або систему дзеркал).
Процес створення інверсної населеності в активному середо-
вищі можна розділити на кілька етапів:
1) перетворення електричної енергії в енергію оптичного
випромінювання у газорозрядній лампі (чи в системі ламп, чи
в іншому джерелі випромінювання);
2) концентрування одержаного випромінювання в активно-
му стержні. Цю роль виконує концентратор — дзеркало (зви-
чайно — циліндричної форми з круговим чи еліптичним пере-
різом), або система дзеркал;
3) поглинання світла в активній речовині, яке приводить до
переходу атомів (молекул і т. п.) в збуджений стан (чи в збуд-
жені стани);
4) перехід атомів (молекул) у стан, який відповідає верх-
ньому робочому енергетичному рівневі (з цього рівня відбува-
ються вимушені переходи, що супроводжуються генерацією фо-
тонів).
На кожному з указаних етапів відбуваються втрати енергії.
Тому ККД (коефіцієнт корисної дії) оптичного накачування
можна записати у вигляді добутку кількох множників:
По = іЦкПЛр. (3.1)
де т|е — ККД випромінювання, тобто перетворення електричної
енергії в енергію фотонів у необхідному спектральному інтер-
валі; т|4 — ККД концентратора; т]а — ефективність поглинання
падаючого світла активною речовиною; г|ір — ефективність пере-
творення енергії збудженої активної системи в енергію, що від-
повідає інверсній населеності робочих енергетичних рівнів.
Ефективність випромінювання джерела світла визначається
виразом
Пе = уг $ Рубч, (3.2)
Є V,
де Ре — електрична потужність живлення лампи; величина спек-
тральної густини потужності випромінювання визначається як
^ = 37. (3.3)
123
де Р—потужність випромінювання джерела світла; (V,, у2) —
спектральний інтервал випромінювання, який використовується
для накачування. Визначення величини г|е якісно пояснюється
на рис. 3.2. Лампа має широкий спектр випромінювання з мак-
симумом при V = ут. Використовується для накачування тільки
світло в спектральному інтервалі у2). Ефективність джере-
ла світла пропорційна до відношення заштрихованої частини до
всієї площі під кривою /\(у).
Рис. 3.2. Спектр випромінювання лампи
накачування. Заштрихована площа відпові-
дає смузі поглинання активної речовини
З рис. 3.2 видно, що для підвищення ефективності накачу-
вання джерело світла повинно мати максимум випромінюваль-
ної здатності в області (V!, у2). Для теплових джерел світла, які
мають спектр випромінювання близький до спектру абсолютно
чорного тіла, довжина хвилі, що відповідає максимуму спектру,
визначається законом зміщення Віна
^т-ь/тс, (3.4)
де 6 = 2,8978- 103 мкм -К; Тс — кольорова температура джере-
ла світла. Так, для того, щоб положення максимуму в спектрі
випромінювання лампи відповідало смузі поглинання рубіна при
X = 0,56 мкм, температура тіла розжарення повинна складати
5200 К. Такі температури досягаються в газорозрядних лампах
високого тиску на основі інертних газів (найчастіше — ксено-
ну), які працюють у режимі дугового розряду.
Про величини множників у формулі (3.1) можна отримати
уявлення на прикладі рубінового лазера. Рубін має дві широкі
смуги поглинання при = 0,41 мкм та Х2 = 0,56 мкм, які ви-
124
користовуються для накачування. Це дає змогу одержати г|е =
= 30 %. Інші величини складають: г^^бО—80 %; г|а^30 %;
т]ір = 45 %, що дає, відповідно до виразу (3.1), для ККД оп-
тичного накачування т],р < 3 %.
Ефективність накачування може бути підвищена, якщо дже-
рело світла має вузький спектр випромінювання, який відпо-
відає спектру поглинання активної речовини. Ця ідея знайшла
своє втілення при побудові неодимових лазерів з накачуванням
за рахунок випромінювання напівпровідникових лазерів.
3.2. ТРИРІВНЕВІ СИСТЕМИ В ЛАЗЕРАХ
З ОПТИЧНИМ НАКАЧУВАННЯМ
У підрозділі 1.6, присвяченому ефекту насичення, показано,
що у дворівневих системах неможливо створити інверсну насе-
леність за допомогою оптичного накачування. У трирівневих
системах, крім двох робочих енергетичних рівнів, що викори-
стовуються для квантового підсилення світла, є ще допоміж-
ний рівень (чи система рівнів), який служить для створення
інверсної населеності. Переходи в такій системі при оптичному
накачуванні показані на рис. 3.3. Товстими стрілками позначені
переходи, що принципово необхідні для квантового підсилення
світла. Під дією випромінювання джерела накачування відбува-
ються переходи атомів з основного стану 1 в стан 3. Ймовір-
ність таких переходів
00
Г13=В13$5(т)р^, (3.5)
0
де В13 — відповідний коефіцієнт Ейнштейна; 5(¥) — функція
форми спектральної лінії для даного переходу; рV — спектраль-
на густина енергії випромінювання.
Збуджені атоми з рівня 3 можуть вернутися на рівень 1
спонтанно з ймовірністю а31, або стимульовано з ймовірністю
^ = (£/£3)^13. (3-6)
де та — кратності виродження відповідних рівнів. Для
створення інверсної населеності необхідно, щоб з рівня 3 атоми
125
могли переходити на рівень 2. Ймовірність таких переходів
складає а32. Між робочими рівнями 1 і 2 відбуваються спон-
танні переходи (при яких випромінюються фотони) з ймовірні-
стю Л21, релаксаційні (невипромінювальні) переходи з ймовірні-
стю а21 та переходи з поглинанням фотонів та їх стимульова-
ною емісією. Для ймовірностей цих переходів та ІІ721 можна
записати формули, аналогічні до (3.5) та (3.6) з відповідною
заміною індексів. З рис. 3.3 видно, що для ефективного нака-
чування необхідно, щоб для атомів, які збуджені в стан З,
ймовірність переходів а32 на верхній робочий рівень 2 була
набагато більша, ніж ймовірність повернення цих атомів в стан
1, тобто,
аз2 (3-7)
а32»ГЗІ. (3.8)
Ймовірності а32 та а31 відповідних переходів є параметрами
матеріалу. Тому накачування буде ефективним лише в таких
матеріалах, де а32»а31. Крім того, при високих потужностях
накачування, коли порушується нерівність (3.8), ефективність
накачування різко зменшується внаслідок ефекту насичення
між населеностями рівнів 1 і 3.
При виконанні нерівностей (3.7) і (3.8) кінетичне рівняння
для населеності рівня 3 має вигляд
= іад - а32М3.
(3.9)
У стаціонарному випадку, тобто коли = 0, з (3.9) за вра-
126
хуванням співвідношення (3.6) та нерівностей (3.7) і (3.8) отри-
маємо
^- = ^-<^=1. (3.10)
Мі а32
Якщо ми хочемо створити інверсну населеність між рівнями 1
та 2, тобто М2> то нерівності (3.7) та (3.8) означа-
ють, що
N2. (3.11)
Таким чином, в системах, ефективних при оптичному накачу-
ванні (для яких мають місце нерівності (3.7) і (3.8)), виконуєть-
ся також нерівність (3.11). Ця нерівність означає, що атом,
переведений поглинанням фотона на рівень 3, за короткий про-
міжок часу переходить на рівень 2, так що для населеності
рівня 2 можна записати кінетичне рівняння
= 0^3 + - (Г21 + Л21 + а21)ЛГ2. (3.12)
У стаціонарному випадку, тобто коли = 0, що відповідає
1Г13, ^12 = СОП8Ї та і —► оо, з рівняння (3.12) одержимо
N2 _ ^.з + ^І2 /3134
ІЗ ЦЬОГО виразу, у спрощеному ВИГЛЯДІ, КОЛИ 1^12 = І^21 (тобто
коли кратності виродження £2 = £і), одержимо: інверсна насе-
леність, тобто нерівність досягається, коли
Г13>Л21 + а21. (3.14)
Це і є умовою для створення інверсної населеності робочих
рівнів у 3-рівневій системі при оптичному накачуванні. Враху-
вавши, що час життя стану 2 виражається як
Т2 = 1/(^21 + а21)’ (3.15)
умову (3.14) перепишемо у вигляді
Г13>1/т2. (3.16)
127
Врахування випадку різних кратностей виродження робочих
рівнів, тобто та визначення інверсної населеності у за-
гальному випадку
ДМ -- N2-^М (3.17)
&
дає ту ж умову створення інверсної населеності (3.14), або
еквівалентну їй (3.16).
Диференційне рівняння (3.12) разом з рівністю (3.13) та
умовою збереження числа частинок
ЛЇ, + У2 = М (3.18)
(тут врахована нерівність (3.11)) може бути розв’язано, якщо
задати ІГ13 та а також визначити початкові умови. При
ГІЗ, И7і2 = сопзі, = §2 та початковій умові
ДМ(О) = -М (3.19)
(тобто за врахуванням, що до включення оптичного накачуван-
ня всі атоми знаходяться у стані 1) ми отримаємо
ДМО = (ДЛЇ5І + Ло(1-Н)-М, (3.20)
де стаціонарна величина інверсної населеності ДЛГ5І та час ре-
лаксації населеності 0 при даних умовах — сталі величини. Два
рішення рівняння (3.20), що відповідають двом різним значен-
ням величини №13 (тобто різним потужностям накачування),
показано на рис. 3.4. Крива 1 відповідає малій потужності на-
качування, коли умова (3.14) інверсної населеності не вико-
нується. У цьому випадку стаціонарне значення густини інверс-
ної населеності задовольняє нерівність ДМ51 < 0, тобто кван-
тове підсилення світла не має місця.
При більш високій потужності накачування, коли виконуєть-
ся нерівність (3.14), залежність може бути подібною до
кривої 2 на рис. 3.4. З моменту часу іх починає виконуватись
нерівність ДМ(ґ) > 0, тобто створюється інверсна населеність
робочих рівнів 1 та 2. У деякий момент і = і2 величина ДМ
може досягти порогового значення ДМР коли квантове підси-
лення світла компенсує всі втрати енергії у резонаторі. Тоді
почнеться лазерна генерація. З цього моменту величини М712
128
і Г2І у рівнянні (3.12) зміняться, і при і>і2 формула (3.20)
не буде описувати залежність ДМ(ґ).
Рис. 3.4. Кінетика густини інверсної населе-
ності 3-рівневої системи при двох значеннях
потужності накачування
Таким чином, для 3-рівневої системи, що накачується оптич-
но, можна зробити такі висновки:
1. Ефективною для оптичного накачування може бути лише
система, для якої виконується нерівність (3.7).
2. При високих інтенсивностях (потужностях) накачування
може порушуватися умова (3.8), що веде до різкого зниження
ефективності накачування. Якщо умова (3.8) порушується при
інтенсивностях накачування, недостатніх для виконання нерів-
ності (3.14), то дана 3-рівнева система — не ефективна для по-
будови лазера.
3. Існує порогова потужність накачування для створення
інверсної населеності. Величина порогової потужності у стаціо-
нарному випадку визначається умовою (3.14), або еквівалент-
ною їй нерівністю (3.16).
4. Із нерівності (3.16) видно, що створення інверсної насе-
леності значно полегшується, якщо час життя т2 верхнього
робочого рівня — великий (такі рівні називаються метастабіль-
ними). Для досягнення лазерної генерації необхідно використо-
вувати матеріали з достатньо великим часом життя верхнього
робочого рівня т2, щоб порогова умова (3.14) (те ж саме —
(3.16)) виконувалася при достатньо малих значеннях величини
129
Ц713 (тобто при достатньо низьких потужностях накачування),
коли ще не порушується нерівність (3.8), в яку теж входить
величина №31. Зіставлення нерівностей (3.8) та (3.16) показує,
що інверсну населеність можна створити лише в речовині, для
якої
1/т2 а32- (3.21)
5. При імпульсному живленні лазерна генерація починаєть-
ся з запізненням відносно початку світлового імпульсу накачу-
вання, як це видно із рис. 3.4. Більш детально це питання буде
обговорюватися пізніше, при розгляді режимів роботи лазерів.
3.2.1. Рубіновий лазер
Типовою 3-рівневою речовиною, що використовується в ла-
зерах з оптичним накачуванням, є рубін. Рубін — кристал окси-
ду алюмінію А12О3 (а-корунд) з домішкою хрому. Чисті криста-
ли А12О3 відомі як сапфір. В рубіні частина іонів А13+ заміщена
іонами Сг3+. В стандартних кристалах біло-рожевого рубіну, що
використовуються як активна речовина лазерів, концентрація
Сг складає МСг = 1,6- 10і9 см-3, що відповідає відносному вмі-
сту хрому біля 0,05 %. Кристал має ромбоедричну (тригональ-
ну) симетрію, тобто періоди ґратки а = Ь = с, а кути між осями
а = р = у #= 90°. Елементарна комірка містить дві «молекули»
А12О3. Оптична вісь кристала збігається з віссю 3-го порядку.
Рубін має велику твердість і теплопровідність. Показник залом-
лення рубіну складає 1,76.
Атоми хрому в забороненій зоні рубіну створюють ряд рів-
нів, показаних на рис. 3.5. Рівень А відповідає основному (не-
збудженому) стану і складається з двох підрівнів, що знахо-
дяться на відстані 5,7 • 10-5 еВ. Збуджений рівень Е складаєть-
ся з двох підрівнів (кожний з них двократно вироджений), від-
стань між якими складає 3,6- 10-3 еВ. Більш високим значен-
ням енергії відповідають системи рівнів Р\ і Р2. Перехід 1 між
рівнем А і системою рівнів Р{ відповідає смузі оптичного погли-
нання у фіолетовій області з максимумом при 0,416 мкм, а пе-
рехід 2 — смузі поглинання у зелено-жовтій області з центром
при 0,56 мкм. Ширина обох смуг поглинання складає приблиз-
но 0,1 мкм. Переходи 1 і 2 використовуються для оптичного на-
качування. Для квантового підсилення світла використовують-
ся переходи між рівнями Е і А. Переходи 5 і 6 супроводжують-
130
ся генерацією фотонів в лініях і /?2 3 довжинами хвилі відпо-
відно І! = 0,6943 мкм і Х2 = 0,6929 мкм (у червоній області).
Для лазерної генерації звичайно використовується перехід 5
(лінія випромінювання
Е, еВ
З
Рис. 3.5. Схема енергетичних рівнів рубіна,
які використовуються в лазерах
Рубіновий лазер працює за 3-рівневою схемою: рівні А і Е
є робочими рівнями, а система рівнів Р{ і Р2 використовується
для оптичного накачування. При поглинанні світла від джерела
накачування відбуваються переходи 1 і 2. Електрони, переве-
дені вказаними переходами на рівні Рх і Г2, за короткий про-
міжок часу переходять на рівень Е (стрілки 3 і 4). Час життя
електронів у стані Е дуже великий (тобто рівень Е — метаста-
більний) і при кімнатній температурі складає т2« 3 мс. Велике
значення т2 спрощує виконання порогової умови квантового під-
силення світла.
При кімнатній температурі рубінові лазери працюють лише
в імпульсному режимі з використанням водяного охолоджен-
ня. Звичайно робоче тіло лазера являє собою один чи кілька
стержнів діаметром 1—2,5 см і довжиною 15—ЗО см. Енергія
лазерних імпульсів складає від часток джоуля до 10 Дж. Коефі-
цієнт корисної дії не перевищує 3 %. Рубінові лазери з непе-
131
рервною генерацією працюють при охолодженні рідким азотом
(при температурі 77 К).
Висока порогова потужність накачування рубінового лазе-
ра, як і інших лазерів на основі 3-рівневих систем, зумовлена
тим, що нижній робочий рівень цих систем є найнижчим, тобто
відповідає основному (незбудженому) стану атомів. Тому щоб
створити інверсну населеність між робочими рівнями, треба
більше половини всіх атомів перевести у збуджений стан. Цьо-
го суттєвого недоліку немає у 4-рівневих систем.
3.3. ЧОТИРИРІВНЕВІ СИСТЕМИ В ЛАЗЕРАХ
З ОПТИЧНИМ НАКАЧУВАННЯМ
В 4-рівневій системі, схематично показаній на рис. 3.6, ниж-
ній робочий стан є не основним, а збудженим станом. Рівень Е4
потрібен для оптичного накачування. Для ефективної роботи
4-рівневої системи ймовірності переходів з 4-го рівня на пер-
ший #41 і И741 повинні бути малими (ці переходи показані пере-
кресленими стрілками на рис. 3.6). Умовою ефективності си-
стеми є виконання нерівностей
#43 #4і
(3.22)
(відношення #43/#41 фіксоване для даної речовини) і
#43» И741.
(3.23)
Ймовірність стимульованих переходів з 4-го рівня на 1-й (які
відбирають частину енергії, що йде на накачування) пропорцій-
на до ймовірності переходів, які використовуються для накачу-
вання:
^ = (^/^4)^4,
(3.24)
причому
00
^4=В14р14МР/У.
О
(3.25)
Звідси маємо, що величина 1Г14 у нерівності (3.23) зростає
132
з підвищенням густин енергії накачування. При високих значен-
нях інтенсивності накачування 4-рівнева система стає неефек-
тивною внаслідок ефекту насичення між населеностями рівнів
1 і 4.
1е4
Е3
^!4
а4І
^4!
&32
А32
^23
Е2
Е,
Рис. 3.6. Схема переходів 4-рівневої си-
стеми, які використовуються в лазерах
Якщо виконується нерівність
Е2 — Е{ » кТ,
(3.26)
то у рівноважному стані рівень Е2 (нижній робочий рівень) —
пустий. Це полегшує створення інверсної населеності між рів-
нями Е3 і Е2.
Розглянемо порогову умову досягнення інверсної населено-
сті у 4-рівневій системі. Будемо вважати, що виконуються умо-
ви (3.22), (3.23) і (3.26). Відношення населеностей рівнів Е{ і Е2
у нерівноважному стані можна виразити як
£2 і ^2 “
£1 \ "42
(3.27)
де Т12 — ефективна температура, що описує це відношення і
залежить від температури кристала та інтенсивності накачу-
вання. У найбільш сприятливому випадку (який рідко реалі-
зується в реальних системах) величина Тї2 мало відрізняється
від температури кристала. Будемо вважати, що у підпорогово-
му режимі резонансних фотонів з енергією Ну = Е3 — Е2 мало.
133
Це означає, що
№32, Г23^Л32. (3.28)
Тоді для населеності 3-го рівня у стаціонарному стані можна
записати рівняння
^- = ВД-Л32^=0, (3.29)
де Л32 — ймовірність спонтанного переходу між робочими рів-
нями. З рівняння (3.29), враховуючи співвідношення між насе-
леностями рівнів Еї і Е2 (3.27), можна отримати для населено-
стей рівнів Е3 і Е2
^.==^кехрА£2-£Л (3 30)
N. а32 ктІ2 ; '
Звідси маємо порогову умову інверсної населеності в 4-рів-
невій системі:
Г14>Л32ехр(-^М (3.31)
Якщо врахувати наявність релаксаційних (невипромінювальних)
переходів Е3 —> Е2, ймовірність яких а32, то замість умови (3.31)
отримаємо
Г14>±ехрґ-^і\ (3.32)
де
т3 = 1/(Л32 4-й32). (3.33)
Для 3-рівневої системи такою умовою є нерівність №13> 1/т2.
Якщо виконується нерівність
Е2 — Еї>кТї2, (3.34)
то для створення інверсної населеності в 4-рівневій системі
потрібна набагато менша потужність накачування, ніж у 3-рів-
невій. В реальних 4-рівневих системах порогова потужність на-
качування в десятки разів менша, ніж в 3-рівневих.
134
При високих температурах нерівність (3.26) може поруши-
тися. Тоді рівноважна населеність рівня Е2 буде порівнянна
з населеністю рівня Е^ і 4-рівнева система перетвориться на
3-рівневу. Така поведінка при зростанні температури характер-
на для деяких 4-рівневих систем. При збільшенні потужності
накачування зростає ефективна температура Т12, яка описує
відношення населеностей рівнів 1 і 2, що теж може привести
до перетворення 4-рівневої системи в 3-рівневу.
3.3.1. Неодимовий лазер
Неодим (N(1) — рідкоземельний елемент, у якого частково
заповнена 4/-електронна оболонка (на ній знаходяться 3 елек-
трони) розташована ближче до ядра, ніж заповнені оболонки
5$2 та 5р6. Вісім електронів, що знаходяться на вказаних зов-
нішніх оболонках, добре екранують 4/-електрони. Тому спектр
енергії 4/-електронів, а значить, і спектри поглинання та ви-
промінювання іонів неодиму (як і інших рідкоземельних атомів)
мало залежать від того, у якому середовищі (у якій матриці)
знаходяться ці іони.
Неодимові лазери будують на різних кристалах та на склі.
Найбільшого поширення набули лазери на легованих неодимом
кристалах ітрій-алюмінійового гранату (ІАГ, ¥АС, іНгіит аіи-
тіпит §агпеі) ¥3АІ5О12. Типова концентрація неодиму в крис-
талах ІАГ складає біля 1 ат. % і досягається добавкою оксиду
неодиму Ис12О3 в шихту при вирощуванні кристалів. При ви-
рощуванні скла зі складом ЬіМ^А18іО3 у шихту добавляють
біля 3 ваг. % Ис12О3. І в кристали, і в скло атоми неодиму
входять як іони И33+. Як зазначалося, енергія рівнів 4/-елект-
ронів у атомах неодиму мало змінюється при зміні матриці.
У кристалах ІАГ іони Исі3* мають інтенсивні смуги люмінес-
ценції при довжинах хвилі Х1 = 1,064 мкм (а також ряд менш
інтенсивних смуг в області 1,05—1,1 мкм) та Х2= 1,319 мкм.
Ці вузькі смуги випромінювання при кімнатній температурі ма-
ють однорідне розширення (ДХ^0,7 нм), обумовлене взаємо-
дією з коливаннями кристалічної ґратки (з квантами цих коли-
вань — фононами).
Іони неодиму мають багато смуг поглинання у видимій об-
ласті спектру. Ці смуги використовуються для оптичного нака-
чування. Як неодимове скло, так і кристали з домішкою нео-
диму, в лазерах та квантових підсилювачах оптичного потоку
використовуються як 4-рівневі системи.
135
Кристалічні матриці мають коефіцієнт теплопровідності на-
багато більший, ніж у скла. У лазерах, які працюють у непе-
рервному режимі, звичайно використовують кристали ІАГ. Кри-
стали з домішками N(1 мають вигляд стержня діаметром до
кількох сантиметрів та довжиною 2—3 дециметри. Такі лазери
мають потужність до сотень ват. При цьому поріг генерації
настільки низький, що для накачування можна використовува-
ти (із застосуванням концентратора) сонячне світло.
У склі енергетичні рівні неодиму мають велике неоднорідне
розширення (ДХ «=* ЗО нм), зумовлене неоднорідністю електрич-
ного поля. Внаслідок низької теплопровідності скла (на порядок
меншої, ніж у кристалів ІАГ) лазери на основі неодимового
скла працюють в імпульсному режимі. Використання скла як
матриці для іонів неодиму дає ряд важливих переваг:
1. Із неодимового скла можна виготовити робоче тіло вели-
ких розмірів. Крім того, у склі досягається більш висока концен-
трація іонів Ис13+ без суттєвого зниження оптичних параметрів
матеріалу. Тому в лазерах з неодимового скла можна отримати
велику енергію імпульсів та велику імпульсну потужність. Такі
лазери використовуються, наприклад, в установках для дослі-
дження лазерного термоядерного синтезу. Американська лазер-
на система «ИОУА» має 10 підсилювальних каналів на основі
неодимового скла, що дають синхронні імпульси в наносекунд-
ному діапазоні. Ця установка генерує імпульси з енергією біля
100 кДж і максимальною миттєвою потужністю понад 100 ТВт.
2. З неодимового скла можна виготовити робоче тіло склад-
ної форми, що дуже важливо для технічних застосувань лазерів.
3. На основі неодимового скла можна виготовити оптичне
волокно діаметром у десятки мікрометрів для використання у
волоконно-оптичних лазерах і підсилювачах.
4. На основі неодимового скла можна виготовляти оптичні
логічні елементи, швидкодія яких набагато вища, ніж у елект-
ричних логічних елементів.
3.4. ВОЛОКОННІ ЛАЗЕРИ
З волоконними лазерами пов’язані важливі досягнення і пер-
спективи квантової електроніки. Перший волоконний лазер був
створений Е. Снітцером у 1963 р. Активним елементом у цьому
лазері було скляне волокно з домішкою неодиму. Розробка тех-
136
нології кварцового волокна на початку 1970-х років і подальше
її вдосконалення привело до бурхливого розвитку волоконно-
оптичних ліній зв’язку. Була створена елементна база для ство-
рення волоконних лазерів: оптичне волокно, прозоре в різних
областях спектру; волокно, леговане рідкоземельними елемен-
тами; фоточутливе волокно; волокно з підвищеними неліній-
ними властивостями, волокно з від’ємною дисперсією і т. п.
Особливо важливою для створення компактних і стабільних во-
локонних лазерів стала розробка технології бреггівських ґраток
на основі фоточутливих оптичних волокон. Одночасно розвива-
лась фізика і технологія напівпровідникових лазерів, які стали
основними джерелами накачування для волоконних ліній зв’яз-
ку та волоконних лазерів.
На рис. 3.7 схематично показана будова волоконного лазера.
Для накачування використовується напівпровідниковий лазер 1
з волоконним виходом (або матриця чи лінійка, яка включає
кілька напівпровідникових лазерів). Квантове підсилення від-
бувається в активному волоконному хвилеводі 2. Резонатор
утворюють бреггівські ґратки 3 (про будову бреггівських ґра-
ток див. підрозділ 2.4.4). Бреггівські ґратки виготовляють на
основі фоточутливого оптичного волокна. В точках 4 це волок-
но зварене з іншими волоконними елементами.
Рис. 3.7. Схема будови волоконного лазера:
1 — модуль накачування; 2 — активний во-
локонний хвилевід; 3 — бреггівські ґратки;
4 — місця зварювання волоконних хвиле-
водів
Потужність волоконних лазерів пов’язана з їх конструкцією.
В лазерах малої потужності (0,1 —100 мВт) накачування здій-
снюється безпосередньо в серцевину активного волокна, діаметр
якої складає 5—10 мкм. Такі лазери звичайно генерують ви-
промінювання в одній моді з шириною спектральної лінії поряд-
ку 20 кГц. Лазери малої потужності використовуються у оптич-
них лініях зв’язку, у волоконних датчиках, в спектроскопії та ін.
Лазери середньої потужності (0,1 —100 Вт) потребують
накачування від кількох напівпровідникових лазерів. Для ефек-
137
тивного накачування використовується оптичне волокно з под-
війною оболонкою. Переріз такого волокна схематично показа-
ний на рис. 3.8, а. Квантове підсилення світла відбувається в
серцевині 1 волоконного світловоду, виготовленій із кварцового
(або алюмосилікатного, фосфоросилікатного та ін.) скла, ле-
гованого іонами рідкоземельного елемента, наприклад, неодиму
(N(1), або ітербію (УЬ), європію (Ег), гольмію (Но), тулію (Тт).
Рис. 3.8. Переріз оптичних волокон:
а — світловод з подвійною оболонкою в лазері
середньої потужності (/ — серцевина, легована
атомами рідкоземельного елемента; 2 — перша
оболонка; 3 — друга оболонка; 4 — захисна обо-
лонка); б — в потужному лазері з кількома па-
сивними світловодами (/ — активний світловід;
2 — пасивні світловоди; 3 — спільна друга обо-
лонка; 4 — захисна оболонка)
В матеріал серцевини вводяться також домішки, які підвищу-
ють показник заломлення скла. Лазерна генерація здійсню-
ється звичайно за 4-рівневою схемою (у деяких випадках — за
3-рівневою схемою). Для створення потужних волоконних ла-
зерів найчастіше використовується скло, леговане ¥Ь, яке за-
безпечує найвищу ефективність генерації при довжині хвилі
А, ^1,1 мкм. Для застосувань в офтальмології розробляються
волоконні лазери, які генерують випромінювання в області дов-
жин хвилі 1,5—2,0 мкм, що вважається безпечним для ока.
Для таких лазерів матеріал серцевини легується атомами Ег та
УЬ (для довжини хвилі 1,5—1,6 мкм), або Тт і Но (Х^2 мкм).
Діаметр серцевини складає 5—10 мкм. Показник заломлення
матеріалу серцевини пс більший, ніж показник заломлення п{
138
матеріалу першої оболонки, так що серцевина і перша оболон-
ка служать хвилеводом для когерентного випромінювання, ге-
нерованого в серцевині. Перша оболонка 2 на рис. 3.8, а
виготовляється з кварцового волокна. Типовий її поперечний
розмір складає 0,1—0,3 мм. У першій оболонці поширюється
генероване напівпровідниковим лазером випромінювання, яке
служить для накачування. Друга оболонка 3 звичайно виготов-
ляється із полімерного матеріалу і має показник заломлення
Тому перша і друга оболонки утворюють багатомодо-
вий світловід для випромінювання накачування. Якщо перша
оболонка має круглий переріз, то значна частина потужності
випромінювання накачування поширюється у скісних модах, які
не перетинають серцевину. Оптимальним є квадратний переріз
першої оболонки, показаний на рис. 3.8, а, який забезпечує
високу ефективність поглинання випромінювання накачування і
малі втрати при зварюванні з круглими волокнами. ККД ла-
зерів середньої потужності досягає 70—80 %.
У лазерах високої потужності (понад 100 Вт) і в деяких
лазерах середньої потужності використовується оптичне во-
локно, в якому знаходяться кілька світловодів. Переріз одного
з таких волокон показано на рис. 3.8, б. Активний світловід 1
виготовляється із кварцового скла, легованого атомами рідко-
земельного елемента. У оптичному контакті з ним знаходяться
кілька (2, 3 і більше) пасивних світловодів (2 на рис. 3.8, б)
із кварцового скла (в деяких конструкціях — система тонко-
стінних кварцових трубок), в яких поширюється випромінюван-
ня накачування, генероване напівпровідниковими лазерами. Всі
ці світловоди знаходяться всередині спільної оболонки <?, виго-
товленої з полімерного матеріалу з малим показником залом-
лення. В такому волокні здійснюється накачування активного
світловоду через всю його бокову поверхню. Випромінювання
накачування може вводитися через обидва торці кожного па-
сивного світловоду. Це дає змогу підвищити потужність лазера.
Бурхливий розвиток фізики і технології волоконних лазе-
рів пов’язаний з їхніми перевагами перед лазерами на основі
об’ємних активних середовищ. Принциповою перевагою воло-
конних лазерів є велика довжина взаємодії випромінювання
накачування і активного середовища при низьких оптичних
втратах і малому діаметрі серцевини (4—20 мкм). Всі ці фак-
тори забезпечують високу ефективність накачування випро-
мінюванням напівпровідникових лазерів. ККД перетворення
випромінювання накачування у випромінювання волоконних
лазерів досягає 70—80 %. Високі значення ККД не тільки
139
сприяють отриманню високої потужності лазерної генерації,
але й забезпечують малі теплові втрати, тобто сприяють мен-
шому розігріванню оптичного волокна.
Велика площа поверхні волоконного світловоду при задано-
му об’ємі активного середовища кардинально вирішує пробле-
му відведення тепла. Це дозволяє створювати волоконні лазери
великої потужності. В даний час промисловістю випускаються
одномодові волоконні лазери з неперервною генерацією потуж-
ності до 1 кВт з повітряним охолодженням і маломодові лазери
потужністю до 10 кВт з водяним та іншим охолодженням. Роз-
робляються ще більш потужні волоконні лазери.
Дуже важливою для багатьох використань є висока якість
вихідного пучка випромінювання волоконних лазерів, яка забез-
печується малим діаметром серцевини волокна і високим ступе-
нем направленості світлової хвилі у волокні. Випромінювання
волоконних лазерів можна сфокусувати у пляму діаметра по-
рядку довжини хвилі.
Використання внутрішньо-волоконних бреггівських ґраток
показника заломлення як розподілених відбивачів світла забез-
печує високу стабільність і надійність роботи волоконних ла-
зерів без їх юстування, компактність їх конструкції, а також
зручність підведення генерованого випромінювання до місця
його споживання.
В даний час лазерні технології широко застосовуються для
обробки матеріалів: зміцнювання, різання, свердління, зварю-
вання. При цьому використовуються потужні твердотільні та
СО2-лазери. Потужні волоконні лазери неперервної дії, завдя-
ки своїм перевагам, прийдуть на зміну вказаним лазерам. На-
приклад, випромінювання волоконного лазера неперервної дії
потужністю 1 кВт з повітряним охолодженням легко розрізає
сталь товщиною 2,5 см. Особливо ефективне використання ви-
промінювання волоконних лазерів малої та середньої потуж-
ності в інформаційних технологіях, в оптоелектроніці, мікро- і
наноелектроніці, у мікромеханіці. Розробка надпотужних (з по-
тужністю понад 10 кВт) волоконних лазерів приведе до суттє-
вих змін у технологіях нафто- і газодобування.
В офтальмології та нейрохірургії широко використовуються
ексимерні лазери. Спеціально розроблені волоконні лазери з
довжиною хвилі в області 1,5—2 мкм з часом замінять їх. Во-
локонні лазери компактні, їхнє випромінювання зручно достав-
ляти до місця використання, а головне — їхнє випромінювання
набагато більш якісне. В сучасних установках очної хірургії
випромінювання імпульсного волоконного лазера (з тривалістю
140
імпульсів 300 фс) фокусується в пляму діаметра біля 1 мкм
всередині роговиці ока. Згорає дуже мала кількість тканини,
причому утворюються бульбашки діаметра 2—3 мкм. Роль
скальпеля виконує не сам оптичний пучок, а ці бульбашки па-
ри, які не розрізають, а розсувають волокна роговиці. Операція
характеризується мінімальним травматизмом.
3.5. ЛАЗЕРИ НА РОЗЧИНАХ БАРВНИКІВ
Лазери на розчинах органічних барвників (лазери на барв-
никах) дають випромінювання в ультрафіолетовій, видимій та
близькій інфрачервоній областях. Цінною властивістю молекул
органічних барвників, що знаходяться у розчинах (у воді та в
органічних розчинниках), є велика ширина смуг спонтанного
випромінювання. Тому довжину хвилі випромінювання лазерів
на барвниках можна плавно перестроювати в діапазоні шири-
ною в десятки нанометрів зміною параметрів резонатора. Сама
ж ширина спектру лазерного випромінювання може бути ма-
лою і складати 1 —1,5 МГц.
Велика ширина смуги спонтанного випромінювання дозволяє
в імпульсних лазерах на барвниках реалізувати режим синхро-
нізації мод і отримувати імпульси пікосекундного та фемто-
секундного діапазонів тривалості.
Вперше лазерна генерація на барвниках була отримана в
1966 р. П. П. Сорокіним і Дж. Р. Ланкардом, а також Ф. П. Ше-
фером, Ф. П. Шмідтом і Й. Вольце. Піонерські роботи з гене-
рації на барвниках, в тому числі теоретичні та експерименталь-
ні дослідження генерації лазерів з динамічним розподіленим
зв’язком, виконані в Інституті фізики НАН України Є. О. Тіхо-
новим та М. Т. Шпаком.
Органічні барвники, що застосовуються в промисловості,
мають широкі інтенсивні смуги поглинання у видимій області
спектру, що зумовлює забарвлення оброблених ними матеріалів.
У даний час вживається розширене поняття «органічні барв-
ники»: це — складні органічні сполуки, що мають інтенсивні
смуги поглинання в областях спектру від ближнього інфрачерво-
ного до ближнього ультрафіолетового. Із відомих кількох тисяч
барвників для отримання лазерного випромінювання придатні
кілька сот. Всі вони мають різні люмінесцентні властивості:
довжину хвилі, кількість і ширину смуг поглинання і випромі-
141
нювання, інтенсивність випромінювання та ін. Вказані власти-
вості змінюються при зміні розчинника. Найбільш уживаними в
лазерній техніці є такі барвники: нільський голубий, крезил-віо-
лет, родамін, кумарин. Найкращим з них є родамін-бж, який дає
випромінювання в діапазоні довжин хвиль 550—560 нм.
Енергетичний спектр молекули барвника включає елект-
ронні, коливальні та обертальні рівні. Відстань між електронни-
ми рівнями складає 1—3 еВ, між коливальними —0,1 еВ, між
обертальними 10-4—10-3 еВ. Електронні стани молекул поділя-
ються на синглетні (5) з нульовим повним спіном електронів
і триплетні (Т) з ненульовим спіном.
Молекули барвників включають велике число (20—60) ато-
мів. Така молекула має дуже багато (> 100) коливальних сту-
пенів свободи. Для наочності на рис. 3.9 показана залежність
потенціальної енергії молекули від однієї (умовної) конфігура-
ційної координати х для двох нижніх синглетних станів 50 і 5Р
Криві Ц)= £70(х); У і = ї/і(х) — залежності енергії елект-
ронної підсистеми від координати х. Ці функції £/0(х) та ^(х)
відіграють роль потенціальної енергії для атомної підсистеми.
Мінімуми потенціальної енергії в станах 50 і 5! відповідають
точкам х0 і хР Звичайно зі зростанням номера електронного
стану Пі збільшується рівноважна «відстань» х. Горизонталь-
ними відрізками на рис. 3.9 показано коливальні рівні. При кім-
натній температурі заселені нижні коливальні рівні, що від-
повідають електронному стану 50, з коливальними енергіями
ДЕ ~кТ= 0,26 еВ. Кожному коливальному рівню відповідають
ще обертальні рівні, розташовані дуже щільно. Для спрощення
обертальні рівні не показані на рис. 3.9.
При поглинанні фотона з енергією /іуп змінюється електрон-
ний стан, а відстань між атомами (величина х) практично не
встигає змінитися (принцип Франка—Кондона). Це відповідає
«вертикальному» переходу 1 на рис. 3.9 з нижнього коливаль-
ного рівня стану 50 на збуджений коливальний рівень стану 5Р
В молекулах барвників, у відповідності до числа коливальних
ступенів свободи, існує > 102 коливальних мод, які звичайно
мають різні власні частоти. Крім того, як уже згадувалося, є
обертальні моди. Тому спектр поглинання має широкі смуги,
з шириною —0,1 еВ. За час 1 —10 пс коливальна енергія пере-
дається іншим ступеням свободи, так що молекула перейде на
нижній коливальний рівень (переходи 2).
Випромінювання фотона з енергією /іув відбудеться при
«вертикальному» переході 3. Видно, що перехід 3 відбувається
з нижнього коливального рівня стану 5! на збуджений коли-
142
вальний рівень стану 50. Надлишкова коливальна енергія буде
розсіяна за рахунок переходів 4. Таким чином, видно, що енер-
гія випромінюваних фотонів /і¥в < /і¥п, де Луп — енергія фо-
тонів, які поглинаються. Спектр випромінювання зміщений у
сторону менших енергій фотонів (в довгохвильову сторону)
порівняно зі спектром поглинання. Це зміщення називається
правилом Стокса. Різниця енергій фотонів, що поглинаються
і випромінюються, ДЕС = Луп — Лув, виділяється при переходах
2 та 4 і йде на нагрівання молекул барвника і розчинника. Час
життя збудженого стану 5! складає 1—5 не. Випроміню-
вальний перехід 3 відбувається на не заселені в рівновазі
верхні коливальні рівні, що відповідає 4-рівневій системі, роз-
глянутій раніше.
Рис. 3.9. Спектр енергії молекули барвника, що відпові-
дає двом нижнім синглетним електронним станам: 80 і 81
Квантовий вихід люмінесценції різних барвників (при збу-
дженні лазерним випромінюванням) може бути високим і на-
ближатися до 1.
143
Причинами втрат енергії в молекулах барвників є невипро-
мінювальні переходи між 5-рівнями та переходи між 5- і Г-рів-
нями.
На рис. 3.10 показана спрощена схема нижніх енергетичних
рівнів та електронні переходи при оптичному збудженні моле-
кул барвника. Окремо показано синглетні (50, 52) та три-
плетні (7\ і Т2) рівні.
Рис. 3.10. Схема нижніх енергетичних рівнів та
електронні переходи при оптичному збудженні мо-
лекули барвника
В першому порядку теорії збурень при поглинанні та ви-
промінюванні фотонів дозволені лише переходи, при яких спін
електронів не змінюється, тобто переходи між 5-станами
(5—5-переходи) та окремо — між Г-станами (Т—Г-переходи).
При поглинанні фотонів накачування відбувається перехід 1
(80> 8{). Втрати енергії відбуваються за рахунок переходів <?,
144
4, 5, 6. Перехід 3 — невипромінювальний перехід 50 > 5! (внут-
рішня конверсія). Ймовірність внутрішньої конверсії молекул
барвника звичайно мала порівняно зі ймовірністю випроміню-
вального переходу > 50.
Невипромінювальний перехід 4 (перехід Зі > — синглет-
триплетна конверсія — є наслідком спін-орбітальної взаємодії.
При переході 4 зменшується число молекул в стані які
могли б приймати участь у випромінювальних переходах 2. Крім
того, переходи 4 ведуть до заселення стану 7\ (який є довго-
живучим, метастабільним, оскільки переходи 7\ > 50, що супро-
воджуються зміною спіну, заборонені). При значному заселен-
ні стану Т{ значну роль починають відігравати переходи 5
(Тї > Т2), що відбуваються за рахунок поглинання фотонів. Так
що заселення стану 7\ веде до зростання коефіцієнта поглинан-
ня для фотонів накачування і (або) фотонів, що випромінюють-
ся при переходах 2. При збільшенні інтенсивності накачування
зростає концентрація електронів у стані що веде до збіль-
шення інтенсивності переходів 4 і 5, тобто до зменшення кван-
тового виходу люмінесценції.
Щоб зменшити роль переходів 5, у розчин барвника вводять
так звані гасники триплетного стану, тобто молекули, взаємо-
дія з якими збільшує ймовірність спустошення стану Т{ за ра-
хунок переходів 7 (Т^Зо). Ефективними гасниками триплет-
ного стану в лазерах на розчинах барвників є кисень і деякі
вуглеводні, такі як С8Н12 і С10Н12.
Фотони можуть також втрачатися внаслідок переходів 6,
тобто переходів з верхнього робочого стану З! в 5-стани з
більш високими енергіями. Барвники, в яких спектр поглинан-
ня, що відповідає переходам 6, перекривається зі спектром
поглинання при переходах 1, або зі спектром випромінювання
при переходах 2, мають низький квантовий вихід люмінесценції
і звичайно не використовуються в лазерах.
Лазери на розчинах барвників звичайно працюють при
оптичному накачуванні. Джерелом накачування може бути ла-
зер або (рідше) — спеціальна імпульсна лампа. При накачу-
ванні лазерним випромінюванням, частота якого відповідає
смузі поглинання барвника, квантовий вихід випромінювання
(а значить, і ККД) набагато вищий, ніж при використанні
імпульсної лампи.
Частота генерації лазера на розчині барвника задається ре-
зонатором. Зміною параметрів резонатора можна плавно пере-
строювати частоту генерації в межах спектральної смуги ви-
промінювання даного барвника.
145
Умова квантового підсилення світла у барвнику відповідає
4-рівневій схемі накачування. На енергетичній діаграмі рис. 3.11
показано електронні переходи між 50- і 5гстанами при оптич-
ному накачуванні.
Рис. 3.11. Переходи між станами 80 і 8! молекули
барвника при оптичному накачуванні
Перехід 1 відбувається при поглинанні світла від джерела
накачування. Енергія генерованих лазером фотонів /IV задаєть-
ся селективним резонатором. Тоді положення верхнього робо-
чого рівня Ев (точніше, групи рівнів) і нижнього робочого рівня
Ен визначається із рівності
(Л(хг)- Ц)(хг) = /п>, (3.35)
де хг — значення конфігураційної координати молекули, при
якому відбувається генерація когерентних фотонів. Нехай ши-
рина спектру генерованого лазерного випромінювання дорівнює
6Лу. Тоді в генерації будуть брати участь коливально-оберталь-
146
вою квантового підсилення є
^ген ^ПОГЛ’
(3.44)
Враховуючи вирази (3.38) і (3.40) для дЛ^ і 6ЛГО і приймаючи
°іо = 0оі> умову (3.44) отримаємо у вигляді
м >^оехр(-А£^гА£й).
(3.45)
Звичайно в стаціонарному режимі або в імпульсному режимі
при тривалості імпульсів Дґ> 100 пс збуджені в стан 5! моле-
кули встигають термалізуватися, тобто віддати надлишкову ко-
ливально-обертальну енергію. При цьому в умові (3.45) можна
покласти
Д£в = 0.
Тоді умова квантового підсилення світла прийме вигляд
Уоехр(—
(3.46)
(3.47)
При цьому із рис. 3.11 видно, що енергія генерованих фотонів
де
/IV = Д£/м — Д£//,
(3.48)
Д^ = Д£/1Л1-ДЦ
(3.49)
є різниця між мінімальними енергіями молекули в станах 5! і
50. Величина Д/7м— параметр молекули даного барвника, що
знаходиться у певному розчиннику. Виразивши Д£н із (3.48),
умову підсилення світла (3.47) можна записати у вигляді
кт кт ( и м —
м,ехр(-------—
(3.50)
Із формул (3.47) і (3.50) видно, що, враховуючи
ДЕ„ = Д£/М —/гу>0, (3.51)
причому
&.ЕН^ кТ,
(3.52)
148
отримаємо, що квантове підсилення починається при
тобто коли лише незначна частина молекул барвника переведе-
на накачуванням з 50-стану в З^стан.
Обмеження справедливості умови підсилення світла (3.47)
та еквівалентної їй умови (3.50) такі:
а) при виведенні умови (3.47) вважалось, що молекули, пе-
реведені накачуванням в стан Зн встигають термалізуватися,
тобто віддати надлишкову коливальну енергію. Це справедливо
в стаціонарному режимі або в імпульсному режимі при трива-
лості імпульсів накачування
Дґ»т7, (3.53)
де тт= 1—5 пс — час термалізації коливально-обертальної енер-
гії молекул;
б) в умовах (3.47) і (3.50) не враховано внутрішньо-молеку-
лярні механізми втрат фотонів, що відповідають поглинанню
при переходах 5, 4, 5, 6 на рис. 3.10. При наявності втрат для
квантового підсилення світла потрібно досягти (за рахунок
більшої потужності накачування) більш високої концентрації
молекул в стані
Конструкція лазерів на барвниках визначається необхід-
ним режимом роботи. В імпульсних лазерах розчин барвника
може знаходитися в спеціальній посудині. Розчин барвника
може бути введений в мілкопорувату губчасту скляну матрицю.
Використовуються також тверді розчини барвника в прозорих
полімерах, таких як полістирол. Для накачування імпульс-
них лазерів на барвниках використовуються друга гармоніка
випромінювання рубінового лазера (X = 0,347 мкм), друга
(X = 0,53 мкм) та більш високі гармоніки неодимового лазера,
випромінювання азотного, ексимерних та інших лазерів. Голов-
ною особливістю імпульсних лазерів на барвниках є можли-
вість отримання ультракоротких імпульсів (пікосекундного і
фемтосекундного діапазонів) і одночасно можливість плавного
перестроювання частоти. Обидві ці особливості пов’язані з
тим, що спектральна смуга спонтанного випромінювання моле-
кул барвників дуже широка, Дйт~0,1 еВ. Це дозволяє одно-
часно генерувати велику кількість мод, інтерференція яких дає
короткі імпульси (в режимі синхронізації мод).
В лазерах неперервної дії необхідно забезпечити тепло-
відведення, а також протидіяти накопиченню в активній об-
ласті продуктів фотолізу (розкладу під дією світла) барвника.
Для цього використовується неперервне прокачування розчину
149
барвника. Оптимальним рішенням є збудження лазерної гене-
рації в тонкому плоско-паралельному струмені розчину барвни-
ка, що витікає із сопла відповідної форми.
Джерелом накачування для лазерів, що працюють у непе-
рервному режимі, може бути випромінювання аргонового лазе-
ра, сфокусоване до діаметра плями 10—100 мкм.
Перестроювання частоти в межах ширини спектральної
смуги люмінесценції досягається використанням селективних
(диспергуючих) резонаторів. Зміна власної частоти резонатора
дозволяє змінювати частоту генерованого лазерного випроміню-
вання. Перестроювання частоти випромінювання може здійсню-
ватися як в імпульсних лазерах, так і в лазерах неперервної дії
на розчинах барвників.
ЗАДАЧІ ДО РОЗДІЛУ З
Задача 3.1. Розрахувати населеність дворівневої системи при оптично-
му накачуванні. А^(/), якщо при 1 = 0 М2(0) = 0; при / >0 спектральна
густина енергії випромінювання, яке використовується для накачування,
= СОП5І.
ИЇ2 ^21 »2>
Чи можливо одержання інверсної населеності в 2-рівневій системі при
оптичному накачуванні?
Задача 3.2. Плоска монохроматична хвиля поширюється в дворівневому
активному середовищі вздовж осі ох. Знайти залежність густини потоку
фотонів £ від координати х, якщо £(0) = £0. Вважати заданими параметри
дворівневої системи: концентрацію атомів фактори виродження рівнів
£2; переріз О|2 переходу 1 -> 2; коефіцієнт Ейнштейна А2і Для спонтанного
переходу 2—» 1. Розглянути 3 випадки:
а) дуже слабкого потоку фотонів;
б) дуже потужного потоку фотонів;
в) проміжний випадок.
Задача 3.3. Розрахувати величину інверсної населеності £N(1) рівнів
2 і 1 3-рівневої системи при оптичному накачуванні в підпороговому режимі.
Ймовірності переходів показані на рисунку.
Вважати, що (у ефективній системі) а32» ЇГ31, А31, що веде до
N2, де N2, Л^з — населеності відповідних рівнів. Повна концентрація ви-
промінювальних центрів У.
150
Знайти порогову умову квантового підсилення світла з енергією фотонів
Нх = Е2 — Еї, тобто величину М/13, при якій ДЛ/0. Вважати ^і=^2=^ По-
чаткова умова: при / = 0; М2 = 0; ПРИ ^>0 р№=соп5І.
Задача 3.4. Розрахувати порогову інтенсивність світла накачування
рубіну плоскою монохроматичною світловою хвилею з довжиною хвилі
X = 560 нм (/IV = 2,2 еВ), що відповідає центру однієї із смуг поглинання.
Концентрація атомів Сг3+ М = 1,6- 1019 см-3. Коефіцієнт поглинання світла
при А, = 560 нм складає а = 3 см-1. Час релаксації люмінесценції в спект-
ральній лінії що використовується для лазерної генерації, т12 = 3,4 • 10-3 с.
Показник заломлення рубіну п=1,76.
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ ДО РОЗДІЛУ з
1. Нарисуйте схему будови лазера з оптичним накачуванням, поясніть
призначення її елементів.
2. Які фактори визначають ККД лазера з оптичним накачуванням?
3. Які вимоги ставляться до джерела для оптичного накачування ла-
зерів і як вони задовольняються?
4. Чому дворівнева система не може використовуватися для квантового
підсилення світла при оптичному накачуванні?
5. Як використовуються дворівневі системи в квантовій електроніці?
6. Нарисуйте енергетичну діаграму 3-рівневої системи, яка використо-
вується в лазері з оптичним накачуванням. Які основні вимоги до цієї си-
стеми?
7. Сформулюйте порогову умову квантового підсилення світла в 3-рів-
невій системі при оптичному накачуванні.
8. Нарисуйте схему переходів у рубіновому лазері та поясніть його
роботу.
9. Сформулюйте порогову умову квантового підсилення світла в 4-рів-
невій системі при оптичному накачуванні. Яка перевага 4-рівневої системи
перед 3-рівневою?
10. Розкажіть про особливості будови і роботи неодимових лазерів
з імпульсним та стаціонарним режимами роботи.
11. Які особливості будови та роботи мають волоконні лазери?
12. Як працює лазер на основі розчину барвника?
13. Сформулюйте і поясніть порогову умову квантового підсилення світ-
ла у розчині барвника.
151
4 РЕЖИМИ РОБОТИ
. ЛАЗЕРІВ
При розгляді режимів роботи лазерів у даному посібнику
використовуються методи кінетичної теорії, яка базується на
кінетичних рівняннях (рівняннях балансу) [27] для насе-
леностей робочих рівнів та для інтенсивності випромінювання.
У кінетичні рівняння входять ймовірності переходів, які визна-
чаються інтенсивністю випромінювання, а не напруженостями
полів. Тому кінетична теорія не враховує фази електромагніт-
них хвиль, а значить, не враховує інтерференцію прямих і зво-
ротних хвиль у резонаторі. У зв’язку з цим методи кінетичної
теорії застосовуються в умовах, коли інтерференційні ефекти
незначні: а) при розрахунках допорогових явищ (кінетичні рів-
няння використано для описання поведінки 2-рівневих систем
при оптичному накачуванні, а також для отримання умов ство-
рення інверсної населеності в 3-рівневих та 4-рівневих систе-
мах при оптичному накачуванні); б) в розрахунках режимів
роботи лазерів при незначному перевищенні порогу генерації,
коли роль нелінійних явищ незначна (інтенсивність випроміню-
вання невисока); в) при аналізі роботи лазерів з великою кіль-
кістю некогерентних між собою мод.
Кінетичні методи часто використовуються при вивченні не-
стаціонарних процесів, оскільки застосування більш точних ме-
тодів різко ускладнює розрахунки і не дає суттєвого підвищен-
ня точності результатів.
4.1. УСЕРЕДНЕНЕ РІВНЯННЯ ДЛЯ ІНТЕНСИВНОСТІ
ВИПРОМІНЮВАННЯ ЛАЗЕРА
Усереднене рівняння для інтенсивності лазера базується на
спрощеній моделі, яка не враховує просторових неоднорідно-
152
стей потоку фотонів і густини інверсної населеності у активній
речовині. Це рівняння можна отримати при таких припущен-
нях: а) вважається, що інтенсивність випромінювання однорід-
на по площі перерізу активної речовини. Тоді можна обмежити-
ся одновимірним наближенням; б) приймається, що інтенсив-
ність випромінювання мало змінюється на довжині резонатора.
Тоді можна розглядати середні значення інтенсивності випро-
мінювання і населеностей робочих рівнів у всій активній речо-
вині; в) не враховується взаємодія прямої та зворотної хвиль,
які поширюються в протилежних напрямках. Такі припущення
справедливі для аналізу роботи лазерів з малим коефіцієнтом
підсилення та лазерів, які працюють у багатомодовому ре-
жимі.
Використаємо рівняння (1.51) параграфа 1.4.1 для зміни
густини потоку фотонів Ь уздовж променя, який поширюєть-
ся в активному середовищі,
^ = о2ІШ-аД (4.1)
де о21 — переріз стимульованого переходу з верхнього робочого
рівня на нижній (нижній робочий рівень не обов’язково є най-
нижчим енергетичним рівнем активної речовини); величина ДМ,
що визначається формулою
ДЛГ = ЛГ_&ЛГ (4.2)
£|
— це густина інверсної населеності робочих рівнів, кратності
виродження яких складають і £2, а населеності і М2; ефек-
тивний коефіцієнт поглинання ае враховує поглинання електро-
магнітного випромінювання, не пов’язане з переходами між ро-
бочими рівнями, а також розсіювання електромагнітних хвиль
та інші втрати в резонаторі.
Враховуючи зв’язок між похідними
сі£ = (і£ дх = £(і£
(ІҐ (ІХ (ІҐ п СІХ ’
(4.3)
де с/п — швидкість світла у даному середовищі, з рівняння
(4.1) отримаємо
^ = ^(о21ДЛГ-<хг).£.
аі п
(4.4)
153
Це і є усереднене рівняння для густини потоку фотонів
лазера. Для інтенсивності випромінювання справедливе таке
ж рівняння
^ = £(021ДУ-ае)./, (4.5)
аг п
оскільки І х Ь. Очевидно, що аналогічні рівняння можна за-
писати для концентрації фотонів, для повного числа фотонів
у резонаторі, енергії електромагнітного поля, накопиченої в
резонаторі, та для потужності генерації. Рівняння (4.4) спра-
ведливе для вихідного випромінювання лазера при таких заува-
женнях: а) ефективний коефіцієнт поглинання враховує всі
втрати в резонаторі, а не тільки втрати в активному середо-
вищі; б) потік фотонів змінюється незначно за час одного про-
ходу хвилі всередині резонатора; в) коефіцієнт пропускання
вихідного дзеркала не залежить від інтенсивності випроміню-
вання.
При застосуванні рівняння (4.4) до вихідного випромінюван-
ня лазера можна виразити ефективний коефіцієнт поглинання
ае через добротність резонатора С} у відповідності з формулами
(2.99) і (2.110) параграфа 2.5:
ае = у-1п
(4.6)
де Іг — довжина резонатора; X — довжина хвилі випромінюван-
ня лазера.
При малих значеннях коефіцієнта втрат за один прохід
пов’язаного з добротністю формулою (2.99), вираз (4.6) спро-
щується до
аг = тх, (4.6а)
а врахування означення добротності (2.89) дасть
п
а,
(4.66)
де хр — час життя фотона в резонаторі. Тоді усереднене рівнян-
ня для густини потоку фотонів (4.4) буде мати вигляд
(і£
ск
£021ДЛ/_±и
.п /
(4.7)
154
Таке ж рівняння справедливе для інтенсивності лазерного ви-
промінювання
а/
м
£02іДЛ^_П./.
(4.7а)
Аналогічні рівняння можна записати для концентрації фо-
тонів, для повного числа фотонів у резонаторі, енергії фотонів,
накопиченої в резонаторі, та для потужності генерації.
У рівняння (4.7) входять як невідомі величини густина пото-
ку фотонів Ь і густина інверсної населеності ДМ Для знахо-
дження цих величин потрібно ще одне рівняння — кінетичне
рівняння для густини інверсної населеності, яке має вигляд
= А(Рр) - В(Рр)М - (4.8)
де параметри А і В залежать від потужності накачування Рр.
Наприклад, для 3-рівневої системи при оптичному накачуванні
(у випадку, коли кратності виродження станів 1 і 2 однакові)
А = (Г13-А21-а21)^ (4.9)
В=Г13 + А21 + а21 + 2Г/і; (4.10)
С = 2о21, (4.11)
де ймовірність №13 переходів Ех —► £3 під дією випромінювання
накачування визначається формулою (3.5) параграфа 3.2; Ц7/, —
ймовірність переходу Е2 —► £*і між робочими рівнями під дією
випромінювання накачування, яка визначається формулою, ана-
логічною до (3.5).
Із формули (4.9) видно, що параметр А лінійно залежить від
величини Й713 — ймовірності переходів £1 —► £3, а значить, від
потужності накачування. Параметр В, як буде показано далі
(в параграфі 4.3), визначає час релаксації густини інверсної на-
селеності в режимі спонтанного випромінювання: т5р= 1/В.
Рівняння (4.7) і (4.8) складають систему, за допомогою якої
можна розрахувати режими роботи лазера, тобто величини гу-
стини потоку фотонів £ і густини інверсної населеності ДМ
залежно від потужності накачування і часу.
Слід зазначити, що система рівнянь (4.7) і (4.8), за враху-
ванням конкретного вигляду параметрів А, В і С, придатна для
розрахунків режиму роботи лазерів з різними механізмами на-
качування.
155
Зауважимо, що система зчеплених рівнянь (у кожне з яких
входять обидві невідомі величини) (4.7) і (4.8) нелінійна. Ця
система не має загального розв’язку.
4.2. СТАЦІОНАРНИЙ РЕЖИМ РОБОТИ ЛАЗЕРА
Стаціонарний режим роботи лазера — це режим, який уста-
новлюється при і —► оо у випадку, коли параметри А, В і С у
рівнянні (4.8) — сталі, що має місце при постійній потужності
накачування. При цьому —► О і -* 0. Тоді з рівняння
(п (п
(4.7) отримаємо
ґ-о21ДМ- — \і = 0. (4.12)
\ п т/? /
Рівність (4.12) може виконуватися у двох випадках: а) коли
Ь = 0, тобто при відсутності лазерної генерації (у підпорогово-
му режимі); б) при Ь ¥= 0, тобто в режимі лазерної генерації.
Для підпорогового режиму (тобто у випадку а)), підставив-
ши £= 0 у рівняння (4.8), одержимо
дм =
В(Р„)
(4.13)
Для 3-рівневої системи, з урахуванням рівностей (4.9)—(4.11),
отримаємо
Д/у = ^13 — Лі — Д2І кт
(4.14)
де, згідно з формулою (3.5), величини ІІ713 і пропорціональні
до потужності накачування.
При дуже низькій потужності накачування, коли
Г13, ^2і ^А2Н і3 (4.14) отримаємо М, що означає, що
практично всі атоми знаходяться на нижньому робочому рівні.
Для 4-рівневої системи (у якої робочими є рівні Е2 і Е3) у да-
ному випадку (при умові, що кратності виродження станів 1 і 2
однакові) одержимо
ДМ >--Мехрґ-^-Д
\ ^42
(4.15)
156
Вираз (4.15) враховує, що у рівноважному стані населеність
3-го (верхнього робочого) рівня М3 = 0, а для населеності 2-го
(нижнього робочого) рівня справедливо співвідношення (3.27)
параграфа 3.3.
З підвищенням потужності накачування величина ДМ зрос-
тає, як показано на рис. 4.1, а.
Рис. 4.1. Залежність густини інверсної населеності (а) і густини потоку
фотонів лазерного випромінювання (б) від потужності накачування
Після досягнення порогового значення інверсної населено-
сті ДМГ (тобто у випадку б)) починається лазерна генерація,
і Л ¥= 0. Тоді з формули (4. 12) видно, що у стаціонарному стані
величина густини інверсної населеності буде визначатися ви-
разом
дм = дм5 = дм = .
С021Х/?
(4.16)
Таким чином, після початку лазерної генерації величина
інверсної населеності перестає змінюватися зі зростанням
потужності накачування (насичується).
Густину потоку фотонів (та пропорційну до неї інтенсив-
ність) лазерного випромінювання можна знайти із рівняння
(4.8) з урахуванням виразу (4.16) для інверсної населеності
ДУ = ДЛГ,
ь = 15 =
А(Рр)-В(Рр)МІ,
сдлг,
(4.17)
157
Для 3-рівневої системи, враховуючи вирази (4.9)—(4.11) для
параметрів у рівнянні (4.8), отримаємо
, те,^-ДМ)-2Г2';ДМ1-(Л21 + а21)^ + ДМ) М]йх
Л =----------------2^ДЧ-----------------• (4Л8)
Вираз у квадратних дужках у формулі (4.18) пропорційний до
потужності накачування (оптичної потужності джерела світла
при оптичному накачуванні). Тому після досягнення порогу
генерації (при потужності накачування Рр1) інтенсивність ви-
промінювання (і густина потоку фотонів Л), за даною моделлю,
повинна лінійно залежати від потужності накачування, як пока-
зано на рис. 4.1, б.
У випадку, коли для накачування використовується пропус-
кання струму через активну речовину (у газових та напівпро-
відникових лазерах), або бомбардування пучком прискорених
електронів і т. п., отримаємо залежності, подібні до зображених
на рис 4.1, а і б, де вздовж осі абсцис буде відкладений відпо-
відний параметр накачування.
4.3. ІМПУЛЬСНИЙ РЕЖИМ ВІЛЬНОЇ ГЕНЕРАЦІЇ
Розглянемо кінетику процесу лазерного випромінювання піс-
ля включення накачування. На рис. 4.2 схематично показано,
як змінюються різні величини, що входять у систему рівнянь
(4.7) і (4.8), у режимі вільної генерації. У рівнянні (4.8) буде-
мо вважати параметри А(Рр), В(Рр) і С незалежними від часу.
Це відповідає ідеалізованому випадку, коли потужність накачу-
вання Рр «включається» в момент і = 0 і далі підтримується
сталою, як це показано на рис. 4.2, а. Початковими умовами
для розв’язання системи рівнянь візьмемо ДМ(0) = ДМ0 і Ь = 0.
Як зазначалося, система зчеплених диференційних неоднорід-
них рівнянь (4.7) і (4.8) не має загального аналітичного роз-
в’язку.
Величина Ь у даних рівняннях — це густина потоку фотонів
лазерного випромінювання, яке виникає тільки після того, як
буде досягнута порогова густина інверсної населеності робочих
рівнів. Порогова густина інверсної населеності не може бути
досягнута миттєво, тобто певний час у рівняннях (4.7) і (4.8)
можна покласти Л = 0. Тоді рівняння (4.7) буде виконуватися,
158
О і
6
Рис. 4.2. Імпульсний режим вільної генерації. Залежність від часу величин:
а — потужності накачування; б — густини інверсної населеності; в — гус-
тини потоку генерованих фотонів
а рівняння (4.8) перетвориться в лінійне неоднорідне рівняння
1-го порядку відносно ДМ з постійними коефіцієнтами, і його
розв’язок буде мати вигляд
(ДУ-ДУ0) = (ДУ5-ДУ0Д1-е Т5рЛ
(4.19)
де час релаксації інверсної населеності у режимі спонтанного
випромінювання
т5р=1/В; (4.20)
159
стаціонарне значення густини інверсної населеності
ДУ5 = Л/В. (4.21)
Даний розв’язок показано на рис 4.2, б суцільною кривою до
І = і2 і штриховою кривою при і > і2. Нижня горизонтальна
штрихова лінія на рис. 4.2, б відповідає пороговому значенню
густини інверсної населеності ДЛЇ„ яке визначається виразом
(4.16).
В момент величина ДА досягає значення при якому в
стаціонарному випадку можлива лазерна генерація. Але, при
початковому значенні густини потоку фотонів лазерного випро-
мінювання Ь = 0, із рівняння (4.7) випливає, що лазерної гене-
рації взагалі не буде. Це неправильне твердження є наслідком
спрощеної моделі: ми не врахували, що в активній речовині є
спонтанне випромінювання, яке може ініціювати процес лазер-
ної генерації. Для початку генерації, коли величина ДА досягла
значення ДМ„ необхідно, щоб за рахунок спонтанного випро-
мінювання і його квантового підсилення народилася група
таких фотонів, які б задовольняли такі вимоги: а) мали б точ-
но ту ж енергію і поляризацію, які відповідають тій моді ре-
зонатора, на якій буде відбуватися генерація; б) мали б одна-
кову фазу; в) поширювалися вздовж осі резонатора в малому
тілесному куті, що відповідає просторовому розподілу лазер-
ного випромінювання у вказаній моді. Тільки в цьому випадку
електромагнітна хвиля дасть початок лазерній генерації. Таким
чином, для початку генерації необхідна «порогова» густина
потоку фотонів Л,, які відповідають даній моді. Поки ці фото-
ни народяться, пройде певний час до моменту і = і2, за який
інверсна населеність зросте до значення ДЛЇ(^2) > ДЛГ», тобто
перевершить величину ДА(. З цього моменту почнеться лавино-
подібне зростання густини потоку генерованих фотонів А, поки
останній член у рівнянні (4.8) не стане таким великим, що пра-
ва частина рівняння (4.8) перетвориться в нуль. Як зазнача-
лося, в момент початку лазерної генерації густина інверсної
населеності ДА(£2) перевищує її порогове значення яке
відповідає стаціонарній генерації. Це означає, що дана потуж-
ність накачування не може підтримувати інверсну населеність
ДЛЇ(/2) > ДЛЇГ. Тому, починаючи з моменту і = і2, густина ін-
версної населеності буде спадати до значень ДМ < ДМ,, як по-
казано на рис. 4.2, б. Коли густина інверсної населеності впаде
нижче порогової величини, в активній речовині резонансне ви-
промінювання буде не підсилюватися, а поглинатися. Таким
160
чином, ми отримаємо імпульс випромінювання, показаний на
рис. 4.2, в. Коли густина потоку фотонів £ зменшиться до та-
кого значення Ьт, що права частина рівняння (4.8) стане додат-
ною, знову почнеться зростання інверсної населеності у від-
повідності до рівняння (4.8). Але при цьому густина потоку
когерентних фотонів £ Ф 0. Тому порогова густина потоку фо-
тонів буде досягнута скоріше, ніж для першого імпульсу. І ви-
сота другого пічка буде менша, ніж першого, як показано на
рис. 4.2, в. Цей процес затухаючих пульсацій буде продовжу-
ватися далі, поки не буде досягнуто стаціонарного значення гу-
стини потоку фотонів £5.
4.3.1. Умова існування релаксаційних коливань
у режимі вільної генерації лазера
Для отримання умови існування релаксаційних коливань
(пульсацій) у режимі генерації лазера лінеаризуємо систему
зчеплених нелінійних диференційних рівнянь (4.7) і (4.8) віднос-
но густини інверсної населеності ДМ та густини потоку фотонів
£. Для цього розглянемо малі відхилення б£ та 6М від ста-
ціонарних величин £$ та ДМ$, що визначаються виразами (4.16)
і (4.17), тобто
£ = £5 + б£; б£ <є: £5; (4.22)
ДМ = ДУ5 + 6М, 6А -с ДУ5. (4.23)
Тоді, за врахуванням стаціонарного розв’язку (4.16), із (4.8)
отримаємо
= - - о21т- - — б£;
п с а21т
(1дА> с а2. (с д г> і £ аг
—— = --£ -Оо.ТоА — В 6М
д/ п С \п 21 * /
(4.24)
(4.25)
Продиференціювавши ліву і праву частини виразу (4.25) і вра-
хувавши (4.24) і (4.25), перетворимо систему двох лінійних ди-
ференційних рівнянь першого порядку в лінійне однорідне ди-
ференційне рівняння другого порядку
= ~па^А ЧГ + (^021Л “ в/х*)6Ь = °- <4-26)
161
Розв’язок даного рівняння має вигляд
6Л = б£0 ехр(о)£ґ)» (4.27)
де величина знаходиться із характеристичного рівняння
«1 + 021тЛд) <О£ + о21Д — В/тЛ = 0. (4.28)
Це рівняння має розв’язки:
Із виразу (4.29) видно, що величина со£ буде комплексною,
тобто будуть відбуватися коливання густини потоку генерова-
них фотонів, коли вираз у квадратних дужках буде від’ємний:
(4.30)
що еквівалентно нерівності
п В ,1с 9
с 021Т/?А 4 п 1 к
(4.31)
Умова (4.31) необхідна і достатня для існування пульсацій
у імпульсному режимі вільної генерації. Із цієї умови отримає-
мо дві необхідні умови: кожен доданок у лівій частині даної
нерівності повинен бути меншим одиниці, тобто
п В
с
(4.32)
і одночасно
1 с 9
4 п 21 *
(4.33)
Умову (4.32) перепишемо як
(4.34)
с а2ітя
162
Ця умова, за врахуванням виразів (4.16) і (4.17), просто озна-
чає, що стаціонарне значення густини потоку фотонів
4>о,
(4.35)
тобто потужність накачування перевищує порогове значен-
ня.
Умову (4.33) перепишемо у вигляді
С °21ТЯ
(4.36)
Тоді із (4.34) і (4.36) отримаємо необхідну умову пульсацій
ВтЛ < 4.
(4.37)
Врахуємо, що, згідно з виразом (4.20), час релаксації густини
інверсної населеності у режимі спонтанного випромінювання
т5р= 1/В. Тоді необхідна умова пульсацій у імпульсному ре-
жимі буде мати вигляд
т5р/тЛ> 1/4. (4.38)
Таким чином, для здійснення пульсацій необхідно, щоб від-
ношення часу релаксації інверсної населеності до часу жит-
тя фотонів у резонаторі було достатньо великим.
При виконанні умови (4.31), після малого відхилення 6£0
від стаціонарного значення густини потоку генерованих фото-
нів, згідно з (4.27) і (4.29), будуть відбуватися затухаючі коли-
вання густини потоку фотонів
6£(ґ) = <5Лоехр(—ґ/тге|) ехр(і<ор0. (4.39)
де час релаксації коливань
І / ( 1 С д \
ХгеІ = у ( ~ °21Т/И ) >
/ \2 П /
(4.40)
а циклічна частота коливань
163
Аналіз параметрів роботи різних видів лазерів показує, що
у твердотільних і напівпровідникових лазерах умови релакса-
ційних коливань в імпульсному режимі вільної генерації реалі-
зуються, а в газових лазерах звичайно таких коливань немає.
Справедливість розглянутої моделі релаксаційних коливань
(пульсацій) підтверджена експериментально для одномодового
режиму генерації лазерів. Якщо ж генерація відбувається на
кількох модах, то (внаслідок дії механізмів, описаних у пара-
графі 2.6.2) після імпульсу випромінювання в деякій моді ство-
рюються сприятливі умови для генерації наступного пічка в
інших модах. Тоді, внаслідок «перескоків мод», випромінювання
має вигляд нерегулярної послідовності окремих коротких ім-
пульсів (пічків) різної висоти, причому генерація не переходить
у стаціонарний режим. Така нестабільність інтенсивності ви-
промінювання в режимі вільної генерації звичайно спостеріга-
ється у твердотільних лазерах.
4.4. РЕЖИМ МОДУЛЬОВАНОЇ ДОБРОТНОСТІ
Інтенсивність випромінювання у пічках, які відповідають ім-
пульсному режиму вільної генерації, обмежена тим, що лазерна
генерація починається, коли густина інверсної населеності не-
значно перевищить своє порогове значення ДАГГ. Щоб досягти
більш високих значень густини інверсної населеності до почат-
ку лазерної генерації, добротність резонатора спеціально зни-
жують за рахунок підвищення втрат енергії. Після досягнення
бажаної густини інверсної населеності добротність різко підви-
щують. Накопичена велика енергія віддається активною речо-
виною у вигляді короткого потужного імпульсу випромінюван-
ня. У цьому полягає ідея режиму модульованої добротності.
Для роботи в режимі модульованої добротності до схеми
лазера вводять модулятор. Модулятори поділяють на активні
та пасивні. На рис. 4.3, а схематично показано резонатор з мо-
дулятором на основі електрооптичного ефекту. Лінійний елек-
трооптичний ефект (ефект Поккельса) — це виникнення (або
зміна величини) подвійного променезаломлення у кристалі під
дією сильного електричного поля. Ефект Поккельса спостері-
гається в кристалах, що не мають центра інверсії, наприклад,
у дигідрофосфаті калію (КН2РО4, скорочено — КПР), дигідро-
фосфаті амонію (МН4Н2РО4, АОР), ніобаті літію (ЬіМЬО3) (у ви-
164
димому та ближньому ІЧ-діапазоні), у телуриді кадмію (у се-
редній ІЧ-області). Розрізняють поперечний і поздовжній ефект
Поккельса. Електрооптичний елемент (елемент Поккельса) яв-
ляє собою нелінійний кристал з нанесеними електричними кон-
тактами, до яких прикладається напруга. Осі наведеного под-
війного променезаломлення х та у направлені перпендикулярно
до осі резонатора. Наведена електричним полем різниця показ-
ників заломлення Дм для променів з відповідними площинами
коливань пропорційна до напруженості поля зміщення . Мо-
дулятор, показаний на рис. 4.3, а, крім елемента Поккельса,
включає поляризатор (наприклад, призму Глана). Вісь поляри-
затора складає кут 45° з осями х та у елемента Поккельса.
Д1 речовина Поляризатор Елемент Дг
Поккельса
Акустооптичний
елемент
5
Рис. 4.3. Схеми резонаторів з модуляторами добротності:
а — електрооптичним; б — акустооптичним
Після проходження призми Глана (зліва направо) світлова хви-
ля буде лінійно поляризована. На елемент Поккельса пода-
ється така напруга, щоб після проходження даного елемента
у прямому напрямку (зліва направо) різниця фаз між хвилями,
165
у яких електричні коливання відбуваються вздовж осей х та у,
складала л/2. Тоді суперпозиція даних хвиль дасть циркулярно
поляризовану хвилю. Після відбивання від дзеркала Д2 і по-
вторного проходу елемента Поккельса у зворотному напрямку
(справа наліво) циркулярно поляризована хвиля перетвориться
в лінійно поляризовану, причому площина її коливань буде
перпендикулярна до осі призми Глана. Тоді призма Глана не
пропустить цього світла (що поширюється справа наліво).
Це означає, що при такій напрузі, прикладеній до елемента
Поккельса, модулятор діє як оптичний затвор: різко підвищує
втрати енергії в резонаторі, тобто сильно зменшує добротність
резонатора. Відкривається цей оптичний затвор зняттям напру-
ги з елемента Поккельса.
Крім модуляторів на основі ефекту Поккельса, для моду-
ляції добротності резонатора застосовуються акустооптичні
елементи. Акустооптичний ефект полягає у виникненні періо-
дичної зміни показника заломлення у кристалах під дією акус-
тичної хвилі. Резонатор з акустооптичним модулятором схема-
тично показано на рис. 4.3, б. До кристалу 1 прикріплено
п’єзоелектричний перетворювач 2, на який подається високоча-
стотна напруга. У кристалі генерується ультразвукова хвиля.
Для здійснення режиму біжучих ультразвукових хвиль на про-
тилежну грань кристалу нанесено поглинаючий шар 3. Акус-
тична хвиля модулює густину речовини, а значить, і показник
заломлення. При проходженні акустичної хвилі просторово-пе-
ріодична зміна показника заломлення створює динамічну диф-
ракційну ґратку. Світло, що проходить крізь кристал, дифрагує,
як показано штриховими стрілками на рис. 4.3, б. Дифракція
веде до виходу частини фотонів із резонатора, тобто до зни-
ження добротності. Виключивши ВЧ-напругу, що збуджує аку-
стичні хвилі, ми можемо підвищити добротність резонатора.
Акустооптичні елементи вносять у резонатор малі втрати,
але вони більш інерційні, ніж елементи Поккельса. Крім того,
вони змінюють добротність лише у невеликих межах. Тому мо-
дулятори на основі ефекту Поккельса мають більш широке за-
стосування у лазерах з модульованою добротністю, ніж акусто-
оптичні модулятори.
На рис. 4.4 схематично показано, як змінюються різні вели-
чини, що входять у систему рівнянь (4.7) і (4.8), у режимі мо-
дульованої добротності. Нехай у момент і = 0 «включається»
потужність накачування і далі підтримується постійною, як по-
казано на рис. 4.4, а. Початкові умови для розв’язання рівнянь
(4.7) і (4.8) у даному режимі будуть ті ж, що й для режиму
166
вільної генерації: Л(0) = 0; ДМ(0) = ДМ0, що видно з рис. 4.4,
в і г. Але значення часу життя фотонів у резонаторі х# у рів-
нянні (4.7) і відповідні значення величини ае і добротності ($
(що пов’язані з хр співвідношеннями (4.66) і (4.6а)) у режимі
модульованої добротності не є сталими. Спочатку, при
добротність дуже низька, що видно з рис. 4.4, б. Після початку
а
б
б
г
Рис. 4.4. Режим модульованої добротності. Залежність від часу величин:
а — потужності накачування; б — добротності резонатора; в — густи-
ни інверсної населеності; г — густини потоку генерованих фотонів
накачування інверсна населеність буде зростати згідно з вира-
зом (4.19). Генерація не може початися внаслідок дуже низької
167
добротності резонатора. Але у момент коли інверсна насе-
леність ДМ досягла високого значення ДМ(ґ|), ми, знявши на
деякий час напругу з елемента Поккельса, різко підвищуємо
добротність резонатора <2, як показано на риє. 4.4, б. Досягну-
те значення ДМ(^) виявляється набагато вищим, ніж порогове
значення ДМ„ що відповідає добротності б). Накопичена енер-
гія виділяється коротким потужним імпульсом випромінюван-
ня, показаним на рис. 4.4, г.
Для здійснення режиму модуляції добротності, крім актив-
них модуляторів, також використовують пасивні модулятори.
Пасивні модулятори — це звичайно дворівневі системи на орга-
нічних барвниках. Кювета з розчином барвника розміщується
в резонаторі. Коли при значенні коефіцієнта поглинання барв-
ника починається генерація, під дією світла барвник стає
прозорим (ефект насичення). Добротність резонатора різко під-
вищується, і генерується потужний імпульс світла.
Енергія імпульсів випромінювання лазерів з модульованою
добротністю дуже висока і досягає кількох джоулів. Тривалість
імпульсу звичайно складає 1 —10 не. Якщо енергія Е= 10 Дж
виділяється за час Дґ= 10-8 с, то миттєва потужність досягає
Р 109 Вт. Тому режим модульованої добротності інакше нази-
вається режимом гігантських імпульсів.
4.5. РЕЖИМ СИНХРОНІЗАЦІЇ МОД
При роботі лазерів у режимі синхронізації мод одержують
надкороткі імпульси випромінювання з тривалістю набагато
меншою, ніж час обходу резонатора світловим пучком. Метод
синхронізації мод був відкритий у 1964 р. Л. Е. Гарґрувом та ін.
Використання даного режиму засновано на тому, що періодичні
короткі імпульси можна отримати за рахунок суперпозиції (на-
кладання) гармонічних коливань різних частот.
Розглянемо суперпозицію М = 1 + 2п мод (гармонічних ко-
ливань), з яких основній моді відповідає циклічна частота со0,
а інші моди мають еквідистантний спектр, тобто соі+1 =
= сох + Дсо, де Дсо = сопзі — частотний інтервал між сусідніми
модами (частота міжмодового биття). Нехай всі моди мають од-
накову амплітуду коливань електричного вектора Ео, а початко-
вий зсув фаз між сусідніми модами дорівнює Дф = сопзі (моди
синхронізовані). Тоді для електричного вектора результуючих
168
коливань можна записати
%= Го ехр{4(<о0 + т&ійУ + тДф]|. (4.42)
т = — п
Вираз (4.42) можна переписати у вигляді
% = Го ехр(йдоО 2 ехр|і/п(Д<ої + Дф)}, (4.43)
т = —п
тобто результуючі коливання можна зобразити як гармонічні ко-
ливання з несучою частотою <о0, промодульовані за амплітудою.
Враховуючи, що сума у виразі (4.43) — це сума геомет-
ричної прогресії, а також приймаючи до уваги тотожність
еіа — е-іо = 25іпа, формулу (4.43) можна подати як
= Л(ї)ехр(і<о0ґ), (4.44)
де обвідна А(і) має вигляд
<4-45’
5ІП ----1-—
\ 2 /
М = 2п+ 1 —повне число мод, що беруть участь у суперпо-
зиції.
На рис. 4.5 зображено часову залежність величини А2, про-
порційної до інтенсивності коливань /, для трьох випадків:
а) коли Лї=3; б) при N = 5 і в) при М=9.
Криві А2(ї) на рис. 4.5 — нормовані. Співвідношення амплі-
туд кривих має вигляд
Л|:А|:А£ = 9:25:81. (4.46)
Очевидно, що у випадку хаотичного розподілу фаз (у відсут-
ність синхронізації) інтенсивності просто складаються.
З рис. 4.5 видно, що обвідна результуючих коливань має
імпульсний характер. Період проходження імпульсів Т можна
визначити як часовий інтервал між моментами перетворення
в нуль знаменника у формулі (4.45), тобто
Т = 2 л/До)ь = 1 /Ду6 = Тм, (4.47)
169
де Д¥6 — частота міжмодового биття; Тм — період міжмодового
биття. При цьому
Т=2лг//с=7’0. (4.48)
де пг—показник заломлення активної речовини; То — сумар-
ний час проходу світлового імпульсу у резонаторі у прямому та
зворотному напрямках (час повного обходу резонатора світло-
вим імпульсом).
і
Рис. 4.5. Часова залежність інтенсивності коливань при супер-
позиції різного числа мод М:
а — 3; б — 5; в — 9
Тривалість імпульсів випромінювання Дґ визначається часо-
вим інтервалом між моментами перетворення в нуль чисельни-
ка у формулі (4.45), тобто
Дґ = 1/(М\^) = Т0Ж (4.49)
Із сказаного ясно, як можна отримати короткі імпульси ви-
промінювання у лазері. Для цього необхідно виконання таких
170
умов: а) необхідно, щоб лазер генерував одночасно на великій
кількості мод N. Для цього, як зазначалося раніше, потрібно,
щоб спектральна лінія випромінювання атомів була достатньо
широкою; б) необхідно, щоб частотний спектр мод був еквіди-
стантним. Ця вимога виконується, коли ефект затягування мод
слабкий, а також дисперсія активного середовища достатньо
мала; в) необхідно, щоб фази різних мод, що генеруються од-
ночасно, були не випадковими, а жорстко зв’язаними між со-
бою, тобто моди повинні бути синхронізовані.
Експериментально синхронізація мод здійснюється подібно
до того, як це робиться для досягнення режиму гігантських
імпульсів. У резонатор вводиться активний або пасивний мо-
дулятор.
Для активної синхронізації мод використовують модулятор,
який періодично змінює добротність резонатора. На відміну від
режиму гігантських імпульсів, для досягнення режиму син-
хронізації мод необхідно модулювати добротність резонатора
з частотою міжмодового биття &уь = \/Т$, де То — час повного
обходу резонатора світловим імпульсом. При такій модуляції
амплітуди випромінювання на ли-й моді спектр коливань, крім
частоти коливань чт, буде мати складові з частотами хт ± Д¥6,
що відповідають частотам сусідніх мод. Це веде до взаємодії
сусідніх мод, до їх синхронізації.
Звичайно використовується синусоїдальна модуляція доб-
ротності. На рис. 4.6, а показано, як змінюється з часом доб-
ротність резонатора. Період модуляції добротності регулюється
так, щоб він збігався з часом То повного обходу резонатора
світловим імпульсом. При даній потужності накачування кван-
тове підсилення випромінювання відбувається тільки при до-
статньо високій добротності резонатора >* Величині
відповідає штрихова горизонтальна лінія на рис. 4.6, а. На про-
тязі частини періоду виконується нерівність ф > а в інший
час добротність недостатня для підсилення світла. Після того,
як ввімкнули накачування, з’являються імпульси лазерного
випромінювання («пічки»). Нехай світловий імпульс /, що від-
повідає генерації в ли-й моді, пройшов через модулятор в мо-
мент максимального значення добротності резонатора, як по-
казано на рис. 4.6, б. Він підсилюється і через один обхід
резонатора перетвориться в імпульс 2. Ще через проміжок
часу То отримаємо імпульс 3. Крім того, цей імпульс буде уко-
рочуватися за рахунок появи генерації на модах т± 1, т±2
і т. д. Даний імпульс, проходячи через активне середовище,
буде відбирати у нього енергію (зменшувати інверсну насе-
171
леність) і тим самим погіршувати умови підсилення для інших
Рис. 4.6. Часові залежності:
а — добротності резонатора; б — інтенсивності імпульсу
світла, який проходить через модулятор в моменти мак-
симального значення () \ в — інтенсивності імпульсу, який
проходить через модулятор в моменти мінімального зна-
значення
На рис. 4.6, в показано, що імпульс який пройшов через
модулятор в момент низької добротності, ослаблюється і через
один період це буде імпульс 2', ще через період — 3', і так далі,
поки цей імпульс не щезне.
При неперервному накачуванні залишиться лише один ім-
пульс, який буде повторюватися з періодом То. Поступово, за
рахунок міжродового биття, буде збільшуватися число мод У,
генерованих в даному імпульсі, тобто, у відповідності з форму-
172
лою (4.49), буде зменшуватися тривалість імпульсу і зростати
максимальна інтенсивність світла в імпульсі. Це буде тривати,
в оптимальному випадку, до тих пір, поки ширина спектру
генерованих мод не досягне ширини спектральної лінії підси-
лення активного середовища.
В перших дослідах з активної синхронізації мод в Не—Ие-ла-
зері з довжиною хвилі 1,15 мкм були отримані імпульси три-
валості 1 не. Ця тривалість відповідала інтерференції 6 мод, які
припадали на ширину спектральної лінії підсилення, а період
повторення імпульсів дорівнював тривалості повного обходу
резонатора світловим імпульсом. Використання режиму актив-
ної синхронізації мод в лазерах на основі середовищ з більшою
шириною спектральної смуги підсилення (з можливістю викори-
стання інтерференції більшого числа мод М) повинно було да-
вати, відповідно, більш короткі імпульси. Так, велика ширина
спектральної смуги підсилення в лазері на основі неодимового
скла повинна була забезпечити отримання імпульсів випроміню-
вання тривалістю 0,1 пс. Але в цих лазерах не вдалося отри-
мати імпульси тривалості менше 100 пс.
Є ряд причин, які обмежують процес укорочення тривалості
світлових імпульсів при активній синхронізації мод. Головна з
них пов’язана з дисперсією світла. Швидкість поширення різних
мод різна (при нормальній дисперсії зменшується з підвищен-
ням частоти). Тому при зростанні номера моди т період повного
обходу резонатора світловим імпульсом зростає, а значить,
у відповідності з виразом (4.47), зменшується частота міжмодо-
вого биття. Це означає, що порушується еквідистантність мод.
В сучасних лазерах з синхронізацією мод генеруються ім-
пульси тривалістю від кількох десятків пікосекунд до кількох
фемтосекунд (1 фс= 10“15 с). Для отримання ультракоротких
імпульсів використовується пасивна синхронізація мод на
основі нелінійних явищ. Методи генерації ультракоротких ім-
пульсів світла розглянуті у підрозділі 8.7.
ЗАДАЧІ ДО РОЗДІЛУ 4
Задача 4.1. Розрахувати порогове значення густини інверсної населе-
ності для генерації рубінового лазера. Довжина кристала /=10 см; показ-
ник заломлення рубіну п= 1,76; дзеркала з коефіцієнтом відбивання г = 0,9
нанесені безпосередньо на торці кристала; переріз вимушеного переходу
2 —► 1 в центрі лінії о21 = 2,5 • 10-2° см2. Вважати, що основний механізм
втрат в резонаторі — неідеальність відбивання від дзеркал.
173
Задача 4.2. Знайти час затримки генерації рубінового лазера після мит-
тєвого включення випромінювання накачування, потужність якого втричі
перевищує порогове значення. Вважати, що генерація починається зразу
після досягнення порогового значення густини інверсної населеності. Час
релаксації люмінесценції в спектральній лінії /?,, що використовується для
лазерної генерації, т12 = 3,4 • 10-3 с.
Задача 4.3. Твердотільний лазер з оптичним накачуванням з довжиною
кристала / = 7,5 см має дзеркала резонатора з коефіцієнтами відбивання
г, = 1 і г2 = 0,9, нанесені безпосередньо на торці кристала. Знайти величину
коефіцієнта квантового підсилення активної речовини, необхідну для лазер-
ної генерації.
Задача 4.4. В резонаторі лазера з модульованою добротністю, показано-
му на рисунку, знаходиться оптичний затвор на основі поздовжнього ефекту
Поккельса. Величина подвійного променезаломлення Дп = пх — пу у елементі
Поккельса, що виникає при прикладенні до елемента напруги V, визнача-
ється формулою Лп = Пд г63У/іс, де п0 — показник заломлення для звичайно-
го променя; г63 — відповідний електрооптичний коефіцієнт нелінійного кри-
Поккельса
стала; Іс — довжина кристала у елементі. В елементі використано кристал
дейтерованого дигідрофосфату калію КО2РО4, для якого при Х= 1,06 мкм
маємо п0=1,51; г63 = 2,64 • 10“**. Знайти напругу, яку треба прикласти до
елемента Поккельса, щоб добротність резонатора була мінімальна.
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ ДО РОЗДІЛУ 4
1. Запишіть і поясніть рівняння для середньої густини енергії електро-
магнітного поля в резонаторі квантового генератора.
2. Як впливає добротність резонатора на порогове значення густини ін-
версної населеності в квантовому генераторі?
3. Які особливості режиму вільної генерації імпульсних лазерів?
4. Поясніть механізм одержання гігантських лазерних імпульсів.
5. Поясніть механізм синхронізації мод і отримання коротких імпульсів
лазерного випромінювання.
174
ГАЗОВІ ЛАЗЕРИ
Газові лазери мають ряд особливостей [28]:
а) в газах можна створити електричний розряд, і при цьому
звичайно в газі (на відміну від твердих діелектриків) не насту-
пає необоротних змін. Тому в газових лазерах інверсна насе-
леність звичайно створюється за рахунок електричного роз-
ряду;
б) газ — це максимально невпорядковане середовище, оп-
тичні властивості якого більш однорідні, ніж оптичні параметри
інших середовищ. Внаслідок цього деякі газові лазери є «ре-
кордсменами» за направленістю і малою розбіжністю оптичного
випромінювання;
в) спектральні лінії атомів у газах вузькі. Це обумовлено
тим, що атоми взаємодіють практично лише при зіткненні. Тому
газові лазери звичайно (не завжди) мають вузькі спектральні
лінії випромінювання та високу когерентність випромінювання.
На рис 5.1 схематично показана типова будова газового ла-
зера. Звичайно газ у лазері повинен бути ізольованим від зов-
нішньої атмосфери, мати певний склад і знаходитися під пев-
ним тиском. Тому в більшості лазерів газ знаходиться в герме-
175
тичній газовій кюветі. Кювета має оптичні вікна, які не повинні
вносити значних втрат випромінювання. Для цього звичайно
площини вікон газової кювети розташовані під кутом Брюстера
Фб 0?Фб = п, Де п — показник заломлення матеріалу вікна)
до оптичної осі лазера.
На рис. 5.2 зображена залежність коефіцієнта відбивання
межі двох діелектриків від кута падіння ф для двох плоско
поляризованих променів: 1—з площиною коливань електрич-
ного вектора, перпендикулярною до площини падіння; 2— з пло-
щиною коливань, що збігається з площиною падіння. Видно, що
в останньому випадку залежність г(ф) має мінімум при ф = фБ.
Вікна, розташовані під кутом Брюстера до оптичної осі, вносять
малі втрати для променів, що мають коливання електричного
вектора у площині, що проходить через оптичну вісь лазера
і перпендикуляр до вікна кювети. Тому лазерне випромінюван-
ня буде лінійно поляризованим, з коливаннями електричного
вектора у вказаній площині.
Рис. 5.2. Залежності коефіцієнта відбивання
світла на межі двох діелектриків від кута
падіння для плоско поляризованих проме-
нів з площиною коливань перпендикулярною
(7) і паралельною (2) до площини падіння
Для створення електричного розряду в газі кювета має спе-
ціальні електроди (К і А на рис. 5.1). Звичайно електроди за-
безпечують пропускання робочого струму розряду та відвід
тепла, а часто також мають пристрої для полегшення включен-
ня газового розряду.
Газова кювета розміщується всередині резонатора, який
складається з одного глухого і одного напівпрозорого дзеркал.
176
Часто глухе дзеркало не плоске, а сферичне. В лазерах малої
потужності широко використовується майже півсферичний
резонатор, схематично показаний на рис. 2.6, в підрозділу
2.3.2. При виконанні умови (2.61) такий резонатор стійкий
і малочутливий до роз’юстування.
5.1. ЕЛЕКТРИЧНИЙ РОЗРЯД
ЯК СПОСІБ СТВОРЕННЯ ІНВЕРСНОЇ
НАСЕЛЕНОСТІ У ГАЗІ
На рис. 5.3 схематично показана типова вольт-амперна ха-
рактеристика (залежність струму від прикладеної напруги) га-
зового розряду. У області струмів І розряд несамостійний.
Струм у цьому випадку переноситься вільними електронами,
Рис. 5.3. Вольт-амперна характеристика
електричного розряду
які генеруються у газі за рахунок іонізації атомів (чи молекул)
під дією природного радіоактивного фону, зовнішнього світла
та космічних променів.
При деякій напрузі (/0 помітне число електронів набувають
достатньої енергії для ударної іонізації атомів. Тоді відбу-
вається лавинне помноження електронів при одночасному зро-
станні концентрації позитивно заряджених іонів. Починається
тліючий розряд, якому відповідає область II вольт-амперної ха-
177
рактеристики на рис. 5.3. У газовій кюветі створюється плаз-
ма, що складається з позитивно заряджених іонів, електронів
та нейтральних атомів. Загальний заряд іонів компенсується
зарядом електронів, так що плазма є електрично нейтральна.
Якщо позначити концентрації нейтральних атомів, іонів та елек-
тронів відповідно як Мо, М, та и, то в плазмі тліючого розряду
звичайно
= (5.1)
При цьому відношення 10“6—10“4.
Різним частинкам, наприклад електронам, у плазмі можна
приписати деяку ефективну температуру
ЬТе = Ек, (5.2)
де Ек — середня кінетична енергія частинок даного сорту;
к — стала Больцмана. Для ефективних температур електронів
Те, іонів Ті та нейтральних атомів Та мають місце нерівності
Те^>Т^Та. (5.3)
Якісно ці нерівності можна пояснити так. Електрони та іони
отримують енергію безпосередньо від електричного поля, а
нейтральні атоми — тільки при зіткненнях з іншими частинка-
ми. Тому має місце права нерівність (5.2). Електрони мають
малу масу і при пружних зіткненнях з більш важкими (в тисячі
разів) атомами та іонами віддають тільки дуже малу частку
своєї кінетичної енергії. В той же час іони мають практично ту
ж масу, що й нейтральні атоми, і при зіткненнях з атомами
передають їм значну частину своєї енергії. Цим пояснюється
ліва нерівність (5.3). Внаслідок нерівностей (5.3) електрони
відіграють основну роль як прискорені («гарячі») частинки у
процесах ударної іонізації.
Електропровідність плазми можна виразити як
а = е('|ілп + цД)> (5.4)
де е — заряд електрона; шп і — рухливості відповідно елек-
тронів та іонів. За визначенням, рухливість заряджених части-
нок, наприклад електронів,
тп — иІЕ, (5.5)
178
де V — дрейфова швидкість даних частинок; Е — напруженість
електричного поля. Внаслідок малої маси електронів
тп» тг (5.6)
Тому струм у плазмі газового розряду переноситься, в основ-
ному, електронами.
Дуговий розряд (якому на вольт-амперній характеристиці,
рис. 5.3, відповідає область III) починається, коли за рахунок
бомбардування позитивними іонами катод розігрівається так,
що відбувається інтенсивна термоелектронна емісія. Емітовані
з катоду електрони прискорюються електричним полем і бе-
руть участь в ударній іонізації. Створюється позитивний зво-
ротний зв’язок між величиною струму і кількістю емітованих
розжареним катодом електронів. Вольт-амперна характеристи-
ка дугового розряду має 8-подібний вигляд. Густина струму
в дуговому розряді складає тисячі А/см2. Концентрація іонів
досягає значень ~0,1Мв.
У лазерах на основі нейтральних атомів для накачування
звичайно використовується тліючий розряд, а в іонних лазе-
рах — дуговий.
5.1.1. Непружні зіткнення частинок
у газовому розряді
Збудження атомів (іонів, молекул) у газовому розряді відбу-
вається при їх зіткненнях з гарячими електронами та між со-
бою. Внаслідок того, що ефективна температура електронів у
плазмі набагато вища, ніж у іонів і нейтральних атомів (див.
нерівність (5.3)), гарячі електрони є основними постачальника-
ми енергії для збудження атомів. При непружних зіткненнях
першого роду частина кінетичної енергії електрона перетво-
рюється у внутрішню енергію атома (молекули). При непруж-
них зіткненнях 2-го роду, навпаки, внутрішня енергія атома
перетворюється в кінетичну енергію електрона.
Можна виділити такі перетворення енергії, що відбуваються
при непружних зіткненнях:
1. Пряме електронне збудження, яке можна зобразити як
«реакцію»:
А + е -* А* + е, (5.7а)
де А і А* відповідно позначають основний (незбуджений) і збу-
179
джений стани атома; е і е — «тепловий» та «гарячий» стани
електрона. Рівняння (5.7а) означає, що незбуджений атом сти-
кається з гарячим електроном, внаслідок чого атом стає збу-
дженим, а електрон втрачає частину своєї кінетичної енергії.
«Реакція» (5.7а) відповідає непружному зіткненню 1-го роду.
Пряме електронне збудження відіграє дуже важливу роль у
створенні інверсної населеності в газах.
Зворотна реакція
А* + А + е (5.76)
відповідає непружному зіткненню 2-го роду. При цій «реакції»
енергія збудження атома передається вільному електрону, що
веде до зменшення населеності відповідного енергетичного рів-
ня атома.
На рис. 5.4 схематично показано 3 нижні енергетичні рівні
атома. Рівень 3 може бути верхнім робочим рівнем для кванто-
вого підсилення світла, а рівень 2 — нижнім. «Реакція» (5.7а),
що відповідає вертикальним стрілкам, направленим вгору, під-
вищує населеності робочих рівнів, а «реакція» (5.76) (стрілка,
направлена вниз) — знижує населеності робочих рівнів. «Реак-
ції» (5.7а) використовуються для підвищення населеності верх-
ніх робочих рівнів, а «реакції» (5.76)—для зниження населе-
ності нижніх робочих рівнів у газових лазерах.
Рис. 5.4. Переходи між енергетичними рів-
нями атома (молекули) при непружних зі-
ткненнях з електронами першого (І) і дру-
гого (II) роду
2. Ступеневе електронне збудження атома (яке також є од-
ним з видів непружних зіткнень 1-го роду) можна зобразити так:
Д* + е^Д** + е,
(5.8)
180
де А** позначає атом, що знаходиться на більш високому енер-
гетичному рівні, ніж А*.
3. Ударна іонізація (ще один вид непружних зіткнень 1-го
роду) відповідає «реакції»:
Д + е^Д++2е, (5.9)
де Д+ —позитивно заряджений іон. За рахунок кінетичної енер-
гії вільного електрона при зіткненні відбувається іонізація ато-
ма. При цьому збільшується число вільних електронів. Зворот-
на «реакція» — це ударна рекомбінація, яка веде до зниження
концентрації вільних електронів і позитивних іонів.
4. Резонансна передача енергії між атомами (молекулами)
різних сортів відіграє важливу роль у роботі деяких газових
лазерів:
Д* + В-Д + В*. (5.10)
Збуджений атом А при зіткненні передає свою енергію атому В.
Резонансна передача енергії відбувається, коли енергетичні рів-
ні збуджених атомів (молекул) обох сортів збігаються (з точ-
ністю до кТ). Ймовірності передачі енергії У?АВ від атома А ато-
му В і зворотної передачі енергії №ВА однакові, тобто
^АВ=^ВА- (5.11)
Але при певних умовах можна організувати направлену пере-
дачу енергії від одних атомів (молекул) іншим. Резонансна
передача енергії між атомами (молекулами) різних сортів вико-
ристовується для створення інверсної населеності в деяких га-
зових лазерах.
5.1.2. Співвідношення між ймовірностями
непружних зіткнень 1-го і 2-го роду
Співвідношення між ймовірностями непружних зіткнень 1-го
і 2-го роду електронів з атомами (іонами, молекулами) можна
знайти із умови детальної рівноваги системи, яка складається
з атомів і електронів. Розглянемо два довільні стаціонарні рів-
ні енергії Е{ та Е2 атомів, показані на рис. 5.5. У рівноважно-
му стані відношення населеностей цих рівнів N° і А2° визна-
181
чається функцією розподілу Больцмана
31 = ^^, (5.12)
М° & ' 7
ДЄ §1 І &2 — кратності виродження відповідних рівнів.
Рис. 5.5. Переходи між двома енерге-
тичними рівнями атома (молекули) при
непружних зіткненнях 1-го і 2-го роду
Темп переходів (число переходів у одиниці об’єму за 1 с)
з рівня £, на рівень £2 і зворотних переходів можна записати як
2^ 2 — Е |2 ’ Л ’ N।,
221 = Р21 • л • У2, (5.13)
де Рі2 і Р2\ — ймовірності непружних зіткнень 1-го і 2-го роду,
відповідно; п — концентрація електронів; У! і N2 — кон-
центрації атомів у відповідних станах. У рівновазі 212 = 2?2;
221 = £0 . р|2 = ро2- р2| = ро. = туо. х2 = ^. п== по умова
детальної рівноваги означає, що темп переходів атомів з рівня
£, на рівень Е2 і темп зворотних переходів повинні бути одна-
ковими, тобто 7?2 = 22|. З урахуванням рівностей (5.13) маємо
Р&іРМі = Р21л°М2, тобто
М° £і \ кТ )
(5.14)
Видно, що у випадку, коли £2 — кТ (що має місце для
енергетичних рівнів, відстань між якими відповідає енергії
фотонів оптичного діапазону), виконується сильна нерівність
Рі2^Р§і, тобто ймовірність непружних зіткнень 1-го роду
182
(з переводом атома на верхній рівень за рахунок кінетичної
енергії електрона) набагато менша, ніж ймовірність зіткнень
2-го роду (з переходом атома на нижній рівень). Якісно це
можна пояснити так: для переходу атома з верхнього рівня на
нижній не важливо, яку початкову енергію має електрон. Але
для переходів з рівня Е{ на рівень Е2 потрібно, щоб були елек-
трони з кінетичною енергією > Е2 — Ех. При достатньо висо-
ких енергіях електронів їх розподіл можна вважати больцманів-
ським, тобто число електронів, які мають енергію Ее> Е2 — Еь
експоненціально спадає з ростом Е2 — Е{.
Розглянемо тепер нерівноважний стан атомів і електронів у
газовій плазмі. Як зазначалося (див. формулу (5.3)), ефективна
температура електронів у плазмі значно вища, ніж ефективні
температури атомів та іонів. Якщо основними постачальниками
енергії при непружних зіткненнях 1-го роду (і «споживачами»
енергії при зіткненнях 2-го роду) і у рівноважному, і в нерів-
новажному станах є електрони, то ймовірність даних зіткнень
(при однакових інших умовах) визначається розподілом елек-
тронів за енергією, тобто електронною температурою. Якщо
у нерівноважному стані електрони мають ефективну температу-
ру Те, то співвідношення (5.14) перетвориться на
= (5.15)
^21 £\ \ /
Із співвідношення (5.15) випливає, що при скінченній елек-
тронній температурі між населеностями енергетичних рівнів
(при Е2 — > 0) має місце нерівність
(5.16)
Є? &
Якщо ми маємо 2-рівневу систему, то при збудженні електрон-
ним ударом буде виконуватися нерівність (5.16). За визначен-
ням, густина інверсної населеності між даними рівнями
ддГ = # (5.17)
&
Тоді з нерівності (5.16) випливає, що ми завжди будемо мати
ДМ<0. Це означає, що в 2-рівневій системі неможливо ство-
рити інверсну населеність за рахунок електричного роз-
ряду.
183
Якщо система має більше стаціонарних рівнів, то, внаслідок
нерівності (5.16), в атомах (молекулах) концентрація частинок
в основному стаціонарному стані буде більша, ніж у будь-яко-
му збудженому стані. Це означає, що в газових лазерах основ-
ний стаціонарний стан атомів (молекул) не може використо-
вуватися як нижній робочий рівень. Тому в газових лазерах
обидва робочі рівні повинні відповідати збудженим станам
атомів (молекул). У ексимерних лазерах, які будуть розглянуті
пізніше, нижній робочий стан «молекул» інертних газів є незбу-
джений, але він — нестаціонарний, і його час життя ~ 10-13 с.
5.1.3. Особливості створення інверсної населеності
в однокомпонентних газах
В лазерах на основі однокомпонентних газів використову-
ються вимушені переходи між збудженими станами атомів. На
рис. 5.6. схематично показано три нижні рівні атома з енер-
гіями £2 і £3- Нехай рівні Е2 і Е3 є робочими рівнями, тобто
вимушені переходи 3 —► 2 використовуються для квантового
Е2
Е3
Е1
Рис. 5.6. Схема створення інверсної
населеності між робочими рівнями в
однокомпонентному газі
підсилення випромінювання. Припустимо, що основним меха-
нізмом збудження атомів є пряме електронне збудження. Пере-
ходи атомів 1 —► 2 і 1 —► 3 внаслідок непружних зіткнень 1-го
роду з електронами показані вертикальними стрілками, біля
яких зазначені ймовірності таких зіткнень РІ2 і Р^. Обмежимо-
ся розглядом випадку низького збудження газу. Знехтуємо сти-
мульованими переходами 3 -> 2, ймовірність яких
184
^32 — ®32
(5.18)
де о32 — переріз даного переходу; Е — густина потоку фотонів.
Врахуємо, що, крім стимульованих переходів 3 -> 2, відбува-
ються спонтанні переходи, інтенсивність яких
^32 = 42^3, (5.19)
де Л32=1/т32— коефіцієнт Ейнштейна для даних переходів.
Аналогічно можна записати 731 — інтенсивність переходів
З—► 1, а також 721—для переходів 2—► 1. Переходи 3 -* 2,
З -» 1 і 2 -♦ 1 можуть також відбуватися за рахунок непруж-
них зіткнень 2-го роду з електронами. Наприклад, інтенсивність
переходів 3 —► 1 при зіткненнях з електронами виражається як
231 = Р31п/У3. (5.20)
Порівняння виразів (5.19) і (5.20) показує, що при низьких рів-
нях збудження, коли концентрація вільних електронів п мала,
(5.2і)
де і = 3, 2; / = 2, 1, тобто інтенсивність радіаційних переходів
набагато більша, ніж інтенсивність непружних зіткнень 2-го
роду атомів з електронами. При таких допущеннях кінетичні
рівняння для населеностей рівнів Е3 і Е2 мають вигляд
^- = Р13пМ-А3(1/т31 + 1/т32),
^ = Р12пМ + ^/т32-А2/т21.
У стаціонарному випадку, коли
М3 <Ш2 п
із системи рівнянь (5.22) і (5.23) одержимо
N3 __ _______________Т2І__________
Т32 ^3 \ТЗІ Т32
(5.22)
(5.23)
(5.24)
(5.25)
185
Врахуємо, що
£"з Е2 > &Те,
(5.26)
що приведе до нерівності Рї2» Лз- Тоді рівність (5.25) спро-
щується до
N3 ^3 і/т21
N2 ^2 ІАзі“і“І/Т32
(5.27)
Візьмемо до уваги, що загальний час життя рівнів Е2 і Е3
визначається як
Т2 = Т21>
Т3 Т32 ТЗІ
Тоді співвідношення (5.27) буде мати вигляд
N3 Р\з тз
Л^2 ^|2 Т2
(5.28)
(5.29)
Обмежимося випадком, коли кратності виродження рівнів Е3 і
Е2 однакові, тобто £з = £2- Тоді густина інверсної населеності
рівнів Е3 і Е2 буде визначатися як
ДМ=М3-/У2.
(5.30)
Враховуючи співвідношення (5.28), отримаємо, що для створен-
ня інверсної населеності, тобто для ДМ> 0, необхідно виконан-
ня нерівності
Т3 >
Т2 ?13
(5.31)
Внаслідок того, що
^21 ( ^3 —^2
^=^ехрЬА
(5.32)
і враховуючи нерівність (5.26), ми маємо Рі2^ Лз- Тому інвер-
сна населеність між двома збудженими рівнями атома Е3 і Е2
може бути досягнута лише у випадку, коли
т3» т2.
(5.33)
186
Остання нерівність характеризує два вибрані для підсилен-
ня світла рівні даних атомів (іонів, молекул). Тому, знаючи ве-
личини т3 і т2 О3 вимірювань кінетики люмінесценції), зразу
можна сказати, чи взагалі можливо створити інверсну насе-
леність між цими рівнями даних атомів.
Далі, із формули (5.32) видно, що з підвищенням електрон-
ної температури Те відношення Р\2/Р\з зменшується. Тому при
деякій пороговій електронній температурі (при заданих значен-
нях т3 і т2) почне виконуватися нерівність (5.31), яка відповідає
створенню інверсної населеності рівнів Е3 і Е2.
5.1.4. Використання допоміжного газу
для створення інверсної населеності
робочих рівнів основного газу
Розглянемо умови, коли резонансна передача енергії між
атомами (молекулами) різних сортів може сприяти створенню
інверсної населеності між робочими рівнями одного з компо-
нентів газової суміші.
Нехай у газовій кюветі лазера знаходяться атоми двох сор-
тів: А і В з енергетичними рівнями, показаними на рис. 5.7. Як
зазначалося, робочими стаціонарними рівнями у газовому ла-
зері можуть бути лише збуджені рівні. Нехай у даному випадку
Рис. 5.7. Схема створення інверсної населеності між робочими рівнями
в газі з використанням допоміжного газу
квантове підсилення випромінювання відбувається за рахунок
стимульованих переходів Е3 —► Е2 в атомах А. Для резонансної
передачі енергії між рівнями Е3 атомів В і рівнями Е3 атомів А
187
необхідно підібрати такий газ В, щоб енергія його збудженого
стану збігалася з енергією верхнього робочого рівня атомів А,
тобто
(5.34)
Нехай Р13, Р12, Р2{, Лз’ — ймовірності відповідних пе-
реходів атомів А і В під дією непружних електронних ударів;
т31, тз2> т2ь тзі — значення часу життя збуджених станів ато-
мів А і В відповідно до зазначених спонтанних переходів;
= У?ав — ймовірності резонансної передачі енергії між рів-
нями Е3 і Е3 атомів А і В. Нехай населеності рівнів Е{, Е2, Е3
атомів А будуть Ан А2, А3, причому, як зазначалося, А3, А2<^с
А1 «=* А, де А — повна концентрація атомів А. Відповідно,
населеності рівнів В становлять В3 Ві « В; концентрація
електронів складає п. Тоді для населеності рівня Е3 атомів А
можна записати кінетичне рівняння
^ = р1^пД + гвл.ВзЛ1-(^п + ^- + ^ + ад + г32из,
□ 4 у Т3| Т32 /
(5.35)
і для рівня Е3 атомів В
= Р,? • пД + ^АВ • ДЛ3 - (р£п + + Гвлд)в3. (5.36)
Для того, щоб визначити, коли резонансна передача енергії
буде сприяти зростанню населеності А3 рівнів Е3 атомів А, вве-
демо спрощення у рівняння (5.35) і (5.36):
а) будемо розглядати підпороговий режим роботи, тобто
знехтуємо ймовірністю стимульованих переходів №32 атомів А;
б) рівень збудження газу будемо вважати низьким (концен-
трацію вільних електронів у плазмі — малою), так що інтенсив-
ністю непружних зіткнень 2-го роду знехтуємо як малою по
відношенню до інтенсивності спонтанних переходів;
в) концентрації атомів А і В малі, так що інтенсивністю
резонансної передачі енергії в рівняннях (5.35) і (5.36) знех-
туємо.
При таких допущеннях рівняння (5.35) і (5.36) перетво-
ряться на
^ = рл.лд_±д3; (5.37)
188
де
= РД-пВ'-^-Вз,
йі 13 1 т3в 3
(5.38)
1- = ± + ±
ГА ТА 1 ТА
с3 ТЗІ т32
У стаціонарному випадку, коли
443 _ <ІД3 _ л
а/
(5.39)
(5.40)
із (5.36) і (5.38) отримаємо
А3 = А1Р^3п-т3;
В3 = В1Р^3пхІ
(5.41)
(5.42)
Для темпу резонансної передачі енергії від збуджених ато-
мів В атомам А можна записати
їВа = Ка 'ЛД (5.43)
а для темпу зворотної передачі енергії
2Ле=ГвАзВ,. (5.44)
Із останніх рівнянь, з урахуванням (5.41) і (5.42), отримаємо
%ВА _ ^3 ^1 _ е Т3
2>АВ Л ^3 Т3
Внаслідок того, що Е'3 «=* £3, у формулі (5.45) величини Р13, Р13
одного порядку. Тоді
>-4- (5-46)
^АВ Т3
Із (5.46) видно, що умовою для направленої резонансної пере-
дачі енергії від атомів В до атомів А буде
Тз>Тз- (5.47)
Таким чином, добавка допоміжного газу може приводити
до створення інверсної населеності збуджених рівнів основ-
189
ного газу в електричному розряді, якщо час життя збудже-
ного стану допоміжного газу більший, ніж час життя допо-
міжних рівнів основного газу.
При високих рівнях збудження, коли концентрація електронів
велика, в рівняннях (5.35) і (5.36) інтенсивності непружних
зіткнень другого роду більші, ніж інтенсивності спонтанних ра-
діаційних переходів. У цьому випадку замість (5.45) отримаємо
^ВА _ ^3 1
ЇАВ
тобто направленої передачі енергії не буде відбуватися. Таким
чином, при високих рівнях збудження (великих значеннях стру-
му розряду) ефективність передачі енергії від допоміжного газу
мала.
Слід відзначити, що врахування вимушених переходів у рів-
нянні (5.35) зменшує заселеність А3 рівнів £3, тобто при
лазерній генерації покращуються умови резонансної передачі
енергії.
Тепер розглянемо випадок, коли збуджений рівень Е'2 допо-
міжного газу С має ту ж енергію, що і нижній робочий рівень
Е2 атомів А, як показано на рис. 5.8. У цьому випадку допо-
міжний газ С можна використати для зменшення населеності
нижнього робочого рівня атомів (молекул) А. Розрахунки, ана-
логічні до попередніх, дадуть для відношення темпу передачі
енергії від атомів А до атомів
^АС __
^СА
так що при Р*2 — Р^2 умовою резонансної передачі енергії від
атомів А, що знаходяться на нижньому робочому рівні, до ато-
мів С буде
тс2<тА2. (5.50)
Таким чином, для створення інверсної населеності рівнів Е3
та Е2 атомів (молекул) газу А можна використати допоміжні
гази: а) газ В, у атомів якого збуджений рівень Е3 збігається
з верхнім робочим рівнем Е3 газу А. Час життя збудженого
стану Е3 атомів В повинен бути достатньо великим, щоб задо-
вольняти умову (5.47); б) газ С, атоми якого мають збуджений
рівень Е2, що збігається з нижнім робочим рівнем Е2 основного
В і
навпаки.
51
Т2
(5.49)
190
газу А. Час життя рівня Е'2 газу С повинен бути достатньо
малим, щоб задовольняти умову (5.50).
Рис. 5.8. Схема «охолодження» нижнього робочого рівня в газі з викори-
станням допоміжного газу
Допоміжні гази, одні з яких збільшують населеність верх-
нього робочого рівня, а інші — зменшують населеність нижньо-
го робочого рівня основного газу, широко використовуються
в газових лазерах.
5.2. ГЕЛ ІЙ-НЕОНОВИЙ ЛАЗЕР
Гелій-неоновий лазер — це класичний лазер на основі ней-
тральних атомів. Це — перший газовий лазер (створений у 1960
році А. Джаваном зі співробітниками). Конструкція цього лазе-
ра є типовою. Типовим є і спосіб накачування. Вимушені пере-
ходи відбуваються в атомах Ке, а Не служить для створення
інверсної населеності робочих рівнів Ке.
5.2.1. Механізм генерації
Не—Ке-лазерів
На рис. 5.9 схематично показано нижні збуджені стани ато-
мів Не та Ке.
Не — це найлегший із інертних газів. Електронна конфігу-
рація незбудженого стану (1-го стану) атома Не є І52, тобто
191
в стані Із знаходяться два електрони з протилежними спінами.
Нижні збуджені стани 2 і 3 атома відповідають переходу одно-
го електрона в збуджений стан 25. Тоді електронна конфігура-
ція буде 1525. Показані на рис. 5.9 стани 2 і 3 відрізняються
повним спіном електронів (5 = 1 для стану 2 і 5 = 0 для ста-
Рис. 5.9. Схема електронних переходів у атомах Не і Ме в плазмі
Ке — це наступний за масою атома інертний газ. Елек-
тронна конфігурація його основного (незбудженого) стану є
І522522р6, тобто в станах І5 і 25 знаходяться по 2 електрони,
а в стані 2р — 6 електронів. Нижні збуджені стани, показані на
рис. 5.9, відповідають переходу одного валентного електрона
в збуджені стани: 35, Зр; 45, 4р; 55. На рис. 5.9 показані кон-
фігурації валентних електронів збуджених станів атома Ке.
Збудженим 5-станам відповідають по 4 підрівні, р-станам —
по 10 підрівнів.
Умови для квантового підсилення світла в Не—Ке-лазері
створюються таким чином. За рахунок непружних зіткнень з
вільними електронами в плазмі газового розряду атоми Не з
ймовірностями Р13 і Р12 переходять на рівні 2 і 3. Рівні 2 і З
атома Не за енергією збігаються з рівнями 3 і 4 атома Ке,
відповідно. Тому відбувається резонансна передача енергії між
відповідними рівнями Не і Ке. Рівні 2 і 3 атома Не є мета-
стабільні (мають великий час життя). Дійсно, переходи 3—► 1,
192
0,63 мкм та 1,15 мкм мають потужність від кількох мВт до де-
сятків мВт, а на довжині хвилі 3,39 мкм — сотні мВт. При цьо-
му ККД складає менше 0,1 %.
Випромінювання Не—Ие-лазерів поляризоване, з площиною
коливань, що збігається з площиною падіння променя на оптич-
не вікно. Не—Ме-лазери з довжиною хвилі 0,633 мкм, що від-
повідає червоній області спектра, широко використовуються в
техніці, де потрібне видиме випромінювання з вузьким спект-
ром, високою стабільністю, великою направленістю та малим
діаметром пучка. Не—Ме-лазери на 0,63 мкм спеціальних кон-
струкцій дозволяють отримати високу стабільність частоти:
— = 10-11—10-12 і вище.
V
5.3. ІОННІ ЛАЗЕРИ
В іонних лазерах для квантового підсилення світла викори-
стовуються переходи між збудженими станами іонів. На
рис. 5.10 умовно показано рух електрона навкруги атомного
залишку в нейтральному атомі та в іоні.
Рис. 5.10. Схема руху електрона навкруги атомного залишку
в класичній моделі:
а — в нейтральному атомі; б — в іоні
Заряд атомного залишку в нейтральному атомі складає +е,
а у іоні +2е. Тому в іоні валентний електрон рухається в більш
сильному електричному полі, ніж у нейтральному атомі. Це дає
такі наслідки: а) відстань між збудженими енергетичними рів-
194
нями валентного електрона більша, ніж у атомів. Тому випро-
мінювання іонних лазерів звичайно більш короткохвильове, ніж
атомних лазерів. Якщо атомні лазери випромінюють в інфра-
червоній і лише в окремих випадках у видимій області, то ви-
промінювання іонних лазерів знаходиться у видимій і ультра-
фіолетовій областях спектру; б) ймовірність переходів між
енергетичними рівнями іонів звичайно більша, ніж у нейтраль-
них атомів. Тому потужність іонних лазерів звичайно більша,
ніж атомних лазерів.
Як зазначалося,в параграфі 4.1, значної концентрації пози-
тивних іонів можна досягти у дуговому розряді.
Тому для збудження іонних лазерів використовується дуговий
розряд. Дуговий розряд відбувається, коли, при великих густи-
нах струму (порядку тисяч А/см2), катод розжарюється за ра-
хунок його бомбардування позитивними іонами. Розжарений
катод інтенсивно емітує електрони. Дуговий розряд має 5-по-
дібну вольт-амперну характеристику і має схильність до шнуру-
вання струму. Для стабілізації розряду і для покращення теп-
ловідводу розрядна трубка іонного лазера являє собою капіляр
діаметра 1 —10 мм. Стінки капіляра повинні мати велику теп-
лопровідність і термостійкість. Розрядні трубки малопотужних
лазерів виготовляються з берилієвої кераміки, а в більш по-
тужних використовують секції з вольфраму з діелектричними
прокладками. Газорозрядні трубки примусово охолоджують, на-
приклад, проточною водою.
Щоб працював іонний лазер, треба спочатку створити іони,
а потім їх збуджувати, тобто повинно відбуватися двоступене-
ве збудження атомів. При цьому вихідна потужність випромі-
нювання пропорційна до квадрату струму: Р — /2.
Дуговий розряд інтенсивно перекачує позитивні іони до ка-
тоду. Тому газорозрядна трубка має обвідний канал (через який
не проходить струм), який служить для вирівнювання тиску
газу між катодом і анодом.
5.3.1. Аргоновий лазер
Аргоновий лазер — це типовий іонний лазер, що знайшов
широке використання. Схема нижніх збуджених рівнів іона ар-
гону показана на рис. 5.11. Аргон — це третій за масою атома
інертний газ після Не і Не. У нейтрального атома Аг всі елек-
тронні оболонки, включаючи Зр, заповнені електронами. Пози-
тивний іон у стані Зр має 5 електронів. Нижні збуджені стани
195
атома утворюються при переході одного з валентних електронів
у стани 45 і 4р. Ці переходи відбуваються за рахунок непруж-
них зіткнень з гарячими електронами. Інверсна населеність рів-
нів Е3 і Е2 (4р і 45) створюється за рахунок того, що т3» т2.
Дійсно, переходи Е3 —► Еі заборонені внаслідок того, що обидва
рівні мають однакове орбітальне квантове число (Д/ = 0), а
переходи Е3 —► Е2 заборонені, тому що дані рівні мають одне і
те ж головне квантове число (Дп = 0). В той же час перехід
Е2 —► (45—Зр) дозволений: для нього Дп = —1; Д/= 1. Час
життя рівня Е3 складає т3« 9 не, а для рівня Е2 величина
т2 0,36 не. Тому, за рахунок великої різниці у часі життя, при
достатньо високій електронній температурі населеність рівня
Е3 стає більшою, ніж населеність рівня Е2, що веде до кванто-
вого підсилення резонансного випромінювання.
За рахунок наявності 11 рівнів 4р та 5 рівнів 45 спектр ви-
промінювання при переходах 4р —► 45 має цілий ряд дискретних
ліній з довжиною хвилі від Л,тіп = 0,43 мкм (в синій області
спектра) до Хтах = 0,52 мкм (в зеленій області). Використову-
ючи дзеркала з селективним відбиттям, будують лазери, що
випромінюють на окремих спектральних лініях у вказаному діа-
пазоні.
Конструкція аргонового лазера є типовою для іонного лазе-
ра. Дуговий розряд відбувається при напрузі 200—400 В і спо-
196
живає потужність приблизно 10 кВт. Вихідна потужність вип-
ромінювання у комерційних лазерів складає 1—20 Вт; макси-
мальна потужність лабораторних лазерів досягає 150—175 Вт.
5.4. МОЛЕКУЛЯРНІ ЛАЗЕРИ
Молекули, на відміну від атомів та іонів, мають не тільки
електронні збуджені стани, а і коливальні та обертальні стани.
Між електронними станами відстань складає десяті частки —
одиниці еВ, між коливальними — десяті частки еВ, а між обер-
тальними станами — соті чи тисячні частки еВ. Це означає, що
перехід між коливальними рівнями може бути використаний для
побудови лазерів, що випромінюють та поглинають у інфра-
червоній області спектру. Лазери, які використовують перехо-
ди між обертальними станами, можуть працювати в далекому
інфрачервоному та радіодіапазоні. Для переходів між збуджени-
ми електронними рівнями потрібна висока електронна темпера-
тура у плазмі, і ефективність такого збудження мала, оскільки
електронів з достатньою енергією мало. Для збудження перехо-
дів між коливальними рівнями потрібна відносно невисока елек-
тронна температура (порядку тисяч Кельвін), ефективність не-
рівноважного заселення таких рівнів велика, а тому великий і
ККД. Відстань між обертальними рівнями &Еоь<^.кТ (при кім-
натній температурі кТ 0,026 еВ). Це означає, що рівноважна
населеність сусідніх обертальних рівнів майже однакова, тобто
N _
_і±1 = е *т ^1. (5.51)
Це дуже утруднює створення інверсної населеності, і інверсну
населеність обертальних рівнів створюють спеціальними мето-
дами.
5.4.1. Лазери на основі молекул СО2
На рис. 5.12 схематично показано, як рухаються атоми
в молекулі СО2, здійснюючи коливання трьох типів. Молекула
СО2 має лінійну структуру. У рівноважному стані атоми кисню
О знаходяться на певній відстані від атома вуглецю С, як по-
197
казано на рис. 5.12, а. В такій системі можливі три незалежні
типи коливань:
1. Симетричні коливання (рис. 5.12, б). Атом С знаходить-
ся в центрі мас, а атоми кисню здійснюють симетричні коливан-
ня, так що центр мас нерухомий. Енергія таких коливань
(5.52)
де V! = 0, 1, 2, 3, ... — квантове число для даного типу коливань,
со, — власна частота симетричних коливань. Власна частота си-
метричних коливань дорівнює со, = ^к{/т, де к{ — коефіцієнт
жорсткості зв’язку між атомами, а сила взаємодії атомів Р =
= —к1&х, де Дх— зміщення атомів від положення рівноваги.
Правила відбору для переходів такі: Ду! ==ЬІ, тобто дозво-
лені переходи тільки між сусідніми рівнями.
Рис. 5.12. Схема коливань молекули СО2
2. Деформаційні коливання (рис. 5.12, в). При деформацій-
них коливаннях атоми зміщуються у напрямі, перпендикулярно-
му до осі молекули, причому центр мас — нерухомий. Енергія
таких коливань дорівнює
(5.53)
198
де ¥2 = 0, 1, 2, 3, ... і не залежить від Внаслідок того, що
жорсткість міжатомних зв’язків для деформаційних коливань
менша, ніж для симетричних, то со2 < причому со2 <^>1/2.
3. Антисиметричні коливання (рис. 5.12, г). При антиси-
метричних коливаннях всі атоми зміщуються вздовж осі моле-
кули, але при цьому атоми кисню зміщуються в одну сторону,
а атом вуглецю — в іншу, так що центр мас нерухомий. При
таких коливаннях жорсткість зв’язку між атомами більша, ніж
для симетричних коливань. Енергія таких коливань дорівнює
ЕУз = Йа)3(у3 + |)( (5.54)
де ¥3 = 0, 1, 2, 3, ...
Коливальний стан молекули характеризується трьома кван-
товими числами V,, ¥2, ¥3. Сумарна енергія незалежних коли-
вань молекули складає
ЕУ|УЬ = £У| + ^ + ^3- (5.55)
На рис. 5.13 показано нижні коливальні рівні молекули СО2.
Під відповідними рівнями наведені квантові числа (¥н ¥2, ¥3).
(VI, у2, у3) = (00°0)
СО2
Рис. 5.13. Схема коливальних рівнів молекул СО2 і И2 та переходів між
ними
199
Справа зображені основний та перший збуджений коливальні
рівні молекули N2 — азоту.
Для створення інверсної населеності між коливальними рів-
нями молекули СО2 використовують допоміжний газ — азот.
Очевидно, що молекули азоту мають теж лінійну структуру, і
в такій молекулі можливий лише один тип коливань — симет-
ричні коливання з квантовим числом V. Перший збуджений стан
молекули N2 збігається з першим збудженим станом антисимет-
ричних коливань молекули СО2. Збігаються між собою і наступ-
ні коливальні рівні молекули азоту і рівні антисиметричних ко-
ливань молекули СО2, що відповідають значенням у3 = 2, 3, ...
Лазер на основі молекул СО2 діє таким чином. Внаслідок
електронного удару збуджуються коливання молекул И2. У кла-
сичному випадку генератором електромагнітних хвиль є осци-
люючий диполь. Якщо молекула має дипольний момент, вона
може і випромінювати, як диполь. Але молекула И2 не має ди-
польного моменту, внаслідок чого її взаємодія з електромагніт-
ним полем дуже слабка. Тому збуджені коливальні стани моле-
кули N2 мають дуже великий час життя. Як зазначалося, для
накачування атомів чи молекул основного газу при викорис-
танні допоміжного газу необхідно: а) щоб збуджений рівень
допоміжного газу збігався з верхнім робочим рівнем атомів чи
молекул основного газу; б) час життя збудженого стану атомів
чи молекул допоміжного газу повинен бути набагато більшим,
ніж для відповідного стану атомів чи молекул основного газу.
Обидві умови для N2 як допоміжного газу в лазерах на основі
СО2 виконуються.
При зіткненні збуджених молекул N2 з молекулами СО2 від-
бувається направлена передача енергії (як показано стрілкою).
Енергія коливального збудження від молекули И2 передається
молекулі СО2, яка переходить в коливальний стан (00° 1). Без-
посередній радіаційний перехід молекули СО2 зі стану (00°1) в
основний стан (00°0) має дуже малу ймовірність (3,9-10“4 с”1).
При переходах (00°1) -► (10°0) (ймовірність яких №=0,24 с“ )
випромінюються фотони з довжиною хвилі Х = 10,6 мкм. Пере-
ходи (00°1) —► (02°0), ймовірність яких складає №=0,35 с“\
генерують фотони з довжиною хвилі X = 9,6 мкм. На обох цих
переходах можуть працювати лазери.
Особливо інтенсивно досліджуються і використовуються ла-
зери на Х= 10,6 мкм, випромінювання яких відповідає спект-
ральному вікну прозорості земної атмосфери.
Для того, щоб зменшити населеність нижніх коливальних
станів молекул СО2, в систему вводиться ще один допоміжний
200
газ — гелій, атоми якого при зіткненні з молекулами СО2 легко
відбирають енергію коливань, тобто служать для «охолоджен-
ня» нижніх робочих рівнів.
У розрядній трубці лазера на основі молекул СО2 звичайно
знаходиться суміш СО2, 1Ч2 і Не. Співвідношення концентрацій
N 1 9
молекул И2 і СО2 складає со” = ‘["н7’ т°бто концентрація
молекул допоміжного газу більша, ніж концентрація молекул
СО2. Концентрація атомів Не по відношенню до молекул основ-
. Не 2 8 г х
ного газу складає*^- = у р Газорозрядна трубка має діа-
метр від 25 до 50 мм. Для накачування звичайно використо-
вується тліючий розряд. Коефіцієнт корисної дії лазерів на
основі молекул СО2 досягає значень г| = ЗО %. Теоретично
можна досягти коефіцієнта корисної дії до 40 %.
Умови, які дозволяють одержати великий коефіцієнт корис-
ної дії лазерів на основі молекул СО2:
а) відстань між коливальними рівнями Йсо0«=* 0,3 еУ, тобто
ця відстань велика у порівнянні з кТ при кімнатній температурі
(при Т = 300 К кТ « 0,026 еУ, так що « 12 ). Це означає,
що населеність збуджених рівнів мала:
= е
кТ
10-4.
(5.56)
Різниця населеності сусідніх рівнів дуже велика. Якщо «ко-
ливальну» температуру підняти в 10 разів (чого легко до-
сягти в газовому розряді), то населеності цих рівнів будуть
близькими. У цих обставинах легко змінювати населеності
рівнів;
б) при зіткненні молекул коливальна енергія перетворюєть-
ся на кінетичну за 104—106 зіткнень. Це означає, що коливаль-
на енергія може довго зберігатися;
в) ймовірність передачі коливальної енергії від однієї мо-
лекули до іншої (від N<2 до СО2) набагато вища, ніж ймовір-
ність перетворення цієї коливальної енергії в кінетичну. Всі ці
фактори зумовлюють великий коефіцієнт корисної дії лазерів,
що використовують переходи між коливальними рівнями мо-
лекул.
Сучасні лазери на основі молекул СО2 мають велику вихідну
потужність (до 10 кВт) і використовуються в технічних цілях,
201
у військовій техніці, в навігаційних системах та для оптичної
передачі інформації.
5.4.2. Газодинамічні лазери
В газодинамічних лазерах інверсна населеність коливальних
рівнів молекул СО2 досягається за рахунок нагрівання та швид-
кого охолодження газу, що включає молекули СО2.
Нагрітий газ
і|і—і|і—і|і—І|Г
Ді
Д2
Рис. 5.14. Схема будови газодинамічного лазера
Будова газодинамічного лазера схематично показана на
рис. 5.14. У замкнутому об’ємі генерується вуглекислий газ за
рахунок спалення вуглеводів. При цьому досягається темпера-
тура 1300—1400 К. Процес згорання супроводжується різким
підвищенням тиску. Гарячий газ випускається через систему
сопел діаметром 0,3—1 мм з великою швидкістю де
— швидкість звуку) в резонатор. За час — 1 • 10-5 с при роз-
ширенні газу відбувається різке зниження його температури
(ефект Томсона) приблизно до кімнатної. Схема отримання ін-
версної населеності робочих рівнів Е3 і Е2 в газодинамічному
лазері показана на рис. 5.15. При високій температурі 7\ насе-
леність N2 нижнього робочого рівня вища, ніж N3 — верхнього:
(5-57)
Але час життя нижнього стану набагато менший, ніж верх-
нього. Після різкого розширення газу до температури Т2 (при
і>0) населеності рівнів У2 * будуть спадати, як показано
202
на рис. 5.15. Через деякий час, внаслідок різниці часів життя
рівнів, населеність М3 рівня Е3 буде вища, ніж населеність У2
нижнього робочого рівня. Для збільшення і підтримання насе-
леності верхнього Е3 стану (00°1) (див. рис. 5.13) використо-
вуються зіткнення із збудженими молекулами И2. Зменшення
часу життя нижнього робочого стану Е2 (10°0) відбувається за
рахунок зіткнень молекул СО2 з молекулами Н2О, що містяться
у продуктах згорання. Резонатор знаходиться на деякій відстані
від сопел, щоб проходив певний час руху холодного газу, і
населеність У2 рівня Е2 спадала до достатньо низької величини.
Тоді в резонатор будуть попадати молекули СО2 з великою гу-
стиною інверсної населеності робочих рівнів Е3 і Е2 (для лазера
на А, = 10,6 мкм рівнів (00°1) і (10°0)).
Рис. 5.15. Схема отримання інверсної насе-
леності в газодинамічному лазері
Газодинамічні лазери мають низький ККД, але можуть дава-
ти велику потужність випромінювання: від сотень Вт до мега-
ват.
Максимальний ККД газодинамічного лазера, який являє со-
бою тепловий двигун, визначається формулою
п = (Л-г2)/Л,
(5.58)
де верхня температура Т\ обмежується дисоціацією молекул
СО2, а нижня — температурою затвердіння СО2 (—68 °С).
203
5.5. ХІМІЧНІ ЛАЗЕРИ
В хімічних лазерах інверсна населеність між робочими рів-
нями активної речовини (продукту реакції) створюється безпо-
середньо в ході екзотермічної реакції. Цим хімічні лазери від-
різняються від газодинамічних, в яких інверсна населеність
створюється в результаті релаксації після хімічної реакції.
Одною з найпростіших хімічних реакцій, які використовують-
ся для створення інверсної населеності, є реакція заміщення:
А+ВС = АВ* + С, (5.59)
в результаті якої генеруються збуджені молекули АВ*. Залеж-
ність потенціальної енергії системи атомів АВС (при незмінних
квантових числах електронної підсистеми) від положення атома
В при зіткненні атома А з молекулою ВС схематично показана
на рис. 5.16. Рівноважні положення центру атома В у молеку-
лах ВС і АВ відповідають значенням конфігураційної координа-
ти та х2 (атом С знаходиться зліва від атома В, а атом А —
справа). Горизонтальними лініями позначено коливальні енерге-
тичні рівні молекул. Обертальні рівні молекул, відстань між
Рис. 5.16. Залежність потенціальної енер-
гії системи атомів АВС від положення ато-
ма В в момент зіткнення атома А з моле-
кулою ВС
якими набагато менша, ніж між коливальними рівнями, не по-
казані. До початку хімічної реакції атом В знаходиться поблизу
атома С, так що молекула ВС перебуває на одному з нижніх
204
коливальних рівнів у лівій потенціальній ямі. Коливання відбу-
ваються навколо точки х,. Для початку реакції, тобто переходу
атома В, показаного горизонтальною стрілкою, необхідно подо-
лати потенціальний бар’єр. Тому реакція звичайно потребує
ініціювання, тобто підведення енергії ззовні. Ініціювання ре-
акції здійснюють нагріванням, іонізуючим опроміненням, елект-
ричним розрядом і т. п. Подолавши потенціальний бар’єр, атом
В опиняється в потенціальній ямі з центром у точці х2. Ця яма
глибша, ніж ліва яма. Тому реакція екзотермічна, тобто су-
проводжується виділенням енергії. Після переходу атома В
у праву яму, атом В (точніше — молекула АВ*) опиняється на
одному з верхніх (тобто збуджених) коливальних (і оберталь-
них) рівнів. В ансамблі молекул, що народилися в результаті
реакції, верхні коливальні рівні виявляються більш заселеними,
ніж нижні. Це відповідає інверсній населеності коливальних
рівнів молекул — продуктів реакції.
Класичним прикладом хімічного лазера, в якому використо-
вується реакція заміщення, є лазер на молекулах НР. В даному
лазері накачування відбувається при реакції
Р+Н2 = НР* + Н. (5.60)
Атомарний фтор отримують за рахунок дисоціації молекул
Р2, або більш складних молекул, наприклад, 8Р6, в електрич-
ному розряді, за рахунок бомбардування електронами та ін.
При реакції на одну молекулу НР виділяється енергія 1,37 еВ
(31,6 ккал на 1 моль). Приблизно 70 % даної енергії припадає
на коливальну енергію збуджених молекул НР*, причому насе-
леності коливальних рівнів, що відповідають квантовим числам
пу= 1, 2, 3, відносяться як 0,31:1,0:0,48. Дозволеними є пе-
реходи осцилятора, що відповідають зміні коливального кванто-
вого числа Дпк= ±1. При даній хімічній реакції для кванто-
вого підсилення використовується інверсна населеність між
рівнями з квантовими числами пу = 2 і пу = 1, а також між
рівнями з пу= 1 і Пу = 0. Стимульовані переходи між даними
рівнями дають фотони з енергією 0,46 еВ (X = 2,7 мкм).
В хімічних лазерах використовується інверсна населеність ко-
ливальних рівнів різних молекул, наприклад, НС1*, НВг*, Цр*,
що утворюються при реакціях Н + С12, Н + Вг2, Р + Ц2, відпо-
відно. Ці лазери генерують у середній інфрачервоній області,
при довжинах хвиль 3,7 мкм, 4,2 мкм і 4,3 мкм, відповідно.
Хімічні лазери, що використовують переходи між коливаль-
ними рівнями збуджених молекул, мають високий коефіцієнт
205
корисної дії, дають високу потужність випромінювання в непе-
рервному режимі і високу енергію імпульсів. Так, у лазері на
основі ВР* у неперервному режимі отримана потужність ви-
промінювання 2,2 МВт.
Слід відзначити, що при деяких хімічних реакціях, наприк-
лад, при дисоціативних реакціях типу
АВС->А-\-ВС, (5.61)
отримуються атоми, у яких збуджена електронна підсистема.
Класичним прикладом лазера, який працює на такій реакції, є
йодний лазер, що генерує на довжині хвилі 1,315 мкм. Для
створення інверсної населеності використовується реакція ім-
пульсного фотолізу (дисоціація при поглинанні ультрафіолето-
вого випромінювання) молекул СР3І:
СР3І + Ну - І* + СР3, (5.62)
причому вивільнений атом йоду знаходиться у збудженому ста-
ні 2Р1/2. Лазерне випромінювання генерується при вимушених
переходах 2Р1/2 —► 2Р3/2. Крім молекул СР3І, для отримання збу-
джених атомів йоду використовуються молекули СН3І та ін.
Внаслідок того, що фотодисоціацію можна здійснювати у вели-
кому об’ємі відповідного газу, хімічні лазери на атомах йоду
перспективні для отримання високої енергії випромінювання
в імпульсі.
5.6. ЕКСИМЕРНІ ЛАЗЕРИ
Ексимерні лазери відрізняються від інших газових лазерів
тим, що у них нижній робочий рівень збігається з рівнем не-
збудженого стану. Але цей рівень нестаціонарний і існує дуже
короткий час. Робочою речовиною в ексимерних лазерах є «мо-
лекули» ксенону Хе2, криптону Кг2 або аргону Аг2. На рис. 5.17
нижня крива показує залежність енергії взаємодії двох атомів
«молекули» ксенону Хе2 від відстані г між ними. Два незбуджені
атоми відштовхуються, що відповідає зменшенню потенціальної
енергії при зростанні г. Коли два атоми діаметром 10-8 см
зіштовхуються зі швидкістю V— 105 см/с, то час життя «моле-
кули» (мономера) буде дорівнювати т0 « — ~ 10-13 с.
206
Але якщо в одному з атомів електрон перевести в збудже-
ний стан, то цей електрон може утворювати ковалентний зв’я-
зок з іншим атомом. Тоді ці два атоми складають молекулу Хе2*
(димер). Назва «ексимерні лазери» пішла від англійського тер-
міну «ехсііесі сіітег» — збуджений димер. Залежність потенці-
альної енергії від відстані між атомами молекули Хе2* показана
верхньою кривою на рис. 5.17. За час т система переходить
в незбуджений стан з випромінюванням фотона. Молекула
Хе2* має два збуджені стани з часом життя Т! = 4-10~8 с та
т2 = 510~9 с. Час життя верхнього робочого стану в — 105
разів перевищує час життя нижнього робочого стану. Внаслі-
док цього і створюється інверсна населеність між вказаними
станами.
Рис. 5.17. Конфігураційні діаграми «мо-
лекул» Хе2 і Хе2* та випромінювальні
електронні переходи
Збудження атомів ксенону Хе у ексимерному лазері від-
бувається за рахунок бомбардування швидкими електронами:
Хе + е - Хе* + е. (5.63)
При зіткненні збудженого атома Хе* з двома незбудженими
атомами маємо
Хе* + 2Хе - Хе2* + Хе. (5.64)
Для цього процесу потрібно три атоми Хе, тобто ймовірність
створення молекули Хе2* пропорційна кубу концентрації ксено-
207
ну. Цей процес відбувається при високому тиску, понад 10 ат.
Лазер на основі молекул Хе2* дає випромінювання з довжиною
хвилі Х = 172,5 нм (в ультрафіолетовій області спектру). На
відміну від інших газових лазерів, випромінювання такого лазе-
ра широкосмугове: ширина лінії складає ДХ = 5 нм. Така немо-
нохроматичність випромінювання обумовлена тим, що час жит-
тя нижнього робочого стану дуже малий.
Накачування ексимерного лазера відбувається імпульсним
потоком електронів з енергією — 0,2 Дж/см2 за час Дґ ~ 0,1 не.
При цьому біля 20 % енергії електронів перетворюється в оп-
тичну енергію з миттєвою потужністю від сотні до тисячі ме-
гават.
В ексимерних лазерах використовуються також молекули
ХеСІ, ХеР і т. п. В таких лазерах атоми Хе зв’язані з іншими
атомами, і концентрація збуджених молекул залежить квадра-
тично (а не кубічно) від тиску. При цьому підвищується мож-
ливість одержання більш високих значень ККД при невеликих
значеннях тиску газу.
Ексимерні лазери використовуються в технологічних проце-
сах, у медицині та ін. Яскравим прикладом використання ім-
пульсних ультрафіолетових ексимерних лазерів у медицині є
установки для очної хірургії та нейрохірургії. Мала довжина
хвилі і висока потужність ексимерних лазерів дають можли-
вість використовувати їх випромінювання для субмікронної лі-
тографії в мікроелектроніці.
ЗАДАЧІ ДО РОЗДІЛУ 5
Задача 5.1. З умови детальної рівноваги між атомами (молекулами) газу
і вільними електронами в газі знайти зв’язок між ймовірностями Р12 і Р2,
зіткнень 1-го і 2-го роду (див. рис.). Число зіткнень 1-го роду за 1 с в оди-
2
---------------------- 1
ниці об’єму 2І2 = леМ,Р,2; число зіткнень 2-го роду 22, = ле^Р21, де М, М2 —
концентрації атомів у станах 1 і 2; пе—концентрація вільних електронів.
Врахувати, що внаслідок нерівності те Мй, де те, Ма — маси електронів
і атомів, ймовірність зіткнень визначається ефективною температурою елек-
тронів Те.
208
Задача 5.2. Нехай ми маємо атоми (молекули) з двома енергетичними
рівнями Е1 і Е2. Як показано .на рисунку, ймовірності переходів, зумовлених
непружними зіткненнями, складають Р12 та Р21. Ймовірність спонтанних пе-
реходів дорівнює Д21. Розрахувати залежність населеності М2 збудженого
рівня атомів від електронної температури. Вважати, що атоми переходять у
збуджений стан в основному за рахунок зіткнень з електронами. Чи можли-
во створення інверсної населеності в дворівневій системі за допомогою га-
зового розряду?
Задача 5.3. Час релаксації червоної люмінесценції атомів гелію складає
8 не. Знайти ширину провалу Лемба у гелій-неоновому лазері, що генерує
на довжині хвилі X = 633 нм.
Задача 5.4. Схема електронних переходів у системі «атом гелію — атом
неону» в гелій-неоновому лазері показана на рисунку. У атомі гелію різниця
енергій відповідних рівнів Е3 — Е1 = 20,61 еВ; Е2 — Е,= 19,82 еВ. Знайти
верхню межу для ККД гелій-неонових лазерів, що генерують випромінюван-
ня з довжинами хвиль X, = 0,633 мкм (при переходах б); Х2= 1,15 мкм (при
переходах в); Х3 = 3,39 мкм (при переходах а).
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ ДО РОЗДІЛУ 5
1. Нарисуйте схему будови газового лазера, поясніть призначення її еле
ментів.
209
2. Які процеси в газовому розряді використовуються для створення
інверсної населеності?
3. Дайте означення непружних зіткнень 1-го і 2-го роду? Як пов’язані
ймовірності цих зіткнень?
4. Чому неможливо створення інверсної населеності між основним
і збудженим стаціонарними рівнями атомів (молекул) за допомогою газово-
го розряду?
5. За яких умов можна створити інверсну населеність в газі, що скла-
дається з атомів одного сорту?
6. Поясніть механізм створення інверсної населеності робочих рівнів
основного газу з використанням допоміжного газу.
7. Розкажіть про будову і принцип дії гелій-неонових лазерів.
8. Поясніть особливості будови, принципу дії та параметрів іонних ла-
зерів на прикладі аргонового лазера.
9. Розкажіть про роботу лазера на основі вуглекислого газу як прикла-
ду молекулярного лазера.
10. Нарисуйте схему і поясніть роботу газодинамічного лазера.
11. Які особливості будови та роботи мають хімічні лазери?
12. Як працюють ексимерні лазери і які особливості має їхнє випроміню-
вання?
. НАПІВПРОВІДНИКОВІ ЛАЗЕРИ
У напівпровідникових лазерах робочі переходи (завдяки
яким відбувається підсилення випромінювання) звичайно від-
буваються між зонами (зоною провідності і валентною зоною),
а не між дискретними рівнями. Загальне число станів у зо-
нах провідності й валентній зоні одного порядку з повним чис-
лом атомів у одиниці об’єму ~ 1023 см-3. У рівноважному
стані коефіцієнт поглинання напівпровідників досягає значень
а — 104 см-1. Це означає (див. підрозділ 1.4.3), що у стані з ін-
версною населеністю коефіцієнт підсилення світла у теоре-
тично може досягати таких великих значень. Внаслідок високих
значень коефіцієнта підсилення світла напівпровідникові лазери
мають малі розміри. Звичайно напівпровідниковий лазер являє
собою кубик з ребром довжиною 0,2—0,3 мм.
При міжзонних переходах електронів (у напівпровіднику)
ширина спектральної лінії набагато більша, ніж при перехо-
дах між дискретними рівнями (наприклад, у атомах газу). Тому
монохроматичність і когерентність випромінювання напівпро-
відникових лазерів звичайно нижчі, ніж у газових лазерах.
Внаслідок малих розмірів напівпровідникових лазерів їх ви-
промінювання зручно вводити в оптичне волокно. Тому напів-
провідникові лазери використовуються в волоконно-оптичних
системах зв’язку та в системах інтегральної оптики.
Світлова пляма на дзеркалі резонатора напівпровідникового
лазера має розміри в декілька мкм. Малі розміри світлової пля-
ми (а значить, і малі розміри її зображення у оптичних систе-
мах) дають змогу використовувати напівпровідникові лазери в
оптичних системах запису і зчитування інформації.
Внаслідок малих розмірів резонатора дифракційна кутова
розбіжність променя напівпровідникових лазерів велика
(—10—15°), що часто небажано. Але малі розміри резонатора
дозволяють поміщати напівпровідниковий лазер у фокусі пара-
211
болічного дзеркала і отримувати промінь з розбіжністю такого
ж порядку, як у газових лазерах.
У напівпровідникових лазерах інверсну населеність можна
створювати інжекцією електронів і дірок в р—п-переході. На-
пруга живлення інжекційних лазерів складає 2—З В (у газо-
вих лазерів порядку 1000 В), що дуже зручно для застосувань
у космічній техніці та в портативних системах.
ККД напівпровідникових лазерів може складати 50 % і ви-
ще. Випромінювання таких лазерів можна використовувати для
накачування інших (наприклад, неодимових) лазерів.
Інтенсивність і частоту випромінювання напівпровіднико-
вих лазерів можна модулювати, змінюючи параметри режиму
живлення, що обумовлює їх використання в системах (зокрема
космічних) зв’язку, навігації та локації.
6.1. ЕНЕРГЕТИЧНИЙ СПЕКТР І СТАТИСТИКА
ЕЛЕКТРОНІВ У НАПІВПРОВІДНИКАХ
6.1.1. Енергетичний спектр електронів
у напівпровідниках
Спектр енергії електронів у кристалі складається з зон, які
розділені забороненими зонами. Виникнення зон можна поясни-
ти так. Нехай ми маємо систему із N (наприклад, N=4) одна-
кових атомів, що знаходяться на великій відстані один від од-
ного, так що практично не взаємодіють між собою. Нехай у
кожного атома є по два валентних електрона (з протилежними
спінами), що знаходяться на одному і тому ж рівні. Тоді кож-
ний із валентних електронів має одну і ту ж енергію (позначи-
мо її Е^. Система N атомів має 2М електронів, які знаходяться
на одному і тому ж енергетичному рівні Ер У такому випадку
говорять, що рівень Ех 2АГ-кратно вироджений. Будемо тепер
уявно зближувати атоми, так що середня відстань між сусід-
німи атомами становить г. За рахунок взаємодії атомів між со-
бою відбудеться розщеплення енергетичних рівнів (розщеплен-
ня енергетичних рівнів окремого атома під дією електричного
поля називається ефектом Штарка). Таке ж розщеплення від-
бувається для енергетичного рівня Е2 збудженого електрона.
На рис. 6.1 схематично показана зміна положення енерге-
тичних рівнів електронів системи із N = 4 атомів зі зміною від-
212
стані г між ними. Нехай при г=г0 система атомів створила
«кристал». Тоді 2М = 8 валентних електронів будуть знаходи-
тися у «валентній зоні» із 4 рівнів, верхній із яких має енер-
гію Еу. А найближчі 4 рівні збуджених електронів утворять
«зону провідності»; найнижчий з цих рівнів має енергію Ес.
Рис. 6.1. Зміна положення енергетичних рів-
нів електронів системи із 4 атомів при зміні
відстані між ними
Між «валентною зоною» і «зоною провідності» знаходиться
«заборонена зона» (у якій немає енергетичних рівнів, які б
відповідали стаціонарним станам) шириною
Ее = Ес-Ев. (6.1)
У напівпровідниковому кристалі, на відміну від розглянутої
уявної системи, знаходиться М « 1023 атомів у кубічному санти-
метрі. Це означає, що число валентних електронів Ме такого ж
порядку. Тоді валентна зона буде мати рівнів, заповнених
електронами, а зона провідності — таке ж число рівнів, але
пустих (при низькій температурі). Зону провідності звичайно
(для скорочення) називають с-зоною (сопсіисііоп Ьапсі), а ва-
лентну зону — у-зоною (уаіепсе Ьапсі). Нижній рівень с-зони Ес
називають її дном, а верхній рівень у-зони — її вершиною.
213
6.1.2. Поведінка електронів і дірок
у напівпровіднику
Електрони у с-зоні, поблизу її дна, ведуть себе так, як вільні
частинки, але з масою, що відрізняється від маси вільного
електрона. Тому електрони в с-зоні розглядають як квазічас-
тинки, які мають ефективну масу тп. Наприклад, для елект-
ронів у с-зоні арсеніду галію (ОаАз) ефективна маса електрона
тп = О,О68тпо, де т0 — маса вільного електрона.
Енергію електрона у с-зоні можна записати як
£ = £с + ^-, (6.2)
де р — квазіімпульс електрона. Формула (6.2) — така ж, як і для
вільного електрона, якщо вважати, що Ес — «потенціальна енер-
гія», а другий член справа — «кінетична енергія». Для опису
поведінки електронів у с-зоні звичайно використовують рівність
Р =
(6.3)
де к — хвильовий вектор електрона.
Тоді замість (6.2) пишуть
(6.4)
с п І А2*2
Е = Е, 4- -—.
2т„
Замість руху електронів у у-зоні (яких ~ 1023 на см3) зви-
чайно розглядають рух дірок — квазічастинок з ефективною
масою т . Дірка відповідає незаповненому електроном стану
(«місцю»). Аналогією дірки є повітряна (краще — пустотна)
бульбочка у воді. Замість руху всієї води можна розглядати рух
цієї бульбочки. Енергія бульбочки збільшується при опус-
канні її у воді. Рух бульбочки у якомусь напрямі означає рух
відповідного об’єму води у протилежному напрямі. Аналогіч-
но, дірці приписують заряд 4-е (щоб вона в електричному полі
рухалась у напрямі, протилежному до напряму руху елект-
ронів).
Для енергії електрона у валентній зоні, аналогічно до (6.4),
записують
С с А2*2
Е = Е^-^Г'
(6.5)
214
що відповідає «потенціальній енергії» дірки Е„ і «кінетичній
А2*2
енергії» дірки -—.
2тр
Зазначимо, що у загальному випадку у формулі (6.4) пишуть
замість модуля хвильового вектора & різницю (Л — Ло), де Ло —
хвильовий вектор, що відповідає мінімуму с-зони. Те ж саме
відноситься до формули (6.5), але значення для у-зони може
бути іншим, ніж для с-зони.
Прямозонними називаються напівпровідники, у яких зна-
чення Ло для у-зони і для с-зони збігаються (звичайно Ло = 0).
У прямозонних напівпровідниках ймовірність електронних
переходів між с- і у-зонами дуже велика, коефіцієнт поглинання
а досягає значень — 104 см”1.
Прямозонними напівпровідниками є ряд сполук: АІПВУ
(ОаАз, Оа5Ь, ІпАз, ІпЗЬ та ін.), АПВУІ (Сс18, СсіЗе, СсіТе, 2п8,
2пО та ін.), АІУВУІ (РЬ8, РЬ8е, РЬТе) та ін.
У непрямозонних напівпровідниках (8і, (Зе, (ЗаР та ін.)
ймовірність електронних переходів між с- і у-зонами набагато
менша (~ на 2 порядки), ніж у прямозонних. Тому для створен-
ня лазерів використовуються прямозонні напівпровідники.
6.1.3. Статистика електронів і дірок
у напівпровідниках
Електрони, як і інші частинки з напівцілим спіном (які
об’єднуються назвою «ферміони»), підкоряються статистиці
Фермі—Дірака. Ця статистика враховує принцип Паулі, відпо-
відно до якого в одному стані (включаючи дану орієнтацію
спіна) не може бути більше, ніж одна, частинок. Розподіл ча-
стинок за енергією характеризується функцією розподілу, яка
дає середнє число частинок, що знаходяться у стані з енергією
Е. Функція Фермі—Дірака розподілу частинок за енергією при
температурі Т має вигляд
КЕ)------(6-6)
/ £ — г \ І 1
'Ч~)+1
де к, — стала Больцмана; Р — енергія (рівень) Фермі. У рівно-
важному стані положення рівня Фермі одне і те ж для елект-
ронів у всьому кристалі (чи навіть у складній системі, яка скла-
215
дається, наприклад, з шарів напівпровідників, металів, діелек-
триків).
На рис. 6.2 показана зонна діаграма напівпровідника (зліва)
і функція розподілу електронів за енергією /(Е) для трьох ви-
падків: а) коли рівень Фермі знаходиться всередині забороненої
зони; б) коли рівень Фермі лежить всередині с-зони; в) коли
рівень Фермі лежить всередині У-ЗОНИ.
Слід відзначити, що для енергії електрона, що відповідає
рівню Фермі (тобто при Е = Р), з (6.6) ми маємо /(Е) = 1/2:
якщо енергетичний рівень електрона відповідає рівню Фермі,
він заповнений наполовину. Для рівнів, які знаходяться вище
рівня Фермі, так що
Е-Р^кТ,
(6.7)
функція розподілу (6.6) спрощується до
де
причому
/(Е)~/Оехр(— -^0,
/о=ехрШ-
(6.8)
(6.9)
(6-Ю)
/(Е)<^1.
Вираз (6.8) збігається з класичною функцією розподілу Больц-
мана.
Для станів з
Р-Е^кТ (6.И)
із (6.6) отримаємо
/(£)«1. (6.12)
причому
1-/(£)~/0'ехр(^), (6.13)
де
/о=ехр(—(6.14)
216
Рис. 6.2. Зонна діаграма напівпровідника і функція розподілу елек-
тронів за енергією, коли рівень Фермі знаходиться:
а — в забороненій зоні; б — в с-зоні; в — у у-зоні
217
Із (6.10) і (6.12) видно, що, при достатньо низькій темпера-
турі, енергетичні стани над рівнем Фермі можна вважати
«пустими» (не заповненими електронами), а під рівнем Фер-
мі — заповненими.
Якщо рівень Фермі знаходиться всередині забороненої зони
(на відстані Ес — Р кТ від с-зони і на відстані Р — Еу^> кТ
від у-зони, як показано на рис. 6.2, а, то розподіл електронів
у с-зоні можна описати класичною функцією розподілу Больц-
мана (6.8), а розподіл дірок у у-зоні — такою ж функцією (6.13)
(враховуючи від’ємний напрям зростання енергії дірок). У дано-
му випадку напівпровідник називається невиродженим. Неви-
родженими називаються у даному випадку також електрони і
дірки («електронний газ» і «дірковий газ»).
На рис. 6.2, б показана зонна діаграма напівпровідника у ви-
падку, коли рівень Фермі знаходиться всередині с-зони. У дано-
му напівпровіднику майже всі енергетичні рівні (в тому числі у
с-зоні), що знаходяться під рівнем Фермі, заповнені електро-
нами (заштриховані рівні). У даному випадку для електронів
у с-зоні класична статистика незастосовна, і напівпровідник на-
зивається виродженим напівпровідником п-типу. Електрони
в такому напівпровіднику називаються виродженими (вони
підкоряються «виродженій», квантовій, не класичній статис-
тиці). А для дірок у даному напівпровіднику класична статис-
тика застосовна, тобто дірки — не вироджені.
У випадку, показаному на рис. 6.2, в, рівень Фермі зна-
ходиться всередині у-зони. Заповнені електронами рівні (під
рівнем Фермі) заштриховані. У даному напівпровіднику дірки
вироджені (а електрони в с-зоні — не вироджені). Ми маємо
вироджений напівпровідник р-типу.
Слід відзначити, що у достатньо очищених напівпровідниках
рівень Фермі звичайно лежить у забороненій зоні, тобто такі
напівпровідники — невироджені.
При легуванні напівпровідника донорами (атоми яких відда-
ють електрони кристалу) рівень Фермі наближається до с-зони.
Донорами, наприклад, в арсеніді галію (СаАз) є Те, 5п, 5 та ін.
У сильно легованому донорами напівпровіднику рівень Фермі
заходить всередину с-зони, тобто напівпровідник стає виродже-
ним напівпровідником гг-типу.
При легуванні напівпровідника акцепторами (наприклад, 2п,
Ссі та ін. в (ЗаАз) рівень Фермі наближається до у-зони, а при
достатньо сильному легуванні ми можемо отримати виродже-
ний напівпровідник р-типу.
218
6.2. НЕРІВНОВАЖНІ ЕЛЕКТРОНИ ТА ДІРКИ
І КВАНТОВЕ ПІДСИЛЕННЯ ВИПРОМІНЮВАННЯ
У НАПІВПРОВІДНИКАХ
6.2.1. Квазірівні Фермі для нерівноважних електронів
і дірок
У с- і у-зонах напівпровідника знаходиться величезна кіль-
кість (~ 1023 см-3) електронних станів, які створюють квазіне-
перервний спектр. Це означає, що електрон (чи дірка) дуже
легко може переходити між енергетичними станами (змінювати
свою енергію) внаслідок взаємодії з іншими частинками і кри-
сталом. Як відомо, при підвищенні температури зростає інтен-
сивність коливань атомів біля своїх рівноважних положень у
вузлах кристалічної ґратки. Ці коливання мають свої кванти,
які називаються фононами.
У напівпровіднику дуже легко (у порівнянні з діелектрика-
ми) змінювати (звичайно — збільшувати) концентрацію елект-
ронів у с-зоні («вільних» електронів) і дірок у У-ЗОНІ («вільних»
дірок). Наприклад, при освітленні напівпровідника, коли енер-
гія фотона йу>£’^, генеруються нерівноважні електрони та
дірки. Подібного ефекту можна досягти опроміненням елек-
тронами, а-частинками, у-квантами і т. п. Особливо зручним
методом генерації нерівноважних носіїв заряду є їх інжекція
в р—гг-переході. При пропусканні через р—гг-перехід прямого
струму електрони інжектуються в р-область, а дірки — в гг-об-
ласть.
Нерівноважні електрони (чи дірки) за дуже малий проміжок
часу (~ 10-12 с) віддають «надлишкову» енергію коливанням
кристалічної ґратки (їх квантам — фононам) і тоді мають ту ж
саму середню енергію, що і рівноважні електрони.
Тому звичайно нерівноважні електрони з концентрацією п
розподілені таким же чином у с-зоні, як були б розподіле-
ні рівноважні електрони, якби концентрація цих рівноважних
електронів гг0 була тою ж самою (тобто, при гг0 = гг). Виходячи
з цього, для описання розподілу нерівноважних електронів за
енергією у с-зоні можна ввести квазірівень Фермі Рп так, що
функція розподілу буде подібною до (6.6):
/е 'сч (6-15)
ехр( —£-) + !
\ кТ
219
Аналогічно можна ввести поняття про квазірівень Фермі для
дірок Рр, і тоді функція розподілу електронів у у-зоні буде мати
вигляд
/(£)= 1 . (6.16)
ехр(—^) + 1
При зростанні концентрації нерівноважних електронів квазі-
рівень Фермі Рп зміщується в сторону с-зони («вгору»). При до-
статньо високій концентрації нерівноважних електронів їхній
квазірівень Фермі Рп попадає всередину с-зони, тобто нерівно-
важні електрони стають виродженими. Подібно до цього, при
достатньо високій концентрації нерівноважних дірок квазірівень
Фермі для дірок Рр знаходиться у у-зоні, і дірки є вироджені.
При одночасному створенні достатньо високих концентрацій
нерівноважних носіїв заряду обох знаків можна досягти одно-
часного виродження електронів і дірок.
6.2.2. Порогова умова квантового підсилення світла
у напівпровіднику
На рис. 6.3 показана схема електронних переходів, які від-
буваються у напівпровіднику при взаємодії електронів з фото-
нами. Виберемо електронні стани: у у-зоні з енергією Ех і у
с-зоні — з енергією Е2. При поглинанні фотонів з енергією
Нч = Е2-Ех (6.17)
відбуваються переходи Ех —► Е2 з ймовірністю ІГ12. Під дією
фотонів відбуваються і стимульовані переходи Е2^> Ех з ймо-
вірністю ІГ21, при яких генеруються фотони.
Як вказувалось у розділі 1, всі параметри вимушено випро-
мінюваних фотонів збігаються з відповідними параметрами па-
даючих фотонів, і стимульоване випромінювання використову-
ється для квантового підсилення світла. Одночасно відбувають-
ся спонтанні переходи Е2—► Ех з ймовірністюА21, але, внаслідок
того, що параметри генерованих при цьому фотонів випадкові,
спонтанне випромінювання відіграє роль шумів і не може
бути використане для квантового підсилення світла.
Для фотона, що поширюється в напівпровіднику, є ймовір-
ність поглинання і ймовірність ІГВ того, що цей фотон ви-
220
кличе стимульоване випромінювання другого фотона. Електро-
ни підкоряються принципу Паулі. Тому
(6.18)
де ІГ0 — значення ймовірності поглинання фотона у тому випад-
ку, коли рівень Ех заповнений електронами («е кому здійсню-
вати перехід»), а рівень Е2 — пустий («є куди переходити»); Д і
/2 — ймовірності заповнення електронами рівнів Ех і Е2. Анало-
гічно, для ймовірності стимульованого випромінювання фотона
иші - Л). (6.19)
де враховано, що для переходу Е2 —► Е{ необхідними умовами
е /2=^=0 («щоб було кому здійснювати перехід») і Д =¥= 1 («щоб
було куди переходити»). Очевидно, для квантового підсилення
світла необхідно
(6.20)
звідки, з урахуванням (6.18) і (6.19), отримаємо умову кванто-
вого підсилення:
/2>л. (6.21)
Виконання умови (6.21) неможливе у рівноважному напів-
провіднику. Скористуємося виразами (6.15) і (6.16) для функції
розподілу нерівноважних електронів у с-зоні і у-зоні:
=
/2(^2) —
/ р _ р \ ’
ехр( —-----м+1
\ )
(6.22)
(6.23)
де враховано, що рівень Ех знаходиться у у-зоні (для якої ви-
користовується дірковий квазірівень Фермі Ер), а рівень Е2 —
у с-зоні (для якої маємо електронний квазірівень Фермі Рп).
Підставивши (6.22) і (6.23) в (6.21), отримаємо умову кван-
тового підсилення світла у напівпровіднику при електронних
переходах між рівнями Е2 і Ех:
Рп —Рр> Е2 —Ех.
(6.24)
221
Враховуючи, що рівень знаходиться у у-зоні, а рівень
Е2 — у с-зоні, тобто
Е2 - £, > Ее, (6.25)
отримаємо умову квантового підсилення світла при міжзон-
них електронних переходах у напівпровіднику:
Рп~^Ее-
(6.26)
Таким чином, для квантового підсилення світла необхід-
но, щоб електронний квазірівень Фермі Рп знаходився все-
редині с-зони, а дірковий квазірівень Фермі Рр—всередині
у-зони, як показано на рис. 6.3.
відбуваються в напівпровіднику при вза-
ємодії^ електронів з фотонами
На рис. 6.3 заштриховані ті стани у V- і с-зонах, які знахо-
дяться під відповідними квазірівнями Фермі. Квантове підси-
лення світла у даній ситуації можна пояснити так: практично,
всі рівні в с-зоні, що знаходяться під квазірівнем Фермі Рп, зай-
няті електронами (в тому числі рівень Е2\ Майже всі рівні
у у-зоні, тцо знаходяться над квазірівнем Фермі Р (в тому
числі рівень Ех)— пусті. Тому стимульовані переходи Е2~* Ех
(з випромінюванням фотонів) відбуваються, а переходи Ех -* Е2
(з поглинанням фотонів) не можуть відбутися.
Умова квантового підсилення світла (6.26) відповідає ін-
версній населеності рівнів поблизу дна с-зони і біля вершини
222
у-зони: заселеність рівнів біля дна с-зони /2 більша, ніж засе-
леність /і рівнів, що лежать біля вершини у-зони. Це і вира-
жається нерівністю (6.21).
Із нерівностей (6.24) і (6.25) з урахуванням (6.17) видно, що
підсилення світла у напівпровіднику буде здійснюватися для
фотонів, енергія Ну яких задовольняє умову
Ее<Нх<Рп-Рр. (6.27)
Вираз (6.27) визначає ширину спектра підсилення світла
у напівпровіднику при даній потужності накачування (яка ви-
значає положення квазірівнів Фермі).
6.3. ІНЖЕКЦІЙНІ (ДІОДНІ) ЛАЗЕРИ
Для квантового підсилення світла у напівпровіднику за ра-
хунок зовнішнього збудження (накачування) необхідно створи-
ти високі концентрації нерівноважних електронів і дірок у де-
якій його області (яка називається активною областю), щоб
досягти одночасного виродження і електронів, і дірок. У діод-
них (інжекційних) лазерах накачування здійснюється інжекцією
електронів і дірок при пропусканні прямого струму в р—гг-пе-
реході.
6.3.1. Будова і принцип дії
інжекційного лазера
Структура діодного лазера схематично показана на рис. 6.4.
Активна область (р-шар) знаходиться між більш сильно лего-
ваними р+-шаром (інжектором дірок) і гг+-шаром (інжектором
електронів). Лазер має металеві контакти (заштриховані) для
електричного живлення. Тепло, що виділяється при роботі ла-
зера, передається до тепловідводу Т.
Сучасні діодні лазери виготовляють на основі гетерострук-
тур, які складаються з кількох шарів напівпровідників, що
мають різну ширину забороненої зони. Розробка гетеропере-
ходів дала революційний поштовх у розвитку фізики і техно-
логії напівпровідникових лазерів, а також всієї твердотільної
електроніки та оптоелектроніки. Будову і принцип дії лазерних
223
діодів на основі р—п-гетеропереходів вперше запропонували
у 1963 р. Ж. І. Алферов і Р. Ф. Казарінов та одночасно Г. Кре-
мер; Лазери на гетеропереходах були реалізовані в 1969 р.
Ж- І. Алферовим зі співробітниками і одночасно Г. Кресселем
і Г. Нельсоном та І. Хаясі і М. Панішем. Про важливість засто-
сування гетеропереходів у фізиці напівпровідників та напівпро-
відниковій техніці свідчить той факт, що Ж. І. Алферову та
Г. Кремеру в 2000 р. була присуджена Нобелівська премія
з фізики (одночасно з Дж. Кілбі за роботи в області мікроелек-
троніки, в тому числі — за винахід інтегральних схем).
Рис. 6.4. Структура інжекційного
лазера
Великого поширення набули лазери на основі Са1_хА1хА8,
де х — молярна частка алюмінію у потрійній сполуці. Вказані
потрійні сполуки характерні тим, що зі зростанням параметра
х збільшується (приблизно лінійно) ширина забороненої зони,
а період кристалічної ґратки змінюється незначно. При х<0,35
даний напівпровідник є прямозонним, що дозволяє, за рахунок
зміни вмісту алюмінію в активній області, виготовляти лазери
на різні довжини хвилі, від 0,85 до 0,65 мкм. Гетероструктури
на основі четверних сполук Іг^Оа^^Зі-уРу зі змінними пара-
метрами х, у дають випромінювання з довжиною хвилі від 0,9
до 2 мкм.
Рис. 6.5, а схематично показує профіль ширини забороненої
зони Е8 в лазері з подвійною гетероструктурою. Величина Ее
в активній області (р-шарі) менша, ніж у і р+-інжекторах.
Тому при пропусканні прямого струму інжектовані електрони
224
і дірки локалізуються в активній області. Такі структури діста-
ли назву структур з електронним обмеженням.
На рис. 6.5, б показано профіль величини Ее у більш склад-
ній (з п’ятьма різними шарами) структурі з роздільним елек-
тронним і оптичним обмеженням. Активний шар має малу
товщину У7а <: 0,5 мкм. З двох сторін до активного шару 3 при-
лягають шари 2 і 4 загальною товщиною 5 мкм, які утво-
рюють оптичний резонатор. На границях шарів 1 і 2, а також
4 і 5 відбувається повне внутрішнє відбивання світла (оскільки
показники заломлення задовольняють нерівності п2>п1\ п4>п5.
Рис. 6.5. Профіль ширини забороненої зони в лазері:
а — з подвійною гетероструктурою; б — з роздільним електронним і оптич-
ним обмеженням
Дзеркалами резонатора у діодному лазері служать природні
(отримані сколюванням) грані кристала. Коефіцієнт відбивання
світла на межі «напівпровідник—повітря» при нормальному па-
дінні визначається через показник заломлення п напівпровід-
ника:
/ А2
г = (6.28)
Для СаАз п = 3,6, так що г = 0,32. Внаслідок того, що у на-
півпровідниках коефіцієнт підсилення у високий (легко досяга-
ються значення у — 100 см”1), лазерна генерація досягається
при вказаних значеннях коефіцієнта відбивання дзеркал.
У діодних лазерах звичайно світло поширюється не тільки
у активній області товщиною ІГа, але й за рахунок дифракції
проникає у сусідні шари. У структурі, показаній на рис. 6.5, б,
225
спеціально створений резонатор, ширина якого ІГа. Але
квантове підсилення світла відбувається тільки у активній об-
ласті. Для врахування цього вводиться параметр резонатора —
коефіцієнт оптичного обмеження
Г = фа/ф, (6.29)
де Фа — оптичний потік у активній області; Ф — повний оптич-
ний потік, що поширюється в резонаторі.
Основними механізмами втрат у діодних лазерах є втра-
ти, пов’язані з неідеальністю відбивання світла від дзеркал, і
втрати, обумовлені поглинанням світла вільними електронами
і дірками.
Рішення рівнянь Максвелла для середовища, що має елек-
тропровідність, показує, що в такому середовищі відбувається
поглинання електромагнітних хвиль, причому коефіцієнт погли-
нання
а = —, (6.30)
госп
де є0 — електрична стала; с — швидкість світла у вакуумі; п —
показник заломлення даного середовища; о — його електро-
провідність. При цьому
о = е(|лп/г + |лрр), (6.31)
де |іл, |ір — рухливості електронів і дірок; пір — концентрації
електронів і дірок.
Із (6.30) і (6.31) видно, що зі зростанням концентрацій елек-
тронів і дірок збільшується коефіцієнт поглинання світла. Для
досягнення інверсної населеності в активній області діодного
лазера створюються високі концентрації (п> 10і7 см-3) нерів-
новажних електронів і дірок. Тому для напівпровідникових ла-
зерів поглинання світла вільними носіями заряду вносить знач-
ні втрати. Коефіцієнт поглинання складає а — 10—100 см“1.
Коли, при пороговому значенні струму, квантове підсилення
світла у активній області компенсує всі втрати в резонаторі,
починається лазерна генерація. Випромінювання виходить че-
рез дзеркала резонатора, як показано стрілками на рис. 6.4.
226
6.3.2. Порогова умова генерації
напівпровідникового лазера
Генерація у напівпровідниковому лазері (як і у всіх лазерах)
починається, коли квантове підсилення світла у активній об-
ласті компенсує всі втрати. Розглянемо поширення світла у
резонаторі (довжиною Іг) діодного лазера, схематично показано-
му на рис. 6.6. Як зазначалося, товщина резонатора включає
товщину активної області і ефективні товщини сусідніх шарів,
у які проникає випромінювання. Дзеркала резонатора Д( і Д2
створюються гранями кристала.
0
Рис. 6.6. Найпростіша схема резонатора
напівпровідникового лазера
Нехай при з = 0, біля лівого дзеркала Дн вправо поширю-
ється оптичний потік Фо. При проходженні вправо оптичний
потік підсилюється, так що
^ = (іу-а)Ф, (6.32)
де Г — коефіцієнт оптичного обмеження, що визначається фор-
мулою (6.29);^—«чистий» (без врахування втрат) коефіцієнт
квантового підсилення світла на одиниці довжини променя
(§аіп); а — коефіцієнт поглинання світла. Тоді при г = Ік (біля
правого дзеркала) світловий потік, що поширюється вправо,
буде складати
Ф(/Л) = ФоехрІ(Г/-а)/Л]. (6.33)
Після відбивання від дзеркала Д2 отримаємо світловий потік
<*№) = гехРІ(Гу — а)/Л]Ф0.
(6.34)
227
де г — коефіцієнт відбивання дзеркала Д2.
Якщо параметри дзеркал однакові, то для генерації необхід-
но, щоб після проходження резонатора і відбивання від дзерка-
ла Д2 оптичний потік не зменшився:
ФД/Л) = Фо-
(6.35)
Тоді, враховуючи (6.34), отримаємо порогову умову генерації
1 ( , 1 । 1 \
(6.36)
де у, — порогове значення коефіцієнта підсилення. Якщо ко-
ефіцієнти відбивання дзеркал не однакові (наприклад, за раху-
нок нанесення на грані кристала діелектричних плівок) і скла-
дають г, і г2> т0 в (6.36) замість г треба взяти .
Залежність коефіцієнта підсилення від струму накачування
І можна апроксимувати формулою
^ = Р(/-/0),
(6.37)
де /0 — струм, при якому досягається інверсна населеність; 0 —
параметр, що характеризує ефективність накачування. Тоді по-
рогова умова генерації прийме вигляд
/ = /'=/<’ + ^(<а + 7-1п7Ї
Рг\ ‘я г/
(6.38)
де Ц — пороговий струм лазерної генерації.
Величину р можна оцінити таким чином. Запишемо кінетич-
не рівняння для електронів у активній області лазера для під-
порогового режиму живлення:
сіп І п
сі/ еУ т
(6.39)
де 1-й член справа дає темп генерації електронів (число елек-
тронів, інжектованих у одиницю об’єму за 1 с), а 2-й член —
темп їх рекомбінації. У (6.39) у, — коефіцієнт інжекції — відно-
шення числа електронів, що інжектуються у активну область,
до числа електронів, що проходять за той же час через контак-
ти лазера; V—об’єм активної області; т — час життя елект-
ронів у с-зоні.
228
У стаціонарному випадку
уд т
п = І.
еУ
(6.40)
Якщо врахувати вираз для коефіцієнта підсилення
у=о(п —п0), (6.41)
де о — ефективний переріз стимульованого переходу; п0 — кон-
центрація електронів, яка відповідає створенню інверсної насе-
леності, то одержимо
(6.42)
звідки отримаємо (дуже приблизну) оцінку для параметра 0
у підпороговому режимі накачування:
(6.43)
6.3.3. Шляхи зниження порогу генерації
діодних лазерів
На рис. 6.7 схематично показана ват-амперна характеристи-
ка (залежність вихідної оптичної потужності від струму накачу-
вання) діодного лазера. Починаючи з порогового струму І = Ц
потужність випромінювання Р приблизно лінійно зростає з під-
вищенням струму накачування І.
У перших діодних лазерів на основі р—п-переходу в СаАз
пороговий струм складав десятки ампер (порогова густина
струму — 105 А/см2). Такі лазери працювали лише в імпульсно-
му режимі, а в неперервному — при охолодженні рідким азо-
том. В р—п-гомопереходах (всередині однієї речовини, напри-
клад, СаАз) інжектовані електрони і дірки дифундують від
р—п-переходу, і ефективні розміри «активної області» великі.
В лазерах на подвійних гетеропереходах з електронним об-
меженням (див. рис. 6.4 і рис. 6.5, а) товщина активної області
задається розміром вузькозонного (з меншим значенням Е8)
шару. При зменшенні товщини активної області до ~ 0,3 мм
пороговий струм зменшується за рахунок зниження її об’єму V,
229
згідно з (6.38) і (6.43). При подальшому зменшенні порого-
вий струм зростає внаслідок зменшення коефіцієнта оптичного
обмеження Г в (6.38). Порогова густина струму в лазерах на
подвійних гетеропереходах складає — 103 А/см2 (на два поряд-
ки нижча, ніж в гомопереходах). Такі лазери працюють в непе-
рервному режимі при кімнатній температурі і знайшли широке
використання в техніці.
Рис. 6.7. Ват-амперна характе-
ристика інжекційного лазера
В лазерах з роздільним (електронним і оптичним обмежен-
ням — див. рис. 6.5, б) порогова густина струму може складати
— 500 А/см .
Важливим досягненням в розвитку технології діодних ла-
зерів стало впровадження смужкової геометрії лазерів. Пе-
реріз двох типів таких лазерів у площині, перпендикулярній до
осі резонатора, схематично показано на рис. 6.8.
Рис. 6.8. Два варіанти структури лазера зі смужковою геометрією
230
Один з металевих контактів (верхній контакт на рис. 6.8, а),
який прилягає до тонких шарів, виготовлений у вигляді смужки
шириною 3—15 мкм. Штриховими стрілками схематично пока-
зано лінії струму в такій структурі. Струм проходить практично
лише під смужковим контактом і створює інверсну населеність
лише в даній частині активної області. Таким чином, значно
зменшується ефективний об’єм V активної області, що веде, у
відповідності до (6.38) і (6.43), до суттєвого зменшення поро-
гового струму.
В структурі, показаній на рис. 6.8, б, частина напівпровід-
никового шару за межами смужкового контакту витравлена.
Оскільки частина оптичного потоку проникає у вузьку смужку
С напівпровідника, яка з боків контактує з повітрям, відбу-
вається не тільки просторове обмеження струму (лінії струму
показано штриховими стрілками), але й покращується обме-
ження оптичного потоку в бокових напрямках.
Значним досягненням лазерної техніки стало створення діод-
них лазерів на квантово-розмірних структурах, у яких товщи-
на вузькозонної активної області в гетероструктурі задо-
вольняє умову
Га<хе = |, (6.44)
де — довжина хвилі де Бройля електрона; Л — стала Планка;
р — (квазі)імпульс електрона в напівпровіднику. У такій вузькій
потенціальній ямі с- і у-зони напівпровідника розщеплюються
на дискретні рівні. При цьому різко збільшується переріз о сти-
мульованих переходів, що, відповідно до (6.38) і (6.43), веде до
значного зниження порогу генерації. Сучасні лазери на основі
квантово-розмірних структур мають пороговий струм Ц < 1 мА.
6.4. ХАРАКТЕРИСТИКИ НАПІВПРОВІДНИКОВИХ
ЛАЗЕРІВ
6.4.1. Спектр випромінювання напівпровідникового
лазера
Особливості спектру випромінювання напівпровідникових
лазерів обумовлені тим, що вимушені переходи електронів від-
231
буваються не між дискретними рівнями, а між енергетичними
зонами: між зоною провідності та валентною зоною. У кристалі
об’ємом 1см3 указані зони включають біля 1023 рівнів. Електро-
ни, що знаходяться на різних рівнях, при рекомбінації з дірками
генерують фотони з різними значеннями енергії. Тому спект-
ральні смуги поглинання і спонтанного випромінювання дуже
сильно неоднорідно розширені.
На рис. 6.9 і 6.10 наведено спектри поглинання і спонтанно-
го випромінювання (люмінесценції) напівпровідника, пов’язані
з переходами електронів між зоною провідності та валентною
Рис. 6.9. Спектр поглинання неви-
родженого напівпровідника (/) та
сильно збудженого (коли електро-
ни і дірки вироджені), причому ква-
зірівень Фермі для електронів зна-
ходиться на відстані ткТ над міні-
мумом зони провідності, при різ-
них значеннях т:
2 — 1; 3 — 2; 4 — 3\ 5 — 4
Рис. 6.10. Спектр люмінесценції
напівпровідника у випадках, коли
квазірівень Фермі для електронів
знаходиться на відстані ткТ над
мінімумом зони провідності, при
різних значеннях т:
1 — 0; 2 — 1; 3 — 2; 4 — 3\ 5 — 4
зоною. Криві 1 відповідають випадку, коли квазірівень Фер-
мі для електронів не знаходиться в зоні провідності (коли не-
має квантового підсилення світла). Звертає на себе увагу, що
спектр випромінювання відрізняється від спектру поглинан-
ня. Це зумовлено якраз зонною (а не дискретною) структурою
спектру енергії електронів у напівпровіднику.
232
У невиродженому напівпровіднику (в якому рівень Фермі
або квазірівні Фермі для електронів і дірок знаходяться в забо-
роненій зоні) спектр поглинання прямозонного напівпровідника
має вигляд
а = а(Ьч - Е8)1/2, (6.45)
де а — стала (для даного напівпровідника при заданій темпера-
турі). Ця залежність ілюструється кривою 1 на рис. 6.9.
Коли ж рівень Фермі (у рівноважному стані напівпровідни-
ка) або квазірівні Фермі для електронів і дірок (у нерівноваж-
ному стані) знаходяться у відповідних зонах, спектр поглинан-
ня можна описати виразом
а = а(Нч- [/„(£,) - Ж)], (6.45а)
де враховано, що переходи електронів відбуваються між рівня-
ми Еї у валентній зоні та Е2 У зоні провідності, причому ймовір-
ності заповнення відповідних рівнів електронами ^(Е^ і Д(Е2)
даються формулами (6.6) у рівноважному випадку та (6.15)
і (6.16) у нерівноважному стані напівпровідника. Множник у
квадратних дужках враховує, що електрони підкоряються прин-
ципу Паулі. Криві 2—5 на рис. 6.9 представляють спектр по-
глинання сильно збудженого напівпровідника (коли електрони
і дірки вироджені), причому квазірівень Фермі для електронів
знаходиться на відстані ткТ над мінімумом зони провідності,
при різних значеннях т: 2 — 1; 3 — 2; 4 — \ 5 — 4. Видно, що
спектр поглинання залежить від положення квазірівня Фермі
для електронів. В спектральному інтервалі
+ (6.46)
де положення електронного квазірівня Фермі Еп відлічується
від мінімуму зони провідності, коефіцієнт поглинання від’єм-
ний. У даній області спектру відбувається квантове підсилен-
ня світла.
Рис. 6.10 ілюструє, як змінюється спектр люмінесценції
(спонтанного випромінювання) напівпровідника, коли за раху-
нок сильного легування рівень Фермі, або внаслідок збудження
напівпровідника (при поглинанні світла, бомбардуванні елект-
ронами, при інжекції електронів і дірок в активну область і
т. п.) квазірівень Фермі для електронів попаде в зону про-
відності. Видно, що зміщення вгору квазірівня Фермі (за раху-
нок підвищення інтенсивності збудження) веде до зміщення
233
максимуму спектра люмінесценції в сторону більших енергій
фотонів і до розширення спектру люмінесценції.
У напівпровідниковому лазері, при досягненні порогової
умови (6.36), починається лазерна генерація. Особливістю на-
півпровідникових лазерів, пов’язаною з малою довжиною резо-
натора, є відносно велика спектральна відстань між модами.
Із формули (2.9) розділу 2 можна отримати відносну спектраль-
ну відстань між сусідніми аксіальними модами:
— = — = (6.47)
V X 2пІк ’ ' ’
де п — показник заломлення активної речовини; — довжина
резонатора. Для газових лазерів ця величина складає — 10-6.
Для лазера на основі арсеніду галію (при X = 0,85 мкм,
Ік = 250 мкм і п = 3,6) отримаємо
^ = ^«0,5-10-3, (6.48)
що в тисячу разів більше, ніж для газових лазерів. При досяг-
ненні порогового струму порогова умова генерації звичайно
спочатку виконується для одної моди, частота якої відповідає
максимуму коефіцієнта підсилення. Генерація відбувається на
цій моді. Зі збільшенням струму накачування порогова умова
виконується для інших мод, і спектр генерації стає багато-
модовим, як показано на рис. 6.11.
Для деяких застосувань, наприклад, у волоконно-оптичних
системах зв’язку, потрібні лазери з одномодовою генерацією
і температурно-стабільною частотою генерації. Одними із та-
ких лазерів є лазери з розподіленим зворотним зв'язком (ла-
зери з РЗЗ). Схема будови лазера з РЗЗ наведена на рис. 6.12.
На підкладинці із п-А103Са07Аз, яка служить інжектором елек-
тронів, вирощують тонкий шар 2 — р-СаАз— активний шар;
поверх активного шару нарощують шар 3 — р-А102Оа08А5 і шар
4 — р-А10 07Са0 93Аз; які є частинами резонатора. Межа між ша-
ром 4 і шаром 5 — р-А10 3Са0 7Аз (інжектором дірок) робиться
гофрованою, з періодом
А = Х/2п, (6.49)
де X — довжина хвилі тієї моди, на якій потрібна генерація.
Світлові хвилі, поширюючись у резонаторі, розсіюються на
234
гофрованій поверхні між шарами 4 і 5, які мають різний показ-
ник заломлення. Для довжини світлової хвилі, що відповідає
умові (6.49), виконується умова резонансу, і розсіяні хвилі
взаємно підсилюються. Для інших мод розсіяння зменшує доб-
ротність резонатора, і генерація на цих модах не відбувається.
Рис. 6.11. Спектр випромінювання інжекцій-
ного лазера
Як джерела одномодової генерації використовуються також
напівпровідникові лазери із зовнішніми дисперсійними резона-
торами.
5
р-АІозбаодАз
4^
З —=
77Г777777777777777777777777777777777777777Л
и-А1о,з6ао,7А$
Рис. 6.12. Схема інжекційного лазера з роз-
поділеним зворотним зв’язком
Частоту випромінювання напівпровідникових лазерів пере-
строюють, змінюючи ширину забороненої зони напівпровідника.
Для цього використовують гідростатичний або одноосний тиск,
зміну температури, магнітного поля.
235
6.4.2. Просторовий розподіл випромінювання
діодних лазерів
Просторовий розподіл випромінювання лазерів характеризу-
ють його ближнім полем і дальнім полем.
Ближнє поле випромінювання — це розподіл інтенсивності
на поверхні вихідного дзеркала резонатора.
Дальнє поле випромінювання — це кутовий його розподіл,
який вимірюється на відстані від лазера, яка в багато разів
перевищує розміри резонатора.
Коли через лазерний діод пропускають достатньо малий
струм І <ІіН (де ІіН— пороговий струм), то спостерігають про-
сторовий розподіл рекомбінаційного (спонтанного) випроміню-
вання.
Випромінювання р—и-переходів при пропусканні прямого
струму (інжекції нерівноважних носіїв заряду) називається ін-
жекційною електролюмінесценцією.
Нерівноважні електрони і дірки, інжектовані в активну об-
ласть лазера, можуть рекомбінувати (взаємно «анігілювати»)
випромінювально (з генерацією фотона), або ж невипроміню-
вально, коли енергія електрона і дірки передається коливанням
кристалічної ґратки.
Квантовий вихід випромінювальної рекомбінації визна-
чається як
т1'== 117+ «7 ’ (6 50)
де — ймовірність випромінювальної рекомбінації електрона і
дірки; — ймовірність невипромінювальної рекомбінації. Не-
випромінювальна рекомбінація звичайно відбувається на дефек-
тах кристала.
В якісних кристалах кількість дефектів достатньо мала, а їх
просторовий розподіл — достатньо однорідний. Тому ближнє
поле спонтанного (допорогового) випромінювання лазерів з ши-
рокими металевими контактами однорідне. Але при збільшенні
струму, коли досягається лазерна генерація, ближнє поле вип-
ромінювання стає різко неоднорідним: на дзеркалі спостеріга-
ються окремі світні плями. Кількість і положення світних плям
змінюються з підвищенням струму накачування.
Неоднорідність ближнього поля лазерів з широкими контак-
тами пояснюється тим, що значення порогової густини струму
накачування дуже чутливе до величини квантового виходу ви-
промінювальної рекомбінації г|г. Незначні флуктуації г|г ведуть
236
до того, що в одних місцях активної області починається лазер-
на генерація, а в інших ще превалює спонтанне випроміню-
вання. Всередині активної області виникає декілька «шнурів»,
приблизно паралельних до оптичної осі, в яких і відбувається
лазерна генерація. Локальна лазерна генерація відбирає більшу
частину енергії накачування і таким чином перешкоджає досяг-
ненню інверсної населеності в інших місцях активної області.
Стабілізація ближнього поля випромінювання досягається
в лазерах зі смужковою геометрією (див. попередній пара-
граф) при ширині смужкового контакту 15 мкм. В таких
лазерах густина струму в активній області має максимум під
серединою смужкового контакту. Тому порогова густина стру-
му досягається у вузькій області активного шару під контак-
том, і локалізація світної плями на дзеркалі резонатора збері-
гається при підвищенні струму накачування.
Зменшення розмірів світної плями на дзеркалі резонатора до
— 1—2 мкм і стабілізація її положення дали змогу використо-
вувати діодні лазери в оптичних системах зчитування інфор-
мації великого обсягу пам’яті.
Дальнє поле випромінювання лазера характеризується ку-
том розбіжності — кутом між двома напрямками (в одній пло-
щині), в яких інтенсивність випромінювання в деяке фіксо-
ване число та менше від своєї максимальної величини (див.
рис. 6.13). Звичайно беруть тгі = 0,5, або ж тгі = 0,1, і тоді
говорять про розбіжність на рівні 50 % від максимальної ін-
тенсивності, або на рівні 10 %.
Рис. 6.13. Просторовий розподіл випромінювання діодного лазера
зі смужковою геометрією
Основною причиною розбіжності випромінювання напівпро-
відникових лазерів є дифракція. Якщо випромінювання з дов-
237
жиною хвилі X проходить через діафрагму діаметра сі, то кут
дифракції визначається формулою
Ф^І.22^. (6.51)
У даному виразі кут ф^ визначає положення найближчого до
оптичної осі дифракційного мінімуму. Кут розбіжності променя
на рівні 50 % приблизно відповідає куту дифракції ф^. При
Х = 0,85 мкм і сі = 4 мкм із (6.51) отримаємо ф^=15°.
У напівпровідникових лазерах звичайно кут розбіжності про-
меня &у у вертикальній площині (див. рис. 6.13) більший, ніж
кут розбіжності 0Х у горизонтальній площині, і складає
®у= 15—25°. Із того, що ширина дзеркала резонатора у гори-
зонтальному напрямку в лазерах з широким контактом звичай-
но складає У7Х «=* 200—300 мкм, можна було б чекати значень
0х < 1°, але звичайно 0Х> 10°. Велика розбіжність променя у
горизонтальній площині обумовлена тим, що лазерна генерація
відбувається, як зазначалося, не у всьому об’ємі, а у «шнурах»
малого діаметра. Нестабільності ближнього поля випроміню-
вання лазерів з широким контактом ведуть до нестабільностей
дальнього поля.
Лазери із смужковою геометрією (див. рис. 6.13) мають
особливість дальнього поля випромінювання. Розподіл випро-
мінювання у площині р—и-переходу має не один, а два при-
близно симетричні максимуми. Це обумовлено особливістю
просторового розподілу коефіцієнта квантового підсилення у
у активній області під смужковим контактом. Коефіцієнт підси-
лення має максимум під віссю смужкового контакту. А показ-
ник заломлення напівпровідника пов’язаний з коефіцієнтом під-
силення співвідношенням
«г « «0 — Ао. (б-52)
де п0 — показник заломлення у відсутності підсилення;
к0 = 2лД — хвильовий вектор (для поширення світлової хвилі
у вакуумі); — так званий фактор розширення лінії. Для
ОаАз—АІОаАз-лазерів експерименти дають а# = 2—4. Тоді,
при значенні коефіцієнта підсилення під центром смужкового
контакту у =100 см-1, отримаємо пг=п0 — 0,004. У площині
р—и-переходу розподіл коефіцієнта заломлення має мінімум
під віссю смужкового контакту. Це означає, що активна об-
ласть діє на випромінювання, як розсіювальна лінза, що веде
238
до самодефокусування випромінювання. Зменшення ширини
смужкового контакту і застосування резонатора із смужковим
виступом (див. рис. 6.8, б) усуває цей небажаний ефект.
6.4.3. Поляризація випромінювання
напівпровідникових лазерів
Випромінювання діодних лазерів звичайно лінійно поляри-
зоване. Ступінь поляризації випромінювання визначається як
0 = &ТЕ ~ Фгм
Р Фте + Фтм’
(6.53)
де ФТ£, Фтм — потоки випромінювання ТЕ і ТМ поляризованих
мод. У напівпровідникових лазерах поперечні розміри резонато-
ра одного порядку з довжиною хвилі випромінювання. Тому, на
відміну від випромінювання газових лазерів, де електромагніт-
ні хвилі можна вважати поперечними (ТЕТИ-хвилями, див. роз-
діл 2), у резонаторі діодного лазера поширюються ТЕ (Ігапз-
уегзаі еіесігісаі) і ТМ (Ігапзуегзаі та^пеїіс) хвилі (див. підроз-
діл 2.4.1). У ТЕ-хвилі площина коливань електричного вектора
збігається з площиною р—и-переходу, а в ТЛТхвилі — перпен-
дикулярна до неї. На рис. 6.14 схематично показано переріз
резонатора діодного лазера у площині, перпендикулярній до
р—и-переходу.
Рис. 6.14. Схема поширення променів ТЕ і ТМ поляризованих
мод у резонаторі напівпровідникового лазера
Резонатор довжиною 1% має дзеркала Ді і Д2, що утворюють-
ся сколотими гранями кристала. Випромінювання поширюється
вздовж осі 7, відбиваючись від стінок резонатора. Стрілками
239
показано напрям коливань електричного вектора 77И-моди, а
значками ф — для ТЕ-моди. Площина падіння променів збіга-
ється з площиною рисунка. Як видно з рис. 6.14, електричний
вектор ТЕ-моди у всіх випадках перпендикулярний до осі 2 і до
площини падіння. У той же час електричний вектор ТМ-моди
має складову, паралельну до осі 7. Крім того, електричний век-
тор ТМ-моди лежить у площині падіння при відбиванні променя
від дзеркал і стінок резонатора. На рис. 6.15 показана залеж-
ність коефіцієнтів відбивання світла гТЕ і гтм на межі двох ді-
електриків (для ТЕ- і 77И-мод) від кута падіння ер. Видно, що
при достатньо великих кутах падіння
гГ£>гТЛІ. (6.54)
Враховуючи, що, згідно з формулою (6.38), пороговий струм
накачування збільшується при зменшенні коефіцієнта відбиван-
ня дзеркал, приходимо до висновку, що генерація буде відбува-
тися на ТЕ-модах. Слід відзначити дві особливості поляризації
Рис. 6.15. Кутові залежності коефіцієн-
та відбивання від стінок резонатора для
ТЕ і ТМ поляризованих променів
випромінювання напівпровідникових лазерів: а) випромінюван-
ня не повністю, а частково поляризоване, тобто р<1. Це обу-
мовлено нелінійною взаємодією між випромінюванням ТЕ- і
7Л1-мод; б) ступінь поляризації р можна змінювати за допо-
могою зовнішнього одноосного тиску, нагрівання лазера та ін.
Дані ефекти обумовлені порушенням симетрії кристала і ви-
никненням подвійного променезаломлення під дією тиску
та ін.
240
6.4.4. Інерційність напівпровідникових лазерів
Після подачі на напівпровідниковий лазер прямокутного ім-
пульсу струму генерація починається з деякою затримкою. За-
тримка генерації обумовлена тим, що створення інверсної насе-
леності у активній області не відбувається миттєво, а потребує
деякого часу. Знайдемо час затримки генерації. Для інжектова-
них у активну область електронів запишемо кінетичне рівняння
СІП п
й-0--
(6.55)
де О — темп генерації електронів (число електронів, інжектова-
них за одну секунду в одиницю об’єму активної області); т —
час життя електронів у зоні провідності. При цьому
0 =
еУае ’
(6.56)
де І — струм; У" — ефективний об’єм тієї частини активної об-
ласті, де локалізуються інжектовані електрони і дірки.
При т = сопзі рівняння (6.55) являє собою лінійне неодно-
рідне диференціальне рівняння відносно концентрації електро-
нів п з постійними коефіцієнтами. Рішення такого рівняння при
початковій умові п(0) = 0 має вигляд
п(і) = п3
і і 1
1 — ехрі------
(6.57)
де
п5 = Ох. (6.58)
Рівність (6.57) описує залежність и(/) до початку лазерної
генерації, поки має місце т = сопзі (після початку генерації час
життя електронів т різко зменшується внаслідок стимульова-
них переходів).
На рис. 6.16 схематично показано залежності темпу гене-
рації нерівноважних електронів О, концентрації електронів у
активній області п і потоку випромінювання Ф від часу.
Будемо вважати, що генерація почнеться в момент часу
коли буде досягнута порогова концентрація електронів, тобто
при
п(^) = пр (6.59)
241
Враховуючи (6.54), із (6.52) отримаємо
^ = т1п[1/(1 — п(/п5)].
(6.60)
Рис. 6.17 ілюструє залежність часу затримки (сіеіау Нте)
генерації напівпровідникового лазера від величини яка, від-
повідно до (6.58) і (6.56), пропорційна до струму накачування.
Рис. 6.16. Часові залежності темпу генерації но-
сіїв заряду (а), концентрації носіїв у активній
області (б) та потоку лазерного випромінюван-
ня (в) після включення струму
Слід відзначити, що залежність інтенсивності випромінюван-
ня від часу після початку генерації не така проста, як показано
на рис. 6.16, в. Часто на початку генерації відбуваються за-
тухаючі осциляції інтенсивності випромінювання (див. підроз-
діл 4.3).
Затримка генерації небажана у тих випадках, коли діодні
лазери використовують у режимі прямої амплітудної модуляції
для передачі сигналів. Для зменшення часу затримки, як видно
з (6.60) і рис. 6.17, можна збільшувати імпульсний струм на-
качування. На практиці часто використовується такий метод
242
зменшення часу затримки: через лазер (у режимі «очікування»)
пропускають струм, близький до порогового (чи навіть трохи
І&ІТ
Рис. 6.17. Залежність часу затримки гене-
рації лазера від величини що визнача-
ється формулою (6.60)
більший порогового). Імпульси струму, що відповідають сигна-
лу, за час «включають» випромінювання.
6.5. НАПІВПРОВІДНИКОВІ ЛАЗЕРИ
З НАКАЧУВАННЯМ
ЕЛЕКТРОННИМ ПУЧКОМ
У напівпровідникових лазерах з накачуванням електронним
пучком для генерації нерівноважних електронів і дірок викори-
стовується ударна іонізація. Це явище полягає в тому, що
швидкий («гарячий») електрон у кристалі, що має достатню
енергію, може віддати частину своєї енергії на генерацію елек-
тронно-діркової пари. Такий процес показано схематично на
рис. 6.18. «Гарячий» електрон 1 переходить на більш низький
енергетичний рівень у с-зоні, як показано стрілкою. Його енер-
гія затрачується на генерацію електрона 2 і дірки 3.
Для накачування лазерів використовуються пучки електро-
нів з енергією Е = 10—200 кеВ. При енергії Е < 10 кеВ елек-
трони проникають у напівпровідник на недостатню глибину,
243
і генеровані електронно-діркові пари рекомбінують, в основно-
му, на поверхні кристала без генерації фотонів. При енергії
Е > 200 кеВ електрони можуть вибивати атоми із вузлів кри-
сталічної ґратки, що веде до генерації дефектів у кристалі.
Рис. 6.18. Схема електронних переходів
у напівпровіднику при ударній іонізації
Рис. 6.19. Схема лавинного помноження носіїв заряду в напів-
провіднику
Енергія одного прискореного електрона у електронному пуч-
ці достатня для генерації багатьох електронно-діркових пар.
Наприклад, при збудженні лазера на основі сульфіду кадмію
244
(Сд8), ширина забороненої зони якого Ее = 2,4 еВ, пучком елек-
тронів з енергією Е = 100 кеВ відношення Е/Е^ 104. Це озна-
чає, що один прискорений електрон може генерувати у напівпро-
віднику понад 104 електронно-діркових пар. На початку цього
процесу генеровані електрони і дірки мають велику надлишко-
ву енергію і, в свою чергу, генерують нові електронно-діркові
пари, як показано на рис. 6.19.
Кількість генерованих електронів і дірок зростає, як лавина.
І такий процес дістав назву лавинного помноження електронів
і дірок. Лавинне помноження продовжується доти, поки наро-
джені електрони і дірки мають енергію, достатню для подаль-
шої генерації електронів і дірок.
6.5.1. Порогова енергія ударної іонізації
Пороговою енергією електрона для ударної іонізації (чи
просто енергією іонізації) у даному напівпровіднику називають
мінімальне значення енергії (що відраховується від дна с-зони
Ес), яку повинен мати електрон, щоб генерувати електронно-
діркову пару. Аналогічно визначається порогова енергія дірки
для ударної іонізації. Процес ударної іонізації можна зобразити
як «реакцію»
е-*2е+й, (6.61)
що відповідає «непружному зіткненню» електрона з електрон-
но-дірковою парою. При ударній іонізації виконуються закони
збереження енергії та імпульсу. Енергія електрона, що затра-
чується на генерацію електронно-діркової пари, буде мінімаль-
ною у тому випадку, коли удар буде центральним і абсолютно
непружним, тобто швидкості всіх частинок після акту ударної
іонізації будуть однакові. У цьому випадку закон збереження
енергії має вигляд
_ (2/п„ +)г>2 + (6 62)
і закон збереження імпульсу —
тлу0 = (2т„ +тр)у, (6.63)
де тп, тр — ефективні маси електрона і дірки, відповідно; у0 —
швидкість первинного електрона; V — швидкість двох елект-
245
ронів і дірки після акту ударної іонізації; Ее — ширина заборо-
неної зони напівпровідника.
У рівнянні (6.57) величина Ец відіграє роль внутрішньої
енергії електронно-діркової пари. Таким чином, у відповідності
до (6.62), «кінетична енергія» первинного електрона
Епі = ^ (6.64)
частково затрачується на збільшення внутрішньої енергії елек-
тронно-діркової пари (на генерацію пари), а частково розподі-
ляється між трьома квазічастинками.
Рішення системи рівнянь (6.62) і (6.63) за врахуванням
(6.64) дає
= (6.65)
І ^р
Оскільки рівняння (6.62) і (6.63) відповідають абсолютно
непружному зіткненню електрона з електронно-дірковою па-
рою, то вираз (6.65) дає мінімальну енергію електрона, здатно-
го до ударної іонізації, тобто Епі — порогова енергія іонізації
електрона.
Якщо первинною «гарячою» частинкою буде не електрон,
а дірка, то закони збереження енергії та імпульсу одержимо
із (6.62) і (6.63) взаємною заміною тп і тр. Тоді отримаємо
порогову енергію іонізації дірки
Ері=2т^-тл Ее. (6.66)
р т„ + тп *
У багатьох напівпровідниках має місце т„ тр. Напри-
клад, у арсеніді галію (ОаАз) тп = О,О68то; тр = 0,5т0, де
т0 — маса спокою вільного електрона. Тоді, знехтувавши тл
у виразах (6.60) і (6.51), отримаємо приблизні вирази
Епі~Ее (6.67)
для порогової енергії іонізації електрона і
(6.68)
для порогової енергії іонізації дірки.
246
Враховуючи вирази (6.67) і (6.68) для порогових енергій
іонізації електрона і дірки, можна сказати, що після попадання
прискореного електрона в кристал процес лавинного помножен-
ня електронів і дірок закінчиться, коли енергії останніх з наро-
джених електронів і дірок будуть менші від Е* і 2£я, відповідно.
Це зображено на рис. 6.20. Після закінчення лавинного помно-
ження енергія генерованих електронів і дірок знаходиться у
відповідних заштрихованих областях с- та у-зон. Ці квазічас-
тинки вже не можуть генерувати електронно-діркові пари, але
мають велику надлишкову енергію. Цю надлишкову енергію
електрони і дірки віддають кристалічній ґратці. Надлишкова
енергія електрона (чи дірки) передається фононам (квантам
механічних коливань кристалічної ґратки), тобто відбуваєть-
ся нагрівання кристала. Розрахунки показують, що у лавинно-
му процесі тільки приблизно 1/3 частина енергії прискореного
електрона затрачується на генерацію електронно-діркових пар,
а 2/3 йде на нагрівання кристала. Коефіцієнт корисної дії про-
цесу генерації електронно-діркових пар за рахунок пучка при-
скорених електронів дорівнює приблизно ЗО %, в той час як
в інжекційних лазерах цей коефіцієнт може наближатися до
100 %.
Рис. 6.20. Розподіл гарячих електронів і дірок
відповідно в с- і у-зонах після закінчення ла-
винного процесу
За конструкцією лазери з накачуванням електронним пуч-
ком можна поділити на лазери з поперечним та поздовжнім
накачуванням. У лазерах з поперечним накачуванням оптичний
247
промінь перпендикулярний до електронного променя, а в лазе-
рах з поздовжнім накачуванням ці промені паралельні один до
одного.
6.5.2. Лазери з поперечним накачуванням
Розглянемо лазери з поперечним накачуванням.
На рис. 6.21, а стрілками показано напрям руху прискорених
електронів (е), що падають на напівпровідникову пластинку П.
Електрони проникають всередину пластинки на деяку глибину
Н (яка залежить від енергії електронів). За рахунок ударної
іонізації у заштрихованій області створюються великі концент-
рації нерівноважних електронів і дірок. На рис. 6.21, б по-
казано вигляд зверху опромінюваної електронами напівпровід-
никової пластинки. У заштрихованій області створено інверс-
ну населеність, необхідну для квантового підсилення світла.
е
III!
Рис. 6.21. Схема роботи лазера з поперечним
накачуванням електронним пучком
Як видно із рис. 6.21, б, бажано, щоб переріз електронного
пучка був у вигляді смужки. Тоді електронно-діркові пари бу-
дуть генеруватися ударною іонізацією по всій ширині пластин-
248
ки о/. Якщо використовується електронний пучок з круглим
перерізом, то у частині заштрихованої на рис. 6.21, б смужки
інверсна населеність досягається не ударною іонізацією, а за
рахунок поглинання фотонів, що генеруються в місці кристала,
що опромінюється електронами.
Дзеркалами резонатора служать бокові грані пластинки, і
світлові промені виходять із цих граней, як показано стрілками
на рис. 6.21, б.
Лазери з поперечним накачуванням можуть працювати при
невеликій енергії електронів у пучку (кілька десятків кеВ).
Довжина резонатора І# дорівнює ширині пластинки о/. Такі ла-
зери широко використовуються в наукових дослідженнях.
6.5.3. Лазери з поздовжнім накачуванням
На рис. 6.22 схематично показана будова лазера з поздовж-
нім накачуванням. Тонкий шар напівпровідника 1 товщиною сі[
(до кількох десятків мкм) знаходиться на підкладинці 2 (товщи-
ною сі2) із прозорого діелектрика з високою теплопровідністю
Рис. 6.22. Схема роботи лазера з поздовжнім
накачуванням електронним пучком
(наприклад, із сапфіру). Пучок прискорених електронів е круг-
лого перерізу падає на поверхню напівпровідникового шару, як
показано стрілками. Товщина напівпровідникового шару сІї по-
винна бути достатньо малою, а енергія прискорених електронів
Е — достатньо великою (понад 50 кеВ), щоб електрони прони-
кали на всю товщину напівпровідника. Якщо не виконується
дана умова, частина шару, куди не доходять електрони, буде не
підсилювати, а поглинати світло.
249
За рахунок ударної іонізації створюється інверсна населе-
ність у заштрихованій області напівпровідника. На верхню по-
верхню напівпровідника і нижню поверхню підкладки наносять-
ся відбивальні покриття, що утворюють дзеркала резонатора
Фабрі—Перо, довжина якого складає І. Генеровані фотони ви-
ходять через прозору підкладинку, як показано стрілками.
В лазерах з поздовжнім накачуванням можна сканувати по-
ложення плями, в якій відбувається лазерна генерація. Тому
такі лазери використовуються в системах проекційного теле-
бачення. Схема будови проекційного телевізора показана на
рис. 6.23. Електронна гармата, що включає розжарюваний ка-
тод РК, управляючий електрод УЕ і анод А, генерує пучок при-
скорених електронів, який за допомогою магнітної лінзи МЛ
фокусується в пляму діаметра — 5 мкм на напівпровіднику
НП. Напівпровідникова пластинка приклеєна до сапфірової під-
кладки П, яка змонтована на системі охолодження СО. На на-
півпровідникову пластинку нанесені діелектричні дзеркала, що
створюють резонатор. На модулятор М (що змінює яскравість
випромінювання за рахунок зміни потоку електронів) та на від-
хиляючу систему ВС (що змінює просторове положення елек-
тронного променя) подаються відповідно підсилені телевізійні
сигнали.
Рис. 6.23. Схема проекційного телевізора на основі лазера з накачуванням
електронним пучком
У заданому телевізійним сигналом місці напівпровідникової
пластинки НП генерується лазерне випромінювання відповідної
інтенсивності. За допомогою конденсора К на екрані Е фор-
мується телевізійне зображення. Для отримання кольорового
зображення використовують три аналогічні системи з різними
напівпровідниками, які дають випромінювання у різних ділян-
ках спектру.
250
ЗАДАЧІ ДО РОЗДІЛУ 6
Задача 6.1. Напівпровідниковий лазер являє собою кристал АІбаАз ку-
бічної форми з ребром 0,3 мм. Активна область — шар товщиною до 1 мкм
поблизу площини р—л-переходу. Показник заломлення АЮаАз складає
л = 3,6; довжина хвилі випромінювання Х = 0,8 мкм.
При якому значенні коефіцієнта поглинання вільними носіями заряду
втрати на поглинання в активній області зрівняються з втратами, обумовле-
ними неідеальністю відбивання від дзеркал резонатора. Дзеркалами служать
вільні грані кристала.
Задача 6.2. Інжекційний лазер побудовано на основі напівпровідникової
гетероструктури кубічної форми, як показано на рисунку, з довжиною реб-
ра /г = 250 мкм. Верхній контакт виготовлено у вигляді смужки шириною
10 мкм. У скільки разів пороговий струм такого лазера зі смужковим кон-
тактом менший, ніж у лазера, верхній контакт якого покриває всю верхню
грань кристала?
Задача 6.3. У скільки разів зміниться пороговий струм інжекційного ла-
зера, якщо довжину резонатора збільшити з 250 мкм до 500 мкм? Коефіці-
єнт відбивання дзеркал резонатора, якими служать вільні грані кристала,
складає 0,32; коефіцієнт поглинання світла вільними носіями заряду стано-
вить 40 см”1.
Задача 6.4. В активній області інжекційного лазера при деякому зна-
ченні струму накачування квазірівень Фермі для електронів знаходиться на
0,05 еВ вище мінімуму зони провідності, а квазірівень Фермі для дірок — на
0,04 еВ нижче максимуму валентної зони. У якій області довжин хвилі буде
відбуватися квантове підсилення світла, якщо ширина забороненої зони на-
півпровідника становить 1,4 еВ?
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ ДО РОЗДІЛУ 6
1. Які особливості будови, принципу роботи, параметрів і характеристик
напівпровідникових лазерів?
2. Поясніть основні способи створення інверсної населеності в напівпро-
відниках.
3. Сформулюйте порогову умову квантового підсилення світла у напів-
провіднику.
251
4. Нарисуйте схему будови і розкажіть про роботу інжекційного напів-
провідникового лазера.
5. Які основні види втрат у напівпровідникових лазерах? Чим визнача-
ється поріг генерації?
6. Як досягається зниження порогу генерації інжекційних лазерів?
7. Які особливості будови і характеристик мають напівпровідникові ла-
зери з розподіленим зворотним зв’язком?
8. Нарисуйте схему будови і поясніть роботу напівпровідникових ла-
зерів з накачкою електронним пучком.
9. Чим визначається інерційність напівпровідникових лазерів?
<7 КВАНТОВІ ПРИЛАДИ
/. РАДІОДІАПАЗОНУ
У радіодіапазоні енергія фотона набагато менша від больц-
манівського фактора кТ. Це означає, що різниця енергій між
робочими рівнями активного середовища повинна бути малою:
^Е = Е2-Е1 = Нх^кТ. (7.1)
У цьому випадку квантові функції розподілу і для ферміонів
(частинок з напівцілим спіном), і для бозонів (з цілим спіном)
спрощуються до класичної функції розподілу Больцмана
/(£2)//(£і) = ехр(—Д£ДТ), (7.2)
причому, внаслідок виконання сильної нерівності (7.1),
ехр(—Д£/ЛТ) ~ 1 - ЬЕ/кТ. (7.3)
Із нерівності (7.1) також випливає, що в рівноважному стані
населеності робочих рівнів дуже мало відрізняються, тобто
/(£2) «/(£,), (7.4)
в той час як для оптичного діапазону, де виконується нерів-
ність, протилежна до (7.1), тобто
Д£ = £2 — £і =/IV » £7, (7.5)
справедливо
/(£2)^с/(£,), (7.6)
тобто в рівноважному стані верхній робочий рівень практично
пустий.
253
Малість енергії фотонів має наслідком малу потужність
квантових генераторів радіодіапазону, а виконання приблизної
рівності (7.4) — малий коефіцієнт корисної дії. Крім того, для
квантових приладів радіодіапазону механізми накачування по-
винні бути іншими, ніж для лазерів.
Вимушені переходи між робочими рівнями використовують-
ся для підсилення електромагнітних хвиль, а спонтанні перехо-
ди відіграють роль шумів. Відношення коефіцієнтів Ейнштейна
Д21 Для спонтанних і В21 для вимушених переходів визначається
рівністю (1.47), тобто
Аь = 8лЛд3 V3 — V3. (7.7)
В2| с3
З формули (7.7) видно: внаслідок того, що частота електромаг-
нітних хвиль у радіодіапазоні на багато порядків нижча, ніж в
оптичному діапазоні, у радіодіапазоні можна досягти значно
нижчого рівня шумів квантових приладів, ніж у оптичному діа-
пазоні. Тому вимушені переходи в радіодіапазоні використо-
вуються для попереднього підсилення дуже слабких сигналів
(наприклад, в радіотелескопах), для створення радіочастотних
квантових генераторів — мазерів (від «Місгоуузує АтрііНсаііоп
Ьу ЗІітиіаїесІ Етіззіоп ої КасІіаНоп»), квантових стандартів
частоти й тривалості та ін.
7.1. КВАНТОВІ ПРИЛАДИ НА АТОМНИХ
ТА МОЛЕКУЛЯРНИХ ПУЧКАХ
Вимушені переходи між обертальними рівнями молекул та
між рівнями тонкої й надтонкої структури атомів і молекул
використовуються для підсилення і генерації електромагнітних
хвиль у радіодіапазоні. Розглянемо для прикладу спектри енер-
гії атома водню та молекули аміаку.
7.1.1. Тонка структура енергетичних рівнів
атома
Стан електрона в атомі описують набором квантових чисел
п, /, 5, /, де п, /, відповідно, — головне і орбітальне квантові
254
числа (число І може приймати значення від 0 до п — І); 5 —
спінове квантове число (5 = 2Ь1/2)‘» / відповідає повному момен-
ту кількості руху; описує проекцію повного моменту на ви-
брану вісь.
В моделі Рассела—Саундерса (моделі ^5-зв’язку) врахо-
вується, що спін-орбітальна взаємодія слабка. Це справедли-
во для атомів не дуже важких елементів. У схемі ^5-зв’язку
квантуються такі величини: орбітальний момент молекули
який є сумою орбітальних моментів електронів атома, з відпо-
відним квантовим числом сума спінів електронів з кванто-
вим числом 5; повний момент кількості руху /, якому відповідає
квантове число /; проекція повного моменту на вибрану вісь,
з квантовим числом Л4У.
Набір головних квантових чисел електронів визначає енер-
гію атома в наближенні центрального поля. Кулонівська взає-
модія між окремими електронами веде до того, що кожному
набору квантових чисел 5?, 5 відповідає свій рівень енергії —
терм, як показано на рис. 7.1. Відстань між термами порядку
електрон-вольта.
Терми Мультиплети
Рис. 7.1. Схема розщеплення енергетичних рівнів атома
Якщо квантові числа 5?, 5 ¥= 0, то кожному терму відповіда-
ють кілька значень повного моменту /, а значить, і квантового
числа /. Внаслідок магнітної взаємодії (спін-орбітальної, У?8-
взаємодії) різним значенням / відповідають різні значення енер-
гії, які утворюють мультиплети. Таким чином, терми розщеп-
люються на мультиплети. Мультиплетне розщеплення рівнів
набагато менше, ніж відстань між термами (це і є свідченням
справедливості моделі ^-зв’язку).
Різні квантові числа Мл відповідають різній орієнтації момен-
ту кількості руху атома /. Тому кожний мультиплетний рівень
255
з певним значенням квантового числа / має кратність просто-
рового виродження 2/+ 1. Розщеплення рівнів з даним кван-
товим числом / на рівні з різними значеннями Л4У відбувається
під дією зовнішніх факторів, наприклад, зовнішнього магнітного
поля.
7.1.2. Надтонка структура рівнів атома
Розщеплення рівнів атома з даним квантовим числом /, що
відбувається внаслідок взаємодії магнітних моментів електро-
нів і ядра, веде до надтонкої структури енергетичного спектру.
Вільний електрон має момент кількості руху (спін) 5 і магніт-
ний момент
^ = -205, (7.8)
де магнетон Бора
В = ^-= 9,27 • 10-24 Ам2. (7.9)
2т
Точні розрахунки дають у формулі (7.8) замість коефіцієнта 2
величину 2,0023.
Орбітальний рух електрона в атомі з моментом кількості
руху І веде до появи орбітального магнітного моменту
Н/ = -РА (7-Ю)
Знак «—» в формулах (7.8) і (7.10) обумовлений від’ємним за-
рядом електрона.
Магнітний момент всіх електронів атома дорівнює векторній
сумі орбітальних і спінових магнітних моментів
= (7.П)
де — фактор Ланде —
З .5(5 + 1)-£(£ + 1) „
^“2+ 2ЛГЙ)-------------’ ( }
Ядро атома, яке має спін І, має і магнітний момент
Й/ = £/М (7.13)
256
де §, — ядерний ^-фактор; Рд, — ядерний магнетон —
Р»-^-^-5'04'10^'"’' <714>
де т і МР — маси електрона і протона, відповідно.
В магнітному полі з індукцією В магнітний момент ц має
потенціальну енергію
1Г=-іІВ = -цВсо8 0, (7.15)
де 0 — кут між цими векторами.
Моменти кількості руху / електронів атома і ядра І склада-
ються векторно і дають сумарний момент
В = 7+7, (7.16)
який має власні значення, що відповідають квантовим числам
Р = І1, І + /— 1, ... |/ — 7|. Різним значенням Р відповідають
різні значення енергії рівнів надтонкої структури
= у [Р(Р +1) ~ /(/ +1) - /(/ +1)]. (7.17)
де ас — фактор спектроскопічного розщеплення.
Проекції сумарного моменту кількості руху Р атома на вибра-
ний напрям визначаються квантовим числом Мг, яке приймає
значення від — Р до Н-Л Різним значенням квантового числа МР
відповідають і різні значення проекції повного магнітного момен-
ту атома на даний напрямок. Якщо атом знаходиться у магніт-
ному полі, то це означає, що, згідно з формулою (7.15), різним
значенням МР будуть відповідати різні значення енергії. Іншими
словами, магнітні рівні атома розщеплюються в магнітному полі
(ефект Зеемана). Коли для даного стану скалярний добуток
цВ>0, (7.18)
енергія цього стану зменшується зі зростанням магнітного по-
ля. Якщо ж
цВ<0, (7.19)
то енергія збільшується.
Для прикладу розглянемо атом водню. В основному стані 15
момент кількості руху електрона визначається його спіном, так
257
що квантове число повного моменту електрона /= !/2і Для яДРа
(в даному випадку протона) /=1/2- Згідно з формулою (7.16),
квантове число сумарного моменту атома приймає значення
Г=1, коли моменти електрона і ядра паралельні, та Г = 0,
коли вони антипаралельні. Тому у відсутності зовнішніх полів
атом водню має два енергетичних рівні надтонкої структури,
що відповідають вказаним значенням Р. Для Р = 1 є три про-
екції вектора Р на вибраний напрямок. Тому коли немає зов-
нішніх полів, цей рівень трикратно просторово вироджений.
Рівень, що відповідає Р = 0, невироджений. Якщо атом по-
містити у магнітне поле, то виродження рівня Р = 1 зніма-
ється, і цей рівень розщеплюється на три рівні. Величина роз-
щеплення рівнів збільшується при зростанні магнітного поля
(ефект Зеемана), як показано на рис. 7.2.
Рис. 7.2. Залежність положення рівнів над-
тонкої структури атома водню від індукції
магнітного поля
Магнітні дипольні переходи між рівнями (/7=1, М£ = 0) і
(Р = 0, Мг = 0) використовуються в мазерах на пучку атомів
водню з довжиною хвилі 21 см.
Слід відзначити, що є й інші фактори, що ведуть до надтон-
кої структури енергетичного спектру атомів, наприклад, квад-
рупольна взаємодія електронів з нерівномірно розподіленим за-
рядом складних ядер.
258
7.1.3. Тонка структура рівнів молекули аміаку
Перший прилад квантової електроніки, мазер, було побудо-
вано на пучку молекул аміаку. На рис. 7.3 схематично показана
Рис. 7.3. Схема структури молекули ИН3
структура молекули аміаку МН3. Молекула має вісь симетрії
ой, що проходить через атом азоту і центр трикутника, утворе-
ного атомами водню. Обертальна енергія такої молекули визна-
чається формулою
^ = ^-7(7 + 1) +
(7.20)
де квантове число
7 = 0, 1, 2,
(7.21)
відповідає повному моменту імпульсу молекули; квантове число
відповідає проекції моменту імпульсу на вісь симетрії моле-
кули і приймає значення
/( = 0, ±1, ±2, ... (7.22)
259
величини /г і /х = ]у означають, відповідно, моменти інерції від-
носно осі ог та осей ох і оу, що лежать в площині ху. Якщо
є зовнішнє поле, то треба враховувати квантування проекції
моменту імпульсу на відповідну нерухому вісь, якій відповідає
квантове число М, що приймає значення
М = 0, ±1, ±2, ... ±1 (7.23)
Правила відбору при обертальних переходах такі:
Д/=0, ±1; ДЯ=0; ДМ = 0, ±1. (7.24)
Спектр енергії молекули МН3 має тонку структуру, пов’яза-
ну з інверсійним розщепленням енергетичних рівнів. Атом азо-
ту може знаходитися як над площиною атомів водню (в поло-
женні N на рис. 7.3), так і під цією площиною (в положенні К1).
Тому всі енергетичні рівні двократно вироджені. Внаслідок
обертання молекули інверсійне виродження знімається, так
що обертальні рівні розщеплюються, як показано на рис. 7.4,
}+1,К
НЇ
7, К в і
Ні
Рис. 7.4. Розщеплення обертальних рів-
нів молекули аміаку внаслідок інверсії
на два рівні тонкої структури: верхній інверсійний рівень Ві
та нижній рівень За врахуванням інверсійних переходів,
правила відбору такі:
Д/ = 0, ±1; ДК=0; В^Н,. (7.25)
Переходи при
Д/ = 0; ДК = 0; В, - Н, (7.26)
відповідають чисто інверсійному спектру. Молекула аміаку
має великий дипольний момент (1,47 Дебая; 1 Дебай =
260
= 3,33- 1О“30 Кл-м), так що ймовірність інверсійних переходів
достатньо велика.
В мазерах на пучку молекул аміаку використовується інвер-
сійний перехід при / = К=3, що відповідає генерації фотонів
частоти 23,8701 ГГц.
7.1.4. Сортування пучка атомів
у неоднорідному магнітному полі
Як указувалося раніше, внаслідок малої відстані між рівня-
ми тонкої та надтонкої структури атомів і молекул, рівноважна
населеність верхнього і нижнього робочих рівнів, які викори-
стовуються в квантових приладах радіодіапазону, практично
однакова. Для створення інверсної населеності в атомних і мо-
лекулярних пучках використовується сортування атомів і моле-
кул в неоднорідному магнітному або ж електричному полі.
Для сортування атомів у магнітному полі використовується
ефект Зеемана, тобто розщеплення рівнів надтонкої структури
у магнітному полі. Сортування відбувається в сильно неодно-
рідному полі магніту, переріз якого схематично показано на
рис. 7.5. Поблизу осі магніту поле має циліндричну симетрію.
Рис. 7.5. Переріз магніту для сор-
тування атомів у пучку
На осі магніту індукція магнітного поля дорівнює нулю, і її
модуль В зростає з відстанню від центра. При цьому зростає
зееманівське розщеплення рівнів, як показано на рис. 7.2.
Сила, що діє на атоми, направлена в сторону зменшення потен-
261
ціальної енергії. Для атомів, що знаходяться на рівні, енергія
якого зростає (внаслідок ефекту Зеемана) зі збільшенням поля,
сила буде направлена до осі магніту. Пучок таких атомів буде
фокусуватися на осі магніту. В той же час на атоми, що зна-
ходяться на рівні, енергія якого зменшується зі збільшенням
поля, буде діяти сила, направлена від осі магніту. Такі атоми
будуть виводитися з центральної частини магніту. Таке сорту-
вання атомів відбувається в мазерах на основі пучка атомів
водню. На рис. 7.2 видно, що зі збільшенням магнітного поля
енергія рівня (Г= 1, МР = 0) зростає, а енергія рівня (Г = 0,
МР = 0) зменшується. Тому атоми водню, що знаходяться в
стані (Г= 1, Мр = 0), фокусуються на осі магніту, а атоми, які
знаходяться в стані (Л = 0, Мр = 0), виводяться із робочого
простору. В результаті отримуємо пучок атомів водню в стані
(?= 1, Мр = 0), який відповідає верхньому робочому рівню, що
використовується в мазері.
7.1.5. Сортування пучка молекул
у неоднорідному електричному полі
Для сортування молекулярних пучків використовується від-
мінність поляризаційної здатності % різних рівнів тонкої струк-
тури, яка веде до розщеплення рівнів у електричному полі
(ефекту Штарка). Дипольний момент молекули, що знаходить-
ся в електричному полі, залежить від напруженості поля % від-
повідно до виразу
Р = + (7.27)
де Ро — дипольний момент у відсутності поля; є0 — електрична
стала. Потенціальна енергія диполя в електричному полі вира-
жається формулою
Ер = -Р%. (7.28)
Врахувавши залежність дипольного моменту молекули від на-
пруженості поля (7.27), із (7.28) отримаємо
ЕР = -Р0£-є0х£2. (7.29)
Сила, що діє на тіло, визначається градієнтом потенціальної
енергії:
Р = -ЧЕр. (7.30)
262
Тоді із (7.29) отримаємо силу, що діє на молекулу в неодно-
рідному електричному полі, —
Р = РоеЧЕ + 2є0Х = (Л)Е + 2є0Х^)^Г, (7.31)
де Л)е — проекція вектора Ро на напрям напруженості елект-
ричного поля.
Електричне поле по-різному впливає на енергію різних ста-
нів, залежно від величини і знаку поляризаційної здатності х
Для прикладу розглянемо сортування пучка молекул аміаку.
Для верхнього інверсійного стану молекули аміаку х < 0, тобто
дипольний момент зменшується в електричному полі. В достат-
ньо сильному полі
Рое+2еоХ^<О, (7.32)
тобто сила, що діє на молекулу, направлена в сторону змен-
шення поля. В той же час для нижнього інверсійного стану
X > 0, тобто дипольний момент зростає в електричному полі.
При достатньо сильному полі
Рое Н” 2е0Х^ > 0, (7.33)
тобто на молекулу діє сила, направлена в сторону зростання
поля.
Сортування пучка молекул аміаку відбувається в квадру-
польному конденсаторі. Конденсатор складається з чотирьох
стержнів, переріз яких схематично показано на рис. 7.6. Між
сусідніми стержнями прикладена напруга порядку ЗО кВ. Елек-
тричне поле поблизу осі конденсатора має циліндричну симет-
рію. Модуль напруженості поля на осі конденсатора £?(0) = 0
і параболічно зростає вздовж радіуса, тобто
Е(г) - г2. (7.34)
В неоднорідному електричному полі квадрупольного конденса-
тора на молекули діє сила, направлена в сторону зменшення
потенціальної енергії. На молекули, що знаходяться у верх-
ньому інверсійному стані В/, для яких виконується нерівність
(7.32), діє сила у напрямку зменшення модуля напруженості
поля, тобто в сторону осі конденсатора. В той же час на моле-
кули, що знаходяться у нижньому інверсійному стані Я/, вна-
слідок виконання нерівності (7.33) діє сила у напрямку зростан-
263
ня модуля напруженості поля, тобто від осі. Тому в пучку мо-
лекул, що рухаються вздовж осі конденсатора, залишаються
Рис. 7.6. Переріз квадрупольного
конденсатора для сортування пуч-
ка молекул
практично лише молекули, що знаходяться у верхньому інвер-
сійному стані В/. Вимушені переходи цих молекул в стан Я/під
дією резонансного випромінювання використовуються в мазері
на основі пучка молекул аміаку.
7.1.6. Мазер на основі пучка молекул аміаку
7.1.6.1. Будова мазера
Будова мазера на пучку молекул аміаку схематично показа-
на на рис. 7.7. Джерелом молекул служить спеціальна камера,
в якій знаходяться молекули Г4Н3. Камера має вузький канал,
або систему вузьких каналів, діаметр яких менше довжини віль-
ного пробігу молекул. Завдяки такій конструкції камери на вихо-
ді створюється направлений пучок молекул. При кімнатній тем-
пературі швидкість молекул у пучку V 105 см/с; концентрація
молекул у пучку 108 см-3. При більших концентраціях зі-
ткнення між молекулами суттєво порушують роботу мазера.
Пучок молекул, що вилетіли із джерела, попадає в сор-
тувальну систему — квадрупольний конденсатор. Сортування
молекул у квадрупольному конденсаторі описано в підрозділі
7.1.4. Для сортування молекул необхідно виконання нерівно-
264
стей (7.32) і (7.33), а для цього треба, щоб напруженість поля
була достатньо висока. Ефективність сортування залежить від
. ДЕ
градієнта напруженості поля поблизу осі конденсатора — та
аг
від довжини конденсатора. Зі зростанням довжини конденсато-
ра збільшується час взаємодії молекул з електричним полем.
Але довжина конденсатора Іс повинна бути не надто великою,
щоб під час прольоту в ньому молекули не встигали спонтанно
переходити на нижній рівень:
Іс ат21,
(7.35)
де т21 — час життя верхнього робочого стану. Для спонтанного
переходу В1Ні молекули аміаку т21 10“^ с. При швидкості
молекул у пучку 105 см/с довжина конденсатора повинна
бути 100 см. Звичайно Іс — 10 см. На виході сортувальної
системи в пучку залишаються практично лише молекули, що
знаходяться у верхньому інверсійному стані
Після сортувальної системи молекули аміаку попадають у
об’ємний (циліндричний) резонатор, настроєний на частоту ін-
Джерело Сортувальна Об’ємний
молекул система резонатор
Рис. 7.7. Схема будови мазера на пучку молекул ИН3
версійного переходу при / =/С = З (частоту 23,8701 ГГц). Зви-
чайно на дану частоту настроюють основну моду резонатора
ТМ010 (за іншими позначеннями Е010). Дана мода є основною
(тобто енергія її квантів найменша серед всіх мод резонатора),
якщо відношення довжини резонатора до його радіуса
/д/гд < 2,03. (7.36)
В даній моді магнітний вектор перпендикулярний до осі резона-
тора (звідси назва ТМ — Тгапзуегзаі Ма^пеііс), а електричний
вектор направлений вздовж осі резонатора, як показано схе-
матично на рис. 2.10, а підрозділу 2.4.2. Для даної моди влас-
на довжина хвилі Х010 = 2,612 гр і не залежить від довжини
265
резонатора. Частоті інверсійних переходів молекули аміаку
т = 23,870 ГГц відповідає довжина хвилі X = 1,257 см і радіус
резонатора ^ = 0,4805 см. Прецизійною зміною об’єму резона-
тора можна з високою точністю настроїти резонатор на частоту
переходу В, —►
Довжина резонатора І# повинна бути достатньою, щоб моле-
кули встигли передати енергію електромагнітному полю за ра-
хунок вимушених переходів, але достатньо малою, щоб молеку-
ли не встигли спонтанно перейти на нижній рівень, тобто
(7.37)
При вказаних значеннях швидкості молекул і часу життя верх-
нього стану отримаємо 100 см. Звичайно 1$ —10 см. Доб-
ротність описаного резонатора біля 1-Ю4.
7.1.6.2. Порогова умова генерації мазера
Для густини енергії випромінювання мазера можна записати
усереднене рівняння
£ = Лу0«721ДЛЇ --Є-, (7.38)
де у0 — власна частота резонатора; ДМ — густина інверсної на-
селеності робочих рівнів; — час життя фотона в резонаторі;
ймовірність вимушеного переходу між робочими рівнями
Г21 = В215(у0)Р, (7.39)
В2і — коефіцієнт Ейнштейна для вимушених переходів; 5(¥0) —
значення функції форми спектральної лінії в її центрі. Час жит-
тя фотона в резонаторі визначає його добротність згідно
з формулою (2.89):
9 = со0т/? = 2лу0т/?. (7.40)
Рівняння (7.38) не враховує неоднорідності густини енергії р та
густини інверсної населеності ДМ в резонаторі. У стаціонар-
ному випадку (при = 0) для порогової величини інверсної
сн
населеності з рівняння (7.38) отримаємо
ДЛГ, = 7---і----. (7.41)
ЙВ215(у0)<?
266
При цьому функція форми спектральної лінії лоренцова, а ши-
рина лінії обумовлена, в основному, величиною часу прольоту
молекули в резонаторі (див. формулу (1.77) підрозділу 1.5.1).
7.1.6.3. Максимальна потужність мазера
Потужність мазера буде максимальною, коли половина всіх
молекул, що, знаходячись на верхньому робочому рівні, попада-
ють в резонатор, вимушено переходять на нижній робочий рі-
вень і в результаті цих переходів генерують фотони. Тоді по-
тужність випромінювання
= (7.42)
де V — швидкість молекул у пучку; — площа перерізу резо-
натора (вважається, що максимальний діаметр пучка дорівнює
діаметру перерізу резонатора); ДМ— густина інверсної населе-
ності робочих рівнів молекул перед попаданням у резонатор.
Коефіцієнт 1/2 враховує, що при переході половини молекул на
нижній рівень інверсна населеність зникає.
Оцінимо максимальну потужність мазера на пучку моле-
кул аміаку. Енергія квантів випромінювання йуо«1О“4 еВ =
= 1,6- 10-23 Дж. Площа перерізу резонатора 1 см2 визна-
чається частотою випромінювання; теплова швидкість молекул
при кімнатній температурі складає 105 см/с; максимальна
концентрація молекул в пучку Дптах«=И08 см-3 обмежується
ймовірністю їх зіткнень між собою. Підставивши ці величини
у формулу (7.42), отримаємо Ртах ~ 10—10 Вт. У реальних ма-
зерах Ртах~10-1°—10-9 Вт. Як бачимо, потужність мазерів
на багато порядків величини нижча, ніж потужність лазерів.
Це пояснюється двома причинами: малою енергією квантів у
радіодіапазоні та обмеженістю концентрації молекул у пучку
(для усунення впливу зіткнень між молекулами).
7.1.6.4. Частота генерації мазера
Головною перевагою мазерів на основі атомних і молекуляр-
них пучків є висока точність, стабільність і відтворюваність ча-
стоти генерації. Частота інверсійного переходу молекули аміа-
ку, який використовується в мазерах, складає у0 = 23,8701 ГГц.
Власну частоту резонатора неможливо абсолютно точно на-
строїти на центральну частоту у0 спектральної лінії. Згідно
з формулою (2.125) підрозділу 2.6.1, частота генерації V визна-
267
чається співвідношенням
де Д¥ і Д¥д — ширина спектральної лінії атомів (молекул) та
ширина резонансної кривої резонатора, відповідно.
Радіаційний час життя верхнього робочого стану молекули
аміаку складає т2І Ю-3 с- Щоб молекули в резонаторі не всти-
гали спонтанно перейти на нижній робочий рівень, час прольо-
ту молекул у резонаторі (пропорційний довжині резонатора)
повинен бути достатньо малим:
Дґ<0,1т21. (7.44)
При кімнатній температурі час прольоту молекул Д/ = 10-4 с
досягається при довжині резонатора /== 10 см. Внаслідок спів-
відношення (7.44) ширина спектральної лінії молекул у резона-
торі визначається часом прольоту, тобто
Дсо = 1 /Ді\ Д¥ = 1/2лДґ, (7.45)
що дає Д¥= 1,5 кГц.
Добротність резонатора в сантиметровому діапазоні скла-
дає ф^^ІО4, що відповідає ширині резонансної лінії
Ду^ = = 2,4 • 106 Гц. При настройці резонатора з похиб-
кою — ¥0| = 3 кГц формула (7.43) дає неточність відтворення
частоти генерації мазера |¥ —¥0| = 2 Гц. Таким чином, відносна
похибка відтворення частоти не перевищує 1О-10.
З формул (7.44) і (7.45) видно, що підвищити точність час-
тоти генерації можна вибравши атоми (молекули) з більшим
часом життя верхнього робочого стану і створивши, відповідно
до цього, резонатор з більшим часом перебування атомів (мо-
лекул) у резонаторі. Це досягається, наприклад, у мазері на
пучку атомів водню, де використовується магнітний дипольний
перехід між рівнями надтонкої структури (Е=1; МР = 0)->
->(Е = 0; МР = 0), що дає випромінювання з частотою
1,420405 ГГц (довжиною хвилі 21 см). Радіаційний час життя
верхнього робочого стану (Е= 1; МР = 0) складає т21«* 10 с.
Атоми сортуються в циліндрично симетричному неоднорідному
магнітному полі, як описано в підрозділі 7.1.4. У відповідності
з формулою (7.44) час перебування атомів у резонаторі можна
збільшити до 1 с. При швидкості 105 см/с це відповідає дов-
268
жині шляху молекули в резонаторі 105 см. У резонатор (в яко-
му використовують моду ТЕ011) поміщають кварцову колбу зі
спеціальним внутрішнім покриттям із фторопласту, так що атом
водню, який попав у резонатор, приблизно 104 разів відбиваєть-
ся від стінок колби, не змінюючи свого стану. Відносна похибка
відтворювання частоти генерації діючих мазерів на пучку ато-
мів водню складає 10-12.
Подальше суттєве підвищення точності стандартів частоти
може бути досягнуто за рахунок використання переходів у ато-
мах, охолоджених до наднизьких температур.
7.2. ТВЕРДОТІЛЬНІ КВАНТОВІ ПРИЛАДИ
РАДІОДІАПАЗОНУ
У твердотільних квантових приладах радіодіапазону звичайно
використовуються радіаційні переходи між рівнями тонкої струк-
тури домішкових іонів з неспареними електронами в парамаг-
нітних кристалах. Ширина спектральних ліній домішкових іонів
у кристалах набагато більша, ніж вільних атомів та молекул.
Крім того, частота переходів залежить від зовнішнього магніт-
ного поля. Тому мазери на їх основі не застосовуються для ство-
рення стандартів частоти. Але концентрація домішкових атомів
у кристалах може перевищувати концентрацію атомів чи моле-
кул в пучках на багато порядків величини. Тому радіаційні пере-
ходи між рівнями тонкої структури в домішкових атомах вико-
ристовуються для створення квантових підсилювачів радіодіа-
пазону. У цьому випадку велика ширина спектральної лінії з
недоліку перетворюється в перевагу. Спектр підсилення легко
регулюється магнітним полем. В квантових парамагнітних підси-
лювачах, де кристал охолоджується до температури рідкого
гелію, шуми дуже низькі, що робить такі підсилювачі незамінни-
ми при прийомі слабких сигналів, наприклад, в радіотелескопах.
7.2.1. Особливості структури рівнів домішкових іонів
у кристалах
Домішкові іони знаходяться в оточенні атомів кристала.
Тому спін-орбітальна взаємодія слабка (тобто здійснюється #5-
зв’язок) лише у випадку, коли для неспарених валентних елек-
269
тронів кристалічне поле екранується зовнішніми електронними
оболонками, як, наприклад, в іонах рідкоземельних елементів.
Утворення надтонкої структури рівнів у даному випадку описа-
но в параграфах 7.1.1 і 7.1.2. Кристалічне поле збільшує роз-
щеплення енергетичних рівнів таких іонів.
Сильна спін-орбітальна взаємодія в домішкових іонах (наприк-
лад, в іонах перехідних елементів групи заліза) розриває !£8-
зв’язок, і квантуються окремо проекції спіну і орбітального
моменту кількості руху на вибраний напрям. Цим проекціям
відповідають квантові числа Мь і М5. Внаслідок сильного кри-
сталічного поля розщеплення між орбітальними рівнями звичайно
дуже велике (порядку 0,1 — 1 еВ), так що при кімнатній темпе-
ратурі населений лише нижній орбітальний рівень, який звичай-
но 25+ 1-кратно вироджений. Виродження по орієнтації спіну
(по квантових числах М5) може частково зніматися дією кри-
сталічного поля і завжди знімається зовнішнім магнітним полем.
Рис. 7.8. Залежність положення енер-
гетичних рівнів основного стану іона
хрому в рубіні від індукції магнітного
поля при перпендикулярній орієнтації
На рис. 7.8 представлена схема енергетичних рівнів основ-
ного орбітального стану іона хрому Сг3+ як домішки в кристалі
рубіну (концентрація іонів хрому в А12О3 складає 0,05 %). Енер-
гетичні рівні іона формуються за рахунок трьох електронів його
^-оболонки, що знаходяться під дією октаедричного поля кри-
стала А12О3. Іон має ефективний спін 5 = 3/2 (тобто спіни всіх
трьох електронів паралельні), так що існують 4 орієнтації ефек-
270
тивного спіна, що відповідають значенням 7І45 = —3/2, —1/2,
+ 1/2, +3/2. Ці стани у відсутності зовнішнього поля попарно
вироджені; величина розщеплення між парами рівнів складає
4,7- КГ5 еВ.
При наявності зовнішнього магнітного поля відбувається
розщеплення вказаних рівнів. Величина розщеплення залежить
від орієнтації магнітного поля відносно тригональної осі крис-
тала. Рис. 7.8 ілюструє залежність положення рівнів тонкої
структури основного орбітального стану іона Сг3* від індукції
зовнішнього магнітного поля, орієнтованого перпендикулярно
до тригональної осі кристала. Енергія станів, що відповідають
значенням Л45>0, збільшується при зростанні поля, а для
станів з Л45<0 зменшується. Залежність відстані між рівнями
від магнітного поля використовується для керування спектром
підсилення в квантових приладах.
7.2.2. Накачування 3-рівневої системи
допоміжним випромінюванням
Інверсна населеність між робочими рівнями твердотільних
квантових приладів радіодіапазону звичайно створюється за до-
помогою допоміжного радіочастотного випромінювання. Розгля-
немо населеність трирівневої системи, показаної на рис. 7.9,
Е,
^13
^31
^23
^32
е2
Рис. 7.9. Схема переходів у трирівневій
системі при накачуванні допоміжним
випромінюванням
при накачуванні допоміжним випромінюванням. Всі три рівні
вважаються невиродженими. Відстань між рівнями
ДЕ2і = Е2 — Еї кТ\
ДЕ32 = Е3 — Е2 кТ.
(7.46)
(7.47)
271
Під дією випромінювання накачки з енергією квантів
Нур = Е3-Е1 (7.48)
відбуваються переходи —► Е3 з ймовірністю
00
^3 = $ (7.49)
О
де В13— відповідний коефіцієнт Ейнштейна; З13^)— функція
форми спектральної лінії для даного переходу; — спектраль-
на густина енергії випромінювання. Одночасно відбуваються
вимушені зворотні переходи Е3-^ ймовірність яких (внаслі-
док невиродженості рівнів)
Г31 = Г13. (7.50)
У рівноважному стані населеності N° і М2 рівнів і В2, вна-
слідок сильної нерівності (7.46), пов’язані співвідношенням
М2°/М?~ 1 - ДЕ21/(£Т), (7.51)
а для населеностей М2 і М3 рівнів Е2 і Е3 справедливо
^оМо=»1-Д532/^Л- (7-52)
Для ймовірності спін-ґраткової релаксації а12 з рівня Е{ на рі-
вень Е2 і ймовірності а21 зворотної релаксації із умови деталь-
ної рівноваги отримаємо
а12/а21^ 1 - ДЕ21/(£Т). (7.53)
Для ймовірностей спін-ґраткової релаксації а23 і а32 між рівня-
ми Е2 і Е3 справедливе подібне співвідношення
^23/^32 1 Д^'згА^Т’)- (7-^4)
Нехай на систему падає резонансне монохроматичне випро-
мінювання з енергією квантів
Ну = Е3 — Е2 (7.55)
і густиною енергії р.
272
Під дією цього випромінювання будуть здійснюватися виму-
шені переходи Е3 -> Е2 з ймовірністю
^32 = ^32^32(^)Р- (7.56)
При цих переходах будуть генеруватися резонансні кванти, за
рахунок чого випромінювання підсилюється. Одночасно відбу-
ваються переходи £2—► £з> ПРИ яких кванти поглинаються. Ймо-
вірність цих переходів*
1^23=^32. (7.57)
Врахування всіх зазначених переходів, показаних на рис. 7.9,
дає кінетичні рівняння для населеностей і М2 рівнів Е{ і Е2:
= (7-58)
= (Г32 + «32Ж + лі2Л7і - (^23 + «23 + ^2. (7.59)
У рівнянні (7.58) враховано, що інтенсивність випромінювання
накачування достатньо сильна, так що
Ц713» а12, а21. (7.60)
Крім того, необхідно врахувати умову збереження числа части-
нок
+ + = (7.61)
де —повна концентрація центрів, які використовуються для
підсилення.
У стаціонарному випадку, тобто при виконанні рівностей
^ = ^ = 0, (7.62)
з рівнянь (7.57), (7.59) і (7.61) отримаємо
N3 __ ^32 + Д23 + Д2І /у 0О \
№32 + 032 + ^12 ’
де враховано рівність (7.57).
273
Умовою квантового підсилення випромінювання при перехо-
дах Е3 -+ Е2 є інверсна населеність цих рівнів, тобто виконання
нерівності
Л^з>^2. (7.64)
Із (7.63) отримаємо умову квантового підсилення випроміню-
вання в даному випадку —
^23 + а21 > а32 + а!2» (7.65)
що еквівалентно до
^21 ^12 > ^32 ^23* (7-66)
Врахувавши рівності (7.53) і (7.54), цю умову можна переписа-
ти у вигляді
(£2 ^1)^21 > (^з ^2)а32‘ (7.67)
Якщо виразити ймовірність спін-ґраткової релаксації через час
релаксації, тобто
а21 = 1/т2і; (7.68)
а32=1Л32. (7.69)
то умова квантового підсилення буде мати вигляд
^2 Еї > Е3 Е2 (у 70)
Т2І Т32
У частковому випадку, коли виконується рівність
Т21 = Т32» (7.71 )
умова квантового підсилення спрощується до нерівності
Е2-ЕХ>Е3-Е2. (7.72)
Якщо для квантового підсилення використовуються перехо-
ди Е2 —► Ех на схемі, показаній на рис. 7.9, то із тих же рівнянь
(7.57), (7.59) і (7.61) отримаємо умову підсилення
Е3 Е2 > Е2 Е\ 72)
т32 Т2І
274
або, при виконанні рівності (7.71),
Е3-Е2>Е2-ЕХ. (7.74)
Із формули (7.63), враховуючи, що інверсна населеність
в таких системах мала, тобто
^N=N3-N2^N^N2^N3^ N. (7.75)
отримаємо густину інверсної населеності
ДДГ (^^21 ^Е32)/(£7*)+ #32 + Д|2 /у У0\
№з2 + а32 + аі2
Із формули (7.76) видно, що інверсну населеність можна
суттєво підняти, знизивши температуру кристала. При знижен-
ні температури, по-перше, зростає перший доданок в чисельни-
ку, а по-друге, різко зменшуються ймовірності спін-ґраткової
релаксації а32 і а12. Квантові парамагнітні підсилювачі звичайно
працюють при температурі рідкого гелію Т = 4,2 К.
В формулі (7.76) інверсна населеність не залежить від інтен-
сивності накачування В713. Це відповідає випадку, коли вико-
нується сильна нерівність (7.60), тобто коли інтенсивність на-
качування достатньо висока.
З формули (7.76) також видно, що при низьких рівнях сиг-
налу, коли
Ц732 а32 + #12, (7.77)
інверсна населеність не залежить від величини сигналу, тобто
реалізується лінійний режим підсилення. Коли ж порушується
нерівність (7.77), вихідний сигнал насичується і перестає зале-
жати від вхідного.
У більш складних, наприклад, в 4-рівневих системах можна
використовувати випромінювання накачування (у загальному
випадку — двох відповідних частот) для одночасного підвищен-
ня населеності верхнього робочого рівня і зменшення населе-
ності нижнього рівня.
7.2.3. Квантові парамагнітні підсилювачі
Схема будови резонаторного квантового парамагнітного під-
силювача показана на рис. 7.10. Квантове підсилення сигналу
275
відбувається в кристалі К, що знаходиться у відбивному дво-
частотному резонаторі Р (застосовуються також прохідні резо-
натори). Для підсилювачів дециметрового і сантиметрового діа-
пазонів широко використовуються кристали рубіну з концен-
трацією іонів Сг3+ біля 0,05 %. Залежність положення рівнів
тонкої структури основного орбітального стану іона Сг3+ від ін-
дукції зовнішнього магнітного поля, орієнтованого перпендику-
лярно до тригональної осі кристала, показана на рис. 7.8. Для
підсилення сигналів у дециметровому діапазоні (X = 10—ЗО см)
У з годжу вальне
навантаження
Рис. 7.10. Схема будови резо-
наторного квантового парамаг-
нітного підсилювача
використовуються вимушені переходи між рівнями £4 та £3,
а для накачування служать переходи Е2 > £4. Резонатор з кри-
сталом поміщено в дьюар, наповнений рідким гелієм (темпера-
тура Т = 4,2 К). Дьюар знаходиться між полюсами магніту.
Індукцію магнітного поля змінюють залежно від необхідного
спектру підсилення (для дециметрового діапазону в межах від
200 до 700 Гс). Для розділення вхідного і вихідного сигналів
використовується циркулятор Ц. Ширина спектральної лінії пе-
реходу Еі> Е3 біля 100 МГц, що і визначає ширину спектру
276
підсилення всієї системи. Коефіцієнт підсилення може складати
кілька сотень.
У квантових парамагнітних підсилювачах з біжучою хвилею
кристал поміщується у відрізок хвилеводу зі сповільнюючою
системою. Сповільнення електромагнітної хвилі веде до збіль-
шення часу взаємодії цієї хвилі з кристалом, що необхідно для
забезпечення достатнього коефіцієнта квантового підсилення.
Прикладом сповільнювача є прямокутний хвилевід із системою
металевих штирів.
7.2.4. Шуми квантових парамагнітних
підсилювачів
Найбільш цінною властивістю квантових парамагнітних під-
силювачів є дуже низький рівень шумів. Для характеристи-
ки шумів підсилювачів електромагнітних коливань вводять
шум-фактор
Доиі /р
(X ' оиі
_ РЦ'/Р. '
(7.78)
де Р^1/Роиі— відношення потужності шумів на виході підси-
лювача до потужності вихідного сигналу; Р^/Ріп — відношення
потужності шумів на вході підсилювача до потужності вхідного
сигналу. Якщо врахувати, що коефіцієнт підсилення визнача-
ється як
О = ^ои1/Лп.
(7.79)
то визначення шум-фактора (7.78) можна переписати як
(7.80)
Для ідеального, «безшумового» підсилювача, який сам не ге-
нерує шумів, а тільки підсилює шуми джерела сигналу, шум-
фактор &=1. Для реальних підсилювачів завжди & > 1.
Для спектральної густини потужності шумів рівноважного
електромагнітного поля, розрахованої на одиницю об’єму, спра-
ведлива формула Найквіста
ехр(/і¥ДТ) —1 ’
(7-81)
277
яка для радіодіапазону, тобто при виконанні сильної нерівності
(7.1), має вигляд
Р$ = кТ. (7.82)
У визначенні шум-фактора (7.78) і еквівалентному до нього
(7.80) вважається, що температура генератора вхідного шуму
складає Те = 290 К.
Поняття про шумову температуру підсилювача Та вводить-
ся через рівність, аналогічну формулі (7.82):
Д/\а = ОкТа, (7.83)
де ДР^ — вихідна потужність шумів, що вноситься підсилюва-
чем. Тоді повна потужність шумів на виході підсилювача
Р^ = ОР‘П + ЛРІЇ = Ск(Те + Та), (7.84)
так що з формули (7.80) одержимо зв’язок шум-фактора з шу-
мовою температурою:
у“1+^=‘+^- <7-85>
Шуми, що вносяться підсилювачем, обумовлені випроміню-
ванням при спонтанних переходах електронів з верхнього ро-
бочого рівня на нижній, а також шумами втрат резонатора.
Це «шумове» випромінювання, згідно з формулою (7.83), під-
силюється паралельно до сигналу. Впливом шумів резонатора
можна знехтувати, якщо добротність резонатора
<?*»!. (7.86)
Тоді, при високих значеннях коефіцієнта підсилення
О»1, (7.87)
шумова температура підсилювача дорівнює просто модулю
ефективної температури робочих рівнів
Л = |7'з2і. (7.88)
де враховано, що підсилення відбувається за рахунок вимуше-
них переходів між рівнями Е3 та Е2 у трирівневій системі. Вра-
278
хувавши рівність (7.88), із формули (7.85) отримаємо вираз
для шум-фактора парамагнітного квантового підсилювача
17891
Величина Т32, в свою чергу, визначається інверсною населені-
стю робочих рівнів:
ддг = N3 - N. = -М , (7.90)
«^32
причому Т32 < 0.
Внаслідок того, що відстань між робочими рівнями Е3—Е2
дуже мала, малою буде і ефективна температура робочих рів-
нів. Звичайно шумова температура квантових парамагнітних
підсилювачів біля 10 К, в той час як для підсилювачів на основі
електровакуумних приладів ця температура перевищує 1000 К.
Квантові парамагнітні підсилювачі використовуються для реє-
страції слабких радіочастотних сигналів. Вони, наприклад, є
невід’ємними елементами систем детектування надслабких сиг-
налів у радіотелескопах.
7.3. ЛАЗЕРИ НА ВІЛЬНИХ ЕЛЕКТРОНАХ
В лазерах на вільних електронах (ЛВЕ) реалізується класич-
ний («радіотехнічний») спосіб генерації електромагнітних хвиль
за рахунок вимушеного поперечного коливального руху при-
скорених електронів у вакуумі. Залежно від геометричних па-
раметрів генератора і енергії електронів у пучку ЛВЕ генеру-
ють когерентне випромінювання у дуже широкому спектрально-
му діапазоні від НВЧ-області радіохвиль до видимого світла і
ультрафіолетового випромінювання. Важливими особливостями
ЛВЕ є простота перестроювання частоти, відносна легкість реа-
лізації режиму синхронізації мод і отримання ультракоротких
імпульсів випромінювання, висока потужність випромінювання,
мала кутова розбіжність променя.
279
7.3.1. Будова і принцип дії ЛВЕ
Будову ЛВЕ схематично показано на рис. 7.11. Пучок при-
скорених електронів ПЕ попадає у пристрій, що називається
ондулятором (від французького опіїиіаіоіге — хвилевий), або
віглером (від англійського ім&£Іе — коливатися). Ондулятор
звичайно складається із системи періодично розташованих по-
стійних магнітів (число яких складає від десятків до сотень),
Ондулятор
Рис. 7.11. Схема будови лазера на вільних електронах
що створюють періодичне магнітне поле, перпендикулярне до
електронного пучка. Електрони, відхиляючись під дією магніт-
ного поля, здійснюють вимушений коливальний рух у площині,
перпендикулярній до напрямку магнітного поля. В системі ко-
ординат, що рухається зі швидкістю пучка електронів вздовж
осі ондулятора, відбуваються коливання електронів у напрям-
ку, перпендикулярному до площини рисунка, тобто реалізуєть-
ся диполь Герца. Коливання даного диполя генерують поляри-
зовані електромагнітні хвилі, у яких електричний вектор пара-
лельний до диполя. В ЛВЕ з випромінюванням у міліметровій
області спектру використовуються пучки електронів великої
інтенсивності. При цьому в ондуляторі утворюються згустки
електронів, які коливаються в площині, перпендикулярній до
магнітного поля, тобто теж реалізується диполь Герца. Дзерка-
ла Д, і Д2 на рис. 7.11 створюють резонатор, який накопичує
енергію електромагнітних хвиль і забезпечує зворотний зв’я-
зок між електромагнітним полем і вимушеним випромінюван-
ням електронів, що здійснюють коливальний рух. Коли підси-
280
лення за один прохід променя в резонаторі перевищує втрати,
наступає лазерна генерація.
7.3.2. Характеристики випромінювання ЛВЕ
Частота генерованих в ЛВЕ електромагнітних хвиль зале-
жить від просторового періоду а0 розташування магнітів у он-
дуляторі та від енергії Е електронів. Якщо швидкість елект-
ронів дорівнює V, то період коливань електронів у магнітному
полі у нерелятивістському наближенні складає
Т = а^. (7.91)
Але, звичайно, в ЛВЕ використовуються пучки релятивіст-
ських електронів, швидкість яких наближається до швидкості
світла с. В системі координат, що рухається з електронами,
просторовий період ондулятора скорочується до величини
а = а0/у, (7.92)
де
у = (1 -у2/С2)-'/2, (7.93)
так що період коливань електронів у системі координат, яка
рухається з цими електронами, складає
7 = а0/(ї^) (7.94)
і, відповідно, частота
уг = уг>/а0. (7.95)
Коливання електронів з частотою Vе генерують електромагнітні
хвилі тієї ж частоти. Це твердження справедливе для системи
координат, що рухається вздовж ондулятора зі швидкістю V
разом з електронами. В нерухомій системі координат (пов’я-
заній з дзеркалами резонатора) внаслідок ефекту Допплера ча-
стота генерованих електромагнітних хвиль збільшиться до ве-
личини
V = ,\^еу( 1 + ‘о/с) (7.96)
і буде складати
V = у2у( 1 + у/с)/а0. (7.97)
281
Для ультрарелятивістських електронів, ШВИДКІСТЬ ЯКИХ V «= с,
(1-НАМ, (7.98)
і формула (7.97) для частоти випромінювання спроститься до
у = 2су2/а0. (7.99)
Довжина хвилі генерованого випромінювання при цьому скла-
дає
А, = а0/(2у2). (7.100)
Величину у для ультрарелятивістських електронів звичайно
оцінюють з рівності
у = Е/(т0с2), (7.101)
де Е — енергія прискореного електрона; т0— маса спокою
електрона.
При енергії електронів £ = 50 МеВ отримаємо у~ 100, так
що, маючи ондулятор з просторовим періодом а0= 1 см, ЛВЕ
буде генерувати випромінювання з довжиною хвилі X = 0,5 мкм,
тобто в зелено-голубій області спектру. При £ = 5 МеВ отри-
маємо у^ 10, і лазер з таким же ондулятором дасть випро-
мінювання з довжиною хвилі біля 50 мкм, тобто в далекій
ІЧ-області. При подальшому зменшенні енергії електронів і
збільшенні періоду ондулятора отримаємо випромінювання в
НВЧ-діапазоні.
Ширина спектру випромінювання ЛВЕ визначається кілько-
ма факторами:
а) часом прольоту електрона через ондулятор; б) розподі-
лом електронів у пучку за величиною швидкості; в) в імпульс-
них ЛВЕ тривалістю імпульсу електронного струму.
Час прольоту електрона через ондулятор є тривалістю коли-
вального стану електрона. Скорочення часу прольоту Дґ веде
до однорідного розширення спектру випромінювання, причо-
му ширина спектральної лінії, у відповідності до співвідношен-
ня невизначеності,
До>= 1/Дґ; Ду= 1/2лДґ. (7.102)
Відносна однорідна ширина лінії підсилення ЛВЕ складає зви-
чайно Д у/у ~ 10-4— 10-3.
282
Згідно з формулою (7.95), частота коливань електронів,
а значить, і частота випромінюваних електромагнітних хвиль
залежить від швидкості електронів V. Швидкості електронів
(а значить, їх енергії) у пучку розподілені в деякому інтервалі.
Тому кожен електрон генерує випромінювання на «своїй» час-
тоті, тобто відбувається неоднорідне розширення спектральної
лінії. Як правило, неоднорідне розширення спектральної лінії
в ЛВЕ більше, ніж однорідне.
На рис. 7.12 показано розподіл електронів 1Уе(Е) та генеро-
ваних у ЛВЕ когерентних фотонів р,/Й¥) за енергією (спект-
ральний розподіл спонтанного випромінювання електронів у он-
дуляторі відповідає розподілу електронів за енергією).
Рис. 7.12. Розподіл електронів і випро-
мінюваних у ЛВЕ фотонів за енергією
Пороговою умовою квантового підсилення випромінювання
є виконання нерівності
Е0>Нхт, (7.103)
де Ео — середня енергія електронів; Нут — середня енергія ге-
нерованих квантів. Ця умова має простий фізичний зміст: для
квантового підсилення електромагнітних хвиль електронами,
розподіленими неперервно за енергією, необхідно, щоб елект-
ронів з енергією Е > Нхт було більше, ніж електронів з мен-
шою енергією, тобто, з ЕсН\т. Нерівність (7.103) є означен-
ням інверсної населеності в системі з неперервним розподілом
випромінюючих частинок за енергією.
В імпульсних ЛВЕ, що використовують серії коротких ім-
пульсів електронного струму (в пікосекундному діапазоні),
283
коли тривалість імпульсу електронного струму менша, ніж час
прольоту електрона в ондуляторі, відбувається додаткове одно-
рідне розширення спектральної лінії випромінювання.
Результуюча відносна ширина спектру випромінювання су-
часних ЛВЕ значно більша, ніж у інших лазерів, і звичайно
складає Д¥/¥~10-3—10-1. Це полегшує реалізацію режиму
модульованої добротності (див. підрозділ 4.4). При цьому пе-
ріод чергування імпульсів електронного струму можна встано-
вити рівним подвійній тривалості прольоту фотона в резона-
торі, так що реалізується режим синхронізації мод з синхрон-
ною накачкою.
Випромінювання ЛВЕ характеризується малою розбіжністю,
яка визначається дифракцією. Висока оптична якість випромі-
нювання ЛВЕ обумовлена однорідністю активного середовища
і великою довжиною резонатора.
Важливою перевагою ЛВЕ є простота перестроювання час-
тоти випромінювання в дуже широкій області спектру зміною
енергії електронів у пучку. Так, в одному з експериментальних
ЛВЕ зміною енергії електронів від 10 МеВ до 20 МеВ зміню-
валась довжина хвилі випромінювання від 35 до 9 мкм. Особ-
ливо цінна ця перевага для областей спектру, в даний час не-
доступних для інших лазерів: для далекої ІЧ-області (з довжи-
ною хвилі випромінювання Х = 100—400 мкм) та для області
вакуумного ультрафіолету (X < 100 нм).
ККД перетворення енергії електронів у оптичну енергію в
сучасних ЛВЕ невисокий, до 1 %, але можливе його суттєве
підвищення. Миттєва потужність випромінювання сучасних
ЛВЕ складає біля 10 МВт, середня потужність у послідовності
пічків — до 10 кВт, середня потужність за тривалий час — біля
1 Вт. В перспективі можливо суттєве підвищення потужності
ЛВЕ.
ЗАДАЧІ ДО РОЗДІЛУ 7
Задача 7.1. Знайти ширину спектральної лінії випромінювання молекули
аміаку, яка рухається зі швидкістю 6,6-104 см/с в резонаторі мазера довжи-
ною 10 см. Який вигляд має функція форми спектральної лінії аміаку в да-
ному випадку?
Задача 7.2. Знайти порогове значення густини інверсної населеності
для генерації мазера на пучку молекул аміаку. Частота генерації мазера
у0 = 23,870 ГГц; ширина спектральної лінії аміаку, що має лоренцову форму,
обумовлена часом прольоту молекули, швидкість якої 6,6- 104 см/с, в резо-
284
наторі довжиною 10 см; коефіцієнт Ейнштейна для вимушеного переходу
між робочими рівнями В21 = 0,62 • 1О20 Дж“1м3с“2. Добротність резонатора
мазера складає 1-Ю4.
Задача 7.3. Знайти максимальне значення потужності мазера на основі
пучка молекул аміаку. Частота генерації мазера т0 = 23,870 ГГц; концен-
трація молекул в пучку 1 • 108см-3; середня швидкість руху молекул аміаку
в пучку становить 6,6- 104 см/с; діаметр пучка 0,96 см.
Задача 7.4. Знайти вихідну потужність шумів квантового парамагнітного
підсилювача та його шум-фактор, якщо ефективна температура робочих рів-
нів становить 7^ = —10 К, а коефіцієнт підсилення 0=100.
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ ДО РОЗДІЛУ 7
1. Чому неможливо створити інверсну населеність між рівнями атомів
і молекул у радіодіапазоні тими ж способами, що і в оптичному діапазоні?
2. Поясніть, як відбувається сортування атомів і молекул в неодно-
рідних магнітному та електричному полях.
3. Нарисуйте схему і поясніть роботу мазера на пучку молекул аміаку.
4. Сформулюйте порогову умову генерації мазера на пучку молекул
аміаку.
5. Чому в мазерах на атомних і молекулярних пучках досягається ви-
сока монохроматичність випромінювання і відтворюваність частоти?
6. Які фактори спричиняють дуже низьку потужність мазерів на атом-
них і молекулярних пучках?
7. Нарисуйте схему будови і поясніть роботу квантового парамагнітно-
го підсилювача.
8. Як досягається інверсна населеність між робочими рівнями у кван-
товому парамагнітному підсилювачі?
9. Чому квантові парамагнітні підсилювачі мають дуже низькі шуми?
10. Нарисуйте схему будови і поясніть роботу лазера на вільних елек-
тронах.
11. Які особливості характеристик випромінювання лазерів на вільних
електронах?
8 НЕЛІНІЙНІ ОПТИЧНІ ЯВИЩА
. У КВАНТОВІЙ ЕЛЕКТРОНІЦІ
Лінійна оптика вважає оптичні параметри середовища не-
залежними від інтенсивності світла. Це такі параметри: а) по-
казник заломлення п Де о — швидкість світла у вакуумі,
а ис — швидкість світла у даному середовищі; б) коефіцієнт по-
глинання а.
Для вектора електричної індукції можна записати
б = г0^ = є0^ + Р, (8.1)
де є0 — електрична стала; є — діелектрична проникність речо-
вини; & — напруженість поля; Р — вектор поляризованості.
В кристалах величина діелектричної проникності тензорна, так
що вектори £>, Р і можуть бути не паралельними. Випадок
п = сопзі при розв’язанні рівнянь Максвелла в лінійному на-
ближенні відповідає лінійному зв’язку між вектором поляризо-
ваності та напруженістю поля:
Р = е0Х^. (8.2)
де % — діелектрична сприйнятливість, незалежна від інтенсив-
ності світла. Якщо середовище має електропровідність а, то
в цьому середовищі електричне поле буде викликати струм гу-
стиною
/ = а^, (8.3)
і буде відбуватися поглинання електромагнітних хвиль. Коефіці-
єнт поглинання вільними носіями заряду визначається формулою
£0СЛ ’
(8.3а)
286
де ог — дійсна частина електропровідності при даній часто-
ті електромагнітної хвилі; п — показник заломлення даного
середовища. Щоб коефіцієнт поглинання а не залежав від
інтенсивності світла, треба, щоб електропровідність о була
сталою.
В нелінійній оптиці вивчається, враховується і використо-
вується залежність оптичних параметрів середовища від інтен-
сивності світла. Перш за все, враховується нелінійність зв’язку
між вектором поляризованості та напруженістю поля. Цей зв’я-
зок можна описати рівністю
Рі = е0
Ех<л + Ех^А + Ех.7^/^( + - . (8.4)
< / І* /*/
де Рі — і-та компонента вектора поляризованості середовища в
даній точці; х</> х<;л та х<// — тензори діелектричної сприйнятли-
вості середовища відповідних порядків; к відповідні компо-
ненти електричного вектора світлового поля.
Для спрощення запишемо залежність Р(^) в скалярній формі:
Р = Ео(Хі^1 + Х2^2 + Хз^3+ •••)• (8.4а)
Якщо комірка кристалічної ґратки має центр інверсії, то
при зміні знаку вектора & змінюється і знак Р при незмінності
абсолютної величини:
Р(-Г) = -Р(Г). (8.5)
У рівності (8.4а) другий член не змінюється при зміні знаку
вектора Тому в кристалах з центром інверсії лише непарні
коефіцієнти в рівнянні (8.4а) відрізняються від нуля. У криста-
лах з центром інверсії нелінійність проявляється лише в 3-му
члені (що має 3-й порядок малості відносно ^), і нелінійність
спостерігається лише при дуже високих інтенсивностях світла.
Така ж ситуація має місце в стеклах, рідинах і газах.
У кристалах без центра інверсії величина Хг відмінна від
нуля. У таких кристалах нелінійність може спостерігатися при
набагато слабкіших полях, ніж у кристалах з центром інверсії,
і такі кристали називаються нелінійними. Найбільш широко
в нелінійній оптиці використовуються кристали ніобату літію
ЬіМЬО3, танталату літію ЬіТаО3, дигідрофосфату калію (КВР)—
КН2РО4, дигідрофосфату амонію (АВР) — ЬІН3Н2РО4.
287
8.1. МЕХАНІЗМИ НЕЛІНІЙНОСТІ
ОПТИЧНИХ СЕРЕДОВИЩ
При малих інтенсивностях випромінювання параметри п і а
можна вважати сталими. У класичному наближенні це відпо-
відає гармонічним коливанням заряджених частинок, з якими
взаємодіють електромагнітні хвилі у оптичному середовищі.
Тоді рівняння Максвелла є лінійними, тобто вектор поляризо-
ваності пропорціональний до вектора %.
8.1.1. Нелінійність коливань
вільного електрона
Оптичні параметри плазми (яка складається з вільних елек-
тронів та іонів) у слабких електромагнітних полях можна вважа-
ти незалежними від інтенсивності випромінювання. У електромаг-
нітному полі на електрон діють і електрична, і магнітна компонен-
ти поля. З боку магнітного поля діє сила Лоренца Рь = еи X В.
Якщо електрон рухається з малою швидкістю V, то сила Лорен-
ца мала. Для того, щоб ця сила була того ж порядку величини,
що і сила, з якою діє електричне поле, швидкість електрона по-
винна бути великою. Тому при малих швидкостях електрона дією
магнітного поля можна знехтувати, і оптичні параметри плазми
можна вважати сталими. При високих інтенсивностях світла
електрони прискорюються (внаслідок зростання напруженості
електричного поля); крім того, збільшується індукція магнітно-
го поля, так що сила Лоренца нелінійно зростає, причому її на-
прям перпендикулярний до напряму руху електрона. Траєкторія
електрона викривлюється. Це й веде до нелінійності.
8.1.2. Тиск світла
При поглинанні фотонів атоми отримують імпульс, направ-
лений вздовж променя, а потім випромінюють фотони в різних
напрямках. У стоячій хвилі (яка створюється в резонаторі ла-
зера і є суперпозицією двох хвиль, що поширюються в проти-
лежних напрямках) на атоми діє сила тиску, направлена до
вузлів стоячої хвилі. Це веде до того, що атоми збираються у
вузлах стоячої хвилі, тобто у вузлах показник заломлення буде
зростати зі зростанням інтенсивності світла, а в пучностях —
зменшуватися.
288
8.1.3. Стрикційна нелінійність
Явище електрострикції полягає в тому, що в електричному
полі змінюється форма твердого тіла (кристалу). Те ж можна
сказати і про магнітострикцію кристалу в магнітному полі. Ці
ефекти приводять до збільшення густини речовини в пучностях
електромагнітного поля. Тому при зростанні інтенсивності елек-
тромагнітної хвилі показник заломлення у пучностях буде збіль-
шуватися, а у вузлах — зменшуватися.
8.1.4. Нелінійність коливань
молекул і атомів
Якщо молекула складається з двох атомів, то залежність її
потенціальної енергії (7 від відстані між центрами атомів має
вигляд, представлений суцільною кривою на рис. 8.1. Для гар-
Рис. 8.1. Конфігураційна діаграма
молекули
монічного осцилятора ця крива повинна бути параболою (що
відповідає штриховій лінії). Залежність (7(х) суттєво відхиля-
ється від параболічної при високих амплітудах зміщення ато-
мів, що спричиняє нелінійність коливань молекул.
8.1.5. Раманівська нелінійність
Раманівська нелінійність — комбінаційне розсіяння світла.
Це явище пов’язане з тим, що електричне поле електромаг-
нітної хвилі одночасно діє на електрони та на іонні залишки
289
(іони), тобто на легку і на важку підсистеми в молекулі. При
цьому відбуваються вимушені коливання легкої і важкої підси-
стем, які пов’язані між собою. За рахунок цього може зміню-
ватися енергія фотонів при розсіянні.
8.1.6. Температурна нелінійність
При проходженні (та частковому поглинанні) електромаг-
нітних хвиль відбувається нагрівання оптичного середовища.
З ростом інтенсивності світла підвищується температура сере-
довища, а значить, і змінюються оптичні параметри, які зале-
жать від температури. Наприклад, при підвищенні температури
звичайно зменшується показник заломлення. Це зумовлює
оптичну нелінійність середовища. В стоячих хвилях температу-
ра може залежати від координати (в пучностях температура
вища, ніж у вузлах).
8.1.7. Електрокалорична нелінійність
Електрокалорична нелінійність оптичного середовища пов’я-
зана з ефектом Штарка. Розглянемо два енергетичні рівні кван-
-------;;-----
&Е
-------"------ Е{
Рис. 8.2. Два енергетичних
рівні квантової системи
тової системи Е{ та Е2, відстань між якими ДЕ, як показано на
рис. 8.2. Тоді в рівноважному випадку для заселеності вказаних
рівнів можна записати співвідношення
де Еі і §2 — кратності виродження даних рівнів.
При високих інтенсивностях світла напруженість електрич-
ного поля є достатньо високою, щоб змінити відстань між
290
рівнями ДЕ = Е2 — Е{ за рахунок ефекту Штарка. При цьому
рівноважна населеність рівнів стає нерівноважною при цій же
температурі.
8.1.8. Ефект Керра
Ефект Керра (квадратичний електрооптичний ефект) — змі-
на показника заломлення оптичного середовища, пропорцій-
на квадрату напруженості електричного поля. У зовнішньому
постійному або змінному електричному полі відбувається не-
лінійна деформація електронних хмаринок в атомах або моле-
кулах оптичного середовища. Крім того, в рідинах і газах під
дією електричного поля може відбуватися переорієнтація моле-
кул, які мають дипольний момент, в тому числі й наведений
зовнішнім електричним полем. Під дією електричного поля у
оптично ізотропному середовищі виникає подвійне променеза-
ломлення, і дане середовище стає подібним до одноосного кри-
стала. При цьому оптична вісь паралельна до напряму вектора
напруженості поля %. Ефект Керра під дією електричного
поля світлової хвилі називають високочастотним, або оптич-
ним. Залежність величини подвійного променезаломлення від
амплітуди електричного вектора А світлової хвилі має вигляд
Ди = пе — и0 = п2А А2, (8.7)
де пе і и0 — значення показника заломлення для незвичайного
і звичайного променів, відповідно; параметр п2А має різні зна-
чення для різних оптичних середовищ. Так, для кварцового
скла п2А — 10“22 м2В“2. Оскільки інтенсивність світла / пропор-
ційна до квадрату амплітуди електричного вектора, замість
формули (8.7) часто використовують вираз
Ди = пе — п0 = п2ІІ, (8.7а)
де для стекол і прозорих кристалів п2/=(3—5)- 10“16 см2Вт-1.
Якщо в ізотропному середовищі поширюється плоскополя-
ризована оптична хвиля високої інтенсивності, то внаслідок
ефекту Керра якраз для неї показник заломлення буде склада-
ти пе. Звичайно інтенсивність світла в центрі оптичного пучка
вища, ніж на його периферії. Тому в оптичних пучках високої
інтенсивності оптичний ефект Керра створює розподіл показни-
ка заломлення з максимумом у центрі пучка. Такий профіль
291
показника заломлення діє на оптичний пучок як збірна лінза
(керрівська лінза).
В кристалах і стеклах оптичний ефект Керра обумовлений
лише нелінійною деформацією електронних хмаринок атомів.
Це зумовлює дуже малу інерційність оптичного ефекту Керра
в даних середовищах. Так, у кварцовому склі час релакса-
ції оптичного ефекту Керра має величину порядку 1—2 фс
(1 фс= 10-15 с).
Існують також інші механізми оптичної нелінійності.
8.2. ПАРАМЕТРИЧНІ НЕЛІНІЙНІ ЯВИЩА
В параметричних нелінійних явищах енергія та імпульс фо-
тонів не передаються речовині, тобто енергія речовини не змі-
нюється. Нелінійне поляризоване середовище лише створює
умови для взаємодії фотонів.
8.2.1. Класичний розгляд параметричних
нелінійних явищ
Розглянемо основні параметричні явища на прикладі взає-
модії двох плоских монохроматичних хвиль, що поширюються
вздовж осі х у нелінійному середовищі. Напруженості елект-
ричного поля для цих хвиль визначаються формулами
= ^юехрІїХсо^ — /^х)], (8.8)
^2 = ^20 ехр[г(со2^ — к2х)]. (8.8а)
Нехай речовина має квадратичну нелінійність, тобто вектор по-
ляризованості можна представити сумою лінійного та квадра-
тичного членів
Р=РЛ + РК, (8.9)
де лінійний член Рл змінюється з частотою со, а його просторо-
вий розподіл виражається у одновимірному випадку хвильовим
числом к. Ці величини такі ж, як і у хвилі, яка падає на кри-
стал. Квадратичний член має вигляд
Рк = е0Х2Г^0.
(8.10)
292
Тоді отримаємо для квадратичного члена
Л = адс2(^ + = адс2(+ 2Г ^2), (8.11)
де величини й’1 і виражаються формулами (8.7) та (8.8).
Скористаємося співвідношеннями
сов2 а =-^(1 + соз2а); (8.12)
созасозр = -^[со5(а + 0) + соз(а — Р)]. (8.13)
Тоді квадратична компонента вектора поляризованості буде
мати кілька складових. З них гармонічні складові:
/>(2(0!) = |е0х2^0со5(2(О!Ґ — 2&,х); (8.14)
/>(2со2) = ± е0х2Г^0со5(2(о2/ — 2/^х); (8.15)
?(«! + (02) = е0Х2^ 10^20 соз[(соі + ю2)/ — (к{ + /г2)х]; (8.16)
/>((О| — (О2) = е0х2^ 10^20 соз[(со, — (О2)/ — (&! — &2)х]. (8.17)
Крім гармонічних складових виникає ще стала компонента по-
ляризованості
/’(0) = |е0х2О + Г220). (8.18)
Відомо, що вектор поляризованості визначає дипольний мо-
мент, розрахований на одиницю об’єму речовини. Наявність
складових вектора поляризованості (8.14)—(8.17) означає, що
в середовищі поширюються хвилі поляризації з частотами 2(0!,
2со2, «! + со2 та |(О! — со2|. Якщо розглянути малий об’єм крис-
талу, то ця область буде мати дипольний момент, який змі-
нюється за таким же законом. Гармонічні коливання даного
дипольного моменту з деякою частотою ведуть до генерації
електромагнітних хвиль на цій же частоті. Це означає, що в
результаті взаємодії двох електромагнітних хвиль в нелінійному
середовищі будуть генеруватися електромагнітні хвилі з часто-
тами 2(0!, 2(о2, (Оі + (о2 та |(Оі — (о2|. Генерація хвиль з частота-
ми 2(0! і 2(о2 називається подвоєнням частоти. Очевидно, по-
двоєння частоти однієї електромагнітної хвилі, тобто генерація
хвилі з частотою 2(о1? може відбуватися і при відсутності хвилі
293
з частотою со2. Генерація хвиль з частотами + со2 та |<о1 — со2|
називається, відповідно, додаванням та відніманням частот.
З формули (8.18) випливає, що в нелінійному середовищі при
поширенні електромагнітної хвилі генерується стала (не залеж-
на від часу) поляризація, а значить, і постійне електричне поле.
Це явище називається оптичним детектуванням.
8.2.2. Параметричні багатофотонні процеси
У квантовому наближенні параметричні багатофотонні про-
цеси можна розглядати як результат взаємодії квантів електро-
магнітного поля — фотонів, наприклад, трьохфотонні процеси:
а) генерація другої гармоніки. В результаті параметрич-
ної взаємодії електромагнітного поля з речовиною знищуються
два фотони і народжується один фотон з подвійною енергією
(рис. 8.3, а);
Рис. 8.3. Параметричні процеси:
а — подвоєння частоти; б — складання частот;
в — віднімання частот; г — параметричне розсіяння
б) складання частот (рис. 8.3, б). Знищення двох фотонів з
різними значеннями енергії супроводжується народженням фо-
тона з енергією Й(со! + со2);
294
в) віднімання частот (рис. 8.3, в). В результаті взаємодії
двох фотонів з енергіями і Або2 народжується фотон з енер-
гією — со2);
г) параметричне розсіяння (рис. 8.3, г). Фотон з енергією
Або «розпадається» на два фотони з енергіями Абс^ і Асо2, сума
яких дорівнює енергії падаючого фотона.
При параметричних нелінійних процесах виконуються зако-
ни збереження енергії та імпульсу фотонів, які беруть участь
у цих процесах (речовина лише створює умови для взаємодії
фотонів). Закон збереження енергії запишемо у вигляді
Асо? = ^Аоу,
(8.19)
де ліва та права частина рівності — енергії фотонів до взаємодії
та після взаємодії, відповідно.
Закон збереження імпульсу (і пропорційного до нього хви-
льового вектора) буде мати вигляд
(8.20)
де ліва та права частини рівності — хвильові вектори фотонів
до взаємодії та після взаємодії, відповідно.
8.3. ПРИКЛАД ПАРАМЕТРИЧНОГО НЕЛІНІЙНОГО
ЯВИЩА: ПОДВОЄННЯ ЧАСТОТИ
Нехай на нелінійний кристал падає монохроматична хвиля,
яка поширюється вздовж осі х:
= ^оехр[/(боґ — &х)].
(8.21)
В нелінійному кристалі немає центру інверсії, тому квадратич-
ний член не дорівнює нулю, і ми одержимо
(8.22)
Вектор поляризованості — це дипольний момент одиниці об’є-
му. Якщо розглянути малий об’єм кристалу, то він буде мати
295
дипольний момент, який змінюється за таким же законом —
Р = ео{Х^оехр[і(соґ — &х)] + ехр[/(2соґ — 2кх)]}. (8.23)
Коливання дипольного моменту має дві компоненти: перша
змінюється з частотою о та просторовий розподіл поля вира-
жається вектором к. Ці величини такі ж, як і у хвилі, яка падає
на кристал. Друга компонента характеризується частотою 2со
і хвильовим вектором 2к. Коливання дипольного моменту є
джерелом електромагнітних хвиль. В кристалі, крім хвилі з ча-
стотою со, буде генеруватися і поширюватися хвиля з подвоє-
ною частотою 2со. Такий генератор називається параметричним
генератором другої гармоніки.
8.3.1. Умова фазового синхронізму
при подвоєнні частоти
Нехай на нелінійний кристал падає електромагнітна хвиля з
циклічною частотою со і хвильовим вектором (в одновимірному
випадку) к. При подвоєнні частоти два падаючі фотони із за-
гальною енергією 2Йсо та імпульсом 2Ігк при взаємодії дають
один фотон з частотою сор = 2со, енергією Йсор = Й2со та імпуль-
сом кр = Л(2со). При параметричному подвоєнні частоти вико-
нуються закони збереження енергії та імпульсу фотонів. Закон
збереження імпульсу в цьому випадку має вигляд
кр = к(2и>)==2к(и>).
(8.24)
Фазова швидкість падаючої хвилі в кристалі визначається фор-
мулою
у = = = (8-25)
п(со) Я
а швидкість генерованої хвилі з подвоєною частотою
___ с ________ 2со
л(2со) £(2со) *
(8.26)
Врахувавши (8.25) і (8.26), із (8.24) отримаємо умову, екві-
валентну закону збереження імпульсу:
и(2со) = и(со).
(8.27)
296
Із (8.27) видно, що для параметричного подвоєння частоти з
високим квантовим виходом необхідно, щоб показники залом-
лення для падаючої та результуючої (з подвоєною частотою)
хвиль були однакові. Рівність (8.27) називається умовою фазо-
вого синхронізму для подвоєння частоти.
Пояснити цю умову можна так: падаюча хвиля поширюється
у кристалі зі швидкістю, що визначається формулою (8.25).
Ця хвиля збуджує в кристалі коливання вектора поляризова-
ності з частотами со і 2со, тому в кристалі поширюються дві
хвилі поляризованості з частотами со і 2со, але обидві хвилі
поширюються з однаковою швидкістю с/п(со). Генерована елек-
тромагнітна хвиля з подвоєною частотою поширюється з іншою
швидкістю с/п(2со). Як правило, в області нормальної дисперсії
показник заломлення зростає з ростом частоти. Якщо не ство-
рювати спеціальних умов, то електромагнітна хвиля з подвоє-
ною частотою відстає у своєму поширенні від хвилі поляризо-
ваності подвоєної частоти і на якійсь відстані їхні фази можуть
бути протилежними, тобто електромагнітна хвиля з подвоєною
частотою буде гаситися. Тоді потік фотонів подвоєної частоти
Ь2(л) буде періодично залежати від відстані, яку пройшла хвиля.
Довжина когерентності для подвоєння частоти — це від-
стань, на якій різниця фаз між хвилею поляризації на частоті
2со та електромагнітною хвилею на цій же частоті досягає л/2,
тобто
&(2со)х - 2&(со)х = л/2. (8.28)
Умова фазового синхронізму може бути виконана, якщо плас-
тину з нелінійного кристала вирізати в певному напрямі. На
рис. 8.4 наведено кутовий розподіл показника заломлення у
одноосному від’ємному кристалі в площині, паралельній до оп-
тичної осі 02. Для звичайного променя, у якого електричний
вектор перпендикулярний до площини хог, показник залом-
лення /2о(со) не залежить від кута ер, що відповідає колу на
рис. 8.4. Для незвичайного променя, електричний вектор якого
знаходиться в площині хог, показник заломлення пе(со) макси-
мальний у напрямку оптичної осі й зменшується при зростанні
кута ф до значення л/2, що зображається еліпсом на рис. 8.4.
Для хвилі з подвоєною частотою кутова залежність показника
заломлення для незвичайного променя ие(2со) також зображу-
ється еліпсом, але більших розмірів. При деякому значенні
кута ф = ф0 даний еліпс перетинається з колом, як£ відповідає
кутовій залежності величини ио(со), як показано на рис. 8.4. Не-
хай первинна хвиля з частотою со поширюється під вказаним
297
кутом фо Д° оптичної осі та має поляризацію звичайного про-
меня. Якщо генерована хвиля з подвійною частотою 2со має
поляризацію незвичайного променя, то швидкості обох хвиль
будуть однакові, тобто буде виконуватися умова фазового син-
хронізму.
Рис. 8.4. Кутові залежності показників
заломлення для звичайного і незвичай-
ного променів у від’ємному одноосно-
му кристалі
В кристалах КОР товщиною (і = 1 см, вирізаних під кутом
Фо до оптичної осі, можна досягти коефіцієнта корисної дії под-
воєння частоти випромінювання до 20 %.
8.4. ПАРАМЕТРИЧНА ГЕНЕРАЦІЯ СВІТЛА
В параметричних підсилювачах і генераторах світла викори-
стовується розпад фотона на два фотони, схематично показа-
ний на рис. 8.3, г. Нехай на нелінійний кристал падає інтенсив-
на плоска монохроматична світлова хвиля (хвиля накачуван-
298
ня) з електричним вектором
Гр = Гр0ехр[/(<о/ — крх)\, (8.29)
а також хвиля меншої інтенсивності (сигнальна хвиля) з елек-
тричним вектором
^ = ^0ехр[/(<о5/ — Аус)], (8.30)
причому
|Гі0|<|Гр0|; <о5<о)р. (8.31)
В результаті параметричної нелінійної взаємодії цих двох
хвиль (див. підрозділ 8.2.1) буде генеруватися (крім інших
хвиль) світлова хвиля з частотою
(О, = — (О, (8.32)
(холоста хвиля, допоміжна хвиля, паразитна хвиля, англ. ісііе
ууауе). Нелінійна взаємодія хвилі накачування з холостою хви-
лею (віднімання частот), в свою чергу, дасть хвилю на частоті
со5. Результатом буде параметричне підсилення сигнальної
хвилі. Параметричне підсилення світла було передбачено в тео-
ретичних роботах С. А. Ахманова, Р. В. Хохлова та Д. Кролла
в 1962 р. Параметрична генерація когерентного оптичного ви-
промінювання була отримана Дж. А. Джордмейном і Р. Мілле-
ром у 1965 р., а також одночасно Р. В. Хохлов створив парамет-
ричний генератор інфрачервоного випромінювання з перестрою-
ванням частоти.
Крім виконання рівності (8.32), що відповідає закону збе-
реження енергії, для параметричного підсилення світла необ-
хідно виконання закону збереження імпульсу фотонів, що бе-
руть участь у даному параметричному процесі, тобто виконання
умови фазового синхронізму (8.20), яка в даному випадку має
вигляд
кр = к3 + кІУ (8.33)
де кр, к3 і кі — хвильові вектори для хвилі накачування, сиг-
нальної та холостої хвиль, відповідно. У від’ємних кристалах
(в яких, при заданій частоті со світлових хвиль, ио(со) > ие(со),
де п0 і пе — показники заломлення для звичайної та незвичайної
хвиль) одночасного виконання умов (8.32) і (8.33) можна до-
сягти (при нормальній дисперсії, коли при підвищенні частоти
299
зростає показник заломлення), якщо хвиля накачування — не-
звичайна, а сигнальна і холоста хвилі — або обидві звичайні,
або одна з них звичайна, а інша — незвичайна. При цьому на-
прямки поширення сигнальноРга холостої хвиль (напрямки від-
повідних хвильових векторів к5 та £,) не збігаються з напрям-
ком поширення хвилі накачування (напрямком вектора кр), як
схематично показано на рис. 8.5.
Рис. 8.5. Виконання закону збережен-
ня імпульсу фотонів при параметрич-
ному підсиленні світла
У параметричних генераторах світла на нелінійний крис-
тал направляють лише світло накачування. Частоти хвиль со5 і
та відповідні значення к5 і вибираються в кристалі авто-
матично серед електромагнітних шумів (так званих параметрич-
них шумів) як такі, що задовольняють одночасно умови (8.32)
і (8.33). Тільки такі хвилі будуть підсилюватися в кристалі.
Рис. 8.6. Схема будови параметричного генера-
тора світла
Будова параметричного генератора світла схематично пока-
зана на рис. 8.6. Нелінійний кристал НК знаходиться в резона-
торі, утвореному дзеркалами Д, і Д2. Оптична вісь нелінійного
кристала орієнтована під кутом 0 до осі резонатора. Випромі-
нювання накачування ВН направляється на кристал (звичайно
фокусується на ньому) крізь дзеркало Дн прозоре для цього
випромінювання. У випадку, коли дзеркала резонатора забезпе-
чують високу добротність резонатора тільки для одної із двох
300
генерованих хвиль, генератор називається однорезонаторним.
Якщо ж добротність резонатора висока для обох генерованих
хвиль, генератор називають дворезонаторним. При достатньо
високій потужності накачування, коли параметричне підсилен-
ня світла компенсує втрати в резонаторі, відбувається генера-
ція когерентного випромінювання на частотах та
Рис.8.7. Схема знаходження частот і на-
прямків поширення генерованих світло-
вих хвиль в параметричному генераторі
Частоти і напрямки поширення генерованих хвиль можна
знайти, як показано на рис. 8.7 для випадку, коли хвиля нака-
чування у від’ємному кристалі — незвичайна, а генеровані хви-
лі — звичайні. Внаслідок того, що в умову фазового синхро-
нізму (8.33) входять значення хвильових векторів у кристалі
(а не у вакуумі), модуль хвильового вектора для хвилі накачу-
вання визначається формулою
|£„(Є)| = пе(шр, $)<ьр/І. (8.34)
Кутова залежність цієї величини в площині падіння при фік-
сованому значенні частоти шр показана еліпсом на рис^8.7. Для
генерованих звичайних хвиль залежності |&5(0)| і |&,(0)|, які
розраховуються за формулами, аналогічними до (8.34), показані
відповідними колами. В експерименті задають кут 0 між на-
301
прямком поширення хвилі накачування (напрямком вектора кр)
і оптичною віссю ОА.
В однорезонаторному генераторі, як вказувалося раніше,
дзеркала резонатора мають високий коефіцієнт відбивання тіль-
ки для одної хвилі (наприклад для хвилі з частотою со5). Тоді
напрям поширення^даної хвилі (напрям вектора к3, тобто кут
§р8 між векторами к3 і кр) задається резонатором. Невідомі ве-
личини со5, та кут 0р/ між векторами кк і к знаходяться із
трьох рівнянь. Перше з них — це рівняння (8.о2), що виражає
закон збереження енергії фотонів. Два інші скалярні рівняння
отримаємо, розписавши векторне рівняння (8.33) через рівнян-
ня для складових векторів за врахуванням (8.34):
гго((д5)<о5со8Єр5 + гго(а),)(о,со8Єр, = гге("Р. (8-35)
по(со5)с05|зіп Єр5| + п0(ш(.)й)/І8іпЄр,| = 0. (8.36)
У випадку, коли хвиля накачування поширюється вздовж осі
резонатора, тобто, коли вектори к$ і кр паралельні, вектор к(
теж направлений вздовж осі резонатора. Тоді замість двох рів-
нянь (8.35) і (8.36) отримаємо одне рівняння —
«„(«М + «„(чХ = 0)“р- (8.37)
Перестроювання частоти генерованих хвиль можна здій-
снювати зміною кута 0 між оптичною віссю кристала і напрям-
ком поширення хвилі накачування, або зміною температури,
яка веде до зміни показника заломлення.
Як уже вказувалося, генерація відбувається при достатньо
високій потужності накачування, коли компенсуються втрати
в резонаторі. У дворезонаторних генераторах генерація почи-
нається при низьких потужностях накачування, порядку кіль-
кох міліват. Але такі генератори схильні до нестабільності ам-
плітуди та частоти і внаслідок цього використовуються рідко.
Такого недоліку немає у однорезонаторних генераторів, але по-
рогова потужність накачування у них приблизно на два поряд-
ки величини вища, ніж у дворезонаторних. Тому однорезона-
торні параметричні генератори працюють при накачуванні від
імпульсних лазерів.
В даний час параметричні генератори когерентного випро-
мінювання з перестроюванням частоти працюють, в основному,
у діапазоні довжин хвиль від 0,4 до 3,5 мкм. Найбільш відпра-
цьована конструкція параметричного генератора на основі кри-
стала ніобату літію ЬіІЧЬОз 3 накачуванням від неодимового
302
(N<1 :¥АСі) лазера. Для генерації в далекій інфрачервоній об-
ласті (на довжинах хвиль до 14 мкм) використовуються криста-
ли пруститу (А£3Аз83) та селеніду кадмію (Сс18е). Квантова
ефективність (тобто відношення числа генерованих квантів на
частоті со5 або со( до числа квантів випромінювання накачуван-
ня, що поглинаються в кристалі) параметричних генераторів
може бути дуже високою, наближаючись до 100 %.
8.5. НЕПАРАМЕТРИЧНІ БАГАТОФОТОННІ
ПРОЦЕСИ
При непараметричних процесах робоча речовина змінює
свою енергію, тобто переходить на інші стаціонарні енергетичні
рівні. Очевидно, при непараметричних процесах у законах збе-
реження енергії та імпульсу треба враховувати ці величини
не тільки для фотонів, але і для речовини. Розглянуті в розді-
лах 1—4 процеси у квантовій електроніці, які ведуть до ге-
нерації фотонів при переходах між енергетичними рівнями, —
це теж непараметричні процеси.
8.5.1. Двохфотонне поглинання
Нехай активне середовище має два стаціонарні енергетичні
рівні Е{ та Е2, як показано на рис. 8.8. Тоді при виконанні рів-
ності
ЙсОі + Йсо2 = Е2 — 51, (8.38)
де і со2 — частоти двох електромагнітних хвиль, можливе
двохфотонне поглинання, причому у найпростішому випадку
= со2. Таке поглинання називається нерезонансним. При не-
резонансному поглинанні активне середовище не має стаціо-
нарного рівня, який би знаходився на відстані від нижнього
робочого рівня. У даному випадку двохфотонне поглинання
можна представити так: під дією фотона з енергією від-
бувається перехід до віртуального стану (час життя якого по-
рядку 1/сОі), а після поглинання другого фотона — перехід до
стаціонарного стану з енергією Е2. Ймовірність такого переходу
№12 пропорційна добутку густин потоків фотонів У двох
хвилях при використанні двох променів і до квадрату пото-
303
ку фотонів Ь2 при використанні одного променя, тобто при
СО! = СО2
Йсо2
Й(О]
— £2
Йсо2
Лсо1
----
а б
Рис. 8.8. Двохфотонне погли-
нання:
а — нерезонансне; б — резо-
нансне
—1-------------------- е2
сп в в
----------е3
сп сп в
---------------------Ех
а б б
Рис. 8.9. Двохфотонне резонанс-
не випромінювання:
а — спонтанне + спонтанне;
б — вимушене + спонтанне;
в — вимушене + вимушене
Можливе і резонансне (каскадне) поглинання. При резо-
нансному двохфотонному поглинанні існує стаціонарний стан
речовини з енергією £3, яка дорівнює що зображено
на рис. 8.8, б. Час життя віртуальних станів, які використову-
ються при нерезонансному двохфотонному поглинанні, складає
10-13—10-14 с, а час життя стаціонарних збуджених станів, що
використовуються при резонансному двохфотонному поглинан-
ні, на багато порядків величини більший. Тому ефективність
резонансних процесів поглинання при низьких інтенсивностях
випромінювання набагато вища, ніж нерезонансних.
Зворотний до двохфотонного поглинання процес — це двох-
фотонне випромінювання, яке може бути резонансним та не-
резонансним. При нерезонансному двохфотонному випроміню-
ванні спочатку відбувається перехід робочої речовини зі стану
з енергією Е2 у віртуальний стан з генерацією фотона з енер-
гією /гсОі, а потім — на рівень Е{ при генерації фотона енергії
Йсо2.
При резонансному двохфотонному випромінюванні перехо-
ди відбуваються через стаціонарний рівень Е3 атома, як по-
казано на рис. 8.9. Двохфотонне випромінювання може бути
спонтанним (коли обидва фотони генеруються спонтанно, що
відповідає рис. 8.9, а), вимушено-спонтанним (з вимушеною ге-
нерацією одного фотона і спонтанною генерацією другого фото-
на, рис. 8.9, б) і вимушено-вимушеним (див. рис. 8.9, в).
304
8.5.2. Комбінаційне розсіяння світла
При комбінаційному розсіянні монохроматичного світла з
енергією фотонів й<в0 у спектрі випромінювання, крім інтенсив-
ної лінії з енергією фотонів лсо0, виникають додаткові лінії на-
багато меншої інтенсивності — так звані супутники з енергіями
фотонів, що визначаються формулою
Йсо, = Йсо0 ± ДЕ,, (8.39)
де і= 1, 2, 3... Знаку «—» відповідають стоксові супутники, а
«+» — антистоксові супутники. Комбінаційне розсіяння світла
в діелектричних кристалах було відкрито і теоретично пояснено
Л. І. Мандельштамом і Г. С. Ландсбергом у 1928 р. Практично
одночасно Ч. В. Раман і К. С. Крішнан відкрили комбінаційне
розсіяння світла у рідинах. Комбінаційне розсіяння (ефект Ра-
мана) спостерігається при проходженні світла в газах, рідинах
і кристалах.
Зміну енергії фотонів при комбінаційному розсіянні можна
пояснити взаємодією фотонів з коливальними або обертальни-
ми станами молекул в газах і рідинах, або з оптичними фоно-
нами (квантами коливань ґратки) в кристалах. На рис. 8.10 по-
казано два сусідні коливальні рівні молекули Е{ і Е2, відстань
між якими
ДЕ = Е2 —ЕР (8.40)
На рис 8.10, а фотон з енергією Йсо0 при поглинанні пере-
водить молекулу в збуджений віртуальний (нестаціонарний)
стан. У даному стані молекула знаходиться дуже короткий час
Дґ, що визначається співвідношенням невизначеності
Йо0Дґ«Й, (8.41)
тобто Ді ~ Т, де Т — період коливань електромагнітної хвилі.
Далі молекула спонтанно переходить у стаціонарний стан з ви-
промінюванням фотона. При переході в стан з енергією Е,, як
показано штриховою стрілкою, випромінюється фотон з енер-
гією Йо)0, тобто відбувається «звичайне» розсіяння світла без
зміни енергії фотона. Такий процес найбільш ймовірний. Але
може відбутися перехід у стан з енергією Е2, як показано су-
цільною стрілкою. У цьому випадку розсіяний фотон має енер-
гію пи)1 = па)0— &Е, характерну для стоксової компоненти.
305
На рис. 8.10, б показано, як генерується антистоксове випро-
мінювання. Молекула, що знаходиться в збудженому коливаль-
ному стані з енергією Е2, поглинає фотон і переходить у збу-
джений віртуальний стан. Якщо при наступному випроміню-
ванні фотона відбувається перехід в стан з енергією Е{, як
показано суцільною стрілкою, то енергія розсіяного фотона
буде лсо2 =
т]й>0
т|й)0
Е2
Еі
Ьй)2
— Ег
-Еі
а.
Рис. 8.10. Схема переходів молекул робо-
чої речовини при комбінаційному розсіянні
світла:
а — при генерації стоксового супутника;
б — при генерації антистоксового супутника
У рівноважному стані при температурі Т між населеностями
(не вироджених) рівнів Е1 та Е2 справедливе співвідношення
М2/М = ехр
__Е2 \
кТ )
(8.42)
Це означає, що молекул у збудженому стані з енергією Е2,
потрібних для антистоксового розсіяння, менше, ніж у стані
з енергією ЕР Тому антистоксова компонента має меншу інтен-
сивність Ідс, ніж інтенсивність стоксової компоненти Іс:
{Ас/іс=ЄХр(—^-^
(8.43)
При підвищенні температури інтенсивність антистоксових су-
путників у спектрі комбінаційного розсіяння зростає у відпо-
відності з формулою (8.43).
306
Класична теорія комбінаційного розсіяння світла враховує,
що при коливаннях молекули періодично змінюється «жорст-
кість» зв'язку електрона в молекулі. При відхиленні г центра
електронної хмаринки від рівноважного положення відносно
атома на електрон діє вертаюча сила
Рг = -кг, (8.44)
де коефіцієнт жорсткості к залежить від конфігураційної коор-
динати /?, яка описує відхилення атома (атомів) від рівноваж-
ного положення у молекулі:
к = к0 — а#, (8.45)
де а = сопзі; при цьому
аЯ к0. (8.46)
Атом здійснює гармонічні коливання, тобто
/? = /?0со5(<овО, (8.47)
де <оа — частота власних коливань молекули у даній моді.
Нехай молекула знаходиться в електромагнітному полі з
електричним вектором
% = ^’0со8(о>ґ), (8.48)
причому
«о » о)я. (8.49)
Для руху електрона можна записати другий закон Ньютона
т ^4 = — кг — е% Осо5(со0. (8.50)
а/2
Враховуючи сильну нерівність (8.49), при розв’язанні рівняння
(8.50) величину /? можна вважати параметром. Тоді рівняння
(8.50) буде мати розв’язок
г = г0со5(<оґ). (8.51)
307
де величина г0 знаходиться із характеристичного рівняння
тсо2г0 = кг0 + е^0, (8.52)
звідки, враховуючи (8.36), отримаємо
<8И>
Врахувавши сильну нерівність (8.49), маємо
г0-----------------<8-54)
/П<02 —Ло \ /П<02 —йо }
Тепер, використавши (8.51) і (8.47), з (8.51) одержимо
г = А СО5(“0 + /тгУ°1,2 С05(&>0 С08((0а/). (8.55)
771СО Лф (/ПО) )
Врахувавши тотожність
соз а соз Р = [соз(а + Р) + соз(а — Р)], (8.56)
отримаємо
г = т<УтСО5((ОҐ) +
+ 2(т^-V {С05^(° + + С°5К“ “ ' <857)
Таким чином, під дією електромагнітної хвилі з частотою коли-
вань (о електрон у молекулі здійснює коливання, які можна
розкласти на три складові з частотами, відповідно, <о, <о + (оа
і <о — <оа, де (оа — частота власних коливань молекули.
Дипольний момент одиниці об’єму речовини (поляризова-
ність) можна визначити як
Р(0 = ег(Г)^ (8.58)
де N — концентрація даних молекул. Коливання дипольного мо-
менту на частотах <о, со + <оа і <о — соа спричиняють генерацію
електромагнітних хвиль з цими частотами. Частота <о збіга-
ється з частотою падаючого світла; частота <о — <оа відповідає
308
стоксовій компоненті розсіяного світла (стоксовому супутни-
ку), а со + соа — антистоксовій компоненті.
Класична теорія комбінаційного розсіяння світла не пояс-
нює, чому інтенсивність антистоксових супутників ІАС звичайно
суттєво нижча, ніж стоксових Іс. Причиною цього є те, що кла-
сичний розгляд справедливий при дуже малих значеннях Д£,
тобто при І^Е^кТ. У цьому випадку із (8.42) отримаємо для
населеностей коливальних станів Щ° веДе У (8.43) до
Лс Ре-
комбінаційне розсіяння широко використовується для до-
слідження спектрів власних коливань молекул і кристалів. При
цьому значення енергій ДЕ, для різних коливальних мод, отри-
мані зі спектрів комбінаційного розсіяння, звичайно збігаються
зі значеннями ДЕ,, отриманими зі спектрів поглинання в інфра-
червоній області. Але деякі значення ДЕ-, отримані з комбіна-
ційного розсіяння, не проявляються в спектрах поглинання і
навпаки. Ця невідповідність пояснюється так: для комбінацій-
ного розсіяння світла необхідно, щоб при коливаннях молекули
змінювалась «жорсткість» зв’язку електрона в молекулі, тобто
змінювалася діелектрична сприйнятливість середовища %. При
цьому дипольний момент молекули може не змінюватися. А для
інфрачервоного поглинання, пов’язаного з переходами між ко-
ливальними станами, необхідно, щоб при відповідних коливан-
нях змінювався дипольний момент молекули.
При розсіянні когерентного лазерного випромінювання може
спостерігатися вимушене комбінаційне розсіяння, яке широко
використовується в лазерах. Детальна класична теорія вимуше-
ного комбінаційного випромінювання розроблена в 1963—64
роках Р. В. Хохловим. Величину ДЕ в формулі (8.40), що ви-
значається відстанню між відповідними рівнями робочої речо-
вини, можна змінювати (наприклад, змінюючи магнітне поле).
При цьому змінюється частота генерації лазера на вимушено-
му комбінаційному розсіянні. Це явище використовується для
перестроювання частоти генерації лазерів.
8.5.3. Лазери на вимушеному комбінаційному
розсіянні світла
Явище вимушеного комбінаційного розсіяння світла (ВКР)
використовується для ефективного перетворення частоти ла-
зерного випромінювання. Використання різних оптичних сере-
довищ (кристалів, стекол, рідин і газів) дозволяє отримувати
309
стоксове зміщення частоти від сотень до тисяч зворотних сан-
тиметрів (у спектроскопії використовується відносна одиниця
частоти = 1Д, де X — довжина хвилі у вакуумі, виражена
в см. Частоті 1000 см-1 відповідає енергія фотона 0,12398 еВ).
Перший лазер на комбінаційному розсіянні світла був ство-
рений Е. Вудбері зі співробітниками у 1962 р. Внаслідок того,
що ймовірність комбінаційного розсіяння дуже низька (на 2—
З порядки менша, ніж ймовірність звичайного релеївського роз-
сіяння), ефективність лазерів на ВКР була низькою. На почат-
ку 70-х років минулого століття, коли були створені світловоди
на основі кварцового волокна з низькими втратами, стали зро-
зумілими перспективи волоконних лазерів на ВКР. Велика дов-
жина взаємодії випромінювання накачування з оптичним сере-
довищем, малий діаметр серцевини, низькі оптичні втрати —
все це сприяє ефективності ВКР у оптичному волокні. Уже
в 1972 р. Р. Г. Столен та інші продемонстрували волоконний
лазер на ВКР. Для накачування використовувалась друга гар-
моніка 1Чс1:¥АСі-лазера (X = 0,532 мкм), генерація відбувалася
у волокні із кварцового скла, резонатор створювався двома
зовнішніми дзеркалами. Стоксове зміщення у кварцовому склі
складає 440 ему1, так що довжина хвилі лазера на ВКР скла-
дала 545 мкм. І тільки в середині 90-х -років, коли були роз-
роблені волоконні світловоди з дуже малими втратами та інші
елементи волоконної оптики та оптоелектроніки, почався бурх-
ливий розвиток волоконних лазерів на ВКР.
Будова триступеневого (3-каскадного) лазера на ВКР схема-
тично показана на рис. 8.11. Для накачування використовуєть-
ся випромінювання неодимового волоконного лазера з довжи-
ною хвилі Хн = 1,06 мкм. Використовуються також іони інших
рідкоземельних елементів, які дають випромінювання інших
довжин хвилі. Ефективну генерацію дає кварцове скло, легова-
не УЬ, а також Ег/¥Ь. За рахунок ВКР у серцевині волоконного
світловода ВС генерується когерентне випромінювання з дов-
жиною хвилі яка визначається стоксовим зміщенням для
даного типу скла. Як уже згадувалося, для кварцового скла
величина стокового зміщення ДV5 = 440 см-1. Фосфоросилікат-
ний світловід має дві спектральні смуги комбінаційного розсіян-
ня зі зміщеннями 490 і 1130 см-1. Використовуються світлово-
ди на основі інших матеріалів, наприклад, германосилікатного
скла, які мають інші значення ДV5. Резонатор для даного ви-
промінювання (резонатор 1) утворюється двома бреггівськими
ґратками, розрахованими на довжину хвилі Після досягнен-
ня порогової потужності, при вимушеному комбінаційному роз-
310
сіянні випромінювання довжини хвилі І! генерується когерент-
не випромінювання з довжиною хвилі Х2. Резонатор для даного
випромінювання (резонатор 2) утворюється двома бреггівськи-
ми ґратками, розрахованими на довжину хвилі Х2. При цьому
бреггівські ґратки ефективно відбивають лише випромінювання
довжини хвилі, на яку вони розраховані. Для іншого випромі-
нювання вони прозорі. Вимушене комбінаційне розсіяння ви-
промінювання з довжиною хвилі Х2 дає когерентне випроміню-
вання з довжиною хвилі Х3, для якого резонатор (резонатор 3)
утворюється відповідними бреггівськими ґратками. Такі ВКР-
лазери можуть мати і більше каскадів. На виході ВКР-лазера
знаходиться бреггівська ґратка на довжину хвилі випроміню-
вання накачування Хн, яка відбиває назад у світловід невикори-
стане випромінювання накачування. ККД такого 3-ступеневого
ВКР-лазера складає біля 25 %. Для однокаскадного ВКР-лазе-
ра на основі германосилікатного скла, який дає випромінюван-
ня з довжиною хвилі 1,12 мкм при накачуванні випромінюван-
ням ітербієвого волоконного лазера (Х= 1,07 мкм), досягнуто
значення ККД 70 %. Потужність ВКР-лазерів досягає 1 Вт,
а в деяких конструкціях наближається до 10 Вт.
ВС
накачування, X,
бреггівські ґратки бреггівські ґратки
Х3 Хг X) X) Х2 Х3 Хн
-----NN—Ні—НН* —НН—НН—NN—НЬ
| резонатор 1 |
резонатор 2
резонатор З
Рис. 8.11. Будова 3-ступеневого ВКР-лазера
Використання у ВКР-лазерах світловодів з різними матеріа-
лами серцевини, а також накачування випромінюванням воло-
конних лазерів на основі різних рідкоземельних елементів, дає
можливість отримувати когерентне випромінювання у діапазоні
довжин хвиль 1,1—2,2 мкм.
Слід відзначити, що волоконні ВКР-лазери (які ще нази-
вають ВКР-конвертерами, оскільки вони перетворюють коге-
рентне випромінювання одної частоти в когерентне випромі-
нювання іншої частоти) звичайно виготовляються в єдиному
технологічному циклі з волоконними лазерами накачування і
з’єднуються з матрицями напівпровідникових лазерів, які ма-
311
ють волоконний вихід. Це зумовлює їх надійність і стабіль-
ність, а також компактність їх конструкції.
8.6. САМООРГАНІЗАЦІЯ ХВИЛЬОВИХ ПАКЕТІВ
У нелінійному середовищі плоскі монохроматичні хвилі ста-
ють нестійкими. В результаті нелінійної взаємодії хвиль з сере-
довищем при певних умовах може відбуватися самостискання
хвильових пакетів, і утворюються стійкі хвильові пакети, які
дістали назву солітонів обвідної. Поперечна нестійкість хви-
льових пучків може приводити до їх самофокусування, або до
самодефокусування. Вказані явища відіграють важливу роль
у нелінійній оптиці.
8.6.1. Самостискання хвильових пакетів
Розглянемо поведінку плоскої квазімонохроматичної хвилі
у нелінійному середовищі. Залежність напруженості поля у та-
кій хвилі від координати х та часу і має вигляд
^(х, ґ) = Аехр(іф), (8.59)
де А — амплітуда; фаза коливань у точці х в момент і визна-
чається виразом
(р = соґ — кх, (8.60)
со — циклічна частота; к — хвильовий вектор (у одновимірному
випадку — хвильове число).
Нехай нелінійність і дисперсія середовища — слабкі. Це
означає, що амплітуда А хвилі та її хвильовий вектор к достат-
ньо повільно змінюються у просторі і з часом.
Із виразу (8.60) можна отримати:
Із умови
312
отримаємо диференціальне рівняння, яке пов’язує зміни вели-
чин (о і к\
дш ЗЛ
дх ді
(8.63)
Як друге рівняння використаємо рівняння неперервності
(рівняння переносу) енергії у хвилі
3р=3(ру) 864
ді дх ' '
де р — густина енергії хвилі; V — групова швидкість:
дш
0 — ~дїг '
(8.65)
З урахуванням того, що р ~ А2, із (8.64) отримаємо рівняння
для амплітуди хвилі:
дАг . д(уА2) = д
ді ' дх ~ '
(8.66)
Будемо вважати хвилю квазімонохроматичною, тобто відносні
зміни циклічної частоти і хвильового вектора вважати малими.
Д<о <о0; Д£ кй
(8.67)
Врахуємо дисперсію середовища. Розкладемо залежність и(к)
в ряд і обмежимось лінійним членом
^к) = ^кй) + №-кй\ (8.68)
де, очевидно,
о дк>
(8.69)
Нелінійність середовища будемо вважати слабкою. Тому в за-
лежності <о(Л2) обмежимось лінійним членом:
<о(£) = <о0(£) + аЛ2, (8.70)
де
313
Підстановка (8.70) в (8.63) з урахуванням (8.65) дає рів-
няння
дЛ . дк , дА2 п /о
<872>
Аналогічно підстановка (8.68) і (8.70) в (8.66) з урахуванням
(8.65) дає:
^- + у^- + РЛ2? = 0- (8.73)
ді дх г дх ' '
Ми отримали систему нелінійних диференціальних рівнянь
(8.72) і (8.73) для величин к та А. В силу нерівностей (8.67)
у цих рівняннях можна вважати V = и(к0) = сопзі. Дана систе-
ма рівнянь описує поведінку плоскої квазімонохроматичної хви-
лі в середовищі зі слабкою дисперсією і слабкою нелінійністю.
При певних умовах така хвиля є нестійкою, і невеликі моду-
ляції амплітуди посилюються, приводячи до самостискання хви-
льових пакетів у напрямку поширення. Щоб це показати, вве-
демо малі періодичні збурення величин А і к:
А = Ао + дАехр[і(уґ — <?%)], (8.74)
к = к0А~ &кехр[і(уі — дх)], (8.75)
де амплітуди збурень
6А -с Ао; дк к0, (8.76)
а періодичний множник збурень будемо вважати плавною функ-
цією від х та і, тобто
V (о0; д к0. (8.77)
Підстановка (8.74) і (8.75) у рівняння (8.72) і (8.73) дає, при
нехтуванні нескінченно малими вищих порядків,
(V — уд)Ьк — 4аА0^6А = 0; (8.78)
- 4(т - ^)А06А - 0. (8.79)
Для існування ненульових розв’язків 6А і 6к необхідно, щоб
характеристичний визначник даної системи дорівнював нулю,
що веде до
V = <?(а ± АоТсф).
(8.80)
314
Із (8.80) видно, що умовою нестійкості плоскої монохрома-
тичної хвилі з постійною (або слабко змінною) амплітудою А є
аР < 0.
(8.81)
При виконанні цієї умови принаймні одна з величин V і д буде
комплексною:
V = <?(ц ± /ЛоТІаРІ). (8.82)
Підстановка (8.82) в (8.74) та (8.75) дає:
А = Ло + 6Л ехр[/(^о/ — дх)]ехр(±Ло>у|ар|0; (8.83)
к = к^ + дкехр[і(дуі — ^х)] ехр(±Л0^|ар|ї). (8.84)
Видно, що малі періодичні збурення амплітуди і хвильового
вектора можуть експоненціально зростати з часом. Це веде до
самодовільної модуляції плоскої хвилі.
Якісно пояснимо явище автомодуляції, самостискання хви-
льових пакетів на основі рис. 8.12. Нехай виконується умова
Рис. 8.12. Автомодуляція хвилі в нелінійному середовищі
з дисперсією
нестійкості хвилі (8.81) і, для визначеності, а > 0. Тоді із (8.81)
виходить 0<О. Із (8.71) видно, що в цьому випадку частота со
зростає з ростом амплітуди хвилі А. Тоді на ділянці а хви-
льового пакета буде відбуватися зростання частоти, тобто
— > 0. Це, відповідно до (8.63), веде до — <0, тобто до
дх ' ді
зменшення хвильового вектора з часом. Але при 0 <: 0 це озна-
315
чає, з урахуванням (8.69), що на цій ділянці — > 0, тобто гру-
ді
пова швидкість зростає з часом. Тому на ділянці а енергія
передається праворуч уздовж осі х швидше, ніж у максимумі
«хвильового згустку», який знаходиться правіше. На ділянці Ь,
навпаки (з урахуванням — <: 0), групова швидкість зменшу-
ся
ється, що веде до «запізнення» передачі енергії на цій ділянці
по відношенню до максимуму даного «хвильового згустку».
Таким чином, задній фронт хвильового згустку «прискорюєть-
ся», а передній фронт — «сповільнюється». Це веде до зро-
стання амплітуди коливань у центрі хвильового згустку й до
заглиблення «провалу» між сусідніми хвильовими пакетами.
Даний процес називається самостисканням хвильових пакетів
або модуляційною нестійкістю плоскої хвилі.
8.6.2. Солітон обвідної
При самостисканні хвильового пакета знижується монохро-
матичність хвилі. Це веде до посилення впливу дисперсії, кот-
ра, в свою чергу, сприяє «розпливанню» хвильових пакетів.
Рис. 8.13. Солітон обвідної
Конкуренція нелінійності та дисперсії може привести до форму-
вання стаціонарних хвильових пакетів, які називають соліто-
нами обвідної. Форма солітона обвідної, схематично показана
на рис. 8.13, відповідає виразу
#(х, і) = №(х — иі) ехр[/(соґ — &х)],
(8.85)
316
де и — швидкість поширення солітона уздовж осі х. Формула
(8.85) являє собою добуток експоненти, що відповідає моно-
хроматичній хвилі (з частотою ш та хвильовим вектором к)
і функції обвідної №(х — иґ). При цьому
Г(х - иі) = —
. ( х — иі
сЬ ------
\ І
(8.86)
а «довжина» солітона визначається формулою
(8'87)
де коефіцієнти а та (3 даються формулами (8.71) і (8.69). Із
виразу (8.87) видно, що довжина солітона обвідної обернено
пропорційна до його амплітуди. При цьому швидкість солітона
не залежить від амплітуди.
8.6.3. Ефект самофокусування
Крім самостискання хвильових пакетів уздовж напрямку по-
ширення, можливо поперечне самостискання хвильових пучків.
Нехай лазерний пучок має круглий переріз діаметра (і, як по-
казано на рис. 8.14. При низькій інтенсивності світла внаслідок
дифракції пучок буде розходитися, що показано стрілками 1 на
рис. 8.14, б, причому кут дифракції визначається формулою
<рй О,61Х/по</, (8.88)
де А. — довжина хвилі; п0 — показник заломлення середовища
при малій інтенсивності світла. Врахування нелінійності середо-
вища (оптичного ефекту Керра) дає для показника заломлення
вираз
п = п0 4- паА2 4- ..., (8.89)
де А — амплітуда коливань; пА — параметр нелінійності даного
діелектрика. Розглянемо випадок пА > 0. Внаслідок того, що
амплітуда коливань у пучку зменшується в сторону його пери-
ферії, при високій інтенсивності лазерного світла залежність
п(у) (де у — координата, перпендикулярна до осі пучка) буде
такою, яка показана на рис. 8.14, а. Нелінійне середовище буде
317
діяти на світлову хвилю, як збірна лінза, і промені будуть ви-
кривлятися в сторону осі. Результат взаємодії дифракції і не-
лінійності залежить від інтенсивності хвилі. Якщо дифракція
переважає (при низьких інтенсивностях світла в пучку і малому
діаметру пучка), пучок буде розходитися. При достатньо висо-
ких інтенсивностях світла буде переважати ефект нелінійності,
і пучок сфокусується, як схематично показано стрілками 2 на
рис. 8.14, б.
Рис. 8.14. Профіль показника заломлення (а) і хід променів у світловому
пучку (б):
1 — при низькій інтенсивності лазерного пучка; 2 — при достатньо висо-
кій інтенсивності
При самофокусуванні лазерного пучка різко зростає густина
потоку енергії, причому напруженість електричного поля світ-
лової хвилі може бути достатньою для пробою діелектрика, в
якому поширюється світло. Тому самофокусування обмежує
максимальну інтенсивність світла, яку можна передавати у да-
ному середовищі.
В кристалах і стеклах час релаксації ефекту Керра має ве-
личину порядку 1—2 фс, і ефект самофокусування використо-
вується для пасивної синхронізації мод лазера, яка дозволяє
отримувати ультракороткі імпульси світла тривалістю в кілька
фемтосекунд.
При певній інтенсивності світла ефекти дифракції і самофо-
кусування зрівноважуються, що веде до поширення світлового
пучка постійного перерізу, обмеженого штриховими лініями на
рис. 8.14, б. Це явище називається самоканалізацією світло-
вого пучка, а сам пучок, що поширюється без зміни перерізу,
являє собою двовимірний солітон.
318
8.6.4. Самодефокусування світла в нелінійному
середовищі
Якщо у виразі (8.89) параметр нелінійності діелектрика
пА с 0, підвищення інтенсивності світла веде до зменшення по-
казника заломлення. На рис. 8.15, а схематично показано про-
філь показника заломлення п(у) оптичного середовища в межах
лазерного пучка діаметра <і при низькій і високій інтенсивно-
стях світла. Внаслідок того, що інтенсивність світла на осі
пучка максимальна і спадає на периферії, показник заломлення
має мінімум на осі пучка. При такій залежності п.(у) нелінійне
середовище веде себе як розсіювальна лінза. Якщо при низькій
інтенсивності світла розбіжність пучка визначається кутом
дифракції (показано стрілками /), то при високих інтенсив-
ностях світла кут розбіжності збільшується до величини, обме-
женої стрілками 2.
Рис. 8.15. а — профіль показника заломлення п оптичного середовища
при низькій (пунктир) та високій (суцільна лінія) інтенсивностях світла;
б — хід променів у світловому пучку (/ — при низькій інтенсивності ла-
зерного пучка; 2 — при достатньо високій інтенсивності)
Один із найбільш сильних механізмів дефокусування світ-
лового пучка пов’язаний з нагріванням оптичного середовища
світлом. При нагріванні середовища показник заломлення змен-
шується, і його профіль у перерізі оптичного пучка відповідає
суцільній кривій на рис. 8.15, а.
Самодефокусування оптичного пучка погіршує роботу ла-
зерів, збільшує кутову розбіжність генерованого випроміню-
вання. В кінці 1960-х років Є. М. Діановим було запропоновано
319
радикальний спосіб підвищення направленості випромінювання
лазерів на основі неодимового скла, який полягає у виборі
складу атермальних стекол, в яких так звана теплова розсію-
вальна лінза не виникає, або ж має дуже малу силу.
Іншою причиною зміни показника заломлення п може бути
зміна коефіцієнта поглинання світла Да в діелектрику згідно
з виразом
п = Пц-\- аДа + • ••, (8.90)
де а — параметр даного матеріалу. Коефіцієнт поглинання се-
редовища може змінюватися за рахунок різних нелінійних явищ.
Так, у дворівневій квантовій системі під дією потужного резо-
нансного випромінювання відбувається зменшення населеності
нижнього рівня і збільшення населеності верхнього рівня (ефект
насичення). Це веде до просвітлення, тобто до локального змен-
шення коефіцієнта поглинання резонансного випромінювання
(див. підрозділ 3.2), а значить, у відповідності з виразом (8.90),
до локального зменшення показника заломлення.
8.6.5. Розпливання і стискання
світлових імпульсів
В нелінійних оптичних середовищах показник заломлення
звичайно зростає з ростом амплітуди коливань. Це означає, що
у виразі (8.70)
а<0. (8.91)
Як відомо, для прозорих діелектриків у області нормальної
дисперсії показник заломлення збільшується з ростом частоти
коливань. Так що, використовуючи вираз (8.69), ми отримаємо
Р<0. (8.92)
Врахування нерівностей (8.82) і (8.83) показує, що умова
самостискання хвильових пакетів (8.72) в нелінійному оптично-
му середовищі в області нормальної дисперсії не виконується.
Для стискання оптичних хвильових пакетів використовують
два оптоелектронні елементи, один з яких є нелінійним оптич-
ним середовищем з нормальною («позитивною») дисперсією,
а другий має «негативну» дисперсію. В установках для стис-
кання світлових імпульсів як нелінійний елемент з нормаль-
320
ною дисперсією звичайно використовується оптичне волокно.
В одномодовому оптичному волокні, внаслідок малого діаметра
серцевини (див. підрозділ 2.4.3), досягаються високі значен-
ня інтенсивності світла. Так, при потужності світлового пучка
1 Вт у волокні з діаметром серцевини 5 мкм інтенсивність
світла досягає значень —1 МВт/см2. У волоконних лазерах
одне і те ж волокно, леговане іонами рідкоземельного елемен-
та, служить і як активне середовище, і як нелінійне середови-
ще з нормальною дисперсією. В лазерах з кристалічним актив-
ним середовищем активний кристал служить і нелінійним сере-
довищем з нормальною дисперсією.
Як елемент з від’ємною дисперсією використовується або
спеціальне оптичне волокно, або система із двох призм із вза-
ємно протилежно орієнтованими вершинами (така схема буде
розглянута в підрозділі 8.7.2), або система двох відбивних диф-
ракційних ґраток.
Схема установки для стискання світлових імпульсів, яка ви-
користовує оптичне волокно як нелінійне середовище і пару
дифракційних ґраток як елемент з від’ємною дисперсією, пока-
зана на рис. 8.16.
Рис. 8.16. Схема установки для стискання лазерних імпульсів
Короткий імпульс світла, отриманий від лазера, за допомо-
гою лінзи Л, фокусується на вході оптичного волокна ОВ.
Після проходження оптичного волокна світло попадає на лінзу
Л2, що формує паралельний пучок (плоску хвилю). Потім світ-
ло попадає на систему з двох паралельних відбивних дифрак-
ційних ґраток Ді; і ДГ2.
Розглянемо поширення світлового імпульсу в оптичному во-
локні. На рис. 8.17 схематично показана залежність модуля
хвильового вектора к світлової хвилі від циклічної частоти со.
В околі точки со0 цю залежність можна розкласти в ряд і об-
321
межитися доданками 1-го і 2-го порядків:
£(<о) = к{ш0) + 0,(0) - (О0) + 102(со — <о0)2, (8.93)
де 0! = 01(соо) і 02 = 02(соо)- Фазова швидкість світлової хвилі
визначається як
(8.94)
М«о) = ^-
Із рис. 8.17 видно, що ур(<о0) = Групова швидкість визна-
чається як
= = тр (8.95)
™ (Оо Р1
Із рис. 8.17 бачимо, що ^(со0) = І£а2. Зі швидкістю ^(со0) П0‘
ширюється хвильовий пакет, у якого центральна частота дорів-
нює со0, а спектр відповідає малому околу частоти со0-
Рис. 8.17. Залежність модуля хви-
льового вектора к світлової хвилі
від циклічної частоти со
Дисперсія групової швидкості (ДГШ) визначається як
Р2(<о0) = -^- (8.96)
(□о
За врахуванням означення групової швидкості (8.95), вираз
(8.96) перетворюється на
<8'97>
і (|)о
322
Якщо у хвильовому пакеті з широким спектром («великому
пакеті») виділити два пакети («малі пакети») з центральними
(несучими) частотами со, і со2, то ні Два пакети будуть поширю-
ватися з різними швидкостями, причому
(8.98)
При залежності &(со), показаній на рис. 8.17, пакет з вищою
несучою частотою со2 буде поширюватися повільніше, ніж па-
кет з нижчою несучою частотою <0р Це означає, що великий
пакет буде розпливатися у часі і в просторі.
Якщо два пакети з несучими частотами (Оі і со2 одночасно
попадають у оптичне середовище довжиною І з дисперсією гру-
пової швидкості 02, то на виході з цього середовища вони бу-
дуть розділені проміжком часу
М - і — Л = 1--------------------!_
(8.99)
Врахувавши означення дисперсії групової швидкості (8.96), із
(8.99) отримаємо
Дґ = ґ2 — /] = р2(со2— ші)^-
(8.100)
При додатній дисперсії групової швидкості, тобто 02 > 0,
хвильові пакети з вищою несучою частотою запізнюються від-
носно пакетів з нижчою несучою частотою. Дисперсію часової
затримки можна визначити як
^ = Р2/.
дсо
(8.101)
Таким чином, хвилі з меншою частотою випереджають по
фазі більш високочастотні хвилі. Зсув фази можна оцінити з
рівності
Дф = 2л¥0Дґ = со0Дґ,
(8.102)
де ¥0— несуча частота. Це явище підсилюється оптичним ефек-
том Керра, тобто збільшенням показника заломлення зі зро-
323
станням інтенсивності світла (див. підрозділ 8.1.8). В резуль-
таті ефекту Керра всередині світлового імпульсу дисперсія
групової швидкості залежить від миттєвої інтенсивності, що
спричиняє додатковий зсув фази залежно від частоти, так зва-
ну самомодуляцію фази. Самомодуляція фази веде до гене-
рації нових частот, тобто до розширення спектру випроміню-
вання у світловому імпульсі. Це дуже важливо для скорочення
тривалості імпульсів Дґ на виході лазера, оскільки мінімальна
можлива тривалість імпульсів Дґтіп^1/Д¥, де Д¥— ширина
спектру випромінювання в імпульсі.
Якщо залежність хвильового вектора від циклічної частоти
світлової хвилі має вигляд (8.93), тобто нелінійні ефекти тре-
тього порядку незначні, розтягування хвиль різних частот в
імпульсі (відставання високочастотних хвиль) веде до лінійної
залежності частоти від часу в даному імпульсі. Така залеж-
ність отримала назву чірп (англійською сИігр, що означає бук-
вально «цвірінькання горобця»), а сам частотно-модульований
імпульс такої форми називається чірпованим.
На рис. 8.18 схематично показана трансформація профілю
імпульсу в оптичному волокні. Крива 1 відповідає профілю ім-
пульсу на вході волокна, крива 2 — на виході. Імпульс «роз-
пливається» за рахунок дисперсії (залежності групової швид-
кості світла в оптичному волокні від частоти), а його фронти
стають більш крутими за рахунок нелінійності.
Рис. 8.18. Трансформація профілю
лазерного імпульсу в оптичному во-
локні:
1 — профіль на вході оптичного во-
локна; 2 — на виході
Рис. 8.19. Розподіл частот електро-
магнітних коливань у лазерному ім-
пульсі після проходження оптично-
го волокна
Посередині імпульсу залежність со(х — VI) лінійна, що є на
слідком лінійності залежності Дґ від Дсо у виразі (8.100)
324
На границях імпульсу со —► со0, де со0 відповідає середній час-
тоті. На основі рис. 8.19 легко з’ясувати механізм укручення
(зростання крутизни) переднього та заднього фронтів імпульсу.
На передньому фронті > 0. При с 0 (нормальній дис-
персії) отримаємо <: 0, тобто хвилі на передньому фронті
імпульсу мають меншу швидкість, ніж всередині імпульсу. Це
і веде до укручення переднього фронту. На задньому фронті
хвилі, як видно з рис. 8.19, виконуються ті ж нерівності, які
ведуть до укручення заднього фронту.
Проходження хвильового пакета крізь систему з двох диф-
ракційних ґраток ДГ1 і ДГ2 показано на рис. 8.20. У цій системі
Рис. 8.20. Проходження хви-
льового пакета крізь систему
з двох дифракційних ґраток
довжина шляху для променя 2 з частотою со2 (ПРИ ю2>Юі)
менша, ніж для променя /, що має частоту сор Залежність дов-
жини оптичного шляху від частоти у цій системі має вигляд
счо
(8.103)
де — <0. Це значить, що в системі дифракційних ґраток ви-
дсо
сокочастотні компоненти зможуть компенсувати своє відста-
вання по фазі, що відбулося у оптичному волокні, і тривалість
світлового імпульсу різко скорочується. Залежно від тривало-
сті й потужності лазерного імпульсу, параметрів оптичного во-
325
локна і дифракційних ґраток можна скоротити світловий ім-
пульс у 10—100 разів.
В установках, що складаються з оптичного волокна і пари
дифракційних ґраток, лазерні імпульси вдається стиснути до
тривалості в кілька фемтосекунд (1 фс= 10“15 с). Такий хви-
льовий пакет містить всього кілька періодів електромагнітних
коливань.
8.7. ОТРИМАННЯ УЛЬТРАКОРОТКИХ ОПТИЧНИХ
ІМПУЛЬСІВ ЗА РАХУНОК САМООРГАНІЗАЦІЇ
ХВИЛЬОВИХ ПАКЕТІВ
Як вказувалось у підрозділі 4.5, для отримання ультракорот-
ких лазерних імпульсів необхідно (але недостатньо) виконання
таких умов: а) ширина спектру квантового підсилення активної
речовини повинна бути достатньо великою. Так, для отримання
імпульсів тривалістю 10 фс необхідна робоча речовина з шири-
ною смуги підсилення біля 1014 Гц. Це потрібно для достатньо
великого числа N інтерферуючих мод; б) необхідно, щоб дис-
персія світла не порушувала еквідистантності частотного спек-
тру мод; в) необхідно забезпечити синхронізацію мод. При
цьому треба враховувати, що сучасні методи радіоелектроніки
забезпечують надійну реєстрацію окремих світлових імпульсів,
якщо часовий інтервал між ними складає не менше кількох
наносекунд. Щоб отримати час повного обходу світловим ім-
пульсом резонатора 10 не, необхідна довжина резонатора 1,5 м.
У відповідності з виразом (4.49), для отримання імпульсів три-
валістю 10 фс у такому резонаторі необхідно синхронізувати
біля 106 мод. Ультракороткі лазерні імпульси отримують за
допомогою пасивної синхронізації мод, яка веде до само-
організації багатомодового випромінювання з узгодженими
фазами.
На рис. 8.21 наведена схема лазера ультракоротких імпуль-
сів неперервної дії. В резонаторі знаходяться такі елементи:
а) активне середовище, яке має широку смугу підсилення
і накачується від високостабільного джерела накачування;
б) пристрій для амплітудної самомодуляції. Модуляція
відбувається автоматично з періодом То повного обходу резо-
натора світловим пучком. Така модуляція спричиняє міжмодове
биття на частоті 1/Т0 (відстань між частотами сусідніх
326
мод становить Д¥6). В лазерах другого покоління самомодуля-
ція відбувається за рахунок просвітлення поглинаючого се-
редовища під дією світла високої інтенсивності. В лазерах
третього покоління для самомодуляції використовується ефект
Керра, який спричиняє самофокусування світлового пучка ви-
сокої інтенсивності в активному середовищі. В лазерах четвер-
того покоління самомодуляція відбувається за рахунок неліній-
ного подвійного променезаломлення у активному волоконно-
му світловоді;
Резонатор
Рис. 8.21. Схема лазера ультракоротких імпульсів неперервної дії
в) регулятор групових швидкостей. Активне середовище
має дисперсію, тобто групова швидкість світла залежить від
частоти (при нормальній дисперсії швидкість світла зменшуєть-
ся зі зростанням частоти). Дисперсія групової швидкості хвиль
веде до розпливання імпульсів (збільшення їх тривалості). Для
отримання ультракоротких імпульсів це розпливання імпульсів
необхідно скомпенсувати. Для цього в резонатор (у деяких ви-
падках на виході лазера) вводиться елемент з протилежним
(від’ємним) знаком дисперсії групової швидкості. Таким елемен-
том може бути система призм або дифракційних ґраток, від-
різок оптичного волокна з аномальною дисперсією і т. п.
8.7.1. Пасивна синхронізація мод за рахунок
просвітлення поглинаючого середовища
Основи теорії пасивної синхронізації мод (так званої флук-
туаційної теорії) для отримання ультракоротких імпульсів світ-
ла були сформульовані В. С. Лєтоховим у 1968 р. Один із
методів пасивної синхронізації мод використовує ефект наси-
чення — просвітлення поглинаючого середовища під дією резо-
327
нансного випромінювання (див. підрозділ 1.6). Частота погли-
нання поглинаючого середовища (поглинача) повинна збігатися
з частотою випромінювання лазера. Для того, щоб поглинач не
зменшував істотно інтенсивності генерованих лазером імпуль-
сів, його інтенсивність насичення, що визначається виразом
(1.108) підрозділу 1.6.1, повинна бути достатньо низькою. Для
ефективного подавлення небажаних імпульсів (шумів) необхід-
но, щоб час релаксації та поглинача був достатньо малий:
та^Г0, (8.104)
де То — час повного обходу резонатора світловим імпульсом.
Для того, щоб поглинач збільшував крутизну заднього фронту
світлового імпульсу, необхідно, щоб час релаксації поглинача
був одного порядку величини з тривалістю імпульсу. Крім
того, щоб світловий імпульс взаємодіяв з поглиначем тільки
один раз за час повного обходу резонатора, необхідно або ви-
користовувати кільцевий резонатор, або поглинач у вигляді тон-
кого шару поміщати впритул біля одного з дзеркал резонатора.
Рис. 8.22 ілюструє формування ультракоротких імпульсів
світла при пасивній синхронізації мод. Після ввімкнення нака-
чування, потужність якого переважає порогове значення, почи-
нається генерація. При цьому завжди є флуктуації оптичного
потоку у вигляді хаотичних імпульсів. Поглинач просвітлюєть-
а 5
Рис. 8.22. а — три світлові імпульси (/—до проходження через погли-
нач; 2 — після проходження); б — трансформація найбільшого імпульсу
(/— імпульс до проходження через поглинач; 2— після проходження;
З — зміна коефіцієнта пропускання поглинача під час проходження ім-
пульсу)
ся при достатньо високій інтенсивності світла в імпульсі й за-
лишається мало прозорим для слабких імпульсів. Тому із трьох
імпульсів, схематично показаних кривою 1 на рис. 8.22, а, після
328
проходження поглинача висота найбільшого імпульсу змен-
шиться слабше, ніж висота двох менших імпульсів, що ілюст-
рується кривою 2. Через достатньо велике число проходів че-
рез поглинач слабкі імпульси зникнуть. Так відбувається
амплітудна дискримінація імпульсів.
Прямі докази того, що пасивна синхронізація мод здійсню-
ється за рахунок амплітудної дискримінації імпульсів з їх хао-
тичної послідовності, отримано в 1973 р. П. Г. Крюковим та ін.
При цьому було встановлено, що лазер з пасивною синхроніза-
цією мод має два пороги генерації. На першому порозі вини-
кає вільна генерація багатомодового випромінювання, а при
досягненні певного коефіцієнта підсилення відбувається гене-
рація цугу ультракоротких імпульсів.
На рис. 8.22, б схематично показано, як змінюється форма
найбільшого імпульсу при проходженні через поглинач. Під час
проходження імпульсу коефіцієнт пропускання поглинача змі-
нюється, як схематично показано кривою 3. Поглинач просвіт-
люється, коли в ньому поглинулося достатнє число фотонів
(див. підрозділ 1.6.1). Тому передній фронт імпульсу «зрізаєть-
ся», стає більш крутим. Якщо час релаксації поглинача достат-
ньо малий, то крутішим стає і задній фронт імпульсу. Так від-
бувається при кожному проходженні імпульсу через поглинач.
При проходженні через активне середовище висота імпульсу
зростає до величини, що визначається потужністю накачуван-
ня. Через деяке число проходів установлюються певна форма
та інтенсивність імпульсу, тобто формується солітон обвідної.
При фіксованій потужності неперервного накачування лазер
генерує послідовність (цуг) однакових імпульсів з періодом То.
Експериментально пасивна синхронізація мод була вперше
отримана при імпульсному накачуванні в режимі гігантських
імпульсів, при застосуванні поглинача з достатньо малим ча-
сом релаксації (кілька пікосекунд). В лазерах ультракоротких
імпульсів першого покоління гігантський імпульс тривалості
20—ЗО не складався з послідовності коротких імпульсів трива-
лістю в кілька пікосекунд, що чергувалися з періодом в 2—5 не,
який дорівнював часу повного обходу резонатора світловим пуч-
ком То. Тривалість цих імпульсів приблизно дорівнювала часу
релаксації поглинача, а виходячи з ширини спектральної смуги
підсилення неодимового скла, що використовувалося як актив-
не середовище, можна було сподіватися на отримання імпульсів
тривалістю порядку 100 фс. Однією з причин неможливості
отримання фемтосекундних імпульсів в режимі гігантських ім-
пульсів є швидке зростання інтенсивності світла в гігантському
329
імпульсі та мала тривалість гігантського імпульсу, так що світ-
ловий імпульс встигав обійти резонатор всього кілька разів
(біля 10 разів), і його тривалість та інтенсивність не встигали
досягти очікуваних (стаціонарних) значень.
Отримати неперервну послідовність однакових імпульсів пі-
косекундного і фемтосекундного діапазону вдалося в лазерах
другого покоління на основі активних середовищ з дуже ши-
рокими смугами підсилення при використанні неперервного
режиму накачування із застосуванням поглиначів з малим ча-
сом релаксації (від сотень фемтосекунд до кількох пікосекунд).
Як активні середовища в таких лазерах використовуються
розчини барвників та кристали сапфіру (А12О3), леговані
іонами титану (Ті3+). Ширина спектральної смуги підсилення
в даних середовищах досягає сотень нанометрів.
Звичайно, як поглиначі в таких лазерах використовуються
розчини органічних барвників з часом релаксації поглинання
в одиниці пікосекунд. Крім того, використовуються явища на-
сичення в напівпровідниках та інших середовищах, наприклад,
в плівках, що містять вуглецеві нанотрубки.
8.7.2. Пасивна синхронізація мод
за рахунок ефекту Керра
Для отримання ультракоротких імпульсів фемтосекундно-
го діапазону в лазерах третього покоління використовується
ефект Керра (див. підрозділ 8.1.8), який спричиняє самофоку-
сування оптичного пучка (див. параграф 8.6.3). Час релаксації
ефекту Керра складає 1—2 фс, що дає можливість отримувати
світлові імпульси тривалості в кілька фемтосекунд.
На рис. 8.23 схематично показано, як використовується кер-
рівська лінза для пасивної синхронізації мод. В резонаторі, що
створюється дзеркалами Д! і Д2, знаходяться активна речовина
АР (звичайно кристал Ті:сапфіру) і діафрагма Д. При прохо-
дженні через кристал світлової хвилі низької інтенсивності кер-
рівська лінза не утворюється, і світловий пучок поширюється,
як показано штриховими лініями. При цьому діаметр пучка
«обрізується» діафрагмою Д. Таким чином, діафрагма вносить
втрати для світлової хвилі низької інтенсивності. Якщо ж
інтенсивність хвилі достатньо висока, під дією цієї хвилі вини-
кає керрівська лінза, яка фокусує, звужує світловий пучок.
Тоді світловий пучок, показаний суцільними лініями, проходить
крізь отвір діафрагми без втрат. Таким чином, з підвищенням
330
інтенсивності світлової хвилі автоматично зменшуються втрати
в резонаторі. Це зумовлює амплітудну дискримінацію імпуль-
сів у резонаторі. Крім того, оскільки час релаксації ефекту
Керра складає 1—2 фс, фокусна відстань керрівської лінзи
встигає змінюватися під час проходження через активний кри-
стал імпульсу тривалістю в кілька фемтосекунд. Оскільки на
передньому і задньому фронтах імпульсу інтенсивність світла
менша, ніж у максимумі, обидва фронти «обрізуються», стають
більш крутими.
Д1
Рис. 8.23. Схема використання керрів-
ської лінзи для пасивної синхронізації
мод
Як детально розглянуто у підрозділі 8.6.5, внаслідок дис-
персії в активному середовищі та в інших оптичних елементах
світлові імпульси розпливаються. Хвилі з меншою частотою
поширюються швидше і випереджають по фазі більш високо-
частотні хвилі. Це явище підсилюється ефектом Керра, тобто
збільшенням показника заломлення зі зростанням інтенсив-
ності світла. В результаті ефекту Керра всередині світлового
імпульсу дисперсія залежить від миттєвої інтенсивності, що
спричиняє додатковий зсув фази залежно від частоти, тобто
самомодуляцію фази. Самомодуляція фази веде до генерації
нових частот, тобто до розширення спектру генерованих мод.
Це дуже важливо для скорочення тривалості імпульсів Дґ на
виході лазера, оскільки мінімальна можлива тривалість імпуль-
сів Дґтіп^ 1/Дл\ де Д¥ — ширина спектру випромінювання в ім-
пульсі.
Як показано в підрозділі 8.6.5, розтягування хвиль різних
частот в імпульсі (відставання високочастотних хвиль) веде
до лінійної залежності частоти від часу в даному імпульсі
(імпульс стає чірпованим). Для отримання ультракоротких ім-
пульсів необхідно компенсувати чірп за допомогою елемента
з від’ємною дисперсією групової швидкості, тобто регулятора
групових швидкостей. Регулятори групових швидкостей буду-
ються на основі середовищ з аномальною (від’ємною) диспер-
331
сією, а також систем дисперсійних призм, дифракційних ґраток
та ін.
На рис. 8.24 схематично показана будова регулятора групо-
вих швидкостей на основі двох призм. Зліва на призму ГІ! падає
чірпований (розтягнутий за рахунок дисперсії) імпульс світла.
Напрямок поширення «високочастотної» хвилі після прохо-
дження призми П1 показано суцільною лінією, а «низькочастот-
ної» — штриховою лінією. Для низькочастотної хвилі довжина
оптичного шляху в призмі П2 більша, ніж для високочастот-
ної. Тому в даній системі двох призм оптична довжина шляху
зростає зі зменшенням частоти хвиль, тобто ця система має
від’ємну дисперсію. Зміщуючи призму П2 вертикально, як по-
казано верхньою стрілкою, можна регулювати від’ємну диспер-
сію цього пристрою.
Рис. 8.24. Схема регулятора групових
швидкостей
Рис. 8.25 ілюструє будову лазера з керрівською лінзою. Ви-
промінювання накачування за допомогою лінзи Л фокусуєть-
ся всередині активної речовини — кристала К. Для мінімізації
втрат, пов’язаних з відбиванням від поверхні, нормаль до по-
лірованих торців кристала Ті:сапфіру (А12О3:Ті) складає кут
Брюстера з напрямком поширення випромінювання накачуван-
ня. Сферичні дзеркала СД, і СД2, прозорі для випромінювання
накачування, служать для фокусування генерованого лазером
випромінювання на кристалі. Резонатор утворюється глухим
дзеркалом Д, і напівпрозорим дзеркалом Д2, через яке виво-
диться генероване випромінювання. Діафрагма Д служить для
пасивної синхронізації мод (див. рис. 8.23). Призми П, і П2
складають регулятор групових швидкостей.
Для накачування звичайно використовується неперервне
випромінювання або аргонового лазера (див. підрозділ 5.3.1),
або неодимового лазера (див. підрозділ 3.3.1) з перетворенням
у другу гармоніку (подвоєнням частоти) потужністю біля 5 Вт.
Лазер дає неперервну послідовність фемтосекундних імпуль-
332
сів (в різних установках від десятків до кількох фемтосекунд)
з періодом біля 10—12 не, довжиною хвилі в максимумі 780—
800 нм. Енергія одиничного імпульсу складає біля 10 нДж,
а миттєва потужність — біля 1 МВт.
Рис. 8.25. Схема будови лазера з керрівською лінзою
Лазер має два пороги генерації: на першому порозі виникає
вільна генерація багатомодового випромінювання, а при досяг-
ненні певного коефіцієнта підсилення відбувається генерація
цугу ультракоротких імпульсів. Імпульс випромінювання має
форму, характерну для солітона обвідної (див. підрозділ 8.6.2).
Тривалість імпульсів Дґ і ширина спектра ДV пов’язані спів-
відношенням
ДVДґ = ^~ 1. (8.105)
Величина к у виразі (8.105) залежить від форми обвідної.
Сучасна теорія генерації ультракоротких лазерних імпульсів
показує, що роль керрівської лінзи і активного середовища по-
лягає у створенні умов для виникнення і стабілізації режиму
генерації, а форма, тривалість і енергія імпульсу відповідають
утвореному солітону. Формування солітона відбувається в ре-
зультаті взаємодії самомодуляції фази і від'ємної дисперсії
системи із двох призм.
Оскільки для формування солітона необхідно виконання
жорстких умов, для генерації фемтосекундних імпульсів необ-
хідна висока стабільність потужності накачування, механічна
і температурна стабільність всієї установки. Такі установки
складні й дорогі. Стабільність їх роботи порушується багатьма
333
факторами. Крім того, енергія солітона пов’язана з його фор-
мою і тривалістю. Тому енергія одиничних імпульсів таких ла-
зерів обмежена.
8.7.3. Пасивна синхронізація мод
у волоконних лазерах
Лазери фемтосекундних імпульсів четвертого покоління
використовують квантове підсилення світла та нелінійні оп-
тичні явища у волоконних світловодах. В схемі, показаній на
рис. 8.21, волоконний лазер фемтосекундних імпульсів має свої
специфічні, волоконні елементи.
Накачування здійснюється від напівпровідникового лазера
(або матриці напівпровідникових лазерів) з волоконним вихо-
дом.
Як активне середовище (активне волокно) з широким спек-
тром підсилення використовується одномодове кварцове волок-
но, леговане іонами рідкоземельного елементу, наприклад, ер-
бію (Ег3+).
Для амплітудної самомодуляції використовується нелінійний
поворот еліпса поляризації в активному волокні. Схема здій-
снення амплітудної самомодуляції світлових хвиль у волоконно-
му лазері показана на рис. 8.26. Після проходження поляриза-
тора П світлова хвиля стає плоско поляризованою. Пластинка
з подвійним променезаломленням ПП (контроллер поляризації)
перетворює лінійно поляризоване світло в еліптично поляри-
зоване з певними параметрами еліпса поляризації: деяким від-
ношенням довжин півосей та певним поворотом головної осі.
Положення еліпсів поляризації для випромінювання низької, ін-
тенсивності і високої інтенсивності В! перед попаданням
світла у активне волокно однакові. Для хвилі низької інтен-
сивності орієнтація еліпса поляризації Н2 після проходження
активного волокна буде такою ж, як еліпса РІ! на вході волок-
на. А при достатньо високій інтенсивності світла у активному
волокні відбувається повертання еліпса поляризації за рахунок
нелінійної взаємодії між поперечними компонентами поля
та %у. Еліпс поляризації для хвилі високої інтенсивності повер-
неться у активному волокні на деякий кут і займе положення
В2. Кут повороту залежить від інтенсивності хвилі І та пропор-
ціональний довжині активного волокна. Підбором довжини
волокна можна добитися, щоб при деякій інтенсивності світла
в імпульсі велика вісь еліпса поляризації В2 була паралельна
334
до осі аналізатора А (при фіксованій довжині волокна можна
цього добитися введенням ще одного контроллера поляризації,
розташованого після волокна). Тоді для хвиль високої інтенсив-
ності оптичні втрати будуть мінімальні. В той же час для хвиль
низької інтенсивності втрати будуть великими, оскільки голов-
на вісь еліпса Н2 не паралельна до осі аналізатора А. Таким
чином відбувається амплітудна самомодуляція у волоконному
лазері. Час релаксації нелінійного повороту еліпса поляризації
такого ж порядку, що і для ефекту Керра, що забезпечує от-
римання світлових імпульсів тривалості в кілька фемтосекунд.
Рис. 8.26. Схема здійснення амплітудної самомодуляції в оптичному
волокні
Виникає питання: чому ефект нелінійного повертання еліпса
поляризації не використовується у фемтосекундних лазерах на
основі кристалів? — По-перше, поперечні розміри кристалів на
кілька порядків більші, ніж діаметр серцевини одномодового
волокна. Тому інтенсивність світлових хвиль у волокні на кіль-
ка порядків величини більша, ніж у активних кристалах при
однаковій потужності. По-друге, довжина оптичного волокна
на кілька порядків величини більша, ніж розміри активних кри-
сталів. Тому ефект нелінійного повертання еліпсу поляризації
має місце у оптичному волокні, але не спостерігається в актив-
них кристалах лазерів третього покоління.
Крім нелінійного повертання еліпсу поляризації, в активно-
му волокні за рахунок ефекту Керра відбувається фазова само-
модуляція (див. параграф 8.6.5 та попередній підрозділ), яка
розширяє спектр генерованих мод, що необхідно для отримання
коротких імпульсів.
Слід відзначити, що елементи схеми, показаної на рис. 8.26,
у волоконному лазері розподілені по довжині його волоконних
ділянок. Так, оптичне волокно завжди має деяке подвійне про-
менезаломлення, що спричиняє еліптичну поляризацію світло-
вих хвиль. Роль пластинки з подвійним променезаломленням
335
ПП (контроллера поляризації) відіграють кілька витків оптич-
ного волокна, число яких і радіус вигину забезпечують певний
поворот еліпса поляризації. В активному волокні відбувається
підсилення світла, розширення спектру мод в імпульсі, збіль-
шення тривалості імпульсу і нелінійне повертання еліпсу поля-
ризації світла. Після активного волокна світло проходить через
другий контроллер поляризації, що складається з кількох вит-
ків оптичного волокна.
За рахунок лінійної та нелінійної дисперсії імпульс світла,
що пройшов указані волоконні ділянки резонатора, стає чір-
пованим, тобто тривалість імпульсу стає дуже розтягнута, а
спектр частот — лінійно розтягнутий. Тому для отримання ко-
ротких імпульсів, як і в лазерах третього покоління, необхідно
компенсувати дисперсію групової швидкості світла. Як компен-
сатор дисперсії групової швидкості використовується відрізок
оптичного волокна з аномальною (від’ємною) дисперсією.
Волоконний лазер фемтосекундних імпульсів має кільцевий
резонатор. Залежно від положення регулятора дисперсії групо-
вої швидкості, лазер може працювати в двох різних режимах
генерації з самосинхронізацією мод.
Перший режим пов’язаний з формуванням оптичного соліто-
на. Такий режим реалізується, коли регулятор групової швид-
кості (компенсатор дисперсії) знаходиться всередині кільцевого
резонатора. Солітон утворюється, коли фазова самомодуляція
компенсується від’ємною дисперсією групової швидкості. Фор-
ма солітона відповідає виразу (8.86). Максимум амплітуди елек-
тричного вектора в солітоні визначається виразом (8.87), де
№0 —► ^0. Це означає, що енергія солітона фіксована при зада-
них параметрах елементів лазера. Якщо після початку генерації
підвищувати потужність накачування, то з’явиться другий со-
літон і т. д., тобто порушиться режим цугу одиничних імпуль-
сів. Другим суттєвим недоліком солітонного режиму є те, що
відбивання світла від неоднорідностей в резонаторі (місць зва-
рювання відрізків волокна з різним функціональним призначен-
ням та ін.) веде до порушень спектру генерованих мод.
Другий режим роботи волоконного лазера фемтосекундних
імпульсів реалізується, коли компенсатор дисперсії групової
швидкості знаходиться не всередині кільцевого резонатора, а
на виході лазера. На рис. 8.27 схематично показана будо-
ва такого лазера. Випромінювання накачування через вхідний
мультиплексор ВМ вводиться в кільцевий резонатор. Контрол-
лер поляризації КПН який складається з певного числа витків
оптичного волокна, повертає на деякий кут еліпс поляризації
336
світла у волокні. Далі світло поширюється у відрізку активного
волокна АВ, тобто одномодового кварцового волокна, леговано-
го іонами рідкоземельного елементу, наприклад, ербію (Ег3+).
Після проходження активного волокна світло попадає в другий
контроллер поляризації КП2. Оптичний вентиль ОВ на основі
ефекту Фарадея (див. рис. 2.20 і пояснення до нього в підроз-
ділі 2.6.2) забезпечує однонаправленість поширення світлових
хвиль у резонаторі. Крім того, він відіграє роль аналізатора.
Рис. 8.27. Схема волоконного
фемтосекундного лазера
Всередині резонатора за рахунок лінійної дисперсії та фа-
зової самомодуляції (пов’язаної з нелінійною дисперсією) ге-
нерується дуже розтягнутий, чірпований світловий імпульс,
енергія якого може бути набагато більша, ніж при генерації
у солітонному режимі. А миттєві значення інтенсивності при
цьому не досягають величин, необхідних для формування со-
літона. Крім того, в такому лазері використовується активне
волокно (з нормальною, додатною дисперсією) малого діаметра
(з діаметром поля моди біля 3 мкм). Це забезпечує сильну
нелінійність показника заломлення, що спричиняє достатній кут
повороту еліпса поляризації та дає значне розширення спектру,
необхідне для отримання коротких імпульсів.
Світло виводиться з резонатора через вихідний розгалужу-
вач ВР і попадає у компенсатор дисперсії групової швидкості
КД, який являє собою відрізок оптичного волокна певної дов-
жини з аномальною (від'ємною) дисперсією. Для зменшення
нелінійних ефектів діаметр серцевини даного волокна суттєво
більший, ніж у активного волокна, і складає біля 10 мкм.
337
На виході лазера отримується неперервний цуг фемтосе-
кундних імпульсів. Енергія одиничного імпульсу, генерованого
таким лазером, приблизно в 10 разів вища, ніж у лазера, що
працює у солітонному режимі.
8.7.4. Властивості випромінювання
фемтосекундних лазерів
Випромінювання фемтосекундних лазерів, що працюють у
неперервному режимі, має ряд унікальних властивостей. На
рис. 8.28 схематично показано спектр випромінювання фемто-
секундного лазера. Із співвідношення невизначеності
ДЕД/>А, (8.106)
де ДЕ — невизначеність енергії квантово-механічної системи,
час життя якої становить Д/, можна зробити висновок, що ши-
рина спектру фемтосекундного імпульсу повинна задовольняти
нерівність
ДсоД/> 1, (8.107)
що з трчністю до множника порядку одиниці узгоджується з
(8.95). Імпульс тривалості 10 фс повинен мати спектр частот
шириною Д'У — 1014 Гц. І дійсно, спектр випромінювання фемто-
секундних лазерів дуже широкий, порядку 1014 Гц, так що різні
фемтосекундного лазера
кольори світла (звичайно, у видимому діапазоні) можна бачити
неозброєним оком. Але лазер дає послідовність однакових
імпульсів, кожен з яких є результатом інтерференції вели-
чезного числа мод. Так, при тривалості імпульсу 10 фс і періоді
чергування імпульсів 10 не (який дорівнює часу То повного
обходу резонатора світловим імпульсом) із виразу (4.49) ви-
338
пливає, що кожен імпульс є результатом інтерференції біля
106 мод. Внаслідок того, що час т існування послідовності
імпульсів у неперервному режимі становить не менше 1 с,
ширина спектру кожної моди ДVт не перевищує 1 Гц. Таким
чином, фемтосекундний лазер можна розглядати як генератор
імпульсів гребінчастого спектру (комб-генератор, від анг-
лійського сотЬ — гребінка).
Добротність моди випромінювання фемтосекундного лазера,
яка визначається виразом (2.128), = ДуЛ^т 1014. Уні-
кальна монохроматичність мод фемтосекундних лазерів дає
можливість використовувати їх випромінювання в метрології,
для створення еталонів частоти.
Нестабільність &Т0/Т0 часу чергування імпульсів фемтосе-
кундного лазера неперервної дії має порядок \/(^т, тобто скла-
дає біля 10“ . Відстань між сусідніми модами, яка визнача-
ється рівністю (4.47), тобто ДV(,= і/Т^, має таку ж малу не-
стабільність. Тому гребінчастий спектр випромінювання такого
лазера можна використовувати як масштабну лінійку з числом
поділок біля 106для прецизійного вимірювання і порівняння
частот оптичного випромінювання, а також для створення оп-
тичного годинника надвисокої точності.
За допомогою активного оптичного затвора, наприклад, еле-
мента Поккельса (див. рис. 4.3 і пояснення до нього), із понад
мільйона мод фемтосекундного лазера можна виділити випромі-
нювання на меншому числі частот (розрідити спектр) і викори-
стати таке випромінювання для багатоканальної (мультиплекс-
ної) передачі інформації в оптичних лініях зв’язку.
Велика ширина спектру випромінювання фемтосекундних
лазерів створює унікальні можливості для оптичного зондуван-
ня середовищ, зокрема, біологічних об’єктів. Згідно з виразом
(1.7) розділу 1, час когерентності ік випромінювання обернено
пропорційний до ширини спектру, тобто Ік = і/Дл?. Це означає,
що інтерференційну картину дадуть лише світлові хвилі, від-
биті у шарі товщиною
Д/= £/, = -£-. (8.108)
де п — показник заломлення середовища. При и=1,5 і
Дї = 1014 Гц отримаємо Д/= 2 мкм, тобто середовище можна
зондувати з такою роздільною здатністю по глибині.
Мала тривалість імпульсів випромінювання створює уні-
кальні можливості для швидкісної спектроскопії. Випроміню-
339
вання фемтосекундних лазерів застосовується для ініціювання
і дослідження надшвидких явищ і процесів. Наприклад, бага-
то хімічних реакцій мають проміжні стадії тривалістю порядку
100 пс. На даній стадії проміжні хімічні структури відрізняють-
ся від вихідних структур та від продуктів реакції. Застосування
фемтосекундних імпульсів дозволяє досліджувати та змінювати
хід реакцій.
Випромінювання фемтосекундних лазерів має унікальні мож-
ливості концентрування світла в часі та в просторі. Навіть при
енергії в імпульсі біля 1 мкДж пікова потужність випроміню-
вання перевищує 1 МВт. Концентрування інтенсивності випро-
мінювання у малому об’ємі у сполученні з нелінійністю взаємо-
дії світла з речовиною створює принципову можливість до-
сліджувати мікрооб’єкти з розмірами менше довжини хвилі та
здійснювати необоротні зміни в малих об’ємах (діаметра менше
довжини хвилі) в різних матеріалах. При фокусуванні світлово-
го пучка розподіл інтенсивності у світловій плямі, схематично
показаний на рис. 8.29, має приблизно гауссову форму, а міні-
мальний діаметр плями (і (при достатній світлосилі об’єктива
та при оптимальному фокусуванні) приблизно дорівнює дов-
жині хвилі. Процес нелінійної взаємодії світла з речовиною
Рис. 8.29. Розподіл випромінюван-
ня у сфокусованій світловій плямі
можна охарактеризувати пороговим значенням інтенсивності
світла тобто можна вважати, що даний процес відбувається
тільки при інтенсивностях світла І>Ц. Тоді нелінійна взаємо-
дія відбувається тільки всередині плями діаметра (11 < (і. Прин-
цип подолання дифракційної межі можна використовувати для
виготовлення мікро- і наноструктур.
340
Випромінювання фемтосекундних лазерів дає можливість
отримувати надвисокі інтенсивності та надвисокі електромаг-
нітні поля. При досяжних інтенсивностях світла 1021 Вт/см2
напруженість електричного поля досягає значень 1012 В/см, що
на два порядки величини перевищує середнє поле, яке діє на
електрон у атомі водню. Густина енергії у сфокусованому ви-
промінюванні досягає значень 3-Ю16 Дж/см3, що відповідає
температурі абсолютно чорного тіла біля 108 К. Такі темпера-
тури досягаються при ядерних вибухах.
Випромінювання фемтосекундних лазерів за рахунок нелі-
нійної взаємодії з речовиною дає можливість отримувати гармо-
ніки високих порядків. Так, за допомогою ближнього інфрачер-
воного випромінювання, що взаємодіяло зі струменем гелію,
отримано імпульси з довжиною хвилі менше 10 нм, тобто в
рентгенівському діапазоні. При цьому, внаслідок нелінійності
процесу генерації гармонік високих порядків, отримано імпуль-
си тривалості 0,2 фс, що відповідає аттосекундному діапазону
(1 ас = 10-18 с).
При взаємодії фемтосекундних лазерних імпульсів з пучком
ультрарелятивістських електронів отримано направлені пучки
у-випромінювання з енергією квантів біля ЗО ГеВ [43].
ЗАДАЧІ ДО РОЗДІЛУ 8
Задача 8.1. Волоконний лазер має серцевину активного волокна діамет-
ра 3 мкм з показником заломлення п = 1,44. Підрахувати зміну показника за-
ломлення за рахунок ефекту Керра у неперервному режимі роботи лазера з
потужністю 10 мВт та в режимі ультракоротких імпульсів тривалістю 100 фс
і періодом чергування 10 не з тою ж середньою потужністю. Коефіцієнт
керрівської нелінійності матеріалу серцевини складає п2/— 1-Ю"16 см2/Вт.
Оцінити зсув фаз між хвилями, що відповідають «підніжжю» імпульсу та
вершині імпульсу, врахувавши, що імпульс має гауссову форму. Довжина
хвилі лазерного випромінювання Х= 1,06 мкм, довжина активного волокна
/а = 5 м.
Задача 8.2. В одному з експериментів з волоконними фемтосекундними
лазерами (П. Г. Крюков, Квант. Злектроника, Т. 34, № 2, 2004) активним
середовищем був відрізок одномодового волокна довжиною /а = 4,95 м, ак-
тивованого іонами Ег+, у якого коефіцієнт ДГШ (дисперсії групових швид-
костей) складав р2 = +0,0195 пс2/м; діаметр поля моди дорівнював 3,1 мкм;
на Х=1,55 мкм коефіцієнт поглинання складав 15 дБ/м. Для отримання
сумарної ДГШ, потрібної для генерації УКІ (ультракоротких імпульсів), в
резонатор включався відрізок одномодового волокна 8МР-28 довжиною Іс
з діаметром серцевини — 10 мкм, у якого ДГШ від’ємна (Р2 = —0,022 пс2/м
на довжині хвилі Х=1,55 мкм). Підбором величини Іс змінювалася три-
341
валість лазерного імпульсу. Мінімальна тривалість імпульсу лазера склада-
ла 75 фс при /с = 166 см. Яке було оптимальне значення коефіцієнта ДГШ
у лінійному режимі для всього резонатора? У режимі генерації коефіцієнт
ДГШ у активному волокні змінюється за рахунок ефекту Керра. Великий
діаметр серцевини волокна з від’ємною ДГШ вибрано спеціально для змен-
шення нелінійних ефектів у компенсаторі ДГШ.
Задача 8.3. Для однокаскадного ВКР-лазера (лазера, що використовує
вимушене комбінаційне розсіяння) на основі германосилікатного скла, який
дає випромінювання з довжиною хвилі 1,12 мкм при накачуванні випроміню-
ванням ітербієвого волоконного лазера (Х=*1,07 мкм), досягнуто значення
ККД 70 %. Яку довжину хвилі буде давати двокаскадний ВКР-лазер на тому
ж волокні та який ККД він може мати? Як перетворити однокаскадний ВКР-
лазер у двокаскадний?
Задача 8.4. Як зміниться частота чергування імпульсів лазера з пасив-
ною синхронізацією мод, якщо пластинку поглинача з насиченням помісти-
ти не безпосередньо біля одного з дзеркал резонатора, а посередині резо-
натора?
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ ДО РОЗДІЛУ 8
1. При яких умовах спостерігаються нелінійні оптичні явища? Як ство-
рити такі умови?
2. Дайте приклади механізмів нелінійної поляризації речовин.
3. Як макроскопічно описати нелінійну поляризацію речовини?
4. Які особливості параметричних нелінійних оптичних явищ?
5. Поясніть механізм параметричної генерації гармонік електромагніт-
них хвиль.
6. Сформулюйте умову фазового синхронізму для подвоєння частоти.
7. В чому полягають особливості будови і роботи параметричних ла-
зерів?
8. Які особливості мають непараметричні нелінійні оптичні явища?
9. Поясніть механізми багатофотонного, зокрема, двохфотонного погли-
нання.
10. При яких умовах спостерігається комбінаційне розсіювання світла?
11. В чому полягають особливості будови і роботи лазерів на вимуше-
ному комбінаційному розсіянні світла?
12. При яких умовах монохроматична хвиля в нелінійному середовищі
нестійка?
13. В чому полягають механізми самофокусування та самодефокусуван-
ня лазерного випромінювання в нелінійному середовищі?
14. Нарисуйте схему установки і поясніть механізм стискання хвильових
пакетів у нелінійній оптиці.
15. Розкажіть про методи отримання фемтосекундних лазерних імпуль-
сів.
16. Які основні властивості має випромінювання фемтосекундних ла-
зерів?
342
9 ЗАСТОСУВАННЯ ДОСЯГНЕНЬ
. КВАНТОВОЇ ЕЛЕКТРОНІКИ
Методи квантової електроніки дають можливість генерувати
випромінювання з унікальними параметрами. Високий ступінь
монохроматичності та когерентності випромінювання викори-
стовується для створення стандартів одиниць фізичних вели-
чин, а також для уточнення значень багатьох фізичних кон-
стант.
В Міжнародній системі одиниць одиниця часу — секунда —
це час, що дорівнює тривалості 9 192 631 770 періодів випро-
мінювання, яке відповідає переходу Е = 4, МЕ = 0 Е = З,
МЕ = 0 між надтонкими рівнями основного стану атома це-
зію-133. Відносна похибка відтворення частоти складає 2-10-13.
На XI Генеральній конференції з мір та ваг у 1960 р. було
прийнято означення одиниці довжини: метр відтворюється за
допомогою еталонного інтерференційного компаратора як дов-
жина, що дорівнює 1 650 763,73 довжин хвиль у вакуумі ви-
промінювання, яке відповідає переходу між рівнями 2р10 і 5с?5
атома криптону-86. Відносна похибка такого еталону метра
складає 6-10-9, в той час як похибка попереднього еталону на
основі платинородієвого бруска складає 10-7.
Висока точність, досягнута у вимірюванні швидкості світла
за допомогою методів квантової електроніки, дала можливість
пов'язати між собою означення метра і секунди. За рішен-
ням XVII Генеральної конференції з мір та ваг у 1983 р., озна-
чення метра таке: метр — це відстань, яка проходиться у ва-
куумі плоскою електромагнітною хвилею за 1/299 792 458 се-
кунди. При цьому значення швидкості світла приймається як
величина, що не підлягає уточненню.
Висока монохроматичність і мала кутова розбіжність ла-
зерного випромінювання розкриває принципово нові можливо-
сті для вимірювання розмірів предметів, відстані, швидкості
потоків газів та рідин, кутової швидкості, для космічного зв’яз-
343
ку, оптичної локації (в тому числі — космічної), для розвитку
оптичних систем запису і зчитування інформації, в тому чи-
слі — голографічних. Висока монохроматичність і можливість
перестроювання частоти лазерного випромінювання викори-
стовуються в безщілинній спектроскопії, у сенсориці, в сучас-
них технологіях отримання наднизьких температур ~ 10-8 К.
Висока інтенсивність лазерного випромінювання дає змогу
використовувати його для обробки матеріалів, для управління
хімічними реакціями, для розробки медичних і біологічних тех-
нологій, для отримання надвисоких температур — 108 К-
Лазерна техніка, квантова НВЧ-техніка, нелінійна опти-
ка, лазерна спектроскопія, квантова метрологія, радіоастро-
номія, лазерні системи запису, зчитування та обробки ін-
формації, лазерний зв'язок та локація, лазерна навігація,
лазерна діагностика матеріалів та виробів, лазерні техно-
логії обробки матеріалів та створення нових матеріалів, ла-
зерні хімічні технології, лазерні біологічні та медичні тех-
нології — неповний перелік нових областей науки і техніки,
які породжені досягненнями квантової електроніки. В кожній із
вказаних областей науки і техніки є монографії, а в цілій низ-
ці з них — і навчальна література. У даному посібнику, присвя-
ченому основам квантової електроніки, ми обмежимось корот-
кою ілюстрацією характерних використань досягнень кванто-
вої електроніки на прикладі голографії, отримання надвисо-
ких і наднизьких температур.
9.1. ГОЛОГРАФІЯ
Голографія використовує високу когерентність лазерного
випромінювання. Термін «голографія» створено із грецьких слів
«уоХоо» — весь, цілий і «урасро» — пишу. Англійський вчений
Денис Габор (О. СаЬог), який у 1948 р. винайшов голографію,
цією назвою підкреслив, що голографічними методами реєстру-
ється повна інформація про хвильове поле, тобто про просторо-
вий розподіл і амплітуди, і фази. Голографічний запис зображен-
ня об’єкта полягає у записі хвильового фронту когерентної світ-
лової хвилі (або хвилі іншої природи), розсіяної даним об’єктом.
Схема запису голографічного зображення предмета пока-
зана на рис. 9.1, а. Когерентне світло попадає на напівпро-
зоре дзеркало Д і розділяється на дві когерентні хвилі: перша,
344
опорна хвиля (опорний пучок) направляється на реєструю-
че середовище (фотопластинку, фоточутливий кристал і т. п.);
друга хвиля падає на предмет П. Розсіяна предметом світлова
хвиля, що називається предметною (об’єктною) хвилею, теж
попадає на фотопластинку. Предметна хвиля, розсіяна точкою
А предмета, і опорна хвиля інтерферують між собою і дають
інтерференційну картину на всій фотопластинці.
Рис. 9.1. Схема запису зображення на голограмі (а) і його відтворення (б):
Д— напівпрозоре дзеркало; П — предмет; Г — голограма; ДЗ і УЗ — дійс-
не та уявне зображення предмета; А1 і А2 — дійсне і уявне зображення
точки А
Голограма від точки А предмета на фотопластинці з малою
товщиною фоточутливого шару є записом сім’ї кривих, які
відповідають перетину сім’ї інтерференційних поверхонь з пло-
щиною даного шару. Коли точкове джерело опорної хвилі зна-
ходиться на скінченній відстані від голограми, а предметна
хвиля отримана розсіянням світла від деякої точки А об’єкта,
інтерференційні поверхні мають форму двополого гіперболоїда
обертання. Коли опорна хвиля — плоска, інтерференційні по-
верхні мають форму параболоїда обертання. Сім’ї даних по-
верхонь, перетинаючись з фоточутливим шаром, дають сім’ї
інтерференційних смуг, тобто різних кривих другого порядку,
залежно від взаємної орієнтації джерела опорної хвилі, даної
точки А предмета і фоточутливого шару.
Те ж саме відбувається з хвилями, розсіяними іншими точ-
ками предмета. Тобто на фотопластинці фіксується інтегральна
інтерференційна картина, яка є результатом взаємодії предмет-
ної та опорної хвиль. Ця інтерференційна картина, зафіксована
фоточутливим середовищем, і є голограма предмета.
345
З наведеного ясно, що фоточутливий шар є тонким, а голо-
грама— двовимірною, коли товщина даного шару менша від-
стані між сусідніми інтерференційними смугами від одної і тої
ж точки предмета.
Рис. 9.1, б ілюструє схему відтворення голографічного зо-
браження. Опорна когерентна світлова хвиля направляється
на голограму. Розсіяна голограмою світлова хвиля відтворює
предметну хвилю і дає з опорною хвилею в тривимірному про-
сторі інтерференційну картину, яка відповідає дійсному ДЗ і
уявному УЗ тривимірним зображенням предмета.
Таким чином, голограма дає можливість за допомогою опор-
ної хвилі відтворити предметну хвилю. І навпаки, за допомогою
предметної хвилі можна відтворити опорну хвилю. Ця власти-
вість голограм називається принципом взаємності між опор-
ною та предметною хвилями і становить основу для практичних
застосувань голографії.
Якщо з голограми створити її негатив, то при відтворенні от-
римаємо однакові зображення предмета з позитива і з негатива.
Цінною властивістю голограм є те, що голограму можна по-
ділити на кілька частин, і кожну з них можна використати для
відтворення зображення предмета. При використанні частини
голограми звичайно підвищується рівень шумів.
Як вказувалося вище, тонка (двовимірна) голограма міс-
тить сім’ї кривих, по яких перетинаються сім’ї інтерферен-
ційних поверхонь з фоточутливим шаром. Важливим проривом
у розвитку голографії став перехід до тривимірних (товстих)
голограм. Ю. М. Денисюк у 1962 р. запропонував і реалізував
запис та відтворення голограм у тривимірних оптичних середо-
вищах. Голограма називається 3-вимірною (товстою), якщо
товщина фоточутливого шару в кілька разів більша відстані
між інтерференційними поверхнями, що відповідають одній
точці об’єкта.
У тривимірній голограмі інтерференційна картина, отрима-
на від опорної хвилі та хвилі, розсіяної точкою А предмета,
являє собою сім’ю поверхонь. Якщо тепер направити на голо-
граму опорну хвилю, інтерференція хвиль, розсіяних на даній
сім’ї поверхонь, дасть максимум лише у випадку, коли вико-
нується умова Вульфа—Брегга
2б/,со5 0, = /іХ, (9.1)
де — відстань між сусідніми інтерференційними поверхнями;
0, — кут між падаючим променем і нормаллю до інтерференцій-
346
ної поверхні; X — довжина хвилі опорного світла; п — ціле чис-
ло. Тому при відтворенні ми отримаємо зображення даної точ-
ки А лише у випадку, коли довжина хвилі опорного сигналу
така ж, яка була при запису голограми. Якщо тепер накласти
у фоточутливому шарі (в одній голограмі) кілька голограм, от-
риманих при використанні різних кольорів опорного світла (на-
приклад, синього, зеленого і червоного), то при освітленні від
джерела неперервного спектру (лампи розжарювання, сонця
та ін.) отримаємо кольорове об’ємне уявне зображення пред-
мета.
Голографічне зображення предмета можна використовувати
замість самого предмета при оптичних дослідженнях, напри-
клад, при вивченні малих змін форми предмету під впливом
механічних напружень, температури, полів різної природи, зно-
шування; для автоматичного розпізнавання предметів і т. п.
Голографічні зображення можна отримувати при викори-
станні електронних пучків, рентгенівському, ультрафіолетово-
му, інфрачервоному та радіочастотному опромінюванні, а також
з використанням ультразвукових хвиль. А відтворювати зобра-
ження можна опроміненням голограми лазерним світлом.
Голографічні зображення (цифрові голограми) можна отри-
мувати на комп’ютері й використовувати для вивчення і аналізу
форми реальних предметів, наприклад, виробів.
9.2. ЛАЗЕРНЕ НАГРІВАННЯ РЕЧОВИН
Фотони не можуть безпосередньо поглинатися електронами,
тому що, внаслідок малої маси фотонів, неможливо при цьому
одночасне виконання законів збереження енергії та імпульсу.
Електрони можуть отримувати енергію від фотонів при їх роз-
сіянні. Для взаємодії електромагнітних полів високої інтенсив-
ності з електронами користуються класичним наближенням.
Другий закон Ньютона для електрона, що взаємодіє з електро-
магнітним полем, має вигляд
= (9.2)
де т — маса електрона; — амплітуда електричного векто-
ра; со — циклічна частота електромагнітного поля. Із розв’язку
347
даного рівняння можна отримати середню кінетичну енергію
електрона
к
Ек =
ту2
2
е2
4/исо2
(9.3)
де враховано,• що середнє значення квадрату швидкості
= Ця енергія надається електрону після «включення»
електромагнітного поля і залишається далі незмінною. При ін-
тенсивності світла /= 1 ГВт/см2 і довжині хвилі X = 0,5 мкм
маємо Ек «=* 0,0025 еВ, що відповідає температурі Т = ЗО К.
9.2.1. Зворотно-гальмівний ефект
Електрон може отримувати значно більшу енергію від фо-
тонів, якщо є третя частинка, яка бере участь у взаємодії. Та-
кою частинкою в плазмі може бути іон, або нейтральний атом.
Тоді, внаслідок того, що відношення мас електрона та іона
1, іон отримує при зіткненні незначну частину кінетич-
ної енергії, але забезпечує зміну імпульсу електрона.
У класичній моделі, позначивши через те середній час між
зіткненнями електрона з іонами, для руху електрона в плазмі
можна записати рівняння
------
аі те аі
(9.4)
де вісь х направлена вздовж електричного вектора електромаг-
нітної хвилі. При і» 2ло) розв’язок даного рівняння має ви-
гляд
у. ___ у.
А ---- С ,
(9.5)
де х — зміщення електрона під дією поля; амплітуда коливань
буде
___ е^0 те
0 т со(соте —/)'
(9.6)
Потужність «перекачування» енергії електрону від поля
складає
р_______ т сіх
Те СІ/
2 т,
2/и 1 + со2т2
(9.7)
348
Слід відзначити, що у рівнянні (9.4) «сила тертя» врахо-
вує зміну імпульсу електрона при пружних зіткненнях з іона-
ми. Але при таких зіткненнях, внаслідок сильної нерівності
т/М<^\, зменшення кінетичної енергії електрона незначне.
При (от»1 максимальна енергія електрона, яка відповідає
рівності потужності перекачування енергії від поля і потуж-
ності втрат, обумовлених розсіянням на іонах у плазмі, визна-
чається виразом
(9.8)
т
де Ек — середня енергія коливань вільного електрона в полі
електромагнітної хвилі при відсутності зіткнень з іонами, що
дається формулою (9.3).
Механізм розігрівання електронів електромагнітним полем
у плазмі є зворотним до гальмівного випромінювання гаря-
чих електронів у речовині, тому таке розігрівання називається
зворотно-гальмівним. Зворотно-гальмівний ефект дає змогу
суттєво підвищити температуру електронів у плазмі. Так, при
/=1 ГВт/см2, X = 0,5 мкм, у дейтерієвій плазмі отримаємо
£тах-50 еВ, Т^О.УЮ6 К.
9.2.2. Поглинання електромагнітних хвиль
плазмовими коливаннями
Подальше підвищення температури плазми досягається за
рахунок поглинання електромагнітних хвиль плазмовими коли-
ваннями. Механізм власних коливань плазми такий: при виник-
ненні неоднорідностей концентрацій електронів та іонів ство-
рюється електричне поле. А це поле діє на електрони та іони.
Внаслідок того, що маса іона М » ту де т — маса електрона,
звичайно враховують лише рух електронів під дією поля. Плаз-
мова частота, тобто власна частота плазмових коливань, ви-
значається формулою
(Ор = у/е2п/(гот), (9.9)
де п — концентрація електронів у плазмі.
Розв’язок рівнянь Максвелла для поширення електромаг-
нітних хвиль у плазмі при частоті со дає для коефіцієнта
349
поглинання
(9.10)
а при ох (ор
де X — довжина хвилі, тобто світло проникає у плазму на дуже
малу відстань —
(9.12)
Плазма, яка створюється при розігріванні речовини електро-
магнітним полем, неоднорідна. Густина плазми, тобто концент-
рація електронів та іонів, мала на великій відстані від поверхні
речовини (мішені) і зростає при наближенні до поверхні. З ви-
разу (9.9) видно, що при низькій концентрації електронів вико-
нується нерівність (о хор, і коефіцієнт поглинання, що визна-
чається формулою (9.10), малий. При наближенні до поверхні
мішені густина плазми зростає, і при певній концентрації елек-
тронів виконується рівність (о = (ор. При заданій частоті па-
даючого електромагнітного випромінювання критична густина
плазми — це така концентрація вільних зарядів у плазмі, при
якій її плазмова частота збігається з частотою со. Із фор-
мули (9.9) отримаємо для критичної концентрації електронів
(9-13)
де (О — частота електромагнітної хвилі, є0 — електрична стала;
т — маса електрона; е — заряд електрона. Із (9.13) видно, що
для кожного значення частоти електромагнітного випроміню-
вання існує своє значення критичної густини плазми.
На периферії мішені концентрація електронів у плазмі
п < пк,
(9.14)
і з (9.10) одержимо для коефіцієнта поглинання:
350
Для поглинання лазерного випромінювання в неоднорідній
плазмі вводиться величина ак, яка не залежить від густини
плазми:
1 9 І2п 2е4пк
— п, 8с V т (кту/* ' ( • )
де еТ — заряд іона. Із виразу (9.15) видно, що при зростанні
густини плазми (концентрації електронів п) коефіцієнт погли-
нання зростає. Коли п наближається до пк, коефіцієнт по-
глинання прямує до нескінченності. В цьому полягає фізичний
зміст поняття критичної густини плазми пк. Найбільший вне-
сок у поглинання світла дає шар плазми товщиною Ік = 1/аЛ.
Світло, що проникає до шару з критичною густиною, відби-
вається.
Плазмові коливання є поздовжніми, а електричний вектор
падаючої електромагнітної хвилі перпендикулярний до променя.
Тому плазмові коливання збуджуються при похилому падінні
променя на поверхню, що нагрівається. Резонансна взаємодія
лазерного пучка з плазмою (яка пов’язана з генерацією плазмо-
вих коливань) в оптимальному випадку (при оптимальному зна-
ченні кута падіння) приводить до поглинання приблизно 50 %
енергії пучка. Але при даному механізмі поглинання, на відмі-
ну від зворотно-гальмівного поглинання, немає обмежень на
максимальну температуру плазми. Резонансне поглинання є ос-
новним механізмом поглинання лазерного випромінювання «га-
рячою» плазмою (розігрітою, наприклад, за рахунок зворот-
но-гальмівного поглинання до температури 7"~ 106 К).
9.3. ЛАЗЕРНИЙ ТЕРМОЯДЕРНИЙ СИНТЕЗ
При синтезі легких ядер виділяється значна енергія, яка
може використовуватися в техніці. Найбільш перспективною
для практичного використання є реакція між ядрами дейтерію
і тритію, при якій генерується ядро 4Не і нейтрон з виділенням
енергії 17,6 МеВ:
О + Т-4Не + п. (9.17)
Для того, щоб відбувалася ядерна реакція, необхідно набли-
зити ядра-учасники на відстань 10“13 см з подоланням по-
351
тенціального бар’єру висотою
Е* _ 2
ь 4л£0/? ’
(9.18)
де 22— атомні номери ядер; е — заряд електрона; є0— елек-
трична стала. При 21 = 72=1 (протони, дейтрони)
Еь^2 105 еВ. Якщо кінетичній енергії ядра поставити у від-
повідність його температуру
Е = |/г7’, (9.19)
де к — стала Больцмана, це відповідає температурі Т«=*2 -109 К.
Таким чином, щоб реакцію «запалити», необхідно нагріти ядра
до критичної температури.
Енергія, що виділяється при термоядерній реакції, може
сама підтримувати температуру ядер при виконанні критерію
Лоусона:
пх > А = (9.20)
де п — концентрація ядер у плазмі; т — час, що характеризує
втрати енергії (час утримання енергії). Якщо втратами на теп-
лопровідність знехтувати, то х — час утримання частинок у
плазмі; ($ — енергія, що виділяється при одній реакції (енерге-
тичний вихід на одну реакцію); о — переріз даної реакції; V —
теплова швидкість ядер. У нерівності Лоусона величина А скла-
дає А «= 1016 см-3 с для чистого дейтерію; А 2 • 1014 см-3с для
суміші, що складається на 50 % з дейтерію і на 50 % з тритію.
В даний час розробляються два шляхи забезпечення вико-
нання критерію Лоусона: а) створення плазми з тривалим ча-
сом життя (час утримання плазми т «=> 1 с) з відносно низькою
густиною (концентрація електронів ц«=1014 см-3) у великих
об’ємах (V100 м3), яка утримується за допомогою сильних
магнітних полів (В 10 Т); б) отримання плазми дуже великої
густини з малим часом життя в маленьких об’ємах, яка утри-
мується за рахунок інерції, а її нагрівання здійснюється ко-
роткими імпульсами лазерного випромінювання, прискореними
електронами, або важкими іонами.
Ядерна реакція синтезу при інерційному утриманні ядер за-
безпечується інерцією ядерного пального, яка дає можливість
створити необхідні умови (температуру і тиск) для даної ре-
352
акції. Основні ідеї лазерного термоядерного синтезу (ЛТС)
були сформульовані і обґрунтовані на початку 1960-х років Ба-
совим і Крохіним в Росії та Ніколсом в США. Перші термо-
ядерні нейтрони в експериментах з ЛТС були зареєстровані
в 1972 р. в ФІАН у Москві.
В установках з прямим збудженням для лазерного термо-
ядерного синтезу на кульку суміші «дейтерій—тритій» діамет-
ром 0,1 — 1 мм одночасно направляються з різних сторін, сфе-
рично симетрично, імпульси від багатьох (десятків і навіть со-
тень) лазерів, як схематично показано на рис. 9.2.
Рис. 9.2. Процеси при симетричному опроміненні сфе-
ричної мішені (М) лазерним випромінюванням (Л). При
поглинанні лазерного випромінювання зовнішня части-
на мішені випаровується (В), що веде до стискання (С)
ядра мішені
Попередньо мішень розігрівається пучком гарячих елект-
ронів. В найбільш поширеному варіанті установки для ЛТС
використовується абляційне (за рахунок випаровування основ-
ного матеріалу) стискання мішені. Лазерні промені Л з інтен-
сивністю світла до 10і5 Вт/см2 і тривалістю ~ 1 не направля-
ються на мішень. Під дією лазерного випромінювання матеріал
мішені (або спеціальної оболонки — аблятора) випаровується,
плазма розлітається радіально, створюючи реактивну силу, що
353
підвищує тиск у речовині мішені до — 1012 бар. В приповерх-
невому шарі плазми відбувається її нагрівання випроміню-
ванням за рахунок зворотно-гальмівного ефекту. Лазерне ви-
промінювання проникає до шару плазми критичної густини,
частково відбивається, а частково генерує коливання плазми.
Під дією реактивної сили створюється ударна хвиля, яка стис-
кає речовину мішені. В даний час досягнуто стискання мішені
в 1000 разів.
За останні десятиріччя в Росії, США, Японії, Англії, Німеч-
чині та в інших країнах створено потужні установки для ви-
вчення процесів, що ведуть до ЛТС. Наприклад, в Росії уста-
новка «Дельфін» має на виході 216 лазерних пучків від неоди-
мових лазерів з довжиною хвилі X = 1,06 мкм. Сумарна енергія
складає 10 кДж, тривалість імпульсу 2 не. Випромінювання
фокусується на мішень діаметром 0,3—1,5 мм. Американська
система «МОУА» має 10 підсилювальних каналів на основі нео-
димового скла, що дають синхронні імпульси в наносекундно-
му діапазоні. Ця установка генерує імпульси з енергією біля
100 кДж і максимальною миттєвою потужністю понад 100 ТВт.
Лазери на основі молекул СО2 (Х = 10,6 мкм) застосовуються
в японській системі «Ьекко» (А, = 10,6 мкм). Сумарна енергія
в імпульсі складає 10 кДж при тривалості імпульсу 1 не.
Для підвищення робочих параметрів плазми використовується
непряме збудження. Капсула з пальним поміщається всередині
контейнера — малого тонкостінного циліндра, виготовленого з
матеріалу з великим атомним номером, такого як золото чи сви-
нець. Контейнер використовується для перетворення енергії ла-
зерного променя в енергію рентгенівських променів, які, в свою
чергу, стискують капсулу з пальним. Параметри діючих устано-
вок поки що недостатні для ініціювання ЛТС з виграшем енергії.
Дослідження з проблеми ЛТС спонукали розробку нових
методів діагностики гарячої плазми в пікосекундному діапазоні
тривалостей. Крім того, «побічні» результати проведених робіт
дали можливість отримати плазму з високими характеристика-
ми для інших застосувань:
а) для потужних точкових джерел рентгенівського випро-
мінювання у діапазоні кілоелектрон-вольт з виходом до 10 %;
б) для рентгенівських лазерів з активною речовиною — плаз-
мою, що створюється лазерним випромінюванням;
в) для джерел високозаряджених іонів (до 2 — 40);
г) для отримання надвисоких тисків (до 3-Ю14 Па);
д) для прискорення макрочастинок (масою біля 1 г) до швид-
кості біля 100 км/с за час у декілька не, та ін.
354
Роботи над проблемою ЛТС виконують стимулюючу роль у
розвитку багатьох областей науки і техніки, мобілізуючи сили
вчених теоретиків і експериментаторів та забезпечуючи необ-
хідні капіталовкладення.
9.4. ЛАЗЕРНЕ ОХОЛОДЖЕННЯ АТОМІВ
У основі охолодження атомів за допомогою лазерного ви-
промінювання лежить створення умов, коли атоми поглинають
фотони з енергією Йсо, а випромінюють фотони з більшою енер-
гією псов, причому різниця енергій Йсов — Йсо забезпечується за
рахунок перетворення частини кінетичної енергії атома у внут-
рішню енергію.
9.4.1. Допплерівське охолодження атомів
На рис. 9.3 наведено спектр поглинання ансамблю атомів
при допплерівському розширенні спектральної лінії. Якщо резо-
нансна частота фотона для переходу між двома енергетичними
Рис. 9.3. Спектр поглинання ан-
самблю атомів при допплерів-
ському розширенні спектральної
лінії
рівнями Е{ і Е2 нерухомого атома складає со0, то для атомів, що
рухаються вздовж лазерного променя зі швидкістю у, резонанс-
355
ною буде частота
со = со0 ± Дсо = со0 ± со0у/с, (9.21)
де знак «+» відповідає руху атомів вздовж напрямку поширен-
ня хвилі, а «—» — в протилежному напрямку. Для допплерів-
ського охолодження атомів використовується випромінювання
з частотою со < со0, як показано на рис. 9.3. Поглинати таке
випромінювання можуть лише атоми, що рухаються проти руху
фотонів зі швидкістю
V = сД(о/(О0.
(9.22)
При поглинанні атомом таких фотонів виконуються закони
збереження енергії
Е2 — Е1 = Йсо + ІДЕ* і, (9.23)
де Д£а — зміна кінетичної енергії атома при зіткненні з фото-
ном, та імпульсу
Р = Ро - |ДР| = Ро - Йсо/с, (9.24)
де Ро і Р — значення імпульсу атома до і після поглинання
фотона. З рівностей (9.23) і (9.24) видно, що при поглинанні
фотона з частотою со кінетична енергія та імпульс атома змен-
шуються. Перехід атома при поглинанні фотона показано на
рис. 9.4. Ймовірність переходу дорівнює ЇГ12; дефіцит енергії
ДЙсо покривається за рахунок зменшення кінетичної енергії
атома. Спонтанне випромінювання фотона з частотою сов, ймо-
вірність якого складає Д2і» повертає атом на нижній рівень.
ДЙсо
Е'
Рис. 9.4. Переходи атома, що
використовуються при доппле-
рівському охолодженні
Внаслідок того, що напрямок поширення спонтанно випроміню-
ваних фотонів — величина випадкова, середнє значення імпуль-
356
сів фотонів, випромінюваних атомом за багато циклів поглинан-
ня—випромінювання, дорівнює нулю.
Таким чином, при взаємодії з фотонами зменшується кіне-
тична енергія атомів, які рухались проти напрямку поширення
фотонів зі швидкістю V, яка визначається формулою (9. 22).
Зіткнення інших атомів з цими «охолодженими» атомами змен-
шує їхню кінетичну енергію, тобто веде до охолодження ансам-
блю атомів.
Мінімальна температура, що може бути досягнута за раху-
нок ефекту Допплера, обумовлена стохастичною (випадковою)
природою процесів поглинання і спонтанного випромінювання
фотонів атомами. Із співвідношення невизначеності
Д£Д/ = Й,
(9.25)
взявши Д/ = 2т2і (що відповідає насиченню при високих інтен-
сивностях лазерного збудження, коли атом перебуває приблиз-
но однаковий час на нижньому і верхньому робочих рівнях)
і Д£, = ^Ттіп, де к— стала Больцмана, отримаємо
Лпіп = М^21)-
(9.26)
Більш точні розрахунки, що враховують кутовий розподіл спон-
танно випромінюваних фотонів, дають приблизно такий же ре-
зультат.
У першому успішному експерименті з 3-вимірного доппле-
рівського охолодження атомів (який було проведено С. Чу та
іншими у 1985 р.), пучок атомів Иа було направлено на область
перетину трьох взаємно перпендикулярних стоячих хвиль з ча-
стотою со — со0 < 0, сформованих шістьма лазерними променя-
ми діаметром 7 мм. У цьому експерименті було охолоджено ан-
самбль із приблизно 105 атомів, так що світіння «хмаринки»
цих атомів було чітко видно неозброєним оком. Цю хмарин-
ку, враховуючи «в’язкість» оптичного поля для атомів, автори
назвали «оптичним сиропом» (оріісаі гпоіаззез). Температуру
атомного ансамблю було оцінено по спаданню числа атомів у
ансамблі за рахунок їх розлітання після вимкнення охолоджу-
ючого лазера. Оцінка дала Т = 240±^£° мкК.
Подальші експерименти було проведено на більш доскона-
лих установках. Лужні атоми (Ка, КЬ, Сз) було охолоджено до
температури порядкуЮ-4 К, яка отримала назву допплерівської
температури. У даний час в експериментах з охолодження ви-
користовуються атоми біля 20 елементів.
357
9.4.2. Отримання наднизьких температур
Для суб-допплерівського охолодження використовується
так званий сізіфів ефект (інша назва — стимульоване охо-
лодження). Електричне поле інтенсивної стоячої лазерної хви-
лі викликає ефект Штарка — розщеплення підрівнів атомів.
Це розщеплення відсутнє у вузлах стоячої хвилі й максималь-
не — у пучностях. Якщо атом поглинає фотон, знаходячись у
вузлі стоячої хвилі, а потім рухається в сторону пучності та,
досягти пучності, випромінює фотон більшої енергії, то дефі-
цит внутрішньої енергії покривається зменшенням кінетичної
енергії атома при подоланні потенціального бар’єру. Слід від-
значити, що цей ефект при енергії фотонів Йсо > Е2 — Ех відбу-
вається лише для дуже повільних атомів, які за час життя т2і
рівня Е2 рухаються не далі, ніж з вузла у пучність, тобто на
Х/4. Для атомів з більшими швидкостями при Да>>0 за раху-
нок ефекту Допплера відбувається нагрівання. Таким чином,
сізіфів ефект можна використовувати лише після допплерів-
ського охолодження атомів.
Для суб-допплерівського охолодження атомів використову-
ється також рух атомів у світловій хвилі з градієнтом поля-
ризації при наявності у охолоджуваних атомів багатьох енер-
гетичних рівнів. При русі атома в сильному світловому полі з
періодично змінною поляризацією змінюється величина штар-
ківського розщеплення рівнів та ймовірність оптичних пере-
ходів. Якщо атом поглинає фотони в області, де розщеплення
рівнів менше, а випромінює там, де розщеплення більше, то
різниця енергій покривається за рахунок зменшення кінетичної
енергії атомів. Описаний механізм ефективний лише для атомів
з малою швидкістю V < V'., де критична швидкість V'. відповідає
зміщенню Дх = А,/8 за час Д/=1/^12, тобто ^С = -|-1Г12. Міні-
мальна температура, яка може бути досягнута при даному ме-
ханізмі охолодження атомів, відповідає випадку, коли імпульс
атома має величину порядку імпульсу одного випромінюва-
ного фотона (імпульсу віддачі). Квантово-механічний розгляд
дає для середнього значення імпульсу охолоджених атомів
Ртіп-6^, де к — хвильовий вектор фотона у лазерному ви-
промінюванні, і для температури
*Ттіп = 18^£, (9.27)
тс1
де т — маса атома. В 3-вимірному «оптичному сиропі» на осно-
358
ві атомів Сз описаним методом було отримано мінімальну тем-
пературу 2,5 мкК.
Для суб-віддачного охолодження використовуються пере-
ходи між такими рівнями, для яких ймовірність поглинання фо-
тона дорівнює нулю при швидкості атома V = 0 і зростає при
збільшенні швидкості. Тоді створюється «чорна область» (по
аналогії з «чорною діркою» у астрофізиці) у просторі швидко-
стей: атоми, що випадково попали в дану область, не можуть
її покинути під дією лазерного випромінювання. Даним мето-
дом у 1995 р. було досягнуто тривимірне охолодження атомів
до Т = ії,2Іік/т.
Інший спосіб суб-віддачного охолодження використовує
вимушене комбінаційне (раманівське) розсіювання лазерно-
го випромінювання. Вперше раманівське охолодження атомів
натрію до температури Т = ^,2Іїк/т було продемонстровано
в 1992 р. В 1996 р. за допомогою раманівського охолодження
досягнуто температури атомів 1 мкК.
Охолодження до наднизьких температур було здійснено
за рахунок локалізації атомів у магнітній пастці та наступного
«випаровування» із цієї пастки атомів, швидкість яких була
більша від середньої її величини (для атомів, що знаходились у
даній пастці). За допомогою випаровування атомів із магнітної
пастки досягнуто температури атомів Т — 10“8 К.
Використання лазерного охолодження атомів відкриває
нові перспективи революційних досягнень у фізиці й техніці.
В 1995 р. М. Г. Андерсоном та іншими було вперше отримано
новий стан речовини — конденсат Возе—Ейнштейна. З’явилась
можливість на кілька порядків величини зменшити похибку
стандарту частоти, підвищити точність еталонів фундаменталь-
них фізичних величин, розв’язати багато важливих проблем
атомної спектроскопії.
ЗАДАЧІ ДО РОЗДІЛУ 9
Задача 9.1. Розрахувати максимальне значення напруженості електрич-
ного поля в електромагнітній хвилі з інтенсивністю 1О20 Вт/см2.
Задача 9.2. Розрахувати тиск світла при інтенсивності 1О20 Вт/см2.
Задача 9.3. Густина енергії у сфокусованому випромінюванні лазерів
ультракоротких імпульсів досягає значень З - 1О10 Дж/см3. Розрахувати мак-
симальну температуру, до якої можна нагріти речовину таким випроміню-
ванням.
359
Задача 9.4. Розрахувати максимальну температуру, яку можна отрима-
ти у дейтерієвій плазмі за рахунок зворотно-гальмівного ефекту при опромі-
ненні її світловими імпульсами інтенсивністю /= 1 ГВт/см*при Х = 0,5 мкм.
Відношення мас дейтрона і електрона М/т = 3670.
Задача 9.5. Розрахувати критичну концентрацію електронів для погли-
нання випромінювання з Х = 1,06 мкм плазмовими коливаннями. Маса елек-
трона т = 9,110-31 кг; заряд електрона е = 1,602 • 10-19 Кл.
Задача 9.6. Оцінити, наскільки зменшиться кінетична енергія атома вод-
ню після поглинання одного фотона з довжиною хвилі X = 0,656 мкм, що
рухався назустріч атому, та послідовного випромінювання фотона у зворот-
ному напрямку.
КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ ДО РОЗДІЛУ 9
1. Які особливості лазерного випромінювання зумовили широке застосу-
вання лазерів у науці й техніці?
2. Нарисуйте і поясніть схему голографічного запису і зчитування зо-
браження предметів.
3. Чим відрізняються двовимірні та тривимірні голограми?
4. Які основні механізми лазерного нагрівання речовин?
5. В чому полягає зворотно-гальмівний ефект при поглинанні лазерного
випромінювання?
6. Які процеси використовуються для створення умов для лазерного тер-
моядерного синтезу?
7. Поясніть принцип допплерівського охолодження атомів.
8. За рахунок яких квантових процесів отримують наднизькі темпера-
тури?
ДОДАТКИ
Д1. ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНЕ ВИЗНАЧЕННЯ
ЧАСУ ЖИТТЯ ЗБУДЖЕНОГО СТАНУ
КВАНТОВОЇ СИСТЕМИ
Експериментально час життя збудженого (в нашому при-
кладі 2-го) стану т2 можна визначити, якщо виміряти процес
затухання (релаксації) люмінесценції після закінчення збуджен-
ня. Блок-схема установки для дослідження кінетики люмінес-
ценції речовин схематично показана на рис. ДІЛ. Система збу-
дження переводить квантові об’єкти у зразку 3 в збуджений
стан. Система збудження може бути оптичною. Тоді ми маємо
Рис. ДІЛ. Блок-схема установки для
дослідження кінетики люмінесценції
фотолюмінесценцію. У цьому випадку система збудження зви-
чайно включає імпульсне джерело світла ДС і монохроматор
МІ, як показано на рис. Д1.1. Збудження може відбуватися за
допомогою електричного поля, під дією пучка прискорених еле-
361
ктронів, за допомогою рентгенівських променів та інших іонізу-
ючих випромінювань.
Для вимірювання кінетики затухання люмінесценції важли-
во, щоб збудження припинялось за час Д/ -с т2, Де х2 — час
життя збудженого стану (ми умовно дали йому номер 2) кван-
тової системи.
Випромінювані зразком фотони звичайно проходять через
монохроматор М2 і попадають на фотодетектор, який генерує
електричний сигнал,’ пропорційний до інтенсивності випромі-
нювання зразка. Електричні сигнали попадають на реєструючу
систему, яка фіксує залежність інтенсивності люмінесценції
від часу.
Після закінчення збудження число частинок у 2-му стані
М2(0 буде визначатися диференціальним рівнянням
(Ж2
*2
(ДІЇ)
Враховуючи, що число спонтанно випромінюваних фотонів,
згідно з формулою (1.33), пропорційне до величини У2, ми от-
римаємо: число фотонів Фк(/), що реєструється за одиницю
часу, буде підкорятися аналогічному рівнянню —
^г = ~тф^- (Ді-2)
114 ^2
Це означає, що час релаксації люмінесценції дорівнює часу
життя стану 2.
При початковій умові Фд(0) = Фдо розв’язком рівняння
(Д1.2) буде
Фя(1) = фяоехр(—і/т2). (Д1.3)
Побудувавши за експериментальними даними графік залежно-
сті Іп—=-(г), отримаємо відрізок прямої лінії, як показано на
ф
рис. Д1.2. Знайшовши нахил прямої 1п^-(ґ) за методом най-
менших квадратів, величину т2 можна розрахувати за формулою
яка випливає з (Д1.3).
362
Крім радіаційних (випромінювальних) переходів 2—► 1, ймо-
вірність яких дорівнює Л2) = 1/т2І, можуть відбуватись раді-
аційні переходи з 2-го стану в інші стани (з номерами і¥= 1).
Рис. Д1.2. Кінетика затухання люмінесценції
Для кожного з цих переходів ймовірність дорівнює 1/т2/. Крім
того, можуть відбуватися також невипромінювальні переходи
(без випромінювання фотонів), що характеризуються ймовірні-
стю 1/т2л. У цьому випадку визначений експериментально час
життя збудженого стану т2 і величина т21, що входить в форму-
лу (1.34), пов’язані співвідношенням
1/т2=1/т2і4-21Л2, + 1Л2п. (Д1.5)
Квантовим виходом люмінесценції (пов’язаної з переходами
2—» 1) називається відношення ймовірності випромінювально-
го переходу 2 —► 1 до сумарної ймовірності всіх переходів атома
з рівня 2, тобто
Пь = (1/і2і)/( 1 А2) = т2Л21 •
(Діб)
Вимірявши окремо величини т2 та г|£, можна знайти величину
^21 — 1/Х2І-
Д2. ВИВЕДЕННЯ ФОРМУЛИ ПЛАНКА
Спектральний розподіл густини енергії рівноважного (тепло-
вого) випромінювання визначається формулою Планка. Вивес-
363
ти формулу Планка можна виходячи з того, що спектральна
густина енергії фотонів у рівноважних умовах може бути запи-
сана як добуток трьох співмножників:
Ру=^-^./т (Д2.і)
де перший співмножник /IV враховує енергію одного фотона;
другий співмножник N4 являє собою частотну густину станів
фотонів; третій співмножник [(Ну) — це функція розподілу фо-
тонів за їх енергією.
Фотони як частинки із цілим спіном підкоряються статис-
тиці Бозе—Ейнштейна. Функція розподілу Бозе—Ейнштейна
має вигляд
= , (Д2.2)
ЄкТ — 1
де к — стала Больцмана; Т — температура. Функція розподілу
дає значення середнього числа частинок, що знаходяться в
кожному із станів.
Частотну густину станів N4 в (Д2.1) знайдемо, враховуючи,
що у фазовому просторі (6-вимірному просторі, де координата-
ми є х, у, х — просторові координати та рх, рг — складові
імпульсу системи), одному стану відповідає об*єм /і3. Це озна-
чає, що фазовий простір можна поділити на елементарні комір-
ки об’ємом
Кф° = ДхДг/ДгДрхДр,Др2 = Н\ (Д2.3)
Одній комірці відповідає, при заданій поляризації електро-
магнітної хвилі, один стан фотона. Крім хвильового вектора,
стан фотона характеризується напрямком коливань електрич-
ного вектора & відповідної електромагнітної хвилі у площині,
перпендикулярній до хвильового вектора. У цій площині можна
вибрати два взаємно перпендикулярні напрямки ох і оу. Коли-
вання вектора & у будь-якому іншому напрямку при лінійній
поляризації, а також його зміни у еліптично поляризованій хви-
лі можна представити як суперпозицію незалежних коливань у
вказаних двох напрямках ох і оу. За врахуванням двох сту-
пенів свободи фотона, пов’язаних з двома напрямками неза-
лежних коливань вектора одній елементарній комірці Уф
відповідають два стани фотона. У 6-вимірному просторі, де
координатами є х, у, х та складові хвильового вектора &х, ку, к2,
364
елементарній комірці відповідає об’єм
Уф° = ДхДі/ДгД£хД£уД£г = (2л)3. (Д2.4)
Формулу (Д2.4) можна отримати з (Д2.3), враховуючи, що між
імпульсом і хвильовим вектором будь-якої частинки має місце
співвідношення
р = Й£. (Д2.5)
Підрахуємо число станів, що знаходяться в інтервалі зна-
чень модуля хвильового вектора від к до к + Д&, в речовині чи
у вакуумі об’ємом
У=ДхДуДг=1. (Д2.6)
Для цього в 6-просторі виділимо сферичний шар радіуса к і
малої товщини Д/г, як показано на рис. Д2.1. Об’єм цього шару
складає
ДУ* = 4л62Д£. (Д2.7)
Рис. Д2.1
Число станів фотонів, що відповідають даному значенню ДУА,
визначається як
ДМ = 2ДУ*/У£. (Д2.8)
Враховуючи вирази (Д2.4) і (Д2.7) для V® і ДУ4, отримаємо
л а; *2Д/г
ДАї = ——.
2л
(Д2.9)
365
(Д2.10)
Для отримання виразу для частотної густини станів фотонів
скористаємося співвідношенням
оо 2лу с
к к п
де с — швидкість світла у вакуумі, п — показник заломлення
речовини.
Підстановка (Д2.10) в (Д2.9) дасть для числа станів фо-
тонів, які відповідають частотам від V до V + Д¥, у одиниці
об’єму речовини вираз
В речовині об’ємом V число станів фотонів у спектральному
інтервалі (V, V + Д¥) складає
= ^ї1уд¥. (Д2.12)
При Д¥ —► 0 із (Д2.11) отримаємо для спектральної (частот-
ної) густини станів фотонів
дг _ СІМ ___ 8лп3у2
у= ЇЇ7 “ с3
(Д2.13)
Тоді, підставивши у формулу (Д2.1) вирази (Д2.2) і (Д2.12)
для /(Лу) і ЛГу, отримаємо формулу Планка — вираз для спект-
ральної (частотної) густини енергії теплового (рівноважного)
випромінювання
__ 8лЛп3 у3
Р V “з ’
С еьт— \
(Д2.14)
З формули (Д2.13) випливає, що при даній температурі за-
лежність ру(у) має максимум. Крім того, видно, що ру —► оо при
Т —► оо.
366
ДЗ. УМОВА КВАНТОВОГО ПІДСИЛЕННЯ
МОНОХРОМАТИЧНИХ
ЕЛЕКТРОМАГНІТНИХ ХВИЛЬ
Розглянемо умову квантового підсилення монохроматичних
електромагнітних хвиль з довільним просторовим розподілом
інтенсивності і фази. Позначимо робочі рівні номерами 1 і 2.
Скористаємося виразом (1.30) для ймовірності переходів 1 —► 2
під дією монохроматичного випромінювання
г12(У) = в12адР (дз.і)
і виразом (1.36) — для ймовірності вимушених переходів 2—* 1
тг21^) = в21адР. (дз.2)
Запишемо диференційне рівняння для концентрації фотонів
когерентного випромінювання:
= В215^)рМ2 - В125(У)рМ, (ДЗ.З)
де Л^, Л^2 — концентрації атомів на рівнях 1 і 2, відповідно.
Скориставшись співвідношенням (1.45) для коефіцієнтів Ейн-
штейна
^12 __
перепишемо (ДЗ.З) у вигляді
= В215(^Н^2 - М)^ф- (Д3.5)
де враховано співвідношення
р = /п^ф. (Д3.6)
Із (Д3.5) видно, що умовою квантового підсилення когерент-
ного випромінювання з довільним просторовим розподілом
інтенсивності і фази буде виконання нерівності (1.54)
ДМ>0, (Д3.7)
367
де густина інверсної населеності визначається формулою (1.53)
ДМ = М2-^-М. (Д3.8)
£і
При цьому коефіцієнт квантового підсилення визначається ви-
разом
уV = [В215(V)/^V^с]Д^, (Д3.9)
де ус — швидкість світла у даному середовищі. Цей вираз, за
врахуванням співвідношення
о21(¥) = В2ї8(х)Н\/ус, (Д3.10)
еквівалентний до формули (1.57):
уу = о2^ДМ. (Д3.11)
Д4. БЛОК-СХЕМА УСТАНОВКИ
ДЛЯ ВИМІРЮВАННЯ СПЕКТРІВ ПОГЛИНАННЯ
КВАНТОВИХ СИСТЕМ
На рис. Д4.1 наведено спрощену блок-схему одного з варіан-
тів установки для вимірювання спектрів поглинання і кванто-
вого підсилення світла в активному середовищі при високих
інтенсивностях збудження. Джерелом світла, що змінює на-
селеність робочих рівнів активного середовища, служить лазер
ЛР До цього лазера ставляться такі вимоги: а) частота його
випромінювання повинна плавно перестроюватися в межах до-
сліджуваної спектральної лінії; б) випромінювання повинно бу-
ти достатньо потужним, щоб під його дією можна було суттєво
змінювати населеність досліджуваних рівнів; в) інтенсивність
випромінювання необхідно плавно регулювати в достатньо ши-
роких межах.
Випромінювання лазера Л, проходить через напівпрозоре
дзеркало ДЗ] і попадає на досліджуваний зразок 3. Під дією
цього випромінювання встановлюється деяка населеність до-
сліджуваних рівнів активного середовища. Частина випроміню-
вання відбивається від дзеркала Дз! і попадає на фотодетектор
368
ФДН електричний сигнал з якого попадає в реєструючу систему
РС, так що інтенсивність випромінювання лазера Л! контро-
люється.
Рис. Д4.1. Блок-схема установки для ви-
мірювання спектрів поглинання активного
середовища
Лазер Л2 дає тестуюче випромінювання. Вимоги до нього та-
кі: а) його частота випромінювання повинна перестроюватися в
межах досліджуваної спектральної лінії; б) інтенсивність випро-
мінювання повинна бути достатньо малою, щоб не впливати сут-
тєво на населеність досліджуваних рівнів активного середовища.
Випромінювання даного лазера, після відбиття від напівпрозо-
рих дзеркал Дз2 і Дзь направляється на зразок 3. Інтенсивність
випромінювання до проходження зразка і після зразка вимі-
рюється, відповідно, за допомогою фотодетекторів ФД2 і ФД3,
електричні сигнали з яких подаються в реєструючу систему РС.
Спектр поглинання або квантового підсилення світла знахо-
диться з використанням формул (1.17) і (1.56), відповідно.
Слід відзначити, що, як видно з рис. Д4.1, на фотодетекто-
ри ФД, і ФДз попадає світло від обох лазерів Л! і Л2. Щоб
розділити сигнали від випромінювання двох лазерів, можна,
наприклад, це випромінювання модулювати з двома різними ча-
стотами і на виході підсилювати ці сигнали окремо селективни-
ми підсилювачами, настроєними на ці дві частоти. Можна вико-
ристовувати при цьому ще поляризаційні явища.
Активне середовище можна збуджувати, наприклад, за до-
помогою електричного розряду (в газі), інтегральним випромі-
нюванням газорозрядної лампи, інжекцією електронів і дірок
у напівпровідниковому лазері та ін.
369
ЛІТЕРАТУРА
ЛІТЕРАТУРА ОСНОВНА
1. Григорук В. І., Коротков П. А., Хижняк А. І. Лазерна фізика: Підруч-
ник.— К: МП Леся, 1997. — 480 с.
2. Звелто О. Принципи лазеров. — М.: Мир, 1990. — 560 с.
3. Карлов Н. В. Лекции по квантовой злектронике. — М.: Наука,
1988.— 336 с.
4. Страховский Г. М., Успенский А. В. Основи квантовой злектроники.
2-е изд. — М.: Внісшая школа, 1979. — 303 с.
ЛІТЕРАТУРА ДОДАТКОВА
5. Успенский А. В. Сборник задач по квантовой злектронике. — М.:
Внісшая школа, 1976. — 176 с.
6. Ищенко Е. Ф., Климков Ю. М. Оптические квантовие генератори. —
М: Советское радио, 1968. — 472 с.
7. Квантовая злектроника. Маленнкая знциклопедия. Отв. ред. М. Е. Жа-
ботинский. — М.: Сов. знциклопедия, 1969. — 432 с.
8. Пантел Р., Путхоф Г. Основи квантовой злектроники. — М: Мир,
1972.— 384 с.
9. Пестов 3. Г., Лапшин Г. М. Квантовая злектроника. — М: Воениз-
дат, 1972.— 336 с.
10. Клншко Д. Н. Физические основи квантовой злектроники. — М.:
Наука, 1986. — 296 с.
11. Н. Г. Рябцев. Материалн квантовой злектроники. — М.: Сов. радио,
1972.— 384 с.
12. Байбородин Ю. В. Основи лазерной техники. 2-е изд. — К.: Вища
школа, 1988. — 383 с.
13. Справочник по лазерам. В 2-х томах. Под ред. акад. А. М. Прохоро-
ва. — М.: Сов. радио, 1978.— 1-й т. 504 с., 2-й т. 400 с.
14. Справочник по лазерной технике: Пер. с нем. — М.: Знергоатомиз-
дат, 1991. — 544 с.
15. Птащенко О. О. Короткий українснко-російсько-англійський словник
термінів квантової електроніки. Методичний посібник до курсу лекцій «Не-
370
лінійна оптика і квантова електроніка» для студентів 3-го курсу. Електрон-
ний варіант. — Одеса: ркуз.опи.есіи.иа, 2002. — 14 с.
16. Перина Я. Когерентность света. — М: Мир, 1974. — 367 с.
17. Соколов А. А., Лоскутов Ю. А., Тернов И. М. Квантовая механи-
ка. — М: Учпедгиз, 1962. — 592 с.
18. Хаус. Волньї и поля в оптозлектронике.— М: Мир, 1988. — 432 с.
19. Григорьев А. Д. Злектродинамика и техника СВЧ.—М.: Внісшая
школа, 1990. — 335 с.
20. Маркузе Д. Оптические волноводні.—М: Мир, 1974.— 576 с.
21. Тидекен Р. Волоконная оптика и ее применение. — М: Мир, 1975. —
240 с.
22. Дианов Е. М., Прдхоров А. М. Лазерні и волоконная оптика. УФИ. —
1986.— Т. 148, № 2. — С. 289—312.
23. Миказлян А. Л., Тер-Микаелян М. Л., Турков Ю. Г. Оптические
генераторні на твердом теле. — М.: Советское радио, 1967. — 384 с.
24. Дианов Е. М. Волоконнніе лазерні // УФИ.—2004. — Т. 174,
№ 10. —С. 1139—1142.
25. Курков А. С., Дианов Е. М. Волоконнніе лазерні средней мощности
// Квантовая злектроника. — 2004.—Т. 34, № 10. — С. 881—900.
26. Тихонов Е. А., Шпак М. Т. Нелинейнніе оптические явлення в орга-
нических соединениях. — К.: Наукова думка, 1979. — 360 с.
27. Машкевич И. С. Кинетическая теория лазеров. — М.: Наука, 1971. —
472 с.
28. Газовніе лазерні. Сб. статей. Пер. с англ. Под ред. Н. Н. Соболева. —
М.: Мир, 1968. — 344 с.
29. Богданкевич О. В., Дарзнек С. А., Елисеев П. Г. Полупроводниковніе
лазерні.—М.: Наука, 1976. — 415 с.
ЗО. Кейси X., Паниш М. Лазерні на гетероструктурах. В 2 томах. Том 1.
Основнніе принципи.— М.: Мир, 1981. — 299 с.
31. Грибковский В. П. Полупроводниковніе лазерні. — Минск: Универси-
тетское, 1988. — 304 с.
32. Полупроводниковніе инжекционние лазерні. Динамика, модуляция,
спектрні: Пер. с англ. / Под ред. У. Тсанга. — М.: Радио и связн, 1990.—
320 с.
33. Бертен Ф. Основні квантовой злектроники. — М: Мир, 1971. — 629 с.
34. Сигмен А. Мазерні. — М.: Мир, 1966. — 520 с.
35. Ахманов С. А., Никитин С. Ю. Физическая оптика. Издание 2-е. —
М.: МГУ. — 2004. — 656 с.
36. Ахманов С. А., Хохлов Р. В. Проблемні нелинейной оптики. — М.:
Изд-во ВИНИТИ, 1964.
37. Агравал Г. Нелинейная волоконная оптика. — М.: Мир, 1996. — 324 с.
38. Зелндович Б. Я., Пилипецкий Н. Ф., Шкунов В. В.. Обращение вол-
нового фронта. — М.: Наука, 1985. — 247 с.
39. Сверхкороткие световніе импулнсні / Пер. с англ. Под ред. С. А. Ах-
манова.—М.: Мир, 1981. — 480 с.
40. Ахманов С. А., Вніслоух В. А., Чиркин А. С. Оптика фемтосекундних
лазернніх импулнсов. — М.: Наука, 1988. — 312 с.
41. Крюков П. Г. Лазерні улнтракоротких импулнсов // Квантовая злек-
троника. — 2001. — Т. 31, № 2. — С. 95—119.
42. Таусенев А. В., Крюков П. Г. Непрернівнній фемтосекунднній лазер
на Ег: волокне с диодной накачкой посредством рамановского конвертера //
Квантовая злектроника. — 2004. — Т. 34, № 2. — С. 106—110.
371
43. Крюков П. Г. Фемтосекундньїе импульсьі. Введение в новую область
лазерной физики. — М.: Физматлит, 2008. — 208 с.
44. Птащенко О. О. Основи нелінійної фізики. Навчальний посібник. —
Одеса: Астропринт, 2001. — 108 .с.
45. Цернике Ф., Мидвинтер Дж. Прикладная нелинейная оптика. — М.:
Мир, 1976. — 261 с.
46. Дмитриев В. Г., Тарасов Л. В. Прикладная нелинейная оптика. — М.:
Физматлит. — 2004.
47. Летохов В. С., Чеботаев В. П. Нелинейная лазерная спектроскопия
сверхвьісокого разрешения.—М.: Наука, 1990. — 512 с.
48. Гаркавенко О. С., Зубарев В. В., Ленков С. В., Лукомский Д. В.,
Мокрицкий В. А. Новьіе лазерньїе методьі, средства и технологии. — Одесса:
Астропринт, 2002. — 280 с.
49. Лазерьі в клинической медицине. Под ред. С. Д. Плетнева. — М.:
Медицина, 1996.
50. Приезжев А. В., Тучин В. В., Шубочкин Л. П. Лазерная диагностика
в биологии и медицине. — М.: Наука, 1989.
51. Прикладная лазерная медицина. Учебное и справочное пособие. Под
ред. Х.-П. Берлиена, Г. Й. Мюллера. — Берлин—Москва, 1997.
52. Тучин В. В.. Лазерьі и волоконная оптика в биомедицинских иссле-
дованиях. — Саратов: Изд-во Саратовского университета, 1998.
53. Островский Ю. И. Голография и ее применение. — М.: Наука,
1973.— 180 с.
54. Голография. Методьі и аппаратура. Под ред. В. М. Гинзбург и
Б. М. Степанова. — М.: Сов. радио, 1974. — 376 с.
55. Коротеев Н. И., Шумай И. Л. Физика мощного лазерного излуче-
ния. — М.: Наука, 1991. — 312 с.
56. Птащенко О. О. Керований термоядерний синтез. Методичний по-
сібник до курсу лекцій «Проблеми сучасної фізики». Електронний варі-
ант. — Одеса: рЬуз.опи.есІи.иа, 2002. — 36 с.
57. Асіатз С. 8., Кііз Е. Ьазег соо1іп£ апсі ігарріп^ ої пеиігаї аіотз //
Рго£ге58 іп (^иапіит Еіесігопісз. — 1997. — V. 21, N0 1. — Р. 1—79.
58. Филипс У. Д. Лазерное охлаждение и пленение нейтральних атомов
// Успехи физических наук.— 1997.—Т. 169, № 3. — С. 305—322.
59. Птащенко О. О. Лазерне охолодження атомів. Методичний посіб-
ник до курсів лекцій «Нелінійна оптика і квантова електроніка», «Кван-
това електроніка і оптоелектроніка» та «Проблеми сучасної фізики» для
студентів 3, 4 і 5 курсів. Електронний варіант. — Одеса: рЬуз.опи.есІи.иа,
2007. — 33 с.
ПЕРЕЛІК ПОЗНАЧЕНЬ
А — апертура оптичного волокна
а — радіус дзеркала резонатора Фабрі—Перо; радіус отвору, що обме-
жує апертуру резонатора
а{ — коефіцієнт втрат резонатора за один прохід променя між дзерка-
лами
Д21 — коефіцієнт Ейнштейна для спонтанного переходу квантової систе-
ми з рівня 2 на рівень 1
а12 — ймовірність релаксаційного (без участі резонансних фотонів) пере-
ходу квантової системи з рівня 1 на рівень 2
а21 — ймовірність невипромінювального (релаксаційного) переходу кван-
тової системи з рівня 2 на рівень 1
В — індукція магнітного поля
В2| — коефіцієнт Ейнштейна для вимушених переходів між рівнями Е2
та Е|
с — швидкість світла у вакуумі
(1 — ефективний діаметр атома (молекули)
е — заряд електрона
% — напруженість електричного поля
— амплітуда електричного вектора електромагнітної хвилі
Ее—ширина забороненої зони напівпровідника
Ек — середня кінетична енергія частинок
Еу — енергія електронів в максимумі валентної зони
Ес — енергія електронів у мінімумі зони провідності
Р— енергія (рівень) Фермі
Рп — квазірівень Фермі для електронів у напівпровіднику
Рр — квазірівень Фермі для дірок у напівпровіднику
РЕ — різкість еталона Фабрі—Перо
&— шум-фактор підсилювача електромагнітних коливань
— сила Лоренца
/е(ґ) = (еЕ0/т)\ехр(іші) — функція, що характеризує дію електромагніт-
ного поля на осцилятор
/(Е) — заселеність даного енергетичного рівня квантової системи
/(/IV) — заселеність стану фотонів, що відповідає енергії Ну
6 — темп генерації електронів
д,—коефіцієнт квантового підсилення резонансного випромінювання в
активній речовині
— порогове значення коефіцієнта підсилення
Е/?ь Ею.— параметри резонатора
373
—кратність виродження рівня £(
—фактор Ланде
К—^стала Планка
.ЛҐ, 5? — магнітний вектор електромагнітної хвилі
НЕ — енергетична (промениста) експозиція — енергія електромагнітного
випромінювання, що падає на одиницю площі даної поверхні за деякий час
/IV, лсо — енергія фотона
/—інтенсивність електромагнітного випромінювання
, д! ...
/ун=----спектральна густина інтенсивності випромінювання
ду
Д — пороговий струм накачування для лазерної генерації
І — густина струму
/ — момент кількості руху атома
к — стала Больцмана
к, к — хвильовий вектор
£ — густина потоку фотонів
$—орбітальний момент молекули
— довжина резонатора
1Е — товщина еталона Фабрі—Перо
т — маса вільного електрона
тп — ефективна маса електрона у зоні провідності напівпровідника
т — ефективна маса дірок у валентній зоні напівпровідника
М— маса атома (молекули)
МР—маса протона
N — концентрація випромінювальних центрів у активному середовищі
N — концентрація частинок (наприклад, атомів, молекул)
— населеність енергетичного рівня Еі в активному середовищі
— число мод резонатора
N4 — концентрація фотонів (число фотонів у одиниці об’єму)
— число Френеля
п — показник заломлення середовища
пір — концентрації електронів і дірок у напівпровіднику, відповідно,
п, /, 5, /, — набір квантових чисел
Р — дипольний момент
Р, Р — вектор поляризованості середовища
р8 — тиск газу
Р|2 — ймовірності непружних зіткнень 1-го роду атомів (молекул, іонів)
з електронами в газі, що ведуть до переходу 1 —► 2
Р2\ — ймовірності непружних зіткнень 2-го роду атомів (молекул, іонів)
з електронами в газі, що ведуть до переходу 2 —► 1
Рр — потужність накачування
Ру — спектральна густина потужності випромінювання
() — добротність резонатора
<2^ — дифракційна добротність резонатора Фабрі—Перо
0 — енергія, що виділяється при одній реакції термоядерного синтезу
д — індекс (квантове число) аксіальної моди резонатора
г—коефіцієнт відбиття дзеркал резонатора
г—коефіцієнт відбиття світла на межі напівпровідник (діелектрик) —
повітря
Гр — радіус об’ємного круглого резонатора
5(¥) — функція форми спектральної лінії
50, 52... — синглетні рівні молекули
374
5р(¥) — функція передачі резонатора
5Л( V) — частотна функція передачі для однієї з мод резонатора
Т — температура
Та — ефективна температура нейтральних атомів
Те — ефективна температура електронів
Ті — ефективна температура іонів
Тс — кольорова температура джерела світла
— період коливань електромагнітної хвилі
То — час повного обходу резонатора світловим променем
У[—характеристичний параметр оптичного волокна
V — швидкість частинок
V — теплова швидкість ядер
— швидкість світла у даному середовищі
№ — енергія, накопичена в резонаторі
№-ч — ймовірність переходу атома з ї-го стану в /-й
и) — ймовірність поглинання фотона
У/а — товщина активної області
— ймовірність невипромінювальної рекомбінації електрона і дірки
— ймовірність випромінювальної рекомбінації електрона і дірки
1ік — темп переходів квантової системи з ї-го стану в /г-й (число пере-
ходів в одиниці об’єму за одиницю часу)
— темп спонтанних переходів квантової системи з 2-го стану в 1-й
(число спонтанних переходів в одиниці об’єму за одиницю часу)
2Ф — темп поглинання фотонів (число фотонів, що поглинаються в оди-
ниці об’єму за одиницю часу)
2 — атомний номер ядра
а — коефіцієнт поглинання
ае — ефективний коефіцієнт поглинання
ас — фактор спектроскопічного розщеплення
— фактор розширення спектральної лінії
0 — стала поширення електромагнітного поля в резонаторі
0л, — ядерний магнетон
Г — коефіцієнт оптичного обмеження у напівпровідниковому лазері
у — «коефіцієнт тертя» електрона в атомі в моделі Лоренца
6 — початкова фаза коливань
ДМ — густина інверсної населеності робочих рівнів
ДА^ — стаціонарна величина інверсної населеності
Д¥ — ширина спектральної лінії
Д¥ь — частота міжмодового биття
Д¥л — ширина резонансної кривої резонатора
Дсо — ширина спектральної лінії
До)# — ширина резонансної кривої резонатора
є — діелектрична проникність середовища
ь0 — електрична стала
т|а — ефективність поглинання падаючого світла активною речовиною
т|в — ККД джерела випромінювання
т|А — ККД концентратора
т|£ — квантовий вихід люмінесценції
X — довжина електромагнітної хвилі
Хв—довжина хвилі де Бройля електрона
ц — магнітна проникність даного середовища
ц0—магнітна стала
375
Ці — рухливість іонів у плазмі
ц„ — рухливість електронів
у8 — частота лазерної генерації
Ур — частота моди резонатора
0 — кут розбіжності променя
р — густина енергії електромагнітної хвилі
ру—спектральна густина енергії випромінювання
о — електропровідність середовища
рі;(¥) — переріз переходу атома між енергетичними рівнями Е, і під
дією електромагнітної хвилі (фотонів) частоти V
тс— час вільного прольоту атома (молекули)
Т/р—час взаємодії атома (молекули) в резонаторі мазера з резонансним
полем
т, — час життя ї-го збудженого стану квантової системи.
т2і — час життя верхнього стану 2 квантової системи відносно спонтан-
ного радіаційного переходу в стан 1
Ті — час затухання люмінесценції
Тр — час життя фотонів у резонаторі
тт—час термалізації коливально-обертальної енергії молекул
Фа — потік випромінювання у активній області напівпровідникового ла-
зера
Фг£, ®тм — потоки випромінювання в ТЕ- і ТМ-модах у напівпровіднико-
вому лазері
срв — кут Брюстера
<р0 — початкова фаза хвильової функції атома (молекули)
ф, — кут падіння променя на межі двох середовищ
X — діелектрична сприйнятливість середовища
со — циклічна частота електромагнітного поля
— плазмова частота середовища
&)0—власна (резонансна) частота резонатора
Сі)а — частота власних коливань молекули
АВТОРСЬКИЙ ПОКАЖЧИК
Алферов Ж. І. 224
Андерсон М. Г. 359
Ахманов С. А. 299
Басов М. Г. 9, 353
Бозе Ш. 359
Больцман Л. 215, 216, 253
Бор Н. 256
Брюстер Д. 176
Вавілов С. В. 24
Вайнштейн Л. А. 97
Вольце Й. 141
Вудбері Г. Г. 310
Габор Д. 344
Гарґрув Л. Е. 168
Гаус К. Ф. 40
Герц Г. 280
Гордон Дж. 9
Денисюк Ю. М. 346
Джордмейн Дж. А. 299
Дірак П. А. М. 229, 215
Допплер К. 40
Ейнштейн А. 9
Зееман П. 258, 261
Крішнан К. С. 305
Кролл Д. 299
Крюков П. Г. 329
Ланде А. 256
Ланкард Дж. Р. 141
Ландсберг Г. С. 305
Лемб У. Ю. 55
Лєтохов В. С. 327
Лі Т. 66, 67
Лоренц X. А. 35, 267
Максвелл Д. К. 12, 41
Мандельштам Л. І. 305
Мейман Т. 9
Міллер Р. 299
Паулі В. 215
Перо А. 64, 96
Планк М. 231
Пойнтінг Д. Г. 15
Прохоров О. М. 9, 64
Раман Ч. В. 305
Снітцер Е. 136
Сорокін П. П. 141
Столен Р. Г. 309
Таунс Ч. 9, 64
Тіхонов Є. О. 141
Томсон Дж. Дж. 36
Умов М. О. 15
Фабрі Ш. 64, 96
Фермі Е. 215
Фокс А. 66, 67
Хохлов Р. В. 299
Цайгер Г. 9
Чу С. 357
Шавлов А. 9
Шефер Ф. П. 141
Шмідт Ф. П. 141
Шпак М. Т. 141
Штарк І. 262, 358
377
ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК
Абляційне стискання мішені 353
Активна область у напівпровіднико-
вому лазері 223
Активна речовина (активне середо-
вище) 122, 153, 164
Акустооптичний елемент 166
Бозон 253
Бора магнетон 256
Брюстера кут 176
Вектор поляризованості 286
Вимушене (стимульоване) випромі-
нювання 16
Віглер (ондулятор) 280
Віднімання частот 294
Віртуальний (нестаціонарний) стан
303, 305
Власні частоти резонатора 58, 79
Втрати в резонаторі Фабрі—Перо
95—99
Втрати енергії в молекулах барвни-
ків 143—145
Газовий розряд 179
Герца диполь 280
Гетероструктура 224
Голографія 344
Голографія, опорна хвиля 345
Голографія, предметна (об’єктна)
хвиля 345
Голографія, принцип взаємності 346
Густина енергії випромінювання ма-
зера 266
Густина енергії електромагнітних
хвиль спектральна 21, 26
Густина енергії електромагнітної
хвилі 19
Густина інверсної населеності рів-
нів 153
Густина потоку енергії 44
Густина потоку фотонів 15, 160
Дворівнева система 43, 44
Двохфотонне випромінювання 304
Двохфотонне поглинання 303, 304
Димер 207
Диполь 200, 280
Дипольний момент 200, 262
Дисперсійний резонатор 116, 117
Добротність резонатора 93, 154
Довжина когерентності хвилі 13
Допплера ефект 281, 355
Допплерівське охолодження атомів
355
Дрейфова швидкість електронів 179
Дуговий розряд 179, 195
Ейнштейна коефіцієнт 19, 23—25
Електронна температура 183, 193
Електрооптичний елемент 119, 165
Електрооптичний ефект 119,291, 164
Електропровідність плазми 178
Енергетичний спектр електронів
у напівпровіднику 212
Енергетичний спектр молекули барв-
ника 142, 143
Енергія (рівень) Фермі 216—218
Ефект насичення 168
Ефект самофокусування 312, 317
Ефективна температура 32, 133, 178
Ефективний коефіцієнт поглинання
світла в резонаторі 100, 106
Ефективність накачування 126, 228
Ефективність перетворення енергії
в лазері 123
378
Закон збереження енергії при погли-
нанні фотона 16
Закон збереження імпульсу 299
Закон зміщення Віна 124
Затухання люмінесценції 24
Затягування мод 171
Зворотно-гальмівний ефект 348
Зеемана ефект 257, 261
Імпульс фотона 292
Інверсійне виродження 260
Інверсійне розщеплення енергетич-
них рівнів 256
Інверсна населеність 10б, 122
Інверсна населеність рівнів у напів-
провіднику 228, 248
Інжекція носіїв заряду 223
Інтенсивність лазерного випроміню-
вання 155
Інтенсивність (потужність) накачу-
вання 160
Інтенсивність спонтанних переходів
23, 24
Іонізація атомів 177, 181
Ймовірність переходів атома 18
Ймовірність поглинання фотона 17
ККД лазера 125
ККД оптичного накачування 123
ККД напівпровідникового лазера 212
Квадрупольна взаємодія електронів
258
Квадрупольний конденсатор 263
Квазіімпульс електрона в напівпро-
віднику 214
Квазірівень Фермі 219
Квантове підсилення світла 146, 192
Квантове підсилення світла у напів-
провіднику 220—222
Квантове число головне 193, 254
Квантове число орбітальне 193, 254
Квантове число спінове 257, 258
Квантовий вихід випромінювальної
рекомбінації 236
Квантовий вихід люмінесценції 143,
145
Квантовий парамагнітний підсилю-
вач 275
Квантовий підсилювач оптичного по-
току 135
Керра ефект 291
Керрівська лінза 292
Кінетика затухання люмінесценції
24
Кінетичне рівняння для населеності
рівня 126
Ковалентний зв’язок атомів 207
Когерентні хвилі 13
Когерентність випромінювання 175
Когерентність просторова 13
Когерентність часова 13
Коефіцієнт втрат за один прохід 95
Коефіцієнт квантового підсилення
49, 227, 229
Коефіцієнт оптичного обмеження
226
Коефіцієнт підсилення хвилі за один
прохід у резонаторі 78
Коефіцієнт поглинання 17
Коефіцієнт поглинання напівпровід-
ника 226, 228
Коливальна енергія молекули 198—
200
Коливальний стан молекули 198—
200
Коливально-обертальна енергія мо-
лекули 197
Коливання молекули антисиметрич-
ні 199
Коливання молекули деформаційні
198
Коливання молекули симетричні 198
Кольорова температура джерела
світла 124
Комбінаційне (раманівське) розсіян-
ня світла 289
Комбінаційне розсіяння світла виму-
шене 309
Комбінаційне розсіяння світла, сток-
сові супутники 305
Комбінаційне розсіяння світла, ан-
тистоксові супутники 305
Концентратор 123, 136
Кратність виродження рівня 125—
128
Кратність просторового виродження
256
Кут дифракції 238
Кут розбіжності 81, 237
Кутовий розподіл випромінювання
236
Лавинне помноження електронів і ді-
рок у напівпровіднику 245
Лазер аргоновий 195
379
Лазер газовий 175
Лазер газодинамічний 202
Лазер гелій-неоновий 191
Лазер ексимерний 206
Лазер з поздовжнім накачуванням
249
Лазер імпульсний 158
Лазер інжекційний (діодний) 223
Лазер іонний 194
Лазер молекулярний 197
Лазер на вільних електронах 279
Лазер на основі молекул СО2 197
Лазер на розчині органічного барв-
ника 141
Лазер напівпровідниковий 211
Лазер напівпровідниковий з елект-
ронним обмеженням 225
Лазер напівпровідниковий з подвій-
ною гетероструктурою 224
Лазер неперервної дії 140
Лазер фемтосекундний 330, 334
Лазер хімічний 204
Лазерна генерація 141, 158—163
Лазерне нагрівання речовин 347
Лазерне охолодження атомів 355
Лазерний термоядерний синтез 351,
352
Ланде фактор 256
Лоренца сила 288
Лоусона критерій 352
Люмінесценція 24
Мазер 61, 254, 258, 264
Мазер на пучку молекул аміаку 264
Максвелла рівняння 41
Метастабільний рівень 129, 131
Мода (тип коливань) резонатора 58
Мода оптичного волокна 87
Мода резонатора аксіальна (повз-
довжня) 60—62
Мода резонатора неаксіальна (попе-
речна) 60—62
Мода резонатора основна 68
Мода щілинного резонатора 84
Модулятор 164
Модулятор активний 171
Модулятор пасивний 171
Монохроматичне випромінювання
12—13
Мультиплет 255
Найквіста формула 277
Напівпровідник вироджений 218
Напівпровідник невироджений 218
Населеність трирівневої системи
271
Невипромінювальна рекомбінація
236
Неідеальність відбивання світла від
дзеркал резонатора 64
Нелінійний кристал 287
Немонохроматичне випромінювання
13, 14
Непараметричні багатофотонні про-
цеси 303
Непружні зіткнення частинок 179
Нерівноважні електрони та дірки
219
Обертальні моди молекули 142
Ондулятор (віглер) 280
Оптичне детектування 294
Оптичне накачування 122—129
Орбітальний момент молекули 255
Охолодження атомів допплерівське
355, 356
Охолодження атомів суб-віддачне
359
Охолодження атомів суб-допплерів-
ське 358
Охолодження до наднизьких темпе-
ратур 359
Параметричні нелінійні явища 292
Параметричний генератор 299
Переріз переходу 18, 25
Перестроювання частоти генерації
лазерів 100, 116
Плазма 178
Плазма, густина плазми 350
Плазма, густина плазми критична
350
Плазма, критична концентрація
електронів 350
Плазма, час утримання енергії 352
Плазмова частота 349, 350
Плазмові коливання, поглинання
електромагнітних хвиль 349
Плоска монохроматична хвиля 12,
13
Поглинання електромагнітних хвиль
17
Подвійне променезаломлення 165
Подвоєння частоти 293, 295
Подвоєння частоти, довжина коге-
рентності 297
380
Подвоєння частоти, умова фазового
синхронізму 296
Показник заломлення напівпровід-
ника 225, 226
Поккельса ефект 164
Порогова енергія ударної іонізації
245
Порогова інверсна населеність робо-
чих рівнів 133, 134
Порогова потужність накачування
129
Порогова умова генерації мазера 266
Порогова умова генерації напівпро-
відникового лазера 227
Порогова умова квантового підси-
лення світла в розчині барвника
146
Порогова умова квантового підси-
лення світла у напівпровіднику
220, 221
Порогова умова лазерної генерації
103
Порогова умова підсилення світла в
3-рівневій системі при оптично-
му накачуванні 131
Порогова умова підсилення світла в
4-рівневій системі при оптично-
му накачуванні 147
Потужність втрат резонатора 94
Потужність мазера 267
Правила відбору для переходів 198
Правила відбору при обертальних
переходах 260
Принцип невизначеності 13
Принцип Паулі 215, 221, 233
Просторовий розподіл лазерного ви-
промінювання 160
Прямозонний напівпровідник 215,
224
Радіаційний перехід 185, 190
Рассела—Саундерса модель (модель
£5-зв’язку) 255
Режим багатомодовий 153
Режим вільної генерації імпульсного
лазера 158
Режим модульованої добротності 164
Режим синхронізації мод 168
Резонансна електромагнітна хвиля
17, 29
Резонансна передача енергії 181
Резонансне (каскадне) двохфотонне
поглинання 304
Резонансне випромінювання 160
190, 196
Резонатор 58
Резонатор зі сферичними дзеркала-
ми 69
Резонатор нестійкий 73, 77
Резонатор конфокальний 76
Резонатор концентричний 75
Резонатор стійкий 73
Резонатор Фабрі—Перо 95—99
Робочий рівень 122—125
Розсіяння світла 99, 119
Розширення енергетичних рівнів не-
однорідне 136
Розширення енергетичних рівнів од-
норідне 135
Розширення спектральної лінії неод-
норідне 107, 108
Розщеплення енергетичних рівнів
212
Рухливості електронів і дірок у на-
півпровіднику 226
Самодефокусування світла 312, 317
Самодовільна модуляція плоскої хви-
лі 315
Самоорганізація хвильових пакетів
312
Свіп-лазер 119
Селективне відбивання 196
Селективний (диспергуючий) резо-
натор 146, 149
Селекція аксіальних мод 112
Селекція неаксіальних мод 110
Синглетний рівень 142
Синглет-триплетна конверсія 144
Синхронізація мод 141, 149
Синхронізація мод активна 171
Синхронізація мод пасивна 171
Система 4-рівнева 132, 133
Складання частот 294
Солітон обвідної 312, 316
Сортування атомів у неоднорідному
магнітному полі 261
Сортування молекул у неоднорідно-
му електричному полі 262
Спектральна густина енергії випро-
мінювання 14
Спектральна густина ймовірності пе-
реходу 19, 24
Співвідношення невизначеності 305
Спін електрона 353, 355
Спін-ґраткова релаксація 272
381
Спонтанне випромінювання в напів-
провіднику 220, 232
Спонтанне випромінювання фотонів
17, 25
Спонтанний перехід системи 17
Стала Больцмана 178
Стала Планка 26, 231
Стаціонарний стан атома 15, 43
Стимульоване (вимушене) випромі-
нювання 17, 24
Стискання хвильових пакетів 312—
316
Стокса правило 143
Суперпозиція (накладання) гармоніч-
них коливань 168
Терм атома 255
Термоелектронна емісія 179
Типи коливань (моди) резонатора 58,
84
Тиск світла 288
Тліючий розряд 178, 193
Томсона ефект 202
Тонка структура рівнів 259
Тривалість імпульсів випромінюван-
ня 168, 170
Триплетні рівні 142—145
Трирівневі системи 125
Ударна іонізація атомів 177, 181
Ударна іонізація у напівпровіднику
243
Умова детальної рівноваги 181
Умова стійкості резонатора 73
Умови квантування 60
Фазова самомодуляція 324
Фактор Ланде 256
Фермі—Дірака статистика 215
Ферміон 215, 253
Функція розподілу Больцмана 182,
253
Функція форми спектральної лінії
(формфактор) 19
Хвильова функція 15
Хвильовий вектор 214
Час життя стаціонарного стану ато-
ма 127, 129, 186
Час затухання резонатора 94, 95
Час когерентності світлового пучка
13
Частота власних коливань молекули
307, 308
Частота генерації лазера на розчині
барвника 145, 146
Частота генерації мазера 105
Частота міжмодового биття 168
Число мод резонатора 61—63
Ширина лінії підсилення однорідна
282
Ширина спектральної лінії 20, 114
Ширина спектру випромінювання 20
Штарка ефект 212, 290
Шумова температура підсилювача
278
Шум-фактор підсилювача 277, 278
Ядерний магнетон 257
Ядерний фактор Ланде 256
КОРОТКИЙ УКРАЇНСЬКО-РОСІЙСЬКО-
АНГЛІЙСЬКИЙ словник
ТЕРМІНІВ КВАНТОВОЇ ЕЛЕКТРОНІКИ
активна речовина, ак- активнеє вещество, ак- асііуе зиЬзІапсе, асііуе
тивне середовище тивная ереда тедіит
аміак аммиак аттопіа
амплітуда коливань амплитуда колебаний атріііиде ої озсіїїаііопз
апертура апертура арегіиге
багатошаровий МНОГОСЛОЙНЬІЙ тиііііауег
бокові стінки боковьіе стенки 5І(ІЄ \УЗІІ5
бреггівська ґратка брегговская решетка Вга££ £гаііп£
величина величина циапіііу
вимушений вьінужденньїй іпдисед
випромінювання излучение гадіаііоп
виродження вьірождение (іе^епегаїіоп
відбиття отражение геПесІіоп
відносна діелектрична стала, проникність относительная дизлек- трическая постоян- ная, проницаемость (геїаііуе) діеіесігіс соп- зіапі, регтіїїіуііу
відношення отношение гаїіо
вільний від втрат свободньїй от потерь їгее ОЇ ІО55Є5
вісь ось ахіз
власна частота собственная частота паіигаї їгециепсу
водень водород Ну(ІГО£ЄП
втрати потери І055(ез)
втрати енергії потери знергии ЄПЄГ£У І055(ез)
втрати за один прохід потери за один проход ОПЄ-р355 ІО55
втрати на відбиття потери на отражение ГеПеСІІОП ІО55
втрати на дефектах потери на дефектах (ІеГеСІ ІО55Є5
383
Підписано до друку 30.11.2010. Формат 60X84/16. Папір офсетний.
Гарнітура «Літературна». Друк офсетний. Ум. друк. арк. 22,8.
Тираж 300 прим. Вид. № 204. Зам. № 652.
Видавництво і друкарня «А с т р о п р и н т»
65091, м. Одеса, вул. Розумовська, 21
Тел.: (0482) 37-07-95, 37-14-25, 33-07-17, (048) 7-855-855
5¥5¥5¥.а5ІГОрГІПІ.ОСІЄ55а.иа
Свідоцтво суб’єкта видавничої справи
ДК № 1373 від 28.05.2003 р.
втрати на розсіювання
з великими втратами
загальні втрати
газ
газодинамічне накачу-
вання
генерація
~ параметрична
голографія
густина
густина потоку фотонів
дзеркало (увігнуте,
опукле)
дифракція
діелектрик
діелектрична проник-
ність вакууму, аб-
солютна діелек-
трична проникність
добротність
добуток
довжина хвилі
дозволений (забороне-
ний)
електричний розряд
електромагнітне випро-
мінювання
елементарна квантова
теорія
емісія, випромінювання
енергія
передача —
передавати —
енергетичний рівень
енергетичний спектр
атома
потери на рассеяние
с большими потерями,
с большим затуханием
общие потери
газ
газодинамическая на-
качка
генерация
— параметрическая
голография
плотность
плотность потока фо-
тонов
зеркало (вогнутое, вьі-
пуклое)
дифракция
дизлектрик
дизлектрическая прони-
цаемость вакуума,
абсолютная дизлек-
трическая проница-
емость
добротность
произведение
длина волньї
разрешенньїй (запре-
щенньїй)
злектрический разряд
злектромагнитное из-
лучение
злементарная кванто-
вая теория
змиссия, испускание
знергия
передача —
передавать ~
знергетический уровень
знергетический спектр
атома
5СаНеГІП£ ІО55
ІО55У
ІОІаІ ІО55
&аз
^азсіупатіс ритріп^
^епегаНоп
рагатеігіс ~
ЬоІо^гарЬу
сіепзііу
рЬоіоп Них сіепзііу
тіггог (сопсауе, соп-
уех)
сНГГгасііоп
сііеіесігіс
регтіШуИу о( (гее
зрасе, аЬзоІиіе рег-
тііііуііу
циаіііу
ргосіисі
ууауеІеп^ІЬ
аііоууесі (ГогЬісІсІеп)
еіесігіс сІізсЬаг^е
еІесігота^пеНс гасііа-
ііоп
еіетепіагу циапіит
ІЬеогу
етіззіоп
ЄПЄГ£у
— ігапзГег
ігапзіег ІЬе ~
епег^у ІЄУЄІ
епег^у зресігит о( ап
аіот
384
збудження (збуджений) возбуждение (возбуж- ехсИаНоп (ехсііеб)
денньїй)
передача ~ передача ~ — ігапзіег
пряме електронне — прямое злектрон- ное — сПгесІ еіесігоп —
ступеневе — ступенчатое — 5ІЄр-Ьу-5ІЄр
зіткнення соударение ітрасі, соПізіоп
пружне — упругое ~ еіазііс ~
непружне ~ неупругое ~ іпеїазііс ~
1-го роду 1-го рода ОІ ІЬе 1-5І кіпсі
2-го роду 2-го рода о! ІЬе 2-псІ кіпсі
інтенсивність, напру- женість интенсивность, напря- женность іпіепзііу
інтерферометр интерферометр іпіегіеготеіег
~ Фабрі—Перо ~ Фабри—Перо РаЬгу—Регоі ~
іон ион іоп
іонізація ионизация іопіхаііоп
ударна ~ ударная — ітрасі —
ймовірність вероятность ргоЬаЬіІііу
квантове підсилення квантовое усиление циапіит атрНПсаііоп
квантове число квантовое число циапіит питЬег
квантовий, квант (кван- ти) квантовьій, квант (кван- тьі) циапіит (циапіа)
квантове(і) явище(а) квантовое(ьіе) явление(я) циапіит рЬепоте- поп(па)
ковзне падіння скользящее падение ^гагіп^ іпсідепсе
когерентне випроміню- вання когерентное излучение соЬегепі гасІіаНоп
когерентні хвилі когерентньїе ВОЛНЬІ соЬегепі ууауез
коефіцієнт відбиття козффициент отраже- ния геПесііоп соеіїісіепі, геПесііУІіу
коефіцієнт втрат (по- глинання) козффициент потерь (поглощения) ІО55 Гасіог
коефіцієнт екстинкції (в формулі п = п — ік) козффициент зкстинк- ции ехііпсііоп соеИісіепі
коефіцієнт підсилення козффициент усиления £аіп
385
коефіцієнт поглинання козффициент поглоще- ния аЬвогрНоп соеіїісіепі
коефіцієнт самоіндукції козффициент самоин- дукции іпсіисіапсе
коливальний контур колебательньїй контур О5сіІІаііп£ (уіЬгаііопаї) сопіоиг
коливання колебание ОБСіІІаііоп
конденсатор конденсатор сарасііог, сопсієпбєг
ємність конденсатора емкость конденсатора сарасііапсе ої а СОПСІеП- БеГ
конфокальні сферичні конфокальньїе сфери- сопїосаі зрЬегісаІ тіг-
дзеркала ческие зеркала ГОГ5
концентрація концентрация сопсепігаііоп
котушка катушка соіі
котушка індуктивності катушка индуктивности іпсіисіапсе соіі
кутова частота, цикліч- на частота угловая частота, цик- лическая частота ап^иіаг їгециепсу
лазер лазер Іазег
атомний ~ атомньїй ~ аіотіс ~
газовий ~ газовьій ~ Єаз —
іонний ~ ИОННЬІЙ ~ іопіс ~
молекулярний ~ молекулярний ~ тоїесиїаг ~
напівпровідниковий ~ полупроводниковьій ~ зетісопсіисіог ~
рідинний ~ ЖИДКОСТНЬІЙ ~ Іідиісі ~
твердотільний ~ твердотельньїй ~ 5ОІІСІ-5ІаІЄ ~
хімічний ~ химический ~ сЬетіса! ~
магнітна проникність магнитная проницае- регтеаЬіІііу ої їгее
вакууму мость вакуума зрасе
метастабільний метастабильньїй теіавіаЬІе
мода мода тосіе
аксіальна (неаксі- аксиальная (неак- ахіаі (поп-ахіаі) ~
альна) ~ сиальная) ~
поздовжня ~ продольная ~ Іоп^ііисііпаї ~
поперечна ~ поперечная ~ Іаіегаї ~
внутрішня ~ внутренняя ~ іппег ~
накачування накачка ритріп^
оптичне ~ оптическая ~ оріісаі —
напруженість напряженность іпіепБІіу
386
напруженість електрич- напряженность злект- еіесігіс Гіеісі
ного поля населеність, заселеність рического поля населенность, заселен- рориіаііоп
настроювати ность настраивать іипе
похила площина наклонная плоскость іпсііпесі ріале
невизначеності співвід- неогіределенности со- ипсегіаіпіу геїаііоп
ношення нескінченність отношение бесконечность іпГіпИу
нескінченний, нескін- бесконечньїй, бесконеч- іпПпііе
ченно великий нескінченно малий, не- но большой бесконечно мальїй, бес- іпПпііезітаї
скінченно мала ве- личина ПЛЮС 00 конечно малая ве- личина ПЛЮС 00 ріиз оо, + оо
мінус оо минус 00 тіпиз оо.-оо
на нескінченності на бесконечности аі іпПпііу
перетворюватися в не- обращаться в беско- іо Ьесоте іпПпііе
скінченність прямувати до оо нечность стремиться К 00 (о §0 іпіо оо,
спрямувати / до оо устремить І К 00 іо іепсі ІО оо ІО Іеі І §0 ІО 00
вважати, що х знахо- считать х расположен- іо іаке х (іо Ье) аі оо
диться на оо нормальна площина ньім на оо нормальная плоскость погтаї ріале
нормальне падіння нормальнеє падение погтаї іпсісіепсе
нормування нормирование, норми- погтаїігаііоп
об’ємний резонатор ровка об'ьемньїй резонатор сауііу гезопаіог
однорідне (неоднорідне) однородное (неоднород- ипііогт (лол-ііпИогт)
розширення ное) уширение Ьгоасіепіп^
оптичне волокно оптическое волокно оріісаі ГіЬег
оптичне накачування оптическая накачка оріісаі ритріл£
падіння падение іпсісіепсе
переріз сечение СГ055-5ЄСІІ0П
перехід переход ігапзіііоп
дозволений ~ разрешенньїй ~ а11о\уесі ~
заборонений ~ запрещенньїй ~ ГогЬідсіеп ~
перпендикулярні пло- перпендикулярнеє регрелсіісиїаг ріапез
щини півплощина плоскости полуплоскость НаІГ-рІале
387
плоска хвиля
плоскопаралельний
плоскополяризований
площина коливань (при
поляризації)
площина падіння
поглинання
поглинати
поздовжня мода
показник заломлення
поперечна мода
поперечний переріз
-------- переходу
порогова умова
порушення
похиле, скісне падіння
правило відбору
призма
принцип відповідності
прозорий
промінь
пропорція
протилежний
прямувати
пучність
пучок
резонанс
резонатор
волоконний —
об’ємний ~
стійкий ~
нестійкий ~
концентричний —
конфокальний —
~ Фабрі—Перо
плоская волна
плоскопараллельньїй
плоскополяризованньїй
плоскость колебаний
(при поляризации)
плоскость падения
поглощение
поглощать
продольная мода
показатель преломления
поперечная мода
поперечное сечение
-------- перехода
пороговое условие
нарушение
наклонное падение
правило отбора
призма
принцип соответствия
прозрачньїй
луч
пропорция
противоположньїй
стремиться
пучность
пучок
резонанс
резонатор
волоконний ~
об'ьемньїй ~
устойчивьій ~
неустойчивьій ~
концентрический ~
конфокальний ~
~ Фабрі—Перо
ріапе ууауе
ріапе-рагаїїеі
ріапе-роіагігесі
уіЬгаііоп ріапе
ріапе оГ іпсісіепсе
аЬзогрііоп
іо аЬзогЬ
Іоп^ііисііпаї тосіе
геїгасііуе іпсіех (іпсіех
ої геГгасІіоп)
Іаіегаї тосіе
СГО55-5ЄСІІОП
•----ої а ігапзіііоп
ІЬгезЬоісІ сопсііііоп
уіоіаііоп
оЬііцие іпсісіепсе
зеїесііоп гиіе
ргізт
сопїогтИу ргіпсіріе,
соггезропсіепсе
ргіпсіріе
ігапзрагепі
гау
ргорогііоп
оррозііе
іо арргоасЬ, іо іепсі
іоор, апііпосіе
Ьеат
гезопапсе
сауііу, гезопаіог
ПЬег гезопаіог
сауііу —
зіаЬІе —
поп-зіаЬІе —
сопсепігісаі ~
сопїосаі —
— РаЬгу—Регоі
388
результат результат гезіШ
речовина вещество, материя зиЬзіапсе, гпаМег
рівняння уравнение ециаііоп
система ~ система — зеі ої ециаііопз, зузіет ої ециаііопз
рідина жидкость Ііциісі
рідинний лазер жидкостньїй лазер Ііциісі Іазег
розподіл за інтенсив- ністю та фазою распределение по интен- сивности и фазе іпіепзііу апсі рЬазе сН5- ігіЬиііоп
розподіл частинок распределение частий сІізігіЬиііоп ої рагіісіез
розряд разряд сІізсЬаг^е
газовий ~ газовьій — £аз ~
самостійний ~ самостоятельньїй ~ зеИ-таіпіаіпесі —, зеИ-зизіаіпесі ~
несамостійний — несамостоятельньїй ~ поп-зеИ-таіпіаіп- есі зеті-зеИ- таіпіаіпесі ~
тліючий ~ тлеющий ~ £іоау зиЬпог- таї ~
дуговий ~ дуговой ~ агс ~
розширення спектраль- ної лінії уширение спектральной линии 1ІПЄ \УІ(ІЄПІП£
система накачування система накачки ритріп^ зузіет
скінченний (нескінчен- ний) конечньїй (бесконечньїй) Гіпііе (іпГіпііе)
смуга поглинання полоса поглощения аЬзогрііоп Ьапсі
спектр спектр зресігит
спектральна лінія спектральная линия зресігаї Ііпе
співвідношення соотношение геїаііоп
співудар (див. зіткнення)
спонтанне випроміню- вання спонтанное излучение зропіапеоиз етіззіоп
спонтанний спонтанний зропіапеоиз
стала, константа постоянная, константа сопзіапі
стан состояние зіаіе
стимульоване (вимуше- не) випромінювання стимулированное (ин- дуцированное, вьі- нужденное) излуче- ние зіітиіаіесі (іпсіисесі) етіззіоп
тверде тіло твердое тело 5ОІІСІ
твердотільний лазер твердотельньїй лазер зоїісі-зіаіе Іазег
389
темп переходів (генера- темп переходов (гене- ігапзіНоп (^епегаііоп,
ції, рекомбінації) рации, рекомбина- ции) гесошЬіпаНоп) гаіе
тепловий рух тепловое движение іЬегтаі тоііоп
умова условие сопсііНоп
умова динамічної рів- новаги условие динамического равновесия (іупатіс ециіІіЬгіит СОПСІІНОП
умова зворотного зв’яз- ку условие обратной связи їеесіЬаск сопсііНоп
фаза фаза ріїазе
фокальна площина фокальная плоскость Госаі ріапе
фонон фонон ріїопоп
формфактор форм-фактор [огт-їасіог
фотон фотон ріїоіоп
хвиля волна ууауе
довжина — длина ~ ууауеІеп^ІЬ
когерентні ~ когерентньїе ~ соіїегепі —
плоска — плоская — ріапе ~
сигнальна ~ сигнальная — 5І£па1 —
стояча ~ стоячая ~ 5ІапсІіп£ —
стояча (ідеалізова- на) ~ стоячая (идеализи- рованная) ~ зіаНопагу —
стояча поперечна ~ стоячая поперечная ~ уегНса! —
холоста — холостая ~ ісііе ~
хвильовий вектор волновой вектор ууауе уесіог
час життя время жизни ІіїеНте
час спадання время спадання сіесау Нте
частинка частица рагНсІе
частота частота їгециепсу
циклічна (кутова) ~ циклическая (угло- вая) ~ ап^иіаг їгециепсу
швидкість скорость уеіосИу зреесі« та^пііисіе ої уеіосііу
ширина спектральної лінії ширина спектральной линии [ції Ьапсі ууісііЬ оп ЬаІГ тахітит
широкосмугове випро- мінювання широкополосное излу- чение Ьгоасі-Ьапсі гасІЇаНоп
якість качество циаіііу
390
Наукове видання
ПТАЩЕНКО Олександр Олександрович
ОСНОВИ КВАНТОВОЇ ЕЛЕКТРОНІКИ
Навчальний посібник
для студентів вищих навчальних закладів
Завідувачка редакції Т. М. Забанова
Редактор Н. Я. Рихтік
Технічний редактор Д. М. Островеров
Коректор Н. І. Дуброва
Птащенко Олександр
Олександрович - доктор
фізико-математичних наук,
професор, завідувач кафед-
ри фізики твердого тіла і
твердотільної електроніки
Одеського національного
університету імені 1. І. Меч-
никова. Автор понад 200 на-
укових праць, 3 винаходів,
8 навчально-методичних
праць. Основні наукові ре-
зультати отримані в області
оптоелектроніки, зокре-
ма, у фізиці світлодіодів та
напівпровідникових лазерів, а також у галузі
сенсорики: у фізиці сенсорів з оптичним ви-
ходом на основі лазерних діодів та газових
сенсорів, що використовують поверхневі яви-
ща в р-п переходах.
Автор двох поетичних збірок та публікацій
в журналах «Літературна Одеса», «Море» та ін.